سلسلة تمارين في المتتاليات العددية السنة الثانية بكالوريا مسلك العلوم التجريبية من إنجاز الأستاذ حمي

Page 1

www.9alami.com

‫( ا‬un ) n≥1 ‫ ا‬

vn =

2u n − 1 ‫ و‬u n +1 = 2u n + 3 2u n + 6 2u n + 7

‫و‬

1

u0 = 0

1 ‫( أن‬a (1 2 . (∀n ∈ IN ):u n +1 − 1 ≤ 1 (u n − 1 ) ‫( أن‬a (2 . (∀n ∈ IN ); − 3 < u n <

(u n ) ‫(ادرس ر‬b

2

8

2

. lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬b .‫ول‬,‫ه ا‬.'‫ و‬/$ $‫د أ‬.' $.#‫( ه‬v n ) ‫( أن ا‬a (3 . limv n ‫ و‬lim u n " # $‫ Ùˆا‬n 2. (u n ) 01 (v n ) %&'‫( ا‬b . lim S n ‫ و‬S n = v0 + v1 + ............. + v n %&'‫( أ‬c Pn = v 0 .v1 ...............v n %&'‫( أ‬d vn =

1 un − 2

‫و‬

u 0 = 3  u = 5u n − 4  n +1 un + 1

: ‫( ا‬un ) n∈IN ‫ ا‬

2

. (∀n ∈ IN ); un > 2 ‫( أن‬1 (u n ) ‫( ادرس ر ا‬2 . lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬3 .‫ول‬,‫ه ا‬.'‫ و‬/$ $‫د أ‬.' &' (v n ) ‫( أن ا‬a (4 . ‫ ى‬9‫ ( أ‬: (u n ) ‫ ا‬/ %&'‫( أ‬b

6x : ‫ ا‬f ‫ا‬. ‫ ا‬ 3 x +4 .f ‫ا‬. ‫د )? >= < ا‬.'(1 .A. .‫ ﺡ‬%? ‫ ﺡ> )? ل‬0, 3 2 ) @ ( f ‫( أن‬2 u 0 = 1 : ‫( ا ـ‬u n ) n∈IN ‫( ا‬3  u n +1 = f (u n )

f ( x) =

3

[

]

. (∀n ∈ IN ) : 1 ≤ u n < 3 2 : ‫( أن‬a . lim un %&'‫ )( ر Ùˆا‬/ ‫ " أ‬# $‫ Ùˆا‬. ‫ا‬D (un ) ‫( أن‬b u n +1 = u n2 − 3u n + 4

‫و‬

u0 =

3 2

: ‫( ا‬un ) n∈IN ‫ ا‬

4

f ( x) = x 2 − 3 x + 4

: ‫ ا‬f ‫ا‬. ‫ ا‬ . f ([1,2]) ⊂ [1,2] ‫( أن‬a . (∀x ∈ IR) : f ( x) ≥ x ‫( أن‬b . ‫ﺹ‬F # (u n ) ‫∀( وأن‬n ∈ IN ) : 1 ≤ u n ≤ 2 ‫ " أن‬# $‫( ا‬c . lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬d  u0 = 4  2u n2 − 3  u =  n +1 u + 2  n

: ‫( ا‬u n ) n∈IN ‫ ا‬ .

5

(∀n ∈ IN ) : u n > 3 : ‫( أن‬1

. (u n ) ‫( أدرس ر ا‬2 3 . (∀n ∈ IN ) : u n +1 − 3 > ( u n − 3) : ‫( أن‬3 2

3 (∀n ∈ IN ) : u n ≥ ( ) n + 3 ‫ " أن‬# $‫( ا‬4 2 ‫( ) ( ر Ø&#x;‬u n ) ‫( Ù‡@ ا‬5 u n +1 =

3

1 3 un + 2 3

u 0 = 1 : ‫( ا‬u n ) n∈IN ‫ ا‬

‫و‬

6

(u n ) ‫( ادرس ر‬2 (∀n ∈ IN ) : u n ≥ 1 ‫ أن‬: (1 . lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬3

vn = u 3 − 3 ‫( ا‬v ) n n n∈IN ‫( ا‬4 $.#‫( ه‬v n ) ‫( أن ا‬a n 2. (u n ) 01 (v n ) %&'‫( ا‬b u n +1 =

(3n + 3)u n − 8n − 12 ‫و‬ n

u1 = 1 : ‫( ا‬u n ) n∈IN * ‫ ا‬

7

(u n ) ‫( ادرس ر‬2 . (∀n ∈ IN * − {1}) : u n ≤ 0 ‫( أن‬1

.

u vn = 4 − n n

‫( ا‬v n ) n∈IN ‫( ا‬3

.‫ول‬,‫ه ا‬.'‫ و‬/$ $‫د أ‬.' $.#‫( ه‬v n ) ‫( أن ا‬a . lim v n ‫ و‬lim u n " # $‫ Ùˆا‬n 2. (u n ) 01 (v n ) %&'‫( ا‬b u n +1 = 1 − 3 5 − 3u n

u n +1 =

u n3 + 2 u n2 + 1

‫و‬

u0 = −

‫و‬

u0 = 1

1 : ‫( ا‬un ) n∈IN ‫ ا‬ 8 3 (u n ) ‫( ادرس ر‬2 . (∀n ∈ IN ) : − 1 < u n < 0 ‫( أن‬1 3 2 . (∀n ∈ IN ) : 0 < u n + 1 < ( ) n . : ‫ " أن‬# $‫( ا‬a (2 4 3 . lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬b : ‫( ا‬un ) n∈IN ‫ ا‬

9

. (u n ) ‫( ادرس ر‬2 . (∀n ∈ IN );0 <u n < 2 ‫( أن‬1 . lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬3 . (∀n ∈ IN ): 2 − u n +1 ≤ 4 (2 − u n ) ‫( أن‬a (4 5

lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ Ù‰ أن‬9‫ ( أ‬: " # $‫( ا‬b S n = v0 + v1 + ............. + v n (5 4 (∀n ∈ IN ): S n ≥ 2n − 3 + 5( ) n +1 : ‫( أن‬a 5

lim S n " # $‫( Ùˆا‬b u n +1 = 2 +

1 2 − 2 un un

‫و‬

u0 = 3

: ‫( ا‬un ) n∈IN ‫ ا‬

10

(u n ) ‫( ادرس ر ا‬2 . (∀n ∈ IN ) ; un > 2 ‫( أن‬1

. lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬3 . (∀n ∈ IN ): un +1 − 2 ≤ 1 (un − 2) ‫( أن‬4 4

. lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫ Ù‰ أن‬9‫ ( أ‬: " # $‫( ا‬5

f ( x) = ( x + 1 − 1) 3 : ‫ ا ـ‬f ‫ا‬. ‫ ا‬

‫د‬.' (b

11 . f ‫ا‬. ‫ < ا‬D ' ‫د‬.' (1 . A. .‫ ﺡ‬%? J ‫[ ﺡ> )? ل‬− 1,+∞[ ‫ ( @ ) ا ? ل‬f ‫ا‬. ‫( أن ا‬a (2 . J ) x @J f −1 ( x) 3  u0 = −  4  un +1 = f (un )

: ‫( ا‬u n ) n∈IN ‫( ا‬3 (∀n ∈ IN ) : − 1 < u n < 0 ‫ أن‬: (a

(

t = x +1 −1

. f ( x) =

1 : ‫ ا‬f ‫ا‬. ‫ ا‬ 4x + 4 2

1  u 0 =  2  u n +1 = f (u n )

.

. . ‫ا‬D (u n ) ‫( أن ا‬b M) f ( x) = x ‫[ ا د‬− 1,+∞[ @' (c lim u n %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) ‫( أن‬d

 1

α ∈  0,   2

12

: ‫( ا‬u n ) n∈IN ‫و ا‬ . IR + P = f ‫ ات‬O ‫( ادرس‬a (1 ‫ا‬. '‫ و‬Q' @ ( f ( x) = x ‫( أن ا د‬b

. (∀( x, y ) ∈ [0,1]2 ) : f ( x) − f ( y ) ≤ 1 x − y ‫( أن‬c 2

. (∀n ∈ IN ) : 0 < u n ≤ 1

‫( أن‬2

2

1 u n − α ‫( أن‬a (3 2 ‫ " أن ا‬# $‫( ا‬b

(∀n ∈ IN ) : u n +1 − α ≤ . / / %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬u n ) n∈IN

u0 = 0  : ‫( ا‬un ) ‫ ا‬ 13  un +1 = 6 − un . f ([0,6]) ‫د‬.'‫ و‬f ( x) = 6 − x ‫ ات‬O ‫( ادرس‬1 . (∀n ∈ IN * ) : 0 ≤ un ≤ 6 ‫ أن‬ wn = u2 n +1 ‫ و‬vn = u2 n

. ‫ﺹ‬F # wn ‫ و‬. ‫ا‬D (vn ) ‫∀( وأن‬n ∈ IN ) vn ≤ wn ‫ أن‬ 1 . lim un %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬un ) ‫ " أن‬# $‫∀( Ùˆا‬n ∈ IN ): un +1 − 2 ≤ un − 2 ‫ أن‬ 2 . ‫ آ‬S ‫ ا‬/ / ‫د‬.'‫ ( ) ﺡ د Ù† و‬wn ) ‫( و‬vn ) ‫ أن‬

 u0 ≥ 3 a  1 a : ‫( ا‬un ) ‫ ا‬ a > 0 : un +1 = (2un + 2 )  3 un 

(2 (3 (4 (5

14

. ( ∀n ∈ IN ): un > 0 ‫( أن‬a (1

( ∀n ∈ IN ): un +1 − 3 a =

( 2 un + 3 a ) (un − 3 a ) 2 ‫( أن‬b 2 3un

. ‫( ) ( ر‬un ) ‫ Ùˆ أن‬un ‫ و‬3 a ‫ رن‬F (c 2 . lim un " # $‫ Ùˆا‬. un +1 − 3 a − (un − 3 a ) ≤ 0 ‫( أن‬2 3

(∀n ∈ IN ) :

1 < xn < 1 2

T(‫ ( ) ) ( ر Ùˆ ﺡ‬x n ) n∈IN J  u 0 = x0  u = u n + x n +1 : ‫ا‬  n +1 1 + u n x n +1

15

(u n ) n∈IN ‫و ا‬

. 1 ‫ و‬0 ‫ودة ـ‬.‫( )ﺡ‬u n ) ‫( أن ا‬a (1 . ‫( ) ( ر‬u n ) ‫ " أن‬# $‫ Ùˆا‬. ‫ا‬D (u n ) ‫( أن ا‬b (∀n ∈ IN ) : x n (−1 + u n u n −1 ) = u n −1 − u n ‫( أن‬a (2 lim u n " # $‫( ا‬b

: ‫( ا‬v n ) n∈IN ‫و‬

(u n ) n∈IN ‫ ا‬

16

 u 0 = a , v0 = b  u n + 2v n u + 3v n ( a < b ) )  , v n +1 = n u n +1 = 3 4 . (∀n ∈ IN ) : 0 < u n < v n : ‫( أن‬a (1 . ‫ﺹ‬F # (v n ) ‫ و‬. ‫ا‬D (u n ) ‫( أن ا‬b . ‫( ) ( ر ن‬v n ) ‫( و‬u n ) ‫ " أن‬# $‫( ا‬c t n = 3u n + 8v n ‫ و‬. wn = v n − u n

(2

1 (t n ) ‫ و‬$.#‫ ( ه‬wn ) ‫( أن ا‬a lim u n‫ و‬lim v n %&'‫ أ‬01 . n 2. v n ‫ و‬u n %&'‫( ا‬b

: ‫ ( ا‬wn) ‫( و‬vn) (u n )

‫ ا ت‬

17

1   u 0 = 20 ; u1 = 6  vn = un +1 + 4 un  1 1   1 u n +1 = − 20 u n + 20 u n −1 wn = un +1 − un 5  . $.#‫( ) ه‬wn)‫( و‬vn) ‫( أن‬1 . limun %&'‫ Ùˆا‬. n 2. un 01 vn ; wn %&'‫( ا‬2 . limSn " # $‫ Ùˆا‬un 2. Sn = u0 + u1 +........+ un %&'‫( ا‬3

u n +1 =

1 (u n + u n + 2 ) ‫و‬ 2

u 0 = 1 : ‫( ا‬un ) n∈IN ‫ ا‬

18

. (∀n ∈ IN );1 ≤u n < 4 ‫( أن‬1 . (u n ) ‫( ادرس ر ا‬2 . (∀n ∈ IN ): 0 < 4 − u n +1 ≤ 3 (4 − u n ) ‫( أن‬a (3 4

. limun %&'‫( ) ( ر Ùˆا‬un) ‫ " أن‬# $‫( ا‬b 5  u0 =  2 : ‫( ا‬un ) n≥0 ‫ ا‬  1 2 un +1 = (un + n ) 3 

( ∀n ∈ IN ) : vn = un − (

n 2 − 3n + 3

19

) : ‫( ا‬vn ) ‫ ا‬ ‫و‬ 2 . ‫ول‬,‫ه ا‬.'‫ و‬/$ $‫د أ‬.' $.#‫( ) ه‬vn ) ‫( أن‬a . n 2. un 01 vn %&'‫( ا‬b

 u0 = 2  un  u n +1 = 3 + 2u n 

: ‫( ا‬un ) ‫ ا‬

(∀n ∈ IN ):vn =

un + 1 un

20

. ‫ﺹ‬F # ‫( )>_ و‬un ) ‫( أن‬1 : ‫( ا ب‬vn ) ‫( ا‬2

. ‫ول‬,‫ه ا‬.'‫ و‬/$ $‫د أ‬.' ØŒ $.#‫( ) ه‬vn ) ‫( أن‬a . lim un " # $‫ Ùˆا‬n 2. un 01 vn %&'‫( ا‬b n

1

. Sn = ∑ u k =0

 u0 = 1   1 2 u n +1 = 2 u n + 12

n 2. %&'‫( ا‬3

k

:‫( ا ب‬u n ) n∈IN ‫ ا‬

21

v n = u n2 − 4 : ‫( ا ب‬vn ) ‫و ا‬ . ‫ول‬,‫ه ا‬.'‫ و‬/$ $‫د أ‬.'‫ و‬$.#‫( ه‬v n ) ‫( أن ا‬1 . lim un " # $‫ Ùˆا‬n 2. un 01 vn %&'‫( ا‬2 . n 2. S n = v 0 + v1 + + v n %&'‫( أ‬3

u0 = 2   2 u = u n + u n  n +1 u n2 + 1 

: ‫( ا‬u n ) n∈IN ‫ ا‬

22

. (∀n ∈ IN ) : 1 < u n ≤ 2 ‫( أن‬1 . ‫ﺹ‬F # (u n ) ‫( أن ا‬a (2 . lim u n %&'‫ أ‬01 ‫( ) ( ر‬u n ) ‫( أن‬b 1 . (∀n ∈ IN ) : u n +1 − 1 ≤ (u n − 1) : ‫( أن‬a (3 2 lim u n %&'‫ أ‬01 ‫( ) ( ر‬u n ) ‫ Ù‰ أن‬9‫ ( أ‬: " # $‫( ا‬b f ( x) =

x2 + 4 : ‫ ا‬f ‫ا‬. ‫ ا‬ 23 2x f ([2,3]) ⊂ [2,3] ‫( أن‬1

 u1 = 3  2 u = u n + 4  n +1 2u n 

: ‫( ا ـ‬u n ) n∈IN * ‫( ا‬2

. 2 ‫د‬. ‫>رة‬O‫( )ﺹ‬u n ) ‫( أن ا‬a . ‫ﺹ‬F # (u n ) ‫( أن ا‬b . lim u n %&'‫ أ‬01 ‫( ) ( ر‬u n ) ‫( أن‬c

f ( x) =

6x : ‫ ا‬f ‫ا‬. ‫ ا‬ 24 x +4 .f ‫ا‬. ‫د )? >= < ا‬.'(1 .A. .‫ ﺡ‬%? ‫ ﺡ> )? ل‬0, 3 2 ) @ ( f ‫( أن‬2 3

[

]

u 0 = 1 : ‫( ا ـ‬u n ) n∈IN ‫( ا‬3  u n +1 = f (u n ) . (∀n ∈ IN ) : 1 ≤ u n < 3 2 : ‫( أن‬a . lim un %&'‫ )( ر Ùˆا‬/ ‫ " أ‬# $‫ Ùˆا‬. ‫ا‬D (un ) ‫( أن‬b

.

 u0 = 0

v n = u n +1 − u n ‫ و‬ u 

n+2

; u1 = 1 3 1 = un +1 − un 2 2

‫( ا‬u n ) n≥0 ‫ ا‬

25

. ‫ول‬,‫ه ا‬.'‫ و‬/$ $‫د أ‬.'‫ و‬$.#‫( ه‬v n ) ‫( أن ا‬1 . n 2. u n = 01 v n = = (2 . lim u n %&'‫( أ‬3 . n 2. S n = u 0 + u1 + + u n %&'‫( أ‬4

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.