Unidad 2 – Polinomios y fracciones algebraicas PÁGINA 35
SOLUCIONES 1. Diremos que: a) Resto 0; Cociente x 2 − 4 x + 4 b) Resto 14; Cociente x 3 + 2 x 2 + 4 x + 7
2. Utilizando el teorema del resto: Resto = A( −3) ⇒ 5 = ( −3)3 + a ( −3) 2 − 7(−3) − 2 ⇒ a =
13 9
3. La descomposición queda: a) x 3 − 5 x 2 + 6 x = x ( x − 2) ( x − 3 ) b) x 4 − 16 = ( x − 2) ( x + 2) ( x 2 + 4)
4. Operando obtenemos: x2 + 1
( x − 1) ( x + 1)
⋅
x ( x − 1) 2
x +1
=
x x +1
21
PÁGINA 49
SOLUCIONES 1. Sí puede ser cierto; se trata de dos padres que se han casado cada uno con la hija del otro. 2. Diremos que: a1 = 7 a2 = 8 ⋅ an = 7 + (n − 1) ⋅1= n + 6 Además sabemos que an + n = 42 ⇒ n = 18 damas. an = 42 − 18 = 24 caballeros. Había 18 damas y 24 caballeros.
3. Luis tarda 15 minutos en llegar a la sierra. La perra, por lo tanto, ha estado moviéndose durante 15 minutos. Por tanto ha recorrido: 16 km :4 = 4 kilómetros. h 4. Diremos que: 2 000 − 19 xy = 9 + x + y 2 000 − (1000 + 900 + 10 x + y ) = 9 + x + y ⇒ 11x + 2y = 91 ⇒ x = 7
y =7
Es decir, Astérix nació en el año 1 977 y en el año 2 000 tendrá 23 años.
22
PÁGINA 52
23
SOLUCIONES 1. Quedan del siguiente modo: • Mediante identidad de polinomios:
( x 2 − 3)(ax + b ) = x 3 + 2 x 2 − 3 x − 6 ax 3 + bx 2 − 3ax − 3b = x 3 + 2 x 2 − 3 x − 6 Identificando coeficientes obtenemos: a = 1, b = 2 ⇒ el polinomio A( x ) = x + 2 • Mediante división:
A( x ) =
x 3 + 2x 2 − 3 x − 6 x2 − 3
=x+2
2. El cálculo queda: a) ax 2 + 6 x + b = (2 x + c )2
ax 2 + 6 x + b = 4 x 2 + 4cx + c 2
⎧a = 4 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨b = 9 4 ⎪ ⎪c = 3 ⎩ 2
b) ( x − 2)(ax 2 + bx + c ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 14 x − 8
⎧a = 2 ⎪ ⎪b − 2a = −9 3 2 2 3 2 ax + bx + cx − 2ax − 2bx − 2c = 2 x − 9 x + 14 x − 8 ⇒ ⎨ ⎪c − 2b = 14 ⎪ ⎩−2c = −8
⇒ a=2 ⇒ b = −5 ⇒ c=4
3. Quedarían: P(2) = (3 ⋅ 2 − 2)2 = 16 Q( 2) = (4 2 − 1)(4 2 + 1) = 31 2
⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ P ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⋅ − 2 ⎟ =1 ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ − 1⎟ ⎜ + 1⎟ = 3 Q⎜ − ⎟ =⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ R(0) = − 9
24
4. Operando y utilizando la identidad de polinomios: a =1
b=− 2
5. Las descomposiciones pedidas son: a) A(x) = ( x − 3)( x + 3)( x − 4)( x + 4) b) B(x) = x ( x + 1)2 c) C(x) = ( x − 1)2 ( x + 1)
⎛ ⎝
d)D(x) = 8 ( x − 1) ⎜ x −
1 ⎞⎛
3⎞ ⎟⎜ x + ⎟ 4 ⎠⎝ 2⎠
e)E(x) = ( x + 1)2 ( x + 1)( x − 3) 6. En cada uno de los casos descomponemos los polinomios en factores y calculamos el MCD y el mcm.
a) A( x ) = x ( x − 3) ( x − 2)⎫ ⎪
⎬ ⇒
B( x ) = ( x + 3) ( x − 2) ⎪ ⎭
b) C( x ) = ( x − 3) ( x 2 − x + 2)⎫ ⎪ D( x ) = ( x − 2)2 ( x − 1)
MCD [ A( x ), B( x )] = ( x − 2) mcm [ A( x ), B( x )] = x ( x − 3) ( x − 2) ( x + 3) MCD [C ( x ), D( x )] = 1
⎬ ⇒ mcm [C ( x ), D( x )] = C ( x ) ⋅ D( x ) ⎪⎭
⎫ MCD [E ( x ), F ( x )] = 2 ( x − 2) c) E( x ) = 2 ( x + x + 1) ( x − 2)⎪ ⎪ ⎬ ⇒ mcm [E ( x ), F ( x )] = –2 ( x − 2) ( x 2 + x + 1) ⎛ x + 5 ⎞ ⎜ ⎟ 5 ⎛ ⎞ 2⎠ ⎝ F( x ) = –2 ( x − 2) ⎜ x + ⎟ ⎪ 2⎠ ⎪ ⎝ ⎭ 2
25
7. Quedaría: a) El resto de dividir P(x) por x − 3
1
debe ser cero.
2 2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 Resto = P ⎜ ⎟ ⇒ 2 ⎜ ⎟ − K ⎜ ⎟ + + 6 = 0 ⇒ K = 27 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 b) Ha de ser divisible por ( x − 2) y por ( x + 2) . Por tanto: A(2) = 0 ⎫ ⎪
8 + 24 + 2a + b = 0 ⎫ a = −4 ⎪ ⎬ ⇒ ⎬ ⇒ −8 + 24 − 2a + b = 0 ⎪ A( −2) = 0 ⎪ b = −24 ⎭ ⎭
c) Queda:
(
Resto = − 3
)
5
(
−4 − 3
)
3
(
)
−m − 3 =5 3 ⇒ m = 2
d) Queda:
⎛ ⎝
Resto = C ⎜ −
1 ⎞
⎛ 2⎠ ⎝
⎟= ⎜−
1 ⎞
2
⎛ 1 ⎞ 1 ⎟ − 2⎜− ⎟+ = 2 2⎠ 2⎠ 2 ⎝
e) Queda: Para que sea divisible por (x – 2 ) ⇒ B(2) = 0 ⎫
8 + 4a + 2b + c = 0 ⎫ a = −3 ⎪ ⎪ ⎪ Para que sea divisible por (x+1) ⇒ B( −1) = 0 ⎬ ⇒ −1 + a – b + c = 0 ⎬ ⇒ b = 0 ⎪ ⎪ c=4 c=4 ⎭ ⎪ Para que dé resto 4 al dividir por x ⇒ B(0) = 4 ⎭
26
PÁGINA 53
27
SOLUCIONES 8. Queda en cada caso:
5 x − 15 x
5 x ( x − 3)
2
a)
b)
c)
10 x + 15 x 3
2x − 4 x − 4x + 4 2
6−x−x
x + 2x − 8
5 x (2 x + 3)
( x − 2)
2
=
x −3 2x + 3x 2
2 x −2
( x − 2) ( x + 3) ( −1)
=
( x − 2) ( x + 4)
x − x − 8 x + 12
=
−x − 3 x+4
( x − 2) ( x + 3)
2
2
x − 6 x + 2 x + 12 3
=
2
2 ( x − 2)
=
2
2
3
d)
=
2
2
=
( x − 2) ( x − 4 x − 6) 2
=
( x − 2) ( x + 3) x − 4x − 6 2
x +x−6 2
=
x − 4x − 6 2
9. Queda en cada caso: a)
b)
c)
d)
e)
5x x +3
2x − 1 x −4 2
7x x −3
3
+
2 x+2 5
−
2x − 6
2
x −2
−
x +3
⋅
5x − 7x + 9
=
( x + 3 ) (x − 2)
=
x −1
:
x −4 6x
+
2
5x + 5
x 2 −1
2 x + 6 −3 x − 9
=
=
7 x + 22 x + 15 2
x −9
x − 1 4 x − 12 2
3 2
=
x −9 2
2 ( x − 3) ⋅ 5 ⋅ ( x + 1) ( x − 1) (x + 1) ⋅ 4 ⋅ ( x − 3) ( x − 1) ⋅ ( −3) ⋅ ( x + 3) 2 ( x + 3 ) (x − 1) (x + 1)
=
=
5 2x − 2 −3 2x + 2
x − 6 x + 5 2 x 2 − 8 2 x − 10 ( x − 1) (x − 5 ) ⋅ 2 ⋅ (x − 2 ) (x + 2 ) ⋅ x ⋅ (x + 3 ) f) : = x−2 ⋅ = ( x + 2 ) (x + 3 ) ⋅ x ⋅ (x − 1) ⋅ 2 ⋅ (x − 5 ) x + 5x + 6 x − x x + 3x 2
2
2
2
1 ⎞ x −1 x −1 x −1 ⎛ g) ⎜ x − ⎟ : : = = x +1 x⎠ x x x ⎝ 2
28
x ⎞ ⎛ x ⎞ x x − 2x x ( x − 1) x : = = ⎟:⎜x − ⎟= x − 1⎠ ⎝ x − 1⎠ x − 1 x − 1 ( x − 1) ⋅ x ⋅ ( x − 2) x − 2
⎛ ⎝
2
h) ⎜ x +
2
2
⎛ x 3 ⎞ x + 9 x x − 9 x + 9 x ( x − 3 ) (x + 3) ⋅ x ⋅ ( x + 9) − ⎟⋅ = ⋅ = = x −3 3x 3 ⋅ x ⋅ ( x − 3) ⎝3 x ⎠ x −3 3
2
3
2
i) ⎜
(x + 3 ) (x + 9)
x + 3 x + 9 x + 27
2
=
j)
3
3
=
2
3
x +1 ⎛ 1 −2 ⋅ (x + 1) −1 1 ⎞ x +1 −2 = = ⋅⎜ − = ⋅ ⎟ 2x ⎝ x + 1 x − 1 ⎠ 2 x ( x + 1) (x − 1) 2 ⋅ x ⋅ ( x + 1) (x − 1) x − x 2
10. La descomposición en cada caso queda: a)
b)
c)
5x + 2
=
3x + x 2
5x + 2 x (3 x + 1)
2 x + 10 3
x − 2x + 3 x − 6 2
2x − 1 x + 2x − 8 2
=
=
( x − 2 ) (x + 3) 2
=
x − x + 2x − 2 2 x − 10 x + 20
x − 2x − 4 x + 8 2
2x + x − 2x − 2 3
f)
x +x −2 x + 2 x − 4 2
g)
3
x − 4x x +2 2
h)
i)
x +1
=
( x − 1) (x + 2)
x − 2x + 1 2
2 x − 10 x + 20 ( x + 2 ) (x − 2)
2
3
2
+
x −1 3
=
x+2
x +1 x +2 2
+
(2 x − 1) (x + x ) − x − 2
2 ( x − 2)
2
+
2
=
= (2 x − 1) +
x +x 2
−2 x + 2 x − 4 x ( x − 2 ) (x + 2)
x +1
=
=
2
=
x +3
3
2
=
−2 x − 2
2 + 2 x−2 x+4
2
( x + 1) (x − 1) + 3
2 − x − x2
=
+
x−2
1
4x + 5
2
2
2
=
2
2
3
3x + 1
( x − 2 ) (x + 4)
2
e)
1
2x − 1
4x + 5 3
x
−
2 x + 10
2
d)
2
=
= x − 1+
−( x + 2 ) (x − 1) (x − 1)
2
=
=
1 x
+
−1 x−2
+
−1 x −2 −x − 2 x ( x + 1)
= 2x − 1 +
−2 x
+
1 x +1
−2 x+2
3 x +1
−x − 2 x −1
= − 1−
3 x −1
29
11. Los valores en cada caso son: a)
−2
+
Ax + B
x − 2 ( x + 1)
2
−2 ( x + 1) + ( Ax + B ) (x − 2) 2
=
(x − 2 ) (x + 1)
2
⇒ −2 ( x + 1) + ( Ax + B ) (x − 2) = 3 x − 12 x − 6 2
2
Por el principio de identidad de polinomios obtenemos:
b)
−2 x−2
+
A ( x+1)
2
+
B x +1
A =5 y B=2
−2 ( x + 1) + A ( x − 2) + B ( x − 2) ( x + 1) 2
=
( x − 2) ( x + 1)
2
⇒ −2 ( x + 1) + A ( x − 2) + B ( x − 2) ( x + 1) = 3 x − 12 x − 6 2
2
Por el principio de identidad de polinomios obtenemos:
A =− 3 y B=5
12. Queda:
El polinomio es : P( x ) = ax 2 + bx + c Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos : P (0) = −5 ⇒ c = −5
a=2 ⎫ ⎪ P ( −1) = 0 ⇒ a − b + c = 0 ⎬ ⇒ b = −3 ⎪ P ( −2) = 9 ⇒ 4a − 2b + c = 9 ⎭ c = −5 El polinomio buscado es : 2 x 2 − 3 x − 5.
30
PÁGINA 54
31
SOLUCIONES 13. Utilizando el binomio de Newton y operando obtenemos: a) ( 3 + x ) = 243 + 405 x + 270 x 2 + 90 x 3 + 15 x 4 + x 5 5
b) (1+ 2 x ) = 1+ 12 x + 60 x 2 + 160 x 3 + 240 x 4 + 192 x 5 + 64 x 6 6
c) ( 4 − x ) = 16 384 − 28 672 x + 21504 x 2 − 8 960 x 3 + 2 240 x 4 − 336 x 5 + 28 x 6 − x 7 7
(
d) −2 + 2
)
4
= 68 − 48 2 5
1 ⎞ 61484 3 297 676 ⎛ e) ⎜ 3 3 − ⎟ = − 3⎠ 27 243 ⎝
(
f) −3 + 2 x 2
)
5
= 32 x 10 − 240 x 8 + 720 x 6 − 1080 x 4 + 810 x 2 − 243
4
1 3 27 2 27 3 81 4 ⎛1 3 ⎞ g) ⎜ − x ⎟ = − x + x − x + x 32 32 256 ⎝ 2 4 ⎠ 16 8 5
1 5 10 2 ⎛1 ⎞ h) ⎜ − 3 x ⎟ = + x+ x − 30 x 3 + 135 x 4 + 243 x 5 3 243 27 3 ⎝ ⎠ 14. En cada uno de los casos quedaría: 4
1 ⎞ 945 ⎛7⎞ 3 ⎛ a) T5º = ⎜ ⎟ ⋅ ( 3 x ) ⋅ ⎜ − ⎟ = x ⎝ x⎠ ⎝ 4⎠ 5
1⎞ 189 ⎛7⎞ 2 ⎛ b) T6º = ⎜ ⎟ ⋅ ( 3 x ) ⋅ ⎜ − ⎟ = − 3 ⇒ Coeficiente = − 189 x ⎝ x⎠ ⎝5⎠ 3
1⎞ ⎛7⎞ 4 ⎛ c) T4º = ⎜ ⎟ ⋅ ( 3 x ) ⋅ ⎜ − ⎟ = − 2835 x ⇒ Exponente del término en x es 1 ⎝ x⎠ ⎝3⎠ 15. Desarrollando cada una de las potencias mediante la fórmula del binomio de Newton obtenemos:
( x + 3)4 + ( x − 3)4 = ( x 4 + 12 x 3 + 54 x 2 + 108 x + 81) + ( x 4 − 12 x 3 + 54 x 2 − 108 x + 81) = = 2 x 4 + 108 x 2 + 162
32
16. Ambos resultados quedan: 1 a)
(1 − 2 x ) ⋅ (1 − x ) 1 1+ x 1− x (1 − x ) ( 1 + x ) = = = x − 2x x (1 − 2 x ) x (1 − x ) ( 1 + x ) ( 1 − 2 x ) x ( x + 1) 1− x 1− x 2
2
1+ 2 x b)
1 − 2x
x
−
5
−2
5 ⋅ ( x − 2) 1 x −2 = x −2 = = 2 + 4x 5x 5 x ( x − 2) x 1+ x −2 x −2
17. Los polinomios pedidos son: a) P(x) = − 1⋅ ( x − 1)
( x − 0 )( x + 1) = − x + x + x − x b) P(x) = 2 ⋅ ( x + 1) ( x + 2 ) = 2 x + 10 x + 18 x + 14 x + 4 c) P(x) = a ⋅ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 )( x − 4 ) = a ⋅ ( x − 10 x + 35 x 2
4
3
4
3
3
2
2
4
3
2
− 50 x + 24)
18. Operamos y aplicamos el principio de identidad de polinomios:
5 x 2 − x + 12 x3 + 4x
=
(
)
A x 2 + 4 + ( Bx + C ) x
(
x x2 + 4
)
⎧ A=3 ⎪ ⇒ 5 x − x + 12 = ( A + B ) x + Cx + 4 A ⇒ ⎨ B = 2 ⎪C = − 1 ⎩ 2
2
19. Queda lo siguiente:
⎛ 10 ⎞ 5 5 2 ⋅ (1) ⋅ ( x ) = 252 x ⎟ 5 ⎝ ⎠
a) T6º = ⎜
⎛ 12 ⎞ 6 6 6 6 6 6 ⋅ ( 3 ) ⋅ ( −4 x ) = 924 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ x = 2 759 049 216 x ⎟ 6 ⎝ ⎠
b) T7º = ⎜
⎛ 12 ⎞ 2 12 − n ⎟⋅( x ) ⋅ ⎝n⎠
c) Tn + 1 = ⎜
Por tanto :
24 −
3n 2
( ) x
= 18
n
⎛ 12 ⎞ 24 − 2 ⎜ n ⎟⋅ x ⎝ ⎠
3n
=
⇒ n = 4 es el término quinto.
33
20. Desarrollamos:
⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ Tn +1 = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ ⎝ x ⎠
6−n
⎛6⎞ n n ⋅ ( −2 x ) = ⎜ ⎟ ⋅ x n − 6 ⋅ x n ⋅ ( − 2 ) = ⎝n⎠
⎛ 6 ⎞ 2 n −6 n ⋅ ( −2 ) ⎜ n ⎟⋅ x ⎝ ⎠
Por tanto, el término independiente cumplirá : 2n − 6 = 0 ⇒ n = 3 El valor del término independiente es : 3
⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 T4º = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ( −2 x ) = − 160 ⎝3⎠ ⎝ x ⎠
21. Ambos resultados quedan:
x −a a)
x +a 2
−
2
−2ax
x+a −2ax ( x + a ) = x −a = = −4ax −4ax ( x − a ) ( x + a ) 2 x − 2a ⎛ x −a ⎞ ⎜ x + a ⎟ −1 ( x + a) ⎝ ⎠
x +a
x −a 2
2
2
2
2
2
2
2
m ⎞ 2 ⎛ 1 1 2m + 1 + ⎜ 1− m + 1 ⎟ ⎠ ⋅ m m = (m + 1) ⋅ m = b) ⎝ 2
2
1+ =
m
1 m ( m − 1) 2
1−
m +1 =
2
1
2m + 1
m −1
m
m +1
m
(2m + 1) ⋅ ( m + 1) ⋅ m ( m + 1) ⋅ (2m + 1) ⋅ m ⋅ ( m − 1) 2
2
=
1 m −m 3
34