TURUNAN PARSIAL AKHMAD SAIFUDDIN 12312022
MATERI BAHASAN 4.1 PENGANTAR 4.2 DERET PANGKAT DUA VARIABEL 4.3 DIFERENSIAL TOTAL 4.4 PERHITUNGAN MENGGUNAKAN DIFERENSIAL 4.5 ATURAN RANTAI 4.6 TURUNAN IMPLISIT 4.7 ATURAN RANTAI LANJUTAN 4.8 APLIKASI TURUNAN PARSIAL 4.9 TITIK MAKSIMUM DAN MINIMUM
4.1 PENGANTAR
PENGANTAR • Turunan parsial adalah perubahan nilai dari suatu fungsi yang memiliki 2 variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya dan diturunkan satu-satu. • Jika pada fungsi z=f(x, y) kita turunkan terhadap variabel x, maka y dianggap konstanta dan bisa disebut kita mencari turunan parsial z terhadap x.
• Jika y = f(x), maka menggambarkan slope (gradien) dari kurva y = f(x) atau sebagai perbandingan dari laju perubahan y terhadap x. • Laju sering dikenal di fisika, seperti kecepatan, percepatan, atau laju pendinginan benda panas. • tapi, tidak hanya itu, fungsi laju juga banyak dikenal dalam aplikasi kehidupan sehari-hari seperti laju perubahan volume bahan bakar pada tangki mobil, dan lain sebagainya.
• Persamaan yang melibatkan laju (persamaan diferensial) banyak dijumpai dan seringkali harus diselesaikan dalam aplikasi. • Turunan juga digunakan untuk menentukan titik maksimum dan minimum dalam suatu kurva dan menentukan pangkat pada suatu fungsi.
• Diketahui z fungsi dari x dan y; ditulis z = f(x,y) dengan y = f(x) adalah kurva di dua dimensi, maka kita dapat menginterpretasikan z = f(x,y) secara geometri. Jika x,y,z ada pada koordinat segi empat dan setiap nilai x, y kita dapatkan nilai z, maka kita bisa menentukan titik (x,y,z) di koordinat tiga dimensi. • Tapi bagaimana dengan persamaan x2+y2+z2= -1 yang tidak bisa diselesaikan dengan titik yang real?
• Anggap x konstan, sehingga persamaan tiga variabel
tinggal menyisakan dua variabel kurva AB). Kita ingin mengetahui slope, nilai maksimum, minimum dari kurva ini. Karena z fungsi dari y (x konstan), maka untuk mencari slope bisa kita tulis • Tapi karena z adalah fungsi dari dua variable x dan y dengan x konstan, maka kita tulis .
• adalah turunan parsial dari z terhadap y. hal ini juga berlaku jika y konstan (kurva CD), maka turunan parsial z terhadap x ditulis z A
C y B
x
D
•• Jika turunan parsial tersebut diturunkan lagi, maka dapat kita tulis : = ; = ; = ; • Jika z = f(x,y), kita bisa menulisnya zx atau fx atau f1 untuk dan begitu seterusnya untuk turunan dengan derajat yang lebih tinggi
Contoh : • Diketahui : z = f(x,y) = x3y – exy Maka : ≡ fx ≡ zx ≡ f1 = 3x2y – yexy , ≡ ≡ fy ≡ zy ≡ f2 = x3 – xexy , ≡ ≡ fyx ≡ zyx ≡ f21 = 3x2 – exy- xy exy , ≡ ≡ fxx ≡ zxx ≡ f11 = 6x2 – y2exy , ≡ ≡ fxx ≡ zxx ≡ f11 = 6x2 – y2exy ,
•
≡ ≡ fyyy ≡ zyyy ≡ f222 = -x3exy , ≡ ≡ fyxx ≡ zyxx ≡ f211 = 6x – 2yexy – xy2exy
•• Kita juga dapat menghitung turunan parsial dari fungsi dengan variabel lebih dari 2, misalnya fungs idari temperatur T yang ditentukan oleh tiga faktor (x,y,z) yang kita hitung dalam waktu t. maka kita bisa menuliskan fungsi tersebut sebagai : T=T(x,y,z,t) • Dengan adalah nilai T akibat perubahan y, dimana x dan z konstan dalam waktu t
• Pengguanaan 2 notasi yang berbeda pada turunan parsial
tidak menunjukkan perbedaan turunan, tetapi hanya mengindikasikan variabel yang dianggap konstan dalam fungsi tersebut. • Sebagai contoh, jika z = x2 – y2, dengan gunakan koordinat polar r dan Ɵ, kita bisa menuliskan fungsi z menjadi beberapa cara dan masing-masing memiliki yang berbeda.
z•= x2 – y2, z = r2cos2Ɵ – r2sin2Ɵ, ()Ɵ = 2r(cos2Ɵ – sin2Ɵ), z = 2x2 – x2 – y2 = 2x2 – r2, ()x = -2r z = x2 + y2 – 2y2 = r2 – 2y2, ()y = 2r Ketiga hasil dari memiki hasil yang berbeda dan diturunkan dari 3 fungsiyang berbeda pula, seingga kita bisa mencirikannya dengan menuliskan variable independen kedua sebagai subscript.
• Perhatikan bahwa kita tidak menulis z(x, y) atau z(r, Ɵ)
karena z merupakan varialbel juga. • Kebanyakan buku matematika murni menghindari penulisan notasi subscript dengan menuliskan suatu fungsi menjadi : z = f(r, Ɵ) = g(r, x) = h(r, y), dan ()Ɵ = ; ()x = ; ()y =
• Sebuah eksperimen kecil dengan variasi fungsi f(x, y)
terkadang akan menunjukkan kondisi dimana : () () = () () dan () = () • Persamaan di atas sering terjadi untuk beberapa fungsi, tetapi tidak semua fungsi bisa menerapkan persamaan di atas.
Contoh Soal • Untuk u = ex cos y, buktikan bahwa :
a. ; b. = 0.
Solusi u• = ex cos y ex cos y = ex sin y a. = (ex cos y) = ex sin y (Terbukti)
= (ex sin y) = ex sin y
b.• = (ex cos y)
= (ex sin y) = - ex cos y
= ex cos y Sehingga, = ex cos y - ex cos y =0 (Terbukti)
4.2 DERET PANGKAT 2 VARIABEL
DERET PANGKAT 2 VARIABEL • Berbeda dengan deret pangkat 1 variabel yang dipelajari pada
bab 1, deret pangkat 2 variabel memiliki keunikan dan bisa diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode. • Sebagai contoh : buat f(x, y) = sin x cos y dalam deret maclaurin 2 variabel. Maka : sin x cos y = ( x- + …) ( 1- + …) = x - - + …
Contoh : • Tentukan deret Maclaurin 2 variabel untuk ln
(1 + x - y).
Maka kita dapat : ln (1 + x - y) = (x – y) – + + … = + + - x2y + xy2 - + … Dengan menggunakan metode pada bab 1, maka kita bisa menentukan koefisien dari suatu deret pangkat yang merupakan fungsi dari 2 variabel.
• Untuk menentukan deret f(x, y) pada titik (a, b), kita bisa menuliskan f(x, y) sebagai suatu deret pangkat dari (x - a) dan (y - b) dan kemudian turunkan persamaan ini seperti berikut :
f(x,y) = a00 + a10(x - a) + a01(y - b) + a20(x – a)2 + a11(x - a)(y – b) + a02(y – b)2 + a30(x – a)3 + a21(x – a)2(y – b) + a12(x – a)(y – b)2 + a03(y – b)3 + … fx = a10 + 2a20(x – a) + a11(y – b) + … , fy = a01 + a11(x – a) + 2a02(y – b) + … , fxx = 2a20 + deret lanjutan (x – a) dan/atau (y – b), fxy = a11 + deret lanjutan (x – a) dan/atau (y – b). (2.1)
• Lalu buat x = a, y = b pada persamaan (2.1) di atas, maka kita dapat : f(a, b) = a00 , fx(a,b) = a10, fy(a,b) = a01 fxx(a, b) = 2a20 , fxy(a,b) = a11, dst
(2.2)
• Ingat bahwa fx(a, b) berarti bahwa kita harus mencari turunan parsial dari f terhadap x dan kemudian mengganti x = a, y = b
• Maka persamaan (2.1) akan menjadi :
f(x,y) = f(a,b) + fx(a,b)(x – a) + fy(a,b)(y – b) + [fxx(a,b)(x – a)2 + 2fxy(a,b)(x – a)(y – b) + (a,b)(y – b)2]… (2.3) • Dapat disederhanakan jika (x – a) = h, dan (y –b) = k f(x,y) = [fxx(a,b)h2 + 2fxy(a,b)hk + fyy(a,b)k2]
(2.4)
• Kita dapat menuliskannya menjadi :
f(x, y) = (h + k f(a, b) (2.5) • Dan untuk orde 3, kita bisa menuliskan persamaannya menjadi : f(x, y) = (h + k3 f(a, b) = (h3 (2.6)
Kesimpulan 4.2 Secara umum, kita dapat menuliskannya sebagai : 1 ∂ ∂ ( h + k ) n f ( a , b) ∂x ∂y n =0 n ! ∞
f ( x, y ) = ∑
4.3 DIFERENSIAL TOTAL
4.3 DIFERENSIAL TOTAL y
y = f(x)
Garis tangen, slope dy ∆x=d x
Grafik 3.1
∆ y x
• Grafik 3.1 adalah grafik y = f(x) dalam bidang (x, y) dan y’ = = f(x) (3.1) adalah gradien dari kurva pada titik (x, y). Di kalkulus kita menggunakan ∆x untuk perubahan nilai x, dan ∆y untuk perubahan nilai y. Artinya,
dy (3.2) ∆y y' = = lim dx ∆x→∞ ∆x
• Sekarang kita definisikan diferensial dx dari variabel yang bebas sebagai dx = ∆x
(3.3)
• Meskipun, dy tidak sama dengan ∆y. dari grafik 3.1 dan persamaan 3.1 kita bisa melihat bahwa ∆y adalah perubahan y sepanjang kurva, tapi dy = y’dx adalah perubahan y sepanjang garis tangen (gradien) • Kita katakan bahwa dy adalah pendekatan tangen untuk ∆y
Contoh • Jika y = f(t) menunjukkan jarak sebuah partikel sebagai fungsi dari t, dan adalah kecepatan. Jarak yang ditempuh sebenarnya dari partikel selama waktu t dan t + dt adalah ∆y. Pendekatan tangen dy = ( ) dt adalah jarak yang ditempuh jika selama waktu t kecepatan yang digunakan adalah konstan. • Kita bisa melihat pada grafik 3.1 bahwa dy adalah pendekatan yang baik untuk ∆y jika dx kecil.
• Lebih tepat menggunakan persamaan 3.2. adalah limit
dari dengan 0. artinya bahwa - 0. Kita sebut perbedaan ini Є. Sehingga : = + Є, dimana Є 0 ketika 0 atau dx = (3.4)
• Atau juga bisa dituliskan :
= (y’ + Є) dx, ketika Є 0 dan 0
(3.5)
• Diferensail dy = y’dx disebut sebagai bagian pokok dari ; ketika Є kecil untuk dx yang kecil, kita dapat melihatr dari persamaan 3.5 bahwa dy menunjukkan pendekatan yang baik terhadap
Contoh • Misalkan y = t2, t = 1, dt = 0,1. Maka :
∆y = (1,1)2 – 12 = 0,21, dy = dt = 2 . 1 . (0,1) = 0,2, Є = - = 2,1 – 2 = 0,1, ∆y = (y’ + Є) dt = (2 + 0.1)(0.1) = dy + Є dt = 0.2 + 0.01 Maka terlihat bahwa dy merupakan pendekatan yang baik bagi ∆y
• Kita ingin melakukan hal yang sama untuk fungsi 2 variabel, z = f(x, y). Persamaan ini menunjukkan bahwa pada suatu titik adalah kemiringan dari 2 garis tangen pada arah x dan y.
• Simbol ∆x = dx dan ∆y = dy menunjukkan perubahan pada variabel x dan y. ∆z berarti perubahan z sepanjang x dan y dan merupakan hasil penjumlahan dari perubahan x dan perubahan y. • Sehingga, dz bisa didefinisikan sebagai : (3.6)
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
• Jadi, dz adalah perubahan z sepanjang garis tangen ketika x berubah sepanjang dx dan y berubah sepanjang dy. • Dari geometri, terlihat bahwa dz merupakan pendekatan yang baik untuk ∆z jika dx dan dy kecil. Sehingga, bisa ∆z bisa didefinisikan sebagai : (3.7)
∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )
• Dengan menambah dan mengurangi, maka kita dapatkan :
∆ z = f ( x + ∆ x, y ) − f ( x , y ) + f ( x + ∆ x , y + ∆ y ) − f ( x + ∆ x , y ) (3.8) • Dari teorema kalkulus, menyebutkan bahwa fungsi diferensial f(x) :
f ( x + ∆ x) (3.9) − f ( x) = (∆ x) f '( x1 ) • Dimana x1 berada di antara x dan x + ∆x yang memiliki kemiringan yang sama.
• Jika variabel x berubah dan variabel y juga berubah, maka ∆z akan menjadi : (3.10)
∆z =
∂( x1 , y ) ∂f ( x + ∆x, y1 ) ∆x + ∆y ∂x ∂y
• Jika turunan parsial dari f kontinu, maka nilai 3.10 pada titik dekat (x,y) berbeda dari nilai pada (x,y) yang mendekati nol ketika ∆x dan ∆y mendekati nol. Sebut nilai itu Є1 dan Є2, maka dapat kita tulis : ∂f ∂f ∆z = + ∈1 ÷∆x + + ∈2 ÷∆y = dz + ∈1 ∆x+ ∈2 ∆y ∂y (3.11) ∂x
Dapat disimpulkan bahwa diferensial total adalah jumlah dari setiap turunan parsial variabel-variabel yang ada di dalam fungsi tersebut : du =
∂f ∂f ∂f dx + dy + dz +... ∂x ∂y ∂z
4.4 PERHITUNGAN MENGGUNAKAN DIFERENSIAL
4.4 PERHITUNGAN MENGGUNAKAN DIFERENSIAL • Contoh 1. Tentukan perkiraan nilai dari
ketika n = 1015 Jika f(x) = , perbedaan yang diinginkan adalah ∆f = f(1015 + 1) – f(1015). Tapi ∆f merupakan pendekatan dari df = d() dengan x = 1015, dx = 1 d = - dx = - . 1 = -2 x 10-45
• Contoh 2. Perlihatkan bahwa untuk n yang membesar, a mengecil
Solusi :
1 1 2a − 2 ≅− 3 2 ÷ n (n + a) n
Kita tentukan dengan x = n, dx = a; maka : = - dx = - . a (hasil ini digunakan dalam mekanika kuantum. Lihat contoh di buku Modern Physics, French, pp. 113-114)
• Contoh 3 : hitung perubahan pada :
f(x) = Ketika x berubah dari to 1,01 , ingat kalkulus bahwa = . Lalu kita ingin df = dengan x = dan dx = 0,01 . Maka : df = (0,01 ) = 0,01
4.5 ATURAN RANTAI
4.5 Aturan Rantai • Aturan rantai sebenarnya telah kita ketahui sebelumnya,
meskipun mungkin belum kita sebut sebagai aturan rantai • Contoh 1. tentukan jika y = ln sin 2x kita bisa katakan :
• Kita bisa menuliskannya :
y = ln u,
dimana u = sin v dan v = 2x
Sehingga : Persamaan ini adalah contoh dari aturan rantai. Kita menginginkan sebuah persamaan yang sama dengan fungsi dari beberapa variabel. Pertimbangkan contoh lain : Contoh 2. tentukan jika z = 2t2 sin t
• Solusi :
Turunkan persamaan di atas = 4t sin t + 2t2 cos t Kita juga dapat menuliskannya sebagai z = xy, dimana x = 2t2
dan y = sin t,
Tapi, karena dan , maka kita bisa menuliskan : (5.1)
• Persamaan 5.1 adalah persamaan yang benar secara umum, jika kita diberikan funsi z(x,y) dengan turunan parsial yang kontinu dan x dan y dapat diturunkan terhadap t • Untuk membuktikannya, maka dapat dilakukan dengan menuliskan persamaan : ∂z ∂z ∆z = ∆x + ∆y + ∈1 ∆x + ∈2 ∆y ∂x ∂y
• Dimana Є1 dan Є2 0 dengan ∆x dan ∆y. bagi persamaan di atas dengan ∆t dan ∆t 0; karena ∆x dan ∆y 0, Є1 dan Є2 0 juga, maka kita dapat persamaan 5.1 • Kita dapat menggunakan persamaan 3.6 pada bab 3, tapi pada persamaan 3.6 x dan ya adalah variabel bebas, sedangkan sekarang x dan y adalah fungsi dari t. • Kita bisa mendefinisikan dz sebagai pendekatan terhadap ∆z saat x dan y berhubungan
Maka, kita bisa menuliskannya :
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
• Contoh 3. tentukan jika diberikan z=xy dimana y = tan-1 t, x = sin t.
Solusi : Gunakan diferensial, kita tentukan :
4.6 TURUNAN IMPLISIT
4.6 TURUNAN IMPLISIT • Contoh 1. diberikan tentukan dan
• Jika kita beri nilai pada variabel x, kita bisa menemukan nilai t, dan memplot x terhadap t, maka kita mempunyai grafik dengan kemiringannya adalah • Dengan kata lain, x adalah fungsi dari t ketika kita tidak bisa menyelesaikan persamaan untuk x yang merupakan elemen fungsi dari t. • Untuk menentukan kita tunjukkan bahwa x adalah fungsi dari t dan diturunkan terhadap t (turunan implisit)
• dapat : Kita
(6.1) Selesaikan untuk , maka kita dapat : Kita bisa menggunakan diferensial di sini, dan tulis dibagi dengan dt, maka kita dapat persamaan 6.1
• Kita juga dapat menentukan turunan yang lebih tinggi
dengan turunan implisit. Caranya adalah dengan menurunkan masing-masing dari persamaan 6.1 terhadap t, kita dapat : (6.2) Selesaikan untuk dan sunstitusikan nilai yang telah ditemukan untuk , maka kita dapat :
• (6.3)
Contoh ini akan lebih mudah jika kita hanya menginginkan turunan pada satu titik. Untuk x = 0 dan t = 1, maka : atau Dan 6.2 menjadi : atau Turunan implisit adalah metode terbaik untuk menentukan kemiringan kurva dengan persamaan yang rumit
• Contoh 2. tentukan persamaan tangen dari persamaan pada titik (1,2)
Solusi : Kita turunkan persamaan di atas terhadap x, di dapat : Sunstitusikan x = 1, y = 2 :
• Sehingga kita peroleh persamaan tangen dari persamaan di atas :
atau
4.7 ATURAN RANTAI LANJUTAN
4.7 ATURAN RANTAI LANJUTAN • Pada subbab sebelumnya, kita menganggap z = f(x,y),
dimana x dan y adalah fungsi dari t.Sekarang anggap z = f(x,y), tapi x dan y masing-masing sebagai fungsi dari dua variabel s dan t. maka z adalah fungsi dari s dan t dan kita ingin menentukan dan
• Contoh 1. Tentukan dan jika diberikan
Kita ambil diferensial dari masing-masing ketiga persamaan di atas
• Substitusikan dx dan dy ke dz, kita dapat :
(7.1) • Jika s konstan, ds = 0, z adalah fungsi dari satu variabel, dan dapat dibagi dt [lihat 5.1].
• Untuk dz : dt di kiri kita bisa tuliskan . Karena adalah
notasi yang mendeskripsikan apa yang kita cari, laju perubahan dari z terhadap t saat s konstan • Jadi, kita punya :
• sama dengan Dan
• Perhatikan bahwa pada (7.1), koefisien dari ds adalah dan koefisien dari dt adalah .jika kita membuktikannya, kita dapat dengan mudah membacakan dan dari (7.1) • Kita dapat menyelesaikan soal-soal dengan variabel yang lebih banyak dengan cara yang sama
• Contoh 2. tentukan , jika diberikan :
dan , , Kita tentukan :
• Lalu,
Jika kita hanya ingin satu turunan, katakan kita bisa menganggap ds = 0. untuk menyelesaikannya, kita tulis :
• Subskrip s mengindikasikan bahwa s dianggap konstan.
Lalu dibagi dengan dt, kita dapatkan seperti sebelumnya. • Dengan persamaan seperti 5.1, maka kita mempunyai persamaan : (7.2)
• Dimana kita telah menuliskan semua turunan t sebagai
turunan parsial ketika u, x, y, dan z bergantunga pada s dan t. dengan menggunakan 7.2, maka kita dapatkan :
• Terkadang menuliskan aturan rantai dengan menggunakan
matriks juga berguna • Misalkan diberikan u = f(x,y,z), x(s,t), y(s,t) kita bisa menuliskan persamaan seperti 7.2 dalam bentuk matriks : (7.3)
• Kadang persamaan 7.3 dapat dituliskan dalam bentuk :
• Yang mana mengingatkan kita pada persamaan :
• Contoh 3. tentukan jika diberikan z = x – y dan x2 + y2 =t2, x sin t = yey
Solusi : Dari persamaan z, kita mempunyai dz = dx – dy, Kita butuh dx dan dy, disini kita tidak bisa menyelesaikan untuk x dan y dari fungsi t. tapi kita dapat menentukan dx dan dy dari fungsi dt dari 2 persamaan lainnya. Dan itu semua yang kita butuhkan
• Buat diferensial untuk kedua persamaan dan kita dapatkan :
• Sederhanakan menjadi :
• Dari sini kita bisa menyelesaikannya dengan menggunakan determinan dari persamaan-persamaan di atas :
• Selesaikan untuk dx dan dy (dalam fungsi terhadap t)
dengan menggunakan determinan :
• Dan sama untuk dy. Substitusikan dx dan dy ke dalam rumus untuk dz dan dibagi dengan dt. Kita dapatkan
• Contoh 4. Tentukan dan
z = x2 + xy, x2 + y3 = st + 5, X3 – y2 = s2 + t2 Solusi : Kita punya dz = 2x dx + x dy + y dx. Untuk menentukan dx dan dy dari 2 persamaan yang lain, kita ambil turunan masing-masing persamaan :
•
(7.4) Kita bisa menyelesaikan 2 persamaan di atas untuk dx dan dy sebagai fungsi dari ds dan dt dengan menggunakan cara yang sama. maka kita dapatkan :
•
• Langkah yang sama juga dilakukan untuk menentukan dy. Kita substitusikan nilai dari dx dan dy ke dz dan kita bisa menentukan nilai dz sebagai fungsi dari ds dan dt seperti contoh 1. • Ingat bahwa jika kitahanya menginginkan satu turunan, katakan maka kita dapat menyederhanakan aljabar dengan menganggap ds = 0.
Contoh 5. diberikan persamaan : • z = x2 + xy, x2 + y3 = st + 5, X3 – y2 = s2 + t2 Tentukan Solusi : • Ada lima variabel dalam tiga persamaan di atas. Jika kita memberikan nilai pada dua variabel di antaranya, maka kita bisa menemukan nilai dari tiga variabel yang lain.
• Jika z dan x adalah dua variabel bebas, dan s, t, dan y
adalah fungsi dari z dan x, maka kita seharusnya bisa menentukan turunan parsial dari mereka. • Untuk menyelesaikannya, pertama kita persamaan 7.4 dan dz, sehingga kita dapat :
urutkan
• Dari tiga persamaan di atas, kita dapat menentukan ds, dt, dan dy sebagai fungsi dari dx dan dz (dengan determinan atau dengan eliminasi). • Metode determinan dan eliminasi adalah metode yang sama-sama bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear. • Selanjutnya kita menentukan turunan parsial dari s(x, z), t(x, z), atau y(x, z) terhadap x maupun z.
• Sebagai contoh, untuk menentukan , kita bisa dapatkan dari
persamaan yang pertama :
• Ingat bahwa kita tidak akan menurunkan ketiga persamaan jika kita hanya ingin turunan dari ini. • Untuk menentukan , kita harus menyelesaikan tiga persamaan untuk ds sebagai fungsi dari dx dan dz.
• Kita dapat menyederhanakan pekerjaan kita dengan
memisalkan dx = 0 (jika kita hanya menginginkan . Sehingga kita dapat :
•
Sehingga bisa disimpulkan dari persamaan di atas bahwa :
4.8 APLIKASI TURUNAN PARSIAL
4.8 APLIKASI DARI TURUNAN PARSIAL • Kita akan mengatakan bahwa turunan memberikan
gambaran mengenai kemiringan dari suatu kurva seperti kita menemukan titik maksimum dan minimum dari suatu fungsi. (misal y = f(x) dengan) • Sering pada penyelesaian masalah kita ingin menentukan titik maksimum atau minimum dari suatu fungsi yang terdiri lebih dari satu variabel.
• Misalkan z = f(x, y) yang menggambarkan suatu permukaan. Jika ada titik maksimum pada kurva yang dibentuk oleh persamaan itu, lalu kurva untuk x konstan dan y konstan melewati titik maksimum tersebut, berarti kedua kurva memiliki titik maksimum yang sama.
• Titik maksimum ditunjukkan dengan dan memiliki nilai
nol. • adalah kondisi yang dibutuhkan untuk kita dapat menentukan titik maksimum atau minimum dari suatu kurva y = f(x), tapi itu tidaklah cukup
• Titik yang kita cari bisa saja telah minimum atau merupakan sebuah titik dari infleksi dengan tangen horizontal. • Hal yang sama juga bisa terjadi pada fungsi z = f(x, y)
• Titik dimana dan bisa saja menjadi titik maksimum, titik
minimum, atau tidak keduanya. • Dalam mencari titik maksimum atau minimum dari y = f(x), terkadang dibutuhkan gometri atau gambaran fisik yang bisa memberikan titik maksimum.
• Jika dibutuhkan, kita dapat menentukan
• Jika nilai dari negatif, maka kita dapatkna titik maksimum, dan jika nilainya positif, maka yang kita dapatkan adalah nilai minimum.
• hal ini sama dengan kita menggunakan uji turunan kedua untuk fungi dua variabel, tapi kita gunakan cara ini jika memang dibutuhkan. • Biasanya kdari persoalan mengenai titik maksimum kita dapat mengatakan bahwa terdapat titik maksimum, minimum, atau bahkan tidak ada keduanya.
4.9 NILAI MAKSIMUM ATAU MINIMUM
4.9 NILAI MAKSIMUM ATAU MINIMUM Contoh 1. sebuah kawat dibengkokkan sehingga membentuk kurva y = 1 – x2 (gambar 9.1). Kawat tersebut diregangkan dari titik origin ke titik (x, y) pada kurva tersebut. Tentukan (x, y) untuk meminimalisasi perpanjangan dari kawat. y (x, y)
x
Gambar 9.1
• Kita ingin meminimalisasi jarak dari titik asal ke titik (x,
y). • Ini sama halnya ketika kita ingin meminimalisasi tapi x dan y tidak bebas. X dan y bergantung pad persamaan yang menjadikannya kurva • Hubungan lain antara variabel adalah apa yang kita definisikan sebagai sebuah penghambat
• Masalah mengenai penghambat sering kali ditemukan dalam aplikasi • Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan permasalahan seperti itu. kita akan mendiskusikannya dengan beberapa metode : (a) Eliminasi (b) Turunan implisit (c) Pengali lagrange
• Eliminasi (a)
Metode yang paling nyata dengan mengeliminasi y. lalu kita ingin menyederhanakannya.
Ini hanya persoalan kalkulus yang umum dijumpai : ,
x = 0, atau x =
• Titik tersebut tidak seketika menjadi titik maksimum atau
minimum, jadi pada persoalan yang sederhana, yang paling buruk adalah ketika kita harus mencari turunan kedua :
•
Jadi, titik minimum yang kita inginkan terjadi pada saat x dan y =
•(b) Turunan implisit
Misalkan kita menemukan persamaan yang tidak memungkinkan diselesaikan dengan cara substitusi, kita masih bisa menyelesaikan persoalan tersebut. Dari kita tentukan : df = 2x dx + 2y dy (9.1)
atau
• Dari persamaan seperti yang x dan y berhubungan, kita
dapat menentukan dy sebagai fungsi dari dx bahkan jika persamaan tidak bisa dipecahkan untuk y. maka disini kita dapat : dy = -2x dx • Dengan mengeliminasi dy dari dx, kita punya : atau
• Untuk menyederhanakan f, kita misalkan . hal ini
membuat 2x – 4xy = 0 • Persamaan ini sekarang bisa diselesaikan secara simultan dengan persamaan kurva y = 1 – x2. Kita dapatkan bahwa : seperti sebelumnya
•• Untuk menguji titik maksimum atau minimum kita butuh
• Pada saat x = 0, kita tdapatkan nilai y = 1, sehingga : • Titik ini adalah titik maksimum.
• Pada x = , kita tentukan :
• Sehingga : • Titik inilah yang titik minimum. Ingat bahwa kita bisa menyelesaikan persoalan dengan cara (b) ketika kurva tidak bisa diselesaikan untuk y.
•(c) Pengali Lagrange
Kita bisa dengan singkat menyelesaikan persamaan aljabar dengan sebuah proses yang dikenal dengan nama Pengali Lagrange atau pengali yang tidak ditentukan. kita ingin mencari titik maksimum atau minimum dari suatu fungsi f(x, y), dimana x dan y berhubungan dengan sebuah persamaan .
•
Untuk mencari titik maksimum dan minimum dari f, kita atur atau . karena maka kita dapat
(9.2)
• Pada metode (b), kita selesaikan persamaan
untuk dy sebagai fungsi dari dx dan substitusikan ke df. Persamaan ini melibatkan aljabar yang tidak teratur.
• Sebagai gantinya, kita mengalikan persamaan d dengan (pengali yang tidak ditentukan) dan menambahkannya pada persamaan df. Sehingga kita punya : (9.3)
• Sekarang kita masukkan , sehingga :
(9.4) (9.5) (9.6)
• Menentukan nilai maksimum atau minimum dari f(x,y)
karena x dan y berhubungan dengan persamaan (x, y) = konstan. Bentuk dari fungsi F(x, y) seperti dalam 9.6 dan atur turunan parsial dua dari F hingga nol. Kemudian selesaikan kedua persamaan dan persamaan (x, y) = konstan untuk tiga variabel yang tidak diketahui x, y, dan .
SEKIAN TERIMA KASIH