TEMA 1: INTRODUCCIÓN
1.1. Índice del tema 1.1.
Índice del tema.......................................................................................................... 1
1.2.
Introducción .............................................................................................................. 2
1.3.
Variables circuitales ................................................................................................. 3
1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.4.
Direcciones de referencia ......................................................................................... 5
1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4. 1.4.5. 1.4.6. 1.5.
Introducción........................................................................................................ 7 Lineales / no lineales .......................................................................................... 7 Variantes / Invariantes en el tiempo ................................................................... 8 De parámetros concentrados............................................................................... 8 Pasivos / Activos ................................................................................................ 8
Leyes de Kirchoff...................................................................................................... 9
1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4. 1.6.5. 1.7.
Introducción........................................................................................................ 5 Carga................................................................................................................... 5 Corriente ............................................................................................................. 5 Voltaje ................................................................................................................ 6 Elementos de dos terminales .............................................................................. 6 Potencia .............................................................................................................. 7
Clasificación de los elementos.................................................................................. 7
1.5.1. 1.5.2. 1.5.3. 1.5.4. 1.5.5. 1.6.
Carga................................................................................................................... 3 Corriente o intensidad......................................................................................... 3 Energía................................................................................................................ 4 Voltaje o tensión................................................................................................. 4 Potencia .............................................................................................................. 4
Introducción........................................................................................................ 9 Ley de Corrientes de Kirchoff (L.C.K.) ............................................................. 9 Ley de Voltajes de Kirchoff (L.V.K.) .............................................................. 10 Ejemplo de aplicación de L.C.K....................................................................... 10 Ejemplo de aplicación de L.V.K. ..................................................................... 10
Referencias .............................................................................................................. 11
Teoría de Circuitos
Tema 1: Introducción
1.2. Introducción Para conocer el comportamiento de un sistema es necesario especificar un conjunto de variables que lo describan. Algunas de las variables utilizadas se muestran en la figura 1.
Figura 1. Variables utilizadas y sus unidades.
A cada variable se le asocia una unidad. En ingeniería electrica predomina el Sistema Internacional (MKS). Cuando los valores que toman las variables son muy pequeños o muy grandes se utilizan factores de multiplicación (potencias de 10 positivas y negativas), y sus correspondientes prefijos en las unidades (ver Figura 2).
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Tema 1: Introducción
Figura 2. Factores de multiplicación
1.3. Variables circuitales 1.3.1. Carga Se refiere al balance entre partículas con cargas positivas y negativas en la materia. Se representa por q(t). Unidad MKS: Culombio (C), que es la carga con sentido positivo de 6,24 1018 electrones. El teorema de conservación de la carga afirma que la carga no puede crearse ni destruirse.
1.3.2. Corriente o intensidad Es la transferencia de carga neta (teniendo en cuenta cargas negativas y positivas) por la unidad de tiempo. Se representa por i(t).
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Tema 1: Introducción
Unidad MKS: Amperio (A) = Transferencia de 1 Culombio en 1 segundo.
1.3.3. Energía Se define como la capacidad para crear trabajo y se representa por w(t). Unidad MKS: Julio (J). El principio de conservación de energía afirma que la energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma.
1.3.4. Voltaje o tensión Si se consume una cantidad de energía sobre una carga, la relación entre el trabajo realizado y la carga se denomina VOLTAJE o TENSIÓN y se representa por v(t).
Unidad MKS: Voltio (V) = 1 Julio suministrado a 1 Culombio.
1.3.5. Potencia Cantidad de trabajo que se realiza en la unidad de tiempo. Unidad MKS: Watio (W).
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Tema 1: Introducción
Se representa por p(t) (potencia instantánea).
Si la potencia es positiva, hay absorción de energía, si es negativa, se entrega energía.
1.4. Direcciones de referencia 1.4.1. Introducción Las direcciones o polaridades de referencia sirven para dar un signo a la magnitud real asociada. Normalmente no conocemos el valor de la magnitud antes de calcularlo, así que propondremos un signo, si da negativo, el sentido real será el contrario.
1.4.2. Carga Dado un par de placas conductoras separadas por un dieléctrico (aire), se da el signo positivo si la placa superior está cargada positivamente y la inferior negativamente.
1.4.3. Corriente El flujo real de la corriente es positivo en la dirección de referencia tomada como tal, contraria al movimiento de los electrones. Es decir, se considera positivo el movimiento de cargas positivas, porque históricamente se pensaba que se movían estas. Por lo tanto, la corriente será positiva si es contraria al movimiento de electrones o negativa si es en el mismo sentido.
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Teor铆a de Circuitos
Tema 1: Introducci贸n
1.4.4. Voltaje En una red con dos terminales, la polaridad de referencia es de la siguiente forma:
1.4.5. Elementos de dos terminales En este grupo se engloban las resistencias, condensadores, diodos, fuentes, etc... Normalmente existe una expresi贸n que relaciona voltaje y corriente. Para ello deben estar referenciados ambos de forma adecuada. Por ejemplo, en una resistencia se relacionan mediante la ley de Ohm:
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Tema 1: Introducción
1.4.6. Potencia La potencia se ha definido como una función de dos variables v(t) e i(t): de forma que los criterios de signo de aquellas, se aplican a ésta.
De forma simplificada se podría decir que si el dipolo es un resistor, la potencia siempre será absorbida (siempre positiva) y si es un inductor o una bobina puede absorber potencia en algunos momentos y entregarla en otros (puede ser positiva o negativa).
1.5. Clasificación de los elementos 1.5.1. Introducción Antes de analizar el comportamiento de los circuitos, es necesario realizar una clasificación de ellos atendiendo a ciertas propiedades básicas que éstos poseen.
1.5.2. Lineales / no lineales Aplicamos separadamente dos entradas o excitaciones (e1(t) y e2(t)) a un elemento de la red y medimos los resultados o salidas (s1(t) y s2(t)). Se dice que el elemento es lineal si cumple: a) Al excitar con siendo A una constante, produce una salida . Es decir, si se multiplica la entrada por una constante, su salida debe quedar multiplicada por esa misma constante.
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b) Al excitar con
Tema 1: Introducción
, produce una salida
.
Normalmente las entradas y salidas son voltajes o corrientes. Un elemento no lineal es el que no cumple alguna de estas condiciones anteriores. Esta propiedad servirá para aplicar superposición: en una red con varios generadores, se puede calcular la respuesta de cada uno de ellos por separado, y luego se suman. La linealidad total no existe en el mundo real, por lo tanto trabajaremos con la siguiente aproximación: "Un elemento se puede tratar como lineal si las variables lo definen se comportan como lineales en un intervalo de trabajo.
1.5.3. Variantes / Invariantes en el tiempo Un elemento es invariante en el tiempo si sus parámetros o valores no cambian con el tiempo. Tampoco hay elementos invariantes en el tiempo en el mundo físico, pero se les supone esta propiedad.
1.5.4. De parámetros concentrados En los análisis de circuitos que se realizarán a lo largo de este tutorial, se supone que las dimensiones físicas de los elementos no tienen efecto en su comportamiento, es decir estan compuestos de elementos de parámetros concentrados.
1.5.5. Pasivos / Activos Un elemento es pasivo si el total de la energía que se le suministra es siempre no negativa, independientemente del tipo de circuito al que esté conectado.
Si w(t) puede ser negativo, el elemento será activo.
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Tema 1: Introducción
Una bobina o un condensador pueden ceder energía en un determinado instante (p(t) < 0), pero sólo la que se las ha dado previamente (p(t) puede ser negativa, pero el total de energía, no). Son, por tanto, elementos pasivos.
1.6. Leyes de Kirchoff 1.6.1. Introducción La configuración, forma o topología de la red va a establecer una relación entre las variables involucradas. Definiciones: •
NODO (o NUDO): punto en un circuito en el que dos o más elementos se conectan entre sí.
•
RAMA: cualquier elemento de la red de dos terminales (situado entre dos nodos).
•
LAZO: conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada de la red, conectando cada nodo únicamente dos ramas consecutivas.
1.6.2. Ley de Corrientes de Kirchoff (L.C.K.) En cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de las corrientes de rama en un nodo es cero, consideradas todas entrantes o todas salientes. O bien, la suma de las corrientes de rama entrantes a un nodo es igual a la suma de corrientes salientes, en cualquier instante de tiempo.
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Tema 1: Introducción
1.6.3. Ley de Voltajes de Kirchoff (L.V.K.) La suma algebraica de los voltajes de rama alrededor de un lazo es cero en todo instante de tiempo, considerados todos subidas o todos bajadas. O bien, en todo instante de tiempo, la suma de las subidas de voltaje alrededor de un lazo es igual a la suma de caídas de voltaje.
1.6.4. Ejemplo de aplicación de L.C.K. Escribir las ecuaciones de corrientes por la ley de LCK en los nodos a, b, c y d. Sumar todas las ecuaciones obtenidas.
Sumando a, b y c:
Se observa que se obtiene la ecuación d. Por tanto, tenemos tantas ecuaciones independientes como nodos menos 1.
1.6.5. Ejemplo de aplicación de L.V.K. Escribir las ecuaciones de lazos aplicando la LVK.
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Teoría de Circuitos
Tema 1: Introducción
Si sumamos las ecuaciones primera y segunda obtenemos la tercera. Nota: Normalmente no se toman lazos que atraviesen o incluyan alguna rama para evitar ecuaciones linealmente dependientes (en este caso, el lazo a-b-d-c-a incluye a la rama en la que se mide v3).
1.7. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.
de
circuitos.
Segunda
edición.
Prentice-Hall
[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.
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TEMA 2: RESISTORES Y FUENTES
2.1. Índice del tema 2.1.
Índice del tema.......................................................................................................... 1
2.2.
El Resistor ................................................................................................................. 2
2.3.
Fuentes....................................................................................................................... 3
2.3.1. 2.3.1.1. 2.3.1.2.
2.3.2. 2.4.
Movilidad del generador de voltaje .................................................................. 12 Movilidad del generador de corriente............................................................... 12 Uso de la movilidad.......................................................................................... 13 En paralelo........................................................................................................ 13 En serie ............................................................................................................. 14
Divisores de voltaje y corriente ............................................................................. 14
2.8.1. 2.8.2. 2.9.
Introducción...................................................................................................... 10 Fuentes ideales de voltaje en serie.................................................................... 10 Fuentes ideales de corriente en paralelo ........................................................... 10 Fuentes no ideales de voltaje en paralelo ......................................................... 11 Fuentes no ideales de corriente en serie ........................................................... 11
Conexión de fuentes ideales ................................................................................... 13
2.7.1. 2.7.2. 2.8.
En serie ............................................................................................................... 8 En paralelo.......................................................................................................... 8 Ejemplo: Red en ESCALERA............................................................................ 9
Movilidad de generadores...................................................................................... 12
2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. 2.7.
Fuentes no ideales............................................................................................... 5
Conexiones de fuentes ............................................................................................ 10
2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 2.5.4. 2.5.5. 2.6.
Fuentes independientes.......................................................................................................... 3 Fuentes dependientes o controladas ...................................................................................... 4
Conexiones de resistores .......................................................................................... 8
2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. 2.5.
Fuentes ideales.................................................................................................... 3
Divisor de voltaje ............................................................................................. 14 Divisor de corriente .......................................................................................... 15
Referencias .............................................................................................................. 15
Teoría de Circuitos
Tema 2: Resistores y fuentes
2.2. El Resistor El resistor o resistencia es un elemento de 2 terminales en el que la corriente y el voltaje de rama se relacionan por la ley de OHM:
R: Resistencia, unidad: Ohm (Ω) G=R-1: Conductancia, unidad: Mho Símbolo y polaridad de referencia:
Dentro de la clasificación de los elementos, los resistores son de parámetros concentrados, lineales e invariantes en el tiempo. Fácilmente se comprueba que cumple las condiciones de linealidad observando la gráfica que relaciona v(t) con i(t).
La potencia del resistor viene dada por:
Como para valores positivos de R, p(t) será siempre positivo, los resistores son elementos pasivos. Es importante destacar que dado que los resistores se emplean para disipar energía, se debe especificar no sólo su valor nominal, sino también su potencia máxima disipable. Esta potencia máxima disipable afectará al tamaño y construcción de los resistores. En electrónica este parámetro se presenta como fracciones de watio. Los valores de los resistores varían entre algunos Ω y varios MΩ. Página 2 de 15
Teoría de Circuitos
Tema 2: Resistores y fuentes
2.3. Fuentes 2.3.1. Fuentes ideales 2.3.1.1.
Fuentes independientes
Son aquellas cuyas características no dependen de ninguna otra variable de red, aunque pueden variar con el tiempo. •
Fuente de tensión o voltaje
Aquella en la que el valor de su voltaje es independiente del valor o dirección de la corriente que lo atraviesa. Impone el voltaje en sus bornas, pero la corriente que lo atraviesa estará impuesta por la red o circuito al que esté conectado. Representación:
Cuando el voltaje es nulo, la característica I-V es igual a la de una resistencia nula (CORTOCIRCUITO). Es decir, anular un generador de voltaje ideal es sustituirlo por un cortocircuito, o bien, la resistencia interna de un generador ideal de voltaje es nula. •
Fuente de corriente
Son aquellas en las que el valor y la dirección de la corriente que circula a través de ella es independiente del valor y polaridad del voltaje en sus terminales. Impone la corriente de rama, pero el voltaje en sus bornas estará impuesto por la red a la que esté conectado.
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Tema 2: Resistores y fuentes
Representación:
Cuando la corriente es nula, la característica I-V es igual a la de una conductancia nula (resistencia infinita, CIRCUITO ABIERTO). Es decir, anular un generador de corriente ideal es sustituirlo por un circuito abierto; su resistencia interna es infinita (conductancia nula). Las fuentes son elementos activos, aunque pueden absorber energía. EJEMPLO:
Generador
1:
Generador 2:
(entrega energía: signo negativo de la potencia) (absorbe energía, se está cargando)
Resistencia:
(absorbe energía, disipa calor)
La suma total de potencias es cero (la energía que cede un generador la reciben la resistencia y el otro generador). 2.3.1.2.
Fuentes dependientes o controladas
Son aquellas cuyo valor de salida es proporcional al voltaje o corriente en otra parte del circuito. La tensión o corriente de la que dependen se llama VARIABLE DE CONTROL. La constante de proporcionalidad se denomina GANANCIA.
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Tema 2: Resistores y fuentes
Existen cuatro tipos: •
Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV)
•
Fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC)
•
Fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV)
•
Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC)
2.3.2. Fuentes no ideales Las fuentes no ideales incluyen disipación interna, van a tener una resistencia de pérdidas. •
Fuente no ideal de voltaje: fuente de voltaje ideal con una resistencia en serie.
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Teoría de Circuitos
•
Tema 2: Resistores y fuentes
Fuente no ideal de corriente: fuente de corriente ideal con una resistencia (conductancia) en paralelo.
En realidad, ambos modelos pueden INTERCAMBIARSE en el estudio de circuitos. Para ver esto, conectamos una red arbitraria y vemos su equivalencia:
Se trata de que en ambos casos I0 y V0 sean iguales:
Para que ambas ecuaciones sean iguales:
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Tema 2: Resistores y fuentes
Se puede comprobar que en ambos casos se cumple: 1. El voltaje en circuito abierto es el mismo. 2. La corriente de cortocircuito es la misma. 3. Conectando un resistor arbitrario a sus bornas, se disipa en él la misma potencia. 4. Las fuentes son equivalentes únicamente en lo que se refiere a su comportamiento en los terminales externos (de bornas para afuera). Vamos a ver que la disipación interna de energía es diferente:
CIRCUITO ABIERTO: - El modelo de fuente de voltaje no disipa. - El modelo de corriente disipa:
CORTOCIRCUITO: - El modelo de fuente de corriente no disipa (voltaje nulo en la resistencia). - El modelo de voltaje disipa.
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Teor铆a de Circuitos
Tema 2: Resistores y fuentes
2.4. Conexiones de resistores 2.4.1. En serie
Queremos conseguir una resistencia equivalente que se comporte igual que el conjunto. En los nodos de conexi贸n de resistencias se ve:
Aplicando LVK al lazo: La tensi贸n en cada resistencia es:
2.4.2. En paralelo
En este caso:
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Tema 2: Resistores y fuentes
Aplicando LCK: La corriente en cada resistencia es: Luego:
Para n resistencias: Para 2 resistencias: En definitiva, en serie se suman resistencias y en paralelo, conductancias.
2.4.3. Ejemplo: Red en ESCALERA
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Tema 2: Resistores y fuentes
2.5. Conexiones de fuentes 2.5.1. Introducción A continuación se presentan las conexiones de fuentes en serie y en paralelo, válidas para fuentes independientes y dependientes.
2.5.2. Fuentes ideales de voltaje en serie
El voltaje que resulta de una conexión en paralelo de fuentes ideales de voltaje no está definido, ya que no se cumple la ley de voltajes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor.
2.5.3. Fuentes ideales de corriente en paralelo
Análogamente, la corriente que resulta de una conexión en serie de fuentes ideales de corriente no está definida, por no cumplir la ley de corrientes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor.
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TeorĂa de Circuitos
Tema 2: Resistores y fuentes
2.5.4. Fuentes no ideales de voltaje en paralelo Pasamos previamente a fuentes no ideales de corriente:
2.5.5. Fuentes no ideales de corriente en serie Pasamos previamente a fuentes no ideales de voltaje:
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TeorĂa de Circuitos
Tema 2: Resistores y fuentes
2.6. Movilidad de generadores 2.6.1. Movilidad del generador de voltaje Un generador ideal de voltaje conectado a un nodo que une varias ramas, se puede "mover" a cada una de ellas, respetando el valor y la polaridad.
Se puede comprobar que las leyes de Kirchoff dan los mismos resultados en ambos casos. Las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se mantienen, excepto para el generador al que se le ha aplicado "movilidad". De esta forma, la corriente que atraviesa al generador original es la suma de las corrientes de los generadores equivalentes.
2.6.2. Movilidad del generador de corriente Un generador ideal de corriente que conecte dos nodos, se puede colocar en paralelo de cada una de las ramas de cualquier "camino" que una ambos nodos.
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Tema 2: Resistores y fuentes
Por las conexiones aa' y bb' no circula corriente, por lo que pueden ser eliminados sin sufrir variaciones en el resto del circuito. Al igual que en el apartado anterior, las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se deben mantener excepto para el generador de corriente al que se le ha aplicado "movilidad". El voltaje en bornas del generador original es la suma de los voltajes de los generadores equivalentes.
2.6.3. Uso de la movilidad La movilidad se suele utilizar para evitar ramas que únicamente tengan generadores ideales, ya que en ellos no existe una relación entre voltaje y corriente. Conseguimos así generadores no ideales, pudiendo transformar las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y viceversa.
2.7. Conexión de fuentes ideales 2.7.1. En paralelo
Como la resistencia interna de la fuente ideal de voltaje es nula, toda la corriente del generador de corriente fluye a través del generador de voltaje (no afecta fuera).
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Teoría de Circuitos
Tema 2: Resistores y fuentes
2.7.2. En serie
El voltaje de la fuente de voltaje no afecta al exterior ya que encuentra la resistencia infinita (circuito abierto) de la fuente de corriente. En ambos casos las equivalencias son de bornas para afuera ya que el comportamiento interno (absorción/entrega de energía) es diferente.
2.8. Divisores de voltaje y corriente 2.8.1. Divisor de voltaje
El voltaje Vs(t) se divide en los voltajes que caen en las resistencias R1 y R2. Esta fórmula sólo es válida si la salida v2(t) está en circuito abierto (no circula corriente por los terminales donde se mide v2(t)).
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Tema 2: Resistores y fuentes
2.8.2. Divisor de corriente
Análogamente, la corriente Is(t) se divide en las corrientes que atraviesan las dos conductancias.
2.9. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.
de
circuitos.
Segunda
edición.
Prentice-Hall
[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.
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TEMA 3: REDES RESISTIVAS
3.1. Índice del tema 3.1.
Índice del tema.......................................................................................................... 1
3.2.
Ecuaciones de mallas................................................................................................ 2
3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.3.
Ecuaciones de nodos ................................................................................................. 5
3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4.
3.4.3.1. 3.4.3.2.
3.6.4.1. 3.6.4.2. 3.6.4.3.
Análisis por mallas ........................................................................................... 11 Análisis por nodos ............................................................................................ 13 Teorema de Thévenin ....................................................................................... 14 Teorema de Norton........................................................................................... 14 Equivalencia Thévenin-Norton ........................................................................ 15 Ejemplos ........................................................................................................... 15 Cálculo del equivalente Thévenin ........................................................................................ 16 Cálculo del equivalente Norton ........................................................................................... 18 Ejemplo con fuentes dependientes ....................................................................................... 19
Redes con amplificadores operacionales .............................................................. 20
3.7.1. 3.7.2. 3.7.3. 3.7.4. 3.8.
Analizando por mallas ......................................................................................................... 10 Analizando por nodos .......................................................................................................... 11
Teoremas de Thévenin y Norton ........................................................................... 14
3.6.1. 3.6.2. 3.6.3. 3.6.4.
3.7.
Análisis por mallas ............................................................................................. 9 Análisis por nodos .............................................................................................. 9 Ejemplos ........................................................................................................... 10
Redes con fuentes dependientes ............................................................................ 11
3.5.1. 3.5.2. 3.6.
Circuito de dos nodos ......................................................................................... 5 Circuito de tres nodos ......................................................................................... 7 Circuito de n nodos............................................................................................. 8
Redes con fuentes independientes ........................................................................... 9
3.4.1. 3.4.2. 3.4.3.
3.5.
Introducción........................................................................................................ 2 Red resistiva de dos mallas................................................................................. 3 Red resistiva de n mallas .................................................................................... 4
El amplificador operacional.............................................................................. 20 Configuración FVCV inversora ....................................................................... 21 Configuración FVCV no inversora................................................................... 22 Análisis por nodos ............................................................................................ 24
Referencias .............................................................................................................. 25
Teoría de Circuitos
Tema 3: Redes resistivas
3.2. Ecuaciones de mallas 3.2.1. Introducción Definición de MALLA: Conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada y que tiene las siguientes propiedades: • • •
Cada nodo une solamente dos ramas. El conjunto no encierra a otra rama. Es por tanto un lazo que no encierra o atraviesa ninguna rama.
Ejemplo:
Puesto que una malla es un tipo particular de lazo, sigue cumpliendo la ley de voltajes de Kirchoff. Se obtienen tantas ecuaciones independientes como mallas halla en el circuito (si se eligieran lazos al azar, podríamos llegar a ecuaciones dependientes). En una red, si tenemos b ramas y n nodos, se cumple que el número de mallas es: m=b-n+1 Por tanto, tenemos b – n + 1 ecuaciones independientes analizando por mallas.
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Teoría de Circuitos
Tema 3: Redes resistivas
3.2.2. Red resistiva de dos mallas Tomamos la misma dirección de referencia para las corrientes de ambas mallas: en el sentido de las agujas de reloj.
Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchoff a cada malla, poniendo los voltajes de la fuente en un miembro de la ecuación y los de rama en otro; y sustituyendo el voltaje en cada resistencia por la expresión de la ley de Ohm:
En forma matricial:
Hay que apreciar que: a) El signo de VS1, VS2 es positivo si es subida de tensión y negativo si es caída, según la dirección de referencia de la malla. b) Los términos de la diagonal principal (r11, r22) son la suma de todas las resistencias propias de cada malla. c) Los términos fuera de la diagonal principal son la suma de las resistencias de la rama común a ambas mallas, pero con signo negativo (esto se debe a que el sentido de referencia de la malla contigua es contrario). d) Los elementos de la matriz R tienen dimensión de resistencia. Página 3 de 25
TeorĂa de Circuitos
Tema 3: Redes resistivas
EJEMPLO:
3.2.3. Red resistiva de n mallas Para una red resistiva plana con n mallas, suponiendo que la recorremos en el sentido de las agujas del reloj, tendremos:
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Tema 3: Redes resistivas
Donde: •
Vi: suma de todas las fuentes de voltaje de la malla i-ésima, considerando positivas las subidas de tensión y negativas las caídas (en la dirección de recorrido de la malla).
•
rii (diagonal de la matriz R): la suma de las resistencias propias de la malla i.
•
): El negativo de la suma de los valores de las resistencias comunes a las rij ( mallas i y j. Si la red no tiene generadores dependientes la matriz es simétrica (rij=rji).
•
ii: Valor de la corriente de la malla i-ésima (incógnitas, normalmente).
Se resuelve por CRAMER. Para que haya solución, la condición necesaria y suficiente es que la matriz R tenga determinante no nulo. Una vez conocidas las corrientes de malla, se pueden calcular las corrientes y voltajes de cada una de las ramas. Es importante destacar que este método únicamente se utiliza con fuentes de voltaje.
3.3. Ecuaciones de nodos 3.3.1. Circuito de dos nodos En este caso las variables desconocidas son los voltajes de los nodos.
En realidad hay tres nodos pero, sólo generan dos ecuaciones independientes. Esto es debido a que lo que calculamos son diferencias de voltaje, no voltajes absolutos. Por ello se
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Tema 3: Redes resistivas
dan los voltajes respecto al nodo de referencia (nodo del que no se escribe la ecuación, cuyo valor de voltaje se considera cero). Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff en los nodos, separando corrientes de fuentes y de ramas; y sustituyendo la corriente en cada conductancia por la expresión de la ley de Ohm:
En forma matricial:
Análogamente al análisis por mallas: a) El signo de IS1, IS2 es positivo si es entrante al nodo y negativo si es saliente. b) Los términos de la diagonal principal (g11, g22) son las sumas de todas las conductancias conectadas a ese nodo. c) Los términos fuera de la diagonal principal, gij, son la conductancia que conectan los nodos i y j, con signo negativo. Si la red no tiene generadores dependientes, la matriz es simétrica (gij = gji).
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Teoría de Circuitos
Tema 3: Redes resistivas
EJEMPLO:
3.3.2. Circuito de tres nodos
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Teoría de Circuitos
Tema 3: Redes resistivas
Matricialmente:
Se puede resolver por CRAMER.
3.3.3. Circuito de n nodos Para el caso general con n nodos más uno de referencia tendremos una ecuación independiente menos que el número total de nodos:
Donde: •
Ii: Suma de las corrientes de fuentes conectadas al nodo i-ésimo (siendo positivas las corrientes entrantes y negativas las salientes).
•
gii (diagonal de la matriz G): Suma de los valores de conductancia de todos los resistores conectados al nodo i-ésimo.
•
): El negativo de la suma de conductancias de los resistores conectados gij ( entre los nodos i y j. Si la red no tiene fuentes dependientes, la matriz es simétrica (gij = gji).
Es importante destacar que este método únicamente se emplea con fuentes de corriente.
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Teoría de Circuitos
Tema 3: Redes resistivas
3.4. Redes con fuentes independientes 3.4.1. Análisis por mallas Si se realiza el análisis por mallas, es necesario convertir todas las fuentes de corriente en fuentes de voltaje. EJEMPLO:
La conversión de las fuentes no ideales de corriente a voltaje (nodos a y b) no afecta al resto del circuito, sin embargo la corriente y el voltaje en R0 son distintos en ambos casos. Si las fuentes de corriente no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de corriente.
3.4.2. Análisis por nodos Si se realiza el análisis por nodos, hay que convertir todas las fuentes de voltaje en fuentes de corriente. EJEMPLO:
Como ocurría en el anterior apartado, el comportamiento de las fuentes equivalentes es diferente, no así el externo. Página 9 de 25
TeorĂa de Circuitos
Tema 3: Redes resistivas
Si las fuentes de voltaje no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de voltaje.
3.4.3. Ejemplos 3.4.3.1.
Analizando por mallas
A partir de aquĂ ya se pueden plantear las ecuaciones de mallas.
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3.4.3.2.
Tema 3: Redes resistivas
Analizando por nodos
Ya se pueden plantear las ecuaciones de los nodos a y b.
3.5. Redes con fuentes dependientes 3.5.1. Análisis por mallas El objetivo es obtener una fuente de voltaje cuya variable de control dependa de las corrientes de mallas, que normalmente son las incógnitas. EJEMPLO: Con fuente de voltaje dependiente controlada por corriente (FVCC).
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Reagrupando:
La ganancia de la fuente dependiente altera la simetrĂa de la matriz de coeficientes. Si las fuentes son de corriente, controladas tanto por voltaje como por corriente, las transformamos en fuentes de voltaje. Para ello, deben tener un resistor en paralelo, si no lo tienen, se aplica "movilidad". EJEMPLO:
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3.5.2. Análisis por nodos Análogamente, el objetivo es conseguir una fuente de corriente cuyo valor dependa directamente de los voltajes de los nodos (incógnitas). a) En una fuente de corriente controlada por voltaje, únicamente se debe expresar el voltaje de control en función de los voltajes de los nodos. b) Si es una fuente de corriente controlada por corriente, se expresa ésta última en función de los voltajes de los nodos (aplicando la ley de Ohm). c) Si son fuentes de voltaje, se transforman en fuentes de corriente, empleando movilidad si no tienen resistencia en serie, y se aplica el apartado a o b, según sea la variable de control. EJEMPLO:
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Tema 3: Redes resistivas
Dos nodos:
3.6. Teoremas de Thévenin y Norton 3.6.1. Teorema de Thévenin Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes, puede ser sustituida en un par de nodos por un circuito equivalente formado por una sola fuente de voltaje y un resistor serie. Por equivalente se entiende que su comportamiento ante cualquier red externa conectada a dicho par de nodos es el mismo al de la red original (igual comportamiento externo, aunque no interno). La resistencia se calcula anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados. Anular las fuentes de voltaje equivale a cortocircuitarlas y anular las de corriente a sustituirlas por un circuito abierto. El valor de la fuente de voltaje es el que aparece en el par de nodos en circuito abierto.
3.6.2. Teorema de Norton Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes puede ser sustituida, en un par de nodos, por un circuito equivalente formado por una sola fuente de corriente y un resistor en paralelo. La resistencia se calcula (igual que para el equivalente de Thévenin) anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados.
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El valor de la fuente de corriente es igual a la corriente que circula en un cortocircuito que conecta los dos nodos.
3.6.3. Equivalencia Thévenin-Norton
Se cumple:
3.6.4. Ejemplos Hallar el equivalente de Thévenin y Norton en bornas de la resistencia R (sin incluirla) para el siguiente circuito.
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3.6.4.1.
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Cálculo del equivalente Thévenin
Queremos obtener un circuito de la forma:
Quitamos la resistencia R y vemos cual es el voltaje que hay entre los nodos a y b. El valor obtenido será el voltaje de Thévenin.
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Se puede comprobar que la rama del resistor de 4 Ω no afecta. Para hallar la resistencia de Thévenin anulamos las fuentes independientes y calculamos la resistencia vista desde los nodos a y b.
El circuito equivalente de Thévenin es:
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3.6.4.2.
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Cálculo del equivalente Norton
Para calcular la corriente de Norton, cortocircuitamos:
Analizando aisladamente el circuito de dos mallas:
La resistencia es la misma que para el equivalente de Thevenin. El circuito equivalente es:
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Como se puede observar, se cumple:
3.6.4.3.
Ejemplo con fuentes dependientes
Calcular el equivalente de Thevenin del circuito:
Para calcular el voltaje de Thevenin se aplica movilidad:
Para el cĂĄlculo de la resistencia de Thevenin se anula el generador independiente, se conecta un generador de corriente (I) y se mide el voltaje (V):
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3.7. Redes con amplificadores operacionales 3.7.1. El amplificador operacional Un amplificador operacional es básicamente una fuente de voltaje controlada por voltaje de ganancia infinita (idealmente). A continuación se representa un amplificador operacional de "entrada diferencial", que quiere decir que la salida depende de la diferencia de voltajes en las bornas + y -: V+ - V-.
Como se puede observar en el circuito equivalente, la resistencia de entrada es infinita (conductancia nula, ya que no hay conexión entre V+ y V- ), con lo que no circulará ninguna corriente de entrada. Por otra parte, la resistencia de salida es la de la fuente dependiente. Como es ideal (aunque dependiente) es cero.
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3.7.2. Configuración FVCV inversora Normalmente, el amplificador operacional se utiliza realimentado, es decir existe una rama que conecta la salida del amplificador con al menos una de las entradas. En este caso, la tensión de salida no puede ser infinito con lo que se fuerza a que V+ = V-. Para comprobarlo, se muestra un ejemplo suponiendo finita la ganancia K y, posteriormente, haciéndola tender a infinito:
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Tema 3: Redes resistivas
Si se calcula directamente con ganancia infinita, aplicando V- = V+ = 0 y teniendo en cuenta que la corriente de entrada al amplificador es nula (toda la corriente que pasa por R1 pasa por R2):
La resistencia de entrada es R1 (relación entre V1 y la corriente de entrada i) y la corriente de salida es cero (por ser una fuente de voltaje ideal). El circuito equivalente se muestra a continuación:
Este circuito se denomina fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV) inversora, ya que la ganancia es negativa.
3.7.3. Configuración FVCV no inversora
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La resistencia de entrada es infinita, ya que la corriente de entrada es nula:
Para calcular la resistencia de salida se anula V1 y se aplica una corriente Is:
Entonces, el circuito original es equivalente a :
Se comporta como un amplificador operacional de ganancia finita, por lo que se suele representar:
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3.7.4. Análisis por nodos Ejemplo:
En el nodo 3 no se puede plantear ecuación porque la conductancia de salida del amplificador es infinita. Las ecuaciones en los nodos serán:
Ecuación del amplificador operacional: Si la ganancia del operacional es finita:
Si la ganancia del operacional es infinita, se anula la diferencia de voltaje entre las bornas positiva y negativa (en este caso, la ecuación del amplificador es V2 = 0):
Aunque el voltaje en el nodo 2 es nulo, se utiliza la ecuación de dicho nodo.
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3.8. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.
de
circuitos.
Segunda
edición.
Prentice-Hall
[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.
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TEMA 4: CAPACITORES E INDUCTORES
4.1. Índice del tema 4.1.
Índice del tema.......................................................................................................... 1
4.2.
El Condensador ........................................................................................................ 2
4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 4.3.
La bobina................................................................................................................... 6
4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.4.
Ecuación de malla............................................................................................. 11 Ecuación de nodo ............................................................................................. 11 Dualidad ........................................................................................................... 12
El Transformador................................................................................................... 12
4.6.1. 4.6.2. 4.6.3. 4.7.
Condensadores en paralelo ................................................................................. 8 Condensadores en serie ...................................................................................... 9 Bobinas en serie.................................................................................................. 9 Bobinas en paralelo .......................................................................................... 10
Principio de dualidad ............................................................................................. 11
4.5.1. 4.5.2. 4.5.3. 4.6.
Introducción........................................................................................................ 6 Potencia .............................................................................................................. 7 Energía................................................................................................................ 7 Condición de continuidad................................................................................... 7
Asociaciones serie y paralelo ................................................................................... 8
4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.5.
Introducción........................................................................................................ 2 Potencia .............................................................................................................. 3 Energía................................................................................................................ 3 Condición de continuidad................................................................................... 4
Introducción...................................................................................................... 12 Transformador con inductancia mutua positiva ............................................... 14 Transformador con inductancia mutua negativa .............................................. 15
Referencias .............................................................................................................. 16
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Tema 4: Capacitares e inductores
4.2. El Condensador 4.2.1. Introducción El condensador es un elemento de dos terminales en el que el voltaje y la corriente se relacionan por:
donde C es la capacidad que se expresa en Faradios (F). Se puede observar en (1) que el voltaje depende de instantes de tiempo pasados, es decir tiene "memoria".
Se representa por el siguiente símbolo:
La ecuación de voltaje se puede expresar como:
donde v(0) se denomina condición inicial.
Teniendo en cuenta la relación entre i(t) y q(t) se puede deducir la relación:
Por tanto, el valor de la capacidad (C) es la relación entre la carga almacenada y el voltaje que aparece en sus terminales. Aunque se puede definir un capacitor de forma no lineal, todos los que se usarán en este tutorial serán lineales, invariantes y de parámetros concentrados.
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4.2.2. Potencia En anteriores apartados se defino la potencia de un dipolo como que, sustituyendo:
.
Así
Esta potencia puede ser positiva o negativa, ya que aunque C es siempre positiva, el término
puede ser positivo o negativo.
4.2.3. Energía La energía se puede expresar mediante la siguiente expresión:
Teniendo en cuenta que:
De esta forma se comprueba que aunque la potencia instantánea pueda ser negativa, la energía siempre es positiva o nula. El condensador, por tanto, es un elemento pasivo; en él se almacena energía que puede ser entregada al circuito en otro momento (no es un elemento disipativo como la resistencia). Valores típicos son del orden de pF hasta cientos de µF. Hay condensadores que requieren una determinada polaridad (condensadores electrolíticos), pero en general la mayoría pueden tener ambas polaridades.
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4.2.4. Condición de continuidad El voltaje que aparece en los terminales de un condensador lineal e invariante en el tiempo siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t0, se cumple:
Siendo: (límite por la izquierda)
(límite por la derecha)
EJEMPLO: Como ejemplo del efecto de la condición de continuidad, se considera el siguiente circuito:
Supóngase que el interruptor se ha en la posición 1) durante un largo
conectado a la fuente de 10 V (interruptor tiempo antes que , permitiendo de ese
modo que el circuito alcance una condición en estado estable. Como resultado, en cumple:
Puesto que tratarse
independientemente del voltaje como un circuito abierto:
se
, el capacitor puede
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En el interruptor se cambia a la posición 2. En , el voltaje del capacitor debe permanecer en 8 V, sin importar la corriente que circula por él. En consecuencia, puede ser modelado por medio de una fuente de voltaje:
Conclusión:
Se puede observar que el voltaje en un resistor puede ser discontinuo, aun cuando el voltaje del capacitor sea siempre será continuo.
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4.3. La bobina 4.3.1. Introducción La bobina o inductor es un elemento de dos terminales en el que las variables corriente y voltaje se relacionan por:
Donde L es el valor de la inductancia, cuya unidad es el Henrio (H). Su símbolo es:
La ecuación de la corriente se puede expresar mediante la condición inicial i(0):
Así como un condensador se mantiene cargado en circuito abierto, las bobinas (idealmente, si no tuvieran resistencia en sus conductores) se mantienen cargadas en cortocircuito. A temperaturas cercanas al cero absoluto mantienen la corriente durante años.
Por la ley de Faraday:
(¢: flujo magnético)
Se puede definir la inductancia de una bobina mediante la relación existente entre el flujo magnético producido y la corriente que lo atraviesa:
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4.3.2. Potencia Sabiendo que la potencia instantánea en un dipolo es bobina se puede expresar de la siguiente forma:
L siempre es positivo, pero el término
, la potencia de la
puede ser negativo o positivo.
4.3.3. Energía La energía total suministrada se puede expresar mediante la siguiente expresión:
Teniendo en cuenta que:
Se obtiene la energía total almacenada en el instante t como:
Esto indica que la bobina (lineal e invariante) es un elemento pasivo, es decir no puede ceder más energía de la que previamente ha almacenado y, aunque puede ser no lineal y variante con el tiempo, se considerará en este tutorial que es lineal e invariante.
4.3.4. Condición de continuidad La corriente que circula por un inductor lineal e invariante siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t0:
Donde iL es la corriente que circula por la bobina.
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4.4. Asociaciones serie y paralelo 4.4.1. Condensadores en paralelo
Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff:
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4.4.2. Condensadores en serie
Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:
4.4.3. Bobinas en serie
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Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:
4.4.4. Bobinas en paralelo
Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:
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4.5. Principio de dualidad 4.5.1. Ecuaci贸n de malla
LVK
4.5.2. Ecuaci贸n de nodo
LCK
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4.5.3. Dualidad Como vemos en las ecuaciones anteriores, y a lo largo de todo el tutorial, existe una cierta similitud o dualidad entre las expresiones obtenidas intercambiando: Corriente Resistencia (R) Flujo (¢) Inducción (L) Conexión en serie Análisis por mallas Ley de voltajes de Kirchoff Corrientes entrantes/salientes
Voltaje Conductancia (G) Carga (q) Capacidad (C) Conexión en paralelo Análisis por nodos Ley de corrientes de Kirchoff Subidas/caídas de voltaje
4.6. El Transformador 4.6.1. Introducción En esta sección se estudiará un dispositivo de terminales múltiples bastante diferente a los elementos estudiados anteriormente, en el que las variables de voltaje y corriente se relacionan por medio de ecuaciones integro-diferenciales: el transformador. Cuando circula corriente por una bobina en solitario, se crea un flujo magnético a su alrededor. A este fenómeno se le denomina autoinducción. El flujo magnético creado viene dado por la siguiente expresión:
siendo L1 el coeficiente de autoinducción de la bobina. Si se coloca otra bobina cerca de la primera, algunas de las líneas de flujo producidas por la corriente en esta nueva bobina también enlazarán la primera bobina. De esta forma, los enlaces de flujo Ø1(t) de la primera bobina están determinados por las corrientes i1(t) e i2(t):
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donde L1 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 1 y M12 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2. Considerando la segunda bobina, el flujo Ø2(t) se genera por las corrientes i2(t) e i1(t):
donde L2 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 2 y M21 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 2 con respecto a la bobina 1.
Aplicando la ley de Faraday a las dos ecuaciones anteriores, y sabiendo que M12=M21=M, se pueden calcular los voltajes que aparecen en los terminales de cada bobina (v1(t) y v2(t)):
Los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua se pueden expresar en función del número de espiras de las bobinas (N1 y N2) y de una constante K llamada coeficiente de acoplamiento.
K es una medida de la cantidad de flujo que genera una corriente que circula en una bobina, la cual enlaza las vueltas de la otra bobina. Si esta cantidad es pequeña, las bobinas están acopladas débilmente. Por otra parte, si la totalidad del flujo generado por una bobina enlaza las vueltas de la otra, las bobinas están perfectamente acopladas (K=1). La inductancia mutua M puede ser positiva o negativa. Normalmente se emplea un par de puntos para identificar las direcciones de devanado relativas. Si las direcciones de corriente de referencia positiva se orientan hacia adentro (o hacia afuera) de las terminales marcadas con un punto de las dos bobinas, la inductancia mutua es positiva; en otro caso es negativa.
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4.6.2. Transformador con inductancia mutua positiva
Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:
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Tema 4: Capacitares e inductores
Si se considera K=1:
Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:
4.6.3. Transformador con inductancia mutua negativa
Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:
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Tema 4: Capacitares e inductores
Si se considera K=1:
Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:
4.7. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.
de
circuitos.
Segunda
edición.
Prentice-Hall
[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.
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TEMA 5: RÉGIMEN PERMANENTE SENOIDAL
5.1. Índice del tema 5.1.
Índice del tema.......................................................................................................... 1
5.2.
Introducción .............................................................................................................. 3
5.3.
Funciones Senoidales................................................................................................ 3
5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5. 5.3.6. 5.4.
La Función exponencial. Los fasores ...................................................................... 5
5.4.1. 5.4.2. 5.4.3. 5.4.4. 5.4.5. 5.5.
Introducción........................................................................................................ 9 Impedancia de elementos ................................................................................... 9 Admitancia de elementos ................................................................................. 10 Inmitancia de elementos ................................................................................... 11
Asociación serie-paralelo ....................................................................................... 12
5.6.1. 5.6.2. 5.6.3. 5.6.4. 5.6.5. 5.7.
Introducción........................................................................................................ 5 Definición y explicación..................................................................................... 5 Diferenciación con fasores ................................................................................. 6 Integración con fasores....................................................................................... 7 Ejemplo de análisis con fasores.......................................................................... 8
Impedancias y admitancias...................................................................................... 9
5.5.1. 5.5.2. 5.5.3. 5.5.4. 5.6.
Introducción........................................................................................................ 3 Forma rectangular o en cuadratura ..................................................................... 3 Forma polar ........................................................................................................ 3 Periodicidad ........................................................................................................ 4 Representación ................................................................................................... 4 Suma de funciones senoidales ............................................................................ 5
Introducción...................................................................................................... 12 Circuito en serie................................................................................................ 12 Circuito en paralelo .......................................................................................... 13 Divisor de voltaje ............................................................................................. 13 Red en escalera ................................................................................................. 14
Redes equivalentes a una pulsación ...................................................................... 16
5.7.1. 5.7.2. 5.7.3. 5.7.4. 5.7.5. 5.7.6.
Introducción...................................................................................................... 16 Caso A: Impedancia ......................................................................................... 16 Caso B: Admitancia.......................................................................................... 17 Equivalencias entre impedancias y admitancias............................................... 18 Ejemplo 1.......................................................................................................... 19 Ejemplo 2.......................................................................................................... 20
Teoría de Circuitos
5.8.
Análisis por mallas y nodos ................................................................................... 21
5.8.1. 5.8.2. 5.8.3. 5.9.
Introducción...................................................................................................... 21 Análisis por mallas ........................................................................................... 21 Análisis por nodos ............................................................................................ 22
Transformación de generadores reales................................................................. 23
5.9.1. 5.9.2. 5.9.3. 5.10. 5.10.1. 5.10.2. 5.10.3. 5.10.4. 5.11. 5.11.1. 5.11.2. 5.12.
Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
Introducción...................................................................................................... 23 Transformación de generadores reales. ............................................................ 23 Ejemplo............................................................................................................. 24 Equivalentes de Thevenin y Norton .................................................................. 25 Introducción...................................................................................................... 25 Equivalente de Thevenin .................................................................................. 25 Equivalente de Norton ...................................................................................... 26 Ejemplo............................................................................................................. 26 Superposición de fuentes de distinta ω............................................................. 28 Introducción...................................................................................................... 28 Método.............................................................................................................. 28 Referencias .......................................................................................................... 28
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Teoría de Circuitos
Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
5.2. Introducción En este tema de Teoría de Circuitos se van a estudiar los aspectos relacionados con el régimen permanente senoidal. En este régimen la soluciones que vamos a obtener van a tener la misma forma que las excitaciones (de ahí la palabra permanente). Además estamos en un régimen senoidal por lo que a lo largo de todo este tema vamos a trabajar con funciones senoidales.
5.3. Funciones Senoidales 5.3.1. Introducción A lo largo de este punto vamos a ver cómo trabajar con las funciones senoidales. Para ello se verán las distintas formas de representación que tienen y cómo pasar de una representación a otra. Se verán algunas de las propiedades de las funciones senoidales como su periodicidad y se mostrará cómo es su representación gráfica y cómo se suman las funciones senoidales.
5.3.2. Forma rectangular o en cuadratura La forma rectangular o en cuadratura se representa a continuación:
A y B son constantes ω es la pulsación o frecuencia angular (en rad/s).
5.3.3. Forma polar La forma polar es: • •
Fm es positivo e indica la amplitud o magnitud pico. : es el argumento o fase (en radianes).
La relación entre la forma rectangular y la polar se puede ver a continuación. Como:
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Teoría de Circuitos
Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
De esta forma nos quedan las relaciones:
5.3.4. Periodicidad Una función es periódica, de periodo T, si se cumple la relación:
5.3.5. Representación A continuación veremos una representación para aclarar las relaciones que acabamos de ver:
• •
Eje abcisas: el coeficiente del cos(ωt). Eje ordenaas: el coeficiente del sen(ωt) cambiado de signo.
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Teoría de Circuitos
Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
5.3.6. Suma de funciones senoidales
con de forma que:
Consecuencia: la suma de dos funciones senoidales de igual pulsación da como resultado otra función senoidal de la misma posición.
5.4. La Función exponencial. Los fasores 5.4.1. Introducción En esta página vamos a ver qué son los fasores. Su definición y explicación y cómo se pueden utilizar para analizar circuitos en vez de utilizar las expresiones de las funciones senoidales directamente. Se presentará una aplicación interactiva en la que se puede ver cómo se puede pasar de una función senoidal a su representación fasorial.
5.4.2. Definición y explicación Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.
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Teoría de Circuitos
Como
con
Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
se puede ver el voltaje con la expresión:
y una corriente con la expresión
con
, donde
Definición de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal. es un número complejo con: • •
módulo: la amplitud de la magnitud que representa. fase: la fase de dicha magnitud en t=0.
El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:
Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.
5.4.3. Diferenciación con fasores Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:
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Teoría de Circuitos
Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
diferenciando f(t):
Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:
Al final:
Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:
5.4.4. Integración con fasores Con la función h(t) definida como la integración de f(t):
Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:
Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las Página 7 de 28
Teoría de Circuitos
Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por jω y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.
5.4.5. Ejemplo de análisis con fasores Si estas expresiones son el dato o incógnita de un circuito como:
Sabemos que del circuito se puede sacar la siguiente ecuación:
Utilizando fasores:
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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
5.5. Impedancias y admitancias 5.5.1. Introducción En este punto vamos a ver si podemos aplicar los mecanismos para obtener la impedancia y la admitancia a los fasores. Para ello a continuación se explican los aspectos teóricos de la impedancia y de la admitancia a la hora de trabajar con fasores. Al final se ha puesto un test por si el usuario quiere evaluar los conocimientos que haya podido adquirir en este punto.
5.5.2. Impedancia de elementos En el circuito:
las ecuaciones que relacionan las distintas variables se muestran a continuación:
y definimos el fasor I de tal forma que las ecuaciones anteriores expresadas con fasores quedan:
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Tema 5: Régimen Permanente Senoidal
A la expresión V/I se le llama impedancia del elemento y sus unidades son Ω. Definición: impedancia es la relación entre los fasores de voltaje y corriente de un elemento de dos terminales. La impedancia puede ser: • • •
Real: se la denomina resistencia. Imaginaria: se la denomina reactancia. Real e imaginaria: una magnitud compleja.
A continuación se muestra la impedancia de algunos elementos: Bobina: Condensador: Resistor:
5.5.3. Admitancia de elementos En el circuito:
las ecuaciones que relacionan las variables son:
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y en forma fasorial:
Definición: admitancia es la relación entre los fasores de corriente y voltaje de un elemento de dos terminales. La admitancia puede ser: • • •
Real: se la denomina conductancia. Imaginaria: se la denomina susceptancia. Real e imaginaria: una magnitud compleja.
Admitancia de algunos elementos: Bobina: Condensador: Resistor:
5.5.4. Inmitancia de elementos Hay un nombre genérico inmitancia que trata el concepto de la relación entre fasores de voltaje y de corriente en un elemento de 2 terminales, pero que no determina si es una admitancia o una impedancia. Todo lo visto hasta ahora, cualquier análisis de circuitos se puede hacer con estos nuevos elementos. Simplemente se cambian corrientes y voltajes por sus fasores y las resistencias y conductancias por impedancias y admitancias respectivamente.
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5.6. Asociación serie-paralelo 5.6.1. Introducción En este apartado vamos a ver cómo se pueden asociar elementos en un circuito en régimen permanente senoidal y utilizando fasores. Se verá cómo asociar los elementos en un circuito serie y en un circuito con elementos en paralelo. Finalmente se completará este punto con dos ejemplos de circuitos: un divisor de voltaje y una red en escalera.
5.6.2. Circuito en serie
Con este circuito nos quedan las ecuaciones:
Generalizando:
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5.6.3. Circuito en paralelo
Las ecuaciones para estos circuito son de la forma:
de forma general:
5.6.4. Divisor de voltaje
para cualquier elemento que sea Z1 y Z2:
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5.6.5. Red en escalera
se ve que la parte resistiva de Zent es:
la parte reactiva de Zent es:
y se observa cómo a la parte real (la resistiva) de Zent le afectan no sólo las resistencias sino también el condensador y la bobina. Es también dependiente de la frecuencia. Se puede de esta forma ver cómo un elemento real depende de la frecuencia. Se le puede llamar R(ω) (parte resistiva de la impedancia). También la parte reactiva es función de la frecuencia X(ω).
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Así a
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y esa misma Zent se puede conseguir con una R
y una C en serie
y un circuito con la misma Zent es:
, un circuito con la misma Zent es:
Dependiendo del signo de la parte imaginaria, una determinada admitancia o impedancia se puede sustituir por un circuito más sencillo, a una determinada pulsación, serie o paralelo de dos elementos: resistencia y condensador o bobina.
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5.7. Redes equivalentes a una pulsación 5.7.1. Introducción A una determinada pulsación cualquier circuito puede ser sustituido por otro circuito que conste sólo de dos elementos: una resistencia, y un condensador o una bobina. Dichos elementos pueden estar asociados en serie o paralelo. A continuación veremos dos casos: trabajando con impedancias o admitancias. Para el primer caso se ha desarrollado una aplicación interactiva que nos permite visualizar un ejemplo. Por último se verán las equivalencias que se dan entre admitancias e impedancias.
5.7.2. Caso A: Impedancia Impedancia •
A.1 es la reactancia de una bobina
de valor
El siguiente circuito es equivalente a Z(jω0) a una pulsación dada:
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•
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A.2 es la reactancia de un condensador de valor
El circuito que se muestra a continuación es equivalente a Z(jω0) a una pulsación dada.
5.7.3. Caso B: Admitancia Admitancia
•
B.1 es la susceptancia de un condensador
La red equivalente a la pulsación de trabajo será:
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•
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B.2 es la susceptancia de una bobina. La red equivalente a Y(jω0) a una pulsación dada será:
5.7.4. Equivalencias entre impedancias y admitancias Si tenemos Z(jω0)= R0 + jX0 e Y(jω0)= G0 + jB0 la relación
obliga a:
igualando parte real e imaginaria:
a una pulsación dada. Conclusión: la conductancia no es el inverso de la resistencia. Viendo las expresiones, si X0 > 0 → B0 < 0 y al revés de forma que A.1 y B.2, ó A2 y B1 son equivalentes. Se usa una u otra según se quiera analizar como admitancias o impedancias.
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5.7.5. Ejemplo 1 Si tenemos que implementar a) Como impedancia:
b) Como admitancia:
Veremos la impedancia de este 2º circuito:
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5.7.6. Ejemplo 2 Si implementamos:
a) Como impedancia:
b) Como admitancia:
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5.8. Análisis por mallas y nodos 5.8.1. Introducción A continuación vamos a ver cómo se realizan el análisis por mallas y por nodos al trabajar en régimen permanente senoidal. El análisis es equivalente al caso de las redes resistivas pero esta vez se va a trabajar con impedancias de rama.
5.8.2. Análisis por mallas Supongamos que tenemos el siguiente circuito
Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:
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Donde: • Vi: es la suma de los fasores de las fuentes de voltaje (positivo si es de subida, negativo si es de bajada). • Ii: fasores de corriente. • •
: suma de las impedancias de la malla i. : suma de las impedancias compartidas entre la malla i y la j con signo negativo.
5.8.3. Análisis por nodos Se hace de igual forma que con redes resistivas.
Donde: • Ii: es la suma de los fasores de corriente (positivo si entran, negativo si salen en el nodo i. • Vi: fasores de voltaje del nodo i. • Yii: suma de las admitancias conectadas al nodo i. • Yij: suma de las admitancias compartidas entre los nodos i y j con signo negativo.
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5.9. Transformación de generadores reales 5.9.1. Introducción Según estamos viendo casi cualquier técnica de análisis de redes resistivas puede ser aplicada en el caso de un análisis fasorial de redes RLC. La técnica de transformación de generadores reales es una de las técnicas que utilizaremos también en los análisis en régimen permanente senoidal. A continuación en esta página se realizará una introducción a esta técnica.
5.9.2. Transformación de generadores reales. Tendremos una equivalencia de bornas hacia fuera de los siguientes dos circuitos:
equivale a
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5.9.3. Ejemplo A continuación vamos a poner un ejemplo para ver cómo se pasa de un circuito con una fuente de voltaje al circuito equivalente con una fuente de corriente. Partimos de:
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5.10. Equivalentes de Thevenin y Norton 5.10.1.
Introducción
Cualquier colección de fuentes y de elementos de dos terminales puede reemplazarse, en un par de terminales dados y a una frecuencia determinada, por un circuito equivalente Thevenin y Norton. Los mecanismos son iguales que para las redes resistivas.
5.10.2. • •
Equivalente de Thevenin
Vth: voltaje en circuito abierto en el par de nodos. Zth: impedancia vista en esos nodos.
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5.10.3. • •
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Equivalente de Norton
IN: corriente en cortocircuito entre los dos nodos. YN: admitancia vista entre esos nodos, al anular las fuentes independientes.
5.10.4.
Ejemplo
Ejemplo: Partimos del circuito:
con las unidades en ohmios:
transformando y utilizando mhos:
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Tema 5: RĂŠgimen Permanente Senoidal
asociando:
volvemos a transformar:
Como resultado final en el dominio temporal obtenemos:
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5.11. Superposición de fuentes de distinta ω 5.11.1.
Introducción
En esta página veremos cómo cuando en un circuito existen varias fuentes de diferente frecuencia a la hora de analizarlo hay que usar superposición. Veremos este método y al final habrá un pequeño test para comprobar si se han captado los puntos base de este método.
5.11.2.
Método
Lo que se quiere hacer es calcular la respuesa (ya sea voltaje o corriente) a cada una de las frecuencias. Para calcular esto lo primero que hay que hacer es anular todos los generadores independientes que puedan existir en el circuito y que no funcionen a la frecuencia a la que se está trabajando. Una vez hecho esto la respuesta total del circuito será la suma de las respuestas temporales a cada frecuencia. Una cosa que no se debe hacer es anular los generadores dependientes. Conviene recordar que a la hora de anular generadores independientes: • Los generadores de voltaje pasan a ser cortocircuitos. • Los generadores de corriente se convierten en circuitos abiertos.
5.12. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.
de
circuitos.
Segunda
edición.
Prentice-Hall
[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.
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TEMA 6: RÉGIMEN TRANSITORIO
6.1. Índice del tema 6.1.
Índice del tema .......................................................................................................... 1
6.2.
Introducción .............................................................................................................. 2
6.3.
Circuitos de primer orden ....................................................................................... 2
6.3.1. 6.3.1.1. 6.3.1.2.
6.3.2. 6.3.2.1. 6.3.2.2.
6.3.3. 6.3.4. 6.3.4.1. 6.3.4.2.
6.4.
Problema................................................................................................................................ 2 Parámetros de la solución ..................................................................................................... 7
Excitación por medio de fuentes: ....................................................................... 9 Problema................................................................................................................................ 9 Solución ................................................................................................................................. 9
Excitación por condiciones iniciales y fuentes:................................................ 12 Cálculo de los valores iniciales y finales del circuito:...................................... 12 Problema.............................................................................................................................. 13 Solución ............................................................................................................................... 13
Circuitos de segundo orden ................................................................................... 25
6.4.1. 6.4.1.1.
6.4.2. 6.4.2.1. 6.4.2.2. 6.4.2.3.
6.4.3. 6.4.3.1. 6.4.3.2.
6.4.4. 6.4.4.1. 6.4.4.2.
6.4.5. 6.4.5.1.
6.4.6. 6.4.6.1. 6.4.6.2. 6.4.6.3.
6.5.
Excitación por condiciones iniciales: ................................................................. 2
Solución homogénea para los circuitos de primer orden: ................................ 25 Parámetros de la ecuación diferencial ................................................................................ 33
Circuitos de segundo orden con dos variables independientes: ....................... 35 Problema.............................................................................................................................. 35 Solución ............................................................................................................................... 35 Propiedad ............................................................................................................................ 37
Circuitos con más de dos variables independientes: ........................................ 38 Problema.............................................................................................................................. 38 Solución ............................................................................................................................... 38
Cálculo de las condiciones iniciales ................................................................. 41 Problema.............................................................................................................................. 41 Solución ............................................................................................................................... 42
Excitación por condiciones iniciales y fuentes:................................................ 46 Cálculo de las ecuaciones diferenciales .............................................................................. 47
Problemas ......................................................................................................... 52 Problema 1........................................................................................................................... 52 Problema 2........................................................................................................................... 62 Problema 3........................................................................................................................... 68
Referencias .............................................................................................................. 71
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Tema 6: Régimen Transitorio
6.2. Introducción Los circuitos de primer orden contendrán sólo un elemento capaz de almacenar energía (o varios que pueden reducirse a uno solo). Pueden tener cualquier número del resto de dipolos. Sus variables varían cumpliendo ecuaciones diferenciales de primer grado. Los circuitos de segundo orden se caracterizan porque sus variables están gobernadas por ecuaciones diferenciales de segundo orden. Físicamente estos circuitos poseen dos elementos reactivos (capaces de almacenar energía) y cualquier número de resistores, fuentes dependientes e independientes. Los circuitos pueden estar formados por una bobina y un condensador, dos condensadores o dos bobinas no reducibles a un sólo dipolo equivalente. Estudiaremos la evolución temporal de las corrientes y los voltajes resolviendo las ecuaciones diferenciales.
6.3. Circuitos de primer orden 6.3.1. Excitación por condiciones iniciales: Normalmente estas condiciones iniciales suelen ser voltajes en los condensadores o corrientes en las bobinas en el instante t=0 . Esto se debe a la continuidad de estas variables en el tiempo, generalmente. La excitación por condiciones iniciales produce lo que se denomina ''la respuesta de la red a entrada cero''. Se le conoce por este nombre porque la entrada se refiere a las fuentes. En el siguiente ejemplo se muestra el método a seguir para resolver estos circuitos.
6.3.1.1.
Problema
En el circuito de la Figura 1.1 el interruptor s1 está conectado desde hace mucho tiempo y en t=0 se desconecta. Al mismo tiempo el interruptor s2 se cierra. Calcule el voltaje en bornas del condensador.
FIGURA 6.1.- Circuitos en su situación inicial
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Tema 6: Régimen Transitorio
Solución Análisis general: Los problemas con interruptores se deben estudiar en varios intervalos por separado. En este caso los intervalos son: t<0 y t>0. El circuito sólo tiene un condensador y no posee fuentes para t>0, por lo que la respuesta será de primer orden y la excitación por valores iniciales. Búsqueda de las condiciones iniciales. Para determinar las condiciones iniciales debemos estudiar el circuito en el intervalo de tiempo t<0. El circuito que se debe estudiar es el representado en la Figura 6.2 a.
FIGURA 6.2.- Circuitos correspondientes al primer intervalo a) y al segundo b).
Claramente podemos determinar que el voltaje en bornas del condensador es: (1) y por continuidad se puede asegurar que: (2) También podríamos decir que en este problema sólo existe este intervalo puesto que el anterior sólo nos sirve para calcular las condiciones iniciales. El circuito se muestra en la Figura 6.2 b). Si aplicamos la LCK se obtiene (3)
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Expresamos las corrientes por voltajes
(4) y normalizando
(5)
Esta es la ecuación diferencial que gobierna el voltaje en el condensador. Como características más importantes tiene las siguientes: 1. Ordinaria: diferencial respecto a una única variable (no existen derivadas parciales). 2. Primer orden: sólo existe la primera derivada. , sólo aparecen la función y su primera 3. Lineal: no existe derivada multiplicadas por coeficientes. 4. Coeficientes constantes: El valor del condensador y el resistor se supone constante. 5. Homogénea: El término independiente es cero, como se observará más tarde cuando existen fuentes deja de ser homogénea. Todas las ecuaciones que se estudiarán en esta lección cumplen los puntos 1, 3 y 4. Todos los circuitos de primer orden excitados sólo por condiciones iniciales están caracterizados por una ecuación diferencial homogénea de primer orden.
Solución de la ecuación diferencial Se puede resolver por dos métodos que describimos a continuación:
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Separación de variables Colocamos todos los términos dependientes de una variable a un lado de la igualdad
(6) integramos
(7) y elevamos todo a la exponencial
(8)
Ensayo con una solución que cumpla la ecuación diferencial Observando 6.5 vemos que el voltaje debe ser una expresión que cumpla que su derivada es ella misma multiplicada por una constante. La función más conocida que cumple esta condición es la exponencial. Probaremos con una expresión del tipo: (9) Si introducimos 6.9 en 6.5 se obtiene
(10) simplificando
(11)
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cuya raíz es:
(12) Se denomina Ecuación Característica a la que nos permite calcular el exponente de la exponencial (Ecuación 6.11). En ambos casos la constante K se calcula por condiciones iniciales. Normalmente estas son los valores iniciales de las variables. En nuestro caso aplicamos continuidad al voltaje del condensador tenemos que (13) Si particularizamos la Ecuación para t=0 se obtiene (14) de donde se deduce que la solución completa para el voltaje es:
(15) Gráficamente la respuesta se muestra en la Figura 6.11.
FIGURA 6.3.- Evolución del voltaje en el condensador con el tiempo.
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Si me hubiesen demandado el cálculo de la corriente en la resistencia, fácilmente se obtiene
(16)
TEOREMA Se puede demostrar que todas las variables corriente/voltaje del mismo circuito tienen el mismo comportamiento exponencial (igual ecuación característica) y sólo cambia el valor de la constante.
6.3.1.2.
Parámetros de la solución
En general cualquier solución para un circuito de primer orden excitado por condiciones iniciales se puede expresar como: (17)
La constante de tiempo Al recíproco del exponente se le llama constante de tiempo y es el tiempo necesario para que cualquier variable disminuya en 1/e de su valor inicial. Se representa por la letra y tiene dimensiones de tiempo. Para el ejemplo (18) La constante de tiempo es una característica de los elementos del circuito, sin que en su valor influyan los generadores independientes.
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Frecuencia natural Como se puede observar en la Figura a medida que la constante de tiempo disminuye, la gráfica se hace más abrupta. En el límite t=0 tenemos un delta de Dirac.
FIGURA 6.4.- Gráficas de una variable corriente/voltaje "s" para distintas constantes de tiempo La conclusión que extraemos es que como todas las variables tienen el mismo comportamiento exponencial, calcularemos dicho exponente mediante la variable que resulte más fácil.
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6.3.2. Excitación por medio de fuentes: Excitamos un circuito de primer orden por medio de fuentes independientes y con las condiciones iniciales nulas. Este comportamiento se denomina Respuesta a Estado Cero.
6.3.2.1.
Problema
Calcule el voltaje que cae en el condensador del circuito de la Figura 6.5.
FIGURA 6.5.- Circuito del problema.
6.3.2.2.
Solución
Análisis general La ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del voltaje del condensador será ordinaria, de primer orden, lineal, de coeficientes constantes y no homogéneas debido a la fuente. Las condiciones iniciales son nulas. Intervalo de tiempo t ≥ 0 Lo primero que hacemos es analizar con la LCK el circuito.
(19)
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La solución de la ecuación diferencial se expresará como una suma de dos soluciones: (20) La solución homogénea o complementaria vh(t) es la solución de la ecuación diferencial con el término independiente igualado a cero.
(21) Es una solución independiente de la forma de excitación (depende de los elementos del circuito, incluidas las fuentes dependientes). La solución homogénea se obtiene igual que en el apartado anterior. Vamos a suponer una solución de tipo exponencial, (22) Introducimos la exponencial en la Ecuación 6.21 y obtenemos:
(23) luego la ecuación característica es:
(24) y la solución homogénea es
(25)
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Definimos vp(t) como la solución particular de la completa. Existen dos formas de hallarla:
Probar con una solución con forma similar al término independiente En este caso es la excitación. Si tenemos que (26) probaremos con (27) Si lo introducimos en la ecuación diferencial nos queda:
(28)
luego una constante es una posible solución.
Analizar en régimen permanente Esta forma sólo es válida para las excitaciones continuas o sinusoidales. La solución homogénea decae con el tiempo y para tiempos muy grandes la solución homogénea se anula, por eso se la denomina régimen transitorio. La respuesta permanente tiene siempre la misma forma de la excitación que es la que continuamente le está entregando energía. Para nuestro ejemplo sustituimos el condensador por un circuito abierto nos queda que (29) La solución completa será la suma de ambas
(30)
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para hallar la constante de la solución homogénea seguimos recurriendo a las condiciones iniciales. En este caso las condiciones iniciales son nulas luego (31)
La solución final es:
(32)
6.3.3. Excitación por condiciones iniciales y fuentes: La forma de proceder es muy similar a la realizada en el último apartado. Vamos a resumirla en los puntos siguientes: 1. Solución de la ecuación homogénea. 2. Solución particular. 3. Sumamos las soluciones. 4. Cálculos de la constante de la solución homogénea mediante condiciones iniciales que ahora ya no son nulas.
6.3.4. Cálculo de los valores iniciales y finales del circuito: Hemos visto numerosos ejemplos de como calcular los problemas de valores iniciales y finales. En este punto sólo quiero recordar las diferencias entre ambos y su resolución. En los problemas de valores iniciales se sustituyen los condensadores por fuentes de tensión de igual valor a la tensión que cae entre sus bornas en el instante del análisis y que, normalmente se extrae de las condiciones de continuidad de la tensión o, en el caso más general, de la carga. Las bobinas se sustituyen por fuentes de corriente de igual valor a la corriente que les atraviesa en el instante de conmutación. Estos valores se obtienen de las condiciones de continuidad de la corriente y del flujo. Con estos datos debemos ser capaces de analizar el circuito y obtener cualquier variable de él.
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El problema de valores finales se plantea cuando no existen en el circuito los transitorios y se reduce a un análisis del circuito en régimen permanente de continua o sinusoidal dependiendo de la excitación. Los valores extraídos de un problema de éstos pueden utilizarse como valores iniciales en ciertos casos pero no hay que confundirlos. Uno evalúa el circuito en un instante de tiempo mientras el otro lo evalúa en un intervalo de tiempo casi infinito.
6.3.4.1.
Problema
El circuito de la Figura 6.6 lleva mucho tiempo con el conmutador en la posición 1. En t=0 se sitúa en la posición 2 y en t=2 seg. vuelve a conmutar a la posición 1. Calcule v2(t) para el intervalo de tiempo . Las unidades de los dipolos son Óhmios, Faradios y Voltios.
FIGURA 6.6.- Dibujo completo del circuito del problema.
6.3.4.2.
Solución
Análisis general El análisis de todo circuito que posea interruptores se debe separar en varios intervalos de tiempo. Éstos estarán comprendidos entre los instantes de conmutación. En este caso los intervalos serán: -1 < t < 0 ; 0 < t < 2 ; t > 2). Se deberá solucionar un problema de valor inicial en cada instante de conmutación para calcular las condiciones iniciales de la incógnita. Como v2 está definida en parte en una resistencia no podremos aplicar directamente continuidad. Como se ha dicho con anterioridad a partir de una de las variables del circuito
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se puede calcular el resto para un instante determinado. En este caso, se deberá calcular a partir del voltaje en el condensador, que es continuo.
Primer intervalo -1 < t < 0 El circuito ha alcanzado el régimen permanente luego el problema que debemos resolver es de valores finales. Como los generadores de tensión son constantes se deben sustituir los condensadores por circuitos abiertos y las bobinas por cortocircuitos. Con estas consideraciones el circuito en este intervalo es el representado en la Figura 6.7.
FIGURA 6.7.- Circuito con el conmutador en la posición 1 en régimen permanente de continua.
Se puede observar claramente que i(t)=0 porque el circuito se encuentra en circuito abierto. Si la corriente es cero, no cae tensión en ningún dipolo y
(33)
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Segundo intervalo 0 < t < 2 El circuito resultado de que el interruptor conmute a la posición 2 se muestra en la Figura 6.8
FIGURA 6.8.- Circuito con el interruptor en la posición 2. Este circuito entra dentro de los problemas descritos en el Apartado 6.3.3 de este capítulo. La potencia que le será entregada procederá de fuentes y condiciones iniciales.
Condiciones iniciales El voltaje en el condensador es continuo luego: (34) Para conocer el voltaje que cae en la resistencia debemos plantear un análisis de valores iniciales del circuito para el instante t=0. El condensador se sustituye por una fuente de voltaje de valor vc(0+) y como resultado se obtiene la figura 6.9.
FIGURA 6.9.- Circuito en t=0+.
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Primero calculamos la corriente que circula por la malla
(35) La condición inicial para el voltaje total será:
(36)
Las ecuaciones diferenciales Como se ha comentado todas las variables del circuito tienen el mismo comportamiento exponencial. Se calculará la que mejor nos convenga y a partir de ella, todas las demás. En este caso tres parecen las variables más importantes: el voltaje en el condensador, la corriente de malla y el voltaje v2(t). A modo de ejemplo las resolveremos todas.
Primer método: Intensidad de malla La corriente i(t) circula por las tres resistencias en serie del circuito. Por lo tanto también será la que atraviese su equivalente serie de 4 Ohmios. Si aplicamos la LVK al circuito resultante se obtiene que: (37)
Expresamos los voltajes en función de las intensidades: (38)
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Para hallar la ecuación diferencial de primer orden derivamos todos los términos respecto del tiempo.
(39) La solución de la Ecuación 6.39 está gobernada por la ecuación característica del circuito que es general y no sólo es aplicable a la intensidad. (40) El valor de i(t) será por tanto
(41) donde la constate K la calculamos mediante valores iniciales: (42) La solución final será:
(43)
Voltaje en el condensador Si continuamos el problema a partir del cálculo de la intensidad debemos relacionar corrientes y voltajes en el condensador.
(44) La constante se puede calcular como un problema de valor final o de condiciones iniciales. Si elegimos ese último camino obtendremos que: (45)
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El resultado es que el voltaje en el condensador es:
(46)
Voltaje v2(t) Para calcular v2(t) a partir de vc(t) e i(t) sólo debemos sumar las contribuciones del voltaje en la resistencia y en el condensador.
(47)
Segundo método: El voltaje en el condensador Si elegimos a éste como primera variable en el circuito debemos sustituir el circuito que se ve desde sus bornas por su equivalente de Norton. La resistencia de Norton será el equivalente serie de las tres resistencias (4 Ohmios ). La corriente de Norton será:
(48) El circuito resultante se muestra en la Figura 6.10.
FIGURA 6.10.- Equivalente de Norton en bornas del condensador.
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Aplicando LCK se obtiene: (49) donde si expresamos las corrientes en función de vc(t) obtenemos:
(48) La ecuación característica será la misma que la de la corriente y la solución homogénea será:
(48) La solución particular la obtenemos analizando en régimen permanente
(52) y la constante de la solución homogénea se calcula a partir de las condiciones iniciales: (53) La solución es:
(54) El resultado lógicamente es el mismo que el anterior (Ecuación 6.46). A partir de aquí relacionaríamos la corriente con el voltaje en el condensador a través de
(55)
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Tema 6: Régimen Transitorio
El resultado obtenido será el reflejado en la Ecuación 6.43. Para hallar la incógnita v2(t) emplearíamos la Ecuación 6.47
Tercer método. La incógnita v2(t) Si deseamos resolver directamente v2(t) deberemos encontrar su ecuación diferencial. Para conseguirlo tenemos que calcular v2(t) por dos caminos distintos. Si nos movemos por la derecha desde la borna posistiva hacia la negativa llegamos a:
(56) Si se deriva la expresión se obtiene:
(57) Por el camino izquierdo de la malla se puede obtener que:
(58) Si despejamos i(t) resulta:
(59) Ya hemos conseguido expresar i(t) en función del voltaje. Para eliminar completamente la intensidad de la Ecuación 6.57 debemos conocer la derivada de la corriente en función del voltaje. Derivando la Ecuación 6.59 se obtiene:
(60)
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Sustituimos las Ecuaciones 6.59 y 6.60 en la Ecuación 6.57 y el resultado es:
(61) Agrupando términos la ecuación se simplifica a:
(62) La ecuación diferencial final es el resultado de multiplicar la anterior por 13/16 para normalizarla.
(63) La solución homogénea será:
(64) Analizando en régimen permanente ( C en circuito abierto) la solución particular es: (65) La constante se calcula por medio de las condiciones iniciales: (66) luego K=8,125. Todo lo obtenido concuerda con lo obtenido anteriormente (Ecuación 6.47).
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Tercer intervalo t > 2 El circuito que se debe analizar se representa en la Figura 6.11
. FIGURA 6.11.- Circuito correspondiente al tercer intervalo (t>2).
Problema de valores iniciales El voltaje en el condensador se mantiene, luego particularizando la ecuación 6.54 pata t=2 se obtiene:
(67)
A partir de aquí se pueden encontrar el resto de los valores que deseamos resolviendo el circuito de la Figura 6.12.
FIGURA 6.12.- Circuito para el instante de tiempo t = 2+.
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Tema 6: Régimen Transitorio
La corriente será:
(68)
Por tanto
resulta
(69)
Solución temporal El problema es el mismo que en el anterior intervalo. De hecho se puede resolver por cualquiera de los caminos que se recorrieron anteriormente.Para explicar completamente este tipo de problemas en el anterior apartado se resolvieron todos los casos partiendo de las ecuaciones diferenciales. Existen, sin embargo, más caminos, uno de los cuales se seguirá para resolver este intervalo. Partimos de que la solución homogénea de un circuito no depende de las fuentes. Por lo tanto se puede hallar anulando éstas. La ecuación característica es la misma para todas las variables del circuito por lo que la hallaremos para la variable que deseemos. Si elegimos el voltaje del condensador, el circuito se reduce al paralelo de una resistencia y un condensador, como se muestra en la figura 6.13.
FIGURA 6.13.- Equivalente de Norton del circuito de la Figura 6.11 en bornas del condensador donde se han anulado las fuentes independientes. Como el instante de conmutación no es t=0 realizamos el cambio de variable t´=t-2. Aplicando la LCK y sustituyendo las intensidades por voltajes se obtiene:
(70)
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La ecuación característica es:
(71) Esta ecuación sabemos que es válida para cualquier variable del circuito. Entonces la aplicamos a la variable que deseamos conocer, v2(t´). La solución homogénea será: (72) La solución particular sólo depende de las fuentes. En este caso la fuente es constante por lo que se podrá calcular analizado en régimen permanente de continua. La corrientes para tiempos cercanos al infinito es cero porque hay un circuito abierto. El problema es el mismo que solucionamos para t<0. El voltaje final de v2(t´)coincidirá con el de la fuente, es decir: (73) Sólo nos queda calcular la constante K por condiciones iniciales: (74) La solución final queda deshaciendo el cambio de variable: (75)
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La
representación
Tema 6: Régimen Transitorio
gráfica
de
la
señal
se
muestra
en
la
Figura
6.14.
FIGURA 6.14.- Evolución del voltaje v2(t) en el intervalo 1 < t < ∞. No existe continuidad ni en t=0 ni en t=2 porque el voltaje no es continuo en una resistencia.
6.4. Circuitos de segundo orden Las variables de estos circuitos se gobiernan por ecuaciones diferenciales de segundo orden. A primera vista se pueden distinguir porque contienen dos elementos capaces de almacenar energía; ya sean dos condensadores, dos bobinas (que no se puedan sustituir por una C o una L equivalente) o un condensador más una bobina. Su estudio será similar al empleado con los circuitos basados en una ecuación de primer orden.
6.4.1. Solución homogénea para los circuitos de primer orden: Al igual que ocurría en los circuitos de la primera parte del tema, la ecuación diferencial será homogénea cuando la excitación sea por condiciones iniciales.
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Para comenzar el estudio se analizará el circuito RLC serie representado en la Figura 6.15.
Figura 6.15.- Circuito RLC serie. Si aplicamos la LVK obtenemos (76) Expresamos cada término en función de la corriente.
(77) Derivando y dividiendo por L para normalizar 6.77 se llega a la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la intensidad en un circuito de este tipo.
(78) La ecuación diferencial es ordinaria, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes y como en el apartado 6.3.1 homogénea. Coincide, como se mencionó, con el análisis de circuitos de primer orden en que cuando el circuito está excitado por condiciones iniciales la ecuación diferencial es homogénea. Las fuentes serán las responsables de que aparezcan términos independientes en las ecuaciones diferenciales. La ecuación se resuelve de igual forma que en la primera parte de este tema. Ensayamos con una solución genérica de tipo exponencial. (79)
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Si se introduce 6.79 en 6.78 se obtiene
(80) sacando factor común de la exponencial
(81) Para que la Ecuación 6.81 sea igual a cero tenemos dos opciones: (82) que es la solución trivial puesto que anula a i(t) y, que no nos interesa y
(83) que es la ecuación característica de este circuito. Al contrario que en los circuitos de primer orden esta ecuación es de segundo grado y en consecuencia la solución homogénea estará compuesta por dos exponenciales distintas. Sin embargo, mantiene el resto de sus características en común puesto que sigue dependiendo sólo del circuito. Además todas las variables del circuito tienen el mismo comportamiento exponencial, con diferentes constantes. Otra forma de verlo es que todas tienen la misma ecuación característica. En concreto, las soluciones para la ecuación característica del circuito de la Figura 6.15 son:
(84)
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En función del signo del discriminante
(85) tendremos tres tipos de soluciones que se describen a continuación: Discriminante positivo (D>0): para que suceda esta condición se cumple que:
(86) Las dos soluciones de la ecuación característica s1 y s2 son reales y negativas. La solución homogénea estará formada por dos exponenciales reales negativas de la siguiente forma: (87) donde las constantes K1 y K2 se determinan, como siempre, en función de las condiciones iniciales. Para conocer K1 y K2 se necesitan dos condiciones iniciales que normalmente serán . Estas condiciones habrá que obtenerlas del circuito. En el caso de las se puede obtener por continuidad de la corriente o del flujo magnético en la corrientes bobina. La derivada la obtenemos de la relación entre el voltaje y la corriente en una bobina.
(88) Particularizamos la ecuación 88 para el instante de conmutación. La derivada de la corriente que se necesita para las condiciones iniciales se obtiene dividiendo el voltaje por L. El voltaje en la bobina o cualquier otra variable se puede calcular como un problema de condiciones iniciales, conocido el voltaje en el condensador y la corriente en la bobina. Si estuviéramos tratando con voltajes, la derivada del voltaje en t0 la obtenemos a partir de la corriente en el condensador.
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Aplicando esas dos condiciones iniciales y suponiendo que el instante de conmutación es t=0 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones de las que podemos despejar K1 y K2. (89)
(90) A este tipo de circuitos se les denominan sobreamortiguados. Según avanza el tiempo la intensidad y el voltaje disminuirán con una forma de exponencial negativa porque la energía inicialmente almacenada en los elementos reactivos (condiciones iniciales) se disipa en las resistencias. La evolución de la corriente con el tiempo para circuitos con un comportamiento sobreamortiguado se muestra, de forma aproximada en la Figura 6.16.
Figura 6.16.- Evolución aproximada de la corriente en un circuito con un comportamiento sobreamortiguado. Discriminante nulo (D=0): en el circuito del ejemplo se cumple que:
(91) La solución de la ecuación característica es una única raíz doble, real y negativa. Siguiendo con el método que hemos desarrollado hasta ahora la corriente se puede expresar como: (92)
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sin embargo, un circuito de segundo orden impone dos condiciones iniciales, una por cada elemento reactivo. La Ecuación 6.92 no puede cumplir ambas condiciones iniciales con una sola constante. Deberemos encontrar una segunda solución que nos proporcione la segunda constante. La solución que buscamos será similar a la exponencial, concretamente probaremos con: (93) Introducimos esta solución en 6.78, operamos y tras unos pocos pasos se obtiene la siguiente condición sobre y(t) para que sea solución 6.93:
(85) Cualquier función del tipo 6.93 que cumple la condición 6.94 será solución de 6.78. Elegimos la función (95) porque es la función más sencilla que cumple la condición 6.94. Con esta segunda solución podemos expresar la corriente como (96) donde K1 y K2 son dos constantes arbitrarias que se calculan resolviendo el sistema que plantean las condiciones iniciales. (97)
(98) Los circuitos con este tipo de solución homogénea se dice que están críticamente amortiguados. La evolución temporal de la respuesta en estos circuitos se muestra en la Figura 6.17.
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Figura 6.17.- Representación cualitativa de la corriente que atraviesa un circuito críticamente amortiguado. Discriminante negativo D<0: la ecuación que debe cumplirse en nuestro ejemplo es que:
(99) El interior de la raíz cuadrada es negativa luego las dos raíces serán complejas conjugadas, concretamente:
(100)
(101) La corriente se puede expresar de la forma siguiente: (102) La intensidad i(t) no es un fasor, es una magnitud real y por tanto la expresión situada a la derecha del igual en la expresión 6.102 debe ser real. Su derivada, que será el voltaje en la bobina multiplicado por una constante, también debe serlo. Las exponenciales tienen parte compleja e imponen unas condiciones sobre las constantes Ki para que anulen la parte . imaginaria de la expresión. Estas condiciones obligan a que
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Si dividimos las constantes en su parte real y su parte imaginaria obtenemos (103)
(104) siendo Kr y Ki constantes reales. Sustituyendo 6.103 y 6.104 en 6.102 y agrupando términos se obtiene que la intensidad será: (105) Las constantes se pueden calcular con las condiciones iniciales de la variable y su derivada. (106)
(107)
Cualquier suma de senos y cosenos se puede expresar como un solo coseno con un módulo I0 y una fase iguales a: (108)
(109)
Si la parte real de las raíces es negativa el circuito está subamortiguado y su evolución en el tiempo se puede observar en la Figura 6.18.
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Figura 6.18.- Respuesta de un circuito subamortiguado. El otro caso posible es que la parte real sea cero. A este tipo de respuesta se le denomina no amortiguada u oscilatoria. En nuestro caso, para que esto suceda la resistencia del circuito debe ser cero. Físicamente lo que ocurre es que no hay disipación de energía y ésta fluctúa del condensador a la bobina sin pérdidas. Gráficamente se puede representar como una evolución senoidal. La Figura 6.19 representa una respuesta no amortiguada.
Figura 6.19.- Corriente versus tiempo en un circuito no amortiguado. 6.4.1.1.
Parámetros de la ecuación diferencial
Para comprender mejor el comportamiento físico de estos circuitos se introducen unos parámetros que nos indican características físicas muy importantes de la señal. Cualquier ecuación característica se puede expresar de la siguiente forma: (110) Los parámetros que la componen son: La frecuencia natural de oscilación w0 y el coeficiente de amortiguamiento xi.
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La frecuencia natural de oscilación es aquella a la que oscilaría el circuito si no hubiese resistencias. Para nuestro caso
(111) Lógicamente depende sólo de los elementos reactivos. xi nos indicará la forma en que se disipará la energía en el circuito. Este parámetro dependerá de las resistencias del circuito porque ése es el único dipolo que disipa energía. El coeficiente de amortiguamiento xi se puede expresar como:
(112) siendo Rc la resistencia crítica del circuito. La resistencia crítica será aquella que debe tener un circuito para que su comportamiento sea críticamente amortiguado. Es decir, la resistencia que anula el discriminante. Para el circuito RLC serie del ejemplo la resistencia crítica será:
(113) Las soluciones de la ecuación característica se pueden expresar en función de estos parámetros de la siguiente forma: (114) A la vista de la Ecuación 6.114 podemos asegurar que conociendo el valor del coeficiente de amortiguamiento sabremos el tipo de respuesta tendrá el circuito. De forma que: 1. xi =1 o R=Rcr; el circuito tiene amortiguamiento crítico. 2. xi >1 o R>Rcr; el comportamiento es sobreamortiguado. 3. xi <1 o R
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6.4.2. Circuitos de segundo orden con dos variables independientes: En todos los ejemplos vistos en esta lección sólo había una malla o un nodo de los que se obtenía una única ecuación diferencial. En este apartado se considerará el caso de que haya dos mallas o nodos. Lo primero que hay que hacer siempre es intentar reducir la complejidad del problema al máximo. A veces una parte de estos circuitos se pueden simplificar sustituyendo resistencias y fuentes por sus equivalentes de Thevenin o Norton. Esto será posible cuando la variable que deseamos calcular no aparece en esa parte del circuito. Si no es posible ninguna simplificación se plantearan las ecuaciones de malla o de nodos de igual manera que se hacía para el análisis de circuitos en régimen permanente de continua y sinusoidal. La diferencia será que en vez de relaciones lineales se obtiene un sistema de ecuaciones integrodiferenciales con varias incógnitas independientes. Estudiaremos el método para solucionarlo con el siguiente problema.
6.4.2.1.
Problema
Calcule las corrientes que atraviesan las dos resistencias en el circuito de la Figura 6.20. Las unidades son Óhmios y Henrios.
Figura 6.20.- Circuito de dos mallas y dos bobinas
6.4.2.2.
Solución
Análisis general El circuito no tiene fuentes luego el problema que se debe resolver es de condiciones iniciales. Hay dos bobinas que no se pueden reducir a una equivalente por lo que la ecuación diferencial será de segundo orden y homogénea.
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Ecuaciones diferenciales Comenzamos por plantear las ecuaciones de las dos mallas.
(115)
(116) Como este circuito no se rige sólo por una ecuación diferencial no será fácil obtener la ecuación característica. De todas formas el camino que seguimos para hallarla es el mismo que hemos recorrido para los circuitos vistos hasta ahora. Ensayamos con dos soluciones de forma exponencial: (117) (118) En estos circuitos también se cumple que todas las variables tienen la misma ecuación característica, o dicho de otra forma, que su comportamiento exponencial es el mismo. Por eso las Ecuaciones 6.117 y 6.118 sólo difieren en la constante. La derivada de cualquiera de las intensidades es igual a:
(119) Introduciendo las Soluciones 6.117 y 6.118 y aplicando la Expresión 6.119 a las Ecuaciones 6.115 y 6.116 obtenemos
(120) (121)
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Podemos expresar estas dos ecuaciones lineales de forma matricial
(122) (123)
Las dos soluciones posibles para 6.122 son: (124) que es la solución trivial y no nos interesa y (125) que nos determina la ecuación característica del circuito. El Sistema de Ecuaciones 6.125 es no determinado y compatible. Resolviéndolo se obtiene:
(126) Las intensidades que atraviesan las resistencias y que coinciden con las ecuaciones de malla son: (127) (128) En estos circuitos el comportamiento es siempre del mismo tipo por la siguiente propiedad. 6.4.2.3.
Propiedad
Se puede demostrar que para circuitos con elementos reactivos de un sólo tipo, ya sean RL o RC, y sin fuentes dependientes el discriminante es siempre positivo. Las respuestas serán Página 37 de 71
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siempre sobreamortiguadas. En el caso de que existan fuentes dependientes se pueden dar los tres casos.
6.4.3. Circuitos con más de dos variables independientes: El análisis de estos circuitos es similar al de dos variables independientes pero el resultado será que es necesario trabajar con matrices de mayor orden. La mayor parte de las veces son reducibles a un circuito con sólo dos variables independientes. 6.4.3.1.
Problema
Calcule v1(t) en el circuito de la Figura 6.21, cuando v1(0)=1V y v´1(0)=0V. Las unidades están en Henrios, Faradios y Mhos.
Figura 6.21.- Circuito a analizar
6.4.3.2.
Solución
Análisis general El circuito tiene tres nodos. Si transformamos el generador real logramos reducir en uno el número de resistores y transformamos el generador real de voltaje reduciremos en uno el número de nodos. Ecuaciones diferenciales Transformamos el generador de corriente real. La conductancia equivalente de la serie de dos resistores de valor 6 es 3. Volvemos a transformar a un generador de corriente real. El circuito que se debe resolver es el de la Figura 6.22.
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Figura 1.22.- Circuito de dos nodos a analizar. Planteamos las ecuaciones de nodo:
(129) (130) Derivamos la Ecuación 6.130 para convertirla en una ecuación diferencial.
(131) Ensayamos las soluciones siguientes: (132) (133) La ecuación matricial resultado de ese ensayo es:
(134) El determinante de la matriz es el polinomio característico que igualado a cero es la ecuación característica que buscamos. (135)
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Las soluciones son:
(136) Identificando términos (137) (138) El circuito tiene un comportamiento subamortiguado, y como hemos visto la solución será: (139) Se calcula K1 y K2 mediante las condiciones iniciales que nos dieron en el enunciado. (140) Para resolver la segunda derivamos
(141) particularizando en t=0 obtenemos
(142) La solución será por tanto: (143)
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6.4.4. Cálculo de las condiciones iniciales Al igual que ocurría en el caso de los circuitos de primer orden, para resolver las ecuaciones diferenciales se necesitan condiciones iniciales que debemos conocer. Para calcularlas se plantean los problemas de condiciones iniciales que se analizan en este apartado. Para resolver una variable f(t) de un circuito, normalmente, no se especificarán en el enunciado las condiciones iniciales de la función y su derivada f(0) y f´(0), sino las condiciones iniciales en los elementos reactivos del circuito, iL(0) y vC(0) puesto que por continuidad son los valores que se mantienen después de una conmutación. El análisis se divide en dos problemas distintos bien diferenciados. Por una parte el cálculo de la función en el instante de conmutación, f(0) y por otra la de su derivada f´(0). Los pasos necesarios para el cálculo de la función en el instante de conmutación son los mismos que se explicaron en los problemas de valor inicial en los circuitos de primer orden (Apartado 6.3.1). Para conocer la derivada utilizo las ecuaciones que relacionan la corriente con el voltaje en los elementos reactivos.
(144)
(145) Si planteamos un problema de condiciones iniciales en t=0, o en general en t=t0, podemos calcular los voltajes en las bobinas y así obtener la derivada de la corriente; o las corrientes de los condensadores y despejar la derivada de su voltaje. 6.4.4.1.
Problema
En el circuito representado en la Figura 6.23. Calcule en el instante de conmutación t=0, las condiciones iniciales de las siguientes variables: 1. Las funciones i1 e i2 y sus derivadas de primer orden y segundo orden. 2. El voltaje v1 y sus derivadas de primer y segundo orden.
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Figura 6.23.- Circuito que se debe analizar.
6.4.4.2.
Solución
Análisis general El problema es sólo de condiciones iniciales porque la fuente se anula para tiempos mayores que cero. Cuando sucede el instante de conmutación, donde se plantea el problema de condiciones iniciales, el circuito lleva mucho tiempo alimentado por la fuente y ya está estabilizado. El circuito es de tercer orden ya que tenemos dos bobinas y un condensador de los que no se puede hallar ningún equivalente que reduzca el orden. El circuito en el instante anterior a la conmutación El circuito se ha estabilizado y podemos calcular las variables que deseamos obtener como un problema de valores finales de régimen permanente de continua. La Figura 6.24 representa el circuito para el instante de tiempo t=0 -.
Figura 6.24.- Régimen permanente de continua para t < 0. Las variables que nos interesan son las que poseen continuidad, es decir, las corrientes en las bobinas i1 e i2 y el voltaje en el condensador v1. Para calcular v1 e i1 reducimos el circuito al máximo. Sumamos las dos resistencias serie donde está definido i2. El circuito representado en la Figura 6.25 es el más sencillo posible en el que aparezcan especificadas todas las variables a calcular.
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Figura 6.25.- Circuito equivalente de la Figura 6.24. Los valores de las funciones serán:
(146)
(147)
(148)
Incógnitas en t = 0+ Las primeras tres incógnitas que se pedían en el enunciado ya las hemos calculado puesto que por continuidad en las bobinas y el condensador:
(149)
(150)
(151)
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El circuito en el instante t = 0+ se representa en la Figura 6.26.
Figura 6.26.- Circuito equivalente para el instante de tiempo t=0. Para conocer las derivadas necesitamos conocer en ese circuito el voltaje en las bobinas y la corriente en el condensador. Como ya sabemos una vez que son conocidas las corrientes en las bobinas y los voltajes en los condensadores en una conmutación podemos calcular el resto de los parámetros del circuito. Si aplicamos la LKV a la primera malla se obtiene (126) De donde podemos despejar vL1 (153) Como se comentó al principio de este apartado una vez calculado v1 podemos obtener la derivada de la corriente en el condensador mediante:
(154) Aplicamos la LVK a la segunda malla (155) De esta ecuación despejamos el voltaje en la bobina. (156)
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y de este voltaje hallamos la derivada de la segunda corriente
(157) En el nodo central se aplica ahora la LCK (158) para obtener la corriente del condensador
(159) y a través de ella la primera derivada del voltaje
(160) Las Ecuaciones 6.152, 6.155 y 6.158 son generales puesto que las hemos hallado con las leyes de Kirchoff y no sólo son válidas para ese instante de tiempo. Con el fin de hallar la derivada segunda de las variables derivamos las Ecuaciones 6.152, 6.155 y 6.158 y particularizando para t = 0+ se obtiene
(161)
(162)
(163)
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Despejamos la derivada segunda y sustituimos en estas ecuaciones para obtener las últimas incógnitas demandadas.
(164)
(165)
(166)
6.4.5. Excitación por condiciones iniciales y fuentes: El análisis es similar a los circuitos de la primera parte del tema. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan las variables son de segundo orden y no homogéneas por las fuentes. El método para hallar la respuesta es dividir la solución en dos partes: una homogénea y otra particular. (167)
Para resolver la ecuación homogénea se debe calcular la ecuación característica y hallar sus raíces. Las constantes de las exponenciales se determinan siempre por condiciones iniciales. La solución particular se puede calcular a partir de una solución similar a la excitación e introduciendo ésta en la ecuación diferencial completa o, en algunos casos, analizando en régimen permanente ya sea de continua o senoidal.
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6.4.5.1.
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Cálculo de las ecuaciones diferenciales
La ecuación que se obtiene normalmente es integrodiferencial. Para eliminar las integrales podemos utilizar los dos métodos que se describen a continuación. 1. Derivar la ecuación integrodiferencial. 2. Cambio de variables. El primer método ya se ha utilizado en ocasiones anteriores y se puede aplicar siempre que la fuente sea derivable. La única diferencia respecto lo visto hasta ahora es que la solución particular ya no hay que suponerla similar a la excitación sino a la derivada de la excitación.
Problema Calcule la corriente i(t) en el circuito de la Figura 6.27. La fuente tiene un valor de v(t)=(t/3)u(t), C=1/5F, R=6Ohmios y L=1H.
Figura 6.27.- Circuito a analizar. Solución empleando el método de derivar la ecuación integrodiferencial Análisis general Para t<0 tenemos un problema de valor final muy simple. Como las fuentes son nulas las condiciones iniciales también lo serán.
Ecuación de malla La ecuación de malla en función de las corrientes es la siguiente ecuación integrodiferencial
(168)
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Si derivamos la Ecuación 6.168 y sustituimos las constantes por su valor se obtiene:
(169) Para obtener la solución homogénea hallamos la ecuación característica y sus soluciones: (170) (171) Estamos ante un circuito sobreamortiguado porque tenemos dos raíces negativas distintas. (172) Para conocer la solución particular probamos con una corriente similar a la derivada de la excitación (173) y la introducimos en la ecuación diferencial completa
(174) En este caso no se puede optar por otro camino porque con el tipo de excitación de esta fuente no se alcanza nunca ningún tipo de régimen permanente.
Condiciones iniciales Para calcular las constantes necesitamos las condiciones iniciales que, como el circuito está en reposo, son nulas. (175) (176) Página 48 de 71
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Para calcular las derivadas analizamos el circuito para el instante de tiempo . Sustituimos la bobina por una fuente de corriente de valor cero, es decir un circuito abierto y el condensador por una fuente de voltaje nula o un cortocircuito. El circuito resultante aparece en la Figura 6.28.
Figura 6.28.- Circuito de condiciones iniciales. Analizamos la malla para obtener el voltaje en la bobina (177) de lo que se deduce que la derivada de la intensidad es
(178) Introducimos las condiciones iniciales en las ecuaciones para obtener las constantes K1 y K 2.
(179)
(180) La intensidad que se pedía es:
(181)
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donde se incluye t=0 por continuidad en la bobina.
Solución empleando el método del cambio de variables Este método se puede emplear siempre, aunque normalmente se emplea sólo cuando las fuentes no son derivables. Siguiendo con el mismo ejemplo anterior hacemos el siguiente cambio de variable:
(182)
(183)
(184) Si introducimos estas relaciones en la Ecuación 6.168 se obtiene:
(185) La solución homogénea es la misma que en el otro caso. La solución particular se obtiene de ensayar con una solución similar al término independiente, que en este caso es la fuente. (186) Sustituyendo en la ecuación diferencial completa se obtiene
(187)
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de donde se obtiene que las constantes son
(188)
(189) Para calcular las constantes de la solución homogénea se debe calcular las condiciones iniciales. Del circuito de la Figura 6.28 se obtiene el resto de las condiciones iniciales que son: (190) A partir de aquí se pueden calcular K1 y K2
(191)
(192)
por lo que el voltaje en el condensador será
(193) Esta expresión es válida también para t=0 por la continuidad del voltaje en el condensador. Como lo que nos piden es la corriente, la obtenemos a través de la relación del voltaje y de la corriente en el condensador. Visto de otra forma lo que hacemos ahora es deshacer el cambio que anteriormente se realizó. Aplicando la Ecuación 6.183 se obtiene la corriente pedida (Ecuación 6.181).
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6.4.6. Problemas 6.4.6.1.
Problema 1
Para el circuito de la Figura 6.29, se pide: 1. 2. 3. 4.
v0(t) para tiempos mayores o iguales que cero. Energía total disipada en R1 (t ≥ 0). Energía cedida por el generador del circuito (t ≥ 0). Energía total disipada en R2.
Figura 6.29.- Problema 1
Solución al Problema 1 Análisis general El circuito está en reposo para tiempos menores que cero. Para calcular la solución necesitaremos conocer muchas de las variables del circuito. Debemos centrarnos en el cálculo de las condiciones iniciales y las soluciones particulares porque el comportamiento exponencial será el mismo en todas. El circuito será de segundo orden.
Condiciones iniciales La continuidad en el voltaje del condensador nos asegura que los voltajes siguientes son los mismos en el instante justo anterior y posterior a que la fuente empiece a funcionar. Como está en reposo tendremos que (194) (195)
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Para responder a la primera pregunta necesitamos conocer también vc’(0+)=0 ó dicho con otras palabras buscamos la corriente en el condensador c2. Para conseguir el circuito en t=0 sustituimos cada condensador por un cortocircuito. El circuito equivalente se muestra en la Figura 6.30.
Figura 6.30.- Circuito de condiciones iniciales Las corrientes que atraviesan los dipolos son:
(196)
(197) de donde se deduce que la derivada del voltaje es
(198)
Cálculo del voltaje v0(t) Planteamos las ecuaciones de mallas
(199)
(200)
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Ahora, como se explicó en el Apartado 6.4.5.1 se puede derivar o sustituir por
(201) En este caso se opta por la primera opción y sustituyendo valores se obtiene:
(202)
(203)
Solución homogénea Ensayamos con los valores siguientes: (204) (205) Resolviendo obtenemos la ecuación matricial siguiente:
(206) La ecuación característica será
(207)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Desarrollando los términos
(208) y agrupándolos
(209) Si normalizamos
(210) Las soluciones serán
(211) Lo que nos indica que nos encontramos ante un caso sobreamortiguado. Esto último ya nos lo suponíamos puesto que estamos ante un circuito RC de segundo orden sin fuentes dependientes. Como todas las variables tienen igual comportamiento exponencial podemos expresar directamente el voltaje del condensador como
(212)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Solución particular Como es un problema excitado por fuentes habrá variables que tengan una solución particular vamos a ver si v0 es una de ellas. Las ecuaciones diferenciales completas que conocemos son 6.202 y 6.203 por lo que probaremos con dos soluciones para las corrientes similares a la derivada de la excitación. (213) (214) No podemos actuar de otra forma puesto que con esta excitación no tenemos régimen permanente. La frecuencia de la fuente no coincide con ninguna de las soluciones, en caso contrario, deberíamos multiplicar ambas por t. Las introducimos en el sistema completo de ecuaciones diferenciales y obtenemos (215)
(216) Igualando los coeficientes de v0(t)
(217)
(218) La solución particular será (219)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Teniendo en cuenta la Ecuación 6.201 sabemos que:
(220) se obtiene
(221) e integrando (222) Nos olvidamos de una posible constante de integración constante por una razón; la excitación acaba anulándose y sabemos que a largo plazo el circuito estará en reposo. La solución completa del voltaje es:
(223) Calculamos las constantes a partir de las condiciones iniciales (224)
(225) despejando se obtiene
(226)
(227)
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Tema 6: Régimen Transitorio
La solución será:
(228) Se incluye t=0 por continuidad del voltaje en el condensador.
Segunda forma de resolución En este caso vamos a obtener una ecuación diferencial en función del voltaje. Aplicamos la LCK al nodo 1 de la Figura 6.29. (229) Sustituyendo las corrientes en función del voltaje
(230) Si derivamos se obtiene:
(231) La LVK la podemos expresar como
(232) Derivamos para eliminar la integral
(233)
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Tema 6: Régimen Transitorio
sustituyendo la corriente iR1(t) y su derivada por las Ecuaciones 6.230 y 6.231 y sustituimos obtenemos:
(234) Si ordenamos los términos
(235) Fácilmente vemos que se obtiene la misma ecuación característica:
(236) Para la solución particular ensayamos una solución similar al término independiente (237) y la introducimos en la Ecuación diferencial completa 6.235. La constante obtenida es:
(238) La solución general es
(239) Las constantes se calculan por condiciones iniciales como en las Ecuaciones 6.234 y 6.225.
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Tema 6: Régimen Transitorio
Energía total disipada en R1 La energía es la integral de la potencia (240) Como el circuito está en reposo para t<0 la energía se puede expresar como (241) tenemos dos caminos para calcular iR1. El primero es continuar con lo que hemos hallado hasta ahora puesto que conocemos la solución particular y la homogénea para esta variable. Sólo nos queda determinar las constantes. El segundo camino que es el que vamos a seguir será aplicando la LCK al nodo 1. La Ecuación que obtenemos es 6.229 y sustituyendo en función de los voltajes se obtiene 6.230. En esta ecuación sustituimos el valor del voltaje en el condensador para obtener
(242) Si introducimos 6.241 en 6.242 se obtiene:
(243)
Energía entregada por el generador Hablar de potencia entregada es tanto como decir potencia almacenada con el signo contrario. Dicho con otras palabras el convenio de signos entre los voltajes y las corrientes es al contrario que en el resto de los dipolos. Teniendo en cuenta esto la energía pedida será: (244)
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Tema 6: Régimen Transitorio
donde vg(t) es conocido y (245)
Energía total disipada en R2 Existen dos formas de calcularlo: La primera es seguir el mismo método que en el resto de los apartados y aplicar: (246) La segunda es hallarla por balance de energías donde la suma de las potencias entregadas al circuito, ya sea por fuentes o condiciones iniciales tiene que ser igual a las disipadas en las resistencias y las almacenadas en los condensadores, matemáticamente (247) Las condiciones iniciales son cero, también sabemos que en el infinito el circuito esta en reposo luego no habrá energía almacenada en los condensadores. Estos datos junto con los que ya conocemos nos permiten obtener (248)
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6.4.6.2.
Tema 6: Régimen Transitorio
Problema 2
En el circuito de la Figura 6.31 el interruptor S1 se cierra en t=0 y S2 se encuentra en la posición a. Cuando i1(t) se hace máxima (en el instante de tiempo que denominamos t = tx), el interruptor S2 conmuta a b. Calcule la evolución de i1(t). Se suponen condiciones iniciales nulas en t = 0-.
Figura 6.31.- Circuito completo
Solución al Problema 2: Análisis general En el primer intervalo se tendrá un circuito oscilatorio porque no hay resistencias y para t>tx el circuito será de primer orden porque podemos hallar el equivalente de las bobinas.
Primer intervalo El circuito que debemos analizar en el intervalo de tiempo 0 < t < tx es el de la Figura 6.32.
Figura 6.32.- Circuito correspondiente al intervalo 0 < t < tx
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Condiciones iniciales Sabemos por el enunciado que las condiciones iniciales son nulas en t = 0-. Las variables que nos interesan porque tienen continuidad son: (249) (250) (251) Para calcular i(t) necesitamos una condición inicial más que, como siempre, es la derivada de la corriente y la obtenemos del voltaje en la bobina. Para calcularlo planteamos un problema de valores iniciales. El circuito a resolver se muestra en la Figura 6.33.
Figura 6.33.- Circuito equivalente en t=0+
(252) La derivada será:
(253)
Ecuación diferencial Aplicamos la LVK y expresamos los voltajes en función de la corriente de malla.
(254)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Derivamos la Ecuación 6.254 para eliminar la integral. La ecuación diferencial para la corriente es:
(255) La ecuación característica del circuito será por tanto: (256) y las raíces (257) Como esperábamos el circuito tiene un comportamiento no amortiguado. La solución será: (258) Las constantes las hallamos por condiciones iniciales (259)
(260) La solución es: (261) El instante de tiempo en el que i1(t) es máximo se corresponde a:
(262)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Segundo intervalo t > Π/2 Para este intervalo de tiempo el circuito a analizar se muestra en la Figura.
Figura 6.34.- Circuito correspondiente al segundo intervalo.
Condiciones iniciales En este caso no se puede aplicar continuidad en la corriente de las bobinas porque no cumple la LKC. (263) Aplicamos la ley de continuidad del flujo magnético. (264)
(265) Como podemos asociar las dos bobinas en una equivalente serie, el circuito será de primer orden y nos bastará con una condición inicial. Ecuación de malla El instante de tiempo de conmutación no es cero por lo que realizamos el cambio de variable siguiente:
(266)
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La LVK expresada en función de la corriente queda:
(267)
Solución homogénea La ecuación característica de este circuito es:
(268) La parte homogénea de la solución es por tanto:
(269)
Solución particular Si analizamos el circuito en régimen permanente de continua (la bobina se convierte en un cortocircuito) se obtiene que: (270) Finalmente la constante que nos queda por calcular es, por condiciones iniciales:
(271)
Deshaciendo el cambio de variable la corriente nos queda:
(272)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Gráficamente la evolución de la corriente se representa en la Figura.
Figura 6.35.- Evolución de la corriente en la primera bobina.
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6.4.6.3.
Tema 6: Régimen Transitorio
Problema 3
En el circuito que se muestra en la Figura 6.36, determine iL(t) para las condiciones iniciales: 1. iL(0)=1 A. 2.
.
Figura 6.36.- Circuito que se debe analizar. Las unidades están en Óhmios y Henrios.
Solución al Problema 3 Análisis general El sistema que obtendremos será homogéneo puesto que no existen fuentes dependientes. Hay que resolver un sistema de ecuaciones de segundo orden. Tenemos una fuente dependiente por lo que no se puede aplicar el teorema visto y el comportamiento del circuito puede pertenecer a cualquiera de los tres tipos.
Sistema de ecuaciones Planteamos las ecuaciones de mallas.
(273)
(274)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Si sustituimos y agrupamos términos se obtiene:
(275)
(276) Es un sistema de ecuaciones homogéneas. Ensayamos con dos soluciones del tipo: (277) (278) que introducimos en 6.275 y 6.276 para hallar la matriz
(279) cuyo determinante igualado a cero es la ecuación característica del circuito (280) (281) cuyas soluciones son:
(282) El circuito tiene un comportamiento subamortiguado y la intensidad pedida se puede expresar como: (283)
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Tema 6: Régimen Transitorio
Las constantes las hallamos por condiciones iniciales (284)
(285) La respuesta será: (286)
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Tema 6: Régimen Transitorio
6.5. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.
de
circuitos.
Segunda
edición.
Prentice-Hall
[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.
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TEMA 7: TRANSFORMADA DE LAPLACE
7.1. Índice del tema 7.1.
Índice del tema.......................................................................................................... 1
7.2.
Desarrollo de la Transformada de Laplace............................................................ 3
7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.3.
Propiedades de la Transformada de Laplace ........................................................ 7
7.3.1. 7.3.2. 7.3.3. 7.3.4. 7.3.5. 7.3.6. 7.3.7. 7.4.
7.4.1.1. 7.4.1.2. 7.4.1.3. 7.4.1.4. 7.4.1.5.
7.4.2. 7.4.2.1. 7.4.2.2. 7.4.2.3.
Transformada de funciones sencillas................................................................ 10 Constante ............................................................................................................................. 10 Exponencial ......................................................................................................................... 10 Identidad o rampa unitaria.................................................................................................. 10 Delta o impulso.................................................................................................................... 11 Seno y coseno....................................................................................................................... 12
Generalización: Descomposición de funciones................................................ 12 Pulso .................................................................................................................................... 12 Periodo senoidal.................................................................................................................. 13 Funciones periódicas........................................................................................................... 13
Transformada inversa............................................................................................ 18
7.5.1. 7.5.2. 7.5.3. 7.5.3.1. 7.5.3.2. 7.5.3.3.
7.6.
Linealidad ........................................................................................................... 7 Transformada de la derivada .............................................................................. 7 Transformada de la integral................................................................................ 7 La función escalón.............................................................................................. 8 Traslación en el tiempo (retardo)........................................................................ 8 Traslación en frecuencia compleja (modulación)............................................... 9 Escalamiento temporal ....................................................................................... 9
Pares transformados .............................................................................................. 10
7.4.1.
7.5.
Introducción........................................................................................................ 3 Definición de la Transformada de Laplace......................................................... 3 Restricciones para que exista la TL. Ejemplo .................................................... 6 Conclusión .......................................................................................................... 6
1. Concepto....................................................................................................... 18 Función racional propia .................................................................................... 19 Descomposición en fracciones simples ............................................................ 20 Polos reales y simples.......................................................................................................... 20 Polos reales y múltiples ....................................................................................................... 22 Polos complejos conjugados................................................................................................ 24
Teoremas del valor inicial y del valor final .......................................................... 25
7.6.1. 7.6.2.
Introducción...................................................................................................... 25 Teorema del valor inicial.................................................................................. 26
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7.6.3. 7.7.
Teorema del valor final..................................................................................... 26
Impedancias generalizadas de Laplace ................................................................ 27
7.7.1. 7.7.2. 7.7.3.
Introducción...................................................................................................... 27 Resistencia ........................................................................................................ 27 Bobina............................................................................................................... 28
7.7.3.1. 7.7.3.2.
7.7.4.
Sin condiciones iniciales (C.I. nulas, vC (0-) = 0) ................................................................ 29 Con condiciones iniciales (vC (0-) = VC) .............................................................................. 30
Análisis de redes en el dominio de Laplace .......................................................... 31
7.8.1. 7.8.2. 7.8.3. 7.8.4. 7.9.
Sin condiciones iniciales (C.I. nulas, iL (0-) = 0) ................................................................. 28 Con condiciones iniciales (iL (0-) = IL) ................................................................................ 28
Condensador ..................................................................................................... 29
7.7.4.1. 7.7.4.2.
7.8.
Tema 7: Transformada de Lapace
Procedimiento................................................................................................... 31 Ejemplo 1: Condiciones iniciales ..................................................................... 31 Ejemplo 2: Análisis por nodos ......................................................................... 33 Ejemplo 3: Análisis por mallas......................................................................... 36
Función de transferencia ....................................................................................... 38
7.10.
Equivalentes de Thevenin y Norton .................................................................. 40
7.11.
Referencias .......................................................................................................... 41
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Tema 7: Transformada de Lapace
7.2. Desarrollo de la Transformada de Laplace 7.2.1. Introducción El objetivo de la asignatura es analizar circuitos, obteniendo expresiones para las variables de dicho circuito. Si la red está formada sólo por fuentes y resistores, obtenemos ecuaciones algebraicas. Sin embargo, al incorporar bobinas y condensadores, las ecuaciones resultantes son integro-diferenciales, que son más complicadas. En el tema anterior se vio que la solución de dichas ecuaciones requiere de diversas técnicas especializadas. En este tema veremos otro enfoque para llegar a la solución, consistente en el empleo de variables trasformadas (sometidas a algún proceso matemático). En concreto, estudiaremos la trasformada de Laplace, que permite transformar las ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas.
7.2.2. Definición de la Transformada de Laplace Nuestro propósito es "inventar" una relación matemática que tranforme una función f de una variable t, en una función de alguna otra variable. Emplearemos F para la función transformada y s para la nueva variable. Luego la tranformación se puede representar simbólicamente como:
Lo que queremos es transformar ecuaciones diferenciales en algebraicas, luego el objetivo será convertir la operación de diferenciación en el dominio del tiempo en una multiplicación por la variable transformada en el dominio s:
Este resultado es preliminar (posteriormente veremos que puede aparecer algún término más). A continuación, debemos especificar la forma que tendrá esta transformación, para lo cual consideraremos únicamente los valores positivos de t. Es decir, todas las funciones a considerar serán nulas para t<0. Para que el proceso de transformación represente con precisión una función f(t) para todos los valores positivos de t, lo que se hace es integrar f(t) sobre el intervalo de cero a infinito. Para asegurar que se incluye el efecto de cualquier
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función singular (por ejemplo, impulsos) en t=0, tomamos el límite inferior en 0-. Esto también nos permitirá imponer las condiciones iniciales. Debemos añadir también una función tanto de t como de s, para que al integrar en t quede una función de s. Esa función será h(t,s), que luego hallaremos. Por tanto, la expresión de la transformación es:
Para determinar h(t,s) debemos satisfacer la condición buscada, es decir, que:
Luego:
Integrando por partes:
, obtenemos:
Ignoramos el primer término del segundo miembro porque sólo considera los valores inicial y final de t, por lo que es probable que no afecte a la transformación, la cual se basa en el intervalo completo. Por tanto:
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Resolvemos esa ecuación diferencial sencilla separando variables:
Por tanto, ya podemos dar la definición de la transformada de Laplace:
En general, s es una variable compleja que puede tomar cualquier valor, aunque veremos después que han de aplicarse algunas restricciones. Por último, comprobemos que la transformación cumple realmente el objetivo marcado:
Conclusión: Diferenciar en el tiempo equivale a multiplicar por s en el dominio de Laplace. La condición inicial se introduce explícitamente. Propiedades de la variable s: El coeficiente de una exponencial debe ser adimensional, luego –st tiene que serlo. Por tanto, s tendrá dimensiones de inverso del tiempo, es decir, de frecuencia. Luego s es una variable de frecuencia compleja, con s = σ + jω.
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7.2.3. Restricciones para que exista la TL. Ejemplo Para que F(s) esté acotada (F(s )< ω): Restricción sobre f(t):
Restricción sobre Re[s]: Para que la integral converja, se debe cumplir que Re[s] > 0.
Ejemplo: Transformada de la función escalón:
Si Si Si
, luego no existe tranformada. , indefinido. , luego existe la tranformada.
Luego:
7.2.4. Conclusión En el tema 5 ya se vio una transformación (los fasores en régimen permanente sinusoidal) que facilitaba el análisis de circuitos, cambiando las ecuaciones integro-diferenciales por ecuaciones algebraicas. Sin embargo, la ventaja que presenta la transformada de Laplace es que se puede usar en régimen permanente y transitorio, y con excitación no senoidal.
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7.3. Propiedades de la Transformada de Laplace 7.3.1. Linealidad A través de la homogeneidad y aplicando superposición:
7.3.2. Transformada de la derivada Ya se ha visto que derivar equivale a multiplicar por s y restar la condición inicial:
Luego generalizando:
7.3.3. Transformada de la integral
Integrando por partes:
, obtenemos:
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Como
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y
, queda:
7.3.4. La función escalón Para que haya una relación biyectiva entre f(t) y F(s) (para que la función sea transformable), f(t) debe ser nula en el eje negativo de tiempos. Luego se cumple:
, siempre que
.
7.3.5. Traslación en el tiempo (retardo)
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Haciendo el cambio t’ = t - t0:
Para poder aplicar esta propiedad, todas las variables del tiempo tienen que estar retardadas.
7.3.6. Traslación en frecuencia compleja (modulación) Es el caso dual al anterior, teniendo en cuenta que hay un cambio de signo.
7.3.7. Escalamiento temporal
Haciendo el cambio
, obtenemos:
La señal se expande o se comprime dependiendo del valor del parámetro a: • •
Si a<1, se produce una expansión en el tiempo y una compresión en la frecuencia. Si a>1, se produce una compresión en el tiempo y una expansión en la frecuencia.
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7.4. Pares transformados 7.4.1. Transformada de funciones sencillas Vamos a descomponer cualquier función transformable de manera que esté formada por funciones cuyas transformaciones ya hemos visto.
7 .4 .1 .1 .
Constante
7 .4 .1 .2 .
Exponencial
7 .4 .1 .3 .
Identidad o rampa unitaria
Si f(t) = t·u(t), comprobamos que f(t) es la integral de u(t):
Tomamos los valores positivos del eje de tiempos. Luego aplicando la propiedad de la integral en una transformación:
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Tema 7: Transformada de Lapace
En general:
7 .4 .1 .4 .
Delta o impulso
En primer lugar, vamos a definir la funci贸n delta. Partimos de:
de forma que:
Si
, obtenemos la funci贸n delta.
Se cumple que
, luego la transformada de la delta es inmediata:
En general:
La familia de la delta y sus derivadas son conocidas como funciones generalizadas.
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7 .4 .1 .5 .
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Seno y coseno
Como e jωt = cos(ωt) + j·sen(ωt) y ya conocemos la transformada de una exponencial, se puede hacer lo siguiente:
Usando la linealidad de la transformada, podemos conocer la transformada del seno y del coseno:
7.4.2. Generalización: Descomposición de funciones 7 .4 .2 .1 .
Pulso
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7 .4 .2 .2 .
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Periodo senoidal
con
7 .4 .2 .3 .
Funciones periódicas
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donde:
f(t) se puede expresar como una suma infinita de f1(t), con diferentes retardos:
Haciendo la transformada de Laplace:
Se ha obtenido una progresión geométrica de razón e-Ts (con |e-Ts| < 1), cuya suma es:
Por tanto, para cualquier función f(t) periódica de periodo T, la transformada es:
Por último, sólo queda hallar F1(s).
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siendo:
Su transformada:
Luego el resultado final es:
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CASOS PARTICULARES •
Función periódica alternada.
Haciendo la transformada inversa:
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•
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Función f1(t) no nula fuera del periodo.
con:
Luego:
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7.5. Transformada inversa 7.5.1. 1. Concepto La transformada inversa de Laplace se define por medio de una integral de inversión compleja que puede aplicarse a una función F(s) para generar una función f(t):
La trayectoria de integración (trayectoria de Bromwich) se elige de manera que se alcance la convergencia necesaria de la integral. Sin embargo, no se usará la definición de transformada inversa porque es muy complicada y requiere elevados conocimientos de la teoría de variable compleja. Se utilizará, en cambio, la propiedad de unicidad de la transformada, es decir, que para una F(s) dada sólo existe una f(t) definida en t ≥ 0:
Así que lo que se va a intentar es descomponer la solución F(s) en funciones más sencillas de las que se conozca su transformada. Ejemplo:
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7.5.2. Función racional propia Se parte de una expresión del tipo de diferente grado.
, siendo N(s) y D(s) dos polinomios en s
•
Polo de F(s): Es aquel valor de s que anula el denominador. Se tiene también un polo de orden m en s = ∞ si el grado(N(s)) = grado(D(s)) + m.
•
Cero de F(s): Es aquel valor de s que anula el numerador. Se tiene también un cero de orden p en s = ∞ si el grado(D(s))=grado(N(s)) + p.
Se cumple que el número total de polos de una función racional es igual al número total de ceros (incluyendo siempre los de s = ∞). Ejemplo:
Objetivo Conseguir una función racional propia, que es aquella con el grado(N(s)) menor que el grado(D(s)). Si tenemos el caso de grado(N(s)) = grado(D(s)) + m, se dividen los polinomios, obteniendo:
La transformada inversa será:
Se ha conseguido una función racional propia
.
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7.5.3. Descomposición en fracciones simples Ahora el problema se ve reducido a hallar
con grado(A)<grado(D). Hay que calcular los polos de F1(s), es decir, las soluciones de la ecuación característica D(s) = 0. Luego podemos escribir:
siendo k el coeficiente del término de mayor grado de D(s), pi las soluciones de D(s) = 0, y n el grado de D(s). Se pueden presentar tres casos: • Todos los polos reales y simples. • Todos los polos reales, siendo alguno múltiple. • Algún par de polos complejos conjugados.
7 .5 .3 .1 .
Polos reales y simples
Se puede descomponer la función de la siguiente forma:
siendo ki el residuo del polo pi ,
.
Es sencillo encontrar la transformada inversa:
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Ejemplo:
Hallamos las raices de D(s):
Cálculo de residuos:
Luego:
Haciendo la transformada inversa:
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7 .5 .3 .2 .
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Polos reales y múltiples
Tenemos un polo real múltiple de orden n, p0, y m polos reales simples pi, por lo que el grado(D(s)) = n + m.
Residuos:
(para el cálculo de los residuos de los polos simples, ki, se utilizan las fórmulas del apartado 7.5.3.1) Luego la transformada inversa será:
(se han aplicado las transformaciones
y
)
Ejemplo:
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Hallamos las raices de D(s):
Cálculo de residuos:
Luego:
Haciendo la transformada inversa:
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7 .5 .3 .3 .
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Polos complejos conjugados
Suponemos que sólo aparece un par conjugado (teniendo en cuenta que si aparece un polo complejo, también está su conjugado como polo).
Se puede comprobar que k1 = k2*. El cálculo de los residuos complejos es muy complicado. Puesto que p0 = -σ0 + jω0 y p0* = -σ0 - jω0, en vez de hallar los residuos directamente lo que se hace es reagrupar F1(s) de la siguiente forma:
Luego la transformada inversa será:
Ejemplo:
Hallamos los polos:
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Cálculo del residuo del polo simple:
Para el cálculo de ka y kb hay que reagrupar de nuevo F(s) y comparar los numeradores:
•
Término en s2: 4 = ka + 3 → ka = 1
•
Término en s: 7 = 3ka + 2kb + 6 → kb = -1
•
Término independiente: 13 = 2 + 4(-1) + 15 → correcto
Luego:
Haciendo la transformada inversa:
7.6. Teoremas del valor inicial y del valor final 7.6.1. Introducción Cuando se desea conocer el valor de una función en el dominio temporal en los instantes 0 ó , se puede calcular a partir de la función en el dominio de Laplace, sin necesidad de hacer la transformada inversa.
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7.6.2. Teorema del valor inicial
Este teorema es válido cuando la función f(t) no tiene impulsos, deltas o derivadas de delta en el origen. Es decir, la función F(s) ha de ser una función racional propia. Si
7.6.3. Teorema del valor final
Este teorema es válido cuando F(s) no tiene polos en el semiplano derecho ni en el eje imaginario:
• •
Si F(s) tiene polos en el semiplano derecho, f(t) tendrá exponenciales crecientes. Si F(s) tiene polos en el eje imaginario, f(t) tendrá senos o cosenos.
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7.7. Impedancias generalizadas de Laplace 7.7.1. Introducci贸n Como ya se ha visto anteriormente, en un dipolo se pueden definir unas variables V e I:
Ahora haremos la descripci贸n en el dominio de Laplace:
7.7.2. Resistencia
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7.7.3. Bobina 7 .7 .3 .1 .
Sin condiciones iniciales (C.I. nulas, iL (0-) = 0)
7 .7 .3 .2 .
Con condiciones iniciales (iL (0-) = IL)
REPRESENTACIÓN EN SERIE
El primer sumando corresponde a una bobina con condiciones iniciales nulas. El segundo sumando es un término de voltaje constante debido a las condiciones iniciales, por lo que su transformada inversa será una delta. Por este motivo, ésta es la representación de las condiciones iniciales mediante impulsos.
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REPRESENTACIÓN EN PARALELO
El primer término es el que se tiene en el caso de condiciones iniciales nulas. El segundo es el término debido a las condiciones iniciales, y es la transformada de un escalón, por lo que ésta es la representación de las condiciones iniciales mediante la función escalón.
7.7.4. Condensador 7 .7 .4 .1 .
Sin condiciones iniciales (C.I. nulas, vC (0-) = 0)
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7 .7 .4 .2 .
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Con condiciones iniciales (vC (0-) = VC)
REPRESENTACIÓN EN SERIE
El primer sumando corresponde a un condensador con condiciones iniciales nulas. El segundo, que es debido a las condiciones iniciales, es la transformada de la función escalón, por lo que ésta es la representación de las condiciones iniciales mediante la función escalón. REPRESENTACIÓN EN PARALELO
El primer término es el que se tiene en el caso de condiciones iniciales nulas. El segundo, que es debido a las condiciones iniciales, es un término constante. Como la transformada inversa de una constante es una delta, ésta es la representación de las condiciones iniciales mediante impulsos. Como puede observarse, existe una dualidad entre la bobina y el condensador.
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7.8. Análisis de redes en el dominio de Laplace 7.8.1. Procedimiento El objetivo es transfomar todo (fuentes y elementos) al dominio de Laplace, y operar con ello hasta obtener la solución deseada. A continuación se hace la transformada inversa para hallar la solución en el dominio del tiempo. Una vez que se han colocado los elementos y fuentes en el dominio de Laplace (los elementos con los generadores correspondientes a las condiciones iniciales), se puede aplicar todas las propiedades vistas para redes resistivas en el dominio del tiempo y para fasores en régimen permanente sinusoidal: • • • • •
Leyes de Kirchoff y movilidad. Asociaciones serie/paralelo de impedancias. Ecuaciones de mallas y de nodos. Teoremas de Thevenin y Norton. Funciones de transferencia.
Se debe pensar qué tipo de análisis se va a realizar para elegir el tipo de fuente que aporte las condiciones iniciales. Si se quiere analizar el circuito por mallas, se debe elegir las fuentes de condiciones iniciales que correspondan a fuentes de voltaje. Si se quiere hacer el análisis por nodos, todas las fuentes deben ser de corriente.
7.8.2. Ejemplo 1: Condiciones iniciales En este primer ejemplo, vamos a comprobar la participación de las condiciones iniciales en un análisis.
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Planteamiento de las ecuaciones diferenciales en t ≥ 0:
Se aplica la transformada de Laplace en ambas ecuaciones:
Agrupando términos:
Los términos subrayados son debidos a las condiciones iniciales. En este sistema de ecuaciones, si hacemos la sustitución s = jω, obtenemos unas expresiones muy parecidas al análisis mediante fasores en RPS. La diferencia es que aquí aparecen reflejadas las condiciones iniciales en el primer miembro, lo cual es la gran ventaja de este tipo de análisis. Si incorporamos las condiciones iniciales en el circuito en el dominio de Laplace, obtenemos estas expresiones directamente, es decir, con las impedancias generalizadas y las fuentes transformadas:
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Este sistema es exactamente igual al obtenido anteriormente.
7.8.3. Ejemplo 2: AnĂĄlisis por nodos Vamos a analizar por nodos el siguiente circuito:
Hay que pasar la red al dominio de Laplace, poniendo las transformadas de las fuentes y las admitancias generalizadas (incluyendo las fuentes de las condiciones iniciales de los condensadores y bobinas). Como se analiza por nodos, pasamos a fuentes de corrientes: PĂĄgina 33 de 41
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Planteamos las ecuaciones del circuito:
Reagrupando:
Resolvemos, por ejemplo V2(s), por Cramer:
Para ver las diferentes contribuciones, se podría separar las aportaciones de I1(s) e I2(s) (las dos sin condiciones iniciales) y de las condiciones iniciales, al igual que se hacía en RPS con fuentes de diferentes frecuencias. Sin embargo, se puede resolver todo junto por Laplace, sin aplicar superposición (aunque podría hacerse). Suponemos que queremos hallar v2(t), con:
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Sustituyendo esas expresiones en la ecuación de V2(s):
Al hacer el análisis de esa fracción, vemos que tiene un polo simple en s1 = 0 y un par complejo conjugado en s2,3 = -1 ± j. Luego podemos escribir V2(s) de la siguiente forma:
Cálculo del residuo del polo simple:
Cálculo de los residuos de los polos complejos:
Sustituyendo estos resultados y haciendo la transformada inversa, obtenemos la solución deseada:
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7.8.4. Ejemplo 3: AnĂĄlisis por mallas Vamos a analizar por mallas el siguiente circuito:
Hay que pasar la red al dominio de Laplace, luego en primer lugar colocamos las impedancias generalizadas (incluyendo las fuentes de las condiciones iniciales de los condensadores y bobinas). Como se analiza por mallas, pasamos a fuentes de voltaje:
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Aplicando movilidad:
Por último, transformamos las fuentes:
y resolvemos por mallas:
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Agrupando términos:
A continuación se procede como siempre: se sustituye los valores, se resuelve el sistema por Crammer y se hace la transformada inversa para obtener la solución en el dominio temporal.
7.9. Función de transferencia De igual modo que había funciones de transferencia en RPS y se definían como un cociente de fasores (sin pasar al dominio temporal), aquí será un cociente en el dominio de Laplace. Se definía la función de transferencia de un circuito como la respuesta del circuito partido por la excitación aplicada. Para calcular la función de transferencia se halla la red transformada, siempre sin condiciones iniciales, es decir, no se colocan las fuentes de las condiciones iniciales. Después, se hace el análisis y se calcula ese cociente. Ejemplo: Calcular
en el siguiente circuito:
Para hacer la red transformada tenemos en cuenta que vamos a analizar por nodos, luego colocamos las admitancias generalizadas, con condiciones iniciales nulas:
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Sistema de ecuaciones del circuito:
Resolvemos por Crammer:
Por último, se despeja la función de transferencia:
Para calcular la función de transferencia en RPS, bastaría con sustituir s = jω:
Se debe prestar especial atención a la hora de hacer la transformada inversa en los cálculos de funciones de transferencia, ya que no se cumple que la transformada inversa del producto sea el producto de las transformadas inversas, es decir:
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7.10. Equivalentes de Thevenin y Norton Se hace como hasta ahora: se pasa la red al dominio transformado, y se calcula: •
VTH: voltaje en circuito abierto.
•
ZTH: se anulan las fuentes independientes, incluyendo las fuentes de condiciones iniciales. No se puede hacer la transformada inversa de ZTH (s), ya que sólo tiene sentido en el dominio de Laplace.
•
IN: corriente en cortocircuito.
Ejemplo: Calcular el equivalente de Thevenin en el siguiente circuito:
Pasamos al dominio transformado:
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Transformada inversa:
Para calcular ZTH(s), anulamos las fuentes independientes:
7.11. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría Hispanoamericana, S.A.
de
circuitos.
Segunda
edición.
Prentice-Hall
[2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.
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