1. Îïðåäåëåíèå îãðàíè÷åííîé (ñâåðõó, ñíèçó) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó), åñëè ∃M (m) ∈ R : ∀ n ∈ N ⇒ xn ≤ M (xn ≥ m). Íàçîâåì ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} îãðàíè÷åííîé, åñëè ∃A ∈ R : ∀ n ∈ N ⇒ |xn | ≤ A. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà îãðàíè÷åíà ñâåðõó è ñíèçó. 2. Îïðåäåëåíèå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ÁÁÏ×).
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{xn } ∃ N (A) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ |xn | > A.
íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé, åñëè
∀A ∈ R :
Ñíÿòèå ìîäóëÿ â íåðàâåíñòâå îïðåäåëÿåò, êàêîãî çíàêà áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 3. Îïðåäåëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ÁÌÏ×).
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ∃ N (ε) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ |xn | < ε.
íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé, åñëè ∀ε > 0 ∈ R :
4. Òåîðåìà î ñâîéñòâàõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâòåëüíîñòåé.
Ïóñòü {αn} áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà: 1. {αn} îãðàíè÷åíà 2. Åñëè {yn} îãðàíè÷åíà, òî {αn × yn} áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 3. Åñëè {βn} áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî {αn ×βn} è {αn ±βn} áåñêîíå÷íî ìàëûå ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 5. Òåîðåìà î ñâÿçè ÁÌÏ× è ÁÁÏ×.
1. Åñëè {xn} ÁÌÏ× è ∀n ∈ N : xn 6= 0, òî { x1 } ÁÁÏ× 2. Åñëè {xn} ÁÁÏ× è ∀n ∈ N : xn 6= 0, òî { x1 } ÁÌÏ× n
n
6. Îïðåäåëåíèå îêðåñòíîñòè
Íàçîâåì îêðåñòíîñòüþ òî÷êè a ∈ R ëþáîé èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé ýòó òî÷êó U (a). Uδ (a) = (a − δ; a + δ) ñèììåòðè÷íàÿ δ -îêðåñòíîñòü. Uδ0 (a) = (a − δ; a) ∪ (a; a + δ) ïðîêîëîòàÿ δ -îêðåñòíîñòü. 7. Äâà îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} èìååò ïðåäåë, ðàâíûé a, ò.å. n→∞ lim xn = a ⇐⇒ ∀U (a) ∃N (U (a)) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ xn ∈ U (a) ⇐⇒ {xn − a} ÁÌÏ×. 2. n→∞ lim xn = a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N (ε) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε. 1
8. Òåîðåìà î ñâîéñòâàõ ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
1. Ïðåäåë ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åäèíñòâåíåí. 2. Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà. 3. Ïóñòü ∃ n→∞ lim xn = a ∧ lim yn = b ⇒ n→∞ ∃ lim (xn ± yn ) = a ± b n→∞
∃ lim (xn × yn ) = a × b n→∞ ∃ lim xynn = ab ïðè ∀n ∈ Nyn 6= 0 ∧ b 6= 0. n→∞
9. Òåîðåìà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå â íåðàâåíñòâàõ
Ïóñòü ∃ n→∞ lim xn = a ∧ lim yn = b. Òîãäà åñëè b > a∃N : ∀n ≥ N : xn < yn . n→∞ 10. Òåîðåìà, îáðàòíàÿ ï. 9
Ïóñòü ∃ n→∞ lim xn = a ∧ lim yn = b. Òîãäà åñëè ∃N : ∀n ≥ N : n→∞ 1. xn > yn ⇒ a > b. 2. xn > b ⇒ a > b. 11. Òåîðåìà î äâóõ ìèëëèöèîíåðàõ
Ïóñòü ∃N
: ∀n ≥ N : xn ≤ yn ≤ zn , ∃ lim yn = a.
ïðè÷åì èçâåñòíî ∃ n→∞ lim xn
= lim zn = a. n→∞
Òîãäà
n→∞
12. Îïðåäåëåíèå ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
∀n ∈ N ⇒ xn ≤ xn+1 (xn ≥ xn+1 ), òî {xn } íåóáûâàþùàÿ {xn } % (íåâîçðàñòàþùàÿ {xn } &) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Åñëè {xn} %, {xn} &, {xn} ↓ èëè {xn} ↑, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò ìîíîòîííîé. 13. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà î ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{xn } % {xn } &
ñõîäèòñÿ ⇐⇒ îíà îãðàíè÷åíà ñâåðõó. ñõîäèòñÿ ⇐⇒ îíà îãðàíè÷åíà ñíèçó.
14. Îïðåäåëåíèå ñòÿãèâàþùåé ñèñòåìû ñèãìåíòîâ (Ñ.Ñ.Ñ.)
Ìíîæåñòâî îòðåçêîâ {an, bn}n = 1, 2 . . . íàçûâåòñÿ ñèñòåìîé ñòÿãèâàþùèõñÿ ñåãìåíòîâ, åñëè: 1. Êàæäûé ïîñëåäóþùèé ñåãìåíò âëîæåí â ïðåäûäóùèé, ò.å. a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ bn ≤ . . . ≤ b1
2.
lim (bn − an ) = 0
n→∞
15. Ëåììà Êîøè-Êàíòîðà
 ëþáîé Ñ.Ñ.Ñ. ∃! òî÷êà c ∈ T∞n=1[an; bn]. 2
16. Îïðåäåëåíèå e
lim (1 + n1 )n = e
n→∞
17 (è 18?). Îïðåäåëåíèå ÷àñòè÷íîãî ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé {xn} èëè ÷àñòè÷íûì ïðåäåëîì, åñëè: 1.  ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ýëåìåíòîâ {xn}, èëè: 2. ∃ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } : k→∞ lim xn = a.
a∈R
k
k
19. Îïðåäåëåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Íàçîâåì íàèáîëüøèé (íàèìåíüøèé) ÷àñòè÷íûé ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } åãî âåðõíèì (íèæíèì) ïðåäåëîì. Îáîçíà÷åíèÿ: lim xn ( lim xn ). k→∞ k→∞ 20. Îíà æå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà (äà?)
Ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 20. Êðèòåðèé Êîøè î ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ïîñëåäîâàòåëüñíîòü {xn} ñõîäèòñÿ ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N (ε) : ∀n, m ≥ N ⇒ |xn − xm| < ε
3