سلسلة تمارين حول الدوال العددية السنة الثانية بكالوريا مسلك العلوم التجريبية من إنجاز الأستاذ علي تا

www.9alami.com

lim x →0

Ď€ ( cos 2 x − cos x )

2 cos x − 3cos x + 1 2

limπ x→

lim

x →+∞

2

cos x sin 2 x

;

1 ; lim x→4

lim x →0

.

x sin x ; tg 2 x

1 ‍تمعين‏ :‍احسب النڞايات التالي؊‏

x +5 −3 ; x−4

x sin x ; limĎ€ (1 − sin x ) tg 2 x 2 x +1 x→

x2 − 4 lim x→2 x ( x − 2 ) ;

x→

Ď€

2

x2 − 6 x + 9 x3 − 1 ; lim ; x →3 x →−∞ 1 − x 2 x−3 sin x 3 x3 − 1 lim ; lim 2 ; x →π x − Ď€ x →+∞ 2 x + 5 1 − cos x x − sin 2 x lim ; lim ; x →0 x →0 x + sin x xtgx

1 − sin x + cos x 1 − sin x − cos x

2 ‍تمعين‏ :‍ المؚع٠؊ بما يلي‏f ‍نؚتبع الدال؊ الؚددي؊‏ . f ( x) = x − 2 x + 2 . f ‍ Ů…ŘŹŮ…ŮˆŘšŘŠ تؚعي٠الدال؊‏D f ‍ حدد‏.1 . D f ‍ متؾل؊ ؚلى‏f ‍ بين أن‏.2 . xlim f ( x ) = +∞ :‍ بين أن‏.3 →+∞ . f ‍ اؚء ŘŹŘŻŮˆŮ„ تغيعات الدال؊‏.4 ‍ ؚلى الم؏ال‏f ‍ Ů‚ŘľŮˆŘą الدال؊‏h ‍ Ů„ŘŞŮƒŮ†â€Ź.5 . [1; +∞[ [1; +∞[ ‍ تقابل من الم؏ال‏h ‍ بين أن‏.‍أ‏ .‍ ي؏ب تحديده‏J â€ŤŮ†Ř­Ůˆ م؏ال‏ x ‍ Ů„ŮƒŮ„â€Źh ‍ Ř­ŘŻŘŻ الدال؊ Ř§Ů„ŘšŮƒŘłŮŠŘŠ للدال؊‏.‍ب‏ . J ‍من‏ 3 ‍تمعين‏ :‍ بما يلي‏â„? ‍ المؚع٠؊ ؚلى‏f ‍نؚتبع الدال؊ الؚددي؊‏ . f ( x ) = x + x2 + 1 . f ( x ) > 0 :‍ لدينا‏x ‍ بين أنه Ů„ŮƒŮ„ ؚدد حقيقي‏.1 ‍ ؚند محدات حيز تؚعي٠‏f ‍ أحسب نڞايات‏.2 . f ‍الدال؊‏ . f ‍ ادعس تغيعات الدال؊‏.3 . ( ∀x ∈ â„? ) :

−1 = x − x2 + 1 f ( x)

lim x→4

lim

2 x + 1 − 3x − 3 x−4 x−3

.‍ي؏ب تحديده‏ . J ‍ من‏x ‍ Ů„ŮƒŮ„â€Źf −1 ( x ) ‍ حدد‏.6 . f −1 ‍ استنت؏ تغيعات الدال؊‏.7 4 ‍تمعين‏ :‍ بما يلي‏â„? ‍ المؚع٠؊ ؚلى‏h ‍نؚتبع الدال؊ الؚددي؊‏ . h ( x ) = x3 − 3x − 1 . h ‍ ادعس تغيعات الدال؊‏.1

;

2

lim

lim x − x 2 + 1;

lim

x →−∞

x 2 − 3 x + x;

1 lim x sin   ; x π  lim ( x 2 + x + 1) sin   ; x →+∞ x x →+∞

sin 5 x ; x →0 tg 2 x sin (1 − cos x ) lim ; x →0 sin 2 x 3x + x lim ; x →0 3 x − 2 x

;

lim

;

x 3 (2 + x) − 8

x →0

x+3−2 ; x −1

x →+∞

;

sin 3 x x →0 x 1 − cos ( sin x )

x →0

x →1

;

lim

lim

lim

;

x + x+4 −4 5x + 3 − x + 3 lim x →0 x+9 −3 1 − cos3 x lim x → 0 x cos x sin x cos 2 x limĎ€ ; x → 2 cos x − 2 4 x →3

;

x

sin x x2 ; lim ; x →0 1 − cos 2 x x →0 x sin ( 2 x − 2 ) tgx − sin x lim ; lim ; x →1 sin ( x − 1) x →0 x3 lim+

:‍ بين أن‏.4

â„? ‍ من‏J ‍ Ů†Ř­Ůˆ م؏ال‏â„? ‍ تقابل من‏f ‍ بين أن‏.5

;

lim

2

lim

2x2 − x − 6 lim ; x→2 x−2

lim

1 − cos

x →0

x

x

1  π  Ď€  lim tg  x − tgx x→0 x  2  2  1 − cos x **lim ; x →0 x − sin x

sin ( x + x )

x2 ; x → 0 cos ( 2tgx ) − 1

;

lim

1 2  lim 2  + cos x −3; x→0 x  cos x 

;

3

lim x →0

2

lim x →0

2x π  lim ( x − 2 ) tg   x→2 x

;

;

1 + sin x − 3 1 − sin x ; tgx 1 − cos x ; x →0 sin 2 x 3tgx − sin x lim ; x →0 x lim

‫ ‪

.‬‬

‫ ‪1‬‬

‫‪ .2‬بين أن المعادلة ‪ ( E ) : h ( x ) = 0‬تقبل ثالث‬ ‫حلول حقيقية‪.‬‬ ‫‪ .3‬احسب ‪ cos 3α‬بداللة ‪. cos α‬‬ ‫‪ .4‬نضع ‪ ، x = 2 cos α‬استنتج الجذور الثالث‬ ‫للمعادلة ) ‪ ( E‬على شكلھا المثلثي‪.‬‬ ‫تمرين ‪5‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬للمتغير الحقيقي ‪ x‬المعرفة بما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 + 1 −1‬‬ ‫‪, x≠0‬‬ ‫= )‪ f ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( 0) = 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ .1‬ادرس اتصال الدالة ‪ f‬في ‪. x0 = 0‬‬ ‫‪ .2‬ادرس زوجية الدالة ‪. f‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ .3‬ادرس رتابة الدالة ‪ f‬على ‪ ℝ‬ثم استنتج‬ ‫رتابتھا على ‪. ℝ‬‬ ‫‪ .4‬بين أن ‪ f‬تقابل من ‪ ℝ‬نحو مجال ‪ J‬يجب‬ ‫تحديده‪.‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ .5‬حدد الدالة العكسية ‪. f‬‬ ‫تمرين ‪6‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬المعرفة بما يلي‪:‬‬ ‫‪1 − x3‬‬ ‫‪1 + x3‬‬

‫‪. f ( x) = 3‬‬

‫‪ .1‬حدد ‪. D f‬‬ ‫‪ .2‬أحسب نھايات ‪ f‬عند محدات ‪. D f‬‬ ‫‪ .3‬بين أن ‪ f‬تناقصية قطعا على [‪. ]−1;0‬‬ ‫‪ .4‬بين أن ‪ f‬تقابل من [‪ ]−1;0‬نحو مجال ‪J‬‬ ‫يجب تحديده‪.‬‬ ‫‪ .5‬حدد ‪. f −1‬‬ ‫تمرين ‪7‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬المعرفة بما يلي‪:‬‬ ‫‪. f ( x) = x + 2 x − 3 − 2‬‬ ‫‪ .1‬حدد ‪. D f‬‬ ‫‪. xlim‬‬ ‫‪ .2‬احسب ) ‪f ( x‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪ .3‬ادرس قابلية اشتقاق ‪ f‬على يمين ‪.3‬‬ ‫‪ .4‬بين أن‪. ∀x ∈ D f ; f ( x ) = ( x − 3 + 1) :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .5‬اعط تغيرات الدالة ‪. f‬‬ ‫‪ .6‬بين أن ‪ f‬تقابل من ‪ D f‬نحو مجال ‪ J‬يجب‬ ‫تحديده‪.‬‬

‫ ‬

‫‪ .7‬حدد تعبير ) ‪ f −1 ( x‬لكل ‪ x‬من ‪. J‬‬ ‫تمرين ‪8‬‬ ‫بين أن المعادلة‪:‬‬ ‫‪θ ∈ ]0; π [ ; cos θ + cos 2θ + cos 3θ = 0‬‬

‫تقبل حال على األقل‪.‬‬ ‫تمرين ‪9‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬للمتغير الحقيقي ‪ x‬المعرفة بما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 − 1 + x2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪, x≠0‬‬ ‫) ( ‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( 0) = 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ .1‬ادرس اتصال الدالة ‪ f‬في ‪. x0 = 0‬‬ ‫‪ .2‬ادرس قابلية اشتقاق الدالة ‪ f‬في ‪. x0 = 0‬‬ ‫‪ .3‬أول ھندسيا النتيجة المحصل عليھا‪.‬‬ ‫تمرين ‪10‬‬ ‫لتكن الدالة العددية المعرفة بما يلي‪:‬‬ ‫‪x2 − 2 x + 3‬‬ ‫‪x−2 −2‬‬

‫= )‪. f ( x‬‬

‫‪ .1‬حدد ‪ D f‬مجموعة تعريف الدالة ‪. f‬‬ ‫‪ .2‬ادرس قابلية اشتقاق الدالة ‪ f‬في النقطة‬ ‫‪. x0 = 2‬‬ ‫‪ .3‬اعط تأويال ھندسيا للنتيجة المحصلة عليھا‪.‬‬ ‫تمرين ‪11‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ g‬للمتغير الحقيقي ‪ x‬المعرفة بما‬ ‫‪. g ( x ) = 2 x3 − 5 x2 − 3‬‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫‪ .1‬ادرس تغيرات الدالة ‪. g‬‬ ‫‪ .2‬بين أن المعادلة ‪ g ( x ) = 0‬تقبل حال وحيدا ‪α‬‬ ‫من المجال ‪.  ;3‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪5‬‬

‫تمرين ‪12‬‬ ‫لتكن ‪ f‬و ‪ g‬دالتين معرفتين على مجال ]‪ [ a; b‬حيث‬ ‫‪.a < b‬‬ ‫نفترض أن‪:‬‬ ‫• ‪ f‬و ‪ g‬متصلتان على ]‪ [ a; b‬و قابلتان‬ ‫لالشتقاق على [‪. ]a; b‬‬ ‫[‪. ∀x ∈ ]a; b‬‬ ‫• )‪f ′ ( x) ≤ g′ ( x‬‬ ‫‪ .1‬بين أن ‪ g‬دالة تزايدية على ]‪. [ a; b‬‬

‫ ‪

.‬‬

‫ ‪1‬‬

‫‪ .2‬بين أن ) ‪ ( f − g‬تناقصية على‬ ‫]‪ ، [ a; b‬ثم استنتج أن ‪:‬‬

‫) ‪. f (b ) − f ( a ) ≤ g (b ) − g ( a‬‬ ‫‪ .3‬بين أن ) ‪ ( f + g‬تزايدية على ]‪، [ a; b‬‬ ‫ثم استنتج أن ‪:‬‬ ‫) ‪. − ( f (b ) − f ( a )) ≤ g (b ) − g ( a‬‬ ‫‪ .4‬استنتج أن ‪:‬‬ ‫) ‪. f (b ) − f ( a ) ≤ g (b) − g ( a‬‬ ‫تمرين ‪13‬‬ ‫لتكن ‪ f‬دالة عددية معرفة من ‪ ℝ‬نحو ‪ ℝ‬و قابلة‬ ‫لالشتقاق في النقطة ‪ x0 = 0‬بحيث ‪ f ( 0 ) = 0‬و‬ ‫‪. f ′ ( 0) = 1‬‬ ‫حدد النھاية التالية‪:‬‬ ‫) ‪f ( x ) × f ( 2 x ) × ⋯ × f ( nx‬‬ ‫‪xn‬‬

‫‪. ( n ∈ ℕ* ) lim‬‬ ‫‪x →0‬‬

‫تمرين ‪14‬‬ ‫‪π‬‬ ‫بين أنه يوجد عدد وحيد ‪ α‬من المجال ‪  0; ‬حيث‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪. 1 − sin α = α‬‬ ‫تمرين ‪15‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬المعرفة بما يلي‪:‬‬ ‫‪. f ( x) = 2 x − x‬‬ ‫‪ .1‬حدد ‪ D f‬مجموعة تعريف الدالة ‪. f‬‬ ‫‪ .2‬أحسب نھايات ‪ f‬عند محدات ‪. D f‬‬ ‫‪ .3‬احسب‪:‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪. lim‬‬

‫‪x → 0+‬‬

‫‪ .4‬ضع جدول تغيرات الدالة ‪. f‬‬ ‫‪ .5‬لتكن ‪ g‬قصور الدالة ‪ f‬على المجال ]‪. [ 0;1‬‬ ‫‪ .a‬بين أن ‪ g‬تقابل من المجال ]‪[ 0;1‬‬ ‫نحو مجال ‪ J‬يجب تحديده‪.‬‬ ‫‪ .b‬حدد تعبير ‪. g −1‬‬ ‫تمرين ‪16‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬للمتغير الحقيقي ‪ x‬المعرفة بما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫‪1− x‬‬

‫= )‪. f ( x‬‬

‫‪ .1‬حدد ‪ D f‬مجموعة تعريف الدالة ‪. f‬‬ ‫‪ .2‬أحسب نھايات ‪ f‬عند محدات ‪. D f‬‬

‫ ‬

‫‪ .3‬حدد العددين الحقيقيين ‪ a‬و ‪ b‬بحيث‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1− x‬‬

‫‪f ( x) = a +‬‬

‫‪. ( ∀x ∈ D f ) :‬‬

‫‪ .4‬بين أن ‪ f‬تزايدية قطعا على المجال [‪. [ 0;1‬‬ ‫‪ .5‬ليكن ‪ g‬قصور الدالة ‪ f‬على المجال [‪. [ 0;1‬‬ ‫‪ .a‬بين أن ‪ g‬تقبل دالة عكسية ‪. g −1‬‬ ‫‪ .b‬حدد مجموعة تعريف ‪. g −1‬‬ ‫‪ .c‬حدد تعبير ‪. g −1‬‬ ‫تمرين ‪17‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬للمتغير الحقيقي ‪ x‬المعرفة بما‬ ‫‪. f ( x ) = tgx − x − 1‬‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ .1‬بين أن ‪ f‬متصلة على ‪. 0; ‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ .2‬بين أن ‪ f‬تزايدية قطعا على ‪. 0; ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ .3‬حدد صورة المجال ‪ 0; ‬بالدالة ‪. f‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪ .4‬استنتج أن‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π ‬‬ ‫‪.  ∃!α ∈  0;   : tgα = α + 1‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫تمرين ‪18‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬المعرفة بما يلي‪:‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪1+ x − 1− x‬‬

‫= )‪. f ( x‬‬

‫‪ .1‬حدد حيز تعريف الدالة ‪. f‬‬ ‫‪ .2‬بين أن ‪ f‬دالة زوجية‪.‬‬ ‫‪ .3‬بين أن الدالة ‪ f‬تقبل تمديدا باالتصال في‬ ‫‪. x0 = 0‬‬ ‫تمرين ‪19‬‬ ‫لتكن ‪ f‬دالة متصلة على المجال ]‪ [ 0;1‬بحيث‪:‬‬ ‫‪. ∀x ∈ [ 0;1] , 1 < f ( x ) ≤ 2‬‬ ‫ولتكن ‪ g‬الدالة المعرفة على المجال ]‪ [ 0;1‬بما يلي‪:‬‬ ‫‪. ∀x ∈ [ 0;1] , g ( x ) = xf ( x ) − 1‬‬ ‫‪ .1‬بين أن ‪ g‬متصلة على المجال ]‪. [ 0;1‬‬ ‫‪ .2‬حدد إشارة كل من ) ‪ g ( 0‬و )‪. g (1‬‬ ‫‪ .3‬استنتج أن‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫= )‪f (c‬‬ ‫‪c‬‬

‫[‪. ∃c ∈ ]0;1‬‬

‫ ‪1‬‬

‫ ‪

.‬‬

‫تمرين ‪20‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬المعرفة على ‪ ℝ‬بما يلي‪:‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪. f ( x ) = x − 3 x2 − 3 x‬‬ ‫‪ .1‬تحقق من أن‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪. ∀x > 0 f ( x ) = x  1 − 3 − 3‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ .2‬احسب‪. lim f ( x ) :‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫‪ .3‬ليكن ‪ x‬و ‪ y‬من [∞‪ [1; +‬بحيث ‪. x < y‬‬ ‫قارن ) ‪ f ( x‬و ) ‪ f ( y‬ثم استنتج رتابة ‪f‬‬ ‫على [∞‪. [1; +‬‬ ‫‪ .4‬بين أن المعادلة ‪ f ( x ) = 0‬تقبل حال وحيدا ‪α‬‬ ‫في المجال [∞‪. [1; +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .5‬بين أن ‪ α‬يحقق‪. α − 4α − α = 0 :‬‬ ‫‪ .6‬استنتج قيمة ‪. α‬‬ ‫تمرين ‪21‬‬ ‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬المعرفة بما يلي‪:‬‬ ‫‪. f ( x ) = cos3 x − 3cos x + 2‬‬ ‫‪ .1‬بين أن‪. ( ∀x ∈ [ 0; π ]) : f ′ ( x ) = 3sin 3 x :‬‬ ‫‪ .2‬استنتج تغيرات الدالة ‪ f‬على المجال ] ‪. [ 0; π‬‬ ‫‪ .3‬بين أن‪. ∃!α ∈ ]0; π [ f (α ) = 2 :‬‬

‫تمرين ‪22‬‬ ‫لتكن ‪ f‬دالة عددية متصلة على المجال ]‪ [ 0;1‬حيث‪:‬‬ ‫‪ f ( 0 ) = 0‬و ‪. f (1) = 1‬‬ ‫‪1− c‬‬ ‫بين أن‪:‬‬ ‫‪1+ c‬‬

‫= ) ‪. ∃c ∈ ]0;1[ f ( c‬‬ ‫تمرين ‪23‬‬

‫بين أن المعادلة ‪ x3 + 4 x + 2 = 0‬تقبل حال وحيدا في‬ ‫‪.ℝ‬‬

‫ ‬