MATEMÁTICAS
TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS
Juan Jesús Pascual
LOGARITMOS A. Introducción Teoría A.1. Definición de logaritmo. A.2. Logaritmos naturales. A.3. Cambio de base. A.4. Propiedades.
B. Ejercicios resueltos B.1. Dado un logaritmo, hallar su valor. B.2. Dada una expresión logarítmica, hallar su valor. B.3. Hallar el término desconocido. B.4. Desarrollar expresiones logarítmicas B.5. Escribir como un solo logaritmo.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Definición de logaritmo: Sea x un número. El logaritmo de ese número es el exponente al que hay que elevar cierta base b para obtener x: y x = b ⇔ y = log x b Ejemplo:
El logaritmo de 16 en base 2 es el exponente al que hay que elevar la base 2 para obtener 16, es decir, cuatro: y log 2 16 = 4 , ya que 16 = 2 ⇔ y = log 2 16 = 4
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Logaritmos resueltos
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A.2 Logaritmos naturales: Los logaritmos que tienen como base al número e, son llamados “logaritmos naturales”. Se simbolizan con la abreviatura ln. ln x = log e x
A.3 Cambio de base en los logaritmos: Si queremos expresar log a x mediante log b x sólo tenemos que tener en cuenta que: log a M log b M = log a b A.4 Propiedades: I.
log a MN = log a M + log a N
IV.
log a 1 = 0
II.
log a M p = p ⋅ log a M
V.
log a a = 1
III.
log a
VI.
a log a b = b
M = log a M − log a N N
B. EJERCICOS RESUELTOS
B.1. Dado un logaritmo, halla su valor: 1.
log 2 64 = log 2 2 6 = 6 ⋅ log 2 2 = 6 ⋅ 1 = 6
2.
1 1 1 1 log 2 2 = log 2 2 2 = ⋅ log 2 2 = ⋅ 1 = 2 2 2
3.
1 1 1 1 1 1 1 log 1 2 = log 1 2 2 = ⋅ log 1 2 = ⋅ log 1 = ⋅ (−1) log 1 = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
−1
−1
4.
4 1 1 4 4 log 1 5 81 = log 1 5 3 4 = log 1 ( 3 4 )5 = log 1 3 5 = ⋅ log 1 3 = ⋅ log 1 = 5 5 3 3 3 3 3 3 3 1 4 4 4 = (−1)⋅ log 1 = − ⋅ 1 = − 5 5 5 3 3
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5.
Logaritmos resueltos
2
log 10 (5 log 10 100) = 2 log 10 ( 5 log 10 100) = 2 log 10 ( 5 log 10 10 2 ) =
= 2 log 10 (5 ⋅ 2 log 10 10) = 2 log 10 10 = 2 10
6.
7.
log
log 9
1 1 32 = log 1 2 = log 1 2 2 = 10 ⋅ log 1 2 2 = 10 22 22 22 5
2
3
3 ⋅ 5 27 = log
1
3⋅3 2
3 ⋅ (3
1 3 5
)
= log
1
32
+1
3
3 +1 5
82 ⋅
3 5 3 = log 3 3 = log 3 3 2 = 32 32 8 5
3 16 16 = log 3 3 2 = 15 15 32 B.2. Dada una expresión logarítmica, hallar su valor. 8.
9.
10.
11.
1 1 = log 2 2 5 + log 2 2 3 + log 2 2−2 = 4 1 1 6 = log 2 2 + 3 log 2 2 − 2 log 2 2 = + 3 − 2 = 5 5 5
log 2 5 2 + log 2 8 + log 2
1 1 ln 1 + ln e + ln e 3 + ln 3 e + ln = = 0 + 1 + 3 ln e + ln e 3 + ln e−1 = e
1 , si log 3 ≈ 0,477 9 1 1 3 log 810 + log 0, 03 + log 5 = log (3 4 ⋅ 10) + log + log (3−2 )5 = 9 100 2 2 = 4 log 3 + log 10 + log 3 − log 10 2 − log 3 = 4 log 3 + 1 + log 3 − 2 − log 3 = 5 5 23 = log 3 − 1 = 2, 1942 − 1 = 1, 1942 5 log 810 + log 0, 03 + log 5
0, 25 1, 6 + log , si log 2 ≈ 0,301 8 5 0, 25 1, 6 log 5 0, 04 + log 3 + log = 8 5 log 5 0, 04 + log 3
1
2 2 = log 100
1 5
1
2 3 4 2 5 2 + log 10 = + log 100 3 2 5
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Logaritmos resueltos
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5 2 2 4 2 1 1 1 100 = log + log 3 + log 10 = 100 3 2 2 5 5 1 52 24 1 1 = (log 2 2 − log 10 2 ) + log − log 2 3 + log − log 5 = 2 100 10 5 3 1 1 1 10 10 = (2 log 2 − 2 log 10) + 2 log − 2 log 10 − 3 log 2 + 4 log 2 − log 10 − log = 2 5 3 2 2 1 1 1 = (2 log 2 − 2) + 2 (1 − log 2) − 2 − 3 log 2 + 4 log 2 − 1 − (1 − log 2) = 5 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 7 7 = log 2 − + − log 2 − − log 2 + 2 log 2 − − − log 2 = − + log 2 = 5 5 3 3 3 2 2 2 5 30 7 7 = − + log 2 = −1, 33 5 30 2
3
12.
log a a 5 a + log 1 a
1 a = log a a ⋅ a 5 + log 1 a a
1
6
6 1 6 a2 5 = log a + log 1 = a 3 a a a
6 1 41 = + = 5 6 30
13.
log a−b
3
1 b + log a + log a+b a + b = a−b b a −1
1 1 a = log a−b (a − b)3 + log a + log a+b (a + b)2 = b b
a 1 1 1 1 1 = log a−b (a − b) − log a + log a+b (a + b) = − 1 + = − 2 3 3 2 6 b b
14.
log a ( 3 a ⋅ a 3 ) − log b
(
5
1 = log a a 3 ⋅ a 3 − log b
(
)
−3
b 2 : b 2 + log a⋅b (ab) = 5
10 −8 10 8 29 b−8 − 3 = log a a 3 − log b b 5 − 3 = + − 3 = 3 5 15
)
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Logaritmos resueltos
−1
15.
1 a 1 b − log a−b + log a log a−b (a − b) 2 + log a a−b b a b b = 1 log a+b a + b log (a + b)2
=
a+b
a 1 − log a−b (a − b) − log a − 1 − 1 2 b b = = 2 = −3 1 1 log a+b (a + b) 2 2
1 1 3 5 log 2 + log 2 2 4 + log 2 2−3 ( ) 2 8= = 2 log 2 4 − 3 log 2 2 log 2 4 2 − log 2 2 3 3 3 log 2 2 5 + 4 log 2 2 − 3 log 2 2 5 + 4 − 3 8 = = = 4 log 2 2 − 3 log 2 2 4−3 5
log 2 5 8 + log 2 16 + log 2
16.
2 1 25 log 2 − log 2 25 − 5 8 = log 2 40 − log 2 10 log 2 2 + log 2 4 log 2 8 + log 2
17.
=
= =
18.
log 2 2 3 + (log 2 2 − log 2 5 2 )
(log 2 5 + log 2 2 3 ) −(log 2 5 + log 2 2) 3 + (1 − 2 log 2 5)
(log 2 5 + 3) −(log 2 5 + 1)
−
−
log 2 5−1 − (log 2 52 − log 2 2 3 ) log 2 2 + log 2 2 2
− log 2 5 − (2 log 2 5 − 3) 1+2
=
4 − 2 log 2 5 −3 log 2 5 + 3 − = 2 − log 2 5 − 1 + log 2 5 = 1 2 3
7, 2 3 ⋅ 0, 006−2 log b . Datos: 25 ⋅ 3, 2 4
log b 2 = 4 log 3 = 2 b log b 5 = −3
7, 2 3 ⋅ 0, 006−2 log b = log b (7, 2 3 ⋅ 0, 006−2 ) − log b ( 25 ⋅ 3, 2 4 ) = 25 ⋅ 3, 2 4 3 4 −2 2 2 ⋅ 32 2 4 3 2 = log b + log b 2 3 − log b (5 ) + log b = 2 ⋅5 5 5
= 3[ 2 log b 2 + 2 log b 3 − log b 5]− 2 [ log b 3 − 2 log b 2 − 3 log b 5]−
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=
Logaritmos resueltos
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− 2 log b 5 + 4 ( 4 log b 2 − log b 5) = = 3 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 − (−3) − 2 2 − 2 ⋅ 4 − 3 (−3) − {2 (−3) + 4 4 ⋅ 4 − (−3)} =
= 3[ 8 + 4 + 3 ]− 2 [ 2 − 8 + 9 ]− {−6 + 4 [ 16 + 3]} = −31
B.3 Hallar el término desconocido.
19.
log a 125 = 3 ⇒ a 3 = 125 ⇒ a 3 = 5 3 ⇒ a = 5
20.
log a 243 = 5 ⇒ a 5 = 243 ⇒ a 5 = 35 ⇒ a = 3
21.
log 625 25 = x ⇒ 625 x = 25 ⇒ 5 4 x = 5 2 ⇒ 4x = 2 ⇒ x =
22.
log 32 0, 25 = x ⇒ 32 x = 0, 25 ⇒ 2 5x =
23.
1 5 1 1 log x 2 = ⇒ x 5 = 2 ⇒ x 5 = 2 5 ⇒ x 5 = 2 5 ⇒ x = 32 5
1 2
1 2 ⇒ 2 5x = 2−2 ⇒ 5x = −2 ⇒ x = − 4 5
5
B.4. Desarrollar expresiones logarítmicas: x⋅ y = log a x ⋅ y − log a z = log a x + log a y − log a z z
24.
log a
25.
x x log a = 2 log a = 2 (log a x − log a y) y y
26.
log a
2
27.
x⋅ y = log a x ⋅ y − log a z = log a x + log a y − log a z z
1 x3 y = log a x 3 y − log a z = log a x 3 + log a y − log a z 2 = z 1 = 3 log a x + log a y − log a z 2
log a
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Logaritmos resueltos
B.5. Escribir como un solo logaritmo:
2
xy y3 = log 2 = log x x 2 y
28.
x x log (xy) − 2 log = log (xy) − log y y
29.
2 2 ln (a − b) − ln (a 2 − b2 ) = ln (a − b) − ln (a + b)(a − b) =
2
a − b (a − b) = ln (a − b) − ln (a + b)(a − b) = ln = ln a + b (a + b) (a − b) 2
1
30.
4 log 2
4 4 a − b 4 2 a − b a − b a−b 1 log − log − log 2 = 2 2 a = a a a 2 2
= log 2
(a − b) a4
2
a − b − log 2 a
2 (a − b) a 2 (a − b)2 a4 = = log 2 4 = log 2 2 (a − b)2 a a − b ( ) a 2
1 log 2 2 = log 2 (a−2 ) a
31.
32.
1 1 2 2 log 5 (x) − log 5 (b) + (x + 2) log 5 (7 ) = log 5 x − log 5 b 3 + log 5 7 x+2 = 3 2 x x 2 ⋅ 7 x+ 2 x 2 ⋅ 7 x+2 = log 5 1 + log 5 7 x+2 = log 5 = log 5 1 3 b b3 b3
a b /c ay ay b a c log + log + log − log = log ⋅ ⋅ − log = b d c xd xd b /c d a a cd x a ay cd = log − log = log = log = log cd cy xd ay ay xd xd
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Logaritmos resueltos
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x 1 x 2 y = log 2 (xy) − log 2 2 + log 2 2 y 2 x 2 y x 2 y x 2 y 4 xy = log 2 y 3 = log 2 = log 2 + log 2 x 2 2 2 2 y
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