Paper h marzan v1 2

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Soluciones Num´ericas y Aproximaciones para la Ecuaci´on de Richards Harold L. Marzan Instituto Tecnol´ogico de Santo Domingo harold.marzan@intec.edu.do, hmarzan@gmail.com. Marzo 05, 2013 Resumen El autor presenta soluciones num´ericas para la Ecuaci´ on de Richards respecto del Contenido de Humedad θ en la superficie del suelo, aplicando varios M´etodos de Elementos Finitos. Se han creado modelos para un problema estacionario, y dos problemas trascientes lineales y no lineales dependientes del tiempo. Se ha elegido como coeficiente de Conductividad Hidr´ aulica Relativa eα θ (Gardner, [15]), donde hemos dado 0 < α ≤ 3,0 , el cual debe ajustarse seg´ un el tipo de suelo estudiado. Para el modelo no lineal, se emplean como soluci´ on inicial, una soluci´ on de la ecuaci´ on de difusi´ on, y la soluci´ on anal´ıtica de Philip para el problema de Richards no lineal. Las soluciones computacionales fueron escritas en MATLAB y FEniCS. Palabras Clave Ecuaci´ on de Richards, Soluci´ on Anal´ıtica de Philip, M´etodo de Elementos Finitos, M´etodo Discont´ınuo de Galerkin, Aproximaci´ on por Diferencia Finita, Soluciones Num´ericas, Conductividad Hidr´ aulica relativa.

1.

Introducci´ on La Ecuaci´ on de Richards ∂θ ∂ ∂ψ = K(θ) +1 ∂t ∂z ∂z

(1)

representa el movimiento del agua en suelos no saturados, y fue formulada por Lorenzo A. Richards en 1931. Esta es una Ecuaci´ on en Derivadas Parciales No Lineal (NLPDE, sus siglas en ingl´es), la cual es muchas veces dif´ıcil de aproximar ya que esta no tiene una soluci´on anal´ıtica de forma cerrada [1, 2]. Es una Ecuaci´ on utilizada en el estudio del Contenido del Agua en el Suelo, as´ı como para estudiar el Flujo del Agua en suelo no saturado. Esta ponencia presenta de forma breve y concisa, los resultados obtenidos en la t´esis de t´ıtulo ”Soluciones Num´ ericas y Aproximaciones para la Ecuaci´ on de Richards”, INTEC, del mismo autor. Se ha elegido una soluci´ on anal´ıtica conocida, la linealizaci´on de Philip, la cual utiliza un m´etodo de sustituci´ on que busca linealizar la Ecuaci´on de Richards. Las soluciones num´ericas utilizan estos resultados de Philip, como gu´ıa para determinar cual de estas soluciones presentadas en los resultados es la que mejor aproxima a los resultados de la soluci´on anal´ıtica. La Ecuaci´ on de Richards se deduce al combinar la Ley de Darcy para el flujo de agua no saturado en el suelo, q = −K∇ H 1

(2)

donde q = densidad del flujo o descarga por unidad de area (m/d), K = Conductividad Hidr´ aulica (m/d), H = Cabezal Hidr´ aulico, ∇ = operador diferencial,

qi = −K(θ)

∂ψ ∂H = −K(θ) ∂xi ∂xi

(3)

donde qi = qx , qy , y qz para i = 1, 2, 3 respectivamente, y junto a la Ecuaci´ on de Continuidad(Ley de Conservaci´ on de la Masa), ∂θ = −∇ q ∂t para formar la llamada Ecuaci´ on General de Flujo no Saturado ∂θ ∂ = ∂t ∂x

∂H ∂ ∂H ∂ ∂H K(θ) + K(θ) + K(θ) ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(4)

(5)

Finalmente, la Ecuaci´ on de Richards se forma al sustituir a H = ψ + z en la ecuaci´on anterior, obtenemos ∂ ∂θ = ∂t ∂x

K(θ)

∂ψ ∂x

+

∂ ∂y

K(θ)

∂ψ ∂y

+

∂ ∂z

K(θ)

∂ψ + K(θ) ∂z

(6)

Desde que θ est´ a relacionado a ψ via la curva relaci´on agua-suelo, podemos tambien expresar K(θ) como K(ψ) [1], a trav´ez de la introducci´on de la Capacidad Espec´ıfica de Agua C(ψ); la ecuaci´ on puede ser transformada en una ecuaci´on con una variable dependiente dθ ∂ψ ∂ψ ∂θ = · = C(ψ) ∂t dψ ∂t ∂t

(7)

donde C(ψ) = capacidad espec´ıfica de agua, igualando a

dθ dψ

(ej., la curva de retenci´ on de la pediente agua-suelo )

Reemplazando K(θ) por K(ψ) y sustituyendo la ecuaci´on (7) en la (6), surge ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂K(ψ) C(ψ) = K(ψ) + K(ψ) + K(ψ) + ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂z

(8)

La ecuaci´ on (8) es conocida como la Ecuaci´on de Richards. Cuando el flujo es horizontal y lineal, la ecuaci´on (8) se reduce a ∂θ ∂ = ∂t ∂x

∂ψ K(ψ) ∂x

Cuando el flujo es vertical y no lineal, la ecuaci´on (8) se reduce a ∂θ ∂ ∂ψ = K(ψ) +1 . ∂t ∂z ∂z Esta ecuaci´ on est´ a dada en las variables θ y ψ .

2

(9)

(10)

∂ψ ∂z

El t´ermino

puede escribirse como ∂ψ ∂ψ ∂θ = · ∂z ∂θ ∂z

donde

∂ψ ∂θ

(11)

es la pendiente de la curva caracter´ıstica de humedad (contenido del agua o θ)[2].

Sustituyendo la ecuaci´ on (11) en la (10) ∂θ ∂ ∂ψ ∂θ = K(θ) · +1 ∂t ∂z ∂θ ∂z ∂θ ∂ ∂θ ⇒ = D(θ) + K(θ) ∂t ∂z ∂z ∂ ∂θ ∂ ∂θ = D(θ) + K(θ) ∂t ∂z ∂z ∂z

(12)

donde D(θ) = K(θ) ∂ψ ∂θ es la difusividad del agua en el suelo. Vemos que es

∂ψ ∂θ

= C(θ)−1 es el inverso de la capacidad espec´ıfica del agua en el suelo, y esta C(θ) ≡

∂θ ∂ψ

por tanto, y de manera similar, la difusividad del contenido del agua puede representarse de esta forma K(θ) D(θ) = (13) C(θ)

1.1.

M´ etodos para obtener la Conductividad Hidr´ aulica

En la tesis se mencionan dos m´etodos para obtener la Conductividad Hidr´aulica: 1. M´ etodos Directos: M´etodos experimentales, usualmente en laboratorios con Pruebas F´ısicas de experimientos suelo-agua e instrumentos de medici´on. 2. M´ etodos Indirectos: M´etodos de regresi´on, basados en datos medidos de m´etodos directos. En estos m´etodos, podemos encontrar un uso para estimar a K(θ). 1.1.1.

Predicci´ on de la funci´ on K(ψ) a partir de datos de retenci´ on del suelo-agua

La Ecuaci´ on emp´ırica Van Genuchten para la curva de retenci´on suelo-agua encabeza

θ = θr +

θs − θr (1 + |αψ|n )m

(14)

donde θr = contenido residual suelo-agua, cuando el cabezal de presi´on se hace indefinidamente peque´ no θs = contenido saturado suelo-agua α = par´ ametro de forma n = par´ ametro de forma adimensional m= 1 −

1 n

3

Despu´es de combinar la ecuaci´ on (10) con el modelo Mualem [1], encontramos la funci´on anal´ıtica Van Genuchten-Mualem, la cual describe la conductividad hidr´aulica insaturada, como una funci´ on del cabezal de presi´ on suelo-agua

K(ψ) = Ks

[1 − |αψ|n−1 (1 + |αψ|n )−m ]2 [1 + |αψ|n ]mλ

(15)

donde Ks = conductividad hydr´ aulica saturada (m/d) λ = un par´ ametro de forma que depende sobre dK/dψ

1.2.

Soluci´ on anal´ıtica de Philip

Philip considera la Ecuaci´ on de Richards de la forma ∂θ ∂ ∂θ ∂k = D − ∂t ∂z ∂z ∂z con D y K =

∂k ∂θ

constantes, y define θ∗ = [θ(z, t) + C] e(Az+Bt)

(16)

de tal forma que se pueda reducir la Ecuaci´on de Richards, mediante una serie de sustituciones, a la Ecuaci´ on de Difusi´ on ∂θ∗ ∂ 2 θ∗ =D 2 (17) ∂t ∂z Luego completa el problema definiendo las siguientes Condiciones de Frontera y Condici´on Inicial en t´erminos de θ∗ ,  ∗ θ (0, t) = (θw + θd )eBt ,        ∗ θ (∞, t) = 0 (18) C.F. =    ∗  θ (z, 0) = 0    Finalmente, obtiene la Soluci´ on Producto sujeta a las Condiciones de Frontera por el m´etodo de Separaci´ on de Variables, B 0,5 θw − θd Bt −z( B )0,5 z z 0,5 z( ) 0,5 θ (z, t) = e e D erfc − (B t) + e D erfc + (B t) . 2 2(D t)0,5 2(D t)0,5 ∗

Cuya soluci´ on anal´ıtica dada en θ queda reducida a: (θw − θd ) θd + 2

"

" # #! (kz) kt1/2 kt1/2 z z D erfc − +e erfc + . 2(D t)1/2 2(D t)1/2 2 D1/2 2 D1/2

Donde erfc(x) es la funci´ on de error complementaria: Z ∞ 2 2 erfc(x) = 1 − erf (x) = √ e−t dt π x y los valores iniciales dados son: θd = 1, θw = 74, D = 8 (la difusividad), k = 4.

4

(19)

Las siguientes gr´ aficas, representan la soluci´on anal´ıtica para t=1 y t=4:

Figura 1: Ploteo de la soluci´on anal´ıtica para t=1

Figura 2: Ploteo de la soluci´on anal´ıtica para t=4

2.

M´ etodo

Para obtener los resultados num´ericos hemos empleado algunos M´etodos de Elementos Finitos, tales como el M´etodo de Galerkin, M´etodo Discontino de Galerkin, y una variaci´on del M´etodo Backward-Euler, para lograr Aproximaci´on de Diferencia Finita de los t´erminos dependientes del tiempo. Los resultados fueron obtenidos mediante programas escritos en MATLAB, para los problemas lineales, y utilizamos Python en FEniCS, para los problemas no lineales presentados en la tesis. Las soluciones computadas en MATLAB, est´an limitados a N = 7, 14, 28, 49 y 100 nodos. Para las soluciones de los problemas no lineales computadas con FEniCS, utilizamos N = 64 y N = 80 nodos.

3.

Marco Referencial

Existen algunos trabajos y modelos discretos de la Ecuaci´on de Richards utilizando M´etodos de Elementos Finitos[15, 16, 17]. Los papers de los trabajos existentes se mencionan en la Bibliograf´ıa de esta ponencia.

3.1.

M´ etodo de Elemento Finito para la Ecuaci´ on de Richards

Se definieron las formulaciones variacionales para 3 versiones de la Ecuaci´on de Richards Problema Estacionario de Richards lineal para el contenido de agua independiente del tiempo t, donde θ = θ(z) Problema Trasciente de Richards lineal para el contenido de agua dependiente del tiempo t, donde θ = θ(z, t) y K(θ) = C , constante. Problema Trasciente de Richards no lineal para el contenido de agua dependiente del tiempo 5

t, donde K(θ) = eÎą θ , 0 < Îą ≤ 3,0, Îą ∈ R

3.2.

Definici´ on del Dominio

Para la ecuaci´ on de Richards, trabajamos en particular con el eje vertical z; es por tanto que nuestro problema est´ a dado en 1D. A continuaci´on, definimos el dominio: Definimos a â„Ś = (a, b), â„Ś ⊂ R , como un conjunto abierto; en nuestro caso, este es un intervalo abierto. Sea Γ = âˆ‚â„Ś = la frontera de â„Ś , esto es, Γ = {a, b} ; Γ = ΓD âˆŞ ΓN , donde ΓD = {a} y ΓN = {b} son conjuntos disjuntos tal que ΓD ∊ ΓN = φ; estos conjuntos est´ an relacionados con las condiciones de frontera de Diritchlet y Neumann respectivamente [3, 8].

3.3. 3.3.1.

Formulaci´ on Variacional para Richards lineal con θ = θ(z) Formulaci´ on Variacional Fuerte

Sea â„Ś = (0, 1) , y sea Γ = âˆ‚â„Ś = {0, 1} = Γ1 âˆŞ Γ2 . Dada una funci´on f ∈ H 0 (â„Ś), y dadas Îą, β ∈ R, podemos definir nuestra Formulaci´on Variacional como sigue: 1 (â„Ś) tal que Encuentre un θ HD

∀ v ∈ H01 (â„Ś),

a(θ, v) = L(v)

donde a(¡, ¡) y L(¡) son funcionales bilineal y lineal respectivamente, y los espacios est´an definidos as´Ĺ Z 1 H 0 (â„Ś) = L2 â„Ś = {v(z) : v 2 dz < ∞} 0

H 1 (â„Ś) = {θ(z) :

Z

1

[v 2 + (v 0 )2 ] dz < ∞}

0

Estos espacios, junto con la norma y el producto escalar de funciones y operadores, son conocidos como Espacios de Sobolev. En H 1 (â„Ś) , cualquier funci´ on y su primera derivada son cuadrado integrable sobre â„Ś. 3.3.2.

Formulaci´ on Variacional D´ ebil

Sea S h ⊂ H 1 (â„Ś) un subespacio finito tal que sus funciones base son definidas por funciones φi (z), locales a un elemento finito, y globales al dominio. La formulaci´ on variacional para nuestro subespacio de elementos finitos S h , est´a dado por h Encuentre un uh (z) ∈ SD tal que

a(uh , v h ) = L(v h )

∀v h ∈ S h

(20)

donde uh = θ(z) para el subespacio dimensional finito S h , y podemos ahora escribir a uh y v h como N X uh (z) = Ξj φj (z) (21) j=1

v h (z) =

N X i=1

6

Ρi φi (z)

(22)

para ξj , ηi ∈ R , z ∈ Ω. 1 h Sea α = 0 para HD (Ω). SD es el subespacio con las condiciones de frontera h 1 SD = {v h (z) ∈ S h : v(0) = 0} ⊂ HD (Ω).

(23)

Nuestro sistema de ecuaciones algebr´aicas, queda as´ı N X N X

N X

ξj ηi a (φj , φi ) =

i=2 j=2

Finalmente, nuestro sistema  a (φ1 , φ1 )  a (φ1 , φ2 )   ..  .   a (φ1 , φi )   ..  . a (φ1 , φN )

L (φi ) .

(24)

i=2

Aξ = b, podemos presentarlo en la forma matricial     b1 ξ1 a (φ2 , φ1 ) · · · a (φN , φ1 )  ξ2   b2  a (φ2 , φ2 ) · · · a (φN , φ2 )       ..   ..  .. .. ..  .   .  . . .  =       a (φ2 , φi ) · · · a (φN , φi )   ξi   bi   .   .  .. .. ..  ..   ..  . . . bN ξN a (φ2 , φN ) · · · a (φN , φN )

(25)

donde bi = Li = L(φi ) , ˆ aij = a(φj , φi ) = a(φi , φj ) = ˆaj i ; esto implica que la matriz A = (ˆaij ) es sim´etrica. Nuestro problema ha sido reducido al sistema Aξ = b, donde ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN ) son las desconocidas del sistema, con los cuales obtendremos la soluci´on aproximada del problema. La matriz A es llamada la matriz de coeficientes o de stiffness, y b es llamado el vector de carga[3]. Otra forma de representar el problema aproximado, es representar el sistema como[8] N X N X Aij ξj − Li ηi = 0 ∀ηi

(26)

i=1 j=1

Ahora podemos ver que los funcionales para este problema θ = θ(z), quedan reducidos a Z a(φj , φi ) = ∇φj · ∇φi dz = (φj 0 , φi 0 ) (27) Ω

Z

Z

zi+1

f (z) · φi dz ≈ τ f (zi )

bi = L(φi ) = τ Ω

φi (z) dz = τ hf (zi )

(28)

zi−1

Usando el m´etodo del trapecio, y donde h es el tama˜ no del elemento donde φi est´a definido. Ver Ap´endice A para otras formas de integraci´on de la carga. Es bueno aprovechar resultados conocidos para el funcional bilineal[3, 5]:

(φj 0 , φj 0 ) =

Z

zj

zj−1

1 dz + h2 j

Z

zj+1

zj

1 1 1 dz = + h2 j+1 hj hj+1

(29)

y para j = 2, · · · , N, 0

0

0

Z

0

zj

(φj , φj−1 ) = (φj−1 , φj ) = − zj−1

1 1 dz = − . h2 j hj

las particiones utilizadas son uniformes, h = hj = hj+1 , tal que  0 0 2  (φj , φj ) = h  (φ 0 , φ 0 ) = (φ 0 , φ 0 ) = − 1 = − 1 j j−1 j−1 j hj h 7

(30)

El sistema est´ a completo, y su soluci´on puede ser hallada por ξ = A−1 · b

3.4.

(31)

Formulaci´ on Variacional para Richards lineal dependiente del tiempo t

Definimos el modelo lineal de Richards  θ˙ − ∇[D(θ) ∇θ] = f en Ω × I,      θ = θ(z, t) = 0 sobre Γ × I,      θ(z, 0) = θ0 ∀z ∈ Ω

(32)

Recordando que en nuestro problema, D(θ)∇2 θ = D(θ)

∂2θ ∂z 2

Es claro que en este modelo lineal, D(θ) = K(θ)/C(θ) = constante ⇒

3.4.1.

∂ ∂z K(θ)

= 0.

Formulaci´ on Variacional Fuerte

Sea V = H 1 0 (Ω) , multiplicamos la ecuaci´on para un t ∈ I por un v ∈ V , e integramos sobre Ω , asumiendo por ahora que µ = 1: ˙ v − µ∇2 θ(t) v = f (t) v ⇒ θ(t) Z ⇒

˙ v dz − µ θ(t)

Z

Ω

Z

2

∇ θ(t) v dz = Ω

f (t) v dz

(33)

Ω

y usando la f´ ormula de Green sobre el segundo t´ermino del lado izquierdo: Z

Z ∇θ · ∇v dz =

Ω

v Γ

∂θ ds − ∂η

Z

v ∇2 θ dz

Ω

para obtener la siguiente notaci´ on: Z

˙ v dz + θ(t)

Z

Ω

Z ∇θ · ∇v dz −

Ω

v Γ

∂θ ds = ∂η

Z f (t) v dz

(34)

Ω

˙ ⇒ (θ(t), v) + a(θ(t), v) = (f (t), v)

(35)

Luego de haber definido los operadores y/o funcionales, podemos proceder con la formulaci´on variacional del problema (27): Encuentre un θ(t) ∈ V , t ∈ I , tal que  ˙ v) + a(θ(t), v) = (f (t), v) ∀v ∈ V, t ∈ I,  (θ(t), 

θ(0) = θ0

8

(36)

3.4.2.

Formulaci´ on Variacional para un Subespacio Finito S h

Ahora, sea S h un subespacio dimensional finito de V, formado por la base {φ1 , φ2 , · · · , φm }. Ω es un dominio convexo y S h consiste de funciones lineales por piezas de Ω , con elementos de tama˜ no h. Reemplazando a V por S h nos permite presentar la formulaci´on variacional para el modelo semi-discreto a desarrollar: Encuentre un uh (t) ∈ S h , t ∈ I , tal que   (u˙h (t), v) + a(uh (t), v) = (f (t), v) ∀v ∈ S h , t ∈ I, 

(37)

(uh (0), v) = (θ0 , v)

Ahora podemos escribir a (31) utilizando la f´ormula de soluci´on aproximada de Kantorovich para modelos semi-discretos[10]:

h

u (t, z) =

M X

ξi (t) φi (z) t ∈ I,

(38)

i=1

con coeficientes dependientes del tiempo t ξi (t) ∈ R. Este es nuestro problema de valor inicial, tambi´en llamado Problema de Valor Inicial Stiff [3]. En su forma matricial:  ˙ + A ξ(t) = F (t), t ∈ I  B ξ(t) 

(39)

Bξ(0) = Θ0 ,

Donde B = (bij ), A = (aij ), F = (Fi ), ξ = (ξi ), Θ0 = (Θ0 i ) . Cada uno de los elementos de estas matrices y vectores respectivamente, vienen a continuaci´on: Z bij = (φi , φj ) =

φi φj dz, Ω

Z ∇φi · ∇φj dz,

aij = a(φi , φj ) = Ω

Fi (t) = (f (t), φi ), Θ0 i = (θ0 , φi ). La matriz B es nueva en esta formulaci´on y es llamada la matriz de masa, y similar a la ya conocida matriz A, B es tambi´en positiva definida.

3.4.3.

M´ etodo discont´ınuo de Galerkin

Se obtiene una soluci´ on mediante una formulaci´on de elementos finitos para discretizar en la variable del tiempo t. Para formular este m´etodo, primero debemos introducir un nuevo espacio[3]: Dado un entero no negativo q, definimos

Υh = v : I −→ S h : v|In ∈ Pq (In ), n = 1, · · · , N ,

(40)

donde ( Pq (In ) =

v : In −→ S h : v(t) =

q X i=0

9

) vi ti , ∀vi ∈ S h

(41)

Υh es el espacio de funciones sobre el intervalo I con valores que para cada intervalo de tiempo In , var´ıa como polinomios de grado m´ aximo q. Las funciones v en Υh pueden ser discont´ınuas a niveles discretos de tiempo tn . Con el objetivo de verificar esto, introducimos una notaci´on:

v+ n = l´ım+ v(tn + s), v− n = l´ım− v(tn + s), s→0

s→0

Estas son llamadas condiciones de continuidad[10]. Las funciones respecto al tiempo, est´an dadas de esta forma [v n ] = v+ n − v− n (42) donde [v n ] es el salto de v en el tiempo tn .

El m´etodo discont´ınuo de Galerkin para el problema semi-discreto (31) puede ahora ser formulado como sigue: Encuentre un U ∈ Υh tal que

Λ(U, v) = L(v) ∀v ∈ Υh

(43)

donde para una soluci´ on U = θ(z, t) Λ(θ, v) =

N Z X n=1

˙ v) + a(θ, v)] dt + [(θ,

In

N X

([θn−1 ], v+ n−1 ) + (θ+ 0 , v+ 0 )

(44)

n=2

Z L(v) =

(f, v) + (θ0 , v+ 0 )

(45)

I

Podemos reformular estos operadores utilizando las funciones base φi ∈ S h con v = φi , y sabiendo que para la ecuaci´ on de Richards, f (t) = 0 : Λ(φj , φi ) =

N Z X n=1

[(φ˙j , φi ) + a(φj , φi )] dt +

In

N X

([φj n−1 ], φi + n−1 ) + (θ+ 0 , v+ 0 )

(46)

n=2 0

0

0

L(v) = (θ , v+ ) = θ v+

0

Z dz

(47)

Ω

El sistema de ecuaciones es resuelto usando ξ(t) = Λ−1 · b

3.5.

(48)

Modelo de la Ecuaci´ on de Richards No Lineal

Para construir nuestro problema de estudio, partimos de la f´ormula de la Ecuaci´on de Richards No Lineal, ∂ ∂θ ∂θ = D(θ) + K(θ) (49) ∂t ∂z ∂z y definimos el problema as´ı,  ∂θ en Ω × I,   ∂t = ∇[D(θ) ∇θ] + ∇K(θ)    θ = 0 en Γ × I,      θ(., 0) = θ0

(50)

De la formulaci´ on anterior, podemos notar el t´ermino especial ∇K(θ) que aparece en la versi´on no lineal de Richards. Este t´ermino, como veremos en secciones posteriores de este trabajo de 10

investigaci´ on, le da la caracter´ıstica distintiva adicional a la no linealidad de esta ecuaci´on, y la distingue de la ecuaci´ on no lineal de difusi´on. 3.5.1.

Formulaci´ on Variacional para Richards No Lineal

Similar a como hemos procedido en el cap´ıtulo anterior, definimos una formulaci´on variacional muy similar, pero esta vez considerando el t´ermino especial que aparece en la versi´on no lineal, ∇K(θ): Encuentre un θ(t) ∈ V = H01 (Ω), t ∈ I , tal que  ˙ (θ(t), v) + a(θ(t); θ(t), v) = (∇K(θ), v)      θ=0      θ(., 0) = θ0 donde

en Ω × I, en Γ × I,

(51)

Z D(θ) ∇θ · ∇v dz ∀v ∈ V

a(θ; θ, v) = Ω

Z (θ, v) =

θ v dz, Ω

Z ∇K(θ) · v dz

(∇K(θ), v) = Ω

Z L(v) = (f, v) + (∇K(θ), v) =

Z ∇K(θ) · v dz

f v dz + Ω

(52)

Ω

Como mostraremos m´ as adelante, el t´ermino f es cero, lo cual simplifica el funcional lineal L.

4.

Discretizaci´ on en el Tiempo para el Modelo No Lineal de Richards: Aproximaci´ on por Diferencia Finita

Para obtener una soluci´ on mediante este m´etodo, y construir una Formulaci´on Variacional similar a las secciones anteriores, debemos realizar el siguiente procedimiento [4]: 1 Discretizar la derivada del tiempo por Aproximaci´on de Diferencia Finita, el cual lanza un conjunto recursivo de problemas estacionarios 2 Transformar cada problema estacionario en una Formulaci´on Variacional. Sea k un ´ındice que denota una cantidad en el tiempo tk , k ∈ N para cada nivel de tiempo. Reformulamos la ecuaci´ on (49) en t´erminos de k, donde θk representa un valor de θ en el nivel de tiempo tk : ∂ ∂θk ∂θk = D(θk ) + K(θk ) + f k (53) ∂t ∂z ∂z Luego aplicamos la aproximaci´ on por diferencia finita a la derivada con respecto al tiempo ∂θk θk − θk−1 ≈ (54) ∂t ∆t De ahora en adelante, podemos referir a ∆t usando τ ∈ R, y estos representan el mismo n´ umero. Luego, θk − θk−1 = ∇[D(θk ) ∇θk ] + ∇K(θk ) + f k τ

(55)

θk − τ ∇[D(θk ) ∇θk ] = θk−1 + τ ∇K(θk ) + τ f k

(56)

11

Formulaci´ on Variacional para θk

4.1.

Para expresar el problema en la Formulaci´on Variacional, multiplicamos ambos lados de la ecuaci´ on (5.14) por una funci´ on del espacio dimensional finito S h e integramos, y debilitamos la ecuaci´ on, integrando por partes el t´ermino con la derivada de segundo orden (F´ormula de Green), Z

θk v dz + τ

Ω

Z

D(θk ) ∇θk · ∇v dz =

Z

Ω

θk−1 v dz + τ

Ω

Z

∇K(θk ) v dz, ∀v ∈ S h

(57)

Ω

Aqui, hemos ya eliminado el t´ermino f k , ya que como demostraremos m´as adelante, este es cero y cancela la u ´ltima integral en el lado derecho. Ahora podemos definir nuestros operadores funcionales en su forma bilineal y lineal respectivamente, Z Z a(θk ; θk , v) = θk v dz + τ D(θk ) ∇θk · ∇v dz, ∀v ∈ S h (58) Ω

Z L(v) =

Ω

θk−1 v dz + τ

Ω

Z

∇K(θk ) v dz, ∀v ∈ S h

(59)

Ω

El problema en su Formulaci´ on Variacional queda reducido a Encuentre un θk ∈ S h tal que a(θk ; θk , v) = L(v), ∀v ∈ S h

(60) 0

Para producir una soluci´ on con este m´etodo, debemos especificar una soluci´on inicial θ , luego, podemos resolver para θ, θ2 · · · En lugar de utilizar el m´etodo de elementos finitos para obtener a θ0 , simplemente interpolamos a θ0 desde una soluci´ on conocida y la expresamos as´ı: θ0 =

N X

ξ 0 j φj

j=1

y se define a ξj = I(zj ) , donde zj es el valor en z dado para el nodo j. En FEniCS existe una forma f´ acil de lograr esto; esto permite evitar el paso de presentar una formulaci´ on variacional similar a a(θ0 , v) = L(v) a partir del cual se determina a θ0 [4]. Nuestro programa FEniCS, escrito en Python, requiere realizar las iteraciones para cada tiempo t expl´ıcitamente, pero computamos la soluci´on utilizando las herramientas disponibles en FEniCS. La matriz asociada A ser´ a independiente del tiempo, ya que el funcional bilineal a no depende del tiempo, y solo se multiplica por el n´ umero τ una vez. Esta matriz puede ser computada fuera del ciclo de iteraciones, por lo que solo necesitamos computar dentro del ciclo el lado derecho de la ecuaci´ on

4.2.

Soluci´ on Inicial θ0

La soluci´ on inicial elegida θ0 , es una soluci´on de la ecuaci´on de difusi´on p 2 2 θ(z, t) = 2/π · e−j π t · sin(j π z) θ0 (z) =

p

(61)

2/π sin(j π z)

Verificando la identidad en, ∂θ = ∆θ + f ∂t ⇒f =0 12

(62)

Coeficiente de Conductividad Hidr´ aulica Relativa K(θ) = eαθ

4.3.

En el paper o ponencia presentado por Tracy[15], Pag. 228, se describe una Conductividad Hidr´ aulica Relativa eαψ (Gardner SS 1985), modelada as´ı por la suposici´on cuasi-lineal. La misma es comparada con la Ecuaci´ on de Van Genuchten-Mualem (15) obtenida experimentalmente. En esta secci´ on, elegimos el valor para la Conductividad Hidr´aulica Relativa K(θ) de la siguiente forma K(θ) u eα θ , 0 < α ≤ 3, α ∈ R

(63)

donde el valor de α (Gardner [15]) debe darse entre 0 y 3.0 para mantener la estabilidad de la soluci´ on num´erica, y su valor depende del tipo de suelo estudiado. 4.3.1.

Conductividad Hidr´ aulica Relativa K(θ) con α = 1,9

Si hacemos α = 1,9 , podemos comparar este K(θ) relativo contra el dado por la f´ormula de VanGenuchten (15), K(θ) = Ks

[1 − |αθ|ρ−1 (1 + |αθ|ρ )−µ ]2 [1 + |αθ|ρ ]µλ

Para comparar nuestro K(θ) contra la f´ormula de VanGenuchten, hacemos Ks = 1,0 , λ=

1 2

,

ρ = 2,0, µ=1−

1 ρ

= 12 ,

α = 4,2 Si ploteamos el resultado, usando el programa de este ap´endice obtenemos

Figura 3: Aproximaci´ on de la Conductividad Hidraulica con α = 1,9

4.3.2.

Conductividad Hidr´ aulica Relativa K(θ) con α = 3,0

En los programas FEniCS utilizados para computar las soluciones num´ericas del Cap´ıtulo V, hemos empleado α = 3,0 . Con este valor, debemos ajustar los par´ametros dados en la f´ormula experimiental de VanGenuchten, as´ı Ks = 1,0 , λ=

1 2

, 13

ρ = 3,0 µ=1−

1 ρ

=

2 3

α = 2,9 Si ploteamos el resultado, usando el programa de este ap´endice obtenemos

Figura 4: Aproximaci´ on de la Conductividad Hidraulica con α = 3,0

4.4.

Soluci´ on Num´ erica

En el tiempo k=1, tenemos que θk−1 = θ0 , nuestra soluci´on inicial. Hacemos a α = 3,0 , y C(θk ) = 1 , por lo que reducimos el Coeficiente de Difusividad a D(θk ) = K(θk ). 4.4.1.

Procedimiento Soluci´ on en su forma Algor´ıtmica

En esta secci´ on presentamos un pseudo-c´odigo del programa ”NLRichards TimeDepends2.py”, utilizado para hallar la soluci´ on num´erica. El c´odigo Python de este programa, se encuentra en el Ap´ endice D de la tesis. Escribimos θ para representar la funci´on espacial en un nuevo tiempo k (θk ), y escribimos θ1 para la soluci´ on espacial en un tiempo anterior k-1 (θk−1 ) [4]:  Definimos las Condiciones de Frontera de Dirichlet  Asignamos en θ1 la interpolaci´ on en S h de θ0 para t = 0,  Definimos los funcionales a y L  Ensamblamos la matriz A a partir a  Especificamos el tiempo total en dias T = 5  Especificamos a τ = 0,1 como una fracci´on del tiempo  Empezamos en el tiempo t = 1.0  Mientras t ≤ T 

Actualizamos θ1 con la interpolaci´on en S h de θ0 para el tiempo t,



Ensamblar vector b a partir L



Aplicar condiciones de frontera



Resolver A · ξ k = b para ξ k , y construir a θk 14



t←t+τ



θ1 ← θ k

El t´ermino especial de la Ecuaci´ on de Richards No Lineal es el que le da la caracter´ıstica distintiva, la cual puede ser observada en las gr´aficas mostradas en la siguiente secci´on. Las siguientes gr´ aficas, presentan los resultados al utilizar este m´etodo sobre Richards No Lineal, en el programa NLRichards TimeDepends2.py:

Figura 5: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.0

Figura 6: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1

Figura 7: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.2

15

Figura 8: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.3

Figura 9: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.4

Figura 10: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=2.0

Figura 11: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=3.0

16

5.

Discretizaci´ on en el Tiempo para el Modelo No Lineal de Richards: M´ etodo Discont´ınuo de Galerkin

En esta secci´ on presentamos una variaci´on del M´etodo Discont´ınuo de Galerkin aplicado a la Ecuaci´ on No lineal de Richards. En la forma lineal, L(v) , con frecuencia ensamblamos el vector de carga b en cada iteraci´on del tiempo t. Si la ecuaci´ on no tuviera el t´ermino especial de Richards que la distingue de la ecuaci´ on de difusi´ on no lineal, el procedimiento fuera formulado muy simple, y tanto la matriz de Masa y la matriz Estructural, as´ı como el vector de carga mismo, se pudieran computar todos fuera de la iteraci´ on del tiempo t. Para el caso de la Ecuaci´ on de Richards No Lineal, a´ un tendremos que computar y ensamblar el t´ermino especial.

5.1.

Formulaci´ on y Discretizaci´ on de Funcionales

Podemos evitar ensamblar (construir las matrices y vectores) por expansi´on de las Funciones de Elementos Finitos. Similar a como procedimos en el Cap´ıtulo IV, utilizamos la f´ormula de soluci´ on aproximada de Kantorovich para modelos semi-discretos[10]: N X

uh (t, z) =

ξi (t) φi (z) t ∈ I,

i=1

con coeficientes dependientes del tiempo t ξi (t) ∈ R. Esta vez, presentamos nuestras funciones del espacio S h con los ´ındices k, como sumas sobre la base de funciones φj , para identificar los productos de matrices y vectores que completan nuestro sistema como veremos m´ as adelante. 5.1.1.

Funcional formal lineal L(v)

Para el funcional lineal, Z Z Z k k−1 L(v) = τ ∇K(θ ) v dz + θ v dz + τ f k v dz, ∀v ∈ S h Ω

Ω

(64)

Ω

Debemos separar este funcional en dos: Z L1 (v) = θk−1 + τ f k v dz, ∀v ∈ S h

(65)

Ω

y Z

∇K(θk ) v dz, ∀v ∈ S h

L2 (v) = τ

(66)

Ω

La separaci´ on en L1 (v) y L2 (v) es necesaria ya que L2 (v) depende de θk , el cual solo podemos determinarlo en cada iteraci´ on particular del tiempo t. Para L1 (v) hacemos θ

k−1

=

N X

ξj k−1 · φj

(67)

η j k · φj

(68)

j=1

fk =

N X j=1

Luego, insertamos estas expresiones en L1 (v) , y usando v = φi , resulta en   Z N N X X  L1 (φi ) = ξj k−1 · φj + τ ηj k · φj  · φi dz, ∀v ∈ S h Ω

j=1

j=1

17

(69)

L1 (φi ) =

N Z X

R Ω

φi · φj dz ξj

k−1

+τ

Ω

j=1

Introduciendo a Mij =

N Z X

φi · φj dz ηj k

(70)

Ω

j=1

φi · φj dz , podemos escribir la u ´ltima expansi´on como

L1 (φi ) =

N X

Mij · ξj k−1 + τ

j=1

N X

Mij · ηj k

(71)

j=1

Esto no es m´ as que 2 productos de matrices por vectores, ⇒ M · ξ k−1 + M · η k

(72)

donde ξ k−1 = (ξ1 k−1 , ξ2 k−1 , · · · , ξN k−1 )T , η k = (η1 k , η2 k , · · · , ηN k )T Recordemos que ξ k−1 es el vector de la soluci´on aproximada que ya tenemos desde la secci´on anterior de este Cap´ıtulo. Como f k = 0 , queda ⇒ M · ξ k−1

(73)

Finalmente, el vector de carga b se computa as´ı b = M · ξ k−1 + R

(74)

donde R = L2 (v). Una vez ensamblado el vector R en la iteraci´on del tiempo, se computa la soluci´ on de nuestro problema. 5.1.2.

Funcional formal bilineal a(θk ; θk , v)

Para el funcional bilineal, a(θk ; θk , v) =

Z

θk v dz + τ

Z

Ω

D(θk ) ∇θk · ∇v dz, ∀v ∈ S h

(75)

Ω

Similar a como procedimos con el operador lineal, hacemos a v = φi , y θk =

N X

ξj k · φj ,

(76)

j=1

Para resolver el sistema de la forma Λξ = b , debemos determinar la matriz de coeficientes Λ: N Z X j=1

N Z X φi · φj dz ξj k + τ ∇φi · ∇φj dz ξj k

Ω N X

Mij ξj k + τ

j=1

N X

(77)

Ω

j=1

Kij ξj k

(78)

j=1

⇒ M · ξk + τ K · ξk

(79)

Λ = M + τK

(80)

Luego,

donde M es la matriz de masa, y K es la matriz estructural o de stiffness. Finalmente, tenemos que Λξ k = b

⇒ 18

ξ k = Λ−1 · b

(81)

(M + τ K) · ξ k = M · ξ k−1 + R

(82)

⇒ ξ k = (M + τ K)−1 · M · ξ k−1 + R ,

(83)

para cada iteraci´ on de tiempo k.

5.2.

Soluci´ on Num´ erica

Similar a como procedimos en el m´etodo anterior, Hacemos a α = 3,0 , y C(θk ) = 1 , por lo que tenemos que el Coeficiente no lineal de la Difusividad es D(θk ) = K(θk ). 5.2.1.

Procedimiento Soluci´ on en su forma Algor´ıtmica

En esta secci´ on presentamos un pseudo-c´odigo del programa ”NLRichards TimeDepends3.py”, utilizado para hallar la soluci´ on num´erica. El c´odigo Python de este programa, se encuentra en el Ap´ endice D de la tesis. Escribimos θ para representar la funci´on espacial en un nuevo tiempo k (θk ), y escribimos θ1 para la soluci´ on espacial en un tiempo anterior k-1 (θk−1 ) [4]:  Definimos las Condiciones de Frontera de Dirichlet  Asignamos en θ1 la interpolaci´ on en S h de θ0 para t = 0,  Definimos los funcionales am , ak , L1 y L2  Ensamblamos la matriz M a partir am  Ensamblamos la matriz K a partir ak  Hacemos a Λ = M + τ K  Ensamblamos parcialmente, el vector b a partir L1 como ˆb  Especificamos el tiempo total en dias T = 5  Especificamos a τ = 0,1 como una fracci´on del tiempo  Empezamos en el tiempo t = 1.0  Mientras t ≤ T 

Actualizamos θ1 con la interpolaci´on en S h de θ0 para el tiempo t,



Ensamblamos el vector R, a partir L2



Completamos el vector b haciendo este b = ˆb + R



Aplicar condiciones de frontera



Resolver Λ · ξ k = b para ξ k , y construir a θk



t←t+τ



θ1 ← θ k

Las siguientes gr´ aficas, presentan los resultados al utilizar este m´etodo sobre Richards No Lineal, en el programa NLRichards TimeDepends3.py:

19

Figura 12: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.0

Figura 13: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1

Figura 14: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.2

Figura 15: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.3

20

5.3.

El Error M´ aximo seg´ un el par´ ametro α en K(θ) relativo

En la siguiente gr´ afica, podemos observar el comportamiento del Error M´aximo en cada iteraci´ on k:

Figura 16: Error M´aximo para α = 1,3, 1,9, 2,7 y 3,0

6.

Aproximaci´ on Num´ erica utilizando la Soluci´ on Anal´ıtica 0 de Philip como Soluci´ on Inicial θ

Por u ´ltimo, hemos construido un programa FEniCS, en el cual utilizamos como soluci´on inicial, la soluci´ on linealizada de Philip del Cap´ıtulo II: (θw − θd ) θd + 2

"

" # #! (kz) kt1/2 kt1/2 z z D − + erfc +e erfc . 2(D t)1/2 2(D t)1/2 2 D1/2 2 D1/2

(84)

Donde erfc(x) es la funci´ on de error complementaria: Z ∞ 2 2 erfc(x) = 1 − erf (x) = √ e−t dt π x y los valores iniciales dados son: θd = 1, θw = 74, D = 8 (la difusividad), k = 4.

6.1.

Formulaci´ on de Funcionales

En esta ocasi´ on, debemos separar de manera similar al m´etodo anterior, el operador de la forma lineal: Z L1 (v) = θk−1 + τ f k v dz, ∀v ∈ S h (85) Ω

Z L2 (v) = τ

∇K(θk ) v dz

(86)

Ω

El operador final es ensamblado as´ı: L(v) = L1 (v) + L2 (v) La formulaci´ on variacional utilizada en las secciones anteriores, aplica sin cambios.

21

(87)

6.2.

Ploteo de la Soluci´ on Num´ erica

Para obtener la soluci´ on num´erica, hemos dado al par´ametro de Gardner en la Conductividad Hidr´ aulica relativa, el valor α = 0,45[15], ya que este es un valor que da estabilidad en la soluci´on: K(θ) = e0,45 θ

(88)

Finalmente, realizamos las mismas iteraciones en el tiempo, para cada k, como en las secciones anteriores. Las siguientes gr´ aficas, presentan los resultados al utilizar este m´etodo sobre Richards No Lineal, en el programa NLRichards TimeDepends4.py del Ap´endice D de la tesis:

Figura 17: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.0

Figura 18: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1

Figura 19: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=2.0 El error m´ aximo para el tiempo t= 5, fue de 0.014 cuando utilizamos a Philip como soluci´on inicial.

7.

Resultados

Se hace notar que en esta investigaci´on se emplearon Polinomios de Lagrange lineales, o φi ∈ P1 , donde generalmente, Pk , k ≥ 1 est´a dado de esta forma 22

Figura 20: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=3.0

Figura 21: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=4.0

Pk =

  

φi (z) =

k X j=0

αj z j , αj ∈ R

  

donde Pk es un espacio vectorial de polinomios de una variable y de grado menor o igual a k. Es interesante notar que aquellos φi ∈ P1 locales, pueden expresarse como φj (zi ) = δij , donde 1, si i = j δij = 0, si i 6= j. es la funci´ on delta de Kronecker.

7.1.

Aspectos F´ısicos de las Soluciones N´ umericas

Los resultados obtenidos para las versiones dependientes del tiempo t, para Richards Lineal y Richards No Lineal respectivamente, son similares en el dominio Ω = (0, 1). Los resultados n´ umericos presentados para Richards lineal, dependen de una Conductividad Hidr´ aulica K(θ) del tipo Isotr´ opico los cuales son del tipo lineal; mientras que los resultados n´ umericos presentados para Richards no lineal dependen de un Coeficiente de Conductividad Hidr´ aulica Relativa de la forma K(θ) = eα θ , 0 < α ≤ 3,0, α ∈ R, y es de caracter altamente no lineal. Las gr´ aficas de estos resultados pueden ser interpretadas desde el punto de vista f´ısico como presentamos a continuaci´ on: Dado el escenario de un suelo de poca o ninguna saturaci´ on, y un nivel t´ıpico de porosidad[1], y considerando una humedad inicial θ0 en la superficie del suelo,

23

* Las curvas u(z, 1) → 0 , t = 1 a medida que el agua se desplaza verticalmente por el suelo, y debido a la gravedad, y la humedad tiendo a cero en la superficie del suelo. De igual forma, podemos decir que para el flujo de agua ψ en el suelo, el flujo tiende a cero cuando ya no hay m´as agua que desplazar. Dado el escenario de un suelo de alta saturaci´ on o que se satura con facilidad, y nivel m´ınimo de porosidad o poca porosidad, y considerando una humedad inicial θ0 en la superficie del suelo, * Las curvas u(z, 1) → α , t = 1, α ≤ 0 a medida que el agua se desplaza verticalmente, y por efecto de la gravedad, y el suelo llega a su punto de saturaci´on m´axima. Esto quiere decir, que la humedad no tiende a cero en la superficie, y que el flujo del agua ahora es negativo ya que no puede seguir desplazando agua en un suelo ya saturado. En las gr´ aficas de los resultados a continuaci´on, podemos interpretar estos escenarios considerando que cada elemento finito representa un cent´ımetro de desplazamiento vertical, y t est´a dado en d´ıas.

7.2.

Comparaci´ on de los Problemas Trascientes de Richards Lineal vs. No Lineal en Ω = (0, 1)

Si observamos ambas soluciones en el dominio Ω = (0, 1), vemos que la soluci´on lineal es m´as pronunciada respecto a la no lineal, la cual muestra una curva de mayor amplitud:

Figura 22: Aproximaci´ on de Richards Lineal con ProgFEMC4.m y N=100 Nodos

Figura 23: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1 Si ahora observamos el comportamiento de las soluciones para Richards no lineal, cuando tomamos como solucion inicial, la difusi´on, la gr´afica para t = 1.3, es parecida a las dadas por la soluci´ on anal´ıtica de Philip, pero no se mantiene en el tiempo; mientras que usando la soluci´on inicial de Philip nos da mejores resultados:

24

Figura 24: Ploteo de la soluci´on anal´ıtica para t=1

Figura 25: Ploteo de la soluci´on anal´ıtica para t=4

Figura 26: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos, t=1.3 y Soluci´on Inicial de Difusi´ on

Figura 27: Aproximaci´ on de Richards No Lineal con N=64 Nodos, t=1.0 y Soluci´on Inicial de Philip

25

8.

Recomendaciones

Para darle continuidad a esta investigaci´on es menester mencionar los temas de investigaci´on que le siguen de inmediato a este trabajo: Emplear Polinomios de Lagrange de orden superior (φi (z) ∈ Pn , n > 1, z ∈ Ω) En este trabajo de investigaci´ on hemos utilizado solo polinomios de orden n = 1, por lo que ser´ıa un proyecto de investigaci´ on futura, el tratar estas soluciones con Polinomios de orden n > 1 (cuadr´ atico, c´ ubico, otros). Estabilidad de las Soluciones y Pruebas de Convergencia En este se verifican temas de convergencia de las soluciones propuestas en este trabajo de t´esis. Estimados de Errores En este se comparan tanto num´erica como gr´aficamente las soluciones encontradas, y otras soluciones propuestas por terceros. Pruebas de Existencia y Unicidad de las Soluciones Existen libros donde se describen estos procesos muy claramente. Aplicaci´ on de otras Soluciones Propuestas Es posible trabajar encima de los programas escritos, con el objetivo de obtener mejores resultados. Aproximaciones Num´ ericas para Richards sobre el Flujo del Agua Esta es una propuesta que puede realizarse, en la cual pueden utilizarse los mismos programas escritos para este trabajo de investigaci´ on, con algunas modificaciones necesarias. Resultados Num´ ericos en 2D y 3D de la Ecuaci´ on de Richards El M´etodo de Elementos Finitos permite tratar geometr´ıas complejas en 2D y 3D mediante elementos triangulados con grados de libertad n ≥ 1 . Esta ser´ıa una extensi´on interesante a nuestro trabajo, el cual fue realizado para la versi´ on 1D (solo una coordenada espacial, z) de Richards. Utilizar el M´ etodo Espectral sobre este Problema Ser´ıa un proyecto de igual valor, el intentar realizar este trabajo esta vez con otro m´etodo diferente, y comparar los resultados obtenidos entre ambos m´etodos, FEM y Espectral.

26

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27

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