Quantum τόμος 6 τεύχος 2 μαρ απρ 1999 by αthε

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ τΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙ ΚΑ MAPfiOΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ

1999 ΤΟΜΟΣ 6/ ΤΕΥΧΟΣ 2 2.000 ΔΡΧ.

• Η ανθfΗό1Πλ7ί αpzιί

• Τ(/1(ολιηfα και '1 μορφολογία rοοεδάφοιις

• Το "f(Jrιδιαιώ α~~:οτύπαιμιΑ: ένα καθοpισπκό mστήpιο

• Uεpί πpWrω' ιιpιθμώ' • Κpυιιπό με το δαίμο'α rov Maxwe/1 • Λ raζ,Wnaς πυθαyόpεu;ς τpιάδες

• Το κβαmκό άlμα rov Bolrr • Το πpόfiJ.Jιμa των οιιrιiι σιyιι:iιιιν · • Ψοχpός βpι14!lός

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚATOffiPO

ΠΙΝΑΚΟΘΗΚΗ (I)

Eρyaσia

( 1863), του Pie rre

Puνis

de Chaνannes

Ο ΧΟΡΟΓΡΑΦΙΚΟ ΜΕ'ΤΆΛΛΙΚΟ χτvΠΗΜλ ffiN ΣΦ'iΡQΝ

Στο ·Καλειδοσκόπιο• ιου παρόντος uύχους εξεtά

πάνω στο αμόνι, το οτερεόwnο υπόκωφο βύθισμα των

ζουμε τις δυνάμεις που διέπουν τις wχαίες συναντή

τσεκουριών μέσα στο ξύλο -αυτές οι δυναιtς σκηνές

σεις των πάντων, από τα άτομα ώς τα ζέπελιν

απεικονίζουν γεγονότα τα οποία, όταν περιοριστούν στα

τίας έλλειψης χώρου, όμως, είμαστε υποχρεωμένοι να

θεμελιώδη τους στοιχεία, μπορούν να θεωρηθοiιν ως αλ ληλεπιδράσεις μεταξύ δύο σωμάτων. Στη φυσική, τέ τοιου είδους αλληλεπιδρόσεις είναι γνωστές ως κρού

παραβλέψουμε περιβόητες κρούσεις όπως του Τιτα

σεις -ζήτημα εξαιρετικής σημασίας στη φυσική.

κή μας εmσκόπηση περιλαμβάνει τον α''tiκιυπο των θε

νικού με το παγόβουνο, του κομήτη

εξαι

Shoemaker-Levy

με τον Δία, και του Τρίο Στούτζες. Πάντ{,)ς, η ιστορι

Οι κλαγγές των σφυρών και οι κρότοι των τσεκου

ωριών του Γαλιλα.iου για ια συστήματα ενός σώματος,

ριών παρέχουν την ακουστική μαρwρία πως ο χαρακτή μό. Αυτές οι παραλλαγές παραπέμπουν, φυσικά, στη

καθώς ειιίσης και την εργασία του σερ James Chadwίck γιο τις κρούσεις των σωματιδίων. Ανατρέξτε, λοιπόν, στη σελiδο 36· ευχή μας, η δική σας πρόσκρουση στο ου μπα

διάκριση ελαστικών και ανελαστικών κρούσεων.

γές σώμα της γνώσης να αηοδειχιε! ιιλαστική.

ρας των κρούσεων μπορεί να ποικίλλει σε μεγάλο βαθ

ΜΑΡτιΟΣ ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ

ΤΟΜΟΣ

1999

6 ι ΤΕΥΧΟΣ 2

ΑΡΘΡΑ

Η αναπόφευκτη εμφάνιση του ανθρώπου

Η σνθρωπική αρχή Α.

Kuzin

Πρωταρχική απειρία

καιρός νια πρώτους G.A. Ga/perin

Το γονιδιακό αποτύπωμα

Ένα καΘοριστικό πειστήριο Rlchard Oawklns

Διαταραγμένες τροχιές

το αεροδυναμικό παράδοξο του δΟρυφόρου Εικονοypάφηση:

Α.

Pavel Chernusky

Κρατήστε τα γκέμια γερά! Προτού

Μ.

εξώφυλλο του παρόντος τεύχους, εrοι

αεροδυναμικό παράδοξο του

Εύπλαστα μαθηματικά

τοπολογία και π μορφολογία του εδάφους

κάνετε οποιαδήποτε υπόθεση για το πρέπει να ξέρε•ε ό,;ι διαπραγμα.εύ

Mltrofanov

Shubin

Πυθαγόρειο πρόβλημα

δορυφόρου. Πώς είναι δυνα,;όν ένα

Αναζήτηση πυθαγόρειων τριάδων

σώμα να εισχωρεί σw αραιωμένο α

S.M. Voronln

και

A.G. Ku/agin

έριο τηι; ανώτερηι; αφόσφαιρός μας και, αντί να επιβραδύvε,;αι, ουσια-

στικα να εηιταχυνεται;

Ως αναγνώστης ,;ου

Quantum, εί

μαστε σίγουροι πως θα απολαύσετε την πρόκληση αυτού του παραδόξου.

Μ ΟΝΙ Μ ΕΣ ΣΤΗΛΕΣ

λίδα

28 για

μια προσεκτικότερη μα ·

,;ιό στην εν λόγω τροχιακή ανωμα

λ ία.

11 34

ΣnαζοΚ!Φαλιές

ΚαλειδοσΚόιιο

Πώς λύνεται;

5Ο

Στο μαυροπίνακα ι Το πρόβλημα rων οκτώ

S9 Στο μαυροπίνακα 11 Κρυφτό με το δαίμονα του Max1νeU

ιππολΟyισμοί Χούλσχουπ

ΑναδρΟμές Το κβαντικό άλμα του Bohr

σημείων

Στα πεδία της φυσιιιής Αθλητική ζωή

Συγκρουόμενα σώματα

Στο εργαστήριο Ψυχρός βρασμός

Με το τελείωμα του αιώνα

Βάλτε, λοιπόν, χαλινό στις προκα • rολήψεις σας κα ι ανατρέξτε στη σε·

ο κόσμος των Κβάντων

fJ1

Αnσντήσεις, Υποδείξεις

και Λύσεις QUANTUM Ι ΠΕΡιΕΧΟΜΕΝΑ

Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

Με το τελείωμα του αιώνα «Ας μην αφήνουμε το μέλλον ανυπεράσπιστο: εκεί θ' αρχίσει των εργαλείων η ανάρρωση.)) -Νίκος Καρούζος

ΥΟ ΠΕΡ!ΠΟΥ ΑΙΩΝΕΣ ΠΡΙΝ, Ο ~fi

της ενώσεως υδρογόνου από την πα

λεται στο γεγονός ότι έχουμε συμπε

chael Faraday λάμπρυνε με την

ραφiνη του κεριού με οξυγόνο από

ρόνει πως τα φυσΙκά φαινόμενα δι

παρουσία του τις αίθουσες του

τον αέρα), και αυτό το τεκμηρίωνε

Βασιλικού Ιδρύματος •ης Με

πειραματικά με τρόπο εντυπωmακό:

έπονται από θεμελιώδεις αρχές -πα· ρόδειγμα, ο νόμος της βαρύτητας του

γάλης Βρετανίας αλλά και τον κόσμο

προκαλούσε έκρηξη σε μείγμα υδρο

Νεύτωνα ή ο δεύτερος νόμος του για

ολόκληρο. Ο τρόπος που προσέγγιζε

γόνου και οξυγόνου ώστε να παρα

τη φύση φανερώνει έναν απλό και

χθούν υδρατμοί. ΊΊς πεφαματικές ε

την κίνηση. Και αυτοί ακριβώς οι νό' επιτρεπουν ' μοι μας να κατανοησου-

φιλομαθή χαρακτήρα, με πάθος για

πιδείξεις του τις nαρουοίαζε όχι ως

με

τη γνώση. Ο

πέτυχε τις ε

μια σειρά από ακατανόητα θαύμα

να προβλέψουμε αώς ακριβώς θα κι

πιστημονικές προόδους του (ανακά

νηθεl. Μπορούμε ακόμη να επεκτεί

λυψε ορισμένους πολύ σημαντικούς

τα, αλλά ως μια θεατρική παράσταση μέσω της οποίας οι καταληπτοί αιτι

νόμους, όπως αυτός της ηλεκ•ρομα

ώδεις νόμοι έrιαιρναν σάρκα και ο

στο Διάσ•ημα, προκεψένου να κο

γνητικής επαγωγής) χάρη σ•ο οξύ και

στά για να rιροσφέρουν στα ανήσυ

τα νοήσουμε την κίνηση των τηλεm

αναλυτικό πνεύμα του και την αξιο

χα πνεύμα τα την απόλαυση της κα

κοινωνιακών δορυφόρων, των η λα·

θαύμαστη ικανότητά του να επινοεί

τα νόησης.

νητών, των διπλών άστρων, του κο

Faraday

yιaτi πέφτει το νερό αλλά και

νουμε την εφαρμογή wν νόμων και

μήτη του

Halley (προβλέποντας ακρι

παραστατικά μοντέλα -i:ίναι αλή

Αν ακολουθήσουμε τα βήματα του

θεια ό•ι ελάχιστα χρησιμοποίησε τα

Faraday, μπορούμε να υποβάλλου •

βώς πότε θα επιστρέψει στο ηλιακό

μαθηματικά.

με σε επιστημονική εξέταση ακόμη

μας σύστημα και σε ποιο σημείο του).

και τις aπλούστερες εμπειρίες μας.

•Ποια είναι η αιτία του φαινομέ

Οι δημόmες διαλέξεις του είχαν σχεδόν αποκλειστικά ποιοτικό χαρα

Ι'ιατi,

παράδειγμα, όταν σερβί

νου;• Το εν λόγω ερώτημα συνυφαi

κrήρα. Και προκειμένου να βοηθήσει

ρουμε νερό στο φαπέζι, κρατάμε την

νεται με την επιστημονική δραστη

στην εξάπλωση της επιστημονικής

κανάτα πάνω από το ποτήρι; Παρό

ριότητα. Ακόμη και στις μέρες μας

γνώσης nέρο από την αίθουσα διαλέ •

λο που τείνουμε να απαντήσουμε ό

διαmστώνουμε αώς μας οδήγησε να

ξεων, συχνά μοίροζε δείγματα από τα

t'l κάτι τέτοιο προκύπτει από την «ε μπειρία•, αυτό δεν αποτελεί ικανο ποιητική εξήγηση του φαινομένου. Για τον επιστήμονα δεν συνιστό ε· ξήyηοη ο ισχυρισμός ότι, επειδή κα·

mστεύουμε στην ύπαρξη των μορίων

υλικά που χρηmμοποιούσε στις εm δείξεις του, ενθαρρύνοντας μάλιστα τους παρισταμένου<; να εmχεφήσουν μόνοι τους ορισμένα από τα πειρά

YJO

κω των ατόμων -από την εξήγηση

του Αϊνστάιν για την κίνηση Brown μέχρι την επαλήθευσή της από τον

Perrin

η μέχρι την παρατήρηση των

ατομικών εξαρθρωμά των στους κρυ

Far-

τά το παρελθόν το νερό έπεφτ~ μέσα σtο ποτήρι, θα εξακολουθεί να πέφτει

κυρίως σε rιαι

και στο μέλλον. Η αιτία που προκα

κροσκοπίου σήρο γ γας).

διά αλλά και στο παιδί που •κρυβό

λεί την mώση του νερού είναι προ

ταν. μέσα στους ενηλίκους του α

φανώς η •.βαρύτητα•. Γιατί, όμως,

δει οτο ακροατήριό ωυ τη χαρά που

κροατηρίου. Οι οειρι)ς ενθουσιωδών

στεύουμε στη βαρύτητα; Μήπως ε

ένιωθε για την επιστήμη χάρη στην

ομιλιών του με τίτλους .Οι δυνάμεις

πειδή, κάθε φορό που βλέπουμε ένα

ενθουσιώδη περιέργειά του για τα

της ύλης• και •Η χημική ιστορία ε·

αντικείμενο να πέφτει, το εντάσσου

πράγματα, στην έκδηλη αγόπη του

νός κεριού• αποτελούν πρότυπα ε

με στην εμπειρία μας περί •βαρύ τη

για την επιστημονική έρευνα και στο

πιστημονικής σαφήνειας. Εξηγούσε

τας•; Σύμφωνα με τtς εn1στημονικές

ταλέντο του να εκφρόζεται με παρα

όιι η καύση απελευθερώνει νερό (διά

γνώσεις μας, όJ(l. Η πίστη μας οφεί-

στατικότητα. Και όλα τα nαραπό νω

μα τα.

Οι δημοφιλείς διαλέξεις του

aday απευθύνονταν

ΜΑΡΥΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

στάλλους (μέσω του σαρωτικού μι· Ο

Faraday

μπορούσε να μεταδί

πήγαζαν από τηγ ακλόνητη πεποίθη σι]

6rι ο κόσμος είναι καtαλη

π~ός. Γνώριζε ότι, σε μεγάλο βαθμό, ο δρόμος για cην καmνόηοη βρίσκε ται οtη χαρά της αναζι]tησης. Όχι

ατην ανακάλυψη καθεαυτή, αλλά

ΕιιΟΟση rηι: ·ι:vωοης Καθη}'Ι'ιrώv θι: ιtιtών ΕnJσtημώ~· (NS'l'λ ) r(.) \' ΗΠλ

στην αναζι]τηοη. '0)(1 στον ιψοαρισμό

και ιου Γpo~lou Kνanr ιης Ρωtιιfk Α.ιcοδημ(ας f'nιοτημtιίν, ρt: UJ σύpιφα(η rης Αμφι~eανικήι; Έ~·ωσης Καθηγη ιών Φι.ιuικής (λΑΡΊ') IC(ΙI ωιι εθvιJtού ΕιιpβουΜοιι Καθηyηrών .\fαθημαιJJtώ\' (Ν(.•Ί'Μ) •ων ιm.Λ

ιου Οδυσσέα όσο στο ίδιο το ταξίδι προς την παφίδα ιου. Το επιο cημονικό m•εύμα κατακtά

λΜF.ΡιΚ ΛΝιΚΗ F.ΚΔΟΣΗ

τη φύση, όχι wν άνθρωπο. Και ιο πε

Ει</Ιόπι<

τυχαίνει μέσα από την κατανόηση,

Gerald F. Vt' bee1tr. Διοutηtιχός &1εu&υvτής. NS"J'Α

μέσα από tον έλεγχο tω\' υποθέσε ων -όσο ένθερμα κι αν διατυπώνο

λ\'U'mσιiλ.\(ιl\' ~.-8ό5ης

Sf!rιey Κ ~tον, ΔιeuOII''* fραφι:iο Κvant, Κοθηyηtfκ Φuοtχι'ις, Πολιuιαχό Ωaνειιισ,Ι'\μ'ο ι.ης Μόlιχας

νται-. και μέσα από τη διαύγεια της λογικής -όσο ψυχρά κι αν εφαρμό ζεται. Μπορεί αυtή η άποψη για την

l6pυιr•oi 6ιειιθυνrές ο·tίvrοξης

Yu.rί

0Mipyan. Πρόεδρος. rρο~ίο κ\'θnι Sbefdon Lee Glashow. ~fo Νόμιιe-λ (Φυσική), Πα.νeαισtήμιο ωυ Χ~νt WUlia.m P.1'bura-ton. Μιtό.λλΙο Φlλ\'1:<; (Μα.θημοa.κά.Ί, Πtι\\'tιι ί(JΊήμισ (ης: Κολιφ6ρνιος, .Mnt.pιtλcϋ

επιστήμη να μοιάζει κάπως ρομαντι κή· και είναι, πράγματι. Θεωρώ, ό· μως, ότι ταυτόχρονα είναι και ρεα

λιστική. Η επιστήμη χωρίς το πάθος αποδεικνύεται στείρα. Και ιο πάθος χωρίς τη λογική δεν αποτελεί cmστήμη.

Διt'ιιθu\•riς- σύνrοξ.ης στη Φιισιιr:ή

Larry Ο. Kirkpatriek. Κ <ιθηγrιιfις Φννι&r'jι.. Πολ.ηι:ιοa:ό Πcινcιηο\ήμ..ιο 'ης Μον Wνας. Albut L. StMen ko, Κ<ιθtι,·ηιής Φυοtιύις.Ι,•σιιwVτο Φuυι&ής a:α.ι 1'εχνολο'r;α.ς της Μόσχος Διι:υθυvtόςούνια(ης oro ι\fοΟημ αrικd M&rk Ε. Sau.J, Σύμβουλος Υnο.\ογιστών. D.<ο.\ή mu ΜnρόνfJ!ιλ, Νέ(Ι Υόρκι)

lgor I', Sbarygin. Κοθη\'ηt~ Μοθημοt:ικών, Κροηιtiι Ποvtmατήμιο ~ ,.fοοχο.ς ι\ρΧ,10UVΟάχ:tης

,\'lί ke

Oooaldson

Διανύονtας το τελευταίο έtος ιου

Yuli J)a.niJoν, f4>tuνηt~ λ' Βαθμίδος, J νσnτο(ηα Kurcbaιoν lrina Oleynik, Αι>;<ιt.Juνιάκ.qιιο, Γραφc.iο Κνa nι

των καρπών της κλφονομιάς του Faraday. Ένας αιώνας εmστημονι • καλύψεων χωρίς προηγούμενο, βα σισμένων σε μεγάλο βαθμό στους

στυλοβάτες της επιστήμης αυτού ιου αιώνα -τις θεωρίες της σχετικότη τας, την κβαντική φυαική και τη μο

ριακή βιολογία. Τα πειραματικά απο τελέσματα και οι τεχνολογικές ε

ΥιιeVθ\ίνο<; ι;ικ..,,·.;ι,·pcjφι)Οης ~rιey lvan oν

!Χιpβουλοι σtiν;οξης

20ού αιώνα, έχουμε γίνει μάρτυρες

κών εmτευγμάτων, με ηλι']θος α να

A''U'mσtέllDuσo ορχισυντά.κτρια Jennίfer Wal4f

ΣιιΡΙΙnvλ.ε vn..ή εnrl(ι(Νι~

Bernard V. Khour y, Λν4U'pος r.ιι:ιc.λeσ~ιιcός υιιόλλl)λος. λΑΡΊ'

Jobn Α. 1'horpe. Δ.ιοιa.ηηκόι: δttuθtr,•Uιc;. ΝC'ΓΜ Geό rge Ber~nyi, Καθηyη~ής Μαθημαι;ιχών . (νσntούτο 'Γtχvο.λοyί<ις Rose-Hulιnan., Ινιιδvο Λrtbur

K •~n

EitJenkrafi, 'f'μήμα θena.ώv Εnιοτημών, Λιίκι;ιο f'OJt Lane, ~έο ΥόριtΙ] Job0.8ton, Καθηγήφια Φυσιltής, ΗολιttΙαχό Πονtmσfήμι() Βδρe.ιάς Κ<ΨQλ(νας

Ma.ηta.ret J, Kenney, ΚαΟηγήφJο Μαθημαιικών, Κολtyιο ιηc;. Βω-tώv~ Μασοcιχουοt~ιη λlexander

Soif er, Καθηγητής ΜοθηpαnκGΊν, Πα.νt.mσtήμι<> wu Koλepά,·w. Κολοράvw Σnρι'Ύιtς Barbara J. Stot1., Κ<ιθtι\'J\ψιο Μιιθιuι οιιιιών , Λύκι:ιο w u J>iβcρ,•Uι.\ . Λουιζιάνα Ted Vlttlιoe, ΣυV1οξι.οVχος χ.αθηyηΠις ΦυσWις, l1άρρ1ς, Φλδρινια

Pf!t~r \'~novίc:b, Κtνφο θtι;uιώ\' Ειuιnημών a.αι Μαθημαuχών, Λίινσι\•yκ , Μltσιyιι<ιv ΕλλΙΙΝΙΚΗ Ρ.ΚΔΟ!:Η

φαρμογές των εν λόγω θεωριών έ

&δόrης ι 4><υθuvni<

χουν πλήρως επαληθευτεί -στις α

λλtκος Μάμαληι;

νακαλ ύψεις μας για τη φύση της ιί

Μt"Wφροση κω Emurηpovιιrή tιιιpέΑεια Σ' ό.υώ 'tO ιt-ιiχος οιιvt.ργΟΟιφιαν οι ιι;.κ.: Κώστας ε..aν3άληc; ·μαθημ.οnιιό<;.

λ ης (n.χ. τη δομή ιου πρωτονίου από κουάρκ), για τα κβάζαρ (τα παράξε να αστρονομικά αντικείμενα στα ό ρια ιου παρα τηρήσιμου σύμπανrος), για ορισμένα από τα σημαντικότερο

μυστι']ρια της ίδιας της ζωι']ς (μέσω της ανακάλυψης του

DNA). Αλλά το

ερώτημα παραμένει: Πώς εμείς θα μπορέσουμε να μεταβιβάσουμε στους μαθητές μας την κληρονομιά του

Faraday;

ΣΊίλιος: Ζαχαρiοu •μαθψα.ωιός. Μιχό.λ.ης Λά μ nροu·μαθημΟ"tuι.δς. Δημfιι.ρ.ηc; Γιοννόrιοvλ<><, · ιαφός, Γ'ιώρ"ος Κaι-οιλιίρηc::.·φυσu;ός, Αθηνά Τοαyχοyiωρyα -φννικός κ1.1.1 Αλtιιος Μόμctλης·φuσιχ(Μ; Τυnοιrpαφιιι:iς διορθr:Κ,eις ΜαρJα Toa.αt'Jcnι

1Ίιιrοt:tJΎΙΚή t'mpiλtιa &ανάοης Ν1.ούοηι;

)'nttίθυvη λΟ)'ΙΟι-φfοιι Μαρία λtάμιιλη

Ει6ιJt&ς n.ιvtρ}'O'?: Ι συ~τνπύbις: f'tώρyoc; t..Vαπrλδαοuλος ιΙ(ιρvιικός διtυ&υvιής ο\Ιvι:οξης) EιoorιjJJovικoi <Jιiμ{Jόvλοι Μ1χά.\ηc; Λάμορου, Avo.nλtρώtr)ς κ.οθηyηtικ ΜαΟημu~ικών, Πο ..·Ι'mοτήιuο Κρήτης

&ώσtας Σaανδ(Ιλης, Ειιιιtuυρς;κ;: ε.αθηyητ.ής },fαθημαnκών. ΙJaνeιιιοtήμtο Κρήιηc.

Σιtcpα.νος Τρnχανάς. ψ)ΙΟlΙCός. Ειδικό( tιηο tήμωτ Λ' βαθμίδος, Ίδρυμα 1'tχνολοyiι:ις κοι 'F~ιι,·(Ις

θtοδόοης Χριο,οδοU'λόκ:ηι;, Enixoupoις χαθtι\'ηιής Φuοικ~ Ποvι:nι'ΙJΙτfιμιο Αθηνώ" Σroιxtιoθtafa, οtλιδc:mοιηοη Αβ. Μοχαιρίδηι;

Φt.\μ, JIO\'tά( Χρ. Μή<Οης

Εκrυπωση Ν. Οοuλόnοuλος

Ηι(J,1ιοδcοίQ θ. Αρχονtοσλ(ιχ.ης

Το Qrwιιrmι nt.δ'δtωι ~ RDλ ωιό οι; ε.δόcmι;Sρri:ager aαι αtηΥ Ελλάδα cαιό ~ F.Ι&δόοας Κάu:κιτρο

Lau rence I. Gould εiναι καθηγη

Vnιύ&ιινος \'1Q cην t.\λη\'1Χή tχδοοη οίιμφωνα μt το νόμο: Αλ. Μό.μ<ιληι::

τής φυσικής στο Πανεπιστήμιο wυ Xάp

QUIIJHαm. &μην'Ιο~ r:ιφιο&ιιο. JSSN: ι 11)6·2681

AnqyQP(Vt"toι η avaδrιpooituoη ή μιιό&ιοη μe ι>ι.ιιtι)·

vrφoρvr~ QtΌ Κονέκτικατ των ΗΠΑ· εαα ~

Cc:lpyτiκbι Ο γ~α την tl.\ηνική γλώοοa: Α.\. Μάμιιλιι;.. Διaφημlσι:ι<: και κeνφιι;ή διόθcση: ΕΊΙδοοtΙς Κι:ίτοnφο.

&fιι1οu:: μtοον 4.\οο η μtροι,ιις Ιό0\Ι οφιοδιχου χφς την tη·ραφη ό&ιο ιοu atliόrl) Τιμfι 1!-άθι: u:6χι>vς οια flιll.\)(lιlωλfιa: 2.000 δρχ. t.'ψta. συνδροpή: ιΟ!ιΟΟ !ιρχ.. yw ι.t\W:ιιr.ς, 18.500 6ρχ. \'Ι<ι βtβλιοθήιctς, ιδρύμu.w. ιι:αι npyαvιoμov~

νειλημμέ1•ως έχει διδάξει σε διεmσrη μο>Οκό πpοyράμμαr:α για πτυχιούχους μη

θετικής καιεύθυνσης.

lιιa ι}ρ(.w ι Q Jι:QJ Δο.φvtιμ.ή.\η, 114 j' 1 Αθήνο. ιη.\.: (Ο Ι) 3643272. 3ι640098. f•x: (01) 364 186-ι. Βιβ.Uοοώ.\tίο: Xtu ομJά Αρι.Μκι;ιοv ΙΓiο vαιιοτημiοu 105 64 Αθήνα, ιηλ.: (01~ 32417$6,

•91.

1'ιμή nαλatω\' ttuχώv σrο ρψ;\tοαωλdcι: Ζ-000 Sρχ.

OUANTUM I Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

Η αvθρωπική αρχή Ένα κλειδί για την αποκρυπτογράφηση του Σύμπαντος;

Α.

Kuzin

ΛΝΑΚΑΛ γψΗ ΤΩΝ ΤΕΡΑΕΤΙΩΝ

τικών προσπαθειών της επιστήμης

αύτ.η περιπτώσει, μπορούμε να ισχυ •

δια ο tόοεων του Σύμπαντος ευ· θύς εξαρχής θέτει ένα θεμελι •

απέφεραν καρπούς. Διεύρυναν τους

ριστούμε ότι τα ανθρώπινα όνια έ

εmοιημονικούς μας ορίζοντες σε τέ·

ώδες πρόβλημα: Σημαίνει άρα

τοισ βαθμό, που μας εmτρέπει nλeo'•

χουν εγγενώς δύο eιδοποιούς ιδιό· rητες -τη νοημοσύνη και την ελευ •

γε κάtι ιο ανθρώmνο ον μέσα στο

να σχηματίσουμε μια ολοκλφωμέ

θερία.

αχανtς Σύμπαν; Ποιο staιus πρeπει

νη άποψη του Σύμιιαντος.

Η ελευθερία ορίζεται ως η ικανό

να αποδώσουμε στο ανθρώmνο ον αποτελεί το σκοπό της εξέλιξης του

Αναμφίβολα, εξακολουθούμε να

τητα να διατηρεί κανείς το εγώ του

γνωρίζουμε πολύ λίγα. Κατά συνέ

και να μην εξαρτάται καθ' ολοκλη

Σύμπαντος, την κορωνίδα της δη·

πεια, οι σύγχρονες κοσμολογικές 11 •

μιουργίας ή, μήπως, είναι απλώς έ

ποθέσεις δεν πρέηει να εκλαμβάνο

να ανάξιο ιδιαίτερης μνείας υποιιρο

νται ως αμετάκληιη ετυμηγορία, η

ρίαν από τα όσα συμβαίνουν ο ιον περιβάλλοντα κόσμο σε μια συγκε κριμένη χρονική στιγμή. Με άλλα

ϊόν ιης φύσης, το οποίο δεν διαφtρει

οποία καταδικάζει ιους ο νθρώπους

λόγια, πρόκειται για την ικανόιη•α

και πολύ από τα υπόλοιπα πλάσμα

να είναι η κορωνίδα της δημιουργi •

να δρα κανείς καθοδηγούμενος οπό

τα και διαδικασίες του Σύμπαντος;

ας. Ο σκεπτικιστής μιιορεί ηά\--τοtε

εσωτερικά ιUνητρα.

Εν τέλει, η εμφάνιση του ανθρώ

να δικο.ιολογήσει τη στάση του εm

Η νοημοσύνη συνιστά ηροσηαι

πινου πλάσματος σηματοδοτεί την

καλούμενος τον περιοριομtνο χαρα •

τούμeνη συνθήκη για την ελευθε

τελείωση του μακρόκοσμου και του

κτήρα της επιο ιημονικής γνώσης. Τα

ρία, επειδή η έλλειψη της πρώτης

μικρόκοσμου ή αντιπροσωπεύει α·

καθισιά αδύνατη την ενεργητική α

ιιλώς μια εκκεντρική τροπή στην t·

ζητήματα που θα μας απασχολήσουν στο παρόν άρθρο συγκαταλέγονται

ξέλιξη του Σύμπαντος; Προσαρμό

στα •αιώνια ερωτήμα τα•, τα οποία

στηκε το ίδιο το βιολογικό φαινόμενο

ουδέποτε θα τύχουν οριστικής α πα·

πόκριση στον εξωτερικό κόσμο (υπ' αυτή την έννοια, ακόμη και τα ζώα διαθέτουν νοημοσύνη). Eoi του πα

της ζωής στις περιβαλλοντικές συν

ντήσεως.

ρόντος, οι ιpυcηογνωσnκές επιστή

θήκες που δεν •ήξεραν• τίποτε γι'

αυτήν ή, αντίθετο, •ρυθμίστηκαν •

ΔιστιΛινοντας το πρόβλφι

μες δeν έχουν κατακτήσει την ωρι·

καταλλήλως οι εξωτερικές συνθή

Η ανθρωπική αρχή είναι τέκνο ε

μότητα που θο τους επέτρεπε να α· ντιμετωπίοουν ιο προβλήματα της

κες, προκειμtνου να καταστήσουν

νό<; νοητικού πειράματος. Στο πλαί

νοημοσύνης και της ελευθερίας στη

δυνατή τη ζωή;

σιο του συγκεκριμένου πειράματος,

γενική τους μορφή. Πρέπει να ανα

Επί μακρόν έλειπαν αnό την επι

υποθέτ-Ουμε ότι δρουν φυσικοί νό

καλύψουμε ιον πρώτο αναβαθμό της

...

στήμη τα αναγκαία δεδομένα ιιου θα

μοι διαφορετικοί αrιό τους όντως ι σχύοντες, και μελετάμε κατά πόσον θα ήταν δυνατή η ύ11αρξη οου αν

κλίμακας για να πραyματοηοιr\σου •

.ι;;

θρώπου στον τροποποιημtνο κόσμο

~1όνον ένα πολύπλοκο πλάσμα

γες aνορθολογικές και μυστικιοτι

ή όJ(L Εξυπακούεται, βεβαίως, όu α·

μπορεί να ανθίοwται εmtυχώς στο

κeς απαντήσεις). Η διαθέσιμη ε πι·

ναιpερόμαστε ο' ου ι ή καθεαυτή την

περιβάλλον του, κατανοώντας το και

ο-τημονιχή γνώση ήταν υπερβολικά

ουσiα του ανθρώιιινου όντος. Και

τροποποιώντας το σύμφωνα με τις

οποσιιοοματική για να παράσχει

τούτο επειδή δεν πρέπει να αναμέ

ο νά γκες της ίδιας του της ύπαρξης.

μιαν ολοκληρωμένη εικόνα της εξέ· λιξης του Σύμπαντος. Παρά ταύτα,

νεται πως ο άνθρωπος θα διατηρή σει ακριβώς τα ίδιο χαρακτηριστικά

Ο βαθμός της πολυπλοκότητας ειιι·

οι τέσσερις σχεδόν αιώνες οuστημα •

στο αλλαγμένο περιβάλλον. Εν τοι-

της εηέφεπαν να εξετάσει ορθολο

γικά αυτό το ηρόβλημα (καίτοι δια τυπώθηκαν κατά καιρούς ουκ ολί •

MAPfiOΣ / ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

με τα πρώτα βήματα προς την ειιi· λυση αυτών των προβλημάτων.

δέχεται rιοισιική πeριyροφή ιιρό κειται ακριβώς για το ζήτημα με ιο

.." u

,_:>

. ., ..

.' I

\\ \

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

οποίο καταγiνονται οι φυσιογ,•ωσΌ

κό διάστημα μετά την -αρχή•, ε πι

ρω αντίδραση προγματοποιειται και

κές εrιιστήμες.

κροwύσε τόσο υψηλή θερμοκρασία,

κατά τη'· αντίθετη φορά. Συνεrιώς, μέσα στους πυρήνες τα

Η ανθρωπική αρχή παρέχει μΙαν

αrιάντηση στο εξής κρίσιμο ερι~τημα: Υπάρχει διανοητή κοσμική τάξη η ο ποία συνεπάγεται την εμφάνιση δο μών που να χαρακιφίζονtαι από ό

ώσιε ήταν αδύνατον να σχημαuστεί οποιαδήποτε σταθερή δομή. Ακόμrι

νετρόνια υπάρχουν σε κατάσταση

και τα στοιχειώδη σω μα ιίδια παρέ

δυναμικής ισορροπίας. Εάν το νε

μεναν εμπλεγμένα σε μιαν ατέρμο νη διαδικασία αμοιβαίων με τα φο πών. Ωστόσο, στο βαθμό που διαστελ

τρόνιο ήταν ελαφρύτερο από τα πρω τόνιο, το δεύτερο θα διασπά το μέοω

λο και μεγαλύτερη πολυπλοκότητα; Οφείλουμε να επtσημάνουμε όη η

λόταν η ύλη, έπεφτε κα1 η θερμο

εμφάνιση τέτοιων δομών αποτελεί

κρασία· έτσι, κάrιοτε επέστη και η

αναγκαία μόνο συνθήκη γtα τη δη

στιγμή για να σχηματιστούν σταθε

όι1ου με

μιουργία του ανθρώιιινου όντος· ό

τρόνιο και με

μως δεν είναι και ικανή. Εντούτοις,

ρά σωματίδια -ηλεκτρόνια, πρωτό νια και νετρόΥ!α. Εμφανίστηκαν λοι

τρiνο. Εν τοιαύτη περιπιώοει, η πρω

ακόμη και η ανάλυση αυτής της

πόν τα πρώτα α vιικείμενα με δομή,

τούλη δεν θα περιελάμβανε υδρογό

συνθήκης αποδεικνύεtαι εξαιρεη

και εδώ αναφύεται το πρώτο αίνιγ

κό τελεσφόρος. Έτ01, ας εξετάσου

μα στη ζωή του Σύμπαντος.

νο, το οποίο αποτελεί τα βασικό καύ σιμο των άστρων καΙ το βασικό συ

με την εξέλιξη του Σύμπαντος υπ' αυτό το πρίσμα .

Η aρχέγονη υπέρθερμη σούπα πε ριείχε ισάριθμα σωματίδια και ανu

της αντίδρασης

συμβολίζουμε το ποζι

v. το ηλεκτρονικό

νε

στατικό του νερού, του α κρογωνι αίου λίθου της ζωής.

σωματίδια, ωστόσο η συμμετρία πα

Ας δεχτούμε ότι, με τον έναν ή

ραβιάστηκε κατά την ψύξη, για κό

ταν άλλο τρόπο, η ύπαρξη ιων ατό

Σύμφωνα με τις σύγχρονες από

rιοιον λόγο που αγνοούμε. Έτσι. το

μων έχει διασφαλΙστεί. Διευκρινί

ψεις, τα Σύμπαν είναι περιορισμένο

ζουμε όtt αναφερόμαστε μόνον στα

15 περίπου δισε

πλήθος των σωματιδίων Ν. υπερέ βη w rιλήθος των α ντισωμα τιδίων Ν•. Ως ε κ τούτου, η εξαίίλωση δεν υπήρξε πλήρης -δεν μετατράπηκε

κατομμύρια έτη), ο δε όγκος του πα

το σύνολο της ύλης σε φως. Η κλi

ραμένεΙ πεπερασμένος. ΊΌ Σύμπαν ιtcριέχει όντως τεράστιο πλήθος σω

μακα που χαρακτηρίζει αυτή τη δια· δικασία συνΙστά αφ' cau ιής ένα

όμως η σύνθεση βαρύτερων ατόμων καθυστέρησε επειδή απαιτούσε ει δι

ματιδίων, το οποίο όμως έχει nenε

θαύμα: fN. - N.JI Ν. Ξ 10-ο, πράγμα

Πράγμαη, προκειμένου να παρα

που σημαίνεΙ όn μόλις το ένο διοε

χθούν βαρύτερα άτομα, ως ιφώτη ύ

του Σύμπαντος συνταυτίζεται με

κατομμυρrοστό όλων των σωματι

λ η χρειάζονται

μιαν ασύλληnτα πυκνή και θερμή

δίων διατφήθηκε γtα να σχηματι

θεροί πυρήνες σε συνδυασμό με πο

κατάσταση, περιορισμένη σε όγκο

στεί το Σύμπαν (θα συναντήσουμε

με ακτiνα καμπυλόLητας της τάξης

LΟν ίδιο αριθμό και

λύ υψηλή θερμοκρασία στην ο rιοία μπορεί να επέλθει η σύντηξη

Η εξέλιξη του Σύιιιαντος ο ιο χρόνο και τα χώρα. Αυτό σημαi

νει ότι η μεν ηλΙκία του δεν είναι ά πειρη (ανέρχετω σε

ροομένη aμή: Ν ;:

to"". Η «έναρξη•

ιων 10 $< cm. Από εκείνη τη χρονι

άλλο nλai

δύο απλούστερα άτομα, ιο υδρογό νο και το ήλΙο. Τα εν λόγω άτομα συντέθηκα ν σχεδόν αμέοως παντού,

κές συνθήκες.

01 aπλούστατοι στα

των εν λόγω πυρήνων. Δεδομένου

σιο).

κή στιγμή (που είναΙ γνωστή ως Με

ΊΊ συνέβη κατόπιν; Η περαιτέρω

γάλη Έκρηξη) και μετά, το Σύμπαν

ψύξη οδήγησε στα σχημαησμό των

ότι η θερμοπυρηνική σύντηξη είναι πολύ βραδεία διαδικασία, αυτή η

διαστέλλεwι συνεχώς σαν μπαλόvt

aπλούστερων στοιχείων, του υδρο

υψηλή θερμοκρασία πρέπει να δια

που φουσκώνει, ενώ οι γαλαξίες, τα

γόνου καΙ του ηλίου, των οποίων η

τφηθεί επί δ1σεκα τομμύρια έτη. Αλ

άσ cρα, τα νεφελώμα τα και τα άλλα είδη ύλης απομακρύνονται w ένα

ύπαρξη προϋποθέτει τη σταθερότη τα του πρ<.ιτονίου. Όπως γνωρίζου

λά το Σύμπαν διήνυσε το συγκεκρ1 -

αι1ό το άλλο σαν σχέδια ζωγραφι

με, οι μάζες του πρωwνίου,

σμένα στην επιφάνεια ταυ μπαλο

χιλιάδες έτη για να φτάσει, κατά το

Η ύλη, ο χώρας και ο χρόνος αλ

ιου νεφονίου, m., είναι σχεδόν ί σει;; m. - m, 2,5m., όπου με m, συμβολίζουμε τη μάζα ταυ ηλεκφο

ληλεξαρτώντω· γεννήθηκαν ταυτό

νίου. Το νετρόνιο, που έχει μεγαλύ

τάσιαοη της χαμηλής πυκ νότητας

;φονu

τερη μάζα, ζει κατά μέσο όρο μόνο

και θερμοκρασίας. Τέτοιες συνθήκες

νιού.

~ς εκ τούτου, στερού

m,,

και

μένο στάδιο της εξέλιξής του πολύ γρήγορα: Απαιτήθηκαν όχι δισεκα wμμύρια, αλλά μόνον εκατοντάδες μάλλον ή ήττον, στην παρούσα κ α

νται νοήματος ερωτήματα όπως ·ΊΊ

λεmά και εν συνεχεία διασπό

ευνοούν την ύπαρξη ατόμων (σε υ

υπήρχε rιριν αrιό το Σύμπαν;• ή •Τι

ται σε ένα πρωιόνιο, ένα ιιλεκτρό

ψηλότερες θερμοκρασίες οι πυρήνες

μπορεί να δει κανείς στο πέρας του

νιο και ένα ηλεκτρονικό αντινετρί

θα αδυνατούσαν να συγκρατήσουν

Σύμπαντος;•. Δεν υπήρχε χρόνος

νο:

τα ηλεκτρόνια), δεν προσφέρονται ό

•πριν• από τη Μεγάλη Έκρηξη, ενώ

είναι αδύνατο να βρεθούμε στα όρια

n~ p +e ~

+V.,.

του Σύμrιαντος με τον ίδιο τρόπο

Στο εσωτερικό των πυρήνων, ό

rιου ζούμε στην επιφά νεια -δηλα

που η πυκνότητα της πυρηνικής ύ

δή το πέρας- του πλανήτη μας. Στο πρώτο aπειροελάχιστο χρον1-

λης και οι ιανηuκtς ενέργειες των σωματιδίων είναι υψηλές, η ανωτέ-

MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΑΙΟΣ 1999

μως για τη σύνθεση βαρύτερων πυ ρήνων.

Συνεπώς,

01 συνθήκες για

τη σύν

θεση και τη σταθερότητα ιων πυρή νων δεν συμβιβάζονται. Ωστόσο, δεν πρόκcι~αι για την τελευταία ασυμ-

βαwτητα που πρέπει να υπερκερα

ρύτερσ στοιχεία θα σταματούσε στα

στεί. Για να πραγματοποιηθούν τα

επόμενα βήματα σ<ην rιορείο προς

αρχικά της στάδια. Ιδού ένα εντυπωσιακό ιιαράδειγ

ολοένα ανώτερο επίπεδα δομικής nο

μα που θα αποσαφηνίσει τα λεγόμε

λ υπλοκότητας, το Σύμπαν απέβαλε την ιδιότητα της ομοιογένειας του

νά μας. Σε θερμοκρασlες Τ της τά

χώρου. Πρόκειται για το στάδιο ό

το εσωτερικό των άστρων, το ήλιο

που η βαρύτητα ανέλαβε ων καθο

με,;ατρέπεται σε άνθρακα:

ξης των 108 κ, που χαρακτηρίζουν

ριστικό ρόλο. Στο αεριώδες Σύμπαν

3 'He -+ ·~ + 2y.

ΟΧlJ]lατίστηκαν περιοχές συμπύκνω

σης -οι rιρωτογολαξίες-, οι οποίες,

(1)

wνιο ακτίνων

κόμη μικρότερα μ&ρη -τους πρω

σι1Jlβεί μια τριπλή σirγκρουση mιρή νων Ήe στο αραιό αστρικό πλάσμα

προοικονομηθεί το απαραίτητο χρσ

Το γράμμα γ συμβολίζει έ\•α ψ<,)

με τη σειρά τ-ους, διαιρέθηκαν σε α· τοαστέρες. Σημειώστε ότι έαρεπε να

Σχήμα

Η mθανότητα να

γκρουσης της αντiδρσσης

(1), επειδή το aσταθές "Be «ζει• 10.000 φορές περισσότερο οπό τους πυρήνες του

είναι ελάχιστη (η αντίδραση συντε

ηλίου. Αυwς όμως είναι μόνον ο έ

νικό περιθώριο ώστε η βαρύτητα να

λείται σε λιγότερο από ιο-2' s). Επο

νας λόγος. Εδώ συναντάμε και πάλι

φέρει εις πέρας

μένως, η αντίδραση

έργο της προτού

(1) θα έπρεπε να

ένα εντυπωσιακό φαινόμενο. Οι τα

το Σύμπαν διασταλεί υπερβολικά.

προχωρεl πολύ οργά, δηλαδή με τα

Καθώς συμπυκνώνεται ένας πρω·

χύτητα εντελώς αν επαρκή για την

ων δεν είναι μονότονες συναρτήσεις

τοαστέρας, η θερμοκρασία του ανέρ χεται ώσπου mφοδοτείται μια θερ

παραγωγή άνθρακα στην ποσότητα

της ενέργειας Ε των συγκρουόμε

μοπυρην ική αντίδραση, η οnοία πα' ,

νήτη όπως η Γη.

εν&ρyειας και αποτρέπει την περσι

πίσης να πραγματοποιηθεί ακολου •

ραyει τεραστιες ποσοτητες κινητικης

τέρω συστολή του άστρου. Αξίζει να επισημάνουμε ότι τα πρώτα άστρα αποτελούνταν ως επί το πλείστον από υδρογόνο (ο λόγος του υδρογόνου προς το ήλιο στο νεα ρό Σύμπαν ήταν περίπου

3 :1). Αυτό

κατέστη δυνατόν επειδή τα πρωτό νια είναι ελαφρύτερο και πολυπλη

θέστερα από τα νετρόνια. οπότε ο σχηματισμός ηλίου δεν μπορεί, κατ' ανάγκη, να απορροφήσει όλα τ.α πρω τόνια. Σε ένα εναλλακτικό σενάριο,

τα άστρο αποτελούνται κυρίως από ήλιο. Ωστόσο, τέrοια άστρα από ήλιο θα ήταν πολύ θερμά και δεν θα ζού σαν αρκετά ώοτε να δημιουργηθούν οι αναγκαίες προΟποθέσεις για τη βι ολογική εξέλιξη στους πλανήτες.

Στο εσωτερικό των άστρων ου ντελούνται διορκ~Jς •αλ χημικές• με ,;οοτοιχειώσεις: Οι πυρήνες των ε· λαφρών ο τοιχείων ουγιφούονται, συντήκονται και μετατρέπονται σε

πυρήνες βαρύτερων στοιχείων. Τού τη η διαδικασiα, που προάγει την πο λυπλοκότητα σε ανώτερα επίπεδα,

βασίζεται ειιίοη<; στη μάλλον •<λεπτή ρύθμιση• της πυρηνικής και της η· λεκτρομαγνητικής δύναμης. Αν έ λειπε η συγκεκρψένη εναρμόνιση, η

που απαιτεί η δημιουργία ενός π λα Ωστόσο, η αντίδραση (11 μπορεί ε θώντας διαφορετική πορεία! Γίνε

του άνθρακα στο σίδηρο και τα βα -

νων σωματιδίων. Σε ορισμένες ενέρ γειες (Ε1 και Ε2 στο Σχήμα

1) η τα

χύτητα της αντiδρασης παρουσιάζει δραστική αύξηση. Το εν λόγω φαι νόμενο ονομάζεται συντονισμός· οι

ται σε δύο στάδια. Στο πρώτο, δύο πυρήνες Ήe σχηματίζουν έναν 11υ· ρήνα "Be:

αΗίστοιχες ενεργειακές ••μές είναι

2 Ήe + (99 ± 6) keV -+ 8 Be. (2)

κατά 'tην αντίδραση. Η κρίσιμη α

Η αναγραφόμενη εντός παρενθέ

σεων τιμή της ενέργειας' σημαίνει ότι η συγκεκριμένη αντίδραση χρει άζεται ενέργεια. Με άλλα λόγια, ο

πυρήνας του ~ είναι ασταθι]ς και .θέλει• να διασπαστεί. Εάν ο εν λό γω πυρήνας ήταν σταθερός, με την παρέλευση του χρόνου το δεύτερο στάδιο της αντίδρασης

(1) (που

δίνει

"C> θα γινόταν όλο και λιγότερο mθανό, επειδή όλο και περισσότερο Ήe καταναλώνεται στην παραγωγι] 8 Be. Στφ• πραγματικότητα, ο ασταθής,

αν και ολοκληρωμένος. πυρήνας "Be συλλαμβάνει έναν πυρήνα ' He και μετ;ατρέηεται σε πυρήνα άνθρακα:

•& + 'He -+ 1 ~ + Zy.

(3)

Η mθανότητα να πραγματοποιη θεί η αντiδραση παραγωγής άνθρα κα μέσω του μηχανισμού των δύο στ4δίων

(2)-(3) υπερβαίνει κατά πο

λύ την πιθανότητα της τριπλής σύ-

γνωστές ως •ενέργειες σm•τονισμού•

και καθορiζονται εξ ολοκλήρου από τη δομή του πυρήνα που παράγεται ντίδραση

(3)

11ορουοιάζει ουν~ονι

σμό: Η ενέργεια συντονισμού του

πυρήνα·~ (7,656 ± 0,008 MeV) ι σούται σχεδόν (και υπερβαίνει κατά

τι) το άθροισμα των ενεργειών των

πυρήνων 3Be και 'He (7,3667 MeV). Ί'ην αναγκαία εmπλέον ενέργεια την προσφέρουν οι υψηλές θερμοκρα οίες

nou

επικρατούν στα βάθη των

άστρων. Ανακύπτει, ωστόσο, το ερώτημα μήπως καίγεται ταχέως και ο άν

θρακας. Πράγματι, υπάρχει μια α ντίδραση καύσεως του άνθρακα,

(4 ) η οποία, όμ~J<;. δεν συντ-ελείται τα

χέως. Η αντίδραση (4 ) δεν είναι α ντlδραση συντονισμού, οπότε προ χωρεί πολύ αργά (η ενέργεια συντο

νισμού του πυρήνα '6() ανέρχεται σε

7,1187 MeV,

η οποία υπολείπεται του

αθροίσματος των ενεργειών ηρεμίας των πυρήνων 12C και 'He: 7,1616

MeV). Η υψηλιi θερμοκροσiα επαυ

αλυσίδα των αντιδράσεων που, εκ

κινώντας από το ήλιο, οδηγεί μέσω

χύτητες των πυρηνικών αντιδράσε

1. Στην

πυρηνική φυοlΚή. η ενiργεια με

φtέται σε ηλεκτρο"οβόλτ: Ι

eV ; 1,6 · ιο-" J.

ξάνεΙ αυτό το άθροισμα και, έτσι, ε mδεινώνει την •ασυμφωνία• των ε -

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

νεργειο κών ιψών και απομαιφύνει

χήστρα. Η ζωή ενός άστρου μπορεί

ξεις, όμως, δεν συναπαρτίζουν αυ

περαιtέρω το ενδεχόμενο συντο\'1 -

να παρομοιαστεί με κονσtρτο· την

τομάτως αρθρωμέγο κείμεγο. Ανά

σμού.

ορχι]οτρα rιου

μeσα σε ένα τυχαίο σύνολο λέξεων

Διαπιοιώνουμε τώρα ότι λόγω

to εκ τελεί τη συyκρο

oe ένα

(μορίωγ) και

μιας μακράς αλυοιδος •ουμπτώσε

τούν οι δυγάμeις ιης φύσης, καθε μιά με το δικό της όργανο και μου

ων• -της ασtάθtιας του πυρι]vα •&

σικό ρόλο. Το τσέλο (οι πυρηνικές

ντανό πλάσμα- χαίνει μια άβυσσος.

σε συνδυασμό με ιον συγκριτικά με

δυνάμεις) και το βιολί (οι ηλεκτρο

Προτού θίξουμε το πρόβλημα της ζω

γάλο χρόνο ζωής του, του γεγονό

μαγνητικiς δυνάμεις) πρωταγωνι

ής, επιβάλλεται να αναφερθούμε σε

τος όιι η αντίδραση (3) παρουσιάζει

στούν σε ολόκληρη την παράσταση·

ορισμένες ιιλευρές ιης ανόργανης ε

συντονισμό εν αντιθέσει με την •α δελφή αντίδραση• (4) - η αλυσίδα των αντιδράσεων δεν διακόπτεται, με αιιοτέλεομα ''α παράγονται με

ένα φλάουτο (η ισχυρή δύναμη) στριγκλίζει πού και πού, ενώ το κο νφαμnάσο (η βαρύ-ι;ηταJ ακούγεται

ξέλιξης.

στο βάθος, κρατώντας το ρυθμό. Το

πλοκότηιας, τόσο nεριοριστικότερες

γάλες ποσότητες άνθρακα, γεγονός

κονσtρτο κλείνει με uς ασθενείς αλ ληλcπιδράσcις. Παραμερίζοντας το φλάουτο, παίρνουν το γαλλικό κόρ

γiνονται οι συνθή_κες που επιβάλλο

Όταν ο πυρήνας ενός άστρου ε

νο και παίζουν σόλο: Πρόκειται για

απειλείται ώσπου να ειιτεθούν σε

μηλουτtστεί σε επαρκή βαθμό με βα

την ορμητική ροή των \'&φίνων από

ρέα στοιχεία, το άστρα εκρήγνυται

ιον πυρήνα του σουnερνόβα, η οποία

με μια δραμα<ική αύξηση της λα

παρασύρει και αrιομακρύνει τα εξω

μπράτητάς του (γiνε-ται οουπερνό

τερικά του στρώμα τα.

θtρμοκροσiες της τάξης των δισεκα τομμυρίων βαθμών, πλην όμως τα άτομα δεν αντέχου'' ακόμη και σε μερικές χιλιάδες βαθμούς. Όσον δε

που αποδεικνύεται ιδιαζόντως ση μαντικό για τη ζωή στο Σύμπαν.

κείμενο με λο

γικό εφμό -που α.-τιοταιχεi στα ζω

Όσο περισσότερο ιιροχωρεί η δια δικασία αύξησης tης δομικής πολυ

Υται στη διαδικασία αυτή. Διότι ναι μεν η σταθtρόιηtα των πυρήνων δεν

βα). Κατά την εν λόγω έκρηξη, το

Και' αυτό τον τρόπο, λοιπόν, •πα

αφορά τα μόρια, διασπώνται σε θtρ

άστρα εκ τοξεύει ο-το Διάστημα ένα

ράγεται• ο περιοδικός πίνακας του

μοκραοίες πολύ χαμηλές. της τάξης

μέρος της μάζας του. Από αυτά τα

Mendeleeν. Η rιορcία προς ανώτερα

των μερικών εκατοντάδων βαθμών.

uιιολείμμαια σχηματίζονται νέα ά

cniπcδo πολυπλοκότητας συνεχίστη

Η θtρμοκραοία αποreλεί το μέτρο του

στρα, τα οποία είναι ακόμη πιο ε

κε με το σχηματισμό μορίων, μιας

χάους, και το χάος είναι ο ανταγω

μπλουτισμένα με βαρcα στοιχεία· και η ίδια διαδικασία επαναλαμβά

διαδικασίας της οποίας ο άπειρος χα ρακιήρας ερείδεται ο-ι;ιJν ύπαρξη ε

νιστής της δομής. Μολαι:αύτα, η δια

νεται ξανά και ξανά.

νός θαυμάσιου στοιχείου, του άν

δικασία της οργάνωσης δεν μπορεί • • • να προχωρησει χωρις το χαος, εrιει-

Οι κοσμολόγοι διαπiστωσαν ότ1 ο

θρακα, που μιιορεί να σχηματiσει μο

δή η οργάνωση είναι μια διαδικασiα

"Ηλιος συγκαταλέγεται στα άστρα

ριακές αλυσίδες ιεράστιου μήκους,

σε διαρκές γίγνεσθαι, η οποία χρειά

τέταριης γενεάς. Εφόσον η ηλικία

επειδή ανταποκρίνεται ιδανικά σuς

ζεται την κίνηση. Και την αναγκαία

του Σύμπαντος ανtρχεται σε 15 πε ρίπου δισεκατομμύρια έτη, φαίνeται

απαιτι]οεις ενός τέtοιου ρόλου.'

κίνηση την παρέχει η θtρμότητα.

Ο άνθρακας σχημαιiζει τέσσερις

Συνεπώς, η εξέλιξη σφιμώχνεται

όη ο μέσος χρόνος ζωής μιας aστρι

δεσμούς σθένους (τροχιακά σθέ

μεταξύ ιων δύο άκρων: του θtρμού

κής γενεάς ισού τω με

δι

νους), με τις μει:αξύ τους γωνίες πε

σεκατομμύρια έτη. Ωστόσο, μια τέ

ρίπου ορθές. Συνδεόμενα το ένα με

και του ψυχρού. Υπερβολικά uφη λή θtρμοκρασία σημαίνει καταστρο

τοια χρονική rιερίοδος πολύ απέχει

το άλλο, τα άτομα του άνθρακα οχη

φή· υπερβολικό ψύχος συνcπάγεταt

από το να αρκεί για τη βιολογική_ ε

ματίζουν κάτι που μοιάζει με γραμ

ακινησία και θάνατο. Όταν η εξέλιξη

ξl:λιξη, δεδομένου ότι η ηλικία της

μή, ενώ σε κάθε άτομο απομένουν

φτάνει ο~ο στάδιο όπου καθίσταται

Γης ανέρχεται σε

δισεκατομμύρια

δύο ελεύθερα σθένη που το συνδέ

δυνατή η ζωή, αυτή η θεμελιώδης α

έτη. Αιιό εδώ ου μιιεραίνουμε πως ο "Ηλιος ανήκει σε έναν μάλλον σπά

ουν με άλλα άτομα και μόρια. Κατ'

ντίφαση προσλαμβάνει τέτοια οξύ

αυτό τον τρόπο προκύπτει ένα είδος

τητα, ώστε μόνο ένα εξαιρετικά σ-τε

νιο τύπο συγκριτικά μακρόβιων ά

επιγραφής. Προτού σχηματισ-τούν

νό διάστημα θερμοκρασιών αφήνει

στρων. Εφόσον τα περισσότερα ά

aνθρακικές αλυσίδες, ολόκληρη η

περιθώρια για ζωή βασισμένη σε ορ

οτρα δεν ζουν τόσο πολύ (ο χρόνος

κοσμολογική διαδικασία δεν παρή

γανικά μόρια.

ζωής ενός άστρου εξαρτάται από τη

γαγε παρά γράμματα. Όταν σχημα

Προς το rιορόν αγνοούμε το ακρι

μάζα touJ, •το νόημα της ύπαρξής τους• έγκειται στα να προμηθεύουν βαρέα στοι χεία οε άστρα όπως ο Ή

τiστηκαν οργανικά μόρια, τα γράμ νται για να συγκροτήσουν λέξεις (τα

βές εύρος του ~ν λόγω διαστή_ματος ~νδέχεται "D μην υπερβαί\•εt τους I Ο ή 20 βαθμούς. Εάν συγκρίνουμε

λιος μας.

οργανικά μόρια ). Οι αυθαίρετες λέ-

αυτή την ιιμή με το τεράστιο εύρος

3 περίπου

ματα (το άτομα) άρχισαν να ενώνο

Οι αρχαίοι πiστευαν στην αρμο νία των ουράνιων σφαιρών· θtωραύ

θερμοκρασιών του Σύμπαντος, κα

σαν επίσης ότι οι κοσμολογικές δια δικασίες αλληλοουνδεονται και εί

Σ' αυτό το σ(ινωμο άρθρο δεν μπορώ να αναλύσω αι nροβ.\ήμαισ που σuνδέονι(ΙΙ

ναι κατανοητές στον φιλοσοφικό

χεία (για ηcφι{ι0Cιγμο,

νοΙΙ,

()

οποίος τις •ακούει• σαν ορ-

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

με ω φcιςημα για ιl άλλα ιεφασθενή οwι

ιωρlιιοJ δcv είναι

οnολύτΜς χοtάλλη.Ια για wν ίδιο ρόλο.

θίσταται σαφι!ς ότι δεν είναι διόλου αυτονόητη η ύπαρξη ενός τέτοιου

θερμοκρασιακού δια σ ~ή_μα τος: Προ κύπτει ως αποτέλεσμα μιας εξαιρε

τικά •λεπτής ρύθμισης• των φυσι-

κών νόμων. Εmπλέον, αnλώς η δυ •

Δε'' θα καταnιαοτώ με το ζήτημα

να~ό~η~α ύπαρξης ιου αναγκαίου

της προέλευσης της ζωής και της ε

θερμοκρασιακού διαστήματος δεν αρκεί για να αναrιtυχθεi ζωή -κά •

ξέλιξής ι ης, διότι αποτελούν cξαιρε · τικό. δύσκολα κσι σκοτεινά προβλή

ρα προσαρμοσμένος στις διαρκώς μεταβαλλόμενες συνθήκες της ζωής, ένα βρέφος όμως αναμφfβολα υοτε· ρεί σε δύναμη από ένα ποuλάρι στο

που στο Σύμπαν ιφtπει να υπάρχει

ματα, για τα οποία γνωρίζουμε eλά •

λιβάδι. Οι -συμπτώσεις• που διαμορ

ένας τόπος κο ιό.\ληλος γιο να nραγ · ματωθεί η συγκεκριμένη δυνατότη

χιστα. Ε\• tούτοις, πρέπει να εmση

φώνουν tη σκηνή όπου εκτυλiσσε·

μά,•ουμε το εξής. Επιχειρείται ενiο

ται

τα.

'Γο βασικό σημείο, εν προκειμένω,

τε να εξηγηθεί η προέλευση της ζω ής με την nιθανοκρατική uπόθεση

κώς ανώτερα επίπεδα δομικής πο λυπλοκότητας επιδέχονται μαθημα ·

έγκειαιι στο ότι, σε έναν τέτοιο ιό·

ενός μηχανισμού τυχαίας ανάμειξης

τική διατύπωση. Κω αυτή η προσέγ

πο, η κατάλληλη θερμοκρασία για την ανόnτυξη ζωής (20 :r 150C) rιρέ • ιιει να διοιrρείται επί δισεκαωμμύ • ρια έτη! Επιπροσθέτως, είναι ανα

των μορίων, ο οποίος λειτουργεί με

γιση στο πρόβλημά μας θα μας απα ·

τη μέθοδο οδοκιμής και λιiθους•. Μια

σχολήσει σw τελευταfο μέρος ωυ

τέτοια άποψη, όμως, πρέιιει να α·

παρόντος άρθρου.

γκαίο να υπάρχει ελεύθερο νερό,

τοις, yια να εξηγηθεί η αυtοαναπα

Η ανβρωΠιιιή αρχή

διότι κανένα άλλο υλΙκό δεν ιιρο

ραγωγή, είναι αναγκαiα η ύπαρξη

οφέρεται για να μαγειρευτεί η οργα

τεράστΙας ποσότητας μορίων καθο

ως σύστιψα εξισώσεων

νική σούπα. Το λίκνο της οργανικής

ρισμένου είδους. Ωστόσο. ο αριθμός

ζωής πρέπει να προστατεύεται από τη δολοφονική υπεριώδη ακtJνοβο

των παραλλσγών αποδεικνύεται α· σύλληnτα μεγάλος 00" 0)· έτσι, ένα

λία των άστρων, κ.ο.κ. Καταλ~γου •

μuφοσκοrιικό ζωντανό κύτcαρο δεν

με λοιπόν

oto αναπόφευκτο συμπέ όu ο συγκεκριμένος χαρα •

μπορεί να στηριχτεί στο πσιχνίδι της τύχης για να κάνει τη μοναδική σω

κ τήρα ς των φυσικών νόμων πρέπει

στή επιλογή. Δεύτερον, η ζωή εμφα ·

να συμπλφωθεί με την nραyματο

νίστηκε πολύ γρήγορα οιη Γη, σχε

ιιοίηση ενός γεγονότος εξαψετικά

δόν αμέσως μετά την ψύξη του π λα·

μικρής nιθανότηtας: να συμrιtσει

νήτη. Παρεμπιιιτόντως, αξίζει να ση

στο χώρο και στο χρόνο η εμφάνιση

μειώσουμε πως ένας επιφανής κο

όλων των αναγκαίων συνθηκών.

σμολόγος, ο

ρασμα

Οι φυσηtές σvνθήκες που εmκρα • τούν στη Γη είναι ιδανικές για την ανάπτυξη ζωής. Ωστόσο, ακόμη και

πορριφθεf για δύο λόγους. Εν πρώ

V J. Vemadsky,

εξέλα ·

βε αυτό το γεγονός ως ένδειξη υ · πέρ wύ ότι η ζωή υιιήρχε ανέκαθεν, μια άποψη που έρχει;αι σε σντίθεοη

w δράμα της πορείας προς διαρ

Σχεδόν ανεξαιρέτως, η μαθημαtJ κή διατύπωση ενός φυσικού νόμου

πcριλαμβάνει κάποια αριθμητική πα· ράμετρο, η οποία αιιοτελεί δεδομένο που δεν εmδέχεται τροποποίηση. Ι

δού το απλούοrο ω παράδειγμα: Κά · θε ηλεκτρικό φορτlο περιγράφεται ο· πό wν τύπο

Q = Ne,

όπου Ν ακt

ραιος αριθμός. Στο συγκεκριμένο πα· ράδειγμα, η παράμετρος

είναι το

φορτίο του ηλεκτρονίου. Νά κι άλλο

παράδειγμα: η δύναμη της βαρυιι κής έλξης δύο μαζών mι και

nε

ριγρόφεται από ω νόμο

rι ελάχιστη μετατόιιιση της Γης σχε τικά με τ~ν Ήλιο θα αποδεικνυόταν

με τη σύγχρονη θεωρία του θερμού

καταστροφική για τη ζωή. Πράγμα

Εrιομένως, η προέλεuση της ζωής

τι, η μικρή αύξηση της απόστασης

παραμένει μυστήριο, όμως κστανο

η σταθερά της παγκόσμιας eλξης

που χωρίζει τη Γη από τον ΉλΙο θα

ούμε, λιγότερο ή περισσότερο, τους

Αλλά και οι νόμοι της σύγχρονης

επέφερε mώοη της θερμοκρασίας. Η επέηαση των rιολικών •σκούφων• θα αύξανε την ανάκλαση του φωτός

νόμους της ανάπτυξής της. Το ίδιο

φυσικής διατυπώνονται με παρόμοιο

μπορεί νcι λεχθεί και για την προέ · λευση της νοημοσύνης. Όπως η εμ·

τρόπο. Για παράδειγμα, η ενέργεια

από την επιφάνεια της Γης, yεyονός

φόνιση της ζωής μέσα στην ανόργα

που θα nρακαλσύσε περαιτέρω πτώ ση της θερμοκρασίας, κ.ο.κ. Σ' α υ·

νη φύση, έτσι και η εμφάνιση της

Σύμπαντος. Εδώ υπεισέρχεται ως παράμετρος

ενός φωτονίου είναι ανάλογη με την

κυκλική συχνότητά του ω, οπότε γρόφουμε Ε = Ιιω. Στον τύπο αυτό εμφανίζεται ως παράμετρος η (ανηγ

κλείεται. Ανuθέτως, η ελαφρό προ

νοημοσύνης στο μη νοήμον Σύμπαν φαντάζcι σαν θαύμα. Σ' αυτή τη δι αδικασία, όπως και σε κάθε άλλη με τάβαση από ορισμένο επίπεδο οργά·

σέγγιση προς τον Ήλιο και η συνα

νωσης σε άλλο μεγαλύτερης πολυ •

ονομάζονται παγκόσμιες σταθερές.

κόλουθη μuφή αύξηση της θερμο

πλοκότητας, παρατηρούμε το fδιο

Αυτές καθεαυτές δεν σημαίνουν τf.

κρασίας μπορεί κιiλλιστα να δρομο

κύριο χαρσκτηριοτικό: Η πολυπλο

πο.ε, δεδομένου ότι οι αριθμητικές

λογήσουν αλλεnάλληλες θερμοκρα •

κότερη δομή απαιτεί ειδικές συνθή

t1μές τους εξαρτώνται από το εκά

σιακές αυξήσεις, με αποτέλεσμα το

κες στην αρχική φάση της ανάπτu ·

στοτε επιλεγόμενο σύστημα μονιi •

κλίμα στη Γη να γίνει όμοιο με το

ξής της. Πρέπει να •γαλουχηθεί· και

δων. Εντούτοις. οι αδιάσταwι συν·

κλίμα της Αφροδίιης. Η μοναδική

να wχει της

δυαομοί τους έχουν παγκόσμια ση

θέση της Γης nροδικιiζει τη διάψευ •

και •φροντίδας• προτού εκδιπλώοει

ο η κάθε ελπίδας να ανακαλύψου · με έναν όμοιο πλανήτη σε λογική απόσταση αrιό τη Γη.

στο αιctροιο ιις δυνατότητές της. Έ

Για ιιαράδειγμα, μόνον ένας α·

νας ώριμος άνθρωπος είναι ευφυέ στερος αιιό ένα άλογο και καλiιτε-

διάστατος συνδυασμός μπορεί να

ιό το σενάριο, ακόμη και το πλήρες

πάγωμα του πλcινήτη ουδόλως απο

' αναγκαιας

..σ τοργης•

μένη) σταθερά του

Planck 11.

Στη φυσική, ποσότητες όπως οι fι,

G, c (η ταχύτητα του φωτός), κ.ο.κ,

μασία.

παραχθεί από τις οαιθερές

OUAimlll I ΑΡθΡΟ

fι και

c: α = e1 /lfιc);! 1 1137. Αυτή η πο

λεniδρασης αντιστοιχούν σε τέσσε

Προκειμένου να εμφανιστούν ά

σότητα είναι γνωο τή ως σταθερό της

ρις αυθαίρετες !ελεύθερες) παραμέ

τομα στην πορεία της εξέλιξης ιης

λεπτής υφής, και χαρακτηρίζει την

φους α1 ( α, αι;ο α8 και

a •.ι Σ' αυτές

ύλης, πρέπει να σχηματιστούν προ

πρέπει να προστεθούν η διάσταση του χώρου μας. d = 3, το πλήθος των

τού αναπτυχθεί η βαρυηκή αστά θεια που καθιστά το Σύμπαν ετερο γενές. rια να ικανοποιηθεί η εν λό

ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση.

Η ενέργεια η οποία χαρακτηρίζει τις αλληλεπιδράσεις των ηλεκτρανiων είτε είναι ελεύθερα είτε δέσμια στα

σωματιδίων που περιέχει το Σύμπαν.

Ν ;;;

!0"0,

ο αριθμός των φωτονίων

άτομα- συνιστά μΙΚρή μόνο δι

ανά σωματίδιο ύλης, S ;: ι ο•, και ο

όρθωση συγκρινόμενη με ιηv ενέρ γεια ηρεμίας τους m, c 2 (ο λόγος

λόγο<; των μαζών ηλεκτρΟνίου και

τοιις ισούται κατά προσέγγιση με το

ρητικά, η τελευταία τιμή πρέπει να

α υψωμι\νο οε κάποια δύναμη). Για

ληλεπίδραοήc; του με έναν πυρήνα

εκφράζεται συναρτήσει των α, α& α •• προς το παρόν όμως η μορφή της συ γκεκριμένης σχέσης μάς διαφεύγει. Γενικά, οι φυσικοί διατηρούν άσβε

ατομικού αριθμού Ζ δίνεται από τον

στη την ελniδα ότι θα κατορθώσουν

τύπο:

να υπολογiοουν ιις τιμές όλων των

παράδειγμα, η ενέργεια που αποκτά ένα δέσμιο ηλεκτρόνιο λόγω της tιλ

πρωτονίου, m,/nιP Ξ

ναφέραμε ως συναρτήσεις της uμής Λόγω της μικρής uμής τής α, η

μίας και μόνο ελεύθερης nαραμέ

mθανότητα να μετατραπούν το ηλε

φου. Ωστόσο, η υλοποίησή της εξα

κτρόνια σε άλλο σωματίδια είναι α μελητέα. Στη μικρή τιμή τής α πρέ πει να εντοπιστεί ο βαθύτερος λόγο<; για τη σ rοθερότητα "tων δομών που

κολουθεί να βρίσκεται στη σφαίρα

συγκροιούνwι από πρωτόνια και η

σχι\οεις. Ι'ια να αnοοαφηνίσουμε αυ

λεκτρόνια (δηλαδή των ατόμων και

τή την nτυχι\, ας εξετάσουμε ορι

των στερεών σωμάτων). Αντιθέτως, βαρέα άτομα με Ζ ~ α·• <: 137 πα ραυσιάζουν αστάθεια: Το ηλεκτρο μαγνητικό πεδίο ο την εmφάνεια τσυ πυρήνα καθίσταται τόσο ισχυρό, ώ

σμένα παραδείγματα. Ο ευνοϊκότερος ρυΟμός διαστολής για το Σύμπαν, ο οποίος εξασφαλί ζει τα αrιαραίιητα χρονικά περιθώ

στι: αρχίζει ''α παρόγει ζεύγη ηλε

νεται από τη σχέση:

του ονείρου. Μεταξύ των ελεύθερων παραμέ τρων nρέrιcι να ιιπάρχουν αρκετές

ρια για τη γέννηση των άστρων, δί

ρακίζουν το •πλεονάζον• πυρηνικό

Ναi Ξ 1. Η ύπαρξη άστρων του ίδιου τύ-

μή του φορτίου ώστι: να γίνει μι -

που με τον Ήλιο (ούτε πολύ θερμά

ούτε πολύ ψυχρό) βασίζεται οτη ση

oxt-

όπου με

==hc ; ; 10_.,, δηλώνεται η μάζα του

πρωτονίου . Γνωρίζουμε επίσης ότι

αs Ξ 15 και αw ;;; 10.... Τόσο η ισχυ ρή όσο και η ασθενής αλληλεπίδρα ση γίνονται αισθητές σε αποστάσεις συγκρίσιμες με την ακτίνα του nυ

ηαι επίσης ορισμένες -συμπτώσεις•,

που επιτρέπουν τη διατύπωση ανα γκαίων συνθηκών με υς οποίες πρέ πει να συμμορφώνον-ται οι παγκό

σμιες σταθερές. Καταλήγουμε λοιπόν στο εξής βα σικό συμπέρασμα: Το πλήθος των nεριοριο μών (εξισώσεων) που nρi: πει να ικανοποιούν οι παγκόσμιες σταθερές υιιeρβαίνει κατά πολύ το ιιλήθσς αυτών των ίδιων των παρα μέτρων. Εντοπίζουμε eδώ ένα ιδιcU•

•

τερα σημαντικο χαρακτηρισuκο του

κόσμου όπου ζούμε. Και τούτσ εοει

μα στο οποίο το πλήθος των εξισώ σεων υπερβαίνει το rιλήθσς των α γνώστων. rια νο διαθέτει λύση, οι πλεονάζουσες εξισώσεις πρέπει να μπορούν να εξαχθούν από τις υπό

κάποια εξόχως οιιουδαiα αρχή. Επί

σθενή ( W) και τη βαρυτική (G}. Στην

α0

ρικό των άστρων. Εδώ διαmστώνο

των φυσικών νόμων υποκρύιιτει

mδρόσεις -την ισχυρή (S'), την α

Gm'

σεις που συντελούνται στο εσωτε

Συνειτώς, αυτή καθεαυτή η δομή

καθεμιά από τις υπόλοιπες αλληλε

σταθερά έχει ιη μορφή:

εξετάσουμε τις πυρηνικές αντιδρά

λοιπες.

μrιορούν να κατασκευαστούν για

τελευταία περίπτωση, η αδιάστατη

Με ανάλογο πνεύμα μπορούμε νο

δή δεν επιδέχεται λύση κάθε σύστη

φορτίο, •μειώνοντας- την ενεργό τι -

κρότερη από ea·ι. Aηίστοιχες αδιάστατες σταθερές

γκαίες οι σχέσεις:

1/ 1.830. θεω

θεμελιωδών παραμέτρων που nροα -

κφανiου-ποζιφονίου, τα οποία θω-

γω απαίτηση, αnοδειχνύοvτοι α να

rια να παραχθεί μια νέα γενεά

άστρων εμπλουησμένων με βαρέα άτομα, η ροή των νετρίνων (των μό νων σωμο ιιδίων που απέχουν από όλες τις αλληλεπιδράσεις πλην της ασθενούς) πρέπει νο μπορεί να ε

κ τινάξει στο Διάστημα τα εξωτερι κά στρώματα ενός σουπερνόβα. Αυ τό είναι δυναιόν μόνον αν ικανο ποιείται η σχέση

του παρόντος αγνοούμε ηώς να την περιγράψουμε μαθηματικά. Φαινε ται ότι nρόκει ιαι για κάποιου είδους

συμμετρία η οποία χαρακτηρίζει τις εξισώσεις που περιγράφουν τις βα οικές nαραμέφους του κόσμου. ΜΙα

ιέ ιοια συμμετρία θα φώttζε την -ι δέα• rιου ενσαρκώνει η ύπαρξη του Σύμπαντος, τη βασική αρχή της α

νάπτυξής του στο χώρα και το χρό νο, καθώς κοι το νόμο εξέλιξης των δομών που το συνιστούν. Όλα όσα

ρήνα.

Συνεπώς, οι τέσσερις τύποι αλλ η-

ΜΑΡτΙΠJ I ΑΠΡΙΛΙΟf 1gg~

Η σuv~xcιa ο rη σελ.

ι:>

ΣΠΑΖΟΚΕΦΜΙ ΕΣ

Για να περνά η ώρα Σ146 Μυστφιώδης ακολουθία. Η ακολουθία ι.ι,

=1776,

ι.ι2

ορίζεται ως εξής:

=1999,

Βρείτε το ι.ι200,. (Α.Ρ. Saνin)

Σ14 7 Σύμnτωση κύβων. Σε κάθε έναν από δύο ίσους κύβους χρωματίζουμε μαύρες πέντε κορυφές eνώ χρωματiζουμε λευκές τις υπόλοιπες.

Αnοδείξτε ότι μπορούμε να τοποθετήοουμε τον ένα ι~ ύβο μέσα στον άλλο έτm ώστε να συμπίmουν τουλάχιστον τέσσερις μαύρες κορυφές.

<S.G. Volchenkov)

Σ1 48 Ταξίδι μc περιορισμούς. Είκοσι δύο πόλεις οννδέονται με τους δρόμους που βλέπετε στην εικόνα δεξιά (οι πόλεις βρίσκονται στις διασταυρώσεις των δρόμων). Εiναι δυνατόν να οεράοουμε από όλες τις πόλεις αλλά να τις εmσκεφτούμε όλες από μία μόνο φορό;

(S.G. Volchenkov)

Σ149 Μοιράστε τις κάρτες. Έχουμε n κάρτ-ες αρ1θμημένες από το 1 έως το n και τις χωρίζουμε σε δύο στοίβες. Ποια είνω η ελάχιστη tιμή τού n, έτσι ώστε τουλάχιστον μια στοίβα να περιέχει ένα ζεύγος καρτών οι αριθμοί των οποίων αθροιζόμενοι να δίνουν τέλειο τετράγωνο;

Σ150 Νερό σε χαptόκουτο. Ρίχνουμε νερό σε ένα χαρτόκουτο, το οποίο

τοποθε-.;ούμε στη συνέχεια πάνω από τη φλόγα κεριού . Το νερό βράζει αλλά το χαρεί δεν καίγεται. Γιατί;

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Α ΥΣΕΙΣ ΣτΗ ΣΕΑ.

67 QUANTUM I

ΣΠΑΖΟΚΕΦΑΛΙΕΙ

καιρός νια πρώτους Αυτοί οι σριθμοi υποφερουν σπ6 ελλειψη πσρσγ6ντων

G.A. Golperin

ΥΔΕΙΣ ΑΜΦΙΣΒΗΤΕΙ ΤΟ rΕΓΟΝΟΣ ΟΤΙ ΟΙ ΠΕΡΙΣΣΟ •

p διαιρεί τον Ν, διόtι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ν

τεροι φυσuιοί αριθμοί παραγοντοποιούνιιιι. Για πα

με οποιονδήποτε από αυτούς ισούται με

ράδειγμα,

φοση αποδεικνύει όη το σύνολο των πρώτων αριθμών

10 =2 · 5, 60

=3 · 4 · 5, ll1 =3 · 37, 144

= 3 · 3 · 2 · 2 2 · 2, κ.ο.κ. Τέτοιοι

αριθμοί ονομάζο

νται ο-ύvθεrοι.

1. Αυτή η αντί

είναΙ άπειρο. Το επ ι χείρημα του Ευκλείδη είναι έμμεσο και δεν

Υπάρχουν όμως αριθμοί που είναι αδύνατον να α να ·

μας δίνει μέθοδο κατασκευής ιιpώτων αριθμών με γα

λυθούν με αυτό τον τρόπο. Για παράδειγμα, ο 11 δεν μrιορεl να γραφεί ως γινόμενο δύο μικρότφων φυσι

λύτcρων του

κών αριθμών (που να είναΙ μεγαλύτεροι, και οι δύο, α

μεταξύ του

πό το 1). Γι' αυτό το λόγο ο 11 ονομάζew.ι πρώτος αριθ

υπάρχει οπωσδήποτε ένας πρώτος αριθμός, διότι , εάν ο

μός. Γενικώς, πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που δεν ανα

ίδιος ο Ν δεν είναι πρώτος, τότε διαιρείται από έναν

λύονταΙ ως γινόμενο δύο παραγόντων μεγαλύτερων

πρώτο αριθμό μεγαλύτερο ταυ p αλλά μικρότερο του Ν.

του

Δηλαδή, αυτός ο αριθμός πρέπει να ανήκει στο διάστη

1 (ο

αριθμός ι δεν θεωρείται πρώτος). Ιδού η αρχή

ιης ακολουθίας των rιρώτων αριθμών:

17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ....

2, 3, 5, 7, 11, 13,

Υπάρχει ένας μόνο άρtιος

μεταξύ τους -όλοι οι υπόλοιποι είναι περιττοί.

p. Όμως, δεν

είναι δύσκολο να βρούμε μια

τέτοια μcθοδο: αρκεί να ελέγξουμε όλους τους αριθμούς

μα [p

p + ι και του Ν. Ανάμεσά τους πρέπει να

+ ι, Ν).

Διαστήματα ιιαu ιιεριέχοuv πρώτους

αριθμών

Υπάρχει και ένας άλλος τρόπος διαμέρισης της ειι θείας -cων αριθμώγ σε διαστήματα που το καθένα πε

Διαπιστώνουμε αμέσως ότι η ακολουθία των πρώ

ριέχει τουλά)(1στον έναν πρώτο αριθμό. Ας αηοδεfξου

-cων αριθμών είναι μάλλον ιδιαiτερη. Είναι αδύνατον να

με πρώτα το εξής: Ο μικρότερος διαιρέτης του αριθμού

διακρίνουμε κάποιον απλό νόμο που διέπει τον τρόπο

Ν • n! + ι (όπου n! • Ι · 2 · 3 · ... · n ) είναι πρώτος αριθ

σχηματισμού της.

μός, μεγαλύτερος του

Πρόβλημα που

1. Βρείτε όλα τα ζεύγη nρώιων διαφέρουν: (α) καιά 1, (β) κατά ι7.

Ονομiιζουμε αυτό τον ελάχιστο διαιρέτη

Είναι πεπερασμένη η ακολουθία των πρώτων; Το εν

λόγω ερώτημα τίθεται ο το ένατο βιβλίο -cων Στοιχείων του Ευκλείδη. Στο ίδιο βιβλίο (θεώρημα 2ο> δίνεται και η απάντηση: ·Οι πρώτοι αριθμοί πλείους ειιή του αρα τεθέντος πλήθους πρώτων αριθμών• -για το οποίο ένας βυζαντΙνός σχολιαστής γράφει: •Ταυτόν δ' έσην ειπείν,

ότι οι πρώτοι αριθμοί άι1ειροί εισιν•. Η απόδειξη ταυ Ευκλείδη είναι εξαιρετικά ευφυής. Ιδού ο συλλογισμός του: Ας υποθέσουμε ότι η ακολου θiα των πρώτων είναι πεπερασμένη και ότι ο p είναι ο μέγιστος όρος της. Τότε, ο αριθμός Ν = 2 3 · 5 · - · p +

1 δεν είναι πρώτος, αφού είναΙ μεγαλύτερος του p. Συ· νεπώς, διαφείται από έναν πρώτο αριθμό μεταξύ τ.ου 2 και ταυ p (βάσει της υπόθεσής μας, δεν υιιάρχουν άλ · λοι rιρώτοι αριθμοί). Όμως. ουδείς από τους 2, 3, 5, ... ,

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ1999

όη

p > π,

τον ιι!

διό" κανείς από τους

+ 1. Από

2, 3, 4, ...,

Έχουμε

ιι δεν διοφεί

την άλλη πλευρά, αν υποθέσουμε όη ο

p είναι σύνθετος (δηλαδή, ον ο p διαιρείται αιιό κάποιον αριθμό μικρότερο του p ), τότε ο p δεν είναι ο ελάχιστος > δια ιρέτης rού n! + 1, κάη που έρχεται σε αντίθεσ η με ~ την υπόθεσή μας. Επομένως, ο p είναι πρώτος αριθμός > μεγαλύτερος του

Από αυτή την αrιόδeιξη έπεται ότι κάθε διάστημα [n, n! + 1] περιέχει έναν ωυλάχισιον πρώτο αριθμό. Συνεηώς οι aριθμοί 2, 2! + ι. (2! + ι )!+ ι, (2! + ι ~+ ~~ + 1,

b ; ο;. ~

κ.ο.κ., διαμερίζουν την ευθεία των αριθμών σε ένα ά-

9-g

ηειρο πλήθος διαστημάτων, το καθένα από τα οποία πε-

ριέχει ένα\' τουλάχιστον πρώτο αριθμό. Αrιοδείξαμε α -

κόμη μία φορά την οrιειρία •ων πρώτων αριθμών.

•

OUANTUM I ΑΡθΡΟ

Πρόβλημα 2. Αποδεiξτε όtι, αν ο p διαιρεί rον (p 1}! + 1, τότε ο ρ είνω πρώτος αριθμός. (Υπόδειξη: Χρη

σψοποnΊστε την απόδειξη της προηγούμενης πρότασης.) Η αντίσφοφη πρόταση, γνι.χπή ως θεώρημα του

Wilson,

ειήσης αληθεύει.

Υπάρχει και άλλη διαμέριση της ευθείας των αριθ μών σε διαστήματα που το καθένα περιtχει τουλάχι στον έναν πρώτο αριθμό. Αποδεικνύεται ότι καθένα από τα διαστήματα [2, 4], [4, 8], [8, 16j, [16, 32], ... περιέχει έναν τουλάχιστον πρώτο αριθμό. Η απόδειξη αυτής της πρότασης είναι δύσκολη. Προκύπτει από ένα θεώρημα, γνωστό ως .Wτημα του Bertrand• (παρ' ότι αποδείχτηκε το 1852 από τον εξέχοντα ρώσο μαθημαuκό Chebysheν. Το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: Αν n > 7, τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον πρώτος αριθμός μετα ξύ του π και του 2n - 2. Πρόβλημα 3. Με τη βοήθεια του αιτήματος του Ber-

του συνόλου των πρώτων αριθμών, θα αποδείξουμε ότι

υπάρχουν διαστήματα οποιουδήποτε μήκους που δεν περιέχουν πρώτους αριθμούς. rια παράδειγμα, μη ορού με να βρούμε ένα &κατομμύριο διαδοχικούς αριθμούς ουδείς από wυς οποίους &ίναι πρώτος. Πράγματι, έστω Ν = 1000000 και ας θεωρήσουμε τους επόμενους ένα εκατομμύριο διαδοχικούς αριθμούς:

(N+l·+~(N+U! +3,

...• ~+U

+(N+lι

Ο πρώτος από αυτούς διαιρείται με το 2, ο δεύτερος με το

3, ο τρiτος με το 4, και, γενικά, ο k - ι στη σειρά αριθμός, (Ν+ 1)! + k, διαιρείται με το k, διότι και οι δύο όροι του αθροίσματος διαιρούνται με το k. Επομένως, όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι σύνθετοι. Με τη μέθοδο αυτή, μοορούμε να βρούμε χάσματα οποιουδήποτε μήκους στην ακολουθία των πρώτων αριθμών.

Είναι αρκ&τά ενδιαφέρον το γεγονός ότι το πρόβλη μα των χασμάτων οποιουδήποτε μήκους στην ακολου θία των πρώτων αριθμών, το οποίο σχετίζεται πολύ στε

ιrand aποδείξτε ότι, ytα κάθε φυσικό n: (α) υπάρχει έ νας τουλάχιστον π- ψήφιος πρώτος αριθμό<;, (β) υπάρ χουν τουλάχιστον τρεις π-ψήφιοι πρώτοι αριθμοί. (Υ

πόδειξη:οι1ο· - ι,2·10" " ,4 · 10" " ι και 8·10" " 'εiναι

νά με το πρόβλημα της απ&ιρίας του συνόλου των πρώ των αριθμών, και ως προς τη διατύπωση και ως προς

π-ψήφιοι αριθμοί.)

τη λύση, δεν εμφανiζεται στα έργα των μαθηματικών

Εrιισημωνουμε ότι η απόδειξη του Ευκλ&ίδη δεν μας

της αρχιUας Ελλάδας. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε έ να ακόμη πρόβλημα που αν>;ιμεtώtτισαν οι μαθηματι

δίνει τον αμέσως επόμενο πρώτο αριθμό που ακολου θεί τον p, αλλά κάποιον αριθμό που συνήθως είναι αρ κετά μεγαλύτερος. rια παράδειγμα, αντί του 13, ως ορώ: το αριθμό μεγαλύτερο του 11 μας δίνει τον 2311 (διό τι

2 . 3 . 5 . 7 · 11 + 1 = 2311,

κοί της νεότερης εποχής.

ο οποίος είναι πρώτος α

ιιΛΙΔι ιΛί

Ac; θεωρήσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς που

ριθμός). Στην περiη τωοη του 13 δεν μα<; δίνει το 17 αλλά το 59, που είναι πρώτος διαιρέτης του 30031 (διότι

2 . 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 13 +

Αριβι,mιCέ( ιιροοδΟι και πρωτοι """"""

αφήνουν υπόλοmο 2 όταν διαιρεθούν με το 3. Είναι οι

2, 5, 8, 11, 14, .... Οι αριθμοi αυτοi είναι της μορφής 3π + 2. Ας αποδείξουμε ότι μεταξύ cους υπάρχει άπειρο

= 30031 = 59 · 509).

πλήθος πρώτων αριθμών. Για να το επιτύχουμε, θα τρο

~ nou δεν περιέχουν

ποποιήσουμε ελαφρώς την απόδειξη του Ευκλεiδη. Αντi του αριθμού Ν = 2 · 3 · 5 · ... · p + ι, θα χρησιμοιήσουμε τον Μ = 2 · 3 · 5 · ... · p- 1, που ανήκει στην ακολουθία

πρώτους

rια να καταδείξουμε την πολυπλοκότητα τη<; δομής

. Π(νακας 1 'Eva ψ.ήμα αuο ι;qv καtaνoJUI rωv πpώwv ιφιθpdJv. Ο '

ι:ου πλήθους f(ο1Ύ ΙJικfιtωv

ΠΑ.ιi!/ος

ι.

··~

13 53

llΊ

αnolo ·tpι δισ.μφιdmf σε lοοό eχιιτοντά~. Η αιiώ,Ιi11 γpαιιιΗi

•6

177 196 175

.8 '

130 I '72

ιο

47 11

12 4

εκαiοvm6ων

αpιθpών στQ iMσtηpa pε"Ιqξύ

90Q0000

αlνακας (iι;l'!fvεJ ι;q 8ιακJμαvση rου ,SWQOOO και

196

200

6ei){'VeΙ ~ο rι:Α~ ιων iι/Xfι.rxι>v

ιφιθpών """ 11 6eΊία:ιι_η to

n.!Jiθo$' των εκαrον'tό6ωv που nεριtχουν ~ο α vu<r<Qιxo πλήθοcι

ιφ<1ψpr apιθpώv.

100

I'ia

aapά/ίeJypa, JllO εκαwνι'άδα δεν ncpιtxει npώτους αpιθ~οlις C"<ώ

117 ει<αtονtά~ ιιεpιέχοw απΡ τέσοεpις πpώrους και 130 nφιέχου" αn6 ιι.

ΜΑΡ1ΙΟΙ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

1 ο

1t 12

ΠΑiιθα;

npώ~ωV

Π(νακας

Η J<αrανομή tων σρώrων

ψθμών uω Οlίνολο rων

Α.Ιn:

1/lnn

A.ln

1/lnn

οupιύων. το λ. ιτιιμβοΜζeι ro nλιjθος rωv nρώτων ιφιθpώv μtrοξύ

1000

0,168

0,145

1,159

0,078498

0,072382

1,084

0,060847478

0,048254942

1,053

r:ου 1 •οι του ο. Όσο αυξάνει

ro n.

ι:ο dόομα

1000000

A.l n n!φιόζn <0 1/lnn (to Α.Ιn : 1 /lnn είναι σ;χtδ6ν /σο pe I f10 n •

1000000000

J(/).

2, 5, 8, 11, 14, ... , 3n + 2, ..., διότι το υπόλοιπο της δια! ρcσής του διό 3 ισούται με 2. Πρόβλημα 4. Δώστε πλψη απόδειξη του γεγονόιος ότι ο Μ είναι tηc; μορφής 3n + 2.

βλημα 5β). Επομένως, τουλάΧJστον ένας από wυς πρώ

Όπως ακριβώς και με τον αριθμό Ν στην αροηγού μενη απόδειξη, κανείς από τους αριθμούς 2, 3, 5, ..., p δεν διαιρεί τον αριθμό Μ. Ανεξάρτητα από το αν ο Μ

τους παράγοντες του Κ έχει τη μορφή 6k + 5 και είναι διαφορετικός από τους Ρι,p2, ·-·Ρ.· Αυτό έρχεται σε α ντίφαση με ιην υπόθεσή μας και αποδεικνύει ότι υrιάρ

είναι ηρώιος ή εάν έχει μικρότερους πρώτους nορά

χει άπειρο rιλήθος πρώτων αριθμών της μορφής

γοντες, οι παράγονιες του Μ είναι μεγαλύτεροι ιου p.

Πρέπει να δείξουμε ότι μεuιξύ τους υπάρχει κάnοιος αριθμός της μορφής 3π + 2 -δηλαδή, όn ένας από αυ τούς ·τους πρώτους παράγοντες ανήκει στην ακολου

θία 2, 5, 8, 11, .... Ας υποθέσουμε ότι όλοι οι rιρώτοι παράγοντες του Μ έχουν τη μορφη 3k + I. Σε αυτή rην περίnτωση, όμως, και το γινόμενό τους είναι της μορ

φής 3.k + Ι (δείτε το Πρόβλημα 5α) και αυτό έρχετάι σε αντίθεση μc το γεγονός όu ο Μ είναι της μορφής 3n + 2. Συνεπώς, υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορ φής

3n + 2.

Πρόβλημα της μορφής

5. (α) Αποδείξιe όu το γινόμενο αριθμών 3k + 1 είναι επίσης της μορφής 3k + 1. (β)

Αποδείξτε •ην ανάλογη rιρόταση για τους αριθμούς ιης μορφής

4k +

ι (γ) Αποδείξτε την ανάλογη πρόταση για

τους αριθμούς ιης μορφής

6k +

ι.

ράγοντες διαφορετικούς από τους p 1, p2, ..., Ρ. (γιοι!;). Αυτ;οί οι πρώτοι παράγοντες δεν έχουν όλοι μορφή 6k + 1, διότι ούτε το Κ έχει αυτή τη μορφή (δείτε το Πρό

Πρόβλημα

7. Αηοδείξτε όπ υπάρχουν άπειροι πρώ τοι αριθμοί της μορφής 6k + 5 και να δώσεw μέθοδο κα ταοκευής τους.

Πρόβλημα

8- Αnοδείξτε λεπτομερώς όtι υπάρχει ά πειρο nλήθας πρώτων αριθμών εης μορφής 4k + 3. (Υπό δειξη: Πολλαηλα01άσtε το γινόμενο αριθμών αυτού του τύπου επί

και αφαιρtστε

Πρόβλημα

από το γινόμενο.)

Αηοδείξτε ότι το πλήθος των πρώτων

αριθμών ι10υ το τελευταίο ψηφίο τους είναι διάφορο του

1 (δηλαδή,

λήγουν σε

3, 7

9) είναι

άrιειρο. (Υπόδειξη:

θεωρήστε όλους τους rιρώτους της μορφής 10k + a, ό που s ~ l , και ακολουθήστε τον προηγούμενο συλλο γισμό.)

Το επόμενο θεώρημα που διατυπώθηκε από τον γάλ λο μαθηματικό Lι!gendre το 1788 και αποδείχt:ηκε από τον γερμανό μαθηματικό Diri~hleι το

Ο ίδιος σνλλογισμός (με κάποιες τροποποιήσεις) μας

6k + δ.

1837 αποτελεί γε

νίκευση των προτάσεων που εξετάσαμε.

παρέχει τη δυνατότητα ΥΟ αποδείξουμε ότι υυάρχουν

θεώρημα. Κάθε άπειρη αριθμητική πρόοδος

a, a + d,

άπειροι πρώιοι αριθμοί της μορφής 4k + 3 και 6k + 5. Σας προτείνουμε όμως να εξετάσετε rιρώτα ω επόμενο

oxεrutά πρώιος με τη διαφορά

πρόβλημα.

θος πρώτων αριθμών. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση

Πρόβλημα

Αποδε/ξτε ότι κάθε πρώτος αριθμός

μεγαλύτερος του

a + 2d, a + 3d, ..., dx + a

στην οποία ο πρώτος όρος

(a)

είναι

(d), περιeχει άnειρο

πλή

y =

παίρνει άπειρες στο nλήθας πρώτες τιμές όταν

3 είναι: (α ) είτε της μορφής 4k + ι είτε Lης μορφής 4k + 3. (β) είτε της μορφής 6k + 1 είτε της μορφής 6k + δ.

το χ διατρέχει το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Σε α υ ιό το άρθρο, θα αποδείξουμε όιι το σύνολο των πρώτων αριθμών της μορφής 6k + 5 είναι άπειρο. Οπως και ο Ευκλείδης, θα χρησιμοποΙήσουμε την εις άτοπον

ξη. Μια τέτοια απόδειξη βρέθηκε για πρώτη φορά το

Μαγωγή. Υποθέτουμε ότι υnάρχει πεπερασμένο rιλή

Α.

θας πρώτων αριθμών της μορφής

λών δύσκολων θεωρημάτων της θεωρίας Αριθμών.

6k + 5:

Ρι• p,. -· Ρο·

θεωρούμε τον αριθμό

κ~

6p,p, ... p.- 1 = 6ιp,p2 ... p. - Ι J + 5.

Ο αριθμός Κ είναι είτε πρι:1τος είτε έχει πρώτους πα -

Η αrιόδcιξη του Diriεhleι δεν είναι στοιχειώδης, και

επί πολλά χρόνια δεν είχε βρεθεί στοιχειώδης αηόδει

1949

(εκατόν εξήντα ένα χρόνια μετά τη διατύπωση του θεω ρήματος από τον

Legendre)

από τον δονό μαθηματικό

Selberg. ο οποίος έδωοε στοιχειώδεις αποδείξεις πολ

Δίδυμοι Ας θυμηθούμε το πρώτο πρόβλημα ιου άρθρου μας.

Σίγουρα μαντέψαtε όιι, αν δύο πρώcοι αριθμοί διαφέ-

OUANfUM I ΑΡθΡΟ

;ι~ .. ι,ο' f ιi';QQ(IO

&q~

,ιό" 11' ~!f . . ~~

4δ6

ιιι,. + ιο'' + ιfίό()ΟΟ

389

1ο" + 1011

+ 150000 10,. • 1011 + ~50000

276

1013 + 10'* + 150000 10" + 1ο•• + ιδΟόΟΟ

208

276

186 ;,&ι

100

δΟ

ρουν κατά έναν περιττό αριθμό

p (κατά 1 ή 17 στην

20000

πε

γραμμική εξίσωση

s, b, c, όπου

sx + by : c με ακέραιους συντελε uι a, b είναι ηρώτοι μεταξύ τους αριθ

ρίπτωοη cου Προβλήματος Ι), ο ένας τους εiναι άρτι

στές

ος καΙ ειιομένως ισούται με 2. Ο άλλος πρώτος αριθμός του ζεύγουc;. q, διαφέρει αιιό ιον p κατά 2. Αν σ p εί ναι επίσης πρώτος. όπως στην περίπτωση p = 17 του Προβλήματος 1, οι αριθμοί p και q ονομάζονται δίδυ

μοί;

μοι. Στο Πρόβλημα

Ι tχει μια μοναδική ανάλυση σε γινόμενο πρώτων πα

αριθμοί

και

VJα παράδειγμα, τέτοιοι είναι οι

το eειελιώδες θεώρφα της θεώρημα. Κάθε φυ01κός αριθμός μεγαλύτερος του ραγόντων (χωρiς να λαμβάνεται υπόψη η σeιρά των πα

19. 10. Με

Dρό(!Μιμα τη βοήθεια του θεωρήματος του Dirichlet αποδcίξτε όn υπάρχει άπειρο πλήθος πρώτων

ραγόντων).

αριθμών που δεν aνήκουν σε κανένα ζεύγος διδύμων.

·ται κατά δύο διαφορετικούς φόπους, τότε θα υπάρχει ο ελάχιστος τέτοιος αριθμός, τον οποίο θα ονομάσουμε Ν. Έστω ότι Ν = p,p, ... p. = q1q, ... q. , όπου Ρι q,, (i • 1,

(Υιιόδειξη: Αυτοί οι πρώτοι αριθμοί μπορούν να λη φθούν από την αριθμητ;ική rφόοδο

15k + 7.)

Μπορούμε να θέσουμε το ερώτημα: Πόσα ζεύγη δι

δύμων υπάρχουν; Για παράδειγμα, υπάρχουν 1225{ι:ύ γη διδύμων μεταξύ του Ο και του {ι:ύγη μεταξύ του

8000000 και

100000 και μόνο 518 ωυ 8100000. Είναι άπeι

ρο to πλήθος των ζευγών διδύμων; Το ερώτημα αυτό

δεν έχει απαvτηθεi όπως και tνα γενικότερο που ετέθη από τον μεγάλο γερμανό μαθημαnκό Daνid Hilbert κοτά το 2ο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών, το 1900, στο Παρiσι. Το πρόβλημα του Hίlbcrι διατυπώνεται ως εξήc;: Έχει λύσεις στο σύνολο των ιtρώτων αριθμών η

llλPfiOΣ I ΑΠΡΙΑΙΟΣ 1t99

Απόδειξη. Αν υπάρχει αριθμός που nαραγοντοποιεί

1, 2, ... m) είναι πρώτοι. Μπορούμε να υπο θέσουμε ότι p1 S p 2 S ... S Ρ. και όn q1 s q2 S ... S q. (αν

2, ..., n,

ι=

δeν συμβαiνeι αυτό, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά

ιων παραγόντων}. Παραιιν>σύμε ότι p1 * q1, διότι δια φορετικά ο αριθμός N/ p1 s N/ q1, που είναι μικρότερος του Ν, θα είχε δύο διαφορετικtς παραγοντοnοιήοeις σε πρώτους παράγοντες. Αυτό θα ερχόtαν σε αντίθεση με την υπόθεσή μας ότι ο Ν είναι ο ελάχιστος τέτοιος αριθ μός. Υποθέτουμε ότι p 1 < q, και θεωρούμε ων αριθμό Ν' = Ν - p1q,... q.. Έχουμε

Ν = Ρι p, ... p. - p,q,, ... q,. = P,(P-;J>, ... p. - qiq, ... q,.),

των όρων μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο μικρότε ρο του

καθώς και Ν=

q,q, ...q,. -

Pιqi ...q.,

1 μας δίνει

ότι για κάθε

= (q, - p,)q, ...q,..

Ο αριθμός Ν είναι θετικός και μικρότερος του Ν. Συ

νεπώς, βάσει της υπόθεσής μας, η ανάλυση του Ν οε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι μοναδική. Αφού ο πρώτος αριθμός ρ1 είναι nαράγοντας του Ν, είτε συ

μπfnτει με έναν από τους παράγοντες q2, q3 , •••, q,. είτε διαιρεί το (q1 - p 1) . Από τις ανισότητες ρ 1 < q1 S q2 S ... S

q,. συμπεραίνουμε

ότι η πρώτη nερίπτωση είναι αδύ νατη. Επομένως, ο p, διαιρεί το q1 - ρ,. Τότε, όμως, ο ρ,

διαιρεί τον

q,,

πράγμα αδύνατο, δεδομένου ό,;ι ο

ι+-+-,+ Ρ Ρ

q1 εί

ναι πρώτος. Άρα, η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη, και

1- -

... + -;;<

το θεώρημα αποδείχτηκε. Σημείωση. Η απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήμα τος της αριθμητικής εξηγεί γιατί nροτιμούμε να μην θε

ωρούμε τον αριθμό

1 ως ιιρώτο.

ι·

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη όλες αυτές τις α νισότητες, παίρνουμε

Α ν είχαμε ηεριλάβει το

στο σύνολο των πρώτων αριθμών, κάθε ακέραιος θα

μnορούσε να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγό

ντων με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, διότι θα μπο ρούσαμε να εισαγάγουμε οποιοδήποτε πλήθος παραγό ντων ι σε κάθε ανάλυση.

Ιδού ιuα σημαντική συνέπεια του θεμελιώδους θεω ρήματος ιης αριθμητικής: Αν ο πρώτος αριθμός παράγοντας του γινομένου

ab, τότε είτε

p είναι

είναι παράγο

Ονομάζουμε Α rον αριθμό στο δεξιό μέλος αυ'tής της

ντας του a είτε παράγοντος του b. Πράγματι, έστω ότι ο p δεν ήταν παράγοντας ούτε του a οίιτε του b. Τότε,

ανισότητας. Αν εκτελέσουμε τις πράξεις στο αριστερό

αν πολλαπλασιάζαμε τις παραγοvτοποιήσεις του

που είναι αντίοφοφοι των διαιρετών τοίι Ν "'

του δεν

a και b, θα προέκυπτε μια παραγοντοnοίηοη του ab που θα περιείχε τον ρ. Από την άλλη πλευρά, ab = pt,

όπου ι ακέραιος. Α ν πολλαπλασιάσουμε -ι;ον παραγοντοποίηση του

t, nροκύπτει

και την

μια ακόμη ανάλυ

ση του ab σε πρώτους παράγοντες, ένας εκ των οποίων ε! ναι α p. Θα είχαμε, επομένως, δύο διαφορετικές ηαρα yοvτοποιήσεις του

ab,

κάτι που έρχεταΙ σε αντίθεση με

μέλος, θα πάρουμε το άθροισμα

Ν μπορεί να γραφεί ως

της ανισότητας είναι μεγαλύτερο του Α.=

+ l / 4 + 1/5 + ... + 1/2" (το τελευταίο για κάθε ο, ισχύει Α. Α

S" k21 ..., ο ~ rs ~ kp"

, r 1 ,~ko< ., _ r 2

1 (1 (1

=1+ - + - + -ι) + - + -ι + -ι + -ι ) + ... + • 234 5678

2""1 + 1

+ ... +2"

1 1 1 •. 1 n > ι + - + 2 ·- + 4 · - + ... + 2 1 · - = 1 + 2 4 8 2" 2. Έχουμε καταλήξει σε αντίφαση: Α κάθε

Ακόμη μία cιιόδειξη ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο

μάλιστα άθροισμα

Α. Όμως,

·ο~ οπου

1 + 1/2 + 1/ 3

περιέχει ένα μέροc; μόνο των όρων τού Sι. Επομένως,

όπου k,, k2 , ..., k, είναι 01 εκθέτες οων πρώτων παρα γόντων p 1, p2 , ..., Ρ, του Ν. Όλοι οι διαιρέτες τού Ν εί-

, a = p" '· p'• ... p,, 1 2

2"3"5•...ρ

ώρημα της αριθμητικής). Επομένως, το αριστερό μέλος

. tJ t J •• N -_ Ρι Ρ, ... Ρ, ,

να ι της μορφης

όλων των αριθμών

(σε αυτό το σημείο χρησιμοποιήσαμε το θεμελιώδες θε

το θεμελιώδες θεώρημα. Από -ι;ο θεμελιώδες θεώρημα έπεται ότι κάθε αριθμός

> 1 + n/ 2,

για

Επομένως, το σύνολο των πρώτων αριθμών εί

ναι άπειρο.

Πότε είναι πρώτος έvac αριθμός;

Η μοναδικότητα της ανάλυσης ενός αριθμού σε γινό

Όταν παραγοντοποιούμε έναν αριθμό Ν ή προσπα

μενο πρώτων παραγόντ(.:ιν μάς εmφέπει να αποδείξου

θούμε να βρού)lε αν είναι πρώτοc;, πρέπει να ελέγξου

με ακόμη μία φορά ότι υπάρχουν άπειροι σε πλήθος

με αν διαιρείται από τους διαδοχικούς πρώτου<; αριθ

πρώτοι αριθμοί. Αυτή η απόδειξη ανήκει στον Leoπhard

μούς

Euler. Ας υποθέσουμε ότ1

2, 3, 5, ..., p είναι ο

κατάλογος ό

λων των πρώτων αριθμr~ν. Ο τύπος γιο το άθροιο11α

2, 3, 5, 7, .... Αρκεί να ελέγξουμε τους πρώτους διαιρέτες που είνω μικρότεροι rou JN. Πράγματι, αν Ν = ab, τότε ο μικρότερος από τους a και b δεν υπερ βαίνει το

JN (αν ήταν και οι δ(ιο μεγαλύτεροι του .JN, QUANTUM I ΑΡθΡΟ

Ρ= (Ιι + 2X1 - [wz+ b + j

- qf - [(gk+2g+ k+ lXb + j)+ b-z]' 2

- [2n+ p+q + z- e'J - [ι6(k + 1) (k + 2Xn + 1) + 1- r' ] 1

-[e~(e + 2χa +ι)'+ 1-ο•]' - [(a' - ι}r2 +1- χ•]' - [ι6r2Y"(a• - ι)+ ι - ιι•]'

~ [((ιι,.. u'(u• ~a~))' -i)(n Hdy)" 't ~ - (χ +eu)2 Γ- [n + ι + \f - yj'

-[(a• -ι )ι• + 1- m'J' -[(11 + k+ ι - ι - i]' -[Ρ + ι{a-n - l)+ s(2sp+ 28 -

2p- 2)- xf

-[z+ pι(s - p)+t{2a - p' -ι)- pmJΊ.

το γινόμενό rους θα ήtαν μεγαλύτερο του Ν). Η διαι ρετότητα του Ν με το

a συνεnάγε'tαι

τη διαιρετότηtα του

Ν με το Ν ls. Ο πρώτος που έκανε αυτή την παρατήρη ση ήταν ο

(ο

Leonardo της Πίζας). Παραδelyματα. (α) Αν Ν = 91, τότ.e J9ϊ < 10 και, ελέγχοντας τους πρώτους 2, 3, 5 και 7, διαmστώνουμε ότι 91 z 7 · 13. (β) Αν Ν= 1999, τότε JΙ999 < 45, και αφού κανείς από τους πρώτους μέχρι το 43 δεν διαιρεί το Ν, το 1999 είναι nρώτοc; αριθμός. Fibonacci

ωc; διαφορά τετραγώνων: αφού 2

tχουμε ότι Ν = sb = χ

a•

+ y και b = χ - y,

y'.

Διαπιστώνουμε όn, αν ο Ν nαρισmνεται ως διαφορά οετραγώνων με περισσότερους από tναν ι:ρόπους, δεν είναι πρώτο<;: οι πρώτοι αριθμοί tχουν μια μοναδική πα

ρόσtαοη αυτής της μορφής. Αντιστρόφως, αν παριστά νεται ως διαφορά τετραγώνων με tναν μοναδικό τρό πο, τόtε δεν μπορεί να είναι σύνθετος (όπως αποδείξα με ), και επομένως είναι πρώτος.

Σe μερικές neριmώσεις μπορούμε να αποδεiξοuμε όn

Αυτό το κριτψιο μας εmτρέπει να χρησιμοποιήσου

ο αριθμός Ν είναι πρώτος χωρίς να εκτελέοουμe ιις δι

με έναν πίνακα τετραγώνων για να διαπιστώσουμε αν

αιρέσεις. Η επόμενη απλή nρόtααη διατυπώθηκε ηδη τον

ένας αριθμός είναι πρώτος. Προαθtιουμε διαδοχικά τα τετρόγωνα των αριθμών n < ( Ν - 1)/2 στο Ν και βλέ

18ο αιώνα από τον

Euler

και μας δίνει τη δυνατότητα

να επαληθεύσουμε ότι tνας αριθμός είναι nρώτοc; με τε

Για παράδειγμα, ας παραyοντοrιοιήαουμε το

λείως διαφορετικό τρόπο. Πρώτο κριτήριο του

Euler .

πουμε αν το άθροισμα είναι τέλειο τετρόγωνο.

Αν ένας περιττός αριθ·

αυτή τη μέθοδο. Προσθέτουμε στο

3551

με

διαδοχικά τους

μός Ν > 1 μπορεί να παρασταθεί ωc; διαφορά τετραγώ νων δύο φυσ ικών αριθμών με περισσότερους από tναν

ι". 22, 32, ... και ελέγχουμε κάθε φορά α ν το άθροισμα είναι τέλειο οετράγωγο, Βρίσκουμε ότι 3551 602 - 72

τρόπους, τότε ο Ν είναι σύνθετος. Α ν η nαρόοταση αυτή

,. 53 . 67.

είναι μοναδικίι, ο Ν είναι πρώτος.

Πρόβλημα

11.

Χρηοιμοηοιήστc τη μέθοδο που περι

Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο Ν δεν εί

γράψαμε για να nαραγοντοnοιήοετε τους επόμενους

ναι τtλειο τετράγωνο, διότι ένα τέλειο τετράγωνο είναι

σύνθετος αριθμός (ΙΙαρόμοια, μπορούμε να υποθcσου

αριθμούς: 6557, 19019 και 209209. Εύκολα μπορού)ιε να αποδείξουμε και -ι;ο επόμενο

με ότι είναι περιττός). Έστω

κριτipιο.

Ν= m1 Τότε, οι ο Ν είναι μένως, οι

n• = (m- n )(m + n ).

m + n είναι διαιρέτες του Ν. Εάν πρώτος, τότε m - n = 1 και m + n = Ν. Επο m = <Ν+ 1)/2 και n = (Ν - 1)/ 2 καθορiζοvται m- n

και

μονοσήμαντα από το Ν. Άρα ο Ν δεν είναι δυνατόv να

παροαταθεί ωc; διαφορά τετραγώνων με άλλο τρόπο. Αν ο Ν είναι σύνθετος (δηλαδή, αν Ν = sb, όιιου

a > b > 1 και ιιεριtτοί), ~ότε οι αριθμοί χ = (α + b)/ 2 και y = (a - b) / 2 μας δίνουν άλλη μια παρόστaση του Ν

ΜλΡτΙΟΣ I λΠΡΙΛΙΟΣ 1999

Δεύτερο κρηήριο του

Eu ler.

Αν ο φυσικός αριθ

μός Ν μπορεί να παροσταθεί ως άθροισμα τετραγώνων με περισσότερους από έναν τρόπους, τότ.e είναι σύνθε τος (η αλλαγή της σειρός ιων προαθετtων δεν θεωρεί ται διαφορετική nαρόσταση).

Από το δεύτερο κριτipιο του

Euler

έπεται ότι, αν έ

νας πρώτος αριθμός μιιορεί να παρασταθεί ως άθροισμα

τεφαγώνων, η nαρόσταση αυτή είναι μοναδική. Έχει ενδιαφέρον να ανακαλύψουμε nοιοιιιρώτοι αριθμοί nα ρισmνοντα ι με αυτή τη μορφή.

Πρόβλημα

12.

Αποδείξτε ότΙ οι αριθμοί της μορφής

ΤΩΡΑ ΚΑΙ ΣτΑ ΕΛΛΗΝΙ Κ Α

4k + 3 δεν μπορούν να παρασταθούν ως άθροισμα δύο τεφαγώνων. (Υπόδειξη: Το τετράγωνο ενός όρτιου

a·

ριθμού διαιρείται με το

ενώ το τετράγωνο ενός πε

ριττού αφήνει

όταν διαιρεθεί με το

4, υπόλοιπο 1

4.) Συνεπώς, μόνο οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 4k + 1 είναι υποψήφιοι γι' αυτή τη μορφή παράστασης. Ο Fer· mat απέδειξε ότΙ όλοι αυτοί οι πρώτοι παριστάνονται ως άθροισμα τετραγώνων. Το εν λόγω αποτέλεσμα μας ε· πΗρέπει να απαντήσουμε σε ερωτήματα όπως το ποιοι από τους αριθμούς

1973, 1987

και

1999

παριστάνονται

•

ως άθροισμα δύο τετραγώνων. Πρόβλημα

= n'

13.

(α) Αποδείξτε ό.ι ytα κάθε

είναι σύνθετος (θεώρημα του

n > 1, ο

IIM:IIIIU

Germain).

(β) Αιιοδείξτε ότι για κάθε ζεύγος θε.ικών ακεροiων (m, n) '# (1, 1), ο Ν = n' + 4m' ε! ναι σύνθετος.

(Υπόδειξη: Ν = (n' - 2m'? + (2mn)'. Στη συνέχεια, εφαρμόστε το δεύu:ρο κριτί)ριο του

Euler.)

ΠΟλυώνυμα που παράyουν πρώτους αριθμΟύς Δεν θα ήταν δύσκολο να αντιμετωπίσουμε τους πρώ· τους αριθμούς αν υπήρχε ένας απλός τύπος που θα μας επέτρεπε να τους βρίσκουμε. Οι προσπάθειες για την ανακάλυψη ενός τέτοιοΙJ τύπου είναι μακροχρόνιες. Για

Serge Lang

παράδειγμα, ο

EuJer ανακάλυψε το εξής αξιοσημείωτο τριώνυμο: n' + n + 41. Οι τιμές αυτού το11 πολυωνύ μου είναι πρώτοι αριθμοί ytα n = Ο, 1, ..., 39. Όμως, για n = 40, η τιμή του είναι 412 ~ριθμός που βέβαια δεν

ΜαθημαrJΚές συναvrήσεις με μαθιτrές γυμνασίου και Αuκείου

είναι πρώτος. Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε ότι δεν

υπάρχει πολυώνυμο μίας μεεαβληtής που παiρνει μόνο

• Το βιβλίο περιλαμβάνει τα μαθήματα που δ1δαξε ο Serge Lang -παγ~οομίοu φήμης καθηγητής

πρώτες rιμές.

Πρόσφατα, ανακαλύφθηκε ένα πολυώνυμο οι θετ1 ·

μαθηματικών τοu Πανεπιστημίοu Yal~ σε μαθητές

κές τιμές του οποίου στα ακέραια σημεία ονμπ!πτουν

της μέσης εκπα!διuσης. σε σχολεία της Γαλλίας και

με το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Το πολuώ·

Καναδό. • Στόχος του c;nιγγραφέα ήταν να δεiξει στους μαθητές (αλλά και στοuς .δαοκόλοuς τους) όμορφα

-rou

νυμο περιέχει είκοσι πέντε μεταβλητές (βλ. το πλαίσιο της σελ. 18).

μαθημαrικό. στο επίπεδο της δικης τους τάξης, ιδωμl:να όμως με ;ον τρόπο ενός έμπειρου

Το πολυώνυμο αυτό προέκυψε από τη μελέτη των διοφαντικών εξισώσεων. Συνδέεται με τη λύση του 10ου προβλήματος του

Hilbert

μαθηματικού. Τα μαθήματα αφορούν γεωμετρικά και αλγεβρικό θέματα εκτός όλης. τcι οποία είναι

που ανακάλυψε ο ρώσος μα·

θηματικός Υ.Α. Matiyaseνich.

κατανοητό στο επiπεδο της τρίτης γυμνασίου και

Ολοκληρώνουμε, αροτείνοντας μερικά ακόμη προ βλήματα.

•

της πρώτης λυκιίου. Στο τV.ος του βιβλίου παραήθεται εκτενής οuζήτηση

-κριτική για τα σχολικό βιβλία. τα νέα μαθημαrικό και Προβλήματα

14.

τον τρόπο που διδάσκονται στα σχολεfα μας.

Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι

•

Εφόσον οι μαθητές αuτών των τάξιων κατόρθωσαν

ταυτόχρονα όθροισμα και διαφορά δύο πρώτων αριθ

να κατανοήσοuν αλλά και να απολαύσουν όλα το6τα

μών.

τα μαθηματικό. είναι βέβαιο ότι το ίδιο θα συμβεί και

15.

Αποδείξτε ό.ι το υπόλοιπο της διαίρεσης του U:·

τραγώνου ενός πρώτου αριθμού διά 12 ισούται με 1.

μεγαλύτερου του

16. Αποδείξτε ότι, αν οι p και ρ'+ 2 είναι πρώτοι α · ριθμοί, τότε και ο p 3 + 2 είναι επίσης πρώτος αριθμός. 17. Ποιοι πρώτοι αριθμοί μπορούν να nαροσταθούν ως άθροισμα δύο τέλειων κύβων;

18. Ποιο είναι το n αν τα n + 1, n + 3, n t 7, n t 9, n + 13 και n + 15 είναι πρώτοι αριθμοί: ιϊ1

με καθl:ναν από εσάς (είτε ε!στε μαθητ~ς ε!τε καθηγητής)· ξεφυλλίστε το βιβλίο. απολαύστε τη

φρεσκάδα τοu. και ψmιευαθε!τε από τη νέα διδακτική τοu προσέγγιση.

ItJ.: 228, 14 χ 21 ΕΚ., Α/Μ, 5 .5(}{) 6pχ. ΕΚΔΟΣΕΙΣ κάτοπτρο Βι,ωιοtτωΑΕίι:ι: Στοά του βιflλlou (Πεσμαζόγλου

105 64

Αθήνα. τηλ.:

5).

3247785

Web sι~e: www.k~ιopιro.gr

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

Ένα

1: ι 1 ι

ικο nειστηριο

Οι δικηγόροι, οι δικαστές, οι πολιτικοί και οι πολ/τες, όλοι μας, θα ήμασταν καλύτεροι αν διαθέταμε περισσότερες επιστημονικές γνώσεις

Richard Dawkins

ΑθΑΙΝΩ ΑΠΟ ΑΠΟΛ ΥΤΑ ΑΞΙ-

οπιστες πηγες πως οι συνη·

γοροι υπεράσmσης στις ΉΠΑ,

αρκετές φορές, προβάλλουν ένσταση στην υποψηφιότητα ε νόρκων, στηριζόμενοι στο γεγονός ότι οι τελευταίοι διαθέτουν καλή εmστημοvtκή κατάρτιση ή έχουν γνώσεις γενετικής! τι μπορεί να σημαίνει αστό; Εiναι, άραγε, οι γε •

νετιστές γνωστοί για τις βαθιά ρι ζωμένες προκαταλήψεις τους ενά ντια σε ορισμένες κοινωνικές ο μάδες; Εiναι μήπως οι μαθηματι •

κοί ιδιαίτερα εmρρεπείς σε μια λο-

γικη του τυπου .μαστιγωστε τους•

και •κρεμάστε τους•; Φυσικά, όχι. Οι ενστάσεις των δικηγόρων έ χουν πιο ταπεινά ελατήρια.

Όπως γνωρίζουν όσοι παρακο • λούθησαν τη δίκη του Ο.Τζ. Σίμ σον [του διάσημου αμερικανού πο δοσφαιριστή που κατηγορήθηκε πως σκότωσε την πρώην σύζυγό του και το φίλο της], η γενετική έρευνα κάνει την παρουσία της ο·

λοένα και

mo αισθητή στα ΠΟΙ\'1 ·

κά δικαστήρια, και αποκτά εξωρε τικά μεγάλη δύναμη. (Και αυτή η aπεχθής υπόθεση της Μόνικα Λ ε βίνσκι, στα χέρια του ακόμη αντι·

παθέστερου Κέννεθ Σταρ, κατέ στησε το DNA περισσότερο γνωστό στο ευρύ κοινό. Αλλ'ά και λίγους μήνες πριν, το

FBI ανακοίνωσε ότι συγκρότησε μια εθνική βάση δεδο •

ΜΑΡτΙΟΣ / ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

μένων με δεiγματα

DNA από άτομα που έχουν καταδι

καστεί για συyκειφιμέ,•α σοβαρά εγκλήματα). Αν ο κα

τομμυρίων ζευγών βάσεων που διαθέτουμε όλοι μας. Και λοmόν, πώς εμφανiζεται

npqjλημa; Πώς μπο

τηγορούμενος είναι αθώος. το γοVJδιακό αποτύπωμα μπο

ρούν οι δικηγόροι να παραπλανούν τους ενόρκους, κά

ρεί να προσφέρει έναν συντριπuκό τρόπο απόδειξης της αθωότητάς του. Α ν είναι ένοχος, το πειστήριο του DNA

νοντός τους να παρερμηνεύουν ή να αγνοούν τόσο ση

παρέχει την ευκαιρία για εmβεβαjωση της ενοχής του,

έχουν οδηγηθεί σε τόσο aπελπιστικό ακραίες λύσεις,

oe περιπτώσεις που

ώστε να το αποκλείουν ολωσδιόλου; Υπάρχουν τρεις

κανένα άλλο στοιχείο δεν μπορεί να

μαντικά αποδεικ .. κό στοιχεία; Γιaτ.ί μερικά δικαστήριο

την τεκμφιώσει.

κύριες τάξεις ενδεχόμενων προβλημάτων: μία απλών,

Όπως έχουν τα πράγμαtα, το γονιδιακό απο~ύπωμα είναι πολύ δύσκολο να εκτιμ~ί την κατάλληλη στtγ

μία περίπλοκων και μία aνόητων. θα ασχοληθώ με

ανόητο και το περίπλοκα προβλήματα παρακάτω· πριν

μή -πόσο μάλλον υπό την ιήεση της εκδίκασης μιας

απ' όλα, όμως, θα αναφερθώ στην απλή -και σημαντι

ποινικής υπόθεση~. αλλά υπάρχουν και κάποιες αμ

κή- πιθανότητα του ανθρώπινου λάθους. Ή μάλλον,

φιλεγόμενες πλευρές του οι οποίες είναι ακόμη δυσκο

απόδοση της δικαιοσύνης- θο καλωσόριζαν wυς ενόρ

πιθανότητες λάθους, διότι υπάρχουν άφθονες ευκαιρίες για σφάλματα ή ακόμη και για δολιοφθορά. Είναι δυνα τόν να τοnοθε~ί λάθος ετικέτα οε ένα σωληνάριο με δείγμα αJματος -είτε τυχαία είτε από δόλο. Ένα δε!γ ·

κους που είναι ικανοί να παρακολουθήσουν την προ

μα από τον τόπο του εγκλήματος μπορεί να επιμολυν

βαλλόμενη εmχειρηματολογία. Αλλά καθώς οι δικηγό

θεί με εναιώρημα κυττάρων δέρματος που υπάρχει στον

ροι παραμένουν δικηγόροι -δηλαδή, προσηλωμένοι στο

ιδρώτα ενός τεχνικού του εργαστψίου ή ενός αξιωμα

στόχο να κερδίζουν τις υποθέσεις τους με οrιοιοδήποτε

τικού της αστυνομίας.

λότερο να σταθμιστούν. θα πίστευε, λοιπόν, κανείς ότι οι έντιμοι δικηγόροι -<>ι οποίοι δεν επιθυμούν παρά την

τίμημα- συχνά πράττουν το αντίθετο. θα πρέπει μάλ •

Ο κίνδυνος μόλυνσης είναι ιδιαίτερο μεγάλος στις

λ ον να νιώθουν πως οι εξοικειωμένοι με tη γενετική έ

περιπτώσεις εκείνες οτις οποίες χρi}Οiμοποιeίται μια πο

νορκοι θο μπορούσαν να χρηιnμοnοιήσουν ι.α πειστψια

λύ ευφυής τεχνική, γνωστή με το όνομα

του DNA με τρόπο που να βλάπτει τους πελάτες τους. Δεν θίγω όμως το θέμα αυτό με σκοπό να λιθοβολή σω τους δικηγόρους, αν και αrιοτελούν εξαιρετυτούς στό

δωtή αντίδραση πολυμεράσης), για τη δημιουργία εκα

χους, αλλά για να φωτίσω ένα πρόβλημα που είναι και·

προφανές: ένα επίχρισμα ιδρώτα στη λαβή του όαλου

νούργιο και ταυτόχρονα παμπάλαιο. Καθώς η επιστήμη

ιιεριι\χει ελάχιστο

PCR

μπο

αναπτύσσει τις τεχνικές της και εξειδικεύεται συνεχώς

ρεί να ιιολλαιιλaσιάσει αυτή την ελά)(Ισtη ποοότητο

DNA

και περισσότερο, οι ένορκοι όλο και πιο συχνά βρίσκο

έτσι ώστε να προκύπτει ένα δείγμα που μπορεί να χρη

νται στην ανάγκη να καtανοήσουν στοιχεία που ίσως

σιμοποι~ί ~ηλαδή να οναλυθεL Δυστυχώς. μαζί με

οι ίδιοι οι δικηγόροι να μην τα κατανοούν απόλυι.α. Ταυ

το αληθινό τεκJΙΙV!ιο η

τόχρονα, όλα τα φυσικά οποδειιηικά στοιχεία που πα

στοιχείο εnφόλυνοης. Τα παραπλανητικά τεμάχια του

ρουσιάζονται σε ένα δικαστήριο -είτε πρόκειται για α ·

DNA

ναγνώριση από μια σειρά υπόπτων είτε γιο μια δοκι

σου αποτελεσματικά όσο και το δείγμα υλικού aπό τον τόπο του εγκλήματος, με προφανείς ενδεχόμενους κιν δύνους για την έκδοση άδικης απόφασης.

μασία ανίχνευσης ψεύδους είτε γιο ένα δείγμα DΝΑ οτφίζονται στη θεωρία των πιθανοτήτων· και ακριβώς αυτή η aξιοσέβαστη θεωρία ~πως εξίσου και οι ιδιαι· τερότητες του γονιδιακού αποwπώματος

PCR

(αλυσι

τομμυρίων αvnγράφων μιας δεδομένης αλληλουχίας wυ μορίου

DNA. Το

πλεονέκτημα αυτής της τεχνικής είναι

DNA

ι1pος ανάλυση, αλλά η

PCR

πολλαπλασιάζει και όλο τα

από τον ιδρώτα ενός τεχνικού αντιγράφονται εξί

Παρ' ότι η

PCR

χρησιμοποιείται πολύ συχνά στη δια

είναι που

δικaσία ανάλυσης γονιδιακού αοοτυnώματος, ο κίνδυ

συνήθως κατανοείται ελό)(Ιστα. Αυτό rιου aντιμετωπί ζουν με δυσπιστία ή που προσπερνούν οι δικηγόροι δεν

νος μόλυνσης του δείγματος είναι ελάχιστος όταν λαμ βάνονται οι σωστές προφυλάξεις. Επιπλέον, όποτε γί

είναι απλώς και μόνο οι επιστήμονες, αλλά ο ίδιος ο

νονται λό.θη, αυτά λειτουργούν πάντοτε προς όφελος

εrιιστημονικός τρόπος σκέψης.

του εναγομένου, είτε συγχέοντας τα δεδομένα είτε ενο

Ως εργαλείο γιο την ταυτοποίηση ανθρώπων, το

DNA

χοποιώντας άλλους, προφανώς αθώους. που παρευρέθη

είναι απαράμιλλο. Ένα γονίδιο είναι το σωμa τικό αντί

καν στη σκηνή του εγκλήματος μόνο για λόγους καθή κοντος. Όπως και να 'ναι , το αvilpώrnνo σφάλμα δεν

στοιχο wυ .ραβδωwίι κώδικα• tω\' εμπορευμάτων: τ~

DNA

σε καθένα από τα κύτταρά μου (με ελάχιστη

αφορά αποκλειστικά και μόνο την περίπτωση των στοι

θανότητα σφάλματος -και εξαιρώντας το ερυθροκύττο

χείων οπό το

ρα του αίματος, που eχουν χάοει όλο το

τους, ή τα

μπορούν να αλλοιωθούν από αδέξιους χειρισμούς ή δο

αναπαραγωγικά κύτταρα, που με τυχαίο τρόπο φέρουν

λιοφθορά, και όλο θα ιιρέπει κανείς να τα μεταχειρίζε

μόνο τα μισά γονίδιά μου ) είναι πανομοιότυπο με το DNA σε όλα τα άλλα κύτταρά μου. Και αυτό διαφέρει από w DNA που βρίσκεται σε καθένα απ' όλα ι.α δικά

ται με σχολαστική προσοχή. Τα δικαστtw>ια έχουν ή δη αποδεχθεί την ανάγκη λήψης μέτρων προφύλαξης, παρ' όλα αυτό εξακολουθού'' να συμβαίνουν σφάλμα

σας κύτταρα ~χι με κάποιον αόριστο ι<οι ασαφή τρό

τα -και μερικές φορές, δυστυχώς, με τραγικά αποιε

πο, ούτε με τον τρόπο που διαφέρουν τα πρόσωπά μας

λέσμaτα. Τα ευρήματα οπό την ανάλυση του

ή οι υπογραφές μας. Διαφέρει κ ατό ο κριβή αριθμό απο •

πορομένουν απρόσβλητο από την ανθρώπινη αδεξιότη

λύτως εντοπισμένων θέσεων κατά μήκος των δισεκα-

τα , ολλό ούτε εiνοι και ιδιαιτέρως ψωtό. Αν όλα τα

DNA

DNA. Όλο το είδη αποδεικτικών στοιχείων

QUANfUII / ΑΡθΡΟ

DNA

δεν

οΙJοδeικτικά στοιχείο οπό το

DNA έπρεπε να απορριφθούν

ή εναλλαγές δύο και πάντοτε ίδιων επαναλαμβανόμε

.\όγω των τυχαίων λαθών, τότε θα έπρεπε επίσης να α

νων βάσεω'' ή, τέλος, και συνεχείς επαναλήψεις ενός mo

ποκλειστούν και τα περισσότερα από τα άλλα είδη απο

περίπλοκου προτύπου.

δεικτικών στοιχείων.

Διαφορετικοί άνθρωποι έχουν διαφορετικούς αριθμούς οειραϊκώv

ΟΙ ΠΕΡΙΣ!ΧΠΕΡΟ ΠΕΡΙΠΛΟΚΕΣ δυσκο

επαναλήψεων σε συγκεκριμένες θέ

λίες ιιου συσκοτίζουν τα στοιχεία α

σεις. Έtαι, εγώ μπορεί να έχω

πότη γονιδιακή ανάλυση χρειάζονται

επαναλήψεις ενός ιδιαtτερου τμή

πιο εκτενείς διευκρινίσεις. ΚJ εδώ, ε πίσης, υπάρχουν αντιστοιJ(iες με

ματος •ανερμηνεύσ ι μου•

εσείς να έχετe

συμβατικό είδη αποδεικτικών οtοι

μια άλλη ιιεριοχή, εγώ θα μ π ορού

ζήτημα. rια κόθt είδος στοιχείου ταυ

σα να έχω

ιοιιοίηοης, υπάρχουν δύο τύποι λά

38.

θους -που ανηστοιχούν σwυς δύο

ρές επαναλαμβάνεται tνα ιδιαίτερο

νητικό. Ένας ύποπτος που είναι ένο

κομμάn ανερμηνεύσtμου

χος ενδέχεται να μην αναγνωριστεί,

Στην περίπτωση αrιοδεηιτικών στοιχείων βάσει ι.ου

DNA, ο κίνδυνος μιας ψευδώς θετικής καταδικαστικής ετυμηγορίας είναι θεωρητικά, όντως, πολύ χαμηλός. Η αστυνομία έχει δείγμα αίματος από κάποιον ύποιιιο, κα θώς και ένα δείγμα υλικού από τον τόπο του εγκλήμα τος. Αν καταγραφόταν αναλυτικά ολόκληρη η ομάδα γο

νιδίων αrιό καθένα από τα δύο δείγματα. η mθα νότητα

!""

κής επανάληψης tγκειwι σrο ότι η

μέφηοή wυς είναι εύκολη. Αρχίζετε να κόβετε έγα τμή μα

rou DNA οε

τεμάχια, χρησιμοποιώντας περιοριστικά

ένζυμα τα οποία εγκαθίστανwι σε μια συγκεκριμένη αλληλουχία βάσεων και διασπούν τους μοριακούς δε

σμούς της. Όλα tα τεμάχια δεν περιέχουν σειραϊκές επα ναλήψεις -ης περιέχουν μερικά απ' αυtά-, και το μή

κος κάθε τεμαχίου θα καθορίζεται ο ε μεγάλο βαθμό α πό τον αριθμό των σειρα\κών ειιαναλήψεων που περιέ χονται σ' αυτό. Δεν χρειάζεται να εμπλα.κεί τε ο την ανά λυση της αλ.\ηλουχίας των επΙμέρους βάσεων: απλώς

κόβετε και μετρό τε.

εσφαλμένης καταδικασtικής ετυμηγορίας θα ήταν ένα

λΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΊΌ ΠΛΗθΟΣ mN ΚΟΜΜΑΤIΩΝ rου γονιδιώ

αρος ιιολλά δισεκαwμμύρια. Βεβαίως, θεωρηnκά είναι δυνατόν η αναπαραγωγική λοtαρία να παραυσtάοει δύο

ματος που διερευνάται,

φορές την ίδιο γενετική αλληλουχία: θα μπορούσε αύ

μία μόνο περιοχή wυ γονιδιώματος, οι πιθανότητες γα

ριο να γεννηθεί ένας -pανομοιότυπος δίδυμος• του Ισα

ταιριάζουν τα δείγματα από τύχη μπορεί να είναι αρκεtά

άκ Νεύτωνα. Αλλά το πλήθος των ανθρώπων rιου θα έ

υψηλές: μεταξύ ένα αρος εκατό και ένα προς χίλια, ή και

πρεπε να γεννηθούν ~ια να έχει το εν λόγω γεγονός

περισσότερο. Ωστόσο, για να υηόρχει βεβαιότητα, οι ια

κάποια πιθανότητα να συμβεί θα έπρεπε να είναι με γαλύτερο απ' ό,τι το πλήθος όλων των ατόμων του Σύ

τροδικαστικοί αναλυτές γονιδιακών αποτυπωμάτων ε

γονιδιακό αποτύπωμα μπορεί

να είναι λιγότερο ή περισσότερο ακριβές. Ακόμη και σε

λέγχουν συνήθως πέντε-έξι διαφορετικές περιοχές του γονιδιώμαrος. Σ' αυ-ι;ή την nερίιιτωση, οι mθανότητες

μπαντος.

DNA.

Η ομορφιά των αριθμών σειραϊ

και έtαι να διαφύγει: ψευδώς αρνη

τα ία rιερίπτωση ως το πιο επικ ίνδυνο σφάλμα.)

Κάθε άwμο έχει ένα χαρακτη

κάθε αριθμός υποδηλώνει πόσες φο

ψευδώς θετικό και έναν ψευδώς αρ

αηοιέλεομα. (Οι ιιερισσότεροι θεωρούν αυτή την τελευ

εσείς

αποτελείται από μια ομάδα αριθμών·

ασδήποτε στατιστικής ένδειξης: ένα,·

να μοιάζει με τον πραγματικό ένοχο: ψευδώς θετικό

24 επαναλήψεις κι

ριστικό γονιδιακό αποτύπωμα που

πιθανούς τύπους σφάλματος οποι

ρεί να καταδικαστεί επειδή συμβαiνει, από κακή τύχη,

επαναλήψεις του

σεις του δικού οας γονιδιώματος. Σε

τικό αιιοιiλεσμα. Ή ένας ύnonwς που είναι αθώος μπο

DNA, ενώ

ίδιου κομματιού στις αντ!σwιχες θέ

χείων, αν και συχνά τα δικαστήρια δεν φαίνονιοι να κα-ι;ανοούν αυτό

147

Δυστυχώς, δεν είναι καθόλοΙΥΠρακηκό να αναλύουμε ολόκληρη τη γενετrκή αλληλουχία (γο,·ιδlωμα) ενός ατόμου προκειμένου να 1Ιρούμε τη λύση σε ένα eyκλη

μα. Στην πράξη, οι ειδικοί ερευνητές της εyκληματολο

σφάλματος είναι πράγματι εξαιρετικά μικρές. Αλλά μας

ενδιαφέρει πόσο μικρές: διότι το γονιδιακό αποτύπωμα μπορεί να παίξει μοιραiο ρόλο για cη ζωή ή την ελευθε ρία ενός ατόμου.

γικής υπηρεσίας συγκεντρώνουν τις προσπάθειές τους

Ας εmατρέψουμε για λJγο στη διάκριση μεταξύ ψευ

σε μικρό τμήματα του γονιδιώματος, αναζητώνwς αλ

δώς θετικού και ψευδώς αρνητικού αποτελέσματος. Το

ληλουχiες που είναι γνωστές ως •σειραίκές επαναλή

πειστήριο του

ψεις• -()Ι οποίες εύκολα μετριούντ.αι και είναι γνωστό

πτο ή να εmφέρει την καταδίκη ενός ενόχου. Ας υπο

...~

ότι εμφανίζουν παραλλαγές στον γενικό πληθυσμό. Οι

θέσουμε λοιπόν όη λαμβάνεwι σπέρμα από τον κόλπο

σcιραϊκές επαναλήψεις κατατάσσονται μεταξύ των ·ά-

ενός θύματος βιασμού. Έμμεσες ενδείξεις οδηγούν την

DNA

αστυνομία να συλλάβει τον ύποπτο Α. Ο ύποmος Α δί

·ο

~ χρηστων• αλληλουχιών

που ωιοτελοιίν το με γα

DNA μπορεί να απαλλάξει έναν αθώο ύnο

λiιι.ερο μέρος του γονιδιώματ;α: καθε οργανισμού. Μπο

vει δείγμα αίματος, και αυτό συγκρ!νεwι με το δείγμα

.;;

ρεί να είναι συνεχείς ειιοναλή'~ εις μίας και μόνο βάσης

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

σπέρματος, μέσω εξέwσης tαυ

DNA,

προκειμcvου να

αναλυθεί μία περιοχή οειραϊκών επαναληψεων. Αν τα

ιδιαiεερων γονιδίων. ΕόΥ, λοιπόν, για να εmστρέψουμε

δύο δείγματα διαφέρουν, ο ύποπτος Α απαλλάσσεται. Αλλά n θα συμβεί αν το αίμα τού Α ταφιάζει με το δείγμα οrιέρμαtος wυ βιαστή στη συ

σιην υοοθεtική δικαστική περίmωσή μας, ο ύποπιος Α κα.ι ο ηροyματικός δράστης του εγκλήματος ανήκουν και οι δύο στηγ ίδια μειονοτική ομάδα,

γκεκριμένη περιοχή του γονιδιώμα

tόtc η ωθανότητα σφάλματος θα ή

tος; Ας υποθέσουμε όtι και οι δύο

τα ν εντυπωσιακά μεγαλύτερη απ' ό

έχουν το ίδιο πρόωπο .ραβδωτού κώ Ρ. Αυτό το εύρημα είναι συμβιβαοτά

σο Οα μπορούσατε να πιστέψεtε αν στηρίζατε τις εκτιμήσεις σας στον γε νικό πληθυσμό. Η συχνότητα του

με την άποψη περί eνοχής του unό

προτύπου Ρ στον γε,•ικό πληθυσμό

πτου Α, αλλό δεν την αποδεικνύει. 0 Α θα μπορούσε απλώς να tχει συ

παύει πλέον να μας ενδιαφέρει. Η

δικα• -ας το ονομόοουμε nρόtuno

του πραγματικού βιαστή. Η αοτυνο

αστυνομία χρειάζεται να γνωρίζει τη συχνότητα του προτύπου Ρ στους κόλπους της ομάδας όπου ανήκει ο

μjα λοιπόν θα πρέπει να διερευνήσει

υποπτος.

μερικtς ακόμη περιοχtς του

τα δείγματα εξακολουθούν να ται ριόζουν, n πιθανότητες υπόρχουν

Η ανάγκη να λαμβόνουμε υπόψη τις ιδιαίτερες αντίστοιχες συχνότητες δεν είναι κάτι νέο, και βρίσκει εφαρ

αυτή η ομοιότητα να είναι απλώς συ -

μογή τόσο σε πράγματα όσο και σε

μrιτωματική; Σ'αuιό ακριβώς το ση

αΥθρώrιους. Κάποτε υπηρέτησα ως έ Υορκος ο το Βασιλικό Δικαστήριο της Οξφόρδης, σε μJα υπόθεση όπου ένας άνi!ρωπος καιηγορείτο πως έκλεψε τρία νομίσματα από

μιιτωματικά ίδιο πρότυπο Ρ με αυτό

DNΑ. Αν

μείο οι ερευνητές θα πρέπει να αρ χίσουν να σκέφτονται οταtιστικά.

θεωρητικώς. όtα\' παiρνουν αiμα από ένα οταtιοτtκό δelγμα ανδρών στο γενικό πληθυσμό, θα πρέπει να μπο

ι\ναν αηαγωνιστή νομισματοσυλλέκιη. Ο κατηγορού

ρούν να υπολογίσουν την πιθανότητα δύο οrιοιοιδήποτε

μενος είχε συλληφθεί με τρία ΥΟμlσματα στην κατοχή

άνδρες να έχουν nανομοιότυnες σεφαϊκές ειιαναλήψεις

του, που ήταΥ πανομοιότυπα με αυτά που eίχαν χαθεί.

σε κάθε σχετική ιιεριοχή του γονιδιώματος. Αλλά από ιιοιο cμήμα του πληθυσμού εmλέγουν το δείγμα τους;

Ο συνήγορος πολιτικής αγωγής ήταν εύγλωττος:

Αν μια γυναίκα έλεγε στην αστυνομία ότι ο βιαστής είχε γενειάδα, και η αοτυνομjα συνελάμβανε έναν γε νειοφόρο ύποπτο, θα ήταν άδ11tο εκ μέρους ιης αστυνο

Κυρίες και κύριοι ένορκοι, nεριμένουΥ πράγμοtο από

εμός να nιοtiψουμε ότι τρία νομίσματα, ακριβώς του

Ιδιου ιύπου όοως και ω φlα νομίσματα που λείπουν,

μίας να τον βόλει να στέκεται σε μια σειρά αναγνώρι

θο μπορούσα'· μόνο ουμnιωμαnκά να βρίσκονται στη συλλογή ενός αvrίπαλου συλλέκτη; Ε, λοιπόν, σας ΑJ.ω

σης μεταξύ άλλων δεκαεννιά καλοξυρισμένων ανδρών.

όtο πάει πολύ να χωνέψουμε μια τέτοια ούμιιιωοη.

Με την ίδια συλλογιοιική, η σίιγκριση δειγμάτων DNA μπορεί να κατευθύνεται με άδικο τρόπο ενάντια στον ύ

Στους ενόρκους δεν eιιιτρέπεται να κάνουν εξέταση

ποmσ. Ας υnοθέσουμε ότι στον παγκόσμιο πληθυσμό, γενικά. μόνο ένας άνδρας στο ένα εκατομμύριο άνδρες

έχει το πρότυnο Ρ. Μήπως αυτό σημαίνει όu υπάρχει πιθανότητα ένα ηρος ένα εκατομμύριο να ιιαταδικαστ~ί άδικα ο ύnοmος Α; Καθόλου. Ο ύποπτος Α μπορεί να ανήκει σε μια μειονότητα που οι πρόγονοί της μετανά στευσαν από κάποια συγκεκριμένη περιοχή του πλανή

τη. Οι τοπικοί πληθυσμοί εμφανίζουν συχνά κοιΥές γε νετικές ιδιαιτερότητες. για τον αnλό λόγο ότι κατάγονται από τους ίδιους προγόνους. Κάπου δύο με πεντε εκατομμύρια Νοιιοαφρικανοί Ολλαγδοί, ή Αφριχάνερς όιιως λέγοηαι, κατάγονται από ένα •καράβι• μεταναστών που το 1652 ι!φτοσε στη Νό τιο Αφρική από τις Κότω Χώρες. Από τους εΥ λόγω aπο γόνους, περίπου

8.000 (ή περίπου

έΥας ο τους

300) ε μ

φανίζουν την αιματολογική Υόσο πορφυρία ιύnου νar iegaίa, που εί,•αι rιολύ

σπάΥΙα στον υπόλοιπο κό

σμο. Προφανώς, παρουσιάζουν αυτή την κατάοuιοη ε πειδή κατάγοηαι από ένα και μοναδικό ζευγάρι πάνω

στο πλοίο -το" Gerriι Jansz και την Ariaantje Jaεobs. Και άλλοι πληθυσμοί εμφανίζουν συχνά σε τοπικό ειri ιιεδο -για τον ίδιο λόγο υψηλές ουχνόιηtες κάποιωγ

και' ανιιπαράσταση. Αυtό αποτελεί καθήκον του συνη γόρου υπεράσπισης, κι αυτός, αν και αναμφίβολα διέ

θετε εξίσου μεγάλη ''Ομική μόρφωση και ήταν εξίσου ευφραδής, δεν ήξερε τίποτε παραπάνω σχετικά με ιη

θεωρία των αιθανοτήtων απ' ό,τι ο συνήγορος πολltικής αγωγής. Προσωπικά, θα ήθελα να απαΥτούσε κάπως έτσι: Κύριε Δικασιά, δεν γνωρίζω αν όντως πάει πολύ να χωνtψουμe μια τέτοια ούμιηωση, δεδομένου ότι ο ιιε ρισrιούδασιος συνάδελφος δεν μας ηαρουσiαοe απολύ τως κανέ,•α στοιχείο για ω πόσο σπάνια ή συχνό εΙ

ναι αυτό uι φ!α νομίομαuι στην πληθυσμιακη ομάδα των συλ.\tκτών νομισμάιων στην Α\Ύλiα. Αν αυιΔ τα νομίομαuι εlναι τόσο σπάνια ώστε μόνο ένας στους εκατό συλλέκτες αυτής της χώρας μπορεί να διαΟέτει κάποιο απ' αυτά, τόιe η ενάγουσα αρχή έχει πολύ δί κιο, εφόσn'' ο κατηγορούμενος συΥελήφθη με φία απ' αυτά. Α''• όμως, από ι ην άλλη, αυτά τα Υομlσμαια εί ναι κοιΥά και ευη:λή, δεν υπάρχουν αρκετά στοιχeία για ''α στψιχu:ί μια χαιαδίχη. (Για να οδηγήσω ιηv αποψή μου ώς τα άκρο. τρία νομίσματα που έχω σ;ην τσέπη μου σήμερα, και που όλα ανήκουν στο φέχο'· νόμιμο χρήμα, είναι πολύ rιιθανό πως θα ε! ναι ίδια με

τρία νομίσματα οιηΥ τοέιιη tης Εξοχότητάς Σος.)

QUAHrull / ΑΡθΡQ

Η ίδια αντίρρηση μπορεί να λεχθεί -και πράγματι έχει διατυπωθεί- σχετικά με τα αποδεικτικά στοιχεία από τα DNA. Ευ•υχώς, στην περiητωση που εξετάζονται αρκετtς περιοχές του DNA, οι πιθα

προέβλεψε πλημμυρίδα εφέσεων και σε άλλες περιπτώ

σεις. Η κεντρική ιδέα ήταν ότι ο καθένας που έλιωνε σι:ις φυλακές επειδή κρίθηκε ένοχος με βάση το πειστήριο από την ανάλυση του DNA τώρα θα είχε

νότητες εσφαλμένης αναγνώρισης της

'tη δυνατότητα να εφεσιβάλει την α·

ταυτότητας, ακόμη και μεταξύ των

οόφαση, επικαλούμενος το δεδικα

μελών μειονοτικών ομάδων, ακόμη

σμένο. Αλλά η πλημμυρίδα θα μπο

και μεταξύ μελών της ίδιας οικογέ

ρούσε να είναι ακόμη μεγαλύτερη

νειας (εκτός από μονοωογενείς διδύ

απ' ό,τι φανταζότ~ν η εφημερίδα. Αν

μους), είναι κατά πολύ λιγότερες απ'

ο αποκλεισμός του πειστηρίου του

ό,τι με οποιαδήποτ.ε άλλη μέθοδο α·

DNA αποτελούσε σοβαρό δεδικασμέ •

ναγνώρισης, περιλαμβανομένων και

νο για κάθε σχετική περiητωση, θα

των στοιχείων που προέρχοντω από

αυτόπτ.ες μάρτυρες.

ρι στώσεις στις οποίες οι mθανότητ.ες τυχαίου σφάλματος είναι μεγαλύ

1Ό ΠΟΣΟ bΠΚΡΕΣ ΑΚΡΙΒΩΣ είνω οι υ

τερες από ένα στο ένα εκατομμύριο.

πολεmόμενες πιθανότητες σφάλμα·

Εάν μια μάρτυς λέει πως •είδε•

τος παραμένει θέμα ανοιχτό προς συ

κάποιον ταν οποίον καtόnιν α να

ζήτηση. Και σ' αυτό ακριβώς το ση

γνώρισε σε μια σειρά υπόπτων, οι

μείο, φτάνω στην τρίτη κατηγορία α ντιρρήσεων στην εξέταση του

έριχνε αμφιβο.Uες και σε όλες τις πε •

δικηγόροι και οι ένορκοι μένουν ι

DNA:

καναποιημένοι. Αλλά οι mθανότη

δηλαδή, στην απλή ανοησία. Οι δικη γόροι έχουν τη συνήθεια να ενίστανται όταν εμπειρο γνώμονες που καταθέτουν δείχνουν να διαφωνούν με

ταξύ τους. Φανταστείτ.ε ότι δύο yενεnστές καλούνται να καταθέσουν και τους ζητείται να ειηιμήσουν την πιθα νότητα εσφαλμένης ταυτοποίησης μέσω γονιδιακού aπο

τυπώματος. Ο πρώτος εμπειρογνώμων λέει πως είναι ένα προς ένα εκατομμύριο. Ο δεύτερος λέει ένα προς εκατό χιλιάδες. Ένσταση. •Ααα, μάλιστα! Οι εμπειρογνώμονες δια.

φωνούν! Κυρίες και κύριοι ένορκοι, πώς μπορούμε να εμπιστευτούμε μια επιστημονική μέθοδο, όταν οι ίδιοι οι

ειδικοί δεν μπορούν να παρουσιάσουν παρά εκτιμήσεις που απέχουν μεταξύ τους κατά δέκα φορές; Προφανώς,

τες εσφαλμένης αναγνώρισης ενός ατόμου, όσες φορές παρεμβαίνουν τα μάτια, είναι πολύ μεγαλύτερες από τις πιθανό-ι;ητες εσφαλμένης ταυ•ο ποίησης μέσω γονιδιακού aποτυπώματος. Αν πάρουμε

στα σοβαρό το παραπάνω δεδικασμένο, αυτό θα σημαί. νει ότι κάθε καταδικασμένος εγκληματίας στη χώρα μας διαθέτει έναν εξαιρετικό λόγο έφεσης που στηρiζε1:αι στην εσφαλμένη αναγνώρισή του. Ακόμη κι ένας ύπο πτος, τον οποίον είδαν δεκάδες μάρτυρες να κρατά ένα όπλο rιου ακόμη κάπνιζε, θα μπορούσε δίκαια να προ

βάλλει το επιχείρημα ότι οι πιθανότητες αδικίας ήταν πε ρισσότερες από μία στο εκαtομμύριο. Η ΙΣΧΥΣ, Η ΑΞ.!ΟΠΙΣΤΙΑ ΤΟΥ ΓΟΝΙΔΙΑΚΟΥ aποτυπώματος,

το μόνο που μας απομένει είναι να παραβλέψουμε όλα

αποτ.ελεί μια όψη της γενικής ισχύος της επιστήμης, που

τα παρόμοια πειστι)>ια.•

σε κάποιους εμπνέει φόβο. Είναι σημαντικό να μην πα

Αλλά στις περιπτώσεις αυτές, πιιρ' ότι οι γενετιστές μπορεί να έχουν την τάση να δίνουν διαφορετική βα

ροξύνουμε αυτόν το φόβο απαιτώντας πάρα πολλά ή προ· σπαθώντας να •βαδίσουμε• nολύ γρήγορα. Ωστόσο, το

ρύτητα σε αστάθμητους παράγον•ες όπως η επίδραση της

ζήτημα μιας εθνικής βάσης δεδομένων

φυλετικής υποομάδας, οnοιαδήποτ.ε μεταξύ τους διαφω· νία είναι σαν να αναρωτιόμαστε εάν η κλίμακα πιθα

απασχολεί τα περισσότερα κράτη, με διάφαρους τρόπους,

νοτήτων ενάντια σε μια εσφαλμένη ταυτοποίηση είναι

κοίνωση του

υnεραστρονομική ή απλώς aστρονομική. Και με τις πιο συντηρητικές εκτιμήσεις, οι πιθανότητες ενάντια σε μια

θεωρητικά, θα μπορούσαμε να διατηρού με μια εθνι κ ή βάση δεδομένων από ιις αλληλουχίες DNA κάθε άν

εσφαλμένη ταυτοποίηση μέσω γονιδιακού αποτυπώμα

δρα, γυναίκας ή παιδιού στη χώρα μας. Εάν συνέβαινε

τος είναι aπείρως μεγαλύτερες απ' ό,τι σε μια συνηθι·

αυtό, σε κάθε περίπτωση που θα βρισκόταν ένα δείγμα

σμένη διαδικασία αναγνώρισης υπόπτων. Φανταστ.είτ.ε ηώς θα αντιδρούσε ο δικαστής προς το συνήγορο ιmε ρόσmσης που θα διαμαρτυρόταν λέγοντας: ·Κύριε δικα στά, είναι άδικο των αδίκων να βάλουμε τον πελάτη μου

αίματος, σπέρματος, σιέλου, δέρματος ή τριχών στον τόπο

σε σειρά αναγνώρισης με είκοσι μόνο άνδρες. Απαιτώ μια σειρά τουλάχιστον ενός εκατομμυρίου ανδρών!•

Λ! γα χρόνια πριν, μετά τη γνωστοποίηση ότι το πει στι)>ιο του DNA είχε απορριφθεί σε μια περίπτωση που εκδικάστηκε στο Κεντρικό Κακουργιοδικείο του Λονδί νου, τα •Ολντ Μnέιλυ•, η εφημερίδα The Tndependent

ΜΑΡΥΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

DNA

αρχίζει να

όπως έγινε εντυπωσιακά σαφές από την πρόσφατη α να

FBI.

του εγκλήματος, η αστυνομία θα μπορούσε α αλά να α

ναζητεί τους υπόπτους προσφεύγοντας στην παραπάνω βάση δεδομένων. Η εν λόγω πρόταση προκαλεί κραυγές διαμαρτυρίας:

θα αποτελούσε καταπάτηση των ατομικών ελευθεριών. Είναι η αιχμή του δόρατος, το γιγάντειο βήμα προς ένα αστυνομικό κράτος. Πάντοτε με προβλημάτιζε το γιατί οι άνθρωποι αντιδρούν aυτοματικά με τόσο έντονο τρόπο σε ιέτοιες προτάσεις. Αν εξετάσω αμερόληπτα το ζήτη -

μα, θα καταλήξω, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις πλευ

ρές και παραμέτρους του, ότι και ιφοσωmκά με βρίσκει αντίθετο. Αλλά δεν είναι κάtt που πρέπει να το κατο δικάζουμε ασυζητηd.

παράδειγμα, σημαντικός αριθμός ανδρών ιιιστεύουν λαν θασμένα όtt είναι οι βιολογικοί πατέρες ~ν παιδιών τους. Ο καθένας που θα είχε ηρόσβοση στην εθνική βόση

Αν ήταν δυνατόν να υπάρξουν

δεδομένων DΝλ θα μπορούσε να α νακαλύψει την αλήθεια, αρόγμα που

εγγυήσεις όtt μΙα βόση δεδομένων

θα ήταν δυνατόν να εmφέρει τερό

DΝΛ θα eχρησιμοποιείrο μόνο για τη

στια συναισθηματική οδύνη, διάλυση

σύλληψη των εγκλημαttών, δυσκο

γόμων, νευρική κοτόρρευση, εκβια

λευόμαστε να διακρίνουμε το λόγο

σμούς, ή και χειρότερα. Κάποιοι φρο

για τον οποίο κόιιοιος μη εγκλημα

τίας θα είχε αντιρρήσεις. Πλήθος

νούν πως η αλήθεια πρέπει πάντοτε να αποκαλύπτεται, οσοδήποτε επώ

ακτιβιστών, βέβαια, που υπερασπί

δυνη κΙ αν είναι. Προσωπικά mστcύω

ζονται τις ελευθερίες των πολιτών,

πως συνολικά η ανθρώπινη ευτυχία

θα είχαν αντιρρήσεις αρχής. Αλλά,

δεν θα μεγάλωνε αrιό ένα αιφνίδΙο

ειλικρινά, δεν κατανοώ το λόγο ~κτός κι αν θέλουν να πραστατέ

ξέσπασμα αποκαλύψεων σχετικό με την αληθινή πατρότητα του καθενός

ψουν το δικαίωμα των εγκληματιών

μας.

να διαπράττουν εγκλήματα παρα

Έπειτα, υπάρχουν τα θέματα του

μένοντας ασύλληπτοι. Εniσης δεν

ιατρικού απορρήτου και της ασφάλι

βλέπω κανένα ικανοποιηηκό

em-

σης. Ολόκληρη η επιχειρημαηχή δρα

χείρημα ενάντια σε μ~α εθνική βόση

στηριότητα των ασφαλειών ζωής ε

δεδομένων με συμβαtJιtά δακτυλι

ξαρτάται από την έλλειψη δυνατό

κά αποτυπώματα μελάνης (εκτός από το πρακτικό επι

τητας πρόβλεψης σχετικό με την ακριβή ημεραμηνiα θα

χείρημα ότι, αντίθετα με ό,τι συμβαίνει για το DΝΛ, εί

νότου μας. Όπως είπε ο aστρονόμος σερ

ναι δύσκολο να κάνεις αυτόματη έρευνα μέσω υrιολο

ton: ·Η ανθρώmνη ζωή

γιστή για τα συμβατικό δακτυλικό αποτυπώματα). Το έγκλημα αποτελεί ένα σοβαρό πρόβλημα που μειώνει την ποιότητα ζωής για οποιονδήποτε άλλον εκτός από τους

λίγα πράγματα είναι περισσότερο βέβαια από την αντα rιοδσι1κόιητα μιας εταιρείας ασφαλειών ζωής.• Όλοι πλη ρώνουμε τα ασφόλιστρά μας. Όσοι από εμάς πεθαίνουν

εγκληματίες (αλλά ίσως ακόμη και γι' αυτούς: Οεωρη

αργότερα απ' ό,τι αναμενόταν ειιιδοtούν τους κληρονό

τικά δεν υπάρχει τίποτε που να αποκλείει τη διάρρηξη

μους αυτών που πεθαίνουν νωρίτερα από το αναμενό

του οnιτιοό ενός διαρρήκτη). Αν μια εθνική βόση δεδο

μενο.

μένων

Arthur Edding-

παραμένει παροιμιωδώς αβέβαιη·

DNA βοηθούσε σημαντικά την αστυνομία να ουλ

Οι ασφαλιστικές εταιρείες ήδη καταρτίζουν στατιστι

λαμβάνει τους εγκληματίες, οι αντιρρήσεις θα ι\πρεπε να

κtς ηραβλέψεις που εν μέρει υπονομεύουν το εν λόγω

είναι αρκετό σοβαρές ώστε να βαρύνουν πφισσότφσ από

σύστημα ηορέχοντός τους τη δυνατότητα να εnιβαρύ

το οφtλη.

νουν με μεγαλύτερα ασφάλιστρα τους πελάτες υψηλού

Στο σημείο αυτό, όμως, χρειάζεται μεγάλη προσοχή.

κινδύνου. Στέλνουν ένα γιατρό να ακούσει την καρδιά

Είναι άλλο πράγμα να χρησιμοποιείς το πειστφιο του

σας, να σας πάρεΙ την πίεση αίματος και να ελέγξει τις

-ή οποιουδήποτε είδους μαζικό έλεγχο για την

συνήθειές σας σχετικά με το κάπνισμα και την κατα

αναγνώριση ενόχων- και να επιβεβαιώνεις μια υπόνοια

νόλωση ποτών. Εάν οι ασφαλιστές γνώριζαν επακριβώς

στην οποία οδηγήθηκε η αστυνομία από άλλους δρόμους·

πότε θα πέθαινε ο καθένας, οι ασφαλίσεις ζωής θα ήταν

και είναι εντελώς διαννετικό πράγμα να το χρησιμο

αδύνατες! Εξ ορισμού, μια εθνική βάση δεδομένων DNA θα μrιοραiισε να οδηγήσει την κοινωνία πιο κοντά σ' α υ

DNA

ποιείς για να ουλλάβεις οποιοδήποτε άτομο σε ολόκλη ρη τη χώρα ιιου εμφανίζει όμοιο δείγμα. Αν κάποιο δείγμα από τον τόπο ενός εγκλήματος στο Εδιμβούργο συμβαίνει να ταιριάζει με το δικό μου DNA, είναι, μήπως, θεμι tό να επιτρέπεται στην αστυνομία να βροντά την πόρτα μου στην Οξφόρδη και να με συλλαμ βόνει χωρίς άλλα στοιχεία; Πιστεύω πως όJ(I, ωστόσο αξίζει να σημειώσουμε ότι η αστυνομία ήδη κάνει κάη

τή την ατυχή κατάληξη, στην περίπτωση που οι ασφα λιστές θα αποκτούσαν πρόσβαση στην εν λόγω βάση δε δομένων. Στην

mo ακραία

περίπτωση, η μόνη κατηγορία

θα γάτου που θα μπορούσε να ασφαλιστεί θα ήταν το κα

θαρό ατύχημα. Παρόμοια, αυτοί που εξετάζουν υποψήφιους για θέ σεις εργασiας ή και υποψήφιους σπουδαστές για μ~α

ανάλογο με τα χαρακτψιστικά του προσώπου, όταν δη

σχολή θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν ης πληροφο

μοσιοποιεί το σκ.Jτσο ενός υπόπτου ή μια φωτογραφία

που έδωσε κάποιος μάρτυρας σε εφημερίδες εθνικής

ρίες από το D~A με τρόπους που πολλοί θα θεωρούσαν ανεπιθύμητους. Μερικοί εργοδότες στηρίζονται ήδη σε

εμβέλειας, και καλεί α νθpώπους από ολόκληρη τη χώρα

μεθόδους όπως η γραφολογία για να αξιολογήσουν, υπο

να τηλεφωνήσουν αν •αναγνωρίζουν• τη φυσιογνωμία.

cίθειαι, ιο χαρακτήρα ή τις δεξιότητες των υποψηφίων.

Αφήνον τας κα tά μέρος τις περιπτώσεις εγκλήμιι τος,

υπάρχει πραγματικός κίνδυνος οι πληρΟψQI>fες της εθνι κής βάσης δcδομtνων να πέσουν οε λάθος χέρια. rια

Και

αντίθεση με τα αποτελέσματα της γραφολογίας,

οι πληρΟψ()j)ίες από ιο

DNA

θα μπορούσαν να φανούν

ιιραγματικό χρήσιμες στην αποτίμηση ικανοτήτων. Εγώ

OUAHTUM I ΑΡθΡΟ

θα συγκατέλεγα τον εαυτό μου μεταξύ των πολλών που

του, μπορεί ήδη να πάρει δείγμα αίματος από το παιδί

θα ενοχλούνταν αν οι εmτροπές εmλογής χρησιμοποιού

και να το δώσει γtα σύγκριση με το δικό του.

σαν τις πλφοφορίες του

DNA, ή και αν

το έπρατταν αυτό

κρυφά.

τΕΊ'ΟΙΟΥ ΕIΔΟΥΣ ΕΡΩ'Ι'ΗΜΑΤΑ

EINAI. στφ• ουσία, ηθικά,

και για τούτο εμφαγfζονται κατάφορτα με αμφιβολίες,

·ΚΛΙ Ί1 ΘΑ ΣΥΝΕΒΑΙΝΕ ΑΝ ΜΙΛ ΤΕΊ'ΟΙΛ βάση δεδομένων

συναισθηματική ένταση και ακαγθώδεις αξιακές εrnλο

έπεφτε στα χέρια ενός JUτλερ;• θα ρωτήσουν αναπόφευ

γές. Και πρακειμέγου να τα απαντήσουμε σωστά -γtα

κτα οι επικριτές. Σε πρώτη ματιά, δεν είναι σαφές με

να εκφέρουμε μια πραγματικά δίκαιη κρίση-, θα ιψέ

ποιον τρόπο μΙα τυραννική κυβέρνηση θα μπορούσε να

πει πραηyουμένως να σταθμίσουμε αμερόληπτα τη στα·

ωφεληθεί από μια βόση δεδομένων με αληθινές πληρο

τ10τική τους θεμελίωση και να ελέγξουμε τις nροϋπο

φορίες για τους ι>ολίτες. •Οι τυραννικές κυβερνήσεΙς•,

θέσεις τους υηό το ψυχρό φως της λογικής. Δυστυχώς,

θα μπορούσε να 11ει κανείς, -είναι τόσο επιδέξιες στο να

οι κοινωνίες σπανίως το πράττουν αυτό.

χρησιμοποιούν ψεύτΙκες πληροφορίες· γΙατί να σκοτι

Οι θετικοί εmστιjμονες καλούνται Ουλ-νά, ως εμπει

σθούν να καταχραστούν αληθtνά στοΙχεία;• Ωστόσο, τα

ραγνώμονες, να καταθέσουν σχετικά με τα τεχνικά χα

καθεστώτα που ρέπουν προς τη γενοκτονία, αποτελούν

ρακτηριστικά' της κόπωσης των μετάλλων, τη λοιμογό

ειδικές περιmώοεις. Παρ' ότι δεν αληθεύει πως μπορεί

νο μεταδοτικότητα της νόσου των τρελών αγελάδων, και

τε να αναγνωρίσετε έναν Εβραίο από το

DNA του, υπάρ

με αναρίθμητα άλλα πρακτικά ζητήματα. Αλλά, μόλις

χουν ιδιαίτερα γονίδια που είναι χαρακτφιστικά για αν

εκθέσουν τη γνώμη τους ως εΙδικοί, aποπέμπονται, για

θρώπους των οποίων οι πρόγονοι προέρχονταΙ από ο

να μπορέσουν αυτοί που είναι πραγματικά επιφορτισμέ

ρισμένες περιοχές, της ΚεντρΙΚής Ευρώπης ας πούμε, και

νοι με τη σοβαρή υαόθεση της λήψης των αποφάσεων να

υπάρχουν Ο'tατιοτικές ονσχετίσεις που συνδέουν την παρουσία ορισμένων γονιδίων με το να είσαι Εβραίος.

συνεχίσουν το έργο τους. Συ-μπέρασμα: οι θετ1κοί εnι

ΦαίνεταΙ αναντίρρητο ότι, αν ο Χίτλερ διέθετε μια εθνική

ρους γεγονότα, αλλά κάποιοι άλλοι ~υνήθως οι δικη

βόση δεδομένων

DNA, θα είχε βρει τρομερούς τρόπους

για κακή χρήση αυτών των δεδομένων. Υπάρχουν, άραγε, τρόποΙ να δΙαφυλάξουμε την κοι

στήμονες είναι καλοί για να αποκαλύπτουν τα εrnμέ γόραι ή οι δικαστές- είναι καλύτερα καταρτισμένοι nρα κειμένου να τα συνθέσουν και να γνωμοδοτήσουν για το τι εν τέλεΙ θα πρέπει να γίνει!

νωνία από αυτά τα ενδεχόμενα δεινά, δημιουργώντας rουτόχρονα μια βάση δεδομένων DNA για cη σύλληψη

πούμε πως ο εmστημονικός τρόπος σκέψης είνω πολύ

των εγκληματΙών; Δεν είμαΙ σίγουρος. ΠΙστεύω πως εί

τιμος, όχι μόνο γΙα τη σύνθεση των επιμέρους γεγονό

ναι δύσκολο. θα ήταν δυνατόν να προστατευτούν οι έ

των αλλά και για την έκδοση της τελικής ετυμηγορίας.

ντιμοι πολίτες έναντι των ασφαλΙστικών εταιρειών καΙ των εργοδοτών εάν περιορίζαμε την εθνική βάση δεδο · μένων μόνο στις μη κωδΙκείJΟυσες περΙΟχές του γονι

διώματος. Να περΙείχε η βάση δεδομένων στοιχεία μόνο για τις σειραϊκές επαναληmικές περιοχές του γονιδιώ ματος, και όχι γtα τα γονίδια που στην πραγματικότητα είναι υπεύθυνα για τα πάντα. Αυτό θα εμπόδιζε τους α

σφαλιστές να εξάγουν συμπεράσματα για το προσδόκι μο επιβίωσης του καθενός, και τους κυνηγούς ταλέντων να μαντεύουν έμμεσα τις ικανότητες. Αλλά δεν θα ωφε λούσε καθόλου να προστατευτούν οι άνθρωποι από το να ανακαλύψουν (ή να ανακαλύψουν οι εκβιαστές} την αλήθεια σχετικά με την πατρότητα -κάτι πο11 θα προ τιμούσαν να μην γνωρίζουν. Όταν έγινε η εκταφή ενός σκελετού στη Νότιο Αμερική και αnοδεfχτηκε rιως ανήκε στον Γιόζεφ Μένγκελε, τον ναζί εγκληματία πολέμου

Πιστεύω, αvτίθεm, ότι θα ήταν απολύτως σωστό να

Όταν συντριβεί κάποιο αεροπλάνο, ας πούμε, ή ξεσπά σου ν βίαιες ταραχές σε κάποια αθλφ;ική συνάντηση, έ • νας θεηκός επιστήμονας θα ήταν καλύτερα καταρτισμέ

νος από ένα δικαστή για να nροεδρεύσει στη διερεύνη ση του ζητήματος· και τούτο όχι λόγω των γνώσεων nου

διαθέτει ο πρώτος, αλλά λόγιi> των μεθόδων που χρησι μοποιεί προκειμένου να φωτιστούν τα γεγονότα. Η nε

ρίπτωοη του γοVΙδιακού aποτυπώματος δείλ-νεΙ όη οι δι κηγόροι θα ήταν καλύτεροι δικηγόροι, οι δικαστές κα λύτεροι δικαστές, οι πολιτικοί καλύτεροι πολΙtικοi καΙ οι πολίτες καλύτεροι πολίτες αν διέθεταν περισσότερες επιστημονικές γνι:ισεις και -κάτι παραπάνω- αν σκέ φτονταν περισσότερο σαν θετικοί εmστήμονες. Ο Ricbard

Cl]

Dawklns ε/ναι ζωολdyος, καθιιyηι;ής στην έδρο

Charles Sίmonyί

)'JO tηv καrογόηση rης εnισtήμης από tO ευρύ

που ήταν γνωστός με το όνομα •ο άγγελος του θανά

κοJvό, στο ΠαvεπισrήμJΟ rης Οξφόρδης. Σrα ελ.λφ.·ικά κυκλΟ·

του•, η ταυτοποίηση στηρίχτηκε αποκλειστικά στις σει

φορούν τα βιβλία του Το εγωιστικό γονίδιο Ι'Γροχαλlα

ραϊκές επαναληπτικές αλληλουχίες του DNA από τα οστά του και το αίμα του γιου του, ο οποίος βρισκόταν ακό

τυφλός ωρολογοποιός (Κάτοπτρο

μη εν ζωή. Δεν διαθέτω καμιά εύκολη απάντηση σ' αυτή την α ντίρρηση, εκτός από το να πω ότι, καθώς η εξέταση του

DNA

γίνεταΙ συνεχώς και ΠΙΟ εύκολη, θα είναΙ όλο και

πιο πιθανό να αποκαλυφθεί η πατρότητα ούτως ή άλ

λως χωρίς rιροσφυγή σε μια εθνική βάση δεδομένων. Έ νας άνδρας που υποψιάζεται ότι το πωδί δεν είναι δικό

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

ιΚάτοπτpι>

1994),

1988), Ο

και Ο ποταμός εης ζωής

1995).

Το nopό\• apθpQ δημιοσJεύιηκε στο π~pιοδJκό στο rεύχος Νοεμβρι'ου/ Δεκcμβρίου

The Scίences,

1998· αnοu:λεί διασκευή από το ουyyροφέο μέρους κεφα.1αίου του βιβλίου του που φέρεΙ rov τiτλο Unweaving the Rainbow: Science, Delusion. and the Appctite Cοι· \Vonder (Εκδόσεις Houghton Mίf/Jίn), και ro οποίο μό · λις κυκλοφόρησε στις ΗΠΑ. Ccpyrίght C> 1998 Rίcbard Dawkίαι.

το αεροδυναμικό παράδο ο του Ποιες δυνάμεις δρουν στα αντικείμενα που διαγράφουν τροχιές πλησίον της Γης;

Α.

Mitrofanov

ΓΙΟΡει ΝΑ Α ΥΞΗθΕΙ Η ΤΑΧΥ τητα ενός σώματος ενόσω κι νείται σε μέσο που του προ

βάλλει αντίσταση; Εκ πρώτης όψεως, ένα τέτοιο ενδεχόμενο δεν φαίνεται περισσότερο πιθανό από 'tην απίστευτη μέθοδο που θα ουμβού λευε ο βαρόνος Μινχάουζεν οε ό ποιον επιθυμεί να ανυψωθεί στον

αέρα: να τραβήξει τα μαλλιά του με τα ίδια του τα χέρια. Τείνουμε να θεωρούμε δεδομένο ότι ένα σώμα δεν μπορεί παρά να ε πιβραδύνεται εφόσον κινείται μέσα

σε ένα ιξώδες μέσο. Ωστόσο, μην προτρέξετε σε συμηερά.σματα. Σιην

πραγματικότητα, ένα τέτοιο φαινό μενο είναι εντελώς δυνατό και πα ρατηρείται ανελλιπώς όποτε δορΙΙ φόροι ή μετέωρα κινούνται γύρω α

πότη Γη στα εξώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας, τα οποία ουν!στανvαι από αέριο πολύ χαμηλής πυκνότη τας. Πρόκειται για το περίφημο αε ροδυναμικό παράδοξο του δορυφό ρου: Όταν το διαστημόπλοιο εισέλθει στην ανώτερη ατμόσφαιρα, υφίστα

ται την επιβραδυντική δράση του α-

ραιου αεριου και, εν του τοις, με κ α-

ηοιον τρόπο κατορθώνει να αυξάνει • • την ταχυτητα του.

Προτού εmχειρήσουμε να διαλευ -

ΜΑΡlΊΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

δύσκολο τροχΙα

κε~μένου για τροχιές σε μεγάλα ύ •

λύ τη μέση ταχύτητα της θερμικής

κό γρίφο, ας μελετήσουμε ένα απλό

ψη, η βασική δύναμη που δρα στο

κiνησης των μορίων και ιων ατό

παράδειγμα από την κλαcnκή μηχα

δορυφόρο είναι η βαρυηκή έλξη της Γης· συνεπώς, η ταχύτητα του δο

μων της α τμόσφοιρας. (Ειδάλλως, η

ρυφόρου καθορίζεται από την εξίσω

λύ γρήγορο!) Επομένως, κατά τον

ση υ' = GM Ι R ή. ισοδύναμα,

υπολογισμό των δυνάμεων •αερο πέδηοηc;• στα επόμενα παραδeίγμα •

κάνουμε αυτόν

vutή. Ένα μικρό βαρίδι. δεμένο σw άκρο ελαστικού νήματος, διαγράφει ισοιαχώς ένα\' κύκλο στο οριζόνηο εηiηεδο. Το νήμα υπακούει στο ''ό

!'η θα έχανε την ατμόσφαιρά της πο

δηλαδή, η δύναμη

τα, αγνοούμε τη θερμική κίνηση των

επαναφοράς είναι α'•άλογη με την

σωματιδίων που συνιστούν το περι

επιμήκυνση ή την επιβράχυνσή του.

βάλλον μέσον. Ποιες συνέnειες cιιιορρtουν από την ύπαρξη αερίου -iοτω και εξαι

μο του

Hooke

Εάν το βαρίδι ειηβραδυνθεί με κά ποιον τρόπο, η κίνησή του θα τρο ποποιηθεί. Γιο nαρόδeιγμα, αν το βα

όπου με

ρίδι ακΙνητοποιηθεί ακαριαία και α

κατά προσ~γγιση με

και

ύψος της τροχιάς του δορυφόρου;

μέσως αφεθεί ελεύθερο, το τεντωμέ

με υ0 = (g,J?oJ' '' την τροχιακή ιαχύ •

Προκειμένου για τροχιές σε μεγά

νο νήμα θα προσδώσει στο βαρίδι κά-

' ταχυτητα

G συμβολίζουμε

τη σταθε

ρά της rιαγκόομ ιc:ις έλξης, με ακτίνα της Γης

R0 την

η οποία ισούται

6.400 km-

τφ;α μόλΙς πάνω από τη γήινη εm

ρετικά χαμηλής πυκνότητας- στο

λα ύψη, οι δυνάμεις αντίστασης ι σοδυναμούν με μικρές διαταραχές,

προς τα κεντρο περι -

φάνεια. Εφόσον η επιτάχυνση της

στροφής. Μπορούμε να προσδιορί

βαρύτητας rιλησίον της γήινης επι

οι οποίες επιφέρουν ε.\αφρές μετα •

σουμε τη μέγιστη ταχύτητα που α

βολές των παραμέτρων της tρο){Ιάς.

ποκτά το βαρίδι εάν εφαρμόσουμε το

φάνειας λαμβάνει την ημή g0 = 9,8 m {s2, η τροχιακή ταχύτητα ισούται

νόμο διατήρησης της ενέργειας στο

με

ποια

σύστημα βαρίδι-νήμα. Εφόσον η ε mμήκυνοη ταυ νήματος υυερβαίνει

7,9 km ls. Η δύναμη αντίστασης που δρα σε

ένα δορυφόρο εξαιτίας ταυ αραιού

κατά πολύ tO αρχικό του μήκος, η

αερίου των εξώτερων α φοοφαιρι

μέγιστη tελική ταχύτητα ιου βαρι

κών cnρωμάτων δίνεται από τον τύ -

διού θα ισούται σχεδόν με την αρ χική του ταχύτητα περιστροφής.

Το rιcιράδειγμά μας συνιστά μια εξαιρετικά απλουστευμένη αναλο γiα του τι συμβαίνει με τους δορυ φόρους καθώς .φρενάρουν• στην α

τμόσφαιρα. Το βαρίδι παίζει το ρόλο του δορυφόρου, ενώ το νήμα ανη •

στοιχεί στη βαρυτική έλξη της Γης. Φυσικά, αυτή η ανάλυση πόρρω α πέχει από την πραγματικότητα, διόη ο νόμος ταυ Hooke ελά){Ιστη ομοι ότητα έχει με τις βαρυτικι'.ς δυνά. μεις, οι οποίες, όπως και οι ηλεκτρο

στατικές, μεταβάλλονται ως το α. ντίοτροφο τετράγωνο της απόοτα

σης των αλληλεπιδρώντιυν οωμά • των (στην nερfπτωσή μας, ως το α·

ρυ•

F. ... - c. 2 s,.

(2)

Εδώ, ρ είναΙ η ατμοσφαιρική ου κνότητα στο ύψος της τροχιάς, από το οποίο και εξαρτάται έντονα· με

συμβαλίζουμε το εμβαδόν της ε γκάροlας δια τομής του δορυφόρου (ακριβέστερα, το εμβαδόν της μέγΊ στηc; διατομής του δορυφόρου κάθε τα στο διάνυσμα υ της ταχύtητάς

του οε οχοο η με το μι\οο -η εν λόγω παράμετρος ονομάζεται μετωπική ε πιφάνεια)· τέλος, C, είναι ο συντε λεστής αντίστασης, ο οποίος, για να ακρΙβολογούμε, εξαρτάται επίσης α

νηση του δορυφόρου στα εξώτερο στρώματα της αφόσφαΙρας αποδει·

φθεί κατά aροο~γγιση ίσος με

της τροχιάς ταυ δορυφόρου ). Η κi •

αραιό αέριο, ο δορυφόρος κατέρχεται

σε χαμηλόιφη τροχιά. Ωστόσο, ο τύ πος (1 ) δείχνει ότι, όταν ελαττώνε ται η τιμή τής

αυξάνεται η τρο

χιακή ταχύτητα. Συνεπώς, η αντί

σταση που δρα ο ε κατεύθυνση αντί θετη της ταχύτητας του δορυφόρου

πό την ταχύτητα. Ωστόσο, προκει μένου για την πτήση ενός δορυφό • ρου σε μεγάλο ύψος, μπορεί να λη

ντίστροφο τετράγωνο της ακτίνας

Καθώς φρενάρει βαθμιαία μέσα στ{)

είναι δυνατόν να επ ιταχύνει τα δο ρυφόρο στην κατεύθυνση της κίνη σής του!

Επιπλέον, όπως θα δούμε, η εm tρό){Ια επJtάχuνση -η συνιστώσα της εmτάχυνσηc; κατά την εφαπτο μένη της τροχιάς

ισούται κατ' α·

πόλυτη τιμή ακριβώς με την αντί σταση διαιρεμένη με τη μάζα ταυ δορυφόρου. Το εν λόγω ενδιαφέρον

φαινόμενο ονομάζεται αεροδυναιu · κό παράδοξο του δορυφόρου, και θα καταπιαστούμε αμέσως με τη λε πτομερή μελι\τη του. Περιέργως, το πρόβλημά μας, παρ' ότι φαι νομενι κά δύσκολο, δεν απαιτεί για την α ντιμετώπ1οή

rou

rιαρά μόνο την ε

φαρμογή των νόμων διατήρησης και

μερικούς

στοιχειώδεις

υπολογι

σμούς.

κνύεται πιο ενδιαφέρουσα και περί

Η συγκεκριμένη τιμή του ουντe·

Η αύξηση της ταχύτητας του δο

πλοκη από την κίνηση ενός βαριδΙΟύ

λεστή αντίστασης σημαίνει ότι οι

ρυφόρου κατά την αεροπtδηση στα

ατερεωμένου σε ελαστικό νήμα.

κρούσεις των μορίων του αερίου με

εξώτερα στρώμα τα της α τμόοφαΙρας

Για να μeλετηοουμe την τροχιά

το θερμικό θώρακα του δορυφόρου

εαιδέχεται αnλούοταιη tξήγηση. Σι:

ενός δορυφόρου που ιuνείια1 σε αέ ριο πολύ χαμηλής πυκνότητας, χρει •

αδρές γραμμές, μnορεί να συ μου·

αζόμαστε μερικούς τύnους. Ας θεω

δεν είναι ελαστικές, με αποτέλεσμα να προσδίδεται στο δορυφόρο ορμή pυ' ανά μονάδα χρόνου και ανά μο

ρήσουμε, λοιπό''• ένα δορυφόρο μά

νάδα της μετωπικής του επιφάνειας.

κή ταχύτητα, ιιέφtει ο το βαρυ τι κό

ζας

σε κυκλική τροχιά γύρω από

Θυμηθείτε ό τι η τροχιακή ταχύτητα

πεδίο της Γης, ειιειδή η δύναμη έλ

τη Γη -η οποία eχει μάζα Μ. Προ-

ενός δορυφόρου υπερβαίνει κατά πο -

ξης F = GMm i R' γίνεται μεγαλύ-

κνωθεί οια &ξής: Όrον ο δορυφόρος χάνει την αρχική ταυ εφαπτομεν1-

OUANfUM I ΑΡθΡΟ

Fovr

μικό όχημα ιιου ιιέφιει δεν εm~α

σε μία στροφή, καθώς και την αντi

χύνεται λόγω της τριβής του αtρα,

πλανήτη μας. Οι δυνάμεις ανtίοτα

στοιχη ελάττωση της ιραχιακής του α κ τίνας ΔR. θα το εmτύχουμε με τη βοήθεια του νόμου διατι}ιησης της

σης συμβάλλουν μόνο στη μεταβα

ενέργειας, περιλαμβάνοντος όμως

ση του δορυφόρου από υψηλότερη τραχιά σε χαμηλότερη ακριβώς ό

στους υπολογισμούς μας και το έρ

πως στο απλό μηχανικό ανάλογο με

του αέρα. θυμηθείτε ότι η δυναμι

το βαρίδι που είναι στερεωμένο στο άκρο του ελαστικού νήματος.

κή ενέργεια ενός δορυφόρου σε δε

αλλά λόγω της βαρυτικής έλξης του

•

ο•

Κοιτάξτε τώρα το Σχήμα

το

γο που καταναλώνει η αντiσταση

δομένη τραχιά ακτίνας R είναι

Ε, = -G~m = -mυ•.

πnfn αrιεικονίζει την καμπύλη nου διαγράφει ένας τεχν ιμός δορυφό

Σχήμα

ρος κινούμενος ο ι ην ανώτερη ατμό

u:ρη από ~ην κενφομόλο δύναμη

mιι' Ι R που αnαιτείται για να δια·

σφαιρα, καθώς και τις δυνάμεις που δρουν πάνω του. Η κίνηση του δο ρυφόρου εκτυλίσσεται

φοχιά. Ωοιόοο, ο δορυφόρος δεν πέ φτει κ α τακόρυφα (όπως to τούβλο,

κτίνας. Με άλλα λόγια. διαγράφει

για παρόδειγμα, που αφήνουμε αnό

Γη. Η ελάττωση του ύψους για κάθε

ένα ψηλό κ τι}ιιο), αλ.λά ακολουθώ

ο τροφή ι ης tλικας παραμένει μικρή

σεγγίζει τη γήινη επιφάνεια. Κάθε

τι!τοια οιροφή διαφtρει ελάχιστα α πό έναν τέλειο κύκλο.

μια έλικα που βαθμιαiα πλησιάζει τη

μα rιcφτει μeοα σε βαρυ tικό πεδίο, η ταχύτητά του αυξάνεται. Στην πε

h c R - R0• Σ' αυτό

φόρου

το σχήμα,

μc FΙ'<Ψ συμβολίζεται η δύναμη της βαρυτικής έλξης προς τη Γη, με F,,., και μc

F..,

ο μα ι.ων

το διανυσματικό άθραι

ο ια ιαι ιην επιβραδυντική δράση της

αtμόοφαιρας, η μείωση της δυναμι

και ελάχιστα!) από έναν τέλειο κύ κλο, η δύναμη F .ι μ πορεi να α να •

κής του ενtργειας όχι μόνο αντι

λυθεί

ο ωθμiζtι ιο tργο tων δυνάμεων φι

βής στην tραJ(lά (της αηίσταοης του

-δηλαδή σε κάθετη και εφαnτομε νική (ως προς τη διαδρομή ιου δο

μέσου), αλλά και αυξάνει την ταχύ

ρυφόρου). Η δύναμη

ιητά ιου υ -καθώς και την κινη

τά μήκος της διαδρομής του δορυ •

m υ'ι2. Συμnεραί

νουμε, επομένως, ότι ένα διαοτη·

• Στο ηαρόν όρθρο χρησφοnοιούμc τον φ> ο<) φοφή• για να δηλώσουμε το τμήμα της έ.,ικας που διαyρόφr.ι

διlινυομιι θέσης

rou

δορυφφοu καθώς Οαρώv<> yωvia iση με 2._ Πρίntι tιuσης να n.l.zpoφopipoυμε τον ο να v-·ώστη χρηοιμουοιοuμε τον όρο •ΦΟχια•

ιοrbιιl cuιοοι.\t>11t1κα για να δη.\ώσουμε τον

ιιύιιλο ιιοu θα διtΙ·ροφt ο δορυφόρος κοω t1JV πrριφφο του \'Vj>W από τη !"η εν αηοv οία οηιόοφοιρος. Γ10 την αηοφ\1\'1\ OVI"Xύ·

δύο συνιστώσες;

F1,

F _ και F1

φόρου , αυξάνει την ταχύτητά του

τεύθυνση του διανύσματος υ να έ

μιας σφοφής tης διαδρομής του γράφεται ως εξής:

mυ 2 _ 2 π.RF σ -m(υ+Δυ)Ό(3) 2 .,'f 2 Δεδομένου όn Δ υ

υ, η ανω

τtρω eξίοωση δίνει

~ =2ιτF,".

(4)

Η περίοδος του δορυφόρου ισού

F1/ m. θα αποδείξουμε τώ ρα ότt ./ο~ = F,,,.

ται με Δt " 2πRΙ υ, οπότε η εφαnτο

'Εοtω, λοιπόν, ότι η δύναμη της

νείται οεην ανώτερη ατμόσφαιρα, θα

χει μέτρα

ανrίοταοης του αέρα

F••~ όπως

κα

μενική eιιι~άχυνσή του, καθώς κι δίνεται από την εξίσωση

θορίζεται από την εξίσωση (2 ), δρα σε ι!να δορυφόρο που περιφέρειαι γύρω από τη Γη σε τροχιά ακτiνας Η ατμοσφαιρική πυκνότητα

p(R)

υποτίθεται μικρή και σταθερή κατά

ΜΑΡτtΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

Το ισοζύγιο των ενεργειών του δορυφόρου στην αρχή και στο τέλος

της στιγμιαίας εrιιcόχυνσης στην κα

ιές cις φοχιtς nροοδιορiζοvιαι. όπο-tt κ.ρ' ""t:tαl οκόηιμο, μt ι:η,ν ιιρόtαξη rou ε.mθiι.ου •ΦΟΧΊΟΚός•. Ελ.\eiψtι κα.\ύuρου όρου, ανα φφόμοστt στην καμπύλη no11 ό'"<ω<; διαyρό · φtι ο δορΙJφ/Jρός μc ιον όρο ·διαδρομή. (tra •

Ε, + Ε, =-τ

τόσο C:>σ τε, ο ε οποιοδήποτε δεδομέ νο σημείο της διαδρομής, το μέτρο

(Σ.t.μ.)

mυ 2

που δρα κα

oι:w·v. οι rκφομeφοι ιlOU αναφφο\"'tαι σ· ου·

jcctory ι.

δορυφόρου ανέρχεται σε

ρυφόρος διαγράφει μια έλικα, κά θε στροφή ιης οποίας διαφέρει (αν

Συνεπώς, η ολική ενέργεια του

F,., και F.". Εφόσον ο δο

ρίπτωση ενός δορυφόρου που υφί

τική του ενέργεια

•

ουγκρινόμενrι με το ύψος του δορυ •

rι δύναμη της αντίστασης του αέρα

Όnως γνωρίζουμε, όταν ένα σώ

mυ' Ε Ε =-= -ι

ντα επίπεδο και χαρακτφίζεται από τη βραδεία μείωση της φοχιακής α

rι οιιοfα με κάθε στροφή• της nρα

τα ι με

ίδιο πά

τφηθεί ο δορυφόρος στην αρχική του

ντας μια βαθμιαίως κατιούσα έλικα,

ενώ η κινητική του ενέργεια ισού

μήκος μiας πλι}ιους στροφής της διαδρομής του δορυφόρου. Προτtθέ μcθα να προσδιορίσουμε τηγ αύξη

ση Δ υ της ιαχύιη~ας του δορυφόρου

Υ = Δ υ • 2ιτF,., R ~ = F... ' !S) 1

Δt

mυ

2ιιR

από την οποία παίρνουμε

F', = 1}1 Υω

= mFO"f/m -= Fωn•

δηλαδή τη σχέση rιου προσπαθούσα με να αποδείξου με.

τοξεφ

4π F

~ =Μ

R .. 2F.,., mg · 2πR mg •••

Δt

Αυτή η γωνία δεν παραμένει στα

Σχήμα

Συνειιώ<;, όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη της ανι;ίστασης του αέρα τό

σο μεγαλύl;ερη και η αύξηση της τα χύτητας του δορυφόρου. Μrιορείτε να φανταστείτε ότι συμβαίνει κάτι

τέτοιο καθώς καuβαiνετε μια χιονι σμένη πλαγιά ανεβασμένοι σε ένα tόμπογγαν; Βεβαίως όχι. Εδώ που τα λέμε, όμως, γιατί; Σε τελευταία α

νάλυση, τόσο ο δορυφόρος όσο και το τόμπογγαν κινούνται στο ίδιο βα ρυτικό πεδίο, έτσι δεν είναι;

Ας υπολογίσουμε τώρα τη μείω ση της τροχιακής ακτίνας

σε μία

στροφή. Η σχέση μεταξύ ΔR και Δ υ

λαμβάνεται εύκολα από την εξίσω Οη (1):

όnου η ροπή Μ =

Δυ

τη Δυ που εμφανίζεται στην ανω τέρω έκφραση την προσδιορίσαμε προηγουμένως. Συνεπώς,

ΔR = 4πF.,,

(6)

(7)

-F.,.,.R οφείλεται

θερή. Εξαρτάται από τη δύναμη της

στην εξωτερική δύναμη. Αυτή η ρο·

αντίστασης και, κατά συνέπεια, από

το ύψος της τροχ ιάς του δορυφόρου.

πή μειώνει τη στροφορμή του δορυ φόρου κατά την αεροπέδησή του και

Οσο μεγαλώνει η δύναμη πέδησης

εmφέρει την κάθοδό ταυ από υψη •

τόσο αυξάνεται η συγκεκριμέν η γω

λότερη σε χαμηλότερη τροχιά. "Εστω

νία. Ο δορυφόρος κινείται όπως ένα

ΔL η μείωση της στροφορμής στη δJ

σώμα που ολισθαίνει σε κεκλιμένο

άρκεια μίας στροφής της διαδρομής

εnί πεδο, όπου η συνιστώσα του βά •

του δορυφόρου. Όπως και προηyου •

ρους που κινεί το σώμα παράλληλα

μένως, η πυκνότητα του αερίου στο

προς το επίπεδο ισούταΙ με

ύψος της τρο)(1άς του δορυφόρου θε

mg ημα

=21;,.,, δηλαδή είναι περίrιου διπλά·

οια από την aνθιστάμενη δύναμη.

Το δια,•υσματικό άθροισμα της κι νητήριας και της ανθιστάμενης δύ· ναμης ισούται κατά μέτρο με

F.,., και

έχεΙ κατεύθυνση προς τα εμπρός. Κατά συνέπεια, η συVJσταμένη των δυνάμεων εmταχύνει το δορυφόρο,

ωρείται τόσο μικρή, ι~re η δύναμη

F,., προκαλεί

μόνο μικρή διαταρα •

χή της τροχιάς στη διάρκεια μίας πε ριφοράς του δορυφόρου. Συνεπώς, ΔL

= mυΔR +

mRΔυ. "Εχουμε δια

mστώσει ήδη πως η μεταβολή της τα· χύτητας δίνεται από τον τύπο

όnερ και εξηγεί τη φύση του αερο δυναμικού παραδόξου.

Δυ

Οπως ίσως αντιλήφθηκε ήδη ο πε

υΔR

--=-::::~

πειραμένος αναγνώστης, στην περι

ο οποίος ισχύει για κυκλικές τρο •

γραφή μας το αεροδυναμικό παρά

)(1ές στο βαρυτικό πεδίο. Αυτή η έκ

δοξο αποτελεί συνέπεια ενός ιδιάζο

φροση, σε συνδυασμό με την εξίσω

ντος γνωρίσματος που χαρακτrv>ίζει εξίσου το βαρυτικό και το ηλεκτρο στατικό πεδίο, όπου η ολική ενέρ

ση

(7), οδηγεί σε αποτελέσματα για

τα Δ υ, ΔR και y1 που σuμniπτουν με εκείνα που βρήκαμε νωρίτερο.

γεια ενός σώματος ισούται κατ' α

Η εξίσωση (7) περιγράφει τη χρο.

πόλυτη τιμή με την κινητική ενέρ

νική εξέλιξη της στροφορμής και βα

γεια και έχει το αντίθετο πρόσημο.

ηθά να aπλουστεύσουμε πολλά προ

Για παράδειγμα, αν η δύναμη της

βλήματα που αφορούν την κίνηση

βαρυτικής έλξης μεταβαλλόταν ως

ση ταυ ύψους είναι ακριβώς διπλά ·

1/ R', η εφαnτομενική εnιτόχυνο η

δορυφόρων μέσα σε βαρυτικά πεδία τα οποία επιδεικνύουν κενφική

οια από την αντίστοιχη σχετική αύ

ενός δορυφόρου στην αραιή ατμό·

συμμετρία. Και τούτο επειδή, σε αυ·

ξηση της ταχύτητος ταΙJ δορΙJφόροιι.

σφαιρα θα ήταν

F•• ,/(3m). Στο Πρό

τή τη μέθοδο, δεν χρειάζεται να λά •

παρόντος άρ •

βουμε υπόψη τη ροπή της βαρυτικής

θρου) εξετάζεται η γενική περίrη:ω

δύναμης: Ο φορέας της διέρχεται α·

και μία μόνο στροφή της

ση όπου η ελκτική δύναμη μεταβάλ •

κριβώ<; από τα κέντρο μάζας της Γης

τροχιάς του δορυφόρου, οπότε και

λεται συναρτήσει της ακτίνας ως

και του δορυφόρου, οπότε η ροπή της

R"", με n > Ο.

αυτομάτως μηδενίζεται.

Προσέξτε ότι η σχετική ελάττω

Κοιτάξι;ε την εξίσωση (6). Φαντα οuίcε όtι ξετυλίγετ-ε τον κύκλο α κτίνας

nαίρνετε αντίστοιχα τα ευθύγραμ

βλημα

4 (στο τέλος του

Υπολογίσαμε λοιπόν την επιτά

Το αεροδυναμικό παράδοξο και τα

χυνση του δορυφόρου βάσει του ε·

συναφή προβλήματα έχουν σημα •

νεργειακού ισοζυγίου στο βαρυτικό

ντικές εφαρμογές. Ιδού, λοιπόν, με

πεδίο, στο οποίο συμπεριλάβαμε το

ρικά παραδείγματα που επιβεβαιώ

έργο που παρήγαγε η εξωτερική αν θιστάμενη δύναμη. Στο ίδιο αποτέ

νουν •του λόγου το αληθές•. Παράδειγμα 1. Η nυκvότηrα rης

λεσμα θα μnορούσαμε να καταλή

ατμόσφαιρας σε μεγάλα ύψη.

Μπορούμε να διαπιστώσουμε τώ

ξουμε και αλλιώς, χωρίς να χρησι

ρο ότι η εφαπτομένη που άγεται από

μοποιήσουμε το νόμο δια τήρησης της

οποιοδήrιοτε σημείο της διαδρομής

ενέργειας. Προς τούτο, αξιοnοιούμε

Οι παρο τηρήσεις της αεροπέδησης των δορυφόρων μάς επέτρεψαν να προσδιορίσουμε τις τιμές της ατμο •

του δορυφόρου στην αραιή ατμό

την εξίσωση που nεριγράφει το ρυθ

σφαιρικής nυκνότητας σε μεγάλα υ

σφαιρα αποκλίνει από την τοπική

μό μεταβολής της στροφορμής

οριζόντια κατά συγκεκριμένη μικρή

mυR του δορυφόρου στην κυκλική

ψόμετρα, όπου αδυνατούν \'α πετά ξουν τόσο τα αεροπλάνα όσο και τα

γωνία:

τροχιά:

αερόστατα.

μα τμήματα ΑΒ και Α C (Σχήμα 2 ). Διευθετήστε το κατά τέτοΙον τρόπο ώστε το τμήμα

BC να

έχει μήκος

ΔR = 4 π_ι;;.,., R . mg

OUANTUM I ΑΡθΡΟ

Εάν η μεταβολή της στροφορμής του δορυφόρου οφείλεται αποκλει

ποσότητα πληροφοριών για την πυ • • • • κνοτητα των αεριων στην ανωτερη

στικά στη δύναμη της αντίστασης

ατμόσφαιρα, καθώς και για την ε ξάρτησή της από την εποχή, την ώρα

pυ2

της ημέρας, το γεωγραφικό πλάτος,

F;.., =c, 2 s,,

την ηλιακή δραστηριότητα, κ.ο.κ.

όπου ρ= ρ(R) είναι η άγνωστη συ νάρτηση που περιγράφει την εξάρ τηση της πυκνότητας από την τρο

χιακή ακτίνα mήσης

R (ή από το ύψος της

h = R - R.>,

τότε μερικοί α

πλοί υπολογισμοί όπου χρησιμοποι είτω η εξίσωση της στροφορμής (δεν θα δυσκολευτείτε να τους εκτελέ σετε μόνοι σας) οδηγούν σε εξισώ

σεις που προοδιορίζουν τη συνάρτη • ση ρ(R) βάσει των λαμβανομένων σε διάφορα ύψη δεδομένων για το ρυθ μό ελάττωσης είτε της τροχιακής α

κτίνας (dR/dt) είτε της περιόδου πε ριφοράς του δορυφόρου (d ΤΙ d t): ι

p(R)= - 2CRυ dt' 1

d7' p<R> =- 6πCR dt

(8)

Η διεξαγωγή nειραμάτων για τον προσδιορισμό της πυκνότητας των αερίων στην ανώτερη ατμόσφαιρα δι ευκολύνεται με τη χρησιμοποίηση σφαιρικών δορυφόρων, για τους ο

ποίους το εμβαδόν της εγκάρσιας δι ατομής

S, και, συνεπώς, ο βαλλιστι

κός συντελεστής

C δεν

φόρου. Οι αμερικανικοί δορυφόροι τύnου

Explorer είχαν τέτοια σφαι

ρική μορφή. Επιπλέον, ήταν κοίλοι,

• χαρακτηριστικα

100 1.-L.JULU

0,0001

0.01

0.001

0,1 C 1m2fkgJ

Σχήμα

εξαρτώνται

από τον nροσανατολιομό του δορυ

μη. Σε υψόμεφο 150 km, όπου ρ Ξ 4 . ιο-~ kg/ m 3, ο ίδιος δορυφόρος χά· νει

20 km

ανά στροφή! Έπειτα από

μία ή δύο ακόμη στροφές, συναντά

που ε11ttεινε την ι-

τόσο πυκνό αέρα, ώστε δεν κα τα

κανότητα αεροπέδηοης καθώς ερευ

φέρνει καν να ολοκληρώσει μία α

νούσαν τη γήινη ατμόσφαιρα σε μια

κόμη στροφή· αντί να συνεχίσει την

ευρεία περιοχή υψομέτρων που ε

ελικοειδή του κ.ίνηση, αρχiζει να πέ

κτεινόταν ώς τα

όσου η

φτει σχεδόν κατακόρυφα. Μια τέτοια

ατμοσφαιρικη πυκνοτητα κυμαινε-

πτώση χαρακτηρίζεται από υπέρο

ται από 10-ι~ ώς Παράδειyμα

(9)

150 1-+11+1++

•

1.000 km,

10"14 kg /m~. 2. Τελευταiα

γκα μηχανικά και θερμικά φορτία. στρο

Ήγγικεν το τέλος της φοχιακής

φή.

πτήσης! Οι κοίλοι και ελαφροί δορυ φόροι πέφτουν ταχύτερα, επειδή α

Ας υπολογίσουμε την ελάττωση του ύψους του δορυφόρου στη δι

tνας σtαθερός πα

άρκεια μiας στροφής του στην ανώ

ράγοντας γνωστός ως βαλλιστικός

ρύτεραι όμοιοΙ τους καταφέρνουν να

συντελεστής του δορυφόρου (με μο

τερη ατμόσφαιρα. Υποθέτουμε ότι η μάζα του δορυφόρου ισούται με 103

νάδες

kg και

η μετωmκή του επιφάνεια έ χει εμβοδόν ι m2• Η μέση πυκνότη

χαμηλότερα ύψη.

τα του αέρα σε ύψος 200 kιn είναι 4. ιο-ι• kg / m'. ο τύπος (6) δίνει

νται από τον βολλιστικό συντελεστή

Στους ανωτέρω τύπους, το

C, S,/ (2m) είναι

m• · kg-ι). Οι εξισώσεις (8) και

(9) ισχύουν για κυκλικές τραχιές σε μεγάλα ύψη, όπου οι συγκρούσεις του δορυφόρου με τα μόρια της α' ατμοσφαιρας ' ' ' ραιης εmφεραυν ησσονες μεταβολές στην τροχιά του.

ΔR = 4πpυ2S, R :.2 km.

Σε παλαιότερες εποχές, όταν οι δορυφόροι «δεν έσερνα ν χορό ζώνο ντας τη Γη•, τα δεδομένα για την α νώτερη ατμόσφαιρα προέρχονταν α πό τις αστρονομικες παρατηρήσεις

και το ραδιοεντοπισμό της πτήσης μετεώρων και μετεωρολογικών πυ ραύλων. Οι συγχρονες συσκευές πλοήγησης, με τις οποίες είναι εξο πλιομένοι οι δορυφόροι, και οι ρα διοπομποί, που συνεργάζονται σ τε

mg Εκ πρώτης όψεως, η τιμή τού ΔR φαίνεται μικριί: Σε κάθε σημείο της τροχιάς του δορυφόρου στο συγκε κριμi:νο ύψος, το διάνυσμα της τα χύτητας σχηματίζει με την τοπική οριζόντια μια αμελητέα γωνία

2pυ 2 S as ' Ξ 5 · 10""Ξ l".

ναγκάζονται να τεθούν εκτός τρα χιάς σε μεγαλύτερα ύψη, ενώ οι βο περιφέρονται γύρω από τη Γη και σε Το Σχήμα

3 δείχνει

πώς εξαρτώ

το κρίσψο ύψος και η αντίστοιχη κρίσιμη περίοδος περιφοράς ενός δο ρυφόρου γύρω από τη Γη. Για πα ράδειγμα, θεωρήστε ένα σφαιρικό

δορυφόρο μάζας αμέτραυ

2,3 m·

2,4 τόνων και δι

επομένως, ο βαλλι

στικός του συντελεστής

με

1,7 · 10... m

•

ισούται

kg-ι. Η γραφική πα

ράσταση δείχνει ότι το κρίσιμο ύ ψος ανέρχεται σε h,φ Ξ

130 km,

ενώ

η κρίσιμη περίοδός του είναι Τ"f Ξ

mίπ

54 s.

Ο δορυφόρος που ει,ε •

τάζουμε ως ααράδειγμα έχει προ σεγγιστικά τον ίδιο λόγο διαστημόπλοιο

S, / m

με το

Vostok και παρόμοιες

νά με τους υπολογιστές στη Γη, κα

Ωστόσο, ο δορυφόρος εκ τελεί δε

θιστούν δυνατή την παρακολούθη ση της πορεJας των δορυφόρων και

καέξι περιφορές ημερησίως· έτιn, λό

κρίσιμες τροχιακές παραμέτρους. Συ

γω της συνεχούς ελάττωσης του ύ

γκεκριμένα, το κρίσιμο ύψος mήσης

τον εξαιρεuκά ακριβή προσδιορισμό

ψους του, βυθίζεται στα στρώματα

του δορυφόρου ανέρχεται σε

των τροχιακών παραμέτρων τους.

όπου η ατμοσφαιρική πυκνότητα αυ

περίπου.

Χάρη στις πολυάριθμες παρατηρή

ξάνεται ραγδαία. Σε τέτοω ύψη, η

σεις πτήσεων δορυφόρων σε διάφο

κάθοδος του δορυφόρου στην ατμό

μια σφαίρα από πάγο διαμέτρου

ρα iιψη, διαθέτουμε πλέον τεράστια

σφαιρα γίνεται όλο και πιο απότο -

υnερβαίνει τα

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1999

125 km

Σημειώστε ότι τα κρίιnμο ύψος για

200 km.

1 cm

ενώ η συ-

γκειφιμένη παράμετρος λαμβάνει α· κόμη μεγαλύτερες τιμές για μικρό

τερα αντικείμενα! Συνεπώς. η Γη και η ατμόσφαιρά της λειτουργούν ως γιγαντιαία •ηλεκτρική σκούπα•, η οποία εξαλείφει κάθε σκουmδάκι που εκtελεί τροχιά πλησίον της Γης.

Ένα ακόμη σημείο αξίζει να υπο γραμμιο.εί: Όταν ένας δορυφόρος προσεγγίζει κατερχόμενος το κρίσι.

μο ύψος, η δύναμη της αντίστασης εξακολουθεί να είναι μικρότερη από τη δύναμη της βαρύtη'tας. Σύμφω να με την εξίσωση

(6), ο λόγος των

δύο δυνάμεων ισούται (κατό προ

Πίνακας

χεί στη συνήθη βαρυτική δύναμη).

Για ποια περιοχή ημών του η είναι

Ύψος

δυνατή η εμφάνιση του αερσδυνα

Χρόνος ζωής

(kml

μικοu παραδόξου;

150

Πρόβλημα 5. Εξαρτάται από -.η θερμοκρασία του αέρα η ιιέδηση ε νός δορυφόρου σε μεγάλα υψόμε

1 ημέρα 2 ημέρες

190 210 230 400 500

ι εβδομάδα

τρα;

1 μήνας 1 έτος 10 έτη 100 έτη 1.000 έtη 10.000 έτη 100.000 έτη

650 850 1.300 2.000

Πρόβλημα

ιοχvρής θέρμανσης, εξαερώνεται όλο

το νερό των ωκεανών της Γης και οχημοτίζειαι μια πυκνή και θερμή ατμόσφαιρα υδρατμών. Πώς θα επη ρέαζε μια τέτοια μεταμόρφωση την κiνηση της Σελήνης και των υιιαρ •

σέγγιση) με τα λόγο ιου ενεργού νεται η πυκνότητα του αέρα καθώς

ακτίνα της Γης πολ.\οnλαοιαομ&νη επί 4π. Συνεπώς, η δύναμη της α

ανερχόμαστε σε μεγάλα ύψη. Φω tίζει επίσης τους λόγους που υπα · γορεύουν να τίθεται σε τροχιά με

χεται μόλις στο ένα δεκάκις χιλιο στό της δύναμης της βαρύτητας. Α· ναμφίβολα, μια τέτοια δύναμη είναι σχεδόν ανεπαίσθητη. Κι όμως, αρκεί

uψoc; όχι μικρότερο από

500 km

νας επιστη,.ιονικός δορυφόρος, φορ τωμένος με πανάκριβο εξοπλισμό

που σχεδιάστηκε Υlα να προσφέρει

Υlα να προκαλέσει την καταστροφή

πολυετείς ερευvητικiς υπηρεσίες.

του δορυφόρου στο άμεσο μέλλον. Παράδειγμα 3. Η διάρκεια ζωής εν6ς δοpυφ6pου σε cpοχιακή ιι tήοη. Η ανώτερη ατμόσφαιρα εmβρα

Πρόβλημα 1. Οι πρώτες εκτο ξεύσεις 6ορυφόρων έδειξαν ένα πε

χύνeι τα χρόνο ζωής ενός δορυφό.

ταίο όροφο του πυραύλου -φορέα, ο

ρου. Οι eξιοώσι:ις που εξαγάγομε στο

πύραυλος αροσπεργο(ισε το δορυφό

παρόν άρθρο βοηθούν να υηολογί • σου με την εν λόγω επιβράχυνση, με την προϋπόθι:ση ότι δίνεται η εξάρ

ρο και προπορευόταν, αν και οι κι

τηση της ατμοσφαιρικής ιιυκνότητας

αυτό το παράξενο φαινόμενο; Υπο

από το ύψος, καθώς και το αρχικό

θέστε ότι τη στιγμή της απόσπασης

υψόμετρο της τροχιακής πτήσης. Μο λονότι ο υπολοyιαμός του χρόνου ζωής αποτελεί επίπονο έργο, για να επιτύχουμε μια απλουστευμένη ε κτίμηση, υποθέτουμε ότι ο δορυφό ρος rιερνό το μέγιστο μέρος του χρό • νου ζωής του αε εξαιρετικά μεγάλα uψη, όπου η πυκνότητα της ατμό σφαιρας είναι ελάχιστη. Οι εκημή σεις εξαρτώνται από τον τuπο του δορυφόρου και, ειδικότερα, από τον βαλλιστικό του συντελεστή C. Δεν πρόκειται να συζητήσουμε τη λuση αυτοu ιου προβλήματος, αλλά πα• ρουσιάζουμι: τα αποτελέσματα στον

οι ταχ(ιτηtες του δορυφόρου και του πυραύλου-φορέα συμπίπτου". Πρόβλημα 2. Γιατί η αεροπέδη

ρίεργο φαινόμενο. Αφ' ης σιιγμής ο

δορυφόρος αποσnάτο αιιό ταν τελευ ·

νηιφες του πυραύλου δεν λειτουρ γούσα ν πλέον. Πού οφείλεται άραγε

Διαβάστε ακόμη τα άρθρα ... · J. Raskin, ·Πετώντας με το φαι. νόμενο Coaηda•, Νοέμβριος/ Δεκέμ. βριος

1994.

• L.

Leonoνίch, ·Υγρά και αέρια

σε κίνηση•, Μάρτιος/ Απρίλιος

Σύμπαντος στα Τάρταρα•, Μάιος/Ι. ο(ινιος

1996.

• Α. Mitrofaηoν, •Κόντρα στο ρεu· μα•, Τούλιος/ Αύγουστος 1996. • Υ. Paνlenko, ·Το παράδοξο του δορυφόρου•, Νοέμβριος/ Δεκέμβριος

1996. · Α. Eisenkraft και L.D. Kirkρaι rick, •Το σουφλέ της φυσικής•, Σε πτέμβριος/Οκτώβριος 1997. • L. Curyashkin και Α. Sιasenko, ·Η ιστορία της mώσης μιας σταγό νας•, Ιανουάριος /Φεβρουάριος 1999.

ση του δορυφόρου στα εξώτερα στρώ

ΗΟΑ

ματα της ατμόσφαιρας μετασχημα

ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

τίζει την αρχική ελλειπτική τροχιά

του οε κυκλική;

Πρόβλημα

3. Αποδείξτε όtι αν η

•

,' ,_

πυκνότητα του αέρα ελατtώνι:ται με

το uψος ως ρ~ R"ι ~. όπου με R ουμ • βολίζουμε την απόσταση από το κέ·

ντρο του πλανήτη, ο ρυθμός μείω σης της τροχιακής ακτίνας ενός δο

Πίνακα l, ο οποίος παρέχει εκτιμή

κατοπτpο

σεις του χρόνου ζωής για σuμβαη

ρω από nλα,'Ιjτη με αραιή ατμόσφαι

κοuς emστημ.ονικσuς δορυφόρους σε

ρα. Ας υποθέσουμε ότι η βαρυτική

ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ

τροχιές με διάφορα αρχικά ύψη.

έλξη προς ταν πλανήτη υπακούει το νόμο F~ R"", όπου n αυθαiρετος θε

νακας δείχνει πόσο δραστικά μειώ -

1996.

• Α. St&δenko, ·Από την άκρη του

ρυφόρου διατφείται σταθερός. Πρόβλημα 4. Ένας δορυφόρος περιφέρεται σε κυκλική τροχιά γύ ·

Πρωτίστως, ο συγκεκριμένος πi

χόντων τεχνητών δορυφόρων;

πάχους της ατμόσφαιρας προς την

ντίστασης στο κρίσιμο ύψος ανέρ

6. Υποθέστε ότι, λόγω

τικός αριθμός (η τιμή η

• 2 αντιστοι -

Παvιπισrημίου & Πιομοl.6yλου 5,

105 64 λΟήvα Τηλ.: 3247785

Web siιe: WM~.~toptro.εr

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

ΠΩΣ ΛΥΝ ΕΤΑΙ;

Προκλήσεις αιρούν ιις ονιίστοιχες ιιλευρές σε

Μαθηματικά

αναλογία

Μ146 Διαι\ι!{ ιε δύο. Δίνονται έξι διαφο • ρειιΜί αριθμοί. Αιιοδείξτε ότι μπο

ρούμε να διαλέξουμε δύο από ου· τούς. ας πούμε χ και.\'. έτσι ώστε να ιοχυουν οι επόμενες α\•ιοότητες; ο

χ -

.v s

l+X.Y

Ί3

!I.N. Sergeyev l

Μ147

2: L και 3:2ιόιιως στο Σχή

μcι 1). Σε ποιο αναλογία χωρίζει το σημείο Μ τη δική του πλευρά; Ι Α. Sh~n l

Μ149

μνόμενοι κύκλοι με ακτίνες

λη<ηής βρισκόταν ξ<ιπλωμένος πάνω σιο βαγόνι, το οιιοίο κινούντα" με

ιαχύτηια 9 m s. Πόσο μεyαλύrερη

Χωρισrε rσι• κυβο. Ένα επiπεδο διαιρει οε δύο ιιο.\ύεδρα. Είναι γνω

ηι(Ιν η μάζα του βαγο,•ιού από τη μάζα του ληστη: Τελικά. τι ακριβώς συνέβη: Υποθεοτε ότι οι μπότες του

ο ιό όιι η αποσταση μειαξύ οποιου ·

κλέφτη δεν γλιστρούσαν --αγνοή·

δήnοτε ζεύγους σημείων του ενός

στε επίσης ιην ιριβή κύλισης.

ιιολυiδρου δεν υπερβαίνει τα 3 ι 2.

(Α. Vaι·ginι

τέμνει tO\' μονοδιαιο κύβο και tO\'

και

βαδόν ιης ιομής; (Ν .Ρ. Dolbίlinl

r εφι\ιηον ιαι κ οι σι ι ς δύο η λευρές

Μ150

μιας γωνίας. Κατασκευάστε ένα ι

Συναδελφικές χειραψίες. Σε ένα διεθνές συνέδριο έχουν έρθει ανn

σοσκελές τρίγωνο έτσι ~>σιε η βάοη

καθεμία από ιις ίσες πλευρές του να

πρόσωποι οπό εκατό χώρες. Κάθε α· νιιπροοωιιεία αποτελείται orrό δύο μέλη τον nρόεδρα και ιον πρωθυ ·

εφόητeιαι ενός οπό τους κύκλους.

πουρyό. Πριν από την έναρξη του

Εκφράστε το μήκος του ύψους που

συνεδρίου. ορισμένοι αnό τους ο

φέρουμε προς rη βάση αυτού του τρι γώνου ουνορrήοει των R και r.

νιιπροοώnους αντάλλαξαν χειραψι·

του να βρίσκεται στη μία πλευρά της γωνίας. η κορυφή του στην άλλη και

να επίπεδο βρίσκεται ισόrιλευρο φί •

ει;, αλλα κανείς πρόcδρος δεν οντά.\· λαξε χειραψία με τον πρωθυnουρ yό ιι)ς χώρας του. Σ-ω διάλειμμα των εργασιών ιου συνεδρίου, ο rιρόεδρος tι]ς Ιλλυρίας ρώιι]Ο& όλους τους άλ ·

γωνο κο ιασκειιαο μένο από χαρτό •

λους συνέδρους ιιόσες χειραψίες εί ·

νι. Καριρώνοuμε φία καρφιά δίπλα στα σημεία Κ. L κ<ιι Μ των π λ ευ· ρων του, έτσι ώοτε το τρίγωνο να

χα ν ανταλλάξει. Όλες οι απαντήσεις

μην μπορεί να μετακινηθεί ! Σχήμα

θιιnουργός της Ιλλυρίας:

Μ148 Ακινηιοnοιήσrε

rρiyωνσ. Σε έ

Ι ι. Δίνεται ότι τα σημεία Κ και

ήτcιν διαφορετικές. Με πόσους συ νέδρους αντάλλαξε χειραψία ο πρω

L δι·

Φuσικn

1 MAPfiOΣ Ι ΑΠΡΙλΙΟΣ 1999

Τ{ΧJ,yός σε κcκιlιμέvι> επίπεδο. Έ νας τροχό<; αποτελείται αιιό λειιtή στεφάvιι μάζα<; Μ, ιιολύ ελαφρές α κ ιίνες κα• άξονα μάζας m. Ο τροχός τοποθειείτοι πάνω σε κεκλιμένο ε πίπεδο rιου σχημαιίζει γωγία α με ιο οριζοντιο δάπεδο, και κοτόmγ α

φήνεrαι ελευθερος. f..άγ ο τροχός κ υ · λίεται χωρίς να ολιοθαί,•ει. ποοη τα·

χυιηια θα έχει οποκτησει όιαν θα έχει διανύσει απόσταση L; Ποιο εί · γαι η ελάχιο ι η ιιμή που eπιτρcπε ΗJΙ να λάβει ο ουνιελεσtης φιβής ώστ~ υ ιροχός να κινείται χωρίς νο ολισθαίνει;

tA.

Ζίlbeι·ιηarΙ)

Φ148 Σιαj•οvες σε ομίχλη. Υιιολογίσιε το ιιλήθος των σταγόνων νερού ••ς

οrιοίες nεριεχει ένα κυβικό μέτρο ο μίχλης. ον γ'·ωρίζειε ότι η ορατότη τα Ι ή, ακριβέοιερα , η μέyιστη αιιό· σταση οριζόντιος ορατοτηταςΙ είναι

Επιδοf,ος κ.\cφrης βοι·ι>VΙων. Σε επiπεδο τμημα οιδφοδρομικής γραμ

ώρες για να κατακαθισει. Το υψος

βαγόνι. Μια νύχια, λοιπόν, το πλη· σίασε κρυφά ένας κλέφτης εξοηλι· 2χ

Φ147

Φ146

μής υιιl})χε ένα φορτωμένο εrιίnεδο

πρόοιιιο συνέβη ... Ότ<ιν συνήλθε. ο

Ποιες ιιμές μπορεί να ιιάρει το ε μ·

!{ιι ιασκcυιί ιριγr.Jvοιι. Δύο μη τε·

Σχήμα

Κατόιιιν, ο κλέφτι]ς βάλθηκε να τρέ χει πάνω <ιιις σιδφοφοχιές με σ•α · θερη ιαχύιητο 5 m /s. Ί'ότε κάτι α ·

σμένος με ελαφρό ελαστικό σκοινί. Έδεσε τη μια άκρη του σκοινιού στη

ζι~νη ιου και ιην άλλη στο βαγόνι.

10 m καΙ όιι η ομίχ.\η χρειάζεται 2 ιου οτρώμαιος ι ης ομίχλης α,·έρχε· τω σε

200 m.

Η ασκούμεγη αντί·

στασι1 ιοu αέρα σε μια σtαγόνα \'C · ρου ιικ ιίνας R !μετρημένη σε m ι που πέφtει με ιαχύτητο υ ισού ιαι αριθ · μηιικι\ με 4,3/lu (OC Ν).

Φ149 ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣ:Ε

i\αμmι)?ας αγνώστων σrοιχε/ωv.

Το Σχήμα

2 δείχνει πώς εξαριάιαι το ρεύμα από την εφαρμοζόμενη τά • ση γtα ένα λαμπτψα άγνωστης κα ·

---....

τασκεuής. Ο λαμπτήρας συνδέεται σε σειρά με αν<iο.αση 10 Ω και το προκ ύπτον κύι<λωμα τροφοδοτείται από πηγή μεταβλητής τάσης. Για ποια τάση της πηγής ο λαμπτψας JιΑ>

Σχήμα

ILM

••

18 V(V )

ιι

καταναλώνει ισχύ ίση με το

1/4 της

ισχύος που rιαράγει η πηγή;

Φ150

Robert Gllmore

Συμβολή έπειτα αrιό nνόκλαοη. Σε ένα συμβολόμετρο διαιρέσεως μc

Η Αλίιη σιη χώρο ιων ιtβcίνιων

tώnov κύμα τος, γνωσtό ως κάτο πτρο του

Lloyd,

μια σημειακή πηγή

Μια αλληγαρlα της κβαντικής φuαικής

είναι τοrιοθεtημένη σε οριζόντια

απόσταση

b = 20 cm

από ένα εnfne •

δο κάτοπτρο και σε ύψος

a = 10 cm

πάνω από το κάιοπτρο, όπως φαίνε ται στο Σχήμα

3. Το κάτοπτρο, έχει μήκος d = 10 cm. Μια οθόνη Ρ το ποθετείται σε απόσταση L = Ι m ο nό τη σημειακή πηγή. Προσδιορίστε το ύψος της εικόνας συμβολ ής που σχηματiζεtαι στην οθόνη.

Η Αλlκη. η πασlγνωσrη ηρωίδα nσu μσς χόρισε ο

•

Lewls Cαιrσll.

ως χαραΙC1(\ρας ενσαρκώνει την αυθόρμηtη και ανιδιοτελfl τόση

rov

ανθρώπου να •αnορεl• μnροοτό σrο μυσr(\ριο rου κόσμου μας ·

αλλό κοι την τόση του νσ ιcλεvόζει κόθε nροσωριν(\ μος βεβοιότητο .

• Ε . λοιπόν, η Αλlκη ξεκινό γιο νέες περιπέτειες. κοι ο Gllmore -ιισθηyηΙ(\ς φυσικής στο Πανεπιστήμιο τοu Μπρίστολ- μσς κσλεl νο την οκολοvθ(\σουμε σε μιο ουνσρπσσιιιι(\ περι(\γηση σrσ μυοτflρια του μικρόκοσμου. φιλοδοξώντας να μας βοηθ(\οει να οnοσοφην1σοvμε το ουσιώδη χαροκτηριοιικό του.

ΜΙΑΝ'fΗΣΕΙΣ, ΥΩΟΔΕJΞΕΙΣ ΚΑΙ

• Το βιβλlο. σε aυτό 10 nλαlσιο. αnοτελεl μια εκ1εν(\ ειοαyωγ(\

il ΥΣΕΙΣ ΣΊΉ ΣEil. 67

σιις δύσrpοπες και aνοίκειες έννοιες Ιης κβοντικ(\ς φvσικ(\ς. στην oρxfl της αβεβαιότητος του Hθisenbe<g, πς κvμοrοοuνοprι'\Οεις. την οnογορεvτιΚ(\ oρxfl του

Poull. και nολλές όλλες.

• Οι εΙCΙενεiς σημειώσεις nαι συνοδεύουν ιο καθαρό οφηγημοτ κό μέρος κόθε κεφaλαJοv οnοφυmογροφούν το βοΟΟιερο νόημα rων περιπετειών της Αλlκης. κοι nροσyειώνοuν τη φοντοοlο μσς.

• Ανομφlβολο. Η Αλlκη σιη χωpο rωv κβόνrωvαποΙελεt ένο npωτόrvno

a1 s

κοι γοηrευτll(ό ονόγνωομο. Αnεuθύνεtοι npωτlστως στον μη ειδικό. ολλό εlναι βέβαιο ότι θο

Δεν οnοπεΙ ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις· μόνο uγιf\ περιέργεια VΙΟ

ιον κόσμο nou ενοικούμε

L Σχήμα

10 οnολούοει και ο σπουδοοrι'\ς της σύγχρονης φuοικ(\ς

246 ~Α.. 16 χ 25 cκ. ,

ΕΊκ. λ/Μ. Παν6δcτο, 6.000 O(Jx.

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ΚΑΙΟΠΤΡΟ

QUANTUM I ΠΩΣ ΛΥΝΕΤΑt;

ΕΝ ΓΕΝΝΑ ΑΠΟΡΙΑ οτι το ΠΡΟ

Ελπίζουμε ότι η «κρούση·• σας με

βλημα των κρούσεων αrιοδεί χτηκε πολύ δύσκολο γtα W\' Γα λιλαίο, ο οποίος. σε τελικi) ανά λυση, υπipξε ο ιδρυτής της δυνοιnκής

αυτό το ευρύ θέμα δεν θα αrιοδειχτεί

του ενός σώματος. Α\•τiθετ~, ο Chris -

τελείως ελαστική και πως την από γv<ι>ση του Γαλιλαίου θα την αVΌΚα τσστήσει η ενόραση του

Ερωτήσεις ΚΩ~

δήλωσε όn απλώς υποστipιξe και γε νίκευσε τη θεωρία του Γαλιλαίου, προ

λύτερο ύψος μια χαλύβδινη

ήγαγε μεγάλως τη μηχανική, επειδή

άρχισε να διατυnώνει τη δυναιnκi) συ στηματων που αποτελούνταν από πε ρισσότερο του ενός αλ.ληλεπιδρώντο

σ~>μα tα. Έχοντας διασαφήσει eνa τέ -

:.,~-.

τοιο σύνθετο φαινόμενο Ιγεγονός που, παρεμmmόντως. απέβη ολέθριο για την καρτε

σιανή μηχανική), ο Huygens διατύοωσε αφιβέστερα το νό μο διατι}>ηοης της ορμής και 'σχε<)όν ανακάλυψε ιο νόμο διαπ'pησης της μηχανικής ενέργειας. Τα επιτεύγματά του άνοι.ξαν το δρόμο γtα την περαιτέρω μελέτη των φού

οeων, την οποία και διεξήγαγαν ονο μαστοί φυσικοί όπως ο

Edme Mariotte, ο Thonuιs Young, ο Heinήch l!ertz και ο Simioπ- Denis Poisson. Όταν αρχίζει κανείς να μελετά nς κρούσεις. αρέπει να μάθει πώς να δια φίνει ανάμεσα σε ελαστικές και ολα ΟΌκές ουγφούσεις, να ανακαλύοτει nς συνδrοεις ανάμεσα σnς έννοιες της παραμόρφωσης και της κuμαnκής διό

δοσης και να διαιοθό. νεται τη διαφορά ανάμεσα στη μηχανική κρούση των μαιφοοκοοικών σωμάτων και την αλ

ληλεnίδραση των ατόμων ή ιων στοι χειωδών σωμαΌδίων. Όλα αυτά προΟποτίθεντοι αν θέλε τε να κατανοήσετε rιώς λακτίζι:ιαι ιnα μπάλα ή καταφέρeται ένα αριστερό vτιρtκτ χτύοημα, πώς μπήγεται ένας

πάσσαλος στο έδαφος ή πώς σφυρηλα τούντσι το σιδφά ξjφη. Υπάρχουν ε οiσης φαινόμενα που μπορούν να χα ροκτηριστούν •ανεοτρομμένες• κρού

σεις (κανονιοβολισμοί, εκρήξεις). Οι

κρούσεις έχουν eξαιρεtική σπουδαιό τητα επειδή συνιστούν την εvιαiα βά ση τόσο της οuμπεριφοράς των μορίων

σφαίρα όταν προσκρούσει σε μια μαρμάρινη πλάκα παρό

λούν ειιίσης παροδείγματσ κρούσεων.

ΜΑΡτΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ lli9

στη'' άσφαλ το;

Γίατί σπάζει ένα εύθραυ

στο ΟVΌΚείμενο όταν ρίχνεται σε σκλφό δάιιeδο, ενώ rιρο σγeιώνεται σώο και αβλοj!ές ότσν το δάπεδο καλύπτεται αnό μαλακό tάnηια;

νων σφαιρών

Νεύτωνα,

πέντε rιανομοιότυπες χολύβδι νες σφαίρες ciναι αναρτημένες από ισο μήκη νήμα το έτσι <ι>στε τα κέντρα τους να κεΙ vιαι επί της

Μερικοί άνθρωποι κατα

αυτής ευθείας και να εφάmον ι.αι

φfρνουv να κινήσουν ένα στα

η ιnα με την άλλη. Πώς θα συμnε ριφερ&ί αυτό το σύνολο σφαιρών

μα τημένο λε<οιφορεiο, αλλα το λεωφορείο παραμέv-ει ακίνη το ότσν το διατρυπά ένα α ντιαρμα nκό βλήμα. Πώς εί ναι δυνατόν να συμβαίνει

εάν η πρώτη εκ δεξιών σφαίρο ε

κτραιιεί από τη θέοr1 ισορροπίας της και αφεθεί ελεύθερη;

?.1Jα μπάλα πέφτει κατακό

κάτι τέτοιο, δeδομένου όn η δύναμη

ρυφα πάνω σε λείο πρίο μα, που σχη

rιou δρα στο λεωφορείο στη δεύτερη περίrιτωση υπερβαίνει κατά πολύ τη δύναμη που ασκείται πάνω του:

ματίζει γωνία 45° με το οριζόVΌο δά rιεδο. Περιγράψτε την τροχιά που Οο

4. Σε μια

παρόσταση τσίρκου, ένας

αθλητής είναι ξαπλωμένος κάτω από ένα βαρύ αμόνι. Ένας συνεργό οις του

χτυοά το αμόνι με μια βαριοπούλα. Ενέχει άρογε ηραγματntό ιciνδυνο για wν αθλητή αυτή η επiδeιξη;

5. Όταν

ένα σφυρί χτυπά ένα τε

μάχιο χάλυβα, υφίσταται ανάκρουση, όtαν όμως χτυπά ένα τεμάχιο μολύ βδσυ, η ανάκρουση είναι πολύ ασθε νέστερη. Ποιο από τα δύο μεταλλικά

διαγράψει η μπάλα έπειτσ αοό την ε

λαστική κρούση της με το πρίσμα, το οποίο αρχικώς ηρεμεί.

10. Γίατ! είναι

δύσκολο να σουτά

ρετε ο ε μεγάλη αοόσταση μια όχι κο

λά φουσκωμένη μπάλα ποδοσφαίρου; 11. Όταν ένας ιιεπειραμένος μπα σκεψnολlσtας πιάνει μια ταχέως κι νούμενη μπάλα, χαλαρώνει τα χέρια του και οmσθοχωρεi ελαφρώς μαζί με την μπάλα. ΙΊατί;

12. Ποια είναι

η βασική διαφορά α

σώματα προσλαμβάνει περισσότερη ε

νάμεσα στη δύναμη ενός πυραύλου

νέργεια;

και σ' αυιή ενός συνήθους κινητι}>α;

6. Σε ποια περίrιτωση θα φτάσει μα

13. Μια llβίδα rισυ βάλλεται υπό ορι

κρύτερο μια οφαlρα που βόλλεται από

.,μένη γωνία από κανόνι εκρήγνυται

ένα r.ουφέιa -().ν το wυφέκι στερεω

στο ανώτερο σημείο της τροχιάς ιης

θεί ακλόνητο σε ιnα μέγκενη ή α'' έ χει αναρτηθeί αοό σκοιvιά;

Γίατί δεν αισθάνεται την ανά

κρουση ένας οφαnώτης που βάλλει με ένα μπαζούκα;

Στο παιχνίδι των ουγκρουόpε-

και διασπά το ι ο ε δύο θραύσματα ίσης μάζας. Το ενα θραύσμα εmστρέφει στο

κανόνι, διαγράφοντας ανάδρομα την φοχιά της llβiδας. Πού θα προσγειω

θεί το άλλο θραύσμα;

14. Υπό κανονικές σuνθήκες. τα μό ρια των αερίων α ναπτύσοουv τα χύτη

•

τti:Uκό φύλλο. Ο ιονισμός των ατό μ<ι>ν και η αλλη.\επiδραση ενός κβά \'tOU φωτός με ένα ηλεκτρόνιο αιιοτε

Συyκρουό

1. ΙΊατ! αναπηδά σε μeγα

των αερίων όσο και της σκέδασης των ατόμων που διαπερνούν ένα λεπτό με

Huygens.

tiaan Η uygens, ο onoloc; μετριοφρόνως

( 'J.J.J

χ )

τες της τάξεως ι;<ι>ν εκατοντάδων μέ τρων ανά δeυτερόλεπτο. f'iaτi, λοιπόΥ, η διάχυση ι;<ι>ν αερίων συνtε.\είται με μάλλον βραδείς ρυθμούς:

15. Για\! η ένταση της ΟερμJΚής κί-

ΣΚΟΠΙΟ

ινich

νεtαι όσο μειώνεtαι το μtγtθος των αιωρούμενων σωμα tιδίων; Γιατi οι ηλεκτρικές εκκε

νώσεις στον αραιό αέρα ι1ραγμα

ωποJΟύνται σε χαμηλόuρες ιάσεις; Με ποιον τρόπο μrιορεί να

ενός αερίου;

18. Γιατi τα ταχέα νετρόνια διέρ χονται εύκολα από ένα uοJιύ6i5ιν•:ι....ι εμπόδιο, ενώ εmβραδύνονται από ioo όγκο πιψιιφίνης, νερου η άλλων ου σιών που περιέχουν άτομα υδρογόνου;

Μιιφc)ιlεφCΙματισμοί

Κρατipτε μια μικρή και μια μεγά

λη μπάλα από καουτοούκ, ακουμπώ· ντας εη μικρή μηάλα σιην κορυφή της μεγάλης, και αφήστε τες να πέσουν

μαζί. Πώς θα συμπεριφερθούν μετά την πρόσκρουσή τους στο δάπεδο;

.. στο

ότι ...

οι ειιιθέσεις στα κάστρα εnιχειρούντα ν με τη βοήθεια ενός πολιορκητικού κριού, ο οποίος α

nοτελούντον από έναν κορμό δέντρου μάζα<; μερικών εκατοντάδων χιλιο γράμμων. Οι nολεμιο ιtς εφορμούσαν στην πύλη ωυ κάστρου κουβα λώντας τον κορμό στους ώμους

το βάρος αροοέκρουε στη βάση, προκαλούσε έναν ισχυρό κραδασμό, με α ποtέλeσμα την εξαγωγή ιου σ<pραγi

τους. Όταν έφrοναν στην πύλη,

σταματούσαν απότομα και ά • φηναν ελεύθερο τον κορμό, ο οποίος συνέχιζε την κίνησή του ολι • σθαiνονταc; πάνω σrη δερμάuνη θω ράl<lΟη που κάλυπτε τους ώμους των πολεμιστώγ.

... ακόμη νωρίτερο από τον Hυygens, ο τσέχος εnιοιήμοναc; Johannes Marci μελέτησε τις κρούσεις και ταξινόμησε ro σώματα σε μαλακά. εύθραυστα και σκληρό, ενώ ο Καρτέοι.ος, ο οποίος διέ

κρινε tα οκλιy>ό από τα μαλακά υλι •

σ μα ιος.

εφηύρε το ρολόι με ρυθμισεή εκκρεμές και καιασκεlίασε μόνος ιου ένα εξαιρετικό εη-

βομβαρδίζουν ακίνητου<; ατομικούς πυρήνες ουδέποτε tρχονται σε επαφή

λεοκόπιο που ων βο~ε να ανακαλύψει ένα δορυφόρο και ένα δακτύλιο του Κρόνου.

μαζί τους. ισ μοντέλο της τελeiως ελα • ΟΌκής κρούσης περιγράφει με οκρί βεια cη σκέδαση των εν λόγω οωμα-

κατόρθωσε επίσης

... μολονότι τα σωματίδια άλφα που

ιιδίων από τους πυρήνες.

να αποκτήσει διδακτορικό δί-

... σε θερμοκρασία δωματίου , οι

nλωμο στα νομικά. Λίγο πριν

κρούσεις μεταξύ των ατόμων είναι ως

από το θάνατό του. ουν&γραψε ένα αιιό ια πρώτα εγχειρί • δια αστρονομίας, που τιτλοφα ρούvtο ν Κοσμοθεωρός.

eι1ί το πλείστον eλασuκές. Διέγερση των ατόμων λόγω των κρούσεων αρ χiζει να παρατηρείται σε θερμοκρασίες &κάδων χιλΙάδων βαθμών. Ανυθtu.ις.

ο σερ Ισαάκ Νεύτων

σχεδόν όλες οι αμοιβαiει; ιφούσε>ς των

διατύπωσε αρχικά ων φίτο του νόμο μόνον ως υπόθε-

στοιχειωδών σωματιδίων είναι ελασα κtς σε ολόκλrρη τη γνωσεή περιοχή

ση εργασίας, η οποία του

θερμοκρασιών (ενεργειών). Γι' αυτ<)

ήταν απαραίτητη ΥΙα να σuγκροτήσει τη μηχαvutή. Τον υπέβαλε σε εξονυ){ΙΟΌΚό έλεγχο πειραμοτιζόμενος με ι<ρούσεις εκκρεμών.

και θεωρούμε ότι τα στοιχειώδη οωμα tiδια στερούνται εσωttρικής δομής. ... όταν το 1932 ο σερ James Chad wick ερεύνησε τις ιδιότητες των αφόρ-

... κατά τις κρούσεις αναιιτύσσο·

tιστων σωματιδίων που εκπέμπονrον

νται μεγάλες δυνάμεις. οι οποίες ενδέχεται να αρακαλέαουν σοβαρές ζημιές ή τραυματισμούς. Έισι, όταν

από ένα τεμά){ΙΟ βηρυλ.λίου, απέτυχε να τα ανιχνεύσει άμεσα. Ωστόσο, κα ιόρθωοe να προσδιορίσει όλες τις πα

κανείς πηδά σε σκλιpό έδαφος με τα ι1όδια τεντωμένο, μπορεί να υποστεί φαυμαuσμό ιου νωοοiου μυελού (ο-

ραμtτρους των άγνωστων σωματιδίων μελετώντας τις κρούσεις τους με nυ ρήνες άλλων στοιχείων. Έwι ανακα

κόμη και αν ω ύψος του άλματος ei • ναι μόλις 1 m) επειδή τη στιγμή της

λύφθηκε το νετρόVJΟ. ... όταν διασπάται οποιοδήnοιε κι

πρόσκρουσης ασκείται υπερβολικό φορτίο στη σrιονδυλική στήλη. - uuό κανονικές συνθήκες, iνα μόριο οξυγόνου διανlίει 1/20.000 mm

νούμενο αντικείμενο ~να βλι'ιμα, tνας πύραυλος ή ένας ατομικός πυρήνος-, το κέντρο μάζας των θρου σμάtων του ακολουθεί την ίδια τρο){Ιά

του. Εντούτοις, αυτή η α πόστα·

κο! φυσικοί προτιμούν να μελετούν

σύγκριση με uς διαστάσεις

που ακινητεί ως προς το κέντρο μάζας

εmtεtιχθεί η διέγeρση των ατόμων

Είναι

οτικών σωμάτων. ·- για το πολυσχιδές τω" ενδιαφεράντων ιου Hυygens δεν μαριυρούν

0 Huygens

νησης (κίνηση Βrον.η) αυξά

17.

σλιοθαίνον βάρος. Σήκωναν ιο βάρος και καrοπιν to aπελευθέρωναν. Όrον

μόνον οι τεχνικές του εσιτεύξεις:

:να σωματα

16.

κά. αδυνατούσε να αντ:ιληφθeί τη διαφορά μεταξύ ελαστικών και μη ελα-

στο χρονικό διάστημα που μοοολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών κρούοεών ση είναι μάλλον μεγάλη σε

που θα διέγραφc το σώμα αν είχε πα ραμείνει ακέραιο. Νά γιατί οι nυρηνι-

τις κρούσεις στο σύστημα αναφοράς

ιου μορίου: Αν μεταφερθούν

των συγκρουόμενων σωματιδίων.

οι ίδιες αναλογίες στο μm-

λιάρδο, η μπίλια πρέπει να διανύει απόσταση 10m ώσπου να χwm'pει το

Δlαβάσu QJ(όμη τα άρθρα ...

• R. Yίnolcur, •Άλματα και κα.~α-

στόχο της. ... Υlα να αφαιρέσουν οφραγίσμα-

θιές-, Σειπέμβριος/Οκ~ιος 1995. • S.R. Filonoνich, •Η δύναμη της ο-

τα από δυσnρόιnτα μέρη των δοντιών, ΟΙ οδοντίατροι χρησιμοποιούοον

μοιότητας•, Μάρτιος/ Απρίλιος 1997. • ν. Surdίn, ·Πηδώντας από άστρο

παλαιότερα ένα ευφυές ιέχνασμα. Γάντζωναν το προς οφαί-

ρεση σφράγισμα με μια ράβδο, η

οποία ήταν εφοδιασμένη με ένα

Nr ι

σε άστρο•. Μάιος/Ιούνιος 1997.

_ ΑΠΑΝΊ'ΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Α ΥΣΕΙΣ ΣΊ'Η ΣΕ.ι1. 67

OUAIΠ\JM I Κλι\ΕΙΔΟΙΚΟΠΙΟ

'S/

ΣΤΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ

το πρό λημα των οκτώ σημείων Πόσα είδη ισότητας τριγώνων γνωρίζετε; Ν.Β. Vasilieν

ΕΡΙΚΕ!: ΦΟΡΕΣ, ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗ

νταστούμε όu διάφαρο φήμα τα της

Η απάντηση στην u:λευταία ερώ

μα με απλή διατύπωση έχει

κατασκευής μας περιστρέφανται και,

τηση είναι η εξής: Μια τέτοια θέση

περίπλοκη λύση. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η πρόκληση εί

μόλις φτάσουν σε μια ιδιαίu:ρη θέ

είναι μοναδική. Δηλαδή, αν το τρί

ση, εμφανίζεται το &mθυ-μητό σχή

γωνο ΑιΒ,C1 εκτελέσει μία πλήρη

ναι συχνά το να βρούμε μια καλά οργανωμένη λύση που έχει κάτι να

μα.

μας διδάξει. Τέτοιου ·cvnoυ είναι το

αντίστροφο πρόβλημα.

επόμενο πρόβλημα, το οποίο κλήθη καν να αντιμετωπίσουν οι μαθητές που συμμετείχαν στην Πανσοβιετι

κή Μαθηματική Ολυμmάδα του 1983 στο Ασχαμπάντ. Εδώ το παρουσιά ζουμε με μερικές μικρές τροποποιή σεις.

Πρόβλημα yωνο

1. θεωρούμε ένα

ABC και

τρί

τον περιγεγραμμένο

του κύκλο. Έστω ένα τυχαίο σημείο Ρ στο εmnεδο του τριγώνου (που δεν ανήκει στον κύκλο). Φέρουμε uς ευ θείες ΑΡ, ΒΡ και

CP, και

θεωρούμε

Πρώτα θα λ ύοοu με το ακόλουθο

μόνο φαρά (και σε μfα συγκεκριμέ νη εκφυλισμένη περίπτωση δεν υ

περιστροφή ιαι τομές

πάρχει τέτοια θέση).

των ευΘειών Πρόβλημα

Το πρόβλημα αυτό μπορεί να λ υ

2. Εyγράφαυμε σε έ

ναν κύκλο δύο (όχι απαραίτητα ίσα)

τρίγωνα ΑΒCκαι A,B,C,. Το τρίγω νο

ABC παραμένει

περιστροφή, οι ευθείες ΑΑι, ΒΒι και CC1 συντρέχουν στο ίδιο σημείο μία

σταθερό, ενώ το

A,B,C, στρέφεται περί το κέντρο του κύκλου. Για ποιες θέσεις του Α 1 Β 1 Cι οι ειιθείες ΑΑ,, ΒΒ, και CC, συντρέ χουν στο ίδιο σημείο Ρ; Πόσες τέ τοιες θέσεις υπάρχουν;

θεί με τη βοήθεια των γεωμετρικών tόηων.

Λήμμα. Έστω μια σταθερή χορ δή ΑΒ του κύκλου και έσ-τω ότι τα άκρα μιας χορδής Α ,Β, κινούνται ε

πί του κύκλου. Τόu:, η γωνία φ με ταξύ των ευθειών ΑΑ, και ΒΒ, πα ρομένει σ.αθερή και το σημείο το μής τους Μ (αν φ "Φ 0) γράφει έναν κύκλο που διέρχεται από τα σημεία

τα δεύτερο σημεία τομής αυτών των

Α και Β (Σχήμα 1).

ευθειών με τον περιγεγραμμένο κύ

Για να αποδείξουμε το λήμμα,

κλο. Αποδείξτε ότι υπάρχουν το πο

μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής: Υ

λύ οκ τώ σημεία Ρ για τα οποία τα

ποθέτουμε ότι τα σημεία Α, και Β,

εν λόγω σημεία τομής δεν συμπί

κινούνται ομαλά με την ίδια ταχύ

πτουν με καμιά από τις κορυφές του

τητα επί του κύκλου. Τότε οι ευ θείες ΑΑ, και ΒΒ, περιστρέφονται

τριγώνου ΑΒCκαι είναι κορυφές ε νός τριγώνου ίσου με το αρχικό τρί γωνο ABC.

ομαλά με την ίδια ταχύτη~α γύρω

Το πρόβλημα αυ•ό αποδείχτηκε

Επομένως, η μεταξύ τους γωνία δεν

από τα σημεία Α και Β, αν τίστοιχα. μεταβάλλεται (στο Σχήμα

αρκετό δύσκολο. Μερικοί μαθητές το έλυσαν αναλύοντας διάφορες θέσεις

Σχήμα

του σημείου Ρ ως προς τις ευθείες ΑΒ, BC, CA και τον κύκλο. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε μια πιο δι δα

σημεία Α 1 και Β κινούνται επi rου κύκλου

κτική λύση που στηρίζεται σ.ην ιδέα της •κ ίνησης• των σχημά,;ων πάνω στο εninεδο. Με άλλα λόγια, θα φα -

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

Αv

ro σημεlα Α και Β εivοι σrαθεριi και ra 1

ομα.~ά με rην jδια yωvιαχή mχύ1η;α ω, ιό τε οι ευθεiες ΑΑι και ΒΒ1 περιστρέφοvτα1

η γω

νία ΑΜΒ ισούται με φ, όταν το Μ βρίσκεται από τη μια πλευρά τής ΑΒ, και με π - φ, όταν βρίσκεται από την άλλη). Έστι.J όu την αρχική στιγμή

ro ση

οι ευθείες ΑΑ 1 και ΒΒι τέμνονται

μεlο τομής τους Μ1 κ.ιvεj·ται επί ιοv κόκκι νου κύκλου (με γωvιαχή ταχιίτηrα ω).

τροχιά του σημείου Μ είναι ο περι -

ομαλά _με γωVJακή rαχύτητα ω/2 και

στο σημείο Μ,. Τόu:, η ζητούμενη

με να βρούμε ένα μοναδικό τρίγω νο Α Β 1 Cι με nς επιθυμητές ιδιότη

τες, συμμετρικό rου

ABC ως προς το

κέντρο του κύκλου. Υπάρχει όμως ένα λεπτό σημείο στο ου λλογισμό, το οποίο είναι περισσότερο λογικού

παρά γεωμετρικού χαρακτήρα. θα το σχολιάσουμε αμέσως έπειτα από μια ο

σύντομη παρέκβαση.

Σχήμα

Η ει61κή ncρύπ(οΧJη φ = 0: ω οηpείο Ρ δεν vπ(φχει (OJ ευθείες ΑΑ,, 881 και CC1 είναι παράλληλες).

με αυτή την υπόθεση, πρέπει να ε ξαιρέσουμε τα δύο αντίστοιχα ση μεία από τον γεωμετρικό τόπο).

Ας επιστρέψου με στο Πρόβλημα

2. Με β

τη βοήθεια του λήμματος μπο

ρούμε να κατασκευάσουμε δύο κύ

Σχήμα

Το σημεiο Ρ (Jρίσκετα1 orηv r.ομή 8ύο γεω με.rρικών τόπων: 6ταν η ευθεία φrάσει στη

θέση ΒΡ. υι cvθtltς ΑΑ, και πτουν με nι; ΑΡ κα1 CP.

CC,

συμπί

κλους που είναι οι γεωμετρικοί τό ποι των σημείων τομής της ευθείας ΑΑ, με την ΒΒ, και της ευθείας ΒΒ1 με την

CC,

(Σχήμα

2).

Ο πρώτος κύ

κλος διέρχεταΙ από τα σημεία Α. και

Μεταθέσειc: των κορυφών και συμμετρίες Τα ίσα τρίγωνα έχουν, εξ ορισμού, ίσες γωνίες και ίσες πλευρές, και μπορούμε να τα τοποθετήσου με το ένα πάνω στο άλλο. Συνηθίζεται να γράφαυμε την ισότητα δύΌ τριγώ νων με τέτοιον τρόπο, ώστε οι αντί στοιχες γωνίες να παρατίθενταΙ με

την ίδια σειρά. Για παράδειγμα, αν τρίγωνο ABC Ξ τρίγωνο DEF, τότε LA LD, LB = LE, LC = L.F, ΑΒ =

DE,

κ.ο.κ.

Α ν ξαναδούμε την πρόταση του

γεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΜ, κύ • κλος. Το σημείο Μ κινείται ομαλά πάνω σ' αυτό rον κirκλο (η γωνια

Β και ο δεύτερος από οα σημεία Β και C. Ένα μόνο σημείο είναι δ υ να· τόν να παίξει το ρόλο του Ρ -εκεί νο το σημείο τομής αυτών των δύο

κή ταχύτητα των ευθειι:ιν ισούται

κύκλων που είναι διαφορετικό του

με το ήμισυ της γωνιαRής ταχirτη

Β. Δεν χρειάζεται να κατασκευάσου

χία των γωνιών, μπορεί να είναι ίσο

τας των σημείων Α 1, Β, κο ι Μ ο τους

με τον τρίτο κύκλο ~ηλαδή, τον

με οποιοδήποτε από τα έξι τρiγωνα

γεωμε cρικό τόπο της τομής των ευ

Για να αποδείξουμε και τυπικό ιο

θειών ΑΑι και CCι. Ο κύκλος αυ

ABC, BCA, CAB, BAC, ACB και CBA. Και θα διαmστώοουμε ότι, για

λήμμα, χρειάζεται να εφαρμόσουμε

τός διέρχεται επίσης από το σημείο

καθαρό γεωμετρικούς λόγους, τ;ο

αρκετές φορές το θεώρημα περί της ισότητας εγγεγραμμένων γωνιών. Οι

Ρ (οι αναγνώστες μπορούν να απο

πλήθος των παραλλαγών είναι δι

δείξουν αυτό το γεγονός).

πλάσιο.

αναγνώστες μπορούν να προοπαθή·

Έτσι, υπάρχει γενικά μία μονα

σουν να επινοήσουν μια απόδειξη. Πρέπει να επισημάνουμε δύο ει

δική θέση του τριγώνου Α,ΒιCι που

'Γο τρίγωνο ΑιΒι Cι μπορεί να εί ναι ευθέως ίσο με ro τρίγωνο ABC

ικανοποιεί τη ζφ;ούμενη συνθήκη.

-και σε αυτή την περίπτωση, μπο

δικές περιπτώσεις του λήμματος που

Σε κάθε περimωση, και α ν λάβου

ρούμε να επιθέσουμε το ένα τρίγω

θα μας φανούν χρήσιμες σε μεριRά

με υπόψη τις εξειδικεύσεις που ~

νο στο άλλο μέσω μιας συνεχούς κί

ζητήματα που θα εξετάσουμε αργό

χουμε κάνει, μπορούμε να πούμε ό

νησης στο επίπεδο. όπως η περιστρο

τερα.

τι υπάρχει το πολύ ένα τέτοιο ση

φή

μείο Ρ (η ειδική περίπτωση παρου

ναι αvrισφόφω<; ίσο. Στη δεiιτερη

σιάζεται στο Σχήμα

3). Άρα, το Πρό

περίπτωση, για να επιθέσουμε το έ να τρίγωνο στο άλλο, πρέπεΙ να το

κριμένη ορχική στιγμή το σημείο Α 1

βλημα 2 έχει λυθεί. Επιστρέφουμε τώρα στο Πρόβλη • μα 1. Για κάθε σημείο Ρ (που δεν α

με

Α. Σε αυτή την περίπτωση, οι ευ

νήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο)

ευθεία). Στο πρόβλημά μας, αρκεί να

θείες ΑΑ, και ΒΒ, αρχικά συμπί

συμβολίζουμε με Α,, Β,, Cι τα δεύ τερα σημεία τομής των ευθειών ΑΡ,

θεωρήσουμε το συμμετρικό ενός εκ

ΒΡ και

με τον κύκλο. Το πρό

κριμένη ευθεία. Όλα τα τρίγωνα

βλημά μας αφορά σημεία Ρ, τέvσια

Α,Β,Cι που είναι ανtιστρόφως ίσα

ώστε το τρίγωνο Α,ΒιC, να είναι ίσο

με το τρίγωνο

Ι ή το Β, με το Β), πρέπει να θεuιρή

με το τρίγωνο

Με πρώτη μα

ένα από το άλλο μέσω περιστροφών.

σουμε όtι η ευθεία ΑΑ, (ή

τιά φαίνεται ότι, αν θεωρήσουμε ίσα

Για να διακρίνουμε αυτές τις περι

τρίγωνα οτσ Πρόβλημα

πτώσεις, γράφουμε πάνω από το

αντίστοιχους κύκλους).

Η ειδική περίπτωοη φ

φανίζεται όταν οι χορδές

=Ο

εμ

ΑΒ και

Α,Β, είνω ίσες και σε μια συγκε συμrόπτει με το Β και το Β1 με το

πτουν, και στη συνέχεια, καθώς με τακινείται η χορδή ΑιΒ1, γίνονται παράλληλες.

Όταν το Α, συμπίπτει με το Α

881)

εφά

πτεται στον κύκλο (αν δεν κάνου -

ABC.

μπορού-

Προβλήματος 1, λαμβάνοντας υπό ψη αυτή την παρατήρηση, βλtπου με ότι το τρίγωνο Α,ΒιCι δεν είναι απαραίτητα ίσο με το τρίγωνο ABC. Αν συνυπολογίσουμε την αντιστοι

στο πρόβλημά μας- ή να εί

«αναποδογυρίσουμε• (να θεuιρήσου

συμμετρικό του ως προς μΙα

των τριγώνων ως προς μια συyκε

ABC προκύπτουν

QUANTUM I ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠΙΗΑΚΑ I

το

σύ)Ιβολο της ισότηtας ένα R ή ένα S, αντίστοιχα (από τα αρ){lκά των λtξιων reΩecιion και symme-

try). Αν

χρηοψοnοιήσουμε το Πρόβλημα

μπο

ρούμε να κατασκευάσουμε ένα ~ο πολύ σημείο Ρ

για καθεμία από τις 2 · 6 = 12 εναλλακτικές περι πτώσεις.

Η επιχειρηματολογία μας αυτή ιξηγείται ως εξής: Παίρνουμε ένα τρίγωνο Τ καtαοκευαομtνο από χαρτόνι (με περιγεγραμμένο κύκλο ίσο με του τρι

γώνου

ABC>, τοποθeτούμε

κάποια πλευρά του cno

επίπεδο, σημειώνουμε τις κορυφές Α1 , Β,,

C, (6 δια

φορεnχtς δυνατότητες) και, περιστρέφοντας το τρί

γωνο, βρίσκουμε το σημείο Ρ για καθεμία από τις 2 · 6 διαφορετικές περιπτώσεις. ΙΊα να ολοκλιpώσουμε ιη λύση του Προβλήμα τος

πρέπει να εξηγήσουμε για ποιο λόγο εξαι

ABC. A 18 1C1)

ρούμε τέσσερις περιπτώσεις όταν Τ = τρίγωνο

Η μία απ' αυτές (τρίγωνο ABC~ τρίγωνο εξαιρείται αμέσως, διότι για καθεμιό. από τις πλευ ρές ισχύει η ειδική περίπτωση (I ) του λήμματος

!Σχήμα 3) -οι ευθείες Α Αι, ΒΒι και

CC,

δεν συ

ντρέχουν ποτέ καθώς περιστρέφεται το τρίγωνο Α 1 ΒιC1• Επίσης, λόγω της συνθήκης να μη ουμnί rrτει κανένα απ' τα σημεία Α,, Β, C, με τα αντί στοιχα Α, Β, C, εξαιρείται η περίπτωση τρiγωνο BAC

~τρίγωνο A,B,C, (Σχήμα 4) καθώς και δύο ανά λογες περιπτώσεις: τρίγωνο ACB ~τρίγωνο A,B,C,, και τρίγωνο CBA ~τρίγωνο ΑιΒιCι. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το σημείο Ρ εμφανίζεται τη στιγμή που συμπίπτουν τα δύο τρίγωνα (ιότε ισχύουν ταυτόχρονα οι ειδικές περιπτώσεις (1) και (2) liOυ λήμματος (Σχήμα 4)). Το flρόβλημα 1 λύθηκε. Συμβουλεύουμε όσους ανυnομονούν να ολο κληρώσουν την ανάλυση, να σκεφτούν τα εξής ε ρωτήματα: (1) Είναι αληθές ότι στη γενική περί nτωση πραγματοποιούνται και οι δώδεκα (και όταν

Τ = τρίγωνο ABC, και οι οκτώ) καταστάσεις και μας δίνουν (καrο κανόνα) διαφορετικά Ρ; (Πειρα ματιστείτε με κανόνα και διαβήτη.) (2 ) Καrο πόσο μειώνεται α αριθμός

12 (ή,

στην ειδική περίπτωση,

Gonίck και

Larry

Art Huffman

~ΤΑ ΠΑΝΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗΞ~ ΣΕ ΚΟΜΙΚΣ Το β ι βλfο περιλαμβάνει όλη τη λυκειακή ύλη (νόμους του Νεύτωνα, στατική, γραμμrκtς και κυκλικtς κινήσεις. βολtς και rφούσεις. νόμους διατήρησης, ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδlα, κυκλώματα και φαινόμενα επαyωyής, εναλλοσσ6μενα ρεύματα κλπ.) αλλά καr τrς εξισώσεις του Μάξγουελ, το φως, στο ιχεlα της σχεηκότητας κο ι της κβαντικής ηλεκτροδυναμ ικής, -όλα παρουοιαΟ)J{να με τρόπο πνtυματώδη και χιουμοριστικό. Το καλύτερο δώpο για τοv σττοuδασπj, για τον εκπαιδευτικό και όποιον ενδιαφtpετα ι για τη φυοιιιή

ο αριθμός 8) όι.αν το φίγωνο Τ είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο;

Ο λrt Huffman ιfvar υπεύθυνος του

<ρ)(tστηριοlώύ προypόμματοc; του μοθιjμnτοc; φυσ ιιαjς στο Γlσ\'fπ ιστιjμ ιο τηs Ι(α.\ιφdρν ιας. Ο L.1rryGonick, διδόΙ<Jωμ μαθηματικών, ιΜ:rι ιmεύθυνος τηs

στήλης •ΚΛασικά θlμaτα ι:πιοτήμηs• του τrεριοδικού Dί>toνer.

Σχήμα

Μια erliική πeρίπτωσrr: ro σημtlο Ρ eμφ<ιvlζetοι 6ιον ουμnέ σουv

ra τρι'yωνα.

Του ΝΒ. VB$ίlieν κιικλοφοροf στα eλλην>κlι 110 βιβλίο Πα νrνωσιοκές Μαθημαtικές Ο,!υμmά&ς rης Ε.ΕJ:.Δ. 11961 -1991) tόμ. Α κιιι Β. Εκδόσεις Κάtοmρο. (Σ.t.μ,)

MAPJIOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1e9t

ελληνικά ιwκλοφορούν αχόμη

m βιβλfα

τοο

Lilrry Gonldι:

-Το π6νm yια τη yινεrιιιή οι κ6μικς -Η ιoropfo τοο Κ6σμου οι κόμικς (16ιι.: Ιtλ.:

222,

Εικ.:

AIM, 17

ικ.,

1 - 7)

4.500 δρχ.

ΕΚΔΟΣΕΙΣ κάτιππpq

τοηολο~α και η

του

Ένας μαθηματικός στην εnικρότεια των τοnογρόφων

Mikhail Shubln

τιτΛΟΣ Α vτov τον ΑΡθΡΟΥ ει

ναι ώς eνα σημείο αμφιλεγόμε νος: η tοπολογία (αντίθετα με την τοπογραφία) δεν έχει σχέ ση με τους χάρτες του ανάγλυφου της εmφάνειας της rης. Δεν ασχο λείται καθόλου με έδαφος. Είναι ο

κλάδος των Μαθημαnκών που ασχο λείται με εκείνες τις ιδιότηιες τ.ωv γεωμετρικών σχημάτων που συνή θως θεωρούνται οι πλέον θεμελιώ δeις -ιδιότητες που διατηρούνται

κάτω από μετασχηματισμούς εξαιρε τικά γενικού τύπου. Αυτοί οι μcτα

σχημα τισμοi, οι οποίοι ονομάζοηαι ιοnολοyικοί μεrασχημαrισμοί, ή ο μοιομορφισpοί. ορίζονται ως αμφιμο νοσήμαντeς απεικονiσεJς που, αυUς και οι αντίστροφές τοιις, είναι συνε χείς. Α νnκείμενα

ro οrιοία εmφανειακά

μοιάζουν τελείως διαφορετικά μπο ραυν να έχουν τις ίδιες τοπολογικtς ιδιότητες. αν είναι δυναών να μεrο τρέψουμε το ένα στο άλλο μέσω μιας συνεχούς παραμόρφωσης. Ο Martίn

Gardner

περιέγραψε κάποτε τους το

πολόγους ως μαθημαnκούς που δεν μπορούν να ξεχωρίσουν ένα φλιτζό

vt του καφέ από έναν λουκουμά. Με ρικές φορές, τ:οπολογικές ιδιότητ:ες και τιμές προκύnwυν ως συνδυα σ μός εξαιρετ:ικό απλών γεωμετρικών ιδιοτήτων και τιμών. Αυτό ακριβώς

συμβαίνει με το διάσημο θεώρημα του Euler για τα πολύεδρα (θεώρη μα

στη συνέχεια). θα αρχίσουμε

όμως με ένα άλλο nαρόδειγμα αυτοiι

OUAIΠUM I ΑΡθΡΟ

συνήθως μέσω των ισοϋψών κσpπυ· λώv-δηλαδή, καμπυλών που συν δέουν σημεία του χάρτη τα οποία α

παρουσιάζονται κοντά σε αυτά. Οι

ντιπροσωπεύουν σημεία ~ης !'ης σε

3γ)- είναι •κρίσιμα• σημεία (ή ση

ίδιο υψόμετρο (από την επιφάνεια της θάλασσας) (Σχήμα 1). Το μαθηματι

μεία •ισορροπίας.. ) του •τοπίου• μας.

τρεις πρώτοι τύποι -κορυφές, λεκά νες και aυχένες (Σχήματα 3α έως

κό μοντέλο μιας φραγμένης περιοχής

Αν τοποθετήσετε μια σφαίρα σε ο ποιοδήηοτε από αυτό, θα παραμείνει

της γηινης επιφανειας ειναι η γεω -

εκεί για πάντα (παρ' ότι η ισορροπία

μετρική επιφάνεια του χώρου που ο

είναι ευσταθής μόνο στις λεκάνες).

ρίζεται από μια εξίσωση της μορφής

rια κάθε τύπο σημείου θα παρουσιά

z = f(x, y ). Στο

2 παροuσιά

σου με τόσο μια γραφική απεικόνιση

ζονται παραδεiγματα τέτοιων επιφο

όσο και έναν αυστιpότερο ορισμό συ

νειών. Οι συνεχείς γραμμές σε αυ

ναρτήσει των ισοϋψών.

Σχήμα

τές τις επιφάνειες είναι σύνολα ση

Στο Σχήμα 3α παρουσιάζεται μια

μείων που βρίσκονται σε δεδομένο

κορυφή. Σε rιρώτη ματιά φαίνεται ό•ι

ύψος

η κορυφή μπορεί να οριστεί απλώς

z =σταθερό. Οι

ισοϋψείς είναι

οι προβολές τ.ους στ.ο επίπεδο

(.,, y).

ως το υψηλότερο σημείο μιας περιο

(Οι διακεκομμένες γραμμές σ' αυτές

χής. Όμως, η δομή μιας επιφάνειας

τιc; επ ι φανειες ει ναι οι γραμμες με-

γύρω από ένα τέτοιο σημείο μεγίστου

γιστης καθόδου και είναι κάθετες

μπορεί να είναι εξαιρετιιtά πιο rιερί

στις ισοϋψείς.) rια να συνοψiσουμε:

πλοκη από αυτή του Σχήματος 3α.

μια ισοϋψής είναι ένα σύνολο ση

rια παρά δει γ μα, μπορούμε να φα.

τοu είδους ~να θεώρημα από τη

μείων (χ, y ) που ικανοποιούν μια ε

νταστούμε ένα σημείο μεγίστου που

-θεωρία του Morse• '. Και εδώ μπαί

ξίσωση

Ουσιαστι

είναι το σημείο συσσώρευσης μιας α

κά, οι σwθερές σε αυτές τις εξισώ

κολουθίας άλλων σημείων μεγίστου

σεις •οtιαριθμούν• τις αντίστ.οιχες ι

με αυξανόμενο ύψος (δηλαδή, μια ο

σοϋψείς. Στο Σχήμα

ριακή nερίmωοη τ-ου Σχήματος

Σχήμα

νει στο παιχνίδι το έδαφος -και η μορφολογί.α του.

Στους γεωγραφικοiις χάρτες tO α νάγλυφο του τoniou παρουσιάζεται ι Ο

Harold Marston Morse (1892- ι977),

#χων αμερικανός μαθηματικός, δημιούργη σε μια θ&ωρία (η οοοία αργόttρα m'J)e το όνο μά rou) nov αnottλtf σημαντικό κλάδο της σύγχρονης rοοολογίας.

f(x, y ) = οοαθερά.

2 οι οικογέvειεc;

των ισοϋψών έχουν τοποθετηθεί κά-

με άπειρο πλήθος μικρότερων κορυ

τω απο τις αντιοεο ι χες

φών): κάθε γειτονιά ενός τέτοιου ση

' επ ι φανειες.

Για να δια τυπώσουμε το πρώτο θε

μείου περιέχει και άλλα σημεία με

ώρημά μας, πρέπει να εξοικειωθού

γίστου. Για να εξαιρέσουμε τέτοιες

με με διαφορετικούς τύπους σημείων

περιπτώσεις, ορίζουμε την κορυφή ως

της εrιιφάνειας τα οποία διαφέρουν

ένα σημείο που είναι το υψηλότερο

ως προς τις μεταβολές του ύψους που

στην εωκράτειά του και, εmπλέον,

•= l -

Σχήμα

2 MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

3x'+.r'

,Υ

z= Λ-χ'

z = x(3y' -

•

ι γ

χ')

κφυφή ιεummιι ι

Σχήμα

λι:ιιοvη Ιbasinl

ουχέvος fpassl

σημdο ιιλίοqι; (8/ope)

οι ισοϋψείς γύρω αιιό α υ οό διευθε τούνται όπως στο Σχήμα 3α -δηλα

νήκουν στο άλλο ζεύγος, κατερχό

Φυοικά, υπάρχουν και άλλοι τύ nοι σημείων εκ <ός των τεσσάρων που

δή, είναι κλειστές καμπύλες που δεν

< z, < z, < ....

3y, ... , z, < z_, < z0

αυτοτέμνονται, ΚJβωdζονται γύρω α

Ο τέταρτος τύπος σημείου είναι ο

δtιγμα, μερικοί χάρτες έχουν οροπέ

πό το σημείο και ια αντίστοιχα ύψη

πλέον συνήθης. Ανdθετα με ό,τι συμ

δια (ολόκλφες περιοχές με σημεία ί

τους μειώνονται όσο απομαιφυνόμα

βαίνει στα κρίσιμα σημεία, μια σφαί

διου ύψους) ή κορυφογραμμtς (όχι

ρα που τοποθετείται σε τέτοιο σημείο

z0 > z, > z, > ....

μαστε: σοο Σχήμα

ορίσαμε προηγουμένως. Για nαρά

γίνεται

πιφάνεια σε αυτό έχει κλίση. Ένα

ένα σημείο σλλά μια ευθtiα μi:γισrου ύ ψους -δείτε το Σχήμα 2γ), ακόμη και rιιο •ιιερίεργα• σημεία, όπως ο

κορυφή μόλις αλλάξει ω ορόσημο της

τέτοιο σημείο ονομάζεται σημεiο κJi.

τριπλός αυχένας του Σχήματος 2δ ή

ουνάρtησης ((χ, y). Επομένως, είναι

σης. Η δομή των ισοϋψών nλησίον

ιην ακολουθία φθινουσών κορυφών

ένα σημεiο με γειτονικές ισοϋψείς ό

ενός σημείου κλίσης παρουσιάζεται

του Σχήματος

πως του Σχήματος 3β (που είναι ίδιες

στο Σχήμα

η ισοΟψής που

μεία που δεν είναι σημεία κλίσης (ε

με του Σχήματος 3α), αλλά τα ύψη

διέρχετοι από το σημείο κλίσης απο

κτός των κορυφών, των λεκανών και

τους αυξάνονται καθώς απομαιφύ

τελείοαι από ένα τμήμα και ιο ύψος

των α υχένων) αίρονται με μια ελό •

νοντα ι αnό το σημείο: z0 <

χι σ τη μεταβολή της επιφάνειας: τα

βάλλεται από μια περιοχή που μοιά

r.ων γειτονικών ισοϋψών μετοβι'ιλ λετα ι μονοτονικώc; καθώς κινούμα στε σε μια διαδρομή που διέρχεται από το σημείο κλίσης: στο Σχήμα 36,

ζει με σέλα' Ενώ οι ισοϋψείς γύρω

-, z_. < z_, <

οτε από αυτό:

Η λεκάνη (Σχήμα 3β) είναι μια α ναιιοδογυρισμένη κορυφή

z, < z. < ....

Ο αυχένας (Σχήμα 3γ) μιιορεί να

nεριγραφεί ως ένα σημείο που περι

θα κυλήσει προς τα κάτω, διότι η ε

36. Ειδtκά,

z. < z < z. < ....•

από μια κορυφή ή μια λεκάνη εκφυ

λίζονται σε ένα μοναδικό σημείο, οι

μεία ενός χάρτη είναι σημεία κλίσης.

αυχένα Ρ αποτελούνται από δύο τε

Για παράδειγμα, όλα τα σημεία κο ρυφής, λεκάνης και αυχένα είναι

μνόμενες γραμμές. Οι γραμμές α υ

μεμονωμένα και nεριβδλ.λο

τές (ή μάλλον, οι εφαπτόμενές τους

νται από αημεία κλίσης.

στο σημείο

PJ χωρίζουν

«κακά• σημεία είτε εξαφανίζονται εί τε μετατρέπονται σε κορυφές, λεκά •

νες και aυχένες.' Επομένως, είνα1 4. Το γι:γονός αuτό δοοwπώνοtΔΙ και αnο δειχνύετ;aι μe αυσσpότητα στη θeωρία \Ου

Μο...,, α.Ιλά εμείς δεν θα χρειασwύμε αιιτό το e..;,ρηιιιι.

τη γειτονιά

του σημείου σε δύο ζεύγη κατά κο ρυφήν γωνιών. Α ν απομακρυνθού

με από το Ρ κινούμενοι κατά διεύ Ουνση που βρίσκεται στο εσωτερικό ενός από αυτά τα ζεύγη γωνιών, α

νερχόμαστε. Α ν απομσκρυνθούμε ΚΙ νούμενοι κατά διευθύνσεις που α-

2. Οι rοηολόyοι ιο ο>"ομ<ιζοuv μιρικtς φο ρtς οογμαtικό σημι:iο (απ6 τη .ltl,η οόηιο, που

uιt)J.αίνει σέλαι

Όμως, όλα τα ση

Κατά κανόνα, σχεδόν όλα τα ση

ισοϋψείς που διέρχονται από έναν

3. Μηqιουμε να δώοοuμt μια nr· ριοοότφο ruηική nφιypαφή οvναρ ιήοει 1011(1.\ογuιών μετασχημαοσμι~ν:

Η οικοytνεια ιων ΚΗ>ίίψών κονιλ'ι oe ένα οηιιclο κλJιπιi προκ iιmει αιιό μια οι.ιιογtνι:ια nαράλλη.\ι.)ν tυθtιών μι;.

σω tνός Uωιου μεtασχηματιομού. ~~ΞΞ~Ξ=Ξ;;;:;~::=::;=::::::=;'!::'!!:ξ;~ Πaρομοίως,'" ιοσ(τφdι; ιιοv.Δ"" μχι ~

~::-:~:::';l:~;':~~ \:t~Y9® ο ο κ.λων και 01 ιοοίιψείς ΚΟ\'1.6. Ot t\'OV

αυχtνα οιtό μια οικοyέ,•εια υnt:ρβο-

λών με κοινές ασύμmωτες.

Σχήμα 4 OUANτUII / ΑΡθΡΟ

Κ + Λ - Α =6+2-7;1

Σχήμα

:. Σχήμα

κό του μικρότερου κύκλου. Ο δακ τύ • λιοc; μεταξύ των κύκλων είναΙ ένα

είδος συνδετικού ισιού (Σχήμα

7).

Επομένως, μπορούμε να υιιοθέ

λογικό να περιοριστούμε σε αυτούς

πυθμένα κάθε λεκάνης έως ότου

σουμε όtι οι συνθήκες (α}, (β) και (γ)

μόνο tαυς φεις τύπους κρίmμων ση

φτάσουpε στο βάθος της βαθύτερης

είναι αληθείς.

μείων πέρα tων σημείων κλίσης.

τάφρου της Γης ( η τάφρος tων νή

2. Ο κα ιακλ υσμός. Ας υηοθέσου

Μπορούμε τώρα να διατυπώσου

σων Μαριάννες στον Ειρηνικό ωκεα

με ότι βροχή πλημμυρίζει βαθμιαία

με το κύριο θεώρημα αυτού του άρ

νό, γνωστή ωc; Άβυσσος των Μαριαν

το νησί και όιι ιο επίπεδο του νερού

θρου -ένα από τα απλούστερα θeω

νών). Αυτό είναι tνα ενδιάμεσο βή

στις λεκάνες και τη θάλασσα αν υ·

ρήμαtα της θεωρίας Morse. θΕΩΡΗΜΑ ι. Το Σχήμα 5 αιιcικο

μα που χρειάζεται για να εξαοφαλί

ψώνεtαι ομοιόμορφα από το αρχικό

οουμε ότι θα ικανοοοιείtαι η συνθή

νiζει ένα vησί, κάθε σημείο rου ο

κη (β) -πράγμα rιου δεν είναι και

•επίπεδο της θάλασσας• έως ιο ύψος του Έβερεστ. Το νερό που ανυψώ·

ποfου cfvω σημείο κλίσης, κορυφή,

τόσο εύκολο: αν προσπαθήσουμε α

νεται δημιουργεί λίμνες στις λεκά

λεκάνη ή αυχένας. Επιnλέον όλα τα

πλώς να γεμiσουμε tιc; λεκάνες (για

νες που βρίσκονται στο εσωτερικό

σημεια

ση-

να aνυψώσουμε ιο επίιιεδό wυς στο

του νησιού, ενώ το νησί χωρίζεται σε

Av Κ, Α και Α εiναι, α

επίπεδο της θάλαοοαςJ, μπορεί να

ro πλήθος ιων κορυφών,

σκοντάψουμε σε έναν αυχένα. Υ

τοβιiλλεται το ηλ#Ιος των νησιών και

πάρχει όμως μια απλή διέξοδος: να

tων λιμνών (προφανώς, δεν θα ε

αποξιpό:νουpε τη θάλασσα γύρω από το νησί. Μπορούμε να υποθέσουpε

κλόβουμε τη θόλασσα ω<; λίμνη).

της ακτοypαμμης ει ναι

με/α κλlσης. η(σιοιχα.

λεκανών και αυχέvων, ιόιε Κ +Α - Α ;

mo καtα·

ότι το νησi έχει απόtαμους υποθα

νοηtή η απόδειξη, τη χωρίζουμε σε φία βήμαtα:

λάσσιους κρημνούς που φτάνουν έ ως το βάθος της τάφρου, δυτικά του

L. Ανακατασκευή της περιοχής.

Ας

aρχιπελάγους των Μαριιιννών. Αν

αλλάξουμε την περιοχή του νησιού

λοιπόν αποξιpό:νουμε τη θάλασσα έ

χωρίς να μεταβάλλουμε τους αριθ μούς Κ, λ και Α με τρόπο ώστε ''0 ικανοποιούνται οι επόμενε<; συνθή

ως αυτό το βάθος, όλες οι λεκά,•ες θα

ΑΠΟΔεJΞΗ: Για να γίνει

μικρότερα νησιά. Ας δούμε ηώς με

Μόλις αρχίσει η πλημμύρα, σχη

ματίζεται μια λίμνη σε κάθε λεκάνη. Επομένως, το αρχικό πλήθος των λι μνών είναι Λ. Λίγο πριν tελειώσει, όλες οι λίμνες έχουν συνδεθεί με τη

θάλασσα και μόνο οι κορυφές των

βρίσκονται στο (νeο) επίπεδο της θά λασσας. Ι'ια να ικα,•οποιήσουμε τη συνθή

κες:

!α) Όλε<; οι κορυφές έχουν tO ίδιο

κη <γ) πρέπει να έχουμε τη δυνατό

ύψος (ίσο με το υψόμετρο του 'Έβε

τητα να αν.:υψώσουμε ή να χαμηλώ

ρεστ, του υψηλότερου βουνού στον

σουμε ελαφρά τη γειτονική περιοχή

κόσμο}.

ενός αυχένα, αφήνοντας ανι\ιιαφα τα

(β} Όλες οι λεκάνες βρίσκονtαι στο

ειιίnεδο τη<; θάλασσας. (γ) Ολοι οι aυχένες βρίσκονται σε διαφορεtικά υψόμετρα.

άλλα κρίσιμα σημεία και χωρίς να δημΙουργούμε νέες κορυφές, λεκά νες ή aυχένες. Προς τούτο, σχεδιά ζουpε δύο κύκλους ακτίνας

r και 2r,

Σχήμα

r κατά!

Αvύφωοη tνdςουχt•"Ο. Τομαιίρο φήμο rης

ται η συ~κη (α): Προοθέwυμε α

ληλα μικρό. Αφήνουμε τα σημεία έ

tπιφ6νtιος α\~υψω\.'f:tαι ελαφρα Ιοον cνα

πλώς χώμα στην κορυφή των λόφων

ξω από τον μεγαλύτερο κύκλο ανέ

και των βουνών μας έως ότου φτό οουν στο απαραίτητο υψόμετρο <Σχή

παφα. Ανυψώνουμε ή χαμηλώνουpε (αναλόγως με ιο τι ειιιθυ μούμε) w

μα

τμήμα της επιφάνειας στο εσωτερι-

Ευκολότερα απ' όλες ικανοποιεί

6).

Ταυτόχρονα, σκάβουμε στον

IIAPfiOΣ I ΑΠΡJΛJΟΣ 1889

με κέντρο τον αυχένα και

στcpco. χομπύ,\ο nιoco). Το yιφiζο ιμημα lμn<J(X.irt ~·ο φαντaστdrε όn οποrιλcΗ.ΟΙ α· πό ένα λtrιr.6 cλοο rικ6 φύλλο Ι τεvτώ,•crοι

ελαqpιί, cvώ r.οtl,ωrφικό ούvφο μένει Οtά · ()φό.

- βουνών εξακολουθούν να ιιροβόλ λουν από το νερό (VJ' αυτόν t0 λόγο τις ανιιψώοαμε!) Μπορούμε να κα τασκευάσουμε ιον επόμενο ηiνακα.

Λίμνες Αρχή της

Νησιά I 1

πλημμύρας

Πριν από την

ι nλι'pη βύθιση

_ο_ _ κ

3. Και:aκλυσμός ενός αυχένα. Πό τε αλλάζει το πλήθος των λιμνών και των νησιών; Προφανώς, παραμένει σταθερό όσο πλημμυρiζοιιν μόνο ση · με ία κλίσης. 'rl συμβαiνeι όταν rιλημ · μυρίζει ένας αυχένας (Σχήμα 8); Πα

Σχήμα

η Ι'η έχει τόσες κορυφές κω τόσους aυχένες όσους το νησί, και μια λε κάνη επιrιλέον. Χρη<ημοποιούμε τώ ρα το θεώρημα ι Ένα σημαντικό παράδειγμα πε ριοχής στην οποία μrιορεί να εφαρ

σεtαJ από ιuα κΜ1στή καμπύλη ιια1 ικανοποιεί rις επόμενες συνθήκες:

πομένως, υπάρχουν δύο δυνατότη

μοστεί αυw το πόρισμα εiναι κάθε πολύεδρο που περιέχει ένα σημείο Ο,

μνεrω.

τες:

οι κάθε τες προβολές του οποίου σε

(y) Κσμiα χώρα δεν βρfσιιετω στο εσωτερικό μ• ας άλΑης (όπως, ro Βα

κάθε έδρα και ακμή ανήκουν στην i-

ιιιιαν6 ή το Μονακ6).

ρατφούμε ότι κάθε φορά είναι δυ νατόν να πλημμυρίσει ένας μόνο αυ

χένας, διότι όλα αυτά τα σημείο βρί σκονται σε διαφ<Ιj)ετικό υψόμεφο. Ε

(α) Το νερό μιας μοναδικής λlμνης ή της θάλασσας ρέει ταυτόχρονα στον

αυχένα από δύο διευθύνσεις. Ί'όtε το πλήθος των λιμνών παραμένει αμε

τάβληιο και εμφανίζεται ένα νέο νη ο ί (Σχήμα 9α).

(β) Το νερό δύο διαφορετικών λι μνών ρέει ταυτόχρονα (Σχήμα 9β). Τότε, ιο πλήθος των λφνών μειώνε ται κατά ένα, ενώ tO πλήθος των νη σιών παραμένει αμετάβληιο. Επομένως. όταν τα νερό φτόνeι σε

έναν αυχένα, εftε μειώνεται το πλή

(α) Το ι:rλήθοc; rων χωρών ε/ναι με

yαλ ύτερο ή ίσο ταυ 2, (β) Κάθε χώρα φράσσεται από μια κλεισrιj καμrιύλη που δεν αυτσrέ

μεφο ενός σημείου ~ου πολυέδρου

Α ν Χ είναι ro πλήθος των χωρών, Κ ro nλήθοc; rων κόμβων (σημεία συ νάνrησης τρ1ών ή περισσότερων χω

την απόστασή του αrιό το Ο, τότε οι

ρών ή της θάλασσας) και Σ είνω

δια έδρο και ακμή (και όχι στις προε κτάσεις τους). Αν ορίσουμε ως υψό

κορυφές ταυ πολυέδρου είναι οι κο

πλήθος rων συνόρων (δηλαδή, των

ρυφές αυτές της περιοχής, οι προβο λές ταύ Ο σtΙς έδρες είναι οι λεκά νες της και οι nροβαλtς wύ Ο στις ακμές είναι οι aυχένες. (Επαληθεύ

φημάrων των συνόρων που βρίσκ.ο ηω μεταξύ δύο κόμβων -των συ νόρων μe rη θάλασσα περJ.λαμβαvο μέvων ), rοτ-ε

στε το!) Από αυτή την παρατήρηση

Χ+Κ - Σ=l.

προκύnτει τα επόμενο θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ

(θεώρημα του

Στο Σχήμα 10α βλέπουμε έναν τ.έ

Euler

θος των λιμνών κατά ένα είτε αυ

VJα τα πολύεδρα.) 'Εσrω Ε, Κ και Α

ξάνεται τα πλήθος των vηιnών κατά ένα. Εφόσον η συνολική μετ.οβολή

ro πλήθος rων εδρών, κορυφών κω

ΑnΟΔΕΙΞΗ 1ΌΥ θffiΡΗΜΑ1ΌΣ 3. Ας

ακμών ενός κυρrού πολυέ{ψου. Τόι:ε

κατασκευάσουμε ένα ιοιήο στο χάρ

του πλήθους αυτών είναι, αντίστοι

χα, Λ και Κ

- 1),

ι, έχουμε Α

και επομένως Κ

= Λ + <Κ + Λ - Α ; 1.

Ε+Κ-Α • 2.

Η απόδειξη ολοκλrpώθηκε.

ΠΟΡΙΣΜΑ. Αν κάθε σημείο της Ι'ης ε/ναι σημείο κλfσης, κορυφή, λεκά νη ή αυχένας, τάι:ε Κ+Α-Α ; 2.

ΑΠΟΔΕΙ~: Αποξηραlνουμε τη θό. λασσα και όλες τις λίμνες. Ρίχνου με λίγο νερό στον πυθμένα της βα θύτερης λεκάνης και δημιουργοι)'με μια λlμνη. Μπορούμε να θεωρήσου με αυτή τη λlμνη ως τη θάλασσα και όλη τη στεριά ως ένα νηοί. Τότε, όλη

ταιο χάρτη (Χ= Κ=

Σ=

3).

τη, έται ώστε κάθε χώρα να περιέχει

αιφιβώς μία λεκάνη, κάθε σύνορο α·

Μέχρι στιγμής έχουμε αποδείξει

κριβώς έναν αυχένα (τα σύνορα με

ουW τα θεώρημα μόνο για μία ειδι κή κατηγορία πολυέδρων που ικανο ποιούν ιην προηγούμενη εηιrιρόσθε τη συνθήκη. Η απόδειξη της γεντκής

τη θάλασσα μπορούν να μεταταηι

περίπτωσης δίδεται στη συνέχεια. Συ νάyεται εύκολα από το επόμενο θε ώρημα.

ΘΕΩΡΗΜΑ 3. (θεώρημα του Euler γtα ιοuς χάρτες.) Έστω ο πολιnκός χάρτης (δηλαδή, χάρτης που παρου

σtάζει τις χώρες με διαφορετικά χρώ ματα -σε αντίθεση με ιον ταποyρα ·

φικό χάρτη) εν6ς νησιού που φράσ

στ~ύν ελαφρώς προς το εσωτερικό) και πάνω από κάθε κόμβο να υnάρ χει μiο κορυφή. Αυτό μπορεί να επι τευχθεί ως εξής: Υψώνουμε μια κα

τασκευή παρόμοια με τον πύργο ταυ Άιφελ πάνω από κάθε κόμβο. Κο τα σκευάζουμε αναχώματα κατά μήκος των συνόρων που χαμηλώνουν προς

μέσο rου συνόρου και έχουν ομα

λή κλίση και προς τις δύο πλευρές Η συνέχεια στη σελ.

QUANTUM I ΑΡθΡQ

IΠ ΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Ι

Χούλα xoun Μια καλή άσκηση για το μυαλ ό και το σώμα Δρ.Χμ

ΑΛΩΣ ΗΡθΑΊ'Ε ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΣΤΟΥΣ ΙΠΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ, 1'Η

γάλη αγορά για ένα προϊόν που μόλις είχε εφευρεθεί: το

στήλη που είναι αφιερωμένη σε προβλήματα τα ο

κρυσταλλικό πολυπροπυλένιο -περισσότ;ερο γνωστό ως

ποια λύνονται κατά τον καλύτερο φόπο αλογοριθ·

πλαστικό.

μικά. Ο χειμώνας συνεχiζεται γtα τα καλά στη φάρ

Το χούλα χουπ στις μέρες μας είναι ένας θαυμάσιος

μα μας, και οι ιφύες νύχτες προσφέρονται για aτέλειω

τρόπος να κρατήσεις τη φόρμα σου. Πιστέψτε με, αν ζη

τες συζητήσεις με τη φίλη μου την Μπέσυ. Ένα από τα αγαπημένα μας θέματα είναι -τι άλλο;

τάτε μια αεροβική άσκηση που να προστατεύει τους α στραγάλους και τα γόνατά σας και να γυμνάζει λαγό

τα ζεστά εξωτικά νησιά. Σε μια από αυτές τις κουβέντες

νια, πλάγιους κοιλιακούς, γλουτούς, γάμπες και δελ

μας, θυμήθηκα ένα ηλιόλουστο απόγευμα στην παρα

rοειδείς, το χούλα χουπ είναι ό,τι το καλύτερο.

λία Ουάκι Κόουα, στη Χαβάη, όπου έμαθα να κουνώ

Έπειτα από τη ουζήτησή μας, η φίλη μου η Μπέου

τους γοφούς μου όπως ο Έλβις Πρίσλεϋ. Ήταν καλο

αποφάσισε πως πρέπει οπωσδι]ποτε να ασχοληθεί με το

καίρι του

χούλα χουπ. Αναπόφευκτα, άρχισα να διαλογiζομαι για

1958

και η μανία του χούλα χου π είχε κ υ

ριεύσει όλη τη χώρα, δημιουργώντας έWΙ την πρώτη με -

το κατάλληλο πρόγραμμα που θα τη βο'jθούσε.

~ ••;j!,l'·'

1i~·~~''

~~·1ilt3 ;l~ιJd1

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

Ένα μοντέλο στο Mattιematka Μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα απλό μοντέλο του χούλα χουπ αν σχεδιάσουμε έναν κόκκινο κύκλο που απλώς εφάπτεται σε έναν μπλε δlσκο (Σχήμα 1).

red = RGBColor[l, blue = RGBColor[O,

Ο, Ο,

Ο] ;

1];

SbO>f(Grapbics( {blue, Disk( {0, 0}, l]}], Grapbics({red, Thickness(O.Ol], Circle({O, (-1)}, 2])1,

AspectRatio -> Autoaatic)

Animate({ x , y} = {Cos(t + Pi], Sin(t + Pi]}> {U, ν} = {Co&(t + 2 Pi], Sio [ t + 2 PiJ)> Sbσw(Grapbics({blue,

Disk ({x, y), 2]}],

Grapbics({red, Thickneιo(O.Ol), Ci rcle ( {u, v}, 4 )}),

AspectRatio -> Automatic, Fraae - > Truc, FraaeTicka - > Kooe, PlotRange - > {{-5, S), {- 5, 5)) ] , {t,

Ο,

2 P i, Pi/6})

Για να δούμε την κiνηση, χρησιμοποιούμε το Mιιth

ematica

και πληκτρολογούμε τον ανωτέρω κώδικα. Δι.

πλοπατήστε με το ποντίκι στο πρώτο γραφικό και λικνι. στείτε στο ρυθμό του χούλα χουπ. Το καλύτερο που μπορώ να κάνω στη στατική σελίδα του περιοδικού εί · ναι να σας παρουσιάσω την έξοδο με έναν πiνακα γρα .

φι κών. Παρατηρήστε στο Σχήμα

2 ότι μαζί με τον κόκ •

κ1νο κύκλο κ1νείτω κω ο μπλε δίσκος.

Τι θα συνέβαινε αν αυτός ο κύκλος μπορούσε να συ γκρατήσει έναν μεγαλύτερο, αυτός με τη σεφά του έναν

ακόμη, κ.ο.κ., και ταυτόχρονα η φίλη μας η Μπέσυ ήταν τόσο επιδέξια ώστε να τους ιuνεί όλους μαζί; Εδώ έχουμε ένα πρόβλημα το οποίο, όπως μαντtψατε, αποτελεί την καινούργια μας πρόκληση.

Σχήμα

Προσθέτουμε .ώρα την κίνηση των γοφών στο δίσκο και ---{,) του θαύματος- έχουμε το χούλα χουπ!

ΙΠΠΟΠΡΟΒΛΗΜΑ 14 Γράψτε ένα πρόγραμμα το οποίο θα ιuνεί tέσσερα χού • λα χουπ που εφάmονται μεταξύ τους όπως στο παρα κάτω σχέδιο.

Σχήμα

ΙΠΠΟΠΡΟΒΛΗΜΑ 12 Στο ΙΠΠΟΠΡΟΒΛΗΜΑ

12 σός ζητήθηκε να γράψετε έ

να πρόγραμμα, το οποίο θα δεχότ;αν οποιοδήποτε σημείο (χ,

Σχήμα

z ) με ακέραιες συντεταγμένες και οποιαδήποτε τετράγωνη βάση με ακέραιο μήκος πλευράς και θα υπο λόγιζε το πλήθος των σημείων με ακέραιες συντεταγ·

μένες στο εσωτερικό του πολυέδρου που σχημα't!ζεται

OUANTUMI ΙΠΠΟΛΟΓIΣΜΟΙ

από τη βάση και το σημείο απελευθέρωσης του φορτίου.

ενώνει την αρχή με την κορυφή είναι

Πόσες μύγες παγιδεύονται όταν ο εξολοθρευtfις αηελευ •

Επομένως, αν

θερώνει το φορτίο του στο σημείο

(6000, 9000, 10000), αν υποθέσουμε ότι η βόση έχει πλευρά μήκους 12000;

εύκολα να ιππολογίσουμε τις συντεταγμένες της τομής

Λύση

xain[ζ_ Ι

Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε τα επίπεδα

z ~ ζ,

~ ζ, έχουμε ι ~ ζ!ztop, και μπορούμε

αυτής της ευθείας με το επίπεδα ymin[ζ_J

που είναι παράλληλα προς τη βάση του πολυέδρου. Ας

= =

ζ ζ

(.r topt, ytopt, ztopt).

ζ:

xtop I ztop; ytop Ι •top;

Παρομοίως, η ευθεία που συνδέει το σημείο

(bas e,

υποθέσουμε ότι η βάση του πολυέδρου έχει απέναντι

base, Ο) με την κορυφή έχει την παραμετρική μορφή {(xtop γωνίες με συντεταγμένες (0, Ο, 0) και (base, base, 0), ενώ - base)t + base, (ytop - base)t + base, ztopt}. Για z ~ ζ, οι συντεταγμένες της κορυφής είναι (xtop, ytop, ztop). έχουμε και πάλι t ; ζΙ ztop και μπορούμε να ορίσουμε Για κάθε ημή τού. ζ μεταξύ του Ο και του ztop, το επί πεδα

z ~ ζ τέμνει τις ακμές του

πολυέδρου σε τέσσερα

σημεία, που σχηματίζουν τετράγωνο με συντεταγμένες απ&ναντι κορυφών (xmin{ζL yminfζL ζ) και (xmax[ζl, ymax[ζl, ζ) -θα ορίσουμε τα

xmax

τα

και

ymax.

χmaχ [ ζ_Ι

•

ymax(ζ_)

(xtop - ba ι e) Ι ztop + baιe; (ytop - base) I ztop + base;

Εξοπλισμένοι με αυτές τις συντεταγ]Jένεc; της τετρα

xmin, ymin, xmax, ymax

γωνικής τομής του εmπέδου z ~ ζ με το πολύεδρο, απ α· ριθpού]lε τα σημεία του πλέγματος στο εσωτερικό κάθε

στη συνέχεια.

τέτοιου τετραγώνου. Προς τούτο, χρησιμοποιούμε τη συ·

νάρτηση

7,5

Υ 5

zcount:

zcount ( ζ_ ) : • ( Ceil ing[zmax (ζ)J

2,5

( C e iling(ymax[ζJJ

Ploor[xain(ζ ) ) rloor[ymin[ζ))

- 1) • - 1)

Ολοκλιpώνουμε τη διαδικασία αθροίζοντας για όλα τα

z, με Ο < z < ztop. Ιδού

η πλι]Jης συνάρτηση:

interiorLatticePointι3D(bas e_,

7,5

• •

•

{xtop_,

ytop_, •top_}) : = Module({x.io , yaio, xaax, ywax , zcount}, xmin[ζ_) • ζ xtop I ztop; ymin(ζ Ι = ζ ytop I ztop ; xmax(ζ_) s ζ ( xtop - base) I •top + base ; yaax[ζ_J = ζ ( ytop - base) I ιtop + base ;

•

zcount[ζ_)

(Ceiling[xmax(ζ))

- Floor[xain(ζ) ) - 1) • (C·e iling(ymax( ζ) J - Ploor[ymin[ ζ)) - 1) Sum(zcount[ζ), (ζ, 0+1 , Σtop - 1})) Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει σωστά το πλήθος των

σημείων στη δεδομένη περίπτωση:

10 Σχήμα

interiorLatticePoints3D[12000, (6000, 9000, 10000} Ι

Η παραμετρική μορφή &νός σημείου της ευθείας που

479910022999

Μαθηματικοί νρίφοι - 1

150 προιιιιnμσrσ από rπ στι!Ι!π •ΣπσζοκεφσΙΙιέι;. rου περιοδικού Qu;ιπtum Το βιβλίο περιλαμβ(ινει τα πρώτα 150 προβλήματα που έχουν δημοοιευθεί οtη στήλη •Σοαζοκεφαλιtς• του Quantum, κατά την περίοδο Μα ίου

1994 -

Μορτίοu

1999. Σ;ο δεύτερο μέρος του βιβλίου

παpατiθεντο• αναλυτικές λύσεις 'των rφοβλημάτων. Η πληθώρα του υλικού, η εξαιρετική ποιόtηtiι του και η θαυμάαια εικονογράφησή του καθιστούν το βιβλίο θελκτικό κω χρήσιμο για όλους οοοι αγαι.ιούν nς πνευματικέςοτροιιλήσεις, ανεξαρτήτως ηλικίας. ΓSΟ σε/... Έπρ"

16 χ 25 εκ.. Πανόδετο, 5.000 δρχ.

ΚΥΚΛΟΦΟΡΕ1 ΑΠΟ ΗΣ ΕΚΔΟΣΕΠ ΚΑΤΟΠΤΡΟ

MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

ΣΤΟ Ε ΡΓΑΠΗ ΡΙΟ

S. Krotoν και

Α.

Chernoutson

σότερο. Φέρτe τον δαΚJμαστικό σω λήνα πάνω από το λύχνο Bunsen και αρχiστε να τον θερμαiνετε, προ ·

σία δωματίου. Τι νομiζετε ότι θα

σ&χοντας να τον κρατάτε κάπως κε

τα από λίγο ο βρασμός σταματά, α λ·

κλιμένο (και έτσι ώστε να μη σημα

λά μπορούμε να τον κάνουμε να ξα • ναρχίοει ρίχνοντας πάλι νερό θερ

τε να απαντήσετε. Εκτελέστε το α

δεύει άλλα τυχόν παρeυριοκόμενα αρόσωπα) ώστε να θερμαiνετε το πά ·

κόλουθο πείραμα και σκεφτείτε ηώς

νω μέρος της υδάτινης στήλης. Αν

Οα μπορούσατ.ε να το εξηγήσετε.

θcρμd νεrε

σωλήνα, τότε α 8ιααrελλ6μενος α·

κιμαστικό σωλήνα. Όταν πλέον το κατάβρεγμα του δοκιμαστικού σω λήνα με νερό θερμοκρασίας δωμα •

w πεp1εχό·

τ:ίου δeν προκαλεί επανέναρξη του

Ι ΠΑΝΤΕΣ fΝΩΡΙWΥΝ οτι

fiA

να βράσει το νερό, πρέπει να θερμανθεί. Αλλά μήπως είναι

δυναοον να βρόσουμε νερό ψύ· χοντάς το; Εκ πρώτης όψεως, φα • ντάζει αδύvα το. Ωστόσο, μη βιαστεί·

Θα χρειαστείτε έναν δοκιμαστικό σωλήνα μα, eνα

30-40 ml με εφαρμοστό πώ λύχνο Bunsen (ή ένα καιu •

vερ6 στον πυθμένα του

rμ6ς μnορεί να εκnνdξει μεvο

rov σωλήνα στον σέρα.

συμβεί; Το νερό του σωλήνα αρχl • ζει να βρόζει εκ νέου. Φυσικά, έπει •

μοκρασίας δωματiου πάνω στο δο

βρασμού, καταβρtξte το κενό μέρος

νέτο) και ιuα λαβίδα για δακιμαcm

Περιμένετε ώσπου το νερό να

του με το •παγωμένο• νερό. Το νερό

κό σωλήνα. Προετοιμάστε μια φιάλη

φτάσει σε κατάσταση σταθερού βρο •

μtσα στον κρύο σωλήνα θα αρχίζει

με νερό σε θερμοκρασία δωματίου και ιuα φιάλη με νερό σε θερμοκρα ·

ομού, και τότε πωματίστε γρήγορα

να βράζει και πάλι!

και στεγανά το οωλήνα, απομακρύ

Μπορείτε να δώσετε μια εlιλογη

σiα

(νερό με παγάκια).

νοντάς τον ταυτοχρόνως από τη

εξήγηση αυτσlι του απροσδόιιητου

Φορώντας γάvτια και nροστατευ · τικά γυαλιά, μeοογyiστε το νερό που

φλόγα. Όπως είναι αναμενόμενο, ο

φαινομένου, που είναι γνωστό ως

βρασμός σταματά αμέσως. Αναποδο

βρίσκεται σε θερμοκρασία δωματίου

γυρίστε τώρα το σωλήνα και κατα

•ψυχρός βρασμός•;

στον δαΚJμασ τικό σωλήνα ώσπου να

βρι!ξτε το πάνω (κενό) μέρος του με

γεμίσει ώς τη μiση και λίγο περισ ·

το νερό που βρίσκεται σε θερμοκρα ·

OOC

ιΕ

ΑΠΑΝ'ΓΗΣΕJΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕJΣ ΚΑΙ Λ ΥΣΕΤΣ ΣΊΉ ΣΕΛ.

"< ο

QUANTUII / ΠΟ ΕΡΓΑΠΗΡΙΟ

ΣΤΑ ΠΕΔ Ι Α ΤΗΣ

ΦΥΣΙΚΗΣ

Αθλητική ζωή <<Πολύ παιχviδι στο πως έχουν τα πράγματα. Η ιστορία ε/ναι φτιαγμένη από λάθη!

Κι όμως -επιφανειακά- ο κόσμος δείχνει εντάξει· πολύ παιχνίδι.» - Gory Snyder

Arthur Eisenkroft και Lorry D. Κirlφatήck MICHAEL JORDAN ΚΑΝΕΙ ΤΑ ΠΑ

κινούνται κοντό στην εmφάνεια της

ντα να φαίνονται εύκολα. 1Ί

Γης 11εpιγράφανται από τις απλές ε

νάζει την μπάλα από ύψος h

ξισώσεις που απορρέουν από την κ.ι

με αρχική ταχύτηrο υ που με

νηματικιΊ της οριζόνιιας ευθύγραμ

ιην οριζόντια διεύθυνση σχηματίζει

μης ομαλής κίνησης και της κ.ατα

γωνiα θ- κι αυτή γλιστρά όλο χάρη

κόρυφης βολής προς τα πάνω:

στην φσχιά της και περνά οφυρfζο

λεστtκή δεινότητα του Jordan απο τελεί καρπό πολύχρονης εξάσκησης· ουδεμία σχέση έχει με τις ψυχρές εξισώσεις ιης φυοικήc;.

λοδοξίες μας. Είναι ποτέ δυνατόν η μαθηματική μέθοδος με την οποία

πάλι στο tδαφος. Τη χρονική στιγ

προσεγγίζουμε τα φυσικά φαινόμε

σκρούει στο έδαφος, η κατακόρυφη

να να μας βοηθήσει να αντ•γράψου

μετατόπιση y ιοού~αι με μηδέν. Α

Στην πραγματικότητα, η ανά1υσή

τητα και γωνία βολής, το βλήμα δια γράφει κατ' ανάγκην μια παραβολι-

•

εφθ : ημθ

ρούμε να εξαγάγουμε μια έκφραση λεται από το έδαφος και εmσφέφει

κανός να ευστοχεί στα τζαμπ σουτ.

οποιαδήrιοτε 6εδαμένη αρχική ταχύ

Από τις ανωτiρω εξισώσεις μπο

γεyονόεα και να περιορίσουμε τις φι

με την τiχνη κάποιου που είναι ι

συν θ

και

εφ'θ +ι =

μή ι, κατά την οποία το βλήμα προ

2u 2

•

t, καταλήγου •

ι 'θ '

ουν

μπορούμε να εξαγάγουμε μια εξί σωση 110υ μας εnιφέπει να βρούμε με ποια γωνία βολής πρέιΙει να ε κτοξευθεί μια μπάλα ώσtε να φτά

υ'

σει σε ένα συγκεκριμένο σημείο του

χώρου:

= .::..ι συν θ ημθ = ...J. ημ2θ.

νομεφικές ταυτότητες

για το βεληνεκές βλήματος που βάλ

ρεί να μας βοηθήσει να εκτιμήσου

συνθ

Εάν χρησιμοποιήσουμε τις -φιγω

y = - gt'/2 + υ0t ημθ.

παλείφον'ι:ας το χρόνο με στον τύrιο

2υ~ουν θ

χημθ

κ.η ιροχια.

Οφείλουμε να αναγνωρίσουμε τα

με τις δεξιότητες του Jordan; Αοφα λώς όχι. Αλλά η ανάλυσή μας μπο

Α υvός ο τύπος δείχνει nως, για

•

χ = υ0tσυνθ

ντας μέσα αnό το διχτάιu. Η εκτε

Υ :

- gx1

μας μπορεί να χρησιμεύσει εκ. των

Είναι φανερά ότι -δεδομένου του

υστiρων για να κατανοήσουμε τις

μέτρου της αρχικής ταχύτητας- το

ενtργειες του άλτη μήκους, του α

μέγτστο βεληνεκές εmtυγχάνεται ό

κοντιστή και του δισκοβόλου, του

ταν η γωνία βολήc; ισούται με

βολεϊμπολίστα που καρφώνει, του

(επειδή ο παράγοντας ημ(2θ) ισού

μέσου σ το ποδόσφαιρα και του •ρο

ται με ι για τη συγκεκριμένη τιμή

συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν δύο

nαλοφόρου• στο μπέιζμπολ. Εφόσον απουσιάζει εντελώς η α

της γωνίας βολής).

διαφορεtικές γωνίες βολής με τις Ο·

,g_

Εάν δεν απαιτήσουμε να μη8ενί ζεrοι η κατακόρυφη μετατόπιση y τη χρονική στιγ μή t, βρίσκουμε ότι

ποίες μπορούμε να στείλουμε ένα αντικείμενο σε οποιαδήποτε θέση.

Οι εξιοωοεις tης φοχιάς μάς εm-

ό3

ντίσταση του αέρα, οι τροχιές τις ο ποίες διαγράφουν όσα αντικείμενα

MAPtiOΣ I ΑΠΡΙλΙΟΣ 1999

45°

Υ = - gx ' εφ2θ+ n.φθ-gχ12 . 2u 1

•

""'e

Εφόσον η συγκεκριμένη εξίσωση

f=.

είναι δευτεροβόθμια (ως προς εφθ).

;;. ~

> ~

OUAtmJM I ΠΑ ΠΕΔΙΗΗΙ •ΥΙΙΚΗΙ

70,00

-~ ~

-.--·~ . ..

60,00 50,00

,§ §" 40,00

30,00

L / /•

'. '

μπάλας

. •

Κυνηγάς

'•

•

10,00

'. '

•

γωνία για τη βολή. Ο ευκολότερος τρόπος για να ε .mλυθούν οι προκύπτουσες εξισώ

σεις είναι να καταφύγουμε σε μια

'' ο

το προβάδισμα των 30 m που έχει, θα έχουμε προσδιορίσει τη βέλτιστη

μπάλας

...

ρουτίνα επίλυσης εξισώσεων σε η λεκτρονικό υπολογιστή, σε ένα πρό

γραμμα λογιστικού φύλλου ή να πα

Γωνία ( μοiρeς)

Σχήμα

R και την απ·όσταση που δι

ανύει ο κυνηγός, συνυπολογίζοντας

Τ~χιά τη<;

• ••

20,00

γό. Εάν ελαχιστοποιήσουμε τη δια φορά ανάμεσα στο βεληνεκές της

ραστήσουμε γραφικά τις εξισώσεις

τρέπουν να συλλάβουμε βαθύτερα

λής

45°, η δ& μεγιστσποίησι} του χρό

R και την ποσότητα (χ + 30 m). Στο Σχήμα 1 παρουσιάζονται οι σχε

καίρια σημεία της κινηματΙΚής των

νου παραμονής της μπάλας στον α

τικές γραφικές παραστάσεις. Χρη<η

βολών, πράγμα που διευκολύνει τη

έρα απαιτεί κατακόρυφη βολή (χω

μοποι·ήσαμε τις τυπικές τιμές των

λήψη της ορθής απόφασης σε πολ

ρίς συνιστώσα ταχύτητας προς την

25 m/s για την αρχική ταχύτητα της

λά από τα διλήμματα που ανακύ πτουν στα σπορ. Ο μπασκετμπολί

αντίπαλη εστία). Πώς πρέπει λοιπόν

μπάλας και των

να ενεργήσει ο παίκτης μας;

στας που εmδιώκeι να πεwχeι τρί

Τέτοιες αποφάσεις παρουσιάζουν

ποντο μπορεί σίγουρα να σττv>ιχτεί

οπωσδήποτε μεγάλη δυσκολία, και

στις εξισώσεις για να προσδιορ!σeι

ο μπακ θα πρέπει να βασιστεί στην

χύτητα του κυνηγού. Οι κυνηγός θα φτάσει ταυτόχρονα με την μπάλα, εφόσον αυτή φύγει από τα πόδια του αμυντtκού υπό γωνία βολής 51,6°.

την περιοχή τψών της γωνίας βολής

πείρα ταυ. Εντούτοις, η φυσική επι

Στην προκειμένη περίrrτωση, η μπά

που θα χαρίσει τους πολύτιμους πό ντους στην ομάδα του. Ένας ποδο

στήμη μπορ&! να βοηθήσει κάπως.

λα θα διανύσει απόσταση κατά τι μι

Α ν γνωρίζουμε την ταχύτητα "tου

κρότερη από το μέγιστο βεληνεκές.

σφαιριστής εvδέχeται να έχει δια

κυνηγού που εφορμά προς την α

Υ πόρχου ν μερικά ενδιαφέροντα

φορετικές απαιτήσεις. Το ακόλουθο

ντίπαλη εστία, καθώς και την αρχι

προβλήματα τροχιών όπου η φυσι

σενάριο είναι τυπικό: ο αμυντικός

κ ή ταχύτητα με την οποία φεύγει η

κή μπορεί επίσης να δώσει χείρα βο

γίνεται κάτοχος της μπάλας έπειτα

μπάλα από τα πόδια του αμυντικού,

ηθείας. Τέτοια προβλήματα σας ορα

από μια μαζική επίθεση των αντιπά

είναι δυνατόν να προτείνουμε μια

τείνουμε στο παρόν τεύχος.

λων στην περιοχή του και διαιφί

κατάλληλη τιμή της γωνίας βολής

ι. (α) Βρισκόμαστε στη διαδικα

ν&ι έναν -ξ&χασμένο• συμπαίκτη του

έτσι ώστε η μπάλα να προσκρούσει

κάτω από το κέντρο. Προσφέρeται

στο έδαφος ταυτόχρονα με την άφι

σiα εκτέλεσης ελεύθερου κτυπήμα τος (στο ποδόσφαιρα). Οι αμυνόμε

λοιπόν μια χρυσή ευκαιρία για α

ξη του κυνηγού στο σημείο προ

νοι σχηματίζουν τείχος με τα σώμα

ντεπίθεση ενάντια στην aποψιλω μένη και aποδιοργανωμένη άμυνα

σγείωσης της μπάλας. Θα αν α λ ύ

του αντιπάλου, αρκεί ο αμυντικός

αντίσταση του αέρα.

τά τους ανάμεσα στον «εκτελεστή• και την εστία. Η μπάλα πρέπει να περάσει πάνω από τους παίκτες. Οι

για το

σουμε αυτό το θέμα αγνοώντας την

8 m/s

για την τα

μας να καταφέρει να τροφοδοτήσει

Το βεληνεκές της βολής υπό γω

το συμπαίκτη του στην κατάλληλη

νiα θ και με αρ)(lκή ταχύτητα υ0, κα

σχηματίζουν το τείχος σε απόσταση

θώς και ο αντίστοιχος χρόνος πτή

15 m αnό

λα κατά το δυνατόν μακρύτερα. Αλ

σεως, δίδονται από τις ακόλουθες ε

ρeι την μπάλα με ταχύτητα

λά αν τη στείλει τόσο μακριά ώστε

ξισώσεις:

Σε ποιες θέσεις είναι αδύvατσv να

θέση. Εmδιώκει να στείλει την μπά

να μην προλάβeι να κατέβει ο συ μπαίκτης του στα σημείο που θα

προσγειωθεί η μπάλα, τότε πιθανώς κάποιος aντίπαλος παίκτης θα γίνει

και

τον σουτέρ. Αυτός σουτά

35 m/s.

(β) Πώς μεταβάλλεται αυτή η •πε

....Q. ημ(2θ~

Επομένως, πρέπει να επtτύχει τον

1,8 m

προσγειωθεί η μπάλα;

υ'

κάτοχός της ή θα την αποκρούσει.

αμυνόμενοι έχουν ύψος

ριοχή σκιάς» καθώς το τείχος μετα-

2υ 0 ημθ

κινειται σε σχεση με ταν σοuτερ;

•

(α) Ένας καλαθοσφαιριστής ε

κτελεί τζαμπ σουτ με αρ](Jκή ταχύ τητα υ0 και γωνία βολής θ0• Για δ&

προσφορότερο συγκερασμό δύο α

Εάν ο επrtιθέμενος κυνηγός κ α

ντιθετικών απαιτήσεων: αφενός, να

τεβαίνει προς την αντίπαλη περιοχή

μεγιστοποιήσει το βεληνεκές και, α

με ταχύτητα υ., τότε σε χρόνο

φετέρου, να μεγιστοποιήσει το χρό

λαβαί νει να διανύσει απόσταση χ ;

σημείο εκτόξευσης της μπάλας και

νο παραμονής της μπάλας στον α

απέχει

έρα. Αλλά η μεν μεγιστοποίηση ταυ

υ.t. Έστω ότι ο αμυντικός μας σου τάρει την μπάλα από μια θέση που

βεληνεκούς προϋποθέτει γωνία βο-

βρίσκεται

θορίστε τη σχέση που πρέπει vα συν-

ΜΑΡτΙΟΙ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1999

30m

t πρα

πiσω από τον κυνη-

δαμένο καλάθι που βρίσκεται τοπο θετημένο σε ύψος

L m

πάνω από το

από τον καλαθοσφαιρι

στή στην οριζόντια διεύθυνση, κα

δεει τις υ0 και θ0 προκειμένου να

σημειωθεί καλάθι.

όπου με

c συμβολίζουμε

την ταχύ.

ιητα του ήχου . Ομοίως, στη δεξιά

(β) Δεδομένου ότι η μπάλα πρέπει

πλευρό, η παρατηρούμενη συχνότη·

να μπει σιο καλάθΙ κατά την κάθο

τα διακροτήματος Δ ν; δίνεται από

δό της, περιγράψtε μαθηματικά ταν

την έκφραση

περιορισμό ταν οποίο πρέπει να ικα

Δν; = Δ{ι +7) =1,01 Hz.

νοποιεί η αρχική γωνία. ( γ) Για ποια γωνία βολής λαμβά νει την ελάχιστη τιμή της η απαι τούμενη αρχική ταχύτητα ώστε να

σημειωθεί το καλάθι;

Διαιρώντας αυτές τις δύο εξισώ σεις παίρνουμε τη σχέση

Διαιφοτήματα και φαινόμενο

Δν' ::..:..! Δ ν~

Dopρler Στο τεύχος Σεπτεμβρίου / Οκτω βρίου 1998 θέσαμε ένα πρόβλημα

ι +~

=I _ ~c = -ιοι 99' c

που συνδύαζε τα διακροτήματα με

από την οποία καταλήγουμε στο α

τις μετατοηiσεις

ποτέλεσμα υ0

Doppler. Το

πρό

= 0,0 I c.

βλημα το κατέστρωσε ο LeafΊΊιmer,

Γ. Όταν ο παρα τφητής βρίσιιεtαι

ένας από τους προπονητές της ολυ

ανάμεσα στις δύο πηγές, η συχνό

μmαιιής ομάδος φυσικής των ΗΠΑ,

έduard Driault

τητα διαιιροtήματος μηδενίζεται, ο·

διαγωνισμό για την επιλογή των με

πόtε ο παρατηρητής μετρό την ίδια συχνότητα και για nς δύο πηγές. Ω

λών της ομάδος τού 1998.

στόσο, η πηγή στα αριστερά υφίστα.

προκειμένου να χρησιμοποιηθεί σtα

ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ

MEfΛΛJΙ

ΙΔΕΑ

Η α~>αytννιιοιl mι Ελληνισμού

τω μετατόπιση προς ιο κυανό, ενώ

Ο έduard Drίaulι (1864·1947),

κατά μήκος ιου άξονα των χ· έστω

η πηγή στα δεξιά μετατόmση προς το

ν, η συχνότητα της αριστερής σειρή

ερυθρό. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι

καθηyητης της ιστορCας στη Σορβ6νη, στο βιβλίο τον Η Μεyάlη Ιδέα

νας και ν1 της δεξιάς. Ένας παρα • • • τηρητης που κινειται με ταχυτητα υ

v.,<

κατά μήκος του άξονα των χ ακούει

μητικά αποτελέσματα, έχουμε

Δύο σειρήνες είναι τοποθετημένες

συχνότητες 0,99

Hz, Ο Hz

και

Δ. Για να καταλήξουμε οε αριθ

1,01 Hz

ρά από τις σειρήνες, ανάμεσα otJς Α. Μπορούμε εύκολα να διαm

εuρωπαϊχού πνtlίμιnσς. Η

παροοοιάση αντιΙ σuνδνόtιται με τους πεφεμ~ροUς σημασ(ας αyώνες τοο ΓιιλλιχΟΟ λα0Ιί ><ατά τοο

ν; = ν,(1 - ~·}

ouyyρaq:tα ε(ναι η τ6νωση των

δεσμών φι)Jας ΓσλλCας Κ(lι ΕΙJ.άδα;

απομακρύνεται και από τις δύο πη

σε μια χρCαιμη εποχή, ποο η πρώτη

Εξισώνοντας τις δύο μετατοπι

γές, η συχνότητα δια κροτήματος συ.

σμένες συχνότητες, παίρνουμε

οιχονομιχά σνμφ~ροντά της στην

εκnέμπεται από μία μοναδική πηγή. Σύμφωνα με τα δεδομένα, η εν λό·

ν.

ρητής βρίσκεται αριστερά των σει

Β. Στην αριστερή πλευρό, η παρο τηρούμενη συχνότητα διαιιροτήμα

τος Δ ν,' δίνεται από την έκφραση

Δ ν; = Δ ν(1 - ~) = 0,99 Hz,

Πόλεμο. Οι διαλi;εις του -ιτοu

1-~ - 99'

δ6θηκαν

oe συναισθηματικά

q:οιπισμ€νο χοιν6 - διαπνtονται α:t6

ση προς το ερυθρό όταν ο παροτη

ξιών αρος αριστερά.

Ανατολή μετά τον Α' Παγχ6σμιο

~ - + c _ 101

γω συχνότητα υφίστα τα ι μετατόπι

νει ότι ο παροΊrρητής ιιινείtαι εκ δε.

€χει σpχ(σει να εριστστροπε( με την ΤοuρκCα για να εξασφαλ(σει τα

η συχνότητα ενός αrιλού ήχου που

σιιεται στα δεξιά τους. Αυτό σημαί

των εκclστστε βαρβαρικών επιδρομών

παyyερμσνισμο\ί. Klipιo μlλημα του

τής πλησιάζει και τις δύο πηγές ή

ρήνων και προς το κυανό όταν βρί.

τον ελληνισμοο ως κνματοθραlίστη

και

σtώσουμε ότι, εφόσον ο παρο τφη

μπεριφέρεται ακριβώς σαν νο ήταν

παρουοιά~ει τη δuιχρονική πορεCα

και ως φ\ί).(ιΚ(l αyyl).ou του

ν'• = ν• (ι+~) c

όταν βρίσκεται, αντίσtοιχα, αριστε·

σειρήνες και δεξιά από τις σειρήνες.

ν".

τις apxtς της ρομαντικής ι.στοριχής

Χρησιμοποιώντας μια οποιαδήπο

σχολής: Παράλληαλα με τιι; δυνάμεις

τε από τις δύο εξισώσεις του ερωτή

τις βάρβαρε; χαι τις σχοτιιδιστιχlς,

ματος Β, καθώς και το αποτέλεσμα

ιrnάρχοuν Κ(lι άλλες ~ις με

υ0

= 0,01 c, βρίσκουμe

ανθρωπιά ><αt ιτο4τισμ6, ποu ιτασχι1;οuν να νιχήσοuν ~ ιφώreς και

ν1 - ν. = ι Hz.

να επιβάλοvν στον χιSσμο την ειρήνη Κ(ll την euτuxCa.

Οι δύο τελευταίες εξισώσεις αnο·

τελούν ο ύσ tημα · εάν το eπιλ ύσου με, καταλήγουμε στις τιμές ν6 = 50,5

Hz και v. = 49,5 Hz.

!ϊJ

Σιλ.:

296, Εικ.: λ/Μ, /4 w 21 tH., S.800 δΡΧ. ΕΚΔΟΣΕΙ Σ ΚdΤΟΠΤpΟ

OUANTUII I ΣτΑ ΠΕΔΙΑ ΤΗΣ •vtΙΚΗΣ

Ένα θεώρημα που δεν χάνει ποτέ την αξία του

S.M. Voronin

και

A.G. Kulagln

ΒΡΟΥΜΕ θΕ

ματα. Οι μαθηματικοί της αρχαίας

δες

τικές ακέραιες λύσεις tης επό

Αιγύπτου και της Βαβυλώνας μπο

θαγόρειες τριάδες τα μέλη των ο

μενης διάσημης εξίσωσης

ρούσαν να υπολογίσουν τον αριθ

ποίων δεν έχουν κοινό διαιρέτη.

ΩΣ

bffiOPOYME ΝΑ

a2 + b2 = c2;

(1)

Ειδικές λύσεις αυτής της εξίσω

μό

../2

(a, b, c) -δηλαδή,

όλες τις πυ

με μεγάλη ακρίβεια, αλλά η

Αποδεικνύεται ότι η περιγραφή ό

διατύπωση του προβλήματος ότι ο

λων των πρωταρχικών nυθαγόρει

J2 είναι άρρητος θα

τους φαινόταν

ων φιάδων είναι μάλλον εύκολη.

σης ήταν ήδη γνωστές σtο μακρινό

τελείως αλλόκοτη. Εξίσου αλλόκο

Οι πυθαγόρειοι γνώριζαν μια απλή

παρελθόν, πολύ πριν τα μαθηματικά

τη θα τους φαινόταν η διατύπωση

μέθοδο που βασίζεται στην επόμενη

γίνουν επιστήμη.

του προβλήματος της περιγραφής ό

ιιρόταση: Α ν οι ρ και

λων των λύσεων της εξίσωσης

μεταξύ rους, ο ένας άρτιος και ο άλ

αρχαίοι Βαβυ

λώνιοι γνώριζαν τη λύση

(3, 4, 5).

(a, b, c) =

Γνώριζαν ειιiσης και αρκε

τές ακόμη λύσεις της εξίσωσης

(1),

(1).

Το πρόβλημα αυτό τέθηκε ~;.αι λύθη

λος περιττό<; κω

κε από την πυθαγόρεια σχολή.

δα ι:ων αριθμών

ανάμεσά τους και ορισμένες που εί

Για αυτόν τη λόγο, και επίσης λό

ναι δύσκολο να βρεθούν, όπως η

γω της προφανούς σχέσης της με το

και η

πυθαγόρειο θεώρημα, η εξίσωση (1)

(105, 36, 111)

(12709, 13500,

18541).

ονομάζεται πυθαγόρειο πρόβλημα και

Α ν και υπάρχουν διάφορες από

οι τριάδες των φυσικών αριθμών που

ψεις για τα προελληνικά μαθηματι

την ικανοιιοιούν πυθαγόρειες τριά

κά, είναι μάλλον αιήθανο να χρη

δες. Από το πυθαγόρειο θεώρημα έ

σιμοποιούσαν οι Βαβυλώνιοι τις α παγωγικές μεθόδους τι.Jν μαθηματι

πεται ότι σε κάθε πυθαγόρεια τριά δα Ο < a < b < c μποραύμε να αvτι

κών. Τα μαθημα~ικά ως απ α γ ωγι

σtοιχίσουμε ένα ορθογώνιο τρiγω

κή επισtήμη εμφανiζονται yια πρώ

νο με κάθετες πλευρές

τη φορά στην αρχαία Ελλάδα τον 6ο

υπο•είνουσα c. Α ντιστρόφως, κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α

π.Χ. αιώνα. Σύμφωνα με την rιαρά δοση, ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε μαθηματικά προβλή-

v '

v "' ~

και

κέραιου μήκους μας δίνει μια λύση της εξίσωσης

(1). Συνεπώς, το πυθα

γόρειο πρόβλημα έχει μια προφανή γεωμετρική ερμηνεία (Σχήμα

1).

Αν η τριάδα των φυσικών αριθ

!'.,.

μών

1 ΜΑΡΤΙΟΣ I ΑΠΡΙΛιΟΣ 1999

(a, b, c) είναι

η τριάδα

πυθαγόρεια, τό•ε

(ka, kb, kc)

είναι επίσης

πυθαγόρεια, για κάθε θετικό ακέ

πρώτοι

rόrε η τ.pιά

p > q,

cf, b = 2pq, c = p' + cf (•)

είναι πρωταρχική πυθαγόρεια τριά

δα. Για παράδειγμα, αν q = 2 · 3 · 7 = 42 και p = 163, βρίσκουμε την εξής πυθαγόρεια τριάδα:

(24805, 13692,

28333). Η απόδειξη της πρότασης είναι προφανής. Πράγματι, λόγω των

(• ),

έχουμε

a2 + b' = (p' - cf? + 4p'cf = (p' + cf>2 = c>. Άρα, η τριάδα

"'> Q

είναι ου-

ένα ν κοινό

(a, b, c)

θαγόρεια. Επιπλέον, είναι πρωταρ- ~ )(Ική: Α ν οι

a, b, c είχα ν

διαιρέτη

k, αυτός θα ήταν κοινός δι- Ε αιρέτης των αριθμών c + a = 2p2 και .;; c - a = 2cf. Επειδή οι p και q είναι ί::' πρώτοι μεταξύ τους, πρέπει να είναι ~ k = 2. Όμως το k διαιρεί το c = τl + '8.

το πυθαγόρειο πρόβλημα, αρκεί να

...2, που είναι περιττός αριθμός. Συ<J νεπώς k ~ 2, και κα ταλήγουμε σε

~ ~ !!

βρούμε όλες τις πρωταρχικές τριά-

αντίφαση.

ραιο

Σχήμα

και

Αριθμmιιcή μέθοδος

~"~

a = p'-

q είναι

Επομένως, για να λύσουμε

-. • ....

___'

•

__".ι! • •

•

QUANTUII I ΑΡθΡΟ

Έχουμε αποδείξει ότι η μέθοδος που περιγράψαμε παράγει μια πρω

ταρχική φιι'ιδα. Αποδεικνύεrοι ότι όλες οι πpωrαpχικtς πυθαγόρειες

φιάδες πpακύπτουν με rηv cφαpμο

Αποδείξαμε ότt τα 8 και b είναι διαφορετικής ισοτιμίας. Ας υποθέ σουμε ότι το 8 είναι περιττό, το b άρuο και όρο το c περιττό. Οι ηαροστάσεις c + 8 και c - 8 εί •

yή της μεθόδου (• ). Στη συνέχεια, δίνουμe (εν συνtσ μία) μια αριθμηηιιή απόδειξη αυτού του aξιοσημείωτου γεγονότος. Η α· πόδειξη εξηγεί και το πώς θο μπο ρούσαμε να μαντέψουμε τους τύ πους (•). (Οι αναγνώστες που δεν

m και n. Η εξίσωση (1) μπορεί να

προημούν τους aριθμητικούς συλ·

(4)

ναι και οι δύο άρηες και επομένως

μπορούμε να γράψουμε

νεχiσουν με την επόμενη ενότητα.)

Έστω ιuα πρωταρχική τριάδα (8, c). Η συνθήκη όtι μtα τριι'ιδα εΙ·

ναι πρωταρχική μπορεί να γραφεί ως

μ.κ.δ.(8,

b, c) = 1,

(2)

όπου μ.κ.δ. είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών της παρένθε σης. Εmσημαiνουμε ότι rιρέπει να ε ξετάσουμε κοινούς διαιρέτες και των τριών αριθμών a, b, c, και όχι κοι νούς διαιρέτες δύο μόνο εξ αυτών. Η ισότητα (2) δεν συνεπι'ιγεται ότι

= 2n

για κάποιους ακέραιους

tl =c" -

1 8 = (c

= (2mX2n) = 4mn. Λήμμα. Οι αριθμοί

m "

;1, n = rf,

και q, διαφορεuκής ιοοτψiας. Καλούμε τους αναγνώστες να α ποδείξουν αυτό το λήμμα. (Υπόδει ξη: Αποδείξτε ότι οι

m και n είναι

πρώτοι μεταξύ τους με τη βοήθεια της (3), αναλύστε τους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και αντικατ{Ι στήστε στην (4).) Αι1ό τις ισότητες

2n = c - a,

2m = c

από τους τύπους

ρετική ισοτιμία (δηλαδή δεν είναι και οι δύο άρτtοι ή και οι δύο περιττοi). Πρόγμαη, από την εξίσωση (3) συ μπεραίνουμε ότt δεν μπορεί να εΙ· ναt και οι δύο όρτιοι. Α ν είναι και

οι δύο περιττοί (ας πούμε,

1 και b = 2ι 8

8 = 2k +

+ 1), τότε

εξίσωσης (1), το c έχει την ίδια ιδιό τητα, δηλαδή είναι άρτιο. Επομένως, c " 2s, για κόποιον ακέραιο s. Συ·

νεπώς, το

c" = 4s2 διcιιρείται

με το 4.

Έτσι, καταλήξαμε σε αντίφαση!

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1888

c είναι

Α ν χρησιμοποιήσουμε συντεταγ • μένει;, μπορούμε να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά την εξίσωση ( 1). Όλες οι

λύσεις τt'ιc; (1) προέρχονται από τον nολλαπλασ1ασμό των πρωταρχικών λύσεων επί κόποιον φυσικό αριθμό k. Δηλαδή, οι λύσεις έχουν τη μορ

(ka, kb, kc),

όπου

μόζονται ρητά σημεία. Α νnστρόφως, αν έχουμε ένα ρητό σημείο (χ, y ) του

μοναδιαίου κύκλου με συντεταγμέ

(a, b, c)

Από την (l) έπεται όn

ανόγοντας τα κλόσματα mι l n 1 και m2 /n 2 στον ελάχιστο κοινό παρονο μαστή τους

Ο. Η εξίσωση αυτή

μας δίνει μια πρωταρχική τριόδα. Ε πομένως, υπάρχει μια αμφιμονσσή μανz;η ανrιστοιχfα μεταξύ των

PIJ·

yόρειων ι:pιάδων.

Έχουμε επιτύχει μια γεωμετρική

διατ;ύnωση του πυθαγόρειου προ βλήματος: Βρείτε όλα tO ρητά σημεfα

του μοvσδιαΙου κύκλου

r + y = ι.

από το σημείο (χ1 , y 1)

= (- 1, 0). Κόθε

ευθεία που διέρχεται από το σημείο (-1, Ο) και δεν είναι εφαπτόμενη τέ· μνει τον κύκλο σε ένα ακόμη ση μείο, για παράδειγμα το μα

2).

lz., y 1)

(Σχή

Η εξίσωση μιας τέτοιας ευ·

θείας είναι

y=k<x+l ), όπου

είναι η κλίση της ευθείας.

Επομένως, οι συντεrογμένες του ση μείου (χ., y,) ικανοποιούν το σύστη

(5)

μα εξισώσεων

Αφού οι a, b, c > Ο είναι ακέραιοι, έπεrοt ότt οι αριθμοί a /cκαι b / c εί

χ•

=1.

ναι ρητοί. Η εξίσωση του μοναδιαίου

κύκλου είναι η Jl +

μ π ορού·

με να κατ;αλήξουμε στην εξίσωση (5)

είναt

μια πρωταρχική πυθαγόρεια τριάδα.

( ;) \ ( :)

y = m2/π.,

νες χ" mιfn 1 και

Αι; προσπαθήσουμε να βρούμε ό • λα αυτά τα σημεία. Φέρουμε ευθείrς

μέθοδΟς

φή

αντιστοιχεί σε κόθε πρωταρχική λύ ση (a , b, c) της εξίσωσης (1 ). Τα ση

κλου και των πpωrαpχικών πυΟα •

( • ).

+ b' = 4(Jr' + L1 + k + L) + 2.

Επομένως, το a 1 + l:l διαιρείται α· πό το 2, αλλά όχι από το 4. Βόοει της

c - a,

πυθαγόρεια τριάδα, τότε προκύπτει

με το

tώv σημcfωv cv6ι; μοvα6ιαiου κύ

ουν. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι μ.ιι.δ.(8, b) k > 1. Τότε, βάσει της εξίσωσης (1), το ι!- διαιρeίτ;αι με το k'

k, πράγμα αδύνατο λόγω της (2). Σε κάθε ορωτ;αρχική τριόδα (8, b, c) οι αριθμοί 8 και b έχουν διαφο

και

απ' όπου έχουμε c p' + και 8 p' - q'. Από την (1) βρίσκουμε b =

2pq. Συνεπώς, αν τα

παίρνουμε

2p' = c + 8, 2q =

(3)

Σχήμα

μεία με ρητές συντεταγμένες ονο

δύο πρώτων μεταξύ τους αριθμών p

Όμως, για κάθε πρωταρχική π υ· θογόρεια τριάδα, οι σχέσεις (3) ισχύ·

c διαιρεlτ;αι

m και n είναι

τέλεια τετράγωνα,

μ.κ.δ.(8,

και επομένως το

+ 8 Xc- 8 )

b) = μ.κ.δ.(b, c) = μ.κ.δ.(c, a) = ι

ι-ι. οι

γραφεί ως

λογισμούς μπορούν να παρολεί • ψουν την απόδειξη αυτή και να συ·

c + 8 = 2m,

y = 1, συνεπώς

υπάρχει ένα σημείο του μοναδιαίου

κύκλου μc ρητές συντεταγμένες που

{y = k(x+l). + y' = 1,

Α ν cιντικαταστήσουμε την τιμή y = k(x + 1) στην πρώτη εξίσωση και λύσουμε ως προς .Υ, θα πάρουμε

i' + i<"(x + 1)~ =1

κ έραιεc; συντεταγμένες του μ ο να

διαίου κύκλου (εκτός του σημείου (-1, 0)) και, συνεπώς, θα βρούμε ό

(1 +

k'>r + 2k'x + k' - 1 =ο.

νω εξίσωση, τότε είναι η τετμημiνη

y =

Ιι(χ + 1) και ιου μοναδιαίου κύκλου.

Με άλλα λόγια, είτε χ= χι= - ι είτε χ

Αν χρησιμοποιήσουμε τον

γνωστό τύπο για το άθροισμα των

ριζών μιας δε υ tεροβάθμιας εξίσω •

τύπουc;. Έστω μ.κ.δ.(p, q)

με

k = pl q,

q >Ο

ι. Τότε, από τον

2pq } q•- p' (.Y2,yt)= ( ι t' ι 2 (••) q +p

q +p

πρέπει να αναλύσουμε την ισοτιμiα

p και q. Αν τα p και q είναι

των

ισοτιμίας, ο τύπος

διαφορετικής αντιστοιχεί

(••)

στην πρωταρχική πυθαγόρεια τριά • δα (8, b, c ) = ιl( - p', 2pq, + p2).

•

Αφού το σημείο (χ,, y 2) ανήκει στην

y = k(x + 1), έχουμε

Αν το

p και q είναι και τα δύο πε

ριττά, τότε θεωρούμε τις δύο νέες

μεταβλητές q, = (q + p)/2 και p1 = (q - ρ) / 2, με μ.κ.δ.(p,, q1 ) = ι, και παίρνουμε

αντιστοιχούν ένα σημείο

I - k'

2k )

q.- ρ' = 4ρ,q,.

<6 >

του μοναδιαίου κύκλου

r +y • ι

μοναδιαίου κύκλου (χ, y ) ., (-ι,

0),

ανιιστοιχεi μια μοναδική τιμή κλί σης

k, και

συγκεκριμtνα η nμή

k = _L_ ,

(7) είναι

ρητός, to σημείο (χ., y 1 J που ορίζε ται οnό την

(6) έχει

είναι ρηιοi, to

1 2 , q~- Ρ~} )=(q~q,p , + p, q , + p,

μεταξύ του

(8)

(7}, επίσης ρηιόc;. Έχουμε, λοιπόν, την επόμενη πρόταση: Υπάρχει μια

του (8) εiναι όn

ιι.

= (q, + ρ,) /2, ρ,= (q, - ρ,) /2,

Xz και

είναι, λόγω της

( • • ) και

κ l

αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους διαφο ρετιιdιc; ισοτιμίας. Εξαιτίας της αμ φιμονοοήμαντης αντιστοιχίας μετα ξύ των πρωταρχικών λύσεων της πυθαγόρειας εξίσωσης και των ρη

τών ΟJW&ίων του μοναδιαίου κύκλου (εκτός του σημείου (-ι,

(•• ) και (8) πους (• ).

0)), οι <ύποι

συνεπάγονται τους τύ·

Ριιαί πα~ιετριιοιιοίηση •

των κωνικων Έχουμε βρει τον τύπο

(6) ο οποί

.I- 1 = Ο. Α υ·

μαντη αντιστοιχία μεταξύ της πα·

ραμέτρου

k που λαμβάνει όλες τις

προΥ]1οnιιές τιμές και των σημείων

0 )). Οι συντεταγμένες των σημείων

έχουν ~ναλλογεί το Xz και Υτ Αν το ρι κω q 1 είναι και το δύο περιπ~. τότε συνεχίζουμε με nς μεταβλητές

ρητές συ,•τετογ

μένες και, ανιι<Πρόφως, αν το

(x 2 ,y2

του κύκλου (εκτός του Ο!JμCίου (-ι,

Παρατηρούμε ότι η μόνη διαφορά

X+l Εmσημαίνουμε όtι, αν to

( ..) με

και έχουμε

Α ντιστρόφως, σε κάθε σημείο του

Σχήμα

"<:

τός ο τύπος ορίζει μια αμφιμονοσή

μαστές των κλασμάτων στον

ναδιαίου κύκλου Χ:+

Διαιρούμε αριθμηιές και παρονο το

βρούμε όλα το ρητό σημείο του μο

2pq = (q~ - ρ:).

(χ,, y,) = ( 1 + k'' 1 + k'

ος μπορεί να χpi]Οιμοποιηθεί για να

rt + τ} = 2(q,2 + p:),

Οι δύο τελευτ.αίοι τύποι σε κάθε αριθμό

' v <χι.Υι) "'

πεται όη

1/ 1

\\ 1ι

(6) έ

ρουμε το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα,

ι - k~

"ι

και

ισοδύναμοι με ιον ( • )! Για να πά

ευθεία

\ I

Ας γρόψουμε τους αντiστοιχους

Οι τύποι αυτοί είναι ουσtασnκά

χ,= ι+ k 2

θαγόρειου προβλήματος.

σης, έχουμε

αn' όπου βρίσκουμε

Α-Ι Ι. y - y 1 •k(x - x 1)

λες ης πρωταρχικές λύσεις του πυ

Εάν to χ ικανοποιεί ιην παραπά του σημείου τομή<; της ευθείας

με μ.ιι.δ.(ρ.,

q,) =

ιχ, y ) του κύκλου είναι ρητές συ· ναρτήοεις του

k. Προκύπτει

ένα εύ·

λογο ερώτημα: Είναι δυνατόν να

χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μέθοδο για να παραγάγουμε σημεία rιου α· vήχσυν σε άλλες ι<αμπύλeς

για

παράδειγμα, σε μια έλλειψη, μια πα

ραβολή ή μια υπερβολή; (Οι ελλεί • ψεις, οι παραβολές και οι υπερβολές ονομάζοVtοJ κωνU<ές τομές.)

ι,

rΊο να οnοντήοουμε σε αυτό το

ερώτημα, θεωρούμε μια καμπύλη του

και ούτω καθεξής. Τελικά, καταλή

επmέδου που δίδεται από την εξl

γουμε εί11C σε έναν τύπο της μορφής

σωση Κ(χ, yJ = Ο, όπου Κ(χ,

ταξύ των σημεiων μc pηι;ές συνu:

(•• ) είτε

δευτεροβάθμιο πολυώνυμο των

ιαγμένες rου μοναδιαίου κύκλου (c-

κω Q. είναι διαφορετικής ισοτιμiας

κtός ιου σημciου

και με μ.κ.δ.(ρ•. Q.)

' αμφιμονοσημανrη

ανrιο rοιχια με-

(- 1, 0)) και των

pηtώv αριθμών. Α ν το

(8),

= 1.

όπου το Ρ. Συνεπώς, η

πρωιαρχική λύση rιου αντιστοιχεί

δια φέξει όλες τις ρητές

τψές του διαοτήμαιος ι-.

της μορφής

->, θα

απαριθμήσουμε όλα το σημεία με α -

στο ρητό σημείο (χ2,

y,> ~ (-1, 0) δί

y ) είναι

και

.Υ· Οι ελλείψεις, οι παραβολtς και οι υπερβολές ορίζονται οπό τέτοιες εξι σώσεις. Έστω (χ1 ,

y 1)

ένα σταθερό

σημείο μιας καμπύλης τέτοιου τύ •

δεται είtε οηό ιον tύι~ο

(••J είτε από

που, με ρητές συντεταγμένες. Φέ

τον τύπο

p και q είναι

ρουμε μια ευθεία ιιλiσης

(8),

όπου τα

k που διέρ •

QUANTUII / λΡθΡΟ

χεται από αυτό το σημείο (Σχήμα

Αναζητούμε σημeία τομής, (z, y), α υ τής της ευθείας με την καμπύλη. Οι

σύντεuιγμένες αυτών των σημείων ικανοποιούν το επόμενο σύστημα ε

ξισώσεων:

{

y = k(x + 4 )

3).

γ1α να επιτύχουμε την εξής παρα μετρικοποίηση (κάν τε μόνοι σας τις πράξεις):

= k (x -

χ,).

y),

του δεύuρου

(zt, y 2 )

σημείου τομής της ευθείας Υ

= Υ1 +

:τιρωόικd <nον κ6ομο, ιπi πίντι

''7"

rικμηρ<wμlνη )"'ώση

rη yvητιiα ιων Cft'OIΚoίv ι:tιοτημών και των μαθηματοιών.

και, επομένως, έχουμε

Ι- J

Μπορούμε

- Jx• +3χ-4 -

εύκολα να επαληθεύσουμε όιι

A (k)

lyxuρα ικπcιιόruτιχ4/επιστημοvrκd

α~-ιοχαλιίπτl)νfας: σιο ε).ληv"cό κοινd

dk = (ι- k')''

k(x - ,<1) με την κομπύλη Κ συναρ τήσει της παραμέτρου

rov Μάιο rou 1994. Απ6 τα πl.tov

οιλiόι~ rοιι

lOk

όπως κάναμε για τον

κύκλο, θα αναπαραστfισουμε τις ου ντεταγμtνες

συμ:ύ..ηρώvιι ;τ{vτι ημrρολοyιαιιά tτη

χ.ριiνια π/JO<X{.ίptt μ.ίσα <L"'rύ τις

Τότε,

Α ν επιλύσουμε αυτό το σύστημα ως προς (χ,

Oua.ntum

στα rλληvιχά -dμχισι να κυκλιχ(ορtf

5k ) (χ, Υ) = ( ι - k ' ' 1- k' ·

Κ(χ, y) =Ο,

Μι το :ια.ρόιίι rcVxoς, το

0'\-"'tχού' και σιΜπΟ'ύ; έκόf)(Jής: του

1 +4k

Υ- Υ 1

ΠΡ01/ΓΟΥΜΕΝΑ Tf:YXll

B(kJ)

(χ,, y,) = ( C(k)' C<k>f όπου A(k~

8 (k) και

αkJ εJναι πο

λυώνυμα της παραμtτρου το πολύ

k, βαθμού

Το τελευταίο ολοκλήρωμα υnο λογίζεται σχετικά εύκολα:

Αυτός ο τύπος μάς δίνει

μια pηrή πο.pαμεφικοποίηοη της κα

2dk dk dk 1 - k' = 1 - k + 1 + k

μη ύλης Κ. Δηλαδή, δίΥει τις συνw

τα γμένες όλων τωΥ σημείων ιης κα

= Ιπ11 + kΙ - I nl l- kl + C

μπύλης μέσω ρητών συναρτήοεωΥ μιας παραμέτρου Ο ιύrιος

(• • • )

μας δίνει τη δ υ

νατότητα να βρούμε ακέραια σημεία τής Κ. Όμως, tώρο, θα στρέψουμε το

ι~I~+C. UΊι:kl

Χρ1}01μοποιώντας το γεγονός ότι

ενδιαφέρον μας σε μια διαφορeτική, τελείως απρόσμενη, εφαρμογή α υ τού του τύπου.

k =

=Jx'+3x- 4.

χ+4

'fποΛοyισμός ολοΚληρωμάτων Αποδεικνύεται ότι με τη βοήθεια

καταλήγου με

χ-4

oto τελικό αποτέλε

σμα (κάντε τις αnαραίτητες πράξεις):

της ρητής παραμετρικοποίησης μιας κατάλληλης καμπύλης μπορούμε να

υπολογίσουμε ολοκ!Jνώματα που σε πρώτη μαt1ά φαiνεται αδύνατον να αντιμετωniσουμε, όπως το

dx l = JJ x"+3x - 4 . ση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την καμπύλη

y> = τ - ιχ• + 3χ -

4>.

Παρατηρούμε ότι το σημείο <χ,, Υι>

= (-4,

οι ανήκει στην καμπύλη

y(x J= Jx• +3χ-4. θεωρού με όλες τις ευθείες

χι•κλοq"οριjσιι tριάvrα rruxη rou.

Μπορούμε να χρησιμοποιfισουμε

MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΑΙΟΣ 1119

Ανrά. yια 6σο χρ6vο θα ωιάρχοuν

αυτή τη μέθοδο για τον υπολογ1σμό

όιαθlοψο. o.vrfrν:τd. ισvς. μπσιχirε tV.ι

πολλών ολοκλφωμά των. Οι α να

τα :τρομηθεύισrε α:ι:ό τα

γνώστες μπορούν να διερευνήσουν

Σε αυτή τη συγκεκριμένη nερίnτω

κιχ.

Mtvιo σήμιρα_ J.οιπ6v. tχονν

ποια ολΌκλφώματα υπολογίζονται με αυτό τον τρόrιο.

Σε αυτό

to άρθρο χρ1}01μοποιfισα •

/Jιfj}.,oπωJ.tla. απ6 rα yραφεlα ~ ro βιβλ.ιοπωλεlο ωυ πι;pισδιχού, ή μ.ι Q.vτικarαfjo}.ή.

Η τιμ~ ro~ ι(vαι Ιόια μι αιπ~ rου rpίxovros •αϊχννς.

μe την ίδια μέθοδο για να λύσουμε

Το Quanιum ιι·ναι :ιιρωόικ6

διοφαντικές εξισώσεις και για να υ

jlιjlλ.ιοθιjκης -το Ι!ί.ικ6 rοι•

πολογiσουμε ολοκληρώματα -προ

:ταpιι::φfvtι άναλJ.ιJι·φτο σrο :r.tpαqμα

βλήματα που ανήκουν σε διαφορε

rοιι :ιιJ)6>οο. Γι ' αυτό φρονrίσtr vα μη

τικά πεδία των μαθηματικών. Απο δεικνύεται έ•οι η σύνδεση μεταξύ του πυθαγόρειου διακριτού και της aρχιμήδειας συνι\χeιας. ιtJ

χdσιτι χανίtv.ι tttίx~ του. 1/όΙJ κuκλοφtψ<Ι και η θ!jκη του ίχτου n1ΙH)U, yιιι την αpχrιοfτqαη ιων

c:ιντ{mωχlιιν τεvχώv.

ΣΤΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ

ό με το δαίμονα του Άλλη μια ιδέα για το αεικίνητο: Α

Stasenko

ΠΡΩ'ΓΕΣ ΑΠΟΠΕΙΡΕΣ ΚΑΤΑ

λείως rιλαστικές κρούσεις. Κα τα

τα μόρια του αερίου κινούνται προς

σκευής αεικινή.ων καταγρά

σκεύασε δύο τέτοιες πλάκες και τις

όλες τις κατευθύνσεις με ίση πι θα·

φηκαν στη Γαλλία του 18ου

στερέωσε σε μια αβαρή ράβδο, έτσι

νότητ.α, αλλά σχεδίασε μόνο τσ μό

αιώνα. Ωστόσο, αρχής γενομέ

ώστε οι όμοιες πλευρές τους να εί

ρια που κινούνταν στην ίδια διεύ

1775, η Γαλλική Ακαδη

ναι στραμμένες σε αντiθε·r.ες κατευ

θυνση με τους δίσκους, είτε πλη

μία Επιστημών αρνούνταν να εξ&τά

θύνσεις. Εν συνεχεία, στερέωσε τη

σιάζοντάς τους ε! τε απομακρυνόμε

σει οποιαδήnοcε ερευνηtική ιψόταση

ράβδο σε έναν κατακόρυφο άξονα· η

να από α υ τούς. Σύμφωνα με τις ε

σχεttκή με αεικiνηw.

ράβδος μπορούσε να στρέφεται γύρω

κτιμήσεις που παρουσιάστηκαν στο

Πράγματι, οι προτάσεις για την

από τον άξονα χωρίς τριβές. Υπε

ανάπτυξη αεικινήτων ρίχνονται ου

ρήφανη για το έργο της, σχεδίασε το σχετικό διάγραμμα. Στο Σχήμα 1 φαίνεται η κάιοφή rou: Το εμβαδάν

μάθημα της φυσικής, υπάρχουν n /6 τέτοJα μόρια ανά μονάδα όγκου (ό που π είνω η αριθμητική πυκνό τη

νης από το

νήθως στον κάλαθο .ων αχρήστων για να αποφεύγονται μάιαιες χρο νοτριβές, διότι τέτοιες μηχανές πα

η μέση

νttπροοωπεύει το πλήθος των εδρών

ραβιάζουν τους νόμους της φύσης. Ωστόσο, αποδεικνύεται ενίοτε διδα

θερμική ταχύτητα tων μορίων tΟυ

tνός κύβου). Συνεπώς, η ροή ~ων μο

περιβάλλοντος αερίου συμβολίζεταΙ

ρίων (δηλαδή ο αριθμός .ων μορίων

κτικό να αναλογιστούμε κατά πό

που προοπimουν σε επΙφάνεια μο

σον μια συγκεκριμένη μηχανή πρέ

με υ, ενώ η ταχύτητα κάθε δίσκου με u. Το κυκλικό βέλος υηοδεικ νύει

πει να καταταχθεί στα αεικίνητα.

την προσδοκώμενη φορά περιστρο

νου) στην αριστερή όψη του πάν ω

Μια rιολυμήχανη σrιουδάστρια ά

φής της διάταξης. Η σπουδάστρια

δίσκου ισούται με

κουσε όtt τα μόρια είναι δυνατόν να

επέλεξε να συναρμολογήσει έτσι τη

ρεμπΙπτόντως, ενίοτε αποδεικνύεται

απολέσουν μέρας της κινηt!Κής τους

μηχανή της, ώστε η αριστερή εmφά

χρήσιμο να ελέγχουμε ακόμη και α

ενέργειας όταν προσκρούουν σε τοi

νεια του πάνω δίσκου να ανακλά ε

πλούστατους τiιrιους όπως ο προη

χωμα. Σttς τελείως ελαστικές ιφού

λαστικά τα μόρια καΙ η δεξιά να τα

γούμενος. Πρόγματι, για υ

σεις, τα μόρια ανακλώνται διατηρώ

ανακλά πλαστικά.

μόρια δεν θα καταφέρουν ποτέ να

ντας

μέτρο της ταχύτητάς τους

κάθε δίσκου ισούται με

τα των μορίων, ενώ ο αριθμός

Η σπουδάστριά μας γνώριζε πως

αμετάβλητο, όταν όμως οι κρούσεις

ναδιαίου εμβαδού ανά μονάδα χρό

(n/6)(u - υ). Πα

υ, τα

προλάβουν το δίσκο ή να συ γκρο υ

είναι τελείως πλαστικές, η κάθετη

στούν μαζί του, με αrιοτέλεσμα να μηδενιστεί η ροή των μορίων στην

συνιστώσα της ταχύτητάς τους μη

αριστερή όφη του πάνω δ!σκοσ.

δενίζεται και καταλήγουν να ολι

Κάθε μόριο nροσκρούει στην αρι

σθαίνουν πάνω στην επιφάνεια wυ τοίχου. Ιδού, λοιιιόν, πώς συνέλαβε

στερή πλευρά του δiσκου με τcιχύ

η σπουδάστρια την ιδέα για το δικό

ράς όπου φεμεί ο δίσκος· δεδομένης

της αεικίνητο.

της ελαστικής φύοεως της κρούσης, θο ανακλαστεί με ταχύτητα -(υ- υ),

τητα +(υ - υ) στο σύστημα αναφο

Αποφάσισε να σχεδιάσει μια πλά

-F

κα τέτοια, ώστε στη μεν μια πλευ ρά της να σημειώνοντω μόνον τε λείως ελαοttκές μοριακές κρούσεις, στη δε άλλη πλευρά της μόνον τε -

Σχήμα

ίδιου μέφου και αντίθετης κατεύ θυνσης (Σχήμα

• συστημα

2).

• αναφορας

Εnομέvως, στο

•

του εργαστηρι·

ου, η ταχύτητα .ων μορίων μετά την

OUANτUM I ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 11

+ ( υ-

u) •

--ι·

- ( υ+

κρούση ισούται με -(υ- u)

+ 2u,

+ u = -υ

οπότε η aντίστ~ιχιι μεταβολή

της ορμής ενός μεμονωμένου μορίου

ανέρχεται σε m(- υ + 2u) - mυ. Ο πάνω δίσκος θα α·ποκτήσει την ίδια ορμή (στην αντίθετη κατεύθυνση,

φυσικά). Πολλαπλασιάζοντας αυτό το αποτέλεσμα με την αντίστοιχη ροή των μορίων και το i:μβαδόν του δί

σκου, καταλήγουμε σε μια έκφρα ση για τη δύναμη που ασκείται στο δίσκο εξ αριστερών: π

-(υ - u)m(2υ - 2u)S

σταοης. Για παράδειγμα, αν θέοου

με τη φορά που φαίνεται στο Σχή

m/s και S = 1 cm'. βρίσκουμε τ 3 · 103 s 1 h. Τόσος χρόνος απαι

μα

- (υ- u)

Σχήμα

πη δύναμη δρα στον κάτω δίσκο, ο πότε το σύστημα θα περιστρέφεται

Και τώρα ας επιχειρήσουμε έναν παρόμοιο υπολογισμό για τη δεξιά

πλευρό του πάνω δίσκου. Στο σύ

στημα θα έχει μηδεvtκή γωνιακή ε

(Σχήμα

πιτάχυνση) όταν ΙΚανοποιείται η ε

Πρέπει να εmσημανθεί εδώ ότι το μοντέλο μας στφίζεται στην υnόθε ση πως τα μόρια ρέουν ελεύθερα γύ ρω από τους δίσκους. 11' αυτά το λό

ξίσωση

u'- 6υu + υ'= Ο.

u. = 3υ ± J9υ'- υ = υ(3 ± 2J2). Δεδομένου όη ο δίσκος είναι α δύνατον να αναπτύξει μεγαλύτερη

σία μπορεί να αποδοθεί μόνο στη λύ ση με το μείον.

Επομένως, η ταχύτητα των δί σκων στη μόνιμη κατάσταση ισού ται με

u_ = υ(3-

2J2) = 0,172υ,

η οποία είναι σημαντικά μικρότερη

ρός, η ταχύτητα μετά την πρόσκρου

α ν τι λήφθηκε πως μπορούσε να α

οπό"tε η μεταβολή

της ταχύτητας των μορίων είναι

(-υ)= u + υ. Η ροή των μορίων στη δεξιά πλευρά του πάνω δίσκου ι σούται με (n f6)(υ

+ u), οπό"tε η ολ ι

κή δύναμη που ασκείται στο δίσκο από αυτή την πλευρά δίδεται από την

από τη θερμική ταχύτητα των μο

γνοήσε1 τον όρο που περιείχε το u2 στην έκφραση που δίνει την F. Κα τά συνέπεΙα, η εξίσωση (ποιι αποτε

λεί διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για το δίσκο) μετατρέ πεται σε γραμμική διαφορική εξίσω ση:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το γινό μενο mn συμπίπτει με την πυκνό·

τητα του αερίου p, μπορούμε να γρά ψοuμε την ολική δύναμη που δρα στον πάνω δίσκο με τη μορφή

~(2(υ- u) - (υ+ u)') 2

=~(υ +u - 6υu~

du = PυS(u - ~)=u-υ/ 6. dt

MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

ν"tε τάξεις μεγέθους μικρό"tερη από

νικές συνθήκες. Εν τοιαύτη περι πτώσει, η μέση ελεύθερη διαδρομή κάθε μορίου αυξάνεται κατά πέντε τάξεις μεγέθους, και αντί της ημής

των 10' 7

m ισούται πλέον με 1 cm,

τιμή η οποία είναι συγκρίσιμη με τις

υποτιθέμενες διαστάσεις 'taυ δίσκου. Κατά συνέπεια, η συσκευή θα έ πρεπε να περιστρέφεται εσαεί. Μά

λιοτα, είναι δυνατόν να την εφοδιά οουμε με ένα μηχανισμό ώστε να

εκτελεί ωφέλΙμο έργο. Ωστόσο, αυτή η συσκευή δεν έχει καμιά σχέση με το είδος των αεικινήτων που απέρ ριπτε η Γαλλική Ακαδημία Επιστη μών. Η συσκευή μας δεν συνιστά rφοσπάθεια για παραγωγή ενέργει

ας -εκ του μηδενός•. Οι δίσκοι προ σλαμβάνουν ενέργεια από τα μόρια του αερίου, την οποiα αυτά αναπλη ρώνουν μέσω κρούσεων με τα τοι

χώματα ενός δοχείου που διατηρεί ται σε σταθερή θερμοκρασία. Επο μένως, ο θερμJκός μας κινητipας δεν

παραβιάζει την αρχή διατήρησης της Η θερμtκή ενέργεια αφθονεi στον κόσμο μας, άρα, εκ πρώτης όψεως,

ο ·θερμικός κινητψας• μας θα μπο

Μπορούμε να διακρίνουμε ορι

ρούσε να αντλήσει ενέργεια, φερ' ει

σμένα χαpαιtτηριστικά της λύσης α

πείν, από τον ωκεανό καΙ να την α

κόμη και δίχως να λύσουμε τη ου

ξιοποιήσει για την προώθηση των

γκεκριμένη εξίσωση. Φαίνεται σα

φώς όη η εmτάχυνοη μειώνεται κα θώς αυξάνεται η ταχύτητ~. για να μηδενιστεί όταν η u λάβει την τιμή

u_ = υ{6 "' 0,167 υ. (Σημειώστε ότι η

ιι

·········· · · · · · - ---------- -

u ~( 1 - e1 ) ........... . ,

ημή αυτή δεν διαφέρει πολύ από την τιμή που βρήκαμε προηγουμένως.)

Η σταθερή παράμετρος τ ~ m /(pυSJ στον παρονομαστή του δεξιού μέ

Μια ίση κατά μέτρο και αηίρρο-

πυκνότητα ταυ αερίου είναι κατά πέ

ενέργειας.

έκφραση

- mnS( υ - u)' . 6

3).

την πυκνότητα του αέρα υπό κανο

ρίων- έτοι, η ευφυής εφευρέτριά μας

της οριακής τους ταχύτητας

μόνιμη κατάσταση:

ενώ με-ιά την κρούση μηδενί ζεται. Στο ακίνητο σύστημα αναφο ση ισούται με

63%

γο, η εφευρέτριά μας θεώρησε ότι η

σκος, η ταχύτητα των μορίων πρι ν

+ u),

τείται για να αποκτήσουν οι δiοκοι

Η νεαρή μας ερευνήτρια ήξερε πώς λύνεται μια δευτεροβάθμια εξίσω ση, οπό"tε βρήκε την ταχύτητα στη

στημα α ναφοράς όπου φεμεί ο δί από την πρόσκρουση ισούται με -(υ

το

νούν, συμπέρανε ότι φυσΙΚή σημα

-- mn$2( υ-u )' . 6

Προφανώς, η καθεμιά από τις α νωτέρω δυνάμεις μηδενίζεταΙ (το σύ

ταχύτητα από τα μόρια που τον κι

με m= 1g,p= 10... kg fm', υ: 300

λ ους ονομάζεται χρόνος απ οκατά -

Σχήμα

πλοίων. Λίγη υπομονή όμως -υπάρ

Ποια μέθοδος ενδείκνυται ως η

σιμοποιώντας ενέργεια από μία μο

χουν μερικό ακόμη ζητήματα σχε· δίασης που πρέπεΙ να τα θίξουμε

καλύτερη; Εκ πρώτης όψεως, η δεύ·

ναδική δεξαμενή θερμότητας. Συνε

τερη φαίνεται απλούστερη και οι

πώς, η μηχαvικιj μέθοδος για την

προτού φτάσουμε στο θέμα των ΠΙ·

κονομικότερη. Η αναπλήρ(ο)ση του

κατασκευή της •Πλαστικής• επιφά

θανών εφαρμογών. Πώς θα κατα . σκευάσουμε δίσκους που ανακλούν

ψυκτικού υγρού δεν θα παρουσιά. ζει ιδιαίτερα προβλήματα. Για να

νειας είναι εξαρχής καταδικασμένη

τα μόρΙα ελαστικά από τη μ~α πλευ.

συντηρήσουμε την περιστροφή της

Αντιθέτως, η θερμική μέθοδος ου

ρά κ ω πλασtJκά από την άλλη; Α

συσκευής, αρκεί να εξασφαλίσουμε

δόλως παραβιάζει τον Δεύτερο Νόμο

κρ1βώς εδώ η εφευρέτριά μας έπρε •

ότι η θερμοκρασία των τοιχωμάτων του δοχείου δεν θα πέσει πολύ χα·

rηc; θερμοδυναμικής. Μια μηχανιi σχεδιασμένη σύμφωνα με την εν

μηλά !έτσι ώστε να δια τηρείται η

λόγω μέθοδο ηεριέχει εκτός από τη

θερμοκρασιακή διαφορά ανάμεσα

θερμή δεξαμενή (τα τοιχώματα του

στη συσκευή κω το περΙβάλλον της).

δοχείου) και μια ψυχρή δεξαμενή (το υγρό άζωrο). Ωστόσο, κατά πάσα

.. μας απ ο τεχνικη α -

Μόλις περιγράψαμε μια συσκευή που θα μπορούσε να προσφέρει στην ανθρωπότητα τεράστιε<; ποοότητες φθηνής ενέργειας. Πράγματι. θα ή ταν δυνατόν να ποντίσουμε ένα δι·

ποψη. Η ανακλαστικότητα της ελα •

σεκατομμύριο τέτοιες μηχανές στον

στ1κήc; επιφάνειας, που θυμίζεΙ κά • romρo, τη διατηρεί σε θερμική ισορ

ωκεανό καΙ να αντλούμε ενέργεια

ΔΙαβάστε ακόμη τα άρθρα ...

ροιriα με το περιβάλλον αέριο, έτσΙ

των ωκεανών θα αναπληρώνονταν

ώστε τα μόρΙα να ανακλώντω με τα

από την ηλΙακή ακτινοβολία. Παρο

χύτη·τες ίσου μέτρου με εκείνες που

μένει ασαφές γιατί είναι αδύνατη η

είχαν κατά την πρόσπτωσή τους στο

λειτουργία τέτοιων μηχανών (που ο

δίσκο. Το πρόβλημα έγκειτω στην

άλλη πλευρά του δίσκοv, η οποία

νομάζονται δαίμονες του Maxwell). Η εmστημονική απάντηση σε παρεμ

πρέπει να ανακλά πλαστικά τα μό

φερή σχέδΙο είνα ι πάντοτε ένα κα

ρια.

τηγορηματικό •όχι».

πε να επιδείξει ιδιαίτερη προσοχή.

Εύκολα μπορεί κανείς να παρασυρ θεί προοηαθι~ντας να κατασκευάσει μΙα αδύνατη συσκευή, ακριβώς ό πως όσοι επΙχείρησαν παλαιότερα να παραγάγουν ενέργεια εκ του μηδε-

νος.

Ας εξετάσουμε λοιπόν τον •θερ •

μι κο κ ινητηρα•

από αυτόν. Οι ενεργειακές απώλειες

σε αποτυχία. (Γιατί, αλήθεια;)

πιθανότητα ο συντελεστής απόδοσης μιας τέτοιας μηχανής δεν θα ήταν υψηλός. Αλίμονο, δεν υηάρχει αιώ

rtJ

νΙα και ελεύθερη ενέργεια.

• Α.

Saνίn, ·Μαθηματικά καΙ αέ·

να η κίνηση .., Σεπτέμβριος /Οκτώβρι ος

1994. ·

Α.

•Δύο καθημερινά

Buzdin,

φα•νόμενα ζητούν ερμηνεία•, Μάρ τιος/ Απρίλιος

1997.

Συνέχεια ατιό ιη σcλ. JΟ

γνωρίζοιιμε την παρούσα στιγμή α· ποτελούν απλώς συνέιιειες τούτης της βασικής αρχής. Όλοι οι επψέ·

Πώc;, λοιπόν, κάνουμε την εω

Προ πολλού, οι εmστήμονεc; κο

φάνεια "πλαστική• για τα ηροσπί

τα νόησαν ότι τέτοιοι <•θερμικοί κιν η

ητοηα μόρια του αερίου; Μ π ορού· με να προσεγγίσουμε το πρόβλημα

τήρες•. σχεδιασμένοι για να λειτουρ γούν με μία μόνο δεξαμενή θερμό·

με δύο τρόπους. Σύ μφωνα με τον

τητας, κατ' αρχήν δεν διαφέρουν α

πρώrο (μηχανικό), η επιφάνεΙα πρέ

nό τα κλασικά αεικίνητα· μάλιστα,

πει να γίνει rιορώδης: Τα μόρια που

καθιερώθηκε γι' αυτά ο όρος αeι κί.

πλησιάζουν rους πόρους προσκρού · ουν στα τελείως ανακλαστικά τοι· χώματά τους και εισδύουν βαθύτε

ν ητα δεύτερου είδους. Οι προσπά • θειες για την κατασκευή τέτοιων μη

ρα στους πόρους. Κάθε η όρος κ α

τικά aπό όσες αποοκοπούσαν στην

Δείτε ακόμη τα άρθρα ... • G. Myakisheν, ·Το ''πλέον αδρα • νειακό" σύστημα α ''αφορά<;•, Μάιος

μουλώνεται βαθμιαία, ώσπου η τε λική του διεύθυνση να γίνει ορθο· γώνια pε την αρχική, Μι εκβάλλει

εrn νόηση αεικινήτων πρώτου είδα υ ς.

/Ιούνιος

Όλες, όμως, απέβησαν άκαρπες. Φυ • σικά, αυτή η αποτυχία δεν ήταν συ

ναι α ναηόφευκτεςJ•, Μάιος/ Ιούνιος

τα μόρια από την παράαλευρη επι

μπτ(ο)μοτική: ο Δεύτερος Νόμος τι)ς

φάνεια του δίσκου (Σχήμα

θερμοδυναμικής όρθωνε ανυπέρβλη

1995. • Paul Daνies, •Τι συνέβη πριν α

2).

χανών ίσως δεν υστερούν αριθμη

ρους νόμοι και κανονικότητες της φύσης συνενώνονταΙ σε έναν μονα.

δικό βασικό νόμο: Κάπου στο Σύ μπαν ιψέιιει να εμφανιστεί το αν

rtJ

θρώπινο ον.

1995. • W. Hiscock,

.Μαύρες τρύπες: εί

Ο εναλλακτικός τρόπος θα μηο

τα εμπόδια στις προσπάθειες των ε.

πό τη Μεγάλη Έκρηξη;•, Ιούλιος/

ρούσε να ονομαστεί θερμικός. Ένα

Αύγουστος

ε.πιφάνεια ψυχρή. Εφόσον η μέση

πίδοξων εφευρετών. Ο νόμος αυτός, σε μ ια διατύπωσή του η οποία προ τάθηκε από τους Kclνin και Planck, δηλώνει ότι: «Δεν είναι δυνατή κ υ

ενέργεια των μορίων που ανακλώ

κλική διεργασία συστήματος με μο

νται από μια επιφάνεια καθορίζεται από τη θερμοκρασία της, στην περί.

ναδικό αποτέλεσμα την αφαίρεση θερμότητας από μια δεξαμενή θερ •

πτωσή μας η ενέργεια των μορίων

μότητας και τη μετατροπή της σε ι·

που απομακρύνονται θα είναι πολύ μικρότερη από εκείνη των προσm

σοδύναμη ποσότητα έργου.• Με άλ λα λόγια, ουδεμία δυνατή κυκλΙκή

πτόντων μορίων.

μηχανή μπορεί να λειτουργήσει χρη-

ορισμένο υγρά (υγρό άζωτο ή ήλιο,

ας πούμε) διατηρεί την •Πλαστική•

1996.

• S. Silich, ·Ένα άστρο γεννιέται-, Ιανουάριοc;ίΦεβρουάριος 1998. • I.D. Novikov, •Το θερμοδυναμι κό Σύμπαν•, Μάιος /Ιούνιος 1998.

' 'τ ο

φυοrκομσθημαηκό βιβλιοπωλε!ο

Ι~nο~ρ(ιτοuς 6. 106 79 Αθήνα. τηλ. :

3628492

OUANTUM I ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 11

ΑΝΑΔΡΟΜΕΣ

άλμα του

το An6 το μοντέλο

Bohr

του σταφιδόψωμου στη σύγχρονη κβσvτικtι θεωρία

Α.

Korzhuyev

200Σ ΑΙΩΝΑΣ ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ ΣΊ'Ο

γραμμές που εξέπεμπαν υπό κανο

Εν σuνεχεία, ανακαλύφθηκαν α

τέλος του. πως θα τον θυμού·

νικές εργασ τηριακtς συνθήκες οι α

κόμη φεις σειρές γραμμών, που α

νtαι άραγε οι μεταγενέστεροι

τμοί και τα θερμό αέρια διαφόρων

νήκαν στην υπέρυθρη περιοχή του

ουσιων .

φάσματος του υδρογόγσu και οι ο

ως ~ην εποχή της ηλeκφονι

δημο

ποίες υπάκουαν σrον ίδια νόμο. Σύ

των υπολογιστών; Αδυνατούμε να

σίευσε μια εργασία όπου διαmστω

ντομα κατέστη σαφές όη και οι πέ

προβλέψουμε με βεβαιότητα την α

νόταν όn τα μήκη κύματος αυτών

ντε σειρές των φασματικών γραμ

πόντηση· ουδείς αμφιβόλλει, ωστό

των γραμμών nεριγρόφσνταν με ι

μών μπορούσαν να περιγραφούν α

σο, ηώς, όιαν οι φυσικοί τοu 21ου

κανοιιοιητική ακρίβεια αrιό τον τύπο

πό έναν μοναδικό τύπο Balmer -

ιιής, των διαστημικών πτήσεων ή

Το

1885

Johann Balmer

αιώνα θα αηοτψούν την κληρονο μιά 'ου rιαρελθόντος, θα εξαiρουν τα

Rydberg:

~ - .,(2... -

επηεύγματα των προδρόμων τους

αtην κβαντική θεωρία, η οποία συ γκροτήθηκε ως γνήσ ιο τiκνο των α

όπου

=3, 4, 5 και 6. ενώ το k πα

"tn'

.l} m 2

νακαλύψεων που έριξαν φως Wσο

ριστάνει κάποια σταθερά. Διαmστω ·

όπου ο ακέραιος

στη δομή των αtόμων όσο και σnς

νότον επJσης ότι οι ουγκεκριμtνες

χαρακτηρίζει μια συγκεκριμένη σει

αρχtς που διtπουν τη .ζωή• τους.

γραμμές συνδέονταν με το υδρογό νο. Δεν ό.ργησαν να ανακα.\υφθούν

ρό., ενώ σε κόθε σειρά ο ακέραιος

άλλες πέντε γραμμές για το υδρο

Παρά ταύτα, η θριαμβευτική

Ε.

. aτοιιιή θεωρία

n ,. \, 2, 3, 4

και

λαμβάνει τιμές μeγαλύu:ρες του n.

em-

γόνο, μόνο που αυτές ανήκαν στην

τυ)(iα της μαθηματικής περιγραφής

μάντεψαν την ατομική σύσταση της

υπεριώδη περιοχιΊ του ηλιακού φά

ουδόλως συνεπαγόταν και τη σύ

ύλης, η χρονική απόσταση που μας χωρίζει αιιό την αληθινή πειραμαn κή θεμελίωση της συγκεκριμένης α ντίληψης δεν είναι και τόσο μεγά

σματος αηορρόφησης. Οι αρτιανακα

σταση μιας θεμελιώδους φυσικής θε

λυφθείσες γραμμές αντιστοιχούσαν

ωρίας για τις φασματικές γραμμές.

σε μήκη κuμαtσ<; JΊΟυ επίσης περι

Ειδικότερα, το δεσπόζον ατομικό μο

γράφονταν με ικανοποιητική ακρί

ντέλο του σερ J .J. Thomson, το ο

λ η. Ας αρ)(iσουμε λοιπόν την ιστορία

βεια αηό τον τύπο ταυ

ποίο περιέγραφε ιην ύλη ως θετικά

Μολονότι οι αρχαίοι φιλόσοφοι

μας από τη φασματοσκοπία. Το

18'59

ο Gustaν Kirchhoff και ο Robert Bunsen ανέπτυξαν τη μέθοδο της

Balmer. 1890 ο Johannes Rydherg πρό

φορτισμένο ρcυσtό εντός του οποίου

τεινε μια τροποποιημένη γραφή του

κ α τα νέμονταν τυχαία τα αρνητικά

ίδιου τύπου :

ηλεκτρόνια όπως •οι σταφίδες <ΠΟ

Το

φασματοσκοmκής ανάλυσης και ε ξήγησαν, μεταξύ άλλων φαινομένων, την αροέλeυση των τεσσάρων σκο-

' u:ινων

•

~ . ~ ~(_!_2 λ

k 2

σταφιδόψωμο•, δeν εξηγούσε αυτά τα αποτελέσματα.

.l}

Στις αρχές rου 20ού αιώνα ανα -

γραμμων αηορροφηοης στο

ηλιακό φάσμα. Αυτές τις γραμμές τις εiχε ανακαλύψει ο

Joseph von 1814· τώρα,

Ο συντελεστής

4/ k, για

τον οποίο

εισηγήθηκε την ιδέα της κβα-

·g_

ντικής (διακριτι')ς) φύσης της εκπομπής και της διάδοσης του φωτός. ΑυτιΊ η καινοφανής έννοια του ήταν

~ > ~ ι:<i

1900,

ότι συνέπιηιαν, με αρκετά μεγάλη

τικά δεδομένα, η τιμή του είναι

ακρίβεια, με τις λαμπρές φωτεινές

10.973.731,77 ιπ·•.

ΜΑΡτΙΟΙ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1999

νίσχυαν την εικασία όn η ύλη έχει

R, ονομάστηκε σταθερό

σuμφωνα με τα σύγχρονα πειραμα

περίπλοκη δομή. Ο Max Planck, το

του

Rydberg·

φάνηκαν rιρόσθετες ενδείξεις οου ε-

καθιερώθηκε eκτοτε ο συμβολισμός

Fraunhofer ήδη από τσ 45 χρόνια αργότερα, αποδεικνυόταν

~ ~

ι-----Α;f

-·

QUANTUM I ΑΝΑΔΡΟΜΕΙ

απαραίτητη προκειμένου να εξηγή

γαγε τον τύπο που περιέγραφε τη

σμένα ηλεκτρόνΙα (τους •Πλανήτες• Ι

σει τη θερμική ακτινοβολία. Παρε μπιπ\όντως. η υπόθεσή του δεν στε

σκέδαση των εν λόγω σωματιδίων.

που περιφέρονταν γύρω από οον πυ

Ο συγκεκριμένος ιύrιος έδειχνε όtJ

ρηνα .

ρούνταν πειρομοτικfις βάσης.. Ήδη

το π λ ήθος ΔΝ των σωμαtΙδίων η ου

από το 1887, ο

Heinrich Hert2 eίχε

εκπέμπονται από δεδομένη πηγή (η

Rutherford

πορα τrpήσει το φωτοηλεκτρικό φαι

οποία χορακτrpίζeται αι1ό την καθο

νόμενο, ένα φαινόμενο ουαιωδώς

ρισμένη πυκνότητα ροής της και την

κός που απέρριψε το μοντέλο τ.ου σταφιδόψωμου. Κανείς, άραγε, δεν

•κβαντικό•. Σ~ο αινιγματικά δεδο

κινητική ενι\ργεια των ακnνοβολού

συνειδητοποίησε τις περιπλοκές και

μένα περιλαμβάνονταν ακόμη η α

μενων σωματιδίων\ και, αφού σκε

νακάλυψη του ηλεκφονiου από τον οερ J .J. Thomson, της ραδιενέργειας από οον Antoine Beεquerel και της

δοστούν ανιχνεύονται εντός της στε

τις αντιφάσεις που έκρυβε το πρό βλημα της ατομικής δομής, ώστε να

ρεάς γωνίας ΔΩ, συνδέεται με τη

εmχειρήσει να τροnοιιοιήσει τις φ&

γωνία σκέδασης θ σύμφωνα με τον

χουσες ο ν τιλήψεις;

θερμικής εκηομιιής ηλεκτρονίων α

τύπο

πό τον σερ

Owen

Wίllians

Ποιο κοινό χορακτrpισnκό συνέ δεε όλα αυτά τα φαινόμeνα; Όλα

ότι τέτοιες προσπάθειες έγιναν ό

ΔΝ .., __:1:....,.. θ. Δ Ω ημ'-

ντως πολύ νωρίτερα από το παράδειγμα. ήδη το

φυαικός

τούτα ήταν αδύνατον να εξηγηθούν

Η γραφιχή παράσταση αυτfις της

μή του αtόμου. Ωστόσο, όπως μαρ

συνάρτησης φαίνεται στο Σχήμα ι,

VJO

1901,

1911. Για ο γάλλος

Jea.o Perrίn έδωσε διαλέ

ξεις με θέμα την πιθανή πυρηνική

τη δο

με nς παλαιές αντιλήψεΙς

υπrpξε ο πρώτος φυαι

Η ισ τορία της φυσικής μαρτυρά

Richard -

son.

Διδακιική είναι η ερώτηση αν ο

πλανητική δομή των ατόμων. Ο ιά πωνος φυσι κός Hanιaro

Nagaoka,

τυρά και η Ιστορία της φυσικής, η

όπου ο συντελεστής αναλογίας έχει

το

συσσώρευση τέτοιων παράδοξων δε

ληφθεί ίσος με τη μονάδα.

ήθελε το άτομο παρόμοιο με τον

πράτεινε ένα μο,•τέλο που

Κρόνο· στο μοντέλο αυw, τα ηλε

εηί μακράν, έως ότου πραγματοποΙ

Marsd en και σ Hans Geiger, βοηθοί του Rut.herford, πέ

ηθεί κό.ι1οιο ηοιοιικό άλμα, ένα ι

ρασαν πολλές εβδομό.δ&ς σε απόλυ

γωνιακή ιαχύτητα γύρω αnό τον κε

στορικό γεγονός που αιιμαδεύει την ι1ορεία της επιστήμης εκδίδοντας τε

ντρικό θετικά φορτισμένο πυρήνα,

Ολ'ΥJΙ1Οτ;ίζοντας ένα δακτύλιο που τον

λεοίδικη ετυμηγορία είτε για τα συσ

το σκοτάδι κ α τα γράφοντας τους σπινθηρισμούς πάνω σε φθορίζοντα rιετό.σματα που υπεδείκνυαν τις θέ

σωρευμένα δεδομένα είτε για τη θε

σεις των σκεδαοθέντων σωματιδίων

κρινίζει αν ο Ruιherford συνάντη

ωρία που εμφανώς αντ;ιφάσκει με

άλφα. Ανfχνεuσαν και χαρακτψι

σε ποτέ τον

αυτά. Στην ατομική φυσΙκή ένα τέ

σαν περίπου δύο εκατομμύρια ξε

ξίδεψε στην Ευρώπη και μάλιστα ε

τοια ποιοτικό άλμα συντελέστηκε με

χωριστές συγκρούσειςJ

πιο κέφτηκε το Μάντσεστερ· πάντως.

δομένων μπορεί να παρατείνεται

Ο Erπest.

1904,

Τα αποτελέσματα υπipξαν επα

τα πειράματα του Rutherford, τα ο ποία tθεσαν τον ακρογωνΙαίο λίθο γΙα τη νέα θεωρία της ατομικής δο

σωμαdδια <σχετικό. ολιγάριθμα) ε

μής.

κφέπονταν κα τά πολύ μεγάλες γω

ναστατιχά. Αποδείχτηκε όη μερικό

νίες, οι οποίες ενίοτε υπερέβαιναν

τα ιιε"rστσ του

ακόμη και τις οο•. Το μοντ&λο του

κτρόνια ηεριφcρονταν με την ίδια

π&ρικiικλωνε. Η ιστορία δεν διευ

Nogooka,

το άρθρο του

ο οποίος τα

Rutherford

περιέχει

ιuαν αναφορά στο μοντέλο του ιά πωνα φυσικού. Ένα παρόμοιο και εξαφετικά ενδιαφέρον μοντέλο πρό τεινε το

ή το

1912 γλος aστροφυσικός John ' οποιος

1911

και ο άγ Nicholsoπ,

1906 ο Ernest Ruth -

Thomson nροέβλεπε όn κάτι τέτ010

μελετούσε τη διέλευση των

ήταν αδύνα τον. Τα νέα δεδομένα

σπάθειά του να εξηγήσει μερικές

σωματιδίων ό.λφα μέσω δΙαφόρων υλικών. Το Δεκέμβριο του 1910 εξή-

κατέδειξαν ι1έρον πάσης αμφιβολίας

γραμμές άγνωστης ιψοέλευσης στα

πως το μοντέλο του σταφιδόψωμου έπρει1ε να απορριφθεί. Ο Rutherford

φάσμαrο των νεφελωμάτων.

έδωσε στη δημοσιότητα το αποτελέ

ρούσε να συνε){Ιστεί, ας επιστρέψου

σματά του το Μάιο του

σε μια

με στο πειράματα του Ruιherford,

εργασiο με τίτλο ·Η σκέδαση των

καθώς και στη δημοσίευσή του. Ό

ακτiνων άλφα από την ύλη καΙ η

πως διαφαίνεται από μερικές διατυ

δομή του ατόμου •, η οποία αιιματο

πώσεις σ· αυτήν, ο

δοτεi τη γένεση του πυρηνιχού μο

μπορούσε πορό. να αντιλαμβάνεται

ντέλου του αtόμου και όπου ανα

πως το μοντέλο του ερχόταν σε σύ

λύθηκε ολόπλευρα η ριζιχή αντίθε

γκρουση ό)(l μόνο με το μοντέλο του

ση του με οο μοντέλο του Thomsoπ.

Thomsoπ, ολλό. και με την κλασική

Σύμφωνο με τον

ηλεκτροδυναμικ ή του

Ήδη από το

erford

30° Σχήμα

60•

90°

1 MAPfiOΣ I ΑΠΡΙλΙΟΣ 19i9

1911

Rut.herford,

το ά

το κο τασκευοοε στην προ-

Αν και ο κοτό.λογος αυτός θα μπο

Rutherford

δεν

Maxwell.

τομο έμοιαζε με nλανηηκό σύστη

λόγος εiνοι μάλλον προφονfις. Ένα

μα· απαρτιζόταν από έναν βαρύ και

συνεχώς εnιτ;αχυνόμενο φορτίο α

θετικά φορtισμένο πυρήνα (τον «Η

κτινοβολεi, επίσης συνεχώς, ηλε

λιο• του) και οπό αρνηηκά φοptΙ-

κτρομαγνητική ενέργεια. Συνεπώς,

στο πλανητικό μοντέλο, τα ηλεκτρό VΊα πρέπει να διαγράφουν ταχύτα •

Μάντσεστερ. Ήταν ακριβώς η περίο

της παρωχημένης αντίληψης, ο

δος (από την άνοιξη ώς το φθινόπω

πρότεινε την ύπαρξη στάσιμων κα ·

τα μια έλικα και να πέφτουν πάνω

ρο του

Bohr

ταστάσεων του ατόμου, στις οποίες

στον πυρήνα, ενώ ο •χρόνος ζωής•

κατέληξε στο συμπέρασμα πως μόνο

δεν ακτινοβολεί ενέργεια. Επιπρο •

τους (η διάρκεια της πτώσης) είναι

οθέτως, ο

10.,. s.

η εξωτική κβαντική θεωρία του Max Planck θα προσέφερε το κλειδί για

Πώς θα μπορούσε λοιπόν να εξηγη.

την άρση των αντιφάσεων ανάμεσα

ταξύ στάσιμων καταστάσεων, οι Ο·

θεί η σταθερότητα ενός τέτοιου ατό·

στο πυρηνικό-πλανητικό μοντέλο

ποίες συνοδεύονται από εκπομπή ή

μου;

και την κλασική ηλεκτροδυναμική.

αtιορρόφηση ενέργειας. Α ναμφίβολα,

βραχύτατος, της τάξης των

Επιπλέον, σύμφωνα με τις κ λα·

1912)

κατά την οποία ο

εισήγαγε το αξiωμα

ότι είναι δυνατές οι μεταβάσεις με·

στην Κο .

κανείς χρειάζεται μεγάλο επιστημο· νικό θάρρος για να αποτολμήσει τέ ·

μπής των ατόμων δεν θα έπρεπε να

πεγχάγη σημάδεψε tην αρχή μιας περιόδου εντατικής προσωπικής ερ

τοια βήματα -και ο Nίels

αποτελείται από γραμμές, αλλά από

γασίας, και το Μάρτιο του

aντάξιος του έργου που ανέλαβε.

συνεχείς ταινίες συχνοτήτων, επει

χε ολοκληρώσει τρία άρθρα που πε.

δή οι συχνότητες περιφοράς των η· λεκτρονίων δεν παραμένουν σταθε

ριέγραφαν τις αρχές της θεωρίας του.

γότερα τη μορφή των φ ιών ποσί ·

Το Σεπτέμβριο του

1913 ο Bobr πα·

γνωοτων αξιωμάτων που παρέχουν

ρές. Συνεπώς, το πυρηνικό -πλανη

ρουσίασε στο Μπiρμιγχαμ μια α να·

τους κανόνες για την κβάντωση των

τικό μοντέλο υπογράμμιζε δραματι

φορά για τα νέα αrιοτελέοματά του

παραμcτρων τ.ου ηλεκτρονίου στα ά.

κά τον ανταγωνισμό ανάμεσα στις

-στη συνεδρίαση της Βρετανικής Έ

τομα. Σύμφωνα με αυτά, η κβαντι

τρέχουσες θεωρητικές απόψεις και

νωσης για την Προαγωγή της Επι.

κή φύση της στροφορμής περιγράφε-

στην ολοφάνερη σταθερότητα του α·

στήμης. Το ακροατήριο ήταν εγνω

τ.οι απο τη σχεση

τόμου. Επρόκειτο για ένα γρίφο που

σμένου κύρους, αυστηρό και απα ι ·

ο ίδιος ο Rutherford αδυνατούσε να τον διαλευκάνει. Παρ' όλα αυτά, δεν άργησε \'Ο βρεθεί κάιιοια λύση.

tητικ.ό. Στη σύνθεσή του περιλαμβό. ·

σικές αντιλήψεις, το φάσμα εκπο

Η υπόθεση του

Η επιστροφή του

Bohr

1913

εί

φυσικής: ο Rayleίgh, ο

Jeans, ο Lo -

Τα προμηνύματα που έδειχναν ό· τι ο Niels Bohr θα αναδεικνυόταν σε εξέχουσα επιστημονική φυσιογνω · μία ήρθαν νωρίς. Το !905, όντας α·

mrυ =

ψυχρό στην αναφορά του νεαρού

Bohr. Ωστόσο, ο Rayleigh

παρα,;ήρη

σε πικρόχολα ότι δεν είχε νόημα να καλούνται εξηντάρηδες να κρίνουν

όπου

Bohr έλαβα ν αρ.

•

νονταν τα ιερά τέρατα της κλασικής

reπtz και ο Ί'homson. Οι πατριάρχες της εmστήμης αντέδρασαν μάλλον

Bohr

Οι υποθέσεις του

Bohr ήταν

2 π ιι,

h είναι η σταθερά του Planck.

Αν συνδυάσουμε την ανωτέρω σχέ· ση με τον τύπο για την ενέργεια ε· νός ηλεκτρονίου που εκτελεί κυκλι· κή τροχιά γύρω από πυρήνα ατο μικού αριθμού

κόμη φοιτητής στο Πανεmστήμιο τ-ου

τις μοντέρνες ιδέες. Η κα τάσταση

Καίμπριτζ, μελέτησε την ταλάντω

βελτιώθηκε μόνο αφού ο

ση υγρών πιδάκων με σκοπό να με·

σίευσε αρκετές εργασίες σε επιστη·

τρήοει το συντελεστή επιφανειακής

μονικά περιοδικά. Ο σερ

τάσης. Αυτή η εργασία τού απέφερε

ήταν ο πρώτος που υποστήριξε τις

ένα χρυσό μετάλλιο. Αφού ολοκ.λή ·

ιδέες του

ρωοε τη διατριβή του για το δίπλω

σε την ευφυέστερη, γονιμότερη και,

μα •μάστερ•, η οποία είχε ως αντι

υποθέτω, την πεισ>;ικότερη εξήγηση

κείμενο την ηλεκτρονική θεωρία των

για τις σχt\οεις που παρατηρούνται

μετάλλων

στις φασματικές γραμμές.~

καταλήγουμε στον περίφημο τύπο

1911 απέδειξε ότι ήταν

Όπως επισημάναμε, η ιδέα του Planck σχετικά με τη διακριτή (κβο·

τ.ου

αδύνατον να οικοδομηθεί μια θεω

ντική) φύση της ενέργειας των ατό·

ρία για τις μαγνητικές ιδιότητες της

μων έγινε αποδεκτή στα μέσα της

ύλης αποκλειστικά στη βό.οη των κλασικών απόψεων.

δεκαετίας του

(1909), ο Bohr έστρεψε τις

προσπάθειές του στο διδακτορικό τ.ου

δίπλωμα. Το

Bohr δημο

James Jeans

Bohr: ·Ο δρ Bohr μάς έδω·

1920

ze' = mυ' - ....:,.;,_ 2

4πε0 ι·

και με τον δεύτερο νόμο του Νεύ. τωνα

mυ 7

r Bohr

.r.c2 =4πε0 r 2 '

για την ενέργεια ενός η.

λεκτρονίου σε ένα άτομο:

μαζί με την α·

ντίληψη του ΑΙνστ.άιν για την κβα.

Αφού υποστήριξε τη διδακτ-ορική

ντική δομή των ατόμων. Ποια ήταν

Αυτή η &νέργεια είναι κβαντωμέ

διατριβή του, μετέβη στο Καίμπριτζ

η συνεισφορά του Bohr; Πρώτα απ' όλα, προώθησε την ιδέα ότι rφέαει

νη και λαμβάνει ένα σύνολο διακρι

γαστήριο του Thomsoπ. Εκεί, τον Ο · κτώβριο του 1911, εi)(ε την ευκαι

να απορριφθεί το κύριο συμπέρασμα

ακεραίους

της κλασικής ηλεκτροδυναμικής πε

ψε ότι •Οι διάφοροι αριθμοί

ρία να συμμετάσχει στην παραδοσια.

ρί του συνεχούς χαρακτήρα της η

στοιχούν σε σειρά τιμών Ε., οι ο

σιακή συγκέντρωση του εργαστη

λεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που

ποίες σχε1'ίζονται με τις διάφορες δι.

ρίου Caνendίsh μαζί με τον

Ruther-

εκπέμπουν τα ηλεκτρόVΊα καθώς πε

στάξεις του συστήματος όπου δεν

ο οποίος και τον προσκάλεσε

ριφέρονται γύρω από τον ατομικό

εκπέμπεται ακτινοβολία, οπότε και

να εργαστεί στο εργαστήριό του σ το

πυρήνα. Εις aντικατάστασιν αυτιiς

θα μείνουν αμετάβλητες ώσπου τ.ο

για να εργαστεί επί ένα έτος στο ερ

ford,

τών τιμών που αντιστοιχούν στους

n = 1, 2-, ....

Bohr &γρα •

QUANTUMI ΑΝΑΔΡΟΜΕΙ

αντι.

σύστημα να υποστεί κάποια εξωτε ρική διαwραχή•. Είναι ενδιαφέρον πως, το

1913, ο

Bohr ακολούθησε τη συμβουλή ενός συναδέλφου και συνέκρινε τον τύ πο του με την εξίσωση των

και

Balmer

Rydberg (αγνοοiισε αυτό το επί

ση γΙα τΙς aξΙοσημείωτες σχέσεις α

σπαθήστε να επαναλάβετε μόνοι σας

νάμεσα στις φυσικές καΙ ttς χημι

την πορεια των σκεψεων του.

κές Ιδιότητ-ες των στοιχείων, 01 ο ποίες εκδηλώνονταΙ στον περιοδΙκό πίνακα του Meπdeleeν."

Η αρχή της αντιστοιχίαc;

Θεωρία και πείραμα Μπορούν άραγε κάποια πειρσμα

τ1κό δεδομένα να εmρρώσουν ένα θεωρη-ι;ικό συμnέρασμα; την απά

Παρ' ό-ι;ι απέρρΙψε την κλασική

τευγμα της φυσικής των φασμάτων).

. .

ντηση τη δίνει μια ρήση τ.ου Αϊν

πρσσnα

στάιν: •Ποτέ ένα πείραμα δεν θα πεΙ

όροι R Ι n• κα.Ι RΙ m• ήταν α ν άλογοΙ

θούσε πάντα να ανακαλύψεΙ μΙα γέ

"ναι" σε μια θεωρία. Στην καλύτε

προς την ενέργεΙα του ηλεκτρονίου

φυρα ανάμεσα στη νέα καΙ -ι;ην πα

ρη περίπτωση λέεΙ "ίσως'', ως επί το

σε δΙάφορες φασματικές καταστά

λα1ά θεωρία· έτσι, το

1912 διατύπω

πλείστον όμως ακούμε το κατηγο

σεις. Το επόμενο βήμα συνίστατο στην υιοθέτηση της παραδοχής ότι η

σε την περίφημη αρχή της αντΙστοι

ρημα-ι;ικό ''όχΙ".• Συνεπώς, η συμ

χίας. Σύμφωνα με την εν λόγω αρ

φωνία ενός πειράματος με μια θεω

μετάβαση του ατόμου από τη μια κα

χή, σε ορισμένες ορΙακές περΙπτώ

ρία δεν σημαίνεΙ τίποτε περισσότερο

τάσwση στην άλλη συνοδευόταν α

σεις μια φυσική θεωρία που βασί

από ένα •δεν αποκλείεται•, αν και

πό την εκπομπή ενός μοναδικού ε

ζεται στη γενίκευση και την περαΙ

η διαφωνία συνιστά αρνητική ετυ

νεργειακού κβάντου , από όπου και

τέρω ανάπτ;υξη κάποιας κλασικής

μηγορία. Το να σκεφτόμαστε, λοι

συνά γετα1 αμέσως ο περίφημος κα -

θεωρίας έπρεπε να οδηγεί σε αποτε

πόν, πόσα και η είδους πειράματα

νονας για τις φασματικες συχνοτη-

λέσματα ταυτόσημα με εκείνα που

πρέπει να εκτελεστούν γΙα να ελεγ

τες (το φίτο αξίωμα του

παράγει η παλαιότερη θεωρία.

χθεί μια θεωρία -όσο περισσότερα

υπέθεσε πως

Bohr

φασματικοί

Bohr):

ηλεκψοδυναμική, ο

Bohr

χίας έπρεπε να ερμηνευθεί με τον

τα πειράματα τόσο μεγαλύτερη η& μπιστοσύνη μας σ.η θεωρία- συνι στά πρακτική όχι καθ' όλα ασφαλή.

εξής τρόπο: Γ1α μεγάλους κβαντι

Ανά πάοα στιγμή μnορ.εί να ανακα

κούς αριθμούς

τα αηοτελέοματα

λυφθεί ένα νt.ο φαινόμενο που α

tης κβαντικής θεωρίας θα έπρεπε να

ντιφάσκει nρσς την επικρατούσα θε

συμπjπτουν ακριβώς με εκείνα που δίνει η κλαο ική προσέγγιση. Για πα ράδειγμα, για μεγάλους κβαντικούς

ωρία. Εάν το εν λόγω φαινόμενο δεν μπορεί να αποδοθεί σε κάποιο λάθος

αριθμούς, οι "αποστάσεις• που χω

πειράματος, τότε θα έπρεπε κανείς

να. Σύμφωνα με τη μαρτυρία του

ρίζουν δύο διαδο){lκά ενεργειακά ε

να διερω-ι;ηθεί σοβαρά μήrιως η θε

Heνesy, όταν ο ΑϊνστάΙν

nίπεδα στο άτομο του υδρογόνου εί

ωρία δεν είναι πάντοτε ορθή ή ακό

hv "ι -

111

Προκεtμένου για την ατομική θε =Ε

n• - ΕnJΙ'

ωρία του

Τούτη η σύμπτωση με ·τον τύπο

Baimer-Rydberg ήταν ιδεώδης, δΙότι επιβεβαίωνε τη συμφωνία της θεω ρίας του με τα πεφαματικά δεδομέ

George

Bohr,

η αρχή της αντιστοΙ

στο σχεδιασμό ή την εκτέλεση του

πλιy:ιοφορήθηκε την εντυπωσιακή ε

ναΙ πολύ μικρές (Σχήμα

πιβεβαίωση της θεωρίας ·ωυ

Bohr,

τέλεσμα αυτά τα επjπεδα να γίνο

έμεινε κατάπληκτος από το γεγονός

νται σχεδόν συνεχή. Κο ~αλήγουμε

ότΙ η συχνότητα της ακτΙνοβολίας

ετσι σε ενα ενεργειακο φα σ μα ου-

που συνηγορησαν υοερ της εγκυρο-

δεν εξαρτΙότ;αν από -ι;η συχνότητα

01αστικά ίδιο με το συνεχές ενερ

τητάς της, η θεωρία του

περΙφοράς του ηλεκψονίου σ.ο ά

γειακό φάσμα της κλασικής φυσι

δείχτηκε ατελής. Τωόντt, η συγκε

τομο: .τα μεγάλα μάτι α του Αϊν

κής. Σ-ι;ο άρθρο ·Για το φάσμα του

κριμένη θεωρία αδυνατούσε να εξη

σ.άιν άνοιξαν ακόμη περ10σότερο

υδρογόνου•, ο

γήσει τις διαφορές έντασης που πα

και είπε: "Εν τοιαύτη περιπτώσει,

σταθερά του

Bohr υπολόγΙσε τη Rydberg χρησιμοποιώ

ρουσίαζαν οι φασματικές γραμμές,

πρόκει ταΙ γ1α μια από τις μεγαλύ

ντας την αρχή της αντιστοιχίας. Προ-

καθώς και μερΙκές παραμέψους του ατάμου του ηλίου, το διπλαmασμό των φασματικών γραμμών και πολ

2),

με απο

τερες ανακαλύψεις στην Ιστορία!"• Στην εισαγωγή του στην εργασία «Δέσμευση των ηλεκτρονίων από έ ναν θε-ι;Ικά φορτΙσμένο πυρήνα., ο

μένη. Παρά τ;α πολυάριθμα πειράματα

•

Bohr απο

λά άλλα φαινόμενα. ΓΙνόταν όλο και

··· --·-··----- ··-· n » 1

μη και μήπως είναι εντελώς εσφαλ

σαφέστερο ότι υnέβοσκε κάποια εγ

έγραψε σχετικά με τον θεμε

γενής αντίφαση στΙς πρσσnάθeΙες να

λΙώδη ρόλο που διαδραμάτιζε η στα ·Μόνον η ύπαρξη του κβόντου της

συνδυαστούν δύο ασυμβiβαστα στο ι χεία -η κλασική φυσική και τα κβο ντικά αξΙώματα- σε ολόκληρη την

δράσης

εμποδίζεΙ τη συγχώνευση

έκταση -ι;ων φυσΙκών φαινομένων

των ηλεκτρονίων με τον πυρήνα και

και οχΙ μ ονο στις οριακες περ1πτω -

Bohr

θερά -ι;ου

PJanck

"-- - -- - n=2

στ;η θεωρία του:

f - - - -- - n=l

τη δημιουργiα ενός ουδέτερου σ ω

...

Από μόνο του αυτό το γε

γονός παρέχει μια εις βάθος εξήγη-

M.O.PfiOΣ I .Ο.ΠΡΙΛΙΟΣ 1999

Σχήμα

σεις.

Ί'α έ~;η

μαuδίου ουσιαστικά aπείρως μΙκρής μάζας

1926

καΙ

1927, 01 Erwin

Η συνέχεια σtη σελ.

72 "'

ΑΠΑΝΤ ΗΣΕ ΙΣ,

ΥΠΟΔΕ ΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Μαθηματικά Μ146

(διότι οι εφαπτόμενες που φέρουμε

Κ,

προς έναν κύκλο από ένα εξωτερι

σουμε αυτ<'ι το σημείο Ο (Σχήμα 2β).

κό ταυ σημείο είναι ίσες)

Έοτω όtι tα μήκος κδθε πλευράς rου

Η μορφή της δεδομένης nαράσm σης μας θυμίζει τον tύπο για την εφαπτόμενη του αθροίσματος δύο

= CA - ΑΕ + CB - BF = 2CA - ΑΕ- BF

γωνΙών. Ας θεωρι'ρουμε λοιπόν έξι

γωνiες α,, σt>

_, a0 οι εφαπτόμενες

των οποίων είναι ίσες με τους δεδο · μένους αριθμούς. Μπορούμε να υ· ποθέσουμε ό"tΊ -χ /2

rεφα

διαιρούν το τμήμα [α 1 , π+ a,l σε έξι τμήμαtα. Ένα τουλάχιστον από α υ · τά έχει μήκος το πολύ ίσο με π /6. Αν, για παράδειγμα, α1 - α, S π/6, η επιθυμητή αν~σότηtα nρακύπτει αν

θέσουμε χ .. εφα1 και y

= εφα,, διότι

--"- = εφ{α2 - α, ). χ -y

μα eχουμε

ΑΟ' - ΑΚ' = ΟΚ' = ΒΟ' - ΒΚ'. Συνεπώς,

+ 2hσφ2α + Rεφα

Rεφα.

ημ2α

ΑΟ'

- rεφα - Rεφα.

ΒΟ'- CO' = BL' - CL' = 45a' και

σφ2α) = (R + r)εφα.

ημ2α

C02 - Α02 = CM" - ΑΜ' = 225a2 - 30az.

Τώρα, αφού

Αν προσθέσουμε αυτέc; τις ισότητες.

l + Xy

Αν το μοναδικό τμήμα που δεν υπερβαίνει ω π/6 εiνω το τελευταίο (το [αιv κ+ a 1]), μπορούμε να θέσου •

1 y = εφα,

με .Υ= εφα ,

ημ2α =

και να χρησι

μοποιήσουμε την ταυτότητα εφα, εφ(π

2α

Μ14 7

= 1-

2ημΌ 2ημασυνα

βρίσκουμε ότι

+ a 1J.

συν2α

παίρνουμε

ημ2α

75a' + 45a' + 225a 2

ζητούμενο τρίγωνο.

h = R + r.

Διαπιστώνουμε ότι το σημείο Μ διαιρεί την πλευρά AC σε λόγο 23/ 7.

θα αποδείξουμε ότι οι κάθετες που

τα ύψος που

φέρουμε επί των πλευρών ταυ τρι

φέρουμε στη βόση ταυ και 2α τα μέ

γώνου στα σημεία Κ,

τρα μιας από τις παρά τη βόση γω

ντρέχουν στο ίδιο σημείο. Ας υπο

νίες ταυ. Τότε έχουμε (Σχήμα

θέσουμε ό.ι αυτό δεν συμβαίνει (Σχήμα 2αJ. θεωρούμε ένα τυχαίο

ΚΜ

•

ΚΑ + ΑΒ + ΒΜ rεφα + 2hσφ2α + Rεφα,

PQ = PC + CQ = CE + CF

30az = Ο,

z = 23a / 2.

ABC εiνω το

1):

απ' όπου βρίσκουμε

= εφα,

Μ 148

Ας υποθέσουμε ότι

- ΒΟ" = ΑΚ' - ΒΚ' = 75a2•

Παρομοίως,

Επομένως,

Μ συντρέχουν. Ας ονομά

τριγώνου ABC ισούται με 15a. Τότε, ΑΚ Q lOa, ΚΒ = 5a, BL = 9a και LC = 6a. θέτουμε ΑΜ = z, οπότε CM "' 15a - z. Από το πυθαγόρειο θεώρη

= PQ, έχου με

Αφού ΚΜ

< α 1 < α1 < - < α1 < n/ 2 < π +α,. Τα σημεία α2, ..,

rεφα

ημ2α

L και

και Μ συ

σημείο Ρ στο eσωτεριχό tαυ τριγώ -

νου που εχει ως κορυφες τα σημεια

τομής των καθέτων. Διαπιστώνου με ότι τα τρίγωνό μας μπορεί να κδνει μια μικρή περισ'tρΟψή περί το Ρ.

θεωρούμε ένα ισόπλευρα τρίγω-

νο

ABC και τα σημεία Κ, L, Μ στις

πλευρές του τέτοια ώστε να ισχύει

ΑΚ : ΚΒ = 2 : Ι και

BL :LC=3 :2.

Πρiπει να βρούμε σε ποια αναλογία

διαιρεί τα σημείο Μ την πλευρά AC Σχήμα

αν οι κάθετες nου φέρουμε επί των

nλευρών του φιγώνου οτα σημεία

Σχήμα

QUANYVII I AIIAHTHIEil. ΥΠΟΔ.ΕΙ::ΕΙΙ Κλl λΥΙΕΙΙ

πρωθυπουργός της Ιλλυρίας αντάλ λαξε

•

Σχήμα

Φυσική

Σχήμα

Η επίλυση τοιr προβλήματος δι ευκολύνεται αν χρησιμοποιήσουμε

.. ... . .

Φ146

. ..... .... . •

ένα σύστημα αναφοράς που κινεί

ται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ0

Μ149 μνει την ακμή ΑΒ του μοναδιαίου

κύβου ABCDA,Bι CιDι (Σχήμα 3 ) και ότι

w σημείο Α ανήκει στο πρώ•ο πολύεδρο και w Β σ.ο δεύτφο. Μπο ρούμε εύκολα να διαπισ.ώσοuμε όn

διαπιστώσουμε ότι η ακμή είναι ένα κανονικό εξάγωνο (Σχήμα 4β) και ο ζητούμενοι; υπολογισμός του εμβα δού είναι πλέον απλός.

φορετικό από τα άκρα της. Επiσης,

w επiπεδο αυτό πρέπει να τέμνει και την απέναντι ακμή, CιDι. Με άλλα λόγια, το σημείο

ανήκει σw πρώ

το πολύεδρο και το σημείο Cι σ•ο δεύ tερο. Αι; ονομάσουμε Μ και Ρ τα

μέσα •ων ακμών ΑΒκαι D,Cι , αντί στοιχα. Από το πυθαγόρειο θεώρη μα έχουμε ότι

Απάντηση: 1 ή 3 ~.

Μ150

ελαττώνεται, ώσπου να μηδενισtεί.

Κανείς σύνεδρος δεν αντόλλαξε περισσότερες από

198

χειραψίες. Ο

πρόεδρος •ης Ιλλυρίας δεν ρώτησε wν εαυτό του σχετικά με το πλή

θος των χειραψιών και επομένως οι απαντήσεις που έλαβε ήταν οι αριθ μοί Ο,

1, 2, ... , 197, 198. Ο έκανε 198 χειραψίες

σύνεδροι;

που

-θα τον

198 και

μπο

ρούμε να υποθέσουμε ότι ήταν πρό εδρος- αντάλλαξε χειραψίες με ό λους τους ουνέδροιις εκτός του πρω θυπουργού της χώρας του. Επομέ νως, όλοι (εκτός από τον πρωθυ

mστώνουμε, συνεπώς, ότι όλα τα ση

ποιιργό του) αντάλλαξαν τουλάχι·

μεία wυ διαστήματος ΡCι, εκτός του

στον

Ρ, απέχουν από το Α περισσότερο α

rιρέnει να είναι ο πpωθυπουργός της

πό

χώρας του συνέδρου

3/2

και έτσι το τμήμα αυτό πε

ριέχεται στο δεύτερο πολύεδρο.

λατηρίου που το άλλο άκρο του εί

κος του σκοινιού λαμβόνει τη μέγι

= ΒΡ = 3/2. Δια

και επομένως ΑΡ

μάζα nροσδεδεμένη σw ένα άκρο ε

στη τιμή του και κατόπιν αρχίζει να

ονομάσουμε σύνεδρο

ΑΡ' ΒΡ 2 ΒCι' + CιΡ' = ΒΒ ι1 + Βι C'1 + Cι Ρ2 = 1 + 1 + 1/ 4 = 9 / 4,

πό δα<;• τον κλέφτη. Σ' αιιtό το σύστη μα αναφοράς, το βαγόνι φοίνεται να εκτελεί ταλάντωση ακριβώς όπως μια

ναι στερεωμένο σε ακλόνητο στύλο (τον κλέφτη). Κάποια στιγμή, το μή

το επίπεδο rιρέιιει να .έμνει κάποια ακμή του κύβου σε ένα σημείο δια

5 m/s, παρακολουθώντας •κατά

δοχικές ακμές, μrιορούμε εύκολα να

Έστω ότι τ~ δεδομένο επίπεδο τέ •

χειραψίες.

.IJ~ ............ c Α

1 χειραψία.

Άρα ο σύνεδροι; Ο

Ακριβώς τότε,

βαγόνι χτυπό τον

κλέφτη με ταχύτητα υ0 που έχει κα

τεύθυνση προς τα δεξιά. Σw ακίνητο

βογοvιού ισούται με 2υ0• Γνωρίζου

με ότι οι ταχύτητες των δύο σωμά των συμπίπτουν μετά την κρούση,

επειδή ο κλέφτης βρίσκεται ξαπλω

μένος σw βαγόνι. Στη φυσική, τέ τοιες κρούσεις τις ονομάζουμε τε

λείωι; πλαστικές. Ο νόμος διατήρη σης της ορμής μάς δίνει αμέσως τον ζητούμενο λόγο των μαζών:

Μ· 2υ0

+ m · υ0 = (Μ + m) · 1,8ιι0 ,

απ' όπου καταλήγουμε στο αιιοτέ λεσμα Μ=

198.

Αν αφαιρέσουμε αυτή την αντι

συστημα αναφορας, η ταχυτητα του

4m.

Φ147

Παρομοίως, μπορού με να αποδεί

προσωπεία και όλες τις χειραψίες

ξουμε ότι το τμήμα ΡDι περιέχεται

που αντόλλαξε, αντιμετωπίζουμε

Ο απλούστφος τρόπος για να λύ

στο πρώτο πολύεδρο. Άρα το δεδο

την ίδια κατόσταση όπως στην αρχή

σοιιμε το πρόβλημα βασίζεται σw νό

μένο επίπεδο διέρχεται από w Ρ. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι δι

wυ συλλογισμού μας, αλλά με

μο διατήρησης 'tης ενέργειας. Η

πλέον χώρες. Αν σκεφτούμε όπως

κινητική ενέργεια ενός τροχού που

έρχεται από το Μ. Το ίδιο θα ισχύει

και προηγουμένως, βλέπουμε ότι οι

κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) με

για κάθε ακμή του κύβου που τέ

σύνεδροι που αντάλλαξαν Ο και

ταχύτητα υ δίνεται από την έκφρα

μνει το επίπεδο. Άρα, w επίπεδο πρέ

χειραψίες (ήταν οι σύνεδροι ι και

πει να διέρχε•αι και από το κέντρο

197 της αρχικής κατόστασηι;) προέρ ·

196

οη

mυ2 + Μυ 2 + --::.,::.._ Μυ'

του κύβου. Ας θεωρήσουμε τώρα μια έδρα wυ κύβου nov .έμνεται από το δεδομένο επίπεδο. Αν το επίπεδο τέ

σκουμε ότι ο σύνεδρος

δεν έχει

Οι δtJo τελευταίοι όροι παρ ιστό

μνει δύο απέναν•ι ακμές αυτής της

ταίρι. Αφού ο κατάλογος ποιι εξετά

νουν την κινη<ική ενέργεια λόγω

έδρας, θα διέρχεται από τα μέσα τους

ζουμε περιέχει όλους τους συνέ •

μεταφορικής κίνησης της ο·rεφόνης

και η τομή είναι ένα τετράγωνο ό

δροιrι; εκτός του προέδρου της Ιλλυ ·

-η οrιοία έχει μάζα Μ- και την ε

μοιο με την έδρα wυ κύβου (Σχήμα

ρίας, ο σύνεδροι;

νέργεια της περιστροφής της γύρω

4α). Αν το επίπεδο τέμνει δύο δια-

πουργός της Ιλλυρίας. Επομένως. ο

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

χονται από την ίδια χώρα. Αν συ νεχίσουμε με τον ίδιο τρόπο, βρί

είναι ο πρωθυ ·

από <ον άξονά της.

-2 .

Όταν ο ιροχός δΙανύεΙ απόσταση

μημένες ομοιογενώς σε ένα ι m• αέ

L κατεβαίνοντας το κεκλψένο επί

ρα, καλύπτουν (κατά προοέγγ tοη)

πεδο, το κέντρο μάζας του κατέρχε

εnιφάνεtα εμβαδού

τα1 κατά

~ Lουνα. Η προκύπτου

γκεκρψένη εκτίμηση δεν λαμβάνε

σα μείωση tης βαρυτικής δυναμtκής

ταΙ υπόψη πtθανή μερική εntκάλυ ·

ενέργCJας ΙσούταΙ με την αύξηση της

ψ η των σταγόνων· ωστόσο, η παρά· βλεψη αυτού ~ου ενδεχομένου δεν

κtνητΙκής ενέργεΙα<;:

(.111 + m)gLημα = Τ + Μυ',

Εφόσον η ορατότητα ανέρχεταΙ σε

2(Μ + m)gLημα

2M+m

10 m, 01 σταγόνες .

ρΙγράφεταΙ από τους τύπους υ = γι

και L = yt' /2, 01 οποίοΙ μας εmφέ πουν να υπολογίσουμε την επηά • χυνση y του κέντρου μάζας

θογώνΙο παραλληλεπinεδο με βάση εμβαδού Ι m1 και μήκος 10 m πρέ

ΙΙει να καλύπτουν εμβαδόν Ι m • Το

ρtέχεt

200 m,

νεπώς. ισχύει η εξίσωση

200m =-ht = 2·3.6008 Ξ 0,028 m/s.

Εtοάγοντας αυτό το αποτέλeομα

στον τύπο <21, βρίσκουμε αμέσως την ακτίνα των σταγόνων:

R = J 0•0~

ιοπnR = ι mΌ n:

ταΙ από τη συνισταμένη ι.ων δυνά

ι 4πR

Ξ 1,7 . ι ο_, m .

rtεr να υπολογίσουμε το

Τώρα, η εξίσωση (1) μας εοιφέ

Η εν λόγω επtτάχυνση καθορίζε

η ταχύτητα των σταγόνων

ισού ταr κατά προσέγγιση με

Ο\αγόνcς,

οουμε την τιμή τού

μεων που ασκο(ινται στον τροχό. Δύο

ότι το αρχικό της ύψος ανέρχεται σε

01 οποίες κα λύΙΙτοuν εμβαδόν ίσο με \Οnιι/f. Συ

I On

(2)

Δεδομένου ότt για να καιακαθί σει η ομίχλη απαιτούνταΙ 2 ώρες και

συγκεκριμένο ιιαραλληλεπfrrεδο nε

η οnοία μας επtιρέπεt να οροσδιορί

(Μ+ m)gημα

2Μ + m

μέσα σε ένα ορ

Η ομαλά επΙταχυνόμενη κίνηση του κέντρου μάζας του τροχού nε

Υ=

τως ή άλλως, έχει προοεγγtοιtκό χα ροκτήρο.

α rrό tην οποία βρίσκουμε

υ=

tσ τελtκό αποτέλεσμα, το οποίο. ού ·

Ff, βρίσκουμε

R• = ~4,3υ Ξ ~ m•. 4 ινν ~

S = rrnlf. Στη συ ·

αναμένετω να επηρεάσει συοtωδώς mυ~

Λύνο,•ιας ως προς

•.

(1)

1 10 · 3,14 · 1,7 2 · 10~

=11' · ι ο• .

Φ149 Σύμφωνα με την εκφώνηση, η ι

Στον ανωτέρω τύπο υπεΙσέρχεται μtας

σχύς της πηγής είναΙ τετραηλάΟJα από την ισχύ του λαμιπ:ipα. Συνε

σταγόνας. Ας rtροσnαθήοουμε να την

πώς, η πτώση τάσης στα άχρα της α

φtβή καt η αντίστοΙχη συνιστώσα

11pοσδιορίσουμε. Στη σταγόνα ασκού

·rου βάρους. Όταν ο συντελεστής φι ·

ν ιαr δύο δυνάμεις: η σταθερή δύνα

ντiστασης ισούτω με τα

βής λαμβάνει την ελάχ:tσtη από τις

μη της βαρυτικής έλξης, προς τα

nμές γ1α ης οποίες είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσθηση, η δύναμη

κάτω, και η εξαρτώμενη αοό την τα·

δυνάμεις δρουν στον τροχό παράλ ληλα προς το κεκλΙμένο επiπεδο: η

η άγνωστη ημή

της tρtβής tσούταt απλώς με το γΙ

R της ακτίνας

χύtητα της σταγόνας δύναμη tης α ντίστασης του αέρα, προς ια πάνω.

3/4 της τά

οης της πηγής, ενώ η πτώση τάσης

στο λαμπ.ίρα είναι μόνο το 1/ 4 tης Ιδιας nμής. Συνeπώς, εφόσον λα μπτ~ς και αντίσταση διαρρέονταΙ από το ίδιο ρεύμα, η πτώση τάσης σ τον πρώτο tοούται με το ι /3 της πτώσης τάσης κατά μήκος ιης δεύ

νόμενο της κάθετης δύναμης εni το συντελεστή τρΙβής. Συνεηώς, ο νό μος του Νεύτωνα γtα την κίνηση

Κατά την π1:ώοη της σταγόνας έρ

του κέντρου μάζας γράφεται με τη

νονταt. Μετά tη συγκεκριμένη στιγ ·

μορφή

μ ή, η ταχύτητα της σταγόνας παύει να αυξάνεταΙ και η σταγόνα πέφτει

γραφική παράο•αση του ρεύματος

με σταθερή ταχύτητα, την οποία

τήσει της πτώσης τάσης

μrtορούμε να προσδΙορίσουμε αν ε ξισώσουμε τη δύναμη της βαρύτητας

μιιτι'w>α (την Ι = (3 V)l(lOΩII, παίρ

με την αντίσταση του αέρα:

ντίο το1χη καμπύλη γΙα το λαμητή ρο στα 2,5 Α και στα 6 Α. Αυτές οι τιμές είναΙ προοεγγΙστΙJ<ές, κat η α κρίβειά τους εξαρτάται από την κλi

( Μ + m)gημα

μ(Μ + ιn )gσυνσ = <Μ

• ml y,

καt τελtκά

μ =

Μεφα

mg "

2M+m

4,3Rυ.

Εάν λάβουμε υπόψη μας όn η μάζα m μrας σταγόνας είναι !ση με

Φ148 Θεωρήστε τις σταγόνες του νερού ως ταυτόσημες αδιαφανείς σφαίρες ακτiνας R. Mta τέτοια σφαίρο έχει μετωmκή εηιφά,•εΙα (δηλαδή μέγΙ

οtσ εμβαδόν διατομής) s = πlf. Αυτό σημαίνεΙ ότι

χεταΙ κάποια στιγμή όπου 01 δύο αυτές δυνάμεις αλληλοeξουδετερώ

στ.αγόνες, κατανε-

(4 /3)πR"ρ, όπου ρ=

103

kg /ιn• η nυ •

κνότιιτα του νερού, η προηγούμενη

εξίσωση yράφεταt με τη μορφή

4 - πR'~ = 4,3Rυ.

τερης.

Εάν στα Σχήμα

χαράξουμε τη

που διαρρέεΙ την αντiσταση συναρ

V στο λα

νουμε μια εvθεlα που τέμνει την α

μακα του διαγράμματος. Δεν απο

κλείεται εσείς να .. διαβάσετε• ελα φρώς δtαφορετtκές ημές. Τώρα εί

μαστε έτοιμοι να βρούμε τη λύση. ΟΙ συνθήκες του προβλήματος ικανο ποtούνται εlτε γtα ρεύμα

2,5

Α, που

ανιtΟτοιχεί σε τάση πηγής

QUANτuM Ι ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ λΥΙΕΙΣ

Vι

=(! + 1 / 3) · (2,5 Α)· (10 Ω)

Υ+I +1

=33,5 ν,

a -

eiτe για ρεύμα 6 Α, οπότε η τάnη πη.

= ::.Υ_+....;χ::_ +::. 1, xy

γής είναι

y + x+l+l xy _ y +ι -

V, = 11 + 1/ 3)-(6 Α )· (10 Ω)

=80 ν.

y+:ι + l+xy

(y+ 1Jy

Φ150 Ας κατασκευάσουμε το είδωλο της σημειακής πηγής

κό ~οπτρο (Σχήμα

στο επίπεδο

5). Η πηγή S φω

τίζει το μεγαλύτερο μέρος της επι φάνειας της οθόνης. Αντιθέτως, οι ακτίνες οιιό το φανταστικό είδωλο

Sι (με άλλο λόγια, το φως που α νακ.\όται οπό το κάτοmρο) τέμνουν ης α κ τίνες της πηγής

μόνο στην

περιοχή ΑΒ. Ας εισαγάγουμε τους

συμβολισμούς ΑΒ = b και AC =

(y+l)( x+l)

(y+l)y

Επομένως,

a. =a,.

x+l = -Υ

Παρομοίως α

χρωματίσουμε nς πόλεις μι: δύο δια

Σ147 ρούμε να τοποθετήσουμε τον ένα ν

κύβο μέσα στον άλλο, έτσι ώστε να

L-b

από τις οπο!ες προκύπτει το αποτέ λεσμα

h•

κη κορυφή του πρώτου συ μπέσει με

λευκές. Αυτές όμως είναι μόνο

τέοοερις μαύρες κορυφές του δεύ τερου θα συμπέσουν με μαύρες κο ρυφές του πρώτου). Στο Σχήμα 6

βλέπουμε ότι μπορούμε να μοφά σε δύο τετράδες, έτ01 ώστε η από σταση μεταξύ δύο κορυφών που α

b b Ξ 16,7 cm. 1+ -

Σπαζοκεφαλιές Σ146 Έστω ιι, • χ και

a, = y.

νήκουν στην !δια τετράδα να ισού τα ι με τη διαγώνιο μιας έδρας του

κύβου. Εάν λοιπόν χρωματίσουμε λευκές τρεις κορυφtς του κύβου,

Τότε,

y+1 a, = ::.....:..= χ

φορεnκά χρώμα τα (λευκό και μαύ ρο), όπως στο Σχήμα 7. Έχουμε 12 μαύρες πόλεις και 10 λευκές και, καθώς ταξιδεύουμε στους δρόμους, τα χρώματα εναλλάσσονται. Επομέ νως, αν επισκεφτούμε και τις

οουμε nς οκτώ κορυφές του κύβου

Το ζητούμενο είναι αδύνατο. Ας

συμπiπτουν δύο λευκές κορυφές του πρώ ~ου με δύο λευκές κορυφές του δεύτερου (ακόμη κι αν η τρίτη λευ

μαύρη του δεύτερου, οι υπόλοιπες

κορυφών θα συμπέσουν.

= 1999.

Αrιό uι όμοια τρίγωνα παiρνουμε ης σχέσεις

και

τους. Τότε, τέσσερα ζεύγη μαύρων

Σ148

Αρκεί να αποδείξουμε ότι μπο

L-b-d -= Η z- b

ΙΙοδεικνύοuμε ότι 8 1 ., a2 , και γενι κά η ακολουθία μας είναι περιοδι κή, με περ!οδο 5. Συνεπώς, ~ = a,

b+d

Σχήμα

τουλάχιστον δύο από αυτές θα ανή κουν στην !δια τε φάοο και άρα θα απέχουν μεταξύ τους απόστασ η ίση με τη διογιJινιο μιας έδρας. Επιθέ τουμε τον έναν κύβο στον άλλο, έ

τσι ώστε να συμ11έσουν αυτές οι

λευκές κορυφές με τις αντίοτοιχές

μαύρες πόλεις, πρέπει υποχρεωτικά να περάσουμε α11ό 11 τουλάχιστον

10.

Σ149 Η ελάχιο τη τιμή τού n είναι 15. Πρώτα αποδεικνύουμε ότι με δεκα. πέντε κόριες μπορούμε να βρούμε το επΙθυμητό ζεύγος. Ας υποθέσου . με το αντίθετο. Τότε οι κάρτες με τους αριθμούς 1 και 15 πρέπει να α

νήκουν σε διαφορετικές στοίβες και το ίδιο 10χύει γΙα τις κάρτες 1 και 3. Επομtνως, οι κάρτες 3 και 15 α . νήκουν στην ίδια στοίβα. Συνεπώς, οι κάρτες β = 9 - 3 και 10 = 25 - 15

βρίσκονται στην άλλη στοίβα, και αυτό έρχεται σε αντίφαση με την υ πόθεσή μας -δΙότι 6 + 10 16. θα αποδείξουμε τώρα ότι μnορού. με να μοιρόσουμε δεκατέσσερις κάρ τες σε δύο στοίβες, έτσι ώστε το ά .

θροισμα ενός οποιουδήποτε ζεύγους καρτών από την ίδια στοίβα να μην

είναι τέλειο τετράγωνο. Ιδού ένα πα.

ρόδειγμα: Ι, 2, 4, β, 9, 11. 13 (η πρώ τη στοίβο) και 3, 5. 7, 8. 10, 12. 14 (η δεύτερη στοίβα Ι. Αν το πλήθος των καρτών είναι μικρότερο του 14, με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να τις

s a 8

s Σχήμα

5 MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1999

μοιράσουμε σε δύο σ τοiβες.

Σχήμα

Σ150 ΊΌ νερό aρχίζει να βράζει όταν η

c......

θερμοκρασία του (καθώς και του χαρτιού) φτάσει στους Ιοο•c. Στη

συνέχεια, η ενέργεια από τη φλόγα του κtριού δαπανάται για την εξαέ

οου του ασκούν τα μόριο τα οποία

......

·--~---·· ι i.······'• · •

συγκρούονται μαζJ του . •

..... .ι ....... •4t .........•.•.... • •Β •••

16.

rια μικρότερες πυκνότητες

των αερίων. αυξάνεται η μέση ελεύ θερη διαδρομή των ηλειπρονiων που

ρωση ιου νερού. Η διαδΙκασία α υ

ιονίζουν το άt:ομο, οπότε τα ηλε

τή λαμβάνει χώρα σε σταθερή θερ μοκραοiα ι η οποία όμως είναι

Σχήμα

πολύ χαμηλή για να αναφλεγεί ιο

γωνiα ίοη με την ορχική γωνiο ε

ρισσότερη κινητική ενέργεια σε μι·

χαρτι.

κτροπής της δεξιάς σφαίρας. Στη

ιφό-u:ρες τάσεις. Αυτή η ενέργεια

δεύτφη περίπτωση, η πρόσκρουση

καταναλώνεται στον ιονισμό των ο

των δύο σφαιρών σ τα δεξιό επιφέ •

ώμων στη διάρκεια των κρούσεων ανάμεσα σε κάποιο άτομο και ένα

αντίθεση με την κροιίση μεταξύ χό

ρει την ανάκρουση δύο σφαιρών στο αριστερό. Παρομοίως, η πρόσκρουση τριών σφαιρών στο δεξιό έχει ως α·

λυβα και ασφάλτου, η οποία μπορεί

οοτέλεσμα την ανάκρουση τριών

διεγερθούν εάν αποκτήσουν πρό

oo-c,

Καλειδοσκόπιο 1. Η ιιρούοη μεταξύ χάλυβα και μαρμάρου είναι σχεδόν ελαστική, σε

κτρόνια μπορούν να οποκ τήσουν nε •

ηλεκτρόνιο που έχει επιταχυνθεί.

17.

Τα άτομα είναι δυνατόν να

να χαρακτηριστεί σχεδόν τελείως

' σφοιρων

πλαστική.

ματίδια που έχουν μεγάλες ταχύτη

τωση της ορμής του εύθραυστου α

9. Η μπάλα θα αναπηδήσει οπό το πρίσμα κο τά την οριζόντιο διεύθυν • ση κοJ εν συνεχεία θα διαγράψει οα •

ντικειμένου συντελείται οε μεγα

ρσβσλική τροχιά.

ται κατά προσέγγιση με τη μάζα του

λύτερο χρονικό διάστημα, πράγμα

10. Όσο περισσότερο φουσκώνου • με μια μπάλα τόσο ελοοιικότερη yί •

πρωτονίου. Επομένως, ένα νετρόνιο

2. Στη δεύτερη περίπu.χιη, η ελάτ

που σημαίνει ότι ασκείται μικρότε

σθετη ενέργεια σε κρούσεις με σω •

στα αριστερο.

σκεί ένα aντιαρματικό βλήμα είναι

νετοι. Ένα λάκτισμα ηροαδίδει λι • yότ&ρη ορμή σε μια μη ελαστική κρούση ο αρά oc μια ελαστική. Συ

εξαιρετικό μεγάλη, δρο για ελάχιστο

νεπώς, δεν μπορούμε να σουτάρου

χρόνο. Ως εκ τούτου, η ώθηση στο λεωφορείο υπολείπεται κατ~ πολύ της ώθησης που παράγουν μερικοί

με μια όχι καλά φουσκωμένη μnά

άνθρωποι σπρώχνοντας για με γα

και οmσθοχωρώντας ελαφρά, σ κα

λύτερο χρονικό διάστημα.

λοθοσφαιριστής παρατείνει την ε·

ρη δύναμη στο αντικείμενο.

3. Μολονότι η δύναμη που α

λα πολύ μακριά. Χαλαρώνοντας τα χέρια του

11.

πρόκειται για επικίν

mβράδυνση της μπάλας, εmτυyχά

δυνη εniδειξη. Η εmτάχυνση που α

νοντας με αυτό τον τρόοο την εξο

ποκτά ένα βαρύ αμόνι κατά την ε

σθένηση των δυνάμεων.

4. Όχι, δεν

λαστική κρούση του με μια βαριο

12. Ένα

Συνεπώς, σιον αθλητή δεν ασκείται παρό ελάχιστη δύναμη.

την ταχύτητα.

5. Ο μόλυβδος. 6. Έπειτα από μια βολή, το αναρ

Το κέντρο μάζας της οβίδας

13.

18.

Η μάζα του νετρονίου ισού

χάνει περισσότερη ενέργεια σε μια κρούση με ένα άτομο υδρογόνου πα ρά με ένα άτομο μολύβδου.

Μ~~tροnειραμα aσμοί Όταν η μεγάλη μπάλα ανακλά ται από το δάπεδο, χτυπά τη μικρή

μπάλα και της ιιροσδίδει ένα μέρος της ορμής της και ιης κινητικής της

ενέργειας. Ως εκ τούτου, η μικρότε ρη μnόλα θα αναπηδήσει σε ύψος μεγαλύτερο εκείνου από ιο οποίο ρί χτηκε αρχικά.

Στο ερyαcπnριο

σημαντικό χαρακτηριστι

κό έγκειται στο γεγονός όn δεν υ πάρχει ι:ξάρτηση της δύναμης οπό

πούλα είναι ουσιαστικά μηδενική.

τες.

Το πείραμα επιδεικνύει σαφώς τη

φυσική της διαδικασίας του βρα ομού. Ο βρασμός αρχίζει όταν η τόση κορεσμένων ατμών που αντισιοιχεί

κινείται με την ίδιο ταχύ'τφ;α πριν

στη θερμοκρασία του υγρού εξισώ νεται με την πίεση που επικρατεί στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

μένο. Συνεπώς, η σφαίρα αποκτά

από την έκρηξη και έπειτα από α υ · τήν (το σημείο C στα Σχήμα 10). Συ νεαώc;, θα ακολουθήσει την ίδιο π.α

μικρότερη κινητική ενέργεια στην

ροβολική τροχιά rιου θα διέγραφε η

οι φυσαλλ!δεc; που εμφον!ζοντοι στα

πρώτη περίπτωση· συμπεραίνουμε

οβίδα εάν δεν είχε εκραγεί. Δεδομέ

υγρό δεν καταρρέουν. Αντιθέτ-ως,

λοιπόν ότι το βεληνεκές είναι μι

μεγαλώνουν, ανέρχονται στην εm

κρότερο για το αναρτημένο τουφέ

νου ότι το δύο θραύσματα έχουν ί • οες μάζες. θα κινηθούν συμμετρικά

ιu.

ως προς την παραβολική τροχιά του

ρηθεί έντονος βρασμός, απαιτείται * • • •

τημένο τουφέκι έχει περισσότ~η ε νέργεια οπό το ακλόν ητο στερεω

7. Όταν βάλλει το μπαζούκα, η

κέντρου μάζας. Συνεπώς, ιο δεύτε

ώθηση ιης ανάκρουσης δεν μεταφέ

ρο θpαύσμα θα πέσει στα σημείο

ρεται στο όπλο (και κατόπιν στο χει

όοου

ριστή), αλλά στα καυσαέρια που δια φεύγουν κινούμενα σε αντίθετη κο τεύθυνοη από το βλήμα.

8. Μετά

την πρόσκρουση μίας μό

νο σφαίρας στο δεξιό, η πρώτη εξ α

ριστφών σφαίρα θα εκτραπεί κατά

BD ·

14 .

ΑΒ.

Όταν ικανοποιηθεί αυτή η συνθήκη,

φάνεια και σκάζουν. rιο να συντη συνεχης παροχη ενεργειος. η οποιο

οναπλιpώνει την ενέργeιο που δα πονάται λόγω της ενταnκής εξαέ

Η κίνηση των μορίων πα·

ρεμποδίζεt:αι οπό τις μεταξύ τους

ρωσης.

Πλησίον της ελεύθερης εmφάνει ος του νερού στο δοκιμαστικό σω

κρούσεις.

Οσο μικρότερη είναι η επιφά

λήνα, η διοδικαο!ο του βρασμού ορ •

νεια ενός σωματιδίου τόσο λιyότε ρο εξισορροπημέν η είναι η ώθηση

χίζει στους ιοο•c περίπου, όταν η

15.

τόση των κορεομένων υδρατμών ε-

OUANTUM I ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕιΣ

ξισώνεται με την πίεση ταυ περtβάλ

Συνέχεια από rη σελ.

λοντος αfρα (περίπου 10 N / cm'). Ο ταχύς βρασμός απομακρύνει σχεδόΥ όλο ταν αέρα από το σωλήνα, οπό τε, μειό τον πωματισμό ταυ, ο δο Ι<Ιμαοτικός σωλήνας δεν περιέχει

σχεδόν τίποτε άλλο εκτός από τα υ πολεmόμενο νερό και τους κορε

σμένους υδρατμούς πάνω από αυτό. Ό~αν καταβρέξουμε με κρύο νερό το δοκψαοτικό σωλήνα, μειώνεται τόσο η θερμοκρασία όσο και η πίεση των υδρατμών. Επομένως, η πίεση στην επιφόνεια του νερού μειώνε

ται επίσης, ενώ η θερμοκραοiα του δεν προλαβαίνει να μεταβληθεί αι σθητά. Έτσι, η πίεση στην εmφόνεια του νερού γίνεται χαμηλότερη από την τόση ιων κορεσμένων ατμών που αντιστοιχεί στη θερμοκρασία του, με αποτέλεσμα να επαναλη φθεί ο βρασμός. Η ενέργεια που δα

Σχήμα

τους. Τέλος, σκάβαυμε μία λεt<άνη στο εσωτερικό κάθε χώρας με πλα γΙές που συγχωνεύονται ομαλά με ttς πλαγιές των αναχωμάτων. (Ένα τέτοιο τοπίο για το χάρτη τσu Σχή ματος 10α παρουσιάζεrοι στο Σχή μα ιφ.) Εφαρμόζουμε το θεώρημα

1, και η απόδειξη αλοκλφώθηκε. ΠΟΡΙΣ.\Ιλ. Α ν ένας πο.1ιnκός χάp rης εnf μιας σφαiρας έχει ισυλάχι

την ψύξη του νερού. Έπειτα από λi

σrον rpeις χώρες και ικανοποιεί nς συνθήκες (β) και ( y ) rου θεωρήpα <ος 3, cόιε ισχύει όtι

γο, η θερμοκρασία του νερού πέφτει

Χ+Κ-Σ = 2.

πανόrοι στσ βρασμό προiρχεται από

(η rιίεση στο δοκιμαστικό σωλήνα αυξάνεται), οrιόιε παύει και ο βρασ μός. Καταβρt\χονιας εnανειλημμένα

σωλήνα, πρώτα με κρύο και έπειτα με rιαγωμtνο νερό, επιτυγχάνουμε

να μειώσουμε βαθμιαία τη θερμο κρασία ιου νερού και των κορεσμέ νων υδρατμών. Τελικό, η nieση στο σωλήνα κοθίσrοιοι εξαιρετικά χα

μηλή !στους OOC η πίεση των κορε σμένων ατμών είναι σχεδόν 17 φο ρές μικρόtερη από την ατμοσφοψική πίεση). rια να το αποδείξετε, αρκεί

να αφαιρέσετε ro πώμα του δοt<Ιμα στικού σωλήνα -4!α ακούσετε τον αέρα να εισορμά στο σωλήνα. Υπάρχει ένας ακόμη, πολύ ελκυ στικός, τρόπος για να αποδείξετε ότι πάνω από το νερό έχει δημιουρyη θεί σχεδόν •κενό•. Κρατήστε το σω λήνα κατακόρυφα και ανακινήστε

τον δυνατά πάνω-κάτω. θα ακού σετε ένα ν ασυνήθιστο ήχο, σαν να υπήρχε κάποια στερεά ουσiα στο σω

ΑΠΟΔΕΙΞΉ. Ας θεωρήσουμε τη μια από τις χώρες ως θάλασσα και την υπόλοιπη σφαfρο ως νησί. Τότε μπο

ρούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα 3, από όπου έπεται αμέσως το ζη τούμενο αποτέλεσμα.

Είμαστε πλέον σε θέση να απο δείξουμε το ηραηyούμενο θεώρημα. ΑΠ0ωΞ:Η ΊΌΥ θmΡΗΜλ'ΙΌΣ

2 (για

ένα τυχαfο κυρτό πολύεδρα). θεω ρούμε ένα σημείο Ο στο εσωτερικό του δεδομένου ηολ υ έδρα υ και μια

μεγάλη οφαlρα με κέντρο το Ο. Προ βάλλουμε ιο ttολόεδρο στη σφαίρα (η προβολή ενός σημεiου Χ ορίζεται ως το σημείο τομής της ημιευθείας ΟΧ με ιη σφαίρα). Με αυτό τον τρό

πο προκύπτει ένας σφαιρικός πολι τικός χάρτης στον Ottoίo οι χώρες και τα σύνορα είνα ι οι προβολές των ε

δρών και tων ακμών του πολυέδρου. Για να ολοκλφώσουμε την απόδει ξη, εφαρμόζουμε το ανωτέρω πόρι σμα σε αυτόν το χάρτη. Προβλήματα

λεrοι στην απουσία αέρα πάνω οπό το νερό, ο οποίος θα επιβράδυνε τψ άλλως ελεύθερη κiνησή του.

ι Διατυπώστε και απαδεiξτe ι

Συνέχεια από τη σελ.

&hrϋdinger και Werner Heisenberg, στηριζόμενοι στη θεωρiα του Bohr και σε rιολ υάριθμες πειραματικές και

θεωρητικές προΟποθέσεις, έθεσαν τα θεμέλια μιας συνεπούς θεωρίας της ατομικής δομής -της κβαντικής μη χανικής. Ποια τύχη εmφυλασσόταν στη θεωρία του Bohr; Μερικές από τις συνέπειές της, όπως οι κανόνες κβάντωσης

Bohr-Sommerfeld,

με

ταφά.πηιιαν σε οριακές περιπτώσεις,

όπου η σύγχρονη κβαντική μηχανι κή συναντούσε τη θεωρiα του Bohr. Η ιδέα της διακριτότητας οτσ ατομι

κό επίπεδο αποτέλεσε ιηv αφετηρία για περαιτcρω έρευνες πολλών επι στημόνων. Ιστορικό ενδιαφέρον, ό μως, παρουσιάζουν και άλλες όψεις αυτής της θεωρίας. Σ:iτμφωνα με τον

ΑΙνστάιν, η θεωρία του

Bohr είναι

•μουσική ύψιστης ποιότητας στον

κόσμο του πνεύματος•. Ο Rutherford έτρεφε επiσης υψηλή εκτlμηση για τις ερyασlες του Niels Bohr. -θε ωρώ ης εργασ ίeς του Bobr ως τον μεγαλύτερο θρίαμβο των rψοσπαθει

σχυρισμούς ανάλογους με τα πο

ών τσυ ανθρώπου.•

ρίσματα των θεωρημάτων

Το 1922 ο Bohr τιμήθηκε με το βραβείο Νομπέλ για •τη συμβολή ταυ στη μελέτη της α rομικής δομής της ύλης•. I)

1 καΙ 3

στην περίπτωση της επιφόνειας μιας σηεiρας \τόρου).

2. ΜΑΡτΙΟΙ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1999

με p λαβές• (στο Σ:χήμα 11 παροu σιάζεται μια σφαiρα με τρεις λαβές).

λήνα αντί για το νερό. Αυτό οφεί

Σχήμα

Κάντε το ίδιο για μtα •σφαίρα