Теоретические основы информационно измерительной техники 1983 by Денис Базыкин

П. 77. О PH АТС

КИЙ

ТЕОРЕТИ Ч ЕСКИ Е ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННО ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

П. П.

ОРНАТСКИЙ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННО ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И З Д А Н И Е ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР • качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальности «/Информационно-измерительная техника»

КИЕВ ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ «ВИЩА ШКОЛА» 1983

Теоретические основы информационно-измерительной техники. О р н а т с к и и П. П. — 2-е изд., перераб. и доп.— Киев : Вища школа. Головное изд-во, 1983.— 455 с. В учебнике систематизированы основные понятия информационноизмерительной техники, показано место измерений среди методов познания. Приведены основные положения Государственной системы обеспечения единства измерений, методы измерений и контроля, анализ погрешностей измерений, основные характеристики средств измерений, анализ статических и динамических погрешностей измерительных приборов, методы повышения точности измерительных устройств и основы определения зависимостей. Системный подход ко всей структуре учебника осуществлен с учетом разделения процедуры измерения на основные метрологические операции (воспроизведения, сравнения, измерительного и масштабного преобразования величин) и взаимосвязи между ними и средствами измерения, между методами измерения и структурами средств измерения, предназначенными для их реализации. Нормативные материалы приведены по состоянию на 1 января 1982 г. Для студентов, обучающихся по специальности «Информационноизмерительная техника». Может быть полезен студентам, обучающимся по электроприборостроительным специальностям, инженерам-метрологам и инженерам-приборостроителям в их практической деятельности. Табл. 28 Ил. 166 Библиогр.: 101 назв.

Рецензент: кафедра информационно-измерительной техники Московского энергетического института (заведующий кафедрой доктор технических наук В. Н. Малиновский)

Редакция литературы по кибернетике, электронике и энергетике Зав. редакцией М. С. Хойнацкий

2 4 0 1 0 0 0 0 0 0 — 01 з М 2 1 1 (04 ) — 83

1 84

- 83

(gj Издательское объединение «Вища школа», 1976 (6) Издательское объединение «Вища школа», 1983, о изменениями

Предисловие

Основными направлениями экономического и социального развития СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990 года в области приборостроения намечены задачи: «...повысить технический уровень вычислительной техники, приборов и средств автоматизации на основе новейших достижении микроэлектроники, оптоэлектроники и лазерной техники. i, Опережающими темпами развивать производство быстродействующих управляющих и вычислительных комплексов... Организовать производство измерительно-информационной техники к автоматизированным системам управления энергопотреблением, а также приборов и средств автоматизации для контроля качества продукции сельского хозяйства и других отраслей. Расширить производство приборов и измерительных устройств для научных исследований, контроля за расходованием топливно-энергетических ресурсов, состоянием условий труда, окружающей среды, современных медицинских приборов и аппаратуры...» (Материалы XXVI съезда К П С С - М . : Политиздат, 1981, с. 157-158). Средства измерений являются источником получения количественной и качественной информации о параметрах разнообразных физических процессов, использование которых обеспечивает дальнейшее повышение производительности труда, качества изделий и достоверности научных исследований. Д л я разработки и эксплуатации всего арсенала средств измерений от различных измерительных преобразователей до сложнейших измерительно-вычислительных комплексов необходимы специалисты в области информационно-измерительной техники. Д л я студентов этой специальности созданы учебники и учебные пособия по специальным курсам «Цифровые измерительные приборы», «Измерительные информационные системы» и другие. Данный учебник является теоретическим введением в эти курсы. В настоящем, втором, издании книги больше внимания уделено методологическим основам курса, изложению методов контроля, основ расчета достоверности контроля, метрологическому обеспечению, описаны методы повышения точности измерительных устройств, основы определения зависимостей между физическими величинами. Некоторые разделы книги написаны автором совместно с д-ром техн. наук Ю. А. Скрипником (п. 6.10), доцентами М. Ф. Пономаренко (гл. 3, п. 9.7), Г. Н. Потаповой (п. 6.6), В. И. Зозулей (п. 5.8). Часть п. 5.8 написана д-ром техн. наук Г. Эгером, доцентом Высшей технической школы г. Ильменау (ГДР). Отзывы и замечания просим направлять по адресу: 252054, Киев-54, ул. Гоголевская, 7, Головное издательство издательского объединения «Виша школа». 3

Основные условные

обозначения

Измеряемая случайная величина, информативный параметр входного сигнала X Размер измеряемой величины х Квантованный сигнал Х к в (t) Дискретизированный сигнал ХЛ (t) Изображение сигнала X (р) Несущий сигнал У н е с (t) Модулированный сигнал У м о д (f) Выходной сигнал измерительного преобразователя У Десятичная кратная или дольная единица величины qx Числовое значение величины Nx Значение величины xN Конечное значение диапазона измерения хк Абсолютная погрешность в единицах измеряемой величины X Д Погрешность от квантования Д к Граница погрешности Дг Динамическая погрешность прибора Д д и н Суммарная погрешность средства измерения Д с у м Предел допускаемой погрешности Д д Аддитивная погрешность Д а д Мультипликативная погрешность Д м Систематическая составляющая погрешности измерения Д 0 Математическое ожидание случайной погрешности М (А) Математическое ожидание погрешности М (А) Дисперсия погрешности от квантования Д (Д к ) Среднее квадратическое отклонение систематической погрешности о(Л) 0 Случайная центрированная составляющая погрешности измерения Д Среднее квадратическое отклонение случайной погрешности о (А) Оценка среднего квадратического отклонения погрешности а (А) Случайное отклонение Д от Вариация в х Ступень квантования д кв Относительная погрешность S Приведенная погрешность у Относительная систематическая и случайная погрешности б с ; S Некомпенсация (разность измеряемой и компенсирующей величин в статическом режиме) Д р Вероятность Р (— < X < xt) Доверительная вероятность погрешности Р (—Д г < Д < Дг) Плотность вероятности р (X) Стандартная аппроксимация функции распределения погрешности р" (Д) «

Информация / Номинальная статическая характеристика преобразования f„ (X) Влияющая величина & Функция влияния i|) (5) Автокорреляционная функция случайной составляющей погрешности R„ (т) Л

Спектральная плотность случайной составляющей погрешности.^ (со) Время установления показаний ty Комплексный спектр S (£<о) Коэффициент амплитудной модуляции Мя Компенсирующая или уравновешивающая величина (выходная величина обратной цепи прибора) хк Статический коэффициент преобразования (отношение выходной величины звена ко входной) К = у/х Статический коэффициент преобразования обратной цепи ß = -р^Передаточная функция /С(р) =

у2

1 (Р) Частотная характеристика К ( Щ Угол поворота а Магнитная индукция В Полное сопротивление Z Индуктивность L Электрическая емкость С Активное сопротивление г Напряжение U Ток / Электродвижущая сила Е Время t Интервал времени Т Частота f Частота дискретизации во' времени / д = 1 !ТЛ Угловая частота со Температура 0 Температурный коэффициент ТК Достоверность контроля Д Допуск контроля d

Введение

Все фундаментальные и технические науки базируются на применении соответствующих аналитических формул своих теорий. Физические величины, входящие в них, выражаются числами и являются измерительной информацией. Информационно-измерительная техника — это область техники, обеспечивающая получение измерительной информации о свойствах окружающих нас объектов и явлений. Измерения являются одним из самых древних занятий в познавательной деятельности человека (например, первые весы были созданы около 6000 лет тому назад, а часы еще раньше). Однако наука об измерениях — метрология начала интенсивно развиваться примерно с конца XIX века. Основоположником метрологии как научной дисциплины является великий русский ученый Дмитрий Иванович Менделеев. Измерительная техника получила широкое развитие в нашей стране только в годы Советской власти. В 1927 г. в Ленинграде вступил в строй первый отечественный электроприборостроительный завод «Электроприбор». В течение года завод выпустил около 100 тыс. счетчиков (в настоящее время отечественной промышленностью ежегодно выпускается около 5 млн. счетчиков). За первые два года работы завод обеспечил потребность страны в счетчиках электрической энергии, которые ранее ввозились из-за границы. В начале 30-х годов вступает в строй еще несколько приборостроительных заводов в Харькове, Ленинграде, Москве, Краснодаре и Киеве. За период с 1948 по 1980 гг. объем продукции электроприборостроения возрос в 800 раз. За годы десятой пятилетки объем производства приборов возрос вдвое. Ускорение научно-технического прогресса является одной из основных задач одиннадцатой пятилетки. Совокупность средств информационно-измерительной техники составляет неотъемлемую часть техники74 автоматизации производственных процессов и научных исследований, обеспечивает возможность повышения производительности труда и ускорение научно-технического прогресса. Следовательно, совершенствование средств измерений является неотъемлемой составной частью научно-технического прогресса. Погрешность измерения цифровых вольтметров постоянного тока, например, снижена до 0,0001 %, а быстродействие преобразователей напряжение — код достигает нескольких миллиардов измерений в секунду. Верхний диапазон измерения цифровых частотомеров достиг гигагерца. Цифровые измерители времени обладают разрешающей способностью до долей пикосекунды. 6

Диапазоны измерения многих величин многократно возросли. Измеряемая мощность радиоизлучения далеких планет ныне составляет Ю 15 Вт, а электрических генераторов — 1000 МВт (109 Вт). Измеряемое напряжение разряда молнии достигает 100 MB, нижний же предел измерения напряжений фемтовольты. Электрические токи измеряются в диапазоне от Ю 16 до 105 А, а электрические емкости — от фемтофарад до сотен фарад. Длины измеряются от 10~12 м (размеры атомов) до 3,086 • 10 16 м. Ежедневно в нашей стране выполняется несколько триллионов измерений. Измерения являются профессией примерно 3 млн. трудящихся. В радиоэлектронной, авиационной, химической и других ведущих отраслях промышленности на измерения затрачивается около 10 процентов общественного труда. Капитальные вложения на контрольноизмерительную технику достигают 25 процентов от общих капитальных вложений на оборудование в ведущих отраслях промышленности . Д л я обеспечения высокого уровня измерений недостаточно знать теорию и иметь средства измерений. Необходимо правильно пользоваться ими. В соответствии с этим метрологию нужно рассматривать в двух аспектах — научно-техническом и законодательном. В научнотехническом аспекте содержанием метрологии является решение научных и технических задач, для создания совершенных эталонов, средств и методов измерений, методов оценки точности измерений, а в законодательном — создание регламентированных государством общих правил, требований и норм, обеспечивающих высокий уровень измерительного дела. Государственный контроль за разработкой и соблюдением стандартов, а также обеспечением единства измерений в стране осуществляет Государственный комитет СССР по стандартам (Госстандарт). В Госстандарт входит ряд научно-исследовательских метрологических институтов, республиканские управления Госстандарта, республиканские центры стандартизации и метрологии и большое количество лабораторий Государственного надзора за стандартами и измерительной техникой. СССР является активным членом многих международных организаций по стандартизации и метрологии. Основными задачами метрологии в настоящее время являются [39]: определение места и роли измерений в современных методах испытания, контроля и идентификации; дальнейшее развитие теории динамических измерений; совершенствование эталонной базы страны; развитие теории и метрологического обеспечения измерений относительных величин; дальнейшее развитие теории информационно-измерительных систем и их метрологического обеспечения; обобщение результатов и установление более тесных логических связей между отдельными областями теории измерений. Основными направлениями развития информационно-измерительной техники являются: 7

создание измерительных информационных систем для различных те х н ол о г и ч ее к и х процессов, прежде всего, для энергетики; создание измерительно-вычислительных комплексов для научного эксперимента, для испытания сложных объектов, повышающих производительность труда; дальнейшее повышение точности, быстродействия, чувствительности, помехозащищенности, степени автоматизации и расширение диапазона средств измерений, в частности на основе использования в них микропроцессоров; исследование новых физических явлений и процессов с целью использования естественной квантованности материи и энергии для создания принципиально новых измерительных устройств. Современная информационно-измерительная техника (ИИТ) располагает совокупностью средств для измерения многих физических величин: электрических, магнитных, тепловых, механических, световых, акустических. Однако большинство из них в процессе измерения преобразуется в величины электрические как наиболее удобные для передачи, усиления, сравнения, точного измерения. Поэтому не случайно учебная специальность «Информационно-измерительная техника» создана на базе общего высшего электротехнического образования. Наша страна одной из первых начала подготовку инженеров-измерителей в 1929 г. в Ленинградском политехническом институте под научно-методическим руководством заслуженного деятеля науки и техники Р С Ф С Р проф., д-ра техн. наук Шрамкова Е. Г. Быстрое накопление знаний в области И И Т требует их систематизации и обобщения на основе поэтапного системного подхода. Первым этапом является последовательное изложение основных понятий, установленных ГОСТ 16263—70, на основе выявления их связей с более общими понятиями математической логики (п. 1.3). Вторым этапом является функциональный анализ понятий «измерение» и «контроль». При этом процедура измерения подразделяется на операции: воспроизведения, сравнения, измерительного преобразования, совокупность которых является функционально полной для нахождения результата измерения величины X. Соответственно рассматриваются средства выполнения этих операций: меры, устройства сравнения, масштабные и измерительные преобразователи (п. 2.1, 2.2). Третьим этапом является синтез методов прямых измерений без предварительных преобразований на основе использования многозначности мер и масштабных преобразователей, определение алгоритмов и уравнений различных методов измерений и контроля основных структур измерительных и контрольных устройств (п. 2.4, 2.5). Четвертым этапом является анализ уравнений погрешностей измерения74 и средств измерения и изложение основ общей теории погрешностей измерений (п. 4.1, 4.2), методов повышения точности измерительных преобразований, установление их алгоритмов, структур измерительных преобразователей с коррекцией погрешностей (п. 7.3). Пятым этапом является изучение основ метрологического обеспечения и Государственной системы обеспечения единства измерений (п. 10.2). 8

Глава

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Принимая во внимание познавательный характер измерений, рассмотрим место измерений среди методов познания, место метрологии среди других наук и основы логического подхода к исходным понятиям информационно-измерительной техники. 1.1. О Б Щ Е Н А У Ч Н Ы Е МЕТОДЫ П О З Н А Н И Я И МЕСТО И З М Е Р Е Н И И СРЕДИ НИХ

В процессе накопления практического опьпа и новых научных знаний человек, стремясь повысить производительность труда, разрабатывает методы познания — наиболее эффективные способы получения новых научных знаний. Методом познания называют систему определяющих принципов практической или теоретической деятельности человека. Методы познания (рис. 1.1) иерархично отличаются, прежде всего, сферами своего применения: всеобщий метод познания — законы и принципы исторического и диалектического материализма имеют неограниченную сферу применения во всех науках; общенаучные методы познания, сферы применения которых распространяются на родственные группы фундаментальных общественных и технических наук; методы конкретной науки, в частности методы технических наук. Содержанием исторического и диалектического материализма является наиболее широкое обобщение накопленных человечеством научных знаний. Диалектический материализм является методологической основой познания всех предметов и явлений, изучаемых естественными, социальными и техническими науками, и определяет логическую и философскую сущность общенаучных методов познания. Только опираясь на действие законов и категорий материалистической марксистско-ленинской диалектики и раскрывая их конкретные проявления в любой области знаний, можно познать предметы и явления, изучаемые каждой наукой. Общенаучные методы познания подразделяются на эмпирические, эмпирико-теоретические и теоретические. К эмпирическим методам познания относятся, прежде всего, наблюдение, сравнение, счет, контроль, измерение, идентификация и научный эксперимент. 9

Всеобщий метод незнания ОгноЯние законы Шштики

1•

Эмпирические

r-i f

Принцип троичности материи и бторичности сознания

принцип прачтней ШтооёушВмнностиизтнений «рвздигия

нптершиюма

llll н1

Зит eSummlaa ioptfbi npcmuSüшожте/тй

ОснсИяые принципы даалектишшб

—)

Закон fitßeMda KOPU-Закон честбенныХ отрицания отрицаний изменений! качественные

Принцип отрштш

Общенаучные методы незнания Эмпирики-теоретические

Теоретические ——П—Г"1

•5,

|1Г 1 1

Рнс.

1.Х. Методы

1 1

познания.

Н а б л ю д е н и е м называют целенаправленное отражение изучаемого объекта. Оно является наиболее доступным и простым методом познания, реализуемым как с помощью органов чувств человека, так и специальных технических средств. Наблюдение — составная часть всех эмпирических методов познания. Как метод познания наблюдение должно удовлетворять ряду основных требований: преднамеренности, планомерности, целенаправленности и систематичности. С р а в н е н и е м называют установление в процессе отражения сходства или различия объектов или явлений. Общеизвестны слова «Все познается в сравнении». Действительно, методом сравнения устанавливается прежде всего то, что является общим для ряда объектов и явлений, а значит, и более существенным, что в дальнейшем целесообразно подвергнуть более детальному изучению. При сравнении необходимо выполнять два основных требования: 1) сравнивать объекты, обладающие общими однородными свойствами; 2) сравнивать по наиболее существенным свойствам. Сравнением в области технических наук называют установление соотношения интенсивности однородных отражаемых свойств эмпирических объектов с целью получения ответа «больше», «меньше» или «равны». Известно, что различные эмпирические объекты могут проявлять себя в основном в двух отношениях, а именно: эквивалентности и порядка. Соответственно, сравнение объектов может бьпь реализовано по эквивалентности и по интенсивности. На сравнении как методе познания основаны два основных рода информационных процедур (п. 2.1)2 1) распознавание объектов в отношении эквивалентности, примерами которого является дихотомия, т. е. классификация по наличию или отсутствию свойства; 2) распознавание в отношении интенсивности. Контроль является отражением качественной стороны свойства объекта, при котором устанавливается соответствие между состоя10

нием объекта по данному свойству и нормой. Контролю подвергаются, главным образом, состояние продукта или изделия производства. С ч е т о м называют отражение количественного свойства совокупности качественно однотипных эмпирических объектов, в процессе которого устанавливается соответствие между их численностью и числом из натурального ряда чисел. При счете устанавливается взаимнооднозначное соответствие между совокупностью объектов по их количеству и числом из натурального ряда чисел. Д л я осуществления счета необходимо различать в отдельности каждый объект. И з м е р е н и е является отображением свойств объекта, которые проявляют себя в отношениях эквивалентности, порядка и аддитивности ограниченным рядом именованных натуральных чисел. Измерение обеспечивает непосредственную связь между экспериментом и теорией, высокую достоверность научных исследований и высокое качество изделий современного производства. Измерениям большое значение придавали многие великие ученые. _' Г. Галилей: «Считай то, что считаемо, измеряй то, что измеряемо; а. то, что не измеряемо, делай, измеряемые»Д. И. Менделеев: «Наука начинается с тех пор, как начинают изме: т рять; точная наука немыслима без меры». У. Кельвин: «Каждая вещь известна лишь в той степени, в какой ее можно измерить». Д л я того чтобы точно управлять, нужно точно измерять все параметры, по которым осуществляется управление объектом, в том числе и качеством изделий. В связи с этим поставлена задача количественной оценки качества продукции [6]. И д е н т и ф и к а ц и я является отражением зависимостей между величинами, характеризующими эмпирический объект, числовыми аналитическими моделями. Она тесно связана с методами физического и математического моделирования. Идентификация начинается с классификации данного физического объекта либо процесса на основе выявления и анализа его характерных особенностей. Затем, следуя основной классификации разновидностей эмпирических объектов данного типа, устанавливают, с какой разновидностью данный объект идентичен. При этом находят с определенной достоверностью вид математической модели объекта, отражающей зависимость между его параметрами, определяют значения основных параметров модели, степень точности и достоверности оценки. Научным экспериментом называют целенаправленное комплексное отражение сложного эмпирического объекта, характеризующегося системой взаимосвязанных величин, совокупностью их математических моделей. К области опытных исследований относятся также и испытания сложных объектов. Испытаниями называют совокупность экспериментальных операций, направленных на определение тех значений параметров объектов, которые соответствуют заранее заданным условиям и состоянию объекта [38]. Д л я реализации научных экспериментов и испытаний создаются все более сложные автоматические системы. If

Автоматизация исследований и испытаний является основой одного из важнейших направлений повышения производительности труда. Эмпирические методы познания можно подразделить на методы качественной (наблюдение, сравнение, контроль) и количественной (счет, идентификация, измерение и научный эксперимент) оценок. Наиболее важное значение среди всех экспериментальных методов познания имеет измерение, с помощью которого получают ценную количественную измерительную информацию. Наличие измерительной информации об исследуемом объекте дает возможность обеспечить эффективную реализацию всех эмпирических методов познания — от наблюдения до научного эксперимента. Группа эмпирических методов познания предназначена для извлечения содержательной характеристики отражения, т. е. для получения информации. В настоящее время эмпирические методы познания совершенствуются особенно ускоренными темпами и обеспечивают повышение производительности труда при экспериментальных научных исследованиях, испытаниях сложных изделий. При рассмотрении и применении эмпирических методов познания следует принимать во внимание ограниченность этих методов, которая определяется интервалом времени исследования, границами исследуемого объекта и возможностями данных технических средств. Ограниченность эмпирических методов познания не дает возможности непосредственно получать с их помощью обобщающие положения и законы. Законы природы открывают путем изучения результатов, полученных от эмпирических методов познания на основе применения эмпирико-теоретических и теоретических методов познания. К основным эмпирико-теоретическим методам познания можно отнести: анализ, синтез, индукцию, дедукцию, физическое и математическое моделирование, историко-логический метод и проверку гипотез. Эмпирико-теоретические методы позволяют выделять из объектов и явлений разные стороны, расчленять предмет познания на составляющие для более глубокого их изучения. Эмпирико-теоретические методы обеспечивают наиболее полное извлечение дополнительной информации, содержащейся в неявном виде в результатах, полученных с помощью эмпирических методов, установление степени истинности гипотез, составляют основу методов проектирования новых технических средств и технологических процессов, основу технических наук и методов повышения производительности труда на производстве. Основными теоретическими методами познания являются: обобщение, абстрагирование, формализация и аксиоматика. Теоретические методы познания направлены на изучение абстрактных объектов, их свойств и отношений. Эти методы дают возможность получать новые знания об изучаемых объектах и явлениях путем исследования формальных свойств и отношений между абстрактными объектами. Совокупность теоретических методов является наиболее мощным инструментом для прогнозирования, создания новых областей знания, основой фундаментальных наук и обеспечивает экономию умственного и творческого труда. 12

1.2. МЕТРОЛОГИЯ И ЕЕ МЕСТО С Р Е Д И ДРУГИХ НАУК

Метрология — это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности (ГОСТ 16263-70). Предмет м е т р о л о г и и — извлечение количественной информации о свойствах объектов и процессов с заданными точностью и достовер ностью. Методы м е т р о л о г и и — это методы измерения, воспроизведения величин с заданными размерами, сравнения величин, измерительных преобразований, обработки наблюдений, планирования измерительного эксперимента. Средства м е т р о л о г и и — совокупность средств измерений, контроля и метрологических стандартов, обеспечивающих рациональное их использование. Метрология развивается быстрыми темпами. Разработаны основные понятия метрологии, созданы основы анализа погрешностей измерительных устройств, информационной теории измерений, теорий измерительных информационных систем, статистических измерений, коррекции погрешностей измерительных устройств и др. К основным разделам метрологии относятся (ГОСТ 16263—70): общая теория измерений; единицы физических величин и их системы; методы и средства измерений; методы определения точности измерений; основы обеспечения единства измерений и единообразия средств измерений; эталоны и образцовые средства измерений; методы передачи размеров единиц от эталонов или образцовых средств измерений рабочим средствам измерений. Значимость измерений в философском аспекте определяется, прежде всего тем, что измерения являются важным универсальным методом познания физических явлений и процессов. В этом смысле метрология как наука об измерении занимает особое место среди других наук, обслуживая каждую из них и тесно переплетаясь с ними. Значимость измерений в научном аспекте определяется тем, что с помощью измерений в науке осуществляется связь теории и практики. Значимость измерений в техническом аспекте определяется тем, что измерения обеспечивают получение количественной информации об объекте управления или контроля, без которой невозможно точное воспроизведение всех заданных условий технологического процесса, обеспечение высокого качества изделий и высокоэффективного управления объектом. Место измерения в цифровом управлении можно показать на примере наиболее общей схемы цифрового управления — в виде совокупности четырех звеньев, взаимодействующих по кольцу (рис. 1.2). Измерение в этом кольце играет роль моста, соединяющего объект управления с основным звеном управления, выполняющим задачу выработки команд управления. Звено измерения представляет информацию об объекте управления в виде чисел. Числовые значения величин /V, характеризующие объект управления, поступают в цифровое устройство, которое вырабатывает сигналы управления в виде чисел N и. 13

Э ш числа поступают на вход устройства, создающего управляющие воздействия на объект управления — физические процессы с параметрами У. Следовательно, устВыреёткв ройство, реализующее обратную команд BSiSKm упря&летя связь в системе цифрового управления объектом, с метрологической точки зрения выполняет задачу, аналогичную задаче меры, воспроУ изводящей на выходе величину заУпрйШЮЩЖ физические данного размера; при высокоточном процессы цифровом управлении оно должно Рис. 1.2, Схема цифрового управления. обладать высокими метрологическими характеристиками. Исторически измерения развивались дифференцированно по основным отраслям науки и техники как электрические и магнитные измерения, акустические, оптические измерения, измерения тепловых и механических величин и др. Это было обусловлено потребностями развития каждой отрасли науки. Тенденции дифференциации привели к созданию отдельных отраслей измерений, а также соответствующих учебных и научных специальностей, что в свою очередь обеспечило ускоренное развитие отдельных отраслей измерений. Однако наряду с тенденциями дифференциации в связи с развитием научных исследований на грани разнородных явлений, созданием сложных систем с использованием физических явлений различного рода, эффективностью взаимного проникновения методов измерения и измерительного преобразования из различных отраслей науки и техники стали усиливаться и тенденции интеграции в развитии метрологии и измерительной техники. Эти тенденции нашли отражение в создании теории информационно-измерительных систем, предназначенных для разнородных физических величин, в создании основ теории точности измерительных устройств, основ обобщенных формализованных методов измерения, пригодных для разнородных физических величин в развитии методов обработки результатов измерений, теории автоматического эксперимента. Измерение

Метрология как научная база измерений в любой науке обеспечивает высокую достоверность связи явлений данной науки с формулами ее теории. Это «внутреннее положение» метрологии долгое время в известной мере снижало ее значимость. До недавнего времени количество и качество измерительной информации, получаемой в каждой отдельной науке, могло обеспечиваться специфическими методами и средствами этой «внутренней» в каждой науке метрологии. \ Однако в настоящее время количество информации, необходимой для новых научных открытий, для ведения сложных технологических процессов столь велико (например, еще английский физикА. Майкельсон указывал, что новые физические открытия скрываются за погрешностями измерения менее 1 (Г4 % ) , методы и средства ее извлечения столь сложны (вплоть до сложнейших измерительно-вычислительных комплексов), что получение ее силами «внутренней» метрологии в 14

каждой отдельной области науки становится все более затруднительным. Во все большей степени проявляется коммуникабельное свойство измерений, соединяющих сложными двухсторонними связями объект и теорию каждой науки между собой и другими науками. Теоретическая метрология — научная основа одного из основных методов познания — является общей опорой все более многочисленных и сложных отраслевых измерений — мостовых переходов между объектами и теориями каждой из наук. В настоящее время происходит расширение области метрологии как науки об измерениях в нескольких новых направлениях: в развитии теории общих измерений, или теории репрезентационных измерений величин, проявляющих себя только в отношениях эквивалентности и порядка — для бихевиористических наук [69]; в развитии метрологических аспектов теории контроля, ведущему к созданию наряду с Государственной системой обеспечения единства измерений в стране также и системы обеспечения единства контроля [39]; в развитии теории метрологического обеспечения испытаний, ведущему к созданию системы обеспечения единства испытаний, которая на высоком уровне метрологического ее обеспечения создаст предпосылки для дальнейшего повышения качества изделий; в развитии метрологических аспектов теории идентификации и теории планирования эксперимента, ведущему к созданию системы обеспечения единства научных исследований, которая призвана обеспечить повышение производительности труда исследователя и значительную экономию средств, затрачиваемых на научные исследования. Накопление новых научных знаний и опьпа в области фундаментальных измерений, в области определения зависимостей и метрологического оценивания зависимостей, теории точного воспроизведения различных сигналов с заданными характеристиками на основе метрологического оценивания совершенства воспроизведения — ведет постепенно к перерастанию современной теоретической метрологии в науку об оценивании не только величин, но и свойств и зависимостей. Теории эмпирических методов познания, в которых используется отражение числами: счет, контроль, измерение, идентификация и научный эксперимент все в большей степени объединяются в единую общую науку. Это и определяет то место, которое современная метрология занимает среди других наук. 1.3. ПОНЯТИЯ О ВЕЛИЧИНЕ, СЧЕТЕ, КОНТРОЛЕ И И З М Е Р Е Н И И

Основными понятиями И И Т являются информация и измерение. И н формация в наиболее общем смысле является свойством материи, отличном от ее вещественных и энергетических свойств, содержательной характеристикой отражения, определяется также как сведения, изменяющие начальную неопределенность наших знаний. Измерение — это наиболее адекватное отражение числами свойств и характеристик эмпирических объектов и явлений. В настоящее время числовое оценивание очень быстро развивается и охватывает не только 15

собственно измерение физических величин, но и распознавание, контроль, счет, идентификацию и научный эксперимент. Однако именно измерение обеспечивает получение наиболее ценной количественной информации, дающей возможность повысить качество и эффективность других информационных процедур. Поэтому среди основных понятий информационно-измерительной техники центральное место занимают понятия метрологии, которые установились значительно раньше, чем в других близких ей науках, и, в виду большой международной и общегосударственной значимости измерений, регламентированы в международных и государственных стандартах. Основным понятием измерений, их объектом, является величина. Наиболее общее философское определение величины дано Ф. Энгельсом в «Диалектике природы»: «...всякое качество имеет бесконечно много количественных градаций ... и, хотя они качественно различны, они доступны измерению и познанию», «...существуют не качества, а только вещи, обладающие качествами, и притом бесконечно многими качествами» (К- Маркс, Ф. Энгельс. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 547). На этом основании можно сделать следующие выводы: «качеств», в данном случае измеряемых величин, бесконечно много; непрерывные величины имеют бесконечное число количественных градаций, качественное различие между которыми в будущем еще предстоит выяснить. В процессе познания человек использует различные формы отражения действительности (материального мира), в том числе и с помощью формально-логических объектов, наиболее удобным из которых является число. Измерения являются одним из видов отражения, в котором формальным объектом, т. е. результатом отражения, является совокупность чисел. Трудность понятия измерения заключается в его кажущейся простоте. Д л я более полного осмысливания сущности измерений рассмотрим их аксиоматику, определим основные понятия измерений дедуктивно на основе более общих понятий математической логики и покажем их основные связи с понятиями других информационных процедур: счета, классификации и контроля. Установим основные разновидности эмпирических и формальных объектов. Д л я этого обозначим: (X, Z) — несчетное множество свойств эмпирических объектов X, состоящих между собой в несчетном множестве фактических отношений Z; (XN, ZJ — счетное множество формальных объектов XN — числовых характеристик свойств, состоящих между собой в счетном множестве отношений ZNОсновными эмпирическими объектами (ЭО) отражения числами являются: 1) несчетное подмножество свойств объектов X £ (X, Z); 2) несчетное подмножество фактических зависимостей между свойствами различных объектов Z t £ (X, Z)\ Основными результатами отражения — формальными объектами (ФО) являются: 1) счетное подмножество совокупности чисел, отражающих свойства объектов Хш 6 (XN, ZJ; 2) счетное подмножество числовых'4 зависимостей ZXN между числовыми характеристиками различных свойств объектов ZlN £ (XNZN)- Следовательно, отражение числами по характеру объекта отражения можно разделить на отражение свойств и отражение зависимостей между различными свойствами. 16

Рассмотрим более подробно разновидности отражения свойств совокупностями чисел. Эмпирические объекты обладают бесконечно большим числом свойств, которые проявляются с бесконечным разнообразием, что естественно затрудняет их отражение совокупностями чисел с ограниченной разрядностью. Однако среди этих многочисленных специфических проявлений свойств есть и несколько общих. Н . Р. Кемпбелломдля всего разнообразия свойств X было установлено наличие трех наиболее общих проявлений свойств в отношениях: эквивалентности, порядка и аддитивности [82]. Эти отношения в математической логике аналитически описываются простейшими постулатами. Отношения эквивалентности R ( = ) , когда данное свойство у различных объектов оказывается одинаковым или неодинаковым — описывается постулатами: 1) дихотомии (сходства или различия): либо X ( Л ) . » X (В), либо X (А) ф X (В); 2) симметричности (симметричность отношения эквивалентности): если X (Л) « X (В), то X (В) » X (Л); 3) транзитивности по качеству (переход отношения эквивалентности): если X (Л) » X (В) и X (В) » X (С), то X (А) « X {С). Отношения порядка R ( < ) — когда данное свойство у различных объектов оказывается больше или меньше — описываются постулатами: 1) антисимметричности: если X (А) >> X (В), то X (В) < X (Л); 2) транзитивности по интенсивности свойства (переход отношения порядка): если X (Л) > X (В) и X (В) > X (С), то X (Л) > X (С). Отношения аддитивности R ( + ) , когда однородные свойства различных объектов могут суммироваться — описываются постулатами: 1) монотонности (однонаправленности аддитивности): если X (Л)=э = X (С) и X (5) > 0, то X (Л) + X (В) > X (С); 2) коммутативности (переместимость слагаемых): X (Л) + X (В) =Х(В)+Х 3)

(Л);

дистрибутивности: X (Л) + X (В) = X (Л + В)\

4) ассоциативности (независимость суммы от замены слагаемых их суммами [X (Л) + X (В)] + X (С) = X (Л) + [X (В) + X (C)h Н. Р. Кемпбеллом показано, что в зависимости от проявления наиболее общих отношений эквивалентности, порядка и аддитивности следует различать три вида свойств и величин: Хэкв — свойства, проявляющие себя только в отношении эквивалентности; Хинт — интенсивные величины, проявляющие себя в отношении эквивалентности и порядка; Хэко — экстенсивные величины, проявляющие себя в отношении эквивалентности, порядка и аддитивности. Рассмотрим характерные особенности этих свойств и соответствующие следствия. 17

Свойства, удовлетворяющие отношению эквивалентности. Понятие счета Если свойство проявляет себя только в отношении эквивалентности, то объекты, обладающие этим свойством, могут быть обнаружены, классифицированы и подвергнуты контролю по классам свойств эквивалентности и отражены соответствующими формальными объектами — числами. Эти числа могут быть использованы для определения вероятности появления данного свойства, модальности, но не могут быть использованы для суммирования и других математических операций, ; Можно привести много примеров объектов, обладающих свойствами эквивалентности — это различные виды сигналов, виды животных, пол и т. д. Каждая группа таких объектов отличается характерными свойствами, отличается соответствующим наименованием и распознается по эквивалентности либо экспертами, либо техническими средствами распознавания, обнаружения, контроля и классификации. Свойства, проявляющиеся в отношении эквивалентности, отображаются изоморфно, т. е. взаимно однозначно в обоих направлениях. При этом данному эмпирическому объекту X t соответствует только данный формальный объект, например, в виде числа и наоборот. Данное свойство объекта Хэкв можно отобразить при классификации любой цифрой или другим знаком: ад^-^ей . . . лгн). Основным информативным параметром совокупности объектов, обладающих Хэкв, является их количество или численность Q*3KB, которая определяется путем счета, выполняемого человеком или автоматическим счетным устройством. При счете численность Qx качественно однотипных объектов, обладающих свойством Хзкв, отражается соответствующим числом из натурального ряда чисел. На основе этого можно составить логическое выражение счета совокупности объектов, обдадающих Х э к в , Q*t Л

е (Хэкв) л JVQ ( 1 . . . л?в) -»- NQX, =

.§

1*«.

где NQ — число однотипных объектов. Счетом называется определение численности качественно однотипных объектов в данной их совокупности. Результатом счета является число объектов. Основными характеристиками счета являются достоверность и скорость. Счетным называется устройство, определяющее число объектов в данной их совокупности. Д л я осуществления счета необходимо обнаружение каждого объекта в отдельности. Считаемая совокупность предметов в общем случае может представляться в виде совокупности, распределенной в пространстве или во времени. Обычно каждый индивидуально обнаруженный объект представляется импульсом, а вся совокупность — одноканальной последовательностью импульсов, т. е. дискретизированным во времени сигналом. Счет совокупности предметов, распределенных в пространстве, труднее автоматизировать. Поэтому обычно ее «преобразуют» в совокупность, распределенную во времени. 18

Интенсивные величины, удовлетворяющие отношениям эквивалентности и порядка. Понятия величины и контроля Многие свойства проявляют себя не только в отношении эквивалентности, но и в отношении наличия у них количественной ординаты свойства, интенсивности. Такие свойства названы интенсивными величинами (при расчленении объекта эти свойства обычно остаются неизмененными) . Сравнением интенсивных величин можно определить их соотношение, упорядочить по интенсивности данного свойства. При сравнении интенсивных величин выявляется отношение порядка (больше, меньше или равно), т. е. определяется соотношение между величинами. Сравнение интенсивных величин производится экспериментаторами или специальными техническими средствами. Соотношения между величинами или свойствами эмпирических объектов отражаются обычно двузначными (0,1) кодовыми сигналами. Интенсивные величины могут быть не только обнаружены, классифицированы по интенсивности, подвергнуты контролю, но и количественно оценены монотонно возрастающими или убывающими числами. На основе этого подхода сформулировано понятие физической величины и размера физической величины. Физическая величина (ГОСТ 16263—70) — это свойство общее в качественном отношении множеству объектов и индивидуальное в количественном отношении у каждого из них. Размер физической величины — количественное содержание в данном объекте свойства, соответствующего понятию «физическая величина» (ГОСТ 16263-70). К интенсивным величинам относятся некоторые физические величины (твердость, запах), а также величины, характеризующие свойства человеческого интеллекта. К последним относятся степень знания данного учебного предмета; величины, характеризующие мастерство в спорте, в искусстве. Интенсивные величины отражаются путем количественного, главным образом экспертного, оценивания, при котором свойства с большим размером отражаются большим числом, чем свойства с меньшим размером. Твердость, например, оценивается по шкале Мооса, в которой твердость талька 1, твердость кварца 7, твердость корунда 9 и алмаза 10. При таком оценивании одинаковым интервалам между размерами данной величины не соответствуют одинаковые разности чисел, отражающих размеры. Эти числа могут быть использованы для определения вероятностей, моды, медианы, квантилей, коэффициентов ранговой корреляции, однако не могут быть использованы для суммирования, умножения и других математических операций. Оценивание числами интенсивных величин анализируется математиками в так называемой репрезентационной теории измерений П. Суппесом и Д. Зинесом, И. Пфанцаглем и др. [70, 82]. Разрабатываются методы более совершенного количественного оценивания [67]. Наиболее распространенный вид классификации по интенсивности, по размеру величины, реализуемый в автоматических устройствах, называется распознаванием. Трудность распознавания состояний 19

объектов зависит прежде всего от числа распознаваемых состояний. При двух возможных состояниях задача распознавания превращается в задачу обнаружения. Трудность распознавания обусловливается также тем, что зависимость состояния объекта аъ а2, ..., ап от размера данной величины X носит случайный характер. Разработана статистическая теория распознавания, обеспечивающая возможность создания совершенных автоматических устройств распознавания. Объекты, характеризующиеся интенсивными величинами, могут быть подвергнуты контролю в отношении определения состояния объекта в норме или вне нормы, по соотношению размеров этих величин. Контроль является разновидностью процедуры распознавания состояний объекта, при котором обычно контролируемые объекты до контроля находятся в одном из трех состояний: ниже нормы, норма и выше нормы. Контролем называется процедура установления соответствия между состоянием объекта и нормой. Д л я реализации процедуры простейшего однопараметрового контроля необходимы образцовые объекты, характеризующие параметры которых равны соответственно хн — нижней границе нормы и х в — верхней границе нормы, и устройства сравнения. На основе этого определения можно составить логическое выражение процедуры однопараметрового контроля по интенсивности Хг £ (Х„нт) Д зона нормального состояния расположена между ниже нормы (Х х с Qi результат контроля

норма (Х1>ХН)

ха

хя)\ (Х1<хь);

выше нормы ( X j > х в ). Высокая степень развития теорий распознавания, диагностирования и контроля позволили создать соответствующую современную аппаратуру с высокой эффективностью и быстродействием. Экстенсивные величины, удовлетворяющие отношениям эквивалентности, порядка и аддитивности. Понятия об единице величины и измерении Если величина проявляется в отношениях эквивалентности, порядка и аддитивности или может быть преобразована по известной зависимости с заданной точностью в такую величину, то она может быть не только обнаружена, классифицирована и проконтролирована, но и измерена. Эти величины являются обычно физическими вещественными или энергетическими свойствами объекта (которые при его расчленении изменяются). При измерении Хэкс несчетное множество размеров Хэко отображается на счетное подмножество в виде совокупности чисел Xn, которое также должно удовлетворять отношениям эквивалентности, порядка и аддитивности. Числа xn являются результатами измерений и могут быть использованы для любых математических операций. Рассмотрим свойства, которыми должен обладать формальный объект в виде совокупности чисел xN, чтобы удовлетворять требованиям 20

эквивалентности, порядка и аддитивности и соответствующие понятия измерений. 1. Д л я проявления в отношении эквивалентности совокупность чисел xn, отражающая большое число различных по размеру однородных величин, должна быть совокупностью одинаково именованных чисел. При этом «имя» каждого из них является наименованием его единицы или ее доли. Единица физической величины (ГОСТ 16263—70) — это физическая величина, размеру которой по определению присвоено числовое значение 1. В дальнейшем единицу величины или ее десятичную долю будем обозначать с/х. 2. Для проявления в отношении эквивалентности и порядка число Nx t , отражающее большую по размеру величину К г > Х 2 , выбирается большим, чем число Nx t , отражающее меньшую по размеру величину Хг, при этом в обоих случаях используется одна единица величины. Д л я выполнения этого условия в качестве искомой совокупности чисел XN...XNn выбирают упорядоченное множество действительных именованных чисел с естественным отношением порядка. 3. Д л я проявления в отношении эквивалентности, порядка и аддитивности отвлеченное число, равное числовой оценке суммарной измеряемой величины Nх. , возникающей в результате сложения составляющих однородных величин, должно быть равно сумме числовых оценок этих составляющих, а сумма именованных чисел xn , отражающих составляющие, должна быть равна именованному числу хм а , отражающему суммарную величину t~n

Nx тогда

= £ Nx 1 ;

i—П

xN c = v xN 1 = £ (=i i=i

N q 1 x 1x

Xnc = N xcqx и qx = qX[ при любом i. Приведенное требование будет выполнено только при равенстве размеров единиц у всех именованных чисел, отражающих суммарную величину и ее составляющие. На этом основании определяются значение величины xn и числовое значение величины NxЗначение величины xn — оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Например, 5 ампер — значение тока xn = Nxq x . Значение величины становится известным только после измерения величины. Поэтому не корректно выражение «измерение значения величины». Величину измеряют, а значение величины определяют. Числовое значение величины Nx — это отвлеченное число, выражающее отношение значения величины к соответствующей единице данной физической величины. В выражении «ток 5 ампер» Nx = 5 — это числовое значение величины, ампер — единица величины qx. Истинное значение физической величины X — значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство объекта. Экспе21

риментально определить его невозможно. Однако есть величины, истинное значение которых известно по сути определения, например один полный оборот равен 2л радиан. Действительное значение физической величины ХЛ — найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному, что может быть использовано вместо него. Определяют его по образцовым мерам и приборам, погрешностями которых по сравнению с погрешностями поверяемых мер или приборов можно пренебречь. Все измеряемые физические величины можно разделить на две группы: непосредственно измеряемые величины, которые могут быть воспроизведены с заданными размерами и сравнимы с себе подобными, например длина, время, масса; величины, преобразуемые при измерении с заданной точностью "в непосредственно измеряемые величины, например температура, плотность. Известна аксиома Архимеда: «Если на прямой даны любые два отрезка А <с В, то можно А повторить слагаемым столько раз, чтобы сумма была больше В": А + А + А + ... -f А = А (Nx + 1 )> В. Если ANx < В, В А, то из аксиомы Архимеда получаем уравнение, основанное на предположении равенства всех отрезков А, слагаемых внутри отрезка В: NX = E

| 4

где Е (entire) — условное обозначение целой части числа. Принимаем, что X — В и А = qx. Д л я применения аксиомы Архимеда необходимо обеспечить возможность точного суммирования величин «отрезков» qx, т. е. воспроизведения образцовых величин с заданными размерами Nxqx при изменении Nx от 1 до NH. Точное суммирование «отрезков» возможно лишь при выполнении постулата аддитивности. Воспроизведение образцовых величин реализуется в многозначной мере. Таким образом, логически подходим к понятию операции воспроизведения и понятию меры. Воспроизведение — это операция создания величины заданного размера. Мера — это техническое средство воспроизведения величины заданного размера. В простейшем случае путем сравнения размера величины X с размерами выходной величины регулируемой многозначной меры Nxq x устанавливают два соотношения: Nxqx < X и (Nx + 1) qx > X, а затем из двух неравенств получают простейшее уравнение измерения для числового значения величины Nx, равного целой части отношения Nx = E\X/qx\. Важным условием реализации процедуры измерения в этом случае является наличие набора единичных отрезков длиной А — qx, т. е. наличие регулируемой меры — средства воспроизведения величины заданного размера и устройства сравнения. Более сложные алгоритмы измерения рассмотрены в п. 2.4. 22

На основе приведенных выше понятий можно определить процедуру прямого измерения непосредственно измеряемой величины: Измерение величины является опытной процедурой отражения размера измеряемой величины, находящегося по результатам двух операций сравнения между известными по значению размерами образцовой величины хх = Nxqx и х2 = (Nx + 1) qx, воспроизводимых мерой и значением величины, равным xN = N Xqx. На этом основании можно составить логическое выражение, которым описывается процедура измерения в простейшем случае (прямые измерения без предварительных преобразований): экс)

где (1 ...Na)—ограниченный натуральный ряд чисел Л [(Nx, + 1) qx > X l \ А |(Nx,q x < хг)] -+NXl = E | XJqx |. Таким образом, на основе использования общих постулатов эквивалентности, порядка и аддитивности получено понятие прямого измерения непосредственно измеряемой величины близкое к классическому определению М. Ф. Меликова: «Измерение — познавательный процесс, заключающийся в сравнении путем физического эксперимента данной величины с известной величиной, принятой за единицу сравнения» [47]. При этом показано, что измерение невозможно без выполнения двух операций воспроизведения и сравнения. В более общем смысле измерение — это определение значения величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Ограниченность числового значения измеряемой величины приводит при отображении к гомоморфизму, т. е. к неоднозначности при обратимости. Измерение является гомоморфным отображением, так как данному размеру X в диапазоне от Nxqx до (Nx + 1) qx соответствует одно значение xn = Nxqx, а данному хц — соответствует множество размеров X в указанном диапазоне. Это вносит вероятностный аспект в отражение не только случайной, но и постоянной величины, и является причиной появления неизбежной методической погрешности измерения, которой является погрешность от квантования. Эта погрешность возникает из-за принципиального несовершенства измерения как метода отражения непрерывного размера величины — числом с ограниченным количеством разрядов, что практически реализуется в ограниченности многозначности меры. Измерение как процесс отражения, также является одной из разновидностей распознавания, при котором число возможных «состояний» объекта, т. е. значений измеряемой величины, достигает 10° и более, а плотность распределения «состояний» обычно равномерна. При случайном характере измеряемой величины и погрешности средства измерения результат измерения оптимизируют по критерию минимума среднего риска (см. п. 4.2). Понятие о шкалах измерений Одно эмпирическое подмножество свойств эмпирических объектов может быть отражено двумя и более подмножествами формальных объектов. Различные числовые подмножества j c d v , и xL\-2, отражающие одно 23

и то же эмпирическое подмножество Хъ находятся в определенной взаимосвязи. Эта связь выражается в понятии шкалы измерений. Шкала измерений является зависимостью между элементами данного числового подмножества x\n 1 и подмножества xw,, отображающих одно и то ж е эмпирическое подмножество Хг. Если свойство эмпирических объектов проявляет себя только в отношении эквивалентности, то эта зависимость отсутствует, так как в данном случае каждое подмножество объектов может быть представлено любым числовым подмножеством. Такая шкала называется шкалой наименований или шкалой классификации. Если свойство данного эмпирического объекта X проявляет себя в отношениях эквивалентности и порядка, то шкала измерений — зависимость между его отражениями, является монотонно убывающей или возрастающей, т. е., если х\ > х\, то > х\n1 и хш2 > я ш , называется шкалой порядка или шкалой рангов. Примерами шкал порядка являются: шкала Мооса — в минералогии, Бофорта — в метеорологии. Соответствие размеров данной величины тому или иному участку шкалы порядка устанавливают сравнением ее с размерами данной величины у объектов с образцовыми, известными по размеру величинами. Если свойство эмпирического объекта проявляет себя во всех трех отношениях, т. е. является измеряемой величиной, то зависимость между числовыми подмножествами хш, и хш, выражается уравнением X\Nt = «хш г — в шкале отношений и xwt = А + — в шкале интервалов. В шкалах отношений измеряется большинство физических величин. Примером шкал интервалов являются шкалы измерения температур, например, Цельсия, Фаренгейта, Реомюра. 1.4. РАЗМЕРНОСТИ И ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

В каждом разделе физики объективно существующие зависимости между свойствами объектов представляются рядом независимых уравнений, которые и являются уравнениями между величинами. При этом число величин п всегда больше числа уравнений т \ т величин данной системы определяются через другие величины, а п — т величин — условно независимы друг от друга. Эти величины принято называть основными, а остальные — производными. В качестве основных величин теоретически могут быть выбраны любые из данного числа величин, но практически в качестве основных выбирают величины, которые могут быть воспроизведены и измерены с наиболее высокой точностью. Основная физическая величина — физическая величина, входящая в систему и условно принятая в качестве независимой от других величин этой системы, например масса, длина, время для системы механических величин. Производная физическая величина — физическая величина, входящая в систему и определяемая через основные величины этой системы, например ускорение в системе механических величин. Такой метод построения величин был предложен К. Ф. Гауссом в 1832 г. Первая система единиц была названа его именем. 24

Размерности величин Зависимость каждой производной величины от основных выражается ее размерностью. Согласно ГОСТ 16263—70, размерность — это выражение, отражающее связь величины с основными величинами системы, в котором коэффициент пропорциональности принят равным единице. Размерность величины представляет собой произведение обозначений основных величин, возведенных в соответствующие степени, и является ее качественной характеристикой. Размерности основных величин выражаются через их обозначения, например размерности длины, времени и массы записываются так: dim (/) = L; dim t = Т\ dim (m) = M, где dim — сокращенное dimension, размерность. Размерности производных величин определяются на основе соответствующих уравнений физики. Например, размерность скорости х/

V =

dim V7 = l

dim/

размерность ускорения g =

dim 1

£ = - d h ^

т rri—1

= LT

;

dim/ d l m

, =

L =

—

т rr—2

L T

•

На основе размерности производной величины можно легко определить, во сколько раз изменится ее размер при известных изменениях размеров основных величин. Так, если размерность величины х равна LaM&V, а длина, масса и время изменяются соответственно в а, b и с раз, то размер величины х изменится в ааЬ®су раз. Размерная физическая величина — величина, в размерности которой хотя бы одна из основных величин возведена в степень, не равную нулю. Большинство измеряемых величин являются размерными, входящими в соответствующие физические законы и зависимости. Физическое уравнение отражает зависимость между физическими величинами, в нем буквенным символам придается смысл величин, каждая из которых может быть представлена в виде произведения числового значения на размерность. Размерности обеих частей уравнения должны быть одинаковы. Полезно помнить об этом и проверять правильность уравнения путем сравнения размерности правой и левой его частей. Безразмерная, или относительная, величина представляет собой отношение данной физической величины к одноименной хои, применяемой в качестве исходной, или опорной. Относительные величины нашли широкое применение для характеристики состава и свойства веществ (например относительная плотность, относительное удлинение), отношение энергетических величин (например, усиление по мощности, усиление по напряжению, коэффициенты трансформации, затухания, отражения). Единицы величин Единица физической величины — это физическая величина, размеру которой, по определению, присвоено числовое значение 1. 25

В СССР с 1961 г. принята Международная система единиц (СИ), которая в настоящее время состоит из семи основных единиц, через которые наиболее удобно выражаются остальные величины. Единицы этих величин могут быть в большинстве случаев воспроизведены с максимальной точностью с помощью естественных наиболее неизменных величин и явлений. Наличие точно воспроизводимых, хранимых и точно передаваемых единиц физических величин, парка современных средств измерений, развитых методов измерений дает возможность решить задачу обеспечения единства измерений, выполненных в разных местах, в разное время и различными средствами. Единицы физических величин, допущенных к применению в СССР, установлены ГОСТ 8.417—81 «Единицы физических величин». В основу стандарта положены единицы СИ. Это следующие семь основных единиц физических величин: массы — килограмм (кг); длины — метр (м); времени •— секунда (с); силы тока — ампер (А); термодинамической температуры — кельвин (К); силы света — кандела (кд); количества вещества — моль; две дополнительные единицы — радиан и стерадиан и 113 производных единиц, в том числе пространства и времени — 6, механических — 14, электрических и магнитных — 40, тепловых — 11, световых — 15, акустических — 14, ионизирующих излучению — 2 и молекулярной физики и физической химии — 11. Основные особенности нового стандарта: в качестве единицы давления принят ньютон (Н) (равный ~ 0,101 кгс); в качестве единицы давления принят паскаль (Па) (1 атм = 105 Па); обозначения единиц, названных в честь великих ученых, принято писать с прописной буквы, а остальные — строчными буквами; прописными буквами обозначаются также кратные приставки: Т — тера, Г — гига, М — мега, а остальные — строчными буквами. Единицы относительной и логарифмической величин допущены к применению наравне с единицами СИ. Относительная величина — это отношение двух одноименных физических величин. Отношение двух близких по размеру одноименных величин х и хоп выражается в долях единицы. Если опорная величина во много раз превышает измеряемую, то относительную величину удобно выражать в процентах, тысячных и миллионных долях. В этом случае при равенстве л: и хоп их отношение принимается условно равным соответственно 10 +2 , 10 + 3 и 10 +б . Процентом называется относительная единица, равная 0,01 = 10~2» обозначаемая %. Промилле — это относительная единица, равная 0,001 = 10— , которая обозначается °/00Миллионной долей называется единица, равная 0,000001 = Ю - 6 , которая сокращенно обозначается м л н - 1 или р р т . Если отношение двух одноименных физических величин изменяется в очень широких пределах в обе стороны от 1, то для ее измерения и 26

представления на ограниченном обозримом отрезке удобно применить логарифмическую величину. Логарифмической величиной называют логарифм отношения двух одноименных величин. В качестве логарифмических единиц применяют бел (Б), децибел (дБ, равный 0,1 Б), октаву, декаду. Систематизация физических величин Д л я более детального изучения физические величины необходимо систематизировать, выявить общие метрологические особенности их отдельных групп (рис. 1.3). Основным признаком систематизации является принадлежность величин к одной из трех основных сторон явлений — вещественной, энергетической и информационной. Соответственно измеряемые величины можно подразделить следующим образом: величины «вещественной» группы — физические и физико-химические свойства веществ и их состав; величины «энергетической» группы — свойства, отражающие энергетические характеристики процессов; величины «информационной» группы — свойства, отражающие динамические и статистические характеристики процессов. Измерение величин «вещественной» группы необходимо для изучения веществ, для управления технологическими процессами. К этой группе из электрических величин, например, относятся сопротивление, диэлектрическая проницаемость, температурный коэффициент сопротивления. Общность методов измерительных преобразований большей части вещественных величин заключается в использовании измерительных преобразований, в применении функциональных преобразователей, косвенных и совместных измерений. Измерение величин «энергетической» группы необходимо для изучения и управления процессами преобразования, передачи и использования энергии. К этой группе из электрических величин относятся напряжение, ток, мощность, энергия. Общность методов измерительных

Рис. 1.3. Систематизация физических величин.

преобразований энергетических величин заключается прежде всего в возможности использования процессов преобразования энергии из одного вида в другой. Метрологическая общность заключается в возможности использования при измерительном преобразовании энергетических процессов. Измерение величин «информационной» группы необходимо для качественного и эффективного управления. К этой группе можно отнести амплитудный, частотный и фазовый спектры, дифференциальные и интегральные значения сигнала, суммы, разности, произведения или отношения нескольких сигналов, корреляционные функции и т. д. Общность методов измерительных преобразований информационных величин заключается в том, что они являются параметрами сигналов различной физической природы, которые перед измерением обычно преобразуются в электрический сигнал. В настоящее время наиболее быстро увеличивается число измеряемых величин «вещественной» группы, что отражает опережающее развитие аналитического приборостроения — средств измерения состава веществ, а также величин «информационной» группы — статистических и динамических параметров процессов. Систематизация физических величин по трем остальным признакам показана на рис. 1.3. 1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Познание окружающих нас эмпирических объектов в последнее время особенно быстро развивается в области отражения зависимостей между величинами, характеризующими эти объекты — числовыми моделями, степень совершенства которых оценивается количественно. Эту область знаний называют по-разному: идентификацией, моделированием, теорией испытаний объектов, измерением зависимостей и совместными измерениями. Определение зависимостей только сравнительно недавно сформулировано как самостоятельное направление в теории измерений [1]. Определение зависимостей является одной из основных процедур при технической диагностике, автоматических испытаниях, в научном эксперименте и при соответствующем метрологическом обеспечении позволит значительно повысить производительность труда исследования. Все большее внимание уделяется повышению точности количественной оценки отражения фактических зависимостей, что и предопределяет постепенное сближение этой области с наукой об измёрении. Зависимостью называется совокупность соответствующих величин, из которых, по крайней мере, одна определяет значение другой, например У = f ( X ) . Входящая в зависимость величина, значение которой в данном случае не зависит от других, называется аргументом. Зависимость между величинами может быть отражена измерением совокупности соответствующих значений величин У и X с последующим изображением в виде графика или числовой таблицы, а также измерением параметров ее аналитической модели. К первому виду определения зависимостей относятся, например, динамические измерения X (t) (п. 9.5), измерения частотных характе28

ристик. Определение зависимости X (t) при динамических измерениях решается путем непрерывного или дискретного числового отображения зависимости X от t в виде графика или числовой таблицы. Результаты такого отображения из-за громоздкости мало удобны для последующего использования как оператором, так и вычислительной машиной. Однако, если зависимость X (t) непрерывно меняется и по характеру, и по диапазону изменения, то такие измерения оправданы. Если характер зависимости остается неизмененным, а изменяются (причем, медленно) только ее параметры, то тогда более целесообразен второй вид определения зависимостей на основе априорной информации об аналитической модели зависимости. В связи с этим возникает задача определения параметров зависимости, т. е. параметров ее числовой модели. Эта задача может быть реализована прямо или косвенно по результатам предварительного определения совокупности соответствующих значений зависимых величин. Например, задачу определения зависимости от времени X (t) полигармонического сигнала с дискретным спектром, содержащим п гармоник, можно решить параллельным анализатором спектра или решить 2п уравнений по результатам 2п измерений мгновенных значений сигнала X и времени t и по ним определить 2п неизвестных параметров этого сигнала X (t). Определение значений параметров зависимостей производится на основе одновременных измерений обычно разноименных величин, входящих в зависимость, и обработки результатов измерений. Примерами определений зависимостей могут служить совместные измерения и идентификация. Совместными измерениями (ГОСТ 16263—70) называются одновременные, прямые или косвенные измерения разноименных величин,, на основе которых определяются зависимости между ними. Идентификацией (ГОСТ 20913—75) называется определение параметров и структуры математической модели процесса, обеспечивающие наилучшее совпадение координат модели и процесса при одинаковых входных воздействиях. Это определение идентификации близко к приведенному ранее определению понятия определения параметров зависимостей. Определение параметров зависимостей оформляется в самостоятельную научную и техническую область, в развитие которой вносят свой вклад исследователи различных специальностей. Важнейшим показателем качества процедуры определения параметров зависимости является метрологическая оценка, т. е. точность, характеризующая степень приближения полученной числовой модели к реальной зависимости. Определение параметров зависимостей между величинами отличается от измерения величин тем, что при измерении величин устанавливаются отношения между величинами и числами их отображающими, а при определении параметров зависимостей — отношения между зависимостями и числовыми моделями, отражающими их. В определении параметров зависимостей и измерении величин много общего, например: измерение величин обычно предшествует определению параметров зависимостей; 29

методы повышения точности определения параметров зависимостей обычно, как и при многократных измерениях величин, основываются на осреднении случайной составляющей погрешности; процедуру определения параметров зависимости, так как и процедуру измерения величин, можно разделить на операции воспроизведения зависимостей (с помощью функциональных генераторов) и сравнение зависимостей с помощью компараторов зависимостей, преобразование зависимостей, запоминание зависимостей и т. д.; методы определения параметров зависимостей, как и методы измерения величин, можно разделить на две группы — 1) методы сопоставления параллельные, осуществляемые за время реализации зависимости, и 2) методы последовательные, осуществляемые за время, превышающее время реализации зависимости. Определение параметров зависимостей реализуется как правило с помощью информационных измерительных систем и измерительно вычислительных комплексов.

Глава

ОПЕРАЦИИ И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ И КОНТРОЛЯ

Измерение и контроль — наиболее широко применяемые информационные процедуры. Они принципиально различны, так как измерительная информация имеет количественный характер, а контрольная — качественный. Операции измерения и контроля реализуется с помощью специальных технических средств и описываются аналитическими выражениями. Методы измерения и контроля являются совокупностью ряда операций, осуществляемых по определенному алгоритму. 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ И СРЕДСТВА ИХ РЕАЛИЗАЦИИ

Измерение — многооперационная процедура, содержащая операции как общие для всех информационных процедур (запоминание, передача, коммутация), так и специфические метрологические — воспроизведение величин заданного размера, сравнение величин, измерительные преобразования, в том числе масштабные преобразования. Каждая из этих операций формализуется соответствующими аналитическими выражениями, например, воспроизведение суммированием, делением и умножением, сравнение — вычитанием, измерительное преобразование — квадрированием, интегрированием, логарифмированием. Таблица

1. Операции процесса измерения и элементарные средства их реализации Элементарное средство реализации операции измерения

Операция

Измерительное преобразование

Измерительный (ИП)

Сравнение

Устройство сравнения ратор) (УС)

Воспроизведение данного размера

величины

Масштабное преобразование

за-

Условное обозначение средства измерений

преобразователь

Мера (М)

Масштабный (МП)

преобразователь

Измерение — это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств (п. 1.2), которые и называются средствами измерения. С р е д с т в а измерен и й предназначены для реализации измерений и обладают нормированными метрологическими характеристиками. Наличие у средств измерений нормированных метрологических характеристик обеспечивает возможность получения результатов измерения с определенной степенью точности и достоверности. Средства измерений в зависимости от возможности полного завершения с их помощью процедуры измерения разделяются на средства реализации операций измерения и процедуры измерения. Будем условно называть их соответственно элементарными (ЭСИ) и комплексными <КСИ). К ЭСИ относятся: измерительный преобразователь, устройство сравнения, мера и масштабный преобразователь. В них реализуются операции процедуры измерения — соответственно измерительное преобразование, сравнение, воспроизведение величины заданного размера и масштабное преобразование (табл. 1). С помощью любого, отдельно взятого элементарного средства измерения, в общем случае нельзя определить значение величины. К КСИ относятся измерительные приборы и измерительные системы. Эти средства состоят из наборов ЭСИ, каждым из которых может быть реализован соответствующий метод измерения. В КСИ процедура измерения завершается получением значения величины XnНа вход каждого средства измерений подается входной сигнал, т. е. физический процесс, один из параметров которого в простейшем случае является измеряемой величиной X . Рассмотрим основные особенности операций измерения и средств их реализации. Воспроизведение величины заданного размера и мера Воспроизведение величины заданного размера — это важнейшая операция процесса измерения, заключающаяся в создании выходного сигнала с заданным размером информативного параметра. Методом воспроизведения будем называть совокупность приемов использования физических процессов и явлений с целью получения выходного сигнала с заданным размером информативного параметра. Средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера, называется мерой. Воспроизведение величины заданного размера можно формально представлять как преобразование кода в данную физическую величину, основанное на единице данной физической величины. «Выходом» меры при этом является квантованная аналоговая величина заданного размера xn = = NxqK, а «входом» следует считать числовое значение величины Nx. Преобразователь код — аналог, выходная величина которого имеет значения, выраженные в единицах данной величины, является автоматически управляемой мерой, в которой создается квантованный сигнал. 32

Д л я измерения величины, изменяющейся в широком диапазоне значений, выход меры должен обладать многозначностью, т. е. либо быть распределенным во времени, либо в пространственными словами мера должна быть или регулируемой, или многоканальной.{«Устройство автоматической меры во многом определяется видом системы счисления, в которой представлено число, управляющее мерой (п. 7.3). При этом регулирование меры может осуществляться как по детерминированному закону, например по закону «лесенки»: xN (t) = Nx (t) qK при изменении Nx (t) от 0 до N„ через одинаковые интервалы времени единичными ступенями, так и по случайному закону с заданным законом распределения, например равномерным, несимметричным — у стохастической меры Шн<7„ при NxcNH; (2.1) Р (**) = Р (NxqK) = О при Nх > NH, где Nx £ — 1, 2, 3, ..., iV N,H; qK— ступень квантования меры, цена единицы младшего десятичного разряда числового значения N х . Меры могут быть однозначными и многозначными, поэтому будем различать: одноканальную нерегулируемую меру, воспроизводящую величину одного неизменного размера, например элемент Вестона (рис. 2.1, а). Ее уравнение xN — N xqH = const; N х = const; qK = const; одноканальную регулируемую меру, воспроизводящую в данный момент величину одного известного размера, который может изменяться, например конденсатор переменной емкости (рис. 2.1, 6) в виде переключаемого набора емкостей. В этой мере осуществляется временное разделение выходных величин меры, закон изменения их может быть детерминированным или случайным с заданными характеристиками. Ее уравнение xn = NxqK\ (2.2) Nx — var; qK - const; многоканальную нерегулируемую меру, воспроизводящую одновременно несколько одноименных величин с известными неизменными размерами, например линейка или делитель напряжения, питаемый от

V* 11

И= const

"К

Нхтг

Мы

Xn.. / ,2

81S

——Хн^нЧк

ъ.4 t

—у

Рис. 2.1. Разновидности мер: а — одноканальная нерегулируемая; б — одноканальная р е г у л и р у е м а я ; в — м н о г о к а н а л ь н а я н е р е г у л и р у е м а я ; г —• многоканальная регулируемая-

U0 с неподвижными отпайками (рис. 2.1, б). В этой мере осуществляется пространственное разделение выходных величин. Ее уравнение xN. = NtgK = const. Многозначные меры обычно управляются входным кодом, который непосредственно выражает числовое значение выходной величины, но иногда целесообразно для косвенных измерений (п. 2.3) выполнять функциональные меры, входной код которых может быть функционально связан с числовым значением другой величины. Тогда xn = / ( N v ) q K , многоканальную регулируемую меру, воспроизводящую одновременно несколько величин, размеры которых могут изменяться (рис. 2.1, г). В этой мере осуществляется и пространственное, и временное разделение. Ее уравнение XiN[ = Л^к.р = var при Nt = var, qK,p — var. Эта мера может быть использована для параллельного воспроизведения набора однотипных зависимостей Xn (t) с различными известными значениями параметров, например для измерения зависимости X (/) методом сопоставления (п. 2.6). Степень совершенства меры определяется постоянством размера каждой ступени квантования меры qR и степенью многозначности меры, т. е. числом NB воспроизводимых известных значений ее выходной величины. В реальных мерах непостоянство qK приводит к возникновению погрешности. С наиболее высокой точностью воспроизводятся основные физические величины: длина, масса, время, частота, напряжение и ток. Сравнение величин и устройство сравнения Сравнение величин является одной из важнейших метрологических операций и используется в различных информационных процедурах: контроле, измерении, распознавании, управлении и др. Методом сравнения будем называть совокупность приемов использования физических явлений и процессов для определения соотношения однородных величин, обычно по знаку их разности. Однако далеко не каждую величину можно сравнить таким образом с себе подобной. Все физические сигналы в зависимости от возможности создания разностного сигнала можно подразделить на три группы. К первой группе относятся сигналы направленного действия, которые можно вычитать и, таким образом, непосредственно сравнивать без предварительного преобразования — электрические, механические и магнитные. Ко второй группе можно отнести сигналы, также обладающие направленным действием, однако неудобные для вычитания, но удобные для коммутации — световые потоки, ионизирующие излучения, потоки жидкости и газа. К третьей группе следует отнести сигналы, характеризующие состояние объектов или их свойств, которые физически невозможно вычитать — влажность, концентрация веществ, цвет, запах и т. п. 34

m t

L йа

ь Xi

• t

Синхронный а; детектор 1 Опорный сигнал Генератор

Рис. 2.2. Разновидности устройств сравнения: а — на основе о д н о в р е м е н н о г о в ы ч и т а н и я ; б — на основе р а з н о в р е м е н н о г о вычит а н и я ; в — н а основе д е л е н и я .

Параметры сигналов первой группы являются наиболее удобными для сравнения, второй группы — менее удобными, а третьей группы — непосредственно сравнить невозможно. Однако и неподдающиеся непосредственному сравнению величины необходимо сравнивать и измерять. Д л я этого их преобразуют в другие величины, которые поддаются сравнению. Сравнение бывает одновременным и разновременным. Операция сравнения осуществляется устройством сравнения, которое обычно состоит из вычитателя (В), создающего разность сравниваемых сигналов Хх — Х 2 = А р и релейного элемента (РЭ), реагирующего на знак разности А р (рис. 2.2, а). В аналоговых структурах устройство сравнения часто используется без релейного элемента в виде вычитателя и тогда его выходом является разность Д р . Устройство сравнения на основе операции одновременного вычитания реализуется двухканальной структурой. Результатом сравнения является двухзначный кодовый сигнал а г в виде случайной, двухзначной последовательности логических «О» и «1», содержащий информацию о соотношении между сравниваемыми величинами щ = [0,5 + 05 sign ( X i - X j ) ]

1 при X i > Х 2 ; 0 при Х1 < Х 2 .

Устройство периодического сравнения на основе разновременного вычитания реализуется одноканальной структурой (рис. 2.2, б). При разновременном вычитании создается переменный сигнал с частотой периодического переключения / = ИТ, фаза которого содержит информацию о соотношении между сравниваемыми величинами. Устройство сравнения на ocHQpe операции деления (рис. 2.2, в) а, = [0,5 + 0,5 sign ( В Д , -

1)] =

1 при Хх/Х2> Q при

1; ^

(2-4)

Сравнение однородных величин при помощи деления можно производить, используя устройства, в которых выполняется: непосредственное деление Х 1 / Х 2 , например при помощи электромеханических логометров или интегральных электронных делителей; 2*

деление с предварительным логарифмированием, вычитанием и антилогарифмированием anti log [log — log (Х 2 )]; деление с предварительным логарифмированием и дифференцированием делителя и последующим умножением на делимое d (log Х2) Совокупность сигналов на выходе УС содержит различную информацию: При постоянстве сравниваемых величин х1 = const и х2 = const выходной сигнал УС содержит информацию только о соотношении между и Х2. При изменении сравниваемых величин во времени совокупность выходных сигналов УС щ х содержит информацию о тех или иных статистических характеристиках X (t). Если Хг = Х х (t), а х2 = const, то совокупность выходных сигналов УС содержит информацию о вероятности P/Xi (t) < Х2 (п. 2.4). Если величина Х2, с которой производится сравнение значений измеряемой величины изменяется по равномерному случайному закону р (х2), полученному от меры, то совокупность результатов сравнения a t содержит информацию о среднем значении сигнала Х х (t). Совокупность сигналов на выходе двух описанных выше устройств ai x и ai y содержит информацию о значениях взаимокорреляционной функции сигналов X (t) и Y (t), которая извлекается путем их логического перемножения. На этом принципе основаны знаковые коррелометры. Если требуется при измерении реализовать функциональное преобразование входного сигнала и определить его среднее значение г/ср = = / (х), то необходимо, чтобы плотность вероятности сигнала на выходе стохастатической меры была равна р (х 2 ) = dy/dx, например, если у = x\lx\, то р (х2) = 2x1x1. Извлечение перечисленных выше видов информации из выходных сигналов УС реализуется счетчиками импульсов и простейшими логическими элементами (п. 2.4). Степень совершенства устройства сравнения определяется минимально возможным порогом чувствительности УС Дп.ч = X — xn, при котором УС еще выдает сигнал о равенстве сигналов X и xn, а также его быстродействием. У идеального УС Д п . ч = 0. В реальном УС наличие Дп.ч приводит к возникновению аддитивной погрешности, равной Дп.ч- При выявлении соотношения между величинами, одна из которых изменяется ступенями qK, необходимо соблюдение условия Дп.ч < qK. Измерительное преобразование и измерительный преобразователь В настоящее время число исследуемых, измеряемых физических величин и параметров процессов очень велико (около 2500) и непрерывно увеличивается, а возможности средств измерения — по роду входных физических сигналов, по пределам измерения, по входному сопротивлению, динамическим характеристикам, частотному диапазону — ограничены. Поэтому возникает задача измерительного преоб3G

разования, т. е. всестороннего согласовання измеряемой величины и средства измерения. Измерительное преобразовав ние — операция преобразования входного сигнала в выходной, информативный параметр которого с заданной степенью точности функционально связан С информативным параметром ВХОДНОГО сигнала И MOuofumv.fvm илидиш ^ жет быть измерен С достаточно ВЫ-

-• , | Я Л

E=Kll 777

" Рис. а -

н а я

2.3.

Измерительный преобразователь:

У л о в н о е обозначение; б - с т р у к т у р ; термоэлектрического измери тельного преобразователя.

схема

СО КОЙ ТОЧНОСТЬЮ.

В измерительное преобразование в общем случае могут входить следующие операции: изменение физического рода сигнала или величины; масштабное линейное преобразование; масштабно-временное преобразование (смещение, сжатие или растяжение во времени); нелинейное или функциональное преобразование; модуляция; дискретизация непрерывного сигнала; квантование. Измерительным преобразованием достигается: согласование исследуемого процесса и СИ по роду сигнала или величины; линейное согласование пределов изменения измеряемой величины и пределов СИ; согласование частотного диапазона; нелинейное согласование пределов изменения X и пределов СИ (например, логарифмическое); компенсация нелинейности первичных измерительных преобразователей; функциональное выявление измеряемой величины из входного сигнала; уменьшение искажений исследуемого процесса из-за присоединения СИ; уменьшение погрешностей от внутренних и внешних помех и других причин; уменьшение динамических погрешностей путем дискретизации и запоминания мгновенных значений быстроизменяющейся величины. Измерительное преобразование многих величин является сложной задачей и часто измерительный преобразователь является основным по сложности звеном измерительного устройства. Выходные сигналы измерительных преобразователей (ИП) и их информативные параметры унифицированы Государственной системой приборов. Унифицированными сигналами являются постоянное напряжение 0...10 В, постоянный ток 0...5 мА и 0...20 мА, частота от 4 Гц до 100 кГц. Метод измерительного преобразования можно рассматривать как алгоритм использования перечисленных элементарных операций. Если 37

этот алгоритм представить графически, то получится структурная схема ИП. Например, на рис. 2.3 приведена структурная схема термоэлектрического ИП переменного тока, состоящая из термопреобразователя (ТП), преобразующего род сигнала и функционального корнеизвлекающего звена. Характеристика идеального преобразователя Y — КХ линейна, безынерционна, стабильна и проходит через начало координат. Характеристика реального ИП в статике Y = K(l

+yu)X

+ A„ + A f ( X )

(2.5)

может отличаться от идеальной смещением нуля Ау, изменением наклона 7М и нелинейной составляющей Д/ (X). Такие отклонения реальной характеристики ИП приводят к возникновению аддитивной и мультипликативной погрешности и погрешности от нелинейности (п. 8.2). Масштабирование величины и масштабный преобразователь Масштабирование 1 — это преобразование входного сигнала в однородный выходной, размер информативного параметра которого пропорционален в К раз размеру, информативного параметра входного сигнала. Число К является основной характеристикой масштабного преобразования. Масштабное преобразование реализуется в устройстве, которое называется масштабным преобразователем. Масштабные преобразователи (МП) создаются обычно для величин, характеризующих явления направленного действия (напряжений, токов и т. п.). Методом масштабирования будем называть совокупность приемов использования физических явлений и процессов для создания сигнала, однородного со входным, с информативным параметром, кратным по размеру информативному параметру входного сигнала. Коэффициент преобразования /Смп может изменяться в процессе измерения по детерминированному закону, например по закону «лесенка» с одинаковыми размерами ступеней в относительных единицах /Смп — NK ( f ) q„тн, или по случайному закону с заданным законом распределения, например равномерным, несимметричным: P (/Смп) =

1/Ян

при /Смп

Ка;

О при /Смп > К н . Д л я измерения отношений величин в широком диапазоне МП должны быть многозначными, т. е. /Смп должен либо изменяться во времени, либо иметь одновременно много значений. МП могут быть одноили многоканальными, с регулируемым или нерегулируемым коэффициентом преобразования /Смп- Поэтому в дальнейшем будем различать: одноканальный нерегулируемый МП, отличительной чертой которого является постоянство коэффициента преобразования/Смп(рис. 2.4, а), например измерительный усилитель, трансформаторы напряже-

1 Масштабирование является одной из элементарных операций измерительного преобразования, однако ввиду ее широкого распространения и наличия большого количества звеньев, реализующих только эту операцию, а также в соответствии с ГОСТ 16263—70, будем рассматривать ее отдельно.

XfzKMfiX

-KfMnX

KMtl=ccnsf

'КггМПрЛ Рис. 2.4. Разновидности масштабных преобразователей: а — одноканальнйй нерегулируемый; б — многоканальКмпнХ Xf ный нерегулируемый; в — одноканальный регулируемый; г *** многоканальный регулируемый.

ния и тока. Его уравнение: Хг — КмпХ;

(2.6)

многоканальный нерегулируемый МП с пространственным разделением, отличительной чертой которого является наличие нескольких выходных каналов с постоянными коэффициентами преобразования (рис. 2.4, б), например многоканальный делитель напряжения. Его уравнение: Х ( = К/мпХ; одноканальный регулируемый МП, т. е. с временным разделением, который отличается наличием одного канала (рис. 2.4, б). Его уравнение: Х х = КмпрХ; /Смпр = var; многоканальный регулируемый МП, т. е. как с временным, так и с пространственным разделением, который отличается наличием нескольких выходных каналов (рис. 2.4, г), например делитель напряжения с несколькими движками. Его уравнение: = Кат р (t) X. Масштабный преобразователь данного типа можно использовать как и подобные меры для измерения зависимостей методом сопоставления. Масштабные преобразователи выполняются также в виде автоматически управляемых преобразователей кода отношения А ^ м п в выходную величину, однородную со входной и обладающую заданной кратностью Kmi по отношению к ней. Степень совершенства масштабного преобразователя определяется главным образом степенью его линейности, стабильности и безынерционное™. 2.2. ПОНЯТИЕ О РЕЗУЛЬТАТЕ И ПОГРЕШНОСТИ УРАВНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ

ИЗМЕРЕНИЯ,

Результатом измерения называют значение величины, найденное путем ее измерения. Значение величины xn равно числовому значению величины Nx, умноженному на qK — qx, xN = NxqK =

NxqK, 39

где qK — ступень квантования, единица младшего десятичного разряда числового значения величины Nx, обычно равная десятичной кратной или дольной единице измеряемой величины qx. Результатом относительных измерений является число, выраженное в единицах относительной или логарифмической величин. Погрешность измерения А — отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины: А = xn — X.

(2.7)

Уравнение измерений в простейшем случае связывает между собой истинное значение измеряемой величины X, результат измерения xn, погрешность измерения А, числовое значение входного кода меры Nх, ступень квантования меры qK и коэффициент масштабного преобразователя Кмп- Уравнения измерений получают из уравнения УС подстановкой в него уравнений М и МП. Д л я реализации измерения в самом простейшем случае необходимо осуществить две операции: операцию воспроизведения мерой ряда величин с известными размерами из множества xn, Т. е. хъ х2, х 3 ; ...; xnh, например, равноинтервального ряда с одинаковым интервалом между qK, размер которого принимаем равным единице данной величины или ее десятичной доле; операцию сравнения для выявления знака разности размеров величины X и однородной выходной величины меры XnПроцедура измерения в этом случае реализуется путем отработки ступенчатым изменением известной величины xn( последовательными шагами от первого i = 1 до конечного г кон . Размеры ступеней хс при отработке выбирают в зависимости от способа отработки — равномерно или неравномерно ступенчатого. В первом случае ступень изменения xn равна ступени квантования qK, а во втором для уменьшения числа ходов вначале реализуются большие ступени xt, а затем меньшие, вплоть до qK, что необходимо для уравнивания X и xn%- Отработка продолжается до тех пор, пока разность неизвестной величины X и Xn не станет меньше минимальной ступени qK. Таким образом, процедура отработки может быть описана, например, следующим алгоритмом: 'кон

X—

xtF [sign (X — xN)] < q, 1

!=1

где хс — изменение образцовой величины xn при г-м шаге отработки; О при X — xn < 0;

где xn — значение величины xn после t'-ro шага отработки. В результате конечного шага отработки iK0H получим: х

— xn1kob

* - ^/кон = 40

< <7К; Xn

= ЯхЯк-

(2.8)

рис. 2.5. Простейшие наборы средств измерений для реализации абсолютных непосредственных измерений: сравнения и одноканальная (1 — устройство р е г у л и р у е м а я мера; б — устройство сравнеиия, о д н о к а н а л ь н а я н е р е г у л и р у е м а я мера и одноканальный регулируемый масштабный преобразователь.

Мера 1Р=Х-Уы

•M^feÄ Но

ц-j/v/

Рис. 2.6. Структурная схема непосредственных прямых измерений.

Из (2.8) определяем числовое значение величины NX = E

X ?к

(2.9)

Представляя полученный алгоритм измерения графически, получаем простейшую структуру измерительного устройства уравновешивания (рис. 2.5). Рассмотрим основные уравнения измерений. При использовании одноканальной регулируемой меры и устройства сравнения в уравнение УС подставляем уравнение меры: X — Xn — Ар;

X — NxqK < qK.

Д л я нахождения X (рис. 2.6, а) нужно изменять Nx до тех пор, пока А р не станет меньше qK. Отсюда следует первое требование к мере — многозначность во всем диапазоне X : X = NxqK;

Nx — Е \ X/qK |.

(2.10)

Следовательно, измерение математически представляется в виде деления, которое продолжается пока остаток больше qK, т. е. X — — NxqK > qK и заканчивается, когда остаток деления или разность становится меньше: X — NxqK<qK. При измерении всегда получается неточный результат прежде всего из-за конечности размера qK, несовершенств УС и меры. Ввиду постоянства qK уравнение измерения Nx — Е \ X/qK |, как зависимость между числовым значением результата измерения Nx и размером измеряемой величины х, всегда является линейным. При использовании нерегулируемой одноканальной меры, устройства сравнения и масштабного преобразователя, т. е. при xN (рис. 2.6, б), уравнение измерения получаем подстановкой в уравнение УС уравнения МП: Ар = /СмпрХ — Xn„,

Дмпр =

XnJX.

Я'КмпрХ

Коэффициент преобразования МП Кмп р является числом, по значению обратно пропорциональным величине X , и не может служить ее числовым значением. Но можно выполнить условие /Смп = HN X , тогда:

УС

Рис. 2.7. Реализация относительных измерений минимальным набором элементарных средств измерений.

E\X/xNe\. l/Nx = xNJX-, Nx = Следовательно, и в данном случае уравнение становится линейным. Однако выполнение необходимого для этого условия затруднительно, и поэтому такое сочетание средств измерений применяется редко. При использовании регулируемой одноканальной меры, устройства сравнения и масштабного преобразователя уравнения измерений: /Смп

— xn — Д р ; •

x q

^ q

NX = E

<7к

При /Смпр = const и qK = const уравнение является линейным. Это сочетание средств измерений часто применяется. При относительных измерениях, в которых роль единицы величины выполняет опорная величина лгоп, измерения осуществляются с помощью двух средств измерений — МП и УС (рис. 2.7). Уравнение относительных измерений получаем аналогичным образом: А р = /Смп р Х — Х0п. Результат относительных измерений Nxoth = Е | Х/Хоп |,

где (Г/о™ — относительная единица. 2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ, КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИИ

Измерения классифицируют по наиболее существенным признакам (рис. 2.8). По наличию размерности у измеряемой величины измерения можно разделить на абсолютные и относительные [26]. Абсолютными называют измерения, результат которых представляется в виде определенного числа единиц данной физической величины. Относительные измерения — это измерения, результат которых представляется в виде определенного числа относительных единиц. Относительные измерения при прочих равных условиях могут быть выполнены более точно, чем абсолютные, так как в суммарную погрешность не входит погрешность меры величины. 42

Измерения По наличию размерности у величины По наличию предварительном преобразования Величина

Абсолютные

Относительные

Непосредственные

С предварительный преобразованием

одномерные

По мерности ветчины

. Многомерные \

ЛрНмые По характеру уравнений измерений

flo соотношению между числом измеряемых величин и числом уравнений По способу осуществлений, избыточности Ло изменчивости " величины во времени

КосВеннHiV

Неизбыточные

Совокупные

Совместные

Избыточные,или множественные

Многократные

Многоканальные

Сщатческие

Динамические

Рис. 2.8. Классификация измерений.

По наличию предварительного измерительного преобразования измерения можно разделить на: непосредственные, при которых величина измеряется без любых предварительных преобразований сравнением с выходной величиной меры, однородной с измеряемой; i с предварительным преобразованием, при которых измеряемая величина предварительно преобразуется в величину, которая может быть воспроизведена с заданным размером и поддается сравнению. По мерности измеряемой величины измерения классифицируются на одномерные и многомерные. Измерить двумерную величину, уже значительно сложнее, чем одномерную, так как, например, при раздельном измерении вектора напряжения необходимо измерить раздельно активную U a и реактивную Up составляющие. При измерении U a необходимо избрать такой метод измерительного преобразования, чтобы выходная величина зависела только от иа, и не зависела от неинформативного параметра U p , а при измерении U p — наоборот. По характеру уравнений измерения подразделяются на прямые,, косвенные, совместные и совокупные [26]. Прямые измерения — при которых искомое значение величин находят непосредственно из опытных данных. Например, д л и н а изме44

ряется непосредственно линейкой, масса — на равноплечих весах, э. д. с.— компенсацией компенсирующей известной э. д. е., ток — амперметром. При прямых измерениях уравнение измерения имеет вид xN = E\X/qx\qx= Nxqx. (2.11) Косвенные измерения — при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, которые называются аргументами. При косвенных измерениях уравнение измерения xn = f(t/N',

zN\

... ;

а,

b),

где i/N, Zn — результаты измерений аргументов; а, b — постоянные коэффициенты. Например, для определения плотности определяют значение аргументов — массы и объема — прямыми измерениями и на основании известной зависимости вычисляют искомую плотность: bN = mNlvN. При автоматизированных косвенных измерениях все преобразования с величинами-аргументами производятся автоматически. Ранее для косвенных измерений с функциональными операциями использовали различные электромеханические ИП. Ввиду известных недостатков этих устройств, в частности, инерционности, в настоящее время для косвенных измерений применяют высокоточные функциональные электронные ИП в интегральном исполнении в виде умножителей, интеграторов, делителей, логарифматоров, антилогарифматоров, а также микропроцессоры (п. 6.8). При совместных и совокупных измерениях уравнение измерения fx (X; Y\ zN-, vn; a\ b\ . . . ) = 0; f2 (Xx; УУ, Zni, Vnü a; b\ ...) = 0, где X, Y — измеряемые совокупно или совместно величины, однородные и разнородные; Zn, Vn — величины, измеренные прямо или косвенно; а, b — постоянные величины. Совокупные измерения — при которых искомые значения нескольких одноименных величин находят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин. Пример совокупных измерений — калибровка набора гирь. Значения масс рабочих гирь набора 1, 2, 3, 5 и 10 кг необходимо проверить, уточнить. При наличии равноплечих весов, одной образцовой гири с массой 1 кг и мелких гирь с массами ха, хь, хс, xd, хе и др. путем ряда совокупных измерений и решения совокупности линейных уравнений можно определить массы гирь набора хъ х2 х3, хъ, х10 более точно. Произведем пять операций уравновешивания равноплечих весов и получим следующие пять уравнений: Xt = 1 кг + ха\ = 44

+ 1 кг + хь\

Х3 = 1 кг + х 2 + хс; х

ь = xi + 1 кг + х 3 + хй\

Х10 =

+ 1 кг + хс.

Из полученных пяти уравнений с пятью неизвестными определяем значения масс рабочих гирь данного набора. Вторым примером совокупных измерений является измерение параметров элементов многополюсника без разрыва цепи, например треугольника. Совместные измерения — производимые одновременно измерения д в у х или нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. Совместные измерения являются разновидностью измерения зависимостей (п. 9.4). По соотношению между числом п измеряемых величин и числом уравнений измерения измерения удобно подразделить на неизбыточные и избыточные, или множественные. При т — п измерения неизбыточные, например однократные измерения, а при т > п — избыточные. Однократные измерения проводятся обычно в том случае, если при данном эксперименте допускается погрешность измерения, достигающая удвоенного среднего квадратического отклонения (с. к. о.) случайной составляющей погрешности средства измерения. Множественные измерения выполняются для достижения более высокой точности. Показатели точности результата измерения в этом случае определяют путем обработки ряда полученных наблюдений. По способу осуществления избыточности множественные измерения можно подразделить на многократные и многоканальные. Избыточность измерений может быть осуществлена либо повторением измерений т раз, т. е. измерениями с многократными наблюдениями, либо разовым m-канальным измерением, либо их комбинацией. По изменчивости величины во времени измерения подразделяются на статические измерения, при которых измеряется неизменный во времени сигнал х (t) = const и динамические измерения, при которых обычно измеряется сигнал, изменяющийся во времени, X (t) = var. При динамических измерениях в зависимости от характера изменения X (t) к динамическим характеристикам средств измерений предъявляются соответствующие требования (ГОСТ 8.256—77, п. 5.4). Теория и терминология динамических измерений находится в стадии быстрого развития. Динамические измерения являются разновидностью измерений зависимостей (п. 9.5).

точные

2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Анализ методов прямых измерений является одним из основных разделов метрологии. В широком смысле метод измерения можно определить как алгоритм использования операций воспроизведения, сравнения, измерительного преобразования, масштабирования и запоминания с целью получения значения величины — результата измерения. Значение величины является именованным числом, выраженным в той или иной системе счисления. Поэтому анализ и синтез мето45

Рис. 2.9. Методы измерений.

дов измерения тесно связаны с особенностями той первичной системы счисления, в которой на первом этапе представляется значение величины. Особенности системы счисления учитываются при анализе и синтезе методов через особенности средств измерения, связанных с числами, т. е. через особенности мер и масштабных преобразователей. Средства измерения являются материальной основой процедуры измерения. В дальнейшем будем основываться на следующем определении: метод измерения — это совокупность приемов использования средств измерения для установления значений величин. Классификация методов прямых измерений. В соответствии с приведенной ранее классификацией средств измерений (п. 2.1) можно классифицировать и методы прямых измерений: методы измерений комплексными средствами измерения (метод непосредственной оценки), наборами ЭСИ, а также комбинированные методы с использованием комплексных и элементарных средств измерения (рис. 2.9). Методы прямых измерений наборами ЭСИ подразделяются в зависимости от наличия или отсутствия в наборе ИП и МП на четыре группы. Синтез методов и алгоритмов прямых абсолютных измерений наборами элементарных средств без предварительных преобразований рода величины Методы измерения без предварительных преобразований рода величины отличаются тем, что могут быть выполнены при прочих равных условиях с наиболее высокой точностью. Классифицируем совокупность этих методов по двум существенным признакам: особенностям алгоритма и наборам средств (рис. 2.10) Ч 1 Д л я упрощения графическое изображение ИП на рис. 2.10 опущено. При этом предполагается, что X является выходной величиной ИП, для которой созданы УС и М. Если для X таковых нет, то применяют предвключенные измерительные преобразователи. 47

щтМ •итааэн nftHWDHDX '-ОЪони/иИ тчщМ. s -mrnsadsH s тчнчиош я ондо uhl о rt n.

rrnwafid . e -m'fiead ä. ППНШШ' B -озотии 1 вл mwfid § '-m/fisad = тнчшох -onsotlH a5> , а 1 „•W n -afidnvfoadau <2 птчшш « "ттш | с. timafid s •пШвйан » тчнттх f '-OHSQUH 5 ча> пчыШ -wfosd • 23 pmwDHVX £С, 'огонним Л и X . . , л/?// оSw •andnüfisad 4 ппншнв» ' ~onßo[]frfп/чызМ -Шгзйэн пти/твх '-отииМ

§ ,я я ов§> < . mwafid 1 -nirdsadaH птчшвя з * 'ütJßo и И | а птаМ в •Шгэйан s. пттш g " -ощш |

тчнаМ. g -vufisadaH 5 тчнтнпя 3 '•огоницЙ . нттгад хпнротд riwoHMniribadn ßunutoi/ ШШ tmwesd швдотоиогг 99Ш0 ш дорошаи ешнпэ

По первому признаку, по особенностям алгоритма методы измерения подразделяются на: методы сопоставления, осуществляемые за один прием, параллельно, одноэтапно, при одновременном использовании всех применяемых в данном случае средств измерения, на основе многоканального сравнения. методы уравновешивания, осуществляемые за несколько приемов, последовательно, многоэтапно, на основе многократного сравнения. Перед классификацией методов по второму признаку выясним, какими качествами должны обладать средства измерения для реализации процедуры измерения. Д л я этого рассмотрим основное уравнение измерения КмпХ = NxqK. Измеряемая величина X изменяется от 0 до хИ. При постоянстве q для обеспечения равенства правой и левой частей уравнения необходимо изменять либо Ктп, либо Nx- Изменение Nx и Кмп реализуется в соответствующих средствах измерения — в мерах и масштабных преобразователях. Следовательно, для измерения величины, изменяющейся в широком диапазоне значений, выходная величина М или МП должна быть многозначной, т. е. либо изменяться во времени, либо иметь одновременно много значений; иными словами М и МП должны быть или регулируемыми, или многоканальными (п. 2.1). Поэтому будем различать: одноканальные нерегулируемые: меры (OHM) и масштабные преобразователи (ОНМП); одноканальные регулируемые: меры (ОРМ) и масштабные преобразователи (ОРМП); многоканальные нерегулируемые: меры (МНП) и масштабные преобразователи (МНМП); многоканальные регулируемые: меры (МРМ) и масштабные преобразователи (МРМП). Мера и масштабный преобразователь являются единственными средствами измерений, в уравнения которых входят числа, определяющие размер их выходных величин. Эти числа могут задаваться автоматически, программно. Д л я реализации процедуры измерения при однородности X с входной величиной УС и выходной величиной меры минимально необходимый набор ЭСИ состоит из меры и устройства сравнения. Если мера однозначна, то набор функционально неполный и для реализации процесса измерения в набор необходимо ввести многозначный МП. Рассматриваем два функционально полных набора ЭСИ: 1) меру, устройство сравнения; 2) однозначную меру, устройство сравнения и многозначный масштабный преобразователь. По использованию этих наборов методы сопоставления и методы уравновешивания классифицируются еще на две подгруппы. Внутри этих подгрупп синтезируем каждый метод отдельно с учетом особенностей данного алгоритма, а также применяемых М и МП. На основе показанных различий М и МП синтезируем методы сопоставления, отличающиеся использованием только нерегулируемых мер,

Алгоритмы и уравнения основных методовпрямых-измерений без предварительных преобразований . рада измеряемых Величин Сопоставления Уравновешивания По особенностям параллельные последовательные алгоритма da cocmaSy наМШУС М.УС бора элементарных СИ M,f,yt I С использованием первый, метод Нулевой метод с ОРМ многозначности сопоставления / i 'fiep Алгоритм пораз- саморитмом с двумя МНМ(нониус) Алгоритм терсоднойТ^М алгоритм: „ лывания с исполь- __пядного уравно- стоыстичесалгоритм: ким зоВаниемединичнш вешивания о использованием уравнение ".. уравнение системы . Шичной систеизмерения: счисления измерения: Ни мы счисления Jn.Ki Ni=E JL ^ l - f l д Чк I Мк

/ С использованием многозначности масштабных

второй метод сопоставления сМНМП' преобразователей аморитм:

Четвертый метод сопоставления с МИМ и МНМП алгоритм:

= I ОприЩ <.0 М т Н Нулевой метод с ре гул и •

руемым МП алгоритм:

Xfi-Hfa <лХт

fcwf

ХнМфц-Ц)* к -As

уравнение измерения: .

* 7

Рис. 2.11. Алгоритмы и уравнения основных методов прямых измерений без предварительного преобразования.

причем по крайней мере одна мера должна быть многоканальной. Число используемых УС при единичной системе счисления должно быть равно числу выходов многоканальной меры. В методах сопоставления числовое значение измеряемой величины определяется по совокупности сработавших УС в зависимости от системы счисления, по которой построены многоканальные меры. Первый метод сопоставления (рис. 2.10, а) основывается на наборе СИ, состоящем из МНМ, которая базируется на единичной системе счисления с NH равномерными ступенями, N„ каналами и Na УС при условии использования одноэтапного алгоритма. В большинстве случаев (для тока, напряжения и др.) предполагается наличие физического совпадения начальных нулевых значений у измеряемой и образцовой величин. В многоканальной мере выходные величины воспроизводятся заранее параллельно непрерывно, следовательно, затраты времени на их создание отсутствуют. Время затрачивается л и ш ь на операцию сравнения, поэтому стремятся применять наиболее быстродействующее УС. Минимум затрат времени при этом методе достигается ценой максимальных аппаратурных затрат, так к а к необходимое количество УС равно N„, т. е. количеству каналов меры. Числовое значение результата измерения определяется по номеру старшего из сработавших УС. Номер старшего из сработавших УС определяют из детерминированного алгоритма первого метода сопоставления (рис. 2.11, а). 0 при X — xN. < 0; F [sign (X — xN)] =

1 при X —

Xn.>-0,

(2 Л 2) 50

1-я мера со ступенями #при этом по каждому из каналов с 5 Бс 7-7 8а 3а 10 I номером Nx и менее передается ко_l__l J 1 1 довый сигнал 1. Следовательно, числовое значение измеряемой величипредставляется первичным едиZ-ямераоо ступенямицны г ничным, многоканальным кодом 10 ( В 7 8 9 \ 12 3 4 I I 1 I I I N$1. Код JV'™) в преобразователе кодов преобразуется обычно в цифрой> НхЧфЬЧг вой код или в код управления циф2.12. Графическое представление ме тода нониуса. ровым индикатором. Уравнение метода 3 _J

/ Рис.

Nr = Е | X/qK |. Например, при измерении напряжения этим методом в качестве многоканальной нерегулируемой меры используют делитель образцового напряжения, выполненный из одинаковых по номиналу резисторов. На этом методе основаны быстродействующие измерители амплитуд кратковременных импульсов напряжения. Он удобен для измерения перемещения I и времени Т, для которых можно создать точные многоканальные меры и несложные УС. В методе используют различные системы счисления — единичную, двоичную, реализуя соответственно многозначные меры. При измерении первым методом сопоставления интервалов длины и времени часто наблюдается несовпадение начальных нулевых меток измеряемой и образцовой величин. В таком случае погрешность от квантования возникает с обеих сторон интервалов (п. 7.1). Эту разновидность первого метода сопоставления иногда называют методом интерполяции. Метод однократного нониуса является вариантом первого метода сопоставления, реализуется в один прием и основывается на использовании двух МНМ с различными размерами ступеней qr и q2. Этот метод применяется для измерения малых X , размер которых меньше размера ступеней qx. При использовании двух мер и кратности повышения чувствительности, равной п, вторая мера должна иметь ступени, равные <7а = Qi (1 — 1/")-

(2.13)

При измерении нулевые метки мер сдвигаются на измеряемую величину X (рис. 2.12), а затем согласно приведенному ниже алгоритму измерения определяют числовое значение результата измерения Nx, по номеру ближайшей из «совпавших» меток. Алгоритм однократного нониуса Nxqi — iX + NxqzXqJn. Пренебрегая qjn и учитывая (2.13), получаем уравнение метода нониуса X NX

пХ

qjn Таким образом, благодаря избыточности метода нониуса (вместо одной нерегулируемой меры применяется две), ступень квантования 50

уменьшена в ti раз. Это можно трактовать также как «умножение» величины X в п раз и определение отношения величины пХ к ступени основной меры Nx

(2.14}

= E\nX/qi\.

Уравнение метода однократного нониуса для п = 10 при десятикратном увеличении разрешающей способности X = Nx ( V l - q2) = Nx (4l - 0,9 9 l ) = Nx0,lqv (2-15) Метод нониуса используется тогда, когда нельзя создать меру со ступенями, меньшими в п раз (например линейку с делениями, равными' 0,1 мм). Метод нониуса применяют главным образом для измерения перемещений и малых интервалов времени. Важной особенностью метода нониуса является то, что он удобен для относительных измерений, т. е. для определения отношения K = X/q1

(2.16)

= Nx(l—q2/Qi)-

Величина qx является опорной, значение которой может и не быть нам известным, важно только, чтобы было известно отношение q2/q1 — 1 — — IIп. Это особенно удобно при измерении фазы как отношения <р = _ 360/Х путем формирования последовательности импульсов с петх

риодом повторения, например TXi = Тх (1 — 1/360); тогда Ф = 3&0N, (1 - TxJTx)

(2.17)

При этом Тх остается нам неизвестным, и результат измерения не зависит от частоты, так как применяется метод относительных измерений для измерения относительной величины (фазы) и имеет место соответствие между особенностью метода и особенностью величины. Фаза Ф=

мх 1

= Nx будет при указанных соотношениях выражена в гра-

дусах. Основное преимущество нониусного метода измерения фазы — возможность измерения мгновенного фазового сдвига без частотной зависимости, причем мерой фазового сдвига, как величины относительной, является мера отношения — в виде устройства формирования импульсов с периодом, составляющим определенную часть периода исследуемого сигнала. Преимущество заключается в уменьшении времени измерения при независимости его от частоты, которая обеспечивается не осреднением, а применением для измерения меры относительной величины, т. е. масштабного преобразователя. Нониусный метод часто называют методом совпадения на том основании, что в нем используется совпадение меток. Однако в действительности совпадения меток здесь нет, а есть только их максимальное сближение, которое индуцируется по изменению знака сдвига фаз между ними. Ранее нониусный метод применялся, как известно, для измерения малых перемещений и сравнительно недавно стал использоваться для измерения малых интервалов времени. При этом он применялся на грани разрешающей способности сравнивающих устройств, т. е. в первом случае зрения человека, а во втором случае схем совпадения импуль51

S Рис. 2 . 1 3 .

к.

Схематическое представление м е т о д о в растра ( в ) и муара (б).

сов. При определении взаимного расположения максимально сближающихся меток у наблюдателя создавалось впечатление, что они совпадают. Кроме того, ранее нониусный метод считался специфичным методом, предназначенным только для измерения перемещений и времени. В СССР разработана целая гамма новых многократных 1 нониусных методов измерения напряжения, фазы, частоты, других величин и их отношений [96]. Метод нониуса реализуется в цифровых микрометрах с микропроцессором, в которых последний служит также и для обработки многократных наблюдений. Метод нониуса используется и в некоторых типах фотоэлектрических растровых преобразователей угла в код [65]. Многоканальные нерегулируемые меры длины в виде рядов меток нанесены обычно на прозрачные диски или линейки с близкими или одинаковыми по размеру ступенями квантования qiL и qia, используют1 Двойной нониус для измерения перемещений предложен в 1899 г. русским инженером Ковалевским [68].

ся для измерения длин меньших q^ еще в двух вариантах метода нониуса — методе растра и методе муара. В методе растра используются две меры с близкими размерами ступеней qit и qh\ qit = (1 — 1 In) qtl (рис. 2.13, а). Расстояние между нулевыми метк-ами обычно плавно увеличивается от 0 до 1Х. При этом максимально сближенные метки обеих линеек или дисков переместятся на расстояние 1Х в п раз большее, чем 1Х. Результат измерения получают путем счета числа меток в ряду qit пересеченных тенью от макси1Х

мально сближенных меток, тогда Nx — — г ~ • Это уравнение совпа^/п

дает с уравнением метода нониуса. Растр является автоматизированной разновидностью метода нониуса, отличающейся тем, что результат измерения получают автоматически путем счета числа меток qit, пересеченных тенью от максимально сблизившихся меток при изменении расстояния между нулевыми метками мер от 0 до 1Х. Ж?ГМ .муараj— это метод преобразования горизонтального перемещения 7Х одного из двух рядов параллельных, равноотстоящих пересекающихся под малым углом а линий в вертикальное перемещение уровня их пересечения. Оба ряда линий представляют собой меры с одинаковыми ступенями qt. Эти ряды линий наносят на прозрачные диски или линейки. При изменении взаимного расположения пересекающихся под острым углом линий возникает перемещающаяся тень. Эта тень перемещается перпендикулярно направлению движения двух рядов линий (рис. 2.13, б), ее перемещение в l / s i n a p a 3 больше 1Х, равного расстоянию, на которое переместился один из рядов. Результат измерения получают путем счета количества меток, пересеченных тенью, у третьей меры со ступенями q h расположенной перпендикулярно первым двум мерам. Тогда N

IJ&maq,.

(2.18)

Методы растра и муара, являясь вариантами первого метода сопоставления, как и метод нониуса, могут быть реализованы не только в режиме постепенного изменения измеряемого перемещения от 0 до 1Х, но и в режиме «мгновенного» измерения 1Х. Методы нониуса, растра и муара используются и как методы умножения перемещений. При использовании OHM и одного устройства сравнения (рис. 2.10, 6) за один прием можно осуществить только операцию сравнения, но не измерение. Методы измерения сопоставлением со вторым набором средств подразделяются, в зависимости от особенностей применяемых мер, на две группы: с применением OHM и МНМ (регулируемые меры и масштабные преобразователи в них не применяются). Учет различия М и МП дает четыре сочетания средств, на основе которых синтезируется еще три метода сопоставления. Второй метод сопоставления основывается на использовании одноканальной нерегулируемой меры и многоканального нерегулируемого масштабного преобразователя. Этот метод может быть целесообразным в том случае, если многоканальный МП выполнить более удобно, чем 53

многоканальную М , а также в том случае, если при наличии только OHM необходимо обеспечить минимальное время измерения. Второй метод сопоставления основан (рис. 2.10, б) на использовании в качестве ММП, например простейшего равноступенчатого делителя с Кя =

N/N»,

N/NHX<x0<(N

+ \)/NB)

Тогда N = —^ Основным недостатком этого метода является отсутствие прямой пропорциональности между N и размером измеряемой величины X. Д л я обеспечения прямой пропорциональности между числовым значением X, т. е. Nx и изменяемым коэффициентом простейшего равноступенчатого делителя, необходимо такой делитель использовать в обратной цепи усилителя с глубокой отрицательной обратной связью. Тогда X N + 1/jVh

X < Х о <

N/Na

откуда — ~

N=NX=

•

Недостатком этого метода является также невозможность создания режима компенсации для максимального снижения потребления. При использовании в один прием УС, OHM и ОНМП можно осуществить только операцию сравнения (рис. 2.10, г). Третий метод сопоставления основан на использовании многоканальной нерегулируемой меры и одноканального масштабного преобразователя (рис. 2.10, д). Он отличается от первого только наличием предвключенного ОНМП. Алгоритм третьего метода сопоставления: 0 при Х/Смп — NxgK < 0; F [sign (ХКмп — NxQk)]

1 при Х/Смп — NxqK > 0.

Уравнение этого метода

ХКмп Чк где /Смп — коэффициент преобразования ОНМП. Четвертый метод сопоставления, или метод коинциденции (одновременного попадания), основан на использовании многоканальных нерегулируемых МНМ и МНМП (рис. 2.10, е). Наличие двух многозначных средств определяет избыточность метода. Метод удобен для измерения повторяющихся одинаковых расстояний между метками 1Х, периодов Тх или частоты импульсов. Измерение, например 1Х, осуществляется смещением обоих рядов меток (М и МП) до совпадения нулевых меток и последующего определения номеров второй пары «совпадающих». меток ряда MNX и ряда МП Nx. NX = E

Алгоритм

четвертого

метода

сопоставления

lxNx — qiN х = 0. „

Уравнение четвертого метода сопоставления Nx = Е

lxN'x

•

Благодаря избыточности четвертого метода сопоставления ступень квантования меры qt уменьшается в Nx раз. Погрешность измерения зависит от нестабильности qt и ширины меток. Этот метод применяется также для измерения периода Тх и частоты fx путем сопоставления последовательностей импульсов. В этом случае N'xTü = N'xTx\

N'x/f0 = N x / f x ;

fx =

Nx/N"xfn.

Метод коинцидендии применялся еще в прошлом столетии часовщиками для проверки маятниковых настенных часов. Ввиду трудностей точной индикации «совпадения» импульсов обычно применяют упрощенный вариант метода коинциденции, при котором задаются достаточно большим числом интервалов Тх и счет числа интервалов Т0 ведется до достижения заданного числа Nx. При этом наблюдается несовпадение меток и в начале и в конце суммарного интервала NxTx. Тогда (Nx±l)T0^N'xTx.

В этом случае при измерении Тх возникает погрешность от квантования, относительное значение которой составляет 6ТК =

l/N'x.

Следовательно, этот вариант метода целесообразен в том случае, когда Т0 и Тх имеют примерно одинаковый порядок. Тогда при большом заданном Nx будет достаточно большим и Nx, а значит и достаточно малой относительная погрешность от квантования. Группа методов уравновешивания, осуществляемых по многоэтапному алгоритму, характерна обычно использованием в них регулируемых мер или масштабных преобразователей, в которых выходная величина М или МП изменяется оператором или автоматически до тех пор, пока с помощью УС не выявляется равенство между X и xn или х0 и /СмпХ. Время измерения при этом равно сумме времени, необходимого для регулирования М, и времени срабатывания УС. Поэтому быстродействие измерительных приборов уравновешивания при прочих равных условиях меньше, чем у измерительных приборов сопоставления. В методах уравновешивания числовое значение измеряемой величины определяется по входному коду М или по коэффициенту преобразования МП и входному коду меры в момент достижения равенства X и х0. В группе методов уравновешивания с первым набором средств измерения синтезируются с учетом особенностей мер четыре метода. Первый метод уравновешивания, или нулевой метод измерения (рис. 2.10, ж), основан на использовании одноканальной регулируемой меры (ОРМ) и одного УС. В этом случае аппаратурные затраты минимальны, так как используется только одно УС и ОРМ. На регулирование меры неизбежны затраты времени. Следовательно, минимум аппаратурных затрат достигается ценой снижения быстродействия. Мера 65

управляется оператором либо автоматически по знаку разности X — — xN на выходе УС. Характерной особенностью этого метода является изменение выходной величины меры xn вплоть до уравнивания со значением X . Первый метод уравновешивания с одной ОРМ является наиболее распространенным. Изменение выходной величины меры при уравновешивании может быть выполнено многими способами или алгоритмами отработки, отличающимися также и использованием различных рабочих систем счисления: единичной, двоичной, двоично-десятичной и др. При использовании единичной рабочей системы счисления и равноступенчатой отработки число ходов при уравновешивании и соответственно время измерения будут максимальными. При использовании в качестве первичной двоичной системы счисления и поразрядного уравновешивания время уравновешивания близко к минимальному (п. 7.3). Алгоритмы уравновешивания, или способы отработки компенсирующей величины, подразделяются на детерминированные, при которых закон ее изменения задан и повторяется при каждом измерении, и стохастические, при которых величина изменяется случайно, но имеет заданное распределение. Примерами детерминированного алгоритма уравновешивания могут быть: алгоритм «исчерпывания» и алгоритм поразрядного уравновешивания. При алгоритме «исчерпывания» (рис. 2.11, д) 0 < ( х — Е

atq^<qK-, i

а{ = 1

при X — 2 atqK > 0; i

at = 0 при X — ^

(2.19)

N x определяется путем последовательных «исчерпываний» ступенями с размером qK (например мерной емкостью, если X — неизвестный объем жидкости). Числовое значение Nx представляется первично в виде единичного одноканального последовательного кода, который в цифровой код преобразуется посредством счетчика импульсов: Nx =

E\XIqK\.

При алгоритме поразрядного уравновешивания (рис. 2.11, е) 0 х

iz= t

1 F, Г, [sign LSlgn ((А Х -— * *X.N)1.)\] I

при

X —

xn.<0;

1 при X — xN. > 0

Чк

где m — количество разрядов двоичного кода; хк. = 2' xqK — значение компенсирующей величины г-го разряда двоичного кода. Результат измерения в двоичном коде t=m

при X — хКт < 0 ат = О; при X — хк

> 0

ат — 1;

при X — (атХкт + am_txК(я_,)

< 0;

am-i

= 0;

при X — (атхКт + ат-{хKm_()

> 0 a m _ i = 1.

Числовое значение Nx представляется первично в цифровом, например, двоичном коде. При этом по сравнению с равномерно-ступенчатым алгоритмом «исчерпывания» усложняется схема цифрового автомата управления, но при прочих равных условиях быстродействие увелиN

чивается в - . — ^ раз. log2Nh р Примером стохастического алгоритма может служить алгоритм отработки среднего значения х с р случайного процесса X (t) (рис. 2.11, ж). В этом случае ОРМ управляется от генератора случайных чисел с равномерным законом распределения от 0 до NB. Максимальное значение случайного процесса Х т (t) должно быть меньше номинального значения выходной величины меры Xn- Тогда j «=Л|. — F [sign (X — X )] — ~ Ixnh < Ях/хМн; ' 1 , (2.21) 0 при X — X N . < . 0; F [sign (X — XnM = 1 при X — л:л?.>0. H

X C P

Следовательно, отработка должна производиться до тех пор, пока частость срабатываний УС при (X — xn.) > 0; n^tig не будет равна отношению хср/xn . Тогда искомое хср =

n^nJriQ.

Разработаны статистические алгоритмы отработки, удобные для автоматизации и предназначенные, например, для измерения среднего квадратического значения случайного процесса, а т а к ж е детерминированные алгоритмы отработки и специальные системы счисления д л я обеспечения при отработке помехоустойчивости и автокоррекции погрешностей мер [81]. Метод с удвоением разностей основан на использовании O H M и одного УС в ряде последовательно осуществляемых приемов (создание и удвоение разностей, сравнение выходной величины одноканальной меры с создаваемыми удвоенными разностями) и применяется в некоторых цифровых приборах (рис. 2.10, з). Метод ускоренного уравновешивания основан на использовании многоканальной регулируемой меры (МРМ) и N УС (рис. 2.10, и). Ускорение достигается ценой увеличения количества УС и применения МРМ. Уравнение метода X = NxqK. Использование МРМ дает возможность значительно ускорить процесс уравновешивания, поскольку она обладает и пространственным, 57

и временным разделением. Так, например, при осуществлении метода ускоренного уравновешивания (рис. 2.10, и) для уменьшения времени измерения и повышения разрешающей способности развертку можно вести во всех квантах параллельно. Этот метод наиболее удобно реализовать на устройствах сравнения постоянных магнитных потоков. Метод многократного нониуса основан на использовании трех или более многоканальных нерегулируемых мер и ряда УС (рис. 2.10, к). Этот метод применяется в тех случаях, когда ступени мер велики для измерения с заданной чувствительностью и точностью [96]. Уравнение метода X — Nq1 — N1 (fr — f r ) — ( f r — f r ) < f r — f r . Методом многократного нониуса можно значительно сократить время измерения. Группа методов уравновешивания со вторым набором средств, т. е. с использованием М, УС и МП является наиболее многочисленной. Оказывается, что здесь синтезируются девять методов измерений. Метод с использованием одноканальной нерегулируемой меры и одноканального регулируемого масштабного преобразователя (рис. 2.10, л) имеет уравнение КмпХ

= х0,

где /Смпр — коэффициент преобразования регулируемого ОРМП. Этот метод целесообразен в том случае, если трудно создать регулируемую точную меру. Недостатком этого метода по сравнению с нулевым (рис. 2.10, ж) является невозможность создания режима компенсации для максимального снижения потребления из цепи X . Примерами измерительных приборов, в которых используется этот метод, является автоматический измеритель уровней напряжений типа Н110 ленинградского завода «Вибратор». Метод с одноканальной регулируемой мерой и одноканальным нерегулируемым масштабным преобразователем (рис. 2.10, н) отличается от нулевого (рис. 2.10, ж) применением предвключенного ОНМП. Уравнение метода

Х/Смп = х0Кмр = NxqK.

Методы ускоренного уравновешивания основаны на использовании остальных возможных сочетаний разновидностей средств измерения (рис. 2.10, м, о, п, с). При использовании этих методов, благодаря применению многоканальных М или МП и соответственно увеличенного числа УС, достигается уменьшение времени измерения. Уравнения этих методов соответственно XNxWn

= *„;

Х/Смп р = NxqK\

XNx/NB

Х/Смп =

х0ККр; NxqKp.

Стробоскопические методы (рис. 2.10, р, т) отличаются использованием одновременно многоканальных М и МП. Их уравнения соответственно ТхКш\р — Т0\ Т х = Т 0 /С Мр . 58

Эти методы названы по наименованию стробоскопического эффекта, который обычно используется в УС. В момент уравновешивания одновременно срабатывают все УС. Стробоскопические методы применяются для измерения величин частотно-временной группы — частоты и периода, которые характеризуются временным разделением, а условно разделены пространственно. В них уравновешивание производится изменением либо известного периода Т0 (с регулируемой мерой), либо коэффициента преобразования МП, например изменением неизвестной частоты в известное число раз. Стробоскопический эффект используется при этом для определения знака разности и равенства или кратности сравниваемых периодов повторения импульсов. В этих двух методах вместо стробоскопического эффекта можно использовать специальное электронное импульсное УС. Комбинированные методы прямых измерений без предварительных преобразований Комбинированные методы осуществляются за два или более цикла путем сочетания различных методов как внутри групп сопоставления и уравновешивания, так и комбинаций различных групп. Метод прямого уравновешивания [110] является примером комбинированного метода измерения. Этот метод реализуется в двух циклах. В первом цикле используется метод сопоставления с МНМ (рис. 2.10, а), а во втором (после создания разности) — либо снова метод сопоставления, либо нулевой метод уравновешивания (рис. 2.10, ж). Дифференциальный метод измерения реализуется с помощью двух элементарных средств М и УС и комплексного средства измерения (рис. 2.14). Устройство сравнения служит в этом методе для создания разности X — х0 = Д р , где х0 — известная величина на выходе М . Разность Д р измеряется комплексным средством измерения. Дифференциальный метод применяется в тех случаях, когда X близка по значению к ха. Тогда погрешность измерения определяется, главным образом, погрешностью меры. При дифференциальном методе измеряемая величина измеряется в два этапа. На первом этапе с помощью регулируемой меры создается величина хг = NxqK, однородная с X и близкая к ней по значению. Затем создается разность Д р = X — Nxq K , которая во втором этапе измеряется прибором — комплексным средством измерения, а результаты суммируются. При дифференциальном методе разность А р = X — NxqK измеряется обычно с помощью высокочувствительного прибора, но с низкой точностью. В этом случае отсчет прибора равен Пх =

Суммарная

относительная 6 сум =

Др/<7пр.

(2.22)

погрешность =

n g

* "P6"P

(2.23) 59

Если NxqK tixqnp, т. е. выполнено условие, что NxqK приближается по значению к X , то суммарная относительная погрешность будет значительХ^Мк+Щц но меньше относительной погрешности Рис. 2.14. Дифференциальный метод прибора, измеряющего разность. Веизмерений. личина хг = NxqK, близкая к X при неавтоматическом измерении, создается оператором с помощью меры, как, например, в дифференциальных вольтметрах. В автоматических цифровых приборах хг = NxqK создается с помощью преобразователей код — аналог, выполняющих функцию регулируемой меры. Первый этап

Второй man

Методы прямых измерений наборами элементарных средств при наличии предварительных преобразований Предварительные аналоговые преобразования измерительного сигнала необходимы для извлечения измерительной информации, т. е. для создания промежуточного сигнала, один из параметров которого удобен для измерения. Предварительное измерительное преобразование выполняется обычно с целью изменения рода сигнала, осреднения или функционального преобразования. Рассмотрим особенности методов прямых измерений. Методы измерений с предварительным преобразованием вида измеряемой величины

В большинстве случаев эти методы отличаются от рассмотренных ранее лишь наличием предвключенного ИП, изменяющего вид входной величины, и применяются в тех случаях, когда для измеряемой величины отсутствуют устройства сравнения и меры. Если для X созданы регулируемые меры, но не созданы устройства сравнения, то можно применить рассмотренные далее варианты метода замещения. Метод замещения с регулируемой одноканальной мерой широко применятся при точных измерениях, основан на использовании набора элементарных средств: В, ММ и ИП с уравнением Y — f (X) (рис. 2.15). Его целесообразно применять в том случае, если для X не созданы УС, но созданы регулируемые одноканальные меры. Этот метод реализуется в два этапа. На первом этапе на вход подается сигнал ХЛ и запоминается значение выходной величины Yu а на втором — от регулиJf

ип

каЩ) кмя ип г МП

•th

•мм

Xя

ы ). Vi ИП

КШг)

Xo — ИП ОМ

'1 ' 33 В Км/t

У МП — Yz

AY-0 33

xSY^O

Рис. 2.15, Методы замещения: а — с р е г у л и р у е м о й мерой; б

с р е г у л и р у е м ы м масштабным п р е о б р а з о в а т е л е м в е л и ч и н а Y.

руемой меры подается изменяющаяся по значению Xn, которая изменяется до тех пор, пока У2 не станет равным Ух (рис. 2.15, а). При малой длительности этапов можно предположить [85], что все параметры уравнения У = f (X) остаются неизменными, в этом случае разность Ух — УГ, если (Х х — XN) —>- 0 согласно теореме Тейлора

А Yi — Y*—

По условию Ух —

~ f (XN)

, б nf(xN)

2-5"

i=i

6X"

•''

(2 24>

— О, в этом случае хг = xN для любой нели-

нейной функции, у которой хотя бы одна производная

при

ОЛ

п £ (1 ... оо) в точке Хм не равна нулю. Следовательно, значение выходной величины меры Xn — NxqK является искомым значением измеряемой величины Х х . В частном случае при линейной функции / (х) У , = К' (1 + б х ) Х х + АГ х ; У2 = К" (1 +

б,) ХЫ + АГ 2 ,

если по условию б х = 6 2 , АУХ = А Y Ä и К' — К", то при Ух = УГ Х х = Xn И, следовательно, аддитивные и мультипликативные погрешности ИП при использовании метода замещения не вносят погрешности. Алгоритм метода замещения с регулируемой мерой [ХХК

(1 + б х ) + А У Г } -

[ N

K (1 + б 2 ) + AYJ

АУП.Ч,

при АУХ = ДУ 2 и б х = б 2 получаем уравнение измерения К коэффициенту преобразования ИП К предъявляются требования только кратковременной стабильности, так как постоянство К должно быть обеспечено лишь в течение небольшого интервала времени, равного длительности двух этапов. В этом случае может быть использована кратковременная память. Ввиду меньших требований к стабильности К его можно сделать большим по значению, т. е. увеличить чувствительность измерительного устройства. Автоматизация метода замещения в цифровых приборах дает возможность повысить их точность и чувствительность при использовании высокочувствительных, но недостаточно стабильных преобразователей. Метод замещения с регулируемым МП реализуют на основе набора средств, состоящих из В, ОМ, МП и ИП. Этот метод (рис. 2.15, б) можно рекомендовать в тех случаях, когда есть однозначная нерегулируемая мера Х 0 , регулируемый МП для величины X или для величины У, а устройство сравнения имеется только для величины У. Алгоритм метода замещения с регулируемым масштабным преобразователем [ХК (1 + б,) Kmi + Ш

— U0K (1 + б 2 ) Хмп + А у 2 ) < А^п.ч,

при б, = 6 2 и А У Г = Д К 2 ;

Х/(МП =

Л/Л<?ДМп 61

получаем уравнение ХК МП

NX = E

^МП^к Методы измерения средних значений величины

Методы измерения средних значений сигнала являются частным случаем методов измерения статистических характеристик сигналов 93. При измерении средних значений сигнала X (t) необходимым дополнительным средством преобразования является осреднитель, или интегратор. Методы измерения средних значений сигналов (рис. 2.16) можно классифицировать в зависимости от способа выполнения операции интегрирования и в зависимости от места реализации преобразования в прямой цепи или в цепи меры. По способу выполнения операции интегрирования методы измерения средних значений можно подразделить на две группы: с аналоговым интегрированием и цифровым интегрированием. С учетом места реализации преобразования формально образуются следующие четыре метода измерения средних значений: первый метод — с аналоговым интегрированием сигнала X (t), в этом случае т *ср = 4 " I

dt = N

*4>4«< (2.25)

второй метод — с аналоговым определением приращения выходного сигнала меры, в этом случае при узкополосном медленно изменяющемся X (О dxA

"ср

X(t)

X N ,СР =

N-

"ср

К, X(t)dt

- И * ( 0 Л

=Е VqXapK

dxNcpK;

Ns, ср'

\ x ( t ) dt

третий метод — с цифровым интегрированием результатов измерения Nx, в этом случае 1=п N- = 1U £ Nx; (2.26) i=i четвертый метод — стохастический с управлением меры случайными числами, распределенными по равномерному закону и полученными от генератора случайных чисел (ГСЧ). 62

Рис. 2,16. Методы измерений средних значений величины.

Возможность измерения среднего значения сигнала стохастическим методом (методом Монте-Карло) была впервые указана в 1963 г. М. И. Ланиным и С. М. Мандельштамом. В [28] анализируются возможности этого метода для различных функциональных преобразований. Например, для определения оценки второго начального момента распределения, т. е. среднего квадрата сигнала X (t), необходимо, чтобы мера выдавала значения сигнала по линейному несимметричному случайному закону. По стохастическому методу в зависимости от особенностей уравнения преобразования устройства сравнения можно реализовать три способа измерения среднего значения [58]. Методы измерений с предварительными функциональными одной или нескольких величин

преобразованиями

В настоящее время все чаще автоматически реализуются измерения величин, являющихся функциями одной или нескольких параметров, которые будем называть аргументами. Часть таких измерений, которые ранее выполнялись при участии оператора, называется косвенными. При анализе этих методов измерений целесообразно рассматривать их в зависимости от способа реализации функционального преобразования и места включения измерительного функционального преобразователя (ИФП). В соответствии с вышесказанным методы измерений с ИФП на основе использования одноканальной регулируемой меры и одного устройства сравнения классифицируют по двум признакам: по способу реализации функционального преобразования; по месту включения функционального преобразователя. По способу выполнения функционального преобразователя методы косвенных измерений подразделяем на две группы с аналоговым и цифровым функциональным преобразованием. Функциональный преобразователь в зависимости от места включения может быть использован для преобразования: аргументов X, Y; результатов измерения аргументов Nx, N В соответствии с этим формально образуются четыре группы методов изменений, структурные методы реализации которых представлены на 63

Ло способу Выполнения функциональ-

ноео преобразования

Р' ЦУ {да

ш месту Ьмюченш функционального

преобразователя

\yy\-

Jk. J

- f ^ H

1м_ Nf

Рис. 2.17.

Их

Методы измерений с функциональным преобразованием.

Метод измерений первой группы целесообразно применить в том случае, если аргументы X и Y могут быть подвергнуты заданному аналоговому функциональному преобразованию и если может быть создана мера для измеряемой величины Z — f (X, Y). Тогда если у р а в н е н и я И Ф П Z = XY, то результаты измерения соответственно будут Nz =

E\XY/qz\.

Методы измерений второй группы целесообразны в случае, если более доступным для реализации является аналоговый И Ф П с функцией, обратной заданной. Тогда для наших примеров уравнение И Ф П будет иметь следующий вид: х& = / _ 1 (Z, Y), т. е. хк — nzqJY, тогда результаты измерений будут Nz — Е

XY Яг

Методы третьей группы являются методами цифрового функционального преобразования, например при помощи микропроцессора. В наших примерах Nz =

NxqxNyqy Яг

Методы четвертой группы целесообразны в том случае, если функциональное преобразование, обратное заданному, удобно реализовать при помощи детерминированного или стохастического функционального преобразователя кода. Тогда в наших примерах XK = Nxqx = Nz/Nyqx

= X-,

NJNy

= N х,

N, =

NyNx.

Применение стохастических преобразователей позволяет осуществить простую реализацию цифрового функционального преобразования по третьей и четвертой группах. В таких преобразователях аргументы X и Y, изменяющиеся в пределах от +хц до —х н и от +г/ н до — у н , преобразуются в сигналы единичного одноканального кода, т. е. в случайные двузначные цифровые последовательности, содержащие «1» и «О», например по алгоритму « i - W l * . - < * + *)]64

1 при Х„ < (хИ -f X); о л р и Х к > ( , > + Х),

где Х к — равномерно распределенная образцовая случайная величина в пределах 0...2х н . При этом среднему значению максимальной величины X — х„ соответствует Р (Х к < 2хн) = 1, среднему значению максимальной отрицательной величины X = —х н соответствует Р (Хк < 0) = 0, а нулевому среднему значению хср — 0 соответствует Р [Х к <С (хн + *„)] — = 1 / 2 , т. е. Рх {X* < (*„ + X)] = х/2 + Ч2х1хн, (2.27) Ру [Y B < (ул + У)] =

(2.28)

/ 2 г//г/ н .

Особенность функционального преобразования в стохастических преобразователях определяется относительной простотой выполнения операции логического умножения. Действительно, для выполнения умножения двухполярных X и У достаточно произвести следующие преобразования:

Рг (ху) = Рх [ Х к

(*„

X)) Ри [YK < (уя + Y)]

< ( * Н + Х)]} (\-Р„1Ук<(уя

+ у)]),

'{1

рх

[Хк < (2.29)

где Рг (ху) — вероятность «1» в выходной случайной последовательности произведения Z = ХУ. Из (2.27), (2.28) и (2.29) имеем Рг (ху) = х / 2 + 1/2Xy/(XHyH). (2.30) Реализация преобразований (2.30) осуществляется при помощи простейшей логической схемы. В [58] приведены уравнения преобразования и схемы функциональных стохастических преобразователей, предназначенных для выполнения операций умножения и возведения в квадрат. Методы измерения мгновенных значений случайной величины при известном распределении В некоторых случаях известно распределение измеряемой величины. При известном распределении случайного сигнала р (х) его отдельные мгновенные значения можно измерить без меры только при помощи операций сравнения и запоминания. При этом известное распределение р (х) играет роль шкалы, эквивалента меры, памяти о достаточно статистически длительном взаимодействии случайного сигнала и измерительного устройства. Поэтому в этих методах измерения также фактически косвенно используется и мера. В методе использования функции распределения искомое мгновенное значение хл определяется по оценке вероятности Р [X (t) < х х ] при помощи УС и счетчика импульсов. На первый вход УС с периодичностью Т0 подается дискретизированный входной сигнал Х д (t), а на второй вход УС подается неизвестное запомненное, мгновенное значение хг (рис. 2.18). На выходе УС согласно его уравнению 0 при Х л (t) > х , ; (2 3,) M O - f l s i g M X H O - * ) ] - ! при Х д (t) < х х " 3 »'S

ер

JV pW

-X

Xg(t)

i i

№

Xi\

X, .7

1 11

СИ1

г +X

x(t)

p(xa,}= ÜJ По

K2 Kl

X<=X(ia) 33

Рис. 2.18. Реализация метода измерения мгновенного значения случайной величины X по оценке вероятности Р ( Л < ж,) при известном р (х).

формируется кодовый сигнал в виде двузначной последовательности, относительная сумма логических единиц которого за достаточно большое время 1 /п02аг

(0 = Р (Хд (t) <

Xl)

njn0,

где « 0 = Т / Т 0 — общее число дискретных мгновенных значений сигнала Х д (t), поданных на первый вход УС с периодичностью Т0 за время Т; п х — суммарное число логических единиц, полученных на выходе УС и суммированных счетчиком импульсов СИ1. Затем по известной функции распределения Р (X/t) < х 0 ) и полученной оценке вероятности Р (Хд (t) < хг) определяют неизвестное значение хг. Метод использования известного дифференциального закона распределения, при котором неизвестное мгновенное значение x t запоминают, формируют близкое к нему значение х2 — хх + А и определяют хх по оценке плотности вероятности р [хх < X (t) < (хх + А)] полученной при помощи дифференциального анализатора или при помощи двух УС и двух счетчиков импульсов. На выходе УС1 (рис. 2.19) согласно его уравнению получаем кодовый сигнал ( 0 - F [Sign (Х д ( 0 -

1 при ХДд (*) > 0

при

Хд

хх,

(2.32)

Н а выходе УС2 согласно его уравнению получаем кодовый сигнал а/, ( 0 = f [sign (Х д ( / ) - ( * ! + А ) ) ]

0 при Х д (t) >хх

+ А;

1 при Хд ( * ) < * ! + Д.

(2.33)

После логического умножения кодовых сигналов (2.31) и (2.32) при помощи схемы И получаем кодовый сигнал (2.34) «ь ( 0 = ah (t) at, (t). 66

(2.34)

p[xi</(t)<(x,*A)] -х

о х,хг

Рис. 2.19. Реализация метода измерения мгновенного значения случайной величины ж, по оценке плотности вероятности р [а^ < < X < (ж, + Л)] при известном р (ж).

7х

Относительная сумма единиц кодового сигнала щз (t) при большом числе выборок равна оценке плотности вероятности р (хх): l / n o S a i , (t) = р (Xj) = п3/щ,

где п3 — суммарное число логических схемы И и суммированных счетчиком оценке р fx, < Х д (t) < (хх + А)] и закону р (х) определяют неизвестное

(2.35)

единиц, полученных на выходе импульсов СИ 1. По полученной известному дифференциальному значение хг.

2.5. ОПЕРАЦИИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ КОНТРОЛЯ

Изделия перед передачей заказчику, после изготовления, перед очередным использованием после хранения или ремонта и во многих других случаях нуждаются в определении их действительного технического состояния прежде всего с точки зрения годности к использованию и работоспособности. Если априорных сведений о истинном состоянии объектов недостаточно, что, к примеру, может препятствовать их применению или резко снижает эффективность наших действий, то прибегают к процедурам, которые обеспечивают повышение уровня достоверности наших знаний о истинном состоянии объектов; к этим процедурам относятся контроль и техническое диагностирование. Объектами технического контроля и диагностирования являются обычно параметры изделия и состояния объекта. Контролем изделий называют процесс определения соответствия значения параметра изделия установленным требованиям, т. е. норме (ГОСТ 16504—74). Техническим диагностированием называют процесс определения технического состояния объекта диагностирования с определенной точностью (ГОСТ 20911—75). Часто возникают споры, какая из процедур — измерение или контроль — является более общей или более сложной. Измерение и контроль близки по своей информационной сущности, содержат ряд общих операций (например сравнение, измерительное преобразование), тесно связаны между собой, дополняют друг друга. 67

Сложность и контрольных, и измерительных устройств непрерывно возрастает. Контролю иногда предшествует измерение, и тогда его называют цифровым. Измерению часто предшествует контроль. Например, определение полярности и выбор предела измерения являются собственно контрольными операциями, в автоматических и цифровых приборах они предшествуют измерению. Процедуры измерения и контроля во многом существенно различаются: результатом измерения является количественная характеристика, а контроля — качественная; измерение осуществляется в широком диапазоне значений измеряемой величины, а контроль — обычно в пределах небольшого числа возможных состояний; измерительные устройства применяются часто при научных исследованиях, когда почти ничего не известно об измеряемой величине и плотность вероятности X часто предполагается равномерной во всем диапазоне возможных значений измеряемой величины. Контрольные устройства применяются для проверки состояния изделий, параметры которых заданы и изменяются обычно в узких пределах; основной характеристикой качества процедуры измерения является точность, а процедуры контроля — достоверность (п. 4.6). Различают несколько видов контроля в зависимости от степени охвата партии изделий контролем и в зависимости от числа контролируемых параметров. По первому признаку контроль подразделяют на сплошной и статистический. Сплошному контролю подвергаются все изделия партии. С т а т и с т и ч е с к о м у к о н т р о л ю подвергается определенная, статистически представительная часть партии изделий (при крупносерийном производстве изделий и относительно высокой стоимости контроля по сравнению со стоимостью изделия). По второму признаку контроль подразделяют на однопараметровый, при котором состояние объекта контроля определяется по размеру одного параметра, и на многопараметровый, при котором состояние объекта определяется размерами многих параметров. Контроль, как и измерение, состоит из отдельных элементарных операций: измерительного преобразования, сравнения, воспроизведения уставок контроля, заключения контроля. Методом однопараметрового контроля является алгоритм использования элементарных операций контроля с целью определения заключения о состоянии объекта контроля. Алгоритмом контроля называется аналитическое описание совокупности приемов получения заключения о состоянии объекта контроля. Д л я более подробного описания методов контроля классифицируем их по следующим признакам (рис. 2.20): форме сравниваемых сигналов, виду алгоритма контроля, по расположению зоны нормального состояния, и по виду воздействия на объект контроля. 68

{методы однапараметробого контроля ШФормесрабтйаемых сигналов Ним Между лредем лредела ^пределами Х<Х„ Х>Х„ порасположению МНЫНОРМО), еетшя УС -1

ЙтЕР

Цифровые . предела \Х>Х„ I

ЦИП

1Гн Ь т

УС

ЦИП3L

По Sudg Воздействия на одьект Пассибные контроля

Активные

Р и с . 2.20. Методы

Между -пределами

УСК

ЦИПНа т ""71I

контроля.

Методы контроля классифицируют также по ряду используемых при контроле физических процессов на магнитные, акустические, изотопные, оптические и т. д. По форме сравниваемых сигналов методы однопараметрового контроля подразделяются на аналоговые методы, при которых операции сравнения производятся с аналоговыми сигналами и на цифровые методы контроля с предварительным аналого-цифровым преобразованием, т. е. автоматическим измерением, при которых сравнение с уставками производится в цифровой форме. Д л я сравнения числовых значений результатов измерений Nx и чисел уставок NH и NB применяют арифметические устройства ЭВМ или специальные устройства сравнения кодовых сигналов УСК. По виду алгоритма контроля, по расположению зоны нормального состояния методы контроля можно подразделить на методы выявления состояний: «ниже предела X < хп», «выше предела X > хп» и «между верхним и нижним пределом хп <; X < хв». Алгоритм контроля состояния «ниже предела X < хпъ [0,5 — 0,5 sign (X — х п )) =

1 «в допуске» при X — хп < 0; 0 «вне допуска» при X — хп > 0.

Алгоритм контроля состояния «выше предела X > хп» at = |0,5 + 0,5 sign (X —

1 «в допуске» при X — хп > 0; 0 «вне допуска» при X

Алгоритм контроля «между верхним и нижним

:0.

пределом»

•Хн < X < 69

а { = [0,5 + 0,5 sign (X —х и )] [0,5 -

0,5 sign (X - *„)] =

1 «в допуске» при х н < X < х в ; 0 «вне допуска» при X с хн; 0 «вне допуска» при Х > х в . Структурные схемы устройств контроля для нормальных зон «X < хп», « X > х п » > и <<л;н < X < хв» показаны на рис. 2.20. По виду воздействия на объект контроля методы контроля подразделяются на пассивные, при которых специальное воздействие на объект контроля не производится и на активные, при которых на объект контроля производится воздействие от генератора стимулирующих сигналов. <

2.6. ПОНЯТИЕ О КОМПЛЕКСНОМ ОБЪЕКТЕ И МЕТОДАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ФИЗИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Комплексный объект наиболее сложный для изучения — представляет собой физическое явление, технологический процесс, автоматическую систему управления и т. п. Основной характеристикой его является система или совокупность зависимостей между физическими величинами Х ь Х 2 , Х 3 Хп. В общем случае эти величины Х х , Х 2 , Х 3 , ..., Хп неизвестные по значению, имеют неизвестный характер изменчивости во времени, неизвестные взаимные связи и законы изменения во времени. Поэтому задачами исследования такого комплексного объекта являются: определение перечня величин, характеризующих объект; определение характера изменчивости величин; определение качественных характеристик зависимостей между величинами; определение функциональных зависимостей между величинами; динамические измерения величин, входящих в систему, с целью установления зависимости их от времени. О комплексных объектах (особенно об объектах управления, контроля и испытаний) имеются обычно предварительные априорные сведения — о числе величин, их роде, характере изменения (в частности, о частотном диапазоне, о законах распределения), о пределах изменения, о детерминированных связях между величинами, о вероятностных взаимосвязях между ними, характеризующихся коэффициентами корреляции. По априорным данным выбирают измерительную аппаратуру, на основе вероятностных характеристик — метод обработки результатов измерения отдельных величин. Определение характера изменения величин, описывающих объект измерения, производится на основе априорных данных и измерений величин. На основании измерений величин устанавливают характер законов изменения величин — случайной или квазидетерминированной, обычно большинство величин, характеризующих объект, являются случайными. 70

Совместная многомерная плотность распределения системы случайных величин является их полной характеристикой и, зная р (хъ х2, ••• ..., хп), можно определить плотность распределения каждой из величин р (хг), ..., р (хп) и все качественные и количественные характеристики взаимосвязей между данными величинами: f ' • • j Р ixi, х2> • • •. хп) dx2) dxз, . . . , dxn. —09 Однако для определения р (х ъ х 2 , ..., хп) необходимо провести сложный измерительный эксперимент с большим числом измерений. Поэтому качественные и количественные характеристики взаимосвязей на основе совместной плотности вероятности системы величин определяют лишь при небольшом числе величин в системе — при п 3...4. При больших значениях п качественные характеристики взаимосвязей величин определяются на основе априорных сведений и методов дисперсионного анализа. Определить качественные характеристики зависимостей между величинами объекта можно на основе совместной плотности распределения р (хи х2, ..., х„)\ априорных данных; статистического дисперсионного анализа. По критерию взаимонезависимости на основе совместного распределения определяют наличие взаимонезависимости всех величин хи х2, ..., хп. Если р (х а , х 2 , ..., хп) = р (Xj), ..., р (х„), то все величины, входящие в данную систему, взаимонезависимы. Невыполнение критерия означает зависимость между всеми величинами системы или между частью величин системы. Далее по условным распределениям определяют перечень независимых и зависимых величин. По критерию независимости данной величины Хк от всех остальных величин, по условным распределениям выявляют независимые величины. Если условная плотность вероятности Р

Р (Хц/Xj, . . . , Хк—1) Як+Ь . . . » Л^п) =

Р С^к)>

то Хк независимо от всех остальных величин системы. Условная плотность вероятности Х г определяется через совместную плотность вероятности величин системы Р

Хп) =

+ в

/ ( * " *2'

р (хи

х2,

. . . , хп)

dxt

—оо

Таким образом, в системе из п величин выявляются п г независимых величин и п2 зависимых, при этом п — щ + п2. Очевидно, что каждую из пх независимых величин нужно измерять отдельно. Часть зависимых величин можно измерить непосредственно, а часть — косвенно на основе известной их зависимости от величин, измеренных путем прямых измерений. Так минимизируют число измеряемых величин. Определение функциональных зависимостей между величинами можно произвести на основе: 71

Рис.

2.21.

Классификация зависимостей между величинами.

Рис. 2.22. Систематизация методов определения параметров квазидетерминированных зависимостей.

априорных данных о связях между величинами; известных физических законов; совместной плотности распределения; результатов измерения, например, статистическим регресионным анализом. Зависимости можно классифицировать по двум существенным признакам — виду аргументов и характеру изменчивости величин, входящих в зависимость. По первому признаку зависимости можно подразделять на временные и невременные, или параметрические, а по второму — на квазидетерминированные и случайные (рис. 2.21). Простейшие модели зависимостей можно подразделить также по числу величин, входящих в модель зависимости, и по виду функциональной связи между величинами, входящими в модель. По первому признаку модели подразделяют на модели, связывающие две, три и более величин, а по второму — простейшие модели соответственно подразделяются на линейные и нелинейные. Функциональную зависимость величины Хк от остальных величин системы аналитически можно определить как условное математическое ожидание величины Xk через условную плотность вероятности Хк. -4-00 М (Х

/ х г , . . . , Xk-i;

Xk+u

. . . , * „ ) =

р {хк/х

... ,

Xk-i,

—со Xk+i, • • • > х п ) dXfj. Условную ПЛОТНОСТЬ Р (хк!ху, . . . , Л * _ ь Xk+\, ..., хп) можно вычислить по совместному распределению всей совокупности величин р (хъ х2, х3, ..., хп), которое однако весьма сложно определить. Методом экспериментального определения параметров зависимостей между величинами называется совокупность приемов использования средств измерения для определения параметров их аналитической модели. 72

При определении параметров зависимостей в простейшем случае двух величин Х а = f (Х б ) на основе измерения соответствующих значений величин Х а и Х б необходимо выяснить характер изменчивости их (квазидетерминированный или случайный) и выбрать аналитическую модель зависимости. Методы нахождения параметров моделей могут быть подразделены (рис. 2.22) в зависимости от характера алгоритма процедуры определения параметров зависимостей на методы сопоставления, или параллельные, реализуемые в один прием практически без затраты дополнительного времени, и на методы последовательные, реализуемые в несколько приемов при неизбежной затрате дополнительного времени. При методе сопоставления исследуемые зависимости непосредственно сопоставляются, например в простейшем случае по входным и выходным сигналам исследуемого объекта с соответствующими сигналами на входах и выходах образцовых мер зависимостей. Реализация метода сопоставления возможна при наличии достаточно полного набора конструктивно несложных мер зависимостей, как например в дилатометрии [1]. При методе последовательном или косвенном искомые параметры аналитической модели зависимости определяются по результатам многоэтапной обработки результатов измерений. По наличию или отсутствию специального воздействия на исследуемый объект методы определения параметров зависимостей подразделяются на пассивные и активные. Методы нахождения параметров модели подразделяются также в зависимости от функциональной специфики каждой модели. Ввиду случайного характера изменения Х а и Х б , а также случайных погрешностей их измерения за истинную зависимость между ними принимают кривую регрессии — зависимость условного среднего значения величины Х а от заданных при эксперименте значений величины Х б . Уравнение регрессии, т. е. модель искомой зависимости, выбирается либо на основе априорных данных, либо принимается полиномиальный характер модели Хар — / р (-^б>

• • • > ^п) — Cj +

C2Xq

C 3 Xg "4" СпХ6

Это уравнение определяется методом наименьших квадратов путем минимизации следующей суммы: п s = S — *ар/)а = min, (2.36) где х а i — среднее значение величины xai, полученное из опыта; хар,- — значение величины х а (, полученное из у р а в н е н и я регрессии, при значении величины Хб«.

Коэффициенты уравнения регрессии Cj, ..., сп определяются из условия минимума функции (2.36) при равенстве нулю всех частных производных данной функции по коэффициентам искомого уравнения регрессии: дс1

=0;

дсп

(2.37)

После подстановки (2.36) в (2.37), в связи с тем, что частные производные по коэффициентам уравнения регрессии равны нулю, получаем 73

систему из п линейных уравнений: .. . ,

dtp (*Л , сь

!р

сп)

i. • • • . сп)

— Ц fP (-^б., С;

fp (Хб('

1' •

dfp ( * б C i дс,

с„) = 0.

Решая данную систему линейных уравнений, определяем значение я неизвестных коэффициентов модели зависимости съ ..., Следовательно, ха = / (хб) искомую математическую модель нашего объекта находим по оптимизирующему критерию минимума среднего квадрата отклонения. Вследствие приближенного вида модели и случайных погрешностей измерения значений величин ха< и коэффициенты ..., с„ определяются приближенно. Более точно эти коэффициенты можно определить, если число условных уравнений будет больше числа неизвестных п (п. 9.4). Дисперсный и регрессионный анализ, как и определение совместной плотности распределения, проводится на основе большого числа измерений реализаций случайных процессов. Естественно, что точность и достоверность дисперсионного и регрессионного анализа, при высокой степени адекватности модели, зависит прежде всего от точности измерений отдельных реализаций случайных величин, характеризующих объект.

Глава

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ

Теория информации широко применяется в различных областях науки и техники, в том числе при анализе измерений и средств измерительной техники. Информационному анализу измерений посвящено большое количество отечественных исследований [35, 54, 88, 92]. В нашей стране инициатором применения теории информации в области измерительной техники был К. Б . Карандеев, который впервые дал определение понятия измерительной информации. Информационная теория измерений в настоящее время находится в стадии развития. Многие вопросы еще являются предметом научного обсуждения. Однако уже сейчас очевидно, что применение теории информации дает возможность более полного анализа качества измерения и средств измерительной техники. Информационные методы и критерии успешно используются для оптимизации информационно-измерительных систем, анализа их пропускной способности и установления предельных метрологических возможностей средств измерений. Первоначально информация понималась как знания, сведения, сообщения о чем-либо. В настоящее время информация является основным понятием кибернетики — науки о способах и средствах получения, передачи, обработки и использования информации для управления. Информация — свойство материи, отличное от ее вещественных и энергетических свойств. Она неразрывно связана с категорией диалектического материализма — отражением и является содержательной характеристикой отражения. Высшие формы информации характеризуют отражение, сопровождающее процессы познавательной деятельности человека. Являясь свойством материи, информация может рассматриваться как величина. Сообщения, сведения, знания, обобщаемые понятием «информация», могут характеризоваться различными аспектами: объемом, новизной, содержательностью, важностью, полезностью, ценностью и т. п. Поэтому информация — сложное, многомерное свойство. В отличие от такой, например, многомерной величины, как объем, для которой существует жесткая функциональная связь с отдельными компонентами (геометрическими размерами, длиной, шириной и высотой), взаимосвязь различных характеристик информации еще не установлена. ' 75

Д л я того чтобы перейти к измерению информации в равноинтервальной шкале (как это было сделано, например, для температуры), необходимо установить функциональную взаимосвязь ее отдельных компонент либо связь с другими свойствами материи. Измерительная информация является содержательной характеристикой измерительного отражения. Особенности измерительного отражения и, следовательно, измерительной информации вытекают из общего определения измерения (п. 1.3). Наиболее существенные из них, связанные с природой измерительной информации, заключаются в том, что, во-первых, отражающий объект является числом, а отражаемый —• эмпирическим и, во-вторых, в способе отражения, а именно: отражение эмпирического объекта на числовой оси производится так, чтобы отношения между размерами измеряемой величины однозначно соответствовали отношениям между их числовыми значениями. 3.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕРЫ ИНФОРМАЦИИ

В теории знаков (семиотике) знаковые системы изучаются на трех основных уровнях: синтактическом, семантическом и прагматическом. В синтактике сообщения рассматриваются как символы, абстрагированные от содержания и какой-либо ценности. Предметом анализа при этом являются частота появления символов, т. е. знаков кода, связи между ними, порядок следования, правила построения выражений, при помощи которых могут формулироваться сообщения. Синтактике в естественном языке соответствует синтаксис. В семантике изучается содержание (смысл) символов-сообщений, т. е. отношение сообщений к тому, что они выражают. В прагматике символы-сообщения рассматриваются в их отношении к получателю. При этом учитываются такие характеристики сообщений, как важность, полезность, ценность, актуальность. Информативность сообщений может оцениваться на каждом из трех основных уровней семиотики. В настоящее время наиболее глубоко разработана задача синтактической оценки информации. При синтактическом анализе информация определяется как мера 1 уменьшения неопределенности знаний о каком-либо предмете в познавательном процессе. Если Нг — исходная (априорная) неопределенность знания по данному вопросу, а Я 3 — остаточная (апостериорная) неопределенность, характеризующая состояние знания после получения сообщения, то содержащаяся в этом сообщении информация определяется их разностью: 1 = Н1 — Н2.

(3.1)

Д л я оценки степени неопределенности знаний на синтактическом уровне разработано большое количество различных математических мер. Рассмотрим только две из них: простейшую — логарифмическую меру, предложенную Р. Хартли, и вероятностную, называемую энтропией, которую предложил К . — Э . Шеннон. 1

Под термином «мера» подразумевается математическая мера в отличие от термина «метрологическая мера» (средство измерения), который используется в остальных главах. 77

Рис. 3.1. Зависимость неопределенности, выраженной логарифмической мерой, от количества возможных значений величины N.

Рис. 3.2. Зависимость энтропии, выраженной вероятностной мерой, от исходных вероятностей />,• отдельных исходов опыта.

Логарифмическая мера. Чем больше уровней N может иметь измеряемая величина, тем труднее определить ее значение. Следовательно, исходная неопределенность возрастает с увеличением числа N. Исходную неопределенность знания (до выполнения измерения) можно характеризовать значением логарифмической функции от N (рис. 3.1): H^hg.N. Неопределенность знания об истинном значении измеряемой величины после измерения можно также оценить значением логарифмической функции: Н2 = log a п, где п — число возможных значений величины после измерения, характеризующее его погрешность. Очевидно, что должно быть п < N, а п = 1 только в идеальном измерении, без погрешности. Тогда информация, полученная в результате измерения, / = Ну — Я 2 = loga N — log a п = log a N/tl.

(3.2)

Единица неопределенности и информации определяется выбором основания логарифмов а. При а = 2 она называется двоичной единицей информации (бит), при а = 10 — десятичной (дит), при а = е — натуральной (нит). Если число возможных значений измеряемой величины априори равно N = 1, то это означает, что исходная неопределенность знания отсутствует и нет необходимости в измерена , В этом случае мера неопределенности дает значение Н, — logl = 0. Чем больше число N, тем больше возможностей выбора одного из значений, тем труднее сделать правильный выбор <'п, следовательно, больше неопределенность. Информация, п о л у чемая в измерении, тем больше, чем больше уменьшается число г,^можных исходов, т. е. чем больше отношение N/n. Рассмотренная здесь простейшая мера неопределенности и информации была предложена Р. Хартли еще в 1928 г. Вероятностная мера. Если заданы исходные (априорные) вероятности всех возможных исходов опыта Р( (i = 1 , 2 , ..., N), такие, что 77

i = 1, то исходную неопределенность можно оценить более «тонкой» мерой. В случае, когда априорная вероятность некоторого k-ro значения измеряемой величины приближается к 1, исходное знание характеризуется незначительной неопределенностью: можно почти с полной уверенностью ожидать, что в результате измерения будет цолучено именно это значение, а не какое-то другое из N —1 оставшихся^ вероятности появления которых незначительны. Чем более близкими будут вероятности Р и , тем труднее выбрать правильное значение, тем больше исходная неопределенность. Таким образом, мера неопределенности должна в данном случае учитывать вероятности отдельных возможных исходов. Этим интуитивно разумным требованиям, а также введенному выше требованию аддитивности отвечает предложенная К.— Э. Шенноном вероятностная, или статистическая, мера неопределенности, которая описывается выражением = где

1=1 Ht = —Pt\og

= S Н„ 1

(3.3)

Pt.

По аналогии с термодинамической мерой неопределенности она получила название энтропии. Из (3.3) видно, что энтропия является суммой N слагаемых Ht = =а — P t log 2 Pt. Зависимость Hi = / (Рс) представлена на рис. 3.2. Максимальное значение Я,- принимает в точке Pt = 0,37. С приближением Р ( к 0 значения H t быстро уменьшаются, а в интервале P t 0,2...0,6 они изменяются незначительно и мало отличаются от максимального Яшах = / (0,37) = 0,53. При одинаковой вероятности всех N значений N

Нг =

3.2.

— Е

i=1

VN log 1 /N = log N.

ИСХОДНАЯ ЭНТРОПИЯ ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ДО ИЗМЕРЕНИЯ

Непрерывная (аналоговая) величина в любом заданном диапазоне XmaX...Xmin имеет бесконечно большое (и несчетное) множество значений. Сумма бесконечно большого числа (3.3) слагаемых Я { = — Р { logP t приводит к энтропии, г'З бесконечности. Однако такая постановка задачи практически не имеет смг.зтэ. Дело в том, что любое измерение сопровождается погрешностью. Поэтому более правильной будет такая постановка задачи: определить энтропи&\:-иания о значении непрерывной величины, подлежащей измерению с к о н ^ ч о й погрешностью Д р . При этом весь диапазон значений измеряемой величины можно разбить на JV = (х1П11Х — x m m )/A p участков. Если Задана плотность вероятности значений величины р (х), то вероятность того, что в результате измерения получится t-e значение, приближенно равна р (*,-) Д„ = = Pt (рис. 3.3). 78

Тогда энтропию можно найти, подставляя в общую формулу значения Р{ (i = l , 2, ..., N)-. N

Я (X) = — £ р (*<) Др log [р (*,) Др]. 1=1

Переходя от суммы к интегралу, получаем: -'max

*тах

Я (X) = — j р (X) log [/> (X) Др] dx = — J р (х) log р (х) dx — log Д р , x

*min

min

3.4)

*тах так как Д р = const, а

^ р (х) dx = 1 (условие нормировки вероят*min ностей). Первое слагаемое в полученном выражении х гпах h(x) — —

р (х) log р (х) dx

*min

называется дифференциальной энтропией. Дифференциальная энтропия полностью определяется плотностью вероятностей значений измеряемой величины и не зависит от погрешности различения этих значений Д р . Поэтому все величины с одинаковым законом распределения характеризуются одной и той же дифференциальной энтропией. Вычислим дифференциальную и полную энтропии для двух наиболее часто встречающихся в измерительной практике распределений значений непрерывных величин — равномерного и нормального. Допустим, что все значения величины равновероятны в диапазоне от x m in до х т а х (рис. 3.4). Дифференциальная энтропия в этом случае •^rriax р (х) log р (х) dx

h(x)

— !°g ^

= т ~

dx =

log

' Xjnin),

а полная энтропия при заданной погрешности различения А р Н (X) = h (х) — log Д р = log (x max — •*'tnin)/Ap-

Д л я нормального закона (рис. 3.5) функция распределения аналитически выражается формулой р(х) = где ст (X) чины X .

V2na (X) •с. к. о. значений велиРис. 3.3. Нахождение вероятности Р о т дельного значения непрерывной величины.

рм

1 Хтах ~X/nin

Xtoln

Х/пах

Рис. 3,4, Равномерное распределение значений непрерывной величины.

Рис. 3.5. Нормальное распределение значений непрерывной величины.

Дифференциальная энтропия в этом случае -f-oo -{-ОО h (X) = — J р (х) log p(x)dx хг х log (

{Х)

= — j р (х) х

) dx = log ( / 2 л е а (X)),

(3.5)

-{-00

+ 00

т а к к а к j р (х) dx = 1 и J х2 р (x) dx = о 2 (X). —00 —00 Полная энтропия с учетом погрешности различения А р H(X)

= h (X) -

log Д р = log {УШо

(х)) -

log Ар =

= log ]/2лёст (х)/А р .

(3.6)

- т 3.3. ОСТАТОЧНАЯ ЭНТРОПИЯ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИНЫ ПОСЛЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ОЖИДАЕМАЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

В результате измерения исходная неопределенность знания о значении величины не может быть снижена до нуля, поскольку всегда имеется погрешность. На рис. 3.6 показано априорное распределение значений измеряемой величины р (х) и апостериорное р' (х), которое получаем после измерения с погрешностью ± А . В результате измерения область неопределенности сужается от x m i n ...x m a x до интервала {х{ — А)...(х г + А) длины 2А, расположенного на оси симметрично относительно полученного результата xt. В дискретном случае, когда измеряемая величина может принимать только фиксированные значения, число которых внутри заданного диапазона конечно, остаточная неопределенность оценивается по общей формуле (3.3), в которую подставляются апостериорные вероятности отдельных значений. Обозначим Р (г//) апостериорную вероятность — вероятность того, что, если в измерении получено /-е значение величины, в действительности имеет место г-е значение. Пусть результат дает /г-е значение (/ = k). Тогда выражением N

н (/// = k) = 80

£ Р {i/k) log Р {i/k) (={ I

(3.7)

Рис. З.В. Распределение значений непрерывной величины априорное (до измерений) р (х) и апостериорное (после измерений) р' (ж).

>pM pw

1 1rlS2A

оценивается остаточная неопределенность знания о значении измеряемой величины. •Pb) Разумеется, вычисление остаточной энтропии таким путем возможно только после осуществления опыта (измерения). Априори, до измерения, остаточную неопределенf _ - p'x) Xmat'ffnin ность можно оценить ожидаемым значением, которое определяется как средневзве- -L х шенное по всем возможным результатам из- /mi " мерения (т. е. п о в е е м / = 1, 2 , . . . , N) для значений, полученных из (3.7). «Весами» служат априорные вероятности соответствующих результатов:

Я ЦП) =М[Н (17/)] = S Р,Н (Щ) = - £ Р, S Р (Hi) log Р (i/j) = ,=1

/=1

«•=1

= £ Е рiP (i/j) log р (i/j). i=l i=l В связи с тем что совместная вероятность наступления двух событий, заключающихся в том, что результат измерения дает /-е значение, а в действительности имеет место г'-е значение величины, равна Р (i, j) = = (i/j), то

н (/, о = £ 2 р (г, л logР (i/j) = - S /=i г=1

S P(i, j) logP (i, jyp,. (3-8)

/=1 i=i

Если измеряемая величина непрерывна, то остаточную неопределенность можно оценить приближенно, задаваясь погрешностью различения А р . Обозначим х и xn текущие значения соответственно для измеряемой величины и результата измерения. Пусть р (xn) — плотность априорной вероятности получения результата измерения хы\ р (х, xn) — плотность вероятности совместного появления X и Xn. Считая погрешности различения значений величины и результата измерения одинаковыми и равными А р , в (3.8) можно подставить Р (i, /) = р (xh xn.) Ар и Pj — р (XnJ Ар. Переходя к интегралу, получаем: -J-00 +оо Я (X/xN)

= — f — 00

= = —

j ' Р(Х, XN) log

p (X

&P p

dxdxN

—00

-}"CO -f-oo f f J J

P (к, X N ) p{Xn)

dxdxN

—

CO —00

+ 00 -f-oo — log Ap \

\ P (x, XN) dxdxN. 81

Первое слагаемое в полученном выражении не зависит от погрешности различения и представляет собой так называемую дифференциальную остаточную энтропию: -{-оо -f-oo

h (X/xN)

= -

* w ) dxdxN.

j P (x, xN) log

(3-9)

— OO — OO

-f-OO-f-O0 Во втором слагаемом J j p (x, xд?) dxdxN = 1 по условию нормировки —оо—оо

вероятностей Тогда полная остаточная энтропия значений непрерывной величины после измерения определяется разностью Н ( X / x n ) = h ( X / x n ) — log Др.

(З.Ю)

Вычислим дифференциальную остаточную энтропию для случая, когда измеряемая величина X и общая погрешность измерения А распределены по нормальному закону, который задан математическими ожиданиями тх — 0 и /тгд = 0, а также с. к. о. о (X) и о (А): p(x)^—=J

, £_!

V2no(X)

2 2

° <Л>;

1 р (А) = - 7 = 5 е У2л а (Д)

2а2 А

< >.

Общее выражение для дифференциальной (3.9) имеет вид

остаточной энтропии

+00 -j-oo

h (X/xN)

= — j

j p(X/xn)

log

*'{xxf

dxdxN.

(3-Й)

— OO —OO

Результат измерения определяется суммой истинного значения измеряемой величины и погрешности Хх = X + А. Поэтому закон распределения для Xn определяется композицией законов распределения для X и А. В данном случае он описывается аналитическим выражением вида

/ 2 я (а2 (X) 4- о2 (Д)) т. е. является нормальным, с математическим ожиданием т Х ы — 0 и о (л>) = V о 2 (Х) -f о 2 (А}. Выражение для h(X/xN) можно рассматривать как первый момент, т. е. математическое ожидание величины — , g Р (X, xN) h (XlxN)

= М — log

Р (X, xN) Р

\XN)

Д л я вычисления дифференциальной энтропии нам остается найти совместный закон распределения X и Xn, характеризующийся плот82

ностью р (х, xn). Д Л Я ЭТОГО воспользуемся известным соотношением плотностей вероятностей р (х, xn) — р (х) р ( X n / x ) , г д е р (xN/x) — плотность условной вероятности значения результата измерения xn при определенном значении измеряемой величины X . Очевидно, что закон распределения р (xnIx) совпадает с законом распределения погрешности А, который задан: (ХД7—X) 2

Д2

О (х Jx\ _ '

~25пдГ _

20"(Д)

У~2л а (Д)

/ 2 я а (А)

Тогда дифференциальную энтропию можно представить выражением h (Х/Xn)

= М [— log р (х) р (xN/x)/p

(xN).

Подставляя в него известные зависимости р (х), получаем:

р (xn/x),

а (X)

log

(xn)

Д2

2а2(Д)

2 аЦХ)

h (X/xn)— —

2 л а (Д)

4, 2А2(Х)+СТ2(Д)

/ 2 л (о2 (X) + а 2 (Л)) =

1 log s

/2л

löge

а (X) о (А)

(ЛГдг — JC)2

2а 2 (Д)

2а2 (X)

х2 лд; 2 (а (X) + о2 (Д)) 2

Первое из слагаемых под знаком математического ожидания в полученном выражении — величина постоянная, не зависящая от переменных х, А и Xn. Учитывая, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий всех величин, а также, что математическое ожидание постоянной величины равно самой величине и что постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, получаем; h (X/xn) =

log

+ /2я а (X) а (Д)

м [(Хд,-Х) 2 ] 2о2 (Д)

+ löge

/И(Х2) 202 (X)

М [XZN\ 2 (о (X) + о2 (Д)) 2

Т а к к а к математические ожидания величин X , А и Xn равны нулю, то выражения, стоящие здесь под знаком математического о ж и д а н и я , представляют дисперсии соответствующих величин: М (X2) = D (X) = о2 (X);

М ЦХлг — X)2] = D \XN — X] =

= D [А] = а 2 (А) М {Х%) = D (XN) — D(X

+ А) = а 2 (X) + о 2 (А) 83

(предполагаем, что величины X и А не зависят друг от друга). Выражение для h (X/XN) теперь приобретает вид h (X/XN)

*V(X)+oMA)._ 6

JL 1o

К2ло(Х)а(Д)

g e

L log s

^псо(Х)а(Л) /а

(X) + о 3 (Д)

(3.12) Информация, ожидаемая при измерении величины, распределенной по нормальному закону, с погрешностью, тоже распределенной по нормальному закону, при равенстве нулю математических ожиданий величины и погрешности равна (с учетом (3.5) и (3.12)): I = н (X, -

k < х в д -

log 1 / &

(X) -

log

Информация, ожидаемая при измерении величины, является возрастающей функцией отношения с. к. о. измеряемой величины и погрешности измерения. 3.4. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ И ИЗБЫТОЧНОСТЬ ИСТОЧНИКА ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Неопределенность значений величины X с заданным законом распределения р (х) в каждый момент времени tt характеризуется полной энтропией fl,(X) = ft(X)-logAp> где +00

h{X) = -

J p(x)\ogp(x)~ —оо дифференциальная энтропия, зависящая только от закона распределения р (х), а А р — погрешность различения. Если на отрезке времени Т с помощью измерительного прибора производится п измерений величины в моменты t h для которых значения X статистически не зависят друг от друга (не коррелированы), то общая энтропия такого сложного опыта H

( X ) ^ t H l ( X ) = n H i (X). г«= i Пренебрегая всеми погрешностями измерительного прибора, за исключением погрешности различения А р , можно считать, что измерительная информация, содержащаяся в каждом результате, T

а общая измерительная информация, полученная в п измерениях, Отношение

1т = Нт (X) = nHt (X). R = 1tIT,

(3.14) (3.15)

характеризующее скорость получения информации, называется производительностью источника измерительной информации. Если измерения выполняются через равные промежутки времени А,, то их количество за время Т п = Г/А,. Тогда выражение (3.15) с учетом равенства (3.14) преобразуется к виду R =

" У

= -ST ^

(дв

= - ^ Г -

ед /с)

(3 ,6)

Результат измерения в каждый момент tt почти полностью снимает неопределенность. В моменты времени, непосредственно следующие за ti, неопределенность повышается незначительно: следует ожидать, что значение величины еще не успеет измениться так, что его можно представить последним из полученных результатов. Однако по условию, спустя время At величина может принимать любые значения, плотность вероятности которых описывается функцией р (х) и энтропия снова равна Я , (X). Таким образом, за время At энтропия возрастает от нуля до значения Я , (X), и числитель отношения (3.16) представляет это приращение. Отсюда видно, что производительность источника определяется скоростью нарастания энтропии измеряемой величины. С изменением закона распределения измеряемой величины р (х) изменяется и исходная энтропия H t (X) и, следовательно, производительность источника. Максимальная производительность источника обеспечивается при таком законе распределения, который характеризуется максимальной энтропией. В частности, при заданном среднем квадратическом отклонении измеряемой величины ал максимальная производительность будет при нормальном законе распределения р (х). Если заданы пределы изменения измеряемой величины, то максимальная производительность достигается при равномерном законе распределения измеряемой величины. Максимальное по всем возможным законам распределения значение производительности с = 1 IT называется пропускной способностью средства измерений. Пользуясь (3.15), информацию, получаемую от источника за время Т, можно выразить через его производительность 1т — RT Значение информации, которое может быть получено за время Т, максимально, если производительность источника равна его пропускной способности = сТ. Отношение cT-RT

7 = —

. 1

и, -R/c

max

называется

избыточностью

источника

информации. 85

Если источник информации, производительность которого равна erq пропускной способности (R = с), за п0 измерений дает информацию Г то источник с избыточностью, для которого R < с может обеспечищ такую информацию за п > п0 измерений, т. е. должен выполнить п — — п0 избыточных измерений. Тогда избыточность можно иначе определить как 7 = (« — и 0 )/п = 1 — п0/п. Избыточность возникает не только при отклонении закона распределения измеряемой величины р (х) от оптимального, но и в случае, если между значениями величины X в отдельные моменты измерения tt существует статистическая зависимость, так как при этом уменьшается приращение энтропии Я(- (X). 3.5. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ

ЧИСЛО

РАЗЛИЧАЕМЫХ

ЗНАЧЕНИЙ

ВЕЛИЧИНЫ

Как видно из (3.11), информация, получаемая в измерении, зависит от вероятностных свойств измеряемой величины и результата измерения. Вероятностные свойства результата измерения определяются вероятностными свойствами измеряемой величины и погрешности. При заданном законе распределения измеряемой величины р (х) измерительная информация будет больше при использовании прибора с погрешностью, распределенной по такому закону р (А), при котором остаточная энтропия Н {XIxn) будет меньше. Иными словами, информация тем больше, чем лучше согласованы вероятностные свойства измерительного прибора и измеряемой величины. От степени их согласования зависит число значений (уровней) измеряемой величины, уверенно различаемых прибором в измерении. Погрешность прибора может обладать настолько сильным дезинформационным действием, что нескольким делениям измерительного прибора в результате измерения может соответствовать одно и то же значение измеряемой величины. Поэтому измерение правильнее характеризовать не числом уровней измеряемой величины, на различение которых рассчитан измерительный прибор, а фактическим числом уверенно различаемых уровней в каждом конкретном случае. Пусть измерение величины с данным законом распределения сопровождается погрешностью, распределенной по определенному закону р (А), и дает измерительную информацию 1Х. Допустим также, что измерение той же величины, но распределенной по равномерному закону, выполнялось практически без погрешности, и в результате получена измерительная информация / 2 . Если Я ( X ) — исходная неопределенность значений величины, распределенной по равномерному закону, то очевидно, что / 2 = Я (X), так как остаточная неопределенность при отсутствии погрешности равна нулю. Если измеряемая величина непрерывна и может принимать все значения внутри интервала xmin ... x m a x , то при заданной погрешности различения можно вычислить Я (X) = log (x max - x m i n ) -

log А р = log * m a x ~ * m i n = log N,

где N — число надежно различаемых уровней измеряемой величины. 86

Допустим, что = т. е. измерительная информация в первом и втором случаях одинакова по значению. Тогда, по аналогии с выражением для / 2 ) информацию / t тоже можно представить в виде II =

BG NA,

где /V, — некоторое эквивалентное число надежно различаемых уровней величины, распределенной по данному закону р (х). Если N — число уровней величины, в принципе различаемых измерительным прибором, то при равномерном законе распределения величины Нх - log N-, / х = log N — Я {X/xN) = log N3. (з. 17) Поскольку при наличии погрешности А остаточная энтропия Я (Х/хд,) Ф 0, log N > log Nэ, т. е. Агэ < Л/. Значение JV3 тем больше, чем меньше остаточная энтропия Н (X/xN), т. е. чем лучше согласованы вероятностные свойства погрешности прибора и измеряемой величины. При натуральных логарифмах из (3.17) получаем N3 = ехр (Jt). Будем называть эквивалентным числом различаемых прибором уровней измеряемой величины [921. Эквивалентное число различаемых в измерении уровней величины, распределенной по данному закону, определяется как число надежно различаемых уровней величины при измерении ее с помощью идеального прибора, не имеющего погрешностей, который при равномерном законе распределения этой величины дает столько же измерительной информации, сколько и данный прибор при указанном законе распределения величины. Эквивалентное число характеризует степень согласованности вероятностных свойств измерительного прибора и измеряемой величины, показывает, насколько правильно сделан выбор прибора для измерения данной величины. 3.6. ЭНТРОПИЙНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Выражение для дифференциальной остаточной энтропии можно преобразовать к виду h (X/xN)

= log К 2 л ё —

°(А)

= ,

(3.18)

при котором более явно обнаруживается зависимость ее от средних квадратических отклонений измеряемой величины о (X) и погрешности измерения о (А). При фиксированном значении а (А) дифференциальная остаточная энтропия тем больше, чем больше о (X), так как отношение о (А)/о (X), стоящее в знаменателе подлогарифмического выражения, уменьшается. Если с. к. о. измеряемой величины и погрешности одинаковы [а (X) = о (А)], то дифференциальная остаточная энтропия h (XIXN)

l o g ] / л е О (А),

М-

т. е. примерно на 4 1 % меньше максимального значения. При измерении обычно справедливо соотношение о (X) о (А). Тогда второе слагаемое в подкоренном выражении знаменателя (3.18) значительно меньше 1, и его можно отбросить, а точное значение дифференциальной остаточной энтропии можно приближенно заменить максимальным: I h (X/xN) я» log У2ле о (А). (з. 19)

2А

Сравнивая это последнее выражение с (3.5), убеждаемся в том, что его правая часть есть не Рис. 3.7. Равномерное что иное, как дифференциальная энтропия знараспределение погрешности. чений непрерывной величины погрешности А, распределенной по нормальному закону со средним квадратическим отклонением о (А). Таким образом, -&

л-

h(X/xN)^h( А), т. е. дифференциальную остаточную энтропию значений величины, распределенной по нормальному закону и измеряемой с погрешностью, также распределенной по нормальному закону, можно заменить приближенно дифференциальной энтропией значений погрешности, если отношение средних квадрэтических отклонений погрешности и величины значительно меньше 1. В случае, когда погрешность распределена по равномерному закону в интервале от —А до + А (рис. 3.7), дифференциальная остаточная энтропия h (X/xN)» h (А) = log 2A. (з.20> Абсолютное значение погрешности А можно выразить через с. к. о. + А

+ Д

а»(Д) = j AV(A)dA= —4

j А2

dts. =

— д

откуда А = ] / 3 стД. После подстановки этого значения в (3.20) получаем h ( X / X N ) ä j log 2 У з

о (А).

(3.21)

Из выражений (3.20) и (3.21) видно, что дезинформационное действие погрешности зависит от ее среднего квадратического значения, а также от формы закона распределения. В общем виде выражение для дифференциальной остаточной энтропии можно представить как h [ X / X N ) = log 2 К д а (А), (3.22) где Кл — коэффициент, характеризующий дезинформационное действие формы закона распределения погрешности с заданным средним квадратическим отклонением. < Д л я нормального закона этот коэффициент из сопоставления (3.19) и (3.22) равен 88

= /с Д(н) — 2,06, а для

равномерного

закона

Кмр) = 1.73. При одинаковом среднем квадрэтическом значении погрешность, распределенная по нормальному закону, вносит большее дезинформационное действие, чем погрешность, распределенная по равномерному закону. При одинаковом среднем квадр этическом значении погрешности с любым законом распределения ее дезинформационное действие меньше, чем погрешности, распределенной по нормальному закону. В случае равномерного распределения значений погрешности подлогарифмическое выражение в функции h {X/xN) log 2АЭ имеет наглядную интерпретацию: это интервал, в котором может изменяться погрешность, являющийся одновременно интервалом неопределенности значений измеряемой величины после получения результата измерения. Ввиду простоты, наглядности и широкого распространения на практике равномерного закона его удобно использовать в качестве «эталона» при сравнении погрешностей с произвольным законом распределения в отношении их дезинформационного действия. Д л я любого з а к о н з распределения можно записать выражение h [XIXn) = log2A 3 , идентичное по форме выражению для дифференциальной остаточной энтропии при равномерном законе распределения. Например, для нормального закона 2ДЭ(н) = У2ле сг(А), а в общем случае 2ДЭ = exp (h (X/XN)) Величина Д э = V 2 exp (h {XIxN))

(3.23)

определяет собой симметричные относительно нуля границы возможных значений погрешности с равномерным законом распределения, которая приводит к таким ж е потерям измерительной информации, как и данная погрешность со своим законом распределения. Значение погрешности с равномерным законом распределения, которая в отношении дезинформационного действия равносильна погрешности с данным законом распределения, называется энтропийным [551. К а к было показэно ранее, значение А э зависит от среднего квадратического значения погрешности а (Д) и формы закона ее распределения Д э = КдСТ(А).

(3.24)

Постоянный множитель К\ в (3.24), связывающий Д э с а(Д), называется энтропийным коэффициентом распределения погрешности. Максимальное значение энтропийный коэффициент принимает при нормальном законе распределения: Кд<н, = К д т а х = - ф - « 2 , 0 7 .

(3-25)

В рассмотренном случае непрерывного распределения значений измеряемой величины и погрешности измерительная информация полностью определяется дифференциальными значениями исходной и остаточной энтропии: l = h(X)

— h

{X/XN).

Погрешность различения Д р , которая входит в выражения для со-, ответствующих значений полной энтропии (3.4) и (3.10), характеризует, степень точности, с которой должна быть измерена величина X , и дает одинаковую аддитивную составляющую для h (X) и/г (XIxn)Поскольку энтропийное значение погрешности характеризует ее дезинформационное действие, то в этом случае оно может быть определено через дифференциальное значение остаточной энтропии, без учета погрешности различения. При принятых предположениях энтропийное значение наиболее полно и с помощью только одного числа характеризует дезинформационное действие погрешности данного измерительного прибора и поэтому удобно для сравнения различных измерительных приборов между собой. Необходимо однако отметить, что энтропийное значение погрешности характеризует только случайную и не учитывает систематической составляющей погрешности, так как энтропия является характеристикой случайной величины. Энтропийное значение не может быть также применено для случайных погрешностей с дискретным законом распределения, так как эта оценка выражается через дифференциальную энтропию, которая определяется только для непрерывных законов распределения. Это в определенной степени пока затрудняет практическое применение понятия энтропийного значения погрешности. В настоящее время разрабатывается единое информационное описание случайной и систематической составляющих погрешности [53]. Д л я такого описания должны быть использованы невероятностные подходы (например, алгоритмический) к определению информации, в рамках которых возможно было бы также и информационное описание основной метрологической операции — воспроизведения величины заданного размера. 3.7. СВЯЗЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ С ЭНЕРГИЕЙ ИЗМЕРЯЕМОГО СИГНАЛА

Д л я получения измерительной информации I необходимо уменьшить исходную энтропию HI объекта измерения до значения НГ = = Hi — / . Информация, в свою очередь, снижает исходную энтропию. Это положение известно как негэнтропийный принцип информации Л . Бриллюэна [54]. В соответствии с принципами термодинамики, для уменьшения энтропии, т. е. упорядочения, необходимо затратить определенную энергию. Но энергия имеет тенденцию рассеиваться. При этом увеличивается энтропия объекта. Исследуем связь между энергией и информацией при измерении. Преобразование и передача информации неразрывно связаны с преобразованием и передачей энергии. Следовательно, информационные характеристики связаны, прежде всего, с энергетическими характеристиками информативных параметров энергетических процессов. Любая физическая величина энергетической группы ХС на молекулярном уровне может рассматриваться как сумма двух составляющих: детерминированной (постоянной) X, обычно являющейся объек0 том измерения, и случайной А, обусловленной различного рода флюк90

туациями, например от дискретной природы или теплового движения носителей заряда или электромагнитного излучения. Мощность сигнала, одним из информативных параметров которого является величина X , пропорциональна математическому ожиданию квадрата этой величины:

Pf = СМ

1Х?1 = С [X 2 + о 2 (А)] = С (Px +

Pl),

где Р х и Рд — мощность соответственно постоянной и случайной составляющих; С — коэффициент пропорциональности. о Объектом измерения является постоянная составляющая X , а А о может рассматриваться как помеха. Энтропийное значение помехи Д э = = Ко (А) = К УРйА (К — энтропийный коэффициент закона распре0 деления А). Величина 2АЭ определяет интервал неопределенности значений величины Хс, обусловленный ее физической природой. Информационное число принципиально различаемых уровней этой величины в диапазоне от 0 до хтах „

*шах

У?Х

2ДЭ -2Ку^Г

1 -, /~Р7

2К У

Р0д

1 _ ^

2К У

р«/и

2К |/ у» ' (3.26)

где ta — время измерения; Wx — энергия измеряемого сигнала; энергия помехи. П р и идеально точном измерении измерительная информация 1 f~Px I — log Ng — log - щ - у _

= l o

1 g i r

| /

—

(3.27)

Отсюда видно, что даже при отсутствии погрешностей измерения измерительная информация — величина не бесконечно большая. Она ограничена принципиально неустранимыми помехами, обусловленными флюктуациями самой измеряемой величины. Измерительная информация тем больше, чем больше отношение мощностей сигнала Р х и помехи Р°д. Если измерение производится на отрезке времени А/, то при наличии n = At/ta независимых наблюдений Рх = X2;

Po = д

al/n.

Подставляя эти значения в выражение (3.26), получаем

Следовательно, число принципиально различаемых уровней величины возрастает с увеличением времени измерения пропорционально корню 91

квадратному из числа независимых наблюдений. Полная измеритель ная информация, полученная при наблюдениях за время At, I = log N; = log (N9

Vn) =

log N, + V2 log n = / + V2 log ti.

Например, при n = 100 информация увеличивается на А/ = V2 log 100 = J дит. Из выражения (3.27) следует, что если энергия флюктуаций прибли жается к полной энергии измеряемого сигнала (W°\ Wx), то измер» тельная информация уменьшается до log V2 К- Путем многократны? Рх повторных измерении соотношение —д- п может быть увеличено до зна« Рд чения, необходимого для получения заданной информации.

Глава

ТОЧНОСТЬ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ, ДОСТОВЕРНОСТЬ И ОШИБКИ КОНТРОЛЯ

Точность измерений — основной показатель качества и степени совершенства измерений. Точность измерений определяется погрешностью измерений. По мере совершенствования средств измерений погрешности измерений непрерывно снижаются. Однако они неизбежны, и истинное значение измеряемой величины без погрешности определить невозможно. Теоретические пределы снижения погрешности в настоящее время определяются квантованностью материи и энергии. Действительно, погрешность измерения длины металлического стержня не может быть меньше размера молекулы данного металла, погрешность измерения электрического тока, как непрерывной величины, не может быть меньше тока, эквивалентного пролету одного электрона за время измерения. Достигнутые в настоящее время минимальные значения погрешностей измерений еще далеки от указанных пределов. Поэтому проводится большая работа по дальнейшему повышению точности измерений. Быстрыми темпами развивается теория точности измерений. Основной задачей этой теории является оценка степени приближения результата измерения к истинному значению измеряемой величины X . Общая теория точности измерений включает: 1) теорию точности априори, содержанием которой являются анализ погрешностей средств измерений в статике и динамике, методы повышения точности средств измерения. Основной ее целью является оценивание и снижение погрешности каждого отдельного результата наблюдения; 2) теорию точности апостериори, т. е. теорию точности оценивания результата измерений, содержанием которой является анализ погрешностей измерения, методы обработки результатов многократных наблюдений, повышающих точность результата измерений. Основной ее целью является оценивание и снижение погрешности конечного результата измерений. Сформулируем общие принципы повышения точности измерений, сущность которых определяется характером погрешностей измерений и погрешностей средств измерений. При преобладании случайной составляющей погрешности общим принципом повышения точности измерений является осреднение. Осреднение широко используется во многих методах повышения точности измерений при интегрировании, определении среднего, в методах наименьших квадратов (п. 9.2). 93

При преобладании систематических и относительно медленно изменяющихся случайных погрешностей принципами повышения точности являются: предотвращение возникновения погрешностей в средствах измерений конструктивно-технологическими и защитно-предохранительными методами (п. 8.8); выявление существующих погрешностей и преобразование их в воздействие, компенсирующее выявленную погрешность, на основе образцовых прямых и обратных измерительных преобразователей и мер (п. 8.8); функциональная обработка результатов измерений, выполненных по специальной методике с целью уменьшения погрешностей. Достоверность контроля является основным показателем степени его совершенства и характеризуется ошибками контроля. По мере совершенствования средств контроля достоверность последнего повышается. Однако из-за несовершенства аппаратуры, в которой реализуются отдельные операции контроля, в частности, наличия погрешностей измерительного преобразования, возникают ошибки контроля. 4.1. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешностью измерения называется отклонение значения величины от ее истинного значения А — Xn — X . Так как истинное значение X всегда неизвестно, то неизвестно и значение погрешности измерения А. Однако удовлетворяться значением Xn без оценки погрешности или степени его приближения к X нельзя, так как при этом невозможно сравнивать результаты различных измерений по их основному качеству — точности, определять погрешности косвенных и совместных измерений, анализировать погрешности средств измерений и т. д. В общем случае неизвестная величина X, значение этой величины, полученное при измерении xn, И погрешность измерения А являются случайными величинами. Погрешность измерения А наиболее полно описывается кривой распределения. Поэтому в наиболее важных случаях результат измерения характеризуется показателями точности в виде кривых распределения р ( А), по которым находят доверительные границы погрешностей при различных заданных доверительных вероятностях. Распределение р(А) является информативной характеристикой погрешности, его квантили предназначены для определения интервальных оценок погрешности; его статистические параметры — среднее значение (используется для внесения поправок) и с. к. о. (предназначено для суммирования, особенно при независимых погрешностях и для определения интервальных оценок при наличии информации о характере р (А)). Систематизация погрешностей измерений Погрешности измерений систематизируются по ряду признаков {рис. 4.1), которые определяют их основные особенности. По способу выражения погрешности разделяются на абсолютные и относительные. «4

Погрешности измерения

\/lo mcoSy

5ыражения

Ло характеру изменения

Ло месту 8озникноВения

Абсолютные

Относительные

Систематические

Случайные

\Инструментальные

Методические

[

Рис. 4.1. Систематизация погрешностей измерений.

Абсолютная погрешность А равна разности xN — X, имеет размерность измеряемой величины, т. е. выражается в единицах измеряемой величины. Относительная погрешность б равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины А/Х и выражается в относительных единицах. По характеру изменения погрешности подразделяются на систематические и случайные. Систематическая погрешность — составляющая погрешности измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины при неизменных условиях остается постоянной или изменяется по известному закону. Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины изменяется случайным образом. По месту возникновения погрешности измерений подразделяются на инструментальные и методические. Инструментальные погрешности возникают от несовершенства средств измерения: от нестабильности параметров схем и механизмов приборов во времени, от подверженности их действию внешних и внутренних влияющих величин (температуры, влажности, излучений, напряжений источников питания, магнитных и электрических полей) и неинформативных параметров входных сигналов (частоты и др.). Анализ инструментальных погрешностей рассмотрен в гл. 8. Методические погрешности возникают из-за несовершенства измерения как метода отражения, из-за несовершенства метода косвенного измерения, метода совокупного или совместного измерения, а также вследствие несоответствия модели измеряемой величины. Методическая погрешность измерения называется погрешностью от квантования и возникает от несовершенства отражения непрерывного по размеру свойства прерывистым числом, т. е. от принципиальной ограниченности количества разрядов у числового значения измеряемой величины. Эта ограниченность практически выражается в ступенчатости изменения выходной величины многозначной меры (п. 2.1). Погрешность от квантования можно снизить, уменьшив ступени квантования qK, применяя избыточный метод измерения, например метод нониуса (п. 2.4). Методическая погрешность от несовершенства метода косвенного измерения определяется допущенным несоответствием между действием

ТУ

Рис. 4.2. К возникновению методической погрешности при косвенном измерении сопротивления методом амперметра и вольтметра:

о—(Ту .»

° — ПР" падении напряжения на

_ П ** у

ре

Ч^

А <к и :

ампермет-

6 — при токе потребления вольтметра l v

I»

<г тельной и используемой зависимостями между аргументами, т. е. величинами, значения которых определены методом прямых измерений, и косвенно измеряемой величины. Примером методической погрешности от несовершенства метода косвенного измерения является погрешность при косвенном измерении сопротивления по методу амперметра и вольтметра, возникающая при пренебрежении их внутренними проводимостями или сопротивлениями. В этом случае аргументами, значения которых определяются методом прямых измерений, являются ток / и напряжение U. Косвенно измеряемое сопротивление определяется по формуле гм = Uli. Д л я схемы, показанной на рис. 4.2, а, точная формула для определения гх 1—£-).

(4.1,

а для схемы, показанной на рис. 4.2, б,

где U n i — показания соответственно вольтметра и амперметра; /у и и й — соответственно ток потребления вольтметра и падение напряжения на амперметре. Сопротивление определяют по приближенной формуле FN =

N! I N ,

допуская методические погрешности метода косвенного которые равны R

А/"мет = '

Гн —

А Ar MRT = r,v

Гх •

Гу =

измерения,

A .

N>V

Примером погрешности от несовершенства метода косвенного измерения может также служить погрешность измерения количества бензина в баке самолета по уровню к. Точная аналитическая зависимость h = / (Q) неизвестна и нелинейна и если она предполагается линейной, то в результате возникает методическая погрешность, причиной которой является использование при измерении приближенной зависимости h = KQ. Методическая погрешность от несоответствия модели. Свойства исследуемого эмпирического объекта, т. е. измеряемые величины, яв46

ляются параметрами математической модели объекта. Соответствие между измеряемыми величинами и параметрами модели объекта необходимо обеспечить с заданной точностью, в противном случае отражение утратит свою достоверность. Следовательно, перед измерением исследователь должен убедиться в том, что выбранная модель объекта и ее параметры действительно адекватны эмпирическому объекту и измеряемым величинам. Например, если объектом измерения является периодически изменяющееся электрическое напряжение, а моделью выбрана синусоидальная функция, то необходимо убедиться в том, что отклонение действительной формы кривой от синуса незначительно. Методическая погрешность от несоответствия модели должна быть оценена как одна из составляющих погрешностей измерения и должна быть меньше суммарной погрешности, в противном случае необходимо более адекватно определить модель и ее параметры. Методическая погрешность измерения статистических характеристик случайного сигнала возникает и проявляется в виде отклонения оценки математического ожидания по отношению к истинному значению и в виде отклонения оценки дисперсии от ее истинного значения — в результате конечности числа измерений мгновенных значений сигнала. Основные особенности погрешностей измерений Д л я определения показателей точности измерения необходимо прежде всего изучить основные виды погрешностей измерений и их особенности. Абсолютная и относительная погрешность, точность и воспроизводимость измерения. Абсолютная погрешность выражена в единицах измеряемой величины и удобна для определения недостоверных разрядов результата измерения. Однако для метрологической характеристики средств измерений с большим диапазоном измерения абсолютная погрешность менее удобна. Поэтому используют относительную погрешность, которая дает возможность непосредственно оценивать точность любого результата измерения во всем диапазоне данного средства измерения. Точность измерений определяется как качество измерений, отражающее близость полученного измеренного значения к истинному значению измеряемой величины. Количественно точность принимается равной числу, обратному модулю относительной погрешности: е = Xjv/A = 1/6. При б = 0,001 точность измерений равна 1000. Оценку точности в виде числового значения применяют редко. Понятие точности применяется обычно для качественной характеристики измерений при нескольких градациях: низкая точность, высокая точность и т. д. Воспроизводимостью измерений называют качество измерения, отражающее близость друг к другу его результатов, выполняемых в разное время, в различных местах и разными методами и средствами. 4

818

Систематическая составляющая погрешности и правильность измерений. Систематическая погрешность измерения постоянна по размеру или изменяется по известному закону. С одной стороны, она характерна тем, что ее трудно обнаружить, особенно малую постоянную систематическую погрешность. Эта погрешность обнаруживается путем измерения величины несколькими независимыми методами с помощью измерительных преобразователей, основанных на различных физических явлениях, путем проверки прибора по образцовому прибору более высокой точности. Систематические погрешности, изменяющиеся по определенному закону, могут быть также обнаружены статистическими методами при помощи специальных статистических критериев [10]. С другой стороны, систематическая погрешность характерна тем, что закон ее изменения известен и поэтому ее легче учесть в виде поправки или устранить одним из методов автоматической коррекции. Причины, вызывающие систематические погрешности на протяжении длительных промежутков времени, изменяются обычно по случайным законам, что приводит к соответствующему случайному изменению и систематической погрешности. Поэтому в общем случае и систематическая составляющая погрешности характеризуется плотностью распределения и с. к. о. Правильность измерений -г- это качество измерений, отражающее близость к нулю систематической погрешности в их результатах. Случайная составляющая погрешности и сходимость измерений« Если при измерении величины в одинаковых условиях и при неизменном ее размере получают отличные друг от друга результаты, то это означает, что в результате измерения содержиться случайная погрешность. Случайные погрешности возникают вследствие одновременного действия многих известных и неизвестных, зависимых и независимых причин. Случайные погрешности непостоянны по абсолютному значению и по знаку. Характерное свойство случайных погрешностей, распределенных в большинстве случаев по симметричным законам, заключается в том, что число положительных и отрицательных значений случайных погрешностей, имеющих одинаковые абсолютные значения, при большом числе наблюдений примерно одинаково. Это позволяет путем осреднения результатов значительно повысить точность и достоверность результата измерений. Случайные погрешности изменяются по абсолютному значению и знаку случайно и обычно достаточно быстро, поэтому учесть их введением поправки невозможно. Основным способом повышения точности измерения в этом случае является многократное повторение наблюдений при постоянстве всех условий эксперимента и постоянстве значения измеряемой величины. При этом случайную погрешность уменьшают путем осреднения многократных неодновременных наблюдений или ряда одновременных наблюдений (л: =* = const) при неизменных условиях измерения. Сходимость измерений — качество, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях. öS

Распределения случайных погрешностей В теории вероятностей, математической статистике и соответственно в теории погрешностей применяются понятия «квантиль», «интерквантильный промежуток», «доверительная вероятность», «уровень значимости» и «доверительные границы погрешности» и др. а %-ной квантилью Да% называется абсцисса закона распределения, слева от которой находится а % площади кривой распределения. Следовательно, вероятность Р того, что случайная величина Д находится в диапазоне от — оо до Аао/о, равна а, т. е. Р (— ОО < А < Дао/о) = а/100.

(4.3)

Абсцисса медианы-вертикали, делящей площадь кривой распределения пополам, является 50 %-ным квантилем Aso%. Интерквантильным промежутком называют разность между (100— а) %-ной и а %-ной квантилями. Между вертикалями симметричного центрированного распределения, ограничивающими интерквантильный промежуток, находится (100—2а) % площади кривой распределения (рис. 4.3). Доверительной вероятностью Я д о в называют вероятность нахождения случайной величины А в допустимой зоне внутри доверительных границ АГ1 и Аг2: Ядов ( Д П <

А <

АГ2).

Например, для симметричного централизованного если —Д г = —Аао/а, а Д г — А(юо-а>%, то Ядов (— Аа% < А < Д(100—а)%) =

распределения,

100 — 2 а

100

Доверительную вероятность Р д о в при заданных граничных значениях погрешности ± Дп можно определить по известному значению с. к. о. для нормального распределения по соответствующим таблицам (табл. 2) Ядов ( — Zr <

Z <

Zr)

= 2 Ф(2 Г ), где 2Г = Д г /а. Если вид распределения известен, то в некоторых случаях доверительную вероятность при известных о и А можно определить из неравенства Кампа — Мей дел я:

й А а% (т-а)% • А а°/,к5антш д. [Ю0-а)%к0антипь.

ПлощаЗь, пропорциональн

Рис. 4.3. Графическое представление квантиля доверительного интервала и доверительной вероятности.

Уровнем значимости а = 1 — а называют вероятность того, что случайная величина X находится в интервале между а %-ной квантилью и + о о . Уровнем значимости характеризуют критическую область. Если найденная оценка оказывается в критической области, то данная гипотеза не принимается. При завышении уровня значимости может быть отвергнута правильная, а при занижении принята неверная гипотеза. Поэтому уровень значимости обычно принимают в диапазоне 10...2,5 %. Модой является значение величины, плотность вероятности которой максимальна. Распределение с одним максимальным значением называется одномодальным, с двумя — двухмодальным и т. д. Распределения, в средней части которых расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными. Рассмотрим некоторые распределения погрешностей. Таблица

2. Значения интеграла Р Д 0 Е (zr) =

^ДОВ < z r'

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,33 0,35 0,37 0,39 0,41 0,43 0,45 0,47 0,49 0,51 0,53 0,57 0,59 0,61 0,63 0,65

0,0000 0,0080 0,0160 0,0239 0,0319 0,0398 0,0478 0,0557 0,0636 0,0714 0,0793 0,0871 0,0948 0,1026 0,1103 0,1179 0,1255 0,1293 0,1368 0,1443 0,1517 0,1591 0,1664 0,1736 0,1808 0,1879 0,1950 0,2019 0,2157 0,2224 0,2291 0,2357 0,2422

100

0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1,01 1,03 1,05 1,07 1,09 1,11 1,13 1,15 1,17 1,19 1,23 1,25 1,27 1,29 1,31

д о в <V

0,2454 0,2517 0,2580 0,2642 0,2703 0,2764 0,2823 0,2881 0,2939 0,2995 0,3051 0,3106 0,3159 0,3212 0,3264 0,3315 0,3365 0,3389 0,3438 0,3485 0,3531 0,3577 0,3621 0,3665 0,3708 0,3749 0,3790 0,3830 0,3907 0,3944 0,3980 0,4015 0,4049

''дов <гг>

1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98

0,4066 0,4099 0,4131 0,4162 0,4192 0,4222 0,4251 0,4279 0,4306 0,4332 0,4357 0,4382 0,4406 0,4429 0,4452 0,4474 0,4495 0,4515 0,4535 0,4554 0,4573 0,4591 0,4608 0,4625 0,4641 0,4656 0,4671 0,4688 0,4713 0,4726 0,4728 0,4750 0,4761

(гг = • А г \ ° ,

-С К 2л J

2,00 2,04 2,08 2,12 2,16 2,20 2,24 2,28 2,32 2,36 2,40 2,44 2,48 2,52 2,56 2,60 2,64 2,68 2,72 2,76 2,80 2,84 2,88 2,92 2,96 3,00 3,40 3,80 5,00

дов

0,4772 0,4793 0,4812 0,4830 0,4846 0,4861 0,4875 0,4887 0,4898 0,4909 0,4918 0,4927 0,4934 0,4941 0,4948 0,4953 0,4959 0,4963 0,4967 0,4971 0,4974 0,4977 0,4980 0,4982 0,4985 0,49865 0,49966 0,49928 0,5

рт

fß)

-А'np 0

tA<np

Ann

pß)

/ /

Рис. 4.4. Распределения плотности вероятности погрешностей: а — равномерное симметричное; б — равномерное . несимметричное; б — нормальное; г — двухмодальное; д — треугольное; е — экспоненциальное; ж — Релея; з арксинусоидальное.

При равномерном центрированном распределении все значения случайных погрешностей распределены внутри интервала с одинаковой плотностью вероятности (рис. 4.4, а) О при р( Д) =

|Д|>|Апр|;

(4-5)

2Д,пр

при

• А п р < А < А пр .

Так распределены погрешности: от трения в опорах стрелочных приборов; округления (4.4) из-за наличия порога чувствительности; температурная при симметричных равновероятных изменениях температуры, неисключенные остатки систематической; квантования при введении поправки. Равномерный закон со смещением 0,5 Д п р (рис. 4.4, б) выражается следующей формулой: 0 при А < 0 и А > Д п р ; р (А) = {

при

~ . . ^ . 0<А<ДПр.

<4-6>

пр

Таким образом распределены такие погрешности: от равномерного изменения н а п р я ж е н и я источника питания, например изменение рабочего тока потенциометра от разряда батареи; от разогрева аппаратуры за короткое время; от несовершенства изоляции; от квантования. 101

Нормальное распределение обладает двумя свойствами: симметрии и монотонного убывания плотности вероятности. Е с л и случайная погрешность является композицией более четырех случайных, независимых и равновеликих погрешностей, то приближенно она подчиняется нормальному закону, независимо от распределений составляющих. Погрешности измерения обычно состоят из нескольких случайных и независимых составляющих и поэтому в большинстве случаев распределены нормально. Нормальное распределение центрированной случайной величины при М (А) = 0 (рис. 4.4, в) является одномодальным и описывается А»

р(

е " ^ " ,

(4.7)

где о (А) — с. к. о. случайной величины А нормального распределения. Нормированная форма получается при а = 1, после подстановки А = az: р {г) =

- ± = r е

- — 2

(4.8)

Рассмотрим характерные особенности нормального центрированного распределения. 1. Мода нормального распределения равна - T = J у 2л а, тем выше, острее распределение, и наоборот. 2 . В точке А = а ( Д ) .

. Чем меньше а(Д)

где Д э — энтропийное значение погрешности, равное половине ширины размаха равномерного симметричного распределения, вызывающего такое же дезинформативное действие, как и данное (3.6). 3 . Между вертикалями, проведенными через квантили Д25% = 2 / 3 а и Л75о/о = + 2 / 3 а , находится половина площади распределения. Значение А25% = Д75% = Ав для симметричного распределения называется вероятной погрешностью, для Ав = 2 / 3 а. 4 . Между вертикалями, проведенными через квантили A2,s% = = —2ст и Дэ7,5% = + 2 о находится 95 % площади, а вне их — остальные 5 % . 5 . Между вертикалями, проведенными через квантили A o , i s % = = — З а и А9ЗД5о/о = - f За находится 99,7 % площади, а вне их — остальные 0,3 %. Нормально распределены многие погрешности, в частности от тепловых шумов, из-за кратковременной нестабильности параметров звеньев, суммарная при большом числе независимых и равновеликих составляющих, подгонки резисторов и конденсаторов (по усеченному нормальному) и др. Двухмодальное распределение характерно, например, для отклонений от номинала у массовых изделий — конденсаторов, резисторов, 102

которые разбраковываются на классы. Если для первого класса отклонения нормированы в диапазоне ± 1 %, а для второго — ± 2 %, то, естественно, что в кривой распределения плотности вероятности отклонений резисторов, оставшихся после отбора первого класса, в диапазоне ± 1 % будет провал (рис. 4.4, г). Если затем отобрать и резисторы второго класса с отклонениями ± 2 %, то они будут иметь двухмодальное распределение. Если границы первого и второго классов сближать, то в пределе получится распределение в виде двух симметричных значений ± 1 , 5 %, т. е. дискретное двухзначное распределение. Можно отметить, что таким распределением обладает, например, погрешность от механического люфта в передаче при знакопеременном движении. Треугольное распределение (Симпсона) аналитически выражается формулой Стокса (рис. 4.4, д): ,(A) = ^ ( l _ пр

-А-) "пр

(4.9)

По Симпсону распределены следующие погрешности: суммарная измерения длин, углов по разности двух округленных отсчетов при распределении их погрешностей по равномерному закону; измерения методом замещения по двум отсчетам; суммарная от квантования интервала времени при равномерных несимметричных распределениях ее двух составляющих. Арксинусоидальный закон можно записать так: Р (А) =

,„

(4.Ю)

где А = а sin ф; ф — равномерно распределенная случайная величина. По этому закону (рис. 4.4, з) распределены погрешности от синусоидальных наводок, опрокидывания показывающих приборов с опорами на кернах. Случайные погрешности иногда распределяются экспоненциально (рис. 4.4, е) д_ р(А) — 1/Ле по закону Релея (рис. 4.4, ж) р(А)

Способы уменьшения случайных составляющих погрешности путем обработки результатов многократных наблюдений рассмотрены в п. 9.2. 4.2. ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОДХОДА К АНАЛИЗУ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ

Разделение погрешностей на систематические и случайные позволяет раздельно соответствующими методами исключить или уменьшить как систематические, так и случайные погрешности измерения и 103

существенно повысить точность измерения. Способы устранения и уменьшения систематических и случайных погрешностей различны. Поэтому прежде всего их необходимо уметь различать и выявлять для предотвращения или уменьшения. При вероятностном подходе к анализу погрешностей [79] измеряемая величина X результат измерения xn, погрешность измерения А и погрешность средства измерения А' рассматриваются как случайные взаимозависимые величины. Наиболее полной характеристикой их совокупности при этом является многомерная совместная плотность вероятности р(х, xN, А, А', . . . , tu t2, t3, . . . , tn).

(4.П)

Однако эта характеристика громоздка и неудобна для расчетов. Поэтому обычно в каждой точке X диапазона измерения погрешность измерения характеризуется одномерной плотностью вероятности р (А), а во всем диапазоне измерений от 0 до X — семейством условных плотностей распределения погрешности р (А/хд,) (рис. 4.5). При этом теряется информация о временных зависимостях между X, X n , А и А'. Однако сохраняется статистическая связь, которая определяет количественные соотношения между ними в статике, в частности, при оценке результата измерения оценкой математического ожидания результатов многократных измерений. Подход к объекту измерения как к случайной величине с учетом ее вероятностных характеристик требует соответствующего уточнения понятий погрешности измерения А и погрешности средства измерения А'. При наличии зависимости между X, X N , А И А' В качестве статистических характеристик этих случайных величин более удобно использовать условные распределения p(x/xN),

P(XN/X),

Р (А/Х)

Р{А'1х).

Условное распределение р (xN/x) удобно для определения распределения погрешности средства измерений. Д л я определения погрешности измерения и оценки результата измерения используют условное распределение Р (X/XN), так как в нем учитывается и случайность А', 104

Рис. 4.6. Условная плотность вероятности измеряемой величины р ( X / x N ) и случайной составляющей погрешности измерения о (Д/а^дг) при хдг = const.

д/П Г,„!' ' ' н'

М(х) M f t f t ^ f c c m t М('Щ) и случайность X . В условной плотности, вероятности Р (X/XN) заключена вся информация об X , необходимая для определения оценки хы. Следовательно, до измерения X характеризуется распределением р (х), а после измерения —условным распределением р (X/XN) (рис. 4.6). Понятие о погрешности измерительного прибора и погрешности измерения случайной величины Погрешность измерительного прибора А' является случайной величиной — разностью между результатами повторяющихся наблюдений xn неизменной измеряемой величины х и значением этой величины А '=xN

— x,

(4.12)

где XN — один из результатов разового измерения величины х = const. Погрешность А' характеризуется условной ПЛОТНОСТЬЮ вероятности р (А'). При определении погрешности измерительного прибора измерения производят при х = const, при этом устанавливают условную плотность результатов измерения р (XN/X). Погрешность прибора рассматривается как случайная величина А', не з а в и с я щ а я от х, к а к ансамбль случайных значений погрешности прибора при многократных измерениях одного и того ж е известного значения измеряемой величины х. На рис. 4.7 показаны условные плотности распределения р (XN/X) и р (АЧх). Погрешность прибора с условной плотностью распределения р ( А ' / х ) при известных значениях х оценивается условным математическим ожиданием М (АЧх) = М ( X N / X ) — х, а т а к ж е условным с. к. о. о (АЧх) sä сг (XN/x). Погрешность измерения случайной величины является случайной величиной А, которая определяется, как разность между результатом измерения одного из значений случайной величины xn И ЭТИМ значением А = xn — X. В общем случае погрешность измерения А характеризуется семейством условных плотностей вероятности р (А/х). Распределение р (А/х) близко по форме к распределению Р (X/XN). В отличие от Р (XN/X) распределение р (X/XN) экспериментально определить труднее. Условное распределение р (X/XN) можно в общем случае определить аналитически по формуле Байеса: Р (х) р =

Если А

(хы!х)

— J N T - '

(4-,3)

х, то p(x)^p(xN),

а р

(X/XN)

~ р (х\>1х). 105

Рис. 4.7. Условная плотность вероятности результата измерения р ( Х у ) и случайной составляющей средства измерения (Д'/as) при а? = const.

При этом условное математическое ожидание погрешности измерения М (А/х) ^ М (А'/х), а условное с. к. о. погрешности измерения а ( А / х ) ее о (А'/х). м

: c<3nst

("нМ\M(gx)Y "

Целью измерения случайной величины является получение ее оценки, т. е. результата измерения XN. Оценки выбираются по определенному критерию точности с учетом характера измеряемой величины, целей использования результатов измерения. Рассмотрим основные критерии точности результата измерения случайной величины. Критерии оценки точности результата измерения случайной величины Увеличение информации об измеряемой величине X определяется переходом от состояния «до измерения», характеризующимся р (х), к состоянию «после измерения», характеризующимся резко суженым распределением р (х/хм). Условное распределение р (X/XN) И является достаточно полной характеристикой результата измерения. Результаты измерения необходимо сравнивать между собой. Вопрос о предпочтительности результата измерения можно решать только по значению не более, чем одного числа. Поэтому и результат измерения, представляемый распределением р (x/xN), необходимо охарактеризовать одним значением х™". Это оптимальное значение рекомендуют определять по одному из следующих критериев: Первый критерий — максимального правдоподобия или максиОПТ

мальнои вероятности, при котором X\N равно моде распределения р (x/xN) (рис. 4.8). Второй критерий — минимума среднего риска, при котором вероятности положительных и отрицательных отклонений от одинаковы, а с.к.о. минимально по условию min J

(X—x°2nNT)2p(x/xN)dx.

— 00

Тогда J Xp(x/xN)dx = M(x/xN). (4-14) —оо Третий критерий — минимаксный, при котором минимизируется максимально возможное отклонение, при этом равно медиане распределения р (x/xN) (рис. 4.8). 106

Рис. 4.8. К понятию о критериях оценки результата измерения случайной величины.

Д л я всех одномодальных симметричных распределений, в том числе и для нормального, оптимальные значения оценок, найденные по всем трем критериям, совпадают. Непосредственное получение, распределения Р (X/XN) экспериментальным путем требует обработки большого количества выборок. Аналитически искомое распределение Р (X/XN) может быть получено через совместную плотность вероятности Р (Х, XN) либо по формуле Байеса (4.13): (, ,5

-ттаг-

' >

Совместное распределение р ( X / X N ) опытным путем определить трудно, поэтому (4.15) применяют редко. Д л я определения р (X/XN) по формуле Байеса должны быть известны р (х^/х) р (х) и р (XN). Обычно А х. При этом условии близки распределения р (х) и р ( X N ) . Тогда р ( X / X N ) ^ р ( X N / X ) И р (A/XN) = р (А7л:). При известном р (X/XN) И А х за результат измерения принимают условное математическое ожидание М { X N / X ) ^ М ( x / x N ) = xN — M (А'/х). (4.16) В общем случае, если А и X взаимосвязаны и близки по значению, условная плотность вероятности р ( X N / X ) недостаточна для определения характеристик результата измерения Р ( X / X N ) . При ст (X) » О (А) составляющие погрешности измерения М. (A/XN) И О ( А / X N ) зависят от р (л;) и не равны соответственно М(А'/х)

И О {А'/Х).

Оценка результата измерения случайной величины Рассмотрим оценку результата измерения X при нормальных известных и независимых распределениях измеряемой величины и погрешности измерительного прибора. При определении оценки результата измерения XN" В данном случае будем основываться на критерии минимума среднего риска, который называют критерием Байеса. Сущность этого критерия состоит в том, что корректирующее устройство ( К У ) должно работать таким образом, чтобы зависимость, именуемая средним риском, была бы минимальной. Выражение для среднего риска имеет вид RzP — § § С

(Х, X N )

(X/XN)

(Х) D X D X N ,

(4-17> 107

где С (Х, XN) — функция отклонения результата измерения XN от и< тинного значения измеряемой величины X; Р (X/XN) — условная плотность вероятности измеряемой величины X при данном результате измерении XN\ р (х) — плотность вероятности измеряемой величины X; Г — область возможных значений Хд-; 6 — область возможных значений X . Достаточно общим является подход, когда в качестве оценки точности принимают квадрат разности действительного значения измеряемой величины и результата измерения, т. е. • с (х, XN) — (х

—

XN) .

(4.18)

Если измеряемая величина X измеряется с помощью нескольких приборов, то лучшим можно считать тот, у которого средний риск R c p будет меньше, чем у остальных. Известно, что для такого случая минимум среднего риска достигается *Г

J Хр ( X / X N ) dx.

(4.19)

0 По структуре выражение (4.19) представляет собой условное математическое ожидание измеряемой величины при данном результате измерения XN. Следовательно, КУ должно вычислять оптимальный результат измерения по (4.19) и этот результат будет зависеть от вида условного распределения измеряемой величины X при данном результате измерения XN. Рассмотрим применение (4.19) при конкретном распределении измеряемой величины и погрешностей измерительного прибора. Предположим, что измеряемая величина X и погрешности измерительного прибора А' подчиняются нормальному распределению с параметрами М (X), о (X), М (А'), а (А') соответственно, т. е.

Так как погрешности измерительного устройства аддитивны, то xN = X + А'. Величина XN также будет распределена нормально с параметрами M(XN), о (XN):

где M ( X N ) = M ( X ) + M ( А'), о [X N ) ^ У о 1 (X) + о 2 (А'). 108

Из теории вероятностей известно, что выражение д л я условной плотности вероятности Р ( X / X N ) имеет вид [12]; Р

{ X / X N )

' V^a(X)VT=W _ _ ЕСХЛРУ| Г 2 (1-Я*) X N-M(X М(Х.Л \1 X N) - R 2

' х — М{Х)

(ХЫ)

где R — коэффициент корреляции между X и ХМ. Коэффициент корреляции представляет собой отношение второго смешанного центрального момента KxxN к произведению с. к. о. 0 (X) а (Хы). После вычислений его значение будет _ K™N _ о(Х) * - о (X) а (XN) ~ о (xN)

(4 20)

•

С учетом (4.20) выражение д л я Р ( X / X N ) можно представить в таком виде: 1 f 1 / x — M(X/xN) V) 6Х (4,2,) Р = /2па(Х!Хы) РГ " Ь ( % ) J | • где о ( X / X N )=

er ( X ) V I

•

1 } - Х

V M

( X / X N ) =

(X) +

—

aHX)a+oHA')

[XN

o2(X)

)]

Подставляя (4.21) в (4.19), получаем оценку д л я результата измерения « _ 1 / x-mx/xN) \ ..°ПТ=

f у п (YIY„\

AY == .

/ 2 л а (Х/^)

_J,

= М (Х/хы)Следовательно, в данном случае оптимальный результат измерения равен условному математическому ожиданию измеряемой величины при полученном результате измерения XN. Преобразуем выражение д л я х°Г к несколько иному виду: ХТ

( X / X N )=

lXN =

M ( X )

—

(Д') -

Л1 (X)

I*" -

( X N ) -

[

2 °+V*(A')

A (X

, K

[ X N

- o ü ^ W T

[xN

( X

M {Xn)]

) ]

( X * ) ] Z=-XN — M ( Д ' / X N ) .

(4.22) 109

РМ РШ

Рис. 4.9, К определению оценки результата измерения случайной величины при нормальных, известных и независимых р (х) и р (Л').

Выражение (4.22) совпадает с выражением для результата измерения, полученным в работе [79] при несколько ином подходе. На рис. 4.9 представлена графическая интерпретация проведенного анализа, из которого видно, что при полученном Й : « результате измерения XN значения измеряемой величины X группируются вокруг М ( X / X N ) , которое сдвинуто относительно полученного результата измерения XN. При этом с. к. о. результата измерения А ( X / X N ) определяется формулой O { X / X N )

ст (А')

(4.23) '(А')

( X )

Поскольку знаменатель в (4.23) всегда больше единицы, то значение с. к. о. погрешности измерения О ( X / X N ) меньше с. к. о. погрешности измерительного прибора а (А'). Таким образом, для оценки результата измерения нормально распределенной случайной величины, полученного с помощью СИ, погрешности которого распределены по нормальному закону, из результата измерения х\< необходимо вычесть не только значение систематической составляющей СИ М (А'), но и составляющую о 2 (А') [xN — М ( X N ) / o 2 (X) + о 2 (А')]. Значение второй составляющей ст2 (Д') зависит от отношения 2 от значения [XN — М (Хд-)] и увео (X) + а 2 (Д') ст2 (Д') личивается с увеличением отношения (X) + а 2 (Д') Заметим, что в отличие от (4.22) и (4.23) дифференциальная остаточн а я энтропия и информация, ожидаемая от результата измерения, определяемые (3.13) и (3.14), учитывают только случайную составляющую погрешности результата. Следовательно, оптимизация процесса измерения по информационному критерию, в отличие от критерия (4.19), корректна только при отсутствии систематических составляющих погрешностей. Структура выражения (4.22) определяет алгоритм работы корректирующего устройства. Рассмотрим оценки результата измерения в нескольких предельных случаях. При измерении постоянной величины (ст (X) = 0) опт XJV

= М (XN)

М (А') = М (X);

при измерении центрированной величины (М (X) хТ 110

02 (X) = 2 а ( X ) • а 2 (Д')

[ X

- M ( А')];

(4.24) 0) (4.25)

при измерении без систематической составляющей СИ {М (А') = 0) Х Т

~ а^хГ+ЛА')

при измерении без случайной (о (А') = 0) хТ

= XN-M

[XN

составляющей

(А').

погрешности

(4,26)

погрешности

СИ

(4,27)

Из общей формулы для результата измерения следует, что д а ж е при соотношении о (А') > о (X) измерение имеет смысл. В этом случае значение поправки, вычитаемой из XN, увеличивается. Полученные результаты имеют важное практическое значение при измерении «малых величин». Под термином «измерение малых величин», как и в работе [35], подразумевают ситуацию, когда измеряемая величина соизмерима или даже существенно меньше погрешности. Выражение (4.22) может быть использовано не только при нормальных и известных распределениях р (х) и р (А'), но и в том случае, когда эти распределения неизвестны, а известны по результатам (30...50) наблюдений оценки М (X); М (А'); а (X) и о (А'). 4.3. СПОСОБЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И УМЕНЬШЕНИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Основной причиной возникновения систематических погрешностей измерений являются погрешности средств измерений, возникающие от действия влияющих величин: изменение частоты и н а п р я ж е н и я источника питания, температуры, влажности, старения схемных элементов, действия неинформативных параметров входного сигнала, например частоты при измерении действующего значения н а п р я ж е н и я , несовершенства метода измерительного преобразования. Основные усил и я по борьбе с систематическими погрешностями предпринимаются при расчете и конструировании каждого средства измерения, однако полностью устранить их не удается, и поэтому эти погрешности стремятся устранить различными способами и в процессе выполнения процедуры измерения. В зависимости от характера изменения систематические погрешности можно разделить на постоянные и переменные. В свою очередь, переменные систематические погрешности можно разделить на прогрессирующие (монотонно возрастающие или убывающие) и периодические. Во многих случаях для достижения наиболее высокой точности измерения производят многократные наблюдения с последующей обработкой ряда полученных значений X, каждое из которых имеет и систематическую, и случайную составляющие погрешности, т. е. XN. = X -f А с + 112

Если всего произведено п измерений, то среднее арифметическое значение ряда при постоянстве х и Ас п S

п -

= ^ +

, + п

" о А/. 1=л

<4-28>

В XN ввиду различных знаков отдельных реализаций случайной погрешности при большом числе измерений случайная составляющая суммарной погрешности уменьшается, а постоянная систематическая остается неизменной. В среднем арифметическом значении ряда je« содержится систематическая и усредненная случайная составляющие погрешности, и поэтому XN называется также неисправленным средним значением. Д л я его исправления необходимо по возможности выявить и уменьшить систематическую составляющую погрешности. Способы обнаружения систематической погрешности Если систематическая погрешность неизменна, то Vt — случайные отклонения результатов наблюдений от среднего арифметического от нее не зависят п Vt = XN. — xN = Аi — 1 In £

Д„

т. е. неисправленные случайные отклонения при наличии постоянной систематической погрешности могут быть непосредственно использованы для оценки рассеивания ряда наблюдений (ГОСТ 8.207—76). Если во всех результатах есть постоянная систематическая погрешность, то допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений. В [101 приведены правила обнаружения переменных систематических погрешностей в результатах наблюдений: 1) если знаки неисправленных случайных отклонений чередуются с какой-то закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность; 2) если последовательность знаков у случайных отклонений сменяется последовательностью знаков — или наоборот, то есть прогрессирующая систематическая погрешность; 3) если группы знаков + и — у случайных отклонений чередуются, то налицо периодическая систематическая погрешность. Выявление и уменьшение систематических погрешностей измерений являются важнейшими задачами метрологии, и для их решения разработано много различных способов. Наиболее трудно выявить малую постоянную систематическую погрешность, не изменяющуюся за время проведения измерения, которая обнаруживается только при проведении измерения данной величины двумя независимыми способами, основанными на использовании различных физических явлений или процессов. 112

Рассмотрим пример проверки наличия систематических погрешностей в двух результатах измерений с многократными наблюдениями одной величины X, выполненных двумя независимыми методами или различной аппаратурой. Если известно, что результаты обеих групп наблюдений распределены по нормальному закону и известны результаты измерений, т. е. средние значения хы1 и хц г и оценки с. к. о. результатов наблюдений а (Д^ и о (Д 2 ), то для проверки наличия систематической погрешности определяют отношение X

N1~XN1

|' __ VО

(Ai) + О2 (Д 2 )

Д л я проверки гипотезы об отсутствии систематической составляющей погрешности задаются уровнем значимости а и, пользуясь таблицами Лапласа (табл. 2), определяют относительную квантиль Zi_a/2 = Д ' (1 — а / 2 )

„

= — — — , соответствующую доверительной вероятности Р л о а = = 1 — а . Если z' > Zi а/2, то гипотеза об отсутствии систематической погрешности отвергается при уровне значимости а . Например, если а = 0 , 1 , то Zi-а/г = 2; при г' >> 2 можно утверждать, что имеет место систематическая погрешность. Изменяющуюся по значению систематическую погрешность можно обнаружить при обработке результатов наблюдений следующими статистическими методами: проверкой статистической подконтрольности по расхождению между дисперсиями и средними отдельных групп наблюдений по критериям Бартлетта, Фишера и Аббе [271; регрессионным анализом путем обнаружения связи между наблюдениями и значениями измеряемой величины. Систематическую составляющую погрешности измерительного прибора целесообразно уменьшать или компенсировать, снижая ее до уровня случайной составляющей погрешности. Если систематическая и случайная составляющие погрешности соизмеримы, то первую можно обнаружить только статистическими методами. Методы коррекции систематической погрешности в таком случае также базируются на статистических методах ее обнаружения. После выявления систематической погрешности необходимо рассмотреть возможные причины ее появления и оценить ее составляющие. После анализа составляющих Д с необходимо рассмотреть возможность изменения условий эксперимента таким образом, чтобы уменьшить или исключить прежде всего доминирующую составляющую погрешности. Способы уменьшения систематических погрешностей Рассмотрим основные способы уменьшения систематических погрешностей измерения. Устранение причины возникновения пог р е ш н о с т и является наиболее радикальным способом борьбы с систематической погрешностью измерения, например систематическая 113

Влияющая Ветчина

IUI

П Первый этап

> Первый этой

ßmoooä

Süidn Влияющая

Гг

Первый этап

г•V

-Ху. /7

Величина

Второй этап S Второй этап Рис. 4.10. Примеры способов исключения систематической составляющей погрешности! а, б — изменением знака систематической погрешности, возникающей от действия влияющей величины; б — изменением з н а к а входной величины.

погрешность измерения от неуравновешенности подвижной части прибора устраняется тщательной установкой прибора по уровню. З а м е щ е н и е . Систематическую погрешность измерения можно устранить методом замещения (п. 2.4), если в распоряжении экспериментатора есть регулируемая мера, выходная величина которой однородна с входной величиной данного средства измерений. Использование независимых методик измерений является наиболее надежным способом уменьшения систематической погрешности при последующем вычислении среднего арифметического. Таким способом повышают точность измерения физических констант. П р и м е н е н и е прибора более высокого класса т о ч н о с т и . Д л я уменьшения систематической составляющей погрешности измерения следует прежде всего применять измерительные приборы более высокого класса точности с малыми систематическими составляющими погрешности. При этом необходимо соблюдать все условия нормальной эксплуатации данных средств измерения, произвести их предварительную поверку, учитывать дополнительные погрешности, возникающие от действия внешних влияющих величин вне зоны их нормальных значений. Способ изменения знака с и с т е м а т и ч е с к о й п о г р е ш н о с т и реализуется в том случае, если знак погрешности А может быть изменен при сохранении знака х. При этом компенсируется погрешность от известной нам влияющей величины. Измерение производится в два этапа, причем на втором этапе при противоположно направленной внешней влияющей величине. При этом с изменением знака влияющей величины должен измениться и з н а к систематической погрешности (рис. 4.10, а). Результат измерения на первом этапе XN

Ас.

Числовое значение на втором этапе после изменения знака влияющей величины или направлении ее действия на прибор Xn — XN — А с . 114

Результат измерения, ностью

не искаженный систематической

погреш-

Таким способом удобно устранять погрешность от действия внешних магнитных полей. При ручном способе при этом нужно поворачивать прибор на 180°. В астазированном приборе (т. е. в приборе, не зависящем от положения в пространстве) предусматривается сдвоенный измерительный механизм, в котором и автоматизируются приведенные выше операции. На каждую из одинаковых половин этого сдвоенного механизма, ввиду противоположной направленности их внутренних полей, внешнее равномерное магнитное поле производит противоположное по знаку действие. По этому способу можно устранить погрешность в компараторах, ваттметрах, мостовых измерительных устройствах. Например, если в последних производится измерение гх с помощью регулируемой меры, выходная величина которой г 0 близка по значению к г х (рис. 4.10, б), т. е. если их отношение близко к единице: r j r 0 s z 1.

В равноплечевом мосте гг выбирается равным г2. Однако в действительности из-за наличия неизвестной нам по значению систематической погрешности г2 ф г л ; г2 = гх (1 + б с ) и поэтому в результате измерения возникает погрешность. Способом противопоставления устраняется влияние погрешности 8С на результат измерения. При этом измерение производится также в два этапа, второй раз — после перемены местами тх и г 0 . Предположим, что в равноплечевом мосте гх, г0, гх и г2 производится измерение г х . Уравновешивание производится изменением сопротивления /у. г0

= -jr= (1 + б с ) или г'о = г 1

г ' = г х ( 1 — б с ). ~г Оо

На втором этапе меняем местами гх и г0 и снова мост, изменяя г0 (гх остается без изменения). Тогда Гх

уравновешиваем

Ix. = (1 + б с ) или г'о = гх( 1 + б с ). Г!

Определяя полусумму г0 и г0, получим значение искомого сопротивления г х без систематической погрешности 6С: г

х—

'о + г'о

Способ инвертирования входной и выходн о й в е л и ч и н основан на возможности изменения знака выхода при сохранении неизменными знака и размера систематической погрешности. По этому способу в приборах с двусторонней шкалой устраняется систематическая аддитивная погрешность, не зависящая от х, путем определения полуразности двух результатов измерений при 115

изменении знака х (рис. 4.10, в). Если в уравнении измерительного преобразователя содержится аддитивная систематическая погрешность, то ХЫ =

Дс.

Изменяя знак х на обратный, если коэффициент К и погрешность А0 не зависят от знака х, или, изменяя знак К на обратный при неизменных знаках х и Д с , получим xN

— XN + Д с .

—

Тогда искомое значение X

—

•

Способ инвертирования входной величины дает возможность не только устранить аддитивную погрешность, но и погрешность от нелинейности измерительного преобразования, определяемую значениями четных производных [86]. Действительно, при инвертировании входной величины при разложении в ряд Маклорена получаем f(x)

= f(Q) + f' (0)х + 4 - / " ( 0 ) * 2 + з | - Г ( 0 ) % 3 +

/(-*) = /(0)-n0)*+4-n0)*»-Разность этих зависимостей

•••;

4-Г(0)**+

....

равна

/р(*) = / ( * ) - / ( - * ) = 2 П 0 ) х + V

r (О)* 3 +

•••.

Примером такого способа компенсации систематической погрешности является устранение погрешности компенсатора постоянного тока от контактных термо-э. д. с. ДЕК путем переключения полярности источника питания компенсатора и Е х . Измерение выполняется в два этапа. На первом этапе результат измерения 1 N ^ U K = Е , + ДЕ К , а на втором этапе - N , A U

- E

ДЕк.

Тогда корректированный результат измерения N

A U

E X .

Следовательно, погрешность от действия ДЕ к в корректированный результат измерения не входит. В высокочувствительных цифровых вольтметрах постоянного тока такая коррекция может выполняться автоматически. Примером этого способа является также коррекция при пространственном разделении (п. 8.5), реализуемая в устройствах сравнения периодического действия, если корректируемое звено включено до устройства сравнения. 116

Следует однако учитывать, что при устранении систематической составляющей погрешности изменением ее зна1 ка или знака выходной величины трудоемкость измерений увеличивается. Автоматизированные варианты способа инвертирования широко применя- исо\ ются в современных измерительных 2T T преобразователях. Рис. 4 . 1 1 . График изменения мультисистематической линейноСпособ с и м м е т р и ч н ы х пликативной прогрессирующей погрешности. наблюдений предназначается для устранения систематической мультипликативной погрешности ИП, изменяющейся по линейному закону во времени (рис. 4.11). Возникающая по этой причине погрешность может быть устранена способом симметричных наблюдений, при наличии меры х0, если измерение выполнять в четыре этапа. На выходе измерительного прибора получим x N l = Дсо; XN, — х0 4- Асо",

XN2 = Xn + бc XNT + Асо; XN, = х 0 + бсх02Т + А с0 . В этом случае мультипликативная погрешность устраняется вычислением XN ПО следующей формуле: N

(

) х0

(%,

2 X

N , —

2 X

N )

Примером может служить косвенное измерение сопротивления резистора Rx путем прямого измерения падения напряжения на последовательно включенных резисторах Rx и Ra. В этом случае по способу симметричных наблюдений устраняется погрешность от линейного изменения тока в Rx и R0, например от снижения электродвижущей силы батареи. Смещенной характеристикой обладают, например, измерительные частотные преобразователи с уравнением fx — КХ + /о» погрешность которых от линейного изменения их коэффициента преобразования может быть устранена автоматически. В этом случае все необходимые вычисления можно реализовать в несложных дискретных устройствах или в микропроцессоре. Способ п ериодических наблюдений применяется в том случае, если влияющая величина, создающая систематическую погрешность, изменяется по периодическому закону. Тогда для исключения данной составляющей систематической погрешности два наблюдения производят через половину периода в моменты, когда эта систематическая погрешность имеет противоположные знаки, но равные значения. Затем усредняют результаты этих двух наблюдений, в результате чего систематическая погрешность, изменяющаяся по периодическому закону, исключается. 117

С п о с о б р а н д о м и з а ц и и с и с т е м а т и ч е с к о й пог р е ш н о с т и . Для рандомизации составляющей систематической погрешности причину, ее вызывающую, изменяют случайным образом, затем производят п наблюдений, определяют среднее арифметическое результатов наблюдений, которое принимают равным результату измерения. В таком случае данная составляющая систематической погрешности уменьшается в У~п раз. Примером применения метода рандомизации может служить уменьшение систематической погрешности от установки прибора по уровню путем гс-кратного повторения установки прибора по уровню перед каждым наблюдением. Способ исключения с и с т е м а т и ч е с к и х погрешностей путем введения поправок. Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, которое суммируется со значением величины, полученным при измерении, с целью исключения систематической погрешности. При введении поправки справедливо уравнение Хм =

Хы

4- А с — А п ,

где А0 — систематическая погрешность; Ап — поправка. Если Дп = —А с , то погрешность исключается полностью. Для исключения систематической погрешности путем введения поправки необходимо знать влияющую величину, вызвавшую погрешность и зависимость последней от этой величины в виде формулы или таблицы. Поправка, однако, также известна с определенной точностью, т. е. она также должна характеризоваться статистически, средним значением и с. к. о. При введении поправки в результат измерения систематическая составляющая погрешности уменьшается, а дисперсия возрастает. Стремятся к тому, чтобы при введении данной поправки Ап с известной о п увеличение доверительного интервала результата измерения из-за введения поправки при заданной вероятности не превысило поправку. Для этого необходимо, чтобы

An>z(l/> +

a2„-a),

Таблица 3. Значение коэффициента zs для случайной величины Y, имеющей распределение Стьюдента с п — 1 степенями свободы п— 1

3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 118

Р = 0,95

Р = 0,99

3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179

5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055

п—1

Р = 0,95

14 16 18 20 22 24 26 28 30 60

2,145 2,120 2,101 2,086 2,074 2,064 2,056 2,048 2,043 2,00

Р = 0,99

2,977 2,921 2,878 2,845 2,819 2,797 2,779 2,763 2,750 2,66

иметь идентичные показатели точности, в противном случае показатели точности результатов расчета корректно определить невозможно. Способы определения показателей точности измерений зависят, прежде всего, от степени избыточности измерений. Если выполнены не избыточные измерения (п. 2.4), например однократное, то показатели точности могут быть определены по метрологическим характеристикам данного средства измерения (п. 9.1). Если выполнены избыточные измерения, например с многократными наблюдениями, то показатели точности определяют путем обработки результатов наблюдений (п. 9.7). Округление числового значения измеряемой величины После обработки результатов отдельных наблюдений получаем значение хн и показатели точности, например в виде нижней и верхней границы погрешности ± А Г . Количество знаков в этих цифрах после вычислений может быть любым, однако лишние знаки указывать и неудобно, и неправильно. Необходимо правильно согласовать количество знаков в значениях XN И погрешности Д г , т. е. округлить их. Округлением числа называют отбрасывание значащих цифр справа от определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда. Округление числового значения основывается на порядке погрешности: младший разряд погрешности должен совпадать с самым младшим разрядом результата измерения. Например, если результат измерения 15,371 В; Аг от —0,05 до + 0 , 0 5 В; Р = 0,5, то, следовательно, не только тысячные, но и сотые доли в хм не являются вполне достоверными. Однако при округлении нецелесообразно отбрасывать оба недостоверных разряда, обычно старший, менее недостоверный разряд оставляют. Тогда результат измерения после округления 15,37 В; Д г от —0,05 до + 0 , 0 5 В ; Р — 0,5. Числовое значение погрешности округляется обычно до наиболее старшего разряда со значащей цифрой, второй значащий десятичный разряд указывается только при особо точных измерениях и в тех случаях, если погрешность выражена числом с цифрой старшего разряда, равной или меньшей 3. Правила округления регламентированы СТ СЭВ 543—77 «Числа, правила записи и округления». Напомним их: 1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется; 2) если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу; 3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу; если при этом отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, в противном случае последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу. Погрешность округления. В зависимости от ситуации погрешность округления может быть систематической, если число до округления известно, и случайной, если это число неизвестно. 120

Рассмотрим случай, когда округление результата приводит к систематической погрешности. Допустим, что при вычислении результата используется трансцендентное число (например, при косвенных измерениях). При округлении значения я , т. е. при его замене приближенным значением яОКр, возникает относительная погрешность бОКр, равная с.

0ок

Ал:

Р "J

окр ~

При Jt0KP = 3,14, Ая = — 0 , 0 0 1 6 , б о к р = — 0 , 0 5 % . Если значение величины до округления нам неизвестно и если данное XN округлено по младшему десятичному разряду согласно правилам округления, то погрешность округления случайна и распределена по равномерному закону с с. к. о. о - 2- jÄ Оокр/ ' з- ' где qK — цена младшей десятичной ступени xN до округления. Если при записи результата измерения недостоверный младший разряд отбрасывают (без правил округления), то погрешность будет иметь равномерный смещенный закон распределения с математическим ожиданием М (А окр ) = ~ 1 2 ° ?к и с. к. о. о (А окр ) = • При представлении погрешности от округления дискретным распределением с. к. о. вычисляют по формуле

° = f

—TT—Mftc-

(4 29)

Критерий ничтожной погрешности При суммировании случайных, независимых погрешностей различных звеньев измерительных устройств, определении суммарной погрешности результата косвенных измерений вычисления можно упростить, если пренебречь погрешностями, имеющими малые значения. Д л я этого необходимо определить критерий ничтожной погрешности, т. е. математическое правило, на основе которого можно было бы исключить погрешность ввиду ее малого значения. Этот критерий необходим также в том случае, когда следует выбрать класс точности образцового прибора в зависимости от класса поверяемого с тем, чтобы класс поверяемого мог быть сохранен после поверки прежним, т. е. чтобы погрешностью образцового прибора можно было бы пренебречь. Рассмотрим критерий ничтожной погрешности на примере косвенных измерений. С. к. о. суммарной случайной погрешности результата косвенных измерений в простейшем случае при X = Х х + Х2 определяется по формуле о ( А с у м ) = l / ^ M Ä ^ H - а 2 (А 2 )\ (4.30) где о (А сум ), с. к. о. суммарной погрешности; а (Ах) с. к. о. большей по значению погрешности; о (Д2) с. к. о. «ничтожной» — меньшей по значению погрешности. 121

где z — коэффициент распределения при заданной доверительной вероятности, который определяется по таблице Лапласа (табл. 2) или Стыодента (табл. 3). Принимая во внимание необходимость округления погрешности, а также то, что погрешность выражается не более чем двумя значащими десятичными разрядами, введение поправки, меньшей чем 5 единиц разряда, следующего за младшим разрядом погрешности, нецелесообразно. Одна поправка исключает только одну составляющую систематической погрешности, вызываемую данной влияющей величиной. Поэтому при наличии многих влияющих величин иногда приходится вводить большое число поправок. При этом вследствие дисперсии самих поправок неизбежно увеличивается и дисперсия результата измерения. Часть систематических погрешностей и после внесения поправок остается и входит в результат измерений, их называют неисключенными систематическими погрешностями. Рассмотренные способы уменьшения систематй^кской погрешности, как правило, основаны на участии оператора. В ааст^ящее время во многих аналоговых и цифровых измерительных устредетряХ71редусматривается автоматическая коррекция погрешностей, основные методы которой рассмотрены в (п. 8.6). 4.4. РЕЗУЛЬТАТ ИЗМЕРЕНИЯ

Результатом измерения является значение величины, Которое приписывается измеряемой величине после завершения процесса измерения. Результат измерения выражается в единицах данной физической величины и всегда содержит погрешность. По его числовому значению прямо судить о точности измерения нельзя. Следовательно, результат измерения должен быть обязательно охарактеризован по точности — основному качеству измерения. Это делается с помощью показателей точности. Результат измерения имеет четыре характерные особенности: определяется экспериментальным путем (теоретически определить невозможно); представляет собой число, которое при абсолютных измерениях является именованным с указанием единицы измеряемой величины; содержит показатели точности, без которых нельзя судить об основном качестве измерения, т. е. точности, и использовать данный результат измерения совместно с результатами других измерений; содержит во многих случаях и результат идентификации входного сигнала и его модели. Показатели точности установлены ГОСТ 8.011—72 и по первой форме состоят из интервала и вероятности, с которой действительное значение величины находится внутри этого интервала (например, XN ОТ Д н до Д в ; 0,95). Показатели точности результатов прямых измерений, используемых при косвенных измерениях, должны представляться в такой единой форме, которая позволяет суммировать погрешности и определять показатели точности результатов косвенных измерений. Результаты измерений, используемые для расчетов, также должны 122

При округлении погрешности обычно отбрасывается ее вторая значащая цифра. «Ничтожная» погрешность о(Д 2 ) может быть отброшена в том случае, если при ее учете суммарная погрешность а( Д с у м ) не изменится по значению в первом знаке. Д л я этого нужно выполнить условие о (Д сум ) — о (Д х ) < 0,05а (Д сум ). И з (4.30) получаем о 2 (Д 1 ) + а г ( Д 2 ) = а 2 (Д с у „), а 2 (Дсум) — а 2 (Aj) = о 2 ( Д 2 ) . Откуда находим: о(Дсум) + о ( Д 1 ) > Q . o s o ^ J • Приняв, что о (Двум) = О (Д х ),

получаем

о (Д 2 ) < V2 • 0,05о ( Л г ) < 0,3а (Л,) . . . . (4.31) Таким образом, если меньшая по значению случайная погрешность а (Д2) втрое меньше, чем большая по значению о (A x ), то ею можно пренебречь. Уравнение (4.31) является критерием ничтожной погрешности. Группа погрешностей отбрасывается, если их сумма меньше одной трети максимальной погрешности. Формы представления результатов измерений Д л я дальнейшего повышения уровня измерительного дела необходимо представление результатов в определенных единых формах, которые могли бы регламентироваться соответствующими нормативными документами. Д л я указанной цели введен в действие с 1973 г. ГОСТ 8.011—72 «Показатели-точности измерений и формы представления результатов измерений». Результат измерения представляется в виде значения величины и показателей точности. В зависимости от сложности и ответственности измерений используются различные показатели точности измерения. ГОСТ 8.011—72 в качестве показателей точности установлены: доверительные границы, в которых с установленной вероятностью находится погрешность измерения А или ее систематическая составляющая А • _ о оценки среднего квадратического отклонения о (Д с ), а (Д) систематической и случайной составляющих погрешностей; плотности вероятности систематической и случайной составляющих о погрешности р (Д с ); р (Д). ГОСТ 8.011—72 устанавливает три правила выражения численных о показателей точности Д, Д с ; а (Д с ) и о (А): должны выражаться в единицах измеряемой величины; должны содержать не более двух значащих цифр; наименьшие разряды результата измерения и численных показателей точности должгЛ.! быть одинаковыми. 122

ГОСТ 8.011—72 устанавливает в зависимости от сложности и ответственности измерений четыре следующие формы представления результатов измерений. Первая форма xN; А от А н до А в ; Р(А), где XN — результат измерения в единицах измеряемой величины; А; Д н ; А в — соответственно погрешность измерения, нижняя и верхняя ее границы в тех же единицах; Р (А) — установленная вероятность, с которой погрешность измерения находится в указанных границах. Пример: 100 В, А от —1 до + 1 В; Р = 0,95. Первая форма представления результата измерения характерна тем, что в ней рассматривается погрешность, без подразделения на систематическую и случайную составляющие. Показатели точности результата измерения, представленного по первой форме, недостаточны для корректного суммирования погрешностей блоков и определения погрешности результата косвенных измерений Вторая форма XN', АС ОТ Асн ДО Асв> Р С (А С ); о (А); р с т (А), где А с ; А сн ; А св — соответственно систематическая погрешность измерения, нижняя и верхняя ее границы в единицах измеряемой величины; Ра (Ас) — установленная вероятность, с которой систематическая о

составляющая погрешности находится в ее границах; а (А) — оценка с. к. о. случайной составляющей погрешности в единицах измеряемой о

величины; рст (А) — стандартная аппроксимация функции плотности вероятности случайной составляющей погрешности (табл. 4). Пример: 101,5 В; А0 от 1,5 до —1,5 В; Р 0 (А с ) = 0,95; о (А) = = 0,5 В; равн. Вторую форму представления результата измерения целесообразно применять в тех случаях, когда значительная по относительному уровню систематическая погрешность изменяется по случайному закону. Результаты прямых измерений, представленные по этой форме, могут быть использованы для корректного определения только случайной составляющей суммарной погрешности косвенных измерений. Во второй форме представления результата измерения показатели точности указываются по обеим составляющим погрешности. Третья форма xN;

О (А с ) рст (А с );

о (А);

р с т (А),

где а (Д с ) и а (А) — оценки с. к. о. систематической и случайной соо

ставляющих погрешности; рст (А) — стандартные аппроксимации плот1 Для представления результатов прямых измерений, выполненных измерительным прибором, у которого нормирована только основная погрешность, при однократных наблюдениях рекомендуется результат измерения представлять в виде значения ; величины и интервала для погрешности измерения без указания доверительной вероятности [25].

123

ности вероятности систематической и случайной составляющих погрешности (табл. 4). „ Пример: 101,11 В; а (Д с ) = 0,05 В, равн. ст (Д) = 0,03 В; норм. Третью форму представления измерения целесообразно применять в тех случаях, когда обе составляющие погрешности значительны по уровню и изменяются по случайным законам, когда необходимо суммировать обе составляющие погрешности, при определении обеих составляющих погрешности результата косвенных измерений. Четвертая форма xN; р(Ас)\

р(А),

где р (Д с ) и р (Д) — соответственно плотности вероятности систематической и случайной составляющих погрешности, представляемые обе в одинаковой форме таблицами, графиками или формулами. Пример: 102 В; р (Д 0 )

-L-А-при -

1 В < Д с < ЗВ; О

Таблица

4. Стандартные аппроксимации функции плотности вероятности согласно ГОСТ 8.0 П —72

Функция

Нормальная (усеченная)

Сокращенное обозначение о с т (Д)

норм.

3,0

к^

1 1 трап.

Равномерная

равн.

Трапециевидная

J-. -

Треугольная (Симпсона)

а о (Д)

График р с т (Д)

;

2,4

Л 2,3 и

•

Антимодальная I

ам I

1,4 IT

Антимодальная II

ам II

N / 1

3й

Релея (усеченная)

124

2 1

1 1 1

1.8

3,3 А

Четвертую, наиболее полную, форму представления результата измерения целесообразно применять в наиболее сложных и ответствено

ных измерениях, когда плотности распределения р (Д с ) и р (А) значительно отличаются от стандартных аппроксимаций. Эта форма дает возможность наиболее корректно суммировать погрешности, определять при этом суммарный закон распределения, определять граничные значения погрешностей при различных установленных вероятностях. 4.5. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СРЕДНЕЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ДИСКРЕТНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ ИЛИ ПОТОКА ЧАСТИЦ

В радиоизотопной диагностике, ядерной физике, биологии, медицине все чаще применяют измерители ионизированных излучений, которые являются измерителями средней интенсивности потока или частоты естественно-квантованной величины, распределенной по закону Пуассона. В качестве чувствительных элементов в этих приборах применяются1 индикаторы частиц, например счетчики Гейгера. При измерении средней интенсивности потока в таких приборах возникают специфические погрешности в результате неравномерности потока частиц, а также изза наличия мертвого времени счетчика импульсов. Случайная погрешность измерения среднего значения потока частиц из-за его неравномерности Поток частиц обычно описывается законом Пуассона. Основным параметром потока является интенсивность X, определяемая как среднее число частиц, поступающих на счетчик в единицу времени. Если интенсивность X — величина постоянная, то вероятность того, что за время t на счетчик поступит N частиц, в соответствии с законом Пуассона, равна (N) = - ^ р -

(4-32>

Если подсчет числа частиц, поступающих на счетчик за определенное время t, производится несколько раз, то результаты счета могут принимать различные значения, вероятность каждого из которых определяется (4.32). Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание, т. е. среднее значение результата счета N, равно М (N) = U. Дисперсия результатов счета, распределенных по закону Пуассона, совпадает со своим математическим ожиданием: D (N) — М (N) = U. Оценка интенсивности потока частиц экспериментально определяет' ся путем подсчета числа частиц N за определенное время / и выполнения 126

операции деления: % = jVcp =

N/t.

Математическое ожидание оценки интенсивности потока частиц за время М(к)

= М (N/t) = 1 ИМ (N) = 1/tkt = Я.

Отсюда видно, что N c p является оценкой интенсивности потока к. Определим точность данной оценки. Д л я этого найдем дисперсию оценки интенсивности потока частиц: D(%) = d(4")

= -^D(N)

= -L%t

= JL t

я с. к. о. а (l) = К D (X) =

(4.33)

= —— = -L- .

Относительное значение с. к. о. CT

wcp)

= - S ^ - =

= f f

= у д

••

(4.34)

t Из (4.33) и (4.34) следует, что точность определения интенсивности потока частиц тем выше, чем больше результат счета N и, следовательно, чем больше время счета t и сама интенсивность к. Д л я больших значений N приближенно можно считать, что X = N/t

и а (к) =

VN/t.

Если результат счета во много раз больше единицы, то для определения доверительного интервала можно пользоваться нормальным законом с математическим ожиданием М (N) —Ы и с. к. о. о (N) = = у щ щ = VTt: J (N-W Задаваясь доверительной вероятностью, например Рлов = 0,95, можно указать интервал, в котором содержится истинное значение интенсивности: Ncp — 2а (Ncp) <k<Ncp + 2o (Ncp)\ N-

2 V/V ^ л N + 2 V~N - < А •<_ t ^ ^ /

Погрешность измерения среднего значения потока частиц от просчета импульсов Из-за неравномерности частоты следования частиц и наличия так называемого «мертвого времени» счетчика возникает погрешность от просчета. Мертвое времяТм — это максимальный интервал между та26

кими двумя соседними импульсами, которые счетчик сосчитывает как один. Мертвое время возникает вследствие того, что отдельные узлы счетчика обладают инерционностью. Если в качестве чувствительного элемента применяется, например, счетчик Гейгера, то мертвое время определяется длительностью разряда, вызванного попаданием заряженной частицы. Если следующая частица попадает в счетчик раньше, чем закончится разряд, то она не будет зарегистрирован?. Мертвое время счетчика может быть обусловлено также инерционностью усилителя, отсчетного устройства и других звеньев. Различают мертвое время продлевающегося типа (мертвое время накапливается) и непродлевающегося типа (мертвое время не накапливается). Мертвое время продлевающегося типа имеет место, например, в электромеханических отсчетных устройствах, в которых с приходом импульса якорь электромагнита притягивается к сердечнику, вызывая поворот отсчетного диска на одну угловую единицу. На притягивание якоря и возврат его в исходное положение затрачивается определенное время т м . Если следующий импульс приходит раньше, чем якорьуспеет возвратиться в исходное положение, то очередное притягивание его к сердечнику произойдет «вхолостую», т. е. не вызовет поворотаотсчетного диска, и импульс не будет зарегистрирован. Если третий импульс снова приходит до истечения времени тм после момента прихода второго, то он также не будет зарегистрирован. В результате суммарное мертвое время будет равно 2тм и т. д. Мертвое время чувствительного элемента — счетчика Гейгера — непродлевающегося типа. Частица будет зарегистрирована только» в том случае, если на отрезке времени т м , непосредственно предшествовавшему моменту ее попадания в счетчик, не было попадания другой частицы, независимо от того, имела место регистрация до начала интервала тм или не имела. Определим погрешность от просчета импульсов, обусловленнуюмертвым временем продлевающегося типа. Вероятность того что наочень малом интервале dt ->- 0 в счетчик попадет одна частица, определяется (4.32). После подстановки значений t = dt и N — 1 получаем:Px,dt(\)

= Mt.

(4.35)-

Частица будет зарегистрирована, если в течение мертвого времен» тм, непосредственно предшествовавшего dt, в счетчик не поступала ни одна частица. Вероятность того, что частица не попала в счетчик завремя тм, согласно (4.32), т. е. при t — тм и N = О, Ркдл,(0) = е - я ™ .

(4.36)

Считая, что попадание частицы на отрезке времени dt и непопадание другой частицы на отрезке времени Тм, непосредственно предшествовавшем dt, — события независимые, можно найти вероятность того,что за очень малое время dt счетчик зарегистрирует одну частицу: / W

(1) = Рхм (1) РА.ХМ (0) =

te~%tMdt.

<4.37> 127

Если теперь в результате счета в течение конечного отрезка времени было получено число N, то среднее число зарегистрированных частиц в единицу времени iVcp -

N/T.

Так как при определении Ncp не учитываются частицы, не зарегистрированные вследствие наличия мертвого времени т м , то при % = Ncp {4.32) будет описывать вероятность того, что результат равен N, с учетом тм:

Тогда вероятность того, что за очень малое время dt-*- 0 будет зарегистрирована одна частица, с учетом тм PX,DUтм( 1) = P N

c p

(1) = Ncpdt.

(4.38)

Приравнивая правые части (4.37) и (4.38), получаем Ke~kTMdt

Ncpdt,

откуда Ncp

Яе~им.

Погрешность при экспериментальном определении интенсивности потока, вызванная мертвым временем продлевающегося типа, — I = ( e - V t M — 1) К.

Ak = N c p — l =

Относительное значение этой погрешности

Если тм = 0, то у ->- 0. При данном тм погрешность тем меньше, чем меньше измеряемая интенсивность %. Определим погрешность определения средней интенсивности, вызванную мертвым временем непродлевающегося типа. Пусть в результате подсчета частиц на конечном отрезке времени / получено число N p , Найдем суммарное число частиц, пропущенных из-за наличия мертвого времени. За каждой из зарегистрированных частиц образуется мертвое время т м . Общее мертвое время на отрезке i Тмо — Л^рТм. Число частиц, пропущенных счетчиком, N Пр = Тм(Л = NpX^K. Число частиц, поступивших на счетчик за время t, N

LT =

N P

NPXNX

откуда находим N

128

(1 +

ШХ),

Среднее число частиц, зарегистрированных счетчиком в единицу времени, лг N„ Я Wcp = = т+Ч^ЗГ • <4'39> Относительная погрешность при определении средней интенсивности, вызванная мертвым временем непродлевающегося типа, ^ V

_ К

+ X

мх

(4.40) TMV'

Эта погрешность снижается с уменьшением мертвого времени тм> При данном значении мертвого времени она тем меньше, чем меньше измеряемая интенсивность X. 4.6. ОСНОВЫ АНАЛИЗА ДОСТОВЕРНОСТИ КОНТРОЛЯ

Контролем в более широком понимании называют процедуру установления соответствия между действительным состоянием объекта и заранее заданной нормой путем восприятия контролируемых величин или параметров, сравнения их с уставками и формирования вывода, заключения [361. Число различаемых при контроле состояний объекта может быть два и более. Контроль обычно выполняется автоматически с помощью специальных технических средств, называемых средствами контроля. На действительное состояние объекта влияют различные случайные факторы. Поэтому факт нахождения объекта в одном из возможных контролируемых состояний является случайным событием и поэтому точно непредсказуемым. Событие, заключающееся в безошибочном определении средствами контроля действительного состояния объекта ввиду неидеальности самих средств контроля, также является случайным. Поэтому контроль характеризуется прежде всего вероятностными характеристиками, основной из которых является достоверность контроля. Достоверность контроля отражает степень объективности результатов контроля, т. е. решений и является основной характеристикой качества контроля. Эта характеристика отражает степень доверия к полученным результатам. Достоверность контроля характеризуется ошибками контроля, которые являются случайными событиями. Ошибки контроля зависят от многих факторов: погрешности средств контроля, размера допусков контроля и ряда других. Анализ достоверности однопараметрового контроля Рассмотрим процедуру контроля параметра X, который представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью распределения р (х). На параметр X заданы значения допусков в виде нижнего и верхнего хв. Контролируемый параметр X данного объекта может находиться в одном из двух состояний: Я, — параметр «в допуске» и Н2 — параметр «вне допуска». Априорные вероятности событий 5

sie

|29

Л> (Hi)

(tf2): Л . ( Я х ) = x$ p(x)dx,

(4.41)

Po (H2) =

f P (X) dx + $ P (X) dx =

—oo

( H ( 4 . 4 2 )

Погрешность средств контроля представляет собой т а к ж е непрерывную случайную величину с известной плотностью р (Д'). В устройстве цифрового контроля результат измерения имеет погрешность Xn = X + А'. После сравнения оценки XN с контрольными числовыми допусками х я ы и хвN, которые образуют контрольное поле допуска, формируется решение «в допуске» или «вне допуска». Наличие погрешностей является причиной появления неправильных решений, в результате которых часть фактически находящихся в допуске изделий бракуется и в то ж е время часть бракованных изделий признается годной «в допуске». В общем случае при контроле возможно появление одного из четырех несовместимых случайных событий: 1) Ни Н\ — истинное значение параметра в пределах допуска (хв ...х„), измеренное значение т а к ж е в пределах контрольного допуска ХВЯ •••XHJV), принимается правильное решение «в допуске» *H<X<*B;

XBN < XN < *влг;

2) Ни — истинное значение параметра в пределах допуска, а измеренное значение — за его пределами, принимается неправильное решение «вне допуска» Х

<Х<Хъ,

X N < X „

или X N > X

N \

3) # 2 , Н\ — истинное значение параметра за пределами допуска, а измеренное значение — в пределах допуска, принимается неправильное решение «в допуске» Х<*

X„N < X N

или Х > л : в ;

<XBN;

4) Я 2 , # 2 — истинное значение параметра за пределами допуска и измеренное т а к ж е за пределами допуска, принимается правильное решение «вне допуска» хи>Х>хв;

X N > X

N или X N < X

N .

Совместным вероятностям перечисленных случайных событий принято присваивать обозначения у = Р (#b Нк) — вероятность правильности решения «в допуске»; а = Р (Ht, #2) — риск изготовителя, вероятность неправильности решения «вне допуска»; ß = Р ( # 2 , Щ ) — ри£к заказчика, вероятность неправильности решен и я «в допуске»; 130

б = Р ( # 2 , Яг) — вероятность правильности решения «вне допуска». Такой подход к анализу достоверности, принятых при контроле заключений, был впервые предложен Н . А. Бородачевым 17]. Совместные вероятности у, а, ß, б вычисляются по следующим формулам: = J J Р (х, XN) dxNdx-,

у= Р

(4-43)

И НN

х х

а—Р

в нN (НхН*) = j \ р{х,

в со xN) dxNdx + £ J р (х, xN)

dxNdx; (4.44)

*н

вN

оо * в н

J J р{х, xN)dxNdx+<jj —ОО ЛГНДГ

р = Я(Я,Я?) =

б = Р (#2#г) X

н хнN =1 j р(х, —оо —оо

J р(х, Хв XhN

xN)dxNdx;

(4.45)

оо оо xN) dxNdx + j j P (x, xN) dxNdx *в хвN

+ jj

OO HN

\ p(x,

XN)

DXNDX

p (x,

dxNdx,

XN)

где p (x, XN) — двухмерная совместная плотность распределения системы случайных величин X и X N . Одной из основных количественных оценок достоверности контроля является абсолютная достоверность, представляющая собой вероятность принятия правильного решения [71: D

1 —

РОШ,

где Рош — вероятность ошибочных решений при контроле, равная сумме рисков изготовителя и заказчика, Рош = а + р. Д л я расчета достоверности должны быть известны распределения контролируемого параметра и погрешности средств измерения, а т а к ж е допуски на параметр. Наиболее часто встречается нормальное распределение как контролируемых параметров, так и погрешностей измерения. Если контролируемый параметр и погрешность измерения независимы и имеют нормальный закон распределения с математическими ожидани$Пйи и с. к. о.-, равными соответственно М (X), М (А) = 0; о (Х)О (А), при симметричном допуске ± d , при (Х-М(Х))' (xN—X)' Р

(х) '

Н V

У 2лах

2 2 Л

°< >

;

Р { X N / X )

И V

У2л а (Л')

ШЬТ

;

(4.4в) 131

учитывая, что р (х, xN) — р (х) р (х/хN), а = •

l V2n а (X)

(

(X)

М(Х)—d

M(X)—d

М(Х)—d IX)-

УЪго(Х) у Zib и )

2ЛНХ)

M(X)+d _ (X-M(X))* ЮЧХ) е

1 У 2п О

получим н/V (xN—X)' dxд - = j f е |/2ла(Л') ,) —<Х ОО

У2па{А')

(Х-ЩХ))' 2оЧХ) ^2лл

с^д.,

—оо

{Х-ЩХ))*

1 / 2 л а< х >

[xN—X)* dxN е

J 4N X BN "И Г е

(xN-xy 202 <A')

dx 4(4.47)

dx.

dx +

1 К 2 л о |Д')

dx. (4.48)

По данным формулам а и ß определены численным интегрированием на ЭВМ, а результаты представлены в виде номограмм (рис. 4.12). Для расчета а и ß можно использовать также приближенные формулы. В частности, для симметричного допуска [28] при о (А') о(Х) ' Р а(Х) • а —

0,3р() +гр) 1+0,6р (р — 0,1) У? (1,9—г)

г' е

(4.49)

o,3p(i-o.i-H-) (4.50)

р= -

1+0,8/р Для г, равного 1 ...3,5, и р, равного 0,002...0,5, погрешность вычисления а и ß по этим формулам не превышает 5 %. В [28] приведены номограммы для определения риска изготовителя (ложного отказа) и риска заказчика (необнаруженного отказа) для симметричного допуска при отсутствии систематических погрешностей измерения. Обозначим поле допуска на параметр 2 d — хв — х н . При построении номограмм (рис. 4.12) использовались нормированные величины За (Д') г— •и г = а (X) " " d Пусть, например, необходимо вычислить достоверность контроля параметра при о (X) = 1, d = 2 и а (Д') = V9. Находим величины За (А') : = 2; z = 0,16. о(Х)

132

Рис. 4.13. Частные случаи взаимного соотношения распределений контролируемой величины X, погрешности ее преобразования Л ' и поля допуска а.

По рассчитанным величинам г и г определяем из номограмм (рис. 4.12) а = 0,005;

ß = 0,004.

Тогда Д = 1 — а — ß = 0,991. (4.51) Случай равномерного распределения контролируемого параметра и погрешности измерения исследован в [52]. Частные случаи взаимArn fm~<f ного соотношения величин хт, Ат и d при равномерных распределениях X и А' показаны на рис. 4.13. В табл. 5 приведены расчетные формулы для определения а и ß при равномерном распределении X и А', при симметричном поле допуска ± d и при совпадении М (X) с центром поля допуска. Если контролируемая величина X и погрешность средства измерения А' распределены равномерно хт = 9,6; А т = 3, а поле допуска d = 9, то d < хт\ Am > хт — d. Такие соотношения соответствуют частному случаю в из табл. 5. Поэтому для определения достоверности контроля вычислим а и ß по соответствующим формулам: а = • R_ р

4 • 9,6

4*„

t^in —(*»" — — < 0 4* т Д ш

_ _

0,08;

[2,3-(9,6-9)] (9,6-9) ^ . м = U,U<i. 4 .9 6 . з

Следовательно, D=

1 — а — ß = 1 — 0,08 — 0,03 = 0,89.

Степень совершенства цифрового контроля — достоверность правильности заключения контроля зависит прежде всего от погрешностей средств измерений А' и увеличивается по мере уменьшения А'. Основной смысл контроля заключается в увеличении достоверности правильности заключения «в допуске», т. е. условной вероятности Р (HJH1) по сравнению с априорной вероятностью о годности изделия Р 0 ( H j , которая является основной характеристикой партии изделий при сдаче заказчику без контроля. 134

Таблица 5. Формулы для определения риска изготовителя и риска заказчика при равномерном распределении параметра X, погрешности Л' и при различных соотношениях между хт. Ат и d Частные случаи

Соотношение между d

• "т « Ат

d 5= хт;

d 55 хт;

Аm<d — хт А

m^d—xm

а,

[Am-(d~xm)V

4*„,Д т

d < хт;

A'm>xm — d

д'т 4хт

d< хт;

Am<xm

Ат 4*т

—d

[ЪАт — хт — — d)](xm-d) *хтА'т

4* т

При реальном контроле условная вероятность Р (HJH1) определяется по формуле Байеса: Р ( Н М )

Р.

Wt/Я.)

(4.52)

При идеальном контроле Р ( # x / # * ) = 1 и, следовательно, в этом случае достоверность наших сведений о состоянии объекта контроля увелир (Нг/НЧ) 1 чится в = раз -РЖГ ш -

Глава

СРЕДСТВА ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЫЮИ ТЕХНИКИ

Средства информационно-измерительной техники (ИИТ) являются совокупностью технических устройств, предназначенных для получения разнообразной качественно-количественной информации: заключений о состоянии объекта испытания, контроля и технической диагностики, результатов измерений величин, зависимостей и идентификации объектов. Средства ИИТ можно разделить на средства испытания, исследования, измерения, контроля, обнаружения, технической диагностики. Все комплексные процедуры, реализуемые средствами ИИТ, базируются в основном на измерениях и последующей обработке их результатов. 5.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Средства измерений — технические средства, используемые в измерениях и имеющие нормированные метрологические характеристики (ГОСТ 16263—70). Средства измерений подразделяются на средства реализации отдельных операций измерения и всей процедуры измерения. Их называют соответственно элементарными и комплексными средствами измерений (рис. 5.1).

136

К элементарным средствам измерений относятся средства, каждое из которых само по себе недостаточно для осуществления процедуры измерения. К элементарным средствам относятся меры величин (М), устройства сравнения (УС), измерительные (ИП) и масштабные (МП) преобразователи. В комплексных средствах измерений, в которые элементарные входят наряду с другими звеньями в качестве составных частей, процедура измерения завершается полностью. К этим средствам относятся измерительные приборы, измерительные установки, измерительные информационные системы (ИИС). Измерительным прибором называется средство измерений, предназначенное для выработки выходного сигнала в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительная информационная система — это совокупность программно-управляемых средств измерений и вычислений, выполняющих общую задачу получения информации об объекте по единому алгоритму. Объектом измерения ИИС является обычно совокупность многих величин и зависимостей между ними. Классификация измерительных приборов Измерительные приборы классифицируют по следующим признакам — форме выходного сигнала; по методу измерения; режиму работы, во времени (рис. 5.2). По форме выходного сигнала измерительные приборы подразделяются на аналоговые, показания которых являются непрерывной функцией измеряемой величины по значению и во времени, и цифровые, показания которых являются визуальной формой цифрового кода; квантованы по значению и дискретизированы во времени. В аналоговых приборах выходным сигналом является перемещение указателя по отношению к шкале. В цифровых приборах выходным сигналом является кодовый сигнал, представленный визуальным изображением на цифровом отсчетном устройстве. Такое изображение наиболее удобно для отсчета наблю-

If II § I

I I! t*

Рис. 5.2. Классификация измерительных приборов.

13?

Jw? / |

1 ИП? j-

xtt)

Л5г

Рис. S.3. Измерительный прибор: разомкнутой структурной схемой; с замкнутой структурной схемой.

И/

4fL

б•

Рис. S.4. Графическое изображение режима работы измерительных приборов уравновешивания: следящего (а) и развертывающего (б).

дателем значения измеряемой величины одновременно по всем разрядам. Измерительные приборы подразделяются также на показывающие, которые допускают только отсчитывание показаний оператором, и регистрирующие, в которых предусмотрена регистрация показаний. Регистрирующие приборы подразделяются на самопишущие — с записью показаний в форме диаграммы, на которой может быть воспроизведена непрерывная функция измеряемой величины, и печатающие, в которых предусмотрено печатание показаний в цифровой форме. По используемой группе методов измерения различают измерительные приборы сопоставления, или прямого преобразования, и уравновешивания. Первые отличаются отсутствием (рис. 5.3, а), а вторые — наличием (рис. 5.3, б) сравнения выхода со входом. Измерительные приборы уравновешивания имеют структурную схему, замкнутую через оператора или с помощью автоматического устройства. По режиму работы во времени измерительные приборы сопоставления можно подразделить на приборы непрерывного и циклического действия, а измерительные приборы уравновешивания — на приборы следящего и развертывающего уравновешивания. В приборах следящего уравновешивания выходная величина непрерывно следует за изменениями измеряемой величины, превышающими порог чувствительности прибора (рис. 5.4, а). При этом связь выхода со входом непрерывна. В приборах следящего уравновешивания при х = const все звенья находятся в состоянии покоя. В приборах развертывающего уравновешивания выходная величина хА (t) отражает размер одного из мгновенных значений измеряемой величины в течение.каждого цикла (рис. 5.4, б). При этом связь выхода со входом прибора существует только одно мгновение в течение каждого из непрерывно повторяющихся циклов. При х — const все звенья прибора развертывающего уравновешивания непрерывно работают. 138

5.2. ОБЩИЕ

СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ОСНОВНЫЕ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ

ПАРАМЕТРЫ

Отсчетным устройством называется часть конструкции средства измерений, предназначенная для отсчитывания значений измеряемой величины. Отсчетные устройства имеют измерительные приборы, измерительные системы и регулируемые меры. Отсчетные устройства подразделяются на аналоговые и цифровые. Аналоговое о т с ч е т н о е устройство представляет собой совокупность шкалы и указателя и применяется в показывающих измерительных приборах (рис. 5.5, а). Цифровое отсчетное у с т р о й с т в о — это устройство, в котором создается цифровое визуальное изображение значения измеряемой величины в данной системе счисления (рис. 5.5, б) обычно в десятичной. Шкалой называется часть отсчетного устройства, представляющая собой совокупность отметок и проставленных у некоторых из них чисел отсчета, соответствующих ряду последовательных числовых значений величины. Шкала наносится на определенном прямолинейном участке или на дуге окружности. Отметкой называется знак на шкале в виде черты, точки или зубца, соответствующий некоторому числовому значению, измеряемой величины. Числовыми отметками называются отметки, напротив которых на шкале проставлены соответствующие числовые значения величины. Числовые отметки облегчают оператору отсчитывание значений измеряемой величины, которое он производит по положению указателя относительно отметок шкалы. Промежуток между двумя соседними отметками шкалы называется делением. Ценой деления шкалы называют разность значений измеряемой величины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы. Шкалы с делениями постоянной длины называются равномерными, а шкалы, деления которых непостоянны по длине — неравномерными. Практически равномерной называется шкала, длины делений которой отличаются не более чем на 30 % и имеют постоянную цену деления. Существенно неравномерной называется шкала с сужающимися делениями, у которой значение выходного сигнала, соответствующее полусумме верхнего и нижнего пределов диапазона изменения входного сигнала, находится в интервале между 65 и 100 % длины шкалы. При градуировке на вход показывающего измерительного прибора вводится ряд величин х0 с известными значениями от регулируемой меры, при этом запоминаются (нанесением отметок) соответствующие значения выходной величины а или /. Напротив части из этих отметок

Рис. 5.5. Отсчетные устройства: а — аналоговые; б — циф« ровые.

ÜL limlimliiiilniili

1£1% | £ 1 0£10£|

№

и Ш

139

У Л ЗП ЗП а л ! Шта Регулируемая Здена памяти _ многих значении X мера [шкала}, эквивалент многозначной' <Г а меры / Рис. 5.6. Градуировка аналогового измерительного прибора: со шкалой (а) и применение прибора (б). м /

/о

1':П

проставляются числовые значения N x величин, подаваемых на вход прибора от регулируемой меры (рис. 5.6). Нанесение равноотстоящих отметок на шкале является простейшим примером квантования. При отсчете XN ТОЛЬКО ПО оцифрованным отметкам ступень квантования, а значит, и погрешности от квантования получаются слишком большими, а отсчет — неточным. Оператор завершает отсчет лтдг, мысленно кодируя неоцифрованные отметки и расстояния между ними. При измерении на вход прибора подается измеряемая величина X , значение которой определяется по предварительно отградуированной шкале. Шкала, таким образом, является запомненным отражением действий выходной величины меры на данный измерительный прибор. В этом случае шкала выполняет задачу заменителя многозначной меры выходной величины, выдающей углы или перемещения, по размеру эквивалентные ряду образцовых величин х0. Высокая точность обеспечивается в том случае, если зависимость а = / (х) остается неизменной. Одновременно равномерную шкалу можно рассматривать и как многоканальную меру длины или угла. Измеряемая величина в приборе преобразуется в угол или в длину и сопоставляется со шкалой. Следовательно, на заключительном этапе после преобразования X в а или в I в каждом аналоговом измерительном приборе реализуется первый метод сопоставления с многоканальной мерой. По градуировке учитываются систематические составляющие погрешности прибора, возникающие в нормальных условиях, и в дальнейшем неизменные. Следует стремиться к тому, чтобы прибор работал в этих нормальных условиях. При отсчитывании значения измеряемой величины по аналоговому отсчетному устройству доля деления шкалы определяется приблизительно. В результате возникает погрешность отсчитывания, которая зависит от длины деления. Регистрирующее устройство является устройством долговременной памяти, в котором в качестве носителей применяется обычная бумага или специальная электро-, тепло-, свето- или химочувствительная бумага, магнитная лента и т. д. Регистрирующие устройства также подразделяются на аналоговые и цифровые (рис. 5.7, а, б). В аналоговых регистрирующих устройствах с бумажным носителем измеряемая величина преобразуется в перемещение регистрирующего органа. f Преимущества аналоговых отсчетных и регистрирующих устройств: 140

удобство сопоставления значеЗШ 7693 ния измеряемой величины с задан5427 6198 ными ее предельными значениями; возможность учета нелинейнос2J64 77ßf ти преобразователя выполнением 5167 5629 шкалы с обратной нелинейной ха3614 6723 рактеристикой; — щ г . при визуальной регистрации удобство обозрения, возможность одновременного восприятия покаРис. 5.7. Документы регистрации: а — аналоговой; б — цифровой. заний многих приборов. Недостатки аналоговых отсчетных и регистрирующих устройств: наличие субъективной погрешности отсчета; трудность представления результата высокоточных измерений из-за чрезмерных габаритов отсчетного устройства. Основные преимущества цифровых (рис. 5.5, б и 5.7, б) отсчетных и регистрирующих устройств: отсутствие субъективной погрешности отсчета; возможность представления высокоточного результата измерений при малых габаритах. Недостатки цифровых отсчетных и регистрирующих устройств: в цифровых приборах результат измерения величины, изменяющейся во времени, документируется в виде таблицы или колонки числовых значений, которая неудобна для обозрения. Поэтому в некоторых цифровых приборах добавляют преобразователь код-аналог и регистрирующий аналоговый прибор, вычерчивающий непрерывную кривую. Большая трудность одновременного восприятия оператором отсчетов на нескольких цифровых отсчетных устройствах: в цифровом отсчетном устройстве более сложно сопоставление с заданными предельными значениями Л/пр; цифровое отсчетное устройство эквивалентно равномерной шкале, поэтому нельзя использовать предвключенный нелинейный измерительный преобразователь без линеаризатора. Цифровой и аналоговый выходы имеют полярные, противоположные свойства — преимущества цифрового выхода являются недостатками аналогового, и наоборот. Поэтому, безусловно, целесообразна их гибридизация с целью суммирования положительных сторон обоих и ослабления отрицательных. Обычная шкала с оцифрованными делениями тоже в определенной степени является гибридной формой отсчетного устройства, так как в ней применяется для старших разрядов цифровой отсчет, а для младших — чисто аналоговый. Одним из современных примеров гибридизации свойств цифрового и аналогового выходов является использование современных средств оптоэлектроники, электролюминесценции, электронно-лучевых устройств и газоразрядных эффектов для преобразования кода в видимое перемещение, в видимую шкалу. Отсчет — число, отсчитанное по отсчетному устройству средства измерений либо полученное оператором путем счета последовательных отметок или импульсов. 141

Показание средства измерений XN — значение величины, которое определено по отсчетному устройству и выражено в единицах данной величины. Начальное хняч и конечное л:кон значения шкалы — это соответственно наименьшее и наибольшее значения измеряемой величины, указанные на шкале. Диапазоном показаний называют область значений шкалы, ограниченную конечным х кон и начальным хтч значениями. Диапазоном измерений называют область значений измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности средства измерений. Наибольшее и наименьшее значения диапазона измерения называются пределами измерения. Влияющей физической величиной, или внешним фактором, называют физическую величину, которая оказывает влияние на информативный параметр выходного сигнала средства измерения. Основными влияющими величинами являются время, температура, напряжение питания, магнитная индукция и др. Степень воздействия влияющей величины на метрологические характеристики нормируется в виде функции влияния (п. 8.1), а также наибольших допустимых изменений соответствующих метрологических характеристик. Время измерения — интервал времени, необходимый для осуществления процесса измерения. Важным параметром выходного сигнала является вариация выходного сигнала Ьх разность между значениями информативного параметра выходного сигнала измерительного преобразователя или показаниями измерительного прибора, соответствующими данной точке X диапазона измерения, при двух направлениях медленного многократного изменения информативного параметра входного сигнала в процессе подхода к данной точке диапазона измерения. Вариация измерительного преобразователя выражается в единицах информативного параметра выходного сигнала у, а для измерительного прибора — в единицах измеряемой величины. Способы расширения диапазона измерений измерительных приборов Большинство измеряемых величин изменяются в диапазонах, достигающих многих десятичных порядков. Диапазоны измерений измерительных приборов непрерывно расширяются в сторону как больших, так и меньших значений. Особенно важной является задача расширения диапазона измерений в сторону меньших значений, так как это позволяет все более глубоко проникать в физику процессов с низкими уровнями энергии. При расширении диапазона измерений в сторону меньших значений необходимо измерить величину х, меньшую цены деления или ступени квантования qK данного измерительного устройства. Если исходить из уравнения измерения

142

то определить значение величины, меньшей по размеру, чем ступень меры можно следующими способами: 1) использованием масштабного преобразователя — усилителя с коэффициентом масштабного преобразования /Смп- Тогда результат измерения N = E

^мп*

(5.2)

<7к

2) использованием более чувствительного измерительного прибора или меры со ступенью квантования в п раз меньшей, чем qK, т. е. пх (5.3) = Е = п N = Е Як <72 Предел уменьшения размера ступени квантования устанавливается дискретной природой микромира, конечным уровнем шумов; 3) путем совместного одновременного использования двух и более мер с близкими значениями ступеней квантования методом нониуса (п. 2.4); 4) преобразованием х в выходную величину у, для которой созданы более чувствительные измерительные устройства с соответственно необходимыми нижними пределами измерений; 5) применением многоканального нерегулируемого либо одноканального регулируемого масштабного преобразователя х (если х > qK, но отношение x/q^ невелико). Тогда соответственно: -±rN

= qK

/СмпХ = д я и XN =

(5.4)

;

(5-5>

мп 6) созданием т одинаковых х, их суммирования и последующего измерения Расширить диапазон измерения в сторону больших значений можно следующими способами: 1) уменьшением значения х с помощью масштабных преобразователей — делителей; 2) применением меры с большими ступенями квантования; 3) преобразованием X в выходную величину У, для которой созданы измерительные устройства с соответствующими верхними пределами измерений. 5.3. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АНАЛОГОВЫХ И ЦИФРОВЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ, ЭТАЛОНОВ И МЕР

Аналоговыми измерительными приборами называют измерительные приборы, показания которых являются непрерывной функцией измеряемой величины по значению. Основной особенностью такого прибора является наличие аналогового отсчетного устройства. Д л я создания выходной величины в виде а или / в аналоговых измерительных приборах применяются разнообразные измерительные преобразователи 143

измеряемой величины X в а или в I. В частности, в электроизмерительных аналоговых приборах широко применяются различные электромеханические измерительные преобразователи, в которых измеряемые электрические величины преобразуются обычно в угловое перемещение указателя. Устройством сравнения в аналоговых приборах является глаз наблюдателя. Поэтому при определении отсчета числа делений и доли деления по положению указателя на шкале возникают субъективные погрешности отсчета, зависящие от биофизических особенностей зрения человека. Эти отличительные особенности аналогового измерительного прибора определяют его преимущества (простота устройства, низкая стоимость, отсутствие при нормальных условиях погрешности от нелинейности измерительных преобразователей, высокая информативность аналогового выхода) и недостатки (наличие у большинства из них инерционных подвижных частей, снижающих быстродействие и надежность, значительная погрешность отсчета, определяемая размером шкалы прибора, отсутствие кодированного выхода и обязательное участие оператора в процессе измерения). Аналоговые измерительные приборы достигли высокой степени конструктивного и технологического совершенства и составляют преобладающую массу средств измерения. В нашей стране количество аналоговых измерительных приборов достигает нескольких сотен миллионов экземпляров. Несмотря на очень быстрое развитие цифровой измерительной техники, аналоговые измерительные приборы продолжают совершенствоваться, и их выпуск пока не уменьшается. Последнее время начали разрабатываться аналоговые измерительные приборы без подвижных частей, в которых частично устраняются недостатки, а преимущества сохраняются. Характеристикой шкалы аналогового измерительного прибора называют уравнение, выражающее связь между углом отклонения указателя сс и измеряемой величиной х: а = f(x).

(5-6)

Чувствительностью аналогового измерительного прибора КпР называют отношение изменения информативного параметра выходного сигнала, т. е. обычного угла отклонения а , к вызвавшему его изменению информативного параметра входного сигнала, т. е. измеряемой величины х: *»р = " л -

~ШГ •

(5Л)

Чувствительность прибора равна первой производной от характеристики шкалы. Стабильностью средств измерений называется качество средства измерений, отражающее неизменность во времени его метрологических свойств. Важными характеристиками средств измерений являются входной и выходной импедансы. Входной импеданс ИП определяет реакцию входного сигнала на подключение источника входного сигнала с фикси144

рованным выходным импедансом, а выходной импеданс — реакцию выходного сигнала ИП при подключении к его выходу другого реального звена с постоянным входным импедансом. Динамические характеристики аналоговых СИ разделяются на полные и частные (ГОСТ 8.256—77). Полной динамической характеристикой называется характеристика, однозначно определяющая изменения выходного сигнала СИ при любых изменениях информативного и неинформативных параметров входного сигнала и влияющей величины. Частной динамической характеристикой называется функционал или параметр полной динамической характеристики, например полоса пропускания, затухание, время установления выходного сигнала. Полными динамическими характеристиками являются: дифференциальное уравнение, импульсная характеристика h (t), переходная характеристика (t), передаточная функция К. (р), совокупность амплитудно-частотных А (ю) и фазочастотных <р (со) характеристик. Частными динамическими характеристиками являются: отдельные параметры полных динамических характеристик, например постоянная времени, время запаздывания, а т а к ж е характеристики, которые л и ш ь частично характеризуют динамические свойства средств измерений, например время установления выходного сигнала. Выбор динамических характеристик СИ производится в зависимости от их вида и характера изменения измеряемой величины. Д л я измерительных преобразователей, показывающих и регистрирующих средств измерения, предназначенных для измерения постоянных величин, после окончания переходного процесса рекомендуется нормировать частную динамическую характеристику — время установления входного сигнала. Д л я измерительных преобразователей, показывающих и регистрирующих СИ, измеряющих интегральные значения переменных входных сигналов, рекомендуется нормировать частотную погрешность и (или) характеристики, отражающие влияние неинформативных параметров сигнала на погрешность СИ. Д л я измерительных преобразователей, регистрирующих приборов, предназначенных для измерения мгновенных значений изменяющихся входных величин, рекомендуется нормировать одну из полных динамических характеристик. Д л я электронно-лучевых осциллографов допускается нормирование одной из частных динамических характеристик. Экспериментальное определение динамических характеристик СИ рекомендуется производить прямым методом, при котором на вход СИ подается сигнал такой формы, при котором по выходному сигналу можно было бы непосредственно определить искомую динамическую характеристику СИ. Например: при определении импульсной характеристики на вход СИ подается единичный импульс минимальной длительности, при этом выходной сигнал является искомой импульсной характеристикой h (t): h (t) — dhjdt;

(5-8) 145

при определении переходной характеристики на вход СИ соответственно подается единичный ступенчатый сигнал, тогда выходной сигнал СИ является искомой переходной характеристикой ht (t). Время установления выходного сигнала — интервал времени, в течение которого выходной сигнал СИ достигнет установившегося значения с погрешностью, не превышающей класс точности данных СИ (при подаче на вход СИ ступенчатого сигнала равного 0,5 хн). Время установления выходного сигнала (/ уст ) при скачкообразном изменении входного сигнала можно определить по переходной характеристике ИП, если задаться допустимым относительным значением динамической погрешности 0Д.Д выходного сигнала от его установившегося значения. Пусть, например, к ( = — 1 + /шт ' (5.9) AnU«") где К в (/®) — частотная характеристика инерционного звена первого порядка. Его переходная характеристика имеет вид M*) =

ffn(l—е~).

<5Л0>

Нетрудно определить tyCT для такого звена ^уст = Т In -т-— . <б'Н) °дц Цифровыми измерительными устройствами называют средства измерений, в которых измеряемая величина в результате квантования и цифрового кодирования представляется в форме числа или кода, т. е. дискретна и по значению, и во времени. Цифровые измерительные устройства подразделяются на цифровые измерительные приборы и кодирующие измерительные преобразователи. Цифровые измерительные приборы (ЦИП) являются автономными устройствами, с выходным сигналом, в виде визуального изображения значения измеряемой величины. Кодирующие измерительные преобразователи аналог-код не имеют отсчетных или регистрирующих устройств, являются частью более сложных информационно-измерительных систем и выдают результат измерения в виде кодового сигнала. Основные преимущества цифровых измерительных устройств: быстродействие — до десятков миллионов измерений в секунду; высокая точность, приближающаяся к точности приборов ручного уравновешивания; отсутствие необходимости в высококвалифицированных операторах и в результате — высокая экономичность применения таких приборов, несмотря на их более высокую стоимость; отсутствие субъективных составляющих погрешностей отсчета; наличие кодового выходного сигнала, удобного для передачи, запоминания, вычислений и управления; возможность автоматической калибровки и автоматического введения поправки с цед,ью уменьшения систематических погрешностей, 146

Рис. 5.8. Цифровой прибор с предвключенным измерительным преобразователем.

ИП

ЦИП

а т а к ж е автоматической обработки результатов д л я уменьшения случайных погрешностей. Высокая информационная способность цифровых измерительных приборов благодаря высокому быстродействию и малой погрешности значительно превышает способности оператора к восприятию информации. Поэтому Ц И П обычно, кроме цифровых отсчетных устройств, имеет т а к ж е и выход в виде кода, совместимого с входом регистрирующих устройств, в качестве которых обычно используются быстродействующие цифропечатающие устройства. Уравнение цифрового измерительного прибора: д о л ж н о быть строго линейным, всякое отклонение от линейности вызывает появление погрешности. Д л я обеспечения линейности уравнения необходимо обеспечить постоянство цены ступени квантования во всем диапазоне измерения. В цифровом приборе с предвключенным измерительным преобразователем с выходной промежуточной величиной у (рис. 5.8) отсчет цифрового прибора Ny =

(5.12)

y/qy.

Однако необходимо, чтобы числовые значения кода на выходе цифрового прибора выражали числовые значения измеряемой величины х. Д л я этого уравнение измерительного преобразователя должно быть линейным, т. е. у = Кх и qy — Kqx, тогда Ny = y/qy = Kx/Kqx

(5.13)

= x/qx = Nx.

Цифровому прибору необходим линейный преобразователь, наличие нелинейности вызовет соответствующую погрешность. Если в одном из преобразователей цифрового прибора есть нелинейное звено, то возникающую нелинейность н у ж н о устранять (п. 6.8). Эталоны и меры. Высокая точность и единство средств измерений в стране обеспечивается с помощью системы эталонов, образцовых и рабочих средств измерений. В зависимости от степени точности и сфер использования образцовые СИ подразделяются на первичные и вторичные эталоны, образцовые и рабочие меры (рис. 5.9). Эталоном единицы, или эталоном, называют средство измерений, обеспечивающее воспроизведение и (или) хранение единицы физической величины с целью передачи ее размера нижестоящим средствам измерений. Государственные зталаны

Вторичные,или рабочие талоны

Институты • Госстандарта СССР

Институты . Госстандарта СССР . -

Образцовые меры Государстбенные контрольные лМоратории

Рабочие меры ' Поверочные группы на предприятиях

Рис. 5.9. Основные виды эталонов и образцовых мер, места их применения и хранения. 147

Первичным называется эталон, обеспечивающий воспроизведение единицы с наивысшей в стране точностью, а государственным — первичный эталон, официально утвержденный в качестве исходного для страны. Первичный эталон основной единицы должен воспроизводить основную единицу согласно ее определению по ГОСТ 8.417—81 «ГСИ. Единицы физических величин». Государственный эталон является комплексом средств измерений и вспомогательных устройств, обеспечивающих возможность воспроизведения единицы и в необходимых случаях, ее хранения, а также передачи размера единицы вторичному эталону. Вторичные, или рабочие, эталоны изготавливаются одиночными экземплярами, имеют не одно номинальное значение, как первичные, а несколько, служат для проверки образцовых мер 1-го разряда и хранятся во ВНИИМ и других институтах. Вторичные эталоны создаются в случаях необходимости для организации поверочных работ и предохранения государственного эталона от излишнего износа. Образцовые меры (1, 2 и 3-го разрядов) выполняются в виде типовых серийных конструкций, выпускаемых промышленностью, более удобны для поверок, используются для аттестации рабочих мер и хранятся в метрологических институтах и государственных контрольных лабораториях. Рабочие меры изготавливаются серийно для широкого диапазона номинальных значений величин, используются для исследований и поверки измерительных приборов и устройств на промышленных предприятиях и в научных организациях страны. Мера — средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера. К основным характеристикам меры относятся: номинальное значение хи — значение величины, указанное на мере: действительное значение — действительное значение величины, воспроизводимой мерой; абсолютная погрешность — разность между номинальным значением меры и истинным значением величины, воспроизводимой мерой. В регулируемой мере связь между выходом и входом выражается в виде уравнения хы — Nxqx.

(5-14)

Измеряемые величины резко различаются по возможности воспроизведения их в заданных размерах. Наиболее полно в отношении возможности точного воспроизведения проявляют себя следующие величины — время, длина, масса и др. Многие величины трудно воспроизвести в заданных размерах, что затрудняет их измерение. Ранее было отмечено (п. 2.1), что меры бывают одноканальными и многоканальными, регулируемыми и нерегулируемыми. Регулирование меры осуществляется оператором или автоматически. В последнее время все большее распространение п о у ч а ю т программируемые меры различных величин, которые все шире применяются не только для поверки изме148

рительных приборов, особенно в динамике, например код — емкость, код — сопротивление, но и как средства точного цифрового управления, например, в виде преобразователей код — угол в системах управления станками, код — напряжение в системах управления электронным лучом. Основной особенностью меры является высокая точность воспроизведения величины заданного размера, которая обеспечивается также и тем, что входной сигнал меры является кодированным и, следовательно, отличается высокой помехоустойчивостью. При реализации мер их построение возможно как по разомкнутой, так и по замкнутой схеме. Большинство мер выполняется по разомкнутой схеме. Некоторые меры, у которых выходной сигнал должен обладать дополнительными характеристиками, например, повышенной мощности как в вибростендах, выполняются по замкнутой схеме. При этом в обратной цепи используется цифровое измерительное устройство для точного измерения заданных параметров выходного сигнала меры. 5.4. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ И КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕДСТВ АВТОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ

Средством автоматического контроля называют специальное техническое устройство, предназначенное для определения соответствия между действительным состоянием контролируемого объекта и нормой. Средства контроля разнообразны по назначению и сложности — от простейших устройств и приборов до сложнейших многоканальных автоматических систем. Средства контроля, как и средства измерений, можно подразделить на средства реализации отдельных операций контроля и на средства реализации всей процедуры контроля. Условно назовем их соответственно элементарными и комплексными средствами контроля (рис. 5.10). К элементарным средствам контроля (ЭСК) относятся средства, каждое из которых само по себе недостаточно для реализации всей процедуры контроля. Эти средства служат только для реализации основных операций контроля: сравнения, создания уставки контроля, т. е. величины с заданным размером, измерительного преобразования и логической операции принятия решения. Процедуру контроля можно выполнить только при функционально полном наборе ЭСК, состоящего в простейшем случае из генератора усI^Sft тавок, устройств сравнения и •tli-slli принятия решения. В комплексных средствах контроля (КСК), в которые ЭСК входят наряду с другими звеньяаналоговый \щфровь/ ми в качестве составных частей, процедура контроля завершается Рис. 5.10. Классификация средств контроля.

ll^ltt i'llllll

149

полностью. КСК в зависимости от сложности подразделяются на приборы, отличающиеся обычно одноканальной структурой и более простым алгоритмом работы, и системы, отличающиеся многоканальностью структуры — наличием каналов связи и более сложным алгоритмом работы. Приборы и системы контроля подразделяются на аналоговые и цифровые. Автоматические системы контроля (АСК) и технической диагностики являются разновидностью информационно-измерительных систем и выполняют следующие функции: определение технического состояния изделия в отношении исправности и работоспособности; определение места и причин неисправности; прогнозирование технического состояния изделий; анализ степени совершенства различных этапов технологии производства изделий. Основными преимуществами АСК являются: повышение достоверности контроля; сокращение времени и повышение производительности контроля; снижение требуемой квалификации человека-оператора; устранение влияния субъективных факторов человека-оператора на результаты контроля; возможность автоматизации документирования результатов контроля. 5.5. СИСТЕМНЫЕ СРЕДСТВА

ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Д о недавнего времени почти все средства информационно-измерительной техники изготовлялись в виде отдельных приборов и устройств измерения, контроля, счета, предназначенных для получения соответствующей информации от одного простого объекта. В настоящее время при проведении сложных научных экспериментов, автоматизации сложных производственных процессов медицинских исследований и т. д. необходимо быстро получать и обрабатывать информацию одновременно от многих сложных объектов, характеризующихся системами взаимозависимых величин. Д л я решения этих задач созданы системные средства информационно-измерительной техники — информационно-измерительные системы и измерительно-вычислительные комплексы. Информационно-измерительными системами (ИИС) называют совокупность средств информационно-измерительной и вычислительной техники, реализующих единую задачу получения информации о совокупности многих величин и зависимостях между ними, по общему алгоритму. В современные ИИС входят средства измерений, средства вычислений (СВ) от калькуляторов до мини ЭВМ, средства отображения информации (СОИ), средства управления (СУ), программно-управляемые меры или средства воспроизведения сигналов с заданными параметрами. Информационно-измерительные системы бывают простые и сложные. Простые ИИС представляют собой многоканальные измерительные системы с неизменяемой программой работы и включают минимум не150

Отсчет, | >Ц I рееистрация i Р «5 •KD—1 учет времени j_ I § I Г 1 J^vJ Выработкай II Т

Оператор

ш -

км,

I i i Ш-ш-

-00(Щ—|

^ Оператор ^ обработка I J^pJf^J резулшатоб | §

«• W ^ F I S S T

1Э"^

к. S§ §5

т Щп\

УПКh Щ

<РПК\ дар Щ-

Ш ТЕ I

Оператор \корректй\

\ровка \ | команд I I—

Шп\

Щ[ЖЪ

Рис. 5.11. Обобщенные структурные схемы управления технологическими процессами и исследования сложных объектов: а — с показывающими приборами; б — с регистрирующими приборами; в — с измерительной информационной системой; г — с измерительно-вычислительным комплексом.

перестраиваимых технических средств: цифровой измерительный прибор, коммутатор и регистратор. В простой ИИС производятся операции: переключения каналов с однородными датчиками, измерения и регистрации. Программа работы неизменна и реализуется структурными средствами. Простые ИИС экономичнее комплекта самопишущих приборов, например при измерении температуры уже при числе каналов более двенадцати. Сложные программируемые ИИС отличаются возможностью изменения программы работы. В них входят программируемые технические средства: коммутатор, цифровой измерительный прибор, вычислительные устройства, масштабный преобразователь, линеаризатор, регистраторы. Программирование в сложных ИИС реализуется цифровыми автоматами или микропроцессорами. Для стыковки средств между собой применяют приборный интерфейс, рекомендованный Международной электротехнической комиссией (МЭК) и ГОСТ 26.003—80. В этих ИИС производится автоматическое переключение каналов с разнородными датчиками, масштабирование, линеаризация, контроль, и.мерение, коррекция и обработка результатов измерения, регистрация. Рассмотрим поэтапно процесс развития и использования системных средств ИИТ. При использовании показывающих приборов (рис. 5.11, а) операции регистрации, учета времени, обработки результатов измерения, выработки команд управления выполнялись оператором. 151

При использовании регистрирующих приборов (РП) (рис. 5.11, б) оператор освобождался только от операций регистрации и учета времени. При измерении многих величин на пультах управления объектами невозможно разместить все приборы, а оператор не в состоянии осмыслить всю ситуацию. Например, на пульте управления мощным котлотурбинным агрегатом мощностью 1200 МВт необходимо было бы установить свыше 1000 отдельных приборов, что экономически невыгодно и технически нецелесообразно. При использовании измерительно-информационной системы (рис. 5.11, в) оператор освобождается и от регистрации, и от функции обработки результатов измерения. Вместо множества отдельных приборов устанавливают необходимое количество первичных измерительных преобразователей — датчиков Д . Каждая измеряемая величина преобразуется в датчике в унифицированную величину, обычно в напряжение, которое подается через коммутатор К на цифровой измерительный прибор (ЦИП). Обработка результатов измерения выполняется вычислительным устройством, которое ранее по габаритам и стоимости значительно превышало измерительные устройства. В настоящее время благодаря успехам интегральной технологии значительно уменьшились стоимость и габариты вычислительных устройств (ВУ), выполненных в виде микропроцессоров и микрокалькуляторов. Их габариты уменьшились настолько, что ВУ свободно размещаются внутри цифровых измерительных устройств. Габариты цифровых измерительных устройств определяются в настоящее время в основном габаритами цифровых отсчетных устройств. Оператор при наличии ИИС продолжает выполнять только операцию выработки команд управления. Наиболее значительные недостатки данной структуры определяются многопроводностью канала связи, снижающего надежность и помехозащищенность, и наличием коммутатора низкоуровневых аналоговых сигналов, который также вносит заметные искажения в сигналы датчиков. Появилась возможность для удаленных объектов с большим числом датчиков выполнять ИИС без коммутаторов, с двухпроводным каналом связи. Д л я этого каждый датчик конструктивно объединяется с малогабаритным интегральным АЦП, выходы которых объединены в двухпроводный канал связи с вычислительным^ управляющим устройством (ВУУ). ВУУ посылает по этому каналу кодовый адресный сигнал запроса, по которому данный АЦП отсылает в В У У значение данного параметра в виде последовательного кодового сигнала (рис. 5.11, г). Измерительно-вычислительным комплексом (ИВ К) называется автоматизированное средство измерения сложных комплексных объектов, представляющее собой программно-управляемую совокупность измерительных, вычислительных и вспомогательных устройств. На основе одного ИВ К путем программной перестройки возможна реализация конечного числа ИИС. ИВ К отличается наличием устройства ввода программ (УВП), программно-управляемостью большинства агрегатов комплекса, развитой системой отображения информации — СОИ (циф152

ропечать, магнитная запись, аналого-цифровые отображения, мнемонические устройства, дисплеи и др.). Реализация измерительно-вычислительных комплексов стала возможной благодаря малой стоимости и малым габаритам вычислительных устройств в виде интегральных микропроцессов, интегральных устройств, управляемой памяти, интегральных функциональных преобразователей код — код (ФПК), интегральных аналого-цифровых преобразователей напряжений и преобразователей напряжения в частоту, интегральных цифрово-аналоговых преобразователей сопротивлений, токов, напряжения, которые используются для программного управления электрическими и неэлектрическими величинами, необходимыми для обратного воздействия на исследуемый или управляемый объекты. Согласно ГОСТ 26.203—81 ИВ К предназначаются для выполнения одной или нескольких следующих функций: прямых, косвенных, совместных и совокупных измерений электрических величин; управления процессом измерений и воздействия на объект измерений; представлением результатов измерений оператору в заданном виде. 5.6. ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ПРИБОРОВ

Количество задач, решение которых возможно с применением ИИС и ИВК, велико. Индивидуальный подход к ним требует огромного количества моделей ИИС, проектируемых применительно к каждой конкретной задаче. Перечень блоков, агрегатов необходимых для построения различных ИИС, ограничен. Создание агрегатированных комплексов средств измерительной техники, выпускаемых серийно в блочном исполнении, позволило перейти от индивидуального к промышленному производству ИИС. Такой подход в приборостроении реализован в Государственной системе приборов (ГСП). Согласно ГОСТ 12997—76 «Государственная система промышленных приборов и средств автоматизации. Общие технические требования. Методы испытаний» ГСП представляет собой совокупность изделий, предназначенных для получения, обработки и использования информации, сопрягаемых функционально, метрологически, энергетически и конструктивно, и обеспечивающих экономически целесообразные точность, надежность и долговечность. Изделия ГСП по функциональному признаку подразделяются на следующие группы: для получения измерительной и контрольной информации о состоянии процесса; для приема и выдачи информации в каналы связи; для преобразования, хранения и обработки информации; для создания воздействия на управляемые процессы и связи с оператором. Д л я обеспечения совместной работы в системах измерения, контроля, регулирования и управления в устройствах ГСП унифицированы: сигналы; метрологические характеристики; группы условий эксплуатации; конструктивное исполнение; энергетические источники. 153

Рис. 5.12.

Государственная система приборов.

Сигналы в ГСП унифицируются по видам энергии и информативным параметрам. По роду используемой энергии сигналы ГСП делятся на электрические, пневматические, гидравлические и комбинированные. Наиболее широко применяется электрическая ветвь ГСП. Пневматическая и гидравлическая ветви применяются < главным образом в тех случаях, когда по тем или иным причинам, например из-за повышенной взрывоопасности или при необходимости создания больших механических усилий, нельзя применить электрическую ветвь ГСП. Основными инфс рмативными параметрами сигналов в электрической ветви ГСП являются: постоянный ток или постоянное напряжение в пределах 0...5 мА; 0...20 мА; 0...100 мА и 0...10 В; переменное напряжение частотой 50 или 400 Гц в диапазонах 0...1 и 0...2 В; частота синусоидального напряжения в диапазоне 4000...8000 Гц. В качестве информативного параметра в ГСП целесообразно также ввести интервал времени Тх, удобный для автоматического квантования. Создан ряд агрегатированных комплексов приборов и устройств для отдельных отраслей измерительной техники (рис. 5.12). Одним из них является агрегатный комплекс средств электро-измерительной техники (АСЭТ). В АСЭТ реализованы основные принципы ГСП в соответствии со спецификой задач измерения электрических величин. АСЭТ предназначен для автоматизации сбора, преобразования, измерения и представления информации в научных исследованиях, испытательных работах, для технической диагностики и управления технологическими процессами при совместном использовании со средствами управления. Принципы построения ГСП закреплены в государственных стандартах и вошли в международные рекомендации по стандартизации Совета Экономической Взаимопомощи (СЭВ), а также в национальные стандарты ряда стран — членов СЭВ. Технические требования к изделиям ГСП закреплены в комплексе государственных и отраслевых стандартов ГСП. В этот комплекс входят как общие стандарты, распространяющиеся на вс^виды изделий ГСП, так и групповые стандарты на отдельные виды изделий. 154

5.7. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ СРЕДСТВ

ИЗМЕРЕНИЯ

При создании новых средств измерений разработчики руководст" вуются основными положениями метрологии, теоретическими основами данной области техники, теориями автоматического регулирования, связи, систем, а также опытом проектирования СИ. На основе опыта проектирования, обобщенного в соответствующих государственных стандартах, и специфики СИ сформулируем следующие основные принципы создания новых СИ: Принцип информативности — гомоморфность представления данного свойства объекта выходным сигналом средства измерения. Информативность характеризуется точностью, быстродействием и чувствительностью средств измерения. Эти характеристики для средств электрических измерений регламентируются ГОСТ 22261—76. Принцип инвариантности — неподверженность результата измерительного преобразования воздействию изменений влияющих факторов: внешних воздействующих величин, внутренних параметров средства измерения и неинформативных параметров входного сигнала средства измерения. На основе принципа инвариантности, сформулированного для систем автоматического регулирования Б . Н. Петровым [64], разработаны многочисленные общие и частные метрологические методы инвариантности и коррекции (п. 8.8). Принцип ненарушения естественного функционирования объекта исследования — минимальность воздействия средства измерения на объект исследования. Принцип многофункциональности — экономически целесообразная максимальная универсальность СИ. Устанавливает целесообразность реализации таких СИ, с помощью которых можно было бы решать наибольшее число измерительных задач в данной области техники. Принцип агрегативности — взаимосопрягаемость СИ между собой и другими техническими средствами (ГОСТ 13033—76, ГОСТ 13418— 79). Этот принцип обеспечивает возможность совместного системного использования СИ и других устройств в измерительных системах, измерительно-вычислительных комплексах, создаваемых методом проектной компоновки по заранее составленным техническим нормативам и методическим указаниям. Совместимость СИ и других средств обеспечивается во всех необходимых аспектах: метрологическом — согласно стандартам государственной системы обеспечения единства измерений (ГСИ); функционально-информационном (например, в виде интерфейсов); конструктивном — согласно ГСП (например, системой универсальных типовых конструкций) УТК (ГОСТ 20504—81, CT СЭВ 834— 77); эксплуатационном, надежностном и энергетическом — согласно ГОСТ 22261—76 «Средства измерений электрических величин. Общие технические условия». Принцип технической реализуемости — соответствие проекта СИ технологическим возможностям производства, наличию элементарной базы, характеристикам материалов. 155

Принцип надежности — соответствие вероятности нормального функционирования СИ в течение данного срока и в заданных условиях заданному экономически целесообразному значению характеристики надежности. Надежность средств измерения регламентируется CT СЭВ 292—76. Принцип оптимальности средства измерения в технико-экономическом смысле — достигаемая одновременно минимальность сложности и стоимости при полном соответствии всем заданным характеристикам, изложенным в технических требованиях. Принцип эргономичности — соответствие характеристик создаваемого СИ антропологическим, оптическим, акустическим, психологическим и другим характеристикам оператора, оптимизирующим его деятельность. Этот принцип устанавливается стандартом ГОСТ 22973—78 «Система «человек — машина». Общие эргономические требования. Классификация». Важной особенностью конструирования современных сложных СИ является переход к программному конструированию, ставшему возможным благодаря широкому внедрению микропроцессоров. Конструирование ЦИП и ИИС при наличии серийно изготовляемых блоков и агрегатов все чаще сводится к проектной компоновке и конструированию нового цифрового автомата, реализующего их автоматическое функционирование. Сложность цифровых автоматов по их структуре и связям растет значительно быстрее роста сложности реализуемых ими функций. Настройка и регулировка ЦИП и ИИС в этом случае весьма трудоемки и длительны, так как необходимое изменение функционирования может быть реализовано только перепайкой плат, изменением состава и связей цифрового автомата. Введение в состав ЦИП микропроцессора обеспечивает возможность программного конструирования нового ЦИП на основе создания программы команд для управления блоками. При этом необходимое изменение функционирования ЦИП реализуется без нарушения плат только составлением и внесением в память микропроцессора новой программы. Конструирование современных сложных многоэлементных средств автоматики, вычислительной и измерительной техники в настоящее время становится все более трудоемким. Это влечет за собой все расширяющуюся автоматизацию проектирования средств измерений. Отечественной промышленностью созданы автоматизированные рабочие места для проектирования электронных и механических устройств. На первом этапе автоматизируется проектная компоновка СИ на структурно-функциональном уровне, основанная на использовании готовой элементарной базы. Использование ЭВМ в автоматизированном проектировании существенно расширяет границы реальных требований к степени оптимальности принимаемых решений. Автоматизация проектирования ведет к автоматизации программного конструирования на базе реализации наиболее общего принципа — принципа техникоэкономической оптимальности и на базе автоматизации составления программ. 156

5.8. ОПТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПРЯМОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ НЕЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КОД

Преобразование неэлектрических величин в код во многих случаях является предпосылкой автоматизации производственных процессов. Д л я этого за последние годы были исследованы и практически использованы разные физические принципы, в их числе и оптоэлектрические принципы кодирования. Оптоэлектрические кодирующие преобразователи основаны на кодировании перемещения светового луча с помощью кодированных масок или дисков с чередованием светонепроницаемых и светопроницаемых участков, а также на использовании интерференции света, в которой проявляется волновая природа света. Применяемые до настоящего времени оптоэлектрические приборы основаны на применении кодирующих масок и дисков. Однако таким образом можно реализовать только прямое преобразование линейного перемещения и угла. В таких преобразователях осуществляется прямое сравнение с мерой, реализованной в виде квантованных и кодированных пластин или дисков. Это обеспечивает наиболее высокие точность и разрешающую способность. Поэтому исследования проводятся т а к ж е и с оптоэлектрическими интерференционными преобразователями, в которых возможно прямое преобразование других неэлектрических величин в код, например, давления, силы, температуры. Эти величины преобразуются в измененное положение световых лучей, в изменения интерферениионной картины, которые используются для получения числоимпульсного и цифрового кодов. Далее приведены некоторые результаты таких исследований. Особый интерес представляет использование интерференционных эффектов. На их основе возможно прямое сравнение с длиной световой волны в качестве естественной меры. Фигуры интерференции являются распределением интенсивности с изменяющимися положениями в зависимости от значений измеряемой величины. Необходимо определить распределения, которые позволяют прямое преобразование в код. Такое распределение показано на рис. 5.13, а. Линии одинаковой интенсивности, периодически повторяющиеся, проходят параллельно друг к другу под углом £ (представлены только заштрихованные и светлые участки). Заштрихованные и светлые участки соответствуют двоичным сигналам (1 и 0) на выходах схем формирования сигналов. Для описания распределения используется понятие порядкового числа. Центр системы координат имеет порядковое число Ьа. Любая точка в системе координат имеет порядковое число Ь х у . В точке у0 оси у находится 6Уо и в точке оси х находится 6*0. Такое распределение описывается следующим уравнением: -

ба = (6Хо -

6а) х/хь + (б,о -

6J у/у0.

(5-15>

Распределение, соответствующее (5.15), имеет универсальный характер. Оно позволяет производить кодирование во всех периодических кодах. Под понятием периодического кода подразумеваем коды, в разрядах которых отношение между длиной 1-участка и длиной 0-участка> 157

W"3

ff<«6'4

bwrrh Рис. S.13. Интерференционное кодирование: а — распределение вращающихся полос; 6 — U-расположение считывающих элементов в распределении вращающихся полос; в — U-расположение считывающих элементов в распределении перемещающихся полос.

•является постоянным в пределах измерения. Универсальное распределение возникает в случае, когда, например, разность ЬУо — 6 а зависит от значения измеряемой величины, но разность 6*, — ö a не изменяется. Это распределение можно назвать распределением вращающихся полос, что при изменении значений измеряемой величины все линии одинаковой интенсивности поворачиваются вокруг точек оси х и проходят параллельно друг другу. Угол поворота | определяется уравнением I - arctg [ у 0 / ( \ -

ÖJ] [(бХо -

6 в )/* 0 ].

(5- 'в)

Распределение имеет два важных свойства: 1. При перемещении считывающего элемента параллельно оси х порядковое число непрерывно изменяется. Во всех точках, расположенных на этой параллели, при определенном изменении измеряемых значений происходят изменения порядковых чисел. Это свойство позвол я е т автоматизировать управление реверсом при числоимпульсном кодировании и уменьшить погрешность считывания при цифровом двоичном кодировании. * 158

Рис. 5.14. Преобразователь силы в двоичный код с (/-расположением: а — схематическое устройство; 6 — интерференционная картина и расположение считывающих элементов (F — измеряемая сила; 1 — источник монохроматического света, 2 — конденсор, 3 — измерительный элемент, 4 — оптические системы, 5 — фотоэлектрические преобразователи, 6 — электрические схемы формирования электрических сигналов).

2. Одновременно во всех точках с разным значением у получаем разные изменения порядковых чисел. Это свойство является предпосылкой для реализации различного числа двоичных участков в разрядах кода. Распределение вращающихся полос по (5.16) является идеальным. На практике встречаются нелинейные распределения по оси х н у , которые можно выравнивать соответственно, выбирая положения считывающих элементов. Рассмотрим некоторые примеры кодирования в распределении вращающихся полос. Кодирование по методу V-расположения приведено на рис. 5.13, б. Считывание на кодовой маске сравнивается со считыванием на маске вращающихся полос. Отношение между расстояниями считывающих элементов в направлении к оси у равняется 1 : 2 : 4 : 8 Видно, что V-расположение превращается в U-расположение. Допустимые отклонения для этого считывания вращающихся полос можно определить по формуле

где Абьг — допустимые отклонения в данном разряде Ь\ Аб„2 — допустимые отклонения в младшем п разряде; | A6raz | < 0,25; п — число разрядов; b — текущий разряд. Из (5.17) следует, что во всех разрядах допустимые отклонения почти не зависят от л и они почти не зависят от количества информации, содержащейся в измерении. Это является большим преимуществом считывания Двоичного кода. На рис. 5.13, в представлено расположение считывающих элементов, соответствующие U-расположению на кодовой маске. Видно, что Uрасположение на маске превращается в V-расположение на вращаю15»

1-тг—

V> 'А

3J,

—

Шг 1 8

Рис. 5.15. Преобразователь ДК в двоичный код: а — схематическое устройство; б — интерференционная картина и ^-расположение считывающих элементов.

щихся полосах. Допустимые отклонения равны 1 Д Ьь

2«+2—ь

IА6пг I

2п~~ь

(5.18)

В соответствии с (5.18) допустимые отклонения уменьшаются в зависимости от п. При количестве информации, необходимом в измерительной технике, получаются трудно осуществимые допуски. На примере интерференции одинаковой толщины объясняется прямое кодирование разных измеряемых величин. Число интерференционных полос одинаковой толщины, возникающих между двумя прозрачными пластинами, равно о 2dK где б — порядковое число интерференционных полос; d — расстояние между прозрачными пластинами; X — длина световой волны; К. , коэффициент преломления среды между пластинами. Если к и К постоянные величины, то изменение порядкового числа Аб зависит только от Ad. Таким образом, можно измерять линейное перемещение, а так как каждое действие силы связано с деформацией, можно измерять и силу. На рис. 5.14, а изображена конструкция одного из преобразователей для преобразования силы в двоичный код с помощью V-расположения считывающих элементов. Измерительный элемент 3 состоит из двух кварцевых притертых друг к другу пластин. Между пластинами находится воздушный зазор. Под влиянием силы F одна пластина прогибается, причем изменяется воздушный зазор и •возникает изменение распределения интенсивности вращающихся полос. Измерительный элемент освещается параллельным монохроматическим светом. Оптические системы 4 отражают интерференционные картины в фотоэлектрические преобразователи 5. На выходах схем формирования импульсов 6 появляются кодовые сигналы, которые соответствуют значениям силы. На рис. 5.14, б приведены положения •считывающих элементов и интерференционные картины, которые возникают в воздушном зазоре. При постоянстве d и % Дб зависит только от изменения коэффициента преломления Д/<^ тогда получим Дб = 2 (d/K) AK. 160

Таким образом, можно измерять все величины, действующие на коэффициент преломления жидкостей и газов. Такими величинами являютс я , например, давление, температура, плотность, концентрация, соотношение смесей. На рис. 5.15 приведено схематическое устройство преобразователя для преобразования А К в двоичный код с V-расположением. Измерительный элемент тоже состоит из прозрачных притертых пластин, но расстояния между ними постоянные и относятся к а к di : d2 : ds : dt = 1:2:4: 8. Измеряемый объект находится в измерительном элементе. В зависимости от А К образуется интерференционная картина, которая имеет свойство распределять вращающиеся полосы. Оптические системы 4 отражают интерференционные картины в фотоэлектрические преобразователи 5 и на выходах схем формирования импульсов получаем кодовый сигнал. Имеются еще другие виды распределений, которые принципиально позволяют кодирование. Если в (5.15) 6*0 — Ьа равно нулю, то =

а)у/у0.

(5.19)

По (5.19) все линии одинаковой интенсивности параллельны оси х и в зависимости от измеряемых значений смещаются к оси х. Т а к и е распределения называются распределением параллельных полос. Они обладают только вторым свойством распределения вращающихся полос и поэтому их можно использовать только для получения специальных кодов, например кода Грея. Допустимые отклонения кода Грея следуют из А6&* = ± 1 / 2 " - ь + 3 ; Ъ> 1. Допустимые отклонения уменьшаются в зависимости от п и поэтому практически трудно осуществимы. Брюстер одним из первых (1962 г.) сделал з а я в к у на получение патента на устройство, которое проводит прямое кодирование на основе интерференции одинаковой толщины. На рис. 5.16, а представлена принципиальная схема этого устройства. По описанию патента две кварцевые пластины Z7 и М освещаются монохроматическим параллельным светом. Оптические системы LI, L2 и СР отражают интерференционные картины и фотоэлектрические преобразователи Р Е С . В начальном положении внутренние грани кварцевых пластин параллельны и существует интерференционная картина одинаковой интенсивности. Если одна пластина поворачивается вокруг оси в р а щ е н и я , которая находится на внутренней грани этой пластины, то появляются интерференционные полосы, параллельные оси вращения (распределение параллельных полос). При вращении пластин осуществляется преобразование углов поворота в код Грея. В 1961 г . описано устройство, в котором на основе такого распредел е н и я с параллельными полосами происходит преобразование силы в код Г р е я . На рис. 5.16, б представлено схематическое устройство. Измерительный преобразователь 5 состоит из набора соединенных между собой элементов, изготовленных из фотоэластичного материала. Измеряемая сила приложена ко всем элементам. Размеры dp у всех элементов одинаковы, а размеры Ь Р относятся как 1 : 2 : 4 . Измерительный 6 818

161

а — угла, б — силы.

преобразователь освещен параллельным, поляризованным монохроматическим светом. Оптические системы 7 передают распределение интенсивности через анализаторы в фотоэлектрические преобразователи 8. Вследствие фотоэластичного эффекта возникают распределения интенсивности, порядковые числа которых можно описать следующим уравнением: б = с/к

(Flbp),

где с — постоянная материала; F — измеряемая сила; Ьр — размер элементов, перпендикулярных направлению света. Недостатком такого устройства являются относительно большие упругие и пластические последствия фотоэластичных материалов. Основным преимуществом числоимпульсных методов измерения является простая техническая реализация. Такие методы чаще всего применяются для измерения угла и перемещения. Число импульсов служит информативным параметром. Числоимпульсные методы разделяются на две группы: нереверсивные и реверсивные. Нереверсивные методы не реагируют на направление движения, при этом импульсы накапливаются независимо от направления движения измерительного растра. Поэтому они применяются только в специальных случаях. 162

реверсивный счетчик.

Большое значение имеют реверсивные методы (рис. 5.17). Растровая пластина перемещается соответственно измеряемому перемещению. Свет проходит через растровую пластину и индикаторные растры и попадает на фотоприемники. На выходах схем формирования импульсов ЭСФ получаем сдвинутые прямоугольные сигналы. В зависимости от направления движения растровой пластины от блока реверса поступают импульсы на вход « + » на выход «—» реверсивного счетчика. На выходе реверсивного счетчика мы получаем цифровой код. Аналогичным образом осуществляется измерение угла. Вместо растровой пластины ставится растровый диск. Если заменить растровую пластину интерференционным распределением интенсивности, получим самые точные цифровые измерители

Рис. 5.18. Схемы интерференционных устройств: а — лазерного интерферометра (Л — лазер; К — конденсор; Д З — делительное зеркало; 31, 32 — зеркала; ОС — оптические системы; ФП — фотоэлектрические преобразователи; ЭСФ — электрические схемы формирования; Б Р — блок реверса; PC — реверсивный счетчик); б — интерференционных весов (ИС — источник света; К — конденсор; ИЭ — измерительный элемент.).

1вЗ

длины — фотоэлектрические интерферометры. На рис. 5.18, а показан лазерный интерферометр. Лазерный свет проходит через интерферометр типа Майкельсона и попадает на фотоприемники. На поверхности зеркала 32 нанесена ступень. Уровень ступени равен К/8. Поэтому образуются две интерференционные картины в виде концентрических колец, сдвинутых по фазе на я/2. Произведение числа интерференционных колец на длину волны лазера равно измеряемому перемещению зеркала 31. Большим преимуществом вращающихся полос является возможность применения кодовых и числоимпульсных методов. Д л я использования числоимпульсных методов необходимы два считывающих элемента, находящиеся на параллели к оси х. Расстояние между ними выбирается таким образом, чтобы получить два сигнала, сдвинутых по фазе на rat + л/2. На рис. 5.18, б представлено устройство интерференционных весов по числоимпульсному методу. В этом устройстве применен измерительный преобразователь, показанный на рис. 5.14, а. На рис. 5.18, б показаны два фотоприемника и участок интерференционной картины. Такие весы отличаются незначительным временем измерения и высокой разрешающей способностью. 5.9. НАДЕЖНОСТЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Разработка, изготовление и эксплуатация современных технических устройств непосредственно связаны с понятием надежности. Теория надежности — это техническая наука, которая на основе теории вероятностей и математической статистики описывает техническое состояние устройства и дает математический аппарат, с помощью которого можно рассчитать параметры надежности проектируемого, изготовляемого или эксплуатируемого устройства. Как и другие технические характеристики приборов параметры надежности регламентируются государственными стандартами. Рассмотрим основные понятия надежности. Надежность — свойство объекта выполнять свои функции, сохраняя характеристики в заданных пределах при определенных условиях эксплуатации в течение заданного промежутка времени. Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособности объекта. Наработка — продолжительность или объем работы, выполненной объектом. Различают суточную наработку, месячную наработку, наработку до первого отказа, наработку между отказами, заданную наработку. Наработка на отказ — среднее значение наработки восстанавливаемого объекта между отказами. В теории надежности дается математическое описание характеристик отказов, как случайных событий, случайных величин независимо от причин их возникновения. Поэтому в качестве характеристик надежности используются функции распределения случайных величин и их числовые характеристики. В зависимости о^ характера проявления отказы бывают внезапные и постепенные. Внезапные отказы характеризуются скачкообразным 164

изменением основного параметра объекта. Постепенные отказы — постепенным изменением основного параметра объекта. В настоящее время в нашей стране стандартизованы характеристики надежности по внезапным отказам. Характеристики надежности по внезапным отказам Показатели надежности нормируются для объектов, которые могут находиться только в двух состояниях — работоспособном и неработоспособном (СТ СЭВ 292—76). Исходя из этого, основным свойством прибора является безотказность, характеризующаяся определенными численными статистическими показателями. Основным численным показателем является вероятность безотказной работы Рб.р (t) — вероятность того, что в течение заданного промежутка времени не произойдет ни одного отказа. Здесь t — промежуток времени, в который определяется эта вероятность. Вероятность безотказной работы является убывающей функцией и времени. Ее значения находятся в интервале 0 ^ Рб. р ( 0 ^ 1 Рб.р (0) = 1 и Рб.р (оо) = 0. Типичная зависимость аРъ.р (0 приведена на рис. 5.19. Экспериментально Рб.р (0 определяется следующим образом. Пусть статистическим испытаниям надежности подвергнуто N однотипных объектов. За время испытания t отказало п объектов. Тогда статистическая оценка Pe.p (t) определится следующим образом: P6.p(t) =

(N-n)/N.

Учитывая, что безотказная работа и отказ составляют полную группу событий, вероятность отказов Р о т к (0 может быть определена следующим образом: Ротк(/) = 1 _ Р б . р ( / ) . (5.20) По аналогии с

(5.20) Ротк ( t ) =

n/N.

Необходимо обратить внимание на то, что функция Р о х к (/) является функцией распределения случайной величины t — времени безотказной работы. Производная от функции распределения является плотностью распределения данной случайной величины. В рассматриваемом случае Р о т к (0

— Рч.о ( 0 .

где Рч.о (0 — частота отказов. Экспериментально частота отказов определяется из следующих соображений. Пусть статистическим испытаниям надежности подвергнуто N однотипных объектов. За промежуток времени отказало АП( объектов. Тогда частота отказов за промежуток времени At{ будет Р

А т "< W — "Ж~

165

Рис. 5.19. Зависимости от времени: а — вероятности безотказной работы: 6 — вероятности отказа.

Рис. 5.20. Зависимости от времени: а — частоты отказов; 6 — интенсивности от« казов.

При определении Р ч 0 (0 предполагается, что отказавшие объекты не заменяются и число испытываемых объектов постепенно уменьшается. При длительных испытаниях получим кривую частоты отказов (рис. 5.20, а), которая изображает плотность распределения случайной величины t, т. е. времени безотказной работы. С учетом изложенного t Ротк ( 0 =

J />Ч.О ( 0

dt.

о Используя выражение (5.20), t Рб.р ( 0 = 1 -

^Ротк ( 0 = 1

—

f рч.о ( t ) dt

OO =

J рч.о ( t ) dt.

(5-21)

После дифференцирования (5.21) получим p4.o(t) = -P6.v(t),

<5"22>

т. е. частота отказов рч,0 (t) характеризует скорость снижения вероятности безотказной работы во времени. В теории надежности используется также понятие средняя частота отказов (параметр потока отказа). Определяется параметр потока отказов аналогично частоте отказов, но в предположении, что отказавшие объекты заменяются и число объектов, находящихся на испытаниях, остается неизменным. Параметр потока отказов МО-тиЧ!*]. Заметим, что bt (t) ^ p4_oi (t), так как при определении bt (t) число объектов, находящихся на испытании, больше, чем при определении рч.о1 (t). Особое место в теории надежности занимает характеристика, называемая интенсивностью отказов Л (t), которая наиболее полно описывает надежность невосстанавливаемых объектов. Такими объектами в приборах являются элементы типа резисторов, конденсаторов, транзисторов, микросхем и т. п. Экспериментально интенсивность отказов 166

определяется следующим образом: *

)

где Дt и Д„. — соответственно заданный г'-й промежуток времени и число объектов, отказавших в течение этого промежутка соответственно; п( — число объектов, отказавших до начала i-ro промежутка времени; N — число объектов, поставленных на испытания. При этом отказавшие объекты не заменяются. На рис. 5.20 — а, б показаны функции рч.0 ( 0 и А (t) для одного и того же экспериментального исследования группы одинаковых объектов на надежность. Между величинами Рб.р (0> Рч.о ( 0 и Л ( 0 существует функциональн а я связь, которая может быть определена с учетом (5.23) из следующего преобразования:

(Л/ — A

. / N A

t l

(t)

•

При предельном переходе

Подставляя в (5.24) значения рч.0 (t) из (5.22), получим ' 4P*. р(0 Л = -

б.Р(0

Решим это дифференциальное уравнение при изменении t в предел а х от 0 до t: dPл „(t) р P J = — Л (/) dt;

г In Р б .р ( 0 — In Р б .р (0) = — j А (*) dt.

t - J a (0<Я Рб.р ( 0 = е. 0

(5.25)

По этой формуле может быть определено Рб. р ( 0 при произвольной функции распределения времени безотказной работы. Важной характеристикой надежности является т а к ж е среднее время безотказной работы до первого отказа 4 Р , которое в пределе является математическим ожиданием времени безотказной работы: Тер

tP'

o m

(t)dt,

где Р„.„, (t) — плотность распределения времени безотказной работы. Время в рассматриваемом случае может быть только положительным,

поэтому oo

TcP =

Так как Р о т к

$tForK(t)dt. 0 ( 0 = 1 — Рб. р ( 0 . то

Пр = — J о Интегрируя по частям, получим

(0 л .

+<*>

7'ср== — / Р б . р ( / )1| ^ 0 0 +

$ о

Pö.v(t)dt.

Таким образом, Т с р =

Рб.р(0^-

<5-26>

о Как видим, Т с р численно равно площади под кривой вероятности безотказной работы (рис. 5.19, а). Д л я восстанавливаемых объектов важной характеристикой надежности является наработка на отказ Т0Тк. Это среднее время исправной работы между двумя соседними отказами. Экспериментально наработка на отказ Тогк определяется следующим образом: ^отк = Тр In, где Тр — суммарное время исправной работы объекта без учета профилактики и других видов простоя; п — число отказов за время испытания. Экспоненциальный закон надежности. Опыт эксплуатации различных технических устройств показывает, что зависимость интенсивности отказов от времени как для элементов, так и для систем, имеет три этапа (рис. 5.20, б). Первый этап — этап приработки, соответствует начальной стадии эксплуатации объекта, когда интенсивность отказов несколько повышена в связи с тем, что во время сборки объекта не был выявлен скрытый брац и дефекты, которые проявляют себя в процессе приработки. В течение первого этапа элементы с выявленными дефектами заменяются и интенсивность отказов снижается до минимального постоянного значения Л ( 0 = Л 0 == const. Второй этап — этап нормальной эксплуатации, на протяжении ко- ч торого интенсивность отказов остается постоянной. Именно для этого этапа проводятся расчеты надежности по внезапным отказам. Значения интенсивности отказов элементов даются в справочной литературе и используются д л я расчетов в соответствии с (С.25). Третий этап соответствует этапу старения объекта, когда интенсивность отказов повышается из-за износа объекта и старения большей 168

170

части элементов. При наступлении этого этапа эксплуатация объекта, как правило, нецелесообразна. Рассмотрим (5.25) применительно к этапу нормальной эксплуатации, когда Л (t) = Л 0 = const. Тогда t —\kadt

Pe. p (f) = e о

= е~ Л о '.

(5.27)

Уравнение (5.27) (так называемый экспоненциальный закон надежности) широко применяется при расчетах характеристик надежности. Определим Т с р для этапа нормальной эксплуатации в соответствии с (5.26): J Рб.р (t) dt = { е~Ло< = - 1/Л0е"~л°г = 1/Л 0 . о о Д л я этапа нормальной эксплуатации характерно равенство Тср =

Готк = ГоР - 1/Л 0 . "(5.28) При применении экспоненциального закона надежности на этапе нормальной эксплуатации характерно, что интенсивность отказов системы определяется как сумма интенсивностей отказов элементов, входящих в систему, т. е. Л 0 = £ Koh

(5-29)

где %оi — интенсивность отказов г-го элемента системы; Л 0 — интенсивность отказов системы. Если система состоит из К групп элементов, имеющих одинаковые %oi внутри группы, то интенсивность отказов системы определяется следующим образом: k Л 0 = NM + N%%02 + . . . + NKXок = S W / V (5-30) /=i Выражение (5.30) широко применяется при практических расчетах надежности. Характеристики надежности по постепенным отказам. Показатели надежности по постепенным отказам до настоящего времени не стандартизованы. З а основу принимают методику определения показателей надежности по постепенным отказам [8]. Согласно этой методике, основным показателем надежности является Рп (t) — вероятность безотказной работы по постепенным отказам. Это вероятность того, что за время t основная погрешность прибора не выйдет за пределы установленного допуска ± Д 2 . Таким образом, отказом в этом случае считается выход погрешности за заданные пределы (в предположении отсутствия внезапных отказов). Здесь предполагается, что систематическая погрешность отсутствует или устраняется введением поправки. Предполагается также, что основная погрешность ряда однотипных приборов подчиняется нормальному закону со с. к. о. (А). Р а (t) со временем уменьшается в связи с износом и старением элементов прибора,

Рис. 5.21. Изменение распределения погрешностей измерительного прибора во времени.

Износ и старение приводят к изменению параметров распределения: математического ожидания М (Д) и с. к. о. о (А). Так как эти изменения происходят в течение длительного времени (тысячи часов), то их можно представить линейной функцией времени: М (Д (01 = At и а [Д (0] = аг (Д) + Bt. При этом предполагаем, что плотность распределения р (Д) остается нормальной. Завод-изготовитель практически всегда устанавливает допуск на погрешность меньше, чем указывается в паспорте прибора. В связи с этим различают производственный допуск (в данном случае ± Д Х ) и эксплуатационный ± Д 2 (Да > ДО- Здесь Д 2 соответствует классу точности прибора. С учетом этого вероятность безотказной работы прибора по постепенным отказам определяется как вероятность нахождения основной погрешности прибора в момент времени t в пределах ±Д

Искомая вероятность Р п (t) в данном случае, равная отношению числа годных на момент времени t приборов к числу переданных в эксплуатацию годных приборов, и определяется из следующих очевидных соотношений. Вероятность выпуска с завода годных приборов Р , ( - Ах < Д < + Дх) = 2Ф г ( Д ^ (Д)), где Фг (Ai/o x (Д)) — нормированная функция Лапласа (табл. . 2); P t (—Aj < А < ; A t ) — на рис. 5.21 заштрихованная площадь. Количество годных приборов N0, переданных в эксплуатацию, N0 = N- 2Ф 1 (А 1 /а 1 (Л)), где N — число выпущенных на заводе приборов. Плотность распределения погрешности с учетом изменения во времени (А

р (Д)

У 2 1 1 ( 0 , (Д) +

по

Bt)

-At)'

21<МА)+»Р

где р (А) — уравнение поверхности, сечение которой плоскостью, перпендикулярной оси времени, образует нормальную кривую распределения. Далее Р(-А Д <- Д А <- ДА )) - Ф ф\ |^ 2 2

(Ci(A) +

Ä )

[ а , (А) + Ä )

J1-

А теперь число приборов, оставшихся годными к моменту времени, Nt = NP (— Д 2 < А < А 2 ) . Вероятность безотказной работы по постепенным отказам в момент времени t (А.-Л) — Ф - А , - А 1 ф \ [ o t (А) + Bt о, (А) + Bt J (5.31) .А! 1 2Ф Ох (А) ] Резервирование Резервирование является способом повышения надежности технических устройств, использующим принцип избыточности. При отказе объекта выполнение его функций берет на себя резервное устройство. Резервирование бывает с подключением запасного элемента вместо отказавшего либо постоянным параллельным включением одного или нескольких запасных элементов. При резервировании первым способом применяются ручные или автоматические переключатели и устройства обнаружения неисправностей. При резервировании вторым способом резервные элементы работают вместе с основными в нагруженном режиме. При этом способе резервирования необходимо проектировать устройства так, чтобы отказавшие элементы или блоки не влияли на работоспособность работающих резервных систем. Оба вида резервирования по структуре могут быть общим, раздельным или смешанным. Общее — резервирование всей системы; раздельное — резервирование каждого элемента; смешанное предусматривает к а к резервирование крупных блоков, так и отдельных элементов. Показатели надежности при резервировании определяются следующим образом. При общем резервировании, рис. 5.22, а вероятность отказа всей системы, состоящей из т параллельно включенных цепей, т-Н Ротк — П РОТКИ (=1

где Р о т к / — вероятность отказа t-й цепи резервированной системы; m — кратность резервирования, р а в н а я числу резервных систем. В свою очередь Ротк< — 1

Pö.pit

171

_J «J* |-»».-| п 1 — | —1 | 2 •ч

П.. — V.

I—I3 t- . «» -I '•Г и

ь.<

„

Рис. 5.22. Графические изображения резервирования системы: а — общего; б — раздельного поэлементного.

где Рб.рс — вероятность безотказной работы t-й резервной цепи. Тогда m+1 Рб.р.об =

1 —PoTK.06 = 1

1=1 Вероятность безотказной работы t-й цепи системы п Рб.р/ = П Рб.р//,

Рб.р/).

/=1

где Рб.р// — вероятность безотказной работы /-го элемента i-й цепи. С учетом этого m+1 /

Рб.р об =

1 —

(1-

P6.pi/j .

При раздельном резервировании каждого /-го элемента последовательной цепи (рис. 5.22, б) вероятность безотказной работы /-го элемента m+1 Рб.р/ =

1 -

(1 +

Рб.р,,).

1=1 Вероятность безотказной работы всей системы при раздельном резервировании каждого элемента m+1 (1 —Pe.pl/) Рб.р.разд.об — П 1 _ п /=1 /=1 Необходимо отметить, что при большом числе элементов п общее резервирование даже при больших кратностях т недостаточно эффективно. В то же время раздельное резервирование более эффективно при сравнительно небольших кратностях. Расчет надежности приборов Требования по надежности должны быть отражены в техническом задании (ТЗ) на разработку нового объекта, что позволяет уже при выборе варианта схемы, конструкции и т. п. проводить ориентировочные или сравнительные расчеты параметров надежности и исключать из дальнейшего рассмотрения варианты решения, заведомо непригодные по надежности. f 172

Рассмотрим вопросы расчета характеристик надежности приборов, в которых не применяется резервирование и справедлив экспоненциальный закон надежности. В Т З , как правило, включается один из показателей безотказности, например Ръ.р (t). Время t также выбирается по этому стандарту. Как уже было отмечено, расчет производится для этапа нормальной работы. Определение вероятности безотказной работы Рб.р (0 производится следующим образом: Л РБ. ( 0 = е - ' , где Л — интенсивность отказов прибора; i — время в часах. При этом Р

(=i Здесь — интенсивность отказов 1-го элемента с учетом условий эксплуатации; N — количество элементов прибора. В свою очередь = ^Or'ttiOigCXj . . . , где Koi — справочное значение интенсивности отказов для i'-го элемента при нормальных условиях эксплуатации; аjO^... — эксплуатационные коэффициенты, учитывающие влияние различных эксплуатационных факторов на интенсивность отказов (степень нагруженности элемента по сравнению с номинальной нагрузкой, климатические факторы, механические воздействия и т. д.). Интенсивность отказов, некоторых элементов средств измерений, Х0{ Постоянные непроволочные резисторы

0,4-10 — 6

Непроволочные переменные резисторы

0,6-10~ 6

Переменные проволочные резисторы

3,0-10 — 6

Конденсаторы керамические

1,4-10

Конденсаторы слюдяные

1,2-10~ 6

Конденсаторы бумажные

1,8-10 —6

Конденсаторы электролитические фольговые алюминиевые

2,4-10

Диоды точечные

0,7-10 —6

Стабилитроны

5,0 -10

Транзисторы малой мощности

3,0-10

-6

Транзисторы большой мощности

5,0-10 — 6

Микросхемы

1,0-10 —6

Зависимость эксплуатационных коэффициентов от влияющих факторов приводится в справочной литературе в виде графиков или таблиц. Нагруженность элемента определяется зависимостью эксплуатационного коэффициента от коэффициента нагрузки /Сн, который, в свою очередь, для различных элементов определяется по следующим зависимостям: 173

Форма 1 № пп

Наименование элемента

Обозначение в схеме

Кол-во в схеме

«н

а,

Форма 2 Л» пп

Наименование блока

Л блока

резисторы — К„ ~ WIWдоп; конденсаторы — /С„ = U m IU m д о п ; ДИОДЫ

— Кп

цоп,

транзисторы — К„ — W/WAOn', микросхемы — К в = 1. В числителе записывается фактическое значение параметра (мощности, тока или напряжения), в знаменателе — номинальное допускаемое по справочным данным. Наработка на отказ определяется по (5.28). Д а н н ы е для расчетов сводятся в форму 1 и заполняются для каждого блока. Д л я покупных блоков и приборов заполняется форма 2. Если для покупного блока не известно X, а известно лишь Рб.р (О или Топ, то X определяется по (5.27) или (5.28). Затем по (5.29) находят значение Л для всего прибора и рассчитывают другие показатели надежности прибора по внезапным отказам. Приведем значения интенсивностей отказов для наиболее широко применяемых элементов, расчет вероятности безотказной работы при постепенных отказах производится по (5.31). Суммарная вероятность безотказной работы по внезапным и постепенным отказам за одно и то ж е время t, предполагая взаимную независимость внезапных и постепенных отказов, составит Pcyu(t) = P6.p (t)Pu(t)В расчетах надежности значения вероятностей округляются до двух знаков после запятой.

Глава

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Средства информационно-измерительной техники соединяются в единые системы с помощью сигналов различного назначения — управления, связи, синхронизации, образцовых, измерительных и др. Сигналы для обеспечения возможности соединения звеньев системы должны обладать совместимостью по роду, размеру и т. д. Эта совместимость устанавливается Государственной системой приборов (ГСП). В измерительных устройствах сигналы подвергаются различным измерительным преобразованиям и действиям помех. В настоящей главе рассмотрим общие свойства сигналов и их основные преобразования. 6.1. ПОНЯТИЕ

О СИГНАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ

ИНФОРМАЦИОННО-

Понятие «сигнал» является очень широким. В общем случае под сигналом подразумевают физический процесс — носитель сведений. Сигнал обладает различными параметрами и характеристиками и представляется математической моделью. , В зависимости от характера сведений сигналы, используемые в измерительной технике, можно разделить на измерительные и образцовые (рис. 6.1). В измерительном сигнале содержатся неизвестные нам сведения, т. е. измерительная информация, которая заключена либо в размерах его параметров, либо в других характеристиках. В образцовом сигнале содержатся известные нам данные или сведения либо в заданных размерах его параметров, либо в других характеристиках. Известные характеристики образцовых сигналов помогают получить информацию, содержащуюся в измерительном сигнале. Аналоговые сигналы непрерывны по размеру. К ним относится большинство измерительных сигналов Количество информации, заключенное в них, теоретически неограничено Образцовые аналоговые сигналы обычно являются выходными сигналами мер и преобразователей код — аналог. В кодовом сигнале известные или неизвестные данные или характеристики заключены в количестве и расположении его элементов во времени или в пространстве Количество информации, содержащееся в таком сигнале, обычно ограничено. Элементами кодовых сигналов служат электрические импульсы, или потенциалы. 175

Взаимодействие средств измерений между собой, с объектом измерения, управления, другими объектами и системами реализуется с помощью входI Образцовые ных и выходных измерительных сигI Измерительные налов, действующих соответственно на входе и выходе средств измерений. Входным измерительным сигналом I Кодовые 1 Аналоговые называется сигнал, воздействующий на вход средств измерений. Входной сигнал в виде физического процесса | Выходные [ Входные воздействует на вход большинства Рис. 6.1. Сигналы, используемые в изсредств измерений: измерительных и мерительной технике. масштабных преобразователей, устройств сравнения, измерительных приборов и систем. Входной измерительный сигнал характеризуется параметрами, которые можно подразделить на информативные и неинформативные. Информативным параметром входного сигнала называется параметр процесса, который функционально связан с измеряемой величиной. Неинформативным параметром входного измерительного сигнала называют параметр, не связанный функционально с измеряемой величиной. Однако неинформативный параметр может вызывать нежелательное изменение информативного параметра выходного сигнала, связанного с измеряемой величиной. ! Выходной аналоговый сигнал возникает на выходе мер, измерительных преобразователей. Выходной сигнал также может обладать многими параметрами. Информативный параметр выходного сигнала измерительного преобразователя однозначно функционально по возможности линейно связан с измеряемой величиной или с информативным параметром входного сигнала. Неинформативным параметром выходного сигнала измерительного преобразователя называют параметр, не связанный функционально с информативным параметром входного сигнала. Кодовый измерительный сигнал является систематизированной совокупностью легко автоматически различимых символов в виде физических состояний, отображающих числовое значение величины. Кодовый измерительный сигнал является выходным сигналом цифрового измерительного прибора и входным сигналом — преобразователя код — аналог. Информативным параметром кодового образцового сигнала является число. Информативным параметром кодового измерительного сигнала является числовое значение измеряемой величины. Изменения неинформативных параметров кодового сигнала на значения его информативного параметра практически не влияют. Сигналы систематизируют, прежде всего, по их принадлежности к основным видам физических процессов, а также по особенностям их изменения (рис. 6.2). В зависимости от характера их изменения во времени сигналы разделяют на детерминированные, квазидетерминированные и случайные. Сигналы, используемые В измерительной технике

176

Сигналы

Механические

Электрические Тепловые и магнитные

Акустические

световые

-1

\ш

излучений

| Постоянные до Времени |

j Переменные Во времена

неслучайные сигналы (детерминированные и квазидетерминироВонные)

Случайные сигналы

Х Сложные

Г"

Непериодические Периодические и Непериодические Периодические переходные почти периодические

1 I

llj

Sst^t IS 1Р II » S ä

tili

'одические [

P sl

Рис. 6.2. Систематизация сигналов.

Д е т е р м и н и р о в а н н ы й сигнал отличается тем, что закон его изменения известен, а модель не содержит неизвестных параметров. Детерминированными считают образцовые сигналы на выходе мер, несущие сигналы. Квазидетерминированными называют сигналы с частично известным характером изменения во времени, т. е. с одним или несколькими неизвестными параметрами. Последние чаще всего считают случайными величинами. К квазидетерминированным относятся, например, постоянный сигнал с неизвестным размером; синусоидальный сигнал с известной частотой и постоянной, но неизвестной амплитудой и т. д. Случайным называют сигнал со случайным характером изменения во времени. Такие сигналы можно описать только с помощью их статистических характеристик (спектра плотности мощности, закона распределения), но нельзя представить детерминированной функцией времени. " ~ Параметры сигналов — физические величины в зависимости от числа размеров, которые они могут иметь, бывают непрерывными и квантованными по размеру. Непрерывная по размеру величина может иметь в заданном диапазоне бесконечно большое число размеров. Квантованная по размеру величина может иметь в заданном диапазоне только ограниченное число размеров. Квантованным сигналом называется физический процесс, параметр которого квантован по" размеру. Физические сигналы в зависимости от характера изменения во времени и пространстве бывают непрерывными и прерывными, или дискретизированными, во времени или пространстве. Непрерывным сигналом называют физический процесс, параметры которого изменяются 177

непрерывно. Большинство сигналов являются непрерывными. Дискретизированным называют сигнал, у которого размер хотя бы одного параметра может быть отличен от нуля только в определенные моменты времени или в определенных точках пространства. Квантование и дискретизация являются важнейшими видами преобразования измерительных сигналов. Их метрологические особенности рассматриваются в гл. 7. Четыре формы сигнала и их метрологические особенности Физические сигналы, действующие на входе и выходе средств измерений, в зависимости от числа размеров, которые может иметь их основной параметр х, и характеристики изменения во времени можно подразделить на четыре следующие формы (рис. 6.3); сигнал непрерывный во времени и по размеру параметра — X (t) <рис. 6.3, а); сигнал непрерывный во времени и квантованный по размеру параметра — Хкв (/) (рис. 6.3, б); сигнал дискретизированный во времени е непрерывным по размеру параметром — Х а (t) (рис. 6.3, в); сигнал дискретизированный во времени G квантованным по размеру параметром — Хд.кв (t) (рис. 6.3, г). Рассматривая эти четыре формы сигнала можно определить некоторые их специфические особенности. При измерении параметров непрерывного сигнала X (t) погрешность возникает при определении как мгновенных значений х, так и моментов времени, к которым они относятся. т

. ш Цк

Цк

5%к 1

1Тц

в а — непрерывная,

178

•

iTn

t Рис. 6.3. Четыре формы сигналов: 6 — квантованная, <s — дискретизированкая. г —- дискретизировавная а квантованная.

Цри измерении параметров дискретизированного сигнала X (О известно, к какому моменту времени относится полученное значение X , но само значение определяется с погрешностью. Дискретизированный и квантованный сигнал Х к в ( t T J обычно создается на выходе программно управляемой меры и является детерминированным. Если необходима очень высокая точность или чувствительность, то целесообразно использовать естественную дискретность и квантованность физических процессов, определяемую строением материи в микромире. Например, состав вещества определяется с помощью цифровых масс-спектрометров путем счета частиц, имеющих определенную траекторию полета (т. е. определенную массу), интенсивность космических излучений — путем счета числа разрядов в счетчике Гейгера — Мюллера. Перед измерительной техникой ранее обычно ставилась задача измерения постоянных сигналов, содержащих только один постоянный информативный параметр. Эта задача решалась с помощью показывающих приборов, приборов ручного уравновешивания, обладающих низким быстродействием. При измерении постоянной во времени величины достаточно определить одно мгновенное значение. Измерение постоянных величин может проводиться в течение длительного времени. В этом случае жесткие требования к динамическим характеристикам прибора и его быстродействию не предъявляются. В настоящее время в измерительной технике в большинстве случаев решается задача измерения параметров сигналов, изменяющихся во времени. При измерении таких сигналов, во-первых, к средствам измерений предъявляются требования все более высокого быстродействия, во-вторых, процесс содержит многопараметровую информацию. Эта информация может заключаться в совокупности отдельных мгновенных значений основного параметра сигнала, в частотно-временных параметрах сигнала, в статистических, если сигнал является случайным и т. д. В случае измерения одного из многих параметров процесса возникает задача выделения заданного информативного параметра, получения выходной величины, функционально связанной только с информативным параметром, и подавления влияния на нее остальных параметров. Примером могут служить электронные аналоговые фазометры с ограничителями импульсов. В них подавляется влияние амплитуды входного сигнала на размер выходной величины, которая должна быть функционально связана только с фазой исследуемого напряжения. При квазидетерминированном законе изменения мгновенных значений, например гармоническом, измеряют неизвестную амплитуду, частоту или фазу, среднее или среднее квадратическое значения. При неизвестном, но повторяющемся законе изменения, измеряют мгновенные значения сигнала. При неизвестном и случайном законе изменения, целью измерения является определение координат кривой распределения, среднего или среднего квадратического значения, корреляционной функции, спектра мощности. По координатам кривой распределения более удобно, 179

чем по кривой мгновенных значений, определить среднее и среднее квадратическое значение величины, диапазон ее изменения, пик-фактор. При неизвестных частотно-временных параметрах, т. е. при измерении периода, частоты, фазы сигналов, периодических во времени или повторяющихся в пространстве, измерение имеет некоторые особенности: облегчается определение относительных параметров процесса, так как имеет место непрерывная повторяемость величины, которая играет роль опорной величины при относительных измерениях, например в случае измерения фазы, равной отношению t j T , где Т — период колебаний, опорная величина; существуют условия для многократных повторных измерений с возможностью повышения точности путем осреднения. Основные виды моделей сигналов Сигналы различного физического рода описываются общими математическими моделями. В дальнейшем под сигналом будем понимать его математическую модель — функцию x = f(t,a,

б, в,

...),

где х — основной параметр сигнала; / — основной независимый аргумент сигнала, в данном случае время; а, б, в — параметры сигнала. Модели сигналов в зависимости от рода основного независимого аргумента бывают временными и частотными. Кроме указанных применяются также векторные модели. Вид модели выбирается в зависимости от конкретных условий. На рис. 6.4 представлены три модели сигнала с постоянной интенсивностью х = const (рис. 6.4, а, б, в) синусоидального в виде временной, частотной и векторной диаграмм (рис. 6.4, г, д, е). Входные сигналы средств измерений принято подразделять на квазидетерминированные и случайные и учитывать особенности их измерений и оценок результатов измерений. Это объясняется тем, что степень априорной информации о квазидетерминированных и случайных сигналах различна. Действительно, параметр квазидетерминированного сигнала, например, в виде постоянного напряжения (при неизвестном, но постоянном его значении) можно определить за одно измерение, практически мгновенно, а три основных параметра гармонического сигнала (амплитуду, фазу и частоту) — за один его период. При случайном сигнале время, необходимое для определения статистических параметров, должно многократно превосходить время корреляции сигнала. При измерении параметров квазидетерминированных сигналов всегда располагают значительно более обширной априорной информацией, прежде всего информацией о детерминированном характере закона изменения во времени, и обязательно используют ее для соответствующего повышения качества измерения. При измерении параметров случайных сигналов априорные сведения значительно бедне^. Поэтому операция идентификации сигнала, 180

XlV'

Хт (О

Од

t-диаграмм а

\ \

и-диаграмма

"Vдиаграмма

Рис. 6.4. Временная (t), частотная (со), векторная (V) диаграммы: е. б, в — постоянного сигнала; г, д, е — синусоидального сигнала.

т. е. определение его модели, в этом случае значительно более сложная — необходимо проверить гипотезу о стационарности сигнала, гипотезу об эргодичности, иметь сведения о характере закона его распределения, и для этого часто перед измерением характеристик и параметров случайного сигнала также необходимо использовать специальную аппаратуру. Несоответствие модели, приписанной данному сигналу, характеру его изменения вызывает возникновение специфической погрешности идентификации. Кроме этого, измерение статистических параметров и характеристик всегда связано с процессом осреднения, вследствие чего для обеспечения достоверности результата измерения необходим значительный объем статистических данных. 6.2. КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ, ИХ ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

Квазидетерминированные сигналы разделяют на элементарные и сложные. Элементарные квазидетерминированные сигналы отличаются простотой представления и генерирования, а также минимальным числом параметров и простотой реакции звеньев. К основным элементарным сигналам относятся: постоянный сигнал, мгновенное значение которого постоянно, идеальный единичный импульс и синусоидальный сигнал. Постоянный сигнал неизменен во времени (рис. 6.5, а), его модель уравнение х = const. Постоянный сигнал имеет только один параметр х. Идеальный единичный импульс описывается дельта-функцией (рис. 6.5, б), свойства которой определяются следующими соотношениями: О при t Ф оо

при

t = t„ 181

Рис. 6.5. Основные элементарные сигналы: а — постоянный сигнал, б — идеальный единичный импульс: а — единичный сигнал на выходе интегратора, г — дельта-функция на выходе дифференциатора.

X(t)8(Hu)

где б (/ — 4 ) — дельта-функция; t — текущее время; tu — момент действия импульса. Идеальный единичный импульс Интегратор является идеализацией реального в импульса в том смысле, что длим тельность его т принимается рав1 V7777777 ной 0, а амплитуда — бесконечност У/А Дифференциатор t ти. Таким образом, из трех параtu • fr метров (т — длительность импульса, хт — амплитуда импульса и t„ — момент возникновения импульса) два исключаются из дальнейшего рассмотрения, и идеальный единичный импульс характеризуется только одним параметром ta — моментом его действия. Интеграл дельта-функции (рис. 6.5, б) t

№

J ö ( f — / H ) Ä = 1. (6.1) о Значение интеграла от дельта-функции отлично от нуля в момент t = t„ и при t > tH. Следовательно, символически его можно выразить к а к единичную функцию 1 (t — t„), когда t> ta; t (t > *.). $ ö ( t - t u ) dt = 1

Если единичную функцию дифференцировать (рис. 6.5, г)

то получим дельта-функцию. Интеграл от произведения дельта-функции на сигнал X (t) равен значению х (t„): 1 X[t)b{t-Qdt

x{Q.

Это означает, что дельта-функция обладает стробирующим действием. Такое свойство дельта-функции используют для представления дискретизированной во времени функции с периодом дискретизации, равным Т, Хя (0 = % Синусоидальный

X(iT)ö(t-iT).

сигнал

* = X r f s i n (со/ + <р) = Xm sin 182

(6.2)

определяется тремя параметрами: амплитудой Хт, периодом Т или частотой о = 2п/Т и начальной фазой <р. Многие физические процессы с достаточной для практики точностью описываются синусоидальной функцией: напряжение на выходе генератора переменного тока, отклонения несбалансированного ротора и др. Синусоидальная функция является одной из наиболее простых и удобных для анализа функций времени (рис. 6.6). Сложные квазидетерминированные сигналы. К периодическим сложным сигналам относятся полигармонический сигнал, последовательности импульсов прямоугольной, треугольной, экспоненциальной и других форм. Полигармонический сигнал описывается периодической функцией x(t)—x(i± кТц), (6.3) где к = 1 , 2 , 3... Этот сигнал повторяет все свои значения через интервал времени Т ц , называемый периодом. Число циклов повторения в единицу времени называется основной частотой f — 1/Т ц . В большинстве случаев полигармонический сигнал может быть представлен рядом Фурье: п х (t) — С0/2 + ][] (ак cos 2як[^ bK sin 2п/1л:^) к=1

или

п X (t) = х0 + £ Ск cos ( 2 л k f i t + ф к ),

где / = 1/7\ Полигармонический сигнал состоит из постоянной составляющей и бесконечного числа гармоник с амплитудами С к и начальными фазами «рк. Если начальные фазы не принимать во внимание, то периодический сигнал можно представить линейчатым, или дискретным, спектром (рис. 6.7). Следует отметить, что полигармонические сигналы распространены значительно шире, чем синусоидальные. К примеру, напряжение на выходе генератора переменного тока, строго говоря, является всегда поЛигармоническим, так как содержит небольшие по амплитуде высшие гармоники. Колебания корпуса силовой установки с поршневым двигателем являются полигармоническим сигналом со значительными по уровню гармониками. Любой из параметров полигармонического сигнала может быть информативным. Периодический импульсный сигнал широко используется ввиду простоты генерирования несложными логическими интегральными элемен183

Х(4

№

Ь . ti0 2а0 За0

JäL

Кй>0 О)

Рис. 6.7. Дискретный спектр периодического сигнала.

Тц

Рис. 6.8. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.

тами и описывается следующей функцией: хт

при

0 < t < т;

при

т < / < Гц.

(6.4)

Такая периодическая последовательность прямоугольных импульсов также определяется тремя параметрами: амплитудой Хт, периодом повторения TQ,ß длительностью импульса т. Любой из них может быть информативным или неинформативным. Кроме этого, для данной формы сигнала определяют параметр, называемый скважностью (рис. 6.8): Q = Т ц /т

(6.5)

или обратный ему параметр, называемый коэффициентом q = т/Гц.

заполнения,

Д л я периодического сигнала любой формы с периодом Т важными параметрами часто являются: текущее среднее значение за время Т t+T Яср.тек

1 IT

X(t)dt;

t среднее значение (постоянная составляющая) хСр = ЦТ

\x{t)dt\

среднее выпрямленное значение »•ср.выпр =

1/Т\\X{t)\dt\

действующее или среднее квадратическое значение J x 2 ( 0 dt.

*с.к.з

Информативными параметрами периодических сигналов сложной формы могут являться: максимальное отклонение сигнала в сторону больших значений от постоянной составляющей х+тах = т а х [X (t) — хар]\ ter 184

№

6>i'2*fi й>г a3 a>4

ios

Рис. 6,9. Спектр почти периодического сигнала.

Хк

mfaUfy)

Рис. 6.10. К представлению пе« риодического сигнала по Гильберту.

186

максимальное отклонение сигнала в сторону меньших значении от постоянной составляющей * - т а х = | min [X (f) — д;ср] |; t£T размах периодического сигнала •^разм =

"4"

тах>

коэффициент амплитуды Ка

XmlXс.к.з,

коэффициент формы /СФ = ^С.к.З/^ср.выпр« Сложные периодические процессы образуются суммированием двух или более синусоидальных гармоник с кратными частотами, т. е. если отношения частот любых пар гармоник представляют собой рациональные числа. Например, сигнал, описываемый функцией х (t) = Хх sin (2t +

Фх )

+ Х2 sin (5/ + Ф2) + Х 3 sin (9t + q>3),

является периодическим, так как числа % являются рациональными. Сигнал х (0, образованный синусоидальными гармониками с произвольными частотами, в общем случае не является периодическим. Например, сигнал х (t) = Хг sin (2t + ф х ) + Х2 sin (5* + <р2) + Xs sin ( / 6 W + %) не является периодическим, так как отношения частот гармоник 2/УВ0 и 5/]^60 не являются рациональными числами (и тогда основной период равен бесконечности). Такие сигналы называются почти периодическими, встречаются достаточно часто при суммировании независимых периодических процессов и представляются дискретным или линейчатым спектром (рис. 6.9). Примером почти периодического сигнала могут служить колебания корпуса самолета с несколькими двигателями, работающими в общем случае несинхронно. Общим способом аналитического представления сложных сигналов, основанным на понятии огибающей, является преобразование Гильберта.

Рассмотрим сложный сигнал х (t), состоящий из суммы гармонических составляющих, расположенных в узкой полосе частот, оо *(<) = Е *к COS (с0Kt -f Фк)(6.6) /С=0

Каждое слагаемое сигнала можно рассматривать как проекцию на ось абсцисс вектора Хк (t), находящегося под углом ык t -f Фн к оси абсцисс (рис. 6.10). Эта проекция равна х к cos ( ( o j фк), т. е. равна слагаемому сигнала. Проекция вектора Хк (/) на ось ординат А

*к (0 = * к sin (сок* + фк). Л Сигнал хк (/) называют сопряженным сигналу хк ({). При этом сложный сигнал х (() может быть представлен в виде x(t) = хог (t) cos Ф (/), (6.7) где хог (t) = V^х2 ( f f + х (t) — результирующий вектор, который принято называть огибающей сигнала х (t). Огибающая хог (0 и сигнал х (t) никогда не пересекаются и имеют л

общие касательные в точках, где сопряженный сигнал xk (t) — 0. Угол сдвига Ф(1) = arctgx (/)/*(/) является полной фазой сигнала хог (0> т. е. углом, образованным результирующим вектором Хот (0 с осью абсцисс. Если частоты слагаемых в ряде (6.6) расположены в узкой полосе частот от и н до юв со средней частотой со0 = 6)11 "^й>в , то полная фаза Ф (t) может быть представлена в виде Ф ( 0 = a0t + ф0 (t), где ф0 (0 — медленно изменяющаяся функция времени. В общей теории интеграла Фурье доказывается, что сопряженный л

сигнал х (0 может быть найден по формуле оо

* М - 4- I т*т

—оо Справедливо при этом и обратное соотношение 00 —оо

Соотношения (6.8) и (6.9) называют парой преобразований Гильберта. Так как при т — t подыинтегральное выражение обращается в бесконечность, то эти соотношения следует вычислять как предел

о-»- 0 1ЯЙ

х+а

Рис. 'в. П . Сумма двух с и н у с о и д е отношением частот, близким к единице (а), сумма синусоид с большим отношением частот (6).

Преобразование Гильберта для х (t) = cos соt даст х (0 = sin о t и соответственно преобразование Гильберта для х (t) = sin at дает х (0 = —cos Таким образом, чтобы получить преобразование Гильберта для гармонического сигнаX(t) ла, его нужно сместить на 4 /7 \/\ y f j \ \ угол л/2 в сторону запазды/ -Ау^чА [ут вания. Преобразование \\\ - Д / / \ \ Ml/ t \\/ Гильберта для сигнала х (t), \ls У состоящего из суммы гармонических составляющих, реализуется поворотом каждой из них на угол я/2 в сторону запаздывания. Представление сигналов в виде (6.7) имеет большое значение и широко используется при анализе и синтезе сложных непрерывных сигналов. Рассмотрим интересный с точки зрения применения случай суммы двух сигналов с частотами о^ и о 2 , отношения которых близки к единице или значительно больше ее. Полигармонический сигнал, состоящий из двух гармоник с частотами, отношение которых близко к единице, образует биение (рис. 6.11, а). Если уравнение гармоник Хх — Х

COS (ät\

х2 = Х2т cos (со + Дш) t, то уравнение суммарного сигнала-биения х

с =

= vX\m

( 0 sin Ф (t) =

+ xlm + 2XlmX2m X

Ф = arctg

*ог

cos Awt sin (at + ф);

(6.10)

cos

2m X2m sin Д(at

Im +

Если Xim > X^m, то гармоника x t называется главной компонентой, или главной гармоникой. Частота изменения сигнала внутри каждого периода биения равна частоте главной компоненты сигнала. Амплитуда биения изменяется от суммы Х\т + Х2т до разности Х\т — Хгт амплитуд компонент сигнала. Частота биения равна разности частот компонент. Суммарный сигнал-биение не является синусоидой, но по внешнему виду похож на синусоиду и имеет приблизительно синусоидальный 187

№

т.

-т

№

о а

Рпс. 6.12. Примеры непериодических сигналов и их спектров: экспоненциальный, б затухающий колебательный, в — прямоугольные.

характер изменения ординат. Отличие от синусоиды определяется непостоянством амплитуды и фазы в течение периода биения. Биение на протяжении каждого периода имеет два характерных участка — «горб», где ординаты максимальны, и «талия», где они минимальны. По соотношению расстояний между пиками «горба» и «талии» биения можно определить, какая из компонент сигнала — главная или второстепенная — имеет более высокую частоту. Если расстояние между соседними пиками «горба» меньше, чем между соответствующими пиками «талии», то это означает, что < со2, т. е. частота главной компоненты сох меньше, чем частота второстепенной оз2, и наоборот. Огибающие биения — плавные кривые, проведенные касательно вершинам и впадинам биения. Огибающие биения образуют полосу огибающих. Ширина этой полосы у «горба» равна удвоенной сумме амплитуд компонент 2 ( Х \ т + Хът), а у «талии» — разности 2 (Хт — Хът) (рис. 6.11, а). При двухкомпонентном сигнале нижняя огибающая является зеркальным изображением верхней. Частота огибающей равна разности частот компонент. Амплитуда огибающей равна амплитуде второстепенной компоненты. Сигналы, состоящие из двух синусоид с большим отношением частот, характерны тем, что высокочастотная компонента на суммарной кривой представляется в виде пульсаций, наложенных на низкочастотную (рис. 6.11, б). В этом сигнале огибающая обладает несколько иными свойствами по сравнению с огибающей биения: ее амплитуда и фаза равны амплитуде и фазе низкочастотной компоненты, а ширина полосы равна удвоенной амплитуде высокочастотной компоненты. Переходные непериодические сигналы отличаются от периодических и почти периодических тем, что представляются непрерывным спектром. При постепенном увеличении Т разности частот соседних частотных составляющих спектра становятся ничтожно малыми, равными dco, и дискретный спектр1 частот превращается в непрерывную функцию х (0, т. е. в непрерывный амплитудный спектр. На основе таких пред188

ставлений получают при условии интегрируемости х (t) на интервале от — оо < / < оо преобразование Фурье или непрерывный комплексный спектр сигнала оо

X (/со) =

£ х (t) еш(И.

(6.ll>

Основные непериодические переходные сигналы описываются следующими функциями: экспоненциальной x(t)

(6.12>

*<0;

затухающей колебательной x(t)

X m e-°' cos соt

t > 0; t

(6.13>

<0;

прямоугольной x(t)

to>t>0; /<0;

(6.14)

t>ta.

Непрерывный спектр непериодического сигнала, определяемый с помощью анализаторов спектра, также характеризуется совокупностью важных информативных параметров — полосой частот, экстремальными значениями, по которым могут быть определены информативные параметры исследуемого непериодического сигнала х (t). На рис. 6.12 приведены примеры непериодических сигналов и их спектров. Примером экспоненциального сигнала может служить Таблица

6. Изображения некоторых встречающихся в измерительной технике сигналов

Уравнение сигнала

Изображение

Уравнение сигнала

A/p

(я0

t ~~2сГ s i n

t cos at

p2—а2 (p2 +

tj eat

Изображение

1 2

МО

1(0

Р-1

а2)2

( р - а Г

л! р"+1

е-«'

(р +

а)"1

sin (ät

0) ( р +

cos соt

р (р2 + со2)-1

со2)-'

190

процесс разряда конденсатора или остывания нагретого тела, затухающего колебательного сигнала —колебания рамки магнитоэлектрического гальванометра под воздействием кратковременного импульса и, наконец, прямоугольного сигнала — механическое натяжение троса, который в момент / 0 рвется. Наряду с частотной формой представления сложных сигналов в виде преобразования Фурье или комплексного спектра сигнала X (ja) широко применяют представление сигналов в виде изображений по Лапласу +оо

X (р) = J * (/) e-P'dt. о Изображения основных видов сигналов представлены в табл. 6. Разложение сложных сигналов на элементарные. Обобщенный ряд Фурье В инженерной практике необходимо уметь «проводить» сложные детерминированные и квазидетерминированные сигналы через различные звенья измерительных устройств, а также генерировать такие сигналы. Эти задачи обычно решаются проще, если сложный сигнал можно представить в виде суммы элементарных, обладающих указанными ранее свойствами. Разложение сложного сигнала на элементарные производится по определенной системе, в частности по системе ортогональных функций — в обобщенный ряд Фурье к=т

*(<)=

Е a C (t), К=1 K K

(6.15)

где flK— коэффициенты членов ряда; Ск — совокупность ортогональных функций. Ортогональной называется совокупность функций Ск (t), удовлетворяющая следующему условию на отрезке времени (<а — ti): t, — L — $ c H ( t ) C n ( t ) d t = o, (б.1в) 2 1 <, где к = 1, 2, 3, ..., m; п => 1, 2, 3, ..., m при п Ф к. Ортогональность двух функций означает, что данная функция не содержит в своем составе компонент, имеющих форму второй ортогональной ей функции. Если совокупность функций Ск (0 удовлетворяет также и условию J ci(t) = 1. (в.17) и то она называется ортонормированной. Уравнения для получения значений коэффициентов а к ряда (6.15) могут быть получены на основе применения критерия минимальности 190

среднего значения квадрата погрешности приближения ст'пр сложной к=т функции х (0 к ряду XI Ö k Q (0 на отрезке времени (t 2 — tx). Тогда K=l п и J

xnp

J ^np (0 dt = -J—J^-

(6.18)

Коэффициенты а к определяем из условий минимума о£ пр . Эти условия получаем, приравнивая нулю частные производные от (6.18) по этим коэффициентам: t. da'L д ! 1 1 — i' Л = 0; да. да1 2~к •Ч К=1 t, Arхпр L _ f * ( 0 - 2 в с ( 0 dt. (6.19> к к да„ '.-л J К=1 Если два вышеприведенных условия ортонормированности совокупности функций Ск (t) выполняются, то, решая эти уравнения, полу' чаем и (6.20)

ак = J * ( / ) Ск ( / ) dt.

t, Если второе условие не выполнено и совокупность функций является только ортогональной, но не ортонормированной, то £ * (t) ск (0 dt t,

{ci

(6.21)

(t) dt

Следовательно, сложный детерминированный сигнал х (/) на интервале (t2 — tj) можно заменить суммой т взаимно ортогональных на этом интервале сигналов Ск (^.Погрешность такой аппроксимации буду^ зависеть от числа членов ряда m и сходимости ряда. Определим значение среднего квадрата погрешности приближения: 2 0*ПР

1 ~ l ^ k

•1 J x2(t)dt t,

Р ) xd)

!=Ш -г + %a2K\cl{t)dt ' = ' t,

£ a C (t) r=l K K и

dt =

•! (=m — 2 £ аЛ '=i t.

x{t)CK(t)dt

(6.22)

Если выполняются условия ортонормальности (6.16) и (6.17), то Iг

J д: ( 0 Ск (/) dt = ак J & (/) dt = ак.

(6.23) 191

После подстановки (6.23) в (6.22) ч, 1 \x*(t)dt+ S al-2 •>хпр £ K=1

£ а« Ä=1

к=т

\ x*(t)dt

о«

K=1

U *1 J x 2 ( 0 dt•

— £

•

+ flm)

(fl? + fl2 + fla +

(6.24)

По (6.24) при известных а к можно определить среднее значение квадрата погрешности приближения. В качестве ортогональных используются либо элементарные функции, например тригонометрические, либо специальные, а именно: комплексные экспоненциальные, полиномы Лежандра, Якоби, функции Хаара, ряд Котельникова. Наиболее часто в качестве ортогональных используются тригонометрические функции, образующие обычный ряд Фурье. Действительно, нетрудно показать, что множество функций sin n(a0t и sin m o V ортогональны на любом интервале (t 0 ; / 0 + — ) при произвольных зна\ Щ/ чениях п и т: <„+2л/(Оо s n n j sinna>0t sinm(ü 0 tdt — i ( — m) — n _ m 0 fe 7Г+Ш

Sln

(n +

) ®оЧ l

•

(6.25)

Если л и т целые числа, то числа п — m u п + т также являются целыми и интеграл (6.25) равен нулю, а значит, эта система функций ортогональна. Таким же образом можно показать, что ортогональными являются системы функций sin п со0/ и cos т ш0/, cos п со0t и cos т а0t. Обычно используют в ряду Фурье совокупность ортогональных •функций cos п a0t и sin п a>0t, в этом случае любой периодический сигнал х (t) можно представить на интервале (t0, t„ + 2к/а>0) рядом элементарных сигналов: f (t) — а0 - f аг cos ©0f -f- Ьг sin со0/ + а 2 cos 2а>0/ + + b2 sin 2cö0f -f- • • • + ак cos ka>üt + bK sin k(aüt. Если заменить 2 n/to 0 = Т, то *=<х> х (t) = а0 + 2 (ак cos k&0t + bk sin kio0t),

(6.26)

(6.27)

K=1

Яри t0 < t < t0 + T. Коэффициенты ряда Фурье определяются по (6.21): h+т , а0 = 4 " J to 492

(6.28)

и+т

ак = -^г-

§ х ( t ) cos k(o0tdt; „ (6.Z9) to и+т bK = J x (t) sin ka0tdt. (6.30) 'o Тригонометрический ряд Фурье применяют также в следующей форме: оо

*(/) = £ К cos (na>üt + фк), Ä—0

где

(6.31)

А к = ] / й к + bl\

(6.32)

Фк = — arctg (bJaK).

(6.33)

Аналогично можно показать, что комплексные экспоненциальные функции efkw't (к = 0, ± 1 , ± 2 , ...) являются на интервале (t0, t0 + + 2я/со0) также взаимно ортогональными при любом t0. 2я/Ш|,

/ _

<„+Г e/ft(0„/e-/n(Do/^

; j

e/fcM0<e-/ri(a„<^t

(6.34)

Если к = n, то / = Г, а при к п / = 0. Следовательно, любой периодический сигнал л: (/) можно представить суммой комплексных экспоненциальных сигналов — с помощью экспоненциального ряда Фурье х (t) = F0 + Fje'»«' + F_ie-'0»' + f_ 2 e-' 2 M «' +

+ F ^ ^

• • • + Гке/Ам«' + F_Ke—'ftw<,<.

(6.35)

Коэффициенты экспоненциального ряда Фурье определяются по формуле to+T

"Г" I

v^'dt.

(б.зв)

Экспоненциальный ряд Фурье для периодической функции является второй формой тригонометрического ряда Фурье. Периодический сигнал с периодом повторения Т можно представить состоящим из периодических синусоидальных сигналов с частотными составляющими ы0 = 2я/Т; 2ы0; Зсо0; ...; пщ. Периодический сигнал Je (t) обладает дискретным или линейчатым спектром, графически изображающимся в виде вертикальных линий вдоль оси частот в точках (о0, 2ю0 и т. д., причем высота каждой из этих линий пропорциональна амплитуАе данной частотной составляющей. Обычно частотные составляющие спектра являются комплексными числами, и поэтому для представления данной периодической функции необходимо иметь два дискретных спектра: спектр амплитуд и спектр фаз (рис. 6.13). Заметим, что во многих случаях частотные составляющие являются только действительными или только мнимыми, и данный сигнал можно представить 7

818

193

ф) 360° 300° 200°

ы„ 2ш0

100"

1_J_LL ПШ Зы Щ а

0О 2а0 Щ- 4оо

Л0о

/Г

Рис. 6.13. Спектр амплитуд (а) и спектр фаз (б) периодического сигнала.

одним спектром, так как его фазовый спектр постоянен и имеет составляющие, соответственно равные 0 или 90 Дискретный спектр периодического сигнала, определяемый с помощью средств измерений, называемых анализаторами гармоник, характеризуется совокупностью важных информативных параметров сигнала х (t) — значениями амплитуд и фаз отдельных гармоник, полосой частот и др. «Быстрое» преобразование Фурье Наиболее распространенным способом анализа спектра мощности сигналов, т. е. их представления в частотной области, является фильтрация с квадрированием, определение спектра по корреляционной функции и по преобразованию Фурье. Фильтрация, как правило, осуществляется в анализаторах спектра — устройствах с избирательной амплитудно-частотной характеристикой параллельного или последовательного типа. Анализаторы спектра параллельного действия весьма громоздки ввиду многоканальное™ и необходимости использования большого числа узкополосных фильтров. При использовании анализаторов спектра последовательного действия очень велики затраты времени на соответствующие перестройки фильтров. Определение спектра по корреляционной функции предполагает первоначальное измерение корреляционной функции, а затем вычисление спектра. В последнее время широкое распространение получил способ определения спектра по преобразованию Фурье. Непрерывное преобразование Фурье (комплексный спектр сигнала) на конечном интервале Т можно записать следующим образом: т Хнепр (/со, Т) = 5 Л: ( / ) e-P™'dt. (в.37) о При дискретном преобразовании Фурье результат получают после обработки ряда N дискретных, равно отстоящих друг от друга, мгновенных значений хп, полученных от быстродействующего цифрового измерительного прибора: хп =

где п = 0, 1, 2, ..., N — 1; -* 194

х(п

ГЦ),

NTa = Т.

(6.38)

•

№

а 10 11 12 13 14

n UnTu

*l *

1=1

1=0

1=1

1=2 1=3

MIT«

1=2

Н1Щ

1*3

Рис. 6.14. К быстрому преобразованию Фурье.

Если допустить, что при преобразовании Фурье спектр напряжения сигнала дискретен по частотной оси с шагом Дш = 2 я / # Г ц ,

(в.Щ

то можно получить следующий дискретныи аналог выражения (6.40) Ядискр (/ЛД.) = 4 г S ' * т п=О где k изменяется от 1 до N. При таком определении Дю в (6.40) существует только N различных ординат спектра, которые можно определить. Для определения каждой k-Pi ординаты частотного спектра напряжения Ддаскр (/£АМ) необходимо вычисление с помощью ЭВМ N комплексных ее составляющих. Следовательно, при K = N для определения всех комплексных ординат 2 спектра напряжения ЭВМ должна выполнять N операций, каждая из которых эквивалентна четырем операциям умножения и сложения действительных чисел. Такое количество операций долгое время препятствовало широкому распространению этого способа. В 1965 г. разработан новый алгоритм определения дискретного преобразования Фурье, позволяющий значительно уменьшить число 195

вычислительных операций. Суть этого метода, получившего название «быстрого» преобразования Фурье (БПФ), заключается в вычислении преобразований Фурье для более коротких последовательностей, получаемых путем разбиения N исходных мгновенных значений на части, и последующем определении «полного» преобразования Фурье по «частичным». Предположим, что требуется найти преобразование Фурье ряда хп — х (пТц), п = 0 , 1 , 2 . . . , N — 1, где N — четно (рис. 6.14). Разложим исходный ряд на два вспомогательных xt и х(, состоящих соответственно из четных и нечетных отсчетов: Х[ = Х [2/Г ц 1; Х[ — л: 1(2/ + 1) Г ц ], где / =

0 , 1, . . . ,

(6.41)

N 1 2 — 1 .

Дискретные преобразования Фурье для двух вышеуказанных рядов т а к ж е состоят из N12 членов и могут быть записаны в следующем виде:

XQk&.J-

= ~

(6.42)

Х Ц к Ь . ) . - 4гп - у, * ; ( e - w f , + " \ х, 1=0 Полное преобразование Фурье для исходного ряда

ZJl

1 = 4т

1=0

(в.43)

1х (2/Г ц ) (e~i2n/N)

^к + х [(21 + 1) Г ц ] (

- w f

+ u k

] .

(6 .44)

Значения X (jk&a)~ и X (jk&могут быть получены в соответст*i "I 2 вии с (6.42) и (6.43) с помощью N /2 комплексных операций, а определение полного преобразования Фурье, в соответствии с (6.44), потребу2 ет выполнения N + N /2 комплексных операций, что значительно меньше, чем требуется для определения преобразования Фурье в соответствии с (6.40). Далее, если выбрать N равным числу 2 в целой степени и произвести дальнейшие возможные расщепления исходного ряда хп, то д л я определения полного преобразования Фурье уже потребуется лишь N log 2 N операций. Поэтому общая экономия в числе операций равна Ь = (так, при N = 2 10 , Ь = 102,4). Такое существенное уменьшение числа вычислительных операций дало возможность создать специализированные вычислительные устройства, позволяющие производить статистический анализ случайных сигналов с большим сокращением времени вычисления. С другой сто196

роны, Б П Ф позволило значительно быстрее" вычислить спектр напряжения непосредственно, затем сглаживать его и определять спектр мощности, чем это все проделывать с корреляционной функцией. При определении дискретного преобразования Фурье необходимо принимать во внимание теорему Котельникова, т. е. выбирать частоту дискретизации сигнала как минимум в 2 раза более высокой, чем наивысшая частота в спектре исследуемого сигнала. В противном случае последний искажается за счет наложения составляющих с частотами, выше и ниже частоты дискретизации. Если ж е исследуемый сигнал содержит настолько высокочастотные компоненты, что быстродействие цифрового измерительного устройства является недостаточным, то рекомендуется перед измерением дискретных ординат сигнала отфильтровать его высокочастотные составляющие. Д л я уменьшения искажений спектра сигнала необходимо также стремиться к тому, чтобы в реализацию с временной протяженностью NTa попадало бы целое число периодов исследуемого гармонического сигнала. При исследовании непериодических сигналов необходимо, чтобы NTц было бы равно полной длительности исследуемого непериодического сигнала. 6.3. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В большинстве измерительных задач исследуемый процесс и его параметры являются случайными функциями времени и, следовательно, входной сигнал X (t) средства измерения в общем случае является случайным. Если для детерминированного сигнала можно заранее определить значения в заданные моменты времени, то для случайного это является невыполнимым, для этого сигнала можно заранее лишь указать, с какой вероятностью он будет иметь то или иное значение. Виды случайных сигналов Случайные сигналы разделяются на нестационарные и стационарные, эргодические и неэргодические (см. рис. 6.2). Случайный сигнал полностью характеризуется бесконечным множеством выборочных функций, которые образуют ансамбль. Предположим, что эти реализации происходили одновременно. Если в заданный момент времени tx определить мгновенные значения всех выборочных функций случайного процесса, то их совокупность называют сечением случайного процесса (рис. 6.15). Сечение характеризуется функцией распределения вероятности и ' плотностью вероятности и другими статистическими характеристиками. Функция распределения вероятности, или интегральный закон распределения, при достаточно большом числе N выборочных функций Р (х, /х) = в е р ( X ( t t ) < хг).

(6.45)

Оценка функции распределения вероятности или оценка вероятности определяется по следующей формуле: Р (X < хг) =

l i m n/N,

(6.46) 197

где N — число выборочных функций х, входящих в ансамбль; п — число мгновенных значений сигнала х, не превысивших значение хи по условию X > хг. Плотность вероятности, или одномерный дифференциальный закон распределения, Р

'i) = Ьш Д-0

вер (*, < X (Л < х, -f- А)

ла

•

(6.47)

Размерность [р (х)] = 1/[х].р (х) обладает следующими свойствами:

р\х)>

ео

0; j/>(*)d*

= 1.

—oo

Важной характеристикой сечения случайного процесса в момент времени tx при осреднении по ансамблю является среднее значение слу198

чайного процесса (момент первого порядка): k=N

м х [X & ) ] = lim 1 IN £ хк ( t j , №•*• oo

(6.48)

k=l

где k — номер реализации; N — число реализаций. Д л я характеристики статистической временной зависимости случайного сигнала применяют автокорреляционную функцию (смешанный момент): k=N Rx (*i. к +

lim

N-юо

£k=i x k (*x) x„ & + T).

(6.49)

В общем случае, если среднее значение случайного сигнала Мг IX ft)] и автокорреляционная функция Rx (tu tt + т) изменяются с изменением момента времени t u то такой случайный сигнал относится к нестационарным. Случайный нестационарный сигнал X (t) полностью характеризуется многомерным распределением Х Pn ( х г , tx\ Х2> 3> • • • > XN, tN). Д л я детального исследования нестационарных случайных сигналов, все моменты которых являются функциями времени, необходимо очень большое число реализаций, что затрудняет измерение параметров нестационарных случайных процессов. Стационарным называется случайный сигнал, закон распределения которого не зависит от времени. Среднее значение и дисперсия стационарных сигналов постоянны, не зависят от времени. Не все исследуемые физические случайные сигналы являются стационарными. Поэтому необходимо проверить данный физический сигнал на стационарность. Д л я этого всю реализацию сигнала разбивают на п участков (длительность каждого из них должна превышать период низкочастотной составляющей) и для каждого участка определяют среднее значение Mln IX (/)]. Затем их осредняют и находят среднее значение М* {Мг [X (/)!} по всей реализации. ср

На основании полученных данных для каждого участка вычисляют отклонение среднего М ы [X (/)] от М\ {Aft [X (I)]', и a M l . После этого ср

проверяют выполнение критерия стационарности: М\

{М^хт

• < Ядоп,

(6.50)

где йдоп — заданное, допустимое значение.' Затем таким же образом производят проверку стационарности по отклонениям дисперсии процесса на участках. В большинстве случаев при исследовании случайных процессов располагают небольшим числом их реализаций, а иногда только одной реализацией. При этом определение характеристик случайного процесса путем осреднения по ансамблю реализаций становится невозможным. Однако многие случайные стационарные физические сигналы обладают свойством эргодичности. Если статистические характеристики 99

случайного стационарного сигнала, определяемые осреднением по ансамблю реализаций, могут быть получены временным осреднением одной реализации, то такой случайный сигнал является эргодическим. Эргодические стационарные сигналы являются наиболее удобными для исследования, так как их статистические параметры можно определить по одной реализации, обладающей достаточно большой протяженностью во времени. Д л я одной реализации эргодического случайного сигнала X (t) среднее значение и автокорреляционную функцию можно определить осреднением во времени по следующим формулам: т А1Х [X (/)] = lim МТ У X (t) dt; т-<*> о

(6.51)

со

Rx (т) = lim МТ ( X ( 0 X(t — т) dt. Г-оо

Условие эргодичности выражают следующим образом: lim Rx{т) = 0. Т-»оо Степень эргодичности данного случайного сигнала оценивают по его автокорреляционной функции согласно следующему неравенству: Rx (Tmax) < Ьдоп, (6-52) где Тщах — максимальный интервал корреляции; bRon — заданное допустимое значение. В дальнейшем будем рассматривать главным образом стационарные и эргодические случайные сигналы и их характеристики. Основные статистические параметры и характеристики случайных сигналов К основным статистическим параметрам случайных сигналов относят: плотность распределения р (х); функцию распределения Р (X < л:х); среднее значение, момент первого порядка М х [X (01; среднее значение квадрата, момент второго порядка М 2 [X (/)]; дисперсию D; автокорреляционную функцию Rx (т); спектральную плотность S x (со). Среднее значение сигнала при осреднении по ансамблю в момент определяется по формуле ,г Х.</ ' Мх [X & ) ] = lim l/N £ Xk 0!,). (6.53) *=i При осреднении данной k-ü реализации во времени среднее значение т f

260

lim

Т^ос

1 т

( X (t)dt. ^ k

(6.54)

Рис. 6.16. К определению плотности распределения случайного сигнала;

Среднее значение сигнала характеризует его постоянную составляющую. Среднее значение стационарного сигнала равно постоянной величине, а стационарного и эргодического сигнала, найденное путем временного осреднения одной реализации — среднему значению по ансамблю реализаций. Среднее значение квадрата сигнала характеризует суммарную интенсивность данной реализации: т М2

(t)]

l i m VT Г-юо

J X о

(/) d t .

(6.55)

Среднее квадратическое значение сигнала равно корню квадратному из среднего значения квадрата: *с.к.з. =

V M

[ X (/)] =

lim l / T J X 7"-* 00 0

(/) d t .

Стационарный и эргодический случайный сигнал удобно характеризовать двумя составляющими: постоянной и переменной. Первая равна среднему значению сигнала М, [X

(/)],

а вторая оценивается дисперсией D [X (/)], характеризующей рассеяние сигнала по отношению к среднему значению, и равна среднему значению квадрата отклонения сигнала от его среднего значения: т D [ X ( / ) ] = l i m VT J { * ( / ) — MJX {t)]}2 dt, (6.56) Т-ЮО

Преобразуя уравнение (6.56), получим D[X(0] =

M2[X(/)]-M?[X(/)].

Следовательно, дисперсия стационарного и эргодического сигнала равна разности между средним значением квадрата и квадратом среднего значения и характеризуется постоянным числом. С. к. о. сигнала g(X) = VD

[Х(0].

Плотность распределения случайного сигнала, или дифференциальный закон распределения р (х) характеризует вероятность того, что 201

мгновенные значения сигнала в произвольный момент времени будут находиться в заданном интервале значений. Рассматривая реализацию случайного сигнала X (t) (рис. 6.16), вероятность нахождения сигнала в интервале значений х и х + А можно определить, вычисляя отношение TJT, i=k где Тх = У At — с у м м а р н о е время нахождения сигнала X (t) в интервале между значениями х и х + А в течение времени Г; Г — продолжительность реализации X (t); вер [х < X (t) < je + А] = lim

Г-Юо ! = |

Одномерная плотность распределения сигнала ж - U m

в е р 1 х < Х ( 0 < , + А1 , i

i m

[ l

Jfc\.

(6.57)

Одномерная плотность распределения р (х) не содержит координаты времени и не отражает статистической зависимости значений сигнала при изменении времени. Плотность распределения сигнала — д е й с т вительная неотрицательная функция и для стационарного эргодического сигнала может быть определена по одной реализации. Через плотность распределения удобно выражается среднее значение случайного сигнала оо

Mi [X (*)}=» $ ОО и вреднее значение его квадрата

X(t)p{x)dx

+00

М2[Х(/)]=

X*(t)p(x)dx.

Функция распределения, или интегральный закон распределения, Р (X < jq) равна вероятности того, что сигнал X (t) не превосходит заданного значения: Р(Х<хг)

= вер [X ( 0 < * i l =

У Р (х) dx. (6.58) —оо Вероятность того, что X (t) < — оо, очевидно, равна нулю, а вероятность того, что X (/) < оо, равна 1. Следовательно, функция распределения Р (X) изменяется от 0 до 1. Вероятность нахождения сигнала в интервале между значениями хг и х2 х, P(X<x2)-P(X<x1) = P[x1<X(t)<x2]=ijjp (х) dx. Функция распределения, или интегральный закон распределения, для стационарного и эргодического сигнала т а к ж е может быть определена по одной его Достаточно протяженной во времени реализации. 202

Плотность распределения и функция распределения являются весьма важными характеристиками случайного сигнала и измеряются статистическими анализаторами. По известной плотности распределения можно определить другие важные параметры случайного сигнала — функцию распределения, вероятность нахождения сигнала в заданном интервале и др. Кроме этого, характер плотности распределения дает возможность установить структуру сигнала, например наличие в нем гармонической составляющей. Покажем это на примере сравнения реализаций и плотностей распределения четырех сигналов: гармонического ;(рис. 6.17, а), суммы гармонического и случайного (рис. 6.17, б), узкополосного (рис. 6.17, в) и широкополосного (рис. 6.17, г) случайных шумов. Гармонический сигнал в данном случае рассматривается 1 как случайный, поскольку предполагается, что фаза его является случайНой величиной. Плотность распределения гармонического сигнала (рис. 6.17, а, б) со случайной фазой представляется чашеобразной симметричной кривой, а случайных сигналов (рис. 6.17, в) и (рис. 6.17, г) --чаще всего подчиняется закону Гаусса (п. 4.2) и имеет куполообразную симметричную форму. Сумма гармонического и случайного сигналов имеет характерные особенности плотностей распределения их обоих — как гармонического, так и случайного сигналов — это иногда дает возможность по виду плотности распределения определить состав данного исследуемого сигнала. Автокорреляционная функция отражает степень линейной стати<.стической связи значений сигнала в данный момент времени от его знач е н и й в другие моменты и для стационарного и эргодического сигнала 203

определяется по формуле 7

Яж(х) = Нт 1 / Г $ Х (*)*(< +т)<й, Т-оо

(6.59)

т. е. равна среднему значению произведения мгновенных значений сигнала, сдвинутых во времени на интервал т. Автокорреляционная функция достигает максимума в точке х = О и является действительной четной функцией, т. е. Rx (0) ^ | Rx (т) | при любых т; RX(—T)

= RX(T).

(6.60)

Значение автокорреляционной функции при временном, нулевом сдвиге т = 0 равно среднему значению квадрата сигнала: т Rx (0) = УИ2 [X (/)] = lim 1/Г 0 J X2 (t) dt. 7-1-00 о Значение автокорреляционной функции при временном сдвиге т = с» равно квадрату среднего значения сигнала (за исключением некоторых особых случаев, например гармонического сигнала): Rx(°°)

= М\ [X (0].

Коэффициентом корреляции центрированного сигнала г х (т) называют отношение Г Л

)

Rx (0) •

Автокорреляционная функция, как и плотность распределения, т а к ж е является удобным средством идентификации исследуемого сигнала, поскольку, например, дает возможность установить, является ли данный сигнал гармоническим или случайным либо их суммой. Это возможно потому, что автокорреляционная функция гармонического сигнала т а к ж е является гармонической функцией т, а случайного, например центрированного, сигнала с [X (01 = 0 — затухающей функцией и при больших сдвигах т стремится к нулю. Покажем это на примере сравнения автокорреляционных функций реализаций четырех сигналов, представленных на рис. 6.18. Из рис. 6.18, а видно, что автокорреляционная функция гармонического сигнала является гармонической функцией — косинусоидой X= - f - c o s 2я/0т с частотой f 0 , равной частоте гармонического сигнала. Автокорреляционная функция суммы гармонического и случайного сигналов (рис. 6.18, б) представляет собой сумму их автокорреляционных функций, имеет крутой пик при т = 0 и является незатухающей, гармонической функцией. Автокорреляционная функция узкополосного случайного сигнала (рис. 6.18, в) представляет собой медленно затухающую периодическую функцию. 204

Указанные особенности автокорреляционных функций дают возможность в ряде случаев различить детерминированный, в частности гармонический, процесс от случайного, выявить основные особенности последнего. Автокорреляционная функция широкополосного случайного сигнал а (рис. 6.18, г) с нулевым средним значением представляет собой крутой пик (при т = 0), который быстро затухает. В идеальном случае для предельно широкополосного сигнала в виде белого шума автокорреляционная функция .является дельта-функцией при т = 0. Спектральные характеристики сигнала описывают его частотную с т р у к т у р у . Реализация случайного процесса X (t) при условии интегрируемости в интервале — оо < / < с» может быть представлена преобразованием Фурье или комплексным спектром +«>

X (/со) = 1/2л J Х ( / ) е - ' т ' Л . (6.61) —00 Модуль | X (со) |, называемый спектром сигнала, определяют с помощью анализаторов гармоник спектра, при этом определяется текущий спектр X (/со, Т), являющийся случайной функцией: т X(j<s>,T)

= ^X(t)e-i<»,dt,

(6.62)

о где Т — время

преобразования. 206

Важнейшей энергетической характеристикой является спектральн а я плотность среднего значения квадрата сигнала, или спектральная плотность мощности сигнала: lim f Аю) , (6.63) Ды-»0 (О где среднее значение квадрата сигнала в интервале частот от со до <а + т S,(co) =

М2 (со, Д„) = lim МТ J X 2 (/, со, Д м ) dt, Г-ОО 0 где X (t, со, А(о) — составляющая сигнала X (t), которая имеет частоты в интервале от со до со + Ащ (ее можно получить, пропуская сигнал через полосовой фильтр с граничными частотами со и со + Д ш , среднее значение ее квадрата в полосе частот от со до со + Д и получают возведением в квадрат сигнала на выходе полосового фильтра и последующим его осреднением). Спектральная плотность мощности сигнала может быть получена из автокорреляционной функции Rx (т) прямым преобразованием Фурье: 5х(/®)=

1 Rx

(т)е-'^т

—00

или, принимая во внимание, что автокорреляционная функция являетс я четной, оо

Sx (/со) = 2 У Rx (т) cos (сот) dx. о Спектральная плотность мощности сигнала обладает следующими свойствами: является действительной и неотрицательной функцией; при ограниченной дисперсии случайного сигнала lim Sx (со) = 0. Ю-»оо

Среднее значение сигнала можно выразить через плотность мощности с помощью дельта-функции:

спектральную

Af x [X (t)] = | f

Min J Sx (со) б (со — 0) dco. (6.64) о Интеграл от спектральной плотности мощности случайного сигнала равен среднему значению его квадрата оо

М2 [X (01 = 1/2л { Sx (со) cfco. (6.65) о Таким образом, среднее значение квадрата сигнала равно суммарной площади под кривой спектральной плотности к а к функции частоты. 206

Рис. 6.19. Энергетические спектры реализаций четырех сигналов: а — гармонического, 6 — суммы гармонического сигнала и шума, в — у з к о п о л о с н о г о случайного, г — широкополосного случайного.

Спектральная плотность сигнала на входе SX (со) и выходе SY (ю) линейного звена с постоянными параметрами связана соотношением Sy(a) = \ K ( M \ 2 S x H , (6.W) где \ К (/со) | — амплитудно-частотная характеристика звена. Следовательно, если известны или измерены любые две из трех функций SX (со), SY (со) и | К (/со) |, то третья может быть определена из (6^6). Однако в этом случае определяется только абсолютное значение частотной характеристики. Д л я получения ее комплексного значения необходимо найти взаимный спектр сигналов. Спектральная плотность мощности сигнала дает возможность прежде всего установить его частотную структуру и доминирующую частотную область. Спектральная плотность мощности сигнала, кроме этого, также, как и плотность вероятности и автокорреляционная функция, используется для идентификации исследуемых сигналов. С ее помощью можно установить, является ли данный сигнал гармоническим или случайным. Покажем это на примере сравнения энергетических спектров реализаций четырех сигналов, представленных на рис. 6.19. Энергетический спектр гармонического сигнала с частотой ю0 представляется дельта-функцией при со = со„ (рис. 6.19, а) и определяется по формуле с и л _ V 2 /ОА m х (0 в7) S,(<ü) = Xm/28(co-co 0 ), где б (со — со0) — дельта-функция на частотной оси. 208

Энергетический спектр суммы гармонического сигнала и шума (рис. 6.19, б) представляется в виде суммы дельта-функции и пологого энергетического спектра. Энергетический спектр узкополосного случайного сигнала имеет характерный пик в области основной частотной составляющей и пологую часть (рис. 6.19, в). Указанные особенности энергетического спектра дают возможность различать гармонический, широкополосный и другие сигналы. Энергетический спектр широкополосного сигнала (рис. 6.19, г) представляется обычно относительно пологой кривой. В идеальном случае для предельно широкополосного сигнала в виде белого шума энергетический спектр одинаков на всех частотах и представляется горизонтальной прямой. Совместные и условные характеристики случайных сигналов Описанные выше статистические характеристики дают возможность оценить и исследовать только отдельно рассматриваемые случайные сигналы по их реализациям. Однако иногда перед исследователем ставится задача измерения параметров и характеристик системы, состоящей обычно из двух случайных процессов, статистически зависимых между собой. Таким образом, возникает необходимость в наличии совместных или условных характеристик случайных сигналов в амплитудной, временной и частотной плоскостях. Рассмотрим следующие характеристики случайных сигналов: совместную плотность распределения, условную плотность распределения, взаимную корреляционную функцию и совместную спектральную плотность мощности, которые описывают случайный сигнал соответственно в амплитудной, временной и частотной плоскостях. При этом будем рассматривать только эргодические сигналы и, следовательно, определять совместные характеристики процессов на основании осреднения во времени их двух соответствующих реализаций. Совместная плотность распределения р (х, у) характеризует вероятность того, что мгновенные значения сигналов X (/) и У (t) будут в произвольный момент времени одновременно находиться в двух заданных интервалах (рис. 6.20). Рассматривая две реализации сигналов X (t) и У (t), можно показать, что вероятность одновременного нахождения сигналов X (t) и Y (t) в интервале соответственно между х и х + Ах, у и у + Ад равна Тху/Т при Т - > оо, i=k где Тху = 2 At[ — суммарное время одновременного нахождения сигналов X (t) и У (t) в интервалах соответственно между х и х + Д*, у и у + Аи; Т — продолжительность реализаций X (t) и У (/); 1=к вер { [ ( * < Х ( 0 < ( * + Д Л Ш < Г ( 0 < й / + Д„)]}==Пт * * Г-соЩ 208

Рис. 6.20. Два случайных сигнала X (О и У ( t ) (а) и их совместная плотность распределения (б).

Совместная плотность распределения сигналов ' У'

д^о

д^ду = lim lim [Т ху /Т]/Д,Д Й . »0 г•о

(6.68)

Совместная плотность вероятности р (х, у) сигналов X (t) и Y (t) может быть очень просто определена по плотностям вероятности каждого из них в отдельности, если они статистически независимы: Р(х, у) =

р(х)р(у).

На основе этого соотношения, измеряя р (х\ у), р (х) и р (у), можно проверить, являются ли сигналы X (/) и Y (t) статистически независимыми. Если известно, что сигналы X (t) и Y (/) статистически независимы, то можно определить одну из плотностей вероятности по результатам измерения двух других. Д л я характеристики двух статистически зависимых случайных сигналов применяется также совместная функция распределения Р (х\ у), которая равна вероятности того, что сигналы X (/) и Y (t) не 209

превосходят заданных значений х и у (рис. 6.20, а): "У Р(х, г/) = вер [X ( / ) < * ; (*)<</]== $ J (*,

dx dy.

—оо —оо

График совместной плотности распределения р (х, у) является трехмерным (рис. 6.20, б). Вероятность Р (хг < X < х2, < Y <. у2) того, что сигналы X (/) и Y (t) одновременно находятся в пределах соответственно между значениями х1 и х2, у1 и у2, равна объему, который заключен между плоскостями, ограниченными прямыми х1, х2 и Уи Уа> и поверхностью тела р (л^, у), находящейся между ними. Объем всего тела р (х, у) равен единице. Условная плотность распределения р (х /и) характеризует статистическую зависимость случайного стационарного сигнала X (/) при условии, что второй случайный стационарный сигнал принимает определенное значение: Р {х/у) = дР (х/у)/дх,

(в.69)

где Р (х/у) — вероятность того, что сигнал X (t) не превышает значения х, при условии, если второй случайный сигнал Y (t) принимает определенное значение; р (х/у) = lim вер [x<X(t)<x

+ AJy < У ( / ) < у +

А,-0

Ау]/Ах.

д^о

Условная плотность распределения вероятностей р (х/у) может быть определена через совместную плотность распределения вероятностей сигналов X (t) и Y (t): Р(х/у)

^ ^

Условное среднее значение стационарного случайного сигнала X при данной величине у Мх,И[Х/У

= у] =

Мх/у[Х/У

Xftx/y)dx-, y]=fper(y).

Эту функцию называют функцией регрессии случайного сигнала у. Например, условная плотность распределения используется для описания изменения случайной погрешности Л вдоль шкалы прибора. Взаимная корреляционная функция двух сигналов X (t) п Y (t) характеризует общую статистическую зависимость их значений и для эргодических сигналов определяется по следующей формуле: т Rxy (т) = lim 1 IT [X(t)y(i + т) dt, (6 .70) Г-ОО

т. е. равна среднему значению произведения мгновенных значений сигналов X (t) и Y (t), сдвинутых во времени на интервал т. 210

Если Rxy (т) = 0, то, следовательно, сигналы X (t) и Y (t) некор; релированы между собой. При этом должно быть равно нулю среднее -значение одного из сигналов X (t) или Y (t). Абсолютное значение Rxy (т) ограничивается двумя неравенствами: \Rxy(x)\2^Rx(0)Ry(0); +

(в.71) (6.72)

Взаимная корреляционная функция применяется для определения взаимных временных характеристик и параметров исследуемых сигналов, например для измерения времени задержки. На взаимокорреляционной функции входного и выходного сигналов исследуемого линейного звена в момент, когда т равно времени задержки, появляется пик. Взаимная автокорреляционная функция применяется также для обнаружения сигнала в шуме и определения его автокорреляционной функции и др. 6.4. СИГНАЛЫ С ПОМЕХАМИ

Наряду с полезным сигналом на средство измерений действуют также и помехи. Помехами в ИИТ называют физические процессы обычно однородные, со входным или промежуточным сигналом и вызывающие появление погрешности. Помехи рассматриваются как случайные процессы и описываются такими же моделями, как и сигналы. Результатом действия помехи является погрешность средства измерений. Вид возникшей погрешности определяется видом помехи: случайная помеха вызывает случайную погрешность и т. д. Однако вид связи возникающей погрешности с измеряемой величиной зависит от вида функциональной связи мгновенного значения входного сигнала и измеряемой величины. Нелинейная зависимость измеряемой величины от мгновенного значения входного сигнала может привести к появлению мультипликативной погрешности от помех. Необходимо устранить или ослабить воздействие помехи на средство измерений. Выясним влияние помехи на основные характеристики сигнала при аддитивном их взаимодействии в трех основных случаях. 1. Если сигнал х (t) и помеха х^ (t) являются квазидетерминированными, суммарный сигнал x-z (t) = х (t) + хп (t). Предположим, что х (i) и хп (t) — импульсы. Тогда спектр суммарного сигнала Х 2 (/со) = X (/<») + Х п (/со),

(6.73)

где X (/со) и Х п (ja) — спектры соответственно х (t) и xn (t). Энергия суммарного сигнала Ez =

J xl(t)dt

= ЕХ + EXn + 2ЕХХ[> =

—oe

+00 = J X*(t)dt 00

+00 + | xl(t)dt+ —oo

+оо 2 J x(t)xa(t)dt,

(6.74)

—oo

где E x x — энергия взаимодействия сигнала и помехи. 211

Если сигнал и помеха ортогональны, то E функция суммарного сигнала в этом случае (Т) -

X X J J

0. Корреляционная

"Г ) *z (О хх (t — х) dt — Rxx (т) + RVn

(х).

(6.75)

2. Если сигнал является квазидетерминированным, а помеха случайной, то суммарный сигнал Хх (<) = * ( < ) + *„(*) может рассматриваться как нестационарный сигнал, у которого математическое ожидание является функцией времени. Сигнал и помеха в этом случае взаимонезависимы, поэтому корреляционная функция суммарного сигнала Rx(x)~Rx(x)

+ Rxn(x).

(6.76)

Если сигнал периодический, то Rx (т) является периодической функцией, а Rxn (oo) = 0. Это используется для выделения периодического сигнала из случайной помехи. 3. Если сигнал и помеха являются случайными, то х 2 ( о = х ( о + хп(0В этом случае плотность вероятности рх (х) сигнала Хг (/) будет равна свертке распределений р (х) а р (х п ). Корреляционная функция суммарного сигнала (т) = Rxx (т) + RVn

(X) + Rxxn (х) + Rxax (т).

Если X (t) и Х п (0 некоррелированны, то К х * п ( т ) « 0 и ЯХ п Х(т) = 0. Тогда Rz (х) = Rxx (х) + RXnXn

(т).

[Энергетический спектр суммарного сигнала (со) -

J Rs (т) e - ' ^ d x = S„ (о) + —oo .

+ S X n X n (to) + Sxx n N

+ Sxnx (©).

(6.77)

Если X (t) и X„ (t) некоррелированы, то SXAn N

= SX n X (со) = 0.

Способы борьбы с помехами в значительной мере зависят от их спектра, характера исследуемого сигнала и характера помехи, является ли помеха внутренней или внешней. Внешние помехи возникают из-за различных естественных электромагнитных процессов и создаются различного рода электроустановками ^ (индустриальные помехи). Внутренние (собственные) шумы электро- и радиоизмерительных устройств возникают ^из-за теплового движения заряженных частиц 212

р элементах электрических цепей и дробового эффекта в электронных приборах. На низких частотах во многих совершенно различных элементах электронных приборов, начиная примерно с 1 кГц, проявляется фликкерный шум, спектральная плотность мощности которого 5(<й) = Л/|со| а ,

(6.78) где 0,6 < а < 3. Д л я ослабления мешающего действия помех целесообразно, если это возможно, устранить причины их возникновения: улучшают состояние контактов, используют экранирование, искрогасящие устройства, применяют специальные фильтры, например сетевые. Д л я уменьшения собственных шумов используют усилительные элементы с малым уровнем шумов; применяют охлаждение. В ряде случаев, несмотря на все эти меры, полностью избавиться от влияния помех оказывается невозможным. Путем измерительного преобразования суммы сигнала и помехи необходимо оптимальным методом выделить информативный параметр исследуемого сигнала — его амплитудное, действующее или среднее значение, частоту и т. д. [76]. ч По основным свойствам помехи можно разделить на три основные группы: флюктуационные, сосредоточенные и импульсные. Флюктуационная помеха в общем случае представляет собой хаотическое, беспорядочное изменение во времени напряжения или тока в какой-либо электрической цепи. Ее часто называют также шумовой помехой или просто шумом. Внутренние шумы усилительных элементов средств информационноизмерительной техники являются типичным примером флюктуационной помехи, ее спектр может заполнить всю полосу пропускания СИ. Сосредоточенными называют помехи, основная часть мощности которых сосредоточена на отдельных участках диапазона частот, меньших полосы пропускания СИ. Примером сосредоточенной помехи является помеха с частотой напряжения промышленной сети (или кратной этой частоте). Импульсной помехой называется регулярная или хаотическая последовательность импульсов. Источником такой помехи могут быть цифровые узлы или коммутирующие элементы СИ или работающего рядом устройства. К импульсным относятся помехи промышленного происхождения (помехи от устройств зажигания двигателей внутреннего сгорания, помехи от линий электропередач и др.). Влияние флюктуационной помехи уменьшаются при осреднении. В общем случае при измерении параметров сигналов произвольной формы — оптимальная структура измерительного преобразователя содержит перемножитель исследуемого сигнала и образцового сигнала и интегратор результатов произведения. Применительно к задаче измерения параметров гармонических сигналов (амплитуд и фазовых сдвигов) широкое применение получил метод синхронного детектирования. В этом случае исследуемый гармонический сигнал (и помеха) перемножаются с опорным напряжением той же частоты, а результат произведения осредняется фильтром нижних частот или интегратором. Максимально возможно уменьшение влияния флюктуационной помехи 213

на результат измерения в том случае, когда спектральная плотность помехи постоянна в пределах полосы пропускания измерительного преобразователя, т. е. помеха имеет характер белого шума. Д л я уменьшения влияния флуктуационной помехи используют также полосовые RC- или LC-фильтры, частота резонанса (или квазирезонанса) которых выбирается равной частоте исследуемой гармоники сигнала. Эффективность подавления сосредоточенных помех в значительной мере определяется достоверностью априорных данных о их частотном спектре. Так, при изменении частоты промышленной сети в ряде случаев измеряют текущее -значение периода сетевого напряжения и используют эти данные для изменения времени осреднения измеряемого напряжения. К сосредоточенным помехам, встречающимся в практике разработки электроизмерительных устройств, можно отнести пульсации выпрямленного напряжения при измерении среднего или действующего значений переменных напряжений. В этом случае используют многозвенные фильтры нижних частот (п. 6.13). Осреднение измеряемой величины с целью уменьшения влияния помех может осуществляться как аналоговыми звеньями (полосовыми фильтрами, интеграторами, фильтрами нижних частот), так и цифровыми, например счетчиками или сумматорами кодов. Цифровое осреднение используется в цифровых частотомерах, измерителях периода, преобразователях фаза — код. Применение наиболее простых алгоритмов осреднения предполагает неизменность информативного параметра измеряемого сигнала в течение времени измерения. 6.5. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

Измерительные сигналы преобразуются в различных физических звеньях измерительных цепей. При этом характер преобразования определяется свойствами данных звеньев, описываемыми соответствующими функциями, которые могут символизировать любую математическую операцию: интегрирование, дифференцирование, умножение и т. д. Связь между выходным у (t) и входным х (t) сигналами звена описывается уравнением y(t) = f[x(t) ], где f — символ функции. Физические звенья в зависимости от свойств их параметров разделяются на линейные и нелинейные, безинерционные, или статические, и инерционные, или динамические, стационарные с постоянными и нестационарные со случайными параметрами. Любой преобразователь можно представить в виде самой сложной модели — нелинейной, инерционной и нестационарной, поэтому выбор модели аналогового преобразователя всегда является компромиссом между стремлением к более полному описанию и необходимостью упрощения преобразований. В качестве моделей аналоговых преобразователей используются звенья: 1) линейное статическве; 2) нелинейное, или функциональное, стати214

ческое; 3) линейное инерционное, или динамическое с постоянными параметрами; 4) нелинейное инерционное. Линейными называются функции, удовлетворяющие двум условиям суперпозиции: аддитивности / [*! (О + * 2 (*)] = / [*1 (01 + / [Xz (01; однородности f[Cx(t)] = Cf[x(t)], где С = const. Линейными являются звенья с параметрами, не зависящими от параметров преобразуемого сигнала. Уравнение линейного статического звена У — Кх -Ь Д„,

где Д у — смешение характеристики звена. В предварительном анализе измерительной цепи по возможности следует все блоки моделировать линейными статическими звеньями, что существенно упростит решение задачи. Д л я нелинейного статического звена y{t) =

f[x(t)].

Нелинейные статические звенья подразделяются на квазилинейные и функциональные. Квазилинейные звенья характеризуются незначительной нелинейностью и часто представляются номинальной линейной характеристикой. В этом случае отклонение действительной характеристики у = f (х) от линейной номинальной является погрешностью от нелинейности, при этом у = Ках + Ау + Д„н (х), где Ау я (х) — погрешность от нелинейности. Функциональным, или нелинейным, звеньям характерна существенная нелинейность. Уравнение измерения (п. 2.2) является всегда линейным ввиду постоянства единицы данной величины. При наличии в измерительной цепи автономного измерительного устройства нелинейного звена необходимо принять меры к линеаризации преобразования (п.6.8). В простейшем случае для этой цели последовательно с данным нелинейным звеном с уравнением у = f (х) включают второе нелинейное звено с обратной функцией преобразования f ~ l . Функция /~ 1 символизирует операцию, обратную операции /. При этом

гУм Примерами взаимообратных функций являются: возведение в квадрат и извлечение квадратного корня, прямое и обратное преобразования Фурье, логарифмирование и антилогарифмирование и т. д. Характерным для измерительной техники примером взаимообратной функции является функция нелинейного измерительного преобразователя показывающего прибора а = /1*1 215

и функция неравномерной ш к а л ы этого прибора, благодаря которой обеспечивается линейная зависимость между выходными числовыми значениями измеряемой величины xn и значением входной величины х: Xn = Г ' [«]•

(6.79)

Тогда xN = r ' { f W } ^ x . Xn^X Преобразование сигнала в инерционных звеньях Случайный сигнал X (t), действующий на входе линейного инерционного звена, в общем случае может иметь любую форму. Задача определения выходного сигнала Хвых (t) решается с помощью интеграла свертки или интеграла Д ю а м е л я . В этом случае сигнал любой формы (рис. 6.21) представляется в виде суммы примыкающих прямоугольных импульсов с амплитудами X (т,) = X (пАт) и длительностями Ах. При предельно минимальной величине А т каждый из них может быть представлен дельта-функцией с «площадью» оо

Х(т() = jx(t)ö(t — x,)dt. (6.80) о Действие на входе звена единичного импульсного сигнала вызовет соответствующий выходной сигнал, который равен импульсной характеристике, з в е н а — h (t). Ф у н к ц и я h (t) д о л ж н а удовлетворять двум условиям: физической реализуемости, при этом h ( 0 = 0, если *<0; абсолютной интегрируемости для обеспечения асимптотической устойчивости системы оо

J|A(f)|£tt<oo. Суммарный выходной сигнал линейного звена (рис. 6.21) в этом случае на основе принципа суперпозиции состоит из бесконечной суммы импульсных реакций зБена, сдвинутых во времени соответствующим образом, и выражается с помощью интеграла свертки: t У (/) = $ X (т) h(t—x) dx. о Интеграл свертки, который в теории сигналов имеет очень большое значение и является основой д л я решения многих практических за216

дач, можно выразить в двух формах: <

У(0 = $X(x)ft(*-T)dx; о

(6.81)

У (/) = J h (х) X (t — т) dx. (0.82) о Интеграл свертки часто удобно представлять не через импульсную характеристику звена h (/), а в виде интеграла Дюамеля, через переходную характеристику звена /

h1{t) = \h(t)dt. (6.83) о В этом случае его можно представить в следующих четырех формах: t У (t) = х (0) /ij ( 0 + 5 X' (т) hx (t — х) dx; о t

У (t) = X (0) hx (t) + J X ' — т) (x) dx; о t У ( / ) = hj. (0) X (t) + J X (x) h\ (t — x) dx\ о t У (t) = к (0) X (/) + J X (t — x) h\ (x) dx. 0 Одну из этих форм выбирают в зависимости от того, какое из произведений сомножителей X (х), Х'(х), (т) и h\ (х) более удобно для интегрирования. Однако часто при сложных аналитических формах сигнала, а т а к ж е при графическом задании входного сигнала трудно аналитически определить выходной сигнал. В этом случае рекомендуется применять приближенное определение интеграла свертки. Если сигнал х (/) задан графически, то представляем его кусочнолинейной функцией хлия (t) s » х (t), состоящей из п участков, на каждом из которых данный участок сигнала х (t) заменяется прямой (рис. 6.22, а). Затем дифференцируем по участкам функцию х лнн (*) и получаем ступенчатую функцию — приближенное выражение первой производной сигнала x'(t) Хступ (t) — Хлии (0* Высота каждой ступени функции х с т у п (f) равна тангенсу угла наклона прямой на соответствующем участке функции хлкн (t) (рис. 6.22, б). После дифференцирования функции лгступ (t) получаем приближенное выражение для второй производной сигнала х" (t). Последняя состоит из совокупности сдвинутых во времени импульсных дельта-функций, 217

Рис. 6.22. К графо-аналитическому определению интеграла свертки: а — представление сигнала кусочио-линейной функцией; б — производная сигнала — ступенчатая функция; в — вторая производная сигнала — совокупность сдвинутых во времени импульсных функций.

«площадь» а ( каждой из которых равна разности высот — смежных ступеней функции х С Т у П (t) в моменты тг (рис. 6.22, в). i=n

х" (t)»

Е at6 (t -

i=0

т().

Принимая во внимание, что дифференцированию входного сигнала соответствует дифференцирование выходного, то, определяя сумму произведений известных значений импульсной характеристики звена h (t — т ( ) на полученную совокупность импульсных дельта-функций а г , получим приближенное выражение для второй производной выходного сигнала звена: y"(t)=

fl,A(/-T,).

i=0

Для определения искомого выходного сигнала звена у (t) дважды интегрируют выражение у" (t). При этом двойное интегрирование производится собственно только один раз для первого участка, а выражение выходного сигнала на последующих участках определяют соответствующим сдвигом во времени и изменением коэффициента at. Повышение точности приближенного определения выходного сигнала у (t) можно осуществить увеличением числа интервалов при кусочно-линейной аппроксимации входного сигнала х (t). Рассмотрим особенности прохождения сигнала через нелинейное и инерционное звено. Сигнал на выходе нелинейного инерционного звена выражается с помощью ряда Вольтерра, имеющего следующий вид: оо

*/(/)=

оо

У h1(x)x(t —OO

x x(t — xt)dx1dtt

— x)dx

JjAj(Tlt x2)x(t —OO oo 00 oo • • • = £ "7ГГ S ••• J f!=l x П x (t — тг) dxr r=. 1

218

— хг) x

• • •. •*„) x (6.84)

где hn(xu ..., хп) — импульсная характеристика n-го порядка — выходной сигнал нелинейного инерционного звена при подаче на его вход n-мерной 6 функции [66]. Для квадратического инерционного звена OO ОО y

~ir

I hixy.xjxit

— xjxit

—

xjdxidxz.

—oo —oo

В общем случае для нелинейного инерционного звена с малой нелинейностью слагаемые, начиная со второго, характеризуют абсолютную погрешность нелинейности, т. е. °о 00 00 п А

J Л=2

•••

—оо

T n ) X гnx2(t-x,)dxr.

—оо

W.85)

Частотные характеристики линейных динамических звеньев Если правую и левую части формулы для интеграла свертки умножить на е~р1, то, интегрируя в пределах от 0 до + можно получить выражение для передаточной функции К (р) данной системы, а также простое алгебраическое выражение, связывающее изображения входного L U (/)] и выходного L [у (/)] сигналов по Лапласу: оо 00 1 J у ( / ) e~p'dt = J e~ptdt <\jx(x)h(i — т) dx. (6.86) О 0 0 После интегрирования получаем L[y(t)]

K(p)L[x(t)],

. откуда передаточная функция звена л/<•

(р) _ J d ä H L — I S e L • (6.87) L [X (/)] Х(Р) ' оо К(р) = [h(x)e~pXdx. ' о Если'правую и левую части формулы для интеграла свертки умножить на е~'ш' и интегрировать обе части уравнения в пределах от — оо до -f оо, то произведем преобразование Фурье и получим выражение для комплексной частотной характеристики К (ja) данной системы, а также простое выражение, связывающее изображения по Фурье выходного и входного сигналов: . оо оо t J У (0e~ i B > i dt = J e4atdt —оо — оо

\x(x)h(t О

— т) dx.

После интегрирования получаем У ( j a ) = К ( j a ) X (ja),

(6.88) 219

220

откуда комплексная частотная характеристика звена

оо К (/о) =

itt>x

J h (т) e~ —оо

dT.

Следовательно, комплексная частотная характеристика звена равна комплексному спектру его импульсной характеристики, является комплексным числом и представляется в виде суммы действительной и мнимой составляющих: | К (/со) | е ~ ' a r g * ( / ю ) = К я (со) + j K u a (со) = К (/со),

(6-90)

где | К (/со) | — модуль комплексной частотной характеристики, или амплитудно-частотная характеристика системы; I К (/со) | = у О С д Н + КмЛсо),

(6.91)

где arg К (/со) — главное значение аргумента комплексной частотной характеристики, или фазо-частотная характеристика системы, находящаяся в пределах ± я ; arg*(/со) = tg Ф

при К а (со) Ф 0.

При случайном входном сигнале в общем случае можно определить спектральную плотность выходного сигнала динамического линейного звена S » = |tf(/co)|2S,(co). (6.92) Характеристики основных типов линейных статических и динамических звеньев приведены в табл. 7. Сигнальные графы основных измерительных цепей Д л я составления уравнений преобразования сложных линейных измерительных преобразователей используют метод сигнальных графов. Сигнальным графом называют условное графическое изображение, состоящее из узлов и ветвей. Узлы служат для представления в них сигналов — обычно в виде изображений их по Лапласу X (р). Ветви служат для представления передаточных функций звеньев К (р)- Сигнал в узле 1 Х х (р) после прохождения ветви 1—2 с передаточной функцией Ki-2 ip) получает в узле 2 изображение (рис. 6.23, а): Y(p) = X(p)Kl-2(p). ' Сигналы, входящие и выходящие из данного узла, соответствующими знаками (рис. 6.23, б) Х2(р) = Х1(р)

(6.93) суммируются

Х3(р).

Известны три основных способа соединения звеньев: Последовательнее соединение, в котором выходной сигнал каждого 222

K,-i!p)

Рис. 6 . 2 3 . Сигнальные графы: а — п р о х о ж д е н и я сигнала через звено; б — вычитания сигналов.

предыдущего звена подается на вход последующего (рис. 6.24, а). Непосредственно из этого графа следует передаточная функция последовательного соединения, равная произведению передаточных функций звеньев Ка(Р)^Кг(р)К2(РУ. i=1 Параллельное соединение, в котором на соединенные входы всех звеньев подается общий входной сигнал, а выходы всех звеньев соединены через сумматор (рис. 6.24, б). Сигнальный граф параллельного соединения представляет собой параллельную связку всех однонаправленных ветвей, при которой их входные и выходные узлы соответственно объединены. Из этого графа следует, что передаточная функция параллельного Соединения равна сумме передаточных функций ветвей или звеньев: КАР) = КАР) + КМ

клр)=

к м

1=1 Встречное параллельное соединение замкнутая схема или соединение с обратной связью, при котором одно из звеньев (называемое звеном обратной связи) осуществляет обратную связь (рис. 6.24, в). СигнальХ(р)

\Ш^г\кг(Р) I

zfp)

Х(Р) о —

Zfp) -о

У(Р) ф)

Kz(p)

Рис. 6.24. Сигнальные графы: а — последовательного соединения; б — параллельного соединения; в — встречно-параллельного соединения.

223

Рис.

6.25.

Измерительное устройство с автоматически«* введением аддитивной по» правки: а — структурная схема; б — сигналь*" 4 ® граф.

ный граф этого соединения представляет собой параллельную связку двух разнонаправленных ветвей. Из этого гряФ а получаем передаточную функцию замкнутой схемы. Изображение сигнала в узле А3 ДОо) = Х(р)-Хк{р). Изображение сигнала в узле Б

(вЭ4)

У(р) = КЛр)А(р).

(6.95)

Изображение сигнала в узле А 2 XK(p) = ß(p)V(p).

(в.96)

Из уравнений (6.104; 6.105; 6.106) п о л у ч и м Y(p) Кс (р)

= =

•

(6.97)

Ke(p)X(p);

(6.98)

КЛР)

В знаменателе (6.108) знак плюс соответствует вычитателю в узле А, т. е. отрицательной обратной связи, а з Н а к минус соответствует сумматору в точке Л, т. е. положительной обратной связи. Рассмотрим пример нахождения передаточной функции ИП с автоматическим введением аддитивной поправки по структурной схеме и сигнальному графу (рис. 6.25). Из сигнального графа получаем У (Р) = У г (Р) + К, (р) [X (р) У(р) = Х (р) Кг (Р) + X (р) К2 (р) -

х к (/>)];

X (р) Кг (р) К2 (р) ß (р).

Тогда искомая передаточная функция К с (P) =

(?) + К г (/>) ~ Kr (Р) Кг (Р) ß (Р)1-

(6.99)

6.6. МОДУЛЯЦИЯ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ

При модуляции мгновенное значение первичного или модулирующего сигнала управляет одним из параметров вспомогательного сигнала, называемого несущим. В качестве первичного модулирующего сигнала в измерительной технике используется обычно аналоговый измерительный сигнаЛ. 224

6.26. Модуляция гармонических колебаний; а — модулирующий сигнал: б — несущий сигнал; « — амплитудно-модулированный сигнал; г — частотно-модулированный сигнал; д .— фазо-модулированный сигнал.

В качестве несущего сигнала в измерительной технике используют обычно следующие виды сигналов: постоянный сигнал z (t) = Zm; синусоидальный сигнал z (t) — = Zm sin со0f; импульсный периодический сигнал г (О =

(kT0 + 0

Zm при kT0<iC kTu + т0; О при£Г 0 + т 0 < г < ( £ + l)T0, где T 0 — период следования импульсов; К. = 0, 1, 2, 3, 4; т0 — ширина или длительность импульса; Zm — амплитуда импульса. Импульсный периодический сигнал можно представить рядом Фурье: f ^ J (kT0 + t) =

9(0

ЙГ »1

*Ю

ZrnrJT0[ 1 + Е Ск cos Ш\ (6.100)

sin fetApTp где

C k = 2-

ktoaT0

co„ =

2я

При постоянном несущем сигнале управляют его единственным параметром — амплитудой. В случае синусоидального несущего сигнала возможно управление каждым из его трех параметров — амплитудой, частотой и фазой, в связи с чем различают амплитудную (AM), частотную (4M) и фазовую (ФМ) модуляции. При импульсном несущем сигнале возможно управление его амплитудой (АИМ), частотой (ЧИМ), шириной импульса (ШИМ) и фазой (ФИМ). Необходимость в модуляции возникает в том случае, если первичный сигнал X (t) имеет такой характер, при котором затруднены его передача, преобразование или обработка при высоких требованиях к точности. Модуляция реализуется путем взаимодействия сигналов — первичного сигнала X (/), содержащего искомую информацию (рис. 6.26, а), и несущего z (/), не содержащего информации, но обладающего физической природой и таким характером изменения во времени, при которых удобна реализация дальнейших операций (рис. 6.26, б). В результате взаимодействия X (t) и z (t) создается модулированный сигнал у (t), содержащий интересующую нас измерительную информа8

818

2 2 5

цию и обладающий природой и характером изменения во времени, удобными для дальнейших преобразований. Способы дальнейшей обработки модулированного сигнала зависят от характера и полноты информации, которая должна быть при этом извлечена: для получения по возможности наиболее полной информации о всех параметрах первичного сигнала модулированный сигнал детектируют или демодулируют; при необходимости извлечения из модулированного сигнала информации только об одном информативном параметре первичного сигнала обычно либо из модулированного сигнала выделяют одну из спектральных составляющих, один из параметров которой пропорционален искомому информативному параметру сигнала X (t), либо непосредственно измеряют соответствующий параметр модулированного сигнала, например длительность импульса у ШИМ сигнала, частоту у ЧИМ сигнала и т. д. Детектированием или демодуляцией модулированного сигнала называется преобразование его в сигнал, пропорциональный первичному сигналу. Задачей детектирования является по возможности полное восстановление информации, содержащейся в первичном сигнале, об изменении всех его параметров. Каждому виду модуляции соответствует определенный способ детектирования. Вид модуляции и способ детектирования зависят от требований, предъявляемых к точности передачи информативного параметра. Для обоснованного выбора вида модуляционного преобразования, глубины модуляции, а также соотношения между частотами несущего и модулирующего сигнала необходимо прежде всего рассмотреть спектры модулированных сигналов. Спектры при разных видах и параметрах модуляции целесообразно сопоставлять при одинаковом первичном сигнале, обычно гармоническом колебании низкой частоты. Наиболее просто выполняется детектирование импульсных модулированных сигналов, при этом достаточно только фильтра нижних частот. Для детектирования гармонических модулированных сигналов необходимы кроме фильтра нижних частот и другие преобразователи, например умножители, частотнозависимые звенья. Гармонические модулированные сигналы и их особенности Рассмотрим особенности амплитудной, частотной и фазовой модуляции гармонического сигнала. Амплитудная модуляция и детектирование. При амплитудной модуляции (рис. 6.26) модулированный сигнал у (t) = Zm [ 1 + MJ (0] sin Ы ~Z

[l+

Ф„)

• 4 | L ] s I n ( c ü 0 * + <p e )~

~ h I1 + JSltL' 226

sin(<a + фо)

°' '

(6.101)

Амплитудно-модулнрованный сигнал: о ~> гармоническим сигналом; б — случайным сигналом. Рис.

6.27.

где / ( * ) = * « _ .относительное Л/п изменение модулирующего сигнала; Ка — коэффициент преобразования модулятора; = = КяХт — максимальное изменение (девиация) амплитуды модулированного сигнала,вызванное максимальным значением информативного параметра Хт модулирующего сигнала; М а = глубина амплитудной модуляции, которая всегда меньше единицы. Модулирующий сигнал X (t) может быть либо квазидетерминированным, либо случайным, но всегда наивысшая частота его спектра £2шах должна быть меньше частоты несущего сигнала со0. В качестве примера на рис. 6.27 показан вид амплитудно-модулированного сигнала у (t) при модуляции гармоническим (а) и случайным (б) сигналом. При модуляции простейшим гармоническим сигналом модулированный сигнал состоит из нескольких спектральных составляющих. Действительно, при этом y{t) = Zm[\+Masin(Qf Z m sin(co 0 ^+ ф) + •ZmAf.

ZmM.

+ 6)1 sin(co0f + ф) « -cos[K-Q)*-H<P-0)]-

СО8[(ю0 + «3)« + (ф + в)].

(6.102)

Следовательно, амплитудно-модулированный сигнал имеет в этом случае (рис. 6.28) три спектральные частотные составляющие с частотами б)0, <ö0 — Q, ш0 + £2. При амплитудном детектировании модулированный сигнал (6.102) преобразуют таким образом, что получают сигнал (при отсутствии погрешностей преобразования), пропорциональный исходному сигналу. Так, при синусоидальном модулирующем сигнале сигнал на выходе детектора в идеальном случае после фильтра Одет ( 0 =

К а К а Л Х т Sin ( Ш +

9).

Принимая во внимание, что -

M J 2 =

K . X J 2 ,

227

3кЛ^ ?

„

„ 00 „

, zn

I ,

£кЛа 'Ja.

убеждаемся в том, Ч Т О Б AM сигнале одинаковые между собой амплитуды гармоник боковых частот пропорциональны значению амплитуды ai0t£ а первичного сигнала. Следовательно, эти амплитуды могут быть испольJ

Рис. 6.28. Частотный спектр при амплитудной модуляции гармоническим сигналом.

3 0 В Э Н Ы В КЭЧеСТВе

ИНфОрМаТИВНЫХ

параметров AM сигнала, содержащих информацию о амплитуде первичного синусоидального сигнала (табл. 8). Частотная модуляция и детектирование. При частотной модуляции в соответствии с модулирующим сигналом х (t) изменяется частота модулированного сигнала (рис. 6.26, г): о ( 0 = со0 + Да./ (t) = (о0 + K4XJ (/), где Кч — коэффициент преобразования модулятора; Д и = КчХт — наибольшее изменение частоты модулированного сигнала, или девиация частоты, которая пропорциональна амплитуде входного сигнала. В простейшем случае при гармоническом модулирующем сигнале X (t) = Хт cos (Ш + 0) выражение для частотно-модулированного сигнала принимает вид у (t) = Zm sin [ о у + (K4Xm)/Q sin (Q* -f 6) t] = Zm sin [co0* + q> (*)].

(6.

!03)

Максимальное относительное отклонение частоты модулированного сигнала Am/Q = КчХт/Q называется индексом частотной модуляции ß. Рассмотрим теперь спектральное представление частотно-модулированного сигнала. Перепишем выражение (6.1(13) в следующем виде: y(t) = Zm sin

(Ш + 0) t

= Z m cos [ßsin (Ш + 6)] sin (со„/ + ф0) + Zm sin [ß sin (Й* + 0)] cos (a0t + ф 0 ). Рассмотрим случай при малом значении индекса частотной модуляции (ß ^ 1). Тогда cos [ß sin (Qf + 0 ) ] « 1; sin [ß sin (£2/ + ф 0 ) ] « ß sin (Q/ + 0); у (i) = Zm [sin (со0/ + ф0) + K4XJQi sin (ßt + 0) cos (со0t -f ф)] = = Zm [sin (co0* + ф0) + 4tK4XJQ

sin [(co0 + Q) t + (Ф 0 + 0)] +

+ V 2 K 4 X J Q sin [(co0 - Q) t + (ф0 -

0)].

(6.104)

Следовательно, при малом значении индекса частотной модуляции спектр простейшего сигнала практически не отличается от спектра простейшего амплитудно-модулированного (AM) сигнала, т. е. состоит из трех составляющих (рис. 6.29): (о0; со0 + ^ и со0 — Q. При частотном детектировании сигнал на выходе частотного детектора должен воспроизводить закон изменения модулирующего сигнала. Д л я получения а д е т (0 из модулированного сигнала необходимо нелинейное устройство. Поэтому частотный детектор представляет собой сочетание двух преобразователей: избирательной линейной системы, 228

•я о я О ч g CS

«&5

св

Is в к s X

к Е

ВI

™2I а(г) х BireHjm 0j0HhHfidan dxaned XS

а 01

ssg р Ы О. V 2

5 X

-ВИ ИЯНАИХВИЙОФНИ

sаг

S 3 »« 2I

Л Ч С?

ч s sи S ш Я «& е

I SP ® в V в Я Си 3 < 5 ви а

С! I В£ t (Л Q 8 сз с? + "б #

о. 2 В

1и . С g 2 § 2 •Е G

5 х &

I 2

+ Л!

е-

1—1

& о

gS о. I 5 te 1 = £ < и s 5 £

3°

8WJ

в -—v

'К

К +

T» 5

8 со 8WI

£5 ИИВВ1ГЛ»0НffИд

(cb + Д о )uХ X uis '2

«W1 +% а в

~ IM 4*1 Т& м

<г

з •ü в 'Й "к КЕ

в § а. s4

3 В

сч S

5 X

S м

В гя X

+ ~

я о.

оэа

с?

в* В г

WHV

£1 ^ НО 3 Л!

| 8 из в •е-

N +

X з кN < •й:

S N

У £ •et

о. ов

3 к IN

-te

1 ü

0+ XГz s

сз е

§к

X =

Xfz

S = (;) г ов=ц

wmn 229

преобразующей частотную модуляцию в амплитудную, и амплитудного детектора. Следует отметить, что в отличие от амплитуд, составляю• а, ща ш щих спектра AM сигнала, таковые Рис. в.29. Спектр частотно-модулировану 4 M СИГНЭЛа Менее удобны ДЛЯ ного сигнала „р„ ß « 1. получения информации об изменении амплитуды х (t), так как зависят не только от Хт, но и от частоты х (t). Фазовая модуляция и детектирование. При осуществлении фазовой модуляции на высокочастотное колебание SP)

Za .

tyjfj

z{t) = Zm sin (<V + Фо) нужно воздействовать низкочастотным сигналом х (t) так, чтобы фаза нового колебания изменялась в соответствии с низкочастотным сигналом, т. е; нужно получить сигнал вида (рис. 6.26, д) у ( 0 = Zmsin { « у +

Фо.[

1 + Л у (/)]}.

При этом фаза ф,Д 1 + Мф[ Щ должна быть линейной функцией сигнала f (t). Если модулирующим сигналом является гармоника, то закон изменения фазы фмод (/) = Фо + КфХ т sin (Ш + 0) + «V, где Кф — коэффициент преобразования фазового модулятора; ф0 — начальная фаза высокочастотного сигнала; КфХт — максимальное изменение фазы, которое называется коэффициентом фазовой модуляции и обозначается МФ. Отсюда выражение для фазомодулированного сигнала y(t) = Zm sin ftoy +}М Ф sin UQt + 0) + Ф0]}. Коэффициент фазовой модуляции пропорционален амплитуде модулирующего сигнала. Информативным параметром является фаза модулированного сигнала ф (t) — М ф sin (Ш + 6), которая линейно связана с мгновенным значением первичного сигнала. Рассмотрим спектр сигнала, модулированного по фазе одной гармоникой: у ( 0 = Z m sin R a y + ! М Ф sin {(Qt + 0) + ф0]}. После ряда преобразований получим выражение, аналогичное выражению у ( 0 = Zm {sin ( « у + ф0) + У2КфХт sin [ К + Q)t + + (Фо + 0)1 + sin [ К - Q) t + (Фо - 0)1} •

(в. Ю5)

Сравнение выражения (6.1(Й>) с выражением частотно-модулированного сигнала (6.1<14) показывает, что они мало отличаются друг от друга. Действительно, если модуляция осуществляется одной гармоникой и МЧ = Мф, никакого внешнего различия между этими сигналами нет, а выводы, сделанные относительно частотной модуляции, справедливы и для фазовой модуляции. Так, при неглубокой фазовой модуляции модулированный сигнал тоже состоит из трех спектральных состав230

ляющих с частотами со0, оо0 + £2 и го0 — £2. Однако между сигналами фазовой и частотной модуляции есть различия. При фазовой модуляции, если информативным параметром является амплитуда Хт, то амплитуды боковых гармоник фазомодулированного сигнала */ m (<ü-£2) =

^ L Z

; 'т

зависят только от Хт и Zm и, в отличие от случая частотной модуляции, не зависят от частоты £2. AM сигналы используются в основном при непрерывном измерении и контроле одной физической величины, в информационно-измерительных системах параллельного действия и в отдельных приборах, при передаче информации на небольшие расстояния, т. к. обладают низкой помехоустойчивостью. 4 M и ФМ сигналы обладают более высокой помехоустойчивостью, так как изменение амплитуды не изменяет непосредственно частоту или фазу, размер их информативного параметра (частоты или фазы) не ограничивается амплитудой сигнала, поэтому эти сигналы используются для передачи информации на большие расстояния.

Импульсные моделированные сигналы и их особенности При амплитудной импульсной модуляции у несущей последовательности импульсов изменяют только амплитуду по закону сигнала X (t) (рис. 6.30, а, б, в):

Аналитическое выражение AHM сигнала при х (t) = Х т sin £2/ приведено в табл. 8. Детектирование сигнала осуществляется посредством фильтра нижних частот. При ограниченном спектре X (/) для предотвращения искажений выходного сигнала ФНЧ гармониками ka>0 — £2 необходимо выполнение следующего условия: сортах > 2. Широтно-импульсная модуляция заключается в изменении длительности импульсов в соответствии с законом изменения модулирующего сигнала (рис. 6.30, д). При широтно-импульсной модуляции длительность импульса становится пропорциональной мгновенному значению первичного сигнала в момент посылки тактового импульса

При первичном сигнале X m s i n Ш длительность импульса Тн.мод = т 0 + Дт sin£2/ t , 231

Рис. 6.30. Виды импульсной модуляции: а — модулирующий сигнал; б — несущий сигнал в виде последовательности импульсов; в — сигнал — АИМ, г — сигнал ФИМ, д — сигнал ШИМ, е — сигнал ЧИМ.

П П Л• ..

где: Д т = КшХт — девиация длительности модулированных импульсов; КШ — коэффициент преобразования модулятора. Аналитическое выражение ШИМ сигнала при X (t) — Хт sin Qt приведено в табл. 8. В спектре широтно модулированных импульсов содержится составляющая частоты £2, содержащая всю информацию о X (t), детектирование ШИМ сигнала выполняется с помощью фильтра нижних частот. Д л я уменьшения влияния комбинационных составляющих с частотами (ü>0 — nQ) необходимо отношение ro0/Q выбирать из условия t'

где 8Г — допустимый коэффициент нелинейных искажений сигнала; а1т — амплитуда информативной составляющей на выходе; а ( е > 1 ) - п а ) г п —амплитуды комбинационных составляющих, которые при п < 1 0 попадают в полосу пропускания Ф Н Ч . В случае фазо-импульсной модуляции смещается положение импульсов относительно тактовых точек в соответствии с изменением модулирующего сигнала (6.30, г). В литературе часто, наряду с описанными видами модуляции, рассматривается также так называемая кодо-импульсная модуляция, при которой числовые значения мгновенных значений модулирующего сигнала, обычно через равные интервалы времени, представляются кодовым сигналом. Числовые значения сигнала х (t) являются результатами измерения. Кодо-импульсная модуляция (КИМ) является особым видом модуляции, при которой собственно имеет место цифровое измерение мгновенных значений сигнала х (i) в определенные моменты времени и представление результата в виде кодового сигнала, удобного для.передачи по каналу связи. В случае КИМ при одном канале связи необходимы большие затраты времени, чем при других видах модуляции. Это объясняется тем, что каждое мгновенное значение сигнала х (t) передается не одним импульсом, а несколькими импульсами, следующими через интервалы конечной длительности. Однако при КИМ обеспечивается соответствующими свойствами избранного кода наиболее высокая степень помехоустойчивости. Модуляция импуЙьсных сигналов особенно АИМ и ШИМ в измери-

fl I I I I I I I I I

232

тельной технике применяются все более широко, так как несущий импульсный периодический сигнал можно сформировать с высокой точностью и стабильностью как по амплитуде, так и по временным характеристикам. Кроме этого, современные быстродействующие микроэлектронные ключи, устройства сравнения, запоминания и счетчики импульсов дают возможность с высокой точностью управлять амплитудой, длительностью и частотой импульсов. АИМ и ШИМ, например, широко применяется при измерении мощности переменного тока, ШИМ применяется при преобразовании кода в среднее значение напряжения Ucр и т. д. 6.7. МАСШТАБНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ

Масштабным линейным преобразованием называют операцию создания выходного сигнала, информативный параметр которого пропорционален однородному информативному параметру входного сигнала. Причем /Смп может быть и больше и меньше 1. Величинами, наиболее удобными для масштабного линейного преобразования, являются электрическое напряжение и ток, частота, давление газа, механическая сила, механический момент, число оборотов, перемещение и др. Величиной, наиболее удобной для создания многоканальных и регулируемых масштабных преобразователей, является постоянное электрическое напряжение, поэтому и большинство аналоговых вычислительных устройств основано на операциях с ним. Коэффициенты преобразования основных типов МП представлены в табл. 9. , Д л я масштабного преобразования постоянного электрического напряжения наиболее широкое распространение получили резистивные делители и операционные усилители. Погрешность наиболее точных отечественных резйстивных делителей, выполненных на основе печатного манганина, снижена до Ю - 6 . Коэффициент преобразования масштабных преобразователей на резисторах находится в диапазоне от 1 до 0, а у усилителей в интегральном исполнении достигает 10е. Д л я масштабного преобразования переменного электрического напряжения применяются резистивные и индуктивные делители, делители на конденсаторах. Наиболее широкополосными по частоте являются делители на конденсаторах, а наиболее точными и наименее подверженными внешним воздействиям —• индуктивные делители, так как их коэффициент преобразования Кмп определяется только отношением числа витков и погрешность их снижена до Ю - 7 . Индуктивные делители весьма удобны также для управления автоматическими ключами путем переключения числа витков. Переменное электрическое напряжение преобразуется масштабно с помощью измерительных трансформаторов напряжения, коэффициент преобразования которых равен отношению числа витков. Погрешность таких трансформаторов снижена до 0,1 %. Измерительные, трансформаторы напряжения работают в режиме, близком к режиму холостого 233

Таблица

9. Основные типы масштабных преобразователей напряжений, токов и частоты

Масштабный преобразователь

Схема

JL.

Резистивный делитель постоянного напряжения

5—гЭ 0 Г ^

•о Емкостный переменного ния

Коэффициент преобразования

делитель напряже-

«<

О и

b'tut о

й?" Uer

Индуктивный делитель переменного напряжения

Измерительный трансформатор переменного напряжения

•

i >2

к* о—

к =

IP-

Шш

2 -С

п р и =

СО

С!"

Ск

г С

Wп i — при С„ = 0 а>1 + wt г

VlM

R„ = оо н

о»,

Измерительный усилитель напряжения

вых _

Ех

при Кд -*• о о

tr .

Резистивный делитель постоянного тока

Кз

Я2

л—S|M—-Г

Емкостный делитель переменного тока

Измерительный трансформатор переменного тока

Л+«• ш

'Г

'а

Измерительный усилитель тока ¥

234

при

со

Продолжение табл. 9 Масштабный преобразователь

Схема

Делитель частоты импульсов

-?—ЕН

Умножитель импульсов

Коэффициент преобразования

«г

h fi ~

*„

частоты

хода, и широко применяются при измерении больших по значению напряжений. Переменный электрический ток с наиболее высокой точностью масштабно преобразуется с помощью трансформаторов тока, коэффициент преобразования которых также равен отношению числа витков. Погрешность таких трансформаторов может быть снижена до Ю - 4 . Измерительные трансформаторы тока незаменимы при измерении больших переменных токов от десятков ампер и выше. Измерительные трансформаторы тока работают в режиме, близком к короткому замыканию вторичной обмотки. Применяя измерительные трансформаторы тока необходимо помнить, что при размыкании их вторичной обмотки на ней возникает напряжение свыше 1000 В, опасное для жизни. Деление частоты электрических колебаний или умножение периода повторения импульсов с очень высокой точностью выполняется делителями частоты в виде делителей импульсов или пересчетных устройств. Коэффициент деления делителей частоты изменяется дискретно: h = Kh, К = 17КЯ. Умножение частоты или деление периодов повторения импульсов с высокой точностью может производиться с помощью умножителей частоты по замкнутой схеме о делителями частоты в обратной цепи (табл. 9). Коэффициент умножения частоты равен К = / a / / i = К&. 6.8. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

Содержанием нелинейного измерительного преобразования сигнала • • является направленное изменение связи между размерами информативных параметров входного и выходного сигнала. Нелинейные измерительные преобразователи (НИП) необходимы для устранения нелинейности характеристики измерительного прибора, получения раз» личных статистических характеристик, автоматизации косвенных: -. "Намерений, сжатия данных, например в логарифмическом масштабе,, 238.

.ft

F-

Y-FM

\HM

а F

Y--FIW

<РАЦП

• н

4 ЩЛмипХ

• H

а ФЦАП Z=KX

Y=F(X)

НИП

А<РП

Рис. 6 . 3 1 . Основные с п о с о б ы у с т р а нения нелинейности: а — нелинейным преобразованием к о д о в о г о с и г н а л а в цифровом вычислительном у с т р о й с т в е или н е л и нейном п р е о б р а з о в а т е л е кода; 6 — аналоговым Н И П в прямой или обратной цепи; в — н е л и н е й н ы м аналого-цифровым или ц и ф р о - а н а л о г о вым п р е о б р а з о в а н и я м и .

при генерации сигналов сложной формы, при создании функциональных мер. Рассмотрим основные способы устранения нелинейности характеристики измерительного прибора, а также основные методы аналоговых нелинейных измерительных преобразований. Уравнение измерения, реализуемое в каждом измерительном приборе и устанавливающее зависимость между измеряемой величиной х и результатом измерения хи, всегда линейно. Если в цепи измерительного прибора используется Н И П с функцией F, то для обеспечения линейности общего уравнения измерительного прибора необходимо обеспечить устранение этой нелинейности. В аналоговом измерительном приборе это достигается очень просто — с помощью нелинейной шкалы, в которой реализуется обратная функция F~x. В цифровом измерительном приборе Ц И П цифровое отсчетное устройство которого эквивалентно равномерной шкале, для устранения нелинейности применяют следующие способы линеаризации: 1) использование кодовых нелинейных преобразований (рис. 6.31, а); 2) использование аналоговых нелинейных измерительных преобразователей. При этом, если Н И П входит в прямую цепь, то в нем реализуется функция F~l, а если в обратную цепь — то функция F (рис. 6.31, б); 3) совмещение операций измерения и получения обратной нелинейной зависимости F ~ l в одном устройстве — аналого-цифровом преобразователе АЦП (рис. 6.31, в). При этом, если данное устройство содержит только прямую цепь и основано на методе сопоставления, то в нем реализуется оператор F~~l. Если устройство основано на методе уравновешивания, то в его обратной цепи используется нелинейный цифроаналоговый преобразователь, реализующий функцию F. : Первый способ линеаризации целесообразно применять в многоканальных устройствах'при большом объеме: обработки по различным 23®-

Метода аналоговых нелинейных измерительных преобразований В зависимости о/n чисм На основе, использования используемых одной зависимости

еависипостей

По cnocofy

На основе использования нескольких зависимостей

На основе использо- На основе использования искусственной реализаестественной ции: злементарных' нелинейностью . функций

реализации заданной вания зденьед о нелинейной

зависимости

I Рис. 6.32. Методы аналоговых нелинейных измерительных преобразова ний.

1 It II !| II

'II о« л 3 'S а I^ I<5> Ч f. ^ ^ l^tÖ - 1^ tb CS

И Sit «г*: Iii III

алгоритмам. В связи с дальнейшими миниатюризацией и снижением стоимости матричных функциональных преобразователей код — код первый способ линеаризации становится все более перспективным и в одноканальных измерительных устройствах. Второй способ применяется наиболее широко, так как обычно реализуется наиболее просто, с помощью аналоговых функциональных преобразователей и будет в дальнейшем рассмотрен более подробно. Третий способ целесообразен при повышенных требованиях ч к точности преобразования. Методы аналоговых нелинейных измерительных преобразований в настоящее время довольно многочисленны (рис. 6.32). Теоретически каждую функцию можно реализовать многими методами, однако применяются методы, обеспечивающие наиболее рациональную реализацию функции и основывающиеся на использовании естественных физических процессов и устройств, наиболее распространенных при данном уровне техники. В настоящее время большая часть Н И П основана на использовании р — п перехода, термоэлектрического эффекта, а также микроэлектронных операционных усилителей для реализации метода обратной функции, умножителей-делителей и делителей для реализации метода неявной функции, электронных интеграторов для реализации различных функций путем интегрирования исходных более просто реализуемых функций. Рассмотрим основные особенности методов создания НИП, реализующих элементарные функции. Метод обратной функции реализуется при помощи компенсационного измерительного преобразователя (рис. 6.33, а). Если в обратной 237

Рис. 6.33. Структурные схемы НИП: а — для устранения нелинейной зависимости по методу обратной функции; б =• для извлечения корня квадратного с помощью делителя по методу неявной функции; в — для определения среднего квадратического значения при подаче на оба входа умножителя — делителя сигнала U x и определения среднего геометрического при подаче на входы сигналов Uх и V у по методу неявной функции; г — д л я определения разности квадратов д в у х величин по методу неявной функции.

цепи такого усилителя установлен Н И П xk = ф | у\, то в этой схеме х ^ xk, л: = ф (у), у — ф—1 (xk). Следовательно, в данном устройстве реализуется обратная функция. Естественно, что такой преобразователь целесообразен только в том случае, если заданная функция, Хк = ф (у) воспроизводится проще и может быть использована в цепи обратной связи усилителя. Примером этого служат: электронный логарифматор на усилителе, в цепь обратной связи которого включен экспоненциальный преобразователь на базе р — п перехода, а также корнеизвлекающее устройство, в цепь обратной связи которого включен квадратичный термоэлектрический преобразователь. Метод обратной функции применяется довольно широко, однако он имеет ряд недостатков: 1) возможна реализация только однозначных и монотонных функций, например, aresin х можно воспроизвести только в диапазоне 0...я/2; ; 2) возможно нарушение условий устойчивости и снижение степени подавления погрешности от нестабильности коэффициента усиления прямой цепи, так как коэффициент преобразования обратной цепи изменяется в широком диапазоне значений; 3) при воспроизведении функции извлечения квадратного корня значительно сужается динамический диапазон измерительного прибора. Метод неявной функции« Метод основан на реализации уравнения, в котором выходная величина преобразователя входит в левую и правую его части ' 238

y =

f{x,y).

При этом выходная величина у используется и для воздействия на саму себя, т. е. на выходную величину у. Примерами использования метода неявных функций являются: 1) извлечение квадратного корня при помощи делителя (рис. 6.33, б): K-j±-

= uy\

иу

ужх-

2) определение среднего квадратического значения (рис. 6.33, в) с помощью умножителя-делителя:

и . - У М

3) определение геометрической суммы с помощью умножителейделителей и сумматоров (рис. 6.33, г). Нетрудно убедиться, что, решив уравнение И —II

ик + их

Vг2

ик+ия

[

+ uk + ux «

получим u

= y u l + ul + ul +

При двух слагаемых сумму можно определить при помощи одного умножителя-делителя и одного сумматора, а при использовании обычной схемы необходимы два квадратора, сумматор и корнеизвлекатель; 4) определение разности двух величин при помощи умножителяделителя и двух сумматоров (рис. 6.33, д): иIi г _

(Vx + Uy) щ (Ux-Uu)

u2=yül=ül. Метод неявной функции имеет следующие преимущества: 1) упрощение структуры при реализации геометрической суммы;] 2) отсутствие сужения динамического диапазона при возведении' в квадрат; 3) возможность воспроизведения и немонотонных функций, например функции sin а в диапазоне от — я до + я . Совместное или раздельное использование методов реализации одн о й зависимости, указанных на рис. 6.32, позволяет реализовать: антилогарифмирование, логарифмирование, умножение, деление, извлечен и е квадратного корня, гиперболический арксинус, гиперболический синус, векторное суммирование, тригонометрические функции и др. Рассмотрим основные особенности реализации некоторых зависимостей. £ А н т и л о г а р и ф м а т о р ы . Д л я выполнения операций антилогарифмирования используется нелинейность вольт-амперной характеристики р — п перехода. Д л я практической реализации антилогарифмической зависимости используется схема (рис. 6.34, а, б), в которой диод подключен ко 239

Рис. в.34. Операции антилогарифмирования и л о гарифмирования, основанные на использовании нелинейности вольт-амперной характеристики р — п перехода: а — схема антилогарифматора; б — зависимость м е ж д у входом и выходом; в — схема логарифматора; г — зависимость м е ж д у входом и выходом.

входу операционного усилителя, тогда UЪЫХ. — ^OcRос ~ igRoc — = I0Roc£Ubx/Ui = иоеиш/и\ где U0 = IoRoc — выходное напряжение при Usx = 0; £/х — входное напряжение при ивых = eU0; R00 — сопротивление обратной связи. Антилогарифмические преобразователи обычно применяют вместе с логарифмическими, например для операций умножения, деления, возведения в степень. Логарифматоры. Д л я реализации логарифмирования на интегральных элементах используются естественная антилогарифмическая зависимость р — п перехода и возможность получения обратной зависимости при помощи усилителя с глубокой отрицательной обратной связью. В схеме логарифматора (рис. 6.34, в, г) диод располагается в цепи обратной связи. В этом случае выходное напряжение операционного усилителя оказывается пропорциональным логарифму входного напряжения U w ~ U t In UJU3, где U2 — выходное напряжение при t/BX = е£/ 3 ; Ua — входное напряжение, при котором выходное напряжение 1/шх = 0 (рис. 6.34, г). Точно реализуемое логарифмирование широко используется: 1) в интегральных умножителях; 2) при воспроизведении полиномов, степенных и показательных функций; 3) при измерении относительных величин в логарифмических единицах; 4) при сжатии динамического диапазона сигнала перед преобразованием или передачей на расстояние; 5) в точных интегральных делителях при широком динамическом диапазоне изменения делимого и делителя. В настоящее время выпускаются твердотельные интегральные логарифматоры и антилогарифматоры, работающие в диапазоне пятишести десятичных порядков по току и позволяющие реализовать операции умножения и деления с погрешностью 0,1 %. В Киевском политехническом институте [90] разработан метод построения функциональных, в том числе логарифмических аналого-цифровых преобразователей, основанный на интегрировании производной функции. Суть метода заключается в следующем: если имеется функция F (*), непрерывная в интервале (а, в), причем F (х) = dy/dx, тогда заданную зависимость 240

у (х) = In л; можно реализовать, интегрируя F (х). При F (я) = dyldx=* -» Их у = J F (х) dx = In х. Следовательно, для создания Н И П с логарифмической характеристикой у = In х достаточно иметь Н И П с характеристикой у' (я) = Их и интегратор. Н И П с характеристикой 1/лс является устройством с гиперболической разверткой. Аналогичным образом можно реализовать степенные функциональные зависимости. К в а д р а т о р ы . Возведение в квадрат является широко распространенной операцией, применяемой при измерении энергетического спектра сигнала, мощности, векторной суммы, среднего квадратичного значения (с. к. з.) сигнала, извлечении квадратного корня. В последнем случае квадратор включается в обратную цепь инвертирующего усилителя. Д л я возведения в квадрат в широком частотном диапазоне используются термоэлектрические преобразователи, умножители, в частности (на базе использования переменной крутизны транзистора), диодные кусочно-линейные аппроксиматоры и другие устройства. Извлекатели квадратного корня. Операция извлечения квадратного корня применяется при измерении с. к. з. сигнала, для линеаризации естественно-квадратичных преобразователей, моделирования различных процессов. Д л я извлечения квадратного корня применяются квадраторы, например, термоэлектрические преобразователи в обратных преобразователях, логарифматоры по уравнению у * = е / , , в * ; In V~x — V2 In x\ anti In (In j / * ) = V * . а также преобразователи с делителем, реализующие неявную функцию по схеме (рис. 6.33, б) Uy = KV Ux. В НИП, реализующих сложные зависимости, обычно используются полиномиальные модели нелинейности. Д л я создания НИП, обладающих и высокой точностью, и высоким быстродействием, часто используют гибридизацию аналоговых и кодовых НИП, в частности, в виде Н И П на основе дополнительных корректирующих каналов, а также на основе получения полиномиальных зависимостей методом многократного интегрирования [90]. Д л я реализации элементарных нелинейных зависимостей можно использовать преобразование различных временных функций, в первую очередь, с помощью интеграторов, а также и дифференциаторов. Например, в электронном интеграторе с последовательным зарядом током Ix = Ux/R за фиксированное время Та и разрядом током 1Ь = = Ub/R за время Тх до Uc = 0 можно реализовать ряд заданных зависимостей Тх — /3 (Ux). При этом результат интегрирования вспомогательной функции [58] Ub = f (t) должен быть функцией, обратной заданной. Например, если задана зависимость Т х = KVU X > ТО результат интегрирования должен быть U x = К{Г\. Этот результат получаем при интегрировании вспомогательной функции Ub = kt. Действительно, 241

1IR J* Ub (t) dt = kTl/2R = (Y/R) UXTV (в. 106) о Такой корнеизвлекающий функциональный преобразователь можно использовать для линеаризации квадратичных преобразователей и др. Если задано Тх = /(УТТ*, то результат интегрирования должен быть равен Ux = KiTx- Этот результат получаем при Ub — Kt2. Если задано Т х = e KUx , то результат интегрирования должен быть равен Ux = k In Тх. Этот результат получаем интегрированием функции Ub - k/t. 6.9.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

КОДОВЫХ

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ

СИГНАЛОВ

В измерительных устройствах все чаще возникает потребность в преобразовании кодовых измерительных сигналов. Основные типы преобразователей кодовых сигналов приведены на рис. 6.35. Преобразователи кодовых сигналов прежде всего удобно разделять в зависимости от наличия или отсутствия изменения числового значения кода, представляемого данным кодовым сигналом. По этому признаку все преобразователи кодовых сигналов Ц К С делятся на две группы: преобразователи кода сигналов, или дешифраторы, у которых числовое значение входного и выходного кодовых сигналов одинаково, и функциональные преобразователи кодовых сигналов, у которых оно различно. Функциональные ПКС в зависимости от рода реализуемой зависимости между NBX = Nx и NBUX = Ny разделяются на линейные ПКС и нелинейные ПКС. Затем все преобразователи кодовых сигналов можно подразделить в зависимости от рода кода входного и выходного сигналов единичного^!) или числового N<!>.. Примеры наиболее простых и широкоприменяемых структур дешифраторов, линейных ПКС со входным единичным одноканальным кодом, т. е. делителей и умножителей числа входных импульсов, а также основные разновидности нелинейных преобразователей единичного одноканального кода показаны на рис. 6.35. В одном измерительном устройстве иногда приходится применять два различных кода (п. 7.3). Поэтому возникает необходимость в дешифраторах-преобразователях входного кодового сигнала, представляющего числовое значение Nx в выходной кодовый сигнал. При этом обычно необходимы преобразователи числоимпульсного, двоичного и двоично-десятичного кодов в десятичный. Преобразование кодов реализуется в статике или в динамике. К статическим преобразователям кода относятся многочисленные матричные преобразователи, в которых преобразование производится обычно одновременно по всем каналам и удобно для параллельных кодов. К динамическим относятся преобразователи прежде всего одноканального единичного кода в любой числовой код, т. е. счетчики импульсов. 242

Функциональные преобразования над кодовыми сигналами могут быть выполнены в цифровых ЭВМ. В этом Mi. случае точность выполнения требуемых преобразований практически не лЛ> ~2п т ограничена. Если использование цифровых ЭВМ нерентабельно, то используются специализированные функцио~N(2)y ~тразрядоЬ нальные преобразователи код — код. Среди них наиболее известны матричМ2 ные преобразователи с входным многоканальным единичным кодом и преобРис. 6.36. Матричный преобразователь разователи с входным числоимпульскода N(2)X N(2)!/. ным единичным одноканальным кодом. Простейшим примером матричных преобразователей являются диодные П З У (рис. 6.36), состоящие из двух матриц М1 и М2. Входная матрица М1 является преобразователем входного цифрового, например двоичного, кода N$)X в промежуточный многоканальный единичный код N ^ , например, при N i2)x = 11010 возбуждается двадцать шестая выходная шина, т. е. выдается в многоканальном коде NQ) число 26. Выходная матрица М2 служит для преобразования промежуточного кода в выходной цифровой, например двоичный, код N(2)y, соответствующее числовое значение которого не равно числовому значению входного кода и отражает нелинейную зависимость между входным и выходным кодами функционального преобразования кодов. Число диодов в матричном функциональном преобразователе при двоичном n-разрядном входном и двоичном т разрядном выходном кодах равна с • 2", где (т + 2) ^ с ^ 3. При погрешности аппроксимации функции Ny = F (Nx), равной, например, 0,1 %, число диодов достигает нескольких тысяч. Naix п разрядов •

I I I - ) »

Преимуществом матричных преобразователей кодов является высокое быстродействие, однако большая сложность ограничивает область их применения. Интерес к таким устройствам возрос в связи с освоением и широким применением П З У на интегральных схемах [40]. Возможности таких функциональных измерительных приборов (ФИП) кодов расширяются в связи с дальнейшим развитием микроэлектроники как за счет увеличения емкости П З У (промышленностью освоены П З У емкостью 16, 64 и 128 тысяч бит), так и путем использования новых полупроводниковых элементов. Применение матричных ФИП кодов с внесением функции NSblx = — F (NBX) электрическим путем особенно перспективно в цифровых приборах с предвключенными нелинейными измерительными преобразователями у = F (.х). В этом случае внесение обратной функции F~l электрическим путем NXBых = F~l (NyBX) является фактически операцией градуировки цифрового прибора, после которой, как и после градуировки шкалы аналогового прибора, будет обеспечиваться линейная зависимость между значением измеряемой величины и показаниями прибора. 244

Рис, 6.37, Нелинейный преобразователь кода

(!)*>

аппроксимацией.

илу

с кусочно-линейной

Функциональный преобразователь кода (ФПК) с входным однокааальным числоимпульсным кодом отличается меньшим быстродействием. Эти ФПК можно подразделить на интервально-аппроксимирующие, которые воспроизводят промежуточные значения выходного кода внутри интервала согласно принятому способу аппроксимации — кусочно-линейной или кусочно-нелинейной и воспроизводящие значения Nu во всем диапазоне заданным числом разрядов т. В ФПК первого типа зависимость Nl?)g — f (N^)x) получают путем кусочно-линейной аппроксимации по формуле N ^ - N f l . + K A N l l - N ^ ) . Функциональное преобразование выполняется в схеме, состоящей из преобразователя код — код Nx -*• Ni, Б П блоков памяти, блока вычитания БВ, блока умножения Б У и блока суммирования БС (рис. 6.37). Основным блоком этого устройства является блок цифрового умножения, который выполняется либо на базе цифрового делителя или цифрового умножителя с переменивши коэффициентами [23]. Отечественная промышленность выпускает микросхемы К 155ИЕ8 — шестиразрядный делитель с переменным коэффициентом деления. В ФПК второго типа [18], точно реализующих заданную функцию Ny — f № . во всем интервале преобразование число-импульсного одноканального входного кода N[ff x в выходной код N\Г,у основано на использовании возможностей управляемого интегрирования входного кода. Рассмотрим пример реализации такого ФПК для степенной функции Ny = Nl

(6.Ю7)

Ф П К данного типа в каждый данный момент преобразует приращения входного кода dNx в приращение выходного кода dNy. Поэтому необходимо рассмотреть уравнение дифференциала данной функции. Дифференциал (6.117) равен dNy = nNTldNx. (в. 108) При использовании данной (6.1Ф8) явной функции для получения кода Ny необходимо последовательное включение (п — 1) умножителей кода для реализации выражения Nx~l, умножителя кода ЛГ*-1 на и и однбго умножителя на dNx [23]. 245

Рис. 6.38. Нелинейный преобразователь кода Л ^ A ' j j j ^ с управляемым интегрированием входного кода.

- При использовании неявной функции для Ng искомый результат можно получить в значительно более простой структуре [18]. Действительно после несложных преобразований v NxdNy = nNnxdNx\ dNy/Ny = dNy =

ndNJNx; (dNxnNy)/Nx.

Деление приращения входного кода dNx на Nx можно реализовать с помощью делителя на основе умножителя охваченного обратной связью. Затем умножение на п и на Ny выполняется в схеме согласно рис. 6.38. 6.10. В Ы Ч И Т А Н И Е

СИГНАЛОВ

Операция вычитания реализуется в устройствах, которые имеют два входа и один выход (рис. 6.39, а). Уравнение идеального измерительного устройства вычитания без предвключенных измерительных преобразователей Ар = х2,

£ В к * •а

ПР

г .

ПП1

1 в

1«

Хг

А .л Л

—

УГ

ПП2

Р и с . в . 3 9 . С т р у к т у р н ы е с х е м ы в ы ч и т а т е л е й а н а л о г о в ы х сигналов) > без предварительного преобразования; б ч» о предварительным преобразована» euj в — в периодическим переключением. 238.

где Ар — информативный параметр разностного сигнала, выходная величина устройства; хг и х2 — вычитаемые входные величины. Устройства вычитания в измерительной технике используются: в устройствах сравнения цифровых измерительных приборов уравновешивания и сопоставления для выработки кодового сигнала, отражающего результат измерения; в измерительных аналоговых уравновешивающих преобразователях для создания выходной величины при управлении уравновешиванием; в измерительных преобразователях одного из параметров совокупности двух сигналов (например, сдвига фаз ср в разностный сигнал, пропорциональный <р); в коммутационно-модуляционных измерительных устройствах (устройствах периодического сравнения). Физические сигналы (электрические и неэлектрические) в зависимости от возможности создания разностного сигнала можно разделить на три группы. К первой группе относятся сигналы направленного действия, которые физически легко вычитать без предварительного преобразования. Такими сигналами являются электрические, механические, магнитные и др. Ко второй группе можно отнести сигналы, также обладающие направленным действием, однако, неудобные для вычитания, но удобные для коммутации. К этой группе относятся световые потоки, ионизирующие излучения, потоки жидкости и газа. К третьей группе следует отнести сигналы, характеризующие состояние объектов или их свойств, которые физически невозможно вычитать (температура, влажность, освещенность площади, концентрация веществ, цвет, запах и т. п.). Параметры сигналов первой группы являются наиболее удобными для вычитания, второй группы — менее удобными, а третьей группы не подходят для этой процедуры. Устройства вычитания величин первой группы наиболее просты и могут быть представлены в виде последовательного соединения звена вычитания и преобразователя разности П Р (рис. 6.39, а). При сравнении электрических сигналов П Р представляет собой усилитель разностного напряжения или тока. Вычитание осуществляется непосредственным суммированием двух разнополярных или противофазных сигналов на входе усилителя. В П Р могут осуществляться преобразования физической природы сигнала. Например, при воздействии вычитаемых давлений на мембрану разностная величина получается в виде перемещения (табл. 10). Неудобные для непосредственного вычитания сигналы третьей группы также необходимо вычитать. Д л я этого их преобразуют в другие сигналы. Это преобразование выполняется в измерительных преобразователях ПП1 и ПП2 (рис. 6.39, б). Естественно, что к таким преобразователям, включенным на входах УВ, предъявляются жесткие требования к идентичности и стабильности характеристик. В целом УВ можно рассматривать как трехполюсный преобразователь, который характеризуется коэффициентом преобразования 247

f ЙР ° с«о яЯ I iETi О п | 1

£ X uв S к Q. e 3 I,^ 8X nss S aн> а. K ej = 2SX sS о^о о(О xв «а. в3 «о о

Iii!

4 + + <4

ч Q. !<

«ч

€ w Q. В

8s 9 3 а

вV Я т ои н «и оо. н« у>> JSJ а) X о ® er ай

а •s о о.

Isis 5 «

nо оw f0? £

fr s

fe CQ

ч t4

<3 гг

Ж |2 248

4 ><04 I M ( X

N N +

О ci

М фа,та рн т га сзсо ио 6вГ а ^я ио w Жfr53 5*

<u s; «oä °= nо SЭ < BS о sus н s 2S « S "и о« И га л К °^и m В ач к gSlä & >2> к о ^Л вч в

сs s «-S аX чS « и iа X s еf-а ич s >(J оS Sн CLO. fо>1оeо 3 вх f<u 3 в

« I аК

£и 1£ °< gas §О)юл 1 „ ^2 n н g 3 ^ « я S й 8Ii10» eго Оs Рд з § 1О с8о S<и м ^ О в* Ё §й

Sso. ога и I„ <-). о О G ф Я

иX га 8м м 8m WO«! äS g о. sв- но «о о. Я JJ Я ! и05 И а) рg а| 3( , С щцяхСР5 — в f- 1i

' ^ SS А

g s 93 X га д ш CTо S o g р •я оя ад §о я Р о о. л и sffgsss | g.5 S g 1 о в m -5 » R н §-- я ш S S s. 2 Й * к5 се 2 go Я £ «о ь я л S S o u g S ^ f-H о ^ и •а я о :с я в

5) <1

< Ю э

< <

3 I V» 3

+ ++

<Й>

<ö <г?

Jll

в со га 1

2 ё Р о еза. « о

Я »

•я

О U

о.

в О 2 'Я

га оо m Я _

р. в £<4 gs. a«

Ш Л О

С оо в и 3Р ко. с

•Я °

я га о- к

£Е5 nв S.O „ о 5'S ^ га я •«•clB 1*8 ч H О. с Pя

_ о. яя ю о <и <и ч &§ m

га >я

•я

чя

оо ч к я

й Н* Ä8 8. В ^Я Л

я5га я?<и Ь о. Я£ в- -ея-еmя оmЗ н >Я О 9)

рк 8 я

oj Sr оа

S! S

.249

разности (рис. 6.39, а) — *г),

(6.109)

где Л^р — выходная разностная величина. Формулы для определения коэффициента К р для" различных устройств вычитания токов, напряжений и других величин приведены в табл. 10. Точность УВ характеризуется, главным образом, аддитивной составляющей погрешности, которая обусловлена появлением на выходе УВ при хх — х 2 = 0 выходного сигнала Ау. Аддитивную составляющую погрешности удобно характеризовать разностью сравниваемых величин на входе, при которой выходная величина УВ обращается в нуль: А = хг — х2 при Aj, = 0. Абсолютная аддитивная погрешность УВ А выражается в единицах сравниваемых величин

А = А„7КР. Следовательно, для повышения точности необходимо прежде всего снижать Ау и повышать коэффициент К р . Порог чувствительности в современных УВ постоянных напряжений доведен до Ю - 9 , а УВ токов — до Ю - 1 2 А. Д л я неэлектрических величин созданы УВ усилий, моментов, масс, давлений и механических напряжений. Выходной величиной в этих УВ в большинстве случаев является перемещение, которое далее преобразуется в электрическое напряжение или ток. При сравнении масс с использованием оптических методов преобразования микроперемещений достигнут порог чувствительности в Ю - 1 1 г, а при сравнении усилий — 10~9 Н . Дальнейшее повышение точности УВ ограничивается механическими микровибрациями и электрическими шумами в последующих усилительных звеньях. . f. . , г Устройства вычитания величин второй группы обязательно имеют в своем составе предвключенные преобразователи ПП1 и ПП2 (рис. 6.39, б), которые преобразуют xt и х2 в величины ух и г/2, удобные для вычитания. Так, сравниваемые температуры с помощью двух термопар преобразуются в электрические напряжения, которые можно вычесть, а их разность — усилить. В этом случае погрешность возникает как от наличия мультипликативных, так и аддитивных погрешностей предвключенных звеньев А =s х ( б п т — бппг) + (Anni — Аппг), где б п т и бппг — относительные мультипликативные погрешности предвключенных звеньев; Anni и Аппг — абсолютные аддитивные погрешности предвключенных звеньев. Таким образом, погрешности предвключенных преобразователей могут существенно увеличить погрешность вычитания. Мультипликативные погрешности ПП1 и ПП2 трудно сделать меньше 1 % для большинства неэлектрических величин. Погрешности, вызываемые одной влияющей величиной, например температурой, часто коррелированы, поэтому их разность (у<, — yt,) может быть достаточ.250

но малой. Погрешности, обусловленные процессамиГстарения и ' износа, к а к правило, слабо коррелированы из-за случайного характера этих процессов. Вследствие этого результирующая погрешность от нестабильности параметров предвключенных преобразователей может достигнуть удвоенного значения погрешности ПП. Этим объясняется относительно низкая точность измерения физических величин, которые непосредственно вычитать нельзя. Снижая мультипликативные погрешности звеньев ПП1 и ПП2 регулировкой коэффициентов преобразования, можно существенно уменьшить погрешность вычитания. Д л я физических величин второй группы обычно также используются УВ с предвключенными преобразователями. Однако направленность этих величин, например потоков заряженных частиц или газов, позволяет их относительно легко прерывать или переключать. Это свойство позволяет автоматически с достаточно высокой частотой переключать вычитаемые величины на входе одного преобразователя физической величины в напряжение П Ф Н (рис. 6.39, в). При неравенстве вычитаемых величин на выходе ПФН появляется переменная составляющая У , изменяющаяся с частотой их переключения Q. Переменная составляющая напряжения усиливается усилителем переменного напряжения у и выпрямляется фазочувствительным выпрямителем ФЧВ. Выходное постоянное напряжение U пропорционально разности вычитаемых величин, а его полярность определяет соотношение этих величин хг щ х2. Так как обе величины хх и х2 поочередно преобразуются одним П Ф Н , то медленное изменение его параметров не влияет на точность вычитания. В качестве преобразователя разности здесь используется бездрейфовый усилитель переменного напряжения, что также - повышает точность вычитания. Одноканальные УВ с поочередным вводом физических величин нашли широкое применение для измерения .инфракрасных и видимых световых потоков, ионизирующих излучений, газовых потоков. В области электрических измерений этот метод, получивший название метода периодического сравнения [621, широко используется при фазовых измерениях, в автоматических измерителях коэффициента нелинейных искажений, в анализаторах гармоник и т. п. В качестве примера применения устройств вычитания рассмотрим основные особенности коммутационно-модуляционных измерительных устройств. Измерительные приборы уравновешивания с замкнутой структурной схемой в зависимости от временной последовательности ввода величин делятся на приборы с одновременным, разновременным и периодическим вводом, последние еще называют коммутационно-модуляционными [62, 75]. В приборах с одновременным вводом неизвестная и компенсирующая известная величины Ux и С/к вводятся в прибор одновременно. На выходе устройства вычитания УВ в приборах такого типа обычно образуется электрическая величина, пропорциональная разности мгновенных или осредненных за некоторое время значений вычитаемых величин (рис. 6.40, а). В таких приборах обеспечивается высокая точность, если предвключенного преобразователя ПП нет, т. е., если компенсируется непосредственно измеряемая величина. Однако многие измеряе.251

и »

с одновременным; б — о разновременным; « « в о периодическим известной и измеряемой величина Хц н X t .

мые величины неудобны для вычитания, поэтому в приборах с преобразователями, включенными перед устройством вычитания, например в логометрах, фазометрах, вольтметрах с входными преобразователями, трудно достичь высокой точности, так как предвключенные, особенно высокочувствительные преобразователи не обладают высокой точностью. В приборах с разновременным вводом поочередно на вход прибора подается измеряемая величина, а затем образцовая при помощи переключателя, управляемого оператором Р П (рис. 6.40, б). Такие приборы имеют одноканальную структуру, в них реализован метод замещения и необходимо использование памяти. В таких приборах электрическая величина, пропорциональная разности сравниваемых величин, не создается, что затрудняет их автоматизацию. Примером прибора с разновременным вводом является термоэлектрический компаратор для измерения действующего значения переменного тока в широком частотном диапазоне. В приборах с периодическим вводом, основанных на методе периодического сравнения, величины вводятся в прибор автоматическим переключателем АП поочередно с определенной частотой. Благодаря этому в одноканальной схеме такого прибора получают электрическую величину, пропорциональную их разности без использования элементов памяти. Приборы периодического сравнения появились сравнительно недавно и отличаются от приборов одновременного сравнения непрерывной коммутацией, высокой чувствительностью и точностью. Более высокая чувствительность достигается благодаря усилению разностного сигнала на частоте переключения избирательным усилителем с большим усилением. Повышение точности достигается благодаря исключению аддитивной погрешности вычитания. Недостатком приборов периодического сравнения является более низкое быстродействие* так как результат преобразования формируется по истечении нескольких периодов относительно низкой частоты переключения. 252

Впервые периодическое сравнение было использовано в радиоастрономических приборах (радиометрах) для выделения полезных сигналов на фоне собственных шумов входных преобразователей. Поочередное периодическое преобразование полезного сигнала, принятого антенной, и известного шумового сигнала позволило измерить радиоизлучение космических объектов порядка 10 - 1 5 ...10~ 2 ° Вт. Применение автоматической коммутации сдвинутых по фазе напряжений позволило повысить чувствительность при измерении малых изменений разности фаз до одной угловой секунды. Примером одного из первых приборов периодического сравнения в области температурных измерений является объективная спектропирометрическая установка, созданная коллективом Харьковского государственного института мер и измерительных приборов в 1954 г. Нестабильность и технологический разброс параметров полупроводниковых элементов больше всего сказываются в двухканальных приборах для преобразования входных напряжений или токов. При изменении коэффициента преобразования /Спп предвключенного преобразователя П П в показаниях прибора с одновременным вводом величин (рис. 6.40, а) возникает погрешность, равная б/<пп

dKnn/Knn-

Часто основной причиной изменения /Спп является его временная нестабильность, и если предположить, что скорость изменения У Л п п во времени постоянна, то 0Кпп = О/^ПП) Укпп^эксп. где Гэксп — время эксплуатации прибора. Следовательно, применение в т а к и х приборах нестабильных во времени преобразователей в качестве предвключенных вызывает большую погрешность. В приборе периодического сравнения (рис. 6.40, в) погрешность от временной нестабильности предвключенного преобразователя будет намного меньше, так как преобразование измеряемой и образцовой величины производится в нем попеременно с малым периодом повторения. В этом случае погрешность 8/< пп равна 8

= M N N ) V

(6.110)

где Т к — период переключений автоматического переключателя. Следовательно, в т а к и х приборах можно применять и нестабильные во времени предвключенные преобразователи, если они обладают другими важными для данного прибора свойствами, например высокой чувствительностью или плоской частотной характеристикой. Исследовательская работа по созданию электроизмерительных устройств периодического сравнения была начата в Киевском политехническом институте 1952—1953 гг. В 1953 г. предложен первый одноканальный суммаразностный фазоиндикатор с периодическим инв е р т и р о в а н и е м фазы одного из суммируемых напряжений. Периодич е с к о е переключение фаз сравниваемых напряжений позволило создать {.одноканальные модуляционные фазоиндикаторы с погрешностью до .253

сотой доли градуса. Д л я измерения комплексных величин в начале 60-х годов был сформулирован метод периодического сравнения. Н а основе этого метода разработаны высокоточные преобразователи электрических величин с использованием разомкнутых структур, в которых преобладающая погрешность преобразования исключается путем суммирования или вычитания результатов промежуточных преобразований, соответствующих двум положением автоматического переключателя [62, 75]. Введение в измерительное устройство избыточности, обусловленное наличием в структуре переключателей, позвол я е т получить дополнительную информацию не только об измеряемой величине, но и о погрешностях, и тем самым исключить эти погрешности из результата измерения соответствующей обработкой. Периодичность ввода сравниваемых величин или периодическое изменение структуры измерительного устройства позволяет выполнять простейшие математические операции путем фильтрации составляющих частоты коммутации без использования специальных вычислительных устройств с элементами памяти. Дальнейшее развитие коммутационномодуляционных устройств нашло отражение в самонастраивающихся измерительных приборах, в которых корректирующее воздействие создается величиной, пропорциональной погрешности. Одноканальное выполнение устройства вычитания позволяет сформировать корректирующее воздействие на базе высокочувствительных, но нестабильных элементов. Н а этом принципе основаны фазометры, милливольтметры, логометры и другие приборы неширокий частотный и динамический диапазоны с самонастройкой их чувствительности в зависимости от формы и интенсивности входных переменных напряжений [52]. Метод периодического сравнения эффективен также для повышения точности измерения магнитных величин, а также при измерении ряда неэлектрических величин, для которых не созданы еще достаточно точные обратные преобразователи. 6.11. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ОБРАЗЦОВЫХ СИГНАЛОВ

Воспроизведение сигнала является очень важной операцией, широко используемой во многих информационных процессах: измерения, управления, распознавания образов, идентификации, контроле и др. Воспроизведением называют создание сигнала — физического процесса или кодового сигнала, обладающего заданными характеристиками. Воспроизводимый сигнал задается прежде всего по характеру своего изменения во времени, т. е. может служить детерминированным или случайным сигналом. Воспроизводимый сигнал обычно должен обладать заданными параметрами (например, амплитудой, частотой, фазой, дисперсией). Параметры вовпроизводимого физического процесса задаются часто заранее в виде значений числового кода, т. е. в виде чисел. Следовательно, воспроизведение можно в этом случае рассматривать как «преобразование» кода в физический процесе, т. е. в сигнал, информативные параметры которого задаются входным кодом. Д л я воспроизведения сигнала с заданным размером параметра используются самые различные физические процессы и математические методы. .254

Аналитическое представление воспроизведения сигнала с несколькими заданными параметрами можно показать на примере ступенчатого воспроизведения синусоидального сигнала с заданными амплитудой xn, частотой fN и фазой срл?. В этом случае выходной сигнал XN Sin ( 2 я f N t + флг) = NaqK sin ( 2 я N f q f t + Л ^ ) , (6.111) где yVa — числовое значение кода амплитуды воспроизводимого сигнала; Nf — числовое значение кода частоты воспроизводимого сигнала; Nф — числовое значение кода фазы воспроизводимого сигнала; qK, ( f f , q<p — ступени квантования соответственно амплитуды, частоты фазы. Воспроизведение сигнала в измерении является операцией, реализуемой в мере, т а к к а к мера согласно ГОСТ 16263—70 является средством воспроизведения величины заданного размера. Например, преобразователь код — напряжение воспроизводит электрический сигнал, у которого напряжение U n имеет размер, заданный значением входного кода N , т. е. UN — NqK, где qK — ступень квантования н а п р я ж е н и я . Следовательно, преобразователь код — напряжение является автоматически управляемой кодом мерой н а п р я ж е н и я . В зависимости от закона изменения значений кода N (t) во времени она может воспроизводить детерминированный или случайный сигнал. Т а к а я мера обычно используется в обратной цепи автоматических цифровых приборов уравновешивания. Примерами измерительных устройств, в которых реализованы операции воспроизведения, являются преобразователи код — напряжение, генераторы частоты, импульсов, случайных сигналов и др. В настоящее время преобразователи код — напряжение, код — сопротивление, управляемые кодом делители н а п р я ж е н и я выпускаемых массовыми сериями в виде микросхем, широко используются в самых различных автоматических системах. Разрабатывается и выпускается много различных программно-управляемых преобразователей кода не только в напряжение, но и во многие другие величины емкости, индуктивности, фазы и т. д . , которые особенно необходимы для автоматизации поверки, градуировки СИ, для динамических испытаний и автоматизации эксперимента. Эталон к а к средство измерения предназначается обычно для воспроизведения сигнала с параметром заданного неизменного во времени размера, так к а к в этом случае естественно достижима наиболее высок а я точность. Д л я повышения точности воспроизведения величины за; данного размера в эталонах используются физические процессы, наиболее стабильные во времени и наименее подверженные внешним воздействиям. К таким процессам относятся прежде всего процессы микромира, например для воспроизведения единицы длины используется » высокая стабильность длины световой волны, единицы времени — стаs бильность колебаний атомов цезия. Воспроизведение сигнала в процессе управления. Воспроизведение физического процесса со строго заданным размером одного или многих .255

параметров является необходимой операцией при цифровом управлении. Цифровое управление осуществляется заданными заранее цифрами в виде кода. Однако кодом непосредственно на управляемый физический процесс или объект воздействовать нельзя. Д л я этого необходим другой физический процесс, т. е. управляющий сигнал, а при управлении с высокой точностью этот управляющий сигнал должен иметь строго заданные по размеру параметры. Следовательно, при цифровом управлении также необходима операция воспроизведения сигнала, обладающего параметрами заданного размера. Причем во многих случаях точность управления зависит прежде всего от точности воспроизведения размера параметра управляющего сигнала, требования к которой все в большей степени повышаются. Точность воспроизведения оценивается метрологическими характеристиками. Устройства воспроизведения сигналов в виде преобразователей код — аналог используются в прецезионных станках и установках электронно-лучевой технологии для программного управления положением соответственно инструмента и электронного луча и др. В настоящее время все чаще в процессе цифрового автоматического управления производственными процессами для воспроизведения сигнала применяют средства и методы наиболее высокой точности, которые используются при создании мер наивысшей точности — Государственных эталонов. Например, в станках с программным управлением применяют лазерные измерительные устройства, в которых используется высокая стабильность длины световой волны, т. е. принцип, на котором основан Государственный эталон метра. В генераторах частоты наиболее высокой точности используется высокая стабильность колебаний атомов определенных веществ, т. е. принцип, на котором основан Государственный эталон секунды. Основные разновидности воспроизведения сигнала. При воспроизведении сигнала данной физической природы используются соответствующие физические процессы и явления. Можно выделить четыре основные разновидности воспроизведения сигнала: а) воспроизведение сигнала с заданным неизменным размером информативного параметра — реализуется в эталонах; б) воспроизведение детерминированных сигналов с известными заданными параметрами (реализуется в генераторах функций, генераторах импульсов и т. д.). Воспроизведение сложного детерминированного сигнала как функции времени производится обычно суммированием элементарных сигналов на основе известных методов разложения сложных сигналов в ортонормированные ряды, например, путем суммирования функций Котельникова, синусоидальных функций с кратными частотами и др.; в) декодирование, или воспроизведение, сигнала, заданного последовательностью кодовых символов, выдаваемых через определенные интервалы времени. В этом случае обычно воспроизведение сигнала производится в два этапа: «физически» воспроизводятся мгновенные значения сигнала в определенные моменту времени, т. е. воспроизводится физический дискретизированный сигнал; .256

дискретизированный сигнал физически обычно с помощью фильтров ^преобразуется в непрерывный, примерами данного вида воспроизвед е н и я сигнала могут быть демодуляция кодо-импульсного сигнала, а также создание выходного сигнала цифрового фильтра; г) воспроизведение случайного сигнала, например, G заданными законом распределения и автокорреляционной функцией. Погрешности восстановления сигнала, возникающие в результате квантования и дискретизации сигнала, рассмотрены в п. 7.2. 6.12. МАСШТАБНО-ВРЕМЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

СИГНАЛОВ

Масштабно-временное преобразования сигнала (МВП) — это преобразование входного сигнала в выходной, отличающийся от входного измененной по определенному закону координатой времени. При МВП такое изменение может быть осуществлено в виде растяжения сигнала (увеличение длительности), сжатия (уменьшение длительности), обращения по ходу времени и периодизации однократного сигнала. Если выходной сигнал после МВП отличается от входного лишь длительностью (временным масштабом), амплитудой и постоянным временным сдвигом начальной точки, но форма их одинакова, то такой МВП называется линейным. Очевидно, при линейном МВП временные расстояния между любыми выбранными отсчетами входного сигнала изменяются в одинаковое число раз. Д л я исследования «медленных» (инфранизкочастотных) сигналов разработаны устройства, «ускоряющие» сигнал, т. е. устройства линейного МВП с временным сжатием сигнала, а для «быстрых» сигналов (например, импульсов нано- и пикосекундной длительности) — устройства, «замедляющие» сигнал, т. е. устройства линейного МВП с временным растяжением сигнала. Основным назначением линейного МВП является согласование частотного спектра исследуемого сигнала с частотным диапазоном измерительной аппаратуры (табл. 11). Классифицируем масштабно-временные преобразователи (риа. 6.41) по следующим признакам: Таблица

11. Основные характеристики трех разновидностей масштабно-временнбго преобразования

МВП о растяжением

Стробоскопическое преобразование (стробирование 30 времени) ЗЭЛТ осциллограммы— развертывающее считывание Запись на магнитной лен-

та

818

Длительность в х о д ного сигнала

Коэффициент МВП

(0,1 НС... 100 МКС)

10е

(1...3) НС — 1 с

10е

1 МКС

10«

Амплитудная погрешность

±5 %

Входной сигнал

Повторяющийся

2. „ 1 0 % Однократный 2---3 % Любой формы

257

по характеру входного сигнала на МВП однократных сигналов и МВП повторяющихся, периодических сигналов; однократных периодических в зависимости от использования сигналоЬ сигналов операции запоминания, на МВП с памятью и МВП без памяти. Дейст| о памятью^ без памяти вительно, в основе МВП однократных сигналов лежит либо принцип различных скоростей «записи» сигРастяжениеСжатие ОбращениеСдВиг во нала в память и «считывания» его, Времени времени Времени времени либо принцип непосредственной задержки времени. В МВП повторяюРис. 6,41, Классификация масштабно-временных преобразований. щихся сигналов запоминание сигнала не является обязательным: оно заменяется повторением самого сигнала. В зависимости от специфики преобразования временной координаты МВП подразделяется на МВП е растяжением, вжатием, сдвигом и обращением координаты времени. Уравнение преобразования МВП имеет следующий вид: Масштабно-Временное преобразование

/вых (*вых) =

/вых [ K r t

t0),

(6.112)

где К т = 4ых/1 — коэффициент масштабно-временного преобразования при t0 = 0; /0 — интервал временного сдвига. На основе теорем масштаба и сдвига преобразования Фурье соотношение между преобразованиями Фурье выходного и входного сигнала МВП равно F f (*вых) =

/вых (Кт(

- / f - F

( j a / K r ) e

(6-«13)

—oo ^ При Кт < 1 происходит временное сжатие сигнала. При этом, как это следует из (6.1|3), спектр сигнала расширяется в l / К г раз. При Кт > 1 происходит временное растяжение сигнала.При этом спектр сигнала сжимается. При Кт = 1 и t0 Ф 0 происходит сдвиг сигнала. Независимо от значения Кт и t0 форма сигнала на выходе МВП, как это следует из (6.123), остается без изменения. Очевидно, количество информации в процессе МВП при отсутствии искажений не изменяется, однако поток информации за единицу времени при Кт > 1 уменьшается, а при Кт < 1 возрастает. Рассмотрим МВП с памятью. При этом сигнал х (t) — Xm sin (соt + + ф) вносится в память со скоростью записи V3. При считывании сигнала со скоростью Усч получаем сигнал с преобразованной координатой времени: * ( 0 = Kmxm

sin (ю (V C 4/V 8 ) t + ф).

Таким образом, коэффициент масштабного преобразования Кт -

времени

V3/VC4.

Выбирая скорость и направление записи и считывания, можно менять величину, Кт и при этом обеспечивать требуемый характер .258

Рис. 6.42. Масштабно-временное преобразование сигнала с помощью запоми-> нающей электронно-лучевой трубки (ЗЭЛТ): а — входной сигнал; б — потенциальный рельеф на экране ЗЭЛТ; в — последовательность импульсов, считанных электронным лучом с экрана ЗЭЛТ; е — выходной сигнал МВП.

МВП. Так, если VC4 < V3 и F 3 K C4 > 0, т. е. направления развертки при записи и считывании совпадают, то / С г > 1 , что соответствует временному растяжению МВП с увеличением длительности сигнала и сужением ширины спектра в Кт раз. При VC4 > V3 и V3VC4 > О, Кг < 1 происходит временное сжатие сигнала. Рассмотрим примеры устройства МВП. При использовании запоминающей электронно-лучевой трубки (ЗЭЛТ) входной сигнал UBX (t) (рис. 6.42, а) запоминается на мишени ЗЭЛТ в виде потенциального рельефа Y (I) (рис. 6.42, б), где Y — ордината рельефа; I — абсциссы рельефа. Этот записанный рельеф сканируется считывающим лучем во время N циклов разверток. На выходе устройства получают импульсы напряжения, амплитуды которых пропорциональны считываемым ординатам рельефа (рис. 6.42, в), а следовательно, и ординатам входного сигнала Uвх (t). Пропуская Unmi (т) через фильтр низких частот, получают выходной сигнал £/ВЬ1Х (Кт?) (рис. 6.42, г). Устройства МВП на З Э Л Т используются главным образом для временного растяжения сигналов. Благодаря развертке считывание сигнала производится в виде дискретных отсчетов, причем интервал дискретизации Ат = TP.C4/N, где Тр.„ч — длительность развертки при считывании; N — количество отсчетов. При длительности развертки записи Тр_3 = 50... 100 не и N = 100 можно подвергнуть МВП с целью растяжки времени сигналы с частотой до 1 ГГц. При этом создается возможность последующего измерения ординат сигнала цифровым прибором с ограниченным быстродействием. Из всех устройств МВП, предназначенных для временного расширения коротких повторяющихся сигналов, наибольшее применение 9*

259

01 Т///Ч / 1 1 ®1 1

. К* УЧ. А \ / V у

и*

\ /

X w *

/ \ \

1 .! 1 \

!' fГ !

стр

4At

! 1 1 1 I . 1 ш

j 1 1 1

V *

Рис. 6.43. Стробоскопическое преобразование повторяющихся сигналов: а — входной сигнал; б — последовательность стробирующих импульсов; в — расширение импульсов, амплитуда которых равна соответствующей ординате входного сигнала в момент стробирования; г — выходной сигнал М В П после фильтра низких частот; д — схематическое устройство стробирующего преобразователя.

и наилучшие параметры имеют стробоскопические преобразователи повторяющихся сигналов [24]. Принцип их действия основан на дискретизации повторяющихся сигналов (рис. 6.43, а) с помощью стробирующих импульсов. Н а каждый период сигнала приходится один такой импульс, который растягивается (рис. 6.43, б). Импульсы автоматически сдвигаются во времени относительно сигнала при каждом повторении последнего, считывая таким образом все дискретные значения сигнала. Сигнал обрабатывается непрерывно и после пропускания через фильтр нижних частот получают сигнал, растянутый во времени (рис. 6.43, г). Считывание дискретных значений производится при помощи ключа, управляемого стробирующими импульсами (рис. 6.43, д). Если входной сигнал периодический, то в результате преобразова2£0

ния частота выходного сигнала станет в Кт раз меньше, в Кт раз, уменьшится ширина его спектра и увеличится длительность. Коэффициент МВП Кт ~

A t / A f =S /оигн/(/сигн — /строб),

(6.114)

где А т , А* — интервалы дискретизации (шаги считывания) соответственно выходного и входного сигналов; /строб — частота повторения стробирующих импульсов, причем / с т р о б < / С И г Н ; /виги — частота входного сигнала. 6.13. ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

Фильтрацией называется выделение из выходного сигнала его части, частотный спектр которой лежит в определенной области (в полосе пропускания). Фильтрацию можно классифицировать по роду преобразований на а н а л о г о в у ю и ц и ф р о в у ю , а по расположению полос пропускания — на: ф и л ь т р а ц и ю н и ж н и х ч а с т о т , полоса пропускания которых ограничена сверху (рис. 6.44, а); ф и л ь т р а ц и ю верхних ч а с т о т , полоса пропускания которых ограничена снизу (рис. 6.44, б); полосовую ф и л ь т р а ц и ю , при которой полоса пропускания ограничена и сверху и снизу (рис. 6.44, в); з а г р а ж д а ю щ у ю фильтрацию, при которой между двумя полосами пропускания, ограниченными снизу и сверху, имеется узкая полоса непропускания (рис. 6.44, г). Д л я фильтрации можно ивпользовать различные функциональные преобразователи и физические явления. Устройства, у которых реализуется фильтрация сигналов, называются фильтрами. Фильтры очень широко применяются в различных областях информационной техники, в том числе в информационноизмерительной технике — для исключения помех из смеси исследуемого сигнала и помехи, определения частотного состава сигнала (в анаПолоса пропускания лизаторах спектра), выделения ос<РНЧ новной гармоники искаженного сигнала (в измерителях нелинейных а f искажений) и т. д. В соответствии Кр / Полоса •„. ' / пропускания со спецификой фильтрации в отно1 9вЧ шении расположения частотной полосы пропускания различают фильтf ä , ры н и ж н и х ч а с т о т ( Ф Н Ч ) , Кф /Полоса 1пропускания верхних частот (ФВЧ), 1.ПР полосовые (ПФ), з а г р а ж д а ю щ и е (ЗФ). я f Кр Рис. 6.44. Основные виды фильтрации сигналов по расположению полос пропускания: нижних частот; б — верхних частот; в полосовая; г заграждающая.

\Потанепро-[ шсктя 1

г /

.261

ФВЧ

п<р

Кф

Рис. 6.45. Простейшие примеры реализации фильтров: нижних частот; 6 >— верхних частот; в — полосовой фильтр; г • заграждающий.

h г полосовой

Основной характеристикой фильтра является его частотная характеристика, имеющая следующие параметры: коэффициент преобразования Кф — Хвых/Хвх, коэффициент затухания Ь = Явх/*вых> логарифмический коэффициент затухания ЬЛОТ = 20 lg Хвх/*вых; крутизна характеристики S =

dK^/df;

частотная полоса пропускания, или полоса прозрачности; частотная полоса непропускания, или полоса непрозрачности. Реальные фильтры от идеальных отличаются, прежде всего, тем, что крутизна их характеристик конечна; фильтры сравнивают между собой по крутизне характеристик. Д л я неидеальных полосовых пропускающих фильтров ширина полосы пропускания определяется по частоте, при которой /Сф уменьшаетс я в У 2 раз по сравнению с максимальным значением при центральной резонансной частоте. Простейшей реализацией Ф Н Ч является делитель на последовательно соединенных резисторе R и конденсаторе С; его коэффициент преобразования (рис. 6.45, а) Кфич = 1/У 1 + о>аД2С2. Простейшей реализацией Ф В Ч является делитель на последовательно соединенных конденсаторе С и резисторе R ; его коэффициент преобразования (рис. 6.45, б) */(ФВЧ = .262

aRC/V

+ Со2Я2Са.

Элементарный ПФ можно Получить последовательным соединением ЛС-звеньев, фильтрующих нижние и верхние частоты (рис. 6.45, в); в этом случае коэффициент пропускания ПФ = ojRC/(1 + (о2 Я 2 С 2 ). Характеристика такого ПФ представлена на рис. 6.45, в. Его центральная частота ^ = \/2nRC. Кпф = КфнчКфнч

Простейшим ПФ является также колебательный LC-контур. Д л я создания полосового заграждающего фильтра полосовойпропускающий фильтр включают в цепь обратной связи усилителя (рис. 6.45, г). Недостатком однозвенных фильтров является малая крутизна характеристики преобразования; для ее увеличения такие звенья соединяют последовательно, параллельно или применяют более сложные схемы. Пассивные /?С-звенья характеризуются большим затуханием в полосе пропускания, требуют большого числа звеньев для обеспечения достаточно высокой избирательности и неприменимы в области низких и инфранизких частот вследствие большого габарита и веса, низкой избирательности. Активные /?С-фильтры благодаря объединению пассивных /?С-цепей с операционными усилителями (или другими активными элементами) обладают высокой избирательностью при малых массе и габаритах. В области высоких частот используются LC-фильтры. Наиболее эффективными ПФ являются пьезоэлектрические, в которых используется явление механического резонанса кварцевой пластины и пьезоэффект, т. е. возникновение электрических потенциалов в деформированных областях кварцевой пластины. Кварцевые фильтры имеют крутизну характеристики до 5 = 0,02 дБ/Гц и относительную полосу пропускания до А/У/ = 5 • Ю - 4 . Понятие о цифровой фильтрации сигналов Наряду с аналоговыми фильтрами применяют и цифровые. Цифровым фильтром называется устройство цифровой обработки числовых значений дискретизированного входного сигнала N' (KT) с целью получения числовых значений дискретизированного выходного сигнала фильтра, обладающего заданной частотной характеристикой (рис.6.46). В цифровом фильтре, основанном на алгоритме интеграла свертки, реализуется цифровое перемножение числовых значений дискретизи- рованного входного сигнала N' (kT) на весовые коэффициенты h (iT) — 'равные соответствующим значениям заданной импульсной характеристики фильтра. Перемножением соответствующих весовых коэффициентов на текущее и все k — 1 предшествующие числовые значения сигнала N' (kT) и суммированием получают числовые значения дискретизированного выходного сигнала в данный момент времени. Числовые значения дискретизированного выходного сигнала N" (kT) подаются на вход преобразователя код — аналог, на выходе которого полу.263

Рис. в.46. Структурная схема цифрового фильтра.

чают мгновенные значения дискретизированного выходного сигнала в соответствующие моменты времени. После получения дискретизированного выходного сигнала его пропускают через аналоговый фильтр нижних частот и получают окончательно непрерывный искомый выходной сигнал х2 (t). Дискретное преобразование сигнала, реализуемое в таком фильтре, выражается следующим образом: <=*

N" (kT)

qk -

h (iT)

N' (kT -

iT) qk,

(6.115)

i=о где n — число дискретных значений входного сигнала за цикл преобразования; k — изменяется от 1 до п. Текущее значение N" (kT) qk зависит от значений заданной импульсной характеристики фильтра h (iT), текущего значения входной величины N' (kT)qk и k — 1 предыдущих значений входной величины. 6.14. ЗАПОМИНАНИЕ И РЕГИСТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

Запоминанием называется операция, связанная о передачей информации по временному каналу связи из настоящего в будущее. Поскольку течение времени неповторимо, то перенесенная в будущее информация не может быть воспроизведена в «своем» уже прошедшем интервале времени. Запоминание возможно благодаря наличию памяти [40]. Памятью в широком смысле слова называют совокупность процессов и механизмов, обладающих способностью сохранять информацию во времени. Запоминание можно определить также как операцию передачи информативного параметра данного сигнала от одного объекта к другому для хранения с возможностью последующей выдачи, т. е. считывания из памяти, например, запоминание длины путем нанесения меток на другой детали, запоминание напряжения путем заряда конденсатора в другой цепи до напряжения такого же размера. Создание запоминающих устройств предоставило небывалые возможности для автоматизации в широких масштабах самых различных .264

Рис. 6.47.

Классификация операций запоминания сигналов.

информативных процессов. Операция запоминания в процессе измерения создает возможность автоматизированной обработки и коррекции результатов измерения. Запоминание осуществляется с помощью запоминающих устройств (ЗУ), под которыми понимаются технические устройства, предназначенные для реализации памяти в машинах, приборах и д р у г и х инженерных системах. З У содержит запоминающие элементы — такие элементы, каждый из которых может находиться в нескольких (по крайней мере двух) устойчивых состояниях. Часть З У , предназначенная для хранения информации, называется накопителем. Методом запоминания будем называть совокупность приемов использования физических процессов для осуществления записи, хранения и считывания информации. Рассмотрим три метода запоминания. В первом методе используют изменение состояний запоминающих элементов под влиянием запоминаемого сигнала (например, з а р я д конденсатора, намагничивание ферромагнитного сердечника, переключение триггеров). Различают запоминающие элементы аналогового и дискретного тицов. В качестве дискретных могут применяться любые многостабильныё элементы, способные изменять свое состояние под влиянием внешних воздействий, длительно сохранять и допускать распознавание этого состояния при наличии внешнего запроса. Второй метод заключается в использовании устойчивого изменения Каналов связи между объектами (например, наличие или отсутствие гальванической связи, изменение коэффициентов передачи). В третьем методе используется ц и р к у л я ц и я кода по некоторому »»мкнутому контуру, например в линиях задержки. Практически во всех современных информационно-измерительных Системах используется первый метод запоминания. Считыванием из памяти называется операция выдачи сигнала с инр?рмативным параметром, идентичным таковому у входного сигнала, Щеренного в память. Операции запоминания сигналов можно классифицировать по следующим классификационным признакам: виду запоминаемого сигнаналичию предварительного преобразования перед запоминанием и в о длительности запоминания (рис. 6.47), .265

По виду запоминаемых сигналов их можно разделить на запоминание аналоговых, или непрерывных, и кодовых, или дискретных, сигналов. При запоминании аналогового сигнала должна быть сохранена минимум одномерная информация о размере по крайней мере одного из его параметров. При запоминании каждого отдельного символа кодового сигнала должна быть сохранена менее сложная информация только о наличии или отсутствии данного символа. Устройства для запоминания аналоговых сигналов называются аналоговыми запоминающими устройствами (АЗУ), а кодовых — дискретными запоминающими устройствами (ДЗУ). В А З У неизбежно возникновение погрешности запоминания, которая теоретически отсутствует в Д З У . По н а л и ч и ю п р е д в а р и т е л ь н о г о преобразов а н и я перед запоминанием операции запоминания удобно подразделить на запоминание с предварительным преобразованием и без него. «Запомнить», т. е. сохранить во времени неизменными, можно далеко не все величины. По возможности запоминания физические величины можно подразделить на величины, удобные и не удобные для запоминания. К первым можно отнести прежде всего длину, угол, электрическое напряжение, намагниченность. П о д л и т е л ь н о с т и запоминание делят на кратковременное и долговременное. Один из видов долговременного запоминания называется также регистрацией. Регистрация осуществляется с помощью регистрирующих, например самопишущих, приборов. Современные регистрирующие приборы выполняются для регистрации непрерывных (аналоговая регистрация) и кодовых (дискретная регистрация) сигналов. Аналоговая регистрация в форме графика или осциллограммы дает наглядное представление о законе изменения информативного параметра и наиболее удобна для быстрого сравнения нескольких измеряемых величин, а также определения тенденции процесса. Основным ее недостатком является сложность последующей обработки. Поэтому некоторые современные аналоговые регистрирующие приборы снабжаются аналого-цифровыми преобразователями. Все регистрирующие приборы можно разделить на пять групп: 1) самопишущие приборы; 2) самопишущие приборы со следящим уравновешиванием; 3) быстродействующие самопишущие приборы; 4) светолучевые осциллографы; 5) измерительные магнитографы. Самопишущие приборы наиболее распространены. В них используется электромеханический преобразователь, подвижная система которого перемещает пишущий орган. Регистрация производится на бумаге в криволинейной (реже — в прямоугольной) системе координат. Большинство таких приборов имеет класс точности 1,5 и применяется главным образом в электроэнергетике. Самопишущие приборы со следящим уравновешиванием получили широкое распространение в промышленности. Их класс точности находится в пределах (J.25... 1,0, скорость протяжки варьируется в пред е л а х 20...54 ООО мм/ч, чувствительность достигает 1 мкВ/мм. .266

Быстродействующие самопишущие приборы находят широкое применение в медицине, верхняя граничная частота их достигает 150 Гц, число независимых каналов — десяти и более. Светолучевые осциллографы (рис. 6.48) применяются для регистрации формы кривой электрического сигнала в диапазоне частот от нуля до нескольких тысяч герц. Усовершенствованные светолучевые осциллографы Н125 ленинградского завода «Вибратор* . имеют до 36 каналов, частотный диапазон до 15 кГц, максимальную скорость протяжки 10 м/с, максимальную ширину ленты 300 мм. В измерительных магнитографах сигнал регистрируется на магнитной ленте, поэтому информация не может быть воспринята визуально. И х преимуществами являются: возможность многократного использования носителя информации, удобство и простота считывания сигнала. Магнитографы имеют до 16 каналов, верхнюю граничную частоту 20 кГц, запас ленты в кассете 750 м. Устройства с длительным запоминанием необходимы: для визуализации временной зависимости на протяжении заданного временного интервала; для автоматизации статистической и функциональной обработки результатов наблюдения; для автоматизации обработки результатов измерения аргументов при косвенных, совокупных и совместных измерениях; для хранения программ управления различными звеньями автоматических измерительных приборов и измерительных систем; для масштабно-временного преобразования сигнала. Основными характеристиками запоминающих устройств являются время и скорость записи и считывания из памяти, емкость и объемная плотность памяти, погрешности записи, хранения и считывания. Под временем записи и считывания понимают промежуток времени, затрачиваемый на записывание и считывание с заданной погрешностью. Практически ЗУ чаще характеризуют более укрупненным параметром — временем обращения, равным сумме времени записи, и времени считывания. Д л я характеристики З У с точки зрения быстродействия вводится понятие скорости записи в память или считывания из памяти, которым называют запоминаемую или считываемую информацию в единицу времени: v3 = /3/r3; v = /c/r0, где / 3 и / 0 — соответственно записанная и считываемая информация"; Та и Т0 — время соответственно записи и считывания. Емкостью памяти М называют информацию (в битах), которую может зафиксировать данное З У . Если иц<}х>рмацня представлена .267

Й •ifi

Ыtri :tа.

в двоичном коде, то емкость памяти битах М — Nn,

где N — количество слов, которые могут быть размещены в З У ; п — количество двоичных разрядов в слове. В последние годы емкость З У определяют в укрупненных единицах инJ формации — байтах и килобайтах (К), один байт принят равным восьми би><7-« Ws W* liß ~W' Ичо 3 там (двоичным единицам информации). Вычислительные и информационные возможности вычислительных и Рис. 6.49. Характеристики запоминающих устройств различных типов: измерительных систем в значительной 1 — полупроводниковые интегральные схемы; 2 — тонкие магнитные пленки; мере определяются объемами памяти. 3 — ферритовые сердечники; 4 — магОбъем памяти у карманных калькулянитные барабаны; 5 — магнитные ленты; 6 — магнитные диски. торов составляет 10 3 ...10 3 бит, у цифровых приборов с простейшей обработкой результатов измерений — 10® бит, у измерительных систем — 10 4 ...10 5 .

С точки зрения габаритных размеров запоминающих устройств важной характеристикой является объемная плотность хранимой информации — отношение объема памяти к геометрическому объему, занимаемому устройством. Объемная плотность элементов памяти ЭВМ, выполненных на интегральных схемах, составляет 103 бит/см 3 , поверхностная плотность элементов памяти на приборах с зарядовой связью — 104 бит/мм 2 , объемная плотность книги — 1,5 • 104 бит/см 3 , а голограммы — до 1012 бит/см 3 . На рис. 6.49 приведены размеры емкости памяти в функции времени обращения для З У , построенных на различных физических принципах. В настоящее время память на ферритовых сердечниках, как менее технологичная, постепенно заменяется полупроводниковой в интегральном исполнении. Наиболее перспективными в настоящее время считают полупроводниковые микросхемы памяти, которые обеспечивают высокое быстродействие, низкую потребляемую мощность; высокую помехоустойчивость и большую емкость (64 К и более в одном корпусе). Разновидностью микросхем памяти являются постоянные ЗУ (ПЗУ), которые можно разделить на масочные П З У и П З У с однократной и многократной записями. В масочные П З У записывают информацию при изготовлении микросхемы. В П З У с однократной записью во все запоминающие элементы (ЗЭ) записывается 1. Пользователь с помощью специального устройства (программатора) записывает нужную ему информацию путем разрешения (пережигания) ЗЭ, в которые нужно записать 0. Восстановление 1 н повторная запись 0 в таких устройствах невозможна. В П З У с многократной записью перевод микросхем памяти в исходное состояние осу.268

Рис. 6.50. Схема устройства записи и считывания сигнала на конденсаторе.

V К!

Ч—1 R 4 '

KZ d Память

>р п

ществляется либо ультрафиолетовым облучением через специальное окно в микросхеме либо путем подачи стирающего сигнала заданной амплитуды и длительности. При запоминании, хранении и считывании сигнала в аналоговых З У возникают погрешности. Различают погрешности запоминания (А3), хранения (A xp ) и считывания (А0) сигнала. Погрешность запоминания возникает из-за погрешности преобразования цепи записи. Выражение для абсолютной погрешности запоминания А3 = х3 — х, где х — истинное значение запоминаемой величины; х3 — ее значение, внесенное в память. Погрешность хранения А хр характеризуется изменением величины, внесенной в память за время хранения: Ахр

= =

Х3

Х3к,

где х3 и — значения измеряемой величины соответственно в начале и конце срока хранения. В аналоговых конденсаторных З У эта погрешность связана с саморазрядом конденсатора; ее можно уменьшить, если сократить интервал времени хранения. Погрешность считывания обусловлена нестабильностью преобразователя считывания: А0 = ХСч — %зк> где хсч — значение сигнала после считывания. В качестве примера рассмотрим особенности операции запоминания электрического напряжения на емкости. Простейшая схема устройства записи и считывания на конденсаторе изображена на рис. 6.50. В цепь записи входят источник с э. д. с. Е, сопротивление R и емкость С. Включение цепи запоминания осуществляется ключом К1. Цепь считывания содержит емкость С, ключ К2 и преобразователь П с высоким входным сопротивлением. В процессе записи ключ К.1 замкнут, а К2 разомкнут, при считывании — наоборот. Относительная погрешность запоминания

т. е. при заданном времени запоминания (t = ta) она может быть снижена только за счет уменьшения постоянной времени Т3 = CRRB/(R

+ Яп).

Погрешность хранения можно определить по следующей формуле:

.269

где t% — время хранения информации; Тх — постоянная времени цепи саморазряда конденсатора. При разработке З У на конденсаторах нужно выбирать последние с минимальными потерями и высоким сопротивлением изоляции, т. е. с большой В элементах памяти с зарядовой связью и полевых транзисторах со структурой металл — нитрид — окись — полупроводник (МНОП) длительность хранения колеблется от нескольких часов до многих лет. При считывании ключ К1 размыкается, а К2 замыкается. Если в момент времени t — О напряжение на конденсаторе U0 (t) = = Е, то погрешность считывания, обусловленная подключением к накопительному конденсатору преобразователя Я , бс = ( £ — Ее~'с/Тс)/Е

= 1 —е-^с.

(6.11б>

Из последней формулы видно, что при данном значении параметра Тс = CRyRJ(Ry

-f

Rn),

погрешность б0 снижается с уменьшением времени считывания

tc.

Глава

КВАНТОВАНИЕ, ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КОДИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ

Развитие цифровых систем управления и передача кодированных сигналов, автоматизация измерения цифровыми измерительными устройствами с кодовым дискретным во времени выходом способствовали быстрому развитию теоретических и практических аспектов квантования, дискретизации и кодирования. Поэтому теоретические аспекты квантования, дискретизации и кодирования вошли в качестве составных частей в теории управления, связи и измерений. При измерении квантование и дискретизация являются измерительными преобразованиями. В настоящей главе квантование и дискретизация рассмотрены с метрологической точки зрения. 7.1. КВАНТОВАНИЕ

Квантование является измерительным преобразованием непрерывно изменяющейся величины в ступенчато изменяющуюся с заданными размерами ступеней. Ступенью квантования называется разность между двумя соседними заданными значениями квантованной величины qK. Аналитическое представление квантованного сигнала. Равномерное и неравномерное квантование Квантованный сигнал в функции времени может быть выражен с помощью единичной ступенчатой функции, которая равна единице при положительном аргументе и нулю — при отрицательном: Хк.в (t) = N( (tNi) q j ( t — tNi).

(7.1)

Квантование может выполняться с равномерными (рис. 7.1, а, б) и неравномерными (рис. 7.1, в, г) ступенями квантования. Ступень квантования выражается в единицах данной величины и в относительных единицах. Равномерное квантование применяется при измерении; как правило, при этом количество уровней или ступеней квантования велико. Квантование является одной из наиболее ответственных операций процесса измерения. Квантование образцовой величины осуществляется многоканальной или регулируемой мерой; при этом на выходе меры .271

а, б — с равномерными ступенями; в, г — с неравномерными ступенями; известной величины на выходе регулируемой меры.

д ^

квантование

получают величины заданного размера со значениями, выраженными в единицах данной физической величины (рис.7.1, д). Квантование в единицах относительных величин может быть выполнено в многоканальном или регулируемом масштабном преобразователе (относительное квантование). Квантование широко применяется в процессе управления при необходимости воздействия на технологический процесс сигналом с параметром точно заданного размера. Неравномерное квантование применяется обычно при небольшом числе ступеней квантования, например в статистических анализаторах. При этом иногда целесообразно неравномерное оптимальное квантование, которое будет рассмотрено в дальнейшем более подробно. Квантованные величины разделяются на естественно- и искусственно-квантованные. Естественно-квантованная величина является совокупностью одинаковых частиц или элементов, размер параметра которых постоянен и равен размеру ступени квантования, например электрический заряд, определяемый целым числом электронов с известным зарядом каждого из них. Естественно-квантованная величина, разделенная на отдельные частицы (кванты), удобна для измерения простейшим путем счета частиц. Электрический заряд, состоящий из электронов с одинаковым известным зарядом, можно измерить счетом электронов,- при этом необходимо поток электронов, образующих данный заряд, точно преобразовать в последовательность импульсов, поддающуюся безошибочному счету. Естественно-квантованной величиной является также масса, состоящая из масс отдельных молекул данного вещества. Естественную квантованность материи стремятся использовать для более точного воспро.272

изведения малых масс. С этой целью в метрологических институтах проводятся работы по более точному определению числа Авогадро. Временная координата периодического сигнала, например синусоидального, естественно квантована постоянным периодом Т0. Такие сигналы получают на выходе мер времени, например молекулярных и кварцевых генераторов частоты. Число периодов в таком сигнале определяется путем счета импульсов. Пространственная координата светового когерентного луча также естественно квантована постоянной длиной волны X. Эта квантованность световых лучей выявляется с помощью явления интерференции (изменение интенсивности света при совпадении в одной точке двух когерентных лучей в зависимости от размера сдвига фаз, т. е. разности хода между ними). Малая длина волны светового луча и высокое е е постоянство позволяют квантовать ход луча, т. е. перемещение с очень, высокой точностью. Например, погрешность интерференционного Государственного эталона метра равна Ю - 8 м, а относительная погрешность промышленных лазерных интерферометров составляет 5 • Ю - 8 при измеряемых перемещениях порядка 1 м. Ведутся исследования по дальнейшему снижению погрешности эталона метра путем применения для его воспроизведения излучений с более стабильной и более короткой длиной волны. Д л я искусственного квантования, нанесения и обнаружения границ ступеней и точного дозирования, наиболее удобны: длина детали, угловой размер детали, интервал времени, масса и электрическое напряжение. Угол а и перемещение I очень удобны для неавтоматического заблаговременного квантования, например в процессе изготовления линейки с миллиметровыми делениями. После завершения процесса квантования линейного или углового размера детали, т. е. после нанесения видимых глазом равноотстоящих отметок, эта деталь становится искусственно созданной мерой длины или угла. В автоматических измерительных приборах угол поворота квантуется элементами с автоматически различимыми состояниями или свойствами вещества, например проводящий и непроводящий, прозрачный и непрозрачный элементы. Известны конструкции фотоэлектрических кодирующих преобразователей «угол — код» на 20 двоичных разрядов, в которых ступень квантования равна примерно одной миллионной доле одного полного оборота. Оптическими и рентгеновскими интерференционными устройствами длина автоматически квантуется ступенями Ю - 8 до 10—11 м. Интервал времени может автоматически квантоваться с минимальной ступенью квантования Ю-"12 с. Понятие о погрешности квантования Погрешность квантования Д к является методической погрешностью метода отражения непрерывной по размеру величины ограниченным по числу разрядов числом, т. е. методической погрешностью самого измерения (п. 1.4). Погрешность от квантования равна разности 274

между результатом измерения без предварительного преобразования xn И истинным значением величины X, если погрешности меры и компаратора равны нулю: Дк = XN — X . (7.2) Погрешность от квантования Ак по характеру изменения может быть систематической постоянной по значению (при X = const) и случайной (при X = var по случайному закону). Характер изменения погрешности Дк предопределяет и способы ее уменьшения. Если измеряемая величина постоянна по размеру, то погрешность Дк также является постоянной величиной и может быть определена с помощью более высокочувствительного прибора, например дифференциальным методом (п.2.4) или наложением случайного сигнала с последующей статистической обработкой ряда наблюдений (п.7.1). Если измеряемая величина изменяется во времени X (t), то характер изменения погрешности от квантования зависит от характера изменения сигнала X (t) и от режима работы измерительного устройства (п.7.1). Статистические характеристики погрешности квантования случайной величины Рассмотрим статистические характеристики [80] погрешности от квантования случайного сигнала с законом распределения р (х) (рис. 7.2). Предположим, что значение х, соответствующее середине данной ступени qKl, равно результату измерения xn = xt. При этом погрешность от квантования равна ДЛ = х { — X. Математическое ожидание погрешности от квантования при отсутствии корреляции между измеряемой величиной и погрешностью от квантования Дк ; М (ДК1) = J (xi — X)p (х) dx.

(7.3)

't х.

Дисперсия

D (Дк,) = J (xt — Xf р (х) dx,

(7.4)

где xt — нижняя граница данной ступени квантования; х> — верхняя граница данной ступени квантования; xt — значение X соответствующее середине ступени квантования. При большом числе ступеней квантования можно предположить, что значение плотности вероятности случайного сигнала внутри данной ступени квантования постоянно и равно р (xt) — своему значению при х = Xi . Тогда М (Дк,) - Р (*,) $ (х, - X ) d x = ± p (xt) l(xt - x'if x

.274

(x( - х,у\.

(7.5)

Если х{ соответствует середине интер- р(х) вала, то М (Д к ;) = 0. Дисперсия погрешности D{AKi) = p ( x

) \ { x

^ X f d x ^ xi xj-xf

/„р

( х , ) [(х, "

— Хг) — ( х , — * f ) l . '

При условии, что редине интервала,

Рис

7 2

кван

™м%а™Гн°„„7")Ла

ких

соответствует се-

- определению ттатистичесхарактеристик погрешности от с

D (Ак) = V12р {Xj) q3K. (7.6) Дисперсия погрешности от квантования с учетом изменения случайного сигнала во всем диапазоне значений от 0 до хт D(K)

/12I1p(xl)q3Ki.

При равномерном квантовании qк; — D (Ак) = <7к/12 ^

(7.7)

= const и

р (*() qK.

При нормированном распределении случайного сигнала в диапазоне от 0 до хт £ р (*,) qK = 1, тогда D (А к ) = qll 12.

(7.8).

1=1

Таким образом, получено выражение для дисперсии погрешности при равномерном квантовании в случае достаточно большого числа ступеней квантования для любого закона р (х). С. к. о. погрешности при равномерном квантовании o(K) = V D ( \ j = q J Z V 3 = xJ2VZNH.

(7.9)

Если с. к. о. погрешности задано, то можно определить необходимое при равномерном квантовании номинальное число ступеней квантования: н

<7к

2/Зо(Дк)

2/36,

Заданное значение с. к. о. погрешности от квантования при равномерном квантовании достигается обычно соответствующим выбором номинального числа ступеней квантования Na. Оптимальное квантование Дисперсия погрешности от квантования случайной величины X (t) во всем диапазоне ее изменения от 0 до хт (7.10) ;=1

275

Задача состоит в том, чтобы при заданных максимальном значении сигнала ± я т , распределении случайного сигнала р (х() и числе ступеней квантования Nu минимизировать дисперсию погрешности от квантования. Характер формулы (7.10) показывает, что для этого необходимо неравномерное квантование, чтобы в зоне больших значений плотности вероятности ступени квантования были меньше, а меньших — больше. Задача оптимального квантования, т. е. определения такой совокупности неравномерных ступеней квантования, при которой дисперсия погрешности квантования достигает минимального значения, подробно рассмотрена в [80]. В (7.10) производится замена 3 —— С г = qKiy p(xt), при этом Ö(A K ) = 7 1 2 £ C ? . <=1 Так как при нормированном распределении р {х) "н 2

(7.11)

p(Xi)qKi*=\,

г=1 то вводится дополнительное уравнение

N» ./ 2J Ct = £ р и (Х[) qKi — S= const; г=1 t=i x x m m ч s = j р > (Л;) dx - 2 J pu (x) dx.

(7.12)

Нахождение условий минимизации дисперсии погрешности от квантования производится методом множителей Лагранжа [27]. Этим методом определяют, что условием оптимального квантования является постоянство величины Q : Ct = S/NH = const. Условие постоянства величины Сг обусловливает постоянство выражения под знаком суммы в формуле для дисперсии (7.11). Следовательно, минимум дисперсии достигается в том случае, если неравномерность закона распределения р (х) будет полностью «сглажена» «обратной» неравномерностью ступеней квантования, что в общем соответствует ранее высказанным по этому поводу соображениям. При оптимальном квантовании достигается минимальное значение дисперсии: D ( A K ) m i n = S3l\2N2a. (7.13) Относительное уменьшение дисперсии при оптимальном неравномерном квантовании по сравнению со значением дисперсии при равномерном квантовании зависит от характера закона распределения случайного сигнала р (*). .277

Рис. 7.3. К оптимальному квантованию X при нормальном распределении р (х)

Сравним относительное уменьшение дисперсии погрешности при оптимальном квантовании для нормального распределения. Д л я нормального распределения (рис. 7.3) 1 а (X) У2л

2 3 4 5 6 7В Хщ а

— 2<5ЦХ) *

(7.14)

Согласно (7.12) определяем формулу для 5 (при этом производим замену переменой X = ] / 3 у ) : S = 2]/"3(a(X)K2n)

Г J

— о (X) V2л

хг ОЦХ)

dx.

(7.15)

После интегрирования получаем S = V3 (а (X) УТл)и где при z =

Ф (xja (X) V3),

о(Х)

Ф{г)

(7.16)

dz.

V2п

Подставляем полученное значение S в формулу для определения минимального значения дисперсии: ( КЗ) 3 лст2 (X) Ф3 (

\ о(Х)Уз

D (AK)min =

)

Ш.

Вводим отношение z„ = xja

Тогда получаем

(X).

( V s f n ^ l ^ - ) D( Ак)'min

(7.17)

норм

6 №

При равномерном квантовании для данного случая при изменении сигнала в диапазоне ± х н \2 2

(Ак)равн

Чк __ \ NH } 12

12 .277

В этом случае относительное уменьшение дисперсии, достигнутое оптимальным квантованием, у (

\о(Х)

(Дк)

ш ! " норм

8,16

График функции V |

, / V

D (Ак)павн

гн

\ Уз J •

<7Л8>

j показан на рис. 7.3. Следовательно, при

оптимальном квантовании независимо от числа его ступеней дисперсия с увеличением отношения xja (X), начиная с xja (X) = 2, непрерывно уменьшается. Практически во многих случаях соотношение z = xjo (X) выбирается примерно равным 3, так как вероятность нахождения случайного сигнала, распределенного по нормальному закону, вне пределов ±Зог (X), составляет 0,003, т. е. достаточно мала. При этом в случае применения оптимального неравномерного квантования дисперсия уменьшается примерно на 30 % по сравнению со случаем равномерного квантования, что соответствует уменьшению с. к. о. примерно на 17 %. Принято считать [56], что неравномерное квантование может быть целесообразным при следующих условиях: динамическом диапазоне более 40 dB; распределении измеряемой величины более неравномерном, чем нормальное; относительно небольшом числе NH < 2 5 ; переработке больших объемов информации адаптивными устройствами. Следует отметить, что эти условия относительно редки, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только равномерное квантование. Анализ погрешностей квантования При измерении величина, находящаяся между двумя известными значениями хы и Хдч-ь может быть отражена: 1) нижним числовым значением Nx = N; 2) верхним числовым значением Nx = N + 1; 3) нижним числовым значением Nx, увеличенным на цифровую поправку + 0 , 5 ; 4) нижним числовым значением Nх = N — при аналоговом введении поправки, равной 0,5 qK. В первом случае при оценке X нижним числовым значением уравнение измерения будет л: (7.19) Nr Чк

где Е | А | — целая часть числа А. Погрешность от квантования будет равна Ак = NxqK — X = — Fr

~ Чк

Як,

<7'20>

где Fr [Л] — д р о б н а я часть числа А. Распределение погрешности Д к будет равномерным и несимметричным (рис. 7.4, а) в области отрицательных значений аргумента. В этом случае Дк тах = qK: ¥пр »« •= — qjxu; М (Дк) = — qJ2; о (Дк) = qJ2 УЗ. .278

4* 6 5 4 д

Чк

-Дг

)т / / / .

/ /

ч\ \ \ \ /

PIA,)

- л -fo

н, Ак в 5 1 f 4 3 м t) 2 1 rfV V у у t К N N ч| \ Ч

Ак 6 5 4 3 2

/ ' /

О -

Рис. 7.4. Зависимость между Nx

X щ

X Ж N к к 1 f

-&K 0 s

хп ш

рШ

ßty ъ

1 1* о *

» "o

и Xi

а — при равномерном несимметричном з а к о н е р а с п р е д е л е н и я Р ( Л к ) (в области отрицательных значений аргумента); б — при равномерном несимметричном з а к о н е распределения р ( Д к ) (в области п о л о ж и т е л ь н ы х з н а ч е н и й аргумента); в — при равномерном, симметричном з а к о н е р а с п р е д е л е н и я р ( Д к ) с цифровой поправкой; е — то ж е с аналоговой поправкой.

Во втором случае при оценке X верхним числовым значением уравнение измерения будет при цифровом введении поправки N,

(7.21)

+ 1 sign X ,

Чк

где sign X — знак X . Погр . нность от квантования будет при положительном

равна

А к = NjK — X = [sign X — Fr | X/qK l ] qK. (7.22) Распределение погрешности Д„ будет т а к ж е равномерным и несимметричным (рис. 7.4, б), но в области положительных значений аргумента. В этом случае Дкта* = <7к; Упр тах = qJxH\ М ( A J = qJ2\ а (Д к ) = qJ2 уъ. В третьем случае при цифровом введении поправки, равной + 0 , 5 , значение X оценивается нижним числовым значением Nx (рис. 7.4, в) Л/, = Е

Чк

+ 0,5 sign X.

(7.23)

Погрешность от квантования с учетом необходимого сдвига для компенсации сдвига оценки при положительном X будет Дк = NxqK — X = qK Е

Як

+ 0 , 5 ^ sign X — X

= 0,5qK sign X — Fr

X Як

Чк-

(7.24)

Практически этот способ реализуется введением постоянной поправки в цифровом виде в Nx, равной 0,5, которая компенсирует систематиче.279

скую составляющую или математическое ожидание погрешности от квантования. Тогда вся совокупность значений X в узком диапазоне от ( N x — — 0,5) qK до (Nx + 0,5) qK представляется результатом измерения xN = = распределение суммарной погрешности от квантования Д к будет равномерным и симметричным (рис. 7.4, в). В этом случае Дк шах => ±qJ2;

Упр шах = ±qJ2x„, а(Дк) =

9к

М (Д к ) = 0;

/2/3.

В четвертом случае при аналоговом введении поправки, равной 0,5 qK, значение X оценивается нижним числовым значением (рис. 7.4, г), при этом результаты измерения и погрешности будут равны Nr=* Е Д„ = Е Дк max = ±qJ2\

X + 0,5? к sign X

X 4 0,5у к sign X

7пР max = ±qJ2xa\ а(Дк) =

(7.25)

<?к qK-X-,

(7.26)

M (Дк) = 0;

<7к72УЗ.

Погрешность квантования временного интервала Тх или отрезка длины Ь х Измеряемые интервал времени Тх и отрезок длины Lx обычно ограничиваются: старт-импульсом, или начальной меткой в начале, и стопимпульсом, или конечной меткой в конце. Во многих цифровых приборах измеряемая величина преобразуется во временной интервал Тх. Временной интервал Тх квантуется на N интервалов длительностью Т0 заполнением квантующими импульсами с периодом повторения Т0. В общем случае Тх не кратно Т0 и поэтому при квантовании Тх возникает погрешность от квантования. Старт-импульсом открывается электрический ключ, пропускающий квантующие импульсы (рис. 7.5) к счетчику, а стоп-импульсом, спустя время Тх, ключ закрывается, и доступ квантующих импульсов к счетчику прекращается. Результат измерения Тц определяется по показаниям счетчика TN = NT0, где N — отсчет счетчика (число импульсов, пропущенных к счетчику за время Тх). Если предположить, что длительность старт- и стоп-импульсов ничтожно мала, то погрешностью от конечной,длительности их фронтов можно пренебречь. При квантовании временного промежутка Тх возникает погрешность квантования, зависящая от временного сдвига между старт- и стоп-импульсами и квантующими импульсами. В общем случае старт- и стоп-импульсы могут появляться в любой случайный момент между соответствующими квантующими импульсами. При этом в показаниях счетчика, отградуированного в единицах времени, возникает суммарная абсолютная погрешность кванто.280

Старт-итщс

Л*

Стоп-импульс

177

j y иШ11 То

t гг

4и,

"1U

Рис. 7.5. Возникновение погрешности при квантовании временного интервала ТТ (квантующие импульсы, которые пропускаются к счетчику, не заштрихованы) 1- и N-й соответственно первый и последний импульсы, проходящие к счетчику,

вания, Л, = NT0 — Тх = AlK — Д 2к ,

(7.27)

где Aik = KiT 0 — положительная погрешность квантования, входящая в NT0, но не входящая в Тх, часть периода повторения первого квантующего импульса, прошедшего к счетчику; Д2к = k2T0 — отрицательная погрешность квантования, входящая в Тх, но не входящая в NT0, часть периода (N + 1) импульса, не пропущенного к счетчику. Максимальная погрешность будет равна ±Т0, относительная бк = ±Т0/ТХ

• 100 %.

Если плотность вероятности расположения старт- и стоп-импульсов в любой момент между соответствующими квантующими импульсами одинакова, то законы распределения погрешностей Дх и Д 2 будут равномерными с плотностью вероятности 1 /Т0. Распределение суммарной погрешности 11Т 0 суммы двух случайных и независимых величин AiK и А 2к , обладающих распределениями, показанными на (рис. 7.6, а, б), является распределением Симпсона. С. к. о. распределения Симпсона может быть получено из выражения для дисперсии суммарного закона распределения D(A 0 ) = D(A I k ) + D(A 2 k ). В данном случае при равномерном распределении величин AiK и Д2к и независимости погрешностей AiK и Д2и

Рис. 7.6. Законы распределения вероятностей погрешностей квантования вала времени Т х :

а — р (Д1К); 6 — р (Д2 К ); в —

суммарной погрешности

интер-

(Дс). .281

Тогда

° = /hM+hM=~йг • "•»> Погрешность А1к можно устранить синхронизацией первого квантующего импульса со старт-импульсом, применяя генератор квантующих импульсов с ударным возбуждением. Однако нестабильность таких генераторов (10"~5) значительно выше, чем у обычных квантующих генераторов импульсов. С. к. о. суммарной погрешности, распределенной по закону Симпсона, можно определить также из следующего выражения: о ' Если погрешность AiK устранена, то максимальная погрешность будет равна Т0. Однако при устранении А|К уменьшается диапазон изменения максимальной погрешности вдвое и ввиду смещенности закона распределения со средним значением — 0,5 Т0 создается возможность введения поправки в показания. Применение квантующего генератора ударного возбуждения со сдвигом +TJ2 и является автоматическим введением этой поправки. В этом случае погрешность Д1к постоянна и будет равна 0,5 Т0, а суммарная погрешность Ас = TJ2 — Д 2к . Максимальное значение суммарной погрешности составит ± V 2 Т 0 , с. к. о. о (Д с ) = 7 0 /2У"3. Д л я уменьшения погрешности от квантования при измерении малых интервалов времени Тх, разность интервалов Дс = Д ^ — Д2к различными способами умножается на целое число 1, а затем измеряется путем квантования импульсами с периодом Т0. При этом погрешность от квантования уменьшается в К раз. В заключение необходимо заметить, что положение старт- и стопимпульсов по отношению к квантующим импульсам не всегда является случайным, например, при постоянстве повторяющегося интервала Тх и при случайности расположения старт-импульса внутри кванта Т0 положение стоп-импульса не является случайным. Поэтому иногда для обеспечения случайности положения старт- и стоп-импульсов по отношению к квантующим импульсам Т0 их частота модулируется по случайному закону. а

Определение систематической погрешности квантования при измерении постоянной величины Если х = const измеряется цифровым измерительным прибором (ЦИП), у которого ступень квантования qK значительно больше инструментальной погрешности, то результат измерения Xn = NxqK будет содержать систематическую постоянную по значению погрешность от .282

Рис. 7.7. Уменьшение постоянной погрешности от квантования при к = const наложением дополнительного центрированного случайного сигнала

О ^д; квантования Дк = const. Эта погрешность Дк может быть определена путем статистической обработки результатов измерения, если на вход Ц И П подать дополнительный случайный сигнал. Пусть измеряемая величина X посто- h ' l A ян на, а ДХд — некоторый дополнительный центрированный случайный сигнал с известным законом распределения. Образуем путем суммирования новый случайный сигнал X t = о = х -f ДХ„. Сигнал X, подается на

чм

о ЦИП, в котором реализуется измерение X . Когда ДХ д = 0, ЦИП при повторных измерениях х = const выдает неизменный результат измерения хм = NxqK. В этом результате содержится постоянная погрешность квантования Дк (рис. 7.7), которую нужно определить. При о ДХд ф О Ц И П выдает различные результаты измерения NxqK; (Nx + + 1) qKl (Nx — 1) qK и т. д. Д л я определения Д к эти результаты подвергаются статистической обработке. Обработка может заключаться в определении среднего значения ряда измерений, при этом хср будет приближаться к значению X о о с. к. о. Тогда Дк = NxqK — х о р . Уп При известном, например, нормальном распределении дополнио тельного случайного сигнала с известным о (ДХ д ) определяют вероятность Рх = njn, соответствующую факту Хг < NxqK, тогда о Рг ( Х г < N,qK)

= Ф (А Je ( А Х Д ) = n j n ,

(7.29)

где п — общее число измерений X; % — число измерений, при которых X было меньше хм = NxqK. Из этого уравнения по таблице Лапласа (табл. 2) определяется погрешность квантования Д к , тогда откорректированный результат измерения xn = NxqK + А к . Если дополнительный случайный сигнал распределен по равномерному закону с предельным отклонением ± Аха, то погрешность от квантования может быть определена по формуле Ак = 0,5Дх д (1—2riy/n).

(7.30)

Погрешность определения Дл зависит от количества измерении п и отношения AxÄ/qK. .283

Погрешность квантования при измерении статистических характеристик случайного сигнала В ряде случаев при измерении исследователя интересуют не мгновенные значения измеряемой величины, а ее средние или средни« квадратические значения за определенный промежуток времени. Этс бывает тогда, когда на ход процесса влияют не мгновенные значение величины, а средние или средние квадратические за заданный пром& жуток времени. Например, нагрев электропечи определяется не мгновенными значениями отдельных кратковременных пиков тока, а егс средним квадратическим значением за определенный промежуто* времени. В этом случае число ступеней квантования по заданной ш> грешности при измерении мгновенных значений измеряемой величинь определять нецелесообразно. Задача определения числа ступеней квантования при измерении среднего квадратического значения величинь возникает, например, при проектировании цифровых приборов, изме ряющих действующее значения периодических величин, изменяющихся с инфранизкой частотой. В таких приборах производится математическая обработка результатов измерения мгновенных значений. Погрешность от квантования при измерении статистических характеристик зависит от законов распределения X (t) и Д к (t), от степени корреляционных связей между ними и от размера ступени квантования <7К. В дальнейшем будем рассматривать погрешности от квантования при симметричном и равномерном распределении р (Д к ) (рис. 7.4) и при нормальном р (.х) [29]. Соотношение между математическим ожиданием неквантованного и квантованного сигнала при qK ^ 3 о (X) с погрешностью Ю - 4 следующее: 2

М (X)

—

М (Xn)

— z

(7.31)

где г = + 1 — при цифровом введении поправки (рис. 7.4, е); г = = —1 — при аналоговом введении поправки (рис. 7.4, г). При М (X)lqA = 0, 1, 2, 3, ... М (X) = М (XN) и погрешность от квантования при измерении М (X) равна нулю. Если (X), то с погрешностью менее Ю - 4 М (X) = М (Xn) И погрешностью от квантования можно пренебречь. А в общем случае при известных о (X), qK и М (Xn) из (7.31) можно определить М (X), а значит и погрешность от квантования. Соотношение между дисперсиями неквантованного и квантованного сигнала при qK ^ За (X) с погрешностью менее 10"^ следующее: 2я'(Я(Х) 2

а 2 (X) = а (Хдг) +

(4а 2 (X) +

При q a ^ . a (X) с погрешностью менее 10 а 2 (X) =з а 2 (Xn) .284

е 4

qlj\2.

(7.32)

Следовательно, при измерении дисперсии с внесением поп эавки при qA = а (X) число ступеней

квантования JVh = Е

6а

(X)

= 6.

1к В общем случае погрешность от квантования при измерении дисперсии можно определить из нелинейного уравнения (7.32) при известных qK и а (XN). Относительная погрешность от квантования при измерении дисперсии при <7К < [ er (X) без внесения поправки составит a»(Xw)-o»(X) oHXN) ~

я1 1 2O*(Xn) •

(7,33)

Число ступеней квантования при заданной бст2 будет для центрик

рованного случайного сигнала при диапазоне ± 3 а (X) 6 6о (X) — F = El т <?к

V 4

(7.34)

Относительная погрешность от квантования при измерении с. к. о. без внесения поправки будет равна a(X

ба, ~

)-a(X)

o(XN)

ст

) - Va*{XN)

q2J\2

o(XN)

24a» (X*)

(7.35)

Число ступеней квантования при заданной б б у д е т для аналогичных условий равно _ 6а finm (X) iVH = E

к6

— F

<?к

(7.36) о

Погрешность от квантования при измерении среднего квадрата сигнала М (X 2 ) может быть определена на основе соотношения М (X 2 ) = М 2 (X) + о 2 (X). Соотношение между математическими ожиданиями куба неквантованного и квантованного сигналов равно М (Xя) = М (X3N)

(7.37)

М(Х).

В этом случае поправка Шеппарда пропорциональна среднему значению сигнала М (X), следовательно, для центрированного сигнала погрешность от квантования при определении среднего значения куба сигнала теоретически равна нулю. Математическое ожидание четвертой степени сигнала равно M(X*) =

M(X4N)

• М (X 2 )

17 240

(7.38)

Погрешность от квантования при измерении взаимокорреляционной функции R (X, Y) при независимости X (t) и Y (/) от Дк (*) и Д у (i) при симметричных и равномерных р (AJ и р (Ау) равна нулю R (X, Y) = M (X, Y) = М

(XnYn). .285

При наличии корреляционных связей между X (t), Y (t) и Д K ( t ) и Ду (t) искомый коэффициент корреляции равен R(X,Y) = M (X, Y) = М (XNYN) + М (YNAK) + М (XNq\Y). Д л я уменьшения погрешности от квантования в этом случае рекомендуют [51] производить квантование только одного из сигналов. Тогда погрешность от квантования при измерении взаимокорреляционной функции уменьшается R (ХГ) = М (XY) = М (.XnY) + М (YAK). Если в этом случае р (х) и р (у) гладкие функции, то при Nx^ = 5, Nx = 4 и Nx = 3 погрешность от квантования соответственно равна 1,5Н- 10" 7 %, В 1,6 • 1(Г 2 % и 1 % [51]. Следовательно, число ступеней квантования при измерении статистических характеристик величины невелико. Однако при создании прибора, например для измерения с. к. о., со значительным диапазоном измерения а (X) необходимо учесть, что при уменьшении о (X) Na растет. Поэтому необходимо увеличивать число ступеней квантования для обеспечения заданного значения погрешности на нижнем значении предела измерения о (X) или автоматически адаптировать число ступеней квантования с изменением а (X). 7.2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ

Дискретизация сигнала является измерительным преобразованием непрерывного сигнала X (f) в последовательность мгновенных значений этого сигнала Х д (kT a ), соответствующих определенным, обычно т

МШШЩ) / к / г!

т t«=KT«

/Г >

Гц Гц Тц Тц Тц Тц t, t.

Tu=varm

а X(t) ХмШ

Ха.кв(кТч)

- л/

Xs(4rj

•Mi)

Ш) W

А(2ТЧ)

Хг

Ü. tf

W tt t3 4 г

ts t

Ed.

тн 2ТЧ ЗТц 4ГЧ 5Гц д

Рис. 7.8. К определению дискретизированного сигнала: а в непрерывный во времени сигнал; б — сигнал, дискретизнрованный рав« номерно; в — сигнал, дискретизнрованный неравномерно; г — сигнал, диск* ретизированный адаптивно, при равномерном квантовании; д сигнал, диск« ретизированный и квантованный равномерно. .286

равноотстоящим, моментам времени kTa (где к = 1, 2, 3...) (рис. 7.8, а, б). Промежуток времени между двумя соседними моментами дискретизации Та называют шагом дискретизации. При дискретизации непрерывного сигнала каждое значение дискретизированного сигнала строго «привязано» к определенному моменту времени. Сигналами, удобными для дискретизации, являются потоки частиц, свет, электрический ток, ионизированное излучение и др. Аналитическое представление дискретизированного сигнала, равномерная и неравномерная дискретизация сигнала Дискретизация непрерывного во времени сигнала X (t) является линейной операцией умножения функции X (t) на функцию дискретизации во времени Д*(0 Хд(/) = Х(/)Д*(/).

(7.39)

Функция A*(t) является последовательностью единичных импульсов с периодом повторения Т ц , длительностью, равной 0, и площадью, равной единице, т. е. является последовательностью функций Дирака: + 0= А* (0 = £ b(t — kTJ, (7.40) —оо

где 6(/-*7ц) =

-f-oo J e ' ^ u W —оо

Идеальный дискретизированный сигнал Х д (/к) является последовательностью импульсов нулевой длительности, площадь которых соответственно равна X (Уг7ц) ординатам сигнала X (/) в моменты k T a , и может быть аналитически представлен в виде Х д (кТа) = £ X Ю 6 ( 1 - кТа). (7.41) k= 1 Квантованный дискретизированный сигнал может быть воспроизведен мерой, управляемой кодом Nx (kTa), воздействующим в течение минимально короткого времени (через стробирующий ключ) (рис. 7.9, а, б), и аналитически представляется в виде (kTj

= £ Nx (кТя) qß (t - kTa). (7.42) fe—l Аналитически равномерно дискретизированный сигнал может быть представлен решетчатой функцией времени / [kTa\, или / [к]. Решетчатые функции являются удобным аналитическим аппаратом, который облегчает выполнение различных операций с дискретизированными сигналами — определение производных, интегрирование и др. Для решетчатой функции аналогом первой производной является первая прямая разность Af[k] = f[k + l ] - f [ k ] .287

или первая обратная разность V/ [k\ = f [ k \ - f [ k - \ \ . Прямая разность в момент kTu определяется по будущему значению функции, а обратная разность — по предыдущему значению функции. Аналогом второй производной непрерывной функции является вторая прямая или вторая обратная разность решетчатой функции A*f[k] = Af[k + 1 ] - Д / [k] = Af[k + 2 ] - 2 f [ k + l ] + f [ k y , S/*f[k) = V f [ k ) - V f { k - \ ] = f [ k ] - 2 f [ k - \ ) + f{k-'2]. Д л я определения прямой п-й разности используют рекуррентные соотношения или формулы общего вида Anf[k\=

£ ( - 1 )mCZf[k

n-m],

m=0

где wl " ~~ ml (n — m)I • Аналогом интеграла непрерывной функции является сумма мгновенных значений решетчатой функции

= xiW

fe=0 Д л я решения дифференциальных уравнений при наличии дискретизированных временных зависимостей, входящих в эти уравнения величин, используют разностные уравнения. Например, при использовании прямых разностей линейные неоднородные разностные уравнения второго порядка имеют вид а0Дг/ [k] + axAf [k] + a2f [k\ = cp [k], где / [k] — известная решетчатая функция; ср [k] — искомая решетчатая функция. Дискретизированная форма временной зависимости, полученная опытным путем при использовании аппарата решетчатых функций и цифровых вычислительных устройств, облегчает решение многих задач при определении параметров временных зависимостей, производных, определении параметров дифференциальных уравнений и т. д. Дискретизация может производиться равномерно, т. е. с постоянным шагом Г ц = const (рис. 7.8, б), и неравномерно, т. е. с переменным шагом Т ц = var (рис. 7.8, в). При относительно медленно изменяющемся сигнале X (/), при небольшом числе ступеней квантования NH, при гладкой кривой X (t) и при высоком быстродействии измерительного устройства можно, дискретизируя X (t), представлять его значениями хъ х2 хп в моменты времени / х , i2 tn. При этом имеет место неравномерная адаптивная дискретизация сигнала во времени с неравномерными временными интервалами и равномерное квантование по размеру (рис. 7.8, г). Значе.288

ния хъ х2, ..., хп определяются в соответствующие моменты времени tt, t2, ..., tn при принятых ранее условиях без погрешности от квантования. Недостатком этого метода является необходимость в наличии отдельнрго высокоточного устройства для измерения времени. При достаточно быстром изменении X (t) и большом числе ступеней квантования адаптивную, неравномерную дискретизацию сигнала во времени реализовать труднее. Поэтому обычно реализуется равномерная дискретизация во времени (рис. 7.8, д). В этом случае в каждом из значений xn (iT u ) содержится погрешность от квантования, которая при восстановлении промежуточных значений сигнала по значениям х,м (гТц) суммируется с погрешностью от аппроксимации, зависящей от способа аппроксимации, от закона X (t) и от размера Тц. При случайном и гладком X (t) и больших NH можно считать, что погрешности Д к и Д ап независимы и тогда дисперсии их случайных составляющих суммируют (п.7.2). Сигналы бывают естественно дискретизированными и искусственно дискретизированными. Естественно-дискретизированным сигналом, например, являются случайные последовательности импульсов напряжения от чувствительного элемента-детектора радиоактивного излучения, в котором пространственная совокупность частиц преобразуется в последовательность импульсов с различными амплитудами. Такая последовательность импульсов обладает большим количеством возможных информативных параметров — частотных, временных и амплитудных. Удобство измерения частотно-временных параметров естественно дискретизированной зависимости привело к все более широкому использованию различных процессов микромира, в которых имеет место функциональная зависимость между измеряемой величиной, интересующей исследователя и параметрами последовательности импульсов. Например, с этой целью используется явление Баркгаузена, в котором частота импульсов Баркгаузена прямо пропорциональна магнитной индукции. Искусственно-дискретизированными сигналами являются последовательности импульсов, полученные в результате операции дискретизации. Физически дискретизация непрерывного сигнала X (t) реализуется пропусканием через ключ только мгновенных значений Х а (t) в заданные моменты времени — моменты дискретизации (рис. 7.9, а, б). При искусственной дискретизации величины, изменяющейся во времени, теряется часть информации о ней, поэтому при восстановлении первоначальной зависимости возникает погрешность от дискретизации. Однако информативный параметр данного сигнала сохраняется в дискретизированном сигнале и становится более удобным для дальнейшего извлечения. Операция дискретизации сигналов X (t) дает возможность с меньшими аппаратурными затратами выделить измерительную информацию о процессе по обеим координатам: значению и времени. Дискретизация непрерывного сигнала производится: перед измерением многих сигналов одним прибором, для уменьшения динамических погрешностей при измерении быстроизменяклцихся сигналов, при выборке для измерения определенных мгновенных значений, например 10 818

289

t=m

Ключи управления мерой

№)- 60 кодовый

сигнал 20 управления мерой

Тактовые импульсы управления ключами

W /

и 1г

\Г"\

1 h

JT t;

<г

Рис. 7.9. Примеры создания дискретизированного сигнала: воспроизведение квантованного дискретизированного сигнала; б • ретизация непрерывного сигнала.

диск-

экстремальных, при масштабно-временном преобразовании сигнала (п.6.12), например перенос частоты в сторону меньших частот стробированием с периодом Т0 = l / f 0 ряда мгновенных значений высокочастотного сигнала с частотой f t . На выходе стробирующего устройства после фильтров получают сигнал с частотой /г = f \ — fo-

Восстановление непрерывного сигнала из дискретизированного При дальнейшем рассмотрении будем различать «физическую» и «аналитическую» дискретизацию. При «физической» дискретизации сигнала на выходе аналоговых циклических преобразователей в моменты tK получают соответствующие физические мгновенные значения дискретизированного сигнала такое преобразование называется амплитудно-импульсным. При «аналитической» дискретизации на выходе цифровых приборов получают числовые значения измеряемой величины XnX В соответствующие моменты времени tK. В дискретизированном сигнале отсутствуют промежуточные значения, которые содержались в непрерывном сигнале. Д л я многих операций управления, преобразования вида сигнала принципиально необходим непрерывный сигнал. Поэтому дискретизированный сигнал во многих случаях снова необходимо преобразовать в непрерывный, т . е. восстановить в нем все его промежуточные значения. Таким образом, возникают два случая восстановления непрерывного сигнала из дискретизированного: .290

а) по физическим дискретизированиым во времени мгновенным значениям сигнала; б) по известным числовым значениям дискретизированного сигнала и соответствующие моменты дискретизации tK. Первый случай характерен главным образом для устройств техники связи и реализуется путем восстановления физических промежуточных значений величины, второй характерен для цифровых измерительных устройств. Во втором случае приближенно восстанавливаются, т. е. аппроксимируются, числовые значения величины X в промежуточные мгновения времени. Восстановление сигнала в обоих случаях должно быть произведено с заданной погрешностью. При восстановлении сигнала необходимо прежде всего предварительно подобрать для данного участка сигнала восстанавливающую базисную функцию. При этом восстанавливаемый сигнал обычно выражается суммой базисных функций: п •^ВОССт(0 = ^J ß f i l (0> 1=1

где Ci (t) — некоторая система базисных функций, которая обычно является ортогональной или ортонормированной; а ; — коэффициенты ряда. Коэффициенты ряда at и базисные функции могут выбираться на основе различных критериев, например по минимуму средней квадратической погрешности или по критерию совпадения значений восстанавливаемого непрерывного сигнала с мгновенными значениями дискретизированного сигнала. Координаты времени базисных функций могут изменяться в широком диапазоне, например на всем протяжении интервала Т — времени реализации данного сигнала либо только на протяжении одного или нескольких интервалов дискретизации Гц. Естественно, что базисные функции подбираются прежде всего из условий наибольшей простоты их реализации, при этом желательно также, чтобы коэффициенты ряда щ определялись бы простейшим способом по параметрам дискретизированного сигнала, в частности по мгновенным значениям дискретизированного сигнала. В первом случае, если базисные функции и коэффициенты ряда выбираются по критерию минимума средней квадратической погрешности восстановления /

m i n ] / -^j[xB0CcAt) —

X(t)]'dt,

то система базисных функций выбирается ортонормированной или ортогональной, а коэффициенты ряда определяются как коэффициенты соответствующего ряда Фурье: т а , = J X (t) Сt ( 0 dt.

(7.43)

о 10*

291

Системой базисных функций является в этом случае ряд гармоник, которые удобны для воспроизведен ия, однако при этом коэффициенты ряда базисных функций определяются сложным путем. Координата времени каждой базисной функции в этом случае изменяется во всем диапазоне времени реализации сигнала. Наиболее часто применяемой восстанавливающей функцией является ряд В. А. Котельникова, который далее будет рассмотрен подробно. В этом ряду базисными являются функции отсчета, а коэффициенты ряда a t (что важно для наиболее простой реализации) равны соответствующим мгновенным значениям дискретизированного сигнала. Этот случай восстановления обычно представляет собой описание физического восстановления сигнала. Во втором случае, если базисные функции и коэффициенты ряда выбираются по критерию совпадения в моменты дискретизации мгновенных значений восстанавливаемого непрерывного сигнала и мгновенных значений дискретизированного сигнала, то их параметры определяются путем решения системы уравнений k=n

x(tK

+ T)=

aL(K

fc=i

+ t ) C t ( / K + т),

(7.44)

1=1,2

где т = {t — Q. Д л я обеспечения простоты реализации в качестве базисных функций в этом случае выбирают произведение полинома на функцию окна С г {tK + х) = P m (т) П (т/Гц),

(7-45)

где Т ц — период дискретизации сигнала; Рт (т) — полином m-ой степени от т; п

/г \1И ц) — | q

при при

°<т<Т*> т < 0

т > Г ц

Этот метод получил широкое применение в измерительной технике, так как удобен для аналитического восстановления с помощью ЭВМ на основе числовых результатов измерения мгновенных значений дискретизированного сигнала, отличается простотой реализации и достаточно высокой точностью. Теорема Котельникова Если функция х (t), удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. ограничена, кусочно-непрерывна и имеет ограниченное число экстремумов, и обладающая спектром с граничной частотой / с , дискретизирована циклически, с периодом Г ц ^ V 2 / c , то она может быть восстановлена по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности. Д л я доказательства этой теоремы применяют разложение в экспоненциальный ряд Фурье и обратное преобразование Фурье. Принимая во внимание, что комплексный спектр X (/со) функции х (t) ограничен частотами ±со с , представляем его экспоненциальным .292

рядом Фурье

ске1пка/\

X (/со) = £

k=—оо

с периодом по частоте Та ~ 2 сос, где Q

Х ( /

) е - » с ^ .

(7.46)

Функцию времени х (т) определяем по комплексному спектру X (/со) с помощью обратного преобразования Фурье +<*>

Х(т) =

J X (/со)

— 00 Принимая во внимание, что комплексный спектр функции X (/со) ограничен частотами —со0 и + со0, подставляем соответствующие пределы интегрирования. Тогда +йс х (т) =

X (/со) dmda.

(7.47)

Д л я обратного преобразования Фурье [23] введем следующие подстановки: х = — k T a \ Тц = л/со,. = 1 / 2 / с . Разделим правую и левую части (7.47) на со0/л: +®с — х

( — /гГ ц ) =

j с

X (/со) e ' ^ ^ c d o x

(7.48)

~®с

Сравнивая выражения (7.46) и (7.48), убеждаемся в том, что их правые части равны. Следовательно, искомые коэффициенты комплексного ряда Фурье для разложения спектра с„—i-xf-ftTV). Полученное выражение для СК подставляем в (7.46) и получаем I

J ^ x i - k T j e ^ X

(7.49)

Л——оо С Подставляем (7.49) в обратное преобразование Фурье для получения функции времени: +ао =

—О)с

e' fflT dco

—оо

x(-/eru)-iLe'fflAV с

(7.50)

Принимая во внимание сходимость интеграла и ряда Фурье, можно произвести в (7.50) перестановку операции интегрирования и суммирования. Кроме этого, изменим знак k, учитывая, что суммирование производится по всем отрицательным и положительным значениям k, .293

и после замены % на t получим к—

jWi-kT

(7.51)

G Определяем интеграл в (7.51) jeXt—kTjJ —и.с

2 sin.1 ю kTy) UJсc (/ у— — Kl Ц/ . (7.51a) (t - kT„)

После подстановки (7.51а) в (7.51) получим р я д •^восст(^)

X {kTn)

Котельникова

sin шс (t — kTц) Cüc (t — kTa)

Таким образом, показано, что непрерывный сигнал х (t) может быть представлен суммой произведений мгновенных значений сигнала х (kTu), взятых с интервалом Т ц = 1 / 2 / с , на некоторую функцию времени [43], называемую функцией отсчетов sin У у

sin <DC (t — kTa) ö>c (t — kTa)

График функции отсчетов приведен на рис. 7.10. Ф у н к ц и я отсчетов обладает следующими свойствами: 1) в моменты времени t — kTa достигает максимума, равного 1; 2) в моменты времени t = п) Та, где п — любое целое число, равна 0; 3) ортогональна на бесконечном интервале времени. Р я д Котельникова является одним из примеров обобщенного ряда Фурье и замечателен тем, что его коэффициенты равны мгновенным дискретизированным значениям сигнала х (t) и, следовательно, определяются наиболее простым способом. Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот на входное воздействие в виде единичной импульсной функции. Следовательно, если дискретизнрованный с шагом Та = = V 2 / 0 сигнал х (t) подать на вход идеального фильтра с верхней границей пропускания fc, то на выходе получается восстановленный без погрешностей непрерывный сигнал х (t). Восстановление сигнала рядом Котельникова графически представлено на (рис. 7.11).

0,50' 0,25 •

.294

Длительность цикла дискретизации по Котельникову, составляющая Т ц = 1 / 2 / 0 , равна интервалу между двумя ближайшими некорреГц 2ГЧ ЗТЧ Щ 5ТЧ 6ТЧ t лированными значениями сигнала, ,fr\Sin[ük(t-T a)J Щ) <гк = У J c 183]. e,(t-T„r При использовании теоремы Коm тельникова возникают три принципиальных затруднения. Гц 27ц—Ц_ Щ 5Тц егч t Во-первых, теорема Котельникова предназначена для сигналов с sm[ae(t-2T4)] Шц) ограниченным частотным спектром, а реальные сигналы X (t) всегда ограничены во времени и поэтому имеют бесконечный частотный спектр. Однако с достаточной для практики точностью можно ограниyflr,) sinMt-W чить спектр частотой f (считая, что при / > f c спектр близок к нулю) и пренебречь, таким образом, влияГ нием высших гармоник. В дальнейЩ ЗТц 4Tf—5Гц 6Гц t шем рассмотрим погрешности, воз- Рис. 7.11. Восстановление сигнала рядом никающие в результате отбрасыва- Котельникова В. А. с помощью ,функции отсчетов. ния высокочастотной части спектра. Во-вторых, дискретизированный по Котельникову реальный сигнал при пропускании его на приемном конце устройства через фильтры нижних частот восстанавливается приближенно, так как реальные фильтры не могут точно воспроизвести функцию отсчетов, обладающую бесконечной протяженностью во времени и для отрицательных значений t. Однако с помощью фильтра с переменными параметрами возможно генерирование сигналов, воспроизводящих функции отсчетов [80]. В-третьих, в действительности дискретизированные значения сигнала х (t) практически никогда не являются мгновенными значениями. Чаще всего они выражают осредненное за некоторый конечный (хотя иногда и весьма малый) интервал времени значение сигнала х (t). Это справедливо для случаев, когда дискретизированные выборки сигнала х (t) получены в результате операции интегрирования. Например, при использовании АЦП интегрирующего типа или обычного АЦП с аналоговым запоминающим устройством (АЗУ) на входе, причем А З У запоминает интегральные выборки сигнала х (t). В последнее время такие АЗУ на входах быстродействующих АЦП находят все большее применение. В подобных условиях возникает методическая погрешность от осреднения результата за время интегрирования, или так называемая методическая погрешность представления информации средними (интегральными) дискретизированными значениями функции х (t). Оценкой ее может служить соотношение [95] б = — V 24 Q 2 , (7.52) где Q = соТи — относительная частота изменения синусоидального сигнала х (/); Т и — время осреднения или интегрирования. .295

Из-за наличия методической погрешности (7.52) применение в таком случае математического аппарата, разработанного для случая представления информации дискретизированными мгновенными значениями восстанавливаемой функции, оказывается малоэффективным, так как точность восстановления ограничена методической погрешностью представления (7.53). В работе [95] доказана принципиальная возможность полного восстановления функции с ограниченным спектром по ее интегральным выборкам. Рассмотрим далее возможность полного восстановления функции с ограниченным спектром по ее интегральным выборкам. Д л я данного случая получен ряд, теоретически точно восстанавливающий функцию х (t) по дискретизированным значениям ее скользяt щего интеграла y(t) = ^ х (т) dx\

r(f\Х

оо У

У{ k T

W - J j ^

ти .

т2

Sin Юс {t

f \

Q n

* + 0 '5Ги)

о)с (/ — kTa + 0,5ТИ)

' [1

" +

1 иР

fffi, . ^

cos сос (t — kTn + 0 , 5 Г „ ) 1

где Рчт (9) и Q 2m _ 2 (0) — полигомы по четным степеням аргумента © = M(t — /гТц -f- 0,5Г И ), причем т оо (Гц — период дискретизации по времени; со0 — верхняя граничная частота спектра функции х (t)). Выражение в фигурных скобках по аналогии с функцией sin со„ (t — — kTa)/a0 (t — /гГц) ряда Котельникова названо функцией интегральных отсчетов. При Тя 0 ряд (7.53) обращается в ряд Котельникова, поскольку lim [у (кТц)]/Ти = х (kT ц ). Согласно известным теоремам, преобразования Фурье Y (/со) и X (/со) функций у (t) и х (t) связаны соотношением Y ( j со) =

-1.(1-е-^)Х(/со),

из которого следует

Это выражение и послужило основой для обобщения теоремы Котельникова на случай интегральных выборок. Последовательность рассуждений здесь такова. Оператор скользящего интегрирования является линейным, поэтому спектр функции у (t) также остается ограниченным значениями —со0 и со0. Следовательно, согласно теореме Котельникова, по дискретизированным значениям этой функции, отсчитываемым через интервал Гц = V 2 / c , может быть восстановлен комплексный спектр Y (/со). Последний, в свою очередь, однозначно определяет комплексный спектр X (ja) исходной функции х (/), если только интервал интегрирования выбран из условия Ти < 1// с , что следует из (7.54) (интервал Тн должен быть таким, чтобы для области частот 0 < со < со0 функция sin (O^coTJ не принимала нулевого значения). .296

В ы р а ж а я функцию х (t) через ее комплексный спектр (7.54), лучим +юс

по-

-сос Спектр У (/со) может быть определен по (7.49) У ( М -

y i - k T J e ^ c . —00 0 Подставляя (7.56) в (7.55) найдем оо хд\=

(7.56)

ffl

V u ( - kK T ) [ J 2сосТв k J ± x y K 4'J

е/^+^ц+о.5ги) е

0.5юТи sin 0,5соГи

После ряда математических преобразований (7.57) приводится к виду (7.53). Ограниченный во времени реальный сигнал х (t) имеет бесконечный спектр. Если выбран шаг дискретизации сигнала по теореме Котельникова Т ц == 1/2fe, то ввиду бесконечности спектра восстановленный сигнал будет отличаться от исходного, т. е. при восстановлении сигнала возникает погрешность. Например, если в исследуемой кривой X (i) есть составляющие с частотой / > / с , то не все они могут быть обнаружены при дискретизации отсчетов с интервалом Т а = х / г / с . Действительно, если в X (t) есть составляющие с частотами nfc, где п — 1, 2, 3, ..., то все дискретные значения X (t) изменяются на Xmnfc sin ( 2 n n f c l l 2 f a + ф„;о) = X m „, c sin <p„/c. При этом информация об этих гармониках теряется и при восстановлении сигнала возникает погрешность в определении промежуточных значений. В работе [80] показано, что при известном спектре сигнала погрешность, возникающая по причине ограничения спектра, может быть оценена. Обычно в бесконечном спектре сигнала х (t) можно указать область, ограниченную частотой оос, в которой находится большая часть энергии сигнала (рис. 7.12). Полная энергия сигнала :г £с = J X 2 ( 0 dt = Р с 7 \ о где Рс — средняя мощность сигнала. Энергия погрешности сигнал а А (t), возникшей из-за огра.297

ничения спектра,

т Е а = J А2 (0 dt = Р д Г , о где Р д — средняя мощность погрешности. На основании теоремы Релея можно выразить ЕЕ и ЕА через амплитудный спектр сигнала: и с 2

X (A>)D(O-,

1/я J

оо

ЕА

= 1/я J X 2 (©) Ли. м

Относительное значение средней квадратической погрешности при восстановлении, возникающей в результате ограничения спектра сигнала частотой (ос, может быть определено из следующего неравенства: +оо F

/ J

II X о с с т (01* Л - - »(-0' - * в"восст \-/J —

—оо - —

— = +00 X2 (0 <й

<1,73

—оо

где X (t) — исходный сигнал; хв0сст — сигнал, восстановленный по Котельникову с шагом дискретизации Т и = 1 / J C . Например, для экспоненциального сигнала х (t) = x0e~at при допущении амплитудной погрешности Д 0 , возникающей из-за соответствующего ограничения спектра сигнала, частота дискретизации равна Ап \21I

хп

Одним из применений теоремы Котельникова является определение пропускной способности или потока информации канала связи. Если известно, что верхняя частота частотного диапазона канала равна fc, то это равноценно передаче в каждую секунду 2/ с отсчетов непрерывной функции X (t). Если количество информации в каждом отсчете и при погрешности канала, равной ± А , равно / = In xj2А, то пропускная способность канала Ф будет равна Ф = 2/ с / = 2/ с 1пх н /2А. В измерительной технике при определении промежуточных значений измеряемой функции X (t) по дискретным отсчетам применяют обычно восстановление степенными полиномами, при этом необходимую частоту дискретизации во времени определяют по заданной погрешности от аппроксимации. Восстановление сигнала степенными полиномами, погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации При аппроксимации X (t) на каждом участке между ее известными значениями заменяется кривой, изменяющейся по определенному закону (например, горизонтальной прямой при ступенчатой аппрокси.298

X ß л

Л1.Ч _

Хк

</C Uti

Рис. 7.13. Примеры аппроксимации: — ступенчатая; 6 — кусочно-линейная.

мадии, отрезком наклонной прямой при кусочно-линеиной и участком параболы при параболической). Наибольшую разность между аппроксимированными, т. е. приближенными и действительными промежуточными значениями функции X (t), называют погрешностью от аппроксимации Д ап (рис. 7.13, а, б). Погрешность от аппроксимации зависит от закона изменения х (/), от способа аппроксимации и размера шага дискретизации. При усложнении способа аппроксимации значительно возрастает стоимость и сложность аппаратуры. При уменьшении размера шага дискретизации Г ц погрешность от аппроксимации снижается. , При малых Г ц измерительный прибор должен иметь очень высокое быстродействие, что потребует усложнения его конструкции. Кроме того, возникает избыточность информации, т. е. перегрузка канала связи и устройств памяти. Если принять Г ц большим, то в этом случае невозможно точно восстановить первоначальную непрерывную функцию. Поэтому цикл Гц и частоту дискретизации fÄ = 1/Г ц определяют по заданной погрешности от аппроксимации или в зависимости от заданной средней квадратической погрешности от аппроксимации. Заметим, что задача определения необходимой частоты дискретизации возникает если сначала осуществляется дискретизация во времени, а затем квантование по значению. Если X (t) квантуется постепенно сначала по значению, а затем результат измерения выдается в соответствующие моменты времени, то фактически осуществляется адаптивная дискретизация во времени (п. 9.5). Рассмотрим погрешность от аппроксимации при различных законах аппроксимации. Ступенчатая аппроксимация. В случае использования степенных полиномов нулевого порядка, т. е. при самой простой ступенчатой аппроксимации, согласно (7.44; 7.45) при m — О C1 (tK -{- т) = П (т/Гц). (7.58) а1 = Х ( У ; Тогда восстанавливаемый сигнал k=n

k=n

Хжкст ( 0 = £ Щ (<к + T) Ci (tK + т) = 2 X ( У П ( ~ ) . х ц k= 1 k=l '

(7.59) 29

Максимальное значение погрешности от аппроксимации А апм в этом случае будет на наиболее крутом участке функции, где первая производная достигает наибольшего значения. В момент, непосредственно предшествующий моменту измерения 4 + ь погрешность от аппроксимации (рис. 7. 13, ä) »V Дап = | Х к — Х к + , | = Хт (О Г ц ,

(7.60)

где х' т (t) — значение первой производной сигнала. Приведенная погрешность от аппроксимации АЭп _ xm(t)Ta ^ 1 _ 4(0 _ хх хх 1Т * 'Я Л н и ц "an Принимая во внимание неравенство Бернштейна —

хтУ) vгап хн

I Хт ( O K o i l Х т \ , (7.61) которое справедливо для всех стационарных случайных функций, ограниченных по модулю и обладающих ограниченным спектром с частотой среза / с , получаем общую зависимость для fa— частоты дискретизации случайного стационарного сигнала для ступенчатой аппроксимации У апхи Однако, согласно (7.62), частота дискретизации получается завышенной, так как в неравенстве Бернштейна предполагается, что амплитуда высшей гармоники может достигнуть 100 % от хт. Однако в реальных сигналах амплитуды гармоник с повышением их номера п изменяются обратно пропорционально п, тогда частота дискретизации случайного стационарного сигнала для ступенчатой аппроксимации при дискретном спектре С0с /д = 7ап«с*н где пс — номер высшей гармоники. При синусоидальном законе изменения сигнала , _ _J_ 200я/ '

Ти

Yan %

Van шах = 200л/У/д, где 7 а п = А Jxm — приведенная погрешность от аппроксимации в процентах; / д = 1 /Гц — частота дискретизации. При f — 1 Гц и 7 а п = 1 % частота дискретизации должна быть 628 Гц. Если задана дисперсия погрешности от аппроксимации о 2 (Д ап ), то при квантовании по уровню средней ординаты каждого интервала дискретизации при ступенчатой аппроксимации и при стационарном ограниченном по модулю сигнале с ограниченным дискретным спектром частота дискретизации составит /д .300

= Л f X m (t)/V3

tlü

(Дап).

Если при дискретизации случайного стационарного эргодического сигнала спектр сигнала неизвестен, но известна автокорреляционная функция сигнала гх (т), то интервал дискретизации Г ц и частоту дискретизации /д можно определить по г х (т) и по заданной с. к. о. погрешности от аппроксимации. При ступенчатой аппроксимации случайного сигнала по средней ординате интервала X ( О мгновенное значение погрешности от аппроксимации Д ап внутри интервала дискретизации равно Лап =

X(tK)-X(tK±t).

Дисперсия т а п внутри интервала шириной Г ц / 2 для стационарного эргодического сигнала при известной нормированной автокорреляционной функции Гх (т) = Rx (т)/а 2 (X) будет а 2 ( Д а п ) = М [ X (tK) - X ( t

Д л я случайного процесса

стационарного

+ t)\\

(7.63)

центрированного

М [ X 2 ( У ] = М [ X 2 (tK + 0 ] = Rx (0) -

эргодического

О2 ( X ) ;

М [X (tK) X [tK + t)} -

Rx (0,5Г Ц ) = а (X) rx (0,5Г ц ).

(7.64)

(7.65)

Тогда после подстановки (7.64) и (7.65) в (7.63) получим о 2 (Дап) = 2 о 2 ( Х ) [ 1 — г х (0,5Гц)]. Приведенная погрешность от аппроксимации для центрированного случайного сигнала с размахом + 3o (X) составит V°<A.n> == - 1 5 W " = J Y T

- г , (0,57V)]."

Если известно графическое представление г,, (т), то интервал дискретизации Гц и частоту дискретизации при заданном значении 7о1Лап) можно определить графически [83]. При дискретизации случайного стационарного сигнала с известной автокорреляционной функцией для уменьшения погрешности от аппроксимации выбирают интервал дискретизации Г ц значительно меньшим интервала корреляции Г ц т к при заданной погрешности от аппроксимации Уст(Д Например, для сигнала с автокорреляционной функцией гх (т) = е _ а т ! при ступенчатой аппроксимации [1 — гх (0,5Г Ц ] s £= а Гц/4, тогда 7-д а п ) =

(0,5Гц) 2 = Г ц Vä/6

У2.

Следовательно, U =

Va/6V2y„l&as)

при Гх (т) = е - а т ;

/д = а/3б7а ( д ап ).

Кусочно-линейная аппроксимация. При использовании степенных полиномов первого порядка, т. е. при кусочно-линейной аппроксимации, .301

следуя (7.44; 7.45), т = 1 ÖI('K + T) = *(U;

C1(tK + x) = n ( - f ~ ) ;

а2 (tK + т) = Tu1 [х (tK + Т ц ) - x (fK)]; С а (* к + т) = тП ( - £ - ) . Тогда восстанавливаемый сигнал «восст (0 =

Е [fli^K + T j C i ^ + Xj + flj^ + T j C J ^ + T ) ] ^ п=1 1=1,2...

= £ {X (tK) П (т/Гц) + [X (fK + Г ц ) k—i

X (/ к )] 7 7 4 1 1 (т/Гц)}.

При кусочно-линейной аппроксимации кривая в промежутке между двумя известными значениями заменяется отрезком прямой. Погрешность при этом будет наибольшей на тех участках изменения функции, где вторая производная достигает наибольшего значения. При синусоидальном законе изменения сигнала погрешность Д а я будет наибольшей в зоне максимума (рис. 7.13, б): Дап.м = х 1 — Х т а х = Х т ах COS (ыГ ц /2) — Х т а х = Х т а х [COS (я/Г ц ) — 1], где / — частота изменения X . Приведенная погрешность от аппроксимации Тап

100 % = [cos (я/Г ц ) — 1] 100 • %. X

(7.66)

max

Принимая во внимание, что при малых я / Г ц cos (я/Гц) — 1 = — 0,5 sin 2 (я/Гц) = — 0,5я 2 / 2 Гц.

(7.67)

После подстановки (7.67) в (7.66) получаем; 0,5я 2 Р 1Г1Г1 0 / Tan = 2 - 100,%, 'д /д = я / KVaYan. При / = 1 Гц и 7 а п = 1 % частота дискретизации для синусоидального сигнала должна быть более 22 Гц. Если сравнить формулы для / д при ступенчатой и кусочно-линейной аппроксимации, то можно убедиться, что / д в первом случае должна быть во много раз больше. Так, для синусоидальной функции / д при ступенчатой аппроксимации должна быть примерно в 30/ Vy aTl раз больше, чем при кусочно-линейной. Д л я сигнала любой непрерывной и гладкой формы частота дискретизации при кусочно-линейной аппроксимации определяется по фор.302

муле, предложенной В. Н. Хлистуновым, f — Л/

*шах •

/л -

0Дап

Yan = Г„*н

где лгтах — максимальное значение второй производной. Для случайного сигнала, ограниченного по спектру и модулю при кусочно-линейной аппроксимации а>11 8Д

ап"о

Д л я случайного стационарного эргодического сигнала [83] при кусочно-линейной аппроксимации дисперсия погрешности от аппроксимации при известной автокорреляционной функции будет равна а 2 (Аап) = о 2 (X) [ 1,5 -

2гх (0,5Г Ц ) + 0,5г, (Г ц ).

(7.68)

Частоту дискретизации / д при кусочно-линейной аппроксимации можно сравнить также с частотой дискретизации по В. А. Котельникову /д.к с учетом погрешности от ограничения спектра сигнала, например для сигнала экспоненциальной формы х = х0е~аК В этом случае при кусочно-линейной аппроксимации ап>

(7.69)

Тогда, если а — 1 и у — 1 %, то / д = Я Гц. В случае дискретизации по В. А. Котельникову с учетом амплитудной погрешности Д 0 , зависящей от соотношения мощности сигнала Ра и мощности отбрасываемой части спектра при ограничении Р& [80], частота дискретизации -

° >

Тогда если а = 1, A J x 0 = 0 , 0 1 , то /д.„ = 222 Гц. Следовательно, кусочно-линейная аппроксимация сигнала в данном случае является более целесообразной. Параболическая аппроксимация. Если осуществлена параболическая аппроксимация, то необходимая частота дискретизации составит /д =

У^ХтахЛбАап;

(7.71)

Van — X m 3 K / l 6 f a X tн>

где лгтах — максимальное значение третьей производной. Д л я синусоидальной функции при параболической аппроксимации, если / = 1 Гц и у = 1 %, то 3 г

к" тах

, ,

г-

ЗОЭ

Следовательно, при параболической аппроксимации для заданных условий частота дискретизации по сравнению с кусочно-линейной аппроксимацией снижается только в два раза при значительном усложнении аппаратуры. Для случайного стационарного сигнала, ограниченного по спектру и по модулю при параболической аппроксимации 3

Г~7' так

При кубической аппроксимации необходимая частота дискретизации равна 4 X1V Г 1 // шах ' д -

24Лап

•

Определение суммарной погрешности квантования и аппроксимации при восстановлении случайных сигналов Ранее при анализе погрешности от аппроксимации погрешность от квантования при измерении каждой ординаты сигнала принималась равной нулю. Однако при более подробном анализе процессов дискретизации и восстановления необходимо принимать во внимание также и погрешности в определении каждой ординаты сигнала, которые определяются квантованием и предварительным преобразованием сигнала. Суммарная дисперсия значения каждой ординаты от квантования при равномерном и симметричном распределении Дк (п. 7.1) и от предварительного преобразования Д пр при независимости Д к и А пр будет Оо = ОпР + ql/\2.

(7.73)

Составляющая суммарной дисперсии любой ординаты восстановленного сигнала от квантования и от погрешностей предварительного преобразования будет в результате фильтрующего действия интерполирующего полинома Окв.кр = КФ (ОпР + qll\2).

(7.74)

где КФ — коэффициент фильтрации полинома, равный 1 при ступенчатой аппроксимации [55]. Тогда суммарная дисперсия ординаты восстановленного сигнала при ступенчатой аппроксимации стационарного эргодического сигнала с автокорреляционной функцией гх (т) = е~ах* составит: J - l

I J \

оЧХ)д

При определении параметров Гц и qK при заданной суммарной дисперсии восстановления целесообразно стремится к максимизации произведения ГЦ<7К, в этом случае аппаратура упрощается [56]. При ступенчатой аппроксимации стационарного сигнала с автокорреляционной функцией гх (т) — е~ а т ' две основных составляющих суммарной дис.304

персии пропорциональны соответственно Т\ и ql и, следовательно, изменяются одинаково при идентичных относительных изменениях периода дискретизации Г ц и ступени квантования qK. Если упрощение аппаратуры одинаково при одинаковых относительных изменениях Гц и qK, то Г ц и qK можно для данного случая при заданном значении суммарной дисперсии определить из условия равенства составляющих, т. е. из следующих уравнений 2

ас2 (X) Т\

Ос =

ql + ~12~ 1

аа* (X) Т2и

(7,75)

а2с (7.76)

(7.77)

Понятие об адаптивной дискретизации и сравнение различных видов аппроксимации Если такие параметры процесса, как xf", х" или х' изменяются в широких пределах, то при рассмотренных выше способах аппроксимации с постоянной частотой дискретизации, которая определена по максимальному значению x m a x , xma; или Хтах, значительная часть измеренных мгновенных значений xt является излишней при заданных требованиях к погрешности восстановления. Следовательно, в таких случаях отмечается избыточная информация и завышенная частота дискретизации. Это приводит к усложнению отдельных узлов измерительного устройства и перегрузке звеньев памяти и регистрации. Поэтому в сложных измерительно-информационных системах осуществляются различные способы адаптивной, т. е. самоприспосабливающейся, временной дискретизации с переменным шагом, зависящим от изменяющихся параметров процесса, или следящее цифровое измерение с квантованием сначала по значению, а затем соответствующей дискретизацией во времени. С помощью приведенных выше формул можно определить необходимую частоту дискретизации сигнала в зависимости от заданной погрешности в нескольких частных случаях — при известных значениях макI симумов первой, второй или третьей производной, по известной автокорреляционной функции сигнала. Задача определения необходимой частоты дискретизации в более общем случае при известном частотном спектре сигнала и в зависимости от способа аппроксимации и заданной погрешности решена с помощью цифровой вычислительной машины (100). Анализом, проведенным на цифровой вычислительной машине, было установлено, что при ограниченном частотном спектре функции с частотой среза / 0 для снижения с. к. о. при ступенчатой аппроксимации о а п до 5 % необходима частота дискретизации / . = 21 / с , а при линейной — / я = 5,9/ с . Д л я снижения а а п до 0,2 % при ступенчатой .305

лР(лМ1о)-%=»л !*f=*t sc/шшз H0HH3Ü -пнвйгоэнпйи mmSTmbwsüdoxouigB ниэс/д Л

Bdutmo егоннзьпнв&о (hgovnwi/äwoy du)typeetfsвшошзвь

%Z'OH^P-Idu^BZ= 4 %S=[UBVl?

"Ш-ßsHj-

ЩПШЫ А s. _ ffW/ ' ОШИрОИ DU ßSDHmhMtd 'шнгпз vtfuasuä osoHH3hmodio mdo вшошзв

%Z'0=(UBu"V)?ndu 'msstJ %S=( 7]?ndu вйшхзиэ огошзшпйжн юдвиз ошошзщ.

{юу)9±.Ш*Но)*}1]гА vumsmsde. ог -онйуноУпуип щ ( f j t y mbxnhib ddoxouigY

л ш ' wy

fy unttetsspscfi/o пир Dvfiwdodi n гнпшгпз нпн •анэыеп sdswmdoxo шмйоФнп шйопйиу.

аппроксимации необходима частота / д = 510/ с > а при линейной / д =* = 29/ с . В результате такого машинного анализа функции с ограниченным частотным спектром при восстановлении идеальным фильтром была подтверждена теорема В. А. Котельникова, необходимая минимальная частота дискретизации оказалась также равной 2/ с . Б ы л а также установлено, что для многих функций с бесконечным спектром при линейной аппроксимации и заданном значении о а п = 5 % достаточна частота дискретизации / д = 8/ с , а для о а п = 0,2 %; / д = (30... ...40) / с . В этом случае под подразумевается такая частота спектра, после которой начинается резкое снижение амплитуд спектральных составляющих. Приведенные данные показывают, что при выборе частоты дискретизации по теореме Котельникова, погрешности от аппроксимации могут быть значительными даже при относительно сложной линейной аппроксимации. Весьма значительный выигрыш в уменьшении необходимой частоты дискретизации получается при переходе от ступенчатой аппроксимации к линейной. При параболической аппроксимации, значительно более сложной, чем линейная, необходимая частота дискретизации снижается незначительно. Поэтому применение аппроксимации более сложной, чем линейная, обычно нецелесообразно. Если исследователя в исходном сигнале интересуют только отдельные его параметры, например среднее значение или первые производные, то частоту дискретизации целесообразно выбирать по условию не полного восстановления сигнала, а восстановления данного ега параметра [91]. Способы определения частоты дискретизации при различных методах восстановления сигнала систематизированы на рис. 7.14. 7.3. КОДИРОВАНИЕ,

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ЦИФРОВЫЕ

КОДЫ

Кодирование — это операция перевода по определенным правилам формального объекта, выраженного совокупностью кодовых символов одного алфавита, в формальный объект, выраженный символами другого алфавита. Примерами кодирования являются: перевод текста (формального объекта) с одного языка на другой; шифровка определенного сообщения; представление последовательности операций, выполняемых машиной, выраженных словарным текстом, в текст на одном из машинных алгоритмических языков — ФОРТРАН, КОБОЛ, АЛГОЛ или др. При кодировании в качестве символов используют буквы алфавита, цифры в определенной системе счисления и различные условные знаки. Кодирование в информационно-измерительной технике применяется при кодовом представлении результата измерения для цифровой обработки, а также при передаче результатов измерения и других сообщений по каналам связи. Наиболее широкое применение получило числовое кодирование. Числовое кодирование в широком смысле является операцией отображения формального объекта числами, и его результат может и не быть результатом измерения. В процессе измерения определяется .307

значение физической величины, состоящее из ее числового значения и единицы. Числовое кодирование в измерении является операцией перевода числового значения данной величины Nx в другую систему счисления. Системы счисления, используемые в измерительноЗ технике Количественная информация выражается числами, состоящими из группы символов. Системой счисления называется метод представления количественной информации при помощи символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Системы счисления подразделяются на непозиционные и позиционные. В н е п о з и ц и о н н о й системе счисления числовое значение символа не зависит от месга его в числе, а в п о з и ц и о н н о й — зависит от его места в числе. Простейшей непозиционной системой счисления является единичная Nu в которой данное целое число изображается в виде совокупности единиц, повторенных соответствующее число раз. Например, число 8 изображается 1 1 1 1 1 1 1 1 . Д л я изображения больших чисел единичная система счисления неудобна. В более удобной и компактной форме числа представляются в позиционных системах счисления, в которых используется не одна, а несколько цифр. К а ж д а я цифра имеет определенное числовое значение (или вес), причем числовое значение каждой цифры зависит от положения цифры в числе. В общем случае в позиционной системе счисления любое целое число N можно выразить в следующей форме: N = aß1-1

+ ai-\Bl~2

• • • + а2В' + clJP = V <7.78) i=1 Символ В обозначает основание системы и равен числу символов или знаков в данной системе, например, в десятичной ß = 10, а в двоичной — В = 2. В каждой системе счисления есть знак для обозначения нуля. Поэтому наибольшее числовое значение знака в каждой системе равно В — 1. Например, в десятичной системе наибольшее значение знака равно девяти, а в двоичной — единице. Символ / обозначает номер старшей позиции или числа разрядов данного числа. Символы ах — а1 являются знаками или цифрами данной системы счисления, стоящими в соответствующем разряде каждого числа. В десятичной системе счисления символы ах — aL являются цифрами от 0 до 9, а в двоичной — 0 и 1. Используя (7.78), представим для примера число N, равное 76, N 1 0 = 7 • 10 1 + 6 • 10° = 76; 6 N2 = 1 • 2 + 0 • 2 5 + 0 • 2 4 + 1 • 2 3 + 1 • 2 2 + 0 • 2 1 + 0 • 2° = = 1001100 = 76. Наибольшее значение числа, которое может быть выражено в данной системе счисления при данном количестве разрядов I, iVa = ß ' - l . .308

рис. 7.15. Зависимость между основанием системы счисления В и необходимым количеством разрядов I при заданном максимальном числе N

Определим необходимое число разрядов для представления числа 60 ООО в десятичной и двоичной системах счисления: I = b g ß (/VH + 1) = = loglo(60 0 0 0 + l ) s 5 ; l = logs(iV H + 1) = = log 2 (60 000 + 16. Зависимость между В и I при заданном JVH представлена на рис. 7.15. Возможны два предельных случая, при которых или В, или I приравнивается максимальному числу N„. В первом предельном случае при ß = 1 — это единичная система счисления, при которой максимальное число разрядов равно выражаемому числу N н (Zmax = N H ). В единичной системе все числа от 1 до JV„ представляются с помощью соответствующего количества знаков 1, однако при этом изображение больших чисел получается очень громоздким. Во втором предельном случае при В — NH имеет место кодирование одноразрядными знаками, т. е. / = 1. При этом количество различных знаков равно Na. В этой системе все кодовые изображения максимально кратки — в виде одного знака, но знаков различных нужно столько, сколько единиц в числе Ы я , что делает эту систему практически неприменимой для кодирования больших чисел. Увеличение основания системы счисления В и числа разрядов I при заданном Nn ведет к усложнению систем передачи и обработки кодов. Поэтому наименее сложной является система счисления, у которой произведение основания на число разрядов минимально: Bl ~ min. На рис. 7.15 видно, что наиболее близкой к оптимальной по минимуму произведения В1 является троичная система, т. е. с основанием 5 = 3. При В = 4 для Na = 60000, I = 8, т. е. В1 = 32; при В = 3, I = 10. следовательно, произведение В1 = 30. Д л я двоичной системы при этих условиях В1 = 2 16 = 32, для десятичной В1 = 10 • 5 = == 50. Следовательно, троичная система оптимальна, а двоичная — близка к ней в смысле минимальной сложности. Коды, используемые в измерительной технике Кодом называется форма представления сообщений, в которой реализуются определенные правила, обеспечивающие соответствие между совокупностями кодовых символов и кодируемыми сообщениями. Кодовым с и г н а л о м называется совокупность элементов, реально представляющих совокупность символов, которой закодировано сообщение или число. .309

Рис. 7.16. Систематизация цифровых кодов, применяемых в измерительной технике.

В вычислительной технике, телеуправлении, телеизмерениях и других областях техники применяется большое количество различных кодов. В измерительной технике для представления чисел — результатов измерения — чаще всего применяются цифровые коды. Ц и ф р о в ы м к о д о м , называют форму представления числового значения величин, удобную для реализации различными дискретными устройствами. Систематизация цифровых кодов показана на рис. 7.16. По наличию или отсутствию определенного веса или числового значения у каждого символа коды соответственно подразделяются на взвешенные и невзвешенные. В зависимости от используемой группы системы счисления взвешенные коды подразделяются на непозиционные и позиционные. По используемой в них системе счисления коды делятся на единичные, десятичные, двоичные, единично-десятичные, двоично-десятичные (табл. 12). Единичный код может быгь единичным нормальным (ГОСТ 12814—74), одноканальньш А ^ или единичным позиционным или многоканальным предназначенным для передачи единичными импульсами по проводам. В случае одноканального кода A^jij для представления числа другим кодом нужен счетчик импульсов; в случае многоканального кода А^"' статический преобразователь кода обычно предсгавлен в виде матрицы. .310

Единичный нормальный, или одноканальный к о д Nf\\, удобен для интегрирования в процессе измерения, для осреднения результатов многократных измерений с целью исключения случайных погрешностей путем суммирования счетчиком импульсов, вычитания реверсивным счетчиком, деления в процессе суммирования при помощи делителя импульсов, дифференцирования путем вычитания соседних отсчетов функциональных преобразований в схемах с делителями и умножителями импульсов.

Е д и н и ч н ы й п о з и ц и о н н ы й , или м н о г о к а н а л ь н ы й к о д Wj"), необходим в статистических анализаторах, построителях кривой распределения, в функциональных матричных преобразователях кода. Единичные коды неудобны для регистрации и индикации. Десятичный код N(w) применяется для управления звеньями визуального цифрового отсчета или цифровой регистрации, в которых используется десятичная система счисления. Для представления ряда чисел от 0 до 999 в десятичном коде при наличии устройств с десятью устойчивыми состояниями необходимо только три таких устройства, а при использовании устройств с двумя устойчивыми состояниями необходимо 30 устройств. Двоичный код N2 применяется в вычислительных устройствах и кодирующих преобразователях и удобен малым числом элементов и каналов. Для представления ряда чисел от 0 до 999 в двоичном коде необходимо десять устройств с двумя устойчивыми состояниями. Однако преобразователи двоичного кода в десятичный, необходимые для управления звеньями цифровой индикации и регистрации, сложны. Поэтому в измерительной технике часто применяются различные двоич-

0 1

2 3

4 5 6 7 8 9 10

12. Цифровые символы первичных

Единичный нормальный код, № а )

1 1 1 1

И 111 1111 11111 111111 1111111 11111111

1 1 1 1 1 1 1

Единичный позиционный код, ЛГ(1)

00000000001 00000000010 00000000100 00000001000 00000010000 00000100000 00001000000 00010000000 00100000000 01000000000 10000000000

Двоичный нормальный код, N (2)

Нормальный ряд чисел

Таблица

цифровых кодов общего применения

Единично-десятичный koäj

^(1—10)

001 0000000001 00000001 001 0000000001 00000010 001 0000000001 00000011 001 0000000001 00000100 001 0000000001 00000101 001 0000000001 00000110 001 0000000001 00000111 001 0000000001 00001000 001 0000000001 00001001 001 0000000001 00001010 001 0000000010 00000000

Двоично-десятичный код, N

(2—10)

0000000010 0000000100 0000001000 0000010000 0000100000 0001000000 0010000000 0100000000 1000000000

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

0000000001

00 0001 0000

0000000001

0000 0 0 0 0 0000 0001 0000 0010 0000 ООП 0000 0100 0000 0101 0000 0110 0000 0111 0000 1000 0000 1001

.311

но-десятичные коды, более удобные для преобразования в десятичный и мало отличающиеся от двоичного кода числом необходимых элементов. В зависимости от способа выдачи сигнала кода цифровые коды делятся на параллельные, в которых сигналы всех разрядов числа выдаются одновременно по соответствующему числу каналов или по одному каналу с частотным разделением, и последовательные, в которых сигналы по разрядам числа выдаются поочередно G временными промежутками в один канал. При параллельном коде достигается более высокое быстродействие, при последовательном — уменьшается число каналов до одного, но уменьшается и быстродействие. На выходе измерительного устройства при визуальной цифровой индикации результат измерения представляется в выходном десятичном коде ЛГВЫХ = t

аДО'" 1 .

Цифровой код, получаемый на первом этапе отражения размера величины числом, будем называть первичным кодом. Выбор первичного кода во многом определяет характеристики процедуры измерения. Виды первичных кодов и группы методов измерения определяют совместно: 1) алгоритм измерения и состав операций; 2) состав средств измерения и аппаратурную сложность измерительного устройства; 3) время, необходимое для реализации процедуры измерения. При методе сопоставления и первичном единичном позиционном коде в многоканальном варианте Nft\ процедура измерения реализуется простейшим алгоритмом, состоящим из одной операции сравнения. При этом необходимо, чтобы число устройств сравнения было равно наибольшему из возможных числовых значений измеряемой величины Ntt, следовательно, аппаратурная сложность будет наибольшей. Время измерения минимально, благодаря одноступенчатому алгоритму и равно времени срабатывания устройств сравнения

При методе уравновешивания время измерения зависит также от первичного кода. При первичном единичном коде в одноканальной варианте №(1) процедура измерения реализуется алгоритмом равномерно ступенчатого приближения, который включает две операции — сравнение и воспроизведение равномерно-ступенчатой, известной по значению величины. При этом необходимо только одно устройство сравнения и одна регулируемая мера, что обеспечивает минимальную аппаратурную сложность. Время измерения следующее; ta = 1ВМа,

где I = Мн, В = l,ta= .312

(7.79)

NHAtK-, AtM время отработки одной ступени меры.

При единичном коде N°] время измерений велико. Поэтому и используют коды, основанные на позиционных системах счисления. При "цифровом коде соответствующим выбором системы счисления В можно уменьшить время измерения и произведение В1 (а значит, и аппаратурную сложность И У). При выборе первичным двоичного кода N2 в состав операций входит сравнение и воспроизведение при помощи регулируемой одноканальной меры, управляемой двоичным кодом. При этом необходимы одно устройство сравнения и одна мера. Время измерения составит /И = / ( В — 1)Дг м , (7.80) при В — 2, т. е. при двоичном коде t„ = lAtM = (log 2 NH) AtM = 3,3 (log 10 NH) Ata. При выборе первичным десятичного кода

ß=10;

l = log10 Nн;

= (ß - 1) Ш м = 9(log10JVH) Д/м.

При выборе первичным двоично-десятичного кода N2—ю *„ = 4(log 10 W H )A* M . (7.81) В цифровой измерительной технике чаще всего применяются двоично-десятичные коды, так как время измерения при них близко к минимальному и они удобнее двоичных для преобразования в десятичный код. Анализ погрешности передачи числовых кодовых сигналов Предположим, что кодовые сигналы, представляющие результаты измерений, t распределенные равномерно в диапазоне 0...21 — 1, передаются по I параллельным каналам двоичным кодом. В каждом из каналов действует помеха. Поэтому каждый из символов кодового сигнала может быть искажен с вероятностью Я кан , которая одинакова и постоянна для всех каналов. Предполагаем, что основную часть ошибочных комбинаций составляют комбинации с ошибочными символами только в одном из каналов. В этом случае вероятность того, что в /-канальном кодовом сигнале, состоящем из/символов, из-за действия помех искажен на обратный только один символ Рком (1) = /Ркан. (7.82) Для оценки погрешности в передаче числового значения, возникающей из-за ошибок в передаче кодовых символов, определим оценки ее математического ожидания и дисперсии. При Na 1 и при симметричном законе распределения передаваемых чисел, ввиду одинакового среднего числа нулей и единиц в передаваемых кодовых сигналах, распределение погрешности от ошибок в передаче закодированных чисел, при учете ранее принятых ограничений будет симметричным, и среднее ее значение будет равно нулю. Для определения оценки дисперсии погрешности от ошибок передачи числовых кодовых сигналов воспользуемся правилом суммирова.314

ния дисперсий независимых и случайных величин. В общем случае представляемое двоичным кодом число равно N =

2 i=i

Дисперсию ошибки передачи каждого символа а( обозначим D (А„.), дисперсию погрешности передаваемого числа — D (AN). Дисперсия погрешности передаваемых равномерно распределенных чисел будет следующей з i=i D (AN) = 1 £

D(Aa)22(i~[).

i=i

При двоичном коде [84] Д(Ла.) = 2

а~ 0 ' ' где Р (Аа.) = Ркян?2 — вероятность появления ошибочного символа в i-м канале. Тогда D(A a p = PKaH. '

В этом случае дисперсия погрешности передачи закодированных равномерно распределенных чисел будет равна i=i

D (AN) = Рка„ S 22(1—1) = (22' -

1)/(22 -

1) Р кан = N2HPKJ3.

i=i

Далее определяем дисперсию погрешности передачи в единицах величины о 2 (Апер) = D (AN) =

Р кан .

Если числа, представленные кодом, распределены нормально, то при хн = За (X) приведенное значение с. к. о. погрешности от наличия помех в каналах передачи будет таким; ^<дпеР> =

°за(Х)

(

При постоянстве сигнала символа хс и нормальной симметричной помехе в канале с с. к. о. оП0М вероятность ошибки в каждом канале Ркан — определяется вероятностью превышения х0 мгновенным значением Д Х п о м . Показано [84], что в этих условиях Рка„=1/]/-^-е^

/ а

пом

Например, при xt/ol0M = 25 Ркш = 6 • Ю - 7 ; .314

7aи пnet) = 0,5 • Ю- 3 . ер

(7.84)

Коды и кодирование в каналах связи

Коды, предназначенные для кодирования сообщений, передаваемых Lno каналам связи, удовлетворяют ряду специфических требований! эффективности, заключающейся в возможности передачи данных ^сообщений за минимальное время; коды, удовлетворяющие этому требованию, называются оптимальными, или эффективными; помехозащищенности, заключающейся в возможности выявления ркодовой комбинации, искаженной помехой, коды, удовлетворяющие Увтому требованию, называются корректирующимися; удобству безошибочного различения начала каждой кодовой комбинации; удобству декодирования сообщения; высокой надежности различения символов кода; для удовлетворения этого требования в кодах обычно используются двоичные символы О и 1. Коды, используемые для передачи, бывают равномерными и нерава,номерными. В равномерных кодах все комбинации состоят из одинакового числа |символов (и), т. е. имеют одинаковую длину, а в неравномерных — из ^неодинакового, т. е. имеют неодинаковую длину. При одинаковой дликне кодовых комбинаций облегчается определение границ каждой из |цих, которое производится путем подсчета числа символов. В неравномерных кодах необходимо для различения кодовых комбинаций предусматривать специальные разделительные символы. Например, в коде Морзе такими разделительными символами служат паузы длительностью в одно тире. Это удлиняет сообщения и уменьшает скорость передачи. Оптимальные, или эффективные, коды

Каждое сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из набора ^Кодовых комбинаций — «букв», или чисел, и чем сложнее сообщение, »ем больше различных букв необходимо для его кодирования. Каждая буква, в свою очередь, кодируется комбинацией символов или знаков кода. Для обеспечения высокой надежности различения при декодировании и приеме символов обычно используют двоичные символы I и 0. Для передачи по каналу связи каждого символа необходимо затратить определенное время т0. Поэтому чем больше символов необходимо ^для кодирования каждой буквы, тем длиннее их комбинация, тем больш е необходимые затраты времени при передаче. Если во всех передаваемых данным кодом сообщениях вероятность 'Использования всех букв одинакова, то для обеспечения минимального времени передачи сообщений необходимо, чтобы минимальной была средняя длина кодовой комбинации. В этом случае среднее время -передачи независимых кодовых комбинаций i=m

тк = т0 £ щРфД, i=l .315

где т — число кодовых комбинаций; Р (bt) — вероятность данной кодовой комбинации Ь{; п{ — число символов в кодовой комбинации При увеличении числа кодовых комбинаций или значений измеряемой величины в данном сообщении среднее время его передачи увеличивается, а быстродействие снижается. Поэтому необходимо предпринимать меры по повышению быстродействия передачи. Скорость передачи информации по каналу У„„ = Н (а)/т к ,

(7.85)

где Ща) — энтропия источника передаваемых сообщений — среднее количество информации, приходящейся на каждый элемент данного сообщения; m

Я(а) = - £

>=1

P(at)\ogP{at),

где Р (й() — вероятность элемента данного сообщения. Тогда скорость передачи информации по каналу т Р (а,) log Р (а,) Ки„ =

(7.86)

т„ £ <Ч р №<) >•= i

Для увеличения скорости передачи V„H необходимо снижать время <с0, затрачиваемое на передачу по каналу каждого символа кода. Однако минимальное значение т0 ограничено шириной полосы пропускания канала связи / кан ; То min

Vг/хан-

Поэтому необходимы также и другие меры для повышения скорости передачи информации. Одной из таких мер является статистическое согласование источника информации и кода. Целесообразность этого была указана Шенноном. Действительно, в (7.86) вероятности элементов сообщения Р (а{) при безошибочном кодировании равны вероятностям соответствующих кодовых комбинаций Р (bt). Тогда скорость передачи VHH будет наибольшей, если выполняется условие Щ = — log Р (а<). В этом случае скорость передачи информации Уин достигает максимального значения, равного пропускной способности канала связи с двоичными символами кодаз с — 1/т0. Выполнение условия статистического согласования nt = - log 1 /Р (а,) = log МР (Ь{) означает, что более вероятные элементы сообщения должны кодироваться более короткими комбинациями символов с меньшим числом nlt а менее вероятные элементы — с большим. Коды, удовлетворяющие этому требованию, называются оптимальными, или эффективными. Одним из оптимальных является код Шеннона — Фано. Рассмотрим принцип его построения на примере кода, предназначенного для коди.316

рования сообщений источника, вырабатывающего четыре сообщения öi, Ö2, «з» ai с вероятностями Р (ах) = 0,5; Р (а2) = 0,25; Р (а3) = = Р (а4) = 0,125. Вероятности Р (at), Р (а2), Р (а3) и Р (а4) вписываются в кодовую таблицу в порядке убывания (табл. 13). После этого разбиваем вероятности на две группы, с тем чтобы сумма вероятностей в обеих группах была бы по возможности одинаковой. Затем в каждой из групп это деление повторяется до тех пор, пока число вероятностей хотя бы в одной из подгрупп будет превышать одну. При этом начинается формирование комбинаций символов, и в качестве первых из них для кодирования сообщений первой группы выбирается символ 0, а второй 1. При подразделении на следующие подгруппы этот порядок выбора вторых и последующих символов 0 и 1 каждый раз повторяется. При этом автоматически обеспечивается выполнение требования статистической согласованности, и более вероятным элементам сообщения присваиваются более короткие кодовые комбинации, и наоборот. Так, например, элемент сообщения аи имеющий наибольшую вероятность, кодируется кодовой комбинацией, состоящей только из одного символа 0, а наименее вероятные элементы сообщения аъ и ak кодируются более длинными кодовыми комбинациями, состоящими из трех символов. В табл. 14 дан пример построения кода Шеннона для кодирования сообщений, состоящих из восьми элементов. Код Шеннона — Фано получается неравномерным, однако необходимость во введении разделительных символов между кодовыми комбинациями не возникает, так как в конце коротких кодовых комбинаций, Таблица

13. Пример построения кода Шеннона — Фано для кодирования сообщений, состоящих из четырех элементов Группа

Р (а,-)

Комбинация I

0 1 1 1

0,5 0,25 0,125 0,125

°2

Таблица

Буква

Ч ч г

III

0 1 1

0 10 110 111

0 1

1 2 3 3

14. Пример построения кода Шеннона — Фано для кодирования сообщений, состоящих из восьми элементов

Вероятность

v2 v: V«

Кодовая комбинация

Ступень разбиения

I I II III

01 001 0001

Буква

Вероятность

г7 2

/128 '128

Кодовая комбинация

Ступень разбиения

00001 000001 0000001

IV V VI VII

0000000

. 3 1 7

в данном случае 0 и 10, стоят символы, не совпадающие с начальными символами более длинных кодовых комбинаций, т. е. в данном случае 110 и 111. Это важное свойство оптимального кода Шеннона — Фано обеспечивается алгоритмом его образования. На основании данных табл. 13 можно по формуле (7.86) определить для данного примера кода Шеннона — Фано скорость передачи информации v

— 0,5 log 0,5 —0,25 log 0,25 — 2 • 0,125 log 0,125 (0,5 • 1 + 0,25 • 2 + 2 • 3 • 0,125) т 0

1,75 ^ 1,75т0

1 т0

= С

Следовательно, при данном оптимальном коде обеспечивается максимальная скорость передачи информации. Для сравнения определим Vm для этого же примера в случае применения обычного взвешенного двоичного кода. Тогда символы кода будут 00; 01; 10; 11, код равномерен, все кодовые комбинации имеют одинаковое число символов, равное двум. В этом случае скорость передачи информации v

_ —0,5 log 0,5 —0,25 log 0,25 — 2 • 0,125 logO, 125 _ 1,75 (0,5 • 2 + 0,25 • 2 + 2 • 2 • 0,125)т 0 ~~ 2т0 '

Таким образом, как и следовало ожидать, скорость передачи информации при использовании взвешенного двоичного кода уменьшилась. Недостатком оптимальных кодов является отсутствие избыточности. Поэтому эти коды весьма чувствительны к действию помех и рекомендуются только для каналов, в которых помехи незначительны. Корректирующие коды Основной причиной, снижающей достоверность передачи дискретных сообщений, являются дискретные импульсные помехи. Поэтому все коды, применяемые в каналах с помехами, должны в той или иной степени обеспечивать возможность устранения ошибок из-за воздействия помех. Корректирующими называются коды, в которых предусмотрено обнаружение и исправление ошибок, возникающих от действия помех, основанное на избыточности корректирующих кодов. Относительная избыточность корректирующего кода dorn = П — klk,

(7.87)

где п — общее число символов комбинации равномерного корректируюкмцего кода; k — число информационных символов этого кода, используемых для передачи информации. При обычно применяемых в технике передачи двоичных символах число разрешенных информационных комбинаций равно 2k, а общее число комбинаций 2". Следовательно, число комбинаций, не несущих информации, 2" — 2ft, эти комбинации называют неразрешенными. Если в одну из разрешенных комбинаций попадает помеха, то она может быть переведена либо в неразрешенную комбинацию, чем будет обнаружена ошибка, либо в другую разрешенную комбинацию. В последнем случае ошибка не обнаруживается. . 3 1 8

Определим относительное число ошибок, которые могут быть обнаружены данным кодом. Если передача информации, в которой максимальное число сообщений равно 2 \ производится комбинациями, состоящими из п двоичных символов, то максимальное число комбинаций равно 2". При наличии искажений любая из 2* разрешенных комбинаций может быть переведена в любую из 2" возможных комбинаций, общее число случаев передачи будет равно 2* • 2". Число случаев перехода любой из 2* разрешенных комбинаций в другую разрешенную будет равно 2* (2fe_l). Зная число случаев неразрешенных комбинаций, равное (2П — 2*), можно определить и число обнаруживаемых ошибок от действия помех, т. е. случаев перехода в неразрешенные комбинации, которые могут быть обнаружены. Это число равно 2* (2" — 2*). Тогда относительное число ошибок, которые могут быть обнаружены, 2к(2п — 2к)

Следовательно, если искажающая код помеха может быть любой,, то обнаруживаться может только часть ошибочных комбинаций. Задача корректирующего кода состоит не только в обнаружении, но и в исправлении ошибок. Однако исправленными могут быть только часть из обнаруживаемых ошибочных комбинаций, их относительное число __ С

2 " — 2*

2k(2n-2k)

2k '

(7 89)

' '

Даже при минимальном числе избыточных символов, равным единице, только 50 % ошибочных комбинаций могут быть обнаружены итолько половина их исправлена. Однако любые помехи, например искажение каждого символа, весьма мало вероятны. Поэтому корректив рующие коды делают помехозащищенными главным образом от наиболее вероятных помех низкой кратности, т. е. искажающих только один или два—три символа в данной кодовой комбинации. Для этих условий созданы коды, которые могут обнаруживать и исправлять все помех» такого рода.

Глава

ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Точность измерения является основной характеристикой качества измерений, а точность СИ, характеризуемая его погрешностью, является основной характеристикой степени совершенства СИ. При проектировании СИ среди различных расчетов, естественно, основным является расчет или анализ погрешностей вновь создаваемого СИ. Великие русские ученые Д. И. Менделеев и П. Л. Чебышев много сделали в области анализа погрешностей. Теория точности СИ, прежде всего измерительных приборов, преобразователей и механизмов была создана трудами советских ученых: акад. Н. Г. Бруевичем [9], проф. Н. Н. Пономаревым, чл.-корр. АН УССР А. Д. Нестеренко, В. В. Петровым, проф. В. О. Арутюновым [3, 4], акад. АН УССР Ф. Б. Гриневичем, проф. Д. А. Браславским [8]. Анализ точности СИ является одним из основных этапов синтеза СИ. Целью анализа точности погрешностей является расчет суммарной погрешности СИ, сравнение полученного значения с заданным, выявление звена, вносящего наибольший вклад в суммарную погрешность, выбор метода коррекции. Рассмотрим основные виды погрешностей и классы точности СИ, их нормированные метрологические характеристики, методы анализа статических и динамических погрешностей и методы повышения точности измерительных приборов и преобразователей. 8.1.

КЛАССИФИКАЦИЯ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

СРЕДСТВ

ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешности СИ классифицируют по следующим признакам <рис. 8.1). По с п о с о б у в ы р а ж е н и я погрешности подразделяют «а абсолютные, приведенные и относительные. Абсолютной погрешностью измерительного прибора называют разность между его показанием хы и истинным значением измеряемой величины X: Д

= Хы — X.

(8.1)

Абсолютная погрешность измерительного преобразователя может •быть выражена в единицах входной измеряемой величины X и в единицах выходной величины Y. При линейной характеристике ИП Д у = К А. . 2 2 0

[ | | ПриведенныеОтносительные

По cnocoffy Выражения

\ А5тютные

Нохарактеру изменения

\систматические\

По зависимости от X Аддитивные

| Случайные Нелинейные

основные 'Поус/юбиям возникновения

Порежиму работы СИ

О тонические

]

дополнительные

I Статические

Рис. 8.1. Систематизация погрешностей измерительных преобразователей и приборов.

Приведенная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к нормирующему значению хИ0рм и выражается обычно в процентах: 7 = —

100 %.

•"•нор

Нормирующее значение хИ0р для СИ в зависимости от характера шкалы, расположения пределов измерения и нулевого значения, от наличия номинального значения, характера х устанавливается равньм: при нулевой отметке, расположенной на краю или вне диапазона измерения — большему из пределов измерения; у электроизмерительных приборов при равномерной или степенной шкале и при нулевой отметке, расположенной внутри диапазона измерения,— сумме модулей пределов измерения; при существенно неравномерной шкале — всей длине шкалы или ее части, соответствующей диапазону измерения; при установленном номинальном значении измеряемой величины (например у частотомера 45...55 Гц номинальное значение 50 Гц) — номинальному значению; при измерении величин, для которых принята шкала с условным нулем (например для температуры),— модулю разности пределов измерений. ~ Относительная погрешность измерительного прибора равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины б = А/х. Эта погрешность наиболее полно характеризует точность измерения, выполненного с помощью данного прибора. Поэтому удобны в пользовании измерительные приборы, у которых во всем диапазоне измерения относительная погрешность остается постоянной, класс точности таких приборов рекомендуется по ГОСТ 8.401—80 выражать в виде относительной погрешности. По х а р а к т е р у и з м е н е н и я погрешности средств измерений подразделяются на систематические и случайные. П

818

321

Систематической погрешностью Д„ измерительного прибора называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся. Качество измерительного прибора, отражающее близость к нулю его систематических погрешностей, называется правильностью. Случайной погрешностью Д измерительного прибора называется составляющая погрешности, изменяюкой трехчленной погрешности. щаяся случайным образом. Качество измерительного прибора, отражающее близость к нулю его случайной погрешности, называется сходимостью показаний. По з а в и с и м о с т и а б с о л ю т н о й погрешности о т з н а ч е н и й * погрешности подразделяются на аддитивные Дад, независимые от х; мультипликативные Дм, пропорциональные х, и нелинейные, обычно пропорциональные х2 (рис. 8.2). Такое подразделение погрешностей соответствует представлению погрешностей многочленной моделью [56]. Аддитивные погрешности в однозвенных ИП возникают, например, в виде аддитивной помехи на входе Дп. Тогда при линейном ИП у = К(х + Ав) = Кх + КАв. Мультипликативные погрешности возникают в однозвенных линейных ИП от изменения их параметров, например, у = (К + Дк) * = Кх + Д к * = Кх + Ду. После приведения ко входу в единицах х получаем Д у/К = Акх/К = Ькх = бмх = Дм. Нелинейные составляющие погрешности Ааел возникают, например, в ИП с номинальной функцией преобразования у = Кх + ах2 — — Кх + Д Н е л при доминирующей линейной составляющей. Аддитивные, мультипликативные погрешности и погрешности от нелинейности в зависимости от характера изменения также подразделяются на систематические и случайные. Суммарная систематическая многочленная погрешность равна М (Асуы) =

М (Дад) +

М (Дм) +

М (Днел).

(8.2)

С. к. о. суммарной случайной многочленной погрешности, при условии независимости ее составляющих, равна О (Дсум) =

V o

(Дад) +

о 2 (Дм) +

а 2 ( Д нел)-

(8.3)

Очевидно, что многочленная погрешность и ее составляющие могут быть выражены также в виде приведенной и относительной погрешностей. Часто многочленную погрешность ограничивают двумя членами. П о у с л о в и я м в о з н и к н о в е н и я погрешности СИ подразделяют на основные и дополнительные. .322

Основная погрешность возникает в СИ, которое используется в Нормальных условиях (главным образом в результате отклонений внутренних параметров СИ от их значений при градуировке СИ). Дополнительная погрешность ИП — изменение его погрешности, вызванное отклонением одной из влияющих величин от ее нормального значения или выходом ее за пределы нормальной области значений. Дополнительные погрешности удобно определять по функциям влияния от изменения внешней влияющей величины Д| —

?нор,

где |Нор — значение влияющей величины в нормальных условиях; — значение влияющей величины в рабочих условиях. Тогда статистические характеристики суммарной погрешности в рабочих условиях: М р (ДСум) = М ( Д с у м ) + М (ЛД|); D p (Дсум) = D (Дсум) + D (ВАг). В простейшем случае функции влияния являются линейными. Обычно наибольшее воздействие влияющие величины оказывают на систематическую составляющую погрешности, так как приводят к однозначным изменениям внутренних параметров СИ. Если влияющие величины являются случайными, то функции влияния становятся функциями случайных аргументов, что необходимо учитывать при определении сум; марной погрешности ИП в рабочих условиях. Предел допускаемой погрешности СИ — наибольшая его погрешность, при которой СИ может быть признано годным и допущено к применению. По р е ж и м у р а б о т ы СИ погрешности подразделяются на погрешности в статическом и динамическом режимах. Режим работы средства измерений определяется частотным спектром входного сигнала, временем измерения и динамическими свойствами СИ. Статическим называется режим, при котором размер входной величины во время ее измерения остается неизменным, а время измерения является достаточным для затухания переходных процессов, возникших в измерительной цепи при подаче входного сигнала. Динамическим называется режим, при котором инерционным измерительным прибором измеряются мгновенные значения входной величины с изменяющимся размером, а также величины с неизменным размером, если за время измерения не достигается затухание переходных процессов. Статическая погрешность СИ тождественна погрешности в статическом режиме его работы, который является частным случаем динамического режима. Погрешность СИ в динамическом режиме состоит из статической и динамической погрешностей. 8.2. КЛАССЫ ТОЧНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ

Класс точности — это обобщенная характеристика, определяющая пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей. В обозначении класса точности используются числа, которые характеризуют 11*

323

предел допускаемой погрешности в виде абсолютной, приведенной, относительной погрешности, а также буквы латинского алфавита или римские цифры. Класс точности характеризует точность СИ, но не является непосредственной характеристикой точности измерения, выполненного с помощью данного СИ. Выражать класо точности желательно с помощью относительной погрешности, более удобной для характеристики точности измерения, выполненного с помощью данного СИ. Это можно сделать для СИ с преобладающей постоянной относительной погрешностью. Однако у многих СИ преобладает постоянная приведенная погрешность. Кроме того, ряд СИ удобнее характеризовать абсолютной погрешностью. Например, меры массы (гири) и концевые меры длины обычно используются в различных сочетаниях, и поэтому для определения погрешности измерения в этом случае удобнее суммировать их абсолютные погрешности. Основные способы установления пределов, допускаемых погрешностей СИ и обозначения классов точности

По ГОСТ 8.401—80 определены следующие основные способы установления пределов допускаемых погрешностей и обозначения классов точности. 1. Для СИ, у которых границы основной абсолютной погрешности практически неизменены, пределы допускаемой погрешности принято выражать в форме абсолютных погрешностей, а класс точности СИ следует обозначать прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами. Классам точности, которым соответствуют меньшие пределы допускаемых погрешностей, должны соответствовать буквы, находящиеся ближе к началу алфавита, или цифры, означающие меньшие числа. К этим СИ относятся многозначные меры. 2. Для СИ, у которых границы абсолютной погрешности практически неизменны и нормирующее значение измеряемой величины выражено в единицах измеряемой величины, пределы допускаемой основной погрешности принято выражать в форме приведенной погрешности, а класс точности СИ — одним числом, которое должно совпадать с числовым значением предела допускаемой приведенной основной погрешности, выраженной в процентах, V = Д/Хнор • 100 % = ± р, (8.4) где р — отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда: 1 • 10";

1,5 • 10";

2 • 10";

4 . 10";

5 • 10";

6 . 10"

2,5 • 10"; (п = 1, 0, —1, —2, . . . ) .

К СИ этой группы относятся показывающие и самопишущие приборы, у которых преобладают аддитивные погрешности — погрешности от трения, отсчета, от изменения положения в пространстве и др. 3. Для СИ, у которых границы относительной погрешности можно полагать практически неизменными, пределы допускаемой погрешности 324

Задует выражать в форме относительной погрешности, а класс точности ЛеХует обозначать числом, помещенным в кружок и равным пределу допускаемой относительной погрешности в процентах. К СИ этой •руппы относятся однозначные меры (используемые не в наборе), интегрирующие приборы, например счетчики энергии. В интегрирующих приборах невозможно учесть изменения X, так как известен только интеграл от х. 4. Для СИ, у которых границы абсолютных погрешностей можно полагать изменяющимися практически линейно Д = ± (а + Ьх), ~ пределы допускаемых погрешностей следует выражать в форме относительной погрешности по двухчленной формуле бвум = Д/я = ± [с + d ( | x j x | — 1],

(8.5)

где d = а/х к = уад; с = b -f- d = уая + 6М; b — бм; хк — больший из пределов измерений. Обозначение класса точности в этом случае состоит из двух чисел, выражающих с и d в процентах и разделенных косой чертой (c/d), например класс 0,02/0,01. Такое обозначение удобно, так как первый его член с равен относительной погрешности СИ в наиболее благоприятных условиях, когда х « хк, а второй член формулы характеризует увеличение относительной погрешности измерения при уменьшении х, т. е. ^влияние аддитивной составляющей погрешности. К четвертой группе СИ относятся цифровые приборы уравновешивания — мосты, компенсаторы — как с ручным, так и с автоматическим уравновешиванием. Зарубежные приборостроительные фирмы в большинстве случаев для характеристики точности цифровых приборов указывают приведенное значение аддитивной и относительное значение мультипликативной . составляющих погрешности в процентах, например 0,1 %of füll Scale + -f 0.1 % of riding (0,1 % от полной шкалы + 0,1 % отданного показания). 5. Для СИ, у которых шкала существенно нелинейна и границы основной абсолютной погрешности, выраженные в единицах длины " шкалы можно полагать практически неизменными пределы допускаемой основной погрешности принято выражать в форме приведенной погрешности ?пр — Д//Аюр»

при этом /Нор также выражено в единицах длины шкалы, а класс точности в этом случае обозначается одним числом в процентах и помещается между двумя линиями, расположенными под углом. К этим СИ относятся показывающие приборы с резко неравномерной шкалой, например гиперболической или логарифмической. В состав таких СИ входит предвключенный существенно нелинейный ИП у = f (х). Характеристика шкалы прибора в этом случае имеет обратную нелинейность I — f~l (у), что и обеспечивает линейную зависимость между / и х , вот почему тут Д^нор

Д/^нор

Тпр-

.325

8.3. НОРМИРУЕМЫЕ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Класс точности для большинства измерительных приборов дает представление о точности измерения, выполненного данным прибором, однако не позволяет определить показатели точности результата измерения согласно ГОСТ 8.011—72 даже по простейшей первой форме в виде интервалов и вероятности нахождения погрешности в их пределах. Отсутствие единых показателей точности результата измерения затрудняет его использование в автоматических системах управления и может приводить к выработке управляющих воздействий, не соответствующих состоянию управляемого объекта. Если погрешность средства измерений нормировать только классом точности, то при анализе погрешностей информационно-измерительных систем и косвенных измерений суммарную погрешность в рабочих условиях приходится определять арифметическим суммированием, что приводит к резкому завышению погрешности, неполному использованию метрологических возможностей измерительных устройств и неоправданно завышенным требованиям к СИ. Если погрешность СИ принимается случайной величиной, то характеристикой ее является кривая распределения. Для определения кривой распределения погрешности необходимо затратить очень много труда или создать сложное высокопроизводительное и дорогостоящее специальное метрологическое оборудование. Однако практически достаточно с вероятностной точки зрения характеризовать закон распределения погрешностей двумя первыми моментами кривой распределения. ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений» установлены такие метрологические характеристики, которые дают возможность оценить погрешность СИ в нормальных и рабочих условиях эксплуатации, оценить динамические погрешности СИ, получить показатели точности результата измерений в одной из форм, предусмотренных ГОСТ 8.011—72 «Показатели точности измерений и формы представления результата измерения». ГОСТ 8.009—72 введен в действие с 01.07.76 и распространяется на нормативно-техническую документацию, т. е. на стандарты, регламентирующие метрологические характеристики средств измерений. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений имеют следующие основные особенности: систематическая и случайная составляющие погрешности нормируются раздельно, что необходимо для определения показателей точности результата измерения согласно ГОСТ 8.011—72 и более корректного суммирования погрешностей; систематические погрешности средства измерений данного типа (от экземпляра к экземпляру) являются совокупностью случайных величин, поэтому стандартом нормируются не только предельные значения систематической составляющей погрешности, но также и статистические характеристики, т. е. математическое ожидание и с. к. о.; в условиях, отличных от нормальных, предусматривается нормирование функций влияния данных внешних воздействий на метрологи.326

«екие характеристики и наибольшие допустимые их отклонений под ^действием влияющих величин. Такой подход обеспечивает возможность нормирования метрологи? ческих характеристик любого экземпляра СИ данного типа. Основные нормируемые метрологические характеристики средств измерений, способы нормирования и формы их выражения

Установлены следующие метрологические характеристики (ГОСТ ß.009—72):

номинальная статическая характеристика / н преобразования измерительного преобразователя, которая выражается формулой, графиком, таблицей; номинальное значение выходной величины однозначной меры х„, которое выражается именованным числом; цена деления равномерной шкалы измерительного прибора или многозначной меры qK, которые выражаются именованными числами; выходной код, количество разрядов кода, номинальная цена единицы наименьшего разряда кода цифровых измерительных приборов; систематическая составляющая А погрешности выражается в единицах х и нормируется комплексом характеристик: а) пределом Ас допускаемой систематической составляющей погреш- ности СИ данного типа; б) математическим ожиданием М (Дс) систематической составляющей Дс погрешности СИ данного типа; в) с. к. о. <7 (Дс) систематической составляющей Д0 погрешности СИ данного типа; о случайная составляющая А погрешности нормируется комплексом своих характеристик: а) пределом допускаемого а д (Ä) с. к. о. случайной составляющей погрешности СИ данного типа, который выражается в единицах х; б) автокорреляционная функция R°A (т) или спектральная плотность S°A (со) случайной составляющей погрешности СИ данного типа, которая нормируется в виде номинальной функции или предела допускаемого отклонения от номинальной функции; погрешность средства измерений А, которая нормируется пределом допускаемого значения Д а СИ данного типа или Дд, М (А) и а (А) для СИ данного типа; вариация Ьх выходного сигнала измерительного преобразователя и вариация показаний измерительного прибора, которая нормируется наибольшим допустимым значением Ьх для СИ данного типа; входное zBX и выходное zBbIX сопротивление СИ. Установлены следующие основные динамические характеристики: а) функция динамического преобразования, т. е. функция связи между входом и выходом, которая нормируется видом передаточной функции, импульсной весовой функции, переходной характеристики, номинальными значениями и наибольшими допустимыми отклонениями Коэффициентов этих функций; .327

б) номинальные амплитудно- и фазочастотные характеристики, которые нормируются функциями или наибольшими допустимыми отклонениями от номинальных характеристик; в) время установления; неинформативные параметры входного сигнала. Для определения метрологических характеристик СИ в рабочих условиях, отличных от нормальных, для каждой влияющей величины отдельно устанавливаются: а) функции влияния я|) (Ag), которые нормируются номинальной функцией влияния и пределом допустимых отклонений от номинальной функции; б) наибольшие допустимые изменения метрологических характеристик средств измерений, вызванные изменениями влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала. Способы экспериментального определения оценок характеристик погрешности средства измерения

При экспериментальной оценке метрологических характеристик данного средства измерений производится его поверка с помощью более точного средства измерений. Значение погрешности средства измерений А определяется по формуле Д = XN —

Xa,

где хя — действительное значение информативного параметра входного сигнала, при котором показание прибора равно хщ. Оценка систематической составляющей погрешности данного средства измерений в точке а: диапазона измерения при наличии вариации Д0 = Д м /2 + Д б /2,

(8.6)

где Дм = l/nSAMi — среднее значение погрешности в точке х диапазона измерения при медленном, многократном изменении информативного параметра входного сигнала измерительного устройства со стороны меньших значений до данного значения х; Аб—1/п2Аы— среднее значение погрешности в точке х диапазона измерения при медленном, многократном изменении параметра входного сигнала измерительного устройства или выходного сигнала плавно регулируемой меры со стороны больших значений до данного значения х\ п — число опытов при определении Ам и Аб. Если вариация отсутствует или не учитывается, то Д0 определяют по формуле — о

Дс = 1/л2Аг.

Оценка с. к. о. о (А) случайной составляющей погрешности данного экземпляра средства измерений определяется по формуле через .328

рачения Дм и Дб: „ 0Г

-т/

(Д„/-Дм)2 + 2

(Л«-Дб)»

(Д)= У

•

(8-7)

Наибольшее значение суммарной погрешности А определяется как наибольшее по абсолютной величине из экспериментально полученных значений погрешностей Дмг и Дб{. Оценка вариации Ь% определяется как абсолютная величина разностей Дм и Аа (при п > 1) и Дм и Дб (при п = 1): К = I Дм —Дб|;

Ьх = | Д м - Д б | . Если вариация отсутствует или не учитывается, то -1/

о(Д) в= У f

S(Ai-Ac)2 (^Л)

•

(8-8)

Оценка погрешности Д у средств измерений с пониженным уровнем w О случайной погрешности (а (А), у которых она не превышает q % от Да), определяется при п = 1 как наибольшее по абсолютной величине из значений Дм и Дб, полученных экспериментально. Такие приборы более Удобны для разовых измерений. Если вариация отсутствует или не учитывается, то оценка А определяется в данной точке как единственное значение погрешности. < \ У средств измерений, с. к. о. которых превышает q % от предела допустимого значения погрешности Дд, оценка погрешности А определяется как граница интервала, симметричного относительно нулевого значения, в который попадают р значений погрешности из общего щ числа п. Значения ри п указываются в нормативно-технической документации на данный прибор. Время снятия п отсчетов при определе;яии оценок погрешности, систематической и случайной составляющих погрешности не должно превышать 100 / у , где ty— время установления показаний или выходного сигнала данного средства измерения. 1 • Оценки МО систематической составляющей погрешности средств измерений данного типа М (Ас) и погрешности А средств измерений данного типа М (А) определяется по следующим формулам: М (Де) = \/т £ Д„; i=l т

М(А)=1/т£Д„ <=.1

где т — количество средств измерений данного типа, используемых при данном эксперименте; А,., и А — оценки соответственно систематической составляющей к погрешности t-ro экземпляра средства измерений данного типа.

Оценки с. к. о. систематической составляющей: погрешности СИ данного типа и погрешности СИ данного типа определяются по следующим формулам: т 2 [Д С1 -М(А С )Р °(дс)=У

;

(8.9)

53 [А, — A4 (Л)Р

о(Д) =

i=l

(8.10)

Оценку нормализованной автокорреляционной функции рекомендуется вычислять по точкам для дискретных значений аргумента т по формуле жТ) =

! J(п — т/Т0) D (А)

£ '=1

(А/-А)(А

, -А), ТГ

где Тщах — заданный верхний предел диапазона аргумента; Т0 — интервал времени между соседними отсчетами, который должен удовлетворять неравенству Tmax/t ^ ^o^S

t j — первое после нулевого значение аргумента т; At — 1-я реализация (отсчет) погрешности, отсчеты производятся с временным интервалом Т0 при подходе к данной точке диапазона измерения с одной стороны (со стороны больших или меньших значений х)\ А — среднее значение отсчетов погрешности, определяется по формуле п

А = I/o £ Az; i=i

D (А) — оценка дисперсии отсчетов погрешности, определяется следующим образом: 1=п _ D ( Д) =

2 ( А

- Д )

Значения /г и т т а х устанавливаются в нормативно-технической документации на данное средство измерений. 8.4. ИЗМЕНЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБОРА В ДИАПАЗОНЕ ИЗМЕРЕНИЙ

Класс точности большинства показывающих приборов обозначается одним числом — приведенной погрешностью, которая характеризует точность измерения й нормальных условиях только вблизи конечного Значения шкалы хк. Класс точности для большинства цифровых приборов автоматического и ручного уравновешивания указывается в виде &вух чисел, цервое них численно равно относительной погрешности Йри измерении х вблизи конечного значения шкалы. Однако пользуются)

д i»

•f*

.№

Рис. 8.3. Абсолютная и относительная погрешности измерительных преобразователей: а, г, ж — аддитивная; б, д, з — мультипликативная; в, е, и — суммарная.

ся и показывающими, и цифровыми приборами не только при х — хК, а во всем диапазоне измерения, т. е. от нижнего xmin до конечного хк Значения шкалы. Поэтому необходимо знать, каким образом изменяется относительная погрешность этих приборов во всем диапазоне измерения. В приборах с преобладающей аддитивной погрешностью (рис. 8.3, а, г, ж) при уменьшении х в пределах рабочего диапазона от xkm хт1П относительная погрешность будет изменяться по гиперболическому закону (рис. 8.3, ж): бад =

yaXK/X

(8.11)

и к началу диапазона возрастает в D = xjxm\n раз. Относительная погрешность измерений б, выполненных с помощью показывающих приборов, только в последней трети рабочего диапазона близка по значению к классу точности, численно равному приведенной погрешности. Поэтому оператору рекомендуется пользоваться прибором, главным образом, в пределах последней трети шкалы, т. е. в области, близкой к хк. e s t

.333

Если в приборах преобладает мультипликативная составляющая погрешности (рис. 8.3, б, д, з), то относительная погрешность измерения б постоянна во всем диапазоне измерения. В цифровых приборах Д ^ и Дм при х — хк обычно соизмеримы (рис. 8.3, efc бсуи = б и + Уадxjx = c + d [xjx — 1 ].

(8.12)

Цифровые приборы имеют обычно диапазон, равный D = 10. Максимальное значение относительной погрешности в начале диапазона измерения (рис. 8.3, и) бсум max = б и +

yaRXjXmia

= C+ d [ x j x

— 1 ].

(8.13)

Ввиду различных законов изменения б вдоль диапазона измерения сравнивать различные СИ по максимальному значению относительной погрешности нельзя. Сравнение можно производить по среднему значению относительной погрешности вдоль шкалы. Для определения 6 ср в диапазоне измерения необходимо знать плотность вероятности распределения р (х). При относительно небольших диапазонах измерения (от 2 до 10) обычно имеет место равномерное распределение плотности вероятности р (х) вдоль шкалы прибора: р (х) = (*к — ^ mir ,)~ l . Тогда среднее значение относительной погрешности будет равно: в случае преобладания мультипликативной погрешности б„ = const 6 с р = j 6p(x)dx *mln

= 8u]

(8.14)

в случае преобладания аддитивной погрешности б ад = AaJx х

бср=

к £ ДадР {Х)/Х = YaflXK In (xJxmin)/XK — Xmia, *min

(8.15)

при наличии обеих составляющих погрешности бор =

j боумР (*) dx = бм + ухк (Хк — Xmin) ' In (Хк/Хт\о). (8.16) *min

Сравним по б ср показывающий и цифровой приборы, примерно одинаковой точности, с одинаковым диапазоном измерения D — xjxmm — = 10, получим для показывающего однопредельного прибора класса 0,2 бср == 7ад*к (хк — Xmin)-1 In (XK/Xmin)

°'2Q'g 10

0,5;

для цифрового прибора класса 0,2/0,1 бсР = бм + 1п (хк/хт1п) уЯДхк (хк - ХшпГ1 = 0,1 +

' ' 0 j ) n ' ° S 0,3.

Следовательно, npfi прочих равных условиях б ср у цифрового прибора оказывается значительно меньше.

8.5. АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

ИП являются наиболее распространенными звеньями измерительных устройств, рассмотрим статические погрешности однозвенных и многозвенных, линейных и нелинейных ИП. Основные виды характеристик

измерительного

преобразователя s

Различают следующие четыре вида характеристик ИП: 1) теоретическая без учета погрешностей (8.17)

Утх = /иД (х, а х , а 2 , . . . , ап),

где аь а2, ап — внутренние параметры ИП; 2) теоретическая G учетом основных и дополнительных систематических погрешностей утг = /рас (х;

а± + Да,; а 2 + Да,. • • • .

п)-

(8.18)

Разность уравнений Аут = Ут1 — Утг является уравнением суммарной систематической погрешности ИП; 3) номинальная статическая, номинально приписанная преобразователю, нормируемая согласно ГОСТ 8.009—72, выражается графиком, таблицей или формулой У = !,(*)

(8.19)

для линейных ИП у = Кх; 4) реальная с учетом основных и дополнительных систематических и случайных погрешностей, определенная экспериментально G помощью образцовых СИ в рабочих условиях, Ужо = /око И .

(8.20)

Разность уравнений Ад — у„ — г/эко = /н (х) — /эко (х) при заданном л; является уравнением погрешности ИП по выходу в рабочих условиях. К характеристикам ИП предъявляются следующие основные требования: линейность; минимальное число влияющих величин и нестабильных внутренних параметров; инвариантность информативного параметра выходного сигнала к изменениям влияющих величин и других параметров (п. 8.8). Анализ статических погрешностей однозвенных ИП При анализе погрешностей измерительных устройств используем основные соотношения теории чувствительности преобразователей и систем, в которой аналитически исследованы изменения выходных сигналов преобразователей и систем при отклонениях их параметров и от влияния внешних и внутренних факторов. Рассмотрим систематическую составляющую суммарной статической погрешности ИП от изменения его параметров, предполагая у параметров а1г а2, ..., ап наличие систематических отклонений A0l, ДД2, ... Да . Тогда абсолютное значение суммарной погрешности при .333

х — const будет равно полному приращению функции Ьу =

/[X,

(ах +

Да,)

(а„ +

Д а п ) ] — f { x , аи

. . . , ап),

(8.21)

а относительное ее значение f[x, (aj + A J , . . . . (а„ + Да )] — {(х, ait . . . , ап) 6

•

f(X,ai,...:an)

< 8 ' 22 >

Эта формула является точной и пригодна для любых отклонений параметров, однако, ввиду своей нелинейности часто является неудобной для расчетов. В большинстве случаев параметры звеньев ИП достаточно стабильны во времени и мало подвержены влияющим величинам, поэтому отклонения параметров ИП относительно малы. Принимая это во внимание, применяют упрощенную формулу для суммарной погрешности. Для этого функцию преобразуют разложением в ряд Тейлора, в котором пренебрегают членами второго и выше порядка малости. Тогда абсолютное значение погрешности будет равно полному дифференциалу функции при X = const ду ду ду(8.23) дах А а , + дап где ду/да1 определяется для фиксированных значений аргументов а(. Таблица 15. Трансформация аддитивной погрешности Д а д со входа на выход в нелинейных, однозвенных ИП (по приближенной формуле) Погрешность ИП в единицах выходной величины, Y,

Уравнение ИП

у = sin х

ад

cos

Ду = Д

а д

(1-*2)

Ау = Д а д ^ а - 1

У = ех

Ду =

адс*1*

Д.„ sin^'xeos -1 х ад 1

у — aresin х

Ду = Д а д C O S - 2 *

у = tg*

У "

Относительная погрешность,

Дад (aresin)-' X 1 X(l—х 2 ) 2 "Дад/* =

Даде*

«б Л

ад

II Э)

Ду = Дада*1па

= lg х = ig е In х у=

.334

Ay = 6X — Дад/*

lax

= ig | sin х | = = ig е In | sin * |

Д</ = Д а д lg е/дс

Ау = ige|ctg* | Дад

Дад

Дад/х in X = 6ж/1п X Д

а д 1*У

Д ад c t g */1n t Sin JC |

Но так как по условию х = const, то д А

УА \

«--згг

«ч +

•••

+ - d t

s =

z - d t *

(8.24)

Относительное значение погрешности бприбл

dcii

+•

дУ да„ аап

(8.25)

После умножения и деления каждого члена уравнения на at получаем: бприбл

Atz, a,

dg ij У

бпрнбл = б а А + 6 a ,C 2 +

jfy

дап

Дa n

• - • 4 - Ьа п С п ,

(8.26)

где C{ = dyldctt (a{!y) — коэффициент влияния относительной погрешности на суммарную погрешность всего ИП. Определение относительного значения полного дифференциала ряда функций можно упростить путем предварительного логарифмирования и последующего дифференцирования уравнения ИП. В результате получают сразу относительное значение полного дифференциала, равное относительному значению суммарной погрешности. Например, если у ~ ага2а3х, то In у = In а х -f- In а2 + In а 3 -f- In х; /,„ _ Ф i m у) - —

daj , da2 s r + —

da3 +

(8.27) dx — •

Таблишг 16, Мультипликативные относительные погрешности ö x = Oy линейных однозвенных ИП при изменении параметра при х = const (по приближенным и точным формулам) Выражение для относительной погрешности Уравнение ИП

точное

приближенное

у = апх п = const;

П&а

а = va»

(=1

у = bax b = const;

а — var

öa

еа

у '\Га* ( V » + e . - i ) п = const;

а = var

у=*х\аа а = vap у = Ьах b = const;

а =• vär

Ja_ In а а6а In b

Ьа6а — 1

*) Сд — число сочетаний на п по I. .335

i а,

I ~

^ ag

(8.28) *

Вычисление относительной суммарной погрешности от изменения аъ а 2 , а3 таким путем значительно упрощается. Однако при больших отклонениях параметров, а также при значительной нелинейности зависимости между выходной величиной ИП и его параметрами необходимо проверить допустимость линеаризации, которая имеет место при пользовании приближенными формулами для определения погрешностей. Такую проверку можно производить по относительному значению остаточного члена ряда Тейлора Rt (п. 9.3). Погрешность обычно выражается в единицах или долях входной величины х, как А или Ьх. Однако при расчете СИ погрешности часто известны в единицах или долях выходной величины. Кроме того, часто расчетным путем удобнее определять погрешность в долях выходной величины у, как б„. Поэтому должна быть известна зависимость между А и Ау и между ох и б г В общем случае зависимость у — f (х, alt а2, а3, ..., ат) нелинейна; у' = dy/dx — var. Относительная погрешность в долях измеряемой величины б, = dxlx, а в долях выходной 8У = dy/y, но dy = y'dx

б у = y'dx/y,

(8.29)

откуда dx = &уу1у', тогда Ьх = dxlx = Ьуу/у'х. (8.30) Если у = Кх — линейная функция, то у' = у'/х = К = const, то А = AJК к Ьх = Ьу. В табл. 15 приведены примеры преобразования аддитивной погрешности Д ад в функциональных измерительных преобразователях. В табл. 16 приведены приближенные и точные значения мультипликативных относительных погрешностей линейных однозвенных ИП при изменении одного из параметров (%) при х = const. Анализ статических погрешностей измерительных цепей или многозвенных И П

Статические инструментальные погрешности многозвенного измерительного преобразователя определяются на основе его уравнения, отражающего функциональную зависимость выходной величины у от входной х и коэффициентов преобразования звеньев ИП, y = f{x,

Кг,

К2,

. . . . Кп),

(8.31)

где Ку, К2 Кп — коэффициенты преобразования звеньев ИП. Рассмотрим ИП, состоящие из нескольких звеньев, и определим погрешности б*, Ьу отдельно при наличии мультипликативных и аддитивных погрешностей. Для ИП с разомкнутой структурной схемой и линейными звеньями (рис. 8.4, а) уравнение для выходной величины без учета погрешностей т

у = хП Ki — <=i

з з в

а А

ИП

АУ,

УЛИТ1

ИП

К, : *t.

ИП Кг ИП

Ш:

AYt

г д

ИП

ИП'

ИП

Кг и

т Y-ZSI

Рис. 8.4. Структуры измерительных преобразователей! а — о разомкнутыми схемами и линейными з в е н ь я м и ; б — нелинейными; в — е логометрической р а з о м к н у т о й ехемой и ее э к в и в а л е н т н а я схема; г — по п а р а л л е л ь н о й р а з о м к н у т о й схеме.

линейно относительно х. Поэтому здесь б, = бв. Частная производная по коэффициенту передачи i-ro ввена dyldKt = * П Кр. р=1

(8.32)

Р=5Ы

Подставляя dyldkt и у в (8.25), получаем т »=1

(8.33)

где бк г =

dKJKt.

/ Предположим, что мультипликативные погрешности Ьк{ являются случайными и независимыми величинами с математическими ожиданиями М [б^] и дисперсиями D [б^]. Тогда математическое ожидание и дисперсия для погрешности 8У = 8Х т М [ б „ ] ~ 1 ! M[6*J;

т D[б„] = S D [б л .].

(8.34)

Для ИП о разомкнутой структурой и тремя линейными звеньями при наличии только аддитивных погрешностей, равных А, Д^ и А„,, 337

ириведенныл ки влиду з в е н ь е в , ашлмиишан а д д и т и в н а » uui

в единицах выходной величины Д й = ЬКгК2К3 4- д

ду,К*

(8.351

Относительная аддитивная погрешность в долях выходной величины! б„ = б , = (Д/д: + АеА х * + Д yJKiKzX).

Для ИП с разомкнутой структурой и тремя нелинейными звеньями (рис. 8.4, б) с уравнениями уг = К^; у2 = к^у"' и у9 = К3уг* выходная величина у3 = K ^ ' K I ' K z X W k

(8.36)

Суммарная относительная погрешность при наличии мультипликативных погрешностей от изменения /Сх, Кц и Кз в долях выходной ве-; личины согласно (8.29) равна 8„t = n2naöKi + п36к, 4Для вычисления б, определим чувствительность ИП: dy3/dx = уз = Ki'n' • K2'K3n1n2n3x{m~i>.

(8.37)

Подставляя у 3 и yl в (8.30), получаем Ьх = б

+ 0 ^ п г п 2 + бк а /л 1 п 2 /г 8 .

(8.38)

При наличии одного нелинейного звена G уравнением у = /СХ*"'» = б/с,, а б^ = &/<;Jnv Следовательно, погрешность в долях измеряемой величины при наличии нелинейного звена изменяется в п раз (увеличивается при я < 1 и уменьшается при п > 1). Например, в термоэлектрическом преобразователе Е = kP. При k = const и / — const 6е = 6fe = dktk. Тогда бх = б £ /2 = 6fc/2. Следовательно, погрешность, возникающая из-за нестабильности коэффициента k, уменьшается вдвое из-за квадратичной характеристики ИП. На входе измерительного устройства иногда используют для необходимого измерительного преобразования нелинейное звено с п > 1. Тогда погрешность звена, расположенного за этим нелинейным звеном, будет в меньшей степени влиять на погрешность всего СИ, уменьшаясь как составляющая в п раз. Если у нелинейного звена п < 1, то необходимо принимать во внимание значительное возрастание удельного веса погрешностей звеньев, расположенных за нелинейным звеном. Из выражения (8.38) следует, что для уменьшения суммарной погрешности Ьх нелинейные звенья с большими щ следует располагать ближе ко входу ИП. При такой структурной схеме погрешность Ьх в принципе может быть исключена при определенных соотношениях между nt и б/с£. Если, например, т — 2, то б* = б к / n j +

bKJn^n2.

Приравнивая 6Х нулю, получаем б/с, = — б K Jn 2 . При заданных б*, и бк, оптимальным будет ла = —бк/б^. Предположив, что погрешности бл, — независимые случайные величины, найдем 338

вероятностные характеристики для 8У и ö x : М[6,1 = т

т Г т Л т. т £ М б*. П n J = S П п„М [ 8 д ]; 1 <-1 L P='+i J <=ip=i+i, m Г m 1 т / т \2 1=1

p=i+i

nJ = S

v-n-i

m i M[8J = S М[вк.]/П n„. 1 1=1

пр)Dlö1Ky,

<7=1

Если погрешности малы, то дисперсия отклонений m Z)(6J =

SD[6

.]/

/ I

\а

nJ.

1=1 • Wi 4J Отсюда видно, что дисперсия D [6J также будет минимальная, если звенья с большими п ( расположены ближе ко входу преобразователя. При наличии только аддитивных погрешностей А, АУ1 и Ау, в данной схеме ИП с тремя нелинейными звеньями m = 3 (рис. 8.4, б). Относительная аддитивная суммарная погрешность в долях выходной величины будет равна Ьу, = {пхп2пъА!х + щщА^КгХ"* + naAyJKilKzxn^'). На основе выражений для у3 (8.36), уз (8.37) по (8.30) определяем относительную аддитивную суммарную погрешность в долях входной величины n 1 п п 6 , с у м = А/х + AyJnlK1x ^ + АУг1п1п3,Кл х * * = = А/х + AyJn1y1 + Ау,/п1п2у2 = бд + b„Jnx + бу]п х п 2 , где бд, 8У1 и бу% — относительные значения аддитивных погрешностей на входах соответствующих звеньев (до суммирования). Для ИП логометрического типа отношение двух величин (рис. 8.4, в) равно у = K1x1/K2x.i. Действительно, для такой схемы 2

у = П к!{х =

KyKj'x.

i=i

Из выражений (8.29, 3.38) получаем б у = бк, — б/с,. Таким образом, если коэффициенты преобразования обоих каналов логометрического ИП /Ci и К 2 изменяются идентично, то систематическая погрешность при этом не возникает. Математическое ожидание погрешности 8У M(8

) =

M ( 8

K I

) - M ( 8

K L

) .

Дисперсия погрешности 8У при независимых и случайных бх, и б*, D(8y) = D(8Ki)

D(8Kt). ЗЗР.

Для ИП с параллельной разомкнутой схемой (рис. 8.4, е) <•=1

Определим погрешности 8Х и Ьу от нестабильности коэффициентов звеньев J(T при двух звеньях Т = 2: У = К х (1 + б*,)

+ К % (1 + б/с.)

(8.39)

Относительная погрешность Ьу будет равна

Чувствительность ИП равна (8.40]

После подстановки у' (8.40) и у (8.29) в (8.30) получаем 6%

(Kin^

бк,

К^хГ")

Kix"'

KiXn> К^с11'

При rix — п% = п; б„ = бJn, а при б/с, = б/с, = б/с и пг = п2 — п\ Ьх = б/с/я. Математическое ожидание погрешностей при различных К и б/с и одинаковых пх = п2 = п составит м (в/с,) ^(б/с.) М ( б„): к*

Если ö/c, и б/<, взаимонезависимые, случайные погрешности, то п га* J

л. (

)

При проектировании такого ИП коэффициенты преобразования отдельных звеньев можно подобрать таким образом, чтобы дисперсия погрешности 8Х была минимальной. В работе [81 для случая гг1 = 1 показано, что D [6J имеет минимум при

К(

f—1

p=i

и равна

.340

(8,41) * лр*

Рис. S.S. Структуры измерительных преобразователей: а — уравновешивания; б — о двумя последовательными звеньями в разомкнутой части схемы; в — с двумя параллельными звеньями по разомкнутой схеме.

Если D (б*,) = D (б/<), т. е. при одинаковой дисперсии погрешностей всех звеньев D (Ьк)/т,

А n i n (6*) =

(8.42)

следовательно, с. к. о. измерительного преобразователя уменьшается в V~m раз. При наличии только аддитивной систематической погрешности на входе ИП с двумя параллельными нелинейными звеньями относительная суммарная погрешность составит _

+ п

х (Кух * + К ^ )

При пг = л2 = п\ Ьу = Ап/х — пЬх. Погрешности ИП уравновешивания (рис. 8.5, а) рассмотрим на примере компенсационного преобразователя со статической характеристикой, основное уравнение которого можно получить из (6.107) у =

Кх/(1

/СР).

(8.43)

Приближенную формулу для относительной погрешности от нестабильности / С и р определяем путем логарифмирования: 1 п у = Л п К — 1п(1 + /Cß) + lnx. (8.44) При х — const после дифференцирования по К получаем (dy/y),с = б* = dK/K - dKm + /Cß) = dK/K (1 + Щ. (8.45) При х = const после дифференцирования по ß получаем 6 ß = (dy/y)& = Jfdß/( 1 + /Cß). (8.46) Приближенная формула для суммарной относительной погрешности б0 = бх + 6 ß = dK/K (1 + /Cß) - dß/Cß/ß (1 + /Cß). (8.47) Таким образом, если (1 + /Cß) 1, то погрешность от нестабильности К уменьшается в (1 + /Cß) раз. Погрешность dß/ß при (1 + /Cß) 1 почти полностью входит в суммарную погрешность прибора. Следовательно, в прямой цепи можно использовать нестабильные активные преобразователи, например усилители, но при этом при высоких требованиях к точности всего КП необходимо выполнение условия /Cß ^ 1. Кроме этого необходимо, чтобы коэффициент преобразования обратного преобразователя ß имел высокую стабильность во времени и был мало подвержен внешним воздействиям. 341

следует отметить, что в случае использования замкнутой схемы возможны весьма значительные изменения коэффициента преобразования! прямой цепи К, например в результате изменения напряжения источу ника питания. Поэтому в ответственных случаях следует определить относительную погрешность также и по точной формуле (8.54). Математическое ожидание погрешности ЬХ = ЬУ = Ь М (6) = М [в*]/(1 + К?>) - К?>М [бр]/(1 + Kß). а дисперсия в случае взаимной независимости б/< и öß D [б] = D [бЛ]/(1 + /(ß) 2 + D [бр] /C2ß8/(1 + /Cß)a. Если коэффициенты / С и р выбрать таким образом, чтобы К& = — D [б k ]/D [бр], то при заданных D [бк1 и D [бр] дисперсия погрешности всего измерительного прибора была бы минимальна [81: п Ы пrfii М Ю]-

D [ Ö K ] + D [ 6 ß ]

•

Рассмотрим погрешность компенсационного преобразователя от наличия аддитивной погрешности АУг на входе второго звена прямой цепи (рис. 8.5, б). В этом случае при разомкнутой цепи абсолютное значение погрешности на выходе Ä

f3pae

КгКаАУ1.

Тогда = Д'УЗраз^Зра» = К 2 К 3 Д </АДг^з* = А „JKiX. При замкнутой обратной цепи вследствие действия обратной связи S

f3paa

адзам =

( А <Л —

KlßA*3SaJ.

откуда А иУЗааи

1+ К ^ К ^

Тогда относительная погрешность в замкнутом состоянии \ /,,„ '» " У1 «3заы -— д"(Л^-.'МЗзам -— —(1 +, Kv tыK Mо -.

и л

•

У Vi i l v' ± ltS is M ..s P L Щ?С^ ~К~Г

•

... /с (8l48

Следовательно, относительная погрешность, обусловленная действием аддитивной погрешности в прямой цепи, от наличия обратной связи не изменяется. При наличии аддитивной погрешности на входе обратного преобразователя ß относительная погрешность в замкнутом состоянии б = Ау - р/х. Следовательно, влияние аддитивной погрешности обратной цепи зависит от величины ß. При наличии усилительных звеньев в цепи обратного преобразователя, когда ß > 1, влияние Дв на общую погрешность может быть значительным. При больших отклонениях параметров Ак , а также при значительной нелинейности зависимости между выходной величиной ИП и его параметрами вычисление суммарной погрешности следует производить .342

не по приближенной, а по точной формуле приращения функции у = f fo/Ci, К„): Д„ = / [хг (Кг + AKl),

(К, + Дк,), . . . , (Кп + Д« п )] -

— f (XiKi,

Тогда

нахождением полного

К2, ....

б, = Ay/у = Au/f(xv

Кп).

Klt Kt, ...,

Kn).

Для ИП, выполненого по последовательной структурной схеме (рис. 8.4, а), при m = 2 у ~ k-yh^x.

Относительная погрешность по точной формуле бточв = АУ1 у = Ц/Ci + Дк,) (К, + Д к> ) * -

КгК.хУК^х.

После несложных преобразований получаем бТОЧн = ( l +

= б*. + 6 Kl + бк.бк,.

(8.49)

По приближенной формуле при т = 2 бприбл =

öfe, +

б*,.

(8.50)

Если, например, 6«, = —б*, — 0,1, то бприбл = б * , + б « , =

т. е. погрешность вовсе отсутствует, а бточн — б х , + б K t - f 8 K l 8 К г = — 0 , 0 1 .

При б*, = —бк2 = 0,3 бприбл и бТочн соответственно равны 0,00 и 0,09. Приближенная формула дает значения суммарной погрешности без учета членов второго порядка малости. Если не принимать это во внимание, то можно сделать вывод о том, что в вышерассмотренном случае при б к, — —бк погрешность отсутствует вовсе. С другой стороны, значительная разница между погрешностями по точной и приближенной формулам получается только при больших и особенно при неодинаковых по знаку относительных приращениях Ki и К2- Такие приращения в измерительных преобразователях с разомкнутой структурной схемой маловероятны. Для структурной схемы с параллельным соединением звеньев (рис. 8.5, в) при m = 2 и % = fij = 1 У — (Кг + К2) х-, Ау = (К, + Д/с, + К2 + АКг) х-(Кг+ К2) X. Выражения для относительной погрешности по точной и приближенной формуле совпадают: бхочн = AJy = бприбл =

dy/y =

;

(8 б1)

(8.52)

.343

бточн —

b"\j/'\i bKt/Ki

АКг/Ki

1 + Л*/*.

l + A^/tf,

/t i * \

= 4 ( 1 + 4 )

— 6^,(1+ 4)~'-

(8.53)

Таким образом, при равенстве &Kt и 6*, погрешность не возникав* и при больших приращениях. Приближенная формула для логометрического ИП бпрнбл =

Ö/Ci —

В случае использования замкнутой схемы (рис. 8.5, а) возможны весьма значительные изменения коэффициента преобразования прямой цепи К, например в результате изменения напряжения источника питания. Поэтому следует определить относительную погрешность также и по точной формуле. Таблица 17. Суммарные мультипликативные погрешности многозвенных ИП при х = const по приближенным и точным формулам Выражение для относительной погрешности Уравнение ИП

KiX

у=

ду

КгК,х

точное

i=l

гм=

У=П

«Г II

приближенное

х (V,- 4 '

bKi + ЬКг

Аа

У=£ i=i

f = 4

K2)x

*) С' (6д., ° <4» 4 ' 344

6»

£ К{ i=i

Ь и

Кг

К%

„

> Än) = 4

+ 4 4 *

+•

4 + * » 4

A : t + ATS

, . . . , & Кп ) —сумма сочетаний погрешностей 6Кп 6

1 +

£ KL (=1

'-1

КгЪК1+К,6Кг ~

6jf — 6ц. А, Д*

Ktx

y=(Ki

—

4 *

= « к , + 6/CI - f 6K16/C1

У = -тг- х

••••

4»-l4.'

по i, например,

л учаем

из (ö.to; я Ö

A*(l+/Cß)/(l+*ß)

** 0 4 H "

Дц (1+#СР)"

, , АК(1+/СР)

(

' '

1+tfß 1+Др Определим погрешность Ьк по приближенной и точной формулам для следующего случая: К — 10; ß = 0,05; Ак/К = —0,5. По приближенной формуле бкприбл = 0,001; по точной формуле 8к точв = =

—0,002.

В табл. 17 для некоторых многозвенных ИП приведены выражения для вычисления суммарных погрешностей по точной и приближенной формулам, т. е. соответственно при больших и малых приращениях параметров [621. 8.6. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ СУММИРОВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Задача суммирования погрешностей в настоящее время весьма актуальна ввиду резкого усложнения СИ, увеличения числа их звеньев, а также повышенных требований к их точности. До недавнего времени иногда результирующую погрешность и при наличии случайных составляющих определяли арифметическим суммированием, т. е. находили максимально возможное значение результирующей погрешности «с запасом точности». При небольшом числе слагаемых случайных погрешностей, например двух бх и 62> распределенных по дискретному двухзначному закону (рис. 8.6, а, б), если б, = = ± 1 % и б2 = ± 1 %, максимальная суммарная погрешность 80 будет равна ± 2 %, причем суммарная вероятность этих двух значений б0 будет равна 0,5 (рис. 8.6, в). Поэтому при двух слагаемых и дискретном двухзначном распределении можно применять с учетом вышесказанного и арифметическое суммирование погрешностей. При большом числе слагаемых, например 10, и дискретном двухзначном их распределении максимальная суммарная погрешность, определенная путем арифметического суммирования, равна 10 i=i

Вероятность того, что суммарная погрешность равна ±108, будет в данном примере очень малой: 0,002. Следовательно, при большом числе составляющих погрешности этот подход неприемлем, однако им все • п|J 0ß

pfa)

•

w 1

-1%

О а

il%-

-1У°

0 $

-27,

42% $с

Рис. 8.6. Дискретные двухмодальные распределения погрешностей свертка (в).

(в, б) и их 345

же иногда пользуются и в результате предъявляют неоправданно завышенные требования к СИ. Более адекватным природе погрешностей является вероятностный подход, который применяется в том случае, если все погрешности являются случайными и независимыми величинами. Однако среди них могут быть и случайные зависимые, т. е. коррелированные и систематические, это необходимо принимать во внимание при суммировании. Основной задачей Государственной системы обеспечения единства измерений в стране является обеспечение такого уровня измерений, при котором погрешности измерений будут известны с заданной вероятностью. Для этого должны быть известны прежде всего вероятностные метрологические характеристики СИ, в частности систематическая составляющая погрешности и с. к. о. случайной. В суммировании погрешностей за основу принят вероятностный подход, обеспечивающий определение интервалов, внутри которых с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины. Для более корректного определения суммарной погрешности составляющие погрешности подразделяют на: систематические и случайные и суммируют их раздельно (согласно ГОСТ 8.009—72); аддитивные и мультипликативные, суммируют их также раздельно; основные и дополнительные. Составляющие погрешности суммируют по всему измерительному устройству, а не по отдельным звеньям. При этом необходимо использовать данные о степени корреляционной связи между составляющими погрешностей различных звеньев. Тесно коррелированные между собой случайные погрешности с коэффициентами корреляции 0,7 и выше суммируют алгебраически, а слабо коррелированные с коэффициентами корреляции ниже 0,7 и независимые случайные погрешности — геометрически. Полученные таким путем составляющие суммарной случайной погрешности суммируют геометрически, предполагая их независимыми друг от друга. Погрешности суммируют главным образом в следующих случаях: оценивая результат косвенных, совокупных и совместных измерений; для оценки суммарной погрешности СИ по погрешностям их звеньев. Суммированию погрешностей при косвенных и совместных измерениях характерны их малые значения, которые можно обычно рассматривать как случайные, независимые и распределенные по нормальному закону (п.9.3). При оценивании суммарной погрешности СИ по погрешностям их звеньев приходится иметь дело с погрешностями, разными по значению, с аддитивными и мультипликативными, основными и дополнительными, систематическими и случайными с различными распределениями. При суммировании погрешностей звеньев СИ известны внешние условия, в которых они будут работать. Поэтому можно учесть степень корреляции между отдельными составляющими погрешностей звеньев. Рассмотрим основные особенности суммарной погрешности ИП. Для корректного решения этой задачи должны быть известны: .346

щеряемии

л У—

f { x , Ki, К г , . . . ,

Кп),

где Ki, К 2 , ..., Кп — коэффициенты преобразования отдельных звеньев; характер погрешностей (систематические или случайные, аддитивные или мультипликативные); границы неисключенных систематических погрешностей каждого звена; распределение или математическое ожидание и с. к. о. случайной погрешности каждого звена; сведения о корреляционной связи между случайными составляющими погрешностей различных звеньев. Этапы суммирования погрешностей следующие: 1) подготовка к суммированию, при котором: а) погрешности СИ делят на систематические и случайные, аддитивные и мультипликативные; основные и дополнительные; б) для случайных погрешностей находят математическое ожидание, с. к. о. и закон распределения; в) определяют корреляционные связи между погрешностями; 2) суммирование систематических погрешностей; 3) суммирование случайных погрешностей, которое выполняют в следующем порядке: а) математическое ожидание случайных погрешностей суммируют отдельно, затем сумма математических ожиданий складывается с систематическими погрешностями. В результате получают систематическую составляющую погрешности СИ; б) находят с. к. о. о (А) случайной составляющей погрешности и распределение суммарной случайной погрешности. 4) определение доверительных интервалов суммарной погрешности. Суммирование систематических погрешностей.

Если в отдельных

звеньях измерительного устройства имеются систематические погрешности, то они суммируются алгебраически с коэффициентами влияния, которые находят из уравнения преобразования. Так, для суммирования систематических мультипликативных погрешностей многозвенного ИП используют следующее выражение: "

ду

t=i

Если систематические погрешности отдельных звеньев устраняются, то суммируют неисключенные остатки систематических погрешностей, которые относят к случайным, распределенным равномерно. Суммирование случайных составляющих погрешностей. Д л я таких

погрешностей, распределенных по различным законам, необходимо определение их композиций. Однако при числе составляющих уже больше 3—4 эта задача становится весьма трудоемкой. Поэтому стремятся оценить суммарную случайную погрешность более простыми путями, принимая во внимание основные особенности суммируемых случайных составляющих, а именно: их подразделение на аддитивные и мульти347

пликативные, а также сведения о степени их коррелированное™ между собой. Аддитивные и мультипликативные составляющие случайной погрешности суммируются отдельно, при этом суммирование проводится по всему измерительному устройству и учитываются сведения о степени их коррелированное™ между собой. При суммировании случайных коррелированных погрешностей находят с. к. о. суммарной случайной погрешности. Например, при суммировании случайных мультипликативных погрешностей многозвенного ИП с. к. о. суммарной погрешности определяется следующим образом: О (бсум) = /

i h l - О (8К()Г + J i=i L ;=i /=i

(в*,) а (б« /} * „ .

Если погрешности независимы, Ry — 0, то выражение для о (бсум) принимает вид СТ(0сум) =

(8.55)

| / 2 i=l

Если погрешности тесно связаны (Ri,- = 1), то выражение для а (бсум) принимает вид п о (бсум) =

Y i ~дКГ

(8,56>

£=1

Коррелированные погрешности суммируются по группам с помощью (8.56), а затем суммарные погрешности отдельных групп и оставшиеся независимые погрешности объединяются по (8.55). При наличии сведений о числовых значениях коэффициента корреляции случайная составляющая суммарной погрешности определяется по следующей формуле: •"сум '

£=1

Кi<i /

где i < j обозначает, что суммируются все возможные попарные сочетания с. к. о. коррелированных погрешностей. Коэффициент взаимной корреляции R может принимать значения от —1 до + 1 . Крайние случаи (R — + 1 или R = —1) наблюдаются тогда, когда данные составляющие случайной погрешности вызваны одной причиной, например изменением питающего напряжения или температуры при нахождении звеньев в одинаковых температурных условиях. В этих случаях погрешность а оум будет равна алгебраической сумме составляющих при п — 2,

R = + 1, стоу„ = стх + ст2;

при п — 2, R = — 1, <тсум = |стх— а21. Если принять, что R = 0, то Осум — У о \ 4 .348

введения о степени корреляции между составляющими случайной погрешности полностью отсутствуют, но все же принимают, что R = ± 1 или R = 0. Так как в действительности коэффициенты корреляции могут принимать промежуточные значения от 0 до + 1 или от —1 до 0, а в расчете используются только значения 0 или ± 1 , то возможно возникновение значительной ошибки в определении результирующей погрешности [61]. Например, для случая двух составляющих абсолютные ошибки Да и А, при алгебраическом и геометрическом суммировании при значениях коэффициента корреляции R от 0 до + 1 будут в следующих пределах: (Oj + о 2 ) — VcF+"öf >• Аа > 0;

0 < Д,

V t f + Ц - К + о,).

Если значение коэффициента корреляции R изменяется от—1 до 0, то 0 < Да < |о х - о, | - V J + Ц ;

Максимальные возможные абсолютные ошибки в определении результирующей погрешности в диапазонах изменения коэффициента корреляции от 0 до + 1 и от —1 до 0 имеют равные значения, но противоположны по знаку. Для уменьшения возникающей ошибки вдвое можно использовать для определения суммарной погрешности при двух составляющих следующие выражения: О с у м = V , {(Ol + 0 2 ) + K Ö f T Ö f }

ffll+KÖfTo«}

При 0 < £ < 1 ;

при

(8-57)

—1<Д<0.

Для более корректного суммирования случайных погрешностей необходимо с учетом распределения каждой составляющей погрешности определять распределение суммарной погрешности. Если число составляющих погрешности равно или больше пяти и нет доминирующих погрешностей, то независимо от распределения отдельных погрешностей закон распределения суммарной погрешности будет близок к нормальному. Из теории вероятностей известно, что плотность распределения суммы двух случайных величин выражается любой из двух формул: -J-OO

p(z)=> J р(х, г — х) dx\ —öo

p(z) = J р(у, z — y)dy,

(8.58)

—ее

где р (х, у) — совместная плотность распределения х, у. Если случайные величины независимы, то Р(х, у) = р (х) р (у). 849

мут вид:

/ZPÖM

С Ю

/?(z)=

j p(x)p(z

— x)dx =

—во

x '2Уг

= р(х)*р 00

(у);

/>(*) = J p(y)p(z —оо

МУ

— y)dy=>

= р(х)*р(у). о

(8.59)

(8.60)

х;з

Из выражений (8.59) и (8.60) следует, что задача получения суммарной плотности решается с помощью операции, называемой сверткой и обозначаемой символом *. В этом случае закон распределения суммы р (г) называется композицией законов распределения слагаемых р (х), р (у). Композиция законов распределения нескольких случайных величин определяется путем повторного применения операции свертки. Распределения, композиции которых являются распределением того же типа, называются устойчивыми. К ним, в частности, относятся: биноминальное; Паскаля; Пуассона; нормальное; Коши. Рассмотрим пример нахождения композиции двух случайных величин при помощи свертки. Пусть величина X подчиняется нормальному центрированному закону со с. к. о. о(Х), а величина у равномерно распределена в интервале от —ут до -\-yv (рис. 8.7). В этом случае плотности вероятности Рис. 8.7.) Соотношение равномерного и нормального распределений, при котором действительна формула а (X) ^ О,

Р(х)

(— оо < X < оо);

V2na(X)

(О при ус — уг; Р(у) = ЧгУ! при — t/i < у < ут\ (О при у > у т . Подставив выражения (8.61) и (8.62) в (8.60), получим 1 2У1

+fr -Ут

, У2л а (X)

(8.61)

(8.62)

(2-у)' ° *> dy.

2 !(

Если сделать замену переменной z — у = ta (X), то Уг~2 о(Х)

1 2Уг / 29 пя

л2

dt =

УГ~г о(Х)

~ 350

2ут [

( ^ ( Х ) )+Ф(

а(Х)

)]'

(8.63)

р = (|г|<Д2)=

fp{z)dz.

(8.64)

_дг

Подставив (8.63) в (8.64), получим

, /у* Г — 1 + - J L - - 2 Ü L [е Уг п Уг

{ А'+М2 2 I а (Х) J _

1 ( Дг+^г\2] 2 [ о{Х) ) I ш

(8.65)

Точная формула (8.65), определяющая вероятность того, что суммарная погрешность не выйдет за пределы допустимого интервала, мало удобна для использования. Однако в тех случаях, когда отношение а (X)/2yv превышает 0,3, т. е. если суммарный закон близок к нормальному, то (8.65) может быть с высокой точностью аппроксимировано следующим выражением: P U . K A J « » ^ ) - ! ,

где и2 а?(Х) = - ^ - + о 2 ( Х ) .

(8-66)

При 0,2 < а (Х)/2ур < 0,3 (8.66) дает хорошее совпадение для вероятностей, превышающих 0,85. Для а (Х)/2ур с 0,2 не удается подобрать хорошую аппроксимацию и приходится пользоваться точным выражением (8.65). Кроме этого, суммирование погрешностей можно проводить по методу Монте-Карло с использованием ЭВМ. Уравнение у = f (Хг, Х2 ... ..., Хп) многократно (100...10 000 раз) разрешается на ЭВМ, при этом в каждом из решений случайные величины, входящие в уравнение, принимают конкретные значения в соответствии с их законами распределения, для чего в программе работы ЭВМ предусматривается генерирование случайных чисел по заданным законам распределения или близким к ним. В результате получают математическое ожидание и с. к. о., а также гистограмму распределения оцениваемой погрешности. В табл. 18 приведены простейшие случаи композиций двух случайных величин с равномерными распределениями. Предложена новая методика суммирования случайных погрешностей на основе единой формы представления функции распределения погрешностей измерения [30]. С помощью этой формы получены удобные для вычисления на ЭВМ выражения для суммирования погрешностей и для определения совместных распределений измеряемой величины и результата измерения. Доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью Р (— 4 Г < Д < Дг) находится погрешность Д конкретного экземпляра СИ при известных М (Д); а (Д), может приближенно определяться нер авенством М ( Д ) — /Со (А) < Д < Af (А) + Ко {А),

(8.67) 351

Таблица 18. Примеры композиций различных законов распределения (примеры операций свертки) №

ZL -2h О т z Z + 2Л/4Л» при — 2Л < Z < 08 2h —Z

-л о w х О при X < — Л; 1 / г Лпри—Л<Х «S А; О при X > Л

•

4hi

npH0<Z<2A

0, при других Z р(г) М

-а 0 *а х 0 при X < — а; 1 /2а при — а < «Х<а; 0 при X > а

Plul

1 -Ь 0 у 0 при Y <~Ь 1Ц> при — bs^Ys^b; 0 при К > 0

i .

\а-ь) а-ь '0 Ь-а. atb г a + b+ Z при a ~ b < Aab < г < а — Ь\ Чф при а — A < Z < 6 - aj при 6

4ab

<х<

< Z < a + 6; 0 при других г •

1 Г

Р(У,'1

Л / 0 при X < 0; 1/Л при 0 X < Л; 0 при X > Л 1

1 i

1 \ 0 при X < — А 1/Л при — Л < Х < < 0; 0 при X > 0 -А

.352

-Л 0 -у 0 при У < —Л 1/Л при — Л < У < 0 ; 0 при Y > 0 т 1 f

-л 0 у 0 при Y < — Л; 1/Л при — 0 при К > 0

7\\ f п

-Л 0 Л 2 (Z + Л)/Л* при — Л < Z < 0; (А — Z)/Aa при 0 < Z < A 0 при других г л / \ -2h 0 z Z + 2Л/Л» при — 2Л < Z < < — Л; — Z/A« при — Л < Z < 0; 0 при других Z > 0; Z < < —2Л

ирииилжкпис

muw*.

№

ptx)

X0 + Y0 + 4ab

,2t

при

xt-a о x0 xg*a x О при X < X 0 — a; ty2a при X 0 — а ^

a+b~Z

(Z^Xo+Y.

+ a + b-,

.Z>X0+Y0

a-b-,

1 ~2b nPH

О при Y < Y0 — Y; <Y0

О при X > X 0 -f- а

&b!t

h-t> 0 Üt 4J> при

Х0<т+Ь l

Wo-a-i о

Р(У)

t Та

- b ^ Y ^

(Z<X0 + Y0+b-ai \Z>X0+Y0 + a-bi a+ b - X 0 - Y 0 + Z Aab

+ b;

О при Y > Y0 + b

+ Y0 +

(Z^X0 n

^ { z

+ Y

a-bi

- a - b i

О при других Z

где К — коэффициент, который выбирается в зависимости от вероятности Р (—Дг < Д < Дг), исходя из суммарного распределения случайной погрешности. Так, если закон нормальный, а Р (—Аг < А «С ДР) = 95 %, то К — 2. Для законов, близких к нормальному усеченному трапецеидальному и треугольному, график зависимости К — f [Р (—Др < Д < < Аг)] приведение рис. 8.8. Распределения для различных погрешностей приведены в п. 4.1. Особенности суммарных погрешностей СИ. По характерным особенностям суммарных погрешностей СИ можно сделать заключения о точности, сходимости и правильности измерений, выполняемых с помощью данного СИ. Рассмотрим четыре характерных одномодальных закона распределения суммарной погрешности СИ в реализации за относительно короткий интервал времени при неизменных влияющих величинах, т. е. при постоянстве систематической составляющей погрешности. В первом случае (рис. 8.9, а) пре8.8. Зависимость К = {1Р (—Д г < обладает систематическая составляю- Рис. < Д < Д г )] для нормального и некотощая погрешности. Узость распределерых усеченных распределений. 12

818

3 5

о а

№

Р0).

Т Рис. 8.в. Суммарные распределения погрешностей: а — узкодиапазонное несимметричное; б — широкодиапазонное симметричное: в широкодиапазонное несимметричное; е — узкодиапазонное симметричное.

ния указывает на малое значение случайной составляющей, правильность измерений будет низкая, а их сходимость — высокая, СИ нужно переградуировать и использовать в условиях, близких к условиям градуировки, при постоянстве влияющих величин, либо вносить поправки в результат измерения. Во втором случае (рис. 8.9, б) преобладает случайная погрешность. При этом правильность измерений будет высокая, а сходимость — низкая, СИ для разовых измерений непригодно. Пользоваться им можно только для многократных наблюдений при последующем усреднении (п. 9.2). В третьем случае (рис. 8.9, в) систематическая и случайная составляющая погрешности значительны, правильность, точность и сходимость низкие, СИ следует отремонтировать, отградуировать и повторно произвести поверку. В четвертом случае (рис. 8.9, г) систематическая и случайная составляющая погрешности малы, правильность, точность и сходимость высоки, СИ можно использовать и в ответственных экспериментах. 8.7. А Н А Л И З Д И Н А М И Ч Е С К И Х ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Анализ динамических погрешностей ИП является одним из наиболее сложных разделов теории измерения, который в настоящее время интенсивно развивается. Динамическая погрешность является функцией времени и зависит также от характера изменения, от степени и характера инерционности, от характера основного уравнения ИП (линейного или нелинейного). Особенно сложным является анализ динамических погрешностей нелинейных инерционных ИП. .354

динамические характеристики аналоговых и линейных ИП регламентированы ГОСТ 8.256—77 (п. 5.2). Рассмотрим основы анализа динамических погрешностей аналоговых линейных инерционных ИП. В качестве полной динамической характеристику ИП воспользуемся передаточной функцией ИП К (р). В этом случае динамическая погрешность ИП определяется по формуле Дд (0

FT 1

{L~l [К (р) Х(р) + К

(р) Д„ (р)]} -

X (О,

где F7 — символ функции, обратной номинальной статической характеристике СИ (для линейных ИП F71 = 1//(„); LT1 — символ обратного преобразования изображения сигнала в оригинал; Да (р) — изображение аддитивной статической погрешности, приведенной ко входу звена. Пренебрегая в первом приближении статической погрешностью по сравнению с динамической, получаем Д д ( 0 = F { L [К (р) X (р)}} -

X (/).

(8-68)

Найдем изображение динамической погрешности в единицах выходной величины Y и относительной динамической погрешности звена в долях выходной величины по отношению к идеальному звену ДГ(р) = ДГ(р) =

У(р)-Уид(р);

К(р)Х(р)-Яид(р)Х(р).

При относительно малой инерционности ИП /Сид (р) принимают равным К (0). Тогда А Г(р)

К(0)Х(р)

(р)

К( 0)

Изображение относительной динамической погрешности 6д(р)=^||--1.

(8.69)

Изображение абсолютной динамической погрешности Д (р) = бд (р) X (р) =

^ * 0 ( ) Р ) - х (р);

Дд(/) = ^ 1 [ б д ( р ) Х ( р ) ] .

(8.70)

Если известно бд (р), то зная X (р), можно определить мгновенное значение абсолютной динамической погрешности как функцию времени. В табл. 19 для апериодического звена первого порядка приведены выражения динамических погрешностей в функции времени при подаче на вход типовых входных сигналов. Приведенные выражения позволяют определить не только характер динамической погрешности (постоянный, затухающий, прогрессивно-возрастающий или колебательный), но и определить значение Дд (t) в любой момент времени как в переходном, так и в установившемся режиме. По уравнению динамической погрешности ИП и по заданному значению динамической погрешности можно определить предельные 12*

порядка при различных входных сигналах

Сигналы *(<) при <>0

Динамические погрешности Дд (р) = бд (р) х (р) ж , — рт К(р) = рт I+ 1 рх+1

(р)

(р) =

—

W-л

х (р)= А/р

Кхт t

Ад (/» = •

2Лт

Р2 (рт + 1)

X(i)~At*

, ч 2Л «W-pT

2 • Ах (/—т(1—е "Т)1

Д д (0

Л/Ю

, , д

*(р)=>

357

р+ с

Д W = -

Арх ( 1 + р т ) ( р + с)

(«~

Сигналы

Динамические погрешности Дд <Р) = бд <р) х (р)

х (Р)

* (/) при <>0

««"-ртД,3

д <р) -

Р7+\

Лет (1+рт)(р + с)

д(Р)

*(/>) =

Лет

—-

Ас

(Р + с)р

l,(ti

Л<отр (р» + щ») (1 + рх)

Ад (Р) =

A(sn

А д (0 = X

X(f)*Aslnat

Wrr

*(Р) = =

Лео р2 + ш2

— [sin (<of +

1 + <0гТ2 L

/ 8

)

V1 + <Л2

X е"] 'i®

iv А

параметры измеряемого сигнала данной формы или произвести выбор ИП путем определения предельных параметров СИ при заданном законе изменения входного сигнала. Например, при линейно-возрастающем входном сигнале х (/) = Uxt, при описании ИП в динамике уравнением апериодического звена первого порядка К (р) — . . „ 1 можно •т С

определить при заданном допустимом значении Д дд (t) и заданном времени t необходимое значение постоянной времени т, характеризующей динамику данного ИП, и т. д. Динамические погрешности измерительных преобразователей при монотонно изменяющемся входном сигнале

Определение Дд (t) путем обратного преобразования сложных изображений Дд (р) в оригинал затруднено. В этих случаях, принимая во внимание, что многие инерционные измерительные преобразователи используются в регистрирующих приборах при монотонно 357

изменяющихся входных сигналах, функцию Ад (f) определяют методом Кинга [17] в виде суммы составляющих, пропорциональных X (t), X' (/) и X" (t). Ранее было показано, что изображение динамической погрешности измерительного преобразователя равно Кп U>) *ид(0)

А д (Р)

1 Х(р)

= 6л(р)Х(р).

(8.71)

После простых преобразований получаем А д СО) =

[бд„ +

бд J> +

KP"

• •• +

б д п р П ] X (р),

(8.72)

представляющее собой разложение (8.71) в степенной ряд. Временная зависимость АДИн (0 с помощью обратного преобразования может быть представлена в виде ряда (8.73), если для данной X (t) этот ряд сходится: Ад ( 0 = б До Х ( 0 + бд,Х ? ( 0 + 8д,Х" (/) + . . . ,

(8.73)

где бДо — коэффициент динамической погрешности по X (/); 6Д, — коэффициент динамической погрешности по скорости X' (/); бДг — коэффициент динамической погрешности по ускорению X" (t). Коэффициенты составляющих динамической погрешности определяют по следующим выражениям: 6До=

lim [б д (/?)]. р-+0

при

Затем определяется бД1: бД1=

lim 1 / р [ б д ( р ) - б д 0 ] . р-*О

(8.74)

при

Аналогично находится бД2, бДз и т. д.: бд, =

Hm 1/р 2 [бд (р) — 6До — б д ,р]; р-*-О

при 6д,=

Нш 1 / р 3 [бд ( р ) — 6До — б д , Р — при p-t-0

бдУ].

Затем, разложив полиномы числителя и знаменателя динамической погрешности измерительного преобразователя в ряд в порядке возрастания степеней р, с ° д KP)

d„ + dxp + d2p* + • • - dmpm :

;

—

Co 4 - c x p + C 2 p 2 + . . .

cnpr

и, применив выражения для бДо, бД1, ..., бДп через б д (р), окончательно получимбд. = 1 / с Л ;

(8.75)

бд,= 1/СхК-бдА]; б Д г = 1/с 0 [d2 —б Д о с 2 — V i l -

(8-76) <8Л7>

Таким образом, коэффициенты бДо, бЙ1, бДа, ..., бДп определяются последовательно, один за другим. .358

Для анализа динамических погрешностей звеньев при сигналах прямоугольной, линейной и экспоненциальной форм применяют операторный метод и представляют характеристики, звеньев в виде передаточных функций по Лапласу, а для сигналов, описываемых синусоидальными, гармоническими функциями, применяют частотный метод и представляют характеристики звеньев в форме комплексной частотной характеристики. При синусоидальном входном сигнале заменой р ja> в выражении бл (р) можно получить относительную частотную комплексную погрешность, отражающую изменение модуля и фазы частотной погрешности звена при изменении частоты входного сигнала от 0 до оо, 6 e (/СО) =

_ 1= 4 g -

_ 1/

(8.78)

По значениям этой погрешности при единичном синусоидальном входном сигнале можно определить модуль сигнала частотной погрешности Л« (<о) и аргумент сигнала частотной погрешности ере (ю) (рис. 8.10): б„(/со) = Л ^ И е " ^ ,

(8.79)

б„ (/со) можно представить состоящей из действительной и мнимой составляющих, тогда б, (/со) = Р6ч (со) + /Qe4 (0); ^ Ч (©) = 1 / > 1 > ) + Фач(й)) = а ^

<&>); г

;

(8.80)

(8.8D

— ОО

В большинстве случаев при синусоидальном входном сигнале с изменяющейся частотой определяют относительное изменение амплитуды и фазы входного сигнала, которые называют амплитудно-частотной бач (to) и фазо-частотной ДФч (со) погрешностями звена бЯч (со) и Дфч (со), представляют соответственно относительные изменения модуля и аргумента комплексной частотной характеристики звена К (/«) при изменении частоты, их определяют по модулю и аргументу К (/и). К (/оо) = Р (со) 4- }Q (и); Ак (а>) -

УР'к

+ Q% (to);

qk{w) ф/с (со) = arctg —р—Т—— J

А*''

Рис. 8.10. Относительная частотная комплексная погрешность И П. 359

Звено

-CD"

К.

каш

Ri + R*

КпХ 1+ X 1 + /сот

(Cf + Cj

ся,

1 + /шт

•4(0)

К0Х \Г\ + (toC^) 2 X V i + (мт)а

Vi + (ü>T)2

(8.82)

(8.83) Афч Н = Фк (®) — Фк (0).

Если I Ад (/©) I ^ I X (ja) |, то между Лбч (©); фбч («о), б3ч (со) и А,, (со) будут следующие зависимости: 6ач (со) = Л б, (со) cos [ф0, (со)]; (8.84) Дфч N = А \ N sin [фб, (со)! рад. (8.85) В табл. 20 приведены частотные погрешности простейших линейных инерционных звеньев. Динамические погрешности при измерении параметров случайных сигналов

Инерционность ИП при прохождении стационарного случайного сигнала вносит погрешность как в мгновенные значения сигнала, так и в его статистические характеристики. В первом случае динамические погрешности, вносимые в мгновенные значения, могут быть охарактеризованы с. к. о. динамической погрешности сигнала о (Ад). В этом случае, принимая во внимание, что

Г(/<0)==К(/со)Х(/со), спектральная плотность мощности сигнала на выходе равна S,(co) = |K(/co)| 2 S,(co). 360

\ ОЮ ' )=

ЬА

ДФ, (ш)

(KU*й)

~ [ к(0)

«Ре (®) = ч Qö <<°) ~ a r c t g я вч\«>

«вч«•>)

/X to (C^j — т) (1+/Ö.T)

arctg X со (С,/?, —т) 2 1 + О^С^Т V 1 + (®т) —1 1 — arctg шт

У 1 + (шт) —1

—/ X шт (1 + /сот)

со (C1R1 — т)

— л + arctg х X 1/шт

У 1 + (С0Т)2

(ОТ

— я + arctg X

У 1 + («От)»

X 1/сот

Спектральная плотность мощности погрешности, приведенная ко входу, будет равна S A (cd) =

2, 1 _ S x (®) = 6 д ( Н

К,ид

(со),

(8.86)

где I К (ja) | — амплитудно-частотная характеристика ИП. Дисперсия погрешности равна интегралу от ее спектральной плотности по всем частотам £>(Дд)в-±-

J SA(a)da.

(8.87)

—00

Рассмотрим с. к. о. динамической погрешности линейного ИП при случайном входном сигнале от ограничения полосы пропускания ИП. Пусть X (t) представляет собой сигнал, имеющий постоянную спектральную плотность S0 (рис. 8.11) до частоты со2, а ИП идеализированный ФНЧ, имеющий частоту среза % и частотную характеристику К (ja), равную единице во всей полосе частот. Тогда из (8.86) имеем спектральную плотность погрешности

0 при а ^ о»!;

+ S 0 при c o 1 < c o < t o 2 ; О С0>(0 2 . Так как при этома спектр Xпри (Дд) = K l /(t) n Sограничен o (ma — ^х)на • частоте со2 > со^ то Определим для примера относительное с. к. о. мгновенного значения динамической погрешности масштабного ИП с коэффициентом пе.361

S(10) К(ш)

КпЧ О

кис. s . u . к определению с. к. о. динамической .ig погрешности линейного ИП от ограниченности по- * лосы пропускания преобразователя. 1

А № Uf

й), Шредачи К = 1, собранного на ОУ К544

а,

УД1 при входном сигнале, имеющем о)2 = 2л 1,02 МГц. Так как по паспортным данным ИП имеет сох = 2л X 01, ы х 1 МГц, то

бд =

о (Ад) »W

У l/jt.Sn (ша — (а1) _ у r V1 V l/JlS /nS0a>, m, "

j %

= 14 %.

Приведенный пример показывает необходимость тщательного подбора граничных частот усилителей сигналов, представляющих собой широкополосный шум. Во втором случае, когда результатом измерения является статистическая характеристика, подход к исследованию динамической погрешности изменяется. Динамическую погрешность б цг , вызванную ограниченным временем осреднения, при измерении z-й характеристики случайного сигнала X (t) будем определять следующим образом: 6Д7 = -^Е- ,

(8.88)

где а дг — с. к. о. данной характеристики случайного сигнала или *с.к.в. Для измерения хс и xc.K_ä электрических квазидетерминированных сигналов в определенной полосе частот создано много типов аналоговых и цифровых вольтметров. Эти приборы при определенных условиях могут быть использованы также для измерения JCe K.3 случайных электрических сигналов. Случайные сигналы обладают часто широким частотным спектром, и при измерении хс.к.в необходимо учитывать временные характеристики сигнала и измерительного прибора, в первую очередь длительность времени осреднения. Рассмотрим погрешность 6Д2 для случая, когда г представляет собой среднее значение сигнала X (t): V* 1/2л £ | К (/<о, Т) р Sx (со) deо бд.ср

М(Х)/С((), Г)

(8 89)

где Sx (со) — спектральная плотность центрированного сигнала X (t); К (/со, Т) — преобразование Фурье от импульсной функции, ограниченной временем интегрирования Т. Проведем исследование погрешности при малом времени осреднения Т -*- 0 и большом времени осреднения. При Т-+0 | К (/со, Т) | 2 » Кг (0, Т), откуда 1/2п j Sx (со) da бд.ср —

MIX]

где а (X) — с. к. о. входного сигнала. .362

о(Х) М(Х)

(8.90)

1000

1000 10000 ' 10 u T <t

100

Рис. 8.12. Зависимость статистических относительных погрешностей от времени осреднения Т при <£>с = const: а «• б с р при измерении среднего значения сигнала: б — б с # к 3 при измерении среднего квадратического значения сигнала.

Из (8.90) следует, что при Т -*• 0 с. к. о. входного сигнала а (X) полностью определяет погрешность 6 д с р , которая в этом случае может принимать достаточно большие значения, так как фильтр в этих условиях практически не уменьшает с. к. о. При Т Т0, где Т0 — постоянная времени фильтра К (/со, Т) г=г « К (/со). При этом, как правило, входной сигнал X (t) можно считать значительно более широкополосным, чем полоса пропускания фильтра с К (/©)• Д л я этого случая из (8.89) можно получить Sx (0) 1/2я j | К (/ü>) р da, и

о М [X] К (0)

д.ср — •

М [ Х ]

(8.91)

1/2 xt J 1К(/со) Чш

где Д 0

— эффективная ширина полосы осредняю-

K z (0)

щего фильтра. Как следует из (8.91), в рассматриваемом случае б д . С р определяется эффективной шириной полосы осредняющего фильтра, которую можно сделать весьма малой, что приведет к существенному уменьшению б д ср . В работе [113] определена эффективная ширина полос для усредняющих фильтров: для интегратора Дш = п/Т, а для #С-фильтра Д(оэ = я/2Т 0 , где Т0 = RC — постоянная времени фильтра. Если на вход таких фильтров подается широкополосный случайный сигнал X (t), имеющий постоянную спектральную плотность мощности Sn [ВЧГц] до частоты сос, то погрешность на выходе интегратора будет равна К

"Д.ср —

' И м

\Twe

)

(8.92) .363

а на выходе ЯС-фильтра о (X) { я у/. бд.ср=-ЖЩ-(^7>г)

/г -г (8.93)

где а (Х)/М [X] — коэффициент изменчивости случайного процесса. Из сопоставления (8.92) и (8.93) следует, что при использовании интегратора с увеличением времени осреднения Т погрешность уменьшается (рис. 8.12, а). Во втором случае (при использовании ЯС-фильтра при условии, что Т0 Т) погрешность определяется постоянной времени Т0. При измерении среднего квадратического значения сигнала X (t) можно воспользоваться для определения погрешности соотношением (8.88). При этом для квадрирующего преобразователя, включенного перед осреднителем при гауссовской плотности вероятности X (t), имеем [ # , М — (М [Х])2]/(М [X])2 = 2е -2<в е |т| , где (о0 — ширина спектра сигнала X (t) на уровне половинной мощности; R x (т) — автокорреляционная функция сигнала. После ряда преобразований получаем: для идеального интегратора б д .с.к. в =

= - V

ущщ

(2ö c T -

1 + e- 2<B ^)V. ;

(8.94)

для #С-фильтра с постоянной времени Т, е

_ бд.с.к .3

[ V« + (ь>сТ0)

—2 Т/т0

*/3 - (0СГ0 " 1/2 _ -Т/Т, 1-е

((d2rg)

-(1/Го+ис)Г

(8.95)

На рис. 8.12, б приведены зависимости погрешности уд.с.к.э от произведения ©СГ для идеального интегратора и ФНЧ. Как следует из (8.94), при использовании идеального интегратора погрешность у д . с . к . а уменьшается пропорционально увеличению времени осреднения при <ос = const (до тех пор, пока реальный интегратор не войдет в насыщение). При использовании ФНЧ погрешность уд.с.к.з уменьшается при увеличении Т только до определенного предела, изменяясь согласно (8.95), а затем стабилизируется на уровне, определяемом постоянной времени Т 0 и <а0. Это определяется способностью ФНЧ «забывать» осредненные с. к. з. сигнала, отстоящие от текущего момента времени на интервал, превышающий 5Т 0 . Для интегратора <всГ -> 0 из (8.94) имеем: . (2о) с Г-1 + 1)'л Чц.с.к.з— :—s

а при соеТ ^ 1 б 3G4

(2ю с Г- I)1/. <г

Палее lg бд.с.к.з — V 2 (lg 2

lg (0СТ),

т. е. зависимость погрешности интегратора будет представлять собой в логарифмическом масштабе непрерывно спадающую прямую (рис. 8.12, б). Для ФНЧ имеем: при со0Т О —2Т/Т0 е

^ ' /_; • ;-ш L ( СТ0 бд.с.к.з. =

. - т 1 • е—'/'о */2 — tOg^Q

" —Т/Т0 1—е

если при этом одновременно а с Т 0 ->- 0, то Я Од,с.к.з —

\2+2<Г2Т/Т°-2е-Т,Т°)4' —Т/Та ' 1 —е

При условии а в противном случае, т. е. при Т > Т 0 7д.0.к.з V 2 , что соответствует отсутствию фильтрации. С ростом произведения за сос7" счет увеличения Т (ю с Т - у оо) имеем L

Од.с.к.з —

-2Т/Т„ 1 , е Уг + сос:Г0 ^ Уа-сОеГр —Т/То -Т/То 1 —е

Т/.

(8.96)

т. е. 8д.с к.з Ф 0 в отличие от интегратора, что обусловливает наличие горизонтального участка характеристик ФНЧ на рисунке. Горизонтальный участок начинается тем раньше, чем меньше ю с Г 0 . Только при дополнительных условиях сосГ ^ 1 и Т Т0 бд.ск.з = l / V < f 0 ;

lg бд.с.к.з = v , lg СОСГ0.

(8.97)

С. к. о. случайной составляющей погрешности измерения хср и Хс.к.з эргодического случайного сигнала при стремлении времени осреднения Т к оо стремится к нулю. Эта погрешность в случае идеального интегратора в первом приближении аналогична по своей природе с. к. о. среднего арифметического ряда многократных наблюдений, которое тоже стремится к нулю при увеличении числа наблюдений ti до бесконечности. Разница между ними заключается в том, что во втором случае имеет место цифровое осреднение после измерения, а в первом — аналоговое осреднение в процессе измерительного преобразования. 8.8. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ И ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

ПРИБОРОВ

Важнейшей задачей при совершенствовании измерительного прибора является снижение всех составляющих его погрешности, т. е. повышение его точности — этого наиболее важного качества измерения. 365

Рис. 8.13. Классификация методов повышения точности измерительных приборов и преобразователей.

Причинами возникновения погрешностей в измерительных приборах являются воздействия: внешних влияющих величин (температура окружающей среды, напряженность внешних магнитного и электрического полей, ускорение вибраций, напряжение питающей сети и пр.); внутренних влияющих величин (изменение емкости, сопротивлений и индуктивности элементов схемы, напряжение собственных шумов и др.); неинформативных параметров входного сигнала (частоты при измерении переменных сигналов, уровня сигнала при измерении частоты или периода и пр.). Разработано много различных методов повышения точности измерительных приборов, которые можно подразделить на две группы (рис. 8.13): методы предотвращения возникновения данной погрешности; методы снижения уровня существующих погрешностей. К первой группе относятся конструктивно-технологические и защитно-предохранительные методы. Эти методы наиболее удобны, так как предотвращают появление данной погрешности или не допускают превышения ею допустимого значения обычно наиболее простым путем при минимальном структурном усложнении прибора. Поэтому их стремятся применять в первую очередь и они подробно рассматриваются в курсах «Измерительные преобразователи» и «Аналоговые измерительные приборы». Конструктивно-технологические методы уменьшения погрешности заключаются в использовании элементов и узлов наиболее высокого качества с наиболее стабильными параметрами. Примерами таких методов являются: для уменьшения температурной погрешности — применение манганиновых резисторов; для уменьшения частотной погрешности — применение частотнонезависимых резисторов. Защитно-предохранительные методы призваны уменьшить влияние внешних влияющих величин и заключаются в уменьшении диапазона их изменения в локализованном пространстве (термостатирование, экранирование, стабилизация и т.д.). Примерами таких методов являются: .366

для погрешности от неправильной установки прибора — применение уровня; для температурной погрешности — термостатирование; для погрешности от внешних магнитных или электрических полей — соответственно магнитное или электростатическое экранирование; для погрешности от колебаний напряжения питания — стабилизация напряжения источника питания; для погрешности от вибраций — амортизация и т. д. Ко второй группе относятся методы коррекции и статистической минимизации погрешностей. Общей особенностью этих методов является то, что они направлены не на предотвращение возникновения погрешностей, а на снижение уровня уже возникших, существующих погрешностей. Коррекция, или функциональная минимизация, погрешностей измерительных приборов заключается в снижении их уровня на основе аналитического или экспериментального обнаружения погрешностей, обычно систематических или медленно изменяющихся случайных. Статистическая минимизация погрешностей заключается в снижении предполагаемых, но необнаруживаемых случайных погрешностей измерительных приборов. Она может осуществляться во время и после измерения. В последнем случае методы статистической минимизации совпадают с методами уменьшения погрешностей измерения. Примерами могут служить: уменьшение случайных погрешностей путем временного или пространственного осреднения результатов многократных или множественных измерений; уменьшение погрешности от квантования (п. 7.1). В дальнейшем более подробно рассмотрим методы коррекции погрешностей измерительных приборов. Методом коррекции погрешностей измерительных приборов является совокупность дополнительных приемов использования технических средств, осуществляемых в процессе измерения с целью снижения уровня или устранения определенной аналитически или экспериментально выявленной погрешности. Коррекция погрешностей измерительных приборов достигается реализацией ряда дополнительных операций, которые выполняются вручную оператором или автоматически. Другими словами, снижение погрешности достигается ценой дополнительного труда оператора или (в случае автоматического прибора) усложнения конструкции и уменьшения быстродействия прибора. Методы коррекции погрешностей измерительных приборов и преобразователей в зависимости от степени участия оператора можно подразделить на (рис. 8.14): методы ручной коррекции, выполняемые оператором; структурные методы автоматической коррекции, реализуемые главным образом на основе принципа инвариантности академика Б. Н. Петрова. Методы ручной корреляции по способу ее осуществления подразделяются на: .367

Memoäu коррекции погрешностей измерительных приваров и преобразователей

Рис. 8.14. Классификация методов коррекции погрешностей по наиболее существенным признакам.

методы калибровки, основанные на регулировании прибора оператором; методы обработки результатов измерения без воздействия оператора на прибор, например путем введения поправки, повторными поверками. Методы автоматической структурной коррекции по этому признаку подразделяются на методы, основанные на использовании: внешней влияющей величины или неинформативного параметра сигнала, которые применяются в измерительных приборах с разомкнутой структурой; самой погрешности, выявленной с помощью дополнительных образцовых измерительных приборов, мер или масштабных преобразователей, которые применяются в измерительных устройствах с замкнутой структурой. По способу разделения каналов обе группы методов автоматической коррекции можно подразделить на методы с пространственным и временным разделением каналов. По способу корректирующего изменения выходной величины прибора методы коррекции можно подразделить в основном на методы аддитивной, мультипликативной и нелинейной коррекции. Методы коррекции погрешностей измерительных приборов оператором

При анализе методов коррекции абсолютную суммарную погрешность измерительного прибора удобно разделить на три составляющие: аддитивную Да, независимую от х, которая также называется погрешностью нуля и вызывает параллельное смещение характеристики прибора (рис. 8.15, а)f .368

Рис. 8.15.

Графическое представление д е й с т в и я рактеристику ИП: а — аддитивной; б — м у л ь т и п л и к а т и в н о й

п о г р е ш н о с т е й на х а погрешностей.

мультипликативную Дм = б м х, пропорциональную х, которая также называется погрешностью чувствительности и вызывает поворот характеристики прибора по отношению к началу координат (рис. 8.15, б); погрешность от нелинейности характеристики прибора А н е л , которая зависит от х нелинейно. Аддитивную составляющую погрешности можно легко обнаружить при х = 0. Мультипликативную составляющую можно обнаружить лишь при наличии меры или масштабного преобразователя. Коррекция погрешностей оператором воздействием на прибор. Методы коррекции вручную подразделяются на аддитивную коррекцию, или установку нуля, и мультипликативную коррекцию, или калибровку. Установка нуля прибора производится путем параллельного смещения его характеристики. Установка нуля выполняется оператором в стрелочных приборах смещением указателя на нулевую отметку при х = 0. Калибровка прибора производится изменением его чувствительности, т. е. изменением угла наклона характеристики. Калибровка наиболее эффективна при преобладании мультипликативной составляющей погрешности и может быть реализована оператором в схемах с мерой, с образцовым прибором и с образцовым обратным преобразователем и устройством вычитания. В схеме с мерой (рис. 8.16, а) калибровка осуществляется при подаче на вход прибора известной по значению величины х0. При наличии мультипликативной погрешности бм отклонение прибора а = KtX = Ко (1 + бм) х = К0х + КпЬых.

<г

Рис. 8.16. Схемы ручной калибровки измерительных устройств: а — с помощью меры; б — с помощью образцового прибора; в — с помощью обратного п р е о б р а з о в а т е л я и устройства вычитания. .369

При подаче на вход такого прибора х0 отклонение а = Кгх0 = КоХ0 + К06мх0 = а 0 + Аа м .

Во время калибровки оператор изменяет коэффициент преобразования прибора К до тех пор, пока при х = х0 отклонение не станет равным а 0 , которое на шкале отмечено обычно красной меткой или соответствует конечному значению шкалы прибора. В результате калибровки К становится равным К 0 — а0/л:0, при этом мультипликативная погрешность не превышает погрешность отсчета. Калибровку в схеме с образцовым прибором (рис. 8.16, б) желательно производить при значении х, близком к хи. При калибровке К изменяется до тех пор, пока показания калибруемого и образцового приборов не совпадут. Схема с образцовым обратным преобразователем и устройством вычитания (рис. 8.16, в) пригодна, главным образом, для калибровки измерительных преобразователей. При калибровке К изменяется до тех пор, пока Ар на выходе устройства вычитания будет равна 0. В этом случае х

= хк — у/Ко = Кх/К0;

т. е К = К0.

Коррекция погрешностей оператором без воздействия на

прибор.

Эти методы коррекции осуществляются оператором после измерения либо введением поправки, либо обработкой показаний прибора. Коррекция введением поправки оператор о м . Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, прибавляемое к результату измерения с целью исключения систематической погрешности. Введением поправки можно уменьшить погрешность только в том случае, если зависимость между влияющей и выходной величинами прибора известна. Если, например, до введения поправки на изменение температуры уП — х (К — bt) известны b и t, то после определения и введения поправки Ау попр

btx\

г/кор = Уп 4- Аг/попр = хК.

(8.98)

Коррекция обработкой показаний прибор а о п е р а т о р о м . Аддитивная погрешность Ауа при у = Кх + 4- Ауа исключается одним дополнительным наблюдением при х, равном 0, и последующим вычитанием. При наличии аддитивной погрешности и при х = хх выход прибора уп (л^) = Кху + Аг/а. Затем при х = 0 : у (0) = Ау а . После вычитания получаем скорректированную выходную величину прибора УкоР (*i) = Уп (хг) — у (0) = Кхх 4- Ауа — у (0) =

Кхг.

Мультипликативная погрешность 8М исключается с помощью одноканальной нерегулируемой меры поверкой прибора по известному значению хй и последующим делением и умножением: v _ 1 ~ .370

iM*i) „ _ Уп(Я

х,К (1 + 6М) , *Л(1 + 6м)

Если в показаниях прибора содержатся и аддитивная, и мультипликативная погрешности, то они исключаются также с помощью одноканальной нерегулируемой меры двумя дополнительными измерениями при х, равных 0 и х0, и последующими вычислительными операциями. В методе замещения используется регулируемая одноканальная мера. В этом случае в измерительном преобразователе устраняются и мультипликативная и аддитивная погрешности (п. 2.2). В первом цикле получаем <8-">

01 = Я о ( 1 + в ы ) * + Д0а-

Во втором цикле х0 изменяем до тех пор, пока выход не станет равным ух. Тогда ^ ! = / С о ( 1 + 8 м ) х0 + АуаЕсли погрешности 6М и Ауа остаются во время обоих циклов неизменными, то х = х0. Следовательно, результат измерения не зависит от значений погрешностей бм и Ауа при их постоянстве. Требование постоянства б и Ауа в данном случае относительно легко выполнимо, так как за время измерения не успевают измениться внешние влияющие величины и мало проявляется временная нестабильность. Методом замещения устраняются суммарные систематические и медленно изменяющиеся случайные погрешности, носящие как аддитивный, так и мультипликативный характер, возникающие по различным причинам. Примером способа замещения является правильное взвешивание на неправильных весах. Если уравнение прибора нелинейно [46], то коррекция мультипликативной и аддитивной погрешностей может быть выполнена путем трех наблюдений вблизи искомого значения х, т. е. на линейном участке с тангенсом угла наклона KiПри первом наблюдении Уп (*i) =

При втором наблюдении Уп (xi + *о) =

(*i + *о) + АУо-

'При третьем наблюдении Уп (тх,) = Клтхх + Ду0, где т — масштабный коэффициент тогда х

Уп

преобразования

х,

близкий к 1,

(тхт) - уп (дс,)

Результат измерения от К и Ауэ не зависит. Суммарная погрешность описанного метода калибровки резко возрастает при наличии случайных быстроизменяющихся погрешностей ввиду использования в выражении (8.100) разности близких по размеру величин. Производительность труда оператора при ручных методах коррекции очень низкая. Поэтому коррекцию погрешностей автоматизируют. .371

Структурные методы автоматической коррекции При автоматической коррекции необходимо иметь в наличии или создать величину, с помощью которой можно было бы реализовать корректирующее воздействие на ИП. Этой величиной может быть влияющая величина, неинформативный параметр входного сигнала или величина, пропорциональная погрешности измерительного устройства. Поэтому структурные методы коррекции подразделяются на: методы с использованием разомкнутых структур, в которых корректирующее воздействие создается влияющей величиной F или неинформативным параметром входного сигнала сх (рис. 8.17, а)\ методы с использованием замкнутых структур, в которых корректирующее воздействие создается величиной а, пропорциональной погрешности А (рис. 8.17, б). Структурные методы коррекции измерительных устройств исследованы советскими учеными Ю. А. Скрипником, Ю. М. Тузом, К. Л . Куликовским, Т. М. Алиевым, В. Н. Малиновским, В. И. Губарем и др. Корректирующее воздействие при автоматической структурной коррекции в соответствии с принципом инвариантности может создаватьс я в дополнительном канале либо цикле преобразования, т. е. с использованием или пространственного, или временного разделения. Структурные методы автоматической коррекции как с пространственным, так и с временным разделением подразделяются по способу

Рис. 8.17. Способы формирования корректирующего воздействия: а — путем преобразования влияющей величины или кеинформативного параметра входного сигнала; 6 — путем преобразования погрешности Д.

Рис. 8.18, Способы введения корректирующего воздействия в основной канал корректируем мого измерительного устройства: а — аддитивного; б — мультипликативного. .372

I УВ\г

F Ь.

кп

&Ук

I — S •

K(1+S)

Ж е

Дп п

Тц т> t

И U

.ж

L J < ^

[F АПЗ

^СгЙ-И-ЕШН а \П2 в

/о \F

г.

•

Рис. 8.19. Коррекция измерительных устройств с разомкнутой структурой с прост« ранственным разделением: а — аддитивная; б — мультипликативная; « — логометричеекая; г — комбинированная; с временный разделением: д — аддитивная; е — мультипликативная; ж - • логометричеекая; з — комбинированная.

введения сформированного корректирующего воздействия в основной Канал на аддитивные и мультипликативные. Автоматическая аддитивная коррекция осуществляется путем суммирования выходной или входной величины и величины, пропорциональной погрешности, которая создается автоматически в корректирующем преобразователе КП. .373

При аддитивных методах коррекции величина, пропорциональная погрешности, обычно суммируется с выходной величиной (рис. 8.18, а). Аддитивную коррекцию наиболее удобно применять для мгновенных значений сигнала, так как звенья, осуществляющие аддитивную коррекцию, обладают высоким быстродействием. Автоматическая мультипликативная коррекция осуществляется изменением коэффициента преобразования ИП корректирующей величиной а, пропорциональной погрешности. При этом используются множительные устройства М У и л и управляемые звенья (рис. 8.18, б). Мультипликативную коррекцию наиболее удобно применять в измерительных преобразователях интегральных значений медленно изменяющихся величин. Структурные методы коррекции погрешностей ИП с разомкнутой структурой как при пространственном, так и при временном разделении подразделяются на аддитивные, мультипликативные и комбинированные [60]. Методы коррекции с пространственным р а з д е л е н и е м . Коррекция погрешностей измерительных приборов с разомкнутой структурой при пространственном разделении отличается: необходимостью в специальных корректирующих преобразователях для преобразования каждой влияющей величины или неинформативного параметра входного сигнала в величину, используемую для коррекции; отсутствием затраты времени на коррекцию (ввиду наличия второго канала). Аддитивные методы исключения погрешностей осуществляются в дифференциальных устройствах (рис. 8.19, а): уг = Кх + Аув = Кх + kxF, где Ауя = kxF. Влияющая величина F воздействует на корректирующий преобразователь КП, на выходе которого создается величина, однородная с у и пропорциональная F: ' . " =

hF-

Если 1Д^к| = |Д„ |, то выходная величина вычитающего устройства равна У«оР = У1 — АУК = К х (8.Ю1) и не содержит аддитивной погрешности. В реальных условиях Аук несколько отличается от Ау& и в схеме (рис. 8.20, а) возникает остаточная погрешность Ayoz, математическое ожидание которой М (Ауос) = М (Д^) — М (Ауа) и дисперсия которой D (АУос) = D (АУк) + D (Д, в ) + 2 RD (Д,к) D (А„л), где R — коэффициент* взаимной корреляции между Д у л и Ауа. .374

ф!)

•

УВ -

По Ко

Дукорр

УВ-

оп

Рис. 8.20. Устройство а в т о м а т и ч е с к о й коррекции с з а м к н у т о й структурной схемой с использованием: а — образцового п р я м о г о п р е о б р а з о в а т е л я , т. е. с вычитанием на выходе: 6 — образцового обратного п р е о б р а з о в а т е л я , т. е. с вычитанием на входе.

В измерительном преобразователе с мультипликативной коррекцией применяется обычно множительное устройство МУ (рис. 8.19, б): уг = Кх( 1 + б м ) , где 6М = ktF. Влияющая величина F воздействует на корректирующий преобразователь КП таким образом, что его выходная величина Укор

где 6К =

Уо.кор ( 1

0к)|

k2F.

Выходная величина множительного устройства равна г = ^ii/кор = К г х (1 + 6М) уо.кор (1 — 6К) = Уо.корКх (1 + б м — б к ). Таким образом, остаточная (некомпенсированная) погрешность измерительного преобразования с мультипликативной коррекцией боо = 6М — Полагая дисперсии и математические ожидания и дисперсии 6М и б к одинаковыми, /W(ÖOC) = M(6 K ) = M ( Ö J = 0; для дисперсии остаточной погрешности получим D(6 0C ) = 2D(Ö)(1 — ( 8

)

где R m — коэффициент взаимной корреляции погрешностей преобразователей. Следовательно, существенное снижение остаточной погрешности достигается только при идентичности погрешностей 6М и 8 К . В делительных двухканальных преобразователях (рис. 8.19, в) предполагаем, как и в предыдущем случае, что в основном преобразователе П преобладает мультипликативная погрешность. Тогда & = +ÖM) = /C,x(l +k,F). Влияющая величина F воздействует на корректирующий преобразователь КП таким образом, что его выходная величина Укор = (1 + 6 J = V ( 2 (1 + k,F). Если 6К = 6М, то выходная величина z делительного устройства »1 __ КIх О + 6М) ^ Ksx («.1J3) ?/кор

К2Х0 (1 +

6К)

Х0

н не содержит мультипликативной погрешности. .376

Из-за неизбежного различия 8К и 8М и в этом случае возникает остаточная погрешность, дисперсия которой описывается выражениями

(8.102).

Если в основном преобразователе П имеет место и аддитивная, и мультипликативная погрешности, то можно применить комбинированную коррекцию (рис. 8.19, г). Тогда выходные величины П1, /72 и КП соответственно составят:

у 2 = К 2 х0 ( 1 + 8 к ) + ДУа; Дг/к = k3F. Выходные величины уг, АУк и у2 подаются на два вычитающих устройства и делительное устройство, выходная величина которого при 8М = 8К и АУа = АУк z

"ГА* У2 -

=ТТА

г/К

Ьх

(8Л04)

'2х0

и не содержит аддитивной и мультипликативной погрешностей. Эти методы коррекции целесообразно применять: при преобладании погрешностей, возникающих от действия одного или двух известных влияющих величин (например температуры и частоты); при наличии простых и надежных корректирующих преобразователей влияющей величины или неинформативного параметра входного сигнала. Примерами коррекции этого типа могут служить: термокомпенсация терморезисторами, компенсация частотной погрешности элементами с частотно-зависимыми параметрами и др. Методы коррекции с временным разделен и е м . Измерительные приборы с разомкнутой структурой и с такой коррекцией погрешностей отличаются следующими особенностями: многоэтапными алгоритмами коррекции, а значит, и дополнительными затратами времени на коррекцию; отсутствием специальных корректирующих преобразователей влияющих величин. Аддитивная коррекция реализуется в простейших измерительных преобразованиях с периодическим вводом входных величин (рис. 8.19, д). Уравнение преобразователя П в первом и втором периодах (переключатели соответственно в положениях а и б): y1 = Kx + &yü{t); y2 = Aya(t + T), где Ауа (I) и Ау (t + Т) — аддитивные погрешности на выходе преобразователя П в моменты времени t и (t + Т) соответственно. После запоминания ух и у2 в запоминающих устройствах ЗУ1 и З У 2 и вычитания образуется y(t) = Кх + .376

Ay(t),

где AVoc (t) — A„a (/) — А ( / + 7 ) — остаточная аддитивная погрешность. Если Ауа (0 — стационарный центрированный случайный процесс, то математическое ожидание М (AVoc) = 0, а дисперсия этой погрешности D(A !/oc ) = 2 D [ A y J { ) ] [ l - R ( T ) ] , где D\Aya(t)]—дисперсия процесса Дya(t), а R (Т)— его коэффициент автокорреляции на интервале времени Т. Таким образом, этот метод обеспечивает эффективное уменьшение погрешностей при преобладании систематической составляющей погрешности, а при преобладании случайной составляющей эффективен только при R (Т) 1. Мультипликативная коррекция осуществляется по более сложной схеме (рис. 8.19, е), работающей в два периода. В первом периоде (переключатели в положении а): yi=xK( у{ =

1+8); VC.

Во втором периоде (переключатели в положении б): Уп = 0;

)

у'п = х0К (1 + 8 ) — х0К = х0К& I После фильтра Ф1 и выпрямителя В1 на первый вход множительного устройства МУ подается г = V , (г/I -

уп) Я Ф Д В , = ХКЛ 1 +

8).

После фильтра Ф2 и выпрямителя В2 на второй вход множительного устройства МУ подается г' =

У2 (г/i — Уп)

— a j (

(1 —

6).

После перемножения на выходе звена МУ получаем 2 В = К щ г г ' = К 3 х (1 — б 2 ).

(8.105)

Следовательно, в выходной величине отсутствует мультипликативная погрешность в первой степени. Устройство с мультипликативной коррекцией показано на рис. 8.19, ж. В первом периоде при положении переключателя а интегратор И работает в течение заданного времени Tv и его выходная величина Zj = лг/С (1 + 6)Тц. Во втором периоде при положении переключателя б интегрирование производится в обратном направлении до полного разряда. В конце второго периода х К ( 1 + 6 ) Г а - х 0 К ( 1 + 6 ) Т Х = 0, тогда 7 , = Т и х/х 0 . (8.Ю6) .377

В результате преобразования зависимость между х и выходной величиной Тх не содержит мультипликативной погрешности. Примером мультипликативной коррекции является метод двойного интегрирования, который широко применяется в цифровых интегрирующих вольтметрах. При наличии в преобразователе П обеих составляющих погрешности (аддитивной и мультипликативной) также можно применять комбинированную коррекцию (рис. 8.19, з). В первом цикле, когда переключатель ПЗ находится в положении А, переключатель П1 в первой половине цикла находится в положении а, а во второй — б, происходит устранение аддитивной погрешности. Во втором цикле переключатель ПЗ находится в положении Б, переключатель П2 в первой половине цикла находится в положении а, а во второй — б. Происходит устранение аддитивной погрешности, как и в первом цикле. Мультипликативная погрешность устраняется так же, как и в предыдущем устройстве. В результате в выходной величине будут отсутствовать обе составляющие погрешности. Все рассмотренные методы применимы для уменьшения систематических погрешностей, возникающих от действия нескольких влияющих величин, а также и случайных погрешностей, медленно изменяющихся во времени (по сравнению с длительностью цикла преобразования). Структурные методы автоматической коррекции погрешностей ИП с замкнутой структурой основаны на создании воздействия, управляемого погрешностью измерительного преобразователя и направленного на ее уменьшение. Эти методы применимы для уменьшения как систематических, так и случайных, медленно изменяющихся погрешностей. Д л я выявления погрешности измерительного прибора или преобразователя необходимо обеспечение связи входа с выходом — путем сравнения выходного и входного сигналов по информативному параметру, которое осуществляется в замкнутых структурных схемах с использованием устройств вычитания. Следовательно, такие методы коррекции можно применить только для величин, удобных для вычитания. Обычно так корректируются погрешности усилителей, у которых входные и выходные величины однородны и удобны для вычитания. Создание корректирующей величины, пропорциональной погрешности, производится с использованием образцового измерительного преобразователя или образцового прибора (рис. 8.20, а), т. е. с вычитанием на выходе, либо с использованием образцового обратного преобразователя или масштабного преобразователя (рис. 8.20, б). В первом случае создается корректирующая величина Aj/KOp, которая при К = К0 А

УК0Р

У —

Уо =

Ко (1 +

6) X - f \

—

КоХ =

КоХ6

Во втором случае создается корректирующая величина AKOp» которая при К = К0 и ß = 1 /К0 А кор = * - х

= * — [х/С 0 (1 + б) + A % ] ß = |*6 + Ayaß | .

Если в корректируемом звене возникают мультипликативная и аддитивная погрешности, то автоматически создается корректирующая .378

Рис. '8.21. И з м е р и т е л ь н о е у с т р о й с т в о с з а м к н у т о й с т р у к т у р о й : а — с аддитивной к о р р е к ц и е й ; б — с м у л ь т и п л и к а т и в н о й к о р р е к ц и е й .

физическая величина Д Укор или ДКОр, пропорциональная их сумме. Структурные методы автоматической коррекции замкнутых систем также подразделяем на методы с пространственным и временным разделением каналов. Методы коррекции с пространственным разделением подразделяют на автоматическое введение поправки и автоматическую калибровку. В измерительных преобразователях с автоматическим введением поправки, т. е. с аддитивной коррекцией (рис. 8.21, а), корректирующая величина ДКОр преобразуется в дополнительном канале с коэффициентом преобразования К2> равным коэффициенту преобразования прямой цепи Ki, и суммируется с выходной величиной прямой цепи с целью введения поправки для устранения погрешности от изменения KiАддитивная коррекция удобна в том случае, если все три величины — входная, выходная и разностная — однородны. Выходная величина измерительного преобразователя в этом случае y

= x(Ki

K2-KiK£).

Коэффициент преобразования обратного преобразователя ОП ß выбирается равным 1 /Кю- Тогда в нормальном режиме при Ki = Кщ выходная величина

У = К10х, а корректирующая ^кор

Хк = 0.

Если Ki изменится, то при х — const у примет иное значение и в результате возникает погрешность. Однако при этом корректирующая величина не будет равна нулю, и в новое значение выходной величины будет введена поправка, которая значительно уменьшает погрешность, возникающую от изменения KiПогрешность в случае изменения Кг и К2 при идеальных устройствах вычитания и суммирования и Ki0 — К20 6 0 = ökfik, — бр, 379

где 8ß — погрешность обратного преобразователя; — мультипликативные погрешности преобразователей. Большим преимуществом таких устройств является то, что достигается значительное уменьшение составляющей мультипликативной погрешности от звеньев Кг и К2, так как их мультипликативные погрешности перемножаются. В измерительных преобразователях с автоматической калибровкой, т. е. с мультипликативной коррекцией, корректирующая величина AKop после соответствующего преобразования используется для изменения коэффициента преобразования прямой цепи Кг (рис. 8.21, б) с целью уменьшения погрешности, возникшей в результате нестабильности /Сх. Выходная величина измерительного преобразователя в этом случае у = х К г ^ х (/С10 + А к, — Д* к ). где Д к , — изменение коэффициента преобразования под действием влияющих величин; Дк к — компенсирующее изменение коэффициента преобразования k t в результате автоматической калибровки: Дк к = (* — * к ) ^ з

= (х — xKiß) K2k 3.

Коэффициент преобразования обратного преобразователя ß выбирается равным УК 1 0 . В нормальном режиме при Кг = Кго, Дк, — 0> х — х к = А = О корректирующая величина zKop = 0 и Дк к == 0. Если при х = const изменяется Кг, т. е. возникает Ак, ф 0, то соответственно изменяется корректируемая величина у и появляется погрешность. При этом возникает корректирующая величина zKOp ф 0 и Ак к ф 0, в результате коэффициент Кг автоматически изменяется до тех пор, пока не будет почти полностью восстановлено его номинальное значение. При этом погрешность от изменения Кг будет уменьшена во много раз. Погрешность устройства при изменении Кг и ß öc = 6«,l/(l

+xM3ß)-öß.

Такие измерительные преобразователи более сложны, так как содержат в прямой цепи звено с регулируемым коэффициентом преобразования. Применение мультипликативной коррекции целесообразно в том случае, если трудно применить аддитивную или неудобно суммировать выходную и преобразованную корректирующую величины, например, если прямая цепь вносит нелинейные и частотные искажения. Важным преимуществом устройств с аддитивной и мультипликативной коррекцией по сравнению с компенсационными устройствами (п. 8.5) является во много раз меньшее значение коэффициента преобразования прямой цепи при заданном общем коэффициенте преобразования (из-за отсутствия ослабляющего действия глубокой отрицательной обратной связи по входной величине). Преимуществом мультипликативной коррекции является возможность снижения требований к преобразователям прямой цепи в отношении частотных и нелинейных искажений. Дальнейшее совершенствование устройств с мультишшка.380

Рис, 8.22." Измерительные устройства: а - » с итерационной коррекцией в два ц и к л а ; б — с поэлементной коррекцией; в =» с к о р р е к ц и е й путем изменения обратной связи.

тивной и аддитивной коррекцией связано с использованием временного разделения. Методы к о р р е к ц и и с временным разделен и е м . Обработка результатов нескольких измерений при временном их разделении дает возможность автоматически устранить из результата к а к аддитивную, т а к и мультипликативную погрешность. Наиболее удобным способом для этого является итерация, т. е. постепенное приближение. При коррекции по методу итерации (рис. 8.22, а) с созданием разности на выходе в первом цикле отсчет NXl заносится в регистр PI, а во втором — неточным Ц И П с погрешностями б и Д а измеряется хк — NXiqK. Отсчет Ц И П во втором цикле ДГ .= х к

0К

д. ( 1 + 6 ) 9к

(8Л07).

вносится в регистр Р2, а в устройстве вычитания (УВ) вычитается из отсчета, полученного в первом цикле. Корректированный отсчет прибора получают суммированием; NXl = N'x, +

N'x,-N'^.

Погрешность после коррекции б с = б 2 . Пренебрегая, если возможно, величинами второго порядка малости,в частности, если б 2 1, получим корректированный отсчет N

x,=x1/qK.

В этом случае практически устраняются обе погрешности. Структурную схему при осуществлении метода итерации значительно упрощают, заменяя вычитание и суммирование удвоением .381

первого отсчета N'Xl И вычитанием второго N' >. В этом устройстве выполнено удвоение число-импульсного кода в первом цикле, а для вычитания использован реверсивный счетчик. Итеративные методы целесообразны в том случае, когда погрешность прямой цепи Ц И П устранить или уменьшить другими способами не удается, например частотную погрешность высокочувствительных преобразователей переменных напряжений в широком частотном диапазоне. Метод поэлементной к о р р е к ц и и близок к коррекции по методу итерации [22, 86]. Отличие их заключается в том, что вместо операции удвоения результата измерения в первом цикле итерации при поэлементной коррекции параллельно по входу к корректируемому преобразователю П 1 включается дополнительный преобразователь П2, аналогичный первому (рис. 8.22, б). В первом цикле поэлементной коррекции выходы этих обоих преобразований суммируются. В итоге получаем удвоенный результат преобразования в сумме с удвоенными мультипликативной и аддитивной погрешностями: Hcl = y1 + ya = xK{\+&)

+ bUa + xK(l

+ &) + &l,a = 2xK + 2xKb +

+ 2AV Предполагаем, что мультипликативная и аддитивная погрешности преобразователей П1 и П2 равны соответственно б и Ау . Во втором цикле х преобразуется в у1 в П1, а затем подается на обратный преобразователь ОП и величина z/xß подается на вход преобразователя П2. Выходная величина П2 без учета погрешностей второго лорядка малости Ус = IxK (1 + б) + АУа]

(1 + б) + АУа = хК + 2хЯб + 2 A V

Тогда, принимая во внимание, что ß = 1 /К, разность, образуемая реверсивным счетчиком после частотного преобразования, Уг — Уг — Кх, т . е. будет равна откорректированному результату, не содержащему мультипликативной и аддитивной погрешностей. Суммарная погрешность 6С = —б 2 +

АуЬ/Кх.

Д л я коррекции звеньев уравновешивания с отрицательной обратной связью (ООС) предложен [44] оригинальный способ уменьшения погрешности от изменения К . Это измерительное устройство имеет два обратных преобразователя ОП1 и ОП2 с коэффициентами ßj и ß 2 (рис. 8.22, в) и работает в два цикла. В первом цикле результат измерения равен = Кх!{\ + /Cßi) <7к» во втором N2 = Кх/(1 4 Z(ß2) qK. В вычислительном устройстве ВУ производится операция определ е н и я результата N3 по следующей формуле: AJ3 . 3 8 2

==_JV1A^_

Nr-N,

* (Р, — ß4)«?к •

Р и с . 8.23. Структуры п р е о б р а з о в а т е л е й с осреднением: а •=- п р о с т р а н с т в е н н ы м по п к а н а л а м ; б — временным п п о с л е д о в а т е л ь н ы х н а б л ю д е н и й с ч е т чиком; в — в р е м е н н ы м а н а л о г о в ы м и н т е г р а т о р о м .

Если ßx = 0, то N3 — x/ß2gK. Следовательно, результат не зависит от К . Разработаны также другие способы с изменяемой обратной связью. Например, в первом цикле измерение производится при разомкнутой ООС [15] N, =Kx/qK, а во втором — при включенной: N2 = Kx/(\+mqK. Тогда из двух уравнений после подстановки К = Nxqjx N

N l

находим;

•

1 + NJÜJx ''

N, = N2 + Nt-Nt

•

Разработаны более сложные способы устранения погрешности устройств с ООС, которые дают возможность устранить погрешности и от изменения ß. Вторая группа методов коррекции — для замкнутых структурных схем отличается следующими основными особенностями: корректируется не одна из составляющих погрешности (как в первой группе методов коррекции), а суммарная погрешность ИУ; корректируются не только систематические, но и медленно изменяющиеся случайные погрешности; для реализации данных методов коррекции необходимы более сложные образцовые обратные или прямые преобразователи и суммирующие, или регулируемые, устройства. С т а т и с т и ч е с к и е м е т о д ы к о р р е к ц и и применяются в тех случаях, когда в распоряжении разработчика имеются данные о статистических характеристиках погрешности (оценка интервала« корреляции погрешности, оценка взаимной корреляционной функции погрешностей и др.). При этом появляется возможность уменьшения случайной составляющей погрешности путем пространственного или временного осреднения. . 3 8 3

Метод пространственного осреднения или метод комплексирования ' {8] используют для подавления некоррелированных погрешностей у приборов данного типа. При этом приборы и датчики включаются параллельно (рис. 8.23, а). Тогда выходной код п приборов, включенных параллельно, после суммирования и осреднения j V x c p = V л/./ П ) i— 1 где N ( — выход 1-го прибора; п — число параллельно. Положим N{ = N0 + А Nlt

приборов,

включенных

где ANi — погрешность г-го прибора. Тогда NXc=N0+VnZAN{. ср

Определим дисперсию осредненного результата Л^ ср , полагая, что дисперсия показаний всех приборов в группе одинакова: D (ANt) = D(AN), а также, что взаимная корреляционная функция погрешностей любых двух приборов также одинакова: Ru = RТогда дисперсия результата осреднения D (ANcp) = D (AM) (R + ( 1 -

R)/n)

и при R = 0 получим D (ANcp) = 1/nD (AN). За результат измерения при пространственном осреднении принимается показание, наиболее близкое к среднему арифметическому значению из них. Выбор этого показания производится практически мгновенно с помощью специального логического устройства. В этом случае с. к. о. суммарной случайной погрешности при независимости случайных погрешностей всех датчиков может быть уменьшено в V n раз. Пространственное осреднение успешно применяется также для уменьшения шумов в транзисторных усилителях путем параллельного включения усилительных звеньев. При этом благодаря параллельному включению большого количества транзисторных элементов (при интегральной технологии) достигается значительное уменьшение и дисперсии и среднего значения шума. Пространственному осреднению характерны следующие особенности: эффективно уменьшаются случайные некоррелированные погрешности; повышается быстродействие; усложняется аппаратурная реализация; .384

значительно повышается надежность в результате «горячего» резервирования (параллельной работы приборов). Пространственное осреднение ирименяется только в особо важных случаях, например для повышения безопасности полета самолетов. При пространственном осреднении аппаратурная сложность измерительного устройства (число измерительных каналов п) трансформируется в точность. Действительно, если аппаратурную сложность характеризовать общей массой измерительного устройства М, то при независимости случайных погрешностей комплексируемых датчиков с. к. о. результата пространственного осреднения равно

где тя — масса датчика. Следовательно, при М = const для снижения о р следует стремиться к минимизации произведения Од/пд, т.е. к применению более миниатюрных датчиков. В этом случае сложность трансформируется в точность. Метод временного осреднения с использованием цифрового или аналогового интегратора применяют в том случае, если известно, что интервал корреляции погрешности во много раз меньше допустимого времени измерения или преобразования. При использовании цифрового интегратора, т. е. при временном осреднении ряда из п наблюдений, с. к. о. результата измерения, т. е. среднего из п наблюдений, равно (рис. 8.23, б) а(Хср) =

оЛЛг,

где о н — с. к. о. наблюдений. Временное осреднение (п. 9.2), которое производится на основе многократных наблюдений х — const одним прибором при неизменных условиях с последующим суммированием результатов наблюдений и определением их среднего, имеет следующие особенности: обеспечивает минимум аппаратурных затрат; обеспечивает помехоустойчивость к периодической помехе; требует увеличенной затраты времени на последовательное во времени осуществление п измерений и осреднение их результатов. Метод временного осреднения широко применяется при проведении высокоточных измерений операторами, а также в ряде современных быстродействующих цифровых приборов. Временное осреднение интерпретируется [54], как трансформация быстродействия в точность. Действительно, при заданном общем времени измерения Т и времени одного разового наблюдения Тн с. к. о. результата измерения о

Т Следовательно, при Т = const следует стремиться для снижения о (А ср ) к минимизации произведения а2нТю к применению более быстродействующих измерительных устройств. Возникает возможность трансформации быстродействия в точность. 13

818

389

В аналоговом преобразователе среднего значения выходной сигнал 7 y=\IT\\y<j{t) о

+ Ay{t)]dt,

(рис. 8.23, в) (8.108)

где г/0 (t) — выходной сигнал идеализированного преобразователя; А у (t) — случайная составляющая погрешности. Обычно г/0 (/) = г/о = const в течение времени интегрирования Т . Тогда т y= y0+l/T^Ay(t)dt, или У = Уо + Д</Ср. где Д й с р — случайная погрешность после осреднения. Обозначим дисперсию погрешности до осреднения D [A„] и дисперсию после осреднения D [А» ]. Предположим также, что погрешность представляет собой эргодический случайный процесс. Тогда можно определить т D[A, ] s s 2 / 7 j ( l - T / r ) / ? ( T ) d T , о где R (т) — автокорреляционная функция погрешности. Если время осреднения Т значительно больше интервала корреляции (Т т к ), то можно считать

Корреляционная функция связана с односторонним спектром плотности мощности косинус-преобразованием Фурье: SAу (со) = 4 J R (т) cos (ют) dr, о оо ЖТ) = j (со) cos (шт) d(ä. и

(8.109)

(8. ПО)

Из (8.109) и (8.110) при о = 0 получаем D Il A U a ,

2Т

•

Определим и с р — коэффициент уменьшения с. к. о. в результате осреднения *Х _ <=Р .386

°(Чр) а (Ау)

- i / " У D [Д„] *

погрешности

Тогда Sa„ (0)

'ср

2D [Ay\T

;

2я оо

(О

1/2я£ 5 Д (w)dco 0 где соду — эквивалентная полоса частот погрешности, равная отношению площади спектра плотности мощности к (0); со

Отсюда х с р = 1 / ] / 2 7 Ч Г /2я. Например, при эквивалентной полосе погрешности соДг/ = 10 Гц и времени осреднения Т — 5 с и с р = 0,1. Этот метод подавления погрешности применяется в интегрирующих преобразователях, предназначенных для измерения средних значений, например средневыпрямленных и средних квадратических значений сигнала. Часто погрешность описывается дискретным спектром плотности мощности, как, например, погрешность, обусловленная колебаниями напряжения источника питания, когда R (т) представляет собой периодическую функцию. Если период R (т) известен, то, выбрав время осреднения кратным периоду, получаем полное устранение данной составляющей погрешности.

Глава

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ, КОСВЕННЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Ввиду неизбежных несовершенств методов и средств измерений результаты измерений содержат погрешности, которые обработкой должны быть уменьшены и оценены. Ранее было показано, что измерения в зависимости от характера уравнения подразделяются на прямые, косвенные, совокупные и совместные. Прямые измерения в зависимости от наличия или отсутствия избыточности подразделяются на однократные и множественные, которые в свою очередь разделяются на многократные и многоканальные. Однократные измерения называют т а к ж е наблюдениями. Наблюдение (ГОСТ 16263—70) — экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно из группы значений величины, подлежащих совместной обработке для получения результата измерений. Р е з у л ь т а т о м н а б л ю д е н и я называется значение величины, получаемое при отдельном наблюдении. Измерения с многократными наблюдениями производятся обычно при необходимости повысить точность результата измерения и определить показатели его точности путем обработки результатов группы наблюдений. Требования к приборам для однократных и многократных наблюдений не одинаковы. При однократных измерениях разовое показание прибора KN, снятое по отсчетному устройству, принимается равным результату измерения; при этом трудоемкость и время измерения минимальны. При измерениях с многократными наблюдениями результат получают в итоге обработки результатов п наблюдений; при этом трудоемкость (при участии оператора) или сложность аппаратуры (при автоматизации), а т а к ж е время измерения возрастают. Метрологические свойства приборов для однократных измерений и измерений с многократными наблюдениями при пренебрежении их систематической погрешностью определяются композицией двух законов распределения погрешностей [27]: погрешности отсчета, распределенной равномерно в диапазоне цены деления прибора ± qj2, и случайной погрешности, определяемой качеством его элементов, распределенной нормально с с. к. о. о (А). Д л я однократных измерений пригоден прибор, обладающий малой случайной составляющей погрешности при соотношении т = = qk/2o (А) = 2,5...3,5, характеризующийся композицией законов распределений, представленных на рис. 9.1, а. Применять такие приборы для измерений с многократными наблюдениями не целесообразно, .388

так как при х = const вероятность получения отсчета, отличающегося от предыдущего даже на половину деления, очень мала. Д л я измерения с многократными наблюдениями можно использовать прибор с менее совершенными элементами схемы или конструкции, но, например, более чувствительный, обладающий значительной случайной составляющей погрешности при соотношении m = = qkl2а (А) = 1 ...0,25, характеризующийся композицией законов распределения, представленных на рис. 9.1, б. Такой прибор неудобен для однократных измерений из-за высокой вероятности погрешности, превышающей половину цены деления прибора. Однако результаты многократных наблюдений, выполненных прибором, целесообразно обработать, осреднить и таким образом значительно снизить случайную составляющую погрешности результата наблюдений. 9.1. МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

ИЗМЕРЕНИИ

При планировании измерения СИ выбирают прежде всего на основе допустимой погрешности измерения. Поэтому необходимо установить зависимость между допустимой погрешностью измерения и погрешностью СИ. Погрешности результата однократного р(йе) при измерения оцениваются на основе априорной информации о суммарной погрешности СИ, классе точности СИ или о составляющих инструментальной и методической погрешности. Если известен только класс точности СИ (согласно ГОСТ 8.407—80), то можно определить допустимые пределы погрешности СИ А Д , а по значениям XN, А д и пределы погрешности данного однократного измерения Д и . Результат однократного измерения можно представить равным XN Например,

Рис. 9.1.

Соотношение между р а с п р е д е л е н и я м и с л у ч а й н ы х с о с т а в л я ю щ и х г р е ш н о с т и и п о г р е ш н о с т и о т с ч е т а приборов: а — д л я о д н о к р а т н ы х ; б — м н о г о к р а т н ы х измерений.

по-

.389

при измерении тока IN = 5,1 А амперметром с / ном = 10,0 А класса 1,0 при преобладании аддитивной погрешности Д д = Аи = = 0,1 А результат измерения будет равен (5,1 ± 0,1) А. При измерении напряжения 50,2 В цифровым вольтметром с £/ном = 99,99 В класса

.к 7=J

i3 1,2 Г V

NN tN

•1

/77

0,2/0,1 Ли = 0,2 + 0,1 X

ТОЧНОСТИ Рис. 9.2. График зависимости К = / (п, т) при Рдов = 0,99.

результат

измерения

при

ик иА

= 50,2 В будет (50,2 ± 0,3) В." В случае, если кроме пределов инструментальной систематической погрешности известны пределы еще одной погрешности, методической систематической погрешности, то суммарную погрешность можно определить алгебраическим суммированием ^сум

± Л

Дм =

(Д„ +

Дм)-

Если кроме допускаемых пределов погрешности СИ известны т а к ж е и пределы систематических методической и других погрешностей, то погрешности предполагают распределенными равномерно и симметрично в пределах ± Д( и суммарную погрешность определяют по формуле -*сум

= «1/24 *

( =

где К — коэффициент, который при доверительной вероятности Р ( Д с У м ) = 0 , 9 5 принимается равным 1,1; при Р ( A c y M ) = 0 , 9 9 и числе суммируемых погрешностей п > 4 принимается равным 1,4, а при п ^ 4 значение К определяется по графику (рис. 9.2). На графике т =

— отношение границы наибольшей составляющей неисклю-

ченной систематической погрешности к ближайшей к ней по значению границе одной из остальных составляющих неисключенных систематических погрешностей. При известных с. к. о. случайных составляющих погрешности, распределенных по нормальному закону, с. к. о. и доверительные границы случайной составляющей суммарной погрешности результата однократного измерения определяют по формулам: •'сум А

сум

±za2,

где г — коэффициент нормального распределения соответствующей заданной доверительной вероятности Р (AcyM)Если распределения погрешности отличны от нормальных, то определяют их композицию и коэффициент г для заданной доверительной вероятности. .390

Суммарную погрешность результата однократных измерений при известных оценках систематической и случайной составляющих погрешности рекомендуется оценивать согласно ГОСТ 8.207—76. Если погрешность при однократном наблюдении оказывается выше допустимой, то выбирают более точное СИ или применяют прямые измерения с многократными наблюдениями. 9.2. МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

ИЗМЕРЕНИЙ

При измерениях с многократными наблюдениями экспериментатор создает наиболее благоприятные условия для эксперимента, обеспечивает выполнение условия х = const и минимально возможное число и размер влияющих величин, вызывающих появление систематических составляющих погрешности. В результате многократных наблюдений постоянной измеряемой величины х = const получаем ряд хг, х2, ..., хп, каждый член которого состоит из истинного значения измеряемой величины X и случайной о

составляющей погрешности наблюдения А( (систематической составляющей погрешности пренебрегаем). Предполагается, что ряд значений хи х2, ..., хп взят через интервалы времени, превышающие интервал корреляции. Тогда хг = х + ÄL; • х2

Д2;

*„ = * + А„. Результат измерения с многократными наблюдениями В математической статистике для данного случая оценки истинного значения математического ожидания измеряемой величины X принимается среднее арифметическое выборки xjv, которое и считается равным результату измерения: !=1 где с, — коэффициенты веса наблюдений, характеризующие степень доверия к каждому из них, при этом

Если все наблюдения производятся в аналогичных условиях, то такие измерения называются равноточными и тогда сг = с2 = ... = = сп = Мп. При неравноточных измерениях коэффициент веса каждого /-го наблюдения определяется по степени доверия к нему [49]. Д л я равноточных измерений оценка математического ожидания X , принимаемая за результат измерения при многократных наблюдениях, М ( Х ) = XN=

1/П5

(9'2> .391

При отсутствии систематической погрешности результат измерения Xn =

X -f Др,

(9.3)

о (=П о где Д р = 1 / п ^ ] Д ( — случайная погрешность результата измерения; г=1 х — истинное значение измеряемой величины. В среднем арифметическом значения случайных погрешностей частично взаимно компенсируются, так как имеют различные знаки. Среднее арифметическое является состоятельной и несмещенной оценкой истинного значения измеряемой величины. При нормальном распределении измеряемой величины среднее арифметическое является также и эффективной оценкой истинного значения. Следовательно, при отсутствии систематической погрешности среднее арифметическое, принимаемое за результат измерения, является величиной, математическое ожидание которой равно истинному значению х, а разброс характеризуется с. к. о. ст (XN). Среднее арифметическое, принимаемое равным результату измерения, является случайной величиной «в малом», т. е. с незначительной долей случайности, основная часть среднего является неслучайной величиной. Среднее квадратическое отклонение результата измерения (среднего арифметического) При измерениях для каждого г'-го опыта определяют значение случайной величины xt и по ним находят соответствующие значения оценок М и D . При этом важно подчеркнуть, что только совокупность результатов всех опытов дает представление об оценках как о случайных величинах. Каждый г'-й опыт даст только одно из множества возможных значений случайной величины х, а их совокупность — одно из множества возможных значений данной оценки. Ввиду конечности числа опытов возникает методическая погрешность определения среднего XN. Д л я характеристики точности полученного значения результата измерения XN необходимо определить его с. к. о. о [М (X)]. Определим его для случая, когда с. к. о. результата наблюдения стн известно. Как О было показано (9.3), случайная погрешность А равна сумме случайо ных величин. Если распределения всех А, нормальны и центрированО

ны, то и распределение Д р тоже будет нормальным и характеризуется значением с. к. о. Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы случайных и независимых величин равна сумме их дисперсий. Поэтому дисперсия случайной величины О

Дв =

.392

п.

41-

41- . . .

41- - Ь и

(9.4)

п р я условии, что все погрешности Д; представляют собой независимые случайные величины с одинаковым и известным с. к. о. стн = ]/£>„, равна 1 1 Л 1 о« ö„ . . 0„ СТ„ D [М (X)] = D (Др) = = (9.5) +

Соответственно с. к. о. среднего о (x N ) = Этот же вывод можно представить в сокращенной форме:

Следовательно, о[М(Х)] = о ( Ь ) =

Уn

(9.6)

Таким образом, если увеличить число_наблюдений в к раз, то с. к. о. результата измерения уменьшится в V~k раз. Если с. к. о. результатов наблюдений о н , как это обычно и бывает в измерениях, неизвестно, то определяют оценку о н и ее числовые характеристики. Определение о н производится по значениям случайных отклонений результатов наблюдений. Случайным отклонением Дотг называется разность между результатом наблюдения и средним арифметическим. Случайные отклонения Д0т£ =

— Хм

обладают двумя важными свойствами. 1. А л г е б р а и ч е с к а я с у м м а нений равна 0. Действительно, п п £

г= 1

Дотi =

Ранее было показано, что XN

i=i

*i —

(0.7) случайных

откло-

XNt.

tl 2 Х[ = —г— •

Таким образ Дотг = 0<9-8> 1 Это свойство часто используется для проверки правильности вычисления случайных отклонений. 2

.393

2. С у м м а ний имеет

квадратов случайных откл о не• минимальное значение:

2 Аотi = мин. i=i Для доказательства этого свойства рассмотрим выражение п £ {Xi—XNf. i=l

(9.9)

Данная сумма квадратов минимальна, если удовлетворяется условие экстремума, т. е. если первая производная от нее по XN (подразумевается возможность изменения именно Хы) равна 0, т. е. п d

(Х[ — ~xNf

1=1

=—2Е

( * , — * * ) = <>.

Из этого уравнения находим: п 2 xi —п .

(9.10)

Следовательно, среднее арифметическое XN является эффективной оценкой, у которой сумма квадратов значений случайных отклонений минимальна. Это значит, что если вместо среднего взять другое значение и определить сумму квадратов значений случайных отклонений от него, то она будет больше, чем сумма квадратов значений случайных отклонений при хц. Оценка среднего квадратического отклонения результата наблюдения и результата измерений При большом числе наблюдений п оценка дисперсии их результатов определяется по случайным отклонениям по следующей формуле {26,

77]:

t=n

D ( X ) = D: = - ^ —

(9.11)

Эта оценка D* является состоятельной, но при малых п — смещенной, так как ее математическое ожидание не равно дисперсии генеральной совокупности DH, а меньше DH на Djn. Для устранения смещенности оценку DH умножают на поправочный множитель Бесселя А — = п/(п — 1): 2 (X, — *дг)Я , De в =

—

„

— ^ Ц - ] =

\ п— 1 /

2 (xt-xNY —

я—1

•

(9.12)

Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному распределению, то оценка с. к. о. результата наблюдения .394

определяется по известным значениям случайных отклонений (ГОСТ 11.004—74). Состоятельная и несмещенная оценка с. к. о. результата наблюдений /

aH = A f „ | /

<9ЛЗ>

п— 1 где Мк — коэффициент, зависящий от числа наблюдений п, при п > > 60 Мн = 1, при п < 60 значение Мк определяется из табл. 21. Оценка с. к. о. наблюдения о н является случайной величиной, математическое ожидание которой равно истинному значению с. к. о. о н , а разброс значений о н характеризуется оценкой его с. к. о. о (а н ), которая при нормальном распределении и достаточно больших п равна а [ст„] = —

(9.14)

V2 п Оценка с. к. о. результата измерения определяется через случайные отклонения по следующей формуле: l / о (xN) = м

п(п— 1)

(9.15)

Эта оценка является состоятельной и несмещенной г . Для уменьшения случайной погрешности измерения целесообразно выполнять измерения с многократными наблюдениями. Число наблюдений п целесообразно увеличивать до тех пор, пока о (хы) не станет меньше систематической погрешности прибора. Таблица п—

21. Значение коэффициентов Мк в зависимости

1 2 3 4 5 6 7 8 9

"к 1,253 1,128 1,085 1,064 1,051 1,042 1,036 1,032 1,028

п—

10 11 12 13 14 15 16 17 18

от числа

наблюдений п

п—1 1,025 1,023 1,021 1,019 1,018 1,017 1,016 1,015 1,014

19 20 25 30 35 40 45 50 60

1,013 1,013 1,010 1,008 1,007 1,006 1,006 1,005 1,004

1 В связи с тем что после округления погрешность представляется не более, чем двумя значащими цифрами, то коэффициент Мк нужно обязательно учитывать при числе наблюдений п меньше 6. При этом необходимо учитывать, что с. к. о. оценки с. к. о. результата измерения значительно превышает смещение, которое учитывается Мк. Поэтому при n > (6...I0J практически при определении а (xN), МЛ принимают равным 1. .395

С. к. о. оценки с. к. о. результата измерения при нормальном законе распределении измеряемой величины составляет a [ o C x

) \ ^ ^ ~ .

<916>

Доверительные границы для с. к. о. могут быть определены по ГОСТ 11.004—74 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения». Определение доверительных границ о гя (X) и а г в (X) для ст (X) при числе наблюдений п осуществляется, принимая во внимание несимметричность распределения, следующим образом: 1) задают односторонние доверительные вероятности Р х (для нижней границы) и Р 2 (для верхней границы); 2) по заданным Ри Р 2 и п находят коэффициенты ZrH и Z rB по таблицам ГОСТ 11.004—74; 3) вычисляют доверительные границы по формулам: = 2гн<У W ; сгв = zrBor (X). Нижняя и верхняя доверительные границы а н (X) и o s (X) образуют доверительный интервал для о (X) при двусторонней доверительной вероятности Рдов, равной Рав = Рг + Р2-1. Так, если Л = Р2 = 0,95, п = 20, Z rH = 0,794, Z rB = 1,18. Тогда доверительный интервал для с. к. о. а (X) с вероятностью Р д о в = 0,9 составляет 0 , 7 9 4 о ( Х ) < < т ( Х ) < 1,180 (X). При временном осреднении формула для с. к. о. результата измерения (9.6) указывает также на возможность трансформации быстродействия цифрового прибора в точность (п. 8). Методика обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями Наличие ряда полученных результатов независимых наблюдений дает возможность оценки точности результата измерений, которую находят в результате их статистической обработки. Эта статистическая обработка согласно ГОСТ 8.207—76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения» состоит из следующих операций: исключения известных систематических погрешностей из неисправленных результатов наблюдений путем введения поправок для получения исправленных результатов наблюдений (п. 4.3); вычисления среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, которое принимается равным результату измерения; .386

вычисления оценки с. к. о. результата наблюдения согласно ГОСТ 11.004—74 (разд. 1); вычисления оценки с. к. о. результата измерения; проверки гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению; вычисление доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения; вычисления границ неисключенной систематической погрешности результата измерения; вычисления доверительных границ погрешности результата измерения, которое производится, как правило, с доверительной вероятностью Рдов = 0,95. В тех случаях, если измерения нельзя повторить, рекомендуется вычисление доверительных границ с Р д о в = 0,99, а в особо ответственных случаях, когда результаты измерений влияют на здоровье людей, допускается принимать более высокую доверительную вероятность, чем 0,99. Оценка анормальности результатов наблюдений При многократных наблюдениях в ряду результатов хъ ..., хп возможно наличие нескольких (обычно один-два), резко отклонившихся по значению. Если заведомо известно, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону, то можно провести оценку их анормальности согласно ГОСТ 11.002—73 «Прикладная статистика. Правила оценки анормальности результатов наблюдений». В этом случае необходимо решить, является ли данный резко отклонившийся результат наблюдения анормальным, возникшим вследствие нарушения нормальных условий опыта, грубой ошибки при опыте, или он нормален и принадлежит данной генеральной совокупности наблюдений, но маловероятен. Анормальный результат должен быть отброшен и далее не учитывается при обработке ряда наблюдений. Нормальный, но маловероятный результат должен быть оставлен в ряду наблюдений для последующей обработки, что достигаются методом статистической оценки. Естественно, что оба решения с определенной малой вероятностью могут быть ошибочными. Поэтому предварительно необходимо тщательно проанализировать все условия проведения измерений и выявить возможные причины получения резко отклонившихся результатов наблюдений. Если возможно, для этого повторяют измерения с другим наблюдателем, которому неизвестны результаты, полученные при данном опыте. Если причины получения резко отклонившихся результатов наблюдений остаются невыявленными, то используют методы статистической оценки. Впервые правильное решение задачи об оценке анормальности результатов наблюдений было дано Н. В. Смирновым в 1941 г. [771. Основная идея решения этой задачи заключается в том, что по результатам наблюдений рассчитывается определенная функция от случайной величины с неизвестным распределением вероятности. Вычисленное по данным ряда наблюдений значение функции Vn сравнивается с ее предельным значением ß, соответствующим числу наблюдений п и заранее заданной малой вероятности Рзаа. Если при этом выясняется, что .397

вероятность подозреваемого в анормальности результата наблюдений меньше Р за д, то выносится решение об анормальности данного результата наблюдений и его исключают из ряда наблюдений. В противном случае данный результат наблюдения относят к нормальным и оставляют в ряду для последующей обработки. Оценку анормальности результата наблюдения согласно критерию Н. В. Смирнова производят в следующей последовательности: составляют упорядоченную выборку результатов наблюдений Ч < х2 < - • • <

определяют среднее выборки, т. е. значение результата измерения: =

(9.17)

определяют оценку с. к. о. результата наблюдений:

определяют отношения ä

(9.19)

значения Vn и Vt сравнивают со значением ß из табл. 22 при заданной вероятности Рзал и данном числе наблюдений п. В табл. 22 N

^зад = « :

(9.20)

>ß

Если Vn > ß, то вероятность данного результата наблюдения хп меньше Рзад и, следовательно, он является анормальным и должен быть Таблица 22. Предельное значение ß для случая неизвестного генерального среднего квадратического отклонения а

Объем выборки п

3 4 5 6 7 8 9 10 11 .398

Предельное значение ß при уровне значимости и

0.100

0,075

0,050

0,025

1,15 1,42 1,60 1,73 1,83 1,91 1,98 2,03 2,09

1,15 1,44 1,64 1,77 1,88 1,96 2,04 2,10 2,14

1,15 1,46 1,67 1,82 1,94 2,03 2,11 2,18 2,23

1,15 1,48 1,72 1,89 2,02 2,13 2,21 2,29 2,36

Объем выборки п

12 13 14 15 16 1718 19 20

Предельное значение ß при уровне значимости а

0,100

0,075

0,050

2,13 2,17 2,21 2,25 2,28 2,31 2,34 2,36 2,38

2,20 2,24 2,28 2,32 2,35 2,38 2,41 2,44 2,46

2,29 2,33 2,37 2,41 2,44 2,48 2,50 2,53 2,56

0,025

2,41 2,47 2,50 2,55 2,58 2,62 2,66 2,68 2,71

исключен из ряда, в противном случае его считают нормальным и оставляют в ряду. Аналогично оценивается результат наблюдения xv Д л я уменьшения вероятности получения резко отклонившихся результатов наблюдений из-за ошибок при снятии отсчета рекомендуется: запись результата измерения производить в делениях шкалы; использовать приборы с цифровым отсчетом, при этом уменьшается вероятность ошибок, так как оператор освобождается от необходимости определения доли деления и номера ненумерованного деления; применять автоматическую регистрацию (например, цифропечать), при которой исключается возможность ошибок оператора. Проверка согласия экспериментального распределения с теоретическим (проверка гипотезы о законе распределения) Проверка согласия экспериментального распределения случайной величины является важной процедурой статистического анализа, которая широко применяется при обработке результатов наблюдений, показателей качества продукции и др. Эта проверка применительно к обработке показателей качества продукции и технико-экономических показателей, включаемых в нормативно-техническую документацию, должна выполняться согласно ГОСТ 11.006—74 «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим». Идея проверки согласия опытного распределения с теоретическим состоит в вычислении на основе упорядоченного ряда наблюдений Xi й^ Х2 sS^ Xg, . . . , ^ х п значений опытной функции накопленных частостей и сравнении их с соответствующими значениями гипотетической теоретической функции распределения. Д л я проверки гипотез о законе распределения предложено несколько критериев: А. Н . Колмогорова [771, К. Пирсона [77], Мизеса — Смирнова и др. Д л я приближенной проверки гипотез о законе распределения можно использовать вероятностную бумагу, а для приближенной проверки гипотезы о нормальности распределения — составной критерий, а также сравнение опытных и теоретических значений асимметрии и эксцесса (п. 9.7). Результаты наблюдений на практике часто подчиняются нормальному закону. При их обработке обязательно производится проверка гипотезы о нормальности данного распределения. Рассмотрим отдельно критерии и приближенные способы проверки гипотезы о нормальности распределения. При 15 < n<Z 50 для проверки гипотезы о нормальности распределения рекомендуется [42] применение составного критерия. При этом проверка гипотезы о принадлежности совокупности результатов наблюдений нормальному распределению должна производиться с уровнем значимости а от 10 до 2 %. При я < 15 проверка гипотезы не производится. .399

Составной критерий включает в себя критерий 1 и критерий 2. К р и т е р и й 1 заключается в сравнении вычисляемого по опытным данным отношения d среднего арифметического отклонения результатов наблюдений по абсолютной величине — п S

| (*£ — x ) |

N i=i К смещенной оценке с. к. о. результата наблюдений / -

i - V

(

—

JL |

)

—

i с**—) i

у Vi

d =

;

•

(9.21)

Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений к нормальному распределению верна в том случае, если di—ач, <id^. dai/t, г д е d 1 — а , / 2 и daч, — процентные точки распределения, которые определяют из табл. 23 при заданных п, а»/, и 1 — ai/ t ; — заданный уровень значимости критерия 1. К р и т е р и й 2 заключается в сравнении т и числа разностей, удовлетворяющих неравенству (х( — xN) > zP/2o

(XN),

(9.22)

где zp/2 — верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа (табл. 2), соответствующая вероятности Р/2. Д л я критерия 2 задаются уровнем значимости а 2 , для которого по табл. 24 определяют Р и т в соответствии с числом наблюдений п. п Таблица

23. Статистика с/ = V | ^ — xN \/поа

I—1 а

Объем выборки,- п 1 %

16 21 26 31 36 41 47 51

.400

0,9137 0,9001 0,8901 0,8826 0,8769 0,8722 0,8682 0,8648

>/г

100 %

(1 — a

1- 100 %

5 %

9ft %

-'9 %

0,8884 0,8786 0,8686 0,8625 0,8578 0,8540 0,8508 0,8481

0,7236 0,7304 0,7360 0,7404 0,7440 0,7470 0,7496 0,7518

0,6829 0,6950 0,7040 0,7110 0,7167 0,7216 0,7256 0,7291

k—m

Таблица

24. Значения Р из уравнения 1 —

С* (1 —

P)kpn~k

аа

к=о а. п

16 20 21 22 23 24 28

1 1 2 2 2 2 2

а.

0.01

0,02

0,05

0,99 0,99 0,98 0,98 0,98 0,98 0,99

0,99 0,99 0,97 0,97 0,98 0,98 0,98

0,98 0,98 0,96 0,96 0,96 0,97 0,97

32 33 36 40 44 49

2 2 2 2 2 2 —

0,01

0,02

0.05

0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99

0,97 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98

—

Если число разностей, удовлетворяющих неравенству (9.22), не более т , то распределение данного ряда наблюдений не противоречит нормальному. Суждение о принадлежности данного ряда наблюдений к нормальному распределению считается правильным согласно составному критерию в том случае, если соблюдаются и критерий 1, и критерий 2. При этом уровень значимости составного критерия принимается равным a ^ C a j + а2. Наиболее простым способом проверки ряда погрешностей на нормальность является использование вероятностной бумаги (п.9.7). Вычисление доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения Определение доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения производится на основе вычисленного значения оценки с. к. о. результата измерения с учетом заданной доверительной вероятности Р д о в и числа наблюдений п. При этом предполагается, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону. Доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения определяем по формуле ±

Z s ö (хл/),

где Zs — коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений п находят по табл. 3. Вычисление доверительных границ неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерения Д л я более конкретного суммирования неисключенных систематических погрешностей между собой и другими составляющими принято условно считать их случайными величинами, распределенными по ,1/214 818

401

равномерному симметричному закону [42]. Каждая составляющая неисключенной систематической погрешности метода измерения, метода измерительного преобразования или средства измерения характеризуется граничным значением или границей. В качестве такой границы для СИ принимаются пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы. Доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата измерения ± Ан.с.р при п ^ 4 определяют по следующей формуле: Ан.с.р = ± К

Е Дн.сг •

(9-23)

(=1 где К — коэффициент, зависящий, главным образом, от принятой доверительной вероятности Р д о в , числа составляющих и соотношения между ними т =

н Ы

н.с2

; Д н х ; — граница t-и неисключеннои систематиче-

ской составляющей погрешности. Коэффициент К при доверительной вероятности, равной 0,95, принимают равным 1,1. При Рдов — 0,99 и п > 4 рекомендуют К = 1,4. Если же п ^ 4, то коэффициент К при Р д о в = 0,99 определяют по графику, представленному на рис. 9.2. Доверительную вероятность Р д о в принимают равной принятой для вычисления доверительных границ случайной погрешности. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения Результат прямых измерений при многократных наблюдениях после проведенной обработки характеризуется совокупностью неисключенных систематических погрешностей и случайными отклонениями результатов наблюдений от среднего. При этом первые (при одной составляющей неисключенной систематической погрешности) распределяются по равномерному симметричному или по нормальному (при числе примерно одинаковых составляющих неисключенной систематической погрешности более четырех) законам, а вторые — по закону, близкому к нормальному. Между значениями Ан.0.р и о (*«) могут быть различные соотношения, в зависимости от них границу погрешности результата измерения можно принять равной А н . в . р или Ар = z c a (xn). Действительно, если принять, что погрешность результата измерения можно определять с погрешностью до 25 % , т о при отношении „ < 0,8 можно o(xN) пренебречь неисключенными остатками систематической погрешности. В этом случае граница погрешности результата измерения принимается равной доверительной границе случайной составляющей погрешности результата измерения: Дг.р .402

= г с о (x N ).

_"i c p > 8 можно принебречь случайными погрешав) ностями результата измерений. В этом случае граница погрешности результата измерения принимается равной доверительной границе неисключенной систематической погрешности результата измерения; При отношении

Дг.р ~

Дн.О.р.

Случайные погрешности в результате измерения уменьшены путем обработки п наблюдений, причем с увеличением числа п оценка с. к. о. результата измерения а (XN) уменьшается. Однако при достижении соотношения ст (XJV) <

gC,p, при котором доверительная погрешность бу-

дет определяться только систематической погрешностью, дальнейшее уменьшение о (xn) путем увеличения п становится нецелесообразным. Максимальное число наблюдений можно определить из неравенства ст (хы) <

"яс р

и уравнения о (х^) =

н УК°

nmax = 6 4 - p i - . Д

(9.24)

н.с.Р

Минимальное число наблюдений можно определить [62] в зависимости от принятого значения доверительной вероятности при нахождении доверительных границ случайной составляющей погрешности: 2 П min =

1 _ _

(9.25)

„ н , '~ р - < 8 доверительную границу поо (xN) грешности результата измерения можно определить согласно' ГОСТ 8.207—76 по следующей формуле: При соотношении 0,8 <

Дг.р - Кгоъ, (9-26) где К ъ — коэффициент, зависящий от соотношения систематической и случайной составляющих погрешности. ^ Оценку с. к. о. композицииCTZопределяют по формуле: KCTL.P+Ö2(^),

(9-27У

где Он.с.р — оценка с. к. о. суммы неисключенных систематических погрешностей, которая при предполагаемом их равномерном распределении с границами Ан.с; определяется по следующей формуле: 1 г.с.р = СТи.с.р

44-

1 п

~с

У! Дн.с.» • А s - < 7^=1

Здесь п0 — число составляющих неисключенной систематической грешности.

(9-28>

по403.

Вычисление коэффициента Ks рекомендуется производить по следующей эмпирической формуле: I=fTc

= 0

J=1

ь1.ы

(9.29)

(*«)+ °н.с.р

Значения К определяются по графику, представленному на рис. 9.2. Доверительная вероятность для определения г, и Д н . с . р выбирается одинаковой и обычно равной 0,95, при этом К — 1,1. При вычислении Ks по формуле (9.29) погрешность в самом неблагоприятном случае при Рдов = 0,99 и отношении ^ S f ^

1,5 достигает 12 %, а при мень-

ших значениях Раов, при других значениях отношений Д н . с . р и O(XN) и при приближении распределения систематической погрешности к нормальному снижается. 9.3. МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ

РЕЗУЛЬТАТОВ

КОСВЕННЫХ

ИЗМЕРЕНИЙ

При косвенных измерениях результат уы определяется по известной зависимости между величинами Y и Х ь Х2, ..., Хт, которые обычно определяются путем прямых измерений: У —f Хт). Величины Х ъ Х2, ..., Хт называют измеряемыми аргументами. Часто косвенные измерения используются в ответственных испытаниях и исследованиях, при которых результат должен быть известен с высокими точностью и достоверностью, например при определении значений выходных величин эталонов единиц основных величин. Некоторые величины, например плотность, могут быть определены только путем косвенных измерений, так как методы прямых измерений для них не разработаны. Когда в результатах прямых измерений присутствуют систематические погрешности, то систематическая погрешность результата косвенного измерения равна ДГ = / ( Х 1 + Д 1 ;

Х2 + Д 2 ; . . . ;

Хт + Д т ) — / (Х х , Хг,

... , X J .

Если систематические погрешности малы или зависимость между Y и X линейна, то с использованием разложения функции в ряд по Тейлору можно записать т i=i Д л я обеспечения сопоставимости результатов косвенных ний, как и для прямых измерений, разработан единый подход ботке результатов с целью получения результата измерения и тельных границ его погрешности при заданной доверительной ности. .404

измерек обрадоверивероят-

Различают косвенные измерения при линейной и нелинейной зависимости между косвенно измеряемой величиной и измеряемыми аргументами Хг Хт. По характеру зависимости между аргументами различают: 1. К о с в е н н ы е измерения при постоянстве а р г у м е н т о в . В этом случае изменения результатов наблюдений аргументов определяются только относительно малыми погрешностями их измерения. Оценкой результата измерения в этом случае является функция математических ожиданий измеряемых аргументов ~yN

= f[M (XJ-,

М (Х2),

М (Хт)]-,

2. К о с в е н н ы е измерения при наличии взаимосвязи измеряемых а р г у м е н т о в . В этом случае изменения результатов наблюдений данного аргумента будут определяться не только погрешностями его измерения, но и возможными изменениями других аргументов. Оценкой результата измерения здесь является математическое ожидание функции измеряемых аргументов yN = M { f { X

l t

Хт)].

Изложенная далее методика обработки результатов наблюдений при косвенных измерениях для случая линейной зависимости применима только при нормальном распределении результатов наблюдений всех аргументов и отсутствии стохастической зависимости между любыми двумя парами измеряемых аргументов. При косвенных измерениях исходными данными являются ряды результатов наблюдений аргументов, которые предварительно обрабатываются по методике для обработки результатов наблюдений при прямых измерениях. При этом проводится проверка нормальности распределения, оценка анормальности резко отклонившихся результатов наблюдений каждого аргумента, определение результатов измерения аргументов и показателей их точности. Дальнейшая обработка результатов наблюдений при косвенных измерениях состоит из следующих этапов: проверка отсутствия корреляции между результатами наблюдений каждой пары аргументов; определение результата косвенных измерений; определение оценки случайной погрешности результата косвенного измерения; определение оценки неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения; определение доверительных границ общей погрешности результата косвенного измерения Проверка отсутствия корреляции между результатами наблюдений каждой пары аргументов Д л я определения оценок результата косвенного измерения и его с. к. о. необходимо прежде всего установить, имеет ли место корреляционная связь между любыми парами аргументов. Д л я этой цели 14 + 72

818

405

рекомендуется использовать следующий критерий: RVn

1 — R2 < Zs (Рдов; П);

(9.30)

где zs (Рдов", п) — коэффициент распределения Стьюдента при доверительной вероятности Р д о в и числе наблюдений п\ R — оценка коэффициента корреляции между аргументами Xh и Xt:

R =

(9.31)

о (XI) а (хь)

хнтл xhl — результаты наблюдений / и /i-го аргументов; а (xt), (а (xh) — оценки с. к. о. / и h-го аргументов. Если неравенство (9.30) удовлетворяется, то это означает, что корреляционная связь между данной парой аргументов Хь и Xt отсутствует. Определение результата косвенных измерений Если результаты наблюдений аргументов распределены нормально и корреляционная зависимость между аргументами отсутствует, т о при линейной зависимости между Y и аргументами, т. е. при yN=

i=m £ Ь,Х{

(9.32}

i=1

результат косвенных измерений является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой и определяется по следующей формуле: г=т Уы= £ btxlt i=i где bL — постоянные коэффициенты; х{ — результаты измерения аргументов. В случае нелинейности зависимости и постоянства измеряемых аргументов (косвенные измерения первого типа) для оценки результата косвенных измерений и определения показателей его точности используют разложение нелинейной функции в ряд Тейлора. При этом т h где

= / ( * ! . . • • , *m) +

Ат

КТхГ

М+ •

значение частной производной в точке х х

(93,3

xm\

A r — остаточный член ряда Тейлора. Тогда значение результата косвенного измерения ун^МЩХь .406

X2;...;XJ].

(9.34)

является смещенной оценкой, так к а к содержит систематическую погрешность от пренебрежения остаточным членом ряда Тейлора Ат: .

t=m

Е (dldx^vif

f [(*! + Д р ); ...;

(xm + Д г )] \

1=1

0.35)

При этом погрешности Дн, ..., Д г т подбираются из возможных значений так, чтобы они максимизировали соответствующие вторые частные производные функции f (хъ ..., хт). Д о п у с к а я , что при определении погрешности результата косвенного измерения может быть допущена погрешность (20...25) %, то линеаризация будет допустимой при условии пренебрежимости остаточным членом АТ: о 2 fo) .

АТ < 0,8 ] / | ]

(9.36)

При невыполнении условия (9.36) линеаризация недопустима. Если по условию формулировки задачи оценкой результата косвенного измерения является функция математических ожиданий аргументов, то проверка допустимости линеаризации может не проводиться. Определение оценки случайной погрешности результата косвенного измерения При ранее принятых ограничениях для случая линейной зависимости между у и аргументами оценку с. к. о. случайной погрешности определяют по следующей формуле: т

(0-37)

!=1

При наличии корреляционной и функциональной зависимости между аргументами Хр и X h У = Ьрхр +

bhxh\

оценка с. к. о. о (yN) = V Ь'ая (хр) + blo* ixh) + 2Rbpbho

(хр) о (xh)

где R — коэффициент корреляции между аргументами Хр и Xh, который можно определить экспериментально по способу, изложенному в работе [42]. Если зависимость между Y и аргументами нелинейна, то оценку с. к. о. результата косвенного измерения можно определить по нижеследующей формуле при отсутствии корреляции между погрешностями аргументов и пренебрежении дисперсией остаточного члена ряда 1 Сокращенная запись остаточного члена ряда Тейлора, где д/дх^ — символ, соответствующий производной. .407

Тейлора D [Л т ]:

Если погрешности аргументов коррелированы между собой Г lt=m

i=m 1=т

'•а*-у

+ S f

/) >

S l^i

(9.38)

Определение оценки неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения При измерении каждого из аргументов возникают не только случайные погрешности, но и систематические, которые стремятся по возможности уменьшить введением поправок и другими способами, однако полностью исключить их не удается. Обычно принимают, что неисключенные систематические погрешности каждого аргумента распределены равномерно и симметрично и характеризуют их граничными значениями Дн.сь В этом случае при линейной зависимости между У и аргументами доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата косвенных измерений определяют по формуле: (9-39) f МДн.с, • ;=i =1 где Д н . с г — доверительные границы неисключенных систематических погрешностей аргументов, вычисленные для одинаковых доверительных вероятностей. Дн.С.р = 1 / У

Определение доверительных границ общей погрешности результата косвенного измерения Доверительные границы общей погрешности Д к р г могут быть определены по композиции законов распределения случайной и неисключенной систематической составляющих результата косвенных измерений. В этом случае Дк.р.г

Як.р.гОЕ,

где z K .p.p — коэффициент распределения композиции случайной и неисключенной систематической погрешностей результата косвенных измерений при доверительной вероятности Р д о в ; eis — оценка с. к. о. композиции указанных законов распределения. Д л я определения z K . p .p рекомендуется [42] следующая эмпирическая формула: г к р г

V ~

.408

s + >

н.с. Р

н.с.р

(9.40)

где Zp.p — коэффициент распределения случайной погрешности результата косвенных измерений при доверительной вероятности Р д о в и нормальном распределении; АН.0.Р — доверительная граница неисключенной систематической погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р д о в , которая должна быть одинаковой с доверительной вероятностью, выбранной для Определения z p . r ; К — коэффициент для расчета доверительной границы неисключенной систематической составляющей при доверительной вероятности Р д О В Вычисление оценки с. к. о. общей погрешности результата измерения а г производят по формуле 02=

(9,41)

•

Если в (9.40) и (9.41) неисключенная систематическая погрешность представлена граничным значением равномерного закона распределения, то коэффициент К в них принимается равным единице. При косвенных измерениях величин, размеры которых равны разности близких по размеру аргументов, погрешности аргументов следует определять особо тщательно, так как погрешность косвенного измерения может быть во много раз больше погрешности измерения аргументов. Если по результатам измерений двух близких по значению аргументов, например напряжений Ux и U2, определяют косвенно их разность ия =

- и »

то относительная погрешность измерения Ua будет при U1 « U2 в самом неблагоприятном случае при разных знаках относительных систематических погрешностей б х и б 2 = (61 + «.) -777- • Оценка косвенно измеряемой величины может быть произведена т а к ж е методом линейного программирования [65]. При этом, считая функцию Z = / (X, Y) непрерывной, определяют max f (х, у) и min f (X, К) в пределах допускаемых погрешностей ие±ду В качестве оценки ZN принимают полусумму ZN

max / (дс, у) -f min / (х, у) 2

аргументов.

а для оценки абсолютной систематической погрешности их полуразность д _ max f {х, у) — min f (х, у) г 2 ' Относительную погрешность (в %) определяют так: =

шах/fr, тах/

(*, у) + тт/

У)

Ш 0

о/о>

(*, у) .409

9.4. МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ИЗМЕРЕНИЙ.

Совместные измерения — это производимые одновременно измерения двух или нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. Следовательно, совместные измерения являются разновидностью измерения зависимостей между величинами. При совместных измерениях параметров модели x l t ..., х п их значения можно определить по результатам п прямых измерений других величин и последующего решения системы из п уравнений, функционально связывающих все эти параметры и величины. Известным примером совместных измерений является измерение температурных коэффициентов электрического сопротивления материалов. В этом случае в качестве математической модели физического процесса используется аппроксимирующий степенной полином Rt = R0 + R0at + Д„р*я + R0yt\

(9.42)

где R0 — сопротивление при О °C; а = Хи ß = Х2, У — Х3 — измеряемые параметры модели — температурные коэффициенты (совместно измеряемые величины); t — температура; Rt — сопротивление при ГС. В случае, когда измеряемыми параметрами модели являются а , ß и у, то измеряют Rt и t в трех различных температурных состояниях и получают три уравнения с тремя неизвестными: АRtl -

Rtl -

R0 = Ro^a

+ я

ф +

Rofir.

(9-43>

A Rtl = Rtt -R0

= R0t2a + fl0f£ß + R0ily;

(9.44)

AR t , = Rt, -R0

= R0t3a + R/ф

(9.45)

+ R0tlyt

т. е. систему линейных уравнений. Решая эту систему, получают искомое значения результатов совместных измерений осдг, ßw и yiv. Если в результатах прямых измерений величин Rt ш t содержатся случайные погрешности, то результаты измерений а « , ßw и уn также их будут иметь. Однако нельзя определить погрешности результатов совместных измерений А а , Aß и Д 7 при числе уравнений, равным числу неизвестных. В таких случаях производят многократные совместные измерения, и число уравнений становится значительно больше числа неизвестных параметров. Затем, применяя метод наименьших квадратов, повышают точность результатов совместных измерений и оценивают ее. Другим примером совместных измерений может служить определение концентрации или состава компонентов жидких смесей путем решения системы линейных алгебраических уравнений. При этом используется линейная зависимость между концентрацией компонента и одним из физико-химических параметров смеси. Например, электропроводность и плотность смеси линейно зависят от концентрации отдельных компонентов. Поэтому для трехкомпонентной смеси можно составить следующие уравнения: -И х 2 -J- х 3 .410

—

+ х 2 а 2 + XgQg ЙСМ> Ч" х2Ь2 "Ь х 3 Ь 3 = Ьсм> где xit х2, хт — концентрация компонентов смеси; а( и асм — электропроводность соответственно чистого t-ro компонента и смеси; bi и Ьеы — плотность соответственно чистого i-го компонента и смеси. Значения И bau измеряем во время опыта. Коэффициенты at и bt известны. Таким образом, получаем три линейных алгебраических уравнения с тремя неизвестными xlt х2, х3, которые решаем совместно. Д л я определения состава различных многокомпонентных смесей используются измерения также таких физико-химических параметров, как теплопроводность, теплоемкость, поглощение излучения, вязкость и др. Примером совместных измерений может служить также измерение частотно-зависимых параметров реактивных цепей путем измерения полных сопротивлений при разных частотах. Интересным примером совместных измерений является область дилатометрии. С помощью дилатометров производятся измерения зависимости длины образцов от температуры с целью определения температурных коэффициентов линейного расширения материалов. Дилатометрические зависимости 1 (t °С) представляются обычно одной из следующих моделей: 1 (t °С) = l0 + at;

(9.46)

1 (t °С) = /0 + axt + V 2 ;

(9.47)

I (t °С) = /0 + a2t + V » +

1 (t °С) = l0 + a3t + V«

+ ^

(9.48)

+ y3tl.

(9.49)

Определение значений параметров моделей а, Ь, с и d производится путем совместных измерений и уточняется по методу наименьших квадратов на основе многократных измерений соответствующих значений I и t °С. Оценкой точности измерения значений параметров модели являются с. к. о. значений параметров модели, определенные методом наи< меньших квадратов, путем обработки невязок системы условных уравнений. Дилатометрическая зависимость может быть получена путем точных, совместных измерений соответствующих длин и температуры образца, либо непосредственным сопоставлением исследуемого образца и набора аттестованных дилатометров. Совместные измерения реализуются, например, в аппроксимирующих измерительных устройствах [92], предназначенных для автоматического определения параметров модели, аппроксимирующей исследуемый процесс X (t). Рассмотрим основные особенности метода наименьших квадратов. Д л я определения совместно измеряемых параметров Xlt Х2, Х3, ..., Хп методами прямых или косвенных измерений находят в данном К-м цикле величины а к , Ь к , с к / к , которые функционально связаны о совместно измеряемыми параметрами Х 2 , ..., Хп функцией вида /к (-^1. Х2, Х3, . . . , Хп, ак, Ьк, ск) = 1К. Такое уравнение получают в результате каждого к-го цикла измерений. Предполагается, что fK — дифференцируемая функция аргументов .411

Х ц Х 2 , ..., Х п . Если бы при измерениях не было погрешностей, то для определения совместно измеряемых параметров Хг, Х2, ..., Хп достаточно было бы провести п циклов измерений величин а, Ь, с, I, составить п уравнений и найти путем их решения значения параметров Хъ Х2 Хп. При наличии случайных погрешностей измерения величин а, Ь, с, I результаты измерения параметров Хъ Х2, Х 8 , ..., Хп будут содержать погрешности, однако определить их при числе уравнений, равном числу неизвестных п, невозможно. Применение метода наименьших квадратов, предложенного Лежандром, позволяет уменьшить погрешности измерения параметров модели Хи Х2, Х3, ..., Хп и определить их с. к. о. Д л я обеспечения хотя бы частичной компенсации случайных погрешностей т число циклов измерений величин а, Ь, с, I делают значительно больше числа неизвестных п. В результате т. циклов измерений получают систему из т условных уравнений: / к (^1»

^2»

• • • »

Ьк,

Ск) —

/к,

где к = (1, 2, 3, ..., т). Предположим, что получена система линейных уравнений a K Xi + ь к* 2 + скх3 - Н к = 0 (к = 1, 2, 3, . . . , т), где хх, х2, х3 — неизвестные параметры модели зависимости. При наличии погрешностей правые части этих уравнений не будут равны нулю, а будут равны так называемым невязкам öK. Тогда aKxt

bKx2 -f~ скхз + 1К = бк.

Задача сводится к определению таких значений параметров х и х2 хп, которые при подстановке их в систему из т условных уравнений: аххх + Ьхх2 + схх з + 1х = б х ; (9.50) а2хх + Ь2х2 + с2х3 + 12 = б 2 ;

(9.51)

V i + Ьтх2 + стх3 + 1т — Ьт (9.52) обеспечивают минимальное значение суммы квадратов невязок б х , т 2 Ь2т = min.

(9.53>

к=1

Невязки определяем из уравнений б к = акхх + bKx2 + cKx3 + lK

(к = 1, 2, 3, . . . , tri).

Сумма квадратов невязок т т Е

ö2K =

(акху

Ькх2

+ скх3

lKf.

(9.54)

При равноточечных измерениях необходимым условием минимума суммы является равенство нулю частных производных функций: дхх .412

дх2

дх3

(9.55)

Условия минимума согласно принципу Лежандра для системы имеют вид: д2 £ (ал дхг = 2 К=1 д2 дх2 =

-f Ькх2 + скх3 + /к) ак = 0;

(9.56)

Е (а х + bKx2 + с к х 3 + 1К) Ьк = 0; К=1 к 1

(9.57)

дХ дх3я = 2 £= 1 ( ^ А + Ькх2 + Скх3 + / к ) с к = 0. 1

(9.58)

В результате на основе совокупности уравнений, полученных по условию минимума, имеем систему из п уравнений, которые называются нормальными и коэффициенты которых зависят от коэффициентов всех т условных уравнений: [аа] xt + [ab] х2 + [ас] х3 + [al] = 0;

(9.59)

[bc] x3 + [bl] = 0;

(9.60)

[ca] хг -{- [cb] x2 + [cc] x3 -f [cl] = 0,

(9.61)

[ba] хх + [bb] хг +

где [аа] = а^

+ a2a2 +

••• +

amam\

[ab] = a1b1 -f a2b2 + • • • + ambm. Зная значения постоянных коэффициентов нормальной системы уравнений, число которых равно числу неизвестных п, можно известными способами решения линейных уравнений определить результаты совместных измерений, более приближенных к действительным значениям. Д л я решения системы линейных нормальных уравнений обычно используются следующие три способа: определителей, последовательного исключения неизвестных (способ Гаусса) и матричный. При числе нормальных уравнений меньше четырех средние значения совместна измеряемых параметров модели хх, ..., хп находят обычно с помощью определителей: х,

Dx, D

Хп 2

—

Dx„ D

_£Xn D

где D — определитель системы. При п = 3 D =

[аа] [ab] [ас] [te] [bb] [bc] [cä] [cb] [cc]

[al] [ab] [ac] D = [bl] [bb] [bc] [cl\ [cb] [cc]

Д л я характеристики точности результатов совместных х1г х2 и х3 определяют оценки их с. к. о. а ta), о (х2) и о (х3);

о (хх)

V-

1 т-

2<й К=1

измерений

; (9.62) .413

ö (*>) = V^rhr

~тг .

где Л о а ; Л № ; Л „ — алгебраические дополнения соответственно перво- « го, второго и третьего диагональных элементов определителя системы 1 нормальных уравнений. На основе (9.62; 9.63; 9.64) определяем оценки с. к. о. погрешностей измерения параметров с учетом осреднения результатов благодаря избыточности опытных данных (tn >• п). 9.5. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

В настоящее время измерительная техника уже в большинстве случаев решает задачу динамических измерений параметров сигналов, и з меняющихся во времени. При измерении таких сигналов к средствам измерений предъявляются требования, во-впервых, все более высокого быстродействия, во-вторых, все более сложной вычислительной обработки. Сущностью динамических измерений является одновременное преобразование и измерение двух изменяющихся величин X и t. В зависимости от особенностей объекта измерения следует различать следующие основные виды динамических измерений: динамические измерения зависимости X (t), при этом регистрируется зависимость Y (i), отражающая искомую X (/) или определяются соответствующие парные дискретные значения сигнала XN2, 4; ...; XN , tn. Эти значения используются для создания графического отображения сигнала, удобного для визуального наблюдения оператором, или вносятся в память для последующей обработки; статистические измерения, при которых измеряются непосредственно статистические характеристики случайного сигнала X (t) [93]; косвенные динамические измерения зависимости X (t), при которых косвенно измеряемая величина X является известной функцией величин — аргументов Y ( f ) и Z (t)\ совместные динамические измерения параметров модели X (t), при которых на основе измерения соответствующих значений величин хм{ и ti определяют числовые параметры модели сигнала (например, значения т постоянной времени экспоненциального сигнала). Автоматические измерительные устройства, предназначенные для автоматического определения коэффициентов функции времени X (/), названы аппроксимирующими [92]. В дальнейшем рассмотрим простейший случай динамических измерений сигнала X (t), каждое из мгновенных значений которого определяется прямыми измерениями. Погрешность динамических измерений возникает от несовершенства метода измерения, измерительного преобразования и несовершенства .414

Рис. 9.3. Возникновение и устранение динамической погрешности при цифровых измерениях временной зависимости X ((): а —парные соответствующие з н а ч е н и я хдг^ и ^ н а х о д я т с я на X (<), динамическая погрешность отсутствует; б — парные з н а ч е н и я х n ^ и <• не н а х о д я т с я на X (/),- в о з н и к а е т Дд| ( « значения (t-) запомнены в моменты t- t а затем измерены; Дд = 0.

средств измерения, в условиях изменяющегося во времени измеряемого информативного параметра сигнала. Особенностью цифровых средств измерения является неизбежная затрата времени Д^ пр на преобразование размера величины X в код. В результате создается дискретное представление сигнала X (t) двумя рядами мгновенных значений: Xn,, t±, xn2 t2l xn,, t3, •••» xNn, tn (n. 7.2). Динамическая погрешность при цифровых дискретных во времени измерениях возникает в том случае, если получаемые парные значения xt и tt не находятся на искомой зависимости X (/). Д л я устранения этой погрешности можно либо измерять tt в момент окончания преобразования Xi в код xn { либо запоминать xt в известный момент времени ti = iTa, а затем измерять xN(. В первом случае необходим специальный цифровой измеритель времени, который однако значительно усложняет устройство цифрового прибора для динамических измерений (pHG. 9.3 а) Во втором случае создается циклический режим с постоянным Т ю в каждом цикле измеряется значение xt, а в качестве t{ принимается время начала цикла измерения xt. При этом возникает динамическая погрешность (рис. 9.3б), равная А д = XN{ (tt + Q — Xt {ti).

(9.65)

Эта погрешность устраняется при запоминании мгновенных значений Xi (t^, соответствующих началу каждого i-го цикла измерения. Цифровой прибор измеряет запомненное значение х{ (t{), которое соответствует времени tt = iTu. Тогда XN( равно xt (tt) и динамическая погрешность отсутствует (рис. 9.3, б). Особенностью цифрового измерительного устройства является дискретность представления X ( t ) , при которой отсутствует информация о промежуточных значениях величины X между моментами измерения. При этом для получения полного результата динамического измерения — непрерывной зависимости X (/) приходится аппроксимировать промежуточные значения сигнала X (t), в результате возникает погрешность от аппроксимации, равная разности между .415

аппроксимированным и истинным промежуточным значениями X (t) (п. 7.2). Погрешность от ступенчатой аппроксимации совпадает при отсутствии других погрешностей с динамической погрешностью. Практически мгновенные значения х л/ г ,..., хы п , соответствующие известным моментам времени ,..., tn, всегда содержат погрешности от квантования и от неидеальности преобразования. Поэтому для определения оценки суммарной случайной погрешности в динамическом режиме производят суммирование соответствующих значений погрешностей от квантования, от предварительного преобразования и от аппроксимации (п. 7.2). Если показывающий или регистрирующий прибор, предназначенный для измерения постоянной величины после окончания переходного процесса, используется в динамическом режиме, то изображение динамической погрешности будет (п. 8.6)

(9.66)

При этом погрешность (9.66) зависит от инерционности СИ и от закона изменения X (t). Если у регистрирующего прибора, предназначенного для измерения мгновенных значений Ха, нормирована полная динамическая характеристика, например в виде передаточной функции К„ (р), и искомая зависимость хы (t) определяется с учетом Кн (р), то изображение динамической погрешности при линейном инерционном ИП в единицах измеряемой величины будет

<м - Ш- -х *•> - (-Ш- -0 •* < Измеряемую зависимость определяем обратным преобразованием Фурье YNN 4(/'«) 1 1 (9.68) XN ( 0 = F~! [хлг (/со)] = F~l Кп № J При этом необходимо знать параметры К„ (/со) и YN (ja). Тогда динамическая погрешность будет определяться степенью неидентичности К (ja) и Ки (ja) и погрешностями в определении параметров Y (ja). Эта задача определения искомой зависимости XN (t) называется задачей восстановления сигнала и может быть корректно решена только при определенных условиях. При динамических измерениях обычно с помощью быстродействующих аналоговых или цифровых измерительных устройств определяют YN (t) — выходной сигнал линейного инерционного звена со входным измеряемым сигналом X (t). Если инерционность звена значительна, то возникает задача восстановления сигнала X (t) с определенной степенью точности. При линейном инерционном ИП входной сигнал X (t) может быть определен из (9.68). .416

Д л я обеспечения корректности решения этой задачи необходимо произвести проверки на: существование решения XN (t)\ единственность решения и устойчивость найденного решения [11]. При определении XN (t) во время эксперимента оператор обычно уверен в существовании XN (t), поэтому отсутствие решения может свидетельствовать лишь о неправильности принятых математических моделей Кн 0 м ) и YN (/СО). Неединственность решения XN (t) возникает, например, если прибор имеет более узкую полосу пропускания, чем ширина спектра сигнала. Тогда появление в сигнале дополнительных спектральных составляющих, лежащих выше полосы пропускания прибора, не изменяют выходной величины YN{()- Д Л Я отбора единственного «правильного» решения используют дополнительную априорную информацию о сигнале, в частности о его длительности и спектре. Неустойчивость решения уравнения (9.68) определяется погрешностями измерения параметров YN (/И) И К И (/со) и наиболее часто являетТаблица 25. Примеры восстановления входного сигнала xN (t) по известным комплексной частотной характеристике измерительного прибора J¥H (je») и выходному сигналу YN(t), YN (j<a)

YN(f)

кн am

YN (/<B)

A( 1 -

А •

Aö (<a) — Axf x 1 X 1 + /0W1

1 + /CÖT2

Лт, , .

1 1 + jon2

«Л/О

x da»

1——

1 + /сот. WT2 л т , ;l +t / ycotj

X РЛ je-' 11 ' x Л

А• X X sin (cd +

ß2 + 1 + (со— cc)2

1 1 + /COT 2 ,

+ 1>) + «)

1 + /0)Т2 ß2 + ((0 —a) 2_t " I + /шт2 ß2 + (co + a ) 2 X

J X e^J

2 t„1 + a?.

0 0

An -L e- "

1 Ляе~ а И (! + / мт г) 2 I + /сот2

_T2ß)2+-

*" Ч "+т г а 2 X X sin {oti — ij) + + ф). i 1 — Toß 21 Ф = arctg -

2Ля а 2 + *2 Х [ 1 + «» + *»

.417

ся причиной некорректности поставленной задачи. Неустойчивость решения уравнения [9.68] часто определяется тем, что его параметры являются функцией разности параметров YN (/СО) И КЯ (/СО) И поэтому даже относительно небольшие погрешности в определении последних приводят к существенным изменениям значений параметров xn (t}. В таких случаях могут быть значительными «паразитные» высокочастотные составляющие решения. Д л я повышения устойчивости решения стремятся к повышению точности определения параметров YN (/СО) И К а (/®)> к ограничению числа членов ряда и к максимальному использованию априорных сведений об искомом сигнале. К настоящему времени разработано несколько методов решения задачи восстановления сигнала, из них наиболее часто используемыми являются аппроксимативные и алгебраические методы, а также метод определения производных выходного сигнала. Аппроксимативные методы основаны на использовании в качестве моделей YN (/to) и К н (/со) простых функций. В табл. 25 приведены результаты восстановления сигнала XN (0 после прохождения через апериодическое звено первого порядка и при выходном затухающем сигнале YN (ОЕсли выходной сигнал имеет затухающе-колебательный характер, а прибор является колебательным звеном второго порядка, то для аппроксимации YN (/СО) И КА (/со) применяют экспоненциально-косинусные функции [11]. Аппроксимативные методы дают возможность автоматическим путем определить параметры модели искомой зависимости XN (ОАлгебраические методы основаны на замене интегрального уравнения (9.68) системой алгебраических уравнений (9.69) £ hlKX( = YK; к = 1, 2, 3 т. i=i Когда т ~ п, то измеряя т значений YK и подставляя п значений импульсной характеристики получают систему из п линейных уравнений с п неизвестными ординатами xt. Решая эту систему одним из известных способов, определяют совокупность значений х{, т. е. искомый восстанавливаемый входной сигнал. Если т ~> п, то в этом случае применяют метод наименьших квадратов, чем повышается точность определения ординат восстанавливаемого сигнала. На основе алгебраических методов искомую зависимость X (t) определяют не в виде параметров ее модели, а в виде совокупности соответствующих значений Xi и tt. Метод определения производных зависимости YN (0 может быть использован в том случае, если уравнение ИП является простейшим дифференциальным уравнением первого или второго порядка, например, если ИП является колебательным звеном второго порядка

V"(fi>0 — <ö)2 + 4ft2co2 Ф (со) = arctg . 4 1 8

с известными параметрами, то входной сигнал можно [5] определить по следующей формуле: XN

W= w

[Yn

{t) +

Y n {i) +

y n (0

9.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ СПОСОБЫ ОЦЕНИВАНИЯ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ВХОДОМ И ВЫХОДОМ ОБЪЕКТА

Существуют различные методы определения вида и параметров аналитической зависимости между входом и выходом объекта: путем определения коэффициентов дифференциального уравнения, разностного' уравнения, передаточной функции, амплитудно-частотной характеристики и др. При определении параметров частотной характеристики объекта

необходимо на его вход подавать синусоидальный сигнал, изменяющийся в соответствующем диапазоне по частоте. Генерация такого сигнала для некоторых объектов представляет значительные трудности. Созданы специальные приборы, определяющие К (/со) в полосе частотПри определении параметров передаточной функции К (п\

{р) =

"Тона вход объекта подается ступенчатый сигнал X (i) = I, который воспроизводится значительно проще. При этом на выходе объекта получают переходную функцию Y (t). Искомые параметры передаточной функции К (р) определяют по параметрам переходной функции Y (t). Ступенчатый входной сигнал не может быть идеальным с бесконечной крутизной на начальном участке и реализуется практически в виде возрастающей экспоненциальной функции времени (1 — е~' / т ). При этом самая верхняя граница частотного диапазона объекта не должна превышать 2я/т. По виду переходной функции, т. е. по реакции объекта У (/), определяют порядок объекта или порядок переходной функции объекта. Если объект является апериодической системой первого порядка с передаточной функцией

то переходная функция объекта У ( / ) = L~l [Y (р)) = LT1 [К (р) X (р)} = L-1 [^—"1 = К П ~ е~'/Т)' где Х ( р ) = 1. " По измеренной переходной функции времени Y (t) = К (1 — е-'/*) можно определить искомые параметры модели — передаточной функции / С и т . Параметр К равен значению выходного сигнала в устано41ft

moo

Рис. 9.4, К определению параметров передаточной функции: а — для апериодического звена первого порядка; б — для апериодического звена первого порядка с запаздыванием.

вившемся режиме. Параметр т можно определить по значению первой производной dY (I) dt t—o т а к как dY(t) dY{t) К_ 1 ТО —тт ~ £Й ' dt т <=о Графически т определяется по длине отрезка, отсекаемого касательной к У {t) в точке t = 0 на линии У (t) = К (рис. 9.4, а). Параметр <t можно также определить графически как временную координату точки У (f) при Y (/) = 0,63 К, так как при t = т Y (t) = — Ю1 — e~t/x) = 0,63 Я. Если объект является апериодической системой первого порядка с чисто временным запаздыванием т 3 , то передаточная функция объекта

ко*-

%Р+\

а переходная функция Y (t) = LT1 [Y (р)] = LT1 [К (р) X (/>)] =

0 при t < т9 -t+r.

т К (1-е ) при t>ra. По переходной функции графически определяют параметры К, т 3 и т передаточной функции (рис. 9.4, б). Если объект является колебательной системой второго порядка, то передаточная функция объекта

К(Р)

где | < I, а переходная функция У (/) = L

[Y (р)] = L X sin ( V i —

420

[К (р) X (р)1 = К 1 — со0t + arctg -

г г ^

•

рис. 9.5. Зависимость относительного зиачения первого переброса б п у колебательного звена второго порядка от степени затухания колебаний

е ir 11

Д л я определения параметров передаточной функции К, ю0 и измеряя Yn (t), определяют Т — период затухающих периодических колебаний и относительную величину первого переброса 6„ % или логарифмический декремент затухания D , : 2я£ (9.70) / Г где Y t — амплитуда первого колебания; Yi+„ — амплитуда (п + 1)-го колебания; п — число периодов колебаний между амплитудами Y x и Yn+i. Исходя из рис. 9.5 или формулы (9.70) определяют ^-степень затухания колебаний. В установившемся режиме определяют значение К , а ©0 — по формуле D.

— In - т Х 1 п л+1

=»

оп =

УГ!!* .

(9.71)

Описанные методы определения параметров передаточных функций пригодны для линейных, стационарных объектов с одним входом и одним выходом. Методы определения параметров моделей зависимостей, рассмотренные в [15], пригодны для линейных и нелинейных объектов, а т а к ж е для объектов с несколькими входами и выходами. Степень точности результата измерения зависимости характеризуется отклонением результата измерения зависимости от истинной зависимости. Отклонение экспериментальной зависимости от истинной является случайной функцией. Способы оценки степени точности результата измерения зависимости подразделяются на дифференциальные и интегральные. Зависимость, полученная в результате измерения УЫ = / (XN), представляется, главным образом, либо в виде таблицы соответствующих парных значений y i v i и XN(, либо в виде параметрической модели (/„од ( х ^ , ..., ап). Степень точности результата измерения зависимости может быть охарактеризована: погрешностями измерения Д у и А х в каждой точке экспериментальной зависимости; по результатам п независимых измерений величин Yt в i-й точке зависимости можно определить оценку с. к. о. погрешности в данной точке о(А„)

Wik ~ У1)г (л-1)

(9.72)

интегральной оценкой в виде суммарной дисперсии погрешностей от неидеальности аналогового преобразования, от квантования и аппроксимации (см. п. 7.2); .421

интегральной оценкой в виде среднего квадратического значения отклонения аппроксимированной зависимости от экспериментальной непрерывной зависимости

нQ

Точность параметрической модели может быть охарактеризована: с. к. о. каждого параметра модели аи ..., ат на основе метода наименьших квадратов (п. 9.4); максимальной разностью Ау между соответствующими значениями экспериментальной зависимости Y s (хлг) и модели зависимости Умод (XN, CL\, . . . , ат); интегральной оценкой в виде с. к. о. полиномиальной модели, параметры которой определены в результате равноточных измерений по методу наименьших квадратов при числе уравнений п> т: 0

(Ьу) = ] / "

ат)]2

1ун{ ~ Утл (XNÜ„

•

(9.73)

9.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Задача статистического определения распределения случайной величины состоит из двух этапов. Н а первом этапе определяют характер распределения и уточняют его параметры, на втором этапе проверяют согласие теоретического распределения с опытным. Х а р а к т е р распределения обычно устанавливают на основе изучения физической природы случайного явления, либо посредством анализа формы кривой экспериментального распределения. В функцию р (л:), которой описывается установленное теоретическое распределение, входят числовые параметры а, Ь, с. Д л я оценивания параметров распределения наиболее широко применяется так называемый метод моментов. Метод состоит в т о м , что параметры а, Ь, с, ... подбирают таким образом, чтобы моменты теоретического распределения совпадали с оценками соответствующих моментов, вычисленных по опытным данным [57]. Если, например, распределение характеризуется двумя параметрами а и Ь, то их подбирают такими, чтобы математическое ожидание и дисперсия для этого закона совпадали с оценками математического ожидания и дисперсии, полученными на основании имеющихся результатов наблюдений х{: М [X] =

хр (*) dx = Хер = — -

х£;

D[X]=

J { —оо

.422

(9.74)

<•='

п X

- M [ X ] f p { x ) d x ^

^ -

i— 1

(X,-Xcpf.

(9.75)

В частности, для нормального распределения , . 1 / (х-М[Х})а р [х) — ехр ' — " УШа\Х\

2а» [X]

принимают i=i b = D[x\

—Ц-Е п

Равномерное распределение, р(Х)

1 = 1

описываемое при Xmin < X

'mm

функцией хтах;

При X < x m i n ИЛИ Х > Х т а х ,

ТЗКЖе СОДбрЖИТ ДВЗ ЧИСЛОВЫХ пэрзмвтрз Хгпах И Xmin» Математическое ожидание и дисперсия для равномерного распределения равны 00 оо М [X] =

D[XJ=

[xP{x)dx= OO OO

( X —oo

= •*"max

dx=

; (9.76)

CO ä

j ( ^ - M [ X ] ) — 00 X

i -

p ( # =

dx =

j* ( x —00 (

*ma* +

*max~*min)2 1

min

Xmin

j2 x

•

(9.77)

Вычислив оценки математического ожидания и дисперсии, M l X ] = "± 1£WX1 = —Ц- 1 " —

t i=i

; (xt-M[Xl)2

и приравняв их соответствующим вероятностным ( 9 . 7 6 ) , ( 9 . 7 7 ) , получим систему двух уравнений: 2 12

характеристикам

М[Х}; DIX].

Решая эту систему, имеем неизвестные параметры х т а х и х т | „ . Д л я проверки согласия опытного распределения с теоретическим разработано много различных статистических критериев. Некоторые из них рассчитаны на специальные законы распределения. Так, критерий асимметрии и эксцесса применяется только для проверки согласия опытных данных с нормальным законом. Проверка соответствия опытного распределения с нормальным производится по значению асимметрии и эксцесса, которые для нормально.423

го распределения равны нулю. При проверке опытного распределения определяются оценки асимметрии, эксцесса и их дисперсий:

DИ ) - / niF\

_ \Г

( n + 1) (rt + 3) 24 (п — 2) (п — 3) я 2 (п- 1) (л + 3) (Я+ 5)

l / j f

Если одновременно выполняются соотношения А — 3 VD(Ä)

<0;

E — 2,VD{E)

<0,

то данное опытное распределение считают нормальным. Д л я приближенного определения параметров распределения и одновременной проверки согласия с предполагаемым теоретическим распределением применяют графический метод вероятностных сеток. Эти методы дают менее точные результаты, чем аналитические, но отличаются простотой вычислений, большей наглядностью и возможностью одновременно проверять согласие эмпирического распределения с теоретическим и позволяют определять оценки параметров эмпирического распределения. Правила построения и применения вероятностных сеток приведены в ГОСТ 11.008—75 «Прикладная статистика. Правила построения и применения вероятностных сеток» для опытных данных, подчиняющихся одному из четырех распределений: нормальному, экспоненциальному, логарифмически нормальному и распределению Вейбулла. Вероятностная сетка для заданного распределения представляет собой прямоугольную сетку, на которой масштаб выбран таким образом, чтобы график данного опытного распределения, построенный на сетке, представлял собой прямую линию. Д л я нормального распределения вероятностную сетку строят следующим образом. По оси абсцисс в масштабе Кх откладывают значение xt. По оси ординат в масштабе Ку откладывают значение квантилей — у нормированной центрированной функции нормального распределения F0 ( X ) , у которой М (X) = 0; о (X) — 1, а у = Х/о (X). .424

рис. 9.6. График эмпирического распределения, нанесенный на вероятностную бумагу.

кУт) № 35,1мм -0,375 о'

Масштабный коэффициент Кх Для оси абсцисс (рис. 9.6) ~Г Х

(9.78)

где В — ширина графика, мм; x m i n , хтвх — наименьшее и наибольшее значения величины X . На оси абсцисс в соответствующих точках проставляются значения величины X . Д л я определения масштабного коэффициента по оси ординат задаются

0 b f 'А

К/Х

= ~х

о/

.О У

Д. '

К*

69,8 •0,925 55,9 •0,875 ф /о -0,825 36,6 -0,775 >' 0 t 29,0 -0.725/

-25 "36,6 -45,3 -0/75 -.69,8 10,075• •

F0 (X) mln = 0,001; F„ (X) m a x 0,999. Соответствующие этим значениям квантили нормированной и центрированной нормальной функции распределения соответственно равны Уmin = х/1 = — 3,090; у,пах = х/1 = 3,090. Масштабный коэффициент по оси ординат К д - Я/6,180, где Н — высота графика по оси ординат, мм. На оси ординат наносят точки, соответствующие значениям квантилей, а против этих точек проставляют значения функции F0 (Y), соответствующие данным значениям квантилей у (F0). Вероятностная Таблица

= *)

0,50 0,52 0,54 0,56 0,5 8 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72

26. Вероятностная шкала для нормального распределения при Я = 300 мм

300 6,18 х X» (F0>

Fо Ш = *>

0 2,4 4,8 7,3 9,8 12,3 14,8 17,4 20,0 22,7 25,4 28,3

I ] р и м е ч а н и е: для

818

300 6,18

F0 W = *>

31,2 34,2 37,4 40,8 44,4 48,2 52,4 57,0 62,2 63,0 68,1

F0W

= *)

x»(f 0 )

ХУ(Р0)

0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,91 0,92

300 6,18

0,93 0,94 0,95 0,955 0,960 0,965 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,991

71,5 75,4 79,8 82,3 85,0 88,0 91,2 95,1 99,6 106,2 112,9 114,8

300 6,18 ХУ

0,992 0,993 0,994 0,995 0,9955 0,9960 0,9965 0,9970 0,9975 0,9980 0,9985 0,9990

(F0)

116,9 119,0 121,9 124,9 126,7 128,7 131,0 133,2 136,2 139,5 144,9 150

FQ (у) < 0,5; у ^ 0 ) = - г / ( 1 - V .425

шкала для нормального распределения представлена при Я = 300 мм в табл. 26. Экспериментальные данные о случайной величине (результаты наблюдений), параметры распределения которой необходимо определить, представляются в виде выборки—совокупности значений xt. Если объем выборки не превышает п = 50, то результаты наблюдений строят в вариационный ряд в порядке возрастания: хх<х2<х3< ••• <хп. Затем определяют значения экспериментальной функции распределения F, (*i) = U(n + 1) ( i = l , 2, 3, . . . , п). Значения Ft (xt) и х{ наносят на вероятностную сетку. Через полученные точки, пренебрегая обычно положением одной-двух крайних точек с обеих сторон проводят прямую так, чтобы нанесенные точки отклонялись бы от нее как можно меньше. Прямую эту обычно проводят визуально. Если точки F3 (xt) мало отклоняются от проведенной прямой, то это свидетельствует о том, что экспериментальные данные йе противоречат нормальному распределению. Оценки параметров распределения находят по углу наклона построенной прямой и по отрезкам, отсекаемым ею на осях координат (о учетом масштаба), так как для экспериментальной функции распределения квантили распределения будут равны

0(Х) Прохождение полученной прямой через начало координат, под углом 45° означает, что представленная совокупность распределена по нормальному закону без смещения, тогда М (X) = 0 и а (X) = 1. Если эта прямая не проходит через начало координат, а угол ее наклона а Ф 45°, то распределение нормально, имеет смещение М(Х)Ф 0 и а(Х)Ф 1. В случае, если построенная прямая пересекает ось абсцисс в точке А (рис. 9.6), то оценку смещения определяют по следующей формуле М (X) = Хор = ОА/Кх, где ОА — длина отрезка на оси абсцисс между началом координат и точкой А, мм. Оценку о (X) определяют из соотношения 5 (X) = Ку/К х tg a, где а — угол отклонения прямой от вертикали. По характеру кривой, которую образуют опытные точки на вероятностной бумаге, можно судить о том, в какую сторону от нормального закона в смысле островершинности или плосковершинносги откло.426

« С 9.1. Графики, построенные на вероятности ЙЬА бумаге (нормального закона) для следующих ~ распределений: • — нормального; б — симметричного, более плосКрвершинного, чем нормальный; в — симметричного, более островершинного, чем нормальный; г — асимметричных.

Г,

У 'Л 7 X

вяется кривая распределения исслеX so дуемой совокупности (рис. 9.7). Если / 'у-/ точки на вероятностной бумаге образуют две прямые линии, то распреде/ / У ! . ление асимметрично. Для проверки согласия опытного распределения с теоретическим ГОСТ 11.006—74 рекомендует универсаль- I ные критерии, применимые для любых законов распределения — критерий Колмогорова (X), Пирсона X2 (хи — квадрат), Q 2 . Критерии К и X2 применяются, если число наблюдений п> 100. Для применения критерия й 2 необходимо обеспечить п > 50. Критерии X2 и К проще вычисляются, но они предполагают знание не только общего вида, но и параметров теоретического распределения. Критерий X2 допускает возможность оценки неизвестных параметров распределения на основе опытных данных. Проверка согласия опытного распределения с теоретическим производится в следующем порядке. 1. Строят вариационный ряд, в котором результаты наблюдений Х\, х2, ха, ..., хп располагаются в возрастающем порядке. 2ч Определяют размах изменения величины X:

/Ал ''/У/

Вх =

хп

•х,.

3. Весь размах делят на m равных интервалов шириной каждый. В качестве Ьх можно выбирать цену деления С средства измерений, применявшегося при наблюдении величины X . Количество интервалов рекомендуется назначать в пределах 20...30. Если оказывается, что BJC >• 60, то значение Ьх можно выбирать кратным С (2С, ЗС, ...), Во таким, чтобы выполнялось соотношение Bx/bx ^ 30. При этом необходимо учитывать, что увеличение числа интервалов приводит к более Полному учету всех особенностей опытного распределения. Однако слишком большое дробление размаха Вх нежелательно ввиду того, что на результате проверки могут сказываться резко отличающиеся результаты наблюдений, не характерные для случайной величины. Это может привести к снижению надежности статистического вывода о соответствии опытных данных теоретическому распределению. Ширина интервалов Ьх должна быть такой, чтобы каждый из них содержал 5... 10 результатов наблюдений. Если после разбиения оказывается, что это число меньше 5, то соответствующие интервалы объединяют с соседними. Если цена деления средства измерения неизвестна, то число т можно определить в зависимости от объема выборки п из следующих 15*

427

отношении: т = Е 10,04« | при 50 < п < 100; т = Е11 + 3,32 log п | при 100 < п < 200; т. = Е \ А у ( п — I) 2 | п р и / г > 2 0 0 . ( £ означает целую часть числа, заключенного в скобки). Определяется число попаданий результатов наблюдений в каждый интервал (эмпирическая частость) л/ (/ = 1, 2, ..., т). Если для некоторого j — k оказывается, что rt/ < 5, то 6-й интервал объединяют с соседними, и значение т уменьшают на единицу. 4. По таблицам либо расчетным путем находят значения интегрального теоретического распределения на границах интервалов хН/, xbj (J = 1, 2, ..., т): FT (х н ,), FT (xbi = *„,), . . . , FT (XBJ = *HÜ-+1)), . . . , FT

(Xbj.

Для любого / х

я ?

FT (* н .) = P {X < *„.} =

J рт (.x) dx-,

FT (xb.) =

»oo

] pT (X) dx, —00

где pT (x) — плотность теоретического распределения. Дальнейшие вычисления производят в зависимости от выбранного критерия согласия. При и с п о л ь з о в а н и и к р и т е р и я Колмогорова: 5. Находятся статистические оценки интегральной функции распределения на границах интервалов F

(ХИ1) =

/-1

S Пк F

»(*«/) =

— S

/ = 2.

Я»;

я« » / - 1 , 2 , 3

т,

причем F„ (xHj) = Fa (xb(h_ly). 6. Строятся графики функций FT (xf) и F„ (xt) и определяется максимальное расхождение D = max\F3(xl)

—

7. Вычисляются значения критерия = 428

у а .

FT{xl)\.

8. В е р о я т н о с т ь т о г о , что м а к с и м а л ь н о е р а с х о ж д е н и е в п р е д п о л о жении выбранного теоретического распределения будет не меньше, чем вычисленное з н а ч е н и е равна оо Р (Я*) = Р (Л > = 2 ( — 1) к е х р ( — 2к2Х?) (9.79) к=—оо

Э т у в е р о я т н о с т ь м о ж н о найти п о т а б л . 2 7 . П р и м а ш и н н о м вычислении по [ 9 . 7 9 ] к д о с т а т о ч н о и з м е н я т ь в п р е д е л а х — 2 0 . . . + 2 0 . 9. Если значение Р достаточно велико (Р 0 , 6 ) , т о теорет и ч е с к о е р а с п р е д е л е н и е с ч и т а ю т с о г л а с у ю щ и м с я с опытными данными Таблица 27. Значения вероятности Р (X > Xi) для критерия Колмогорова 0,3

&Ж) 0,9999

0,4

0(5

0,6

0,7

0,8

0,9

1.0

1*1

0,9971

0,9394

0,8642

0,7112

0,5441

0,3927

0,2700

0,1777

Таблица

28. Квантили х 2 -распределения 1 — а

f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

0,005

0,000039 0,010 0,071 0,207 0,412 0,676 0,989 1,34 1,73 2,16 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43 8,03 8,64 9,26 9,89 10,52 11,16 11,81 12,46 13,12 13,79 20,71 35,53 83,85

0.1

0.05

0,00016 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,20 10,86 11,52 12,20 12,88 13,56 14,26 14,95 22,16 37,48 86,92

0,0039 0,103 0,362 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,12 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 26,51 43,19 95,70

0.1

0,015 0,211 0,584 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,08 10,86 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,60 29,06 46,46 100,62

0,9

2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 29,62 30,81 32,02 33,20 34,38 35,60 36,74 37,92 39,09 40,26 51,81 74,40 140,23

0,95

0,99

3,64 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,9 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,88 40,10 41,34 42,56 43,73 55,76 79,08 146,57

6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,08 23,21 24,73 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,81 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 68,69 88,88 158,95 .429

В противном случае гипотеза о справедливости выбранного теоретического распределения отвергается и проверяется гипотеза о согласии опытных данных с другим теоретическим распределением. При и с п о л ь з о в а н и и к р и т е р и я ОС2: 5. Определяется теоретическая вероятность попадания случайной величины в каждый интервал Р, = FT (xbj) — FT (*„.) (/ = 1, 2, . . . , от). 6. Для каждого интервала оценивается число попаданий реализаций случайной величины X , ожидаемое в предположении выбранного теоретического распределения пт^ = n P j / = 1, 2, . . . , / п . 7. Вычисляется значение критерия v

= 2J ТТ • Т /= 1 ! 8. Устанавливается уровень значимости а и по табл. 28 находится критическое значение X2 (/; 1 — а) для числа степеней свободы f = m — k— 1, где k — количество параметров теоретического распределения, которые оценивались на основе опытных данных. 9. Сравнивается полученное значение критерия с критическим. Эмпирическое распределение считается согласующимся с теоретическим, если X2 < X2 (f; 1 — а). В противном случае гипотеза о справедливости теоретического распределения отвергается.

Глава

ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Значимость измерений в настоящее время настолько возросла, их проникновение во все области человеческой деятельности стало настолько глубоким и обширным, что дальнейшее развитие измерений и повышение их эффективности стало невозможно без соответствующего общегосударственного обеспечения их единства, заданного уровня точности и достоверности, планирования их развития и применения. Возникло новое понятие — метрологическое обеспечение, которое охватывает установление требуемой точности измерений, обеспечение народного хозяйства страны средствами измерений, обеспечение единства измерений. ЮЛ. МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Метрологическое обеспечение — это установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений (ГОСТ 1.25—76). Организационной основой метрологического обеспечения является метрологическая служба СССР, состоящая из государственной и ведомственных метрологических служб. В государственную метрологическую службу, возглавляемую Госстандартом, входят: главный центр государственной метрологической службы, Всесоюзный научно-исследовательский институт метрологии ВНИИМ, ВНИФТРИ и другие, главные центры государственных эталонов, главный центр стандартных образцов веществ и материалов, центр государственной службы справочных данных, органы государственной метрологической службы в союзных республиках. В ведомственную метрологическую службу в каждом министерстве или ведомстве входят: отдел, руководящий метрологической службой министерства, головная организация метрологической службы — одна из ведущих научно-исследовательских или проектно-конструкторских организаций; базовые организации метрологической службы из числа НИИ, СКВ или предприятий данного министерства; отделы главных метрологов данного предприятия или организации. Основными целями метрологического обеспечения (ГОСТ 1.25—76) являются: повышение качества продукции, эффективности управления и уровня автоматизации производственных процессов; обеспечение .431

взаимозаменяемости деталей, узлов и агрегатов, необходимое для кооперирования и специализации производства; повышение эффективности научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, экспериментов и испытаний; обеспечение достоверного учета и повышение эффективности использования материальных ценностей и энергоресурсов; повышение эффективности мероприятий по профилактике, диагностике и лечению болезней, нормированию и контролю условий труда и быта людей, охране окружающей среды, оценке и рациональному использованию природных ресурсов; повышение уровня автоматизации управления транспортом и безопасности его движения; обеспечения высокого качества и надежности связи. Задачи метрологического обеспечения обширны, среди основных, выполняемых органами государственной метрологической службы, необходимо отметить: разработку основ метрологического обеспечения на всех уровнях управления народных хозяйством; проведение фундаментальных научных исследований по созданию и совершенствованию методов и средств измерений высшей точности и определению значений физических констант, создание и совершенствование эталонов. К основным задачам метрологического обеспечения, выполняемым органами ведомственной метрологической службы, относятся: определение основных направлений работ по метрологическому обеспечению разработки, производства, испытаний и эксплуатации продукции на предприятиях отрасли; создание и внедрение государственных и отраслевых стандартов на нормы точности измерений, методики выполнения измерений и средств измерений по специализации министерства; организацию метрологической экспертизы проектов предприятий, сооружений, продукции, стандартов, конструкторской и технологической документации; разработку оптимальных норм точности и методики выполнения измерений, испытаний и контроля на данном предприятии; проведение метрологической экспертизы проектов нормативнотехнической, конструкторской и технологической документации; поверка и метрологическая аттестация средств измерений и методик измерения. Работы по метрологическому обеспечению на предприятии проводятся по подразделениям и отделам метрологической службы. Ответственность за состояние метрологического обеспечения возлагается на руководителя предприятия. Правила и нормы метрологического обеспечения устанавливаются стандартами Государственной системы обеспечения единства измерений. Единство измерений обеспечивают единообразие решений в системах контроля и управления технологическими процессами, а также необходимый уровень достоверности научных выводов при исследованиях. Единство контроля должно обеспечивать заданную достоверность правильности решений в идентичных условиях при управлении по сигналам контролирующих устройств. Единство контроля должно обеспе.432

чиваться установлением единства нормальных состояний объектов и единства условий сравнения образцового и контролируемого объектов. В настоящее время ведется подготовка к созданию Государственных систем обеспечения единства контроля и испытаний, которые будут важными рычагами метрологического обеспечения народного хозяйства страны [33]. 10.2. ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

Ранее средства измерений использовались главным образом в прямых измерениях, преимущественно в статике. При этом погрешность результата измерения определялась в основном погрешностью средств измерений. В настоящее время в нашей стране находится в эксплуатации свыше 1 млрд. приборов, большая половина которых используется в производстве. Ежедневно производятся сотни миллиардов измерений. Средства измерений используются во все более сложных видах измерения, в составе сложных автоматических средств, обычно в динамике. Это приводит к тому, что погрешность результата измерения зависит не столько от погрешности средств измерения, сколько от методических погрешностей, от вида коррекции погрешностей, динамических характеристик средств измерений и квалификации оператора. Высокий уровень точности измерений в стране может быть обеспечен только при наличии эффективного метрологического обеспечения, одной из основных задач которого является обеспечение единства измерений. Единством измерений называется такое состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах и имеют нормированную точность. Единство измерений в стране достигается на основе единства: эталонов, мер; испытаний, поверки, метрологических характеристик средств измерений; методик измерений и форм представления результатов измерения. Для указанной цели введена в действие система соответствующих основополагающих метрологических госудяоственных стандартов в виде Государственной системы обеспечения единства измерений, основные положения которой изложены в ГОСТ 1.25—76. Основной задачей ГСИ является повышение уровня измерительного дела в стране. Выполнение этой задачи обеспечивается комплексом мероприятий, правил, положений и стандартов. Основные требования ГСИ следующие: результаты измерения должны выражаться в единицах физических величин, допущенных к применению в СССР, согласно ГОСТ 8.417—81 (СТ СЭВ 1052—78) «ГСИ. Единицы физических величин»; средства измерений, предназначенные к серийному выпуску, подлежат государственным испытаниям согласно ГОСТ 8.001—80 «ГСИ. Организация и порядок проведения государственных испытаний средств измерений» и ГОСТ 8.383—80 «ГСИ. Государственные испытания. Основные положения»; средства измерений, находящиеся в пользовании, должны периодически подвергаться государственной проверке, ревизии, экспертизе .433

согласно ГОСТ 8.002—71 «ГСИ. Организация и порядок проведения поверки, ревизии и экспертизы средств измерений»; метрологические характеристики средств измерений, подлежащие нормированию в нормативно-технической документации на средства измерений, должны соответствовать ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений»; измерения, нормы точности которых регламентированы стандартами или нормативно-техническими документами, должны выполняться по стандартным или аттестованным методикам выполнения измерений, в соответствии с ГОСТ 8.010—72 «ГСИ. Общие требования к стандартизации и аттестации методик выполнения измерений»; форма представления результатов измерений, регламентированных соответствующими нормативными документами, должна соответствовать ГОСТ 8.011—72 «ГСИ. Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений». Обеспечение единства измерений повышает достоверность научных исследований и качество промышленной продукции, способствует более правильной эксплуатации средств измерений и благодаря этому дает большой экономический эффект. В состав метрологической службы страны входит также Государственная служба стандартных справочных данных (ГСССД) и Государственная служба стандартных образцов (ГССО). ГСССД обеспечивает сбор, анализ и апробацию данных о всех известных свойствах веществ, ГССО организует выпуск стандартных образцов шероховатости, химического состава и свойств веществ и материалов. Стандартизация и аттестация методик выполнения измерений В настоящее время все в большей степени преобладают не разовые прямые измерения, а сложные, многократные, например косвенные, при которых точность и достоверность результатов зависит не только от совершенства средств измерений, но в значительной мере и от правильности методики их выполнения. Методикой выполнения измерений называют совокупность требований к методам, средствам, способам подготовки измерений и обработки результатов наблюдений, которые при данных условиях обеспечивают заданные показатели точности результата измерения. Соблюдение всех требований этой методики настолько существенно влияет на результат измерения, что возникла необходимость в ее регламентации. Регламентация методик выполнения измерений устанавливается ГОСТ 8.010—72 «ГСИ. Общие требования к стандартизации и аттестации методик выполнения измерений». Стандарт устанавливает общие требования к стандартизации и аттестации методик измерения, точность которых регламентируется государственными стандартами и другими нормативными документами. Это означает, что измерения, точность которых установлена вышеупомянутыми документами, должны выполняться по стандартизованным или аттестованным методикам, так как только в этом случае^может быть гарантирована заданная точность измерения. . .434

436.

ГОСТ 8.010—72 предусматривает две формы регламентации мето'дик выполнения измерений: стандартизацию и аттестацию, соответственно методики выполнения измерения устанавливаются стандартами (государственными либо отраслевыми) или аттестатами. Поверка и утверждение методик выполнения особо точных измерений производится метрологическими организациями Госстандарта, а методик технологических измерения при испытаниях и контроле изделий — ведомственными метрологическими службами. В стандарте и аттестате на методику выполнения измерений в основном указывают: область применения данной методики; требования к средствам измерений и вспомогательным устройствам; метод измерений; порядок подготовки и выполнения измерений; условия измерений и диапазоны значений влияющих величин; показатели точности результата измерения и зависимости их от влияющих величин (в аттестате указываются численные значения показателей точности согласно ГОСТ 8.011—72); способы обработки результатов измерений (в аттестате не указываются); степень квалификации операторов; мери по технике безопасности. Измерения по стандартизованным методикам должны выполняться средствами, которые прошли государственные испытания согласно ГОСТ 8.001—72, а при измерениях по аттестованным методикам метрологические характеристики средств измерений могут быть определены непосредственно в процессе метрологической аттестации методики, т. е. в процессе ее поверки. Метрологической аттестацией методики выполнения измерений называются исследования, при которых определяются значения показателей точности измерения по данной методике. Передача размеров единиц величин от эталонов к образцовым рабочим средствам измерений. Поверочные схемы. Методы поверки средств измерений Высокая точность эталона бесполезна, если ее нельзя передать образцовым и рабочим средствам измерений. Поэтому метрологической службой страны предусмотрена многоступенчатая система передачи размера единицы каждой величины к рабочим средствам измерений. Эта система изображается в виде поверочной схемы, представляющей собой документ, которым устанавливаются средства, методы и точность передачи размера единицы данной величины от эталона или исходного образцового СИ рабочим средствам измерений. Поверочные схемы изображаются в виде последовательной ветвящейся диаграммы, каждая ступень которой соответствует передаче размера единицы физической величины между эталонами или образцовыми средствами измерений. Государственную поверочную схему возглавляет СИ наивысшей точности — Государственный первичный

Рис. 10.1. Ведомственная поверочная схема для средств измерения времени и частоты.

эталон единицы физической величины. Поверочная схема регламентирует порядок и точность передачи единиц, методы и средства поверки. На рис. 10.1 представлен пример компоновки элементов ведомственной поверочной схемы для СИ времени и частоты. При передаче происходит поверка данного средства измерений соответствующим средством измерений более высокого класса точности. Поверкой называется определение погрешностей средства измерений и установление его пригодности к использованию. Для поверки мер используются следующие методы: 1) сличение при помощи компаратора путем сравнения выходной величины меры и эталона или образцовой меры для определения систематических погрешностей; 2) прямое измерение величины, воспроизводимой поверяемой мерой, измерительным прибором более высокого класса точности; 3) косвенное измерение; 4) калибровка набора мер посредством совокупных измерений (п. 2.3). Для поверки измерительных приборов используются следующие методы: 1. Непосредственное сличение показаний поверяемого и образцового измерительных приборов производится при измерении ими одной и той же величины, при этом погрешность поверяемого прибора принимается равной разности их показаний. Возможны два варианта этого метода, когда значения величины устанавливаются по числовым от.436

Рис. 10.2. Схема автоматической поверки измерительных преобразователей, цифровых измерительных приборов и аналоговых измерительных приборов.

меткам образцового или поверяемого прибора. Первый вариант удобен для поверки многих приборов одновременно, для автоматической поверки. Второй вариант удобен тем, что погрешность поверяемого прибора определяется с большей точностью по шкале образцового прибора с большим числом делений. 2. Использование меры более 1-очной, чем поверяемый прибор. Выходная величина меры, значение которой устанавливается по входному коду меры N X , подается на вход поверяемого прибора, при этом погрешность прибора принимается равной разности показания прибора и значения выходной величины меры хn = NxqK. Методы поверки средств измерений в настоящее время автоматизированы с применением средств вычислительной техники и кодоуправляемых мер, благодаря чему во много раз увеличивается производительность труда поверителей. При автоматизированной поверке измерительных преобразователей, цифровых измерительных и аналоговых измерительных приборов (рис. 10.2) ЭВМ по заданной программе выдает числовые значения величины N X , при которых должны быть поверены средства измерений. Эти значения подаются на вход управляемой меры, на выходе которой воспроизводится величина хы, размер которой задан. Величина XN подается на входы поверяемых средств измерения. Информация с выхода поверяемых средств подается на электронно-вычислительную машину для вычисления погрешностей средств и выработки сигналов для соответствующего документирования результатов поверки. Государственные испытания новых средств измерений Основная часть средств измерений в нашей стране создается предприятиями Министерства приборостроения. Однако значительная их Часть создается в других отраслях народного хозяйства, на предприятиях многих министерств и ведомств, часть средств измерений закупается за границей. Все вновь создаваемые и находящиеся в обращении В стране средства измерений должны соответствовать единым общегосударственным стандартам и нормам. Д л я этого в нашей стране создана Единая система государственных испытаний средств измерений, основными задачами которой является обеспечение единства и достоверности измерений в стране и совершенствование средств измерений. Система государственных испытаний устанавливается ГОСТ 8.001—80. «Организация и порядок проведения государственных испытаний средств .437

измерений» и включает комплекс правил и норм, определяющих задачи, организацию и порядок проведения государственных испытаний средств измерений. Государственным испытаниям подлежат средства измерений, выпускаемые в стране серийно и закупаемые партиями за границей. Государственные испытания подразделяются на два вида: приемочные и контрольные. Приемочные — испытания, предназначенРис. 10.3. Знак Государстные для испытания опытных образцов новых венного реестра мер и измесредств измерений, подготовленных к серийнорительных приборов СССР. му производству, и импортируемых. По результатам приемочных испытаний Госстандарт утверждает тип данного средства измерения и вносит его в Государственный реестр мер и измерительных приборов СССР, что является основанием для выпуска их в обращение в стране. На средства измерений, внесенные в Государственный реестр, наносится знак Государственного реестра (рис. 10.3) (на изделия с государственным знаком качества знак Государственного реестра не наносится). Государственные приемочные испытания проводятся государственными комиссиями, назначенными Госстандартом или министерствами и ведомствами по согласованию с Госстандартом, а также метрологическими организациями Госстандарта. Контрольные испытания предназначаются для испытания образцов средств измерений из установочной серии и средств измерений, выпускаемых серийно. По результатам контрольных испытаний Госстандарт разрешает серийный выпуск данного средства измерений, положительные результаты контрольных испытаний серийно выпускаемых средств являются основанием для продолжения их серийного выпуска. Государственные контрольные испытания проводятся метрологическими организациями Госстандарта. Д л я проведения государственных испытаний созданы органы и службы государственных испытаний, которые являются частью системы органов и служб стандартизации и метрологии СССР. Основные функции по проведению государственных испытаний распределены между организациями Госстандарта следующим образом: Госстандарт создает организационные и методические основы государственных испытаний средств измерений, разрабатывает планы государственных испытаний, утверждает технические задания на образцовые и наиболее важные средства измерений, утверждает типы средств измерений; министерства и ведомства СССР разрабатывают отраслевую нормативно-техническую документацию, представляют проекты технических заданий на средства измерений; головная научная организация по государственным испытаниям средств измерения — Всесоюзный научно-исследовательский институт метрологической службы Госстандарта ВНИИМС — руководит (в научно-методическом планер работами по созданию нормативно-технической документации, определяющей порядок проведения испытаний, ведет .438

Государственный реестр, обобщает и анализирует результаты государственных испытаний средств и измерений; метрологические институты Госстандарта проводят метрологическую экспертизу технических заданий на разрабатываемые образцовые И наиболее важные средства измерений, создают образцовые средства Измерений высшего разряда, разрабатывают методы испытаний средств измерений, производят аттестацию аппаратуры, предназначенной для государственных испытаний; республиканские управления и центры стандартизации и метрологии Госстандарта разрабатывают методы испытаний, аттестацию аппаратуры для испытаний и анализируют результаты государственных Испытаний средств измерений; лаборатории государственного надзора за стандартами и измерительной техникой разрабатывают аттестацию аппаратуры для государственных испытаний, анализируют результаты испытаний средств измерений, производят сбор и анализ сведений об эксплуатации средств измерений, которые прошли государственные испытания. Основными целями государственных приемочных испытаний является установление: соответствия средств измерений требованиям Стандартов и техническим заданиям; возможности обеспечения нормированных метрологических характеристик средств измерения при их серийном производстве и эксплуатации; перечня метрологических характеристик данного средства измерения, подлежащих контролю, й перечня изменений, которые необходимо ввести в конструкцию, техническую документацию данного средства измерения. Организация-разработчик данного средства измерения должна вредставить на государственные приемочные испытания: три образца средств измерений; ) перечень аппаратуры или аттестованную аппаратуру, необходимую для проведения испытаний; проект методики испытаний; экземпляр вновь разработанного и аттестованного поверочного Средства; комплект технической документации о литерой «О» по ГОСТ 2.103—68. По результатам государственных приемочных испытаний составляют акт. Основными целями контрольных испытаний образцов из установочной серии или из серийно выпускаемых средств измерений являЯ&тся: установление соответствия требованиям стандартов и технических условий; установление степени метрологического обеспечения произведенн о г о средства измерения. Контрольные испытания проводятся в следующих случаях: при выпуске установочной серии; при поступлении данных об ухудшении качества средства измерения, выпускаемого серийно; .439

при изменениях конструкции и технологии средства измерения, которые могут повлиять на их нормируемые метрологические характеристики; в порядке государственного надзора за качеством изделий. Государственная поверка, ревизия и экспертиза средств измерений Средства измерений применяются во всех отраслях народного ховяйства страны в самых различных условиях и всегда должны быть готовы к использованию по назначению, должны обладать определенным уровнем надежности. Правильность применения средств измерений и необходимый уровень их надежности обеспечивается системой метрологического надзора, которая устанавливается ГОСТ 8.002—71 «ГСИ. Организация и порядок проведения поверки, ревизии и экспертизы средств измерений». ГОСТ 8.002—71 устанавливает три основные формы метрологического надзора: поверку, ревизию и экспертизу средства измерений. Поверка средств измерений производится для установления пригодности их к применению. Различают четыре вида поверки средств измерений: п е р в и ч н у ю , которая проводится при выпуске и после ремонта; п е р и о д и ч е с к у ю , которая проводится при эксплуатации и хранении через определенные межповерочные интервалы; в н е о ч е р е д н у ю , которая проводится в тех случаях, когда необходимо установить состояние данной группы средств измерений в данный момент времени, например, перед вводом их в эксплуатацию; инспекционную, которая производится при метрологической ревизии. Ревизия средств измерений производится для установления соответствия средств и методик измерения необходимому уровню метрологического обеспечения производства. Метрологическая ревизия производится, главным образом, на предприятиях и организациях, выпускающих новые и ремонтирующих приборы. Экспертиза производится в тех случаях, когда возникает спор по средствам измерений, методике их применения. Поверка средств измерений подразделяется на государственную и ведомственную. Государственной или ведомственной поверке подлежат все средства измерений. Средства измерений, предназначенные для учебных целей, должны иметь отчетливо видимое обозначение «У», и контроль за их исправностью реализуется согласно требованиям учебного процесса. Средства измерений, предназначенные только для наблюдения за изменениями величин и не использующиеся для определения значения величин с нормированной точностью, т. е. выполняющие функции индикатора, должны иметь отчетливо видимое обозначение «И», контроль их состояния осуществляется органами ведомственной метрологической службы. Списки этих приборов представляются органам государственной метрологической службы. .440

Поверка средств измерений может быть поручена только лицам, имеющим специальную подготовку, сдавшим экзамены в учебных заведениях Госстандарта. Государственная поверка средств измерений может быть поручена только лицам, имеющим квалификацию государственного поверителя. Лица, осуществляющие сборку или юстировку средств измерений при выпуске их или при ремонте, не должны допускаться к проведению поверки. Периодичность поверки средств измерений колеблется в пределах от одного раза в год до одного раза в пять лет, в зависимости от рода величины и типа прибора. Государств венной поверке подлежат, прежде всего, средства измерений в органах государственной и ведомственной метрологических служб, для государственных испытаний новых средств измерений, применяемых для измерений, связанных с учетом материальных ценностей, охраной здоровья трудящихся, обеспечением безопасности труда, с регистрацией официальных спортивных рекордов, выпускаемые из производства в качестве образцовых средств измерений. Для осуществления метрологического надзора в стране под руководством Госстандарта создана единая метрологическая служба, состоящая из государственной и ведомственных метрологических служб министерств и ведомств. Государственная метрологическая служба обеспечивает единства и достоверность измерений в стране комплексом нормативно-технических документов государственной системы обеспечения единства измерений (ГСИ), комплексом эталонов и образцовых средств измерений и контролем выполнения требований ГСИ. Ведомственная метрологическая служба обеспечивает единство и достоверность измерений в данной отрасли народного хозяйства контролем соблюдения требований ГСИ, внедрением совершенных методик измерений, обеспечивающих высокое качество продукции, и контролем состояния и правильности применения средств измерений. Ответственность за организацию и качество ведомственного метрологического надзора несут руководители предприятий и учреждений. 10.3. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ ЭТАЛОНЫ ОСНОВНЫХ ЕДИНИЦ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Государственные эталоны СССР являются общенародным достоянием, которое обеспечивает национальную независимость нашей страны в области измерений. К концу 1981 г. в стране действовало 128 государственных эталонов различных физических величин, а в течение одиннадцатой пятилетки должно быть введено в действие еще около 30. Воспроизведение основных единиц Международной системы единиц с (СИ) должно согласно ГОСТ 8.057—80 осуществляться с помощью госу! дарственных эталонов. Воспроизведение дополнительных и производных единиц осуществляется с помощью государственных эталонов, либо с помощью образцовых средств измерений, если требуемая точность воспроизведения данной единицы может быть обеспечена косвенными измерениями. Основной тенденцией совершенствования эталонов .441

единиц физических величин является все более широкое использование «квантовых эталонов», т. е. естественно воспроизводимых эталонов, основанных на физических константах. Рассмотрим государственные первичные эталоны основных единиц физических величин. Государственный первичный эталон единицы длины(ГОСТ 8.020—75). В 1960 г. на XI Генеральной международной конференции по мерам и весам в качестве единицы длины был принят метр, размер которого выражается в длинах световых волн. По утвержденному на конференции определению, метр — равен 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р 10 и 5db атома криптона-86. Переход на новую единицу длины позволил связать размер метра с атомной структурой вещества, т. е. с микромиром, процессы и явления которого являются более стабильными по своей природе. Согласно закону излучения Планка, переходу атома о одного энергетического уровня на другой соответствует определенная длина волны или частота, совокупность которых определяет спектр атома. Стабильность длины волны каждой линии такого спектра очень высока, но не бесконечна {ввиду теплового движения, влияния электромагнитных полей и прочих условий). Государственный первичный эталон единицы длины, предназначенный ч для воспроизведения, хранения и передачи ее размера, является комплексом следующих средств измерений: источник первичного эталонного излучения криптона-86; эталонный интерферометр, служащий для измерения длины штриховых и концевых мер — вторичных эталонов; эталонный спектроинтерферометр, служащий для исследования источников первичного и вторичных эталонных излучений. Достоинством такого эталона является возможность воспроизведения длины в диапазоне значений до 1 м. С. к. о. при воспроизведении метра не превышает 1 • Ю - 8 . Такиз высокие точности необходимы не только в метрологии, но и в машиностроении, для нужд которого разработаны лазерные интерференционные измерители перемещений с погрешностью 10~"7 м и менее. В настоящее время ведутся исследования в области использования лазерного излучения для создания более совершенного эталона метра. В СССР создана аппаратура для нового эталона длины на базе радиооптического частотного моста с погрешностью, уменьшенной на один порядок [38]. Новый эталон длины будет основываться на определении метра через скорость распространения света и время, которое среди всех физических величин воспроизводится и измеряется сегодня с наиболее высокой точностью. Государственный первичный эталон единицы массы (ГОСТ 8.021 — 78). Килограмм — единица массы — равен массе международного прототипа килограмма, который хранится в Международном бюро мер и весов в Париже. Государственным первичным эталоном килограмма СССР является копия международного прототипа № 12, изготовленная в 1883 г. из платино-иридиевого сплава той же плавки, 442

что и международный прототип килограмма. Прототип № 12 представляет собой цилиндр, высота которого равна диаметру. Этот эталон хранится на кварцевой подставке при температуре 20 ± 3 °С и относительной влажности воздуха 65 %. При сличении эталона с международным прототипом килограмма в Международном бюро мер и весов в 1954 г. его масса была равна 1 + 8,5* Ю - 8 кг. В состав комплекса средств измерений государственного первичного эталона килограмма входят эталонные равноплечные весы на 1 кг, служащие для передачи размера единицы массы вторичным эталонам. С. к. о. погрешности воспроизведения единицы массы эталоном килограмма равна 7- Ю - 9 . Эталон килограмма отличается очень высокой стабильностью: ва 60 лет его масса изменилась на 1,7- Ю - 8 кг. Эталон килограмма является единственным эталоном. Это определяет его недостатки — неизбежный износ и невозможность воспроизведения. Поэтому предпринимаются попытки более точного воспроизведения единицы массы на основе использования ее дискретного характера, т. е. деления вещества на атомы и молекулы. Возможно, что путем создания очень глубокого вакуума и счета молекул, например водяного пара в объеме, а затем сжатия и сжижения можно, зная число молекул и число Авогадро, воспроизвести единицу массы. Кроме всего прочего для этой операции необходимо создать «сверхчистую» воду и знать число Авогадро с более высокой точностью. Попытки создать «естественный эталон массы» пока не имели успеха, так как необходимо обеспечить очень малую погрешность воспроизведения и сличения, равную или меньшую чем 2- Ю - 9 кг. Возможен и другой путь. Электрическое напряжение и ток можно определить через физические константы. По этим двум величинам можно определить и энергию, которая в свою очередь выражается через массу. Таким образом, масса может быть выражена с помощью фундаментальных уравнений физики по физическим константам. Государственный первичный эталон единицы времени и частоты. Единица времени — секунда — была установлена в древнем Вавилоне, где было введено деление суток на часы, часов на минуты и минут на секунды. Д о недавнего времени секунда определялась как 1/86400 часть средних солнечных суток. Позже была выявлена неравномерность в периоде вращения Земли вокруг своей оси, что не давало возможности точно воспроизвести секунду (погрешность определения средних солнечных суток равна Ю - 7 с). В 1960 г. в международном масштабе был совершен переход на новое определение секунды, связанное с вращением Земли вокруг Солнца. Секунду стали определять как 1/31556925,9747 часть тропического 1900 г. Это позволило снизить погрешность воспроизведения секунды до Ю~10. Однако тропический год также не является стабильной величиной и уменьшается каждые 1000 лет на 5 секунд. Для решения ряда научных и технических задач такая погрешность оказалась недопустимой. Требуемую точность могли обеспечить только молекулярные и атомные эталоны времени. .444

Переход на естественную атомную единицу времени был узаконен в 1967 г. на XIII Генеральной международной конференции по мерам и весам. Единица времени — секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Стабильность частоты цезиевого эталона является следствием квантовых закономерностей, обусловливающих постоянство энергии перехода атомов с одного энергетического уровня на другой в отсутствие внешних магнитных полей. В государственном первичном эталоне времени и частоты СССР используется переход между двумя энергетическими уровнями атома водорода, при этом частота излучения возбужденных атомов в отсутствие внешних воздействий постоянна и равна 1420 405 751,8 Гц. В состав эталона входят: группа водородных генераторов, группа кварцевых генераторов, комплект делителей частоты, аппаратура для сличения частот и вспомогательные средства измерений. С. к. о. погрешности воспроизведения секунды Государственным эталоном меньше 1 • Ю - 1 3 с, при НСП меньше Ы О - 1 2 с. Государственный первичный эталон единицы силы электрического тока (ГОСТ 8.022—75). Постановлением IX Генеральной международной конференции по мерам и весам было принято следующее определение ампера: ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположеных в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной в 1 м силу взаимодействия, равную 2- Ю - 7 Н. Установка для воспроизведения ампера представляет собой точные равноплечие весы, к одному из коромыслов которых подвешен рабочий подвижной соленоид. Рабочий соленоид помещен внутри неподвижного соленоида и через оба пропущен один и тот же ток. Сила взаимодействия двух соленоидов пропорциональна квадрату тока и уравновешивается силой тяжести гирь на втором коромысле. Таким образом, ампер воспроизводится через основные единицы — метр, килограмм и секунду. Погрешность воспроизведения ампера составляет 4 - 1 0 - 6 А. Государственный первичный эталон единицы температуры. Единица термодинамической температуры — кельвин — была принята на XII Генеральной международной конференции по мерам и весам как 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды. Тройная точка воды — это состояние равновесия ее твердой, жидкой и газообразной фаз. Наряду с термодинамической температурой Кельвина применяется также и термодинамическая температура Цельсия, разность температур, единицей которой является градус Цельсия °С. Связь между температурой Кельвина и температурой Цельсия выражается соотношением Г С = Т/С —273,15 К, где t — температура Цельсия в международной практической температурной шкале 1968 г; Г - г температура Кельвина; 273,15 К — температура точки таяния льда по шкале Кельвина. .444

Международная практическая температурная шкала 1968 г. основана на значениях температур, присвоенных определенному числу воспроизводимых состояний равновесия (определяющих постоянных точек) и на интерполяционных приборах, специфицированных и аттестованных. Государственный первичный эталон единицы силы света (ГОСТ 8.023—74). Полный излучатель в эталоне канделы выполнен в виде трубки из окиси тория, погруженной в расплавленную платину. В эталоне кандела (кд) — сила света, испускаемого с поверхности площадью 1/60 000 м2 полного излучателя, в перпендикулярном направлении, при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины при давлении 101 325 Па. Сила света, излучаемого из полости излучателя, сравнивается с силой света вторичных эталонов в виде специальных ламп накаливания при помощи фотометра. С. к. о. погрешности воспроизведения канделы не превышает 1 • Ю - 3 кд при НСП 3-10~ 3 кд. Кандела (кд) согласно ГОСТ 8.417—81, введенного с 01.01.1982 г., равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540-10 1 2 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср [XVI ГКМВ (1979 г.) Резолюция 3]. Единица количества вещества. Понятием «количество вещества» пользовались в науке очень давно, однако, лишь с открытием Авогадро (1813 г.) закона равенства количества молекул в равных объемах различных газов оно получило реальное физическое содержание. Единица количества вещества — моль — до недавнего времени отождествлялась с массой и определялась весом вещества, выраженным в граммах, равным молекулярному весу. Современная трактовка моля основана на дискретности строения материи (на молекулярном, атомном и других уровнях) и в общем смысле означает определенное число элементарных образований, содержащихся в какой-либо системе, при условии, что эти образования тождественны между собой. В конкретных примерах моль может обозначать число молекул, атомов и т. д. Необходимость введения единицы количества вещества в практику измерений и расчетов была подчеркнута на XIV Генеральной международной конференции по мерам и весам (1971 г.), где в число основных единиц физических величин был введен моль. Согласно ГОСТ 8.417—81 моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. Точно воспроизвести единицу количества вещества можно различными способами, например, сжигая 0,012 кг12 С в чистом кислороде, получаем точно один моль молекул углекислого газа. Определение количества вещества путем прямых измерений можно осуществлять в ядерных реакциях и в реакциях с участием элементарных частиц. 10.4. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ ЭТАЛОНЫ ПРОИЗВОДНЫХ ЕДИНИЦ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

В современной информационно-измерительной технике наиболее широко распространено измерение электрических величин, которые преобладают среди выходных величин большинства измерительных .446

преобразователей, электродвижущей силы, электрического сопротивления, электрической емкости и индуктивности. Точность измерения электрических величин непрерывно повышается, так, например, за последние два десятилетия погрешность цифровых вольтметров снижена до Ю - 5 В и стала равна погрешности эталона э. д. е., основанного на нормальных элементах. В настоящее время в СССР и в ряде других стран введен в действие более точный эталон э. д. е., основанный на использовании эффекта Джозефсона. Профессором В. О. Арутюновым в 1971 году была предложена программа создания более совершенной системы взаимосвязанных эталонов электрических величин. Эта программа в настоящее время успешно завершается. Завершение программы создания более совершенных эталонов единиц электрических величин даст возможность воспроизводить единицы электрического напряжения (через частоту), емкости (через длину), сопротивления (через емкость и частоту), индуктивности (через емкость, сопротивление и частоту) и электрического тока (через э. д. е., сопротивление) с погрешностями (3—5) • Ю - 7 , (1—2) • Ю - 7 , (3—5) • Ю - 7 , (5—7) • 1(Г 7 и (5—8) • Ю - 7 (при условии совершенствования конструкции расчетного конденсатора). Новый государственный первичный эталон единицы э. д. с. и постоянного напряжения основан на применении эффекта Джозефсона и уточненных значений фундаментальных физических констант. Известно, что если переход Джозефсона, представляющий собой два сверхпроводника, разделенных тонким слоем диэлектрика, облучить электромагнитной энергией с частотой f , то при пропускании через переход постоянного тока на вольтамперной характеристике (ВАХ) появляются ступени напряжения, причем напряжение на переходе связано с частотой электромагнитного облучения зависимостью »

{10Л)

где п — номер ступени ВАХ-перехода; h — постоянная Планка; е — заряд электрона. Напряжение каждой ступени стабильно и не зависит от внешних влияний. Исследования показали целесообразность использования этого эффекта для повышения точности воспроизведения вольта, т. к. на его основе напряжение определяется через фундаментальные физические константы и наиболее точно измеряемую величину — частоту электромагнитного облучения перехода. В состав эталона, созданного НПО ВНИИМ им. Д . И. Менделеева, входят: мера напряжения, вопроизводящая вольт на основе указанного эффекта; группа термостатированных (до 0,001 °С) насыщенных нормальных элементов для хранения единицы; компаратор для сличения нормальных элементов с мерой на основе эффекта Джозефсона; компаратор (компенсатор постоянного тока) для взаимных сличений нормальных элементов и для передачи размера единицы вторичным эталонам. * .446

Мера напряжения содержит переходы Джозефсона, изготовленные по особой технологии напылением полосок свинца на подложки из стекла; полоски свинца разделены слоем окисла свинца. Переходы помещены в криостат с жидким гелием при температуре, близкой к абсолютному нулю (2...4) К. Переходы подвержены электромагнитному облучению от генератора СВЧ с автоматической стабилизацией частоты. Мера напряжения обеспечивает получение высокостабильного напряжения на уровне (4...5) мВ, которое передается группе насыщенных, термостатированных нормальных элементов с помощью точно калиброванного масштабного преобразователя (специально созданного резистивного делителя напряжения), погрешность коэффициента, преобразования которого не превышает 3 - Ю - 8 . Нормальные элементы хранят размер единицы в период между абсолютными измерениями среднего значения э. д. с. группы нормальных элементов по мере Джозефсона. Созданный эталон воспроизводит единицу (на уровне 1 В) с с. к. о. результата, не превышающем 5- Ю - 8 В, при НСП, зависящей от точности значения фундаментальных констант (пе), не превышающей 1 -10 6 В. Относительная нестабильность среднего значения э. д. с. группы эталонных НЭза год не превышает 3- Ю - 7 В. В качестве вторичных эталонов и образцовых мер напряжения в СССР используются нормальные элементы Львовского завода ЭИП. Минимальная годовая нестабильность этих эталонов после длительного хранения, наблюдения и отбора составляет 0,001% и менее. Государственный первичный эталон электрического сопротивления (ГОСТ 8.028—75) состоит из десяти манганиновых катушек электрического сопротивления с номинальным значением 1 Ом, помещенных в двойных герметических кожухах, заполненных сжатым воздухом. Среднее значение сопротивления группы катушек, определяющее размер единицы, равно 1,0000002 Ом, с. к. о. хранения М О - 7 , Передача единицы осуществляется на мостовой измерительной установке с с.к.о., не превышающей а = 1 • Ю - 7 . Эталон Ома служит для воспроизведения электрического сопротивления на постоянном токе. Рабочие меры сопротивления на постоянном токе выпускаются в диапазоне значений Ю -4 ...10® Ом с погрешностью 0,001 % [4]. В СССР достигнуты значительные успехи в области создания мер высокого сопротивления на микропроводе в диапазоне значений 10 е ...10 19 Ом с погрешностью 0,002 %. Меры сопротивления на переменном токе в СССР изготовляются в виде безреактивных катушек класса 0,02 с номинальными значениями 1...10 5 Ом с постоянной времени Ю - 8 . . . 2 5 - Ю - 6 с. Государственный первичный эталон единицы емкости (ГОСТ 8.371—80) представляет собой расчетный конденсатор, построенный по теории Томпсона — Лэмпарда. Конденсатор состоит из четырех стальных цилиндров диаметром 50 мм и длиной около 500 мм, оси которых параллельны и расположены в углах квадрата. Между ними расположен экранный стержень, ось которого находится в центре квадрата. Выходной емкостью эталона является изменение емкости А С перекрестно расположенных пар стержней, которое возникает при пере.448

мещении центрального экранирующего стержня. Доказано, что это изменение емкости зависит только от перемещения центрального экранирующего стержня: ДС--£-1п2Д/.

где р 0 — магнитная постоянная; С — скорость света. Перемещение А/ центрального экранирующего стержня измеряется с высокой точностью интерферометрическим методом. При Д/ = 100 мм, которое измеряется интерферометром с погрешностью 10—7, расчетное изменение емкости равно А С = 0,4002443 пФ. В государственном первичном эталоне емкости изменение емкости ДС воспроизводится со с. к. о. меньше 2- Ю - 7 при НСП, не превышающей 5- Ю - 7 . Передача размера единицы электрической емкости от первичного эталона вторичным производится с помощью емкостного трансформаторного моста при частоте 1 кГц. Образцовые меры емкости имеют диапазоны и по частоте (до сотен мегагерц), и по номинальным значениям ( Ю ^ - Ч О 8 пФ) значительно более широкие, чем у образцовых мер индуктивности, и поэтому применяются значительно чаще, чем меры индуктивности. Погрешность мер §щости зависит от их разряда и находится в пределах 0,003—1,5 %. Образцовые меры емкости до 4 - 1 (г пФ в основном имеют воздушный диэлектрик, 10 4 —10 6 пФ — слюдяной, а 10 6 —10 8 пФ — стирофлексный. Применять воздух в качестве диэлектрика для больших емкостей затруднительно из-за его низкой диэлектрической проницаемости. Так, например, конденсатор емкостью 105 пФ с воздушным диэлектриком имеет размеры 410 X 500 мм и массу 100 кг. Новый эталон единицы индуктивности (ГОСТ 8.029—80) состоит из комплекса, в который входят: группа из четырех тороидальных катушек индуктивности; эталонный индуктивно-емкостной мост. Номинальное значение индуктивности каждой из тороидальных катушек равно 1 0 - Ю - 3 Гн. Новый эталон индуктивности в отличие от прежнего не является расчетным. В нем единица индуктивности воспроизводится на основе государственных эталонов емкости и частоты. Благодаря этому, с. к. о. погрешности воспроизведения нового государственного эталона индуктивности снижено в 10 раз и не превышает Ы 0 - 6 при НСП, не превышающей 5 - Ю - 6 . Образцовые и рабочие меры индуктивности выпускаются для звукового диапазона частот с номинальными значениями в пределах 100 мкГн — 1 Гн, для частот до 1 МГц в пределах (0,5—100) мкГн.

.448

Список

литературы

1. Агалецкий П. Н. Вопросы измерения зависимостей между величинами.— Измерительная техника, 1968, № 6, с. 8—14. 2. Алиев Т. М. и др. Автокомпенсационные измерительные устройства переменного тока.— М.: Энергия, 1977. 3. Арутюнов В. О. Основы совершенствования системы эталонов единиц электрических величин.— Измерительная техника, 1974, № 10, с. 50—54. 4. Арутюнов В. О. Избранные труды.— М. : Изд-во стандартов, 1979.— 368 с. б. Беляев Ю. В. Метод определения динамических погрешностей.— Приборостроение, 1982, 25 № 1. 6. Бойцов В. В. Стандартизация и научно-технический прогресс.— Измерительная техника, 1975, № 12, с. 3—8. 7. Бородачев Н. А. Обоснование методики расчета допусков и ошибок размерных и кинематических цепей.— М. : Изд-во АН СССР, 1943.— 87 с. 8. Браславский Д. А., Петров В. В. Точность измерительных устройств.— М.: Машиностроение, 1976.— 312 с. 9. Бруевич Н. Г. Точность механизмов.— М. : Гостехтеориздат, 1946.— 332 с. 10. Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии.— М.: Изд-во стандратов, 1978.— 318 с. 11. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов.— М.: Сов. радио, 1979.— 271 с. 12. Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 2-е изд.— М. : Физматгиз, 1962,— 564 с. 13. Витер А. С., Дудикевич В. Б. Возможность применения делителей частоты с цифровой обратной связью в частотно-цифровой измерительной аппаратуре.— В кн.: Контрольно-измерительная техника. 1975, вып. 17 : Львов : Вища школа. Изд-во при Львов, ун-те, с. 8—11. 14. Волгин Л. И. Линейные электрические преобразователи информации для измерительных приборов.—М.: Сов. радио, 1971,— 332 с. 15. Волков И. И., Мотов В. В. Методы оперативной статистической обработки информации.— Куйбышев : изд-во Куйбышев, авиац. ин-та, 1977.— 77 с. 16. Вострокнутов Н. Г., Евтихеев Н. Н. Основы информационно-измерительной техники.— М . : Изд. Московского ин-та радиотехники, электроники и автоматики, 1972,— 333 с. 17. Вашны Э. Динамика измерительных цепей.— М. : Энергия, 1969.— 288 с. 18. Галамай Т. Г. Управляемый делитель частоты с цифровой обратной связью: Докл. ЛПИ; вып. 10: Львов : Вища школа. Изд-во при Львов, ун-те, 1978. 19. Гитис Э. И. Преобразователи информации для электронных, цифровых вычислительных устройств.— 3-е изд., испр. и доп.— М. : Энергия, 1975.— 448 с. 20. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: ч.2,— М. : Сов. радио, 1967,— 327 с. 21. Гриневич Ф. Б. Автоматические мосты переменного тока.— Новосибирск : СО Наука, 1964,— 216 с. 22- Губарь В. И. Минимизация динамических погрешностей средств измерения.— Киев : Знание, 1979,— 23 с. 23. Данчеев В. Н. Цифрочастотные вычислительные устройства.— М. : Энергия, 1976,—176 с. 24. Денбновецкий С. В., Семенов Г. Ф. Запоминающие трубки в устройствах обработки информации.— М. : Сов. радио, 1973.— 471 с. .449

25. Довбета Л. И. Оценивание погрешностей результатов прямых измерений с однократными наблюдениями: Тр. ин-та метрологии и стандартов СССР, 1979, вып. 242, с. 46—59. 26. Дружинин Г. В. Теория надежности радиоэлектронных систем в примерах и задачах.— М. : Энергия, 1976.— 448 с. 27. Долинский Е. Ф. Обработка результатов измерений.— 2-е изд., испр. и доп.— М. : Изд-во стандартов, 1973.— 191 с. 28. Дунаев Б. В. Аналитический метод решения задачи теории точности измерений при контроле качества продукции.—Измерительная техника, 1968, № 6, с. 5—8. 29. Жиляков Е. Г. Исследование методов цифровой обработки при передаче и приеме случайных сигналов : Автореф. дис. канд. техн. наук. — Харьков, 1980— 21 с. 30. Заварин А. Н. О суммировании погрешностей.— Измерительная техника, 1980, № 8, с. 14—17. 31. Земельман М. А. Автоматическая коррекция погрешностей измерительных устройств.— М. : Изд-во стандратов, 1972.— 199 с. 32. Земельман М. А., Кузнецов В. П., Солопченко Г. Н. Нормирование и определение метрологических характеристик средств измерений.— М. : Машиностроение, 1980.— 68 с. 33. Исаев JJ. К. и др. Метрологические аспекты испытаний и контроля.— Измерительная техника, 1981, № 3, с. 12—15. 34. Исмаилов Ш. Ю., Долидзе Р. В. Математическая статистика и обработка результатов измерений,— Л., Изд. ЛЭТИ, 1977.— 60 с. 35. Кавалеров Г. И., Мандельштам С. М. Введение в информационную теорию измерений.— М. '. Энергия, 1974.— 370 с. 36. Карандеев К- Б. Электрические методы автоматического контроля.— М. : Энергия, 1965.— 384 с. 37. Карпюк Б. В., Каэачев А. Г. Основы информационно-измерительной техники.— Новосибирск: изд. НЭТИ, 1975.— 159 с. 38. Кипаренко В. И. Основные задачи метрологии в одиннадцатой пятилетке.— Измерительная техника, 1981, № 2, с. 3—7. 39. Кнеллер В. Ю. Автоматическое измерение составляющих комплексного сопротивления.— М. : Энергия, 1967.— 367 с. 40. Корнейчук В. И. Запоминающие устройства ЦВМ.— Киев : Техшка, 1976.— 168 о. 41. Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи. Материалы радиосекции к I Всесоюзному съезду по реконструкции связи. Всесоюзный энергетический комитет.— М., 1933. 42. Кудряиюва Ж. Ф• и др. Методы обработки результатов наблюдений при измерениях: Тр. метрологических институтов СССР. Вып. 172.— Л. : Энергия, 1975. с. 3—72. 43. Кузьмин И. В. Оценка эффективности и оптимизация автоматических систем контроля и управления.— М. : Сов. радио, 1971.— 296 с. 44. Куликовский К• J1. и др. Тестовые методы повышения точности измерений.— М. t Энергия, 1978,— 280 с. 45. Куликовский К. Л., Купер В. Я• Организация и планирование эксперимента.— Куйбышев: Куйбышев, авиац. ин-та, 1977.— 54 с. — 46. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.— М. : Сов. радио, 1969.— 752 с. 47. Маликов М. Ф. Основы метрологии: ч. I — М. : Комерприбор, 1949.— 478 с. 48. Малиновский В. Н. Цифровые измерительные мосты.— М. : Энергия, 1976.— 193 с. 49. Мирский Г. Я- Аппаратурное определение характеристик случайных процессов.— 2-е изд. М. : Энергия, 1972.— 455 с. 50. Михайлов А. В. Эксплуатационные допуски и надежность в радиоэлектронной аппаратуре.— М. : Сов. радио, 1970. — 215 с. 51. Нестеренко А. Д. Основы расчета электроизмерительных схем уравновешиван и я — 2-е изд., испр. и доп.— Киев : Наукова думка, 1960.— 716 с. 52. Ниженский А. Д. Динамические погрешности самонастраивающихся преобразователей фаза — код сб. Электроника и моделирование. Киев : Наукова думка, 1974. с. 15—18. БЗ. Новицкий П. В. Электрические измерения неэлектрических величин — 5-е изд., перер. и доп.— М. : Энергия, 1975.— 576 с. .450

Б4. Новицкий П. В. Основы информационной теории измерительных устройств.— М. Энергия, 1968,— 248 с. 55. Новоселов О. Н., Фомин А. Ф. Основы теории и расчета, информационно-измерительных систем.— М. : Машиностроение, 1980.— 280 с. 56. Обозовский С. С. Суммирование составляющих погрешности, выраженной многочленной формулой.— Метрология, 1972, № 12, с. 26—31. 57. Орнатский П. П., Пономаренко М. Ф. Измерительный эксперимент, из. КПИ, 1979, с. 109. 58. Орнатский П. П. Автоматические измерения и приборы аналоговые и цифровые.— Киев : Вища школа, 1980.— 558 с. 59. Орнатский П. П. Синтез методов измерений. Метрология, 1975, №3, с. 3—14. 60. Орнатский П. П., Скрипник Ю. А., Туз Ю. М. Развитие структур измерительных устройств.— В сб. Информационно-измерительные системы. Киев: Вища школа, 1973. 61. Орнатский П. П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Киев : Вища школа, 1976. 62. Орнатский П. П., Скрипник Ю. А., Скрипник В. И. Измерительные приборы периодического сравнения.— М. : Энергия, 1975. 63 Пампуро В. И. Анализ радиоцепей и их схемной надежности. Киев : Техшка, 1967,— 324 с. 64. Петров Б. Н. и др. Принцип инвариантности в измерительной технике.— М. : Наука, 1976,— 243 с. 65. Петров В. В. Об одном подходе к задаче косвенных измерений.— Измерительная техника, 1980, № 10, с. 22—23. 66. Пупков В. В., Копалин В. Н., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем.— М. : Наука, 1976.— 279 с. 67. Пономаренко М. Ф- Об одной методике исследования семантических свойств результатов измерений, выполняемых прямой оценкой.— Вестник КПИ. Серия Автоматика и электроприборостроение, 1973, вып. 10. 68. Преснухин Л. Н. Фотоэлектрические преобразователи информации.— М. : Машиностроение, 1974.— 375 с. 69. Проненко В. И., Якирин Р. В. Метрология в промышленности.— Киев : Техшка, 1979,— 311 с. -70. Пфанцагль И. Теория измерений.— М. : Мир, 1976.— 245 с. 71. Рождественская Т. Б. Электрические компараторы для точных измерений тока, напряжения, мощности.— М. : Изд-во стандартов, 1964.— 187 с. 72. Розенберг В. Я• Введение в теорию точности измерительных систем.— М. : Сов. радио, 1975.— 302 с. 73. Рьжевский А. Г., Шляндин В. М. Об общности методов аналого-цифрового преобразования.— В кн.: Проблемы создания преобразователей информации.—Киев : Знание, 1970, 176 с. 74. Садовский Г. А. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Задачи|[и упражнения.— Рязань : изд. Рязан. радиотехн. ин-та, 1979.— 48 с. 75. Скрипник Ю. Л. Модуляционные измерения параметров, сигналов и цепей.— М.: Сов. радио, 1975.— 319 с. 76. Сейдж Е., Меле Д. Теория оценивания и ее применения в связи и управлении.— М. : Связь, 1976, 351 с. 77. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский Н. В. Курс теории вероятностей и математической статистики.— 2-е изд., перераб., и доп.— М. : Наука, 1965.— 511 с. 78. Смолов В. Б. Микроэлектронные цифро-аналоговые и аналоговые преобразователи информации.— Л. : Энергия, 1976.— 336 с. 79. Соболев В. И. Основы измерений в многомерных системах.— М. : Энергия, 1975.— 128 с. 80. Солодов А. В. Теория информации и ее применение к задачам автоматического управления и контроля.— М. : Наука, 1967.— 432 с. 81. Стахов А. П. Алгоритмическая теория измерений.— М. : Знание, 1979.— 64 с. 82. СуппесП., 3инее Д. Психологические измерения.— М. : Мир, 1967. 83. Темников Ф. Е., Афонин В. А., Дмитриев В. И. Теоретические основы информационной техники.— 2-е изд., доп. и испр. М. : Энергия, 1979.— 512 с. 84. Терентьев С. Н. Основы общей теории связи.— Харьков : изд. ХВАИУ, 1968.— 259 с. .451

~~ 85. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.— М. :Сов. радио, 1966.— 678 с. 86. Туз Ю. М. Структурные методы повышения точности измерительных приборов.— Киев : Вища школа, 1976.— 255 с. 87. Фремке А. В. Электрические измерения— М. : Энергия, 1980.— 392 с. 88. Харкевич А. А. О ценности информации. Избранные труды : Т. 3. Теория информации. Опознавание объектов.— М. : Наука, 1973.— 566 с. 89. Харченко Р. Р. Электрические измерительные преобразователи.— М. : Л. Э н е р гия, 1967.— 408 с. 90. Циделко В. Д. Исследование и разработка новых методов и принципов построения измерительных функциональных преобразователей электрических величин. Автореф. дис. д-ра техн. наук.— К., 1977.— 32 с. 91. Хуснатдинов Г. Н. Оценка среднего во времени значения функции случайного процесса. Труды ВНИИЭП, 1969, вып. 6. 92. Цапенко М. IJ. Измерительные информационные системы— М. : Энергия, 1974.— 320 с. 93. Цветков Э. И. Основы теории статистических измерений.— М . : Энергия, 1979.— 286 с. 94. Широков К- П. Об основных понятиях метрологии. Общие вопросы метрологии.— М. : Изд-во стандартов, вып. 30, 1972. 95. Шахов Э. К- Анализ ряда Котельникова для интегрального представления информации.— Автоматика и телемеханика, 1979, № 7. 96. Шляндин В. М. Цифровые измерительные приборы и преобразователи.— М . : Высшая школа, 1973.— 280 с. 97. Шрамков Е. Г. Электрические измерения.— М. : Высшая школа, 1973.— 520 с. 98. Яремчук Н. А., Орнатский П. П. Суммирование погрешностей измерительных устройств.— Киев : Знание, 1973.— 22 с. 99. Якушенко Е. А., Лысое В. Б. Метрологическое обеспечение испытаний изделий электронной техники на механическое и климатическое воздействие.— Измерительная техника, 1980, № 1.— с. 63—65. 100. Gardenhiz L. W. Selecting Sample Rates.— ISA, 1964, N 4. 101. Davenport W. B. Janson R. A. Middleton D. Statistical Errors in Measurements on Randam Time Functions Journal of Aplied Physics, 23, 1952, N 4. —

Оглавление

Предисловие Основные условные обозначения Введение

Г л а в а 1. Основные понятия информационно-измерительной техники

3 4 6

1.1. Общенаучные методы познания а место измерений среди них . . . 1.2. Метрология и ее место среда других наук 1.3. Понятие о величине, счете, контролеТи измерении . . . . . . . Свойства, удовлетворяющие отношению эквивалентности Понятие счета Интенсивные величины! удовлетворяющие отношениям эквивалент•фств и порядка. Понятия величины и контроля Экстенсивные величины, удовлетворяющие отношениям эквивалентности, порядка и аддитивности. Понятия об единице величины и измерении Понятие о шкалах измерений . . 1.4. Размерности и единицы физических величин Размерности величин Вдвницы величин Систематизация физических величин 1.5. Определение зависимостей. Основные понятия

Г л а в а 2. Операции и методы измерений н контроля . . .

1.1. Основные операции измерений U Средства их реализации . . . . Воспроизведение величины заданного размера и мера Сравнение величин в устройство сравнения Измерительное преобразование и измерительный преобразователь . Масштабирование величины в масштабный преобразователь . . . . 1.2. Понятие о результате и погрешности измерения, уравнение измерений t.3. Классификация измерений, классификация методов прямых измерений 7-4. Классификация, методы а аляритмы измерений 1лнтез методов и алгоритмов пряных абсолютных измерений набора. •и элементарных средств без пред«

9 13 15 18

верительных преобразований рода величины Комбинированные методы прямых измерений без предварительных преобразований Методы прямых измерений наборами элементарных средств при наличии предварительных преобразований Методы измерения мгновенных значений случайной величины при известном распределении . . . . . V 2.5. Операции, методы и алгоритмы контроля I/2.6. Понятие о комплексном объекте и методах определения параметров зависимости между физическими величинами

Г л а в а 3. Основные понятия информационной теории измерений

46 59

60 65 67

20 23 24 25 25 27

31 32 34 36 |38 39 42 45

3.1. Математические меры информации '3.2. Исходная энтропия значений непрерывной величины до измерения '3.3. Остаточная энтропия значений величины после измерения и ожидаемая измерительная информация 3.4. Производительность и избыточность источника измерительной информации 3.5. Эквивалентное число различаемых значений величины v з.б. Энтропийное значение погрешности измерения 3.7. Связь измерительной информации с энергией измеряемого сигнала

Г л а в а 4. Точность и погрешности измерений, достоверность и ошибки контроля j 4.1. Погрешности измерений . . . Систематизация погрешностей измерений ^Основные особенности погрешностей измерений Распределения случайных погрешностей 4.2. Основы вероятностного подхода к анализу погрешностей измерения Понятие о погрешности измерительного прибора и погрешности измерения случайной величины . . . . Критерии оценки точности результата измерения случайной величины Оценка результата измерения случайной величины

76 78 80 84 86 87 90

93 94 94 97 99 103 105 106 107 .453

4.3. Способы обнаружения в ушнъ* шения систематической составляющей погрешности измерений . . . Способы о б н а р у ж е н и я систематической погрешности Способы у м е н ь ш е н и я систематических погрешностей 4.4. Результат измерения . . . О к р у г л е н и е числового з н а ч е н и я из« меряемой величины К р и т е р и й ничтожной п о г р е ш н о с т я Формы п р е д с т а в л е н и я р е з у л ь т а т о в измерений 4.5. Погрешности измерения средней интенсивности дискретной по• следовательности импульсов или потока частиц С л у ч а й н а я погрешность измерения среднего з н а ч е н и я потока частиц изза его неравномерности П о г р е ш н о с т ь измерения среднего з н а ч е н и я потока частиц от просчета импульсов 4.6. Основы анализа достоверности контроля Анализ достоверности однопараметрового контроля . . . •

Г л а в а 5. Средства ционно-измерительной

информатехники

6.1. Классификация средств измерений К л а с с и ф и к а ц и я измерительных приборов 6.2. Общие структурные элементы и основные параметры средств измерений Способы р а с ш и р е н и я д и а п а з о н а измерений измерительных приборов 5.3. Основные особенности аналоговых и цифровых измерительных приборов, эталонов и мер 6.4. Основные особенности и классификация средств автоматического контроля 5.5. Системные средства информационно-измерительной техники 5.6. Государственная система приборов 5.7. Основные принципы создания средств измерения 5.8. Оптозлектрические принципы прямого преобразования некоторых неэлектрических величин в код . . 5.9. Надежность измерительных устройств Х а р а к т е р и с т и к и надежности по внезапным о т к а з а м Резервирование Расчет надежности приборов . . .

Г л а в а в. Измерительные сигналы и их преобразование . , • 6.1. Понятие о сигналах, используемых в информационно-измерительной технике Ч е т ы р е формы сигнала и их метрол о г и ч е с к и е особенности О с н о в н ы е виды моделей с и г н а л о в 4.2. Квазидетерминированные сигналы, их параметры и характеристики Р а з л о ж е н и е сложных с и г н а л о в иа элементарные. Обобщенный ряд Фурье «Быстрое» преобразование Фурье 6 3. Случайные сигналы и их характеристики . . .

•У

454

111 112

113 119

120 121 122

125 125 126

129 129

136 136

137 139 142 143 149 150 153 155 157 164 165 171 172

178 178 178 180

181 190 194 197

В и д а случайных сигналов . . . . Основные статистические параметры и х а р а к т е р и с т и к и случайных сигналов Совместные и у с л о в н ы е х а р а к т е р и с тики случайных сигналов . . . . 6.4. Сигналы с помехами 6.6. Общие вопросы преобразования измерительных сигналов П р е о б р а з о в а н и е сигнала в инерционных з в е н ь я х Ч а с т о т н ы е х а р а к т е р и с т и к и линейн ы х динамических звеньев . . . С и г н а л ь н ы е графы основных измерительных цепей 6.6. Модуляция и детектирование сигналов Гармонические модулированные сигн а л ы н их особенности И м п у л ь с н ы е модулированные сигнал ы и их особенности 6.7. Масштабное линейное преобразование аналоговых сигналов . . 6.8. Нелинейное преобразование аналоговых измерительных сигналов 6.9. Преобразование кодовых измерительных сигналов 6.10. Вычитание сигналов . . . . 6.11. Воспроизведение образцовых сигналов 6.12. Масштабно-временное преобразование сигналов 6.13. Фильтрация сигналов . . . . П о н я т и е о цифровой ф и л ь т р а ц и и сигналов 6.14. Запоминание и регистрация сигналов

Г л а в а 7. Квантование, скретизация н кодирование налов " ; . . . » ,

197 200 208

211 214 216 219 222

224 226 231 233 235 242 246 254 257 261 263 264

дисиг-

7.1. Квантование Аналитическое представление квантованного с и г н а л а . Равномерное и неравномерное квантование . . . Понятие о погрешности к в а н т о в а н и я Статистические х а р а к т е р и с т и к и погрешности к в а н т о в а н и я случайной величины Оптимальное квантование . . . . Анализ погрешностей к в а н т о в а н и я Погрешность к в а н т о в а н и я временного интервала Т или отрезка длины L % Определение систематической погрешности к в а н т о в а н и я при измерении постоянной величины . . . П о г р е ш н о с т ь к в а н т о в а н и я при измерении статистических характерист и к с л у ч а й н о г о сигнала 7.2. Дискретизация сигналов . Аналитическое представление диск р е т и з и р о в а н н о г о сигнала, равном е р н а я ^ неравномерная дискретизац и я сигнала Восстановление непрерывного сигнал а из д и с к р е т и з и р о в а н н о г о . . . . Теорема К о т е л ь н и к о в а Восстановление сигнала степенными полиномами, погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации Определение суммарной погрешности к в а н т о в а н и я и аппроксимации при восстановлении случайных сигналов Понятие об адаптивной дискретизации и сравнение р а з л и ч н ы х видов аппроксимации

271 271 271 273 274 275 278 280 282 284 286

287 290 292

298

304 305

7.3. Кодирование, системы счисления и цифровые коды Системы счисления, используемые в измерительной технике . . . . Коды, используемые в измерительной технике Анализ погрешности передачи числовых кодовых сигналов . . . . Коды и кодирование в каналах связи Оптимальные« или эффективные, коды Корректирующие коды

Глава 8. средств измерений

307 308 309 313 315 315 318

Погрешности

8.1. Классификация погрешностей средств измерений 8.2. Классы точности средств измерений О с н ^ ш ы е способы установления пределов, допускаемых погрешностей СИ и обозначения классов точности 8.3. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений Основные нормируемые метрологические характеристики средств измерений, способы нормирования и формы их выражения Способы экспериментального определения оценок характеристик погрешности средства измерения . . 8.4. Изменение относительной поерешности прибора в диапазоне измерений 8.5. Анализ статических погрешностей измерительных преобразователей Анализ статических погрешностей однозвенных И П Анализ статических погрешностей измерительных цепей или многозвенных ИП . . . ; 8.6. Общие вопросы суммирования погрешностей 8.7. Анализ динамических погрешностей измерительных преобразователей Динамические погрешности измерительных преобразователей при монотонно изменяющемся входном сиг-

вале

Частотные погрешности измерительных, преобразователей Динамические погрешности при измерении параметров случайных сигналов 8.8. Методы повышения точности шмерительных приборов и преобразователей Методы коррекции погрешностей измерительных приборов оператором Структурные методы автоматиче-

320 320 323

324 326

327 328 330 333 333 336 345 354

357 359 360 365 368

ской коррекции

372

Г л а в а 9. Обработка результатов прямых, косвенных и совместных измерений

388

9.1. Методы обработки результата» прямых измерений с однократными наблюдениями 9.3. Методы обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями Результат измерения о многократными наблюдениями

389 391 391

Среднее квадратическое отклонение результата измерения (среднего арифметического) . . . . . . . Оценка среднего квадратического отклонения результата наблюдения и результата измерений Методика обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями Оценка анормальности результатов наблюдений Проверка согласия экспериментального распределения с теоретическим (проверка гипотезы о законе распределения) Вычисление доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения . . Вычисление доверительных границ неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерения Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения 9.3. Методы обработки результатов косвенных измерений . . . . Проверка отсутствия корреляции между результатами наблюдений каждой пары аргументов . . . . Определение результата косвенных измерений Определение оценки случайной погрешности результата косвенного измерения Определение оценки неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения . . Определение доверительных границ общей погрешности результата косвенного измерения 9.4. Методы обработки результатов совместных измерений. Метод наименьших квадратов 9.5. Основные особенности динамических измерений 9.6. Определение параметров передаточной функции и способы оценивания точности результата измерения зависимости между входом и выходом объекта 9.7. Определение параметров распределения случайной величины . .

Г л а в а 10. Основы логического обеспечения

метро. . . .

392 394 39Ö 397

399 401

401 402 404 405 406 407 408 408 410 414

419 422

431

10.1. Метрологическое обеспечение, основные понятия 431 10.2. Государственная система обеспечения единства измерений . . . 433 Стандартизация и аттестация методик выполнения измерений . . . 434 Передача размеров единиц величин от эталонов к образцовым и рабочим средствам измерений. Поверочные ,' схемы. Методы поверки средств измерений 435 Государственные испытания новых средств измерений 437 Государственная поверка, ревизия и экспертиза средств измерений . . 440 10.3. Государственные первичные эталоны основных единиц физических величин 441 10.4. Государственные первичные 9талоны производных единиц некоторых электрических величин . . . 445 Список л и т е р а т у р ы . 449

Петр Павлович Орнатский ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ

ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ Издание второе, переработанное и дополненное

Редактор JI. Н. Чмиль Переплет художника Г. М. Балюна Художественный редактор С. П.

Духленко

Технический редактор Т. И. Трофимова Корректор Н. В. Волкова

Информ. бланк № 7539 , Сдано в набор 11.05.82. Подп. в печать 29.06.83. БФ 02639. Формат 60X90'/i6- Бумага кн.-журнальная. Лит. гарн. Выс. печать. 28,5 печ. л. 28,5 кр.отт. 30,64 уч.-изд. л. Тираж 5000 экз. Изд. № 5597. За1с. № 818. Цена 1 р. 30 к. Головное издательство издательского объединения «Вища школа», 252054, Киев-54, ул. Гоголевская. 7 Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского производственного объединения «Полиграфкнига», 252057, Киев-57, ул. Довженко, 3 до Белоцсрковской книжной фабрике, 256400, г. Белая Церковь, ул. К- Маркса, 4.