سلسلة تمارين في الدوال اللوغاريتمية السنة الثانية بكالوريا مسلك العلوم التجريبية من إنجاز الأستاذ مح

Page 1

www.9alami.com + ‫ ز‬, ‫ا‬

%# ‫* ا ) ر ا‬

%& ' ‫ ( ا‬: ‫ ذ‬#$‫إ ز ا‬

‫ ا وال ا ر‬: ‫ ر‬ ‫ ى ا ر م‬

Chorfi_mouhsine@yahoo.fr : 1 -.‫ ر‬ : ‫ د ا وال ا‬ f ( x ) = ln ( x 2 − x + 2 ) ‫ ــ‬1  x +1  f ( x ) = ln   ‫ ــ‬2  x  f ( x ) = ln x − 1 ‫ ــ‬3 f ( x) =

: 0( ‫ا‬ x ∈ D f ⇔ x2 − x + 2 > 0

ln x ‫ ــ‬4 1 − ln x

‫ ــ‬1

∆ = ( −1) − 4 × 1× 2 = 1 − 8 = −7 < 0

. x 2 − x + 2 > 0 ‫ ا ا‬

2

x ∈ ℝ % x 2 − x + 2 > 0 ‫إذن‬ D f = ℝ : & ‫و‬

x ∈ Df ⇔

x

x +1 >0 x

−1

−∞

‫ ــ‬2 :‫ ا ا ( ' ل ا ول‬ +∞

0

x

__

__

+

x +1

__

+

+

x +1 x

+

__

+

D f = ]−∞, −1[ ∪ ]0, +∞[ : ‫] إذن‬0, +∞[ ‫] و‬−∞, −1[ - ‫ ا‬./ x ∈ Df ⇔ x −1 > 0 ‫ و‬x −1 ≥ 0 x ∈ Df ⇔ x −1 ≠ 0 ‫و‬

x −1 ≥ 0

‫ن‬0/

x +1 > 0 ‫و( أن‬ x ‫ ــ‬3

x − 1 ≥ 0 : ‫و ( أن‬

x ∈ Df ⇔ x ≠ 1 ‫ و‬x ≥ 1 x ∈ Df ⇔ x > 1

D f = ]1, +∞[ : ‫إذن‬

x ∈ D f ⇔ x > 0 ‫ و‬1 − ln x ≠ 0

‫ ــ‬4

⇔ x > 0 ‫ و‬ln x ≠ 1 ⇔ x>0 ‫ و‬x≠e ⇔ x ∈ ]0, e[ ∪ ]e, +∞[

D f = ]0, e[ ∪ ]e, +∞[ : ‫إذن‬ : 2 -.‫ ر‬

: .1 23( A = 3 ( ln 3 + ln 5 ) − ln 27 − 2 ln10 − ln B=

ln

(

) (

5 + 1 + ln

)

5 −1

2 http://www.9alami.com

1 4

: 0( ‍ا‏ 1 4 3 = 3ln 3 + 3ln 5 − ln 3 − 2 ( ln 2 + ln 5 ) + ln 4

A = 3 ( ln 3 + ln 5 ) − ln 27 − 2 ln10 − ln

= 3ln 3 + 3ln 5 − 3ln 3 − 2 ln 2 − 2 ln 5 + ln 22 = 3ln 3 + 3ln 5 − 3ln 3 − 2 ln 2 − 2 ln 5 + 2 ln 2 = ln 5

B=

=

ln  

(

)(

5 +1

2

ln

(

) (

5 + 1 + ln

)

5 −1

2 2 5 − 1  ln  5 − 1  ln [ 5 − 1] ln 4 2 ln 2 =  = = = = ln 2 2 2 2 2

)

2

: 3 -.‍ ع‏ ln ( x + 3) = ln ( 2 x )

: ‍ت Ůˆ ا ا ŘŞ ا‏5‍ ا د‏â„? ./ ‍ ــ‏1

ln x − 5 ln x + 4 = 0

‍ ــ‏2

2 ( ln x ) − ln x − 3 ≤ 0

‍ ــ‏3

2

2

: 0( ‍ا‏

: â„? ./ ln ( x 2 + 3) = ln ( 2 x ) ‍ ــ ا د‏1

ln ( x 2 + 4 ) = ln ( 4 x ) ⇔ x 2 + 4 > 0 ‍ Ůˆâ€Ź4 x > 0 ‍ Ůˆâ€Źx 2 + 4 = 4 x

⇔ x2 + 4 > 0 ‍ Ůˆâ€Źx > 0 ‍ Ůˆâ€Źx2 − 4x + 4 = 0 −2 ‍ Ůˆâ€Ź2 - ‍ ه ا د‏x 2 − 4 x + 4 = 0 ‍ ا د‏.1 ‍ Ůˆâ€Źx 2 + 4 > 0 ‍ن‏8 ⇔ x > 0 ‍ ( Ůˆâ€Źx = 2 ‍ ŘŁŮˆâ€Źx = −2 ) : ' ‍ ŘŻâ€Źâˆ’2 ‍ن‏8 ⇔ x = 2 S = {2} ‍ن‏0/ & â€ŤŮˆâ€Ź

: â„? ./ ln x − 5 ln x + 4 = 0 ‍ ــ ا د‏2 t − 5t + 4 = 0 : %> ‍? ا‏1 @AB ‍ Ůˆ & ا د‏t = ln x ;<= . t 2 − 5t + 4 = 0 ‍= ا د‏ . 4 ‍ Ůˆâ€Ź1 : ‍ ه‏- 1 AC ‍ = ∆ Ůˆ & ا د‏25 − 16 = 9 ln x2 = 4 ‍ Ůˆâ€Źln x1 = 1 : ‍ ؼذن‏t2 = 4 ‍ Ůˆâ€Źt1 = 1 : . ( â€ŤŮˆâ€Ź 2

S = {e, e16 }

x2 = e16 ‍ Ůˆâ€Źx1 = e : . ( ‍ Ůˆâ€Źln x2 = 16 ‍ Ůˆâ€Źln x1 = 1 : & â€ŤŮˆâ€Ź

: â„? ./ 2 ( ln x ) − ln x − 3 ≤ 0 ‍ ــ ا ا‏3 2

2t 2 − t − 3 ≤ 0 : %> ‍? ا‏1 @AB ‍ Ůˆ & ا ا‏t = ln x ;<= . 2t 2 − t − 3 = 0 : ‍= ا د‏ 3 ‍ Ůˆâ€Źâˆ’1 : ‍ ه‏- 1 AC ‍ = ∆ Ůˆ & ا د‏1 + 24 = 25 2 3 −1 ≤ t ≤ ‍ ؼذا آ ن‏2t 2 − t − 3 ≤ 0 & â€ŤŮˆâ€Ź 2 3 3 2 e−1 ≤ x ≤ e 2 . −1 ≤ ln x ≤ ‍ ؼذا آ ن‏2 ( ln x ) − ln x − 3 ≤ 0 . ( â€ŤŮˆâ€Ź 2 3   S =  e −1 , e 2   

http://www.9alami.com

: 4 -.‫ ر‬

lim+

x →0

: ‫ ت ا‬E ‫ د ا‬ 1 lim+ ‫ ــ‬1 x →1 ln x

1 lim ‫ ــ‬2 x →+∞ ln x

ln x lim+ ‫ ــ‬3 x →0 x

lim x (1 − ln x ) ‫ ــ‬5

x − ln x ‫ ــ‬6 x

lim x − x ln x ‫ ــ‬4

x →+∞

x → 0+

 x +1  lim ln   ‫ ــ‬8  x−2 ln x − 1 lim+ ‫ ــ‬11 x →0 x 2 lim+ x ( ln x ) ‫ ــ‬14

1 − ln x ‫ ــ‬9 x 1 lim+ ‫ ــ‬12 x → 0 x ln x 2 lim+ ( ln x ) − ln x ‫ ــ‬15 lim

x → 0+

 x +1  lim− ln   ‫ ــ‬7 x →−1  x−2 ln x − 1 lim ‫ ــ‬10 x →+∞ x lim+ sin x ln x ‫ ــ‬13

x →−∞

x →0

x →0

x →0 3

lim x − 2 x − ln x ‫ ــ‬17

lim+ x ln x ‫ ــ‬18 3

x →+∞

x →0

lim

ln ( x 2 + 1) x3 + 1

x →+∞

: 0( ‫ا‬

‫ ــ‬16

1 = +∞ x →1 x →1 ln x 1 . lim ln x = +∞ ‫ن‬8 lim =0 x →+∞ x →+∞ ln x 1 ln x 1 . lim+ = +∞ ‫ و‬lim+ ln x = −∞ ‫ن‬8 lim+ = lim+ ln x × = −∞ x →0 x →0 x x →0 x →0 x x . lim 1 − ln x = −∞ ‫ و‬lim x = +∞ ‫ن‬8 lim x − x ln x = lim x (1 − ln x ) = −∞

. lim+ ln x = 0+ ‫ن‬8 lim+

x →+∞

x →+∞

x →+∞

x →+∞

‫ ــ‬1

‫ ــ‬2 ‫ ــ‬3 ‫ ــ‬4

. lim+ x = 0 ‫ و‬lim+ x ln x = 0 ‫ن‬8 lim+ x (1 − ln x ) = lim+ x − x ln x = 0 ‫ ــ‬5 x →0

x →0

x →0

x →0

1 x − ln x ln x 1 lim+ ln x = −∞ ‫ و‬lim+ = +∞ ‫ن‬8 lim+ = lim+ 1 − = 1 − lim+ ln x × = +∞ ‫ ــ‬6 x →0 x →0 x x →0 x →0 x→0 x x x x +1  x +1  . lim+ ln x = −∞ ‫ و‬lim− = 0 + ‫ن‬8 lim− ln   = −∞ ‫ ــ‬7 x →0 x →−1 x − 2 x →−1  x−2 x +1  x +1  . ln1 = 0 ‫ و‬lim = 1 ‫ن‬8 lim ln   = 0 ‫ ــ‬8 x →−∞ x − 2 x →−∞  x−2 1 1 . lim+ − ln x = +∞ ‫ و‬lim+ = +∞ ‫ن‬8 lim+ − ln x = +∞ ‫ ــ‬9 x →0 x →0 x x →0 x 1 ln x ln x − 1 ln x 1 . lim = 0 ‫ و‬lim = 0 ‫ن‬8 lim = lim − = 0 ‫ ــ‬10 x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x x x 1 ln x − 1 1 . lim+ ( ln x − 1) = −∞ ‫ و‬lim+ = +∞ ‫ن‬8 lim+ = lim+ × ( ln x − 1) = −∞ ‫ ــ‬11 x →0 x →0 x x →0 x →0 x x 1 - ‫? ا‬1 0 ‫ ( ار‬x ln x ≤ 0 ‫ و‬lim+ x ln x = 0 ‫ن‬8 lim+ = −∞ ‫ ــ‬12 x →0 x → 0 x ln x sin x sin x . lim+ x ln x = 0 ‫ و‬lim+ = 1 ‫ن‬8 lim+ sin x ln x = lim+ × x ln x = 1× 0 = 0 ‫ ــ‬13 x →0 x →0 x →0 x →0 x x

lim+ x ( ln x ) = lim+ x 2

x →0

x→0

2

( ( )) ln

x

2

2

= lim+ x x →0

2

( ( x )) 2 ln

2

= lim+ 4 x x →0

2

( ( x )) ln

2

= lim+ 4 x →0

ln ( x + 1) 2

x →+∞

( x ))

2

= 0 ‫ ــ‬14

. lim+ − ln x = +∞ ‫ و‬lim+ ( ln x ) = +∞ ‫ن‬8 lim+ ( ln x ) − ln x = +∞ ‫ ــ‬15 2

. lim

(

x ln

x3 + 1

x →0

2

x →0

x →0

ln ( x + 1) x + 1 ln ( x + 1) x2 + 1 × = lim × lim = 0 × 0 = 0 ‫ ــ‬16 x →+∞ x →+∞ x 3 + 1 x2 + 1 x3 + 1 x →+∞ x 2 + 1 2

= lim

2

http://www.9alami.com

2

. lim x 2 − 2 − x →+∞

ln x ln x   = +∞ ‫ن‬8 lim x3 − 2 x − ln x = lim x  x 2 − 2 −  = +∞ ‫ ــ‬17 x →+∞ x →+∞ x x  

1 1 . lim+ x ln x = 0 ‫ن‬8 lim+ x ln 3 x = lim+ x ln x 3 = lim+ x ln x = 0 ‫ ــ‬18 x →0 x →0 x →0 x →0 3 : 4 -.‫ ر‬ : ‫ت ا‬5 ‫ ا‬./ f ‫ ا‬1 C > ‫ د ا ا ا‬ ln ( x + 1) f ( x ) = ln ( x − 1) − ln x ‫ ــ‬1 f ( x) = ‫ ــ‬2 ln x  x −1  f ( x ) = ln 1 − 2 x ‫ ــ‬4 f ( x ) = ln   ‫ ــ‬5 x   : 0( ‫ا‬ ' ( f + g ) = f ' + g ' : . ( ‫ و‬- ‫ ع دا‬- ‫ رة‬A f ‫ ــ ا ا‬1

f ( x ) = 2 ln x − 1 ‫ ــ‬3

(

f ( x ) = 3 ln x ‫ ــ‬6

f ' ( x ) = ( ln ( x − 1) ) − ( ln x ) = '

'

)

1 1 1 − = x − 1 x x ( x − 1) '

 f  f 'g − g' f : . ( ‫ و‬- ‫ رج دا‬O - ‫ رة‬A f ‫ ــ ا ا‬2   = g2 g  ln ( x + 1)  ( ln ( x + 1) ) × ln x − ( ln x ) × ln ( x + 1) f '( x) =   = 2 ln x ( ln x )   1 1 ln x ln ( x + 1) × ln x − × ln ( x + 1) − x + 1 x x + 1 x = = 2 2 ln x ln x ( ) ( ) '

'

=

x ln x − ( x + 1) ln ( x + 1) x ( x + 1)

( ln x )

2

=

'

x ln x − ( x + 1) ln ( x + 1) x ( x + 1)( ln x )

( f ) = 2 f 'f '

2

: . ( ‫ و‬- ‫ ا‬:‫ آ‬- ‫ رة‬A f ‫ ــ ا ا‬3

1 2 1 x f '( x) = = = = 2 2 ln x − 1 2 2ln x − 1 2 x 2 ln x − 1 x 2 ln x − 1 ' f' ( ln ( f ) ) = f : . ( ‫ و‬- ‫ ا‬:‫ آ‬- ‫ رة‬A f ‫ ــ ا ا‬4

( 2 ln x − 1)

( (

f ' ( x ) = ln

1− 2x

)) = '

(

2×

'

(1 − 2 x )

'

−2 −1 −1 = 2 1 − 2x = 2 1− 2x = 1 − 2x = 1 − 2x 1 − 2x 1− 2x 1 − 2x 1 − 2x ' f' ( ln ( f ) ) = f : . ( ‫ و‬- ‫ ا‬:‫ آ‬- ‫ رة‬A f ‫ ــ ا ا‬5

1 − 2x

)

'

 x −1  x − ( x − 1) 1   2 2 x 1 1 x  = x = = x = 2× = x −1 x −1 x − 1 x x − 1 x ( x − 1) x x x '

  x −1   f ' ( x ) =  ln     x 

'

(( f ) ) = nf ' ( f ) n '

n −1

: . ( ‫ و‬- ‫ ا‬:‫ آ‬- ‫ رة‬A f ‫ ــ ا ا‬6 −2

−2 1 1 ( ln x ) 3 = 1 1 1 −1 '   1 f ' ( x ) = 3 ln x =  ( ln x ) 3  = × ( ln x ) × ( ln x ) 3 = × × ( ln x ) 3 = 2 3 x 3x   3 3 x 3 ( ln x )

(

)

'

'

http://www.9alami.com

( โ ซ ุฏุงโ ฌ#โ ซ ) ุฏุฑุงโ ฌ2 -.โ ซ ุฑโ ฌ : โ ซู ู โ ฌ7โ ซุก ุงโ ฌ+ โ ซุงโ ฌ . g ( x ) = x + 1 + ln(โ x) : .1 ( ]โ โ , 0[ ?1 / โ ซ ุงโ ฌg โ ซ ุง ุงโ ฌA =

. g โ ซ ุงุช ุง ุงโ ฌP โ ซ; ู ู โ ฌQ RS ]โ โ , 0[ โ ซ ุงุช ุง ู โ ฌg โ ซ ุชโ ฌE= โ ซ ู โ ฌg โ ซ ุงโ ฌ1 C > โ ซ ุง ุง ุงโ ฌ:3 โ ซ ู ู ุฃโ ฌ1

. x โ ]โ โ , 0[ % g ( x ) โ ค 0 โ ซ ุฃู โ ฌT 'โ ซ ู ู ุงโ ฌ2 : % โ ซุก ุงโ ฌ+ โ ซุงโ ฌ

๏ฃฑ x f ( x) = 3 xโ ฅ0 ๏ฃด๏ฃด x + 1 : .1 ( โ ?1 / โ ซ ุงโ ฌf โ ซ ุง ุงโ ฌ-% ๏ฃฒ ๏ฃด 2 ๏ฃด๏ฃณ f ( x ) = x + 2 x ln(โ x) x < 0 . lim f ( x ) โ ซ ู โ ฌlim f ( x ) :3 โ ซ ู ู ุฃ ู ู ุฃโ ฌ1 x โ โ โ

x โ +โ

. 0 ./ 1B f โ ซ ุฃู ุง ุงโ ฌ- ( โ ซุจ ู ู โ ฌ . 0 โ ซ ุฑโ ฌ3 โ ซ ู โ ฌ- ?1 f โ ซ ู ุง ุงโ ฌC Wโ ซ ุงโ ฌ1( X โ ซุฌ ู ู ุฃ ุฏุฑุณโ ฌ . f โ ซ ุงุช ุง ุงโ ฌP โ ซ ู ู โ ฌ2 โ ซ ุงโ ฌRS x โ โ * % f โ ซ ุงโ ฌ1 C > โ ซ ุง ุง ุงโ ฌ:3 โ ซ ู ู ุฃโ ฌ2 . ( O, i , j ) R[ R1 ./ f โ ซ ุงโ ฌ1 Z โ ซ ( ุง ? ุงโ ฌCf ) -% โ ซ ู ู โ ฌ3 .: ' E B/โ ซ] ุง= ] ู ุฃโ ฌC= AC ( Cf ) โ ซ ุฃู โ ฌ- ( โ ซุฃ ู ู โ ฌ . ^ E=_ โ ซุจ ู ู ุงุฏุฑุณ ุง ` ู ุน ุงโ ฌ . ( Cf ) a>=โ ซุฌ ู ู ุฃโ ฌ

: 0( โ ซุงโ ฌ : โ ซู ู โ ฌ7โ ซุก ุงโ ฌ+ โ ซุงโ ฌ . ]โ โ , 0[ โ ซ ุง ู โ ฌ./ g ( x ) = x + 1 + ln(โ x) : %> โ ซ? ุงโ ฌ1 / g โ ซ ู ู ุง ุงโ ฌ1

. x โ ]โ โ , 0[ % g ' ( x ) = ( x + 1 + ln(โ x) ) = 1 + ( ln(โ x) ) = 1 + '

'

โ 1 1 x +1 = 1+ = โ x x x : g ' ( x ) โ ซ ุฑุฉโ ฌWโ ซุฅโ ฌ

*** ***

g ' ( x ) = 0 โ x + 1 = 0 โ x = โ 1

. limโ g ( x ) โ ซ ู โ ฌlim g ( x ) : :3 = *** x โ โ โ

x โ 0

1 ln(t ) ๏ฃถ ๏ฃซ lim g ( x ) = lim x + 1 + ln(โ x) = lim โ t + 1 + ln(t ) = lim t ๏ฃฌ โ 1 + + ๏ฃท = โ โ x โ โ โ x โ โ โ t โ +โ t โ +โ t t ๏ฃธ ๏ฃญ limโ g ( x ) = limโ x + 1 + ln(โ x) = lim+ โ t + 1 + ln(t ) = โ โ x โ 0

x โ 0

t โ 0

: g โ ซ ุงุช ุง ุงโ ฌP โ ซ ู ู โ ฌ

x

โ โ

โ 1

+

g' g

***

0 _

0 โ โ

โ โ

( โ โ , โ 1] โ ซ? ุง ู โ ฌ1 โ ซุงโ ฌc g โ ซ ู ู ** ( ุฃู ุง ุงโ ฌ2 x โ ฅ โ 1 โ ซ=& ุฅุฐุง ุข ู โ ฌ0/ [ โ 1, 0[ โ ซ? ุง ู โ ฌ1 BX g โ ซ( ุฃู ุง ุงโ ฌ . x โ ]โ โ , 0[ % g ( x ) โ ค 0 . ( โ ซู โ ฌ

. g ( x ) โ ค 0 & โ ซ ู โ ฌg ( x ) โ ค g ( โ 1) โ ซู โ ฌ0/ x โ ค โ 1 โ ซ=& ุฅุฐุง ุข ู โ ฌ0/ . g ( x ) โ ค 0 & โ ซ ู โ ฌg ( x ) โ ค g ( โ 1) โ ซู โ ฌ0/

http://www.9alami.com

Chorfi_mouhsine@yahoo.fr

: % ‍إا‏+ ‍ا‏  x f ( x) = 3 x≼0  x +1 . â„? ./  : %> ‍? ا‏1 / f ‍ ــ ا ا‏1  2  f ( x ) = x + 2 x ln(− x) x < 0 . lim f ( x ) ‍ Ůˆâ€Źlim f ( x ) :3 ‍أ ــ‏ x →−∞

x →+∞

x = 1 ** x →+∞ x →+∞ x +1 ln(t )   lim f ( x ) = lim x 2 + 2 x ln(− x) = lim t 2 − 2t ln(t ) = lim t 2 1 − 2  = +∞ ** x →−∞ x →−∞ t →+∞ t →+∞ t   . 0 ./ 1B f ‍ أن ا ا‏- A ‍ب ــ‏ lim f ( x ) = lim

3

lim f ( x ) = lim− x 2 + 2 x ln(− x) = lim+ t 2 − 2t ln(t ) = 0 = f ( 0 )

x → 0−

x →0

t →0

**

x = 0 = f ( 0) ** x →0 x →0 x +1 . 0 ./ 1B f ‍ ؼذن‏lim f ( x ) = f ( 0 ) & â€ŤŮˆâ€Ź lim+ f ( x ) = lim+

3

x →0

. 0 ‍ ع‏3 ‍ Ůˆâ€Ź- ?1 f ‍ Ů‚ ا ا‏C W‍ ا‏1( X ‍؏ ــ عس‏

f ( x ) − f ( 0) lim+ = lim+ x →0 x →0 x−0

3

x x + 1 = lim x → 0+ x

3

x x + 1 = lim 3 3 x → 0+ x

3

x x + 1 = lim x → 0+ x3

3

x 1 × 3 = lim+ x →0 x +1 x

. O ]C ‍ ا‏./ x = 0 & ‍? د‏1 8‍ ا‏d 0( ‍ Řł دي‏B= AC ( Cf ) ‍ن‏0/ lim+ f ( x ) − f ( 0)

3

1 = +∞ ** x ( x + 1) 2

f ( x) − f (0) x−0

x →0

= +∞ ‍( ان‏

x 2 + 2 x ln(− x) = lim− x + 2 ln(− x) = −∞ ** x →0 x →0 x →0 x−0 x f ( x ) − f ( 0) . O ]C ‍ ا‏./ x = 0 & ‍? د‏1 8‍ ا‏d 0( ‍ Řł دي‏B= AC ( Cf ) ‍ن‏0/ lim− = −∞ ‍( ان‏ x →0 x−0 : x ∈ â„?* -% ‍ ــ‏2 ' 1  f ' ( x ) = ( x 2 + 2 x ln(− x) ) = 2 x + 2  ln(− x) + x Ă—  = 2 x + 2 + 2 ln(− x) : ‍ن‏0/ x < 0 ‍** ؼذا آ ن‏ x  & â€ŤŮˆâ€Ź f ' ( x ) = 2 x + 2 + 2 ln(− x) = 2 ( x + 1 + ln(− x) ) = 2 g ( x ) lim−

= lim−

. x ∈ ]−∞, 0[ % f ' ( x ) ≤ 0 ‍ن‏0/ 2 ‍ال‏f3 ‍ ا‏:3 x ∈ ]−∞, 0[ % g ( x ) ≤ 0 â€ŤŮˆ ( أن‏ '

−2 1 1 '     x  3  1  x  3 −1  x + 1 − x  1  x  3  1  x  f ' ( x ) =  3  = Ă—  : ‍ن‏0/ x > 0 ‍** ؼذا آ ن‏  =     = Ă—  Ă—   Ă—  2 2    x + x + x + x + 1 1 3 1 3 1       x + x + 1 1 ( ) ( )        

. x ∈ ]0, +∞[ % f ' ( x ) ≼ 0 ‍ن‏0/ & â€ŤŮˆâ€Ź ‍ ات ا ا‏P ‍** ŮˆŮ„â€Ź

x

−∞

_

f' f

0

+∞ +

+∞

1 0 http://www.9alami.com

Chorfi_mouhsine@yahoo.fr

. : ' E B/‍] ا= ] ٠أ‏C= AC ( Cf ) ‍ أن‏- A ‍ ــ ŘŁ ــ‏3 . x ∈ ]−∞, 0[ -%

1 2 2x + 2 = 2+ = x x x 2x + 2 −2 f ( −1) = 0 ‍ Ůˆâ€Źf '' ( x ) = 0 ⇔ = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 ⇔ x = = −1 x 2 . A ( −1, 0 ) ‍] ا= ] ٠‏C= AC ( Cf ) ‍ؼذن‏ : ^ E=_ ‍ب ــ عس ا ` ŮˆŘš ا‏ . y = 1 & ‍ د‏+∞ ‍ ( اع‏C/‍ Řą( أ‏C AC ( Cf ) ‍ ؼذن‏lim f ( x ) = 1 : ***

f '' ( x ) = ( x 2 + 2 x ln ( − x ) ) = ( 2 x + 2 + 2 ln ( − x ) ) = 2 + 2 Ă— ''

'

lim

f ( x)

x →−∞

x

x →+∞

:3 . lim f ( x ) = −∞ : *** x →−∞

f ( x) x + 2 x ln ( − x )  ln ( t )  = lim = lim x + 2 ln ( − x ) = lim − t + 2 ln ( t ) = lim t  −1 + 2  = −∞ x →−∞ x →−∞ t →+∞ t →+∞ x x t   2

lim

x →−∞

. −∞ ‍ ( اع‏: ‍عا‏8‍ Řą ا‏d ( 1W / AC ( Cf ) & â€ŤŮˆâ€Ź

. ( Cf ) ‍؏ ــ ؼ=> إ‏

http://www.9alami.com

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.