Harmonices Mundi by A. Lynn

HERALD OF SCIENCE

NO.

BURNDY LIBRARY Otarterti in 1941

GIFT OF

BERN Dibner

Tlic

Dibner Library

of the

History of

Science and Tecluwlogy

SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES

Ioannis Keppleri

HARMONICES M V N D I

Qvorvm

Primus Geometricvs, DeFigurarurriRegularium, quse ProportiOnes Harmonicas conftituunt, or tu & demonftrationibus. Secundus Arc hitecto n icvs feu ex Gecmetri a Figvr at a De Fi* o-urarum Regularium Congruentia in plano vel folido Tertius propf ie Harmonicvs, De Proportionum HarmonicarumortuexFiguris; deqUe Natura fk. Difrerentiisrerum adcantum per* ,

tinentium, contim Veteres

& Astrologicvs, De Har~ moniarum mentali Eflentia earumque generibus in Mundo; prafef -

Quartus Metaphystcvs ) Psychologicvs

tim de Harmonia radiorum, ex corponbus ccelefti bus in Terram defcendentibus, eiufque effe&u in Natura feu Anima fublunariSc

Hamana Quintus Astronomicvs&Metaphysicvs > DeHarmoniis "

abfolutifli*

mis motuum cceleftium,ortuque Eccentricitatum ex proportioni-

busHarmonicis. Appendix habet comparationem huius Operis cuni Harmonices CI. Ptolemsi libro 1 I.cumque Roberti de Fluctibusjdi&i Flud.Medici Oxonienfis fpeculationibus Harmonicis, operi de Macrocofmo Sc Microcofmo infertis.

K^iCCESStT

NVNC fropter cognationem mate-

ru eiufdem Authoris liber ante lyannoseditus Tubing<e,cuiiitulutVf odroinUSi feu CMyflerium Cofmographicumydecaujts CcelorumNumeri.

Â°roj>or-

tionis motuumque Periodicorum , e x quinque.

Corporibut Regularibtts.

Cttm

S. C.

\ Triuilegio adannos

X V.

Lincii Auffcriae, SumptibusGoDOFREDi TAMPAcMiiBiy.Francof. ExcudebatloANNEs Plancvs. ÂŤ4nno

M DC. XIX.

A D

Serenifsimum

& Potentifsimum

Principem

& Dominum

D.IACOBVM, Magn^Biitanmae.Franci^HiberÂť nia?

Regem, Fidei Defenfo rem, &c. ^Dominum meum Clementifimum.

V R hos ego libros Harmonices in* terhomines vulgandos, ex Imperatoris ,

Auguftiffimi,

Domini mei

aula, ex eius Regnis ck Prouinciis hsereditariis Auftriacis, ex ipfa deni-

que Germania, trans mare ablegarem,tuoqj Rex Incly te, confpe6tui iereniiiimoiifterem: cauiasnabui partim prsdentes, '

partim antiquas.

Pnmumenimhocnonalienum ameo munere putauij vt quiaCaefaris reo,

inreMathematica ftipendia me-

demonftrarem igitur etiam exteris quantam gere,

prouidentiam, Princeps Reip. Chriftianse, diuinifliÂť morum ftudiorum: vt intelligeretur ex curfu non mterturbato Pacis ornamentorum per ha? prouincias, famaminteftini belli iiniftram , cum ipfa re proculdubiobreuiextinclrumiri: DifTonantiamque hanc paulb

rct

dunorem, vtinPatheticaMeiodia,iam iamquein fua* x uem

D E D

C A T

uemClaufulam defituram. QJ.iem

verbBonitatis Im-

peratorie^digniorem aeftimatorem,Rcge magno? operis de

Cadorum Harmonia, Pythagoram

quem

redolcn-

tis& Platonem, conuenientioremPatronum,Regeillo legiflem, qui Platonicae fapientise ftudium domefticis monumentis,quejmbditorumvenerationeetiampublicahabemus,eftteftatus? qui Aftronomiam Tychortis Brahei, cui opushocinnititur, pueradhuc,ornamen-

dignam

qui denique vir factus, &regni guberrtacula trac1:ans,Aftrologicam vanitatem pubTica cenlura notmit ? quae fane, libro huius opens tisingenii iui

cenfuit

fundamentis eifectuum fideralium, clariflimepatefcit: Vt nulli dubium eflepoflit, quint>tius huius Operis,omniumquecius partium fis futurus 1

V.deteclris veris

intelligentiflimus.

Maiorverbmihi eaufa dedjcatiortis ex antiquoeftifta. Cum primum ante annos^aulb minusviginti mateliamoperis

animo

concepiflem, titulumqj nuncupaf-

fem, nondum cognitisPIanetarum motibus propriis, in quibus tamert ineffe Harmonias inftin&us Naturas di(5tabat:IamtuncegO patrociniumoperis,fi quando idfuccederet, abfblutumqueeffet, Maieftatitue, deftinaui 5 hocqj veluti votU.m meum Legatis tuis ad aulam Imperatoriam femelatqueiterumteftatum feci. Caufas de hoc Harmonicorum meorum patrocinio cogitandi, fiippeditabat mihi Diflbnantia lllamultiplex in rebus humanis, manifeftaquidem, vtnon poflit non otTenderej exconcinnistamen&articulatis interuallis conflata,qUorumha:ceftnatura, vtauditum inmedia difcordantia, promiflione mccefluraefiiauis concordiae

demulceat,eiufclemq5 expedtationefuftentet. Enimue-

rbdigna erathomineChriftianoperfuafio,Deum efle, qui omnem Melodiam vitaehumanaemoderat&ur, digna magnitudme Dei patientia , nort offendi prolixitate diflbnantiarum,nec fpes abiicere? reputantemmon Dei proui-

D E D

A T

prouidentiam lente agere,fed noftrum fingulorum asui lpacium velociter auolare. Docebar equidem lacris o-

& falutanbus vfibus efle deftinata: etiamdilTona ifta,ad elucidandam & com-

raculis,

omnia

Deo

certis

mendandam

Confonantias fuauitatem. Cur autem a tua potillimum Harpe Dauidica, Rex inclyte, principium aliquod expectare confbnantise reftaurandae defideria mea me iuberent: etfi noneft huius loci fufius ,

explicare,

neprudentum monita contemnere

videar:

hanc tamen, toto dudum ab orbe confeiTam partem gloriae, rerum abs Te geftarum attingere nemoprohibeat:quod Anglias regnum,hereditate&confenfii populiadeptus,breui illi commune cum Regno Scotise, Magnas Britannise nomen dediftij ex vtraq^ prouincia Regnum&Harmoniam vnam (namquidahudeft regnurn, quam Harnaonia) contemperafti ditcordiam ,

Nationum infeniiflimarum fceliciiiime memoriam crebrarum & cruentiflimarum

hereditariam iuftuliftis

cladium,quibus ceu notis quibufdam,feries f^culorum eratinterftinclra, penitus extinxifti.

Hoc domefticum

tuumopus,omen (intercetera ponderofiora) non fidum mihi continere videbatur,

in-

fore vt etiam foris,

RexinterReges,FideiDefenfbrinter Chrifti fideles, maius aliquod &: preitantius, etiamque durabilius opus perficeres: quod

quidem& votis meis tacitis,& omina-

tionepubiica,librodeftellanoua, quae veluti Carbunculus arderet (nctus Scotiererficulus) fumprofecutus.

Itaque velut iam confecto quod optabam augurabar, Harmofte^ tam laudabili, meas aliquando Mundanas Harmonias accinere tanto firmius mihi propo-

nsbam. Vellemhic, DiiTonantiam publicam,Vocumtrifariam obftrepentium,paulb mihi mitiorem eile, vt audiri publice ex animi mei fententiapoflem qua in re vifus :

fueritadfpirarevotiseuentus? que^ vulneracapitis,qui-

DUS

j*\\\

ÂŁ D l C A T I 0. busHarmoniistentata,aquoMedico?&vtetianihimc cgo in libi'odeftellanoua,longeantea viuis coloribus depinxenm ? At quodnam ent operas precium, fi Har-

moniam afFectans priuatoftrepitu,necvincamrremi-

moleftias abfiirtuspublicos, imbecillitatelaterum, di concentus in meis auribus infiiper augeam ? Faten-

dum

equidem

eft, jproh

dolor, tumere

adhuc vulnus

deculTatum ,an malumus facratiori fcelicipriq, vocabulojcmciforme, tumere inquam, multiplicilabro hullo illorum conmuente, medicinam hactenus irri3

tam, omnibusque partibus

irrifam 5 propterea

quod

Medicus* vt aegro deliro pharmacum fallens ingerat, multa ÂŁn^fcck.m.ulr23dtia;r, quae a fana ratione pluri abire videntur. Recreor tamen hac ipfa cogitanone, qubd fupremus vulnerum noftrorum Curator artis fuaecertusiit,necquicquam fiuftra applicet. Ergo qui curam iam eftaggreirus,quiiamexpemuit>iammundomonfirauit, confblidantiaifta j mterim verbper calamitatespublicaserodentibus vtitur,quoad confumpta carne putrida& fera, charitatis fcilicet extinctae, fenfiis aliquis dolorisad viue carnis profunditatem defcenderit idem procul dubip lenientibus etiam vtetur proJ>ediem ad deprimendos tumoresj vt confbhdantibus illis denique locus efte poffit tandemque Diffonantia haec diuturna (vt ad propofitum exemplum reuertar) durabilem Harmoniam terminetur. Qua in meram in fpe etiam contra fpem confirmor non tantum fiic* cefTu mearum fpeculationUm Harmonicarum, vt cuius fcelicitas audaciam in quaerendo longiffime fuperatrfed ctiam hoc ipfb, quod inter castera,quae, ad Operis perfecliionem neceffaria, pertotiamannosfuerunt loco priftino, Maieftatem etia Tuam Regiam, cui patrocinium bperis, antequam inciperetur, deftinaueram,hucvfque incolumem&florentemvidirnecdefinam aDeo Pacis -

mum

;

&: Concordia? a.uthore contendere deuotis precibus,vti

D tibi

C A T

& vitarn & Maieftatem Regiam, vfque ad optatum

illum euentum incolumem tueatur. Interim Maieft.Tuam B&2&ÂŁ3i?" fiipplex rogo,vt 6c hoc opus Harmonices , Nomini flio dedicatum fereno hanc mei deuotifTimi affectusin Se, vultu afpiciat, fignificationem aequi bonique confulat: contempla^.

Dei Regium oblectet animum quantum per neceflarias Regni occupationes licebit exemplis Concordiae refplendefcentis ex operibus Pacis EcDei vifibilibus, ftudium in fe Concordiae Politicae confirmet excitetq? denique me clefiafticae meaque ftudia Regio fuo patrocinio clernentiffimo dignetur. Dabam Lentiis Noricis ad Ripam Danubii, Ididus Februariis, Anno aere^ Occidentis M. D XIX. tione verb

Operum

Sercnifi Maieft*

Tnam Kegiam

Omni cumfuhmipons

<v$nerans

Imp.Qef MattbUy eimque fideli. ÂŁH dtnum Archiducatm tAufirix, Su~ pr*Antfanx Matbematicus

loHANNES KePPLERVS.

IO.KEPLERI Hablmonices Mundi

LIBER

DE FIGVRARVMREGVLA, RIUM,

QJliE

PROPORTIONES HAR-

monicaspariunt, ortu, clafsibus 3 ordine & differentijs,causa f cientia^ Sc Demonftrationis. Pkoglus Diadochhs Libro

Yl^)g $% ovLificLfoslou

tIw ,

Comment.

Euclidis.

<pv<ri>dw ^iOdeA^^LLc^nLLcilm)TolLLiytg-ct

tIwts t&v Aoym

iVTcLJ*icvv oLvctQcuvixra.

ko$ Iw

fehjLiivgylilouToTI&N } &cc:*$j Tctcl7i7\d n&j 7r%QT%%yoisoi^&cL,ygiTSWTV\TyvuLLLLi%icL>^ <rct,

$1 &v ngui

o 7fcig i^c/LVog

GUuty/ofjSpa. fra^ct*

tTiKeiod^o-^LLOL^L to\ t®>£$<r-

WQV &,KCL& TclgiCW% LLi^OLg WO^j.

CumS.C>

AP». Pri-

Mm^^m Kl)»

vikgka&annosXF*

tlNCII AUSTRI/E Xxcudebat Johannes Plancuf*

~~JNNQ M. DC. XIX.

De Figurarum Harmon: Prooemium, Vmadivifibnibuscirculi in cas sequales , quae fiiirit Geometrice

parr.es

aliqud-

& fcientifice.hoc cft,

a figuris planis Regularibus demonftrabilibus,fint nobis pecenaaVcaufa; Proportionum HarfnonicarUmiillud initio fignificandum duxi, difFerencias reriim

Geomecnca-

rura mencalesyhodie,quaricurii apparec ex libris edicisjin folidum ignorari. Adeoq; ne ex veceribus quidem,qui has fpecificas rerum Geometricarum difFerericias fe exacle cdgnbvifle fignificavef ic ,pra:tef Eudidem,ejufq; corhencacorem Pfoclum,quisq becurrit.Pappi quidem Akxandrini,veterumqvquosillefeqcur,diftribucio Problematum, in Plana,Solidac^Liriearia,faciseftapp6fica.adhabuusmehciscircaunamq.-

Gebmecrici pacrem oriericcs^explicandbs:iild tame & brevis eft verbis,& ad praxin applieaca;de cheoria niillafic menrfb:& vef 6 nifi toca rrience in cheoria hujiis V ei occupemiir,nunq aflequi pbcerimus rak ciones harniorticas.Proclus Diadochus, libris quacuor in pnfnumEucliinceHcaua.dis,edicis,Philof6phum Theorecicum in machemacico fubje&o ex proli effcnua fe flb egic ; g, fi comencaria fua iri decimum eciam libriim Euclidis nobis noftrosGebmecras infcitia liberaflet non riegle£tus;& me b«iica& ~reliquiflec:& q; fubje&i

labore hpc e xplicariai refum GeoitiecricarumclifTerenciasirifolidurri fublevaffec. Sacis enim illi cognica fuiffe difcrimina ifta Enciurri M.en-

taliumiex ipfo exordio facilc appareceum principia cociul eflenciajM athethacicae ftaciiic eadem,quae'eciamjj pmnia Encia vadunc omhiaq;a Incerminacum:cerfegignuncFinem{c.&Infinicurh:feuTerrriinum pro Forma> incerminatum prtS Materia cirumfcripcionem vel lninum

agnofcensrerumGeomecricarum; I. Quancicacum h.propria funcFiguracio & proportio.-figuratio fingit .

^rum>pr6p6rciojunc1:arum.Figuraci6pficicurcerminis,lincan.recl:a pun&U,fupfkies plaria linCis,corpus fuperficiebus cerminacur,circumfigiiraca furicilla efiguracur.Quae igr firiica circurnfcripca fcribicur indecerminata qiiateh 9 catiani cofripf ehedi mence pofluncinfinica lianullis fcieritiae , que dcfinicionibus , comparacuf ,nullis dehibnftrationum repagiilis coarcari poflunc.Pf ius aucem figurae funfc in A fchecypo,quam inOper8>priusin mericedivina,quamincreacuris;diverfoq~ dem fubje&i modo,fed eadem cameri efliqritiae fijasrorrria.Igr quaritita-

tibusfiguratio,Meritalisqdam efsetiafkjfeu intelle£tio,earum effenciadifTercncia.Id mulco magis clarum eft ex proporcionibus.Cum ri. figuratio pliiribus cermihis pnCiacur,fic uc pp hancpluf aiitatem figtifatio

lis

proporti6hib 9 utatur.Propo.rtio vero quid fic firie rnencis a£ci6rte;id ver6 incelligi riuilacenus poceft.Eoque cciam hocriofhincg, quaricicacib' dac pro principio eflenciali,is figuracas quacicaces incelleclua; lem effericiam Habere pohic. Sed non eft opus argumecacione , legacur

terrriirios

itbcus iiber Proclijfacis ajpparebicipfi difterencias incelleftuales rerum

Geometricarurhprobe fuifle cognitds:etfi affirmatufn hoc ille non ita ieprfim folitariu iri aperto &cbrifpicub ponic , uc eciam oicicancem e \9 admoneac:fluic n. ejus ordtib piferio velucalveo, copiofiflimis undiqua ftraca fehcencijs abftrufioris pliilbfophiai PIatoniga;,qua& incer ^ft > iibri hujus

arguraentu@a fj%uigre

hoc

Verum

Demonstratione^ Lib:L

Verttm huic noftro fseculo non vacavic ha&enus,ad tam recondica p . RanS penecrare. ledtp eftliber ProcliPecro Ramo,fed qudd ad nucleumacci-i n qua m 9 abject9 qui-Budid"? necphilofophiae,paricer cum decimo Euchdiscocempc -

comecarium inEuclidem fcripferacvelucifiapologiamproeofcri-*^]^

& obmutefcere juflus; irricata vero infenfi Cenforis irainEuclidemucreumvercicdamnatuseft atroci fententia Euclidis decimus.ut ne legeretur, qui Ie$us intellectufq;,philofophiae myfteria pandere poterat.Legite quasfb verba Rami, quibus ille nihil unc[ indignius Ramoproculit: Scholarum Math.lib. 21. Materies inquit,decimo libr» pfiflecrepudiatus

modoe(ltradiU;Vt in humanis literis at% artib fimilem obfcuritstt? dtco non adintelligendum, quid pracipiaP deprehenderim:obfcuritatem nufquam

propojitz, co

illiteratis,idflum quod adeft\quod<%pr<efens efljaEuc/ides{id n.vel indoctis tuentihus ^poffitefeperfpiciiumjfedadperfficiendumpenitus tf exp/orandum »

gf ufus eperipropo/itu*,qu*g'nera,Jfecies,di/ferentiaJint rerumfub* ieuhrum: nihil n, unquam tnm confufum velinvolutum legi velaudivi. £)ui>i c. At hercle Cuperflitio Pythagorica inhuncquafiJfecuminduBa videatur

auisfintsjit

Rame,nifi nimiumfacilemad incelligendum huncfibrum credidifies nunquam tantam obfcuritacem fuifles calumniatus. Labore majore opus eft,quiece opus eft,follicitudinc opus eft,&: attentione pcipua mentis,doneccomprehendasintentumfcriptoris: ubieofuencenifamens generofa , tum demum fefe in lumine veri verfari cernens , mcredibili volupcace perfundicur exulcans, & ab illa veluti fpecula cotum Mundu omnesqueejuspartiumdifrerencias exactiiTimeperfpicit. At tibi,qui hoclocopatronumagisignoranciae,vnIgiquehominum, lucracaptancium ex omni re, divina,humana, vobis inquam finc lftaprodigio/afophis* wat?,, vobis ocio fterit Euclides intemperanter ahufus , vobis acumina ijh lo(um in Geometria nullumhabeantiv eftrum efto , carpere quaa non intelligitis mihi qui rerum caufas indago , pratcer quam in deeimo Euclidis, femitae ad illas nullae patuerunt. RamumfecutusLazarusSchoneruSjin Geomecriaftia , faflus eft* aj» rn * one fe quinque corporumRegularium ufum planenullum in Mundo vide-' repotuifle , doneclibellum meum, quem Myfterium Cofmographicum infcripfi, perlegerit: in quo Planetarum numerum intervalJa »• probo ex corporibus quinque Regularibus efle defumpca» Ecce quid Primum Ramus nocueric Ramus magifter Schonero difcipulo quirefutaveratPythagoricam philofophiam eirAriftoceleperlecto, ca Elemencorum propriccaces ex quinque corporibus dcdu£tas,ftacim animoconcepicconcempcum cociusPhilofophiaePychagoricae,- dein-

Proclum fuifle Pychagoricas fedaj > non credidic ei affirmanci quoderac vcriffimum ,fc. Euclidei operisulcimum finem» de cum

fcirec ,

ad quem referrencur omnes omnind propoficiones omnium libroruni (excepcis quae ad Numerumperfedtumducunc) eflcquinque corpo-

Hinc orca eft apud Ramurn confidencifllma perfuafio Quinque corpora efle rcmovenda afine librorum Elemencariorum

ra regularia. Euclidis.

Adempco

fineoperis, reluciforma «dificij fublaca , relinquebatut

informis ftrues propoficionum in

quam Ramus

cotis

octo

Euclidcin quam veluc in larvam ali-

& viginti libris Scholarum invchicur k i

magna diceo-

1 '1

A -

dicendi acerbicate , magna temericace , canco viro indigniffima.

•

Schoaeri fentetia

De FlGURARUM HARMON. Hanc

RamiperfuafionemfecUcus Schdneruscredidic ecce &c ipfe , corpora deregularia nulli efte ttfui : necS hoc cancurri; fed&Produmneglexic,

ns fo?iif

^^ concenipfic

judicium Rafrii fecucus ; a quo Proclo difcere pocerac ufum corpdrum quinque iri Elemencis Euclidis &c in Mundi fabnca. Ecquidemfcelicior efaC difcipulus Magiftro , qiiia ufum corporuma ,

mepacefa&um in Fabfica Mundigraculabundusrecepic quem RaQuid tum ehim fi Pychagomusa Proclo inculcacum repudiaverac* reifiguras has elemencis,non vero uc ego , Sphasris Mundi actr lbuerut? AnnifusefletRarnusjUt errorerrihuncipforumcirca genuinum figuuc ego feci non tocam hanc Phtlofopnif arttm fubjetmm tolleret tyrannico fuftuli ffcc Qnid fi Py chagorici hoc idem doam uno verbo f7ciiagorecuerurtC) q UO(j e gQ fencenciam involucns verborum cexefuncf Non,

}

q^gur^neCOpernicaiiaMundiformaexcacinipIo Afiftotele perperam ab Myfticaia ipfo iefticaca fub nominibiis alijs dum illi Solem Igrtem, Lunam AnciSer P retaU0 chchona appellarUric Si riamq; diipoficio orbium eadem fuic apud Pyithagoreos, quaeapud Copernicum,fi nocaCorpOraquinque,eorum,

quenumenquinarijnecef!icas,ficonftanteromnesdocuerunc , corporaquirique eiTe Mundiparcium Archecyposjquantulutn fupereft,uc credamus illorum fencenciam fub a?riigmace ab Ariftocele le£tam, quafi fub vero vocabuloriim fenfu fuiffe refucatam : dum Ariftoceles legic Terram.cuiCubumdabancj cum ipfiforceSaturnum incellexerinc, Et terrae quidem cujiii Orbis intef pOficu Cubi fummocus eft a Joye. quiecern vulgtts afcf ibic , Sacurnus vero mocum cardiflimu , quieti proximum eft fof cicus,unde etiam ap. Hebraeos a Quiece nomeri obcinuit. Sic Aeridacurri Oclaedron legic Ariftoceles , cum illi force Mercurium incellexerinc, cujus orbis O&aedroinclufus eft > nec friinus velox eft MercuriUs (quippe omriium veiociffimtts) quam mobilis Aer habetur. Ignis vocabulb rbrcaffe Mars fttic infinuacus, cui alias eciam ab igne nomen eft Pyrois, acque illi Tecraedron dacttm, forcc quia includitur ejus orbishacfigura: Ec AqttaefubinvolUcrO, cui Icofaedron attribiicum, Veneris ftella ( utcujuscurricuiumlcofacdrocontinetuf ) latefepocuic > quia Vener i humores fub jecti , ipfaque dicicur orca Maris fpuma,

vox AcpPQ^iTYIi Denicjue Mundi voxpocuic fignificafeTerram; & Mundo Dodecaedron adfcribi , quia Tcrrae curriculiim hac figura

linde

concmecur,duodecifrilongicudinisparcibusdiftiri£tum,utiillarigura

duodecim coco ambicu

planis conCiriecur.

Quod

igitur

iri

My-

fterijsPychagoreorumhocpa&oquinq; figuraediftnbucaefuefincnon incer Elemenca,uc Ariftoceiescredidic, fed incer ipfos Plartecas y illud velmaximeconfirmac, quodProclusfinem Geometrianncef caecerof

nuric cradic, tis fui

quod doceac* quo modo figuras conveniences ccelum ccr-

parcibus acceperiti

Nec dum finis efidamni, quod Ramus ttobis dedic ecce folIe!rti£ fimum Geometrarum hodiernorumSrtelliUm plane fuffragantem ,

Willebter-Ramo , pra:facione in Ludolphi a C6ljen Pf oblemata : primuffi aic

Conce-

^ufum inutilcm efie divtfionem illnm inefabilium in tredecimjpecia. Utofc^"doi finullum ille ufum agnofcac, nifiinvica communi,& finuUuscon. diSnellij

tentia:

tena

DEMONSTRATiONE~ cemplationum phyfiearum fit ufus ad vicam.

LlB.

At cur non Proclum fe-

quicur , qucm allegat , qui agnofcit aliqudd majus Geometria: bOnum quam func arces ad vicam rieceffaria:? turic equidem decimi libri ufos AllegatSnellius auapparuifletinsftimandisfigurafumfpeciebus. ucahcurlibro decimdEuclidis. Sane ochoresGeometras,quiridn mnesilliauclineariacractaricproblemaca, autfolida , &defiguris vel quamicacibuscalibus,qU£riohhahencfine'm fuum incrafefe , fed rriaAcFigurse nifeftecenduricadufusalios,necfmeiisexquirerencur,

reguiarespropcerfeipfasexquuUncurucArchecypi , fuam infeipfis habent perfedtionem,funcque lricer fubjecta planorum Problemarum, non obftance quod plariis hedris fdlidum eciam claudicur : fimiiicer Cur igicur allegadecimi libri maceria pdciffimum ad plaria percinec. rencur hecerdgenea ? auc cur vilis aeftirriatuf merx,quam non emic Codrus, uc ea vencrem pafcac , emic vero Cleopacra, uc aures ornec? Crux twtum defixa ejl ingenijs ? Equiderri ijs , qui nuriieris , hoc eft efFaado vexanc InerTabilia. AcegOhasfpecies tratld ndri riurriefis; ndn per A igebram , fed racidciriatione Mentis fane quia ijs mihi non eft opus adfubducendasRationesmercatuum j fed ad explicandasrerumcau-

;

Segreganda cenfet fubcilia ifta a 90(y«&)a"« 3 inque Bibliochecas Omninofidcim Rami difcipulum agicnecineptamloabftrudenda. cacoperam: RamusyEdificid Euclided farmamademifjCulmeriproruic,quinquecorpora;quibusabIacis,compages orririis diffdluta fuic> fas

ftancmiirifirTi,fornicesirtruiiiammiriaces: SnellitisigicureciafhCa?-

mencum aufert, uc cujiisnifi ad fohdicacem domus fub quihque figuris Ofcelicemcapcumdifcipuh,quam

coagmcncacajnulluseftufus.

ille

dexcreEuclidemincelligeredidicicaRamo: fc.ideopucancSrdfy&fii dicta, quod inveniacur irt Euclide propoficionum & problem scum Sc

Theoremacumomnivariacdpia^adornnegenusQuaricicacumartiumquecircaillasoccupatarum:

cum hber Srdiy^Wte ficdi&usafbrfna,

quodfemperfequenspropofidoirinicacur prxcedenci , ufque aduicimamlibriulcimi(partim cvlibrinOni)cjua; riulla priorum carere poEx Archicecto faltuarium fiicihhc auc materiarium,exiftimances teft. Euclidem ideo librum fuum fci ipfifle , uc omnibus alijs.commodarec folus ipfe propriam domum nullam habere t. Sed plus facis hdc loco de hifce-' revercehdum ef! ad capuc oracidnis. Cum enim cerner em veras & genuinas f ef urri geomecricarum diffef ericias aquibus arcefTenda; mihi func caufae Harmonicarum Proporcionum,vulgd ignotaripemcus Ericlidem , quiftudio illas cradide-^^?'* ratjRamicavillisoppreftumexplodi ftrepituque lafciviencium obturbance,anemineexauditi,aucfurdisetiarnnarrarePhilofophiaemyfteriai Proclum, qui mentem Euclidis aperire , abftrufa eriiere , difficiliora capcu f acilia reddere pocuifTec , deridiculo effe, nec CojnmencariafuaufqudadlibrumdecimumcontiriuafTe: vidihocoriininomiefle uc initid , ex libro decimo Euclidis exfcriberem ea hi faciendu quae ad praefens infticucufh frieum praxipue facerenc ; feriem eciam retumiliiuslibriiCercis quibufdalm incer)e6cisdivifionibus,inIucem pro» ,

>•

;

ferrerrt

Harmom;

Dje Figurarum

#errem,caufasindicarem,curquardam divifionum membra ab EucliUbi dc fuerinc omifla : cunc dcmum de figuris ipfis agendum fuic. quacfueruncabEuclidedemonftracacIarilllmej ijs fimphci propoficionum allegacione concencus fui: mulca quas lunc ab Euclide deruonftrata via alia , propcer finem mihi propoficum , fcilicec propcer cominfcibilium,hic fueruncrepecenda, paracionem figurarum fcibilium vcIdif)un6caconjungenda,velordomucandus. Definicionum, Pro-

poficionum,TheoremacumIeriemconcinuoNumerofurncomplexus,ucinDiopcrieisfeci,propteraIlegacionumcommodicarem : ininecmmiumdevocabulis pfis eciam lemmacibus non accuracus fui ,

follicicus,magisinresip(asincentus:quippequinonjaminPhilofophia Geomecram,fedinhac Geomecriajparce Philofophumagam. Acque ucinam de rebusGcomecricis adhuc populariusidummodo &c clarius 5c

Sedfpero lettores xquos in ucraquere.&quodGeomecricapopularicercrado , & quod materisobfcuritaceminduftriavincerenon pocui , meam operam boni confulcuros, Quibus eciam hoc ad excremum do confilij i uc fi Machematicarum rerum penicus imperici fuerinc ; cransmiffis enarrationibus meis, palpabiliusdifiererepocuiflem.

XXX

ufque ad finem ; fide propoficiofolas leganc propoficiones, a nibus lpfis adhibica fine demonftracione , pergancadlibroscarceros,

ulcimum ; nedifficulcate Geomecricarum argumencacionum abfterrici , fru&ufefeprivencHarmonicajconcemplacionis jucundiflimo. Nunc adrem accedamus cuni Deo. prasfercim ad

De Figurarum Regularium xlemonftrationibus.

Definitio.

PLana FigUra rcgularis illa «hcitur

quse omnialacera 5comnesangulos,extrorfamverfos, asqualeshabet.

Vt hic QPRO> Uter* QP, PR RO. OQ_,funt *. qm/ia^ anguliQPR, PROTROQ^PQP, tqmUm, ,

11.

Definitio.

funt primas & radicalcs p Arum quacdam non

qu« fuo*

excedunt , quibus proprie convenic pofira dcfinicio : quaedam furic au&ae , qu* fua veluci lacera exccdunc , concinuatis alicujus radicalis laceribus non contkuis^ ad concurfum : dicuntur *?f

ipfae cerminos

Stellar,

VJM

Demonstratione" Lib.L VthicA^B CDEefiperfcBumquinquangutum

efiquefiguraprima^»

non defiderans aliam perpEhm, ex qua , continuationelalerum',pr«ducatttr.

AtFGHI Kefifiella quinquanpula,

Q fi^rtra auEkt, contiftuatis la'

teribus binis,non contiguis ,verbi cau^ l

fi*

J^Btijf

DC,ad concurjum I.

Definitid'

lli.

C Emiregularesfunt,qua;ari- jw ^ gulosyanancesjaceraquacuorha- / / bcnc a^quiiia uc Rhombi NMPO -^— ;

GEKD.

rropofitid.

IV. s~\

Mnes

figura?

muleidem

jiz.

Regulafes angulis

circulb poflunc infiftere.

fuis

omnibus

fi-

'K/jmper z i. Tertij Euclidk, Qmnes anguli xquales , eidem,^ficetiam ejufdem cifculi xqualibusfigmentis infifibi pofiunt , /unt autem omnes anguli Reg uh.risfi^urx xquales, omnes igitur uniusfigurA angfih xqualibus unius ciff Sed £?. citlu omnes injcribi necefiee/i , iino in~ culi (egmeftiis pofiunt infcribi.

'N^dm /dtera omniafitnt xquatia ; quare eiiamfunt xqua/iapgmentst pert^. Tertij Euclidis: Ergb tem angulus , quam /aterumfines ,Jtmu/in eundem circulum competunt. Secus ejfctfi , quamvis aqudlibm Fines verb laterum Junt ipfi angu/i. angulis , laterd hon e/fent xqualia^ : ikncemmdifio/vereturnecefttatin*

Jcrivto.

circuii ,qux a binis unius angulilaieribus dbfecahtur ,

Jcriptionisomniunu.

Definitid.

r\Efcribere Figuram

—^ angulisfubcenfarum

eft propoftionerri linearuni

ad anguli crura geometricoa&udecerminare;exdecerminacis , criangula figuras Elemencaria conftruere, ex criangulis coafla. _ ,'

tis,figuramipfamperficere.

Data enimproportione DAadAE, ,fiunttrian° DAC , CAH : ex quibus conjbtfigurtu,,

gula DAE,

VlD^

Figurarum Harmon, VI. Definitio.

INfcribereFiguramcirculo

efc

proportionem

la-

teris figurae ad diamecrum circuli , cui eft infcribenda, Geomecri-

*oa&udecerminare,quaconfticuca proporcione*facilein circulofigura propofica dehneacur, IJtfidetur

LDfimidiameter

ter,fifiiamus , quidfkciendo lateri

DE indulgeamus

;

velejus iupla diamc-

cum ea,ju(hm longitudinem

fhciie pofiea repetitione ipfius

DE,per circumfirentiam , confummamusfiguratru.

VII. Definitio.

Cire in geometricis

eft

mensurare per notam

menfuram ; quasmenfura nocain hoc negocio gurarum in circulum eft diamecer circuli. •"*

infcripcionis Fi-

VIII.

Cibiledicitur,

*-* eft

Definitio.

quod vel ipfum per

immediate

menfurabile per diamecrum , fi linea ; velper ejus quadracum,

fifuperficies:vei quodformacur

ad minimumex calibus quancicacibus

cerca &geomeericaracione, quaequancumcunquelongaferie, candem camen a Diamecro , ejufVe quadraco dependeant Graece dicicur

IX. Definitio. r\ Emonftratio cft quantitatis vel describcndas uel ^* fciendae, ex Diamecro dedudtio,per intcrmedia poflibilia, Grace Tl6&fJL0L.

Et $ qualitatem.? fiientiaverb infuper

lta demonflratio communiterveldefcriptionemparit velfiientiam.

Defiriptio quidem quantitatem

nudam

quantitatemve certam profitetur. Potefl autem aliqua linea efie geometrice determinata ,Gr*ceTCHMYly quxtamenactumentis ,qualisfit, nondumfiiatur» Poteft vicifiim a/icujus

vel aliquarum /inearum qualitas a/iquafcifi

qua

tA-

tnen ipfa$ nondum determinet , ve/necefiitet ;fimmirum qua/itasilla multis alijs reBus , quantitate differentihusfit communis. Eft etiam quarundam line-

arum defcriptiofhcilis ,/cientia difficilimcL».

Bu Geometrico qualicunefr i

fiiri

Deni% multa defcribipo(?unt a-

famen nonfoptnt naturdfitd : vt quidemfcL

iilefuprddefcripfiwus.

X. De-

£>EM0NSTRAT10NE LlB:i

X. Definitio. PRopriademonftratioeit:,

cum numerus

angulo-

rumfigura: velipfius, vel ci cognacas nume.ro lacerum

duplo aucdimidio , fic medius cerminus ad decerminandam proporcionen^ laceris, quam id habec ad Diamecrum, Omnis enimfigura regularis, efi aut ipfa trtangulut», aui refilvitw m trh tngula^dufik diagonaJibuf. C&w *utem omne tstte tfiangulum habeat trtt dudnsreclisaqualm ;'m T.rigonico tgitur angulo efi pars tertia ,'m Tstragmicielemsniaris angulo minimo^ pars quartn , in Penfagonici pars quintia , in Heptx* Et ab hac quaotit&te-anguli, i?0 gonici pars feptima &c: duoruw recloruw.

tipit demonfiratip

czjus%.

XI.

Definitio. Mpropria demonftratio eft % cum proportio

lats-

ris ad diamecrum ex ipfo angulorum numero immediace adhibico nequic decerminan Georascrice, nifi adhibeacur latus figura; alcerius

aon duplo aux dimidio numsro lacerum,

XII.

Definitio.

GRadusfcientiasdiverfisunt

remoti alij procum lineam aliquam fcio

alij

Primus 5c proximus gradus , pinqui, demonftrare poiium , effe diametro a:qualem , auc pianum > licec alicer formacum quadraco diamecri arquale.. Hic wenfureu nota^ } perficle , fci/icst feips.ihg? un? aBu , wenfurat

nofcibilcji

Xill, Definitio,

r Ecundus gradus,cum diametro in aliquotpartes ^ aequalescerconumerodivisa, velejusquadracofimiliccr linsa ,

Tel

planum propoficum

ajquacur

cali parci

vel parcibus.

Talislinea

dicicur Graece forn fjumet Effabilis longicudine. fimplicicer dicicur ploy

EfFabile.

Planum vero tale Numerus enimeft Georneirarura

ftrmo. <LAd hunc fiientidt gradunu> velperdefcriptionem } injcriptionemque per•venimus-, velaliter

etianu per cognationem cum alia aliqua quantitatcj , *4 Eoque non determinat, hacqua/ita* unaat

quamper illa mediaperveniebatur.

eUiqmm quantiUtem ; neque enim fufficit addeterminationem quidcaufa commenfurationUfic velfic ejfej cemparatunu jcircfi , quQmtoffa , id efi,quo numerofit Eff*bi/cj>.

TJt fciam-a, *li-

ioporte/t etiairu

h&f

De Figurarum Harmon:

XI V.

Definitio. tt Ertius Gradus eft hic cum linea longitudineeft * InefFabilis ac e jus quadracum EfFabile & percinens ad fecun,

, !

dumgradum. Dicicur |^ JWaxte^ EfFabilispocencia.

XV.

Definitio.

QVifequuntuf gradus, omnes appellantur KKoybi^

Incerpreces Laciniverceruric,Irracionales,magno Nos fepeliamus hune vocis uFurri , quia mulcarf uric lineae , quae quamvis InefFabiles opcimis carhen Arichmecici confimili cfanslaciorie appelContifteriturfationibus. InefFabiles.

^"e ambiguitacis & abfwrdicacis periculo. e

«is.

SurdjNtt-

w«L

laricNumeros furdos , id eft , quihbri plusloquuncurquam ftirdus audic fed fub hdc riOmine cam EfFabiles fola pocericia , quam inefFabiles quancicacesintelligunc. Eft igicur qUarcus in ordiriegradus,primus ve:

, quahdbhec liriea fiec ejus quadracum fUnc EfFabilia Quadracumin tale Re&angulum transformari pOceft,cujus (ed carrieri

inefFabiliurri

Htetlineadicicur MESE , quia eftmediaproporaorialisincer diias EfFabiles fola pocencia cornmenfttrabiles uc fi una quidem fic EfFabilis Ibngicudine , alcef afola pocentia i auc fi ucraque fola pocencia. EfFabilis , pocentiae tameri incer fe non lacerafincEfFabiliafalccmpbcericia.

imtucquadratushumerusadquadracurri. Talis linearionfcicurvel menfuracurlongicudinecertarum pa^ diametri , nec ejus quadracum , quadraco diame» jequalium tium tri ; fednec lineae menfurancur a Diamccroambaefimul} incer quas E S E eft rriedia prbpbrcionialis fed illarumlinearum quadraca, liasc derrium aquadracodiamecrimenfuraricur» Quadracurri ipfum ESO dicicur, fivcflc formaequadracae , feu inReftangulum cransmucecur : eftquc hoc alfcerum Plani genus , poft EfFabile planum: Et hifce duobus planis , Efta»

,•

ME^ES &

bili

& Melo fequences fpecies incer fe diftinguuncur.

XVI. fh

Definitio.

Dlineas alias fingulafes trahfitus efthbbis,pef co-

pulationem linearum biharum t quae ipfaequoquenovosgradus (cienciae incerponuc Sececiir fi. vel diarriecet,vel aliqua diamecro comfic EfFabilisi aut eciam ahqua Aiefc ifemenfurabihs falcem pocencia cecur inquam in pairces duas inaequales, auc cbhferancur ex dwarum calium fe£tionibus,duae qiixcuriq; parces, vel cbmpoficae ex paf cibus, vel -

compoficaspocericias,diminucafveiexcalibus habences, duaeinquani in gencre inaequalesHllarauc eriinc longitudirie commenfurabiles incer fc » auc incornerifurabiles qclefri longitudirie , cornerifurabiles vero potentia. Hicquamvis a cbtrimenfuratiorie jplane receflefunc fingulae, ac junftae camen nonriullas adhuc vel quadracis iri unam fummam collaciSjVelReclangulocommunicerferm^to^ coafticuuttc plana ha£te«

Demonstratione, Lib:L

nus'explicata,nonminusquamidemfaciunc&illae, quae func incer fe. commenfnrabiles. Csecerum cum mukiplex fit talium duarum plana incommenfurabiliumcopulacio,aliaalia ignobilior j non poterimus

omnes bigas in unum gradum

XVU.

referre.

Definicio.

Sitergoquintusfcientias gradus, CumduasnecEffabiles

ambae,nec MESvE, ampliusque inter fe plane incommen-

& fummam quadracorum,& comnonminus quamucrumq;horumfaciuncduae

furabiles,ucrumq-, faciunt Effabile,

mune Reclangulum

longicudineEffabiles,per20.decimiEucIidis, veletiam duaefolapotennaeffabiles, fedinterfetamenlongitudinecommenfurabiles, per eandem. Uc lacus de quadraco 2, &lacusde quadro g, funcincerfe in

propoicionedupla,quiaquatfra funcincerfeinproporcione quadruSunc ergolongicudine quidem Ineffabilcs,acincerfecommenpla. Earumquadracaz. &8- jun&afaciuncjo. Fffabile planum» furabiles. Ecipfaeinfemulciplicacae (quodeftRectangulum formare) faciuncrec~tans;ulum 4. eciameffabile. Hoc idem inquam faciunc etiam duae nec Ef fabiles nec Mefae , ampliusq; incer feplane incommenfiirabiles : eoque non,uc priores illae,in fecundum vel cercium gradum fciencia; func ,

referend<e,fedin Quincum.

Nocaigitur quodin hocgradumenfuremus nonlirreasipfas, nec commune ipfarum iRectanfingularum quadrata , fed menfuramus

gulum, &jundlautriufquequadratainunamfummam,- ucquodunt quadr ato deeft, quo minus fic effabile, id ab alcei o quadr aco fociaco exactecompenfecur.

XVlll. Definicio. cumbinas

=C extus&ignobiliorfcientiaegraduseft, *-*

jun£tae,quaeneceffabiles,necMefae,ambaefimul, eciamqueinincommenfurabiles , alcerucrum falcem Effabile faciunt , teliquum vero Mefbn. Eftque geminus ; auc enim fumma quadracorum

ter fe

tffabilis ,

ius,

Rc&angulum Mefon

,•

aut illa Mefon„ hoc effabile eft i

jUo EffeBu (imilasfunt Duabus Effabilibusfblapotentia Commenfurabifi'I\fam potentia amb*,hoceft quadratn Effabilia,fhciunt etiamfummar&

qwtjunt aaje mutuo , zrt du/e fortionafis Media; per

tLjfabiles

inter quas pnma ex

26,t£ zS. decimi Eucf.

2 CMcJis, e/r pro.

i\am quiafunt potentia com>

menfurabifes : addit* igiturpoteHtUfhciuntfummampartibus commenfurabi-

lems.

^Atpartesfunt Mef/L, y tf fuod Mefieji commcnfurnbtlejpfum etiam

e(lMefon,per>24.dccimiEttch

»•

FiGURARUM HaRMON!

Dfi

HieReftanguIum binarura metimur quidem plano quadraco di« ametri, acnoneciamfummamquadracorum: namei folum invenimus duaslineas, Re&angulum ei sequale formantes, quarum quadraca meeumur quadrato diamecr^.

XIX. Definitio. C

Eptimus adhuc ignobilior

cum duarum incer fe incommenfurabilium neuter efFe&us eft efnecfumma quadratorum ,nec commune Re&angulum; fed ca-

fcientias

gradus

eft

fabilis,

men adhuc ucrumque Mefon. Hifcefunt effecT:ufimi/es,duxMefx pvtentia fola commenJurabiles,quarum MESEvere ejl Mediaproportiona~

un*Ji.t ada/teram^iJt unaearum,quas inter lis

commenjurabi/umjc-.jo/apotentia 3 adtertiam aliquam ,Jola potentia com-

menjiirabilem,per .29. Decimi Euc/.

Has tres bigas^dup/icigenere Planorum diJlinc?as,Eucfides ob idpotijjimum docei invenircj)

quiaficiunt adcompojitionem (f conJlitutionemfyecierunu>

Jeqitentiurru).

XX.

Definitkx

fcientias Gradus OcStavus ex prarmiffis interERgo poficisderivacur,eftquelinearumicerum fedquae fingularium

compoficione duorumnominum,fc.duarum copulacarum ex praxe» (dentibns copulis , vel abftratlione unius,Epharmozufas didtee, ab altera focia,conftituuncur,novamfpeciemfaciences. Ucfic in his fciamus feu menfuremus non incegras lineas , non incegrarum quadraca , non commune binaunufcujufqueNomina,fedeorumjunc~caquadraca Reclangulum , uc prsecedencibus XVIII. XIX. Ec quamvis cocidem fcienciajgradusnumerarepofremusjquocfuncfucuraefpeciesjquarum femperprioreftpoftcriorenobilior : quia camen quaelibec compoficiovelabftractioadfuumgradumrefpicic , necipfbcompoficionisvel abftrattionis opere confticuicur ulla diverfitas , fedomnes fehabenc ex aequo ad fuas Nominum feu Elementorum bigas : ideo unumfblum earum gradumfaciemus: fedfpeciesejusfciamus no=

feihcacediftin&as.

XXI. Propofitio.

C Ciendum

efl:

autcm , exduabusinter selongitu-

** dine eommenfurabilibus nihil fieri, quod hic incenfum venire debeac : five EfFabiles illae fuennt , five Mefe , five Ignobiliores. 'N^mficommenfutabileskngitHdine , totaetiamexifscompo(i& , erit f«rtibus 6Qmmenfir*bUif ^Atqhi g«<e Effili/i emmenfttratHT , EffthUis eft: t

feriik-

Demonstratione. Lib.I.

^u^ verb Mefk commenfurabilk ejl per definitiones ante zo. decimi Eucl. Mefe pcr 24> ejujdems. Etqu&citiqueexjamJecuturisIneffabilibuspoftMei ,

cum illajpecieieft , pef Q6. 67. 6S.S<). 70. )0 s.)0a. Etficeftetiam cum a/if'sjj>eaebus remotiortbus,ab Euclide non

fts , commenfurabilis , ejufdem

jof. 106. 107.

<lAc etfi'cumys non ita efie£ x commemoratis , qu&gradusremotioresfhciunt. ^Aut enim recidunt in unamj^ecierums , quas id Uimen ad nos nihilpertinef, hamconfiituemusex incommenfurabilibus £?'fic non augent numerurru> t aut fic nonjunthujus loch faciuntjbecies ignobi/hres ue/Jui ve/ alterius generis ; ',

ulugradusjiruimus , pr&mifiisproximos nobi/itiitcj»^

XXII.

Definitio.

TRansmiffis igicur ijs,qua; func longitudine commenfurabiles, ac» cedamus ad eas , quu: fola pocencia funt commenfurabiles. Igitur il componantur cales duae Effabiles,-fic BiNO MINIS: fin abflrahantur , ex relitto fic Apotome P.48.S5. libridecimi

«triufque fex func fpecies fubordinats '

SinaucemcalesduasMefascomponancur, aucEffabileformantes

Re&angulum, aut Mefon : fiunt compofitione B I M E D I A L t S, ab^ ftractione,M£SES APOTOMy£,illicPRIORES,hic POSTERIQR E S cognominatae. HicconjungerenonlicecEffabilemcumMjESE : funtenimtales dus fimplicicer incommenfurabiles , de quogenere jam jnfequentiagendum eft.

XXIII. Propofitio. REftant igi tur plane inter fe incommenfurabiles. quaebigaerequifitoseffe&usprajftarenonpoflunc Mefae, item unaMESEcumunaEffabili, 11I& quidempropter big<t ignobi/itatenu., tes'Naturas.

iftx

*Uide7i. )Og.iop.decimiEuc/.

£x ijs vero ali i

utfuntbinae

verb propterfuas difirepanT^ulta igltur Jfyecies compo-

fitionis hincpoteft arcejfi; reftant^ nobis Ignobi/iores tztntum , exc/ufis tfEJfa^

&\Mefis.

bilibus

XXIV.

Propofitio.

biga vero prima talium plane incommenfurabilium > fcilio

funt in przemifsa

que

X Vll.fcibiles gradu quinto,componendo abftra-

hendove rurtiim nafcitur Effabilisj funtque necefTarid B I N O

M I NIS

&APOTOME,videii2. ns.iH-DecimiEuelidis. Ucfi&fumm* quadratorum Binominis & Apocomes,& commune Re&angulum illis eft

Effabile , oportetNomina fingulaunius, Nominibus fingulisal-

teriuseflecommenfurabilia

quod nonficinomnibusBiNOMiHi-

bus&Apotomis. gupdBime tn/es /inea, (foosrequifitoseffeBuspr<eJkintef } necfffariofiant

Binp*

DeFigurarum Harmon,

Binominis^ Apotome;demonflratur adeundemmodum,adquem 33Je c imiefl ismonfirata, ,

ftwtf »>»

vtproduab9 nyHou? ^lLUCtfiet (JLOVOV^adhiheantur j>wCU

UMet,d uhivox fJLiO~OVoccurrit ,hr\\oV ponatur nitio

cBinominis

d* u/timo comparetur Defi-

{$ Apotomes.

Qubdautem ex compofitione gf ahfiraBione^Binominis tfApotomes, du-

Cum erurfum Effahilis ;ficpatett nimfumma quadratorumfit Effahilis, Z$ retTnngnlum Effahile; compofitarum duohus rethnguigitur in unum,quadratum conjkihit ex utrius% quadrato, 9s feqmfitos Effecluspr<ejkintium ,fitiL

\is communihus , ex duahus fi.partihus Effahihhm quareif totum quadratum

Krik

Effahile erit : igitur tf

dratunu»

& linea '

compofita

Sit ^Binominis KfJL

apotome ?$, ejus quadrum

potensilludqua-

ejm quandum

Y.0 ,fit

QX,&'fint Ox, XO,juncktfimut

Effahili*,fitg ReltTtngulum ex

Qh } 7\fl, effahile

tati-

um autem duo x,u, jc^ complent quadratumtotiut "f£ com» *

o pofit<e }

quodquadratumefi 00.

De tlftraclioneprohatur in hunc moduwu>. Hefi ^fJLyefi effalilis , erit

3"A Minus nomen ,

Sienim compofiu ex oA>

fJtihy

& dimidia 07T EffahiiisMnquam majus Nomen

altera dimidia 7ff/.j aupr ah eatjjx aqualem ipfi(}X> erit

tfrefidua 7TQ~ Effabilis

$ tota /\q-

pofi ablationemApotomesp."-i

,fc.

dupla ipfius

7---.

^At tjq- efi refidu*

aBmomme hfjL.RefiduumergbfitEffabi/otii,

XXV.

Definitio.

1 Gitur ex fecunda biga fexti gradusNum.XVIII.pras^ * miflb, linearum interfeplane^ncommenfurabiIium,quibus fummaquadratorumeft EffabilisjRe&angulum MefDmcompofitione nafcitur

MIZON,(eu MAIORdiaa,abftraaioneELASSON,feuMINOR,

Extertia,ubifummaquadratorum eft Mefon , Re&angulum Effabile,qusecomponendo nafcitur , nomenbabet Potens eftabile Et MESON,quasabftrahendo,FACiENS cum effaeili mf.soii T o t u M.Deniquc ex quartabiga feptimi gradus, NumrXIX.prarmiftaV ubiuterqueEffe&usfitMefomcomponendofit Potens bina mejpiA,abftrahendoFACiENS cum meso meson totum, Et ecce Originem duodecim ipecierum Euclidearum,earumqud Numeri caufas. Nam ad remotiores,quae vel fummam quadratorum, velRe&angulumcommune, vel utrumque , proferunt ultra Effabilia& Mefa, in ignobiliores ipecies, noacenluitEuclidesfibiprogrediendumeflV

xxv%

DeMonstratton&

XXVI.

Definitio

Lib.

& Comparatid.

SVFficereiftapoterantetiamnobis ad conftituendos gradus Derrioriftracionum, quibus lacerafigur.Vrum, ribbis ad Harmonica neceflatiarum, diftinguUncut hifiquibufciam exf ecenficis :

accederencaliannfuperpropriecaces

irrioriifi

prjevenirencur hadte-

nobilioribus alijs S quibus cumulancur gra* dusfciencificarumDemonftracionum. Vericum eft ad compofiCioriem & abftraclionem ubi line3s corri^ ponendasvelabftrahendas laxe fumptimus , nulla ljs impofica cercaj quarititacis neceflicace. Quod fi jarri adftf ingamus leges, impofica certa propoftione bigis, nori qmdem fic daciis, uc llla; junctee ririarri duodecimfpecierumfeceruric; fed bigis aliter dacis , unifcilicec ret~taedat*> ejus parci majori inveriienda: > uc fic riimirum vel mirior pars ad majjorerri, uCmajoradcomponendamexUcraqUe; Vel vidflim Major ad minorem, uc fninof ad refiduam: quod manec abfti attiohe duarum fav clajrion femperfiecgradusaliquisremotior, fedpro re naca recidemusinuriamexplicacarumlpecierum , 8c regreflU fatto comparabimuslineamconfticUcam > qua^perfeeftottavigradus , cumlineig

rius recerifica; propriecaces

,•

,....,

quartigradus.

Quemadmodufnenim iri quartogradudefin. XV. doae rcllx confc rnuniOperap!anumformabanc,exquoin quadracum redaclc nafces bacurlirtea, dictaMefe: ficjamduajredtxTota&parsuna formanc ,

ipfamparcemalcerim fubcrahendo, veldua?partesf6r~manttotaro addendo. Illicrecta£formances,erahcihcerfecomnienfurabilesfolcipotencia Hicmiflacommenluracione, fucCedit proporcionis idencicas :

incer cOcum& parces.Illic proporcionis flimilicudo erac incer rniriore

faciendam, incerq; faciendam rhajdrern ; hie eciam eft proporcionis fimilicudo iricer faciendasduas, inCerqueearum unarn &propoficam tocam , in abftratliorieun compoficione vero iricer faciendarum unam faciendam alceram; tllic ijgicuf propofitam, iriterque propofitam dacis duabus , dabacur Rectartgulurri ajquale quadraco facieridae , fie planum ance lineam: hic e concrariOi fadhs duabus faciendis, fequicus demurri asqualicas mcer Rectangulum excrernarum quadracum Medias, per 17. fexci ii. fecundiEuclidisj Illicredbefofmances, quadracahabebanc commenfurahilia quadracoRe£taepf6poficse:hicdocecEuclides,Prop 3o.libriSexci,&fumerequadracurri , pfopoficas quadraco cofnmenfurabile »fc. fefquincuplurriejus, &abhujusquadra£ilacereauferrefemiflefnprop6fica:, uc reftec pars in propofica ftaciienda, qua parce de propofica ablaca, relinquebacurpars altera requifica j (vel ad cocam addica fiebac eciam cercia requifica). Eccoc riomiriibus parces has videncuf accenfenda? gradui quarco. ln hoc vero punclo riobilior ipsa Mefe feddicur linea, quamcunq; bccupaveric ifta proporcio : qudd Mese longiori cachena , ex quacuor 'At ciculis corripofua , dcpendec ab EfFabili propofica; hujus vero parcet ,

nicut»

DeFigubarumHarmgn.

nicunturproporcioncfuajquamhabencimmediateadipfamEffabilena EoqueficucMesonpoflincefTe mulcar, eodem omnes gradu diftances ab EfFabili > pars veromajorin hacproporcione ipfius EfFabihs unafola fic , & ornnino cujufquelineaepoft Eftabilem , una Quonominesquiparacurejusdemonftracioprimo quofingularjs. propoficam.

dammodo gradui» Quando igicur propofica Re&a jubetur efle tota, ejufque duae caIesparcesquaeruncur,cunchjecGeomecrisdicicurfectiofecundum Ex-

trema&Medium.

Nimirum hocfibivulcNomen, quodcumahas

ynjgaris fe£tio cocius inparces

duas,non

refpiciac

proporcionem,auc

ad cocam aliqua comparecur in ea proporcione,in qna cft minor pars ad majorem , cunc fianc quacuor cermini , duo exrremi duo Medij hicconcrafianc cancum cres cermini , coca quidem Scpars minor , dija cxcremi; pars v<:r6 major, medius terminus unicnsDicitur eciain eadem de caufa fectio proporcionalis. Hodierni feclionem proporcioncm ejus cognominant Divinam , propccr admirabile ejus ingenium, mukiplicia privilegia % quorum pra:cipuum fi

cft,

quodfemper parte majoriad cocam

addica, compoficarurfum eft quae coca , jam ;

& quaeparsmajoreracjamfic mTi^or

fimilicerfecta,-

major pars fic compofica;, per £. Tredec jrm

XX VU. r^

Euclidis»

Propofitio.

Vm autem fectio talis in omnibus lineis Iocum ha-

Vr* beac,inEfFabililongicudine,inEfTabiIifoIapocencia fe , in duodccim reliquis fpeciebus recenficis , in alijs

inMe-

omnibus nos in :

prsfenci opere duabus folisejus fpeciebus habemus opus,quae cum fpeciebus hactenus explicacis coincidunc fecundum duas lineas fecandas. QuodfiEffabilis NamaucEfFabiliseftillalongicudine , aucMizon, «ft longicudine , quae ad fecandum proponicur i fecla: pars major fic A-

&refpondec

Binominis ejufdem quarta: fpeciei*, communia cum ipsa habens nomina. Sed cave confundaris3 pars quidem major illa dicitur , relatione ad propofitam ; at eadem Apotomehicdicicur , nonrelacioneadpropoflcam;fedqualicacive. Quod fi quaeras cujus fic apocome refpondecur , qudd f ic apocome alicujus , quae fola potentia eft commenfurabilis propofits , quas fc. po«eft fefquiquartum propofitae. potomequarcasfpeciei

;

Sit GJpropofiu adjecandum ,fitque Effabilis longitudine^». Fiatrecim

c —— i

angulus GAMzf AMfitdimidia ipfius GA, (£

~-^T

connexis

GMpuntlis

centro

GMfiribaturfemicircu/us

PGX

intervall»

& AM con-

tinuetur in ejzts circuwtfirentiapuntbl PX.fiat

Nsg

fuper PA,quadratum PO. Ergb linea GAjcffo ejiproportionaliterinpunBoO^ H<ecigiturJO efipars majorfeffteproportionaliter GAi atea-

demJO velei «qualis JP 3 \efi Jpotome non ipfius GJ } /ed

ipfite

MPvelMG

Demonstratione. Lib:1.

illius dimidiam: vtfipotentiaipffats GAfit 4. e~ siu potefttam GA, quam h Et ipfius igituf GMpotentia erit / In quantum igitur AO vei J Peft Apotome,refpondet ei binominis AX:funt% nomina ipfius communia MX,

rit ipfius

ve/MP, velMG ef AM. Quadautem APjit Apotome,^ AXBinbminis, utra^ quart<ejbeciei,fie ,

trohtur ;\Eft enim utrunque nomen potentia commenfurabi/es , quia teji 1.

eAt ).

adj. non

eft

prentia potentiarum 1.

effabile ifj

MXtf MoA ifunt tamenfo/d

MX ( ideft M G ) potefi f. qualium MoA po'

vt numerus quadratus adquadratum. Deniquedift /• eft 4 numerus quadratus, cujus latus 3. longitu-

£5?

Hd verbfunt nOta fteciei quartA iine Effabi/e cequa/efi. ipfi GApropofitx. ante Binominum , in definitiombus P. 74: £f Apotomarums , antepr. Sf.deci,

miEuclidx.

DeniquefiG A Effabilis ficetur proportiona/iter , pars ejus major OA tomttofim ex utraque 0<iA ,<sAG cadunt in gradumfiientict quintum-». f^am quadrata ipfarumjunifa, fummam^fhciunt Effabilenu, , trip/umfcilicet ipfiue GAeffabilis , per 4> Tredecimi Euclidis : ^Refkngu/um verb ttiam Effabile aquale quadrato ipfim GqA effabt/i , cumfit G A medtaprofit , quia eft portiona/is inter

OzA

partem,

$ 0<zA

<lAG

compofitam,perprcemifia^> t

XXVllf. Propofitio. Vlciffim

aliqua

E ffabilis longitudine

pordonalicer fueric fedta, parsejusniinorfic

fic proApocome primae

fpeciei.

GA, vtantea, £f

IJtfi Effabi/isfit jor

minor 0,G

ejus fiBot proportiona/iterparsma-

G Apotome_n

erit tfiam

per 6. Tredecimi Euc/idis*

dicitur Apotome qua/itative non relatione ad G Aeffa bi^Rurfum a, , vel MP, cuius lem /ongitudinzj> , cujus efi pars minor ,necre/ationead ipfaAOve/ APeft Apotomcj>; fedbab&t GO/Afjminapecu/iarias. Ciinzj, «nimper ?rop. §7, decimi Euclidis , quadratum cujuscunque Apotomes,^ fic etiam quadratum \?0,extenptm ad Effabi/em("Vt hicadGT, ipfiG Amqualem) Jhciat, latitudtnemGO , primctjfeciei Apotomeru>: ipfavicifiim oAO erat, A-

potomeffeciei quartct.lllius igitur

GO nomen majus,efl Effabile /ongitudincj»

MP erazfo/apotentia effabi/e.

hujus AO majus nomen

Et viciffim,quia nomina funtfolapotentia commenfurahi/iasi oport&t Minus nomen , feu Vrosharmoz,ufan ipfius GQ , efe folapotentideffabi/entj> : cumipfiusAOnomenminus utriquetnmenhocmanei , quoddifferentia quadratorum a nominibus defcriptorurru> ,fit quadratum alicujus effabilis lon-

JMefetlongitudineeffabiltLs)

gitudincji.

hujusG Oyprima^fpotomesNomina-», relinquo alijs qu&rendunu. Prosbarmozufa quidemipfiGO vt Apotoma Primx eflunkafb/a Gfuxautenij, fint

fer 7 Decimi Euc/idis Qux debet efie talis , vt ejus quadratumfit Effabi/cj* non tnmen numero quadrato : ipfa verb cum GO debetfucere lineam unam Effa.

bdemlongitudine^s, ixrbi caufa

t$ per 30. Decimi,fiexhacundtQtafietdiar»eJtercircu/i y

> £jf fi

Prosharmozufi, paulb lengiorquam Pa (fiquidem totaj,

efiet aqua/if ipfi PX) ab uno termino Diametri

XG tunc qudfigm GP conneffit ;

fudinej.

app/isaurcircumfbrentict

debe-t efie ipfiPXtoti

commenfurabilis

/0 ngi-

XXIX

De Figurarum Harmon:

XXIX.

Propofitio.

aVando vero fe£ta fuerit

proportionaliter aliqua

Mizon ; cujus quadracum fic arquale reclangulo fub longicudine, compofica ex propofica erTabili & pocence ejus quinq; quarcas & iiib lacicudinequinquequarcaspocence ; cuncminorparsfkElaffon ubi Elaflbn eftnomennon comparacionis, fed qualicacis; majorveropars fic Mizon alia , rurfum qualkacive incelleda, quascunque ejus finc Elemenca. ,

Infchematefol.

i(T.

Siti/tprius, propofit&effabilis longitudo dimidia

£ MG talium

GA, ejusfj, rurfiimdimi-

a jj^. wquafiium GApotefl 4.pofit AMi.tfftl GAMretius, poterit igitur $«,

continuttur MAutrin^ , tf centro M., intervallo

MG fcribatur

quare PX poterit quiha, G A. Sed PG , quadrata quadrato ergb quin^ quartx , illafunt dc quadrato junL~ki,junt tequalia propoJittgeffabi/is.Porrbjiex PG.GXficeris /ineam unam;ejus quadratum conex duobus ReEhngulisfub PG. GX, quiftabit ex duobus quadratis P G, GX, husjunt xqualia duo rethngu/ajub GA. PX, hoceft, unum Refhngulums Jub fub PX, ejfabi/ibus duabus , (edfola potentia com~ propoftta dupla ipfius GA,

Jemicirculus PGX. EJi igitur PXdupla ipfius quartaspartes de potentia propofitte , duplte ipjius

;

menfurabilibus:qtiam ob caufam rechngu/um hoc eritMeJon,per 22.de•cimiEucl,

Cnmergb quadratum/ine&P GXtotius , rectangu/o Mefo

efufdem latitudinis

conftetex quadrato

PX effabi/i,

PX: qu£ duo , quadratum PX,

$ rechn-

gulumfub dupla ipfius GA tfjub PX,funt aqualia reclanguio , quodcontinetur fub PX, effabili, £$ fub compofita,ex PXtf dupla ipfius GA,Jo/a potentia commenjurabi/ibus,quarum partium major PXp/uspoteft minore(dupia ipjius GA) a/iquafibi commenjurabili longitudine (poteft enim PXf. qua/ium dupla ipfius

CApoteft 4 excefius igitur l .eft quadratum alicujus,quA incommenfurabilis eft ipfiPX, eb quod i.adf. nonfit,ift quadratus numerus adquadratum ) quibus de .

caufisditia compofitaex

PXg? GAduplicatajeft^BinominisquartttJ^ecier.cum

inquamquadratumtotius PGXJit xqualetalireB'anguloJub Apotomcj quarta £2? Ejfabili linea igitur PGXtota, erit Mizons. Elementa ipfam componentia , ftntpartes PG, GX. Namquia PA, eftApotome,^ AX^Binominis: (unt igitur l interje longitudine Incommenfurabiles. Ut verbPAad AX:Jic quadratumPG, adquadratum GX. Ergb PG , GXjuntpotentijs £$jicftmpliciter incommenfuquadratorum effabilem , qttippe xqua/em raSi/es interft ;%$fthciuntJummam quadratoPX:rettangulumverb(ubPG, GXMeJon. Ergbper ^g.decimi,compofita ex PG, GXeft Mizon : Etper 75. Decimi,ablata PG , d GX, relinquitut :

Elafton. <zAtquitota PGXeftJeclaproportiona/iier inG,Namift PAad AGJit

PG ad XG.<LAt PAeJl ipftus GAproportionaliterJetl* pars major OA,quia MP MAquintuplum £J? Apotome APxqualis e(l AQper 1 i.Jecund.Eucl. eft ipfius GXproportionaliter (ectttpars major; d) per f .Tredecimi% addita PG,parsmajot,ad GXtoUm,parit novam totam PGX,proportionaIiter JeBam inG;%rt jam PGftt hujus compofitx pars minor, GXejus major. Etfic

foteft ipftus

Ergb

& PG

PGX

injua Elementa.»» , exijlens a/iquaMizons, jeBaefteodempuncJo G €X quibus Mizon denominatur , &ftmui'infuaspartes proportkm divina.

Disk

Demonstratione.

Lib:1.

3ico eafcmpartes proportionaliler QB* , efiefimuletiam Elafona £«f Miuena. QuiaenmAPeft Apotomequarta, quodigiturfub AP Apotomt <r Effabih, eftpotentia Elafonis,^ Q^decimi Euclidis: d> quia AXefl Binominie

& PX

auarta, quodigitur (itbhac

£=f

PX Effabi/i

efl

miz,onis potentia : fedquadrata-»

PG,GX,funt tqualia Reftangulis APX, AXP ,fingulafingulis ,ergb PGeft '

EUfion, GXMiz,otu>.

Conveniuntigiturhicinunum,nominaqualitatum&nominapn> porcionum.Nam PG dtcicur pars minor , refpeftu cocius PGX proporcionaliterfe&aunGidicitur&lineaminorfeu Elemencumminus ipfiusPGXtotius,uthaeceft aliqua Mizon qualitativc;dicitur deniqu» graece Elaflbn quod fonacLacineminor, qualicacive>refpeclu aliarum duarum linearum,hicnon expreflarum, quarum fubtractione unius ab ,

altera, ipfacanftitukur.

Eodem modo GX primo dicicur pars major cocius PGX ,

propor»

tionalicerfecta; fecundbdicicurlineavelElemencummajuslineaecotiusPGX, uthaeccftqualitativeMizonfuoproprio jure, non minu*

quam toca PGX fuo

fed lineae faciences ipfam

GX Mizona compofiti-

one fua ; non func hic expreflk. Propcer hunc concurfum fectionis proportionalis,

& fe&ionis Mi»

zoriisinfuaElementa, credoinditafuiftehisfpeciebus Nomina qualiElaflbnis, taciva Mizonis Cavendumautem hiceft diligenter,ne difcriminarerum confundamus;fe£tioproportionahseftabfolutaproportio,nonalligataad unam aliquam lineam , in notitia primam, quae propofica Effabilisdicitur:fpecies verb ifhe Mizonis Elaflbnis, func figurats cercis gradibus difceflionisiua^aprimapropofitaEfFabili.Itaqueiedliodivinaprogre" ditur in infiniturmatnonfequituream afFeclio Mizonis & Elaflbnis: in illa (feclioncj pars quae modo major erac, proximo gradu fir minor;

nunquam nulloq; refpsftu fit Mizon, nec Mizon Elaflbn. Itaq; fi GX M izon dividatur rurfu m proportionalicer»

in hac, Elaflbn qualitate fua,

pars ejus major ent «qualis

ipfi

PG, eoq; Elaflbn manebit qualitative i

nequaquam verb Mizon qualitate fiet, ucficparsmajorquancicate : <| diu quidem GA eft EfFabilis propofica. Quaeris fi Mizon fic PG X qualicatc,Mizon etiam GX qualicatccuE HoneciamipfiusGXElemenrummajuspoflicefFealiqua Mizon,ficue ipfiusPGXMizonismajus EIernentumeratGX,Mizon&ipfa ? Quia ctfi utraque cft Mizon, cam-pcx quam gx ,alia camen illic alia hic eft formacio. Naminquadratum PGXvenicquadracumpxcotum re&angulumjfub duplici ga & fub Px, totum. At in quadratum gx, ingreditur de quadrato quidem px, dimidium, fc, quod fub mx, xp , de redFangulo verbfubduplici ga &fub Px,parsfolummodo quarta,fcquodfub am& fub px. Alia tgr hic eft proporcio Mefi ad EfFabile,alia illic Noftra verd propofitio concurfum hunc,fec~tionis divinae,& quahrativae compofitionis , in partibus lineae ijfdem.de priore folum pgx, eiufq; propria proportioneMefi adEffabilede.moftrare nititur,non itidem de pofteriori. Nota verb & hoc ad perfedionem anaiogiae,- qubd ficut gx Mizon «ompoficionc proporcionis divina-, fitmaior aliquaMizonv fc,PGX, ad_ ,

6 z

diefi

De Figurarum Harmon:

Gx, pars maior ih fe&ionedivina : fic e contrario ,'pe Elaflbn hupfpeeieijfe&ione proportionis divinsejdat PY minorem aliq, dita PG,q eft

ipfiiis

Elaflbnafeipsa,fc. ipfiusPGfe&aepartem majorem,vehpfius GXfeclae

partem mihorem GV:utficutmaximaPGX cadit per fe&ionem divinam , in XG Mizona & GP Elaflbna , fic fecunda Mizon GX, cadat in duas Elaflbrtas X V, VG, aequales fc. ipfis GP, PY atque ita duae Elaflbnescomponantuham Mizona i Mizoh vero & Elaflbn aliam Majo:

remMizoha.

XXX.

Propofitio.

jr*

LafsesFigurarumfingulasfingulifaciunt numeri

laterum Primi;& reputantur in elafles,qua?habentNumerum la-

terum continue duplum numeri fiii Primi, Sequitur hoc ex defin, X. hujus.

T^am fidmniumfigurarum,qu <e Nu~

tneros /aterum habent unius a/icujus continue dup/os jirationis propri<e

eadem ejl fbrma demon-

omnium igitkr i&arum eadem efl C/affis, causd demonflra-

tienis.Nonmutat quippe bifeciiogenusvei c/afiem,afibciatn eartimfingulis ipropterd) fimplicitntem

& <equalitztemPartium,junclim: exfingu/is enimprioris

figur<e arcubusfiicit partes binas tnntun±s>

eascfc

<equales.

oslt trifetiione aut

^ujnifeEiione , aut fequentibus , non effugies

, quin aut inaquales defignespa rdebeant aut tantum , multas , idefi ,p/ures duabus ,fi<equa/esSUt tes , (ibin<e efie in trifeBione arcus j, ve/ficatur in z. i, binas inaqua/es, ve/in /./. /. <equa-

lesfedmultas.

nAntecedens verbfic probatur. fiemoaflraiiopetitur d numero laterum; g X. hujus i Jam Primi numeri non communicant a/iqud parte numetosa, nam unitas qua communicant , divifionem non

admittem , nonefl pars numerofavel Ergb eiiam demonflrattones per eosfhb~i£ > non communicant inter Jcj. CU/f^ igituffingu/orum Primorum diflinBdJunt. Harumpritnaefly in quafuntfigune (ve/quafi) numeris laterum hifie : 2. 4 J. 16 32. © infinit<e: numerus.

Secunda habet 3.6. 1z.24.4f. o(,^ 320td>

infinitas,

lertia habes sjo.zo.4o.io.l60.

A/i<einfinit<s.

KKKL

f ^

infinitas

Propofitio.

LafsesFigurarum fingulas finguli faciuntNume-

-1 ri, laterufn

duorum Primorum (excepto binario) minimimul-

cipliccs.

Sequitur hocex definitione XI. hujus. T^amfifigura tnlis addemonftratienemfui /ateris non utitur numerofuorum angu/arum : efi igitur diverfa ejus

demonflrationisfdrmaafuperioribusomnibus,auareGtiamdiverfa

c/afi&.

Ex-

eeptus verb fuit binarius dgenefinev<e clafiis , in Primum aiiquem multip/kalus: quia bifetiio angu/i cumfit

Geomarica ,

ipfa efl

qu<e clafiesfingulas e«

^quoininfinitumprorogat,:qubdnifiefi&t,clapes nulla efientfidfinguUreslan* tumfigura. Harum primaefl, 1$. 30.60,120. Z40. 480. tfc. multiplica-

i.inj.Secunda zy 42. S4- &c. multiplicatis j, in 7* vt tum s.in 7,ducitur. Hinc^s-7». I49.f$c

tis

Ssqumtuf infinita,

XXXIX

Demonstratione. Lib.

KKKll

PrOpoficio.

qiiadrati Primorum numerorum excepto S£d & quadraco & a quadracis Primo Primive qua,

Binarij

5c alio

fac~ti

diftin&as a prioribus. draco clafles gignunc fingulas Quodquadratus numeri Primi,noneandem cumPrimo clafemfacit ,caufa> 3fi,quu cum Primus ipfe novamfigurarum c/afemfkciat,dividentium circulvt totum, pcr XXXhujm :jam idem Primus non totum ,fedpartem circuli divi,

dens , omninb aliamfiiciet demonfirationem ,fiqu\dem

illa

pofihlis

fr/erit:

cum

Pars circuli a Toto multum d,fferat causafl>eciej,figiirationii% abflutte: in qua fguratione nunc oceupamur , quippe qu<£ demonfrationem fbrm aL. Qupd auiem binarij quadratus excipitur > caufa efl, quiafigura, bis duos ha~ bens anguloj , hoc efi , Tetra %pnus, cadit in ctafem primaw : mu/tiplicatus verb Quaternarius in Primum , cadit in Primi tlafem , quia quatuor fiunt bis duo : ~

omnis verb figuraj, dtip/olaterum Numero , eodemrefertur, quofigura.-fimpl» laterum Numeiro.

Harumprima efi, in quafigurd 9.18. 36*71. i 44.2.$ S./aterum £? infinitx. Secunda, inqua2f. jo. Tertia ,inqua 49.98.

joo. 200. 400.

Infinitct alitx. clafies

infiinittt.

infinitx.

a quadratis.

Sic27. f4> 108. 216. 432i£$ infinrix,ex 3.^ 9. Sic7S. //<? 300. £5? infiniU,ex 3. £? 2f. S1CI47. 2j4, £jf infinitd,ex 3. if 49. Sic 4f. 90. 180. 360 i$ infinitx ,ex 5. £f 9. Sici2f*2fa, foo. 1600.& infinittz, ex /. £$ 2f. Sic etiam Z2S> 4fo. goo, $j> infinit<x.ex 9. d? 2f, duobusqmdrath. Infinitx ali<e clafes,ex Primis in quadratos , aut ex Primorum quadratk infmuitiplicatisi

RXXlll. C

a duplo numeri

Propofitio.

angulorum Figurae

abftuleris

*-*

quacuor , formabis Numeracorem parcium anguli re&i , quas valecangulusfigurae ; Denohiinacorveroparciumeftipfenumerus Angulorum. iJt in Trigono bis triafiunifex , aufir 4 , refhnt 2. Ergb angu/us Trigonicusva/et duastertias Recli. Sic in Jcofigono , bis 20.fiunt 40,aufer 4. Ergb angulus lcofgonicus valet 3 6. vicefimas ve/9. quintas unius Reffi. 'I^ant eujusfyfigura angu/i diflribuuntur in totidem triangu/a , quot habet /atera, duobus minus. ^At cujuslibet Triangu/i anguli va/ent duos Refios : ergb cujus/ibetfigura angu/i va/ent dup/o p/ures Retlos

angu/os, , quamFigura habet quatuor minus. Hic verb numetits ReBorum difribuendus eflin numerum *H-

SHlorumfigurtt t ergb hic denomimt , il/e numerat partes

unm Retfi. xxxir.

DeFigurarum Harmon.

«2

XXXIV.

Propofitio.

ClrculusGeomctrica defcriptionc in duo fecatur a% qualia ;

& linea bifecans illum

aim Diamecer

fci cur

fcientia primi gradus ; eft e-

ipfa.

Principium enimfigurationis in circulo efl,ducere relktm lineam per punSlurn imperatum, quoufy efl opus.

^Reffa bi(ecans ciratlum efi diameter,fc. per centrum ducln, quia partiutm circult inter fe xqualium efl

micirculos,

efl

maximajewictrculus, linea iqiturfecans in duosje-

g? ipfi longiflima,per 14. Tertij Euchdis, d> diamuter>per 75.fi/

per definitionem^,

Porrb diame-ter efl ipfaflbi aqualis ,fuique

illa ipfa

Effabilis, propofita pro

Menfura axterarurrui

Menjur a perplU , principium fckntix Geome&ric<t.

XXXV.

Propofkio.

rr Etragoni

latus habet Geometricam defcriptionemexangulis, extracirculum > & fi infcribatur circulo Ipfa in gradu lciencis cercio , quadracum ejus infecundo, uc&aica

-*•

«ft

figurat.

Tetragonus Eflo OQPR,ejus angulus,per XXXIII hujus,

efl reftus,qu&*

teper 46. primi Euclidis \jacile dato Iatere_> , defcribitur Tetragonus. Citm^anguloshabeatquatuor, lateraque t*tldenu) ; duo ergb latera coeuntia , duas Circuli quartat

flmifem circuli. Quare pef extrema latcrum conticuorum *«Vt Q0> > connecitt diamcter circuli.

intercipiunt

X XXIV. gulum

hoc

efl ,

hujus

QP reftum tnfemicirculo

QPfbrmanta ,

eonnexa funtper diamatrum circuli OLP. Quarepcr 47. primiEucl.quadrata dvorums xquant quadratum diametri. Etfidimidia pars de quaextremis 0. P.

laterum OQj,

Eucl.lattu ejut drato diameftri redigatur infbrmam quadratam,perJ4-flcundi ltnquadratumlatcrisefiEffabil(L» t eritlatmTetragonicurru,.

verbvtnu-

Et quia quadratum OP efi ad quadratum OQjVtz.adi. non verb efi Effabilu longitudme ; merus auadratus ad Numerum quadratum i P zAreavcr» decimi Euclidts. trgo latus OQ.efi Effabilisfolapotentia,per % area Fig*crgb latem Quadratum , tetragoni efilZclem in hacfigura , qm

vxeflEffabilis.

XXXVI.

Propofitio.

O&ogoni latus habet Geometricam descriptionera feufubnecminusetiamOaogomcajftellaelatus > odtavo tenfa tribus oftavis partibus circuli , funtque in gradu fciennse

exAngulis

iingult

Demonstratione. Lib. fiugula

fexco ,

quidem ElafTon , hocveroMizon; jun&averoingradu proporcicnis cujufdem fingularis. Area deniq; Ineffabilis eft

illud

;

quippeMefon. Sit oclogonw

VQTOXRSP,fe//a vcrb VOSQXPTRV-.chm igitur /i«.

nex binx, vcrbi caufa QT.

gu/um otloqonicum QTO conneclantur extremis ,

0. 0. linea conneBens eji latw Tetragoni , quia de O.iofemis efi quatuor.

^^^'TsJ^^xk

/¥>n^^^\

Ergb defcriptoTetragono (vtaliosdefcribendi Oclogoni modos omittam) in circulo , ducatur in /atuserus OQex centro L, perpe ndicularis ,fcans latus in

comprehendentes an-

\ffC^\p\f\

t j^m)\ V> j

"'~~~}w^'^

/\xt\

^J^lX-I^i^fb

^^^L^^

arcum in T, per i i primi Eucl. quo faclo ,

fcr 30. Tertij Eucl. erunt qu.rrtxpartis circuli 00, duxpartes,fct arcus OT. TQ^jequales. Connexisergbpunciis retia latus Q3ogoni,d connexu 0. S. erit OS/atus fie/l<z.

0& T, erit OT '

QML

QonneXo centro L ctim Q^auia Effabilis /ongiefireciw, ergb M, Z§ ML. potefi autem tudine, potefi fimidiameter duplum ipfius fimilateris Tetragonici, Ergb QMd) MLfunt ctqua/es,^'i(tra^, EjfdbifyjQ-

L 0, quam LM, potentid tpMQjjfu.* /ongitudine efi incommenfurabilis ipfi LQ^ Sedjunt <equdle/ Ergo compojita S erit Binominis quarta, cujw Nomina LQjp' LS , c?

la potentiaper XXXVhujus.

tius igitur potefi

;

ipji JS

funt erit

S L,

£$

LM. per definit.

ante 48- decimi Euclidis.

^Refdua verb

M.T

Apotome quarta cujus Nomina. TL , tf L M.per definitionem ante Sf. de,

cimi Euclidis.

Et quia MS binominis quartn , £•? STeffabilis , quareper /7 decimi Eu~ clidisjinea Q)S, quctpotefi Reciangulum fub ipfis,efi Mizon :fcquia TMefi Apotome quartz , if TSejfabilis ;ergb TQlatus Oclanguli ,potens reflangulum .

ftb

MT, TSefl Elafion,per 94. decimi Eucl.

E/ementn iilarumfunt in hac delineatione, PAmajw,if ATminw. 1S[am ad PAaddita AT,facit PTlatw flcllcz-.rurfitm d PAvcl TTablatx TA,relinquit AT , ideji Vlatus Ociogoni. Sci/icef E/a/Ton TQpotefi duplum Prosharmo<LA O > zufe TAi tf/atw Tetraeoni OP ,poteJi utrumque Elemenium P ideflAT Etftcut PXMizon admajw Elementum PA,fic TQE/afibn adminw £r lementum TA, gf viciffim, vt majw e/ementmn PA, adminw AT,fic Mizott P ad E/ajfonem.3 TQ? IJtparsmajor adminoremj> ; fic totum ad diffe-

rentianu,.

Porrohxc latera SQ^QT, nonipfa fitnt tztntumMizon £•" E/afon ; fecl Junt etiam ules linea. , e x quibw ali<z tzt/esfiunt addendo ve/Jubtrahendo Pri.

mum enimfunt interfe incommenfurabiles ,fecundb quadrata ipfarum TQiQiS juncla £quantur quadrato effabili ipfiw TS. Tertib Reciangulum fub TQj^ QSefl Mefon efienimaquale ReBangulo fitb QMfemilatere Tetragom, fola potentia effabi/i fj> fub TSeffabili longitud'mtj> : quam ob caufamjunt efianu> juncia ingradufcienti&Jexto. Quareper $g decimi, compojitxin unam CEQS funt Mizon, tjj per76^ decimi, T'Qhocefi QZab/ataa QS, re/inquitZS ,

Elaj&nenu. Ita^fieriptefl , vt Elafon

& Miz>on mius

big<z ,fiant Elementzt

«Itc*

De Figurarum Harmon.

(tlteriw higtt

$ Elafons

ahlatn a Mizonefua ,

relinquat Elafona alterius,

GhtpdareamOcfogoni eflL QT. Sed conjkit RetTangulum QTRSex tnlibus quntuor ; eji ergbJemijte Arex: £$ eji Mefons , •vtpau/b anteaprobatum; ergb etiam duplum ejus ,Jcilicot Area OUogoni , Mefon eft , per porifma Prop, 2 4 decimi Euclidis. Hinc Cla~ <vius Geom: Pracl, libre VIII. Vrop t j /. demonjirat, , aream ejus efe mediurrL» proportionale inter aream Tetragoni injcripti £jf aream circumjcripti Tetragoni , qu&Jitnt ad invicem ,vti.ad2.qu<z determinatio quantifiztis sertte , injert attinet ,illa conjkitex ociotalihus trigonis , qualis

eandem qualitatem MeJi,

XXXVU.

O EKKaedecagoni

latus

Propofitio. habet Geometricam defcri-

pcionem ex angulis , fed laceris fciencia longms evagatur , dus ignobiliores omnibus prxmiffis; mulcoque magis ejus rumlacera,feufubcenfa: cnbus, quinque,feptem,fedecimis. *• -^

in graftella-

§htiahis otio Junt fedecim , idebper latus OBo-

Aj^^T^^^V^

goni,figura h&c ex ijfdem fundamentis defcrihitur,

//V^\^f^f^J^\

quihus antea OBogonus per latus Tetragoni.

\r^^\rXj\ *|^1a "^"A?Nr (/

V»

/\X/V

jam Tetragoni,fed OBo^oni am fe<kc<™gt*li> d Q? l***

Eft° -2P ^atus non

'•

^ ®$ ^° ?

latera

fletta OcTangulcZ efio: idfuit priusdMizon: ergb

£?

LCM. ejus dimidia erat CMizon, Quare reBangu, lumftb STEffabili £5* LM. Mizone, ejijpeciei pla-

0^r™V /~--^Bt. ^^M^->^

ne nov£,cujus inter gradusJitperius explicatos , vt nobiliores, nullaft mentio t Tale verb novum, ahlatum ah eo , quodfuh LT, TS, Effahilihus longitudine continetur , relinquit iterum remotiorem a/iquamjpcj ciems , reBangulum fcilicet Jub MT, TS aquale quadrato TQ> lateris Hekk&decagoni. dMv/tb magis idverum de p/uriangu/is hujus C/aftis:vt 32.64. 12$. angulorumetc:

Cum fic habeac cum

lacere uno , feu f ubcensa uni fedecimas , jara

illius pocencia ablaca a pocencia diamecri , relinquicfubcenfam, fepcem fedecimis , eft igicur illa gradus remocioris. Tresverofedecimsfubcenfamhabencderivacam a fubcenfa tribusodtavisperbifedtionem.-func igicurinremociorigradu, quamilla» Ec pocencia f ubtenfaj cribus fedecimis , ablaca a pocencia diamecri , re-

linquicpocenciamfubcenfsquinquefedecimis. Eftigicurh&c rarfunaremociorigradu»

XXX VIII. "

*V Rigoni

Propofitio.

Hexagoni

latera geometricamhabent ex angulis figurarum; & in circulum infcripca funcfcibilia, illud cercio, hoc fecundogradu ;plana vero feuareaefigu« < rarum func Mefa, proporcionis incer fe dupls,

defcripcionem

Demonstratione. Lib:1. Trigoni conflruciio extra circulum eflfhcilimaper fcrlptio in

quantitatis lateris Sit

Hexa-

Hexagonus

£jf

inflripth funt libro quar-

Sed oflendenda eji conjecu} ex angulorum rationibus.

Enclidis propofit. if

guh

primi Euclidis. Jn-

Quja dejexjemis funt tria. Et Hexa-

goni quidem defriptio tio

circulum expeditiflima , vt c&teros modos tnceam ,flt beneficio

gonici/ateris.

BHCGDF. Cum igiturjint an~

6 , p/anum etiam Hexagonidividetur'in Trian-

guUfex,verticibusin centro

A coeuntia: qualeunum

CAG, Qua re quatuor Keciorum , centrum A circumfkmtium,fumma divifa infex vertices datuni

efl

CAG quatuor fextasfluduxs tertias uritusRecii. ^Atqui trianguli CAG omnes tres angulijunttifunt tequales duobus verticaliangulo

reiiisjeufex tertijs unig Keclii Abflratio ergc angulo adA, 2 tertiaru, ajummd 6 tertiaru,re(fant duobus adC,d> G,fumma 4 tertiie funt verb xquales omnes '

ergb

unkuiA ad C. ff G. manent

ticahadA, Triaigulo.

tertit unius

ReiiT^ non miniis quam ver-

/atera efle aquatia in Jtquifitres anguli funtxqua/es ,oportct guire CGlatus idem tf Hexagoni,£$ trianguli , qutdeflfextas,

pars, efl aqua/e (emidiametro circuli CAvei AG. Efi igr Effabile /ongitudine Iat^Hexagori,iimidiufc. diamctri. Hicvero efiGradus Jl.per Xlll.hujus.

cjits

Ja?n Trigoni, quifit BCD, latus B Cconnnetiit duo iatera Hexagom LH, HB, coeuntiain H. Cumergb BHCfit 1 terli<i(emicirculi,d) CGuna tertia,arcus ergb BCG efi femicirculus,Z$ BG diameter per A tranfiem. ErgbBCGan,

gu/us tn eo efi Kecius, per 3) Tertij Eucl. Quadrata igitur BC, CG <x.qua/iafunt quadrato BG ,per 47 PrimiEucl. Sed CGA efl femidiameter , ejttscf, quadratum edhujus quadratipars q 'tarta; ab/ata iqitur quartdparte de quadrato BG,re_»/inquj-tur quadratum lateris Tetragonici B C. Efi ergb quadratum hoc effa~ bi/e : fed qttiafenon habct ad quadratum BGvrt numerus quadratus ad quadra.

tum numerum ,fed ut 3 ad 4 ideb B Ceflfold potentid Effabi/is. Hic verb efl gradus Tertius ,per XIV. hujus. Et quia BC, CD xquates, anpulij, BCD, ^BDC^quales : ergo BEperpeniku/aris,demiflainCD ,fcabit i/lamin E in xqualia CE,ED. Eratverb Effabilisfoldpotentid, tom CD; quare $ eius dimidia CE. Kettnngulum ergbfub CE> AG {oldpotentidcommenfurabilibus, quarumifla efi Effabi/is /ongitudine, Mefon efi. Sedhoc Kefhngu/um eflxquale arex duorum triangulorums, ipfius CGA ,

Aqualium (quorumfunt in Hexagonofex ) $Jic tertixparti ArexHexagoni. Area igitur Hexagoni eflplanum MefotLs. Et quia BC A($ BCH trisngu/afunt /aterum BH, CA $§ CH *qua/iu,uno communiBC: habent igitur areas xquales. SedBCH, BDF, CDGfitnt partes Hexagonic* are<e,quibus itta excedit aream Trigonicam BCD, totidem xqualium triangulcru BACt CADfDAB. Dup/a ergb efi areaHexagonica Trigoniae: Mefon igiturefletiam^

BA&

Trigpnioa area, quia commenfurabi/is^fcihdupIa^Hexagonicnt^qudi erat Mefon.

XXXIX. Propofitio. Latera Dodeeagoni6c Stellascognominisfeu fub4

tcnias

De Figurarum Harmon:

quinque duodecimis parcibus circuIiGeomecricedefcribipoffunc, &infcripcaeidemcirculo> fcibilia func, fingulagradu odlavonobilioriscognicionis,junttagraduquinco; Planum vero Dodecoeoni tenfae

cftEffabile.

Dodecagonus

eflo

FLDMGNCPHQB.

MHL CKGOD PFN

Quia igitur bisfixfitnt duodecim

flel/a

Dcdecaponica

idebper /atus Hexagonifigura ijfdent*

ex fitndamentis defcribitur,qu'ibus anieaO-i gonusper latus Tetra^oni, ducia in latus

..-

Hexagoniex latus in

A centro perpend'tculari,fecantt

circulum in L. P.

connexis

L H pro latere Dodecagoni ,HP pro /a tercj, flelU.

Cum igitur HC /atwfexangulifit Effa*>

& dimidia HO ,fed

le tongitudine_j>;ta!is erit

AC, <equalis ipfi HC, poteft &* quoda dimidio quodab AO , Ergb quadratum infifui OC, us AO fehabct ad qdm AC vel AP ,ift $.ad 4. nonvtnumerus quadratus adquadratum.

Sftntigitur

PA, AO

folapotentia inter fe commenfurabiles

irt

<lA0,

Et CA, hocefl PA vel A L, major Effe.bilu, pluspotefi quam OA mincr , a/iquo t auod eft a COfibi commenfurabili. Ergb per def. ante 4S. decimi Eucl: Co?rpoJita PO efl Binominis, g? per def. ante Sf. OL refidua, eft Apotome, utra% Prma, "Nfomina funt AP , Effabi/isfimpliciter , Z$ AO Effabilisfold potentia. Sedper / 4. decimi Eucl. HP\potemret~kmgulum (ub OP^Binomine_3 latus Dodecagoprimd gf PL Effabi/i , efl Binominis , ÂŁ3 per 9/ ejufdem , cognomineui.

ni, potens

refhngulumfub OL Apotomeprimd

p LP Effabili

caduntfingula in gradum fcientix ofhvum nobiliorenu,. NominahujuscompoficaePH&diminuca; HL

efl

Jpctotne. Ita

func PS & SH. Cumq; HB ficfexanguIilac^KPTriangulijBPiQuadragulijillud gdem ,

poceftduplumNominisminoris,fc.HS,&SB^iftudduplummajoris,fc. KS, & SP; hoc vero poceft urrumq; fimuhquodq; femel, fc. BS & SP. Componicur eciam PHbinominis,exPRlacerequadraci,&RHlatere Dodecagoni,ac propcer hanc compoficionem nondicicur BinomiÂť nis; quia per 42 decimi Eucl.prxcer unum fignum, quod hic fuic S,nul-

lum aliud dari poceft, quod illam dividac in fua Nomina. Cumq.HOXPfincErTabileslongicudine, reclangulum fub ijs, id eftfubLH,HPericEffabile,&fummaquadracorumLH,HPefticidem EfFabilis,a'quaIis quippe qiiadracoipfius LP. Ergd hocnomine junclas LH, HP, func in gradu fciencia; quinco.Nec quicquam novi faciunc juntta?,nec rurlum Binominem vel Apocomen/addica enim LH ad HP, facic Effabilem pocencia fola,fc. cu jus quadracum eft felquialcerum qua,

draciLP.-ablacaveroLH , velHR abHP , confticuicrurfumEffabileni pocencia.PR, lac9 quadraci cup quadracum eft dimidium quadraci LP. Curnq; AreaDodecagoniconftecTriangulis i2,qualiumeftunum LAC, inrectangulo veroLHPD Effabiliconcineacureorum quacuor, id eft Triens Areas cocius; ergo coca area Effabilis eft, quancam fcil. :

creac

Demonstratione. Lib:1. ereat du&a

mecri , feu

cer; Efl igicur

Area Dodransde quadratc dia-

Medium Arichmecicum incer Tecragonum circulo circum-

Tecragonumeidem infcripcum fcripcum, incer eos Msdium Geomecricum.

XL.

ficuc

Arca O&anguli eft

Propofitio.

I^ Igura Regularis vigintiquatuor laterum , &: omrnes ab ea, duplicaco concinue numero lacerum,Geomecricas qui * deminfcripcioneshabenc , fcd laceramfcienciaevagacurlongius, in ftellarum ejus feu fubgradus remociores ijs qui prius func pofici : uc ~ tenfarum j. 7. \i. vicefimis quarcis. II. de fedecanguhi hoc tamen difcrimintj> % Probatur irtprius Prop. qusd jamhic latus flelU Dodecagonica. ejus^ dimidium ,Junt Binomines prima^ quarerethngulum fub dimidia fubdtametro , irtEffabiU, nondumpt novtC

XXXV

&At jam hoc reBzngum lum ablatum ab Effabili fubtota zf> dimidiaDiametro , relinquit novi quid » cujus haBenus non fkEh cfi mentio , ignobilius , quippe magis compojitum i £5*

Jpeciei , quiapotens

illa

per s 4,eft iterum Binominis.

hocfit potentia Itteris 2 4 anguli.

Idmultb magis vsrum de pluriangulisfiguris hujus ClaJJIsitrt quadragintocianguli, nonagintafexanguli, t$c. **"*

Subtenfa quinque viccfmis quartis cir-

culi patefit

bifedioncj arcus ifts quofunt

quinque duodecim& : potentia illius ablata^ £ potentiajt diametri,relinquit potentiams> fiib-

tenfk feptemvicefimis qmrtis

(icpotentitt*

l.iterisftu fitbtenfk uni vicefimx quarta , ftrmat, eadem methodo potentiam fubtenfx undecim tulibuspartibus. Simt igitur emnes ix

graduremotioTh

XLI. Propofitio. Atcra Decagoni

ftellas

decagonica?,feU fubtcn-

decimis partibusCirculi.defcriptionemhabent Geo" infcriptionemque incirculum i funtque fcibi, lia, feorfimquidemfingulaGraduo&avofciencias, jun&avero, gradu quinto ; cum femidiamctro jun&a , gradu quarto. fa cribus

metricam exangulis

SitDecagonus

BCDEFGHIKL,tfJleUae)usBEHLDGKCFIB.QiT*

ergbjint angulidecenu>

ftguret planunu> erit compofitunLs ex decenLstrian*

, quale unum eji FA G. Diftributd igitur quatmr reciorumftsmmd,qua ejlcirca unum Afunclumt in decem iSorum triarigulorum d s

gulis coeuntibus in centro

De Figurarum HarmoN!

lorum veriices,vemuifi»guiu 4±decimit vel z.quintx unius recli.Atqui (um'm% irium angulorum bujus trianguii ,ejl 10 quiniJt ideji z. Kecli ; hinc igitur ablato verticali ad A quin-

2. quintu,retinquitur duobut adbafim 8.

cumfint xquales ijingulis igr 4. quintx Jta quilibet adbttjindriplus ejl anguli adverti-

i<e :

Hoc eji Vinculum

cenLs»

demonfirationis fi-

quentis.

AFG in duasparies teqUaFO tineam, per 9. primi Euclidis erunt

Seclo enim dnguto les ,per

;

AFO ,OFG interft aquates & quitibei z. ,

quintx Retli; uterque igitur ipfiFAO

tequalis,

Quarepcr sjexti EuclidU, vt jf a j FG,fic AO ad OG. Quja verb OFGefi l.quint*,crai verb OGF (nempe AGF) 4. quintteerit, igitur fif quintae.

Angulis igitur adO^

FOG 4,

G tcqualibus, la.

FG, FO tequaliafubtenduntut, Eodem modo in triangulo AOF,quia AFO ^l eflz. quintdc, quantm erat FAO :ergb (f AO A. \ML yFO(hoceflFGtatus)aqualeterunt. Vt AFadFG,fic AOadOG,vt)amdembnftratum ; ergb eiiawut AG ad AO iera quoque

qjerb

partem ,fichnecadOG refiduunLa.Secaiur igitur Qriss AGin

proportibna/iter.

O A velOF, Cohtinuata ih 1, i?t 01 fit xqualis connexis Alfignis, erit AIO AG, etiam FlfiUu eft proportiohatit er in 0,

Jgiturper 5. Tredecimi Euclid: toti

triangulum congruuminitiaUFAG

eo%OA Iduplus ipfius FAO

if.quinttt.Quate centro A,intervaUo AGfcripto circulo rGlgrit

,£$

FAI

FG laius deca-

&FI

tatusftetiajeu toni , parsmajor femidiam&tri AG proportionaliterftcjte t fubtenfa tribus decimis ,compofitit ex FO £5? 01, tatete aecagoni zffimidiametro. Ob hanc caufam h<ec latera,junciafimidiamctro ,pofiunt accenfiri gradui

per XXVI. hujus. Cum% AGfiEhfit Effabilis longitudine,^ laiusdecagonipars ejus major

tjuarto

latusJieHa, compofi&t ex tota

XXV

partemajoreiqiiareper II. hujus,iliude1t hoc^Binominis utrum<% Apotome , , quartajpeciei 1 hoc rejpeclujurii ihgradujci-

€ntUoEhvo t proKimepoftIatusDodecagoni^ftelittfua,plane^ iu eodemordine cum Iatere OBogoni ^fieUeefui. Etper XXlIXhujus, etiam refidua OG, eo% etidm ejus dimidia NG efl Apotomaprima) fpeciei. Sedcave putes,Nomina ejus efie,Majus AG, minus AN. Denifyper eandem XXViL hujus , latera GF, velOF^ FL non cumfimidiametro yfdficum ipfajunbTa , quia ^fiimmamquadfatorum,^ communeRecTsingutumhabent Effabilia,Junt in gradu (cientis. quinto . Qompofita igiturjatus Demgoni cum iaterefivifieli&,Jaciunteffabilempfr> tentia Jola,potentem quinque quartas, depoUntiafemidiametri,qute infchema-

tepnecedentiex Pr.XXVlLefl PXicdmpofitn exPA (*quaji ipfiOA,) 'd AX: inter quas efl mediaproportiondtis effabilisi

ViciJTim abflractum Decagbhi iatus OFa latereftett* Flifelwquit Effit^

tttemOI iJc.jemidiaptetTHm Ifaper itk nihitfit ngvi,

xtii

DemOnstratione. Lib.

XLU.

Propofitio.

LAtera Pdntagoni &C Stellat Pentagonicas, feu cenfa duabusquintis partibus Circuli )

fubdefcnpnonem habent Ge-

bmetricarhexangulis, funtque fcibilia, fingulao&avogradujjuncta, tam fextd qdam quartogradu fcientise. Defcfiptio extra circulum eji iAlts-.fiiatus

futurum detuf /ongitudine fe,

cabimm iiludproportionaiitef,per i i fecundi-vel jofexti Euc/idis,ei%

mm partempfiioriis mdjorem: & fkliisduob

adjunge-

cruribm, compofitte xquaiibmfingu/isxx propofita T)erb,fkc~ia cBafii iriangulumfMtuemmy Pentagoni intimum. '

h!c fcB '; *'

?h wfs

Cum enim crm compojitum conflat ex tbtapropofitd; ejust^ parte mdiofifeciionis divinx ; esiam compofithficeftt feSfa , ejm%pars m^ajor erit laius pnpdfitUm,eo^ i£ Trian^uii hujus arigulm ad bafiri ; auplus erit ejus ad verticem , irtfupra ins

Decagono:

'duobm diBis cttiribmvt Bafibm , adjickmus duo triangu-

ctiifitpet

ia exteriofa , quortlm crurafint xqtlalidpropofito /atefi. Irifcfiptio in circulumfuci/ima ejiper tdtus Decagoni.

Cum enim de decem

FB& BKH fupei fu p er

Bt*'

duorum igiiur Decagorii laterttm , FG , contiguorum iri. G,terminosF. H. conricSiemus Jinea^FHerit latm Penupiini ,fic'0. HK: tf

femisfit qtiirique ,

FK erit /diusfklU;Sit igitur PenUgon 9 BDFHK^

coririexis F,K.tefmiriis,/inea

tfjlel/a ejus

BFKDH&.

Demonfirat igitur Euc/ides Prop.

io.

TredeCimi qu' dFHlatm PenUgoni

pn/Jitlaterd FAHexagoni,£§ FG Decagoni,hocefi femidtametrum AG,vtJeci<z Majofempafiem <iAQfimu/. ti&c demorijiraiiu in EucLde dtfficulmtem habsi

saptus, teritnbo igiiuf hicfhci/iofemji.

A ceritrumfectdBGi

oAiermiriis iatens Pentdgonici B. D.ducanturpef

k§ DI: stima

tfviD^B (ttbteridit du.ts decimds, ,ficpro~

DL tfes

ff>

DKquatuor fubtehdatyfecari-

tes ^BGiri S.R-punEiis. lgiiur

LDIangu/usJdefi

SDAhabeS duas quintas unius ReBi,\quia Lleji unaquintdparscirculificut^ FHiiverbaqua-

J^y^ f/.--' Jm=£t?

libusarcubus,an^uiiadcircumferentiamirififiuni j

*quaies,perXXIveiXXyiI.TefiuEud. "jsrbDAB)

id efi

EJl

DA S quaiuor quint&uriiuire-

Hi , quia DB pars quinta eji circuti , menfufantis quatuorreBoscirca A.Juribiiigitur

SAD\AD S

"7 " j^V" i^pffi*

\^v>^'

< "^/^'^/

\\fy/

tr^~ "~W

DSA

SA xqualis lateri Decagorii,per dilTa.Et AejiJemididmeterJatusfcJHexagQ* nl Dico latm Pentagom D^B; pofie utfama^ SA, ff AD. Qon nexo enim KctimS cumA, Iquid DA, funt xquales , (f DS, retlus efi.Ergi Si lijfilem Aquaies , erunt £5? paries SR^ RoA aquales, e? LfB,poteflDR,RB. QAiquiDRmiriuspoteJi 3 quamD<LA', quantitatepo-

DRB

fntia R<lA,d'BRminmpoteflqudmBAqudntitateifrec~ianguIi,Jub <r it c B^Ahis % tfpotentiteipfiusRkjunfforum-i. 3unftttigiturpotentUDR,RB>

ubi

FKSe

l^^Xjfi

funtfex quiritx uniusrefii. <LAi omries tfesfuni decem quintx, Efgb eiiam fefidum DSAefl quaiuof quintte. EJl igitur aqualis ipfiDAS, latuS igitur DStequale efi lateri D^Afemidiametro. Erga per priora ^femidiametri DAproportionaliterJetltepafs major tzquat SA, efi igr

PoneO

ffliwm

JS ftSE

De FlGURARUM HARMOtf.

AB, reclangulofubRA,ABbis ,hoccfl ,re» Bangulofub SA, ABfimel. ^Atqui duo reclangu/afub SA, AB, fub SB, BA dAb/ato ergb reciangulofub SA , /tB ,re* conftituunt totum quadratum BA. reclangulumfub SB , BA ,junlhcj; ttquanlinquitur quadratumipfius DA, Cum verb BAfmidiameterftproportionaiiterfeda in S, tur quadrato DB. £=f pars major AS: reBangulum igitur SB BAefl ctqua/e quadtato S A. Ergh A AS; laterumjcilicet Hexagoni £•? latus Pentagonipotefl duo quadrata

minoresfunt junclis potentijsDA,

D &

Decagoni.

: iRud ^fuodattinetfleUctPentngonicx, /atus B efl compofitumex, BD, ex ejus Pentngoni •velB Qjatere ', fecli proportionaliter parte majori , Z$

per g, ^redecimi

quod idem eiiam probaripotefl ex triangu/o quinquangu/ari

FBH,tJtfupraj.

Citm igitur latus Pentagompoffit fmidiametrum qu<t efl Effabilis longitudincj, , £=f ejusfici<e proportiona/iter partcm Majorem, %rt infchemate pr<t* AG ,& vt PAefl adAG , Jic/it PG /atus mifo femicirculari, PGpotefl PA, Pentzgomad latusjux fte//<e: Jit verb vt PA ad AG , fic PG adGX. Ergb GX efli/ludlatusflell<t ,poteflque$ GAfemidiametrum Circu/i circaflguram De-* cangu/am , if AXcompofitnm ex PA i$ AG, Quare per ibi demonflrata Singu/<t igitur funt in ocl avo gradufcientitt , ejusque efl Mizon , GPElafon.

ficundo ordinc_*.

Qui& verbjuncitt linett PG , GXfhciunt quadratorumfum~

mam Effabi/em ,fi. <tqualemquadrato PX

quodefl ipfiusGA Effabilis qua-

drati quintup/um \:] e<zdem% PG , GXrefhngulumfisrmant Mefon ; hoc nomine junt~i<e

PG GXfitnt in gradu fcientittfexto dequoeflXVin pr<emifas. De,

ni% quia latus PenUgoni

& /atusfte/ltefunt

"Jtfefiionis

divin<e pars

tota ; ideb funt etiam ingradufcienti<e quarto ,junB<e invicems hujus.

fon,

major

vide

i_f

XXIX.

Qonfiquitur autem hasproprietntes , vtficut Pentngoni iatus eft ElafZ Mizon , Jic etiam compofitaex utro^Jit iterum Miz,ons , £$ /atus

Stell<e

Pentagonifit hujus compofittt %rt Mizonis , e/ementum minus ; Latus verbflelldt Jit illius E/ementum majus

;

zrt

etiamdifferentia inter utrumcjg latu/Jit ali*

qua E/afon ,fci/icet DQye/QF. per eandem XXIX* hufm.

XLIH. Propofitio.

& Pcntagoni, cachmtinGradu*

PLanaDecagoni

fciencizeremocioresjuc&lacusleofigoni

& reliquahujus claf-

fisfigurarum

TStam latus PentztgomFH , duclum in dup/um FAHquintttpartis Are<e Pentngo* nktt. Efl verb FH E/afon , ANefl Uiis, qu<€ potefl Effabile AF , diminutumpotentia Elafonis FN. Si autem quod eft ab Elafone , auftra-

flicit

tur abeo ,quodeft abEffabi/i , re/inquitur nova Jpecies /ine<e , quttpoteft tule rejiduum-?.

Ketian-

gu/i verb contentifub tali linea nova tffubElaf jbne_>

Jpecies adhuc remotior erit

ftntngoni erit ei commenfurabiiis

,•

areaverb

Jcihcet njt

f.a4

Demonstratione. Lib.

Sic latus Decagoni mtinque ad duas , quare zff ipja eritfpeciei adeb remot<tt FG , duBum injuam Perpendicu/arem ex centro ,fhcit dup/um FAG partis de-

Apotome quar, id eji unam quintanu,. EJi verb illam in centro ejus parte minus quant» perpendicu/aris ex quarta ,poteJi tf

eim<t de Plano Decagonico

ta i

femidiamater. Atjiquodeftab Apotoma,auferatur abeo , quodefl ab Effabili > Jiizilis linea cunu> linea qu.t refiJuum potefi,fit nov.t (peciei, ultra recenjitas-,

Apotoma fhciat retlzingu/um, illud eritfjieciei adhuc remotioris ,tf cum eo etiam Area Decagoni. , fc. Deniqu; czimjemilatus Decagonijit Apotome quarta i potentiaverb dpo* tomes extenfafecuaium Diarnztrum , (Effabilem longitudine ) fhciat /atitudinzm , Apotomen primim, fcdic "Jt fagittam decim<t partis Circu/i : Latus certe hancfagittam, lcofigonipotefi =jJsrtii/atmDecagoni , Apot me > quartam , Planum vero combojitum ex Apotomis diverjarum JJ>eADotomen primantj,,

qttintup/umejus

cierum , eo^ incommenjitrabi/ibus , poterit nulla Hnea prius recenjitarum 4/iqm p/ane novx ffeciei eotfs £y ignobilioris.

Jed

fffuintb magis idobtinebitin Tefaracontztgono £? c<tteris hujusclajfis ?

XLIV.

Propofitio.

latera puta p EnteK£decagoni,ejufquefteHariim duabus quacuor fepcem Geome,

fabtenfie

vel

quindecimis

vel

tricamquidemdefcripuonemh.ibenc,fed nonexcracirculum ; &ih circuloquoque non ex angulis, eoqueimpropriam, &fcienciamheccrogeneam,gradusremouoris, quamomniaancecedencia. Triacontagonus&reliquxhujnsclaffis funcadhucremociores. Defcribitur enim ex feprioribusfiguris, quas oportet habere numerum late-

rum alium quam (itbdup/um

, qitia 1 5. efi impar , non habens partem dimidiam-» numeric.im 1 fci/icA ex Triqono ^BCD Pentztfi gom TllFHK, ab eodem ^Bpunilo inceptis. Nam

Jt'tert tam^BC'auferas

ejt

a duabus qu:ntis <7B «

•

CF,

Connexis ergb

1 decimaquinta.

gu/is ,/ineaCFerit/atus. tionis

ruw

C F. an-

HicadaBumdefirip-

non accerfo qvantitatem anguli,aut nume-

Angu/orumfigurct

propofittz

;

nec fecundum

figuris fuperioribusfhclum_s. d-icribi

xrtin

//jr / Jf

h[\/ VXi/ \A^

•

j^ '& ;

/p"

\J «»

/'</»

E^ZZJ"^"'»

necpoteji a/iter

Ergb etiamfcientia ejus efi remotu

,Jit /ateri

///i\\\ >v \

,manet

hunc numerumfbrmo aliquodtriangulum

•

f .decimxsquintas a § decimisquwtis

£=f vi/is.

(fum enim latus Pentngoni

Trigonico CD parallelum ,proptereaqubdutraquefiguraimpari-

latera ab eodem Bpuncio efl inceptzt, : ducatur igitur ex F. perpendicularis in

ff ex B, diameter iet centrum A,fecans /ineas in E. N. G, Ergb latus CF poteflquantumtf CL, FLjuncla ;fed CLeJi excefius ipjius CE Efabilis Po-

LE , E/afona : efl igitur CL Jpecieip/ane NoIJicifimANefHinea qu<tpoteJirefiduumde EJfabili plano , cumabeoptqrit ablatumplanum Elafonis : ejfi igitur nov<tJj>.xiei. SedENefi rejiduum hujusnotentia , fitper

vt.

hoceflfuper

De Figurarum Harmon:.

b is rrmotkri jus novx, pofi ablatatn Effa bilem longitudine AE. EJi igitur gradu. Dcni/fc CFlatus Pentektedecagonipoteji CL,£$ LEnovasfyecie*-, ejl igr iUicbis, hic ter, ^Jicquinquies remotius. Pr<xtereacj; componuntttr diverjarnmClaJJium, Trigonicx d> Pentngonic<z,proprietates inunum,eji igitur fcieniiahe^u/djam de Triaconfagoni latereJentiendum ? cumfempcr tiugeterogenea. atur gradus remotionis , cumipja duplicatione laterum prioris. (lAtJubtenfaJeptem quindecimis ,hoceJl 14 Tricefimis ,utitur laiere Tria-

contitgonico

efi igitur eopoflerius.

Subtenja vero 7 Tricefimis ejiab illa, per bi-

Jec7ione;eadem%gignit fubtenfam 8 Tricejimis, ideji 4 quindecimis,a quJeJictiamfubtenja z quindecimis, per bifetlionem^. ^uanq/tam h&c habet ortum c-

M repone

tiam alium; 'verbi causa, fitbtenfa MF,quadratum habet cornpofitum ex quadralateris Pentek<edecagonici , (f ret~b,ngulo Jub eodem CF cf Fl laters Pen-

wedio loco f 1BCer

tagonico.ljtrofymodo pojlerior ejlfuperioribus Jiguris,

XLV. Propofitio. HEptagonus §£ figime ab eo omnes,quas numerum laterura ex Primis

(fic

di&is)

unum habenc, earumque fterla^ to-

txque adeo claffesab ijs derivacar.extra circulum defcripcione Goomein circulo, ecfi lacerum quancicas eft neceflaria , iliarfi ca-

trica carenc

men ignorari seque necefle CMagna

eft,

minus Heptagonust if ccttera hujus generisfigurx, a Deo fiterint adhibitte adornatum Mundi , vtjunt quidem adhibita

res agitur,perhuncenimeffec~iumfietit,quo

V~^?

Jcibiles figura in fuperioribus explicatcz.

'/C

Sit igitur Heptagonus , tf conneElantur anguli omnes cum omnibus, tfjit ji cen-

>\\\

—3?T* I

y(y/J ^kj^

BCDEFGH

trum circuli, Z§ Diamoter turcumE,

Primum

BAP

ii lAconneHx-

igitur talesfigune impropriamjuprii

dilhmdemonJirationemnuUamnancifcuntur: ejl enimearumnumerus laterumii angfJorum 5 ex Trimis unus : atnuUa bigafigurarum pr<tmij?arum , totum circulum dividit in. partes Numero-aliquo Primonumerabiles:Jed(ortiunturiU& Numerum Multi*. plicem Numerorums utrius^figurx. Sed necLpropriam habent hujusmodifigur<t demonfirationem ex angule-

vum numero : quiaquicquidex hoc elicitur, idvagum £5f multiplex minimeque determinatum eji. Secetur enim HepUgonus infita triangula quin^, duo extrema <equicrur<t Ohtufangula BDC, BGH, unum intimum czquicrurum AcutangulumBEF if duo Scalena interjetla BED, BFG. Cum igitur circumferentia,fuper quafinnt ,

erura anguli,ad circtimfireritictpartem oppoJttamJacli,admetiatur angulojuant cjuantitntem , angulus

GF:

angulus B F

BEFJhtJuper tribus circumfirentix partibus,BH,HG a

E fimiliterJitper tribus, BC,CD, DEs at EBFJuperuna £F»

ErgbBEFefitstletridngulum , quodhabet utrumt^arigulum adbafin triplum ejus qui ad verticenu* Eodem modo probatur Scakmm BED haberc angulos inpro*

Demonstratione Lib.L

35 E

mproportione continul dup/a. Simp/um enim efi , angulut *B , dup/um druplum D.hocefl ipfim EduplunL». t

Quod fihaecfiguradefcriptionem fuamcertamhabetexcra

qua~

circu-

ium,nonminusquamhabebacfupraquinquangulum , oporcec, (uc jamolimmonueruncCampanus&HieronymusCardanus,&Candalh Fluffas) ance omnia calia criangula dari poffe, ficut ancc Pcncagonum dabacurcriangulum,cujusuterqueadbafineratduplusanguh ad vercicem. Acqui dabatur nobis in illo Triangulo Pencagonico , laterum proporciocercaexangulis: inhocHeptagonicocriangulo, certa proporcionulladatur. Sintenim I.Kfigna,quibusBFfecacurabEH,EG, tr ifecancibus angulum BEF.Igicur in FEI ,quia bife&us cft angulus FF Ij ucicncurineoFEadEI,ficFKadKI. SedEFaquarurcociFI. Eftenim F£I parcium 4 fepcimarum unius ret\i, qualium EFIefttf (epcimarumj ergo EIF eft eciam 4. fepcimarum. Crura igicur F E> FI, ajqualibus angulis oppofica func jequalia.Eademque de eaufaeciam £!,& IB func a> quales quare eciam uc FI ad IB , fic FK ad K I. Amplius, in KEB>quia angulusKEBbifefftuseftperEIH,? ucigicur KE adEB;ficKI adlB. Acke&fe funcaequales, quiaKEFaequicrurum&fimileipfiEBF,erat yero e f aequalis ipfi 1 f , & e b eft aequalis ipfis f B ; quare etiam uc 1 f ad fb fic ki ad iB. Ineademigitur b f flibtensatribusfepdmiscirculi» dua: funt invencae propor ciones, parcium trium: primum ut media k i » adminimaniKF ,ficmaximajR adiFcoropofitamexucraqueminore, hoc eft ad fe lacus feptanguii : icerum uc maxima ib ad mediam 1 k r fie tocaBF adFicompoficamexg.minimis, Haecproporcio fpecrem quU fcatdanjjpdem prae fe fer cnecefTaria: decerminationis ad cercam unam propor- ^Tq tionem ipfius ef ad fb i impofuicque Cardano , qui-cum cale quid in 1&* RefleM. ,

(

teribus Scaleni crianguli ded anhnadvercifTet , quod Proportionerrt Reftexam appeLI avic , de invento feptanguli lacere fruftra glbriacns eft»

Nam nulla cerca fbquicur quancitas

, ipfius e f vel 1 f > quia id quod pu« in novum feeunda vice , coincidtc cum primo.Quo* nancifci nos tamus Proporcionales,in quibusduaepnmaeaequant tiefainqueenimfunc^. terciam : fic eciam , uc ficuc prima eft ad ter ciam , f ecunda ad quarcam fc fic terciaad compoficam ex cercia & quarta, qti* compofica fic nutnero quinca. Horum vero Cafuum funt mfiniti, cam in cerminis eommenfurabilibus , quam in incommenfurabilibus. Et hominacim eommenfurabilium cerminorum cafus tocidemfunc, qUotproporti* ones fuperparciculares >feilket quor quadrati Numeri iropares.

*BF. vel vei vei **/ Wisfuotfuperpartientet

ve/

«•

KF.

aj.

j/.

49» $1.

*>$*

4^.

20J

16%

121.

66.

?o.

49. 64-

35.

10.

lfc

*«.

Naco

JOfe

Figurarum Harmon:

Nartiutif. ad9»fic40. ad24>compoficumex 15 5c 9. Ecuc^o. adi5,fiff $4 (conftans ex 40. 15. &9)ad24.compoficumex i^.&p. Ecce comrtiunem affeclionem mulcarum proporcionum, qua? coftitucum quidem feptangulum neceflario confequicur > fed ex qua fola data, criangulumfepcangulareftruineg.c. Caufacurin PencagonoproHepporcio laceris cerca pendeacex anguks,eciam excracirculum >

tagono

& reliquis caiibus non icem

ex dictis pacec, In PencagonicocrianguloBFKper bife&ionem BKF anguliftacimvenicurad aequicrura BKT & KTF duoejuselemenca, fequicurq; aequaleseorum ^r: angulosBFK,BKT,a:qualii:aslacerum BK,KT, TF; at in Hepcagonieo per crifectionem angu;

facile

inSthcm. &i>*.

\\ yN^l^f-'-/ L li,triafiunccriangulielemencajduo jcquicrura

y\ / y^i\J\ I/

criangulaBEI,KEF,& unum fcalenon IEK;neque fequicur in eo proportionem angulorum, proportiolaterum,ut nocum tria.

eft in

Geome-

Cum igitur anguli hujus figura: non doce-

antquicquamulceriusexcracirculum > non flruiturigiturcriangulum Noneftigiturhxcfiguraincirculuminrequificum excracirculum. fe priusinfcienciaveldefcripcione» fedipsade(cripcilis, per aliquid mum infcripcione qualieunq; , vaga iftaproporcio cogieur ad unici ca* £us anguftias, &ficprincipium pecicurmcn. id poffic inVeniri,per quod perficicur infcripcio , jubemur adhibere ipfam infcripcionem , quafi jjam aricea poftlbilern. LatetigiturproportioJLaterisEFadlatusfteliaEFB, Iacet inquara in maceria quancicaciva, fic uc causa quidem principij quantitatum materialis, quod eft, magnitudo iridecerminata , poffibile fane fit , confti-

tuere latus fepcanguli in jufta proportione ad circUli diametrum

cum detur aliqUid, feptanguli lacere cerco majus, aliquid minus, in ipfb Circulo:& ampiiUs>fe&ione ininfinicumprogredience,femper aliquid majuslacereEF, veleominusaliquiddaripoceft." accausaejus, quod eft in quancitatibus formaie , fimplicicer eft impoffibile , quiafigura fimilium,medrj$ omnibUs>Guibus aliqua lateris cercaprofepcaftguli porciodefriOnftrecUf inveniatUrve t &ficformacionefeudecermiiaasioneriofcibiliperiituscaret. Quodcumitafic , quare neque flgura

infcribi poceft 14. angulorum in circulum, cujus femidiamecervfic lacere EP>neque ejus duo lacera coUcigua una redta. EF fubcedi poffunc,

Hepcagoni in illo circulo neque lacuslhoe eum dianaetro eompararipocenc , cumficNacurafuacomparacionisignocasadDis-. quee

fit

latus

trietrum.

IcaquenulIumunquamRcgulare Sepcangulum a quoquamconftrucVurri eft * (cience &volerice, &expfopofico agence ; nec conftruipoteftexpropofico: fedbeneforcuicdconftruipoffec;

j«

ignorarinecefleeft> ficntfconftrutturriannari, Objiciac hicmihi aliquis doctrinam Arialyticara

Qebri denominacam Algebram «ur enira ia ea decerminari

Icalico

p©& ('

&camea

ab Arabe vocabulo Coflam viden-

<M»,nis

.•

gsmm

Polygonorum lao&ra

Demonstratione lacera.

LlB.l.

VerbicausainSepCanguIoficprocedicJuftusByrgius,Meeha~

nicus Cajfar is 8c Landgravij Haflix,qui in hoc generc ingeniofiffima inopinabil ia mulca eft com mencus. Primd ille diamccro circuli B p nu-

merum 2. affignac, uc AB ficunicas cocalis, qua inparces infinica fedtio-

Cofra B

„

gij.

f~cm~

£&<».

nedivisa,perillaslongicudolacerisBCenumerecur. Deinde ponic, nocam efle proporcionem ipfius AB ad BC , quae camefi proporcio denmm qiuvricur. In hacproporcione concinuicacem fingic, uc fieuc eft AB 1 ad BC 1 jy , fic fic 1 1^ ad j j , 1 j ad 1 c^ , j c^ ad 1 jj i jj ad 1 jcf &ficperpecu6,quodnoscommodiusfignabimus perapices fic,i. ij. I ij. I tij. 1 iiij. iv.ivj.i vif. &c (fum igitur Hifce fic pofttis confideratur primb quadrangulum BEDC,

demonflratumfit a Ptolemxo , (ffopernico , Regiomontnno, Pitijco , EJ ceteris qui de docirinafinuum firipferunt ; cjubdin qu.tdrangulo circuli quocun^, reb~b,ngu-

lum unum Dia qpniorum CE, DB , aquetjunBn duo reciangula oppoptorum ia*-

terum ,fcihcot,quod (ub DC EB , quodfubCB^ DE: l^urfumfycartLs cr jit certum ex Geometria , CO dimidiam fubtenfe CH, £? Bfagittam,juncik

°" fe

onenj

nuuuam

mtentijs^&quarepoient.amlalerisC^B,.

Sa igitur BP z.CB ij, quadrm 1 ij, quoddivideper BP,prodibit BO. lif di- CH & Bpi •vifumper 4,quadr?a 1 iiij dhnfumper 4,quodaufcr a q$o CB 1 ij,rejfat 4tj—iiiij divifumper 2 quadratum CO. C um- autem CHfit ipfius CO Uupla erit qua,

CH 16 — 4

—

/ iiij. divifumper 4. idefi 4 ij Cum ergo babeatur qdm CH vei BD ,idefi ,reLTangulum fiib BD £5? CE\ W^ltiplica C^B in , iitfit reciangulumfub ijs 1 if,quod aufbr a re&angulo fuh

dratu-n ipfius

iiij

BD, CE4 ij — 1 iiij, refiat recianguiumfitb CD, ^BE^ y — fc, in

1 iiijsidin ij

dtvide,

CD ,\prodibitBEsj — I Hj.

Pergimus ulterius ad Quadrangitlum DBHE. Et quia BEefi 3]-- 1 Hj,efit reEhngulumfub BE,D H, idefl,quadratum a BE, pij—tf iiij -+_/ vj: aufbr reOiangulum fub BH, 1 prefiabit reiianguiumfub BD,EH S ij—6 iiijfcf 1 vj.

S ij—6 Hij -t-/ vj, divifumf 3J--1HJ: q toddividepcr EH, 3J--1 iij,prodibit efquadratum 64 iiij—^G vj -±f2 viij—12 x -+jxij,divifumt^if-~6iiif- ~+wf) T

quodpriuserat 4ij—l

iiij: inhocduciUiusdenominatorem,t$ xquabuniuf 3Giiij~23 vj -^10 viij—i x,cumd4iiij~^6vj -±./2 viij--12X -t-ixij Ergoetiam 63 vj -+nx cumzSiii) -t- 42viij -s. ixij

Ergbetiam

~+ //

cum %$ iiij -+42 viij -ki

xij.

Hicaquatio

prodit quantiiatem lateris Hepta^onici.

Velpergimus ulterius a4D^,EG Efln.quadrmDG,EB9ij--6iiij ^wj. Jt qtm DB, EG efi 4^—1 iiij, aufer hoc ah illo , erit refiangulum fub DE, ^BG i

fij—iiiij -+ ivj ,qtioddiviae

inDE ij,crit BG,<;j~}iij -+iv,cuji*squadra*

tum Zfij—jo iiij -+ 3? vj—10 viij -* 1 x,quodprius erat <sAtquantur igitur

Ergbetiam

-+ 10 viij

49 iiij 49 ij -^iovj

cum sum

41J—1 iiij

21 ij -+3fvj -+ix 21 -+3piij-+i'viiji

Hicicerum acquacio prodic quantitacerhkceris Heptagdnici fed Byi% gius oculos avercic ab incegricace circuli, eumq; confiderac rancummd» do uc arcum dividendum in 7-Cum igr fubcenfa parcib 92. habeacur hoc proceffu coflicejquaeric jam fubcenfam parcib^eamqjinvenic (eadcrti methodo quafupra)qudd ficRadix dei6ij-2oiiij -*-$vj~ iviij. Jamq ha<3 :

;

«cicuf

De Figurarum Harmon:

Diagonaliinnovoquadrilatero,cujuslatera fint,fubtenf<e tnbus par&cibus, eoq; earum Rectangulum 9 i/—6 iiij -+ 1 vj, quod ablatum a R-t angulo 16 ij— 20 iiij *•- 8 vj— 1 viij, relinquit reliquorum laterum reftangulum 7 ij 14 iiif -+7 vj-'- If/^.Hac illefubtertsa utitur, comparans cam,vel cumnumero,quocertiarcus feptifeeandifubtenfaenunciatur, tunc vel cumfigura rtihili, fl totuscirculus >ut hic> eft feptifecandus:

—

ilh velnumero , vel figurae nihili aeque valent quantitates ha; "14 iij -+ 7 v i vij vel 7 -- 14 tj -+ 7 iiij — 1 vj.

—

7J—

Prodic a. illi ex aequatione,quam juvat mechanice, valor radicis non nusjfed in Quinquangulo duo , in Septangulo tres,in Nonanguio

quatuor,&ficeonfequenter;urtusenimvaloreftBC tius

BD>

alter

ter-

E. itt igi tur appareat,

hil

hoc genus inveftigandi Iatera flgurar, plane ui-

communehabere cum Definitionibus noftris,Numero I»II»UI. prae-

miuls/nOtabisprimOjquidprofiteaturhajccon^cafubteniaByrgij.^Nimirumhocillaprofitetur , fi conftituantur fcpcem mter fe continue proportionalesin ea proportione , quam habetlatus feptanguli ad femidiametrum circuli , qaarum propoftionalium prirna fit ipfum ieptanguli latus tunc feptem primas cum fcptem quintis , tantundem eiricere , duarttum quatuordecim tertias cum una feptima. Hoc enunciatum quidem eft Geometricum demonftrabile , .*

non minus quam in fuperiOribus, quando demonftratum i uit, planum Octanguliefle Mefon,autlatus Dodecagonieflealicujuslinea: Apoto-

men. Illicenimdeplanoaucdelineaaliquidenunciabacur, hicdeproportiorte linearum aliquid enunciatUf

Ac ficuc non fufficic mihi ad fcientiam & ad menfurationem plani, fcire illud efle Mefon, non ad lineaemenfuracionem , fcire quod illa fit alicujus Apotbme cum & multae fint hujufmodi , & defcriptio ex hac notitia geherali nulla , quantitas plani vel lineae nulla certa

& determi-

nata eruatur,fed confequantur cantummodo hae atTecliortes,antea conftitutas defcriptas quantitaces : fieeciamhic, nOnfiifficitutfciam, quidfitfuturum/faclisfepcem continueproportionalibus in piopor-

tione , quamdefidero

fed cumeam proportionem

ulio geometrico atlu defcriptam

illud igitur

nondum habeam

expe&abam

ut qu ts me

doceretprius illampropOrtionem conftituere» Sicenim in

ommbus

praemiflisfigurispraecedebacdefcriptio> infcriptio, determinano certx quantitatis, certusque aclus Geometricus,quo perficeretur haecde-

termiaatiOifequebaturdemumfcientiaproprietatumillarumjqujefaeieban t ad compar ationem inter fe figurarum. Uc clarius appareac difcrimen Utriufq; rei > videamus Pefltflgonicumiacus, eujus defcribendi modus in fuperioribus hic erat, utconjunftis quadratisduobusjuno femidiametri, aicero ejus dimidiae parcis, in> formam quadracam , ab hujus quadrati latere auferremus dimidiam parcem fcmidiamecri,'Reliclaeiinea»quadratamrurfumcum quadrato femidiametr i compofitum in formam redigeremus quadratsum > hujus poffibin.quadrati latus fore latUsPentagoni.Haec omnia erant facliii lia,&facilioraquamdiclujucftoruncquicifcmostfac^ajoc, Quidn. fa-

cilius

DeMONSTRATIONE. LlB*

quam reftum angulum G AM facere, & in ejus cruribus 0gtiare oc lubec AM,ejufque duplaffl AG, & po< cilius,

, alceroirtG ficopedecirciniuno in G P , concicirculum excenfo, fcribere A in P , deniq; P circino cofflnuaca

prehendere,&inaliumcirculum,cujus

GA femidiamecer> inferre

Ac vide nuncquid nobis de lacerePertca°x>nico dicac ColTa Byrgiana.

Illamechodopriusdedu&a^pfodicnu* aequalem fubcenfae dj^-iv nullae id eft; fi qumque fiane 5 merum f proporcionales quarum prima fic lacus Pencagoni ; , ordine continuo proporcio yero fic Ula , quae eft laceris Pencagortici ad femidiamecrum, cunc quinque primascum una quinta, fore seqtiales quinque cercijs. Rurfum, uc in fepcangulo, non docec confticuere concinuam pro« porcionem inqua hoc fiac, necexprimiclongitudirtemproporcionalium per ance noca fed docecea confhcuca, qua; fequacur afreclio. Jui

—

;

beorJgicurreprajfertcareaiFecliortem

foreertim,

Uthabeam&pfo-

Acquoi«odorepraefencaboafFe£tionem quoa&uGeopr>rcionem. mecrico ? Nulloalioiddoceorfacere.quamufurpandoproporcionem , quam quasro; principium peticur: & mifef Calculacor, deft icucus ,

omnibus Geomecnae praeHdijs>h«rens incer fpirieca Numerof um, fruHoc unum eft dilcnmert incer Coflicas Sc ftra coflam (uam refpedtac, incer Geomecricas decerminaeiortes, Alcerum eft , qucd coca haec racio Byrgiana ihnicicur effenciae qua-

numcrorum; & divi«hc diamecrum in parciculas cer* cas,quoties$cquamdm vuk, generaliterinparcesduas;cuinumero

cicacis difcrecae

feu

cocus proceffus innititur, mutareturque, fi nomen Diamecroahud, feu numerusaliusdaferur. Atnonfi:Geomecriafigurarum,fuperiuscradica , quae lacera , EfFabihalortgicudine , fignat fane Numeris ;at inefFabilia , nequaquam numens confe&acur , fed per fuas cercas fpecies di-

ftribucaficenunci3C,ucappareat>nondedifGrecisjfeddeconcinuisqua-' cicacibus agi, de lineis &: iuperflciebuS. laceri Figurae, &laceriflella;cognominis,cuiTercio liadtenus que fua cerca erac defcripcio ; in hac Algebraica Analyfi , illud maximd mirum eft , ( quamvis Geomeeram praecipue abfterreac) > quod non u-

na via praeihri poceft quod imperatur. Quanquam id non omni lege folutum eft, fed, uc fupradicicaepcum, socfunt numerifacientesimperacum quoc func in figura fubcenfae feu Diagonij , loflgicudine difFerences,uc in quirtquanguloduo, infeptangulo cres > unus prolacere, reliqui pro fubcenfis angulo.Icaq; quicquid enunciatur tandem de prp,

porcionefiguraepropria, id commune eft omnium ejiis linearum proporciortibus ad diamecrum» Quarto, pofico, quod una fbla proportio faciat ifflperatum; illarn

nmennondoceorabfolvercfedfakemvenarieminus.

Cumenim

fpecies linearum causi fcienciae verferttur in genere InefFabilium (id eft non numerabilium , feu numeros refpuentium ) eoque nulla unquam mulcicudiaeconfummecurracio , quin femper aliquidinincercore-

lin

De Figurarum Harmon.

iinquatur:haecc6ncra racio,uclbcofecundo'di£t,um,praecer numeros non affumic alia praefidia , fed diametrum variefemper dividic in multas Myriadas Myriadumj uc exa&ior fiac'racio;acfic nunquam fit exactbrevicer: Hoc rtcin eft fcire rem ipfam, fed falcem aliquid proiflima,ximemajusvelminus > poceftque femperpofterioraliquiscomputator approximare magis ; pervenireadpunclumiplum, nulliunquam dacur. Talia nimirurn func omnia quaelatenc infolapoflibilitace ma-

formacionerti habenc fcibilem, qua in actum quandoq;fcibilicatis hurriartae conftituancur, teriae quancicafcivas;rteque

Quinco utinfpededefepiangulo,figurisquehujusgeneriscon,

cum per eas ordine fuo Cefe confequences, pro, poitionaiJcasconcinHaexcendacurcUmipfonumerolaterLim ergo fi maximeinnotefceretuItima,ucinfeptangulo,proportionalinmfeptima jnon camen per eam haberi pofTent intermediae. Nam inter duas, qus non habent proportiortem irt ter fe, quam duo numeri proporfequencibus agamus

&c:ricqueuntGeometriceconflituicontirtueproportionales intermedia: quotcunque, ftd folum unavel tres vel feptem vel quindecim &c«duae ver6 vel quatuor tionalitatiscoritirtuaca;,uccubicai

furfolidae,

quinq;, fex, o£lo, rtovem, &c. conftitui tuncnonpofluncin plano,-cum hic de planis figuris agamus. fepcimamproportionalem Jam vero inter femidiatrietrum i eft i vij proporcionis fepcangulans, func mediae propor cion ales fex ,

i adi^nonucnumerus, ad numerum proportionis continua; £que~ non eft fcilicetproportiofemidiametri adlatus feptanguli felongae ciindum duos numeros hoc eft non EfFabilis eft, Nam freffet EfFabi,•

fepterri ancaderet in fpecies prius explicatas, claflium priorum, efTent feptem, fed tres vel quatuor, quod contradittionem in guli non volvic. Ex angulis enim primarum figurarum eradacerum proporcio. Oporceret igitur uno a&u omrtes fex medias proportionales conftkiii, i vtf. Viciffim fi daretur i vj quantitate; tunc iriter i. inter fcilicet i lis

&/-y/quinquemediaecaderent. Quodfitunci ad ii^eflet utcubicu;» numerus, ad cubicum,tunc pnm6 conftitui poflent uno a&U i ij StyiitJ dcinde mter ifyif-i iiif* i i>j- tribus a&ibus tres mediae proportiOnales» Sin autem i v. darecur quancicace , rurfum omnes quacuor incermedias uno adlu confticui deberenc ; quod fieri non poffec, nifi in propor ciorte EfFabili, uc prius. Caecera fecundum haec fubincelligantur.

m^unvw*

Concludimusigicur, AnalyfesiftasCoflicas, alienasefTeapraefen; ti concemplatione ; nee ullum conftituere gradum fcientias , curti ijs comparabilem, qUos axplicavimUS in fuperioribus. Illud autem obicer monendi funcMetaphyfici, occafione hujus ccffae;confiderenc , fi quid hinc cranfiumere poflint ad explicacionern illi^ us Axiomacis, cum NonEntisnultadicunturefeconditiones , nullteproprie-. utes. Nam hic qUidem verfamur nos in Entibus fciertcialibus; & proriunciamus re&e , quod latus Septanguli fit ex Noh Entikus ; puca f cien-

aEft y3

^ac d*fcriptionis poflibilitas : necjue fekur a Mence Omni f&a aclu fim-

U*t «e WafpheniS tur ^omiui •offe cen

Mathema . tialibus ; Cum enim fic impoflibilis ejus formalis defcripcio ; rteque i« «um pemif- gj cur fciri poceft a rneace humana , cum fcienciae poflibilicatern praeceplici

DEMONSTR ATIONE.

LlB.

quia fua Natura ex infcibilibus eft. Et tamen hujus non (SJJjjEJ Encis fcientialis funt aliquaepropriecaces fcientiales; tanquam Encia quamimbi "* conditionalia. SI enim ESSET Septangulum defcriptum ln circulo;Ia» p jjjf terum ejus proportio tales haberet afFecliones Sufficiat monuifle. conrradiplici a?terno

«ftionem ia

volvunt: &DeifcientiamadcaIiaimpolTibiIiafcnonexcendeTe , prxlercira cum hxformales rerum Geometticarum rationes nihil lintaliud , quam ipfaEflentiaDeijquia quicquidin Deo eftab xterno , id una individua eftcflentiadivina.-sflecigitittteiplumquodammodoalium ,(cire, quam eft fiqua? fiint incommunicabi. iia , tciret ut communicabilia.E t quxhxc adulatio,proptcr iniperitos hbrum non kcturos, defraudare caueros. ;

Sunt & aliajpropoficiorles falfae Geometrarum,de laceribus hujuf-

modi flgurarum,fed quas vel

ipfa fbllertior

Mechanicarefucec;

cum ca-

menMechanicescausaobcrudancurjuvencuci uccumSepcangulilatus AC ab Alberco Durero ponicur arquale femilaceri Trigonico A B ejufdem circuli» Hoc Ver6 nimium breve efle , ecfi vel lpfa Mechanica docec: camen ne cui imponac experimencaAlb. t)ur«a ciomanuarianimiumrudis ; isveihacfolaradefmitio :

ciocinationefalfum ante

manuumaccommo-

lat.

d jcionem deprehendere poteric. Trigonicum larusexnumero angulorum probacur efletffabile pocencia: quare ficeciam ejus dimidium» HepcagonilacusnoneftEfFabilepocencia, eo ipib , quia Hepcagonus eft & quia fepcem neque fex func, neque quinque,nequecria. Numeri enim Primigignuntfpecies ; acfpeciesfunc incommenfurabiles inter fe , nec una eft alia.

Sepcan»

guti.

DeCarohMariani Cremonenfis& Francifci FlufTatis Candallae Aliaxujv paralogifmis circa Heptagonum Vide Chr. Clavium GeomecriasPracliea: hb. VIII. prop. 30, commentarijs in Euclidis lib„ I V.Pr, j6. Excitavic ha;c palseftra eciam IlluftriflimumD.Alarchionemde MalaSpina>Legacumannoj6j4. Ser»*'Ducis Parmenfis ad aulam Cae-

faream ; quidiagrammaceingenioflffimoomnesomniumdefcripciones fuperavit;exiflimans fubcenfam cribusdecimis quarcis circuli,aequalem efle quinque quarcis femidiametri , fic effabilem longicudine demonftracionis apparacus cancae fuic follerciae,uc vel ipfum Euclidem lacerec, aflumcum aliquid fuiffe indemonftracum. Pro lacere Hendecagoni circurnfercur calis defcripcio : In circulo Vn |eea]> ab eodem puncFc A, ducacur lacus Tecragoni AC, ad unam partem cir gulu«. cumferentiae,Trigonicum AD,ad contrariam, Hexagonicum AB, AF ad utramque : &duorum illorum Hexagonicorum angulus F A B fubtendacur alio Trigonico latere BF, quod fe* ,

cabic prius

Trigonicum

AD inG;ducacure-

ciam a fine Tetragonici C diamecer CE per I cencrum, a fine alcero diametri E, per feclio nem TrigonicorumG, ducacurre&a EG,fecans Tetragonicum ACinH:IineaGHinter has duas fettiones , dicitur efle latus Undecanguli. Sft verd nimis longa , vel Mechanica docerjte» Ac fojUcw Geo^

metrg

De Figur arum Har mom.

mecrafpecicmlinMBConfiderat,quaeneceflari6 cornmunicac aliquid «xTrigonico &Tecragonicolacenbus, quancumvis remoco gradu. Acqui numerus 1 1 , Primus exiftens, nullo modo ad has figuras ducic , cum Securus igitureft iicPrimus, nihilcum3-&cum4.comunehabens. Geomecra,falfam efledefcripcionem, & poceftf acile fuperfedere laboie compucahdi. Manec igicur per omnes objettiones, per omnes omnium fruftraneos conatus lacerafigurarum hujuimodi fuapce Nacura efle ignoca infcibilia. Uc nihil mirum fic ld quod in Archecypo Mundi non pocuicinveniri, neque eciam expreflum efle in contormauone ipfius

Mundiparcium.

XLVL

Pfopofitio.

E&io

circuli arcus cujufcunque in a^qualia tria, quinque fepcem &c &inquacunqaeracione, quaenoniicantedemonftracarum concinuedupla, noneftdepoffibilicace Geomecrica

t ali quae fcienciam generec» y quatuor , (f 0B0 , l§ c;continulfnlicet dup/a , Ge. Seclio arcus in duo , emetricajane eft , fuit% haiienus adhibittu. In tria contingit fecari •& iotum Semicircu/um, vtin Hexagono if$ quartamparCirculumper Trigdnum i ,

iem ,vtihDodecagono ffquinmm> vt in Pentekttdecagono ; gf arcum yj/ Craduum , vt in Oclogonoi %§ arcum ivg graduum,vi in Decagono. ln quinque verb contingit fecarifimiliter tjf totum circulum ,per Pehtagohum;^ tertiam citcu/i partem , vt in Pentek&decaJemicircu/um ,vtin Decagono % arcnm ijo vt in Dodecagono. graduum Idem verum efl dtj> S§ , fonoi orum arcuumfemifiibus , quad?antibusqu&j> » & c&teris partibus proportio,•

nis continue fubdupU.

ingeniumj,

jfedper

§£u}nifec~lionis (lAthocnonfit pwopter Trifeclionis accidem, ff propter alias figkrarum proprietates ,"de qui-

hus haifenus.

%At ,ftomifcuamjtfifeBionem\ aMfeMionem in aiii quacun%rationepropofita j qu<e nonfit continue dupla ,impoffibilem efie , patet ex comparatione biJeftionis pojjibt/is.

$ quem iUe menfurat,

In eamedium ad drcum ,

ahgtclum

^ifecandum , efl linea reBa, fubtenfa arcui , qu<s in duo tequa/iafeearipotefi Ge*> tmetrice : cum ttqualitatem harumpartium fequatur aqnalitas partium drcut eujuscunfyjiveparvi Jive magkiy rejpecfutotiusxirtu/kex quopnte g? hoc ejl, auodtn Trianguio ab aqualitate laterum licet argumentari adaqudiitatem an-

guhrum oppofitoruni^„

Hoc verb medium

nos tn cateris feEbionibus deferit.

T^.me*firecTa,arcui/ubtehJa , /ecaripoteftinparterqmotiibet , id£Geometri~

unam Aqualitatis ) argumentari ad eandempronortHohemoppoJitorumangulorum. Tfamji (ubtenfaatcuf > verbi tausa, in tria dqitalia,fecetun/iqu<efecant , Derpendiculares injitbtenjamfuerirt, media pars arcus errt minor lafera fibus fin ex centroarcusfi^rint egrept tet a proportiohe lateriim quacun^ (prater

jedrketimedia$arsaTcn$*Tit mmor Utevdihus-^

lgiturintef4*fiantiam in-

finitam

Demonstratione Lib.L

punciu efi,ex quo edublx dux'feblrices,$ ftihtenfam fimiam £5? centrum cttculi, e)us in tria xqualiafecdtent. Id Verb punciumfimper tantb remotius

d arcum

t(l

mihor arcus citculi trijecandus efi,proportione tamett ab arcu circidi , quanto atcus circuliminuipofint in infinitum, difiantia etiarn igr contfanti. Cum

non

huutspunciiexcurret in infihitum;Ihfinitiverb,feuvarietatisinfinitx nulla

ejl

x* Et hxc diffictdtas tenet TtifeSiionem, qu<e adhucfimpliciorefi oritur alicumajor infequentibusfeciiontbus difficultas Mtdtb a litati propior. zfc.partes xquates. Tuncn. nepunciiquifrct^verbic.iusdjn f , 7, o,

ftienivL*. •

qno educix reclx,

quxfubtenfamfecant n identipis ^mpiius efi poffibilis,ex xquales arcum in (ecent. exdem imperatas e? , pattes xquates 6)u;cquid verb prxfidiurum adpromifcuam (eJi ionem pofiumus afferre

irt

dedtt^lumex namero quifiilionem denominat , tdneccfieeji efie qener de^ t commune cuiuscunque arcusfubtenfis , tam magniquimuitum ajuafub,

t$ tensa differt

t>ortione;n fcientifice.

quam parvi

<LAtquiVagamrelinqtiere pr'-

quiparunU>>

patiiumsfiiibttnft, adpafiesarcusfui ; idvero honefl determinare Atque hocprxcipue dicltAn efio deTrifetlione Vel qmni(eciionej& c:

^B-n-oiana Analytica

viroomnia funt huius

ibi diiid-s

loci

de qtia inprxcedehti Propofitione egimus copiosb. ,

hakht etiamhic locuwu> i quxdamtamehttlic

magispropria^,

fiuntque ittufiriora

Etfi ditm',

quaminficiionetotiuscircutt, ]Sfam utomittnmiltacommune arcuurnj>, eo , VJtfhciamus , quodqaomodofhcien* imperato pftncipiumpetatut, nixj qubd affeclioties quantitatis continux nonfitehtifice prod'tm (it , attxrebatur : qubd per auantiUtes difctet.tsfiu Numeros ; qubdquictinque numerus elicitut

dantttr

docete_>

determinantepartemarcusimpetatanu,, i&e nonpcffit qukqmni

quam qubciiUuifitvelmafusVelminusdebito

eoqueficutfe habrt

materiarudis iS indigefkladformaium qvid i ficut quantitzts indetetminata.» Analytica i(fa ad determinatioindefinita adfipurams \ fic etiamfihabeat, exceUens inhacCofid (emimechanobiteefi iUudimprimu nes Gsom&tric-is : ' in Ceomettid fiientificd qubd citm itnaqux * foaeyier verb gf abjeiium circuti arcubus inxqua libus accen(eatut) aue fabtenfaminor diamctro , duobus major; eoquepartis aiiquotx de minore.» alter , (cmicirculo auorumalter minor quotx de majori, major : (LAnatytica iffa ^Byrxque partis minorfit fubtenfas , inxqualihus , fed etiam depluribus alijs cit* piana non tantum de duabus hifie prxcipit , quodutile fit adillas omnes humeris pro* quid eenerale fuhtenfis, '

culi

datus (it arcts

lex

hxcefl: Si xime exprimendas. Verbi causd, inttifectione is arcus fitin Ires paftes fecand**s * ejusque fubtehfiu, ; tf> ( (it 4$ praduum ) quamlibet lOgraduums hocefi , inveniendafit (ubtenfa hujmpartU Jeuejus ,graduum 4 g tunc jubeot fhcere vf fuVtenfam toproportio adfubtenfiam totius ad quxfitam fubtenfiampartis , (ic hanc adfecundatru £jffecu ndam ai i

tius

sbeaati* tertiamproportionalem-2 :jamjubeortriplicare(ubtenfampattis , valerefubrevfartu quodreiinquitut iddicitut , fcrretertiamproportionakm-j:

Hoc efl , De fuhtehsd data, pars tertia multipticetut cubice %ft fra 1 w » numerus&cius addatur ad toturru>: auHiifictertiaparseftpdufr mincrfub,

totius.

tehsdquxfitd.fiamfirur(umhxcipfa, cabicemuhlpl-cata

adtotam

adl-t*

pars propius advetum venit ; £5 hocconttnuhufq, in ifi» tur; (icaucix tertia Hoc quidem procefiu venitutpanlatimpropefttbtenfamCtaduitf? /5. >.

nitunu.

^lhJto-

^ admitabitiora in jrHto^ us

nyotateres

S e &'°«>»

byig/a-

De Figurarum Harmon:

e? omnincten.

tum ftre, quantum circinus indicat deberi tertiepartt de rejiduo circu/i } pofl ablatos Gr. 48 >fc: Gr. 312 , cujustertiaefl 104 : titnc etiamfubtenfam arcus /04, 'N^eque hoc iantum ifedfi etiam ad £$ complementi 2 j 6. hoc modo perficies .

48,$ ad$ 12. adjeceris circulitm integrum $6o. invcnies ctiam pro fummarum iffarum 408 ,6

Nomen

7 2. trienttbus fciiicet i}6 ,Z$ z 2 4 .fitbtenfam aiiam per idem Et in ^ensre, quot reftnnt unitatet in numerofici ionis ,bitoties licet addere circuium intecrum vel arcum fecandurru> ,

Cofficttrru>.

nario ablato

propofitum , IV eodern nomine coffico novorum arcuumfitltenft indagenlur.

quo appar&t ingem difcrimen nominum horum cfficorum,ij fiientificorum gra'

duum, quos infitperioribus expiicaVi.

om~

t$Jln Vsrb nonpofftt aliqua nobiiiorars inveniri, qitdftiiones arcuurn

mmodrt perpciantur ?

arcuum dividcndorum

"Refpond.se ,fiomnes flubtenfk

(ub

commwiimtioneconfiderentur fi iilatanlumhabemus prxfidia^ , qiis. jit-it communitu> ill-arum in proportiorie quifi: omnibtts qu<e(itis fubtenfis njtfimt td, continus proportionales quotcunque : tuncnobilius aliqmdhaud quifqusni ,

comminifcetur

acl tim que dgit

adjecio ffatuit , conffus,

qukunquehic annititur

Ex commumbus enim

;

g? ophofilumi/t

nihil cuiqUe prtprium con-

fludeiur.

Sin autem de diffcrentiffpecificis Iinearurru> fubtenduntur

qu<e dividendis arcubns

fermonem infiituimus :Jam mututurftntus

qu.efionis

& pro

feBione arcus omnivarid, fubflituitur feiiio totius circuli perfiguram Rer/iiarenijs , qu<epropofit<e fitbtenfejuamjpecifcam proprietntsm conciliac : dequi,

busfiguris Reguiaribus nos jamfitprdtgimus

infequentibus amplius

a<?e-.

quippe qui hac ipsd in qu<tflione medium quctrebamus , quofigurarum il~

mus ;

larum aliquas

defcribere pofiemus.

efiepriusre ipsd

(fum

itaque tale medium naturd dcbeat

per hocmediumeffickndd

principiumutiquepeteremus

,fi

Medio noflro expediendopr<tfldiumdfiguris Reguiaribus peteremus. IJerum hic adverfarius aliquis objecerit mihi qubd Pappus Jlexandri:

Pappi

nus

libro

quarto Mathematicarum colleflionum

XXXI.

Iropofit.

Tri-

DaEt 2/, pr<t(kit idem per Con-

ones ^arcu" partitztm angulifieclionem tradatper Hyperbolam s £5? Tropcfk , XXXfi^, um omni- tdqudcunqueratione angulumfecartj , Per Quadraticew Heiicens :

Citvius GeometrU

PracJic<e iib.

XIII. propofit.

choidea Nicomedis,

lierum illorum authorum inventa nuflam flnbiiiunt poffibilitntem nivarintfeBionis Geom&tric<efiientific<e

HJt hoc appareat.

machinationes circa trifiBionem expiicabo defiriptiones fcientificas Pappi

primum Pappi

deinde differentiatn inter iilas £?

in luce locabo.

Primum ipfe Pappus in pmambulo antepropofitionem

trife-

loanguL

Om-

3 1. dividit probie-

Geomeomarica , appiRac,cum Geom&tricum ifpeciafem fenfum habeat, ) in Pianas , Solidas, 65* Linearid-*: fhteiurqucs , TrifeBionemanguli , perPIana ( qu<e mihifunt Jpecia/i fenfu Geom&tricas , fcientifca , graduum explicatorunu) } expediri nonpoficj, edife de caufa eoarguit antiquas Geom&tras ineonfulti conatus , qui

mafiU nobis

fqa. lg,generaliorifignificatuvocabuli >

bicfruftra defudaverint. Ipfe igiturtrifeclionemfitam expeditper Soiid(U>

onenu* ,per iineasfiguratas.

omnivariam verbfiBi^

Demonstratione Lib.L TrifecJionis modus efl

tnlis.

Propofito

4.5

angulo trifecando , demifid ex punBo cru-

rtsuniusperpendiculariincrusalterum

qu<x longitudinem crurum inteUi, gatur detefminare , ($ eicrurialteribreviorifhcio perpendiculo^ , duBisparaUelis , illi expunclo primo , huic expropbflto angulo ,fic vt concurrentes recium tf ipfefiiciant angulum ' jamperpuneJum , in quod demifiaperpendicularis fhtit iranfirefuperficiem C on i ,figur<efblid<e ; deinde fic applkatum Conuminclinat> , feu annuere fhcit quoadufifc is cum eddemfiidfitperficie ,feciionem Hyperholen diffam in plano defignet, duBarumparaUelarum, ut Afymptoton proprittm : tuncex puntioiUo , inquodefldenrifiaperpendicularis ,'intervaUo , quoct flt duplum crufis primi defcribit inplano arcum, fecantemficiionu Contcx /ineam ; gf conncxo centro arcus cum hac communifetlione , rettam eiparaUeLm ex angulo propofito ducit ; eog;fhclo , demonflfat , abfetTnm efie ab angulopar^

iem tertiam^. Solidum quidem hoc pacio problemafhcit Pappus , ufu Coni ,figur<efolid<gi inter datds Afymptotos ( duclas perpendicuiares ) angulumre-* ilum fhcientes , per punii %m intraiUds datum ,feciio Conica , d:th Hyperbolasj etiam (ine Cono , delineari pn plano potefl: problema idem videtur etidm inter LiGignituf enim tnlis linea motu Geometrito , ($ mufntiotiearia reflrendunu. ne continud intervaUorum , hoc eft, repr&fintntur per purici a qu:tvis tndeterminato numero ; idque non minus , quam §htadralrix 0$ Helix , quibus Itnatf Propofit »_?/. tf Ternariam $$ Omnivariam jeEiioKemperfiatt, Sichabet Pdp-

&At qaatenus

pimachtnatio. f^iifd ieitur dicemus ?

Nonne inler daias Afymptotos ,per pundum da*

ium

, unafolafcribitur Hyperbola ,flve idfiac annutu Cohi , five punfiorum^ infinitoramcoritintiaiiohe_s ? TSfonne una folafeciio circulicum Hyperbola ex

itna plagd? 'ISLonne Una fola £?

certzt

inclinatio efl linex, punBa HyperboI<e con-

necientis , adfigur<e diametrum-D?

cefti, efle_» ,flquidem Hyperbolti Eqiudem fhteor , h<ec omnia necefiaria kmflt defcripta-c, Erat ehim etiam prius in analytica Byrgij trifetiione , zerti<t

conflituta. partisfubtenfa. certzi *_? necefiaria longitudo feuproportio

adfiil-

At quia non de hocquxrimus , quidfit , rejamfhfia ,fed quoienfam modb , iftfit qUidque res nondumfhEki , (itfhcienda demunu> ideb rithUh plus habemus ex ProUematibus Solidis tf Lineafibus veterum, qucdadqudfitam linearumfcieniiamfhciat, ; quampriusex doElrina Analyticd modernorum. Efl (ane unafola HyperboU Iinea,inier Afymptotos pofitas, perpuriclumpropofitumi ^AteanondumduEid Conumjubeor tahtifper incliin earum plano duciilis. ioti arcui.

narefuperpunEio appiicaiionis , donecexifkit itla , duHzitfeflt : velfine (forio ;Iine.u , qu<e Hyperbolam delineant per continuatapunfh , jubeor tantiffier muta-

donecfiatis prolongatafit Hyperbolds

%_?

quxpariesinterfhEiapuncia ca*.

duni ihtermedi<e , easjubeor imaginarifhc~ids :jubeor utfinque id qucdeflpcteflate diviflohis infihitx , aEiitfeu motu uno trahflfe ; i/t hoc tranfiiu eiiam id at,

iingatur

quodlatei iniUdinfinitntepoJ:efkitivd

flrie pefficJ<efcienti<eIucC-?i

aualem haheht problemdta d veteribus Plana coghominatoj. Hujufmodipofiulatis crebrb utuntuf Francijcus "Viekt Gallus,(_f Geometfst Beigici hodierni , ih folutionibus eorumproblemaiunij,

nnt folubilio-» , infinitete

nifi inartificialiter ,

quctfuaptenaturd non

per numeros , aut per motus Geometricctf,

auddam mutationym gubernandos.

Dfi

FiguraRum Harmon:

ftLamubiomniafHerintinpromptH

menttm

quxfhcereputnbuntur ad certificandarrLs

tcnebimusdcterminationemejus

quodre\quxfitaveimajusfitve/

minus proxime ,femperquepropiux: vtprimetiamde trifeclione Jnalyticadi-

xeramm.

ftWanoa cft ttanfi-

tju feigati-

Verum efie de hocprob/emattt/o/ido Trifeilionu , admonet.

quoddico

'J^am nififo/idorum proportio fueritdatn taiis

vc/ipfa(blidi

qualis eft inter

duos numeros cubicos : menfitrarefoiidumpropofitUm aliofolido noto non poteri-

mus , admehtem infbrmandam : quia dux intermedia proportionales exacie in p/ano conflituinoh pefiunt : in cubis etfipofiunt incfie , atdplanis ad Cubos quojcunq^formandos , non datur tranfitusfine ipfis duabus medijs

medi

as ptopot-

«onales

fci

vemte lra «VUIIV 1114— nP»ifibik.

i/lot

velutiponte

Etduasmediasproporiionales invenire ,docent aiij permotumGeo-

metricum , imperantes quod efi imprxfkibile quoad certitudinem ac/us Geomeiriciadmquati: docet ipfe Pappus, per fetliones Conicas, beneficio duaruwproQonus fitfo/idumquid. portiona/iumexpediendas,cum$ Itx femper princi£ J pium petitur, (fpomjacet in adversa ripd. ,

XLVIL

Propofitio, quam

cum fubcenfis aliquoc parnum,

co-

t; Igurae numero laterum lmpari *•

(excepco Pencekaidecagono )

maiorl

cscerae Clafles,omnes eodcm cenfu func, quo Hepcagohus iigur«> numero Iacerum Primo. 'Njimfihiemerus /aterum ejl impar , hon ex Primis unus : is aut eft duorum Primorum imparium mihimus multiplex , aut a/icujus Primi quadra t us : aut efl Primi Unius , e? quadrati Primi alterim mu/tiplex , aui 'inkltipiiciunu, taeq; ades

quadrdtorumvefeorfim ve/juhBim multiplex.

ihfcriptilet > ^uodfiefieni hkfigurx defcripii/es fcibiles J tuncaut propriam haberent dehtonfirationem es ahguiis , aut impropriam ex compara-

^At prbpriam non habent i quia non iionefigurarum , quthus communicdnt. numero laterum Prirno , ex quoformaretur demonfiratio : impropriam non

jfunt

babentjiequeprimst, verbi causdfUneivigintarigHlum,quiafigur*. ijs comnsu-. nicahtes ve/amba. velalteruira , vthicHeptxgonw (pofi Trigonum S$ Pentn-

gonumex quibus Pentektdecagonus) nuUampropriamhabent , perXLV prx'

mifiamineque fecundit, v. c. Nonangu/um,quia hondatUrfeclio arcusaliquoti, e puta Trientis,in totidem parfes aquales , quot dccepit circulus iriteger , per jCLVlprntmifiam : neque tertuc, heque quarta, quia priores tjs communicantet tndemonfirabilesfunt. Nonangali 11

ItSu»*

d c Enncagono,cujus numerus p,eft quadrarus pr irm* imparis incer P r moSJ &• tcirhari j, ccrcacum eft haclenus incer Geomecras , plenfque *

annicencibus utetiamhujUsfigUraelacusdemOnftrarehr , omnescamen fruftra fuerunc, nec unquam hoe problema fuiftehc aggrefli.li difcrimenfcibilium&infcibiliuttiaccendiftenc. -,

CaMpanas **'

™kl°

na*"

Qampanus Nohahgu/um demonfirare vo/mtper 1uam Patt*it infcibi/em efie ; ihpramifia XLVI. necefiarib irificatur , pofitofe.

mbtu Geometrico :

Trifetlioncm angu/i,

Cfavif Etfiverb via Pappi *L quid hocadp/anasfiguras

Je quibus mshicagimtts j eumfolidu opnsfit adfitciendas trifieBtonis adminiflras linem

Demonstratione* Lib. lineat

Hyptrbolam , Quadratricem , Hehca , Conchoidea?

Ipfi

quidem Cam-

panus trije^iionem tentaw* nov animadvert/t, fcfiimere tertiam a nguli partem velutijamcertam qu/eeratdemumqu<trendaj.. Extatlocusin meo exemp/..,

tZ6. pertinens adfiriem lihri IP^. oppofitatatera BC, Jordanus^Brurius No/anusinfexangtt/i A B

ri adfinem Operis Euc/ideifht.

CD EF

EF, continuatau*rinfo ducitperpendiculares

A.D

jK,circu/um in tabat fecarific

irt inter

fiilionesM.

JordaniBtu ni Nonii»^

contingentes ;ducla igiturfh-

paraUe/ogrammi diagonio

cli

1H,

circu/umpu-

pulura.

AD PuncTa contaciuum d>

exiflnnt Norix partes circu/i

AN,

DM. lAtquidemonflratur ex diagrammattji i qrtbdcum femidiagonij iUius LH,quadratumfit effhbile , fci/. 7 decimti (extee de quadrato didmetri , ( fl enim

ABH 80. ergb ^BHfemifiis de AB,T)e/ AL:

(j ejus potentia igitur

quadrans depottriiia

AH tias LA, AH )firius igitur graduum 40

poientia ,dodrans de potentia

Jgitur

rum circuli

ALj

AL:

Sed poieitia

LH dquai pcten-

hocefl dimidiafubtenfa duarum

futufus fuerit Effabilis potentia

JcitieeJt fa dix

Nma-

de iribrn vicefimis

efhvis quadrati dtametfi Demiffa enimperpendiculari AO eX AinLH , e rii Jicut LHpoteritia > 7 fidecimx , ad HApoteriiiam , ^fidicimas : (ic LApoten':

4 fedecimdt ad AO potentiam , /2 jeptimas de unafedecima id e(i tres viJtn hxc nonangularis arigutifubtenf* efizt Hobilmr. aemu/bus communicam ijs : cum tamerifit numero taterum irMa.fi ffcdicd {$ prxmifis Primi nihil Communicam cUmretrafonotf quadrato , numere aliquo , j ^Tri^ono , per bifedionem arcuum ,quari*mfigurarum pro^rius efl h.c nJodi* tia,

cefimas ocTzvas. ,

tatisgradm.

XLVIH. C ^

Corollarium*

"Equituf igitur, Notionis, Scientias,Determinatioms,Defcripcionisj & D-monftracioms mecasincra primosfigura-

rum Ordtnes

confiftefe uc fincClaflesfigurafumfcibiliumnonpluqua-n quacUof .cres>prOprias demonftraciOfies habencium, in quib* capicafuntfamiliarurrt } in prima, Tecragonus,poftdiamecrurncirculi, cujuscharadernumerusS ; in (ecuhda,Trigonus, cujus chaf ac\er j» in tercia , Pencagonus chara£cer< 5 Una vef o impropriarum demonftnuionum,cujUs numef Us eft mttlciplexduOfUm j &5;Icilicec I5:pnm4 :

fes

cnim ejusclafllsfigura eft Pencekajdecagofius. •

XLIX-

Propojitio.

r* Vmautembirediorquapropriautittirclaffis

ma),communisfietam(ecund<equam

pri-

teftiajclaifi.pacec, alio

jure degere claflem prirtiarn , alio duas reliquas : ica ut prima familiari-

tatem habeat ad utramque reliquarum ; at illa; figuracionibus eon tra ie f i

diftia»

De FldURARUM HaRMONT.

4-6

diftinguancur, adeo,ucearum, quaepropriasdemonftracioneshabenr*

quodammodo duo cancum finc Genera, 'N(am Tetragonus (f Oclogonusfkitimfequafitotas Trigonic<zficl&appli" cantiquiapars circu/ifixta duodecimajunctg,faciunt quartam,pars duodecima gf vicsfima quarta,compo(it<£,faeiunt partem Ofb-vam- Et Tetragonu-fi

Pentztgonica ficix quadamten' accommodatiquiaquinln circulipars, additn xe(imx,confiituit partem quartam,Caufa

efi, quia Numeri 7;.

5-.

m numeros proportionis continue duplx: Nam partes ipfius & (unt

i)i-

di-vidi pofiunt I.

2.partes ip-

Jiusj fiint i.^fTalis verb communionon eflinter ctafcs, Ternariam Quinariam. 'i\am et(ifixtapars circuli, additatricejimx, conflituit qnintaimat tric?fi?na eft clafiis

bentekxdecagonicx , qux non habet propriam demonfir ationem.

Eodem modo drcima circuli, additzlquindecimx (ecce admixtionem clafiis quart x) faciuntfix Um. Propter hanc duaiitatem Generum,numeri charatlerifiici funt, in primo tz, infecundo 20,

reprenda

velejm dimidium

10.

Hxcigitur infia tibrJII

& adfiribendafunt addiflintlionem generum cantus> '

L> ComparatioFiguraruni feu divifionum circuli*

Rimas tenet diameterjeft enim eff abilis longittidi^

ne.Secundum eft lacusHexagonicum,a2quale femidiamecro,& fie EfFabilelongicudirte.TertiolocoftancTecragonus&Trigonus,quiala» tera habenc EfFabilia fola pocencia. Quarcum cenenc ordinem lacera Dodeeagoni , Decagoni , eorumq; fbciafteilarum lacera; func n. ex mefFabilib 9 potecia,& Compoficis primae fpeciei, func fc.Binomines & Apocomae Dodecagoni qdem,Primae, Decagoni vero, Quarcae.Quinco ,

loco fucceduc laceraPencagoni laceraOctogoni & ftelftellae ej 9 ,fic lae ejus,func n.ex quarca compoficorum fpecie, Mizort Elaffon di£tar. Ne quaverobonanoCairtDecangulo pr«ejudicecQuinquangulo: auc ne fpecies eadem lacensOclagularis, aequec fuam figuram Q uinqua-

gulovelDecangulo,novaquinquangulo accedic vircus irt orcil lpfo; quod per hanc Seclam,Denario corhunicancem,regnac undiq; propOrtioDivina: quaeimmediateineftipfislateribus Quinquangulari ejufq; ftellae ; ac Decangulari cum fua fteila non compecicrtifi mediance latere Sexanguli ; Octangulari planenon compecic. Praeterhaslacerumpropriecaces,aliusinfup cenfuseftnobilicatisi

quod figurae diftinguuncur ex apcicudine

& perfet~tione areae, q fepic fi-

gura*Hic poft diamecrum(cujus area nulla,& quae fola circuli arearii,uc Pcolerrjaeus monec,in duo aequalia fecac,non minus q circurnfereciam) Dodecagon9 , q, aream habee principem locum obcinec Tetragonus EfFabilem, &Tecragonusquidem eximiapraerogaciva;quiaeademilli eft area, quae& lacdris qUadracum, q.ppe areae fpecies eft quadraca/ lcaq; fepic dimidium de quadraco diamecri: Dodecagon' vero ftatpoftprincipia , fepierts dodrantem de quadraco diarnecri, Proximo locO fuccedunc Trigonus , Sexangulum & O&Ogonus , quibuseftareaexfpecie Mes6n,Petagoni &Decagoni areaenulla dum habecnominartociortum.

FINI S Librih Joann

IO:KEPPLERI

Harmonices Mundi

LIBER

II.

De Congruentia Figurarum Harmonicarum.

m^mMMmmmmmmmmm Prooemium. ^C^^if* Sfentiam uWularum Fifmrarum Regulari^j "^

7/~*i3K 1_/

5^.'*--t'^l!S5

^* * *^-a*

umMentalemfeu

j/Ofcgkyhacfcenusexplicavi

iequitur

;

earumjunclaru.T) Proprietas,& veluci FfFeccusintraGe-

omecriam quieft.Congrucnciavei. ,

[.nfbciabilicas.

Non

funcenlm ejuidemIacitudims,Demonftrobihcas&Congruencia cum illa fmgularum fic &cum lpsaduphcacioneconnnua.. lacerum umusfigura: unnfinicum excurracj ifta cercis coarcaca Iegibus, quibu^piures figura: in unam fociecarem, vocantur , ob angulorum incremencafeipiamprxpediens, cico definar. Ec quamvisdele&usfic graduum fcienciajdemonftrationisque &plurimumdifFerantnobilitate, lllxquasnosexplicavimus, abijsquasdimiiimus finenomine: ,

non ramenne cum hacquidemdernonftrationisnobilitate

Congruenriapjanepari pailuambulaciadeoqueunumalterius caufanon eft , fed urrumquc ex eadem coramuni caufa quse eft angulorum figurs ( apcicudo quodque cameniuis legibus dependec. Quantopere vero needFiria iit nobis hsc quoque ipeculacionis pars , ex ipfo cotius oPeris infhtuto videre eft. Cum enim originem Harmonices eiufque FfF^closmtotoMundoprtfftantiifimos explicandosfumpfenmus ; quomododc congruentiafigurarum , quaefunt proportionum Harmonicarumfcaturigines verbanullafaciamus? cumidemfonetLaci>

) ,

Congruere &Congruentia; quod Graxis CLgLlQTietV 8C OLQpLQVlcL £ cumhicfigurarumefFe&usincraGeomecriam.incraque Architectoniv ces partem illam quae circa Archecypos verfacur , fic quaedam veluc imago & praeludium EfFe&uum excra Geomecriam extraque mencis conceptus, in ipfis rebus nacuralibus & cceleftibus? cum propnecas haec congrueti£e,quaein ftru£tufam& corporationem aliquam exiccahs fic, nis

uc vel ipfa Mentem fpeculacricem invitec ad aliqoid etiam foris faciendum , creandum , corporandum i utque Iatens inde ab aecerno in fuper-

benedi&a roence divina per Idearum ordines canquam bonum fum,

njumjfuicornmunicacivumjConcinedinluaabftrac^ionenonpocueric quin

De Figurarum Harmon:

quin in Creationis opus prorumperec , Deumque Creacofem efEcerec corporum fub ijiHem figUris conclufbrum. De hac igitur figurarum Congruenciapaucis agam, cum demonftraciones difficiles nequaquam firiCj, necaliopene apparatu , quam ipsafignrarum pidura indigeanc.

K.I

De Figurarum Regularium *Congruentia.

DEFINIT

Ongruericiaaliaplankieieft , aliain folido. In Plano Congrucumangulifigurarumpluriumfingulificadpuncliui-fl , unum concurrunt , uc nullus relinquacur hiacus.

enciaeft

:%.

D I

XJ[^Ecperfe£tadicicur, cumfigufaecujufque concurrehtisanguiiomeadem ipecie concurrunc, ucicaomnes concurfus incerfefi> concurfuum ordo ininfinicum cbncinuaripoffic. miles finc,

"nes

III.

DEFINITI O.

;t3 Erfe&iffima, cumeciamfigursBconcurrcncesinpIanoiuncejuG.

dem fpeciei.

*•

IV. 1"

DEFINITIO.

Mperfe£ta,cummajorquidemfiguraundiquefimilibus concurfi-

bus fepicur , neque camen dacur concinuacio in infinicum, auc dacur, «juidem, fed non fine admixcione diverfarum concurfus fpecierum.

Imperfecladeceriorisgradusjcummajorfiguranon omnibus angulii fimilifpecie«oncurrereapca

C '*-*

eft.

E F

I O.

01idaeongraehciaeft,&figurafolida>cumanguIifingulipIuri^ um planarumfigurarum, angulum confticuunciolidum, aptacifq;

figur is regular ibus vel femiregularibus , nullus reftachiacus incer Iacers

figurarum

obviancia

fibi in

oppofita fblids figurae parte ,

d^ui

noa

ciaudipofficfigura ipecieiuhiusex adhibicis , velfalcem Regularibus. 2\£ofc? , qubdfit alia congruentia , nonflanarumfigurarum adfiguram*

duttt

CoNGRUENTiA LlB*

tt.

Rhomhus Dodecahedrkus. J\£**» 0H0 anguli Cuhi cmcurruni a&\ unumpuntlum, tf unum undiq^ locum explent. 'Rhomhus verb hah&t duo ge~

iudt , Cithus tf

nera angulcrum,trilineares ohtujbs btlo-, i$ quadrilineares dcutdsfex> Jgitur «htufi quatuor , congruUnt ad locum explendum , acuti verbfex : qualefiruunt adificium Apes , dis

cellis

a laterihusfex ;

thjolvendam,

contiguis , njt unam circumflent a fimdo tres adverfis fun-

£5?

A P BirGc-

pofient etiam anterius tresali*. circumfiare adfigurarru in

Debac

nififi/e* oportuifia efiepatrntss.

verbfolidarumfigura^ 9*g a

ritmcongruentia noshic nonagimw.

VI-

E F

ceilu' 3

Rho.abi-

PErfc&iffima fol ida Congruentia,folidaq; figura eft, curn etiam Pla* nacongruentiafunteJLiidernfiguraomnia.

VIL

DEFiNITid

HiEcveleftregulariscota, cumPIanafunc regularia, habecq; orh» nes angulos in eadem (ph;£i-ica fuperficie

vni.

& inter fe fimiles.

DEitNiti

/o.

, cumPlanafuhciemireguIafia ( vide libr. I. habetque ahgulos folidos numero Iinearum diflin&ds diffimiles; non canien pluruim quam duorum generum ;nec inpluribusqduabusfphafncisfuperficieb%unccencrodefcripcis J ordihacos:& fingulorunigenerunHngulostotnumero,quothabetunaPvegulariu.

Eleftfemiregblaris

def. III.)

'ftlpn ohfht

Congrtientiam hamfotidam , perfiBiffimam dici:

namquk

planis efits insfi imperfcclio, fotidationi non deh&tadfirihi,fed eiaccidit. DicituV

tamen aqstivoceperfedjjfima, h&cfimu eguiaris

IX.

E F

PErfe&a inferioris gradus eft

N T I

cluts

& anguli omne$

Plana regular ia^

in eadem diverfarurri fpecierurh,

came fingularumquidemcOtnumero,quotfunt in una perfettiffimarum figurarum, fc non mihus quam 4 , quoc ad mi> fuperficic fph£erica,& incer fe fimiles func:fed Plana

nimum Planitiebusfolidafigura terminatur. X.

D E

IMperfeda congruentia feu figura eft , ctirh cjeteris mahencibnsi ma* jorfiguranonf-piusquamfemelaucbisinvenitur. Fit enimfigura illicparti quamtoti,hic plan&quam fotiait (imihor ;cum ..

„

tmnisfitida adminimum 4.Juperficiehus terminetur. %Jt in typis ex <erefequen) tihus adliteras A. B. uhi

major figura efi Heptagonus.

Clafies

rum majorisfigurx laterum numero excurrunt in infinititm

ifi<e ;

du&.cum ipjo- ^ B

initio ticio a Tri-

cono utrinfyquod inclafie A,efl ex perptlifiimis reguUrihus congruent iu ;transituverbfhclopertetragonum;{!*)tuncinclafieB,inc<dimus iterum in unam£~

fecliffimamregularem censruentiamxcettrxomnes imperfecfafiunt.

Xl.De.

/j-.ieq.

De Figurarum Harmon:

XI.

SEmifolida eft , quae non

E F

fuftinec omnes definicionis quincae "parcicu-

iasjuccumapcacisfigurisplanis, congruecia nonplanein fcipfamredic,fedrelinquichiacus}decaeCerocueansprsfcnpcaDef,VI.& VII.

XII.

E F

IguraPlansscongrUajfunc, qua;veIfblidamfigurameoncludunr velplaniciemfinehiacu explenc, exiftencesipfsefigura; Regulares velfemiregulares» •*-

DEHNITIO,

XIII.

Ncongruaedicancur illxfigurzeplanaiReguIarescircuIoqueinfcri-

* pzx (fiquidem func infcripcilesjjqua; neque folidam

figuram iphaj-

rico inlcripcilem fecum^pfe, autcumalijs fua;velalcenusclaffis,ef-

formanc

nifiimperfeclamcancum.nequeplanumfternuncvelipfa;

incer fe fingula?, Vel cum Scellis fuse claffis, vel fis alcerius circumcirca. IJbinota esic/udifeptangu/umli talia

„

"'.

cum figurii & fleilis claf-

nonobjkinte

qucdbinaparaUela

pptangu/a ve/Jeptemquadratis , vel quatuordecimtriangulis adjuta regulnribus, folidum omninb claudunt,- quia tnntum bina fiptangu/a coticurrunt , fitfyfigura difiifirmis £$ p/anxfimi/is, nequaquam verb glohifermis ,fl>h<xroides Vide in figura ex arefi/. fj.fiq./iteras A. B. Sic etiam excluditur Gfuindecangulum,nonobfiante, qubd a/iquihus angulis cumfiguris cognatis locum inplano .

sxp/a > quia hoc nonfhcit circumcirca ommbus angu/is.

XIV.

A * *"

R O

Ngulorum planoru nori pauciores quam cerni in plano congruuc.

Nam circa quodlihet concurfus puntium efifumma quatuor Reclorum

<angulorum:at nu/liusfigur* angulus xquat fummatn duorum ReBorum,igitur

duo quanticun^anguli , funt adhucminora quatuor reBis: duo igiturnonexp/ent planitiem , per Def. I.

XV.

PROPOSITIO,

Ngulorum planorum non pauciores,quam cerni, ad fblidum angu*

*-Mum formandum congruunc vel affurgunc. ^Bini enim non latenhus tantum,fedtotis planitiebus congrueret , nihi/% de cofporefo/ido compleBerenturrquod efi contra defi angu/ifo/idi ap. Euclidenu,

XVI»

Nulorum

R O

fumma femper eft^redlorum» congruenciuminfblidoeftminorhacfurha.

in plano congruenciumj

^gnunquammajor:

Inp/ano n.nonp/ures 4 reBis unum punBum circumjhnt:ergb cum<equatur fumma 4 reBorum , tunc hiatus nu/lus re/inquitur, £$ perdcf. I.congruenti* tunc efi inplano.Siplanumfiernut angu/i,adfoliditatem non afiurgut.Et vicif fim,J$ angu/iaptati inp/ano rdinquut hiatum,quandofc. funtminores

4 reBut tunc

CoNGRUENTiA LlB> tuxic adduElis duobus lateribus ciria hiatut» ,

gere angulum g? fiolidari.

II;

g? exclttjohiatk, necejfeeji , afiur-

H tyfianeiFol.feqtt. /J >funtpiclitr&

In figura

Pentngoni mplanitiemjtrati &hiantes.

XVII.

RO P O S

Igurairnparilacera,cuJHsap'taWftlrIiiceribus, figuraeduajrumfpe-.

cierum, non poreft aequali forma omnibus angulis concurrere vel

in planc vel in folido.

f^amfit in uno ipfius angulorttm, iJt ejufdem fyecieifigur* utrin^fient t -qusdin cxteris atiguiis ncnfit. Hujusreicausa videfiguram C , typi xneijeq.

XVIII.

PROPOSITiO*

PLanum Idcum perfe£tiflime exptent, Plartaejufdemrigurae tantum Tria, Trigoni feni, Tetragoni quaterni, Hexagoni terni 1 I primihujus , Trigoni angulus eji z tertix Unius rei~H ,Jex

ftlawper

XXXI

z tertiie, idefi-,4 iniegri. Vide D. Sic Tetragoni angulus ejl unus reiius , quatuor ergb quaternorum Tetrd-

ergb axg:Ji fenum Trigonorum, funt

eonorum anguli ,ficiunt quatuorreilos.VtdeE. SicHexagoni-anguius efi otio fexttt uniusreciii tres ergbtrium fi^urarum , fihciunt -24 Jextas id <L<4t Pentagoni a ngulus efi minor He&agonico,- tres ergb eli, 4 refios, vide F. ergb biant. Idem ej} majorTetragonico: quatuov ergb recifsitres minor&s 4 fitnt majores 4 reclis,ergb non capiuntur in uno hco flano,per XVI Pentagonicifunt hujus. Hac decauJavideH,cumquartoPentagonopunciisJignalo. SicHeptaaoni , 6? omnium majorumfigurarum , angulus major efi Hexagonico ; tres ergb HeptMgonkifuperant 4 reStos. Vide I, ubi duortsm Heptngonorumpartes in piaitb tegunt locum eundems,

/)»

£?»

K H,

^on^ruuntt miregularis.

%)idehanccongruentiaminfchematef^.ex<ti'e,LiteraG*

fft

HuceiiamreJbrfiellasexDodecagonoJexangulas , exfeciisfenisradijs: apud literam K\ Venit enim in locum exfeBiradij , cavus anguhts , reBo tres Uliumfieliarum radij , implent ioIgitur tres Tetragonici aqualis. f^am Hexagonus dividitur in takmfkllam gf Jex dimidios Tetra* tunu>.

$pno3.

XIX.

PKOPOStTtO

EXplanisduarumfigurarum impletur

loctts planus Jexies quinque, femel ex quacuor , cer extribus angulia.

;

bis

Sena enim plana coire nonpofiunt{6t eorum unius angulus (it major Trigo* filco:quia primi Trigonici quantitas eji

/kmgtfijhcit iz tertias>Jeu

dm iertia uniusre&iiiUefchoc fexies

4 re^of^Vm igr horum 6 majori exifiente,iM (c^fitfi-

g &

•gur&fit*'

K+

De FigurArum Harmon:

XVl hunts.

$Iurilater<t,fuperaniuf 4 recli: £? tuncplanitiesnonjiernititr, per

r» *f>

^^nd'verbpIariatunccoaerit,JiquatuorTrigonicisjungaturunus;iitquam duos Trigonicos , talts verb ejl Hexagonictts ; fbrma qualis literd L. IJelJitribus trigonicis duo teiragonici jungantur

M. N.

M vel

trigonicos. Forma-qua/is in nitp, qua/is in

}

qua/is in

fc.

;

quia<equant tres a/ios

continue uniformis ; ve/de-

O, difformis continuationis.

GjAtJiTrigonicbsduos, Tetragonicos tres (umpferis , ijjam quatuorretlos Jitperabknt : multb magisjimajoresduoaccerfamur-anguliad duos trigonicos.

^tfiterna verb duorum fpecierum cotunt

ni Hexagonici.

Forma qualis in

fi Trigomcis bints Jungantur bi-

vd quaiis in R.

(JA/iter utcunq^copulaveris quaterna '.femper veiplus effcies,

velminm

qudm qtiatuor reliosi ed^ locump/an um nonjivrnes. TeYnbs

igitftr fiiungamus ,

caventes ne (irii plures ,

quamdux [pecies

mum honpoterunt ejfe dt/o Trigpnici,nec duo Tetragonici duos rebioj, tj) refmquer&tur pro iertio > quod nullusunus

&Jolus impl&t.

que continuatio pojfibilis ; nec admifcentur alij concurfts, ciei

;pri-

non (uperarent enim

%)ko verb inter iernbs Trigonico pofito , congrtixwt duo Dodecagonici

-i

cjl-

Forma hujusp/ani-

videatur /tterd S,

Hucreferfleliam Dodecangu/am \ex eo fundamento , qubd ejus angu/us cavus xquat TrigoniCupt : itaq^ dividuus ejl Dodecagonus in ftellam ?J \z Trigonos ; Ergb quinque Trigonici Z$ duo Radij duarum flellarum coeunt :forma\j>

continuabitis ,ft>ecietur litera T.

Etuno Tetragonico inter iernos afumpto,congruunt dito Ociogonici, eftfy

hdcfbrma: videatur literaV. Huc referjietlam Qciogonicdm, ex eo fundamento , qucdejus angulus ca<vus aquat Tetrdgonicum: ita^ dividuus ejl Oclogonus inJleUam £5? oclo t riangula Tetraqonica Etjic Tetragonici quorum duo efficiunt Tetragohunu,.

tressf duarumjlel/arumradij duo , tmp/ent lo cum :fbrma mixtk 'velaliter etiam mixta, iJt litera T.

continkabilis

£5*

T. 6.

, iit

/itera

Tetragonico ,Ji ad PenteDimiJJisjam in ternis coaptandk , Trigomco gonicum veniamus ,eorumpofuntJttmi duo , quiafuperaritjuntii z refiss : £$ congruit in /ocumreliquum Decagonicus umts:coronatur enim Decagonus Pentagonii decems : Jcd non continuatur pme htecfbrmas. Vide Schema/iterdZ .

interiiii.

.Hucergb refferfle/lam Pentagonicam ,cumjunt Pentngonici tres , e? uni-

usjlelhe radius ; quia cavusjle//^ angu/us capit etiam unum angit/um pentagenicum^non minits, quam Pentagonicorum triumhiatus, captt radiumJleU<x..Videeddem/iteraZexierius. ^gamquam nejic quidem coritinuatiojitccedit in infinitum ; eji enim mfb.

ciahile hujusjeli* regnum,qu<x. paiecis /uorumadfiitis,jfatimfe munitjiccefbr-

^M.

mas has duas etiam ahter, /itera Aa. Quhdfi cojttinuare omninb velis , mmftra qukdam ftnt adjcijcenda , dua ,

Deeagoni interje comniiffi, extritis in tttrot^ biriis Lateribus ;JTt%JeriesJIruc~itt~

quinqmngula etiarriiri infnit^ contmuatione fjtcvt in prima d> angujiifJimd quinquangklarifriejint Decagbni qitinque 3 nullum Moriflrum intermer r<e

diutTLs:

Infecundd /dxto ri,JeriesJineares^Decangu/orum mediantJingulx co-

pula exhirik Decagoriis interje

vstntkijjit i

In iertidjingulorum angu/orum

kc& Hie irtfetainur figuwe «x

CONGRUENTIA LlB. IL [oca occuparitJinguU

copuUex binis Decagonis inter ft•commiffis quasmediat ',

Decagonus Unus :

Ih qitarta (kirit rrirfitm integiri Decagoni in angulis , mediaritfyhinos dngu/osbini Decagoni , difbojiti xqualibus iniervallis'. In quinta fforit /iellx

cumjingulis extremis radijs ihfihgu/is arigulis , imp/ent verb /ineas in medid bin<e commifurk Decaqonorumj, Etjic ,

Inni Decagoni integri

confiquenter, unaqu<tlib&t fbrma quinqftanguld fbrt novi a/iquid. /ahricfiffi/na i$ artificiofiffima

StruBura ejl

vifenda adeandem literam Aa.

Huc etiam rcfbrfleliam Decangulam

At.

in citjtis caVum ahgulum congruit

angu/ns teniztgonii^ viciffim rMifmhi Trideciies,cum binis Pehtagonicis congruunt c? imp/ent iocumfb/idunt^. H<tcfb'rma recipii indqua/es Pentngonos :

& /tcdfit continuabilis Fcrma efi

recipit

tnmen in mediitm vacuos Decagonos hiulcos.

vifenda /itera Bb,

Pen tzigonm ttnus ih terhoritm plariorum copk/am afiumi honpoiefi,nam ej angu/its habx fex quihtas uniusreili,per

XXXliJLib',

„

$'•

^rgb ahgulis duobus

reliquis re/inquerentur 1 4 quintce ,'cui/ibet 7 quint&iqualem riulliifigura habet. ffecfuwipoffunt Hexagoni duo: nam refiduum efl aiam Hexagohi an^ulus

fit

fbrma fuperihs re/ata

cum nos hic quaramus (IruBuras ex duabusfpeciebus,

nonex uritMfpeciei fguris.

PerJequentespluri/aterasjigurds , qmrumanfubtratlis duobus ahgulis a ^reilis , re/inquitur

gu/usmajnr ejl Hexagohico pro re/iquo minus , quxm hdbsi Hexagohicus uno Verb /ubtrdifo , minus relin(juiturpro dnobus re/iquis, quam habentduo Hexagonici. <lAtquidi> ifsfigtiris» q v.€ pauciores ©. minores habentangu/os quitm Hexagbnus ,jam antea trani~ aclummbis ejl, qu<e quutefepojfint, quando teVritJiernunt plariitiem. ,

xx.

r 6

X planis angulis triurri fpecierum, locusplanus cohgrue imple* *~J curquacer. Hic non tolerantur ires p/uresve trigohichfiiciunt enim iresangu/i Trigonici duos reS/os ; relinqniturminw , quam fhcilJumma minimorumipojl il/os , Tetra^mkifc. tf Pentugohici. Ob id nequecluobus Trigonicis fbctandi duo Te1

traqonici, aut majores, quia non relinquerdurJatisff)jcijprodngulofigur<e tertixfpeciei.

Ergb JiTri^ohiciJint duo

£5?

Tetragpnicus unus (bciabitur

iUis

Dodeca*

gonicusi non tzmen eontinuaiur Forma: vide /tteris Cc.Dd.Ee , tresfbrmas,om- Cc>

nes adprimum eafum pertinentes.

Huc eJtiamfiella Dodecagohicd re-fhratur , njtfupra. nki

ISfjtm quatuor Trigo~

unusTetragonicu$S unus Jle/l&radiusimpiebuntlocitrrLs. Eccefbrmas

FECg.Hh,

Ff.Gg.Hh. Trigonicis duofxusfi Pentagonicus itnusjungatur ,refidttum erit incongru-

mn, }Z

decimm. quinttt, nulluienimdngu/ushabet i&decimas quintas.

unus addatur Hexagonictts erit

£?'fbrmaerit

irigbhicis duobus

unaex Juperioribus.

niTrigoni.

Si# refiduus etiam Hexagonicus

}

'JSLoh

poterunt igitur porrb eftebi-

...,•.

Ergbjifit Trigonicm unusfeitres TetrAgohinonaddentur^rimittm enim epnflatur : nec Jpacif Jatis angu/o ierti<efpecieirelihquitur.

oAddantur uhi Trig&nico duo Tetragonici ; in refiduum adquaiuor rcEbos

g «efolijs/j./vf,.

congru-

•»«

De Figurarum Harmon:

$6 7

KL con.gr ust

Hexagonicusiforma dup/ex, Literu Ii continuabi/is ,Kk non contbitt*

dbilisfine mixturd.

Efi% hic cafus fecundus.

Trigoriicus unus cum Pentngenicis duobus nonjungitur

enim hiatus

rcfku.

14 quindecimdrum unius refii ,a/ienus a Regu/arihus ftpuris:neccum Pentngo-

mco uno; rurfurri enimrejkint 32 quindecima, cum nulla regularisfigura habeat ^Squindecimas: nec cum Hex agonicd uno ifaciunt enim z.reclos, ciimnullusfo/us

an^ulusfat Untus; dimidium vero hujusfit quantifas Tetfagonici

deqtto

jam eft aEbwm:nec cumHeptagonico vcl Qtiogonico , ve/ Enneagonico ftngulis; rejlnrent cnim proangu/o tertitz fpecieifigurarum

, vel 40 %) ne&vicefimx , vel qua/es nulla te/ 1 nonA, 6 Regto/aris figurahab&t •llfext&, Ergb Trigonicus unus cum Decagonico uno cbmpofitus , reliri&uit hiatumjt

2 6 qitindecimas > quantus efi Pentekcedecagonicus. tias fed inchoatztfafreniji. ,

Hic efi qitidem congruen-

'N\am Pentek&decagbmts efi impari/atera ;quare

perXVH.

mifcentur diverfz concurfuumfpecies-, in ejufdem figur<e angulis. Decagonus quidem pari numero laterum, prxcingipofiei alternis Trigono {$

•Pentekdcdecagono fedfktiim'4uotaies Pentek&decagoni irijetrattub in&urrunt, ,

Jequsimpediuht. '

TJ/terius

enims.6 '

Tngonicus cum Hendecagonico non potefifungi

Trefittricefirrite,

Denifi, Trigonicus

de qua fbrma jam y

efl

cum Dodecagoriico re/inquithiatumDodecagomcunf»

dicJum> ,, minorfieret hiatus , curride minorh Etficiranfaclum eficumTrigonico;interiresf^ecies dd*

Si Trigonicus majoribusjungeretur

busjam fit dclwm^. '

, reUnquuniur qualem angulum nullafigura Regularis habst.

mittendo.

;€tjpro

Tetragonici anguliplures uno ,ab/ati d jfrecJif ,norirelinquuntfatis 3a^ duarumjpecierum duobus angu/is , quippe quijuntli majbresfierentduo-

fmreElis.

Tetragonicus unus ,junclus urit Pentagonico , relmquit hiaiumpfo Icofij, gdnic»: Sociatur igitur Icofigonus omnibus angu/is,congruit^/egitime : at nort contiriuatitf hic ordo verfus exteriofd. Efiergb corigrueritiaimperfe&fU. Eit

figurdm 4- .

Sitefd L.l.'Hic teftiuseficafiis.

Tetragonicus HexagonicojunBus, hiatum reVtriquit pro 'Dodecagomc9%

Eccefiguram literd Mm: Hic quartus f$ u/timus efi cafits. Huc reprfiellam Dodecdgonicam qudm implent duodecim Trigonv.-vtfic quatuor hic angu/i concurrant ad impiendamfoliditatim,duo Trigomci, Tetra^

gonieus, Hexagonicus,

$ radiusfiiUx.. Eccefiguram Uterd Nn.

Tetragonicus Heptdgoriito ddditus ^relinquit hidtum 11fiptimas,qualer» mgulum nulla habetfigura Regularis. Additus Oclogonico relinquit hUtut» ,

OHogonicunu : de quafbrmafupra e Trarisatfum igituf eficum Tetfagonico. PenMgonicus cum Hexdgonico ,reliriq~uithiatum 22 quindecimas : cum Heptngonico,48 tricefimasqu~intas:Cum Oclogonico,ij decimas,ctlmnuBiuf re«

gu/arufigura

taritus fit aftgu/us%

ilogonico, quiefi ifdecim*.

£jf

jdm hidtus

incipit efie

O» mim* quxfunt

minor angulo

tyltqui fiosjam iltds abfilvimus

•

tum angu/orum. TransaBum igitur efl cumPentngonico. HeXdgOnicus triplex implet /octimplanum , ergo noripbteflmifceri cum duobusje majoribus. EtfictrarKActum efi cum mifiione tTiHmfiguraruvru,.

XXI. Fj%

CoNGRUENTlA LlB,

ff.

PROPOSITIO.

XXI.

QUacuor vel plurium fpecierum figurse planas

.;:

non congruunt afl-

gulisllngulisadimplendum locum folidum. zMinimi enim anguli quatuorfunt hi, Trigomcus, Tetragoniats, Pentagonicus , Hexagonicus, <zAt horum primus £jf ultimus aquant duos reblos , fecundus eftrebius

Tertius verbfuperat

reBumuna

parte quinta unius rebVu

Sunt igiturjuncii majores quatuor rebiis: quateper XVI, non congruunt, Mul* magis igiturfuperabuntur quatuor rebli a majoribus angulis.

AXIOMA,

XXII.

f** UmduoplaninonfuntmajoresterciOj nonformantcuffiiiloart4 gulum folidum»

XXIII.

PROPOSlTIO

V\ Uo anguli plani,flgiirce imparilacenejcum uno fpeciei alcerius co*

*~* euncei, non formanc regulare aliqUod folidum. f^amper XVIII ,angul: Jolidifiant difformes, Contra defdVin

XXIV. TTRes anguli

plani

PROPOSITIO.

triurn diftin£tarum fpeci* figurarum

•* parilaceraijcbeunces,

unius

irfl-

non abfolvuncfiguramfblidam perfe&am.

%urjum enimper XVII, Jo/idifiknt diverfifbrmes , quod efl

contra de-

finitiones t

XXV.

PROPOSITI6

^Ongruenci^FigurarumpIanarumadfoIidamfigUramformanckm^ Sc reguhrcs func quinque» Efijcholionadultimam ultimi Euc/idis. 'bfamper

^perfedtiflima;

musaternU akgulis

£5?

psrXVI,

XV huius '

incipi-

definimus infenisTrigonicis,inqUaternis

Tetragonicis , £? in ternis Hexagonicis , quiaper

XVIL hi xquani 4 recios.

Tres igitur Trigoni,fingulis angulis congruentes

minus quam 4

ideft

duosangulos p/anos reciosejficiunt ; Coaptatis igitur tribustrigonis , hiatus im~ pl&tur quarto Trigono. Hinc Tetrahedron > ve/Pyramk.

^ fi

g fcqufc

tis -

gUatuor Trigoni ,fingulis angulis congruentes ,

efficiunt 8 tertias, quod Oo.» tf u. minus ejt quam 1 z tertU ,feu 4 rebli ifitqUejunblis trigonorum laterib tt Iyra. *' {o1 ie<-' mii, bafi quadrilatera hiantacui ex adverfo a/ia U/is Pwamis fimi/i hiatu con^

gruit} adfiguramundiq,claudendam.HincOciaedron. QuinfyTrigoniffingulis angu/is congtuentes , efficiunt toteriias, quod

tflminusqukm

12 tertiafit^apmis denis (J denis /ateribus ad angulumcom-

munem, Pyramis bafi quincflatera, cujus angu/i

adbafin, Vt ipfifiant quinqueplanij , oportet binis in ea bafiplants , alos ternos angu/osplanos^fic decen\ p p & pas iUisalios quindecim^ congruere , totidemqtte porrigi ahrerfums : Gumfumma 4-fo£fe<i. .

tngintap/anorunu

efldecem Trigonorum^ ; ex quibusinmedioZona velco-

lumn»

Dfi FlGURARUM HaRWLON:

$8 fp."«chi« «uiu. 4,

luntna fit ,hians infta vtfupra,figura quinquangu/ari

Pyramis pentahedrlia iftfigura claudatur Sic

efl transaiium

cum

in quam congruit alfa

uhdiife. Hihc Icojaedron.

Trigonii meris.

Tres Tetragonici anguli ,Jurit tyes reiii ,minus quiim quatuor reiii planh

con^ruunt ergb adfirmandum angu/um folidum , hiant% coagmentati tetragoni ftribus reclis planis angu/is , t$ viciffimextant tresangulitrium iliorunu> planorum : tres igitur alij Tetragoni,finguiis angulis in unumfo/idum congruentes , aptifunt £9 congrui

Q^q & jaum.

hie

quifuis extantibm illos hiatus expleant,Juis% hia-

tibus illos extantes recipiant.

Hinc Hexaedron ve/ Cubus.

GfuttuorTetragonici xquant quatuor reElbs , quareper XVlnonfb/idum quidfirmant. Sie efi transaiium cum letragonismeris. Tr&Pentagonici anguiijuht IS quint£ unius planireiii ,minus quam 20 quintajeu quatuor reiii. congruuntigitur aditnum folidum fvrmandum; qiiodfi Pentagonus unus in bafidngatur hoc paBo quin^ alijs,figurajurjum hiat / an* gulis p/anis pentagonicis , habet^ extantes quin^ angulos p/anos pentagonicos-,. A/ia igitur ex adverjdfigura edfiruenSa, huiusfimiHs; £=f quini aiterutritts a n* '

&hie tum. j. Rr.

gu/ip/ani extnntes congruent in quinos reliqux hiatus, £$ viciffim. Hincnafiir tur Dodecahedron. Tranfafium (icefi cum Pentztgonis meris , £jf'fimui cumfguris omnibus uniusjolius ffeciei coaptandis%quia tresHexagoniciiey XVI.non

afurgunt adjo/idandunis.

Hsc func illa corpora quinque figurxMS» 'Iknae.

qua? figuras mu ndanas appellare Junt foliti Pythagorti ($ Piato , tf Euc/idis comme'rMt(h"Proc/us:qu<£

quomodo

fkerint app/icat<ecorpori-

iwmuridanis,inpr&tiwbuto itbdixi

incertumefie_3.

{fommunh

quidemperjuafioefi ,dut7aeX Ari^ ftotelcj»Phi/ofophos illos adquincj; fimplicia Corpora Mundi refpexip ficundum quinariunu, numerumj>

harumfigurar'um,Jcilicet ad quatuor Eiementa , Ignem, Aerem,Aquam , Terram , tf adficdicTdmj,

Quiniztm Efientiam ,feu Materi-

am cce/efiem

;

comparatufigura-

rum proprietatibus ,

cumfimp/ici9

etm illorum corporum affeBhnib T^am in Cubo reiiitudoJuper bafi *.

quadratafkihiiitatu quandamait-

umbrationHhabet, qiae eademprO' prietasefi (f

MaterU

terrejiris

gravitntismomentis ima petentist

cum etiam totus Terrng/obus vulpo credatur in medio Mundiquief. fiisaduobmoppofitii tertj» Viciffim Ochhedri iongruus eftfitusafteclui, Mguiis velut in tornofufpendatur , ihttr quos mediopracise loceefi laiensqua-

**»*i*

...

CONGRUENTIA LlB.

II.

jkrilaterunLs dividens corpusfigur<e in duo aqualia, ficut globum

a duohus polrs

fufbenfitm dividit maximus circuius : h<eceft qu<edam imago mobiiitntis

eiementorum mobiliffimum eft

fuis contineriierminii

;

£0 „

Sym'_ oluni

ln TetrahedropattcitasplahorumfignaYe vid&tur ficcitztem ignis definitio fit ficcorum

uti aer

& celeriteie & Varietatepiagayunu>.

citrru>

\lQ ^\^

inlcofaedrovkiffim multitudo i_-'mbo..

Icoil *Lanorumfio.narevideturhumidiU'teihaqu.e,cumde'finiaturhumid'm,", aiie- * J J & dron A,^' n , »4 contineri lermints ; ejt qutppe paucms,propYiorum , multitudo adfcitorum qus ty__ Z$ alienorum indicinnL*. Et aliter etiam, Trigbnus planus, eft Tetrahedriproprius , qttia totn Tetraedricafigura eft trigo%us(3Jidtfs idem Verb Trigonus, eft '

N»

lcofae-dri non proprius,fedmuiuatiiius,q'tia Icofaedrifoliditas lis efi

Pentzr^ontfimi-

Rurfium in Tetraedri acumine ab una bafifurgenie

non Tvigoni.

vis

Ignis penetrativa t$ diviforia viddtur adumbrata eficj , in Icofaedriobtufo £jf quinquelineari angulo , vis impleioriahumorun-u ,hoc eft vis bumeffimdi'; inj*

Tetraedri parvitate sf macileritta , hafura ignis; in Icofaedri mole globfirmi > naturaaque, «f quxdam velut figura gutt<e : in TeiYaedro plurimumeftfitpercorporis ,i» leofaedro moles corporea muitb major quam fuperfi.ciei , minimiim ficies

qitemad.-nodum in Ignefbrma pr<eceUii , ih Aqua materieLs* Dodccaedron verb relinquitur corpori aelefli , habens eundemplanorum^

riumerfcn

vvj qxem Zodiacus cccieftisfignt-rum ;demonftratur%rcIiqUarzhhfigrt-< e^or '

tT*

._.—

rarum c.tpaciffima:

*_ quemad.mod.um _.

_f »__s. _. _J

>.-.,.

_/_-_

i-~__

__ & eceiuin canit ~

_./••.

.-. .

/«_—_.

JS.

"_.__. 1

-._

! t

ornrittu,.

H<ec Analogia etfiplaalibilis eft hon quidem Jriftoieli ( quicitm creattnn Mrindam negaret , vim infiguris quantitaiivis J^refs&J^aiem sgnofcere; ;

efie

tum ob quarundam proprietztum difirepantiam in eademanalogra

;

fed etiam-i

cb maiorem convenientiam Dodecaedrt £5? Iccfiedri cttm Igne : denique quid de_s Elementorum nitmero £? quiete Teiiuris\difputatio multb maforeft,quam deha-

rumfiiurarum numero. Ghr.dfihicfiuhfliteruHl Pythagorei , noh reprehendo in hacparte

Ramumi

fion Arftoreiem,qucd hane analogiam difputatiorirbus convitljam rejeceritht. Ai evo ante annos n)iginti qu.ituor lohge aliter h<ec quinque corpora in fhbrica .

mundi indaeavi ; dixique inpr.-eambuio itbri I. mihi videri ccnfenianeum ,'eanQumemiri demdoiirinam etiamVeterumfuifie , fedeccuitzitammorefecl<e. Samij Copernicana,fieuveteris Pythagorici, Arifhrchi haheat Athohomia drfiozrtfintineofex OrbesJeu curricuiiL» , ctrcd fitionemMundimobiiisUiemji corptts fblis incentroimmobiie circumduBa^ , magniscj, £f interfe inxqualibus intervaliis diremptz, , Saiurniextimi, deindelovis , dein Mariis , indc^ ;

cumquefigura-. TeUuris cum LunOs tum IJeneris , denique MercuriJ intimi iumharum quinque^* propria ff> efientialts fit infcriptio in Sph<ericam fuper,

ficienuicuni^angulis

tlf

circumfcriptio circa fyhriricariLzfitpcrficierrLs

cttrfbb

centris planorum adeoque cuiiibetfigur<e certumfit intervaUmn interCuos hi;

nos orles

nihilplaujibilius videripotuit, qrtamfex illsrum c<*leftium

orbhfn^ h;tir~

oe-

\V'h_> iyiE-b.T-

Dh Figurarum Harmon:

60 RefpiccaJ

intervdUa quinque,ex quinquefiguris efie dejitmpta aCreatorCj ;hocordint* vt cubm mente concipiatur inter Orbes Satutni tf Jovis, Titraedron inter Jo^y. cap .m. vis Martis, Dodecaedren inter Martis £jf Terrx, Icofaedron inttr TcUuris i,

'Ueneris, Oitaedron inter "Veneris

£j?

Mercurij.

H*c diflrib Htio numeris explorariputefl , neceffitzitem infkrt

corporurrL»

numerum non conquirit anxie ,flcdinventum otckpat, ; deniqueficeflinflruiia, dnnis vigihtiduobm non tntitum nullum invenerit oppugnatorem , Jed etiam ipfios Rami incohfiderati Magiflri ff Eucliieomafligis dfcipulospertraxerit ; hodiequelnm muftos peVtrahat , ftjam diidum fecundam edttionem flagiteverint Mdthematici. Sed de hac re pturihusag ere ,nonefl hujus Jecundi irt ab hii

libri ; inveniet leclor infra iibro qriintopiura \ aliqua etiam in Epitomes Jfironomi<eItbro IV.ubidrtmharumquirit^folidaVumJigiirarum geriUinm explica-

turmetnphyfice:

nam iUe per anguldtttfhef; norivere tirtmefl^fe&ofiasconjequif

tur i ift naturapqfliritis quid.

Yxvi X

ropo

Ddipoflimt congruentijs perfe&ifllmis regularibus dua^etiare a,

**-liae congruentia?, ftellarum duodecim planarum Peritagonicarum: &duaj{emifolids, ftellarum O&angulae , Deeangutee. ClauduntcnimperitHgonicx folidasfiguras aculeatasimdi^: quarumund c .. r hb.v .cxpl fit duodecim angulorumquihqueiinearium yaliera viginti ringulorum iri/ine-

Twn typis arium »ri&£

iUatrinisangu/is

iUapulchriusJuper ahguium

infiflit; 'htecquinlsfimui;

In hU etfi fbrihfecm noh apparet regu/dre plarium, fidejm loco Triangulum eequicrtiriim PenUgonicum; erigitur; hxctecliits fedet

;

'tncumberisin quinos.

quina istmen hujmmodijcmper in unum idemq, p/anum competcntia ; occitltum fitb fo/idiiate quinquangulurruH ve/uti corfiiiim circumfkint ; Jhciunt^cumeo dic%mfleUamp'entagonicarii,fisiGit'mdhico Idiomdlc ypidem Trutt*. , Theophraflo Pardcelfofigriumfariiiatis.. ;}dedcorporisqu6dammcdoeddemefl

JuiPlahi;r j\jbm

"Vt irihoc

,fi.

;

qu*

infleUa quinquahgula ,binbrum femper irian-

gulorum laterain unam reblam competunt , qitt partejui interidrefit bafisurit exterioritriangulo , latm verb intimo quinquangulo ific infoiido, femperquinorumfo/idorum arigu/orum Triangu/afingula eequicrura ; competunt in itnam planitieriUi,

quorkm'quin%'triangu/orumJeufleUiZ ihtiwa meduUa

& cor,quin-

quangu/um,fiibdfis ihunajupfrjfahiisarigui^^

quin% folidorums.

Eflaiitemtknts, cognatiofigurarum harum ,

decaedro , alterim cum 'lcofaedro :

i/t

unim cum Do-

videaniur hx , prxferiimDodecaedroKJ »

$ miitila ificum aculeatucompdrcntur. OSfenguite verb & Decdngu/dfteUte laterib 'Juorumradiorum,qu<eJem-

trsmca quodammodo

iUis

fer in primo c/ quarto,duobm irdnsitis , congruuhi ih unam recTdm, bin<e femper

ri fzecefle

efl,

qui c/aitdi noh petefl.

Ergbf Xhfmifo/ida irihtum efl coh#ruentia ¥

Perfecliffima dicuntur congruentt*,iU*fiiid*,hdfimiJoiid<e i quia petit Vl,definitiohujm lib- quoadjoliditdtemiplanitiebm verb

rpfis comi

deipfis competit

finitiofiguraperfecl<e; qhkefi libro I.fecunda,funifc. fecundario perfeitx*

dbfurde dicimm,femtfoitdam pefpiiijfimam , quia eui

Nee

innuimm incheari aliquid

mn JXvel Xfed cui yWef.competeretfiperficipofiet,

X X Vlfc

GONOROENTIA LlB. tt XXVII. PROPOStTIO.

COngruuntetiam adfolidandasfiguras,ferbiregulares figuf^ici* licet Rhombi plani,peff e&iffime,idque cahtum bis>

%w« dmdecimptanisRhombis

;

cerix pHportibnis DiagohidrUm ,fit

Rhombusfo/idus ,figuraceliulx Apiarix , quantumadlaterafex, g? fundum-a triangularemfo/idums : fihcehimRhombicongraentesfic, irtobtufibbtufist acutiacutis app/icentkr*, treshaheritobtufahguloshiatus

cut-erum txtantiafupra, tetidemque infra.

, triattiam pariaaQorigruunt igiturtrium utrin- ^"

lalD

r que Rhomborum , dbtufis conjunilorumternxtmineritix; in hiatus , recipiuntvL n |r _ hiatibus illorumeminehtias'. *fuis 'De hat _j te= >. _,, _. v ^, ,

Sictrtgihta

•

Khombi piant , proporhonis Diagohofum

attertus

fhciunt mmfuprfc

;

Rhombum folidum "Triacontaedri>j «_ d <«»!_ gwim entm _T ^///?z/ Kbom', -

•

*°'

9 ' "*

Dcf V.

hf angu/is acutis conjuncii, ad effigiandos dws fclidos ex opfofitis Xx &h ptagtsjkintes; ciim hient apud obtu Egura m»

y« conjuncios>quiriorum _f quino]r„;„

01*

Rhomborum obtufis a/i/s , im-

p/enthiatus

denique in utriusque

&e/utitefix medio , Zona e-x-decem Rhonibicis compbftta xiitumit , cbhjungehs %tra'mq; tefhm.

T^onefeverb p/urespcrfbcias Rhomberum congruentias ; jftc probaiur. Sunt enim duo anguli plani Rhombiciacuti , ~duo obtufi ; quorumfemper acutus unus _? unus obiufus fkciunt duos recios : necptures iribus obfufis congruunt nefuperent quatuorrecios*

fffhtodfiergb tresfo/itm acutosconjunxeris ,fitifc

tn Cubo , Hexahedron Rhombicum ,cum duobusfo/itm fotidis acutis ,/ongiffim^ diflantibus ; cxterifo/idi in medio torporis non tnritum •difhint : nonfervantuf ipitur leges definitionis VIII , qux non admittit duos fo/os angu/os ineadeni Prxterea ex fex fo/idis obtufis quilibet claud.it ur a duobus obtufisplafahxra. Ergb non nis _? itno acuto ; qux irregularitasrurfum efl contra definitiones. tres tnntumptani acuti coiredebent. At aequefex avuti,toiidemfci/icet Rhom-

lorum, coeunt.

Si enimfin^uti habent quaritiuttm z ttrtias unius Recti , ob-

tufihabebttnt duplam quarititztiem , fcilic&t 4 tertias: &Jic tnm ires obtufi quhm fex acutifbrmabitnt 4 ReBos , riecvel illiTJe/hifbrmabunt angu/um foSin autem dcuti lidurn-DjfedflerneritcontinUamplaniiiem^VtinfiguraG^ truni, _f maiores , iresfuperabunt recios. Erobiufi quaiuor fumaniur minores gb dux tantumfunt perfbciiffimtz Rhombicxcongruentix : Una , ih quaquatuor a cuit anguli Rhombici coearit in fff/idum ; a/tera ; iri qua quinque : quibus tatnen affociatur Cubus , t&nqUamRhomborum omnium principium, quiaplanum vt Rhbmbicdrumj. ipfius efl faterum xqua/ium quatuor, '

XXVIIt.

PfcOPOSITIfJ*

Erfe-tacinfolidocohgruentijegradus inferioriSjfpecies fum tredeeim; ex quibus credecim oriuncur ArchimedeaCbrporai

h _

Qum

XI.II.Aa.

£2 y'^_

FiguraruM Marmon: De.... ,

(Jui/nehimmifieanturinhQcgradufigurAd^

^Uodfi\duarum > tunc

mifiebuniurautdudrkmauitrium^ecierumfigur^ intereasvetJuhtTrigoniveihonJunt.

Igrex Trigohis £•? Teiragohisfiuntjolidatriafquibusquidem deflX.com* peMt. f>[am iUa rejicitfirmas hafce tres,in quibusfolidum angulum ciaudunt t cumuho Tetragonico plano arigttlo,Um duo} quamtres plani Trigoniciyaut cum duobusTeiragoriicis , unusTrigonicus ; quia inpYtmoxaJu unus folus Tetragonus efijfitiftdimidiumQcTsiedriiS ahgulifbiidifunt diVerfifirmesxinficurido duo

Oo,;

foli Tetragohiyin iertio duofiti Trigoht: qu&v ,funt imperfifia. congruentia. c Primum » R\eJHlnt ergb modi ki , in qtiibus angitlumfilidum claudunt 1 tani, f.

Ci&us

fmiu.

on quatuor Trigonici tf unus Teiragonicus. Suntenimminores 4 refiis. gruuntigitur fix Tetragoni £J* Triginta duo (idefi\zo $$ iz.)TrigonhS$ fit fi-

gura Triacohtaocrohedrica,quod appelio Cubumfimum. Hic in fchemate fequen^ tififiusefi

Numero iz»

Qitpz%enim Irigoniciplahi

$ uhus Tetragonicusfuperant quatuor redebeant ad joiidums ctaudendum efie minores quatucr tios

cum

refiis

per

XVL

duo Tetragomct, Tres verb Trigonic i £3* di&o Tetragonicijhciunt quatucr refios. Securidbduo Trigonici tf dua vr Trigonici

Rh.Cu&

e&aedrows

Sic eiiam quatu *

£5?

Tetragonici minus habeni qttatuor

refiu

Hic igitur congruunt

Trigoni

& fex

mandum unum IIT.RhesU l»ici

Cubcto

iftaedroi»

'dron

ofio

Tetragoni adfirTefiareskxdecae-

quod cubo&aedtoh

af>pello.

Pifiumefi hic num:oc~bvo.Du6 verbTtigonicicumiribus Tetragoni'cisfupierkni ^

refios.

Tertibtmus Tri^onicus tf tres

Tetragohiciminus habent 4.refits

Hicergbcongruuntofio Triangu-

6)qua-~ la ef ofiodecim{ideft\i drangulas j adunum Tcofthexae-

dron , quodappelldfefium Rhombt* Cubofiaedricum: vei Rhombicub*tfstedron. Pifius eft hic numero fyj

Jhhtsigrtribui/unt Tetragof

nijuxtaTrigonos : Jequiturvt

fc/'

Pentagpnicos i/sficrfimafibciemiis.

^uihfyplani Trigonicijuxta unum PenUgonicumnonftint , quiane% juxtzi minoremeO)Tetragonicum,fiarepoterant.

^uatitor ergb Trigonici, cum

uno Pentagonico , mihus efficiunt 4 retfis , i$ congruunt ofiogintst (idefl 20.& Ennenecontnkadyhe^ iV.Bodeca tyfrigoniycum duodecim Pentngonts j ad Jbrmandam ~

tdron fima

droh ,quodappetlo Dodecaedronfithumi Pirigiturhic numero 13. Et inhocordi-

HifimorHmtUofaedronpofaepteHiumiquodefiquafiTetraedrenfim Trei

CoNGRUENTlA LlB*

ff.

«>5

Tresplanos Trigonicosfi itni Pehiagohico afovdveris ,fii qitodjuprh, vt

Pyramis,partes Icofdfdti:nec dngrt/if/idifunt kic ejiisdemjpeciei,qiiia 'itniis amhitut

i/t ih Icojiedto

quihque Trigonicis\

Et transaBum efi cum unico Pen-

tngohicb.

<LAt ires Trigonici cum duohtis Penthgonicis p/us efficiitni h reiiis. TrarisV.Tcofid^ y dilum igitur efl cam irihusTrigoriicis infocietatemPenthgonicorum adfcifiendis. de c aheDuo Trigonici citm duobus Pentrigohicis mihus efficiunt 4 Reiiis. xfjongru- ^cm. j

unt igititr vigihti Trigoni Qf dkodecim Pentagoni in urium Tria'contz'k&dyhedron, quodappetto lcofidodecahedroh. Pihgitur hic Nitmeto 9 . Citm uho Penttigonico duOs Trigonico-sjam rejicimus , TransaBitmigr efl cum duobus Trigonis.

linus Trigohicus cum ttihus Pentngonicis plus qitam 4 retlos ejficit daohus verb per XXIII. hihi/iegu/are

Sicfy irarisaciAm eft cum Penthgohis ih fociethie

taJ.

cum

qitih Penthg^ohus eflfigura irupari/ate-

Trigohici qitatubt cum uno Hexagohico ,

£*f dtto

TfigonuVum.

ium duobus Hexdgbhick

imvletpiamtiemiattrsscumduohitsfunimajotes4retlisjCumunoHexao6hicoduosfiiosHexagonoiihfiguramrecipiuntirejeci^igrtrihusTrigohicis,dtidfuni <s.qiiales itni

Hexagohico , quare rejecii pei XXII.

cum duohus Hexagohicii

copuletuf:

Itittfe

^R^efHit irt itnus

Trigohicus

cohgruitnt quaiitor Trigoni cum qlta-

tuor Hexagohis in uhitm Oifaedrch , ifuodappetto Triiricum Tetraedroh; pittit

Nitmtfo zfbl.jequehti.

Trigoniciquatuor

Pin-

~i$

& vou *f?l

eum.

„

cum uno Hepiagohico

mdjorihus , fufserahi 4 reffos i

nutta igiturporrb menHoJhcieridaeflquat&orTrigonicorum:nutta ttiam triumy oh cauftsfiepe attegatas : duo verb aimfigrtrarum Hexagmo

majoftm binispla-

cum cum ithb pla nopgitr& majoris , qfiia ifli faperantur ab hpc qubd rejeiium ejl ax\ XXII. ^Refklt ixaminaridus hic cafm cumitnm Trigoniius duohus planis f$urk ma]orisHexagohacopitlatur:atqui cum ditohus Heptztgonicis rejiviturfer XXlII. vi £5 c i*?n omhium impatilariU, fuperant^

reiios

: riittta

igitut neq, duorumporrb eflfacienda mehtio ;

bin is pla nisfi^tir*. majoyis > nec duotuth

ierarum duobus ) citm duobus vcrb

Qctd%priicis,fit corpus, in qiio cohgruuni ocib ^.

•

TrigohiW fex OHogoni ihtthiim Tefarak<edecahcdroru>, qitod appettoCubum uuncus. Truncum.Ejusfiguramhabesjighahtm Numii.fbl.ferf. Cum duobus Decagonicis ;fit corpus,

in quo congruuni viginti Trigoni

& 12 Dccagohi,in iinum Trid-

contirkdidyhedroh qitod Appetto Tr-uhcum Dodecaedron. ,

figitrisfequerites

filidus angulus

Idfignatumefliriter

Num.j.Cumdmbsts Dodecagoriicis impldur pJahities , riecfit multbq,mihus cnm majoribus. Eiiransdciumejl ih univer-

VITT.

boi

aecaedroh

fum cum Trieonis : in dualitzite fyuidem fpecierum. Citm ergb

inter hinds p/anoritmjpecies non ampUusfitnt TrigonUminimtt

pirrb figura erii TetragonuL

ni angulofuperant 4

^Atqui Tetragonici tres , ctim uno majoris p/a-

reclos:\dud verb Tetragonici citm iiho mdjoris,hon ioleran-

tur, oh definiiionem IX, quia mdjotis Jpecieifigurte istntum dux reciperentur in JolidumfUnus igr Tetrd^onictis cum duohus Penthgonicis rejiciturper XXIII: citm duobus Hexagonicis coii , £?* congruuntjex Tetragoni cum oclo Hexdgonis in unttm Tefardk&deidedroh ; quod Appetto Truncum OEkiedron , Pingittirnu-

.->

dr u

fnkio S fequehtiifiheMdiis.VhiisTeiragohicus cumduobusHeptdgohicisdii/s-, cum.

«a-

£4

Harmon:

Dfi Fiourarum

ptr XXIII»cumduobwOc~i6gonicis , p/anutA kcum imp/et: cum majoribm eiiamjuperat 4 rectos; nec afiurgit adjo/idum anqfte imparilaterarumrejkitur

gulum firmandums.

Ita traiwatiumefi

cum Tetragono , cum duxfo/a. deberii

tfic p/anorumfpecies.

Duo Pentngonici cumunoHexdgtihiCo dut quocuri/fc d/io unicorejetlitiur» quid inchoant, per XXIII, quodfitprd etiamdeTrigonico & Tetrdgonico cum Injuper cum UKoDecagonicop/ariiiiemJter* %'mis Pentagonicis ufurpavimm. illo nec cum aul majoribus afurgunt infoliditatehu>. nunt , K. t;run«umlcofi-

IJnus ergb FenWgonicus cum duobus Hexagonicis minusfhcit 4 retlis; eongrumt dmdecim Pentagonicum^viginti Hexagonis in urittmTriacontak*.

'Q* *'

•dybedrori

-quodappel/o

Truncum

Icofihedron. Formam habesJignaJ* tam numevo '4 Necptura expe.

!l\[dmunus ihndadPcktngoho. cumduobusHeptzigom' Pentngokus cisjamfuperat 4.rettos.

Hexagonitmcum dtiobus dlijs , cum majoribm

imp/dt p/anitiem

fuperat 4 reclos. Itaq^hicfinti

efi

mixtorumex duabusjpeciebus. Qupdjitriumfpecierum P/an* eoncurrere pofurit adknum anguIumJolid~umj>

Primumdnguliduo

ptdni,unus Teffagont, alter Pentt*

gonifuperant i retl os imajores his,, mukbmagis : irei verb Trigom^.

vum

trium, aquant zrehlos : ne~ yueunt igr tres Trigoniciadmittii

hejummaomniu (uperot 4 reBos. Duo verb Trigonici cum uno Tetragonico (f uno Pentxgonico vel pro eo Hexagonico , aut quocunqoe majori,rejiciuntur,per pr.XXlH»

quia Tfigonus hnpari/ateraffgur* cingideberet Tetragonotf Pentsf-

gono , ve/pro eo Hexagono £JV» #cr.RhoaA Scofidode-

^*"•a

•

*V»m igitur Trigohtcm eum duohm Tetragonicis (f Uno Pentagonico, «/• ntu efficiunt 4 reBis , £j congruunt zo Trigonichm je Tetragonisfs iz Pentagonis,in unum Hexacontadyhedroh , quodappe/lo Rhombico(idodecaedron,feu (eftum BJhombum Icofidodecaedricum. Pingiturnum. 71.fi/» aritecedentis Vnus Trigonicus , duo Tetragonici , cum Uno Hexagonico,aquant reifoj quatuor i cum uno majori ,/uperant hecadfolidum dfurgknt. Mittamm igi\ tmr duos Tetragonicos. i

,•

Vnus Trigoriicusjunm Tetragonicus,(fduo Pehtagonicijuperahi 4 reUoy, mukotfe magujibini majores p/ani angutt admifcerentur. Definurit igitur mifZ teri angu/ip/ani quatemi adfirmandum unumfolidum dejinit ergb (tf Trigou ;

^m ingredi mixturam trip/icim^. t{gmm*u Trigonim* unm TetragonL sussi

CONGRUENTIA LlB. ,,.,,......

II.

•

;..

c«r cJ* unus pentagonicuSyaut quicun% alius hujus loco, 'rejiciutiturper XXIV, auiatrigonusefiimparilaterafigura^. Citm igiturporrbfitit iresjolum anguli plani-.nuUa ititerfiguras toleratuf imparilatcra , per eanaem XXIX.

" OBdgonicominimis ,minusfii- x ^ ub Congruurit 'iz TetragOni.S Hexagoni, 6 OBogohi, in unum uuncum. cittnt 4 reclisi QtboBstedrohs : non qubd fruncatione Icofihexaedron ,quod appeUo truhcum

Tetragonicusigitur,cumHexagonico

£=f

najcipojfit ifid quiafimileefi iruhcdto Cubdffaedrb. Pirigiturhum. 6.

Tetra\onicus cum Hexagonico

y becagohico

minus 4 reBisefficiunt

i§ congruunt 30 Tet'ragohiy2.oH.eXagoni^ \z DeCagoni,inutium HeXacontAdyhedron , quod appcUoirunCum lcofidcdecaedrotis, fimi/ide caufa inproxi-

XIII.

mum.Pingitur'num.7.

cum.

...,-...

-,.

Sipro becdtynicofuccedat injocietatem Dodecagonicus; implentur 4 retli,

aliquis , necfitfolidumificetiamfiproHexagonicofuccedatOBogonicus , OBogonico mdior ,fit tertius ijitperahiur 4 retli: nec mimi* ,fi abfit Teiragoni'

diftinBarumfigurarumpdrilaterarum 'majores, Igitut j.quoderat Jrchimedeorumjumilikihtrarium, 'demonfirdndumj. 1 fiat omnis ctts

fjfjociehtur tres

CONSECfARIUMi

XXIX.

cohgruae func in uhiverfurri duodecim , b&o Radicales (eii quacuor au&ae feu Scellae. Dodecagbriiis Trigonus i. 'f. 8- Icofigonus 1. Tecragonus. ScellaPentagonica, Pencagonus 9. 3, ^Sfeila O&ogonica JHexdgoniis io, 4.

Flgurae

Primae>

5^.

Ocidgohus Decagonus

11. Steila 'tz-

Decagoniea Dodecagohica.

Seella

Gradus corighienciae diftin£ti {urit.Iri primo func Trigohus & Te* traoonusyquia congruunttam infolido, quam inplano , tamfing/tlarumjpecie* „ _ rum interfe qudm junBarum, & cum alijs. ,

Secuhhgradu

Confifiuni Pentng6nW'citmfleUafua.

T^jtm congruunt

in folido: z§ tradunt mutuas operas inplano

: fed Jingularumjpecierxm inter , potior efi Pbntdfonus , quia congruit Btiamcumalijs nonnuUistaminplano ,

q-tam injdlido.

' .

„

Tertius eft Hexagoni i quitifigurk hujusjpecieicongruunt inplano alijs

cunts»

'verbtamin folidp quaminpianb.

Qjuartum gradumienentOBogonus gf Decagohu.icumfteUis fitis^ Nam Radica les iUa,cum alijs nonnuUis Cbngruunt infolido,(leU<x. verb cumfigurisfingularumfytcierum quadamtenus : ihplano 'Verb omnes quatuor congruunt cum ahjs, megis tameh varie magis^perpB^ OBvgonicaJet~fa\ 6)uintus gradus habei Dcdecdgotiiim cumftellafua ; quia infolido quidem '

m in me ,at'm plano multifariam coHgruunt cum aiijs :

nttudine impediuntur.

;

'in

fdlido igiturfola

mag-

Causa plahitiei prxpiretidaeft hdc feBs.gradtti quarto^

%Jltimusgr*dus eft Icofigoni, quia is non tiifiinplano,necnificHni alys, cumtUisipfijquofrimperfeBecongruiti

£j?

*" docl

Uocca"

ctiron tiu-

De Figurarum Harmon:

hfpdfifd/am confideremus Planititm , Ordofigurarum crit ifle. i. Hexagonus. z.Tetragonus. j.Trigonus. 4,Dodecagonus. f.Ste/laejus. 6.0clogonus. ?. Stellaejus, t, Pehtagonus. p. SteUaejus. lo.Decagonus. n. Stellaejus.

12. Ico/igonus.

Omnes aliae figurae func in eortgrUa^proximus camen congruenri» Pentekxdecagonus , quia incipit congruere cum alijs inp/ano ; at exc/uditur efl perXXlII.quominuszttlcofigonus, cingiundit^tsquaiiterpojfit. Fofl illttm eftfigura 16 laterum ^fimties , qux plane non congruunt cttm regularibus alijsi impediente magnitudine angulorum, At Heptagonus gsfimiles longe alias rationejitnt incongruxfigurx, quia nec toti anguli , nec partes

angulorum

a/i-

auol& , proprittfigurarum , cum a/ifs reguiaribus congruunt. Ita in tribusperje demonfirabtlium c/ajjibus definit congruentia, in OcJo*

%pno, DodecagonOy lcofigono , in quart ojfi&rio 'ne incepit qttidem, tixc libro

in de/eclu Afj>ec3uumfuum ufitm habenU

SECTARIUM.

G O N

XXX.

X his genuirtum difcrimen apparec incer dernonftracionem &: congruenciam figurarum causa lacicudirtis. fj^am i. Demonflrationis propria gradus ultra Oclogonum Decagonum Dodecagonum , infiguras dup/orum laterum in infinitum excurrunt Congrai. Peniagonus vttmftelld sntia in OBogono , Icofigono , Dodecagono (ubfiflti. 'Lj'

fua, causa demonftrationis $Jcien ti<e,

efi

ignohiliorDodecagono : causacongrw-

Pentngonum ,hic tzmeh sntec edit. 4 tiekk&decagonus ibi eratpotiore loco, qudm Itofigpnus: i-Ha eftfiguraincongrua ,h<ec congrm quadamtenus. f. lAt in Pentek&decaenti<ein(olido,eftmu/tonobi/ior,

Oclogonus

ibifiqtlitttr

gonoputchraefi reiutrius^ convenientia , analooiamferVans eandem: quia in~ ter demonflrationes nulla illi obvenitprbpria,(eaaccidehta¥ia faltem ; inter vf* fi eongruentias nuSa cenjummata ,fedaliquafaltem inchoata , nec totttm

figur»m tccupam.

Hac infra /ibro III, in ortu & ttjujemitonij Jitnt mtanda^.

£INI8

$9g«j

m HK« H

IIBBLI

n«vo k Aipliabeti & Nuihrii foliarum i0U9 pltBfif itfm im prsffio pis

•.

«jui* a» *••

fw feftwn.

$om

IO.

KEPLERI

Harmonices Mundi

LlBERllL

DE ORTU PROPORTIONUM HARMONICARUM, DEQJiE Natura & differentijs rerum ad Gantum pertinentium.

Proclvs DiadocMvs Lib: I.Convinl. ElemcntotumEudidis multas fit comflexafacultates , mu&as& MathetnaticA; de \na tjuidem hujusfarte HarmmicediSa , defy Nmntrit ( HarmorttarumprincipifS creditu~)hM

Cum fhHofipbia

/criiit.

Ad Theologiam

prajparacMencisconacus.

Nam eaquas &

fton Initiatis circa reritatem reru diviriarum videntur cffe captu difficilia fublimioiine contro* ra, illa Mathcmaticis Rationibusdemonfttantur eflefida mariifefta

erfia, perquafdam Imagines.

NamProprieratumfupeieflemialium evidentiam dÂť ftenduntinNumeris: & qua: fintlntelledtUaJiumFormarum Poteftates,inRatiocinati~ vis clarum efHciunt. Ita^ Plato multa mirabiliadeNatura Deorum nos per jpecies rerum Math ematicarum cdocet; ScPythagorica Philolbphia , his ceu velis obtiubit inftitutioncm de rebus divinis. Hujus enim generis eft univerfus ille $E R S A C E R, & Philolaus in Bacchis , & tota Pythagorx ratio docendi de Deo. Rurlum ad Moralem philofophiam nos perficit , implantans noftris'moribus Ordinem, decentiam & converfationem Harmonicam j tradit etiara , qusefigura:, qua:Cantilenx>quiMotusvHtutem deceanr: qua do<ftrina etiam Athenxus cxcoli Se perfici vult eos, quivirtutibus Moialibusab adolefcentia daturi funtoperam. Quia ctiamproportionesNumerorum.virtutibus familiares, explanat , alias quidem arithmeticas, alias Gcometricas, alias Harmonicas; oftendit & Vitiorum. Exceflus Defcctus^ , quibus omnibus dirigimur ad mediocritatem Mo-

lum, Si decentiam.

LIBER

III.

DE ORTV PROPORTIONVM HARMONICARVM, DEQVE Natura & differentijs rerum ad Cantum pertmencium.

A&enus Naturam rentm fecuti, primum de Figuris Plams Regularibus diximus;

deinde ad earum Congruencias cranfivimus. Infequencibus derogandueric nonnihilMechodo Nacuralj; uccognicio mencis humana:, quajnonrard viadiverfa ucicur, canco magis ad'juvecur. Hoc enim nacurareirequirebac,uc jam cercioloco explicaremus propcrciones ia abftraÂŁto illas, quse incer circulum &parcem alaterequolibet refciffam conftituuntur; quae alia; rerum fpecies oriantur ex com1

pofitione

& & divifione taliumproporcionum:cumquarcoloco tranf-

iremus ad opera mundana, quse vel Deus ipfe Creator ad hujusmodj proportiones accemperavic, veiNatura fublunarisadprsefcripcum proportionum talium, inAngulisradiorum fideralium quotidie exercet: ultimo verdfubjungeremus Muficam humanam, oftendences> quomodo Mens humana, judicium audicus informans, inftinftu naturaliCreacoremimicecur,deleftu &approbacione proporcionum invocibusearundem,quaeDeoplacueruncin attemperacione motuum cceleftium. Quia vero difflcile eft , Proportionum Harmonicarum difterencias , Genera, Modofq; abftrahere mence a vocibus &fonisMuficalibus> cumnonalianobisfuppecancvocabula, rebus explicandis neceflaria, quamMufica:ideoconjungendus nobis erit inhoclibrolocustertius cum quinto ultimo, dicendumq; non

fedeciam prsoccupandum hoc humanum creat;onis imicamencum in cancu ; Creaincredibilicacem tionis vero ccelorum opus , proper fublimicacem difFerendum inlocum ulcimum ,ordine illo, qui in ciculo libripraefcripcus eft. Ec haec dc ordine dicendorura-

tancumde Proporcionibus Harmonicis abftra&is

Jamut cfphlfofo"

phiadevi^ nttmcroru.

contraria inter

oppofita magis elucefcant

lubet

difputationem de cantu humano aufpicarj acommemorationeeorum, quae veteresfuperortu confonantiarum funt commentj. Nimirum ficuc eft comparatum in rebus omnibus humanis > ut quae Natura nobis funt tributa; lnijsufuscognitionem caufarum antevercac.-ficeciam circaCantum generihumanoufuvenir, utindc ab ortufuo, modulis intervallis vocumfine fpeculacione aut cognicionecaufarumucerecurijfdern,quibus ucimur hodie vulgo , in

ducan-

Harmonicis

Lib. III.

decancacione Melodiarum, non cancum in Templis choris Muficorum, fedpaflim fine exercicacione arcis,eciam incompicis agris. ApparechaecanciquicasCancus exlibroprimo Genefeos. Magnam enim oporcuic effe deledtacionem ex Cancu vocis humanae(cum

vero deleclacionemdico y intervalladicoHarmonica&Concinna ) qusejamoclavum ab Adanio Iubalem permovit , uc Cancus homi-

num brucis inftntmentis imicari difceret, docerecque.

Nifi fallor, Iu-

balhicApollo cft, levi mucacione licerarum, qui fracrem Iabelem pecuariÂŤauchbrem,fiftulaq;agreftigaudenrem(PanaDeum a Graecis credicumj Cycharae repercas claro cinnicu fuperavic, maceriam chordarumaTubal-caino fracreiquiriobis exnominis allufione Vulcanuseftb, mucuacus,

Vccunq; camen anciquaficCancushumaniforma/exintervallisconfbnis velconcinniscorripofitar caufae ramen incervallorum latuerunchorriines,- adeo uc ance Pychagoramne quaererencur quidem ; qucefitas per duo millia annorum , primus ego , nifi fallor, e-

xadtiflime proferam.

PririiusquidemfercurPychagoraS , cumapudofficinam ferramalleoriim harmonice concemperacos animadverciflec , deprehendifTedifferenciarri fonorum efleex magnicudinemalleorum, ucmagnigravesfonosederent,parviacutos. Cum aucem intermagnicudinesfpectetur prOprieproporcio:menfusmalleos,proporcionesfacile animadVercit, quibus harmonica vocum intervalla eonfticuerencur, &quibus diflona; quibus Concinna, Scacirri enini a rrialleis ad chordarum tranfquibus Inconcinna* ividongicudiries; ubi aures exadtiusindicanc, quaeparces chordae riarri cranftrec, fonbfq,-

cum cocacorifoneric

qii*eab illa diffonent.

Prbporcionibus cercis repercis , uc <m

o Tl,

fupererac

uc eciam

caufae,feuTO t^loTh indagarencur, curhaeproporciones concinna, fuavia, confonaq; incervalla

vocum

, aliae proporciones Ec icum fuic per annos diffona , abhorrencia ab auribus, mfueca. bismilleinhanc fencenciam, caufas pecendas a propriecacibus ipfarumproporcionum,ucillas concinencurfubrermims quancicacis difcrecae,fcilicecNumerorum. VideruncenimPychagorej , perfedcas confticui harmonias , fi chordae aeque cenfae proporcionem habeanc incer felongicudinisduplam, ficriplam, &fi quadruplam, incer numeros 1.2.&1.3.&1.4. Qu<e proporciones dicuncur in Arichmetica, Mulciplices. Rurfum pauld imperfectiores effe confonancias chordarum, quae faciuncproporcionem fefquialceram, Hemiholi-

definirenc

am,-

efquiterciam, Epicricomfc. incer numeros

2. 3*

4ÂŤ quae dua;

proporciones conjunclae, faciunt proporcionem duplam , incer numeros 2. 4. vel 1.2. minor vero, incer ^. 4. ablaca a majori 2. 3. relinquebac fefquio&avam > incor 8, 9. Ec cantum deprehenderunc effe intervallum z

De Proportionibus

tervallumToni, ufitaciflimum in omni cantu. Acqui numerus 8. efi; cubus de 2. & numerus 9. eftquadracum de 3. Iam lgicur hi eranc in 2 \. 4. <5. 9. promptunumeri ),z- 3.4. 8-9. Cumautem eadem umtas fic & qua•* ls,lS z7 *dracumfuum J &cubus,Binariusverd quadratum fuum haberet 4. cubum 8- Ternarioeciampra:ter quadracump, adjunxerunccubu fuum 27. quod exiftimarenc , ad cubos ufq; progrediendum efle , propcerea, quddWiundus cocus & vocalia omnia,non fuperflciebus conftarencinanibus,fedfolidis corporibus. Deniq;exhoc mitio tanta coaluit opinio Numerorum horum, propcerea quod eflenc Pricubi ; uc Pythagorei totam Philofophiam mi,eorumq;quadraci exijscenfuenntconcinnandam. Nam uaicas repra;fcntabat ipfis .

& Mentem & Formam, quia ut unitas individua eft, eademq; & quadratemulciplicaca&cubice,-ficidea?quoq,- indivifibi& univerfales ciknt & femper Idem. Itaq; unitatem fecerunc

Ideam manet les

fymbolum Natura: Identitatis, Numeros vero

cseteros

fymbola

Natura? Alcericacis. Bmarius igicur altericatem fignabat Materiam, quia divifionem ille admitcit, ut ifta; ut iile quadrate* multiplicacus fic 4. cubice 8- qui func numeri diftin£ti a 2 ; ficmateria inftamultiformis efte poceft. Alicer>Bmariuseciamanimamfignabilis bac,quod cum Mens immobilisfic, auc mocuuniformi fc circulari gaudeat: Anima concra rnulciplices mocusacorpore excipiac, adq» mocusre£tiIineos>quifuntinfextuplici differencia > magis familiari> terfehabeac. Deniq,Ternariusnotabacimscorpus,compoficurn exforma&Maceria, iicuc3.compofkuseft ex».&i. &quiacorpora mundana tothabenc dimenfiones, quocTernarius unicaces. Anlma PyNeq; tantum Symbola erant Numeri,crium principiorum > f ed Anima componebatur ipfis ex hifce numeris, eorumq;proeftNumer, jam ipfa &Harmo. portiOnibusomnibus> &fubdivifionibus proporcionumin fefquial^*8, teras, fefquitertias &fefquio£tavas:ut Anima, vinculumMentis& Corporis, eflet in fua eflencia nihil nifi Harmonia,exq; harmonijs compofica. Ad hoc dogma duxic illos procul dubio, confideratio ifta, quod Anima humana dele£tetur tantopere vocibus,qux aiiquas pro# portiones harmonicas magnitudine fuaformant continenc

Excurfus de Tetrady Pythagorico,

Ex principiis pauio antea

expofitis videtiir eru-

endus efleilleTetracTys, fonsperennisAnima:humanae,perquem Pythagorei jurabant; meaopinionefic, quod inter criumcuborum &27.binos> verbicaufa inter i.& g.duomedij proportidnalcs fenc 2. &4 Icaq>numeriquatuor 1. 2. 4.8- quorum fumma)/, ve! i.j>p.27. quorumfumma^o. faciunt illum Tetra&yn. Dyos autem proportionales habentbini cubici>ficucbiniplani unum proporVt! £ionalcna>ucnotum exgeQjoaetriciSa 1.$.

Harmonicis Lib. Velfueric Tetraclys

111.

1, illudprincipiumNume-» 4. rorum, 2.Numeroru &Parium primus;j. compoficorum & Impa* riumprimus;ducto jam 1. inj. fic redtangulum 3. uteximpari: dudto

ifte i. i, 3.

veros-infeipfum, flcquadratum 4. utexpari, cujusetiamin fadtura latitudinem decec effe pares , ficut in illius redtanlongicudinern Summa igicur ex 1. 2. 3;. 4. eft 10. anima humagulo ina^quales. nafolecadjo-numerare. £cficucfunc4.Numeri, cocidemfc quoc eranc in quarco umcacas." fic eciam per eos, quacuor fpecies harmoniarum exiftunc incer 1. z. Diapafon, uc & inccr 2. 4. &incer 1. 4. Difdiapafon, quajfuncprouna; incer 1. j. Diapafon Epidiapence,qua

•»

» 1

habebancpromaximafyftemacisHarmonia> eftq;hic fecunda; certia incer z. 3-. Diapence;& quarcaincerg-. 4, Diaceffaron. Nec pluresagnofcebancipfi Harmonias.

Hazcexmeamence. Ac de eodem Tecradty paulo alicer loachimus Cameranus, nec paulo redhus; nifi ipfum fefellic mulciplex letlio vecerum auchorum qui, in Graecis commencarijs ad aurea Pythagorx Canruna> fic fcribic. Primum iliijingulariter Denarium Nu» meri vocabulo dejignarunt. Quofenfii Plato in Phxdone dixit quhd Nume:

;

Defcribantur enim duo numerprum ordines

tijemijfis univsrfusfit impar.

ab vnitate addsnarmm altsrnis ; erit vnus ordo Imparium alter Parium ,

huncmodum

I. j.

7. $. $.

2. 4. 6.

(Suminazf.impar ,quadratus

quotJc erantimpares.))

10.

Vehmlffa vniiate , vtifmcjpw, mero ,fic 2. 4. 6. 8. 3. f. 7-

Hocillud anigma; Imparia funt impares ,

& Denario vt (inguiaritcr dicio Nu~

( Summaz^. par.)

in>

quinarij +

effe

Paria.

Singuli enim ex

at omnesfuntpari numero quaiuor

(

Et Summa 14.

f, 7. 0* x »

Igitur Denarhss peculariter Numerrn a Pythagoreis dicius-i habsthoc

pvoprium,quodcoiligiturexvnitate, cjusa;contlnuumukipiicibus vjq; ad

1 1

quaternarium. Fit enim Triangulum numeraie izquifater-um , cujus bajis efi Quater narius

;

vertex, vnitas.

Ex eo Pythagorici numerum omnem ap-

i 1 1

1 1

r r 1 r

«iiuii 1

Trigonus fc. numericus , tujm bajis eji OBonarius. Ita% in

Nam

tera TetraBys Pythagorica ,

1 1

peliaverunt Tetraiiyn. Duplicatis enimprim<e TelraByis lateribus ,fit ai.

0ma penes ipfos

par.)

Nameri

36. ceiebratifjima fif

muitis demonflrationibus vjifimt mtmero 36.

maxime in

vndiqua^ vtilif-

Harmonicis.

infigurarumhujus Numerjdijpojitionibus invemunturhinumerj 12. 9. $. tf. quibusnumeris omnes Harmonicas Conjonantias (ecundum proporticnes Intervallorum comprehenfaseffe demonjirarunt. EJl enim Numerus 36 qua'.

dratus, ejus^ latus &, Efi Trigonicus

cujus latus 8,

efi

gf altera ejus /ongitudo 12. ( Novem enim quater, £jf duodecimter faciunt vtrin^ 36.) Deyity conjeclis his 6,8. 9.12. in vnam fiimmam , exijlit Numerus 3f Harmonia dicius a Pythagoricis : cuj vnitas additarurjum abfolvit Numerum 36. Ampiius humerorumquiex anteceden.

1. 3. 6. 10.

if. 21. 28. )

3.6.primUi{f3foluiintr&lZ2S)$^MArat<y,habet%latw6.piW

111

Qblongus ReBangu-

lus, cujus longitudo 9,

tibusordine naturali funt collecl i ( idejiex trigonicis

t «

it 11 11

1 1 1

(compi*

De Proportionibus

6 I

(compofitumfii/icatexomnibusfuispartibusaUquotis^. 2. ef 1.) Idemetiam

multipiicationeduorUmprimorumquadratorum 4. 9. Idem co/comporiitur ex duobus primis cubis ligiturtf 8. Z$ 27. cumvnitatc cubica. Propter vjumtammultiplicemhujus Specu/atiorits , TetraBysifiad Pythaconficitur

goreis conjideraiione

fif

admiratiorie dignafuii habita inter primas; itaa^

tranffumfiruni ittam ad Phyjica ,

maxime^ad contemplationem Anim<e; mc

minusadEihica dl admifcuerunt Theo/ogicaa/iqua* Nam vt Epiphanius ex Irenxocontra p^alentinianos ofiendit,juramentum feceruntTetraByn: ! intettigebant autemper itta quatuor, Fundum , Si/entium , Mentem , Verita* aureis ,juramentiformula nen eft TetraBys ipfa ~Jl tem. Etfiin Carminibus Anima fed ille quiper TetraByn exhibuit Animxperennitatem EffentU lem quidemTetraByn P/utarchus phyfice exp/icavit; vtfit Senfus, Opinio Scientia ; Mens; addidit^ verfitm 1 » 1 Foncem , Nacurae quo curgec vena perennis. 1 Mundanam verb TetraByn licet accuratius in hunc modum intuerU * l qubd abvnitate,perTerriariamrationsmproduBd,vnitate adimplendum inj

tervattum irimedium affumpta , Quaternaryfa, circum ve/uti/ineisreBts fipta,fictandem TetraBys ifta Denarium efficiat.: cum ipftfit hocpaBo tertvus Trigonorum ingenefi: (Nampoflvnitatem, primus trigonusefl j. cujus ba1

fis2.ficundus6 cujus bajis j. quorumexteriores ternas lineas fiduxeris per tiunBa itticduo,hictria,Trigoriumadumbrantia,retinquitur inmedio nihit; .

1 1

Tertius vero Trigonus 10. bafi^filocopunBorum quaternorumjineasfingulas acceperit , exterius circumeuntes

relinquetur in medio

quodadnuttamfigurantiumliriearumpertinet cor autnucleum,adumbrat. )

punBumunum,

fidinteriusjpacium 3 ve/utt

HacdecaufaPythagorejDecadem

Omnicapam Macrem, quasi fepiac omnia circum Cederenefciam &Ihdorrticam caftamq; vocarunc vt ait Proclus. Attfc ipfa decem vnitatum confummatioy fc. denariusex hd& TetraBy cotteBus , coniinere £$ abJo/vcre,Jeu con/ummare exomationemto'

tiusvniverfiitraditusefia, Pyihagoreis , quos

vniverfitasfaBa eficorporea

$ Ptatofiquitur.

2. continet

Nam

omniaqu&

funtinipf* , £$finfilis vincu/um Ana/ogi&fiu commenfus. 3. Tota efi , quippeex Eiementis. 4, Rotundumejus corpusefi. f. Ipja efi qu& in (cipfa pa,

indiffb/ubiliter,per totis

Movetur in circu/um. 7. Animatum ejuscorpusefi. g. Temporis effeBrix efiper revotutiones afirorum. 9. Habet facra certafideraiin Deorum numerum re/ata , qutt Annum magnum, vt titur,Z$ afiipja , paffiones omnes<.

perfeBum,conficiunt. io.Vndiqua^pcrfeBa cfivniverfitafrerumfhabens in. fe animaliaomnia,quatuorfbrmis affimitata ( afiracceloj avefderj,pifcesa'

qu<e

Hoc paclo ab vnitate , (i)t Pythagorej > Munadis ex ancr o ) progrejfio efivfy ad Quatuor, (vt itti donec veniacur ad ipfam Tetmdadivmam) fic%denariumparit , matremomnium vti dixiquadrupedes terra.)

IJnus enimefi Mundus. mus. Efiautemvnitatisprogrejfushujusmodi. Binariusfignat, primam ineo comprehenjam mu/tip/icitatem. Ternarius vincu/um 55? Nodum, coaptationi rerum neceffarium : Nam vt dua fo/<e res eoeant in

unum ,fiorfim a Tertiox mn efi pojfibile.

Quater

HARMONICES Ouaternarius,

Mundus enim

ejl

efi

LlB.lll.

numerus Elementorum dejnitor

corpus jolidum

;

Jolida vcro duo

?.(f 4- ) fumma efldenarius

de quo hallenus,

recenjttor t

duabus Jemper medie-

tatibus indigent >vt in continua pro.portione congruant: 2-

Jf>

Horum

verb

(

Jc.

Hic enim ornatus ejtvni-

qua dotavit iilamjaclor ejus. Ha&enus Cainerarius exveteribus:quibuspleraq;confenciencia inculcatHermesTrifme- Hermem giftus ( quifquis illc fuic ) filio fuo Tacio cujus hsec verba , Vnitasjeverjitatis, bxcdos,

cundum rationem Denarium compleBitur., rurfumt^ Denarius vnitatem. Deindeconcupifcibilem Animaefacultacemcomponicexi2. vlcoribus , feu vicijs Echicis ad numerum fignorum Zodiaci , cuj Corpus hanc ad corp9 vergencem Animae pocenciam fubjicic: Racionalem vercfaculcatem Anima^ex Denario &ipfe componic Vircucum Ethicarum. Sic quod Pychagora^j celebranc Tetractyn foncem Ani-

J/^™^

philofophia

marum, &Camerarius pIuresaitfuiireTetra£lyas,nonillamfolum, qua: a quater narij bafi furgic ad fumniam j o. fed etiam aliam praxipuam,qua:abOgdoadis bali ad verticem ufq; colhgit fummams6: i-

dem Tatius hic ex docTrina patris Hermctis innuit , dum tempus aitfuijTejCumipfeadbucelfetin Ogdoade, Octonano Filium vero Paterad Pimandrum remittit , de Oc~tonario canentem ;in quo fane :

occurritOdlonariushabituum Anima?Ethicorum,fepcem quidem refpondencium planecis iepcem , uc apparec initio a Luna faclo; octtavi vero divinioris & quiecioris, ad fpharra: puto fixarum ideam. Omnia etiam geruntur per Harmonias ; plurimainculcacioiTi/?^', plurima Mentis , Veritatisq, mentio ;propon itur Antrum , Fundus., Penecrale, Crater Animarum, &cascera multa: uc dubium nullum efte poflic,qum auc PychagorasHermetifet,aucHermes Pythagorifec Accedit enim & hoc, quod Hermes Theologia quandam tradit, cultumq;divininuminis;fepeMofis, fa^pe Evangeliftas Ioannis in fuo fenfu paraphraftes, prxfertim de Regeneratione ;ca:remoniafq; difcipulocertasinculcat;cumidem de Pythagorans affirment authores 5 partem eorumTheologia: varijfq;ca;remonijs & fuperftitionibp deditam fuifle ; &Prochis Pythagoricus Theologiam in Numerorum contemplatione collocet. ,

n> J '

Hax per digrefllonem redeamu3 nuncadPythagoricamHarmonicarum proportionum demonfti ^tionem. :

Huicenimphilofophandjforma; perNumeros, tantoperefuut jamneaurium quidemjudicioftarent, quarum tamenindicijsadPhilofophiamhancinitioperventumerat:

erunt dediti Pythagorarj

»•

ErrorPytha g°"oru

fedquidConcinnumeflet,quidinconcinnum;quidConfonum,quidromHanno diflbnum, exfolisfuisNumeris definirent

vimfacienr.es inftincmi

naturali auditus. S tetitq; ty rannis ifta Harmonica ufq; ad Ptolemae; qui primus ante annos mille quingentos , fenfum auditus con-

traPbilofophiam Pychagoricam afleruic, recepicq; incer concinna, nontantumfupradictasproportiones, & fefquiodtavamproTono, fed admifit etiam fefquinonam pro Tono minorj, fefquiquindeci-

mam

aiarum.

De Proportionibus

mamprofemiconio; neccancum -

fuperparciculares aliasaddidicab

auribusprobacas,ucfefquiquartam fefquiquintam; fedeciam exfuperparciencibus adfcivic aliquas ; uc incer y. j. incer j. 8.

alias.

EnorPto-

Hoc paclo Pcolemjeus fpeculacioneni Pychagorieam de orcu proporcionum harmonicarum uc impingencem emendavic quidem,

non omnino uc falfam , fuftulic : quiq;aurium judicium fua; dig~ mcatj r efticuic verbis & dogmace ; idem camcn rurfum deferuu , inCaufa rum&Con- haerens & ipfe concemplacioninumerorumabftra&orumi «ianorum. enim numerifingularumq;proporcionum harmonicarum , ne fic ijdem eft adaequaca fuo efFedtuj ; fed in definiendis Confonancijs deficir,inConcinnisalijsexcedic: NegacPcolemaeuseciamnum, Tercias Sexcafq;,minorem & majorem (quaeconcinencurhisproporcionibus lcmsj drea ac

Namerum

& j.

confbnas, quod affirmanc om* neshodierni Muficibene aurici; recipic viciflim proporciones 6. 7. &7- 8' aliasq; incer Concinna Mufica incervalla, ficucCancu procedence ab VT in F A, ftacuacur aliqua vox media incer RE MI, 8- quas nocacionis cauinproporcione,qua7. mediuseftincer 6. jam cani poflic V T. RI. FA. ficuc cani poceft,VT. faficRI, 4.

5-.

<5.

8- )

efte

RE. MI. FA. quodeftab omnium hominum auribus&

ufu canendiabhorretiffimunr, utcunq;chordaeficaccemperari poffincj cn> pe quje, cum fint inanimae, iudiciumfuum non incerponunc,fed aianum inepci fpeculacoris,nuIlacenus repugnances, fequuncur. Pra:cerea,

fimaxime arquales effent

iacicudirte,

& illa caufa,cx

Numeris abftra&is pecica , hic effe&usjConfbnanciEe : poffccq; non dem innoa abfurde videri archecypalis caufa, ceftans de eo, 'quodPacer reUt > Mens aecer na,Numeros illos concemplaca,Ideam inde defump*wufa.' fericvocumincervallorumq,, quae, ucAnimis humanis placerent,

Errot ejuf-

conformacioneAnimorumprocurandumipfifuerictnondumcamen res adeo effet liquida , cur hi numeri ). 2. j. 4. £. 6. &c. ad incervalla Muficaconcurrancac^./z.ij- &fimiles non concurrantmechuius rei caufam ex feipfis exhiberenc niimeri uc numeri, Nam caufa illa deTernario principiorum,&familia quadracorum & cuborum inde dedufta, caufaeftnulla; cum quinariusabillaexulec, qui fibiincer Muficorum incervallorum Orcum kis civicacis eripi nOn pacicur.

SednedhocfacisfacicfpeculacoriiquodfciCjNumeros I. 2. 3-effe fymbola Principiorum * quibus res Nacurales Conftanc. Incervallum enim, res eft non nacuralis , fed Geomecrica; nifi igitur hi numeri aliud aliquidnumerenc, quodmagis cognacum fic incervallis, nullamfidemphilofophusadhiberepoEerichuicCaufae, fedeam, ut non caufam, fufpe£cam habebit. His igicur de caufis ego ab annis vigincj inhoc elaborandum mihi cenfui, uc hanc Machemaciccs Phyficefq; parcem illuftriorem redderem, invencis caufis calibus, quae ex una parcei& judicio auri-

Harmonicis Lib.

111.

umfatisfacerenc,in confticuendo Confonanciarum, caecerorumque ConcinnorumNumero;neculcraid quod aures ferunc excurrerenc? exalceraver6parceclarum& apercum difcrimen ftacuerent ince* Numeros, quiformancincervalla Mufica,interq,alienosabhocnegocio quae deniq; reipectu camArchecypi , quamMentis, quaear:

checypo utituradconformandasillires,cognacionemcum incervalhaberent, eoq; verifimilicudine clariffima nicerencur. Cum enimr intervallorum Confonorum c£rmini, finc quancicaces concinuae;caufos quoq; qu« illa fegreganc a Diflbnis,oporcet ex familia peci contilis

nuarum quanticacum, non ex Numeris creca

abftra£tis,urquanticace dif-

cumMensfic,quae Animoshumanosficeonformavic, uc

hoc

incervallo dele&arencur (quaeeftgenuina definitiocofoni &diffoni ) difFerentias quoq> unius ab alcero , &c caufas , quibus hsc incer-

mentalem & incelle&ualem eflentiam habc nimirumhanc , quod termini confonorum intervallore oportet:

valla fiunt harmonica,

rum proprieftibilesumt;diflbnorum

autimpropriefcibiles^auc in»

Nam fifcibiles illi;inMentem igicurvenire, &ad confor-

(cibiles.

mandum archecypumadfcifci

poflunc.• fin

aucem

infcibiles

(eofen-

fu , quilibro primo explicacus eft. ) manferunc igicurforis excra MentemOpificisazterni,nec ullatenus ad Archecypuconcurrerunt. Sedde his jamplura, ubi do£trinamhancipfam per fuacapita tradiderimus: quam incipiamus cum Deo.de Cantu quidem ubiq; fermonem habentes,id eft de intervallis harmonicis non abftracYis,fed cum fono concretis ; mentis veroeruditis auribus ubiq; abftra&aa foni9 intervalla fubaudiemus ; u tpoce , qua; non tantum in fonis inq; Cantuhumano,iedetiam in alrjs rebus fono carentibuSj fuam pariunc graciam uc quarto quinto libris audiemus. :

C^PITJ LlEKlllV CaputL Ortus Corifrtantiarumex caufis fiiisproprtji* Capu t II. Defeptem ChordnfeCHomhus HarmohiciS, totidempforishis confi" nantiarum Minorum.

CaputlH. Demedietatihus Harmohicis £? Trinitateconfonantite. Caputl V". Ortus i$ denominatiointervaUorum ufiialiumfeu cancinnorutfts Caput V. SeEhio z£ Denominatio Conjbhaniiarum J> fua intervaUa ufualia-, Caput VI. De Cantus Generihus, Duro Molli. Caput VII. Proportio omnium 0B0jonorum vfualium vnius diapafbh,, ;

Caput. VIII. AhfciffioSemitonmu-^QrdoMinimoruinterval: inDiapafo. Caput IX» De Diaorammale,Linei5,Notis,Literifcfcfdnorum indicihus s de Syflemate, Clavibus i£ Scala Mufica.

Caput X. De Tetrachordis e? Syllahis , Ut , t e ,mi, fa , fol, fcu Caput X I. De Compofitione Syflematum majerum. CapUt XII. De Conjonantijs adulterinis , ex compofitione ortis. Gap, ATII. De Cantu concinnofimphci.

Cap. XlV. DeModisJeu Tonis. Caput XV. Quimodi,cjuihusfrviant Affeaihus. Caput XVI» DeCantupgurato feuper Harmoniamj>. CAPVT b fi

De Proportionibus

CAPUT

Decauiis confonantiarum.

Definitio. (^JVmveteresufi finchis yocibus

MovaQwov

Av\i-

0'jULo(pmov, Aict(pa)vov ) '£viu.<p6dvov,Ao-v'iu.(pMov>

(pcavoVj

NobisDiffonumidemfonabic,quodA<7U^(£&i/oi/,Confonumidern

quod2t> fJL(pddVOV j

O fA0(pb)

VU)

cujus funcdifferencix, Idencicum

ufurpabimus;&: non Idencicum

quod pro

quod pro AlcitpCt)

j/6).

Ec Idencici eruncdua: fpecies, vnifonum , &c Idencicum ex oppofico.

Definitio, In Geometria differunt vocabulaPars Sc Partes, Pars enimdicieur.,cuju& eft Tocum fecundum cercam proporcionemMulciplexjpucaduplum, triplum, quadruplum; Partesvero,

quandononfolum &unicuTotum, fedaliqua Tocorum multitudo fueric illarum Mulciplex.

UcjUnafepcimajdicicurPars, quia cocus

circulus,eft fepcuplum hujus parcis:ac cres fepcimae dicuntur nort Pars

fed Parces arcus

quia ,

fumma

trium circulorum

eft

fepcuplum hujus

Hic vero nos hac diftin£Hone non ucemur i fed Parcem dicemuscamunamquamalceramdi&arum porcionum, hoceft, omnis porciolongicudine effabilis, dicecur nobis Pars ; cum hac camen reftri&ione, fic fueric non majorfemicirculo. Refiduumveroilluddicecur, quod ablata portione effabilia Toto, remanet, nonminus exiftensfemicirculo. Valde

neceffaria efi diflinflio

Rejidui a Parte, quiapotejl

ejfe

Pars

eonjona , ejuffc Rejiduunt dijfonum , vt videbimus.

Definitio. Chorda hicfumitur non pro fubtenfa arcui circuli , ut in Geomecria, fed pro omnilongicudine, quaeapcaeft adfonum edendum; &quia fonusper mocumelicicurnn abftra&o chorda incelligenda eftde longicudine mocus cujufcunq;, velde quacunq; alia longicudi* ne, eciammence concepca.

Axio-

Harmonicis Lib.

Axioma

llti

Diameter circuli,&: latera figurarum Radicalium explicacarum , qua: propriam habenc demonftracionem, deÂť cerminancparcemcirculij confortancem cum coco circulo. lib. I.

Quomodo Circulttstendipoffit , vt /onitum edat , {f quomodo afpgendus cavo corport , vt refinantia exifiat , velab vnofigno , vt totusfinet , vel aduobus, vt partes i id longum hicerit explicare i fictamen exordiendum fuit,quia nontantumdecantuagitur, quiefi harmonia cumjonis concreta,Jed\ etiamfubintclligidebet intervallum abfiracium afonis.

Quodcantumat~

chordam in *reb~lum extenfamfic dividipojfe , *vt dividiturt ciijn efl in circulumcontorta , a latercfigurainfcriptilis. linet ,fufficit

Gorollarium. t9J.

Confbnancijeinfinkaefunc, quia figurae demonftrabiles infiniNondum autem efi tempus dicendi de concordantiarum deleBu , qui

fefenon profert valde porrb.

Pythagorci hic innumeris fiiis , vtcaujis, qu<z~ fiverunt metasmagnitudinis intervallorum confonorum,quasfilus humanus auditus illis figit ,qui non ejl infinit&potenti*. EJi igitur iUa coarciatio nu~

mericoncordantiarumHatmonicisintervallis abfiraflis tantum accident*-*

non verb caujalist Ipfi etiam hodierni Mufici metas Pythagoricas egrcdiuntur i vt de Harmoniis ccelefiibusjam taceam. tiOi

AxiOMA Quo

gradu

lateris

11.

demonftratio diftat a primoj

iodemgradu Scparcis circuli,perlacus refciffae,confonanciacum coto circulo, recedic ab unifoni confonancia perfe&ifllma: feu quas fbrs eftfigura;, cujuseft lacus, incer figuras casceras;

eademfors

eftcori-?

fonanciae illiusjincer ca;ceras.

Hoc axioma inferius

vfurpabitur

ad de/eilum concordantiarum

bti*

tendum^ caufajuavitatis.

AxioMA

llL

LateraFigUrarum RegulariumStellarumqj in~ demonftrabilia, decerminanc parcem circuli,diflonancem a coco circuloj ficeciamlacusfigurae demonftrabilequidem,fedrionper fe,

necdemonftracionepropria. Velpro defeftudemonftracionispro* pria*,accerfeex Lib.II. defe&um congruencis: ucroq;modoexch> dicur Quia4ccangulum,

Hoe

De Proportionibus Hoc axiomaabfolvet

fubfiituo, repudiatis

integritatem caufe concordantiarum ,

Pythagoreorum nnmeris

quamego

abfiratlis.

Corollarium. dToco

iDifTonanc igiturhaeparces 2.

J»

„

i. i. i. i.

4«

f. -

f5-

-« -

6.7.

77-

Axioma

U J?

7 9

15-

17 iS

J9 Etficininfinitum.

IV.

Figurse, quas cognatas habent demonftrationes lacerum, pariunt eciam cognacas Harmonias.

Perhoc axioma probabitut origo Z$ cauja Proportionum Harmomca-

vum

exjuperfiuo.

AxiOMA

Chordae vel arcus circuli, tenfionis xqualis<«habencesincerfe,caufa longicudinis, eft incer Parcem vel

eandem proporrionem

Refiduum circuli

&Tocum

qua;

circulum ; Confo-

nanciam eciam vel diffonanciam habcnt eandem terminos vel fonos illa concineacur.

licec

mter

aJios

In abfiraBofic intelligatur , qubdcirculus cum parte fua, confiituat qu&in quibuscunc^ inveniantur terminis alijs,feu fonis ,feu motibus mutis Jfemperfint Harmonict,

proportiones certas Harmonicas\

Additur autem hoc Axioma ideb , quia non omnes Proportiones Harmonicte immediate ex ipfb circulo oriuntur , prima fiatim ejusjeBioneper figu-

ram Regularem ,Jeaaccedunt aliqux ex feprioribus propagata , vfyad cer~ tam Metam : vt inpropofitionibus videbimus. %Jjus Axiomatisefi inPropof: VII.

A XIOMA

VHI. 1. VI.

Cum du*e Chordas fonos ediderint Identicos, uox

HarmonicisLib.111.

confbnans earum uni,confonabit &alteri, dhTonans ver6 ab una, difTonabic &ab altera, qualibuscunq, diverfis eciam contercia

ionancijs vel diffonantijs. Nottt in (iib)eBoponiJJ>eciemJdentiJoni,in Pntdicato Genus Confonjivt h&cduo intelligamus iPrimo Non fequi ,Du&confonant qualitercuny,, ergb ,

c5?

tertia confonatutri^

veldiffonat, ab vtrac^.

Hocenim ejljaljumde Ge~

nere , verumverb deJpecie Identijonorum * deinde,nechocfequitur, Sitertia conjonat vni Identifonorum aliqua certa conjonantia , confonabit

£5?

a/tefi

eJdem Jbecie con/onantice ; hoc enim nonfemper verum ejfet , quod declarabo exemplo, licet ex anticipatc. Sint du<z voces,Jacientes diapafo G Z$ gjit tertia &,i/!a facit cum G diapente; crgo etiam cum g conjonot,,at non per Diapente, Jed per diateffaron 'VjUs autemprxcipuus hujus axiomatis ejl Prop, IV.

AxiOMA

Vll.

Cum dux Chordse vel Voces ediderint

fonos

cum

illarum una Idencifona, etiam , cumillarum alceraldencice confonabic.

Identicos

vox

tertia exiflens

Quod in prioriaxiomategenera/iter non potuit affirmari, idjam inj£efie

verum ejl

de Identifonantia.

VJuseflinProp.

III.

Dehisigitur Axiomatibus, pnefertimde quinq,-prioribus,fpeculacioeftfublimis, Platonica, Fideiq; Chriftianae moniamm"

analoga,adMetaphyficam,adq;docl:rinamde Animafpe&ans. Geo- Metaphyfi"' metriaenim , cujus parcem hiic fpe&ancem libri duoprioresfunc complexi,Deo coxterna , inq; Mente divina relucens,exemplaDeo fuppeditavit, utin hujus libri praeambulo dictum , exornandi Mundi,utisfieretOptimus & Pulcherinms , deniq; Creatoris fimilimus. Dei vero Creatoris imagtnes funt, quotquot Spiritus, Animae, Mences, fuis finguhe corporibus funt praefect» ut illa gubernarent, moverent, augerent,confervarent,adeoq; & propagarenc. Cum igitur typum quendamCreationis fint complexs fuis munijs:legeseciamcumCreacoreeafdemqbfervancoperis,exgeometriadefumpcas: gaudencq,proporcionibus ijfdem , quibus Deus efl ufus , ubicunq,illas invenennc , five nuda fpeculacione, five incerpoficis fenfibus , in rebus fcnfui fubjectis five eciam fine difcurfu Mentis , per occukum & concreacum inftinclum: five Deus ipfe proportiones hafce in corporibus & mocibus exprefferic invar iabilicer; five quadarn Geomecrica neceffitace maceria; in infinitum dividua? 'mbtuumq; per materia? quantitatem , inter infinicas proportiones noa ,

,•

harmonicas,occurrerintetiamharmonica;ifta;ilustemporibus,&fic

noninESSEfedinFIERIconfiftanc. NectancumgaudencMentes,

dei

De Proportionibus

14 ,

Dei imagines, proporcionibus ijs t fed ucuntur eciam ijfdem pro Jegibus ad peragenda fua munia proporcionefq , eafdem in mocibusfuorumcorporum, qualicec, exprimendas. Exempla luculcncaduo proferenc libri fequenccs, unum ipfius dei Creacoris, quiproporcionibusharmOnicisdifperricus eft mocus ccelorum. alterum Anima.illius,quam Nacuramfublunaremdicerefolemus.ciMeCeoraad pra.fcfipcurriproporcionum.qua. oceurruiicin Radiacionibus Aftrorum. T^ercium igiciir & hujuslibri proprium exemencis

& pecudum

plurtieftoAnima_humanae, adeoq;

quadamtenus. Illac harmonicis gaudenc, non harmoniciscriftancunaquibus Anima. affeclibus illa. (Harmortica;) Confbnanciae iridigecancur, has (non harmonica. ) DhTonanci-e. Quod Ji accefTericeciamaIceraproporcioharmonica,vocum fonorumq;16gorum & breviurn, caufa cempOris cunc illas corpora fua falcacionibus, linguaspronunciacionibus ad eafdemlegesmovcnc: hucopifices Malleorum idtus, huc niilicesgreflum accomodanc > vivunc omIiia.durancibus Harmonijs, corpefcuncijfdem difcurbatis. Ha_c& fimilia, Confilij finc,Inftin£_usve, hoceft Mericisopus: aii eciam Nacurae Elcmencorum, Maceri_eq; neceflicacerlac, uc temperies fenfibus commoda nulla poffit effe ,nifi qua; conftct proportionibusfigurarumharmonicis; id varie difpucatum fuic a philofbenirripercepcisproporcionibus

Vocum

unde exiftac illa fuavitas , quae -auribusr allabicurcxproporcione vocum, qua fuavicacc Cortfonaricias defiQui ad Maceriam & Mocum Elemencofum inclinanc enimus» xemplumafterunthoc, perfe quidem fane quam mirabile, quod Chorda pulfaca chordarh aliam non pulfatam fecUfn in foriitumtraphis qu_erentibus omnibus , :

Expetimes-

tum

mirabi hic, c

4iT

ficenfa fueric fibi confone , diffone cenfam imriiocam reliriqitit._:

Hoccum nonpofliculliUsMentis

minifterio

fieri,

quia fonus

hoC

Mencem aut intelledlum non habec;fequicur ut id conceiri* Sortus eriim Chord_e, habec pef atione motuum fieri dicamUs» acumen vel gravitatem a celeritate vel tarditace vibraciortis,qtia tocaufacus .

ta chord_elongicudo libera vibratur > nec inlurit li_efOrtorum difterenciae primd&immediaceinipfalongitudine vel bfevicate/fedfecundari6,quiafciliceccumlongicudinediminUcacardicasvibracion_s Inde eft , qucd manence eAdem diminuicur, celericas augecur. chorda. longicudine libera, cenfio ipfa fonum acuic, quia minus laxam chordamrelinquens, diminuic etiam fpacium, perquodilla feciproco mocU vibraripofTic.

Cum igicur duarum chordarum fuericeadem teftfio

fic

uni:;

reddere poffint , turic fonus unius , id eft fpecies immaceriaca corporis chordae, Conftitucas in vibratione , dclapla a fuachorda,fc» rit chordam alteraiti ficuc fi quis boacum edat verfus Chelyn,aut ali-

fbriurii

udcavum, eoboacupercUcicidcavUm; facicq;refbn_irechordasejus omnes feric au cem illa vibraciortis fpecies chordam akeram eodern rhychmo celericacis, quomovecur&haec, quiaaeque tenfa; utita :

finguli i&us (in

quos vibracio divifa eflc iacclligicur } in iingulas percuffis

Harmonicis euffae alcerius

Lib. III.

chorda; cefliunculas perperuo incidanc

;

niummaximemoveacur illa chorda,qua; ad unifonum

ica ficuc eft

om-

tenfacum

prima: movecur vero&illa chorda, quaeduplae eftauc fubduplas celericacis , quia duo vibracionis iclus in una chordae cefliuncula abfolvuncur , & fic femper ictus a priori cer cius quifq; , congruic in unip cefiiuncula: excremum ; movecur denfq; & illa chorda non nihihquae eft fefquialteraecelericacis, quia cresicriunculae fiunc in duabus hujus cefliunculis: fed jam incipiunc invicem obviare crebrius llli ictus

cefliuncula?,feq;mucudimpedire;dumduoillius ictus afinecefliunculehnjusaberranc, unusfolusincidiccongrue: quooccurfumo* cus chordarum caecerarum fifticur,nonfecus ac fi quis digicum vibraHaec mihividecur caufa mirabilis hujus experitx admoviffec. menci qui me foelicior efl indagine mencis , ei palmam dabo. Quidigicur ? ficelericaschorda; unius valec ad mocum chorde alcerius proporcionacae,quae , quoadvifum, manec incadta: an non eaedem celericaces duarum chordarnm incer fe, valebuncad cicillacionem audicus fiiavem ,prOpcerea, qucd ts quodammodo uniformicer ab ucraq; chorda movecur , duoq; ldtus a duobus fonis feu vibracionibus in ldem momencum compecunc? Nequaquam ver6, inqm ego, icafacile cranfigicurcumhacre;mirorq; Porphyrio commencacorifuper Harmonica Pcolemaei, calequidcircahujusreicaufamfa:

Qualis cau fa

voiupta. 1

cenribus

tis facere pocuiffe; cum profundiflimae indaginis philofophusfic. Nifiquod venfimile,dirriculcaceperquirenda:caufe cohibicum fuifle, quo minus quancum vellec, penecrarec;faciufq;pucavifre,aliquidprodere, quam penicus cacere, quod curpe Philofopho efle dictitant.

Nam quae quaefo proporcio cicilkcionis audicus, rei corporeae, ad incredibilem illam volupcacem,quam ex harmonicis Confonancijs inrus in animopeniciflimepercipimus. Nonne fiqua volupcas efl ex cicillacione , de ea volupcace primas cenecmembrum, quod cicillationemfuftinec? Sicenim definiendusmihivifuseftfentusomnis,in Diopcricis, quodea demum ficabfolucafenlio,volupcacemauc dolorem pariens, cum fpeciesMembriferifionideftinaci, ucid eft affec~cumabexcernare, venic incrorfum ad fen&^communiscribunal, commeacu fpiricuum. Iam vero in audicione confonancium vocum velfonorum,quqqua^foparcesvolupcacisin auribushaerenc? Nonnedolemusincerdumabauribus , dum inhiamus huic audicioni, manumopponimusclangoribusnimijs, nihilocamenminus pergimusadpercipiendasconfbnancias,& cor nobis fubfulcac? Adde quod hazc racio a mocu deducta, pociflima eft in vnifono:fuavicas vero non praecipuainvnifono , fed malijs Confonancijs, earumq;compoficione. Mulca poflenc afTerri ad deftruendam hanc allacam racionem fuavicacisexConfonancijs;quae micco in praefens curiofius confcribere : Ulud unicum inculco, quod jam fupra cadcum a me, poflic efle loco omnium, quod Opera Mocufq; corporum, aemuliproporcionum harmonicarum , ab Animae, Mencifq;parcibusftenc,ijs caufam affignances , cur Confonancia? delectenc Nec abhorrec auchoricas

Quidfe*.

vecerum

a Jj

"^[va

mon iarum"

ÂŤ Mentis ia

rÂ°

nep e te n! dam.

De Proportionibus

Veterum; qui Animam nunc Motum ,'nunc Harmoniam definiencuminreces s noncamabfurdelocucifunc,quam inepceexcepci :

busdimcilibus, Myftici plerumq,- fenfuslaceanc,fub verborum corTimxi quidem Locrenfis philofophia , quomodo tices reconditi. copoficafic animaex proporcionib$>Harmonicis,de qua inpra;ambulo, refucacaeft ab Ariftotele in eo fenfu,uc fonant verba: non aulim tamen affirmare , nihil in ijs pagellis latere,nifi quod fonant verba : imo negaturum puto neminem, quin is author hoc ad minimum ceneat, quodhicaftruo , Mentem effe , Animumq,- humanum cujus feu judicio feu inftinc~tu,fenfus auditus^proporciones fuaves, hoc eft diffonis difcernac quippe qui hoc diliconfonas , ab infuavibus genterexpendit, Propoiciones efse Rationis Entia, racionefola* non fenfu , per ceptibilia , proporciones ceu formam, a re proporcionata, ceumateria, diftinguere, Mencis opuseffe. ,

CumautemduasFigurarum Regularium

proprietates expliDemonftrabilicatemfcientificam Lateruminfmguiis, caverimus, tum^emoftratione Congrucnciam inter fe totarum jun&arum non ejufdem plane latifcienufica. de Demonftratione quidem Axiomata noftra focucnrils ut ramq; nanc pociflimum,quiaiiaÂŁcmagisfamiliaris,eftproporcionibus njocuum, ex quibus eciam foni exiftunc.

NamCongruencia ineft

figuris uccot^funt;motus ver6(qbus proporciones harmonicae) figuras , aquaderivancur, laaccidunc cerain reÂŁtum excendunc ( cumpleriq,ornnesucrecT:ilinei confide*. fic figuram fuam,uc ferpences Macrem,perimunc rencur) deftruunc Figura in quancum congrua , circulum incegrum diftinguic in parces:proportionesharmonic#circulurn diftin&uminreciumexcendunc, diftin&ionisafigurafa&a^a&umdelenc. Sic confonantiae cum figuris demonftrabilibusin infinicum excurrunc; Figuraecongrua;Numero duodenario finiuncur, Deniq; diftin&ionem circuli quadibet figura facit unicam ; atpartes in circulo confticutse duas femper faciunt cum Toto Confonantias. Etfi veropotiorinhoc tertiolibro, ratioerit demonftracionis Et conemencia. f cientificas laterum, quam Congruentise figurarum totarum: hajc camen propcer magnam cognacionem in loco non eric negligenda. Primumenim Lacina fignificacio vocis,Congruencia, fiomnia excutiasjidemlonac, quodGrjecavoxHarmonia, de qtiibushoclibro agemus : nifi quod ufus voces has erebusfubje&is parumper diftinxic" deindeCongruenciafigurarum conciliacmocibus, (de quibus hoc8fc quincolibroj aliquam Congruenciam. Tercio ecfinoncam ad figuram cocamrefpicimus,quam adunumejuslacus;quamq; idparcem refcindic , ea Confbna eft ac fim ul hoc verum , qudd non cam id confideremus, quancapars circuli fic incercepra, quam, cujufmodi figura id fic fadcum , demonftrabili congrua, aneonrraria: quaelibec,exanguIisfuis,exquibushbro Namfigura IL Congruentiamforciebacur,adepcaeft demonftracionem , libro I. Non eft igicur ab Harmonijs auferendus refpedtus Congruencia; figurarum.

PROPO-

.....

HarmonicisLib.UI.

Propositio

Dimidii cum Toto Confonantiapoft unifonum, fbla eft ia

primo gradu fimplex , perfe&a

& Idencica

fcilicecex

Op-

pofico.

Namquod figuratumefi idex diverfir efi compofitum ,

fimpiex velldenticum; Figuraenim habetaream, angulosfitu dijferentet.

non igitur vel

&'partesficundum eam, $

Quodverb figuratum non ejl ,

quodfiiiice* area la-

titudine cara , tf Jecundum eam tf partibus , g? angulis , exifiens una mera linea recTz ^eaa^ <equalis Menfur<epropofit<e td ob h<ecipja tftfimplex efi , gf ident '

cum

Menjitra , hoc efl identicum.

Illiusmodi verbjunt Figur<t Reguiares,cir-

culo inJcript<e;hujuJmodi Diameter circuli. i,Figurarum

enimomnialatera

de-

fleciuHt aqualiter <i centro; Diametcrper ipfum centrum ducitur. £. Menfor,cirlum ab vnopunclo cum latere figur<e dividens , vbiperrexerit hoc ficiendo aliquoties ,fic tandem cttm altero lateris termino redit

ad punffumprimum ; Dia-

meter verbper centrum ipjitm tranfiens,primafiatim repetitione redit adinitiafe 3. Figur<e reliqu<etff longituainem habent lateru, 'Juperficiem area , quam circumdanti diameter nuilam planipartem circumdans includem ve, repetitionibus iteratis , infiipjam fecundavice tota coincidit. 4, Figur<e c<eter<e circulum dividentes ,faciunt partes multas : Diameterfitcit partes minims omnium numero,fc. tantumduas: nec enimpartituratotum , pauciores duabus

funBum.

Jhcereomninbpotuit, f. Cum%Diameter fit illa menfura, adquam Latera fidemonfiratioriis caufa ; Latera quidem gurarum compar andafitnt , Notionis

figurarum reliquarum operofius defiribuntur , imperficliori^ demonfirationk gradu in aclumfcienti<e perducuntur : at diameter circuiifimplicijfima lege de~ fcribitur,duEluper ccntrum,ab vno circuiipuncio adoppofitum&quatfy ipfa feipfam , fuiq^ ipfius Menfura efl. $. Figurarum etiam Latcra in divifione vna circuli,feu in abficiionePartis ,fhciunt portiones inxquales , £*f Partem minorem Refiduo: diameter Partem abfe&am relinquit aquaiemRefiduo. H<ecverb proportio <equalifatis puraefi tffimplex tf perfeUa ; quia partes, quxfunt interje *quales, ill<e caufa Menjurationis Idemjunt. 7. Dcni^ figurx c<eter<e circumferentiam quidem circulidividunt inpartes aquales aliquammultas, at> aream circuli in partesinaquales , quia relinquitur in medio vna,fc. area figur<e,major quolibet fegmentorum:diameter non circumferentiam tantumfedfimuletiam a-

ream in duo

dividit cequaiid.

Sedper Axioma II. Laterisfeu tintx , qu<e circulumdividit conforianter, ingenium tranfit in conjonantiam ipfam. Ergb Partis , quam de circulo refcinditdiameter, idefi femicirculicum toto arctifo Confonaritid,efl Jimpfex perfe£5f identica » Etper Axioma V. etiam omnes aiid longitudines, qu<efunt interfi-vt Totus circuius adfiti dimidium , faciunt eandem , idcfl Identicamperp-

clam ztffimpiicem confonantidm. Et

iri

Numeris {nofi platie quidem abfiracHi

fi? numerantibus , fidlongitudinibusnumeratis ) Proportio dupla, inier *. Vt gf intereorum <zque mnltiplices ,gignit Confonaniidm Idetiticam.

fi.

/»

Notahic , quemadmodumdiameter peromnes fimplicitates perfeftio* non tamen tamfimplex efi, %JtpunBum;fid mttnst linea , dw/bus circu»

ties fitas,

tipun*

De Proportionibus

punBis tcrminatn, circulumjecam in locis oppofitis,$ partes duas confiitttensi £3 quemadmodumifict partes, licet interfi fint <equales,fingul<e tamenjuo tot» vocunt Junt minores ificeiiam Conjonantia identica , non eji tamen vnijonus , licet identice Confonantium alteraUmenminor efl a/teramajor > illa fci/icet acutn,h<ec gravis,illiex oppofito veluti refpondens:vnde Confonantia hacex Opli

pofito Jdentica dicitur.

Habes igitur caujamgenuinam ex diametro circuli,curfonm chorda toiitu cumfono Chordctdimidia, quamvis inter fe diverfifint , ab audittitamen rejpec~lu concordantiarum caterarum qUodammodb pro eodem habeaiur. Frufird a/ij caujam hujus Identifonantict petunt ex numero vocum oifo, cum Identifonantiafit naturd prior divifione intervaHi hujus in Concinna fip^

tem, quibus Joniocio defignantur. ris:

Nondumaute?» tempusefl, huic confonantu Nomen dandiy vti neq dijfercndumenimhoceji in CaputV.

c<eie-

Nota tamen tf hoc,quodideniice conjonentetiamd/ta Partes,quanonconfiituunturper diametrum :fed non inprimogradu} nec vt perfiguras, fidzrtper propagationem, de quafiquentesjuntpropofitiones.

Propositio

Siduarumcirculiparciumminor ad maioremilc habueric,vc ruajor fehabec adcocum circulum, proporcione aliaquam dupla concinUe: cunc majore confbnance cum circulo cocoj minor pars

k coco diifohabic.

Nam poji duplam efi tripla:tripla verb continua, confiituit loco tertio pat' tem totius circuli

Nonam , Quintup/a Vicefimam qttintam \ Sextupla imp/icat

Nonam, Decup/a vicefimam quintam, quia 6 fixies funt 36.

vem ,$

qiwdeji quater no-

quod efi quater 2f. Etfic ettam de cateris. Aiqui Nona,ii 2fU,Z$fim'UesdiJfonant atoto,perAxioma IIL Vide libro pHm«

prop :

10, decies Junt 100 .

X LV 1

pROPOSiTlO

11L

Chordanriproportione continue dupla, confonanc mcer fe omnes idencice, diflanciorescamenigradurembciori. Habent enim interfemutub tres proxima/ut totuscircutus ifl dimidium, S$ quaruparsfe habeniinterfimutub. At cumtbto circulo tamdimidia,qudm quarta, per quartapars conjonant,per Ax: L Cumdimidio verh confonat, Ax:V. Quareomnes tresproximainterficonfonant. Identicaverbeficon? fonantia etiam partis. quarta cum toto circulo,quid Totus (£ dimidium ejus con-

finant identice ,per Prop : I. Sic etiam pars quarta cum dimidia,per eandemz quareper Ax : VII. etiamQuarta t>ars cum Toto circulo identice confonafci

$$perAx: V. quodlibetquadruplumcumfimplo: Jamverb quaratioeji prima ficunda ^tertia proportionalium, eadem erit

Harmonicis erit

a ficunde

tertk

& quartct

;

Lib. III.

£f pc continue trium inter proximarum. ft proportione , confonant inter fc

Qmncs igitur proporttonales in dupla continua identice.

Notsigitur in talibus.diftrimenConJbnantice ingenere, ($ Identifbnantidt inJj>ecie.ConJbnantPartesQuarta,Ol~hva, Sedecima

tfftmiles etiamgpterAr

xiomal.i^ ftguras,TetragonumyQtiogonum^c: identice verb conjonant » propter accedentem propagationem hujusftcia figurarumex biftciione circulu Namji abftt hac propagatione fuiffet ; non fuiffent identicA earum Ciim enim figura omnes faciant vel multas partes circuli,fixquales ; velin<gquales ,fitantum binas; cum aream comprehendant ; nee circuliareamin<equaliadividant;necearum lateraper centrum ducantur; nec inftipja recidant ; nec ctquentur diametro : Confonantix etiam ex figuris Tetragonicxftcia orta,dilataffent fequodommodoinauditu, diflendiffent animum diverfitaie vocummanifefia ; vtfaciunt confbnanti<e , qu<efunt * varietete figuris c<tteris,numero non pariterpari laterum conftantibus\ perprop.I. Non omnis tamen vis adempta eft huicftgurarumfecl<e,variandi confbnan* confonantix.

tiaSy {$ defleBendiillas apuritate Identifinantia (icut ipfe dfimplicitate Dia» ( tnetri recefferunt) . Primum enimetfi Partiscirculi afigura refiiffk Confo-

nantia convertitur inmeram Identifonantiam (propter diciam propagationem

omnium

partiumcirculi, a prima

bifeclione )

;

tamcn gradus Ident.fbnanti*

fiunt remotioresyfimper enim minor cumproximafi majore confbnans ex oppofito identice , fitacutior , multiplicatis oppofitionum vicibus ; itacfe femper .

dugentur vocum intervalla. Secundb,in Parte quidemmanet Identifbnantia(vt infeciione per diametrum): at in Refiduo nequaquamfet enim Refiduum hocftmper infiguru pofterioribus feipfb deterius , quantum ad Naturam Harmoni-

cam.

Sed de Refiduis

talibus fequuntur Propofitiones peculiares.

Et viciffiim,non fola TetragonicafecTa,ldenticasgignitconfonantias;feA quantum participant bifeclione, intaniumetiam ldenti-

etiamfeii<e ceter<e, in

casfaciunt conjbnantias ; fimper enim Parscirculi refiiffa a /aterefigura pofie' rhris, cum Parte d Prioris latererefeiffd confonatidentice ; Vt docent propofiti«nes reliquie, Itaconfiftt Analogia omnibusfiiis membris*

%)fushu)us Prop

efi

infequentj

PrOPOSITIO

IV.

Chordaquasconfonatcum

alterutra MultipficiUm proporcionisduplxcontinuatjconfbnat&cum reliqua:Scfiabuna diffbnaci ctiam ab altera diffbnat.

Namper Pr.

Ill.foni continue

dup/arumfunt inter fe identici.

rb Idcntiearam chordarum vniconfbnat;

£jf

a/teri confbnat,:

Qupd ve-

& c&tera, ptf

Jix: VI.

Hujus propofitionis caufd pofitumfuit Axioma VL tffervit h<ecpropofiti$ Caveant fiioli d contraRefiduis circu/orum examinandis.

jam Partibus

iiione Propofitionum Z$ Axiomatum

nulla n. Tautologia eft,omnia neceffaria:

invo/vu fe ,quifquis rem brev&s tranfigere vo/uerit. '

PRQ>

De Proportionibus

Propositio V. EtfilateraStellarunTdemonftrabilia cxtera, propcer demonftrabilkacermeode jure conforias TociparcesinCirculo decerminancquo jure idfaciuncrigUrs lllarum radicales, UC eft ih Axioceprimo: excipiuncur camen illa, qua»parcem circuliabfecanc con-

ftancem numero(parcium quasfecicflgura radicalis ) proprio alicujus figuraeindemonftrabilis;quando Parcis&Tociusnumerifuerinc incer fe Primi.

Primahujus propofitionis pars efi axioma ; quodne nimium gencrale fieres,per ficundam propofitionis partem reflringendumfuit. Demonfiratur ati-temfic* Efio nam% circulMaivifiis afigura demonftrabili , verbi caufia ab IcoJigono: Efiojamftella Icoffgonica, cujus latusfitbt-endat, novem vicefimasab Ico-

PrimiJCumergb Pars abfecJafitdecircu/o: i/la minor fane erit quam Totum: at poterit effe mdjor ,quam totiM dimidium velquartu ve/oEfavaiidtfe eb vfy dividendo, quodd a/iqua totiM parscontinue fubdupla ,fuerit minor dimidio hujus ,de quaagimus, Partis : /ut quia in exemp/onoflro Totum efl 20. pars ,de quaagimus, q. (iimatur iotiM dimidium 10. itefigonofkEfosfic

vt 9. if)

zo.fintinterfie

dimidium hujus / £3? tertio zfoUnva Totius. H/tc-jam eft minor quam dimidiumipfius 9. Habet ergbfe pars nofirag. adocTavam totius circuli zf, vi circulM divifusfigura indemonfirabi/iad aliquam fu& divifionu partem', fc

rumcfe

vt 18. ad fi

quintfe

autem oBodecimas , Axiomatis III Corollarium pronunciaQuareper Axioma V, nofird divifiontspars 9. diffona-

vit diffonare a toto iS bit ahOZfava

circuli {divifionis noftr&pxirtibM 2

f): diffonabit ergo per Prop. IV. pars nofira 9. etiam a toto circulo 20. qudmvis ejia.ifubtenfafit demonfirabilis ifedremotifiimo gradu, etiam^fie/ia ejus ex incongruis eft.

PrOPOSITIO

Refidua circulorum vel chordarum ,

poft ab-

Parces confonas Toci fi funcparcis fuse confonancis concinue ducum parce abfcifla 6c cum coco circulo vel chorda. confonanc

fciflas

pla

;

Cum abfciffaper

Prop.I.

cum totoperProp.lV.

»•

Propositio VI Si tale

Refiduum habuerit eandem proportionem

quartam parcem , quam Tocus cirParremfui confonam? confonabicetiarri adaliamaliquam culushabec cum Toto circulo s fi uc ad portionem diflonam , diflbnabit, CirculM enimtotM,ejufifc dimidium, & pars Quartzi ,funtinproportione continue dup/a : quare (per Pr. IV) qu&refiduaParti ta/icirculi confinant^ At congonfinant & totis^ quxab i/ld, diffonant , etiam ab hoc diffonabunt fonant Parti ta/i Refiaua illa, qu&proportionem eandem habuerini ad illam,qtia

circuli vel chordae dimidium vel

Tstus

Harmonicis Lib.

11L

Totus ad quamcun/fc partem confina/n : diffionantq^ a Parte ta U , qu& proportionem ad illam habuerinf, qttam circulus ad quhn?tun% partem diffionam : ida. per Axioma V„

Ergotalh Refidua confinant^ Toti

circulo

;

contraria diffionanta

toto circulo.

Htec prop: efipropter fiquentem

VIII.

pROPOSITlO

iaoi

Vlll.

>l\1U\

Adabfcissamvero Partemfi proportionemcandemhabuericRefiduumjquamTotus circulus ad Parcem quamcunq; confonam; confonaceciam cumabfeiffa> ficucprioripropofinone cum Toco confonabac fin eam > quam Tocus ad aliquam diffonam Partem; :

difibnabic

& ab abfciffaparce & a Toco.

Primummembrumnititm'dxiomate V. rae&'pofierioris memhripartimghod verb. tale Rejidttum la vna , quod Kejiduum dijfbnet dParte ahfiifja. diJfonetetiamaToto,ficprohatilr.

•

Capit enimidyindiiktproportionclocumtotius circuli perfigura indemonfirabilem divifi : quare etfi Refiduum tale , efiminus toto circulo , cujus efiRefiduum } at, majus tnmen efifimicirculo , eX definitione Rejidui , ^nod (i mafus eft femicirculo fto :

quartz igitur circuli fuipars,qitippe dimidia.femicirculi,mi-

Quarevt Refiduum adcirculiJiii quartum.i fic erit aliquis circulus divifius afigura indembnfirabili , ad aliquamjuam partem divifionis illius At dijfionat totus talis circulus a talijuaparteper Ax: III. Dif diBum Refiduum , a circuli Jtti quarto , pcr Ax: V. Diffionafinabit iqitur nor efi Refiduihujus dimidio.

bit igitur etiama totofio circulo, per Prop:

Corollar

VIL

um ad has pr opofitiones. Sunt ergo

ConfonaePartes.

I,--_ -

2.--

Diflbns Partes.

s--

1. 3.

1. 3. s-

—

-4. -

- -

7---"-

..__.,

7-9.-

—

* •_".

Refpe£t_Totius

2. - -

I* 3-

*."$

Diflona Refidua.

?•------3. 4. -----

I, I.

C cmfonaRefidua.

•7.

$r -

7. II.

" $•

- -IO.

7. 11.

-12.

9. 11. 13. 15".-

-16. -_o.

11. 13- 17. 10. 13.

17- IP- 23-

-24.

cajcera

CAPVT

De PROPORTIONIBUSH

CAPUT

Dq fe&ione Harmonica Chordas. Hac5fcenus Originem docuimus Harmonicarum proporcionum, eamq,duplicem,unam immediacam afigurisdemonftrabilibus,ijfdemq;&congruisj alceram mediance proportione duCum aucem infinicae finc pla , qua nicicur coriTonanciarum idencicas. liarmonicae proporciones,ejeq,quoad noftra cognicionem adhuc rudes

innominacae , coacervacaefeudifje&aepoimpolicae inconfpicuae tius , uc aliqua rudium lapidum lignorumq; copia; fequitur uc progrediamur adeas poliendas, ad nomina ipfis indenda ,deniq; ad pulcherrimumasdificiumSyftemacisHarmonici, feu fcalae Muficae exijs excruendum." cujus confticucio non eft arbicraria, uc quis cogicare poffic,

non invencum humanum cale quod mucari eciam poflic, fed Racio-

, Nacuralifsima^, adeo,ucDeus ipfe Creacor iHamexprefconcemperacione mocuum coeleftium. Coagmencancur (eric in aucem Proporciones Harmonicae in unum Syftema,per fecliones chordasharmonicas; quse quoc fintnumero> idhoccapice perquirendum

nabiliffima

cric.

D EFINITIO, °

Cum tota chorda fecatur in partes tales,quas & inter

•sr

H f J

ssfe, &cumcoca fingulae confonenc : feclio Harmonica nobis dicetur* ^MediumverofedionishujusjMufice^ideftcdnfonej proporcionacse, /ieft parcium duarum aequalium una; velfi inaequales ,earum Major: ex\ Med: crema proporcionis confonae func , Pars reliqua vcl minor , & Chorc?

Extrema <*3 COCa,

Objervet Ceomeira Analogiam proportionis divindt ,Jeu(ecundum Extrema$ Medium : in qua Tota habet eandemproportionem ad partem Majorem ,quam$ Majorbabet adMinorenLs. Qitodeniminhacfeblione Geometri-

ca eft Proportio eademiid in nojirajefiione Mujica eji Qualitas eadem, qu<e ConConcordantia , Congruentia, Harmoniadicitur. Cave tamenjubJbnantia ,

Jumpjeris Confonantiam^ecie eandemyJicut illic Proportio efi unictu.

Veteres huhusJeBionistionmeminerunt hocfinfu , quiaverasConJonantiarum caujas nefcivermt : de ipjorum verbjetlione chordx , agemus infirius.

Proposxtio

Se&io chordas iri parces duas sequales ,

IX.

eft Harmonica.

T{as»

——

H ARMO N

CIS

I B. 111.

T^amquiapartes&qualesfinumedunt eundeminuna afrqua per Axioma II. ToU -verb ejljingularum dupla ; confinat igitur identke cum earum unaqua%,per Prop. I. Tresigiturconfinantidt > quareperr depnitioncw \ ChordaficTn ejl harmonice. (

tenfione,

__ t

y.3g-y5L--

_•__!

—•$— _

fiea

^"'X*" qutntibus cau(a captus faeilio-

iis.

P ROPOSIT IO

Se£tio C hordx in duas partes, proportionis cft

dupbe

Harmonica. Etquia

Partes cnim hujusproportionis confonant identice,per Prop.I. pars mdjor efi dupla minoris , tota igiturefitripla minoris. EJf

^ S

ad partem trigonico latere re- H~_}T(. fecfanLs _f confinam } per Corollarium ultimum capitis prioris : quare^ ipJaTotupartiminoriconfinaeJi ,per Ax.P.Confonat, _ igitur adminorem , "Vt circulus ,

igitur _f ejus dupU ,fi. Refiduo, per Propofi IJ^. Tres igitur per

hancfirfionem confinantU conjiituuntur, Ergb.

~_IXT5l

—

~\~~i~

PROPOSITioXl. Sectio Chordas in duas partes icer fe triplae, eft

proportioni s in-

Harmonica.

JSlamquiapartes.i.£$ $.funt adinvicem tttpars Circuli Confonaadtotum ,confinabunt £$ ipfiinter fe,per Ax. V. Etquiai. _? ?. faciunt 4- pars

cum

toto 4. confonabit per

Axioma

_? per

Pro: III.

Deni%

L _- A^, -' fl

quia Rejiduum

3. confonat,

bitetiam cumejus quadruplo 4.

fic:

cum

parte

conjona-

cumtota cborda> Qupre

—

_f*

—

!*•

~~ ~"V""+"

bktresfimt confinantU.

PrOPOSITIO

Xll.

Sedio chordae in duas partes proportionis inter fc quadruplce, eft

Harmonica.

Nam quia partesfunt in quadruplaprop: confinani igr inter

— <_-$•-

_? 4.fkciunt /. ergopars 1. cum totzt s .confonat ,per Axioma /._? Oorollarium diclum.Quaretotn,

B _____ £~

Jeidentice,per Prop. Ill.ii quia

/. confinat,etiam cumpartisi. quadrupia 4, perPr.I^, Tres

igiturfiuntconfinantia.

Ergo&c.

ftra ufitau,

— —

'—§

—

PKOP.

De Proportionibus

24 .

Propositio

Xlll.

Se&iochorelannduas partes proportionis

intci*

Ce quincuplae , eft Harmonica. Namquia pars efi i. rejiduum f.habent igr.proportionem, quamcircuius totus adpartemconfonantem,per Ax. I.£f Corollarium diBum. .

^uare ipfe interje confbn<eJunt , per Ax. V. Et quiapars I. Rejiduo cum f.facitS. totum : igitur(per Ax.I. tf Corollarium) Et quia, Rejiduum /. eftadquarpars i.conjbnat cum toto 6. tampartemdetotoCirculo6, (Jcilicetad ij.hujus divijionis ) ut Circulus totus 10. ad partem confonam $.per Coroliarium : quare fif Rejiduum f. cum toto 6. conjonabit , per Prop. VII. Velquod eodem redit , quia Rejiduumf, eji ad tctius Circuli 6. duplum 12. utpars conjbna ad totum ,per Corollarium : quart zf Ergo etiam cum hoc Rejiduum f confbnabit cum 12 duplo totius, per Ax V. Jimpio,Jc. cum ipja tota 6. confonabit , per Frop: IV. Itatres fiunt confonan•

tia.

Ergb&c.

PropositioXIV. Se£tiochordaeinduaspartes

proportionis intef

fc fefquialcerae, eft Harmonica. Namquiapars2, cum Rejiduo 3, confiituit proportionem (ejquialteram habet igiturfi Pars ad Rejiduum, ut aliquod confonttm Rejiduum z.Je habet ad circulum 3 per Corollarium ; quare tf pars htec a. a

Q §

' _,

cumJuoReJidud3.con(bnabit

per

Ax.V. Etquia pars

2. tfum

!K-«;"5r; rejtduo^.facittotumf.parsverbi.ejufyrefiduumq.cumfuo toto f. conjbnat per Corollarium : confonabit igitur etiam

——

~""V""- " "

tota f .

cum conjona Partis 1, dupla 2.qux hoc loco nojlra Pars eji,

Idem Jequituf etiam V. parteprimdaxiomaticd; quia Jubtenfa duabus Deni% quia partis 2 Rcjiduum quintis demonjlrabilis eji,quare tf Conjbna. 3. efi adtotius f.partemquartam , ut totus circulus 12. ad partem confbnam Rejiduum nojirumj, cum toto f.Pef f.per Corollarium : confbnabit igitur Ergo. Tresigitur conjonantiaexijiunt. Prop.VIIt velcumconJoniReJidui4.dimidio 1. Per Prop: IV.

Jimpliciter

Propojitionis

PropositioXV. SectiQchordann partes duas,proportionisinter {cjfuper-biparciencis cercias >feu 5. ad 3. eft Harmonica. alicujus RejtNam quia proportiopartis 3. adReJiduumf.eJi eadem, dtti^. confbniad totam f ,per Corollarium : quare per Axioma Vetiamnojira

pars

Et quiapars3. cum refiduo f facit toconfbnakt cum tota 8. Deni% quia Rejiduum f.ad

cumnojlrorejiduo f. confonabit.

tam g.quareg Coroliarium,pars 3.

Harmonicis Lib,

111.

f.mdtotius S.partem dimidiam 4,Jehabet ut tbtus eirculusf. ad Rejidimm 4 confonumi vel adtotius S.Partem quartam z.vtto.

tuscirculusf. adpartemconjonam z.perCorollarium: confinabit iaitur Rejiduum nojlrum etiam cum Toto S. per Prop: Vll.

Tres igitur i$ hicfiunt confinantU

Ergo.

Propositio XVI. Sichordaieceturinduaspartes Effabiles, intcrq,-illas&cocam,hoceftincer cres cerminos rueric ditTonancia una; oporcec& akeram diflonanciam incer illosefle. Nam caufa diffonantia erit quod veltota velpars haheat numerumpor,

Atqui talis Numetionum iflius divifionis,pr:jpriumfigurxindemonflrabdis. rusne^maiorialicuiNumero. quiproprhisfitfgurxdemtn(irabilis i confinejo)

ciatur

ne^viliminorifeipfo, per

Akidnm 11 1. g? V.

Terminus igitur iile, qui conJiaL numero tp.li Portionum , minisreliquis ,Jeciionis iilius

;

Prop:

diffonat,

L V. e? a duobus ter-

i^ficduxfunt diffonantU fimul.

Huic propofkioni in geomecna fimile eft hoc , quod fire&afeceturinparias EfFabiles, fueritq; earum una incommenfurabilis alicui Tercia: ( non Tociex ucraq; compoucaj uc hic): alceram quoq; eidem Terciae incommenfurabilem oporcec efle. parces incer fe incommenfurabiles utraAuc, fi recraiececur q; eric Toci incommenfurabilis.

â&#x20AC;˘*

PrOPOSITIO XVll. Si

chorda fectetur in duas partes longitudjnfc

EfFabiles, fuerincq; incer.illas

cocam, hoc

eft,

incercrescerminos,

confonancia: di\xs pporcsc &c cerciam efle confonanciam.

tres:

Si enim dux confinantia funt , cumfint proportionum non plures quam nonpoterunt igitur effe dutt diffonantix : Jinondu<e. dijfonantU , ergb neg

1. converfum: Ergoomnes tresproportioneserunt confinantes. Sicin Geometria, fi recta fececur in parces incer fe commenfu-

vna,per

rabiles>totautriq;partium erit commenfurabilis.

PropositioXVHI. Sectio chordae in partes duas longitudinc E ffabiles, inquavel Toca velParcium alcera numerurn porcionum acquiric, prophum figurse indemonftrabilis, (quando quidem Numeri 5c Tonus & Partium incer fe Primifuerinc ) non eft Harmonica.

X VL

Fiunt enim ex tribus trium terminorum fri~ Demonfiratur njt ad minus dux diffonx , contra Definitionem fr&miffam*

fortioaibus

De Proportionibus

26 1-

Bic funt tria exempla in primo major pars, eft fepcem odlavje inukimo Minor eft unaNona; inmedio,Totumcapicparcesfeptem> ,

omniadifsona.

=£-7. 7-

Loca fic El notaca , Hotis uficata; Muficse nequeUnt exprimi»

Proposxtio XIX. Poft Octogonicam nulla datur fe&io

chordx Har-

monica. Sequentes enimftftiones autfiunt perfiguras tndemonflrahiles } ftcllas

earum^

& tunc partes/icet, inter/e confinare pofimti tamendifionant a totOjper

Ax -III. Autperfiguras demonftrahiles tekxdecagonum;

demohftratione impropria, irtperPen-

difionanttfe propria partesJeBionis atoto

per CoroHariumad

Ax.lll. Autper demonftrahiles demonftratione propria: qu<z poft Peniagonum 0* mnes funt parilaterne , vide lihrum I. Ergo partes tnlium JeBionum proprias yoportet conftituere numero portionum feBimis impari ; ft enim parinw

merofumerentur,Pars efiet non hujusJeBionU fedprioris propria-.njt divija chordain io.fiportionum4.vel6fimpferis,perindeeft,acfidivijachordainf.Jume« fes portionum 1. vel j.Cumergb Parsfit numero impari; Tota numeYopari: ipfii quidem Parspoterit confinare Totifi nonfit major quinario (per Pr. V.) at unA conjonantia nonfitfficit adfiBionem harmonicam, vt patct ex definitione: tune *verb difionumerit Refiduum : totaenim ponitur portionum plurium quam S t f$ Kefidui definitio eft ,iJtfit majus dimidio,fi: ma)mquaM4. Minimum ergb Refiduum in diviftone oBonaria, ejl f. in numerofiorihm eft majus quam /. ln omnihus ergb fiBionihm Chord&pofiOBonariam,Refiduafitntimparinu~ merOy majori quam f At qui Numeri impares, majores quam f proprifjuntfiErgbpep gurarum indemonftrahilium , per XLr '$ XLrll lihriprimi. Prop: XVIII hujui, Refidua heeccaufanturfiBiones non bdrmonicM. .

Oorollaria. Scctiones unius chordxHarmdnicas funtnumero feptem non plures. fic II. Propagatio numerorum , quifbnt chara&eres feflioftuiii 1.

•

hocpa&o.

frucioponitur Fraftioaisforrnft Totiim, uriitasfcilicetfu-

prapro

Harmonicis Lib. 111.

27 CAp. n.

pra pro numeracore, &unicasinfra pro denominacore : deinde ucerqmumerus feorfim ponicur fupra, &fummaucriufq;ucrinq; infra; ucexuna qualibec frattione duo oriancur rami , eoufq,dum ex fumma fiac numerus index figurjeinde-

7 I

monftrabilis.

Has fe&iones chordaj feptem

pri-

mum audicu indice inveni, cocidem nempe, quoc func Harmonias ftea caufas

Canfkfepte hujuc

jiarij

non majores unaDiapafon: po-

fucceflWe invcnta.

& fe&ionum fmgularum & univerfa,

rum Numeri,non fine labore ex penitiflimis GeoLegac curiofus leclor mecriae foncibus erui. Myqua: de his fe£tionibp ance annps Z2. fcripfi

fterio

Cofmographico, CapiteXII. &perpendac,

quomodofuerim illploco hallucinacus fuper caui 5 1 Idem. Harmoniarum perperam nifus, fisfe&ionum & earum numerum & raciones deducere exnumero quinq; corporum Regularium folidorum: cum verum fichoc pocius, cam quinq;figuras ;

fohdas , quam Harmonias Muficas & chorda; fe&iones , communem habere originem ex figurisRegularibusplanis, Ec Pcolemau quidem j norataca Muficacumexpoficione Porphyrij.quorum loco allegaco mencionem Ptoiemao & P°rpty. feci, hadtenus manufcripta nactus fum 3 ex liberalicace Jo: Georgij Heervvardi Canceilarij Bavarici ; cx quOrum libro cercio parcem pociorenv in Appendicem ad libros IV. V. hujus operis cranftuli: caufas vero Harmoniarumgenuinas in ijs non invenbadeoq; nefe&ionumquidern. harum , Numeriq; earum feptenarij , ulla ficmencio. Ecfiverdmacurefacisanimadverci, caufasafiguris planis pecendas;uccujusreifeminajaminallegacocapiceXII. Myfterijfparfa vidcs.* atcamen diu admodum me corferunc , priusquam omnibus animi mei Primumenim Figuraedemonftrabiles a non defcrupulis facisfierec. monftrabilibus eranc feparanda:;poftea caufa invenienda, cur cum fecT:ioneshaeefsentexfiguris,fedtionesquidem intra feptenarium confifterencfigurae ininfiniturjn excurrerenc, Tertio difcrimen inter Pentekaedecagonum demonftrabiles caeteras eratftatuendum quia vidi , figuram illam exclufam efse ab Harmoniarum procreacione , tefte audicu. Ethabebanc fingula capicafiias cautiones concifiores,quarumunaquaelibecmediu tenuic occupatum. Exemplofit propof. V; quam ultimo omnium , cum jam defcriberem opus, vidi addendam,quod haftenus ignoraveram.Nifi enim illa intcr principia efset, ©t,fiverbicaufa,feptemvicefimaeproptereaefsentapt£ead ftatuendam harmoniam, quiafunt per tres vicefimasfcum quibusfemicirculumfaciunt)demonftrabiles,cunc&feptemdecimse,&quinq;feptimae,e6q; dua; , &una , fepcimae, harmonias facere convincerentur, quodora-

,•

nibusmodisrepudiant& aures,& Axiomata nio,

noftra.

Igiturvelfoloalle^acblibrimeiMyfterij cofmographici ceftimo* fatis eft municus audicus , concra Sophiftarum obcrectationes, '

fidem

De P&oportionibus

fidemauribus derogare aufiiros eirca divifiones adeominucas,&diji:Tdicaicionem concordanciarumfubcllifTimam.• quippe cumvideaclecfor cero tcftimonio con e fidem aurium illo cemporc fecucumefle , in confticuendo fe&ionu CP " numero, cum adhuc dc cailfis laborarem; nec idem hic fecifle, quod fescnaiius. cere Veceres ; qui aurium judicioprogrcffialiquacenus , mox concempcisduGibus,rehquumicineris, Racionem erroneam fecuci> perfecerunc;auribusviquafipercradT:is,&plane obfurdefcerejuflis. Ex abundanciveroinfracap. VIII, hujuslibri operamdedi, uc cuilibec effec in &&. pfomptu faculcasfuopce Marce confulendi audicum fuper his alijfq; ,.

chorda?divifionibus ; earumq; ceftimoniunipcnficulandi,- uc Cercus fit» ea>de quorUm caufis laboramus, fenfuum cxpeYiencia cercifllma nici necfponte mea (cujus criminis Pythagorei inparce reifunt)eflc cjonficla, proq,- veris obtrufa,

CAPUT

IIL

De medietatibus Harmdhicis, &C Triiiitate concordantium fon orum.

Vanaeft definitio propoitionis Harmonica*, quod fit illa

ubi tribus Nnmeris ordine naturali locatis , binorum vicinorum

Exceffusfuntinprdporcione Excrcmorum: vcinnumeris fic etiam dif3" %' ^* &• maximus 6. eftduplus minimij. ^~X~^" ferencia z. incer binos vicinos majores 4. 6. efJt dupla diffe2F v^* renciaei. interbinosvicindsminorcs 4.?. Inferam camenmodum inveniendinumeros concincnces talcrh n Harftitueudi° proporcionem, Muficam ab auchoribus diclam quiaerebro ex quamcum- moniea dodtrina cranflumicur in Echicam Policieam. Moaus eft caro ^ duobus numcris interfi Primis,quieontinent proportionem^ Ex* us p ^emMufici cx fcntentia tremorum ( e tribus mufic? contemperandis exjententia veterum) i$ differen^ •

\._

— 2l

vcterum.

tiarum vtriuj^ a Medio ; Multiplica vtrumft injeipjitm Z$ ambos in/e mtiiitb : Jhclprum trium duos minores adde pro Minimo inveniendorum , duos. majore» adde pro Maximo , Mediumduptica pro Medio Mu/ico veterum' P^erbi cauja» fint inveniendi tres numeri inproportione Muficayeterum tali, hrt Exiremi ha*beant interje proportionemeam, qUx. ejl inter j. tf $. Ter 3- fi*nt 9' er / rfefy jf.Quinquiesf.(unt2f.Junt igiturfhctiy. if.Zf. Adde 9. f$ if.fiunt 24» Adde if. £$ zfyjiunt 40. dupiica if.fiuntp. Sunt igr hitres qu&fiti 24. jo.4.9. quorum differentitt (Extremorum a medio)6. 10. Nam vt j, *df.fici4-*& fn minimis interje Primis iz t if.zo. . 4o.fic etiam 6. adio.

Haec quidem verc eftharmbnica prqpdrtioetiam mihUquianon tantumpropofitaproportio incerj.c. cftharmdniea,perPrdp: VIIL Iknchui CoFdlLfedeciaminvencus Medius numCrus ic.confonasfacicpropor-» kuJ utmo<ii-cionescumExcrcmisi2.&: 20. per idem Coroll: Achocnonfempee

Quotieseniminterduosnumeros hoc pa£io propofitos, mediura Arichmecicum cum excrerais diflbnanfccs proporciotiej decerminac, fit.

wcies

Harmonicis coties

proveniunt ctiam ex hacoperatibne cres numeri in proporcionc

revera folicarij

Lib. III.

non Harmonica quamvisduo irticio ,

propofici

proportionem

•

concineancharmoincam.Sicfic jn i.G. ini.g.in j.4. in 4./. in j.<j. Verbicaufaincer2.5\hoceft4.io.mediccas Arich-

z.$. in?.8- in5- 8-

mecicaeft7.nonharmonica,quia7neq;cum4.neq;cum 10. confonat, per Pr. V. Operare ergo fecundurri Regulam > prodibunt numeri j4.20.3y. cUmexcefllbus<5 1/. ubi 20. fecundii veceres dicendaCffcc

diecasharmomca,quiauci4. ad J5.(ideft2. ad^Oica^ad

resomnind repudiant 2o.35.(quippe4.7.)

meAcquiau-

15.

& 14, 2o.(quippe7- 10.)

In fectionibus igitur harmonicis cap II. cocidem fe orFerunt mediMediecas inillis quidem feetaces,quocfuncfe6tioncs,unaminus: ctionibusfumitur ftrichorifignificacu,qucd ficchordze harmonice feclac ininasqualia,Pars major^feu nrtmerus illamexprimens. Sic 2. eftMediu

harmoflicum incer irtcer

/. 6.

1. 3.

ficj. incer

4. irtterq,^/. fic^. incer /./. fic /.

lnrerq; /.8-

Pracer has vero func eciam alia;Medietates,folutae haclege fectio r s tociuschordxirtparresduas, comprehenfaetamengenerali rtoftra fecantesnon chordamunam, ucprioricapitc, fedpro» definidone portionem chordarum,inminoresproporciones confonas. imum orriries proporciones majoresduirefolvuncurinfuaprincipia ; ablacione yrooorcionis dupla?, uc 1. 24. conftac ex cy iacuor duplis( lc. ex fedecupla) & fefquialrera QOare Medieraces Harrrionicse hoc 0'" iem nomine mcer 1. 24.incercedunc iftcC t. 4. g?i6. fuperius collocata fedecupj& Vel lftae 12.5. j. 2. Vna dupla fuperius collb;

•

cata, tribusinferius:

nam

variefieripoceft.

Deinde Proportio dupla refblyitur in has confonas .?; 4. &2. i-yelin^.^. 6C4.5.& /i6.velin4./.&/.g. velin/;.<*<&3. /.Deniq,- fefquialceras.

fiej./.

refolvicurin^./. &/.<?.

in3.4.& 4./.

sarrttsi:

—

—-n ..—

Sic/. 8un/.

$__* u .__$ ~:zs A.—8 _$_> ,]it

&J.4.

~*-2-fl —^iol^U +3 4 *?&*%, Tresigr if_piopornor&s£. 4-&4./. &/.£.funcexconfbnis ffiinimar, hocefhmmediacae.feu medio Harnioriico carerices,c*cerarumfcilicetElemenca confona. Ex his aucem fequicur, unius dupia? duasefse pofse mediecates, »>«• M e inter fe quoq/confonas jidq,fexies. *Nam quia duplahabet triaEle- Haimo "*

mencaminimaconfonaifexieseorumordo poceft variari. Nam 4* 3. achordaminori,velmedio, vel ukimo ; & in uno quoq.cafu, reliquorum Elemencorum auc majus 4. /. eft verfus chor-

vel eftprimo loco

dam

aiinorem, autminus/.tf.

Singuli cafus func exprimendi ftngulis ucintabellafequicur,

Numerorum

Quadrigis,

Ordo

De Proportionibus

30 CAP.IU.

Ordo Proporcio- Fafciculus binarum aum Confonarum mini- Medietacem Hacmonicarnarum in una dupla.

Exjhis verofcx bigismedietancum harmoaicarum , una ibla, in niin. \.$. io. pacitur definitioncra

iiunincec chordas Propor-

rnecis /o.

cioms dupU.

vececum.

Namu.eftmcdium

fillorum

Muficum inter ip. &i/.nc ir.eft medium Muficum intec l z. & 20. Exceffus enim tunc *; 3. 5.VC rero cxcremi unifcnfu )

£* o c w

« g c

H-3. 3

^- z*5£

J-4

—

§,

us tcigaeio ad/5. fiei. ad;. Etutexctemi alcenustrig*n.adio.ficj.ad^> .

5- 6. 8-

~~sS~~-~J

±1

JS-..

S* 6.

—e

)0. 19

—

5 S1

? —

>-**

— 3r

L 4

10. 12. 15.

ISf

/X «f

^.10

12^5,20.24.

-5

—A-

3^4.

~l~t~ZZZ'J s

)5.

20. 24. 30.

-^jo

Cum ergo

Chordas proportionis duplx conio-

* ^cIncor-^Pt idencice;incer iUas vero rion poffincefle una vice plures quam duae dantiarum.mediecaces , cprifonances

& incer ie & cum duplis ipfis: hinc orca eft fa-

mofa illa MuficorU m obfervacio , qui

harmonias quoccunq; voccs praeterea accumulentur ,, fingula; in trium unam redeunt per duphe proporcionis confonantiam identicam. Quamvisenimexiftatunaconfonantia ex omnibusiftis chordarum magnitudinibus 3-4.5.6.8'/o-/2. 16. 20,24. atquicquid eft poft 3. 4. 5. chordarum, omne id in uham harum redicper identifonum : ut 6. in3.&8- in4. &/o. inj-.fic 12. in6, &3:fic irf.inS. abfolvi mirancur.

zTizzt-:

£PS ;

8. «•

¥.+—*--

10-.

^SSZZ 10

14"

& 4: fic 20. in /o, d*

fic24, in 12. 6.

trinis vocibus omnes

Nam

Caufamhujusreifruftrapetuntaliunde, alij ex trina dimenfione quantitacis perfeda?,feucorporis; utquod patet inlongum, latum& profundum:alijexnumeriternarij perfe£tione.*alijab ipfaadoranda Trinicace, in Divinicace. neq,- (olidaquantitas-hoc nego-. gotifiingredicur, cumorcumharmonicarumproportionum cx figuris

Fruftra,inquam,

omnes:Nam

planisdocuerimus, longiftime diverfa fic, caiul fcienciae,folida quanHcas,aplana, quippc illaduabusmedijsproporcionaiibusucitur,quas iciri

Harmonicis

Lib.

I II.

fciri promifcueeftimpoflibile: neq;numeriulla vis efle poceft , quaccnusucnumeransconfideratur neq;eriamorigo hujus Trinicatis immediaceeftabeflenciadivina,percau(ationemexemplarem ; cumap,•

paruericftipra,componicaufamreiexprincipijsexplicacis,qujenequaquam intendunt nunierum aliquem vocum per fe fed qua? voces ipfas interfefingulasfinguIiscoapranciaharmonice,&ficquafialiudagencia peraccidensefficiuncaliquidfimiledivinis , propter eundem numcrunv quod idem etiam in plurimis rebus alijs frequenter concingic. ,•

Brevicer,

rum

Numerus hic cernarius non eft efficiens caufa Harmoniai

Non informac harmoniaSjfedeftformxrefplendgfcencia; Non eft materia vocum harmonicarum,fed eft foboies procreaca ex maceriali neceflitate: Non , fed erFeclus ipfius , feu eftedhe

harmonix comes

,•

ovWiKCt, fed eftextremicas operis

; deniq; nihil eft dereipfa Ensracionisfecundarium, mentis concepcus, feH.armonica,fed eft Cund^incencionis. Nihilo magisemmeftquauendum , cur vocesfolum cerrta; confonent harmonice, qua rca omnes aliae per duplae propornonisconfonanciam redeant quodammodo inidem: quamcurfex

eft finis

tantumbigtfincinquahbecO&ava, -formse.

Vcenim

fena;

confonanciarum criplicium

Senarius iftenoneftaiex diebus crearionis;ficneq;il-

le Ternarius eft propterTrinicacem perfonarum in Deicate.Sed cum fie Tern3rms communis reb 9 divinis & mundanis ubicunq; is occurric;fu* perveniensmens humana,caufaru ignara, confpiracione hancmiracur. j

CAPUT

IV.

Dportuconcinnorumintervallorum quae Confonis minorafunc

Cumfenfus teftetur, Exchordis asqualiterteiifis > illarum fonicus effe graviores , quae func lortgiores , illarum acuciores * Qa;a GraJ ve? Grave , differencise quaebreviores: hincVoces ifbe )un&x Acutxm feorfim fingula?q.dem ajiarum fingula- ^jfnf™" func Harmonices propria?. Nam rumfuncfcientiarum in quibus copulancurcum oppoficisaIijs;Acu- QnidProtum curri Obcufo, in Geomecria; Giave cum Levi> irt Phyfica. Ec alicer, o"fau ™/ :

AcutuminMechanicisfonacfLibcilc&penetransiGraveinfenfUalibus fumitUrde odoribiis, qui, utgravia pondef a> ob quandam magnitudinetn, funtimnus tolerabiles.lAcjuncte Acutnm^ GWw,interq,feoppofica», non nifide vocibUs accipiurtcur. Retinenc camert aliqddepriftirtofignificatu.NamucinGeOmecriaAcuturrt eft minus Obtuib, fis eciam in Harmonice, vox acuca fortac parvam,eoq; pertecrancem altam, idiocifmo Teutonico,& voli cancem quafi in fublimi.pp quandam levicatem. Etut inPhyficaGraviahabenc magnumpondus, Leviaparvum: fic eciam hicGravis vox fonac magnam: ucq; Gravia ln libra fundum &inferiora pecunc, levia inalcum exfiliunc; ficeciam inHarmonice ^ vox gravi3 prbpcer magnicudinemrepucacur proponderofa, eqq; inferiorifeu profunda (bafi?.) » vox acuca> ucidicfiam , pro aica.

Nam

tumj

•-

De Proportionibus

32 «

Namquod in TeftudineHypate,ideftSumma, edebacgravem fonum, ideftcantuobejusfitumininftrumencojvcadhuchodiejnon ob

aliqua.

fupervolicancibus. Sicus aucem Vocis fimilicudincm cum levibus cjus in inftrumenco racionem habecmechanicam> ex eoquodNece, id eft

Ulcima&Infimajquiafonacacuciflime,

fuic

pulfanda creberrime;

cum parvis conveniac mocus velox: & vero dcorfum pulfamus expeditiusobconformacionempoilici3,quamfurfum. Acccdit inccr cau* fas,expcrienciaguccurishumani. Nam &viri communicer proceriorcsfceminis ,adulci pueris s graviorcm eciam vocem emittunc, quafi profuridius pecicam; & linguli homines, ipfbfenfu cadl:usdocence,graviorem vocem profundius eliciunt, altiorem fuperius; <& qui graviflimecantant,corpusexcendunc,ucquamprofundifiimevoxexeac. Tenduntquidemcollum etiam qui acute canunt,fednon ut longum collum faciant,fedutretVius conftringant fupremos circulosgutturis. Hisigiturde caufisnatus eftinHarmonicisconceptus Alci&Profundi , pro quo crebro ufurpamus Acutum & Grave. Cum lgitur Altum&Profundum fintaiiasvocabulaloci, confuetudofermonis, haec fua principa fecuta , vocibus etiam id accommodat , quod locorum eft

SShiter proprium,fcilicet Taitum.

diftare dicuntur.

Intervalla, Grxc&JicLSiffJLalcL.

Nam loca ^WgctVCLl

Deniq,difciplinaHarmonicahancvocem etiamin

pi&uras feu Diagrammacatua(dequibus inferius) cranftulicquaealprofundis lineis conftanc , quo pa&o refticutus eft illi lenfus Getis ometricus. Qua; igitur ha&enus diccbantur Proportiones chordarum , in pofterum fere dicentur Intervalla vocum , quas emittunt chordae longicudinis ina:qualis. Nam voces idem fonantes, quibus refpondent chordaeex aequalicer cenfisaeque longa: , Intervallumnon faciunt, cum fint altitudinis ejufdem. Etfi libro V. abftinendum eritab hoc fcnfu vocis Intervallum i propterea quod ibicrebroufurepetenda eritvox ifta infenfu aftronomico, de linea re&a inter Corpus Planeta; Solem , item , de eo fpacio

quodinter diverfos orbesintereft. Cjujd lupe-

nns quid in fer.usintexTailaru.

Porrdficutpraecedenti capite proportiones bifariam confiderabancur,fc.vel fmgulaeper fe ipfas, velinvicem comcaratae caufa ordij r j L r r nis, qui extendebacur acompohca: ahcujus proportionis terminoieu chorda minoriad majorem vel Iongioremj& viciflim : ficnunc ecia Intervalla velfingulaper fe, velinvicem comparata,confidcrantur caufa lociharmonici; ut incontinuaordinatione aliquotintervallorum, (fic .

utbinafemper contigua,habeanteundem terminum communem,qui fic unius major terminus alterius vergentis ad graviores voces minor) ,

femperilludincervallum dicatur inferius,quodeft inter voces graviores, illudfuperius,quodeftinter acutiores. Qjiae lat«r-

Etin Geometria quidem proportiones agnofcuntur aequales, li«

Taiiassqua-

cec fint inxquales terminiunius, cerminis akerius, &exceflus termi-

^ 8,

norumunius.inazqualisexcefluicerminorum alterius: Utfifinttres chordas in proporaonenumerorum 4. <$. p;eademcenfeturproportia 4. $.

H ARMONICIsLlB.lll. 4. 6. 2.

qax 6.

non obftanre quod cum ipfi cermini , tum etiam exccfsus

& j. inarquales fiint.

In Harmonice fimiliter omnia intervallavocum a chordis mntejufdemproportionis,venienciu, &cenfenturaequalia fcribuntureciam riocanurriericaeaderri quirieciarri linearum incervallis xqualibus pinguncur iri diagrammace:ficuc penicus oblivifcamur ejiis iriasqUalicacis , quaseftiricerexcefsusdiver-

qu»

iarum ehordarum. Sequicur igicur, uc proporcibnis rriinoris, Incervalla minora dicarrius , majoris Majora , firie refpectu magriicudinis auc parvicacis refpbndencium Ucrinq, cermirtorUm. His igicur definicionum loco prasmifsisjnunc porro difpiciendum Ha&enus quiderri proporciones o- QH eft de differencijs mcervaliorum.

itJ

««

nines,quasconfonase(se demonftravimus,unaaeqiiaiicacis excepca,pro fonaquki cocidemlricervallisiciciemconfonisfuricliabendae ; proporciohes vero diflbna? quas diffonasdiximiis, pro incervallis icidem difTonis. Cum vero incer 0uidr difsonaincervallamagnaficdifferencia: fic ucnon cancii confonaaNa- vifia concuradocearicuri&illiusiriftinctuab audicu probericur fed eciam alia clnn 3 >q«i4 mirioraIncervaiiaabeOdemfenfuftabiliancur,-qu«licec difsona finc, ciufaNo-' ,•

apcacarnenfunc,perquasCancuscraducacur;Harmonice Naciiram fe- mims? cuca,nomeriijsimponicCoricirinorum, eaqi diftiriguic ab Inconcinnis, quae riuliias cancus ordinaci cra&urn ingrediuricUr ; Grxcc dicuncur

Qupd riacurae irigenium in difcrimineConcinriorum & Inconcinrioriimcumviderenc Veceres: quaerendumigicurexiftimarunc, quod-

nam

efsec corrirnune orrinibus Cbnciririis

Corifbriis

minimum

Ele-

mencum, ex quo fecundum aliquem numerurri furnpco >

quodlibec ex Neccfse eriirii videbacur Coriciririis coriiponerecur. Confonis exifterealiquod cale minimumlrttervallum , ucfirripiex ; orcuprius ipfis Conforiaricijs > quae videbancur compoficas ex calimiriimo , ucpoce

cum cfsenc

incervalla aliaalijs rriajbra.

Acqui res longe alicer habec, quod mulcis exerriplis dOceri poceft. Narri fi fpecierurri orririiuni tndividua, quae magnicudirie difFerunr , ex uno corrimuni MiriirriO conftanc eric igicur una aliqua minimaquancicas humanaefpeciei,exciijufmodipufionUmcerco aliquo numero,velucex elemencis, quilibec homo componacur, procerusexmulris,pumilus ex paucis. Non minus emm in harmonicis qualicas ifta,Confbrianciaj informac chordarum proporcionem , feu vocum incervallum » quam forma hominis moiem illam maceria: informac , quae hominis cuceambicur. EccuroblicifuncGeomecriae,inquaplurimafuncexerripla orrinis generis quancicacum incommenfurabilium > quarum definicio eft,nulla penicus communi menf ura , quae fic ex eodem generc quanncacum,canquamaliquo compoficiortis Elemenco quancicaciscercse,communicare? ;

Sic igicur cenendum eftjncervalla confbna(praccerquam quorum 'nwrTalia

unumcft alceryMulciplex) efse, ucprbporciones illasipfaSjincorrienfu- i^.Xcom

rabiiia i menfurabilia.

De Proportionibus

54 Cap

quidem , ut quamvis eorum differenciae numeris exprimantur,quodinfimplicibusnumeriseftfignumcommenfuracionis,ha:camen differenciaj, quippe non fimplices numeri, fed fra&iones , non finc differencium pars velpartesaliquocas, fecundum aliquem numerum. Verbi caufa duae proporciones i. z. & /.4. fimtinterfe , ucnumerus |. ad numerum 2. funtergo commenfurabiics , nam 1. 4. eft dupla ipfius Nam in fcric 1. 2. Hocinfola feriecontinueduplarum locum habec. triplarum, &ca?cerarum Mulciplicium , nondanturdujeproporcione* confona:,uci.9 eftquidemcriplaipfiusi. 3. at fola /. 3. eft mcer confonas » /. 9. vero eftincer difTonas , per Ax: III. Idemvidereeftetiam ia a*abilia, fic

iv.

non multiplicibus ,

ut infefquialcera z

tiplex&ficcommenfurabilisj

Nam4.

confona, darur fane ejus mul9.eftad.2.3.uc Numerus 1, ad /. 3

at 4. 9. non eft inter confonas. Econtra fint alias dua; confonae, quam ex 2. 3. ha: dua? proportiones non func ferie concinue duplarum , ut /. 4.

inter fe commenfurabiles , hoc eft , non ut numerus ad numerum ; Ex-

enim 3. 8. ipfius 1.4. fuper 2. 5. non metitur neq; 1. 4. neq;2. 3* Confonaigiturlntervalla , Nacurapriora funt minoribusinternecillacomponuncurexiftiscanVallis , quseconcinna appellamus cefsus

quamexElemencis cxillis,

aucexminori aliqua quancicacc

fedconcrahax

tanquamexcaufisoriuntur.

Vbinotandaeft vox ambigua compofirionis ; quse incerdum ortumdenocacreinacuralem,incerdumverd divifionem rei quanticacivam , qua? non orcus eft , feddeftrudliopotius; utcumcirculumdicimusconftareextribustrientibus , dividentes priuscirculummenceirt , auc cum humanum corpus dicimus eise compoficum ex membris * corpus exillis collecujm non quod fuerinc membra ante cor pus , eonftrudtum , utdomus ex lapidibus &Iignis;fedquiaCorpuscaufsa\ molisinhajcmembra, quae fingula feorfimcorpusorgaiaicumamplius non funt, eft dividuum. Priori fignificacu negandum eft,intervalia cohfona vel ex alijs cori* fonis vel ex concinnis compohi ; pofteriori fignificatu fane conftant , 6c ficquaficomponuntur, (quodipfiinfuperioribusufurpaveramus) in* tervallaconfonamajoraexminoribus confonis , Confona mihimaex concinnis &c quia in haec velut elementa difsolvuncur s ac hon conftanc diverfa incer fe ex unius communis minima;fpecieiihtervailisa> liquam mulcis, necincaiiadifsolvipofsunc Quanivis eciam habeanc incervalla confona caufas cognatas » non omnia camen eahdem, fed quodlibccfuam peculiarem caufsatn habet, diftindtam a caufiscscerarum, ucinfuperioribusexplicacum. Confonancia ehim ipfis incervallis compecit, nonutquantafuneficn* pliciter , neq; fimpliciter ut f unt Relationes ; fed ut qualitativae (hoc iffe quodammodo figuratas) funt relationes. Icaq; commune lpfarum minijnum incervallum conftituere velle,res eft impercinen«;cum minimuii* maximum hon in qualitativis fed in nudis quancitatib*,earumq; protria

portiombus eonfiderehtur.Confona vero,uc confona,dividere,eft fpeciem abolere confoni, & pro ea yel alias confoni fpecies , vcl concinn* Non hadifiona , vel eciampianelnconCianainEerVaUa confticucrc* becigi-

Harmonicis

Lib. III.

becigicmr Incervallum caufas auc Elemencaconfonanciaefuaea parcibus veluci principijs ; ficuc quantitates commenfurabiles accrefcunc multiplicacione

communis meiiiurx, __cumhacmenfura fubuno

genere confiftunt

;

& eode

fed _concrario,qua_ veteresproprihcipijshabuere

confonanciarum (Tonosputa_-iemitonia&diefes)eaexConfonantijs

uc prineipijsfuisgenuinisoriuncur. Ecfi enim Conlbna haee conftanc ex illisConcinnis non Confonis, Speeiem

non ex uno aliquo communi.falcem expluribus incer fe diverfimo- f^*^^ de compoficis ) id tamehnonreferendumeft adipfam Intervalli Con- ex ;nume(fi

fonantiam. Si enini Concinna conciliarenc intervallo majori,exfe rocoucin compofito,fuam confonantiam,femper hocfieretinquacunq;concin- p°r tmm. canco melior eflec confonancia, quanto plura norumultiplicationej inincervalfo concinna;Id verofalfum eft, nam ucihfra audiemus, duo toni compofiti confonantiam faciunt_tres compofiti diiTbhans interval-

lum

confticuUnt.

Qupd au tettl confonUm inConcinna diffona folui poteft,ut fequeconfono per fe cpnfideratojplane eft accidentarium:fkq; tan-

tur; idilli

tummodo, quacenusintetfe cpmpairantur plura confona

quodlibec

ex fuis ortum efinit !f. Concinna igitUf ihtefvalla defihiuncuf effe, Ofhhqs confonorurn P Intervain _-. ,) iirf duploihcervallominofum, dirrerenciar: necaliaCOhemha fecipitha- Concinni. prihcipijs.

•

turalisfacultasaudicUSj,quamqu£eexhac fubcra_tione oriuncut

utica

confona incervalla habeanc orcum ex GeOmetria & figuris demonftrabilibus.-Concinnaveroexipfisconfonisjfincq; eoncinna ih ordihe ad confona, quemodmodumin Geometria Apocoma; (lincasineffabiles) funcad effabiles pocenciajquia etiam illa* definiuhcurmbcra&ione linea. Effabilisab Effabili linea.

Porf o comparatiohisfeu abftra-tionis Methodus aliaeft genefalis ortusConfeu afithmetica,alia fpecialis, HarmOnices propria. Afichmecicequide cinnorum cx confoais eliguncur Confona minora duplo, quorurn unum hoh fic alcerius pars talis,qUamdefignaverit aliqua Mediecas harmonica cap; fuperioris. Ihcerfunc ergo naifta.

...__-

o 2 3

;

±& i

-*_$__.$

~-4._8a~-

—

16 * '

j3*x-^-

-I ".- _)^14_$2C~<;~

^.-4

& 6 _1 6

nons, ex ahticipat.

—

t In

.-. ._ ,V _^.____ *_ »&*. x-*f6— *te z *?Sl0 - 'fe_fc_ l *_. i6^[~ -*S-$i©-<--_

Concin

Inttr confo>

-*._.- 6 -*~

„

i-3__fc,____-;_t^:z^:f©z:__8^

Harmonica comparacio Confbnorum incervallorum refpicic orcum eorum, & quam quodlibec ex

4 orcufuo forciaturalcicudinem. Namperomnespro2 5 porcionum comparandarum cerminos majores unus ____ & idem circulus Tqcus repracfencacur,eiqj an aloga 2

chorda mcegrai communisomnibusfe_tionibusHar-

monicis.

De Proportionibus

monicis. Igicuromnibusnumerismajorum cerminorumexfeclionibus^- Harmonicis, fcilicec 2. 3. 4. 5. 6 5. $. qua:rendus eft communis minimus dividuus /2o;5cchordacocaeftdiftinguenda incocidemparfes aequales , uc fbnus cocius chordae confticuatur pro communi cermino majore omnium comfonorum per fectiones fadtorurn , accomodandicermini minores, uc inter fe comparati conftituanc incervalla concinna, qusehoc capice inveftigancur : prodeuric autem eadem , qu« •

priusarichniecice.

Ecce in Nocis exanticipaco.

§5e*±s: i

Et P arti

6 o um

pi»

tfo.

tortio

72. TS* So^o^^iooaio»

iXC.

7 2

7 f

CU O*

§-^ «4

eft

£ 9 O

«5

«S

90 1

£6

100

-—158 IO

100J 6 pe

genefi

»t~T S

120

ConHic igr eft orcus incervallorum

cmhorum

diffonorum., quibus paulopott

fuadabimusnomina.

dicam Sequitur > uc eciam derocu cerciorum incervallorum

p ,

qu»

cancunnforvnm licetconcinnaexquincenonfmc, concinnO camen SS. concinnorum verd ex vicem tw, auc (

limi-

fuftinent. Illa

Cohciririorurri

fubcra£tionibus feu comparancrlicer ucconcinna ex confonorum) nibus oriuntur. Nam incer concinm nafeufecunda Sunctemaintcf vallaifta.

incervalla.

8°

9 8 — & —

••-»•£**

tf w

? 3 C *

«*

o y 9

i *

Q*od

componfc

' P aul ° * d

*••

modum eft min?

*ua_-a_»v.t*

His

H ARMONICIS L

1 1 1.

"His addipoceft duplicacum incervallum jy. 16. Cc.2£$. 256, q,d paulominuscxcedicincervallum8-5>- quam 15. 16. incervallum izg. 13$.

£c priora«quidem cria oriuncur ex fubcractione mucua Concinnorum diverforum: hocvero exaddiyone duorum qoncinnorumsqualium,, fedminus uficacc. Acq; hincemicac

Corollarium arithmeticum pulchrum admodum in numeris & cypo fequenci. '.-.-

2; 4

»«

^8.

4,1

6j.

35.

$•

• 1

24.

i»; 43.

«. 8,1 i

" 1

P-

10.

*!; _J 80.

Omnisic.numcriinfradecem quadracumcum re&angulobino-

rum numerorumillumproximecircumftantium

confticuit incervallu

vel confonum vel concinnum vel Terrinm,excepco fepcenarij quadra * to 49. & rectangulis ejus duobus 35-. & 6j. Sedhicexulac concinnum p. /o. 5cconfona pleraqj, praeter j.4. Eft igicurforcuicum, refpe&u or« dinis

Numerorum

&c facluras hujus cypj.

Fruftracaufas hincpetecanchmecicus,fruftra feptenarij fuperfti-

tioneoccupabirurPychagoricus, ranquamnumerinumerancis: alcius? Geomccria , &. Numeris numeracis figuracis, fcexipfisfiguris indemonftrabilibus , quarum eftprima fepcangulum. Namquo minusulcra dccem cypus concinuari poffic , fequence Concinninacura,nonjamfepcenariusampliusimpedic, fedalij numerifigurarumindemonftrabriiumc-. &ii.quirec~rangulum efficiunc 99. q,d cum quadraco Denarij 100. confticuic incervallum penicus abhorrens anacuraCancus. Ufq; adeo mulcum incereft incer Axiomaca doxaftica& epiftemonica.

res eft repecenda ex

Ordo concinnorum in perfe&ione, 8Cappellationes. Diximusha&cnusde Origine & ordine Inceriallorum, qusefbflc minora cofcfbnis: dicendum rtunc etiam de eorundem difFercnci)s> deq; appellationibus,quas nonplane eafdem cum vcceribus recinerc poifumus cum & in rebus ipfis & in caufis earum , nobis ab illis difce,

dendumfueric. Confentaneumigicureftfupradicti8,prefercimAxiomaciII.uchorum incerVallorum ad concinni nacuram percinencium,quodlibecrccineacnacuram illorum confonortim, a quibus confticuicur. Cum igicur exconfonisduploincervallominoribus^perfeftiflimafincifta^^.&B.^* £3 propcer

.•

—

De Proportionibus

58 CAP;

IV.

Tonus Major quid

"^S 3*

propcerfigufarumNobilicacema quibus origin<5 ducunt:etiafrifoboles earum comunis inccr con-f

NVM

Tonus

rai-

nor.

cinna, fc. 8- 9- ca^ceris encpraeferenda. Hoc igr incervallum comuni cum veceribus nomine TO-

dicamus, &propcerhanc praecellenciam,Tonum perfe&um, propcervero magnicudinempfoporcionis, Tonum Majorem. Vicifllm llcompares perfeclum 2. j. majus cum majori imperfe&o 3. 5-fupenus, velfiperfectorumminusj.4. cumimperfcctorum minori 5. 6. inferius, naicecurexhocconnubio incervailum concinnum lmperfeclius 9. 10. quod eft minus quam 8 9- quod incervallum cum in veceri Mufica ante Pcolemceum fei-e non efleE tnimadverfum , quippeTheorici omnia per toTZZ — — -^5-^ -^^"^ los plenos prius definicos demonftrabanc; ei nos Toni minoris velparvi nomen dabimus,uc fic haec Vbiuno verbo monicusfic le&or, nonnullos imperfeclionis nqca. alij cuidam incervalIoidnominisdedifle;nefiforcein illorum le&ionemincidcric, ofcicancia perturbetur. Sm aucem perfeclum majus^.^. cum imperfedtO minori^. 8« fuperiius, vel fi perfeclum minus ^. 4. cum imperfe&o majori4. 5. infenus afTociafti; Cortcinnumexcomparacione ortumfc.j/. i6.ruffiam trahit aliquidimperfecf ionis ex origine hacfua, diceturq,femito-

X*X

—

mm w w ,

x x~" •— 1=. :~5 z±± ±m. aqdfc; ^rfe±$: :

Semicoai-

um.

(

lr~

nium,vocabuloeoidem , quod habec ipfu hoc interval-

lum in uficaca hodi-

erna mufica,quiapauldmajuseftfemifle Tonimajoris. Hoc aliqui Tonurn Minorem dicticarunr, aquibusle&orfibi caveat, neperturbetur. Hasc igitur tnaorta a perfeftis , comparatis vel incer fe vel cum imperfeclis , hoc obtiiiuerint,ut concinaperfe&fempereflent. Concraficomparaftiincerfe imperfecT:a,ex Pencagono vel Deca-

gono orta,vel fuperius j. cum j.g. vel inferius 4. j. cum $.6.> intervallum hinc orcum , fcil.24. *$• tanCae eft imperfe5-.

Picfis,

&ionis,utpeneinterconcinnaefledefinac, Hoc intervallum appellabimi appeflabimus Diefin , voce veterii quafi dicas , remiffioncm chordae. Neclaboro, ut fub hac voce eandem cum vetenbp quancicacem intervalli proponam; quodicerummonuifleflifflciac. Imperfe&ioniscaufajfunccres; origoi parvicas (cum non sequec parcem coni perfedti cerciam)& quia eft eciam incer Tercia connumeracumfuperius,'incerillafc quae concinnandis gener ibus cancus inferviunc: oricur enim eciam ex conominori &femi* tonio comparacis. Nam hoc incervallum non perfe,necfemper con-

^3".$fe$

Zl—

?~t—

£gA._£-&--

cinnumeft; nonfolecenim voxhumanacancuuna&eademcty&)yw

per hoc incervallum craducerc, uc per incervalla caecera; fed negligit tranflilitillud,nifi cancumin variacione cancp ,condimencicaufa:cunc' ficexcraordinarieconcinnum,fedficucquafi novumgenus cancusincipac;&arciseftlaborifq, nonmodici, voce humana fine organo ld aflequi. Icaq; hoc incervallum tancum difcriminac genera concinnoCcepirum 1 eoq; pacto ijs infervic.

HarmonicisLib.111.

Coepinausdiceredelncervaliiscertijs/primumcnimexiis^^.^^. **'

(eudiefis,idemfuitetiamcoricinnorurti tflcimum. Sequuncur nunc etiamreliquorumappellaciones. Nam/28-i3j. q>d y a w t~ oricurex/5. /6.ec8-9- poceft apellaridiefismajor — ~2J?-— -*-^-^OieCsrna. irregularis; quod uc fupra di&um paulo ad mojorftu ^; .JI

H- -

dum (fc quancicace 20.25. 2048

au.

eftminusincervalloconcmnolemiconij&vixabillodignofcicur. Eftq;hocnomineincerconcinna,qLjiadiefeos Iqgicimze vicemmftuiec; pr«fercim in rnucacione cancus. Eft enim gcnefis cjus

non cam nacuralis quamufu neceflaria,ucundiquaq;finc ,

diefes , propcer varia condimenca cancus. in prompcu femiconia 'Qua-de causa, cum a Tono majorirefcindatur femic: legicimum, hoc xeltance intef vallo , poflumusilludeciamappellare Grasca voceLim-

mafeu Refiduum. Deniq; intcr Concinna 8-^ 4 & 9. io.arttercedensdiiTerentiago.8/, G poteftanobisdiciComma,lacinefegmentumfeucortcifio VcceresenimDicfinmamin4.parcesconcidebant, it*deq;Comma;:aillasappeI* :

cxiftimantes hoc cfse commune Elemcncumconfonorumomnium:hoc vero intervallum eft parte quarta dc noftra dieil paulo ma-

labant

jus,minuspartetertia. Nam.24. .25. eft.7.2.75, vel96. 100. Ergoparstertia eflec 74. 75.pars quarca 96 97- eirc: eft verd 80. 8/- incer ucrurnq;. .

NospropiorinUmeropoflemus illuddefirtire O&avampartem conimar joris,fc.8- 9- Quodcciamficpatec. Hic dividicur Tonusmajor^.9. in dicfin72.75.femit.*75.8o.

&comma8o.8/-commavero

24.

72.

fuicmodoparscircicercerciadiefeosiigiturcommacacircicer4« acquiparahcur dimidio Toni; o£to,coci Tono,

proximequidem,nonomnimode. Hoc igicur incervalluminter concinna illa plarte non cft quaj deinceps

gc- 15.

i<- z$'

canunturjobparvitacemaudicuvixpercepcibilemine- 9- gi. dum humano cancu per fe feorfim, biftis deinceps vocibus exprefiilerii»' Acnon ideodefinicefleconcinnUmuc n. /_• &fimilta. quiacomparamuseciamilla, quaj locis & cempore funcdifllca. Duplex verofemiconium ideo ftacuendum eft , quia in divifionc Tonorlim deinceps ordinacorum,bina aliquando femitonialocancurdeinceps;ijfq; inunum conflacis incerdumpro cono ucuncur , quivarietatemafFe-tant: in* 1

^^ ~

Sea

folericiam

adcxprimendosgravesartimorummocus.

NotaquodirtcerfemitortiUmi^. 16. Dicfin .4,25. eft 125- i-g-re-Coaiaiaigi te4z 4 43.feucommadupIex. Cuifiaddider1sCommago.81fic625.64g. .p'«np ~ fcre27- z$- feu comma cnpiex. Idem vero go. gi. ablacum a dicfi 2405. relinquic 243.250. quodeftquamproximej^.j^.IdemcommaablatumaDiefisdimi»' Iemitonioj5, 16. relinquicLimmaPlaconicum245, 256.

quod

eft fer c

^, k* Li 12. ij. eftjj.j^. tonrcum.

19. 20. additumveroad 15.16. facic 25.27. quodeftincer SicduoTonimajoresg. 9.faciunc^dditi64. gj.quoincervalloablacd-, p 4. confticuicPlato Limmafuum. Hocvero243. 256. uc limmace ablaco a Tono majori, reftabac Platoni 2048. *ig7- quod ille ApocomCn. appellavic , eftq; maj us commace go. gi. uno quam Limma noftrum /2g. 15/. &fuperacfemiconiumic-jtf.parumadmodum.

Ha:cquamvisfintitiuficacaiaterYalla ;fictcameninfra

guorummencio.

lib:

V.ali-

CAP.

V,'

Scmit.au-

Apotonie ?i-tooj*

—

De Proportionibus

CAPVT DeConfbnorum

intervAllorum

fe&ionenaturali inCortcinna* cis

eorum

&hinCor-

appellaciOnibus.

Quacefsent Intervalia Concinna* id ell auribus humanis in craductione cancus obfervabilia , & voce canentis imicabilia,diaumeilcapicepraxedenti. Nuncfirigularicura difpiciendurn inquxConcinna quodlibec ex Confonis iiaturi Duce dif-

eftnobis,

>•

folvacur.

Refumpcis igicur numeris ijfdem , perquos omnes feclion« harmonicae naturales , chorda? unius > in unum confpe&ura collocacsc fuerunc: apparebic nobis> intervallurn

joo>

inter

mimerpS

irtterpoficis 80.

7$.

^irfcS""' "~—

& $0.ab-

~~~~

—2*3

bax tria concinna > in femitonium75. S°-veI I5".j6. Tonum majoremSo. 90. hoceft 8i9. ijfle iri

numminorem 90. ioo.haceft9, ia* Idem etiam eft fadcum cum incervallo

incer

incercedencibusijfdem 80.90. Nam 72.80.

numeros

72. £c $6* ________

—P

-9— Tonus minor:&8o. 90. uc fupra> 3i_j_7r_r y~ 8 c eft Tonus major, deriiq; 90. gtf. eft /5-. 16. Z. $,? ?«_. Z-fJ-tj. * ~* Semkonium. Ucrinq; vero incer excremos> tam7$' 100. quam 7Z.p<! incervallum_f.4> deprehendiciir.Qua-. eft^.io.

& to-

— —— ;

)

re cumNacuranosdocuericcoaptarehosriumeroSj obfectioncm cir-

Nacura igitur duo incervalla fefquiper figuras demonftrabiles tercia , cerci ficus incer duos cerminos proporcionis duplar, aftu ipfb fe£tionum,divifit in tria intervalla perfectaConcinna, Tonum majorero, conu minorem,& femitoniuiAtqui crium incervallorurri conciguorum, oporcecefle locosfeuvocesfeu chordas quaciior. Hiricigicurincervallumfefquicercium,dicica:picC^arca,u^baudi>Ouarcavoxaprimafcu culi

ttocdftroa

fuperiore feu inferiore.

Eadem de caufa Graeci appellanc hoc

incer-

vallum A<ct Titrtra. %(Oi , quodlaciriis eciam licceris exprimimus, uficaco

modo fcribenres Diaceffarori. Sequicur igicur, uc quia incervallumfefquialcerum fupcraddic to-

Qm-ta

(eu

apente.

num unum perfedhim

(

quippe difFerentia inter 2.

4. fuic 8. P.)

ex ^^ ipfo,dicatur QuincaifeujGraecae pronunciacioriis imicacione,Dia* pence, non obftance quod aftu ipfo in cocidem concinna divifanonfunt per fectionesnoftrasharmonicas, incervalla fefquialtera: eaade caufa numerusunus, ad hanc divifionem plenariam neceuarius>adnuc nobis

defic:quemdefe&um Deus ipfe creator eciamin planecarum motibus expreffic , uc hbroquinco audiemus, Porro quia fic eciam cam 5. $. quam 3. j. fuperaddunc fefquialter* z. 3.

Harmonicis

Lib. III.

unum ex jam dittis elemencis>illud quidem femiconium 15. 16. hoc CAP.V. veroconumminorem9.70.;exhoc appellancur Sexcae, lllud quidem Scxtae, ma-

2. 3.

jor ti mi. nor.

major , hoc minor. Dia hex

Diaceffaron

Diapence

..,>,*,

jggg^frpZ&90-;37^

>-6o

—

£$*£. $-80

_$>^96*.g

4-i I

-5

^*sg

$>-$ So^

^H J_^M_.

-*¥

Viciffim quia cam 4. 5. quam 5. 6. demunc de fefquicercia unum ex jam didtis Elemencisj illudquidemfemiconium /5. 16. hoc verd conum minorem 9. o. uc oftenfum eit capice prajcedenci,reftanc igicur ijs bina folummodo ex elemencis concinnisjilh quidem Toni,major minor; j

Exhoc quidam Incervalla huic Tonus major& femiconium. ha?cappellanc voceGra:caDiconos,majorem&minoremvel femidicumq;duoinr.ervallacres requirahc cerminosfeu voces, ideo i dicuntur, Terciae major &minor. Et horum lncervallorum per ferfhones chorda;naturale$confticucorum caecera quidem adtu ficdivifa

Qaid

terti»

major

&mi

nor.

tonum

func, ac

tupremum & imum aciu divifum eft nondum. 4

titur adfig-

nificandum

aliud quip-

:6-z&

r—

.#90-$.° -$._

-b-^ 3$-§ uo -U——4>

_~ — .^_r_S90^ ---

5. <?.

ve-

iica, cjuod

:$:$uo

differt a tertia,

Etcum harmonica^. 5- &4-

piamex

tetriinaMu-.

6 fabile, fed

GaliliusDi tonivoceu»

fincex Pencagono, cujus lacusinef-

& $• 6. mifceantaliquidde nacuraPencagoni;

hinc

fit

utbigaucraq-.fitimperfetlioriscOnfonantiaE; quaequo minoreft, hoc

mollior &blandiorauribusaccidic;Minorver6eftins\ 6. &5.g. quia tocum circulum , velfigura perfecftiori (f Hexagona> cujus lacus efteffabile longicudine ) velinparces proporcionis concinue dupla; (qua: idencicaeft)fc.intf.&8. dividunc: Erg6 5.8-&5- 6. habencurprofexca &cerciamo!li: 5. 5. vero& 4. 5-profexca cercia dura five afpera; fic eciam appellancur.

aiajore

confonante VideC.Xir.

Origovocu Tertia, vel fexta dura,

&Moiiis,

Dura

Mollis

*fe$i.___

:„$:.

Denrq; quiaproportionisduplanncervallum uc iupradic5tum,ex oftava feu &ex fefquicercio conftac,quorum illudQumcadicicur,hoc DiapaionQuarca ; qua; camen bina in fui medio habentunum communem terminum,quiuniusulcima eft, alcerius prima,verfus plagam eandem ,,

f-fquialcero

in hunc

modum; F

Prima

De Proportionibus

Prima. Secunda. Tercia. Quarca. Quinca. 6. g. 7. Prima. Secunda Tercia. Quarca. Sequicur igicur> ucuhim&pofteriorisinnumerationc, ficnumero °^ ava At & inde hocincervallum Oftavaenomen obtinuic. Graci ad

cap.v.

Quid odaDia"

n»Un pafen,

*enticam confonantiam refpicientes, appellant AtOLWctCCdv, ut Latinisliceris Diapafon fcribitur; quaficonfumptis omnibus divedum fonantibus,voxcanentisocT:avo(biioinfeipfamredeat:indeq;novum initium , novaferies Concinnorum oriacur, priori per omniafimilis.* VideProp. I. Diapente. Diateflaron Syftemadiapafon ic

~±$

±*

Fruftrahicphilofophanturde Numero,curfc.octava voxconfiu

mat omnes,inq;idem fedeatrvereenimreipondendumeftperpetitiorlem principij , quiafc. rtaturafiac, uc incervallum proportionis dilpljc, quodper Cap.I. eftldencifonum, dividacur intervalla cortcinnafep* cem, qua? determinancur fonis o&o ; uc hoc capite probacum eft. Ip(i QjjjidSyfte, pucarttfieri hocjquod Numerus g.ficprimusCubus &primaTeflera Ac quidfe£tionichorda?cumfbhdisf Eccur non eciamvoxvicefimafep^ cima (fecundusis cubus eft,)redit eodem £ Hinc adeo eciam Syftemacis rtomert proprie primo convenie - incervallo propopcionis dupla?,divifoper fua fepcem Concinna , fuiS ofto vocibus feu chordis defcripto, inq; inftrumencis expreflb : dc quo

infra Disdia P af6.

Cap

IX.

In ijs intervallis qua* o&avam feu Diapafon fupef artt, in multipli* cibus qilidem Ottavae , duplex Octava , Graece AiV ^tct 7ra<TtoV , dici folec,

Triplex Trisdiapafon,& fic confequencer: In

casccris

verc expri-

micur Diapafop,ejUsVc nmlciplex, & addicur exceflusi hoc pa£to,Quintafuprao&avam, aut, O&avafupraQwncam, Diapafonepidiapence,vel

AtcL7tiVT£

•

W< focL%ct<rtoV.

Interdum & numero pergimus, ap-

peliantesNonam,DeCimami Duodecimam, &c. Hajcigicurie£hoincervallorum confbnorum tri coneinna, na~ turaliseft,quancicafq; haec,& nUmerus elemencorum concirtnorum , ternariononmajor nonfblaauriumaffuefa&ionenititur; fedaudicus hoc habec exinftinctunacurali : necpoflunc .praecer ifta, velaliainterVaUa,velalionumeroproconcinnisfumi } inquse dividacur quodlibec Namfivellesexemph gracia Diefin adjungere , priexeonfonis. mum illaefteciamdiffonorumCondnnorumfbboles; deihde fi ma* ximeillamcancumideovellesadjungere, quiaeftConfonorum fbboles; acfblani non pofles : traherecn. fecum Limmafeu Semiconiurri minus,qnodcancumadiflbnisoricur. Acconfencancumeftjaudicum llludafoboleconfonorum diftinguere, ijfq;admiffis incer canendum, incerq; fecunda incervaila, hoc ccu fpurium repudiare. QiJareeciamDiefisincer prineipaliaOitavsincer

vallanon

erit,

CAPVTVL

HarmonicisLib.HL

CAPVT

VI.

De cantus gqneribus Duro &: ,

Molli.

di&um

figurarum generibus

eftlib.

primo,

Prop. XLIX. quascumeciamchordajfecttonesipfasimicencur, per Axiomall. hujus. fequicur igicur, ucquia fe_tio propOrcionis concinue dupl„ J &fe<-tio Trigonicai ejufq,- concinueduplae>iunt exfiguris lateru

efFabiliumfalcem primis, TrianguIo& Quadrangulo Seclio vero Pentagonicafidacere inefFabili; llla. igicur fe_tiones per Ax; IV. efficiantu:

num geUus cantus, iftagenusalcerumycuiquidemnonpropcerfiguram Tecragonam,fed folumpropteridencicam biledrionis conlonanciam , ad mifcecur eciam bifec.10. Hinc ergb nafcuntur duo fe_tionum Genera^unum quidem habec Genus molle.

fectiones has

In hoc genere ex fexbigisMedieta-

_e_tio- Corauni de- Internes.

nominatore.

valla.

cuCap cercij admittunturh„. :

**«_

___.*1

—

— 12 1

—-12*

IT7

_._£-?*kio_YA_

~4._

,2 iS

511=

—

S-

vei12.16.20. 24.

— %?$">&:=> j

_f_ ;4 ___A_-t_,

MedictatesinNotis.

1$ 2° 24

15 1(5

•$•

SJL-T

*___

T Ji

5"-

$•

12. 1/. /8-

Ec. 12. )5

24-

20. 24.

Alterum genus compleftitur fec-iones has* Com:De-

Se&io-

Geniis durum. 5

2 O

nominat:

_____

8_-g-

Medietaces inNocis.

—60

_^: .

-$-/0.60

V IO. 12. I/.20. i"» j^mj-au"

~_o' 10

$Z'4/s__Ai:.r4: vi 30. ?_. 4/. 60. $.'oJ-C>

__.$.-

15*.

O S

8. 10.

vl io. 36. 48. 60.

5c _ ,cii|+o t $Z i

-_.

Hicinfunt bigxmedietatumex Cap, III. ifta;

<<t

valla.

? °1.

-•£_ . 30. i(5.4O.45.4S- 6 0.

Inter-

_____*$& — ...

—~*~9 "JO

nes.

20. 24- ?o.

i _

5-1

8* 4 S

VcljO.4O.4S.6-O.. ©"

Ha.c

DE PROPORTIONIBUS

44 *»*

Ha?cfunc

i,T

J5AP.YI.

•

illa vulgo ii-

celebfaca

••

•

duo Cancus eenera, & prior quide di* •P a m eo ordinaca ab ima voce, mccr.

cicur cancus mollis., quta mveniuncur

•

Tercia & Sexca, mollcs;pofteriorver6cancusdurus, ab ejufdem denominacionis incervallis eodem loco fyftemacis oftava: ordinacis, quorum nominum racio difta eft , capice V; prarccdence. Quenladmodumenim rllic^. 6. locoimo, non culic 3. 5-. fic jam hic4- /. nonferc/. g. quianacuracancus concinnirequirichoc,uccervalla,

ciacum fexcafaciac perfe&am quarcam feudiacefsaron. Hincigicur apparec nacuralis fepes ucriufq; gcnens, Nam cum iii difFercncia ucriufq; fcilicet cantu molh (ic lmo loco /. 6. in durO 4. /; diefis 24. 2$. non fic ex concinnis Ordinarijs , per capuc IV. ergonort porerimceademcancnsnacuralisferrefimul ftareimoloco 4. 5. &/. 6. ied afsumpca 4. 5. cercia majore , debet iilavice exulare ab imo loco / 6. auc hac reeepka excrudicur iila, ubi 4. /. trahic fecumj. /. 5,, 6. crahit

fexcamminorem. Rurfum auccro hoc difcrimenucriufq;genefis harrhoniar , Deus ipfe in mdcibus p!anecarum expreffic uc hb. V. audiemus. De Vecerum ciibus illis Generibus,quorum hasc Nomina , Diatonicum, Chromacicum, Enharmonium,hic confulCo fuperfedeo didere, neconfundarh ledforem. Poffis camen Diaconicum incerprecari, fecum/.

, Cancum mollem , auc Diaconicos quidem fingulos,'chromacicum ver6,mixtum tex duro & molli. Enharmonium vero nihilhabecrefpondens incancu nacurali; in ufuali

Cancum durum Chromacicum ,

vero Mufica refpondenc illi quadancenus ,vibrationes Vocis humanae, cremor Organorum>Mordencia; m fidibus pandura;>& fimilia. VidequaedehisGeheribusinfradifpucamusinAppcndicc id cc•xtumPcolemasi.

CAPUtVll De plenaria fe&ione unius O&avas in utrocjj genere cantus > 6t de ordine naturali Concinnorumomnium.

IgiturhadenusNaturaipfaoftenditHncantu rholTortum minorem 9. /o. quircum, Tonum majorem8- 9- quincum frmiconium )/. jg. in cancu veroduro , tertiumab inffai/. 16. quarcum g. 9. quincum 9. 10.

li,terciumab infra concinnum,cfse ,

Aeftancin utroq;genereCantus adhuctertiac binae,fingula;minores&fingula:majores, qu&nec dum func divifas a&u , per fe&iones chorda? naturales,in elemencaminima corteinna. Primum videamus , in qua: Conc inna poffint illa dividi , deinde quo ordine coilocanda fint fingula. Sacisauremhacuradocec, fipoffimus illadividere ineadem clcm«nca, ex quibus ha£enus.yidimus conflare , nacuramonflrante , DiacefTa-

Harmonicis

LiB.llL

cefsaron confonancias,-

non debere nos uci alijs,quarum exemplanacu-

ranon monftrac.

Docecigicur Arichmecica,4 /.conftareexS.

Eneadem

&S>. 10. ficf.6. ex89.&/5.ji6.

coricinrta;quae&hac~cenus.

Quod nifi ordinaveris imo loco Terciae cujusq,- inferioris, Tonum majorem,-nonpocericefsechordaunainucroq;gencre cancus. Sieriim iri cancu molli noh poceris imbloco ponere cohum rriajorem , oporcet lgkur ucibi colloces femicortiuhi 15. 16. quia haec duo fola infuncin incervdllo /. 6. indiviib. Induroconcraefleccotlocandus imo loco Tonusmmorj quiaiUudconlbnumindivifum, fcilicecTerciamajbr, non habecfemiconium, quod ancea ih molli ponendum fuifsec imo loco; icafierencdUa^Chordai, quarumlongiorcummaxirhacOnfticuerecfemiconium,pro cancumolli, alceraconummainrem ± produro. Accedic fecundo qUod nacurae confCncaneiim videcur,uc, ubicun4; Iiberamfecliiortis ele&ionem habemus, majora incervalla verganc ad Ibnos graves , quia eciam ipfigrave; acucisfuncminores; Eadem prima racione e vincemus eci^m, fuperiorerii cerciam,indivifam ha&enus, fic effe dividendam, uc conus major llc loco fummo,ne fepcima chorda gemina fiac Eft enim in cancu molli fuperius 4. 5. in Si ergoTonurri durof. 6. nacuralimechodoihfuperioribus cradica. rjerfecium(aicerurnfciiicdcelemencUmTerci*)ordinaremus loco inreriorihuiusTercia^fuperidris cune iricerVallurii idem a diverfae alcu tudiriis vocibus cdnfurgeris, pehingerec eciarnad diverfas alcicudinis voces , cjUas pro una facerec duas. Haeracirihes demonftracivae planeneceflariae-, fufficiunc concra auchoricaces Pcdlemaei, Zarlini,Galilasi, qui imo loco octavae habenc corium ririnorem. Igicur chordae oclo explicanciir his nUmeris ad eundem corhmu,•

rierrt

minimurridertdriiiria/drerh reda&is.

SyftemaO&avas In caricu molli.

Voces Loca In Nocis;

Longicudo

feu

VI II. VII.

Si-

4 os

4?o-

4 8

li Pl i

divifa.

$ 2

Mo.

10$.

III1

II.

Media naturalices

]

IV.

Superior.

II I

QuarcaS

va ? 6 0-

VI.

chordaru-

u I

2 8.

•

606,

6 40.

ij I.

144» 720. » *

IacantB

De Proportionibus

In cantu duro.

cMvtt? Voces In Nocis. feuLoca I

VIII.

•Superior

2 Media natu-

4 o

14, I

ralr divifa.

f» I

Quarcar.

vi.

chordaru.

VII. **Vide etiam hunc ty pum,qui«b

Longkudo

<5.

4 o-

4 8

i*i

Ima.

demredit.

IV.

(

Ot-. o c-o r-

III.

•o

II. I.

144-

160.

1 !

<M I

5-o

6 4 o-

o 1

3S-

7 2 0-

.+•<

Expreflas vides in numeris minimis , non cancu omniumocStolo'" quacuor gicudinum proporciones, fed eciam quacuor fupremarum, imarum, numeris minonbus ; inprimis verorrium fupremarum crium imarum , de quarum medijs earumque numeris mihi cum auchoribus hoc in capice concroverfia incercedic 3 Narh VII. in utroq; Gene-

<l 4*

re cancus eft^o^. Ec

<+• • o

II.

utnnq,- 646.

Memineris autem,chordas uniufcujufq;Generis tancum principales o&ohas in hoc capite poni de accelTorijs, quarum linam Cancus durus adfcifcidoco pene fupremas, iniequente difpiciemus: hic enim id agimus vc videamus quomodo penefuprema; & pehimasconfticuenda; finc, uc in ucroq; Genere poiTint efle eaedem. Etquia inconjun&ioneharumutriufq;cancus prineipalium oelo :

.-*;

•

p "^»

O o

>_ r

e\ •—

»-«

o i-.

,_.

chordarum,ficutdLia:earumgeminenturinInftrumentisMuficis:fiunc ergd in communi fyftemace, cfiordar principalesunius 0£tava;,decem > agnofcuncur camen (& ficecia appellantur ) LocAhOn plufquam oclo. Vide originemvocabuli Cap.TV» **

CAPVT.V1H. De numero &c ordine minimorumintervallorum unius Diapafon. Intervalla

imum &c fummtim, ut &: quartum,natu-

rahoc, illanacura;imicacione>fa&afuncTonimajores: a quibusrurfum imicacione nacuras,quaj tonum minoremfecac in femiconium& diefin,abfcinduntur itidemfemitonia i$- 16. proptermajorem^variecatern, in cancus flexibus feu anfra&ibus prsecipue; idq;fuperioriparce ihtervalli: reftant igiturinparte inferiore

;^8.

13-5-.

quod

diefin 24. 25.

Limmata, feudiefesmajores

uno commace

fuperac.

Prae-

HarmonicisLib.U1.

Prxcipuaveroefthujusabfcifllonisnecefllcas infupremo incerVallo,quod capice praeccdenci conum majorem fecimus^quia cancus & -

rusTemiconioinfummo, velconomajorepromifcue& pro re natauricur, crebrius camenillo &pene iolerlicer, eo quod ficuc feptima o: dinariafaciccumquarca EpicriconfeuDiaceflaron5.4.:(fc.40. cum j4 capicisluperioris) ficeciam haec Vll.extraordinaria, diapence perfectumfeu.2. 3. cumIILfacereamet,quiaIII.eftpropriagenerisduri,fc. Ecvero 2. %. de $76. eft 584 q,d 576. ut argutior hocpadto cantusfiac. :

cum

cum j6o.facit 16.

VIILfcilicec

CapehocExemplum

£tfi haud contenderim fi qiiis affirmaverit, hujus melod ix proprietatem fic redtius exprimi.

in Noris ex

ancicipato.

15.

^EEgggfe^pMj m

Sed de hac re infra ex profeflb, Icaq; fiunt in una odWa in univerlum chorda: credecim,his numerisleuterminisminimis :quibusinterpofuiintervalla omnia minima Iperfedto Syftemace or* feciindum nacuralem ordinem in pleno ganico.

Longitudines

chordarum.

Supra.

IntervalUconcinnaVel quajt.

innotisvjitatk*

108O Semicohium.

1152 121$

1 t

l Limma. Semitonium. I

9 $ Dicfis*. '

3 S d

Semiconium.

4 4 6

«Semicomum i

S 3 *

6 z

Limma. <*

Semiconium.

I I

f t

DiefiSi

6 Semiconium.

P 2 6

Semiconium. I

J048 Limma, Infra*

€ o

1»

Vides

De P&oportionibus

48 CAP.viir.

Organiftal

Videsduobuslocis concurrere binafemiconia infra diefin , quod Acq; id arripiunc arcifices in organis , fbpradicebamusfUturum. duobusfemicOnijsprO cono Vcuncur , quocies infolenciorem aliquam mucacionem infticuunc. Ecfiexarcisinfhcuco concemperanc omnia incervalla,ficucriullum fincerumrelinquacur , fcducintervalla, quae

debebancefleperfecla , minimo perfedtioms damno, fublevenc lenianc ca?cerOmimperfecT:ionem;qua racionefic, uc coniomnes organicisfincsequales,'limmaeciam£equalelemiconio, ade6q;duofemiconia facianc illis conum,perfet~tabifec"tiorte; quod uc canco facihus fuccedac i nediefisquidemperfe&iOnemfuamdemonftrativamapudiiios recinec.

Se&io Monochordi expeditapro chely eiusq, reprobatio per Audicusfenfum*

Hic locus poftulacut quze fupra fub finem capicis f ecundi promin* i praeftemmimirumuccummeisinvenciscomparem feclionem Monochordi Teftudinariam , aVinceritio Galilaeo,nifallor>exAnftoxeno fuper ea quoq;aures incerrogem ; fic camen , uc Racio eprolacam ; loquatur , quod rpfasdi&uras efse confencaneum fueric.

Cumenim Diapafbnconftecexconcinnisincervallisfeptem;unde nomen habet OCTAV.& , uc di&um capice priori :

inter qua? inter-

conorum quilibec bifecari poCvailafunc quinq; torti,duofemitonia; fic in parces femiconio proximas , uc ica fianc incervalla duodecim hoc cap. definica;liceris G.G^. A. b.fyc. c%. d. d^ e.f.fe.g: hinc occafione capca -

Mufiei inftrumencarij duodecim Sc ipfi incervaila in uno Diapafon ftaexpedica tuerunc ; id vero via minime laboriofa, &d omnino facili Tocam colli ceftudiuc mechanica pleraq; par eft efle ; quae talis eft. narij longicudinem,incerduOquidemEphippiafeumagadia , quibus incumbens ehorda , liberam coca longicudine incercepca vibracionem obcinec, dividuncin parces asquales i8- &primama Vercicillisligacuram feu Ta£r,umficponunc,ucfupraficpars i. infra.17. Deindehasrefiduasi7. delecisdivifionispuncT:is,<lenovoinalias/8. dividunt , &fecundaligaturaabfecancunamucprius, idq; repeturic duodecies cum duodecima abfectiooe dicuncrelinqui cancam Farcem Chord», uc fit in Sir, ergo longitudo chorTotam Confonantia diapafon. ter illam Si)$. quid 100000. /00000. dx partes fiunt /7. ? prodic 94444. Rurfiim fii8- valent 94444 quid /7? prodit 89198- Ecfi/8- valenc 89198- quid *7? prodit $4242. &c Hoc pacibo prodeuntnumeri duodecim pro totiaem intervallis , quibus ad latus pofiti funt Numeri , quancos poftulat vera ratio haclenus demonftraca,,in quanticate chordae totius.

tuncfane pr^oportio repetita duodecies azqualis efsec proporcioni duplae incer j. z. quod fciunc boni ArithHacc meticifalfumefseicumi.^. iTViig.finc incornmenfurabiies. Haecratiofi

cxa&a

efset

;

tamen

HarmonicisLib.111 Vcra ratio

Ratio Gat-

haftenus de monftrata

lilsi.

£ k

39S62. 7y242-

$$$$9- 1

$3gw| Soobo-

75" 000. 2, .

c<>.

70967-

6702S63361.

;

funt ,

dq.

tamen mechanicafed-io chorda» facisfacit .... .1 ...;,. audicui utcunq,- propcerea quod numen

finguliadjveros juxca poficos appropinIOOOOO. 100000« 2 quanc, &quia chordaj chelyum cenfiles P4444- 937S0- I foni, acuci-

$919$84242-

S97$S-

71 iii-

02JOO. booob.

& diverfi quodammodo

oresinpririeipio,cumeftearummotusadhuc magnus,recens dimiflarum a digico > graviores &: f emifliores , cum lacicudo vibracionis cohcrahitur iri anguftu , chor-

da in f e redeunce. Quin eciam in ta£tu

fiauditus judicium curri Rationis follerti

mdagine examines i

S646?-

S62S0.

S33*$'

siifjjn

ftatifn

apparebit dif-

quod fic probo. Agnofcunt fane aures harmoniam inter iopbob- & S0363 .utaffirrnat Mechanicus: agnof-

Fenfus

le-

niori velfOrciori difFerentia eft,inq;latiorivelredu&iori, prOfcieritiaMufici. At

.•

cuntearide etiaincer iooobb^oboo* S036Zgutegoaffifrrio. Queeritur utrummhil diYerfiratisariimadvertantaures, 8-utrumharmoniahaicobtirieattantamlatitudinerni Refpondeo exmeisfeclionibusharmonicis Cap.* II. quod rion. Nam quoniodo nihil difcernunc inter duas Confonan5-0000.'

tias,

chordarum ioooob. -roooo- &ch6rdarurri iboooo. S0363-

eodem modo neq, difcerrient ineer duas Confonantias > chordarum iooooo-^oboo.&chordarum ioObbb. 4-9637- quiaa;qualishic8_: difFefencia binarum conforiantiarum. Atfinon juxtacofam iooooo- pulfecur pars ha?c veliila,fedpartes ipfohinc yoj^inde 49657. juxtafeirivicem pulfentur: tuncomnino neceffe eft, jiartem breviorem emiccere fonum aeuciorem,parcem longioremgraviorem: & ha?c difFerentia Fonorum facile deprehenditur illic eft

abauribus, iriexamirieunifonarumpaftium. Pateterg6,'qu6dauresnon aliadecaufajudicericeandemefle cortforiantiam fnterf 05*6^ iboooo. &inter 406^7. iooooo-> quam quaterius $6363. 49637. aequajes eflevideritur; id eft, quatenus riihil ferifibile difFerunc nechaec nec illa a 50000. Ergo fi refpondearit aiires fecundum Racionis iriterrogata ; dicent , exadtam Harmoniam inter ibboobyoboo- hoc eft incer _. Qijare falfum eft, exa&am efle i. incerefle.

Confonanciamincer iboObO. &S6363-

Idem judicium eft de Harrrioriia iriref ioobbo. 6762$- riam primonondifcernunceamaiiresa 66667. juftalongitudinePartis vere confonaritis at refiduum illius 3297 S- non e ^ dimidium ipfius 6 76 sv Aliterergo conforiabitduplu illius 6S9S0- aliteripfao^b^^curri mter fe collaca* haschordsdiverfumforiumfaciant. Quodigitur ctfi

inHarmonianondifcerriuncillosaUres, ficide6,quia

medium nume-

66667. ucejuscomplementumfic 33333. dimidiumfc: illius exa£le. Scabilico jamfenfus acumine indijudicatione Harmoniaj t. ad 3.

rumprobant,fifenfusrationeacUatUr,fcilicet

itemqi

_._

.,„.

CAP.viu.

De Proportionibus &

itcmq; i. ac! 3. fequicur ucfimiliter etiam de 2. 3. cum c. judicemus > deq;i. &s.cum4.Namfi59,78$" confonaretcum 1 00000. acq;ficeciam refiduum 40.21$. cerce hocnon eft bes de illo ;cum camen Befsis Confonanciaperfe&ajuftificata jamfit , fc, 60000. cum 40000. Hoc pa« fto cranfTercur audkus, firacione acuecur , ab una fedtione ad aliam,m-

cipiensabunifono,cujus agnitio dijudicatioeft facilima, ufq;dum omnes pcrvadac , probansparces, quas meinumeri fignanc, repudians Mechanicasprimiordinis. Videargutiffimam aliamhujusgeneris Contemperationem apud Vineentium Galilaeum,non ignor antiademonftraciv^fonorum quancicacis, fed ftudio fingulari fa&am, Acq; Ego quidem ufum ejus Mechanicum agnofco,ucorganiseadempene Iibercace incenfionis, quae eft in humana voce, poffimusuci/ad fpeculacioncrn ver6,imo ad Nacuraoi cancus dignof cendam perniciofam exiftimo quqq; hoc efficiac , uc Or:

ganum •ingenuicacemhumanicancusverenunquam

CAPVT

afTequacur»

IX.

De Diagrammate., hoc eft chor{Jarum feu vocum denotatione

moderna,per lineas & literas Alphabeti & Notass deq; Syftemate.

Nonmielitefeseil^fed feqttoregoratidnes neeefMuficinoftraiajtatispinguntchordas, aliterin diagrammacib* Teftudinarijs , alicer in cantorijs. Illic enim fingula; lineje diagrammatis , fingulas thordas nocanc , quarum quEelibecpro diverfis ra&ibus, diverfosprsftanc£bnicus,fipulfencur:in Cancorijs cypis, non linea; tancum fingulasfingulasvocesfeuchordas,fedipfaecia incervalla duafarias. tinesi

Chordsc.

rum linearum fignificanc unam chordam incer mediam. Hocpadto 4. linea: cranfverfae cum cribus incervallis , denocanc,?. chordas , & 5. lineae cum 4. ihcervallis, chordas novem. Deinde exprimuncvoces canori Syftemacis vel Nocis

peculiaribus, fuo quamlibec

loco diagrammacis ;qua;Nocaefimulcemporis menfuraminnuuncvel liceris alphabeci primis fepcem , veldeniq, fex fyllabis, vt, re,mi,fa,(olt la, velut hodie Belgaj, (epcem iftis, Bo,ce} di} ga } lo,ma, ni. Nam quiacantus genera duo funt,durum molle, quorum ab unacommunivoce ima inceptorum,ha;ceftdifFerentia quodtertia& fexcaindurocancu, funcunadiefiakiores quaminmolli; chordae itaque, tertia& fexca,nonpofTunt manereftabiles inucroq; cancu, fed oorganis> ut faclum in porcecillas velgeminasfacerein inftrumencis numeris, rlneCap. VII. velca£luvariare,uccredofaclumoliminlyra voce humana func dicenda» fyringibus. Eadem de Diagrammace Cum emmpro ucriufq;generis odtavisab eademradice furgentibus unumfolumdiagramma fiat, inq;eotantumo&9 loca, otto fonorum

Notae.

Litcrarum occcfsicas,

: » ,

Harmonicis

LlB.

111.

indices; ab ucroq,- vero genere cancus in unam odiavam Coacerventur G Ap principaleschordaedecem,percap. VII. omnivariae vero tredecim,pef Cap. VIII fit ut duofoni, DiefivelLimriiatediftanceSi pingantur eodem diagrammacis loco , feu is lirtea fic , feu incerhneare incervallum limmaca noncanuncur deinceps, uc Tohi femiconia quiadieies quadecaufaeciamnoluiillas,cumaliquibus,femiconia minora dicere. Hacigicurdecaufaprasfigendae fuere lineis &incervallis, chordarum imaginibus, cerceNocx, exquibuscantus durusamolli incernofceretur , conftaretq; locus femitonij, five ordinarij, feu etiam caEcerorum alia neceflitas occulcior , non ex conis majonbus abfciflbrum. Eft ex diverfitate Generum,fed in quolibet cantu,ex inaequalitate Tonoru mirtoris ; ut ij in diagrammatib 9 fiiic contra fe diftin&i. Nam majoris applicabiles cam majofyllabasl^, Ke, Mi, necefleefteflegenerales riquam minoriTono; quare uccunq; facisfacianc hae denominatiortes, eaneredifcencibus, &Organicis praclicis: ac Theoricis minime facisfaciurtc Exhocigicur officio hae liceraejquandoprajfiguncurDiagrammacis, Clavesappellarifolenc,qu6dfine ijs, cancorinortpaceacingrek

JX>

iusindiagramma. Eiedem vero liceraeeriam adhibencur in of ganis Muficis: infcribuntuf enimmanubri)sple6toruminTenfis,aucEpiftomiorUm ininflatis, aqua iiifcfipciorte Manubriailla, privarojiire Claves dicunciir>& ordo ipfe, feii Syflema ex Manubrijs Omnibus, Claviaf ium, ba$ (FlabKr, & inftrutrienci geritis ClaVichordium;qu6dchordae clavibus, hoc eft manubrijs forisdepfefllsjplecirifq; iritus exfilieritibiis

pulfencur.

Qiiirt eciarii func diagrammaca,

pf o Orgartiftis fbribi folita, in qui^ Tabnlam: busprolineisnigrisifuntferiesS[iteiarum,indicaritium,qU3;riamClaves "» fcu &*tammata* tangi debeartt.* ubi licef x func pf o Nocis , quas adhibebant diagrarnma- S tacancoria, inlineas aut lncervallapoficas. Circa liceras has , aliquanobis VeniuncobferVandajucunde. Pri-

niumndn omnes licerae fuis imponuncur lineis & incervallis, fed folurn

iftaijF. G.

tunc,

qubcies locus qni

earum eftfuperlinea>5.veroctiam

cum locumhabec in intervallo.

Deinde litera C. habec fignum longe diverfum quale fc: hic ad lacus Vtlic : pucofignum hocnacum ex decorfione fcripturae veceris literae ^&num C. Nam qu ia lacis calamorum mucronibus ucebancur fcripcorcs, Notse fi pleraeq; compendiofa fcripcura fiebanc quadracae nec poterat i)s cala£f mis rotundum C pingi : icaq,- C fccerunc > ex tnbus lineolis, una tenuij vice cavicacis, & duabus craflls, vice cornuum, duclo in latitudinem calamo fic g Iam lineola tenuis, properante calamo, ut plurimum fa&a

pictti

,•

fuidongior,

& excans

ucrinq; ulcra cornua,ficj; #

terminarencur,lineolasprimaeparallelasduxeruc

Ucaucem cornua

"ficjj.

Ecfictande

exduabustalibuslin e olisunafaclaeft,primae fimilis &parallela, totumq; fignum tale £J , quod, ut Notae ipfae in lineis > hiatu claami fic cavum,fic|={,

Occurrit tamcn hoc, an non fignum hoc ex ufu vocis , Scala Mufica, fueric nacum, cumfigurampraefeferacfcala: ; quafi prfncipium

<&2

Scalas

De Proportionibus

<%i

ScaigeMuficaenocavcric, ubiponebatur. An verius,prius ex licera CJ fcal«,effigiemfa&am,pofteaexhujuseffigiei crebro ufu> fcalam dici rTTi ceptam , quod proprie diagramma erac ?

„

Cum verolocus non eft litera: C in iinea (quia olim uc plurimum unese eranc cancum quacuor. ) cunc locus eft licera? F. inlinearum una: quae fcribicurin caeceris vocibus alcioribus genuina fua noca , in BaiTo

femicirculorecurvocum duobus juxcapun&is; quod fignum pucoin-

Dclitera/:

~ cer inicia,

gamma mirjufDigamma quk noftrum F.

priufquam decorquerecur, fuiflegrarcumy

culumj fic uc duo puiifta addica fignificenc eft Graecorum duplex T. Nama.Graecis

defluxifle

hanc racionem

fig-

nandiibnos Syftemacis per liceras Alphabeci, fidemfacic Vincencius Gald«us,prolacis Graecarum Cancilenaruni exemplis anciquiflimis. fcc ;

in confeflb eft, eciam fimplex

Graecumrj inlacinanoftraMufica locu

invenifle -,ucjam dicecuf.

Haecigitur F,eft akera fignata clavis: fienancur autem ambae iuxta. mvicem, ubicommodilocipro ucraqjoccurrunc. TertiaeftGyquarm vocibus alcioribusexprimicur , cum eilocus eft in linea. Signatur

cxanciquomore eciaminima

linea diagrammacis.

Nam fcala

Mufica

hodie ihcipic a voce I vt, feu Gnmmut , quae indicac Gphchongum Gamma , fincidem quod -F. &(?. graviflimum: tic ica Digamma inmolliscancus Sed&£. diagrammace pingitur infuper, addifcriminandum genus eancus , five in iineam compecac , five in inc-erval-

Deliteta*.

lum: fignificacejus praefencia cancum mollem, abfencia dur-um. At cancum,verum eciam in hoc alijs hneis vel incervailis quae non fuc non , Clavi^. cributa,repericur nihilominus, &abufuquodamrepecitur iicera b. pro figno femiconij feu .Syllabae FA. Contraquandoextraordinarie^emitoniumitacuicurloco coni,&

Uejlitoal,

Syllaba Mi, loco .Syllabae Fa, cunc nocae pnfimittitur licera fy. auc fignum

abeaderiyatum. Namveteresproculdubioficpingebantj;; acproeo nosw vel^ jquodGalilaeus idem iedqridicerevelleexiftimacquod olimGraeca vox diafchifma;facis enim evidencer fifluram exprimic, indicac nobis abfcilTiones femiconiorumjde quibus egrmus capice prae-

eedentiV-III, .-

In Manubrijs Teniorum Crganorum non commkdmus hanc ambiguicacemcumlicera£. loco fc.non fuo. Nam primoomnes Claves feu manubriafonorumillorUm,quicon{ticuuncurabfciflis iemkonijs a cono , & quiaugenc numerum o&onarium Syftemacis o&aVa;; eminencia func, feuexcancia ibpra martubria principaliaplana; &nigra colore ; deinde cuilibec nigrae Clavi infcribicur licera vicinae Clavis, fed caudaca, ad diftinctionem; (excepco ^. locb cujus ^fimplex nigra claviponicur)&caudafignificacvocem alciorem, utfife.g.gz>b. ^. c

c%.

d.dv fed interf fe.

ter eafdem fc. liceraSjficuc

Iimma, &incer b ^ cliefis,inbin* ecia earum voces in uno folo loco diagram-

g%.

c c%. eft

;

HarmonicisLib.111.

graiiiacisexprimuntur.Acincero/^. eft femiconium;fic utha? duzelitcra?i licetea,'dem,non tameadfcribancurlocoeidem,fedfuccedencibus. compecunchsdiverfarlicerannllocumeunDieiisveroeftincer^, c. ufu mollienda. dem: qua? diverfitasconeedenda eftmorianciquo, Deniq;incer/? £,£<#,# 6, £r, dd^efCunz iemiconia. Icaq;cauciohic

adhibenda,ne peranalogiamaliquam exfcripturaeadem,deintervalli idencicace quicquam prcefumamus. eft

& condonandum quod in non nullis Clavichordi & organis

Illud eciam prarcipue

quo mori ;

mirum

fimiliccr anci-

(

in quibus con-

nnuancuro&avar) cum propcer idencicacem confonantue Diapafon eardemliterarjuremericorepecancur, non id tamen

fit

initio fa£loa

prima^,fedafeeunda£. Hic cnimeftordochara&erum. G. A.

b. c,

e.fg.

a. bb. cc,

dd, ce.ff. gg. aa.

bbb. ccc. ddd. eee.

D. E.F. fff.

ggg.

aaa. tfc.

Porro quodeftdiagrammaincharta, hoc

eft

Syftemain organo,

Syftem»-

chordarum omnium, unum intervallum confbnum diviquod,utCap: dencinm: V. dictum , primo omnium convenit inter-

feries fcilicec

vallo diapafbn: ex eo majoribus omnibus,quanca

mencum

illa

quodlibet Inftru-

comple&icur.

Ecfiver6noneftuiftitucimei,mulcumimniorari inMufica veterum,cum fic obfcuritatis plena; nonceniui camenprarcereundanomina, quibusilli fonitus o£to in uniusoctava; Syftemate indigetarint, namdenominacio ifta cognationem habec cum literis , de quibus egi-

Vetuftl niv ,

mus hacienus. Igicurveteres Ariftotelistempor? ficnumera-runc chordas, Hypate ,Parhypate, Lichanos, Mefe , Paramefe, Trice , Paranete , Nete. Hypates vox erac graviffima, didtaq; fic effe videtur a fitu fuo in inftrumento tenfo,cum ad ludendum app licacur.' eundem enim fitum hodie* dum obtinetinChely, Pandura &c Cychara.

Cumq; affirmec Ariftoceles, mcer Hypacen & Parhypaten interfudieiln(hoceft Platonicumfemkonium , quiduobustonis majoribusablatisa Diateffaron, relinquebat24$. 2 $§* quod appellavit Dieifle

Ergo Hypace eadem erat, quam fignamus litera A. Parhypace, qua Ergo Lichanos ( adigico indice ficdi&a) eft c. Mefe vero eft d : di&aq; eft hoc nomirte, qu6d mter feptem erat media, quo temporefepteTolarerantchordarinPfalterio, &proociava pulfabatur pnma. Paramefe habet literam d%. vel e: hanc vetuftiores omitcebant Tri te literam f; dicia fic eft, quod effet cercia in ordine ab acuto, ficucnosfexcamdiqimusagraviX Paranecefignacurlicera^. Ec Nete quafi quar ulcima cangacur a pledtro deorfum cradto , redit ad literami*. Confirmat hanc diftributionem & hoc , quod inter Neten & Mefen

fin )

litera^. fignat.

Diapente

interfuifle dicitur.

TaIeautemSyftemachordarumo£to,non poterat generi cantus infervire, nifivel caciu

aliter utriq;

digiti

abbreviarentur Parhypatc

*,5cPa-

d a ram.

De Proportionibus

54cap.ix.

& &paramefe^e. ucfierenc$.e\ vel vercicillis incenderencur in duro 4

Qui

aucremiccerencur in mollicancu.

veteri-

^hth^!" phchongorum

in ftabiles

£c hac occafionenacaeftdiftindtio

& mobiles

^S Gito<;>

ipfaq; appeliacio

a re-

chordarum mobilium. In compoficioneplurium Syftematum Diapafon, racio vecerum

&quimobi miffione lcs/

unam

Proflamba fuic incricaciof illiidcamen obfefVandum; quod afliimpferuhc nomenos. ra viorem ipfa Hypace , qua: ab hoc ipfo Proflambanomenos eft ditta. ,•

g Huj us rei veftigium fupereft in Seala Mufica, qUam edifcuht noftripueri qU« aflumicinfraliceramlacitiam A. aliquam que. fignificac fonum ,

graviorcm,eum enim extra ordinem

figttat gracca litera

fic

ettim in-

Gammut , Are , &c. Hsec de nominibuschordarum veteribusfufriciattetigifle hoc loco. Nam infra Capite XI. Omnes chorda: quindecim Syftematis com« pofitiexplicabuncur vbcibus anciquis , fedpofteriorum Muficorum»

cipic fcala,

Iarri canderii adrioftrum ^yflema naCurale uttius Octava: accedamus, eiq; liceras applicemus ex Mufica uficaca.

Scacuo igitur Syftematis hujus naturalis demonftracivi vocem eamefle,quam veteresProflambanomenon, fcala Mufigraviflimam Syftema na- calis Gttmmut , folec apellare ei nimirum cnbuendam literam G. Cauturaleac^ £x\\& func, quia voces conftitutte perfe&iQrieshafmohicas,infr3 quide wcipere. 0(^ avam za \ia determinant incervalla, ciim vbce chbrdae tbtius,qualia MuficiordinarieconfticuuriciriterG. b.fy.c. d.d^. e. Dixeric aliqiiis,eaderri incerVallairicelligipoffeiricerZ). &F. Fe- &* A.b. fy. ficeciamincef c. bcd^.e.f.g.g^.a. Necdifriceor egO> Muficos organicos , liceras hasufurparegeneralicer y necdiftiriguere iri ijs conos, majbfem &minOrem. Nam quid illos impediac a. G. itt d, Transponere cariciim; qui in organis fius, Tohosduos, Ma|brerrig. 9. minorem9. io- coriflacos munumincervallum 4./. poftea pr^Cife bifecanc in duos conos ufuales, incer CeCe aeqUales ? Ecfi accuracibr eft iri ,

hac concemperacibrie Galilams Nbs vero fpe&am9 hic noh ct ftfpflll Wf .

Empiricoru , fed Nacuraeax^ feuctV; quare imicari illos hOn pofliimus. Ecliceramquidem c. qubmirius,abillaiyftema o&avae riaturale confiirgac,vel ipfi abjecerint, hoc argumento: Nam inter ipforum^e.a. eft Semitonium & hoc intervallum eft loco quinto qttia a. eft fexta a -,

;

AciriSyftemacenacurali,ancefexcam nobisDiefiopuscft. Diefinau-

temMuficiipfiponttnccancumincer^. f). &inter^e. e. tgicur Velipfis ortranicis affericiencibus , vel a D. vel a G Syftema noftrum Cbnfiirgerc debec,uc exprirnacuf mefumiyftema hatiirale. Acneq>aZ>. Syftema hacttrale incipere pbteft. Eft enim ipfis in mbfepoficum,Semiconium ponere incer^.^e. inmeoveronacurali Syftemate eft imo loco Limma, quod minus eft Semiconio. ,

Syftema naturale.

Tranfpofitio tejefta.

TranfpofitioaHatejefta: |«

•

mgm jfc i

CAPUT X.

Harmonicis

LlB.lll.

CAPVT

X. De Tetrachor dis & ufu fy llabarum Vt ,

re , mi, fa, sol , la.

Veteribus ufitatumerat, Syftema odtavse diftingucrcin duo Tecrachorda, idq; diverfimode pro diverfa intentione Muilcorum. Velenimconjunctaeranr,Synemena dicTa,uno fonointer medioftacuco, qui&cumgraviffimoinfra , cum acutiffimo fupra

efHciebac Diateflaron, icaq,excremae efficiebanc incervallu^iiTonum., Dihepca, quociesefupratonus unusfubincelligebacur accedere

nimordopoftulabacpulfareocTavamd, pulfabancpnmam^, quailex oppoiico idencicum ibnum edencem ,

OLvlitp&iVOV.

Hoc pacTo non ve-

unu reduoTecrachordaeranciedduo quidem vero Hepcachordum VeldisjuncTaerancTerrachorda,incervallo uniusTonimajoris,Diezeugmena dicTa,quodrerum Naturafuadet eciam in noftra Syftemacisdivifione,in qua inferius Tetrachordum habec G. A. fy c. fuperius^. e. fe. g. ubi incerc„ d. conus major incereft. diaceiTaron incervalla,

Forcaffisipibeciamiicudiijuncteerancquacuorima- chordaj a quatuor (uperioribus , relicTo fc. interftitio majori, inter binas limitaneas. Terrachorda Diezeugmcna.

Tetrachorda Synemmena.

rV* *

— V^ *

ti=+S2Z:

Caufa ipfis cogitandi de Jyftemace Tetra chordi fuic ifta , quod idebanc in una diateflaron confonancia,efle Tonos duos femis: & nos habemusTonurnrnajorem,minorem& femicomum in Diaceflaron ,

perfecTo,inConcordanciafcilicecminori(nam4. 5.&5. 5> ne quideni pro concordancijs habebancur ) omnia elemencaconcinna,- &fcmiconiumquidemvelimoloco,velmedio,vel fummo. Omnisigicur Cantus videbacuripfiscomprehenditribus Tetrachordorum formis.

>:-

x=±

"fc Ton.

Ton.

>:-

Ton.

Scm.

Ton.

Sem.

*=±

:$zz±:

icm.

Ton.

Mihi multiplicantur formae cecrachordorum , propcer diftincTioncm incer Tonos , minorem & major em ; pro cribus enim iex fiunc, & in

uno Diapaio

ra?q;

gemina:;

ple

Brevi lineo. l»

fcmitoni

ligna-

tur medio-

lcaq; criTonjnu n ° r>L°ngi-

habemuseciam Na-

i.—

n.-=-

iii.—

IV.=.

jj r c quoddam luf-

ii nu.n.1 au fragiu addiftingueuuiuiiiu^«

aZTSaII ZIZZJAZXfe$±r^MaTecrachorda,na

-^^%$*$--V,

VI.

uieul» iiii. j

| i

**§

curze

fuperi» eft inferiori

quodam-

or.

quodammodo CAP.X.

fimile in difpofitibne incervallorum elementariumi Infra Supra. Media c d e

Prima forma iri

Secundaformain

Tercia forma

Proportionibus

iri

f A\c

b c *

d d?

Quarta forma in

Quintaformairi

b c

A\c '

* '

Sexcaformain

A d

b dtz

T. major, minorifemicbn-.^^;

fS d

T. Minor,major, femit:

—^=-

T. Major, femic* minor

"^^

Semiton T. major, minor.-^r

T. Minor, .Semito: Major.'

Semico: T.minor» major."^1

Ec hsc func caricum perfe&i diaceffaron forma; de imperfe&is agemus. XII. Cap. minoris, uc Sin aucem difsimulemus differericiam coni majoris faciunc Organici , tunc. omnino fimilia func Tecrachorda difiundta deinceps ifta. .*

G A% G Ab Haec

&cd

&cdef g

& haec fumma.'

irria

Vtrinq;femiconiumeft loco eodem, vel fummo velmedio, diffe* rencia folum illa ,quodunocommacealciuseftfemiconiumiriiriferiori Tecrachordo, quam in fuperiori; quaj differencia mter caneridum

non valde fencicur. Tranfpofi-

Huic igicur Tecrachordorum fimilicudini eft innixa Tranfpoficio cancus de clave in clavem , uficaca Muficis canc& expedicibr , quod or ganicidifcrimen Tonorum majoris&minOris, &C3ecera, fuftulerunc. Rurfiim haec Tecrachordorum fimilicudo & criplex variecasj Vfusfyiiaba

ito.

,•

inmf7,

Re,

Mi,fa, Sel, t.*.

pepericinMuficarecenciori,fexillasfylIabas vt,re,mi,fa,fq/, /a: quiQuod fi una fola Ociava cane|j US fu blevacur memoria difcencium. recur, corripbfita ex diiobas Tetrachbrdis fimilibus, poteramus efle

concenci quacuorfolis fyllabis, vt^re, mijfhjVt^retmitp, diflimulato difcrimine inter Tonos, majorern &miribrerih Sed quiafunt cria loci femiconij in Tecrachordo ; ne igicur riiniir um generales efTenc has fyllabae, quin potius ut femper denocarecur fe* miconium per Mi Fa , vel Fa Mi oporcuit duas alias accedere fyllabas » ucin his[1#, re,mi,fa,] effetfemitoniumlOcbfupremo,iri hisvero [Res \

/S/]femiconium effeclocomedio, deniq-in his [Mi,fa,Jb/, /a,~\ femiconiumeffec imo loco. Acq,hasccaufaeft, cur fexfyUabisufifinc invenrni

,fa

HARMONICIS

LlB.lll.

57 <

non o&o. Itaq,- videacBelga illc , qui pro fex feptem fecic, Bo, ce> di,ga> lo, ma, ni, quod ex hoc augmenco lucrum habeac; Nam ficenfuic, voces ufurpandas asqualt numero cum chordisunius odtava?, unaminus; ucodtava propcer idencicacem reprsefentaretur a prima fyllaba Bo quid quaefo defiderac in hceris a. b, c. d. e.f. g. jam dudum in hunc ufum recepcis? invencores Mufices ,

Cum igicurhoc modo finc natcefex fyllab£e,propter triplicemTe- ^u"*

trachordiformam: mde nataeftdodtnna Mucacionum ,per fcalam Mu» ficalemmodernam, qucedocTxinafblummodo circafyllabashas,lice-

apcandas,occupacur , oftenditq; fuperfluas fyllaAz,aequipollereinterdumpnmisitf ,n?, incerdum fuccedencibasio/, bus, Af,«2i,ucpofticincerdumexcraordinem& f:ne mucatione,poft

ris fuperiusexplicacis

ut re

fil, la, inferrijg, i. 2 ? 4. Vt, re, mi, fa, Vt,re, mi, vt, .

6. 7. la, pi ,

f. fol,

mi, /3, mi'

£—

la,

Eftvero&alia quaedam

z—-£j£Z+~& ^y"v

—— ——-—

-"$-* l,£

•-

iol

fa la

Tetrachordorum, afllmilacionisdiverfarummodulacionum interfe confundamentum difsimilis fimilicudo

cinencium; quas Fugas &: Phancafias folenc appellare» Namfifumas Tecrachordaconcigua nulloq; intervalloa feinviccmdifiun£ta,ficuc ,

tonusmajorfuperficadiraplendamodavam fupravel infra: occurrec in cercis quibufdam oilavs Syftemacibus utrinq;ieries eadem intervalelemencarium hoc eft Semitoniorum ^aa „4_4 -r-f t l° rum tTtlTTtAS Diefium &Liinmacum,- &aflumicur ad alce9 7 ram tonus major , uc pro quarca efflciacur ,

—

_ffi^

jTonusadjunftus.

L^ma" r^ m to: i i

T>miao jY^

siserrlLDium S Semko _ 1

>T3

.•]

c LLtrnma. E. r Scimico. tklDiefis j

majot

millor

(§ «

us percurrunt , pofterior priorem infequens, r * r A r ^ qua hcet, lllius typum, veluc illius semula

quinca, quarca? alteri quodammodo fimilis; melodicedua?, altera prior cempore, incervallum Diapence fuperius , alcera pofterior rempore, inrervallum DiacefTaron inferi-

qusdam,

imicans.

Semitonium. 15. j= EF Semito _ T maJ°ri iLimma.J J H.4

:")

CAPVT XL De Syftematum compofitione. Et(i unius

hominis vox plerunqj intra unius o-

fyftema vercicur,pluriumtamenMelodiarum concencus docer oftavas plures contiguas ordinare. Veteres igiturnumerorum aftectionibusomniadefinientes, Diapafon epidiapenteNumerisi. .*..?. , fyftema perfectum definiueruntmobis fiipra fecliones harmonica? fmgu» las fingula reddiderunt fy ftemata , quoru erat maximum DifHiapafonftavae

epidiapencej numeris

5»6.Et_noftrisComponiftis,ucvocant,lime«

aullas

——

;

De Proportionibus

58 VAP, XI,

quod etii , dum Melodias concinences mulciplicanc Creator Deus , in concemperacione mocuum coeleftium ____ "~SXZZIIpraeiviCj Syftematefa&o ex feptem diapafon,& eo ampli~ us. Veruncamen quia hic componimus fyftema, uc omnes omnino confonantias fpeculemur, pcrfe&as, -"^imperfefl-as; ad hocopusfufficiuncnobisduo diapafonin y unum compofica incervallu,quodeciam Pcolemarus perfe— cfum fyftema appellavit, in hunc, qui fequicur modum.

saullus eft pofitus

—

Chordarcum clavibus

Noftra fcala Mufica , quae nihil eft aliud quam Syftema Mufices noftrae Maximumj compleiticur duo diapafon &unam fextam; quam hucapponam, comparatam cumfyftemace veterum, appellacionibus chordarfj

inteivallis intra Dif-

——

diapafon.

&£—— ^.mirnniurn Semitomum :

t->£>

Lirama.

40 ,

576

607f

Semito nium.

„

grajcis.

ee Dieiis

675

dd?

dd )

Semitonium.

720

Senaitonium

768

CC£

Limma

Lheus

Semitonium

h f

Limma Semitomum

e Diefis

h Semitonium d

—

la fol re

%m*

1296

ij/o 1440

falre ut

Mefe

fiut

Lichanos Mefon

Paramefe

— —

ParhypateMefon -HypateMefon Lichanos Hypaton -Parhypate Hypaton

Cfhut

1920

Y»t2048 —2160

Hic

Limma

fingula: lines

Jignificanc

ftngu-

laschordas prin-

•

Hic non

TriteDiezeugmenon

—

Semitt>nium

Trice'Hyperbolxon Nete Diezeugmenon ~

Paranete Diezeugm

I8°° BmiAre

j Sero itoniam

——

12I3

17-28

Nete Hyberboleeon Paranece Hyperbol^on

fh ut

1620 Dfolre^

lefis

—

11/2

Semuoniuai

fh ut

E/ami

fol re ut

(ol

c<>

Semitofiium

Limma

raxj.

iogo d

Semitonium

darum Gixcx experfecVo SyftematePtole-

1024

Limtna

Appellationes chor_

-fo

960

iemttonium

fil

810 864 900

Semitonium

U U Jot—

Iineac

HypateHypaton Proflambanomenos

tantum fed etiam intervalla

incer lineas fmgula fignificant fingulas

fonos principales

chordas feu

more hodicraorum Diagram-

matum.

cipales.

De csceris par tibus Mufices hodierne, agere non eft inftituti mei nihilenim pertinetadnaturamlntervallorum, quasficNocarummenfura » variecai ; proporcio Modomm, Pauik & fimUia. Corol-

Harmonicis

Lib.111.

Corollaria Arithmetica

CAP.Xl,

Mechanica. j

Muhiplicatio longicu-^ gggg exprimic chordas undecim.

Mulciplicacio chor- 1 Multiplicatio chordxccccf gignic ocloi dasj^gignicfex

dinis chordae

Sic

gggg

ggg

ehordas.

'?*• Sic !?<•

ccccg

270,

CCCf

chordas.

192

ijs* ccc

S40-

CC%

S76. 288-

S64288-

192.

960-

768-

jlS-

HS2288-

1440.

192-

810.

i?S-

^88

IIS2192.

^7 28-

Hiceciafexcapar-

94S-

1J44- ceipfiush,difranc^

JIL g

JS4

192-

67$.

28S'

S76

ffr

J?Sddt>

288-

192.

40S *?s[

Sic

192>

192 &/«.

iogo<:?

Alia Monochor-

192

difedrio. Divide G 1728- inj.&quodlibecin

I21S

192.

2. 4- 8. ic5.

ucfianc

19 20- parces 4$. harum

JJS_

Hic etiam nona par-

i2.func^,i/.^e)

i6.dd,)$.cc, 20. bb, *48S> te non totius chorda:,' 2 J3S- fedipfiusfj, veldecima ^g> 2 7.f, 30. j 3-?.£ 1620- ipfius A. diftanc A. £.

JR-Urium

divi-

VeldivideC?. iny. dein^. harumj.e17SSquodiibecinj, hoc runc^.f). Deniqy

icerumin/.ucfianc.4/. §in^.divide,&q,Ii1890bec in 3. uc fiancp. • Harumi2.fuhc/7e

J3S- n.hntdd, earum i6func<r^,

202S- jS-funt^jao. funcrf,

B u> r fcthicdecimafexta

JIL Zt6 °parte

chord*

diftantde/ubi minor ronus /i- ubirnajor.

27-

func^,proinde 24.func/e,3o.fuhc^ 3Afuncc eJ j6.func^

& .40.func^.

)o.

$. danc cts dant ^. vlcimo

crifeca & fume f , harum 4. pro^^* <r

cap.xii.

De Proportionibus CAPVTXIJ.

6q I)

De Confonanti js adulterinis. T tx continuatione duorum diapafon refultant con*

fonanciae iniperfedcE.

Nam^in comniiffura

ucriufq;,

fequuncurdein-

cepsduo toni majores $. 9. incer/g, &cga' Icaq; inf a. intervallum eff 64. Si. quod uno commace 80.81. majus eft jufta Tercia Majore 4. /. vel pitonus.

i^:^."~~ZZ|

—

54- 8°.

Hoccum Galilaeoditonum appellemus;

Idem intervallum eft interê» ûia inter?/& %tyg â «trinq.* klem eft irtcervallum femkonij.

-20

—

^.+c

quarta

: —a—

iicincer/T^ ad ditonum abundancem/* accedens femiconium, facic incervailurn 6o.8k J velso- *7« quod eft commaecc 80. gi. majus una*

4. vcl 60. §0.

Idem judicade<?<?,quiauc e. femitonio inferiof eftipfo/, ficeciam tt

ipfb ht

Hscimperfe&aConfonafeu abundartciafifubcrahancur ab intervalloDiapafon , relinquuntimperfecta &unocommatedeficienciare* Nam incer «jf unius o&ava? eritgi. 128- deficiens fexta mollis. Idem incer^e «fiab odlava fubcrahas^ g%.

fidua.

^cmcer^^uniusocl:ava^,poftfubcracl:ioneni'mperrecl:arquarca5 fhbzo. 27-aboclava, reftabitdiminucaQinnca^>.4o.ideft8i. 1^0. Idem incer 'a « ,'fubcracl:o e a abodlava. Addico ver6 dicono abundanci/I*. ad Terciam'minorem d~e.$. $. 'i£ct procreacur 160. 24^. Quinca, diapence,/lx> abundans %k*fc £ uno commace. Nam 160. 240. eft 2. 3. 240. 245.

$^<4eft$o. 8iEr quinca abundancey e c ex o&ava? intervaHo ablaca , reftat quar* fca ef.2^1. 3^0. deficiens uno commate. |

Tabella imperfe&arum Confonantiarum

fex>

Pro4. /. eft 64.. 81. abuhdans Pro 3. g. eft 60. gi, abundans vel 20. 27* Pro 5. 8» eft $i. 12$. deficrens Pro 2. j. eft$i. I2 0- deficieos vel 27. 40.

Neq; camen ideo opus

& 245. 320. deficiens.

& 160. 243- abundans.

eft femicoriio feu

24?, 156. quod illediverfam ob caufam , Ablatis enim duobus conis majoribus fc

Limmace

Platonico

quam ego, Limma appellavit.

dicono 64. gi. ab incervallo j.4. reftabac illi hoc Limma 24^. 256. loco femiconij. Ac mihi non opus eft hac fubcradtione , potiiis enim auge tUr mihi 3:, 4. incervallum * &fic 20,27, :

CA&XIII.

Harmonicis

CAPVT

Lib. 11L

XllL

Quidfit Cantus naturaliter Concinnus SCaptus. Nihil dicemus de ftridulo illo more canendi , folencuci Turca;

quo

Vngari pro clafficofuo brucorum pociusaniman:

tum voces incondicas quam humanam Nacuram imicati. Videcur omninoprimus auchor haufilfe melodiamhujufmodi incondicam ab inftrumenco min 9 apce conformato,eamq,- confuetudine ,

diucurna 3 cumipfi9 inftrumencifacl:ura,cranimififse adpofteros,cocaq; gencem. Interfui Fragae precib 9 , quasLegatiTurcicifacerdoshoris ftatis ingeniculatus,cerramq;froncecrebr6feriens,decancarefolebac:apparuic facile,ipf iim ex difciplina Canere, exercicacionemq; prompci-

tudinemlaborecomparaffe, nihil enim harfitavit; at intervallisufusefr. hemoproprionacurae dudlu exfeipfoulcroiimile quid conftanter unquam medicari poffe videa cur. Conaboraliqdproximuilli per noftras nocasMuficasexprimere.

miris, infolitis, concifis,abhorrentibus,uc

humanarum aUrium judicioaptus cancuseft, Concinnas igicur qui exorfus a certo quodam fono; ab eo per incervalla concinna cendic ad fonos confonos &primo llli, plerumq; eciam inter fe mUcuo ;diffona curiim pervohcans intervalla , in confonis vero immorans, feu menfuratemporis, Syllabarumq;longicudine, feucrebro ad illosred*

icu, veluci

duarumvocumintcrfeconfbnantiamafFe&ans, unicxvo*

cistraduftioneatoco uno Syftematisadafium.

Exempium.

Victimje . -ufch-li laudcsimmoleucChriltianiAguasredemitovesCiiltp mnoc^nsp.itnreconciliavit

peccatoref.

Hicfonusinicialiscftinclavi Ccumqua kl cancn molli concordanc£. c. d.g. FxcurricigicurCancus(primum flexu deorfum fa£tc) ad r

ciavemr.confonam, &cranfilicplancdiflbnumlocum^;fuiu etaucem idem,fiaccigifFecipfum,fedbrevimora; cocavero feries reliqua pocifll-

mum inlocistJ. d.g. inconac,fceleco odtavaecaleexprimens, in d, creberrime rediens , poft in b. in fuperius vero^. fe interdumefFerens,inha;comniaIoca fignancer: nonficin^. vel mf, loca primo diflbna candemq; redic ad G. ibiq;finit.

— —$Xi

rr-^ -^

* —

~ty

Circatraditamcancus definicionem mulca veniunc nobis annotanda. I.

Parces Cancus , ex quibus vel

omnibus vel aliquibus conftac omnis

Cancus , Euclides nominac has quatuor,

Ay ®y Iw, Tovlw, HzrkuWy

nAo-

—

De Proportionibus

6% «apxiii.

n^0K&y,qua:

Ay6>y«enirncfttra-

quidfinc,vocesipfa;indicant.

du&iovocisapropoficaradiceadlOcumufq; radici confonum, autab eft uno confono, ad aliumvelillivel primse fadici conlonum. Tovy\

commoratio in loco vel primo velilli confono, vel e tiam priori confoqu*da no,licetprimononfit confonus.nAow,i mpl icado,enfpecies ut Ayuyv a <* vel color dyuyk, ut 7rgrW,lufitatio,To^j &

Tovlw

,fia?rAox« ad

m%U<*»\ quia dyuyY)

canis , cirea viatorem.

TThOM vagatur in tranfitu eircacty Jaynf ut diredlUs, Itaq; dytoynck motus veluti >

T0]/ i

quafi direae tranfit,

motusvarius:

7TA0JO1

in loco .Syftematis pctivero eft quafi terminus motus > feu quies

to: mftttci

In exemplo

eftmultiterminiminutiorUmmotuum,&velutiquietes. qusnoftro, .Syllaba; [demitOves Chrijlus ins Jpefpetua

damfuntrOM,duabus peccat,

]

folis Syllabis exceptis: at Syllabaj

exprimunt TTStJ^.

[cens rec

QuodfiinhaccantUenaiigaturasre-

Svllabarum, [laud an patr torj eafq; ut bifonas Confideres, inea dycayn mera&puranullaerit, Atfiperpendas,rufticano

fpicias

cunc

more fa&um ,ut ex fonoqui

produftius erat canendus, faftus

nus aflurgens in fine ; Scfifyllabis hifce fimplicem fonum

fit

bifo-

produdum

quieftligatur3eprimus,reftituas;inveniespuram0ty6)yZo' mhis [Pafcali faudes] item, [immolent~\ icem [ Chrifliani ] item [lnnocens patri]

& brevis in [catores

]

7TA0XY)

vero me ra,licec ndn nacuralis> eft in exem*

ploTurcicb.

Quemadmodum igiturfe

habet fceleton ad corpus apud anatb0£tav£e,foni confbni Syftemate inter fe micos, cum radice vel bafi o£tava2,adipfam melodiamfeu cantum. .Sicut enim caro lmplet finus offiura , eaq; veftit ad decorem; fic has partes re-

ficfe habent in uno

cenfit^implent fceleton o&avas , prsfertim Ctyiayn oC 7TiT\eicL jper"" errantesloca diffona, inter confonos fonos interjecla, conformanc& quaficorporant Melodiam. fie, Qudd exordiatur a certo quOdam fbnb» Cum cancus definifcUf — r ~" Da ^ls ^1C Syftematis o&ava;; id ~ &$' \ Yi —' 7"3-^"^•^"5'T -^- jc-^-x a~a non ^ern P er de a£tu eft intelligen_*$l3l5[J dele&et varietas, _ _t$X!g4 dum;cum dum cum enim deleclet varietas. II.

111

;

&fervtatemphtifi:fepifsimevelucexabruptoincipitmelodiaaclaviVeI locoalio: poteftatetamenfubintelligiturprincipium quodpiam certu pofitum,quodextoto Melodiae tra£tu undiq; enitefcit;ucin hoc vetUftifllmo

Germanico,

facile intelligicur ,etfi

adua^. fiacinicium;

fadi-

cem camen efle G, III.

Similem habet excepcionerii,qu6d cancus f egularis dieicuf Cum

fua tovn vel 7TSTliict collimare ad loca confona radici O&aVa;. • <

•»

Nam

frequencer hae partes in medio lorigioris melodie, traclu , verfaritur cif

HaRMONICIS ealocadiftbna a primaradice

LlB.

III.

fed idfic variecacis caufa, eftq; perinde,

pnorimelodia:nova melodiamifcerecur , Cujus lndiflbnoillonofigerecurinicium, auc novum fignarecur O&ava? fceexcurfus in Oracione feu digreffio 3 icaq; non cotn» veluc Eft lecon. acfi

vumquoddam

moramur in talibus , Ec quamdiu

fedcicorevercimurveluc ad principale fcelecon.

circa diflbna verfacur TOVY) d>C7fSTJiictj incelligimus,

cancum nondum;

finin;

Nam in

ipfo verofine

redeundum

eft nori

tancumadconfbna, regularicer quidem, fed eciam ad ipfam propriae

afre&acione confooitavx radicem. Ab hac arciculacione cancus, etia firnpiicem cancum Harmoniam , dixifie vidennanciarum, veceres tur:nonfecus atq, decens&aptusmembrorumrefponfus,quaeformae animaeft , harmoma dicerecur , quafi pulchritndo fuicenim fasHarmonia. mina^ nomen

IV.

Qu6dAy#y^accinec,earurfumvariaeft

nori

;

femper enim

a&uomnialocaincerje&a cranfic,fedfa;pecranffilicaliqua,falcuq; fercur ab una ad confonancem illi eftque cunc fola poceflace ciyodyy) & fe-

t0R

,•

remera^T/«Ot velTOI/555 qui moseft frequentiflim 9 noftroru Tubicinum,camclaflicumaucincencivum equeftre modulancur\* tune enim fere nihil nifi fcelecon oftavas auditur,Cogita an hujus generis fuer ic llle

vecerum No^©-' ajpt&ii V. Cum Concinnus cancus conftec

Elemencis, quae func interfuncdefinienda vallaconcinna,primumilra accuracius, Duplicinamq.fenfudicuncurincervalla concinna vel inconcin- rn Primumenimincervallafeorfimfingula,refpe£tuorcus fui,con- cia. na. cinnavel inconcinna dicuncur, illa quidem, quai nacura admiccic in divifionibusincervallorumconfonorum, hxc vero, quasex comparacionibus Confonanciarum non refulcaric , aliena prorfus ab Harmonice > ucexplicatum Cap.IV* Deinde refpe&u ipfius Cantus feu Melodise, difcrimenhoceftinter ipfaetiam Alufica,feu primo fenfuConcinriainterValla, quodqusedarri exij; junftim confiderata, quamvis Natural fint concinna,fc orta ex comparacione &: abftractiohe harmbriiarum, ufu camen aMelodijscertorefpe&uproinconcinnis rejiciancur. Illurii fuic

'«°'

fenfunlpreefupponunc&refpiciuncfofW St

fimum Ayft)y«,tamadualis, quam

7TZTleta.

defultoria.

jhuncvero

Hxc

igitur

pocift

incon-

cinna fiuncrurfum duobus nOminibus: vel enim refpecni Gencris, aut fceletiO&avae, qqodeaplaneinillononufurpencur, neq,formenc illud i auc fi alio difponantur ordine, quam fupra Capice VII. nacura docuic;ucfiquisvelleccriafemiconiadeuicepsordinare;femiconiumqut-

dem

primofenfu concinnumeft, ac hicdrdo femiconiorum conciriIcaDiefis Nacura concinna, cft ca.nus noneft, hocfecundo fenfu men vel in duro Genere cancus, vel in Molli , feorfim inconcinna: Vel deniq; non canuncur deinceps,nec licica func falcui VQcisMdodicajjnec ,

Ayoiyn convenientia. Saat

n in **

—

;

De Proportionibus

Suntigicurhocfecundofenfu inconcinna & vccica incervalla,his Sap. xiii. uc praecipuis legibus comprehenfa.

---

£_j

.*.

— *£^^-&^ Z£

—

femiconium regularicer non

Diefis ance vel poft

canicur.

Duofemiconialicetdcincepsordinenturinordine

II.

minimorum

incervallorum Capicis VII. non poflunc tamencribusfonisdeincepscani,feddebenc cum duotx : _£ elemencis in alijs duos bus conos coalefcere. ¥$m. Duo femiconia intra complexum unius quarcae vel quincae, quse fit

k -*+%.

$+&

T-*

imo loco fceleci^oftavae, ordinarienon canuncur.

— *•-$-*— Nam

^*"

effkerecur

vox

ordinequarcavel quinca, nonconfonarec cum prima , neq;perfe&e neq> imperfe&ej icaq;non efTec quarcavel quinca vere>

""~~Z"$^±_.

Quacuor toni deincepsnon canuntur> fuprema Oftavae parce, quando colo-

IV.

ni ^ in ;

ns &variecaciscaufa,mucacurfcelecon;non igicurordinarie.

Sepcima & omnia diflbna fupra occavam fonispoftradicemdeinceps ordinans non canuncur ordinarie sriifi praecedens habeac quo-

dammodo

racionein

iinis

fequens racionem

VI. Sexcas , ecfi confanae, rarius admictimus, cancum minores.

me traniierunt.

VII. Tetrachorda duo uniuso£caVae,nOnexiftenteeodemIocofemitonij in eorumucroq; ,rariuscanuncur; fciliceccolonscaufa aucSyncopacionum ( de quibus capite XVI. ) neq,- tamen libertas eft mera locandi femitonij, reftringitur enimadeum locum quemadmittit Ge,

nus

Cantiis.

£$-*-$-'

U-+ st+s-

_^J&-_._J

• :$___?:

quod tres Toni deinceps imo loco o&aVeC non canuncur; atfuperius admiccuncur legibusjamdi&is.

VIII. Afflne eft hoc ,

y.-

-%+-

$:___?:{:$:::_

fcjdfct

Yk7 Duo femiconiain unum conum nacuralicer non

conflancur, licec

parvum in audicu difcrimen; uc fi odtava incipiac fic

*:_ ±r $&S± sxs *-*&+ 35

ab£. inter c& d%. fieretn.intervallum 22/. ^56.ex comIn poficione quod naturaliter eft inconcinnum, vide Cap, IV.

Harmonicis

Lib.111.

Ingenere omneOctavaeSyftemaeft inconcinnum, quod non ftatuic Diateflaron & Diapente X.

infra.

——

-~$-y ~ £mia$IX!^Li j

-~~fr [

Harum Iegum pler?q; jam nobis fervienc inconftituendo numero Tonorum Cap. fequenci. VI. Quancumaccinecadilludmembrumdefinicionis, Di/fona cur- DeMenfuecfi non eft mfticuci mei in operi$. fim pervo/itans , in eonfonis immorans tamenirtgeneremoneo, prasciillud menfuris difpucare : de , lfto re :

puameffe graciam cancus Harmoniei inmenfuracione.

Nam quod

idin fpecie ficverum efgeneraliffimedictumeft)Z)i^«4rar//)» Primum Lacini habent diftin&ionem interlongam breficicur.

vemSyllabam,quarumhancfaciunc unius,illamduorum Temporum, Quanquam hodie non carmina tantum, i n p ro £. ec fic longicudinis duplae. fed eciam profa canitur ; in qua penuus negligicur ab hodiernis muficis diftinctio longae & bre vis Sy llabae; refpici tur ver 6 unice ad morem pronunciandi,quamvis is hodie fic corrupcus; habettirq,prolonga Syllaba, qua:cunq,cumaccentuacucofolecproferri>probrevi,qua:cumgravi. Id rton rtiiruminLatina linguafieri, cum idcm etiam Grasci pofterioresfecerint qui quamvis purefcriberent, pronunciationem tamen vitiofifiimam furtc amplexi, in qua nulla amplius eft diftinctio accencus acuciaSyllaba;longicudine,gravisabrevicace,cumtamenad hoc fignisabundent, quaeapud Latinos non tam frequentiin ufu habentur, r Icaq; Graxiabrogaco more pangertdi carmen , ab aliquot jam faeculis fe r fu p^i|. S ceperuntfcribere verfusPohcicos dittos ; in quibus Syllabae numeran- tici. turnonmeftfurantur , obcinecq; verfus penultimam,non quas natura longaeft , fed quas accentu acuitur in fermone populari. Id igitur imitancur eciarninLatinanoftriMufici,- adeoucne carminibus quidem^nMetris: tripla nifi perraro , nec unquam in tocum parcanc: credo quia dupla perpetuainCantibuseft recepta: cum carmina has inaequalicer mifceanc,excepco Hexame cro,quod propor cione ajqualicacis in fpon daeo, :

&dup!aperfe&aindatlyloconcencum

eft.

Brevem

igitur fylla-

bam,aucqu3eeftlocobrevis,quandofponda:us fuccedit jambo, &in genere fyllabam cum accencu proferenda, Mufici depucancdiflbnofono , fi per illum fic cranfeundum , longam confonis , vel quafi. Secundo linguaeIonicae,quaeRhychmoucuncur Teuconica, Galli- innodier: ca>Hifpanica ,Icalica,faciunc vel ulcimamCarminis acucam vel penulti- aisM""*mam , efferuncq; cocum verfum ficacfialcernis acuca velgravisfyllabq femucuo infequancur , five fic hoc, uc in apco Teuconico verfu , five rton fic, uc crebro in Gallicis. Icaq; omnis illorum verfus auc Trochaico fimilis eft, auc Iambico , ijfq; auc Acacale&is ©cfcopffer #tmmel$ tM& Der <2t$tn. tftun btff en wit fcett ^eplgett ©etfL aut cacaleccis.^ejl ftcfc wunt txtt aHe SCBelf • <it

tft t>er

Sftforgenfierne.

Igicur Mufici fonis diflbnis fe-

dem in gravibus velcorrepcisfyllabis flgunc,Confbnis inacucis. Tercio,cum vero canc9 accip ic menfuram non aSyllabis cextus,fed a Intafta, Tadtu acq> is vel duplamfequitur proportionem vel triplam;primam quidem tatctus partem Confonis , pofteriorem, & in tripla breviorem, >•

quae fignificacur elevacione

manus ,

diflbnis pociflimura refervanc

cavenc-

Proportionibus

caventq;quancumfieripoceft,neprimum caclusfemiflem alia occupetfyllaba,quamquaeeftacute proferenda, nevelonga: bins in ulcimam ta&us partem incrudancur»

CAPVT

XIV.

De Modis M elodiar um

qtias

Tonos vocant.

De modisdi&urus primumhodiernos admonea Muficos, quos illi Modos appellare folenc , fc: propOrcionem ca&us dufimiles, ( quaies Modos force fecerunc olim cibijs, plam, criplam

comcedijsRomanorUm ) de ijs mihi prsecerquam quod jam eft dinon fore. Modosego dico, quos ipfi cum veceribus folenc appellare Tonos, cum quarricur , cujus Toni fitCancus. iunt enim cerca; Cantus concinni feuqualicaces feu fpecies, duabus fummis Generum differencijs, Dur i & Mollis, contra fe dirempci, Graeci Tg^TTS? 5£ $« dixere, illud a forma Syftemacis, hoc ab EfFe&u Cantus inhomine, quiapleriq;legisiatorumcenfuerunc, Mo* <dos cantuum facere ad Mores conformandos, De horum igitur Tonorum numero & difcriminibus npn hodie in

tl:um, fermOnem

tantummagna£funcinterMuficoscontroverfia;,fed jam olim fueapud Pcolemjeum, plerafq;apud Vincencium runt: quarum aliquas Galila^um, videre eft. Mihiverd necexaminare quorumcunq;fencen» tias eft propoficum , neq; refucare : icaq; non expe&ec Muficus a me "o^c quamaliudinhacquEeftione, quamidunieum, ad quod mea me ducunc prineipia ha&enus explicata. Ecfi enim Toni ab eo dic"h videncur, quodModus unus alcero vel alcius vel promndiusmcipiacuniusToni (vel Semiconij) incervallo: Tonos cameh Ego non ipfaperfeCantus alcicudine vel gravicace difcrimino , quod folum obfervafre quofdam Vincencius Galilaais ceftacur; fed numerumeonim adnumerum (pecieru unius Diapafo cum Pcolemajo exigo ; dicoq; cotidem efle ToConcinna, nos, quot poflunt effe fceletaSyftematis Oclava^legitima GeneribuSjOrdineconcinnorum intervallorum, ficu Tecrachor-

Medietatum binarum Harmonicarum incer fe Tres nimirum func res , quas Tonos varianc interq,fcfe difFerentia. diftinguunt : Genus, SequelaConcinnorum, & Articulatiofceleti ex

dorum,

feu eleftione

Confonantijs minoribus.

PrimumGeneraduo, Cap.

VI. conftituca divifionis Syftematis nobis duos principes &Natura primos Tonos, cum ipfofc: Syftemate unius folius Oclavee ortos. Deinde inutroq;genereSyftematis tam duro quam molli,ex compofitione duorum Diapafoninunum majus &perfe£tum Syftema, quam tradidimus Capite XLdancur Syftemata fingularium 0&avarum,difFerentia radicibus feu metis,quibus includuncur/uiic aucem illaemecaeLoca Syftemacis natu-

OcTravae, conftituunc

ralis

Harmonicis

Lib.U1.

raIisdiverfa,feuhodiernovocabuIoClavesaliaeatq;alia:, quas confeckV quicurnecefTariodiverfaalcicudo, refpe&u fyftemacis naturalis , quod per illam diverfus eciam ficus femitonij, quod eft vel cera G mcipic tio vel penimo vel imo loco Octavae. Nam quod actinet altitudinem ipfam,abfoluteconfideracam,illaperfenihil mucac fpeciem cancus, cum eadem fpecies vel alcepoffic inconari vel humilicer. Neq; aftrin,•

gimur adhoc, ucTonorum reliquorum dimidiam parcem fumamus cum Pcolemxo profundtorem Syftemace Gprincipali &Nacurali, PofTumus enim vel omnes alciores, vel omnes dimidiam alciorem. humiliores fumere,curn idem ucrinq, fequacur Ordo Concinnorum,tuncnimirum,fi SyftemaduplicisoctaAcfi

nacuralicercompoficum,incipiaca clavi G.

vas

parccm humiliorea parcen? alciores faciamuscum Pto* lemaio; Syftema naturale ficeric componendum, uc 6c fic Syinfra Diapence addamus, f upra Diaceflaron ftema conipoficum duplicis Oclavse mcipiec a C. ,

p§§l jp6=3={

Terciodeniq; dacurin Syftemacibus

Mediecacum Harmonicarum partes cancus

;

in ^quas colliment

quodeodem redic,

feu

mo vel imo loco Oclavs

fic confticucis,

electio duarii

TOM &t

7TZT]eicty

dacurficus Tecrachordi velfum-

medio duarum Terciarum. Hujus igicurdiverficaciscaufa, fubjungendum hic anceomniaex CapiceXI. concinnacum Rece quadracumexduodecimOrdinibusintervallorum duodecim minimorum Naturalium non quidem ideo utcum Ariftroxenofecundumnumerumillorum totidemTonosfaciamus, incipientes unumquemq; uno tali minimo intervallo altius: fed ut his minimis in ufuaha concinna contraclis, appareat,ucrum nova vel in

ahqua fpecies Oclav^e ab unoquolibet minimorum incipere

poflic.

Rete intervallorum in Syftematibus ,pro indagandis To-

norum diverfisfpeciebus. j

II.

III,

IV.

S S

e 3

S S

L S S\L \\c

S S

L S

s s

S S

*D S S

D S S

S S

.B JL

| I

S S

L D S S D

S S

S s

\XIl Ordines S

S D L \G\Gz\A b

s s

X, XI.

S S

IX.

—3—,

VII. \VIII.

,..

l—M

\c<>

S |

d .\dz

I 2

.|/|

f<>

•-i

r. t>

EOfl 3 •

jT^ I. 5.

t-4 >-•

Vides

— — —

63 ^

„

vtv c e

Ottus

14.

Proportionibus I

Vides , cx duodecim difcriminibus akicudinum Octavae nullam 11 * cum a ' cera conveniac in elemencorum ordine. ^l Videamus nunc , quoc hinc exiftanc fpecies Syftemacum O&avae

{ip r i ma difFerenciaOclavarum,qu3eeft Generis, admifceacur; hoceft,

omnium Ordinum 12. minima 12. mcervalla poflinc concinne con-

oftavse dif-

fcreutium

tra hi

pcwaum.

infepcem unius Oclava; ufualia inccrvalla,

diftincta locis

o&o-

n gg quucmodis quilibet. Ubi noca quod LS. vel SL. fic noca Toni Majoris , DS, vel «SD. Noraconi Minoris,£ nocafemiconij & procedenc noftrae defcriptioj Sj

hes a Gravi ad Acucum , feu ab infr a ad fiiper iora Cercum eft igicur, in Oclava G. duas exiftere fpecies pro duplici ficufemiconijinakerovelcerciolocoabimo.

Prima Mollis Generis. £r~ DS. Ls. S. SD. LS.Zfc <vel SD. S.

LS.

.^SE±Str±^

ls.±&± Ttl

i^z$±g|Sg

Alcera,Duri Generis. ?j LS. SD. S. LS. SD. SL. S.

Ac in G%.

& in

vd s. isr--^— Q, cum duo femironia non componanc unum

concinnum,necdeincepscanancurgjte. asA&)fjimumcrgdfemiconiuni J

folum per leges 9. & z- prioris Capicis Effccergo diftribucio Vel calis S.SDSL. S. SD. SL. SL. inconeinnaex legej. Vel in Gq. quidem calis S. SD. SL, SS. DS. &c & haec inconcin* naexlege9. NullaigicurfpeciesOdava: concinnaexG^ incipic ftac

,•

In octava >/.pro criplici ficuinferiorisfemiconij poffibili, trifetHi modis concrahencur elementa in Tonos: vel enim fic S.DS.LS.S.DS^

&c. quod coincidiccum eoquodjameftreje&um;vel ficuthincnafcacur

—

fr 111.

v-*r*"'

.^^.Jt^il .$v

^lSSg

Tercia s.

DS. LS. SD.

ft—p —ZZ~rJiSD. "frr

Quarca LS. SD.

Ss$gjt SD. SL. V

—~

aZ$Z±Z3

y ,^ ^plM^.S!

T-

„

-r

LS. LS.

LS.\LS>

Quinca SD. SL> SL. S.

°& iva

uni ca potcft efle

—_l|Elcmetitorum contra&io, quas

-j-

coincidic

cumquintaforma.nee

dacur alia, fc. DS. LS.S. DS. LS.LSS, quiafcmitoniumnonnificer oura ab infra locum habere poteft . •

1«

Harmonicis

Lib.

111.

Iu Odlava f) quia non licec conflare duofemiconia loco fecundo per legem^.nec deincepsordinare,per 2.diftribuendaigiturfuncin jto- CAP. XIV, nos fic, ut fblicarium ftec vel primo , vel fecundo loco. Quod fi primo loco,fequecur,uc alcerum folicarium ftec vel quarcoloco,quodrejicicurlegetercia,vel fexco,&quacuor coni infenori loco o&ava: deinceps lequencur concra legem quarcam. Quare femitoniu ordinandum eft loco fecundo , uc hinc exiftac fpecies

^Siff ±E\ :$:»*:

VI.

1$.:$:

m±

±$:±:

====*i$:±==

=*=$ % *=*=$ r.

*t$J$±±

fequenci. VIII.

SD. SL. SL. S. SD. SL. InO&ava^. procriplicificu femiconij inimo Tetrachordo>

=**=*==::: "„',

dancur cres fpecies, O&ava DS. LS. LS. S. DS. LS.

£=£

Nona SD.

LS. LS. SD.

Z,S»

Decima SD. SL.

dancur duae

$-§— X.

O&ava Cpro duplici ficu

paulo antea,alceracoincidic

cum

* £:$:*=? £_*

IX.

SD.

prima coincidic cu 6-LS. S. DS. LS. LS. S. DS. alceraeft numero Sepcima LS. SD. S. LS. LS. SD. S. De o&avae a forma una didtum. eft

VIII.

diftribuciones:

$=£= $=*=

SD. SL. SL.

poflibili femiconij

=$=*=:

=Eb:i* :s=

VII.

Sexca

SL.

LS. SD. SL.

O&ava^ nullaconcinnadiftribuciofieripoceft:

exularet enini

primis cr ibus locis femiconiu,quod eft concra legem odavam prioris C. In O&ava e. rurfum criplex ficus femiconij pofGbilis in cnbus imis locis> cresdacfpecies,quarum

XI.

K + ===*$ *=$= -?-,

VXII.

Vndecima S.

LS. LS. SD,

—

SL.

LS» SD. SL.

efteadem,cum Vel

SA*±

XIII.

:*± reuna

SD.

Tredecima SL. SL.

XIII.

$=*:

exulicfpecies,fc:

w/fo.*

LS- SD^

Duodccima

:$:$*==

=S=±

SL.

fequentis for-

ma priori. InOclava/femitonium habet unicum ficum loco tertio,qua#

eadem credecima biformis

ls.ls.s.ds ls s ds.

Deniq,-

De Proportionibus

Deniq,- in Oftava/e duo

CAP. XIV. I.

*J :£±

m~ *$

:$M:±

func loca femiconio, vel in

penultimafede , vel in ulcima. Quodfi igicur ficordines SL.S SD.SL. S. SD.SL. fpecies eritprima, uc appai ec ex collacioe:fin aliter,eric

xiv. ^

m ^ffi^i

quarca decima

ls.

st>.

sl-

sd. sl.

Apparec lgicurcaufa cur

Ordine

II.

IV. V. VII. IX.

•"

O-

ftavis G%. b.h.co-d^. nullapeculiansfpecies mcipiac.

Apparetfecund6,nulIampofle fieri genuinam tranfpoficionem, ucmaneateademfpeciesOaava^nifihas,!. ab/e- in^TI. ap^. in«, fed formee reje£ta% III. aba. in/>. IVa^.in c.V. ac^. ind. Vl.a/.in^* for_ masreje&ae VII. ab e. inf. .

AtftvulgoMuficorum Organicorum obcemperemus, quiCommanegligunc necincer Tonos, majorem minoremq; difcernunccunc omnes quacuordecim noftra; ipecies Octavarum,confticuenc non plures, quam cres Modos,procriplicificufemiconij (uc quidem & Galila?uscemp 9 fuifleaic,cumnonplures cnbushaberencurTonijDori^Phry,

gius,Lydius) mulciplicancur veroinpluresperfolamalcicudinem. quod cerriam caufam accinec , arciculacionem lcelecon Octa-

Nam

eanobis cum

illis adhuc communis eft propcer quam eciam nobis Ipecies nafcencur. XIV. pluresquam Ecce tres ordines vulgares O&avarum. I. Ucfemiconiumficloco imo,quemputo a veteribus dic~tum Phry-

va;,

,•

gium,a?quipollent illis ex noftris lpeciebus hae.

IlWnOdava^. VIILInOaavac?. InOftava

\S.

DS. LS. SD, S. LS. LS. ^EquipolIencia quoSD. SL. SL. S. SD> SL. ad imum TecraDS. LS. LS. S. DS. LS. chordum, eftvera.

XI. In Oaavae. \S. LS. LS. SD.

XlV.InOftava/?.

\S.

LS. SD. SL.

LS. SD. Mediocris aequipol SD. SL. le.ntia.

II. Ut femitonium fit loco penimo , quod videtur inDorio , veceribus di&o, faclum efle., aequipollent vulgo ex fpeciebus nofiris ha?.

LS.

DS. L$. SD. S. vel S. DS. InO&ava/e. SL. S. SD. St. S. SD. VI. In O&avac LS. S. DS. LS. LS. S. SL. SL- S, InOclava § SL. In Oftava G.

•

ve/S. XII. InOftavae.lsL.

LS.

sd.

sl.

w/s.

IV Jn O&ava A. IX.

In Oftava

d. \

LS.

sd.

LS.

SD.

Sh. quoad imum fyDS. ftema diapence eft

SD. vera.

LS.SD. s.

szjHic aequipollentia

LS. sd. S.

vels.

LS.

SD.

LS.

LS. LS. iEquipollentia

vel%. DS.

minima.

LS ./Equipollentia LS. mediocriscum fu.

ls.

ls*

perioribus.

—

Harmonicis

Lib. llL

TJcfemiconiumriclococercicutinLydiofuiffecredoj^quipoI? . p Xly*

III.

lenc vulgd ex fpeciebus noftris hx.

H-IaOa&vaG.\LS. SD.

\LS. SD.

VII. In Oftava

LS. SD. SL. S. ve/S. LS. y£qui pollencia in iLS. LS. SD. S. mo diapence vera. vel S.

InOaava/*|SD. SL.

X. InO£tava^.|S£>. SL.

Yirr XlLl

SL, SL.

DS.

SD. SL. SL. S. vel. S. LS. iEquipoIIencia miLS. SD. SL. S. nor. •vel S. LS. SD. SL.

In Oclava

InOte"

f.\LS. LS. S. DS. LS. S. DS.

veiSD. PofTunc ergofecundum vulgi ciam,plurimaefieri cranfpoficiones

mediancibus fignis b

SD.

„ ^«ctotratm .

nima.

deTono majori Sqminori Melodiarum de

liceris

fencen-

in liceras,

Reftac uc examinemus quenam ex noftris XI V. fpeciebus 0£hivas per arciculacionem elemencorum concinnorum poffinc fieri mulcipli-:

Nam fpecierum difcrimen quincuplex oricur ^»-.$1^.-^.

ces.

-$..$.:

a conciguicace Tonorum; auc enim cres coni fe invicem fequunajr deinceps, auc bini cancum. Quod

£j£Z%£~

&m&

Scmiton:

Tres Tonj,

curalicer, ticrinq,-habences,

fingula

rio in illo

excremo xucmo

miconium

—y

~ -

eic feeft le-

Duo Toni. ,

4 idH Tertia

ifcs

>>P5$yj S.emito:

DuoToni.

Terc- mi.

—

& duse cono

Sem}

Tertia ina.

"~7i

quuncur, incercedencibus ____. femiconijs , cunc femico- §£ $"$&; nio locus in excremicaci-— eft;

±S±± TresToni.

':'

"~®~~~~

busnon

£$::£:

£fc__£:fe$.

Sinaucem bini cancum Toni fe infe 8.

Sem:

fef

Semiton:

propcer leges

Tertia miaor.

^B±h*±

2lt _T_$^:t

femiconia vef uc ad flcerum Syftemacis excremum Verganc, &CUnc necefsa-

*i$:*-l

Tks Toni.

oporcecucvelinmedio o&ava? ftenc non naficres,

fingulos conos

$~f.

Ttttia minor.

mfi <=

^<A><

DuoT, Tert. ma. Semit. excremo concra* rum bigee velfupra ftanc,velinfra,cerciamollisui rio,eaq,- mferius reda, habens femiconiurri fupra,- fuperiuj inverfa, Se-

miconium

Tcrtrmi.

irifrahabens,T

Hoc 1

Harmonicis XIV

Hocpactoin

noflris

LlB.lll.

XIV. fpeciebus reperiuncur

liasX. quacernis primis locis coincidences

cum

interfperfae a*

prioribus, auc eciam

quinis; ubiveroincipiuntdifterre, praemiflaeft particula,W, Quod fi jam accefleritnltima caufa , difcriminans Tonos , fcilicec

TOVYibC 7T£Tlil

Numerus, &fient 71. fpecies. Omnc exomnibus24,habet& cerciam&quarcam con*

triplicabitur

enim fceleton Octavaj

cordancem cum prima & quintam & fextam. Si ergo hx parccs cantus potiffimum circa quarcam & fexcam occupencur cunc ftacuunc mfimo loco Diaceffaroni Sincirca cerciam & fexcam , Diaceffaron eft ,

:$:

EE in

±s3£=±

.*.

medio ,

2C3C

t^fes

k&:

fin deniq,circa terciam

quincam , DiacefTaron

eft

loco

fupremo. Haec autem non idco dico , quod neceffaf ia fic cam minuta conci-

cum fciam, plerumq; mifcef i cernas formas in uno cancu fed uc ex hoc numero poffic judiciumferri de difcriminib9 Tonorum, quae Mo-

fio ,

der ni

cr adunc

quas par tim calia func , vc mihi videancur illor um cot fta-

cuipofle, quocfunc

omnino canciones , caecera uniusTbni.

Atfi ob-

iervamushax principia, numerus Tonorumuccunq,magnus,

finicus

Infumma,Toni

cameneft. realibus diftin&i metis &difcriminibus, non refpedu altitudinis vocis in Organo , fed in ipfae tiam humana voce , quae prinCipium naturalis Syftematis a quacunq; voce alta vel profunda facere poteft funt vel f. cantum, vel 14 , vel 24, vel 72. ,

Cum hisprincipijs meis

ego concilio Tonos o£to vulgares* quos Ecclefiafticos dicunt; erantq» vetenbus, Opinionequorundam, I. Dorius I. Hypodorius fic

iilgBfepip§6lp|g jfdamprimuf Hgmo.

Noe Jecundut.

Has funt diiae fpecies Cantus mollis,ex fpecie o&avae, qu*

eft

mihi

Nec video aliam differentiam , quam in altitudine mera quam primiis habet njajorem fecundus minorem nifi velis il-

Prima inter XIV; ,

T&rcius VulgarisPhrygius

Tertius Abrabam,

Quartus vulgaris Hyppphrygius.

Quatuor Evangelijl*. Nihil

Harmonicis Ninilmanifeftius

quamhosduos Generis

ftramfpeciem XI. & fcnbendosex?, eftq; rurfum vixullumdifcrimen aliud quam * al cicudinis^nifi hxc illis velis

Lib.HI.

75 no

duri percktere ad

:^:$:=4

CAP. XV.

_a_ :$:

j-Triplcxeftsltitud»

->iToni

accomodare fcelecafeorfim.

abfoluta&

matcrialisquoda-

modo.uunvoce

Quincusvulgaris Lydius.

humanaetiamq;

Sexcus vulgaris Hypolydius

inOiganisliex

i= ^^^^S^^^^^j^mi

_ .

— mutatur forma Syitearis "

Quinq;

Itbri

Sexhydrix

Mojts

afcedat radix Syftematisin^. ubi noa

nihil.

de hac jara

Formahs

iphusradiciscujus-

pojtttz

qiToni inSyftema-

Echifimilicer manifeftiflime fcribendi func ex /funcq/generispohtTcxdu^bus" mollis, diftinguuncurq; al_,_. _^ du^ afon Ncq,h« _____ , hoclocointelhtno titudinevel fcelecishifce, ex cur.imporcatenim

__^

noftraXIIL

Sepcimus vulgaris Mixolydius.

_:$

mutationem Toni permutataClavira 'dicali Syftemans

Qttavus vulgans Hypomixolydius 3-^«» rormaiis,al-

ritudoMelodiaue-

— fpectu fua: radicahs — clavis, qua manen_ te nnnet quidem _ Tonus ldem, (ed ahud

Et oBofunt partes.

Septemartet Uberales

quafi

fchcma

indmt: ut

Octavam

radicis

nonad

fcendat fcdmfra apparecconfihum mvencorum, qucdPnmum& Secundum *afcendat lextam, quintam 7 / -r c r\ <-v o n exrf.fcnberevoluennt, lercium & Quarcum exc.Quincum&Sexcum autquanaiecontineat,velin_»iad_ exf. Septimum&O&avum ex G. cer- _..^_. cemlefecrebro dedifpucafupra tumcamen eft ex iJ3 qu„ Jrrrrr_ I nittat, rediens t: __ vimus etiam hos generis Duri cum Pri_r_:C: -nein nne adradic.-m. Itaq;fceletaimo & Sccundo ex eadem clavl G: fcribi ftj non lic luntindebcre,quibusexnoftrafpecie II. compecunthjecfceleta. telligenda,quauMe »

Etfi

;

W*H

—

Hac igitur applicanone vulgarium o_o Tonorum ad meas

fpe-

t°cu

We" not^

cies 0£h.vae I. XI. XIII. If. egb mulco evidentius difcrimen oftendere _cpi_»spervadat.u * c!tfiahc poflumincer hos Tonos , quam Mufici noftri , quiacomma coinem-[auc r earura as dla P»" ^. r l r Qui emm ex G. f cnbuntur, omnes quatuor habent conlonan- fon iafeaorej Hn nunc. S tiaslegicimas,cerci_, quarc_,quinc„,&fexcaecumprim4. Quiveroex >g* fefe£edemirtcV F. & e. confonancijs ucuncur adukerinis, infra quarta majori e a. &/ bb. poflimuscum anri. tjuisappejiare pia. quincamaiori e bb.&fcc L'

•

-1

Qmdigiturcumreliquisdccemfpeciebus, mquies ? cum omneS thenus. ufitaciToniredigancuradquatuor£ Nimirum adhocferviunt ,ut fciantMufici,fiSyflemataprincipaIisOcl:avaeex -.defcriptJCitemperemus ut natura fuadec; tunc nequaquam ita facile& varie trartfponi pofle

cantum finc mucacionefinceritatisfua:,ut lpfihabent irtufu. Liberura igiturillis efl, vel rejicere omnes refiduas io. , & cum ijs etiam tranfpoficiones fuas: vel fateri,quod plures

Modi

vel Toni

Forma; Melodiarurmphires nempe

poffiac exiftere>ijqvdifferentcs ab his poficis r

ali)

magis

74 «AP XIV

Proportionibus

^ agisaIijminus;proutaequipollentiasadmarginemfupra vides 'notatas.

aa-

Namfi fuperiorum uniusO£tavae intervallorumrationcm

habemus nullamj dantur fane tranfpofitioncs aliquot aC.inc.6cab A. in^.&alia:»

Quaerasultimo, quidimpediatillas tranfpofitiones , toties jam a mereje£tas? Videnturenimauresillasnonimpcdire,cumin confcflb

fit,Commatisexccffum inintervallis,quaedifjun£tafunt locis Syftcab auribus non dijudicari, Efto enim fyftema quam optime tenfum , ad naturae leges ha£tenus explicatas, pulfentur G a. & * §. ro«enturq;omneshomines, quotquot audiunc, utrum intervallorum Horumfitmajus, nefcire fedicent,necpriusdifcernent,quamconjun£iafuerintintervallaloco eodemO£tavae;hoc eft, ubi fpacio chordas per circinum difpun&o , pars o£cogefima prima chordae interfepiaanacis,

cur,&ficdua?longitudines8o. gi.pulfataemomentisproximis»incer iefucrinccomparaca? ? Refpondeo,etfiauditusnondiftinguit ,pulfatistribus folischordisOttavas (duorumintervallorum terminis) atpulfatis omnibus uniusO£tava:chordis, fictandemdiftinguitO£cavamCr.primogenitam& naturalem,abO£tavisaliarumclavium. Infuntcnim inomnibusO£cavae fpeciebus, eadem incervalla Concinna fcptem;qua; femel cxpref. fa pulfatione chordarum , ftatim hxrent in memoria dc propinquo ut £acilepateatauditui,quo locoOftavaenaturalis quilibctTonus incipiat. Hocpa£to Commatisfenfus erit implicitus in diftin£tione 0£tavaConcinrum. Quemadmodum enim Auditus Confbnantias ipfas , intervalla,probatab naomnia cffc£tu,licetnonnumcrctlongicudines chordarum, quae caufampraebencconcordantiarum ficidem auditu* adverticeciamaffe£tum commatisgo.gi. ecfiidnonnumcrccadeoq ,•

nec acluali diicretafenfione capiac fcorfim.

CAPVT

XV.

Qui Modi vel Toni, quibus lerviaritAffedibus.

Ha&cnus de principiis , cx quibui Toni conftant;

& eontra fe diftinguuntur quidem

;

jam pauca dieam de effcdu , confcncanea

meisprincipijs.

Primum admonendus eft Ie£tor, non hic agi dc difpofitionum afjimidifferencia.quaeefficiunt, uthomopotiuscanacquam ut oratu oneplana&fedaclutatur :neq;deijs,quae hinc cantum,inde fimplicem orationem confequuntur in audicore. Nam ut alacritas animi eft,

quae omnem omnino cantum in canente praeccdit,eiq; veluti di£tac

Melodiam ; fic etiam omne genus Cantionum concinnar um voluptas audiencium confequitur. Separandaeftnobis haec gencralis difpoficio Animi, fcu potius loco

;

Harmonicis. Lib.

1.11.

loco maceria: Fubjicienda illi afFe£tuUm diverfitaci, quam hic quejrimus. c A* **' Cum aucemomnes parcesCantUs concinni nacuralis comparacae finc ad ciendos affe&us , imicatiohe Fonorum , quos edunt animalia , ad teftiflcanda fua defideria hinc pacet j variam multiplicem effe hahcdifpucationem-, adeoq; infirtitae fimilerti i quae cum meos lacertosfuperec,re£liuscranfmiccerecUruniverfa Empiricis, hoceft, Muficis pra&ieis.' quippe qui fine praeceptionibus , folo hacurae du&u admirabihumMelodiarumfubihde auchores exiftunt quod ipfis lohge eft facilius , qUam uc, quid fic eancus, in quo confiftac aUc quomodo fa&uslic, oracionelonga &dife'rta eloqUancur. Cumenim,UtOracioprofa,Carmihe,fic vbces geftus Animacum CartcU repf acfencencur Veluci depingancur : cerce uc Poecice fic exercicationefola, fi eciam MuficacancUscornponendifaeulcas , ufu fttenringeniumeciam Nacurafacl:umadhbc,eft addifcenda. Quia camen parseft honeftiffimarum Animi recf eationUm, inda-

gare rerurrt caufas, autabalijsrepercas comminm incueri: adeo quidem uc eciam Ariftoceles Problemacum iuorurh parcem non minima concemplatiortibUsdedericHarmohicis: cohandumeciamhiceftaliquid, proferendiq; Fhilolophiaefines, Methodi legibus adhibitis CbercCnckilladifpUcacionis mfinitas,adq;geheraira capica reVOcartda ; Ucper Fingulariapoftmodumdefimilibusidempbfticefsejudiciurn. Cancus ipfius affecTmimq; qui cancits fpecies feqUurttur, prbI. porcibnaliafunc elemenra , tocidem Fere humerO ucrinq.v Nam eciam

voces

ipfae

Paftium CahtUs, tty (dyY) i Tovri i 7r6%tt&,fr\Qxn ,&daftk&\i$

ulcima luxufiae;iiiacorpon fimilis eft, haec coloribus ; Tones aequaiitas atcenciohem rtiovec Peccia,-(eUiuficacioaddeie£tacionein 5c recreaciortem eft cbmparata. Haecfuncgeneraiia per omries Modos Muficos. II. De Agoge hocpeculiare monec Galilaeus , duas cjus efse difFerentiaSjUnarh Furfufn , alceram deorfum,quaruilla laeciciae ferviat, haeC rnoefticiae infra enim vox gravismoch flecUi. Caufaeft rtacuralis tardo edicur, fupra vox acuta motu concitato: cum crgo vox defcehdit» qureci appropinquat; cum afcendic, in mocU proficic,prOpcerea in choralicahcuplerUmq;ihimodefinimus;illrcigicurvoxlartguefcic,hrcvigec Acquieciaminmoerorelanguetmensomnesq; fun&iones, inhialluduhtcercds.

Primafimplicicatilervic

laritate vivit

& a&uofa eft.

Eft eciam ialcus vis riiagna ; qui eft veluci pbtencialis

III.

h lbec enim cerhericacem, mocUm,aUdaciam , eft milicaris , pudens,

Agoge: im-

virilrs ,

creberfic,praeiercimper diapence, cujusfigUra, Trigonus,a-

tbcumq;circulum cribus lineis abiiimic. ContrafalcUsper fexcam mollemunicus afcertdens, iequence Agoge deof-

cucis cohftac angulis, fiim,

mignicudinem dolc>ris exprimic, apcus ejulatibus , bb fimilicudi-

nem vocis: uc in In Me tranjteritnt Orlandi. IV. MulcUmeciarhincereft, quahcam alcicudinem in Oftava? fyftemate ab ima radice cahtUs potifsirha pars bccupet. Narn fi totam Oclavarrt percurrat,aut excedat,animofiiscantuseft;

firt

DiatefFaron fblum»

modeflus&jucundus; Diapehtc rhediocritatem habet; Tertiamollis K 2 demiF-

De Proportionibus

76 gAftX.V.

...

demiffionem & pufillanimitatcm. Hocquidam tribuunc defccnfuiin* fraradicem per diateflaron; hujusque formae conos appellanc plagios, feu plagalesfiiorum AuchencorUm. V. Inccrgeneraliaelementareferendacftpociflimumetiacelericas & tarditas rhy thmi, feu tactus;quarum illa ir x, motui, pugn is,hilar icaci apcaeft; haec afFeclionibus, quibus per quiccem fruimur, moeron,amori,

defiderio, volupcaciex pociundo.

Adde & modu^ hoc eft Rhy chmum ipfum: alia cnim tripli di£ti, quam for te multam trahit cx imitatione faltanciu cho* rearum: q motuumin ijsalternatavariecas cum omnibus nocafic admonet ftatim audiences, eos velut iii rem praefentem adducens. Triplus I.

alia dupli eft vis ;

igiturturbulentus6cacl:uofuseft,duplusquictior,pacacior,modeftior* Sed de Rhychmis eoruq; fignis, nihilhoc librojquare miffbs cosfaciam 9, VII. Veniendum nunc eft ad illa, quibus proprie Tonos difcrimiDcEahatmonio fcri- nari diximus ; quorum praecipuum eft,diuerficas gcnerum Cancus. AcQuzhic&ges difputationum copiofiffima fuccrefcic , quodnam ex cry ki *ohnbus vecerumgeneribus cui fueric afFe&ui tributum quam nos incactam pieri ani«nosfurore praeceribimus cum nec naturalis fit diftributio cantus genera nu; 11 " mero tria,nec veteres fibi conftenc in haC maceria. Mihi de nacurahbu» trimagU ftratus tpar- duobus cancus generibus fermo erit , Duri fcilicec 8c Mollis i quae voce» 1 1105 arre,^ us cieant , ipfae produnc. Nam ut fcemina ad paticndum pouodxff*- I minatuhoc riffimum facta eft, mas ad agendu, praefertim ingenerationis negocioi &fucatum ficMolle genus paffionibus animifcemineis,Duruadionibusvirilibus tMhabere"- accoriiodatunquaru rerum difcrimina exfequ&ibusmagiselucefcenc. tnr.authorc VIII. Noh enim Genera cancum cancus,fed eciam Toni in vniuerfitu femiconij difterebanc. Hic femiconij fitus animat afficicq; tam eninoca- ft> tum igno- Genus quam Modum feu Tonum aliter tamen de hoc fitu difputandii mmia vrbe e a re fpe£tu p-enerum,alicer rcfpc£tu tonorum omnium. Generaenim

r r

diximus orin pnmum omnium ln Octava pnncipali,quae a & mcipit ,m quafcmitonij fitus loco penimo format Genus molle,loco ancepenultimo, genus dur um illic imo Ioco eft tcrtia mollis , hic dur a. Quae effc igitur hujus fitus connexio cum affectionibus ? auc quid commune cerciae minori cum fceminis> cum paffionibus, cum mollicic* quid icera :

Terciaedurae

cum virilicatcduricie, a£tionibus,efricacia?

Prsmumigicurmemineris>Terciamduram ortam efle cx Penta* gono ; pcntagonum vcife&ione fecundum Extrema &Medium,quas proportionemformantdiuinam. Inhacveroproportione pulchra ineftGcnerationisidea.

Nam flcut pater gignitfilium>filiusalium, quifq»

illafe£tione,cum pars major additur toti, continuaturproportio,capitq; compofitalocuTotius,&qutpriuserattota, locum partis majoris. Quaeracioecfinumerisexprimi nequit,dacur tamenaliqua feries numerorum, quae cotinue pf opius ad verum accedit, inquaferie,ipfadifTerentianumerorum a ccrminisgenuinis(quifunc fibi fimilem

fic etia in

nonumerabilesfed ineffabiles)admirabili viciffitudine marcsfceminas progignit,membris fexus indicibusdiftinftas.Vt fi pars major fitprimd 2. minor i. totum j. Hic no eft plane i. ad z t vtz. ad3. differentia enim eft vnitas, quo minus rcftajngulumcxcrerriorum i- 3. «quec quadratura medijz» w

HaRMONICIS

LlB.

111.

77 CAt.

XTV

addicoj. ad^. tocug.

medijz. Tuncaddico.2. ad3.ficnovum cocuf. Ecc Reclangulum ex i. 3. fceminam creacdeficit enim aquadraco de 2. vnicacc;RecTangulum ex 2. 5. marcm ; excedic enim quadracum j. vnitate ; Reclangulum ex 3. 8- fceminam , defieit enim a quadrato de 5. vmcace.Rurfum exc. i3,masoricur,refpe£tuquadracide8- ex8-^i- fcemina, rcfpe&u quadracide 13. hoc fic in infinicum. Haxcumficnacurahujusfe£tionis, quaead quinquanguli demonftracionem concurric ; cumq; Creacor Deus ad illam conformaveric lefeipfa fola perfe£tam progesgeneracionis ; ad genuinam quidem

poruonem inefFabilium cerminorum, raciones plancarum feminarias

qua; femen

fuumin femecipfis habere juffaefunc fingulae: ad junftas ve- q r-, ro binas Numerorum proporciones (quarum vnius deficicns vnicas al- ». 1. j. teriusexcedencecompenfecur) conjun&ionemmaris&fceminae: quid^ f

mirum igicur, fi eciamfoboles quinquanguli Tercia dura feu4. cmoliis5,6.moveacanimos,Deiimagines,adaffecT:us,generacionisnegocio comparandos ? Vbirepecendumex capice III. quod quamvisi. 6. ^'-""'ri ficexfexangulojRefiduumcamen^. 6.nonconfonecpropcerfexangulum,fedpropcerderivacionemexcribuscirculi decimis,per cerminorum duplicationem & dimidiacionem ; itaq; etiam Refiduu hocejusq; Soboles,Tertiaminor,eflexCM_inquangularifigurarumclafTe.Hocigitur ftabilko, quod fociecas duarum Tertiarum reprsfentet fociecacem maris&foeminaj: nullo jamnegociocuiq;fexuifuaaffignacur Tercia.

Major enim ceicia virilis evadec, Minor, fceminea;cumeademficipforu m eciam corporum,viriumque tam corporis quam animi proporcio. Cumque major ficeximparilacera,fc ex Q£inquangulo,minorverooriginalicerexparilaceraDecangula;confencaneumefteciamPychagonumeros impares maresdixic,parcs,fceminas;(quod confirmacur illaexcefluum &defe£tutrm fpeculacione,cum impar fic excedens ) vc illa mafculini fexus habeacur, haec fceminei. Accedachisracionibuseciam incervallorum concinnoru concemplacio,quorum minimu eft Semiconiu;femper enim Semiconium fiiccedens,invicacvocemadfefuperandfi,obparvicace;efteniminftarjugi in clivo mollefcete ; Ec quocies Semiconium verfusfuperiora occurric i illaqua;daquafimecacancushabecur,adquamcendac,indeq;veIucijugo fuperaco, confe£toque conacu, reverci crebro fblec ad infcriora. Cerce, fi canamus RE, MI,non faciacur audicus.. fed cxpe&ac vc F A addacur. Cumigicur cerciadura,qushabetimumlocuminTono 0£tavo,careac femiconio,quoddemum accedic ad complendum Diacefsaron.* meraeplacicisjqui

rico habccurpro a£tuofa,

& conacuumplena, cujus vis yovifjiog, &cuc-

fm ouTfflog , qusrensfinemiuum,fcilicecDiaccfsaron,cujus femicoxiium efteiquafigx^a/fTic, coco conatu quaefita.

Attcrciaminorimo

loco ToniPrimiconfiftenSiCumfemiconium complexafit , a quofuperato foletfieri reverfio ; quafifeipfa concenca,fuaq; nacuraad fuperacionem &c paffionefa£ta: femper fe,veluti gallina,fternithumi,prom-' pcam infeffori gallo. Et ecce caufas aiFettuum in Generibusjinq; Tonis fyftemacis primarij, ex

G furgentis

Nuna

'~_

r-i92H9

D D }>

DePrdportionibus

78 C AP, xv.

Nunceundemfemicbrtij ficumconcemplemur eciam refpedtu To*

norum promifcue Orrirtium : ubi accemperabb oratiOnerrt

j uc hadtenus Namde eciam, adTonosvuIgates,urieosexmeisprincipijsdiftirixi. reliqu is X. fpeciebus Odtavaj, quas addidi comparationis caufa , an To*

nidicimereantur,Muficbrumeritjudicium. Saepe didcum,riacurahcerquidem,ex coricinnis incervallismajora, Nam fibi poftulare locum imum dari, uc magna magnis afiociencur. longis &fonigraves, quifuncicidem irtfra, riiagnicudinealiqua, ideft, chordis decerrtiinancur , acuci brevibus : feu quod idem eft, fortrts graNatUralis icardo rtioru edicur , acucus parvO celeri. vis magrio gicurferies eft, cum iri Tecrachordo perfedto primo loco eftTonus

major, fecuridoMinbr /tertio & fupremo Semitonium. Acqrti cum omnia feciindiim naturam habeht,l#cifitmus:La?riergoToriimrit,qui Tecracbordum inferius fic diuifum habenc habertc autem Sepcimus &0ÂŁtauusj quos mira incOnftarttia nunc, Phrygios , nuttc , MixOlydios a veteribus appellatos, pucanc: quanquam ego magis inclinc, vt Lydiospbcius Veceribus didtos credam,-quia ceftancur defuo Lydio,quod impleacanimos furore diuino,id eft alacricace & fpiricibus rnilitari*. bus; quales funtrioftri,Seprimus& Odtavus. :

Cum igicur everfa eft rario, Vc irrio loco fic Serniconiurri; quod fic iri Quarco Ecclefiafticis,quiPhrygij veteribus:verfo naturaeorTercio lamentabile quippiarri fortari confencanedine, querulum,fradtum, Semitonium eft locomedio,mediuseftafTedtuscranqJ._ um eft.Atcum riarracionibus : quibus licacis, humanicatis, jucundicacis ex collbquijs fcemiriirii,- quOs Dorios oapci Primus& Secundus,generis fc rriollis lim didtos putahc. Dorium fane fic defcribit VinceririusGalilams, quod feficNaturaftabilis, quiecus, firie violencia, apcus ad gravicatem vericacem qubd de dubbUs hifce fecundum riiagis minus verttm eft. Nam femp molliores oportec efleTonbs pari riumero didtos/q,ppe plagalesfuis autheriris, abimpari denomittaris,excaufaqtta;pauloantea No.I V. allaca fuit.Itaq; eciam Galilaeiis Plagium Prirrti facit lartguidum flebilerrt meticuibfumy mbtum eriim verfus gravia lariguoris, verfus acuca Vigoris efTe. Etfi rrialim egb cemperare ifta Epitheta, caufam diftinguere. Nort eft.n. Doridrurri proprietas laiiguor, fietus , metus fedingenereexcUrfuumadgravia &defcerifus crebri irifra radiccm. IX. Haclenus de ficu femitonij; nec dum tameri omnibus Tonis fuas afsigriavimusproprietates. Sequitur igitur ut etiam de coriforiantijs adulterinis. dicamus , qbus articulancur fceleta odaimperfcctis Ecprimumquidemillarumveluciefsenciaericirifpicierida, varum. poftea locatio iri Syftemate: Cum lgitur riatUralis primaeva eft fyfteiriatis Odtavae difpofitio, fexca: in qua cum ima chorda perfede confonat cen;ia,quarca,quinca Tonus calis bmriia illa in ariiirio ciec , qua; habertc feciindum riacuram,mollis quidem paffiories,durusactiories,vel affedtus ijs aptos. Haec pr^opriecas copetit PrimO Odtavo eX G furgentibus: quo nomine nori

& &

affirmaveritOdtavurri curri prinio cdincidere,incellige came,fervaca ciiiq; fex* feri gerieris propriecace. Ica duplici riomine Sepcim9 Odlav? caeceris pftaccam ob ficu femitorti|,qeciambb pfedtione S coiiu si

irtjuria Galilaeus

Harmonicis

Lib.11L

Econtrario,Quincus&Sexcus,Tercius& quarcus confbnancijs CAp xy; .

infiaucuncuradulcerinis& res

auc~tis,ille

Diaceflaron,hic Diapence: quae

vim illis conciliac mcefticiae & affe&uum ab humana cemperacionc

difcedencium.

Namin Quinco & Sexco, DiacefTaron quidem eft ogviov > nacurali ficu femiconij in fummo non minus quam in Sepcimo & O&avo ac ;

duomajores conifunc infimo loco, pofteos fcmiconium; cxquibus eonflacur Diaceffaron

commace abundans.

Quare magnicudinem eciam ij modi promovenc affeclus , ucDevocionem,Admiracionem,Amplificacioncm,Dolorem;rurfumSpem, Fiduciam , quafi elevacionem mencis fupra forcem praefencem. In Terciovero &Quarco, prseceripfius Diaceflaron formam inverfam, accedic eciamhaec confbnanciarum fermencacio, augecq; criilkiam&languores animi. Quodfilicec analogiamprofequi ulcra conosuficacos,ad fpcciem III. cx meisjcancus mollis,ex A defcripcam ; quia illa femiconium quidem infra , Diaceflaron vero perfe&um habcc hanc igicur ego jucundas trifticiaeaccommodarem : uc cum nobis placcmusin mollicie animi, ,in Amoribus &Defiderijs,auccum lacrumasgaudium exprimic. HascdeConfonancijsracionefuununc racioncloci in fyftemace» quidefficianc, videamus. :

Cum igicur TOM 5C 7Tit\^cl circa quarcam & fexcam

chordas po"

ciflimum occupancur,fic uc appareacDiaceflaronloco imo ab ijs ftacuu quia hoc eft Tecra chordi incervallum,quodomnescrcs concinnorum fpecies eftcomplexum, eoq; praecipuum eftin hac Tonoru animacio-

ne cunc haecformacancum ad humilicacem invicac; ex caufa eadem t^uam fupra No IV. ufurpavi. Sin occupencur hae parces cancus circa terciam &quincam,ftacuentesDiaceffaronfuperius> excicacur eciam :

~&clevarurcancus,pra;fercim

o&avam

excurrac

qualis fuifle vi-

decurNo a©-' o§0t© vecerum: Sideniq; circacerciam& fexcam;ue Diaceflaron reda&u fic in medium,quod in Primo & Secundo frequcni

Sepcimo & Octavotmediusetiam promovebicur affeCrebro aucem incer fe permifcencur hae fcelecon articulaciones>

tius fic,quam in c*tus.

ut in diverfis partibus cancus nioarcificis

finc diverfae,pro variecace textus,

& inge-

cexcumcancu pingentis.

X. Quodfi verumeft, quodquidam imparis numeri Tonosl. III, V. VII. faciunc alciores; paris II. IV. VI. VIII. humiliores, eciam rcfpe&uradicisO&avaexercealcicudorefpondecexcicationi A nimi,profundicas demifsioni:cuncfanediftribuere pocerimus quacuor clafsium affe&usin clafTes o£lo, fecundum conos cocidem:uchabeacSepcimusiram,violcnciam,forcicudinem,0£tavus hilaricacem, alacricacem, volupcacem acucam: Tercius dolorem acucum , defiderium ; Quartus fle-> tum , amorem , Primus feftivicacem , nuptias, comeflationcs;Sccundus modeftam hilaritatem , colloquia , narrationes; Quintus Panegyrcs, exclamacioncs,fiduciam,fpem; Sexcus dcvocionem,dolorem magnura, &g. £c

Âť

Proportionibus

itjamtempuseft,utadprincipiumrcverraturoratio.

Nam

il-

lud admonendus eft ledtor philofophus,- quodMufici noftri omnes promifcue afFedrus in omnibus Tonis exprimunc,id ipfos ica & facere, quiaomnispromifcuecancus volupcacem paric audicori, alacricatem pofle facere quia inftrumenca ciendis afFedtibus requiric in auchore plura func, parcim inicio recerifica, quae paflim per omnes promifcue Tonosadhiberipoflimc. Si camenomniaprsefidiaftuduerincadhibej ;

rejadidemincencumfacienciaynon facile negligenc Tonorum delcdrus, ad afFedtuum hypochefin ldoneos. Verum ij viderincdeeo, quod cft illorum praxipermiflum> mihi hadtenus Theorecice proceflifse fufficiac

GAPVT

XVI.

Quid fit Cantus per Harmoniam Etfl

feu figuratus.

vox,Harmonia, veteribus ufurpaturpro Can--

> non eft camen iritelligenda fub hoc nomine, Modulatio per plures voces , harmonice confonances. Novirium enim invencum efle , veteribufq; plane incognicum , Concencusplunum vocumin perpetua harmoniarum vieifsitudine , id probacione mulca non indiget. Videaturhacdere Vincentius Galilxus in opere Mufices Italico. Solec quidem objici , relegatio cancus per Harmoniam , a Republica Placonica, quafi jam tuncillefuiflec inufii ac iricelligiturlocus de Organis de Syringe , VtriculOjTeftudine, cum una vox autperpetuo intonat > aut intermiccic , locum cedens appropinquanci diflbna;. In illo more nullumerat apud veteres majus artificium> quamapud noftros utri-

cuiarios

HisulTimisf#cuIis,ha?craciocanendi, Figurataideodici caepic quia primi authores diagrammaca nori ica fimplicia fecerunt, ut func in Choralicancu^fed varijsufifuncfiguris coloribus,&punctis jquorum filencium aliqua aliqua , iignorum fonum imperanc, qua:dam longum, alia brevem ; aliqua ad Tonos , aliquaad Modos menfuralesdifcriminandos , adF ugas, adRepetitiones, fimilia, adhibica.

Nobis igicur Concencus harmonicus fic definiatur,- quod finc duae Melodiae Concinnae &apc2e, quales quatuorvelpluresvocesfeu tres, CapiteXIII. defcripfimus omnes ejufdem Generis, ejufdemq; auc cognatorum Modorum, fic fimul incedentes; uc concordancias auc meras, auc breviffimoConcinnarum diflbnanciarum incerpundtu fermentatasfaciantmoneas tamen pcrpecuo cenoreidencicas, nec eafde ,

deinceps,* fed ipfafuccefsionum alternacione ad deledtacionem variatas. Quemadmodum enim eft in proporcioiie, Confonancia duarum yocumadUnifbnum.-ficeft CancusHarmonicus ad fimplicem unius

vocis

— Harmonicis

Lib.111

Melediam ; a quo principio dependent omnia definicionis mem* bra, quaedeincepsexphcabo.

Vocis

Primum igicur hic illud circa pluralicacem Vocum occurric adnocandum, quod ArcificcsVelmaximeconfencaneum Nacura: confticuerunc uc quamvis faspe eoncinant voces berie multae : omncs camen I.

Di fcaM £

quacuorfblunimodoiiominibusappelleficur , ad numerum perfc&ae Akus. harmonicae mediacionis in uno perfe&o fyftcmace diapafon. Difcan- JT*' tumenimnominant>vocemacuciffimam, Alcum, quaeilliproxima, Tenorem e gravibus fuperiorem , Bafsum infimam. Nam ^ incerduas Diapafbn fonances Voces, duaefolum incerfunt J€ *•*— medietaces harmonicqfimul confonances cum cxcrcmis _

—$—

'.,

idencifonis , uc capice

III.

explicatufn.

"V"

Quamquam origo vocabulorum iftorum Italica ftetna cornpoficum magis refpicere,

videcur ad Sy-

ucineoparcesoppo*

ceneanc Alcus Bafsus , non ille quidem alcifsimus cxiftens;fed quiahaedua; crebro (lioet non infine) faciunt acutior , ha;c inferior diapafbn 3 iJla quidemfuperior Sic Tenori, Vocabuli origo dat Ideam gravfor. modulationem cantus fimplicem , Difcanco nomen dedifse videcurperpecuavolubilicas&divagacioa plaga,Tenori per ZZ^HBaf* diapafon oppofica. Icaque fi comparemus partes CancusCap. XlII- ex Euclide allacas,ccli omnes illai funt Vocum omnium ; Tenor tafne poficas

tiffimumin A^&)ywoccupatur>Difcantusin Bafsus infaltuper intervallaharmonica,*

munis

eft

TlAtiiY)

Altus in TofJ) ^

omnium vero quatuor com*

rig7?«ctjinfigniortamenin AltO»

Ha? proprietates quacuor vocum exipfeterUmNacuradcfumptai Nam quia per definicionem traditam, concencus perpetuo mutandus eft ex alio in alium ; neceffe fuic id fieri fic > uc incermediafumuna,comparacioneadcaeceras,inanguftoSyftemacisIpacioobvcrfarecur. Nam fi omnibus laxa ex aequo fic liber cas , necefle eft id confequi , uc inferior crebro fupef ioris oberrec fpacium viciflim fietque infana confufio> irrita rcddecur diftin<3:io Vocum quatuof Has vero anguftias mediarum potius Una debuit occUpare>( AltusvelTenor) funt.

quam excremae> Difcancus vel BafluS.

Nam variatio in

cale

quid in excremis fa£tum

omnis

inccf VaUof uffl vel in acutum vel in puta

effet

unam folam plagam Verfura fuit

;

Grave. Melius igituf erat, Concencum ex aliqua intcrmedia Voccvelut Uno partium ipfius termino, in angufto locofigi feualligari; vaf iationcm vero intervallof um , ab ea partim furfum cendere , partim dc« orfum. Nondebuicver6mediarumvocum,qUaeeftinferior, coaf* ftari ; quia Idea c antus, Tenor i,mediaru infcrior i,adfcf ipta, dcbct libera effe , per mediam totius Sy ftemacis quanticatem incedere > ut

fmtvoces circumftantes, nihilaliud qUam illius colores ornamenta feu Emblemata. Inferiora vero intefvalla femper majora func fuperioribuscognominibus. VtigiturTenormediumquantitatis lo«umhaberec , oporcuic illum cise inferiorem ex naedijs; acq; fic Altuni inan» L

De J

XVI '

Proportionibus

inanguftum oportuit fedigi , non Tenorern. Reftant igicur pra Difcanto &Baflbevagationes, fcd cum hoc difcrimine , quod Bafliis quigrave fonac, magnoq;motu& longis chordis exprimitur, tardis etiam menfuris , & magnis, eoq; harmonicis incervallis vagecur , Difcancus qui acucum fonat,fupervolitatq;,&brevibuschordis , celeriq; & angufti fpacij motuelicicur ., brevibus eciam , eoq; crebrioribus menfuris , minimifq; concinnis intervallis omnia pervagecur. Hxc igiturvocumproprietaseft. Nunc reliquas definicionispareiculas de-

clarabo. Diflbnan-

**"

1 I-

Nam qnod actinet primarium illud & prarcipuum Cantus Melo-

dicicondimentu^Diflbnancia;

Primum illasoportecdefumpcasefle no

exincervallo quocunq;&V#£Ufl£&,fedexi.ncervallisconcinnis.

Nam

quia voces fingulares, ad communem concentum concurrentes, nulla admictunciiuervallanificGncinna, incerfonosdeincepsfuccedencesi funcveroejufdemgencris&Toni,ucin definicione prarmiflum: facile pacec, fiunaaliquaincercales conftituatur harmonia (cum harmonia omnis in concinna diflblvatur elemenca)nulia fingularum divagacione

ab Oclava; fuse radice fieriunquam pofle , utbina; incer fe aliudquam concinnumfaciancincervallum;licetidnonfemperficconfonum. Seartifices utuntur interdum diflbnantijs majoriBisMatist cundo etfi praeftances Attu&j Bo- bus, fic ut diflbnans vox tono integro diftet ab illa , quEeconfonantiam r^deat- raceret ; id tamen non fit aliter nifi ad gravifllmos animi motus extccompo- primendos &eliciendos. Ordinariaver6,&cum)ucunditaceconjun-

quodammodo difTonantia,femiconioconficicur Hu-

nendi,

ftaeoqmacuralis

eftdTdiffb-

jusrei caufarnrfum , ut reipondeant ultima primis

nantijs.

peniciffimis Geometriic fundamendis, ex cap:

repetenda

Axiomacibus II.

eft

& IIL

contemplatione Quindecanguli. Cum enim feex q libro primo ^deieau^mitoniumcontineaturnumerisj^./tf.&veronontantumSedecangvua diffoBan- figurademonftrationem habeac , fed etiam Quindecangula: parum edarum. quidem abfuit , quin 15. \6. nobis definiret proportionem harmonicam, necminus&derivatsabeai^.g. &js'»4- &J5. 2. &i_r. 52. &J5.64. afite omnes »5. 1. illajfc. quas ci eberrime componifta; admiccuc, ad diffonantiaslegitimasconformandas:necerat nobisexceptio aiia, quam haSc , quoddemonftratioPentekxdecagoninoneflet conformata numeroangulorumfigurceimmediate, vtcaetcra;, eoque non propria, fic fed ex difterentibus figuris, Trigono&Pencagonocranflumpta, mucuatitia & remotiflimi gradus-ritem, quodangulusquidem Pentekaedecagoni Congrueret alijs ad implendum locum planum ,at cota figuracum omnibus angulis congruentiam non admiccerec Cum igitur /5. 16. &fociae,ratione caufa; conformantis tam prope Confonantias accedant > quid mirum illas etiam vfu crebro inter confonantias adContra vero Toni 8. 9- & 9- 10. akeris terminis Nonangurhifceri. vis Pente-

•

Quare non fuaves fed lo participant , figura penitus indemonftrabili. omnino horridae funt diflbnantise, per illos , eorumque focias propor/. $. &p. 16- &9.?^-fic9-5- &i$. 5. tiones(4.9.& 2.9. 36. 5. Tritono multoque ex horridiores , qua; 9. 20.& 9.40. &c ) admifsse ; &mutilo Diapente , fimilibusq; intervalliscoflantiurvdequibusvidc

Artu-

Harmonicis

LlB.

111.

Arcufium oriuncnr enien poft Tonos , Majorem ScMinorem & Semiconiumjfc. ex horum uc t.lemenrorum compoficione non nacurali: femper aucemquancumaNacura, cancum afuavicace difceditur.

CAr.XVfe

Terabca;ceraidiffonantiarumles;es alcerum earum nomen infinuac, cumSyncopseappellancur: ecfihoc eft commune accidens cam

Sjncopatio

euflbnanciarum,quam imperfectarum confonanciarum, fednuncde diifonancijs agimus. Ordinarie enim hoc cenenc , uc ea ucancur ceu fermenco autfale aucaceto inOpfbnijs,fcilicec,ucexillis nonfiuncincegra fercula;fic eciam hic non cocae canriones,nifi magne, emphafeos causa, fcacencdiflbnancijs;nec cum ipfb cadtus principio vox unaaliqua incipiensincurritincasterasconfonances,ipfadifsona:fedfurcim&veluti tergiverfata, diilbnantiam admittit ;dum inuno loco fyftemacis, quem occupavit fublato tadtu , fic pofteriori minufq; principali parte taclus incipiens fonum certum, confentientibus reliquis,poft ilultraprincipiumfequentis tadtus moratur,fic lasfinitas,ipfadiutius imut voces ahas omnes,plaerumq;graviores ipfa (ut illafc: parvitate becillicace&celericace, quippeacucaexiftens, minusobftrepac)communi concencu ad principium ca£tus fequetis,Iocum occupenc ab illius loco diflbnum, priufquam ipfa illo f uo loco excefferit,indeq ; ill am velncilencam expellant,inq;inferioremplerumq; procrudant: qua occa* iione etiam concordantijs claufulis, quajdiifonancias abfumunc, na-

Cadeuti*.

tum efle nomen Cadenciarum, videcur. Quin eciamhocobfervanCjUcpugnaDiflbnancium ordinariecommitcacurnoncam crebrbexintervallopropinquo

&incerfecundas, quaminterfepcimas:ucicavoxfuperior,depulfahocpadl:o deillofuo loco , per Sem iconium au c Tonum defl uac ad fextam, auc evolec ad O£tavam cum praevertentibusdefignandam. Sunc & alicEdiffonancia;creberrima;,minus arcifieiofa:,cum voxgra- piflbnau. visconcinuac fonumfuum,manensin unifbno,acvoxacucaab illiusfb- "^vulsa* ,

nigravisdiapafon,excurricceleribusfonicibus,adaliquamperdiapece veldiacefsaronilliconfonam,perlocaconcinnaincermediaomniapervolicans, fic uc alcernis confonec diflbnecqj femper aucem ordineprior :

confonacidiflbnacia

& brevis cft,quippc in tranfcenfu,&in fono,qui efi

ordine pofterior : uc fi Taftus proportionis dupla; , quinq ; Difcanti fonoscum unoBafficopulet,prima,tertia,quinta Difcanciconfonabunc, fccunda quarca diflbnabunt , aut imperfe&ius confonabunt. Ecce.

IH.Hujusigiturrariorismixrura;,racio cft

eadem

naturalis

quaj

illius alterius

dum variaQuemadmodum e-

frequentiffimae Stperpecua:;

turConfonantia?.

£-T$+-*-5:$"fc*— 1~

Hl+lMlXtM+il — — '

niminfimpliciMelodia,deductiovocis uniusfingularis, aradicefyftematis, pcr intervalladiflbna, fed Concinnacamen

tcndic ad loca harmonicecontempera-

«• «

»«».c. dif. co.

+-f— -

cim. e.diCcoB.

^_^«- A

^~5i:Xz5::$i:$i:$:Z -*

—T— I— T~+—"+~4-—

taRadici, inqrijsimoratunficconcentus melodicus ab unifono fcre incipiens per Concordantias minores , , viUgdimperfeOasdifos,auccciamperdiffonanci« has,cendic ad mal>

jores

111"

ciaiura!

» ,

DeProportionibus

84 CAfcXVl

-«

jores

& perfedtas confonancias & plerumq; ,

(

prafercim in fine

)

Idencifonanciam.

Rurfiim ficuc in Cancilenis fimplicibus earum lingUarum,quae longicudincvel brevicace fyliabarum , brevium quidemracio habecur non magna,- longas verofyllabas , &fines vcrfuum,adloca primofono confonadirigimus fic eciam in concencu, func confonanciae, minorcs ditlae&imperfedke, quas curfim peivoliCla*ful«. tamus:func &pfe£tae, ad quas cendimus,qu£e ideo di&ae func Claufiilar. V. Ampliusficuc ipfaeConfonanci£efingula;feorfim confideratae,fimc Pctfe<ftsen6 cieinceps eonOminegracae, quodnon planeidencicefonanc, fed figuraca^funcq,ocan *. dammodo diverfifottae , Sclacitudinem aliquamqualicacivam[occiu pances in audicu , nacuramcrahencesafigurisplanisregularibus, aquibus & oriuncur fic jam Concencus Harmonicus , feu fequela plurium Harmoniarum perpecua> fme earum variecace graciam omncm perdic Exhacexplicacionedefinicionis,caufa:cradipoffunclegum,qua$ Nam quasri po^ apente °&x. obfervanc Componifta: in coapcandis concordancijs. «ieinceps. ceft, Quae[ficcaufanaturalis,cur licicum fibi pucenc , Tercias Scxtas Imperfeftse

«onfonan-

IV".

Rhychmoconftanc

nacurales aliquoc ordinaredeinceps; Quarcas&Quincas O&avas fpeciebus fingulis aliquoc rlOn admiccanc , limiles , ex deinceps?

Refpondeo, caufam hanc effe , qudd Terciae vel Scxcae

mucuo

confequences alcicudine,finc plerUmqv revera diverfae>una major, alce* quamvis incerdum duaeTercia: minores proximeconfe ra minor X£"^"" 9u^WfiR^iej#fe" func tameh minimae confonancia: 51 imperfe&ae.Cahac enim primus Vt Re A//F^fecundus ijfibjEX ~" dem Temporis arciculis MtF,* SolLa. quacuor fe mucuo ______^ confequuncur Terciae; quarum prima Vt Mi, eft major Re, Fa, cercia Mi , «SV, func minores ; quarca §£— — yy--*^— fecunda fa La j rur fuftt eft Major. E concrario , Quarcae omncs """ ? haberttur vulgo pf o incervallis magnicudinis ejufdem;uc muko maxime O&avae. Icaq; fi hae perfe&ae concorQuincae , danciae plures ejufdem fpeciei ordinarentur deinceps,alcicudinedirFerences,Cancusconfonancijs varius non efscc SedaliapraecipuaCaufaimpedicQuincasaliqttOC ordine in alcum cani>quaenonimpediccani Odtavas: de quo quaercndum fibi pucavic Ariftoceles in problemacibUs Cur modulencur Odtavas , ( verbi caufa Quarcas non moMarescumFceminis, ViricumPueris)Quincas duletttttr?Caufa igitur haec eft,Quod cum duaeTertiae faciant confonantiamDiapente, duaeO&auae, confonanciam DifHiapafon concra duae Quincae faciu jic Nonam, duae Quarcae Sepcimam , intcrvalla diflbna. Vox ergoillic per confbnancias O&auas Tercias decttrrensaequalirer,mane£inTonofeumodo> obfervans eandem fpeciem 0£tavar: hic fi per aequalia decurrac, modum vel Tonum mutat infignitcr, quod :

—

,•

—

eftconcra definicionem.

VI. Circadele&umconcordanciafurhaliqua eciam funt nocanda primoquodingeneremagna incervalla magnos animi motusexprimant ; ( vc in illis Orlandicis , Vbi efi Abcl, & Trijlu ejl AnimA mea) par va &alca> lseca>humilia&parva >

criftia.

Deinde

HarmonicisLiB.HL

Deinde cum cantus harmonicus plerunque definacin Identifonanciam; utigitur magrtum,pro hypochefi cexcUs, incervallum in firie compleftamun Oportec non Baflum cancum defceridere>fed eciam DifCancum coritrartacuram finiendicatitum,afcertdefc, imitatiohefiftuJarum & chordarum Pandura;. Atquecuncvelmaximeeriicefcicvisfe-

CAF XVI

miconij, priori capice explieaca ; quod nacuralis 6c ordinarius finis cantionisperafcenfum> amacirtfine fuperarc femitOrtium , in ijs quidem

Tonis

qui nort habenc feftikoftium pf oxime fupra radicem

fuse

O»

ftavae.

Tef cio qUasftiorte digmirri cerifuic Galilsus> curDiapcnce epi diapafonjucundiusfonecquamDiapence fimplex> & ficconfequenter, Curmagn* fempef una Harnionia fic jucUrtdior alia.J Caufas, quas ipfe actulic, rton intervafia ucun l0ra eftopefaeexaminare>cumobfcura;6cincerta;firit. Exmeis Ver6 prin-^ y cipijs caufa; huj rei

apparenc clariflimse.Nam quia per Axiohia II, capifcienri&,quibusdifreruncincer felacefa flgurarum, cisprimi,gradus cranfplancancur eciam in ipfas propof tiones > figurarum foboles : confencaneumequidemeft,uceciam illigradus) quibusdiftanc 8c Parcis Parcis circuli, 5e Refidui demonftfaCio, difcrimirient fuavicacem exiftunc iriimediace Harmoniae Ergo quae per ipfam fe£tibRefidui. nem circuli, qua; fc. fbnt;incerTocum Parcem refciflam, perfettiores jucundiores func ijs , qua: func incer Refiduum Tocum ,quae dederivancur ex prioribus,per admixtibnem Idertcifbrtanciarum ex bife&ionevelduplicationeChordarUm.Sici. '£. pfimastefieceftigicur i> /. quam 4» <-. 1. 6. quatii/. 6. jucundior, quam 2. 3. 1» 4. quam Prius enirri Pars 3-. 4. 5. c. quam quarti St /. fic confoha, per 8. $. 2. 5. 5. pofterius fic propccr Refiduum impef feclius i , Refife ipfarri , nort > duum deirionftratuf efle confbnum> fcilicet propter Partem fociafti

mum

velalienam.

Rehquas artis Corripoficoria; Regulas,

Arcificibiis ipfis reiinqiid

eomprobandas,aucracionemearumreddertdam. Mihi enimquaehuc ufquedifpucavi,abunde fufliciunc, cum ad nacurafn Cancus illuftrari- s copus t0 „ darri, primis falcefn generalibus ejus fundamencis in Nacura frion- tius hujus ftracis, cummaximeadipeculatibnesiibfi V. fequeritis: ciijus librirria- °P cris teria rriihi unicUs in toto opere flnis eft propbfitus. Aftrbiibmus enim ego ficuc de figuris regularibus- difpUto , hori tam geornetrice (nifi ubi illa adhUC incompleca vifa eft)quam aftf oriorriice metaphy-

ficejficeciarridecaiicUsproporcioaibus fcribo rion

carri

fnuficequam

geomecrice, phyfice , deniq.ut pfiUs>aftrbhOmice&fnetaphyficei quia ficuc corporibus quinq,- regularibus ex Georriecria > fic eciafn Proporcibrtibus, cocoq;apparacu HarthOnicoexMufica>opushabeo adex» plicandas caufas proporcioriis Orbium cceleftiiim > Eccericricicacuniq» mocuum in Apfidibus. Arcem verocortiporieridi cancus,qua? praxis eft Mufica, hequaquarrt proficebr quam ex Af tufij fiipra dicti > exq; Sechi Calvifij , amici quondam mei libris, de af ce compoficoria Cantus edicis, redtiusqui volec pecec quosipfos camen,non quodopcimospu*

tem , fed qma alios noa vidi, nomino.

)

De Proportionibus

De tribus Medietatibus Digrefsio Politica. Vide Iocum

maminBo«hnodeRe*u

'Tf 0/029. linea, 9. paragraphusfiquens locofio exclufus efl ,

exemplaris incaute diflribuiffent.

quod opcra folin

(quippe.7. 10.

Neque camenobidreprehendendi funcauchores,quiproporciones hujufmodi ciculo Harmonicarum,inRemp. recipiunc. Nam ecfi pauca: ex fic formacis meras Harmonias defimunc reliquae omnes ab Harmonijs aLieriae fiint: omnes camen hujus definitionishochabent, ,

quodconcemperacsefuncexambabusproporcionibus, Arichmetica8c Geomecrica.-exquaconcemperacioneineftillis haxin Rep. apcicudo. Viciflim vero in Rep. fi quavis eft Harmonicarum, ucHarmonica:»

neque noftra? mediecacesHarmonica;fpernipocerunc.,quas laxioridefimcione

fic

crado:

Qubdfit omne id,quod intercedit inter duas voces confinantes, conjonetu cum illarum utraefc In fedtionibus igicur &c. Harmoai- ^f ipfim Cum autem Bodini meminifem in margine , )&Wfc Hafienusomifa. ca qaia ve1« fit. finito libro tertio, ($ ad.dito fuperioriparagrapho ,Jatis operatum effe Mathematicis Jbeculationibus cenfuiffem ifin-ta hacjfyinojd materia 3 p/acuit ex ipfiBodino prtcipua diflutationis hujuspolitic&capit* tranfcribere, 'verbis g? ordineut plurimumex meo loci illius captuconformatis : ut £? lucis aliquid afferrem loco per (e objcuro , quippe Bodinus ex Mathematicis difciplinis nonfatis adhancjpe-

culationemprxfidij attulit:

utttedium morojarum dcmonflrationum

Ma-

thematicarum quibus totus liber conflat, interpofitionepopularisjucundx ma~ terix lenirem , ufusfy ejus n&n nullius in cognofiendaRep. guflum exhiberem^. Jncipiam autem abexplicationerei Mathematicajufiori , adfy lecloris non Mathematici captum accommodatiori. Quando numeris ahquot , non accenca eorum magnicudine , adduncur aequalia, cuno eft proporcio Arichmetica. Vc ,

Addcl!

^t '

I-2*

IJ.

% % J

20.

41.

Quanlumenim6majoreflquhm V tantum [totidem fc,uniUtibus) efl

12.

major quam 9. -

Hsecproporcio in hocexemplo eft disjun&a. Ergo proportio conjuncla vel progeflioarichmecica eft , quando initio fafto ab aliquo numero quocunq, , adduntur illi aequalia continue, Cum ergo inter 3. 6. 9. 12. item inter 38 41. 44. Vcj vel 58 47-fitprogreflio concinuaarichmecica; fituttrium .1 calium numerorum deinceps locatorum medius ap6 4 1 pelletur Arichmeticamedietas; utincertf. 12. Me-

diecaseft9- incer38.44-Mediecas Arirhmecicaeft^j.

Quando vero numeris aliquoc, accenca eorum magnicudine adduntur fimilia , ttjnceft proportio

»*

Georuecrica.

V6? •

Harmonicis

Lib.U1.

%r PoLirici,*

Vc Z-

S-

10.

17.

38.

27.

i-f.

30.

5r.

114.

12.

55.

.20.

40.

<5g.

1/2.

Nam ficucad

5-.

addicur criplum9.

fic

ad^. addicurcriplum27.

quod eft canco majus quam 9. quanco 9. eft raajus quam j. & quanto 15-. majus quam 5. &c Sicutergoj. adi^. fic?. adg^. Etficuc^. adp. fici2. ad^6. Rurfum hascproporcio in hoc exemplo eft disjun&a. Ergo proportio Geomecrica con junfla feu progreffio eft, quando iniciofadto ab aliquo numero , femper addicunlli velpars vel mulciplex fimilis. eft

?o-

g 4

120

48 144

)6o

4S째

192

640

.3,?

Ad inicialem addicur triplum in duobus primis exemplis dimidium in certio Rurfumque ad eum qui hinceftnacus,addicur eadera ,

multiplex velpars. Ergout g. ad 12. fic hic ipfe 12. eftporroad ig. fice* ig. Sio$ tiam ig.ads?. Ubi 12. eft mediecasGeomecricainrerg.

&c. HaJc prius funtcognofcenda>utinteiligacur,quidiitproporcio Harmonica. Nam Ula fic defmicur a Bodino, quddi# ea Rationes <zqualium tfJimiliumjint modice confnfe , id eft racioneS priores arichmecicx, pofteriores Geometrica?. Porro hsec definitio vera non eft. j. multienim modi iunc etiamitt numerisnonharmonicis,quibusmodisraciones ajqualium &fimilium poflinteflemodice confufe. neq; tamehocfuflicic 5 ucficproporcioharmonica; oporcecenim accedere aliaseciam humerorum babicudines, excap..I,II. III. pecendas. 2. Mulcieviciflimfunccopulaciones numeTorum harmonicse , in quibus neq; ajqualium neq; fimilium raciones continencur. 3;. Quineciamfuncharmonicseproporciones, inquibus eft fimplex Geomecrica proporcio, Uc 1. 2. 4. etfi Identicas funcnec gratiam fole, pariunc praecipuam : adeo uc Bodinus negec illas ex feipfis ef-

msdiumGeometricumfeuproportionaleeftinterj2.

27.

ficere concencum ullum,intellige figuracum: func viciflim aliae nicse proporciones in quib p eft

harmo-

fimplex Arichmecica proporcio uc j 2.5". fic 2. 3. 4. quas eciam Bodinusfuioblicusproharmonicisagnofcic,ecfi nihil habeanc analogise Geomecrics admixcum. Sic 5-. 4 .f. fic 4. 5. 6. fic 1. 3. 5. fic.2. 5. g. &c quaspofterioresBodinus perperam negac har.

monicos efficere concemus ; auchoricace vecerum coucra fenium auditui infurgens.

Eftca

DeProportionibus

88 tamen

quadamtenus de ea proportione , quarA VeteresfalfaperfuafionedixeruncHarmonicam. Dico,quadamcenus fi nimirum pro Kationibus aqualium , intelligas Mediaciones Arithmecicas, in alios numeros rransformacas, inquibus hon fic exprefla acEft

aftertio vcra

qualitas Excefliium achialis, quae erat in primis tribus.

Nam Veterum

Harmonica Medietas propriiflime fic definitur , qubdfit excefuum inttr tresnumerosyeademproportio:, qux extremorum , ut in 3. 4. 6. Quicunqj tales tres numer i uinc , five vere finc harmonicj > five non fint >, lemper. in ijsverumefl , rationes <equa/ium (Ccu pociusarithmecicasj £$fimiiium, (feu Geomecricas) tfie confufds uno cerco modo. Modus aucem efl hic

Datis extremis, ut 2. 5-. dacur mediumarichmetieum> quod ne fractionemhabeat,fumantur hicexcremorum dupli 4. jo. horum medium arichmeticum eft 7. Iam in tali mediatione arichmecicai 4, 7. 10. excefluum j. j. asqualium, femper epnftituuncur duae proportiones , una maior, inter terminos minores 4. 7. altera minor, inter majores^. 10. Quijamvultmediacionem Harmonicam efficere ex hac A-rithmecica

mediatione, & ei aliquid admifcere Geametricae mediationis,is ponat * 7««minorem proportiohem loco priori , & majoremlocopofteriori , fic * +' 7 & quaerat numerum , qui fic habeat ad 10. fictic 4. fe habet ad 7. '

crunt tres numerificr.

17/in incegrisinrerfeprimis 14.20.35.Huic trigaeeft admixcum ahquidde Arithmetica progreflione ,hoh manente tamen ejus aequalicate exprefla. Nam vtraque proportio mediationis Arichmeticaeinccr 4. 7. io. collata huceft , tantum fitu mutato ficuc enim ibipriores termini, fcilicet 4. ad/. fic hic pofteriores 20. ad 3S- Ec ficutibipofteriores7.adio.fichicpriores14.ad20. Efteidcmviciflim ctiam admixtum aliquid de Geomecrica mediacione. Nam minor proportio, 7. io. pofitaeft ad terminos minores 14. &io. major 4. 7. ad majores, 20. 3^. &t deniquefit, vt ficut eft minimus cerminus 14. ad maximum35. ficfit difFerenciaminor<5.admajoremi5. Haecomhia verofapiunt fimilitudinem aliquam Geometricae "proporciohi familiarem ; quia in ea uc minimus terminus ad medium, fic eft medius ad ma10.

ximum. Haec tenenda funtex Machemacica: quae Bodinus hon fatis videdum Harmonicam propOrtionem propohic in quihquehumcris 3. 4. 6. 8. I2.dequeijsaffirmac, qubd<tquali*dfimiliafyacift,

turpercepifle,

Namcum Viderec

exceflusefle 1.2. 2. 4. £equalitatemexpreflamagnovitin2- »• fimilitudinehi in 1. 2. 4. Acqui

quodammodotemperataexiflant.

indefinicioneVecerumfufficiunc cres: nullaeciamihea cocinecur temperatio aequalitatis expreflae cum fimilitudine. Nam in 3 4. 6. nulla eft «qualitas exprefla excefluum. Iam eft operasprecium, videre, quomodoBodinus,qui hacinmateria'copiofiflimuseft,applicetiftaadMoralia&Politicavarie:Cuiple« •

lumque hoc accidit , vtpro HarmonicismediationibustamVeterUm, quamveris,merascompofitiohes proportioniim Arithmeticarum

Geometricarum arripiatjvitiofe fuae definitiohi inhixus: quod ficut ftatiminitiopraefandum fuic , ica in fequencibus faepius eric icerahdum. h Cum cres finc PoHciarumformWaPopularis Opcimacum Regia popula-

,•

,-:

Harmonicis. pularem

il!e

raecrica? ,

Lib.111.

comparac Arirhmecica? proporcioni, Opcimacum Geo-

Regiam Harmonicae.

Politica.

Nam ficuc in Arichmecica aequalia func

incremenca numerorum omnium , cam magnorum , quam parvorum, commoda,& ficinRep. populusvulc aqualiaefle omnium onera, honores, &magiftracus;nec vuic colerare refpeclum ullum perlonarum;vulcexempligraciaomnibuseflejus venandi , five nobiles finc,

five ignobiJes, five divices, fivepauperes.

Quod fiqua reseft, quamon

mcer mulcos; eam populus vulc forciri ; quia fors caxaeft non inrernofcens nobilem ab ignobili divicem a paupere, bene mericum ab immerico, vircuci dedicum a viciofo,ingeniofum a

pacicur divifionem

ftupido. Tumdemumenim aliquis fe pucac a*quari caceris,fi cumijs forcicurfuper calibus,five jam bona, five mala force adipitcacur. Vbi forcisloco pofluncefleeciamaliaacquirendimedia;uc fi eleÂŁcio per-

miccacur ei,cujusnihilincereft, auc quipsrfonasnon refpicere credicur. Ica Roma; Confularus eraccommunis omnium cerci ordinis; eumquelicebacpecere apopulo, ac non largicionibus , ne corrumperecur populus, &divices praferrencur cenuioribus. Ecfi in hoc cafu cacico confenfurefpicicurvircus, dequeca& de bene mericis, judicium perrmccicurpopulo.

Econcrari6ficucmGeomecria,Exceflus numerorum aflimilancurnumerisipfis, ucmagnus numerusmagnumhabeacexceflum,parvus parvum: fic in Opcimacum Rep. diftinguuncur perfona, diftinguuonera, pramia, Magiftracus , munia ; cur praftanciflima refervancur Opcimacibus,reliqua relinquiicur populo. Vbi necefse eft,feorfimincerfingulasfaclionesadmiccieciam arichmecicam proporcione de ijs enimquafuncpopuli,forciencuromnes, quifuncinpopulo -,de ijs, qua,Opcimacum,omnesOpcimaces. Nifienim hocfiaoperpecui erunceciam inpopulo gradus Opcimacurn, ufque ad imam popuh facem;perpecuieciamincerOpcimaces, ufque ad Reip. Principem;qua racione Relp. nonenc, fedRegiumcivicacisgenus. Regiusveroftacus, ecfivelmaxiraeproporcioni Geometrica affimilacur eo quod omnia jura Majeftacis Regi refervancur , ficuc ipfe vel Nobili profapia , vel armis vel vu'cucibus praftac caceris omniL us gubernandicamen racio hocftacureftiflimepoceft cemperari ex ucroq; Proporcionisgenere. NamunusRexarbicer omnium, non ccecoimpecu,ucfors,fedvircucis, mericorum,ordinis,graduumq;racionibus,qua licec, omnia incer Opciraaces populumq; difpenfac, omnes ju-

,â&#x20AC;˘

commucauva parces exfequicur; qua ucriufque proportionis conjunclio Bodino fufficic ad proporcionem Harmonicam confticuendam ; ac juxca omnia confilianon cam ad fingulos, vel Ordinesvelhomines,quam ad cocum Civicacis corpus, ejusque falucem mucuamq; charicacem &concordiam referc;nonfecus ac fi innumeris, proporciones ab aqualicace a iimihcudine non nihil deflexa fic uciiladeftruanciirfieftopus, adcommunemomniumharmoniam fticiadiftribuciva

quomodomeis mediecacibus Harmonicis ucecur. Ex Cyn padia exemplum proponic Bodinus,quo omnia rria generaproporcionis explicaripofliinc.Cyrus puer,cumhominem procerum referancur: II.

De Proportionibus

90 JPig&sssio.

judicJum

Cynpucn.

eerumcurta tunicainducumconfpicacus eflet,pumilum juxca cunica laxa,cenfuiccommucandasillisefTecunicas,Uccuiq;quodcommodum c ÂŁsez obvenirec: Magifter cuiq;fuum relinquendum edixit. Quod fi procerofuifTetinjundtum ut pumilo aliquid pecuniae folveret & fic ,

demum permutatio fieret: optimeconciliatus fuiflet Magifter difcipuHicCyrusGeometricamurficproporcionem, admenfus corpo-

lo.

ribus veftes,Magifter arithmeticam ,pofleflionesucriq;fuas tuitUs: ac tertius ille , refpexifsec ucrumq; fimul , tam corporum indigentiam ,

quam copiascuiq; fuas falvas

icaq;

Harmonicam infenfu Bodim afle-

ruifletproportionem,quippeexutraq;pnorummixtam:harmonicarn vero etiam in fenfu meo quianon dubicarec, alceriquodeffecpanni ;

fuperfluum, alteripecuniam eripere, ut ntriq; confulerecur: quia commune utriufq; commodum comparatur fuavitaci concencus. Accidere autem dixi, ut interdum Geometricaproportiofitetiam harmonica,uti,2.4. , ficuc hic commodum eft , utprocerus longam veftern habeat;interdumvero Arichmecica proporcio eftetiam Harmomca ut2. 3.4. ficuchiccommodumeft,ucpofleflbrlongae veftispumilus , retineat quidem fuum , fed in pecuniam c ommu tatum , qua rec~tius u:

.... r cies,

poteft,

quam fuperfluo veftis.

Cumgubernandi,racionesomnescomplexaficjufticia, ex Ari,commtttatiVam m arquahcace anthme-

III.

itocele allegatpartesejus duas

Geometi ica; Ipfe tertiam (peciemjuftitiaefuadetexutraq;priorum conflacam, quae Strerum copiam certis peffonis viliori precio vendi vulcquam ca:ceris,& non fem. permagnismagna diftribui; & fic,utrumq;genus jufti violariquadamcica verfantem, diftributivam in fimihtudine

tenus, fi falus univerforum id poftulec , auc fi commodum inde publicum emergat.Non bene conflacur proporcio ex fpeciebus duabus alijs fiucramq;peremit, Eft igitur applicatio haec meis medieta tibusHarmoriicis aptior. Vt in numeris^. ^. 5. nec arithmetica eft excefluum zequa-

necGeomecriaprogreflio, eftcameninrereos Harmonica.

litas,

Hucin fine

libri

Poetas accommodat, qui Themidis (quae jufticia

Ewj/o^jW, kmetMcu/ , tt^wlw Leges, iEquicatem,Pacem,quafi crium proporciOnum Tutelares, Arichmecicae, Geo-

eft)tres finguncfilia s

metricae, Harmonicae. tegesconoubialcs.

Legesconnubiorum, praecipuumcivitatisvinculum, Iuculen-

tum exemplum fiibminiftrant trium proportionum.

triciasducere jubeantur, plebeij plebejas, Geometricafimilitudoeft. Sin jusomnibus promifcueconnubiavelfbrte quzerere,vel forma, opibus, virtute , fine generis refpeetu , contendere quantum poflis , nee Verum ibi civiulla conditio vetita : haec erit aequalitas arithmetiea. umanimidivellunturinfac~hones , hicconfundunturordines;utrumq.perniciofumReipub- Suadet igiturBodmus,Patricijs cenuioribus interdumpermittereconnubiaplebeiaopuIenta,Plebejisdivitibuspa-

;ii

tricias inopes.

dem

Hoc enim utriq;ordinicommodum,nobilibusqui-

ut aucti opibus tueantur locum quem obtinent ,

ordinis maritentur yplebi vero '

Si Patricij pa-

fceminae hujus utpatefa&oadhonoresadicu,vircuci denc

Harmonicis

Lib.111.

denc opcram ;deniq; Reip, ipfi, uc Qrdines mucua fefe charitate com- PoLirie^ ple&ancur.

RurfumhicperemicGeoniecricamAnalogiam,ucHarmonicam efficerec,neq;cameneam ad meram aequalicacern Arichmecicaeprogreflionisredegic.Ucfij.j-^. Geomecrica perimacur,fiacq; 1.J.8 quantum hic receflum eft ab 1. 5, 9. tantum illicderogatum pacncijs: & qua-

tum in 1. £ g. quorum exceflus 2. 5. ( cum prius eflenc 2.6.)

acceffimus

adprogreflionemarithmeticam 1. 3.5. (quiahorumexceflusfc.2. aequaJes) cancum illic dacum plebi uc rn numeris quidem Concordancia confticuerecur incer 1.3.3. m ^- e P» ver ° concordia incer Pacritios & plebem , manente camen diftin&ione ordinum. Hsc commucacio 1. 9. in 1. g. occurrec hbro V. eciam in ccelo ipfo. V. IneptaeftArichmecicaaequalicasinSympofijSjfiprOmifcueomnesaccumbanc,nullafexus,condicionis,a:cacis, habicaracioncinfulfapogj^ viciflim merafimilicudoGeometrica. Namfidotti tantumdodhs jungancur,quidproderunt lmperitis/fifceminae folisfceminis, quaevolu^ pcas? fl clamofi clamofis quis auchor js modeftiasf A c fi ncq; caecam aequahcacemadmiccas,neq; morolamfimilicudinemj fedmifccasucramq;,modice camen &cum judicio rationis, proporcioericharmonica:Efficies enim uc Senes juvenum, Virifceminarum afpe&u gaudeanc, juvenesprudentiafenum fceminae virorum auchoricace regancur , cetricos urbani excicent, vicifllmq; & vereancur, nec in fcurnlicacem fefe profundanc. Rurfum hxc non compoficio eft incegrarum fpccierum fed violacio nonnulla , uc Harmonica exiftat. VI. Ad arithmecicam pertinet aequalicacem, quod antiquitus Pacres Confeflus cumplebepromifcuoconfefluludosfpedlarefolici > ad geometricam inludis i

proportionem quod poftea Patres a plebe fejuncli. Hoc quidem fic eft fi folos ludos cortfideres. At fi univerfa Reip: commoda Urto mentiscomplexuceneas;cumexijsplurima Pacribus vindicaca fuerincratione geomecrica, populo feclufo; percinuk equidem hasc ipfa in ludis, ucriufq; ordinis exaequacio ad contemperacionem illam fenfu Bodini harmonicam cociusgubernandi forma;:quippequa&plebsdelinieba,

tur,ucpueri folencrebusleviculis, adq;diligendosOrdinesfuperiores invicabacur, neq;quicquamderogabacur dignicaciordinum. Quadrac

eciam admeas Mediecaces, quacenusproporcio non cenecur,ucceneatur concordia. Priiis in cercis perfonis Ordinum , derogabatur Analo* giae, nuncin certis prcemijs. VII. Amicicias animac harmonica contemperatio. Quod enim eft AmieitiaJ inproporcioneConcordancia, hoc eft in cocius humanae vicae ambitu

Amor, quifundamencum

eft

Amiciciae.

Qupdfi mera

aequalicas offi-

cioruminducicur,legearichmeciea, nullaericrtifi incer aequales amicicia:ecfiincer inaequales mera &exg ficafimilicudoOfriciorumGeomet trica: neutrobiq;amiciciaeric,fed lbi perpecua negociacio nundinacioq;officiorum,comodifuieaufa;hicneceflafiaPacroni&Cliencisconfociacio , nulla Amoris demonftrandi Jibercas nihil fponcarteum. A,

fpuic,

cum crebris injurijs non

poceft , leges camen reomniaq; adfobrium & fanum Amoris arbicrium referc, nunc aequaz

micicia

ecfi

confiftere

Proportionibus

DlGMSSIO.

qualia rependens nunc proportionalia,eft ubi neucra,femper talia ,qu» prorenacafacere videnturad confervationem Amoris: qui eciam uc

Harmonia diifonanpjs

& ut ignis ferriftylo, foditur injunjs nonnullis,

RcguiaXet

earumquecondonacibnegracuicaviresrenovac. VIII. .yEquaricacem Arichmecicam Bodinus pulchre comparat Regu-

fci*

lx Polycleti ferreae, quse frangi pnus quam flecli poffec; fimilitudinem

Geometricam,Regul£eLesbia?plumbe^ qua?omnibusangulisaccomHarmonicam proportioncm ,fua; definicionis, adumbrac Regula lignea , quae flefticur quidem, at c veftigio redit. IX. In gubernationeommsgenerisPoliciarum,rigorlegum & Judicis officium comparantur tequalitaci Arichmecica:,qua non cancum f iium C uique ad amuffim cribuicur, fed etiam pcenas irrogantur delmquentibusjequaliter/ineperfonarumrefpeclu, Scquaaftnnguncurjudices ad leges,adq; allegata & probata, ut fecundum eas judicet.etiamfi 3

modabatur.Ipfe

Le § es

*i auas

iniquse Ieges videancur. Viciffim iEquicas

& arbitrium

Magiftratus

merum,quicamen bonusfic&exconfcienciaagat, Geomecricas AnaAc Bodinus Harmonicae concemperationis logiae naturam induic exemplo,mediumincerponicofficiumvelfuperiorumCuriarum,velG* mnium, vel fumi Magiftracus, quibus neque licec ex arbicrio agere mero i & tame permittitur,utlegesprorationecircumftantiarum fleclanc nonfrangant , &easinjudicijsfecundumaequicacem incerprecenturi uttamenperfingularescuriarumfententiasnihillegiderogetur. Vulc leges haberi fimiles fuae Norma;,ut cedant quidem in flexum , ac ftacim redeanc.

Quamquam hoclocoBodinusexemplofuo verumdemon-

ftravicquodde Juriseonfulcisaffirmaverac ancea;

ipfos

Machemacica

propcer fui obfcuricacem miiius percipere. Nam non quadrac ejus de Numeris difpucacio ad normam noftrae difciplinaejcum aic,fieri non pofle , uc Proporcio Geomecrica, quaj eft incer quacuor ccrminos, ulla terminorum cranfpoficione pereac ; eandemq; afleric analogiam efle in 6 5.4. 2. qua;eftin5:.2-4-6. Minime 3. eftad2. UC4. ad6. Econrario Proporcionem Harmonicam pucac curbaricranfpoficione. Sane.,fiproporcionem incer duos cerminos folos , agnofcic nullam , vincic. Ha;c eftn. nonnullorum fubcilicas loquendi,conjun£Ia cumfum. ifta

Quid mihi

mao bfcuricace, ucidquodGrasciAoyoi/appellancLacine Racionem velinc dicere , Proporcionem vero ,

equidem

id imicari pofTe

quod Grxci AvcthoyictV. Vellem

uc fecifle

mememini antehac:

7\oyo$

Grarcisnunqin comuniufu Ioquendifumicurpro voce oultOV , Lacinis vero Racio creberrime fonac caufam , vel Modum. Oporcec igicur ce-

neremorem aBarbaris GrascorumElemencorUm incerprecibus incro& proporcionis vocem cam pro Aoy&) quam pro AvdKoytct

!du£tum,

fumere , quod coco hoc libro crebrbfacio. Jam igicur diftin&a funt, Proportio &Concordantia, &haxillius Concordantia vero velutiqualitasqusdam,illaq,hujus fubje&um. illaa funt inter duos cerper fe, quatenus primd & ineft Proportiontbus minos; non quatenus eft mcer plures cerminos concinuitas qusdam pro^

Harmonicis

LlB.

111.

proportioms. F.cconfonant duoproportionistcrmininon caulafitus, pofterius, fed quatenus fimul pulfantur eodem temin quo prius eft pore duae chordse; nec mutaturhaecconcordancia,mucacoficucharacleruminfcripcura aucin Teftudine everfa. Proportionivero, qua; eftmtercresvelplurescerminos,accidicconcordanciafecundari6,propcer fingulares cerminorumbigas* in quibus ecfi mucari poceft mutato licu, Analogia, idnempe,quodin illiseftde Geometricaproporcione admixcumy nequic camen fimul mutari qualitas Harmonica. Quare quod difpucatBodinus, quatuor ifta, Legem,Legis a£honem,y£quicatem,Magiftracum, comparariquaruornumeris,Harmonica proporciohe colligatis; &quemadmodum cranfpoficisnumerispereacconcentus, ica ii Proceflus forenfes&exfecuciopociores habeancurLegibus,

harmoniam turbari id quidem proportionibus in eft Harmonicum , fed fimquod nulla ratione ad id pliciter adif5farumpr0portionumnaturam,quaGeomecricam qua Arichmecicam,eftreferendum,hoceft,ad id proporcionis genus, quod ex ucraque temperatum, Veceresperfuafione quadam infirma,Harmotiicum appellarunt. Commune enimhoc eftomnibus Analogijsfive

Magiftratusprioraequicace, civicacis

iimplicibus, fivemixcis,concraquam cradicBodinuSjticvel mucencur fn foecies aliasjCranfpoficis cerminis, vel plane deftruancqr. Sed ad rem t

edeo.

Simerum arbitrium habet Magiftratusguberhandi fineiegibus, Legum innocencisviri officiofun- ceftitas neq; legem obfervac Nacurae,neq; boni

non magiftracus eric,fedTyrannus. Cumq; bonorum Principum numerus oppidd parvus exiftac hon eft confultum Reipu-

gicur:

blics,fefehuicpericulo commiccere, quocies renovarur magiftracus» Lcfi vero concingac illi bonus quandoquemagiftracusj diucurnus tamen effe ftatusifte nequit atnec falucans Reipub: quia ut bonusfit :

Moderator, prudens fatis non femper eric, qui quid aequumfiCj fine legum norma videac &uc ipfe videac fequacurque, quod re&um, cives camen calumniabuncur eciam opcima ; nifi leges fint , quibus ille fa&a fua tueri ad populum poflit Cives legum difciplina iunt erudiendi, pcenarUmimagine ^quae legibuspraefcribunturj amalefa&is ;

abfterrendi. Legibus igicur carere Refp, neqiiit.

Viciflim legesj Graeco vocabulo

Na^OJ,

diftribuchramjufticiaepar-

^temfignant; quae in ftacu populari fequicur arichmecicam aequahca- awt"* tem. Quodfi omniaad legiim rigorem examinencur, iniuria nec plurimis. Leges enim de fadxis ftatuunt, nttlla circumftaiiciarum varietace definkis ; fa£ta vero fingula cirCumftanciis fuis defcripta funt , quibus velmitigantur,velaggravancUr: quarum cum fic varietas; nullis unquam legibus illae comprehendi poflunt. Neutra igitur racio per fe iola tuecurRefp.fed mifcendas docec Bodinus, ut & leges fint, fed paucae, quialegummulticudofeges eft uberrima litium ; multa Magiftratus arbitrio referventur, non fatta tantum fingularia, fedeciam mcegrae Ronnull3;fadorumipecieS;Cert»que aliaelegurn maceria;, imprimis

M. &

poena*

««,

DeProportionibus

94 Dickxssio.

poenarum incenfio & remiflio , legumque ipfarum intcrpretatio, & ad fatti circumftantias applicatio. Hic non de triplici Reip. forma, fed de uniuscujufque gubernandiforma triplici agitur; meraaequitacisracio, fblutalegibuSjeftariftocraticagubernandiratiojetiaminPopularijinque Regio ftatu. Legum vincula , gubernationem popularem faciunt, etiam in Regio. AcfiLeges quidem finc,ijsver6derogecurinloco& tempore, proarbicriogubernacoris, afumapoceftace confticucbgubernacorifte,liceca populo decur, Regulum quendam agic Tales plerumquePraefides Provinciarum.Is igicur auc leges obfervacauc ex aequo judicac, eacenus, dum Reip. falus pacicur: fi fecus, non dubicac exorbicare. Vcfi quisproporcionumfpecies,qua?harmoniamfaciunc ,admiccac, uc 2.5. 4. vel 1.2. 4: quae diflbnanciam, eas curbec, inque confonan-

commucec, uc 1. 5. 9. in 1. 3. g. & 3-. 5. 7. m 3. 5. g. ^* Inlegibusipfis,quaefuncdemul&ispecunianis, uc plurimum quidemarichmecica fervacur aequalicas,ut muldlam legibus ftacucam fblvac, quicunque deliquic, five dives five pauper. Videre camen eft, ubi&Geomecncafimilicudofic,ucfimul£tacuiquepro racione cenfus irrogecur auc fi cemere licigans aliquocam parcem amiccac aeftimacae licis, Sin aucem incer locupleces omnes major aliqua mul£ta nunces

Mul<ft*.

cupecur,incercenueslevior,eaque a fingulis cuiusque ordinis exigaturaequalicencemperamencumidericproporcioniSjBodinodittaeHarmonicae.Nonmucancurhic proporcionumfpecies,fed componuntur, aut diftribuuntur potius in diftin£tafubiec~ta, ad idem totum pertinencia.

Leoesfunr-

I-$§es'veftiari* plurimumhabent de proportioneGeometrica;

ut quanto quifque altiori dignitatis gradu confiftit tanto preciofior ei permittatur ornatus veftium aequalitas' Arithmetica intolerabilis hic eft. Quia tamennequefola varietas ordinum , in veftitudiftinctionem poftulat,fedaliqua hic ratio habenda copiarum, aliqua meritorum; neque facile omnes Ordines una lege poflunt enunciari temperamencum aliquod ucriusque proporcionis , parcim legibus ipfis inferi folecparicm arbicno Moderacorum permiccicur. Id cemperamenrum

ptuaxi*.

,•

Bodinus harmonicum cenfecquiaHarmoniasconiunciioneduarum

3?f

fpeeierum proporcionis definic Mihiharmonicumnon, eftcumaftetiecurproporcio alia, &exprimerecur perfetle, fipoflet. XII. Idemfere de ijs Legibus dicendum ,quae cum de pcenisfinr, perfonas illuftres periculo capicis, Nobiles fulpendio eximunc , pcena-

rumquegenuscommucanc, more a plurimis gencibus recepco.

l! |

Nam

reus dignitatem quam habebac amicces gravius hoc dedecore punicur, ( Geomecricalegeobfervaca ) quam fiquiindignicace nulla fuic, virgis caedacurpublice :icaquediflimilium pcenarum aequalicas quaedam efle poceftj&diftribucioHarmonica fenfuBodini,quihic Ariftocelem rejicic, quiinpraemiisquidemGeomecricam proporcionem , inpcenis vero Arichmecicam fervandam docuerac. XIII. Eft& alia in Legibus pcenalibus obfervabilis proporcio eodem Satisfaftio. temperamento ; quaenondelinquentem attinet, fedperfbnaelaefa; honorera vindi&am. Gravius enim punitur qui Principem Civitatis, qui ve

Harmonicis

Lib.

111.

quirc unum e CoIIegio Ele&orum occidic, quam qui agricolam ; graviusquiliberum, quumquiiervum. Namecfihaec variecas ad Geometncam eft referenda iimilicudinem inter perfonam & illacae eidem injunae vindi&am; rara camen eft. plurimum viciffim ia pcenis homicidii aequalicacis arichmecics , pradercim incer Chriftianos ex lege divina> quahomohomima;quiparacur,&fanguis ianguine rependicur. Haec igicur ucriusque generis racionum confufio percinec ad Bodino di£tam Harmonicam Inprimis lllud qudd in lege divina ficarii omnes morcepuniunturarichmecicaaequalirace,ac genus morcis in poceftace 4

judicJseft,Geomecricorefponfu,facl;is,circumftanciarumvariecacedifilmihbus, irrogandum ; uc Bodinus referc, puco ex Rabbinis.

Neq cam perfonis fingulis lcefis hasc pcenarum inaequalicas cribuicur, -

quamfalucicocius reip. queomnes hoftespacriaeimpuneoccidipermictic,civium fimul omniumfalucem inPrincipis,OprimatumqueincoJumitate, inquecranquiiiicatepublicaconfervata,cuecur. Saepius aucem dittum,BonumpubIicumhabere refponfum quendam ad fuavicacem

concencusHarmonici. Quas una fummalex, legum omnfum macer ,ii obfervccur Vc idfan&um & legicimum eiTe jubeacur, inquo falus verticur Reip. jam ftacim conftacde fimilicudine cum Harmonicis racioni-•

bus,exmeaipfiuseciamfencenciadeicripcis,eciamfinihillexilla fimile praecerea concineac neque Geomecrica:, neque Arichmecica: proportionum. Namneque hi numerii/..20. 24. jo. qui Harmoniam eoncinenc dulcifsimam, proporcionem obfervanc vel unam vel alreram : exceiTus enim func $-. 4. 6 neque acquales;, neque fimiles proportione,tcrminorum proporcionibus , fed neque eodem cum illis ordine crefcentes.

XIV.

Aliud exemplum , Geometricae diicipiinarfamiliarius, afferc JEftimad* Bodinus in Legum de muldlis incerprecacione-, uc quaj anciquicus ftacu- raukte. tae func mulcae pecuniariae, pro ratione praeiencis pubhcae opulencias vel lnopiaeaeftimencur Hic incolerabilis sequalicas Arithmetica omnivim tcmporummeq; camen obiervacu facilisproporrio Geomecrica in omnibus.Icaquc pro lua prudentia judcx,proque rerum circumftanciis, .

medium fec~cabicur harmonicum,eavebicqucne vel Iegcs violalTe videacur,vel legum incerprecacionc maliciola inopes opprimancur, locuplecibusacpocencioribus peccandilicenciadecur.Qnineciam ciufdem harmoniae ftudioincerdum pecuniariam, quaseontemncrecunin cor-

porcam pcrmucabic.

X V. Legem quae fures

fulpendio punit,Bodinus eatenus probat, quod nititur ratione,ne fures augeancur, ucpeccaca quaefrequentia futura fucrucgravius puniacur, quod Geomecricam fapic proportionem. Eandemreprehenditob aequalicacem Arichmecicam. Frequentiflima

quippca<ftiofuuiperomniaoppidapagofque,judicesplerumqueplcbejos habecj, quidum aequalicer Omnes ad fupplicia rapiunc, non incelligunc fe iniquiflimam inducere pcenarum inaequalicacem , dum pec-

circumftanciarum variecace inaequalifsimis eandem pcenam irroganc Plerisqucreis deeft judicij firmicudo,qua fibimagis ab inforcunio, quama ma^nitudine fceleris cavere debcrenc; quos occaficfacacis

me%

p«. H afujtl

De Proportionibus

mes, liberorumftudium,fiducia lacendi,aliena?opulencia: opinio,furesfacic;cum ipfumperfefacinus,adaliacomparacum,nacuralijudicio vilipendacur,quod eciamJex divina, quasquadruplicancum refticucio?

nefurcumpunic,confirmare videcur. Si camenjequum&fanclumeft, cenebris naca, murium nacuram illam hominum parcem , qu>f dolis

referCjpariecesperfoditjnonforcunarumcancumjfedeciamvicxfecuritacem publicam curbac, Reip pocius caufa, uc casceras feras rapaces, mi* nuijcercerefpecuis Reip. uc fepe diclurn, refpondec concencui harmonico, nec fme accuracifsima cemperacione harmonicaj quaeftio ha*c exercen debec ne, dum Rei p. confulicur, mulcis qui fpem boni civis in pofterumpraeberepoillmc, vitacemertob hocgenus criminis eripia•,

tur.

XVI. Eciam illud in pcenis irrogandis ad Geomecricam percinet Po:naexcu'/^q U icacem,quedpueriquamadulci,juvenisquamfenis,fcemina;quam viripcenaeft lemor. Nihil hic iniquius a?qualicace arichmecica perpe-

cua;qua;tamenfiadimacur prudencia;judicis,prorenaca ufurpanda; curbabicur mhilominus Harmonica proporcio.

XVII. HarmonicamproporcionemBodinusinijslegibus demon^ qu<e cum primum aclumfcelerissequalicer in omnibus levi mul-

Rekpfi.

ftrac,

cfaulcifcuncur,veluci admonicionis loco puniunccemopeccances icerumgravius,

relabences poftea gravius

& denique morce ple£tunc.

Eftenim mixcaa^qualicas arichmecica inprimo actu, Geometrica: proportioniinreperici, eoque graviorisfceleris graviori pcena. Ha:c Bo~ dinocompofitio duarum unam , vifa eft harmonicam confticuere proporcionem.

XVIII.

Talionis.

diverlicace

In genere

qu6d poenae

five legibus five judicis arbicrio

pro

& magnicudine criminum difpenfancur,univerfumq; adeo

ralionisGeomecricaeanalogiasrribuendumeft: qu6d quidam legislacoreszequalicerinsequalia generibus peccaca vindicanc: arichme^cica haec racio incer homines locum non habec, in Deo,cujus asqualicer omnes creacura fumus, querelis nofiris uc reprehendacur, fas non eft. ACquodlegumlacores quatdam levioraperfe crimina gravifsimis irrogacionepcenarum,Reip. causa exaequanc, quod in jure calionis non dens pro dence fed oco dencis aeftimacum precium , de quo inter licigances convenire poceft, rependkur nec ei qui mihi deduobus oculisunumeruic, cum ipfeunoculuseflec,ca?cicasmerainrligicur, eruco

jus

fuo-:id HarmonicasBodinoconcemperacioniseft:

propafiti.

Sicenim&c fingula

peecaca pcenas habent arichmecice «equales; &c diverfa, pcenis eciam diftinguuncur. XIX. Qui conacus animi puniunc pcena non leviori,quam fi voluncacemconfequacurerTecT:us,&quifac1:umpuniunc,a quo aberac ani-

mus^plebeiamarichmecicamEequalicacemviciononleviftabiliunCjillic diflimilibus animi conacibus, hic in diflimilibus facinonbus. Qui diftinguic hic incer conacuum varias formas, uc pcenam (celeris habeac, quiomniafecit,qua? animus medicacus adeventumafFerre poceft, five perpecraveric, five fcopo aberraverinnon habeac, qui occafionibus

quidem

infidiatus eft;

ad rem camen, cuius imagine confcelerata ad

rem

Harmonicis. Lib.HL

rem tamen , cujus imagine conf celeraca poterat abfterreri non venit ' Po t ,

T , S(!J

hic geometricam aequitatem obfervat." nec minus qui riudirn perfuafio-

nemfcelerisleviuspunif.quaminpatratorefcelusipfumj&contraqui au thorem & impulforem gravius,quam miriiftrum,uc qui alienum fceluspacravic.*quideniqueleviuseum,quem vis magndlibidinisveliraB> trafverfum rapuic, qiiarri qui quietior ab iis,omriia prxmeditato animo peregit.Idenideeverituurrivarietatetenendum. tandem pcertamfneretur,quiviatoreipoliattridb6id,fiariiriiomagneprqdqirihiavit,quam, qui talentum eripuic." miridrem concra ,quicum tocum poilet aiifcrre pondus auri, modicu abftulit, quam qui cruriienarn ef ipuic, in qua pauculi afles. Has quide Geometricas diftindtiones Bodirius ad philofophicarri crimirium atftimationem refert pcenas verd, quibris exempla pu» blice ftacuuntur, ad

publicam tranquillicacem pertirierites, omriirriddi

eximic uc ica crebrius in fa<fta, quae in civium oculos incurruncanimadvercacurpublicc^crebriusconacusafcopo aberrances; quippe inconfpicuivulgo,impuriici,' auclevius quam geomecrice par erac,punititranfmittancur, utcrudelitatisminusperidsjudieemrepe-' riatur. Toc refpetfus bonipublici Harmonicumquidfapiurir. •; XX; IrijUdicioiriqueconfulcationibusArithmeticaeftratiofufFra™" giorum,fieanumerentur; Geometrica, fiponderencur,feugravicaee fe- >"Iu n a rentis , feu bonitate argumencorum: harmonica ( Bodinifenfu )fnixturafuicap. Romanos, quorum Cpnfulares fericenciam oracione explicarunc, carceri pedibus iri edm ibanc fencenciam, quamprobabanc. Mihiquodneceflicacis legefa&um(no fufFeciflecenim cempus audienilla aequalitate

disomnibus)idHarmoniC£eproporcioriirionvidecurcompararidum.

XXI. In commnMtiva jufticid requirebac Ariftdteles •Arichrrieci-. Com cam aequalicacem. Bddinus nec hic arialogiam exulare dicic Geome- tivajuftiti*

tricam. Etfi exemplaconfufa videricur.

quis publice fcaridalo

daco eciatri privatum laefit > privacd quidem fedifim iatisfaciec asqualitaccarichmecica,necpluseiprore fua refticuecur ab homine nobili, quam ab agricola : exemplum vero peflimum alicer lue/ ille, alicer ifte, pfoporcionefervacaftatuumGeomecrica. Quolocd conciliacur AriftocelesBodino. 2.

Qupd verd bona eius, qui noneft foIvcndo,pro credici cuiusquc Credit«re*.

rriagnicudine diftribuuncur, fine credicorum refpedu,dummddo cempore qUalicace credici pares fueririt, id equidem propdrcidne fic

uc non negavic Ariftoceles, lta omiffumabillo per incogitantiam videtur ,redteque aBodinofuppIecum. Ecfi hoc fundacuraequalicacearichmecica foluti crediti.fi Bona fufficerenc.

mere geomecrica,- quod

;

Nectamenvecacurpenicusfuperidr

harmonica concenu & pro reriaca, prtefer r«)

rriagiftratus

credicores inopes alicfuaceriusficratione uci , ocupletioribus.

3. Illud etiam harmonicurri quippiam^fenfil.Bodinijfapit.-qupd^^^^ "* gentium quarundam more resfurco ablaca: non fimplo penfancur,fed fiuti:' 11

quadrupld,res aliae quincuplo ; asqualicer quiderri ab omnibus>iriajqualicercamen diverfaeres;,in quibusxfltimacur geomecrica racioneinju*

rkcdiverfamagnitudo, non nudumreiprecium,

4.Evi-

DeProportionibus

98 SI0

{£^

4. EvidencioreftharmonicaracioinpenfacionedamnorumnondolomaloUlacorum:ubiplurimumficumin concrahencium ucriufq.fattorum oircumftancijs , quae ali_quando , vel legibus vel Magiftracu ju-

arichmecicam eompenfacionem,aliquando nullam, bence,aequalem bono moderacam requirunc. ex sequo eft ubi illud, quodfuperior magiftracus non ex Hujus generisvidecur incer fe experiri jure concedic, necincaufis omnibus, aequo omnibus fedprouc circumftanciaefuerinc,arbicrosvelipfedac,veleorumele&ionemlicigancibuspermiccicjucvelucriufqi commodis vel Reip.-qon-

frbitti

fulacur.

^ Eciamufurae ad commucacivam jufticiae parcem fpec"tanc ; neqi camen aequales omni hominum generiabomnibuslegiflacoribusper^ miccuncur; fedgeomecricamixcura,inaequales diverforum ordinum perfoniSjaequalesfingulisordinum quae compoficio Bodino harmo-

rfats.

nica eft.

R«mun«a. *°'

Egregiam exceptionem ab arichmecica commucationis

aequali.

tate verbis Bodini exfcribam. Medicus ad calculum diviti dttrahendumaureorfepe D. accipit ('imo exigit) ab egente verb X. aut V. (imo nihil, ex for-

muIajuramenciHippocracis^/^c^î^î^yi^w^/^wf^^ôiw^y/Vrfîj» undiquaefc Analogiam confetTarentur, alter quidem calculo, alterjhme interiret: Jed harmonica ratione huic quiiem opes ,falus illi (non equidem eadem certicudine) comparantur.

Quam quidem adracionem & judices fuam operam & honorari-

Merces ju-

um m cau

fi s

difcepcandis exigere confueverunc. Licium n. faepe levifli-

marum difliculcas major eft, quam fi derebus graviflimis quaeracur, judicibus

rum

camen infruttuofa. ^Equumigicur eft,ucexrerum ampliflima-

vindicijs adjudicacisplufculum exigacur mercedis." cuncfcilicec,

judicesnon fufficiensa Rep. falarium capiunc, fed confiliominuendarum litium,ex partium litigantium tributis operae locatae compenfacio*

nem quaerere jubentur. Quanquamhuncego concentum Harmonicum authoriBorfinoGallo remicco:penes nos Germanos judicia in pra> cipuis civicacibus

& provincijs procul arcentur ab hujusmodi fbrdibus»

nec ultra legum praefcripcum quicquam licet exigere. 6

iO^

Haereditatem diftributio aequabilis in capita fexus utriusq/, arithmeticis legibus peragitunut origine aequales,proporcionibus eciam fub* A c dum Reip: confulicur ftanciae ab eodem patre reli&ae aequencur. praedia ad mafculos, quimiliciae neceflariae finc apci, pecuniae ad foeminas ad perfonas deo confecracas devolvuncur,dumq>* pr imogeniri ca> teris velmajori porcione,vel cocius aflis pofleflione pferucur , reJiqs vel porcionibus incerfeaequalibus,vel legacovel ufufru&u foloprovidecur S*

ucimagoquaedamprincipacus , ucilis reip: in familijs ftacuacur idfit racionibusharmonicis , quae incerdum duraefunc admodum &diflb,*

JForm-e £«:•?•

nances,quoadfingulosiquippe curbaca anchmecicaa;qualicace:adconiervacionem camen univerfae civicacis confpiranc XXII. In populari imperio , quod ex Arichmecica aequalicace conformacumeft,&inopcimacum, quodexGeomecricafimilicudineifiEpe tamenaliqua conccmperationis racio habecur. Uctjum Populus ipfe

rerum

Harmonicis rerum potens , fponte

LiB.lll.

fua patricijs potifTimum, honores, magiflratus, PetmeA

facerdotiamandat,autcum Optimates plebem honorum nonnullorum participem faciunt fru&uofifsima munera folis plebejis conceduntjinjunaseis abOptimatibus illatasgraviflime ulcifcuncur, libertatem tribuunt fruendarUm volupcacum,qua: per fe ftacum popularem fapic i fuffragij quoddam jus plebi permiccunc in Candidatis ex gente Opcimacum cerro numero nuncupandis, ex quo numero ipfipoftea Optimates, quibus volunc, Magiftracus credunr. Quze communio.quandiu fponce ejus Ordinis penes qUem furnum eftimperium confiftiufuavifsimus concordiascivium concentus du,

rac:acfirevocecur,primumqUerela; emerguncparcis mulcacae, deinde difcordia?, quafi curbato concentu, deniq; vcl crariffercur impenum, vel tota civitas hoftibus fuccumbit. Idem dc Regio ftatu cui familiariseft harmonicarario,cenendumeric: inquounusquantumcaereris omnibuspra?ftat,tancumeciamfolus fummum jusimpenj pofsidet cxteri fub illo deguilc arithmetica zequalitatc. Hac igitur in Poiicia; forma poceft effe gubernandi ratio trium generum, quod fupra etiam No. IX. tangebamus , fed ilhc de re,hic dc perfonis , feu Ordinibus, Reip. membris agimus. Nam fi omnia munia Rex ex aequo communicet, nulladiftmclionenobilitatis a plehe, populariserit &arithmeticaefimilis moderatio, non decora majeftaci fumma;.- quippefummusipfecum irifi mafitce copulabiturjnullo medioincerje&oordine, quodNaturatamenamat. Q,uiri imd ciVesge* nerofanndolisregnoexcedenc,finuilusgenerisrefpeÂŁtus. Sinomniaconferat in nobilicacem,feclufapenicus plebe, GeorneÂť hatmonica fuavicace cricahajc imperandi formaeric ,fed periculofa, carens:populusenimpollensmulcicudine, tandemofTenfus,Nobilitatem Magiftratibus &honoribus, Regemipfum imperioexpoliabit. Ec quamvisargutius diftinguat Moderaror Ordinesiri plures gradus, diftinguat& munia; fi tamen cuique oidinifuafoliconfervet;utRornas Tribunatus plebis folius erac,Con(ulacus patriciorum caricum alienabuncur ab invicem Ordines, nec firma inccr fe concordia in unurn corpus coalefcenc Nam munia lnferiorum cumipfo ordine conccmjaencur aded uc Romae Tribunatum gerere patritius non potuerit,nifi ejurata nobilitacej&cumexcorfifletaliquandoplebs confulatum, tamen plebeij Confules ipfi pauci numero, plebem exinde coccmnerenc. Harum difputationum ideam Bodinus in numeris proponit: ,

primum

in his 4. 6- 7. Hic 4. Regem reprefentat. 6. Nobihtacemi incerq; hos efle harmoniam monec , 7. verd plebem , quem numerura

redTe affirmac ab utroq,priorum difcordare.

ce 4. 6

Nam uc 6. cum 9. harmoniam facic

PocuilTec melius uci hif,

cum eodem 9. nullam

confociacio cum plebe, qua~i Regi & uc medium Geomecricum incer 4. & 9. concordans ucrique fic Nobilicas provinculoincerjecta eft incer Regem & plebeminfimam. Ariftocraticam veroRegnigubernandi formam repraefentat nu-

facit, ita Nobilitati facilior eft

6. eft

merisproportionisGeometncaedifjun&ajj.tf.

/. 10.

Difjundtionem

xomparac difsidijs in Civitate^ex ordinum eclufione nimium accurata* f

non

roo Sj asju»

non i ne P c^

Proportionibus

Athocmale,quodhancdisjunfl:ioncdifcordancicjreaag?e»

Omncsn.hinumcri3.6./. io.comunemharmoniafaciunc. Nihil enim ad Harmoniaraffe&ione attinec AnaIogiaGeomecrica,utfcpe diclumi nihil lllius analogiae differencia,disjudHo.

Ac tametfi fe vcluti corrigens

cadem pagina aliudnumcroruexemplufubjiciatdisjun&aeproportio-

bernaciomt sieniuM.*

nis,eidem mtento deftinacu,fcil. z* 4. 9. ig.* iii quibus verejdiffidenc foni per 2.4. nocaci , a fonis 9. 18. non cft camen haecdifcordancia mufica, ab illadisjun<ftioncGcomecrica,feda fuiscaufisproprijs,ex eo fc. quod la«

cusNonangulino eftincer cffiigvKgi. Deniq; cemperamencujucriufquc gubernandi formae in ftatu Regio ; ut fc. Nobilitatis munijs mifceantur aliquiplebeji,fedpauci,&:copijsoneripares,auc virruceahave re coramendar.imcq; incerdu Nobilium cenuioruunusplebeiaefru&uofaefunilli circumjiciacfplendorcgeneris,quomagis id ad plebem corhendabile uc Duuviratus ex Nobili & plebeio confticuacur, folacio ucriq; ordini:ut curiae confticuacur ex omniu ordinu perfonis ; uc in deliberationib* de bono publico tenues locupletibus mifceanturjut no meri vircucisSc pietatis cultores habeanc omnia, fed ahqua etiam fortibus aliqua ingemofis , aliqua prudentibus, aliqua exper iencia pollentibus refervencur; cuiq; illa , ad q dotes apcas Sc praefidij plurimu affert: hocinquam cemperamencSexprimic Bodmus Nu-

ftionipraefeftusjdecus

fic

in pofter u

meris4.6.g. iz.ratusfejUcipieloquicurjContinentisAnalogieejUtGeometraeverojcotinuaeproportionisfpecimeederc. Rurfumfallicunnon cft enim 4. ad6, uctf.ads at hocverum, omniu quatuor4.6g.j2.vcI ln -

minimis 2. 3. 4. 6. corhunem efle concordantiam,quantumvisaIiter 2. 3* confonenc alicer etiam -z. 4. aliccr deniq, 2. 4. vel 5. 6. Quicquid iguur ilmilicudiniscftinnumcris cum Rep: idillisineft ,quacenusieorfima Mufica gcomecricis vel arichmccicis progreffionibus confociaci func vel mixtura utrarumq;. Auc viciflim fi quam lucemPohtijs cognofcen,

disaffcruntproportiones Numcrorum Harmonicae;faciuntidperfe, feorfim a refpetlu proportionum gcometricarum. Atq.egofanefi Rcip. notitiammihicomparafiem,& hoclibro PoliHirmeni- ticum agerem; diftincStionc rcru ufus , totum Bodini locu fic incerpolaec v«a,idca rem, uc Ariftoceli fua placica manerenc incocuffa, Bodinus ex mea 9 Harmonica,feorfim ab illo,difcerec melius in policiaphilofophari. nac Um^ Aliud dicerem efle ftacum Civiracis,ejufq; gubernandi forma, aliud ju-

fticiaeadminiftracione,difFeruntenimutpars5ccocu;qucmadmodum in Machemacica aliud func Geomecrice Arichmecicaeq,- numeroru pro* porcionesjaliudcoccnc9 Muficinumerisexprefli. Judiciafane conftituunt,qui reru potiuntur,five un9 fit,five pauci,five omnes: at ijdem tutela Reip. funt occupati, judicia raro ipfi excrcenc, nifi cum licec arbicrio 9 Concra Judicibus raro fuperiora munia mandacur; le- uci,foluco legib rop»rtio V »«j3eomecenetur. Icaq,- Geomctnca Arithmeticiuspr^fcripc?func,quibus gcs p f adjudiciarelegarecum Ariftotele,noadmixtore»onad Ra- camq;progrefliones fta«onem fpcftu concencuu harmonicoru,qui ijs accidunc. Na qux Bodin9 ha£re.

"^rHar- nusin judicijs cemperamencadefideravit: eaprovocationibustandem moicas.fedadipfumReip. fummummoderatoremdevolvuntur. Acquetuncille •d judicia cum proportionibus,quas Ariftoteles Iudiciis juftiti» dedicderogac; ^» "*' *

noa

Harmonicis

LlB.lll.

101

fingula ** ' l T ' ** fed officio fuperiori fungi cur , cuens Remp. ejus mebra. Huic fane Moderacori,five rex fic , five Opcimaces , five Populus univerfus . egofuadereproporcionesHarmonicas,nullageome-

ncn jam judicac

tnce Analogi^nulloArichmecicqsqualicaciSifednudoconccncuuroi jubereq; fubciles lllas Analogias Harmonieis concencibui faluci Reip. fic ngida ucriusq; jufticie adminiftracione fumis imperijs in loco cedere. Proh Deum quanca hic difpucacionu feges,fi quis comparando per fingula velkc ire? Confidera n. nacuram ucriusq;rei. Gcomecrica analogia comunis eftNumeris & quancicaci concinuq,fic uc po-

fpectu

fterius in numeros veniac

tuncnimiru,cum

figuracio quancicacib*

hoc

dac 3 uc numcro efferri poflinc.Iam creberrime ficuc inefFabiles finc ccr-

mini AnalogiaGeomecricacoplexi, & quoprogredimurlongius,hoc magisab EfFabilicate degenerecE cocrario numeris efFaripoccft omnis Harmonicaproportio. Qutdhocfibi vulc aliud, ad policica applicatu, ouam ientcntias judicu juftiflimas, adque legu 32quicacifq;norma,venulacionib Jurifpicoru fubtihflime exaftas efle oporccre moderationc concra Reip. folucam cantisneceflitatibus, prouc tempora fuerincfine 5'

.â&#x20AC;˘

xnukoftrepitu,adfalutemuniverfbrum,arbicratuimperantisaccomodandam. Hic diducenda eflet quaeftio in partcs,quomodo Arithmecicas progre ffionis racio rudis,fine nobili aliqua forma,folis macenas dimen^ fionibus infiftens,comercijSjopificiis,viclui plebeio aflimilarecur,Geo* rnecr lca fimilicudo(Iegem unam folam obfervas, nec quicqua penfi habens, lineaquam incuecur, lacus quinquanguli fic, an crianguli, effabilis an lneffabihs) fimplex judicumofficium adumbrec ; atrationes HarÂť monicce,exmultisortxfigurisregularibusfcibilibus,generedifferenti-' busin unum compaginata; , mulcadiftincta imperij muniarepraefentenc, quoruunicuiquefuaproprialex, fecrecaaca:teris.

HiccumPto-

lemaeo^infrainappendiccadlib.VOexgeneribusharmoniaru&cant^pgxieenj MollequidemPacidarecur,Durumbello,diflidiaq, generumcadem , Moiii.Bet. G i]i* quq in civicace utroruque temporu. Verum hec ahjs curanda relinquo, qu ibus vitae racionc magis conveniunc ipfe nunc ad fequeces mee profefllonis maccrias propero. Icaque Bodinum priusexpediam. Ad ejus enim libri finem, fimulque ad hujus mei cercij principium pervcnio. XXIII. Jam enimBodinustocusadmuficam,utcftamedefcripcafeorfim a proporcionibus Geomecricis, cranfiens. eamque Uc mihi quoq,phcec , Policijs accomodans ,nihilfpeciofiuscocolibro difpucac > q.de iafwmam Regniformaexpreflanumeris/.-2.5-4.q,ucprimifuncnacura, &unicas c^dem numeroru principiu,Ica quancicacu principio Puncto,indeq; fpccieb'earum tribus, z linca;,^. fupficiei,4.corpori, penecodemmodo, quem initio hujus Hl.Iibri ex Pychagoricisrecenfui,jucundo ingenij lufu comparatifunt. DcindeunicasilliRexeft, DeipraspotencisinRep; -

vicarius.a.Sacer ordo.j.Milicaris fcu Equeftris.4.Populus,&

omnino

quidem

quadruplex: Agricolae, Scholaftici,Mercatores,Opificcs. Hic

inter hos numeros harmonias comprehenfas codem

modo recenfec,q,

ego fuprafum ufus: vanam camen mec9 caufam habec, ad qnarium progrediendi, quaficurbetur harmonia,quodfalfumcflc ex toto hocli* bro patet. Sint fane valeanc aliae caufa: fubfiftcndi in Quatcrnario.

Quin etiam

Homine ipforclucercdcmonftrachanc Rcip.formam

cxPla*

102

De Proportionibus

cx Platone,in qua Anima.

Mens, z- Raciocinativa faculcas,in fyllogifmos

fcfe

difFundes, j. Irafcibilis,4. C6cupifcibilisfaculcaces;quarum cciam fedes in cerebro, in pettore, in ventre , Plaro harmonicis cciam incervallis

earumq.primae Imperium,fecundte Confilium> ordo quarca; Plebs afllmilancur , ejufq; plurimum poffidenc- Hincquacuor Rcrump. columnar,luftiria,Prudencia,Forcicudo> Temperancia, vere cardines dicli, cuiq;Ordini fuapocifsimum commendaca, Adeoq; muficuseft facTius Bodinus, dimifla Geomecna& Arichmecica,ut nc diflbnanciarumquidemfueric oblitus; cujusrcifub imagine,fuadec inccrdum eciam immerico alicui magiftratus, honores, cseteraq; vircucu praemia non iniquo animo pcrmiccere quia uc ex opdislocatas demonftrat: certiae Milicaris

pofirione unius diflbnancix,concencus rcliquus canco melius dignofcitur, tancoque avidius hauricur ; lic quicunq; fucum hujufmodicommodorum Reip. incuencur exfecrancurq;>univerfi ij viciaconfimiliafugere, vircuces fedcari , magis acq; magis confuefeant.

XXIV". Tandem Bodinus Regnumafeconfcriptummudo ipfi com-

parac , oftendens, quomodo deus creacor jundtis arqualium fimilium racionibus in unum concencum Harmonicum,opus illud fuum exornaveric Inpropofitoilhaflentior,ucquimaxime; quaiq; ipfe auc prae-

cedences philofophi ne accigeruncquidem ,de harmonica concemperacione accuracifsima mocuum cercorum ; ea libris fequentibus ego fuppleo , demonftracionibusq; clarifsimis in lucem profero. Non de: non exienim verze Harmoniae ex mixcisaequalium& fimilium racionibus, uc fajpius dictum. Ergo Bodinus , Harmonias in mundo fe demon-

fino camen, ne in calce quidem,obloqui Bodino hallueinanci ftunc

asqualicaftrarepucans,mediecacespociusgeomecricas demonftrat tes, &fimilicudines i. Harmonicasquidem infaculcacibus Anima?;ac illas Symbolicas tantum , nulla demonftrationum evidentia in fblidam aliquam effigiem, ut Mathematicaamant, expreflas; quippe cum intel:

Inqnan» tccjusfaGultatenumerusiiie ipfe,cuem US affigua"

non pofsit, quomodo infint in Anima qtiantitates , proximum & immediatum harmoniarum fubje&um. 2. ^Equalitatem inter Muncli .„.7 corpus, & univerfam vim matenc. ;. Simihtudinem ( qualuanvam pocius ex figuris, quam Relacivam quancorum cerminorumj incer Archecypumaecernum & Mundiformam; quo loco Bodinus praxordiamihicangicmaceriaMyftej-ijmeiCofmographici , quanquam per

ligi

ignoranciam , accacta.

Quanco veroplaufibihusin meaj Epicomes Aftro Copernicana: libro IV. haxaequalium & fimilium commixcio de Mundi parcib? praseipuis eft demonftraca, de Mocore fole, Locante fphera fixarum & Incermedio,quodmobihbus conceflum. jEqualicasenimeftinparcibus materixftatuta; uttantundemfitejusin Sole, quantum vel in excimas :

fphajras orbe, vel in fpacio intermedio.

Maceria£verd>ucpopulo,debe-

tur arithmetica xqualicas. Vicifsim Geometrica proportionis fimilitudo in denfitate trium horum corporum; rurfum alia inter diametros

Solismocoris,regionisMobilium,&fphaerae|ulcima: Locantis immobilis. 4. Medietates porro Geometricas quodammodb : ut intcr dud genera mocuumj alterumin orcum^alcerum in occafum, ccrtium Trepidaci-

Harmonicis

Lib.111.

105

pidacionismocum,fed cx quibusduo pofterioresfbla vifusimaginacione,fecundumCoperniciplacicaconftanc. 5. Incercerram cophum, argillam, 6. incer mecalla&lapides, srofasglebas, 7. Interfhrpes 5c ftirpes Zoophyca. 9. Incer lapides , Corailia. g, Incer ammalia Amphibia. pifces 10. Inceraves Quadrupedes & , pifces , volances pifces. 11. IncerHomines&Bruca,Simias, aucMulieres ex Placone. j2. Incerbeftias&Angelos,Hominem,morcalemcorporeucillos,immorcalem animo uc hos. j j. Incer cceleftia beacorum habicacula Elemencaremregionem,ccelumftellacum. 14. Quibusaddeexprincipio libri hujus , bina media ,\ fcilicec Aerem& Aquam incer Ignem

Terram & caecera. Ac non paulo melior admonicio de ijs, quae in mundi gubernacione,racionem habenc diifonanciarum:in Anima vicia;in animalibus rpo•,

ftrafin Ccelo deliquia; in Geomecria ineftabilia (quae camen necefficace maceriae quancicacivac cum exiftanc i f equencibus libris longe rectius

cceleftium mocuum variecaci comparabuntur)in providencize operibus

Exemplairaj&ulcionisdivinajjincerRacionaliaDiabolus QuaeomniaaDeo fupremo moderacore ad bonUm finem > rerumq,- omnium Concencum abfoluciffimum diriguncur: cuiomnisfpirabiliscreatura mericiftimalaudum facrirlcia mdefinenci pietacis exercicio deferac ; ipfeqjadeofi vifum illifueric, nonmoriar fedvivam,librisqi fcquencibus narrabo OperaDomini» :

Finis Libri III. Lectori. Tirocinium Operarum cum aliquo damno libri hujus III. in quibusdam exemplaribus co*r»iit ; id ne longtus a calce totius operis petendum effet ,hoc ipfo libronnito» quonw» j luiftum

Nempe

do farcires, monendum cenfui. FoLaj

£$«$(• —

—

Paflim aberrant nonnihil Numeri a Notis fuis prxiertim fuperpofiti&fuppofici, ut fol. 4-r. ubi pro 66. fctibe^eT. foL^j- lin. ii. Legeminorem

fol.

--$--^

47.

Et P t0

Eifol.--p.ini.

—*—

z~±zz*

fc±-_

-t-+%-

fol./7

Notammuta Et fol.

primum

m y.

is-

dia-

gramma tale hat.

•fcrifcc

3flE$ft

—

diagratnniatc

40.1ege 405.

--—5-

lini.-y.pro

~J~~

Etpermutavo-

>g _ "

cesfupermt , imferms in non __—_ nullisExcmp la

ribus.

Fol. 60. lin. 9. afine»

Pre>

3.4.eft &c. Caeteri leviculi in paucis cx-

emplaiibus occuiicnt.

-21

__«: $j.

JOAN-

PonneA;

IO:KEPLERI Harmonices Mundi LIBER IV.

DE CONFIGVRATlONIBUS

HARMONICIS RADIORUM

fideralium in Terra.,earumq;effechi in ciendis Meteoris.,

alijfq;

Naturalibus. PfcOCLUS DlJtOoCHUS Libro

comment: inl

Euclidis

De Mathematices ufu in Phyfologia<& Politica:

c/udpotif

Jimumpartem lllius Harmonicam de Radiationibus concernuitt.

contemplationem Natura; praecipua omnia fuppeditat

>decla-

rans Rationum ordinem pulcherrimum>(ecundum quem fabricatum eft totum hocVniverfumjprop >r.ionumq; Analogiam, quae ornniamundana mterfe conne&it, utloquitur alicubiTimjeusÂť qaaeq; amicitiaro inter pugnantia, refponfum & mutuam affectionem interjlongiffime diflita, conInde &angulationes commodas poilibile eft ratiocinando venari, Rurciliat. Etpoflpauca f*m ,Hoc opmor & Timseus fignificare voluit> dum paflim per voces mathematicas, tradit contem-

plationem de Natura totius aniverfi, ortumq elementorum, Nameris & Figuris depingit , facultatesqi&aff^ctionesillorumietianiqjeffectusjhis [fgu,is~) acceptosfert;anguIorumacutavelobtufa.kterumq; alpera vel lxvia > &c. caufas conftituens omnivariarum mutationum. Ad Politicam vero dictam doctrinaro > qui negari poflit , illam plurima & mirabilia conferrej dumopportunitates rerumgerendarurndimetitur> variosq; circuitus totius univerfi &(, Numerofq; Hafmonicos, vitae moderatores, aut incongruentiae auchores , &ia unirerlura impetus aut remiflioms opitulatoies ;

Cum S.

M. Prfoilegitsdatmos XV.

LINCII AVSTRI/E, Excudebat Johannes Plancus. ~

ANNO

M.DC.XIX.

DeConfigurationibus

io6

Prseambulum & Ratio Ordinis.

Harmonicas in abftracto coni^ ^SRoportioncs <M x ISfideratas cribus primis libris formavimus,quorum primus

^^. ^figurarum fingularum proprietates Geometricas, fecun^Q^J^dus junctarum Congruentias exhibuic cercius ex figuris ,

harmonicas proporciones propagavic. Reftabat ucHarmonicas raciones haclenus defcripcas inMundum incroduceremus cribuslibris alijs,quorumprimus Deo coelorum Condicori, fecundus Narurannotuum variorum adininiftne , cercius Homini , vocisj quzeexmotugignitur, compoti, tribuerec Harmonias: verum perfuafit nobis conditio rerum dicendarum, ut non cancum ordinem Verceremusjinicio ab humano cancufadojtranficuri inde ad Naturse opera , & fic demum ad opus Creationis^ quod omniurn primuna & perfediilimum fuit s fed etiam finem fpeculacionis abftradhe cum pnncipio concretarum Harmoniarum in Cantu conjungeremus eodem Iibro tertio. Initio igitur fa&o hujus in Mundum incrodudlionis libro antecedenti; & tranfcriptis Harmonijs humano cantui, quem Ar,

tisgeneraiivocabulocomple&ifolencalijiequicurnuncquarcusliberj qui inhocordine inverfo fecundas Harmonices concreca; partes Natura: tribuit.

vero fparfim libroIII. difputationem de har moniarum Efplenam tamenhujus metaphyficaj 'difputatiohis tra&ationeminprincipiumhujus libri quartieodem confilio refervandam Cum cnim vulgo philofophorum Harmonias non alibi quaecenfui, AtquiSocra rantnifiincantu .fitq.inopinabilepIerifqjAcroama, cum docecur atonem,ci-hudquidefsefonos , aliud Harmonias,quae ineffe putanturin fonis: tamePro- dandum aliquid fuit imbecillitaticaptus ,'& Harmoniarum ortus explicandus terminis potius Muficis vulgdnotis,necturbandafuitaviEuci Mufi«iiiUudefi- ditasledorisimportunafubtilitatcmecaphyficarumquasftionum. nitsqabijs Ac jam porro , cum Harmoniasi in Natura inq; Ccelorum|mociqirSintin bus patefacere fic animus ; vulgusverdphilofophorum ftatim ad prifenfiijpgte- ra am Harmonias mentionem concipiac fidcrum Muficam vocalem , auditu percipiendam ; &eum Scipione Ciccroniano arre&is auribus ffnfilwnar monias, $- adftet , excepturns Untum d> tam dulcemjonum : Cum proclive fit,rcrum jsomonesqs »-> pitos cum ilio ipfo •* r fomniatore Ciccroneareumcntari,A/o»po/^//A earum mve 2 n J tiotantos inatarimotus 3 & cum rychagoraeis ex Anitocelerationemreaitiaanrfas. Qui tadem derccur coeleftis fonus iionexaudiacurin Tcrris quxprjeconcepcseo* pinionesplurimumobftantledloribus , adNatura:penecraliacontenfnPhiioiophu.exgge- dencibus;adeoq; & abfterrerepoflentmultosjudiciopollenf.es , veriEcfi

fcntiacecigi

,•

m .

...

„,

•

faa'harmo cac [£qfe£tacores , uc adcontem-

nugamenca ifta Py chagorica ,vix eminus agnita, afpernancesjhbrumnonle&um abncerenc: his de caufis idoneus mihi

piaduPri-

vifus cft hic ipfe locus

ELS

riamrefcwci

temqsipfara.

quem

difpucacionem hancfurnmenecefTa-

MO«

Harmonicis

Lib.IV.

107 m

Movic mc & Pcolenm exemplum qui cum hbris 2- prioribus opeHarmoniciabfolviflecdo&rinamHarmonicam, quateft de cantu, jamquc libro ccrcio demonftrandum fufcepiifec, omnes naturas :

risfui

perfeclasHarmonicaviparcicipare: difputationem ipfe incipic ab Subquodgenus rerum referendajit Natura Jeu vis Harmonica, ejztsquejcientia. Etlligiturexamen cenfuram Pcolemau,, cgo in bujus mei operis appendicem rejeci j ac quid ad hanc PtoJemau quaeftionem cxmeis principiis refpondendum videacur, idob didtem caufamhoc quarcolibro pra^micti debuic. Necidtantumad prÂŁmunicndum lecTot cm,avercendasque fmiftras opiniones percinet,fed etiam adexplicationemfundamentalemcociusqUartilibri,- uc quia de Harmoniisradiorumfideraliumdic~turifumus,qua: &quoc finc numero, quibusque geomccricis principiis formencur; prius fciamus , quse fic Harmoniarumeflencia,cicra& fonorum,quibicnullifunc, iplbrum

haceadcmquaftione

eciamradiorumconfiderationem;&quodnam earum propriurrifubjeclum,quitermini,fincneinrebusexcraincelle&um,aninfola anima, quomedioperCipiantur,introrfumquerecipiancur;quare dijudicencur; quiseffec~tushancperceptionem&agnicionem,quo authore feu primomocore,confequatur: quibus rebus tam generalitcr quam fpecialiumfabjeclorumcoliatione explicatis,poftca nobis facile erit de Animorum,ipfiusque Naturaj fublunaris cifentia propnetacibus \ Mecaphyfice diflererejNacurajquearGana paui6,quam eranc haclenus^ inmajori luce iccare.

Capitalibri IV* Caput I. DeEjfentia ProportionumHarmonicarum tam Jenfilhtm itmhm JntelleEiualium.

Caput II. Quot quales^Jint Anim<z facultaies fecundiim Harmonias. Caput III. Quzjint Genera rerum feu fenjilium y feu immateriatarum , quibus expreffk fitnt Cap.

Hatmoni*

five a Deofjive ab Homine ,

IV. Quiddifcriminisjit inter Harmoniasboc

ÂŁJ?

libro

quomodo ?

quarto ,

& inter

iUas hbro teriio cnnjideratas.

V. De caujis efficacium Confgurationum, earume^ Numero g? Ordigraduum. Cap. VI, Qutejit cognatio Afyeftibus cum Confnantiis Mujicis in Nu~ Cat>.

tte

Piero

<=ff

caujis ejus,

Cap. tttrnfy

Epilogus halet comtcmplationcm Naturxjublunaru tfacu/t4*

Animd inferiorunu.

Caputr*

De Gonfigurationibus

log

CAPVT

De eflentia Proportionum harmonicarum tam fenfilium,quam Intelle&ualium.

Harmoniarurn.efsentiadifputaturo mihidubicare concingic; ucrum clari 9 fic.,vecerum fencencias primum exqrere, deindc cum mea comparare; an ab expoficione propriae fencencise incipe. Prior philofophandi racio r ecepca eft ab omnib 9

crebro comrnedacur ab Ariftoceie/pofterior magis convenire videcur pfenci maceriae. Difpucaciones n. de Eflencia Harmoniarum infpecie pauciaccigefpeciaru Machemarunc:Sc fi qua dixer unc de fubfiftencia Generum ticarum,quod Harmonijs in fpecie poflic applicarnid necefle eftinphilofophia Gencilium obfcuriraciseffe plenum,- eoq;lectorisanimnm infufpicionem ficta? rei fludtuacer amorem fpecioiiflimoru dogmacu redubium.lncoecibusChnfl:ianorum,&fiquisfacrofancT:umTrinicacis MyfleriumjOrcumq; rer um omnium ex hifloria Mofaica,firma flde amclarius proponi poflunc , plectitur > difpucacionis capica proclivio,-

DivifioHat «aoniarum.

animosad credendum. Uc

mechodum di^ndorum expediamus, adivifioneincipiendumeric Aliudenimeft Harmonia fenfilis, vel ei analoga,aliu dHarmonia fecreca & pura a reb 9 res inveniunclectorum

fenfilib^illaj mulca?

igicur

funccam racione fubjectorum,fpecie difFerencium,

quam racione individuorum: ac fincera Harmonia & a fubjectis fenfihbusfecreca,inqualibecfpecieunaeft&eadem. Verbicaufl,eft una& cadem fpeciesHarmonia?, qua; aproportionedupla oricunha^c fi ineffc infonis,Diapafon dicicur; fiinradiacionibus, AfpectusOppoficusnunin Muficoquidem fyftemace vel fuperior efl vel inferior cupacur-' vel acucior vel gravior , vel vocum humanarum, vel fonorum cx organis:nec minusin Meceorologiaeftmulciplexivelenim Sacurni& jovis vel alcerius copulx, vel ex fignis aequinoctialibus vel ex Tropicis. De ucroq; igicurgenere quasrirur , quomodo fubiiftanc, quodq,per rebus alijs.Quod igicur fenfiles harmonias accinee Harmenix fe, num feipfis, an fcnfiks. ad earum Esse quacuor ifta concurruc; j. duae res fenfilesejufdem genc« ris,& quancse, uc incer fe comparari poflinc causa quanticacis, 2. Anima comparans.j.Recepciofenfiiium incrorfum.4.Idonea proporrio, q de-

finicur

Harmonia. Horumuno fublaco,

collicurfenfilis

Harmonia. Fa-

incelligere,NacuramHarmoni£e non efle definiendam per fenfiles, uc per fonum vel radium ftellaj. Aliud n. eft fon9 aliud folas res Kq^riOr^nem, ordo eer cus incer diverfos fonos dico aucem ordinem hoc loco , non caufa fic9 in aliquo loco phy fico,nec causa cemporis, fed caufa acuminis

AdEffeHar-

c ^ e en i

&gravicacis. Pofluncigicureflefonidiverfi, acnifi fitinceripfbs cercus ordo, quicercisproporcionibusdefinicur, re machematica, nullaeric inter vocesHarmonia. Viciffim fono fublaco , quamam confingi poffic

Harmonia audibilis.,& radijsplanecarum fublacis qnamHarraonia con-

Harmonicis

Lib. IV.

109

flgurationum Amplins quia Harmonia mufrca non eft fonus , fcd plu- CAPy T * rium fonorum Ordo,hincfequicur illamefse inpraedicamento Relacil

onis. Ordoenim,deq>hicloquimur, relarioeft,&:ordinaca,funcadinvicem relata. Qua igitur re foni funt harmonia, ld accidens eft quipps ,

quod in fubjectis ineft,necfeorfim confiftit

poteftq; abeffe citra fubje-

clorum corruptionem. Deinde , ficut quantitas in univerfum a corpo- ^* ^ j" "4 nbusnequitfepararifuis, fedpoteftbeneaugeri&minuicumipfiscor- accidi» poribus, & tamen accidens eft i fic etiam Ordo ipfc fonorum, cui ut ge1

neriHarmoniam fubjecimus,tolli non poteft a fonis,plurib 9 uno,quantitate acuminis &gravitatisinterfe diftindhs namaut plures efle definenti aut fi plures, ,eric incer ipfos ordo fecundum exceflum & defectu; mucabilis ille quidem, fi fubje&orum relacorum alcerum mucecur. Ordo igitur cum quancicacibus,& in fpecie cum numero pari paflu ambu:

Terciofreuc Numerusdefiniturefle multitudoex unitatibuscon> in quo Anftoceiesagnofcicaliquidmateria^anaiogon , unicaces fcilrcetejus, aliquidformale , mentisconceptum, qua2unam,quocunlac.

flata

que refpe&ufeparatamac£teris,multitudinemillarumunitatum

fin-

gulanum agnofciwtaque ahbi pmlofophus idem fublata Anima nume- mon ix rcrante , tolh ait omnem numerum at non unitaces fmgulas : uc ita quiriAnimam numerusmatenaliterficinrebusipfis, nihil prcecenllas, niiiaccedat ,

emm

a re; tunc demum , numerus prsecer res ipfas, busabftractus, eftdiverfumaliquidabipfis, eftfc. conceptusinmentepluralitatisrerumindividuarum: ficetiam ordo iple fonorum £c a-

Mens numerans

liorum fenfihum,quo de hic agimus , non eft quicquam aliud,quam ipfi foni piures; nrfi accedac Mens, comparans fonos incer fe, differences acumine: & ingenere relacio omnisyfine Mentenihil eft, preeterquam fua relaca

;

quia relaca

non

func id

quod dscunrur

nifi

mens aliqua

fupponacur > qu^ referac unum ad akerum. Quodigicuringeneredecrdine,deq;relationeverumeft;idmultomaximefubfumendum de Harmonia,q in proportione conliftit,inque numeracione partium quantitatis a;quahum fcihcet , utfubfiftar., &ucEssEpoflitaliqua fenfilis harmonia,pter duosfenfles terminos oportere & Animam efle comparancem hac enimfublata, termini -quidem eruntduofenfilia, fed non eruncuna Harmonia, ensracionis. Videndum nunceciam de certio Cc: de recepcione rerum fenfili- AdeffeH» :

mouixCci^ umin animum, ejufq; neceflicace & modo. Nimirum Harmonia eft res una termini fenfiles foris extra Ani- rcC eptioni ,

mamnon funtresuna,necufpiamnifi mtus in anima

poffunt adunari externoru Nonpofsutverdintus efle , nifi introrfum recrpiantur , quod multis mAmma verbis ab experientia probari non eft opus. Poteft quidem Muficus Symphoniarum artifex intus in animo fuo meditari Harmonram duarum pluriumve vocum, quas tarnen incrorfum non recipic : at illa harmonianoneftilloac~tufenfilis,nosver6defenfilis effentia loquimur. Qualis vero eft rlla receptio ? nonne foni, ut exemplo notiori utarlocoomnium, perftant foris extra aures, in aerc, 6c ante fonos motus corporum,ad quorum quantitatemfoni fequuntur? nonne ij ma* aeoc ia fuis corpgribus ? quoinodo crg6 ingrediuntur? Reipondeo,

parcini

IIO '

De CoNFIGVRATIONIBUS

partim agendo, partim patiendo,agendo,dumfpecieSemittunt,pulcoloris fui. radios, ficu t loqu ifata motus fui, fonos lucida luminis mur, cum obiecla dicittiUS movere fenfus.movere vero eft agere:pati,'

endovero.non ipfasresper fe, fed (peciebus fuis quacdum fentiuntur memoranturi coparantur, femper aliquid pati debent ex ufu loquendi Et omnind haec ipfa duorum terminoru adunatio iii A nimo, per quarn refultatEfletiaHarmonisefenfibiliSjipfum fcilicetreferri & comparari eft rebus jurttlim fumptis tale quippiam, quaie quippiam eftrebus fingulis,videri,audiri, eoqueminusetiam. Sunc quippe hsec omnia, paf_

fiones qua?dam,fed a.quivoce didta:, magno fignificationis ambitu. •Paffionum

Sed conftituam 5 grad9 paifionu.Primum paciturveibi c?.ui_i, Aqua,

aquiToca-

admotistcpefcit. Alter fignificatus,pati dicithumorem,cum aliquid agit ipfe,fcil humeclando arida : nam pars eiusrapiturin meatusexiiccaci, eiquemifcetur, quodeftpati: fic patitur aqua cum guftatur: partcm enim deglu tit ficiculoius dic

um egelidaexiftensj ignibus

geritque.Sedcercioeciamfignificacupacicuraquainguftacu,cumaiinguafalcemconcingicur,noncancumquialingua?calorecalefic,cumipfa fuo frigore linguam frigefaciat; nec cantum ideo,qa ha.ret aliquid aqua; inlingua,fedfimplicicerquia tangituralingua, quodeft quafi leniffi-r meferiri , aut pulfari, auc impelli, unde eft motus localis partium in to-

tOiMoveri vero eft Pati. Quarcus efto fignificatus,quo pati dicitur aqua , cum emhTo vapore fent nares , odoracuque percipitur percipi .

hic quidem pacitur non ipfa, fed effluxus eius corpoaucem.eft paci : reus, quapailioneeciamabfumicureiusaliquid. Quintus gradus, quo patiintelligicuraqua,cumftrcpicusejus auditur : primum enim ipfa aqua in motu eft, deinde fpecies immateriata aqua_,uc movetur,diffunditur ab ipfa in omnem ambitum ,reeipicurque in meatus aurium ha_c recepcioeftpaffio,nonipfiusaquje, fedfpeciei eius , feu defiuxus eius mul-_ immaceriaci: &in hacrecepcione deperditur ahquid tempore tiplicicaccreceptionum. Nam obtufioreftfonus,quimagn£emultitudinis auribus, aut veftibus, accidic , auc qui intcr nivesdecidentes emic« ,•

titiir.

Sextoeciam cum videturaqua, paticur aliquid :emitcicn.afupficic vel quafi,nimirum a coloribus fuis,in quantum colorata,radios ad oculum,quiradijtanguntuf, repercuciuncur, refringuntur, coguntur ad pun£tum,excipiuntUraretiformi tunicacoa&hquzeomnia funt pafllonesnonipfiusaquae,fedfpeciei immateriacae,feu radiorum. Echi radii,jaminhacrecepcionenihilperdunt,nequelocis,nequetempore: remoto enim quod tangic, pergunt ulteruis, penitus illibati, quod ncn facitfonus.

Scptimo,poftquam hae lpccies,ipfumq>• aded corp' aq in corporea {enfuum inftrumenta priusaliquid egerunt. illafc. fibi conformiter affeceruc, fibiq; affimilarunt, ut & lingua: &cutis membranulas frigus faporem,narium fpiritus odorem perceperincfpiritus auditorij ejus fo-

nitupftrepant,viforijejuslucecolfuceant,itaq;typus&ipeciesejusfenfenforia fueric formaca, quam oculi cerce circumgeftanc, eciam abhta illai

f^pe invico homine; jam hsfpecies fcnfiles ab fenfuum veftibuiis feu o-

Harmonicis

LlB. IV.

III

feuorificijs^rccipiunturintrorfumpervimreprasfcncacivamfeuphan-

tafticam,cognofcuncurperfenfumcomunem,conduncurpm8moracivajpromuturpreminifcentiamjdijudicanturpfuperioremfacultatem.*

q omnia paci lncelhgicur aquanon infe fed ln fuisfpeciebusfenfilibus & mencahbus.Tunc lgitur etiam fuprema facultas anima;,qua; numero comparacionibusq; pra*eft , expluribus rerum fpeciebus mentalibus> ,

unamfibifabricatformatq^relationis^ordinisjcomparationisqifpecie, refq;forisexiftencesincerfecomparac:qua*comparacio,ucfupradice-

bamus,

fme ipfarumopera,paffio quaedam

cumfiacft.iperrebusipfis,

illarum efie intelligirur ignari in judicio agicur,

eodem fere fenfu ut cum de fama abfentis & auc cum is capicis damnacur auc profcribicur. ,

Omnindquidemapcafimilitudo

etfifecum ipfe tuncmalinihilfencic,ade6q;nihilpacicur,camen paulo p6ft vim ejusj quod paffus eft, re ipfa experitur: ficeciam voces,& qcqd omnino congiuenci3eparcicepseft,pi-oucmeciplacuerincinhaccomparacionc, proeovel concinuancur,velrefpuucur,fugiuncur,prohibencur,impeduincur, opprimuncur,finiuncur. Etfi jam fton hoc cventus confequenti3refpecT:ufonos patidicoifed illo ipfo aÂŁtu,cum eos inter fe mens comparat;fufficitq; g longum exphcaffe, quo fignificationis acqvoca; gradu hanc comparationem metalem,paf]lone dicam.Sed nonfruftraprolix' fuiinrecenfendishisfignificatib 9 :hacenimot!ajamporrcmirificeadjuvabimur in agnofcenda NacuraFacukacis Harmonica*&complenda hacparteMecaphyfica;,qAriftoceles nepcranfennamquidem afpexic. Ex hifcc quoq,- clarum eft id quod ancea concendebam , fc. qucd Harmoniasfenfilisipfumformale, qua harmonia, accidac fenfilibus , a m,, "i* ^ Â°' nimirum ficuc eildem accidic, videri audiri & ca*cera. Pacec fecundo ctetx\a Harmoniaseciamfenfiles,efse res.abipfisquodammodorebus abftra- anabftiactas; quacenus nimir um non res ipfas foris, fed fpecies rerum per fenfus ingreffa*,adq; cribunal animse perdu&ae,fiunccerminiproporcionis harmonicaefenfilis. Ac viciffim duplici nomine harmonia; iftae func adhucconcreca: ,primumquiafpecies has rerum fenfilium , non func earum nudae quanticatis fpecies fed etiam qualitatis fenfilis , puta foni vellucis&c:deinde quiafpcciesha2fenfilesj,ucfenfiles, intus in ani* ;

ficutenimtalisaliquis

moncqueuntrclucere, nifiresipfa?,quarumilla*funcfpecies, foris etiam prsefto fint & maneanc. Nam ijs ablacis,definunc eciam earum fpeciesincus,lucisquidem, quoadfuamradiacionem, in ipfo inftanci fonivcroincrabreviffimumccmporismomencum. Relinquicur qui,

dem infenforijs inftrumencis aliqua impreffio

uc in oculo lucis , fed fedpociusfpecieifpecies alcera, in corpus ,

illanoneft rei forinfecae , impreffa,jam corporis momencaneaqualicasfatta.quemadmodumin opcicis, coloreslucefolis puraminimeq.coloraca, vim concipiuncradiandi quaquaverfum colorace, Ec hoc eft quod inicio quoq; corttendebamus,oporcere cerminos fenfiles Animam praefentes efie mutuasq, tradere operas, agendo, patiendo, illam fc. movendo fenfus hanc comparando > ucconfticuacur efTenciaHarmoniajfenfiliSb

Objiciac, hic aliquis ,

Aaimam comparando non facere

fed in-

veni-

De Configurationibus

iog CAPVT

venire idoneamproportionem: quod quartum fupra &formalc principium erat harmonia;fenfilis:ergd viderianimamabefsepofle,ialva

dxwceuus iAmraafa-

cianHarmo

ÂŁfl-cnc i a

tcnawavciuat..

Harmonia:.

Refpondeo per inverfionermldoneam invenirein fenfihbusproporcionem > eft detegere & agnofcere & in lucem proferre fimihcudinem illius proporcionis in fenfilibus , cum cerco ahquo veriflima; Harmonia: Archecypo , qui mcus eft in Anima. Quemadmodum iguur Athenienies vircucem aliquam invenerunc rn Zenone Pi y canei lui jus ineo non invenerunc, fedilli conculerunc.quodZenofine Achenienfibusconfequi nonpocerac: fic Animaordinem & proporcionem ln fonis inq; radijs invenic(ecfi ne hanc quidem foris invenicied ialcem cerminos,ucdictum)atucha:cproporcioficharmonica ipfa fui Arche_ typi coliacione facicqua: harmonica dici non poflec,nec vim ullam for,

Sacisigkur tirecur inmovendisanimis> Ii hic Archecypusnonefsec. cL Senfilibus Harmonijs. JamenimcranfeundumnobiseftadpUfas&fecreCasHarmonias,

hTmonia alcerum fc. divifionis noftraemembrum lllas nempe , quas jammodo inieniihs; ftatuimus Archeiyposfeu Paradigmaca fenfilium harmoniarum. Nani fi Archecypi fuam haberentfubfiftentiam excra Animam ;fateor equi:

dem, magno nosaigumencoprivari,proafserenda neceflicace Animar, ad eflenciam Harmonia^conftituendam. Acqui excra Animam Ulos Ejustermi-

confticuere , eft oppoficum in adjecco , ut audiemus. archecypicae Harmonia: > qtiaenulliipeciei fenfili Verse enim Confufa exiftit , principia iunc nihilominus divifa numero plura.

Cumenim& illalitproportio

ipfa fuos terminos > fequirit igitur Hiver6termini,utlibrisprioribusufurpavimus funtCircuPars ejus vel partes , aliquota vel aliquoca: , demonftrarive lus totus rcfcifo arcu. Hxc eftipecifica proportionis hafmonicse difterencia quanon tantum harmonica proportio diftinguitur a proportionibxis archetypica a fenfiliali js , fub eodem genere locatis, fed etiam pura niflquatenusitfu vulgi tritiflimo , fola fonorum Cottgruitas , bus Harmonia dicituf Naminhocipfo clarifllmum apparec difcrimen inter puram Harmoniam,& Harmoniam fenfilem feu concreta ; qucd in puraterminifuntexmathematicisgeneribuSjCirculo & Arcu , cer-

binos.

modo formatis:habet n. circulus fuamformationem feufiguratione

ex feipfo habet arcus ex Subtenfa cerminos, ex circulo figuram; in Cen~ veroHarmonijsnoneftopushacfpeciali formatione , poffunc ,

filibus

enim efle vel redfoe lineae, vel aliter figurata? quantitates fenlile dum;

modo

finchujus archecypicaifua^Harmonijefidaexemplariajinquan-

titate quaelibetfua

quantum quidem poteft efle fida;

imitationis in re-

bus fenfilibus ; quia quod in ijs vero propinquum eft , fecundum magis &minus, idproipfoverorecipicuc HifuncigicurcerminiHarmonia; archetypicat.

AdESSE 1

^tcaa** i

â&#x20AC;˘ncera re

Deinde , pracer terminos , f urfum uc prius didtum in fenfilibus, Mens,comparansterminos,& dijudicans, num ij,ni-

recFi r i curcc i am

mirum arc9 circuli,calesfinc,quos de toto circulo refcindatlaCaliquod figurae demonftrabilis. Icaq; tria

quodammodofuntprincipiaHarmonia;

Harmonicis

Lib. IV.

115

niaeArchecypicaj,duoexparce cerminorum, Maceriale, ut analogice CAfVT L loquar, Circulus, &parsejus ;Formale, refciflio partis per figuram

& unum ex parte ipfius quodammodo ) Mens. (

demonftracivam fcilicecEfHciens

;

cerminorum

relationis

Cumqueproportioomnisj&ficetiamhjEcpartiscirculiadtotum, Harmonia , jam ha?c certa & defcriptaproportio- e ft Rdatio nis forma, habet feutqualicas quarcaefpeciei. Eft enim Harmonia, Re- quaiiuuva. lacio quodammodo qualicacivafeu figuraca, quippe aY figuris regularibus formaca. Quod fi prius ad Effenciam Harmonije fenfilis percinuic, uc fenfilia perfpeciem infiuerencinanimam:quantomagisetiam hicnecefleeft, utquos diximus Harmonia: fecrecae terminos , Circulum Arcum fit

in pra;dicamenco Relationis

mente

per fpecies incro recepcas faftum effe dicac five cum ipfa Mence perennavennt , ante omnem recepcionem intus prsefentes ; de quo jam porrd nobis omnibus ingenij viribuseritdiipiciendum. Cum autem ad hunc locum jam devenerimus ; non equidem fine GTnaa & eius;

finc in

ipfa intus

five id quis

luculencainjuria tam le£toris, philofbphiae cupidi,quam Veterum, s P eciesrequihancphilofophia; parcem ante nos criverunCjipforumplacicade^™^^ rebus iifdem diffimulare poffumus , quancum quidem nobis de iis con- infmt ia A. fticeric

Unum cancum prasmictendum cenfeo

;

diftinguendum

effe in-

ruma*

Circuium,& Ai cum ejus, incerq; comparationemeorum :&hocided;quiafifpeciesipfa2 , ceucerminij,collocandse func intus in anima fine recepcione; mulco magis Harmomonia, qua? eft inter illas partes , in mente collocanda erit uc non h;u beat effentiam fuam extra lllam , quippe cum eius •effentia confiftac in a&ione aliqua mencis circa fpecies illas. Ec circulus quidem cum arcubus fic func in Anima,uc cicra concroverfiam finc eciam in fenfilibus acHarmonia, qua^efiincercirculum ejusque parcem; quoad formalc fuum,nullo modo eft excra animam; uc fuprapacuic exemplo Numeri. cer fpecies ipfas machemacicas,

Jam vecerumargumencafuncprasripuedefpeciebus ori; Harmonia vero res eft magis compofita.

ipfis,refimplici-

Et hoc eft difcriminis inter Ariftotelem , Platoriem Proclum , ex unaparte, interquePtolemaeum exaltera. Illi enim de EssEfpecierumdifputant,Ptolem£eusde Esse Harmonib. Sed Ptolemari Textum nos in Appendicem totius Operis rejiciemus ; ne nobis , quod initiocapicishuius verebamur,turbas coucitec;Illosver6, qui appoficiffime ad praefencem fpeculacionem loquuntur, jam audiemus. * ,ato ls Ec Placonis quidem de rebus Mathematicis fententia hsec erat> dogmade j f ef ro ,

•

Mentem humanamomnes&fpeciesfeunguras, &axiomaca, &con fubfiftemia clu fiones de rebus>feipsa edoclam effe; cum vero videcur erudiri id ni- Mathema1

hil aliud efTe,quam admoneri per diagr ammaca fenfilia , rer um earum, rum quas fecum ipfa fciac Id fingulari arcificio repraefencac in dialogis,introdu&o puerojquirogacusamagiftro^refpondec omnia]ad vocum. Anftoceles contra in Metaphyficis, commentum hoc appellac, Ariftoteiis .

roaco—

>$yov 7iha.<rfjLCLT^, esrg$$ tlw v7ro$-£<nv fa@>ict<r{jLiPov NecjSfj ttarium, enim haec Matbemacica feorfira a fenfilibus ufquam fubfifterc nec aliam P :

)

De CoNFIGURATIONIBUS

114 CAPVT

I '

a ^ am e ^ e i^ orum fubfiftentiam, ne quidem in Mente, nifi ea racione » qua cajtera univerfalia funt in Mente , cum eflentiae ipfius rerum fenfilium fingularium, fpeciesperdefinitionemformatur inMente itaq, prioraquidem efle fenfilibus, & abftrahi a fenfilibus,at nonre,fed conceptu mencis. Ubi nocandum,qucd Ariftoceles, quocies fere ufu venic uc nommec generumMachemacicorum unum aliquod exempli gracia, femper aue Punclum nominec, auc Lineam, auc Superficiem, aui: Cor,

«ierft

Art

ftoteli.

Numerum; qu& func in prsedicamento Quanticacis fumma ge« in quarta fpecic nera: quancitatum vero, in quantum funt figurae, qualitatis(ubialiudeftipfarummateriale, quancicas, aliudformale,figura) per hasquidemdifputaciones,ficmenciorariflima ; in quantum Relaciones, planenulla. Adeo quidem etiam Harmonicam fciennam ponit fpeculari de nuliare,nifi de vocibus.;deq; ijs non aliter,nifi in quacumills funclines,planeucOpcica. De incervallisverolinearum, quai func proportio (relatio nimirum, &ea quidem qualicaciva &figuraca ne fomniat quidem unquam Ariftoteles.Nullum itaq,dubium eft,quin ulterius progreflurusfuiflecin hac fpeculatione , fiMachemacicisprofundioribus(deincelle£tuaIi figurarum poftibilium impoflibilium difFerentia,quade nos egimushbrol f )|fuifletimbutus. In quanturnigicurdefummisquancicacisgeneribusdifpucac , facile vincic, nemme *etiamde repugnante,- quod verd in univerfum * concludit, Platonem ftulcipus, auc

Sv^uisf^r

"^^"J

118 '

quamipfe

fibi eft

reum peragic

imaginatus,

;

denique qucd

picturam con* pi&uraj Platonicai,de r puero ctv f^cLuCOy ipfe r r opponic rr . tranam, Mentem af leren» feipsa vacuam , non tantum cognitionis csecer2e » Mathematicorum generum fed etiam fpecierum, plane TaAriftoteiis tabuiarafa, bulam rafam,ucinqua infcriptumfitnihil , ne mathematicorum qui» menns ldea £ em } i n fcr ibi vero poflint omnia hac inquam inparte nec in Chriftiana religione tolerandus eft , invenit poft aliquot faxula cum alias

mahter) ,ut circulo,Tri gono &c.

multas

Prodi Phi-

evQujua.<;,ut loquitur Proclus;tumProclum

ipfum adverfarium;

quanquamhic Ariftotelem ipfumnominenoncitac:PIaconemvcro > quem defendit, nominatum, aperce ducem fiium proficecur, Hujus igitur Procli philofophiam defpeciebus rerum machema-

ticarum, quas egoterminos proficeor proportionisHarmonica?pura? ^&fecretaeafenfilibus,opera:precium eftex ejuslibro 1. in Eucl: huc

lofophiade E n r

maticarum tranfcribere de

Sicille

verbo adverbum.

^Re/iquum

fintia debecvL afiignari

efi,

irtvideamus

qu&nam

tMathematicu Generibus

£j?

fiu EP Conceden-

Subfifientia

Jpeciebus /

dumne

Jit , illa k (enfilibus Jubfiftentiam accipere_s , five per abfiracliovt mos cft loquendi , Jiveper colleclionem eorum, qux Jitnt per partes difterja, in vnam communem Kationem ( feu dejinitionem ) anne^etiam <tnte h&c , ipfis danda (ubfiftentia,vt Plato ujurpat, , vniverptatis rerum

nem

Svtdcuna.progrefiodemonftrat, ? thematica

Primumitnque

dum Animaa

jioneffe k flitui , finguaribas aut Trigonicam sjuantij.

fiajfirmamus , Jjiecies cJWathematicas a fenfilibus conTrigonis aut Circulis rnaterialibus , fpeciem circularem

pfieundariaquadamgeniturd, infiipsafirwa£t ; quxro uns*

~ vc"

Harmonicis de veniat, rationihus (feu definitionihus )

LlB. IV.

il/a tztnta

certitudo

, tztntatfc

accutatio? *'

Erit enim aut dfenfiltbus ,aut ah ipfa anima,

At impoffibile , ajenfi/ibus ; muli b *" namtfc majorjubtilitas ff- exaciio inefi Rationibus tflis ? Ah anima igitur , qu<t imperfeftis perfeclioncm , minime accuratis , (itbtilitatem illam accurafom conciiiet.

Dic cnim uhi interJenfi/ia inveniatur natura impartihi/is ('pun&i) d? carem , ( uc lineaj i$ profunditnttL» , ( uc fuperficies ) aut uhi

latitudinc

aqualitas /ineatumex Centro

aut ubiProportionesfiemper conflnntes laterum

(maceria mei libri I ) aut uhi angu/orum reclitudines ? 'I^on equidem video commixtzi confufa inter feomnia partibilias , nihilfincerum , nihi/d contrariofuo purums ; omnia partibi/ia^, fi? qu<t locis difttx, qu<t unita. Quomodiigitttr immohi/ihus ipfam durabilcm efentiamex mobi/ibus aliastfc aliterhabentibus conciliahimus ? Qujcquidenim Juhfijlentiam Juam habzt d motisefientijs; habere eam mutnbi/em concedunt ipfli. Et qucmodo accuratis tertisJpeciebus d non accuratis impetrabimus accuratiamfuam ? Omne namtfc > quod caufa efi notionisfimper mutzibilis , ipfum multb magis eji fe/o. Sttppd* nendum er%b erit Animam ipfam genitricem efeMathematicarumffecierum .

irt fitnt

f$ ^Rationums. cAtquifi'illa continens inje , i/tprima exemplajeti ParadigmaU ,fecundum efenttam ipfafubfifierefkcit , *ut itztfintgenerationes ( Chrifti-

rerum fenfilium) nihi/aliud quam propagationes JJzcierum ,quxinillaprius inerant (raciones Creandorumcorporum maartUs fubaudic, creacio

Vera matha

"^""s™ tia

ia Ani«

*"*•

chemacicas j Deo coaecernas fuiffe> Deumque Animam Mencem efTe fuperexcellencer; Animas vero humanaseffe Dei creacoris imaniges> eciam in efferttiahbus fuo modo , id fciunc Chriftiani) tuncP/atonicon* fentiemus , h<tc dicenief , t-f vera Efentia Mathematum nobis in venta erit- Sin autem Anima cumnon habsret , neCprius alicunde accepifei RationeS Mathematicas ( fi cum rton fuiffenc ipfi cortcreatae ) nihi/ominus admirahi/em huncornatuni immateriatum texit ,pu/cherrimam hancflecit/ationem enititur» ,

quomodo ergb difcernei fic genitzi ,fintne (ubfifientia gf conjhntia ( [XOVllLCt non yoviLLCt \ego)an in ventos eVanida,&'Jj/ecJrapotius quam vera? ^ttjh9 normis u[a veritzttem eorum metietur ? Imb quomodo ,

cum efentiam eorum non

kaberet,gignit tzlntnm varietatem rationum?Nam hocpaBofbrtuit&m illorum fubfijlentiamjhciemus , nc^adullumfcopum vel terminum tendentems. Sunt

ergb Anim<£ tonfiituit ipfius

ipfitts fbbo/es , fpecief

afen/i/ihus }

£<f h<tc

Mathematict , nechabetilla Rationes, quas

quin potiushttcahilIispropagantur\JuntquehienixUs

puerperia } permanentium

& perennium Jf>ecierunu>

evi-

^fj^*™ non eflc col

dentia^.

Secundbfiah infra a fcnfi/ibus colligimus Rationes dMathematum quomodo nonmeliores erunt demonfirationes quas confiitu( (eudefinitiones ) untfenfiliaj,, demonfirationibus univerfalioTum^fimphciorumf^eCierum^? Dicimus enim, ad qu<tfit<t rei invefiigationem,ubique principia £•? propofittones,

J22§"£ gularibus

quanus.

Si igitur (tngularia uni~ quomodofieripotefi ,iJtdemon-

efe demonfirationtbuc- feu conclufionibus cognatas. verfa/ibus ,(ifinfi/ia ratiocinativis Jitnt cauj<t , firationis terminus

intefleEiualium

Umus

i Sic

ad magis

univerfalia

non ad partia/iareferatur ; vtque

quam (enfiiium efentiam cognatiorem

demonftrationibuf pro-

enim ioqUuntur ; T^onfiquis demonfirat,, o/Equicrurum hahere anguP 2

A1 ' e

g a^?*

ft ote i c.

DeConfigurationibus

angulos duobus refi is <equales, idem JEqttilaterum , idem Scalenum,hocfiire efi legitimumifed is fcientiamproprie difkim habebit,qui de omni Triangu/ojimp/iciter hoc demonfiraverit .

Itemj>:vniverfalia meliora efie addemonjirationem 3

ejudmparticularia--,Amp/ius ; magis uniuerfalium

ejfe demonfiratiom s

bus verb conjkint demonjirationes illapriora eficj>

Apoditiic<za.bhoc ,vt circapoflerioraortu

fuas mendicatb coUigant.

tf>

Dicam infitper df

ex qui-

gf naturd pr&cederefinpur

aMu/tum

laria , gf caufas efie eorum , qit<eprobantur.

;

igitur abjitnt fiicntite

obfcuriora fienfi/ia

hoc tertium

;

illos

propofitiones

Animam

vilio-

remfhcere ipfisjjeciebus , qui h<ec dicunt. 'dsfamji materiafufcipit d Natura //-

la, qu&Junt efientiatia-t &f magis Entia , ij> evidentitroj, i Animaverb poflerioriaBuaccipit abil/is , Exemplaque ti Imagines ortupoflenori fingit infie*. ipsd, rejficiens adEfientias viliores,^ abfrahens a materid, quitfiecundhn ipji9

natura?nfiunt infiparabilia-- ; nonne Animamipfidmateriaolfiuriorenij> viddu gentioremquefhciunt 'ISfam af materia locus ejl maieriatis rationibus , Jicut Anhnafpeciebus (immateriatis) Efibt verb i/la locus prioribus , iftaficundatijs ,

.<*

cS? il/a

ducatum obtinentibus in efiendo

nique iilafhciisficunddimefientiamj>

ijkifitbfifientiam habentibusabi/lis

ifki

de-

mmcupatis ficundum intentionemjs.

Gfuomodo igitur Animaj , <iMentis ?J intelleciualis prim<e Efienti<e particeps £jf qute cogmtionem inde confummatam habzt ; quomodo inquam ctiamoblcurifitmarum totius vit<ejpecierum erit receptaculumj> , infimi fcilic&t in rebusgraduS) omniumque imperJeBifimi adefiendumj,? ^Uerumhancopi zionem oppupnare pluribus , qu.e dudum dmultis efiflageilatu ex merito , fupervacuumexiJiimo.

Qujidji non exifiunt

Animahic intetligic

torunzj>

ioue 'jJefi

ne< ue ]

Mathematkz flccies per

abfllraciionem materia*

nequeper co//ec~iionem eorum, qu<e infunt infingularibus communias :

omninbjunt ortu pofleriores autex

(enfilibus: necefe utique fiierit

iri

& d Mert~

creacumP a

Aiimave/ dfieipfiave/'d Mente tranffumat.iUas veldenique £$ afi

tonis:Me^-

'Verumfi djejola , quomodo erunt imagines intelleclua/iumjjccierunij> , quomodo erunt medix inter partibilem i§ impartibi/em naturamj> , cunt

Chriftiani dicerer lpsu

torem

cui'

imagines funt omncs

tefimut.

nu Ham dprimis confitmmationcm adefiendumfortianturi'quomodo denique Fri^ a Exemplas , Paradigmatu ve/Ide& , qu&funt in ntent ,Junt univerjoruni

Principes?

vgy ^ Mente (21. t tranfiumuntur in r *

J Animaecre_ at*,corpo- bit ipfajeipja operans , Jeque J

Animam\'*?auomodo Anima mane-,

ipjam movens ;jit\.ationes, qu<zjunttnipja

iib vivifica

n0 YYnamfubJijientiot i/larum rerum_j> , qu<e ab atio cientur , influXerunt in ipfam

&£

aliunde^)?

Et quiddifferet Animadz3A.ateria,qu<tJolumpoteJkiteefiomnia,

nihi/verbdematcriatisj^eciebusgenerat ?

& lunt AnT-

%e(kit igitur vt Anima £? dfeipfd ,

marexem- Jit abfoluta.confummatiojf>ecierumj> p,ana

& a mente tranfumat ijki,&vt ipfk

qu<t ab intel/eBua/ibus

primisExemplis

ea "

u Paradigmatibus dfeipfis genitisfubfiflentiam habent , acceffum adipfum &{fi nequaquam Anima Tabu/arafaj ltaque , abommbui ftetaturetia ESSE fortiuntur. efi numabiKo ra tionibus vacuas.

Jed

efl fcriptn

fimper tabula-*

firibitque {$

ipfiz*

Jcripturis imp/etur d Mentcj. Efi enim Anima , <JM.ens , fiu yeh^irradi infeip(dmj> , ationem Inteliecius quidam , quifeipfitm Jecundumprioremfi IntelleElumrevolvit 3 iwago i/lius , tffigurajeu typusfirisjhcius. Si igitur ille omnia intettettuah-

ni inipfas!"

tereji

Harmonicis terefi

erit^f

Animaomnia animaliter

;

LiB.IV.

'Ji"ille

exemplariter

117 ;

Amma ima-

modum ; (jfjii/ie contraffim gf unitim ,anima divifinu>. Qupdcum P/ato intcllexiffei , Animam ex omn:bus confiituit 3, -divmtque (ecunaum nuJ J .* ' ... 4r _ _s D , r

ginis in {_?

meros ,revmxttque Analogijs lit

Principia primds ,

In Timzo quieftcitri ..

Katiombus tiarmonicis

inque tpjamcontu- oc m(j u -

Figurarum effeHrieia-s , putei ReBum tf curvums , mo-

ltik

tioms alca,

Omnia ergb zJMathemati- ^™","*" am Animiu;i_f ante Numeros Numerifeipfos moventes ,zf> ante IU pnmum

"uetque circulos, quifunt in ipfa intelleElualiter

ta primumfifit in

figuras apparentes , figurx vitn/es , _f ante Concordata, ve/concinnatzt,, tiones concordantiarum_s ,fsu Harmonic<e

; H_f

Ra- "P " G ':" c 1

ipfi.

ante corpora , qu& moventur in i.Mohs, omnium rerum Con- transfbr-

circu/um_s, ipfi inconfbicui cycli conditi funt ;eftque Anima

Jummatio;_f ktceftexornatio quxdam a/ia(pr<eter•ftnji/em)qu<e _f ipfajeij.m ™ p}uiof . phiam Pyadducit (adres) a fkmi/iari _% cognatoprincipio adducitur ; quxque vitd

feipfam implet , £y a Creatore impletur, incorporeo _fi indijhnti modo. ( Non 16ga abeft ab unoquoque ; in ipib vivimus , movemur fumus ) Et cum_>

_\]_^\[

tet att ente

profert exp/katqne ^Rationes ejus : tunc _v Scientias detegit omnes, _$ virtu- k gf nt i' tes. Efentiatur igitur in hifce (feci-bus Animas ; nec exifiimandum , Nume.. Mofisiien-

r *wzj>, qniin ipfa inefl , efemu/titudinem imilzLtums ; neq^fbrma

tv idea eorurn tidtm con-

qux hcisfunt dij/ocabilia,fubaudienda cfi corporea^:fdomnia vita/itsr tf inie/- utim

fclualiter fuppone/ida , _f prima exemp/a apparentium Numerorum {_f Figu- Animam farumzff Rationumii motuum: tf> fcquendushicTim£u$ , qui omnem ipjius Mundi Tius lnte ortum i^fibricam a Generibus aJM^tbematicis confiimmat _f perficit , in^ ipsa

¥erumomniumcau(:sreponit. Septemenim

illi

termini

^^ Numcrorum omniumPuto 1.1.4.9

Jecundum caufam in ipfoprxextiterunt. ^Rurfum Figurarum principia armotiium omnitim primus thitecionico feu fhbrdi modo inipfirepojitzfunt ; qui circumdat incitatqucs , una motus reliquos omnes t^ principa/iffirnus , cum ipfa extitit ; omnium enim-qua moventur , principium efi circulus, ^f mo^ tus circu/aris. Sunt igitur e(?entia/es cif feipfis moventes Cftlathemaiicarum> rerum Rationes,qux confummant Animas: quas Anima proferens \propagans evolvenfque_s) , omnem varietatem fcientiarum tJMathematicarum fhcitfubfiT^eque erit unquam vt dejinat illa progignere i_f eruere fempet fteres. alia pojl alia ; dum Rationes fuas impartibilesjimplicitate exuit. Omnia enim

prius accepit , (fjecierum principum cv

primxvarum in modum;t?> fecundiim in-

finitamfuamfkcu/tatenz^ , ex principijs antichatis

omnis generis Jfecu/atio-

numpropagationes architefkitur. HaclenusProclus. Tocum locum exfcribere volui , quia non cancum genuinos Har* moniarum cerminos , Circulos &: arcus a nguf is refcilsos , incer cascera in Anima , inque mence ftacuic eflencialicer , fie uc haec mathemacicafianciplianima;, viciftimque Animaipfis (inquancum funtfecrecaafingularibus) quaedam velut Eifencia: fedeciamquia mihi fimilia proferenci , demic invidiam rejecli hinc inde Ariftocelis ; cotamque hancphilofophiam eximie commendac. DeNumeris quidemhaudconcenderim ; quin Ariftoceles redte refucaveric Pychagoricos : iunc enim illi fecuncfaE quodammodo in-

mathemacica

tencionis, im6&cercia?,&quarca2,&cujusnoneftdicerecerminum:

nechabencinfequicquam,quodnon velaquancicatibusjvelab

alijs

ve-

ris&realibiis encibus,veleciamavarijsMencis,incencionibu8 accepe-

rinc

H'*J*

De CONFIGURATIONIBUS

118 '

ci»

Tinc:icaqueneqPlaconicisNumeris,converfioniRerump.cribucis>quos Bodinus inMechodo Hiftoriarum ufurpacnec Clima&ericis dittis, propcer quidem feipfos,quicquam cribuo : nifi in quancum ij Revolutiones Aftrorum Configurationumque numeranc : ucnuper in Prole-

gomenis Ephemcridum non oblcure fignificavi.

Ac quodaccinec quancitatesconcinuas,omninoadfencior Proclo; ecfioranofluicipficorrencisinftar,ripasinundans, &coecadubxcacionum vada gurgicesque occultans.dum mens plena majeftatis tantarum rerum, luctatur in anguftijs linguae , &; conclufionunquam fibipfi ver-

borumcopiafatisfaciens,propofitionum fimplicitatem excedic. Opifi meas egoraciones , cur Harmoniis infenfilibus , Circulum intelledualem, eiuvquepartes, terminos confticuam,jamfubiunxero

nor igitur

(conceptaspriusquamProclum legilTem )me non tantum confentaneaProciodi£turum,fed etiam compendium quoddam locidefcnpti fa&urum, quantum quidem ille meo fervit inftituto. Non dicam inter rationes, quod cum primum foris deinde in fen fuftfiflenc illa, quxcomparantur ultimo 6c a rebus, & a fenfilibus reHaTmoniarum iafen- rum fpeciebus abftracla fuerint, quem fenfum proprie vox abftrahendi ,

;

fiiium.tjua-

ftraft«.

gignit

nam utfupra dittum ,ha:cabftrahendiratiopertinet adfenfiies

Harmonias Sonorum

cum *

habetque locum tunc tantum uciciviumbenevelmalefadcaexlegibusanciquitus latis , itaSoRadii ex Archetypica Harmonia jam antea intus praefence

Radiorum

dijudicancur.

Sed

haec eft caufa, cur quancicas inteilecluaiis efle dicatur,

qu*

cerminos praebet Harmonicis proporcionibus > quia oporcec illam quancicacem demonftrationis longe fubtiiiffima: capacem effe demonftracio vero illa ex fenfilibus diagrammacis nunquam habecur, :

ecfiijsadjuvecur.-necexcolledlionibusoricur mulcorum fingularium fenfiiium ,in unum Axioma > fed a priori comparacur. Quod cum fupraProclus vere objecericAnftoceli, fiqjn genere incellectum.ipof(umego in fpecie luculencifsimis argumentis ex iibro primo pecicis

redderemunifsimum. Figurarum enim quae Harmonicum arcum

cir-

culirefcindunc^differenciafpecificajquaucparcedefinicionisjexplica-

£urearumeflencia,eftifta,qudd oporcec illas efle fcibiles. lamvero quae fcibilicas fine Mence , fcienciae capace ? Neque dixerisj, rem efle , uc fciencia ipfa rei non fic : Nam fciencia confiftic in comparatione,uccumlacusfigura;eft3equale Semidiametro. Jam sequalicas quac iic fine mence, praefercim in ijs, quae loco feclufa func, idincelligi non poceft : revolvimurq; ad argumencum jam fuprapro Harmoniis eciam

pofle

fenfibiiibus aliacum.

Neque cancum fcibiles

fedeciamfcicas oporces efTe; ut Archecy-

Har monia uceac aclu intus in animo- Nam pofsibilitas ad fciennobis ad Criterium harmoniarum fenfilium non fufficic. Cujus igicur pars eflenciae eft incus in animo, adeoque in ejus Operacionc

palis

dum

feuEnergia , illamipfam remincus oporcec Harmoniarum,Circulura,eiusqueParcem.

ftacui

cerminos

fcilicec

Qusrai

Harmonicis

Lib.IV.

119 mens

Qu^rasquipoffitineffefcienciarei , quam nunquani CA p VT f. nec forralle difcere poceft , fifenfu rerum excernarum defticua- Anjma na_ cur ? AdbocrefpondicfupraProclus, verbis infiia philofophia cricis: bet fcicntiam Math « nos hodie , ni fallor , vocabulo Inftindtus redtiflime utemur. Men- matum ei , n o n_ ci quippe humans castensque Animisexinftindtunotaeftquancitas, i n ftin<ftu. illa feipsa lineam redtam, ieciamfi adhoc omni fenfu deftituacur asquale ab uno Pundto incelligic ipfa per hax fibi pla intervallum , Si hoc , poceft mulco magis in eo demoncirculum imaginacur. ftracionem invenire , icaque oeuli officium in afpiciendo diagrammate ( fi camen opus eo habec ) fupplere. Quippe mens ipfa fi nulliusunquam oculicompos fuiilec , pofcerecfibi ad comprehenfionem rerum excrafe pofitarum Oculum legesque ejus formandi exfeipsa pecicas pra;fcriberec ( fiquidem pura & fana & fine impedimencis , hoc eft , fiidfolum eflec, quod e/t) ipfa enim quancicacum agnicio, ide6 talis eft cpngenicamenci, qualis oculus efle debeac, didtac : fadtus Oculus , quiacalisMenseft, nonvicifllm. Ec quid multis ? Ge- D ± p, oc as omecriaance rerum orcum Menci divinas coaecerna, Deus ipfe (quid pauio p°ft didi-

cit,

•

cnim in Deo, quod non fic Ipfe Deus)exempl aDeo creandi mundi fup- a°X™ um'' peditavic , & cum imagine Dei cranfivic in hominem non demum per Eisetijs m* :

oculos incrorfum eft receptaffimflari* Cumigicurdemonftrabilicasquantitatibusinfit, non quatenus fi- ventatecirgurajfubjiciuncuroculis, fedquacenusmencisoculispacenc,ideft,qua- « d *°i, & tenus non cam abftradta; a feniilibus , quam nunquam ijs concreta; fue- ti s>unWer(i" runc : abftradtam igicur quancicatem , jure terminos ftacuimus pro- ufum arche m at h ® portionibus harmonicis Archecypicis , quippequxfunc ex circuli di^^ s b vifionibus demonftrabilibus. costeinis, Eft alia caufa cur abftradtas quantitates eligam , quiacirculus , inconfor. ° ,.'.„. matione -V guraeft, quartae nempequalitatisfpecies,quamvisficquantitas, Mundi. tameninhocnegocio, pureutfiguraconfideratur, fine magnivelparvi difcnmine , adeo uc etiam ab ipfa quanticace, veluci a fuo fubjedto abftrahatur quodammodo , pofTicque vel in pundti anguftia eius '

^/1

dumMachemacicasresin indiftanci modo.

agnofci nacura. HocopinorProclusvoluic,

Anima

& & hajc fumma & decumaiia racio,quod quancicacum eft

dixicinefle ineorporeo

Eft deniq;

s ymD0 lit

mirabilisquxdam, &planedivinapolicia, rerumquedivinarum&hu- m» rerum lvinaru,n manarumcommunisinijsfymbolifacio. De facrofandta; Trinicacis ad-.'."•'?»'. .*. -*. humanaru .. > umbracione fphaenco fcriph pafsim, mOpcicis, rn Commencanjs queinquiMarcis , iu dodtrinafphaerica, quas hic repetita volo. Sequitur igitur utacibus. redtalinea , quae ex fluxu pundti in centro , in punctum unicum fufiperciei, prima rudimenta creationis delineat , ajmula asterha; generationis filij (egreflii centri , verfus infinita pundta cocius fuperfi <j

ciei

•

lineis infinicis,

depidta:

)

;

fubxqualicaceomnibusperfectiflima,figuraca;5c elemencum fcilicec eft forma: corporeae»

quaeredta linea

Ha?c in lacumdudta, jam lpfam Formam corpoream adumbrac, Planum creans : plano vero fedtum fphasricum, Circulum fedtione repraefentac, mentiscreacae, quajcorporiregendoficpra;fedta,genuinami-

maginemiquae in ea proporcionc fit ad fpha?ricum,ut eft mens humana addi-

120 CA P VT

I-

De CoNFIGURATIONlBUS

jiyjna^ t linea fcilice t ad fuperficiem , utraque tamen circularis ad planumveroinquo&ineft,fehabet ut curvum ad rec~tum,qua; func incommunicabiha &incommenfurabilia ineftque pulchre circulus aÂŁj

Animi<^u?C

tio?

Cam plano fecante , circumfcribens illud, quamin Sphauico feclo, mutuoutriusqueconcurfu;ficut animus,&incorpore ineft,informans illudjConnexusqueformaJcorporese^&inDeofuflentaturjVelutiquEEdamexvultudivinoincorpusderivata irradiado, trahens inde nobilioremnaturam. Qua;caufa ficut flabilit proportionibus harmonicis terminorum fonte, ficvel maxime abftraCirculum pro fubjecfo ctionem commendat : cum neque in certae quantitatis circulo neque inimperfecT:o,utfuntmateriales& fenfiles, infitdivinitatisanimi adquod caput eft,tantum a corporeis & fenfilibus deceat efumbratio^ feabftrac~tum,circulum;quantumcurvirationes , Animifymboium, Satis lgitur a reÂŁto, corporum umbra, fecreta? velut abftracla; funt. muniti fumus ad hoc , ut Harmonicis proportionibus , animi folius obedis , terminos ex abftractis potiflimum quantitadbus petamus. Utigitur bunclocum concludamus prarcipua fafciculo colligemus. Communeenim habentHarmonixfenfiles cum Archetypahbus, quddterminosrequiranc, eorumquecomparadonem, ipfiusAnimaj energiam in hac comparatione,utrarumq; eflentia confiftit. Sed fenfilium termini fenfiles funt, extraque Animam prsfentes adefie debent: Archetypalium termini fiinc antea intusin Anima prasfentes. Senfilibusigitur opus infuper eft receptione per fpeciem exfe emiffam qujereceptiofiatafenfibus, Anima; miniftris; opuseft& aliacompararione,fingulorumterminorumfenfilium,cumfingulisArchetypalibus, puta circulo,eiusque parte fcibili; at Harmonia? Archetypali neutra re eft opus, cum termini antea fint in anima praefentes , ei congenitas , i_

pfaque adeo Anima; nec imago fint verifui Paradigmatis,fed ipfum fuum veluti Paradigma. Ita fimplex tantum comparatio , quam inftituic anima,fuarum ipfius veluci parcium incer fe,abfblvic Archetypica; Harmoniaseflentiamomnem.DeniqueAnimaipfajVerfansinhacenergia, eft propofita nobis Harmonia, ficuc, fine refpe&u hujus energiaj,eft circulus eiufque pars.termini

fc.

Harmonis tandemque Harmonia :

penicus animificacur, adeoquedeificacur.

CAPVT

II.

Quot qualefque ilnt Animse facultates fecundum Harmonias.

Iximus ha&enus de proportionibus harmonicis, & ubi confiftanc neque dum nobis videmur artigif-

**-^ quid illae finc,

fe quseftionem inftituto

noftrum convenientem,quod non tamin ip-

proporcionibus harmonicis, quamin faculcace Animseharmonica fcilicec agendifecundumproporcioneSiVerfacur- Ha&enus igitur de

iis

pro.

Harmonicis

Lib. IV.

121 CaPVTIT.

de proportionibus egimus caufa ipfarum Eflenciae nunc de ljfdem aQu°t facul gendum caufa ipfius Animae. "^"^"'j 'exifticalDuplex aucem faculcas circa harmonicasproporciones :

teraper difcurfum, menralis, vel quafi ,alcera operaciva

& mencalis Harmonia*

quidemrurfumduplex,aucenim invenciva proporcionum lpfarum ex occu P 5tui:

auc agniciva feu animadverfiva electarum proporcionuminrebusfenfilibus. f acultas igicur quae indagac racioabftratlis qnancicacibus

nes harmonicas , eft eadem, quae & reliquas fciencias arcesque compleftitur, Animifcilicechumaniparsfuperior, DeDeoenim hicnihil,uc

quinon

difcurfu &c ftudio quippiam indagac, fed fcic abaecerno. Faculcasillaquae proporciones nobiles in fenfilibus , vel eciam in aliis rebus excra fe conmcucis,animadvercic agnofcicque , eft inferior anima^ facul cas,fenfus proxime informans , auc adhuc inferior,fcil. can~

tumfaculcasanimaevicalis>quippequae nec difcurncuc Philofophi fo-

lent,mechodoveadhocucicunnecinfoIoineft homine, fed eciamin feris

& pecucltbus, inque Anima fublunari.

Quaeras

fi llla

non com-

apprehendere fcienciam Harmonicarum proporcionum, unde ergo hoc habeacuc agnofcac for infecus obla* Animis coo tas Namagnofcere, eft excernnm fenfile cum Ideis incernis confer- nafri ratio-

non

posdifcurfus, eoque

poflic

Quod pulchre exprimic Proclus , voca- ""as^ bulo fufcicandi, veluc e fomno. Sicuc enim fenlilia foris occurrencia faciunc nos recordari eorum, quaeancea eognoveramus: ficmachemaca re,eisque congruum judicare.

fenfilia,!iagnofcuncur,eliciunr igicur incellecl:ualia,ance incuspraefentia ucnunc actu reluceanc in Anima,qua: prius veluci fub velopocencie lacebancin ea. Quomodo igicur irruperunc iricro ? Refpondeo, omnin6 Ideas feu formales raciones harmoniarum,ucdeijs fupradiffere:

bamus>

inefle ijs, quae hac agnofcendi faculcace pollenc fed non deincrorfum recipiper difcurfum ,quinpociusex inftinelu nacuralidependere, ijsqueconnafci>ucformis plancarum connafcicur numerus ( res incelleccualis) foliorym in flore &c ceilularu rn pomo. Quod experimencum in plancis, fimile raciombus harmonicis, (numerusenira proporcio, res cognaca (unc uc fupra pacuic ) efficit , uc ne vegetativaequidem animsfacukaci,Plancisque ipfis, faculcacem agnofcendi harmonicas proporciones Radiorum iideralium, confidencer poflim adimercecfi fine experimencis propnjs mhil ftacuo. Sic igicur fic,uc pueri,ucrudes,agricolae,barbari, ipfa;que ade6 ferse, percipiancharmoniasvocum , ecfinihilfciuntdefciencia harmonica Si quaerasunde lllis ,•

mum

hic inftintlus

aucadDeumconfugiam, quihascorponbusformas,omnes fui ipfis imagines fecundum magis camen & minus efFormac & ?

fecumque ipfis harmonicas raciones ciroumgeftare facicuci ipfe eas ab aecerno mente complexus eft inque creacione expreflic uc fupra dichim auc , quod eodem redic alleeabo coenacionem cap. I . Ammam el ° a ._ n tactam animarumharum,etiaminfenorum , cumcircu!o,adquem, fequodamyeluc ad normam legemque , compoficae & conformacae finc , cumque ™ odo circu ipfo circulo, ejusq;demonftrabilicace, Ideam eciam proporcionum harFundamenmonicarum inde dependencium mduerinc. Valde enim confirmanc u,minfluhanc Philofophiam Genefes, cum videamus, charafterem confluentiae Praeficic,

•

SSSJ

radio-

De CoNFIGURATI ONIBUS

122 CAP.

II.

radiorum cccleftium ad idem punftum , vcluc cx circulo communi i imprimi in nafcencis animum: de quo infra cap. VII. plura. Porro media quibus ucuncur lftae faculcaces Animte inferiores ad Media'quibus Animapercipiendasharmoniasexcernorum, funceademquibus &excernaU pfaoD Jecl:aincrorfumrecipiunc Sifenfiliafunc, feniibus eciamperciliarmonias piuncur,faculcacib p fcanima;, fenfus in formancib 9, qua:

nusquamfuperior idinftinctu

& lpfanon mi-

comparacione verfancur rerum cercarum

npn difcurfu.

fed

Sicfoni audicu, eiq;pra;fe£ta poceftace, con-*

fonancesdifcernuncnradiflbnancibus. Sicproporciones Architecto~ niceeoculis percipiuncur, &faculcaceilla, quse vifuieftpra:feel:a,pulch* rae&congruaeabincongruis difcernnntur. Sinautemresipfa;,inquibuseftharmonicaracio,fenfilesnonfunc, fedfortealiafacultatepercepcibiles eadem ipfx proporciones rerum in anima relucenc uti comparacum eft cum proporcionibus radiorum fideralium ; quae quomodo ab anima fublunari percipiancur, infra Capice VII. difquiremus. Eft camen obcufa ohfcura hxc Harmoniarum percepcio rn facul-

-•

Anima: inferioribus, & quodammodomacerialis &fubnube quafiignorancia? necenim fciuncfe percipere; uc cumvidences ali-» quid,non camen animadvercim 9 , nos id videre.Tales func mocu s llli, &

Qgalisper- tacibus

«puo.

pavores,a Scoicis celebraci,nacurales fine confilio,prarcerq; volucacem talis eciam afFe&us Odij vel Amoris nacuralis,miro cumpnmis ingenio* cemperamenciqualicacib 9 ,honi-» qui membrorum comenfu. vocisq; cacemvelfimilicudinem ajftimans Animaealceriuscumfua,mirificein illam exardefcic Amac igicur infanus adolefcens puellam;nec fcic cur, auc quid in ea pociflimum amec,quod ei nonpoflic praeftare quaevis obvia merecrix , fi lnhoneftus amor , auc qua;cunque nubilispuella, fi legicimus, AcPhyfiognomicusfuperveniens,invenicinucraq;perfona fimilicudinem aliquam morum ; qui fi viciofi, licigijs perpecuis in conu gi° P ra; b enI: occafionem fi boni, cranquillicaci vica;. Adeoq; huc rej referendus eft univerfus inftin&us Phyfiognomonicus ;qui quamvis mucus, quodamodd brucus , (minime vero arce comparacus , ecfi per

ftinaus.

Phyfio2»o-

micusmfonaus.

;

eamexcohpoceft) rerumcamenhumanarum incerpres unicus.

& arbicereffc

Tancumenimquilibecprofpericacis (nacuralicerloquendo)

obcinec, quancumejusfacies,comenfuscorporis

inceflus mocusque

membrorum, arridecrerumpociencibus,quancumq;ijsirrepic,

i^ ftuf

nullo

P er ca rc confilio ulis , veluci lacens,uc fkpe ceftencur, fe amare vel odifle quempiam , nefciences ob quam caufam. Talis inquam eftin Animsfaculcacibusinferioribus fenfusproporcionum finefenfln ec ' am

Adeo neq; diftinguunc proporcionem a Terminis feu fubie&o fuo ( uc cum audicajucundacancilena,pr£ecer fonos ipfos,nihil de arcificio lpfo cogicam')necplanediftinguucincer fe diverfas Harmonias;cantum n* quodfincanimadvercunc, quidvelquamvariaefincnefciunc. Quippe ipfae eciam Ideas Harmoniaru , quas hx inferiores Animse faculcaces fecumhabencinc?,nonplanepurasipfis func inftindta>fed cum in volucris {peciei fubjecl:aj,ej 9 fc. qua; cujufq; faculcacis

obieclum.Nimirum faculcas auditus(uc exemplo fonoru concordacium ucamur loco omniu ) corpori proxime aftans,craflanimis eoq; & inhabihsfuic adrecipien» darnpurifllmam proporcionis Ideara;uc iam ftacim pluribus explicabo» fic

Nune

Harmonicis

Lib. IV.

125

Nunc enim ad energcticas Facukates venio , qua; circa proporci^ bnes Harmonicas occupantur. Eftn. hsc quoq; duplex : nam aut infeipaa eft operofa, aut in rebus extra fe,ucrinq; aflimilans opa fua proporciomb p , autinducens has irt illa. Ecilla quidenipaflivaefimiliseft., ifta citra controverliam in agendo exercecur , illaigr inferiorum Animc, facultatum riirfum eftfoboles,ifta fupenorum: lllaNacure viribusfubcftihqc voluntaci hominis. Iila fane motU pollet akeracionis,quam corpon Ilio inferac ,uc omninofacukacifubfic vicali. Quod enim deledtae c "" rhur Harmonijsfonorum,fpeciem paflionis haber, quippe delinitionis ^, H a r demuliionisq;,Unde ectamaPhilofophisapaciendoSympachiadicicur momas paanimorum cum Cancu;eft camen revera operario anirmv, nacuraii mo- natuI AaU cu agencisirt feipfam, fefeq; exufcicantis: ad quod illa non confilio, nec voIuncace,fed mftindm nacuraliferciir: habecq; jam ab ipfo orcu connein unumquafi conflacas Ideas , Harmoniarum infonbs incorxas

poracarum,&afteclionuanimirefpondencium:ucnGnaliceripfificimplanraca Idea Harmonia?,quamquacenusla'cificac,eftq;dele&abiliurn aliquid, & quarenus eftldeie rhotus conformis implexa. Hoc dpinor Proclum fupra voluiflejcuniafrirmarecParadigmacarerum Machemacicarum ( & iic eciam , mulccq; magis Harmoniarum ) ineife in Mence ~*mLelIedi:uaIiter,inAnimaverdtvicalicer:fic n. ineruftceciam ih facul-

^ j/og^fflC*

operative,-fc non. tateaudic* fonore, invicali fublunarium radiofe func ipfa Paradigmaca pura incerna , Ced Icones illorum , foras derivaci.

C,W/Wtoff

Quod veronon cancum deledlamur Harmortia cancus, fed eciam diguorum,oris,pedumj,corporifq;motus accomrriodarhus:id jam prae- VtAnimia_ ftamus facukate ariiriialij jundla voluncace. Ac ciim eciam vocem ad g ^n: r«unHarmoniasintelligibilesaccOmodamus; meditances concihnum can- dun? ratl °im tum, anteari6riauditum:hicfupremis infimifq;omnibus facukatibus n,"s ucimur fupremis quidem, qUod vokimus , & confilio ucirhur > inferidribus vero,qucd poflbmus, &: quod eciam fine inteliedlidne proportionum, folasldeas intervalIoru,nacurainplancacas,caricu exprimimp , inconcinnisomnib 3 excj ufis, perfola intervallaconcinna divagances. Hadtenus igitur cxplicatas facukates harmonicas eflentialis illa Vndc Anr.

Harnionia,DEllS ipfc,expiravitcreando,utqui eft

io\CL OVZgyetCt, in- "^'1"««

fpirantq» hancparticulam Cux imaginis' in Animasomninoomnes, fecundum magis camen Scminus , qua inculcacione finem impono i huic capici.

CAPVf

nr.

V<Lias fint Generar&)!/ ^pLoo-puzvmkoc eftjrerum feii fenfilinmfeu immateriatarum; inquibus expreflcefunrHarmoniae, five aDeo, flve abhomine, & quomodo ?

"p\ Iftindtas efsc quxfliones facilepatet i.cuiinfmt "*-^ HarmoniaecanquamAgencijEormancijfeuOpifici. 2. fi

Cuiin-

canquam operi formaco. De priori egimus hadtenus de pofterio» •'

iinunc porro agendum acc^uratius.

< .

Res

H armoni-_ cx.

De CONFIGURATIONIBUS

124 GAP.III.

omnes velfuncimmateriacae,velmaceriaparcicipanc* Imaceriaca eft Anima (refpedtUjquidem corporis)acq; haecuc hattenus Rcs

i»

Anima

igitur

ufurpavim 9 , coca refpedu fuae effenciae, defcripta eft a Deo in has proporcionesHarmomcas,quaeq;priusineranc AnimaeucOpifici,fc.uceft £nergia , nunc infunc eidem, uc operi Dei. Quae vero maceria par cipanc illa fimul & Numero & Magnicudine parricipac, Acmagnicudmemfequicur earum fitus in loco; quib9 deniq;accidicMoc 9 localis. Numerus av Anin Nu 9 jg r e ft- aliquid natura pn Harmonia, qu la oporcec terminos harmonias cujufq; efle numero plures uno. Habec camen & Numerus primorunl ^etarum. MundicorporufuasexGeomecriacaufas,quasinfralib. V.exMyfterio meo Cofmographico repeco. Quancitacem fequitur figura , individua ejusproprietas;qu2ecurglobofaiiderib 9 ,ipfiq;adc6Mundodeberetur, feex Sphaer icf Archecypo, id alibi paffim folec explicari. Figuras cor-

porumdiverforum ftacimfequitur cercaproporcio, eaq;criplex una :

diamecromm, alcerafuperficierum, cerciafpacij feucorporum. leicur caulae harum Proporcionumaliaenon fuppecerec, probabilicerpoilehbuscorpo «*m. mus afFu m/ire,ex Harmonijs effe defumpcas-Quaecunq, camen_eae func, U

Globi cceleftes fine ulla muracionecuftodiunc. quippe qui nullo mocu temporifve dccurfu majores minorefve fiunt. Secus eft cum ijs illas

Prqportionibusiquae infunc corporibus causa ficus,& causa mocuum lo* calium illaeemm recinenc ingenium Motusipfius.quiutincontinuo :

EIERI, nunquamin ESSE verfacur, ficeciamProporcionesmocuuincemporibus aliae. Verum quidem eft; fimotus. CO rporum cceleftium non variaret eorum intervalla a communi meta feu Bafi mundijh. e. li nullus effet eorum mot 9 inaltum & profundum, fed omnis in merum circulum concentricum ; cunc non cancum intcrvallorum proporcio conftans,fed eciam mereHarmonicafutura fuiflec, fi caufae aliae non fupgenjffenc. Idemde mocu dicendum, caufa fuae ef-

^.Aninin- conftances func, alijfq, tenaliis.

^enc i^'-d eft caufa fuaS celericacis verae per aecherenvquae fi conftans finperpecua, dubium nullum eft; quinhaediverforum celeri-> xitatecon- guliseffec ftanter. tates cardicatesad legesHarmonicasfuiffentattemperatae. Idemdeniq, de eodem motu dicendum eciam caufa confecci fpacij fub Zodiaco apparencis. Nam fi omnes planecae eodem mocu apparenci fub ^ ocnaco debuiflenc incederejnec unqlongiusalcer abalcerofeparari* nbu" atpa° rentib» fub non eft dubium,q,n Deus calem illorum ficum ad fe mucuo fub Zodiaco Zodraco confticuiflec mde ab inicio (fiquidemhbera&nonalijsnecefllcacisle"ceic°

con

tantcr.

An infitu corum mi-

reme uTb Zodiaeo. .

non conftanter.

nexa ful n;et; ifl rurn difpoficio ) qui undiquaq/Zodiacum rationib' difpefceret Harmonicis. Id adec & in principio motuum ( cum principi U m temporis confideretur fine tempore) fuifle confentaneum eft; uc ex communi fitu & configuratione Harmonica (qualis vel ex Terra vel potius ex Sole apparere potuit)veluta carcerib 9 ,in fua quihbetfpacia feu itinfira excurrerit. At quia Planetae moventur in altum & profundum , fitus incervalla mucances ; & quia ad hunc mocum neceflkate phy fica fequicur eciam realis incenfio & remiflio motuum,causa celeritacis: deniq, quiaper inaequales diverforum celericaces apparentes,Zo-«

^..^ 9

diacifpacium,quodvidencurillicrajicere,dividicuraIiasalicer:hifcecri-

busnominibus, cam poris,quod

ficibus,

quancicacib 9 ipfis

quam mocibusidemconcmgiccausacemfine refpe&u cemporis. Sicuc enimnon in cote

Harmonicis LibJV.

12?

cococirculo, Velre£rainq;omnibusejuspunftisfunccerminiieumecae eAp ni , fedfalcemincercisaliquibus.ficcciamhic videfbLJj» non coco cempore morus,exiftere poifuncHarmonias , neq; in incerval- »4» lis, neq; in mocuum celericace, neq; in fpaci js Zod iaci incer planecas in-

racionumHarmonicarum

tercepcis-.poffunccameomninoincerciscemporismomecis, &poflunc hoc cicra ukeriorem Dei operam , femel inicio mocus daco. Nam qui exrremaprsefcripficmocibus, &:mucacionemindulficabuno excremo in alcerum ;idem eciam incermedia iargicus eft omnia, cam incongrua , qux func infinica quam eciam congrua 6c Harmonica cerco numero incpngruisinccrjecla. Neq; enim hatc mucabilia Deus rehquicfine omnicura ornacus Hafmonici quin pocius eorum aliqua (ucmocus 8. in ititrc* Planecarum proprios) excremorum ipforumprajfcripcionein ordine mm celexI,

Harmonicumredegit:quaematerialibri V. eric.'inalijs>ubinondancur cxcrema, fed quancicas mocioniscirculo connexaefr.fecumipsa,facis 7-f«n«um lougltudltU _ r r r cl habuic Creacor , iic conrormare ammas,creacuns mudanis prjerectasjuc DU s per Zo> & expeCtarenc & obfervarenc & animadvercerenc harmonias , per cocu cUacum.

-'i-

operaciones fuas -circulum, fuis cemporum momentis provenientes; praifcripcum accommodarenc Sicfit cum mocibus planetaad lllarum

rumexTerraapparencib p fubZodiaco;maceriahujusIV.libripropria. Igicur cum operibus Dei nobis notis , res fichabet adquae fi jam comparemus ca", qua? Homines adharmonicas leges ordinanc,parcim :

to ,i B Cant«

DifFetentia

Primum in Cancibus Harmoma-•* , parcim diverfa. rum ccele ccelo dacur concinua quancicacis augmencacio ftium &caccfi non rninus quam Scdrminucio: haxtameninccelimotibus,cercisnacura?legibuseftne- tushumani ceilaria; in voce humana neq; neceffaria eft , neq; eciam facilis. Gutcuf n. diftinctione circulorum ad voces ar cic ulacas factum eft ; facfliufq; ab incervalla,fonicusq, difcre- Cu^tox h« acuco in erave, & viciflim , ,*' p falcuum veluci ° • minisnon " iT r r tos pervenimus, quam ii juberemur uci lHceniione concinua. Nihu igr cont nu s mirum , in motibus cceleftibus, cum ipfa augmentatione & diminutio- angmehtis necontiaua,qu£vicarinonpotuit,manfiileetiam intervalla inconcin* fi^"^^ na, mixta concinnis & confonis: in cantu humano,eliminatis omnibus mentum inconcinnis, fola concinna & confona obfervari. Neq; habe t ided,quo el criorda ^ gloriecur Cant 9 ,pra: motionibus cceleftibus: illis n. aliud officium quod mershareadem nobis dicenda erunc

•

peraganc,eftdemandatum;harmonicacontemperacio ipfiseftacceflb- monicae c6 Ur riatantum: cancuspraecerHarmonias, nihilquodfpeclechabecnihil n f U tin"ca s

excrarequiric,inunumfolumfinemdelec~tacionisincencuseft.

tumeraco»

Sunt&ahaopahumana, inquaemensproportionesharmonicas, clnaaf obfcurius tamen &c viliiis,incroducic: utcum Cantus non qualitate tantum acuminis &gravicatis, fed infuper etiam menfura cactus, proporci* onis duplae & cnplae parcicipe,informacur: & rurfum in mocu corporu,' n. in taftas .

cum falcacur in Choreis, pr imum in aequalfcacis, pofteriiis in dupla pro- y C Y ?' porcione. Quodidem & poecaeimicancur, concinacione pedumex fyl- fpi.14, ,f

longa 5c brevi; quaru llla ponicur <?iTe dupla hujus ; ubi Iambuso - , *f ln SaIt * nonc Trochxus-ovelTribrachys o o o, ad Spondaeum - -, dacTylum-ce., Anapaeftum w«-, vel Amphibrachyn ».i/, vel Proceleufmacicum ww , eft , i j. Harmouc 3. ad 4 ; ad Bacchios a - _ - _ v , Crecicum - o - & Paeonas , • o u o , Dlx P ed u». °'" cori*Sr 9-00,09-0, •»»- , uc/.adj. adMolofsum jChoriambum-*/»- , labis,

;

—

GAP.

III

DeConfigurationibus

126

-w» va -

compoficos fuos, uc j. ad 2, ad eofdem Spondseus, DadTyluSj Ionicos qui cocidem cum ijs cempora habenc , uc 1. ad 3; hi ijdcm , ad Pa:o'-"• nas , UC4. adc.PaeonesveroadChoriambum&ibcioSjiic/. ad6. Vude pcdiAdedq; deledtancur Poecse Gramaricieriam nominib 9 propor» US cionum,ufu peculiari, pedes quadrifyfabos, una brevi, Epirntos,h. e* .V r ! -*-Sefquiterriosappellante5:quiauunproporcione4.ad3.1ineisparallelis *"Z expre(lajCresquidemprini3£unitatesdup!ici]inearepra:fencacur,quar* cacancurafimpliciexcedece:ficin pedecresfyllabsefunrduorumtemuia porum,quarca unip cancum.Cumq; vox ipfiPedum ad Choros alludac, Tragoediarum: videcur hiftriones eciam moHatmonia parcem Comcediarum hiftnonicupedumproporciones iftas omncs expreffiffe, nonminus qiiam hodiedupla&criplaexprimicur. In Archicedtonicaquaecunq; proporcicliitC(fto/ ones longicudinis ad lacicudinem vel c rafficiem plurirnum probancur nicx. eciam anon Mathemacicisfpedtacorib^ese quamproximasharmonicis Harmom* jnveniuncur. Quodverohisomnib 9 exadhores funt fonorum proloiscantus portiones , ijfq,'Nacurahominis delecTatur impenfius exprimendis,fie cur exsftif- nide, quia fonos vel maxinle in poteftate habec animans omnis ; quippe , ._„"

*m '*"

incrafeformacos,abipfisprKcordijsemiflbs,adomnemmencisnucum, omnem cordis motum prompciffimos quod prius didram , quia in-* ftrumencum eciamnaclus eftapciffimum, Guccur inlongum porreclu^ inftar chordsfeu pocius fiftulae qua in longicudinc redhlinea vox iur:

fum deorfum errar expedicifsime. Generalicer aucem in omnibus reb 9 «fnrharquantitati-

kus

quicf-

roTinfint •«denter.

dhm

eam Harmoniae

quseri poflunc

in quib 9 quancicas ,

infunc

illae

& feciirw

mulco evidencio-

quafn fine mocu. Nam ecfi ineft in unaqualibeclinea redbi, ejus dimidium, cercia, qiiarta, quirtta , fexra , earumq; mulcip'i ces lacenc camert ex, irtcer parces alias.coci incomenfurabiles,in una res per

mocum

&eadem confufiorte cum coca,fic aLfcondica^ucfi maximefecundaliahquocarum parcium alicuu ftecjuxCacocam,verbicaufa, quinum; ej 9 came pro-porcioadcocam nonicafacile innocefcac, acfimocus ahquiscompara-

nea

sequalis

trabs fuperliminaris crium pedum,juxcapofterri

bileslongicudinesdifcernat,conftituac& decerminec. Caufahseceft, quodubi quancicas eft fine mocu fecundum eam , ibi omnia qua? infunc in quancicate, fimul funt eodem tempore, omnes fc. partium omnium «urmom proportiones ad totum: ac fiquancicas aliquamocuquodam percranfipotiflimii cuf,'tunc(uteftmotuseffencia)quspertranfnajfunt proporciones,ea: en quaenondum func percranfica?, nondum eciam func i l !l^w! nortiuntamplius, r r

propoitlObis.

&unaquaevisproporcioiola eft, cummotusinejusvefr.giapervenic. Itafitfucceffionemotuum, ucenucleentur proporciones harmonicas ab inconcinnis,& fecrecae a mixcura lllarum, veluci pura; in Iuce conftituancur,adq;comprehertdendumfertfibusexporrigancur. Adeoq; ne mens ipfa quidem in daca quancicace >proporciones harmonicas , fine

quadam mocus imagine, difcernic ab inconcinnis infinicis, ance & pcft ftancibus: fed pertranfitis ( verbi caufa in circulo) fubtenfis infinicis , in

fimilibus , operofa eft efubcenfa cerciaJ auc quarts partis circuli praeftacque cogicacu , quodpra?jufque demonftrationem exquirit: ftat manus du&a linea , uc earo hoc adT;o fecernat ab infinitis > non cogi^ ,

tacis

HaRMONICIS

LlB. IV.

127

• j « t r CAtfflfc & non duchs, uc cjus congruenciam aucincongruicacem;feoriim -

•

tacis,

a ca: ccris mcns incueacur.

Cur mot<

Mens quidem ifta poceft,quia voluncace ucicur,fuoq; arbicracu falcac pdrifllnia inillaquancicacuminfinica divifione, quze coca menti fimul praefto eft cnitcfcan0 r ot ad cogicandum j fenfiones vero , percepcionesq; aliae nacurales , mocus n c°? deniq; corporum.perquos adjuvancur percepciones , nonficin ani-

mancispoceftacefunciuc/iinfinicifonijaucbinorumplanecaruminfini-^^"™^* ta: angulaciones per cocum circuli ambicum , fimul eodem cempore m- nobis cxere lum ac ter fe confufae effenc.poffincfe fubducere arejeclicijs,inq; folos placen- P j: ces fefe recipere: opus igicur habencmocu, quo incercedece>omnia quas Hatmonija quancicaciscaufaconfufa effent^per cemporafuccedenciaevolvacur >uc tadiorum, am6*" fingula folaienfibusaccidanc. Quod fioculi fimilequidmenci pofsunc, uc ex confufione infinica una praefentium fine mocu , ehgantprasftan>

tiora

(udimanuumufaeminifterio>

exinfinitiseirculi fubtenfispofli-

biiibus cligan: delineentq;fubcenfam cerciajparci, lacus fc.crianguli): id

ipfum non camoculi,quammensipfaperocuIoscenfendaeft facere, nechocplanefinemocu,ucdixi,manuum..

Vc igicarhancobfervacionemprionbusprottunciacisapplicemus»*

oporcec>ii rcs aliquagenuinu debec eiie iubjectum proporcioms harmo- debean: et

oporcet inquam & quancicacem>longicudinemfc.in Ula re inefle, (c com P ara " figna elie bina ad min 9 >fi longieudo eft cirCulp,vel crina,fi re&alinea, t ^jVhaE quorum vel unum vel omnia,motu quodam longitudinem rei percur- monise i»ranc, terminiq^fiartcparciumlongicudinis, incerquasfitproporcio et h hoc ad minimum. Acq; id fic ex parce in configuracionibus,hujus lib.I V„ proprio fubje&o. Nam uc dicecur capice fequenci, Harmoniae quidem in angulis, quos mecicur Zodiacus,confiderancur fine mocu : anguli cafnen ipfi, alij exalijs , corporum radiancium mocu per Zodiacum con» fticuuncur. Sunc camen modi pftanriores , ad eundem finem cendentes uccum corpora, quae habenc longicudinem, ipfa determinancur talibusfignis,furfum deorfttm errancibus,&ccrurtciqualibecviceincercepci , fimul moventur uc icanon jam corpora, fedmorus ipfi corporum, caufa longicudinis brevicacis non cemporalis, fed corporea: hicee,

mocuum incorporacorum,feu corporuinmocuconfticucoincer fe comparencur. Quemadmodumfe res habet cum fonis:

(quippe

rum nam fonus )

Qgowode» 38

^ & ucfigu- iamm .

eft fpecies emiffae corpore, Scucquancum illud, n % racum quadamcenus, &uc in mocu conftitucum eft: quiapro apcicudi^Je^J1» ne figura eft & mocus & fonus. Acq; hax jam alcera magisq; evidens caufa eft , cuf nacura hominis » Fonorum pociffimum proporcionibus harmonicis fic dedica. Fit n. hoc rurfum ob conformationem fui corporis: ln quo guttur illud corp 9 eft, quodpro fuperionsvel inferioriscirculicarcilaginei in afpera arceria Q3 *">•? conftrifhone nunc longum nuncbreve cft , quodq; impulfum fpiricu fo^"c"nfe expulmonum follibus expreffi, cavicace fua (figura nempe) mocum e- «t ad Har, dic fimilem,cuius & fpecies accidic auribus, & lenfio arceria; ipfius, ut, m onias ;<1

(

eftinmocuconfticuca) animaj fencienci praefto

quippc hoc com-munifenfu fencireeft , frui fpeciebus membrorum corporis , ucfunc illavarijs aftecla quafi formaca mocibus quaefpecies,ucinDio-

pcricis explicavi

eft

fpixicuum concinuicace feruncur a %

membf is

corpori»

r pnmen

DE CONFIGURATIONIBUS

128

corporis, etiam remocis, ad fedem fenfus communis. Fic igicur, ucquia homocrebrafenfioneafperaefuazarcerixinmocu confticucx, combi-

mfns^omi bicideam nisexfono quantua^

tem lonantiumdiju. dicet.

quandam conformacioms corporum quomodolibec fonan-

Cium , idem canco facilius agnofcac , &dijudicecquafi , conformaciones cor lporum excra fe , mocorum, eoquemocufonicusemiccencium, r, r eotque incer ie comparacos ad leges narmonicarum proporcionum examinet. .

CAPVT Quiddifcriminis

•

IV.

fiti.nter

Harnio-

& interillas tertio libro

nias Qiiarto,

confideracas.

aVantires momentifit diftinguere

ad bene philofophandum>

rerum riries; incer fe cognaca conferre , ne pro ijfdem

habeancur,Oppoficacommiccere,u: illuftrencur id nihil accineclonQuare operae precium fueric , omnia qua? hagiori fermone praefari. denus ad hoc ucilia , vel fparfim vel obfcurius vel obicer dicta func, fub unum afpedtumproponere,&:ficubiopuseft, ampliusilluftrare,adque praefcripcum capicis lemmaex profeffo accommodare. Quincuplex praecedencis libri concemplaciones igicur difcrimen eft incer huius ;

harmonicasjUnum inre ipfaHarmonica,caufafua; amplicudinis, Alcerum in Terminisejusfenfilibus, Tercium in caufa, qua; conciliac Harmoniaj fuameffenciam, Quartum in modo inefsendi, Quincum ia ordine caufarum quse formanc Terminosproporcionisharmonicar. L Quod rem ipfam accinec , quasHarmonicaproporciodicicur,- il» Harmonis librocercio primumorcaea fectionibus circuliper figuras regulares planas demOnftrabiles, mox ad reccas lineas cranflaca;, lncerque fe ComcOnjugacx, copiam non mediocrem harmonicarum partium , rniffae (ucfuncSedtioes harmonicae, Torii,Geriera,Modi,Syfternata &fimilia) incerque eas admirabilem quaridam policiam progenueruncacque illa pene coca fuppellex , quancaquanca eft , eciam infra libro V. ericperadhibendajac Uunc hoclibro quarco ab ijfdem quidem Cirfcrucanda culi fedtionibus inicio fadto non camen ad retlas lineas progreffuri fumusifed incra circuli metas coco difpucacionis ambicu eonfiftemus/caufa didta eft Cap. pracedentj , dicecurque amplius infra cap. VI. ubi

anguftiorec jjg ro '

de cognacione, & de eftectu hu jus difcriminis agemus pluribus. II.

Quancum ad Terminos harmcniaru iftarum feu fubjedtum earu

HatmonisrenfilejilludlibroIII. erancSoriiacumine&gravicacedifTerences-icaq; &fub mocus genus referebantur, &figuraci quodammodo motus e-

iftaciuntan

guiorum.

ranc; Hocquarcoverolibro nonfuncvoces, ucinprajambulodidtunx, non ahquimotus , incer quosquis agnofqacharmonias,- fedinfunc illas in angulis,quos bini planec£e,radijslucidis emiffis,formanc in cerra,qua-

cenus

calis

arigulus cum angulis redtis quacuOrjUhum

pundtum concurfus cir-

HarmonicisLib.IV.

129 CAP.

tfi

&s circumftantibus comparari poteft. Acque hic opus habet le&or j

aliqualuculencaadmonicione. PofTum enim hos quidem cerminos explicare clarius ad percipiendum , fed nonpoflum fine periculo con- Quomod» fufionis in bene philofophando , nifi dihgencer le&orem philofophum aasamaZH * CK praemuniam. Cumenimternfiniproporcionisdebeantdifterre quancicace ; angulorum vero quanticas, hoc eft menfura , fic arcus circuu, ex concurfus angularis pun&o defcripti, uc in Geomecria docemur;in toco quidem mundi fpacio , quod eft hinc a cerra ufque ad fines rerum , non pofllimus ufpiam defcribereaucdefcripcumfenfib^perciperecir* cuIum,radiorumangulis dimeciendisidoneummagis,nifiillumipfum fenfibilem circulum in fummoa;chere,creberrimis fixis ftellisexpreffum , a quibus in cer cas animalium formas redactis, ille nomen adepcu* eft Zodiaci; quippe & fub quo ipfo Planecae femper verfancur , locumqueejus unum linguli nobis corporum fuorum objc£tu cegere viden* cur, in Cujus cencrum, Tellus domicilium noftrum, non fuo tancurri cenrro quodpunctum eft, fed cocius mole corpons, per cujus fuperfiNihil igitiir eft ciem difpofici fumus homines, abditum efie videcur. fi dicamus, qUam ut cap. praecedenti, proportiones percepcu faciiius, harmonicas,dequibushoclibrofumusacl:uri, efle incertotum circuJum Zodiacumj& incer ejus arcum, quem duo planecaj vifibili illo coiv porum obje£tu defignare , terminare vel refecare videntur. Kocetfificefteomparatflm,^xqueGeomecricis AftronOmicis Rationibusoptimepronunciacum diligenciflime taraencavercdebet ^ie^. ledlor Philofophus, ne animo prarfumat,harmoniam hanc ( libri quide quarcimateriam) inccelo ipfo,inqueZodi3COcirculo,auceciaminph-

neusinefle.

MinimegenciumnneftenimhscharmoniaZodiaciparci-

bus,nonpropcerfeipfas, cumplanecse radiances immenfo incervallo confiftanc infra hunc circutum , fed propccrei , quod illae menfurant angulos radiorum in Terra concurrencium ; imd propcerea, qudd non ipfas a£tu menfuranc, fed illarumioco, fcon exac~tus Zodiaci cceleftis in Anima fublunari, hoc menfurandiorficium fubic: ineft radijspla» necarum nonquacenus ij finguli velaplanecadelcendunc fuojvellucis func foboles ( ecfi non fine hoc) fed quatenus binorum planecarum bini junftihic in Terris cercum aliquem harmonicum formant angulum. Ucioque nomine Terreftre efthocharmonia; fubjeclum ( forma- SedTerr^ ftrcs licer, rn quancum radij fiunc Termini Proporcionis harmonicae) mi* nime vero ccelefte nifi cancum macerialicer & refpeclu fui E s s E proprijjfine confideratione Harmoniarum;fciIicetquatenusangulos irl terra fa&os, proprium fcil. hujus harmonia: fubje&umj conformanc radijlucidi, resccelooriunda,fedin terramjam delapfa. De verecceleftibus vero harmonijs libro V. ex profeflb agemus. Breviter Termini rnrmoniarum libro tertio fuerunt Hominis feu Artis opus hoc libro 1 V. erunt Natura? opus Librodenique V. erunt opus Dei Creatoris. III. Quancum jam ad Rationalem caufam , qucc harmonijs {imm E s s f conciliat: difcrimen librorum Tertij & Quarti in genere nullum eft , fed falcem in fpecie Influebant enim Jibro III, harmonia? ratione :

;

foifub»

De Configurationibus

I30

(fonorum) infenfus,recipiebantur&dijudica;> formalis fuae effentia? , qua harmonias funt (id eft for^ ratione bantur , mabantur ) ab inftinclu Menti concreato,racionis fine difcurfu participe. Et haclenus Harmonias tantummodo feipfis confidetabantur. Deinde vero per occultum fed corifeffum tamert commercium facultatum animae , trarisfundebantur harmonia? introrfum receptae in fuifubjedli materialis

affectus cordis varios,per quafdamfuifimilitudinesfeulcones > tranffundebantur & in locomotivam , ut homo conceptam animo fpcciem harmonia; non voce tantum exprimeret, fed etiam motu corpons imitaretur. Ita Harmoniaj vices alicujus caufse fubierunt. Similiter & hic Animam fupponere neceffe eft , cui mde a creatio-

nercrumfitinftinclumhoc proportionii Harmonicanim

KPiTftgjloVi

& qua? angulum duorum radiantium fiderum', quomodocunque mtroreceptum(feuid flataliquarefenfuum arialoga,fivefua:effentia', qua animaeft,proprietate, de quo & di&um capite praecedenti, &di-

centur infequentibusplura)fecumipfae.ftimet/adquatuorre&oscon> harmonicum anon harmonicodijudicet, &fic harmonisfuum E ss e incellectuale conciliet, quod anguli hi foris extra mentis limina nondum habebant.

paret,

Quodfiquxratur,cu]ufmodiha:canimafit,ubivelin quocorpo-

collocetur :refpondeo ,primum tales efie omnium hominum ani^ Anima mas Sed librotertio erat faculcas quae prxeftauditui,& fic fenfibus|:

iftxrducet.re i.ia

kQDiinisÂť

hicnoneftfenfitivafacultas. Oculienim,

& radij lucidi nis

quorumobjeclumfuntLux,

nullum faciunt idoneum indicium harmonicas radiatiobinorum planetarum. Nec eft Radocinativa facultas etfi enim ex ,

ObfervatiombusAftronomicisper oculos adminiftrandis , ratioinvenit & computat, qui quovis tempore finc afpectus id tamen non agic naturahter,quippe non apudomnes promifcuehomines fed voluntarie,apud paucos aftronomix fingulariter deditos. Sed fiint ammae hunians fubjecfum harmoniarum illarum,primum ratione inftin&us naturalis,in quancumanimaefunrexemplariaCreacoriSjUcdiclu Cap.IV. fecundo ratione facultatum, Vitalis & Naturalis motuumque vitalium :

& naturalium

Irafcibilis par, feu Platonico more , Concupifcibilis tium;racione quidem illius, in quantumHarmonixfunt,rationever6

quantum

Harmoniarum imprimuntur in has facultates,fiuncq>- caufae operum Nacurae,cam m animo quam in corpore,

harum ,

fpecies

impultrices &ftimulatrices. Deinde prascipua animainquam haeradiacionumHarmoniaeininNamta fluunc,eft illa philofophis di&a Natura fublunaris,per totum TelluriSj

z fubiunan

ftuamma

corpus difrufa, inq;ejus aliqua certa parte non aliter incorde,radicata; ex quo ceu foco , fonte ,vel fupenecrali,perfpeciemfuiexicincircumfufum Terris Oceanum

alumnae

noftrae,

q uam animahumana perfufurn utrifque

Aerem.

Quemadmodum

verd, qui

laJtitiafrontis,voee, plaufu

Melodo

fuavicer'canenci aufcultat,is

manuum pedumve,ad Melodias menfuram

attemperato, teftacur,fequodeftinmelodiaharmonicum, percipere approbare ; non aliter Natura fublunaris eommotione infigni evidenti

Harmonicis Lib.1V.

151 CaP.

IV.

dcnciviiccrumTcllurisjadillospotifrimumdieSjquibusErrantiafideraradiisfuisharmoniceconfigurancurin Terris, ceftacurde eo, quod jam prsmifimus > fe fcilicet non minus inftindtu quodam nacurah vale-

readpercipicndumproporriones angulorum harmonicas,quampollet facultatem nacurali, vitalis noftra: fimili,

nasque fubterrancas in moncanis,

ad corpus

elluns , ofifici-

Harmoniarum temporibus

certis

calefaciendascxagicandasque; ut ilize magnam vaporum nebularumque copiam cxhalcnc, ex qua,per Anciperiftafes frigons fuperni,omnis

genens meteora conformantur.

InTerrxenimcorporeponenda eft haec anima:quia nec anguli harmomci radiorum m ulla aha parte mundi quam m 1 erra exiftunc ; VII,

& opera Natur£C,quas ad configurationes radiorum fequuncur,ex Ter-

ra;vifceribus,montiumque cavernisortum trahunt. IV. Qaarcum diferimert confiftic in modis, quibus Harmoniae verfia:

di-

in fuis infuncfubjec~cis.

NamLibro

cuminCancuineilent;in illo coco ineranc coco Diffimilirtfc fciliceccempore, quodurabaccancus. Ecquamvis incervallavocum.uc d&Haiaiojniarum hai-.-> omnia quancicace parcicipancia, concinuam admiccanc divifionem; rum&Mu_ non crac camen ibi traniicus cancuiafono inferiori perincermediosficarum.ia c ° ntinul infiniros, ufquead eum, qui primo confonus auc concinnus effec, fed cum falcu & filcncio crajiciebancur incermedia omnia omnis vero vo* III.

-»

caliscorhoracioeracinfomsincer fe concinnis. Eodem modo in Conccncu quamvis incer Diapafon Dihex incef finc infinica incervalla non fiebac came incenfio vocum concinua, per omnia lncermedia, quoad ex Diapafon fierec Sexca,fed falcu ferebancur voces a mera Diapafon in meram Scxcam , incermediis omnibus filencio cranfmuTis. Ec in organis quidem falcabacur ab unacanna ad aliam , in cenfis, uc Inftrumenco&Harpe, abunachorda ad aliam,velfimulcifona; chorda? uiurparencur ,ucinClavichordio,Pandura, Chely, Cychara, ab uno ca£cu, auc infiftul is , ab uno foramine ad aliud in guccure humano ab uno circulo arreria? afpera; ad alium. Non fic in Libro I V. Nam quas in eo confi-

;

derabimusharmonias, illae uc dici cepcumcapicepr£ceden«,nonfemper exiftuncinrerbinorum planecariorumradiorumangulum,ckincer' quacuor re&os ; fed fic concinua feparacio planecarum, quibus quidem

hocdacum

eft,

fubZodiaco drculo^perincervaha&t^^ocraomnia,

harmonica, quorum exrremum, duo re£ti, femicirculus feu oppoindequerecrogradoordines pef incervalla rurfum inconcinna& dnTona omnia, ufque in conjun&ionem nullus hic falcus fic ex uno angulo harmonieoin aliiim, verbi caufiaex Trigono in Quadracumi fed cranficus ab illo ad hunc concinuus eft, per incermedia omnia. Propcereacempusuniverfurn motuum cceleftium occupanc configuracio- Suntm<* nes radiorum inconcinnse.difpungunt vero falcem cercis momentis,"161"*1161 configurauonesbinorum,autinterdumtrinofum,aut etiam quaternorum .harmonice.: rehquis in incongruencia pergentibus; ucfi fepcem canna:Organica:fonoscocidem diflonos concinua cenfionis alceracione emicterencfierecque tenfionum obviatione mucuajucincerdum in

ficio-.

bin*

132

CoNFIGUKATIONlBllS

binseveltrinseconfonarcnt jcasteris difibnantibus. Icavere &proprii loquendo, ipfiftimaeharmonicas configurariones non funcin cempore, hoc fed in momencis indivifibilibus perficiuncar. Ecfi verum juxca eft,commotiones, quze exhifce harmoniis iri Animis exiftunc, non efTemomencaneas;movencenim harmonica£"configuraciones,quacequo perfeeTra" fiunc, rurfum remicnus func in fieri in ipfo h, r momenco Nontamen /* n , vt r> momcnra- titearummmulus opera vero Natufiaj j.quae per nos iumulos folhciaeus earum tantur jam a canditionibus materia; menfuras accipiuntfui cempons , ec **' durantque fepe longeukra momenturo,quoperftcicur radiacio. Sic machina amea explofa,vi fuccenfipulverispyrijignefcic,nec ftatim., confumpca materia ignis,acaiore remiccic. Sic corpus snimalis,uc

;

•

;

exemplum

fic

accommodacius,ja£lacnm

febrili

paroxyfmo quamvis ;

faculcas animajvitaiis, auchor infiarnmacicnis,a conacu fuo remiccac*

quippe defuncla fuo munere , & maceria febriJi vel colliquata vel ejeda ex incimis fedibus, verfus exceriora, noncamenftacim omni calore liberacur ,hrerecenim is in mareria corporis,carne.,oilibus, nervis diu , quoad ipfe quoque craclu cempons expirec ,

foi. it T .

Sj^ntmixtae inefficaci-

%Ui

SuncigicurhxHarmoniaeexearumnumerojquasfupraCap.il. diximusnonfubjacere providencixhberce,fed neceiTicace mocuummifcericum infinitis fui genensincongruis quibusDeusmences ordinavic, quas illas cum incidunc agnofcerent. Atqui longe fcehcior eft, Natura fublunarisin his,quam auresin cancu,dignofcendis. Audicus enim non valde dele£lacur Harmonia binarum vocum , fi quinque alix dif:

fonancesobftrepanc:Narara fublunaris, afiueca perpecuis incongruis configuracionibus,easpronullishabet, quia novi nihil animadvertit; in harmonicum verd anguium fic eft intenta,ac fi is folus eflec. Sic cum Prognofticum aiiquod millies errat negligitur tamen hoc at fi femel ,

;

fcopumatcingic,hocmemoriadignumcenfecur,hocomniumfermonibus celebracur.

hisigiturincelligi

datur,Harmonias, invocibusquidem arbi^

»unt «eceC trio conftitui confihoquecanencis: inangulis Veroradiofisnullo natu* farii non rx fublunaris confilio , fed mera neceffitate geometrica moruum progrocwata:.

venu e> -

Nam quiaduo Planetse feparaii debent, per totius femicirculi

Graduum igo. longitudinem , fit neceffario ut fuis certis momentis, etiam particulis ejus harmonicis , fcil. jo. 60. 90. 120. &c. graduum diItaque harmonia: cantus quasruncur intus a canente, harmoniafr ftenc. radiorum expe&ancur deforis a Nacura fublunari, obfervantur citm incidunc, dinofcuncuranonharroonicis,(&ficabillafuum Esse accipiunc ) excipiuncurque & applicancur. Brevicer configuracicnes pr<£cinunc, Nacura fublunaris falcac ad leges hujus cancilena;. V. Quincumdifcrimeneftquodammodoanneclendumprimo. Nec piffimiiitaenimljtcicudinecancum difterunc Harmonise hujus prsecedencis lidiverforum, refpecluum bri,fed etiam ordine quibus Figurae Geoawoidinemetrica; gignunt utrumque genus Harmonicarum proportionum* tertio namque libropotiorfuit refpedus Scibilitacis,quarcoiftopocior ericCongruenciae. Seddehocquincodifcriminejam Cap, V. exprofeffoagemus,inexplicacioncAxiomacum, cap. y. feu

Harmonicis

LlB.IV.

CAPVT

IS5

- P?

De caufis efficacium Gonfigurarationum earumque Numero &C 5

ordine graduum»

Definitio h GOnfigitrationis vox fumitur pro binorum radiodefcendertcis, angulo illo, quo an* quas racionem habec ) coeunc: vel Terra pundli fulo ( circulimagni.inZodiacodefcrifumicurproarcu redic;, quodeodem pci quiarcus menfurafic difti anguli, ieu quem arcum bini Pianecas corpor um fuorum objedln cerminare & quafi pracidere nobis cerrico-

rum, cujusque a Planeca fuo

radi) hic in

lisvidencur.

Notandum primo de nomine , Ptoiem&us in quadripartito, in Opere magno3 inque Harmomcis ^j^fJLCLTKT(/M? appeliat,quod Arabes, AJfecius,verterunt i

Schema Jit idemquodvultus ,facies ; quodetiam

nojier Teutonijmus haJ nominare Da£ Qingc ficf)f / Afpeclum , c5 perfonatorum Schehet , ciuifacicm foiei 7Kata,faciei obtenta, ©efic^fe?/ q #<* Itali Mafcaras. lnvenitur tamen £$ vox

qifitfi

(ZvfQ<7&K?\L'£i$

)

quasnon tantum ex Ar&bieis AJfeciusvertimus 3 fedetiam

boni Autores Latine Intuitus^fgria Intuentia dicersfblent. Sedhocjenju vox non tam planetis competit , quamjignis Jeu Dodecatemoriis Zodiaci ; qu& citnL»

mutub obverti Jecundiim magis £$ minus rteqtieunt iriiuerii qkippe vuitibus non in mutub poffunt. Nam cdntignafignaf fe mutub ,fedjuxta invicem in eandem plagam vcrfs. Deinde riota , qubdquo tempore duo Planeta Angulum in terrafaciunt, eolondtudines habeant ,

iis

dem g£ in aliis iocismundi

cavis Jtbi

Jaciant alios angulos ; at, nujpiam tantos-,

quam

'*•

irt

«rcu circuiiperipforum gf terra corpora traduclo,aut circalineam,qu<z ipforum corpora connetiit , veiuti clrca axem circumacto. Extra h&c loca radiationes eorum coeunt angulis lonqe aiiis ,fivcijJint etiam Harmonici ,fve inconvruii utfere pertotumreliquum mundjtnLi. Inpr-imis nota,qubd in aiteruiro corpo^

rum planetariorum nullus conflituatur angulus. Adangulumenim

requirun-

tur duo radij : at radius omnis extra corpus efl, nullus in ipfo corporc_j>. Quod ideb iiotandum, quia angulationem in terra ,jequitureffecius in terra etiam; exqua fitb

rempus Alpeciuum, expirat materiapluviarum

^ cxterortim meteororum

ut defede cauficmoventis meteora,difJutarepofJimus; quedi/ia nonfit in PlanetA *ueiuno , vel altero , necinloco alio

mundi vacuo,Jed iri ipfa terra.

Tertio non f-uflra addita efl mentio, qubd Terra puncii rationem habedt * eo tx enimJequitur ,etji animantes in terra innumeri ,radija, ex quolibet Piaiteta in illos

reliqua terr*. puncla infiniti :

eundcm tamen,adjenjum,e(fe angu-

ium radiorum a binis Planetis venientium eodem tempcre,per omnia terrx punBa,five in centro,Jive in fuperficie five in cavernis montium : omnes ilii ajfyeclus licet numero infiniti,pro unoaJj>ec7u habentur : Omnes quippc adfenfum interje tquahsfunt.

B. %

DEF£>

De CONFIGURATIONIBUS

154 CAP.

Definitio

Fficax configuratio dickur ; cum binorum Planetarum radii talent --' faciunr angulum,qui fit aptus ad ftimulanda Naturam fublunarem, 1

facultatesque mferiores Animantum , utcirca opus quseque operofior, (ub tempus configuranonis. Tribuitur effcacia conflgurationi , qiiczformaliter Ens rationis effcacia in

rem ipfam immediata , quafipluvix

fuum

efl

fimi/ia ex ipfb ccclo

iiac

,fed non fflilic.

planetis configuratis delaberentur , qu<e vulqi flulta perfuafio efi ; fed mediata c5?

Mamficut objecla movent fenflus ,finus auditum non oculos, Z$ conon auditum :ficetiam hic, certa qualitas Relationis hujus , qu& con-

objeciiva.

lor viflum

figuratio dicitur

movet nonfenfus

corporis ,Jedfacultatem animalem, Rationis

ex inflinclu capacemfine difcurfu. Facit igitur hoc Configuratio, vi non propria, fidviAnim<t,qu<epatidicitur,cumreverapotiusagat,

ipfla

infeipfam. bofllea

animafeu Naturaflublunaris,(iemotafeuflimulata ab tifbeclu,fluique admonita, feipflamexfuflcitat ad eliciendam ex terr<t viflceribus materiam omnis ^eneris Si nuUa efflet inTerra Anima , quam dicimus Na turam fublutempefiatumj). narem;planet<z ipfi ne^perfi , ne%per commodum aflfiectum quicquam in Terram pofflent. Abfurdum enim efl cogitatu tfjoci lufust^ poetici flimile quhd ex coitu binorum radiorum harmonico, velut ex maris & fccminx concubitu, concipiatur vapor materia venti velpluvu : quafiverb utfemen efi de fitbflantitLs c<ttera qu<t ex terra expirant,flt deflubflantia vel Harparentum,fic humor moni<ÂŁ , qux efl relatio ,vel Anguli , qu<t efl qualitativa quantitas vel Lucis ,

jtdeb ipfius

qu<t

qualitas efl , nequaquam verb flubflantia-*. QuemadmedunLÂť

verb ex nihilo nihilfieri dicimusi Sicetiam ex immateriato aliquo, naturalitert

materiatum nihileducipotefi. Vide plura Cap. VII.

Axioma

Rcus

circuli Zodiaci

quem

refcindit latus figurae vel ftellae con-

gruae 5c fcibilis , mecitur angulum Configurationis efficacis.

Axioma A

Ngulus figura; vel ftellas fcibilis **Configurationis efficacis.

II.

& congrua;

, efr.

modulus anguli

Duohus Axiomatihus totum ntgocium nititur ; qu<z ideo duofleci,quia duofunt modiprobabiles ,quibus

Animx

& Natur<tflublunares in notitiam Configura-

tionum , qudtfitnt quovis tempore , venirepofflunt. Aut enimfiguram Mampercipiunt, cujus latus de circulo Zodiaco reflindit *rcum Conflgurationis feu anguli radiofi menfurams ; autfiquram illam, cujus elementum fit ille ipfle configurationis angulus. Quas inter figuras quodnam^ fit diflcrimen , qu<t viciflim cognatio , ex hiflce Schematihus hinc ordine fle mutita ,

confi"

Harmonicis

Lib. IV.

155 '

&»fiquuntur,adocu/umpatet.Binanam%SchemataJuntctVTl7rZ7rov3-6TcLy

trimum diameterfibi ipji,fiu bifecet circulum , ducla percentrum , fiu tangat, , cum duo radijpro angulo duos reBosfiupotius an^ulum nullumfaciunt , in linedm unam reUam ordinatu Idem cogitandum de ConjunSiione d- ve/p.P/a- Figuraff netarum , qu<t improprie configuratio

Namfi duo Planetce Juerint

dicitur.

fub eodem punbio Zodiaci; tunc in centro angulus nullus efl, in circumferen"tid

infniti,d' /aterafigur<efuntpun-

l~ki:

circulus Jcilicetefl velutiFigura-

lnfinitangu/d,

H<ec confguratio non

habuit opus repr&fentatione oculari.

Deiade Tetragonus etiamfibi

ipfi

CWTVKVKOwi , quia angulus , quem duo /ateraformant in circumferentia, <equatur angu/o in ceniro , quemfub-

unum

tendit

latus.

Trigonus

Hexagono , PentagonusfleUce Quinquangu/<e

Ociogonus flellce Olfan-

gu/<e , Decagonus Stellct

Decangula ,

Dodecagonus Duodecagulce dyji7[£7roV.JCt(JlV; utfiunius ex fociis angu-

omnes infiriptifunt in circumferentiam ; /atus ejusfubtendit anguluwu>

re/iqui

unum

in centro collocxtums.

Centra autem circulorum omnium

adwmbrant Terram , ve/ut in medio circuli ipfi vel Zodiacum , ex

fitam ;

terra imaginaturru> repr<efintant

vetquemcunque alium circu/um Zodiaco (itbordinatum,metiendorumangulorum causd imaginatum:quales circuliy

potefiateJunt animd ipfe, qu<e moventur afpeciibus , circu/i fiil. ab ipsd veluti plagarm* capacis, anguflias quantitate abfiracii,inque punEii qua/itativi,

redacfi.

Pojui autemflellas duas radiantes , extra hunc circulum , a/ium alid a/tiorevtu,

;

ut ocu/ari reprctflntatione monererru> > nihi/ referre ad Configurationems>

in terrd , alius an humilis Planeta (it in ccc/o ; Z$ poffe unum a/io multis vicibus effe xltiorem

,mxnente eddemConfigurationein

P«rrb qubd inaxiomateprimo lis ; id non fortuitb fedftudio

TerrtL».

vox congma.pr<ecedit,injecundo vox fcibi-

fatium efl.

Nam quod a/iquis AJJeBus efl efficax ,

in caufa efl utraquefigura tam il/a qu<e injcripta efl in circumjerentiam quarm iua cujus unus angu/us formatur per radios in centro : utraque tam propter ,

Scibi/itatem,quam propter Congruentiam; non idtamen ttqualiter.

Qwe omnia

indioent explicatione paulb pro/ixiori;qu<t cur tamfitMnofiu> } caufa eflunica i

nt JfjtebluHmnumerns phi/ojophicis rationibus minui,ve/faltem in'gradus certo*.

ra '.*

DE CoNFIGURATIONIBUS

156 %AP

mgu 'f°lP

tos ^lfl'

NamJiaduJitateS 0B0, quatuor injitper admittere voluifferfl

Jineomnidifcretionc*\potuifeth<ecdifj>utatiocarere a/iquot Jequentibm qtufpropojttionibus, quippe tantitm in comparatione occupatki

Propofitio

Aior eft Radiationum cognatio cum C irculo ciuf-

que arcubus quam eracConfbnantiarum. Cujusjundamenta Hbro III. prtmifajunt/tdjamin librum lV.?neritb :

tranffumeretur,ttt Jxioma : probatur tamenjic. i. Confonanti&fitnt fonorum, Jont conjijtunt in motibus s illorumque acumina t$ gravitates qiabits Confonan,

ti« exprtmuntur, oriuntur d celeritate

$J>

tarditate motuum,per demonjiratas

Iibrilll, Atquijonitus celeres

£5*

tardi eliciuntur ex tenfis pulfa-

tk , non tantumfi tenfio

fedetiam,

£5*

circuiaris fit

multo ma^is,

firetlilinea. Nonrefficiunt igitut

|igwUlIB

confonantux.

immediate ciratlum

ejusque arcus

causa fitx figurx

circularis } fed caus.i longttudinis

partium ,

proportionis fc. illarum

mutu<z> habentque quod habent,d circu/o,

etiam tuncjicirculus de-

firufius, inque retlum extenfus Afpetitts contra per definitio-

eji.

nem I. funt

anguli , quos metituf circuius fuis cum arcubus , non a/iter,

nijimaneat idquodeffe dtci-

tur, quatenus fs. £§ Jiguram hahet circularem, tf eam integram

*gut«iy.

retinet.

Conjonantitt noftj

om-

nes aqualt propinquitate propa-

fabantur A circu/o tts i

ejusque parti-

Nam aliqux ortumfuum re-

Jerebant adpartes circuli , quate-

nus

non ut circuli partibus; fedutreHis lineis ,accidebat aliipfis

quid, eademfc. divifio,qu£ circulo toti:

ut oflenfum libro III, Con^

efl in AfpeBibus : ejus enimj , quod tantumcircu/orefpondet ,menfurttynuHo modopotefi habere refbeBum re-

tra

Bitudink.

Propofitio

II.

^[ Aior eft Radiationum cogn atio cum figuris Regularibus,

HarmonicisLi&IV.

137 cap.y.

Iaribus; quam erac Confonanciarum.

Probatur

primum a circum*

Jerentiaiifigura^.

lus inteper ,

iSfam ubi circu-

ibi^figuraregular»

integra^ : fid magis efl circulus integer in dimetiendis radiationum angulis

, per I. ergb tffigura rejperadiationum magis "Vt integra Figura V", confideraripotefl. Contrain Con-

c~iu

fonantijs , irt circulm ejusque partes i)is

inretium poterant extendi,fatconfonantiJs,fic etiam omniafi-

gur£ latera in eandem

& unam re-

ihmextendipoterant , cafycumuno figur£ latere reciilineo filcere Conpnantiamj> Hoc verb patlo y .

uti circulus,fic etiamfigura re&ili*

nea,fuamfigurationem amtttit , vi figura amplius nonfit. Probat ut ficundb a centralifigu•

Anguli funt figurarum elementz ;jam duo radiffiiciunt angu-

ra.3.

lum in cent ro, qui altquoties repetitus confummatfiguranij), vt apparet exfchematibus hifces.

fd au-

tem nonfiebat in ortu Confonanttarunts,; nullus

enim ibi ftit rejpe£iu&

anguli in centro.

cJMagis igitur

fiimiliares funt figurx Ajjreclibus

quam Cpnfenantijs.

Propofitio 111 /"^Ongruenria

%urarum

plus poceft in confticuendis Configuracio-

^-* nibus efficacibus, quam in Confcnancijs. Arzumentzthujmreimultiifuppetunt.

Congfuentia efl proprietasfigur<ts

atqui figur* quatenus hancjpe-

quatenus figura

totii efi JJieckmque ,

ciem totahabtt

primum ipjaper fe magis efi cognata

Conjonantijs, per Pr.

verb etiam magis

Quare

utroque

efl

, tf>

II.

configurationibus , quarrt

deinde dividit circuiumvt totum harmonice, circulus

configurationibus cognatus ,

privatofigur&nomincjt

Congruentitf quoquefigurarutnj, "vis efl

habet

quam conjbnantijs ,per Pr. L

Z$ communi figurx

in configurationibm

quamin

$ circuli,

conjbnantijs

major.

Anumeroflgurarum. Vfurpavimus enim hoc, fer Axiomatii prttmiffa,fi^ gurai effe ejficacesperjuasproprietates. Vbi ergb magis rejpondet Numerus ejfi&enS 2.

Fl ura

De CONFIGURATIONIBUS

I5S

aendorum , ihi major caufit cognatio cum effeclu ,faltemprobabiliter. Atqui ut Congru<tfigur<tpauc<tJunt, ita etiam Afpeclus pauci ,quodexperientia tefiatur:

nifienimpaucieffent ,

magna effetconfufioillorum, magnafrequentitu,;

^ngulifeorfimfiiisdiebmobfcvvan non poffent:

cvl

itaut

pofunt obfirvari,nonfiunt

igitur infiniti nuKiero : contra confonantict poffunt infinitct ejfe,aug-

mentatione intervaUorumper Dia~ pafomutfcibilesfigurctinfinitczjunt.

Effentia Terminorum , in quibus confifttini proportiones hinc 3.

§gura VH,

£5?

indcj,.

Motus quorum ,

affeciio

Soni , in FIEK I confider.rmur

£•?

quatenus tempus occupani; ^Rddiationes

magk in ESSE momenUneo.

Sicut enimhoc momento

eorpm

eji

aliquod

fic etiam hoc momcnto efialiqua radiatio : de Motu verb quod 3

prctterijt,

idnonefiamplim, quodfi-

quitur , idnondum nihdefi.

efi

in momento

Congruentia verb magis

videtur eorum

efie

SVNT

quct

quam eorum qua FWNT: CongruJJIguraVIlt

unt enim laterafiuparietes dcmus , vtfit domus; non vt demum gf pefpetub quidem, <edific&tur t 4. cognatione congruenti& irt caufik, cum

Sunt enlm ect OL congruentia quoq^ inefi

configurationibus. ernguli

figutis ,propter angulos.

Hadenus fuerunc incer fe OpConfonancize &Confi-

pofica:,

guraciones ;

infequencifiecop-

poficioaliain

folis

configuracio-

nibuSjCongruenciae

Scibili-

tacis.

Propofitio IV. D configuracionum EfficaciampluspoteftCongruenciafiguraruni,

A!quam L

Scibilicas.

Probatur a conditione AnimA fublunaris , Jhcultatumque etiam humanne nnimct , quct percipiunt afoefius. H<t igitur omnesjunt inferiores fkculute dif currente

& InteueBu: $ cognatiores Jhcultati Jenftivct Z$ prctficltoperibus

quin etiam inflinEim illius , irt Cap. III. diximm , tunto efi obtufior , quanto rudius efi corpus Terr<t,corpore hominis. Atquietiam Congruentia efipofierius aliquid ScibiliUte3 f$ quajiporreffumfbras,in aliquod

finfilibus

inftinciu humano

«pus

HarmonicisLib.1V.

159

Par igitur ejl credi ,facultates has ^ A p animales Congruentia potius, quam Scibititatefigurarum moveriafficique_j>. Opponebantur Congruicas Scierttia.>in eodem genere Configuracionum. Jam opponentur figurse duas incerfe,primum causa folius Congruencisipoftea causa Configuracionum. «ptts

quod hahet ldeam operum Jenjiliunu>

Propofitio V*

COngmentiaeftproprietas magis figura? Circumferencialisj quarri Cencralis.

Habet enim potiorem locum in illafigura, qu&poteflfieri tota,ratione loci a qtio denominatur ; quia congruentia eflfigurarumtotarum,ut ex libro II. apparet. At

de Centrali non plus uno angulo in centroflare potefl,per def. i, In circum*

ferentia verbpotefleffe

Mu Circumferentialis: ergo.

Propofitio VI.

duabusfiguris, quasfibivindicac Alpe&usquifq; } potioreftCii>

cumferertualis CentralL

Eflenim Congrueritia potior ins> hoc negotio Scib'rfitate,perlJf. Jt illct potior efl infigura circumferetiali,per

F. Quarein quo idquodpr*pollet,plus inefl,

idipjum eiiam prafollerejacit jFiguraIX-,1

circumferentialem fcilicet figuramji.

Idem etiamfic probatur ex intimis Attimtzproprietatibus ,Cap, III. •

taciis.

Cum enim Animajit,qu<z Con-

figurationum Hafmoniisfuum conciiiai Effe formale ; certe quo difcrimine anima vetcirculus efl , vetpunciuy

centrum

circuii)

eodem di(crimihe_»

etiamfamiliare"s illi eruntfigur<e } Circumferentialis,

£-f

Centralis,

Anima circuh quandam Ideam gerit , abflrafli quiEtji verb omnis

demiiliusnon tantum a materia , fed etiam a magnitudine quodammodb , ut dicium Cap. III, ebque circulus £?

centrum hic fere coincidunt , ipfaque vet circutuspoientialis , velpuhclum Jigita j& piagis diflinctum , tffic quodammodb

qualitativumdicipotefl : tamedifcri-

men hoc al'i£

videtur objervandum , qubd

facultates anim& potius ut circu-

lus conJiderand& Junt , ali& potii/s ut

punc~iunu>.

Quemadmodiim enim cir-

culusfine centro cogitarinequit ,omne

vicijjirtf

140 18

De CONFIGURATIONIBUS

AP. V.

vicijfimpuncium circaje hahet regionemjcrihendo rirculo :ficin Anima quoqut cperatio nuUa efifine impreffione imaginativa omnis viciffim interna receptio ,•

"velmeditatio, efipropter motumexternum somnis ammxfacultas interior,pro-

pter magis exteriores. Ipfa princeps if> fuprema Animajacultas , Mens dicio-» > quid efi nifi Centrum ? quid Ratiocinativa , nifi Circulus ? (icut centrum

Nam

intuseji,circulus exteriits ijic Mensfccum ipfa manet, ratiocinatio telam qtian-

dam exteriorem texit: tfjicut centrum, circuli ijic Msns Jis ,fons j di origoefi.

ratiocinationum ha-

Rurfum omnis hac Animxfacult.is tam InteUecius } qudm Difcurfiis , denique etiam Senfitiva

Centrum quoddam ; at, faculta-

fiint

Animte motrices , Circulus qui*> rurfi-im ut circulus externus circumponitur centro ,ficoperatio ad extra tes

efi

cognitio meditatioque perfcitut

intus, Figu

$ ut circulus adpunElum

,fic

quodammodb fe hahet Aciio externa, adContemplatione intcrna, mo-

iXT.

tus

animalk adfenfionem. Puntlum

enim, quia undi^ oppofttum circumferentitt,

aptum natum efi reprxfen-

tando Patientii £sf Animafenfitiva, •vel hic Radiationu perceptiva, quid ,

aliudfentiendo

£-f

percipiendo, quarn

patitur fc. quia movetur ohjeBis. ?

Comparando etiam utramqucj comparationem i ut idem utrinquCj centrum i Jic etiam eademquodamtnodo cognitionis forma

eji

mentalis

princeps , tf fenjitiva , velei analo-

figuraXlI.

ga , perceptiva Radiationum

ncu-

tra difqtrfii injeipfa, quatenus talis, utitur fjed cognofcit citra iilum. itufit h<xc illius

Natura

dico fuhlu-

naris , aut etiam fenfitivas , Mentis

humanx. Principis , tenuis quadanu> imago:ficutiUe difcurfus rationis,ha-

tum aElionum tn<z

aut operationum ani-

imago efi , utrac^ circulus.

Ouatenus igitur Anim&percipiunt radiationes ccelefies, Osfic ifs quafi moventurfecum ipfi. intus, nohis puncl'afunto,quatenus verb viciffim movent,hoc efi, quatenusperccptas radiationum harmonias transferunt in operafua, ijsque fiimulanturad dgendum: confideraridehent ut circulus. Sequitur igitur , ut in quantum cognofcit Harmonias radwvum , occupetur potijfimum circa centralemfguram; in quantum verb operatur , ciensmcteora ( e? quctfimilia in homine ) circumferentialijefe accommodet, Et verb in affeBu,prior efi nohis cura efficaci<e, qudmmodi,quo is percipiatur ab Anima operantj t^rior igitur

,& circumferentialis tmam centralisfgurdrej^eclus. Hic

HarmonicisLib.IV.

141 CAP.Y.'

Hicfigurafigurasinuno& eodem afpectu fuitco!lata,infequenci geminajfuppoficaeademfigurajopponecurejusCongroicasScibilitati.

Propofitio 1"

N figura circumferentiali prsftac Congruentia Scibilita

* cencrali viciffim

pra:ftac Scibilitas lateris

lateris ; "m

Congruentice figura?.

Pertinet heec propojitio adconjummationemrei ,Prop. III. inchoatte. Etfi enimvotiorin IV. quamin III. ejl Congruentia , potior etiam libro lll<fuit demo/jjirabilttas: h&c tamen d conjlitutione Afjeciuum nonpenitus efifparada : cumnuUiCongruentitzJuadejit (cientijica determinatio ,adebque ab illa depen~

deat, citm lateris ,

tum prxcipue are<e comprehenfle afigune lateribus: ab angulis

enim,in quibus refidet attitudo ad congruendum , arceffitur demonjiratio.

Quodigitur propojitionem hanc ivfam attinet,videtur contrarium ejus ve-

Namqubd fliguram centralem attinet , aclu eji ejus unus anguiusper radios expreffus ; Circumferentialis nullus exipflo rum ejje, tam in uno ;quam

in altero.

primitur angulus ,fledtantum latus quadamtenus : Conoruentia verb efll angu-

Namji naturafub'

lorutn: ergb videtur illa potiflimitm in Centralijbecianda.

quem duorumplanetarum radijjormant in terra videtur etiam percipere pojfe ejus anguli aptitudinem , quam habet currLa aliis, ad congruend,unus> lunarispercipit quantitatem anguli, ,

QuJdvicijTtmin circwnferentialipotiusjit fpeUanda Scibilitas latcris qudm Congruentiafigurct , idficpatere videtur. rjt

Scientia

enim , quafciturfigura^ t , cumparte

iibroprimodemonfliratumefll , conjiflit in<equalitate , vellateris

ejfabiii

diametri ,vel quadratide /aterew , cumparte effahiiide quadrato dia^ determinations '

rnetri ,vel a.receFigur<e,cumeadem ; vel"m alia connexione

Jive lateris,flive ejus quadrati are<eve,ad diamstrum velejus quad.ratum.

Po-*

qubd Natura flublunark habeafcjenfiim circuii Xodiaci, circuli nimiru;n fenjibilis ,JorisJk>,ntis , quem ipfla examinzf adideatn circuli abfliraSii intek leciualis , quam tpflt fecum habet intus connatam feu concreattm : tuncfanefe~

jito igitur

quitur, qubdordine naturctpriits fentiat,qttantus arcus Zodiaciflii d duobusplanetis i:iterftm(ius

, tflf

fabilis longitudine

quantziretfaiilijitbtendatw , cujus quaiitatis ,Jit neef-

anflolapotentia quadrati

;

annecumaiia quadam

eflfabi'-

lemflaciat fummam quadratorunti , tf reblizngulumeffabile ; in quaproprietate

fitndatur Effabilitas arect : hctcinquamprius innotefcere Naturctfublunarivi*

dentur ordme natur& , quia latus flcripta ; pofled

priits efifigura,

ex lateris multiplicatione de-*

demum , ubi totafigura deflcripta fuerit in

flcunt ejus anguli ,

eorumque quantitas ,

ÂŁif

Zodiaco circulo, pate-

an ijflint ex congruis , Z$ anfigura o~

Tnnibus angulis concurrat adeandem congruenti<e fpeciems lisjtt

congruentia.

teruntj).

tiores

ÂŁjf

ancontinuabi~

Breviter congruentia efli afjecius angulorum 3Jcibilitas la~

Vbiergbpriits innotefcitfigvrte anoulus,quam latus; ibipriores

videntur eflepartes Congruentict ,

quam Scibilitntis

;

fif

po*

ubipofieriiis , pofie^

<LAtfigurteadcentrumpertingentis prius innoteflcit angulus ;figur<e verb infuperficie defcriptttfper duos putaflolos planetas)prius innoteflcit latus:reriores.

Be ergcfieri videtur ffiinfigum centralipotior habeatur congruentiae ratio

Juijerjiciali ,potiorjcibilitatis>,

&<e

De Configurationibus

14.2 GAP.

Hcecigitur in contrarium nofitctptopofitioni allata ,fint nobis diflolvenda;

eddemquc opera > vetis atgumentis foborandus ordo propfietzitum , Congruentice tf

Scibilitatis,

Primumigitut etfiverumefl

defiguracentralifbrmariperduorumPU, irt mens percipiens quantitntem anguli ,percipiat naturx. ordine pfiiis,figur<e, cujusfutufus efl anguluS) Congruentiam. Caufkpatet quia Congrueniia in quantum efl unius anguli,ejusquejtqua/ium a/iquot, in unum locum planum,nimis efl oenetalis : funt enim inflnitcz angulorumjic congruentium form& , tzntofimper p/ures numero netttrum radios

unum angulum ; nontumenindc fequitut ,

quantoflnouliflunt minores.

dijputkmus libro

II. quce angulis

Nonefl igitur

hczcilla

Congruentia , de qua nos

nonfeor(im accidit ,pdflguris intcgtis , proptef

angulos , necflgurisjingu/is , fldpluribus inter fejunBis. Itaque non tzintum diflo/viturfid eiiam retorquetur objeBio; quodenim illa de Cifcumfiretiali ufittpavetat ,pofflumus nos czquojute ae Centra/i ufurpare,

Congruenticim,qu<e nobis hic eflpropofita , in ea pofleriorem cfie Scibilitate, quare potiores efle oportere hujus qudm il/ius partes , conceflu quidem adverjarij. its

enimflguram oportetfleri , qudm totn congrucre pofitt.

figurcejcibilefit ,flgurafieri nonpotefl.

Pri-

Jam verb nijilatus

Nam etji verum efl

dato unofiourct

angu/o, quena radij duorum planetitrumflormant in centro, dari numefum omni-

um, £jT per illos,figur<e totiits aptitudinem ad con^ ruendums, nec in hanc demonfilrationem ingtedi lateris natutam_j> : at non datur ille unusflgur<e angutus , id efl,

non agnofiiturpro angulo fgur<e congru<z, niflper latusflcibile.

Prii.s ergb

{prdine natur<e) Animafcit /atus,quam agnoflat,jibi dati angulum congruum.

^uodfi compatemus hicflguram uttamque , minus equidem datur latus '

"jelatea figurct centralis, ipjoradiationis aBu , Tol. 136.

tia/is

Figura IV. f Figura III,

hoc enimflemper determinant tadij ipfi ,

m UVi t

qudm latasflgurx illa

fipuris i-utin Trigono,quia /atera cifcuferentialis

" / tendunt arcum czqualem 1

•

mtercepto.

circumfleten-

non femper , fed in quibusdam * an

ou/i (inou/a,fub-

^ 1 cn a r* r l\emotior igitutejtpgura centralisab •

aBufitendi , qudm circumfierentia/is ; temotiot igitut etiam Congruenti<z notificatio: objcclio verb nitebatur contrario, quafi Congtuentid Centralis efla pr6piot notitict ,

quam Congtuentia Citcunifietentiatis.

Amplius ,Jianguti quantitas petcipitut , quaye percipietur , nifimenjura fud,idefly arcu circuli iliius , qui ex angu/i propofitipunBo, quod terra efl , deficribitur ? non verbptimb circu/ii/lius , quifigur<z centra/icircumjcribitur ,per ierfam li

Quare inperceptione quantitatis anguli defigurd

tranfiens.

oportet vt Animapotentiam illam exferat

exi/epunBum efi,ad quodpertingit angu/us.

centra-

qud circu/us efi non illam, qud ,

Atqui eodem tjpo circularisjux

efleniictpercipit etiam circumflerentia/isfigur<e latus,ejusque arcum , idquepri-

mb:

poflea

demum

duplicato hoc arcu, emetgit etiam atcuS circuli minoris, qui

fiour<z centra/i circumjcribttur ,perprioris centrum duBus; quiarcus fervit inflcriptioni centra/isfigur<e in circulunLs .

Nam ordo qui efl in ra tiocinatione

idem etiam in inflinciu efl, Kufflum igitur demonflratur via adpcrceptionem fguare fleipjam figurcz centra/is , longior, ^ficetiam adejus Congtuentiam. evertit objeBio , qu<e pr<tpollentiam eotlocabat inpetcepiioneptioti.

Ad rationespro altero membrofic refljondendum

vete quidemetiam in cir-

cumfletentia/ifigurdpriorem efle Scibilitatem latetis, Congruetidfigur#totiuss At nonfiquitur , t/t ex duabus re~ $b argamente diBa , qux hic etiam valent, hifSi

Harmonicis ius,

Lib. IV.

145

quarim altera alterius efi cauja, illa qux cauja ejl ,porrb etiamfortius mo'N^ampro captu anima. , qu<e debet movcri ,fepe minHS

veafc tertium a/iquid.

tnillamvaUi caufa

quameffecius ;

i/t

hic Animamfublunarem

in quantum

quidemperceptivaefl ,plusmovetficibilitasJigur<ecentralis; in quantum vera operativa ,pluscongruentiafigur<ecircumJcrentia!is.

Argumenta, verb

mea

propria ad propoftionem probandam funt

ijkl

yi.

enim ufitrpavimus ex centrum efie \quandam ideam mentis Iheoret tcct , feu intelle:1us ; circuwfrentiam facultatis PraHicx fiuoperativct : quia "Ut centrum circu/i bajis efl &f origo,fic meditetio aciionis. Figura igitur , quceporrigit angulum ad centrum ,fc ad Terram , ubi Animafcdet , figurx perceptrix , dijudicandum, cum centrum tribunalJcientix repsrrigitfe quafi adfiiendum

Igitur incentralifi^urapotius fpecTaridebetfiientia;nonobjkintey

prajrntet.

qubdillaper circu/um tanquam injtrumentum comparetur

irt

pau/b ante

diciunlj)^

Qontrd fgura, qux ordinat angu/os in circumfiereniia , magisfie applicai ad imiinndum , exprimendumque in opere Animx , vcluti ad ideam operum con'

currens.

Atquipotius congruentia , qudmfiibi/itas habet operumjenjilium <z-

dificationumau-ideam , quiafiquiturfipurastotas , cumlatus , quofigurafiitur ,jit euisjaltem elementum. ^uare infigura circumjerentia/i potius con-

gruentia

efi

refpicienda, quamfiibi/itas.

Alterum argumentum pro hacjecundaparte nititur eadem

confideratione

Atpropter opus Naturx Jubhumance, etiam Animx facultatum tnjeriorum , percipiuntur lumris , ddebque

Anim/z.

Pr<ejklt id ,propter quodjunt ctftero-.*.

configurationes ;filicet in idpercipiuntur ,

vt opere exprimantur ; major efi igiSed Jcibi/itasfigura Circumfe-

tur dignitasjacultzitis motorice in hoc neqpcio*

rentidiSiperceptionifirvit, Congrucntia operationi,iJt hatlenus: igitur

& con-

gruentiafigur& circumjerentia/is ,pr<efint eutjdemfiibiliuti.

Propoiitio VllL A RcuscircuIi,quiconfticuiturafiguraincongrua *•* kfficaciam radiacionibus binorum planerarum nancium.

nullam conciliac

arcum decermi-

Namji congruzntia efl caufapotifiima EfficacU,per Prop: III. IV. 0* VIL '

hacigitur deficiente, non erit fufficiens , caufa hocloco vi/icr,Jcibi/ita<. Etjienim

hxc prxpollet congruentict in Centra/i figurd ,per alterampartem Pr. VII: at, vicifiim circumfcrentia/isfigura efit centralipotior ,per VI. Et in i/ldpotior congruentia , per primampartem Pr. VII. Adhuc igitur congruentiafigune circumferentia/is prctpo/let fiibiliutifigur&centralis,

En caufam, cur cum figurae fcibiles finc infinitao diverforum quidemgraduum; Afpeclus tamen pauci finc» •

AxiOMA A

111.

Rcus circuIi,quorum

"*-*-fcibilicacisque

" p

figuras pluribus pocioribusque congruentiat, gradibus pollenc , efficaciores eciam recipiunt con'

figuraciones.

Sidm

De Configurationibus

144. GAP.

Siduoprimaaxiomatafuntconfentanea vero , erit hoc : quia propteP quod unumquodque efi tulc_» ; illo intenfo , ifiud etiam magis erit tit/cj> , Sicautemintellige; qubdinfigura circumjerentialipriorjit comparatiograduum Con* gruentix, in centraliprior graduum Scibilitztis, denique potiores partes circum-

fbrenth lisfigurx.

PropofitiolX. ^Onfigurationeseflicacesfunt

qux

intercipiunt Arcus circuli

Zo-

T^diaci iflos Gr. 180. Oppoficiocf ,exDiametrocirculi:ucinFig I. Gr. 90. Quadratus Q, ex Tecragono uc in figura II. Gr. i2o.TrinusA.'&6o.Sextilis^, exTngono&Hexagono,ucinfi.

guralll. IV. Gr. 45. OcTilis vel Sequadri,

gono & Stella ejus

& 135. TriocTilis vel Sefquadri

ex O&o-

ut in fig. V. VI.

Gr. 50. Semifexci fg, &ci$o Quinquuncis

ExDodecagono &StelIa

ejus uc in fig. VII. VIII. t ioS- TridecilisfeuSefquincilis Gr.72. Quintilis ±, :

& ex Pentagono Decagonica : ucin fig. IX. X. Gr. 144. Biquincilis ^>, &36. SemiquincilisfeuDecilis: ex Scella Peftco*

Scelia

gonica&Decagono, utinfiguraXI.

XII.

demonflrabiles,oflenfum ejl Lilro I.qucdf? Qundhtffigurajint Scibiles verb <£upd configurationes libro II. Congrux , expreftcrum 4 talibus arcuum jintefficaces , idhabent axiomatn I.ll.pr<tmifkj.

Propofitio X.

FficacitatisAfpe&uum gradus primus &fortiifimus ftionis <^& Oppofitionis ^.

f^amin

cftConjun-

Conjunclione congru-

unt radijduoin eandem UneanLs , £5* abeademplaqadejcendunt ; in OppoJitionef aplagis quidem diverjisdefcendentes , nihilb iamen minusfiunt

Chara&eres uiicati.

partes unius continux

verb perfectijfima

ejl

line<t.

H<tc

Congruentia

£5?

prtncipium quoddam omnis congruentitt.

Sic cum conjuntlionem repr<t->

Jentet puncium Jignatum in circum-

/^ t

""^^.

^**^

prentia circuli ; oppojitionem verb , Diameter ; h<tc certe funt principia-> , illa S$ menjura omnis in hoc genere fcientix ; cum omnis in circulo line<t rec~i<tfcientia

contineatur determina-

tiQitcdemonftrativa per Diametri vel longittdinem vel potentianu

vtlibr»

prim»

Harmonicis

LlB. IV.

CAf.f.

primo patuit. efi

Ergb per Axioma III. principium etiam

Efficacitatis in hit

Aftecbibm*

Propofitio XI. CEcundus in Afpc£tuum Efficacitate gradus eft Quadrati

•

In ^htjdrato enim concurrunt pr<zrogativxmult<z, quarumprima,quod : fivnil $ efl centralisfigura ,circwnferentiali : quarc quofcunque il/agradus ob~ tinct in Congruentia zf Scibilitate

quodammodo duplicati intefliguntur ,re~

,ij

lu c.tterorum AfoeBuum. Sicut enim fffuadratus primus pofl Oppc/itum ai flfe ex ilttnte line<z explicatur in aliquam la titudinemfeu a mpiitudinemfuperfic ia-

lem are<z

Tetragonic<z:fic c&teri Affeclus abidentitetefigurarum

drati, difcedunt in

(Jum

atiquamfigufarum alteritntem.

Jfbeciw £)ua>-

igitur alias in phj-

ficis tinita virtusfit fbrtior ,erit etiam

hacideali

j±/

& objeciiva impr

jor grad'tsfbrtitudinis

^jfiune,

ma-

ubifigar<t toci<

difiinci<z s alterafi. centr.tlis,attera cir-

Deinde qua ntum ad Con qt-uentiam

\ | S

cumfprentialis,flecie exdem fterint

& o-

in Tetragono perfiliijfiwa efi mnivaria, nam fecum ipf.i congruit

ifla

figura in

folido

!o£&,

ad cubum fbrmandum ,

qm rnenfiira efi oynnisfiiidifatis, £$ congruitfimplicifftme ,temis tnntttm angulis afcitis :

congruit Z§ in plano (ecum

ip[a,quaternis angulis:congruit ^nfolido

rurfum

cum Trigono Pentngono He~ ,

xagono, Ociogono, Decagono varie ad ,

fbrmand rsfigur.isfolidas, congruit cum ijfdem omnibus, infuper^ i$ cum Dcde~ ca qono £$ lcofigo no quadamtenus , ad pianitiemfiernendam : qua in proprietate illa

a nuBit aliafuperatur. Tertib area Tetragoniefl effabilis ,qucdprincipium cfifingularis alicujus

eximiz Conoruenti.t inplanoyut certus arearumhujusfigur <z numerus abfumai certum quadratorum diametri numerum , zffficfigur&non tantitmipfiz interfe angulis c3? lateribus congr uant fid quodammodb ,certisfi. (uis lincis',etiam cum quadrati diamciri lateribus. Inhac proprietate Quadratus aftieclusfblum Sc~ rnifexturnhahct ex parte focium. Videtib. II. Qujrtb , nec ignobitis eflgradus fcienticz lateris quodefi effabile potentiai quo gradu prxcellit cxterisfiguris omnibus, excepto Sexangulo : ncquc tamen illi propterea loco cedit ; cum Scibiiitas nonfit comparanda Cnqruentitz, vt cxplica'

tum eflfupra,- & verb valeat, accumulatippr<zrogativarum} adaugendam Ejficaciam,per<L4xioma

III. hujus.

PropofitioXIl. 'Ertius Efflcacitacis

Qujd Irinum }

Gradus efl: TriniA> ^extilis^f, & Semifexti^.

Sextilem

£? Semifextum

codem gradu

coltoco ;

De Configurationibus

146 CAP.V,

facit propriemum

non

identitttt

Primum

fidtquipoUenticL*,

eorumfigurct

principa/es, in congfuentia plana tra-

dunt tnutucti operas coeunt n, :

ÂŁjf

inter

Jevarie gf cum a/ijs >in quadrato.Pr<e-

ccllunt quidem hic Trigonus g? Hexagonus , quia etiam fiecum ipft finguUt

Jpecies co;igruunt;pr&cellit

xagonm ,

frioonoHe-

quiaperfbcliffimam obtin&t

inpla no congruentianu>,folis

fc. ternis

angulis:pr#cellunt ambo Dodeca %ono

quia etiam injolido congruunt illi cum Jig&risalijs,quodnopotefiDodecavon 9 .

JtviciJfimprxceUit reliquuDodecago-

effabilita, e a e<z ,cum illoru arexfint â&#x201E;˘edialesij) Jici^nobiliores-.qu&arearti

jifferentia

vtjammodo diclum

redundat in congruentU perficiionem. Sic&tiam Trigonus pracellit rurfitm

Hexagono

, eo qubdfecum ipfa Trigonica fpecies infolido congruit varie , gignit% tria corpora regularia;Hexa-

gon 9 tanthm cumfiguris a/ijs conoru^ it.

Itapenfatis inter fe diverfafu pro-

priefatuponderiF , Congruentia , qu<e

primum

ii pr<zcipuumelemeniumefl

efficacix, penes hos tres propemodum

ad tzquilibrium perducitur. Infcibi/itziteprimas ten&t Sexangulum, cuius lat* effabi/efecundasTrigon 9 , occupat

enim eundem cumTetragono gradum, habens /atus effabile potentia

viliori

tamenproportione: ultimus hicefi Dodecagonus > habens laius ineffabilc. Verumfcibilitas necprxcipuum efi ad Efficaciam argumentum,nec infigura pr<ccipua,hoc efl cir-

cumferentia/i, confideratur ;fed tztntum 9

incentralimin pr<zcipua.

Gfu&fiquid

potefi Trinumpaulb reddit efficaciorene Sextili, quiaTrinumfirmat anguf Hexagoni in centro;pau/b min' utrisc^ effieacem Semifextu, quem metitur angul* Stelltg Dodecagonktz in centro, Efi tame ,

cxterisfequentib 9 nobiliorfcientia

Semi-

fexti quia laf centralisfigur<e, in Inef,

fabiliy nobiliffimx eftfbecieifc. Binomi-

nu ,Z$ in earufub divifione duplici, (emg priores teet, adeb zrt cumfbciafua, latere

circumferentialisfigur<s , retTnngulu ef-

fabileprmet 3 quodefi noU perftclionis pene abfolut*; adebc^ etiam cumTrigono6 Hexagono hanc figuram (cibilitnte Jkcit contendere ,propter

modum'

hanc penfation^

ineffabilitetis fu<z,ponderofam

ad-

Propo-

Harmonicis Lib.IV.

147 CAt.r..

Propofitio XllL

UartusinEfficacicaceConn^uracionumGraduseft QuinciliSj Biquincilis, &Quincuncis. His enim communis efi congruen-

tia figurarum primariarum totartk

in p/ano , non tnmen fingu/arumjpe-

cierumficum ipfisifidprimarum du-

arum interfe mutub u/timx cum a,

lijsfibi cognatis.

Prxceliunt duo pri-

ores ajjteciweo, cjubd

congruuntf-

gur<t,Pentngonus&'fiel/a ejus,etiam infolido,Jkciuntqueduasfigurasfi/i-

das regulares

;

qua nobilitatepene af

ficiant ajbectus fuos Trino

& Qua-

drato iflella Dodecagonica injolido

nm congruit.At vicijfimpr<zcelliti§ Dodecagonica , congruentia plana

quam

habef continuabi/em in

;

infi-

nitmru>i cum ill<tnon longe continua-

ripofintfine mixtura irregu/ari.

Vide hxc omnia libr.

II.

Quodfcibiliiatem attinst late-

rum

infiguris centralibus

hic e-

tiam medio loco conjifiunt latert Dectgoni £jf Trideci/is ^f Dodecagoni , qux (unt hac in clafie centra/es, in-

$ la-

ter iatus Trigoni prxcedentis,

, fiel/xque Pentagonicx, centra/iumfigurarum in clafie

tera Pentagoni

fiqttenti,Nam libro I.demonfiratum in fcientia

Decago-

nicum latus Pentngonico

Trideci-

efi ,

efie

ltaque

fieSari Pentzigonico.

lc_i

prius

Scibi/itas eodemj, ducit

Congruentia-» ,perpr.

quo

VII quxhu:

iuspotifiimitm demonfirationis cau-

fd fititprxmittendtLi , ne Decilis vel Trideci/is prxfirrentur ^ttintili

£$

Si verb quismifi.ifi-

Biquinti/i,

gura centrali , Scibi/itatem potiits itt circumprentiali quxrere ve/it , non

minus qudttt Congruentiarttj : etfi fhtendum efl , hocpaffo prxUtum iri Deciiems ^Wnti/i , TrideciletrLs Biquinti/i cipua*

efie

*£»

meminerit

,prx-

fartes Congruentix

-vt

148 «AP.r.

De GoNFlGURATlONIBUS

ojiendimuspr.

iF.majus igitur eji >& plus adefficacitatem poteji

crearefigu-

ramjc/idanu> ( qux eji veluti idea qu&dammathematica efficacitatis phyjicdt) auam /atus habere perfbBiori gradujcibile. Latus quidem Dodecagoni boc paB» confert aJpeBumJuum in eandem claj&m cumjubtenjis decimx parti circuli , tri-

busque decimis

quia contendunt interje pr<tjkintia Jcibilitxtk .

Jociantur inter fe du<t ilixjubtenjt ,Jitque minor majoris pars

f^amjicut

inproportionedi-

mediurnj>:Jicetiam latus Dodscagoni £5? lavinaJeBionisJecundum extrema tus ejusjielltjociantur , gf hoc etiam refpeBuJeBionu gf compcjitionis alicujus, Et h&c quidem biga pojierior cadit in primam non tnmen proportionalis. compleBitur qu& Binomines Apotomas ; at> vicifjim Jpeciem Ineffabiliums , illapriorbiga acquirit novamproprietztemJeBionis fecundum extrema& mediunu : vt videre efi /ib. I. ^uare non tantiim pcnfantur higradus ,Jed etiam ReBe igitur JhBum , quod APpeBum pntceUit nonnihi/ Decanguli latus. Gr. ijo. cum Quincuncemjeu Quintili Gr.?2. £$ Biquintili 144, eodemgradu iocavi , prima tamenjede hisdata.

Propofitio XIV. QUintus ukimus & imbeciniffimus afpe&uum Graduseft Decilis & ,

Jrictecilis , Oclilis

& Trioclilis.

Qujntum /ocum fbci Deci/i &'Trideci/i

( Mcefllinus Semiquintilem , d)

Sefquiqirttilem appellat) quos in Ephemeridibus haBenus omiji: quibus afociavi

OBilem £? TrioBi/emJeu Sequadrunu, ff SeJquadrum;quos Calendariographi ex mea quidem fuggefiione £? nonnulla Pto/emai authoritate,fednimis calide Probandum igitur eji utrumquc_,,primum im£f inconfiderate arripueruni,

becillioresefehosquatuor , Ghtintili

£S?

Biquinti/i;deindcj> y Deci/em

& Tride-

ci/enu ,firtieres OBi/i £=f TrioBi/i ,garum admodum-n

(Jum igitur Propoftiones nojlrtt fT<zcipuum ad Efficaciam

tum

momen-

collocent in congruentiafgurct

prxcipux. y hoc

eji

circumferentialis

manifbjiumeji , PenUgonum tfftellamejus , congruere cumjuct quamquejpecieifguris , adjo/idumperfb-

Bum Jvrmandum

, i/tjam modo diBunLs ; congruere etiam inter fepu/chre «dplanumJiernendums.Deca* gonus vicijjim OBognnus cum JieUisJuis, quaque cumfu£ fpeaeia-

non pofiunt* Decagonus ij> , OBogonutJedcum alijs non omnibus fuigeneris ijiellx verb inchoant aliquam congruentiam injolido , atnonabfolvunt: etiam inplano ignobi/ior eji earum congruentia, quia nec mutuas tradunt •peras, qu&vis figura cum Jita Jiella folitarix , -ut Pentagonus cum Jua : Jed iijs

injolido congruere

Congruunt quidem

eum illisfuisJleUis^OBogonus cumTetragonojnJocietatem veniurit,congruenti<z

atie-

Harmonicis

Lib. IV.

149 CAF. V,

iMamque, quo minus continuaripojjit , ipfe Decagonus impedit: StelOcioejus esiam hiulcam in medijs interceptisfpacijs fkcit congruentiamj. gonus verb Jlella ejus, alternk

t i<z alienx

juvant continuationem congruenadmixtis Quadratis; Congru* Itn pene paresjunt h<z quatuor in congruen* ti<z,

entia fit divcrfifbrmis ,

tiaplana ; prafertim cum areas utr<zquefgur<z habeant ineffabiles <LAt injcibilitnte multumprif.cellit

feEhPentagonica^. Primumjicentrales figuras conjideremtts

Junt hicjam ejus, illarum

qua

Pentngonus <$ Stella

quidem laierafub ea-

dem fpeciem ineffabilium cadunt , cum lateribus Ociogoni p Jlellct i exifientia Elafion aMizon ! fin

drcumferentiates

qu<zhicjunt latera Decagoni tfjiell&cjus: illanon Untum funtexjpecie nobi/iori Binominum '

ii Apotomarunu, ,

cum Ociogoni-

c<siine<zjintex quartajpecie,qux eji

Mizonum £jf Elafonum^ : fedacquirunt etiam omnia latera Pentagonic* Jecl<z , nobilifjimam pro-

Jecundum extrema g? mediums ;qu<tplane ni-

prietatemjetlionis

hil attinei linets

OiJogonicas.

Quodfi OBogonicaJetTa nonnihit pr&poBere vifa eji in Congruentia

hicjam vi cijjim , multbfbrtiits dtprimitura Pentagonica* Retleigitur utrasque degi ca.

vt de prajkinti*

contendentes , in

unam clafiem re-

pr&mifia tamen Pentagoni-

Confulatur de his identidem

liber I.

EJi

£5?

peculiaris -prxrogati-

Biquintilis

pr<z Tridecili

£$

TrioBili, etiamque Quincunce

qubdJleUa Pentagonica

primari*

fc.iilimfigura, aptiffimum £$ Tri-

gonici <zmulum habet angulum-i :

quia irt tres anguli Trigoni , Jicetiam quinque angulifleUtz Pentagonic<z

junBm utrinque <zquan-

tur duobusreBis, vtficlateraangulos firmantia-i , circuli arcus\

qu<e-

De Configurationibus

149 GAP.

quazquefuos, intercipiant; non vero bina £$ bincL» portionem eliqttam circuli

communiter

quodinflella offo , decemu , duodecim radiorunu>

ri conditionents ,

in^

cxterisfiguris primigenijs

ob Paris

nume~

pb angulimagnitudinem fieri

nonpotefl,

Excuffiomnes loculos , tt argumentis idon&is fidemfhcerem_y ; ne nimius flat numerus afj>ec~luum.j> , confufionem in experiumio pariturus:intra Quadratumigitur £=f ^uintilem Biquintilemquejubfiflend.umeflcj> , necadeorumderivatos quatuor , ultimigradus , itpote imbecilliffimos progrediendunu> ; ltce$ hos quoque prima propofitio admittat. Sita/nen ijkt non fatisfaciunt , {jj fitzinin eflprimx Propofitionis dignitas, vt interseffio omnis (ublatzifit: age cuicf^ perme lih rum eflo , refpicere adhos etiam Affecius , prxfertim ijs temponbus , quibus cotteri omnes defuerint, Par enim efl , fitper his quoque audiri tefiifi,

cantem experientianu,

;

ttt

qux tf aeteris primamfidcmfecit, anterationts.

Propofitio

XV.

Uncaliquseconfiguraciones, qujeincerefficaces&nonefncaces ambigunc: nimirum Arcus Graduum 24. exPenceksdecagono., & Gr iS- ex Icofigono» '-'

3\(amjcibi/es funtfigurce ,fid illa improprie , hce.c remotogradu,

vt libro I,

Et conqruxJunt, fedilla non omnibtts angulis ttqualiterjn cademfbrmaCcongruentice: hiecomnibu* quidem angulis fed Congruentia pLme demon(lratunij>.

non continuabili Ejficacitzttis

%j>

^Rjtdimentum igitttr quoddamefl quodoflenfum Libro ll. veluti conatus ; at, effecius 'iielnuHus "jelimperfiBus.

Mulcas habenc hae figuraj ftellas , illa quidem quinque , quar um lacerafubcenduncarcuscirculihos , Gr. 4g. Gr.p6.Gr. 112. Gr 156. Gr. i6g.ha?c vero quacuor quarum lacera fubcendunc arcus circuli Gr ./4. Gr. 126. Gr.)6z. Gr. 171. Ac cum ha:ftellajcavoshabeancangulos,in quos non recipiuncur anguli alij congrui ( fic uc in cavos angulos PencaDecagonicajrecipiuncur anguliPencagonici,inQd~cogonica;, gonicx angulusTecragoni , inDodecagonicaeangulusTrigoni ;reftacigicur rjs fbla acucorum ,quos Radios dicimus, Congruentia: funcigicurviliores 4

ipfis

fuisprimigenijs

CAPVT

VI.

Quac fit cognatioAipedibus cum ConfonantiisMuficisinNumero 6c caufis ejus.

QVibusOccafionibus

dcte£he,fint Configufationcs

^^efficaces,au6tufqueearumNumerus : nonefthujusloci commemorare, percinec enim hocad Aftrologiairn egiquede eareance annos 12. in librodeftellanova& Trigonoigneo, cap. VIII. IX. X.ubi non tancum difcrimen ingens oftendi incer Afpe&us & incer cascera

com-

Harmonicis

Lib. IV.

151 CAF.V,

commenta,verevanitatesAftroIogicas:fedeciam Joh. PiciMirandu\x Comids rationes philofophicas huic etiam Aftrologiae parti oppofiU tas, folide ut opinor diflblvi, qua diflblvenda,&refutandafuerunc. Cumq,ante novem annos Helifauis Roflinus M.D.& Philofophus non incelebris libro Teutonica lingua edi to , novam hanc philofophiam ipfe veceri Aftrologiaededicus, impugnandam fumpfiflec ; itemque a,

lius

MedicuSjPhilippusFefelius,ih contrarium,Aflrologia2 capitapro-

mifcueomnia, interque ea & dodrinam de configuranonibus,oppugnaflec

egoutriquereftiti, edicisduobuslibellisTeutonicis

;

quorum

ad objeffu Koslini ; alteri , Tertius interveniens. Et in hoc quidem veritatem defendi Afpedluum , in illo vero modum caula;, quo Afpedus fint efficaces, afferui. Itaque viri dodti fcriptis ad me hteris , teftati funt, nunc demum Aftrologos a me purioremphilofophiamdoceri. In omnibus libelliscognauonis memini, alceri Titulus

R.e[j)on/io

quse Muficis confonantijs intercedac

huchadicircanumerum Afpedtuum,

cum Afpedubus

fed in primo adquofdam fpurios; vel certeifnbe:

cilles,obfervansinterpra;cipuos,quofdamfortiorespenitusnegligehs." in Teuconicis vero cepi hos defedlus fpeculacionis meae detegercquod paulopleniondeclaratione , loco fic poftulante , fepetendum cenfui

nuper

Prolegomenis Ephemeridum

fol. j.j-.j^spj'.

3<5-

Quee vero

propter mftitutam brevitatem explicari fufius non potuerunc eajamhic, ordineficferente,fupplebo. Axioma quodanno i6o<5.

ibi loci

ufurpatum,loco citato Ephemeridufumpfiexaminandum &refutan-

dum,hoc erat

Creatorem Deums , aut ex

Harmonm Cantus infra OtTa-vam,

ordinandorum Afl>eBuunu>i aut ad ccelefles jifl>el1u$> attemperafjje aures hominis, Concordaniiarum illarum judices. Hoc

libro III. de/criptis

defumpfife leges

effet,- oporteret efle cotidem numero afpe&us,quotfuntConcordantiae,ufqueadDiapafon.' Nam Sextilis refpondet Tertia: molli,Quindlis Terdaedurae, Quadrat9 Diateflaron, TrinusDiapence,SefquadrusSexta?molli,BiquindlisSexcaedurq,Oppoficus Diapafon: quia fi aufef as a chorda coca canta portionem , quancam portionem de circulo aufercquilibet afpedtus i refiduumchordae facic cumtota illam Confonanciam quae hic cuilibet Afpedtuieftadfcripca. Cum igitur numerus ifte Septenarius Concordantiarum,feu pociusSedtionum harmonicarum,quas fingulas fingulae Concordantia; infraDiapafoninfequuntur ,certusfit&demonftrativus , nonminus quam eft rn Geometria numerus Quinarius corporum Regularium, utlibroIII. cap. II. patuit effet igitur ratio demonftrandi numerurrt Afpedluum facilis &<expedita , per fufceptum hoc Axioma : nec fuiffet opus operofb ifto novorum Axiomatumlibri IV. apparatu. Ec fanefi obfervaciones Meteorologicae huic feptenario Afpedtuum fuiflent aftipulataz ex afle aCquievilTem Ego infupra pofitoaxio-

Axiomafiverilm undiquaque

mate,necde ijsquarexrationumHarmonicarum ortu

exque meta-

phyficae caufae Confideratione poterant objici , valde fuiffem follicitus.

Sed quia crebro deprehenfum eft Naturam fublunarem ftimulari etiama Semifexto , qui duodecimam parcem circuli intercipic, cum camen abiata porcione duodecima de chorda, refiduum, parcium unde ,

cirri

De Configurationibus

152 9;ap. vi,

cirn,

non confonet cumTota

&quia

;

infidcE

deprehenfxfuncexci-

m ulaciones Tempeftacum per Sefquadrum,qui difpungic cres Odtavas jcumcamenablaciscribus Oclavisdechorda,refiduum 5 Oclavarum omnino confonec cum coca 8; hinc orca mihi fuitnecefficas,caufas diifenfus & diverficacis hujus hoc I V. hbro rimandi profundius. Quod ecfi redte peracTnm, & caufas clariffimas erucasexiftimo: iurham tamen difputacioniscociuskeracd mculcare non nocueric cum idrequirac infticuca hoclocoexpiicatioeoium , qu<uinPra?ambulo£phemeredis concifius funtdi£ta. Caufa igicur , cur non quotfunt in Mujtca fecvioneiHarmonicz , totidem circuli

da^concor"

^3-etiamfnt AJJieclus ,uti ufque adannum )6og credideram , eji h&c quia Mu(tc& Rcdduu &ptenAY i) fui principia nonnulla ex ipfareclitudinechcrd&trahit: cumcirculus,

dantia', Iet

cuculr,non'. vaiet ui for-

->J

tn quo

noUmm rfjpectus, znjeipfum redeat; nec pojjit, njt ex chordrfjtc ciiam ex

mmdoA- ZodiaciKefiduopericirculmalius. Verbafuncdictorum Prolegomenon foi. 55". qua; fic explicanda func Nam uc Cap. IV. hujus dictum aliter oriuncur fe&iones Harmonica?, alicer Afpedus, licec ex eodem circulooriancurucrique. NamhbroIII. ficcomparaca func Axicmaca» uc quadibec chorda,chord*eque pars,feu longa feu brevis, pcffit iterum comparari coci circulo, non minus quam cota ieu longiffima chorda eidem circulo comparabacur At hoclibro I V. non pocuic arcus circuli feumajor femicirculo , feuminor, comparari coci. Dicam clarius j quoccunquemodisckculus dividicur demonftracive omncsillimodi poifunc cransferriin hneam rettam , hoc eft chordam ejufque parcem ,

quamcunque. causa,

Acnonficdivifiocirculicotius demonftrativa verbi tria aucin quinque, poceft ideoeciaminarcumejusquem,

cunque cransferri quod facis ;

eft

demonftr acum

in propoficionibuii ul-

timislibriprimi. Caufa eftin figura;rec"taenim manetrecla,fivetruncecur,five prolongetunatcirculustruncacusnon maneccirculus.

Da-

tur igicur fe£tio proporcionalisbinarumquarumquerecT:3rum,dacur

&binorum quorumcunque circulorum,fednondacurbinorum quorumcunque arcuum unius circuli. Harc fic ad propoficum accommodancur. Sidividacur chorda inparces o£to , divifione fc- circuli demonftraciva;una O&ava confonac cum cota,confonaiK tres Ottava?, propterea , quia una Odava circuh demonftrative refcindi poteft, uc tres odtavcC. Eadem demonftrativa determinatio eft etiam inter cau-

fas, curOdVilis&Triottilisfmtefficaces.

Athoceftdifcrimemqucd

illicncndumeftconftituta^ECTioharmonicajnifieciamRefiduum^feptem otftavce & quinque octava;, confonent tam cum tota, partium octo,quameciamcumparcibusrefciffis ,7. cum 1. 6C5. cum3- Acqui demonftraciva decerminacioparcis 1. & parcium 3,non dac iliarum reipfi.e coiifon<e : nam 5- quidemeftconfona, 7. fiduis7. &5- uc finc vero eft diffona. Itaquefecl:iototius8. n 5- &3-eftharmonica/in7. &i noneftharmonica.Undeigicurhabec Refiduumj. fuam confonancia cum cocag. Refiduii7. fuam ab illadiflbnanciam Nimirum inde,quia circulusin^. divifiis,habecfubcenfamduabusquincis,demonftracivam; unde eft quod chorda in quinque divifa (uc hicpars propofica de chorda8.) confonaccum parce quaeeft 2 portioneslonga;quare etiam cum

4.6^

Jf,

Harmonicis 4.

LlB. IV.

& g.quarfunccumz. inproporcioneconcinuedupla.

155

Concra circu-

non facic chordam uniusfepcimaeporcionisdemonftracivam , quarc Refiduum illud chordae, quod habec^. diffonac ab i. fus 5-. eciam a 2, 4. g. Ecce uc fectio harmonica cocius g.in j. unam cancum. confonanciam habeac ex Oclogono, alc-eram vero ex Pencagono. Quin &cerciamhabecexaliafigura,fc: ex Decagono. Non confonarecenim Pars j. cum Refiduo 5, riifi confonarec ancea cum ejus duplo 10; id» que ideo , quia circulo in 1 o. divifo, fubcenfa cribus decimis eft demonftraciva. Haecverdcopulaciopluriumfigurarum,locumnon habec irt circulcejufqueparcibus. Namfiprimo fcripferisincococirculoOclangulum regularc , pofico quod poftis arcum,qui habec crcs Oclavas, dividere quinque ( quanquam impoffibile eft uc id fiac demonftracivej;cerce Quinquangulum illi infcribi ad divifiones faclas non poceric* fierec enim & irregulariffimum pocius fexangulum cum arcus habeacduoscerminosancefuidivifionem. Cumergo ingensfic diverficas Refiduorum, hinc chordae , inde circuli ; pacec , qucd nifi a circulo progrediamur eciam ad lineam redlam , Refidui racio haberi nullapofAcqui Afpe&us eft angulus , cujus menfura non eft ahqua recla fic. fed arouscirculiex concurfus radiorum punclodefcriprus: non meciturergocirculusAfpecl:um,non formaceum, non efficacem reddic, rarione Refidui fcd cancum racione arcus ab afpeclu incercepri Si nonracioneRefidui,nonigicurracionefec~tionisharmonica2 chordae, cxilladivifionecircuhorcx.-quiafeclioharmonica finc Refiduo defL» niri non porefi. £c frc profligacum eft axioma illud , qudd proporciones harmonica»cancus,finc AfpecTxium caufs. Necfequicur, Refpondec TnoclilisfeuSefquadrusSeiftioni harmonicas, qua: gignic terciam mollem; eft efHcax, ergo ejus cfficacia eft a fcclione harmonica circuli, uc calis. Sed hoc verum eft cJWdgnam, uc habcnc Prolegomena di9 cla cognationem effe Harmonijs cum dfyeehb \eandem tttrique generi originem t tx figuris riobilihus , circulo it;firiptifibw : ideft demonftracivam fcibilica- Qn a Usc«J ccmfubcenfarcriumOtlavarumcirculi,incercIemencaeflc, ex quibus gnario Se&harmonicafettio in Mtilica , Afpcctusefficaxin Phyfica confticu- C u™' J£ icnr. Loquor aucem ex hypochefi , quafi fola fcibilicasfiguras fufficerec ftibus. ad efficaciam, ficuc fufficic ad flmplicem Parcis Confonanciam cum Toto. Nam fi accurace agamus , eciam illud difcrimcn cft ; quod in Confonancijs quidemplurimum valec Scibilicas , in Afpecnbus vero Congruenciafigurarum praecellic cftqueSemiquadrus &Sefquadrusefficax non cancum quia Iacus 0<ftogon ftellas fcibile,- fed cciam maxilus m^.divifus,

,•

me, quia Ocfogonus & ftella ejus func

flgura; congruas.

Haecadeo caufa eft, cur Dodecagonus potiffimum gignat Afpe£tum vahdum at non gignac fectionem harmonicam ideft Confbnanciam eriplicem licec gignac fimplicem Nam Refiduum 11, abla- Non eft t©: taduodecima ,impeditie&ionemharmonicam,nonimpedicefficaci- ™ s d op '~ b^ ,

tacemparcisduodecimae. «Scddehocjampaulopoftpluradicam.

Namut vera,"machemacica,& caufalis exiftac comparacioConCordanciarumcumAfpe&ibus;planecverccndum eft Axioma, quip-

refpon

d anuarura"

minorai» Af

pequodl

154 €AP

De CONFIGURATIONIBUS

P e °l uo ^ non tantum eft infufficiens,fed etiam veritati e diamctro contrarium. Nullus enim afpeclus proprierefpondet ulli concordanua; minori, prsterquam OppofitqsConcordantia; Diapafon, fedrefpon-

dentfmguiiconcordantijsmajoribusjminorumfocijs^extrigafedtionis uniuscujusq;. Nimirum Aipedus quidem definiuntur Segmentiscirculi ijfdem quibus majores concordantiar.minores vero concordantiae, circuli Refiduis. Vcrbi causa , Trigonus a(pe£tus non refpondec concordanciaeDiapence: fedDiapafon tpidiapente : Quadratus non refpondet Diateflaro, fed Difdtapason ; Qiiintilis nonTer tia? dura:, fed compofita? ex hac 8cexDifdiapason; Sextilis non Tertia; molli, fed Difdiapason epidiapente : Biquintilis non Sexta: dura;, ut fupra opinabamur, fedcompofitajex Tertiadura&exDiapafomSefquadrusnon Sexta; molli ,'Jbd compofitae ex Diateflaron &ex Diapason:ut patec 'ex eadem ucrinq; proportione partis ad Totum: In hacigitur correfpondentianullus occurreret finis afpedtuum; j.Vcmsrefponiusma cummajoresjconcordantia: infinitaj fint:&: qui hacfola causanituniur, 1 tlantiamra ex quaftabiliant Semiquadrum Afpe£tum quia nimirum ille refponcumAfpc- det concordancia? Trifdiapason ; excufationem nullam habent , qiun 1 Decilemrecipiant &c Tridecilem, Sz. Vigintilem, plurimosalios , formarmi ^hi fuis concordantijs majonierum eo- quos tamenrejiciunt; refpondent enim

ribus, quae toties accumulant unam Odavam ulterius

ium.

quoties divifio

circuliduplicatnumerumportionum. Quid igitur eft iIlud,quod metamponitnumeroAfpe&uum? H Semiquadratus vel Oiftilis, nullusDecilisvel Tndecilis,nifl curnullus e Ubrode Seiianova, tantum poftprincipia , introducitur? curSefquadrusMuficacognatiocap.ix.foi. nenobilitatus velomittiturvelvilishabetur, Semifextusin Mufica pe4 peex hocii regrinus noninferitur tantum fed & interprimos oftentatur ? Quia tro, quem non Mufica format Afpe£tus,fedGeometriautrumquegenus;alijstaEftenim&: HarmonicuminMufica, menlegibusillam,alijshos. ^des^pro-'

miflum. efficax in Hmc eciam

Meteoris, quicquideftafiguranobiii

quae fingulariaaliqua

Sed funt diverfae veluti gentes, Mete* abet in Geomecria privilegia. oroIogk&Mufica,exeadempatriaGeometriaoriunda;,quarumaltera, hoc eft, proportiones Harmonicae lib.lll. patriamjquidem circulura fatebantur,eique fuam originem ferebant acceptam , non minus quam hic Afpectus ; Ced tamen illaeegreflkvelut ex circulo ,coloniam propriamdeduxerunt, fuifque legibus degenresfefe propagarunt: Afpe^us * ntra circulum patriam fuam manentes , legibus non alijs utuntur fi

meoTertio intervenie-

LixTubfinem. 4.Prascipua ^^aiidos af peftus^eft

congcuen. SUra " rurn.

quamquascirculirotunditasipfis pr<efcribit , defumptasexfigurispla? n [ s Regularibus Congruis &: circulo infcriptis. Nam in Muftca. feptemviratus ille fe&ionum conftituitur ex MaVerbi causa , iubcenfa tritrimonijs eertis , accenfitis etiam fceminis. busOdlavis, feu fteJlaO£tangularis,excivibus quidem eftinGeometria &claflefigurarum regularium; at praxipuse nobilitatis noneft: In Mufica. vero,arcus ejus,(tres Odtavas circuh) locufn eft naclus,quia nacus eftex connubio,quo plebeia fcemina, cui noYrren eft Kefiduum ((c. tres Quarta? circuli) jun&a erat Patricio (partifc. Quartae circuh); cujas nobiiicas in

Geometria eft ex Tetragono»

Nam ex hacmacre

(

tribus

quartis

Harmonicis Lib IV

155

pergeneracionem muficam (per addicionem uniusDiapafon ) CApyi, naca eft Pars, cres odtavae ; cui, falvo honore fenacorio, licec jam ducere aliam plebeiam, cui nomen quinque o&avae ; cujus orcus eadem eft condicio ; nam macer illi quoque Refiduum, fcilicec quacuorquincarumi pater pacricius, unaquinta, cujusnobilicasGeomecrica eftexQuinququarciij

angulo.

Duodecimavero

circulipars

ecfijus civicacis habec

inMufica,

cum ejus

fubcenfa fic in Geomecria praecipuaenobilicacis, camfua. vircuce parcs:'ob Congruenciam) quam a parencibus accepcse ( func enim figurar nobiles Sexangulum Triangulum , ex quarum lacerum dupli-

cacioneeftDodecagonuSjprxftanciorillis, obareameffabilem)acquia h:ec pars duodecimauxoremhabec, undecimduodecimarum Refidu-

ura, quae in Mufica,adedque in Geomecria peregrina; eft originis,genus ad Qndecangulum refercns , figuram non demonftrabilem , ec-que civicacis jus adipiici nonpoceft: nullum igicur maricus Mufica jus habec fepcemviracus , ad confticuendum numerum divifionum mono-

chordi.

Concra in Meceorologia mos eft alius.Nam uc quifque ipfe nobilis feu orcufeumericis (Scibihcace fc aucCongruencia ) icaplurimumvalec auchoricace

reliqui volicanc veluc

umbrae

fceminarum racio ha-

becurnulla.

Hic igicur Octilis vel Scqnadrus, &: Sefquadrus , pofthabico fuo jure in Mufica, quia fubcenfas habenc ignobiles, func de populo, cujus po-

molenegocioHoceft, fidiunullieflencAfpe&usprimarijifacerencfortaflisaiiquid eciam hi Afpedtus , prarfercim fi cerrahumore plena fic , quo cafu fe ipfam exoneracquandoque fine omni configuracionum ftimulo. At quia plerumque praefto func primarij,Naciirafublunaris ab ijs fatigata , non fencicftimulos hos minores. Decilis verd Tridecilis , ex illuftri quidem func familia , diviflonis circuh denariae, quae uticur proporcione divina; genus tamen fuum fddtis non illuftrarunc(quiainfolidononomnimodecongruunc),nec capica func familiae ec fi quid eciam poflunc ( congruences aliquicenus in plano , eciamque cum ahjs in fblido) id omne praeripicur ipfis ab optimacibusexalijsfamilijs/aucofFufcacur eorumgloria , fplendoremajori. NamfinacuraperAfpeÂŁtum50.graduumfacisfuicexercica,terteftasnulla, nifiperabfenciam magiftracuum,urgence

rum.

ra fatisper illum exhaufla ; parum relinquitur afpectui vicinoj6. graduum imbecilliori , quod operetur. Semifexto denique Gr. 50. nobilitaseftprazcellensexDodecagono , Scibih Congruo eximie.-nec connubium peregrinum, quod in Mufica praeftruxerat illi aditum ad honores , in Meceorologia ullatenus

PofthuncDodecagonumquaefequuncurfigurae, camincribus fecrecisfamilijs, Tecragonica , Trigonica , Pencagonica,quaminmixturaQnindenaria, prjecerquam quod omnes jamfuncnobilicacis inferioris , nullaeciam planehabencmericapropria (Congruenciae),icaque lege civicacis inviolabili > honoribus 5c poceftace confticuendi Afpe&us arcencur. ÂŁxhis 2 obftac.

156 ©AP.VL

De CoNFIGURATIONIBUS

Exhisapparecid * quodinProlegomenis Ephemcndixi , inJfiieNaturam Ekuum conflitutione valere cauflts diverfas,earumque concurfuntj>:

haberedeletlumeorum , quipluribusfunt inflruffipr<erogativis gf Semifext» quddajura efie communiacum Quadratoinimirum ErTabilicacem area; infi.'

gura iquxdam cum Sexti/i,Cc. mulcivariam congrtienciam in plano> quib 9 junclis copijs femifextus

quodam modo potentior e vadit ipfb fext i/i, c\uztcnas

nimirum pocior eft Dodecagonicx arexefTabilicas,erTabilicace laceris Hexagomci ; quia illam fequitur perfe&ior in plano Congruentia. Echoc libro I V.Semifexcum ego fequi jufli Sexcile fed eodem in gradu. Trinum eciam & Quadracum, & Quincilem & Biquincilem ProlegomenaEphemeridisfaciunc*^/etf /tf^r/Twi va/idiffimacaufai piica

Congruenciae purae in folido,ad confticuendas figUras foiidasRegulares; Trinum g? Qu^idratum dixi addere caufam fecundanu», non multb levioremsi incellige Congruenciam puram figurarum in plano. Hax quidem eciam Sexcilicommuniseft,- verum eam illenonaddicprima?,fedfeparatam tertiam caufamaddere perab illa pofiidec. Quemzc\moc\um Quadraf hibecur,pucaEfTabilicacemplani;nonquodea non eciam Semifexcus parcicipec; fed quia qux func in ca^ceris fingulae, illa; in Quadraco cumu-

lancur, ucfiac

omnium pocenciflimus.

Sic in colligendis furTragijs

pro fexcili, aliquam nobi/iutemei commu-

mem cumOppofito efe dixi, EfTabilicacem innuens laceris figurae,quia eft dimidium diamecricirculi. Rurfum eidemaliqua nobilitaiefl communis cum Trino tf j^/^tamimirumCongruencia purainplano, dequa prius» Hzmejus aliqua foliim particul<£j>,hocei\ Congruenciacum aliarum fpe,

cierum figuris

competit Semifexto

gf cxteris ignobilioribus.

In hac vero

Congruencia; particulaprimum gradum obtinet Semifexti £5? OBilis figurae : cui poflet aflbciari eciam Semifexci ftella." quia Congruencia , quam inchoanc,concinuabiliseft,finemixcura formarum diverfarum \fecundum gradum habenc Quintilis Biquincilis , nifi quod ijdem nobilioTriderem habenc congrucnciam in folido icemTriodlilis , t)ecilis «/#,quia eorum figura;concinuantquidemCongruencia;fednonfine

;

mixcionediverfarumformarum,&omnesift£ congruunc quadamcenus eciam in folido, fecundum magis & minus ; excepca fffuincuncis ftella Dodecagonica ; qua; ided in Tertium gradum refercur : cui eciara Sefquadrus

fea

O&ogoni

flella

adjungi poceft

propcer obfcurica-

cem fdenciae. r

Excendiquidemgraduseciam u\teriii$,2ic\P if>intilem& ^uindeciiewu>,hoc eft.ad figuras Quindecim & Viginci anguiorum; quibus Quartumgradum (in dicTa congruencia? parcicula fbla) dedi; caufam concinec noftra pr. III. hujus Libri. SteUis verbearum Quintusgradm fuic afllgnatus, quiaScibilicaceparcs funcfigurisfuispnma:vjs, Congruencia longiflime pofteriores uc quae cancum eorum angulos fingulos accinec Verum id non erac nccefle, ucfacerem :!cum nc quidem ad cercium gra,

dum ufque

gignancur afpecTus plane indubij ; pofllmusque fpeciose

mecam figerepullulancibus Afpettibus,infolidiCongruenria,&in perfecla laceris vel plani Effabilicace.

Quare pocius ex finibus librorum I. &II. pecancur gradus nobilicatis Figirarum:exquibushoclibrodiftin&ifuncgradusAfpecl:uurn. CAP«

Harmonicis

CAPVT

LlB. IV.

157

Vll

Epilogus , de Natura fublunari, facultatibufqueAnimadnferioribus tirn

ijs

prxfer-

quibus Aftrologia nicitur.

Vlta de hac contemplatione capite fecundo,

muU &

***- tatoto hoclibroIV". nonnullaetiam libroIII. funtdnfta, ante annum in Prolegomertis Ephemeridum , inque Epitomes Aftronomi-

x te

Copernicanaelib.I.fol. ,

Numeris 340. irt 4^.

i^rurfumannoidio.inTertiointervemen1 %, &c inque Refponfione ad

& a 59. in 72. &

artno 1605. in libro de ftella nova, cap. VIII. IX. X objeÂŁta Roflini; VIII. praefercim afol. 171. in 175, anno 1604. in AftronoV. miae parce Opcica fol. 26- Z7> &fol. 224. Nam prognoftica , quibus de furtdamentis Aftrologiae cercioribus f ubinde vel praefacus vel interfatus .

XXI

confuItdpra^tereojUtquamonlacefparfafunc

furri,

Cum aucem celeberrimis nonnu Ilis Philofophiae & Medicinae Proi novam philofophiam condere eamque veriffiomni cura fovenda & educanda eft cerielia plancula ut func nova omnia ucradicesagacinartimisphilofophanciumjnequefufFocecur humore nimio vanarum fophifticaeiorium neve vulgacarum opiniofefforibus vifus fim

mam

;

num correncibus eluacuf

auc negligenciae publicae frigorib 9 obrigefcac:

quodfimihicavereconcigeritmon ego illiaventiscalumniarum, ne frangacunrion afoiidaecenfuraeSole,neexuracur,'quicqu3mmecuo. Cum igicur cap. I. Ariirriae quidem cetigerim eflenciam, Ced propter foks Harmoriias , cum fecundum Caput non ex pf ofeffo de Artimafit fedde Harmonijs propcer Anirnarri lubetnUricjamhoc capite differere de Anima propcer feipfam.paulo generalius: lubec ex Epilogo Syllogum facere omriium , quae ad praefenrem materiam fpedtanc ; quaeque fparfim,quaeobicer,quaelacencefdida;hicfubunumafpe&umreferre, tocamque rei nacuram ,concinuo oracionis filo explicare. :

EffealiquamcociusuniverfiAnimam, praefedtam motibus aftro-

rum, .generacionielemericorum , confervationi animancum & ftirpium^deniquefympathiaefuperioruminferiorumquemutuae , Timaeus LocrenfisexPychagoricis placicisapudPlaconem defendic;Produs vero, cum alias, tum praefercim verbis in cap- 1. hujus libril V. tranfcriptis, ftabilivit. Hanc diVerfam a Mertte fecerunt ; quod Mens fimplex cflet , Anima ifta multiplex facultatibus ; &qu6dIdeaeomniumfenfilium in Mente ineffent primo per fe,purae identicae; in Anima fecundarid, propcer Mencem , ab ea accepcae , magis ad maceriam inclinominum diftindlione ufi , Intelle&uales quidemvel nantes unde Mencales, a radigmata, appellarunr, Animales vero, Paradigmatum illorum Icones. Summa eo redic , uc Chnftianus aliquis facilime j)ro Mence Platonica Deum creacorcm, proAnima,Nacuramrerum

incelligere poflit.

Quibus^

Fol.

"7-

u$.

De CONFIGURATIONIBUS

158 cai».

vn;

Quibus illi pocifGmum vencis concemplationis agicaci ad hax dogmata alijs reliquo excuciendum : cgo de meipfb dicam. Ec pri-

appulerinc ,

mumquidemde Animacotiusunivern"

videEpiio-

gum

ecfinon repugno; nihil camen hoc libro IV. dicam: Videcur enim (fi eft calis aliqua) ln cencro Mundi, quodmihiSol eft, refidere, indeque in omnem ejus amplicudinem commercio radiorum lucis , qui fint loco Spirituum rn corpore anima-

hb. v. lx

propagari.

DeNacura vero, qujepraJeftelementis, quamque ufitatoepithetofublunaremappello,jamavigintiannis ego non diflimilia ftatuere cepi i mocus vero fum ad hoc > non ledtione vel admiratione Platonicorum.fedfola &unicacempeftacumobfervacione, Afpecluumque,quibus illaeciencur, concemplatione. Vidi enim , magna conftancia turbari flacum aeris quoties planetasvelconjungerencur,'velafpecl:ibus,vulg6Aft:rologorumcelebrati5 3 conflgurarencur ,-vidi cranquillicacem plerunqueefleinaere,finulli, i+oIulJ* vel fi pauci inciderent Afpectus ; vel fi celeriter conficerentur tranfiOfdtantia gerencurque. Hoc vero negocium ego non ita leviter confideran° 8°" ^um e cenfui e , uci vuIgusPrognoftarum fblec ; qui fic defcribunt firum° derumapocelefmaca,ac fiillaDij quidameflenc, cceli rerrsquepotentesjomniaqueexarbicrio agences fecuriflimiquo medio illa unumquodque perficianc apud nos in cerris, cum ipfa in ccelo maneanc, nec quicquam, quod fenfibus paceac, ad nos , praecer radios lucidos >demittanc Ha:c praecipua fcacurigo eft fcediflimarum fuperfticionum Aftrologicarum. Acnon vaIdePrognoftasmiror,genui hominum plerumque populare , puerile fomniacorium magis increpandi videnturPhilofophiaeprofeflbres celebres; quicumrecipianthocab Ariftotele fuo , vitam animantum , plantarumque foveri virtute Solis;non EtPhiiofoperpendunt,percipierg6abilliscreaturis,virtutemSolis. Inersomni* vide fupra

foi.

lij.uf.

-•

n6&fomnolencaphilofophia,quaepacicurSoleminhaxinferioraage-

re,ucftacuariusagicinmaceriam exanimem cum fculpra Soli cada &dolabraedefinc, &omniainftrumenca corporea. Quanco vigilanfapiencior? qui ne plutior philofophis hifce,poeca V irgilius, quanco vijs quidem,quacfunttamen&ipfa;, parsmaceriae,cranfcribicomniair quidem Ut<n, hoceft, perfed Terraefinus comparatgremio Conjugu :

cumvolupcace,motuque idoneomaricumadjuvantis: quaeomniaviT^funtindicia,Animamquefupponuncin cor^ pore pacienci. Nec enim facile fueric Soli, militibus idoneis deftitutoj invadere arcem hanc vifcerum terra: nifi concurrac anima quaeique porcas aperiens. li SC unque, fedens incus > cumhofte coiludens Videas laborare hujus confiderationis neglectu,ceuveternoquodam> plerofque , qui vel minimum Aftrologiae tribuunt adeo quidem, ur. c ^ m exor re r ego qui modum demonftrabam quo fequeretur ex Acipiencis,quidfibifiac,

Principams

hcrtpencT

Animam fablunare.

fpedtumutatiotempeftatum;exifteretvir celebris,quiutmerefutarec, magnaafleveracione contendebac , pluviarummateriam ( quodfupra fol. ^4. in vulgo etiamridebamus) cceleftem efle nequetamen,ne & c quidem , docebat s quo pa&o fiat , uc cum femper in Terra coeanc planecarum radij , pluviae cunc potius decidanc> fi radij binorum Plancta:

U TOaTeru ex Terra.

Harmonicis Lib IV

159

CAP.VB» nctarumfaciant angulum <5o, graduuna quam fi/9. aut 6j. Egoveroante omnia Jo: Pici Mirandulee.Comitis libros XIV. contra Aftrologiam mihi legendos cenfui , rationefque, quas is cuique capitiopponeret,exeutiendas: quare fa&um,utnontantumconfirmarerindamnatione plurimarum fuperftitionum ,fedetiam in quibusdam nova mihilux oriretuiv dum vim objecl:ionum,ingenij concen- bj ^at^ tione difcutiens, rem ipfam penitius trofpiciebam. Denique fccit \i- AdEff:&us ber illc refutando nonnulla ut ijs ego fidem adhiberem ; quibus ancea M« eor ° s ut fidcm derogarem , aftroJogi defendendo effecerant. Sic fuit cum feTconcurAfpectib 9 .Cum enimex unaparte refpicerem ad conftantiffimamex- rumAfpea "s perientiam ,;non quidem nivibus , auc vencis , aut tonitrubus , alijfque., a s ""hg ,

quae przedicere folencaftro!ogi,fic infpecie inhians 5 fed* generalicer a- longam pac

quocunque modo commoveri, fi elTenc tem ann a_ afpectusj» verbi caufa,fieHencconjundl:i Mars &Jupicenquiefcere, fijlm enico« non effent ex aitera ver6 parce Mirandulanum audirem, quaerentem; tinuam & quare pocms credar, Jovem & Marcem , ciim vidcncur fimul efle majo- f^e^quo rafacere, quam cum func fcparati ? quippe conjun&ione nonaugeriudianinoa lumina , quantum enim poflederanc feparati, tancum afFerre in con- ^a«ftntu^ nimadvercens j ftacum

aeris

greffum: quodfidiverfarumqualicatumplanetEecoirent, videriake- diCS fanil rum ab altero pocius impediri-.hic inquam ego refponfionem quserens , fmguios, m ut Afpectus tuerer , ad quos Meteora fcqui videbam primum lllos, ut |3£" viib eaufam, deinde haec, ut effectum, diligentius confiderare cccpi. Afpe- infra. clus enim forma , quse ex configuratione vel angulatione promifcua c Afpectum facit quanticas qualitativa crat, imo Relatio talium quanti- n o caufe tatum erat , cns fc rationis. Vt isitur commoveret aerem oportebat , Tempeftatura. ut Rationcm aiiquam pnus overet , quaj vel aerem , vel id quo is curSimul ob oculos verfabatur comparatio bacur, in poceftace habetAfpecuium cumConcordantijsMuficis , aPtolema?otradita,aCardano explicata , a Mirandulano vero nimis temere explof a , qua analogia plurimum fum adjutus in caufarum indagatione .Nam pleraqucquas :

fic

Mirandulanus afpediibus opponebat

opponi poffe videbam &con-

cemperationi duarum vocum. Nihil fane efficic ne fonorum quidem duorura tripla proportio vel fefquialtera, causa acuminis,camen grati funt foni , fi funt in tripla vel f efquialtera; contra abhorrent, fi funt in fepcupla vel fefquifexta. Cum igicur Rationalem oporceae eflerem,quamiplamafepcupladijudicat, Animamfc. auditui prasfe£tam i oportebit in Radiationum negocio , Rationalem efle creaturam , quae difcernitinter6o.graduum , interquec9.vel6j.fubcenfas » fiveilladifcurfuad hocutatur,uthomointclligensGeometriam : feu a folo inftinctu concreato id habeat, utforma: plantarum , quae numerum certum foliorum inde a rerum ortu fibi creditum cuftodiunt,femperquearchite&antur. Nullahicviseftmixtionis, velut admenfuras medicas exatta;,nulla corporis inftrumentorum nec delecianc foni, a*> nimantveradij, quiaficfuntcontemperaci,uc cum calidasfrigida mi£ cetur,quoad refuicec(qualicas, corpori locuro refpondens : Nam in talibus mixturis optima; temperatura effe folet unica , caetera? illi omr, es fecundum magis minus appropinquant, At inter configuratior.es ,

incer-

De CoNFIGURATIONlBUS

160

inccrquefbnorum inccrvalla>plures funtmecae, •acutaiw!

& infblishis mccis cft

ijs mecis fi vel parum digrediaris,jamftacimperijcratioinfblidum. Ucprimum enimSol, verbi causa, Sacurni quadracum fupcravit jam omnis Nacurae excimulatio deferbuic, ceflacque pcr criginca dies totds(quoad Saturni quidem <k Solisradios) ebr.squcdum SoladTrinum Saturni veneric ; cunciterum mcitantur temoeftaces unico dic, ceffancque iterum, illotranf-

ra "° hinc Confonanciarum, inde AfpecT:uum,ab ,•

Talesnonfuncalteracionescorporum: utquae cempu.somne miffo. abinitioadfinemoccupant , nunquam lntermittcnces , fedcumaugmento caufe , cumque cempore crefcentes iterumque diminuta illa, Uno verbo, ficut fe habeclineaad Numerum, fic vulgb remittences. notae corporea? commotiones-, fe habent ad hos configuracionum fti,

Se<!Anmia-

Quaefiquisdiligenterperpendic , nulla is difficulcace fecum rau j os concluderepoceric, ucNumerum,fichasquoquecommocionesmomencaneas, ab Afpeclu , RacionisEnce,profe£tas,noncorporiseflb fed Animalium faculcacum Animam icaqueeffe oporcere , qu£e ab :

admonita 5c veh.it excitaca , cieat meceora & tempeftates. Qua: verbaut cujusmodihaec cfletAnima, potiflimum ab ejus fcdeinmundocolligerepocui. Cumenimafpeclus , adquos moventurcempcflaces , finc anguli duorum radiorum,nonijquiinunoveI alcerofemucub afpicientiumPlanctarum;non quiin Solcquantitatis Jongiflimediverfe^fedquihicin Terraformantunnequeplanetaripfi tabeancnotitiamangulorum,quosillorumradij hicincerraformanr, Afpecllu

Anima

Videfol.

143-

lol.

133.

nifiillosAftronomosfaciamus:fequicurigicur,ucAnima,quaeadpraB» fcriptum Afpccluum ciecaerem, hicin Terris fic. Cumque vis illa , comicans Afpectus , per cocum orbem Terrarumfenciacur;animailla aeque lace fufa eric; Ec cum maccria pluviarum, vencorum,nebularum, conicruum, chafmacum,quae cempore Aipe&uum cliciuiicur, fic vapor Materia tempcfta- humidus, velfpiritus;alius ficcus 8tigneus,excerraebulliens& exhatum exTetn$ am cur n [ c folum Ariftocelem audiac Philofophui fprecoRo| ans dolphoAgricola, imb agricolis omnibus, fuifque adeo prorijs fenfibus? cum quocidie vidcacingrucncibuspluvijs, monciumcacuminanebularum vim magnam evomere):eric igicur animaifta, non infupcrficie f oi. ijj. cancummodo celluris , fed incus eciam in cavcrnis fubcerrancis,in meatibus moncium ; denique Terrae globuscale corpuseric, qualeeftaliTertaani. cujusanimalis quodqucanimalieft fua Anima, hoceric Tellurihaec, mal quamqua;rimus,Nacura fublunaris , quae ad praefenciam afpectuum lol

,•

movec

cempeftaccs.

Hicvaldemeconfirmavicidipfiim, quod alium aliquem abfterfol.irr. rere p OCU i c fciliccc qudd non femper ad arauflim refpondenc com* *mocionesTenipeftacumAipedtibu$;fed cerra fubinde fegnis videcur piuntT concumax: alio cempore (fcilicecpoft graves diucurnas configuraciones) exacerbaca, indulgec evaporacionibus, eciam fine afpectuum. concinuacione. Non eft quippe Terra, animal calc, quale Canis,ad omnem nucum prompcum fed calc , quale Bos auc Elephas, cardum ad iram , cancdqueviolencius, cumexcanduic. (^a£analogiacumfqeceder«c;eJfeciCiUceandemultcrius profe,-

,•

quererj

Harmonicis LlB IV

161

qiiercr,comparansetiamcorpora Animantum cumcorpore Terrae CAp ^ videbampleraque omnia , quae ex corpore animancis proveniencia , ecftanturanimam in liloinefle , provenire eciamex Telluris corpore. An m(8 :

;

Uc enim

corpus

m cucis fuperficie pilos,;ficterraplantas arborefquc Tetren^

8 prof^rs i inqueijsibipediculi, hicerucae ,cicadae, variaque infec~ta& ^P" * Sc uc corpus lachrymas, blennam , auriurni nonftra manna nafbuntur que recremenca,cft ubi &c gummi ex faeiei puftuhs,ficTellUs ele&rum, bitumen:ucque velica urinam-.fie monces flumina fundunc;& ut corpus :

cxcremencum fulphurei odons

, crepicufque , qui eciaminflammari ilcTerraSulphurjignesfubcerraneoSjtonirruajfulgura^ucque in venis animancis generacur fanguis,6c cum eo fudor,excracorpus eje£tu.s;iic invenis ceri-x, Mecalla fofillia, vaporque pluvius.

pofTunc..

ieicur ucficuc Animanciareliquacibumpocumduehau- Jctrxfb Oporcec r„ ~i ., i_ . bulum, nunc, fic eciam Tehus, cananbus cercis, ahquid macenae cranac; ex qua illa cammulcipiicia excoquac , quia exnihuVnihil fic ; crahic au,

<->

cemibrbccqueaquammarinami quae caufa eft cur aecernis coc flumiinfuiionibus mare nunquam redundec. Hic quam abfurdi fint,

num

^ui raecailatbliusSolisoperacionicribuune, eitra Telluns operam, ex tncedi&is colligere poces«

Rdbondieuaminlibrodeftellanovaadvulgaremillamobjedrio- U$ fpef -t Q quod Terra, fi animam haberec, eciam crefcere debere videacur AnimaTci» membraque mocut apca haberc Nam prouccorpus eft pro eo 6c a- luru nima rejpefndec, faculcacefque ejus ; cum haec anima fic ob Terrae cornera,

pus; nonvero hoccorpus,iic ficob Animam ficuccorpushominiseft obMencem,pfincipem Animaefaculcacem:fi igicur incrementis Terra ,

Opus habuiftet,

quam dixi, Veiuc exvenacu ;fuiflent & ifta

pafta aiio,

muniahuic Anima,* commiifa , & idonea inftrumenta data: quae Socra* tismorituri philoibphia fuic inPhaedone , omniaMenci gubernacnomnia dehberacioni de eo quod opcimum, cribuens. Icaque ii ci quisargumentecur quacuor fblas efie facukates Animae; quarumnulla huic Animae Terrenae compccacnon eile ergo aliquanyn Terra animam ; hunc ego jubebohan: quincam ad numerum addere , codem jfdemque argumencandi tegibus-, quibus ilice numero qua. «£ xemplo

tuor , in

homme fcdicec

invencae func.

Ucaucem Terrae cancoconfidencmsAnimam cribucrem

move*

runtmeeciamalia , qua-paffimperlibrosmeosc^ceros inculcaca, in, EpitomeAftronomia.Copernican.efol. i^.fafciculocoilegi : praecipuehoc, quodformacrixfaculcaseftin vifceribusTerrae, quaefaeminaS praegnancismore,occurfancesforis res humanas , velucieasviderec > . T exprimic , ucMilicum , Monachorum, Poncifi- luris.lm*! quicquid morc hominum eft, novosinfolcntcsq;ha- g" "'* cum, Regum , Hoc quidem rarius Ulud pcrpetuo , quod gemmis fofli- „ bitus. Jibusexpnmitquinquecorpora regulana Geometnca • Nam de opi- ingemmis. £cc tcftatur opus. Quibus addat , qui Copernicum fequicur , volutio- UnOlUS „„ COJM -„<. T* J f *V> nem globi Telluns diurnam.perpetuam aequabihflimam : quam in- porisfu* .

jnfifliiibus lapidibus

;

ter hujus

I 1

•

Animse muma r «cWune aceeafcbit.

Quod

De Configurationibus

162 Gap.VIl.

^ am &us ^^ ^ U ^ & enms Videcur argumcnco hoc, quod **

°l

in Terr-

felsuTTa- m

«».

vel ta

vcl auditus Tellurisglob*

con.lantiplurimarumprovin* ciarum cradicione confirmacur , fi quis in alciffimorum montiura cacuminaenifus,lapillum in hiacus quos habenc illi profundiffimo« conjiciac , undefolecexicanfonicusi aucfi in lacummoncanum (qui procul dubio & ipfi fundo carencj ; c veftigio cempeftaces excicari. Sic animalia , fi quis in ceneros aunum nariumve mcacus cicilcnim lans , aliquidinferac , horrore correpca, capuc quaflancaucin curfus -ff"e

fcpraxipicant.

Sunc & fui cercis Telluris cra&ibus languores, & incernas vifcerura Teir* «er vicifficudines : incerdum enim humore nimio abundanc ; iacerdum **• crudicace auc conco&ionis imperfeclione laboranc , quando loco pluviarum tempeftivarum , meri venci proveniunc , incerdum veluricaufocorrepta,nihilhumoris, fedpro co fulphurcos halitus, aue madorcs peftilences exfudanc , Icaque non injuria in libro de Novt ftella , fol. i yz, omnes conco£tionisfaculcace$ , Accra£tricem,RaTerKre- tencricem , Expulcricem, in iila quaerendas admonui, s^uippe harua» pnau». ilii. ff e< ^i ones ( unc Morbi a t Quid vero fimilius eft refpirationis Animalium terreftrium,& im« * primis, reciprocatioms illius Pifcium , dumforbencaquasore, expri-

muncque viciffim per branchias quam ille mirabilis fluxus & re,fluxus ,•

Oceani femid iurnus: qui ecfi ad Luna: mocus fe accommodac,fic uc pn> babile mihi fic vifum, in Praefacione commencariorum Marcis, unda» aLuna crahi, uc ferrum aMagnete, vircute corporea unitionis corVadeduiusporum quod Sc nuper in prolegomenis Ephemeridum , quo Ioco & rcfluxus Davidis Fabricij opinionem examino, repetij: tamen fi quis difputec » ,•

***

Tellurem ad Solis & Lunae motum accommodare fuam veluti refpiracioncm ficuc Animalia Somni vigiliarumque viciffitudines cumr habent eafdcm : hune ego non iniquis auribus audiei nodtifque diendum in philofophia cenfuenm pradertim fi accedercc aliquotf indicium flexibilium, in profundo, Terra: parcium,qu«e vicem fuftine-. ancpulmonum aucbranchiarum. Namficahs ahquanaturafitilla-« rum,qualis eft aeris noftri,condenfabilis & extenfilis,jam nonopus erit ad hanc refpirationem,motu fuperficieiTerrae, anaiogo fcilicec mo,

;

mufculorumdiaphragmatis, incorpore humano refpiranca. Quae vero poffic apcior efle racio recepcionis aquarum marinarum, incrorfum in culinam veluti Metallorum , nifi h2ecipfa,perEuripos iftos femidiurnos perpecuos f Quid aliud fufpicari facic cafhs ille mirabilis ; quando paucis annis ance quam frequencia mcrcacorum Antuerpiamdeferercc , Fluxus & Refluxus Oceanum , die quotui

dam

non mediocricer) Luna cwrNimirum Terra ipfa compos hujus reciprocacioms licec illa mocu naturaliparticipec continuit unam illiii» deferuic

(

fum fuum non

excerruicque civicacem deieruic

diei refpiracionem

;

ficut

Animantes interdumcontinenc Animam>

quaravismocus Diaphragmacis ipfeeciamnacurahmixcusfic. Quanquam re£tiusforcerefpiracioncm aliquam , Terrajneceflaria, «x Amma; prsfentia, quam Animamexrcfpiracioncprobavcrimus.

Harmonicis Lib IV

165 cap. vii.

Namutjam velutreccrci, quodfitinTellureaninta, adconccm-

AnimaTet-

cancum aliqua hv"«*n«

plationemejuseflenti£eveniamus:equidem illa non cincindularum , a fe ipsa pendens , non ab lux eft , qualis eft ignium , illuminacioneexfble;argumencohoc, quodlucidos planecarum radiosquodammoddperfencifcac; fedplaneflamma quaedam efle videcur , ( relpiracione fcilicec , feu forbicione fovenda ) argumenco calo- Vnie Calo4 risfubcerranei perpecui & fenfibilis ; cujusmodi fine anima, nullus gibterra. a&u in materia nuda' perennac ; atnepocencia quidem meftin rebus Beus ab Animalium ftirpiumque fubftantia exeuntibus , nifi ab Anima Tormifque, quajigneum quidfunc,progenicus. VideOpcicamea,fol.

*S*

2<5-

*?'

Hanc Animas

materiam aflignabimus

Telluris veluci

;

quam

"'*

jamfitimpreflalocoform2e,imagovuItusdivini>cumIdeistamCircu- AnimaTerli,rationumq; ejusomnium, quam corporisfuifenfilis, cui regendo rxeftquid* praefetta eft, Mundique adeo totius , in qup corpus ejus futurum erat. HabetenimDeusnonexemplaria tantum geomctrica fecum , fed etiam conceptus creandarum omnium rerum fenfilium ; quae omnia fimultranfeuntin Animas , Dei exemplaria pro cujufque vel capcu vel ufu. Relucec igicur in Anima Telluris , imago qusdam circuli Zodiaci fenfibilis cociufque aded firmamenci , vinculum fympachia: caufh^mrerum cceleftium &Terreftrium;relucenc multomaximeinilla Ar- psthi* c«,

checypiomniumipfmsmuniorum, omniumquemotuum,quibuscorpusiuumquocunq;fenfumovertt:quamaIij <^wudjU.lV,C^O hi%yei#V lubenciusnominaverim.

^[L*

£ Anima.eft

Eftenim animarum eflentiabajc, eft veluti

quaedam hujus flamma? ifta , quod femper ica func comparacae fccum Animss ipfs incus , acfi agerenc id , cuiperagendofa&ae funt, Deus five actu potiantur inftrumentis corporis , five impediantur. pvcris

quippecftfubftancialis Energia .vmis

humano more balbuciam

& ipsa hac energia" fubfiftic )

(

f.uj.

uc de di-

Sc imaginis lgicur divina; eflencia

\vT&\u(>yei]> confifticucflammxgi/r^ pveiv

uc nifi

Deus aecerniim

il!amfuftencarec,irradiandoejusveIucimaceriam, fubicddefituraextingucndaque fueric. Quanquam adindividuacionisfuseprincipium non cancum corpus, cui regendo praeficicur , fed eciam haec ipfa macerialis (quampriusdefcripfi) particulafuirequiratur,diftinguensillam a caeceris Animabus.

Princi P iui*

'"^"^

AdL

msc,

9 Quatcnusigicurha2cAnima,CireuliZodiaci,feupociusejuscentri, geftac idearmperfentifcic eciam , «j planeca quovis cemporc fub quo 142.' Zodiacigraduverfecur, angulosqueradiacionum, coeunciumin Ter- Afpc&isre* ramecicnr quaccnus vero ex Divina; eflencia; irradiacione , raciones circuli Geomecricas , ( percirculicomparacioncmcumcercisfuis prpprietat» Rcnux Harmonias Archecypales fufcepit , non pure quidem geoparcibus ) £ metricas, fedradiationumlucidarumvelutifaccaroquodamindudlas, fcii*j[ imo penitns imbutas : mcnfuras etiam angulorum jam agnitas , has Congruas fcu Hurmonicas , illas incongruas judicac quatenus denique eadcmanima complexaeftideasfuorum opcrum, (quorum uniut

0°°^

cujus-

De CONFIGURATIONIBUS

164.

quidam operativus) in illa etiam tamentunc , fitrcshicirculicon1+1.14.3 currerint & confpiraverinc in unum hoc eft, fi anima per Afpectus fui

CAp

vii,

cujufque causa

illa efl

veluci circulus

fuaopera femperfertur

Fol

;

infignius

cum aliquo exceffu infticeric Nunquam quidcmilla ceifat acoqucndo necunquam hacc coctura cftftnefumo

Anim* Tcr ipfius admonita > opcri ramania Krpecua.

Fol

fiio

vapore. quin cx funao foflilia fiunc, (ut cx fumis fornacum mecalli-

y-^-carum confifticArfenicum);exvaporcver6cepido,incus

in lapidofis

Terras cruftisrcfrigeraco, inqucguccas coa£to,fiuminaadfuasdemllanc origines ; ex eodcm foras fupra Terrxfuperficiem cxpirante , aer fpirabilis , qui p noctem in rorcs coicns deciderat, quocidie renovatur.

Hocvero AnimxTerra;opus,ecfi pcrpctuumcfhopus camcnfuicexceflibus aliquibus in evaporando; non contmuis toto aliquo cempore: _

ienciapcr;

A^e^«.

fed ad cercos dies redadis ; ucexcopiavapcrumforas emifsa pluvice cempeftivje, Solibus tamen incercurrencibus,fuppeditarencur,fuperficiei Terrxrefocillandxhumeitandsquecausa Animantibus fuccrefccre poffcnt.

unde fruges Scpabula

Objicere quis mihipofTet Africac Pcruanar penitiflima , lineae «quinoctiali fubjecta , quibus Iocis concinuee pluviae per cocam a:ftaSolcm etii tem decidunc; ubi iguurhicdiftin&io Afpcc~tuum aconfiguracionibus ftos* cierct

wporcs.

imbrium ? an non curfus inefncacibus i ubi vicifficudincs Sohum Solis , plancca: folicarij , finc refpectu conflguracionis cum alijs , folus facicomnia?eaqucnonucEnsracionis fedutcaufanaturalis, quacenus fc. incendic ljs parcibus calorcm & aeftum , uc ad parces fic coftas, cx ,

humor Rcfpondeo adionem ncgandam ac ca non eftjfblius Zona? tor-

terrae vif ccribus, cxpircc accenuacus

hanc nacuralem Soli non

cflc

;

etiam penes nos fpe&aripoteft. Nam Solc in noftro Hemifphserioper seftatemobverfante ,plcrunquc copiofiorcs imbrcs decidunt , quam per hycmcm , abfcnte fole , folct cffe ulla nix. Quod aucemnobisaugencurflumina liqucfccncibus nivibus , quas imbribus Vt augean. decidentibus, non adeo videncur augeri ,certenon adco diucurnis intor flumma cremencis, id par cim indc fic, quia nivium minucacim dccidcncium finin prompcuario pcr multos mcnfcs vi frigulas tunica: cumulancur , goris afTervantur;cum imbres arftivos, etiam largiflimos , ccrra Solibusarcns,pocifIimaparrchauriacftacim:parcimver6indefit,quianix rida; propria, fed

in AIpibus,nifi xftivis ircibrib* copiofiflimis dccidcncibus , difTolvi non poccft uc fic concinua illa fiuminum incremcnca non finc folarum ni-. vium , fed eciam junctorum imbrium. Quarc fl omnia cxpendas , major humoris copia plerumq; pcr a:ftatem exfudac etiam penes nos quam per hyemem. Hoc igitur impctrat objeclio , ucficconcurfus caufarum cceleftium , quarum fit alia naturalis , calor Solis ; alia rationalis, Afpectus; fic eciam concurfus caufarum fublunarium, utnort :

tancumunaZonapIushabeachumoris quam alia,fed eciam ineodera climate unaregio plusquam alia, fuisde caufis. Incerim eciamin TorridapluspluerepoteftfubtempusAfpe&uum , quam diebus ab afpeftibus vacuis.

Hancvero quamfecundo loco dixi chara&erifationem Animas teneax , fa&am a Zodiaco fenfiii cocaque adco fphaera , fixarum illud ,

cciam

Harmonicis fcciam confirmat ftac

fum

Lib. IV.

165 r

Cap.VII.

quod magno cemporum omnium confenfu con-

finovi quid in ccelo exiftac, feufecundumordinarium coeli cur- Vnde 9*£_ , uc func rariores congreflus plurium fiderumjUcEclipfesLumi- c iipfife us

fivepraecernacuramcommnnem, uc Comecaeautfa ftellaefixaenovae : fimuleciamNacuramfublunaremturbarinon uficatis affectibus; ucfiincingens &continuavispluviarum ,praecer modulum afpecmum, auc concraria ficcicas & fqualores > Terraeque mocus comices;deniquc madores aeris infueci> qui catarrhos peftilences aliafquc lues epidemicas ijs pociffimum locis inferunc, unde expir anc maja-' n vi , auc quorfum crcbrioribus vencis deferuncur. Ad eoque eciamaliquid fimile Memoriae Animalium huic Animae ineffe monui in libro de ftella nova, Cap. X. fol. 44. Nam haec eft Nacura rcrum omnium quae luci func cognacae uc cxcicae a lucc So lis , aucfalcem diei, afFe&ionemaliquamconcipiant,adcertumcemnarium

infigniores,

cffeaw.

pus durabilem.

Sic in oculis Spiricus viforij

lucis foboles

imbuci ab

improvido confpeftu Solis , quocunque averfis oculis , gerunc circum-toL n«. n» feruncquehancimagmem,eciaminvicL SicincerChymiftarum arcana eft mirabile hoc & imprimis commemorabile experimencum,quod ^«nfiii».*

gemmas,

ut nuper admodum rcfeivi a

eum lateanc in cenebris

quodam c£v]o7rfo,apparanc,qua9

uc alia lumine calsa /fi quis

camen illas luci (6liusdieicxponacincenduncureauc candelae, fplendoremque fecum in cenebraseciamdcferuncj lucenres uc oculi felium ; qui brevi temj

pore iterum excinguicur. Tale quid accidic huicanimae, quam luci & igni cognatam dixi , uc illa in plaga ( punctum enim eft illa, plagis diftincluiiij feu circuIusZodiacuspocencialisj in

quacongreffifuerunc characlerem con- Vndeioci»

fiiperiores planetae,aut Eclipfis apparuit, concipiac

junctionis, durabilcm in aliquod

cempus

;

icaque quocies planetarum con S re(ru

prxcipueSolvel Luna, locum cranfic, ipfavim fuam calem ex- ciafua, ferac,qua!emadipfam conjunclionisexcimulacionemexfererec. Totum hoc negocium, inquam, firaileeftmemoriaeanimalium. Nam hominisfemclvififpeeiemanimocircumgefto, nec camen eum prafentemfemper habeocogitationibu;: acubi.rurfumapparuericillcauc Memoria AnimaB Ta fimilis aliquis, hic jam dc novo elicicur & in a&u eogicandi confticuicur, fpecics ilia priftina > pcr reminifcenriam EtfrRobilior in hoc eft ho* fninis memoria,quodreimemoracaenon cancum aboccurfu forinfeco admoneor , fed cciam mcipfum quocics volo admoneo quia nimirumdifcurrendifaculcas adefthomini,quaedeefthuic Animae. Verum ha»c concemplatione Animaehumana? erunt cvidcntiora. Nunc una difEcultas , fupra etiam tadta , fed leviter , eft diffol venda,demodo&medijsreceptionis. Namquodnos homines fcnfilialiquis,

lpecies introrfum in

Animam

recipimus, resvidetur expedica

plana; funteniminpropatuloforaminapupillarum, perquasingrediuncur;eftoculuSjfpecieiforrnacor; eftcryftalinus humor,Penicilli 05°"»^« amma 1 err n t% -r n radioficemperacorjeltReciformis opcicinervicunica, picturaererum tx percipiexceriorum excepcrix. Nihilcaleapparecincorporecelluris , nullus at ^P 6 *hic oculus , quo Anima cerrae videac radiaciones Planecarum ,eorumq, angulos quomodo igitur lucem fencicc fine vifione , quomodo perci•

•

•'

piec

DeConfigukationibus

166

pietautexcipicc angulos fine inftrumecoPDifriculcas eftaliqua,fatear.* hic illic Adi mea; OV«» v.den- ac fi penicius rem incucaris,communis illa eft «LiBodm. pcices Aftr. parcis pag: 169 > vidcbis anciquam qucrclam , cciam de vifi* humano. Nam ecfi loco illo modum videndi a mc candem poft coc fru-,

Tr.

ftraneosaliorumconacusfohduTimedemonftracum facencur diligenciorcs Opcici & Mcdici Anacomici ( quanquam Fr, Aquilonius , cujus Aquiio- rnagnum opus Opcicorum ance^. annosprodijclibrummeumnonvidic, eoq; in anciquoerrorc circamodumvifionisjnovamjfanequara pulchramimcdftruxicpcrgulam): ramen illc videndimodusnonulcr» rcciformem runicam fefe porrigic.quaperfpicuifunc humores oculi:fi> pereft adhuc quxftio nec dum a Phyficis, ad qnos provocavi, difcufla, ,quomoddpi&urareividendaj,ameformacainreciformicuniea, inda porro pcr opaca corporis incrorfumrccipiacur ad Animsepenccralia } anne foras animaprogrediacurinejus occurfum? & quEehisadhaerenc. A cq; ego uc ingeiiue facear , plus in vifionc ha?rco , quam in hac percc-* pcioneanguliradiorum:dequavideormihibalbucircaliquidnoninc« pce poffe cum in illa omnind fim mucns. ,

Poflemquidem falvarerumfumma fubcerfugere fpcculacionia Ia<» borem, & quasrenci, quibus oculis anima Terravideac radios fideruml refpondercljfdcm , quibus vidic milicem

magincm plancavic in lapide phiac.-vivamus nos tbliif.tip.

14.0.HJ.

fifllli.

cum laciniofis caligis, cujus i*

Vemm inercia mors eft philofo-»

& exerceamur.

Primumanimapun&iracionemtbrcitaefta&u (falcemracioneal» ligacionisadcorpusfuum),circulifigurampoceftacc quae cumficEn* ergia, didic Ceih ab illa fede puncli, in circulurmfive enim fencirc debcao ,•

modum fefc circumftanc;five corpus re* circumjeclum habccipfa laccc incus,radicaca in pun« ere cor P us ^ ^TuTtoti S 9 h?^nra clo ej cerco, unde exic p fpeciem i ui corpus reliquum. Ac qui exeac» An-maTerfj p er fineas re£tas?hoc enim vcrc eft cxircqui alium cxeundi morem habeac, ipfa&luxexiftens&flamma, quamafoncibusfuiscxcuncalia res excernas illae fphajricum in 1100!*'

Iumina,lineisfcre&is? Egrcdicurigicurvcrfuscxreriora corporis, ijfc dcm lcgibus, quibus circumftancia firmamcnci lumina verfus iliam in pun£to refidencem ingrediuncur. Cum aucem cocadimidij globi cerre» ni fuperficies , omniaq; adeo pun£ra fupficiei acris , quo amiclus cfi ille* codem Planeca irradiecur radijs infinicis,-ex ijs omnibus unu» ab uno fol 9 cendic verfus pun£tum illud, quod eft fcdcs animac;Ec viciffim,cunl Anima in omnia fupficiei corporis fui puncla, lincis infinicis excac, (inftarradiorumSolis, quia& ipfa luxqujedameft, &fpirirusvulg6cclebracividencur nihilaliudefle,quam hiradij rcclilinci,&haeanimxfpc* cies):una camen fola linea ex omnibus eft, quae ex cencro in ilJud fupep» ficiei punitu cendac, quod fcricur a Planecae illo unico radio , qui verfua fedem Animajccndic. Ponamusigr,in hocconfiftcrepercepcioneuni* illius occurfus in unam liplanecae radiorum, quando hujus incurfus neam redYam geomecricam congruut; exemplo vifionis fimilimo, quae unico perpcndiculari , medio cocius oculi radio , eft pcrfecla in folo

& accuraca. Ponamus &hoc,quodinDiopcricisprop.XLV,uc fingula« rearcanumfenfionumomnium,inculcavi,NuHajnfieri fenfionem rei txcernw

Harmonicis

Lib. IV.

167

•xcernscnifi quaten» ea ro fcnforium inftrumentum afficiatur.

Anima CAp VH

enimpcr iUoscxcurfusfpccierumfui fidam habet notitiamomnium membrorum corporis lui , corumq;, quae in illorum unoquoq; nova fi- leu yrt

unc quovis tcmpore. Quibus poficis fequitur , uc fi fiac a Plancta talis quomod» impreffioinaliquodpuntlumacris, quaenoncendac verfusfedemani,

tnae, icd praeccr illam,ad latus;anima illius

quidem punfti fic afFetti fpe-

«icm,perfua2fpecicirecurfumcxcipiac,'fcaucrcmnihili,vilipendac:fm

aucem in aliquod fuperficici acris punclum fiac imprcfiio talis,quar cendac verfus Animac fedem;eciam hoc punttum fic afrcdl:um, Anira jcnunciecur, &ha;cfenfio, ucadAnimampercincns aeftimccur aca:ceris ,

puntto Anima ftellam fibiimaginctur, in caeteris jam di&is minime. A&uatur n.& velut^illuminatur radius Anima:, a radio ftellae, in eandem rcttam congrucnte ficuci a&uatur color «• crum vifibilium a luc is adventu ; & ficut attuatur vifio, cum nos collir gimus, & pcrpendimus nos vidcrc. Hoc cum fic habeat non in uno tancum, fcd & in duobus planctis; duo ctiam figna invenict anima,in dua* bus partibus fui corporis.Sive jam rotundum fit ej' corpus,five inaequale & afperum;Anima illud in fphaerae modum fibi in uno puntto fedcnticircumjc&um habcc,radijfq;,feufpecicbusfui immateriacis, auc, uc «liftinguacur; eoq; in illo folo

«dij,actib'fecundis,dcfc circumemiffis,expiracvelucipcrfettum fphae-

ricum, quoufq; corpus ejus pacecedq; illud ad idcam circuli,

& quidcm

T,odiacicirculi,circafuamfedcm> utcentrum,defcripti,examin^c,6cpar* tes ejus incerftin&as dimetitur.Ita neq;Terram opus cft concedere pcl* lucidamufq; ad ccncrum;ncq; animam exirc ufq> ad fidcra,nihilo cam» oainus moduspacet, quo configurationum anguli fcnciacur ab Anima. Hacquidcmfuppoficioncdiflblvuncuromniaargumenca,quaePi«us Mirandulanusadevcrcendamdo£trinamdeConjun£tionibusmag« cis, deq; afpetlib*, acculic.Nam quia Animaomniamundi corpora cir# A * "J^

ea fuae fedis pun&um difponit(imaginando)in formam fphaerici,omnes 1 ettx ejuf planctas in fofma circuli,idquc legc re£barum,exunopunt"to cdu&am; jj"' °^"* nihdigiturincercft,magnaftcllaficanparva> multumanparum itine- ncsOptic* ccclo conficiac,alta an vicinaTcrris fic.Haec enim omnia fic movec Tis Animam,uti percipiuntur; pcrcipiunturautem ijfdemlegibus, quibus a nobis vidcncur , fc. omncs uc aequealci, uc mocu fecundo caren,

tes,

motuveroprimodiurnoa:quecelcrcs,neemagno quancicacisafpa-

ftabilisdifcrimine. Ca;ceraquaeadPiciargumcncarefponderipofrunc,

requirclocofkpeallcgacolibrimeideftellanova. Sacis inpraefensde

Anima Terrae, quam Nacuram fublunarem dicunc. Quicquidha£tenusdcAnimaTelluriscftditl:umj

idfitx»iliteretia*>e Ani«|i

adfacultaces Animaehumanaeapplicari poteft : pleraque tamcn in his komini* Tuntevidentiora,canc6q;magismulciplicia, quanto quam illa , pluri-

bus munijs iftae praefetlae funt.

De principe quidem animae faeultate,quae Mens dicitur, praitcr ilquaefupraCap. I. exProcloatculi,nihiladmonecnegociumRadiationum, quoddicam amplius. Eft illapun&um , ut Mcns ; eft circulus, £ 140- hj. tit Raciocinatio; eft imago, vultus divini; cft Harmonia, quoad energi- ' 5 * r; °am unarn; funt in ei Idex fpecics machematicacper circulurruiac llla 'uyu 7 la,

kiXco

De CoNFIGUfc ATlONlBUS

168

raeteGea»-

bifee,dac &Harmonijs, EssEfuum incelle&uale. Haecomniarequirat lectorexfuperioribus hicpluribusnoneftopus. Unum hoe moneo de Procli argumencacione ; Non videri illam nici bonis exemplis : dum

raMathc-

inculcac,

«ap. vii. £..

...

ldeo lineas fuperficies &punttainanimaftacuenda:quiaiii

fenlilibusnulIjepuras&IeparacjEfuperficieSjIineaeveipundafinc.

Aiitct Sp«. ,ir

—

h»s.

Acq

necin Animaeftlmeapura,feipsafubfiftens; fedinexiftic in fuperfieie mencali, eujus eft eTtcremicaSonon minus quam in fenfilibus quancicacib* corporeis,ineft fuperncies mera in excremicace corpuns , linea mcra inexcremlcacefupemciei, punduramerum lnexcrcmolineae." impsrfe£tarumeniraquancicacumEssE,efc inesse in perfectis. Scilicec genera quidem Mathemacica , non func alicer in Anima «T-^m univerfalia caecera , conccpcufque varij , abftra&i a fenfilibus^ ac speci eru m Machemaricarum illa,quae Circulus dicicur Jonge alia racione ineft Animae non cancum uc Idea rerum exccrnarum , fed eciam uc forma quaedam ipfius Animae ; fdeniq; uc prompcuarium unicum o« mnisGeomecricae&Arichmecicaefcienciae: quorumilludindo&rina Sinuum, hoc in mirabili Logarithmorum negocio eft evidenciffimumj uc q U ibus ex circulo orcis, abacus quidam ineft omnium mulciplicacionum & divifionum, qua; unquam fieri poflunc, veluci jam confe&aru. Sed facis de Principe Animae faculcace; Veniam 9 nunc ad inferiorcs* ^ aculcas icaque vicalis in Homine , non Harmonias tancum radij* lucidis involucas fecum habec fed etiam Harmonias ,fonorum fpeciebusincruftacas.Ecfonosquidem auribus haurir,utobjc£tum propriumi j

iiua» Logaritiw «liTiL l. a.

cpc

*c Jtate?

B.adiosver6fiderum,nonutoculiseos,fedutilloipfoperceptionispau16 fuperiusexplicataeobfcuriorimodoadmiccic,adHarmoniae connatasldeas examinac. Nam ea quaevidencuroculis, ferviuncdifcurfuij j.

Heis.

Q^idpof-

tltlifmV^ *ultat4iu.

Harmoniarum agnicio fine diicurfu eft. Sic innatam efle pullogallinaceo ideam milvij, fcifcit';L C. Scaligermon eam quidem fimplicem, lc4 cum noca fugicadaeperniciei. Hincigicurhabcnchoc Animaehumanae , quodfub tempusaipe* cT:uumcQeIeftiumpraecipuoscapiuncimpec',adnegocia, quaefub mani* ^ us habent, peragenda. Quod enim eft bovi ftimulus , equo calcar aue milicicympanum& clafficum.audicoribusoratioincen-

celecifmus

tiva, curbae

rufticorum modulacio per fiftulam,ucriculos

& panduram»

hoc cft univerfis , praecipue veroinunumcongrcgacis , configuracio idoneorum Planecarum,uc & finguli in fuis raeditacionibus o<^»omoJ» perifque incicencur;& univerfi ad confpirandum , fociandafque dexccrasprompcioresfianc. Icaq;inmilicia videasplerumq; pradia, pugnas, coeleftis

vu^it

inVafiones , affulcus, expugnaciones > tumultus , Panicos terrores , fub tcmpora Afpe&uum Martis Mercurij , Jovis Martis, Solis MarC^omodo Martis &c. exiftere:In Epidemicis morbis plures cempot j s s acurn i re validorum Afpe&uum decumberc, gravius torqucru aut etiam mo-

i,!

NatUrafc deficiente in lu£ta cum morbo, ad quam lu£tam (non veincitaturab Afpedtu. Quae omnia non ccelumipfum facit fine medio, fcd Animas facultas vitalis, cum cocleftibus Harmonij» ©perafua confocians,principatum tenet in hoc, vulgd ficdifto, influxa

roadmortem)

«celi.

Scilicet

kxc yqx Influxus

uc eur»

fafcinavic pbilofopbos nonnullos ,

Marmonicis

Lifi IVj

t6§

curh ineptierite vulgo ipfiirifanire,quammecum faperemallenc.Quo- CAp rum fane quam infirma eft cacheha, Aftra agere in aerem, hunc in tenijs

peramentumcorporis, hocjsminAnimam. Eftohocin quibufdam, ac quid hoc ad Afpechim > ens rationis ? quomodo hunc capiec elementum aeris > quomodo corpus nifi fua ucerqueanima,qu»afpcdumprimoperfe percipiacmodoamedi&o. Flammamaliquam efle, vitalerii hanc faculcacem , incehfam in vkaii» fiu corde (eoque mori abfumpto pabdlo i cumMensperenhet^probavi ^1"' ** inOpt: Aftrohomiarpartei fol.ztf.luculenta. comparatione cordis,ejusquereciprocorum motuum Syftoles ScDiaftoles, cum clausalathpade,in quaflammafitfovendaoleb, ventilatione> effumatione. ?

Hac igitur efleritiae ejus proprietate nititur imprimis admirabile ilJudnegocmmgenethliacum.Cum enim vitalis facultas> incenfa in corde,flagranfqub quamdiu vitafupereft>ficquidam circul'Zodiacus;cum

ijp olhoto

genefisqu*

q;fi"gub«

confiftac ejus eflentia inenergia, 8evelutifluxuflamme0 hincfit,ut fondTmeu torius Zodiaci fenfilis figura influat in illam , recens a partu incenfam , ">. inque illam inolefcat penitus,(c'celb lieet poft partus mcmehtum ih alia :

omniaeunte&tranffigurato).*inhacideaanimalicirculiZodiaCi, lo7 ca omnia fighet, qus; Planetae fub fixis, quae ortus, occafus, autmedium % t Coeii obtmuerunt. Prae reliquis verbrebus Aftrbnorhieis,multon:axima heceffitudcJ intercedit Harmonijs radiofis,cum ortU primo &formatione hujus Diximus enim , quamlibet Animasfa- fbl.M0.n4 vitalis in homine faeultaris. eultatem efle circiilurh, rationc cflentiae , ut eflentia ; ut vero agic aliquidinfeipfamex inftinclb,utfeiliceteomparatcirculumfuum cum Curfit po= partibus ejus , efle Harmonias archetypicas. Tam vero facultas vitalis tius thcln * tuncineipitagere, tuncihadtumperducitur,cum perpartuminnam- ,h C matc .

"•

raatur incusiri cordis lampade ,

quippe ad fbvendam flammam

fic

ipfi

vicae.

pbrrbfic opusrcfpiracione,

Quahdb

quodefttunccfimHarmoriias architc&acur

igitur incipic efle id

cuncmaxime

conceptib^ lu '•

ihillarri

influit Harmonia radiofa Planccarurri fenfilis.

Haec adeb caufa eft,cuf qui nafcuntur fub ternpusmulcbruAfpecmu interplanetas>ij plerumq; &laboriofievadant &.induftrij,five

adopes cumulandas inde apueris afluefiaht,five.rerum publiearu mpderatores

velnaciveldele£tifuerinc,feudeniqiinftudiaihcubuierinc? Quo ihgeiiere vicse fi cui videpr ego exemplo efle pofle;ei genefis meae nbtitiam iioninvidi,librodcftella hova>foli43;quam eciam hac vice explicare

commodum fueric.

Jacfericiaecrimen hohmoror,'criminencur s licec,

qui tocum hoc fcripciohis genUs

damhant , feu oratiohe citulorum , phalerarurh ; adpopulum dementahdum,infticbres,Theologietiam,uc Picusappellat, plebeji: apud veros[fapiehtiae amatores cujufcunqueordinis,crif tntn hoc facilediluo>ucilitate .le£cp.ris mei i qhianullius neque genefin,neque ihternam animi difpofitionein arqu^ certo exploratani babco, Jupitcr igicur nonagciimo proximus , quatuor gcadibus fuper. ij ,

feu

vitae inftitutb

idiotse

ftultitiae

fcmidotT:i

avcrae

jj^Arp ea» in Genefc

De Gonfigurationibus

170 CAP.

Venus jun&idefluebanc ab ifto , applicaaverac crinum Saturni, Sol robiq; Sexcilibus, jUC defluebanc k aiK acj um a quadraco Marcis, ad quem Mercunus proximeapplicabat; Luiia ad ejufdem crinum ibat, o-

lacicUdine.-oriebacur aucem 25-Geminoculo Tauri proxima, eciam Aquarij, culminabac Triplicem cdnfiguracionem ejus diei 22, rum Solis,Sexcilem Jovis parcilem,Sexcilem Sacurni Veneris,Quadracum Mercurij Marcis prodebac aurx mucacio ; nam poft gelu dierura aliquoc, eoipfodiecepor orcus glaciem tblvic , pluviasdedic. ,

Exceptio, contra A° siam

Neque camen hoc uno exemplo omnes Aftrologoru aphorifmos defenfos &confirmacos volo neq;ccelo cranfcribo reru humanarum ;

'gubernacula,imanequancumadhucabefl:philofophicaha;cobfervacio abillaftuidcia,feumalisiri{aniamdicere. Namuchujusexernplivefti-

giapreitlammovifceminamijfdempenenacamafpeciibus , inquieciffimo fane ingenio fed quo non cancum mhil proficic in liceris (non mirumhoceftirifcemina),fedeciamcocUmcurbacmunicipiumfuum, fi,

quk

effi-

bique auchor eft rriiferia^ deploranda% Primum icaque acceffic afpedtib 9 ti^mum" Planecaru,imaginacio diucurna macris prajgnancis, cui focrusj avia mea fublunariu , medicins popularis,a pacre eciam excercicx,ftudiofa,erac admiracioni; non funt acce fflc fecundo quod vir nacus fum non fcemina quod fex9 difcrimen in Aftrologi ccelo : Tercio fruftra quasrunc corporiscemperacurama da fideribus macre craho, ftudijs itiagis apcam,quam alijs vicae generibus:Quarco res erac parencibus rion ampla,glebafc. aberac,euiadnafcerer, adhasrefceremque : Quinco aderanc ScholaS , adef anc exempla libcralitatis Magiftratuumiripuerosftudijs aptos. c incerfef e, rurfum ex Geneil , Planetaf um diicrimina in quali» Animi qualitates cum tacib 9 Nam fi Ariimalqx quzedarri eft; difcernecetiamMarcisruborea oyis candore, Saturniq; hvoreacaq; farendum eft, magnum auxilium quaiaatib™ ] confentiut ex Marce, non cancum, u£ prius,ad induftriam!; fed eciam ad acrimonia cjuntur a

^ .

piunmum. ingenij,

qus conflftis in Vi ignea,videafq;prascipuos Philofophiasnatucum Sole Mer-

ralis,& Mediciria? pericos , fub afpectus idoneos Marcis

curioquenafci quianimirummajusrequiricuracumen,majorfblerciaaderuendaNaturaearcana, quamadreliquavicsenegocia, ftudiaq» ijsdefervientia. Largiar eciam ampliusahquid,ex Joveefle in cceliMedium elevato,quod magis dele£torGeometfia in Phyficisrebusexpref* Stipem sa, quamabftraclaillaj&Sacufnificcicacepraefeferencc-magisinquam hicaiiq Sa- phyfica,quam Geomecria:ec quodLunagibba in clarafroncis Tauriria: ^"s^am.conftellacionejimpleacAnimceFhancafticam faculcacem imaginibus U t apparet quarum camen mukas Nacuraererum confencaneas reipsa experc9 fum, veluc ex Procli * Paradigmatibus delapfas. Ac fi jam de eventu ftudiorfs^rmt' qui jocum* rum meorum loquar,quid qua;fo porro invenio in ccelo,quod ad illum meum unu ve i levicer alludacilPhilofophia; partes non contemnendas a me, vel de novo erutas , vel ernendacas vel plane perfeclas effe, fatencur perici; ac le^rnex libro defteiea hic fidera fuere non Mercurius oriencalis iri angulo feptirna; , in 11 quadraco Marcis fed Copernicus, fed Tychb Braheus fineeujusObuoties inttaXii-an fervationum libris omnia, quae nunca me funtin clariffimaluce collonorumcur- czt fepulca jacerec in cenebrismon Sacurnus domin 9 Mercurij,fed Cs^ m^naTunt " fares Augufti Rudolphus &C Macchias, Domini mei : non Planetarum hofpicium,Capricorn 9 Sacurni,fed Auftria fuperior Ca^faris dom 9 ,ejuf:

demq;

HARMONICIS LlB IV

171

d6rhq; Procerupecenci mihiprompta liberalitas , excmpli non ufitati. CAP vit Hic ille Angulus eft, non Thematis occiduus, fed Terrarum , in quem Imperacoris Domini mei conceflu , ex aula nimium inquieta me recepi , 5c in quo per hofce annos, jam ad occafum vitae vergentes , NuMeveiU Harmonicaifta , '.& quaealiafub manibushabeo , enitor. Fruftraex jUsind T" | Themate Genethliaco caufas quaerec Aftrologus inventarum a me annoi5p6. proporcionum inter orbes cceleftes,- annoj6o4. Modividendi; anno hoe i6j 8- caufarum, obquas cuilibecPlanecarconcigic cantaEccencricitas, nec minornecmajor > anrtis intermedijs, demonftraca; phyfica? cceleftis , modorumque, qtiibus moventur planecx, ve-

rorumquemocuumipforum deniquefundamencorumefficaciaeccchxc inferiora,mecaphyfieorum-' non influxerunc ifta cum cha* cceli in flammulam illam facultatis vicalis nuper incenfa*, inque radtere ;

leftis in

actum produfta; fedparcim incus in penicifllma Anima^ eflent;ia latebanc, (ecundumPlaconicamdoctrinam , fupra ex Proclo aliegatam partimaliavia , per oculosnimirum,introrfumreceptafunc : fola & unicaThemacisGenechliaci operafuicifta quod& emunxic illos ingenij judicijque igniculos & inftigavic animum ad laborem inde;

;

foLt/ * EiFeftus *' 8<S*

n aaij™

fefl.umraaxicquedefideriumfciendi:brevicer,noninipiraVic animum> non uliam didtarum hic facultatum ,fed excivic» Exquoexempiofacilecuivis patec , quam procul abflc ab eo A- y tn aAflro ftrologia , ut ad capita illa, vuJgd proponifolica, De Parentibus, De Se- *<#e «r*»

xu,DeSubftantia, DeLiberis, Denumero Vxorum, DeReligione , DeMagifterio,De Amicis,DeInimicis,DeHaerediracibus, DeFamilia^De Regionibus, De lnfinicis alijs , exunofolo Tliemace GenechJiaco reipondere exadie pofllc. De vicx quidem longitudilie , quatehus proriuhciare poffic Aftfologus hoc eft, qua; fic vis diredhonum , dicam paulo poft De F orcuna

ta '

>•

vefonacinuncfeorfimaliquiddicenduvideo,corifehcaneuiupradid:if» Triafunc, quib 9 nici videturhoriiinisfortuna, quOadnacuralia: Ahi- *®"?°*X? 1 9 Phy fiognomia Corporis , Gehip tutelaris quorum de primo ne- buTrebu" , mo dubicac alcerum occulcius , riec ica vulgo nocum eft ': de cercio nihil rne<Wib» nifi conjecluras afferre poflum. Deprimo hadtenus egimus , de Animofcilicec, exquoMoresdependenc;dequibusvulgiproverbiUmtri- nus dcpen-

;

^^k.

tum eft, quod Quilibetlicforcunasfua; faber quo didto fumma cotius hujus philofophiae parcis concinetur. Agc ertifn unum genus actionum morumque prius etiam exemplo fasminaj Cadtum, loco omhium ob 0.'

Sic enim func comparatae res liumanae, uc craflorum &populariterfapienciumhominum , noninvulgocancum>fedeciam

culos ftatuaraus.

inque facroordine,fempermagnacopiafic quibus difcrcci, critici, reformatores , moleftifunt, proque uirilicigacoribus habentur. Ucigicurprofperaquisucacurforcuna, eadico,qu£eeftex hominumccetubus;huic ecfi& judicio de moralibus redco,& labOre induftriaq; in rebus proprijs , a vulgo fecretis,opus omnino eflvoporCec carncnanimopinguedinisaliquid efleadmixcum , oporcecmoreseipopulares, modumqueagendicalemefle, quicraflb populoplaceac :ani>» minimiumfubciles&inquieci, nififerecipianc in aliquefeceflumftddiorum(hocipfo defpedti_& conccropci ),creare fibi folenc inforcunia* Y s Icaqut

inMagiftracibus

,•

de&t? r

bli

fo°t u u jj?

De CONFIGURATIONIBUS

172 €aP.

vir.

Icaque fi quis ex figura coeli Genechliaca conje&uras habec fuffU ciences, dequalitacibus Animi: conje&uramiseciamdeforcunaHo-

ministngenere,faciecnoninepcam,fedconje£hiram folam, praecereaque nibil fcilicec falli eciam ille pOceft , propcer intervencum plurium caufariim,camfupernacuralium, quamnacuralium Nam uc alcerum forcunx hominis fundamencum ex fuperioribus Facieifafci-aceerfam, dignacionemfc.vulcus;imaginacioquidem Macrum plurimum hujus confercfoecui, cocogeftacionis cempore,ut fsepe infoelicium parentum, (adeoq-, aliorum hominum animaliumve, crebro cum emphafi prajgnanctbus obverfancium) vultus mores & illis funda:

menciSinnixaforcunaconfimilis,cranfferacur in fcecum, Sedtamen,uc fupra Paradigmata mencalia Procli, mulciplicabancur animalia, viC a ta ^> mobiha, complicacafc. ideis vitaemocuumque; ficeciamhic chafoae ex' radter cceligenechliacus immergicurinfpeciem vulcus,occulcavifacutprefla. tacis formacncis ; agnofcicurque ex naci vulcu , occulciore adhuc fpe&ancium inftindtu : videasque , ad eos, qui fub copulas plurium plano-

tarum ance Solem^nafcuncur^J^u^og^ctfappellanc Aftrologi)copu» Vndeviscfok" ec ' am typhorijs

yjaaetaru.

quodam ccecu? hominum popularium. Cujus rei exemplumadomnempoftericacismemoriamcomendacum videreeft apud Hier: Cardanumin Genefi Lucheri : quanquam caufa? mocus publici plures concurrerunc. Qui fic nalcuncur(quanquam non '

veluci fafcino

una cerca forma praefcribi poceft):plurimum ij valenc auchoricace apud populum, plurimumfuftTagijs in conftlio, plurimum graria apud Principes Reip: quorum quidem & nacura refpondec icaque ftepe forcuna ftacaparcibus immerici, heque alijs idoneis animi vircucibus praedici. Refer huc reliqua , quaefupra de Phyfiognomia dixi , dicique amplius :

.. .. '

poflenc. Ceniorum cuftodu.

De Genio cucelari ceftantur divlna oracula, fingulis ijs fingulorun» hominum cuftodias efle accribucas, dacamque & admonicionem, & in-

Mauh. ig. cercelfionem ad cribunal providenciae dei Nullam hic poffcflionem hai-u«. if. habec Nacura rerum fenfilium : fi camen aftrologi cx chemace genech-

liacopramunciarepoffunccafusplaneforcuicos(nacuralicerloquendo) hoceft cales,qui ncque ex malis hominis moribus,ex cemericace, ex intemperanciairae libidinisve acciderunC, nequeavulcusdedignacione dependencquaeduoforcuna: fundamenca hactenus expltcaca func uc quod cegula de ce£to delapfa feric praecereuncem , quod rcpcantem in fylvis feric globus auc fagicca improvifa quodnavisdemerfamiferosve&oresrnediisexponicinundis quod flammishic incercepcus excinguicucille ruina domus vel moncis opprimicur ; in contrariurn , quod infperacam hic hajredicacem adit , illechefaurumfortuicoinvenic:fi inquam chemagenechliacum concinechorum cafuuindicia,qui pcrcinenc ad Angeli cuftodis munia cicra concroverfiam oporcec, &huiccuftodi3eimpedimencaexaftro geriechliaco provenirc, promocionefque concrarias ; quod num impiam fencenciam in feconAa pUnfc fortuit«ma cineacviderinc Theologi,praefercim ij,qui magno numero fcribuncgekp e " deaBt nefes&prognaftica. Experienciamego habeo, qualem dicam, nefcio, -*

,•

duorum hominum,qui cum effenc naci fub conftellacionibusviolencif* fimis

morefque fequerencurnon diverfi, adeo uc alterieorumludus CifffG

Harmonicis

LlB. IV-

175

,medioquevolacufunemarripere,aquofi CAp jam aberrafl.ec, a&um de ejus vica fuiflec: perniciem camen fibi cemeritace fua non accerfivifle func vifi.nam alcer eorum fulmine, alcer globo

eflec, falcuppraecipiciaferri

VlI

plumbeo a venacore i&us eft, cum is feris infidiacus, vifu & auribus abNecvideoquiccelum iftapoflic inhomine,cicragenios,quod Szpe pccca caeceraquaepoceft, omniaperhominis Animumcorpufve(quibusadta caufe

erraflec.

iftanullavisineftjpofledeprehendirun Illudmihinonfemelaccidic, for:uu "" quodcumdiu mulcumq.meexcruciaflem comiferacione quorundam forcuico pereuncium , qui mihi vifi ftinc inrtocenciflimi; candem ex fide dignis reicivi , vicam illorum prae casceris talem fuifle , qua facile bonus angelus uc apes fumo , abigacur , homo caxis cafibus, uc fine re&ore currus, permicci foleac,veluc emancipacus apacria Dei creacOris fui poteftace fuoque permifllis arbicrio , imo cyrannidi Sacanae. Cujufmodi aliquid num eciam de prius poficis exertiplis fit ftaCUendum , illiq; cafus Nenaefi divinae cribuendi, folus isnovic* qUi cordafcrucacur: qui vificac imquitacem pacrUm in filios, in cerciam quarcam generacionemi Verum de omriibus forCuico pereUritibus 4 abfic Uc eartdem feram fentenFa£ta hom* tiam. Sed vitae calem impietatern, conjeclores ex aftris videre non poffunc: nec ertim irt Cceli figura defcripCa furtc divina aUxilia,coricra pravas ex c«io. animorum iricli naciOnes,irt quas Cceli influxus poft apfum degenerac, noncorrumpens, fedcorrupcumirtcicaris artimum: mulcdfninusin 3a•

turnilivore, iVlarcisrubore,funcirifcripta,velutinPandecT:is,pcenarum gertera,peccacis firtgulis debica.Icaq; cum conriexio naturalis harum re*

cum ccelo immediacanulla fic: jam femel acquetcerum per hos 20 negoci/ qd annosdedi publice confiderandumjAn ficuc fpiricuales llli Provinciaru cum gencfi rurri

populorumquepraefidesafpiritibusinfidiacoribus impedirife cap. IX. DanielisquerUncur , ficeciamfinguloruhominugenijabaftrisnacuralicer quidem impediartcur qiio minus corhode refiflere pofllnt pote-

lcnu

ftatibus 3.his,7TcU>(fojU.ei nobis infidiancibus, lllaque

impedimenca pra>

videancurexchemace Naci;quodforcaffe eciam inGeniuminfluxic,non minusquara innafcentisanimum;acq;adea confequacuraliquageneralis naci infoelicicas ut hinc natum ficproverbium NuUacalamitasfola i Deus vero hunc nacurae invifibilium curfum non freqiiencer impediar, quia plerumq; eciam ex iilo impedimertco cucelse , boni aliquid procu;

novicquod periclicanci, fi is placec, bono cedac, fin difplicec, jufcas rum vindi&ae moclum impleat.Sane fi malum imminens non pocefl imped i- monitionss re Angelus cuftos, monecfalcem, occultismodis , uc imparacum penre non finac cliencem. Qualia praefagia monicionefque eciam ruinam il« lam moncis nuperam in Rhecis praecefferunt. Sic igicur hoc cercium forcunae hominis fundamencum falcem conje&urale nihil enim affirmo. Redeundum nunc nobis eft ad confiderarionemEffencixfaculcacisAnimceVicalis. Quaeri n. poceft > fichara- Qa 0(j fa^

rare

demu Nativitatis influic an igicur fcct9 in parcu de- f* hommis mu concipiac animae vicalefaculcacem, &ucrueum anceparcumina-p^p nimemdicam?Omnin6 propriamvicalera energecicamfaculcacecunc «cquak? demum a£tu concipic, cum a macre feparacur; ancea macernae flarhuhe vitalis radijs illuftrabacur per venam 6c arccriam umbilicales,qusc arce£ter cceli in pun£to

DeConfigurationibus

174

ter * a * n cor 8* fettS inferitur,feparato mcatu ab ijs duobus, quibus poftel propriam vita; flammam alens intus , hinc fanguinem inde aerem ex

vtr

pulmonibus hauric Qui feparacus cordis meacus , cum primo vicae die hter vi yat "f&cvy

anteparci

concidac, penicusque evanefcac ; uc mihiPragasinfucularecens edica monftravic Georgius Horftius, Haffiae Landgravij Medicus, naturae co« cius conful tiffimus hinc igicur argumenca duco , cor fcetus dum eft iii utero, non minusillomocufyftoles &diaftoles,quamrefpiracionecarere, eoque vicae propriae flammam in eo nondum incenfam efle. Ec uc infiftam analogize fidiflima? firmius:uci fe habec fumus ce£H lignei propcer incendium cofti , ad fiammam , quac illud fubico cornpic: ica fe ha* bec id, quod in fcecu praecedit, ad vicalem facuicatej ab ipfo parcu , auc paulo ancea ,incenfam. In hac igicur facultace Hominis vitali, flc incensa in partu, praxipuerelucec illudinftarMemoriaj, quod fupracciam in Anima Terras oftendi :cum canca ficconftanciacharadlcriscceleftis,omniumq-,Themacis Genechliaci parcium, canca durabiliras ejus in Anima, uc ance vitaefinemnon deponacur > cum adomnesplanecarum cranficusperlo» ca chemacis prascipua , CcCe commoveac haec faculcas,perinde ac filoca illa non eflenc imagines nuda?, fuperftices in anima , rerum quae dudum fic non unus, fed duo, verbi caufa, Soles tranfierunt, fed vera fidera; in ccelo eflent inque unum coirent; eoque coitu nacura faculcacis vi,'

Vntk*is_

pianewrd 5 er loca Ceaefsos.' -

talis

modo fupraditlo, commoveretur.

Teftimonium hujus reiclarifllmum, omnique exceptionc maju* eftincognationegenefeon, fubquibus parences, Scfub quibus eorum n Cum enim fcecus eft macurus,faculcas animae formatumadibe liberi nafcuncur. romm co- trix,& generacioni praefed"ta,tunc pociffimum fe accingic ad excrudenjnatae? ^ um foetum } eaque cxcrufione accendenda novam animx vicalem faculcacem; cum fidera in fedes macernae pacernasve genefeos, auc in con^ figuraciones eafdem reverfa,admonenc Animam fui ipfius, fuique cha<5«areg8-

Videlib.deftellanovafol.43'. Quid quod non tancum veros ttanficus planetarum per loca nati* themacis , haec faculcas obfervac ; fed etiam fuccefllones partium cce-* v ta fun^smentumli , quae in Genefi planetashabebant , inlocapraecipuachemacumquae «aturaie conftituuncur exaftis a partu diebus incegriss proportionem obfervans 10 " dici ad Annum ( uc cujus ucraque revolucio Terrae a Copernico tribuiamm. tur),eaquc proportionc opera fuaper totam vitam Hominis difpenfec, utquantolongioreftAnnusDie , tanco cardius EfFeclusfuum indireftione Signum fequacur , quam Signu in dire&ione parcum infequicur? Ucicaimpreflloha;ccceleftisnonquifecens tancum durec, fed etiam durando, fefe motu extenfionis, in longioravicae tempora propagec

ra&eris

cazleftis,

Nimirum haec facultas non cancum circulus eft, fed motus eft circularis idealis & isgeminus, eftdeniquc , per mocum', eciam Tempus ideale. Videfuprafol. r 17. Procliverba. Cujusrei Exemplumrurfuma ,

Memoria, qua;paul6fuperior

eftfaculcas, pecerepoflumus.

Namin

cabulaquidempinguncur,rcscancum cum circumftantia loci in me'

moriavero,confervanturrcsgefta;,etiamcumchara£l:eretemporis:democuum temnique in hoc negocio Direclionum,chara£ter ficuum

pore

Harmonicis

LlB. IV.

175

pore decurforum mulciplicatur in operaciones,obfervata proportione fenfili mundana,revolutionis diurna; ad cranslacionem fub Zodiaco annuam,- fic ucoperacionesjamdiftentraciOnecemporis,afuisftimulis. Dixeris cum iplo corpore Naci, crefcere&cempuscharadterisGene-

VI!

mocuum.

thliaci

Quicquid igicur Aftrologi , De Vicaelongicudine , prsedicere ex ^4*1°? themace praefumunc, cocumilludinhoccapucconcrahicur : Diredh-mortisan-

onum

nusexaftns

praeludijsex Themacisgenechliaci veluci pulpicovicalem faculr i. rr €

ptaedicipof

tacem lnrormancibus, quopotilhmumannovicae, humorumunusvelfi c

alterredundans, excorporeexcurbari,aucfoIlicitaridebeat;ftimulus ld £'"* is eft Nacurae, ad peragendum opus fuum excraordinarium , quod vicae Q3 proroganda? cedac: mors in aftris, in ThemaCe, in Diredcione nulla; ne- C c. cau dum varia; Morcis.formae: maceria corporiseft , quae flammam vicasMortis enu,na: se S velinundansopprimicveldeficiensdeferic , quae nacurae conacus impedic,adqueperniciem decorquec: peccacum eft, quodgenushun a-

numconcelfoolimimmorcalicacisremedioprivavic: quodeciamnum Angeium cuftodema cucelavitae, concra daemonum, hominum, elementorumqueinfultus, abigitjimpediCjrepellic. Seddehac re pluribusav5endcmeiTecinAftrologia,cgiquenonconcifenimiuminhbro force eric feq: > d3 ftella fol 4j & in Tercio invenience Num. 65-. uclibros Joh; Fici Mirandulani cum commencario edam ; fi me rem ftudionsPhilofophi«gracamfa6burumincelligam,necmedijsnecefl~a-

rijsfuerodeffeucus.

Nunc quia adfinem propero, com^arationem iubjungam,vitalisR ati ° &vis in homine faculcacis, cum Anima Telfuris causa influxus cceleftium feug^adus videcurque haec effe, quod Anima Terrae circulus calis fic qui nufpiam afcendentis 1

habeatinicium velfinem 3 necabaliquafuiparceficnexus;achominis inGencfl faculcasvicalis circulo comparacur, apluribuspundtisvelucinexo: caufaeft, quia Charadteregenefeos AnimaTerr^nullumhabeCjCumfemper eadem maneac, nunquam nafcacur auc incendacur hominis vero nacivicasrecens,morcique propinqua» charadterem orcus fui recepic, qui Zodiacum cercis inicij fimfque pundtis incerpungic Ec Telluri qui- Mundi Gc dem, quamvis charadterem Genechliacumex prima die Creacionis cri-nefis. buas totum tamen cceli fpacium femper illi eftobvium , nihil in illo racionem habec principij finifve, ortus occafusve ; Homini fuperficies Telluris dimidium cceli occultac , orcus occafus figna diftinguic. Patet igicur comparacionis racio. Adeoque vera eft ha?c comparatio.vitalis in adtu conftituca?facuI-£ ri< um „ *

,•

/-!•

rundamea.

ri. cum circulo nexo ex cercis pundhs; uc eciam lub pnncipium mor- tum •

tacis,

nova fc.energia vicalisfacultatis,feuadho ^"* mor ejusexcraordinaria,nacuralis , praeter nacuram tamen confticucionis

bi(quinovaquafi vica

eft

uficacae,humorem noxium e corpore excurbare nicens) locus quem lu-

na pofledit , influat in Animam vimque concipiat veluti verae alicujus Lunae, in hocfuo gradu immobilis: ad cujus quadrata & oppofita loca fi luna vera in ccelo perveneric , Nacura hominis excimulacur , ad agonifandum cum morbo : Hac re nicicur dodlrina Crifium , de qua facis ac,

curace egi in Tercio inccrvcnience,

Num 70. & fequencibus. Sacis

176

DECoNflGU&ATlONiBUS

Sacis in praifencia di&um efto,

cap. YIL

de human* eciam Anim» facultawj

fa£et jore deque uniVersa hac maceria. .

Porro haec egode Anima difpucavi ha&enits , non equidem hoo , uc philofbphia; divinas fhidiofos pemtns avocemale&ione Mccaphyficorum auchorum : ucve coc Placonis Anftocelis irieer-

confilio

Arabibus, LacinisvPlotino. Themiftio,Simplicio, Porphyrio, Alexandro, Averroi, &quosiile allegac fuae gencis non paucos, Boecioque, &recencifllmofubciliffimoquel- C Scaligero.de Anima, dequelncelligencijsdifpucancibusocu.,

precibus , profuttdiflima; ittdagittis,

(jraecis,

los configerem : feduchaecexmeaprofeflione , cxque incimohujus operis Harmonici penu deprompca , nec dum ca&a abijs, quod fciam , confiderationibus illorum, veluci fupplemeflci loco,adjicercm;unde ab

qui pof! me fefe huic concemplacioni Mecaphyficae dedicuri, auchoresdi£cosle&uri,noftrahaecvcluci experimenca, cumillorumradociucrumque ad alcerius limam liberrima racionis iiacionibus collacuri , (quodfaceor a mehacvicefattumefTeminimc),, func exa&uri ccnfura

ijs,

hsec Mecaphyfica; fcienciaepars dcnique iliuftrjor &loeuplecior,omnibufq; numeris abfolucior confticui poflic: quod uc ad gloriam No* minis fuperbcnedi&i, Dei Creacoris Vifibilium Invifibili-

um, inq; augmencum fan&moniae & innocencis vicas goncemplacorum.deniq» in falucem arcernam plufimirum Animarum cedac, illumipfum

Dcum Trinunum fuppkx ,b

f iftis

prccor.

Libri Ite

KEPLERI

IO.

Harmonices Mundi ~"

LIBER

DE HARMONIAPERFECTISSIMA

MOTUUM CCELESTIUM,

orcuque ex ijfdem Eccencricicacum,Semidiamecrorumque Temponjm periodicorum.

Adf!srj7if.p%deflrlji^ efirensmicz hodiernt eineodntijjVaix, Hypotbejeia, CaperniiL

fed&

TjAonis Brnber.quarum xlterutre

bodie, Ptolematcinintiqn»tiS,nt

icrijjii&£ , pi:bltce i ecisitmtHr.

GiLEKU! DE USU PARTIUM LlERO

III,

Xigjv /Xsyov hyad , tS $hfjuxgyli<ruji>}(&j rifjLctg vpLM> cbwfavw

mviiun^i^fLj yofiiifyyTxr

etvcu

tIw ivo-£t%etttJ»,ov% \t Tav^oav ha->

TOfifiag axtla 7rct it7rdrhctc narMtroufja t

fjLv^, SvfiicLo-ctifjLh vgj actoictg' a79\

ygjiToig

aMotg

tcL afhattvtfLct

yvoilw w\v dvlog,

zvretfo,

i^Yiynffcufudwi ologjULev fci tIw o~o(bicvi, oiogle

t!w

J iwa-[jLLV,o7roiog J% rlw ênôTnra. roydg a.oo-fJLeiv lî/Xetv aTTccv>

^j tov

h Sk%Qi${jov itoQ-fjLov, y$Jj fjLnfevi (pftoveiv tw dyaQ£v,Trig Ti-*

/\eid&T<\g

ysgVTo^og lya c^etyfjLct Ti§i{JLCV.\Y$\ tcwty) fj&p ag dya-

dogrjfxiv vfjLveiij-®

ro^cegdv

fjLcthtqav.o^fL-f^m

vrdvk^ev^eiv

ax.&.go-Q<piag , to t&xgy tycto-cuTTavff oo~a 7rgoet/x£lo,

^twufjLZtog cIyitIyitx.

Ueft:

Sacrum fermonem, hymnum Dco Conditori reriffimum ordior, pietatem hanc efTe ratus,oon ut he catombas illiTauioruin plurimas immolem,odores innumeros adoleam & Cafiam: fed ut primum Ipfc difcam,pbft & caeteros doceam,& quantus ille fit fapientia, quantus potentia , & qualis bonitate. V c lle enim omnia , quanto pofTet ornatu, decorare , nec ulli Bona fua invidere ; id ego Boaitatis confurnrnatiffima: documcntum ftatuo ; haftenusq; ut Bonura •elebro: Omnia verb invenire, quibus quam maximc eiornarentur,emiuentiflima: SapjentlSi Onmia deniq;, quae ftatmcrat , in opus produccre, Potentise iniiipetabilij, -

Ctm 5.

M. rrfciUpndannes JCK

LTNCII AVSTRIjE Excudebac Johannes Plancus,

ANNO

***

M. DC. XIX,

i7Â§

DeMotibusPlanetarum Prooemium.

^^lj^^Vod ante duos & viginti annos primum at,

quinque folidasinterorbes coeleftes reperi ^hjmauguratus;qdodfirmiceranimoperfua(imeo,priufiljSque figuras

jPJA

f-,.

pfLji i,imjfc a ^ m Ptolemaei Harmonica vidiflem;quod ciculo libri hu\

awWs^^jusquincinuncuparo^priufquamdere

iplacercus eflcm

quodance fedecimannospubhcofcripcoqua:rendum inculcavi ; cujus causa vicae parcem opcimam Aftronomicis concemplacionibus impendi Tychonem Braheum conveni Pragam fedem elegi id candem, Deo Opc.Maximo, qui mencem infpiravejat deiiderium ingens excicaverac vicam eciam &: vkes ingenij proroganpolliclcus

fumamicis

;

ce,mediaquecnetera, perduorumlmperacorum ,'hujufqueprovinci<e

Procerum liberalicacem,fuppedicante,defuncl pnus Aftronomica provincia quancum fufficiebac candem inquarn inlucemprocuh fupraquequamfperareunquampocui, veriflimum deprehendi; ToramHarmonicesnacuram ,quancaquancaeft,cumommbusfuis parcibus,libro III. explicacis, incerMocuscoeleftes reperiri; non eo quidem modo, quem ego conceperam animo; pars haec eft nonpoftremameigaudij ; fed diverfiflimo alio , fimulque & praeftanciflimo & perfe&iflimo. Acceflic hoc incermedio cempore , quo me Auftria: Supr-Anifanae

fufpenfumcenuit Mocuum refticuciolaboriofiflima, praecipuum & cupidicacismeceincremencum,&propoflci incicamencum le&ioHarmonicorumPcolemsi ,qÂŤaemanufcripcamihicranfmificVireximius, adquephilofophiam, omneq-, adeogenuserudicionispromovendum nacus, Johannes Georgius Hervvardus, Bavariae Cancellarius: ubi praeter expe&acionem , & fumma cum admiracione , inveni, cocum fere librum ejus cercium in eadem concemplacioneHarmoniaecoeleftisinfumpcum, ance mille & quingentos annos. Verum id aecacis mulcum adhucdeerac Aftronomia:;pocuicque Pcolemzeus , re infoeliciter cencaca,defperarionemalijsobjicere ; ucqui cum Scipione Ciceroniano pocius fuave quoddam fomnium Pythagoricu recicafle , quam philofophiam ad juviffe viderecur: ac me cum ilja veceris Aftronomiae rudicas, cumhicipfe medi:acionumucriufque,ex quindecim faeculorum incervallo, confenfus ad amufsim exa<ftus , vehemencer conflrmavic inurgendo propofico. Nam quid mulcis opus? Ipfa rerum Nacura fefe prodicumibachominibus,perdiverfbsdiftantiumfaeculorumincerpreces: digitusDeieracuccumHebraeisloquar, hicinAnimis duorum , qui fecocosconcemplacioniNacuraededidifTencsde conformacione Mundi,concepcus idem cum neuceralceri dux fuiflecad hoc icer ingrediendum. Jampoftquam a menfibus o&odecim prima lux , a tribus,dies jufta , apaucifsimis.vero diebus > Sol jpfemerusiliuxit con,

cemplationis admirabilifsimae ; nihil me retinet , lubet indulgere facro furori , lubec infultare mortalibus confeffione ingenua , rae vafa

Harmonicis LlB

\79

Ded meo Tabernaculum ex iji conftruam, longilfime ab iEgypci firiibus. Si ignofcicis , gaudebo ; fi fiiecenfecis,feram:jacioen aleam, librumque fcribo , fcu prasfenciVafa aurea yEgypciorum furari, uc

bus,feu pofteris legcndum, nihil incereft expec~tecillc'fuum lecloiemper anrioscencum fiDeusipfe per annorum fenamillia coacem:

,•

placcrem praftolacus

eft.

Capita hujuslibri fuiit ift&» t,

De quinqutfblidisfiguris Regutaribui. Decognations cum ijs , proportionum HarmonicarunLs.

II.

IH.Summa dotlrink Aftronomicd,necefaria adcontemplationem Havmg* fiiarnm ccekflium^.

IV. Quj.bus in rebus ad Planetarum motus pertinentihus exprejfk fint Harrnomg Jimplices , tf qubd omn&s illa in Ccelo reperiantur , qu<e in CantU infant.

V. Cl* ves ScaU Muficx,feuloca

Durum z$ Molle

Syflematis, gf Genera

Harmoniarunts^

a certis motibusexprefa efle_s.

VI: Tonosfeti Modoi Mufiios,ftngulos quod&mmodb ajtnguks p/anetis ixprimi.

VII. ContrapunEfa ,feu Harmonias univerfales omnium Planetarum^i tafque diverfas , aliamfcJicetex alia, exiflerepofie_j>.

VI II. Tenoris

In Planetis exprefas efie naturas quatuor vocuhis, Difcanti , Alti ,

Bafi.

IX. Demonflratio , qucd ad oltinendamhanc difliofitionem harrnonicants > Eccentricitates Piandnrum ill* ippt , quas quilihst profe hab&t,^ non a/iigycon*. fiitui dehuerint,

X. Epihgus de Sole , ex conjeUuris prxgnantijfimis ^Append.ix hahe-t :

Verfionem lihri

iertij

Harmonicorum Pio/emti aca*

pite III. quji trackst eandem materiants. II.

Suppletionem textus Ptolemaici

irttrihusultimis Ptolemsticapitibus i

quarum lemmatn fblapofeit Pto!em<cus. III. 'A[otas adhanc partem Harmonicorum , quibus Mthoremexp/ico,rc$ fUto,eju*<L ve/invenlzt ve/ attentatu cum msis comparo.

his

a&uro mihi lubet

Lec~toribusiriculcareTi-*

Gencilis philofophi , de ijfdem exordiencis, adhorcacionem fant"tiffimam , aChriftianis hominibus furnma. cum admiracidne &puiiiaji

dore,niilimiCericur,cogriOfcendam;qux

Tovto yi h\ 7rAc ,

caliseft.

A/A &2&)X^£-

$$$.yy (rtoty^jQvm (*.iri^amVi^Bi 7rd<rti o^fjuni^ <TfjLi}t^y{gj\ ymytxNd itZ&ypLarpcJdio* )

ocroi,

xotfgi

dii7mKci}\mv 3 rifjLoig^i raV<afe<

ITANT02 T^yxs 7roM&cU

IgO

DEMOTIBtlsPLANETARUM

jgij .9-sots

c^fcoAy^syyc

§i$v fj.0LM<;cL

&;££<&-£« ttolv^

zmjLizva)$<&v[Atvei7reiv.

xa&c *d«£ smvois

Enimvero Socrates

cumomnes qui vel minimum Mencishabenc, quocies negOciumalU; quodfeulevefeu arduumaggrediuncur, Deumfemper invocenc Nos ucique,quibu9deRerumuniverficatediuerere anirpuseft , nifiplane ab omai fanaracione aberramus, neceflc eft, Deos Peasque vocis concepcisprecariunanimes, uc calia dicamus , quas primum ipfis maxiiae, deinde & vobis fincgraca & accepca. :

CAPVT

Dequinque Figuris folidis repjulanbus.

Vomodofigurxplanaeregtilares congruerenc ad Jbrmandas folidas , didum eft libro fecundo : de quinque nimi* ruru foliths ( incer caeteras ) propter planas' ibi locuti fumus. NumeC CU rus camen illarum qumarius ibi defnonftratusfuk i addicumque, cur ifripti ^ . cui quaelibec Elemenco, umbranc illas Muiidaiwe a Placonicis denominaea; > «freuli an-

Sphsrics, fcdilla pa« J&msjora

quamque ob propriecatem,com# paraca fit. Jam in hujus libri ve-

circuli&

ftibulo rurflim de his figuris,ob

liis

funt concijpienda,pr«

ob planas , agcndum quancum quidem fufficic

feipfas,non

terquam

eric

in 5. ut

ad Harmoniam Cceiorum : caecerareperiecle&or in Epkomes Aftronomiae parce alcera, libro

fci-

licet srer£

ornsies fig«

tx angulo*

ftringant.

Magnitu«linis ratie

hocfchs

jnate hxe fuit abfer»

Tara, uc Sphxricurn

ipfiusf.paC fit infcnbi i»4.hujus i* ceru Sphajricum in h-

guraj.& h» Vos in 1. & hujus deni q;fphxrictt

inlCubum «angenso-

ma>a ejus fex plana, ia centris f(U9>

qqarco.

Mundo,quafum

cres primaria: ,

duae fecundarias.

Cubus enim 1.

exrimus &amphflimus,quiaprimigenius,6cracionem habensTofi«f,ipsageneracionis fiiae forma. SequicurTecraedron 2.tanquam lars feclione Cubi coftkuta, primaria camen ipfa, angulofblido trilineari,ut Cubus. Incra Te-

tracdron eft Dodecaedron^. VItima primariarum , fimilis fcili, ccc Comj>ofit& exCubipartibus»Tccraedriumihbus,idefti ex Tecra.T edris

HaRMONICIS

LlB. V. *••

•

$dris irregular ibus , quibus ccgitur Cubiis iatus. °

A—

ret

Huic fuccedit Icofae-

Tetrao-

_—-m

-"^»a

JgTfeprforifc

cubo,fic

s^~\**.

«tACD.tegatutab u,

no cubi an-=

guloACDB

.=,

tlron4.obfimilitudinerri,ulcimalecundariarum, angulo folido pluf ilineari Utenti-

XP^C^^Y-

V^"""!^^

am. IncimumeftO&oairon5«Cubifimi-

infecunda «pp» retCubui

figura

&™?

Ht$&l

AEDlatehs

Fjfim

\L^^^^L^^

ir^jlJ £t*m^o&

^^^tyMmM? ^wmwr

jibitCubi &primafigurafecundanarum,Cuiidcd primus locus mceriorum debecur, qUippe infcf ipcili; titi Cubo circum- jjgj^jjj tuta duob» fcnptili primus exceriof um. \c,

Suncaucerrinocabilia du<* veluci conjUzia a ' w /^i...j -, /, jq .

a eharum figUfarum,exDoaec m dri angulis

feuPgtaedro

jABCDE quod

eftfei

ttilein tria

Tetracdra diflimilia

perduo 1

plsi

«a.DCA,

&ABD. Hic vides Octaedro (l infcriptura Cubo; Ico-

fiedronDo* decaedre» Tetrae-

dronTa» dircrfis cdmbinaca elanibus:Ma=tra«d«>.

rcs,

CubUs

Dodecaedron

ejt

ptimarijs> fcemiftar, Gclioedfcm

ICollcdrOn ex fecundarij^quibusaccedicuniVeiucicoeiebS aucAndrogyriosjTecraeciron; quia fibi veluci fubjiipfi infcribicur , uc illae fcemellae manbus inlcribuncur ciuncur,&fignafexusfceminina mafculinis oppoficahabencangulos

feilicec planicicbus.

velud cofta CuPraecerea uc Tetraedron eftelemencura i vifccra pars Tecraedri , abi Maris ; fic O&aedron fcemina , eft elemcncum iia racione ica mediat Tecraedrort in hoccOrtjugiO. Praecipua connubiorum feu familiarum differCrtcia in hod confiltit;

quddCubicaequidem £^S//«e{tproportiOjrtam TecfaedrorteftTri«ns de corpore Cubico, Odtaedron lemiftis de Tetraedrico , fexta pars Cubi Dodecaedrici vero conjugij proportio eft lneffahilis quidem , :

fed Divi/t/Li.

Harum duarum vocum copulatio jubet cavere tedori de earura Vox enim Iheffdbilis hic non dcnotat per (e nobilitatem ,

(igiificacu.

auquam » uc alias in Theologia & rebus divinis i

fed denocM «oniicio-

fi««

182

DeMotibusPeanbtarum

nem dcceriorem cfFabilia

mulca

fiirit enim in Geomecria , uc libro primo di&um , in* quae non ideo parcicipanc divina proporcione. divina proporcio (fedtoria pocius diccnda) ex libro pri'

Quid aucem fic mo pecendum eft.

Alijs enim prOporcionibiis fuppecunc fui quacuor cermini, bcContinux rerni ,divina requiric eciam fingularem termino-

rum habicudinem, prseterquam proportionis ipfius, ut fcilicet duo termini minores iuparter confti tuanc majorem , ut totum. Huicigicur Conjugio Dodecaedrico quancum deceffit exeo>qu6d >

proporcioneucicur?»^v«^/7/,tantumexeovicifTimaccedit

quod

in-

efFabilis proficic in divinam.

Habechoeconjugium&ftellamfolidarn >cujusgenefis eftexcontinuatione quinorum planorum Dode# caedri ad concurfum omnium in pun,

unico vide genefin ejus libro II. Ulcimo noranda eft proportio Orbium eis Cumfcriptoru ad Infcripcos quieflinTecraedro efFabilisj utiooooo ad 555-33 veluc 3. adi. inCubicoconjut~to

;

gio inefFabilis , infcripci camen femidiamecerpocenciaeffabilis , radixdecertiaparcepotentiaediametri, ;fcilicetuc

100000 ad

/773:5

in DodecaedriGQ

conjugio plane inefFabilis

100000

ad 794.65; in ftella ,ut 100000 ad 52575 j itimidium lacuslcofaedri, feudimidiumdiftanci«duorumradiorurn«

GAR IL De cognationeProportionum Harmonicarum,cum quinque Figuris Regularibus.

Aria

& multiplex eft haeccognatio

Sunttamea

quacuor pociffimum gradus. Nam auc defumicur indicium cognacionis ab excerna fol&m fpecie , quam habenc figurar auc cum ipfai laceris conftru&ione nafbuncur proporcionesesedem, quae & harmc* nicae ; auc refulcanc ex figuris jam conftruclis, fingulis vel june~tis>auC de* niquc vel aequales vel vicinae func proporciombus orbium F iguf £. Primogradu Proporciones,quarum chara&erfeu major cerminus eflj. familiaricacem habenccumplanoTecraedri, Oftaedri^Icoiasdri Triangularh quarum vero major cerminus 4; cum Quadraco plano Cu? bi i quarum 5". cum Quinquangulo plano Dodecaedri. Pocefthaecfimilicudoplanieciamexcendiad minorem proporti©nis terminum; ut ubicunque ternarius juxta unum ex continue duplis' *

iwrcnicMr, illaproporcio habeacurfamiliaris cribus figuris primo nominacis

HARMONICIS & 2. 3. & 4. & g.

LlB. V.

185

&c: ubi vero quinarius , ea proporDodecaedrico: uc 2.5. 4.5. 8. 5. Sic &.24./.Minusprobabiliseritcognatio;fifum* 3. io.&6.f. j. 5 &J2.5. macerminorum exprimathancfimilitudinem,utin2.3,junc"ti termini faciunc 5. quafi ideo 2. 5. ficfamiliaris Dodecaedro. Similis eft cognacio ob excernam fpeciem anguli folidi , qui eft primarijstrilinearisjOcloedroquadrilinearis , Icofaedro quinquelinea» ris:icaque fi proportionis alcer terminus communicatcumcernario, proporcio enccognacaprimarijs corporibus jfincum quacernario,0» dtaedro i denique cum quinario, Icofaedro. Sed in fcemellis hsec cognacio eft fpeciofior , quia fpeciem anguli fequitur eciam figura characleriftica,lacens incus, in Octaedro Tetragonus, in Icofaedro Pencagonus Icaque^. 5. propcer ucrumque, efTecIcofiedricaefe&ae. Secundusgradus cognacionis , qui inorcu confiftic , ficeftconcipiendus. Primum func aliqua: proporciones numerorum Harmoniminatis ut

1.3

tio abfblute vindicecur conjugio

eae,familiares uniconjugiofeufamilias>fcilicecperfec~teeproporciones

eftviciffimproportio,quaenunquam plenis numeris exprimicur , nec alicer per numeros demonftratur , nifilonga illorumferie, paulacim ad illam accedencium : quse proporcio Divinn dicicur , cum perfe&a eft ; regnacque varie per conjugium Dodecaedricum illam igitur proporcionem incipiunc adumbrare iftae Harmonia; j. 2.&.2. 3_& 3.5. & 5. 8, Nam imperfe&ifilmeeftin 1. a,perfediflime fingulae,familia: Cubica?

;

&8- junc~tisinunumj3.fuperponajam definereceffeHarmonica. Porro ad confticuendum lacus figura?,fecanda eft Globi diameter & poftulat Octaedron ejus bifectionem Cubus & Tecraedron trifedionem, Dodecaedricum conjugium Quinife&ionem. Diftribuuncur

mus

§.

perfeclior futura,fieciam5.

8" nffi harc

Proporciones incer figuras fecundum hos numeros , qui illas Secacurverd&quadracumdiarnecri, feu, formacurlateris figuralis quadracumjex cerca ejus parce. Et tunc Lacerum quadrata cumDiametriquadraco comparancur, confticuuncque fic proporciones,Cubicum 1. j, Tecraedricum 2. J. Octaedricum I- 2:quare juncta bma Cubicum Octaedricum 2. £. Tecraedricum j. 2- Cubicum Oclaeiricum Tecraedricum 5. 4. Dodecaedrici conjugij lacera fiinc igicur

exprimunc

inerTahiiia.

Tercio figuras jam confticucas , Harmonica; proporciones varie confequuncur. Aucenim Numeruslacerumplani,comparaturcum numero lacerum figurae cotius: oriuntur hae proporciones , Cubica 4. j2- feui.3. Tecraedrica?;.6- veli.2, Octaedrica^. n.velj. 4 , Dodecaedrica /.30. veli. 6,Icofaedricaj.5:o.veli. 10. Aucnumeruslaterum plani , comparatur cum numero planorum : tunc Cubus dac 4. 6. vel.2. 3 jTetraedronj.^jO&aedron 3. $, Dodecaedron 5. 12 , Icofaedron 3:. 20. AucNumeruslacerum vel angulorum plani cum nu-

&dac Cubus4.g. veli. 2, Tecraedron 3. 4, Octaedron 5. 6. vel j. 2, Dodecaedron cum Conjuge 5.20 &j. j2, idefti.4. AucnumerusPlanorumcum Numero folidorum angulorum ; & dac Cubicum Qonjugium 6. g. vel 3. 4. Tccraedron

merofolidorumangulorumcomparacur

;

sequalU

184 eap.h;

DeMotibusPlanetaruh

eequalitatis pr oportionem ,

Dodccaedricum Conjugium 12. 20 vel 3 5"« Aut NumCrus laterUm omnium cum Numero angulorum folidorum: & dat Cubus $. 12. vel. 2. 3 Tctraedron 4. 6 vel2. 5, Ottaedron 6- )Z. vel 1. 2 i Dodecaedron 20. 30*vel 2, 3, Icofaedron 12. 50. vel 2. 5. Comparantur verd & Corpora inter fe , fi Tetraedrum in Cubo fit abditum Oclaedrum in Tetraedro 5-: Cubo, infcriptione Geome.

Tetraedronefttriens Cubi,0£taedronfemiflis Tetraedri, fexta pars Cubi,ut id Oclaedron,quQd eft infcripcu globo, eft fexta pars de Cubo.quiglobocircumfcribitur.Pveliqu.orumcorporafuntincffabilis. Quarca fpecies feu gradus cognanonis eft hujus Operis magis proprius ; quod proportio exquiritur., Orbium figuris infcriptorum £;d orbesijscircumfcriptos; &expendicur, quxnam proporcionesHarmonicae ijs approximent.Nam in folo Tetraedro diameter infcripti eft efftbilis pars fc. cercia circurnfcripci atin Cubicoconjugio, proporNani tio, qiueunica ibieft fimilis eft lineisfola potencia efFabilibus. OrbisInfcriptidiametereftaddiametrumOrbisCircnmfcriptijiiiproEcfiproporcionesipfasincerfecompares, Teporcionefemitripla. traedricorumOrbiumproportio eft dupla, proportionis Cubicoriun orbium. In Dodecaedrico conjugio, proportio orbium rurfum eft uIgitur Cubcftaedrica; nica , fed inefFabilis , paulo major quam 4, e, proportioniorbium,approximantexHarmonicisift£e,-i.2. utproxime major , 3. 5. ut proxime minor Dodecaedricae verd proportioni orbium approximant Harmonia; 4. /. /. 6. proximeminorc^s, 3. 4. 5-. g. proxime majores. Qudd fi ob certas caufas vindicenturCubo 1.2.& i.3:crunt ut pro* trica:

portioCubicorumorbiumadproportionemTetraedricorum

fichas

& 1.3. Cubo tributae,ad 1.4 i.9,Tetraedro tribuendas, Harmoni'£e fiquidemutendumfuerithacanaIogia:funt enim hse proportiones lllarum Harmoniarum duplae.Et quia 1.9. non eflharmonica;fuccedet illi proxima Harmonica 1. g. pro Tetraedro. Dodecaedrico vero conjugio per hanc analogiam venient fere 4. $-. & ^. 4. Nam ficut Cubicorum orbium proportio eft fere tripla Dodecaedricorum , fic etiam 1.2.

Harmonis Cubicae 1. 2 & 1. 3 Nam4.5".

funt fere tripls Harmoniarum

triplicacafit64. )25-:&i,2.eft6 4. 12 $.

fit2 7.<S4.

Sic

<;.

4«

£.4. triplicaca,

&i. 3-cftz7.$i.

CAR

111.

Summadodritt&Aftronomica^ necefsaria ad

contemplationemHarmoniarum Cceleftium,

•tnitio fciant

hoc le&ores, Hypothefes aftronomicas

•^antiquasPtolemjei

quemadmodum ilkefunt explicata? in The-

penitus efle re-

moven"

Ha&MONICIS

LlB. V.

185

, exque animo ejicLendas': nontra-CAP.iii; duncnamque veram & Corporum mundi dilpoficionem & Mocuum

aiovendasabhacconfideracione

policiam.

In earum locum ecfi facere alicer non rjoflum , quin Coperniei de mundo fencenciam unice fubfticuam 8c fi poflibile eflec omni>

Hypothefes

°P" n1 "-

busperfuadeam:atquiaresapudvulgusftudioforum, eciamnum nova eft , &: dogma andicu plerifque abf urdiflimum , Terram ex Planecis unumeffe mcerque fidera ferri,circaSolemimmobilem:fciancigi,

rur , qui hujus fencentia: infblencia offendurtcur: fp<rculaciones has harc%8 mpotbefe tt f\ t~ t. i monicas eciam rn Hypothenbus Tychonis Brahei lOcum obtlnere > Tychoms propterea quod Author ille , caftera oninia qiiae dilpbfitionem cor- Btahei. porum St conceniperacionemmocuumaccinenc, cUmCopernico ha,

•

beccommunia ; fblumTerraemocumannuum Copernicahum

cranf-

cocum fyftema OrbiumPIanecariorum,inqueSolem,qui c , aratja ejus medium obcrnec confenfu authbris utriufqiie. Narri ex hac cranf- UKfl»fqus latione motus fic nihilominus, ut terra fi non in vaftiffimo illo & imrnenfofpaciofphterajfixarum , ac falcem infyftemace Mundiplanecarij, locum obcineac quovis cempore eundem apud Braheum , quem ei dacCoperaicus adecqueficut qui fuper papyro circulum fcribic jspedemcircinifcriptoriumcircumferf, quivero papyrUnifeu tabuferc ipfe in

lam

affigic torno volubili s isimmocopedecircinifeuftilo, circulum defcnbiceundem,fuperdecurrencecabuia: ficeciamhic , Copernico quidem Tellus eirculum mecacur , motufui corporisreali mediyni incedencem intercirculos,Martisexteriorem, & Veneiisinceriorem* 3C Tychoni Brahe , cocum fy flema planecarium ( in quo incer cajteros, funt etiam Mart js.& Veneris circuli ) convercicur , velut cabtila in torno , applicans ad Terram lmmobilem , ceu ad ftilum cornacoris, inter/ticium inter Martis & Veneris circulos: ficquehocfyftematismotu, uc TellusineofigneteundemcirculumcircaSolem , Martij &Venerij incermedium , ipfaperftans immobilis : quem fignac apud Copcrniquiefcente fyftemace. Cum igicur Har- VaIet Ha5cum , motu vero fui corboris r /. , L momca coH / monica concemplacio confideret mocusplanecarum eccencncos,veluc tcrn piat io ex Sole vifos facile dacur incelligi , fi quis concemplacor in Sole inHypothe ra C1 eflecquancumvismobilijTerramiHijquamvisquiefcencem (uchoc jam concedacurBraheo) , nihilominus vifum iri decurrere circulu annuum,medium irtcer Planccas.temporis eciam incermediofpacio.Qua,

re ecfi quis eft imbecillis fidei homo, qui mocum Terrae inter fidera capererton poceft.-is nihilominus gaudere poteric divinifllnai hu p machiriamenciconcemplacioncpraEftanciflima,fi,quicquiddemocibu8diurnisTellurismfuoEccencrico audicidad apparcnciameoruminSole applicec , qualem apparertciam etiam Tycho Brahe exhibec, Terra j

quiefcente.

Nequecamencaufamhabenc juftamveriSamiaj philofophiae cul- t hma^$ia tores,invidendicalibus,communicacionemfiancdeliciofiflima;fpecu- Co per «icju. ais. lacionis: ut quorumgaudiummukispartibus cricperfec~tius, quippe ex (peculacionisconfummacaperfe&iortc; fieciamSolis immobilicacem,

T err s vero mocurq accepcaverinc, At

PrimHm

DeMotibusPlanetarum

i86 f Quo"m

Primum igitur hoc ceneanc Ie&ores > rem hodie pehes aftrondmos omnes efle certiffimam, quod omnes Planetae Solem circumeanc,

«orporam <ucumi "°*excepcaLuna

quae folaTerramhabet procentro :cujus

quidemor-

tuam Hai- bisfeBCurriculiquantitasnoneft tanta,ucinhaccharca delmeari pofjnonias, Accedic igicur quinque reliquis fic in jufti proporcione ad csteros. fexcaTerra, qucefeumopropTiomotu,quiefcenteSole, feuimmoca

&converfococoPlanecarumfyfternace , fexcum & ipfa circulum Solem defignat. circa ., 8. Qii? diSecundo j cerqum & hoceft Planecas omnes fieri eccencricos , id mucare incervalla fua a Sole fic uc in una parce circuli fianc a Sole eft > iri morum corporum remociffimi , in oppofica proxime Solem venianc. Ih adjecto fcheantervalhs. ro fingulis planetis facti func circuli cerni,quorum nullus indicac mace p viam ipfatri Planecas eccencricam, fed mediiis quidem,ut in Marte BE, eft aequalis Orbitae eccentricae , quoad longiorem ejus diamecrum Oripfa,

bica verd ipfa , uc

fuperiorem ex cribus , ab unajplaga , CD ex oppofica D? Circulus G H pun&is adumbracus ^mV' A, inferiorem &per cencrum Sdlisdefcripcus , indicacviam Sohs apudTychonem %q.tfiQ hanc viam qui fi Brahc mbvecur , bmnia omnino puncla cocius Sy$ g. fiemacis planecarij, hicdepicti,viam incedunczequalem, quilibecfiiampropriam. Ecunoejuspunfto , fcilicec centro Solis, in una fui ;.

cangic

;

circuli parce ftante , ut hic in infima , omnia omnmb pun&a Syftematisftabuncin imisparcibus fuorum quodque circulorum. Venerisetiamtrescirculipropceranguftiam fpacij coierunc in unum,praetervoluntacem. in ju. Mnm. rsume.-; • " X 1 i'Tj! Terciorepecacledtorex MyfteriomeoCofmographico,quodediius corpomm Har- jj ance 22> aanos > Numerum Planecarum feu curriculorum circa So4

«ientium

quam

cau-

abeat

'•

•

lem,defumpcum efle afapienciffimoConditoreexquihque figiiris regularibus folidis , de quibus Euclides jam ante coc faecula , librum fcripEi emenC0rutri dic cur y e £ U 6d ex Propoficionum feric fic con^ q ftrudius. Quod aucem plura corpora regularia nequeahc efle , hoc eft ,

^ ^

•

quodfigurae planx regulares nequeanc faepius , quam quinquies, in folidum congruere > id libro fecundo hujus operis pacuic. 1 Quarco, quodaccinecproporcionemOrbicarumPiahecariarufn, Iudo'/pi"-^ a q^idem mcer binas Orbitas vicinas femper eft canca , uc facile ratum quas appareac , unamquamque illarum appropinquareproporcioniunicas ° rD - mm unius ex quinque folidis figuris , fcilicec Orbis Cireumfcripci ^lia^To ad Orbem Infcripcumfigurx ac non camenplane jequalis eft , ucolim ra! quam ha " aums ^ e P err e<^a denique aftronomia polliceri. Nam poft abwfT t? m folucam demonftracionemincervallorum, ex obfervacionibusBrahew deprehendi hoc, Cubi quidem angulis , iacimo SacurnieirculoapTe'± phcacis cencra planorum fere cahgere medium circulum Jovis; traedri angulis incimo Jovis circulo infiftencibus,cencraplanbrumTo« traedri , cangere fere Marciscirculum excimum jfigOdtaedriangulis, cx Veneris quocunque circulo furgencibus ( func eceriirh omnes ti*es in anguftiffimum incervallum redacli ) Centra planorum OcTS&Mcorum penecrare profundius defccradere infra .M.ercuri) cir^. culuna ;

;

^H^^HI^H 4if

p&q.JS^ ^hdkt^

Harmonicis

LlB. V*

\%7

, neque tamen venireufque admediumMercurij CAp denique Dodecaedricorum quidem & Icofaedricorum Orbium proporcionibus incer fe aequalibus , omnium proximas efle proporcionesfeuincervallaincerMartis& Telluris , interque Telluris & Veneris circulos, eafqueiplas inter fe fimilitef arquales; fi ab in-

«ifculumextimum

fcireulum

U||

timo Martisadmedium Telluris, amedio veroTelluris ad medium Veneris computemus ; Telluris enim medium intervallum eft Mediumproportionale, interminimuniMarns& meditim Veneris:accamen has duas proporciories inrer Planecarum circulos aclhuc efle imjofes, quamfuncbinorum illorurti in figuns orbium flc ut Planorum Dodecaedri centra non tangartc circulumextimumTelluris, neque Icofaedricorum pianorum centra circulum extimum Veneris: fednecexplerihunchiatum, perfemidiametrumorbis Luna; fupra addicam Telluris inrervaliomaximo, infravero ademptam ejufdem minimo: fedaliam quandamdeprehendoproportionem figuralem > finempe au£tum Dodecaedron , cui nomen Echifiofeci >conforma- Tel.itb ,

;

tumfcilicetexduodecimftellisquinquangularibus,

eoqueproximum

quinque corponbus Pvegularibus ; hocinquam fi duodecim mucrofuoscollocec in circulo Martisincimo tunciateraPericagonorum, quifinguhfingulorumradiorumfeu mucronum funt bafes, atnngere ,

rtes

mediumcircuium Veneris.Breviter,Cub'usck;Ocl:acdronconjuges,pen etrantuaosplsnetariosorbes nonrtihil Dodecaedron&I<Jofaedroa conjuges, nonplane aftequuncUr fuos , Tecraedron prtecife cangic u;

trumque:illic minusjiflic plus,hic asquale eit in Planecarum incervallis. Exquare patet, proportionesipfiffimasintervallorum Pianeca-

tiorumaSole, ex folis figuris Regularibus defumptasnoncfle ;noa aberratenimab ArchecypofuoCreacor Geomecriajfons ipfiflimus» &, mPlato{cripfK,/eternitm exercem Geometriamj>. Et potuit fane hoc ipfum colligi vel exeo, qudd Planetae omnes incerValla per cercas temporumperiodosmutancdicjuc unufquifque duo habeac infigriia in= ,

tervalla a Sole,

Maximum & Minimum; datrtrque incer binos Planecai

eomparatio incervallorum a Sole quadruplex velmaximorum, vel minimorum, velconcrariorum remocifllmorum incer fe , vel proxU ,

morum:itafiuntbinorum&binorumvicinorumplanetarumcompa-fationesnurtiero viginci cumeeontrario,figura;folida:folum quinquefint. Atveroconfentaneumeft, Creatorem,fi curam habuit proportionis Orbium in generccuramecia habuifle proporcionis, quas eft :

interfinguIoruminfpecieintervallavariantia.eamq;curam utrinque candemefle, alteramqueexalceranecti: quoperpenfo , obtinebimus fane & hoc,qnod ad confticuendas Orbiu & diametros & Eccencricitacesjundiim,pIurib 9 fitop 9 principijs,pra;cerquinq;regulariacorpora. Quinto utadmotusveniamus, interquos conftitutae func Har^-

moniajjrurfuminculcoleftorijdemonftraturoeflea meincommen^ v. tarijs de Marte, ex certiflimis Brahei obferVationibus, quod ar sus d:ur=. Anoma» ni aequales inEccentricouno&eodem, nonaequalipermeentureele- cai °oruu£

qu6d ha; diverfa; Mor<t inpartibus squalibuf Ecccntrici.objervent fro^rtwmmjstortmintervallorum a SoIcj , fonte motus : & viciflim, rir ate; fed

Quod

veroiui».

;

DeMotibusPlanetarum

j#8

Qudd fuppoficis temporibus aequalibus; puca uno dienaturai&inimiiQifij^B refpondentes

ijs

diurni veri arcus eccentr.kx Orbita uniut

fieproportionem, everfarru, proportionis intervallbrum

aucem demonftratum eft a me Orbitam Planetx ,

j. 1

haheswtiihtt&r

duoruma Sole..

efie

$mssisM.

ellipPicam ,%kSirikm>

fontczojxioxm, efie inaltero ficoruw hujus Elliplts-,\ta<\u^ abfbltstQtCOcius cjrcuitus quadrante a fuo Jphelio, prxcise mediocre Ihdhatft intervallum aSo/e^ , incer maxtmum in A pheiio & minimum w> ffterii-

* '

Exhisverdduobusaxiomatibusconficitur, utdiurmi&irihaas-tae medimmotusxxi eccencriGO-) idem fit w«#ejus Lccen.£riei!a2ici(!Bi&urnusyriiis momentis , quibus Pianeta eft infine quadrantis EceenOmssa& Aphelio computati , licet llle quadrans verus adhuc rninor appareacjjfflte quadrante. Sequicur ampUus, Cpdddui quicunque arc*s EccentricidHaima helio.

verifiimi, xquaitter vere difinaies ,a/tcr ab Aphe/io ,a/ter a Perihe/io,,jjism&i^ quent duosdiurnos medios: per confequens v.cum fk eadem ciircrfflawniia

dimmm^

proporcio , quae diamecrorum quod cademfit proportio unius g adjun5ias medios omne/imei-fe <equales s quot funcin coco errcuiknia;,^»»? e/l me^diurmadjmclofverosomneszircm Eccencricos , cocrdeira! otcjhbidcro fed ihcer fe inajquales. F.c heec de veris Lxcencrici arcubus siimsrmsij, viAxioma deque veris mocibus func praecognofcenda ucjam ex ljs inceliigamjKij» ta Aftrono- mocus apparentes oculo in Sole fuppofico. micamocu) Sexto, quantum vero accinec arcusapparentes velutex Safe „ sbwsh tum eft ex antiquaetiam aftronomia quod ex motibus veris eciiflHiniaeapparcnnu (caangulo- qualibusincerre^isquilongiusacencroMundirecenic^ucquieiSinioi^JL 1^™* diu\- phffo) appareat efieminor fpectanci ex illo cencro; qui propiar Er,.W:<3p*s ,

nos comprehenJe». tescontor-

mantin

ce-

u;o Solu.

efi.in Per'ihe/io,idem

^ u rn '

• .

arcuS

....

{

tf major.

Cum igicur infuper eciarn majatrSifiumiTPe-"

mocum celeriorem , propter. J y$ propinquo r K ^ M l

MT&Mjsrcsiiia /*

Aphelio remoto., propcer.mocus rardicarerfu. hincegodemonitrainuBtt 3 r c ia b u s proporiidnem adfiarentium arcuum diurnorum uniusEc^Miriiss^ proportionis fiuorum intervallorumaSa&Sj^. fittis prjecise dup/am everfam efie Vcfiplanecainunafuaramdierurnj quandoeftin Apheiio,diilaE«?ita SoleparcibuSjquacunquemenfura, 10. inoppofica die , quandloseiiiia Perihelio ,parcibusconfimilibus9 cercum eft. qaodex Sole appsBrcnas ejus promocioin Apheliofutura fic ad apparencem in Periheliaillkiias:

1 1

gi.adtoov Hqc aucemrerumeftcumhiscaucionibus; primo trt artix* Ewastrici nonfintmagni ,.ne communicent cum diftantijs diverfis i on^ulnMma difterentibus hoceftne caufen.cur fenfibilem varietatemi difemuiiae terminorum fuorum ab Apfidi.bus ^deinde vt.Eccentricitas nonpfmMk tnagna-s ; nirn quo major Eccenftricicas fc. quo major fic arcus; iwcmgis augecur efus apparenciat angulus, ulcramodulum appropimqiiaiaiaonis fu ae ad S oiemt.^ per Theorema.Ss Opticorum Enctidis *.qu od tameia maer,

4,.

{ubwparvis&magnadijktntiar.nulliusefi momentJ,ut inmeis *•

XLmonui. Sedcftaliacaufa,'.eurhocmoneam.

Opn

C^pist*

Narri4rcu?Eccmttri~

cicirca Medias Anomaliasinfyicwntur obliojue.excentro Solis, quarohlkjjpitas

minuit apparentia; magnicudinehi

;

cuhi ex adverfo^r<r/jsr circaJ^dnts.,,

veluc in Sole collocatb , objiciantur reBk. Quanda igjcjar £cccntricitas eflvaidc magna,tuncfenftbiliter nocetur proportioni mo. afteSiui,

;

Ha&monicis

LlB. V.

189

aswoi&^iiawe^mmedium diurnum finediminucioneapplicemusdiex diftancia mediocri cancus apparerec, quanO^^vuari^aaitnMercurioapparebiC. Haxomnia prohxiustradun55Sir]*alEipA%r. Oopernicanae Lib. V: fueruncaucem hiceciam commeasjtewasnailav^Mia-accinenc ipfiflimosterminos harmoniarum ccelefhum,

iBaoscfiEaMefiKKa?*, quafi

(

jjer&iinga^fflsfeorfimcorifideracOs.

&5pjoin»o ifi cui forteoccurrant ij mocus diurni , qui non apparenc veitocexSofejfedexTcrrafpeftancibus.-dequibusagiclib. VI.Ep. Aft. Coji:iis'f0iat,eorum racionem in hoc negocio plane hullam haberi fa)

**jf\

cyuiapparet c.\

jReirae3^*e4e^c,cumTerranonficfonsmocus ipfbrum,rieq'ie poceft, ©anaiEiJjafcits^j^oTicancum ih meram quiecem ieuftacionemapparense^yi^lfeweiynrecrogradacioneni , quancum ad fallacem apparcn-

tcrta p

P"-

lcl ' 1

min^^geteTtenxrquarationeomnisproporcionum infinicas ommb p jiSajnerisifiinaul&ex arquo cnbuicur. Uc igicur cercum habeamus, quaitesjpTqporrionesproprias conftiruanc diurnimocusfingulaium vera-

ramOrbtcarum eccencricarum(licec& ipfiadhucappaientesfmc, veexSole fonte mocus) .•removehdipi ius ef) ab ljs rnotibus iprOprils/hxc pluncafia>communisorbriibusquinque, moctis annui auTennni frve illeex ipfius Tellurismocu oriatur lecundum Coperni^mffr/eexmocuiyftemacis cociusarihuo,fectindum ychoncrn Era.Iie^moTufquecuiquePianeca;proprij > enucleau, fubcon.pcctum ful. * luciCpbiStafflci

;

jioiendi feit.

OcTavohacTenusegimusdediverfismorisvelarcubus unius & e^> HcmPlahet,£.Jametiamde binorum Planetarum mocibus mhrle ©oiisajpaTatisagendum. Ubinotadefinicionem Termiriorum ,qm fui c jpidbisifiiimTineceiTarij. Jpjidts proximas, duorum pianecarum dict mt.s

v(r.

Qu*

non oDftarfce, quod

Fcriliditfm^faperioris, 5c Apheliuminferioris.' |v:«-vt!rguia!ti!iaplagam liasj

M^tmzxtrwwas

il-

Muridi>noneartdem,(eddiverfas,& fOiccconcrr> incellige, cardiffimufn

\Vr

d> c'u-

L-WicnVP 1!

ri r .

m '^

r.ou:m'

qiiofufc-

& velocifllrnum cotiuscir- &££:£

Hinetarij. Convergentes extremosJeuConvcrjos quifuncinbinoApiidibus proximis, fcilicec in Perihelio fupef ion*,, A plielio ina fenmi&i B&vergewtes ve/ Diverjos, quiih ApfidibusOppoficis, fcilicec AfjtsdlttSjGaworis&Perihelio iriferioris.Rurfum igicur hic aliqua pars mei ASyferal Cofeiographici , fufpenfa ante iz. annos quia nondum iquetaaiiiros

a®

I«m:» afo#@ive**<ia , &hticinferendaeft.

InventisenimverisOrbium

imijrv^ll&jper obfervaciones Brahei, plurimi cemporis labore conti-

^n^ordouem Qrbium

—fera quidem rejibexit inertem^>

Mejjiexit tamen^ /ongopoji tempore venit

eaemcfitcmporis arciculos petis, g.Mart.hu jus ani ririllefimi fexcentel?!fi^dea«u©2^vianimoconcepta,(edirifoeliciceT ad calculosvocaca, ee que pro fal sa re jecta , denique 1 5-. Ma ji ire verfa, rio vo capco impecu cxpugriavit Mentis meae tenebras, canca comprobatione & laboris mei -

feptendeeennalisin Obfervacioriibus Braheanis

& meditacioriis hu*

jas,inon«mcoalpirantium; ucfomniare me, & praefumere quarficum iatcrpruiciipia»prim6crederem. Sed rcs eftcertifllfriacxacliflima-

que

t$ac>dprzrpertvo

qux ejtinter binorum quorumcunque Planetarum tempo-

tmpritAkmjJhfrttisefeJquialtcraproiwrtionis mediarum diftanciarum, id

eftO-

190 j.

•

ipforum ; acccnto camen hoc , quod meditim arithmeticum im terutram^ diametrum eUiptic<eQrbit& (it paulb minus /ongiore diametro, Icaque (i quis ex periodo , verbicaufa Telliiris, qua;eftannusuntis, gf ex

e ^ Orbium

1 1 1.

*G AP.

DeMotibusPlanetarum

mcncanjs MaKjscap. ij* probal

periodo Sacurni, criginca annorum, fumpferit cerciam proportionis partenv,ideft,r.W/Vetft7*tw^,&hujusproportionisduplum feceric

Mediam cibus quadrate ma/tip/icatis ,

hoc krithme

/jimtffc di*

mitrumeir-

Tndme^' ^uateU.fti-

TTj^T; Veltaproxr mimmm. Quan-

IX. tU

m fpadj

^uilibecpia r ef e~

* eta

trajiciat ?is

cj>-

tempoic

XQuomodo ex vens itinerib»,

vens piane-

tarumaSoiciatcrvaliis

babca-

«Soteapparens.fub-

}ectum ar j»oni*cc*-

y er ^ gj Saturrii a Sote medioYum

Nam cubi-

proportimem ]uft'£tmanu>.

;

•

; '

Vnaecimo,necminusetiamex

xi.Quomo phelio Unius

°tvfve

radi-

ca radix de i.eft i.ejus quaarm i. Et cubica radix de 3o.elt major quarrl majus quam 9. Et Sacurnus mediocruer diftans ej us igJ£ Ur q Ua g r Sole, pauldaltiOr eft noncuplo mediocris diftantia? Telluris a SoiCi Hujiis Theorematis ufusinfraCap.IX, hecefiariUsericaddcmonftrationem Eccentricitatum. ,. t NOno h jarri ipfa veriiuma ltinera diurna cujusque planetac per auvolueris mecirLconjungendat f ani azcheriam eadem veluti decempeda r ' ° _ ,. erunt proportiones duaz , lina dmrnorum arcuum Eceentrici Verorum (non apparencium)alcefa incervallorurh cujuiquea Solemediocriurrifr quia eadem eft amplicudinis orbium lioc eft mu/tiplicandus eajusque P/anetx arcusverus dimrnus in fuiorbis femiiiametrurru>: quofadlo, prodU {j unc numeri ldohei ad exquirendum, Kum iila itinera facianc propor.lt cionssrtarmonicas. Decimd, Ut vero habeas , quantarri quodlibet taiiUm diuf norum Sole collocaco etfi hoc iv i c i nerum faciac apparennam , ocuio velut * .rr. A ... \ dem ex Aitronomia poceiummediatepeci ; tamen eaarn ncpatebic * fi addiderisltinerum prOpOrcioni propOrtiortem everfam intervallo^ fumnonmediorum,fedverorum,qua;funt quovis loco EccentricO* rum Multiplicato itinerefuperioris itt intervaHum inpricrisa Sole, £$ Viripim\ ^^ n?re i n &yior % tn iniervaHumJfuperioris a Sc!cj>

^,.

kftis.

hab&t inprcdeuntibus numeris interva/lorum

•

-5

-i

datis mOtibiis apparentibiis

i A*

& Perihelio alrerius, Vel viciffim alternifve, proportidfies

e h c i u rtturIntervallorum,AphelijuniusadPeriheIiumalterius:ubita-

exSoie)

men medios motus oporcec efte prajcognicos, fc: proporcionem perid*

diurjiismo-

dicorumTempOrum everfam, ex quib 9 elicicurOrbium prOpof tio, pef

lut

Num

VIII.praJmilTum: luncjumppomedioproportiona/iintcrmotumaltcr* 7allaPlane- utrum apparentem tffuam medium,fitiJthocmedium proportionale ad femitarumaSofajfcfotfjfa orbisj&m pate fa&am ,J?cmediu$motus,addijUntiamvefmterva/lumquxJitunL*. Sint duorumpianecariim periodica cempora 27. o.ergomedijmotusdiurni illius ad hunc , eftilla, quseg. a&2j. quarb

katst iafcr

j— *

erunt femidiametriorbium ut9- ad^. Namradixcubicade27. eft^. de$.eft2:harumradicumj. &2. quadracafunc 9. &4. Sincjam motus apparentes, Aphelius unius

& Perihelius

eumtertia hOs apparen-

alteriiis^^

parte, Media proportionaliairlcer motus medios g. 27

5-0. Si er-go medium 4. dat mediocrem diftahtiam plaerun 1 4. necEE^. cunc mediusmbcus8. dacapheliumincervallum 1%. rfcfpondens

tt s ,

appareiicimocuia. EcfimediumalcerumJo.dacmediOcrem diftanci* am alcerius planeca? 4. cunc medius illius mocus 27- dac perihelium illi* us incervallum jcum j qnris. Dicoigicur,diftanciamApheliamillius effe ad Periheliam hu jus , ut 1 ad \ gum 3 quiatis. Exquo pacee , quo«i ff

»3*

Ha RMONICIS

LlB. V.

191

....

nsharmonijs,intermocusexcremos binorum

& penodicis tempo-

ribus ucrique pracTcriptis, necefluencur incervalla

cap.

111.

excrema&medio-

cria,quareeciamEccencrick:aces. XII Duodecimo , dacur etiam ex unius ejufdem Planetae mocibus proport.o extremis diverfis, invenire Motum mediunu> ; Hic enimnonpr&cise eftct- Mocus mc'.' ]••''. '* duadexrre i.' rithmettcum medium tnter motus extremos , necprxctse medtumgeometricum; mos< fedt.mto minor geometrico Medio , quantb Medium geometricum mtnns efi , qttammediuminter ulruraqucs. Sintdno motusextremig.& 10. Medius motus eric minor quam 5>.minor etiam quam radix de ^o.dimidio ejus,

•

quodeftincerucrumque,^. & Rad.de go. Icafi fic Apheliuwo. perikehus24.mocusmediuseritmiiiorquam22. minor etiam quamradix de 450. dimidioejus,quodeftincerhancradicem&22, Hujus theoremacis ums eft in fequenti. Decimotercvo ex pr<emiffis demonftratur,h3ScPROPOSiTio,nobis valdeneceflaria'mtura,qudd quemadmodUmproportiomediorum Qnx motuum in binis planetis,eft fcfquialtera everfa proporcionis orbium; epgnatio to ortI ° fic proportio duorum Apparentiumconvergentium extremorum Motuum jem- p P per deficiat, afefquia.lt era proportionis intervaSorum,i/lis Extremis mocibus "orum inquantijper quidem chxxproportiones duorum intervailo- cerbmos rejbondentiurru> : 3 interva/la duo mediajeu adfmidiamet ros d uo r u or- g,^" refyondentium,aa rura ^,^ i>iumjuncla,jhc'iu vt minus quam dimidutmproportionis orbium, tantifper pro- proponio.

portio Motuumdaorum excremofum convergentium ««•>'•-• // r r r >

/•/••

eft

ne major proportione nemoruu

rejpondenttu intervallorum: Jt vero illajummajuperaret dimtdtam proporttonts

apparenua iw^iuCjue,

orbiuwL» , tunc motuum convcrgentium proportio ferei minor proportionefuo-

rum interva/LriiwL».

Orbium proporcio DH. AE, Motuum mediorum proportio

Sic

H I, E M,

prioris feiquialceraeverfa.

fui orbis fc

CG, hic maximum fui, fc. B F ; &c jun£he proporciones D H,

CG,&BF. AE

Sitintervallumillic

minimum

primdminoresdimidiaipfiusDH, A E. Sicque apparensGK, inferioris ApheliusFL. utlinc moc extremi convergeces.Dico proportionem GK.|FL,|e(Fe majorem, pro* portione CG. BF eversa; minorem tameu ejus fefquialtera. Nam pro9

finc

fuperioris periheh 9

proporcioHIadGK,eftduplaproporcionisCGadDH,

propor-

tioFLadEM,dup!aproportionis AEadBF. Junftae igicurduaeproporciones, H I ad G K & 8 L ad E M, duplum efficiunc jun&arum C G ,

adDH,&AEadBF. Sedjunda;CGadDH, & AEadBF,funcminoresdimidioproportionis A Ead DH, defettu cerco, uc eft in iiip-

& iunclas H I ad GK, & F L ad E M funt minores duplo dimidii id eft minores tota proportione AE ad D H, defeclo prioris duplo. Sed H I ad EM eft fefquialtera proporcionis AE ad DH per VlII. pofitis

;

ergo

praemhTum.

Ergominustotodefecluduplicaco, ablacumafefquialtero, fcilicec proportiones HI adGK, & FL ad E M, a proportione HI ad EM , reliquunt plus quam femis propor tionis AE ad QH 1 excef- m fuduplicato:reliquuncverdproportionemGKadFL : Ergd propor-

tioGK adFL,eftplusquamdimidiaproportionisAEadDH,

exceflu eftcompofitaex cribus;ex AE

Atproportio AEadDH, adBF,exBFadCG,&exCGadDH.Et:CGadDH,eumAEadBE duplicato.

eftmi-

4/ 6

DeMotibusPlanetarum

192 i

CAp. ni.

ErgoBFadCG eftminusdimidioipfius AEadDHjdefe&ufimplo. ^. AE ji^i^io ipfi US D fimplo. ad exceflu proporcio , Sed c pj us , ver um excefad F L erat eciam plus quarri dimidia ejufdem AE ad foduplicaco. Duplicatusveroexcefluseftmajorfimplo. Ergo proportiomotuum GKad FLeftma3or,pr6portioneintervallorumrefporu

dencium,BFadCG.

Eodem plane modo demonftracur etiam econcrario, fipianecas appropinqueric invicem in \G. F , ulcra diftancias medias in £. fic ufc proporcio mediarum diftantiarum D H. AE , amittac plus dimidio i cuncmotuumGKadFL proporcionem , fieri rriinorem proporcione fuorufri incervallornm BF ad CG. Nihil enim ulcrafaciendum, quam Xic muces Voces Major in Minor, Pins in Minus, Excefus 'itidefbfrus; vr-

cifllm.

In appofitis numeris quiadimidia de ,

major qiiam %

quancicace excellus

15-.

& 5.$» eft adhuc & vero proporcionis g.ad 9

4. 9. eft 2. 3:

1 6;

duplafa&aeftproporcioitfoo. adioac.id eft 64. adgi ; ec proporcioni$4. ad^.duplaeftfacT.aproporcio 5456 ad 5406 , ideflj6ad2j-. denique propOrcionis 4 ad 9. fefquipla cft fa&a proportio i606 ad 5400 , id

eft8.ad27:ide6eciampr6porcio 2025adj45;6,hoceft75.adi2g,adhuc major eft,quam 5ad8> hoceft75. aa 12 &- quanticace exceflus icidem(i20 adi2g.ideft)j/ adi6,Ucica proportio mctuumConvergentium 202 f ad 3456s *

tnntojuperet proportionem everfdm intervallorum refpondentium j.adg.quan-

dimidium proportionis Orbium 4. ad$. Vel quod eodem re* duorum Mtervallofum convergentium^ ejl med.ia inter aimidi#m Proportionis Orbiumj , cJ? inter everfdm Motuum ref^ondentiunu t Ex hoc aucem dacur incelligi , Motuum divergentinm proportioncrru> s tfemultb majoremfeffuialteraproportionis orbiunu> ; cum ad fefquialcerara accedancdupl& proporcionurn, incervalli Aphelij ad incervallum medium , medij ad periheliurn, tb hacfuperat

dit, Propsrtio

CAPVT

IV.

Quibusiiirebus admotusPlanetarum pertinentibus , exprefsa: fintaCreatoreproporciones Harmonicae,

quomo&o i jr

Gitur ablata phantafia retiogradationum &fta*

tionum,& enucleacis planecarum proprijs motibus, in fuisgenui* uis Orbicis eccencricis , reftant adhuc hxc in planecis diftin&a ,1. Inter* vallaaSole.

Tempora

periodica.

Arcus.eccencricidiurnu

4. Moraj in ijs arcubus diurnx. 5. Anguli ad Solem feu arcusdiurni apparenccs veluci (pe£lancibus ex Sole. Rurfumque , omnia haecCex-

ceptisTemporibusperiodicis){uncvariabiliacotocircuitu,plurimuni

quideminlongicudinibus medijs,

minimum

vcrp in extremitatibus, ,qvian-

Harmonicis Lib. V.

193 CAP.rv

qoandoconvcrfionejfa&a abearumuna, revcrtunturadoppofitam; uccum eft f laneta, humilimus &Soliviciniffimus,e6queinunogradu Eccencnci moracur quam miHimum , &viciffiminunadiemaximum arcum Eccencrieidiurnuconficic, & veIociffim p ex Sole apparec: cuncilliusmocpJmanecaliquandiuinhocvigore,finefcnfibjJivanacio« ne : donec (iiperaco nihelio planeca paulatim inceperic a Sole difcederc in hnea re&a longius; cunc fimul iri gradibus Eccencrici moracur di-

unius diei mocum confideres, iequenci quoque die proflcic minus , multoq; etiam cardior ex Sole apparec donec iummae Apfidi appropinqnaverit, faciensintervallumaSole maximum,cuncenim diuciffime omnium moracur uno gradu Eccencrici; auc concra,in una ucius: auc

dieminimumejusarcumconficic

mulcoq;eciamminorem &cocius

ambicus fui minimam facic apparenciara. Deniq; h«e omnia func vel unius alicujus Planetae per diverfaccm^ pora ; vcl iiint in planecis diverfis fic uc fuppofica cemporis infinicace , omnesaffecliones circuicusuniusplanecse,cum omnibusaffedtionibus circuicus alceriusplanet£,eodem cemporis momenco concurrere 5c compavari pofiinc; Sc cuncincegriquidem Eccencrici, incer fe comparaci, proporcionem habenceandem , quam lpforum femidiamecri, feil incervalhmediocria,arcus vero Eccencricorum duorum , sequalicer veleodem numero denominaci , habentcamen inaequalesveraslongicudines inproportionerotorum Eccencricorum. Verbicaufa , gradus unus in Jpharra Saturni duplo fere major eft, quam gradus Unus in Sphsera Jovis. Et vicifsim, arcus diurni Eccentricorum expreffi numeris aftronomicis, non exhibent proportionem verorum itinerum,quas globi in. una die conficiunt per auram xtheream, quia fingulae umtates denotac in ampliori circulo Planetas fuperioris,itineris particulam ma* jorem , in anguftiori vero circulo inferioris , parciculam minorem. Uc fic haec iam accedac confideracionis pars fexca, de Icineribus binoruna ;

Planecarum diurnis.

Pnmum

igicur

fumamusfecundum

expoiicis

;

Tempora fcilicec

periodica Planecarum; qua: concinenc fummas colleclasex omnibus Moris omnium Graduum cocius ambicus, Iongis, medioCribus, parvis. Ecdeprehenium eftabanciquo ad nosufque,qu6dPlanecajcircafblena redicus fuos abfolvanc , uc fequicur in Tabella.

Diej Diebtts

Saturnut

ferupulis.

)S7t9>

Iupiter

433*,

aMars

686.

TeVcuLun*

36f224. 87*

Venus Mercuriut

Ergb diurni medij Min. Sec.Tert.

27.

3? /9

/9-

S-

2*>

3).

/9«

96.

39.

24f.

32.

2$,

lahij

De Motibus Planetarum

194 ®w-ft

....

InhisigicurperiodiciscemponbusharmonicajproporcionesnulIajfunc,quodfacilcapparec , fiperiodimajoresconcinue bifecencur , rrtinores concinue duplicentur, ucdiflimulacis Diapafonincervailis,e4i quas func intra unum Diapafon , exquirere poflimus. Satitmi ii.

mi-

di-

Iovis

/0759-12 5?79- 36 4^2.37 2689.48 2166. 19 i?44-54 1083.10

672.27

Martis TeEuris- l enerk. Mercurij i

87-58 6S6. S9

355--J5

22\-\Z

J75-5 6 Dst.

44P-24

3$i-}i\i>lao

54L35

Omnes ulcimi, ucvides, abhorrenta proporcionibus harmonicis

CapiarenimnumerusdierumMar» tis 6$7- menfuram 120, quaj eft divifionis Chordxivenient in hac men-

videnturq; fimiles ineffabilibus,

furaSaturno

pro parce fedecima

paulo plus

quam

;

Jovi pro

parteo£tava,minusquam95; Telluri minus quam 64, Veneripro duplo, plusquam7g; Mercurij quadruplo 6iplus, Acqui hi nurncri cum 120. non faciunt ullam proportionem harmonicam fed Ita qualium Saturnus habet 120; Jupieorum vicini, 60. 75. go. 96. Tellusfuprafi/. Venusplufquam $0; Mercuterhabetfere97 Ec quahum Jupicer habec )zo; Terra habec rius minus quam 6%. minus quam $1 ; Venus minus quam 100; Mercurius minus quara Terra habecminusquam^g, 78. Qualium icemiVcnus habec i^o: Mereurius plus quam 94. Qualium denique Terra habec izo ; Mercurius habec minus quam 1 15. Qudd fi valuiflec hic libera propor tionum ,

non verdjexcedences &deficienNon deprehendicur igitur Creator Deus intcr has

eled"tio.'omnin6 perfe&ae Harmonia:, tes fumptse fuiffent.

morarumfummascolledtas inTemporaperiodica, voluifleintrodu'cere

proportiones harmonicas.

Accum fitconjeduraprobabiIiffima(quippenixademonftracionir# borumf £Geomccricis & do£trina de caufis mocuum Planecariorum cradica in Propordo

etanoramcomencarijs Marcis; jPlanccarum moles corporum, cfTe in proporrione periodicorum Temporum , ficucSacurniglobusficcrigecuplocircicer major, globo Telluris , Jupicer duodecuplo , Mars minus duplo > Terraglobi Veneris fefquialcero major, Mercurialis globi quadru-

plo major;.non erunc igicurncquehajproporcianescorporumharmonicae. ric ,

CumautemDeusnihilfine Geomecrica pulchricudincconfticuequod non ab alio priore, quadam neceflicacis lege fic nexum i facile

> cemporibus periodicis fuasvenireprolixitatcs,adeoque Corporibus mobilibusfuas moles,ab aliquo, quod eflin Archetypo prius , ad quod exprimendum, iftae , ut videntur improporcionaca; moles &periodi, funt inhuncmodulumaptatas.Ac coiiedhs efle dixi Peri-

colligimus

odosexMorisJongiflimis^mediocrib^^&cardiflimistoporcecigiturvel in his Moris, vel fi quid eft ijs prius in Mence Opificis, inveniri conciniaces Geomecricas. Morarura vero proporcionesnexa: func ab arcuum diurno-

, :

De MoTIBUS

PjlANETARUM

195

cfiurnorum proporcionibus; quia arcus proporcionem everfam habenc proporcionis Morarum. Rurfum,& Morarum Incervallorum unius proporciones diximus efle Planecae , eafdem. alicujus Quod igicur aceadem eric confideracio crium horum cinec Planecas fingulos , una

Arevium Morarum in Arcubus aequalibus , & Remocionis arcuum a Er quia jam variabiliafunchaec omnia in Sole,feu Incervallorum. effe nullum poceft, quin fi quid fuerinc forcicapulchdubium Planecis icas cer co fummi Opificis confilio; id fuis ExCremi» ncudmis Geomecr accepennc, uc Aphelijs &PerihelijsincerVa?Iii<s; nonicaMedijs incerNam dacis excremorum incervallorum proporcionibus , jara jettis. ,

non opus eft confilio uc incermediae proporciones cerco apcencur numero fequuncur enim ukro neceflicace mocus planecarij ab uno Excrem© pe r incermedia omnia ad Excremum alcerum. ,

;

extrema intervallafunc lfta , per accuraci/Iimas Tychonis obfervaiiones,mechodo in Commencarijs Marcis cradica, ex-

Igitnr

"Brahei

fepcendecim annorum ftudio. Comparata Intervaffd cum Harmonicts

quffita , percinaciflrmo

Binor&m

Singu/orumpropr.

Penhe/ium %96B.h

lovis

f™

^tonominorc^ " /0000

1OO52. *

Saturni Aphe/.

**«* D *«r-

**uffa concinnaproportb

Aphe/ium /4/1. c

(edfire -^-Inconcinna

Ferihe/ium 4? 49. d

'velAim deharmonica

e 1

s .

„ ":, ,. Pertheltum 1382. f

Perihe/ium

jj,

e iet

rt/<r

10«, er 9So r

a diefc 2J. *+

?2Q,\ Minus quam fejquicomma

719.

p/us quamtertia parsdiejios.

k 143 1

nonpoflid&terpidiefitt.

Perihe/ium

m—

h ty

Veneris Aphel.

982.

I60

Terrt Apheltum loig.g ..iooi>

£-

6 u J->" 'MIa^s, cHiinnn J tlarmoniCA-a -rs

MartisAthetium i66c. e '

a *„

Satrtrni Aphel.

Perihelium

470. 307.

Ptusquamdiapcnte abun*

m ^w tl? «?/«^f <*»*?# H^r^ ,<;o

— 8

monica-

Nullius igicur Planecae unius incervalla Excrema ad Harmonias alMercurij. ludunc, praecer Marcis

Ac fi diverforum Planecarum incervalla excrema incer fe compares jamaffulgereincipicaliqualuxHarmonices. NamExcremalj&^ diquam Diapafon;Convergencia , mediurn incerSextasmajorem & minorem.SieExcremaaf & ^Divergecia comple&untur fere Difdiapafon,Converg6cia fere Diapencc cum diapafbn* Telluris vero & e*, Divergencia, plus aliquanco func complexa , quara Sextam majorem, Convergentia Diaceffaron abundans. In fequenti eopula Telluris& ?rurfum incerConvergeniiaefl: idem diateffaFO* vergentia,faciunt paulo plus

Bb^

ab^LO-

196

DeMotibusPeanetarum

CAP IV

abundans , ac incer divergencia dcfticuimur Harmonica proporcione i minorenimeftquarnHermdiapaf0n( fiicalicec loqui)hoceft, minor

& &

difnsad ve

quam femidupla. Dertique incer Veneris Mercurijdivergencia, paulominusincereft compoficaex Diapafon tertia minore ; incer convergenciaeftDiapenceabundans, pauloplus. Ecfi igicur unum incervallum paulo longius abic ab Harmonicis fuic carrten hic fucceflus ihvicamencum ad progrediendum ulcerius. kranc aUcem hae mea: ratiocinaciories. Primum incervalla hxc ,

ra»i\atmo-

ft^pertcn. tum. Analogia

quancUmfunclongicpdinesfme mocu

non.apceadHarmonicaex-

aminartcUr, quia Harmonijs magis familiare (nbjeclum eft Mocus, caucardicacis. Deinde , in ijfdem in quancum func diamesa eelericatis

efle habicam racionem Cor porum Orbriim» credibile eft pociorem r r „ later conve n xumorbem regulanum quirtque,exana!ogia : quia qusrano eit Corporum Geo* &cucuiame&ricorum folidorum > adcceleftesorbes , undiquaque vel claufos C(xle ^- 1 rtlaceria uc vulcartciquicas, vel claudendosfuccefltveplurimaeaTem^qus tr [

interfohdas figuras

rum g yracionum agglomeracione

cadem

eft

Planarum

figu-

rarum,circUloinfcripcilium(qu£efio;ura;Harmortiasgignunc)adcircrr Barmomas: . r A u c r quibus nuncmocus. Ergo eadem «ia los cceleftes motuum, caeceraque lpacia, inter corp» fi quaerimus Harmonias , quaeramuseas nonmhisittcervallis,ucfunc

&motum

eorporis

femidianiecri Orbium; fediniilis,ucfuncmenfuraemocuum,hoc eft, in ipfis pocius mocibus. Sane incervalla non alia pofliinc accipi , pro

femidiamecrisOrbium,quariiMediocria;nosver6hicde Excremis a* Non agirnus igicur de incervallis refpe&u fuorum or bium ,f ed refpe£tu mOcuum. Hisigicurde caufis cum ad motuum extremorum cbrriparano* hertt tranfiviflem;primum manferuncmagnicudine eafdem mocuum proporciones qux prius eranninrervallorum.tancummodo everfa? ; quare eciam intermocusinvencaefunc proporciones aliqua?,uc prius, Id vero rurfum raCus fum meinconcinnajj&abHirmonijsalieria;. rico mihi evenire ;quippe qui comparem incer fe atcus Eccenci ici, qui neqUefincexprefli&numeran menfura magnicudiriis ejufdem , fed nUmerentiirgradibUs&mimicis,quaMuncinplanecisdiverfis imagnitudinis diveila: ; neqiie eciam facianc apparenciam ullibi cancam, quan* tum dicic numerus cujufqucmfi cancum in cencroEccencnci cujufque, quod nullo corpore eftfufFultum, acproinde eciam incredibile eft lenfumvelinftinclumnacuraleminillomundilocdullumefle , apparenCiae hujus capacem , imo & impoffibilc , fiquidem comparabam diverforum planecarum arcus Eccencricos causa f iue apparenciae in centris fuis, quae diverfi obcinec diverfa: comparatae verd diVerfic apparen* tes magnicudines, in uno debebac Mundi loco C\t apparere ; uc id quod faculcacem habet comparandi illa fic in illo communis apparenciae lo* copraefens* Aucigicur removendam cx animo cerifuiapparenciam feorum arcuum eccencricorum auc alicer informandam. Quod fi removerem apparenciam , & mencem ad ipfadiurna Planecarum icinera attenderem ; vidi ucendum efle praeccpto illo, quod fupcriori capitc NumcroIX. cradidi. Mulciplicacis igicur arcubus Eccencricorum di» tirnis in Orbium intervalla Mediocria prodicrunt h«ec itinera. Arcus gimusincervalliso

Harmonicis Diurni Prim.Sec Saturni Aphe/if Perihelij

Lib. V.

Incervalla

Itinera

mediocria

diurna-

CAP. IV lta Saturn* vrx fcptima

I.S32.

197

/065 9fio.

partem ce-

1202

ficit

ris

Iovis Aphelij

4.44

Perihelij

f.lf.

CMtrtis Aphelij

2S.4434-34-

Perihelij

Tel/uris Aphclue

Perihelix

fS.

$200.

rialis riicjnc

163S

ftoteles lib,

quod An11. de ccclo rationinon fentaneum

3161

34$6 361?

ij.

60.

1000.

itinc-

1477

S.627

1524.

Mercu-

ceufuit

femper

is,cj

Soli propi*

or. majus j

fpaciumco-

qua quiremotior quod hciat,

Veneris Apheli&

9/. 29-

Perihelia

96. fO.

724

in antiqua

aitronomia

Mereurij Aphehj

201.

Perihelij

307-

Quod

4149 4207 46S0

3SS.

7I4S

obtineri

nonpoicft;

fingulorum itineradiurna, proportionesijS eiTe , quae prius fuerunc in intervaliis, fed Ipecie everfas quia arcus Ecceiitrici, uc di£tum > habenc filorum interVaUorum a Sole proporcionem everfami Itinera verd binornm extrema vel diverfa vel conVerfa fi cohfideiemusjmulto fnirius harrhonicurh quicquam apparet,quam prius,cum igitur attinec

comprehenfasopOrceceafdem magmtudine :

ipfosarcu cenfideraifemus. Et fane fi rem penficemus diligemius >

apparebit

hon valde ve-

Creatoremfapientifllmum Harmoniasinter ipfapotiffimum itinera Planetaria procurafle. Nam fi funt Harmonicae proporcionesitinerum:eruncreliquaomriia,qua:habencpIanecaj,coaclta,& ex itinenbus nexa , ut hon fit locus alibi procurahdi Harmohias. A c cui bono Harmoniai inter itinera ; aut quis has harmonias percipiec ? Duo furte,quae nobisharmoniasihrebusnacurahbuspatefaciunc, vel lux vel fonus illa peroculos* fenfusveoeculcosoculis arialogos , hic peraures>recepci,qUasipeciesoccupans mens fiveinitincT:u(dequo lrb»lV.abunde)fiveper ratiocinationem Aftronomicam vel Harmopifimileeile

•

nicam , dijudicac concinnum ab incohcinho.

Jarh foni in coelo nulli

exiftunc,nectamcurbulencuseftmocus ; ucexaccricuaurscceleftiseliciatur ftridor. Reftaclux.fihaecdocere debetde icineribus Planctarum docebit vel Oculos , vel fenforium ijs analogon > fitum ih certo loco ; & ut ftatim ipfa per fe lux edoceat, coram videtur adeiTe oporcereienfum, Ericigicurienfusin toto Mundo;fcilicecucunus&idemomniumPlanetarummocibusfimuladfic, Nam illavia, abobfervacionibus, per longiffimas Geometrias & Arichmecica? ambages , per procaecera antea difcenda, ufque ad itinera haec ipfa, porciones orbium tradacta , nimis eft longa pro inftintftu aliquo naturali , cujus movehdi •ausa barmonias incrodu&as efle confencaneum videtur, ,•

Omni-

H AR MO NICIS LlB. V.

I^g CAP.IV

Omnibus igicur in unum confpeftum coaclis , conclufi re£e' , dl« mim^sverisicineribusPlanerarumperauramffcheriam , oporcerenoa oculos convercere adApparences arcus diurnos, & apparences quidem omnes ex uno cerco infigni Mundi loco, (cilicec ex ipfo corpore Solari , fonce Mocus omnium Planecarum i videndumque , non quam altus a Sole fic Planecarum quilibet, nec per quancum rpacium in una die

hoc enim raciocinacivum eft &,aftronomicum,non inftinguibile fed quancum angulum in ipfo folis corpore diurnus cujusque mocus fubcendac , vel quancum arcum fub uno communi circulo ex Sole crajiciac,:

defcripco

qualis eft Echpcica , quolibec die conficere videacur

uc ita

haecapparenciajbeneficioluminisadcorpusSohsperlacajCumipfolu*

mine redla

in creacuras , inftin&us hujus parcicipes, fic influere poflic

ficuchbroquarcojfchemaccclimfoccum, beneflcioradiorumdiximus influere,

Docecigicur AftronomiaTychonica, (remocisaplanecario motu proprio , parallaxibus orbis annui , quae fpeciem ipfis induic ftacionum recrogradacionum) mocusdiarnos Planecarum in fuis orbicis (apparentesvelucifpe&ancibusexSole) efiehofce.

Jpparentes diurni Httrmoms binormn

Harmoni tfingulorumprofria

diurni.

Pnm.

Vrim Set. Com^f.

c * .

Aphelius Perihelius

^Aphelius Pehhelius

rT hi2 sk h

15"

Sec.

/.4,?

4.30. c. 5.

Incer

50. d.

3.81»

Pefihelius 61.18.

? Aphelius 94./0.

& Iriter

h 1.

/»jo.

%$**.

e ft«—

e ^.

— Semitomj

98.4^

Intet 94.50.

.Diapenie

$7. 2%,

&<$i.t8.

TerciamU

eft—nor.

Inter 25.2/.

Tel.Aphelius 57-3.g

4 Tercia e " - major.

Iater 4.3/.

Perihelius 97.57. k.

s»4

2.j

o^Aphelius 26.14. Perihelius

1.4^.8.

Diefis eff

2S Diapafon,;

eftJLcum cercia iz minore

Noca, quddMercurij magna Eccencricicas,Faciacmotuumproporcionem nonnihil difFerre a duplicaca diftanciarum proportione. Namfifeceris, uc ioo.mediocremdiftanciam,adi2i.Apheliam,dupl©

cantam proporcionem mocus Aphelij> admocum medium 245- /#. 327. cuncprodicmocusapheliusj67.&fi, uc 100 ad 79. diftanciamperiheliam ; duplo cancam proporcionem mocusperihelijadmediocreoieundem ; Perihelius mocus fiec 593. ucrinque major,quamhicpoftiii quia fcilicec medius mocus in Anomaliamediavaldeexobliquoinfpettus,non apparec tancus, fc. non »45 w* wfec, fed minor * eirciter tf fcrupu*

HarmonicisLib. V. fcrupulis; ergo eciam Aphelius

nus autem Aphelius eapice praecedenci ,

199

& Perihelius minores elicientur.

Mi-

plus penhelius , propcer 1 h.Opc; Eucl: uc caviCAP. rv*

Numero VI.

Quod igicur incer hos apparences mocus fingulorum excremos effencHarmoniaj,&Goncinnaincerval!a,idvel ex proporcionibus diurnorum arcuumeccencricorum ,fuprarelacis,pocuiprcefumere animo: cumvideremibipaffimfemifles regnare proporcionum harmonicarum ; fcirem vero, apparencium mocuum efle duplam proporcionern,proporcionis moruumeccencricorum. Sed dacur experiencia ipsa,vel fine raciocinacione , quod affirmacur, comprobare; nc vides in cabella proxima. Valde n. prope ad harmonias accedunc proporciones apparencium mocuum fingulorum; fic uc Sacurnus & Jupicer paulo ad-

modumplusquam TerriascompleeTanrur,Majorem&Minorem:excefliisiiiic5/./4. hic54. 55.aucminus,fc. iefquicommaca fere ; Terra paul6admodum,fciiicee j37-i?8.vixfemicommace,plusquamfemitonium;Marsaiiquanco (fcilicec,29. 50. quodadj^. ?5»vel j5.56.accedic) minusquamDiapence;MercuriusfupraDiapafon , propiusobcinec Tertism Minorem , quam Tonum,minus fchaberper g-g. 39. circiter, quodeftcircicer duo commaca, fcilicecfere 34. 35. vel 35, 36. Sola Venus minus aliquid obtinet, quani func omnia concina, ipfaque adeo Diciis:eftenim proportio ejus inter duo & ttia corhata, fuperatque beft fem Diefeos, exiftens circiter 34.35. fere 35.36. corhate diminuca D;.sfis. In hanc confiderationem etiam Luna venit: Nam deprehenditur

ejus Apogajaeriiotu horariusin Quadris,omniumfc.'cardiflimus., ^6^r.

i6y?c.Periga;a;inCopulis,omniumfcilicec velociflimus^/^y.i^y^t-.qua. racione formacur exacliflime Diaceflal-on. pars cercia dc 26. 26

Nam

eftfc 49. - cujus

quadruplum eft 3/. 1/. • Ec noca ,quod Harmonia Dia-

moc 9 apparencesahbinufpiaminveniacur notaetiarn analogiam QuartaeinHarmonijs, cumQuadra inPhafibus. Ha:citaque

teflaron incer

invemuncurinmocibus fingulorum. Ae m binorum incer fe collacorum Planetaru motibus extremis, cla- Qvp Hasriflimusfol Harmoniarumcceleftiumftatim adprimum afpectumeni- nionis,n; r rerbinoru > r f "r r ticur live diverfos motus extremos mter fe compares , iive converios. converfos :

Nam

inter converfos Saturni Jovis,proportio eft exactiflime dupla , &divcrtt» "' morus. feu 0iapafon;inter,diverfos,paul6adrnodumampliusquam tripla,feu Diapafoncum Diapente. Namde/^. $ofec. cerciaparsefti^r. sofec. cumSacumusproeohabeac ipr.^Gfec Igicur Planecaria habec plus

unam Diefin

auc paulo quid minus

fc.

26. 27. vel 27. 1$:

& minus uni-

co Secundo ad Aphelium % accedence , exceflus eric 34. 35. quanca eft rnacuum excremoru ?. Incer Jovis & Marcis diverfos & eonverfos regnanc Trifdiapafon & Difdiapafon epidiacrion, non perfecTe. Narn pars otlava dei;%pr.- 1 fec. ed^pr. qfjec. cum Jupicer habeac^pr. 30/?«-. quos inter numeros adhuc intereft j ^ 1 9. quod eft mediurcinter 15-. 16 24. 25-. Semiconium & Diefin, fcilicec proximeperfe&umLimma ,

videiibri

Sicpars quinta deiGpr.y^fec. eftjpr. x^fec cum Jupicerha- iv.fo^L bezzspr.zofec deeftigicur hic proporcioni quincuplaicircicer 21.2-2, quancumpriusalcera abundabac,ferefc.Diefis24. 25. Propius accedic

lzG-125.

Har-

ioo Harmonia

$"•

24. quae ad

Nam de

rem.

fticuicJ6. *4-

Motibus Pianetarum

5-.

Difdiapafonpro majori Sexca adfcifcic minoi, 6, quaefumpca vicies quacer, conquo.26. 14. non plus quam femicommafacic. Mars

30. quinfa parseft

cum

Cum Tellure minimam proporcionem forcicus eft , exattiffime fefquialceram , feu Diapence nam pars cerciade 57 pr. ^Jec. efl ijpr.ifec. cujus duplum 7,Sfr. 2. fec. quem ipfifTimum numerum habec Mars , fe. 3%pr. tfec Majorem illi proportionem forcici func Diapafbn cum Tertiaminorij.)2.pauloimperfeftius. Namparsduodecimade6i/>r. i8y£cr.eft :

5/>r.

tffem.y^c.

quajfumptaquinquies,

iitzjpr.

iiyfc.cumproeoMars

h3beatz6pr.14.fec. DeeftigicurdirninutaDiefiscirater,fc.35.j6.Tel~ Venus communes fbrcicifunc h«rmonias,maximam.j. 5. lns vero

minimam 5

8-Sextas>majorem &minorem,rurfum nonperfeftiflime.

Nam pars qtiincade *)7pr.3?(ec. eft lypr.jijec & hujus criplumfic 5"g/>r. 34

fec.

jf. 36.

quod

mocu

eft

Telluris Aphelio plusper 34. 3$. quodeftfere Harmomcam Planecaria. Sicparsoclavadc

cancum fuperac

eftn^r. jijec^- cujusquintuplumeft j^r.i^ykc.quodeft. ; quare hic minor eft planecariaharmonicaper29»3o. velio.i),qnodeftrurfumferei5._?6.Diefisdiminuca.adeoque appropinquathaecminima illorum proportio ,

pr.fiofec.

quam proxime sequale medio motuiTelluris

HarmoniaeDiapente: pars enim teiciade94/>r. fo/eceft.

3ipr. 37 /ec. eujus duplum 63 pr. I4fec. a quo deficic perihelius Telluris mocus $\pr. \%/ec particula 31. 32 uc cxacie Planecaria medium ceneac inccr vicinas .

Harmonicas. Denique Venus & Mercurius fbrcici func proportionesi maximamDifdiapafon,minimamSexcamduram»nechas plane perNam pars quarca de J84. eft $6pr. ojec cum Venus habeat fc&ifiime.

94 pr. ro/ec accedic igicur Quadruplas unum comma ,

circicer.

Sic

quincaparsdc j64^r. eftfzpr. 4%fec quae terfumpcafacic98/>r,.z4j£i?.

cum Vcnus habeac 97^. i7fec fupcrac lgicur Planecaria beflc comma» ciscircicer,

hoc

eft \z6. J27.

HajfuncigicurHarmoniasPlanecis interfe diftribucaij neceftulla ex praxipuiscomparacionibus ( convergencium fcilicec , divcrgen-

ciumexcremorum mocuum

quam haud

vem

) qua:

veniac,uc fivei chordx

facile difcreturas fuerint

non adeo prope Harmoniam ali-

cenfs, auresimperfeciionem exceproillo excefTu uniusjincer Jo-

fic cftenc »

& Marcem. Sequicurautem,utnequctuncmulturnaberracuri fimus abHar-

G^EHat. monijs , fi mocus ejufdem plagae eomparemus. Addica namquc SamdSafi curru 4- !• cum *$' 54« ac* incermediam 1. 1. conflacur 2. 5. cum 53:. /4. »>iagse

mo quodeft inccr Apheliosmocust» % Addc Iovis 5. <j. cum 54. 5-5 , colligicur5.12.cum 54.55quodeftincerPeriheliosSacurniIovis.SicaddeIovis 5.6. cum 54.55. adintermcdiamfequentem^-s^.min^^.i^Sjprodicj.^ .

tus biqo-

min^.^.interapheliosjaddeadeandem 5.24. min9 157.153.^ 2.3.mi»us 29. 30 , prodic 5.^6. minus 24. 2C.circiter, id eft j25.8tf4.vel 1. 7. fere, interpenhelios: hocquidem inconcinnum adhucfblumeft, Adtertiam ex intermedijs 2- 5. adde Martiam 2.3. minus 29. 30 , pirovcnic 4.9minus 29. 30 , id eft 40. 87 > inconcinnum alcerum incer Aphelios ; fi pro Marcia Terream 15. )6> addideri* plus IJ7. i3g.»creabis5-8. plus |jr. ijf

HarmonicisLib. V.

201

CAP -M K7- J38- incer perihclias. Ec ad quartam incermediarum 5. g. sainus 30 3j. vel z. 3. plusji. 5.2 fi Telluns 1$ j6. cum 137- 138. addideris , colliges quam proxime 3, 5. inter aphehos mocus Telluris & Veneris. Nampars quintade94^nW. $0 /ecutd. eft i$prim, <$ fecund. cujus cri,

Adeandem plumeft/6^r/>w. 54/ecaW. cumTeilushabeat57/>r. ?jec, fi Veneris^. 35. addideris^accumulasj.S. incer perihehos. Nam pars o&ava de 9jpr. ^fic eft upr.i zfec. -+quae fumpca quinquies foenerac 6i^r. /fec. cum Teilus habeac$i/?r. isfic. Denique ad ulcimam intermediarum 3.5.011x1 126.127,^1 addideris Veneriam 54. 55-, componecur 24, 25. ulcra3- 5. &fitdiflbnumintervallum ex ucroque compofitum mter aphelios. Sin autcm addiderisMercurialempropornonem^. 12. minusjg. 39;jam de 1.4. feuDifdiapafon decedet quam proxime Diefis integra, pro propor tione mter m

motusperihehos.

jovis Perfe£t£ ig cur inveniuntur Harmonia? , incer Sacurrii convergentes, Diapafbn; incerJovis& Marcis convei-genr.es , Diapafon cum Tertia molli fere,incerMartis& Telluris convergenres, Diapence;intereorum periheliosSexcamollis; incerTeliuiis V'enerit. aphelios Sexca dura inter penhelios Sexca mollis; inter converfos excremos Venens Mercurij Sexta dura. interdivergentes vel etiam incer penhelios Difdiapafon: adeo ut fine damno Aftrorioriaia; omniumfubcilifiimeexobfervacionibusBraheanis excrufta: reiidua Cxihfllmadifcrepanciaconfumipofie videacur; pr«efercim in mocibus Veneris & Mercurij* Notabisautcm ubinoneft HarmoniaMajorperfetla, ucincer Jovem & Martem;ibi folum proxime perfedam deprehendi interlocarionemfiguraefehd-e cumpenhelia Jovisdiftantia ficproxime cripla aphelia; Marcis uc ita ha?c biga perfe&am Harmoniam , quam non habetinmotibus, aftedtetinintervallis. Notabisamplius, Planetariam Saturni Jovis majorem , excedere Harmonicam , fcilicet Triplam quantitate fere tanta quanta eft Veneris propria; tantudem fere deeflecommuni majori Martis &Telluris , tantundem duabus com-

munibus, extremorum Telluris & Vene ris , convergentium

gendum.

Notabis cercio

& diver-

fere in fiiperioribus efie Harmoriiasftabi*

licasinterconvergentes .-acininferioribus, intermotus eju(dem'plagaz. Nota quarc6_,incer Saturni Telluris apbelios , efle proxime quinque Diapaion; nam pars tricefima fecunda de tfprim. jficund, efl: iprim. 47 fic cum aphelius Saturnihabeat ipr. 46 (ec. Porromagnum difcrimen intercft inter explicatas firigulorurn

Nam illae quidem eo_ temporis momento exiftere rion pbflunt , hae vero omnino poflunt : quiaidemFlaneta , verfansinfuo Aphelio , nori fimul poreft efle in oppofito Perihelio : at duorum Planetarum alter in Juo Aphelio , alterin fuoPerihelio pofluntefle eodem tempo-

PlanetarumHarmonias, &inter jundlorum.

dem

rismomenco. jsodia:,

AdedquequsproportioeftCantusfimplicisfeu

Mo-

quamChoralem Muficam dicimus, &qu«efola Veceribusfuic Cc cognita

De MOTIBUS PlANETARUM

202

cantum plurium vocum j Figuratum diftum , invencurh proximorum fa?culorum eadem eft proporcioHarmoniarum, quas cognica, ad

fingulidefignancPlaneca:,adHarmoniasjun&orum. Icaquejam porVI. fingUli planecae comparabuncur cum Mufica Chord^ Cap. V. vecerum rali , ejufquepropriecacesin planecarummocibus oflenden-

turrac capicibus fequentibus,juncti planecae, fica paria facere

cum figurata modernaMu=

demonftrabuncur.

GAPVT

InProportionibus motuum Planetariomm apparentium (ex Sole

veluti fpeclran-

cibus) expreffa effe Loca Syftemacis , feuClavcs Scalse Muficas, &generacancus,Duri& Mollis. i

Q Vod

igitur inter nosduodecimterminosfeuMo^^•cus, Planecarumfex , folem circumcurrencium , furfum deorfum, & quaquaversum ftenc proporciones Harmonica?, auctalibus intra infenfilem parcem Concinni minimi proximse, probacumeft hadtenus , per numeros hinc exAftronomia , indeexHarmonicapeQuemadmodum vero libro cercio primum Harmonicas proticos. portionesfeorfim fingulaseruimuscapiceprimo, cunc

demum capi-

tefecundo , easomnes,quocquoceranc,inunum commune Syftema feu Scalam Muficamcompegimus,im6pociusunamearumDiapafbn, qua; casceras poceftace completlitur , per illas caeceras in gradus feut Locafua divifimus , eaque , re ucScalaeffec, efFecimus: ficnunc quoqi invencisHarmonijs, quasDeus ipfein Mundo incorporavic , fequitur uc videamus, num ica fingulae ftenc f eorfim, uc nullam cum reliquis cognacionem habeancanvero omnes incer fe confencianc ? Quan-

quam facile eft vel fine ulceriori inquificione concludere Harmonias iftas fummo confilio fic invicem apcacas effe , uc incraj unam veluti compagem CeCe mutuo feranc s nec una aliam elidac: quippe cum :

videamus , in cam mulciplici comparacione eorundem cerminorum, Nifi enim omnes omnibusapcaliufpiam non occurere Harmonias. tae eflenc in unam Scalam ;facilefieripocuiflec ( &fa6"Uim eftpaffim necefficateficurgence

)

uc plures diffonancisc exifterenc.

qui*

?^$~i nncer primum & fecundum cerminum confticuerec Sexcam majorem * ^— ^ 1Tinter fecundum & cercium, Terciam ltidemmajorem, finerefpetlu i

j'priorisi

hic incer primum

& tcrcium admiccercc difTonanciam & inceiv

valiunjinconcinnum 12.^5«

;Ageve^

HarmonicisLib. V.

205

Age vero videamus, an quod jam ratiocinando collegimus, id CA ^ Cautiones tamen aliquas praemiccamus quo reipfa (ic inveniatur. minus impingamus in progreffu. Primum fuperfluitates illas,vel ,

defeetus

femitoniominores

inpraslens diffimulareoporcecnam

quasilla;caufashabeanr,pofteavidebimus. Deinde duplicationevel^ contraria bifedlione continua motuum, redigemus omnia intra «Syfte-

mauniusO£tav3e,propterIdentifonantiam omniumDiapafon. Igitur Numeri, quibus fyftematis Octavae Loca feu Claves omnes tabellaexpofiti exprimuntur, capite odavo Libricertij, folio47. funt quos nuraeros fcilicet intellige de binarum chordarum longkudine. Per confequens igitur , celeritaces motuum , eruntinter fe in proportionibus everfis. Comparenturnuncmocus Planecaruminparcibusconcinuefub>

duplis.

Eftigicur

Motus

Vrtm.

Penhtlij £ feptimun-ifubdupla,feuj28'& <* 3> Aphelij $ fextum fubdupia, feu 640 z. Penhelij % quincum iubdupla , feu 3.2 da 3, Aphelij Veneris quincum fubdupla , feu 32 da z

Sec*

Terr£equincumfubdupla,feu32<^ Aphelij Terrae quintumfubdupla, fcvtjzda Perihelij Martis quartum fubdupla, feu 16 da, ApbeIijMarcisterriumfubdupla,feu8i'*

Perihelij

?43-

/8-5547.-

-2J.»

17.-

Perihelij Jovis fubdupla

45"*

Apheliflovis ful dupla, PeriheiiusSacurni Aphelius Saturni

if-

15.

46.

Signet jam Sacnrnitardiflimi motus aphelius, id eft , cardifflntUSjlocum Syftematisgravifiimum G. numero \ prim. ^Jecund. Eundemigicurfignabic& Tellurisaphelius , fed quinque Diapafbn alrius , quia ejus numeruseft ^prim. 4?Jecund. &quisaufic inSacurni aphelio moru de uno Secundo concendere ? Efto camen difFerencia non erii major , q. 106, io7,quod eft commate minus. Hujus 1 pr.47 fec. quarcam parcem zrfec. fi addtderis, conficietur zpr.i4fec. cum Saturni perihehus hzbeat 2 pr 15- fec, Jovis aphelius fimiliter,fed altius uno Dia>•

paion. Igr hi duo motus fignanc Clavem £,velpauI6 admodum altioree Eunc.Sume de ipr. 47fic tertiam %6fec- & adde toti>procreabis z pr. 2i(ec- pro Clave

ecce perihelium Martis,ejufdem magnitudinis» fed per quatuor Diapafon altius. Eidem r prim, 47 fecund. adde c:

ditrudium %4.fic- , confiet zpr. 4ifec- ,pro Clave d: ccce hic praefto perihelium Iovis , fed uno Diapafon akius: numerum enim proxi»

mumobtinecfc,

zpr. ^sfee.

Siduascerciasaddideris,fo ipr. nfic. -+:

proveniuntz/jr^g^-.EcecceapheliumVeneris^/T.^g^-.Signacigi^ tur hic h >cum feu Clavem e, fed per quinq;Diapafon alciusmec mulcum fuperat periheli9 Mercurij, habens^r. ofec. fedz. incervalhsDiapason fupenus.Dcniqidivid8duplumipfiusi^.47/f.fc.j/»r.^4j?f.innovemJ

Cc z

fcpar?

— 20 4

D£ MoTlBUS Planetar um

.„

cap y

k^.

&paritem unaro 24 fec. aufera coco,reftacjj!>r

io/fr.

-+pro clave/quani

fignacfere aphelius Marcis ^pr.yjec fed percYia Diapafon alcius ,

& ip-

fenumeruspauld major jufto,appropinqUansclavi/e. Namparsfedecimade fpr-. itfec. fcilicec 13 fem. /»r. ablaca a}pr. 34fic. relinquic $pr. 20 Cem.jec cui proximUs eft %pr. 17/cc. Ec fane etiam in Muilca loco/, crebro adhibecur/e,ticvidereeftpaffim. Omnes igicur claves cancus duri, incra una O&avam (exccpca clave ^quas neque per fe&ioUes Harmonicas Libro IILCap. II. fignabacur j fignancur ab excremis PlaUecarum mocibus omnibus, excepCis perihe-

Veneris T&lluris> appropiriqUaccIavir?.

lijs

& aphelioMercurij,cujusnumcrus2pr.j.#/ec. Nam aufer ad. 2pr.

41 fec. parcem fedecimam

io^r-s-.reftac2 />r,3o/Fc.clavice:icafoliperihelijVeneris&Terra;exulanc ab hac Scala , uc vides in cabella.

%.^zz%--l

^=z=:iz:=z:=zz:zz™z=~

te'^ -

5^-

r« 1

C5*

4 *

w.-

«^ §*•

r r-s

SLi

•

(?oarra fi a Sacurni moru periheiio zpr. ijfec. fiat inicium fcala;,jaclavemG: cuncclaviy? veniunc^r. 32-fec. q,

feeacurq; isreprasfencare

appropinquacvaldeaphelioMercurij;Clavi b vemuntzpu 42,fec. q,eit proxime penhelius^ p xquipollericiam Oclavarum;Clavi c veniunc 3pr. ofec. perihelius Mcrcunj Veneris prOxirne j ClaViiveniunCi^r. 23/ar. - nec mulco eli obcufior aphehus MarCis, Cc^pr. isfec. ut fic hic fe,

re canto minor numerus fua clavi , quanto prius itidem fua major erac Clavi d% veniunc fpf. jtjec. quam obic aphelius motus Tcllurisfere $ Clavi e veniunc^ pr. ^ofec eftque perihelius Telluris3^r. 49/rc. Jovis vero aphelius rurfurn ceaec^.

Hoc pa&o claves omnes incra urtarri o£tavam cantus moIlis,excepta/, exprimuncur ab aphelijs perihelijs plerifque planecarum moci-

bus , prafercim

ijs , qui

prius eranc omifli, uc vides irt Tabella

—kgsaz —g---*~— :*

§.

£"

j* f 5? ^

§. &"

^§•

?:^ 5

lm aucem prius/e fignata, J omifla: jam A fignacur,/e omiccicur

»a«ifeaioacs Harmoaie* CAP,- H. elavexn / eciiana omiferunc. Iftigi-

HaRMON!CI$LiB.V,

205 CAPY;

Eft igicurincoelo dupiicivil,

&in duobus quafigeneribus

Cantus,

fcxpreffa fcala Mufica > feufyftemaUniUsOttavar,cum]ocisomnibus Sola in hoc eft diffeper qus in Mufica cradUciCur cantlis nacuralis, Harmonicis,ucraquevia rentia , quddin fe£ciombus quidem noftris conjundim incipit.ab Uno &eodcmcerminoG ; hic verdinmotibu9 planetarum j qUi prius erat § i jani in Molli genete fit G,

In mottbus ccslorumjic

=t:^ — pm^z&^^^

z$±zzzzz: -*:$:±: t^

i-l

N ,h

*«

t>»

O o

o o co

y..Z7.ZZZ: 4

i-,

**•

k»

PeT

**:

^o or> CJ\

O o+>

jecliories

w N

^i.

O coN

"-0

Q"\

00 0>

00 O;

i»

Harmohicasjic :

^^$_[_£ iw =_£— -:*:$:* :__*_*_?=_ :$3£

^zzzzaZSz

t-4

i-i

»m

o O

°*

fc»

O O o o o

„

<*>

N_mficutinMuficafehabec2|6oad)2oo.vel 6 adf.fiein lllo fyquod coelum exprim lt fe habenc 17-28 ad /440 , fcilicec eciam ad 5. c_ fic de Cceteris plerifque zi6o ad 1800, i<5_jo. 1440. ijjo. jjdgo,

fteririace

k»

172.?

ad J440. 1296.

iogo.

115-2.

864»

Jam igituir nori amplius miraberis excelienciflimUm Ordinem (bnorum feu graduum in fyftemate vei fcala Mufica confticui ab hominibus:cumvideas,ipfoshacinrenihilaliud quam DeiCreacoris firr.iasagere, & ludere velucidrama quoddam ordinacionis mocuum ,

cceleftium.

Verum

modus, quoduplicemincelligamusin cceIofcaIamMuficam:ubifyftemaquidemidem cenfioverogemina concipicur , alcera ad aphelium mocum Veneris, ol.era ad perihelium: fupeft eciam alius

quiahujus planeca.mocuumvariecaseftminimjequancicacis;ucqua^fe concinecincramagnicudinemDiefios,Concinniminimi. Ec aphelia quidem cenfio , uc f upra habet aphelios motus Sacurni , Telluris , Veneris, & fere Jovis , in G. e, fj , perihelios verd Marcis fere Sacurni , ur prima fronce apparec , etiam Mercurij , inc.f. periheliaconcrs. ty: tenfiolocumdaceciamaphelijsMartis, Mercurij, fcferejovis, peri,

Cc j

kelijf

De MoriBus P1.ANETARUM

2o6

Veneris , fere Saturni ; quadamtenus vero etiam proculdubio etiam Mercurij. Narn efto , ut jam non apheTelluris ; lius Veneris,(ed penhelius spr.jjec.locum e capiarjeiproximeaccedic eciam perihelius Mercurij $pr. ofec. per Difdiapafon , per flnem capicis IV.Hujusvero periheiij ?, j pr.j /ec.pars decima, i$/ec. ablata,relinquic parsquindecima Zpr.^fec. periheliumJovis,obtinencemlocum^: heli js vero Jovis ,

®Ap

cumulac ^pr.

apheliumMarcisfcre,obcinencem Jocum/ & fic in £, fequencur eandem fere tenfioncm etiam perihelius Sacurni&apheliusjovis. Acparsodavazj/fc.fumpcaquinquiesjdac 12 pr. addica

iffec,

qui eft perihelius Telluris qui etfi in eandem cum praemiffis fcalam non quadrat;uc quae non ordinac intervallum /.g.infra e,ncc ficetiam aphelius 24. 2$. fupra G. tamen fi jam perihelius Veneris, ordinem pro e, excra d% tunc capianc locum hic perihelius Mercurij, , 1 pr.

^fjec.

,•

TelluriscapietlocumCr &confentiecetiamapheliUsMcrcurij,quia pars tercia 1 pr. ifec. de 3 pr. ijec. fumpca quinquses , foffrr. %Jec. cujus dimidium2pr. 32/?<r-t-.proximeacceditadapheliumMercurij, quiin hacexcraordinariaaccomrnodacioneobcinebitlocum c. Suncigicur hi omnes incer fe quidem tenfionis ejufdem alci ter tamen Scalam dividit Veneris perihelius;cum tribus (vel quinque ) prioribus , eodcm 9 fc. genereHarmonico, q,apheli ejufdem,incenfionefua,putageneie Duro: aliteretiamejufdem Venerispenheliuscumduobuspofterioribus, eandem dividit; puta ,non in Concinna alia, fed faltem in diverfum Concinnorum ordinem qui fcilicet proprius eft generis Mollis. Sufficitaucem,hoccapice, quidincausaverfecur , oboculospoquae caufae non fiiifle quare ver6 unumquodque fic fuerit fa£tum, cancura confpirationum , fed ctiam diffidenciae per minima > id lucu* lenciflimis dcmonftrationibus patefiet Cap; IX. ,•

,•

C A R

InExtremitatibusmotuum Planctariorum exprefsos eke quodammodo Modos feu Tonos Muficos.

C equitur hoc ex antedi&is, nec opus

efl: multis verbis, enim planecaefingulaquodammodofignanclocafyftematis,

•^finguli

motuperihelio,quatenusdatum eftfingulis , percurrere ccrtum aliquod mtervallum in Scala M ufica,certis ejus Clavibus feu locrs Syfteraaciscomprehenfum,cujufqueabillaClave feuloco incepcum , qui capice praecedenci concigic jllius mocui aphelio , Sacurno quidem ,

acjovi ^,quaeinGaltiustranfponipoteft,Marti/e, VeneVide fingulos in Notis ufitain altiori Syftemate. Non formant quidem intermedios locos, quos hic vides notis im-

Terrx

a Mercurio A,

ris.

quia ab uno excrcmo , non falcibus incervallisj fed concinuA cenfione nicuncw ad oppoficuoi > media oimnia

pletos, ar ciculace

ficuc excremos

Har moni c t s L i b. V.

207

quod aliter a me non potuic exprimi quam per concinuam feriem Nocarum incermediamnia fmfinita in potencia ) permeantes adtu

CAP> ^*

bacurnus

Venus rum.

fere

manec

lerra

Hiciocumhabetetiamj)

Alercunus

*"*

Venus

dine vel

Marstere

Ji.picer

unifononon sequans cenfionis amplicu-

minimum exconcinnis incervallis.

Atquifignaturaduarumincommuni SyfiemateOlavium, &formaciofceleci Oftavae, percomprehenfionemcertimtervalliconcinni,

eftrudimencumquoddam diftinctionis Tonorum feu Modorum:func ergd Modi Mufici incer Planecas difpertiti. Scio equidem, ad forma-

tionem definicionem diftinctorum Modorum requiri plura , quac cantus humani, quippe mtervallati,funtpropria:itaque voce quodammodofurnufus.

Liberum aucem

eric

Harmoniftas , fencenciam depromere fuam

quem quifque planeta Modum exprimatpropius excremishic ipfi affignatis. Ego Saturno darem ex uficatis Sepdmum vel O&avuni ,'

fi radicalem ejus clavem ponas G, penhelius mocus aicendit ad 5: JoviPrimumvelSecundum ,quiaaphelioejus mocuad G accommodato,periheliusad b pervenic,-Marci Quintum vel Sextura noneo

quia

>•

tantum,quia fere Diapente aiTequitui ,qu'od intervallum commune efl

omnibusmodis : fedideo pociflimum quia redaftus cumcsetensad communefyftema, perihelio motu c aflequitur,aphelioad/alludic: quaj radix eft Toni feu Modi Quinti vel «Sexti: Telluri darem TertiumTell» ea nft vcl Quartum : quiaincra femiconium ejus motus vertuntur,- & veroMl * A MI primum illorum Tonorumintervallumeftfemicbnium > Mercuriojaba c*Jivero ob amplicudinem incervalli , promifcue omnes Modi velToni<:>as,'nhoc .

convenienc: Veneriobaneuftiamincervalli, planenullus,acobcom- noftt '!°; mune Syftema, eciam Tercius Quarcus, quia rpfarefpectu cstero-Jetiam & fAmemob rumobtinec et ,

u&eie,

CAP VT

VII.

Harmonias univerfales omnium fexPlanetarum ,veluti communiaContrapun£laj quadi iformia dari.

J^JVnc opus , Vranie, fonitu majore dum per fcalatri Harmomcam cosleftium mocuum , ad altiora c,onfcendo ; q u a ge:

^auinud

'.TSflD

;

De Motibus Planetarum

208

nuinus Archecypus fabricas Mundanaerecondicusaffervacur. Sequi* miniMufici moderni,remque veftris arcibus, anciquicaci non cogni: vos hisfaxulis ultimis , prima univerficacisexemplageAnne fla. cis, cenfece bis milhum annorum incubacu , candem produxicfui nunquam gitium fe. nuina , C1 ° 1? non P rocu ga Nacura veftris illa vocum variarum concencibus , perque f S ins *uns veftras aures,fefe ipfam,qualis exiftac peniciffimo iinu, Menci humana;, Compom- Dci Crcacoris nliaj dilecliffima: infufurravic. Quas Harmonicas proporciones bini Planecae vicini Mocuum fuodoftmfiiquamMo- rumextremicacibus complecterencur , idexplicacum fuic fupra. Vetetam pco rum CO ncingic rariffime, uc ducpfcrcim cardiffimi, fimui in lua incidac '

verbicaufa, Sacurni& Jovis apfidesdiftanccircicer gi gradibus : igicur Licerea , dum haec illorum diftancia, cercis vicenorum annorum faicibus ycocum Zodiacum emeciacur , anni labuncur peSt«Re gius,ca;ce- oclingenci; neque camen falcus,quioclavumclaudicfaeculum, praeciriq Sacri fefercur adipfiliimas apfidas; &fipauld longius aberrec expeclandi diwre^po- fum alij octingenci anni,uc falcus illo felicior cum racione quseri poffic tscunc.Ve- idque coties icerandum, quocies modulus aberracionis in unius faicus rumheus dimidiaci prolixicace concinecur. Tales Periodosefficiunteciamcaegio exiffam excrema incervalla.-

rextum

;

,•

vos>inc<se-

quam

it quanquamnonicaprohxas. Incenm vero concingunc eciam aliae Harmoniae binorum Planecarum ; incer mocus non excremosucrofque, fedintermedium, velunum vel ucrumque :'eseq; i

•«

ceraz bigaeltngulae

lopiures fex

cocdan"" Lu- in diverfis veluci cenfionibus.

Nam na

fcC fim

^ ,

cunis^ffi-

ulcerius cendicur , Jupicerexfun d &amphus: poffunc igicur concin^Harmonia;etiimiftajmpraDiapafon,Tertiautraq> ,& gereincerfc Diateffaron ; illarum qdem alcerucrap cenfionem , q habet amphtudid mem reliquae; hasc vero per amplicudinem Toni majoris. Diaceffar

noncancuma GSaturniin

«knsCou-

ron enim

fette fym-

curniin;&/ Jovis,

BUiberh-

Nam quia Saturnus ex G in § & paulo

nodiatn cantiiiat

•

)

eric

Diapafon vero

us -

Jovisfedeciamab^Sa-

&per incermediaomniaincerG. ^.illius&fc. aWhu-

Diapence infolisapfidum punctis concingic.

Mars vero majus naclus incervallum proprium , hoc obcinuic, uc eciam tlbus,Cura *Diapafoncumfuperioribus, peraliquam cenfionis amplicudinem faMercurius cancum obcinuicincervallum ; ucpierumque omnes ci aC feduium poliiceor. Harmonias cum bmnibus conftituac,incra unam periodum fuam, qua; ^Mufi- non ^oWxiot efl trium menfium fpacio. Telluse concra, Venufque camccee mulco magisj/anguftia propriorumincecvallorum, reftringuntHarftem ex P n "moniasfuas non cancum cum.casceris fedmaximeincerfemucuas, ad •t, feipar-

erc defcri"paucicacem fpe&abilem.

Quod fi cres in unam Harmoniam

confpi-

raredebeanc:mulcaequidem vicesfuncexfpectandae; mulcae cawen func ; ucicacancofacihuscontinganc dumvicinamfuam Harmoniae tum/vrenievene- proxima quarque excipic : yidencurquc incer Marcem , Tellurem POn " Mercurium criplices concingere fspiufcule. Quacuor vero pianecafarnf a ~ quinque Plaheca. ienJ° rumHarmoniae, jam incipiunc fpargi in faecula: rum'. in Myriadas annorum. Uc vero fex omnes confenciancid longifl. fimisaeyifpacijsincerfepcum , &nefcioan penitus impcffibilc ficbis concingere per exaclam evolucionem; pociufque principium quod•rinltri

ptamjhuic

Mundi.

damTemporis demonflrecaquoomnis Mundiaecasdefluxeric. Qnod fi unica fola, concingere poffec Harmoaia fexcuplex , auc incej

—

HarmonigisLiberV;

io£ CAP.VI*

jnterplures unica infignis ; eaprdculdubio prochara£tereCreationis quot omnino formis rediganhaberi poflet. Quaerendum igitur , an tur omnium fex planetarum motus in unam communem harmomam? Methodus inquifitionis haee eft, ut incipiamus a Terra Venere; quia

hiduo faciuntconfonantiasnonpluresduabus,& (quodhujusreicaufam continetj per intenfiones motuum breviffimas. Age igr prfcfigamus duoveluti fceleta Harmoniarum, fingnlabinis

numerorum

( quibus termini tenfionum fignantur ) excremitacibus concenca, quidq-, ijs congruac ex var iecate mocuum cuiq; Planeca? concefforum, eonquiramus. PrimumfceleconhabeacincerTerram& Venerem 3,5. &>ingravifi]macenfiGnernocumdiurnum Telluris apheli'\1mj7pr.\3Jec. inacucifllma, Veneris pei ihelium 97 pr, 37/f e. caeteriergo ficerunc:

Harmom* rianecarum omiiium feu fales

oncordx

IJt c conccrdzt

In Tenfiond Gravif-

A cutif-

firna.

fima.

%ij.

<§-—-

—

... ~~3E

Sc^rr. fec

InTenfionc

Sc Pr.Se.

380.

2.8,-,

iiniver-

Gtnens Duri

e9^'.

2JZ.

48.

^ij.

-$V

Acuciifi-

Gravilfi-

ma.

Sc pr.Scc'Sc.i'1'. 5 "

8o.

ma Ge.

20.

"04.

ju.

!??•

g<5/

cv/

190.

VenuseS-

T «'g''?,

§:

9/.

id 195.

tq..

97-

58.

-^i^c-

Veaus

jf.

19.

g»;

A—

57-

5S.

34-

t*.

17.

4-M

.*7-

•'

Ter.g^C_I$I ** dtii — — V-— 38.

;*.

55.

ev-

'°-j l>5-

«•

*• 34'

35»

2. I.

—

1*.

47-c

Adhancuniverfalemconcurnt^aturnus _ctuaphelio,Terraaphelio,Venusaphelio fcre;inaltiffima tenfione concurric Venus

$ G

47-

Hic csteris manentibus, Saturni perihelius &Jovis aphehus non feiuntur; ac eorum lo-

coconcamtMarspenheliomotu. Caeteri fingulismotibusconcurrunt;fo»

perihelio;in media tenfione concurritSa-

turnusperihelio,Jupiterapheiio,Mercurius penhelio. I ta Saturnus diiobos motibus po-

—-$-

lus

Mars due-feus , Mercutius ciuatuoc

KftcoacuirerejMarsduobus^MercurJus^.

§ecun-

De Motibus Planeta r um & ? cft alcera poffibiHs

fecundiim igi" fcelecon eric, in quo incerTerrarti

Ubide? apheliomocudiurno94£r. ^o/ec. parso&ava fumpca quinquies occupac de mocu Telluris 5-9^. 1 6fec. 5c deperihclio$ 97/>r. J7/&. parsconfimilis, occupacde motu Telluris

Harrnonia

5. 8-

|i pr. 5 \fee -.

^ifiy.iy^c-CxceriigrPlanecajconcordanciequencibusmocibusdiurnis.. --

HarmonidcPIanecarumomnium IJt

umver-

Generis MdHis.

fales

I-

leu

concordet.

c cwcorda.

1-.

•^ 1

InTenfione Graviffima. I

Sc. Pr.Sec

t_I~

*g%-

___$_-

d f 9/

InTenfioneGravif.

Acuriifiraa.

Sec

»84-3i *i7.

_3JE

%g9-

+ 40

lima.

Sc.pc.Scc

379-™

i §

Acutif-

Sc. Pr Sec

tj>t.s6 Z'4#;

g y

$d>

I9/.I4

S» |

k$-

y7-

'44- 4

.40

ig_

Ven» df %_^.^..„ :_fcA~ Tei.

#'/'/)

_~Z_

61. x

*S>-3«

J U P-W

jo. JI

Marsg/t/

•

1«

JO. i»

—

\ $ y.

97>17

j__$:i-

19. Itfi.

Jap.cj

~5«fc-~- 4J<S

Satcrn.

3= A

*•

*S*

fcurfum hic ln tenfipnemediaconcurrunt SaEthiccjctritisapheliojovi* , &perihelioSaturnusmotuperihelio,Jiipiter aphelio, Mer- turni, adrmtcitui Mersunj aphclius proxim* eurius perihelio. Jn renfionc altllTiisa fcre prsetcrpcriaelium. Cseterao. aent. eoncurrit perihelius Telluiis nsotus.

Teftacur igr experiencia Aftronomica, poite cohcihgere univerla»

ksomniiimmocuumHarmonias.eafque duorum generum

Durifc

Mollis j &inucroquegenere,forma:feu(fiicalicec) Toniduplici9i

& &

inunoquolibecquacuorcafuum, cum aliqua cenfionis lacicudine, cum aliqua eciam variecace parciculariumHarmoniarum Sacurni,Mar° tis & Mcrcurij, eujuique cum cseccris: ncc id prseftari folis mocibus in» termedijs (cd omnino excremis omnibus, praecerquam aphclio Mar,

perihelio Jovis,- quia ciim ille obcineac/e, hic d, Venus obcincns incermcdium dq vel e pcrpecuo , non ferc illos fiios vicinos diflbnos iit tis

harmonia univerfali , quod facerec , fina&afuiflecfpacium cxcedendi cx e vcl d?. Hoc impedimenci habec conjugium hoc Tclluris & Vcneris, ccu maris& fceminx, quiduo planeca gencra Harmonia«"urn diftinguut, in duras fciiicec

& m«fcula8,mollesque & famihinas proui

;

Harmonicis Liber VJ

atn CAf.TO

jsroiitalterconjugum alteri fueritgratificacuSjTerrafciliccitvclinAp hel io fiio fiierie, canquam digriicacem cuerls m ar tal em , oga urgens viro digna,Venere in periheliumfuumvelucadcolumferiiota&detrusa.vel eam in ApheliUm afcendenccm blande admiferic; ipfave Telius, fuuminPeriheliumverrus?jinqueejus velucicomplcxus defcenderit, voluptaciscausa, poficisclypeopaUlHper&armiSidperibusqu© viro conveniencibus.-cunceriirri Harmoniamollis eft. Quod fi hanc oblocucricem ? filerc jiibeamus, hoceft , fi confideraverimus, quscnam efle poftinc Harmoriue nori orhnium, fed quinqi

fakem reliquorum Plarietarum,exclufomotu?j adhucquidem TeL Harmoniae Pianetarum quinque, diffiraulaca Veriere

Generii

Duri

Gene¥ti Mollu Acutif-

la Teniiosie Gravif-

—

•*£

__3E*Z~

_*Z

ma.

Sc.Pr.8e.

Sc.pr.8ec

Sc.Pr. Se.

5*2- iBjjjH 24.

541.

?/«

292 ' 48,

[17J.

i$o.

/7.

*j*.

/6-

JH175.

4*-

^7;

37-

58.

J4-

* 8*

i2%

—

Verius hic—

ob-

—— +—

l?inusobr

-—4-

ftrepit

Acutiffi-

rna.

Sc.pr.iee.

d 9y.

JnTcnfione Gmiffl-

fima.

fimfl.

97' 37

ikepit.ct-

18.

Ter.gwf;

5& 5<f.

J*. }<r.

31.

jb.

b«y

—

ij.

3J.

*^;

i7.

jo.

* -3L^.

2. i.

ip 47.

%•

11.

47-

ro.

Hicnontoleratur aphcliu» Jovis, at in acutiffima tenfione concurrit Satwffc

Hic in graviffima tenfione concurrunt Saturnut , Terra.aphelijsjinmediaSa«urnus perihclio.Jupiter aphelio; in acutjffiriw, Jupiter periheli»;

nus periheliopioximc.

lus oberrac chorda fua^, rjfcg afcendit ab eaultrafemitohiutn poiTunt jgitur cum^ corifpirare b,b,c s d} dp e: ubi Jupicer , ut vides, chordam d fignarismocuperihelio,admitcitur,- fupCreft igicurde Marcisaphelio N?,m Telluris apbeIins,obcinens j?,nonferc iliuminy^. difrlculcas. :

perihelius vero , uc fupra didlum Cap. V.ab aphelij Martij eonfenfu ab* fhorrec circicer dimidia Diefi.

t>d

Quatuoi'

MoTIBUS PLANETAR UM De «•;.-

Ojg

cap. vir teft

QuatuorveroPIanetarurn., SaturnijJovis,MartiSiMercurij,poi fic eciam aphelius Marcis, fed eft fine >

& haec eiTe Harm®nia m qua

fionislatitudirieV

IJt

*_^ # cuncordet.

comord.es

, y

Sc.Pr.Sec, "/

9 *?•

8.,. *

$ -Z§

—

____.$.

d9j

,.,,,

~ *~ # d%

y f-

•

$ *

°^ <3

i6 7

;

>°'

•

-&A-

fe ..

ff _.

_sg_A.__,

.____.$.

k ">- zz$t$z

.".

*«

V ** :_pz;'

.r-i

—$—

^dj.

zz$zz '

•

___£__

Nihilig.turaliitdfunsmotus ccelorum. quam perenriis quidara conccntus(rati 9 naIi3 noh vocalis pcrdiirona_testenfiones>eluti )

quaidarnSyncopationesyielCadentias(quibushominesimitanturiftas d onantiasnaturales; tendens incertas&pra.fcriptasclaufulas, _n0rU (vcIuci Voctim ) ^q» 6 Notis immehfitatem Tempo ismfignien S &diftingu e „ S ;utmirum amplius non fit , tandem inventam efle ab Homine . Creatoris fui Simi! ,rationem canenoi per .concentum ignocam , veteribus uc fcilicer totius Temporis mundaniperpecuicacem in brevialiquaHorsparce. perarcificiofara

plurium vocumfymphoniamluderet, DeiqueOpificiscompIaeentiam in openbus fuis fuaviffimo feafu voluptatis, ex hac Dei lmicacrice Mufica percepca?, _

quadariis

cenusdeguftare^

Ha&MONICIsLiB. V.

CAP VT

VIII.

Quisinconcordantijs Difcanci

quis Alci

coeieftibti^

quis Tenoris

215

quis

Baflivicemobeac?

cfih^cfiincvocabulavocumhumariarum s neciri ccdo voces auc foni cxiftunc, ob fummam mocuum cranquillica-

tem"; acne fubjeda quidem , in quibus Harmonias deprehendimus iub mocus vengenere comprehenduntur ; quippe cum folum apparentesexSolemocusconfideremusietfidcnique caufanullatahseftin coelo } quse voces cerco numero advocec ad faciendam Harmoniam, qualis eft in cancu humano;prius quippe erac nunierus Planecarum fex,

Solemcircurneuncium, exnumero quinqueincervallorum, afiguris Regularibiis defumpcorum poftea demum (ordine Naturae non tempons) democuumcongruenciaitacuendum fuic nefcio camen quo pacto m hi vim faciat h«£c admirabilis congruentia cufn humano can ttii ut hartc quoque parcem comparacionis eciam iine fohda caufanacuraQuas eilirn libro cercio Capice X VI. proprietatcs li pf ofequi cogar. Baflb tribuit ufus vindicacque natura eafdem quodammodo Satiir;

•

nus & Jupiter obcinenc in ccelo

quas Tenori > nos in Marce invenimus;quas Alto,eaeinfuncin Tellure Venere ; quasDifcanto , eafdem habet Mercurius,finon aequalicace intervallorum,atcerceproporcione. Uccunque enim proprijs ex caufis capite fequenci deducantur cujufque Planeca? Eccencricicaces,&: per eas, prppria cujufque motuum incervalla: lllud tamen inde refulcat admirabile, necfcio an non juxcaprocuracum, nec mere neceflitatum temperamentumi quod I. ut Alto Bafliis opponitu r; fic duo Planecae funt , qui Alti naturam habent, dubquiBafii, velutinquohbetGenerecantus ucrinqueunus: czecerarum fingularum Vocum finguli; quddque IL uc Altuspene fuprcmus, in anguftijseft, neceflarijs nacuralibus decaufis,lib.III. explicacis: ficpene intimiPlanetaj,Terra&: Venus,anguftiflimamotuurn •;

habenc intervalla, Tellusnonmultdplusfemitonio, VenusneDielin quidem; Ill.ctut Tenor liber eft, modefte tamen incedit; fic Mars, uno Mercurioexcepto maximumintervallum/icilicetDiapente facerc ,

poceft.TV. ctutBafliis Harmonicos falcusfacic; ficSacurnus Jupicer intervallaobtinent Harmonica, ipfiqueinterfeaDiapafon ufque ad Diapente epi Diapafbn veniunc: V.& uc Difcancus liberrimus eft , pius

quam omnesreliqui idemque &celerrimus

eciam Mercurius plufquamDiapafon, breviflirno redicu perambulare poteft. Sedfichocfaneperaccidens:audiamus nunc Eccencricicatum caufas» ,

;

fic

(O ..,.;

CAP;

De MoTIBUS PlANETARUM

£14

CAPVT

IX.

Ortus Eccentricitatum iii Planefingulis ex procuratione Harmoniarum intereorum mottas;

%is

f~» -

Vm igitur videamus

Harmoniasuniverfalesonv

* niumfex Planecarum nontemere pofieevenire, prsfertim pef excrerriicacesrhocuum, quasvidimusomnes concurrere aduniverfa» les Harmonias , excepeisduabus , quae ad proximas univeriahbus concurrebanc cum mulco mirtus temere poftic accidere , uc omrtia loca fyftemacis Oclavar,conftttucalibrotertio per fec~tioncsHarmonicas,fignencur extrcmitatibus motuum Planecariorum ; omnium vero mini:

me, ucfubcilifllmumhegociumdiftin&ionisHafmoniarum cceleftiunt in

duo genera durum & mollfe, cafU prOveriiac , fihc cura fingulari Oomnis fons, approbator Or>

pificis:fequitur lgitur ut Creator,fapieritiae

Harriionices sterria&fudinis perpetuus, fcaturigo Geornetriaj pereflenciahs, uthic inqUam cceleftium Opifexipfiflimus,Harmoni, ortas ex figuris planis reguiaribUs, acijunxeric ad quinque figurasregulares , exque utraque claflc Uhum per-

cas proporciones folidas

fectiflimum ArchecypumccelorurricOriformavcrie^ inqriO, ficuc per folidas quinque figUras , Ideae relilcerenc orbium, quibUs fex ftellas vehuncur : fic etiam per plaharum figurarum fbboles , Harmoriias ( libro tercio ex ijs dedu£tas),Eccencricitacum ih fingtilis orbibus mehiura^ad

mocuscorporurhproporciohandos, concirterencur exquc his duabus :

majoros Orbium proportiohes,mi= rebus concemperacio una fier et , noribus Eccencricicacum, ad HarmoniasprOcurandas neceflariarum* nonnihil cohcederenc; viciilim, ex proporcionibus Harmoriicis, iJlacpociffimum Planccis accommodarehcUr , quse cum folida quaque fi> gura cognacidriem majorem haberenc ; qua id per Harmohias fieri potuic: eaque candem racione 8cproportionesOrbiUm, &finguIoruni £cce»tricicates, ex Archecypo fimulenafcerencuf , ex Orbium vero* amplitudine mole corporum , pgriodiea Tempora fingulorura

relultarcnc

Quam mechodurn,dum per uficacam Geomecris ftcecheiofih in lu~ cem Incelle£tus humani proferrc nicor: faveac Auchor ipie Ccelorum,

PacerIncelle£tuum,Largicof fehfuUmmorcalium 9 ipfe immorcalis fuperbenedi&Us } impediacque , ne quid indignum ipfius Majeftace , de hoc opere fuo , noftrae mencis tenebra; pfoferaht;efriciacque,ut perfe£cioneni ipfius operum fan&itace vitae, ad qiiam Ecclefiam fuara ,

&fahguine filij lui & peccacis mundavic , ope Spirinos Dei imicacores ajmulemur ; procul babences omncs

incerris elegic

tus fui fancli

diiTonanciasinimicitiarumi ©mnesconcenciones,aemulatiOnes> iras* rixas , diflenfiones, fe&as ; invidiam , proVocaciones, irncaciohes pc# di&eria, cseccraquc carnisopera;quodmecumomnes,quifpiriturrB Chrifti

i«

HarmonicisLib.V.

, fed&fattiscxprimere » vodationcmquefuamcercamfaccreftudebunc , iprecis omnibus omniurd ftarcium pravis moribus obcencuZeli, auc amoris vcricacis auc fingu»

Chriftihabent,nortoptaburtccantuni ,

modeftiacve erga coacenciofos pr aeceptores , aliovc fucacis. Facer fandlc , quocunquc (peciofo prastexcu veiatis fcrvanos in confonanciadile&ionrsmucuae, ucfimusunum , ficuc8e Spiricu fantto unum es,& ficuc om» tu cum filio cuo, Domino noftro, nia opera tua, per fuaviflima cortfonanciarum vincula , unum fecifti:& uc ex redu£ta gencis cuae concordia , (ic scdificecur corpus Ecclefiae tuae aris erudicionis

inhis terris > ficuci cu ex Harmonijs ccelum ipfum extriixifti* T&ationes priores*

Axioma

COnfentaneum eft,ubicunque omnino fieri potuit> Harmonias inter Excrema mocuum cam fingulorum quam bino» rumPlanecarum confticui debuifle jomnivarias > ucvariecasiftamunt

dum exornarec.

Axioma

Interualla quinque , Orbium fex, oportuitmagni* tudtne quadamcenus rerpondere proporcioni orbium geomecrico'

rum

fcripti

quinque regularibus folidis inicripci funt circumidque ordine eodem , quifiguris ipfis nacuralis eft. hoc vide Cap. J. gf Mjfierium Cofmographicum ,&'Epitomet Afiron, Lib. IV.

qtfi figuris :

Propofitio,

111.

InterTellurem

&Martcm

eartdemquc

&Vcnc«

tem incervalla, debuerunc cfle proporciorte ad orbes fuosrnirtima,

eaq-.proximesequalia; mediocria &rurfiimfereajqualiainterSaturnura Jovem , incerque Vencrem Mercurium,raaximum incer Jovero

& & Marcem.

7^amperIIt quxfigurocminimamfkcmnt ortium gcometricorumproportionem , ijfdem Flanetx rejpondentes infitu , debent itidem mtnimamfiicefcj> * mediocrem vcrb ij, quifiguris mediocrisproportionis refj/ondenfi, tf maximamij, quifigur& maxim&proportionis. Sedquo ordine efiinterfiguras Dodecaedrott 1$ Icojaedrom eodem efi inter planetarum higas,una tMartis TeUuris, altera

TcUuris&Vtncm : g? quo ordine Cubus i$ QEtaedron i todemhiga %H tiga ?$ i quodeniqueordine Tetraedron , todem ef biga Iovis {§ Martisi vide Cap. III. Ergb minima erit inter orbes Flantiariosprtmb dittoj proportio i inter verb Saturni Jovisque } fere aqualUci,'qu* inter dzniquemaxiaa inter Iovis Martis orbet*

Vtmu Mercurijquei IV, Ax±

DyMoTiBus Planetarum

2i& CAP.IX.

Axioma

IV.

lanet^omnesdebenthaberefiiasEccentricitates, minCis quam lacicudinismocum, & fecundum eas eciam

- non

Sole,fontemocus,diverfas. Sicut effientia motus confiflit non in ESSE

diftariciasa

fidin FIERI, fic etiam fbequam Planetn quihbetmotupermeat. , nonFlTfhtim ab initiofbhda^,fedfuccefiutemporisacquirit demum fiiam non longitudinem cies fiufiguraregionis

tariturii

fed etiam Iztitudinem £f proptnditetenLj,

, perfbcio dimenfionum ter~connexione paulatim accumuUtione nario;fitquefic plurimarum circulatio£f num,ut repr&fenteturfjtecies crbis concavi, idem (um So/e centrum hahentis; jl-

cut ex filifinci plurimis inter

fie

connexis z$ conglomeratis circulisfiruiiur

adiculaBombyci,

V. Propofitio*

f ^*

Viqj biga? vicinorum Planetarum fuerunt

attri-

buenda;duaeHarmonkediverfce. ISfjm per IV quilibet planeta habet difhxntiam d Sole longiffimam,

'vifjimam iquare per

C ap.

III,

hujus

;

habebit

£*f

bre-

$ motum tardiffimum £$ celer-

Dux ergb funt primarix comparationes

rimums.

extremorum motuum, una. Divergentiuminduobusplanetis , aitera OmvergentiunLs. Diverfx autem iriterft_j> 'Utfint , necefie efl ; quia major erit proportio divergentiurrLs , minor Convergentiumu>. Sed gf per diverfits Flanetnram bigas , oportuit efie Harmoniasdiverfds ; njt h<ec varietas ad exornationem Mundiproficeret , per Axi /., ,

etiamque ideb,quia intervallorum inter binos , funt proportiones diverft,per III,

At cuique proportioni orbium,

ccrt& refpondent proportiones

tione quantitetiva, irthujus libri Cap.

Vl. .

o armoniae

Harmonic*, cogna~

V demonflraturru. t

Propofitio,

duas minimse 4.

?. 6»

loeum non ha^

bericincerplanecasbinos. -At orEfienim f. ad^.iJt looo. ad$oo,$ 6. ad f. ist iooo ad 233 "+ bes circumfcripti Dodecaedro £=f Icofaedro, majorem habent proportionem adinfcriptos ,fci/icet eam quam ioooad 70 f ffc: £jf h& dux proportionet indicant interva Ua inter Orbes Planetarios proximos ixterfe, feujpacia minimaj : in cx* •

enim figuris re^ularibus orbes diftant longius dfeinvicems. lam uerfr motuum adhucmajor efi,proportionibus intervallorum , nifiingensfib Efgoprdf proportio Eccentricitotum ad Orbes , per Capitis III Numerum 13. portio motuum minima, majsr qudmfunt 4-f$f.d. Igitur hdt Iiarmoni& teris

proportio

eft

flfiguris qttidem regularibus impediu?

locum interplanetes nultumfirtiuntur.VII. Pro-

HarmonicisLiberV!

21? 1

Vll Propofitio. tj Arrnoma Diateisaroii mter

convergentes motuj

* binorum Planecarum locum nullum habere poceft n-ifi fincillis propriae excremorum proporciones jundfcepJus quam Diapence.

enim $,4.inter convergenles ,tj)fit primb nulla Eccentricitas ,mtlla P/amotuum proportio, (ed ijdemmotus gjf convergentes tfMetuncfiquitur ,iJt intervalla refpondentin, qu<eper hanc (uppofitionem erunt Sit

ttetisfingulispropria iiij :

Orbiumfimidiametri , conflituant hujus gportionis befiem, (ci/ic&t 44.S0.f424. per cap. III. Jtqui h<ec proportiojam Iflmincr quam cujuscun^figurx Regularitorbium proportio: lta/^Orbis interior totusficaretur a p/anis regu/arisfigu-

f& cuicun^ Orbi exteriori inficriptA. Hoc verb efl contra Jxioma II. Sit fecundb aliquafumma propriarum proportionum inter mof extremos z converoentium motuumproportio $, 4. veljf. loo.interval/orum verb refifondentiumfit proportio 1000. 79 f. cum nullafigura regularis facia-t minoftffit

rem,orbium proportioriem. Et quiafuperat ilia motuum everfia hanc intervaUotumexcefiuyfo. 7<)f.aufiraturigr hic excefius etiam a proporticne \ooo. ?cf. fecundum doHrinam Cap. III, refkitg434. 7pjo.dimidium prcpoytionis crbiurn.

Ergb duvlum huj-tsfi. ttftfir proportionem

Syoi. 6320. idefl:ioooo. 7100. eflproportio crbittm.

intervallorum convergentium )ooo.79f

Huic

79 f. To n* major. Tafipb debet efie ad minimumfitmma binarum proportionum t tfuas medii habent ad convergentes utrincu,ijt inter motus convcrgentes pcffit t(?eDiatefiaron.Divergentiaigrextremaintervalla,adconveroentia extrema, rnct 9 jitmm&mproportibnumfhciunt,huius circiter dup/am,id efiduos Tonos , ccnvergentesrur(itmdup/umh:tjus,ide(l , quatuor Tonos ; qucd efl p/us quant Diapsnte. Si igr duorum vicinorum planeinrum fumrnapropriorum e(l minors .

refkibit 7100.

circiter

<guam Diapente: inter eorum convergentes non poterit efie Diaiefiarons.

VIII. Propofitio.

Aturno §£ Iovi debebantur Harmonia? 1. 1. Sc

*-*

id eft

Diapafon

i. $.

& Diapence epi Diapafon.

j\am ipfifunt primiiifitpremiex Planetis,^ nacii fitntfiguram primam '*Cubum,g cap. I.huf: Z$ hx Harmonia (unt primx ordine natura^ (unt capittt

frimarum (hmi/iarum foura/ium

Ttifeiiloritefieu

Tetragonicm

tf Trigonic<et

fer diih lib. /, Quod verb caput efl, Diapa(on i.z,eflproxime major prrpcrtione orbium Cubi Semitripla\quare apta efl trtfiat mincrproportio mctuum p/atiefzrum cubicorum.per cap.III. jcriproportione.

Num.

\$;tf)

Hocverb idemetiamfic.

percon(equens, 1.3. (ervit proma-

enim aliqua Harmoniafe habet ad

proportionem aliquam orbium figuralium , (icutfe hahet proportio motuum e# Sote apparentium adproportionem intervallorum mediocrium,meritb folishfartnonia tribuetur motibus. At naturale efi, vt proportio motuum divergentium, Jitmultb major, proportionis Orbium fefquialtera, per finem cap. III. hoceft,apt

propinquat portionis

dupltx.

proportioni proportionis Orbium;

1. 3. efl

etiam d/tp/a pro-

orbium cubicorumiquippe quam dicimitseffe SemitriplamfErgo Tripltt

debetur divergentibus Saturni

lovu.

Plurimas alias cognationes harum

froportunum cum Cuho videfugra C^P- H»

IX.Pro-

De MoTlBUS Planetarum

218

IX. Propofitio.

capjx

£ ^

Aturni 8c Io vis

Motuum extremorum

proporcionesjundl:a:debueruncfieri

Idcx antecedentiJequitur ,{t n.Iovis

z.%.

proprias

Diapcnce circicer,

pibelius motusejltriplus aphe/ij Satur-

gf vicijjim lovis apheli9 dupf9 perihe/if'%, quare ablata i.2.alu.j;rejklt

rti,

X. Axioma. um libera est eleclio per castera, Planctae fuperiori

t* ^*

debecur propor cio

mocuum propria, qus natura prior

generis pratftantioris , aut etiam qua? major

aut quse

eft.

Propofitio.

motus p Roportio aphelij major

Saturni ad periheliunl

•-

Jovialium vero 5,6.1 ercia nainor. 3, hoc verb harmonice aiter non dividitur , quam in 4.^.$ <$.&:HarmoJies igr Deus Harmoniam z.$.divijit harmonice,per generis DuripraJhntioris,qu:ppt Jx.I.effy partem Hirmomcam ma)orem, majculi, majori i$ a/tiori llanetx i) dedit , minorem f 6. inpriori Iovi, per X. debuit fieri 4. 5. Tertia 'ISfam quiajunttim pojjident 2.

XV. •y

propofitio.

Eneri Sc Mercurio debebatur

Major Harmonil

Dildiapafoni 'I\famjicut Cub9 e'fifiguraprima primariarum.fic OEhedron efiprima Se9 cundariarum ,per cap. I. huf libri. Etjicut Cub geometrice confiderat 9 ,eji exterior, OEhedron interius,illifc. hoc injcriptile;jicetiam in Mundo ^quidem £J? 2f. /. 4.

Junt fugiorum gf exteriorum¥/anetaruprincipiu,Jive ab extra; £ principiu interiorumjive, ab intra: £$ interlocatum Ebiedron; vide cap III.Debetur igr ? (f $ .

£5

Vo™Dii-

jp\A,T[ifh, ScniRiipla &c. lnter-

curricula

etiamex Harmonijj aliquaprimaria.

cognatn QEfaedro.Porrb ex Harmonijs poji 1 .2.£$ Jequitur ordine natur-a* 1.3

lii.a.ij) eji illa cegnatn cubicx. i.2.quia f

verb^ %funt

eji inter illoru

orti,illiq (

commenfurabilis

efi,fc illi

ex eademfiguraru jeciajc. Tetragonica dup/a; Ochedron verb etiam

iji

Cubo co-

gnatum $$ commenjurabile. Efi & cognatzt 1 4.Q[faedro,privato nomine.fppter numerum in illa auidew quaternarium ,fi£ur a verb in Ottaedro latentem "~~ Qua.

> n ° r, , j, i ,/ rdrangulam ,cujus orbiumproportio axitur iemtdupla. hjUs igr propurticms ejt nomenjp- Harmonia i.^.continue mu/tiplex ,in prcportio/ie dupla,ejijcil Semidup/aquadrup/a,v de cap.II. Ergb i.^.debebatur %Z$ "§..Etquta).2.inCubop.U<zeJimiItnouUs.ab folute con-ncr Harmonia binorum: cum illijitus obtigerit extim': erit inCiTaedfohtec i*4 t 9 *deratis u t^, m ma Gr arm onia binorii; "Vt cuijif obtigit intim , Sed Z$ h<xc cauja ejl,cur j Quantuas.-' 4 hic pro majori datzJit ,non pro minori. Cumenimproportiocrbium QUsedri dum

•

iare

;

inteidum jfr Semitriplaipofito qucdperfbciajit infcriptio Oihedriinter planetas ,

(quaH-

n-cre pro-"f^*^ non perfith eji Jedpenetrat aliquatenus^. , qtiod predejl nobis ): propcrportioncm tione igitur ccnverfentium cpcrtet ili.as Semitrifl* fejquialteraefe mrncrem i ficmajorjujiaiquantb majorerit J -3 ejl plane dupla Semitrip/tt, lumfnterfe*^^ '

bmarum jujio Pioponioimai.

4.quippe majcr quam t3.Ergo ne dimidium quidem de i.^.tcleratur in*

tercmvergentes. 'Alonpetejligituri. 4.efeminorQQaedrktt:eritigiturMa^

jor.Jm*

Harmonicis Liber V.

219

Amp/ius t.4.ficefi cognatx Otfaednco quadrangulo, cujus orhium proporSemid.upU : ficut i. 3. efi cignatnCubo ,vt cujus orbium proportioefi Sc- CAPI ^i rnitripla-s> t Sicut enim ys.efl multiplex SemitripU , ejusficilka dupla^i fic

jor.

tio eji

etiam hic 1. 4. efi multiplex SemidupU, ejusfiilicct bif dupla,hocefi quadrupU. Quareji 1. s.debuitfieri major Harmonia Cubuper Vlbjlebet igitur etiam /.*, Jfien major Harmonia Ociaedrifui.

XIII.

Propofitio.

ovis 6c Maitis extremis motibus debebantur Har-» monias, Major quidem j. %. Trifdiapafoncircicer , Minorverd Z4. Tercia minor fnpra Difdiapafon.

1 j.

fjjimquia Cubus (ortitus efi 1\2.Z$ quodejifituminternd'

1.3.

proportioverb orbium Tetraedri,

^nomina^t Trip/a, eji dupla proportionis orbium Cu-

nominatx SemitripU: ergc convenkns erat., vt etiam Tetraedro accommodtfentur proportiones motuum,dupl<e proportionum cubkarum. Sunt autem ipJarum quidem ). 2.&1. }.dupU,Proportiones h<e,j,4. Z$ j.^.^At /.9. nonejl Harmonica, i§ 1. 4.jam ejiabjumptitin OBaedrons. Vicinx igitur Harmonix hk proportionibttf (ueruntfumendx,per Ax, I,Sunt verbprimum ipfi 1.9. vkin<s, minor i,8>i$ majcr 1.10. Inter hasde/eciumjhcit cognatio cum Tctraedro , t>i,

cuinihi/

commune cum Pentagono, cum

eji

1. lo.fitJetix pentn^onicx:

major

verb Tetraedro cogndtio e(l cum \.g. multis nommibus , qu<t requireex Cap.II» Amplius pro 1. g.fhcit (j hoc,qubd[quemadmodumi. }.ejl majorCubit &' 1

J.4»

majorOt%iedri , quiafunt proportionum inter orbesfigura/es , mu/t.p/ices

etiam

OtTiiedri

fic

major Tetraedri i quiavthujus ccrpus ejiinfcr/pti (ibi ,vt dup/um difiumC^p. I: fic etiam proportionis hujus Tetraedricx. g

fieri debuit

terminus S eflOffaedricee proportionis termini 4.duplus. Amp/iusficut 1. 2, minor Cubi,e(l unu Diapafbn;&'1.4 major Oihedri,efi duo Diapafomfic iam 1. g. .

major Tetraedri debuitfieri tria Diapafon.Piura autemDiapafon debebatur huic qukm illis,quia cum Harmonia minor Tetraedrica necefiaribjit omnium minort* orbium Tetraedricorumjpportio eji omniti in Cceterisfiguris, maxima (quippe debuit majores c&terarib maxima):Harmoia ctiam majorTetraedrica figuraliu 9 JuVare numero ipfaru Diapa/on.Habzt denid ternari intervalloru Diapajbn fh-

cum Trigonicafpecie Tetraedri , habetperfiBione quadam , fc<tn» illud,Qmne trinum^ficium; cum etiam Oiionarius,ef terminus ,fit primus Cumiliaritntem

bicorum numerorum quantitatis perficla, triumfi. dimenfionunLs. fe

II. Ipfii. 4.fiu6.24,v'icin& funtHarmoni&,major quidem

6.20. Jeu$, 10.

f.24.minorverb

Rurfum autemj.io. efificJa: Pentzgonica,cui cum Tetraedro ni-

hi/ commune efl. At s.2 4$pter numeros $.4.{quoru fobo/esjunt numeri

y.24)

fhmi/iaritatem habetcum Tetraedro» Nam a/teros terminos mincres ,fic f. £? J* 9

hknepJ/igim 9 :quiaeorum ievifjfim cognationis grad efi cumfiguris ,vtvidere eji cap. II. Prxterea orbium Tel raedrigportio Trip/a eft:tantc% verb debet efie convergentimn intervallorumproportio circiter: per Ax. II. Atquiper cap III,

proportio motuum convergetium appropinquat everfxfijquialterx interva/lorii

ghta/ium igitur aphe/P, ^i mot 9 efi iooo,criiii majorquam lojpaulb, minorquam $3$. tertia illi9 parf» mu/tb: TsfonigiturHarmoniaio, }%hoceJi woo.jjj/fed Harmonia 24. yhoceji

jefquia/tera verb TripU, efl inter^ooo. Z$ 19J circiter.

1009. 20 f,

locum habetinter convergentesffovis ifl Martis,

Ee*

XIV. Pro.

^p Df MoTlBUS PlANETARUM XlV. Propofitio,

cap.ix.

u OtuumMartis cxtremorum

propria proportio de-

"^*- buic fieri major quam Diaceflaron 5. 4. 6c circicer jg. 25» Sintenim prxcifxfamHarmoniit f.24.^ 1.8.^^3,24. Iovitf Marti communiter attributtt , Prop. XIII, Auffer minorew j 24.it majore $.24* refkit 3 / . fumma propriarum utriusque. At lovis fblius propria,fupra quidem pr. XI. inventi%efl f.d. Hanc igitur aufbr afumma propriarum /. Hoceji aufer 2f.30.ab iS- 30. reffat Martis propria 1$ 2 r ,qut efi major quam 18. 24 feu 3. 4.Fietautemadhucmafor,Jiperfequentesrationes, communis major S', .

augeatur.

XV.

Propofitio.

Nterconvergentesmotus,Martis

luris

moniae.2.

& Veneris 3.

& Telliiris,Tel-

Mercurij, difpercienda; fuerunc HarVencris 3,5.Sexcadura; eaequehoc Sexcamollis, Diapence, 5.$. ,

ipfo ordine.

TSfam Dodecaedron tf Icofaedron , figurx inter Marttmffitlurem, £? Venerem interlocatx ,minimam habent proportionem nter fuos orbes , circumfcriptum if infcrtptum: erge illis ex poffibilibus Harmonijs minimx debentur ,quippecognatx propter hoc,&zrt Ax. II. locum habeat,. Atqui Harmonix omnium minimx,fc.^.6.^ 4. 5% nonfuntpoffibiles,ptr VI.Ergb debenturfguris di~ Bis, Harmonixproxime majores hifce ffcilicet velf.4jvel2. 3. veff.f.ve/}. f. ^Rjirfumfgura inter Venerem £§ Mercurium interlocskt ,fciticet Ochedron,proportionem habet eandem fuorumorbtum,quamCubus:at cubopro minori Harmonia , qux efl inter motrn convcrgentes , obvenit Diapafon ,per VII. ergo deberetur per analogiam etiam Olhedro tanU,fc. 1. 2 prominori,fi nihit diverfitatis accederet. Accedit autem hoc diverjitutis , qubd Cubicorum quidem planetnrum , Saturnifc. £*f lovisjingulorumproptixmotuumproportionesfunblx, efficiebant fitmmam non majorem , quam 2,3, hic verb Othedricorum Planetnrum,Veneris Mercurij,iingulorumproprixfunBxfhcientJummam majorem quam2.;. quod fkcilejic apparet. Efloenim, quodtequireret analogia inter Cubum £? Ot~hedron,(ifola effetijtt inquam Minor Ofhedrica, major quamfunt t

hicprxjcriptx

adebquejit plane tanto

quantafuit cubicas

,Jciltcet I . 2: erat,

Abtata igitur hinc, quam modo pofuimus , Minore Major /. 4 .per. XII. j. z , manes adhuc 1. 2. profumma propriarum Veneris £jf Mcrcurlj ; atqui 1.2. Etverb maforer» flusejl qudmjumma 2.3. propriarum Saturni £5? Iovis. fummam hanc, maforJequitur eccentricitzis,per Cap. III. majorem verb Eccentricitntemjequitur minor proportiomotuum convergentium,per idem Cap. III. Offlz* Quarejit accejjione majoris Eccentricitatis ad analogiam inter Cubum edron,vt minor etiam requiratur convergentium Vemris gf Mercurijproportio, ejuam 1.2. Id etiam conveniens. erat Axiomati I. vt Harmonia Diapafo» ab/umpta in Cubicos , conciliaretur OBnedricis alia proxima , f$ per priorem detmnflrationem ,minor ouami. z. Eflautemhac proximeminoi"3.%. qu<tvt •verb

• .

HarmonicisLib.V.

aai

wajor ex tribus , delebaturfigurx majoru orbiumfluorumproportionis, OtTaedr» fiilicet: Minores igitur f.8>& 2.3. vel;. 4. relinquebantur lcofied.ro £f Dedecaedro ,flgurisproportionis

Orbiumfuorum minoris

•

H<e wr0 re(idu<z, inter duas refiduasfic flunt diflributtt.

Sicut enim exfiquidem fortitus efi , (Jubm Harmoniam 1. t OcTaedronverb 3. f. minorem eb qubd Jumma propriarum* Veneris Mercurij fuperaratflummam propriarum Saturnitf lovis:flicetiam hic Dodecaedro quamvis id eandemjhciat* orbiumjuorum proportionem,quam

guris,licef <equaliuminterJitosorbes proportionum .

minorquam Icofiedro,proxima tnmefipter fimilem cauflam» quia hxcflgura efl inter Tellurem Martem , cuf injuperiorib9 magnafhUn fi. erat Eccentrkitas ; Veneris verb gf 'Telluris , i/t infequentibus audiemm, MiIcofledro,debebatur

AccumOtTzedronhabeat ;. /. lcofiedron, cujus orbiumproportio minor ,Jitccedentem ,paulb minorem iUa,fc. f.S: rclinquebanimtefuntEccentricitztes.

tur igitur Dodecaedro vel2. Icojaedricx f.S. quia

_?.

refidua, vel $< 41 potiits verb illa, quippe propior

Jlgur&fimiles funt,

At nepoffibilis quidem ftit 3. 4. Etficnimflktis magna erat injitperioribus propria proportio motuum extremorum Martis: At Ttilus , vrtjam diBum, g? injequentibtts patebit conferebat propriam minorem , quam irtjumma utriujifc ,

f^onpoterat igiturlocumhahere 3. ^.perVlI. Id eb Juperara Diapentej). amplius, quiavt flquetur prop. XLVlI.major efic debuit intervallorum conver^entiumproportiojquiimiooo^ppi,

XVI. Propofitio. VEncris Sc Mercurij motuum

proportioncs

cujuf-

quepropriaj, junc~taedebueruntefEcere5. i2.circicer. Auprenim minorem harmonicam 3. 5. huic bigxcommunitertributnm Frop, XV. abillorummajoril. 4>vel 3. 12. per. XII. rejkit 5. i2.flumma propriarum utrius^. Itzque MercurijJolius propria motuum extremorum pr*-

quam 5.

quantiute propri<z Veneris. Intelligehoc de his primis rationibus, Tsfam inpaperjccundas rationes, accedente communibus u•triustfc Harmontjsaliquofermento, eJficietHf/utJblapropria Mercurij perfecli portio

minorefl

12.

ebtineacj. 12.

XVII. Propofitio. HArmoniaMotuum,

Martis

& Telluris, divergen-

tium, nonpotuitefleminorquam^.

t-2.

T^amjolus Marsnacimfitit inpropriajitorummotuumproportioneplus quam Diatefflaron iiff plus quam iS. 2j.J> XlV.Minorverb Harmonia iUorum At deefi Diapente 2, z.per XV.junb~t<t igitur h&duxpartes ,faciunt 12.2^. leUurijuapropriaproportio y per Axioma IIH. Ergb , cum Diverbetur

gentium Harmonia ex

diclis tribus confiet, elementis ; erit iila

iz.2<) t SedHarmoniaproximemajor

tet 60.

144.

major

qudm

quam 12,2 5, hocefi^o./i^, eftf.iz>fiiii'

^uareji Harmonia ofusefiprohacmajori duorumP/anetzirum

fropor-

D^MoTtBUS PjLANETA&UM

%l% "

proportione tmtuum,per Axiomat.

1, illa

nonpoterit ejfe minor ,

quam 60. 14 4.

vels-12.

Hactenus igicur omnibusreliquisPlanecarumbigisobvcnerunc fusbinae Harmoniaj, racionibusneceflarijs > folabiga Telluris & Vencris adhucdum unam fblam Harmoniam $. 8. per Axiomaca huc ufq;

Reliquam igicur cjus Harraoniam , Majorem

ufurpaca , forcicafuic. fc,,feu

mocuum Divergencium,jam porro,novo inicio fac"co,gquirem'. Pojieriores Rationet.

XVIII.

Axioma*

HArmonia: motuum univerfales nemocuum&x ,

confticuendarfuerunc

contcmperatio-

praecipuepcrexcremos

Probaturper Axioma I.

mocus.

XIX. Axioma. HArmonise univerfales per aliquam motuum laticudinem easdcm qoncingere debuerunc > fcilicec uc canco crebrius acciderenc. 'Alamjtadindividuapuntfa motuum fuij?ent determinatA ifieripotuijfet,

pt nunc^uamcontingerent , aut

certe rarijjime;.

XX. Axioma. t eft

naturalisfima diftin&io

Gcncrum Harmonia-

rum, in Durum & Molle , uc libro Ill.probacum; fic ucriufquegcHarmonia; univcrfalcs procuranda: fuerunc inccr Planccarum cxcremos mocus. neris

XXI. Axioma. HArmoniarum utriusque

Gencris

diverfae (pecics infticuendas fuerunc, uc pulchricudo Mundi cx omnibus poflibilibus variecacis membris concinnarecur; idquc per excremos moeus, falPer Axiom.J.

sera aliquos.

KKll

Propofitio.

Xtremi Planctarum motus fignare dcbueruntloca feu clwrdas fyftemacis Diapafon , vel claves fcal* Mufic^

Tljm

HarmonicisLib. V:

225

comparatio Harmoniarum incepu.ru ah uno communi terfsfam ortus wino genuit (calam Mujicam,feu divifionemDiapafon infua loca ve/fonos, vt liho Til.probatum. Cum igitur requirantur Harmonicz intermotuumextremtt vari<z,per Ax,

1. cff

XX, £J? XXI: quare requiritur Jyjlematis alicujus , ctele-

JlisfeuJcaU Harmonkcz

realis diflinciio per extrema motuurru-.

XXIII. Propofitio. PortukefseunambigarnPlanetarum, intercuius

/^v

mocus nuliae poflent exiftereHarmoniae,praecer duas .Sextas, Ma* jorem 4. 5. 6c minorem 5. 6. C um enim efiet necefiaria diflinBio generum Harmoniarum ,per Axioma XX. idque pcr matuum extrema in Apfidibus, per XXII ; quiafola extrem d-* tnrdifjimusjcjlic&t

ijf

velocijjimus, indigent definitione procurantis

ttf

ordinan-

intermedia tenjiones proveniunt ultrb cumipjo tranfituplanetcz d tardiffimo motu sd velociffimum \, (ine peculiari curd: hcec igitur ordinatio aliterperi

tis

nonpotuit, nuin extremis binorummotuum Planetorkrum ,Diefisfeu24.2y.de-

Harmoniarum Diefi dfiinguantur, per ea qualibro vel duarum Tertiarum, 4. /.£-f f.S vel earundem abundantium uno vel 5. 6. velduarunt Sextarum J.f.

/ignaretur;el qucdGenera

lll.fitnt explicatcX. Atqiii Diefis efi difjerentia

Du<evero Tertid

4. 5. £?* 5. 6. non habuerunt locuminter binos PlanetKs ,per Pr. Vl.Jedneque TertU vel Sextcz abundantes

pluribus Diat>aJoninterva/iis.

intcrvallo Diapafin, ujjjiam inventctjunt ;pr<zterquam

12. in biga Mtrrtis gf etiam intermedi<z s .$ f.af i.2,juxta admittebantur. Ergc relinquitur , vt dand<t fuerini uni <j.

Telluris ;neque tamen illa aliier, nificum focid 2.$:itnque

Planctnrum big<z,du<zjext<z, 3. 5. $$ 5. 8. Sed]f> [oLi Sextcz variaiioni moiitumillorum concedend.<z(iterunt ,Jicut neque ter;-?iinc s juos ad comprehenfionem interv.-tlli proxime

maforis unius Qtiavcz i.z.dilatarent, neque adprcxime mi-

angujliam contraherent. JS(am etfi verum ejl ,qucdduo , Jhcientes Diapente convergentibus motuum extremis , £•? Diapafcri divergentibus, ijdemetiam Sexiasfixcere, s$'Jic Diejin quoque permeare pofjint; at hoc ncn redcleret (ingularem providentiam Ordinatoris motuum. Diejis enoris

Diapente 2.

planetcz

nim

mimmum intervallorum

potJlTlte latens in majcribus omnibus, qu<z

com-

frehenduntur ab extremis motuum , ipja permeatur quidcm tunc d motibus intermedijs, continud tenfione variatis; atnon determinatur ab eorum extremis j cum (emper minor fit pars toto , Diefis (cil/ceA , intervallo majore 3.4. quod efl inter -2, ^ t

1.2. quodtotu?n a

motuum extremis determinari hicponeretur»

XXIV.

Propofitio

Planet£dud,quimutantgenusHarmonia?,difTe-' rentiam propriarum proportionuminter motuum extrema debenc ,

&uniuspropriapropordodebeteflemajorDiefi.' democibus aphelijs facere Sexcarum unam, periheiijs reliquam. bencque Qum enim extrema metuum duasfhciant Harmonias } unicd DiefidiffefacereDiefin

tenteS)

—

DeMotibusPlanetarum

%i4 (2ap ix.

rentes> idpoteflfieri tripliciier: aut enim , vt unius Planet* motus maneat hv^

finns , a/teriusvariaur per Diefimaut irtuterque varietur perfimifiem Diefisi faciantque $. 5. Sextam majorem, quandofuperkr efl in ApheliO , infirier in Pe-

rihe/ioyex ijsjpacijs excurfuficio fibimutub obviantes fuperkr ujquein Perihi/ium, inferior inApheliumfiiciant f.S, Sextztm mincrern:aut denique %rt unu» ti/tero plus

Variit motum juumab Aphe/iO in Perihe/ium

JicSextamajorfit inter utrumque aphelium

(itqus excefius unius

Sextnminwr mter uDiefios; modtts Primus verc non periheliunu. legit.mta trumque ; efiet enim a/efl Str horum P/a neturamfine Eccentricitnte , contra Axioma III I. ji/ter modus mihiis commodus miniis pu/cher , quia miniis Plarmoniminhs.pu/cher fuit cw. Duorumenim Planetarum prcprU motuum proportiones fuifient inconcin-' n<s ; nam inconcinnum efl quicquid ef Diefi yninus : pr<ejktt verc unumfioliim F/anetnm hac inconcinna parvitete laborare. §}&}& nefieri quidempotuit ;qu'm txtremimot us hoc pacio abtrrafient a Locis ffiiematis flu clavibusfca/.-? Mujicx> contr.t XXII. M;nis etiam commcdus fififiif, quia Stxta. illis tantumr.icdh momentis con-tiffient, qitibus p/anette fiafle.tt in contrzrijs apfldibus : nulla fuifi fic univerja/cs Harmom* fcfme.ts confiet /atitudo , per qudm h<e Sexta , tinoere potuifient : r.irifjimxtgitur fitifievt umverfa/es Harmonue, Lcis Planetarum omnibusadcertcrum in Orbitis fitis £$ unicorum punticrum angufiias liefhzt ioitur modus tertius : irt uter^ quitedaiiis contra Axwma XIX, 4cm I'/'inetnrum fuu n propriumvarief motum ; fiedalttr a/tero pliisger un#f& perfbEfom Diefia adminimum,,

;

XXV. Lanetarum p *

Propofklo.

geimsHarmoniasmutantium, Fupe-

proportionem motuum propriorum , rmnoinfenorverorhinorem^eniiconio^.j^.

rior debec habere

remTonoparvo9

10.

'j\a?n aut aohelzjs motibxsfhcient 3. j. autperihe/ijs, per prxmijTanu*

Nonperihelijsefi t enim tunc apheliorum mctuum f.Sjnfiricr igi.tur una Dic* fip/ishaberst inproprrtionepropria,quamfuperic'r, pereandem prtemifldptj> ¥ '

ld vsrb efi contra AxiomaX- Faciuvt igitur aphelijs _?. j,perihelijs f. S>miwus qtiam i/licptr 2 4.. 2f. ^htidfi aphelij motusfhciunt Sextstm duram 3. 5» trqp jupenoris aphelir." cum inperioris perihelio fkcietplus quamScxtstm duram» (idjici r* enim infbrior totam proprinm propcrtionerrL». Eodem mcdo ,fiperihc*. Jij motusficiunt Sextzim mol/em f. $ fupericris perihelius^ infiriorv aphe/im fiicient mimts quamfixtnm moliem auftrt enim inferior tctam Juam propritm :

troportionerru, Qtij dfit infericris prcpcrtio propria *.quarctfimitonium 15 j6* jampoflet pr^teri>extas etiam Diapente contingere,qii:a Sextzi mcl/is ,diminutn fimitonio ,fit Diapente,hocverc efi contraProp. XXIII. Minvs igitur fimitoEt quia juperioris pronio habet p/aneta inpricr in ixterval/c fibiprcprio . '

tria proportio majcr efi propria inprict is, per

unam Diefin

Diefis verb addita

Stnnt^mo fhat Tonum mincrem 9. )c. (upericris igitur prcpria propcrtin, efl mLtcr^uamTonutmincrj.io,

Harmonicis Liber V. XXVI.

225

Propofitio*

CAPI3t

Lanetarum,genu$ Harmoniaemutantium,fuperip ordebuichaberevdlDiefinduplicem575.

625.hocefti2. ij. fere, 15.16. velaliquid incermedium, Commace 80. 81- diftans vel ab illo, vel ab hoc: inferior vero, vel Diefin fimplieem 24. 25 vel difFerenciam incer Semiconiu Diefin,quae cft 125.1^. hoceft42.43.fere.veIdeniquefimiliceraliquid incermedium , Commacego. 8i.diftansvelabillo,velabhoc:fc.ille duplicem, iftefimpiicem Diefin,ucrumq;incervallumCommacediJ-

promotuumexcremoruintcrvallo.velSemiconium

minucura. Namfuperioris propria debet efie major,quam Diefis,per XXP^. minor verb

quam Tonus $>. to.per prxcedentenui. At verb (upefior debet excedere inpriofem Diefiuna,per XXIV. Etfitadet Harmonica pulchritudo, l/t proprtte horum ,Jt obparvitntem nequeunt efie Harmonicaejaitem ex Concinnisfintfiifieri hocpofi

Ax. I. Atqui Concinna mincra,qaam ejl Tonus 9. io.Jitnt tantitm auo Semitonium tfjDiefis: h&c verb dijferunt interfe non Diefi,/eda/iquo minori iri~

Jit, per

tervallo izf.lzS. Nonpofitint igitur (imu/habere (itperior Semitonium,inferiof

Diefinfedaut (uperiorhabebit Semitonium if .\6,inferior \2 f.128 h.e.42. 43. aut infbrior habebit Diefin 24.2f.fuperior verb duplicem Diefin iz, i;.fkfe.

Cum verb utriufi^ P/an&tafint (equa/iajurasquarejtinpropfifs ipjorum vio/anda fuit natura Concinni : aqua/iter in utrotfe violanda fkit. vt dijfer-entia propriorum ipfis intervaUoru manere pofia cxzchDiefis,addiJcriininanda genera Harmoniarum necefiaria\j , per XXIV. oMqualiter autem tunc violabatur Concinni natura in utro^fiquantojupcriompropriaproportio deficiebat, a Die~ ,-

Jiduplici

(itperabatve Semitoniiim

;

tdntb etiam infbriorispropria deficerst

Diefifimp/ici } fuperaretve intervallum i2\.. /&?.

Porrb hicexcefius ve/d?fbcfus, debuit efie Comma go. $1. quia rurfum ttul-

lum aliud intervauttmmonfirabatur a proportionibnsHarmonicis; Z$ vt Comntajic exprimeretur inter motus ccelefies,ficutexprefium cfl in Harmonicis,ficilicet (olo excefiu £f defeciu interfi intervallorum-j>. cis difiinguit ihtcr

Comma enim in Harmoni-

Tonos, majorem g? minorem, nec a/iter innotefiit.

^Rejht vt dijqniramus

utra ex propofitis , potiora Jint intervalla Diefes ,fimplex proinfbriori p/anet.t , dup/exproJuperiori:anpotius Semitonium j> (uperiori, £•? iifAzg.proinJiriori. Etvincunt argumentisDiet ,

Num

fes.

Nam etfi Semitonium vane exprefium efi infiala Mufica

118. non efi exprefium.

at jocium 12 /.

exprefia varie, gf duplex DieJtt

Contra fi? Diefis efi quodammodbjfi.in refblutione Tonorum in Diefis Semitonia £5? LimmaW.tuytc enim , i/t libro III. cap. VIII dlclum , proxime invicemjuccedunt duf. Die~

•

fies,

duobus /ocis.

Jlterum argumentum, qubd in difiinclione gemrum proprit*

Juntjura Diefios, nul/a Semitonij ; majbf igitur refyecJus habendm f*itDiefion%

quam

Semitonij;

Conflatur ex, omnibus hoc

Juperioris propria-/» debere efie

1916. 3i2<j.fiui4. /f .Jbreiinjbrioris propriam 24;, 2$o,fiuss> 36.fkrl. Qu2r icur ucrum fumma fapiencia creacrix occupata fueric in cenu-

ibus

iftis

Refpondeo, ficri poifc, uc mulc» podcrofiorcs Nacura HarmQnices non tulic.

raciunculis coriquirendis &

me raciones lateanc, At

De MoTIBUS PLANETAR UM

-226 CAP.IX.

quippe inpr6p6rci6nibus,infraomhium coricirinorurh quacicatem defcendencib p abfiirdu rion efli Deum vel lftas, ucciinq, appareac tenues > efferecucum^cumnihilfinecausaOrdinaveric.Abfurdi^n.lohgeefiecaffirmare, Deumhasquanricaces, ihfra quiderh praefcripcum ijs cerminu Toni rninons.forruico arripuifle. NecfufKcicdicerc ;TancasfUmpfir, quia cancae placueruc in geomecricis eriim/ubercaci ele&ionis fubje&is, nihil Deo placuic firiecausagebmccricaqualicunq,;ucapparecinoris foliorurri , in fquariiis pilcium, in pelhbus ferarum , earumque maculis :

& macularum ordirie & fimilibus* >

XXViL cliuris& Vencris

rt?

efle

PropOfitio.

rnotuum proportio Majbr, debu-

Sexca dura,incer mocus aphciios» iViinori Scxca mollis>inccr -

perihelios.

Ax.XX. Id autemfieria* non potuit ,quam p Sextas^XXIlI. Earum igr unam 58. cum acceperint terraB %,fpximiPlaneta,^ lcojiedrici^ XV:oportuit atteram ;. f.ijstribui. Nonverb inter extremos > convergcnta vel divergcnta; fed inter ejufde Oportuit h. difiinguigenera Harmohiarum,per

/iter

plag£extremos,unaminteraphetios,alterainterperihclios,fpXXlV.Eflpter-

ea&'Harmonia 3. f xognafo lco(iedro,quippc fctl <tutruefcPentagoniea.Vid.ca.Il Ecce caufam,cur prsecifaj Harmonia? incer hbrum duorUm mocus apheliospotius& periheiiosinveniancur; nonvcrdinccr eonvcrgentes > uc in iuper ior ibus.

XXIIX. qp -*

Elluri jpropria 14. 15. circicer

Propoficio. motuum proportio competebat

Veneri 3?. 36

circiccr.

Nam hi duo difiinguere dcbuerutgeneraHarmohiarum,fppramiptm:ergb g XXVIyTellusquidem vt fuperiort nanciJci debuit inicrvalium 2$/6: 3 125. idcji prs)4.i^.Venusverb,vtinfbrior , intervaSum24j,2fo.ideJis^.j6^>xime, F cce caufam, cur hi duo planecaj cam parvas habcanc Ecccncrici-

fecundum cas, parva incervallafeu prdporciones mocuumcxtrerriorum proprias: cum camcn proximeilla fuperior Mars, &proxi* jne hac inferior g, infigncs, omniumque maximas habeanc. Hoc verd verumefle.Aftronomiaconfirmac;namCap. IV. Terra plane 14/15. habuic, Venus vero 54. jc, quodaftronornicaccrcuudo vixdifccrnere in hoc Planeca poceric a. 55. 56»

t'aces>&

XXIX. \t

Propofkio*

Artis Telluris Major motuumHarmoniajcliucrgencium pura> hon pocuic eflc exmajbf ibus, quam j. 12. SupraPro. XVIl.hoh erat mihbrum aliquaitiuncverb nefyatiquamajorum ^'NumaIterabWicommuna,(euMinor2.i %cum^pria s

-u'\;n".-

Juperat

HarmonicisLiberV*

227 CAP

%perat\$.2f,fhcitplusquam 12. 2f. hocefi ,6o. \2 f. adde igitur Tellurispropriamif, 16 .hocefl j 6 <$o ,per prx.mifa.rn , accumulatur plits qudm f <$. i2f, Tonus major , paulb. ^At quodeflproxime 4. 9. plusfiilicet quam OiTava Harmonia proxime major , quam Oclava {£ Torius, e/lf.12. Diapajoncum Tertiamoui, '.

Nocaquod non dicQ,noneflehancproporcionem necmajorem nec minorem, quam 5. 12. fed hoc dico fi necefle fic illam fieri Harmocam, Harmoniam llli aliam non compecicuram. ,

XXX. 11 *T

ErcUrii propria

Propofitia

motUum

proportio debuit

fieri

majoromuibusalijsproprijs.

'j\a?nper XVl.proprictVeneris

£5?

Mercurij junHctJhcere debuerunt cir-

citerf. 12, SedVeneris propriafeorfim,efl tantum 243. 2%o. hoeefl l^fS.ljoo: hctcverb ablataa^. 12. hocefl a6zf. i^oo.relinquit 62 f. 145$. majoremqudm

Diapafon cum Tono majore,MercurioJoti:cumMartis fpria , qu<e illi iriter cctteros Planetzts eji omniu maximafit minor quam fefquiaitera 2\f. hocefl Diapete,

Adeoque Veneris

£•?

Mercurif infimorii proprictjunblct , ctquant quatuor

fiipremorum propriasjunfhsfere : quiatrtjamjintim apparebit ,Saturni £? Itvis proprictjunclce excedunt 2,$.Martis d 2 ,;.nonnihiiaeficit

:Jummk 4,'^.hoc

adde Tclluris 14.1j. hoc efl^6 ,60. dccumulatur 56. 1 jf quodpaulb plus efl quam f.\2; quantn modb eratfumma propriarum Veneris gf Mercurif, Hocverb non quctfitumefl,nec ab\aliquo pulchritudinis drchetjpofeparato zf> finefl 60. 13 f,

gu/ari de/umptum^fed provenit ultrb^necejjitate caufdtum cx Harmoriijs haftettusjhbilitis

nexarumj> t

XXXI. jV/j •^

Propofitio.

Otus Telluris aphelius cum aphelio Saturni per

liquocDiapafonconcordaredebuic. Nam Harmonias univerfales oportuitefie,per III: qUare etiam Saiurni cum Tellure Venere.AtJimotuum Saturni extremorum alter cum neutro ho~

rum concordafiet concordet

;

extremu* extremo Ergb Saiurnusutro^fuo , con-

hoc minusfitifi&t harmonicum, qudmfiuterg^

cum hisplahetis ,

per Ax,

illius

cordare debuit; aphelio cum uno ex duobus hifie Planetis; periheliocumreliquA

cum nihil impediret , quippe in primo P/anetas. Erunt igitur iflct Harmonictve/ Identifon&.ve/ Diverfifonce 3 hoc efl proportionis ve/ dup/ctcontinue # velalterius. At nequeunt ambctproportionis alterius efe : nam inter terminos Majorem Harmoniam interTelluris £jf Veneris aphe/ios,per XXVlT)nonpofiunt conjiflere duo media Harmonica: Sexta enim nequit dividi in tria intervalla Harmonica. Vide lib. lII.\Nj>npotuit igitur Saturnusutro%

$.f. (definientes

fuomotuDiapaJonfhcerecum Medijs inter j»£f f .Harmonicis : fedvt tf> cum Terrct,t£

cum fSUeneris concordentejus mof; necefieefljirteoru alter cum alttf

ro terminorum,fi.cum uno diciorumplanetnrumipferum concordctidentice,Jett

Ff z>

peralU

IHf

De Motibus Planetarum

225 cap iv

p^a/iquotDiapafons. Cumautempr<eJkintioresJint Identicte;Jhtuend<terunt etiaminterextremamotuumpr&fklntiora,fc.interaphe/iosiquidz3princip'u'

locum obtinent ob elevationem p/anetarum , £•? Harmoniam 3.yde cjua vt ma£jf Veneris nunc agimus,propriamJibi quodammodb £•? cumprarogativd vindicant. Etjientm Harmonia ifkl etiam perihe/io Veneris j £j? ali-

jore Teiiuris

quo Teiiuris intermedio competit,per XXII: at iniiiumfit d motuumExiremis, Motus intermedijfkint p ojiprincipid-*, Jam ciim ex alteraparte habeamus a/teraparte aphelium ex cum illo covu/anduseriia^ ; Saturni altijfimimotum phelius Telluris potiits qtidm Veneris ; quia horum duorum fgenus HarmontA diflinguentium, pojieriores

iterum ejl a/tior.

iiid

EJi £•? aliapropior cauja: qucdraticnes

in quibusjam verjdmur, derogant quidem prioribus fed iantiim cir,

ca minima, quodejiin

Harmomce ,

circa interval/a omhibus concinnis minora,

Sedper rationes priores, non Venerisjed Teiiuris aphe/ius, approximabat Har$ cum Saturni aphe/io conJiituehd<s. Coiiige enim in unam furvmam primb propriam Saturninorum motuum proportionem 4. j'. id ejiab apheiio inperihclium Saturni, ex Xl.fecundb convergentium Saturni i$

monitz Diapajon aliquot,

lovis l.z.ideji dperihe/to

vis £$ Martis tb

% adapht/tum. Iovis,exVIIl,terttb divergentium Iot XIV; quar-

S.idejiabaphelio lovis adperihelium Martis,ex

convergentium Martis £=?

Telluris

XV:

Tel/uris,2.$, id eji, dperihe/io

accumu/abis inter aphe/ium Saturni

Martis ad aphei-um

£=?

aphelium Teiluris

proportionemj^o. cuideeftnonplm quam 30.^2. ideji j/. 16 .feu femitoniunzs , Itnquejijemitonium inparticuquo minusjit 1. 3%.Jeu quinque Diapajonsi las minimo concinno minores feBum ,

quatuor htselementis addatur sperfefkl e-

Saturni £$ Telluris aphelios Harmonia Pcntztkis Diapajott?". Saturni cum aphelio Ueneris, Diapajon a/iquot faceret;oporAt vt idem apheli rit inter propojitos

tuifi&t Rationibus prioribus

integrumpre Diatefaron eriperc_j>:addito enim 3.S

qttod eji inter aphelios Teiiuris

£•?

Veneris , adjummam I.jo.ex qtiatuor prioru

btts elementisconjiatum ; coUigitur tanquam ex priorib9 raiionibus , inter apheii-

os Saturni ef Vencris 1. /o. quod intervallum dijjertab 1.32 , Pentakis DiapaJbn ,per 32.50. hoc eji per 16 2$ quod efl Diapente cumDieJi ;t$ abHex akifdi* apajonjeu 1. 64. dijfiertper fo. 64. quodeji 2f, 32 ,Jeii Diatefidron , minusund Diefi: 'JSfon igitur inter Vencris £•? Saturni,Jedinter Telluris £? Saturni dph* tlios , IdenticaHarmoniaJhtuidebuit , vtSaturno cum Venere cUverj2f6n4 .

Marmonia rejkiret*.

XXXII.

Propofitio.

t NHarmonijs Planetarum univerfalibus gcneris f

Mollis

mocus

«Sacurni plane

apheliuscum cxceris Planecisex-

afte concordare non pocuic

TS[am Tellusmotu fuo aphelio adHarmoniamuniverJalcmgenerismollit non concurrit , quta apheltjTeliuris gf Venerisjhcmnt intervallum 3.5. generis Duri,per XXVII. Satumus.verb aphelio fuofhctt Identicam Harmoniam cum aphe/io Tel/uris,per XXXI.Ergb nctfc Saturnus aphe/iojuo motu concurrit.Succedit tnmen /oco aphelij motus,intenjior aliquis Saturnimotut,aphelioproxim\ adgenus efiam moiie 3 vt Cap. VII. .abparuit. XXXIII. Pro*

HarmonicisLib. V. XXXIII.

116

Propofitio.

fejj.fi

DVrumHarmoniarum8c

Scalas Mufica? genus,cft familiare modbus aphelijs, molle perihelijs.

T\lametJiDura conJiituiturHarmonia interTeUurisnonapheliumtzntum cum Veneris apheiio ;Jedetiam inter Te/luris motus aphe/io infkriores cum ,

Veneris inferioribus, ujque in ejus perihelium:

$ vicijjim Mcl/is Harmonia non

tnntuminter Venerisperihelium cum Telluris perihe/iofedetiam interl^eneris fuperiores ujifc in aphelium , cum 1ellitrisJuperioribus ,per XXJfll: propria tzmen i$ evidens aejignatio generis ,ft tantum extremis utriufque, per ÂŁJ*

XXIf^.

Propria igitur Duri dejignatio, eji tantum in aphelijs motibus, propria

'MoUis > tantum inpcrihelijs.

KKXIV.

Propofitio.

DVrum genus familiarius

efl

Planetae

iri

compara-

cione duorum fuperiori, Mollc inferiori. J^am quia Durumgenus efi aphe/icrum motuumproprium, MoRe perihe-

graviores perihe/i/s: Duliorum ,per pr&mifiam ; aphelij verb funt tnrdicres rum ioitur ejl motuum tnrdiorum , Mo/le ce/eriorums. Atcfui ad tzrdos motus Jhmi/iar iusje habet Planetnrum ducrumJupericr , adceleres infsrior ,'quiafmErgo etiam ad per in Mundo altitudinem confequitur motus proprij tnrdiUs.

Durum Sca/& genusJhmiliariusf habet

, duorum,qui utriqueje accommodant ad Mol/e, is qui inferior. ofAmp/ius, Durumgenus utiturintervallis majoribus 4.'% g? $', \; MoReminoribus 5. 6.Z$ j\ $, Atqui etknt majorem orbem hab&t,H$ tnrdiores , idejl majores motus,profuperior P/aneth

generi ,

quifuperior;

lixioremtfe circuitum

quibus verb utrinque magna conveniunt t illa interjejh-

miliarius coeunt*

XXXV. C *-*

Propofitio.

Aturnus cum Tellure

Durum genus ampledtun-

tur familiarius , Jupiter cum Venere, genus Molle.

T^amprimb

Te/lus cum Venere comparatn,

dejignans, Juperior ejl i Terra igitur

tji

cum eadeni utrumc^ genus

Durum potijjimum genus amp/etlitur JUe-

nus oenus Mol/e , per prtemifiams. Saturnus vero aphelio fuo pet Diapafon confonat cum Tel/uris aphelio per XXXI. Qutre etiam Saturnus> per XXXIIIy Durum genus amp/eciitur. Deinde Saturnus aphe/io motu , per eandem , Jov&t magis genus Durum , refpuitgenus MoRe,per XXXII, Habet feipitur Jhmiiiarius ad genus Durum ,quamadMo/icj> t quia genera proprie dejig-

nantur motibusExtremis* lam quod Iovem attinet; is in comparatione cum Saturno,e(l

vt SaturnQ (kfotur Dhrumgenus

infbrior: ergb

,Jie levideb&tur Mo/le,perpr<tmtj?anu>.

XXXVI. Pro>

De Motibus Planetarum XXXVI Pfopofitio

23P taii

Qvis motus perihclius

cum

pcrihclio Vencris in 4 unam Scalam Muficam , ac nonetiam in eandem Harmoniarri confptrare debuit; multoque minus hoc cum perihelio Telluris. |

'A^jtmquia Iupiter debebatur generi Mollipotiffimum ,per prxmiftam iSi ;

•verbfkmi/iares furit motiv perihelij,per

XXX: lupiter i^iturperihcliofuo dejig-

ndredebuit Scalam ^enerii MoUis , ejusfti/icet cerfum locum fiu phthongunu. Sedijj perihelij^Ventris i$ TeUuris eandem Scalam dejignant , per h

XXVI

Ergb cum horuwperihe/ijs, hvis perihe/ius in eandem tenfionemjociandus ftfit. T^on vetb cum Veneris periheliopotuit conftituere Harmoni&nLi. TSfam quia, ). j.circiter, id ejl , clavem d fjftequo Saturniapheliusfkciebat clavem G, Veneris verb aphehui c/avem e ; igitur appropinquavit clavi e intra f]>acium Harmonix minim<t : 'A£am illa eji / tf at. inter d. e. eft intervallum mu/tb minhs ,fcificet 9. 10. To^

per VIII. cumaphelio Saturnifacere debuit tnatis iSius, in

<lAc etfiin tenftonetcrihelia , %JenuS e/evatur a d tenftonis aphe/i<e ; ah etevatiohxceft minor Dieft,per XXVIII. Diefts verb (ea^minus altqwd) tous,

mntlti Tono minori

nondum

ttquant intervallum

Harmonix minim<x

f^onpotuit igitur perihelius lovis cumaphe/io Saturnipr<tter propter

5".

i.j.

tue-

Sedneccum TeSure. Namfiperihelius \ftmul'concordare cum Venerc_t. lovis ad perihelij Veneris fta/am accommodatus fuerit in eandcm tenfionem ,ftc

ri,

vt infra quantitatem concinni minimi tueatur intcrvallum cum aphe/io Saturni ). z> dijfyns fti/icet aperihelio Veneris Tonomincre fc 9 10. feujd, 40. (pr<eter aliqua Diapafon) verfi*sGravia : TeSuris equidemperihelius ab eodem perlhe/io Vencris dijhtper j.S.ideft per 2f.^o.

Ita^dijlnbunt perihelij Telluris

$$ lovisper 25. }6>pr<£ter Diapajbn a/iquot. Iaverb Harmonicum non quippe iuplum ipfius 5- 6 .feu Diapente , diminutum und Dieft.

eft

XXXVII.

Propofitio.

fummam propriarurri HarmGniarumSaturni &C

Jovis2.$, &adcommunem ijs majoremi. interVallum aequale intcrvallo Veneris.

accedereoportuic

l\am Venus aphelio motu proprie perihe/io generis Mollis ,per

deftgnationem adjuvatgeneris Duri ,

XXVII, ^ XXXI

II.

SedSaturnus aphelio con<

Jpirare debuit etiam adgenus Durum, tfftc ad aphelium l)eneris,per lupiter verb perihelio adperihelium Vencris , per pr<tmiftam.

XXXV.

^tantum

igi-

tur Venusfhcit intervat/ufn ab aphelic in perihelium , tnntum etiam accedere necefteeft motui lovis i/li, quicumaphe/io Saturnifacit 1. 3. adperihelium hvis

Sed convergentium Iovis tf Saturni Harmonia eftpracifie 1 2. per VIlI. (lAblato igitur intervallo j.2. abeo quodplus eft quam 1. j. relinquituraliquid,quod txMundemplus eft quam2.j. profumma propriarum utriuf. que proportionunLs. ipfiffimutn^.

Supraprop- XXXIII. cratpropria Veneriorum motuumproporC1024,

•I

Har monic

i s

231 CAP.nc

110247, ijOiVeljj-. j6.proxime, Acverocap, IV. incer iacurni aphelium, Jovisperihelium,invencus eftexceflus fupraj.j. paulomajor,

fcilicecincer26.27.&27-2$.Acunic0minucoiSecundo,quodhaudfcio an difcernac ^ftronomia,ad Sacurrii aphehum mocilm additOjaequacur plane quancicas hicpra;fcripcai

XXXVlll. Propofitio. A Dditamentum 145. *$©• ad fummampropriarum ^* Sacurni5cJovis,quaehacT:enus primis raciphibus confticuebatur diftribuendum ficfuicincerPianecas,ucdeeoSaturnoaccederec

2- £.

Comma go.8j. Jovi Refiduum /9683. 200oo,feu 62. 6}-fere. Diftribuendum *tterifc

illudfiiifie inter

utrum^

XIX. yt

Planeta,m,fiquitur cx

aliq ualatitudine concurrere pofiet adHarmonias vniverfiles generis fibi

<&Atqui243. 2^o.mtcrvaliumefiminus omnibus Concinnis': NuUx igiturJuperfitnt leges Harmonicx , quibus iiiud dividatur inpartes duas Concin-

fhmiiiaris.

nas s nifijoliim ill<t, quibusfitpra prop. fitit

;

irtfi.

abeat in

XXFl

adjeclionem Diefios 24. 2 j. opus

Comma 80. gi.( quodetTunumtf quidetn primarium ex ijs

in Rejiduum 196'S'2 \ 20000 quodefipauib majus quxConcinnis injerviunt) autem duofidunum Commafmat aljcinden.f^on Commate,fic. 62 d^.fere dur/Ls ; ne nimium inxquales partesfiierent , ciimproprid Satumitf lovisfint ,etiam aa Concinna (f tjs minuticres proxime ttquales : fecundumaxioma partes extenfum :fimul etiam ideb, quia Comma defnitur intervallis Tono majore £3 Tono minore , non itzi duo Commatn. Pcrrb Saturno, altiori £? valentiori Planetg, debebatur harum partium noniUk potius, qu<z major , licet is haberet '

propriam 4.5. majoremijed illa , qu<eprior ef pulchrior,hoc ejl, magis Harmonica->.

f^am inAx. X

prxceHitretyecius prioritntis

cs?

perfbtlionis

Harmoni-

c& > ultimas tentt refpefius quantitztu, quia nuiia puichritudo efl in quantitate ltsimotus SaturnifiuntQiffisi , Tertiamajoradulterina,vtliht perJLs. Jll.Cap: XH.appeliavimus ; Jovisvetb Jf6i.gooo.

Nefcioanincercaufasadditiiacurno Commacis fic comemorandunv,ucfcilicec£xcrema «Sacurniiutervalla poflenc conftituere proporcionem8-9, Tonummajorem anpociusidulcrorefulcavericex :

ancecedencibusMocuum, Habes igicur hic pocius,loco Corollaincervalla Jacurni deprehenfa rij, caufam , cur fupra cap.I V. fol. 19?. finc Toni majorisproporcionem cOmple&i proxime,

caufis

XXXIX, t •

Propoficio.

N Harmoniis Planetarum uniuerfalibus

generis concordare non pocuit ,

Duri Sacurnus mocu exacle perihelio nec Jupicermocu exa&eaphelio. Qum enim Saturniaphelius^ cum TeSuris^ Venerisaphelijs, exaile concordare debuerit ,per XXXI. concordabit cum yfdem etiam ts Saturni motus t ,

quiejiintenfiar aukmaphettmejus^perHnamTertitmduram 4. y. aphelij enim

Teilurb

De MoTIBUS PlANETA^UM

15* .

•

TeUuris cf fcneris fkciunt Sextaw duram, quxper demonftrata lihri IH.divi* Tertiam duranu,, Ergb motus Saturni, quiadhuc jihi/is eji in Diatefiaron

cclerior

ejihocjam concqrdato, infra tmmen magnitudinem intervaUi Concinnit

u nbjn exacTe cohcordahit. At ta/u ejl perihelius Saturni ipfjfimus , quia dijht ahejus aphelio plus quam intervaUo 4 .p/us fci/icet uno Commate go.g j. (quod 5-

minus eft Concinno minimo ) per

XXXrlH.

f^on

concordat, igitur exafie

&At necexacle aphc/jus Iovis : is enim cumperihelio Sa-

perihe/ius Saturni.

turni, nonexacie confohante, confonatp>erDiapafonperfeBum»peTVllI.

qu*-

'reper dich /ihre III. nec ip/e txacle confikart poterit.

XL.

AD communem

Propofitio*

lovis Martis divcrgeritium rhbcuum Harmoniam 1. $. Tn£Uiapafon , prioribus racionibus fta-

addi oporcuic Limma Platonicum. Nam quia inier aphe/ips Saturni tf TeUuris dehuit cfie\.$2. hoc efti2,i8\4* fer XXXI; ah aphelio verb TeUuris adperihelium Martis dehuitefie j. 1. hoc ejl 384. 2^6,perXV\ ii ahaphelio Satitrniadejut perihe/ium 4. /. yit 12. //» cum additamcnto ,per XXXVllT, denie^ * perihelm Saturni ad aphe/ium hnjis 1,2. ve/ie, jQ.perVlIkfeftat igitttr ahaphe/io Iovuadperihe/iumMartis Atqui 30. 2f6. fuperat &. z\6. hoeeft 30. ts6,dempto Saturni additamento. bilicarn

DeSaturniadditamentum,quodprop.XXXVllI. deiratlum eji Limma P/atoftuit eficSo-8). hoceji 240.2 43, rtlinquit J 43, 2f6 ; id verb nicum yfci/ieet )g.sp. ftre : vidtlih. II /» Ad) 8. igttur addendumftitLimi. 8. quantitdte $0. $2. hoceftl^. )6. veliao. 2f&. quodeft Stmttoniunts.

igititrat 40.256.

maP/atonicunL».

Icaquemajorjovis &Martisproporcio,divei:gentiuna fc. mocueue debec 245, ^048, quod cftmcdiumquodaromodointer 243. &JS7. & 243:» 1944. ideftintcr r *.&j. g-quarumillamfuprarcquirebat Analogia, hanc Harmonica cpncinnitas vicinior.

XLL

Prbpofkio.

kartis motuum propria proportio nccefsano dupla faftaproportionis Harmonica? j. 6. fcilicet 25. 36. T^am quiaproportio lovii t§ Martis motuumdivergcntium > dehuit efit eft

&4;.2048.'tdtft7l9.to4#>pcr$r<*ctdtntem:convergentiim verbf. 14 , id 4,p& Xlir.Jumma ergb propriarum uttiuJqutneccfiariQJuit 729.

cji \2io. 614

SZto.vt/ 72900. jziooo. Jooo t idtji

ie<4$76'

Sed

Iovis fo/ius propria dehuit fieri

128000 3 ptrXXXVlIl.

6 f 6/. kXh/at*trgbhacIovia/i,kbu-

triufqutftmmA» re/inquiturpropria Martis jx$oo. 104976. tdejlzf. 36. cujus dhmtdiatft f.i. ^A/ittt (ie. Al ttphelio Saturniadaphe/iumTeUurismotumeJif.ji.feu **». 3S40. db eodem 1U0 ad.perihe/ium lovis ejly j.Jett 120. s6o t cumjuo addi* to*w$tot ffinc vero ndaphdittm Mtrtis eft ^ £4jS* rfo, 1728. Jgitur a& aphe*

Harmonicis LiberV.

«?

Martisadadaphelium Tellurisrelinquitur 1728- 38'40. minus addifaSaturni At ab eodem apkelio Jovis divergentium proportionis. Telluris adperihelium MartUefl j.2.hoc ejt 3840. 2^60. Interergb Martis aphelium^periheliummotus,relmqueturproportio\yi8.Zf6o, idefl %?< qo.feu 8 ft, tzo.minus diclo additumento. Sed 'l -l zo.Commate minus efl quam 86.120. feuz. 3, Ergbji de 2. /. detrahatur Comma^ detrahatur d) additamentum diBumlquodper XXXVlII.efl <zquale proprU IJeneris^trelinquitur propria <f\. Sed propria IJeneris , efl Diefis diminuta commateper I, C ^omma verb , Commate diminuta integram Si ergb az. $. ,fhciunt Diefin 24 2f. g? Diefis kocefld~24. $6, aufbr .ts diefin 2 4. z^. r elinqustur Martipropria 2f 36 .njt pri^cfyjus dimidia / 6. cedit intervallis per cap. III. «s : Enicerumcaufam,curfupraCapice IV,fol. J95. Martis intervalla «xtreraa,proporcionGmHarmonicaui 5. 6,comple£ti deprehenfa finc Aphelio

tntnto iUo

XXV

•

XLll.

artis

Propofkio.

&: Telluris Maior,feu diuergentium

commu-

nisproportio,neceiTariofa£ta e&24. 125. minor quam Harmonia5. i2 5 prioribusrationibus ftabilita. Propria enim Mart is debnitfieri Diapcnte, cuifit ademptn diefis }perpr<tce* dentem Communisverb convergentium Martis &Tellurisifiu Mino'r,debuit efee Diapente z.Z.g XV.Propria dtni^ Telluris, efl dupticatzi Diefis, cul fit adempttk

Comma, £ XXVl.tlf XXVllI.Exhis verb vergentium

<?i

elementis conflatur Major,feu di*

S Te!luris,fitqi duo Diapente (feu4, 9, hoc :

efi

108.

Z4 ?

•

)

cum

ttna Diefi,qu<efit multntu Commate, hocefl cum Z43.2fc\fit fi. 108 -2 fe fleu f$. iZ^.hocefl 6oS- }f00. AtquihoceflminuSi quam 62 f. ifoofhocefl^quam^JZt

quantitate 6og ,6z~ . qrtxefl fere 36.

XLlll.

zp.wiwr Concinnominimo.

Propofitio.

Harmoniam aiiquam uniuerfaiem

Martis apta

eliusconfpirarenonpotuitunfcalamtamengenerisMoIlisiilurn quadarntenus confentireneceflarium fuic Nam quiaperihelius Iovis obtinet locum d tertfionis acut<t ingenere MoUi,Z§ *uerb inter illum ff Martis apheiiumcfie debiiit Harmonia f. 24. ergb Martit

tphelius obtinet locumiadulterinumtenfionis ejufdem acut<e.Dico ddulterinum:

riam

libro

IILcap. Xll.cumrecenfireiitur Confonantia aduiterin<t;exq.comp0~

Jitio ne fjfiematum\ deduceretunomifi&funt dliqune

qu<z in ipfb fifiematefimplici

naturaii exiflunt, Itaq^ lecior pofl lineam qiix definitfic a

qua fi auferas 4, 5". feu %z. 40. reftat 27.

eft inter df. vel ce vel a

.Izo.adfcYibat

ifla.

diminuta Sexta mollis: qu»

Odavx etiam fimplicis.

Et irtfubjetfa Tabellaprimam lineam occupent ifki, Pro 5. 6, eft 27. %£. deficiens. E>? quibmpatvt , in Syflemate natuYnli, clavem fgenuinkm/Ut iSa efi eit cum d clave conflituereSextamMollem deficientemfe»

ineit principtjs ordinatn,

tdulterinam. Qum igr inter perihelmm Jevis in cUmgcnmnd d, conflitutum^

i$ intt* '

CAP.IX.

De MoTlBUS PiANETARUM 254 ^ inttr apheliumMartis,fitperficTaSexta JupraDifdiapafin,non verb •

mollis

de~

fickns,^ XIII:fiquitur Martem aphelio motufignare locu,quiJit uno commate altioy ctavegcnuina £;ita% non nijt Cadulterinu obtinebit: eot^ nonplanefiedfial-

temquadamten 9 in hancjcalam confintii.Concordatiam verb kniverfialem ne^ puram ne%adultcrinam ingreditur NamVeneris perihe/ius obtina locum e tenfionis hufi.At inter eSefi difionantia,ob vicinitatem.Difondt igr &,ab uni 9 planetarumfic. k %perihelio. Sedt$ nc&tcris % motibus difionat, remittuntur n. tf uno Commateminus,qtiamg uriam Dlefin: qudre citm inter perihelium $ aphelium (fifit Semitonium £5 Comma,inter igr aphelium £ '& aphelium'^ erit Semitonium t$ Diefis (dijjimulatis OEhvis), hoceft Tonus minor\ quodadhuc iifionum efi intervallum. Tantum a, in Mollk generis Scaldm aphelimMartis '.

eonfintit,non etiam in Duri.

Nam cum aphelius ^Veneris confiiret in e generis

DuriiMdrtisyerb aphelius (diffimulatis Otkvis ) (ItJhBus altior quam t,Toin hae tenfione medius inter f £5 fycaderet, tto minore > necefiarib igr aphelius in (quem hac ten(ione occupat aphelius Telluris ) intervaUum fecienscumg 2S' 27-pldne inconcinnum, Tonumfc. majorem , cui ademptafit Diefis. Eodem modoprobabitur Martis aphelius etiam a Telluris motibus. difiidere. Nam quia cumperihelio IJeneris Semitonium Commafhcit , per diHki , id efi

14. le.fidperihelijTerr* i$ *UeneritJhciunt SextamMollem \ %.fiui}.24.per avis) Jhciet XXyll, Martis igr aphelius cum perihelio TeUuris(additis illi

j4.24-.fiu7. )£.

Efi n t difionum

inconcinnumintervaUum

•',

nedum Harmonicum vttf 7.6, ,

inconcinnum,quicquidefi inter f.6,t$ S-g.vn hic 6.7. Sednec

mbt 9 concordare potefi cumaphelio Martis.NamJupra diciu, qubd is cum aphelio TeUurisfhciat 25.27. inconcinmm (difiimuidtisOBavis)

ullusalius Telluris

jamverba6, 7. vel 24,

2$. ufiqucM2$. 27.emniaJuntminoramthimo.inter-

valloHarmonico*

XLVI. Corollarium. PAtet igitur ex hac XLIII. de Iove §C Marte, tc cx XXXIX. de Saturno & Jove, & cx XXXVI, de Jove & Tellure & ex XXXII.de Saturnotcurfupracap. V.planecarummoc excreroos p

ncq; omnes ad unum Sy ftema haturalc feu fcalaro mufic am perfechfiime accommodatos effe , neque qui ad fyftema tenfionis ejufdem accommodatierant,- omhesiLlos , locaillius naturali ratione divififfe, feu (ucccflionemConcinnorum intervallorum mere naturalem ef-

Nam pribres (unt caufcquibus fihguli planefuntnacT:iHarmonias,quibus omnes planetaj Harmonias tae fingulas Harmoniaeuniverfales duo genera , Duuniverfales ; quibus dehiq;

fecifle

dcprehcnfum fit»

rum &Molle:quibus poficis,jai$i impedicur omnimoda accommodatio ad unum naturale fyftema.Quod fi illae caufae non praecefsiflec neceflario: dubium nullum eft, quin vel unum fyftema unaq; ejus tenfio Pla,

necarum omniiim motus excremos complexum eflec : Vel fi duobus Cf ftemacib 9 opp fuic, pro duobus cantus generibus > Duro & Mollhnon ii alcera tantugeneris duri ,fedetiam in reliqua generis Mollis, ipfiffimua

prdo fcalae naturalis fuiflet exprefs*. Habes igr hic difto cap.V, promiffes caufas diflidiorum p minima,& omnibus gdem concinnis minora. XLVII.Pro-

» :

HARMONICIS LlBER V. XLV. Propofiticx

255 CAP IX

D communem maiorem V eneris &: Mercurii E)i(-

A *-*•

diapafomnecnonadMercunjeciam propriam , lUpraprioribus racionibusprop. XII.& XVLllabilicas, accedereoporcuicincervallum iequale incervallo Veneris^fic uc propria Mercurij fierec perfedla 5, 12 (lc 5 ucroque mocu cum unicoperihelio Verteris concordarec. 'A(am quia Saturniaphe/ins cum aphelio Telluris concordare debuit , P/a-

net<eextimi , figura fii.-e circumfiripti g? altifjimi, cumTe/iuris

gura, qux.fi rumclafes diflinguit , a/ti/Jimo:fquitur legibus oppoftorum,njt Mercurijperihelius

cum

Telluris verihe/io conjpiret, quippe P/anet<e intimi,fgur<eju<t injcri-

£=? humilimi , So/ig, vicinifjimi, cum Telluris , fepis illius communis motu humi/imo : i/li quidem adDurum hiad Molle Harmoniarum genus defgnandum , per prop. XXXIIL £? XXXIF*. SedVensris perihe/ius cum Tellurispe-

pti ,

Harmonia f.$. per XX/^II. Erpo etiam perihelius Mercurij , cumperihe/io Veneris in unam Sca/am dehuit contemperari. Erat vero prop, XII. ex prioribus illis ratioritbus definita Veneris i$ Mercurij Divergentium Harmonia y 4. Iliaergojamper has poferiores rationes fuit fermentanda accefjionetotius intervalli Veneris. Non igr amplius abaphelio ,fed<i perihe/io Veneris adperihe/ium Mercurij eflperfeBa DiJRiapaJons. Jtqui etiam convergentium Harmonia %, r perfecla eji , per prop. XPf. E.i igiturjubrihe/io concordare debuit in

tratiaab 1. 4, rejht fo/i Mercurioprcpria 5- iz. etiamperfbcta , non verb amplius ( vtprop. XVl.perprioresrationes)diminuiaproportioneVenerisi!priah .

A/iar atio. Sicut SaturnumtJ) lovemjolos exteriiis nullatenus contin^Ut Dodecaedrontf Icojiedron, conJugat<t:fce<edem MercuriUm filum interius non tangunf.tangunt n. Martem, Tellure ^Venerem, illum intiis ,hancextra\mediam utrincu.Sicut igr in propriasproportiones motu uSaturni £5? lovis , qui Cu'

Tetraedro fu/ti funt ,diftributim additumefl aHiqrid&quale propri<e Veneris:Jicjam propri<e Mercurij fo/itarif ,qui OBaedro,Cubi.i^ Tetraedrifociafigut

£5?

ra continetur, accedere debuit tantundem : quippe (icut Oc/aedron,fgura unicainter Secundarias, vicem fuflinet duarnm,Cubii5 Tetradri inter Primarias,de quo vide Cap. I.fic etiam inter Planetds inpriores , unus Mercurius efl locc duo,

rum exfuperioribus

Saturnifci/icet

£^f

lovis*

Tertib, ficut Saturnus altifjimusper aliquot Diapafonjwc efl , inproportio-

n r \. ^z.continue dup/a, concordare debuit apheiiofucmctu, cumduorum quigenusHarmonitS

tnhlnrit ,altioris Jibiijbpioris

motuetiam aphe/io : per XXXI:

jic viceversa, £ humilimus, rurfiimg a/iquot diapajon, h.

inproportione 1,4.

etiam continue dupla, concordare debuiigihe/iojuo molu tum duc>rum,quigenus

Harmonix muUnt,inftriork fihifyjimi/iter propioris mctuperihelio. Quartb (uperiorum trium ^b^^ijinguti tzMthm extremi conjjirant ad Harmonies uni'verfales

;

tideafdem

infbrioris igr :

ef unici , Mercurij fc ambo extremi conjpirar edebuerut

nam medij,Tsl/us g? $,genus Harmoniarum mutare dcbuerunt, per

XXXIII. XXXlV.Deniifa in bigis tribusfttperiorum

invent&Junt Harmoni*.

9 'tipri<e perfecla inter convergentes mot ; fermenUt<z verb inter divergentes, finguhrum:in bigis igr duabus inferiorum viceversa non inter convereentespo'

tiffiwum, nec inter divergentes fjed inter ejujdem p/ag<z motus,perfec?<t Harmo-

ni* reperiri debuerunt.

Et quia

Telluri

if)

% , duxperfeftx. debebantur : quare

etiam ? fj* ? du<z debebatur perfcB<e.Et i/li quidem duo3 tam inter aphelios pfcBB 3 fortiri debuermt , quam interphelios, quia geri HarmonU mutare debuerunt

Venus

225

De M OTIBUS PlANETAR UM

Uenus verb

$ Mercurius,utpotegenusHarmdniitnonmutantes,nonetiamrc-

quirebant perfeclas inter

utram^bigam , tamapheliorum quam periheliorum

motuum.jedjuccejjit pro Harmonia perfecia apheliorum^i/t qu<efbrmentzttajam Juit , HarmoniaperfecJa convergentium : vtjicut ^Venus inferiorumjuperior , propriam motuum proportionem hab&t minimam omniuniper XXVllI.Mercurius, inferiorum inferior

proportionem propriamjna&imam omniumJortit 9 eji9

per XXX:Jic eiiampropria \Jeneris, omniumptopriarum e(?&t imperfeEiifiima;

Jeuab HarmonijsremotifJima;jppriaverb $ omnium ftpriarumgfeciiffimajdejt Harmonia abjoluta ,Jine fermento; fic tnndem undi^rationes ejent oppofta, Sicenim magnaliafapiencicefua: decoraricis, quieftantefsculum ufq; in fa;culum nihil redundac, nihil deficic , nec locus eft cenQuamdefiderabiliaoperaejus,&c. omhiaduplicia furarcujufqUam. unum contra unum, nec ulli fuum deeft oppoficum; uniuscujufq; conQ flrmavic {rationibus optimisfkibilivit) bona {Ornatum 'decentiam')&. quis facurabicur videns gloriam eorum f

XLVL £

Axioma*

Olidarum figurarum interlbcatio inter Orbcs

*r planecarios,filiberaeft, necprajccdenciumcaufarumneceflicacibusimpedica, perfedtionefequidebec analogiam infcrirJtionbm &circumfcripcionum geomecricarum;adeoque &conditiohespr6pbrtionisinfcripcorumadcircumfcripcos. ..-.„ 'Pjjhilenimejlmagis confentaneum quamfut infcriptiephyjica Ceometrh $am> tanquam opus typumJuum^exacJ e reprafentefa ,

XLVII. Propofitio. I Figurarum inter Planetas infcriptio liberaruit C •^

Tecraedronfupracangeredebuicangulisorbem perihelium Jo-

visexacle, infracencrisplanorum,apheliumMarcisexacl:e:Cubusver6 0£laedr6,angulis ia Orbem perihelium fui quasq; Planetadhfifteces, cencris planorum penecrare debueranc orbem fui incerioris , fic uc illa

cencra verfencur incra Orbes , aphelium perihelium: Dodecaedron concra &Icofiedron,angulis excraftringencesfuorum Planecarum Orbes perihelios , cencris planoru non plane attingere debuerut aphelios orbesfuorum inceriorum: Echinusdenique Dodecaedricusj ftansangulis in perihelio orbe Marcis medijs puh£cis inverforum laterum, radiosbinosfolidosincerftinguencium^ debuicvenire proxime orbern ,

aphelium Vcieris.

EJlenim Tetraedronjgurd media Primariaru^'ortu ^Jituin Mundo» *qualiter igr,Ji nihil impediebat ,Jumovere debuit utram^ regionem gfy ^ffl. Cuiquia Cubusfurjitm erat (fexterius,\Dodecaedro deorju^ inter'ms:par erat ,

ergb,ut tf illoru injcriptio ajfefiaret contrarietatemeftCufTetraedron tenebat

medium,& altera illarum eXcefiumfhceret inJcriptionis,altera dejec~iunnalter& 9 fcjnteriorem orbequadamten penetrarUi.alteranon attmgeretJStquia Ocla-

edroit

Harmonicis Lib. V.

251 CAP. IX.

edron efi Cuho cognatum y ttqualemhahens orhium proportionem ; lcojiedronverb Dodecaedro : quodigitur Luhus habet dcperfetiione injcriptionis , idem if fkiedro debebatur :

qucd Dodecaedron , idem

Icojiedro.

EJi 0$ conjtmilis

Iktedri (itus)Jitui Cubii lcojiedriverb ,Jitui Dodecaedri : quia vrt

tenet terminum adextcriora

fic

O-

Cuhus alterum

Ocluedron tenet reliquum extremum adinte-

ricraMundi,Dodecae'dronverb(j Icojiedronmediant': Convenit igitur etiam (imilis injcriptio ,illic penelrativaOrbis planetmij interioris , hic dejciens ah *

Echinus verb, qui fummitdtibus an ûlorum rcpr<efentat Icojiedron, hajic bus Dodeca'e'dron } utramtfe eiiam regionem, tntn inter Martem Z$ fellurem, Dodecaedro } qudm "mter Tellurcm d) lênerem , Icofaedro tributas implere_j, complectijeu difyonere dehuit. Ûtrum autem oppojitorum , utrijbcietati conveniat, jixiomapr&miftum clarum facit. Tetraedron enim,habens infcriptum orbem effkbilem, medium fortita eji locum inter Primarias Jiipata utrin^,Jiguris incommenfurabdium Orbium, quarumexterior Cuhus,imerior Dodecaedron,per cap.I huius. Hacverbqua/itas Geometrica, Effabilitzis infcripti, reprcefntztt inNatura injcriptionem flaneturij Orbis perfeSktm^ Cuhus igitur cumjbcid hahent int iilo.

ex dimidio (dltefn effabiles , id eji ,Jolapoteniia ; debent igiturJemiper; ubi licct non ipfa Orbis planetarij Extreminominatim interius a/iquid, Medietas inter Orbcs,aphe/ium £$ tas, atja/tem if)

fcriptos ,

fbcTzim reprdjenture injcriptionem

perihe/ium Jiper alias rationesferipojfit,attingatur a centris p/anorumfgura.

Dodecaedron contrdcu njocia hahent infcriptos p/ane inejfabi/es d) /ongitudineradij t$ potentia : debent igitur plane imperjetktm repr&Jentztre infcriptionem , £$ ptnitusnihil de Orhe planeUrio attingeniem ,hoc eji',deficientem,&

ufque adapheliump/anetce orhem nonp/anepertingentemjuorump/dnorum cen-

Echinus &tfi Dodecacdro z$ fbci& cognatut ejl shah&t tzimen a/iquidjimile Tetraedro. f^am radius infcripti laterihus ejus inverfis, eji quidem incom-

tris.

menfurahi/is circumjcriptitadio

at commenfurabilis

eji

interim /ongitudir.e

dijkmtict hinorum angutorum vicinorum. Itztcj,perfbBio commenjurationis ra-

diorumfere tztnta , quankt Tetraedro imperfeBio altrinfecus tztntzt, quantzt Do decaedro tf Jocice. ConJenUneum igitur eji, eiiamphyficam injcriptionem ei competere , necplane Tetracdricam , necplane Dodecaedricam ,Jedgeneris in-

vt quia Tetraedronplanispertingere debuit adjummum Orbu , Dodecaedron non attingere certojpacio ;jam hcec aculeatajigura iaterihus inverfs interj^acium IcoJi'e'dricum,$ inter orhis injcriptifummujiet.jpxime hancftimmitatem attingem : Jitnmen etiam ifkif^ura in fbcietzttem reliquarum quinque ter?nedij ;

adfcifcenda fuit , leges^ ifi*, fkxntibus legihus illarum , toleraripotuerunt.

lmb

qUiddico toleraripotuerunil quihus ilU carere nonpotuerunt, 'Afamji Dodecae-

dro competebat inJcriptiolaxa,necattingens;quidaliudindefinita7n illam laxi-

tatem intra certce quantitatis^ metas coercere potuitiquam h<ecfubjidiariajiguraa Dodecaedro £? Icojiedro cognatzii injcriptioneJuaproxime attingente , \necplus deficiente

(Jitamen

dejicit3 )

quam

Tetraedron excedit

& penetrat ? de qua

quantiktte jam infequenti agemusi

Valdeverifimilem reddichahc caufam Echini afTociati duabus cognacisfiguris(utfcilicecdecerminarecur proporcio Orbium Marcis &Veneris,quamilla; indefinicam reliqueranc) quod invenicur Semidiamecer Orbis Telluris iooo.propeadmodu medio loco proporcio-

nalis

DeMotibusPlanetarum

238 CAP.

I3C

Veneris aphelium : quafi (panalis inter orbem Marcis pcrihelium cig^^id^ciumquodEchinusvindicatcognatisfiguris, interillas> utpotefimilib v.fjj

Jes

rfz.ubiP.P folidi an-

proportionalitar fit divifum* r r

guh O O. media in-

XLVlll. Propofitio.

rerfa laccra

Nfcriptio Figurarum regiilarium folidarum intcr I OrbesPlanetariosnonfuic mera; libercacis impediebacur enim Circa minima ab Harmom js inter mocus Excremos flacutis. :

T^aifa per Ax. I. d> II. Proportio orbium cujus^ Figura non ipfa perjeipfam immedtate debuit exprimi ,Jedper iUam qu#rend<£ pnus fterunt , motibuseL ex-

tremii accmmoda

Detnde,

mx Harmonix

ipfis Orbiumproportionibmjhmiliarijstm**

vtgAx.XHX. XX Harmonia univerfales duor ttm gener um efie

poffent, fermenti

nm nihil addiopoyt uit Harmonusjingularum bigarum Majo-

ribus,per rationes pofieriores.

iJt igitur ijkijkirt- pofient ,

fitif<J.proprijs niii

ratiombus irequirebantur intervaUa diffidentianonmhii'ab ijs , qu&funtex infcriptione perfeSi dfgurarum inter Orbes , legibus motuuvn Cap. 111. explicatis.

& vt appareat quantum derogeturfingulisfguris per Har-

Jd-vt comprobetur ,

monias proprifs ratiombus /fcibJitzts : age ex

iUts extruamus intervalla planeta,-

rum d Scle , novdjbrmd calculi nec atned tentatd a quoquam^ Erunt autem

inquifitionis hujus tria capitz,

Ca'eu1us

wotibus binis extremu inquirentur ejus

interyallo-

ex jjj j{ a

£jf

Solis

Primitm ex cujufa^planet^

intervaUa itidem Extrema^ ,

^us or^s in $& Extremorum intervallcrum dimenfione

cufusq, pla-

tarinrum netxproprta, Secundo y ex i/fdem motibu<extYemts , tn dtmenjtone omnibus ea~ ci irmo. dem, Tertib ex propcrtione motuinnuirenturmotus medii, eorumq. proportio.

nica politicacmcr. gentium. invefl

',.

/irr/i

um medwrum jam gafatur ,

£Sf

patepcta

*"•{-, ir proportto Orbittmjeu

und etiam extremorum

tionibttsf^ttra/ibus.

-.-•*

% . J// Medtorum tntcrvauorttm

iUaque comparabitur cumpropor-

Quid primum attinef.repetendumcft ex Cap. III. numero VI.

qubdpropor-

motuum extremorumjit duplaproportionis everfz rejp mdehiium intervaUo-

tio

rum a

Citrn igitur etiam quadratorumproportiojtt dupfa proportionis laterum : ergb numeri quibus extremi motusjingulcrum exprimuntur, fitorum conjiderabuntur irt ^Juadrati,^ qtt<tfit<£ iUorum radices dabuntextrema inter'VaUa, qttorumfkcile efl mediun arithmeticum accipere,proJemidiametro Qrbis

Solzj.

& Eccentricitute. Planetis-

Igitur Harmonix hatlenusfkibilitaprtefcripjerunt

Vlotuum proportiones

Horum

Radi- Erg6 femidiaaut promctcr Orlongata aut bis. I

ces

Ecccntricitas.

In dimenfione femidiametri

Orbis 100000

muluplicium.

Saturno pcr XXXVIII.

Jovi per XXXVIII.

Marti perXLI. Telluri

fci

8o 90

«4

j»t

Sf-zz

Sfl-.i

+9S4-

6?8t

8io]oo 8? 444

16 ipi6

9)Si « S>6ilS

9S178

i^47

>7J°

99W

yos

710

806*4

I7J75

5°

V eneri

14?

S>8/9

perXXVlH.

2/0

10000

f il

65=>-o

Mercutio

8ooo i/

per XXVIII.

perXLIV.

^looo

*'j;x

Mfc

Har monic

i s

259 CAP.IX.

Jdficundum expropofitis rurjum oput hahemm capitis III, numero XII. tt* li ofienfum, qubd numerus, quiexprimit motum medium injfportione extremorumfit minorMedio eoru arithmetico,minor etiamgeometricofimifie differetia 9 Medij utrffy, Et quia omnes mot* medios eXquirim in dimenjione eddem quare emnes j>portiones haclen 9Jhhilitx inter binos g> binos,omnes etiamfingu/orum pprue, explicenturin menfitra communis minimi dividui. Tunc quarantur Media , arithmeticum £ dimidiationem dijfcrentite eXtremorum cujufy motuu,geot metricum.per mu/tip/tcationem extremi unius in alterum, extraclionem radicis efhSfo: tuncjemifiidemediorum differentid ablald d gcometrico Medio , conjiituetur numerus Motus medij , in dimenfione cujufif. extremorum motuum propria qu&fhci/e per regitlam proportionum tranfmutatur in communem. ;

Proportio-

nes:Harmo-|Numeri motuu extremorum

iingulo

]

Media fingulorum con- Diffcre tinuata.

rurt.jp-

Arithmcti

•

Geometricum

cum jj.

139968.

1.-1 7 7 «47? 2J..

64] SiJ

tia_ie-

Numerus motus medij

35429+. 6-561] 7280.5". 3 2000, 8000J

72.00.

7244.9*

Communi»

Sua

ieuradix.

72.50.

25.

178-

in di.

m.nilone

miffes.

$6917.

7i-rf*

72,271.

390263.

2J..+

^.2073 600.

2*1

30.50.

,^1.2985984.

Jo.oo.

25-

24«75*4«

29.75.

.4478976. 291 61 3020.500. 301 8.692. .4800000.

904. 3°i7.788.

4«3

.7464950. .76 Soooo.

250J

757^32».

2800000. 0720000.

i-ij

246".5oo.

24«.47-j'.

125.

8.500.

7.746.

177-

iigtirx ultra

246.4625. 7.369.

punclum pertinentad prareifionem numeri

quxjcilicst efi inter cujuf/^gradutt £$ minutorum

in p.dcnarijs

$c. numeros inter

comparatosiqux qudm propinque accedat dd Afironomiam,fhci/e eji exp/orare*

Tertium caput propofiiorum indiget capitis III. numero VIII. InventA enimproportione diurnorum mediorum motuum infingulisPlanetis,datur inve~ nire d> proportionem Orbium.

Ejl enim proportio mediorum motuum propor.

Orbium everfie fifquialtert.Atqui etiamproportio Cubicorum numerorum cft fefquia/tera proportion is Quadratorum aaeajdem l^adices adfiriptorum in

tionis

Quarejiquttran* Tabu/a Clavij, quamjubjunxit fitx Geometrite PraBktz. tur numeri noflri motuum mediorum (decurtati , uhi opus erit , aqualinumero cyphrarum) inter Cuhicos il/iusTabuU, exhibehuntadfiniflramfith titu/o Quadratorum, numeros proportionis Orbium: tunc Eccentricitates fuprdfingu/is adfirripta. indimefione cu']uJ^;femidiametrorumproprid3Jhci/e per regu/am proportionum tranfyonentur in dimenfionem omnibus communem, n/t ijs additis adfimidiametros orbium , inde^ ablatis , confiituantur interva/lafingu/oruma So/e, extrema. Dahimus autem femidiametro Orhis Telluris dimenfionem rotundam )ooooo,vt moris efl mAjironomiaiid^ hoc confi/io,quia hic numerusfeu qua» drate multiplicatusjeu cubice ,fimper conjkit meris cyphris ;

itzify

etiam

322»

18864610.

Inventaeflergb ex prdtfcriptis Harmonifs,proportio Mediorum diumorum

motuum

motum

medium Teuuris ejferemus numero 1000 000 000 ; per regu/amproportionum fhcientes,vt nmierummotus medij cujufyplmet&adnumerum motm medij Te/lu» risjfis

DeMotibusPlanetarum

240 ',

ris;fi:tooooooooo

ad novam dimenfionem.

tranjigtpotertt negocium

in dimenfione Priftina,

Novacvcrsainter cubos qrenda.

quinq.

cumunico

jingults ittts

NumeriexmQtibus medijs

folis

letturts

radicihus cubic%

numero comparatis.

Numcri

Eccentricitas

portionisor Semidi-

Indimenfione

biuni intcr

ametn ut

quadratos

Supra.

Tntervalla extrc-

macmergentia. Propria ComAphc- Perihelia. lia. ut lupra. muni'

inveriti.

156917. 2.9539960. 390263, 11877400. T, . 2467584. 1878483. icooboo. <f. 4635322. 612220. $. . 7571328. £,.»8864680. 245714.

955<S-

5206. 1523. IOOO. 72 1. 392.

8:5, S

5222.

<y. 562 ^2 22. 25 8

•IOI ig. 8994.

4948" 1661. 1384

54.64..

•

138

5I78-

164.7.

10,17.

7058062-5. i7?75-

726. 476.

5 5

99295.

083 716 308

•-

jipparet igitur inultim&Jerie, quales prodeant Numeri,

quibm convergentia

iinorum exprimuntur intervall.i: qui omnes vaide prope accedunt adilla inter-valla,qut£ inveni exobfrvationibus Bmheanis. Injolo Mercurio parvula eji dif-

ferentia.Nam Afironomia videturei dare intervallahttc 470. j$$. 306. omnia breviora. CaufadiJJidijvelin Objervationti paucitutem conjicienda videtur,vel

m Ecceniricitntis magnitudinem. IJide cap. III, Sedadfnem calculi propero. lam enim fhcile ejl, comparare proportionem orkmmfguralium cumpropor* tione intervallorum convergeritiuni^.

Nam

Semic1i£.meteroibisfiguracircnmfcripti

^uareftcommuDJter 100000 ,

TuncSemidr

InCubo InTetraedro la Dodecaedro

pro

fiat

8994- % 4948. 2(1

<f<

-Inlcofiedro

983-T.

InEchino InOtlaedro

1384^ 71 6. £

taQSarlxaro Oftaedri

71 6.3.

tcI

4.76.%.

3 $

33 83 7 9 46 j 3

infcripti

6um fit intemllum ex Hatmonijs.

fiet

5«9+. 1649.

Medium phelium

noo.

aphelium aphelium «phelium mcdiuni aphelium

79 + 6$ i 2 i7i

7S1. 728.

5773$ 70711 707 ii

4«3» 506. 33*«

perihelium

Pauibfjnfamedium hvis defendunt plana Cubica;ttonpIan} ad ipfie>& Mcdium Mercurij,plana Oc~h'edrica;paulb infrafummumMartisJTetraedrica; nonplane adipfumjummum HJeneris^ /atera Echini ; longeverb ab aphelio Teiiuris deficiunt plana DodecaZdrhlonge* etiam, £$ fere proportionaiiter abaphe* Tw XJenera ,plana Icojiedri: OBnedridenicL quadratum plane ineptumtfl rxee

nam quidplanafigurx interjolidas? iJides igrjtplanetnrum interval' 4a deduca ntur ex proportionibus Harmonicis motuum , haBenui demonjlratis ; jiecefe efe zrt illa ttintu evadant ,quanta h&patiuntur , non verb , quantarequiinjuria;

rerent leges injcriptioriis iiber<t,prop.XLv.pr<eJcript»e: quia hic^Q^pi^^jy^ &)|t£.g/&W0S' injcriptionis perfeBa,

fJLOV

non erat ampliusjuxta iilumalterum %qq-~

d$(lOWCOV \vhxQ\^&ivtGaleniverbisutar,exhu)uslibxtV~fon-

de/umptis, Tantum addilucidationempropoptionis prxjcriptx^ ipjo nu* merorum calcuio demonjlrandumftit. Non dillimulo, fi Harmoniam convergentium Veneris & Mercurij -tifpicio

augeam propria proporcione mocuum Veneris,eademq;,uc confequi, minu am propriam Mercurij tunc prodire mihi per hanc mecho-

-tur

^um,inteirallaMergurij ScSolisiXtaH!'69,388.f07.qu??Yaldepr£Eciferei

prsefen.

Har monic

i s

241 CAP.l*

Ac primo diminucionem illam non pofHarmonicis fumdefendereracionibus s nonenim quadrabic aphehus praefencancur ab Aftronomia.

Mercurij in ullam fcalam Muficam; nec cenecur inPlanecis,oppoficis in

Mundo, plenaria racio oppoficionis omnium condicionum,

Deinde mocusMercurijmediusdiurnusficnimismagnus , e6q,periodicum 2 cempus , quod eft cocius aftrbnomia: cernffimum , nimium abbreviarur, Icaquemanebinpolicia Harmonica mocuum, hic ufurpaca & coco cap. IX, confirmaca. Veruncamen hoc exemplo vos, quocquoc in hu- p I8T »cMi»

Hbrileclionem incidecis, Machemacicis difciphhis furoma? philofophia: cognicione imbu ci bmnes provoco agice ftrenui, vel unam exHarmonijspaffimapplicacis convellice , curh alia aliqua permucace & experimini, num cam prope aftronomiam, cap. I V.prarlcripcam accelfuri ficis: vel concendite raciohibus, num mehus cbhveniehcius aliquid mocibus cccleftibus aftruere , difpoficiOnem vero a me adhibicam in parce vel coco deftruere pofficis. Quicquid ad gloriam per cinucricCondicoris &Domini noftri id asque vobispermeum hunclibru 1 icicum efto ,-ac ipfe licenciam mihi fumpfi ad hanc horam ufque , mucandipaffimilia, qua;prionbusdiebusofcicancicura , veljproperanci ardore prarpoflere concepca deprehendere pocui.

jus

>•

,•

IL.

Epiphonema.

T3 Onumerat,folidasrigurasingene(iintervallorum

-M cedereracionibusHarmonicis,Harmoniafquebinorum Majores, Harmonijs univerfahbus omniumyquancum hujus erac necefie. Pulchro cafu adfeptenarij fffujidratum ILdevenimusiVthoc veluti Sab-

hatum quoddam fuccedat ,pnetmfiisfex folidkOclonarijs EJfatorunu, deopere Coehrunu>. Meritb etiam Epipho nema fbci , quod inter Axiomata prxmitti potuit : quia etiam Deus jam defuncius opera Creationis , vidic omni a, qu&~ fecerac, &ecceeranc valdebona, Duo funt Epipho nematis memhra: primum de Harmonijs ingenere , fic dc* monfiratur. Nam uhi deltBus efl inter diverfafemutub non ex afiefirentia ;

prxferenda efieprxfki ntiora, derogandumq^ viliorib9,quantu necefe efi,

ipfa vox

T% XOCUM) 1Ult omatumfigmficat , arguere videtur. Atqui quanto vitn cot~ pore,forma materia , tnntb prteflnt ornatus Harmonicus Geometricofimplici.

Nam

xrt;

Animantum corporaperficit vitzt, quia ad hanc agendam funt natstiw^ Hb.lY»

qwidex Archetypo Mundijqui eflipfa efientia divina,fiquitur:fic regiones F/a-M- «^J* net is attrihutas, motus,fideris quam^Jui, metatur ; quia i/tfidus moveripofieSt regio illi fita fuit affignatzi. Atq uifigur<e quin^folidx , vi vocis ipfius, adjpacia regionum pertincnt ,& ad i3arum,corporum% numerumiHarmonix verb admo- "de t us. Kurfiim vt Materia dijfufa efl ?$indcfinita ex feipsaiFormadefinita,unitat terminans ipjamateriam: ficetiam proportmnum Geom&tricarum infinitx fiint i Harmonixpaucx. Etfienim inter GeomUricas etiam certifunt gradus de-

^™

fiiitionumformationumque refiriclionum ; necplures trihus exifierepojfunt ex adfiriptione orhium adfigurasregularet : attamenhasetiamcommunecum

omnibw accidensfiquitun qubdprxfupponitur infinita quantitatumfiilio pofiibJis i quameiiamacluquodammodi involvunt ilU, quarum tcrmini

reliquis

funt

DjE MOTIBUS

242

FlANETARUM

C AV TV fimt interfi incommenfinrabdes At Harmonic<sproportiones omnesJitnt effabiles .

omnium termini commenjurabi/es ; y^ defumpti exfigurarttplanaru, certa ~Sfinita fpecie.Infnitas verofclionismateriam;commenfuratio verbjeu EJfabilitas

terminorumfirmarepr<efentat. IJt igitur materia Forma,iJt rudejaxum ,jufl<e quidemquatitatis ,Ideam humanicorporisflc Geom&trkce Figurales ^pportiones

Harmonias appetut ; nonzrtfingat& fbrment illasJedquia\h<ecMateriaadhanc Formam,h<ec faxiquantitas adhanceffigiem h<ec ati&mfiiguralis proportio ad hancHarmor. iam quadrat aptiusii/t igiturfingantur firmentura. ampiius, Materia quidem d fua Forma,Jaxum d Co/apte injbeciem animantis; proportio vero erbiumfgura/ium, kfitd, idefi,propinqud £3? apta Harmonid. Qu;:huc uffyjunt difh , c/ariorafentex hiflbria mearum\inventionumt Cum ante z 4 annos in hanc contemplationem incidifemiprimum inquifivi,num '

aquaiibus intervallis ab invicem difmrtnt orbes planetnrumjinguii orbes in

opernico ,

necfefmutub attingant )

(

dflnnt n.

nihilficilicet puichrius agnojce-

bam<equaliUtis ratione^JUi verb caput tf cauda deejl: nulium enim numerurn certum corporum mobiliumj, , nullam certam intervallis quantitatempr<ebeba>t,

C°^taviigitur de intervallorum Jimi/itudine ad

h&c materidlis xqualitas. orbes ,ideflde Proportione.

At fequehatur qtierela eadem,nam etfiproveniebant

quidemintervallainter orbes in<equaJiafdne

;

<vtnec in<equaliter in.equalia^

vult Copernicm ,nec quantitas proportionis

irt

tur. Wranjivi

nec numerus orbium ejfcieba-

adfgurasplanas regulares;fbrmabantur ab ijs intervallapcr ad-

fcriptionem circu/orum:fidadhuc nullo certo numero.^Ventum adquincjfjolidns; hic g? numerus corporum , f£ infervallotum ma^nitudoprope verapatebat>a'deb -utfuper re/iqud difirepantid ad Aflronomi&perfeElioncm appei/arems. Per-

fitfa

ftiit

his zo. annis

Aflronomia ; ^f ecce adhuc interval/a difcrepabant dfigu-

necdum caufiepatebant Eccentricitatum inxquahfifime diflributaru Sci/ica in hac Mundi domo qu<erebam nilnififixa, frm<e eli$ inter Planetas. risflidis

;

^antioris ,fid qu<efiaxis conveniret; ignarus, Architecium iliajinx ifie in articu-

ltapaulatim , his ptxfertim ultimis p annis,vetumadHarmonias,de(ertis circa minimaFiguris folidis : cum quia ili<e

latiffimamejfgiemanimaticorporis. Jfabant a partib 9 FormSy in

auamultimamanus imponeret;figur<ed Materid,qu<e

Mundo efi numerus corporum, g£ fbaciorum rudis amplitudo: tum etiam quia.

iM<e

dabant Eccentricitates, quashct nepolficebantur quidem :

ocuios fie

ii\

ill<efilictt

nafium

re/iqna membra conciliabantJhtu<e;cui ifl<eJo/am externamrudis maf

quantitutem pr<efcripfirant. G^ujreJicut neq^corpora Animantumfitnt fhtfa ,nequejaxi molesfierifol&t,

mrmampuram alicujusfigur<e geometricx ; fed derogatur extern<efigur<£ rotund<e,quantumvis eleganti^manete tamenjufla mo/is magnitudine) ,vt cot-

ttd

pus organa vit<e neccffaria ,fiaxum verb effgiem animantis nancifi pofiit : fic etiam proportio, quam Orbibus p/anetarijs pr<efriptur<e erant fgur<eJo/id<e , "vt infirior, £3? tanthm corpus materiam^JfecTuns, cederedebuit Harmonijs;quantumejits ,erat neceffie adhoc,%rtfiUre ill&juxta, mof ^globoru exornare pofent. Alterum Epiphonematis membrum,de Harmonijs univerfdlibus, cognatam Xvil*. iui! ttv Axiomzpriori probationem habet. 'JSfamiUipotiusdebeturJuprema ve/uti perfecJicnif ta a

um-

paite.

^ iHm

UO dmagis perficit Mundum ; ilii viceversd derogandum,ffi derogand im,a/terutri) ; quodpofleriores hicpartes tenet. &At magts Mundum perfcit ^

univerja/is Harmoniaomnuim

quamflngufares binorum

i$_

binorum vicimtumge-z

HarmonicisLib. V.

245

EJienim Harmonia , qu&damunitntisratio : magis Igitur uniti^^ funt ,fiomnes'Jimulin unam , quamftbini quifyfeorfim in binas confpirent Harmonias. fffuarc in confliciu uirarum^ cedere debuerunt ex binis bino rum P/aPotius netnrum , aiterutrxjtngulares irt (fare pofent univerjales omniuwu. autem Majores, divergentium motuum , cedere debuerunt ; quam Minofes ,convergentium. Si enim divergunt illi , JfyeEfant igitur ad Ptarietas non bigtxpropo-

rumgeminx.

Jit<t,

fed alios vicinos ;

£jf (i convergunt hi',

Vergiintigitur,alterutrimPlanetx.

motus adreliqui motum,permutatim:irt in bigajovis

jjf

Ma'rtis',illtw aphelius

adSaturnum hujus perihelius ad Tellurem vergit ; at illim periheliw vergit ad Martem , hujus aphcliits ad lovem. Horitm igitur Harmonia lovi sf> MarMartequod^mtimagis ejl propria;i!iorttm,divergentium,Harmoniaa Jove ,

quxbinos £3 binos vicinos colligat ; (i alienior remotior abijs Harmonia firmentar&tur : qttam propria e(i vicinsru quajc. inter m Planetarum motus magis vicinos. he tj, Ji , modbejialicnior.

oJ^linus autem

Udebatur unionis ratio

magna feit kxcfermentntio : Lnventn enim tfl ratio qua &JkiHarmonix univerjales omnium Planetsirumj, , ex^ dijtinciorum dttorum generum , gf cum aliqua tenjionis latitudine, quxfaltem Comma ^equaret ; if tzimen vaide

rent

a(?erefentur;Convergentiuw qttidem motuum in quataor bigis , perfbcict ; aphelicrum in una, perihelivrum in duabus,

jinvulares zfta?n binorttm vicinorum

bin.-e

itidtmperfecix.divergentiumverbinquatuor

bigis ,infra

difcrepantiam unitts

qitantum humana vox in cantufigurato (cre pctpetub peccat; in unica verb Iovis Martis, inter Die(in £5? Semitonium. Jpp.iret igitur hancmutuam cefjionem undiqua^ ife valde bonam. Diejios, intervaHi minimi,

Ha&enusigrdeDeiCreatorisoperenobis cfhni§m{]£j&. R». ftatnunc , uc velrandem oculis&manibusdetabulademonft-auonum ablatis, inqueccelumfublatis, Patremluminumdevotus&r fupplexcomprecer: OquihimineNaturaedefide^urimnobispromoves luminisGratix, utper.idtraniTeras nosin lumenGlonae,gra iasago tibi Creacor Domine , quia delectafti me m faftura tua & in opeEn nunc opus conftimmavipronbus manuum tuarum exultavi ,

maglonam operumtuorum hominibus,iftas demonftrariones le£turis> quantum de illius infinieate capere potuerunt anguftiaeMentis feffionismeae, tantisususingenij viribus.quantasmihi dcdifti

;

nifeftavi

meas promptus mihi fuit animus ad emendatifllme philofophandum: fi quid indigaum tuis confilijs prolatum a me, vermiculo, in volutabro pe-scatorum nato & innutrito,quod fcire vehs homines: id quoque in>

fpires, ut

emendem: fi tuorum operum admirabili pulchritudine in te-

meritatem proledus fum , aut figloriam propriamapudhominesamavi,dumprogrediorinoperetua'gloriaedeftinato ; mitis& mifericorscondona : deniqueut demonftrationesiftamia?glcria?& Ani* marumfalucigedant , neceiullatenusobfintjpropitius efficere digneris.

CAPUT

•

ÂŤ;

844

Ds Motibus Planetar um

GAPVT

EpilogusdeSole, coniecturalis. Mufica cadefti ad auditorem

a Mufis ad

Chora-

gura Apollinem ,;a Planetisfex circumeuntibus, Harmoniafque facientibus,adSolem in curriculorum omnium centro , immobilem loco, in feipfum camen fe revolvencem. Cum eiiim 3bfohlriffima fit incer excremos Planecarum

mocus Harmonice non quoad veras celc,

per auram aetheriam." fed quoad angulos, quos formarit termini diurnorum arcuum de orbicisplanetarum connexi cum eentro Soiis; Harmoniaveronondecoreccerminosj ideft , motusperfefingulos fed quacenus incer fe jundi comparacijfiutK objeftum alicujus Menritates

cis:&

cum nullum objedtum fruftra fn ordinatum,non exiftente aiiqua.

re, qua? ijlo moveattir ; anguli vero

ifti

praefupponere videantur actio-

nem aliquam, limilem vifus noftri, auccerte fehfionis iilius, qua libr.I V* Nacurafublunaris percipiebac angulos radiorum ex Planetis , in rerra formacos : equidem qualis in Sole vifus , qui Oculi finc , auc quis inftinÂŁtus alius , percipiendi hosangulos,etiamfineoculis , aeftimandique Harmoniasmocuum,admencis veftibulum quacunque porta ingrediencium , qua;denique Mens iftain Sole ; conjicere nonfacile eft,cerram incolencibus. Utcunque camen fe habeanc ifta, cerce circumpOficio illa fex orbium primarior um circa Solem,colentium illum perpetuiscircumvolucionibus, Scveluciadoranciumfficucfeorfim jovisglo* bumquacuor,Sacurnumduo>Tellurem vero&nosejus ihcolas uniilli ca Luna curfu cingic , colic , fovec , nobifque famulacur ) , confideracioni jam accedens fpeciale hoc negocium Harmonicumi ^eftigium evidenciffimum fummac providenciae rerum Solarium, hanc a me confeffionem excorquenc Non cancum exire in cotum Mudum ex Sole, ucafoco vel oculo Mundi, Lucem; ucex corde , vicam calorem , uc a rege & mocore , mocum omnem : fed vicifllm eciam in Solem colligi ex omni Mundana provincia , jure regio , hos veluci redditus Harmonia? defiderabiliffima? , imo confluences eo fpecies mocuum binorum, mencis alicujus opera in unam Harmoniam colligari , veluc cx rudi argenco atque auro Monecam fignari : denique in Sole

CURlAM,Palacium,&PraecoriumfeuRcgiameffecociusregniNacurae > quofcunque dederic illi Creacor Cancellarios , Palacinos , Praefe* &os; quibufcunque paraveric iftas fedes,feu creacis ftacim ab inicio,feii olim huc cransferendis. Nam & cerreftris ifte ornatus pociflima fui parte, diu admodum fpeculacoribus & ufurpatoribus, quibus camen e Subicigicuranimum racdeftinacus,carebac, fedefque vacua?eranc, cogicacio , quid fibi vofuerirtc anciqui Fythagoraei apud Ariftocelem , quicencrumMundi(quorfumIgnemreferebanc, Solem vero fubintcHigebant) folici func appellare Jovis E X C U B I A S, <J>T-

AIOZ

A AKH N

quid icem vetus incerpres agicaverit animo, cum verficu-

lumcx

HarmonicisLib. V.

245

TABERNACU-

lumexPfalmoficredderec,IN SOLE POSUIT CAp Sed & in Hymnum Procli philofophi Placonici nuper incidi fcripcum m Solem, refercumque venerandis myftenjs, fi ei unum lllud &«£&&, .

L U M.

K/w. eripias

quamvis hoc ipfum in eo quadamcenus excufavenC ve-

b *s

lbris |

, jam cicacus : uc ille fcilicec Solem invocans , illum fubin- mehtio. celhgac.quipofuicinSolecabernaculumfuum. Vixicenim Proclus s u b Cotiquo cenapore , Jefum Nazarenum fervacorem rioftrum, Deum profi- flamino, "* ceri deofque gencilium poecarum concemnere, fcelus erac , quod om- & 5™j? hibus fupplicijs vindicabanc Mortarchs orbis, populufque adeo ipfe; Apoftata. Proclusigicur,quifiliumdeivelexphiIofophiafuaPiaconica, nacurav . li mencis lumine confpexerac eminus, lucem illam veram , quae lllumi- e US libio nac omnem hominem , veniencem iri hunc mundum : qui divinicacerr. jyTjj^^ ih rebus fenfilibiis cum fuperfticiosa plebe nequaquam quaerendam cQ ,u fe jam fciebac : Deurn cameil in Sole , quam in Chrifto homine fenfi h°^ quxrere , videri maluic ; lic fimul & gentes fallerec, Tkanem poecarum r,um in °t verbocdnus hoflorans fimuljfuje pbilofophiaj opCraretur abftracturus n o n c di6igences&Chriftianosafenfihbus , illosaSolevifibili, iftosaMaria. vinorapta fiho.quiaMyfieriumincarnacioriisrefpu._bat, nacuraUMericislumini ^Tdcau nimium eonfifus fimuldenique , quodhabebamCh.iftiamd.v.nifli- nam unimum, &: Placonicae Philofophia.maxime confencaneum , ipfeabijs yf rS ™j°f cranfumpcurii,iriillamfuamphilofophiamadopcareC t Icaquedacnr chrymis dofh-inae Evangelij de Chrifto concra hunc Procli Hymnum adio in ae0 ^-

cus mcerpres

,-_

,•

fi'

rem fuam habeac fibi Tican iile res fuas XevcrdwicL :

dCTcifJLteiov

Cpd-

ag , fj.2cr(rctTilwdi3-i^(^J 'iSlw msfitfs K^ihdiov l&LCpiyyicLxvn

yJhoV

•

r-y

XwoW

P t> us,

m..emau-

^tl £™J

^(p^ictg, qaamvisillosnonhabeacperanciquosPychagoquod ipforum do» ( reos fed eorum loco t* '&%" gmafuccelior Prociusoblivionefa?culorum , Velucd.luviodelbrma- na

^ $«**#

cum non aghovic) habeacSc ymfihlw eX

&&swajtrwi

quicquideftnacurale cedac viciciflim philofophia ProcliChiiftianis dogmacibus , cedac Sol fenfibilis Mariaefilio , filiumillum Dei , :

quem

Proclus alloquicur fub Ticanis

yvgajJvfzXM* ^^ & ^ a 7

fofayoiYig

nomine ^aopxl^, u dvcL,7TVI,

nwfo™ ***»«« iy^mooio

illam poceftacem immenfam u.aj£0Mdj/,& qua; in* nulla J

philofophia legebantur ance promulgacionem EVangelij ,

Verbu

pacris'eft ille

ymTt)$(§>J *

Similia

rufp.-

cionem o-

quamfpeciemeciamCopernicuseilargitur:habeaceciam7rot-

authoris

Da?m onas

chri-

J£ «*# poiuicjo"

f™« ~ p

ip f

bra"

rseca-

reiuna

^"Jtiam» qiuastame

cfenden-

UKW 7T(JLyyiViTCL0 SlSi « (pClLvivl^cbt 'appJlfe muiauerat.

7TclvctclIo

^oi^eim

o^vfjLOLy&og

hr dftviteifif

loilav Jfi"*^

tamen non nulla Orpheo vctuftiflimo, &prope Mofissquali, tanquamhujus

pulo tribuuntur ap. Suidanv

Viie

& Hymnos Orphei

difci-

in quos fcirpfit Produs.

Secua=

nOB Ya b*nu

i»i

De MoTIBUS Pl ANETAR UM

1\6

fecundum illud > Terra erat rudis indigeftaque moles , & cehebrje fuper faciem abyffi;&,DivificDeuslucem a tenebris,aquas ab aquis,mare ab anda; & v Omnia per ipfum Verbum faclafunt. Quis nifi Jefus

cap. x,

An^i-

Nazarenus

nusifte, pars erat

rum

M^&)~*

excl ue fordibus eruat wg ytViUMg

Dei

filius,

CLVdy^yivg

'fyyfcM

paftor anima-

facerecur)

•>

(

A%7\iw

)>7m<i>i.tc'ciQ'a.g

oX@qv

exHymnoZachanaedeprompca oMw^^gtov XoKoypTov >

utfc. animabus verlantibus in tenebris

cLyvov Sc

fomicem

& a pcenis malifque euftodiac, 7%t)UJJM §0QV OLILLCL JYwjff

fciliceciramPatris? &quzealia velut

legimus,

quafi peccati originalis

&umbra

cLsvtpihizlov cltt zvo-ifiing

i&Twmg

enim eft,

Deo in fanclicace & jufticia omnibus diebus noftris. Hsecigicur&fimihafeponamusnos jam, adquedddrinamEccle-

fervire

fi£Cacholicaj,cujusfuncpropria,remiccamus: Cujusverbcarsapotif. radtaeft mentio Hymni, idvideamus. Eundemenim Solem q. fimum / .,-.-/ v .7 i *1 v a , ,„ Y^oSriV cteLLOVMg pvLLCL fihovo-iov i%o%tTtvet , eundemde cu,

Sicetiam orpkeus.

KQtTLLX us ro fapia oriundus Phoebus, p j

tov

sir

ViQV

KiQctP, w t/Vo M<rKZ7\cLJLLi7\7TQV

lLvvcilfi Ltiyci KVLLct@cLev(p7\oio-@>oio

OftW.0- conlbrs eft Pzean

•

yiv$7ws,

& cujus chori

riAnVct? ctefioving 7rcuia.7rrifiov@j ivgict kovllov.

eundeminquamprimoftatimHymniverficulofalutac TLvffogvoiPp

fipJLLQV @>0L<ri7\&CL.

ihKW. *

Quo exordio fimul indicat

quid Pychagoreifub Ignis

vocabulointellexerinc, (ucmirumfic, difcipulumamagiftrisinCentriloco, quodipfiSolidabanc, dirtencire): fimulcotumHymnum a p corpore Solis, ejufq; qualitate luCe,fenfilib , ad intelleftualia tranlrerc;

illi

fuo TIvpJ, VQiPCO (igni fbrce Scoicorii arcifici

)

illi

Placonis fui cre-

corpore Solis aP a co Deo,Menci principi feu AvTOVU), fedem regiam in eum, per quem omnia creacafunc, confundens fignavki Creacuram in unum. Ac nos Chriftiani melius diftinguere docli , Logon illum ^ternum& increatum,qui tr&tftgogTOvQzoV, &quinuIIisfedibuscon-

quamvis fic incra omnia nullis excludirur, quamvis ipfe excra omnia, fcimus carnem ex ucerogloriofiffimaj Virginis Mariae in unicatinetur,

temPerlbnajfufcepifle i &confummaco carnis minifterio, ccelos, in pater cceleftis , exccllenci quodammodo prae caeteris Mundi quibus

& majeftacem habicare 3gnofcicur,fedem regiambccupafle, eciamquefuisfidehbus inilladomopacrisfuimanparcibus,per gloriam fcihcec

fiones efle pollicicum:de caacero fuper illa iede curiofius aliquid inquirere,lenfufque vel rationes haturalesad id indagandum arceflere,quod

oculusnonvidit, aurisnonaudivit,&in corhominisnon afcendicfupervacuumexiftimamus:Mentemverbcreacam, quancaxumque fic illa praeftanciaj, Creacori fiio mericb fubjicimus,- necDeos Incelligencias cum Ariftotele& philofophis gencilibus ,

rum exercicus

innumerabiles

nec Spiricuum Planecario*

cum Magis introducimus , adorandofve aut

HARMONICIS LlBER V,

247

autTheurgicis fuperftitionibus adrnutuum commercium exciendos proponimus hocdiiigenter cavences jam porro qualis Mens qua:que fit pfertim fi qua in corde Mundi viees animae mundi gerens Naturse videLibri rerum arclius eft alligata, ('autfieciamaliquaecreacura:incelligentes,mcideftelNaturae diverfae ab Humana,globum ficanimatum forfitan mhabi- lan<£vC iv :

tan t , inhabitabuntve) naturahbus etiam ratiombus inquirimus hbere. de An^ma Quod fi licet analogia; filo ducence, labyrinthos myftenorum Nacura* Mundi & ii

permeare; non mepce quis, opinor,iic ruenc argumentatus, quod quae eft habitudo fex orbium ad commune illorum , totiufque ade6 mundi

eadem fit

centrunr,

& TftS focLVoicLS ad TOV VOVV

nonnullis e

muniji

ut tiae facukates ab A*

Placone, Proclo & caeteris diftinguuntur &rurfum,qucd quse hablcudo revbliitibhum localium, Planetarumfingulorumcirca iJcqiiaten 1

riftotele

•','•'

•

Sdlem idSoiiseYrationem^gra.Og/O^mfpaciototiusfyftemacisme-ftantwn a 1

cu!.xSolis

dio;

eadem fit etiam habitudo

d'iW0Y)TlX.%

ad TO j/og^opjdifcurfuum

d<cmon-

ftratum fimplicifii- h oc in co-»

ratiocinationismultipliciumsadintelledtiortem merttalem mam.NamuriSolinfeipfum revolutus,peremiflam exfe fpecieha,mo-

vetFlanetasomnes

mentajrijs

ficetiammens,utphilofophidocent,feipfamin- ^a c°j/ telligeil3,mqueie:psaomhia,ratiocinationesciet, fuamquefimplici>l? tueminiliasdiducens'& explicans omniafacit intelligi. Adeoq; coriwj^iv? nexa func incer fe & colligata, motus Planetarum circa iblem in eorum centro , & ducm-fusratiocinationum : utnifiTellUs domiciliumno:

ftrurri;

annuumcirculum/medium interorbescaeteros ,metaretur, loftationerh ex ftatione permutans, nunquam humana ra-

cum exloeo

tiocinatioadveriflimaPlarietarumincervalla^&adcaeteraabijsdepen- Y i<?e0 PExadverio i9 noimm dencia fueritenifura,nunq Aftronomiamconftitutura. q jiecem Solis in centro miindi, pulchro refponfu confequitur intelle- pattem CAP# ftionis fimplicitas; eoqaodha&enus nobisufurpatum femperfuicfo* •

llksHarmoniis mocuummeque plagarum diverficate,neque fpaciorum Mundi amplitudine definiri.Nimirum fi qua mens ex Sole pro-

lares

Harmomas iilasiilli defunt adminicula motus & ftationum diverfarum fedis fuae, ex quibus ne£tat ratiocinationes & difcurfus intervallis planetarum dimetiendis neceflarios. Comp irac igr diurnos cujufq; Planetae motus non ut ij funt infuis orbitis; fed uci per angulos ad centrum Solis allabuntur.Itaque fi cognitionem habet magnitudinis fphaerarum hanc illi opor tet a priori inefle Cme ratiocinationum labore quod quidem quadamcenus & de humanis mentib 9 ,& de natura fublunariverum efle,fupre exPlatone&Proclo patuit» QuaecumitafintJnonequidemmirumfueritjfiquisexhociPythagorae cratere, quem Procl p in ipfo ftarim primo verfuHymni propinatj fpicit

h iuftu liberaliori aflumpco concalefatlus, fi Harmonia chori Planetaru nfuaviflimainfoporem datus,fomniare incipiat: Perglobosqdem rehquos de loco in ocum uccedltes circa Solem, difleminaras ;

efle di-

Lkeat fabulan«Ja Atfa^ntka'

f;urfivas(euRatiocn)aciva^taculcaces;qu3rumpr£eftantiflimautiq-,& &fomniiC abfolutiflimaillacenferidebet, quae efl in illorumgloborum medio, n °sc p™l humana fcmTellure in Sole ver6 Intelledlum fimplicem, 7W0 yotpqv nem ,raii :

ieuJNOVy nabicare, omnis Harmoniae foncem, quicunque

ille

fit.

Nam

taii»

248 CAP. X.

De Motibus Planetarum " •

Nam Fivelde nuda globorum illorum vaftitate fic vifum eft TychoniBrahe,non effe frufrraneam illam in mudo, fedincolisrefercam: quancoverifimiliusnosabillavariecace , q,inhoc TellurisglobocernimuSj operum confiiiorumq; Dei, conje&uram eciam de cjecerisglo* bis capiemus Qui enim fpecies ereavic, qua: aquas incolerenc, fub quibus camen nullus aeri locus, quem accrahanc vivencia: qui in aeris vafticacem , penis fuffulcas immific volucres; qui nivofis fepcencrionis plagis urfos albos,albas viilpes dedic,pabulumq; illis, marina Cece his avium ova quifolicudinibusseftuancisLibya?,Ieones, quidiffufiffimis Syria? ?

,•

planiciebuscamelos;famifqueillis, hifceficiscoieranciam:hiccineom-

nem inglobo Telluris confumpferic arcem ucnonpoffecomnem bo,

nicacem,uc non vellec, ca:ceros eciam gldbds conveniencibus exornare creacuris; quas vel revolucionum prolixicaces brevicacefque , vel Solis propinquicas remocio , vel Ecceritncicacum vanecas, vel corporum nicor auc obfcuricas, vel jfigurarum,quib 9 cjlibec regio fulcicur, proprietacesfuadebanc. Eccen. ucanimancumfa;clainhocTellurisg!obomafculi effigiem in Dodecaedro, fcemina; in Icofiedro, ( quorum illud exteriusTelluris orbem fulcicjioc incerius)gener acionis deniq; effigiem, in iilius conjugij divina proporcione ejufq; inerTabilicace habeanc: quid

czecerosgloboshaberepucabimus afiguriscsceris/' Cuibono Jovem quacuor Lunaj,Sacurnum duas, curfibus cinguncucnoftrumdomicihu hascnoftra Luna unica/ Ad eundem vero modum eciam degloboSolis raciocinabimur, con jedlurasqj ab Harmonijs,c«cerisq;, defumpcas,per fe quidem ponderofiffimas,conjeduris alijs, magis ad corpora vergentibus, magis ad vulgi capcum accommodacis , velut incorporabimus, Ulene globus vacuus, caeceri pleni func, fi omnia aliarefpondehc propi9 us? fi ucTerra nubes,fic Sol acras fuligines expirac? fi uc illa imbrib humeclarur & virefcic, fic Sol maculis illisfuis exuftislucefcic , emicantibus in ipfb corpore, toco igneo, fiarhulis clarioribus. Cui ufui hic apparacus, fi globus vacuus? An non vel f enfus ipfi exclamant , ignea hic habicare corpora > Mencium fimplicium capacia, vereque Solem effe

7TV^g J/os^SfinonRegem

acfalcemRegiam $ Abrumpo confulco & fomnum &fpeculacionem vaftiffirriam; tan-, «um illud exclamanscum Pfalce Rege ,

Magnus Dominus nofter,& magna vircus ejns & Sapientias ejusnon eftnumerus:laudateeum ccelijlaudace eum SoLLuna &PlanecaJ,quo-* cunque fehfu ad percipiendum, quacunq,- hngua ad eloquendum CreTuq; ante atorem veftrumutamini Laudace eum Harmohi» cceleftes , laudate omnesM oe etim vos Harmoniarum dece&arum arbicri:lauda & cu anima meaDominumCreacorem tuum, quamdiufuero: namqj exipfb&peripfum ^ namq; tu' & in ipfo funt omnia ^gyj rd dl<drf& 5 j@i} rd VOlgy, j tam ea quae ig:

Hasdais animate fpeqscuras

noramuspenitus,quameaquasfcim p,minimaiIlorumpars;quiaadhuc p r i us u i C r a eft. Ipfi laus,honor & gloria ih faecula feculorum Amen.

F Abfolutum eft hoc opas die 17. ia eo typi progrediuntur) 9.

1$.

S. I aano MDCXVIU ; rcvifiis Tetb bbei V,fiateriBi Aua anno MDCXIX. ,

17. Maji,

Febtuarij

Lincl Metropoli AaflrU Supr-Afti/anx*

APFEN*

A P P E N D AD

L. V.

HARMONICORVM.

QVamfitprd in Indice capitum Ubri V. profbfiusfum Appendicem

iUam hic

non efi vtexpeiiet /eclor Aitophora caepic Irifticui, currence roca Verum urceus exic magnum Z$ exundantflumen non commodenavigatubreviter dicam Caufas rus eramicum ecce copifs aquarum in tenuem rivum fubfidentib 9 ,vadum paluit , quodpedes transirem, navi infuaflntione relkt*a> ad ufusmagis necefiarios. Hoc .'

ejl quoddko:Ptoiemxi

Harmon: libri III, quos habeo Gr<ecoS manufcriptos , cum

commetarijs Porphyrijphilofophitffundiffimhltidcm Gr<£Cis,abinitiouf<% adlib. Il.cap.VlI.digni mihifemjp vi(i(unt,qui Gr&colatini integriexiret inpublku: in Latinum firmone vertere\qu<t verfiogPorphyriani.^uo min 9 u/terius pergerem,impeufyadmediefatemcodkis ceffit dimetomihifiiit locimutatio,conjuntlzicumplurimis mo/efiijs,ii pnfiqudm Lineittm veni, novumfiudiorum Afironomicorum initium. At verb cum ante annu propofui(?em meos Harmonkorum librosfV. edere; momentum ingens videbamfitum in compara-tione mei operis cum Ptoiemako .p/ertim /ibri mei V,cum ultimis capitib 9 /ib.lll Pto/em<ti,quorum tria cxtrema nihiihabent nifi /emmaia feu ti-

ea%de causa ante annos Xx&piiUos

tufas d Pbo/evz&o. Itz%re(uit.t>itegenio,propcfuioperisfeip(b mutili unamfoiam

partemdecerpere , qu<£ maxime admeam materiamfhciebat,.®)uem adfinem tf yerti iibrum Ptolemxi III, a cap. Hladfinemitf trib 9 ttitimis /emmatitf inanihus fiios textus ex principijs afironom \<tPto/emaic£,S$ ex mente authoru ,quat£ potuitfieridexteri&te concinnatosJulfici: j/ deni^ commentnrios feu Nctas ad~ jeci,quibus

£•?

Porphyrian<e commentationis

iikll. capite Vliabruptx, defici*

{$ invents Pto/emaka cummeis comparantur ,(f difcrimen o(leriditur,interPtolem£ifymbolifmoS tfmeas demonfirationes legitimasi

inhoctertio fitppLtur

undeinfirmitAS ii imgfbciio Symbo/ifmorum iiioru

potijfimahuj $ caufa r

rei,

'um igrjolahcec appendix adjopag-.iibri occupatura'ejfa:ecce coortum inUred beliumBohemicum vicinum,quoif itinerafunt impsditn,^ oper.tr ij p/eri^ nomina profitentur militi&i

fc.fh/jitas brincipiorum AfironomU Pto(emaic<£,patefci: t

ltaq.primitm nospaoyrus, deinde (f oper<e pra/i adminiftr<t defecerunt ; tempus denicL fhftidiofiffimis moris nimio protracium.

Qujbus impedimentis excitetus,

vix tztndrm me rcfb:xi,meum<fc inftitutum corripui Ptolemai

qui iibrum authoris optimi

cammentatoris Porphyrij, mutiiatn partkulxeditione

tzinthm non

txpeneremMnitusâboierem^îuinpotPigr rcliquumopera dimidium inv^rftpne Porphyrian<e expofitionis impendere?mNotai in capita iib. II tf IH.refidua canjcriberem, ii cumPorphyrianis, cum<îjs,quas jamhabeo confcript.tsin l:Lr.

Ilfpene totum,con)ungerem:vt itzt opus tntegreiur,^ quaparte extat Gr<ecolatinum edatur? fguam ad editionem a/iud tempus, aliuscj. locus requiritur , Z$ Typograpbut idoneus, 9 9 Neverb quideorum, qux (uprdjitm pol/kit tpenit d.fideraripsfiet d Le'fore, aut ne ve/ in hac u/tima parte deefiet a/iqutd ad integritnteJeu adfaci/orem in~ teSedum opis mei Harmonici.age capitum libn IIIPto/em<ti titulos exfcribam, ,

cum<L /ocisfitis in opere meo comparaboitf quid in Notis meis infit,fuinmaria ratione confcribanu>.

Primum qu<e Pto/em<tus libris 1. II. gf initio tertij de Harmonka difciplinJ tradidit.iiiaego methodo alia,

Citm

autemPto/em<t 9

haudpaulb diversajibro meo (Ilcomp/exur futr.

Harmoniarum principia ex numeris abftraEiis petat.,cum

"vttcribm:ego contrd, vitn numeris

vt nurnerantibus inefie negans, pro ijs nurneIi

ros

aso

Afpenbi x.

fos mmeretts, id<eft , res ipfas numeris ijt(ubjeclas,figuriisfc» planas reguiaretj

£# circulidivi/iones ijs adminifirandas,principia(kituens Harmoniarum, necef II. defiguris Harmonicis , meo libro lllpramifi. farib Libros I.

JamPtolcmxmlibrotert-iocap.;.o,perisfuipr<£(cripjithuncfttutum\S\jfo

quod gcnus rerum refcrenda fk nacura feu visHarmonica, ejufq-, fcien-' cia \oftendens, qubdfit aliquodpriricipium-caujalcfirmale , mentale ,adeo% di-

uinum, auod rebus concitiet Harmonias. Cap. IV. Quod vis HarmOriicae concenaperarionis omnibus rebusinficqUarumNaturaalcioriperfe£cionisgradu confiftunc : &quod idmaximeappareacin humanis Animis, mq; coeleftibus revolucionibus. Vbipdrtitionem vides,corttm , qa<e tcfabant Ptalemtto dicenda iprimum fi.de Harmonijs'iri Animis exifientibus * ficundum de Harmo nijs in cocli motibus^ Et deprimo quidemfiquuntur Capitzi tria i deficando re/idtta capitia novem. Cap. V. Confinantiasfingutas comparait, cumfhcultxtibus Anima ratiQKalisfingulis,id%concise ,per (uh&ivifiones utri' mq^ rerum comparatarunu. Cap. VI. Genera Harmoniarttm /ingula cumfingulis gener&us (eu

claffibtts

virttitum compavat..

Cap.

Vlh Muinliones Tono-

rum cum mutiitionibusfludiorumpublicorumper temporum diffimiittudincms i mdeodL etiam cum mtttntionibus affeclmm i» Animisfnbitaneorum comparac. In hacparte multa contra Ptolemaum difjtutofymbolifmos fi.iUostpoti ffim.i

oratoparte non e/se necefiarios, nec caufiles,nec naturales,fidpoeticospotiits riosinamiUas,qa<t in animis irifunt fkcultates ifvirtutesfJ>eciaies,rionfortiri nee

Ideam nec numeros conflitutionisfux ex Harmontjs, tanquam ex Ar'chetypo,fid habere caufas atias confe/sas aut evidentecquin rie quidem reftoderc ad^numerus

fid lono) quafitd aui male affetlata operdjfeciem ijs concitiaridivifionis xquemultiplicis; multas abunAantes , aut viciffim defic%us,difjimularhqiixdam qua toinusjitccedunt, crinibus trahvdenii^ qux maxime g? dexterrime invicem fe-

Qubdverb Toni Muficates comparatur affetlib9

$ morib* publicts,idofiedi

tnaximt naturale efie, t$ habere modum caufe:ubioccafione teXt 'Ptoiemaiciadt duxiPhilofphoru variorupiacitade cognationeAnimoru,Numcroru,$3 harmo1

niaru interfi, quib9 d> Epilogurit mei libri Vadjitnxi.Et tpdnominatim attinei 9 effeci tonoru tn movedis animh diverfimode : iUammateriaego compkx*fitrii peculiari cap:XVlibri mei M.Sic qutdattinc* Iuilitiam

CommuiatiVam Di-

fiributivafytf Amicitiam,(f Oeconomica atjL PoIitica:dehac materia,quaten* in ijs vaieant fportiones Muficx,fbci Digre/Jtone infinemeilib.lll. Depigjma-t,

teriam ipfam pmifiijam capitis III lV,tf qux de t Vl. Vllingenerfverai dici potuerunt ; completfus ego fum tribus primis £? rurfitm feptinw' capite mei libri IV: ubiexpiicata Animorum naturaofiendi ; quandoquidem circttl9 geom&tridfetius ji infcriptione*figuraru planaru,comparationepartium ctti& 'proprie proporiionesHarmonicsw.irianimis igiturefieritiali toto,definiat vere

muadam ratiorie inefie circutum ,f>rmaliter $$ abfiratJt nonamateria tiintum» jeiaiam abipsd quodammodo qitahtitatc, materialitcrconfideratd : quarecutit

hanc caufam efie cur Animi moveantirculo inefie in animis $$ HarmoniaSj turHarmonifs.fidhxcomnia ingencrc tantuminuli* confiquentejcaufatione dL fiributionis Animi infhcultatesfj>ec'tales>Sic igr habet res cum Anifnu humanfs, <j$uodmotiones cccleftes attinet,Ptolemx9 librifui III, cap.

VHIcomparat Ztdiacu tumjyfiematefiu fcaUMaficaxapite IXconforimtias if>/as cumA^eBib» Pi*4

ApPENDlX

2L5I

Planetnrum, tiicojlendi ego, quihus in partibus mancaJltdoUrina de JJ])ec7ibus

apud Ptolem<eum,$ quomodo wtegratione numeri,hinc Afpecttiunf', inde Confonantiarum, appareat tnndem naturaiis £•? caufalis harumrerum COnnexio. EJi autem h<tc genuina materia mei iibri IV. pr&Jertim cap. IV. V. VI. Capite X, PtoUrhctus ex motu Planet<t ab ortu in occajumjhcit qUandam melodiam, cap.XI,ex motuvero Planetnrumtnaltum^ profundum ihcitgenera cantm.Cap.XIl, ex motu intatera Xquatoris ^fheit diverfitntem tohorum MuficaliUm.Cap. XIII, ex varijsconfigurationibusplanetnrumcum Sote,Jhcit varia fyflematis Tettachorda. In his lVcapitibus oflendi Ptotem<xum luxuriare exercitio comparandi poetico vei oratorioicurt ea quxcomparat , honjint in c<x.lo realia,excepta partictita cap. XI,quam adtria ultima capita,propter cognatio-

nem

matcriae voto rejecTnm. Ojiehdi etiam, hicpartim incompaYabilia compara-

ti,rcclamante comparatorum natura,partim-qu<eomnibUs membrisrejfondent, accidentariefaitem

nonverb ex aticujm caufk heceffitnte

'coh.trere.

Hatlenus

, quodcummeis Harmonij s cctiejlibus conveniat* <^At verbjequem cap. XlVPtotemki proponit inquirere, juxca quos r.umerosprimos ccmparari pofiinc fbni fyftemaris fcu fcalas Muficae,cum

igitur nihii vei parum

fpha?ns primis in (yftemace Planecario.H/t ego opendhcomparafionem ttoiem<to tfPythagoricis infua ujitnta JJironomia faife impofibilcm ;i'c&t 'tentztve-

rim aliquidprincipijs Ptolemaicis confentnneu commimjci,vt itn tituio nudo fuus context 9Jubderrtur. Qftendi &riam,cum'primitffh<tr<e quahtitntitffuis

confi'ct\,

non minm quamchord<t (uis longitud.inib^sioportuifecomp^ratioheix fecuncliim quantitates -injlitui ;cum tnmcnproportiojbhctrarurna pr portiont chcrdarhm^, confonantium piurimizm abhorreat Emendatn-m verb caufalemjeu Archetypicam cohnexionem fbhararum Mundi cu*n corporibus ^regtiiaribtiz ,tgo-a prmcipio mei iibri V, repetij ex meo Myfterio £, cfmographicoi

Caput XVPtolemxi quxrit quoniodo fumi poflint rnotuil proprfoi u proporciones n numeros;,W deefttexf Qitendi igr eadern qu<e infud « De cxtero conjideradum hoc dedi,<ntibdhic Vtcicmctus ahte-iyooanms matertam mei libiVppriam trailnre inftitueritifip frtxm afhonomia potuiftt :E't?o itacj. in ,

'„

emendatn JjlronoMsriiqirxveros

gf*

Jimpikts ptanetatrum mntusretintt, >elimi~

natis apparentijs,qutt oculorum dfceptionibus conjhxnt,ojlehdi,in cceio fecu.ndum •verafn

& genuinam rationemqwatiintivam;^ wenfurahiie ,ncn verbt nudam '

teviculam<ffmbolifationem,inefte HarwpntCat proportiorfes omnes ,hfarmoniuru 'jgenera,fjfiema feufcaiam

Muficam,^ claves ejtis pieras^fTonorum varietatesi

vocumfiguralis mufict &mulosplanet<ts, contrapuncia deni^ univerfaiia 6pri-

mariorumplanetnrum, variata $f> generib 9 Z$ tonis.'(fap. XVl tf! nltimo Ptolc^ 9

racione familiaritares F.rronu compacum f am iliar icacib 9 fonorii >,principta fc, afiroiogica, de planctis

fn<e poilicefur,indagarefevelle,Qua.

rari poflinc beneficis

&'maleficis ,amicis inter fe vel hoftibus, per Harmonias coslefiesdewon-

Jirarefategit.

Et quia etiam huic capki deejl textusieitm ego "vtpotui, puefertim

ex MacrobiOiConcinnavi.at.Jimuloflendiih hotts, quidhuic ncgocic dejit,q< w&F In meo verb operc nullam fariext can. habeo,ntji'pautulaex Epilogo Libri V.Nam af-roUgi.: .ti-it XVfrefpondentem deJiderumeffeSiibusinterrAi me<everb cxlcftesHarmonix non ffcmantw r.i-

fcifm ajlronomiam antiquamJuccedait,

diosin terra,fe'din Sole- Ate^ hicfinis

Appendicii in veflibulo

e(i

operisPtotemaiciycHm

ctiain

:ummam

UbriV promiffozjinirem : nifi mc rcrf' s$i 'jiit.rs ;>.v}'v-r.

tdfatisfhciendum e/tiam ys,quiame contendernrit ,%? D. Rohriids Fhfdibus/i

Ma'.,i

APPEND

252

Medici OxonienJis , qui librum ab hinc anno de Microcojmo (f Macrocofmo editum Harmonicis contemplationibus implevit , mentionem in meo opere Harmot nico ne omitterem: Jed ojiehderem lecloripaucisiquibus in rebus inter me

& illum

conveniret , qitibus viciffimdiffideremus. Igitur author ille duos tomos eflpoUicitus, quorum unus de Macrocofmo in* De Mufica Mundana CT tpt jam litcemvidtf , alter de Microcojmo adhuc expeffiatur. Prior tomus J : etiam temporibus prodift; nam primum tratiFlud Mc traUatus duos complexits, diJiinBis dici Oxo- Efatum de Mitndo triplici,poJl hundihasFraricojurtenfes autumnales anni i6i7>

aien (is.

atterum de Artibus , quas natitrd Mundanm. Simias appellat, ; Pajchalibus nundinis annifequehtis \6iSvidh In altero igitur tralTatuinter artes coUocavittf

Muficam-3

complexus materiamiibrimeiferti/ quadamtenus i in priore vero

tra3atu,qui feptemhbris abfblvitur >tertium librumdefiinavit Mujtcx Mundan<e , titulum eundem ufurpans quem ego iot i meo operiprafxi: materiam verb ,

Itbri mei

Igiiur ab ejus Mujica artificialifhciamus initium.

lVff) Vattigit.

Tradit iUam iibris VII: in quotumprimo recerifdt atithores , t$ nomehclatuYas

i$ vim in Arivmoii hommuhta. De authoribus fcuhifloria^inVentiohis ego hivel certe pauca,quippe meum intentum efl, rerum naturalium cdufas aperU re : Nomencidturas neceparias complexusfum in definitionibus Weis paffim ,fu. terflutts omifi. De vi Mujices in Animis ago lib. IHcap: XV, tf libro IV pafZ '

hil,

Jims. In fecundo aUthor res ipfas aggfeditur , quas dicit Intervaila e mpoTemporibus longitudine de ego vel ttrjum brevikitejottorum feu nihilad* ra\j> ^R, .

modum dixi ifunt enim, drbitrdrix tervalla

nec indigent inquifitione cakfarunu.

ln-

qu&dam appettatftmplicik^ qu&mihi(unt Concinna minimddifonat ,

Tonusmajor, minor femiionium , diefis alia vult efe ex his compofita t qu<t er go Conjonantias dppeUo. <jlAtquifententiamharicveterurn-i , quodconfonanti<t componantur ex intervaUis minoribus Unqudm natura prioribus , ego refittuvi exprefe capiie iV mei libri III, oftenfo , quodmihora e contrdrio oriantur ex :

confonisfefe majoribus.

Tertio libro explicat (yflema Jeufcalam Muffcam, qust

fr&cipu* pars efl mei libri 111, a cap: IV uf% ad IX. %efiqui quatuor authorit libriprdxin habent , qttam ego ne attirigo quidenu,. Tf^am in IV de menfitrx

taBus , ejuscfc modis varijs, d> valore Noiarumper eos,pr<ecipit , de quo egopauIn Vhabetpr&ceptin tompofitoritLs culalib. 111 cap: XViJ lib: IVcap. III. cantusfigurdti , quam ariem ego nonprofiteor. In VI excurtit etiam advaria inftrumenU Mufica, de quibus ego ne cogiUvi quidem, In Vlldeni^ novum inInhis igitur 4 poflremis iUefic a me differt , irt Ptd Âť Jlrumentum ipfe dperit. tlicus a Theorctico :nam pro eo qubd ipje ihfirumenp tradit,ego rerumfeu confonantiarum caufas inquiroid[pro eo quod ipfe docet componeremelospluriumvo-

cumsego dernojirationes maihematicas concinno plerorume^, qu<e naturaiiter inf fittfin cantu tiim Chorali qitam Figurato, Propterea etiam in ipfius opereplurim<e funtpiifurx ; in meo,diagrammata mathematica literis injlrucTa. ^Uidetu etiam,ipjumpiurimum dele&ari rerum anigmaiibus tenebrojis, citm ego res ipjat cbfcuritnte invoiutas in lucem inieUettus proferre hiidr.

lUudquidemfhmilia-

re eji Chymicis , Hermeticis , PdraceiJiJiiSihocpropriitmhabent Mathcmatici.

dAdeoq. etiam libris II iijcriminis ejl inter nos i

& III, ubi earidem mecum irdclat materiam

hoe

qubdqux ipfe tranfumit aveteribm sego e rerumNa-

tura eruo tf ab ipjis JUndamentis conflituo : ip{e,qu* accepit , ea confitfa (propter â&#x20AC;˘Varian-

, ,;

APPENDIX variantes tradentiumjententias ,) neproccdo,

iit omniafecundum ieges

& incorreiTa

253

ufurp&t

;

ego naturaii ordi-

Naturxfint emenaatu, £jf confufio vitetur

adeofy ne quidem ad veterum placitn applico confiitutd

nifiubi confufio nuliafe-

quiturt Ita , uhi ego veieres exprefie refuto, de caufis concordahiiarum difierentes : ibiilleveteres citra dubitzitionis aleam fequitur ; de cdufis verioribus ne co-

^Uno vcrbo, in difciplina Hafmonica, alter Muficum agit vocalem lnflrumehtalem ; attef philofophum g? Mathematicum. Jam adaltefum duthoris locum tfanseamus, ubi Muficdm ille in Mundum

gitat quidemj,.

Hic verb immane quantum inier nos difcfimen efi* Primum quas

introducit,

ilieharmoniasdocereintendit

ete(untmeriSymboiifmi

dequibusidemdico

quoddefymbolifnis Ptolem&hpoeticos poiius efie aut oratbfios,qudm philojophicos aut mathemaiicos. Hecanima eji totius illius Operis,vt vei ex titutopatet Macrocofmi £-f Microcofmi Njim in iomo dttero demonfifare proculdubio intendet nobile iliudthema.Toii 9 mundi magni^omnium^ efipartium Ideds reperiri in ho-

mine.Hec eadem anima efi & primi tomf; qiiia totum mUndum difiribuit in tres regiones ; ubifccundiim ceiebratiffimum itiudHefmeiis axioma fupef a fim ilia '

anaiogia vtper omniafuccedac , fepe criniJeu analogafacit bus trahenddfunt,qM ittrin^ comparaniur. xJMea de analogijs fententid, ex inf cris. H<e'c verb

digrefifijne in calce

mei

tibri

Illpatet : nimirum eifii analoqia proportionum inj> '

geomexricis fbrmale quidefi, rejpeclu ipfius materix quantitzttivd indcpnitce £5? in deierminatte : tamenrejpzclu pfoportimum harmonicarum materiatis potius affeJ;iopotefl

hdb&kquia cum Hafmonic&proportionet certam quantitzttem de-

finiant, analogid contrdfeipfis in tnfinitum excurrerefunt aptte,

& Jic materia-

lem infinitzitis affeblionemjnpponunt,, ittis &ego iraBo in opere meo: vi IJ^ Terram animalfhcio : at idfit ratione ionge atid. Njc enim contendo analogiam efie meram inter Terram £3? animaiia , nec defumptum efie volo archetjpum animdiisex ipsa Terra ; fed iliudfimpliciter propofitum habio

Et(ivefbfimitia nonulia Macrocofmicis

qubd

libro

, non pofie ex motibus elementorum dut materite affeciionibusfoiitnrifs provenirefedtejkiride Anima

demonftrare , illa opera,qufc JpeEkiniur inglobo Telluris ,

firxfentia: jam i/t inteliiganiur meaargtimentii, opusfiiitallegationefunfhi',

onum animtz variarum in corpore animalis. lam zftpropiut acceddmus,adfiindiimenta,quibus Kobertus de Fiuclibus fuperfiruit fuam muficam MukidananLs

primum ilie totum mtindum, omnestj, tre}eiuspartes, Empyream^ Calefiem E,

lementarem, occupat, : egofoiam cceleftem; neceam tofam,fedfolos planetzirunL*

motus quafijub Zodiaco. ris abftraciis efie

lliefifus veteribus

qui vim Harmoniarum ex nUme-

credebant ,fat habet ,fiquds inter partes concordantiam efit*

demonfirabit j eas numeris quomodocun%comprehendat,, nuliacura, cujusmodi unitnies

iilo

numcro accumulentur : ego nufpiam doceo qudrere Harmonias, uHarmonix, nonpofiunt menfurari eadem quantitntis men-

bi res,inter qudsfunt

fufa ;(ic vt causa quantitzttis eademfit inter iliasproportio, qu<e intef duas chordasejmdem tenfionis , causd longitudinis. Proptered ilie totum Mundum ratione femidlameiri in tres xqualesparies dividit ,fat cognitum habens , eequales illas

minime efie ; fedideb folutn , quid pfima u»itits,efi mundus Etementnrts

,fi-

cunda, Mundus<ztherius,teftia, Empyreusi f$ verb unitates pingi aliter non pofiunt , qudm tqualitate lineafum <tt ego, nifitejletur afironomia de eddem^ unitntum menfurd quantitntivd , ncquaquam ijs njt unitatibus utcr ad nu&e:

}

randas

A* PE N D IX.

254

randtUpropoftionesHarmonicas.

tamen , fitis infiflens principijs

pyrami> dem^educens ex bafi, circulo magno Telluris,ejus verticem adipjitm apicem cce* li

empyreiflatuit ;

qubd Elementdri.

longius abefl dis

$ altitudine ejus in tria ttqualia (perinde ac(i unmtes ve-

rijfime aqualeshabuifiet) divisd, Ccelefli,

llle

numerat quot partes veniant Empyreo , quot

Namjummum Etementziris regionis hocpaElo dublo

djummo Ccelefiis,qudm dfumme Empyrei:^ in divifione Pyrami-

refyeclu quidem axis , tribus regionibus tria veniunt&qualia, rejhectu verb

trianguiiperaxem, Empyreo venit unitas, Ccekfli tres, Empyreo quin% unita: refyetlu deniftfbacij feu cor,pulentue.flgurx, Empyreo unitas, ealeflifeptem, Etemcntari novendecim unitates veniunt. Qujdnunc dicam de aiterd contraridPyramide lucis , cujus bafinjacit ipjamadorandam trinitatetru> , injummo

tes

Empyrei coeii apice , verticem verb inipfa terra collocat ? Has duasPyramidas cum interfe permifcedt , extfo mixiurd proportiones muficas elici<vL , rem tentat •a mti operis propofito dlverfiffimamj>. 'Nfarrt ipfiiucem (fbrmix. gf Anima: fargitricem) c9 Materiam ,duo interfi diverfiffimacomparaL , tf quibus quam-

nequaquam eodemrejpeiiu infitnt ego vcrb prottrminis formanda. proHarmonic* in mundo, non admitto nifiiUa,qit<t ecdem reffieclu quaniitatesfecipiunt ;verbi causdmotum Martistf motum Jovis ,d/urncir. 'Nj-cmi-

titates

portionis

nus daverfitatis inter ncs £5* in hoc confifiit, quld iUe Eiementari regioni quaiUer adfcribit gradus dbfcuritatis £5? tenebrarum cjuia quadibec resait , quatuor quarcashabeCj/Swf nonminus quam tres tertijts , $J> quin^.quintas : pim-

Terrx inefic omnes auatuor , aqu/z tres ( eoq^ iilam cfiejam peHucidnm) , aeriduas , igniunam. ^Kjur.Jum alibi, quamlib&t regiomm , cujuslibztfeu Etemen^ tifiu Cceti in triafubdividit fpacia , injiimmum mediitm {§ knum non ubi^fe-, ,

ife

quente Jenjuumprobabilitatcj.

%)ides , unitaies ejus rurfum efie arbitrarias.

tamenpergit ob id inier Terram aquam fhtuere Diatefiafon , triavefb ejus iniefvalla, tonum, tonum, femiionium, tribus applicareflpacijs ,fimmo, n;edio,imo; ciim illi certas ex caufis fuis quantitates, ifh ne metas quidem d natura, llle

menjuras verb fecunaum hxcgeneraiiffima principia, piane indeterminatas hateant : d) fic de c&terk dyitmihiunituteS naturaies ,binifc. mcius planeia^rumextremi ( feudiurnifiuhorarij ,nihiiinterefl ) expreffid naturdin certas .

Juas quantitates , fiint propofiti , in quibus Harmonias qu&rarrui. Ille in tenehrcrum lucis gradibus , qu&rit proportiones Harmonicas , nuilo refleclu alicujus

'vatim injito animopiBum circutngefkit , elicit,fiuab ilid reprxfentariprobat,Ego totum corpus HarmonicA contemperationis , cum omnibus partibus , in ex~tremis planetarummotibusproprijs, fecundum certas zf ab Aftronomiddemon-

Jiratasmenjuras inefie demonfiravi. Ipfiita^ conceptusfitus Mundi,mihi Mundus ipfejeu in eo reales P/anetarum motus/itnt fubjeBum Harmoni& Mundanx.

Ex his paucis conjhre arbitror ,etfiad tihiloJbphU profundijfimx,

inteiligenda Myfleria confirtd*

quam tradit Kobertus,cognitioneproportionumhar-

monicarum omninb opus efl: tamen iilum , qui veltotum opus meum edidicit,adhucd Myflerijs iHis perpiexiffimis abfttturum haudpaulb iongius, ac ipfe ab acuratiffimd certitudine demonfirationum mathematicarum recefiem/iti Atfy hic jamcfiam Appendkis eflo,

FINIS

Emen-

SMINDANDA

IN 0PE8.E.

INiiioftiat dtm ttbrosprimot ultimb tmprejfot peculiarem haherefcritmfitiorum. Numcrot iguttp hofcccorrige. Lilr.f.41. Etlib. Ul.fO. 6y iri. 15«. xof.to*. 1lz.2z8.22j. 2}6. 2}7. Rtliquatrra*, ,

tafit corrtgc , Lib. I.f. z.liifeaantepentilr.

Interfilta

undique.

Pag. 17,

$l&f s;infcrenturduofiliacttmtyfis &neis.

lin.fenutt',

tuncquje

Fel. 6 3. ultegctur

w margme ad con/e-

&*r, zjsfiltum fo , adccnfett. xo.filitim 8.2 lHrtllt. fel. 2$. lin. 17. jn partcs. Fol. £ibro III.foL 1/. 24 Nottt comgendtfunfexfil. 103 Jtijuenti. Z9.indtagrammafefrioriNeta77iadcyfhram6.extJ>acio tnjttbjeiiam lineam dttrudc , deficlum^erh \

fiffteexfitio8 6. jj Textns ex d&erfirum temporemfchedif cotletlns ,'atnon fatis aftc compofitus , etfi repetitionefrofojtttonum con, iraxit. Qu&fttonet diftinft* funt iftit. I. AftConfonantiiehabeant parces, qua? ipfae quoquc fint conlonantii rel faltem concihna intervails ? Rcfponfioeft h*c , Inconforiantijseffediftin&aifta, primo proportioricm , rerri geometricam deinde ptoportionis qUalitacem confonantiarn ipfam in quantum igitut fitnt ptopotfiones , excedi uriam ab afta minorem a majori , fic unarh alterius

Fol

33.

'iera omnia habet,obfcuritntem tnmen exconfujione diftingiUndorum

partem

efie pofTe

;

quantum vefo quaeiibetillarum qualitatem confonantis accepit

a figuta fu«s

demonilrabili, nonaccidereipfiscoriipofuionerri. Argumentafuhtifta. 1. SpeciesutfpGcies,indivifibilis & unaeft. atcauf<einterfefunt diftindteefingularum 2. Speciem confticuitcaufafua toncordaritiarum igitur lpfic coQcofdantiaccontta fefunt difiincta Tpeciei nec poteft diffolvi uria. ucmajor, in aliasfuie fpeciei, utpartes fed beneinminoresfpeciei altcrius. 3. Si,ucparsmultiplicata,auget quantitatem,fic etiam.pats confbnanfia; eonioria vcl coucinna, augetet Confonahtiam ve! concinnitatem rotius.nonefficeretiir tandem ex accumulatione diflonatias Inconcinna/ Qyafiio II. An confoiiantia: nabeant uham conuTiunen: mcnfutam , puta , Tonum Diefini Coruma &c- Negatiir : neque cnim ut funt ptopottiones: quia fic funt incommenfura6iles id cft commsnfurabili menfura carentes : neque ut fiint fpecies, quia caufis , ex quibus orta: , quibufqua :

de5ni:x,etiam Concrafe;m'utu6 diftin<fta:funt. Habetn. quodamiiiodo naturam figurarumjam ve-< r6 Trigonus & pentagonus in eodem circulo , longicndines habcnt laterum incommenlurabiles. ptior eft menfuratis : cohcinna vero.ur Tonus vel Diefis, &c. pofteriora Etriota,confariantijscommuriesiuncparces iftae TohusMajor, Minor,feaiitonium &c:fed nec omncs omnibus, nec una eamm eft, qua: fola emetiatur confonantias cyphrafn ^juxtz 9 ;foiie Srero Notam aliant tol. j $. tn Dtagrammate priori dete Notamfeft 8 , fitpra s tnfjiacio ipfias 8 ,fequente cyphra 3. In Dtagram:Jicknde cjfhncm 4 ex medta tinea tnpentmamtransfir. fet. jS.lm.uiitm. ctele^ioculam dua;. Fol-.j-i.intertiodtagrammatepro 66»» ttnea, Ibidem tn Dtagr. e regiomedta;fcribe$Ginfenimd. Fot: 4 f. lih: 11, Tonum minorem praduro. F0t.60.de"eVl.exprimeiotranfteifitm. Defil.^y f^ 'itdefol. 10 j, Fot. j-yfcribef). yofGz. Ibtd t 9 a fine lege Pro 3 4. tft (• o. &c. Fol 77. ttn: J. ftfiumfupfU cxfil. 25;, ejttt cfc Prep: XLtll. ^Uadrarum dej.uriit: Fol. Siin margine aliegentitrconjeclatiaig joitbri II eirfropofifio^-^ltbri

Oeaique meufjra quidem

funtcOnfonantijs.

!•

&p*oxime infirius ,fn>pej?tie +j ejtt-idem. Fol. 111. hn: zr. enim opera jam tin: 22. facultatis liatmoniea; ,

*rioven:

& com. lih: dnlefcnutt: illos fc> munitifiimum , Ftl. \z6ltn:i\. infit divin. Foti Fol: 4.1. iin'. an~ Fol.xr+lin-.ult: Sohematibus^quaehinc. ,

Fol. 113.li1f.x1, prscipue. Fol-.xiifm. 32

127. //»;

5J,

quippelpeciesmotuum.

ftptOT*//:planetas) priusinnocefcitlatus: rtdt. Fci-.i^.

c.y, fuhtifta.-piiusufuipavimusPrbp: tn margtne allegetut fol. 1/0 adfrof:

Ihi.

» I > cenrrura. XV Fol. /4.7 tn margine defintjigna jt. ^>Itb.I.Prof.XLW.&lib.ll.Confec.XXlX. Foi.itf.lin. z+iiddeiftanmnonpoieft. Eodeniexfundafnentoetiamfic ratiocinabimur.' Afpectus eft angulus , quem rhecitut aicus femicirculo.minoi : Refiduiim eft majus fcmicifculbjnul^ lum igitur metitur anguluminullurn afpeftum: quareRelTduum non confideraturin conftitutionc afpecfuum. Atconfideratuiiriconftitutionefeaioriishatmqnicse. Nbnigiturcohaerentinter fc » fe&iothordseharmonica 3 quacRefiduoutitut, &feclioZodiaciefficax, qiis hon utitur. Etfic profliga. Foltiii6infcraturefiam{chem*exs.re. Fol. 193 inmbella , Satuinus 107/9. F*l:\tn i» inie abtlLpro SatUrni tege Mercuf A phel: 47 o. *Fol: i$S. in mbella , dete diurni iieratum. ij

— i Perihelius tf. r. dtlttis qftas tnfytnic. ittm , f 8. e 24. ^«^/«4/iey?/wW»D/^r/jOTOT></V«:tf./^«,necrntllt6eftetavioraphelius Martis. Fol: zrtintx-

/udtiterasinitialelfcribchatCypkrat

Maadjiniftrameregi»nedf)gdjuprcmerumdceftjignum $. F»k.2\i.lm:]. tenfionis. Fei.zxy' Fci: i^iPropoJi b1H19.legfjiQO.79fo. /r«/:223,/ir»M}ipoteftate: Fol. I.26 lcge XXIX Prop. XLILtegt S4. jjc. /#/:i3#^/'Prop. XLIV. &>incttftede } XLV. Piep: Ftb 23«. is margine politiS.

Rejlquameadaquae m nonhullis cxemplanbusoccurrcnc, leftorfeipfofacile corriget.

w a.

I ln