UMH 0475 APROXIMACIÓN AL CURRICULUM DE LAS MATEMÁTICAS UMH 0476 DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
Tarea 5. Resolución de problemas mediante la estrategia de POLYA Nombre: Especialidad: DNI: Grupo:
Alberto Hermosilla García Matemáticas 14573227J ET22
1. Enunciado. El padre de Dimitri, alumno del 4ºC del IES Las Lagunas, trabaja en La Salinera Española. El Director de la empresa le ha propuesto para promocionar a encargado, pero previamente le ha pedido que determine la producción anual de sal en la Laguna Rosa (la señalada en el dibujo). El padre de Dimitri tiene entre sus datos que la concentración de sal en el Mar Mediterráneo es de 4 % en peso. Por otra parte repasando la agenda de su hijo Dimitri vio que una actividad de matemáticas, “Ruta matemática por Torrevieja” Dimitri y su grupo, recorriendo con mirada matemática el parque natural de las salinas, aproximó la superficie de la laguna rosa a un triángulo rectángulo, con las medidas indicadas y con una profundidad media de 0,5 m. Con toda esta información el padre de Dimitri estaba seguro de ascender de categoría en la empresa. Como lo hizo?
“Tarea 5 – Resolución de problemas. Método Pólya.”Alberto Hermosilla García 14573227J ESP: MATEMÁTICAS ET22
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2. Solución al problema empleando las estrategias de PÓLYA. Pólya para establecer un sistema que facilitará la resolución de problemas a sus alumnos, planteó un método con cuatro pasos:
•
Paso 1.Entender el problema
•
Paso 2.Configurar un plan.
•
Paso 3.Ejecutar el plan.
•
Paso 4.Mirar hacia atrás.
Vamos a utilizar estas estrategias para resolver nuestro problema, más concretamente el problema del padre de Dimitri.
2.1 Paso 1. Entender el problema. Este paso se puede concretar respondiendo a las siguientes preguntas: ¿Entiendes todo lo que dice? El enunciado es fácilmente entendible, pero para facilitar su resolución, vamos a replantear el problema en el siguiente apartado. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? El padre de Dimitri tiene que determinar la cantidad de masa (en Kg o toneladas) de sal que se obtienen al año, de la Laguna Rosa, sabiendo que la concentración de sal del Mar Mediterráneo es 4 gramos de sal por cada 100 gramos de agua de mar. Necesitamos determinar el volumen de agua que contiene la Laguna Rosa, teniendo en cuenta que la profundidad media de la misma es de 0,5 m. para calcular el área de la citada laguna, sabemos que podemos asimilar la Laguna Rosa a un triángulo rectángulo, tal y como se indica en el dibujo. ¿Distingues cuáles son los datos?
•
Como datos podemos considerar los siguientes:
•
Concentración de sal en el agua salada =
4 g sal/100g agua salada
•
Profundidad media de la laguna =
0,5 m
•
Longitud de un cateto =
6.580 m
•
Ángulos del triángulos conocidos =
90º y 50,73º
¿Sabes a qué quieres llegar? Sabemos a donde queremos llegar. ¿Hay suficiente información? Tenemos suficiente información para resolver el problema ¿Hay información extraña? No hay ninguna información extraña. ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
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La parte más laboriosa de la resolución del problema, es la resolución de un triángulo y la determinación del área del mismo. En clase, se han resuelto varios ejercicios de similar complejidad, que podemos utilizar como modelo.
2.2 Paso 2. Configurar un Plan. Como estrategias para la resolución del problema vamos a utilizar la combinación de dos de ellas, la subdivisión del problema en varios partes o sub-metas y para la resolución de cada una de las sub-metas vamos a tomar como modelos problemas equivalentes para cada sub-meta.
•
Como primera sub-meta, necesitamos resolver el triángulo rectángulo, definiendo los valores del mismo que nos faltan.
•
Como segunda sub-meta determinaremos la superficie de la laguna.
•
Como tercera sub-meta calcularemos el volumen de agua.
•
Conocido el volumen de agua de la Laguna Rosa y la concentración de sal de la misma podremos conocer la cantidad de sal que se obtiene de la misma cada año.
2.3 Paso 3. Ejecutar el un Plan.
1ª sub-meta. Resolución del triángulo rectángulo.
^A= 90º
a = incógnita
^B=50,73º
b= 6.580 m
^C= incógnita
c = incógnita
Sabemos que en todo triángulo se cumple. ^A + ^B + ^C = 180º = 90º + 50,73 º + ^C Por tanto, ^C = 39,27º Para determinar la longitud del lado c, aplicando la definición de la tangente de ^B:
b c tan ¿
B=¿
❑ ⇒
c=
b tan B
=
6.580 m tan 50,73º
= 5.380 m
“Tarea 5 – Resolución de problemas. Método Pólya.”Alberto Hermosilla García 14573227J ESP: MATEMÁTICAS ET22
3
a2 =
Aplicando Pitágoras
b 2+ c 2
65802
=
53802
+
❑ ⇒
a❑ =
10.059❑ m De tal forma que hemos solucionado el triángulo rectángulo:
^A= 90º
a = 10.059 m
^B= 50,73º
b=
^C= 39,27º
c = 5.380 m
6.580 m
2ª sub-meta. Área del triángulo rectángulo.
El área de un triángulo rectángulo se puede calcular como:
Área =
m
2
1 2
base x altura =
1 2 bxc=
1 2
6.580 m x 5.380 m = 17.700.200
= 1.770,02 Háreas
3ª sub-meta. Volumen de la Laguna Rosa.
El volumen de la Laguna Rosa se puede calcular como:
Volumen = Área x profundidad media = 17.700.200 Volumen Laguna Rosa = 8.850.100
m
3
m
2
= 8,8501 H m
x 0,5 m 3
4ª Meta. Cantidad anual de sal que produce la Laguna Rosa.
Como la concentración del agua del mar mediterráneo es de 4 g de sal por cada 100 g de agua salada, vamos a estimar con aproximación suficiente que un litro de agua salada pesa 1 kg suponiendo que su densidad es igual a 1 kg/l.
Por tanto, si en 100 g de agua salada hay 4 g de sal en un litro de agua salada hay 40 g de sal y por tanto en 1
m3 , habrá 40 kg de sal.
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4
1m
3
= 1000 litros en
1m
3
habrá 1000 litros x 40 g/l = 40000 g = 40 kg de
sal
Como el volumen de la Laguna Rosa es: Volumen Laguna Rosa = 8.850.100
m3
Producción de sal anual Laguna Rosa = Volumen LR
m
3
Producción de sal anual Laguna Rosa =8.850.100
x 40 kg sal/ m
m3
3
x 40 kg sal/
m3
=354.004.000 Kg Que expresado en una unidad más conveniente para estas cantidades:
Producción de sal anual Laguna Rosa =354.004.000 Kg = 354.000 Toneladas de sal/año
2.4 Paso 4. Mirar hacia atrás. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? En la resolución del problema, una vez determinada el área de la Laguna Rosa, hay muy poca probabilidad de error, ya que la concentración de sal es un dato obtenido de tablas confrontadas y la profundidad media de la laguna es un dato de partida. Por lo tanto, habría que confirmar que la superficie real de la laguna Rosa es aproximadamente la que nosotros obtenemos en nuestro problema. Mirando en la información del Parque natural de las Lagunas de La Mata y Torrevieja, la superficie estimada de la Laguna Rosa o laguna de Torrevieja es de 1450 Ha. En nuestro ejercicio hemos obtenido como resultado, un área para la Laguna Rosa de 1.770 Ha, por lo tanto hay un error debido a que la asimilación de la laguna a ese triángulo rectángulo no ha sido suficientemente acertada. Si realizamos un ajuste más preciso, mediante google maps y intentamos compensar mejor el triángulo rectángulo, vemos que la medida de partida del lado sería más apropiada si fuese 5.970 m y vamos a recalcular el área de la Laguna Rosa.
^A= 90º
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a = incógnita
5
^B=50,73º
b= 5.970 m
^C= incógnita
c = incógnita
Sabemos que en todo triángulo se cumple. ^A + ^B + ^C = 180º = 90º + 50,73 º + ^C Por tanto, ^C = 39,27º Para determinar la longitud del lado c, aplicando la definición de la tangente de ^B:
b c tan ¿
B=¿
❑
c=
⇒
b tan B a2 =
Aplicando Pitágoras
5.970 m tan 50,73º
= b 2+ c 2
=
= 4.880 m
5.9702
❑
4.880 2
+
a❑ =
⇒
7.710 m De tal forma que hemos solucionado el triángulo rectángulo:
^A= 90º
a = 7.710 m
^B= 50,73º
b= 5.970 m
^C= 39,27º
c = 4.880m m
De tal forma que el área de la Laguna Rosa será:
Área =
m
2
1 2
base x altura =
1 2 bxc=
1 2
5.970 m x 4.880 m = 14.566.800
= 1.457 Háreas
Que se aproxima suficientemente al área real de la Laguna Rosa. Por tanto el volumen de la Laguna Rosa será = 7.283.400
Producción de sal anual Laguna Rosa = Volumen LR
m
3
Producción de sal anual Laguna Rosa =7.283.400
m3 y la
x 40 kg sal/ m
m3
3
x 40 kg sal/
m3
=291.336.000 Kg Que expresado en una unidad más conveniente para estas cantidades:
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Producción de sal anual Laguna Rosa =291.336.000 Kg = 291.336 Toneladas de sal/año. ¿Adviertes una solución más sencilla? No parece haber una forma más sencilla de realizar el problema, no sería necesario resolver todo el triángulo rectángulo, con calcular la altura del triángulo sería suficiente, pero resuelta así está más completo. ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Se puede extender a problemas similares, con otras sustancias. Al fin y al cabo es un problema de trigonometría y de asimilación de una superficie irregular a una superficie regular cuya área sabemos calcular. La precisión de la solución dependerá de la precisión con que realicemos la aproximación.
•
Nota: Se ha supuesto que se produce una evaporación total de la laguna una vez al año, si el proceso se repite más de una vez al año, la producción de sal dependería del número de veces en los que se repita el proceso.
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