編輯大意 一、本書取材自龍騰文化數學科多元選修 + 之教案，將其依照 108 課綱教科書的教學順序安排， 重新規劃課程進度。其中分為上下學期規劃，上學期以「數感閱讀超展開」規劃整個學期進 度，下學期以「賽局理論」以及「海食王」教案來設計授課計畫。 二、「數感閱讀超展開」的課程是以《超展開數學教室》以及《超展開數學約會》這兩本書為題材， 超展開系列是一套以數學為題材的小說。作者賴以威教授以高中的校園生活及上課場景為題 材，透過一群高中生和數學老師課堂及生活之中的對話，很自然地將我們熟悉的數學知識（包 含進位制、等差數列、內插法、機率、統計等），實際應用於生活情境並解決問題，呈現了 真實運用知識的學習表現案例，也和 108 課綱的精神不謀而合。 註 ：此教案可擴充為 36 堂課的跨國文領域教案，可與國文科一起開設。授課計畫、教案、學習單皆 完整提供。
三、「賽局理論」的課程介紹多種經典賽局，賽局的應用相當廣泛，小至個人，大至城邦，只要 是有不同的參與者為了自己的目標，而產生對立關係，即可稱為賽局。希望透過賽局課程， 讓學生習得分析、談判和決策的能力，在決策前可以先考慮各方的利害關係、分析利弊，以 作出良好的決定。 四、《海食王》結合海洋教育桌遊於數學課堂中，期望藉著這套桌遊引起學習者的學習動機，並 透過海洋議題的介紹引導學生認識與理解人類生存與發展所面對的環境危機與挑戰、理解人 為破壞對其他物種與棲地所帶來的生態不正義，進而能支持相關環境保護政策，並利用遊戲 中的規則機制，進行排列組合的相關問題討論，達到寓教於樂的效果。
1
教學進度表 —— 一套真正與教科書相互呼應的多元選修教案 1. 多元的學習歷程檔案產出 2. 培養學生持續學習的能力與習慣 3. 搭配教科書，不只是「學以致用」更可以「用以致學」 4. 更多教學計畫、教案、學習單，詳見龍騰「享備課」
第一學期 週別
1
2 3
日期 月
日
課程主題 《相見歡》 認識同學以及書中角色 《你說的話是幾進位》
4 5
《美感也是一種數學概念》
6 7 8 9 10 11
《看完電影為什麼要聊幾何平均數》
《分蛋糕是個邏輯問題》 《賽局愛情建議：主動出擊》
12 13 14 15
《展望臺上的約會數學》
《排唸書進度也需要數學》
16 17
《打工偷懶前請學內插法》
18 期末報告
2. 說明計分方式 3. 期末報告方式 進位制 黃金比例 搭配單元 1 實數 幾何平均數 搭配單元 1 實數
4
12
20
親和數、分配邏輯
27
賽局邏輯推論
34
圓方程式 搭配單元 8 圓與直線 一筆畫完問題 多項式線性內插法 搭配單元 9 多項式的除法原理
2. 可用 Youtuber 短片介紹 3. 以數學寫作方式呈現 學習歷程檔案產出
2
頁碼
1. 分組
1. 可將小說改寫劇本演出
19 20
備註
42
49
59
第二學期 週別
日期 月
日
課程主題
備註
頁碼
1
賽局理論（第一講）比賽開始
67
2
賽局理論（第二講）Nash 均衡
70
3
賽局理論（第三講）囚犯困境
72
4
賽局理論（第四講）金球遊戲
搭配網路影片
74
5
賽局理論（第五講）拍賣現鈔
搭配課堂活動
76
6
賽局理論（第六講）國際情勢
78
7
賽局理論（第七講）旅行者的困境
82
8
賽局理論（第八講）猜均值的三分之二
83
9
賽局理論（第九講）賽局推廣
84 1. 更多經典賽局介紹
10 賽局理論——期中報告 11
2. 賽局的生活應用 學習歷程檔案產出
12
《海食王》——關於環保的故事
13
《海食王》——大自然受害者
搭配網路影片
《海食王》——桌遊體驗活動
搭配第二冊單元 6 計數原理
14 15
搭配第二冊單元 7 排列
16 17
搭配簡報、網路影片
《海食王》——排列組合學習單討論
86
搭配第二冊單元 8 組合
18 1. 實踐環保專案分享
19 《海食王》——期末報告 20
2. 遊戲策略說明分享 3. 遊戲延伸設計報告 學習歷程檔案產出
3
你說的話是幾進位 要和學生拉近距離，就得離開講台，走入課桌椅之中。 去學校的路上，雲方默念螢幕上的句子。半小時後， 「老師不要偷看我傳 LINE 啦。」 「我、我才沒有咧！」 才一走近，欣妤就對著雲方大喊。 「欣妤妳好過分，上課時間玩手機還敢罵老師。」阿叉笑著說。雲方心想，這個阿叉，上週才說 我偷聽他講話，也半斤八兩啊！ 「老師對不起，可以請你給我點私人空間嗎？」 雲方嘆了口氣回到講台。今天的俄羅斯方塊是橫長條，除了欣妤在玩手機，其他人桌上都乖乖擺 著課本。但課本裡不只有 x、y、z 這些數學變數的英文字母，還多了不少英文單字、片語……。 等等，根本是英文課本啊！ 「明天全校英文測驗，老師讓我們自習吧。」 阿叉雙掌合十求情。學校除了段考、模擬考外，每學期各科還會有一次全校考試，考試成績前 五十名的「領先集團」和最後五十名的「迎頭趕上」都會被貼在公布欄上。 「老師∼∼要尊重學生在課堂的私人空間噢。」 欣妤邊說邊繼續玩手機。連她桌上也擺著英文課本，只有商商桌上放了張剪報。 「商商在看什麼？」 忽然被點到，商商全身抖了一下。 「啊！什麼，這、這是……時事題，我平常會整理報紙的英文新聞。」 「課本都複習完了？」 明明是數學老師的雲方卻好奇起學生的英文複習進度，阿叉搶在商商前面回答：「她不需要看課 本啊，老師你不知道嗎？商商在英文考試界裡，就像游泳界的菲爾普斯（Michael Phelps）。」 「國文科的菲爾普斯。」 「歷史、地理科的菲爾普斯。」 阿叉跟欣妤一搭一唱。 「不過，商商在數學界裡，大概就是梅森普．提柯（Masempe Theko）了。」 「誰？」 「非洲賴索托的奧運游泳代表，他們國家只有一座符合奧運的泳池。二○一二年倫敦奧運自由式 五十公尺預賽時，梅森普游了 42 秒 35，比第一名整整慢了 18 秒。18 秒噢，第一名都快游兩趟了。 但她堅持游完整趟的運動家精神，得到了全場鼓勵。」 「雖然成績不理想，但商商考數學都會堅持到敲鐘才交卷。」
4
欣妤補充說明，她跟商商同班。雲方這才想起菲爾普斯是綽號飛魚的美國奧運泳將，生涯獲得了 十八枚奧運金牌。 「商商文科這麼厲害嗎？」 雲方驚訝地提高音量，商商頭從往下 45 度變成 60 度，瀏海下的雙頰泛紅，一手把玩掛在鉛筆 盒上的趙雲公仔。雲方又問：「誰是學校數學最好的？」 「數學界的尤塞恩．柏特（Usain Bolt）嗎？」 「一定是孝和。」 雲方曾聽聞這位與日本和算大師關孝和同名的天才，據說班上只要有他，老師業績就會跳三級。 「要是這張加分金卡落到我們班就好了。」雲方幻想著。 「老師在說什麼金卡？」 雲方一愣，發現不小心說出了內心話，趕忙想辦法轉移話題。 「沒什麼。那個，英文界的菲爾普斯要不要跟大家分享一下妳的簡報……『全球化的英文 Globish』是什麼？」 商商彷彿認命似地接受了「菲爾普斯」這個綽號，她小小聲地說：「Globish 是一位法國人提出 的國際語言， 宣稱只要 1500 個英文字彙，便能完成日常生活溝通的全球化英語。以『姪子』為例， 英文叫做 nephew， 但在 Globish 裡稱為『the son of my brother』。」 「比 Nike 氣墊鞋還偉大的發明！這樣就不用背那麼多單字。」 「失業（unemployed）呢？」 「no job.」 「好棒噢！」 眾人討論起各種艱澀單字該怎麼用簡單的幾個單字描述。聽了幾個例子，雲方腦海裡出現一個影 子向他揮手。 「講同樣一件事，字數卻膨脹了，變得好長。」 欣妤的這句話，讓雲方腦海裡的影子頓時變得清晰…… 「進位，你們有聽過進位嗎？我們常用的是十進位，從 1 數到 9，再往下數就得用 2 個數字表示， 好比說，199 是一個 100 加上九個 10 加上九個 1。」 「本來就是這樣啊，難道還有不同的數法嗎？」欣妤反駁。 「有噢。好比二進位，十進位裡的 2，在二進位之中表示做 10，意思是一個 2 加上零個 1，念作 『一零』不是『十』。」 「蔡依林。」 雲方不理欣妤，繼續舉例：「60 秒為 1 分，60 分為 1 小時，就是六十進位。」 積木「噢∼」了一聲，臉上露出「怎麼以前沒想過」的表情。 雲方受到鼓勵，繼續說下去：「換句話說，e、112、1110，全部都是同一個數字——」 雲方頓了頓，公布答案：「14。e 是十六進位的 14，112 是三進位的 14，1110 是二進位的 14。」
5
積木高高舉起手，站起來發問：「老師，請問進位確切的意思是什麼呢？」 「X 進位的意思是指，1 個位元有 X 個不同的基本數字能用來表示另一個數字。我們暫且稱這些 基本數字為原子，二進位的每個位元只有 _0 , 1 i 這 2 種原子；十六進位除了 0 到 9 外，還有 a、b、c、 d、e、f 共 16 種原子。進位的計算過程是這樣的，以十進位來說。」 雲方在黑板上寫下一串式子 1 0 14 = 1 # 10 + 4 # 10
「是 1 個 10 與 4 個 1（10 的 0 次方）加起來的。」 「本來就這樣算的啊。」 欣妤不屑地說，覺得這是再理所當然不過的道理，幹嘛花時間講。 「對，這式子看起來簡單，卻蘊藏了進位知識的關鍵。」 雲方又寫下 2 1 0 14 = 9 + 3 + 2 = 3 + 3 + 2 # 3 2
1
「從這個表示法中可以看出，14 也可以寫成 1 個 9（ 3 ）加上 1 個 3（ 3 ），再加 2 個 1 0
（ 3 ）。因此三進位的 14 表示成 112。」 黑板上出現第三組關於 14 的等式， 3 2 1 0 14 = 1 # 2 + 1 # 2 + 1 # 2 + 0 # 2
「這式子解釋了，為何二進位中 14 表示成 1110。至於十六進位，因為 e 是第 14 個原子，僅需 1 個位元就能表示 14。」 雲方放下粉筆，轉身面對學生。 「從這邊可以看見一則道理：愈高的進位制，可用愈少位元表示同一組數字。積木你說，啊，坐 著就好。」 雲方伸手制止又要站起來發問的積木，積木點頭致意後，坐下來說：「請教老師，方才您提到的 道理是因為，高進位制有更多原子可用的緣故嗎？」 雲方點點頭說：「對，有更多原子可以用，每個位元就能表達更多數字。十六進位有很多原子， 所以只需要 1 個位元就可以表示 14 這個數字。相反地，二進位很少原子，因此需要 4 個位元才能表 示 14。」 雲方在式子旁畫了三張圖，都是從一個起點出發，有 14 個目的地，但中間的岔路卻長得不同。 他說：「我們可以這樣想像進位，從起點出發到 14 個目的地的其中一個，十六進位是平行展開 14 條路，從 1 編號到 e。二進位是將 14 條路分成 4 組兩兩岔路，走的時候會依續遇到這些岔路。想走 到十六進位的第 e 條路，得先走左側（1），再走左側（1），依然走左邊（1），第四次挑右側（0）。」 「二進位連舉例解釋都好囉嗦，怎麼會有人想用。」欣妤埋怨。
6
雲方指著欣妤的手機，說：「雖然二進位表示方法很複雜，但從另一個角度來說它卻是最簡單的。 例如，電流只有開與關，所以手機裡的運算都是二進位。只要能表示出 0 跟 1 就可以計算。」 「同樣的數字，二進位得用很多很簡單的 0 和 1 才能表示，跟 Globish 好像。」 商商難得主動發表意見。眾人紛紛安靜下來聽她說話。 「老師，文言文有許多艱澀的國字，但通常比較短。我們能不能這樣類比：古文看做十六進位， 現在的白話文是四進位。Globish 則是二進位制呢？」 雲方完全沒從這個角度想過，他覺得很新奇，此外，這還是跟國文界的菲爾普斯建立關係的大好 時機。他想了想，商商手中露出半個頭的趙雲公仔給了他靈感。 「可以。好比罵人，以前孔子只說『巧言令色，鮮矣仁』，夠精簡吧。《前出師表》是諸葛亮出 征前上書給劉禪，交付大小事物的重要文件。要是現在，這份報告肯定洋洋灑灑上萬字、10 份表格 3 份附錄、外加 2 頁參考文獻。但《前出師表》只有 760 字，還包括了一句感性結尾『今當遠離，臨 表涕泣，不知所云。』」 一聽到三國歷史，商商眼睛頓時發亮。她回答：「因為古代書寫技術不發達，寫字成本過高，人 們只好想辦法用能代表更多意思的單字嗎？」 「或許喔，但是高知識濃度的文章，就像烈酒一樣，不是每個人都喝得下去，限制了知識的普 及……」 兩個人愈聊愈起勁，沉浸在和學生的互動中的雲方沒注意到，加分金卡此刻悄悄地在後門現身 了。
進位制 進位可以解釋成「當數字大到某個程度後，就得多用一個位元表示」。十進位時，數字比 9 大 就得用第二個位元表示，二進位時，數字比 1 大就得要用第二個位元表示。 一個式子裡有不同進位時，以十進位的 14 為例，可以表示成 ^ e h = ^14h = ^112h = ^1110h ， 16
10
3
2
右下角的數字代表了進位，依序是 16 進位、10 進位、3 進位、2 進位。不同的進位有不同的 使用場合，日常生活中也不一定都只用十進位。好比說，一群人買飲料不是會畫正字符號嗎？ 五個人一個正字，正巧就是五進位。
7
數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：你說的話是幾進位 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 根據本文，哪句話引起雲方講解進位制的動機，點出進位制的何種特色呢？試說明之。
2. 如何定義進位制？
3. 在本文中，雲方畫圖解釋十六與二進位的差異，請大家回想之後，再陳述之。 進位制
十六進位
二進位
8
推論過程 / 比喻
結果
二、知識搜查線 （一）什麼是進位制？
（二）進位數制系統 二進位 (Binary)
八進位 (Octal)
十進位 (Decimal)
十六進位 (Hexadecimal)
意義
數字符號
（三）進位轉換規則 1. 十進位轉換成其他進位 以十進位 15.625 (10) 轉換成二進位為例
9
2. 其他進位轉換成十進位 以二進位 1101.101
(2)
轉換成十進位為例
3. 二進位轉換成 16 進位 以二進位 1111011.101
(2)
為例
4. 16 進位轉換成二進位 以 16 進位 1C2.A (16) 為例
10
三、綜合練習 1. 1 個「八進位」的數字可由幾個「二進位」的數字組成 A2 B3 C4 D5 2. 「十六進位數 F0」等於「二進位數」的 A 00001111 B 11110000 C 11000011 D 00111100 3. 「八進位數 66」等於「二進位數」的 A 110011 B 101101 C 011011 D 110110 4. 二進位數 101010011 可化成十六進位數 A A91 B 153 C 523 D 339 5. 十六進位數的 FF，以十進位數制表示等於 A 102 B 238 C 255 D 272 6. 十進位 395.25 (10) 轉換成十六進位、八進位、二進位。
7. 八進位 162.4 (8) 轉換成十進位、十六進位、二進位。
8. 十六進位 4FE.5 (16) 轉換成十進位、八進位、二進位。
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美感也是一種數學概念 傍晚，管樂社的練習聲宛如一位醉漢，搖搖晃晃穿過操場，從窗戶飄進教室。 如果它有眼睛，會看見教室裡坐了五位學生，有的低頭念書，有的玩手機，還有一位正發問，師 生互動熱絡。雲方想，孝和一點也不像傳言中的妨礙上課，愛發問的他根本是理想的學生。 實際上，問題恰恰是出在這麼好的互動。 身為老師，必須照顧每位學生，不能只因為某一位學生特別愛發問，就將精力完全放在他身上。 一直回答孝和，變相剝奪了其他學生「使用」老師的權利。只是雲方此刻沒想那麼多，他像好不容易 交到朋友的轉學生，有人陪他聊天，光開心都來不及了。 因為孝和的緣故，阿叉偶爾會加入與雲方的對話，他托著下巴問：「老師為什麼懂這麼多數學知 識啊？」 「潛移默化的緣故吧。」 「有句成語跟這有關，什麼四隻鮑魚跟一朵蘭花的……」 「與善人居，如入芝蘭之室，久而自芳也；與惡人居，如入鮑魚之肆，久而自臭也。出自《顏氏 家訓》。」 「好厲害噢，不愧是國文界的納達爾（Rafael Nadal）。」 阿叉露出誇張的崇拜神情，商商又連忙搖頭。兩人之間似乎已建立起特有的互動模式。 「商商是國文小老師吧。」 「嗯。」 「孝和呢，是數學小老師嗎？」 孝和沒說話，阿叉先搶答：「我是體育小老師。」 「哪有這種小老師的，體育股長才對吧。」欣妤說。 阿叉反擊：「股長變成小老師是降級，當事人都沒在意了。總之是體育好的意思。積木咧？」 「他是交女朋友小老師，因為他交到最棒的女朋友了∼∼」 「交女朋友小老師聽起來像交很多女朋友、很花心的人。」 「積木你敢背著我交很多女朋友嗎？！」 欣妤從後方伸出雙手，掐住積木的脖子甩啊甩地。雲方同情起積木，試圖轉移欣妤的注意力：「欣 妤有當什麼小老師嗎？」 「我是手機小老師，班上同學手機有問題都會來找我。」 欣妤自豪地說出不知道該不該值得自豪的事蹟。 「妳是摺裙子小老師，每次都在那邊摺裙子。」 「學校的裙子真的很醜啊，穿起來腿超短的。」欣妤埋怨：「像我這麼有美感，才無法忍受那種 錯誤長度的裙子。」
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「可是美感這種事情，與其說是天分，應該也是潛移默化來的。」雲方回應。 「前一陣子聊到白銀比例時曾提到黃金比例，有印象嗎？」 「那個我知道！」欣妤忽然提高音量，嚇了大家一跳。 「網路專欄有說，模特兒的身高和腿長符合黃金比例，看起來最漂亮。」 「果然，只要扯到自己有興趣的議題，就算是數學也願意學習。」雲方心想。他在黑板上寫下 1.618。 「欣妤說的沒錯，那就是黃金比例 1.618。不僅僅是身高與下半身的比例，完美的臉長寬比是 34:21，算起來約是 1.619 也很接近黃金比例。」 雲方在 1.618 這個數字的前面補上一些數字符號，黑板出現一行式子： z=
1+ 5 . 1.618033... 2
「事實上，黃金比例是無理數，沒辦法用有限小數表示。它的『無理』之處不僅於此，還包括了 另一種奇怪的特性：倒數是自己的小數部分。」 0.618 . z - 1 =
1 1 . z 1.618
雲方在黑板上算得投入，早忘記剛才領悟到的：「要聊和對方興趣有關的題目」。欣妤嘆了口氣 埋怨：「不是在講為什麼美感是潛移默化嗎，跟倒數有什麼關係啊？」 「四隻鮑魚一朵蘭花嗎？」 「是……如入鮑魚之肆。」 「國文小老師好嚴厲噢。」商商又猛搖頭。 雲方這才回到原來的話題：「是是是，美感跟倒數無關，但跟黃金比例有關。有人說過，一個人 對食物美味與否的認定，取決於十二歲前所吃的食物，那些食物成了每個人獨特的美食原點。長大後 喜歡的美食，只是童年嚐過的味道的延伸。黃金比例之所以能主宰難有客觀標準的『美』，答案或許 跟美食一樣：我們從小就在無意識間，被大自然決定了對美醜的品味。」 「大自然？」 「因為大自然裡充斥著許多事物，貝殼的紋路、花瓣分布、植物生長都符合黃金比例。」 「為什麼大自然裡會有很多黃金比例？」孝和發問。 「因為大自然充斥著跟黃金比例息息相關的費波那契數列。」 「費波那契數列嗎……」 孝和彷彿覆誦咒語似地念著，雲方在黑板上寫下一串數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… 「這就是費波那契數列，如果用符號來表示第 n 個費波那契數列，每一項都是前兩項的和。」 雲方寫下 Sn = Sn - 1 + Sn - 2 ，遲疑了一下，繼續說：「費波那契數列被稱為描述自然生長規律的 數列。不過數學家常用兔子生兔崽子的例子來解釋費波那契數列：有一對兔崽子，第二個月長大，第 三個月生出另一對兔崽子，費波那契數列的第三組數字為 2，前兩組都是 1。第四個月時，元祖兔子
13
又生了一對兔崽子，總共有 3 對兔子。第五個月時，第三個月生下來的兔崽子也生了一對兔子，加上 元祖兔子的再接再厲，一口氣變成 5 對兔子。之後依此類推。」 「將費波那契數列前後兩組數字相除，」 雲方寫下一組組除法的答案：
1 2 3 = 1 、 = 2 、 = 1.5 1 1 2
孝和用手指敲敲桌子， 搶先說出：「第九項跟第八項的
34 = 1.61905 ，比例愈來愈趨近於黃金 21
比例 1.618。」 雲方的粉筆在空中頓了頓，對露出得意笑容的孝和點頭。 5 8 13 21 = 1.67 、 = 1.6 、 = 1.625 、 = 1.615 …… 3 5 8 13 「孝和說的沒錯，黃金比例隱身在費波那契數列中，許多動植物的生長都符合費波那契數列，花 瓣、松果，好比說，傳說中四葉酢漿草能帶來好運，但事實上不只是酢漿草，很多樹、草、花瓣都很 難找到 4 片葉子。原因是費波那契數裡沒有 4，對符合費波那契數的植物來說，4 片葉子是違背生長 定律的突變。」 「啊！！」 阿叉拍手大叫：「這樣玩『掰花瓣數愛我不愛我』時，一定要先從愛我數起。」 「為什麼？」 「費波那契數列中奇數約是偶數的 2 倍。既然許多花瓣生長符合費波那契數列，從愛我數起，『愛 我』、『不愛我』、『愛我』……，『愛我』被放在奇數上會比較容易數到。」 這麼快就能懂得活用數學知識，雲方點點頭滿意地說：「對，正因為費波那契數列，生活周遭隱 藏了無數的黃金比例，在還沒聽過這個直到十九世紀才正式出現的專有名詞，不懂什麼是無理數、九 頭身之前，大自然先一步催眠我們的深層意識。讓我們認為只要符合 1.618 的比例，就是大自然的產 物，也是美的事物。」 「有道理，畢竟人類也是大自然產物，回過頭來依照孕育自己的大自然法則創作，再合理不過 了。」 孝和表達贊同，雲方又說：「許多歷史遺跡裡面，也有看到黃金比例的足跡噢。商商有聽過嗎？」 「希臘的帕德嫩神殿嗎？」 「對，就連塔羅牌背面的五芒星，都隱藏了無數組黃金比例。」 雲方用粉筆流暢地畫出五芒星。要是此刻有人從走廊經過，恐怕會以為這堂是占卜課。
14
「五芒星裡，假設每個等腰三角形的底邊是 1，利用三角形公式，可以求出等長的兩組斜邊是 z = 1.618 。斜邊往下延伸到五芒星的頂點，長度則是 z + 1 ，與等腰三角形腰長的比例為 z+1 z
= 1+
1 =z z
還是黃金比例。五芒星的邊長與邊長扣掉等腰三角形腰的長度，比例為 2z + 1 z+1
= 1+
z z+1
= 1+
1 =z z
依然是黃金比例。」 「乾脆改名叫『黃金比例星』算了。」 欣妤說，一會兒又像想到什麼似地問：「老師，我身高 160 公分，腿長 95 公分。這樣該穿多高 的鞋子才能看起來有黃金比例啊。」 「 我 算 一 下， 假 設 身 高 h 公 分， 腿 , 公 分 的 女 孩 子， 穿 上 x 公 分 的 高 跟 鞋 後 的 新 比 例 為
^h + xh | ^, + xh = 1.618 | 1 。整理後可以得到高跟鞋高度為 x =
^h - 1.618, h 0.618
公分。」
「10.18 公分。」 孝和才敲了一次桌子就說出答案。欣妤馬上對積木撒嬌，吵著要去買高跟鞋。 課輔班從孝和加入後，彷彿像原本缺一塊的拼圖，忽然完整了。只是完整的拼圖裡，扮演領導地 位的人不是身為老師的雲方，而是數學界的喬丹——孝和。
數列 「數列」就是「一組數字」比較好聽的說法。稍微環顧四周一下，到處都可以看到數列，至少 彩券行裡就多到數不清。同一組數字可以有不同的排列順序。例如彩券開獎會將中獎號碼依抽 出來的順序公告。此外，也會依照大小排列，像升旗一樣，小的排前面，大的排後面，這樣的 數列稱為遞增數列。 費波那契數列即是標準的遞增數列。 按照順序排好後，許多數列可以用「算」的來得出某一項，例如學校課本裡的等差數列，首項
為 a1 、公差為 d， an = a1 + ^n - 1h d 。文中（或某些考題）利用某項的前幾項表示，例如等差 數列的可以寫成 an = an - 1 + d ，則是遞迴表示法。
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數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：美感也是一種數學概念 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 本文提到：「模特兒的身高和腿長符合黃金比例時，最具有美感」，請問黃金比例的值為何？
2. 本文提到：黃金比例是無理數，且包括了一種奇怪的特性，這個特性為何？
3. 承上題，以上述特性推導出黃金比例的值，試解釋之。
4. 請說明五芒星為何與黃金比例有關？
5. （活動）在希臘神話中，斷臂維納斯於 1820 年發現於希臘米洛斯島（現代希臘語稱作米洛），故 被稱作米洛的維納斯，這座維納斯雕像是舉世公認的女性人體美的典範，這是因為她完全符合黃金 分割的人體美比例關係。意即人的肚臍位於人體身高的黃金分割點的位置。 嘗試用肉眼判斷，三人一組，並用布尺量測，平均體態最符合黃金比例的組別獲勝。 甲同學的比例（請匿名）： 乙同學的比例（請匿名）： 丙同學的比例（請匿名）： 平均值：
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二、知識搜查線 （一）黃金分割的起源 十七世紀德國著名天文及數學家克卜勒（J. Kepler，1571 ∼ 1630）曾比喻：「幾何學裡有兩件寶， 一個是畢達哥拉斯定理，另一個是黃金分割」。 西元前四世紀，古希臘的數學家提出了一個線段分割問題：如何在線段 AB 上尋找一點 C，使得 線段 AC | CB = AB | AC （線段的作圖工具限於直尺和圓規兩種）。
（二）黃金分割的由來 AC | CB = AB | AC 這個關係式最初稱為「中外比」，第一 個將這個比例關係稱為「黃金分割」的據說是文藝復興後期義大 利 最 傑 出 的 畫 家 達 文 西（Deonardo Da Vinci， 義 大 利， 西 元 1452 ∼ 1519 年）。其著有名作〈最後的晚餐〉和〈蒙娜麗莎〉—— 號稱為世界繪畫史上的瑰寶。 他和他同時代的畫家皆認為幾何學與繪畫之間有密切的關 係，繪畫的精髓是將幾何的透視原理表現在圖畫上，因此他十分 注意透視原理及線段間比例的研究（如右圖），而達文西在充分
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研究「中外比」的幾何意義後，將它稱之為「黃金分割」。
（三）黃金分割的作圖 尤多克薩斯（Eudoxus of Cnidus，希臘人，約西元前 408 ～ 355 年）解決方法：
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（四）黃金分割作法的證明
（五）黃金矩形 所謂黃金矩形就是一個長寬比例為黃金分割比例關係的長方形。 特性： 在黃金矩形中以短邊為邊長畫一正方形，此矩形剩下的部分亦是一個較小的黃金矩形。 說明：
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（六）黃金三角形 所謂黃金三角形指的是一個等腰三角形其腰與底的長度比為黃金比值。 性質： 我們若以底邊為一腰作一等腰三角形則此三角形亦為一黃金三角形（試證明之）
（七）五芒星（又稱正五角星形） 1. 是指一種有五隻尖角、並以五條等長直線畫成的星星圖形。 2. 五角星是邊數最少多角形。最簡單畫它的方法是先畫一個正五邊形，把各角和其對角用直線相連， 並擦去原來的五邊形。也可以延長原五邊形的各邊直到它們相交，從而得到一個大的五角星。 3. 正五角星─畢達哥拉斯學派的代表徽章：隱含了許多黃金分割，試找找看。
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看完電影為什麼要聊幾何平均數 捷運上擠滿了上班人潮，乘客太多，有些人連玩手機的空間都沒有，只能像個蛹一樣，把自己縮 起來，掛在手把上。我走進車廂，看見賴皮坐在那兒跟我招手，坐在他旁邊的中年大叔站起來把位子 讓給我，身影消失在車廂尾端。 「這樣找人頭占位子好嗎？」 「開什麼玩笑，我們可是捷運地下委員會，連一個位子都沒辦法留給客人，那還算什麼。」 賴皮哼了一聲，接著問我： 「你想從哪裡聽起？」 「他們昨天幾點分開的？」 「十點左右吧，男生送女生到宿舍門口。男的很癡情哎，一直在門口站到看不見女生才肯離開。」 很有世杰的風格，游走在深情跟變態之間的灰色地帶。 「你的情敵？還是你女朋友劈腿？我最討厭搶別人女朋友的男人了。」賴皮忽然整張臉湊近說。 「不是啦，男生是我好朋友，他在追那個女生，我只是好奇他們約會的狀況罷了。」 賴皮一臉不相信，我搖搖頭繼續說。 「女生叫小昭，她喜歡數學。我朋友世杰賣力地跟我學數學，想靠著這些惡補的數學知識來追小 昭。」 如果賴皮的臉是字幕，幾秒前寫「騙人」，現在是「真的假的」。他像想起什麼似地，右手握拳 敲了左手手掌。 「難怪！他們不時講什麼比例、幾何平均數，我還在想是家教嗎？但你朋友約會跟你又有什麼關 係，要特地找我去看。」 我搔了搔頭，這下倒有點不好意思了。 「我教了那麼多數學，從來不知道他在女生面前怎麼用的。這感覺就有點像……老師教學生，卻 從來沒看過學生考試成績如何，所以才找你幫忙。你覺得咧，他的數學話題有討到女孩子歡心嗎？」 賴皮像口試委員一樣思考了幾秒。 「及格邊緣吧。」
數學家傳記教我的事 「他挑的數學家電影蠻好看的。」 世杰跟小昭去看改編自印度數學家拉馬努金傳記的電影《天才無限家》，拉馬努金是一位傳奇數 學家。出身在貧窮的印度家庭，12 歲時獨立推導出歐拉公式： 1+e
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jr
=0
15 歲時拿到一本《純粹數學概要》，拉馬努金不僅讀懂裡頭六千多道沒有證明的公式，還能進 一步延伸，發展出自己的公式。 「他在劍橋大學才花了 4 年就變成了研究員跟皇家學院的院士，跟你一樣是天才。」賴皮說。 「他那樣才叫做天才，我只是比一般人厲害一點而已。」 「第一次聽到你這麼謙虛，發燒了嗎？」 賴皮作勢摸我額頭，我笑著閃開。雖然我對自己有信心，但拉馬努金可是數學歷史上難得一見的 天才。 我跟他的差距說是無限大恐怕也不為過。 「拉馬努金能憑直覺理解各種數學概念。我很同意電影裡的一句話：『數學就像繪畫，只是用你 看不見的顏色來呈現。』每一道公式、定理，其實真的跟畫作一樣，都是在表現這個世界。事實上， 電影裡的演員也是用這個方法來詮釋數學家，他說在寫數學公式的場景時，他都把數學公式當作一幅 畫，重新畫在黑板上。」 只是這兩種都把數學公式詮釋成畫的比喻，有著本質上的不同就是了。 賴皮點點頭。 「電影很讚，很多人會看成功人士傳記，想從中學到成功法則或人生道理。看完電影後我覺得不 如去看數學家傳記，那裡頭有趣的事情更多。」 賴皮對自己的話很滿意，用指導的口吻跟我說：「你也該這樣，多教你的學生講數學家故事，不 要一直算公式，那真的太無趣了。」 「真的嗎？」 「至少我覺得啦。」 根據賴皮的說法，他們看完電影後，去了附近百貨公司樓上的一間日式串燒店。這頓應該花了世 杰好幾個小時的家教薪水。 「他們坐在吧台，我刻意選在他們旁邊。為什麼要預約吧台區啊？」 「我朋友覺得約會時比起面對面，兩個人坐在同一側能營造出更親密的感覺，就算不講話時，也 不會大眼瞪小眼尷尬。」 根據我的經驗，坐在同一邊算數學也很方便。要是寫算式的人坐在右側，手不會擋到，那就更完 美了。只是到這邊就根本是家教跟學生上課的坐法了吧。 「他不講數學就不會尷尬了，」賴皮嘆口氣說，「他聽女生聊完電影心得後，下一句竟然是『說 到電影螢幕，你知道為什麼電腦、手機螢幕都是 16：9 嗎？』這跟電影有任何關係嗎！？退一萬步， 電影螢幕也不是 16：9 吧！」 我愣住了，前陣子世杰問我這個問題時，我還以為他會等到哪天跟小昭一起用電腦寫報告，或在 玩手機時才講到。 「憑我的豐富觀察經驗，女生臉上的表情清楚顯示著『驚慌』！」 「不會啦，小昭喜歡數學。」 我心虛地回答。賴皮搖搖手指。
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「她當時真的很驚慌，但她很善良，馬上就恢復鎮定，笑著說不知道，再做球給男生。然後啦， 你那位朋友滔滔不絕解釋起為什麼螢幕是 16：9。他一開始說，電視螢幕的大小『吋』是指對角線的 長度，以前常見的 4：3 螢幕，如果是 21 吋螢幕，面積是 212 平方英寸。如果是現在的 16：9，21 吋螢幕只有 188 平方英寸。換算起來少了 11% 的面積。商人為了節省成本，才把螢幕從 4：3 改成 16：9 的。」 我沒有講過這種說法，我一方面感到欣慰，世杰自己去查資料，一方面也覺得網路世界很偉大， 創造出「過去的不確定性」，一件發生的事在網路上往往有不只一種說法。比較起來，我還是比較喜 歡我知道的，更數學的說法。 「他後來有補充另一種說法嗎？」 「有，他說以前有很多種不同的影片規格，像是 4：3 或 2.39：1。他這樣講我倒是想起來，很 小的時候我有看過那種我以為螢幕壞掉，上下兩大塊黑色區域，只有中間小小一塊有電影。」 「對，那就是 2.39：1 的寬比例。16：9 的螢幕，就是為了能夠在同一台螢幕上最有效率地顯示 4：3 與 2.39：1 這兩種不同比例影片所設計出來的。」 「最有效率？」 賴皮發問，表示昨天世杰的解釋不夠清楚。 「用數學一點的話來說就是：能包含等面積的 4：3 與 2.35：1 的兩個長方形的最小長方形比例。 我先舉個例子給你看。8 公分 # 6 公分是一個 4：3 的畫面，10.6 公分 # 4.5 公分則是 2.35：1 的畫面。 兩個的面積都是約 48 平方公分。要把這兩個長方形包起來，就要是一個長 10.6 公分，寬 6 公分的長 方形，10.6：6 的比值為 1.76，跟
16 很接近。」 9
我拿出手機畫了一張圖。賴皮點點頭，然後又搖搖頭說， 「像你這樣講清楚多了，昨天你學生一口氣就冒出一堆變數。根本聽不懂他在說什麼。」 世杰一定是直接用變數計算。4：3 的長方形，假設長為 1.33x，寬為 x（4：3 等於 1.33：1）； 2.35：1 的長方形則假設長是 2.35y，寬是 y，然後因為面積相等……我在手機螢幕上寫下 2 2 1.33x = 2.35y
再把它化簡，得到 x = y
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2.35 1.33
「他是不是寫這個式子？」 我把手機遞給賴皮看，他頭湊到螢幕前，又把手機還給我。 「好像有點像，我記不得了。那時候我只覺得串燒都變難吃了。」 我搖搖頭，把算式講完。 「能包住 4：3 的長方形與 2.35：1 的長方形的最小長方形，必然長是 2.35y，寬是 x，因此可以 得到它的長寬比
2.35y ，再把 x 用 y 表示，為 x = x
2.35y 2.35 ，可以得到 y ，再把它代入 x 1.33
2.35y 1.33 = 2.35 # = 1.33 # 2.35 = 1.77 x 2.35 長寬比為 1.77，也就是 16：9。」 「這個 a # b 就是幾何平均數對嗎？」 賴皮指著螢幕問。 「對，他有講到這個？」 「有噢，他可得意了，好像是他發明的一樣，還一直說『記不記得以前一定會考的算幾不等式： 算術平均數大於幾何平均數，就是這個噢』、『我們以為幾何平均數一點用都沒有，原來 16：9 螢幕 比例就是被它所決定的呢』。我才不想知道這些，我只知道啊，吃燒烤不管加什麼，幾何平均數一定 是最爛的佐料。」 「這不是幾何平均數的錯，是他講得太爛了。後來還講了什麼嗎？」 「嗯，他就又補充了一些，什麼如果用 16：9 螢幕看的話，不管是 4：3 或 2.35：1，浪費的部 分都一樣多，大概都是──」 「25% 左右。」 「很好，拜託不要告訴我計算過程。你說他要靠數學追那個女生。不是我在說，那女孩滿可愛的， 看起來應該很多人追，真的有機會嗎？」 賴皮用懷疑的眼神看我，捷運抵達終點站，其他人都下車，剛上車的人紛紛瞄了沒有起身的我們。 「之後可能要再靠你跟捷運地下委員會幫忙了。」我嘆口氣苦笑。
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數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：看完電影為什麼要聊幾何平均數 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 本文將「幾何平均數」應用在解釋什麼原理？
2. 「16：9 的螢幕是最有效率的顯示 4：3 與 2.39：1 的兩種不同比例設計」，試解釋其原因。
3. 本文提到的：「以 21 吋螢幕為例，以前常見的 4：3 螢幕，面積是 212 平方英吋；如果是現在 16：9 螢幕，面積是 188 平方英吋」。試計算：如果將螢幕更改為 32 吋，面積各是如何？
4. 請推論為何用 16：9 的螢幕觀看，不管是 4：3 或 2.35：1 的比例，浪費的部分大概都是 25% ？
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二、知識搜查線 （一）根號的幾何作圖 還記得國中曾經學過相似三角形的比例性質嗎？在這裡我們可以利用此性質求長度為 n 的線 段，作法如下： 設 C 是 AB 上一點，且 AC | CB = a | b ，若以 AB 為直徑作一半圓， CD 垂直 AB 且交半圓於 D， 則 CD = ab 。 【說明】
舉例：以上述概念畫出 6 ：
問題與討論： 根據上述「根號的幾何作圖」方法，試問 24 有幾種不同的作圖方法，並說明你的看法？
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（二）算幾不等式 對於兩個非負的實數 a、b 而言，我們把
a+b 稱為 a 和 b 的算術平均數，把 ab 稱作 a 和 b 的 2
幾何平均數，則任意兩非負實數的算術平均數恆大於或等於它們的幾何平均數，這個性質稱為算幾不 等式，即
a+b $ ab ，且當 a = b 時，等號成立。 2
證明 1（代數證法）：
證明 2（幾何證法）：
（三）算幾不等式的應用 例子： 1. 面積為 18 的所有矩形中，何種矩形的周長最短？ 2. 一條長為 32 公尺的繩子，所能圍出的矩形面積最大是多少？這個有最大面積的矩形長、寬各為幾 公尺？ 【解答】
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分蛋糕是個邏輯問題 今天是欣妤和積木的紀念日。傍晚，他們來上課輔班，看見空蕩蕩的教室正中間擺了個蛋糕。 「積木你好浪漫∼∼」欣妤緊緊抱住積木，積木卻滿臉疑惑地說：「不是我準備的……」 「五週年快樂！！！」 忽然，其他人從窗簾、桌子底下鑽出來，雲方也搔著頭，不好意思地從講台後方站起來。阿叉走 到兩人面前：「上次積木在課堂上問老師要怎麼做禮物給你，我們就在想，這麼重要的日子，當然要 一起慶祝啊。」 「你們怎麼這麼感人。」欣妤開心地說。 孝和接著講：「蛋糕可是老師去挑選的。」 「唔，這讓我有不好的預感……果然！」 欣妤打開蛋糕蓋，發出哀嚎。圓形的蛋糕上面有用巧克力醬畫出來的各種數學符號：虛數 i、圓 周率 r 、自然數 e。中間則是用餅乾做成的兩組三位數：284 與 220。 「這些兩組數字是幹嘛的？啊，我隨便問問，不用當真。」 阿 叉 後 半 句 話 說 得 遲， 雲 方 已 經 開 始 回 答：「284 可 以 被 (1、2、4、71、142) 給 整 除。 而 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 。同樣地，220 可以被 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) 整除，而 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 。這兩組數字各自的正因數相加，會等於彼 此。在古希臘象徵了最完美的感情。」 「噢∼∼看不出來數學還有這麼浪漫的一面。」 阿叉拍拍雲方的肩膀。看過欣妤跟積木為了彼此努力的畫面，雲方受到感動。因此當阿叉提議買 蛋糕時，他立刻想到這套數學的祝福方式。 「這叫做『親和數』，相傳是畢達哥拉斯發明的，就是直角三角形畢氏定理的那個畢達哥拉斯， 他對這組親和數下了段評語——」 「夠了， 謝謝老師！ 老師你該學習一下什麼叫做『適可而止』。」欣妤斷然阻止雲方，把刀子 交給孝和：「請數學最好的人來分蛋糕吧，要怎麼切成六等分呢？」 「數學最好的明明是我。」雲方不平地想。 阿叉彷彿在參加益智節目，拍桌子搶答：「圓形的圓心角 360 度，一個人分 60 度就可以均分了。」 「可是要怎麼量出 60 度？」這個嘛，無法招架問題攻勢，阿叉陷入沉思。 孝和回答：「很簡單，我們先量半徑長度，再從蛋糕邊緣任一點出發，畫一條長度跟半徑一樣的 線段。如此一來，線段的起點、終點以及圓心形成的三角形三邊長相等，是正三角形，能確定兩條半 徑間的夾角為 60 度。」 「噢∼∼好厲害噢。」眾人露出崇拜的眼神，雲方點點頭說：「方法不錯，不過，其實不用那麼 精確，也可以做到公平。」
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「不精確也能公平？」 「公平很主觀，只要當事者覺得公平，實際上不公平也沒關係。反過來說，當事者有意見，就算 用量角器量也沒用。」 「就像籃球比賽，不管怎樣的關鍵判決，總有人會有意見。」 雲方拿起刀子比劃：「從最簡單的例子看起，如果只有阿叉跟孝和兩個人分蛋糕，最公平的分法 就是，阿叉負責切蛋糕，然後孝和先挑要哪一塊。」 這麼簡單？眾人安靜了一會兒，在同一時間恍然大悟。 「這個邏輯思考背後隱藏了相當重要的數學概念——最大化最小值（max min）。阿叉知道自己 一定會拿到小的那塊，所以得盡量最大化最小值。最大化最小值在許多分配問題中常出現，例如受災 戶的資源分配……啊。」 雲方想起剛剛欣妤告誡的「適可而止」，趕快住嘴。欣妤滿意地笑說：「老師學得很快，很好。 那我們六個人該怎麼分呢？」 「六個人太複雜了。不如這樣吧，我們先分三組，把蛋糕分成三等分。之後，每一組再用剛才的 方法二等分。欣妤積木一組，我跟孝和一組，商商阿叉一組。」 雲方偷偷幫了商商一把，商商的笑容像花朵綻放開來，可惜阿叉完全沒注意到。孝和說：「三人 分，把剛才兩人分法延伸不就好了嗎？讓阿叉組先切一刀，然後慢慢挪刀子，直到我們或積木組有人 喊停，就切一塊下來，那塊給喊的那組。然後沒喊的那組跟阿叉組再用方才的兩人分法來分。」 雲方對孝和的學習能力感到驚訝，他不僅吸收知識的速度很快，還可以立刻改良。 「這方法接近完美，可以讓每一組認為自己至少有拿到
1 的蛋糕。」 3
「接近？」孝和皺起眉頭。 雲方頓了頓：「有人可能懷疑別組拿到超過 是我們喊停的，所以我們認定自己至少拿到
1 。比方說，第一個拿走蛋糕的是我跟孝和這組。 3
1 。等到阿叉分蛋糕時，我們搞不好會覺得他切得不均 3
勻，讓積木跟欣妤選到一塊超大的。」 「兩位住海邊嗎，管這麼寬？」 「真正要做到既滿意自己這份，又不會嫉妒別人那份，得先三等分——」 雲方將刀子遞給商商，欣妤開玩笑地接著雲方的話說：「讓商商切，是想讓就算有人覺得不公平 也不好意思說嗎？」 一聽到這話，商商猶豫著不敢接下刀子，阿叉伸手過去。 「我來代表吧。」 「英雄救美噢。」 阿叉沒理會欣妤，切起蛋糕。雲方跟孝和交換了一個疑惑的眼神，照理來說，阿叉應該會跟著起 鬨，說自己跟商商本來就很好之類的，怎麼沒反擊呢？
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切好後，雲方把刀子拿給欣妤：「接下來，欣妤挑一塊妳覺得最大的，切一小塊下來，讓他跟第 二大塊的一樣大。」 「不可能有最大的，我分得那麼好，三塊當然一樣大。對吧商商？欣妤妳還切！」 欣妤將一份蛋糕切下一小片，變成三大一小。 「好，現在孝和代表我們先選一塊吧。」 孝和挑了一塊。雲方接著讓積木選，他們挑了被切過的那塊，剩下的一塊就是阿叉跟商商那組的 了。雲方開始解釋：「現在，因為負責分蛋糕的是商叉組，不論挑到哪一份他們都會滿意。我們方和 組第一個選，相當滿意自己的選擇。至於積妤組——」 「因為三塊一樣大，但他們還切，所以分到最小塊的了。」 阿叉指著欣妤的蛋糕。欣妤不甘示弱地回答：「明明是你分的不夠好，我才把最大塊的切成跟第 二塊一樣大……我懂了，因為我們有權力切出兩塊一樣大的蛋糕，所以不管第一順位的孝和怎麼選， 第二順位選的我們永遠會滿意自己的選擇。」 雲方點點頭。積木發問：「但，剩下來的一小塊怎麼辦呢？重複剛才的步驟嗎？」 「可以，但這樣切到後來蛋糕會變得很破碎。比較好的做法是讓我們這組操刀，再三等分這一小 塊。」 雲方把刀交給孝和，他三等分了那小塊蛋糕。 「積木先選吧，既然你們先選，一定會滿意這個選擇。」 積木選起一份，放到自己前方。「再來換商商選。」 「這樣商叉組不會覺得積妤組比較賺嗎？」孝和問，阿叉得意洋洋地回答：「一點也不會，我剛 三等分那麼公平，現在選到哪一塊都比欣妤賺。我們比你們先選，也比你們賺啊。」 聽到阿叉這麼說，孝和恍然大悟，他說：「所以阿叉也不會嫉妒，輪到我們時，因為是我分的， 我相信自己的分法，就算最後選，也會覺得每組剛好拿到
1 。」 3
「沒錯，這個方法稱為『Selfridge-Conway 免嫉妒分法』，是真正公平的三人分法。」 分好後，每組再用公平的兩人分法，一人切一人選，大夥兒開始享用蛋糕。 雲方邊吃蛋糕，邊有些不安心。其實，將六人等分變成「先三等分再二等分」，可能跨組間會有 人嫉妒。比方說欣妤嫉妒商商，故意切一大塊的給阿叉。 好在最有可能發現這個漏洞的孝和，因為阿叉先前不自然的反應，此刻正密切觀察著他和商商的 互動。
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演算法 老爸老媽使喚我們時，只要說：「去便利商店幫我買一罐醬油。」儘管可能會推三阻四，或是 拿零錢去買一支冰棒，但基本上我們都能順利完成任務。 可要是換成了要叫一台機器人去買，就沒這麼簡單了。老爸老媽必須說：「開門，往下走 198 級階梯，右轉，直走 200 公尺，左轉後直行 300 公尺，看到一棟建築物……等等，我將便利商 店的照片輸入影像資料庫……」 電腦的運算速度遠比人類快上許多，但在「理解」這件事上，人腦還是遠勝於電腦。因此在對 電腦下指令時，我們必須用嚴謹、有邏輯的說法，才能讓電腦執行，這樣的說法就是所謂的「演 算法」。 演算法的設計很困難，以本文的分蛋糕為例，有些演算法看起來可以用，但實際上卻不能達到 目標。又有些時候，雖然可以達成任務，卻很沒效率。如何設計一套有用又有效率的演算法， 是計算機科學中很重要的一門領域。
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數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：分蛋糕是個邏輯問題 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 本文中提到：蛋糕上面的 284、220 象徵什麼數學概念？試解釋之。
2. 本文中雲方說「最大化最小值」在分配問題中會有何作用？如何以此概念應用到「兩人分蛋糕的問 題」。
3. 本文中雲方說：「公平很主觀，只要當事者覺得公平，實際上不公平也沒有關係」，試問本文章中 所講述的方法稱為什麼方法？
4. 承上題，請依據本文採用的分配法，將人物與分配蛋糕的過程畫出，並說明其過程如何吻合上題所 描述的方法。
統整解釋
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二、知識搜查線 （一）切蛋糕問題的起源 在日常生活中，如何將資源、預算、工作等的分配是小從個人、大到政府經常都要面對的問題－ 包含政府如何把年度總預算分配給各個項目，如國防、教育等項目；企業如何把公司所有的員工分派 到各個不同的部門；父母如何分配兄弟姊妹幫忙做家事，這些都牽涉到「公平」的問題，而這個結果 也要讓大家都能夠接受更是困難。 因此，數學家建立了一個平分蛋糕的模型來描述和分析這些狀況－如何將一個蛋糕切成 n 塊，分 給 n 個人。 （二）關於「滿足的公平 (satisfaction)」的分蛋糕問題？ 1. 何謂滿足的公平 (satisfaction)：
2. 二個人分蛋糕問題 問題介紹 （資料來源：你沒聽過的邏輯課，劉炯朗） 哥哥和弟弟放學回家，媽媽剛烤好一個蛋糕，就拿出刀來，把蛋糕切成兩塊，一塊給哥哥，一塊給 弟弟。哥哥嘀咕著，埋怨媽媽偏心，給弟弟那塊比較大；弟弟也嘀咕著，埋怨媽媽偏心，給哥哥那 塊比較大。 媽媽說，那就讓你們自己來選吧！哥哥先選，弟弟馬上抗議，哥哥肯定把比較大那一塊先選走了。 到底該怎麼做，才能皆大歡喜？ 解法
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3. 三個人分蛋糕問題： 問題思考 如果欲將蛋糕分成三等分，由甲把蛋糕分成三塊，讓乙選，再讓丙選，最後剩下來的給甲。試問以 「滿足的公平」的原則下，這樣的分蛋糕方式是否公平？ 解答 當然在甲的心目中，三塊蛋糕的大小是一樣的，因此他滿足；但是在乙的心目中，他先選了他認為 最大的一塊，他也滿足；可是在丙的心目中，因為乙在他之前可能拿了最大的一塊，因此他會認為 剩下來的兩塊都是小於
1 ，所以他不會滿足。 3
解決問題的系統思考 假設：把一塊等於
1 1 或者以上的蛋糕叫做大塊，一塊在 以下的蛋糕叫做小塊。 3 3
（三）關於「沒有妒忌（envy-free）的公平」的分蛋糕問題（本文所提到的）？ 1. 何謂沒有妒忌（envy-free）的公平： 「沒有妒忌的公平」的要求條件比「滿足的公平」高，指的是每個人對別人得到的分配沒有妒忌之 意，也就是說每個人依照自己的判斷，除了滿足公平外，亦認為沒有任何人得到的蛋糕比自己更 多。 2. 三個人分蛋糕問題： 解決問題的系統思考
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賽局愛情建議：主動出擊 旅行回來，名為「時間」的列車繼續往前行駛，車廂電子看板顯示馬上要抵達「期末考」這站。 這天晚上，我、阿叉、世杰三個人在雪客屋唸書。 「再套克希何夫定律就可以解出來了。」 「原來如此。」 「嘖嘖，連別校的考古題都會解，課本明明不是同一本。」 我在教阿叉算他們系的考古題，世杰在旁邊看得津津有味。或許是剛搞懂一題，阿叉心情很好， 他張開雙手用誇張的語氣說：「知識是不會被學校框架給束縛的，戀愛也一樣，你不也是喜歡不同學 校的女生嗎？」 「這跟那是兩回事吧。」 旅行後，世杰跟小昭沒有進展，反而他跟阿叉變成好友，有時候還自己約去打球、打電動。今晚 唸書也是阿叉問我：「教我電路學，順便找世杰一起吧？」 對此我不意外，說到底朋友就是一群頻率接近的人，如果我跟世杰相似，我跟阿叉相似，數學上 的「遞移律」在這邊似乎也能派上用場。 a = b ， a = c ，所以 b = c 等等，好像不太對。更精確地說，朋友的關係應該是： a . b ， a . c ，這不代表 b . c 「近似」不像「等於」一樣是有遞移律的。比方說， 2.4 . 2 ，1.6 . 2 ，但 2.4 跟 1.6 相差了 0.8， 兩者的距離被拉遠，不一定符合近似的定義了。難怪一個團體裡，不一定所有人都很投緣，而是以一 兩個人為核心，大家跟他們近似罷了。 「孝和在幹麻？」 「想數學吧，你沒看到他頭上有個黃燈閃閃發亮嗎？正在全速運轉。」 「這麼說高中時也有過這種狀況，我們老師跟他兩個人在數學較量，那時候真──」 「刺激嗎？」 「坦白講當時覺得有點無聊。」 「哈哈哈。」 我瞪了他們一眼，心想說不定比起我，這兩個人彼此更相似。
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又見幾何平均數 雪客屋用啤酒杯裝冰拿鐵，綿密奶泡覆蓋杯口就像啤酒泡沫，大口喝下去非常暢快。阿叉發出暢 飲啤酒後的滿足聲。 「啊∼所以啊，世杰你現在打算怎麼辦？」 這個問句沒有受詞，但我們都很清楚阿叉在說什麼。 「我也……不知道。我們很要好，可是好像中間總是有一條線跨不過去。我原本以為小昭搞不好 喜歡你。」 「這也不是沒可能，對不起。我不是故意的。」 阿叉鞠躬道歉，世杰罵了聲髒話繼續講。 「現在確定沒有，可是那條線依然沒消失。所以我覺得還不能攤牌。」 「攤牌，講得好像要單挑。」 「告白啦。」 「『線』到底是什麼？你們不是很常約會、講電話嗎？」我插嘴問世杰。 「是啊，可是我常常會覺得我們不夠了解彼此。」 「例如她不知道你數學很差。」 世杰嘆口氣回答。 「對啊，如果她知道我其實一點都不喜歡數學，一定會很失望。就像哪一天我忽然說，其實我一 點都不喜歡打電動，每次都是為了陪你們才打的。」 「我會覺得很感動。」 世杰定格了一秒，他沒想到會聽見阿叉這樣回答。 「兩個人會不會在一起，不只是她喜不喜歡你，你有多喜歡她也很重要。有很多狀況是男生很喜 歡，一直追求，女生就會答應了。就好像兩個人如果平均 60 分的喜歡就能在一起，只要你有 99 分 的喜歡，就算她只有 21 分，這樣平均也有 60 分啊。」阿叉安慰他。 「21 分能稱為喜歡嗎？」 「可以啦，負分才算是討厭。」 我遲疑了幾秒，還是說出想法。 「不應該用算術平均，要用幾何平均比較合理，99 分跟 21 分相乘開根號的結果只有 46 分。」 「啊？」 世杰跟阿叉同時發出疑惑的狀聲詞，我問阿叉：「你想想看，兩個人同樣都對彼此有 60 分喜歡， 和剛剛你舉的例子，他們的算術平均——相加除以二，都是 60 分，但反應出來的狀況一樣嗎？」 阿叉搖搖頭，很明顯，對彼此都有 60 分喜歡的男女，一定比一個很愛，一個沒什麼感覺的男女 更容易在一起。 「許多交友網站會讓會員填寫問題，問題不僅有自己是怎樣的人，還有希望另一半是怎樣的人。 根據答案，網站再去計算每一個會員跟資料庫裡的異性彼此的速配指數，速配指數包括了『女方是否
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為男方的理想情人』，以及『男方是否為女方的理想情人』。」 「就像金城武是很多人的理想情人，但應該很少人是他的理想情人。」 我有點訝異阿叉沒用自己當例子。 「或是我。」 阿叉聳聳肩，這才是我認識的阿叉。我繼續說下去。 「最後的速配指數就是這兩筆『理想情人指數』的幾何平均數，而非算術平均數。幾何平均數從 這個話題切入，應該比螢幕尺寸有趣點吧。」 世杰狠狠瞪了我一眼，阿叉知道有好玩的，立刻追問下去。 「上次有人在燒烤店推導幾何平均數……」
主動的人比較容易獲得 「其實你也不知道小昭怎麼想的，男生還是主動一點吧。」 阿叉提高音量，用手指關節敲桌面，服務生的視線往我們這桌投射。 「蓋爾跟夏普利說過，主動出擊的那方才有機會摘下甜美的戀愛果實。」 「誰？」 「兩位美國經濟暨數學家。他們的論點是，舉例來說如果有 3 對男女——」 阿叉拿出筆在餐巾紙上寫著 世杰：小昭 2 a 女 2 b 女 y 男 ：a 女 2 小昭 2 b 女 x 男 ：小昭 2 b 女 2 a 女 看起來是每位男性對三個女孩的偏好排序，阿叉繼續寫下每位女性對男生的排名 小昭：y 男 2 世杰2 x 男 a 女 ：世杰 2 x 男 2 y 男 b 女 ：y 男 2 x 男 2 世杰 「y 男是誰？」 世杰顯然對這個例子不太滿意。 「不重要啦，不然就當作是我吧，身為三位女孩中的兩位第一名，還滿合理的。孝和你就是 x 男。 噢，你也最喜歡小昭！」阿叉咬著筆桿邊確認自己有沒有寫錯，邊回答。 我沒理他，照他的邏輯來看，y 男的第一名 a 女應該是商商，可 a 女最喜歡的是世杰，y 男只是 第三名。他的話根本沒討到便宜。「男生主動出擊，世杰跟 x 男同時去追小昭。雖然小昭很喜歡 y 男， 也就是在下我。但因為我去追了 a 女。所以小昭只好接受她心目中的第二順位世杰。同樣道理，只有 我追求的 a 女，會跟我在一起。」阿叉解釋。 在假設女方「寧濫勿缺」的情況下，這個推論才會成立。我在心裡幫阿叉把話補完。
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「x 男追求小昭失敗，只好退而求其次去追他的第二順位 b 女。b 女最喜歡 y 男，也就是在下我。 沒跟我交往的女孩都最愛我，我真是罪人。」 「多餘的話就省下吧，這樣只會讓推理過程更難理解。」 世杰埋怨，自己推理下去，「所以最後會是（世杰，小昭），（y 男，a 女），（x 男，b 女）， 然後呢？」 「沒然後啦，配對完成了。可是你仔細看噢，你實現了夢想跟最想在一起的小昭交往，y 男在下 我，也跟最想交往的 a 女在一起。x 男，也就是——」 我打斷阿叉的話說：「某個不知道的人，跟他的第二名在一起。男生都能和自己的前兩名交往。 但女生就沒這麼好運了，世杰是小昭的第二名，x 男是 b 女的第二名都還可以，只有 a 女最淒慘，跟 他的第三名 y 男交往。」 「也就是阿叉。」 「哎！怎麼會這樣，例子沒舉好……」 阿叉自言自語，他雖然數學比高中進步很多，但粗心問題依然在，這跟個性比較有關。 我繼續解釋：「所以囉，沒有一個女生跟自己的第一名在一起，還有一個女的無奈到得跟第三名 交往。」 「這是要在沒有『就算全世界男生都死光了，我也不可能跟你在一起』這麼偏激想法的前提下 吧？」世杰發問，他察覺到了阿叉漏掉的假設，真不錯。 「對，我們假設雙方都是寧濫勿缺。所以 a 女就算只有我這個第三名，她也會收下。不過這不是 重點，重點是展開主動攻勢的男生，雖然有告白被拒絕的風險，但最終來看會得到比較好的結果，能 夠跟更喜歡的對象在一起。被動的一方，雖然不用花心思追求，只要等著發卡或是點頭就好，看起來 很輕鬆，被好好呵護著，可其實最後的結果是比較糟糕的。」阿叉半自暴自棄地回答。 這是經典的配對演算法。 阿叉振作起來拿了另一張紙解釋，「如果反過來，變成日本高中校園場景，由女生追求，y 男同 時收到小昭跟 b 女的情書，在放學後的教室裡拒絕 b 女，再到校舍頂樓答應小昭的告白。a 女跟世杰 直接配成一對，被拒絕的 b 女最後找上 x 男。得到了配對結果（世杰，a 女），（y 男，小昭）， （x 男，b 女 ）。 男 生 都 跟 自 己 的 第 二 名 在 一 起， 有 兩 個 人 的 對 象 退 步 了 一 名。 女 生 則 各 自 跟 （1，1，2）名交往，結果大幅進步。所以你看，是不是主動的那方會有比較好的結果啊？快打電話 給小昭攤牌吧！」 世杰盯著計算紙，不理會阿叉在旁邊亂喊「攤牌單挑」，他明明不喜歡數學，但比起我們勸他主 動積極，他好像更相信數學的推導結論。數學家萬萬沒想到自己有朝一日會變成戀愛諮商師吧。
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數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：賽局愛情建議：主動出擊 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 以本文為例，假設「寧濫勿缺」的情況下，男生主動出擊，試說明最後的配對結果，並用你對文章 的理解解釋為何會造成這樣的結果。
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2. 以本文為例，假設「寧濫勿缺」的情況下，女生主動出擊，試說明最後的配對結果，並用你對文章 的理解解釋為何會造成這樣的結果。
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二、知識搜查線 課前暖身活動 信任的演化：https://audreyt.github.io/trust-zh-TW/
1. 遊戲中的第一個關卡－信任遊戲：你面前有臺機器：當你放進去 1 枚硬幣，對方會得到 3 枚硬幣， 反 之 亦 然。 你 們 兩 位 都 可 以 選 擇「 合 作 」（ 放 1 枚 硬 幣 ） 或 者「 欺 騙 」（ 不 放 硬 幣 ）。 試分析雙方不同的選擇會造成哪些可能的結果？
2. 在多次遊戲中共出現了五個角色，分別是：模仿貓、紅嬰仔、黑到底、牛文聰、福爾摩星兒等，試 分別描述其特性。
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3. 承上，各個角色相互之間會兩兩配對，進行 10 局比賽，每局比賽走 10 步。試和身旁的隊友討論， 並說明如何選擇能夠獲取最高分。
（一）何謂「賽局」？
（二）賽局的起源 賽 局 理 論（game theory） 的 發 展 得 歸 功 於 約 翰 • 馮 • 紐 曼（John von Neu-mann , 1903 ∼ 1957，二十世紀一位偉大的數學家），之後於 1994 年，約翰 • 哈森義（John Harsanyi）、約翰 • 納許（John Nash）與仁哈德 • 塞頓（Reinhard Selten）三人更因在賽局理論上的重大貢獻，而獲得 諾貝爾獎。 1994 年諾貝爾經濟學獎得主之一的奈許（John F. Nash），提出了均衡理論，後來在經濟學中被 廣泛運用，而後於 1950 年和 1951 年發表了兩篇關於非合作賽局的重要論文，另外塔克（Albert Tucker）教授也於 1950 年定義了「囚犯困境」（prisoners’ dilemma）。他們兩個人的著作基本上奠 定了現代非合作賽局理論的基石。 （三）何謂「囚犯困境」？
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（四）轉化成賽局圖 囚犯 B 囚犯 A
認罪
不認罪
認罪
(-6,-6)
(0,-8)
不認罪
(-8,0)
(-1,-1)
賽局分析：
（五）金球的囚犯 ( 資料來源 : 林澤民，〈囚犯困局系列：【一】金球的囚犯〉) 英國 BBC 電視中心製作的 Golden Balls（可以在網路 youtube 搜尋）模擬了這種困境的競賽節目。 在節目中，二位參賽者爭取一筆獎金（假設 100 萬台幣），二人隔桌對坐，面前各有兩顆金球，其 中一個金球裡面寫著 Split（平分），另一個寫著 Steal（竊占），遊戲規則如下： 如果二人均選擇 Split，則獎金平分。 如果二人均選擇 Steal，則獎金槓龜。 如果一人選擇 Steal、而另一人選擇 Split，則 Steal 者獨占全額獎金，而 Split 者只能抱蛋含恨而歸。 試繪製〈金球的囚犯〉的賽局圖，並分析此賽局的結果。
（六）金球的囚犯遊戲巧思 英國 BBC 電視中心製作的 Golden Balls 節目中，二位參賽者在決定選擇平分還是竊占前，會留一 些時間讓兩位參賽者進行溝通，試問這樣的溝通會對選擇的賽局造成什麼影響？ 影片參考：https://www.youtube.com/watch?time_continue=88&v=W5qz8SNO7Wc
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展望臺上的約會數學 教室裡，雲方在備課，孝和跟積木在討論上週的「背包問題」。孝和很快就理解，不時還反過來， 向積木解釋裡頭的數學。據說，積木的父親已經將這項提案交給下面的人評估了。 「看來你在學校好像還是有學到一些東西。」 拋下這句話後，父親再也沒提過家教的事。欣妤戴著新項鍊，一派輕鬆地哼歌玩手機。看來危機 應該解除了。 上課鐘響起，雲方環顧教室：「阿叉怎麼不在？」 欣妤頭也沒抬地回答：「剛剛被別年級的叫去頂樓了。」 校園霸凌嗎？！雲方像一隻被嚇到的貓，整個背豎起來。 「你們自習，我去救他！！」 「哎哎哎！等等！不要去搗蛋啊！」 雲方飛奔而去，快到欣妤的制止聲都追不上。 ※ ※ ※ 通往頂樓的樓梯間，雲方遇到兩個高一女生快步下樓，臉上滿是興奮的笑容，好像剛在頂樓看到 了什麼有趣的事物。推開頂樓安全門，迎面而來的是與視線齊平的落日，天空一片火紅，靠在牆上的 阿叉被夕陽剪成一片黑影。 「老師怎麼在這邊？」 「高年級的流氓呢？」 「什麼高年級的流氓？」 「欣妤說你被別年級的叫到頂樓。」 阿叉先愣了一下，然後爆出笑聲，「不是啦，是一年級的學妹找我，跟我告白。」 雲方這時才聽到欣妤那聲「不要過來搗蛋」。 「老師剛沒看到嗎？就是短髮的那個。可愛嗎？」 「身為老師不方便評論學生的外貌。」 「從一分到十分，十分是林志玲，她大概是幾分呢？」 「一分的參考人物是誰，你又沒說。」這句話雲方沒問出口，倘若阿叉真回答，他就得評分了。 看雲方沒回答，阿叉以為他在思考，也不打擾他。雲方走到阿叉旁邊，水泥的牆面貼在身上冰涼 涼的。他好久沒有到視野這麼遼闊的地方，身心都舒暢了起來。 師生俯瞰校園，阿叉的聲音從一旁傳來：「我答應跟她交往。」 「我以為你有女朋友了？」 「有啊。」 「那你怎麼還能答應！」
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雲方轉過來面對阿叉。阿叉臉上沒有一絲輕佻的模樣，他說：「老師，籃球隊先發有五個人，棒 球先發有九個人，足球先發有十一個人。為什麼伴侶只能有一個人？」 「不一樣吧。桌球單打只有一個人。」 阿叉搖搖手指：「但團體賽要打五點，需要七人。我的意思是，今天如果問我的籃球教練，比較 喜歡大前鋒還是後衛，他一定會回答『這無法比較，每個位置各有各的重要性。』」 「所以呢？」 「所以不能將不同感覺的女孩子放在一起比較，這是不公平的。這英文叫做什麼，橘子跟柳丁比 較……」 「You cannot compare orange with apple.」 「老師跟商商一樣愛糾正人。」 「是你太容易說錯，讓人不得不每次都糾正吧。」雲方心裡覺得阿叉的論點沒道理，但看到他這 麼認真解釋，倒是無言以對。 「學妹既可愛又體貼，怎麼都找不到拒絕的理由，所以我就答應了。」 阿叉開朗地笑。語氣像條開口向下的拋物線，先上揚，一會兒又往下掉，慢慢變得沉重。 「但是，這跟別人說的刻苦銘心的戀愛又不一樣。我朋友常說，他們跟喜歡的人見面時會緊張， 會臉紅心跳，我從來沒有過這種感覺。」 雲方一頭霧水，阿叉問：「老師有嗎？」 「有什麼？」 「有過跟喜歡的女生約會，既緊張又期待的經驗。」 被太多人喜歡，反而沒辦法體驗「害怕得不到」的緊張嗎？ 雲方覺得怎麼聽都像是「有錢人想體驗窮人生活」的劇情。他用同時摻雜了自豪跟自卑的語氣回 答： 「有——」 「我就知道老師一定有。」 雲方不知道聽到這話該開心還是該生氣。 「老師可以分享一下嗎？」 雲方緩緩嘆了口氣。事實上，從站在牆邊往下望起，他就想起了一段也在高樓上發生的往事。雲 方忘記教室裡還有正在等他（？）的學生，娓娓道出那段回憶。 ※ ※ ※ 我在你這麼大的時候，101 還沒蓋好，台北市的頂點是火車站前的新光三越。有一天，我存了兩 個月的便當錢，約了在補習班認識的外校女生去新光三越頂樓展望台。站在展望台的窗邊，行人小得 像芝麻、汽車小得像抬著芝麻的螞蟻，台北盆地盡收眼底。下雨了，在地面是抬頭看雨滴從天而降， 但在展望台上，是低頭看雨滴往地上撒。 「好漂亮的畫面噢。」 女孩這樣說，我想回「再漂亮也沒你漂亮」，但拿人跟雨來比較好像不怎麼恰當，比雨漂亮這種
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讚美恐怕也會讓人不知道該怎麼開心吧。 這一猶豫，就錯過說話的時機了。 「對對，我想要的就是這種內心 OS 很多，最後錯過說話時機的感覺，好羨慕噢。」 阿叉的聲音像天啟般，傳進雲方的回憶裡。 她靠著窗邊說：「如果沒有被盆地擋住，一直往外望，站在這麼高的地方看得比較遠，是有多遠 呢？」 室內的冷氣很強，她的聲音停在牆上，化成一團霧氣。 我愣怔怔地站在一旁，只顧著嫉妒那片玻璃，又想起小時候被同學罵過「玻璃」，到底罵人「玻 璃」是什麼意思呢？耽溺於年少過往，我又輕易錯過了一次在心上人面前表現的大好機會。 「事後老師有想過，當下應該怎麼說比較好呢？」 我後來想應該要趕快挨近她身邊，在她呵出的那團霧氣上畫一個大大的圓，圓上面畫兩個小人依 偎在一起。接著以小人為起點，畫一條與大圓相切的切線。
她必然一臉迷糊地看著我，我露出自信的微笑，告訴她：「這是地球，上面的兩個人，是站在新 光三越頂樓上的我們。地球半徑約為 6400 公里，新光三越展望台高度為 250 公尺，利用畢氏定理， 2 2 從我們所在位置畫出去的切線長度 x 為 ^0.25 + 6400 h = 6400 + x 。」 2
我將俐落地列出一元二次方程式，但計算過程有點複雜，又不能要她連續呵氣，弄出一大面霧氣
供我計算，於是我趕緊化簡式子 2 2 「 ^0.25 + 6400 h = 6400 + x 式子展開，左邊是 2
2 2 0.25 + 2 # 0.25 # 6400 + 6400 ，
第一項跟後面兩項比太小，可以忽略，第三項地球半徑平方又可以跟右邊第一項消掉，整理一下 2
可得 x 近似於 2 # 0.25 # 6400 x 近似於根號 ^2 # 0.25 # 6400h = 56.6 公里。 也就是說，站在展望台的我們能看到 56.6 公里以外的景色。大概是宜蘭、還有東北角外海好幾 公里的地方。」 她露出崇拜的眼神看著我，扯著我的袖子問我怎麼那麼聰明，要我教她數學。我裝作勉為其難， 苦笑地答應，繼續若無其事地賣弄：
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「方才的式子可以化簡成，看到的距離 = 根號 ^2H h # 80 公里，H 是眼睛的高度，以公里為單位。
如果要換算成以公尺為單位，要除以 1000，變成『看到的距離 = 根號 ^20hh # 0.8 公里』，這時 h 的
單位就是公尺了。
換句話說，假設有一天我們去旅行。飛機失事降落在一望無際的草原上，我們走散了，在草原尋 找對方的蹤影。這時候，我比較有可能找得到妳。」 「為什麼，說不定是我會先找到你啊。」她賭氣地說。 「因為我身高 1.7 公尺，眼睛位在 1.6 公尺的位置左右，而妳的眼睛大概位在 1.5 公尺高。所以 我們各自能看見的範圍大概是 4.53 公里和 4.38 公里左右，只要沒有障礙物，我可以看得比妳遠 150 公尺。我還是高中生，說不定我還會再長高到 1.8 公尺，那樣的話，我可以再多看 130 公尺。為，為 了妳，我會長高的。」 「那答應我，你不能只是長高，還要練習跑步。」 「為什麼？」 「因為就算看到我了，我們之間的距離還有 4.53 公里。你要趕快跑過來接我……」 「天啊，老師的內心世界也太豐富了吧！！而且想像的劇情裡還有這麼多數學，哈哈，對不起， 我肚子好痛，哈哈哈……。」 阿叉的聲音將雲方從想像世界中扯回來。阿叉雙手合十，高舉過頭跟雲方道歉：「雖然破壞老師 的想像不太好意思，但根據我的經驗，只能說，還好老師你沒把這段數學說出來。不然場面一定冷斃 了。」 說到最後幾個字，阿叉露出相當正經的表情，雲方愕然地回：「真的嗎？不會覺得很浪漫嗎？」 阿叉拍拍他的肩膀：「除非對方是女的孝和。」 「真的不會嗎？」 「相信我，老師，如果說我是戀愛界的麥可喬丹，那你應該就是戀愛界的阿叉，哈哈。」 「真的不會嗎？」 「等等，這舉例怪怪的，戀愛界的阿叉聽起來好強噢∼∼」 夕陽輕輕落在雲方和阿叉的背上，兩人重複最後幾句的對白，往下樓的鐵門走去。
圓與直線 一個圓跟一條直線之間有三種可能的相處模式：沒接觸；接觸一個點（切點）稱為相切；接觸 兩個點（直線通過圓）稱為相接。當相切時，圓心與切點的連線，與直線間的夾角為九十度。 也因為這個直角，這篇文章才能使用最知名的數學定理——畢氏定理：直角三角形與直角相接 的兩邊邊長平方和為第三邊的平方，來計算出到底能看多遠。
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數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：展望臺上的約會數學 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 雲方將畢氏定理簡化後為「看到的距離 = 2H # 80 公里，其中 H 為眼睛的高度，單位為公里」， 請說明其簡化過程。
2. 承上題，依據公式的推導過程，試推論：雲方身高 1.7 與補習班的外校女生身高 1.5 各自能「看到 的距離」為何分別為 4.53 公里以及 4.38 公里。 身高
推論「看到距離」的過程
結果
雲方身高 1.7 公尺
4.53 公里
外校女生 身高 1.5 公尺
4.38 公里
3. 請同學們依各自的身高計算，若是站在 101 大樓的觀景樓（可估算高度），依據本文所述，可看到 多遠的距離？
二、知識搜查線 （一）圓與直線的相交情形有三種，試說明是哪三種？
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（二）承上題，如何利用距離公式表示圓的方程式，試說明你的過程。
（三）圓與直線的關係判別： 1. 由代數解判別圖形的關係
*
ax + by + c = 0 2 2 x + y + dx + ey + f = 0
若： 1 有二個不同的實數解，則 2 恰有一組解，則 。
3 無實數解，則
2. 由幾何－弦心距判別圖形的關係 設圓的半徑為 r，圓心到直線的距離為 D，若： 1 D 2 r ，則
；
2 D = r ，則
；
3 D 1 r ，則
。
補充公式 ： 點 P ` x0 , y0 j 到直線 L | ax + by + c = 0 之距離： d _ P , L i =
ax0 + by0 + c 2 2 a +b
例：已知直線 L | kx - y - 1 = 0 ， C | x 2 + y 2 - 4x - 2y + 1 = 0 ， k d R ，試就 k 之值，討論直線 L 與圓 C 的關係？
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三、綜合練習 2 2 1. 若圓 C | x + y = 25 與直線 y = 2x + c 不相交，求 c 的範圍。
2 2 2. 若圓 x + y + dx + ey + f = 0 與 x 軸交於相異兩點 A、B，求 d, e, f 應滿足何種條件？
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排唸書進度也需要數學 「晚安，在幹嘛呢？」 「下週要考試了，都唸不完。」 我抬頭看螢幕，遊戲「正在讀取中」的長條圖走到 3/4，心裡閃過一絲罪惡感。 「我也正要準備唸書。」 我沒說謊，準備再打五場，三小時後唸書。 開始和小昭用 LINE 聊天後，我發現她很認真，每天都在唸書。如果是別人，我早就虧她「今天 有去安親班嗎？」、「不，我不是說打工，是說你去上安親班，繳學費的那方。」 但小昭只會讓我自慚形穢，她好上進，我好糜爛，連反省也是在遊戲讀取的空檔。 遊戲開始，MathKing 跟我走同一條路線，那是孝和的帳號。 「她每天都用唸書當藉口來拒絕你嗎？」 「我還沒約！」 我點擊滑鼠，對一隻小兵用了絕招，小兵被炸得四分五裂。 「心虛就算了，不要浪費魔法點數。」 「該怎麼幫助小昭唸書更有效率啊？」 我們在系上的電腦教室。雖然可以在家玩，但坐在旁邊並肩作戰的感覺還是比較好，照我剛剛跟 小昭的說法是——留在系上唸書。 「她沒有接著說『改天可以一起唸』……」 孝和盯著螢幕臉上露出「怎麼可能」的表情。 「用網路聊天很開心，但人與人深交還是需要見面啊，就像我們要坐在一起打電動。」我嘆了口 氣說。 「我們只是說垃圾話比較方便。你們也說垃圾話？」 「我們說情話！見面才能看見表情，知道她說話的時候是微笑、大笑，還是嬌羞。見面才能聽見 聲音，知道她的語氣是輕快的，還是不帶情感，又或是害羞。」 「你有病，一直希望對方嬌羞害羞。」 我用連續技解決掉敵人，繼續說。 「見面才能看見整個人，她的手托腮嗎，還是放在桌上？腿上？我的手上？」 「這是發花癡，不是在講見面的意義了吧。見面的確有意義，有更多資訊，就能更了解對方的心 思。」 孝和從旁邊突襲，發動範圍技，我們少打多，解決掉三個對手。 「被你說得好像在測謊。」 大概是從我遊戲人物的步伐中看出了沮喪，孝和自以為不著痕跡地安慰我。
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「或許她唸書得專心一個人吧。」 「你也這麼覺得嗎！？」 「我們是不是這麼覺得不重要，而是只能這麼覺得。畢竟就算這真的是藉口，你也不能怎樣。哎 專心一點！」 我的弓箭手角色在會戰時走到最前線，連一發箭都沒射出就領便當了。孝和對盯著螢幕發呆的我 嘆了口氣，說：「不要只會打順手球啊，你應該用數學來一場大逆轉。」
數學唸書術 「唸書其實就是時間管理。大學以前的課業有範圍。作為第一順位，唸書的目標是：用最少時間， 學懂該學的知識。得趕快唸完才能去玩。這是一個最佳化問題，目標是時間，限制是要唸的書。」 孝和跟我拉了兩張椅子坐在印表機旁，他繼續說。 「大學後，唸書變成眾多事情的其中一項，範圍又不像高中那麼固定。所以唸書目標轉變成：在 一定的時間內，盡可能唸完最多書。」 「差別在哪？」 這不是同一件事的換句話說嗎？ 「最佳化問題改變了，要最佳化的是吸收的知識量，限制是一定的時間。大學以前唸不完就不敢 睡覺，現在是最多唸到十二點，唸多少算多少。」 孝和從印表機裡拿出一張紙，在背後寫上了
「subject to 後面接的就是限制，要滿足這個限制條件。這稱為『受限的最佳化』（constrained optimization），這兩個問題差別在於，最佳化的目標跟限制式剛好對調——」 有人遊戲輸掉罵了一聲髒話，孝和被打斷，像當機一樣停了幾秒，接著說： 「給定時間內最有效率的唸書方法，我的經驗是『不同性質的科目交替唸』，才不會因為一直算 數學而彈性疲乏。」 「你應該只想唸數學吧。」我盯著孝和諷刺地說。 「如果其他科有數學的一半有趣，我會考慮多喜歡它們一點。」
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「竟然對數學做這種噁心的告白……很好，我要學起來。但我的話是喜歡一次唸完同性質的科 目。」 孝和點頭。 「每個人唸書習慣不同，但我們都同意，存在一種最適合自己的唸書順序。現在，假設一位同學 有七科要唸：物理、數學、化學、國文、歷史、地理、英文。他的唸書習慣是—— 數學前後要接物理跟化學； 物理前後是化學、數學，不過物理有很多應用題，所以也可以接著國文唸； 化學跟物理類似，前後可以是數學、國文、物理； 國文前後是物理、化學，也可以是歷史、地理； 歷史跟地理、國文接著唸，有外國史所以也能接著英文； 地理跟歷史類似，前後可以接歷史、國文、英文； 英文則只能接在歷史、地理之間唸。」 「有要求這麼多的嗎！又不是挑食，唸書還有這麼多規矩，在唸書之前他可能得先花上一倍的時 間擬定唸書計畫吧。」 我不以為然，孝和在我埋怨的同時低頭畫了一張圖：
「柯南的領結？」 「它叫做『圖論』，是用來表示關聯性的一門數學。」 孝和的數青模式要啟動了。 「圖論緣起於『柯尼斯堡七橋問題』（Seven Bridges of Königsberg）：柯尼斯堡有七座橋，當地 居民在橋上散步、遛狗，久而久之，他們好奇能不能在不重複的情況下，一次走完七座橋。」 我又盯著孝和看。他嘖了一聲說： 「不信的話自己上網查。有人拿這個問題問數學家歐拉（L.Euler）。歐拉覺得莫名其妙，他沒去 過柯尼斯堡，這也不是數學問題，幹嘛問他。」 「就算是數學問題，我還是覺得莫名其妙。」 「但歐拉很快就發現，他可以『證明沒辦法一次走完』。」 「他去了柯尼斯堡一趟？」 孝和不以為然地冷笑了一聲。 「數學家可以抽象化問題，解決抽象問題，等同於解決了現實問題，根本不需要去柯尼斯堡走一 趟。」 「我要是柯尼斯堡鄉民，才不會信一個連走都沒走過的人。」
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「真相的存在，並非取決於人們是否相信。」 「再加個風景照，弄個字體，就可以把這句話做成長輩圖了。」 我虧孝和，視線回到他畫的圖，每條線段旁邊寫著科目，線段跟線段的交點標上數字。再仔細看， 數字剛好是點所連結的線段數目。孝和的聲音從旁邊傳來。 「這個數字稱為度數（degree），歐拉從柯尼斯堡七橋問題發展出圖論這套用點跟線來分析現象 的數學領域。在柯尼斯堡七橋問題裡，每一座橋就是一條線。在我們這邊，一個科目就是一條線。線 段間的連結則是根據唸書規劃。剛剛的例子是數學要跟物理或化學接著唸，所以你看數學的線段就跟 物理、化學連接。」 我有點意外，兩件完全不同的事情，被數學抽象化之後竟然是相同的。 「德國作家歌德說過：『數學家都是法國人，他們會把你說的話用自己的語言重新講一次，然後 就變成截然不同的事情。』」 「我懂歌德的心情。」 「歌德少說了一件事，數學家可以把不同表象的事物，歸納成同一件事情，就像這個例子。所以 數學家只要發明一套解決方法，就可以同時解決很多問題。在這邊，歐拉發現想要一次走完全部的線 段，最多只能有 2 個點的度數是奇數。超過了，就無法一次走完。」 「規則這麼簡單？」 「還有，奇數點要做為起點。」 我低頭，這張圖只有兩個點的度數是 3，其他都是偶數。我伸出食指，從左邊的 3 出發，物理→ 數學→化學→國文→地理→英文→歷史，哎，還真的繞完了。但如果改成從左上的 2 出發，數學→ 化學→物理，卡住了。 「為什麼啊？」 我發問，孝和用問句回答我 「度數是 1 的點會發生什麼事？」 「走進去就出不來了。」 「度數是 2 的點？」 「可以直接穿過去，有進有出。」 「度數是 3 呢？」 我懂了，度數 3 是一進一出，會用掉兩條線，然後就變成了度數是 1 的點。 「起點是『離開不回來』，終點是『進去不出來』，所以可以用度數為奇數的點。其他點就不行。」 「不錯，你這樣跟小昭解釋，她應該就懂了。」 孝和補充： 「不過要注意，一種敘述可以畫出好幾種不同的圖。」
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他拿起筆畫了另一種圖。
「像這個同學的唸書習慣也可以畫成這樣，但如此一來奇數點太多，就無法一筆畫走完。簡單地 說，敘述跟圖不是一對一（one to one），而是一對多，或是多對多……」 這根本不叫「簡單地說」，我忽略孝和的聲音，趁著圖論的知識還沒忘光光，趕快拿出手機傳訊 息給小昭。
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數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：排唸書進度也需要數學 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 根據本文，孝和繪製的「柯南的領結」是用來解釋甚麼問題？試描述這個問題。
2. 文章內所提到，孝和所繪製數學唸書術上的數字 3,2,1 稱為什麼？又代表什麼含義？
3. 本文中所繪製的圖形（如下圖）是否存在著一條讀書計畫，能夠把每個科目都讀過一遍？為什麼， 試說明你的理由。
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4. 文章內所提到下圖存在著一條讀書計畫，能夠把每個科目都讀過一遍，試問能夠有幾種不同的讀書 計畫 ( 科目順序不同，即代表不同的讀書計畫 )，並找出所有的可能性。
二、知識搜查線 （一）圖論起源（哥尼斯堡七橋問題） 在德國有一座小城叫做哥尼斯堡，這座小城在歷史上曾是德國的文化中心之一（二戰之前屬於德 國的領土，是今天的俄羅斯加里寧格勒），而數學中著名的哥尼斯堡七橋問題（Seven Bridges of Koenigsberg）就源於這個城市在哥尼斯堡市區，這個問題的描述是：有一條普雷戈利亞（Pregolya） 河流經，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。當地曾有人提出：在所有橋都只能走一 遍的前提下，如何才能把這個地方所有的橋都走遍？這就是著名的哥尼斯堡七橋問題。
圖 1、哥尼斯堡七橋問題 著名的瑞士數學家萊昂哈德·尤拉（Leonhard Euler）在 1735 年提出並沒有方法能解決這個問題， 他更在第二年發表在論文《柯尼斯堡的七橋》中，證明符合條件的走法並不存在。這篇論文在聖彼得 堡科學院發表，成為圖論史上第一篇重要文獻，也成為拓撲學的起點，但是在尤拉的論文中從來沒有 出現過任何現代意義的「圖」，而該問題與一筆畫之間的聯繫直到 19 世紀末才被人們提及（數學傳 播季刊 36 卷 4 期）。 圖論是離散數學的分支，是一門專門研究圖（Graph）的理論。圖（Graph）是由點（Vertex）和 邊（Edge）所組成，而研究的重點在於點與線的結構 ( 連結 ) 關係。
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（二）關於七橋問題的解 1. 數學化 將七橋問題進行數學化後就能夠抽象簡化為平面上的點與線組合——將每一座橋視為一條「線」、 橋所連接的兩岸和小島視為「點」（即圖 2 轉換為圖 3），因此這個問題就會變成了一筆畫問題（能 否從某一個點出發後，走過所有的邊而沒有重複，最後再回到這個點）。而哥尼斯堡七橋問題則是 一筆畫問題的一個具體情境。
圖 2、七橋問題
圖 3、數學化後的七橋問題
2. 名詞解釋 1 頂點的度數（degree）：頂點所連接的邊數稱為該頂點的度數（如圖 4）。 2 奇點（odd vertex）：頂點的度數是奇數的點稱為奇點。 3 偶點（even vertex）：頂點的度數是偶數的點稱為偶點。
圖 4、度數 3. 一筆畫問題 1 對於一個給定的圖，如果存在超過兩個奇點，那麼滿足一筆畫的路線不存在。 2 如果只有兩個奇頂點，則可從其中任何一地出發完成一筆畫。 3 若所有點均為偶頂點，則從任何一點出發，都能夠一筆畫完成。
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說明 1 奇點： 若有一點的度數為奇數，則經過數次「一進一出」後，進入後便無法出來，且奇點經過「一進 一出」後依舊會是奇點（如圖 5）。
圖 5、奇點 2 偶點： 若有一點的度數為偶數，則可經數次「一進一出」，且經過偶點，「一進一出」後依舊是偶點 （如圖 6）。
圖 6、偶點 3 起點和終點相同的一筆畫問題 （參考資料：從柯尼斯堡七橋問題看數學思維的重要性） 在起點和終點相同的一筆畫問題中，度數在經過的過程會「邊走邊減」，直到所有頂點的度數 都變為 0，亦即如果還存在度數不為 0 的頂點，就會存在未經過的邊。 任何一個頂點，經過「邊走邊減」之後，頂點度數的奇偶性不變（原先是奇點的依舊是奇點、原先 是偶點的依舊是偶點）。由此我們可知度數最後會變為 0 在原先圖中為偶點。且起點的度數亦為 偶點（起點出去的度數減 1，回到終點度數也會減 1）。因此在「起點和終點相同」的一筆畫問題中， 圖中的頂點都是偶點。
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4 起點和終點不相同的一筆畫問題 （參考資料：從柯尼斯堡七橋問題看數學思維的重要性） 和 3 相同，凡是過程經過的頂點全部是偶點，只有起點和終點是奇點（從起點出去不會再回來， 因此度數減 1 後會直接變為 0；同樣的，終點的度數只有最終回來的度數會減 1）。因此在「起 點和終點不同」的一筆畫問題中，圖中頂點的度數只會有 2 個奇點 ( 即起點和終點 )。 4. 回到七橋問題 能否一筆畫？
5. 試以本文的科目為例，嘗試描述自己的唸書習慣，並將自己的「讀書唸書術」繪製成可一筆畫問題 的圖形。
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打工偷懶前請學內插法 隔天早上，雲方又來到咖啡廳吃早餐。窗外行人緊湊的步伐，讓他想起某份數學研究提出，用行 人的腳步來衡量一座城市的規模：大城市的人生活緊湊，步伐較快；鄉村生活的步伐則比較慢。照這 個規則來看，學校附近還挺都市化的。捷運站出入口像螞蟻洞般，不斷有人進進出出。螞蟻洞外站了 三位穿背心的工讀生，兩個在發傳單，一個低著頭，在按碼表統計人數，遠遠看起來有點像欣妤。 等等，根本就是欣妤啊。 ※ ※ ※ 坐在對面的欣妤臉上掛著大大的笑容，一臉期待地將楓糖漿淋在鋪滿水果的鬆餅上。雲方問：「上 課時間為什麼妳會在這邊？」 「老師不也在這邊嗎？」 「我負責課輔班，白天沒事就不用去學校。」 「當老師真好，竟然大白天就可以打混啊。」 「就說我不是打混了，妳不要轉移話題。」 雲方拿出為人師表的氣勢，「妳為什麼上課時間在打工，其他人知道嗎？」 雲方指的是其他老師，但欣妤卻像被抓到把柄一樣，瞬間放低姿態說：「老師不要跟積木說噢， 拜託，我請你吃飯。」 「這頓飯是我請的吧。」 「不然這頓飯我自己出錢，就當作是我請老師。」 欣妤把帳單拿到自己那側。雲方愣住，一時無法理解她話裡的意思。 「因為老師請我理所當然。所以我自己出呢，就相當於是我反過來請老師了啊。真是的，數學不 是很講究邏輯嗎？」 欣妤搖搖食指，雲方嘆了口氣，不打算提出反方答辯。 「好吧，但妳打工連積木都要瞞……家裡出了什麼事嗎？」 說到最後幾個字，雲方的口吻轉為擔心。他所能想到的欣妤隱瞞的理由，只有可能是金額過大， 高中生情侶之間無法解決的問題。 欣妤搖搖頭，切了一片鬆餅送進嘴裡：「跟家裡沒關係，老師真的不是一般的遲鈍哎。有交過女 朋友嗎？一定沒有吧。」 「怎麼可以用叉子指老師。」 雲方躲叉子，欣妤繼續說：「瞞著積木，當然就是跟積木有關啊，答案是——我們的交往紀念日 快到了，我要存錢買禮物送他。」 「啊？」 「有什麼好驚訝的，送給積木的禮物，哪裡還有用他錢的道理。老師有交過女朋友嗎？一定沒有
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吧。」 雲方這下恍然大悟了。之前討論合作社抽獎時，欣妤說過「有些東西，是積木也不能買給我的」， 前陣子在百貨公司地下街遇到欣妤跟積木時，她穿得跟現在很像，恐怕從那時候起就在打工了吧。雲 方感動地說：「看不出來妳這麼用心。」 「當然囉，感情是需要經營的，我希望能跟積木永遠在一起。」 欣妤毫不掩飾對積木的情感。「高中生的戀愛真純粹啊……」雲方的心頭發熱。通常這時雲方應 該會說：「上數學課也這麼積極就好」，但此時雲方吐出口的是：「好，妳說老師能幫妳什麼，我們 來一起想想看！」 「給我五千塊。」 「啊？！妳不是要自己打……」 「哈哈，開玩笑的，老師幫不上什麼忙，別亂說就好。」 欣妤又用叉子指著雲方，作勢威脅，接著收回叉子說：「啊，不然老師幫我一個忙好了。」 欣妤的工作是替廣告公司統計捷運站各時段的人潮。讓公司評估何時該派多少工讀生發傳單。欣 妤從包包裡拿出幾張滿是摺痕的紀錄表，密密麻麻寫滿數字。 「這是我上週的記錄，早上七點到十二點，每 15 分鐘為單位統計一次，得連續記一個月。無 • 聊 • 死 • 了。同樣都是機器，碼表怎麼可以這麼無趣，完全比不上手機，要是我是碼表，早就羞愧 到讓自己絕種算了。」 「碼表的確快絕種了。」雲方在內心回答。他研究起資料。欣妤又點了一份鬆餅，「這份回到正 常模式，交給老師請我囉。謝謝老師。」 「為什麼妳可以吃這麼多？」 「工作消耗很多體力啊，像老師這種靠頭腦賺錢的人，是不會理解我們的困擾的。」 從日常反應的觀察，雲方覺得欣妤思緒很敏捷，只可惜不愛上課，不然學業表現絕對會比現在提 升許多。他想起欣妤對數學的評價是——
我跟你是朋友嗎？誰跟你熟啊。 就是這種不愛學習的態度啊……等等！雖然老師不該教學生偷懶，但說不定可以趁這個機會…… 雲方評估了一下，他說：「其實，有方法可以讓你的工作變得輕鬆許多。」 「真的嗎，老師太棒了！！快說快說！」 「妳看這些資料，從七點開始人潮逐漸增加，八點半達到高峰，之後慢慢遞減，十一點是最低點。 接近用餐時間人潮再度往上攀升。表示人潮變化是連續、有相關性的。」 雲方拿了桌上擺的店內筆，在餐巾紙上畫了一條曲線。 「所以妳不需要一直站在那邊，只要每個整點統計一次，再利用數學估算出沒統計到的十五分、 半小時、四十五分，人潮各是多少即可。」 雲方特別強調了數學兩個字。 「是說我可以溜來咖啡廳打混，只要每隔一小時出去記一次 15 分鐘的人潮就好了嗎？」
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「嗯，給定已知八點統計的數據是 y1 ，九點的是 y2 ，中間的八點十五分、八點三十分、八點 四十五分各是 x1 、 x2 ， x3 ，是要求出來的未知數。妳可以用線性內插法。」 「線性內插法？」 「對，假設一段時間內，數據呈現近似線性的變化時，就可以使用線性內插法。」
雲方在紙上畫下了一張圖，邊講邊寫下計算過程。 「利用相似三角形的觀念， 八點十五分的人數 x1 是 y1 加上
x1 =
「同樣地， x2 是 y1 加上
` y2 - y1 j 2
` y2 - y1 j 4
，整理後可得——
3 1 y1 + y2 4 4
，可得——
x2 =
2 2 y1 + y2 4 4
「分數化簡後， x2 是 y1 與 y2 的平均，是因為 x2 剛好落在兩者中間的緣故嗎？」 從沒專心上課的欣妤，此刻卻認真發問，試圖用自己的話重新解釋一次雲方教給她的知識，雲方 欣慰地回答： 「沒錯，完全正確。最後， x3 是—— x3 =
1 3 y1 + y2 4 4
利用這個方法，妳不僅可以求出八點十五分、八點半、八點四十五分的人潮，還可以算出任何一 個時間點的結果，只要計算出這個時間點與八點和九點這兩個整點的時間差，再利用這個式子即可 x n = _1 - n i y1 + ny2
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好比說八點五十三分， n 是
53 。帶進去就可以算出來了。」 60
「好棒噢，老師真厲害。」 欣妤開心地試算了幾組，和統計的結果比對。但一會兒，她的笑容逐漸消失。雲方問：「不準嗎？ 應該不會吧？」 「是滿接近。只是線性內插的結果會讓人潮變化呈現線性，我擔心公司會不會看穿這些數據是算 出來的。老師你看，還滿明顯的吼。」 雲方瞪大了眼睛，沒作弊過的他在這方面的思慮周延度完全比不上欣妤，他手托著下巴思考了一 下後說：「不然，線性是一次方程式，越高次的方程式，畫出來的圖形越圓滑，越不容易被發現。我 寫一條二次內插公式給妳。」 宛如交代錦囊妙計，雲方寫下一串複雜的公式。 yn = 「以八點十五分來說， n =
2 n -n
2
y1 -
2 n -1
1
y2 +
2 n +n
2
y3
1 ， y1 、 y2 、 y3 ，各自是七、八、九點的統計結果。」 4
欣妤頭湊到紙前面，彷彿以為吃掉這張紙就可以搞懂這道式子，她從跟線性內插比起來最明顯的 不同之處問起：「為什麼需要三個時間的統計結果？之前要算八點十五分，只要八點跟九點就可以了 啊。」 雲方解釋：「因為線性內插是假設統計結果的變化是一次的線性方程式，現在則是假設變化為二 次的曲線方程式。」 雲方寫下二次方程式的標準式子 2 y = ax + bx + c
「我們相當於在解一條二次曲線，一條二次曲線需要三組數據才能夠決定這道式子裡的三個未知 係數（a,b,c）。」 「但這樣，算八點十五分的統計結果，為什麼得用七點、八點、九點，不能用八點、九點、十點 嗎？」 雲方這下更開心了，會問出這問題，表示欣妤真的理解了內插的意思。他回答：「通常我們會選 時間靠比較近的那組，這樣會比較準。但其實也可以改用三次方程式來內插，一次用四組統計時間， 式子是——」 「等等，太難了啦，再講下去我也聽不懂了。」 欣妤制止雲方繼續講下去，自己在餐巾紙上寫起算式，研究內插法。雲方索性好老師做到底：「不 然妳來統計整點的時間，我幫妳寫程式，跑出每隔十五分鐘的統計人數吧。」 沒想到，欣妤立刻回絕：「不行，這樣就不算『自己打工存錢送積木禮物』了，有公式幫我就很 夠了噢。」
62
欣妤笑吟吟地摺好餐巾紙，放進口袋。雲方感受到這句話中伴隨的幸福感。在教室裡像是大姊大 的欣妤，坐在咖啡廳裡，看起來果然還是孩子，流露出女高中生才有的純真可愛。 等等，她剛剛說的是「有公式幫我就很夠了噢」嗎？ 雲方原本想趁機跟欣妤說：「不會數學或許看不出對生活有什麼影響，但會了數學，絕對可以讓 生活中某些事情變得簡單，好比這次打工。」 似乎欣妤已經先一步體驗到了。
多項式 託 數 學 之 福， 很 多 人 最 討 厭 的 英 文 字 母 是 x， 第 二 討 厭 的 是 y， 因 為 動 不 動 就 要 解 像 是 y = ax + b 這樣的方程式。 y = ax + b 的式子右邊就是標準的「x 的多項式」。顧名思義，即是 k
「以 x 為變數，有很多項的式子」。K 次多項式則是看 x 的 k 值最大為多少，如果是 3 次方 （ k = 3 ），就稱之為三次多項式。每一組多項式都可以在平面上畫成一條曲線，一次多項式 是直線，二次是拋物線。越高次的多項式，對應的曲線變化越大，因為只要 x 變化一點點， 2
3
x 、 x 變化會更劇烈。
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數學素養——
超展開數學教室學習單 主題名稱：打工偷懶前請學內插法 班級： 座號： 姓名：
一、文章分析 1. 本文中雲方替欣妤想的線性內插公式，是為了解決何種問題，表示線性內插公式存在何種問題？
2. 本文中雲方寫的二次內插公式，可以解決何種問題？
3. 在前次的閱讀理解課程中提及一次以及二次內插法的比較，請再次完成以下表格。 內插法
公式
優點
缺點
猜測影響數值 可能的變因
一次內插法
二次內插法
4. 試解釋本文中的二次內插公式 y n =
64
2 n -n
2
y1 -
2 n -1
1
y2 +
2 n +n
2
y3 中各個變數分別代表的意義。
二、知識搜查線 （一）多項式的定義 n
形式如 ax 的式子稱為 單項式 （其中 a 是實數，x 是未知數，n 是正整數或 0）。 3
例如： 5x ，7x，-4，0 都是單項式。 將有限個單項式用加號連結起來的式子則稱為多項式。 因此，我們可以將以上描述，整理成多項式的定義： 多項式的定義 n n 若 n 是正整數或 0，則形如： f ^ x h = an x + an - 1 x
-1
+ g + a1 x + a0 的式子稱為多項式，其中
an ， an - 1 ，…， a1 ， a0 為實數。
2 6 例如： 5x - 0.5x + 6 ， 3 ， 4x ，0 都是多項式。但是， -
5 1 ， x ， 2 x 就不是多項式。 x 2
（二）插值多項式 日常生活中有許多的問題中都會用函數來表示各結果之間某種存在的規律，不少函數都會透過繁 複實驗和多次觀測來了解。如果對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相對應的 觀測值，則我們可以找到一個多項式，使其滿足恰好在各個觀測的點取到觀測到的值，一般來說當此 多項式的次數大於等於 2 時，牛頓插值法和拉格朗日插值法是常見的方法，能夠幫助我們找到這樣子 的多項式（這個也是超展開數學教室所提到的二次內插公式）。 1. 三點決定拋物線： 一般而言，給定 f ` x j ， f ` x j ， f ` x j ，可以求出 f ^ x h = ax 2 + bx + c ，則 f ^ x h 稱為這三個值的插 1 2 3
值多項式。
我們可以以下述例子做說明： 例題 ：若二次多項式 f ^ x h 滿足 f ^1 h = 0 ， f ^2 h = 4 ， f ^4h = 18 ，試求 f ^ x h 。 【解法一】
【解法二】 牛頓插值法（牛頓 Isaac Newton，1642 ∼ 1727）。
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2. 拉格朗日插值法： 除了上述的方法外，還有一種稱為拉格朗日插值法（拉格朗日 Joseph-Louis Lagrange，1736 ∼ 1813）的假設方式，以下例說明。 例題 ：若多項式 f ^ x h = a ^ x - 1h^ x - 2h + b ^ x - 2h^ x - 4h + c ^ x - 4h^ x - 1h ，滿足 f ^1 h = 0 ， f ^2 h = 4 ， f ^4h = 18 ，試求：1 f ^ x h 。 2 f ^6 h 。
【解法】
拉格朗日插值公式
根據上述條件，多項式 f ^ x h 也是通過 ` x1 , p j ， ` x2 , q j ， ` x3 , r j 三點的拋物線方程式。和前例的
兩個方法相比，拉格朗日插值公式的好處是可以直接“看題目寫答案”，由已知通過的點直接代入公 式，就可以得到一個通過這些點的多項式。
問題與討論 學完上述的插值公式後，試推論本文中的二次內插公式 yn =
2 n -n
2
y1 -
2 n -1
1
y2 +
2 n +n
2
y3 。
三、綜合練習 1. 設 f ^ x h 為二次多項式，且 f ^1 h =- 2 ， f ^3 h = 5 ， f ^4h = 16 。
1 若 f ^ x h = a ^ x - 1h^ x - 3 h + b ^ x - 1h + c ，試求 a，b，c 之值。
2 若 f ^ x h = , ^ x - 1h^ x - 3 h + m ^ x - 3 h^ x - 4h + n ^ x - 4h^ x - 1h ，試求 , ，m，n 之值。
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賽局理論（第一講）
比賽開始 班級： 座號： 姓名：
前言 「賽局」這個詞彙是不是大家都耳熟能詳呢？好像在很多地方聽過這個字眼，對它既熟悉又陌 生，聽過卻不知道它的內涵是什麼。事實上，在生活周遭有許多地方都是賽局，如果能學會這門課程， 大家以後做決策，就能夠三思而後行，做出更明確的決定。今天，就讓我們來一窺究竟吧！
哪些事情可以稱為賽局？ 賽局的定義 〈定義〉賽局： 兩個或兩個以上的玩家在理性的前提下，因追求己身目標而造成行為相互衝突，處於一種對抗 的狀態。
賽局的分類 類別
差異 ：與對手同時行動。
靜態賽局 與 動態賽局
例【猜拳
】
：依照順序行動。 例【象棋
】
：參賽者經過談判協商，能夠彼此合作。 合作賽局 與 非合作賽局
例【計程車費用
】
：參賽者只追求自身最大利益，無需考慮其他人。 例【麻將
】
：參賽者的收益總和保持一定的數值。 零和賽局 與 非零和賽局
例【股票
】
：參賽者的收益總和不會保持一定的數值。 例【拍賣
】
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：參賽者可以知道彼此所有的資訊及動向。 完全資訊賽局 與
例【棋類競賽
】
不完全資訊賽局
：參賽者不能掌握對手所有的資訊和策略。 例【撲克牌
】
收益表製作 組成賽局的元素有三個，「參賽者」、「策略」以及「收益」。因此，若要分析賽局，必須先知 道這三個元素，接下來要製作的收益表，就是要將這三個元素寫出來，讓人一目了然，了解整個賽局 的形式。
策略型收益表（適用於同步賽局） 天真高中有 400 個學生，校園內有兩家便當店，分別是好吃便當和好味便當，一個便當的成本是 50 元，此時兩家便當店在想售價要定 90 元還是 100 元。若兩間價格一樣，則購買的學生恰好各半； 若兩家價格不同，則有 8 成的學生會去買比較便宜的便當。 好味的收益表
好吃的收益表
好味
好味 90 元
100 元
90 元
100 元
好
90 元
〈收益〉
〈收益〉
好
90 元
〈收益〉
〈收益〉
吃
100 元 〈收益〉
〈收益〉
吃
100 元 〈收益〉
〈收益〉
〈參賽者〉 〈參賽者〉
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〈策略〉
〈策略〉
〈策略〉
〈收益〉
〈收益〉
〈策略〉
〈收益〉
〈收益〉
擴展型收益表（適用於序列賽局） 後來，小彎高中也開始找便當業者，好吃便當先得到這個消息，所以好吃便當可以先決定進駐或 放棄，隨後才由好味便當決定進駐或放棄。若兩家都進駐，則各得 10000 元；一家進駐一家放棄， 則進駐者得 20000 元，放棄者得 0 元；兩家都放棄，則各得 0 元。
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賽局理論 ( 第二講 )
Nash 均衡 班級： 座號： 姓名：
前言 前一堂課之中，我們學了賽局的定義、分類、元素以及收益表製作，而這堂課要探討同步賽局， 正式的進入賽局分析的課程，教導大家如何在賽局中，選擇適當的策略。 〈定義〉Nash 均衡： 一種策略組合，在其他人不改變策略的情況下，改變策略者的獲益會小於等於原本的獲益。
Nash均衡（Nash equilibrium） 換言之，Nash 均衡可能是一種「僵局」，在別人策略選擇不改變的情況下，沒有人會想改變原 有的策略。 欲找尋賽局中的 Nash 均衡，我們會利用刪去法，接著就利用上一堂課製作的收益表來示範。 【步驟一】好味便當採用 90 元的策略。在此前提下，好吃便當採用 90 元可獲得 8000，採用 100 元 可獲得 4000，採用 100 元獲利較低，所以將此策略劃掉。 【步驟二】好味便當採用 100 元的策略。在此前提下，好吃便當採用 90 元可獲得 12800，採用 100 元可獲得 10000，採用 100 元獲利較低，所以將此策略劃掉。 【步驟三】好吃便當採用 90 元的策略。在此前提下，好味便當採用 90 元可獲得 8000，採用 100 元 可獲得 4000，採用 1000 元獲利較低，所以將此策略劃掉。 【步驟四】好吃便當採用 100 元的策略。在此前提下，好味便當採用 90 元可獲得 12800，採用 100 元可獲得 10000，採用 100 元獲利較低，所以將此策略劃掉。 【步驟五】所有策略組合中，都沒有策略被劃掉的組合，就是賽局的 Nash 均衡，在此策略組合的右 上角畫 * 字號。此賽局的 Nash 均衡為 ( 好吃便當採用 90 元策略；好味便當採用 90 元策略 )。 好味 90 元
100 元
好
90 元
(8000,8000)
(12800,4000)
吃
100 元
(4000,12800)
(10000,10000)
Nash 均衡是雙方僅考量自身利益，我們可以發現，兩家便當都採 90 元的策略比兩家都採 100 元 的策略來得低，所以此均衡未必會使參賽者獲得最大利益，它是一種僵局，讓每個參賽者不願改變策 略。
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十字路口賽局 南北車 等候
等候
東西車
直行
_0 , 0 i _5 , 1 i
直行
_1 , 5 i
_- 100 , - 100 i
為了讓雙方都能獲益，此類賽局必須有個協調機制，所以發明了紅綠燈，讓東西向和南北向的車 知道，在哪種時刻做出何種策略最好。
猜拳賽局 真 真 剪刀
天 天
剪刀 石頭 布
石頭
布
_0 , 0 i
_- 1 , 1 i
_1 , - 1 i
_- 1 , 1 i
_1 , - 1 i
_0 , 0 i
_1 , - 1 i
_0 , 0 i
_- 1 , 1 i
發現
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賽局理論（第三講）
囚犯困境 班級： 座號： 姓名：
囚犯困境賽局 囚犯困境（prisoner's dilemma） 在賽局理論當中，囚犯困境是普林斯頓大學數學系 Tucker 教授（1950）所提出的一個典型案例， 即便沒有正式學過賽局的人，也聽過這個賽局，接下來我們就深入了解這個例子吧！ 鈴木次郎吉是個大財團的董事長，平時行事高調，某天他被發現在家中被殺害，家中的錢也被偷 走，警方遲遲破不了案，於是找名偵探柯南協助調查。柯南找到琴酒和苦艾酒偷竊的線索，卻沒有他 們兩個殺人的直接證據，但柯南覺得鈴木次郎吉是他們兩個聯手殺害的，所以在偵詢時，向兩個嫌疑 犯提出條件。若都不招供，因為只有偷竊證據，所以各關 1 年；若一個招供一個不招供，則招供者可 免刑，不招供者關 3 年；若都招供，則各關 2 年。 苦艾酒 招供
琴酒
招供 不招供
不招供
_- 2 , - 2 i
_0 , - 3 i
_- 3 , 0 i
_- 1 , - 1 i
這個案例顯示一個議題，就是「個別理性」與「群體理性」之間的衝突或矛盾。以集體理性來看， （琴酒不招供；苦艾酒不招供）應該是甲與乙的最好的策略組合；但由個別理性來看，( 琴酒招供； 苦艾酒招供 ) 才是以自身利益為考量下，會出現的 Nash 均衡。
大棒子策略 犯罪組織為了讓組織的成員被抓的時候，也不要招供，以免危害組織，所以制定了嚴懲條例，組 織會動用私刑，將背叛組織者多關 30 年，原先的賽局會轉變為下列的形式，如此一來，就沒人敢招 供了。這種嚴懲的方法，稱為「大棒子策略」。 苦艾酒 招供
琴酒
招供 不招供
_- 32 , - 32 i _- 3 , - 30 i
不招供
_- 30 , - 3 i _- 1 , - 1 i
警方得知犯罪組織執行大棒子策略，遂發動「招供保護條例」，讓招供者可以改名換姓，以新身 分活下去，避免被組織懲罰，將賽局恢復為原來的形式。
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胡蘿蔔策略 但此次犯罪組織的獲利眾多，不想被警方追查，所以給予獎勵制度，不招供的人，可以獲得相當 於努力 30 年才能賺到的錢，於是賽局又變為下列的形式，一樣沒有人想招供。這種獎勵的方法，稱 為「胡蘿蔔策略」。 苦艾酒
琴酒
招供 不招供
招供
不招供
_27 , 0 i
_29 , 29 i
_- 2 , - 2 i
_0 , 27 i
柏拉圖最適 討論一個賽局，除了 Nash 均衡是最有可能雙方採取的策略組合外，我們也可能會考慮到各種策 略組合之間，是否有某個策略組合會優於另外一個策略組合，19 世紀義大利經濟學家兼社會學家柏 拉圖 (Vilfredo Pareto) 提出下列定義。 〈定義〉柏拉圖優勢（Pareto domination）： 給定兩個策略組合 G1 、 G2 ，若至少有一個參賽者的獲利在 G1 比在 G2 大，且其他人的獲利在 G1 大於等於在 G2 ，則稱 G1 對於 G2 有柏拉圖優勢。 註 ：此處的柏拉圖，並非古希臘哲學家柏拉圖 (Plato)。
例如在一開始的囚犯困境中，兩個囚犯在策略組合 ( 琴酒不招供；苦艾酒不招供 ) 的收益，皆大 於在 ( 琴酒招供；苦艾酒招供 ) 的收益，所以 ( 琴酒不招供；苦艾酒不招供 ) 對於 ( 琴酒招供；苦艾 酒招供 ) 有柏拉圖優勢。 〈定義〉柏拉圖最適（Pareto Optimality）： 給定一個策略組合 G，若沒有其他組合對於 G 有柏拉圖優勢，則稱 G 為柏拉圖最適。 在囚犯困境中，有哪些策略組合是柏拉圖最適？
兄弟分贓 一位老翁有兩個兒子，但這兩個兒子不孝，長年不在老翁身旁，老翁生病，無人協助料理生活事 務，最後病疾而終。後來法官清點其遺產，發現有 100 萬元，理應由兩個兒子繼承，但法官見兩個 兒子不孝，又不想讓兩位兒子繼承，決定出一道難題給兩兄弟。法官分別和兩個兒子密談，告訴兄弟 說老翁有 100 萬元，問兩兄弟想要多少，假設兄想要 x 元，弟想要 y 元，若 x + y # 100 ，則兩人皆 可獲得其所盼；若 x + y 2 100 ，則兩人都拿不到任何錢。 試問： 1（兄 40 萬，弟 40 萬）是柏拉圖最適嗎？ 2（兄 40 萬，弟 60 萬）是柏拉圖最適嗎？ 3 還有哪些策略組合是柏拉圖最適？
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賽局理論（第四講）
金球遊戲 班級： 座號： 姓名：
課前活動：金球遊戲 徵求 2 位自願學生上臺，進行金球遊戲，遊戲規則如下： 1. 先約定有一筆獎金或獎勵分數，可以的話雙方都想獨占獎勵。 2. 雙方面前都放置兩個盒子，盒子內各有一張紙條，一個是平分，一個是全拿。 3. 雙方有 5 分鐘討論，可欺騙對手或展現誠意，藉此了解對方選擇並決定自己的選擇。 4. 雙方選擇自己的策略，並一起公布自己的選擇，結果對應如下： 1 若雙方都選擇了全拿，則雙方都得不到任何獎勵。 2 若雙方都選擇了平分，則雙方平分獎勵。 3 若雙方一人選擇平分一人選擇全拿，則選擇全拿的同學獲得全部獎勵，選擇平分的同學得不到 任何獎勵。
前言 前一堂課我們認識了囚犯困境賽局，上述的金球遊戲活動，是否可以對應到囚犯困境賽局之中， 如何分析選用策略才可以讓自己占優勢？奈許均衡與柏拉圖最適又是哪些策略組合？ 5 分鐘的討論又 如何幫自己創造不敗之地呢？
金球的囚犯困境賽局 分析這遊戲結果完成下方策略組合，並回答下列問題： 玩家 B 平分 平分 玩家 A 全拿
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全拿
1. 此賽局屬於 靜 / 動 態賽局， 零和 / 非零和 賽局。
2. 奈許均衡的策略組合為何？柏拉圖最適的策略組合為何？
3. 遊戲的目的在於說服對手選擇平分，請問你要如何說服對手？
4. 找同學進行一次遊戲，想辦法獨占獎勵 2 平分獎勵 2 沒有獎勵。
※ 參考影片 ※ ※ 說服對手選平分的策略：https://youtu.be/S0qjK3TWZE8 ※ 想辦法獨占的策略：https://youtu.be/p3Uos2fzIJ0 ※ 破解囚犯困境：https://www.youtube.com/watch?v=svoKR8mfNfU
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賽局理論（第五講）
拍賣現鈔 班級： 座號： 姓名：
課中活動：拍賣現鈔 提供一張千元鈔票，給全班拍賣，拍賣規則如下， 1. 出價最高者須付出價金額，並獨得此千元鈔。 2. 出價次高者仍然須付出所出價金額。 3. 每次出價至少比目前最高出價金額高出 50 元。 ※ 遊戲開始前，先請同學猜測會拍賣到多少錢，再開始進行拍賣。 ※ 拍賣過程若於 900 左右停止出價可提醒次高出價的同學仍須付款，需出價以減少損失。 拍賣結果是多少錢呢？跟預想中差蠻大的吧？這其實是著名的拍賣美元的陷阱賽局，通常在出價 到 1000 元時，出價 950 的同學會陷入一個賽局： 出價 950 的同學 放棄
繼續出價 1050
賠 950 元
若得標，只賠 50 元
因為這樣的考慮，會讓同學繼續往上加價，而原本出價高的同學也會落到類似的賽局，進而繼續 加價競標，若沒有適當制止，可能會無止盡的競標下去。
拍賣美元賽局討論 1. 此賽局屬於 靜 / 動 態賽局， 零和 / 非零和 賽局。
2. 均衡策略是否存在？
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3. 想想看，是否有辦法獲得收益並且避免掉入陷阱中？
4. 一般日常生活中，是否有拍賣美元賽局的例子？
※ 假設今天有一家你期待已久的餐廳來臺展店，開幕那天你到場後發現大排長龍，店員告訴你大概 要等 30 分鐘，你評估後認為 30 分鐘可以接受後開始排隊，但 30 分鐘過去後隊伍只前進了一半， 請問你是否繼續排隊？這就是一個拍賣美元賽局的實例。若感觸不深，想想是否有在假日去過大 型遊樂園的經驗呢？在沒告知排隊時間的情況下，看到某個熱門遊戲的隊伍好像沒有排太多人， 但隨著隊伍前進進入到室內（或轉一個彎），發現前方的人龍長度完全不亞於剛剛見識到的長度， 這時你也陷入到一個美元拍賣的陷阱，因為此時你已投入大量的時間，現在放棄就什麼都沒了， 如果堅持排完至少還可以享受短暫幾分鐘的遊戲體驗，所以你會選擇繼續排隊，繼續前往下一個 轉角。
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賽局理論（第六講）
國際情勢 班級： 座號： 姓名：
前言 前幾堂課之中，我們正式的進入賽局分析的課程，教導大家如何在賽局中，選擇適當的策略。而 這堂課我們將要把這些原理套用在國際局勢中來分析討論，並認識著名的「膽小鬼賽局」。
子龍的抉擇 子龍是蜀漢拳館的主力打手，而阿惇則是曹魏武館的總教頭，某天兩人相約到洛陽道館決鬥，搶 奪全國第一的頭銜，贏家不但可以搶得殊榮還可以獲得 50 萬獎金，輸家的話則會被對方鄙視一輩子， 但兩人實力相當，且都沒有把握贏得勝利，想贏得勝利勢必得全力以赴。但若兩人皆全力應戰，會打 得兩敗俱傷，最後無人勝出且各需要 500 萬的醫療費用。若兩人都放水的話則無人勝出且沒有人可 獲得獎金。 請你協助子龍分析應該採取放水策略或全力以赴策略來應對會比較好？ 阿惇 放水
全力
放水 子龍 全力 1. Nash 均衡的策略組合是？柏拉圖最適的策略組合是？
2. 若被鄙視等價於損失 1000 萬，那是否出現 Nash 均衡？是否出現柏拉圖最適？
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3. 根據子龍收集的情報，阿惇是一個非常有原則的人，放水比損失 500 萬還嚴重，那你會建議子龍 的採取策略是？
4. 根據子龍收集的情報，若曹魏武館已沒有財產可以承受醫療費用，那你會建議子龍採取的策略是？
5. 由上述討論可知，資訊得知與否對策略決策有無影響？
膽小鬼賽局/懦夫賽局 膽小鬼賽局（The game of chicken），是賽局理論中一個影響巨大的模型。模型中，兩位賽車手 在一條直線上開車對衝，由於反應時間很短，賽車手只能選擇直衝或轉彎，先轉彎的人就算輸家且會 受到大家的嘲笑，另一人則是贏家，若兩人都拒絕轉彎則最後會碰撞而受到傷害並損失車子，就如同 上方提到的子龍的抉擇一樣，都有一種概念就是「不要命的最大」，取得優勢的方法都是想辦法營造 出自己最不怕死，讓對方趨向膽小鬼的選擇。 如果假設發生碰撞後，醫療與維修成本為 500 萬，那麼其策略組合如下： 車手 B 轉彎 車手 A
轉彎 直行
_0 , 0 i
_0 , 被嘲笑 i
直行
_ 被嘲笑 , 0 i
_- 500 , - 500 i
想在競賽中獲得優勢，就是要看雙方對於被嘲笑的代價是什麼了，在策略上要思考的是如何操作 這代價，想辦法讓對方相信自己絕對不會轉彎，就能占有優勢。 有趣的是，在現實生活中，我們常常不理性去面對這樣的賽局，經常會發生雙雙選擇直行而發生 不可挽回的遺憾，所以當腎上腺素大量分泌的時候，需要一個可以隨時保持理性分析的人在旁提醒自 己，或放大格局從賽局外找到解方，我們可以來看看下面的例子。
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古巴導彈危機的賽局分析 在國際情勢當中，古巴導彈危機是一個經常被拿來印證膽小鬼賽局的例子。1962 年冷戰時期在 美國、蘇聯與古巴之間爆發一場嚴重的政治、軍事危機。事件爆發的主因是蘇聯在古巴部署飛彈，使 得兩國局勢處在一觸即發的狀況，雙方都想壓制對方，雙方都可以選擇強硬或退縮對應，其中可能策 略組合與結果如下： 美國 退縮 退縮 蘇聯 強硬
世界和平
強硬 美國主導世界情勢 蘇聯解體
蘇聯主導世界情勢
第三次世界大戰
美國解體
雙方付出慘重代價
由上述策略組合可知，當時兩國的確是在進行一個膽小鬼賽局，看究竟是誰會先退縮，美國將國 家備戰等級提升至僅次於全面開戰的二級備戰，其實就是一種宣告，告訴蘇聯美國是不會退縮的，同 理，蘇聯也持續採取強硬態度，在古巴境內擊落一架美國 U-2 偵察機，潛艦的 T-5 型核魚雷也準備 就緒，雙方皆處在開戰的邊緣，但在教宗領袖若望二十三世的調解以及雙方領袖私下談判的結果下， 雙方在最後皆採取了退縮的方針，並由美國獲得表面上的勝利（表面上蘇聯先退縮），而蘇聯也獲得 實質的勝利（美國撤出義大利與土耳其的飛彈）。 從策略組合的結果來看，雙方都採取退縮的策略或許是最好的結果，但實際上當下的局勢卻一直 將情勢引導至開戰的狀況上，始終保持理性的教宗領袖若望二十三世以及蘇聯潛艦副艦長阿爾希波夫 可以說阻止了一次世界大戰。也藉此了解，賽局理論不一定可以提供解決問題的最佳策略，但可以提 供一個清楚顯示目前情勢的表格，讓決策者可以藉由一些外部行為去表態自己的選擇或改變表格內的 結果，進而做出最適合的對應策略。
北韓核武賽局 近 10 年來，北韓進行了數次的核試爆及飛彈試射，以下整理主要幾次核試爆規模及聯合國的應 對方式： 1. 2006 年 10 月，北韓第一次核試爆規模 4.3，美國強烈要求封鎖所有進口到北韓的軍事設備。聯合 國對北韓進行寬鬆的武器進口制裁。 2. 2009 年 5 月，北韓第二次核試爆規模 4.7，美國軍方定調為政治問題非軍事問題。聯合國對北韓進 行嚴格的武器進口制裁。 3. 2013 年 2 月，北韓第三次核試爆規模 5.1，美國向南韓輸入導彈防禦系統並導入隱形核武轟炸機。 聯合國則凍結北韓領導人金正恩的資產。 4. 2016 年 1 月，北韓第四次核試爆規模 5.1，美國對與北韓貿易的企業進行制裁。聯合國決議通過禁 止北韓發射導彈。
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5. 2016 年 9 月，北韓第五次核試爆規模 5.3，聯合國禁止各國進口煤炭制裁北韓，藉此打擊北韓經濟。 6. 2017 年 9 月，北韓第六次核試爆規模 6.3。 藉由對膽小鬼賽局的理解，請試著分析北韓近期不斷進行核試爆的目的，以及為何美國及聯合國 只對北韓進行經濟制裁而非武力制裁。請利用策略組合並試著回答下列問題。 美國 退縮
強硬
退縮 北韓 強硬
1. 若你是北韓領導人，你會採取什麼方式增加北韓在談判桌上的優勢？
2. 若你是美國領導人，且你有足夠的武力完全摧毀北韓政權，但若發動攻擊則有 5% 的機會讓國土受 到北韓的核武攻擊，你會採取什麼策略？
3. 若你是聯合國的意見領袖，你會扮演什麼角色？提供什麼建議給這兩個國家並用什麼方式說服？
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賽局理論（第七講）
旅行者的困境 班級： 座號： 姓名：
前言 前幾堂課之中，我們體會到賽局分析的作用，藉由奈許均衡與柏拉圖最適來幫助我們找到最佳策 略，藉由拍賣美元陷阱賽局幫助自己避開陷阱，也利用膽小鬼賽局分析來幫助自己取得優勢，這堂課 我們將帶你認識把賽局分析討論到另一個極端帶來的後果。
旅行者的困境 小布與小羽各有一匹赤兔馬，互不認識的他們都將自己的赤兔馬送到徐州馬場去放牧，但因為牧 場管理不佳，兩匹馬皆因為食物中毒而傷重不治，而兩人分別都跟牧場求償 10 兩黃金。為了評估赤 兔馬真正的價值，牧場主人阿備找來兩人，並將兩人分開避免合謀，請他們分別寫下赤兔馬的價值， 其金額範圍在 2 兩黃金到 10 兩黃金之間。另外還告知他們：如果兩位寫下的數字是一樣的，那赤兔 馬的價值即為該金額，分別賠償兩位該筆金額，但若金額不一樣，則較小金額會被認為是赤兔馬的價 值，且寫下較小金額的人可額外獲得 2 兩黃金作為獎勵，但寫較高金額的人將被處罰扣除 2 兩黃金。 （例如：小布寫下 8 兩，小羽寫下 9 兩，則小布可獲得 10 兩黃金賠償，而小羽只能得到 7 兩黃金。） 請問如果你是小布，你應該寫下多少金額來取得較好的賠償？ 直覺來想，應該是兩人都寫下 10 兩黃金，但如果你不管對方想法而想獲得更多賠償的話，你應 該選擇 9 兩，因為此時你可以獲得 11 兩黃金比本來的 10 兩黃金還要多，但若對方有猜到你這麼做， 那麼他就會寫下 8 兩黃金來獲得 10 兩黃金，而你只能獲得 6 兩黃金，在這前提下你會選擇填下 7 兩 黃金…發現了嗎？若是掉入這個賽局裡，最後兩人都會在賠償單上寫下 2 兩黃金。策略組合如下：
小 布
10 9 8 7 6 5 4 3 2
10
9
(10,6) (9,5) (8,4) (7,3) (6,2) (5,1) (4,0)
(9,5) (8,4) (7,3) (6,2) (5,1) (4,0)
8 (6,10)
(8,4) (7,3) (6,2) (5,1) (4,0)
7 (5,9) (5,9)
(7,3) (6,2) (5,1) (4,0)
小羽 6 (4,8) (4,8) (4,8)
(6,2) (5,1) (4,0)
5 (3,7) (3,7) (3,7) (3,7)
(5,1) (4,0)
4 (2,6) (2,6) (2,6) (2,6) (2,6)
3 (1,5) (1,5) (1,5) (1,5) (1,5) (1,5)
2 (0,4) (0,4) (0,4) (0,4) (0,4) (0,4) (0,4)
(4,0)
在這個例子中，我們發現，當人們都拿賽局分析的結果來做決定的話，可能比採用直覺策略來的 吃虧，也就是說，凡事都過分分析討論會是一個陷阱，適時的停下分析迴圈是非常重要的，以下我們 來進行一個活動，感受類似的概念。
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賽局理論（第八講）
猜均值的三分之二 班級： 座號： 姓名：
猜均值的三分之二 遊戲規則：請全班每一位同學都在 0 ∼ 99 之間選擇一個整數，同學間彼此禁止互相討論，當大家都 決定後將數字展現出來，接著請算出全班數字的平均值，最接近平均數的三分之二的同學 將獲得勝利。 提示：當全班都選擇 99 時，均值的三分之二是 66，所以你應該不會選 87 吧？ 我的選擇：____________ 班平均：_______________
分析：發現問題了嗎？當全班都選擇 99 時，均值的三分之二是 66，所以你排除了 67 ∼ 99，如果全 班都發現了這個事實，那麼此時每人可選擇的數字就落在 0 ∼ 66 之間，但同理當全班都選擇 66 時，均值的三分之二是 44，所以你又你排除了 45 ∼ 66，如此類推下去，若每位同學對於 賽局分析的能力都有一定程度的話，那全班同學應該都會選擇 0，此時全班同學都將贏得勝利。 1. 此賽局屬於 靜 / 動 態賽局，完全資訊賽局 / 不完全資訊賽局。 2. 你認為最佳策略為何？ 3. 這個例子跟旅行者困境的差異？ 4. 若將遊戲規則改成全班可以討論的情況下，會有什麼結果？
結論：目前為止討論的賽局無論是囚徒困境或旅行者困境的賽局中，都建立在無法溝通的情境下，但 由金球遊戲中也了解即使可以溝通，結果不見得會讓雙方都得益，所以建立互信的溝通方式、 收集充分的情報才是決定策略前最重要的事。
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賽局理論（第九講）
賽局推廣 班級： 座號： 姓名：
前言 賽局的討論其實不只是侷限在單一狀況，很多時候也可以利用一些賽局分析來討論較為複雜的情 勢，並將情況推廣至更為複雜的境地，甚至可以幫助我們整理出一些公式做出決策。
海盜分贓的問題 魯夫、索隆、娜美、騙人布、香吉士為草帽海賊團的五位海盜，且他們身分有嚴格的等級制度， 其中魯夫〉索隆〉娜美〉騙人布〉香吉士，有天他們在阿拉巴斯坦王國的一處藏寶地點發現了 100 枚 珍貴的金幣，而草帽海賊團的收穫分配方式為：等級最高的海盜提出一種分配方案，所有的海盜（含 提案人）投票決定是否接受分配，並且在票數相同的情況下，提案人有最後決定權。如果提案通過， 那麼海盜們按照提案分配金幣。如果沒有通過，那麼提案人將被扔出船外，然後由留下來的海盜中最 高職位的海盜提出新的分配方案。在此，海盜在決定投票時都有三個主要原則： 首先，要能存活下來。 其次，自己得到的利益最大化。 最後，在所有其他條件相同的情況下，優先選擇把別人扔出船外。 如果你是魯夫，你會怎麼分配？
討論：先考慮剩下騙人布與香吉士時，騙人布定會提出騙人布 100 枚、香吉士 0 枚的方案，此時因 為騙人布有決定權，故分配成案。 接著討論在娜美、騙人布、香吉士分配的狀況，娜美因為知道上述狀況，故她要收買香吉士， 會提出以下分配：娜美 99 枚、騙人布 0 枚、香吉士 1 枚，此時因為香吉士會比上述獲得的多， 所以會支持娜美的提議，故分配成案。在此狀況娜美必定無法收買騙人布，為什麼？ 再討論索隆、娜美、騙人布、香吉士 4 人的分配狀況，此時索隆也了解上述狀況，所以索隆採 取收買騙人布的方案，提出：索隆 99 枚、娜美 0 枚、騙人布 1 枚、香吉士 0 枚的提案，此時 騙人布為避免剩下三人自己得到 0 枚的情況，會選擇支持索隆的提案，故索隆獲得兩票並擁有 決定權，提案成立。在此狀況下索隆仍無法收買娜美或騙人布，為什麼？
此時你是魯夫，你應該知道如何分配了？
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延伸：若草帽海賊團共有 10 人，職位高低如下： 魯夫 2 索隆 2 娜美 2 騙人布 2 香吉士 2 喬巴 2 羅賓 2 佛朗基 2 布魯克 2 吉貝爾 如果你是魯夫，你會怎麼分配？
延伸：若草帽海賊團共有 100 人，魯夫仍是最高首領， 如果你是魯夫，你會怎麼分配？
延伸：若草帽海賊團共有 201 人，魯夫仍是最高首領， 如果你是魯夫，你會怎麼分配？
延伸：若草帽海賊團共有 202 人，魯夫仍是最高首領， 如果你是魯夫，你會怎麼分配？
延伸：若草帽海賊團共有 203 人，魯夫仍是最高首領， 如果你是魯夫，你會怎麼分配？此時你還活得下去嗎？
延伸：若草帽海賊團共有 204 人，魯夫仍是最高首領， 如果你是魯夫，你會怎麼分配？此時你還活得下去嗎？
延伸討論：※ 若有 203 人，金幣只有 100 枚他需要 102 張贊成票，但只有 100 枚金幣只能收買 100 人， 故無成功提案，必死無疑。 ※ 若有 204 人，金幣只有 100 枚他需要 102 張贊成票，但只有 100 枚金幣只能收買 100 人， 但副首領為避免掉入必死的局，亦會贊成首領的提案，故當人數為 204 人時存在方案 讓首領存活。 ※ 若有 205 人，則首領無法指望副首領跟第三首領，必死無疑。 ※ 若有 206 人，100 金幣收買 100 人，副首領支持他，票數還是不夠，則必死無疑。 請問當人數增加到幾人時，首領可以活下來？（請找到 2 個以上） 結論：這問題其實是一種資源分配的問題，現實生活中往往政治人物手中資源有限，但想獲得足夠支 持就要善用手中的資源，說服部分人榮辱與共，才能持續獲得支持。
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海洋教育桌遊《海食王》 融入高中數學的課程設計： 以高一排列組合單元為例 臺北市立陽明高級中學 教學團隊 王聖淵老師 魏嘉均老師、游正達老師 連紫汝老師、吳林建宏老師
壹、前言 隨著時代思潮與社會的變遷，「核心素養」成為了十二年國教的重要目標，「核心素養」又稱為 「基本能力」或「關鍵能力」。根據歐盟（EU）的界定，能力是知識、技能與態度的整合，並能運 用於特定的情境中。因此《總綱》規劃了「三面九項」的核心素養具體內涵，以數學科而言，期望在 習得數學領域的基本理念與課程目標後，能具體展現應用於生活情境中，以彰顯數學素養培養的理 念。 數學領綱中提到：「教師應引導學生體驗生活情境與數學的連結過程，培養學生能以數學觀點考 察周遭事物的習慣，養成以數學的方式，將問題表徵為數學問題再加以解決的習慣，以提高應用數學 知識的能力。」十二年國教課綱之議題融入說明手冊中亦提及：「議題存在生活的情境之中，藉由議 題教育可引導學生覺知生活中的議題，並從不同領域 / 學科角度對議題加以探究、分析與思考，培養 學生對生活情境問題的分析與解決能力，讓學生從各領域所習得的學科知能更為通透完整，進而追求 共好的價值，並展現具體的行動，完成核心素養的涵育。」 因此，筆者認同十二年課綱對於「議題」 融入學科的重視，在基於社會發展需要的基礎上，引導學生應關心理解的社會普遍課題。 依《總綱》「實施要點」規定，各領域可發揮課程與教學之創意與特色，適切融入各項議題。就 課綱的課程內涵而言，議題融入可以藉由議題的結構性及發展性促進領域知識內容的連結；就教學理 論而言，可藉由議題的連結，使學習內容意義化；就素養能力而言，可以強化學生對議題的認識與了 解，並使學生能獲得議題的相關知識、情意和技能，理解議題發生背景與成因、現象與影響，提升面 對議題的責任感與行動力，進而成為健全個體、良好國民與世界公民。 由此可知，適時的融入教學中的必要性。 近年來，筆者在校內組成共備社群，和幾位教師透過共備時間討論課程，更嘗試引入不同議題於 課程中，例如將風靡臺灣的 NBA 籃球賽融入高中數學課堂，從 NBA 的歷史、賽制，到球員的進攻防 守數據等知識結合到數學課程中，更融入種族文化議題。今年度，筆者群更結合海洋教育桌遊《海食 王》於數學課堂中，期望藉著這套桌遊引起學習者的學習動機，並透過海洋議題的介紹引導學生認識 與理解人類生存與發展所面對的環境危機與挑戰、理解人為破壞對其他物種與棲地所帶來的生態不正
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義，進而能支持相關環境保護政策，以下筆者群將針對桌遊融入數學課堂的操作經驗與各位老師分 享。
貳、課程設計理念 我們翻開報紙，媒體時常會報導海洋危機：諸如英國小海豹遭飛盤鎖喉，小琉球海龜把塑膠袋當 水母食用，馬來西亞領航鯨誤食八公斤塑膠袋致死，臺灣鬼頭刀魚肚內全是垃圾等，但是海洋生靈無 法言語，如何為自己發聲求助，換得一線生機？而在教學現場的老師又如何能夠透過「教育」，讓學 生重視這個議題？我想最好的方式就是讓學生化身成魚，親身體驗生物在汙海求生的悲喜。 其實，以正要上路的十二年國教課綱來說，海洋教育雖未能單獨成為一個授課科目，但卻也是少 數能夠以「融入」課程形式存在的議題之一。在因緣際會下，筆者群發現一款桌遊《海食王》，而裡 頭的海洋生物、鳥類，都是新聞中曾報導被人類迫害的對象：如鯨魚、海龜、信天翁等，而筆者也有 幸能夠認識《海食王 Ocean King》的設計者 Pine 以及 Fennel，也了解了他們開發這一款桌遊的理念：
「人會為自己的權益發聲，但是自然界的生物不會。」設計者 Pine 某日偶聞環教單位這 句感言，於是萌生設計環教桌遊《海食王 Ocean King》之靈感。她希望透過遊戲的過程 體會海洋生物的特質、以換位思考了解人類對於海洋生物的迫害嚴重程度。」
「妳要享受快樂，還是快樂享受 ?」設計者 Fennel 的父親是環保鬥士，他曾經如此提問。 當時 Fennel 年輕不明深意，直至孕育《海食王 Ocean King》誕生後，才逐漸體會兩者間 的差異。他知道唯有珍惜身邊的海洋資源，人類才能無虞快樂，以永續經營的理念期望 喚醒人類的良知。」
設計師表示，這套遊戲歷經兩年多的研發改良測試，曾被評論是冷門題材，可能不易取得桌遊玩 家的青睞。但桌遊玩家不是只有一種，個人喜好也不是只有一種，某些事即使旁人不認同，夢想家也 非執行不可，或許這正是所謂的使命感，「只要明白自己為何而作，即能溫柔堅定，緩緩前行。」 在了解設計者的理念以後，筆者群認為可扣合 108 課綱的議題融入：「從海洋出發，教育學生海 洋相關的基本知識，培養他們對生命、自然環境的尊重！」遂決定以這套遊戲進入課堂引起學生動機、 喚起學生的環保意識，利用遊戲機制引導數學概念，融入海洋議題於數學的教學中，課程操作介紹如 下：
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一、海洋教育議題結合《環保愛地球》行動方案說明 利用影片介紹桌遊主角的特性，說明食物鏈與生物放大作用，讓學生反思人類不愛惜海洋資源的 下場，將會回應到自己身上，教學目標是引導學生思考如何解決問題，落實《環保愛地球》的解決方 法（如圖 1）。
二、桌遊試玩 情境題說明、策略機制介紹、遊戲體驗。教學目標是讓學生在體驗遊戲過程中，應用排列組合的 機制。
三、數學課程 撰寫學習單、桌遊融入情境試題實作、心得寫作與分享。教學目標是讓學生習得知識能力後，能 對海洋生態環境維護有所反思。
四、《環保愛地球》行動方案發表 第一堂課學生在尚未體驗遊戲與課程，提出的解決方法與計畫書都是較粗淺的，但是透過課程與 換位思考後，能身體力行更難能可貴，因此教學目標是讓學生上臺報告，並說明自己力行了哪些事情， 將海洋教育的素養落實生活中。
圖 1、課程架構
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參、課程操作介紹 海洋教育桌遊融入數學課程主要分為三個階段進行（如圖 2），第一階段為海洋生物介紹、第二 個階段為《海食王》的桌遊體驗、第三階段為海洋教育融入數學課程的學習單講述。
圖 2、課程操作流程
第一階段的課程介紹海洋教育，以大海生病了做為起頭，引導學生思考誰是兇手？現在的我們是 否真的做到了環保？而在大海生病了之後，誰是受害者？讓學習者了解海洋環境污汙造成海洋生物與 環境累積的後果；接著以桌遊裡提到的生物為主（包含鯨魚、鯊魚、虎鯨、海龜，以及信天翁），利 用網路上的影片及報導引導學生進行討論，並且讓學生擬定可執行之《環保愛地球》行動方案，提出 因應對策，最後於期末進行《環保愛地球》行動方案發表。 第二階段為桌遊體驗課程，遊戲情境任務是阿達與阿旺的五位好朋友——鯨魚、鯊魚、虎鯨、海 龜，以及信天翁（如圖 3），飢腸轆轆，卻又傻呼呼，不知如何於汙海求生，請玩家協助牠們避開汙染， 大快朵頤！玩家將扮演這些角色，進行海中覓食，覓食總分最高者獲勝，筆者群課堂操作。
圖 3、《海食王》桌遊角色板塊
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第三階段將學習者於桌遊體驗過程所經歷的歷程（含桌遊配件及遊戲規則）融入數學試題情境 中，並帶領學生進行學習單的討論，試題示例如下： 同學們經過上一節課的桌遊「海食王」體驗後，亦熟悉遊戲規則後，這一堂課將以「海食王」的遊戲 情境，融入排列組合的試題，現將遊戲中的板塊資訊提示如下，請和小組成員合作討論後，回答下列 問題： ★海食王板塊資訊：
紫汝老師在第二回合抽到龍捲風，並放置下圖正中間的位置（如下圖左），依遊戲規則：「放置龍 捲風時，周遭藍色範圍即為龍捲區（如下圖右），龍捲區中的『所有物件』隨機洗牌後，再任意放 回龍捲區，接著再翻開」，試問：隨機洗牌後，這些板塊有多少種排列方式？
海食王的遊戲規則：「結束遊戲的條件之一 ——倒數計時區（如下圖）六格全滿即結束遊戲。」試 問：當倒數計時區六格全滿時，其板塊有幾種組合方式？若考慮先後順序，又有多少種排列方式？
此外，筆者群亦設計了省思題，期望學生透過遊戲的歷程去感受生物族群所面臨到的心理掙扎及 困境，能夠感同身受、設身處地的替生物族群著想，進而能認識與理解人類生存與發展所面對的環境 危機與挑戰，省思題示例如下： 在遊戲過程中，是否有隊友抽到油汙，並使得你的得分魚群受到汙染？當你的得分魚群受到汙染 （分數由正轉負），當時你的感受如何？ 在遊戲過程中，是否有隊友抽到鬼網，並使得你的生物面臨被撲殺（移出遊戲）的地步？當你的生 物無法脫困而被撲殺（擲骰後仍需移出遊戲），當時你的感受如何？
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肆、結語 「海洋教育，聽起來和數學彷彿兩個平行領域耶！」 「上完數學課，對於課程能落實並激發關懷社會的情懷，別傻了！」 這是筆者在構思課程時，打臉自己內心的對話。雖然我們都知道愛護海洋，減少使用塑膠與過度 捕獵的口號，但是，在看到許多海洋生態危機的報導後，總覺得身為教育工作者的我們，似乎還可以 做些什麼努力。因此，引入《海食王》這套遊戲進入課堂引起學生動機、喚起學生的環保意識，利用 遊戲機制引導數學概念，融入海洋議題於數學的教學中，「從海洋出發，教育學生海洋相關的基本知 識，培養他們對生命、自然環境的尊重！」不失為十二年國教海洋教育核心素養途徑。 從第一堂課開始，學生的反應似乎是摸不著頭緒：「為何上數學課，要回饋愛護海洋資源方法？」 帶著「與數學的相關點在哪？」的疑問，到了第二堂才恍然大悟：「原來老師設計了一個海洋生態的 情境，讓我們身歷其中。」筆者讓學生體驗遊戲機制幫助海洋生物逃脫，並且設計其他的數學情境題， 引導學生數學實作與思考策略，其中筆者群刻意設置心得題，引導學生除了能享受遊戲勝負的快感 外，亦能換位思考若是策略失敗，海洋生物無法逃脫，如常見的油汙汙染、過度捕撈的影響性為何？ 我們可以尋找資料，思考解決辦法，當然最重要的是提醒人生從小我作起，不因善小而不為。因此， 學生能在最後說明自身的實踐如淨灘、堅持使用環保用品，更是操作此課程的另一種風景。 翻轉教學思維，引導學生覺察環境保護的重要性，促進海洋環境的永續發展，落實海洋教育的議 題與數學課程的結合，是此課程設計的最大亮點，也讓海洋教育與數學課程不再是兩個不同領域，筆 者群在此謹以此教案與各位教育先進們分享，期望達到拋磚引玉之效。
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海洋教育融入數學課程 學習單 單元名稱：排列、組合 班級： 座號： 姓名： 同學們經過上一節課的桌遊「海食王」體驗後，這一堂課將以「海食王」的遊戲情境，融入排列 組合的試題，現將遊戲中的板塊資訊提示如下，請和小組成員合作討論後，回答下列問題：
★海食王板塊資訊：
一、計算題 1. 海食王遊戲設置時，每位玩家先選擇所屬的顏色的記分圓片 1 枚、對應顏色的生物 5 隻，以及該顏 色的提示卡，而在遊戲中，玩家可以選擇的顏色分別為黃色、綠色、紫色、紅色；試問若玩家人數 分別為 2、3、4 人時，則有多少種顏色的配法？ 人數 顏色的配法
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2人
3人
4人
2. 某天，淵哥和嘉均老師兩人相約玩海食王，依遊戲規則：「2 位玩家時，每人隨機從布袋抽 4 個加 減分板塊，海洋面朝上，任意置入地圖空格後再翻開，若兩人決定暫時先將所有的 - 3 板塊從遊 戲中移除，遊戲過程中均不使用它」。試問： 1 若僅考慮圖板上翻開後的板塊種類（不考慮位置及排列順序），則圖板上的板塊種類有多少種 變化？ 2 紫汝老師見狀，也想加入遊戲，則 3 個人放在圖板上的板塊種類又會有多少種變化？ 【計算區】
3. 紫汝老師在第二回合抽到龍捲風，並放置下圖正中間的位置（如下圖左），依遊戲規則：「放置龍 捲風時，周遭藍色範圍即為龍捲區（如下圖右），龍捲區中的『所有物件』隨機洗牌後，再任意放 回龍捲區，接著再翻開」，試問：隨機洗牌後，這些板塊有多少種排列方式？
【計算區】
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4. 嘉均老師在第四回合抽到油汙後，使得下圖左有魚群的板塊均受到汙染（如下圖右）；而淵哥於第 五回合時，又抽到了龍捲風，試問：依遊戲規則，隨機洗牌後，這些板塊有多少種排列方式？
【計算區】
5. 承上題，試計算：第五回合結束時，鯨魚有幾種得分分數？ 【計算區】
6. 海食王的遊戲規則：「結束遊戲的條件之一 ——倒數計時區（如下圖）六格全滿即結束遊戲。」試 問：當倒數計時區六格全滿時，其板塊有幾種組合方式？若考慮先後順序，又有多少種排列方式？
【計算區】
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二、實作題 1. 請各組先選擇一組顏色的板塊生物，若你們可以決定生物及加分板塊的擺放位置，試討論如何擺放 才能夠得到最高的分數，此擺放所得到的最高分數為何？試說明你的理由。
【說明】
2. 承上題，若圖板上有加分板塊 + 1 板塊有 2 片、 + 2 板塊有 2 片、 + 3 板塊有 1 片、 + 4 板塊有 1 片、 + 5 板塊有 2 片，而你們可以決定生物及加分板塊的擺放位置，試討論如何擺放才能夠得到 最高的分數，而此擺放所得到的分數又為何？試說明你的理由。
【說明】
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三、心得 1. 在遊戲過程中，若是隊友抽到油汙，並使得你的得分魚群受到汙染（分數由正轉負），你的感受如 何呢？我們的大海魚群不時受到油汙汙染，請你思考並提出具體可行的處理方法以因應之。
2. 在遊戲過程中，是否有隊友抽到鬼網，並使得你的生物面臨被撲殺（移出遊戲）的地步？當你的生 物無法脫困而被撲殺（擲骰後仍需移出遊戲），當時你的感受如何？請思考，我們的大海進行拖網 捕魚時，對漁業捕獲的影響為何？
3. 在「海食王」的遊戲中，你是否有觀察出如何在這套遊戲中得到高分？試觀察同組高分的組員，獲 得高分的策略為何？
4. 「海食王」這套遊戲真實模擬了玩家如何協助各種生物在汙海中求生存，最終得到最高分。透過遊 戲的體驗以及教師在課堂上講述的海洋教育後，對於海洋生態的保育，你會有何具體行動或是不同 以往的觀點呢？請列點說明原因並寫下自己的心得（最少 200 字）。
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