Jugando con la EconomĂa A. Teoria de Juegos B. Teoria de Juegos entre dos Jugadores C. Elementos de la Teoria de Juegos D. Identificacion de los Jugadores E. Identificacion de las Estrategias del Jugador I y II
Contenido
F. Ecuaciones para la Resolucion del Problema
Punto A ............................... 2
G. Estrategia Punto de Silla
Punto B ............................... 2
H. Metodo Algebraico
Punto C ............................... 3 Punto D ............................... 3
I. Metodo del Sub-Juego
Punto E ............................... 4
J. Metodo Grafico
Punto F ............................... 4
K. Caso Practico I M. Caso Practico II
Punto G ............................... 4 Punto H ............................... 5 Punto I ................................ 5 Punto J ................................ 6 Punto K ............................... 6 Punto L ............................... 7 Punto M............................... 8
Teoría de Juegos. Prediciendo resultados. ¿Emplea métodos de la psicología? Algunas ramas de la teoría de los juegos tienen en cuenta aportaciones procedentes de la psicología, pero el cuerpo principal no, porque sólo estudia los intereses de la gente y trata de explicar lo que cada uno hace en función de ese interés y de las circunstancias.
Es un tipo de análisis matemático orientado a predecir cuál será el resultado cierto o el resultado mas probable de una disputa entre dos individuos, trabajando en la elaboración y manejo de un tipo especial de modelos, denominados juegos, el cual es un modelo de situación de independencia estratégica. Como ocurre con cualquier otro modelo, el objetivo es utilizar un proceso de abstracción que nos lleve de la situación real a un
sistema de relaciones más sencillo, pero más claro y preciso, en cuyo marco se verá facilitado el análisis deductivo. John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern lo desarrollaron en
TEORÍA DE JUEGOS Algo de Historia La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece
en
por
una
carta
James
escrita
Waldegra-
ve en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una solución mínima de estrategia mixta a una versión para dos personas del juego de cartas le Her Sin embargo no se publicó un análisis teórico de teoría de juegos en general hasta la publicación de Recherches sur les príncipes mathématiques de la théorie de
not en 1838.
2
des
Antoine
richesses,
Augustin
Cour-
Teoría de Juegos Entre 2 Jugadores Estos juegos son estrictamente competitivos o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una pérdida correspondiente para el otro jugador. Cada uno de dos jugadores tiene que escoger entre unas acciones dictadas a cada turno, y la pérdida de cada jugador es igual al beneficio de su contrincante. Los juegos de dos jugadores se pueden representar fácilmente en forma normal. Los hay de dos grandes tipos: de suma constante y de suma variable. Los de suma constante tienen en cada casilla de la matriz dos valores separados por una coma que sumados dan siempre el mismo valor total, esto juegos se pueden convertir en juegos de suma cero, que son aquellos en los que los valores de cada casilla suman cero. Los juegos de suma cero son un tipo de juego de suma constante. Los juegos de suma variable son el resto.
¿Qué herramientas necesita la Teoría de Juegos para funcionar? La Teoría de Juegos es una disciplina que involucra en grado alto la capacidad analítica y proyectiva del ser humano. Es, a la vez, una disciplina susceptible de ser aplicada a diversidad de casos, que a su vez se vale de las siguientes herramientas: 1. El conjunto de jugadores, quienes toman decisiones y son racionales, mientras
intentan
maximizar su utilidad. 2. Un árbol de juego, donde
El Real Madrid estropea un bonito ejercicio de Teoría de Juegos.
se ven reflejadas las decisiones que los jugadores toman en diferentes puntos en el tiempo.
Identificación de los Elementos de la Teoría de Juegos 1. Jugadores, que son los indi- sobre si el viduos que toman las decisiones objetivo buscado fue alcanzado. tratando de obtener el 6. Resultado, que son las conmejor resultado posible, o sea clusiones que el modelador obmaximizar su utilidad. tiene una vez 2. Acción, que es una de las que el juego se ha jugado opciones que el jugador tiene dis7. Equilibrio, un perfil de esponible para trategias integrado por la mejor alcanzar el objetivo buscado. estrategia 3. Información, que es el para cada uno de los jugadores conocimiento, en un determinado del juego. momento, de los valores de las distintas variables, los distintos valores que el jugador cree que son posibles.
3. La información que dispone un jugador en cada nodo en el que le toca decidir. 4. Las estrategias de cada jugador, las cuales guiaran al jugador hacia la acción a elegir cuando llega a cada nodo. 5.
Los
resultados de los
jugadores, los cuales se muestran en los nodos terminales del árbol de juego.
4. Estrategia, el cual es un conjunto de acciones a tomar en cada momento del juego dada la información disponible. 5. Equilibrio, que es la utilidad que reciben los jugadores al completar el juego, la evaluación posterior a la realización de la acción
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Identificación de Estrategias. Identificando Jugadores En un juego entre dos jugado-
Jugador I y II Considere el siguiente juego, en el cual el jugador I tiene dos opciones para escoger, y el jugador II tiene tres alternativas para cada elección del jugador I. La matriz de beneficios T se muestra a continuación:
res se representan mediante matrices en las que un jugador se asigna a la fila y el otro a la columna, cabe destacar que la perdida de un jugador significa la ganancia del otro o de suma no nula cuando la ganancia de los jugadores aumenta o disminuye en función de sus decisiones. Los jugadores identificados con las variables asignadas las cuales pueden ser jugador I y jugador II se representan en una matriz donde las estrategias viene dadas a fila por columna y asignar el valor de acuerdo a la decisión de cada uno. Cuando se analiza cualquier juego, se hacen los siguientes supuestos acerca de los dos jugadores: 1.
Cada jugador hace la
En la matriz de beneficios, las dos filas (i = 1, 2) representan las dos estrategias posibles que el jugador I puede emplear, y las tres columnas (j = 1, 2, 3) representan las dos estrategias posibles que el jugador II puede emplear. La matriz de beneficios esta orientada al jugador I, lo que significa que un valor positivo Tij es ganancia para el jugador I y una pérdida para el jugador II, mientras que un Tij negativo representa ganancia para el jugador II y una pérdida para el jugador I. Por ejemplo, si el jugador I utiliza la estrategia 2 mientras que el jugador II aplica la estrategia 1, el jugador I recibe t21 = 2 unidades y por lo tanto el jugador II pierde 2 unidades. Obviamente, en nuestro ejemplo el jugador II siempre pierde; sin embargo, el objetivo es minimizar el beneficio del jugador I.
mejor acción posible que tenga disponible. 2.
Cada jugador sabe que
su contrincante esta también hacienda mejor acción posible
Ecuaciones para la Resolución De un Problema
que tenga disponible.
Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo: a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1) Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, .. , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ..., a1n y el término independiente C1, son constantes reales.
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Estrategia Punto de Silla. Un juego estrictamente determinado El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de los minimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que Se convertirá automáticamente en el valor del juego. Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos uno punto de silla.
Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial. La vida en un Punto Silla.
Desarrollo del Método Algebraico Consiste en la determinación de los valores de probabilidad de la aplicación de cada una de las estrategias por parte de cada uno de los jugadores. Este tipo de solución es aplicable cuando no existe un punto de silla y preferiblemente cuando la matriz de consecuencias es cuadrada.
Este método es un poco más elaborado, pero también es útil para determinar las probabilidades de las estrategias de cada jugador p1, p2, c1, c2, se parte del hecho de que la ganancia que cada jugador espera por se-
leccionar su primera estrategia debe ser igual a su ganancia esperada por jugar su segunda estrategia. Así para el caso del jugador II, lo que este espera ganar por su primera estrategia es p1x11 + p2x21, mientras que su ganancia esperada para su segunda estrategia es p1x12 + p2x22 Para una mejor comprensión de este método, se considera un juego bipersonal en el cual cada uno de los oponentes maneja dos estrategias.
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Desarrollo del Método del Sub—Juego Este método es aplicable a juegos de 3x2 o de 2x3, en los cuales el procedimiento de solución consiste en dividir el juego en 3 sub-juegos de 2x2, cada uno de los cuales se obtiene a partir del juego original, eliminando de este una de las 3 estrategias cada vez por parte de aquel jugador que tenga las 3 opciones. Entonces se evalúa cada subjuego y se elige el que tenga el mejor valor para el juego con 3 estrategias, es
decir que se tomara el sub-juego de valor máximo si el juego inicial es de 3x2 y el sub-juego de valor mínimo si el juego es de 2x3.
Desarrollo del Método Gráfico Fang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo gráfico para un juego no cooperativo. Este consiste en un conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un CONJUNTO u={1,2,……..u} de escenarios, y una familia de funciones de pago Ki:UàR,iEN. El modelo se completa definiendo el conjunto de movimientos que un jugador puede realizar para cambiar (unilateralmente) de escenario y así obtener los grafos dirigidos Di. Dado que en el juego el objetivo es aumentar los pagos que recibe el jugador, tenemos las siguientes definiciones: dado u escenario g y un jugador i, el conjunto de los escenarios que el jugador puede alcanzar unilateralmente desde g se denota por Si(g). Si además, i recibe un pago estrictamente mayor, los escenarios de mejora unilateral para i son:
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CASO PRACTICO #1 Vamos a considerar un juego de suma cero. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán según las estrate-
gias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos, en la que p ara cualquier combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez
CONTINUACION CASO PRACTICO #1 En efecto: 1. Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo obtendré un resultado de 2. Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como míni-
Matriz de Pagos
mo obtendré 4. 3. Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré 3. 4. De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero
Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos. Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que indica mis pagos. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para
Matriz de Pagos
tomar mi decisión consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha añadido una columna indicando mis resultados mínimos.
es
4
ya
que
es el máximo de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia me garantiza que, como mínimo, obtendré 4.
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CASO PRACTICO #2
CONTINUACION CASO PRACTICO #2 Cada jugador tiene una estrategia dominante: Delatar o
confesar.
La solución cuando los dos confiesan es el equilibrio no cooperativo, de Nash. Ninguno de los dos tiene incentivos para cambiar estrategias,
dada
la
estrategia escogida por el otro. Sin embargo, estos jugadores habrían estado mejor si se hubieran podido
Dos individuos hicieron un atraco a un banco y son capturados por la policía. No existen pruebas de que asaltaran al Banco. La única forma de condenarlos es que uno de ellos incrimine al otro. Si ninguno de los prisioneros delata, sólo se les condenará a 1 año de cárcel. Si ambos confiesan, recibirán una sentencia de 10 años de cárcel cada uno. Si uno confiesa (y aporta pruebas para
condenar al otro) y el otro no confiesa, el que confiesa sale en libertad y aquel que no confiesa recibe una condena de 15 años. ¿Por qué es un dilema? Situación estratégica en la que cada uno de los dos jugadores tiene una estrategia dominante, pero jugar este par de estrategias conduce a un resultado en el que ambas partes están peor de lo que estarían si jugaran estrategias alternativas y cooperaran.
Matriz de pago del dilema del prisionero
do los dos callan es una
PRISIONERO (MIGUEL)
solución cooperativa, pero
CALLA(NO DELATA)
CONFIESA (DELATA)
PRISIONERO B (IVÁN)
CALLA (NO DELATA)
A : 1 año B : 1 año
A:Libre B : 15 años
CONFIESA (DELATA)
A: 15 años B : Libre
A: 10 años B : 10 años
coludir. La alternativa cuan-
A
inestable
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
Autores
Andrea Ferro Esteban Ortegón Daniel Oliva Glamisleidys Chourio
13 de Marzo de 2019