Matit by unicenter estudiantes

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TEORIA DE CONJUNTOS 1.1. Idea de conjunto Un conjunto es la agrupación o reunión de varios

objetos

llamados

elementos,

pudiendo ser estos ideales o reales. Todo conjunto se denota generalmente con una letra mayúscula, siendo representados por signos de conexión (llaves, paréntesis) donde cada elemento de un conjunto es separado por una coma. A= {Los alumnos de secretariado computarizado del 1º ciclo} Relación de pertenencia (

)

Nos indica si un objeto es elemento de un conjunto que sea analizado. Ejemplo Sea B={ a, e, i, o, u }, a, b

Cardinal de un conjunto (CAR, n) El cardinal de un conjunto nos indica la cantidad de elementos diferentes que tenga un conjunto. Ejemplo

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Sea B={ a, e, i, o, u }, indicar su cardinal Sea M={ 3,2,8,8,8,8}, indicar su cardinal

1.2. Determinación de un conjunto Por Extensión Es cuando se nombra a cada uno de los elementos de un conjunto A= {a, e, i o, u} Por Comprensión Es cuando mediante una regla practica o propiedad se determina a todos los elementos de un conjunto. A= {x / x son las vocales} Ejemplos: B = {x/x∈ N; 2 < x < 8} Se lee: El conjunto B formado por todas las “x”, tal que “x” es un número natural entre 2 y 8. C = {x/x∈ N: 1≤ x < 10; x es par} Se lee: El conjunto C formado por………………. Página 3

De comprensión a extensión Para pasar un conjunto que está por comprensión a extensión, es necesario realizar los siguientes pasos que veremos en el ejemplo: Dado el siguiente conjunto, determinarlo por extensión. C= {x+2/x∈ N: 1≤ x < 10; x es par}

Paso 1: El intervalo siempre es el primer paso. De éste se obtienen los valores de x 1 ≤ x < 10,x: 1; 2; 3;4;5;6;7;8;9 Paso 2: De los valores obtenidos en el paso 1, se filtran o se escogen los que son pares X es par,x: 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9 x: 2; 4; 6; 8 Paso 3: Finalmente, se reemplazan los valores en: x+2;

2+2=4;

4+2=6; 6+2= 8;

8+2=10

Por lo tanto, el conjunto determinado por extensión es: C= {4; 6; 8; 10} Ejercicios Determinar por extensión el siguiente conjunto: Página 4

P = { x +1 /x∈ N; 4≤ x≤ 15; “x” es par} a) {5;7;9;11;13}

b) {2;4;6,8}

c) {4;6;8;10;12;14}

d) {5;7;9;11;13;15}

e) N.A.

Determina por extensión el siguiente conjunto: B = {2 x +1 /x∈ N; 1≤ x≤ 10; “x” es impar} a) {2;3;7} b) {1;3;5;7;9} c) {3;7;11;15;19} d) {3;7;11;15} e) N.A. 3. Determina por extensión el siguiente conjunto: A = { x +4 /x∈ N; 2≤ x≤ 11; “x” es impar} a) {7;9; 11; 13; 15} d) {2; 4; 6; 8;10}

b) {9; 11; 13; 15}

c) {7;9; 11; 13}

e) N.A.

4. Del conjunto A = {x∈ N: 1 < x < 5}, la suma de sus elementos es:

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a) 12 b) 8

c) 11

d) 9

e) 10

5. Si A = {4x/ x∈ N, 3≤ x < 6}; entonces por extensión será: a) A = {3; 4; 5} b) A = {4; 4; 4} c) A = {12; 16}

d) A = {12; 16; 20}

e) N.A. 6. Si: B = {x3 – 1/ x∈ N; 2≤ x≤ 5}; entonces por extensión será: a) B = {2; 3; 4; 5}

b) B = {2; 3; 4}

c) B = {7;26; 63}

d) B = {7; 26; 63; 124}

1.3. Comparaciones entre conjunto a. Inclusión (): Se dice que un conjunto está incluido, es decir dentro de otro conjunto, si solo si todos los elementos del primer conjunto son también elementos del segundo conjunto b. Iguales: Solo si tienen los mismos elementos. c. Disjuntos: Cuando no tienen ningún elemento en común d. Equipotentes: Es cuando tienen la misma cantidad de elementos (cardinales iguales) 1.4. Operaciones con conjuntos Unión o Reunión Página 6

La unión de 02 conjuntos se denota por A U B, y está formado por los elementos de ambos Intersección La intersección de 02 conjuntos se denota por A  B, y está formado por los elementos comunes de ambos Diferencia La diferencia de 02 conjuntos se denota por A- B, y está formado por los elementos que le pertenecen solamente la conjunto A, pero no le pertenecen al conjunto B Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de 02 conjuntos se denota por A  B, y está formado por todos los elementos menos los comunes Complemento El complemento de un conjunto se denota por A´’, y está formado por los elementos del universo pero que no le pertenecen al conjunto A Ejercicios Colocar Verdadero O Falso Donde Corresponda (V) o (F) B= {x/x

Z+; x es par  20}  A = {1, 2,3,... ,20}

P= {x/x

Z+; 5  x  20}



M = {3,... ,20}

P= {x2/x

Z+; 1  x  3}



R = {3,4, 5, 7, 9}

…………. ………… …………. Página 7

B= {2x-1/x

Z+; 3  x  7} 

C = {1,3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 15}

…………

Colocar Verdadero o Falso Donde Corresponda (V) o (F) A = {1, 3, 5, 7, 1,7, 9} 1A…… 7A..

1,3A…… 5, 1,7A…

7,1A…. 1A…

,7A….. 3,9A…

Problemas 1. Si en un total de 50 alumnos de primer ingreso, 30 estudian Basic, 25 Pascal y 10 estudian ambos lenguajes. ¿Cuántos alumnos de primer ingreso estudian solo pascal?, ¿Cuántos alumnos de primer ingreso no estudian ningún curso mencionado? 2. Una compaña tiene 350 empleados, de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario. Página 8

a. ¿Cuántos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos? b. ¿Cuántos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un aumento? c. ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron promovidos? 3. En la última olimpiada se realizaron 15 pruebas contando con la participación de 50 atletas observándose al final: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce, 7 conquistaron medallas de oro y plata, 6 de plata y bronce, 8 de oro y bronce ¿Cuántos no conquistaron medallas? 4. En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman cálculo, psicóloga y computación; 33 toman cálculo y computación; 20 toman cálculo y psicóloga; 24 toman psicóloga y computación; 79 están en cálculo; 83 están en psicóloga y 63 toman computación. a. ¿Cuántos estudiantes toman exclusivamente psicóloga? b. ¿Cuántos estudiantes toman solamente dos materias? c. ¿Cuántos estudiantes toman cálculo y computación? d. ¿Cuántos estudiantes no toman ninguna de estas asignaturas? 5. De 150 alumnos, 104 no postulan a la UNI, 109 no postulan a la San Marcos

y 70 no postulan a ninguna a ninguna de estas dos

universidades ¿Cuántos postulan a ambos? 6. En un salón del instituto estudian 140 estudiantes, al ser preguntados por la preferencia de los cursos de Raz. Matemático y Raz. Verbal el resultado fue el siguiente: 70 prefieren estudiar Raz. Matemático y 90 prefieren estudiar Raz. Verbal, 20 no prefieren estos cursos. ¿Cuántas prefieren ambos cursos? Página 9

7. En un grupo de niños, 70 comen naranjas, 80 comen plátanos y 50 comen plátanos y naranjas. ¿Cuántos son los niños del grupo? 8. En una fiesta de 150 personas se observó: 80 consumieron gaseosa, 90 consumieron ponche y 30 no consumieron ningún tipo de bebida. ¿Cuántas personas consumieron los dos tipos de bebida?.

TANTO POR CIENTO Es el número de unidades tomadas de una cantidad considerada como equivalente a 100

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Ejemplo, si decimos que una fiesta el 20% son mujeres significa: Que de cada 100 personas son mujeres (es decir 20 partes de 100) Equivalencias:

20% equivales a = 10% equivales a = Calcular el 25% de 36 Calcular el 70% de 90 7 que tanto por ciento es de 28% Operaciones con el tanto por ciento Adición

Multiplicación

20%A + 15%A =

-) 3(20%A) =

15%A + 25%A =

-) 5(10%A) =

Sustracción

División

35%A – 10%A =

-) 35%A/7 =

65%B – 16%B =

-) 40%A/8 =

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Descuentos sucesivos Se explicar con una aplicación: Ej.: Un artículo cuesta 2875, y tiene los siguientes descuentos sucesivos: 1er precio: 5% de descuento 2do precio: 3% de descuento 3er precio: 1% de descuento Cada uno de estos descuentos no se aplican sobre la misma cantidad, sino que se aplican sobre el saldo que queda después de haber aplicado el descuento anterior. Es decir que para calcular el último precio de este artículo de este ejemplo debemos hacer lo siguiente: 1er precio: 2875 - 2875*0.05 = 2732.25 2do precio: 2732.25 – 2732.25*0.03 = 2650.28 3er precio: 2650.25 – 2650.28*0.01 = 2623.78 Aumentos sucesivos Se demostrara con una aplicación: Dos aumentos sucesivos del 40% y del 80% aplicados a un mismo artículo cuyo precio es 50000, equivalen a. Aplicaciones comerciales PV = PC + G PV = Precio de venta

PV = PC – P

PV = PF – R

PF = Precio Fijado Página 12

PC = Precio costo

R = Rebaja

G = Ganancia

P= Perdida

Ejercicios 1. Juan tiene que pagar $ 90.000. Si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que pagar todavía? a) $ 450

b) $ 4.550

c) $ 85.500

d) $ 89.500

e) $ 94.550

2. Un metro de tela me cuesta $ 1.500. ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% de lo que costó? a) $ 1.800

b) $ 1.200

c) $ 1.300

d) $ 1.000

e) $ 350

3. Pedro tenía $ 80.000. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le queda? a) $ 16.000 b) $ 28.000

c) $ 52.000

d) $ 54.400

e) $ 78.000

4. Un artículo se sube de $ 1.500 a $ 1.800. ¿Cuál es el porcentaje de alza? a) 5%

b) 10%

c) 15%

d) 20%

e) 25%

5. Metro anuncia su rebaja increíble 30% en el precio de cualquier producto. Decir cuál es el precio de venta, de una bicicleta que su precio de lista es de $ 140.00 6. El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta en un 20%, mientras que la altura disminuye en un 12%. Determinar en qué porcentaje varía el volumen, especificando si este aumenta o disminuye. RTA: Aumenta 26,72%.

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7. Una magnitud variable aumentó, en una primera etapa, en el 30% de su valor y, en una segunda, disminuyó en el 20% del valor que tenía al finalizar la primera etapa. Cuál era el valor inicial de tal magnitud si al finalizar la segunda etapa era de 8.840? 8. Determinar el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 40 y del 25%. 9. El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre. a) Calcula el precio final tras las dos subidas. 10. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15%. a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

TEORIA DE ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos este presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.

Clasificación de las ecuaciones A las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones podemos clasificarlas en: Ecuaciones Compatibles: son aquellas que poseen al menos una solución. Estas se clasifican Página 14

Compatible Determinada: una ecuación es compatible determinada, si es posible determinar la cantidad de sus soluciones. Compatible indeterminada: una ecuación es compatible indeterminada si no es posible determinar la cantidad de sus soluciones Ecuación Incompatible: son aquellas ecuaciones que no poseen soluciones, su conjunto solución es el vacio. C.S. = Ø Ecuaciones Equivalentes: son aquellas ecuaciones que presentan el mismo conjunto solución Ecuaciones Lineales Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1. Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica: ; con a diferente de cero. Su solución es la más sencilla:

Resolver a. 4x – (2x – 1) + x = 2x – (2 + x) – x b. 7x – [(x + 5) – (3x – 1)] = 12 c. 3(x + 4) – 25 = 2(x + 1) – 14 d.

3x 2

5 3

=x–1

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x 1 x  2 3 4

x2 x4  2 4 2

x3 x1  2 5 3

3x 2x x  2  4 3 2

x 4  x 1 5

3x  1 2x  1  x 7 3

k. 2(x + 3) + 6(x + 2) + 4= 100 l. 4x – (2x + 1) + x = 2x – 2(2 + x) m.

2x  3 x  1  2 5

3x  1 2x  1  x 7 3

3x  1 4x  1 x   0 4 3 6

1  2x x4 1 9 6

x2 x3 x4 x5    2 3 4 5

x  1 7(x  1) x  2 x  2    3 24 8 8

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables

x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. Resolverlos sistemas de ecuaciones con 02 variables.

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Ejercicios adicionales 1. n + 3t = –1 2n – t = 12

Hallar: 2n. t

2. 3x – y = 18 x + 2y = -1

Hallar: y/3

3. 3x + 2y = 5 2x + 3y = 5 Indicar el valor de: E 

x y

4. 5x + 7y = 17 2x + y = 5

Indicar: 3x + 6y

5. –2x + 5y = 12 ………….(1)

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2x + 8y = 14…………. (2) Indicando: x2 + y2 6. 3x + y = 5 5x + 4y = 13 Halla 3x+ 7y 7. 5x – 6y = 9 3x + 2y = 11

Halla x.y

SISTEMA DE ECUACIONES CON 03 VARIABLES

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Solución de una ecuación cuadrática La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

, Donde el símbolo "±" indica que los dos valores y

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Discriminante de una ecuación cuadrática Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

Podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:  Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo  Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero  Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo Propiedades de las raíces de una ecuación Sea la ecuación

, de raíces

se cumplen los

siguientes dos aspectos:

Suma de raíces

Producto de raíces

Propiedades de las raíces

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La ecuación

, de raíces

son simétricas, si la suma

es igual a cero. La ecuación

, de raíces

son reciprocas, si el

producto es igual a la unidad. Construcción de una ecuación conociendo sus raíces X2 - (X1 + X2 ) X + (X1 . X2 ) = 0 Resolver los siguientes ejercicios:

Ejercicios adicionales a. b. Calcular “m” de la ecuación (m-2)X2 + (5m)X – 6 =0 para que la suma de sus raíces sea igual a 2/3.

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c. Determinar el valor de “K” en la ecuación (K-1)X2 + 5(X-2) =K(X-1) si tiene raíces simétricas. d. (x + 4)2 + (x + 1)2 + 2x = (x + 6)2 + (x – 1)2 e. (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + x2 + 2x

DESIGUALDADES E INECUACIONES Una desigualdad es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos; ≥, ≤, >, <. Luego, si a y b ͼ R a < b dice que a es menor que b a > b dice que a es mayor que b (Estos dos son conocidos como desigualdades estrictas) a ≤ b significa que a es menor o igual que b a ≥ b significa que a es mayor o igual que b.

Teoría de Inecuaciones Una inecuación es una expresión de la forma: ax + b

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones. Página 24

Resolver y la solución se representar en la recta numérica: x  9  18 a. 3 2( x  3)  10 3 b.

c. 3 – (6x +1) ≤8 – (9x +3) d. 2(x + 5) < 16 e. 3(x + 4) – 1>11 f.

x 1 x 1  6 2 3

g. 7x –

1 4

<x+

7 4

SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Sean las ecuaciones Resolver a. 5x + 6 < 3x – 8 y 3x > 2

d. Página 25

4(1  x)  2  1  3x

d. 6(3  x)  1  4 x  3

x 1 x  2  x 3 4 x 1 x 1  2 4 6

2 x  30 > 3x  12 2x  3 > x  1

GEOMETRIA ANALITICA Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano.

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Plano cartesiano: está formado por dos rectas perpendiculares

entre sí

denominadas ejes de las abscisas(X) y ejes de las ordenadas (Y), que se cruzan en el origen de coordenadas (0,0)

Distancia entre dos puntos: Sean los puntos A(X1 , Y1) y B(X2 ,Y2) hallar la distancia “d”

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Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos: A(2 , 1 ) y B( -3 , 2 ).

Coordenadas del punto medio: Sea el segmento A(X1 , Y1) y B(X2 ,Y2) , las coordenadas del punto medio es M(X0 ,Y0) X0 = Semisuma de las abscisas Y0 = Semisuma de las ordenadas Área de un triangulo Para hallar el área de un triangulo es necesario conocer las coordenadas de los vértices del triangulo

Ejercicios 1. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A (-3,-1); B (0,3); C (3,4) y D (4,-1). Hallar también el área del triangulo formado por los vértices BCD

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2. Calcular las coordenadas del punto medio Q. (3; 6)

Q (-5; 4)

3. Calcular a - b en:

(4; 16) (12; 12) (2; 10)

(a; b) (10; 10)

4. En la figura, calcular “x” (2; 8)

(4; 4) x

(1; 2)

(11; 2)

5. Calcular: x + y (8; y)

(2; 4)

(x; 2)

ECUACION DE LA RECTA Página 29

Pendiente De Una Recta La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

La pendiente m = Tg()

Pendiente dados dos puntos P1(X1, Y1) y P2(X2 ,Y2)

Ecuación de la recta

Ejemplo. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

2 . Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

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3. Hallar la ecuaciรณn de la recta que pasa por el punto (- 3. I) y es paralela a la recta determinada por los dos puntos (0, - 2) y (5, 2). 4. Calcular la ecuaciรณn de la recta punto pendiente: y

(0, 1) (-1, 0)

x 5. Hallar la distancia de Q(โ 3, 4) a la siguiente recta: 2x + 3y = 4 6. Hallar la ecuaciรณn de la recta P (-3; 11) y

Q 0

(12;

3) x

7. Hallar el punto de intersecciรณn de las rectas: 6 x - 5 y = - 27 8x+7y=5 8. Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuaciรณn es y=mx+5, para que pase por el punto de intersecciรณn de las rectas, representadas por las ecuaciones:

y = -3x- 5,

y = 4x + 2.

9. Determinar la ecuaciรณn de la recta que pasa por el punto de intersecciรณn de las rectas: 5 x - 3 y = - 2 y 8 x + 7 y = 44 y es perpendicular a la recta que estรก definida por la ecuaciรณn: y = 2/3x + 1

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10. Los vértices de un triángulo son los puntos: A (2; 3), B (5; -4) y C (1; 8). Calcular la pendiente del lado mayor.

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación De La Circunferencia Con Centro En El Origen De Coordenadas Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a: Ejercicios 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio2

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2. 3 . Hallar la ecuaciรณn de la circunferencia de centro (2,3) y que pasa por el punto (5,1)

4. Indicar la ecuaciรณn de la circunferencia y 3

C r

5. Calcule la ecuaciรณn de la circunferencia. y

O (0,0)

(10,0)

6. Indicar la ecuaciรณn de la circunferencia y r 3

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7. Determine la ecuaci贸n de la circunferencia y r o

C (6; 0)

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