619 1 гдз по математике 5 кл к учебнику зубаревой, мордкович 2012 176с

ГЛАВА I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 1. Десятичная система счисления 2. 954 003 057 000 000 (девятьсот пятьдесят четыре триллиона три миллиарда пятьдесят семь миллионов); 831 000 820 000 (восемьсот тридцать один миллиард восемьсот двадцать тысяч); 63 900 000 000 000 (шестьдесят три триллиона девятьсот миллиардов).

3. а) 545; б) 1786; в) 3004; г) 689.

4. а) 2822; б) 1143; в) 471; г) 379.

6. а) Единицы тысяч; единицы; б) десятки тысяч; единицы тысяч; в) сотни тысяч; первая 7 стоит в разряде сотни тысяч, а вторая 7 — в разряде сотен; н) сотни миллиардов; первая 7 стоит в разряде десятки миллионов, вторая 7 — в разряде единицы миллионов; третья 7 — в разряде единицы тысяч.

7. а) Единицы тысяч; б) десятки и единицы; в) нет отсутствующих разрядов; г) единицы миллионов; десятки тысяч; сотни; единицы.

8. Десятки триллионов. а) 0; б) 1; в) 2; г) 8.

9. М. 5 8 40; К. 5 5 25; Е. 8 7 56; Ф. 5 7 35; Т. 4 9 36; Р. 8 8 64; А. 9 3 27; И. 3 8 24.

27 А

10. а) б) в) г) 11. а) б) в) г) 12. а) 13. а) в) 14. а) б) в)

64 Р

24 И

35 Ф

40 М

56 Е

36 Т

24 И

25 К

27 А

100 000 (сто тысяч); 10 000 (десять тысяч); 1 000 000 000 (один миллиард); 100 000 000 000 (сто миллиардов).

99 999 (девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 999 999 (девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 99 999 999 (девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 99 999 999 999 (девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).

107; б) 333 000; в) 990; г) 4000.

102 230 071; б) 580 000 240 500; 48 044 876 000 000; г) 34 515 500. Сто девять миллионов сто тридцать пять тысяч пятьдесят четыре; восемьдесят пять миллиардов два миллиона пятьсот пятьдесят одна тысяча семьдесят семь; девятьсот десять триллионов сорок два миллиарда двадцать миллионов триста восемь тысяч сто пятьдесят;

. . % , . . $

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

337

г) семьдесят девять миллионов четыреста две тысячи семьсот двадцать. а) 53 801 50 000 + 3000 + 800 + 1; 53 801 5 10 000 + 3 1000 + 8 100 + 1; б) 6275 6000 + 200 + 70 + 5; 6275 6 1000 + 2 100 + 7 10 + 5; в) 189 032 100 000 + 80 000 + 9000 + 30 + 2; 189 032 1 100 000 + 8 10 000 + 9 1000 + 3 10 + 2; г) 201 734 200 000 + 1000 + 700 + 30 + 4; 201 734 2 100 000 + 1 1000 + 7 100 + 3 10 + 4.

125 378 567 > 99 987 398; 125 378 567 < 125 378 568; 125 378 567 > 125 367 569. а) 356; 357; 258; 359; 360; 361; б) 10 998; 10 999; 11 000; в) 951 399; 951 400; г) нет таких натуральных чисел. а) 55 < 56 ; б) 32 > 9748; в) 95 > 4 г) 6 > 14 ; д) < ; е) 93 < 15 ; ж) 4 < 96 ; з) 35 и 3 . (В примере з) первое число больше второго, если первую звездочку второго числа заменить цифрами 1; 2; 3, а если заменить цифрами 4; 5; 6; 7; 8; 9, то второе число больше первого.) а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 9; д) 50 303; 50 313; е) 60 783 < 60 791; ж) 71 209 < 71 218; или 70 219; 70 229; 70 239; 70 249; 70 259; 70 269; 70 279; 70 289; 70 299; з) 49 310 > 49 305.

456 — четыреста пятьдесят шесть; 4560 — четыре тысячи пятьсот шестьдесят; 45 600 — сорок пять тысяч шестьсот. Если цифры числа сдвигаются на один разряд влево, то в записи числа справа дописывается нуль; значимость этой цифры увеличивается на разряд; величина числа увеличивается в 10 раз.

32 500 000 — тридцать два миллиона пятьсот тысяч; 3 250 000 — три миллиона двести пятьдесят тысяч; 325 000 — триста двадцать пять тысяч. Если две цифры числа сдвигаются на один разряд вправо, то в записи числа справа отбрасывается один нуль; значимость цифры при сдвиге ее на один разряд вправо уменьшается на один разряд, а величина числа при этом уменьшается в 10 раз. Чтобы умножить натуральное число на 10, 100, 100 и т.д., надо справа к этому числу приписать столько нулей, сколько их содержится в 10, 100 и т.д. Например, 25 10 250; 36 100 3600; 104 1000 104 000. Чтобы разделить натуральное число, заканчивающиеся нулями, на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этом числе справа отбросить столько нулей, сколько их содержится в 10, 100, 1000 и т.д.

2002–2011 гг.*

338

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

Например, 1900 : 100 19; 7 680 000 : 1000 7680; 37 000 000 : 1 000 000 37. а) 124 100 12 400; б) 915 000 : 100 9150; в) 750 1000 750 000; г) 3590 10 35 900; д) 247 1000 247 000; е) 4 753 000 : 100 47 530; ж) 900 100 90 000; з) 84 600 : 10 8460. а) 67 10 : 2 335; б) 5 116 116 : 1 10 58 10 580; в) 444 4 444 : 2 10 2220; г) 2350 5 2350 : 2 10 11 750. а) 58 5 58 : 2 10 290; б) 5 280 280 : 2 10 1400; в) 588 5 588 : 2 10 294 10 2940; г) 5 3700 3700 : 2 10 1850 10 18 500. а) 35 5 35 10 : 2 350 : 2 175; б) 264 5 264 : 2 10 132 10 1320; в) 331 5 331 10 : 2 3310 : 2 1655; г) 4300 5 4300 : 2 10 2150 10 21 500. а) 59 5 59 10 : 2 590 : 2 295; б) 181 5 181 10 : 2 1810 : 2 905; в) 679 5 679 10 : 2 6790 : 2 3395; г) 2830 5 2830 : 2 10 1415 10 14 150. а) 6800; б) 701 020; в) 530 000; г) 28 640. Г. 15 2 + 14 30 + 14 44; К. 9 + 39 : 3 9 + 13 22; И. 51 + 12 4 51 + 48 99; Ц. 8 + 8 10 8 + 80 88; М. 17 3 – 18 51 – 16 33; Й. 11 9 – 44 99 – 44 55; Н. 3 + 9 7 3 + 63 66; И. 36 : 4 + 2 9 + 2 11; А. 17 + 4 5 17 + 20 37.

33 М

37 А

44 Г

66 Н

11 И

29. 15 325 000; 100 250.

30. а) 1 392 000; в) 40 426 000 000 000; 31. 3 + 380 + 320 + 40 + 120

88 Ц

22 К

99 И

55 Й

б) 149 600 00; г) 5 894 240 000.

863 (га).

§ 2. Числовые и буквенные выражения 32. 1) 3) 5) 7) 8) 33. 1) 5) *

15 – 5 10; 2) 15 + 5 20; 4) 3 5 15; 6) 2 15 – 3 5 30 – 15 15; (2 15) : (3 5) 30 : 15 2. x – y; 2) x : y; 3) 3y; 6) 2x + 3y; 7)

15 : 5 3; 2 15 30; 2 15 + 3 5 x + y; 2x – 3y;

Решения и ответы приводятся к учебникам указанных годов.

30 + 15

45;

4) 2x; 8) (2x) : (3y).

. . % , . . $

339

34. Заменим в № 32 стоимость плитки шоколада буквой х, а стоимость батона хлеба — буквой у. Тогда получим такие же выражения, что и в № 33.

1) x – y; 2) x : y; 3) x + y; 4) 2x; 5) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 2x – 3y; 8) (2x) : (3y).

35. 1) Числовые выражения: 17 + 5 48; 86 : 2 + 43 15; буквенные выражения: 23 5 – 3x; 2x – m.

2) Числовые выражения: 21 + 56 7; 12 + 71 + 5 28; буквенные выражения: 2d – 54; x + y + z; 5t.

36. а) 100 (8 + 7) 15 100 1500; б) (57 – 42) 1000 15 1000 15 000; в) (32 + 24) : 7 56 : 7 8; г) 81 : (77 – 68) – 81 : 9 9; 37. а) 15 2 + 42 : 6 30 + 7 37; б) 270 : 3 – 25 3 90 – 73 15; в) 17 3 + 4 13 51 + 52 103; г) 45 : 3 – 64 : 32 15 – 2 13.

38. а) 3 (a – b); б) 25 : (x + y); в) 3 a + b; г) 72 – 2 c.

39. 1) 2 + 6 8 (км); 2) (2 + 6) : 2 4 (км); 3) 2 (2 + 6) 16 (км); 4) 2 2 4 (км); 5) 2 6 12 (км); 6) 2 6 – 2 2 12 – 4 8 (км); 7) (2 6) : (2 2) 12 : 4 3 (раза).

40. 1) (x + y) км; 2) (x + y) : 2 км; 3) 2(x + y) км; 4) 2x км; 5) 2y км; 6) 2(x – y) км; 7) 2x : 2y (раз).

41. Л. (6 + 18) : 8 24 : 8 3; Г. 124 : (20 + 11) 124 : 31 4; Р. 9 (106 – 103) 9 3 27; Е. 8 + (58 – 36) 8 + 22 30; Б. 50 : (430 – 405) 50 : 25 2; А. 33 : 3 11.

11 А

42. а) б) в) г) д) 43. а) б) в) 44. 1) 2) 45. 1) 46. а) 47. а)

3 Л

4 Г

30 Е

2 Б

27 Р

11 А

6 + 4 10; е) 86 – 54 32; 36 + 4 40; ж) 510 не делится нацело на 7; 32 : 8 4; з) 20 + 28 48; 6 30 180; и) 56 – 40 16.

9 – 4 5; 15 + 5 20; г) 25 3 75; ж) 30 – 17 13; 63 – 12 51; д) 27 : 9 3; з) 540 – 500 40; 35 : 5 7; е) 36 : 4 9; и) 640 + 360 1000.

720; 1440; 2880; 5760; 1286; 1504; 1784; 2896.

47; 2) 27; 3) 21.

103; б) 177; в) 11; г) 23.

41; б) 14; в) 27; г) 185.

2002–2011 гг.

340

48. а a+6 6а

1 7 6

4 10 24

7 23 42

12 18 72

20 26 120

49. а) b; б) а; в) b; г) а.

50. а) m; б) m; в) n; г) n.

51. а) m 8 + n; б) a 4b; г) e g : 6. в) c d – 3; 52. I — 500 кг ⎫ II — 2200 кг ⎬? ⎭ III — ? на 250 кг >, 1) 500 + 250 750 (кг); 2) 500 + 2200 + 750 3450 (кг). Ответ: трем магазинам продано 3450 кг кондитерских изделий.

53.

−

1 450 000 500 000

950 000 (ð.) Ответ: чистый доход, полученный фабрикой за год равен 950 000 р.

54. 35 000 – 5000 30 000 (р.). Ответ: чистый доход предприятия увеличился на 30 000 р.

Контрольные задания 1. Числовые выражения: 328 – 18 3; 81 : 9 + 72. Буквенные выражения: 3a – 178; x – 5y.

2. 5 4 + 17 20 + 17 37.

3. а) (3m) р.; б) (2t) р.; в) (3m + 2t) р.

§ 3. Язык геометрических рисунков 55. М. 20; Р. 12; 22 Г

О. 29; Я. 16; 24 Е

29 О

20 М

Т. 36; И. 7; 24 Е

36 Т

Г. 22; Е. 24.

12 Р

7 И

16 Я

57. 1. а) АВ; б) пересекаются прямые CD и АВ; EF и АВ; прямые CD и EF не пересекаются.

2. Точки М и N принадлежат прямой а, а точки С и D ей не принадлежат.

3. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Прямая а пересекает отрезок MN в точке K.

. . % , . . $

341

58.

59. Угол СВА (или АВС); треугольник ORT; четырехугольник DKEF (трапеция); прямоугольный треугольник NTV. 60. 1) 52 – 13 39 (км/ч); 2) 52 : 13 4 (раза); 3) 260 : 13 20 (ч); 4) 260 : 52 5 (ч); 5) 260 : 13 – 260 : 52 20 – 5 15 (ч); 6) (260 : 13) : (260 : 52) 20 : 5 4 (раза); 8) 260 : (13 + 52) 260 : 65 4 (ч).

61. 1) (y – x) км/ч; 2) (y : x) (раз); 3) (260 : х) (ч); 4) (260 : у) (ч); 5) (260 : х – 260 : у) (ч); 6) (260 : x) (260 : y) (раз); 7) (260 : (x + y)) (ч).

62. х 36 42 180 240 24 x–6 х:6

18 4

30 6

36 7

174 30

234 40

63. а) 89 367 288; 89 788; б) 89 367 288; 36 288.

64. 1) 17; 4) 21; 7) 37; 10) 44; 2) 19; 5) 13; 8) 54; 11) 51; 3) 19; 6) 24; 9) 20; 12) 34.

65. 1) 850; 5) 700; 9) 5200; 13) 2400; 2) 2150; 6) 900; 10) 9100; 14) 14 000; 3) 2650; 7) 1300; 11) 11 200; 15) 37 000; 4) 6100; 8) 2100; 12) 14 000; 16) 43 000.

66. Если первое слагаемое увеличится на 16, а второе — на 4, то сумма увеличится на 20; — если первое слагаемое увеличится на 30, а второе уменьшится на 5, то сумма увеличится на 25; — если первое слагаемое увеличится на 18, а второе уменьшится на 4, то сумма увеличится на 14; — если первое слагаемое увеличится на 3, а второе уменьшится на 8, то сумма уменьшится на 5; — если первое слагаемое уменьшится на 5, а второе увеличится на 15, то сумма увеличится на 10; — если первое слагаемое уменьшится на 12, а второе — на 5, то сумма уменьшится на 17.

342

2002–2011 гг.

67. Клубничное варенье — 850 г ⎫ Вишневое варенье — ? в 2 раза >, ⎬? ⎭ Сливовое варенье — ? на 300 г >, Решение.

1) 850 2 1700 (г); 2) 850 + 300 1150 (г); 3) 850 + 1700 + 1150 3700 (г). Ответ: Наташа привезла в подарок 3700 г варенья.

68. 1) 14 – 12 2 (июля); 2) 19 ч 30 мин – 10 ч 20 мин 9 ч 10 мин. Ответ: теплоход отплыл из Уфы 2 июля в 9 ч 10 мин.

69. 6 ч 20 мин 15 с + 10 мин 40 с 6 ч 30 мин 55 с. Ответ: правильное время 6 ч 30 мин 55 с.

Контрольные задания 1. Прямая АВ, отрезок MN, треугольник CDE. 2.

§ 4. Прямая. Отрезок. Луч 70. 1) 2) один отрезок соединяет точки А и В.

3) через точки С и D проходит только одна прямая.

4) Прямые MN и CK не могут иметь других точек пересечения, кроме точки А. Любые две пересекающиеся прямые могут иметь только одну точку пересечения.

71. Лучи KL и АВ пересекаются. Лучи KL и MN, лучи АВ и MN не пересекаются.

72.

. . % , . . $

343

73. 2) Отрезок — все точки прямой, расположенные между какими-либо двумя точками этой прямой, и сами эти две точки. Луч — все точки прямой, расположенные по одну сторону от какой-либо точки этой прямой и сама эта точка.

74. 1) Каждое число нижней строки на 10 больше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под числом 100 — число 110; б) п + 10.

2) Каждое число нижней строки в 2 раза больше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под число 100 — число 200; б) 2п.

3) Каждое число нижней строки получается умножением на само себя соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 100; а под числом 100 — число 10 000; б) п п.

4) Каждое число нижней строки в 3 раза больше соответствующего числа нижней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 30; а под числом 100 — число 300; б) 3 п.

5) Каждое число нижней строки на 1 меньше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 9; а под числом 100 — число 99; б) п – 1.

6) Каждое число нижней строки получается умножением на себя 3 раза соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 10 10 10 1000; а под числом 100 — число 100 100 100 1 000 000; б) п п п.

75. 1) 12 50 м; 2) 200 м; 3) (5 12) : (200 – 50) мин.

76. а) (y – x) м/мин; б) 10: (y – x) мин.

77. 1) Скорость волка — 3х м/мин; 2) скорость сближения волка и зайца — (30 – х) м/мин; 3) время, которое потребуется волку, чтобы догнать зайца — 10 : (3х – х) мин.

78.

5 6 10 5 2 5+ 2 6+ 2a + 3b + 3 10 40 + 3 5 27 4 5– 4 6– 4a – 2b – 2 10 20 – 2 5 14 а b

7 2 2 7+ + 3 2 20 4 7– – 2 2 24

8 1 2 8+ + 3 1 19 4 8– – 2 1 30

9 0 2 9+ + 3 0 18 4 9– – 2 0 36

344

2002–2011 гг.

79. а) б) 80. а) б) 81. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 82. 2)

100 – 28 72; в) 100 – 63 37; д) 25 – 15 10; 100 – 31 69; г) 100 – 79 21; е) 75 – 45 30.

50 – 25 25; в) 50 – 18 32; д) 25 – 8 17; 50 – 32 18; г) 50 – 29 21; е) 75 – 34 41.

15 + 2 17 (км/ч); 15 – 2 13 (км/ч); 3 (15 + 2) 51 (км); 3 (15 – 2) 3 13 39 (км); 68 : (15 + 2) 68 : 17 4 (ч); 78 : (15 – 2) 78 : 13 6 (ч); (15 + 2) – (15 – 2) 17 – 13 4 (ч). (х + 2) км/ч; (х – 2) км/ч; (х + 2) – (х – 2) км/ч; t — определенное время, тогда: t (x + 2) км; t (x – 2) км; А — путь при движении по течению реки, тогда: А : (х + 2) ч — необходимое время для преодоления этого пути; В — путь при движении против течения реки, тогда В : (х – 2) ч — необходимое время для преодоления этого пути.

3) 8 (х + 2) — расстояние, которое пройдет катер за 8 ч по течению реки; 10 (х – 2) — расстояние, которое пройдет катер за 10 ч против течения реки.

83. Задача. Лера нашла 49 грибов; Юля — ? в 2 раза меньше, чем Саша — ? на 20 грибов меньше, чем Решение.

1) 48 : 2 24 (гриба); 2) 48 + 24 72 (гриба); 3) 72 – 20 52 (гриба); 4) 52 – 48 4 (гриба); 5) 52 – 24 28 (грибов). Ответ: больше всех грибов набрал Саша, что на 4 гриба больше, чем Лера и на 28 грибов больше, чем Юля. Саша набрал 52 гриба. +19 +17 :5 :3 85. а) 100 ⎯⎯⎯ → 20 ⎯⎯⎯ → 39 ⎯⎯⎯ → 13 ⎯⎯⎯ → 30; ⋅7 −26 ⋅3 −45 б) 8 ⎯⎯⎯ → 56 ⎯⎯⎯→ 30 ⎯⎯⎯ → 90 ⎯⎯⎯→ 45; ⋅3 +10 +29 :5 → 45 ⎯⎯⎯ в) 15 ⎯⎯⎯ → 55 ⎯⎯⎯ → 11 ⎯⎯⎯ → 40; :6 :2 +42 −13 → 8 ⎯⎯⎯ г) 48 ⎯⎯⎯ → 50 ⎯⎯⎯ → 25 ⎯⎯⎯ → 12.

}

Контрольные вопросы 1. Один.

2. Только одну.

3. Изображение отрезка ограничено 2 точками: началом и концом отрезка.

. . % , . . $

§ 5. Сравнение отрезков. Длина отрезка 88. AB AD; BC DC. 89. CM AM; BM DM; BC С

В

CD

AD

AB.

NK; MN

LK.

D

M

А

90. MO OK LO ON; ML 91. а) 1) 15 + 19 34 (см); 2) 50 – 34 16 (см). Ответ: 16 см.

б) 1) 38 + 26 64 (см); 2) 64 – 50 14 (см). Ответ: 14 см. в) Рисунок аналогичный рисунку в задании а).

1) 23 + 21 44 (см); 2) 50 – 44 6 (см). Ответ: MN 6 см. г) Рисунок аналогичный рисунку в задании б).

1) 42 + 34 76 (см); 2) 76 – 50 26 (см). Ответ: MN 26 см.

92. а) MN 3 AB 3 a (см); б) KL AB + 25 a + 25 (см); в) CD AB : 4 a : 4 (см); г) EF AB – 8 a – 8 (см).

93. а) BC AC – AB 10 – 7; б) BC AC – AB 10 – x; в) BC AB + AC x + 2; г) BC AD – (AB + CD) a – (x + c).

94. а) AB 2x 2 5 10 (см); б) ED

3x

3 5

15 (см);

в) FK

x:2

5 см : 2

2 см 5 мм;

г) РО

х:4

5 см : 4

1 см 15 мм.

345

2002–2011 гг.

346

95.

Уменьшаемое +6 +2 +18 +45 –17 –9

Вычитаемое +4 –5 –6 –10 +7 +5

Разность 6 – 4 2, т.е. +2 +7 +24 +55 –24 –14

96. а) m 4n; n m : 4; m : n 4; б) a b : 4; b a – 4; a – b 4; в) c d : 4; d 4c; d : c 4; г) e g – 4; g e + 4; g – e 4.

101. 1 способ 1) 115 – 90 25 (км/ч); 2) 3 25 75 (км).

2 способ 1) 3 115 345 (км) — путь легкового автомобиля; 2) 3 90 270 (км) — путь грузовика; 3) 345 – 270 75 (км). Ответ: грузовик отстанет от легкового автомобиля на 75 км. Для того, чтобы эта задача решалась в одно действие, можно изменить вопрос задачи. Например, какое расстояние будет между грузовиком и легковым автомобилем через 1 час после начала движения? Тогда решение имеет вид: 115 – 90 25 (км).

Контрольные задания 1. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину.

2. AB CD; BC AD; AO OC; BO OD. 3. MN NK LK ML; KO ON MO OK.

§ 6. Ломаная 102. 1) Замкнутые ломаные: CDEFGHIJAB, MNKLP; незамкнутые ломаные: ABCDE; MNKL. 2) MNKLP; NKLPM; KLPMN; LPMNK; PMNKL; MPLKN; NMPLK; KNMPL; LKNMP; PLKNM. Таким образом, замкнутую ломаную MNKLP можно назвать 10 способами.

103. ABCD.

. . % , . . $

347

104. 12 незамкнутых ломаных:

105. 3 замкнутые ломаные:

106. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев, из которых она состоит.

1) MNKEP — незамкнутая ломаная. Ее длина: MN + NK + KE + EP 2 см + + 3 см + 1 см + 4 см 10 см.

2) AB + BC + CD 1 см 8 мм + 2 см 5 мм + + 1 см 9 мм 6 см 2 мм.

107. a + b + c.

2002–2011 гг.

348

108. а) AB x см ⎫ ВС — в 2 раза >, чем ⎬? ⎭ CD — на 6 см <, чем Решение. (x + 2x + (x – 6)) см. б) AB y см; ⎫ ВС — в 3 раза <, чем ⎬? ⎭ CD — на 8 см >, чем Решение. (y + y : 3 + (y : 3 + 8)) см.

109. Длина ломаной MNKL (незамкнутой): MN + NK + KL. а) MN a ⎫ NK — в 3 раза >, чем ⎬? ⎭ KL — на 12 см >, чем Решение. (a + 3a + (a + 12)) см. б) MN b ⎫ NK — на 7 см >, чем ⎬? ⎭ KL — в 4 раза >, чем Решение. (b + (b + 7) + 4(b + 7)) см. Результат 110. Множитель Множитель 2 2 :2 : 10 : 10 : 100

111. а) б) 112. а) б) 113. а) б) в) г) 114. а)

2 10 : 10 10 : 10 : 10

4 20 : 20 не изменится : 100 : 100

100 – 17 83; в) 50 – 24 26; д) 100 – 6 94; 100 – 64 36; г) 50 – 36 14; е) 100 – 73 27.

100 – 82 18; в) 50 – 39 11; д) 75 – 50 25; 100 – 8 92; г) 50 – 14 36; е) 50 – 22 28. Стоимость трех книг — 3х; 2у — стоимость двух альбомов; (у – х) — на сколько альбом дороже книги; (5х + 4у) — стоимость 5 книг и 4 альбомов. (a + b) км/ч — скорость, с которой пассажирский и товарный поезда удаляются друг от друга; б) (1750 : а) ч — время, необходимое пассажирскому поезду для преодоления 1750 км; в) (1750 : b) ч — время, необходимое товарному поезду для преодоления 1750 км; г) 1750 : (a + b) ч — время сближения поездов, если они выйдут одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 1750 км.

. . % , . . $

349

115. Задача.

I окунь — 400 г ⎫ II окунь — ? на 60 г >, чем ⎬? ⎭ III окунь — ? в 2 раза <, чем Решение.

1) 400 + 60 460 (г); 2) 400 + 460 860 (г); 3) 860 : 2 430 (г); 4) 860 + 430 1290 (г). Ответ: масса всех трех окуней равна 1290 г или 1 кг 290 г.

116. Возможные варианты кодового номера магнитной карты Антона: 9697; 9688; 9679; 6997; 6988; 6979; 7897; 7888; 7879; 8788; 8779. Нельзя утверждать, что Антон сможет воспользоваться картой, если ошибется 4 раза, так как всего 12 вариантов кодового номера его карты.

}

Контрольные задания 1. Ломаная ABCDE — незамкнутая, состоит из 4 звеньев: AB, BC, CD, DE.

2. Ломаная MNKLT — замкнутая, состоит из 5 звеньев: MN, NK, KL, LT, ТM.

§ 7. Координатный луч 118. 7; 9; 13; 17; 20; 21.

119. C, F, I, N, U. 120. а) б) 121.

122. а) A(6); B(12); C(15); D(21); F(30); G(42); H(63); б) A(10); B(20); C(25); K(30); D(35); F(50); G(70); H(105);

2002–2011 гг.

350

в) A(15); B(45); C(60); D(90); F(135); G(195); H(300); г) A(4); B(20); C(24); D(44); F(52); G(64); H(80).

123. а) 4; б) 10; в) 30; г) 25; 124. 31 + 7 38; 48 – 25 23.

125. 1) а) 40 + 8 + 15 63; б) 32 – 16 – 14 2; 2) а) 40 + 23 63; б) 32 – 30 2.

126. 1) 6 (4 + 3) 6 7 42 (м2); 2) 28 : (4 + 3) 28 : 7 4 (ч).

127. 1) 360 : 6 60 (деталей) — изготавливает мастер за 1 день; 2) 360 : 12 30 (деталей) — изготавливает ученик за 1 день; 3) 60 + 30 90 (деталей) — изготавливают ученик и мастер за 1 день, работая одновременно; 4) 360 : 90 4 (дня). Ответ: за 4 дня, работая одновременно, мастер и ученик изготовят 360 деталей.

128. 1) 1800 : 90 20 (м) — за 1 день ремонтирует I бригада; 2) 1800 : 45 40 (м) — за 1 день ремонтирует II бригада; 3) 20 + 40 60 (м) — за 1 день ремонтируют I и II бригады вместе; 4) 1800 : 60 30 (дней). Ответ: за 30 дней будет закончен ремонт дороги, если обе бригады будут работать совместно.

Контрольные вопросы 2.

3. M(3); N(9); K(17).

§ 8. Округление натуральных чисел 132. а) б) в) г) 133. а) в)

2578 | 2600; 86 039 | 86 000; 448 731 | 449 000; 2 180 960 | 2 181 000; 7 734 106 | 8 000 000; 6 381 710 | 6 000 000; 12 803 326 | 12 800 000; 257 902 581 | 257 900 000.

8 999 996 | 9 000 000; б) 8 999 996 | 9 000 000; 8 999 996 | 9 000 000; г) 8 999 996 | 9 000 000.

. . % , . . $

351

134. ะฐ) ะดะพ ั ั ั ั ั ; ะฑ) ะดะพ ะดะตั ั ั ะบะพะฒ ั ั ั ั ั ; ะฒ) ะดะพ ั ะพั ะตะฝ; ะณ) ะดะพ ั ะพั ะตะฝ ั ั ั ั ั .

135. 99 999 995.

136. 15 : 5 3 (ั ). ะ ั ะฒะตั : ะ ะปะฐะดะดะธะฝ ะฟะพั ั ะฐั ะธั ะฝะฐ ะฒะพะทะฒั ะฐั ะตะฝะธะต ะฟั ะธะผะตั ะฝะพ 3 ั ะฐั ะฐ.

137. 1) 17 ย 6 102 (ะบะผ), 102 | 100; 2) 16 โ 6 10 (ั ). ะ ั ะฒะตั : ะผะฐั ะธะฝะต ะฟะพะฝะฐะดะพะฑะธั ั ั ะฟั ะธะผะตั ะฝะพ 6 ั ะดะปั ะพั ะธั ั ะบะธ ะฟั ั ะธ; ะฝะฐั ะฐั ั ั ะฐะฑะพั ั ะตะน ะฝั ะถะฝะพ ะฟั ะธะผะตั ะฝะพ ะฒ 10 ั , ั ั ะพะฑั ะทะฐะบะพะฝั ะธั ั ะพั ะธั ั ะบั ะฒ 16 ั .

139. 1) 24 : 4 6 (ะณะฐ) โ ะพั ะพั ะฐะตั I ะผะฐั ะธะฝะฐ ะทะฐ 1 ั ะฐั ; 2) 24 : 3 8 (ะณะฐ) โ ะพั ะพั ะฐะตั II ะผะฐั ะธะฝะฐ ะทะฐ 1 ั ะฐั ; 3) 6 + 8 14 (ะณะฐ) โ ะฟะพะปะธะฒะฐั ั ะพะฑะต ะผะฐั ะธะฝั ะทะฐ 1 ะดะตะฝั , ั ะฐะฑะพั ะฐั ะพะดะฝะพะฒั ะตะผะตะฝะฝะพ; 4) 14 ย 8 112 (ะณะฐ). ะ ั ะฒะตั : ะผะฐั ะธะฝั ะทะฐ 8 ั ั ะพะฒะผะตั ั ะฝะพะน ั ะฐะฑะพั ั ะพั ะพั ั ั 112 ะณะฐ.

140. ะฐ) 100 โ 15 85; ะฑ) 80 + 15 95; ะฒ) 50 + 13 63; ะณ) 70 โ 10 60.

141. ะฐ) +61; ะฑ) โ 20; ะฒ) +20; ะณ) โ 8; ะด) โ 20; ะต) +6.

142. 40 ั ั ะฑะปะตะน.

143. ะ ะฐ-ะ ะฐ ะทะฐะฟะธั ะฐะป ั ะธั ะปะพ 181 (1 + 8 + 1 10; 1 + 0 1). ะ ั ั ะฐั ะพะบ ะทะฐะฟะธั ะฐะป ั ะธั ะปะพ 929 (9 + 2 + 9 20; 2 + 0 2).

144. 1) 48 : 3 16 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ะบะฐั ะตั ะฐ ะฟะพ ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ; 2) 16 โ 2 14 (ะบะผ/ั ). ะ ั ะฒะตั : ั ะพะฑั ั ะฒะตะฝะฝะฐั ั ะบะพั ะพั ั ั ะบะฐั ะตั ะฐ ั ะฐะฒะฝะฐ 14 ะบะผ/ั .

145. 1) 60 : 4 15 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตะฟะปะพั ะพะดะฐ ะฟั ะพั ะธะฒ ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ; 2) 16 โ 15 1 (ะบะผ/ั ). ะ ั ะฒะตั : ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ ั ะฐะฒะฝะฐ 1 ะบะผ/ั .

146. 1) 88 : 8 11 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ะปะพะดะบะธ ะฟั ะพั ะธะฒ ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ; 2) 88 : 22 4 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ; 3) 11 + 4 15 (ะบะผ/ั ). ะ ั ะฒะตั : ั ะบะพั ะพั ั ั ะปะพะดะบะธ ะฒ ั ั ะพั ั ะตะน ะฒะพะดะต ั ะฐะฒะฝะฐ 15 ะบะผ/ั .

147. 1) 48 : 3 16 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตะฟะปะพั ะพะดะฐ ะฟะพ ั ะตั ะตะฝะธั ; 2) 48 : 24 2 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ; 3) 16 โ 2 14 (ะบะผ/ั ). ะ ั ะฒะตั : ะฟั ะธ ะดะฒะธะถะตะฝะธะธ ะฟะพ ะพะทะตั ั ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตะฟะปะพั ะพะดะฐ ั ะฐะฒะฝะฐ 14 ะบะผ/ั .

148. 1) 12 ย 19 228 (ะผ) โ ะฟั ะตะพะดะพะปะตะป ะฐะฒั ะพะฑั ั ะทะฐ 12 ั ; 2) 228 โ 180 48 (ะผ) โ ะฟั ะตะพะดะพะปะตะป ะฟั ะพั ะพะถะธะน ะทะฐ 12 ั ; 3) 48 : 12 4 (ะผ/ั ). ะ ั ะฒะตั : ะฟั ะพั ะพะถะตะผั ะฟั ะธั ะปะพั ั ะฑะตะถะฐั ั ั ะพ ั ะบะพั ะพั ั ั ั 4 ะผ/ั .

149. ะฐ) ย 6; ะฑ) : 5; ะฒ) : 5; ะณ) : 6; ะด) ย 3; ะต) ย 3.

ะ ะพะฝั ั ะพะปั ะฝั ะต ะทะฐะดะฐะฝะธั 1. 68 823 | 69 000; 238 480 | 238 000; 2 560 511 | 2 561 000.

2. ะฐ) ะ ะพ ะดะตั ั ั ะบะพะฒ ั ั ั ั ั ; ะฑ) ะดะพ ั ะพั ะตะฝ.

352

2002–2011 гг.

§ 9. Прикидка результата действия 152. а) Десятки тысяч; цифра 1; б) если второе число уменьшить в два раза, то старший разряд суммы не изменится; если второе число увеличить в 2 раза, то не изменится; если увеличить в 10 раз, то не изменится; если увеличить в 100 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд суммы изменится, а если его увеличить в 2 раза, то тоже изменится; в) десятки тысяч; цифра 1; г) если второе число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разности не изменится; а если увеличить в 2 раза, то не изменится, но если увеличить в 10 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разности изменится, а если увеличить в 2 раза, то изменится цифра старшего разряда разности.

153. Пусть х г — масса одного огурца. На рисунке видно 10 огурцов. Составим уравнение, учитывая, что 1 кг 1000 г: 10x + 500 + 100 1000 + 1000; 10x + 600 2000; 10x 2000 – 600; 10x 1400; x 1400 : 10; x 140. Значит, 140 г весит один огурец. Ответ: масса одного огурца равна 140 г.

154. 1) 31 691 | 30 000; 490 | 500; 31 691 490 | 30 000 500 15 000 000. Поэтому, Пончик стал миллионером. б) 30 000 250 7 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 2 раза ниже.

3000 50 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 10 раз ниже. в) 30 000 : 2 15 000; 15 000 500 7 5000 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли в 2 раза меньше.

30 000 : 10 3000; 3000 500 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли в 10 раз меньше. г) 150 000 000 : 500 300 000 (г). Пончику нужно продать больше 300 000 г соли, чтобы купить виллу.

155. а) 20 км 2 000 000 см; 24 см | 20 см; 2 000 000 : 20 100 000.

165. а) (24 + 12) 2 72; б) (150 – 60) : 3 30; в) 72 : (36 – 24) 10 60; г) 150 – (2 24 + 12) : 6 140.

353

. . % , . . $

166. а) б) в) г)

Контрольные вопросы 1.

2.

3.

4.

Десятки тысяч. Сотни. Тысячи. Сотни.

§ 10. Вычисления с многозначными числами 167. 1)

+

2)

2 741 439 45 361

+

6 478 497 5 954 502

3)

−

922 564 723 154

4)

−

564 589 57 175

168. а)

2 786 800 48 489 + 72 655

б)

12 432 999 4 728 088 + 252 245

в)

199 410 5 388 226 − 2 881 622

г)

507 414 1 925 908 − 71 414

169. а)

121 144 485 992 + 68 622

б)

4 980 333 329 527 − 177 028

в)

2 506 604 442 774 + 652 887

г)

1 854 494 131 357 − 81 592

170. а) Река Длина, км

1)

5)

+

2850 3821

6671 2700 − 130

1 094 887

152 499

554 614

49 765

Амазонка Висла Ганг Дунай Муррей Нил Ориноко Сена 6400

2)

6)

−

1047

6671 271

6400 2570 + 160

2700

3)

7)

−

2850

6400 5353

1047 2730 − 1954

2570

4)

+

6671

2730

776

1047 1653 2700

776 2730 2570 б) Из перечисленных рек самая длинная — Нил (6671 км), а сама короткая — Сена (776 км). ⎛ 6400⎞ − Ориноко короче Амазонки на 3670 км ⎜ 2730⎟ ; ⎟ ⎜ ⎜⎝ 3670 ⎟⎠

2002–2011 гг.

354

⎛ 6671⎞ − Нил длиннее Ганга на 3971 км ⎜ 2700⎟ . ⎟ ⎜ ⎜⎝ 3971 ⎟⎠ 171. Пельсианы — ? Рангаты — ? Кабриосы — ?

}

1250 юке

Решение.

1) 1780 − 1084

2)

696 (юке) — рангаты; 3)

−

⎫ ⎪ ⎬ 1780 юке. ⎭⎪

1084 юке

−

1250 696 554 (юке) — пельсианы;

1084 554

530 (юке) — кабриосы. Ответ: рангаты стоят 696 юке, пельсианы — 554 юке, кабриосы — 530 юке.

172 Первый и третий примеры вычислены неправильно.

173. а) 5000 100 500 000; б) 4000 700 2 800 000; 5243 4359 × × 128 700 41944 10486 5243

3051300

671104 в) 7000 500 ×

3 500 000;

7051 503

г) 5000 4000 ×

21153 35255

20 000 000;

4506 4110

4506 4506 18024

3546653

18519660 д) 5000 400 4503 × 356

20 000 000;

е) 500 500 5006 × 474

27018 22515 13509

20024 35042 20024

1603068

2372844

2 500 000;

355

. . % , . . $

174. а) 20 000 Â&#x2DC; 3000 20134 Ã&#x2014; 3005

60 000 000;

б) 70 000 Â&#x2DC; 200 70342 Ã&#x2014; 201

100670

70342

60402

140684

60502670 в) 13 000 Â&#x2DC; 800 13150 Ã&#x2014; 752

10 400 000;

2630 6575 9205

41045472 56 000 000; е) 6000 Â&#x2DC; 700 5604 Ã&#x2014; 705

д) 7000 Â&#x2DC; 8000 6520 Ã&#x2014; 8000

4 200 000;

28020 39228

52160000

175. а) 50 000 Â&#x2DC; 2000 2307 Ã&#x2014; 46200

3950820 100 000 000; б) 3000 Â&#x2DC; 8000 3465 Ã&#x2014; 8012

4614 13842 9228

24 000 000;

6930 3465 27720

106593400

27761580 3 200 000;

г) 7000 Â&#x2DC; 3000 3249 Ã&#x2014; 7006

21 000 000;

19494 22743

3292000

д) 1000 Â&#x2DC; 100 1035 Ã&#x2014; 96

14138742 г) 400 Â&#x2DC; 90 000 36 000 000; 90012 Ã&#x2014; 456 540072 450060 360048

9888800

в) 8000 Â&#x2DC; 400 8230 Ã&#x2014; 400

14 000 000;

100 000;

22762494 е) 50 Â&#x2DC; 9000 450 000; 9008 Ã&#x2014; 54

6210 9315

36032 45040

99360

486432

2002–2011 гг.

356

176. 1)

×

2105 125

2)

×

3)

4731 50

+

2105 4731 6836 (чел.)

236550 (p.)

10525 4210 2105 263125 (p.)

4)

−

15936 6836 9100

5)

×

6)

9100 35

455 273

236550 + 263125 318500 818175 (p.)

318500 (p.) Ответ: выручка от продажи билетов на футбольный матч составила 818 175 р.

177. 1)

×

35 12

2)

×

420 46000

70 35

252 168

420 (вагонов);

19320000 (кг);

19 320 000 кг 19 320 т. Ответ: на комбинат перевезут 19 320 т зерна.

178. 1)

×

4537 5

22685 (л) — выкачали большие насосы за 1 час; 2)

×

2120 3 6360 (л) — выкачали малые насосы за 1 час;

3)

+

22685 6360 29045 (л) — выкачали насосы вместе за 1 час;

4)

×

29045 6

174270 (л). Ответ: в подвале скопилось во время наводнения 174 270 л воды.

357

. . % , . . $

179. 1 способ 1)

×

2)

257 17

+

3)

257 17

−

4095

274

1799 257

4369 274

4369 2 способ 1) 17 – 1

16;

2)

×

3)

257 16

−

1542 257

4112 17 4095

4112 Ответ: разница между требуемым и полученным числом составляет 4095.

180. Правильно выполнены вычисления 1) и 3). В вычислении 2) правильный ответ 501.

181. а) 3000 : 20 −

150;

2898 23 23 126

−

59 46

−

138 138

б) 12 000 : 300 −

40;

11040 345 1035 32 −

690 690 0

0 в) 70 000: 100 −

69000 138 690 500 0

700;

г) 40 000 : 70 | 600; −

37872 72 360 526 −

187 144

−

432 432 0

2002–2011 гг.

358

д) 550 000: 90 | 6000; −

546455 91 546 6005

е) 12 000 : 60 −

200;

11774 58 116 203 17 − 174 174

4 45 − 455 455

0

0 182. а) 200 000 : 50 −

4000;

162648 54 162 3012 6 − 64 54

б) 60 000 : 100

600;

−

60625 125 500 485

−

1062 1000 −

108 − 108

625 625 0

0 в) 170 000 : 30 | 6000; 166496 32 − 160 5203 −

64 64

г) 20 000 : 500 40; 17898 471 − 1413 38 −

9 − 96 96

3768 3768 0

0 д) 400 000 : 100 −

4000;

380665 95 380 4007 6 66 665 − 665 0

е) 30 000 : 50 −

600;

34349 49 343 701 4 49 − 49 0

359

. . % , . . $

1

4

2

5

3

183. а) 308 Â&#x2DC; 37 â&#x20AC;&#x201C; 29 Â&#x2DC; 101 + 253 Â&#x2DC; 9 1)

Ã&#x2014; +

308 2) 37

2156 924

Ã&#x2014; +

5)

8467 2277

10744

8467

2277

+

2929

1

2

б) (3107 + 287) Â&#x2DC; 43 +

4) â&#x2C6;&#x2019; 11396 2929

3) Ã&#x2014; 253 9

909 202

11396

1)

101 29

10 744;

145 942; 2)

3107 287

Ã&#x2014;

3394 43

10182 13576

3394

145942 1

4

3

2

в) 38 027 Â&#x2DC; 24 + 24 508 â&#x20AC;&#x201C; 2408 Â&#x2DC; 356 1)

Ã&#x2014;

38027 24

2)

Ã&#x2014;

2408 356

79 908; 3)

+

912648 24508

912648

â&#x2C6;&#x2019;

937156

14448 12040 7224

152108 76054

4)

937156 857248 79908

857248 1

4

2

3

г) (10 000 â&#x20AC;&#x201C; 7875) Â&#x2DC; (10 Â&#x2DC; 201 â&#x20AC;&#x201C; 1785) 1)

â&#x2C6;&#x2019;

10000 7875

2) 201 Â&#x2DC; 10

2010;

2125

478 125; 3)

â&#x2C6;&#x2019;

2010 1785 225

4)

Ã&#x2014;

2125 225

10625 4250 4250 478125

184. 1) 78 Ñ&#x201A; 625 кг 78 625 000 г; 2) 18 кг 500 г 18 500 г; 3) 78 625 000 : 18 500 4250 (мон.);

2002–2011 гг.

360

−

786250 185 740 4150 −

462 370 −

925 925 0

185.

Ответ: в трейлер погрузили 4250 мониторов.

1025550 11925 − 95400 86 −

71550 71550 0

Ответ: на одного человека приходится в среднем 86 л воды в день.

2) 21600 30 186. 1) 93600 − − 21 72000 720 (ð.)

21600 (ð.)

−

6 6 0

Ответ: оптовая цена куртки меньше розничной на 720 р.

187. 78 + 43 35 156 (ð.) Ответ: цена 1 кг получившейся смеси — 156 р.

1) Если взятьпо 2 кг печенья каждого сорта, то стоимость смеси увеличится в 2 раза. Но цена смеси не изменится. А если взять по пол килограмма, то стоимость смеси уменьшится в 2 раза, но цена смеси при этом не изменится.

2) Если к смеси добавить 1 кг печенья третьего сорта, то ее цена увеличится на 35 р., а если первого сорта, то увеличится на 78 р.

188. 1) 2 р. 20 к. 220 к.; 2) 20 220 4400 (к.) 44 (р.) — стоимость 20 л воды; 3) 44 + 88 132 (р.) — стоимость напитка; 4) 20 + 2 22 (р.) — количество напитка; 5) 132 : 22 6 (р.) — цена напитка. Ответ: стоимость напитка — 132 р., а его цена — 6 р.

1

2

3

7

4

5

6

а) (320 : 8 – 30) : 2 + (578 : 17 + 87) : 11 1) 320 : 8 40; 2) 40 – 30 10;

16;

3) 10 : 2

5;

361

. . % , . . $

4)

−

578 17 51 34 −

5)

+

6)

34 87

121

68 68

121 11 11 11

−

−

0 1

×

2

3

5

4

2)

395 52

−

11 11

498 385;

20540 603

3)

19937

790 1975

−

5)

−

498425 40 498385

0 4

2

5

3

в) 395 52 – 603 25 – 960 : 24 5425; 2) 3) 960 24 1) 603 395 × × − 25 52 96 40 3015 790 0 1206 1975 3

104192

−

20540 15075 5465

5)

−

5465 40 5425

2

г) 256 407 – 33 078 : 298 104 081; 2) 33078 298 1) 256 − × 298 111 407 1792 1024

4)

15075

20540 1

19937 25

498425

960 24 96 40

1

×

99685 39874

20540 4)

16;

0

б) (395 52 – 603) 25 – 960 : 24 1)

7) 5 + 11

−

−

104192 111 104081

327 298 −

3)

298 298 0

190. Между 30 липами, по условию, есть 29 мест для высадки камелий.

1) 29 2 58 (к.) — камелий по одну сторону аллеи; 2) 58 2 116 (к.). Ответ: посадили 116 кустов камелий.

191. а) (s – 4) — длина грунтовой дороги; 3v — скорость автомобиля по шоссе;

2002–2011 гг.

362

(s : 3v) — время, за которое автомобиль по шоссе доедет из поселка Левино до поселка Новопокровское; (s – 4) : v — время, за которое автомобиль по грунтовой дороге преодолеет пусть от поселка Левино до поселка Новопокровское. б) Равенство s : 3v (s – 4) : v означает, что автомобиль преодолевает путь по грунтовой дороге и по шоссе за одинаковое время.

192. а) б) 193. а) б)

Контрольные задания а)

+

4 570 852 64 208

б)

−

4 635 060 в)

×

24042 307

168294 72126 7380894

г)

−

6 353 054 738 536 5 614 518 2835 27 27

105

13 135 − 135 0

§ 11. Прямоугольник 194. а)

Р 10 + 6 + 5 + 3 + 5 + 3 20 + 12 32; S S1 + S2 3 5 + 3 10 15 + 30 45;

. . % , . . $

363

P 6 + 10 + 2 5 + 2 3 16 + 16 32; S S1 + S2 6 5 + 3 5 30 + 15 45;

P 2 (6 + 10) 2 16 32; S S2 – S1 6 10 – 3 5 60 – 15 45. Далее будем рассматривать один из указанных способов решения: б)

в)

г)

Р

2(a + b); S

P

2 (a + b); S

ab – (a – d) (b – c);

ab – cd;

P 2 (a + b); S ab – d (a – c).

195. Площадь каждой из закрашенных фигур равна 1 см2, так как составляет 4 полных клетки.

196. 1) — равные прямоугольники: 1) и 7); 2) и 6); 4) и 5); — прямоугольники, имеющие одинаковую площадь: 2), 4), 5), 6); 3), 1) и 7); — прямоугольники, имеющие одинаковый периметр: 1), 4), 7), 5); 2) и 6); 2) — нет; — нет; — нет; — нет; — нет.

197. 1) Площади всех фигур, изображенных на рисунке 27 равны. Равных фигур среди изображений нет.

2002–2011 гг.

364

198.

199.

200.

201.

2) — истинно; — ложно; — ложно; — истинно. а) 5 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 12 см (так как S 12 12 144 (см2)).

100 10 10 2 50 5 20 4 25 Поэтому периметр прямоугольника может быть равным: 2 (10 + 10) 40 (см); 2 (2 + 50) 104 (см); 2 (5 + 20) 50 (см); 2 (4 25) 58 (см). Наименьший периметр у прямоугольника со сторонами 10 см и 10 см, т.е. у квадрата со стороной 10 см. а) 24 + 15 39; 24 – 15 9. Значит, от числа 24 на 15 единичных отрезков удалены точки с координатами 9 и 39; б) 78 + 159 237. От числа 78 на 159 единичных отрезков удалена точка 237. а) б) в) г)

202. а) б)

в)

2

1

3

203. а) (6568 – (8007 – 6999)) 1001 5 565 560; 3) 2) 6568 1) 8007 5560 × − − 1001 6999 1008 1008

556

5560 556

5565560

365

. . % , . . $

3

4

1

2

5

б) (801 601 + (10 000 – 9876) 99) 40 19 747 080; 124 4) 481401 3) 1) 10000 2) 801 × − + × 99 9876 12276 601 124

5)

1116 1116

801 4806

12276

481401

493677 × 40

493677

19747080 2

1

в) 157 464 : (14 904 : 23) 243; 2) 157464 648 1) 14904 23 − − 138 1296 648 243 −

110 92

−

−

184 184

2786 2592 −

1944 1944

0 1

0 3

2

г) (97 548 + 69 432) : (16 400 – 15 388) 1)

97548 + 69432 166980

2)

16400 − 15388

165; 3)

1012

−

166980 1012 1012 165

−

6578 6072 −

204. а) 1) 1000 : 10 100 (л); 2) 8500 : 100 85 (р.) — стоит 10 л бензина; 3) 210 : 10 21 (л); 85 × 21

5060 5060 0

85 170 1785 (р.). Ответ: 210 л бензина стоят 1785 р. б) 1) 52 ч 30 мин 52 60 мин + 30 мин 3150 мин;

3120 мин + 30 мин

2002–2011 гг.

366

2) 3150 : 10 315 (мин) — затрачивает рабочий на изготовление 1 детали; 3) 43 ч 45 мин 43 60 мин + 45 мин 2580 мин + 45 мин 2625 мин; 4) 2625 25 − 25 105 (мин) — затрачивает станок-автомат на изготовление 1 детали; 12 −

125 125 0

5) 315 : 105 3 (раза). Ответ: автомат работал быстрее рабочего в 3 раза.

Контрольные задания 1. АВ 18 мм; ВС 44 мм. Р 2 (АВ + ВС) 2 (18 + 44) 2 62 124 (мм); SABCD AB BC 18 44 792 (мм2). 18 × 44 72 72 792 2. Фигуры являются равными, если при наложении их друга на друга они совпадают.

§ 12. Формулы 206. а) S

a b 25 × 24

25 24

600 (см2);

б) S

+

57 342 3477

48 125

6000 (см2);

1000 500

100 50

+

+

600 в) S a b 57 × 61

a b 125 × 48

61 57

3477 (м ); 2

г) S

+

6000 a b 218 105 218 × 105 1090 218 22890

22 890 (м2);

. . % , . . $

207. а) б) в) г) 208. s а) в) 209. а)

Р 2 (a + b) 2 (12 + 15) 2 27 54 (м); P 2 (a + b) 2 (34 + 25) 2 59 118 (м); P 2 (a + b) 2 (78 + 22) 2 100 200 (см); P 2 (a + b) 2 (154 + 146) 2 300 600 (см). v t s 15 4 60 (км); б) s 70 2 140 (км); s 90 3 270 (км); г) s 26 7 182 (км). б) 13 ì 90 ñì 5 ìì 2 ò 540 êã + 14 ì 00 ñì 15 ìì 380 êã + 5 ì 30 ñì 00 ìì 2 ò 702 êã 33 ì 20 ñì 20 ìì

5 ò 622 êã в)

7 ãà 17 à 65 à + 12 ãà 53 à 12 ãà 35 à

210. 1)

367

+

г)

94 à 25 ì2 + 75 à 47 ì2 60 ì2 170 à 32 ì2 2)

5460 5450

10910 — второе слагаемое; 3) 15510 + 10910 5460

+

10910 4600

15510 — третье слагаемое; 4) 31880 × 2 63760

31880 — четвертое слагаемое; Ответ: сумма всех четырех слагаемых равна 63 760.

211. I — 99; II — (999 – 99); III — 100; IV — ?

1) 999 – 99 900; 2) 900 + 100 + 99 1099; 3) 2645 – 1099 1546.

2654 − 1099 1546 Ответ: четвертое слагаемое равно 1546.

Контрольные задания 1. Формула — это равенство, которое представляет собой запись правила вычисления значения какой-либо величины.

2. а) S a b; P 2 (a + b); б) s v t.

3. P a + b + c, где a, b, c — длины сторон треугольника.

2002–2011 гг.

368

§ 13. Законы арифметических действий 211. а) 48 + 56 + 52 48 + 52 + 56 100 + 56 156; б) 34 + 17 + 83 34 + (17 + 83) 34 + 100 134; в) 56 + 24 + 38 + 62 (56 + 24) + (38 + 62) 80 + 100 180; г) 88 + 19 + 21 + 12 (88 + 12) + (19 + 21) 100 + 40 140; д) 25 + 65 + 75 25 + 75 + 65 100 + 75 165; е) 35 + 17 + 65 + 33 (35 + 65) + (17 + 33) 100 + 50 150; ж) 27 + 123 + 16 + 234 (27 + 123) + (16 + 234) 150 + 250 400; е) 156 + 79 + 21 + 44 (156 + 44) + (79 + 21) 200 + 100 300.

215. 1) S 6 8 + 3 6 48 + 16 66; 2) S 6 (8 + 3) 6 11 66.

221. S ab – ac или S a (b – c). c S—?

a

b

224. а) 560 188 – 880 56 560 188 – 88 560 560 (188 – 88) 560 100 56 000; б) 84 670 – 640 67 84 670 – 64 670 670 (84 – 64) 670 20 13 400; в) 490 730 – 73 900 490 730 – 730 90 730 (490 – 90) 730 400 292 000; г) 36 3400 – 360 140 360 340 – 360 140 360 (340 – 149) 360 200 72 000.

226. а) 258 (764 + 548) > 258 (764 + 545); б) 751 (339 + 564) < 751 (340 + 564); в) 532 (618 – 436) 532 (618 – 436); г) 496 (862 – 715) > 496 (860 – 715).

30 38 43 59 72 227. c d 3(c – d) 3c – 3d

15 45 45

22 48 48

26 51 51

41 54 54

53 57 57

3 (30 – 15) 3 15 45; 3 (38 – 22) 3 16 48; 3 (43 – 26) 3 17 51; 3 (59 – 41) 3 18 54; 3 (72 – 53) 3 19 57; 3(c – d) 3c – 3d.

228. (16 + 2) 32 16 32 + 2 32 16 32 + 64; значит, произведение 16 32 увеличится на 64; 16 (32 – 3) 16 32 – 16 3 16 32 – 48; значит, произведение 16 32 уменьшится на 48; (81 + 2) 42 81 42 + 2 42 81 42 + 84; значит, произведение 81 42 увеличится на 84;

. . % , . . $

229.

230.

231.

232.

369

81 (42 – 1) 81 42 – 81 1 81 42 – 81; значит, произведение 81 42 уменьшится на 81. а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; в) 2896; 2897; 2899; 2899; 2900; в) 129; 130; 131; г) 488; 489; 490; 491; 492. а) 40 + 15 + 17 72; в) 40 – 15 – 17 8; б) 40 – 15 + 17 42; г) 120 – 60 – 60 0. Белые носки — ?

84 пары Голубые носки — ? на 20 пар >, чем Решение.

1) 84 – 20 64 (пары); 2) 64 : 2 32 (пары) — белых носков; 3) 32 + 20 52 (пары) — голубых носков. Ответ: 32 пары белых носков, 52 пары голубых.

1) 44 + 18 + 29 91 (кг); 2) 580 – 91 489 (кг); 3) 489 : 3 163 (кг); 4) 163 + 44 207 (кг) — гречка; 5) 163 + 18 181 (кг) — перловка; 6) 163 + 29 192 (кг) — рис. Ответ: в магазине имеется 207 кг гречки, 181 кг перловки, 192 кг риса.

}

§ 14. Уравнение б) у 0; в) х 4; г) а 0.

233. а) х 0; 234. а) у 1; б) п 1; в) m 43; г) х 1.

236. а) S a b 7 12 84 (см2); б) b S : a 48 : 12 4 (см); в) a S : b 144 : 12 12 (см); г) b S : a 120 : 8 15 (см); Р 2 (a + b) 2 (8 + 15) 2 23 46 (см).

237. а) 56 7 t; t 56 : 7; t 8; 204 12 б) 204 v 12; v 204 : 12; v 17; − 12 17 −

84 84 0

в) S : 34

306; S

306 34; S

10 404;

× +

306 34

1224 918

10404 г) 125 : t

25; t

125 : 25; t

5.

2002–2011 гг.

370

238. а) 4 12 : 2 24; в) 60 : 5 – 4 3 0; б) 25 4 – 18 2 64; г) 45 : 15 + 17 3 54.

239. а) 60 – 675 : 45 45; в) 320 + 48 – 48 320; б) 98 – 65 – 33 0; г) 0 97 5 0.

240. 1) 3 30 90 (б.); 2) 90 : 2 45 (б.) — одного сорта батоны; 3) 45 3 135 (б.). Ответ: в булочную было завезено 135 батонов.

241. Картофель — ? в 5 раз >, чем 204 à Капуста — ? Решение. Все поле разделено на 6 равных частей, 5 из них занимает картофель, 1 — капуста.

1) 204 6 − 18 34 (а) — занято под капусту;

}

−

24 24

0 2) 34 5 170 (а) — занято картофелем. Ответ: 34 а занято капустой, 170 а — картофелем.

§ 15. Упрощение выражений 23 15 + 15 77 15 (23 + 77) 15 100 1500; 67 58 + 33 58 58 (67 + 33) 58 100 5800; 340 7 + 16 70 34 70 + 16 70 70 (34 + 16) 70 50 3500; 250 61 – 25 390 260 61 – 250 39 250 (61 – 39) 250 22 5500; д) 79 21 – 69 21 21 (79 – 69) 21 10 210; е) 55 682 – 45 682 682 (55 – 45) 682 10 6820; ж) 7300 3 + 730 70 730 30 + 730 70 730 (30 + 70) 730 100 73 000; з) 500 38 – 50 80 50 380 – 50 80 50 (380 – 80) 50 300 15 000.

244. а) 17m + 5m m (17 + 5) 22m; б) 24b + 7a – 5a 24b – (7 – 5) a 24b – 2a; в) 6a – a 6 a – 1 a (6 – 1) a 5a; г) y – 8 невозможно упростить; д) 9с + 4с – 6с (9 + 4 – 6) с 7с; е) 5 + 12n – 2n 5 + (12 – 2) n 5 + 10n.

245. 1) Сочетательный закон умножения; 2) переместительный и сочетательный законы умножения.

246. а) 15a 4 15 4 a 60a; б) 3b 12 3 12 b 36b; в) 17a 5b 17 5 a b 85ab; г) 11a 7b 11 7 a b 77ab;

242. а) б) в) г)

. . % , . . $

ะด) ะต) 247. ะฐ) ะฑ) ะฒ) ะณ) 248. ะฐ)

249.

251.

252.

253.

371

c ย 18 ย d ย 3 18 ย 3 ย c ย d 54cd; x ย 9 ย 4 ย y 9 ย 4 ย c ย y 36xy.

5x + 8x (5 + 8) ย x 13x; ะฟั ะธ x 13 13x 13 ย 13 169; 12y โ 6y (12 โ 6) ย y 6y; ะฟั ะธ y 6 6y 6 ย 6 36; 9a + 7a (9 + 7) ย a 16a; ะฟั ะธ a 16 16a 16 ย 16 256; 18b โ 7b (18 โ 7) ย b 11b; ะฟั ะธ b 11 11b 11 ย 11 121.

39x โ 5x โ 4x + 28 (39 โ 5 โ 4) ย x + 28 30x + 28; ะฟั ะธ x 3 30x + 28 30 ย 3 + 28 90 + 28 118; ะฟั ะธ x 5 30x + 28 30 ย 5 + 28 150 + 28 178; ะฑ) 28y โ 18y + 6y (28 โ 18 + 6) ย y 16y; ะฟั ะธ y 1 16y 16 ย 1 16; ะฟั ะธ y 2 16y 16 ย 2 32; ะฒ) 12 + 15a + 24a + 5a 12 + (15 + 24 + 5) ย a 12 + 44a; ะฟั ะธ a 0 12 + 44a 12 + 44 ย 0 12 + 0 12; ะฟั ะธ a 3 12 + 44a 12 + 44 ย 3 12 + 132 144; ะณ) 26 + 14b โ 4b 26 + (14 โ 4) ย b 26 + 10b; ะฟั ะธ b 4 26 + 10b 26 + 10 ย 4 26 + 40 66; ะฟั ะธ b 10 26 + 10b 26 + 10 ย 10 26 + 100 126. ะฐ) 15x โ 8x 21; ะฑ) 2x + 4x 30; (15 โ 8)x 21; (2 + 4)x 30; 7x 21; 6x 30; x 21 : 7; x 30 : 6; x 3; x 5; ะฒ) 4y + 2y โ y 20; ะณ) 7y + y โ 2y 24; (4 + 2 โ 1)y 20; (7 + 1 โ 2)y 24; 5y 20; 6y 24; y 20 : 5; y 24 : 6; y 4; y 4; ะด) 3x โ x 12; ะต) x + 8x 72; (3 โ 1)x 12; (1 + 8)x 72; 2x 12; 9x 72; x 12 : 2; x 72 : 9; x 6; x 8. ะถ) 9x + x โ 9x 5; ะท) 4x + 3x โ 7x 6; (9 + 1 โ 9)x 5; (4 + 3 โ 7)x 6; x 5; 0 ย 6 6 โ ะปะพะถะฝะพะต; ั 5; ะฝะต ะธะผะตะตั ั ะตั ะตะฝะธั . ะฐ) 5a + 10b 5 ย a + 5 ย 2 ย b 5 ย (a + 2b); ะฑ) 8x โ 16y 8 ย x + 8 ย 2 ย y 8 ย (x + 2y); ะฒ) 27p + 9q 9 ย 3 ย p + 9 ย q 9 ย (3p + q); ะณ) 26m โ 15n; ะทะดะตั ั ะฝะตะปั ะทั ะฒั ะฝะตั ั ะธ ะพะฑั ะธะน ะผะฝะพะถะธั ะตะปั ะทะฐ ั ะบะพะฑะบะธ. ะฐ) 22l โ 33f + 44 11 ย 2 ย l โ 11 ย 3 ย f 11 ย 4 11 ย (2l โ 3f + 4); ะฑ) 7c + 21d + 7 7 ย c + 7 ย 3 ย d + 7 ย 1 7 ย (c + 3d + 1); ะฒ) 12m + 24n + 18 6 ย 2 ย m + 6 ย 4 ย n + 6 ย 3 6 ย (2m + 4n + 3); ะณ) 45m + 15n โ 30 15 ย 3 ย m + 15 ย n โ 15 ย 2 15 ย (3m + n โ 2).

1) 24 : 2 12 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ะบะฐั ะตั ะฐ ะฟะพ ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ; 2) 24 : 3 8 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ะบะฐั ะตั ะฐ; 3) 12 โ 8 4 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ. ะ ั ะฒะตั : ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ ั ะฐะฒะฝะฐ 4 ะบะผ/ั .

2002–2011 гг.

372

254. vпо течению vтеплохода + vреки; vпротив течения vтеплохода – vреки; тогда vтеплохода vпротив течения + vреки; vпо течению vпротив течения + vреки + vреки vпротив течения + 2 vреки.

1) 119 : 7 17 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 17 + 2 1 19 (км/ч) — скорость теплохода по течению реки; 3) 19 7 133 (км) — путь по течению реки. Ответ: по течению реки теплоход пройдет 133 км.

255. 1) 5 2 10 (кг); 2) 1 + 1 + 1 3 (кг); 3) 10 – 3 7 (кг). Ответ: масса тыквы равна 7 кг.

256. а) 1) 16 – 14 2 (км/ч); 2) 2 : 2 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч. б) Скорость моторной лодки по течению реки 15 км/ч, а против течения — скорость 14 км/ч; тогда скорость течения реки будет равна 500 м/ч.

257. 1) 720 : 36 20 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 720 : 45 16 (км/ч) — скорость теплохода против течения; 3) (20 – 16) : 2 2 (км/ч) — скорость течения; 4) 16 + 2 18 (км/ч) — скорость теплохода. Ответ: собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.

258. а) 36 + 15 3 – 1 80; в) 10 6 + 10 9 150; в) 36 : 0 20 80; г) 8 0 25 0.

259. а) 523 (747 + 956) 523 (762 + 958); б) 359 (764 – 547) 359 (766 – 549); в) 756 (459 – 327) 756 (449 – 317); г) 312 (245 + 768) 312 (235 + 778).

Контрольные задания 1. а) 4m + 5m + 8 (4 + 5) m + 8 9m + 8; б) 3 7x 21x.

2. 13y – 7y + 2 (13 – 7) y + 2 6y + 2; при y 4 6y + 2 6 4 + 2 24 + 2 26.

3. 6x + 3x 27; (6 + 3) x 27; 9x 27; x 27 : 9; x

3.

§ 16. Математический язык б) 5а; 264. а) а + 30; 265. а) х – 7; б) 2х; 266. а) 5a + 3(a + 30) 250; б) 3(a + 30) – 5a 50; в) 7a > 300; г) 7(a + 30) > 300.

в) 3 (а + 30); в) 6(х – 7);

г) 5а + 3 (а + 30). г) 2х + 6(х – 7).

373

. . % , . . $

267. а) в) 268. а) б) в) г) 269. а) б) в) г) 270. а)

2x + 6(x â&#x20AC;&#x201C; 7) 54; б) 6(x â&#x20AC;&#x201C; 7) â&#x20AC;&#x201C; 2x 6; 2x > 20; г) 6(x â&#x20AC;&#x201C; 7) < 40.

3(n + 5n) 360; 3 Â&#x2DC; 6n 360; 18n 360; 6 Â&#x2DC; 5n â&#x20AC;&#x201C; 3n 540; 30n â&#x20AC;&#x201C; 3n 540; (30 â&#x20AC;&#x201C; 3)n 540; 27n 540; 3 Â&#x2DC; 5n < 350; 15n < 350; 3n > 50.

2v + 4(v : 3) 260; 2v 60 + 4(v : 3) или 2v â&#x20AC;&#x201C; 4(v : 3) 60 или 2v â&#x20AC;&#x201C; 60 4(v : 3); 2v > 120; 4(v : 3) < 150.

240 : 8 â&#x20AC;&#x201C; 30 : 2 + 561 : 17 + 66 : 11 54; 1) 240 : 8 30; 2) 30 : 2 15; 4) 66 : 11 6; 3) 561 17 â&#x2C6;&#x2019; 55 33 â&#x2C6;&#x2019;

51 51 0

5) 30 â&#x20AC;&#x201C; 15 15; 6) 15 + 33 48; 7) 48 + 6 54; б) 47 027 Â&#x2DC; 24 + 31 352 â&#x20AC;&#x201C; 2408 Â&#x2DC; 356 47027 2) 1) 1128648 Ã&#x2014; + 24 31352 188108 + 94054

1160000

1128648

302 752; 2408 3) Ã&#x2014; 356

4)

â&#x2C6;&#x2019;

1160000 857248 302752

14448 + 12040 7224 857248

в) (240 : 8 â&#x20AC;&#x201C; 30) : 2 + (561 : 17 + 66) : 11 9; 1) 240 : 8 30; 2) 30 â&#x20AC;&#x201C; 30 0; 3) 0 : 2 0; 4) 561 : 17 33; 5) 33 + 66 99; 6) 99 : 11 9; 7) 0 + 9 9; г) 140 013 â&#x20AC;&#x201C; 25 Â&#x2DC; 3571 â&#x20AC;&#x201C; 119 Â&#x2DC; 309 13 967; 3571 2) 119 3) 140013 1) Ã&#x2014; Ã&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; 25 309 89275 17855 + 7142 89275

+

1071 357 36771

50738

4)

â&#x2C6;&#x2019;

50738 36771 13967

2002–2011 гг.

374

271. 1)

2)

48 êã 300 ã − 5 êã 700 ã 42 êã 600 ã — масса масла в одном бочонке;

42 êã 600 ã 4 170 êã 400 ã Ответ: в четырех бочонках содержится 170 кг 400 г масла. ×

272. Наибольший общий делитель чисел 48 и 36: 48 = 6 8 = 3 2 2 2 2, 36 = 4 9 = 2 2 3 3 НОД (48,36) = 12. 48 относится к 36 как 4 к 3.

60 : 4 = 15, 15 3 = 45. Ответ: 45 а

Контрольные задания б) х + х – 3 2х – 3; в) 2х – 3 1. а) х – 3; 2. а) Произведение числа 3 и суммы чисел х и у; б) произведение разности чисел х и у и числа 10; в) частное чисел 30 и х; г) частное чисел у и 12; д) сумма произведений чисел 2 и х и чисел 3 и у.

28.

§ 17. Математическая модель 275. В стаде а овец и b коров, тогда: 1) a + b 30 — всего в стаде 30 голов скота; 2) a 3b — овец в 3 раза больше, чем коров; 3) a b + 15 — овец на 15 больше, чем коров; 4) a – b 17 — овец на 17 больше, чем коров; 5) a : 5 b — коров в 5 раз меньше, чем овец. Турист а км прошел пешком и b км проплыл на плоту, тогда: 1) a + b 30 — турист всего преодолел 30 км; 2) a 3b — турист прошел пешком в 3 раза больше, чем проплыл на плоту; 3) a b + 15 — турист прошел пешком на 15 км больше, чем проплыл на плоту; 4) a – b 17 — турист прошел пешком на 17 км больше, чем проплыл на плоту; 5) a : 5 b — турист проплыл на плоту путь в 5 раз меньший, чем прошел пешком. За конфеты заплатили а рублей, а за печенье — b рублей, тогда: 1) a + b 30 — всего за покупку заплатили 30 рублей; 2) a 3b — конфеты стоят в 3 раза больше, чем печенье; 3) a b + 15 — конфеты дороже печенья на 15 рублей; 4) a – b 17 — печенье дешевле конфет на 17 рублей; 5) a : 5 b — печенье в 5 раз дешевле конфет. В классе а девочек и b мальчиков, тогда 1) a + b 30 — всего в классе 30 учеников; 2) a 3b — девочек в 3 раза больше, чем мальчиков в классе;

375

. . % , . . $

3) 4) 5) 276. а)

a b + 15 — девочек в классе на 15 больше, чем мальчиков; a – b 17 — мальчиков в классе на 17 меньше, чем девочек; a : 5 b — мальчиков в классе в 5 раз меньше, чем девочек. Ручка стоит 94 рубля, а карандаш — 17 рублей. Тогда стоимость 2 ручек и 1 карандаша равна 2 9 + 17; б) Расстояние 18 км велосипедист преодолевает за 6 часов, а пешеход за 9 часов. Через какое время они смогут встретиться, если выйдут навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которым 25 км?

277. а) (42 124 + 2430) : 38 202 – (3008 : 94 + 527 8) : 72 40 543; 1) 3) 7638 38 2) 5208 124 + − × 2430 76 201 42 +

7638

248 496

3 38 − 38

5208

0 4)

× +

201 202

5) 3008 94 − 282 32

402 402

40602 7) 4216 + 32

−

−

648 648

×

527 8

4216

188 188

0 8) 4248 72 − 360 59

4248

6)

9)

−

40602 59 40543

0 б) (64 125 + 128 75) : 800 5000 – (300 400 + 5107 800) : 70 49 920; 1) 3) 9600 2) 128 125 + × × 8000 75 64 +

500 750

+

−

17600 800 16 22 −

16 16 0

17600

9600

8000 4)

640 896

5)

22 × 5000 110000

6) 300 400

120 000;

2002–2011 гг.

376

7)

×

5107 800

4085600

8)

+

4085600 120000

9)

4205600

−

4205600 70 42 60080 5 56 − 56 0

10)

110000 − 60080

49920 278. а) 1) 8 4 32 (раза) — во столько раз увеличится запас корма; 2) 32 14 448 (дней). Ответ: на 448 дней хватит корма другому заводчику. б) 1) 22 8 176 (лука) — на столько больше посадили бы лука; 2) 1024 – 176 848 (лука) — высажено на 8 грядках; 3) 848 : 8 106 (лук.). Ответ: на каждую грядку посадили 106 луковок.

Контрольные задания 1) В столовой стульев в 4 раза больше, чем столов; 2) в столовой стульев на 30 больше, чем столов.

ГЛАВА II. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 18. Деление с остатком 282. 29 : 6 4 (5 ост.). Проверка: 6 4 + 5 29. Ответ: Аня живет на 5 этаже.

283. а) a : b 5 (3 ост.); а — делимое, b — делитель; 5 — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a b 5 + 3. б) a : b n (3 ост.); а — делимое; b — делитель; п — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a b n + 3. в) a : b n (r ост.); a — делимое; b — делитель; n — неполное частное; r — остаток. Проверка: a – b n + r.

. . % , . . $

284. 1)

2)

โ

75 9 72 8

3 48 17 โ 34 2

14 3) 412 : 400 4)

โ

370 185 370 2

75 : 9

48 : 17

8 (3 ะพั ั .), 75

9 ย 8 + 3;

2 (14 ะพั ั .), 48

1 (12 ะพั ั .), 412 370 : 185

377

17 ย 2 + 14;

400 ย 1 + 12;

2 (0 ะพั ั .), 370

185 ย 2 + 0.

0 285. ะฐ) 9 โ ะดะตะปะธั ะตะปั , 4 โ ะฝะตะฟะพะปะฝะพะต ั ะฐั ั ะฝะพะต; ะฑ) 3 โ ะดะตะปะธั ะตะปั ; 7 โ ะฝะตะฟะพะปะฝะพะต ั ะฐั ั ะฝะพะต; ะฒ) 8 โ ะดะตะปะธั ะตะปั ; 5 โ ะฝะตะฟะพะปะฝะพะต ั ะฐั ั ะฝะพะต; ะณ) 9 โ ะดะตะปะธั ะตะปั ; 3 โ ะฝะตะฟะพะปะฝะพะต ั ะฐั ั ะฝะพะต.

286. ะฐ) 8 ย 7 + 3 59; ะฑ) 12 ย 7 + 2 86.

287. 1) 51 : 4 12 (3 ะพั ั .); 2) 12 : 5 2 (2 ะพั ั .). ะ ั ะฒะตั : ะ ะฝะฝะฐ ะถะธะฒะตั ะฒ 3 ะฟะพะดั ะตะทะดะต ะฝะฐ 3 ั ั ะฐะถะต.

288. 1) 229 : 3 76 (1 ะพั ั .); 2) 76 : 12 6 (4 ะพั ั .). ะ ั ะฒะตั : ะ ะตะฝั ะถะธะฒะตั ะฒ 7 ะฟะพะดั ะตะทะดะต ะฝะฐ 5 ั ั ะฐะถะต.

289. 1) 272 โ 205 + 1 68 (ะบะฒ.) โ ะฒ ั ั ะพะผ ะฟะพะดั ะตะทะดะต; 2) 68 : 17 4 (ะบะฒ.) โ ะฝะฐ ะพะดะฝะพะผ ั ั ะฐะถะต; 3) 219 โ 205 + 1 15 (ะบะฒ.) โ ะฝะฐั ะพะดะธั ั ั ะผะตะถะดั ะบะฒะฐั ั ะธั ะฐะผะธ โ 205 ะธ โ 219; 4) 15 : 4 3 (3 ะพั ั .). ะ ั ะฒะตั : ะ ะฐะดั ะถะธะฒะตั ะฝะฐ 4 ั ั ะฐะถะต.

290. ะฐ) 26; 16; 36; 46; 56; 66; 76; 86; 96. ะ ั ะตะณะพ 9 ั ะฐะบะธั ั ะธั ะตะป. ะฑ) 106; 116; 126; ะธ ั .ะด. ะ ั ะตะณะพ 30 ั ะฐะบะธั ั ะธั ะตะป.

291. ะ ั ะธ ะดะตะปะตะฝะธะธ ะฝะฐ 7 ะผะพะณั ั ะฟะพะปั ั ะธั ั ั ั ะพั ั ะฐั ะบะธ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. ะ ั ะธ ะดะตะปะตะฝะธะธ ะฝะฐ 9 ะผะพะณั ั ะฟะพะปั ั ะธั ั ั ั ะพั ั ะฐั ะบะธ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. ะ ั ะธ ะดะตะปะตะฝะธะธ ะฝะฐ 19 โ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18. ะ ะต ั ั ั ะตั ั ะฒั ะตั ั ะธั ะปะฐ, ะบะพั ะพั ะพะต ะฟั ะธ ะดะตะปะตะฝะธะธ ะฝะฐ 10 ะดะฐะตั ะฒ ะพั ั ะฐั ะบะต 12, ั ะฐะบ ะบะฐะบ 12 ะฑะพะปั ั ะต 10.

292. 1) 1; 2) ะฐ 2ะฟ โ ั ะตั ะฝั ะต, ั ะฐะบ ะบะฐะบ ะฟั ะธ ะดะตะปะตะฝะธะธ ะฝะฐ 2 ะพั ั ะฐั ะพะบ 0; b 2n + 1 โ ะฝะตั ะตั ะฝะพะต, ั ะฐะบ ะบะฐะบ ะฟั ะธ ะดะตะปะตะฝะธะธ ะฝะฐ 2 ะพั ั ะฐั ะพะบ 1.

293. 1) (13 + 25) : 10 38 : 10 3 (8 ะพั ั .); 2) 233; 105; (33 + 105) : 10 138 : 10 13 (8 ะพั ั .); 3) 43; 21 235; (21 235 + 43) : 10 21 278 : 10 2127 (8 ะพั ั .); 4) ะพั ั ะฐั ะพะบ ะฒั ะตะณะดะฐ ั ะฐะฒะตะฝ 8 โ ั ั ะผะผะต ะพั ั ะฐั ะบะพะฒ ะพั ะดะตะปะตะฝะธั ะฝะฐ 10 ั ะบะฐะทะฐะฝะฝั ั ั ะธั ะตะป;

2002–2011 гг.

378

294.

195.

296.

297.

298.

299.

5) 123; 2459; остаток от деления на 10 суммы этих чисел равен: 3 + 9 12, то есть 2, действительно: (123 + 2459) : 10 2582 : 10 258 (2 ост.); 6) а) (11 + 16) : 10 27 : 10 2 (7 ост.); б) 5 + 7 12, то есть остаток 2, действительно: (25 + 117) : 10 142 : 10 14 (2 ост.); 6 + 4 10, значит, остаток 0, действительно: (216 + 5414) : 10 5630 : 10 563 (0 ост.).

9 – 3 6 — остаток, действительно: (359 – 243) : 10 116 : 10 11 (6 ост.).

99; 111; 3п, где п — натуральное число.

73; 97; 163; 253; 3п + 1, где п — натуральное число.

1) 35 : 14 2 (7 ост.); 2) 7 — половина 14, значит 7 км велосипедист проедет за 30 мин. Ответ: велосипедист преодолеет 35 км за 2 ч 30 мин.

1) 56 : 16 3 (8 ост.); 2) 8 — половина 16, значит, за 8 р. можно купить 500 г сахара. Ответ: можно купить 3 кг 500 г.

10 10 : 3 3 (1 ост.), третья часть 60 мин — 20 мин; 20 11 : 3 3 (2 ост.), две третьи части 60 мин — 40 мин. Ответ: 10 м улитка преодолеет за 3 ч 20 мин, а 11 м — за 3 ч 40 мин.

Контрольные задания 1. Делимое, делитель, неполное частное, остаток.

2. 287 24 287 : 24 11 (23 ост.); − 24 11 −

47 24 23

11 — неполное частное, 23 — остаток.

3. 29 — делимое, 8 — делитель, 3 — неполное частное, 5 — остаток.

§ 19. Обыкновенные дроби 303. а) 3 : 4 =

3 — числитель (три четверти); 4 — знаменатель

б) 1 : 7 =

1 — числитель (одна седьмая); 7 — знаменатель

в) 15 : 31 =

15 — числитель (пятнадцать тридцать первых); 31 — знаменатель

. . % , . . $

379

17 — числитель (семнадцать восемьдесят третьих).

83 — знаменатель 1 85 а) = 1 : 369; = 85 : 369; 369 369 1 158 б) = 1 : 453; = 158 : 453; 453 453 1 1067 в) = 1 : 1478; = 1067 : 1478; 1478 1478 1 45 г) = 1 : 781; = 45 : 781.

781 781 3 1 1 1 7 2 5 5 а) б) г) > . > ; > ; в) < ; 14 14 5 7 10 10 8 6 8 2 10 6 2 б) а) ì; в) ÷; г) ì; êì.

14 11 5 3 1 2 1) ì; ì.

2 4 — длина отрезка АВ в 2 раза меньше длины отрезка CD; — каждый отрезок разделен на 6 равных частей; г) 17 : 83 =

305.

306.

307.

308.

309.

— для отрезка АВ — — смотри пункт 4;

2 2 ì; для отрезка CD — ì; 6 6

— для отрезка АВ: длину отрезка АВ 1 м разделили на 6 равных час2 тей и взяли 2 из них, получили ì; 6 для отрезка CD: длину отрезка CD 2 м разделили на 6 равных час2 тей и взяли 1 из них, получили ì.

6 4 310. 1) кг; 4000 : 5 800 (г); 5 4 кг; 1000 : 5 200 (г); 200 4 800 (г); 2) 5 4 4 кг кг; 800 г 800 г; в первом случае 4 кг разделили на 5 % 3) 5 5 во втором — 1 кг раздели на 5 равных частей и взяли 4 таких части; 4) 1 способ: число 5 разделить на число 6; 2 способ: единицу разделить на 6 равных частей и взять 5 таких частей. Аналогичным образом можно получить двумя способами дроби 3 17 7 , , .

14 24 6

2002–2011 гг.

380

1 3 часть торта; а мальчикам — торта; 6 6 2 3 б) площадь под луком равна a; под свеклой — a; 10 10 4 1 под морковью — a; под чесноком — a.

10 10 1 2 3 3 б) ; в) ; г) . а) ; 6 6 6 6 1 2 1 4 2 3 6 или ; б) или ; в) или ; г) или 1. а) 2 6 3 6 3 6 6 5 3 а) Закрашена части фигуры, не закрашена части; 8 8 4 1 2 4 2 2 в) ; ; г) ; . б) ; ; 5 5 6 6 4 4 Предложим два способа из всех возможных. а) б)

311. а) Девочке досталась

312.

313.

314.

315.

в)

г)

316.

317. Удобно выбрать единичный отрезок равный 12 клеткам.

318. 420 : 70 6 (ч).

1 Ответ: в первый день была продана часть капусты.

6

. . % , . . $

381

Контрольные задания 1. 7 : 8 =

7 ; 7 — делимое, числитель; 8 — делитель, знаменатель.

8

5 = 5 : 12; 5 — делимое, числитель; 12 — делитель, знаменатель.

12 2 5 7 7 б) 4. а) < ; < .

9 9 18 11

2.

§ 20. Отыскание части от целого и целого по его части 320. 1) 36 : 9 4 (уч.). Ответ: в олимпиаде по математике приняли участие 4 ученика.

4 9 36 (уч.). Ответ: в пятом классе всего 36 учащихся.

2) — количество учащихся в классе; — в первой задаче эта величина известна, а во второй — нет; — в первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй — целое по его части; — да, в этих задачах то, что известно и что требуется найти поменяли местами.

321. 21 : 3 7; 30 : 6 5; 42 : 7 6; 50 : 10 5.

322. а) 7 2 14; б) 5 4 20; в) 2 5 10; г) 15 9 135.

323. а) Нужно найти часть от целого; 900 : 15 60 (м2). б) Нужно найти целое по его части; 60 15 900 (м2). Ответ: площадь участка 900 м2.

325. а) 1) 35 : 5 7; б) 1) 24 : 4 6; 2) 7 2 14; 2) 3 6 18; в) 1) 72 : 9 8; г) 1) 51 : 3 17; 2) 5 8 40; 2) 2 17 34.

326. а) 1) 16 : 2 8; б) 1) 45 : 3 15; 2) 3 8 24; 2) 15 5 75; в) 1) 36 : 3 12; г) 1) 60 : 5 12; 2) 7 12 84; 2) 12 8 96.

327. 1) 720 : 8 90 (кг); 2) 90 5 450 (кг). Ответ: за день было продано 450 кг картофеля.

328. 1) 34 : 2 17 (км); 2) 17 5 85 (км). Ответ: длина маршрута равна 85 км.

329. 1) 30 : 5 6 (чел.); 2) 3 6 18 (дев.). Ответ: в классе 18 девочек.

2002–2011 гг.

382

330. 1) 15 : 3 5 (га); 2) 5 10 50 (га). Ответ: общая площадь пахотной земли хозяйства равна 50 га.

331. 1) 30 : 6 5 (авт.); 2) 5 5 25 (авт.); 3) 30 – 25 5 (авт.). Ответ: в автосалоне было 25 легковых автомобилей и 5 грузовых.

332. 1) 25 : 5 5 (м); 2) 5 2 10 (м); 3) 10 : 2 5 (м). Ответ: ширина зала равна 10 м, а его высота — 5 м.

333. 1) 270 : 2 135 (кн.); 2) 135 9 1215 (кн.). Ответ: всего в библиотеке 1215 книг.

334. 1) 16 : 8 2 (кл.); 2) 2 45 90 (кл.); 3) 2 37 74 (кл.); 4) 90 + 74 164 (кл.). Ответ: в коллекции Антона 164 клипа.

335. 1) 8 – 5 3 (части) — осталось пройти; 1 часть всего маршрута; 2) 120 : 3 40 (км) — приходится на 8 3) 40 8 320 (км) — весь маршрут. Ответ: длина туристического маршрута равна 320 км.

336. 1) 15 – 7 8 (част.) — занято картофелем; 1 часть площади огорода; 15 3) 12 15 180 (а) — площадь огорода. Ответ: площадь огорода равна 180 а.

337. а) 2) 96 : 8

12 (а) — приходится на

3 8 1 часть фигуры составляют 2 клетки; 8 б) 3 4 1 часть фигуры составляют 4 клетки; 4 в) 3 5

383

. . % , . . $

1 часть фигуры составляют 4 клетки.

5 4) 3 4

338. а)

1 часть фигуры составляют 4 клетки и 1 половинка клетки.

4

б) (48 + 34) (25 + 31) + (39 – 25) : (18 – 11) 4594; 82 1) 48 + 34 82; 2) 25 + 31 56; 3) × 56 +

492 410 4592

4) 39 – 25 14; 6) 14 : 7 2;

5) 18 – 11 7; 7) 4592 + 2 4594.

339. I ⎯ 9999 ⎫ ⎪ II ⎯ (100 − 99) ⎬ 12 645 ⎪ III ⎯ ? ⎭ Решение.

1) 100 – 99

1;

2) 9999 + 1

10 000;

Ответ: третье слагаемое равно 2645.

340. 1) 540 – 80 460 (пар); 2) 12650 + 460

3)

−

12645 10000 2645

13110 (пар). Ответ: за следующую неделю фабрика выпустит 13 110 пар обуви.

2002–2011 гг.

384

Контрольные задания 1. а) 60 : 5 12; б) 1) 48 : 8 6; 2) 6 7 42.

2. а) 16 4 64; б) 1) 60 : 3 20; 2) 20 8 160.

3. 1) 54 : 2 27 (км); 2) 27 3 81 (км). Ответ: автомобиль должен был проехать 81 км.

4. 1) 155 : 5 31 (мин); 2) 31 2 62 (мин). Ответ: чтобы выполнить домашнее задание по математике Лене понадобилось 62 мин.

§ 21. Основное свойство дроби 3⎞ 1 ⎛ часть фигуры ⎜ èëè ⎟ , а оранжевым — ⎝ 6⎠ 2 3⎞ 1 ⎛ часть фигуры ⎜ èëè ⎟ ; ⎝ 6⎠ 2

341. а) Желтым закрашена

2 части фигуры 6 1⎞ 1⎞ 2 ⎛ ⎛ ⎜⎝ èëè 3 ⎟⎠ , зеленым — ⎜ èëè 3 ⎟⎠ ; 6 ⎝

б) желтым закрашено

в) оранжевым закрашено 2⎞ 4 ⎛ ⎜⎝ èëè 3 ⎟⎠ ; 6

1⎞ 2 ⎛ ⎜⎝ èëè 3 ⎟⎠ , оранжевым — 6

2 части фигуры 6

1⎞ ⎛ ⎜⎝ èëè 3 ⎟⎠ , а зеленым —

6⎞ ⎛ г) оранжевым цветом закрашена вся фигура — 1 ⎜ èëè ⎟ . ⎝ 6⎠ 342. а) Закрашено 2⎞ ⎛ ⎜⎝ èëè 3 ⎟⎠ ; б) закрашено 2⎞ ⎛ ⎜⎝ èëè 3 ⎟⎠ ;

1⎞ 3 6 ⎛ части фигуры ⎜ èëè ⎟ , не закрашено — ⎝ 3⎠ 9 9

1⎞ 6 12 ⎛ части фигуры ⎜ èëè ⎟ , не закрашено — ⎝ ⎠ 3 18 18

в) закрашено —

2⎞ 1⎞ 6 ⎛ 3 ⎛ èëè ⎟ , не закрашено — èëè ⎟ ; 3⎠ 3⎠ 9 ⎜⎝ 9 ⎜⎝

г) закрашено —

1⎞ 1⎞ 9 ⎛ 9 ⎛ èëè ⎟ , не закрашено — èëè ⎟ . ⎜ ⎜ 2⎠ 2⎠ 18 ⎝ 18 ⎝

. . % , . . $

385

343.

Если числитель и знаменатель дроби равны, то эта дробь равна 1.

344.

1 от 12 см; 3 2 от 12 см; 3 1 от 12 см; 6 4 от 12 см; 6 1 от 12 см; 12 8 от 12 см; 12 16 от 12 см.

24 2 4 8 16 2 4 8 16 = . = ; = ; также = = 3 6 12 24 3 6 12 24 3 345. от 8 см; 4 6 от 8 см; 8 12 от 8 см; 16 24 от 8 см.

32 24 3 24 6 24 12 3 6 12 24 = ; = ; = ; также = = = .

32 4 32 8 32 16 4 8 16 32 1 15 15 : 5 3 8 1 9 3 3 3:3 8:8 9:3 346. = = ; = = ; = = ; = = .

12 12 : 3 4 25 25 : 5 5 16 16 : 8 2 15 15 : 3 5 4 4:2 2 2:2 1 2 347. а) б) = = ; = = ; 10 10 : 2 5 6 6:2 3 3 9 9:3 12 12 : 4 3 г) в) = = ; = = .

15 15 : 3 5 16 16 : 4 4

2002–2011 гг.

386

8 8:4 15 15 : 15 1 2 б) = = ; = = ; 12 12 : 4 3 30 30 : 15 2 14 14 : 7 2 30 30 : 5 6 в) г) = = ; = = .

21 21 : 7 3 35 35 : 5 7 3 3 12 12 : 4 3 6 6:2 9 9:3 = = ; = = ; = = .

14 14 : 2 7 21 21 : 3 7 28 28 : 4 7 2 2 10 10 : 5 2 18 18 : 9 2 6 6:3 4 4:2 = = ; = = ; = = ; = = .

15 15 : 3 5 10 10 : 2 5 25 25 : 5 5 45 45 : 9 5 1 12 12 : 6 2 8 8:8 б) а) = = ; = = ; 18 18 : 6 3 24 24 : 8 3 1 30 30 : 15 2 5 5:5 в) г) = = ; = = .

45 45 : 15 3 15 15 : 5 3 6 6:2 16 16 : 4 6 3 а) б) = = ; = = ; 14 14 : 2 7 28 28 : 4 7 25 25 : 5 5 42 42 : 7 6 в) г) = = ; = = .

35 35 : 5 7 49 49 : 7 7 1 21 21 : 7 3 15 15 : 5 3 2 2:2 = = ; = = ; = = .

25 25 : 5 5 10 10 : 2 5 35 35 : 7 5 1 24 24 : 8 3 33 33 : 11 3 4 4:4 = = ; = = . = = ; 16 16 : 4 4 32 32 : 8 4 44 44 : 11 4 1 1⋅ 4 4 2 2⋅4 8 3 3⋅3 9 1 1⋅ 2 2 = = ; = = ; = = ; = = .

3 3 ⋅ 4 12 3 3 ⋅ 4 12 4 4 ⋅ 3 12 6 6 ⋅ 2 12 1 1⋅ 8 8 7 7 ⋅ 4 28 б) а) = = ; = = ; 3 3 ⋅ 8 24 6 6 ⋅ 4 24 15 15 ⋅ 2 30 3 3⋅3 9 в) г) = = . = = ; 12 12 ⋅ 2 24 8 8 ⋅ 3 24 2 2 ⋅ 6 12 1 1⋅5 5 б) а) = = ; = = ; 5 5 ⋅ 6 30 6 6 ⋅ 5 30 9 14 3 3⋅3 7 7⋅2 г) в) = = = ; = .

10 10 ⋅ 3 30 15 15 ⋅ 2 30 2 2⋅2 4 4 5 2 5 а) = = ; < , значит, < ; 3 3⋅2 6 6 6 3 6 2 2⋅4 8 8 4 2 4 б) = = ; > , значит, > ; 3 4 ⋅ 2 12 12 12 3 12 3 3⋅2 6 6 5 3 5 в) = = ; > , значит, > ; 4 4⋅2 8 8 8 4 8 3 3 ⋅ 8 24 24 24 3 24 г) = = ; = , значит, = .

4 4 ⋅ 8 32 32 32 4 32

348. а)

349.

350.

351.

352.

353.

354.

355.

356.

357.

358.

. . % , . . $

359. а)

4 4⋅2 8 8 7 4 7 = = ; > , значит, > ; 5 5 ⋅ 2 10 10 10 5 10

б)

5 5 ⋅ 4 20 20 27 5 27 = = ; < , значит, < ; 8 8 ⋅ 4 32 32 32 8 32

в)

9 3 3⋅3 7 9 7 3 = = ; < , значит, < ; 10 10 ⋅ 3 30 30 30 30 10

г)

2 2⋅4 8 5 8 5 2 = = ; < , значит, < .

7 7 ⋅ 4 28 28 28 28 7

387

9 3 6 3 6 2 8 4 б) в) г) = ; = ; = ; = .

12 4 14 7 21 7 10 5 361. 1 способ: 1) 10 : 5 3 6 (ш.) — забила команда России; 2) 10 : 10 4 4 (ш.) — забила команда Канады. Ответ: победителем матча стала команда России со счетом 6 : 4.

2 способ: 360. а)

1)

3 3⋅2 6 — забила команда России; = = 5 5 ⋅ 2 10

6 4 > .

10 10 Ответ: тот же.

2)

362. 1)

3 3⋅2 6 (часть) — составляет мощность «Явы» от мощности = = 7 7 ⋅ 2 14 «Харлей Дэвидсона»;

6 11 < .

14 14 Ответ: бîльшую мощность имеет мотоцикл «Хонда».

2)

2 2⋅2 4 4 7 2) = = ; < .

5 5 ⋅ 2 10 10 10 Ответ: ближе к Солнцу расположен Меркурий, значит, ближе к Земле расположена Венера, так как она дальше, чем Меркурий от Солнца.

363. 1)

364. 1) 2)

3 3 ⋅ 10 30 = = ; 50 50 ⋅ 10 500 11 11 ⋅ 5 55 = = ; 100 100 ⋅ 5 500

6 3 3⋅2 = = .

250 250 ⋅ 2 500 Ответ: бîльшую массу имеет Марс.

3)

2002–2011 гг.

388

365 а)

б)

3 5

5 9 г)

в)

2 5 6 8 366. а) 367. а) 368. а) б) в) г) 369. а) б)

в)

12 3 8 2 12 3 17 б) в) г) = ; = ; = ; .

16 4 12 3 20 5 20 1 1 1 1 2 2 15 15 б) в) г) > ; < ; < ; > .

2 4 100 10 170 70 28 78 3 1 3 4 4 1 1 1 до 1 не хватает , а < , так как — ; но < ; 4 4 4 5 5 5 5 4 5 4 1 1 > , так как < ; 6 5 6 5 7 8 1 1 < , так как < ; 8 9 9 8 9 8 1 1 > , так как < .

10 9 10 9 2 15 2 2 ⋅ 15 30 30 15 15 ⋅ 2 30 30 < , так как < ; = = , = = , 13 16 13 13 ⋅ 15 195 16 16 ⋅ 2 32 195 32 357 7 51 7 7 ⋅ 51 51 51 ⋅ 7 357 = = , = = ; < , так как 22 64 22 22 ⋅ 51 1122 64 64 ⋅ 7 448 357 357 < ; 1122 448 51 54 51 51 ⋅ 18 918 > , так как = , = 100 100 100 100 ⋅ 18 1800 910 54 54 ⋅ 17 918 918 = = ; > ; 100 110 ⋅ 17 1870 1800 1870

. . % , . . $

389

3 62 3 3 ⋅ 62 186 62 62 ⋅ 3 186 185 186 > , так как = > . = , = = ; 4 125 4 4 ⋅ 62 248 125 125 ⋅ 3 375 248 375 1 1 1 370. а) 1 äì = ì; 1 ñì = ì; 1 ìì = ì; 100 10 1000 10 1 50 1 б) 10 ñì = ì= ì; 50 ñì = ì = ì; 100 10 100 2 10 1 100 1 10 ìì = ì= ì; 100 ìì = ì= ì; 1000 10 1000 10 1 25 1 3 5 75 в) 5 äì = ì = ì; 25 ñì = ì = ì; 75 ñì = ì = ì; 2 100 4 4 10 100 г)

80 8 2 ì= ì= ì; 1000 100 25 30 3 30 3 г) 30 ñì = ì= ì; 30 ìì = ì= ì; 100 10 1000 100 55 11 55 11 ì= ì; 55 ìì = ì= ì.

55 ñì = 100 20 1000 200 1 1 100 ñì 1 100 ñì = 25 ñì; ì = 1 ñì; ì= = 10 ñì; ì= 4 4 100 10 10 1 100 ñì 1 100 ì ì= = 20 ñì; ì= = 50 ñì.

5 5 2 2 1 1 > , значит, Наташины родители отдают меньшую часть своих 10 20 доходов за оплату жилья. Поэтому в семье Наташи доход больше.

1 1 > , значит, родители Юли отдают бîльшую часть своего 14 18 дохода в качестве оплаты за жилье, поэтому у семьи Юли жилищные условия лучше.

1) 126 : 7 18 (км); 2) 18 3 54 (км). Ответ: в первый день туристы прошли 54 км.

2) 10379 1) 41516 4 × − 9 4 10379 (ð.)

80 ìì =

371.

372.

373.

374.

375.

93411 (ð.)

1 15 − 12 31 − 28 36 − 36 0 Ответ: на ремонт квартиры было истрачено 93 411 р.

2002–2011 гг.

390

Контрольные задания 3 12 12 : 12 1 9 9:3 б) = = ; = = .

36 36 : 12 3 15 15 : 3 5 3 3⋅3 9 5 5 ⋅ 4 20 3. а) б) = = ; = = .

8 8 ⋅ 3 24 6 6 ⋅ 4 24 1 1⋅ 3 1 1⋅ 2 3 2 4. = = ; = = .

10 10 ⋅ 3 30 15 15 ⋅ 2 30 2. а)

§ 22. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа 376.

2 5 6 — правильная дробь; и — неправильные дроби.

5 5 5

2 5 6 < 1; = 1; > 1.

5 5 5 Вывод: любая правильная дробь меньше 1; любая неправильная дробь больше 1; если в неправильной дроби числитель и знаменатель одинаковые, то дробь равна 1.

377. а)

б)

378. а) б) 379. а) б) 380. а) 381. а)

3 13 19 1 3 ; ; ; ; ; эти дроби правильные так как их 7 14 20 4 16 числитель меньше знаменателя; 8 15 17 32 28 ; ; ; ; ; эти дроби неправильные, так как 3 6 3 32 28 числитель каждой из них больше или равен знаменателю.

7 — неправильная при п 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; n 17 − n — неправильная при п 1, 2, 3, 4, 5, 6.

11 m — правильная при m 1, 2, 3, 4, 5; 6 16 — правильная при m больше 12.

4+m 3 9 24 30 б) 3 = ; в) 3 = в) 3 = 3= ; ; .

1 3 8 10 5 25 35 55 б) 5 = в) 5 = г) 5 = 5= ; ; ; .

1 5 7 11

. . % , . . $

385.

2 3 7 7 8 3 ; 7 ; 8 ; 8 . ; 2 ; 6 5 10 8 15 16 4

386. а)

15 3 =2 ; 6 6

б)

8 2 =1 ; 6 6

в)

16 4 =2 ; 6 6

г)

23 5 =3 .

6 6

387. а)

22 4 =2 ; 9 9

б)

19 3 =4 ; 4 4

в)

14 2 =3 ; 4 4

г)

18 2 =4 .

4 4

3 1â&#x2039;&#x2026; 4 + 3 7 = = ; 3 4 4

б) 2

3 2 â&#x2039;&#x2026; 5 + 3 13 = = ; 5 5 5

в) 3

1 3 â&#x2039;&#x2026; 3 + 1 10 = = ; 3 3 3

г) 4

1 4â&#x2039;&#x2026;2 +1 9 = = ; 2 2 2

д) 1

7 1 â&#x2039;&#x2026; 8 + 7 15 = = ; 8 8 8

е) 3

4 3 â&#x2039;&#x2026; 11 + 4 37 = = .

11 11 11

389. а) 1

3 1 â&#x2039;&#x2026; 7 + 3 10 = = ; 7 7 7

б) 2

4 2 â&#x2039;&#x2026; 9 + 4 22 = = ; 9 9 9

в) 5

2 5 â&#x2039;&#x2026; 3 + 2 17 = = ; 3 3 3

г) 6

3 6 â&#x2039;&#x2026; 5 + 3 33 = = ; 5 5 5

д) 2

11 2 â&#x2039;&#x2026; 15 + 11 41 = = ; 15 15 15

е) 7

3 7 â&#x2039;&#x2026; 8 + 3 59 = = .

8 8 8

388. а) 1

390. 1) 13 1 7 1 1 5 =1 ; =1 ; =1 ; 12 12 6 4 6 4 2) 392.

6 1 7 2 12 2 18 3 24 4 =1 ; =1 ; =2 ; =3 ; =4 .

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

37 7 =1 ; 30 30 â&#x2C6;&#x2019;

37 30 30 1

37 7 =3 ; 10 10 â&#x2C6;&#x2019;

7 393. а)

37 10 30 3

37 2 =7 ; 5 5 â&#x2C6;&#x2019;

7

583 43 = 12 ; 45 45

37 5 35 7 2

б)

424 21 = 13 ; 31 31

â&#x2C6;&#x2019;

583 45 45 12

â&#x2C6;&#x2019;

424 31 31 13

â&#x2C6;&#x2019;

133 90

â&#x2C6;&#x2019;

114 93

43

21

391

2002–2011 гг.

392

в)

321 21 =4 ; 75 75 321 75 − 300 4

г)

719 55 =8 ; 83 83 719 83 − 664 8

21 394. а)

435 51 =6 ; 64 64 −

55 б)

435 64 384 6

793 33 = 20 ; 38 38 −

793 38 76 20

51 в)

389 11 = 14 ; 27 27 −

389 27 27 14

−

119 108

33 г)

543 48 =9 ; 55 55 −

543 55 495 9 48

11 395. а)

499 13 = 18 ; 27 27 499 28 − 27 18 −

172 46 =2 ; 63 63 172 63 − 126 2

229 216

46

13 345 = 15; 23 −

345 23 23 15

−

115 115

1537 133 =6 ; 234 234 −

1537 234 1404 6 133

0 46 133 13 2 ; 6 ; 15; 18 .

63 234 27 172 1537 345 499 Поэтому: ; ; ; .

63 234 23 27

393

. . % , . . $

б)

345 = 15; 23 −

345 23 23 15

−

115 115

75 9 =6 ; 11 11 75 11 − 66 6 9

267 1 = 19 ; 14 14 −

267 14 14 19

−

127 126

0

1

952 240 =2 ; 356 356 −

51 3 = 12 ; 4 4

952 356 712 2

−

51 4 4 12

240

−

11 8 3

19

1 3 9 240 ; 15; 12 ; 6 ; 2 .

14 4 11 356

Поэтому: 396. а)

б)

267 345 51 75 952 ; ; ; ; .

14 4 11 356 23

3 3⋅2 6 = = ; 4 4⋅2 8

3 3 ⋅ 6 18 = = ; 4 4 ⋅ 6 24

3 3⋅3 9 = = ; 4 4 ⋅ 3 12

3 3 ⋅ 10 30 = = ; 4 4 ⋅ 10 40

3 3 ⋅ 4 12 = = ; 4 4 ⋅ 4 16

3 3 ⋅ 50 150 = = ; 4 4 ⋅ 50 200

5 15 15 : 3 = = ; да, эту дробь можно еще упростить: 17 75 : 3 25 5 5:5 1 = = .

25 25 : 5 5

397. а)

21 21 22 7 7⋅3 7 22 = = ; < ; значит, < ; 15 15 ⋅ 3 45 45 45 15 45

б)

17 17 ⋅ 2 34 31 34 31 17 = = ; < ; значит, < ; 27 27 ⋅ 2 54 54 54 54 27

в)

5 5⋅2 5 11 10 10 11 < ; значит, < ; = = ; 18 18 ⋅ 2 36 36 36 18 36

г)

3 3 ⋅ 4 12 12 9 3 9 = = ; > ; значит, > .

4 4 ⋅ 4 16 16 16 4 16

2002–2011 гг.

394

x 2 2 2 ⋅ 6 12 = ; = = ; значит, х 12; 18 3 3 3 ⋅ 6 18 15 3 б) = ; 15 : 3 5; 4 5 20; значит, х 20; x 4 x в) 1 = ; х 337; 337 33 г) = 3; х 33 : 3; х 11. x 1 100 ñì 1 100 ñì б) а) ì= = 4 ñì; ì= = 2 ñì; 25 25 50 50 1 100 ñì 1 100 ñì г) в) ì= = 25 ñì; ì= = 20 ñì.

4 4 5 5 7 15 1 а) 7 ìèí = ÷; 15 ìèí = ÷ = ÷; 60 60 4 45 9 1 51 17 б) 45 ñ = ÷= ÷= ÷= ÷; 51 ñ = ÷; 3600 720 80 3600 1200 80 8 4 1 120 в) 80 ìèí = ÷ = ÷ = ÷ = 1 ÷; 120 ìèí = ÷ = 2 ÷; 60 6 3 3 60 5000 25 7 6600 11 5 г) 5000 ñ = ÷= ÷= ÷=1 ÷; 6600 ñ = ÷ =1 ÷.

3600 18 18 3600 6 6 1) 72 : 4 18 (эксп.); 18 2) × 11 18 + 18 198 (ýêñï.) Ответ: в коллекции энтомолога 198 экспонатов.

1) 120 : 15 8 (задач); 2) 8 2 16 (задач). Ответ: за первые 10 дней Света решила 16 задач.

1) 5 – 2 3 (части); 2) 36 : 3 12 (км); 3) 12 5 60 (км). Ответ: длина маршрута равна 60 км.

398. а)

399.

400.

402.

403.

404.

Контрольные задания 25 4 =3 .

7 7 2 3 ⋅ 5 + 2 17 3. 3 = = .

5 5 5

2.

. . % , . . $

4.

395

15 4 — правильная дробь; — неправильная дробь; 28 3 15 4 15 4 < 1; > 1; значит, < .

28 3 28 3

§ 23. Окружность и круг 405. Окружность изображена на рисунке слева, а круг — на рисунке справа. Для построения окружностей используется циркуль.

— Окружности принадлежат точки A, B, C; кругу — A, B, C, O, M; — окружности не принадлежат точки O, M, N; кругу — N; — дуги между точками А и В; А и С; В и С; — центры окружности и круга обозначены точкой О; — радиусами окружности и круга являются отрезки OA, OB, OC (r — радиус); — OM; ON; OM < r; ON > r; — бесконечно много; — d — диаметр окружности, круга; у окружности и круга бесконечно много диаметров; — все диаметры одной окружности (круга) равны между собой и равны двум радиусам; — все радиусы одной окружности (круга) равны между собой и равны половине диаметра; — d 2 r; — r d : 2.

406. а) r 2 см; d 2 r 2 2 4 (см).

Рисунки в дальнейших заданиях выполняются аналогично заданию а). б) r 4 см; d 2 r 2 4 8 (см); в) r 3 см; d 2 r 2 3 6 (см); г) r 3 см 5 мм; d 2 r 2 3 см 5 мм 7 (см).

407. а) d 4 см; r d : 2 4 : 2 2 (см) (смотри рисунок к заданию № 406(а)); б) d 6 см; r d : 2 6 :2 3 (см); в) d 9 см; r d : 2 9 см : 2 4 см 5 мм; г) d 10 см; r d : 2 4 : 2 5 (см).

2002–2011 гг.

396

408. а) Участок ограничивает круг радиуса 4 м.

б)

Пострадает от козы заштрихованная красным цветом часть огорода.

По сравнению с предыдущей задачей площадь участка увеличится более, чем еще на одну такую же площадь.

О1

6м

О2

409. Точки С и F принадлежат окружности, так как OC OF OA r; остальные точки — B, D, E окружности не принадлежат, так как OB < r, OD > r, OE > r.

410. Радиус большей окружности равен 3 2 6 (см), а ее диаметр: 6 2 12 (см).

413. а) 14x – 9x 125; б) 15y + 25y 120; (14 – 9) x 125; (15 + 25) y 120; 5x 125; 40y 120; x 125 : 5; y 120 : 40; x 25; y 3; в) 13x + 5x 108 : 2; г) 29y – 17y 12 4; (13 + 5) x 54; (29 – 17) y 48; 18x 54; 12y 48; x 54 : 18; y 48 : 12; x 3; y 4.

397

. . % , . . $

414. а) 9 (142 – 35) + (42 6 + 748) : 25 1003; 3) 42 1) 142 – 35 107; 2) 107 × × 6 9 4)

252 + 748

5) 1000 : 25

963 40;

253 6) 963 + 40

1003.

1000 б) 1872 : (105 : 3 – 11) + 493 571; 1) 105 3 2) 35 – 11 24; − 9 35 −

3)

15 15

0 1872 24 − 168 78 −

4)

+

192 192

493 78 571

0 415. а) Координату точки М-18 увеличили на 12, а затем уменьшили на 6, получили точку N. Найдите координату точки N. б) Координату точки N-73 увеличили на 12, потом уменьшили на 21, получили точку М. Найдите координату точки М.

416.

(15 + 25) 20 – 19 096 : 62 1) 15 + 25 40; 3) 19096 62 − 186 308 49 496 − 496 0

492; 2) 40 20 4) 800 − 308 492

800;

2002–2011 гг.

398

417. (s + 7) : (y + 3) > s : y.

418. a) 1) 1728 − 1242 2)

486 (р.) — разница стоимости фляг; 486 9

−

− 3)

54 (р.) — цена меда;

45 36 36

0 1728 54 − 162 32 (кг) — во второй фляге; −

108 108 0

4)

1242 54 − 108 23 (кг) — в первой фляге. −

162 162

0 Ответ: в первой фляге 23 кг меда, а во второй — 32 кг. б) 1) 2436 − 2184 252 (р.) — разница стоимости меда; 2)

−

252 6 24 42 (кг) — масса меда в первой и во второй фляге;

− 3)

12 12

0 2436 42 − 210 58 (р.) — цена меда во второй фляге; −

336 336

0 4) 58 – 6 52 (р.) — цена меда в первой фляге. Ответ: в каждой фляге масса меда равна 42 кг, цена меда в первой фляге — 52 р., а во второй — 58 р.

399

. . % , . . $

419.

9 1 5 2 1 2 5 = ; ; ; < < ; 18 2 6 3 2 3 6 3 4 5 Значит, < < .

6 6 6 10 4 4 ⋅ 2 8 3 б) ; = = ; = 16 8 8 ⋅ 2 16 4 8 10 3 Значит, < < .

4 16 4

1 1⋅ 3 3 2 2 ⋅2 4 = = ; = = .

2 2⋅3 6 3 3⋅2 6

3 ⋅ 4 12 8 10 12 = ; < < .

4 ⋅ 4 16 16 16 16

Контрольные задания 1. Круг содержит и часть плоскости, ограниченную окружностью.

2. а) r OA 4 см; d AB; В О r

б) d

2r

2 4

8 (см).

А

§ 24. Сложение и вычитание обыкновенных дробей 1 ; 6 2 2) а) = 6 3 3) а) = 6 3 4) а) = 6 или

420. 1) а)

3) а)

1 ; 6 1 3 ; б) = 3 6 1 4 ; б) = 2 6 1 2 ; б) = 2 6 б)

1 2 3 + = ; 6 6 6

2 6 2 в) 6 4 в) 6 2 в) 6

в) 1 ; 2 2 ; 3 1 ; 3

б)

1 ; 3 1 = ; 3 2 = ; 3 1 = ; 3 =

1 3 4 + = ; 6 6 6

3 = 6 2 г) = 6 5 г) ; 6 1 г) .

6 г)

1 ; 2 1 ; 3

2002–2011 гг.

400

в) 4) а) в) 421. 1) а) 2) а) 3) а) 4) а) или

422. а) б) 423. а) б) 424. а) б) 425. а) б)

г) б) г) в) в) в) в)

7 5 12 б) + = ; 16 16 16 7 7 14 г) в) + = ; 20 20 20 16 12 4 б) − = ; а) 16 16 16 20 14 6 г) в) − = ; 20 20 20 3 5 3+5 8 + = = = 1; 8 8 8 8 7 2 7−2 5 1 − = = = ; 15 15 15 15 3 2 7 2+7 9 + = = ; 17 17 17 17 7 5 7 −5 2 1 − = = = ; 16 16 16 16 8 24 13 24 − 13 11 1 − = = = ; 33 33 3 33 33 5 2 5+2 7 1 + = = = ; 21 21 21 21 3 72 34 72 + 34 106 + = = = 156 156 156 156 23 75 52 75 − 52 − = = ; 341 341 341 341

3) а)

4)

2 2 4 + = ; 6 6 6 6 3 3 − = ; 6 6 6 6 4 2 − = ; 6 6 6 7 3 б) ; ; 16 12 5 5 б) ; ; 12 16 8 12 б) ; ; 12 16 4 4 б) ; ; 16 12

3 2 5 + = ; 6 6 6 6 4 2 − = ; 6 6 6 6 5 1 − = .

6 6 6 7 5 г) ; ; 20 18 7 11 г) ; ; 20 18 14 16 г) ; ; 20 18 6 2 г) ; .

20 18 3 12 5 18 12 12 18 18

5 8 = ; 12 12 11 16 + = ; 18 18 8 4 − = ; 12 12 16 2 − = .

18 18 1 3 2 1+3 +2 6 в) + + = = ; 7 7 7 7 7 3 8 4 3+8−4 7 г) + − = = .

11 11 11 11 11 2 9 2 + 9 11 в) + = = ; 25 25 25 25 9 12 3 12 − 3 г) − = = .

13 13 13 13 14 4 14 + 4 18 2 в) + = = = ; 27 27 3 27 27 16 12 16 + 12 28 4 г) + = = = .

35 35 35 35 5 +

53 ; 78

401

. . % , . . $

34 62 34 + 62 96 32 + = = = ; 105 105 105 105 35 231 128 231 − 128 103 г) − = = .

520 520 520 520 2 5 2 3 4 7 4 3 в) 1 − = − = ; 426. а) 1 − = − = ; 5 5 5 5 7 7 7 7 3 4 3 1 10 11 10 1 г) 1 − б) 1 − = − = ; − = . = 4 4 4 4 11 11 11 11 1 3 16 − 1 − 3 12 3 427. а) 1 − − = = = ; 16 16 16 16 4 2 8 25 − 2 − 8 15 3 − = = = ; б) 1 − 25 25 5 25 25 7 5 24 − 7 − 5 12 1 в) 1 − − = = = ; 24 24 24 24 2 17 11 30 − 17 − 11 2 1 г) 1 − − = = = .

30 30 30 30 15 428. Примем весь путь за 1. в)

1−

4 9 4 9−4 5 = . = − = 9 9 9 9 9

Ответ: во второй день турист прошел

5 пути.

9

429. Примем количество страниц в книге за 1.

1−

3 7 3 7−3 4 = . = − = 7 7 7 7 7

Ответ: Денис прочитал во второй день 4 1 3 − = 15 15 15 4 3 7 2) + = 15 15 15 7 15 3) 1 − = − 15 15

430. 1)

4 книги.

7

— израсходовал Робинзон Крузо на втором году; — израсходовал Робинзон Крузо за два года вместе; 7 8 — осталось муки. = 15 15

Ответ: Робинзон Крузо за два года израсходовал а осталось у него — 431. 1 полка — на 2 полка —

8 муки.

15

1 книг больше, чем 7

7 запаса муки, 15

? часть всех книг ? часть всех книг

2002–2011 гг.

402

Решение.

1 равен 7, то количество всех книг 7 разделили на 7 равных частей. Если на 1-ой полке на 1 такую часть

Так как знаменатель дроби

4 3 всех книг, а на 2-ой полке — всех книг 7 7 7⎞ ⎛ ⎜⎝ îáùåå ÷èñëî êíèã ⎯ 1 = 7 ⎟⎠ .

432. Примем объем книги за 1. больше, то на ней

1 9 1 8 — сумма двух равных частей; = − = 9 9 9 9 8 4 2) : 2 = — объем книги, прочитанный за 2-ой день; 9 9 4 1 5 3) + = .

9 9 9 5 Ответ: Денис в первый день прочитал книги, а во 2-ой — 9 4 книги.

9 433. а) (506 123 + 29 376 : 72 – 61 830) : 4 204; 1) 1 −

1)

× +

123 506

2)

738 615

−

29376 72 288 408

−

576 576

62238 4)

−

62646 61830 816

3)

+

62238 408 62646

0 5)

−

816 4 8 204

−

16 16 0

б) (47 020 + 9687) : (4066 – 38 107) 107 2) 1) 47020 × + 38 9687 56707

+

856 321 4066

3) 4066 – 4066 0; 4) 56 707 : 0. На 0 делить нельзя. Значит, нельзя вычислить значение данного числового выражения.

. . % , . . $

434. Решение.

1)

×

4725 15

23625 4725

+

70875 (р.) — вырученные деньги за I неделю; 2)

−

4725 300 4425 (р.) — новая цена пары лыж;

3) 15 + 12 4)

× +

27 (пар) — продали за II неделю;

4425 27

30975 8850

119475 (р.) — вырученные деньги за II неделю; 5)

×

3700 15

185 + 37 55500 (р.) — закупка 15 пар; 6)

−

70875 55500 15375 (р.) — прибыль за I неделю;

7)

× +

3700 27

259 74 99900 (р.) — закупка 27 пар;

8)

−

119475 99900 19575 (р.) — прибыль за II неделю.

Ответ: да, магазину удалось увеличить прибыль.

403

2002–2011 гг.

404

435. Незакрашенной осталась: 1−

7 16 7 9 части квадрата. = − = 16 16 16 16

1 1 2 1 3 + = + = 4 8 8 8 8 2 1 4 1 незакрашено: + = + = 4 8 8 8 3 8 3 5⎞ ⎛ ⎜⎝ èëè 1 − 8 = 8 − 8 = 8 ⎟⎠ .

1 1 4 1 5 2) Закрашено: + = + = 2 8 8 8 8 3 незакрашено: части круга 8 5 8 5 3⎞ ⎛ ⎜⎝ èëè 1 − 8 = 8 − 8 = 8 ⎟⎠ .

436. 1) Закрашено:

437. Незакрашенной осталось а закрашено

части круга;

1 8

частей круга;

1 часть квадрата, 16

1 1 часть круга, незакрашена часть 2 2

круга.

4 2 круга или круга, незакрашено 6 3 2 1 круга или часть круга.

6 3 3 5 6 5 6 + 5 11 440. а) + = + = = ; 8 16 16 16 16 16 5 2 5 4 5+4 9 1 б) + = = = ; + = 18 9 18 18 18 18 2 б) Закрашено

1 8

5 частей круга 8

15 квадрата.

16

438. а) Закрашена

1 4

1 2

. . % , . . $

в)

4 3 8 3 8 + 3 11 + = = = = ; 7 14 14 14 14 14

г)

37 7 3 7 30 7 + 30 + = = = = .

100 100 100 10 100 100

441. а)

3 4 9 4 9 + 4 13 + = + = = ; 5 15 15 15 15 15

б)

2 5 8 5 8 + 5 13 + = + = = ; 7 28 28 28 28 28

в)

3 6 3 12 3 + 12 15 + = + = = ; 22 11 22 22 22 22

г)

9 3 3 15 3 15 + 3 19 + = + = = = .

20 20 10 4 20 20 20

442. а)

5 2 5 6 5 + 6 11 2 + = + = = =1 ; 9 3 9 9 9 9 9

б)

1 3 1 9 1 + 9 10 5 + = = = ; + = 12 4 12 12 12 12 6

в)

1 3 4 3 4+3 7 + = + = = ; 2 8 8 8 8 8

г)

827 17 81 17 810 17 + 810 + = + = = .

1000 1000 1000 100 1000 1000

443. а)

5 1 5 4 5+4 9 3 + = + = = = ; 12 3 12 12 12 12 4

б)

11 3 11 9 11 + 9 20 5 + = + = = = ; 24 24 6 24 8 24 24

в)

5 1 20 1 20 + 1 21 7 + = + = = = ; 6 24 24 24 24 24 8

г)

957 57 9 57 900 57 + 900 + = + = = .

1000 1000 1000 10 1000 1000

444. а)

11 3 11 6 11 â&#x2C6;&#x2019; 6 5 â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; = = ; 16 8 16 16 16 16

б)

5 5 10 5 10 â&#x2C6;&#x2019; 5 5 â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; = = ; 6 12 12 12 12 12

в)

4 4 8 12 8 12 â&#x2C6;&#x2019; 8 â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; = = ; 21 21 7 21 21 21

г)

17 4 17 8 17 â&#x2C6;&#x2019; 8 9 3 â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; = = = .

30 15 30 30 30 30 10

405

2002–2011 гг.

406

445. а) б) в) г) 446. а) б) в) г) 447. а) б) в) г) 449. а) б) в) г) 450. а) б) в) г)

7 5 14 5 14 − 5 9 1 − = − = = = ; 9 18 18 18 18 18 2 9 14 1 14 5 14 − 5 − = − = = ; 25 25 25 5 25 25 7 9 70 9 70 − 9 61 − = − = = ; 10 100 100 100 100 100 7 21 28 21 28 − 21 7 − = − = = .

11 44 44 44 44 44 7 1 7 3 7−3 4 1 − = = = ; − = 12 4 12 12 12 12 3 22 5 22 15 22 − 15 7 − = − = = ; 27 9 27 27 27 27 3000 43 3000 − 43 2957 3 43 − = − = = ; 10 000 10 000 10 10 000 10 000 10 000 289 31 21 310 21 310 − 21 − = − = = .

1000 1000 100 1000 1000 1000 5 1 5 4 5−4 1 − = − = = ; 8 2 8 8 8 8 5 7 11 21 11 21 − 11 10 − = − = = = ; 24 24 12 8 24 24 24 17 5 17 15 17 − 15 2 1 − = − = = = ; 18 6 18 18 18 18 9 677 777 1 777 100 777 − 100 − = − = = .

1000 1000 1000 10 1000 1000 2 1 8 3 8 + 3 11 + = + = = ; 3 4 12 12 12 12 4 3 16 15 16 − 15 1 − = − = = ; 5 4 20 20 20 20 1 1 3 2 3−2 1 = ; − = − = 2 3 6 6 6 6 5 3 20 9 20 + 9 29 5 + = + = = =1 .

6 8 24 24 24 24 24 1 2 5 4 5+4 9 + = = ; + = 2 5 10 10 10 10 1 2 5 4 5−4 1 − = − = = ; 2 5 10 10 10 10 1 1 3 2 3+2 5 + = = ; + = 4 6 12 12 12 12 9 5 27 25 27 − 25 2 1 − = − = = = .

10 6 30 30 30 30 15

. . % , . . $

451. а) б) в) г) 452. а) б) в) г) 453. 1)

407

3 2 9 8 9 + 8 17 5 + = + = = =1 ; 4 3 12 12 12 12 12 3 1 9 5 9−5 4 − = − = = ; 5 3 15 15 15 15 3 2 9 8 9−8 1 − = = ; − = 4 3 12 12 12 12 3 3 21 6 21 + 6 27 + = + = = .

4 14 28 28 28 28 1 1 3 2 3−2 1 − = − = = ; 4 6 12 12 12 12 3 1 9 5 9 + 5 14 + = = ; + = 5 3 15 15 15 15 11 4 3 16 15 16 + 15 31 + = + = = =1 ; 20 20 20 5 4 20 20 7 1 14 5 14 − 5 9 − = − = = .

10 4 20 20 20 20 2 4 4 5 = ; < .

9 18 18 18 Значит, за обедом съели больше хлеба.

2 5 4 5 4+5 9 1 + = + = = = .

9 18 18 18 18 18 2 1 За обедом и завтраком съели часть батона.

2 1 2 1 1 3) 1 − = = = .

2 2 2 2 1 На ужин осталась часть батона.

2 3 9 10 9 = ; > .

454. 1) 7 21 21 21 Значит, для приготовления какао потребовалось молока меньше, чем для приготовления каши.

2)

10 3 10 9 10 + 9 19 + = + = = .

21 7 21 21 21 21 19 Было использовано молока.

21 19 21 19 2 = − = .

3) 1 − 21 21 21 21 2 Осталось молока.

21

2)

2002–2011 гг.

408

1 9 1 9−1 8 ; x= − ; x= ; x= ; 9 9 9 9 9 9 5 5 9−5 4 б) x = 1 − ; x = − ; x = ; x= ; 9 9 9 9 9

455. а) x = 1 −

в) x = 1 −

2 7 2 7−2 5 ; x= − ; x= ; x= ; 7 7 7 7 7

г) x = 1 −

4 7 4 7−4 3 ; x= − ; x= ; x= .

7 7 7 7 7

456. а) y = 1 −

5 8 5 8−5 3 ; y= − ; y= ; y= ; 8 8 8 8 8

б) y = 1 −

7 12 7 12 − 7 5 ; y= ; y= − ; y= ; 12 12 12 12 12

в) y = 1 −

5 16 5 16 − 5 11 ; y= − ; y= ; ; y= 16 16 16 16 16

15 24 15 24 − 15 9 3 ; y= ; y= − ; y= ; y= .

24 24 24 24 24 8 457. Примем объем бассейна за 1. г) y = 1 −

1 1 часть бассейна, а другая — часть.

30 15 Тогда за 1 час совместной работы заполнится:

За 1 час одна труба заполнит

1 1 1 2 1+2 3 1 (часть). + = + = = = 30 15 30 30 30 30 10 Если за 1 час совместной работы обеих труб заполняется

1 часть 10

10 ⎞ ⎛ заполнится обеими трубами, бассейна, то весь бассейн ⎜ 1 = ⎝ 10 ⎟⎠ работающими одновременно за 10 часов.

458. 1) 1 −

2 5 2 5−2 3 (часть) — прошел турист за второй день; = − = = 5 5 5 5 5

2) 45 : 5 3 27 (км). Ответ: за второй день турист прошел 27 км.

459. 1)

2 5 2+5 7 (часть) — убрали за первые два дня вместе; + = = 9 9 9 9

7 9 7 9−7 2 (часть) — убрали в третий день; = = − = 9 9 9 9 9 3) 171 : 9 2 19 2 38 (га). Ответ: в третий день было убрано 38 га земли.

2) 1 −

409

. . % , . . $

460. 1) 2)

2 3 4 3 4+3 7 (часть) — прочитал Максим за два дня; + = + = = 5 10 10 10 10 10 5 1 5 7 = — половина книги; < ; 10 2 10 10

7 10 7 10 − 7 3 (часть) — осталось прочитать; = − = = 10 10 10 10 10 4) 170 : 10 3 51 (стр.). Ответ: за два дня Максим прочитал больше половины книги; осталось ему прочитать 51 страницу.

3) 1 −

463. Удобно разделить отрезок MN на 12 равных частей, KN = ML =

9 3 = .

12 4

8 2 = ; 12 3

5 5 5 отрезка MN; отрезка KN; отрезка 12 8 9 5 1 5 2 ML; = 1 отрезка MK; = 1 отрезка NL. 4 4 3 3

Отрезок KL составляет

Контрольные задания 1. а)

2 3 2+3 5 + = = ; 7 7 7 7

б)

11 7 11 − 7 4 − = = .

15 15 15 15

2. а)

1 1 2 1 2+1 3 + = + = = ; 2 4 4 4 4 4

б)

2 4 6 4 6−4 2 − = − = = .

3 9 9 9 9 9

§ 25. Сложение и вычитание смешанных чисел 464. 1) 2 +

2 2 =2 ; 7 7

2) 2

3 2 3+2 5 5 + =2+ =2+ =2 ; 7 7 7 7 7

3) 2

5 5 3 2 ⎛ 3 2⎞ + 1 = (2 + 1) + ⎜ + ⎟ = 3 + = 3 ; ⎝ 7 7⎠ 7 7 7 7

4) 2

3 6 3+6 9 2 2 + =2+ = 2+ = 2+1 = 3 ; 7 7 7 7 7 7

5) 2

3 6 9 2 2 ⎛ 3 6⎞ + 1 = (2 + 1) + ⎜ + ⎟ = 3 + = 3 + 1 = 4 . ⎝7 7⎠ 7 7 7 7 7

2002–2011 гг.

410

5 5 5 5 − 1 = (1 − 1) + = 0 + = ; 9 9 9 9 1 1 5 2 5−2 3 = 1+ = 1+ = 1 ; 1 − = 1+ 9 9 9 9 3 3 5 5 5−5 = 1 + 0 = 1; 1 − = 1+ 9 9 9 5 7 14 7 14 − 7 7 − = = .

1 − = 9 9 9 9 9 9 3 5 3+5 8 2 3 + =3+ =3 =3 ; 12 12 12 12 3 3 5 5⎞ 3+5 8 2 3 ⎛ 3 3 +1 = (3 + 1) + ⎜ + =4+ =4+ =4+ =4 ; ⎝ 13 12 ⎟⎠ 4 12 12 12 12 3 3 11 3 + 11 14 7 1 1 ⎛ 3 11⎞ 3 + =3+⎜ + =3+ =3+ = 3+ = 3+1 = 4 ; ⎝ 12 12⎠⎟ 12 12 12 12 6 6 6 14 7 1 1 3 11 3 + 11 ⎛ 3 11⎞ = 4+ = 4+ = 4+1 = 5 .

3 + 1 = (3 + 1) + ⎜ + ⎟ = 4 + ⎝ 12 12⎠ 12 12 6 6 6 12 12 2 7 7⎞ 3 3 3 ⎛ 2 + +4 =4+⎜ =4+ =4+ =4 ; ⎝ 15 15 ⎟⎠ 5 5 5 15 15 2 7 7⎞ 9 3 3 ⎛ 2 + 1 +4 = (1 + 4) + ⎜ =5+ =5+ =5 ; ⎝ 15 15 ⎟⎠ 15 15 15 5 5 14 7 21 7 2 2 ⎛ 14 7 ⎞ + +4 =4+⎜ =4+ = 4+ = 4+1 =5 ; ⎝ 15 15 ⎟⎠ 15 5 5 5 15 15 14 7 21 7 2 2 ⎛ 14 7 ⎞ 1 +4 = (1 + 4) + ⎜ + =5+ =5+ =5+1 = 6 . ⎝ 15 15 ⎟⎠ 15 15 15 5 5 5 4 4 4 4 − 1 = (1 − 1) + =0+ = ; 1 11 11 11 11 4 2 2⎞ 2 2 ⎛ 4 =1 ; − ⎟ = 1+ 1 − = 1+ ⎜ ⎝ ⎠ 11 11 11 11 11 11 4 4 4⎞ ⎛ 4 = 1 + 0 = 1; − = 1+ ⎜ − 1 ⎝ 11 11⎟⎠ 11 11

465. 1) 1 2) 3) 4) 466. а) б) в) г) 467. а) б) в) г) 468. а) б) в)

4 7 15 7 15 − 7 8 − = − = = .

11 11 11 11 11 11 5 5 5 5 469. а) 2 − 1 = (2 − 1) + = 1 + = 1 ; 9 9 9 9 5 2 3 1 1 ⎛ 5 2⎞ б) 2 − 1 = (1 − 2) + ⎜ − ⎟ = 1 + = 1 + = 1 ; ⎝ 9 9⎠ 9 9 9 3 3 5 5 ⎛ 5 5⎞ в) 2 − 1 = (2 − 1) + ⎜ − ⎟ = 1 + 0 = 1; ⎝ 9 9⎠ 9 9 г) 1

. . % , . . $

411

7 7 7 5 7 14 ⎛ 14 7 ⎞ −1 =1 − 1 = (1 − 1) + ⎜ − ⎟ =0+ = . ⎝ 9 9 9 9 9 9⎠ 9 9 4 4 4 4 470. а) 2 − 1 = (2 − 1) + = 1+ =1 ; 11 11 11 11 4 2 2⎞ 2 2 ⎛ 4 б) 2 − −1 = (2 − 1) + ⎜ = 1+ =1 ; ⎝ 11 11⎟⎠ 11 11 11 11 г) 2

4 4 4⎞ ⎛ 4 −1 = (2 − 1) + ⎜ − = 1 + 0 = 1; ⎝ 11 11⎟⎠ 11 11 4 7 15 7 8 8 ⎛ 15 7 ⎞ −1 =1 −1 = (1 − 1) + ⎜ − г) 2 =0+ = . ⎝ 11 11⎟⎠ 11 11 11 11 11 11 57 81 157 81 81 ⎞ 76 ⎛ 157 16 −1 = 15 −1 = (15 − 1) + ⎜ − = = 14 + ⎝ 100 100 ⎟⎠ 100 100 100 100 100 76 19 = 14 = 14 (ñ).

100 25 19 Ответ: Ваня пробежал дистанцию за 14 ñ.

25 68 21 ⎞ 31 68 21 ⎛ 31 + 13 + 10 = (15 + 13 + 10) + ⎜ + + 15 = ⎝ 100 100 100 ⎟⎠ 100 100 100 120 6 1 1 = 38 + = 38 + = 38 + 1 = 39 (ñ).

100 5 5 5 1 Ответ: в эстафете команда имела результат 39 ñ.

5 1 1 3+4 1 1 4+5 б) а) + = ; + = ; 4 3 12 5 4 20 1 1 5+6 1 1 4+7 г) в) + = ; + = .

6 5 30 7 4 28 1 1 5+8 1 1 2+9 б) а) + = ; + = ; 8 5 40 9 2 18 1 1 3 + 11 1 1 2 + 15 г) в) + = ; + = .

33 30 11 3 15 2 1 1 1+2 1 1 4 +3 а) + = ; + = ; 12 6 12 3 4 12 1 1 1+ 6 1 1 3+1 1 1 3+6 1 1 2+9 б) + = ; + = ; + = ; + = ; 18 6 18 6 18 18 6 3 18 9 2 18 1 1 10 + 3 1 1 6 + 5 1 1 2 + 15 1 1 1+ 6 в) + = ; + = ; + = ; + = ; 3 10 5 6 30 15 2 30 5 30 30 30 1 1 1+ 8 1 1 8 + 4 1 1 1+2 1 1 2 + 16 г) + = . + = ; + = ; + = ; 32 32 4 32 4 8 32 32 16 32 16 2 в) 2

471.

472.

473.

474.

475.

412

2002–2011 гг.

1 1 5+9 1 1 3 + 15 1 1 1+ 9 1 1 1 + 15 + = ; + = ; + = ; + = ; 9 5 45 15 3 45 5 45 45 3 45 45 1 1 1+ 8 1 1 2 + 20 1 1 1+ 4 1 1 8 +5 б) + = ; + = ; + = ; + = ; 40 40 5 40 20 2 40 10 40 5 8 40 1 1 1+2 1 1 8 +3 1 1 4 + 6 1 1 1+ 8 в) + = ; + = ; + = ; + = ; 24 12 24 3 8 24 6 4 24 24 3 24 1 1 3 + 12 1 1 1+3 1 1 1+ 4 1 1 9+1 г) + = ; + = ; + = . + = ; 12 3 36 12 36 36 9 36 4 36 36 36 1 2 1 477. а) 1 ìèí = ÷; 2 ìèí = ÷= ÷; 60 60 30 10 1 20 1 10 ìèí = ÷ = ÷; 20 ìèí = ÷ = ÷; 60 6 60 3 5 30 1 15 1 1 ÷= ÷; 15 ìèí = ÷ = ÷; 30 ìèí = ÷ = ÷; б) 5 ìèí = 60 60 12 60 4 2 45 3 45 ìèí = ÷ = ÷; 60 4 12 1 24 2 48 4 в) 12 ìèí = ÷ = ÷; 24 ìèí = ÷ = ÷; 48 ìèí = ÷ = ÷; 60 5 60 5 60 5 1 10 1 300 1 г) 1 ñ = ÷; 10 ñ = ÷= ÷= ÷; 300 ñ = ÷; 3600 3600 360 3600 12 600 1 600 ñ = ÷ = ÷.

3600 6 1 60 ìèí 1 60 ìèí 478. ÷= = 1 ìèí; ÷= = 3 ìèí; 60 60 20 20 1 60 ìèí 1 60 ìèí ÷= = 30 ìèí. ÷= = 20 ìèí; 2 2 3 3 476. а)

Контрольные задания 1 1⎞ 6 2 2 5 ⎛ 5 =3+ =3+ =3 ; +2 = (1 + 2) + ⎜ + ⎝ 15 15 ⎟⎠ 15 15 5 5 15 7 3 3⎞ 4 1 1 ⎛ 7 =2+ =2 ; б) 3 − −1 = (3 − 1) + ⎜ ⎟ =2+ ⎝ ⎠ 12 12 12 12 12 3 3 11 8 19 4 4 ⎛ 11 8 ⎞ в) 1 =3+ = 3+1 =4 ; +2 = (1 + 2) + ⎜ + ⎝ 15 15 ⎟⎠ 15 15 15 15 15 7 11 19 11 8 8 2 ⎛ 19 11⎞ г) 3 = = . −2 = (2 − 2) + ⎜ − −2 =2 ⎟ =0+ ⎝ ⎠ 12 12 12 12 12 12 12 12 3

1. а) 1

. . % , . . $

413

§ 26. Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число 481. а) в)

5 5 ⋅ 3 15 1 ⋅3 = = =2 ; 7 7 7 7

б)

2 2 ⋅ 5 10 ⋅5 = = = 2; 5 5 5

3 3⋅2 6 ⋅2 = = ; 7 7 7

г)

4 4 ⋅ 4 16 1 ⋅4 = = =1 .

15 15 15 15

482. а) 6 ⋅ в) 7 ⋅ 483. 10 ⋅

8 6 ⋅ 8 48 9 = = =3 ; 13 13 13 13

б) 8 ⋅

1 12 8 ⋅ 12 96 = = =5 ; 19 19 19 19

3 7 ⋅ 3 21 5 = = =2 ; 8 8 8 8

г) 9 ⋅

4 9⋅4 6 2 = =2 =2 .

5 15 15 5

1 10 ⋅ 1 1 (часть). = = 100 100 10

Ответ: за 10 ч Валера успеет изучить

1 часть пособия.

10

1 10 ⋅ 1 10 = = = 1.

10 10 10 Ответ: за 10 мин Сережа очистит всю дорожку.

484. 10 ⋅

1 ÷; 3 2 3⋅2 6 2 = = = 2) 3 ⋅ (запасов) — съели за 1 час.

15 15 15 5

485. 1) 20 ìèí =

2 всех запасов Кролика, 5 2 5 2 3 — это меньшая часть его запасов, так как осталось: 1 − = − = 5 5 5 5 2 бîльшая часть, чем .

5 Ответ: за час Вини-Пух с Пяточком съели

486. 1) 10 ⋅

1 10 ⋅ 1 1 (часть) — пролетит самолет за 10 с; = = 1000 1000 100

2) 187 1000

187 000 (м)

187 (км).

Ответ: за 10 с самолет пролетит

1 часть расстояния между 100

городами А и В, расстояние между городами А и В равняется 187 км.

487. а) 5 ⋅

1 5 ⋅1 5 1 (часть); = = = 20 20 20 4

б) 10 ⋅

1 10 ⋅ 2 1 (часть) — за 10 мин; = = 20 20 2

2002–2011 гг.

414

1 часть составляет 30 г, тогда в горшочке было: 30 20 600 (г) 20 меда; 1 20 ⋅ 1 20 г) 20 ⋅ = = = 1.

20 20 20 Значит, за 20 мин Винни-Пух съел все содержимое горшочка с медом.

30 мин – 20 мин 10 мин. Поэтому, 10 мин Винни-Пух шел с пустым горшочком. в)

1 часть 30 мин, тогда Винни-Пух с пустым 3 1 часть пути. горшочком шел 3 488. Примем объем танка для хранения нефти за 1, тогда за 1 час один 10 мин — это

1 1 часть танка, а другой — часть.

4 16 1 1 4 1 5 (часть) — за 1 час заполнят оба насоса; + = + = 1) 4 16 16 16 16 5 3 ⋅ 5 15 (часть).

2) 3 ⋅ = = 16 16 16 15 Ответ: за 2 ч будет заполнено части танка, если оба насоса 16 будут включены одновременно.

489. Примем партию деталей за 1, тогда фрезеровщик за 1 час обработает насос заполнит

1 1 часть партии, а его ученик — часть.

3 6 1 1 1 2 3 1 1) + = + = = (часть); 6 3 6 6 6 2 1 2⋅1 2 2) 2 ⋅ = = = 1.

2 2 2 Ответ: да, за 2 часа фрезеровщик и его ученик успеют обработать партию деталей, если будут работать одновременно.

6 6:2 3 :2 = = ; 7 7 7 15 15 : 3 5 3) :3 = = ; 34 34 34 5 5 5 492. а) :6 = = ; 11 11 ⋅ 6 66 3 3 3 в) :4 = = .

7 7 ⋅ 4 28

491. 1)

8 8:4 2 :4 = = ; 25 25 25 5 5:5 1 4) : 5 = = .

8 8 8 4 4 4 б) :7 = = ; 5 5 ⋅ 7 35

2)

. . % , . . $

493. 1) 1 − 2)

1 2 1 1 = − = (часть) — осталось пиццы; 2 2 2 2

1 1 1 :4 = = (часть).

2 2⋅4 8

Ответ: каждому из гостей досталась 494. 1) 2)

1 часть пиццы.

8

3 3:3 1 (часть) — колбасы; :3 = = 8 8 8 1 1 1 (часть) — хлеба. :3 = = 4 4 ⋅ 3 12

Ответ: каждому из друзей досталась и

1 часть батона колбасы 8

1 часть батона хлеба.

12 6 6:2 3 :2 = = ; 7 7 7

б)

1 1 1 :2 = = ; 7 7 ⋅ 2 14

в)

3 15 15 : 5 :5 = = ; 11 11 11

г)

17 17 17 :5 = = .

11 11 ⋅ 5 55

496. а)

4 24 24 : 6 :6 = = ; 25 25 25

б)

17 17 17 :3 = = ; 31 31 ⋅ 3 93

в)

16 16 16 :5 = = ; 19 19 ⋅ 5 95

г)

18 18 : 9 2 :9 = = .

23 23 23

495. а)

497. 1)

5 5 5 (м/мин); :6 = = 9 9 ⋅ 6 54

2) 9 ⋅

5 9 ⋅ 5 45 5 (м). = = = 54 54 54 6

Ответ: скорость гусеницы равняется преодолеет 498. 1)

415

5 м/мин, за 9 мин гусеница 54

5 м.

6

2 1 2 2 (часть) — за 1 день; : 10 = = = 3 3 ⋅ 10 30 15

2) 15 ⋅

1 15 ⋅ 1 15 = = = 1.

15 15 15

1 часть дров: 15 за 15 дней он успеет заготовить все необходимое на зиму количество дров.

Ответ: за 1 день Кот Матроскин успевал заготовить

2002–2011 гг.

416

3 3 3 1 (часть) — за 1 с; : 21 = = = 10 10 ⋅ 21 210 70 1 1 ⋅ 60 60 6 (часть).

2) ⋅ 60 = = = 70 70 7 70 6 Ответ: за 1 мин заполнится бензобака.

7 1 2 2 (часть) — за 1 день; = 1) : 3 = 7 7 ⋅ 3 21 2 2 ⋅ 5 10 (часть).

2) ⋅5 = = 21 21 21 10 Ответ: за 5 дней смогут прополоть поля.

21 1 1 ⋅ 10 10 ⋅ 10 = = = 1; 1 10 10; 10 10 10 1 1 ⋅ 10 1 1 ⋅ 10 10 1 10 1 ⋅ 10 = = = ; ⋅ 10 = = = ; 100 100 100 10 1000 1000 1000 100 1 ⋅ 10 10 1 1 ⋅ 10 = = = .

10 000 10 000 1000 10 000 1 1 1 1 1 1 1 1 : 10 = ; : 10 = = ; : 10 = = ; 10 ⋅ 10 100 100 100 ⋅ 10 1000 10 10 1 1 1 1 1 1 : 10 = = ; : 10 = = .

1000 1000 ⋅ 10 10 000 10 000 10 000 ⋅ 10 100 000 5 5 ⋅ 3 15 5 1 ⎛ 1 4⎞ ⎛ 1 2⎞ = = =2 ; а) ⎜ + ⎟ ⋅ 3 = ⎜ + ⎟ ⋅ 3 = ⋅ 3 = ⎝ 6 6⎠ ⎝ 6 3⎠ 6 6 6 2 2 2⎞ 4⎞ 13 13 1 13 ⎛ 17 ⎛ 17 б) ⎜ : 13 = ⎜ : 13 = : 13 = = = − − ; ⎝ 30 30 ⎟⎠ ⎝ 30 15 ⎟⎠ 30 30 ⋅ 13 390 30 7 7 7 ⎛ 1 6⎞ ⎛ 1 3⎞ ; = в) ⎜ + ⎟ : 5 = ⎜ + ⎟ : 5 = : 5 = ⎝ 8 8⎠ ⎝ 8 4⎠ 8 8 ⋅ 5 40 13 13 ⋅ 4 52 7 ⎛ 12 1 ⎞ ⎛ 4 1⎞ г) ⎜ + ⎟ ⋅ 4 = ⎜ ⋅4 = = =5 . + ⎟ ⋅4 = ⎝ 9 ⎝ 3 9⎠ 9⎠ 9 9 9 9 1 1⋅5 5 1 ⎛ 3 2⎞ ⎛ 3 1⎞ а) ⎜ − ⎟ ⋅ 5 = ⎜ − ⎟ ⋅ 5 = ⋅ 5 = = =1 ; ⎝ 4 4⎠ ⎝ 4 2⎠ 4 4 4 4 8 1⎞ 1⎞ 16 16 : 2 ⎛ 15 ⎛5 :2 = ⎜ :2 = :2 = = ; б) ⎜ + + ⎝ 21 21⎟⎠ ⎝ 7 21⎟⎠ 21 21 21 1⎞ 2⎞ 5 5 5 1 ⎛ 7 ⎛ 7 в) ⎜ :3 = ⎜ :3 = :3 = = = ; − − ⎝ 10 10 ⎟⎠ ⎝ 10 5 ⎟⎠ 10 10 ⋅ 3 30 6 1⎞ 1⎞ 2 1 1⋅5 5 ⎛ 3 ⎛1 г) ⎜ − ⋅5 = ⋅5 = ⋅5 = = . − ⋅5 = ⎜ ⎝ 12 12 ⎟⎠ ⎝ 4 12 ⎟⎠ 12 6 6 6

499. 1)

500.

501.

502.

503.

504.

. . % , . . $

417

Контрольные задания 1)

2 2 ⋅ 6 12 ⋅6 = = = 4; 3 3 3

2)

8 2 8 8 :4 = = = ; 11 11 ⋅ 4 44 11

3)

3 3 3 :5 = = .

7 7 ⋅ 5 35

ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ § 27. Определение угла. Развернутый угол 506.

507. DOA, COB. 508. а)

б)

СО — общая сторона AOC и BOC, AOB — развернутый;

МО — общая сторона KOM и NOM.

510. I способ Если урожай третьего участка уменьшить на 12 ц, то с каждого из трех участков земли картофеля собрали поровну, всего 156 – 12 144 (ц). Тогда с каждого участка собрали 144 : 3 48 (ц) картофеля. Но это количество картофеля, собранное с первого и второго участков. Тогда с третьего участка собрали 48 + 12 60 (ц) картофеля. Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.

418

2002–2011 гг.

II способ Увеличим урожай первого и второго участка на 12 ц, тогда с каждого из трех участков соберут картофеля поровну, а вместе 156 + 12 2 180 (ц). С каждого участка соберут 180 : 3 60 (ц). Но это количество картофеля, собранное с третьего участка. Тогда с первого и второго соберут по 60 – 12 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.

III способ Обозначим количество картофеля, собранного с первого и второго участков, х кг; тогда с третьего участка собрали (х + 12) кг, а вместе с трех участков (x + x + x + 12) кг. Но по условию задачи с трех участков вместе собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение: x + x + x + 12 156; 3x + 12 156; 3x 156 – 12; 3x 144; x 144 : 3; x 48. Итак, получили, что с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 60 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.

IV способ Обозначим количество собранного картофеля с третьего участка земли х кг. Тогда с первого и второго участков собрали по (х – 12) ц, а с трех участков вместе — (x – 12 + x – 12 + x) ц. По условию задачи, с трех участков собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение: x – 12 + x – 12 + x 156; 3x – 12 – 12 156; 3x 180; x 60. Итак, получили, что с третьего участка собрали 60 ц картофеля, а с первого и второго — по 60 – 12 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.

511. 1) х ц; (х + 12) ц; (x + x + x + 12) ц; 2) x + x + x + 12 156; 3) мы найдем массу картофеля, собранного со второго (и первого) участка: x + x + x + 12 156; 3x + 12 156; 3x 156 – 12; 3x 144; x 144 : 3; x 48; 4) со второго участка собрали 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 60 (ц).

512. 1) (х + 27) книг стоит на второй полке; 2) (x + x + 27) книг стоит на двух полках; 3) x + x + 17 185; 2x + 27 185; 2x 185 – 27; 2x 158; x 158 : 2; x 79. Значит, на первой полке стояло 79 книг, а на второй — 79 + 27 106 (книг).

. . % , . . $

419

513. Обозначим третье слагаемое буквой х, тогда сумма трех слагаемых — (6485 + (6485 – 4163) + х). По условию задачи, сумма трех слагаемых равна 15 731. Составим уравнение: 6485 + (6485 – 4163) + х 15 731.

6485 + 2322 + х 15 731; 8807 + х 15 731; х 15 731 – 8807; х 6924.

6485 6485 15731 − − + 4163 2322 8807 2322

8807

6924

Итак, третье слагаемое равно 6924. Ответ: 6924 — третье слагаемое. Можно было решить эту задачу по действиям: 1) 6485 − 4163 2322 — второе слагаемое; 2) 6485 + 2322 8807 — сумма первого и второго слагаемых; 3)

−

15731 8807

6924 Ответ: 6924 — третье слагаемое.

514. Пусть исходное выражение имело вид: a – b c. Если вычитаемое уменьшить на 262, выражение примет вид: a – (b – 262) c. а) Уменьшаемое уменьшить на 262; б) уменьшаемое уменьшить на 262 + 74 336; в) уменьшаемое уменьшить на 262 – 35 227.

Контрольные задания 1.

2. Дополнительные лучи.

KAN, KAL, KAM, MAL, LAM, MAN; MAN и KAL — развернутые.

420

3.

2002–2011 гг.

1) СОА — острый, AOD — тупой, COD — развернутый; 2) COA и DOA — прямые, COD — развернутый.

§ 28. Сравнение углов наложением 516. а) Угол СВА меньше угла MNK, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить; б) угол KNM меньше угла CBA, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить; в) CBA и KNM равны, так как они совпадают, если их совместить.

517. а) ABC больше A1B1C1; б) B1A1C1, B1C1A1; B1A1C1 меньше A1B1C1; B1C1A1 меньше A1B1C1.

518. 1 способ 1) 135 : 5 27 (км/ч) — общая скорость велосипедистов; 2) 27 – 13 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч.

2 способ 1) 13 5 65 (км) — проехал первый велосипедист за 5 ч; 2) 135 – 65 70 (км) — проехал второй велосипедист за 5 ч; 3) 70 : 5 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч.

519. Первый — ? на 32 кг тяжелее, чем ⎫⎪ Второй — ? на 14 кг легче, чем ⎬ 280 êã ⎪⎭ Третий — ? Решение. а) Отколем от первого куска 32 кг, а от третьего — 14 кг, тогда каждый кусок мрамора будет одинаковой массы, а всего останется 280 – (14 + 32) 280 – 46 234 (кг). Масса каждого куска мрамора равна 234 : 3 78 (кг). Но это масса второго куска мрамора. Масса первого — 78 + 32 110 (кг), а третьего — 78 + 14 92 (кг). Ответ: масса первого куска мрамора равна 110 кг, второго — 78 кг, третьего — 92 кг. б) (х + 32) кг — масса первого куска; (х + 14) кг — масса третьего куска; ((x + 32) + x + (x + 14)) кг — масса трех кусков; в) (x + 32) + x + (x + 14) 280; x + 32 + x + x + 14 280; 3x + 46 280; 3x 280 – 46; 3x 234; x 234 : 3; x 78.

421

. . % , . . $

Контрольные задания АОВ меньше ВОС.

§ 29. Измерение углов 522. MNK 35q; ABC 35q; DEF 140q; FGH 130q. б) MNK 120q — тупой; 523. а) ABC 75q — острый;

в) DEF

30q — острый;

г) LNP

145q — тупой;

д) PST

45q — острый;

е) QEH

130q — тупой.

524. ABC

21q; DEF

145q; MNK

40q; FGH

100q.

1 3 1 10 1 50 5 ; 3° ⎯ = ; 10° ⎯ = ; 50° ⎯ = ; 180 180 60 180 18 180 18 30 1 60 1 90 1 б) 30° ⎯ = ; 60° ⎯ = ; 90° ⎯ = ; 180 6 180 3 180 2 120 2 150 5 120° ⎯ = ; 150° ⎯ = ; 180 3 180 6 45 1 135 3 80 4 в) 45° ⎯ = ; 135° ⎯ = ; 80° ⎯ = ; 180 4 180 4 180 9 12 1 12° ⎯ = ; 180 15

526. а) 1° ⎯

2002–2011 гг.

422

15 1 18 1 36 1 = ; 18° ⎯ = ; 36° ⎯ = ; 180 12 180 10 180 5 20 1 20° ⎯ = .

180 9

г) 15° ⎯

527. а)

1 1 прямого угла: ⋅ 90° = 45°; 2 2

б)

1 1 прямого угла: ⋅ 90° = 30°; 3 3

в)

2 2 2 ⋅ 90° прямого угла: ⋅ 90° = = 60°; 3 3 3

г)

1 1 развернутого угла: ⋅ 180° = 45°; 4 4

д)

1 1 развернутого угла: ⋅ 180° = 60°; 3 3

3 развернутого угла: 4 3 3 ⋅ 180° ⋅ 180° = = 135°.

4 4 528. а) 15q 10 150q; в) 12q : 6 7 14q; б) 8q : 2 5 20q; г) 18q : 9 11 22q.

529. 1) 20 ч 55 мин – 17 ч 55 мин 3 ч; 2) 60 6 360 (км); 3) 537 – 360 177 (км); 4) 177 : 3 59 (км/ч). Ответ: скорость второго поезда равна 59 км/ч. е)

. . % , . . $

423

530. 1) 165 – 105 60 (р.) — разница стоимости куска ситца и бязи; 2) 60 : 4 15 (м) — длина куска ситца и бязи; 3) 105 : 15 7 (р.) — цена 1 м ситца; 4) 7 + 4 11 (р.) — цена 1 м бязи. Ответ: в каждом куске ситца и бязи по 15 м ткани; 1 м бязи стоит 11 р., а 1 м ситца — 7 р.

Контрольные задания 1.

MNL MNK – KNL 180q – 65q 115q.

2. ABC 70q — острый; MNK 90q — прямой; CDE 130q — тупой.

§ 30. Биссектриса угла 531.

533. а) 8 углов; из них 4 развернутых угла; б) пусть при пересечении двух прямых образовались углы 1; 2; 3; 4.

1 2; 3 4; а также еще четыре развернутых угла: 5; 6; 7; 8; 5 6 7 8 180q. Пусть 1 80q.

1 + 3 180q, 3 180q – 1 180q – 80q 100q. Значит, 1 2 80q, 3 4 100q. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 80q, 100q, 80q, 100q и четыре развернутых угла.

534. 1) 180q – 25q 155q. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 25q, 155q, 25q, 155q.

535. Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, а диагональ прямоугольника не является биссектрисой его угла. Биссектриса делит развернутый угол на два равных прямых угла: 180q : 2 90q.

536. 1) Можно провести диагональ клетки в тетради.

2002–2011 гг.

424

537. AOC, AOB, BOC — тупые. Четыре угла с таким условием построить нельзя, так как сумма четырех тупых углов будет больше 360q.

538. Сумма всех углов, образованных при пересечении двух прямых (не считая развернутых) равна 360q.

360q : 4 90q. Поэтому, если провести 4 луча, то все образовавшиеся углы не будут острыми. Значит, нужно провести 5 лучей.

BOC — прямой, целиком расположен внутри развернутого угла AOD, при этом AOB и DOC — острые, AOB 43q, DOC 45q.

540. MON + NOA 75q + 105q 180q, значит, лучи OM и OA могут быть дополнительными.

NOA + AOB 105q + 75q 180q, значит, лучи ON и ОВ могут быть дополнительными.

541. OK — биссектриса угла MOC, OP — биссектриса угла CON. KOP 45q, так как: KOP KOC + POC 1 1 ∠MOC + ∠CON = 2 2 1 = (∠MOC + ∠CON ) = 2 1 1 = ∠MON = ⋅ 90° = 45°.

2 2 542. а) 425 17 + 3008 1)

× +

435 17

10 403; 2)

3045 435

+

7395 3008

10403

7395 б) 435 (17 + 3008) 3008 1) + 17 3025

1 315 875; 2)

×

3025 425

15125 + 9075 12100 1315875

425

. . % , . . $

в) 27 64 + 89 502 27 1) × 64 108 + 162 1728

46 406; 2) 502 × 89 +

+

44678 1728 46406

4518 4016 44678

г) 27 (64 + 89) 502 2 973 762; 153 2) 1) 67 × + 27 89 153

3)

1071 + 306 4131

3)

× +

4131 502

8262 20655 2073762

543. Примем всю работу за 1, тогда первая мастерская выполнит за 1 день 1 1 1 часть; третья — часть всей работы; вторая — часть.

24 16 48 1 1 1 6 4 2 6 + 4 + 2 12 1 (часть) — + + = + + = = = 1) 16 24 48 96 96 96 96 96 8 выполнят за 1 день три мастерские, работая одновременно.

2) Значит, всю работу три мастерские, работая одновременно, выполнят за 8 дней.

1 1⋅ 8 8 1 3) ⋅8 = = = (часть) — выполнит первая мастерская; 16 16 16 2 1 1 ⋅ 960 4) ⋅ 960 = = 480 (книг) — переплетет первая мастерская; 2 24 1 1⋅ 8 1 5) ⋅8 = = (часть) — выполнит вторая мастерская; 24 24 3 1 1 ⋅ 960 6) ⋅ 960 = = 320 (книг) — переплетет вторая мастерская; 3 3 1 1⋅ 8 1 (часть) — выполнит третья мастерская; 7) ⋅8 = = 48 48 6 1 1 ⋅ 960 6) ⋅ 960 = = 160 (книг) — переплетет третья мастерская.

6 6 Ответ: за 8 дней три мастерские, работая одновременно, выполнят всю работу, причем первая успеет переплести 480 книг, вторая — 320 книг, третья — 160 книг; распределить книги между мастерскими, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок, нельзя.

544. 2) Обозначим буквой х количество зерна на втором элеваторе, тогда на первом элеваторе было 3х т зерна. Если с первого элеватора вывезти 850 т, то на нем останется: (3х – 850) т, если со второго

2002–2011 гг.

426

элеватора вывезти 150 т, то на нем останется: (х – 150) т. Так как после этого на обоих элеваторах зерна осталось поровну, составим уравнение: 3x – 850 x – 150.

1) 850 – 150 700 (т); 2) 700 : 2 350 (т) — на втором элеваторе; 3) 350 3 1050 (т) — на первом элеваторе. Ответ: на первом элеваторе было 1050 т зерна.

Контрольные задания 1 Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий данный угол на два равных угла.

2. Луч BK — биссектриса ABC; ∠ABK = ∠CBK =

1 1 ∠ABC = ⋅ 70° = 35°.

2 2

§ 31. Треугольник 546. 1) ABC 45q + 30q 75q; 2) 120q 90q + 30q; 105q 60q + 45q; 15q 45q – 30q; 3) 135q 90q + 45q; 150q 90q + 60q; также можно построить углы по 30q; 60q; 45q; 90q.

547. 1) 8 + 12 20 (чел.) — размещаются в 1-ой 8-местной и в 1-ой 12-местной шлюпках одновременно; 2) 340 : 20 17 (шлюп.) — количество шлюпок; 3) 17 8 136 (чел.) — всего в 8-местных шлюпках; 4) 17 12 204 (чел.) — всего в 12-местных шлюпках. Ответ: в 8-местных шлюпках могут разместиться 136 человек, а в 12-местных — 204 человека.

548. 1) 240 : 8 – 300 : 20 + 576 : 32 30 – 15 + 18 15 + 18 33; −

566 32 52 18

−

256 256 0

. . % , . . $

427

б) ((160 240 : 8 + 7 997 000 : 100) : 1000 7 + 947) 100 164 7000; 2) 7 997 000 : 100 79 970; 1) 160240 8 − 16 20030 −

024 24 0

3)

+

4) 100 000 : 1000

79970 20030

100;

100000 5) 100 7

700;

6)

+

947 700

7) 1647 100

164 700.

1647 550. Обозначим массу одного апельсина х г.

7 х + 2 200 2 1000 + 500; 7х + 400 2500.

551. 3) (х + 45) м — количество ткани, которое было в куске сатина зеленого цвета; 2х м — количество ткани, оставшейся в куске сатина синего цвета; (28 + 2х) м — количество ткани, которое было в куски сатина синего цвета. б) х + 45 2х + 28.

552. а) AB = x ñì; ⎫ ⎪ B C = 2x ñì; ⎬ PΔAB C ⎯ ?

A C = (2x − 7) ñì;⎪⎭ P'ABC AB + BC + AC; P'ABC x + 2x + (2x – 7) x + 2x + 2x – 7 б) AB = y ñì; ⎫ ⎪ B C = 4y ñì; ⎬ PΔAB C ⎯ ?

A C = (4y − 10) ñì;⎪⎭ 553. а) б) 554. а) б)

5x – 7 (см);

P'ABC AB + BC + AC; P'ABC y + 4y + (4y – 10) y + 4y + 4y – 10 9y – 10 (см).

5x – 7 68; 5x 68 + 7; 5x 75; x 75 : 5; x 25. Значит, АВ 15 м; ВС 2 15 30 (м); АС 30 – 7 23 (м).

9y – 10 197; 9y 197 + 10; 9y 207; y 207 : 9; y 23. Значит, АВ 23 см; ВС 4 23 92 (см); АС 92 – 10 82 (см).

MN a см; NK (a – 30) см; KM 4(a – 30) см.

P'MNK MN + NK + KM; P'MNK a + (a – 30) + 4(a – 30); MN b см; NK (b + 12) см; KM 2b см.

P'MNK MN + NK + KM; P'MNK b + (b + 12) + 2b b + b + 12 + 2b 4b + 12.

2002–2011 гг.

428

555. а) a + (a – 30) + 4(a – 30) 108; a + a – 30 + 4a – 120 108; a + a + 4a – (30 + 120) 108; 6a – 150 108; 6a 108 + 150; 6a 258; a 258 : 6; a 43. Значит, MN 43 см; NK 43 – 30 13 (см); KM 4 13 52 (см). Ответ: MN 43 см; NK 13 см; KM 52 см. б) b + b + 12 + 2b 164; 4b + 12 164; 4b 164 – 12; 4b 152; b 152 : 4; b 38. Значит, MN 38 см; NK 38 + 12 50 (см); KM 2 38 76 (см). Ответ: MN 38 см; NK 50 см; KM 76 см.

559. а) ((24 250 + 18 350) : 60 40 + (44 4500 + 108 1500) : 20) : 40 655; 1) 3) 6000 2) 18 44 + × × 6300 350 4500 +

6300

198000 4)

−

12300 60 12 205

5)

×

6)

205 40 8200

030 30

−

12300

90 + 54

220 176

×

108 1500

198000 8)

+

198000 162000 360000

540 + 108 162000 10)

+

18000 8200 26200

44 4500

220 + 176

0 7)

×

9)

−

360000 20 2 18000

−

16 16 0

11)

−

26200 40 24 655

−

22 20

−

20 20 0

429

. . % , . . $

б) (64 125 + 128 75) : 800 5000 – (300 400 + 5107 800) : 70 49 920; 1)

×

125 64

2)

500 + 750 8000 800 17600 4) − 16 22 −

× +

128 75

3)

+

9600 8000

17600

640 896 9600

5) 22 × 5000

6) 300 400

120 000;

110000

16 16 0

7)

×

5107 800

4085600

8)

+

4085600 120000 4205600

9)

−

4205600 70 42 60080 −

056 56 0

10) 110000 − 60080 49920 560. а) 1 способ — алгебраический. Обозначим меньшее число х, тогда бîльшее число — (х + 200). Так как сумма этих чисел равна 790, составим уравнение: x + x + 200 790; 2x + 200 790; 2x 790 – 200; 2x 590; x 590 : 2; x 295. Значит, меньшее число — 295, а большее — 295 + 200 495. Ответ: искомые числа 295 и 495.

2 способ — арифметический.

1) 790 – 200 590 — сумма двух равных чисел; 2) 590 : 2 295 — меньшее число; 3) 295 + 200 495 — бîльшее число. Ответ: искомые числа 295 и 495. б) 1 способ — алгебраический. Обозначим количество гирь по 5 кг х штук, тогда гирь по 3 кг было (24 – х) штук. Так как на одну чашу весов поставлены гири массой по 5 кг, а на другую — по 3 кг, а весы находятся в равновесии, составим уравнение: 5x 3(24 – x); 5x 72 – 3x; 5x + 3x 72; 8x 72; x 72 : 8; x 9.

2002–2011 гг.

430

Значит, гирь массой по 5 кг было 9 штук, а по 3 кг — 24 – 9 15 (штук). Ответ: на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг.

2 способ — арифметический.

1) 3 24 72 (кг) — масса 24 гирь по 3 кг; 2) 3 + 5 8 (кг) — масса 1 гири по 3 кг и 1 гири по 5 кг вместе; 3) 72 : 8 9 (шт.) — количество гирь по 5 кг; 4) 24 – 9 15 (шт.) — количество гирь по 3 кг. на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг.

561. а) 1

563.

564.

565.

б) 5

1 1 5 +2 =7 ; 2 8 8

8 20 7 6 1 г) 2 + 3 = 6. +2 =5 ; 32 32 8 8 4 2) Не существует треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 5 см, потому что 2 см + 3 см 5 см, то есть вместо треугольника мы получим отрезок длиной 5 см, разделенный на две части длиной 2 см и 3 см. От 4 см до 14 см, не включая 4 см и 14 см, например, 4 см 2 мм, или 10 см, или 13 см 9 см и т. д.

— Если a 8, b 7, c 12, то 12 < 8 + 7; 7 < 12 + 8. Значит, треугольник со сторонами a 8, b 7, c 12 существует; — если a 3, b 14, c 10, то 3 < 14 + 10; 14 > 3 + 10; 10 < 3 + 14; 14 < 3 + 10; значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 5, b 11, c 9, то 5 < 11 + 9; 9 < 5 + 11; 11 < 5 + 9, значит, треугольник с данными сторонами существует; — если a 21, b 6, c 13, то 21 > 6 + 13; 6 < 21 + 13; 13 < 21 + 6; 21 > 6 + 13, значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 11, b 21, c 10, то 11 < 21 + 10; 21 11 + 10; 10 < 21 + 11; 21 11 + 10, значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 10, b 22, c 11, то 22 > 10 + 11; 10 < 22 + 11; 11 < 10 + 22; 22 > 10 + 11, значит, треугольник с данными сторонами не существует. а) нельзя, так как 10 см + 10 см < 30 см; б) можно, так как 30 см + 40 см > 50 см, 40 см + 50 см > 30 см, 50 см + 30 см > 40 см; в) можно, так как 8 см 8 мм + 29 см 12 мм > 21 см 5 мм, 8 см 8 мм + 21 см 5 мм > 29 см 12 мм, 29 см 12 мм + 21 см 5 мм > > 8 см 8 мм; г) нельзя, так как 238 см 7 мм + 432 см 6 мм 691 см 3 мм, 671 см 3 мм < 781 см 4 мм. в) 3

562.

1 2 3 + =1 ; 4 4 4

. . % , . . $

431

Контрольные задания 1. Угольник с углами 90q, 60q, 30q и угольник с углами 90q, 45q, 45q.

2. 75q 45q + 30q; 135q 90q + 45q; угол 25q при помощи угольника построить нельзя.

3. Прямоугольным называют треугольник, в котором есть прямой угол. Тупоугольным называют треугольник, в котором есть тупой угол. Остроугольным называют треугольник, в котором все углы острые.

прямоугольный тупоугольный остроугольный 4. P'ABC AB + BC + AC; P'ABC 1 см 6 мм + 2 см 1 мм + 2 см 7 мм 6 см 4 мм.

§ 32. Площадь треугольника 566. Чтобы найти площадь треугольника АВС, нужно найти половину площади прямоугольника ABCD. 567. а) SABCD AB AD; SABCD 10 мм 26 мм 260 мм2; S'ABD 260 : 2 130 (мм2); б) S'ADC SABCD : 2 (AD DC) : 2 (26 15) : 2 390 : 2 195 (мм2); в) S'ABD SABCD : 2 (AB AD) : 2 (13 34) : 2 442 : 2 221 (мм2); г) S'ABC SABCD : 2 (AB BC) : 2 (27 26) : 2 702 : 2 351 (мм2).

568. S'ABC S'ABD + S'BDC (AD BD) : 2 + (DC BD) : 2 (AD BD DC BD) : 2 (BD (AD + BC)) : 2 (BD AC) : 2. Значит, S'ABC (BD AC) : 2.

569. а) (15 20) : 2 150 (мм2); б) (22 19) : 2 418 : 2 209 (мм2); в) (18 23) : 2 414 : 2 207 (мм2); г) (21 22 ) : 2 462 : 2 231 (мм2).

571. а) S'ADC (16 27) : 2 216 (мм2); б) S'MNK )19 « 20) : 2 190 (мм2); в) S'ABC (16 25) : 2 200 (мм2); г) S'MNK (18 21) : 2 189 (мм2).

572. а) Третья сторона треугольника может быть меньше 23 см, но больше 9 см; б) третья сторона треугольника может быть меньше 69 см 3 мм, но больше 25 см 9 мм; в) третья сторона треугольника может быть меньше 17 см, но больше 7 см; г) третья сторона треугольника может быть меньше 10 см 1 мм, но больше 5 см 5 мм.

573. а) 8 см (4 см нельзя взять, потому что тогда 4 + 4 8 (см), то есть треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 8 см не существует). б) 13 см (так как 6 + 6 < 13); в) 37 см (так как 18 см 4 мм + 18 см 4 мм < 37 см); г) 23 см 4 мм (так как 11 см 7 мм + 11 см 7 мм 23 см 4 мм).

2002–2011 гг.

432

574. Расстояние между точками А и С может быть больше 18 см, но меньше 30 см. Тогда расстояние между точками А и D может быть больше 12 см, но меньше 36 см.

24 см

C

B 6 см

7 см

А D

575. а) Точка K не лежит на отрезке MN, то есть точки K, M, N — вершины 'MNK, так как: KM < MN + KN (23 см < 75 см + 57 см); MN < KM + KM (75 см < 23 см + 57 см); KN < KM + MN (57 см < 23 см + 75 см). б) Точка М лежит на отрезке KN, так как KM + MN KN (49 см + 37 см 86 см).

576. а) Конфеты I сорта Конфеты II сорта

23 см

N 37 см

M 86 см

Цена 1 кг Количество Стоимость 96 р.

40 кг (40 96) р.

78 р. ? кг ? р.

}

6570 ð.

Решение.

96 1) × 40 3840 (р.) — стоят 40 кг конфет I сорта; 2)

3)

−

6570 3840 2730 (р.) — стоят конфеты II сорта;

2730 78 234 35 (кг) — купили конфет II сорта.

390 − 390 0 Ответ: было куплено 35 кг более дешевых конфет. −

б) vа 105 км/ч, tа 2 мин + 10 мин a Sa vм 210 км/ч tм 10 мин Sм

57 см

75 см

49 см

K

K

M

vм

15 км/ч m

N

433

. . % , . . $

vа скорость автомобиля; tа время автомобиля; vм скорость мотоциклиста; tм время мотоциклиста. Решение.

2 10 ÷; 10 ìèí = ÷; 60 60 12 1 2 ìèí + 10 ìèí = 12 ìèí = ÷ = ÷; 60 5 1 105 ⋅ 1 = 21 (км) — путь автомобиля до разворота 2) 105 ⋅ = 5 5 мотоциклиста;

1) 2 ìèí =

10 210 ⋅ 1 70 = = = 35 (км) — пусть мотоциклиста до его 60 6 2 разворота; 4) 105 + 15 120 (км/ч) — общая скорость мотоциклиста и автомобиля при движении их навстречу друг друга; 5) 35 – 21 14 (км) — разница пути, пройденного мотоциклистом за 10 мин, а автомобилем за 12 мин;

3) 210 ⋅

14 7 = ÷ = 7 ìèí.

120 60 Ответ: через 7 мин после разворота инспектор повстречает «Оку».

577. а) 395 52 – 603 25 – 960 : 24 5425; 603 395 1) 3) 960 24 2) − × × 96 40 25 52 6) 14 : 120 =

+

790 1975

+

20540 − 15075

5)

5465 − 40

5465

5425

б) 256 407 – 33 087 : 298 1)

×

256 407

1792 + 1024 104192

0

15075

20540 4)

3015 1206

2)

−

104 081; 33078 298 298 −

111

−

104192 111 104081

327 289

−

3)

298 298 0

2002–2011 гг.

434

3 1 11 8 11 − 8 − = = = ; 15 15 5 15 15 15 9 15 + 9 24 6 г) + = = = .

28 28 28 28 7

3 5 3+5 8 1 + = = = ; 16 16 16 16 2 23 18 23 − 18 5 1 в) − = = = ; 25 25 25 25 5

б)

578. а)

Контрольные задания 1. а) S б) S

(15 32) : 2 (15 38) : 2

240 (мм2); 285 (мм2).

§ 33. Свойства углов треугольника 580. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен аq, то второй — (90q – аq). Тогда острые углы прямоугольного треугольника будут равны: 42q и 90q – 42q 48q; 87q и 90q – 87q 3q; 62q и 90q – 62q 28q; 21q и 90q – 21q 69q; 51q и 90q – 51q 39q; 30q и 90q – 30q 60q; 45q и 90q – 45q 45q. Поэтому бîльший острый угол прямоугольного треугольника равен: 48q, 87q, 62q, 69q, 51q, 60q, 45q.

582. А

28q

180q – (40q + + 78q) 62q

65q

136q

В

39q

40q

180q – (65q + + 25q) 90q

44q

С Вид

180q – (28q + 78q + 39q) 113q тупоугольный остроугольный

25q прямоугольный

180q – (136q + + 44q) 0q не существует

А

180q – (128q + + 54q) 2q

109q

38q

180q – (43q + + 59q) 78q

В

128q

180q – (109q + + 90q) 62q

76q

43q

С

54q

90q

Вид

тупоугольный остроугольный

583. А 70q, С 30q, В 80q А + В + С 180q, действительно 70q + 30q + 80q

180q – (38q + + 76q) 66q прямоугольный

59q не существует B

180q.

A

C

M

584. Р 140q, K 23q, M 17q M + P + K 180q, действительно, 140q + 23q + 17q

180q.

P

K

. . % , . . $

435

585. 180q – 2 25q 180q – 50q 130q. Ответ: величина третьего угла треугольника равна 130q.

586. 1) 180q – 68q 112q — сумма двух равных углов; 2) 112q : 2 56q. Ответ: искомые углы равны по 56q.

587. N — ? в 2 раза <, чем 3 раза <, чем ⎫ ⎪ N — ? ⎬ 180° K — ? ⎪⎭ Решение. Обозначим M xq. тогда N 2xq, K 3xq. Известно, что M + N + K 180q. Составим уравнение: x + 2x + 3x 180; 6x 180; x 30. Значит, M 30q, N 2 30q 60q, K 3 30q 90q. Ответ: M 30q. N 60q, K 90q. ⎫ на 28q <, чем 588. Первый угол — ? в 2 раза <, чем ⎪ ⎬ 180° Второй угол — ? Третий угол — ? ⎭⎪ Решение.

1 способ — арифметический 1) 180q – 28q 152q — сумма четырех равных углов; 2) 152q : 4 38q — величина первого угла — меньшего; 3) 38q 2 76q — величина второго угла; 4) 38q + 28q 66q — величина третьего угла. Ответ: первый угол равен 38q, второй — 86q, третий — 66q.

2 способ — алгебраический Обозначим первый угол хq, тогда второй — 2хq, третий — (х + 28)q. Сумма всех углов треугольника 180q, составим уравнение: x + 2x + x + 28 180; 4x + 28 180; 4x 180 – 28; 4x 152; x 38. При х 38 2х 2 38 76q; при х 38 х + 28 38 + 28 66q. Ответ: первый угол равен 38q, второй — 76q, третий — 66q.

589. С 180q – ( А + В); С 180q – (45q + 70q) N M 180q – 115q 65q.

C Ответ: 65q.

45 °

70 °

A

590.

B

Р 180q – (80q + 30q) 180q – 110q 70q. С данными углами можно начертить бесконечно много треугольников (их стороны будут различны).

P

M

80 °

30 °

N

2002–2011 гг.

436

591. а) Если A C 60q, то B 180q – 2 60q 180q – 120q Значит, в 'АВС все углы по 60q, и все стороны равны.

60q.

B

60 °

A

60 °

C

б) D 180q – (55q + 70q) 55q. Значит, в 'CDE углы С и D равны по 55q, и CE

DE.

D

70 °

55 °

A

E

592.

C

D

5 см

E

594.

АВС 100q; ВА 6 см, ВС 4 см; АС; АС 7 см 8 мм, А 30q, С A + B + C 180q.

50q;

B

A

593.

1) 2) 3) 4) 5)

70 ° 7 см

K

B C A

D

DE 5 см, EK 7 см, DEK 70q. Вывод: чтобы построить треугольник по двум его сторонам и углу между ними, нужно: 1) построить данный угол; 2) на его сторонах отложить отрезки, равные данным сторонам треугольника; 3) соединить полученные на сторонах угла точки отрезком.

BAC + B + BCA 180q; CAD + D + ACD 180q; BAC + DAC A; BCA + DCA C. Поэтому A + B + C + D

360q.

437

. . % , . . $

595. а) 32 Â&#x2DC; 15 32 Â&#x2DC; (10 + 5) 32 Â&#x2DC; 10 + 32 Â&#x2DC; 5 320 + 160 480; 48 Â&#x2DC; 15 48 Â&#x2DC; (10 + 5) 48 Â&#x2DC; 10 + 48 Â&#x2DC; 5 480 + 240 720; 86 Â&#x2DC; 15 (80 + 6) Â&#x2DC; 15 80 Â&#x2DC; 15 + 6 Â&#x2DC; 15 1200 + 90 1290; б) 24 Â&#x2DC; 250 (20 + 4) Â&#x2DC; 250 20 Â&#x2DC; 250 + 4 Â&#x2DC; 250 5000 + 1000 6000; 48 Â&#x2DC; 250 (40 + 8) Â&#x2DC; 250 40 Â&#x2DC; 250 + 8 Â&#x2DC; 250 10 000 + 2000 12 000; 36 Â&#x2DC; 250 (30 + 6) Â&#x2DC; 250 30 Â&#x2DC; 250 + 6 Â&#x2DC; 250 7500 + 1500 9000; в) 1200 : 50 24; 1600 : 50 32; 4500 : 50 90; г) 1600 : 25 16 Â&#x2DC; (100 : 24) 16 Â&#x2DC; 4 64; 2400 : 25 24 Â&#x2DC; (100 : 25) 24 Â&#x2DC; 4 96; 1700 : 25 17 Â&#x2DC; (100 : 25) 17 Â&#x2DC; 4 68.

596. а) б)

4 4â&#x2039;&#x2026;2 8 4 4 4 2 â&#x2039;&#x2026;2 = = ; :2 = = = ; 15 15 15 15 15 â&#x2039;&#x2026; 2 30 15 4 4 4 â&#x2039;&#x2026; 3 12 4 4 4 :3 = = ; â&#x2039;&#x2026;3 = = = ; 15 15 15 5 15 15 â&#x2039;&#x2026; 3 45

1 10 10 10 10 â&#x2039;&#x2026; 7 70 10 10 â&#x2039;&#x2026;7 = = = =3 ; :7 = = .

21 21 3 3 21 21 21 â&#x2039;&#x2026; 7 147 597. а) 128 Â&#x2DC; 430 + 675 â&#x20AC;&#x201C; 34 125 : 375 + 6795 62 419; в)

1)

Ã&#x2014;

2)

128 430

384 + 512

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

55040 4)

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

0

55715 5) 55624 + 6795 91

712398 3209 2) 15631 203 â&#x2C6;&#x2019; 6418 1421 77 222 â&#x2C6;&#x2019;

7059 6418

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

6418 6418

0

0 3)

â&#x2C6;&#x2019;

222 189 33

4)

1421 1421

+

77 33

110

+

55040 675 55715

375 375

62419 55624 б) 712 398 : 3209 â&#x20AC;&#x201C; 189 + 15 631 : 203 1)

3)

34125 375 3375 91

110;

2002–2011 гг.

438

598.

а)

б)

в)

г)

599.

а)

б)

600. Площадь фигуры на рисунке 1) меньше площадей фигур на рисунках 2) и 3); а площади фигур на рисунках 2) и 3) равны. Равные периметры имеют фигуры на рисунках 1) и 2); периметр фигуры на рисунке 3) меньше периметров фигура на рисунках 1) и 2).

601. 1) (60 2) : (90 – 60) 120 : 30 4 (ч). Ответ: токарь догонит ученика через 4 ч по количеству изготовленных деталей.

2) (60 2) : (90 – 60) 120 : 30 4 (ч). Ответ: автобусу потребуется 4 ч, чтобы догнать грузовик. При решении задач получены одинаковые выражения, значит, ситуации, данные в этих двух задачах, описываются одинаковыми математическими моделями.

. . % , . . $

439

602. а) 3 (17 – 13) 3 4 12 (пл.). Ответ: за три часа работы первая швея обработает на 12 платьев больше, чем вторая. б) Скорость одного мотоциклиста 17 км/ч, а второй за 1 час проезжает 13 км. На сколько километров больше преодолеет первый мотоциклист, чем второй за 3 ч?

Контрольные задания 1. 'АВС — прямоугольный, 'DEF — остроугольный, 'MNK — тупоугольный.

2. Сумма углов треугольника равна 180q.

3. A 180q – ( B + C) 180q – (45q + 34q) 180q – 79q 101q.

§ 34. Расстояние между двумя точками. Масштаб 604. 1)

Описание маршрута От подъезда Кости до входа в школу От подъезда Насти до входа в школу От подъезда Кости до подъезда Насти

Длина маршрута 9 см 9 мм 2000 19 800 см 198 м 8 см 2 мм 2000 16 400 см 164 м 7 см 5 мм 2000 15 000 см 150 м

Расстояние 6 см 2000 12 000 см 120 м 5 см 5 мм 2000 11 000 см 110 м 4 см 7 мм 2000 9400 см 94 м

2) В каждом случае длина маршрута больше, чем расстояние.

605. 1 способ — арифметический 1) 8 15 120 (мест) — дополнительные места в 8 автобусах; 2) 360 – 120 240 (мест) — в поданых 8 автобусах; 3) 240 : 8 30 (мест) — в одном автобусе. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест.

2 способ — алгебраический Пусть в каждом из поданых автобусов было по х мест. Тогда в каждом автобусе могло быть по (х + 15) мест, а в 8 автобусах вместе — 8 (х + 15) мест. По условию в таких автобусах могло бы разместиться 360 человек. Составим уравнение: 8(x + 15) 360; x + 15 360 : 8; x + 15 45; x 45 – 15; x 30. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест.

606. 1) 1872 − 1440 432 (р.) — разница стоимости сельди в бочонках; 2)

432 12 − 36 36 (р.) — цена 1 кг сельди; −

72 72 0

2002–2011 гг.

440

3)

−

1440 36 144 40 (кг) — масса сельди в одном бочонке;

0 4) 40 + 12 52 (кг) — масса сельди в другом бочонке. Ответ: в первом бочонке — 40 кг сельди, а во втором — 52 кг.

607. а) 1) 12 + 6 18 (м) — можно было бы купить ткани; 2) 18 2 36 (р.) — стоят 6 м ткани; 3) 36 : 6 6 (р.) — стоит 1 м ткани. Ответ: цена 1 м ткани равняется 6 р. б) (x – 2) р. — новая цена ткани; (12х) р. или 18 (х – 2) р. Получим уравнение: 12x 18(x – 2). При x 6 12x 12 6 72 (р.); 18(x – 2) 18 (6 – 2) 18 4 72 (р.); 72 72.

Контрольные задания Чтобы найти расстояние между двумя точками, нужно провести отрезок прямой с концами в этих точках.

§ 35. Расстояние от точки до прямой. Перпендикулярные прямые 609. Н. 16 2 – 32 0; К. 18 – 51 : 3 18 – 17 1; Л. 36 : 2 – 48 : 2 18 – 16 2; И. 17 3 – 24 2 51 – 48 3; Р. 35 2 – 7 9 70 – 63 7; Е. (28 + 26) : 6 54 : 6 9; Д. 14 3 – 111 : 3 42 – 37 5; Я. 103 2 – 99 2 206 – 198 8; П. 72 – 17 4 72 – 68 4; У. 16 4 – 116 : 2 64 – 58 6.

4 П

9 Е

7 Р

4 П

9 Е

610. AD A a; BE A a.

612.

N

K

5 Д

3 И

1 К

6 У

2 Л

8 Я

7 Р

AN A AB, AN 1 см 2 мм; NK A BC, NK 1 см 4 мм.

AN и NK — расстояние от точки N до сторон угла АВ и ВС соответственно.

A

B

0 Н

C

. . % , . . $

613. A

а) KN A AB, KN 2 см; KM A BC, KM 2 см.

KN — расстояние от точки K до стороны угла АВ.

KM — расстояние от точки K до стороны ВС.

K

N

B

M

441

C

б) Нужно опустить перпендикуляр из этой точки на продолжение луча.

D 614. 1) AK A a; 2) BD A c.

A

K

a

с

B

616. а) 1) 11 21 231 (р.); 2) 9 21 189 (р.); 3) 231 – 189 42 (р.); 4) 16 – 9 7 (р.); 5) 42 : 7 6 (кг); 6) 21 – 6 15 (кг). Ответ: по цене 16 р. за 1 кг нужно взять 6 кг карамели, а по цене 9 р. за 1 кг — 15 кг. б) 1) 19 32 288 (р.); 2) 11 р. 40 коп. 32 364 р. 80 коп.; 3) 364 р. 80 коп. – 288 р. 76 р. 80 коп.; 4) 11 р. 40 коп. – 5 р. 6 р. 40 коп.; 5) 76 р. 80 коп. : 6 р. 40 коп. 12 (мотков); 6) 32 – 12 20 (мотков). Ответ: было приобретено 12 мотков по цене 5 р. и 20 мотков по цене 11 р. 40 коп.

617. а) б) в) г) 618. 1) 2) 3) 4)

7 1 7 4 7 + 4 11 + = + = = ; 16 4 16 16 16 16 25 2 25 8 25 − 8 17 − = − = = ; 36 36 36 9 36 36 5 11 15 11 15 − 11 4 − = − = = ; 7 21 21 21 21 21 1 5 3 5 3+5 8 4 + = + = = = .

6 18 18 18 18 18 9 17 3000 51 000 (л); 51 000 + 20 000 71 000 (д); 400 + 800 1200 (л); 1200 17 20 400 (л);

2002–2011 гг.

442

5) 71 000 – 20 000 50 600 (л). Ответ: насосы успеют откачать воду из трюма, потому что через 17 мин в нем будет 50 600 л воды, а судно может затонуть, если объем воды в трюме превысит 80 000 л.

Контрольные задания 1. OB A b.

2.

K

3.

CK A a.

C

a

AM A m.

m

M

§ 36. Серединный перпендикуляр 619. а) AB > BC; б) AB BC; в) AB BC; г) AB BC. 623. 1) 2 11 22 (ноги); 2) 30 – 22 8 (ног); 3) 8 : 2 4 (порос.); 4) 11 – 4 7 (петух.). Ответ: по тропинке шло 7 петухов и 4 поросенка.

624. 10 р. + 10 р. : 2 10 р. + 5 р. 15 р. Ответ: 15 р. стоит книга.

625. а) 1 способ — арифметический 1) 115 – 25 90 (кг); 2) 90 : 2 45 (кг); 3) 45 + 25 70 (кг). Ответ: в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг.

2 способ — алгебраический Пусть в одном мешке было х кг моркови, тогда в другом мешке — (х + 25) кг. Так как в двух мешках было 115 кг моркови, составим уравнение: x + x + 25 115; 2x + 25 115; 2x 115 – 25; 2x 90; x 90 : 2; x 45. Пусть х 45, х + 25 45 + 25 70 (кг). Ответ: : в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. б) 1 способ — арифметический 1) 98 – 18 80 (м); 2) 80 : 2 40 (м);

. . % , . . $

443

3) 40 + 18 58 (м).

2 способ — алгебраический Пусть длина части сетки — х м, тогда длина второй части — (х + + 18) м. Так как длина всей сетки 98 м, составим уравнение: x + x + 18 98; 2x 98 – 18; 2x 80; x 80 : 2; x 40. При х 40, 40 + 18 58 (м). Ответ: сетку-рабицу разрезали на две части длиной 40 м и 58 м.

1 3 5 6 5 + 6 11 + = + = = ; 4 10 20 20 20 20 3 1 18 5 13 б) − = − = ; 5 6 30 30 30 7 2 21 4 17 в) − = − = ; 10 15 30 30 30 5 3 10 9 19 г) + = + = .

12 8 24 24 24 Пусть задуманное число х, тогда по условию задачи составим уравнение: 3x + 15 177; 3x 177 – 15; 3x 162; x 165 : 3; x 54. Ответ: было задумано число 54. Обозначим задуманное число х, тогда по условию задачи составим уравнение: 2x – 48 244; 2x 244 + 48; 2x 292; x 292 : 2; x 146. Ответ: задумали число 146. Обозначим искомое число х, тогда по условию задачи составим уравнение: x : 10 + 99 126; x : 10 126 – 99; x : 10 27; x 27 10; x 270. Ответ: искомое число — 270. Пусть во второй фляге было х л молока, тогда в первой — 3х л. По условию задачи составим уравнение: 3x – 15 – (x + 15) 0; 3x – 15 – x – 15 0; 3x – x – 30 0; 2x 30; x 15. При х 15, 3х 3 15 45 (л). Ответ: в первой фляге было 45 л молока, а во второй — 15 л.

15 коробок по 14 конфет и 14 коробок по 15 конфет.

626. а)

627.

628.

629.

630.

631.

§ 37. Свойство биссектрисы угла 633.

O

O

а) Точка О на рис. а) равноудалена от сторон квадрата и расположена на биссектрисе его углов (в точке их пересечения). б) Точка О на рис. б) равноудалена от сторон треугольника и расположена на биссектрисе его угла (т. О — точка пересечения биссектрис углов треугольника).

444

2002–2011 гг.

634. Нет.

635. Маша и Саша должны стоять внутри этого треугольника в точке пересечения биссектрис его углов.

636. 1 способ — алгебраический Пусть гараж стоит х р., тогда стоимость автомобиля — (2х + 97 300) р. Так как автомобиль и гараж вместе стоят 355 600 р., составим уравнение: x + 2x + 97 300 355 600; 3x 355 600 – 97 300; 3x 258 300; x 258 300 : 3; x 86 100. При х 86 100, 355 600 – х 355 600 – 86 100 269 500 (р.). Ответ: автомобиль стоит 269 500 р.

2 способ — арифметический 1) 355 600 – 97 300 258 300 (р.); 2) 258 300 : 3 86 100 (р.); 3) 355 600 – 86 100 269 500 (р.).

637. 1 способ — арифметический 1) 22 – 14 8 (м) — разница отрезанных кусов ткани; 2) 8 : 2 4 (м) — длина одной из оставшихся частей ткани; 3) 4 + 22 26 (м) — первоначальная длина ткани в куске.

2 способ — алгебраический Подставим полученное в 1 способе решение в это уравнение: 26 – 14 3 (26 – 22); 12 3 4; 12 12. Получим верное равенство. Значит, х 26 является решением данного уравнения. Ответ: в каждом куске первоначально было 26 м ткани.

638. 1 способ — арифметический 1) 112 – 10 102 (р.); 2) 102 : 2 51 (р.); 3) 51 – 14 37 (р.); 4) 112 – 37 75 (р.).

2 способ — алгебраический Пусть у старшего брата было х р., тогда у младшего — (112 – х) р. По условию задачи составим уравнение: x – 14 – 10 112 – x + 14; x – 24 126 – x. Подставим полученное в 1 способе решение х 75 в это уравнение: 75 – 24 126 – 75; 51 51 — верное равенство. Значит, х 75 — решение данного уравнения. При х 75, 112 – 75 37 (р.). Ответ: у младшего брата было первоначально 37 р., а у старшего — 75 р.

639. 1 способ — арифметический 1) 3560 – 920 2640 (т); 2) 2640 : 2 1320 (т); 3) 1320 – 60 1260 (т);

. . % , . . $

445

4) 3560 – 1260 2300 (т).

2 способ — алгебраический Пусть у второго предприятия было х т удобрений, тогда у первого — (3560 – х) т. По условию задачи составим уравнение: (3560 – x) – 60 x + 60 + 920; 3500 – x x + 980. Подставим в это уравнение х 1260.

3500 – 1260 1260 + 980; 2240 2240 — верное равенство. Значит, х 1260 является решением данного уравнения. При х 1260, 3560 – 1260 2300 (т). Ответ: на первом предприятии было 2300 т удобрений первоначально, а на втором — 1260 т.

24 3 32 1 б) = ; = .

64 8 64 2 641. Длина встречного поезда 300 м.

640. а)

Контрольные задания 1. Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.

2.

BD 4 см, ABC 60q, BD — биссектриса A АВС.

M DM A AB, DK A BC. DM, DK — расстояние от точки D до D сторон угла.

DM DK 2 см.

B

K

C

ГЛАВА IV. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 38. Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей 643. 34,6 (тридцать четыре целых шесть десятых); 30,46 (тридцать целых шесть сотых); 33, 046 (тридцать три целых сорок шесть тысячных); 0,346 (ноль целых триста сорок шесть тысячных); 0,0346 (ноль целых триста сорок шесть десятитысячных); 30,406 (тридцать целых четыреста шесть тысячных); 0,0046 (ноль целых сорок шесть десятитысячных).

2002–2011 гг.

446

644.

20,0002 30,7090 82,4 82,40 82,400

Десятки Единицы Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные 2 0 0 0 0 2 3 0 7 0 9 0 8 2 4 8 2 4 0 8 2 4 0 0 0

двадцать целых две десятитысячных; тридцать целых семьсот девять тысячных (или тридцать целых семь тысяч девяносто десятитысячных); восемьдесят две целые четыре десятых; восемьдесят две целые сорок сотых; восемьдесят две целые четыреста тысячных. Последние три числа равны. Нули, которыми оканчиваются десятичные дроби, можно отбросить.

87 67 4 38 1 4 ; ; ; ; ; 5 ; 100 3 53 100 10 1000 десятичные дроби: 5,87; 0,5; 0,025; 0,07;

547. а) обыкновенные дроби:

65 3 7 79 6 8 ; ; ; ; ; 78 ; 1000 10 000 4 25 100 10 десятичные дроби: 78,056; 0,24; 0,3; 0,005.

б) обыкновенные дроби:

648. а) 0, 68 = б) 7, 5 = 7

68 3 206 ; 0, 03 = ; 0, 206 = ; 100 100 1000 5 5 64 ; 4, 05 = 4 ; 3, 64 = 3 ; 10 100 100

в) 0, 007 =

7 21 5 1 ; 0, 0021 = ; 0, 0005 = = ; 1000 10 000 10 000 2000

г) 45, 0471 = 45 649. а) б)

471 54 27 ; 302, 0054 = 302 = 302 .

10 000 10 000 5000

4 78 8 253 = 0, 78; = 0, 08; = 0, 253; = 0, 4; 10 100 100 1000 52 9 798 = 0, 052; = 0, 009; = 0, 0798; 1000 1000 10 000 45 = 0, 0045.

10 000

650. а) 6

8 49 3 74 = 6, 8; 7 = 7, 49; 8 = 8, 03; 52 = 52, 074; 10 100 100 1000

б) 245

245 5 8752 = 245, 245; 55 = 55, 005; 65 = 65, 8752; 1000 1000 10 000

. . % , . . $

26 6 798 98 1547 547 =2 = 2, 6; =7 = 7, 98; =1 = 1, 547; 10 10 100 100 1000 1000 9605 605 =9 = 9, 605; 1000 1000 156 5 12 408 8 г) = 15 = 15, 6; = 124 = 124, 08; 10 10 100 100 1 15 001 28 000 = 15 = 15, 001; = 28.

1000 1000 1000 25 1 1 ⋅ 25 а) = = = 0, 25; 4 4 ⋅ 25 100 3 3 ⋅ 25 75 б) = = = 0, 75; 4 4 ⋅ 25 100 1 1⋅5 5 в) = = = 0, 05; 20 20 ⋅ 5 100 1 нельзя представить в виде десятичной дроби. г) 17 Пусть ватное одеяло стоит х р., тогда шерстяное — 2х р. По условию задачи составим уравнение: 36 x + 2x 32 32 000; 36x + 64x 32 000; 100x 32 000; x 32 000 : 100; x 320. При х 320, 2х 2 320 640 (р.). Ответ: ватное одеяло стоит 320 р., а шерстяное — 640 р. Пусть было приобретено х столов, тогда приобрели 4х стульев. За х столов заплатили (2850 х) р., а за 4х стульев — (1350 4х) р. Так как за всю покупку заплатили 123 750 р., составим уравнение: 1350 4x + 2850x 123 750; 5400x + 2850x 123 750; 8250x 123 750; x 123 750 : 8250; x 15. При х 15, 4х 4 15 60 (столов). Ответ: было приобретено 15 столов и 60 стульев. а) (246 535 + 367 129) : 1208 508; 2) 613664 1208 1) 246535 − + 6040 367129 508 в)

652.

653.

654.

655.

447

613664

б) 917 180 : (4321 – 2805) 1) 4321 − 2805 1516

−

9664 9664

0 605; 2) 917180 1516 − 9096 605 −

7580 7580 0

2002–2011 гг.

448

в) 805 009 – 608 040 : 563 1) 608040 563 − 563 1080 −

803 929; 2) 805009 − 1080 803929

4504 4504 0

г) 503 440 : 248 + 48 752 50 782; 1) 503440 248 2) 48752 + − 2030 496 2030 −

744 744

50782

0

Контрольные задания 1. 6,43 — шесть целых сорок три сотых; сотые — младший разряд дроби; 0,0076 — ноль целых семьдесят шесть десятитысячных; десятитысячные; 35,07 — тридцать пять целых семь сотых; сотые; 0,035 — ноль целых тридцать пять тысячных; тысячные.

6 9 = 0, 009. = 0, 6; 10 1000 4 2 6 3 3. 0, 4 = = ; 0, 06 = = .

10 5 100 50 2.

§ 39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

656. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 35,82 — тридцать пять целых восемьдесят две сотые; 3,582 10 35,82.

657. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 358,2 — триста пятьдесят восемь целых две десятых; 5,7364 — пять целых семь тысяч триста шестьдесят четыре десятитысячных; 5736,4 — пять тысяч семьсот тридцать шесть целых четыре десятых; 0,1954 — ноль целых тысяча девятьсот пятьдесят четыре десятитысячных;

. . % , . . $

658.

659.

660.

661.

662.

663.

664.

665.

666.

667.

668.

669.

670.

449

1954 โ ั ั ั ั ั ะฐ ะดะตะฒั ั ั ั ะพั ะฟั ั ั ะดะตั ั ั ั ะตั ั ั ะต.

3,582 ย 100 358,2; 5,7364 ย 1000 5736,4; 0,1954 ย 10 000 1954.

176,2 โ ั ั ะพ ั ะตะผั ะดะตั ั ั ั ะตั ั ั ั ะตะปั ั ะดะฒะต ะดะตั ั ั ั ั ; 17,62 โ ั ะตะผะฝะฐะดั ะฐั ั ั ะตะปั ั ั ะตั ั ั ะดะตั ั ั ะดะฒะต ั ะพั ั ั ; 176,2 : 10 17,62.

275,2 โ ะดะฒะตั ั ะธ ั ะตะผั ะดะตั ั ั ะฟั ั ั ั ะตะปั ั ะดะฒะต ะดะตั ั ั ั ั ; 2,752 โ ะดะฒะต ั ะตะปั ั ั ะตะผั ั ะพั ะฟั ั ั ะดะตั ั ั ะดะฒะต ั ั ั ั ั ะฝั ั ; 205,93 โ ะดะฒะตั ั ะธ ะฟั ั ั ั ะตะปั ั ะดะตะฒั ะฝะพั ั ะพ ั ั ะธ ั ะพั ั ั ; 2,0593 โ ะดะฒะต ั ะตะปั ั ะฟั ั ั ั ะพั ะดะตะฒั ะฝะพั ั ะพ ั ั ะธ ะดะตั ั ั ะธั ั ั ั ั ะฝั ั ; 6817,3 โ ั ะตั ั ั ั ั ั ั ั ะฒะพั ะตะผั ั ะพั ั ะตะผะฝะฐะดั ะฐั ั ั ะตะปั ั ั ั ะธ ะดะตั ั ั ั ั ; 6,8173 โ ั ะตั ั ั ั ะตะปั ั ะฒะพั ะตะผั ั ั ั ั ั ั ั ะพ ั ะตะผั ะดะตั ั ั ั ั ะธ ะดะตั ั ั ะธั ั ั ั ั ะฝั ะต.

275,2 : 100 2,752; 205,93 : 100 2,0593; 6817,3 : 1000 6,8173.

65,7 ย 10 657 (ั .) โ ั ั ะพะธะผะพั ั ั 10 ะผ ั ะธั ั ะฐ; 65,7 ย 100 6570 (ั .) โ ั ั ะพะธะผะพั ั ั 100 ะผ ั ะธั ั ะฐ.

388 : 10 38,8 (ั .) โ ั ะตะฝะฐ 1 ะบะณ ะฟะตั ะตะฝั ั . ะฐ) 27,67 ย 10 267,7; ะฑ) 38,6 : 100 0,386; ะฒ) 0,678 ย 1000 678; ะณ) 6,32 : 10 000 0,000632; ะด) 23,7 ย 100 2370; ะต) 4,72 : 1000 0,00472. ะฐ) 43,26 : 10 4,326; ะฑ) 36,32 ย 100 3632; ะฒ) 5,009 : 1000 0,005009; ะณ) 0,008 ย 10 000 80; ะด) 864 : 100 8,64; ะต) 0,02 ย 1000 20. ะฐ) 7,42 ย 100 742; ะฑ) 0,35 ย 10 3,5; ะฒ) 941,3 : 1000 0,9423; ะณ) 265 039,32 : 10 000 26,503932. ะฐ) 245,3 ย 100 24530; ะฑ) 0,26 : 10 0,026; ะฒ) 0,427 : 1000 0,000427; ะณ) 0,0068 ย 10 000 68. ะฐ) x 48,5 : 10; x 4,85; ะฑ) x 0,372 : 10; x 0,0372; ะฒ) x 0,62 : 100; x 0,0062; ะณ) x 3267,39 : 1000; x 3,26739; ะด) x 33 : 10; x 3,3; 5 ะต) x 5 : 100; x = = 0, 05.

100 ะฐ) x 26,5 : 100; x 0,265; ะฑ) x 8,67 : 1000; x 0,00867; ะฒ) x 0,0045 : 100; x 0,000045; ะณ) x 0,34 : 1000; x 0,00034; ะด) x 72 : 1000; x 0,072; ะต) x 0,38 : 10; x 0,039. ะฐ) x 68,23 ย 10; x 682,3; ะฑ) x 0,02 ย 10; x 0,2; ะฒ) x 34,2 ย 100; x 3420; ะณ) x 0,0047 ย 1000; x 4,7. ะฐ) x 5,43 ย 100; x 543; ะฑ) x 0,765 ย 100; x 76,5; ะฒ) x 3,749 ย 1000; x 3749; ะณ) x 3,6 ย 1000; x 3600.

0,059 ย 10 0,59 (ะบะผ); โ ะฟั ะพะนะดะตั ะ ั ะธะฝะฐ ะทะฐ 10 ะผะธะฝ; 0,059 ย 100 5,9 (ะบะผ) โ ะฟั ะพะนะดะตั ะ ั ะธะฝะฐ ะทะฐ 100 ะผะธะฝ.

2002–2011 гг.

450

671. 0,53 : 10 0,053 (м/мин) — скорость движения улитки; 0,53 м 53 см; 53 : 10 5,3 (м/мин).

12 2 672. = .

18 3 673. 1) 1170 : 15 78 (км) — проезжает велосипедист ежедневно; 2) 78 : 6 13 (км/ч) — скорость велосипедиста; 3) 416 : 4 104 (км) — должен проезжать турист за 1 день; 4) 104 : 13 8 (ч). Ответ: турист должен проводить в движении по 8 ч в день.

674. 1) 45 : 5 9 (раз); 2) 337 9 3033 (дернин). Ответ: для газона необходимо 3033 дернин.

Контрольные задания 1. а) б) в) г)

3,65 10 36.5; 23,2 : 100 0,0232; 7,89 10 000 78 900; 648,25 : 100 6,4825.

§ 40. Перевод величин в другие единицы измерения 675. 1) 45 см 45 10 мм 450 мм; 2,78 см 2,78 10 мм 27,8 мм; 0,24 дм 0,24 100 мм 24 мм; 0,046 м 0,046 1000 мм 46 мм; 2) 0,52 см 0,52 10 мм 5,2 мм; 85,2 дм 85,2 100 мм 8520 мм; 77,098 дм 77,098 100 мм 7709,8 мм; 32,6 м 32,6 1000 мм 32 600 мм.

1 1 1 676. 1) 1 км 1000 м; 1 äì = ì; 1 ñì = ì; 1 ìì = ì; 10 100 1000 2) 3 км 3 1000 м 3000 м; 7 см 7 : 100 м 0,07 м; 6 дм 6 : 10 м 0,6 м; 8 мм 8 : 1000 м 0,008 м; 3) 4 км 4 1000 м 4000 м; 8 см 8 : 100 м 0,08 м; 6 дм 6 : 10 0,6 м; 5 мм 5 : 1000 м 0,005 м; 4) 56 км 56 1000 м 56 000 м; 56 см 56 : 100 м 0,56 м; 12 дм 12 : 10 м 1,2 м; 89 мм 89 : 1000 м 0,089 м.

677. а) 480 км 480 1000 м 480 000 м; 480 дм 480 : 10 м 48 м; 480 м 480 : 100 м 4,8 м; 480 мм 480 : 1000 м 0,48 м; б) 525 км 525 1000 м 525 000 м; 525 см 525 : 100 м 5,25 м; 525 дм 525 : 10 м 52,5 м; 525 мм 525 : 1000 м 0,525 м;

. . % , . . $

451

в) 3 км 3000 м; 3 см 0,04 м; 3 дм 0,3 м; 3 мм 0,003 м; г) 67 км 67 000 м; 67 см 0,67 м; 67 дм 6,7 м; 67 мм 0,067 м.

678. а) 4,2 мм 0,0042 м; 9,45 м 0,0054 м; 45,21 дм 4,521 м; 7,2 км 7200 м; б) 0,85 см 0,0085 м; 88,3 дм 8,83 м; 0,054 км 54 м; 0,05 мм 0,00005 м; в) 21,3 дм 2,13 м; 0,48 мм 0,00048 м; 8399,5 см 83,005 м; 8,08 км 8080 м; г) 0,087 км 87 м; 78,32 дм 7,832 м; 0,2 мм 0,0002 м; 6,6 см 0,066 м.

679. а) 1 дм 5 см 15 см 0,15 м; 7 дм 5 см 75 см 0,75 м; 8 см 4 мм 85 мм 0,084 м; 7 см 3 мм 73 мм 0,073 м; б) 32 см 4 мм 324 мм 0,324 м; 2 дм 5 мм 205 мм 0,205 м; 67 см 12 мм 682 мм 0,682 м; 42 дм 7 мм 4207 мм 4,207 м; в) 117 см 5 мм 1175 мм 1,175 м; 80 дм 87 мм 8087 мм 8,087 м; 95 см 2 мм 952 мм 0,952 м; 55 дм 5 мм 5505 мм 5,505 м; г) 230 см 7 мм 2307 мм 2,307 м; 39 дм 15 мм 3915 мм 3,915 м; 2 см 4 мм 24 мм 0,024 м; 41 дм 9 мм 4109 мм 4,109 м.

680. а) 1 га

10 000 м2; 1 ñì2 =

1 ì2 ; 1 км2 1 000 000 м2; 1 000 000 3 дм2 3 : 100 м2 0,03 м2; 9 см2 9 : 10 000 м2 0,0009 м2; 0,00468 км2 0,00468 1 000 000 м2 4680 м2; 4 мм2 4 : 1 000 000 м2 0,000004 м2; 2,1 а 2,1 100 м2 210 м2; 8670 мм2 8670 : 1 000 000 м2 0,00867 м2; 0,69 дм2 0,69 : 100 м2 0,0069 м2; 4,8 см2 4,8 : 10 000 м2 0,00048 м2; 0,59 см2 0,59 : 10 000 м2 0,000059 м2; 0,88 дм2 0,88 : 100 м2 0,0088 м2; 4,008 га 4,008 10 000 м2 40 080 м2; 0,034 мм2 0,034 : 1 000 000 м2 0,000000034 м2.

42 дм2 42 : 100 м2 0,42 м2; 6578 мм2 6578 : 1 000 000 м2 0,006578 м2; 0,095 км2 0,095 1 000 000 м2 95 000 м2; 63 см2 63 : 10 000 м2 0,0063 м2; 423 мм2 423 : 1 000 000 м2 0,000423 м2; 2,3 дм2 2,3 : 100 м2 0,023 м2; 1 ìì2 =

б)

в)

г)

681. а)

б)

1 1 ì2 ; ì2 ; 1 äì2 = 10 000 100

2002–2011 гг.

452

0,045 см2 0,045 : 10 000 м2 0,0000045 м2; 5,8 км2 5,8 1 000 000 м2 5 800 000 м2; в) 1,008 см2 1,008 : 10 000 м2 0,0001008 м2; 5,07 дм2 5,07 : 100 м2 0,0507 м2; 2,5 а 2,5 100 м2 250 м2; 8,07 мм2 8,07 : 1 000 000 м2 0,00000807 м2; г) 0,005 а 0,005 100 м2 0,5 м2; 44 га 44 10 000 м2 440 000 м2; 0,28 мм2 0,28 : 1 000 000 м2 0,00000028 м2; 4320 см2 4320 : 10 000 м2 0,432 м2.

682. Пусть карамели с черной смородиной было х кг, тогда карамели с клубникой — 3х кг, а с малиной — 6х кг. Так как масса карамели всех сортов — 56 кг, составим уравнение: x + 3x + 6x 56; 10x 56; x 56 : 10; x 5,6. Ответ: масса карамели с черной смородиной равна 5,6 кг.

683. Пусть под овес отведено х га поля, тогда под посевы пшеницы — 4х га, а под просо — 5х га. Так как площадь поля — 365 га, составим уравнение: x + 5x + 4x 365; 10x 365; x 365 : 10; x 36,5. Ответ: под посевы овса отведено 36,5 га поля.

3 1 3 2 + = + 8 4 8 8 2 1 4 1 б) − = − 3 6 6 6 7 1 7 − = − в) 12 2 12 2 2 2 6 г) + = + 9 3 9 9

684. а)

5 ; 8 3 1 = = ; 6 2 6 1 = ; 12 12 8 = .

9 =

Контрольные задания 1. 2,3 мм 2,3 : 1000 м 0,0023 м; 5,04 км 5,04 1000 м 5040 м.

2. 3,6 дм2 3,6 : 100 м2 0,036 м2; 0,45 га 0,45 10 000 м2 4500 м2.

§ 41. Сравнение десятичных дробей 2) 651,0786 < 651,098; 685. 1) 48,326 < 48,5; 3) 52,6 > 52,59.

686. а) 35,87 > 35,8695; б) 23,53 23,530; в) 60,35 < 60,5; г) 0,1200 0,12.

687. а) 2,386 < 2,39; б) 43,7 > 43,696; в) 5,09 < 5,1; г) 0,486 < 0,5.

688. 0,82; 0,8056; 0,7208; 0,7; 0,387; 0,362; 0,25998; 0,25; 0,216958; 0,00489.

. . % , . . $

453

689. 0,0057; 0,0964; 0,2; 0,205; 0,21; 0,5125; 0,801; 0,81.

690. ะฐ) 0; 1; 2; ะฑ) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ะฒ) 0; ะณ) 0; 1; 2; 3; 4.

691. ะฒ) 9; ะฑ) 0; 1; ะฒ) 0; ะณ) ะพั 0 ะดะพ 9 ะฒะบะปั ั ะธั ะตะปั ะฝะพ.

692. ะฐ) 0,017 < 0,1 ะฑ) 0,003 < 0,01; ะฒ) 0,01 < 0,08 < 0,1; ะณ) 0,001 < 0,007 < 0,01.

693. ะฐ) 8,01 < 8,015 < 8,2; ะฑ) 10,5 < 10,503 < 10,51; ะฒ) 7,2 < 7,24 < 7,3; ะณ) 4,87 < 4,8705 < 4,871.

694. ะ ะ 367 ั ะผ 367 : 100 ะผ 3,67 ะผ; CD 5698 ะผะผ 5698 : 1000 ะผ 5,698 ะผ; EF 79 ะดะผ 79 : 10 ะผ 7,9 ะผ; GH 2,8 ะผ. ะ ะฐะธะฑะพะปั ั ั ั ะดะปะธะฝั ะธะผะตะตั ะพั ั ะตะทะพะบ EF. 695. ะฐ) AK 3,37 ะผ; BD 57,2 ะดะผ 57,2 : 10 ะผ 5,72 ะผ; MK 167,24 ั ะผ 167,24 : 100 ะผ 1,67245 ะผ; LG 6318 ะผ 6318 : 1000 ะผ 6,318 ะผ. ะ ะฐะธะผะตะฝั ั ั ั ะดะปะธะฝั ะธะผะตะตั ะพั ั ะตะทะพะบ MK. ะฑ) MN 0,0834 ะผ; KL 83,4 ั ะผ 83,4 : 100 ะผ 0,834 ะผ; ST 0,834 ะดะผ 0,834 : 10 ะผ 0,0834 ะผ; PQ 834 ะผะผ 834 : 1000 ะผ 0,834 ะผ; MN ST 0,0834 ะผ; KL PQ 0,834 ะผ.

696. ะฐ) 2 ะผะณ 2 : 1 000 000 ะบะณ 0,000002 ะบะณ; 2 ะณ 2 : 1000 ะบะณ 0,002 ะบะณ; 2 ั 2 : 100 ะบะณ 200 ะบะณ; 2 ั 2 ย 1000 ะบะณ 2000 ะบะณ; ะฑ) 6 ะณ 6 : 1000 ะบะณ 0,006 ะบะณ; 79 ะณ 79 : 1000 ะบะณ 0,079 ะบะณ; 285 ะณ 285 : 1000 ะบะณ 0,285 ะบะณ; ะฒ) 8 ะผะณ 8 : 1 000 000 ะบะณ 0,000008 ะบะณ; 85 ะผะณ 85 : 1 000 000 ะบะณ 0,000085 ะบะณ; 659 ะผะณ 659 : 1 000 000 ะบะณ 0,000659 ะบะณ; ะณ) 7,8 ั 7,8 ย 1000 ะบะณ 7800 ะบะณ; 54 ั 54 ย 100 ะบะณ 5400 ะบะณ; 12,03 ั 12,03 ย 1000 ะบะณ 12 030 ะบะณ.

697. ะฐ) 2 ะบะณ 235 ะณ 2,235 ะบะณ; ะฑ) 3 ะบะณ 600 ะณ 3,600 ะบะณ 3,6 ะบะณ; ะฒ) 20 ะบะณ 860 ะณ 20,860 ะบะณ ะณ) 86 ะบะณ 44 ะณ 61 ะผะณ 86,044061 ะบะณ.

698. ะฐ) 2,1 ะณ 2,1 : 1000 ะบะณ 0,0021 ะบะณ; ะฑ) 0,3604 ะณ 0,3604 : 1000 ะบะณ 0,0003604 ะบะณ; ะฒ) 8,9 ะผะณ 8,9 : 1 000 000 ะบะณ 0,0000089 ะบะณ; ะณ) 0,035 ะผะณ 0,035 : 1 000 000 ะบะณ 0,000000035 ะบะณ.

699. 0,776 ย 10 7,76; 78,34 : 10 7,834; 0,00742 ย 1000 7,42; 759,2 : 100 7,592; 0,0736 ย 100 7,36; 77 : 10 7,7.

700. ะฐ) 26,397 | 26,4; 3,039 | 3,000 3; 35,262 | 35,3; 8,132 | 8,1; 299,9999 | 300; ะฑ) 76,343 | 76,34; 22,038 | 22,04; 0,685 | 0,69; 0,00098 | 0; 7,008 | 7,01.

2002–2011 гг.

454

701. а) До десятых; б) до сотых; в) до единиц; г) до тысячных; д) до сотых; е) до десятитысячних; ж) до сотых; з) до сотых. ⎫ 702. а) Гребешки — ? в 5 больше, чем ⎪ Мидии — ? ⎬ 444 моллюска Жемучижницы — ? столько же, сколько ⎪⎭ Решение. Пусть в аквариуме было х мидий, тогда гребешков в нем было 5х, а жемчужниц — (5х + х). Так как всего в аквариуме было 444 моллюска, составим уравнение: 5x + x + 5x + x 444; 12x 444; x 444 : 12; x 37. Значит, мидий было 17, гребешков: 5 37 185; жемчужниц: 37 + 185 222. Ответ: в аквариуме было 185 гребешков, 37 мидий, 222 жемчужницы. б) Обозначим количество купюр х, тогда десятрублевых денежных знаков было на сумуу 10х р., а пятирублевых — 5х р. Так как всего денежных знаков было на сумму 525 р., составим уравнение: 10 x + 5x 525; 15x 525; x 525 : 15; x 35. Итак, десятирублевых денежных знаков было на сумму: 35 10 350 (р.), а пятирублевых: 35 5 175 (р.). Ответ: десятирублевых денежных знаков дали на сумму 350 р., а пятирублевых — на сумму 175 р.

}

Контрольные задания 1. а) 8,9 > 8,53; 2. а) 3,48 | 3,5;

б) 15,38 < 15,4; б) 4,319 | 4,3;

в) 3,250 3,25. в) 4,98 | 5.

§ 42. Сложение и вычитание десятичных дробей 703. 1)

+

2, 4 24 + 3, 2 32 56

705. а)

2)

+

4, 52 452 + 231 2, 31

5, 6

272, 30 + 34, 15

683 б)

306, 45 г)

+

42, 00 3, 08

д)

+

708, 51 62, 00 770, 51

6, 83

15, 000 + 8, 009 23, 009 5, 934 + 12, 800

+

б)

+

621, 7 54, 3 676, 0

0, 204 204 + 0, 378 378

в)

0, 582 582 0, 0078 + 78, 78

е)

78, 7878 13, 10 + 0, 09 13, 19

18, 734

45, 08 706. а)

3)

в)

+

99, 3300 0, 0777 99, 4077

455

. . % , . . $

г)

+

д)

48, 548 259, 452

+

е)

47, 35 2, 65

+

12, 70 1, 38

50, 00 308, 000 14, 08 707. 8000,7 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 0,0078 — наименьшее число, составленное из этих же цифр.

8000, 7000 − 0, 0078 8000, 6922 708. 1) 1, 16 2) − 0, 43 − 0, 38 0, 14 0, 05 1, 02 709. I). − 15, 31 − 46, 37 6, 15 7, 75 9, 16 III)

−

710. а)

−

43, 57 18, 40

б)

−

−

0, 210 0, 184

−

з)

−

68, 44 711. а)

−

52, 12 15, 30

−

0, 590 0, 032

б)

−

21, 916

в)

−

29, 435 29, 039

0, 0200 0, 0061

135, 00 134, 93

д)

−

2, 000 1, 827

е)

−

−

0, 700 0, 695 0, 005

5, 00 2, 49 2, 51

и)

−

15, 003 8, 740 6, 263

в)

−

74, 38 56, 80 17, 58

е)

−

0, 173 з)

37, 182 5, 900 31, 282

0, 07

0, 558 ж) 34, 000 − 12, 084

56, 00 12, 25

0, 170 0, 092 0, 078

и)

−

3, 262

72, 0 125, 00 − 15, 6 54, 09 56, 4

0, 0139

36, 82 г)

−

0, 396

0, 026 ж) 72, 00 − 3, 56

IV)

43, 75 д)

65, 70 3, 270 − 52, 25 0, 008 13, 45

25, 973

25, 17 г)

−

38, 62

82, 784 64, 123 − 33, 600 38, 150 49, 184

II)

1, 400 1, 076 0, 324

70, 91

2002–2011 гг.

456

712. а)

+

O

52, 960 52, 960 − 5, 079 12, 387

C

A

B

0

65, 347 47, 881 Ответ: С(47,881); В(65,347). б) АС больше СВ на 2,85; значит, АС АВ 21,7 – 12,85 8,85; O 21, 70 − 0 12, 85

СВ + 2,85.

A

C

B

8, 85 АС + СВ АВ. Дальше задачу можно решать двумя способами.

I способ — арифметический.

1) 8,85 – 2,85 6 — сумма двух равных отрезков; 2) 6 : 2 3 — длина СВ; 3) 3 + 2,85 5,85 — длина АС.

II способ — алгебраический. Пусть ВС х, тогда АС х + 2,85. Так как AC + CB AB, AB 8,85, составим уравнение: x + 2,85 + x 8,85; 2x + 2,85 8,85; 2x 8,85 – 2,85; 2x 6; x 6 : 2; x 3. Итак, CB 3; AC 3 + 2,85 5,85. Ответ: AB 8,85; AC 5,85; CB 3.

713. Рассмотрим два случая.

1) Пусть точка С лежит правее точки В на координатном луче.

A

O

B

0

C 18

Тогда: AB 25,9 – 17,3 8,6; BC 18; AC AB + BC 8,6 + 18 26,6. Ответ: AB 8,6; AC 26,6; BC 18.

2) Пусть точка С лежит левее точки В на координатном луче.

O 0

C

A

B

18

Тогда: AB 25,9 – 17,3 8,6; BC 18; AC BC – AB 18 – 8,6 9,4. Ответ: AB 8,6; AC 9,4; BC 18.

714. а) 0,37 2 – 1,63; б) 0,64 1 – 0,36; в) 2,05 5 – 2,95; г) 4,368 7 – 2,632.

715. 8322,2 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 2,2238 — наименьшее число, составленное из данных цифр.

8322, 2000 8322, 2000 + − 2, 2238 2, 2238 8324, 4238 8319, 9762 Если каждое из записанных чисел увеличить в 10 раз, то результаты сложения и вычитания увеличатся в 10 раз, а если каждое из записанных чисел уменьшить в 10 раз, то эти результаты уменьшаться в 10 раз.

457

. . % , . . $

716. а) 3,8 10 + 3,8 100 + 3,8 1000

38 + 380 + 3800

4218;

3800 + 380 38 4218 б) 4,7 : 10 + 4,7 : 100 – 4,7 : 1000 0, 470 0, 5170 + − 0, 047 0, 0047

0,47 + 0,047 – 0,0047

0,5123;

0, 517

0, 5123 в) 25,22 10 + 186,354 100 – 16,7 10 252,2 + 18635,4 – 167 18720,6; 18653, 4 18887, 6 + + 167, 0 252, 2 18887, 6 18720, 6 г) 79,504 : 10 + 0,2534 100 0,92038 10 7,9504 + 25,34 – 9,2038 24,0866; 25, 3400 33, 2904 + − 7, 2904 9, 2038 33, 2904 24, 0866 719. 45 дм 45 : 10 м 4,5 м; 2 (5,5 + 4,5) 2 10 20 (м). Ответ: периметр изгороди равен 20 м.

720. 350 мм 350 : 1000 м 0,35 м; 2 (1,25 + 0,35) 2 1,6 3,2 (м). Ответ: периметр полки равен 3,2 м.

721. 54 см 54 : 100 м 0,54 м; 2) 2, 30 3) 4, 06 1) 2, 30 + + + 0, 54 4, 06 1, 76 1, 76 (ì) 8, 12 (ì) 4, 06 (ì) Ответ: периметр ковра равен 8,12 м.

722. а) 4,45 10 + 844 : 100 – 35,7 : 1000 + 509,432 : 10 – 0,0357 + 50,9432 103,8475; 44, 50 52, 9400 52, 9043 + − + 8, 44 0, 0357 50, 9432 52, 94 52, 9043 103, 8475 б) 59,9997 100 + 685826,1 : 1000 + 3,7672 100 + 685,8261 + 376,72 7062,5161; 5999, 9700 6685, 7961 + + 685, 8261 376, 7200 6685, 7961

7062, 5161

44,5 + 8,44 –

5999,97 +

2002–2011 гг.

458

723. а) 2,2 м 2,2 100 м 220 см; 3 см + 15 см < 220 см; значит, треугольник с данными сторонами не существует; б) 65,5 см 65,5 : 100 м 0,655 м; 21,5 м + 0,655 м < 45,15 м; значит, треугольник с данными сторонами не существует; в) 7,01 м 7,01 10 дм 70,1 дм; 34,2 дм + 35,9 дм 70,1 дм; 34, 2 + 35, 9 70, 1 Значит, треугольник с данными сторонами не существует; г) 0,2 м 0,2 1000 мм 200 мм; 85 мм + 253,7 мм > 200 мм; 200 мм + 253,7 мм > 85 мм; 85 мм + 200 мм > 253,7 мм. Так как все три вышеописанные условия выполняются, то треугольник с данными сторонами существует. Р 85 мм + 200 мм + 253,7 мм 538,7 мм.

253, 7 + 200, 0 85, 0 538, 7 724. 800 г 800 : 1000 кг 1, 5 + 1, 2 0, 8

0,8 кг.

3, 5 (êã) Ответ: вес покупки Саши равен 3,5 кг; значит, в пластиковом пакете, рассчитанном на 3 кг, он покупку унести не сможет.

725. 1) 50 2 100 (кг); 2) 81, 0 74, 7 + 37, 2 46, 0 238, 9 (êã) 3) 100 + 238,9 338,9 (кг); 4) 0,4 т 0,4 1000 кг 400 кг; 338,9 кг < 400 кг. Ответ: в багажник автомобиля можно положить 2 мешка моркови.

726. 14, 10 + 2, 25 1, 40 17, 75 (ì) Ответ: длина сваи 17,75 м.

. . % , . . $

459

727. Пусть меньшее из двух чисел — х, тогда большее — 9х. Так как сумма двух чисел равна 43,862; составим уравнение: x + 9x 43,862; 10x 43,862; x 43,862 : 10; x 4,3862. Значит, меньшее число — 4,3862; а бîльшее: 43,862 – 4,3862 39,4758; 43, 8620 − 4, 3862 39, 4758 Ответ: искомые числа равны 4,3862 и 39,4758.

728. Пусть меньшее из двух данных чисел равно х, тогда бîльшее — 99х. Так как их сумма равна 91,964, составим уравнение: x + 99x 91,964; 100x 91,964; x 91,964 : 100; x 0,91964. Значит, меньшее число — 0,91964; а большее: 91, 96400 − 0, 91964 91, 04436 Ответ: искомые числа равны 0,91964 и 91,04436.

729. а) 9x; 99x; б) x + 9x; x + 99x; x + 9x 43,862 (решение уравнения смотри в № 727); x + 99x 91,964 (решение уравнения смотри в № 728).

730. 1) 11 – 1 10; 2) 9,045 : 10 0,9045 — меньшее число; 3) 9, 0450 — большее число. + 0, 9045 9, 9495 Ответ: искомые числа равны 0,9045 и 9,9495.

731. 1) 101 – 1 100; 2) 634,28 : 100 6,3428 — меньшее число; 3) 634, 2800 — большее число. + 6, 3428 640, 6228 Ответ: искомые числа равны 6,3428 и 640,6228.

732. а) 11x; 101x; б) 11x – x; 101x – x; к № 730: 11x – x 9,045; 10x 9,045; x 9,045 : 10; x 0,9045; к № 731: 101x – x 634,28; 100x 634,28; x 634,28 : 100; x 6,3428.

733. а) В этой группе уравнений находится неизвестное слагаемое. x + 5,032 27,2; x 27,2 – 5,032; 27, 200 − 5, 032 22, 168 x

22,168;

2002–2011 гг.

460

x + 29,17 13,4; x 13,4 – 29,17; нельзя решить (ошибка в условии) 52 + x 78,035; x 78,035 – 52; x 26,035. б) в этой группе уравнений х — неизвестное уменьшаемое. x – 93,1 79,01; x 79,01 + 93,1; x 172,11; 79, 01 + 93, 10 172, 11 x – 42,12 90; x 90 + 43,12; x 133,12; x – 42,16 69,2; x 69,2 + 42,16; x 111,36. 69, 20 + 42, 16 111, 36 в) в этой группе уравнений х — неизвестное вычитаемое.

48,5 – x 37,1; x 48,5 – 37,1; x 11,4; 55,05 – x 33,9; x 55,05 – 33,9; x 21,15; 55, 05 − 33, 90 21, 15 22,99 – x 17,3; x 22,99 – 17,3; x 5,69. 22, 99 − 17, 30 5, 69 725. 1) 50, 12 + 10, 08 35, 90 96, 10 (кг) — продали за три дня; 2)

+

160, 3 96, 1

3)

−

267, 4 256, 4

11, 0 (êã) 256, 4 (êã) Ответ: масса пустого контейнера равна 11 кг.

461

. . % , . . $

736. 1)

−

61, 50 10, 06 51, 44 (м) — длина крайнего пролета;

2)

3)

+

51, 44 52, 44

102, 88 (м) — сумма длин крайних пролетов; 61, 5 + 61, 5 61, 5 184, 5 (м) — сумма длин средних пролетов;

4)

+

184, 50 102, 88

287, 38 (ì) Ответ: длина моста равна 287,38 м.

737. 0, 25 4, 56 7, 30 15, 20 − + + + 3, 86 4, 13 0, 80 3, 28 4, 38

3, 76

4, 02

19, 06

19,06 4,38 4,02 3,76 Р О М Б

Синие четырехугольники называются ромбами. У ромба все стороны равны.

738. (17,03 – 12,5) + 6,3 10,83.

17, 03 4, 53 + − 12, 50 6, 30 4, 53 10, 83 Ответ: искомое число равно 10,83.

739. 18,6 – (33,5 – 22,68) 7,78.

33, 50 18, 60 − − 22, 68 10, 82 7, 78 10, 82 Ответ: искомое число равно 7,78.

740. (15 – 14) (12,4 – 4,92) 1 7,489 7,48 (км).

−

12, 40 4, 92 7, 48

Ответ: искомое расстояние равно 7,48 км.

741. (15 261,4 – 5781,35) – 5781,35 3698,7 (р.).

15261, 40 9480, 05 − − 5881, 35 5781, 35 9480, 05 3698, 70 Ответ: во второй день было выручено на 3698,7 р. больше, чем в первый.

2002–2011 гг.

462

742. 2215 г 2215 : 1000 кг 2,215 кг; (64,85 + 32,75 + 2,1) – 2,215 97,485 (кг).

64, 85 99, 700 − + 32, 75 2, 215 2, 10 97, 485 99, 70 Ответ: масса полученной латуни равна 97,485 кг.

743. 1750 кг 1750 : 1000 т 1,75 т; 4,25 + (4,25 – 1,75) + (4,25 + (4,25 – 1,75) – 2,39) 11,11 (т).

4, 25 4, 25 6, 75 6, 75 − + + − 1, 75 2, 50 2, 39 4, 36 2, 50 6, 75 4, 36 11, 11 Ответ: за три дня было израсходовано 11,11 т муки.

744. 74,8 – (31,45 + 31,45 : 10 + (31,45 – 6,78)) 15,535 (м).

1) 31,45 : 10 3,145; 3) 31, 450 4) 74, 800 2) 31, 45 − − + 3, 145 59, 265 6, 78 24, 670 15, 535 24, 67 59, 265 Ответ: в мотке осталось 15,535 м шпагата.

C D 745.

ACB ADB 90q, то есть углы, опирающиеся на диаметр окружности — прямые (если вершины этих углов лежат на окружности).

A B O

746.

D

C

E

ABC — острый; ABD — прямой (AD — диаметр); ABE — тупой.

B A

747.

O

748. а) б) в) г)

Нужно сложить полученный круг дважды пополам (смотри пунктирные линии). Тогда точка пересечения диаметров — центр круга.

Площадь уменьшится в 2 раза; площадь уменьшится в 4 раза; площадь уменьшится в 10 раз; площадь уменьшится в 100 раз.

463

. . % , . . $

749.

+

79, 261 15, 324 1, 0500 1, 0500 210, 600 43, 521 − − + − − 5, 700 0, 0024 68, 150 28, 700 0, 0024 8, 926 1, 0524

44, 024

1, 0476

37, 821

201, 674

50, 003

21, 895

11,111

1,0476

11,111

44,024

44,024

201,674

44,024

1,0524

37,821

1,0476

11,111

50,003

50,003

28, 163 17, 305 + 4, 590 21, 840

21,895

+

11, 111

П

А

Р

А

Л

Л

Е

Л

О

Г

Р

А

М

М

Контрольное задание

A + B + C 180q; C + 72,87q) 46,88q. +

180q – ( A + B); C

180q – (60,25q +

60, 25 180, 00 − 72, 87 133, 12

133, 12

46, 88

§ 43. Умножение десятичных дробей 750. 1) 1,2 47 56,4; 4) 0,12 47 5,64; 751. 13 4 52; 1,3 4 5,2; 0,13 4 0,52; 13 0,4 5,2; 13 0,04 0,52; 1,3 0,04 0,52; 1,3 0,04 0,052; 0,13 0,4 0,052; 0,13 0,04 0,0052;

2) 1,2 4 5,64; 3) 1,2 0,47 5,64; 5) 0,12 4,7 0,564; 6) 0,012 47 0,564.

16 3 48; 16 0,3 4,8; 1,6 3 4,8; 16 0,03 0,48; 1,6 0,2 0,48; 1,6 0,03 0,048; 0,16 3 0,48; 0,16 0,3 0,048; 0,16 0,03 0,0048;

15 6 90; 0,15 6 0,9; 1,5 0,006 0,0090 0,009; 0,015 0,06 0,0090 0,009; 0,015 6 0,090 0,9; 0,015 0,06 0,00090 0,0009; 0,15 0,006 0,00090 0,0009; 0,00015 6 0,00090 0,0009; 15 0,0006 0,0090 0,0009.

2002–2011 гг.

464

752. 1)

×

2)

356 34

1424 + 1068

+

12104 3,56 3,4 753. а)

× +

б)

31, 54 32

× +

1009, 28 133,54200 754. а) 71, 7 × 9, 01

3)

1073 81

×

1073 8584

+

86913 1,073 8,1

12,104;

6308 9462

+

×

3245 19470

46250 0,074 6,25 0,46250 0,4625.

44, 44 60, 5 г) × × 3, 005 4, 8

22220 13332

+

0, 70370367

+

1

× +

2

3

4

4)

45, 34 20, 01

4534 9068 907, 2534

136, 5260

40, 0370367 40, 0370367 + 299, 2622963

1106;

299, 2962963 339, 333333 + 766, 666667 1106, 000000

339, 3333330 5

г)

105020 126024

755. а) 13,3456789 3 + 99,7654321 3 + 766,666667 2) 1) 13, 3456789 99, 654321 × × 3 3

4840 2420 290, 40

133,5422; 290,40 290,4. б) 2, 3456789 в) 21, 004 × × 0, 3 6, 5

717 6453

1

+

133, 54220

197, 945

646, 017 136,5260 136,526.

3)

2500 4375

8,6913;

в)

3, 245 61

625 74

2

6

3

7

4

б) 7,6 0,25 + 290 : 100 + 25,8 0,5 – 420 0,03 15,1; 1) 2) 290 : 100 2,9; 3) 25, 8 7, 6 × × 0, 25 0, 5 +

4)

380 152

1, 900 420 × 0, 03

12, 90

5)

+

1, 9 12, 9

6)

+

14, 8 12, 9

7)

−

27, 7 12, 6

12, 60 15, 1 14, 8 27, 7 В условии этого задания опечатка: если в 5) действии будет стоять знак минус, то пример решить нельзя).

465

. . % , . . $

1

5

2

6

3

7

4

в) 5700 Â&#x2DC; 0,105 â&#x20AC;&#x201C; 87 Â&#x2DC; 1,7 + 8009 : 1000 â&#x20AC;&#x201C; 8009 Â&#x2DC; 0,001 1)

Ã&#x2014;

2)

0, 105 5700

+

735 525

Ã&#x2014; +

598, 500 4)

Ã&#x2014;

â&#x2C6;&#x2019;

5

8,009;

609 87

6)

598, 5 147, 8

450, 600 8, 009

+

450, 6

8, 009 1

3) 8009 : 1000

87 1, 7

147, 9 5)

8009 0, 001

450,6;

2

7)

â&#x2C6;&#x2019;

450, 600

458, 609

6

3

7

458, 609 8, 009

4

г) 5867 : 100 + 78,55 Â&#x2DC; 2,08 + 51,09 Â&#x2DC; 3,4 â&#x20AC;&#x201C; 586,7 Â&#x2DC; 0,1 1) 5867 : 100

58,67;

2)

78, 55 Ã&#x2014; 2, 08 +

62840 15710

337,09; 51, 09 3) Ã&#x2014; 3, 4 +

173, 706

163, 3840 4)

Ã&#x2014;

586, 7 5) 163, 384 6) 222, 054 7) 395, 76 + + â&#x2C6;&#x2019; 58, 670 173, 706 58, 67 0, 1 58, 67

756. а) б) в) г) 757. а) б) в) г) 758. а) б) в)

20436 15327

222, 054

395, 760

337, 09

27,3 Â&#x2DC; 0,5 Â&#x2DC; 2 27,3 Â&#x2DC; 1 27,3; 0,25 Â&#x2DC; 53,34 Â&#x2DC; 4 (0,25 Â&#x2DC; 4) Â&#x2DC; 53,34 1 Â&#x2DC; 53,34 53,34; (2,5 Â&#x2DC; 0,4) Â&#x2DC; (50 Â&#x2DC; 0,02) 1 Â&#x2DC; 1 1; 44,81 Â&#x2DC; (125 Â&#x2DC; 0,08) 44,81 Â&#x2DC; 10 448,1.

5 Â&#x2DC; 79,23 Â&#x2DC; 0,2 79,23 Â&#x2DC; (5 Â&#x2DC; 0,2) 79,23 Â&#x2DC; 1 79,23; 72,3 Â&#x2DC; (0,25 Â&#x2DC; 0,4) 72,3 Â&#x2DC; 0,1 7,23; 1,25 Â&#x2DC; 500 Â&#x2DC; 0,2 Â&#x2DC; 0,08 (1,25 Â&#x2DC; 0,08) Â&#x2DC; (500 Â&#x2DC; 0,2) 0,1 Â&#x2DC; 100 10; 579 Â&#x2DC; (5 Â&#x2DC; 0,002) 579 Â&#x2DC; 0,01 5,79.

0,125 Â&#x2DC; 6,53 Â&#x2DC; 8 (0,125 Â&#x2DC; 8) Â&#x2DC; 6,53 1 Â&#x2DC; 6,53 6,53; 28,25 Â&#x2DC; (0,8 Â&#x2DC; 12,5) 28,25 Â&#x2DC; 10 282,5; 125 Â&#x2DC; 0,2 Â&#x2DC; 16,79 Â&#x2DC; 0,4 125 Â&#x2DC; (0,2 Â&#x2DC; 0,4) Â&#x2DC; 16,79 125 Â&#x2DC; 0,08 Â&#x2DC; 16,79 10 Â&#x2DC; 16,79 167,9; г) 28,81 Â&#x2DC; (0,25 Â&#x2DC; 0,4) 28,81 Â&#x2DC; 0,1 2,881.

759. а) 72,58 Â&#x2DC; 0,1 7,258; б) 72,58 Â&#x2DC; 0,01 0,7258; 72,58 : 10 7,258; 72,58 : 100 0,7258; в) 72,58 Â&#x2DC; 0,001 0,07258; г) 72,58 Â&#x2DC; 0,0001 0,007258; 72,58 : 1000 0,07258; 72,58 : 10 000 0,007258.

2002–2011 гг.

466

1

3

2

760. а) 0,07 100 0,23 + 0,25 16,5 7 0,23 + 0,25 16,5 5,735; 3) 4, 125 1) 0, 23 2) 16, 5 × + × 0, 25 1, 610 7 1, 61

+

825 330

5, 735

4, 125 1

3

2

б) 3,75 2,05 + 0,05 30,48 9,2115; 3, 75 1) 2) 30, 48 × × 2, 05 0, 05 +

1875 750

3)

+

7, 6875 1, 5240 9, 2115

1, 5240

7, 6875 1

3

2

в) 135,2 2,02 – 46,002 2,9 139,6982; 135, 2 46, 002 2) 1) × × 2, 02 2, 9 +

2704 2704

+

273, 104 1

2

139, 6982

1,0452; 2, 01 × 6, 6 +

3)

−

14, 3112 13, 2660 1, 0452

1206 1206 13, 266

14, 3112 3

273, 1040 133, 4058

133, 4058

3

712 1424

1

−

414018 92004

г) 71,2 0,201 – 6,6 2,01 71, 2 1) 2) × 0, 201 +

3)

2

д) 7,5 0,4 + 3,2 0,17 3,544; 3, 2 2) 1) 7, 5 × × 0, 17 0, 4 3, 00

+

3)

224 32

+

3, 000 0, 544 3, 544

0, 544 1

3

2

е) 4,28 0,2 – 1,7 0,3 0,346; 2) 1, 7 1) 4, 28 × × 0, 2 0, 3 0, 856

0, 51

3)

−

0, 856 0, 510 0, 346

467

. . % , . . $

1

3

2

ж) 0,8 Â&#x2DC; 3,15 + 0,18 Â&#x2DC; 3,6 3,168; 1) 3, 15 2) 0, 18 Ã&#x2014; Ã&#x2014; 3, 6 0, 8 108 2, 520 + 54

3) + 2, 520 0, 648 3, 168

0, 648 1

3

2

з) 7,1 Â&#x2DC; 1,3 â&#x20AC;&#x201C; 0,19 Â&#x2DC; 5,02 1)

Ã&#x2014; +

7, 1 1, 3

8,2762; 5, 02 2) Ã&#x2014; 0, 19 +

9, 23

0, 9538 3

2

â&#x2C6;&#x2019;

4518 502

213 71

1

3)

9, 2300 0, 9538 8, 2762

4

761. а) (62 â&#x20AC;&#x201C; 14,8) Â&#x2DC; (34 â&#x20AC;&#x201C; 0,175) â&#x20AC;&#x201C; 961,9196 634,6204; 33, 825 3) 2) 34, 000 1) 62, 0 Ã&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 47, 2 14, 8 0, 175 47, 2

4)

â&#x2C6;&#x2019;

1596, 5400 961, 9196 634, 6204

67650 + 236775 135300

33, 825

1596, 5400 2

1

3

б) 32,05 Â&#x2DC; (28,03 + 11,5) â&#x20AC;&#x201C; 1266,9365 2) 1) 28, 03 39, 53 Ã&#x2014; + 32, 05 11, 50 39, 53 +

0; 3) 1266,9365 â&#x20AC;&#x201C; 1266,9365

19765 7906 11859 1266, 9365

в) 3,324 Â&#x2DC; 052 Â&#x2DC; 100 â&#x20AC;&#x201C; 8,9 Â&#x2DC; 0,32 1)

3, 324 Ã&#x2014; 52 +

6648 16620 172, 848

2)

Ã&#x2014; +

1

3

2

3,324 Â&#x2DC; 52 â&#x20AC;&#x201C; 8,9 Â&#x2DC; 0,32

8, 9 0, 32

178 267

2, 848

170;

3) 172, 848 â&#x2C6;&#x2019; 2, 848 170, 000

0;

2002–2011 гг.

468 1

3

2

г) (4,99 – 0,88) (5,131 + 4,369) 39,045; 2) 5, 131 1) 4, 99 − + 0, 88 4, 369 4, 11

3)

× +

9, 500

4, 11 9, 5

2055 3699 39, 045

764. 1) 0,8 1,25 3)

× +

1,000

1;

2) 2,5 0,4 4)

6, 25 0, 16

3750 625

+

1, 0000 1,0000 5)

×

1,00

3, 125 0, 32

6250 9375

1, 00000 1;

×

0, 15625 6, 4

+

62500 93750

1,00000 1; 0, 78125 6) × 1, 28 625000 + 156250 78125

1, 000000

1, 0000000 1,000000 1; 1,0000000 765. 1) 42, 80 − 4, 78

1.

38, 02 (р.) — цена одного метра шелка; 2)

×

42, 8 9, 75

2140 + 2996 3852 417, 300 (р.) — стоит атлас; 3)

× +

38, 02 10, 5

19010 3802 399, 210 (р.) — стоит шелк;

1;

. . % , . . $

4)

+

469

417, 30 399, 21 816, 51 (ั .) โ ั ั ะพะธั ะฒั ั ะฟะพะบั ะฟะบะฐ.

816,51 < 900. ะ ั ะฒะตั : ั ะฒะฐั ะธั 900 ั . ะฝะฐ ะฟะพะบั ะฟะบั ั ะบะฐะฝะตะน.

766. 1) 27, 4 + 25, 8 13, 7 66, 9 (ะผ) โ ะดะปะธะฝะฐ ะฒั ะตั ะบะพั ะธะดะพั ะพะฒ; 2)

ร

14, 6 2 29, 2 (รฌ)

4)

+

3)

ร

12, 6 2 25, 2 (รฌ) 5)

29, 2 25, 2

โ

66, 9 54, 4

12, 5 (รฌ) 54, 4 (ะผ) โ ะดะปะธะฝะฐ ะดะพั ะพะถะบะธ; ะ ั ะฒะตั : ะฝะต ั ะฒะฐั ะธั 12,5 ะผ ะดะพั ะพะถะบะธ ะดะปั ะบะพั ะธะดะพั ะพะฒ.

767. 1)

โ

65, 4 10, 8 54, 6 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ะฒั ะพั ะพะณะพ ะณั ั ะทะพะฒะธะบะฐ;

2)

+

65, 4 54, 6

120, 0 (ะบะผ/ั ) โ ะพะฑั ะฐั ั ะบะพั ะพั ั ั ะณั ั ะทะพะฒะธะบะพะฒ; 3)

ร

120 0, 9

108, 0 (ะบะผ). ะ ั ะฒะตั : ั ะฐั ั ั ะพั ะฝะธะต ะผะตะถะดั ะณะพั ะพะดะฐะผะธ ั ะฐะฒะฝะพ 108 ะบะผ.

768. 1) 0, 0350 โ 0, 0285 0, 0065 (ะบะผ/ั ) โ ั ะฐะทะฝะพั ั ั ั ะบะพั ะพั ั ะตะน ั ะฐะบะตั ; 2)

ร

0, 0065 2

0,013 ะบะผ

0,013 ย 1000 ะผ

13 ะผ.

0, 0130 (รชรฌ) ะ ั ะฒะตั : ั ะตั ะตะท 2 ั ะฟะพั ะปะต ั ั ะฐั ั ะฐ ะฒั ะพั ะฐั ั ะฐะบะตั ะฐ ะพั ั ั ะฐะฝะตั ะพั ะฟะตั ะฒะพะน ะฝะฐ 13 ะผ.

2002–2011 гг.

470

Контрольные задания а)

× +

8, 41 16

б)

×

2, 34 0, 7

1, 638

5046 841

134, 56 в) 15,3 0,01

0,153;

г) 0,048 0,001

0,000048.

§ 44. Степень числа 769. 2) а) 53 > 5 3; б) 82 > 8 2; в) 45 > 4 5; г) 17 < 1 7.

2 2 771. а) 14 14 14 196; б) 27 27 27 729; 14 27 × × 14 27 +

56 14

+

196 в) 25

25 25 25 × 25 2

+

729 625;

125 50

625 772. а) 2,53 2,5 2,5 2,5 × +

189 54

г) 362

36 36 36 × 36

+

1296;

216 108 1296

6,25 2,5

15,625;

6, 25 2, 5

3125 1250

15, 625 б) 0,84 0,8 0,8 0,8 0,8 (0,8 0,8) (0,8 0,8) 0,64 0,64 0,4096; 0, 64 × 0, 64 +

256 384

0, 4096

471

. . % , . . $

в) 3,12 3,1 Â&#x2DC; 3,1 9,61; Ã&#x2014;

г) 0,25 0,2 Â&#x2DC; 0,2 Â&#x2DC; 0,2 Â&#x2DC; 0,2 Â&#x2DC; 0,2 0,00032;

3, 1 3, 1

31 93

+

9, 61 773. а) 0,14 0,1 Â&#x2DC; 0,1 Â&#x2DC; 0,1 Â&#x2DC; 0,1 0,0001; б) 0,033 0,03 Â&#x2DC; 0,03 Â&#x2DC; 0,03 0,000027; в) 0,5042 0,504 Â&#x2DC; 0,504 0,254016; Ã&#x2014; +

0, 504 0, 504

2016 2520

0, 254016 г) 0,045 Ã&#x2014;

0,04 Â&#x2DC; 0,04 Â&#x2DC; 0,04 Â&#x2DC; 0,04 Â&#x2DC; 0,04

0,0000001024;

0, 000064 0, 0016 +

384 64

0, 0000001024 774. а) 1,152 â&#x20AC;&#x201C; 0,122 1)

Ã&#x2014;

3

1

2

1,15 Â&#x2DC; 1,15 â&#x20AC;&#x201C; 0,12 Â&#x2DC; 0,12 2)

1, 15 1, 15

575 + 115 115

Ã&#x2014;

0, 12 0, 12

+

24 12

1,3081; 3)

â&#x2C6;&#x2019;

1, 3225 0, 0144 1, 3081

0, 0144

1, 3225 (1,15 â&#x20AC;&#x201C; 0,12)2 1)

â&#x2C6;&#x2019;

1, 15 0, 12

1,0609;

2) 1,032

1,03 Â&#x2DC; 1,03

1, 03

1,0609;

Ã&#x2014; +

1, 03 1, 03

309 103 1, 0609

(1,15 â&#x20AC;&#x201C; 0,12) Â&#x2DC; (1,5 + 0,12)

1,3081;

2002–2011 гг.

472

1)

−

1, 15 0, 12

2)

+

3)

1, 15 0, 12 1, 27

1, 03

× +

1, 27 1, 03

381 127 1, 3081

Значение первого и третьего выражений равны. б) (7,6 – 0,54)2 49,8436; 7, 06 2) 7,062 7,06 7,06 49,8436; 1) 7, 60 × − 7, 06 0, 54 7, 06

4236 4942

+

49, 8436 7,6 – 2 7,6 0,54 + 0,54 49,8436; 7, 6 2) 1) 0, 54 × × 7, 6 0, 54 2

2

+

456 532

+

57, 76 4)

15, 2 × 0, 54 +

3) 2 7,6

15,2;

216 216

0, 2916 5)

608 760

−

6)

57, 760 8, 208

+

49, 5520 0, 2916 49, 8436

49, 552

8, 208 Значения первого и второго выражений равны.

(7,6 – 0,54) (7,6 + 0,54) 57,4684; 8, 14 2) 7, 60 3) 1) 7, 60 + × − , 0 54 7 , 06 0, 54 8, 14

7, 06

+

4884 5698 57, 4684

775. а) При а 1,4; b 1) 14 × 14 +

56 14 1, 96

0,7 a + b 1,4 + 0,7 2,45; 2) 0,72 0,7 0,7 0,49; 3) 2

2

2

2

+

1, 96 0, 49 2, 45

473

. . % , . . $

б) При а 1,4; b 0,7 (a + b)2 (1,4 + 0,7)2 2,12 4,41; 2, 1 × 2, 1 21 + 42 4, 41 в) При а 1,4; b 0,7 a2 + 2ab + b2 1,42 + 2 1,4 0,7 + 0,72 1,96 + + 1,4 1,4 + 0,49 1,96 + 1,96 + 0,49 4,41; 1, 96 + 1, 96 0, 49 4, 41 г) При а 1,4; b 0,7 a2 – 2ab + b2 1,42 – 2 1,4 0,7 + 0,72 1,96 – – 1,96 + 0,49 0,49. Равны значения выражений б) и в).

776. а) При а 23,2: b 4,2 a2 – b2 23,22 – 4,22 520,6; 4, 2 3) 538, 24 23, 2 1) 2) × − × 4, 2 17, 64 23, 2 84 , 60 520 464 + 168 + 696 17, 64 464 538, 24 б) При а 23,2: b

4,2 (a – b)2

(23,2 – 4,2)2

192

361;

19 19 171 + 19 361 ×

в) При а 23,2: b 4,2 a2 – 2ab + b2 23,22 – 2 23,2 4,2 + 4,22 528,24 – 46,4 4,2 + 17,64 361; 3) 343, 36 1) 2) 538, 24 46, 4 + × − 17, 64 4, 2 194, 88 +

928 1856

343, 36

361, 00

194, 88 г) При а 23,2: b 4,2 a2 + 2ab + b2 23,22 + 2 23,2 4,2 + 4,22 538,24 + 194,88 + 17,64 750,76; 538, 24 + 194, 88 17, 64 750, 76 Равны значения выражений б) и в).

2002–2011 гг.

474

777. а) При а 9,6; b 2,4 a2 – b2 9,62 – 2,42 86,4; 1) 2) 3) 92, 16 2, 4 9, 6 × − × 2 4 , 5, 76 9, 6 576 96 86, 40 + + 864 48 92, 16 5, 76 б) При а 9,6; b 2,4 (a – b)2 (9,6 – 2,4)2 7,22 51,84; 7, 2 × 7, 2 144 + 504 51, 84 в) При а 9,6; b 2,4 (a – b) (a + b) (9,6 – 2,4) (9,6 + 2,4) 7,2 12 86,4; 7, 2 × 12 144 + 72 86, 4 г) При а 9,6; b 2,4 (a + b)2 (9,6 + 2,4)2 122 144. Равны значения выражений а) и в).

778. а) При а 3,5; b 0,42 a2 – b2 3,52 – 0,422 12,0736; 0, 42 3, 5 3) 12, 2500 1) 2) × × − 0, 42 3, 5 0, 1764 84 175 + 12, 0736 + 168 105 0, 1764 12, 25 б) При а 3,5; b 0,42 (a – b)(a + b) (3,5 – 0,42) (3,5 + 0,42) 12,0736; 3, 92 2) 3, 50 3) 1) 3, 50 + × − 0, 42 3, 08 0, 42 3, 08

3, 92

+

3136 1176 12, 0736

в) При а 3,5; b 3, 92 × 3, 92 784 + 3528 1176 15, 3664

0,42 (a + b)2

(3,5 + 0,42)2

3,922

15,3664;

475

. . % , . . $

г) При а 3,5; b 0,42 a2 + 2ab + b2 3,52 + 2 3,5 0,42 + 0,422 12,25 + 7 0,42 + 0,1764 15,3664; 1) 0, 42 2) 12, 2500 × + 2, 9400 7 0, 1764 2, 94 15, 3664 Равны значения выражений а) и б); в) и г).

782. Р 4 24,16 96,64 (м); S 24,162 24,16 24,16 583,7056 (м2).

24, 16 24, 16 × × 24 , 16 4 96, 64

14496 2416 + 9664 4832

583, 7056 Ответ: периметр данного квадрата равен 96,64 м; а его площадь — 583,7056 м2.

783. Р 2 (2,51 + 0,602) 6,224 (м); S 2,51 0,602 1,51102 (м2). +

0, 602 3, 112 × 2 2, 510 3, 112

6, 224 +

×

2, 51 0, 602

502 1506

1, 51102 Ответ: периметр прямоугольника равен 6,224 м; а его площадь — 1,51102 м2.

784. 4,6 42,8 + 5,75 (42,8 + 25,32) 588,57 (р.); 196, 88 2) 3) 1) 4) 68, 12 42, 80 42, 8 + × + × 391, 69 5, 75 25, 32 4, 6 +

2568 1712 196, 88

68, 12

34060 + 47684 34060

391, 6900 Ответ: необходимо заплатить 588,57 р. за всю ткань.

785. а) 0,1 м (так как 0,12 0,1 0,1 0,01); б) 0,2 м (так как 0,22 0,2 0,2 0,04); в) 0,5 м (так как 0,52 0,5 0,5 0,25); г) 0,3 м (так как 0,32 0,3 0,3 0,09).

588, 57

2002–2011 гг.

476

786. Sпрямоугольника 13, 2 × 9, 3 +

13,2 9,3

122,76 (см2).

396 1188

122, 76 а) Sквадрата 13,22 13, 2 × 13, 2

13,2 13,2

174,24 (см2).

264 + 396 132 174, 24 174,24 см2 > 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника. б) Sквадрата 9,32 86,49 (см2).

9, 3 × 9, 3 +

279 837

86, 49 86,49 см2 < 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата меньше площади прямоугольника.

787. 1) 1, 25 2) 3) 0, 8 0, 75 × × × 0, 4 4 0, 6 0, 750 (ì2 ) 4) 0, 32 × 2 0, 64 (ì2 ) 7) 3 + 0,64 + 0,3

3, 00 (ì2 ) 5) 0, 2 × 0, 3 0, 06 (ì2 ) 1, 75 3,94 (м2); 8) × 3, 5 +

875 525

0, 32 (ì2 ) 6) 0, 06 × 5 0, 30 (ì2 ) 9)

−

6, 125 3, 940 2, 185 (ì2 )

6, 125 (ì2 ) Ответ: площадь оставшегося пластика равна 2,185 м2.

788. 1) 10 + 15,5 + 10 35,5 (м) — длина; 2) 10 + 4,8 + 10 24,8 (м) — ширина; 3) 2 (35,5 + 24,8) 120,5 (м);

10

10 10

10

4,8 10

10

15,5

10

10 + 4,8 + 10

. . % , . . $

10

10 + 15,5 + 10

+

35, 5 60, 3 × 24, 8 2

60, 3 120, 6 Ответ: длина забора равна 120,6 м.

789. а) 3,2 2,5 + 6,04 14,04; 3, 2 8, 00 × + 2, 5 6, 04 +

160 64

14, 04

8, 00 б) 16,7 – 3,5 1,08 12,92; 1, 08 16, 70 × − 3, 5 3, 78 +

540 324

12, 92

3, 780 в) 12,108 + 6,2 5,05 × +

43,418;

5, 05 12, 108 + 6, 2 31, 310

1010 3030

43, 418

31, 310 г) 3 (12,85 + 10,9) 12, 85 23, 75 + × 10, 90 3

71,25;

23, 75 71, 25 790. 3,1 (x + y) 3,1 y + 3,1x 3,1x + 3,1y.

791. 0,9 (m – n) 0,9m – 0,9n.

792. 0,55 (x + y) 0,55x + 0,55y y 0,55 + x 0,55.

477

2002–2011 гг.

478

794. 1)

2)

13, 233 5, 680

+

5)

15, 708 3, 520

−

+

12, 188; Π; 7)

8)

2 Р

3 А

4, 541 2, 800 7, 341; Α;

6)

15, 680 4, 321

−

16, 110 8, 223

−

7, 887; Ö;

3, 1800 0, 0018 3, 1782; ß.

1, 2404; È; 1 Т

+

20, 001; Ε;

1, 2370 0, 0034

+

3)

17, 80 2, 51

15, 29; Ρ;

18, 913; Τ; 4)

−

4 П

5 Е

6 Ц

7 И

8 Я

В трапеции две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет.

Контрольные задания 1. а) 252 — двадцать пять в квадрате; 25 — основание степени; 2 — показатель степени; б) 35 — три в пятой степени; 3 — основание степени; 5 — показатель степени.

2. 252 25 25 625; 35 = 3 ⋅3⋅3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 ⋅ 3 = 243.

N N 9

9

§ 45. Среднее арифметическое. Деление десятичной дроби на натуральное число 797. а)

−

12, 4 5 10 2, 48 −

24 20

−

б)

−

13, 08 4 12 3, 27 −

40 40 0

10 8 −

28 28 0

в)

−

526, 4 4 4 131, 6

−

12 12 −

6 4

−

24 24 0

479

. . % , . . $

г)

â&#x2C6;&#x2019;

12, 48 6 12 2, 08 â&#x2C6;&#x2019;

д)

36, 47 7 35 5, 21 14 â&#x2C6;&#x2019; 14 7 â&#x2C6;&#x2019; 7 0

е)

1, 271 31 124 0, 041 31 â&#x2C6;&#x2019; 31 0

в)

930, 62 62 62 15, 01 310 â&#x2C6;&#x2019; 310 62 â&#x2C6;&#x2019; 62 0

е)

â&#x2C6;&#x2019;

48 48 0

798. а)

г)

799. а)

г)

15, 9 15 15 1, 06 90 â&#x2C6;&#x2019; 90 0

б)

74, 88 36 72 2, 08 288 â&#x2C6;&#x2019; 288 0

д)

303, 66 14 28 21, 69 23 â&#x2C6;&#x2019; 14 96 â&#x2C6;&#x2019; 84 126 â&#x2C6;&#x2019; 126 0

б)

495, 12 12 48 41, 26 15 â&#x2C6;&#x2019; 12 31 â&#x2C6;&#x2019; 24 72 â&#x2C6;&#x2019; 72 0

д)

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

240, 72 34 238 7, 08

е)

0

56 56 0

в)

272 272

32, 56 8 32 4, 07 â&#x2C6;&#x2019;

1265, 04 36 108 35, 14 185 â&#x2C6;&#x2019; 180 50 â&#x2C6;&#x2019; 36 144 â&#x2C6;&#x2019; 144 0

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

7, 35 49 49 0, 15 245 â&#x2C6;&#x2019; 245 0 â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

59, 348 74 592 0, 802 148 â&#x2C6;&#x2019; 148 0

59, 74 29 58 2, 06 174 â&#x2C6;&#x2019; 174 0

16, 04 8 16 2, 005 â&#x2C6;&#x2019;

040 40 0

2002–2011 гг.

480

800. а)

−

0, 0578 34 34 0, 0017 −

б)

−

238 238

0, 03948 42 378 0, 00094 −

168 168 0

0 в)

−

0, 0837 27 81 0, 0031 −

г)

−

27 27

0, 03478 94 282 0, 00037 −

658 658 0

0 д)

−

0, 52974 81 486 0, 00654 −

е)

−

0, 095 19 95 0, 005

437 405 −

0

324 324 0

801. а)

−

0, 087 15 75 0, 0058 −

б)

−

0, 000135 5 10 0, 000027

120 120

−

0 в)

−

0, 1062 18 90 0, 0059 −

0 г)

−

162 162

0, 001824 32 160 0, 000057 −

−

0, 152 16 144 0, 0095 −

80 80 0

224 224 0

0 д)

35 35

е)

−

0, 72 24 72 0, 03 0

. . % , . . $

802.

a+b 0

803.

481

a

b

2a

ะ ั ะฒะตั : 2a; a + b; 2b.

0

a

2b a+b

ะ ั ะฒะตั : b > a.

804. 1) (4 + 3 + 2 + 2 + 3 + 5 + 2 + 4) : 8 25 : 8 3,125 | 3; 25, 8 โ 24 3, 125 10 โ 8 20 โ 16 40 โ 40 0 2) (4 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 3 + 4) : 8 28 : 8 3,5 | 4; 28, 8 โ 24 3, 5 40 โ 40 0 ะ ั ะฒะตั : ะ ะตะทะฝะฐะนะบะฐ ะทะฐ ะฟะตั ะฒั ั ั ะตั ะฒะตั ั ั ะผะพะถะตั ะฟะพะปั ั ะธั ั ั ั ะพะนะบั ะฟะพ ะผะฐั ะตะผะฐั ะธะบะต, ะฝะพ ะตั ะปะธ ะธั ะฟั ะฐะฒะธั ะฒั ะต ะดะฒะพะนะบะธ ะฝะฐ ั ั ะพะนะบะธ, ั ะพ ะฟะพะปั ั ะธั ั ะตั ั ั ะต.

805. ะ ะพะฝั ะธะบั ะฝั ะถะฝะพ ะฟะพะปั ั ะธั ั ะฟั ั ั ะฟั ั ะตั ะพะบ, ั ะพะณะดะฐ ะพะบะพะฝั ะฐั ะตะปั ะฝะฐั ะตะณะพ ะพั ะผะตั ะบะฐ ะฑั ะดะตั : (2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) : 9 36 : 9 4.

806. 1) 3,5 ะผะธะฝ 3,5 ย 60 ั 210 ั .

1000, 210 โ 840 4, 7619... (รฌ/รฑ); 4,7619โ ฆ | 4,762 (ะผ/ั ).

1600 โ 1470 1300 โ 1260 400 โ 210 1900 โ 1890 10... ะ ั ะฒะตั : ะธั ะบะพะผะฐั ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะฐะฒะฝะฐ 4,762 ะผ/ั .

2002–2011 гг.

482

2) 14,5 мин 14, 5 × 60 870, 0 (ñ)

14,5 60 с −

870 с;

5000, 870 4350 5, 7471... (ì/ñ)

−

6500 6090 −

4100 3480

−

6200 6090 −

1100 870

230... Ответ: искомая скорость равна 5,747 м/с.

3) 34,5 – (3,5 + 14,5) 34,5 – 18 16,5 (мин); 16,5 мин 16,5 60 с 990 с; 10 000 – (1000 + 5000) ×

16, 5 60

4000, 990 − 3960 4, 0404... (ì/ñ)

990, 0 (ñ)

−

4000 (м);

4,0404… | 4,040 (м,с).

4000 3960 −

4000 3960

40... Ответ: искомая скорость равна 4,040 м/с.

4) (4,762 + 5,747 + 0,040( : 3 | 4,850 (м,с); 4,8496… | 4,850.

4, 762 14, 549 3 − + 5, 747 12 4, 8496...

4, 040 25 − 14, 549 24 −

14 12 −

29 27

−

20 18 20...

Ответ: 4,850 м/с.

. . % , . . $

5) 34,5 мин ×

34,5 60 с

34, 5 60

2070 с;

−

2070, 0 (ñ)

10000, 2070 8280 4, 8309... ≈ 4, 831 (ì/ñ)

−

17200 16560 6400 6210

−

−

19000 18630 370...

Ответ: искомая скорость равна 4,831 м/с.

807. 1)

−

22, 57 12, 36

−

10, 21

10, 21 2 10 5, 105 −

12, 360 5, 105 17, 465

2 2

−

+

10 10 0

Итак, С(17,465).

2) (12,36 + 22,57) : 2 17,465; 12, 36 34, 93 2 + − 22, 57 2 17, 465 34, 93

−

14 14 −

9 8

−

13 12 −

10 10

0 Результаты, полученные в 1) и 2) случае одинаковые.

808. O

0

M 77,36

K

N 122,64

Точка K — середина отрезка MN. Найдем координату точки K.

483

2002–2011 гг.

484

−

122, 64 45, 28 2 77, 36 + − 77, 36 4 22, 64 22, 64 45, 28 100, 00 5 − 4 −

12 12 −

8 8 0

Итак, K(100). Найдем среднее арифметическое координат всех точек, то есть точек M и N. (77,36 + 122,64) : 2 200 : 2 100. Вывод: среднее арифметическое координат концов отрезка есть координата середины отрезка.

809. Пусть A(a), B(b), C(c), тогда: c (a + b) : 2.

810. а) 1,53x + 0,47x 15; (1,53 + 0,47)x 15; 2x 15; x 15 : 2; x 7,5; б) 3,28x + 4,72x 17; (3,28 + 4,72)x 17; 8x 17; x 17 : 8; x 2,125; 17, 8 − 16 2, 125 −

10 8

−

20 16 −

40 40 0

в) 84,6x – 44,6x 35; (84,6 – 44,6)x 35; 40x 35; x 35 : 40;

. . % , . . $

0,875; 35, 0 40 â&#x2C6;&#x2019; 320 0, 875

x

300 280 200 â&#x2C6;&#x2019; 200 0 г) 39,49x + 10,51x 18; (39,49 + 10,51)x 18; 50x 18; x 18 : 50; x 0,36; 18, 0 50 â&#x2C6;&#x2019; 150 0, 36 300 â&#x2C6;&#x2019; 300 0 â&#x2C6;&#x2019;

811. а) 6,5x â&#x20AC;&#x201C; 2,5x 19; (6,5 â&#x20AC;&#x201C; 2,5)x 19; 4x 19; x 19 : 4; x 4,75; 19, 4 â&#x2C6;&#x2019; 16 4, 75 30 â&#x2C6;&#x2019; 28 20 â&#x2C6;&#x2019; 20 0 б) 4,58x + 2,42x 7,14; (4,58 + 2,42)x 7,14; 7x 7,14; x 7,14 : 7; x 1,02; 7, 14 7 â&#x2C6;&#x2019; 7 1, 02 â&#x2C6;&#x2019;

14 14 0

485

2002–2011 гг.

486

в) 7,14x + 17,86x 38; (7,14 + 17,86)x 38; 25x 38; x 38 : 25; x 1,52; 38, 25 − 25 1, 52 −

130 125 −

50 50 0

г) 199,29x – 119,29x 72; (199,29 – 119,29)x 72; 80x 72; x 72 : 80; x 0,9; 72, 0 80 − 720 0, 9 0 812. а) 1,9x + 3,34x – 2,24x 30,66; (1,9 + 3,34 + 2,24)x 30,66; 3x 30,66; x 30,66 : 3; x 10,22; 30, 66 3 − 3 10, 22 −

6 6

−

6 6 0

б) 96,41x – 88,24x + 1,83x 0,0202; (96,41 – 88,24 + 1,83)x 0,0202; 10x 0,0202; x 0,0202 : 10; x 0,00202; 96, 41 8, 17 − + 88, 24 1, 83 8, 17 10, 00

. . % , . . $

в) 4,25x + 56,402x â&#x20AC;&#x201C; 4,652x 58,912; (4,25 + 56,402 â&#x20AC;&#x201C; 4,652)x 58,912; 56x 58,912; x 58,912 : 56; x 1,052; +

54, 402 60, 652 58, 912 56 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 4, 652 4, 250 56 1, 052 60, 652

56, 000

â&#x2C6;&#x2019;

291 280 â&#x2C6;&#x2019;

112 112 0

г) 5,45x â&#x20AC;&#x201C; 4,568x â&#x20AC;&#x201C; 0,882x 0; (5,45 â&#x20AC;&#x201C; 4,568 â&#x20AC;&#x201C; 0,882)x 0; 1x 0; x 0; 5, 450 1, 882 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 4, 568 0, 882 1, 882

1, 000

813. а) 34,98x â&#x20AC;&#x201C; 33,98x + 24x 87,29; (34,98 â&#x20AC;&#x201C; 33,98 + 24)x 87,29; 25x 87,29; x 87,29 : 25; x 3,4916; â&#x2C6;&#x2019;

87, 29 25 75 3, 4916

â&#x2C6;&#x2019;

122 100 â&#x2C6;&#x2019;

229 225 â&#x2C6;&#x2019;

40 25

â&#x2C6;&#x2019;

150 150

0 б) 56,289x + 45,07x â&#x20AC;&#x201C; 100,359x 52,15; (56,289 + 45,07 â&#x20AC;&#x201C; 100,359)x 52,15; 1x 52,15; x 52,15;

487

2002–2011 гг.

488

56, 298 101, 359 − 45, 070 100, 359

+

101, 359

1, 000

в) 25,5x – 13,08x – 12,42x 52,907; (25,5 – 13,08 – 12,42)x 52,907; 0 x 52,907; 25, 50 − 13, 08 12,42 – 12,42

12, 42

0.

Уравнение не имеет решения, так как если один из множителей равен 0, то и все произведение равно 0. г) 186,37x – 95,327x – 52,043x 12,48; (186,37 – 95,327 – 52,043)x 12,48; 39x 12,48; x 12,48 : 39; x 0,32; −

186, 370 91, 043 12, 48 39 − − 95, 327 52, 043 117 0, 32 91, 043

39, 000

−

78 78 0

814. (10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 13 + 13 + 13 + + 14 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 10 + 10 + 9) : 24 (70 + 36 +33 + 24 + + 16 + 52 + 28) : 24 (103 + 60 + 80 + 16) : 24 259 : 24 10,791666… | | 10,8q. Ответ: среднесуточная температура |10,8q.

815. а) 270,48 : 14 – (15,45 : 15 + 54,252 : 9) 12,262; 1)

−

15, 45 15 15 1, 03 −

45 45 0

2)

−

54, 252 9 54 6, 028 −

+

6, 028 1, 030 7, 058

25 18 −

3)

72 72 0

. . % , . . $

4)

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

270, 48 14 5) 19, 320 â&#x2C6;&#x2019; 7, 058 14 19, 32 12, 262 130 126 44 42

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

28 28 0

б) 270,14 : 14 â&#x20AC;&#x201C; 15,45 : 15 + 54,252 : 9 24,318; 19, 32 18, 290 + â&#x2C6;&#x2019; 6, 028 1, 03 24, 318 18, 29 в) 270,48 : 14 â&#x20AC;&#x201C; 15,45 : 15 â&#x20AC;&#x201C; 54,252 : 9 12,262; 19, 32 18, 290 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 6, 028 1, 03 12, 262 18, 29 г) 54,252 : 9 + 270,48 : 14 â&#x20AC;&#x201C; 15,45 : 15 24,318; 6, 028 25, 348 â&#x2C6;&#x2019; + 1, 030 19, 340

19,32 â&#x20AC;&#x201C; 1,03 + 6,028

19,32 â&#x20AC;&#x201C; 1,03 â&#x20AC;&#x201C; 6,028

6,028 + 19,32 â&#x20AC;&#x201C; 1,03

25, 348 24, 318 816. а) 0,3 Â&#x2DC; (23,316 : 5,8 + 0,5175 : 0,75) â&#x20AC;&#x201C; 1,413 1) 23,316 : 5,8 233,16 : 58 4,02; â&#x2C6;&#x2019;

233, 16 58 232 4, 02 â&#x2C6;&#x2019;

116 116

0 2) 0,5175 : 0,75 â&#x2C6;&#x2019;

51, 75 75 450 0, 69 â&#x2C6;&#x2019;

675 675 0

51,75 : 75

0,69;

0;

489

2002–2011 гг.

490

3)

+

4, 02 0, 69 4, 71

4)

×

4, 71 0, 3

5) 1,413 – 1,413

1, 413

б) 0,3 23,316 : 5,8 – 0,5175 : 0,75 0 1,413 0,482; 4, 02 1, 206 1, 896 × + − 0, 3 0, 690 1, 413

0,3 4,02 + 0,69 – 1,412

1, 206 1, 896 0, 483 в) 0,3 23,316 : 5,8 + 0,3 0,5175 : 0,75 – 1,413 – 1,413 0; 0, 69 1, 206 × + 0, 3 0, 207 0, 207 1, 413 1,413 – 1,413 0; г) 23,316 : 5,8 + 0,3 0,5175 : 0,75 – 1,413 2,814; 4, 020 4, 227 + − 0, 207 1, 413 4, 227

0;

1,206 + 0,3 0,69 –

4,02 + 0,207 – 1,413

2, 814

817. 1) − 442, 0 109 436 4, 0550... ≈ 4, 1 (ì) — высота 1 этажа Чикагского небоскреба; 600 − 545 550 − 545 50...

2)

412, 0 110 330 3, 7454... ≈ 3, 7 (ì) — высота 1 этажа Нью-Йоркского небоскреба.

820 − 770 500 − 440 600 − 550 500 − 440 60... Ответ: высота одного этажа Чикагского небоскреба больше, чем у Нью-Йоркского. −

. . % , . . $

818.

491

269, 1 117 234 2, 3 (รฌ)

โ

โ

351 351

0 ะ ั ะฒะตั : ะดะปะธะฝะฐ ะพะบั ั ะถะฝะพั ั ะธ ะบะพะปะตั ะฐ ะฐะฒั ะพะผะพะฑะธะปั ั ะฐะฒะฝะฐ 2,3 ะผ.

819. ะฐ) (28,7 โ 23,4) : 2 2,65 (ะบะผ/ั ).

28, 7 5, 3 2 โ โ 23, 4 4 2, 65 5, 3

โ

13 12 โ

10 10 0

ะ ั ะฒะตั : ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ ั ะฐะฒะฝะฐ 2,65 ะบะผ/ั . ะฑ) 1) (23,1 โ 18,8) : 2 2,15 (ะบะผ/ั ) โ ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ.

23, 1 4, 3 2 โ โ 18, 8 4 2, 15 4, 3

โ

3 2

โ

10 10 0

2)

+

18, 80 2, 15

20, 95 (รชรฌ/รท) ะ ั ะฒะตั : ั ะพะฑั ั ะฒะตะฝะฝะฐั ั ะบะพั ะพั ั ั ั ะตะฟะปะพั ะพะดะฐ ั ะฐะฒะฝะฐ 20,95 ะบะผ/ั .

820. ะ ั ะถะฝะพ ั ะฐั ั ะผะพั ั ะตั ั ั ะปั ั ะฐะธ ะดะฒะธะถะตะฝะธั ะฟะพ ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ ะธ ะฟั ะพั ะธะฒ ั ะตั ะตะฝะธั ั ะตะบะธ.

821. 1) 112, 0 + 96, 5 208, 5 (ะบะผ) โ ะพะฑั ะธะน ะฟั ั ั ; 2)

+

3 รท 20 รฌรจรญ 2 รท 60 รฌรจรญ 5 รท 60 รฌรจรญ = 6 รท โ ะพะฑั ะตะต ะฒั ะตะผั ;

2002–2011 гг.

492

3)

−

208, 5 6 18 34, 75 (êì/÷)

−

28 24

−

45 42 −

30 30 0

Ответ: средняя скорость автомобиля на всем пути равна 34,75 км/ч.

822. 1) s : v (ч); 2) (s – 20) (км); 3) (v – 12) км/ч; 4) (s – 20) : (v – 12) (ч); 5) s : v – (s – 20) : (v – 12) (ч); 6) s : v + (s – 20) : (v – 12) (ч); 7) s + (s – 20) 2s – 20 (км); 8) (2s – 20) : (s : v – (s – 20) : (v – 12)) (км/ч).

Контрольные задания 1. а)

−

б) − 20, 7 6 18 3, 45

18, 96 12 12 1, 58 −

69 60 −

−

96 96

−

2. (54,8 + 152,07 + 80,53) : 3

287, 40

30 30 0

0 152, 07 + 54, 80 80, 53

27 24

−

287, 4 3 27 95, 8

−

17 15 −

24 24 0

95,8;

493

. . % , . . $

§ 46. Деление десятичной дроби на десятичную дробь 823. 1) 2) 3) 824. а)

1,5 : 0,3 15 : 3 5; 4,2 : 0,06 420 : 6 70; 0,35 : 0,5 35 : 50 0,7; 6 : 0,8 60 : 8 7,5; −

4) 5) 6) б)

9 : 4,5 90 : 45 2; 0,072 : 0,1 0,72 : 1 0,72; 1,634 : 0,0001 16 340 : 1 16 340.

160 : 0,016 160 000 : 16 10 000;

60, 0 8 56 7, 5 −

40 40 0

в) 32 : 1,28 −

3200 : 128

г) 24 : 6,25

25;

3200 128 256 25

−

−

640 640

2400, 625 1874 3, 84

−

0

5250 5000

−

2500 2500 0

825. а) 1 : 0,5 10 : 5 2; б) 19 : 0,0608 190 000 : 608 190000 608 − 1824 312, 5 −

760 608

−

1520 1216 −

3040 3040

0 в) 4 : 0,025 4000 : 25 4000 25 − 25 160 −

150 150 0

160;

312,5;

2400 : 625

3,84;

2002–2011 гг.

494

г) 8,932 : 2,9 −

89,32 : 29

3,08;

89, 32 29 87 3, 08 −

232 232 0

826. а) 9 : 0,36

900 : 36

−

900, 36 72 25

−

180 180

25;

0 б) 89 : 0,02848

8 900 000 : 2848

3125;

8900000 2848 − 8544 3125 −

3560 2848 −

7120 5696

−

14240 14240 0

в) 34 : 0,085 3400 : 85 3400 85 − 340 40

40;

0 г) 225 : 0,625

225 000 : 625

360;

225000 625 − 1875 360 −

3750 3750 0

827. а) 0,75 : 0,15 75 : 15 5; б) 1,836 : 0,204 1836 : 204

9;

. . % , . . $

â&#x2C6;&#x2019;

1836 204 1836 9 0

в) 7,05 : 1,5 â&#x2C6;&#x2019;

70,5 : 15

4,7;

70, 5 15 60 4, 7

â&#x2C6;&#x2019;

105 105 0

г) 12,4 : 0,031 â&#x2C6;&#x2019;

12 400 : 31

400;

2,091 : 41

0,051;

12400 31 124 400 0

828. а) 0,2091 : 4,1 â&#x2C6;&#x2019;

2, 091 41 205 0, 051 â&#x2C6;&#x2019;

41 41 0

б) 519,536 : 15,2 â&#x2C6;&#x2019;

5195,36 : 152

5196, 36 152 456 34, 18

â&#x2C6;&#x2019;

635 608 â&#x2C6;&#x2019;

273 152

â&#x2C6;&#x2019;

1216 1216 0

34,18;

495

2002–2011 гг.

496

в) 3,5 : 0,4 −

35 : 4

8,75;

35, 0 4 32 8, 75

−

30 28

−

20 20 0

г) 3,76 : 0,4 −

37,6 : 4

9,4;

37, 6 4 36 9, 4 −

16 16 0

829. а)

−

б)

1680 400 1600 0, 42 −

800 800 0

−

7230, 0 5000 5000 1, 446

−

22300 20000

−

23000 20000

−

30000 30000 0

в) 16,92 : 4,23 −

1692 : 423

1692 423 1692 4 0

г)

−

6448, 0 8000 64000 0, 806 −

48000 48000 0

4;

497

. . % , . . $

830. а)

836. а)

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

17, 5 14 14 1, 25 35 â&#x2C6;&#x2019; 28 70 â&#x2C6;&#x2019; 70 0 42, 25 13

65 65

0 69,02 : 3,4 â&#x2C6;&#x2019;

в)

259 37 259 7

â&#x2C6;&#x2019;

8610 246 728 35

â&#x2C6;&#x2019;

1130 1130

г)

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

825, 6 32 25, 8 â&#x2030;&#x2C6; 26 64

â&#x2C6;&#x2019;

185 160

â&#x2C6;&#x2019;

1840, 0 736 1472 2, 5

â&#x2C6;&#x2019;

3680 3680 0

0

32 26 â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

0

3, 25 â&#x2030;&#x2C6; 3

39 â&#x2C6;&#x2019;

б)

256 256

0 690,2 : 34 20,3;

690, 2 34 20, 3 â&#x2030;&#x2C6; 20 68

â&#x2C6;&#x2019;

102 102 0

б)

â&#x2C6;&#x2019;

21, 45 3 900, 0 93 60, 48 12 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 7, 15 â&#x2030;&#x2C6; 7, 2 21 9, 76... â&#x2030;&#x2C6; 9, 7 60 5, 04 â&#x2030;&#x2C6; 5 837

â&#x2C6;&#x2019;

630 558 â&#x2C6;&#x2019;

720 651

â&#x2C6;&#x2019;

48 48

â&#x2C6;&#x2019;

4 3

0

â&#x2C6;&#x2019;

15 15 0

69... в)

â&#x2C6;&#x2019;

1, 05 12 96 0, 0875 â&#x2030;&#x2C6; 0, 09 â&#x2C6;&#x2019;

90 84

â&#x2C6;&#x2019;

60 60 0

â&#x2C6;&#x2019;

34, 53 15 2, 302 â&#x2030;&#x2C6; 2, 30 30 â&#x2C6;&#x2019;

45 45 â&#x2C6;&#x2019;

30 30 0

2002–2011 гг.

498

−

106500 2145 8580 49, 650... ≈ 49, 65 20700 19305 13950 − 12870 10800 − 10800 750...

−

г)

−

1066, 56 275 48, 156 15 − 3, 8784 ≈ 3, 878 825 3, 2104 ≈ 3, 210 45 −

31 30 −

−

−

15 15 −

2415 2200

60 60 0

2156 1925 −

2310 2200

−

1100 1100 0

−

61, 25075 25 2, 45003 ≈ 2, 450 50

112 100 125 − 125 075 − 75 0 837. а) Да; б) нет; в) да; 838. 2,5 км 2,5 1000 м 2500 м; 25000, 0 3333 − 23331 7, 50... ≈ 7, 5 (ñ) −

−

16690 16665

250... Ответ: взрыв будет услышан через 7,5 с.

г) да.

. . % , . . $

829. 100 : 0,29 10 000 : 29 | 344,8 (м).

10000 29 − 87 344, 82... ≈ 344, 8 −

130 116 −

140 116 −

240 232 −

80 58

22... Ответ: в мотке |344,8 м нити.

840. 44,46 кг 44,46 1000 г 44 460 г. −

444600 2925 2925 152 (ì)

−

15210 14625 −

5850 5850 0

841.

Ответ: в мотке 152 м проволоки.

1200 24 − 120 50 (ñò.) 50 + 1 51 (ст.) (1 крайний столб).

0 Ответ: был установлен 51 столб.

842. 1) (30 + 37,5) 2 67,5 2 135,0 (м) — длина изгороди; 2) 1350 25 − 125 54 (ñò.) −

100 100 0

3) 54 + 1 55 (ст.). Ответ: для изгороди понадобится 55 столбов.

2) x 7,08 84,96; 843. 1) 2,6x 1307,8; x 1307,8 : 2,6; x 84,96 : 7,08; x 503; x 12;

499

2002–2011 гг.

500

−

13078 26 130 503 −

78 78

−

8496 708 708 12

−

1416 1416

0 0 3) 512x 5,12; x 5,12 : 512; x 512 : 51 200; x Действительно, 512 0,01 5,12.

4) x 23,5 143,35; 5) 5,3x 4,24; x 143,35 : 23,5; x 4,24 : 5,3; x 6,1; x 0,8; 1433, 5 235 42, 4 53 − − 1410 6, 1 424 0, 8 −

235 235

0,01.

0

0 6) 0,342x 0,342; x 0,342 : 0,342; x 1. Действительно, 0,342 1 0,342.

7) 2,31x 0,1617; 8) x 3 3,0468; x 0,1617 : 2,31; x 3,0468 : 3,4; x 0,07; x 1,002; −

16, 17 231 1617 0, 07

−

0

34, 068 34 34 1, 002 −

068 68 0

8) 28x 0,028; x 0,028 : 28; x 0,001. Действительно, 28 0,001 0,028.

844. б) 0,3 (28,56 + 1,5) – 0,512 8,506; 3) 9, 018 1) 28, 56 2) 30, 06 + × − 1, 50 0, 3 0, 512 30, 06

9, 018

8, 506

в) 0,3 28,56 + 0,3 1,5 – 0,512 8,506; 3) 8, 568 1) 28, 56 2) 1, 5 × + × 0 3 , 0, 450 0, 3 8, 568

0, 45

9, 018

4)

−

9, 018 0, 512 8, 506

501

. . % , . . $

845. а) 0,51 + 0,8 (5 : 4 + 38 : 1,9 + 91,2 : 15,2) 1)

−

2) 380 : 19

5, 0 4 4 1, 25

−

20;

22,31; 3)

−

912 152 912 6 0

10 8

−

20 20 0

4)

5)

1, 25 + 20, 00 6, 00

×

6)

27, 25 0, 8

21, 800

+

21, 80 0, 51 22, 31

27, 25 в) 0,51 + 0,8 5 : 4 + 0,8 38 : 1,9 + 0,8 91,2 : 15,2 1)

×

1, 25 0, 8

2)

0, 8 20 16, 0

1, 000 3) 0,8 6

×

22,31;

4,8;

4)

0, 51 1, 00 + 16, 00 4, 80 22, 31

846. а) (x + 25.32) р.; 4,6х р.; 5,75 (х + 25,32) (р.); 4,6x + 5,75 (x + 25,32) (р.); 5,75(x + 25,32) – 4,6x (р.); б) 4,6x + 5,75(x + 25,32) 588,57; 4,6x + 5,75x + 145,59 588,57; 10,35x 588,57 – 145,59; 10,35x 442,98; x 442,98 : 10,35; x 42,8; 5,75(x + 25,32) – 4,6x 104,81; 5,75x + 145,59 – 4,6x 194,81; 1,15x 194,81 – 145,59; 1,15x 49,22; x 49,22 : 1,15; x 42,8. Найдена цена ситца за 1 м.

2002–2011 гг.

502

847. 1)

−

26, 03103 3 8, 67701 ≈ 8, 68 24

2)

−

20 18

−

23 21

−

8, 62222 4 2, 155... ≈ 2, 16 8 −

6 4

−

22 20

21 21

−

22 20

−

03 3

−

2...

0 3)

−

9, 27 4 8 2, 3175 ≈ 2, 32

−

4)

−

−

7 4

−

30 28 20 20 0

848. 1)

−

428, 402 52 8, 238... ≈ 8, 24 416 −

124 104

−

1103, 13 15 105 73, 542 ≈ 73, 54

53 45 81 − 75 63 − 60 30 − 30 0

12 12

−

−

200 156 −

442 442 26...

2)

−

171, 376 8 21, 422 ≈ 21, 42 16

−

11 8

−

33 32 −

17 16

−

16 16 0

. . % , . . $

3)

−

60, 01 5 12, 002 ≈ 12, 00 5

−

10 10 −

4)

−

199, 95 25 7, 998 ≈ 8, 00 175 −

010 10

249 225

−

0

503

245 225

−

200 200 0

849. а) При а 3; b 0,1 a + b 3 + 0,2 27 + 0,008 27,008; б) при а 3; b 0,2 (a + b)3 (3 + 0,2)3 3,23 3,2 3,2 3,2 32,768; в) при а 3; b 0,2 (a + b)(a2 – ab + b2) (3 + 0,2) (32 – 3 0,2 + 0,22) 3,2 8,44 27,008; г) при а 3; b 0,2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 33 + 3 32 0,2 + 3 3 0,22 + + 0,23 27 + 0,36 + 0,008 32,768. Итак, при данных значениях переменных а и b равны значения выражений а) и в); б) и г), то есть a3 + b3 (a + b)(a2 – ab + b2); (a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

850. а) 1,5x + 3x + 3 0,83 4,5x + 2,49; б) 7,1 + 17 – 5x 24,1 – 5x; в) 1,2y + 6 – 1,7 1,2y + 4,3; г) 3x + 2,5x – 15 5,5x – 15.

851. а) y + 7y – 21,7 8y – 21,7; б) 1,1x + 2,6x _ 5,2 3,7x – 5,2; в) x + 4,5x + 9x + 46,8 14,5x + 46,8; г) 7,1x + 1,42 + 1,8 7,1x + 3,22.

852. а) 3x (р.); (х – 0,85) р.; 4(х – 0,85) р.; 3х + 4(х – 0,85) (р.); 3х – 4(х 0,85) (р.); 30 – (3х – 4(х – 0,85)) (р.); б) 3x + 4(x – 0,85) 23,9; 3x + 4x – 3,4 23,9; 7x 23,9 + 3,4; 7x 27,2; x 27,3 : 7; x 3,9. Найдена цена ручки — 3,9 р.

853. Цена тетради — х р., а книги — (х + 7) р. Дальше задание можно выполнить также, как в № 852.

3

3

3

3

28, 4 ⋅ 2, 5 − 1, 34 71 − 1, 34 69, 66 = 3; = = 1, 089 : 1, 5 + 6, 3 : 0, 28 0, 72 + 22, 5 23, 22 0, 72 − 0, 104 − 0, 112 ⋅ 0, 5 0, 616 − 0, 056 0, 56 б) = = = 8; 0, 07 0, 063 : 1, 26 ⋅ 0, 13 0, 05 ⋅ 1, 4 1 : 0, 25 0, 135 : 0, 054 4 (2, 1 − 1, 965) : (0, 12 ⋅ 0, 45) в) − = − = 0, 0325 : 0, 13 0, 16 ⋅ 6, 25 0, 25 1

854. а)

2002–2011 гг.

504

2, 5 − 4 = 10 − 4 = 6; 0, 25 4, 488 7, 1 ⋅ 1, 5 (4, 3 + 2, 8) ⋅ (4, 3 − 2, 8) г) + = + 37, 4 = (3, 6 − 0, 63) : (4, 61 + 7, 27) 0, 12 2, 97 : 11, 88 10, 65 = + 37, 4 = 42, 6 + 37, 4 = 80.

0, 25 =

855. 1)

−

5775 35 35 165 (р.) — стоит 1 м ткани;

−

227 210 −

175 175 0

2)

×

20, 25 165

10125 + 12150 2025 3341, 25 (ð.)

856. 1)

Ответ: стоимость ткани равна 3341,25 р.

24 52, 8 16 2) × − 2, 2 48 3, 3 (ì) +

48 48

−

48 48

52, 8 (ì) — расстояние;

0 Ответ: длина окружности заднего колеса равна 3,3 м.

8, 1 2) 857. а) 1) 4, 47 − × 0, 4 2, 12 3, 24

3)

894 + 447 894 9, 4764 — новое произведение;

9, 4764 − 4, 4700

5, 0064 Ответ: новое произведение больше первоначального на 5,0064.

. . % , . . $

858. 1) 5,1 2

10,2 (раза);

2)

× +

505

28, 1 10, 2

562 281 286, 62 (ì2 )

Ответ: искомая площадь равна 286,62 м .

1, 25 2) 859. 1) 15, 0 12 × − 26 12 1, 25 (ðàç) 2

−

30 24

−

3)

60 60

+

750 250 32, 50 (р.) — стоимость карамели;

0 32, 5 + 26, 0

58, 5 (ð.) Ответ: было куплено конфет на общую сумму 58,5 р.

860. а) 72, 0 45 Частное увеличится в 1,6 раза; − 45 1, 6 −

270 270

0 б) частное не изменится; в) частное не изменится; г) 2,5 0,5 1,25 (раза); частное уменьшится в 1,25 раза.

861. 1) 135 2) 540 15 − — один из множителей; − 81 45 36 54 90 − 90 3)

0 81, 0 36 72 2, 25 — второй множитель.

90 − 72 180 − 180 0 Ответ: искомые числа равны 36 и 2,25. −

2002–2011 гг.

506

б) 862. а) 0,25 + 0,3 0,55; в) 0,2 + 8,09 8,29; г) 1, 0 5 1, 0 1, 0 4 − − − 10 0, 2 10 8 0, 25 −

0

20 20

1,68 – 0,5 1,18; 0,75 – 0,098 0,652.

2 3, 0 4 − 28 0, 75 0, 5

0

−

0

20 20 0

Контрольные задания а)

−

б)

288, 36 36 288 8, 01 −

36 36

−

39, 22 74 370 0, 53 −

222 222 0

0

§ 47. Понятие процента 864. 100 % — все высаженные овощи; 8 % 3 24 % — занято помидорами; 100 % – (6 % + 24 %) 68 % — занято картофелем.

865. 100 % — воздух; 75,5 % – 52,4 % 23,1 % — приходится на кислород; 100 % – (75,5 % + 23б1 %) 1,4 % — приходится на остальные газы.

866. 100 % — все книги библиотеки; 36 % : 3 12 % — справочники и словари; 100 % – (36 % + 12 %) 51 % — художественная литература.

1% 867. Сотая часть числа Десятая часть числа Пятая часть числа

10 % 20 %

Четвертая часть числа

100 %

Половина числа Три четверти числа

50 % 3 25 % 75 %

Треть числа

100 %

4

3

= 25 %

≈ 33 %

868. На остальных насекомых приходится 50 % коллекции.

. . % , . . $

507

869. 100 % – 10 % 90 %. Ответ: на остальные монеты приходится 90 % коллекции.

870. 100 % – 25 % 75 %. Ответ: на отечественную литературу приходится 75 % библиотечного фонда.

Контрольные задания 1 % — это сотая часть величины.

§ 48. Задачи на проценты 874. 1) 180 : 6 30 (марок) — величина 1 %; 2) 30 100 3000 (марок). Ответ: в коллекции филателиста 3000 марок.

875. 1) 750 : 100 7,5 (уч.) — величина 1 %; 2) 7,6 6 45 (уч.). Ответ: шахматный кружок посещают 45 учеников.

876. 1) 18 : 3 6 (уч.) — величина 1 %; 2) 6 100 600 (уч.). Ответ: в школе 600 учеников.

877. 1) 150 : 100 1,5 (дер.) — величина 1 %; 2) 1,5 8 12 (лип). Ответ: в парке 12 лип.

878. 1) 131,1 : 23 5,7 (м) — величина 1 %; 2) 5,7 100 570 (м). Ответ: бригада должна отремонтировать 570 м дороги.

879. 1) 1500 : 100 15 (монет) — величина 1 %; 2) 15 21 315 (монет) — старинные; 3) 15 2 30 (монет) — иностранные; 4) 15 5 75 (монет) — юбилейные. Ответ: в коллекции 315 старинных монет, 30 иностранных и 75 юбилейных.

880. 1) 48 : 60 0,8 (тыч. р.) — величина 1 %; 2) 0,8 100 80 (тыч. р.). Ответ: для оборудования кабинета нужно 80 тысяч рублей.

881. 1) 1200 : 100 12 (марок) — величина 1 %; 2) 12 5 60 (марок) — старинные; 3) 12 18 216 (марок) — юбилейные; 4) 12 6 72 (марки) — иностранные. Ответ: в коллекции 60 старинных марок, 216 юбилейных и 72 иностранные.

882. 1) 1260 : 20 63 (р.) — величина 1 %; 2) 63 100 6300 (р.). Ответ: за ремонт кухни было уплачено 6300 р.

883. 1) 10 000 : 100 100 (м2) — величина 1 %; 2) 100 15 1500 (м2) — брюссельская капуста;

508

884.

885.

886.

887.

888.

889.

890.

891.

892.

2002–2011 гг.

3) 100 24 2400 (м2) — капуста кольраби; 4) 100 28 2800 (м2) — цветная капуста. Ответ: под брюссельскую капусту отведено 1500 м2; под капусту кольраби — 2400 м2; под цветную — 2800 м2.

1) 800 : 10 80 (пар) — величина 1 %; 2) 80 100 8000 (пар). Ответ: на оптовую базу поступило 8000 пар обуви.

1) 87 : 75 1,16 (га) — величина 1 %; 2) 1,16 100 116 (га). Ответ: бригада должна убрать урожай с 116 га.

1) за 100 % примем путь лыжников за три дня — это 87 км; 2) 87 : 100 0,87 (км) — 1 %; 3) 0,87 35 30,45 (км) — I день; 4) 0,87 38 33,06 (км) — II день; 5) 87 – (30,45 + 33б06) 87 – 63,51 23,49 (км) — III день.

1) весь путь, он неизвестен; 2) 33 : 30 1,1 (км) — 1 %; 3) 1,1 100 110 (км) — весь путь за три дня; 4) 1,1 38 41,8 (км) — II день; 5) 110 – (33 + 41,8) 110 – 74,8 35,2 (км) — III день.

1) выпущенны за месяц 2500 деталей; 2) 2500 : 100 2,5 (детали) — 1 %; 3) 25 35 875 (деталей) — I декада; 4) 25 40 1000 (деталей) — II декада; 5) 2500 – (875 + 1000) 2500 – 1875 625 (деталей) — III декада.

1) выпущенные за месяц детали; неизвестна; 2) 102 : 17 8 (деталей) — 1 %; 3) 8 100 800 (деталей) — за месяц по плану; 4) 8 34 204 (детали) — II декада; 5) 800 – (102 + 204) 800 – 306 494 (детали) — III декада.

1) 382 200 : 100 3822 (р.) — 1 %; 2) 3822 45 171 990 (р.) — материалы; 3) 171 900 2 343 980 (р.) — стоимость работ и материала; 4) 383 200 – 343,980 38 220 (р.) — доставка. Ответ: стоимость материала равна 171 990 р., а доставки — 38 220 р.

1) 60 : 15 4 (стр.) — 1 %; 2) 4 100 400 (стр.) — всего в книге; 3) 4 25 100 (стр.) — II день; 4) 400 – (100 + 60) 400 – 160 240 (стр.) — III день. Ответ: во второй день Оля прочитала 100 страниц книги, а в третий — 240 страниц.

1) 35 : 100 0,35 (кг) — 1 %; 2) 0,35 14 4,9 (кг) — сушеные грибы; 3) 2,8 : 14 0,2 (кг) — 1 % для второго случая; 4) 0,1 100 20 (кг) — свежие грибы. Ответ: из 35 кг свежих грибов можно получить 4,9 кг сушеных; а чтобы получить 2,8 кг сушеных грибов, нужно взять 20 кг свежих грибов.

509

. . % , . . $

893. 1) 100 % – 35 % 65 % — остается вареного мяса; 2) 1 : 65 0,01538… | 0,015 (кг) — 1 % для первого случая; 3) 0,015 100 1,5 (кг) — свежее мясо; 4) 2 : 100 0,02 (кг) — 1 % для второго случая; 5) 0,02 65 1,3 (кг) — вареное мясо. Ответ: нужно взять |1,5 кг свежего мяса, чтобы получить 1 кг вареного; а из 2 кг свежего мяса получится 1,3 кг вареного.

Контрольные задания 1.

2.

3.

4.

5,96 : 100 0,0596 — 1%.

0,079 100 7,9 — 100 %.

186 : 100 34 1,86 34 – 63,24.

53,94 : 62 100 0,87 100 87.

§ 49. Микрокалькулятор 894. а)

+

215, 710 34, 527 250, 237

б)

−

7549, 25 6343, 77 1205, 48

в)

× +

15, 78 30, 05

7890 4734 474, 1890

г)

−

382, 27 127 381 3, 01 −

127 127 0

895. а) 395,561; проверка: 395,561 – 54,281 341,28. Так как получили второе слагаемое, то сумма найдена правильно. б) 300,652; проверка: 300,652 + 390,4 691,052; в) 271,488; проверка: 271,488 : 12,8 21,21; г) 322,5; проверка: 322,5 18 5805.

896. а) 0,302; проверка: 0,302 – 0,052 0,25; б) 0,0937; проверка: 0,0937 + 0,0088 0,1025; в) 28,08; проверка: 28,08 : 0,8 35,1; г) 0,1416; проверка: 0,1416 2,5 0,354.

897. 25 32; 4,23 74,088; 37 2187; 5,14 676,5201.

898. а) 67,111 – 33,048 34,063; б) 165,42 + 73,55 238,97; в) 166,663 – 102,58 64,083; г) 311,5 : 2,8 111,25.

899. а) 546,31 – 452,8 93,51; б) 2,626 + 11,44 14,066; в) 74,11 + 85,32 159,43; г) 1,8 1,3536 2,43648.

900. А — ? в 2 раза >, чем 2x° ⎫⎪ В — ?

180 ° x° ⎬ С — ? на 20q <, чем ⎭⎪ (x − 20)°

510

2002–2011 гг.

Решение.

2x + x + x – 20 180; 4x 180 + 20; 4x 200; x 50. Итак, B 50q, А 2 50q 100q; С 50q – 20q 30q. Ответ: А 100q; В 50q; С 30q.

901. 1 способ: ABF 180q – 158q 22q; DBF 165q – 22q 143q.

2 способ: CBD 180q – 165q 15q; DBF 158q – 15q 143q.

3 способ: 1) 158q + 165q 323q; 2) 323q – 180q 143q. Ответ: DBF 143q.

902. 1) 6 : 8 3 0,75 3 2,25 (сотки) — занято под огурцы; 2) 2,25 : 5 2 9,45 2 0,9 (сотки) — занято под огурцы для открытого грунта; 3) 2,25 – 0,9 1,35 (сотки) — тепличные сорта. Ответ: тепличными сортами занято 1,35 сотки участка.

903. Единичный отрезок — 8 клеток.