20170221半世紀的高中數學課程回顧(科學史沙龍) by huang

半世紀的高中數學課程回顧單維彰民國 106 年 2 月 20 日初稿民國 51 年作為起點李建興教授在《台灣教育發展史》裡 (第 8, 9, 10 章) 透露一個訊息，即國民政府大約從民國 51 年起，才認分地留在台灣而開始了政治和軍事以外的治理。可以說，台灣的大環境，大約從民國 45 年才開始逐漸塵埃落定，而國民政府從汲取台灣的資源而籌備反攻，到認真看待台灣的內政（包括教育）的分水嶺，是民國 51 年。李教授在 p.152 寫道自民國五十一年起，積極從事內政改革，稱為「寧靜革命」。有兩個事證可以支持李教授的分歧點：其一，國家教育研究院教科書圖書館裡的高中教科書收藏，就是從民國 51 年開始的。其二，中華民國體制裡，本來就有所謂的「全國教育會議」，只是沒有規劃固定的開會頻率。前三次會議，依序發生在民國 17 年、19 年和 28 年，但是第四次，就延到了民國 51 年。從日本投降到民國 45 年，是臺灣受到國民政府統治的第一個十年，那十年的歷史巨像就是 228 事件。我們可以想像，當時的學校教育就和社會一樣的混亂，原籍臺灣的人士可能剛開始學習一種新的語言，而學校裡用於溝通的一致性語言和文字都還需要建立。即便如此，向來重視「考試」的我國（張鎮華教授說我們「以考試立國」），早在民國 43 年，即由台大、師大、中興、成大自發性地開始舉辦大學聯考，其後陸續加入新成立的公私立大學，直到民國 65 年教育部成立「大學入學考試委員會」才使得大學聯考正式成為行政部門的公務。民國 51 年之前那 17 年的臺灣中學教育，可以從日治時代傳統名校的校史資料管窺片段，或者只能留待將來以訪問耆老的方式來研究了；而且還得趕快做。民國 51 年剪影：單科成冊，無綱多本民國 51 年 7 月，教育部發佈了一份〈修正公布中學課程標準〉文件，該「標準」相對於今天的「綱要」是寬鬆的，市場上的版本還頗熱鬧的，有開明、復興、正中這些書局出版不一而足的高中數學教科書。檢視它們的目錄，差異看來比今天看到的各版本更大。那時期的數學教科書並不按照學期分冊，而是按照課題寫的。例如《平面三角學》、《高中代數》、《立體幾何》、《解析幾何》等等。據王九逵教授告知，在那以前的數學

課本都是像這樣單科成冊的。依據民國 51 年的標準，《平面三角學》是高一的教材，復興書局的《解析幾何》是自然組高三的教材，開明書局的《高中代數》是社會組的教材；可見那時候已經區分自然組和社會組了，從高二開始分組。王九逵教授是第一位從台灣留學美國的數學博士，民國 49 年學成歸國時只有 25 歲。因為日治時代的中學教育以日語進行，而且數理方面的教師，可謂全是日本人，所以在第一個十年之間，中文的教材都是由早期從大陸來台的先生們自編的。合理地猜想，他們編寫教材的依據，基本上是來台之前在大陸各省學習或任教時所用的教材，再參考日本人留下的教材，以及當時想必已經開始影響我國的美國教材，綜合中譯發展而成。例如《平面三角學》（無書局資料）的作者彭商育老師，是辛志平校長從湖南省請到新竹中學的數學老師，於民國 35 年晚秋抵達新竹。復興書局《解析幾何》的作者霍樹枏老師是山東人，北京師範大學數學系畢業，曾任山東昌樂中學校長，民國 38 年帶著學生一起撤到臺灣避難。單科成冊的習慣，顯然影響後來的課本編輯，造成「凝為塊狀」的主題式結構。與其以「塊狀課程」vs 「螺旋課程」來對比兩種結構，不如以「課」Lessons vs 「章」Chapters 的教材結構來看待。小學教材基本上是 Lessons 結構，大學教材基本上是 Chapters，何以致此？應該是基礎知識的完備與否造成的影響。在民國 51 年版的課程時期，機率還沒有進來，所有關於矩陣和行列式的主題都是純代數口味的，所以當然沒有轉移矩陣。直線都放在解析幾何課本裡，各家版本都有「直線系」單元，這部分的書寫不像代數基本定理那麼「一致」，稍有個別的特色，但是都至少包括平行直線系，過一點的直線族，和圓的切線族。沒有線性聯立不等式，也就沒有線性規劃（包括習題和「雜例」都沒有）。代數基本定理民國 51 年時期的代數主題課本（自然、社會組皆然）都有一章「方程式論」，而那一章裡又都有「代數基本定理」。至於這個定理的說明，則都會提到高斯證明了它，但是「因為超出本書範圍而從略」。各家版本在此定理的敘述和說明上，用字遣詞極為類似，都是先敘述必存在一（複數）根的版本，然後用它「正經八百」地證明 n 次方程式恰有 n 個根。所以，我猜「代數基本定理」想必是個源遠流長的課題，早就被列在我國的中學數學教材之內，其來源就暫時不考了。「代數基本定理」這個「超出本書範圍」的內容，就這樣一直流傳至今。直到 99 年版的高中課本（第一冊），也都行禮如儀地敘述這個定理，然後說它的證明超出本書或本課程的範圍。在高中數學領域裡，並沒有非它不可的後續課題。大多數自然組學生將來在理工類的學系裡，可能遇上這個定理的地方，是「方陣 2

的特徵值」；就這個目的來看，讓每位自然組的學生「知道」這個事實，也是有道理的，但是它長期屬於共同必修的課程。再者，學習了複數的極式之後，這個定理的證明未必是高中生不可能理解的，可以讓部分學生試試看，其證明可以展現複數的深刻意涵。民國 53 年：學期分冊之始民國 53 年 3 月 29 日，教育部特別針對數理科目頒佈了〈高級中學數學教材大綱〉和〈高級中學生物化學物理教材編輯大綱〉；就實際出版的教科書來看，依據這份大綱而作的教材，大約在民國 55 年開始進入校園。 53 年版的數學教材，改為配合學生年級的編輯方式，基本上每學期一冊，第一、第二冊不分流，最早從第三冊起分為社會組和自然組。但是積習當然難改，即使按年級分冊，內容卻還是相當地「塊狀」，教材結構仍是「章」導向而非「課」導向，例如復興版第一冊的封面上標示著「幾何學」，留存著「單科成冊」的傳統。 53 年版的教科書出版商，大致與之前的情況相同，我們看到大中、正大、正中和復興這些版本（這些書局的名字都很有時代意義啊）。因為有了一份部頒的大綱，各家書局的章節目錄大致相同。而因為大綱所列的內容異於往常，教科書須要相當程度的重寫。但是，只要遇上以前就有的內容，例如直線，就會發現舊教材整個兒地被複製過來。這個情況，倒跟現在 99 課綱教科書的狀況頗為類似：由舊教材複製而來的教科書，當然不能實踐課程變革所揭蠹的新理念。這個時期的臺灣數學教材，開始受到美國「新數學」運動的影響，也就是所謂 SMSG (School Math Study Group) 研究群提出的數學課程方案。SMSG 是美國在西元 1958 年，受到蘇聯成功地將一枚人造衛星（Sputnik）送上太空軌道的刺激後，迅速全國動員而設計的的數學教材。在 SMSG 計畫於西元 1977 年正式終止之前，它的名譽就不算好。最常聽說的比喻就是，SMSG 的小學課本這麼寫著：「妳要加的不是兩根手指頭和三根手指頭，而是 2 和 3 這兩個概念。」而 SMSG 對數學教育的影響，可以用數學史大師 Morris Kline 在 1974 年出版的一冊小書《為什麼小強不會加？》做為結論（Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math）。事後顯示，這套注重數學內部邏輯的課程方案是失敗的。這段年間的數學教科書多數在封面或序言上，聲明其參考或依循了 SMSG 教材。但是台、美的教育環境非常不同，而以當時的資訊流通速度之慢，我國究竟受 SMSG 多少實質的影響？個人認為還是個可以研究的課題（但是它或許並不急著被研究）。以（建中）王文思老師的第一冊（大中書局）為例，此書在民國 57 年審查通過，民國 60 年第四版的內容目錄如下： 1. 集合 2. 數系大意 3

3. 直線、凸集合、角 4. 全等三角形 5. 幾何不等量 6. 空間、直線與平面之關係位置 7. 同平面內的平行線 8. 直線、平面之平行關係 9. 面積 10. 比例、相似形 11. 圓與球，角柱，角錐，圓柱，圓錐可見第一冊仍然延續 51 年的習慣，以幾何為主題，但是先講了集合（或許這就是 SMSG 了）。顯示課本不再以單科設計，而認為「數學是一個整體」，但是也反應出對於邏輯嚴謹性的偏愛。值得注意的是，從 51 年以來，幾何內容都混著平面與空間，而且都放在高一。雖然從第三冊起區分了社會組與自然組的課本，但是差異不大。以正中書局於民國 56 年審定出版的第四冊為例，兩組的目錄分別如下： 1. 二元二次聯立方程式 2. 圓方程式 3. 二次曲線 4. 坐標軸之變換 5. 不等式（5-6, 5-7 聯立不等式未強調直線之聯立，而是直線、圓、二次曲線的聯立不等式） 6. 數列與級數 7. 指數函數（有 e x ） 8. 對數函數（有 ln x ）（以上皆與「社會組」同） 9. 排列組合與二項式定理（「社會組」無） 10. 機率（「社會組」無）重要的事件是，從民國 53 年起，機率（也常稱為「概率」）進入了高中課程。自然組放在第四冊，社會組放在第五冊。直到此時，統計尚未進入高中課程，也不在國中課程裡。機率就算機率分屬自然組和社會組的第四、第五冊，其實質內容可能是完全相同的。舉例而言，我對照了東華書局的兩個版本，發現僅有一題習題的「擲杯」插圖有異，其他內容完全相同，如下圖（社會組在左，自然組在右）。

儘管這是我國學生首次學習機率，但在很短的篇幅裡（15 頁左右），要從古典機率的定義開始，學到獨立事件、重複試驗和期望值。而且，這套課程的結構一直持續至今，其特色為 1. 以嚴謹的「集合」形式來處理樣本空間與事件 2. 機率作為排列組合的延續課題不知道以上特色是否受到 SMSG 的影響？關於機率（不確定性）的心理學基礎與數學教育研究，在 1970 年代之後有了長足的發展，如今歐美的機率已經不再這樣教了，可是上述兩大原則，在我國的課程中持續至今。既然按年級分冊，其目的很明顯是要配合學生的認知能力發展而設計教材，在內容上著重教學的邏輯而非數學主題的邏輯。但是，如前所述，主題式塊狀設計的課程有著長遠的歷史，直到民國 99 年版的課程綱要，才算是真正初步地拆開了數學主題，分散到不同的年級去。我強調「初步地」是因為，與美國、英國、新加坡的教材相比，我們對主題的拆解實在還是粗略的。然而，即使是在民國 100 年的今天，還是有些高中老師反對課程對於主題的拆解。一個觀念的改變與實踐，歷經半個世紀而不逮，或許是因為長期疏於溝通吧？ 53 年版的教科書市場還有一個新的變化，就是作者群在早期來台任教於中學數學教師以外，出現了大學內的教授級作者；例如師大的范傳坡教授，以及在民國 57 年加入市場的東華版教科書，由清大李新民教授領銜，羅芳樺、徐道寧、康洪元列名編著。東華版的第一冊，除了嚴謹的集合以外，還講了公設與無定義名詞，應該也是 SMSG 的痕跡。到了第六冊，甚至有一章代數結構，社會組只

學到群和體，自然組還多了環和「理想」。李新民教授是中央大學在臺灣復校後的首任校長，他屬於因為戰亂而中斷學習的那一代，在民國 50 年獲得美國康乃爾大學的數學博士學位，返國時 46 歲。因為出國留學前就在教育界有相當豐富的服務成就，一回來就是清大和師大的合聘教授，並且始創了清華大學的數學研究所和大學部。李新民校長依據 53 年〈大綱〉所做的東華版教科書，首度出現了線性規劃。線性規劃李新民校長在美留學期間，適逢線性規劃在圈內蓬勃發展的那十年，雖然不是他的研究主題，但是留心教育並且常懷著經世濟民之理想的李新民教授，想必留意了這支應用數學的發展，並且明白它的基礎原理。我們不難理解，當他編輯全新的高中數學課本時，想要將這門最新的應用數學介紹給學生。而在 1968 年就能將線性規劃編入中學教材，可能在國際間的確是個了不起的創舉。歷經第一手資料的李教授，當然知道線性規劃的問題動輒十個變數以上，必須在抽象空間內處理。他很具有原創力地設計一個只有兩個變數的典型問題，將它設置在第四冊第五章「不等式」的 5-4 節。這一節以一個實例說明線性規劃的模型和解法，共佈滿兩頁。有可行解區域圖形（五邊形之內部），但沒有此名詞，他是說『符合問題之解答，則為此區域中坐標為整數之有序數對』。也沒有目標函數之名詞，而是說『故求解之問題變為求 x, y 之正整數或 0 之值以使 960  2x  y 為最小』。而且，並未說明求解的方法及理由，只是說『（解法）一般將至為繁複，但由線性規劃之理論，960  2x  y 之極大或極小值，將在五邊形之頂點出現』。然後就是頂點列表法。習題之中，六題是解兩條二元一次聯立不等式的操作練習，兩題練習畫解區域，一題練習由解區域找不等式，只有一個文字應用題，而此題是沒有唯一解的狀況。李新民教授的東華版教科書，是 53 年版教科書之中唯一包含線性規劃的；其他版本的作者，可能還沒聽說這個課題。他的兩頁課文，是我國首度在高中課程中引進這個主題，在世界上可能也屬於最早的一批。事實上，在民國 60 年發佈新的〈課程標準〉之後，東華版還是唯一包含線性規劃的教科書。民國 60 年：綜合數學相對於 53—60 之間稱為「形式數學」期，民國 60 年 2 月頒佈、61 學年開始實施的〈高中數學課程標準〉，也被稱為「綜合數學」時期（此說法也許出自黃武雄教授）。此時的教科書還是一綱多本，共有三間出版社的四個版本。其中數理出版公司整併了過去的大中書局，正中書局，正大書局，世界書局，華興書局，復興書局，台灣開明書店等出版商，他們似乎從一開始就提供兩個版本：師大的范傳坡教授版（以第一冊為例，62 年 8 月修訂，63 年 8 月再版，68 年 6 月修訂，70 年 7 月三版）和台大的黃敏晃教授版（以第一冊為例，61 年 8 月初版，62 年 8 月修訂，65 年 8 月四版）。此外，李新民校長的東華版持續改版

而留在市場裡，堪稱清大版本。在兩大出版社以外，另外新添了一個特殊的「實驗本」，它的作者都埋名在「高中數學實驗教材編輯小組」裡面，由「國立編譯館」出版，堪稱「部編版」的鼻祖；據說前兩冊由項武義教授執筆，後面由黃武雄教授接手（他們當時都在台大）；而黃教授自民國 62 年起，親自到「省立彰化高中」實驗講授這套教材。 61 年 8 月初版的實驗本，有當時的教育部長蔣彥士寫序嘉勉。舉各版第一冊第一章的標題為例，可以看出來這段時期的教科書朝著新數學的抽象形式反向發展，具有看來和藹可親的章節標題（這段時期的大學聯考試題，可都是另外一回事）：數理范版：第一章怎樣學習數學（高中數學的研討對象、教育目的）數理黃版：第一章什麼是數學（是一種語言）東華版：第 0 章告讀者（數學教育的目的）實驗版：第 1 章引言（數學教育的目的）既然 60 年版的〈標準〉興起了一種新的意識，三年（六冊）的數學課程結構也就跟著改弦更張了。以前的起手式：幾何與三角被徹換，改由數與式擔任領頭羊。儘管這時期的課本都不再提 SMSG，可是我認為 SMSG 在這個時期才真正發揮了影響力，不僅前期引進的數學基礎：集合與邏輯被保留了下來，實數的完備性與極限也都放在高一了。從以下四版本的高一教材看來，版本的差異相當大，各版本作者的風格和企圖心都昭然若揭。如今看來，那是一個欣欣向榮的氣象，比現在的景象更讓人感到朝氣與希望。數理范版

數理黃版

東華版

實驗本

1. 怎樣學習數學（高中數學的研討對象、教育目的、討論方法、學習態度、注意事項） 2. 集合與簡易邏第輯一 3. 數及其性質冊（70 年坐標系之前增加一節實數

0. 什麼是數學（數學是一種語言，抽象的思考方法，數學有何用？數學的文字符號） 1. 數學的度量工具—數 2. 函數 3. 一次方程組 4. 一元二次方程

0. 告讀者（數學教育的目的，怎樣學數學） 1. 緒論（語言、文字、代號，數學方法） 2. 有關數學的一些基本概念（數學語句，命題，證明，集合） 3. 實數系

1. 引言（數學教育的目的，學習的態度及要點） 2. 符號用法、基本數學語句及集合概念 3. 數的概念（從源起到實數）， 4. 一次方程式（聯立，行列式解法）

系 4. 一次方程式 5. 多項式及其運算 6. 二次方程式

式與二次函數 5. 多項式函數與多項式 6. 因子分解（因數和因式對照著

4. 一次方程式（聯立方程組的行列式解法公式） 5. 多項式與多項

5. 多項式及其運算 6. 整數的因子分解 7. 多項式的因子

（以下在 70 年從

一起講）

式函數

分解

第二冊挪進來） 7. 因數與倍數 8. 因式與倍式附錄：插值法（標準的一次聯立法和拉格朗日法，但 70 年刪除插值法，從第二冊挪來簡易數論、二元一次方程式的

附錄：三階行列式性質與面積，拉格朗日插值法，同餘式與簡易數論，質式的檢定

6. 整數的因數分解附錄：集合，實數的基本性質，簡易數論，10000 以下的質數表

附表：德文字母與希臘字母

1. 分式與分式方程式 2. 數學歸納法（觀察與猜想） 3. 與一元二次方程式相關的問題（n 個正數的算幾不等式） 4. 不等式 5. 實數的完備性

1. 多項式的因式分解 2. 二次方程式 3. 有理式 4. 次序與不等式（一元一次或二次） 5. 數列的極限與實數的完全性 6. 指數函數與對

1. 二次方程式 2. 次序與極限觀念 3. 實數系及其基本性質 4. 指數函數與對數函數 5. 對數表用法與計算尺原理（69 年修訂後，

（極限） 6. 指數函數與對數函數 7. 對數表與計算尺

數函數附錄：希臘字母表，質式檢定，循環小數，對數表，計算尺原理

多了將近 30 頁）

整數解） 1. 因數與倍數 2. 因式與倍式（以上在 70 年挪去第一冊） 3. 分式與部分分式 4. 數列與級數（數列極限的基第本定理，無窮級二數，循環小數）冊 5. 實數系（完備性，連續函數，中間值定理） 6. 指數函數與對數函數附錄：一些極限定理的證明，對數表（含表尾差）

空間幾何、三角、向量、複數和二次曲線，是高二的主題。而且從高二起，數學課本分為自然與社會兩個版本。就像數理范版在高一的兩冊之間調整內容份量，這段時期的各版本似乎都會這麼做。例如 63 年 11 月在師大附中舉辦的「全國高中數學教科書研討會」起了作用，使得東華版將原本放在第四冊的三角、直線併入第三冊，而將第三冊的向量移到第四冊。這顯示 60 年版的〈標準〉是分年指定課程內容，而未分冊，使得教科書有此彈性。內容的調動當然最終總是好的，但是過程可能並不愉快。107 課綱恢復了這種設計，對學生、教師和教科書 8

作者而言，是利是弊？還得謹慎應對。向量 60 年份的「綜合數學」減輕了空間幾何的分量，加強了向量的角色。各版本都要用向量方法解釋三點共線和四點共面，可是各版為學生準備的空間概念程度不一，從教科書觀察，空間向量的教材很可能藏著斷裂。例如數理范版第三冊第 5 章的 1—7 節講的全是平面向量，忽然在最後的 5-8 講四點共面；課本的目次還誤寫為「四點共線」。雖然〈標準〉要求教向量，可是各版本的差異很大，重點也頗為不同，如下表。

向量主題

數理范版

數理黃版

東華版

實驗本

第三冊用三、四兩章把三角全部講完之後，才在第五章講向量。除了 5-8 以外全是平面向量。第六章空間坐標裡面再講空間向量，涵蓋了線性關係與基底。

第三冊第三章建立了三角函數的基礎知識之後，第四章講向量（平面的）第五章向量在三角學上的應用，發展了三角的和差公式與正、餘弦定理，第六章綜合幾何，列出線性

第四冊第一章向量及其應用，包括線性組合，無關相依，基底，基底變換，用到三階行列式。

第三冊第三章向量幾何的基礎及其代數的運算體系（以內積導出三角的和角公式），第四章坐標幾何（坐標幾何與向量幾何混用的典型例子），第五章進一步申述（坐標與向量的

關係與向量在平面幾何上的應用。

進一步混合應用，利用古典平面幾何處理的極小問題）。第四冊有線性映射。

除了數理黃版以融合向量的方法處理三角等式以外，實驗本也很有創意地融合了複數方法來處理三角等式。融合的方法可能展現了以簡馭繁的高度，提升了教學的效率，但是也可能加重了認知負荷；在民國 60 年代，人們似乎不太在乎認知負荷的問題。雖然版本之間存在著歧異的看法，但是自從 60 年以降，向量（特別是平面向量）就進入了我國高中數學的必修課程之中。在臺灣的同儕國家之中，這是一項獨特的安排。例如美國加州的必修課程沒有向量，將向量合併在《線性代數》選修課程裡；香港初中的非基礎課程有平面線段的分點公式，高中必修課程有直線與圓的關係，全都用方程式處理；日本在《數學 B》選修課程裡講述向量；韓國的向量課題全在《數學Ⅱ》高三選修課程中，他們的高一必修課程有平面線段 9

的內分點與外分點公式、點到直線距離、圓與直線關係、兩圓位置關係，但是並未使用向量工具。從這段時期的教科書觀察，當時對向量的教學方向還沒產生共識。雖然有了線性關係與線性變換，但因為沒有矩陣而不能連結線性代數。然而，用向量方法來處理幾何、坐標幾何、三角的問題，在這個時期奠定了基礎。看似只有李新民校長的東華版，表現出連結線性代數的意圖；他的 53 年版教材，就在第六冊呈現了線性代數的初步課程。機率 60 年版的另一項重要變革，是大幅擴充了機率的教學內容。〈標準〉將機率安排在高三，各版都放在第五冊。可能是顧慮聯考的現況，第六冊的實質內容很少，課本都在第六冊編入複習題材，厚（160 頁）薄（30 頁）不一。四個版本都以三章來呈現機率主題，而且標題頗為一致，如下表。

機率主題

數理范版

數理黃版

東華版

實驗本

1. 古典機率（統計之機率與直觀的機率，幾何機率） 2. 有限機率空間（古典機率與機率空間的關係，獨立事件，

1. 記述統計與古典機率 2. 機率空間（獨立事件，貝氏定理） 3. 隨機變數（同范版）

（這一冊特別請到周元燊教授擔任校訂） 1. 古典機率 2. 有限機率空間（同范版） 3. 隨機變數（同范版）

1. 直觀機率 2. 有限機率空間 3. 隨機變數（大數法則）

貝氏定理） 3. 隨機變數（二項變數，帕松定理，白努利定理）

四個版本的教法頗為相近的可能原因，是四位主編教授都不甚熟悉這個相對為新的中學主題，所以比較沒有展現個人的風格。而那三章的內容，以今天的眼光來看，內容都包含三種機率類型：直觀機率、古典機率和頻率機率（統計之機率）。這種分類在英美出現於 1950 年代後期，到了 1970 年代已經是認知心理與數學教育界關於機率的研究中慣用的分類（還有第四類：形式機率，那是大學以上的專業類型），所以當時的課本在這方面頗為進步。不知道為什麼，後來的高中課程似乎不再繼續這三大分類的意識，而 107 課綱恢復了它們。雖然揭櫫了三類機率概念，可是當然必須以古典機率為主，只有它能發展機率的數學理論。到了古典機率，就承襲了 53 年代的傳統：集合與排列組合。集合在第一冊就準備好了，而排列組合都放在機率的前一章。相對機率篇幅的大幅 10

提升，排列組合的篇幅跟以前差不多，並沒有大幅增加，而且四個版本都有相當多的篇幅放在二項式定理，佔了排組那一章 1/3 至 1/2 的分量。於是可以說，直到 60 年版，排列組合都還是工具性質的主題，〈標準〉和教材，都沒有發展出眾多題型的企圖。可是教學現場並非如此。我本身在民國 66 年就讀高中，還記得買過一整冊的排列組合參考書，滿滿一本的題型練習。到了民國 73 年準備應考 GRE Subject in Math 的時候，發覺自己這方面稍弱，特地再去書店買一本厚實的排列組合專科參考書，自我加強，發覺只需要練就半套功夫去對付 GRE Subject 就綽綽有餘了（我考到 99 級分）。可是，60 年版的課程雖然開始注重機率，卻只有數理黃版提到描述統計，但其內容實為頻率機率。所以，統計主題可謂尚未正式登場。當時國中二年級有統計圖表。代數基本定理與線性規劃民國 60 年期的課程，從第四冊才開始講複數，而複數的極式用了 re i 形式。所以，在第二冊講二次方程式的時候，還是說 x 2  1  0 無解。代數基本定理被移到了第六冊方程式論裡面，各版本都行禮如儀地介紹了它，也都提到高斯在 1799 年的偉大證明，而後的說法大同小異，數理范版：「本定理的證明超出本書範圍，從略」，數理黃版：「證明太難，就此省略」，東華版：「證明遠超出本書的範圍，所以只把它敘述在下面」，實驗版：「證明（現已有很多種）需要更多的數學工具，而超出本書之範圍，故予于從略」。107 課綱也將它放在高三選修了。而當時介紹代數基本定理的情境，比現在稍微「合理」一點。原因是，課本裡都講解了三次方程式和四次方程式的公式解。至少，不超過五次的方程式，都符合了代數基本定理，可以讓這個定理看起來合理而且具體一點。至於線性規劃，則還是東華版的「獨家」教材。或許是課程標準中沒有適合安置線性規劃的位置（僅第二冊有不等式單元，但是在那裡只有一元 n 次不等式和算幾不等式，不適合講線性規劃），東華版在（自然組）第六冊的第四章「總複習」之中，將線性規劃安插在 4-4「不等式與極值問題」的一道例題裡（例 8）：設 x  0 ， y  0 ， 2 x  y  12 ， x  2 y  12 。求 x  y 的最大值。它的下一題（例 9）將類似的想法推廣到非線性問題：求 xy 在 x 2  y 2  1範圍內的極值。社會組的第六冊也有同一道線性規劃題目。習題中有一道類似題目，但是並沒有情境，只是單純的從給定的數學形式求極值。這段時期的教科書，對於行列式多所著墨，但是「可以說」並沒有矩陣的教學。實驗版用矩陣記錄坐標變換和線性映射，數理黃版講了其實是方陣乘法的「行列式乘法」，只有東華版正式將矩陣列為標題（第六冊第一章），並探討矩陣乘法的代數性質。我們可以說，在民國 60 年版（含）之前的數學教材，只有李新民校長的東華版，關心中學生的線性代數預備知識。

民國 72 年：國編版獨佔 15 年民國 70 年，「教育部科學教育指導委員會」委託了「高級中學數學及自然科學課程改進計畫」，產生了師大科學教育中心編印的《高級中學數學課程實驗教材— 基礎數學》第一至第四冊，在中正國防幹部預備學校實驗（蓋因沒有升學壓力）。各冊之主持人分別是第一冊林福來（修訂本改成陳冒海），第二冊（修訂本）陳冒海，第三冊、第四冊呂溪木。實驗班教師包括李勝利等八位。這一套實驗教材，與前代的「實驗本」之間，沒有關聯性。上述實驗教材成為 72 年 7 月公布的〈高級中學數學科課程標準〉，而數學教科書改成只有一版，由師大「科學教育中心」主編，國立編譯館審查、出版，正中書局經銷，以前在教科書市場裡的眾書局變成了「印行者」（但是不再看到數理出版公司）。從此，所謂的編輯者，是「高級中學數學編輯小組」，主持人有李恭晴，呂溪木，林福來，陳冒海四位教授，委員包括朱建正等十三位教授，60 年版的諸位作者，似乎全都不在裡面，他們全都退休了嗎？ 72 年版的教材，從 73 年 8 月起陸續出版，至 87 年 8 月出了第 15 版（第一冊）。比較初版及末版，除了後者的紙質和印刷都明顯較優以外，內容在「章」的層次無異，在「節」的層次則小有差異。這一套「國編版」的統一教材獨佔高中數學課程長達十五年，是至今獨佔最久的一套教材，也是史上唯一限定單一教材的時期。既然只有一套教材，那麼 72 年版的〈標準〉也就變得不重要了。本文參考的課程內容，以居中的第 8 版為準（第一冊出版於民國 80 年 8 月）。十五年是半個世代，影響可謂深遠。直到今天，課綱的任何變革，都還是會被人拿來與 72 年的部編版對照，認為那才「是」數學課程「應該」呈現的內容與結構。國編版的《基礎數學》第一至第四冊供高中一二年級使用，不再分自然、社會兩組課本。《基礎數學》之外，有《基礎數學統合》上、下兩冊，供高二學生使用，是《基礎數學》第三、四冊的補充和推廣：「將基礎數學中的部分主題加以統整、延伸。其編寫方法是由實例出發，再做理論性的推廣，期能培養學生獲得數學的整體概念。」這六冊課本的內容如下表。第一冊

第二冊

第三冊

第四冊

1. 數：整數，有理 1. 指數與對數：指 1. 空間向量：空間 1. 排列組合：排數與實數，複數及其運算，一元二次方程式的根的討論 2. 數列與級數：等差數列與等比數列，無窮等比數列與循環小數，數學歸納法 3. 直線方程式與

數，指數函數及其圖形，對數及其運算，對數函數及其圖形，對數表 2. 三角函數：銳角的三角函數與基本恆等式，簡易測量與三角函數值表，廣義角的三角函數，正弦定理與

中的直線與平面 2. 一次方程組與行列式：二階與三階行列式，三階行列式的運算性質，包括轉置以及列運算的不變，應用當中舉出三角形面積、（平面上）三點共線、六面體

列，組合，二項式定理 2. 機率：事件與集合，機率的性質，條件機率與貝氏定理，獨立事件，數學期望值 3. 敘述統計：抽樣，次數分配與累積次數，平均數，

二元一次不等式：餘弦定理，三角測體積等，而後解釋中位數，標準差，平面坐標系，直線量了三元方程組的四分位差，變異係的斜率與與方程 3. 三角函數的性解的幾何意義數，相關係數，常式，線性函數，二元一次聯立不等式與線性規劃 4. 二次函數與二次不等式：二次函數及圖形，二次函數的最大值與最小值，二次不等式

質：弧度，三角函數及其圖形，和角公式，倍角與半角公式，和與積互化公式，正弦、餘弦函數的疊合，棣美弗定理（複數的極式，1 的 n 次方根）

5. 多項式：多項式及其運算，餘式定理，最高公因式與最低公倍式，n 次方程式（代數基本定理），實係數多項方程式的近似實根

4. 平面向量：向量，向量的加法與減法，向量的係數積，向量的內積，直線

3. 圓與球面：球的用的統計指數切平面 4. 圓錐曲線統合上冊

統合下冊

1. 向量的分解及 1. 最大、最小值問應用（就是講線性題與不等式（含算組合，舉例解幾何幾與柯西）問題） 2. 中國剩餘定理 3. 數列與級數：單調數列與實數，連分數，遞迴表示法，數學歸納法與堆垛 4. 多面體與尤拉公式

2. 函數圖形：圖形的對稱、平移與伸縮，三次函數的圖形，絕對值函數的線性組合

從今天的眼光回頭望去，國編版在許多方面都從 60 年版的教材走了回頭路。且不論教學現場的問題，那些問題有很大程度是極度嚴厲的競爭環境造成的，而未必是課程或教材設計所導致的結果。國編版在形式上隱藏了集合、邏輯和實數的完備性（下一代課綱就恢復了集合單元），但是在內容上並沒有朝向搭配學生認知能力的目標而發展，也不再企圖對學生諄諄善誘地闡述數學的道理，反而更加注重效率，更強烈地依照數學知識邏輯，而不是學科教學邏輯，以凝固

成更大塊的教材結構來施教。複數、三角與代數基本定理首先，複數被挪到高一，使得「數系」成為完整的一塊。第一冊涵蓋複數的代數性質，當然就包括代數基本定理，第二冊更融合了三角而涵蓋了複數的幾何性質。因為平面向量與複數存在著類比的關係，所以在複數平面之後就立刻跟進平面向量。誠然是非常有效率的教材，在數學結構的整合上，這套教材真是一項值得敬佩的創舉，但是在課程理論與學習原理上，很值得斟酌。但是，在新的結構下，三次與四次方程式的求解公式卻「因為不常用，故略去」使得學生缺乏具體的代數基本定理之經驗；略去三次求根公式之後，也可惜地喪失了複數之存在意義的歷史脈絡。國編版略去了操作型的知識，反而以定理形式說了五次或五次以上方程式的求解公式不存在。國編版將方程式論與複數主題挪到第一冊的結構性調整，在十五年間變成了數學教材的典範，直到 107 課綱才重新思考了這項結構性的問題。國編版的另一項超高效率的課程設計：將數學史上至少需要 200 年來發展的複數平面與棣美弗等式，緊接在古典的三角測量之後，與三角恆等式濃縮成一塊，在六個星期之內教完。這項設計也同樣地影響深遠，其後兩版的課程綱要都沿用同樣的設計，直到 99 課綱才將之解構，拆成兩塊，分別放在高二和高三，但是這樣的設計導致技高、綜高、自然科學同仁的困擾。到了 107 課綱，獲得國中階段的協助，將三角課題布置在九至十一年級。所謂「課程」原是「跑道」的意思，但是如上設計的課程，就算是一條跑道，也是一條障礙賽跑的跑道。因為缺乏實證研究，我們其實沒有證據顯示學生所面臨的困難，倒是因為這套課程的高效率與數學上的強烈邏輯性，它顯然受到教師的推崇，再加上人的習慣性（所謂「習慣入人之深」），使得 72 年國編版的實質影響力，持續到 98 學年止，足足廿五年，四分之一個世紀。線性規劃正式進入課程線性規劃在國編版教材裡，忽然變成了一個重要課題。在第一冊第三章〈直線方程式與二元一次不等式〉的「3-4 二元一次聯立不等式與線性規劃」裡，正式躍上了標題。這一冊課本平均每節只有 10.6 頁，而 3-4 佔了 19 頁，可見是一個「重點章節」。3-4 的內容細緻地規劃了三個小節：甲、二元一次不等式，乙、二元一次聯立不等是的圖解，含或不含邊界，區域內的格子點，丙、線性規劃，完整地從平行直線系發展到頂點法，並介紹了頂點坐標不是整數（非格子點）的題型。十五年後，雖然數學教材又回到一綱多本的局面，但是所有版本都保存了國編本的線性規劃，只是移到了高中三年級選修的《數學甲》和《數學乙》。當時認為《數學甲》適合準備進入理、工、醫、農、商學領域的高中生，而《數學乙》則是為了文、法、教育、藝術領域的學生設計的。《數學甲》各版課本之中的南一版最接近前代國編本的內容，放在第二章〈不 14

等式〉的「2-3 線性規劃」，佔了 18 頁；相對於國編本，只在格子點問題上做了簡化。除了康熙版篇幅最少，只佔 13 頁以外，各版本都盡情發揮這個課題：三民版用了 20 頁，翰林版 24 頁，正中版 30 頁，龍騰版甚至還框列了一個「線性規劃基本定理」！在線性規劃這個孤立的課題上，國編本也發揮了長遠的影像力，在其後的三次課綱修訂中，搬來搬去卻都維持它的基本內容。直到 107 課綱才有比較根本的重新設計。多樣性的消失：向量、機率定於一任何一言堂都能提高效率，但是減損多樣性，這是必然的；國編本出自政府政策，想必是為了解決當時面臨的困境而不得不採取的措施，所以我們不能責怪國編本獨佔而導致的多樣性消失。真正的問題可能還是所謂的「配套」，包括定時的檢討翻修，以及持續性的檢測與研究。如果國編本在實施的同時有平行的學習成效調查與研究，而如果課程標準（或綱要）能夠固定以十年為週期進行翻修，都能提高課程改進的機會。首先關切向量。60 年版以前的向量，主要用來處理空間幾何。60 年版則引進平面向量當作前置經驗，但是平面向量在數學發展史上並不存在，為了豐富其教學內涵，設計了平面向量在幾何上的應用，但是也沒有偏廢線性關係、基底、線性組合等，為線性代數預作準備的課題。《基礎數學》的四冊當中，不含矩陣。高三的選修課程裡有矩陣單元，稍後再寫。籠統而言，我認為「線性代數」的意識，在 60 年版的時代萌芽了，卻在 72 年版的課程中斷，而此版本處理矩陣的內容與態度，成為其後兩段課程變革的基本藍圖：一、都放在高三選修，二、84 標準加入平面上的線性變換，95 暫綱將之刪除。99 課綱將矩陣拿到高二「基礎」部分，恢復了線性變換，試圖以線性組合連結矩陣與向量的教學，而且併陳了高斯消去法與線性變換兩項內容。 107 課綱延續 99 課綱這方面的觀點，並企圖增強線性代數預備課程的理念。其次看到機率。72 國編版隱藏了隨機變數，這或許是情有可原的，這個概念頗為抽象。但是 60 年代對照數教研究圈習用的機率類型，提出主觀機率與頻率機率的觀念，也在 72 年版的課程中斷，使得機率概念只剩下古典機率。但是，當時在國三有實驗機率，所以嚴格說來並非完全缺乏此概念；但後來國中刪除了實驗機率，高中課程沒有因應修訂。只有古典機率可以發展數學理論，但是在實際應用上，主觀機率與頻率機率卻是主體，所以後兩者的教學並不是數學的，而是態度的或是「連結」的。雖然在貝氏定理的操作中經常出現頻率機率，可是教材和教師都逐漸忘了要為學生指出連結。套用今天的觀念來講，主觀機率與頻率機率是攸關「素養」的教學內容，60 年代已經引進，可惜在 72 年斷掉。始自 53 年的機率課程兩大前提，經過 72 年而流傳至今，而 72 年的機率內容也基本上持續到 99 課綱。60 年版的機率在高三，72 年版將它們調到高二成為「基礎」主題，放在第四冊。此後 25 年的數學 15

課程都依循這個結構，只是自 84 標準起，機率課題被拆成兩部分，第二部分放在高三選修。將機率主題安置在「基礎」的高二，可以算是 72 國編版的「進步」。此版本還有其他值得讚賞的理念，例如它首度正視數學課程至少需要區隔三種不同的需求。三軌的選修課程直到今天，高中場域還是習慣稱高二以後分流的方式為「自然組」和「社會組」，這一對名詞是 53 年代的遺續。事實上，72 國編版在高三提供三種版本的選修，其中《普通數學》的「內容偏重數學的基本知識，以供有志攻讀藝文方面的學生選修之用」，《理科數學》為「有志攻讀理、工、農、醫方面的學生」而設計，還有為「有志攻讀法、商、社會科學」的學生而設計的《商科數學》。如此三分天下的立意甚佳，為何不得延續？想必與考試科目有關：聯考的數學甲、乙兩科分別對應理工和商管，並沒有為藝文方面的學系準備一門考科；而當年的考試科目安排，也可能只是反映現實而已，蓋因文史學系的招生比例很低，而且社會上瀰漫著就業與賺錢的想法，高三學生主動選擇以文史哲藝為職志的比例可能也很低，使得實際上《普通數學》失去了市場。可是，三十年之後的現在，臺灣的大學學系分佈改變了嗎？在高中時期就能決定朝向文史哲藝、自然科學、社會科學三大方向發展（並且獲得家長與教師的支持）的學生比例提高了嗎？國家願意提供三種高中畢業生數學學習成效評量的成本嗎？對於這些問題，我並沒有客觀的事證資料，但是在 107 課綱，大家決定再試一次，如同 72 國編版那樣，將高中數學課程設計成三種終點。以上三種分流的高三數學教材各分為上、下兩冊，稱其為「選修」並不恰當，因為學生必須從三者之中擇一（學校實際上可能只提供兩者），所以是「分流必修」的概念而非「選修」。《普通數學》的內容看來是基礎數學的統整複習，可能有適度地加深加廣。內容有數與式（因數與倍數，因式與倍式，複數，數列與級數，數學歸納法）， 2 方程式，不等式（包含推廣到 n 個正數的算幾不等式），指對數函數與三角函數，坐標幾何，排列組合機率與期望值。《理科數學》有吳大猷擔任總指導，主持人除呂溪木教授外，有李恭晴，李虎雄，林福來，陳冒海四位教授。內容有極限與導數，導數的應用（含圓錐曲線的切線與法線），積分及其應用，其他初等函數（在指數函數時定義了常數 e），數值方法（含泰勒展開與數值積分），矩陣。《商科數學》就目次而言非常接近理科數學，只是內容簡單一點，刪掉了電路的範例。轉移矩陣矩陣可謂在 72 年國編版首次成為主要的課題，內容包括一次方程組與高斯消去

法，矩陣的列運算，列運算及行列式的降階，矩陣的加減法與係數積，矩陣的乘法（不滿足交換律與消去律），以及內容非常前衛的「矩陣的應用」：甲、最小平方法，類似於講方陣的擬逆方陣。乙、馬可夫鏈，以三份報紙的續訂率舉例，用了兩頁的說明指出一個用機率組成的推移矩陣（後來定義為馬可夫矩陣），在用兩頁舉例說明下一年、再下一年、第四年的各報預期市占率。第 5 頁說明馬可夫鏈（n 維情況）。 k 第 6 頁開始討論當 k 趨向無限大時，第 7 頁解了那個例題中 A p0 的一般形式，再以極限推論穩定狀態（其實就是算出矩陣的三個特徵值）；並沒有用解特徵向量的辦法（先假設極限存在）。第 8 頁舉了一個特別的三階馬可夫矩陣，證明此矩陣沒有穩定的極限狀態。丙、里昂提夫輸入與輸出模式（供需問題）。丁、克希荷夫定律（電路）。以上除了應用以外的矩陣內容，都著重在它們的代數結構，沒有線性組合也沒有線性變換，我認為並沒有線性代數的概念內涵。而應用那一節的內容頗離開高中數學的常態，教師手冊關於這一小節 (2-6) 的著墨甚少，僅交代本小節「只為介紹矩陣的應用而已，教師不宜在這幾個主題上過度補充。」特別注意矩陣的應用乙：馬可夫鏈，那就是「轉移矩陣」進入我國高中課程的起始點。到了下一代的 84 年版課程標準，《理科數學》下冊的〈矩陣〉挪到了《數學甲》上冊，捨棄了「矩陣的應用」那一節，唯獨「馬可夫鏈」改名為「轉移矩陣」，被挪至「矩陣乘法」那一節，成為矩陣乘法的一種範例。當時各教科書版本處理轉移矩陣的差異相當大，篇幅從 10 頁到 3 頁皆有。不論如何，轉移矩陣就這樣傳到了今天。 72 年的國編版課程綱要與教科書，都展現出強烈的企圖心，銳意改革。在民國 70 年前後，數學與科學教育圈已經揭纛了「數學課程須著重應用」的大原則，而且那是 Apple II 和 IBM PC 剛登場的年代，台灣的電子產業正開始欣欣向榮，有識者看準了電子計算機將帶來的全面性革命發展，而呼籲課程內容須有因應。具體的因應就表現在「敘述統計」、「數值方法」和「離散數學」的引入，而「離散數學」的具體實踐，就是「矩陣的應用」這一節。林福來教授是大家都很熟悉的數學教育前輩，也是我非常敬仰的老師。林教授參與 72 年國編版的編寫與實驗教學主持陣容時，大約只有 32 歲（他今年七十大壽）剛從美國復旦大學 (Fordham) 獲得數學博士學位回國不久。在高中教材的編撰過程中，林教授有所感悟：他體認到教育思維與數學思維的差異，例如，前者須要合理的推論加上證據的支持，而後者根據證明，也深感設計課程時所能依據的證據太過貧乏，以及對於數學教育的任重而道遠。在這樣的氛圍下，林教授在民國 70 年成為國科會科教處資助的第二批海外進修學者，暫停台灣的工作而前往英國劍橋一年。在劍橋的一年，林教授不以訪問學者自居而成為全職學生。教授們也當他是

學生，指導他在一年（三個學季）內撰寫了兩篇短論文 (essay) 和一篇學位論文 (thesis)，正式獲得劍橋的數學教育碩士學位 (Master of Philosophy in Mathematics Education, University of Cambridge, UK)。其中一篇短論文 ``Textbooks as the Source of Learning Mathematics’’ 在民國 72 年發表於師大學報 (28)，而學位論文 ``The secondary school mathematics curriculum projects in Taiwan - analysis and criticism’’ 則改寫成研討會論文，發表於同年的 Proceeding of the 1st Asian-Pacific Conference on Science Education。從此，林福來教授正式成為數學教育的學者，而逐步成為台灣數學教育的領航人。林福來教授在出發赴劍橋進修之前，以委員身份提出關於「離散數學」的內容建議。而他當時的參照，是在復旦大學留學期間擔任助教使用過的教科書： James Thomas and Ann Thomas, Finite Mathematics, Allyn and Bacon, 1973. 在林老師書櫃裡的這本書封面內側，還寫著當年的課表。此書共分六章，第三章是排列組合，第四章是古典機率，第五章是矩陣。矩陣那章的前五節從頭開始介紹基本觀念和算則，第 6 節的標題是馬可夫鏈；而第六章第 2 節是里昂提夫模式。 Thomas and Thomas 那本書的選材與形式，影響了 72 年版的「國編本」關於離散數學的教材；他們的 5-6 和 6-2，被編進了高三選修《理科數學》下冊第二章〈矩陣〉的第 6 節「矩陣的應用」裡，包括占了 8 頁篇幅的「乙、馬可夫鏈」。James Thomas 和 Ann Thomas 恐怕並不知道，他們的大學教科書居然輾轉影響了台灣的高中數學課程，而且其影響力持續至今。數值方法那一章，或許因為難以教學，或許因為難以評量，沒有延續下來。至於統計，則留在數學課程裡持續地發展。統計與微積分登場 72 國編版的另一項進步的特徵，就是導入了統計和微積分，前者在高二下學期，屬於基礎課程，後者在理科和商科的選修課程裡。值得注意的是，72 年代的數學課程設計者，認為商科數學也該涵蓋基本的微積分。雖然大學教授對高中時代的微積分褒貶不一，但這是中學數學課程的國際趨勢，應屬客觀事實。此後，微積分或多或少地留在數學課程裡，但向來放在整個課程的最後，而且傾向於只提供給自然組的學生。就數學發展史來看，微積分的誕生比複數還早，比空間向量和矩陣都早，它的誕生伴隨著函數概念與實數的估計概念，按照「塊狀」課程規劃的習慣把微積分放到高中數學的最後，彷彿遺世獨立，造成不少教學邏輯上的困難，也不吻合數學史的脈絡。至於國編版的統計內容，其實與當時的國二「資料的整理」頗有重疊，後來 18

則分散到國中階段與高二、高三的課程裡。有些統計內容換到「數據分析」的標題之下。在 84 標準之後，關於統計內容的主要變化是初步的推論統計（信賴區間）進出了高中數學課程。 84 標準與 95 暫綱民國 84 年 10 月公布了《高級中學數學科課程標準》，主要的變革是回到一綱多本，因此準備得比較久，第一冊到了 88 學年才上路。後來實行週休二日，開始縮減課時。九年一貫課程實施之後，忽然發現高中課綱沒有配合著修改，勢必有銜接困難，所以緊急推出 95 暫綱。正式的課綱原訂 98 年實施，因為爭執而延到 99 年，成為 99 課綱。下一代課綱原訂十年之後的 109 年登台，但是十二年國教的實施促使它提前到 107 年，但實際上現在還沒完成課審程序。為什麼要調整課綱？數學本身並無改變，但是生產的工具改變了。從來皆怨心不古絕醫棄用有幾人格物致微積道理山川變色日月新生時貪歡死求安男女古今志一同將相咸莫忘初衷身心群我永流存