Geometria a l'espai by Acadèmia Creat Creat

MATEMÀTIQUES DIA 3 BLOC 3 - GEOMETRIA A L’ESPAI

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Vectors

1. Vector. Conceptos básicos 1. Vector. Conceptos básicos

r r r r r v n si hay n números reales El vector v es una combinación lineal de los vectoresr vr1 , vr2 , v 3 , ..., r r v n si hay n números reales vector combinación lineal de los vectores v1 , v 2 , v 3 , ..., v es una ,L ,L , ...,L LEl tales que: n 1 2 3 n r L1 ,L 2 ,L 3 , ...,L n tales que: vr L vr L vr L vr ... L vr n r r3 3 rn n rL i v i 1r 1 2r 2 v L1v1 L 2 v 2 L 3 v 3 ... L n v n

Li v i

n 1

n 1 r r r r El conjunto de vectores vr 1 , rv 2 ,rv 3 , ...,r v n es linealmente independiente si ninguno de ellos es El conjunto de vectores v1 , v 2 , v 3 , ..., v n es linealmente independiente si ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes. Es decir: r r de rlos restantes. r Es decir: combinación lineal L1vr1 L 2 vr2 L 3 vr 3 ... L nrv n 0 L1 L 2 L 3 ... L n 0 det(vectores) w 0 r r Lrn v n r0 L1 L 2 L 3 ... L n 0 det(vectores) w 0 L1v1 L 2 v 2 L 3 v 3 ... El conjunto de vectores vr 1 ,rv 2 ,rv 3 , ...,rv n es linealmente dependiente si hay algún vector que El conjunto de vectores v1 , v 2 , v 3 , ..., v n es linealmente dependiente si hay algún vector que es combinación lineal de los restantes. Es decir: es combinación Es decir: rr rrlineal de rr los restantes. r rv 0 L w 0 det(vectores) 0 L L ... L LL1vv1 v v i 0 det(vectores) 0 L2 v2 L3 v 3 ... L nv n 0 L w 1 1

1.1. **Comprueba los siguientes siguientesvectores vectoresson son linealmente dependientes: **Comprueba que que los linealmente dependientes: rr rr r r aa 1,1,1,1,33 c 1,53, 5 1,1,2,2,00 c 1, 3, bb Paraque que los los vectores vectores sean uno de de ellos tiene queque ser combiPara seanlinealmente linealmentedependientes, dependientes, uno ellos tiene ser combinaciónlineal lineal de los otros determinante tiene queque ser ser cero. nación otros dos dosy,y,por porlolotanto, tanto,elel determinante tiene cero.

11 11

10 10 9 9 66 11 22 33 55 00 33 00 55 r r r r r vn Un sistema de generadores de un espacio vectorial es un conjunto de vectores v1 , vr2 , vr3 , ...,

r Un sistema de generadores de un espacio vectorial es un conjunto de vectores v1 , v 2 , v 3 , ..., v n

d) Producto vectorial de dos vectores

Producte de 2 Vectors ctorial devectorial dos vectores

r r El producto vectorial de dos vectores v v1 ,v 2 ,v 3 y w w1 ,w 2 ,w 3 se define

w1 w 2

r rir rj kr r r r r y se define vectorial de dos vectores v v1 ,vque ,v ,w ,w w w es el vector de módulo v w sen A, cuyo valor es ig vr w r r 2 3 1 2 3 vrw v1

w1 w 2

El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que determinan los vectores. lelogramo que definen los vectores.

r j v2

r k v3

w1 w 2

r i r r vrw v1

r r r r que es el vector de módulo vrw v w sen A, cuyo valor es igual al área del paralelogramo que definen los vectores.

El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que determinan los vectores.

r r Propiedad r r Expresión tor de módulo vrw v w sen A, cuyo valor es igual al área del parar El productoar perpendicular al plano que deter r vector rvectorial r r r es un a 0 y ar b 0 si a y b son linealmente Condición de dependencia lineal ue definen los vectores. dependientes. r r Propiedad r r ar b b r a

Expresió Anticonmutativa r r r r r r r r r r r Asociativa ar b a r b ar b y si y a ar a 0 ar b 0 Condición de dependencia lineal r r r r r r r dependientes. v r a v r b v r a b Distributiva r r r r r r r r r r Anticonmutativa ( ) ( ) ( bra ar Enb 7. **¿Es siempre cierto que a b r a b 2 ar b ) ? En caso afirmativo, justifícalo.

Equacions de la recta Una recta queda determinada por dos puntos P y Q o por un punto P y un vector v que denominamos vector director de la recta. Ecuaciones de la recta

Expresión r r r r a Lv

Vectorial

x a1 v1 y a2 v 2

Paramétrica

z a3 v 3 x

Continua

a1 v1

a2 v2

z v3

Ax By Cz D 0

Implícita

A´ x B´ y C´ z D´ 0 Ecuaciones

Eje OX

Eje OY

Eje OZ

r 9. Halla la ecuación de la que pasa porr losr puntos A(2, 5, 3)ry B( 1, 0, 2) expresándola r recta r x Li y Lj z Lk de todas las formas posibles. Calcula el valor de a para que el punto C(2, 5, a) pertenezca Vectorial en coordenadas en coordenadas en coordenadas a la recta que contiene (x, y,elz)segmento L(1, 0, 0) AB.(x, y, z) L(0, 1, 0) (x, y, z) L(0, 0, 1)

Procedimiento Paramétrica

x 0 y L

x L y 0

uuur z 0 Hallamos el vector entre los puntos z 0 AB 3, 5, 1 A y B.

x y z Continua Cogiendo uno de los puntos y1 el 0vec-0

tor, obtenemos la ecuación vectorial. Implícita

y 0

z 0

Aislamos las variables y obtene-

(x, y, z)

x y z 0(2, 1 5,0 3)

x 0 3Lz 0

x 2 y 5 5L

x 0

Resolución y 0 z L

L( 3,

x y z 5, 0 1) 0 1 x 0 y 0

Equacions del pla

b) Ecuaciones del plano en R3 Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, un punto y dos vectores linealmente independientes, o por un punto y el vector normal al plano.

en R3Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, un punto y dos vectores linealmente independientes, o por un punto y minado por tres puntos no alineados, un punto y dos vectores linealel vector normal al plano s, o por un punto y el vector normal al plano. r

Ecuaciones de la recta Vectorial

Expresión r r r r r a Lv Mt x a1 Lv1 Mt1

e la recta r r r r r a Lv Mt

Expresión Paramétrica

y a2 Lv 2 Mt2 z a3 Lv 3 Mt3

General o implícita

x a1 Lv1 Mt1

y a2 Lv 2 Mt2

Ax + By + Cz + D 0

15. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos P( 4, 1, 6), Q(0, 1, 1) y R( 1, 0, 0).

4. Posiciones relativas entre lugares geom茅tricos Posicions relatives entre rectes a) Posiciones relativas de dos rectas rx

x a1 v1

y a2 v2

z a3

x b1 u1

y b2 u2

z b3 u3

Consideramos los vectores directores de las rectas v1, v 2 , v 3 , u1, u2 , u3 y el vector que une uuur dos puntos de las dos rectas AB b1 a1, b2 a2 , b3 a3 . Estudiamos la dependencia de estos vectores a partir de la matriz M:

x 108

Posici贸n

b1 a1

M v2

a3 露

Condiciones

Coincidentes

RangoM 1

Paralelas

RangoM 2 y vectores directores de las rectas paralelas

Secantes

RangoM 2 y vectores directores de las rectas no paralelas

Se cruzan

RangoM 3

Representaci贸n

podemos eliminar. El punto de corte corresponde al punto de coordenadas (1, 2, 1). Observamos que la cuarta fila da la misma solución que la tercera y, en consecuencia, la podemos eliminar. El punto de corte corresponde al punto de coordenadas (1, 2, 1).

b) Posiciones Posicions relatives recta i pla relativas de una recta y un plano b) Posiciones relativas una recta y un plano y z x xde y z 1 1 1 rx x1 y y1 z z1 x rvx v v 1 2v v1 v 33 2

P x Ax By Cz D 0

rr r r Consideramos los vectores P(x1, y1, zP(x ). , y , z ). Consideramos los vectores y el punto A, B, yCel punto v v v 1v,1v, v22,, v 33 , ,NN A,CB, 1 1 1 1 Posición

Condiciones

Posición

Coincidentes

Paralelos

Condiciones r r v N 0 y P P

r r v N 0 y P P

Paralelos

Secantes

r r v Nw0

Representación

Área

uuur uuur 2 PQ PM 2

4 4 64 9 1 1 72 11 6 22 3 22 unidades de área. 2 2 2

relativas de dos planos Posicions relativesc)plaPosiciones i pla

P’ x A’x B’y C’z D’ 0

c) PosicionesP x relativas planos Ax de By dos Cz D 0

P x Ax By de Cz coeficientes D 0 P’ x A’x B’y C’z y D’ 0 Consideramos las matrices los de las incógnitas la ampliada: Consideramos las matrices de de las A losBcoeficientes C A incógnitas B C yDla ampliada:

Posición

A B C C A´ B´ C ´ A´ B´ C ´

A A B C D A A´ B´ C ´ D´

Condiciones Condiciones

Coincidentes Coincidentes

R(C) R(C) R(A) R(A) 11 AA BB CC D D A´A´ B´ D´ B´ CC ´´ D´

Paralelos Paralelos

R(C) 11yy R(A) R(A) R(C) 22 A B C D A B C w D A´ B´ C ´ w D´ A´ B´ C ´ D´

x x 116

116 Cortan en una recta r

R(C) R(A) 2 A B B C w o w A´ B´ B´ C ´

A´ B´ C ´ D´

Representación

Como el punto P ( 4, 1, 6) pertenece al plano, podemos determinar el valor D: 5( 4) 1 2 · 6 D 0 l D 9

Posicions relatives 3 plans

La ecuación del plano es, por lo tanto, 5x y 2z 9 0. d) Posiciones relativas de tres planos P x Ax By Cz D 0, P’ x A’x B’y C’z D’ 0, P” x A”x B”y C”z D” 0 La ecuación del plano es, tanto, 5x y 9incógnitas 0. Consideramos las matrices depor loslocoeficientes de2zlas y la ampliada:

Cortan en una recta

R(C) R(A) 2

d) Posiciones relativas deAtres B planos C A B C D P x Ax By Cz D 0, P’ x A’x B’y C’z D’ 0, P” x A”x B”y C”z D” 0 C A´ B´ C´ A A´ B´ C´ D´ Consideramos las matrices de los coeficientes de las incógnitas y la ampliada:

A“ B“ C“

Posición Coincidentes

Posición

Coincidentes

A C A´

B B´

C C´

A“ B“ C“

A A´

Condiciones

A“ B“ C“ D“

B B´

C C´

D D´

A“ B“ C“ D“

Condiciones R(C) R(A) 1

Representación

R(C) R(A) 1

Dos planos paralelos y el otro R(C) 2 y R(A) 3 secante o se cortan dos a dos

Paralelos

R(C) 1 y R(A) 2

x Tres planos se cortan en un punto R(C) R(A) 3

117

x 117

Distància entre dos punts

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS

1. Distancias a) Distancia entre dos puntos A y B uuur Es el módulo del vector AB . 1

uuur AB

a1 b2 2

a2 b3

1. Calcula las coordenadas de B sabiendo que dista 12 unidades de A. 12 3

1 4 (1

2 )2

uuur Hallamos un vector unitario en la dirección y el sentido de AB: r u

1, 2, 2

1 2 2 , , 3 3 3 1 4 4

Siendo v v1, v2 , v3 y AP x0 , y0 , z0

a , a , a , que es el vector que une el punto P 1

con un punto cualquiera de la recta.

La proyección es, por lo tanto:

Distància entre punt i recta

(

)

1 1 C´ , , 1 2 2

b) Distancia de un punto P(x0, y0, z0) a una recta r x

a1 v1

a2 v2

, ,

uuur r AP rv d P, r r v

uuur r Siendo v v1, v2 , v3 y AP x0 , y0 , z0

5. Halla la distancia que hay desde el punto P(3, 2, –1) a la recta: rx

a , a , a , que es el vector que une el punto P 1

x y 4 z 3 2 1 5 (2

con un punto cualquiera de la recta.

1 5)

(

)

, ,

Procedimiento

5. Halla la distancia que hay desde el punto P(3, 2, –1) a la recta: x y 4 z 3 rx 2 1 5 (2

A partir del punto P de la recta y deuuu un r punto A de la recta, hallamos el vector AP .

uuur AP (3, 2, 1)

uuur Hacemos el producto vectorial del vector AP y del vector director de la recta.

r i uuur r AP rv 3 2

Hallamos el módulo del vector director uuur r de la recta y del vector resultante de AP rv .

r v (2, 1, 5) 4 1 25 30 uuur r AP r v ( 8, 11, 1) 64 121 1 186

Hacemos la división y hallamos la distancia.

186 93 d ; 2,49 30 15

1 5)

(

Resolución

r j

(0, 4, 3) (3, 2, 2) r k

r r ur 8i 11j k

3x y

4z 3 0

DistĂ ncia entre punt i pla El punto es

13 2

14 9 3 , , . 13 13 13

3 2

13 3 z 13

x Ax By Cz D 0 c) Distancia de un punto P(x0, y0, z0) a un plano P d P, P

Ax 0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2

129

Distància entre 2 rectes

5x 2 2y 6 z 2 1 1

x 2 5

5 y

3 z 1 1 2

d) Distancia entre dos rectas Se pueden dar cuatro casos distintos: Ê UÊ Si las dos rectas son coincidentes, la distancia es cero. 0

Ê UÊ Si las dos rectas son paralelas, hallamos un punto en una de ellas y calculamos la distancia desde este punto hasta la otra recta.

Calculamos la distancia con la expresión: r r r § AB, v, u· ¨© ¸¹ d r, s r r v ru

Ê UÊ Si las dos rectas se cortan, la distancia es cero. 0

r 11. Halla la proyección del vector v 4, 3, 1 sobre la recta A(2, 3, 1) y B( 2, 4, 3). (2 3

Ê UÊ Y, finalmente, si las dos rectas se cruzan, se calcula la distancia menor. Consideraª A a , a , a z a3 y a2 x a1 1 2 3 mos las rectas: r x «r v v , v , v v1 v2 v3 1 2 3 ¬ ªB b , b , b z b3 x b1 y b2 1 2 3 sx «r u u , u , u u1 u2 u3 1 2 3 ¬

1) (4

( 2

3 1)

4 3)

Determinamos un vector unitario en la dirección de la recta

Distància entre 2 rectes

x 2 y 12. Halla la distancia que hay entre las rectas: r x z y s x y 1 5 3 4 z 2 2 De las rectas dadas podemos obtener un punto y un vector: ª x 2 y A 2, 0, 0 rx z «r 3 4 v 3, 4, 1 ¬ ª x 5 L ª B 5, 1, 2 s x « y 1 5L « r u 1, 5, 2 ¬ z 2 2L ¬

Calculamos la distancia entre las dos rectas con la expresión:

56 30 1 8 r r i j 3 4 1 5

r k 1 2

52 r r r 3i 7 j 19k

e) Distancia de una recta a un plano Se pueden dar tres casos distintos:

7 3 1 r i 3 1

1 4 5 r j 4 5

2 1 2 r k 1 2

52 9 49 361

52 y 2,54 419

133

Distància entre recta i pla

e) Distancia de una recta a un plano Se pueden dar tres casos distintos: Ê UÊ Si la recta está contenida en el plano, la distancia es cero.

Ê UÊ Si la recta es paralela al plano, calculamos un punto de la recta y hallamos la distancia que hay desde este punto hasta el plano.

Ê UÊ Si la recta corta el plano, la distancia es cero.

Distància entre recta i pla 13. Calcula la distancia que hay entre la recta y el plano siguientes: x 2 z 4 rx y P x 2x y z 5 3 5 Primero estudiamos la posición relativa. Debemos recordar que la distancia entre un plano y una recta es diferente de cero cuando rson paralelos, es decir, cuando el vector director de la r recta v 3, 1, 5 y el vector normal N 2, 1, 1 son ortogonales. Comprobémoslo: r r v N 3, 1, 5 2, 1, 1 6 1 5 0

134

Elegimos un punto de la recta, por ejemplo, P(2, 0, 4) y calculamos la distancia al plano: d P, P

Ax 0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2

2 1 1 2

14. **Determina el punto P de la recta r x x 3 L P x x y z 3 0 y P´ x y L M z

1 4 5

2 2 1 0

1 2

3 6

y 1,22

z que equidiste de los planos: y 1 3

6 M

Determinamos un punto genérico de la recta r: x 1 z

Distància entre dos plans

f) Distancia entre dos planos Se pueden dar tres casos distintos: Ê UÊ Si los dos planos son coincidentes, la distancia es cero. 0

Ê UÊ Si los dos planos son paralelos, calculamos un punto en uno de ellos y hallamos la distancia que hay desde este punto hasta el otro plano.

Ê UÊ Si los dos planos se cortan, la distancia es cero.

al plano P: 4 3 1 d 9 16 5

Distància entre dos plans

19. Calcula la distancia que hay entre los siguientes planos: P x 2x y z 3 P’ x 6x 3y 3z 7 Como podemos ver, los dos planos son paralelos, ya que los vectores normales son linealmente dependientes k · (2, 1, 1) ( 6, 3, 3) l k 3. Elegimos un punto cualquiera del plano P y aplicamos la fórmula de la distancia del punto hallado en el plano P’: 2x y z 3 para x 0 e y 0 z 3 P 0, 0, 3 P´ x 6x 3y d P, P´

3z 7

6 0 3 0 3 3 7

3 3 2

16 y 2,18 54 54

2. Ángulos

Angle dos rectes

a) Ángulo formado por dos rectas Se pueden dar cuatro casos distintos: Ê UÊ Si las dos rectas son coincidentes, el ángulo que forman es cero. 0

Ê UÊ Si las dos rectas son paralelas, el ángulo que forman es cero. 0

Ê UÊ Si las dos rectas son secantes, tomamos el ángulo más pequeño de los dos que forman.

Ê UÊ Si las dos rectas se cruzan, definimos el ángulo de las dos rectas como el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a ellas. Para calcularlo, tomamos un plano que contenga una de las rectas y proyectamos la otra sobre este plano. Suponemos las rectas: rx

a1 v1

a2 v2

r r v u El ángulo es: cos r, s r r v u

a3 v3

y sx

b1 u1

b2 u2

b3 u3

x y z 21. Sean las rectas r x y s x x y z, halla el valor de k a la recta r para que sea 2 2 k Angle dos rectes perpendicular a la recta s. Se debe exigir que el producto escalar de los vectores directores de las rectas dé cero: (2, 2, k) · (1, 1, 1) 0 l 2 2 k 0 l k 4 ª x 2 L x 2 z 22. Calcula el ángulo que forman las rectas: r x y s x « y 3 4L y 2 3 z 5 7L ¬ Determinamos los vectores directores de cada recta y aplicamos el producto escalar para calr r cular su ángulo. Los vectores directores son, respectivamente, v 2, 1, 3 y u 1, 4, 7 : r r v u 2, 1, 3 1, 4, 7 2 4 21 cos r, s r r v u 2, 1, 3 1, 4, 7 4 1 9 1 16 49 27 y 0, 888 14 66

A 27º 20’ 52”

b) Ángulo formado por una recta y un plano Se pueden dar tres casos distintos: Ê UÊ Si la recta está contenida en el plano, el ángulo que forman es cero.

14 66

Angle recta i pla

b) Ángulo formado por una recta y un plano Se pueden dar tres casos distintos: Ê UÊ Si la recta está contenida en el plano, el ángulo que forman es cero.

Ê UÊ Si la recta es paralela al plano, el ángulo que forman es cero.

140

Ê UÊ Si la recta es secante, el ángulo que forman la recta y el plano es el ángulo formado por la recta y la proyección de esta sobre el plano. x a1 y a2 z a3 Sean la recta r x y el plano P x Ax By Cz D 0: v1 v2 v3 r r v N r sen r, P r r donde N A, B, C v N

14 66

Angle recta i pla

b) Ángulo formado por una recta y un plano Se pueden dar tres casos distintos: Ê UÊ Si la recta está contenida en el plano, el ángulo que forman es cero.

Ê UÊ Si la recta es paralela al plano, el ángulo que forman es cero.

140

Angle recta i pla

23. Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano P: x 4 y rx z 2 P x 5x 4y 7z 9 2 3 El vector director de la recta y el vector normal del plano son, respectivamente: r r N 5, 4, 7 v 2, 3, 1 El ángulo que forman la recta y el plano es: r r v N 10 12 7 o senA r r 0,2535 A 14 41´15“ 4 9 1 25 16 49 v N

c) Ángulo formado por dos planos Se dan tres casos distintos: Ê UÊ Si los dos planos son coincidentes, el ángulo que forman es cero.

senA r r 0,2535 A 14 41´15“ 4 9 1 25 16 49 v N

Angle 2 plans

c) Ángulo formado por dos planos Se dan tres casos distintos: Ê UÊ Si los dos planos son coincidentes, el ángulo que forman es cero. 0

Ê UÊ Si los dos planos son paralelos, el ángulo que forman es cero.

Ê UÊ Si los planos son secantes, el ángulo que forman es el determinado por dos rectas secantes, una a cada plano, y perpendiculares a la recta de intersección de los planos. P x Ax By Cz D 0 y P’ x A’x B’y C’z D’ 0 r r N N´ r r cos P, P´ r r donde N A,B,C y N´ A´, B´, C N N´

141

N N´ 6 4 30 20 o cosA r r 0,4396 A 63 55´ 21“ 9 1 36 4 16 25 46 45 N N´

Àrees

3. Áreas y volúmenes Figura

Área/Volumen

Paralelogramo ABCD

uuur uuur Área = AB rAC

Triángulo ABC

uuur uuur Área = 1/2 AB r AC

Paralelepípedo

142

Dibujo

1/2