Unidad 16 – Probabilidad PÁGINA 365
SOLUCIONES 1. El azar no tiene memoria. Por cualquiera de las dos, cara o cruz. 2
2
⎛ 4⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 2. La probabilidad queda: P(2 hembras) = ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 8
3. El resultado más probable es 2 caras y 2 cruces, se presentará 6 veces de cada 16 por término medio. 4. Recopilamos la información en la siguiente tabla: Inglés
Francés
Total
Chicos
27
4
31
Chicas
63
6
69
Total
90
10
100
P(Chica) =
69 = 0,69 100
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SOLUCIONES 1. La suma queda: 1+ 3 + 5 + 7 + ... + 2n − 1=
1+ (2n − 1) · n = n2 2
2. La solución queda: 1.er piso: se necesitan 2 naipes. 2.º piso: se necesitan 5 naipes. 3.er piso: se necesitan 8 naipes. 4.º piso: se necesitan 11 naipes.
Luego en el enésimo piso habrá (3n − 1) naipes. (3n + 1)· n naipes. 2 (3·15 + 1)·15 Una torre con 15 pisos tendrá: = 345 naipes. 2 Veamos cuántos pisos tendrá un castillo de 3 775 naipes: Una torre con n pisos tendrá:
(3 n + 1)· n = 3 775 ⇒ 3n 2 + n − 7 750 = 0 ⇒ n = 50 pisos 2
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3. Imaginamos que la rueda del padre tarda 6 segundos en dar una vuelta y la del hijo 6 segundos en dar vuelta y media. En la situación de partida vuelven a estar al cabo de 12’’, pero en ningún momento coincidirán las marcas azules sobre el suelo. 4. El cuadrado de cualquier número entero termina en 0, 1, 4, 5, 6, 9. Si el número entero es par, su cuadrado es múltiplo de 4. i
Así, 142 = 196 = 4. i
Si el número entero es impar, su cuadrado es múltiplo de 4 + 1 . Así, 132 = 169 = 4 + 1. Ahora bien, si el número al cuadrado termina en 111, 555, 666 ó 999, éstos no son ni múltiplos de 4 ni múltiplos de 4 + 1 , luego no pueden ser. Veamos, pues, los que terminan en 000 ó 444. Efectivamente: 1444 = 382 , luego también se verifica si no son cero las cifras. 5. La demostración queda:
(2n )! = 2n ·(2n − 1)·(2n − 2)·...·3·2·1 Veamos si es cierta la igualdad anterior transformada en otra : 2n ·(2n − 1)·(2n − 2)·...·3·2·1> [1·3· 5·...· (2n − 1)] · 2n + 1 ⇒ 2
⇒
2n 2n ·(2n − 2)·...·6·4·2 > 2n + 1 ⇒ > 2n + 1 1·3· 5·...· (2n − 1) (2n − 1)·...5· 3·1
Esto es lo que vamos a demostrar por el método de inducción : Para n = 1 ⇒ 2 > 2·1+ 1 ⇒ 2 > 3 2n ·(2n − 2)·...·6·4·2 > 2n + 1 (2n − 1)·...5·3·1 (2n + 2)·(2n )·(2n − 2)·...·6· 4·2 > 2n + 3 ? (I) Veamos que es cierto para n + 1: ¿ (2n + 1)·(2n − 1)·...5·3·1 (2n + 2)·(2n )·(2n − 2)·...·6·4·2 (2n + 2) (2n )·(2n − 2)·...·6·4·2 (2n + 2) = > · 2n + 1 > 2n + 3 (2n + 1)·(2n − 1)·...5·3·1 (2n + 1) (2n − 1)·...5·3·1 (2n + 1)
Supongamos que es cierto para n :
Elevando al cuadrado : (2n + 2)2 (2n + 1) > (2n + 1) > (2n + 1)2 (2n + 3) ⇒ ⇒ 16n + 4 > 14n + 3 ⇒ 2n + 1> 0 Esto siempre es cierto, pues n ∈ ⇒ es cierta la desigualdad (I) ⇒ es cierto el enunciado.
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SOLUCIONES 1. El espacio muestral tiene 23 = 8 elementos: E = {(ccc )(ccx )(cxc )( xcc )(cxx )( xxc )( xcx )( xxx ) } . 2. Quedan: a) A ∩ C = {sacar oros} b) A ∩ B ∩ C = {∅} c) A ∪ B = {sacar oros o rey} d) B ∩ A = {rey de oros}
3. Quedan: a) No es una probabilidad pues P( A) + P(B ) + P(C ) + P(D ) =
77 ≠1 60
b) Es una probabilidad pues P( A) + P(B ) + P(C ) + P(D ) = 1 1 <0 3
c) No es una probabilidad pues P(B ) = −
4. Quedan: 1 2 b) Llamando P(C ) = x ⇒ P( A) = 6 x ; P(B ) = 2 x ; P( A) + P(B ) + P(C ) = 1
P( A) = 1− P(B ) − P(C ) =
⇒ 9x =1 ⇒ x =
5. La probabilidad es P(cruz) =
1 2 ⇒ P( A) = 9 3
1 4
6. Queda: P(Al menos un seis) = P(Suma 10) =
11 36
3 1 = 36 12
7. El espacio muestral tiene 16 elementos. 6 a) P(2 caras y 2 cruces) = 16 5 b) P(como máximo una cruz) = 16
c) P(alguna cara) =
15 16
d) P(como mínimo 3 caras) =
5 16
8. Queda: a) P(copas) =
1 4
b) P(figura) =
12 3 = 52 13
c) P(oros o sota) =
16 4 = 52 13
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9. Queda: 5 4 10 · = 14 13 91 9 5 45 b) P(1 roja y 1 negra) = · ·2 = 14 13 91 5 4 81 c) P(al menos 1 roja) = 1− · = 14 13 91 a) P(2 negras) =
10. Queda: 6 7 5 35 · · ·6 = 18 18 18 162 6 7 5 35 Sin devolución : · · ·6 = 18 17 16 136
Con devolución :
11. Queda: 6 5 3 6 8 4 5 34 · = ; P(materiales distintos) = · + · = 10 13 13 10 13 10 13 65 1 4 3 1 8 7 16 b) P(2 monedas de cobre) = · · + · · = 2 10 9 2 13 12 65 a) P(2 de aluminio) =
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SOLUCIONES 12. Introducimos los datos en una tabla: Mujeres
Hombres
Total
Gafas
62,5
600
662,5
No gafas
187,5
400
587,5
Total
250
1000
1250
Alumnas
Alumnos
Total
Ciencias
300
300
600
Letras
250
150
400
Total
550
450
1000
587,5 = 0,47 1250 600 b) P(mujer con gafas) = = 0,48 1250 a) P(persona sin gafas) =
13. Queda:
14. Queda:
(
a) P 3
impar
(
) = 31
b) P par
P(ciencias) =
mayor que 3
600 3 = 1000 5
) = 32
15. Queda: Hombres
Mujeres
Total
≥ 40 años
60
70
130
< 40 años
40
30
70
Total
100
100
200
1 a) P(mujer) = = 0,5 2 7 b) P(< 40 años) = = 0,35 20 70 7 c) P mujer = = ≥ 40 años 130 13
(
)
16. Queda: Hombres
Mujeres
Total
Enfermo
12
11
23
No enfermo
188
89
277
Total
200
100
300
200 = 0,67 300 23 b) P(enfermo) = = 0,77 300 12 c) P hombre = = 0,52 enfermo 23 a) P(hombre) =
(
)
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17. Sean A y B respectivamente la primera y la segunda prueba. a) P( A ∪ B ) = P( A) + P(B ) − P( A ∩ B ) = 0,6 + 0,8 − 0,5 = 0,9 b) P(no pase ninguna) = 1− P(pase al menos una) = 1− 0,9 = 0,1 c) No son independientes puesP( A)·P(B ) ≠ P( A ∩ B ) 0,3 = 0,75 ( A) = P(P(A ∩A)B) = P(B1) −−P(P(AA)∩ B) = 0,4
d) P B
18. Queda:
12 = 0,04 300 8 2 = = b) P nocturno defectuosa 12 3 4 1 = = c) P diurno defectuosa 12 3 a) P(defectuosa) =
Defectuosa
Diurno
Nocturno
Total
4
8
12
200
100
300
No defectuosa Total
( (
)
)
19. Queda: B 2 4 P(B1 )·P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ · B 4 B 1⎠ ⎝ 4 6 P ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = = = ⎝ B2 ⎠ P(B )·P ⎛ B2 ⎞ + P(R )·P ⎛ B2 ⎞ 2 · 4 + 2 · 3 7 ⎜ B⎟ ⎜ R ⎟ 1 1 4 6 4 6 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠
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SOLUCIONES 20. Queda: a) P(defectuoso y por A) =
b) P(defectuoso) =
50 1 · = 0,25 100 2
50 1 25 1 25 1 17 · + · + · = 100 2 100 4 100 6 48
25 5 · 10 100 6 c) P C = = no defectuoso 25 5 50 1 25 3 31 · + · + · 100 6 100 2 100 4
(
)
21. Las configuraciones de las urnas son: 1a urna: Dos bolas blancas con probabilidad de salir dos caras. 2a urna: Una bola blanca y otra negra con probabilidad de salir cara y cruz. 3a urna: Dos bolas negras con probabilidad de salir dos cruces.
1 ·1 1 ⎛ 1a urna ⎞ 4 P⎜ = = = 0,5 ⎟ blanca ⎝ ⎠ 1 ·1+ 1 · 1 + 1 ·0 2 4 2 2 4
22. Queda: Ingeniero
Economista
Otros
Total
Directivo
15
10
12
37
No directivo
5
10
48
63
Total
20
20
60
100
directivo
) = 1537 = 0,41
(
P ingeniero
23. Queda: P ⎛⎜ ⎝
N1
0,20·0,5 5 ⎞= = pérdidas ⎟⎠ 0,20·0,5 + 0,04·0,5 6
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24. Queda: 5 4 · 20 ⎛ ⎞ 8 9 = = b) P ⎜ 1 roja a ⎟ 2 roja ⎠ 5 4 3 7 41 ⎝ · + · 8 9 8 9
5 4 3 7 41 a) P(2a roja) = · + · = 8 9 8 9 72
a
25. Queda: 1 1 1 1 1 1 a) P(acierte llave) = · + · + · = 0,16 3 5 3 7 3 8 1 7 7 b) P(C y no abra) = · = = 0,29 3 8 24 1 1 · 56 3 5 c) P A = = = 0,43 llave abre 1 1 1 1 1 1 131 · + · + · 3 5 3 7 3 8
(
)
26. Queda: 45 5 · 225 100 100 = 0,34 P 1º = = fallo 45 5 55 8 665 · + · 100 100 100 100
(
)
27. Queda: 0,2 2 = ( B ) = P(P(A ∩B )B ) = 0,3 3
a) P( A ∪ B ) = 0, 4 + 0,3 − 0,2 = 0,5
c) P A
b) P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) = 1− 0,2 = 0,8
d) P( A ∩ B ) = P(B ) − P( A ∩ B ) = 0,3 − 0,2 = 0,1
28. Queda: 1 3 3 1 a) P( A ∩ B ) = P( A) + P(B ) − P( A ∪ B ) = + − = 2 8 4 8 1 b) P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = 4
c) P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) = d) P( A ∩ B ) =
7 8
7 8
29. Queda:
⎧ A y B son compatibles pues P( A ∩ B ) ≠ 0 1 1 5 1 + − = ⇒⎨ 4 2 8 8 ⎩ A y B son independientes pues P( A ∩ B ) = P( A)·P(B ) ⎧ A y B son incompatibles pues P( A ∩ B ) = 0 1 1 1 b) P( A ∩ B ) = + − = 0 ⇒ ⎨ 6 3 2 ⎩ A y B son dependientes pues P( A ∩ B ) ≠ P( A)·P(B ) a) P( A ∩ B ) =
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