fisica by alberto polimeni

Fisica generale per lâ&#x20AC;&#x2122;esame di ammissione a Medicina

Revisione 28 luglio 2008

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Introduzione Questa dispensa è uno strumento che è stato concepito come riferimento velocemente accessibile per tutti concetti di fisica che si incontrano nella preparazione dell’esame di ammissione ai corsi di laurea della Facoltà di Medicina. Come tale, è ben lungi dall’essere un testo completo e vuole piuttosto: - fornire le nozioni fondamentali per ogni argomento, con particolare attenzione per quelle che appaiono più di frequente nei test degli ultimi anni - tentare una spiegazione dei vari aspetti della fisica che, inquadrando le idee chiave del procedimento teorico con cui la fisica approccia lo studio di un problema reale, possa consentire al lettore di affrontare anche domande “trabocchetto” - suggerire un metodo con cui affrontare le domande nei quiz a risposte multiple, per valutare velocemente quali sono le risposte accettabili e quali da scartare immediatamente Vi preghiamo di segnalarci tempestivamente eventuali errori o omissioni all’indirizzo email carlo.dri@gmail.com e di indicarci anche le parti che dovessero risultare poco chiare o incomplete rispetto al programma dell’anno accademico di riferimento.

Capitolo 1

Le misure Il 23 settembre 1999 i tecnici del Jet Propulsion Laboratory della NASA stanno seguendo l’ingresso del satellite Mars Climate Orbiter nell’orbita di Marte: come da programma alle 2.00 am ora locale si accendono i motori principali del mezzo per rallentare la sua discesa e permettergli di entrare nell’orbita prefissata. Un istante dopo il mezzo scompare dietro Marte, ma i tecnici attenderanno invano la sua ricomparsa all’altro lato del pianeta.1 Il satellite si è schiantato su Marte. Il 10 novembre dello stesso anno, una commissione incaricata di valutare le cause della perdita del satellite pubblica un resoconto in cui nota che è stato commesso un errore nel software di simulazione delle traiettorie del mezzo: il team inglese incaricato dello sviluppo software ha utilizzato inavvertitamente le libbre-forza (lbf) invece dei newton (N) nella simulazione delle forze, provocando un errore di un fattore 5 nell’altitudine di ingresso nell’orbita.2 Questa inavvertenza nell’uso delle unità di misura è costata alla NASA qualcosa come 330 milioni di dollari. In fisica, così come nella vita di ogni giorno, l’utilizzo corretto delle unità di misura è fondamentale: un numero con l’indicazione errata dell’unità di misura viene associato da chi lo legge a una grandezza fisica completamente diversa da quella corretta, oppure il suo ordine di grandezza viene completamente travisato. Pertanto per comunicare o annotare quasiasi grandezza in modo non ambiguo o parziale è indispensabile conoscere le convenzioni con cui vengono universalmente scritte. Le regole generali per la scrittura delle unità di misura sono: • le unità non si scrivono in corsivo • i simboli (ad esempio ampere o kelvin) derivati da nomi propri di scienziati si scrivono con la lettera maiuscola (A, K) Vediamo ora quali sono i principali sistemi di misura.

1.1

Sistemi di misura

Nel sistema SI (che coincide con l’MKS - metri, kilogrammi, secondi) le unità di base sono sette e precisamente: metro, kilogrammo, secondo, ampere, kelvin, mole e candela. 1 http://mars.jpl.nasa.gov/msp98/news/mco990923.html 2 ftp://ftp.hq.nasa.gov/pub/pao/reports/1999/MCO_report.pdf

I relativi simboli e le quantità rappresentate sono elencati in tabella 1.1. Le unità di base sono indipendenti fra loro, nel senso che nessuna di esse si può esprimere come funzione delle altre.

Quantità lunghezza massa tempo corrente elettrica temperatura assoluta quantità di sostanza intensità luminosa

Nome SI

Simbolo SI

metro kilogrammo secondo ampere kelvin mole candela

m kg s A K mol cd

Tabella 1.1: Unità fondamentali del Sistema Internazionale

Nel sistema CGS i metri e i kilogrammi vengono sostituiti rispettivamente con i centimetri (simbolo cm) e i grammi (simbolo g). Le forze, mentre nel sistema SI-MKS si misurano in newton (simbolo N, con 1 N = 1 kg·m/s2 ) in questo sistema si misurano in dyne:

1 dyn = 1 g·

cm m m = 10−3 kg · 10−2 2 = 10−5 kg· 2 = 10−5 N 2 s s s

Infine, nel sistema Tecnico-Pratico (o TP, decisamente poco usato) al posto del kilogrammo nel sistema MKS si usa il kilogrammo-peso o kilogrammo-forza (simbolo kgp o kgf ). Si ha che

1 kgp ≈ 9.81 N

cioè un kilogrammo-peso equivale al peso di 1 kg nel campo della gravità terrestre ~g , dove g ≈ 9.81 m/s2 è l’accelerazione di gravità terrestre3 . Riportiamo in tabella 1.2 le principali unità di misura derivate, i corrispettivi simboli e la relativa espressione in unità SI fondamentali4 .

concetti di forza e di gravità verranno trattati rispettivamente nella sezione 3.2 e nel capitolo 4 pressione viene espressa con unità di misura piuttosto varie a seconda dei campi di applicazione: verranno descritte nella sezione dedicata alla Meccanica dei Fluidi 4 La

Grandezza

Nome SI

Simbolo SI

Unità SI

Frequenza Forza Pressione Energia Potenza Carica Potenziale elettrico Capacità Resistenza Conducibilità Flusso d’induzione magnetica Induzione magnetica Induttanza Flusso luminoso Illuminazione Attività (radionuclidi) Dose assorbita Equivalente di dose Attività catalitica

hertz newton pascal joule watt coulomb volt farad ohm siemens weber

Hz N Pa J W C V F Ω S Wb

tesla henry lumen lux becquerel

T H Lm Lx Bq

Wb/m2 Wb/A

gray sievert katal

Gy Sv Kat

J/kg J/kg mol/s

N/m2 N·m J/s W/A C/V V/A A/V V·s

lm/m2

In MKS s−1 k·m/s−2 m−1 ·kg·s−2 m2 ·kg·s−2 m2 ·kg·s−3 s·A m2 ·kg·s3 ·A−1 m−2 ·kg−1 ·s4 ·A2 m2 ·kg·s−3 ·A−2 m−2 ·kg−1 ·s3 ·A2 m2 ·kg·s−2 ·A−1 kg·s−2 ·A−1 m2 ·kg·s−2 ·A−2 cd·sr m−2 ·cd·sr s−1 m2 ·s−2 m2 ·s−2 mol/s

Tabella 1.2: Grandezze derivate

Ricordiamo infine che esistono grandezze adimensionali cioè senza unità di misura (nel corso della dispensa vedremo degli esempi).

1.2

Multipli e sottomultipli

Le unità di misura hanno dei loro multipli e sottomultipli. Per alcune potenze di dieci sono stati assegnati convenzionalmente dei prefissi allo scopo di abbreviare la scrittura di misure molto piccole o molto grandi rispetto alle unità di misura standard. Nella tabella 1.3 abbiamo riportato i prefissi più usati. 7

Nome

Prefisso

Potenza di 10

exa peta tera giga mega kilo etto deca deci centi milli micro nano pico femto atto

E P T G M k h da d c m µ n p f a

1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

Tabella 1.3: Prefissi simbolici per indicare brevemente le potenze di dieci contenute in una misura

1.2.1

Esempi 1 µm = 1 × 10−6 m 0.4 pF = 0.4 × 10−12 F 0.001 mV = 1 µV = 1 × 10−6 V 1.34 kW = 1.34 × 103 W

1.3

Analisi dimensionale

Può essere molto utile controllare la correttezza di una formula ricordata a memoria o di un risultato numerico attraverso la cosiddetta analisi dimensionale cioè l’esplicitare le dimensioni fisiche delle grandezze in gioco in una equazione. Infatti un’uguaglianza può contenere operazioni tra diverse grandezze fisiche, ma chiaramente ciò che sta a destra dell’uguale deve avere le stesse dimensioni di ciò che sta alla sua sinistra (altrimenti l’uguaglianza non è verificata)5 Ad esempio consideriamo una forza, che sappiamo essere espressa in newton (N). Scriveremo così la sua espressione dimensionale: N = kg·

m s2

5 Per esemplificare il concetto: l’uguaglianza a = 2 m non ha nessun significato se, ad esempio, a è il peso di una certa quantità di farina, allo stesso modo in cui non ha nessun senso dire 1 kg = 1 m.

Un altro esempio è la potenza6 : W=

J m m = kg· 2 · s s s

(1.1)

Pertanto, se un problema chiede di trovare una potenza, il nostro risultato dovrà avere (in unità SI) le dimensioni date nell’uguaglianza 1.1 Ancora un esempio per sottolineare l’importanza dell’analisi dimensionale dei nostri risultati: se ricordassimo a memoria che la velocità che acquista un corpo cadendo da un’altezza h è data da p v = 2g · h con g accelerazione di gravità terrestre, potremmo verificarne la correttezza scrivendo la sua relativa equazione dimensionale, esplicitando a destra e sinistra le dimensioni delle grandezze fisiche in gioco: r m m ·m 6= s s2 Chiaramente l’equazione è sbagliata perché le dimensioni a destra dell’uguale non corrispondono a quelle a sinistra: l’equazione corretta potrà essere invece (ed è di fatto corretta) p v = 2gh

6 La

potenza è l’energia fornita o utilizzata da un sistema nell’unità di tempo

Capitolo 2

Cinematica La cinematica studia il movimento dei corpi, senza porsi il problema delle cause che lo producono. Ci concentreremo in particolare sul moto di un punto materiale, intendendo con tale termine un corpo di dimensioni piccole rispetto alle altre lunghezze in gioco e la cui struttura geometrica non interviene in alcun modo nel movimento.

2.1

Concetti di base

Per individuare la posizione P di un punto ad un certo istante si possono utilizzare le sue coordinate cartesiane x, y, z. Se il punto si muove le coordinate variano al variare del tempo t. Quindi avremo precisamente che x = x(t), y = y(t) e z = z(t). L’insieme di queste tre funzioni x(t), y(t) e z(t) è chiamato legge oraria: è l’insieme delle relazioni che descrivono, in funzione del tempo, le coordinate della posizione occupata dal punto in movimento. La traiettoria è costituita dall’insieme delle posizioni occupate dal punto in ogni istante di tempo del moto. Una prima classificazione del moto di un punto viene fatta in base alla traiettoria stessa: si parla infatti di moto rettilineo, circolare, ellittico, . . . a seconda che la traiettoria sia rispettivamente un tratto di retta, una circonferenza, una ellisse. Le grandezze cinematiche fondamentali sono quelle che definiscono lo stato di moto di un punto materiale (cioè descrivono come il punto si sta muovendo). Esse sono: posizione, velocità e accelerazione. Si indicano di solito rispettivamente con x(t), v(t) e a(t). Queste grandezze sono in generale dipendenti dal tempo, come indicato dalla lettera t come argomento della funzione. In generale si ha che: - la velocità è la funzione che descrive come varia la posizione x(t) nel tempo; - l’accelerazione è la funzione che descrive come varia nel tempo la velocità v(t);

2.2 2.2.1

Tipi di moto fondamentali Moto rettilineo

Si definisce moto rettilineo uniforme un moto che avviene lungo una retta e in cui la velocità è costante, ovvero indipendente dal tempo. Quindi l’accelerazione è nulla. Avremo 11

pertanto la seguente legge oraria:

x(t) = v0 t + x0 v(t) = v0 a(t) = 0

dove x0 indica la posizione iniziale del punto e v0 è la sua velocità. Si noti che la posizione x del punto varia linearmente con il tempo mentre la velocità v è una costante (come rappresentato nei grafici in figura 2.1).

v(t)

x(t)

x(t) = x0 + v0 t x0

Figura 2.1: Andamento della posizione e della velocità in funzione del tempo nel moto rettilineo uniforme

Si definisce moto rettilineo uniformemente accelerato un moto che avviene sempre su una retta ma in cui l’accelerazione è costante. Quindi in questo caso: 1 2 a0 t + v0 t + x0 2 v(t) = a0 t + v0

x(t) =

a(t) = a0

dove a0 è l’accelerazione del corpo,v0 e x0 la sua velocità e la sua posizione iniziale rispettivamente. Si può facilmente vedere come la figura 2.2 rappresenti degli esempi di possibili andamenti delle tre grandezze in gioco: l’accelerazione è una costante in funzione del tempo, la velocità è lineare, mentre la posizione ha un andamento parabolico, sempre in funzione del tempo. 12

a(t)

v(t)

v(t) = v0 + a0 t v0

x(t)

x(t) = x0 + v0 t + 12 a0 t2 t

Figura 2.2: Andamento della posizione, della velocità e dell’accelerazione in funzione del tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato

2.2.2

Moto armonico semplice

Si definisce moto armonico semplice un moto in cui la posizione varia nel tempo secondo la relazione: x(t) = A sin(ωt + ϕ0 )

(2.1)

con A, ω, ϕ0 costanti.1 L’esempio più intuitivo di un oscillatore armonico semplice, rappresentato in figura 2.3, è costituito da una molla vincolata a un estremo con una massa vincolata all’altro. La massa scivola su un piano perfettamente liscio (privo di attrito) e si muove oscillando attorno al punto O, detto punto di equilibrio della molla, entro i punti A e −A. 1 Notiamo che una legge oraria del tipo x(t) = A cos(ωt + ψ ) (con il coseno al posto del seno) è 0 concettualmente identica all’equazione 2.1, in quanto si ottiene dalla 2.1 ponendo ψ0 = ϕ0 − π/2.

−A

Figura 2.3: Oscillatore armonico semplice: una massa m si muove vincolata a una molla su un piano privo di attrito. La massa dopo essere stata spinta, compie infinite oscillazioni di ampiezza A attorno al punto O.

Vediamo ora perché l’equazione 2.1 descrive un moto come quello in figura 2.3. La fase ϕ(t) = ωt + ϕ0 varia linearmente nel tempo: la rapidità con cui l’angolo ϕ varia è misurata da ω, chiamata per questo velocità angolare o pulsazione. Quando la fase varia, la funzione trigonometrica sin(ωt + ϕ0 ) assume valori compresi fra -1 e 1: la funzione x(t) ha così un andamento oscillatorio con valori compresi tra −A e A al variare del tempo. La costante 2|A| viene detta ampiezza di oscillazione. Il punto si muoverà quindi oscillando attorno al punto O, origine delle ascisse, che costituisce il centro di oscillazione; l’ascissa x(t) del punto in movimento viene detta elongazione. Dall’espressione della posizione x(t) del punto si possono ricavare la sua velocità v(t) = Aω cos(ωt + ϕ0 )

(2.2)

a(t) = −Aω 2 sin(ωt + ϕ0 )

(2.3)

e anche l’accelerazione Dal confronto di quest’ultima relazione con la (2.1) si vede che ad ogni istante a = −ω 2 x, cioè in un moto armonico semplice, ad ogni istante l’accelerazione è proporzionale ed opposta all’elongazione. Quindi quando x = 0 anche a = 0, mentre v è massimo; quando x è massima anche a è massima mentre v = 0. Il moto armonico semplice è un moto periodico con periodo T = 2π ω . Il periodo T rappresenta il tempo impiegato dal punto a compiere una oscillazione completa, mentre la frequenza ν è il numero di oscillazioni complete compiute in un secondo. Per quanto detto vale la relazione ν = T1 . Ritorneremo sullo studio di questo sistema oscillante dopo aver introdotto il concetto di forza.

2.2.3

Moto circolare

Quando un punto materiale si muove su una circonferenza con velocità angolare costante, il suo moto è chiamato moto circolare uniforme. Come la velocità lineare è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo, allo stesso modo si definisce la velocità angolare ω di un punto come il rapporto tra l’angolo ∆α spazzato dal raggio r che individua il punto materiale e il tempo t impiegato a spazzarlo: ω=

∆α t

e si misura in radianti su secondi: rad/s. Spesso si omette l’unità di misura rad perché gli angoli in radianti, dato che sono un rapporto fra due lunghezze, sono in realtà adimensionali2 . y

~vt m

Figura 2.4: Rappresentazione grafica delle grandezze in gioco nel moto circolare.

Velocità angolare costante significa quindi che percorre angoli uguali in tempi uguali o, detto in altro modo, che percorre un giro completo sempre nello stesso intervallo di tempo. Secondo questa ultima descrizione, spesso è utile calcolare la velocità angolare come il rapporto fra l’angolo giro misurato in radianti3 e il tempo T impiegato a percorrere l’intero giro: 2π ω= T Il tempo T è chiamato periodo della rotazione. Si usa definire anche la frequenza angolare ν=

1 T

misurata in hertz (simbolo Hz), e si ha che 1 Hz = 1 s−1 . Implicitamente diciamo, solo per facilitare la comprensione, che si intende che la frazione 1/s ha a numeratore un’unità di “giri” compiuti, ma rimangono tassativamente sottintesi4 . Bisogna prestare particolare attenzione a non confondere la velocità angolare con la frequenza angolare, in quanto sono grandezze diverse. Sono tuttavia legate dalla relazione: ω = 2πν Il punto materiale in moto circolare uniforme ha chiaramente anche una sua velocità lineare ~vt , il cui modulo è costante ma la cui direzione, tangente in ogni istante alla circonferenza percorsa, varia con continuità nel tempo. Questa velocità è rappresentata graficamente in figura 2.4 ed è chiamata velocità tangenziale. Ricordando la definizione di radianti5 si 2 Non

bisogna tuttavia confondere la velocità angolare con la frequenza angolare. ricordi che 360° corrispondono a 2π radianti. 4 Quindi la frequenza angolare si misura in “giri al secondo”, ed è così che si legge oralmente questa grandezza. 5 1 rad equivale all’angolo che, in una circonferenza di raggio r sottende una corda di lunghezza pari a r 3 Si

può facilmente dedurre che ω=

vt r

(2.4)

Un po’ più di attenzione richiede il calcolo dell’accelerazione in questo tipo di moto, così come la comprensione delle sue caratteristiche peculiari. Possiamo immaginare di osservare un moto circolare uniforme dal lato e dal basso, come illustrato in figura 2.5, e notiamo che da questa prospettiva il moto è indistinguibile da un oscillatore armonico semplice. Più precisamente, si vede che il moto si può scomporre in due oscillatori armonici, uno nella direzione x e uno nella direzione y. I due oscillatori hanno pulsazione ω pari alla velocità angolare ω nel nostro moto circolare e hanno ampiezza A = 2r cioè pari al doppio del raggio della circonferenza. y

r sin α

α x

r cos α Figura 2.5: Vista laterale del moto circolare uniforme, che appare come un oscillatore armonico semplice.

Scriviamo pertanto le loro equazioni del moto, esattamente come abbiamo fatto per il moto armonico semplice in una dimensione nella sezione 2.2.2: Oscillatore x

Oscillatore y

x(t) = r cos(ωt) vx (t) = −rω sin(ωt) ax (t) = −rω 2 cos(ωt)

y(t) = r sin(ωt) vy (t) = rω cos(ωt) ay (t) = −rω 2 sin(ωt)

Tabella 2.1: Equazioni del moto dei due oscillatori che compongono il moto circolare uniforme

Cosa abbiamo ottenuto scrivendo le formule riportate tabella 2.1? Partendo dalla descrizione della posizione x e y in funzione del tempo, abbiamo ora in mano le due componenti della velocità lineare e dell’accelerazione lineare. Abbiamo già una espressione per il modulo della velocità lineare nell’equazione 2.4. Applicando il teorema di Pitagora alle due componenti vx (t) e vy (t) abbiamo: q q |~vt | = vx (t)2 + vy (t)2 = r2 ω 2 sin2 (ωt) + r2 ω 2 cos2 (ωt) e ricordando l’identità fondamentale della trigonometria6 otteniamo √ |~vt | = r2 ω 2 = rω che è esattamente quanto trovato nell’equazione 2.4. Possiamo anche determinare l’angolo formato da ~vt con il verso positivo dell’asse delle x: vy (t) cos(ωt) ϑ~vt = arctan = arctan − = vx (t) sin(ωt) sin(ωt + π2 ) π = arctan = arctan tan ωt + = cos(ωt + π2 ) 2 π = ωt − 2 cioè la velocità lineare è perpendicolare a ~r in ogni istante (quindi è tangente alla circonferenza nel punto ~r, come rappresentato in figura 2.4). Con lo stesso procedimento applicato all’accelerazione lineare otteniamo (abbreviando i calcoli) il suo modulo: v2 |~a| = ω 2 r = t r e l’angolo che forma rispetto al verso positivo dell’asse delle ascisse, cioè ϑ~a = ωt L’accelerazione è pertanto diretta come ~r ma chiaramente ha il verso opposto7 (cioè dalla massa verso il centro della circonferenza). L’accelerazione ~a, per la sua direzione, è detta accelerazione centripeta.

6 cos2 (x) 7 Se

+ sin2 (x) = 1, ∀x ∈ R avesse lo stesso verso la massa schizzerebbe via dalla circonferenza.

Capitolo 3

Dinamica del punto materiale 3.1

Vettori e operazioni sui vettori

In generale possiamo dividere le grandezze fisiche in due classi da non confondere: scalari e vettoriali. Le prime comprendono le misure fisiche esprimibili con numeri. Ma esistono grandezze che non sono esprimibili solo con un numero, quali la velocità di una pallina in volo, ad esempio, che ha bisogno di contenere in sè anche una indicazione della direzione e del verso del moto. Le grandezze di tipo vettoriale, cioè quelle con caratteristiche direzionali oltre che scalari sono dette vettori. Ci sono vari modi di indicare formalmente un vettore e i più comuni sono: ~u, oppure u, o ancora u. Consideriamo ad esempio un moto di un punto materiale (“punto dotato di massa”) nel piano xy con origine in O;1 se pensiamo di guardare il moto solo nella direzione x o solo nella direzione y avremo separatamente due leggi orarie del tipo x(t) e y(t). La posizione del punto P nel tempo sarà ovviamente individuata dalle due coordinate, ~r(t) = OP = (x(t), y(t)) È chiaro che per conoscere ~r(t) devo conoscere x(t) e y(t) e viceversa. Si dice modulo di un vettore (simbolo |~r(t)| o semplicemente r(t)) la sua lunghezza, ovvero analiticamente (dal teorema di Pitagora): p |~r(t)| = x(t)2 + y(t)2 Il punto O viene chiamato punto di applicazione e in generale può non coincidere con l’origine degli assi cartesiani. Per quanto riguarda le operazioni con i vettori, definiamo innanzitutto il prodotto di un vettore per uno scalare: dato il vettore ~a ≡ (xa , ya ) e uno scalare k ∈ R vediamo com’è fatto il vettore ~c ottenuto dal prodotto di ~a con k: ~c = k · ~a Il vettore risultante ~c è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso di ~a (o verso opposto se k < 0) ma ha modulo “allungato” di un fattore k, cioè |~c| = k · |~a|. La somma di due vettori ~a ≡ (xa , ya ) e ~b ≡ (xb , yb ) è il vettore ~c = (xa + xb , ya + yb ) 1 Tutti questi concetti sono facilmente estensibili al moto in 3 dimensioni, che comunque esula dai nostri scopi

e quindi il vettore somma è il vettore che ha per componenti la somma delle componenti dei vettori addendi. Analogamente si definisce la sottrazione tra vettori. In figura 3.1 è rappresentata la cosiddetta regola del parallelogramma per la somma (o la sottrazione) di due o più vettori. y ~c = ~a + ~b

~b ~a x

Figura 3.1: Regola del parallelogramma per la somma di due vettori

Un po’ più di cautela richiede invece il prodotto tra vettori che è di due tipi: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. La differenza è semplice (la nomenclatura la dice di per sè) ma importantissima: il prodotto scalare ha per risultato un numero, quello vettoriale ha per risultato un vettore. Vediamo come operano: prodotto scalare dati due vettori ~a ≡ (xa , ya ) e ~b ≡ (xb , yb ) il prodotto scalare è così definito: c = ~a · ~b = xa xb + ya yb oppure identicamente ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos θ dove θ è l’angolo spazzato da ~a a ~b prodotto vettoriale dati due vettori ~a ≡ (xa , ya ) e ~b ≡ (xb , yb ) il prodotto vettoriale è un vettore ~c tale che |~c| = |~a| · |~b| · sin θ diretto come la retta ortogonale al piano contenente ~a e ~b (vedi figura 3.2), e ha il verso di entrata di una vite che “avviti ~a su ~b” (ricordiamo che una vite normale si avvita in senso orario)2 . Il simbolo utilizzato per indicare tale prodotto è: ~c = ~a × ~b 2 Si tenga ben presente questa regola secondo cui la direzione del vettore risultante da un prodotto vettoriale è la direzione che avrebbe la penetrazione di una vite avvitata nel piano dei due vettori di partenza “avvitando” il primo sul secondo nell’ordine. Questa regola infatti sarà estremamente utile anche nello studio dell’elettromagnetismo.

~c = ~a × ~b ~b ~a

Figura 3.2: Prodotto vettoriale di due vettori ~a e ~b. Il vettore risultante ~c è ortogonale al piano dei due vettori di partenza.

Può essere utile ricordare che nel disegnare i vettori si utilizza il simbolo ⊗ per indicare un vettore che entra nel foglio, perpendicolare al foglio stesso, e il simbolo per indicare un vettore che esce dal foglio.

3.2

Le forze

Possiamo subito definire una forza come ciò che causa una variazione dello stato di moto di un sistema. È chiaro intuitivamente che la forza è una grandezza vettoriale: se prendo un cubo e lo appoggio su un tavolo, posso spingerlo con la mano su una delle cinque facce che mi si presentano (una superiore e quattro laterali). Una forza che agisca nello spazio tridimensionale è dunque caratterizzata da un modulo, corrispondente all’intensità della forza, da una direzione e da un verso di applicazione.

3.3

Le tre leggi della dinamica

Chiariamo innanzitutto un concetto importante: la massa è una proprietà intrinseca dei corpi (si dice estensiva), e non dipende dalla posizione del corpo nello spazio. Abbiamo detto che la forza è ciò che causa variazioni dello stato di moto di un sistema. Ora facciamo una considerazione in più: una variazione del moto di un sistema (da un punto fermo a punto in movimento, da un punto più “veloce” a un punto più “lento”, . . . ) è una accelerazione. Newton ha formulato tre leggi che legano questa accelerazione con la massa del punto e la forza ad esso applicata; queste sono: I Principio di inerzia Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti nel suo stato di moto rettilineo uniforme II Seconda legge di Newton Accelerazione e forza sono legate dalla relazione F~ = m~a dove m è la massa del corpo, ~a la sua accelerazione e F~ la forza applicata sul corpo. III Principio di azione-reazione Se un corpo A esercita una forza F~A,B sul corpo B, allora B esercita una forza F~B,A su A tale che che F~A,B e F~B,A hanno stesso modulo e direzione ma verso opposto.

3.4

Applicazioni

Vediamo brevemente alcune applicazioni delle regole di somma e prodotto sui vettori, del concetto di forza e delle tre leggi della dinamica. 21

3.4.1

Sistemi di forze

Supponiamo di avere due forze che agiscono sullo stesso punto e ci chiediamo se la loro azione combinata possa essere ridotta all’azione di una sola forza che “riassuma” l’azione di entrambe. La risposta è sì, e la forza in questione, detta forza risultante, è pari alla somma vettoriale3 delle forze in gioco. Una conseguenza immediata di questo è che, come si può prevedere intuitivamente, due forze uguali (con lo stesso modulo e direzione) si annullano se hanno verso opposto. Se su un corpo agiscono diverse forze è possibile pertanto sommarle vettorialmente per ottenere una forza risultante che riassuma l’effetto complessivo delle forze. Chiamate cioè F~i con i = 1, 2, . . . , n le forze in questione, si può definire la forza F~R = F~1 + F~2 + . . . + F~n =

n X

F~i

i=1

applicata sul punto di applicazione comune alle F~i . Ad esempio, consideriamo due forze F~1 e F~2 ortogonali fra loro con |F~1 | = |F~2 |: la forza FR , secondo la regola del parallelogramma, sarà a 45° da entrambe e avrà modulo uguale a √ √ |F~R | = 2 · |F~1 | = 2 · |F~2 |

3.4.2

Momento di una forza

Si definisce momento di una forza rispetto a un punto P il vettore ~ = ~rP × F~ M dove ~rP (~rp è il vettore posizione rispetto a P ) è il punto di applicazione della forza F~ . Come descritto nella sezione 3.1, il modulo di questo prodotto è dato da ~ | = |~rP | · |F~ | · sin α |M dove α è l’angolo mostrato in figura 3.3. P

~rP

F~⊥

α F~

Figura 3.3: Rappresentazione grafica del momento di una forza.

L’espressione |F~ | · sin α corrisponde alla componente della forza perpendicolare a ~rP , chiamata F~⊥ in figura 3.3. Il momento di una forza rappresenta l’analogo della forza per quanto riguarda la rotazione. Esprime infatti come un corpo si metterà a ruotare se sottoposto a quella forza in quel punto. 3 Vedi

sezione 3.1

3.4.3

Forze di attrito

Esperienzialmente è chiaro che se spingo un cubo di massa m, ad esempio una scatola su un piano, con una forza F~ , l’oggetto non accelera indefinitamente con l’accelerazione data dalla ~a = F~ /m, ma raggiunge una velocità limite. È altrettanto chiaro che spingendo con una forza opportunamente piccola, la scatola nemmeno si muove. Questi fenomeni si spiegano con l’introduzione di due tipi di forze di attrito, che sono un modello empirico macroscopico del fenomeno dell’attrito che ha una natura microscopica, perché origina dall’interazione fra le diverse “rugosità” delle superfici di contatto e su scala più piccola anche dall’interazione fra gli atomi e/o le molecole che compongono le due superfici. Quando la scatola rimane ferma nonostante la spingiamo, questo accade perché la forza F~ che esercitiamo è inferiore alla massima forza di attrito statico, data da Fas = µs N dove N è il modulo della cosiddetta reazione vincolare del piano su cui poggia la scatola. Quando invece la nostra forza supera il limite dato da µs N , la scatola inizia a muoversi ed entra in gioco la forza di attrito dinamico, data da Fad = µd N con N definito come sopra. Per mantenere in moto la scatola con una certa velocità v dobbiamo spingerla con una forza di modulo pari a µd N , cioè dobbiamo fare in modo che la risultante delle forze sul corpo sia nulla. I coefficienti µd e µs sono grandezze adimensionali (numeri puri) e si noti che vale la disuguaglianza µd < µs Nella figura 3.4 sono rappresentate la forza di attrito (statico o dinamico) per un corpo di ~ corrisponde massa m trascinato su un piano orizzontale e su un piano inclinato. Si noti che N alla componente del peso perpendicolare alla superficie di contatto cambiata di verso (quindi in generale non è sempre uguale a −m~g )4 . ~ N

~ N

F~a

m~g

F~a

m~g cos θ

θ m~g Figura 3.4: Rappresentazione dell’attrito agente su una massa m trasci~ su un piano orizzontale e su un piano nata da una forza F inclinato

Dal punto di vista energetico, le forze di attrito sono forze dissipative, cioè il lavoro compiuto da queste viene convertito in calore5 . 4 Nel

~ = −m~g , mentre a sinistra N ~ = −m~g cos θ caso a destra in figura 3.4 si ha che N capitolo 6

5 Vedi

3.4.4

Forze nel moto circolare uniforme

Immaginiamo di avere una corda e di legarvi all’estremo un sasso; facciamo ora girare questa corda con il sasso all’estremità. È evidente che la corda (la nostra mano, quindi) deve continuamente “tenere” il sasso nel suo moto circolare: se la corda si rompesse, o se lasciassimo la corda, il sasso partirebbe lungo una retta la tangente alla circonferenza all’angolo in cui la corda si è rotta (o è stata mollata). Abbiamo visto che nel moto circolare uniforme (sezione 2.2.3) l’accelerazione del corpo è diretta come ~r ma ha verso opposto (verso il centro della circonferenza), e che il suo modulo è a=

vt2 r

Pertanto, detta m la massa che sta ruotando con velocità lineare vt sulla circonferenza di raggio r, è chiaro che la forza che agisce sulla massa per mantenerla in tale moto è pari a Fc = ma = m

vt2 r

ed è rappresentata in figura 3.5. Questa forza viene chiamata forza centripeta. y

~vt m

~r F~c

~c è la forza necessaria a mantenere la massa m in moto Figura 3.5: F circolare uniforme con velocità ~vt .

Immaginiamo ora di sedere in un’auto che gira in una piazza circolare con velocità angolare costante. Da dentro l’auto noi ci sentiamo spinti da una forza “invisibile” verso l’esterno della curva; la forza è “invisibile” nel senso che non riusciamo ad identificare qualcosa di materiale che la faccia agire su di noi. Attenzione che in realtà questa è solo una forza apparente, perché deriva solo dal fatto che noi seduti sull’auto, per il principio di inerzia (sezione 3.3), tenderemmo a continuare il nostro moto (con la stessa direzione, verso e modulo della velocità), istante per istante, lungo la tangente alla circonferenza. Invece l’attrito (statico) delle gomme sull’asfalto tiene l’auto e quindi noi in moto sulla circonferenza. Nel caso del moto circolare uniforme, questa forza apparente è chiamata forza centrifuga; si noti che pur chiamandosi “apparente” questa forza è perfettamente quantificabile, e infatti 24

nel moto in questione è uguale ed opposta alla forza centripeta. Una forza che possiamo chiamare anche intuitivamente reale è la spinta della portiera verso di noi mentre giriamo (se siamo seduti sul lato passeggero), o la forza che il sedile esercita per “tenerci” al posto di guida: questi citati sono esempi di forza centripeta. Analogamente, quando un’autobus frena siamo catapultati in avanti ma non c’è niente che ci spinge avanti, è solo che la massa del nostro corpo tende a continuare a viaggiare con la velocità che aveva acquistato prima della frenata! Quindi, in casi come questi, bisogna fare molta attenzione a quali forze si attribuisce la caratteristica di reali. Quando si studia il comportamento di masse all’interno di sistemi che stanno accelerando6 (tipo l’auto o l’autobus), ci si imbatte delle forze apparenti che sono dovute solamente al fatto che la massa in questione nel suo moto segue il principio di inerzia.

6 In

fisica sono chiamati sistemi non inerziali

Capitolo 4

Gravitazione Oltre a queste tre leggi, Newton ha anche intuito che due corpi qualsiasi di massa m e M a distanza r fra loro si attraggono con una forza data dalla legge di gravitazione universale: m·M F =G 2 r dove F è diretta come la congiungente tra i centri delle due masse (vedi figura 4.1) e G è la costante di gravitazione universale G = 6.67 × 10−11

m3 kg·s2 M

r F~

Figura 4.1: La legge di gravitazione universale

Traiamo subito una conclusione semplice ma importante da questa legge: se considero un corpo di massa m in prossimità della superficie della Terra (distanza dal centro pari al raggio rT = 6.4 × 106 m) e la Terra stessa (massa mT = 5.98 × 1024 kg) come le due masse in gioco nella legge di gravitazione universale, scopro che il corpo in questione è attratto dalla Terra con una forza circa pari a G · mT F ≈ ·m rT2 (sempre diretta come la congiungente Terra-corpo). Dal confronto con la seconda legge di Newton possiamo definire la costante g=

G · mT m ≈ 9.81 2 rT2 s

come l’accelerazione di gravità, cioè l’accelerazione che un corpo ha (diretta verso il centro della Terra) se libero di muoversi in prossimità della sua superficie. L’accelerazione di 27

gravitĂ in realtĂ Ă¨ un vettore diretto dal punto di applicazione verso il centro della Terra, e quindi lo indicheremo con ~g .

Capitolo 5

Densità, peso, peso specifico Diamo alcune definizioni: densità è definita come il rapporto tra massa e volume occupato di una sostanza. Si indica solitamente con m %= V e si misura in kg/m3 o in 10−3 kg kg g = = 103 3 −6 3 3 cm m 10 m peso (o forza peso) corrisponde al prodotto della massa per l’accelerazione di gravità: F~ = m~g e dunque si misura in newton (N). Nota: peso e massa sono concetti diversi! Una sferetta di massa 10 kg sulla Terra ha un peso di circa 100 N (≈ 10 kg · 10 m·s−2 ), mentre sulla Luna, ad esempio, ha un peso di circa 1.62 m/s2 · 10 kg = 16.2 N peso specifico è definito come il rapporto fra il peso di un corpo P e il suo volume V : Ps =

P V

Capitolo 6

Lavoro, energia cinetica e potenziale Se applico una forza a un corpo per una certa lunghezza individuata dal vettore ~l in una certa direzione, allora si dice che compio un lavoro. In generale il lavoro è definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento, cioè L = F~ · ~l Intuitivamente questo significa che se ho una forza che “tira” a 30◦ in senso antiorario dalla direzione orizzontale verso destra individuata dal vettore spostamento ~l, il lavoro compiuto dalla forza è il prodotto del modulo dello spostamento |~l| per la componente della forza lungo la direzione dello spostamento data da |F~ | cos θ, con θ = π/6 (30◦ ). Vedi figura 6.1 per una rappresentazione schematica di quanto detto. y

F~ m

~ lungo uno spostamento ~ Figura 6.1: Lavoro L compiuto da una forza F `

Il lavoro, come tutte le forme di energia, si misura in joule: 1 J = 1 N·m = 1 kg· 31

m m2 · m = 1 kg· s2 s2

oppure nel sistema CGS in erg e si ha che: 1 erg = 1 g·

cm2 m2 = 1 × 10−3 kg · 1 × 10−4 2 = 1 × 10−7 J 2 s s

Esistono anche altre importanti unità di misura non-SI dell’energia, tra la quali ricordiamo la caloria (o il suo multiplo, la kilocaloria), che in campo medico è ancora molto usata. La caloria è definita come la quantità di calore necessaria a innalzare da 14.5 ℃ a 15.5 ℃ un quantità di acqua pari a 1 g a 1 atm di pressione. Nota che 1 cal = 4.1868 J Un corpo di massa m in moto con velocità v ha chiaramente una sua energia dovuta alla velocità, chiamata energia cinetica, data da Ec =

1 mv 2 2

È facile vedere che anche l’energia cinetica si misura in joule. Lo stesso corpo, posto a una altezza h (5 m ad esempio) da terra ha la possibilità, se lasciato libero di cadere, di raggiungere una certa velocità nella caduta. Questa “capacità” di acquistare velocità se lasciato libero di muoversi è quantificata in una grandezza detta energia potenziale del corpo in questione, misurata anche questa in joule. In questo esempio l’energia potenziale è data da U (h) = mgh L’energia potenziale citata in questo esempio è detta gravitazionale; esistono poi altri tipi di energie potenziali, quali ad esempio quella elettrostatica, dovuta alla interazione tra cariche elettriche secondo la legge di Coulomb (vedi la sezione 10.1). Per concludere questa sezione riportiamo un teorema molto importate: Teorema dell’energia cinetica: Il lavoro compiuto su un corpo che viene spostato dal punto A al punto B è dato dalla differenza dell’energia cinetica posseduta dal corpo in B e quella in A, cioè 1 1 2 2 LA→B = Ec,B − Ec,A = mvB − mvA 2 2

Capitolo 7

La conservazione dell’energia Un sistema fisico non è altro che un’insieme di corpi. Si hanno diversi tipi di sistemi: sistemi isolati se non scambiano energia nè materia con l’ambiente esterno sistemi chiusi se scambiano solo energia sistemi aperti se scambiano energia e materia Un sistema in cui non intervengano forze di tipo dissipativo (ad esempio gli attriti) è chiamato sistema conservativo e in esso l’energia totale si conserva nel tempo. Per energia totale si intende la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale del sistema: ET = Ec + U Se ci sono n corpi nel sistema l’energia totale sarà semplicemente la somma delle energie dei singoli corpi: ET = (Ec,1 + U1 ) + (Ec,2 + U2 ) + · · · + (Ec,n + Un ) dove i numeri a pedice delle energie identificano il corpo i-esimo. Questa legge di conservazione è estremamente utile per semplificare la soluzione di molti problemi. Esempio Supponiamo di avere una pallina di massa m = 4 kg lasciata cadere da h = 8 m. Vogliamo trovare la sua velocità un istante prima di fermarsi sul suolo. Scriviamo l’espressione dell’energia all’inizio, quando la pallina è ferma (v = 0) a 8 m di altezza: Ei = Ui + Ec,i = Ui = mgh ≈ 320 J Ora scriviamo l’energia finale, quando la pallina è all’altezza 0, un istante prima di fermarsi a terra: 1 Ef = Uf + Ec,f = Ec,f = mv 2 2 Supponendo che l’attrito dell’aria sia trascurabile, l’energia si conserva, cioè deve essere Einiziale = Ef inale . Quindi possiamo scrivere 1 mv 2 2 2 · 320 J =⇒ v 2 = 4 kg √ m =⇒ v = 160 s 320 J =

e il problema Ă¨ risolto. Due esempi importanti di forze conservative sono quelle originate dal campo elettrico e dal campo gravitazionale.

Capitolo 8

Meccanica dei fluidi 8.1

Statica dei fluidi

Consideriamo una forza F~ che agisce uniformemente e perpendicolarmente su ogni punto una superficie S. La pressione è definita come il rapporto fra il modulo della forza e la superficie: F p= S o più in generale, se la forza è orientata arbitrariamente, come il rapporto fra la componente della forza perpendicolare alla superficie e la misura della superficie. La pressione nel sistema SI-MKS si misura in pascal: N 1 Pa = 1 2 m Nel sistema CGS invece si misura in baria: 1 baria = 1

dyn cm2

Ci sono altre diverse unità di misura che riportiamo qui sotto comparate alle precedenti: • 1 atm=101 325 Pa • 760 mmHg=1 atm • 1 bar=1 atm Principio di Pascal: in ogni punto di un fluido in quiete, non soggetto alla forza di gravità, si ha la stessa pressione Legge di Stevino: Nel campo gravitazionale la pressione esistente in un fluido in quiete è direttamente proporzionale alla profondità. Essa è detta pressione idrostatica: p = ρgh dove h è la profondità e ρ è la densità del fluido. Principio di Archimede: Un corpo sommerso o galleggiante in un fluido è sottoposto a una forza diretta dal basso verso l’alto pari al peso del volume di liquido spostato. Questa è applicata al baricentro della massa del liquido spostato. Tale forza è detta forza di Archimede. Nota bene che nello stesso tempo il corpo è sottoposto ovviamente anche 35

alla sua forza peso (diretta verso il basso) che dipende dalla sua densità e dal suo volume. Chiamata ρs la densità del solido e V il suo volume, ρ` la densità del liquido, si ha che: FA = ρ` gV Fp = ρs gV

forza di Archimede forza peso

dove g è la forza di gravità. Dato che le due forze hanno verso opposto si ha che la forza risultante Fr sul corpo è data da: Fr = Fp − FA = ρs gV − ρ` gV = gV (ρs − ρ` )

(8.1)

se consideriamo positiva la direzione verso il basso. Dall’equazione 8.1 si può ricavare facilmente se un corpo rimarrà a galla, andrà a fondo o rimarrà in equilibrio indifferente immerso nel liquido. Sintetizziamo in questa tabella il risultato: Fr > 0 Fr = 0 Fr < 0

ρs > ρ` ρs = ρ` ρs < ρ`

affonda equilibrio galleggia

Tabella 8.1: Stato di un corpo in un liquido

8.1.1

Un’esempio importante

Come applicazione molto importante di quanto detto sulla statica dei fluidi descriviamo brevemente il funzionamento del barometro a mercurio di Torricelli. Nel 1644 Torricelli ideò questo sistema ingegnoso per misurare la pressione atmosferica: prese una provetta piena di mercurio, lunga circa 1 m e la rovesciò su una bacinella piena a sua volta di mercurio. Osservò quindi che il livello di liquido nella provetta diminuiva fino a stabilizzarsi a una altezza z = h dalla superficie del mercurio (che poniamo a z = 0), e questa altezza variava di giorno in giorno. Questo effetto si spiega con il fatto che la pressione sul pelo libero del liquido è nulla (p1 = 0) all’interno della provetta mentre è uguale alla pressione atmosferica (p0 ) nella bacinella. Dalle legge di Stevino, applicata fra i due livelli z = 0 e z = h si ottiene: p1 = p0 − ρHg gh da cui p0 = ρHg gh Si può così misurare l’equivalente della pressione atmosferica in N/m2 : conosciamo infatti g = 9.81 m/s2 , h = 0.76 m (in condizioni normali) e ρHg = 13.6 × 103 kg/m3 . Si ottiene: p0 = 0.1013 × 106

N m2

cioè come già ricordato all’inizio del capitolo 1 atm ≈ 101 300 kPa 36

8.2

Dinamica dei fluidi

In questa sezione considereremo solamente liquidi ideali o perfetti, cioè quelli incomprimibili (cioè con densità costante) e privi di attrito interno (cioè con viscosità nulla). La portata Q di una conduttura è il rapporto tra il volume di liquido V che passa attraverso una sua sezione S nell’unità di tempo ∆t e l’unità di tempo stessa. Detta v la velocità (costante) del fluido, e posto che questo percorra la lunghezza x del volume (dove V = S · x) si ha che V x Q= =S· =S·v ∆t ∆t Nota che Q è costante per un liquido ideale per cui se v aumenta, S diminuisce o viceversa. Per determinare le grandezze caratteristiche del moto di un fluido lungo un condotto che si allarga o si stringe, che si alza o si abbassa nel campo della gravità si può applicare in ogni punto del fluido il teorema di Bernoulli che afferma che 1 p + ρv 2 + ρgh = costante 2 dove p è la pressione nel punto, v la velocità, ρ la densità del fluido e h è l’altezza del punto.

8.3

Viscosità e tensione superficiale

Passiamo ora alla descrizione di due grandezze fisiche che caratterizzano i liquidi reali. Immaginiamo di appoggiare sul pelo dell’acqua, in una vasca sufficientemente estesa e profonda, una zattera di massa m che galleggia praticamente senza pescare. Se spingiamo la zattera con una forza F~t diretta parallelamente al pelo dell’acqua, è intuitivamente chiaro che esercitiamo sulla superficie di contatto tra zattera e acqua uno sforzo di taglio. Se l’acqua non “reagisse” a questo sforzo, la zattera si muoverebbe con l’accelerazione costante data dalla legge di Newton ~a = F~t /m. Per esperienza sappiamo che invece sappiamo che la zattera raggiunge una velocità limite che possiamo chiamare ~v` . Se le velocità in questione sono piccole e la vasca non è troppo profonda si ha che la velocità v` è direttamente proporzionale alla profondità del liquido h e inversamente proporzionale alla superficie della zattera S. Il coefficiente di proporzionalità fra queste grandezze è il coefficiente di viscosità η, definito da: η=

hFt v` S

La viscosità nel SI si misura in Pa·s; nel sistema CGS la sua unità di misura è il poise (simbolo P) e si ha che dyn 1 P = 1 2 ·s = 10−1 Pa·s m La tensione superficiale è invece quella proprietà dei liquidi per cui sulla superficie si forma una “pellicola” di liquido che resiste alla penetrazione di un corpo, a causa della forte coesione fra le molecole in superficie. Questa proprietà è quella che permette a certi insetti molto leggeri di appoggiarsi con le zampe sulla superficie dell’acqua senza andare a fondo.

Capitolo 9

Termologia e Termodinamica 9.1

Termologia e calorimetria

Esistono dei fenomeni che non possono venire spiegati nell’ambito della meccanica presentata fino a questo punto e che sono oggetto di studio di altri rami della fisica. Tra questi, riveste un ruolo estremamente importante lo studio dei fenomeni connessi al calore. Tale studio richiede l’introduzione di due nuove grandezze fisiche: la temperatura e la quantità di calore. Storicamente la quantità di calore è stata considerata una grandezza fondamentale fino alla metà del secolo passato. L’invenzione della macchina a vapore, avvenuta verso il 1770 ad opera di James Watt, ha portato a un insieme di studi approfonditi delle relazioni tra i fenomeni meccanici e quelli connessi al calore, relazioni che costituiscono appunto l’oggetto della Termodinamica. La temperatura è una grandezza fisica differente dalla quantità di calore e deve essere considerata grandezza fondamentale, così come lo sono state, nell’ambito della Meccanica, la lunghezza, la massa e il tempo. La termologia si preoccupa di conoscere la temperatura di un corpo. Tale obiettivo viene raggiunto sfruttando il fenomeni “termometrici”, cioè fenomeni in cui è possibile riscontrare una variazione di una grandezza fisica in corrispondenza di una variazione di temperatura. Questa si verifica per tutti i corpi, con variazioni positive o negative più o meno apprezzabili. Gli strumenti utilizzati per osservare la dilatazione termica sono i termoscopi. Salvo rare eccezioni, l’esperienza dimostra che il volume di un dato corpo è tanto maggiore quanto più caldo appare il corpo quando viene toccato con una mano: si stabilisce allora di collegare le dilatazioni termiche di un corpo alle variazioni di una nuova grandezza fisica chiamata temperatura, capace di determinare col suo valore (assieme a quello di altre grandezze, come la pressione) il volume del corpo in questione. Essa traduce su una base fisica precisa le nostre sensazioni di caldo e freddo. A questo scopo, si devono stabilire le operazioni da compiere per misurare la temperatura di un corpo e lo strumento da usare, che sarà chiamato termometro. I termometri più utilizzati sono quello a mercurio, a gas a pressione costante, a vapore, metallici, a resistenza (o bolometri) e coppie termoelettriche. Per le misure di temperatura si utilizzano diverse scale termometriche. Il grado Celsius (℃) è un’unità di temperatura così chiamata dal nome dell’astronomo svedese Anders Celsius (1701-1744), che la propose per la prima volta nel 1742. La scala Celsius delle temperature era progettata perché il punto di congelamento dell’acqua fosse a 0 gradi, e il punto di ebollizione a 100 gradi, entrambi alla pressione atmosferica standard. 39

Anche se i valori per il punto di congelamento e di ebollizione dell’acqua rimangono approssimativamente corretti, la definizione originale non è adatta per essere uno standard. Per motivi di praticità fu introdotta una nuova scala termometrica: la scala assoluta o scala Kelvin. La temperatura di 0 K (detto zero assoluto) corrisponde a −273.15 ℃, mentre l’ampiezza del grado è la stessa: ad una differenza di temperatura di 1 K corrisponde una differenza di temperatura di 1 ℃. Vale quindi la seguente relazione: T = θ + 273.15, dove T è la temperatura in gradi kelvin e θ è la temperatura in gradi celsius.

9.2

Calore specifico e capacità termica

Studiando ciò che accade mettendo a contatto tra loro diversi corpi, si deduce che ogni corpo è caratterizzato da un coefficiente c, chiamato calore specifico. Esso è indipendente dalla massa del corpo e ha lo stesso valore sia che nel contatto termico la temperatura del corpo aumenti, sia che diminuisca. La sostanza di riferimento, alla quale si attribuisce calore specifico unitario (c = 1 kcal/kg), è l’acqua distillata alla pressione di 1 atm e alla temperatura di 14.5 ℃. Il prodotto C = mc della massa di un corpo per il suo calore specifico è detto capacità termica del corpo. L’unità di misura della quantità di calore è la caloria (cal) che è definita come la quantità di calore necessaria per aumentare da 14.5 ℃ a 15.5 ℃ la temperatura di 1 g di acqua distillata soggetta alla pressione di 1 atm. Lo strumento necessario a misurare la quantità di calore è il calorimetro. Tra i più utilizzati ricordiamo il calorimetro a ghiaccio di Bunsen e il calorimetro ad acqua.

9.3

Meccanismi di propagazione del calore

Il calore può propagarsi da un corpo caldo a uno freddo in tre modi distinti: per conduzione, per convezione e per irraggiamento. La conduzione è un processo tramite il quale il calore passa da una zona di un corpo a un’altra vicina avente temperatura inferiore, senza che vi sia movimento di materia. Ad esempio si pensi ad una sbarra metallica posta sopra una fiamma. In questa situazione si osserverà passaggio di calore dalla faccia della sbarra adiacente alla sorgente calda alla faccia più lontana. Sistemando dei termometri su punti diversi della sbarra, si potrà misurare un gradiente di temperatura. Cioè misureremo una diminuzione della temperatura allontanandoci dalla faccia più calda. La convezione è un processo di propagazione del calore accompagnato da un movimento di materia, ed è un processo caratteristico dei fluidi. Si pensi al trasferimento di calore dall’acqua calda di un radiatore all’aria di una stanza. L’aria nelle vicinanze del radiatore si porta ad una temperatura maggiore rispetto all’aria circostante e si solleva a causa della minore densità. Si formano così delle correnti convettive di aria calda, la quale nelle zone più fredde della stanza si mescola con aria a temperatura minore. La propagazione di calore per irraggiamento è un processo di trasferimento di calore per mezzo di onde elettromagnetiche. Un corpo caldo emette onde elettromagnetiche, tipicamente nelle frequenze dell’infrarosso e la sua temperatura diminuisce mentre un corpo più freddo le assorbe e si riscalda. Il calore pertanto si propaga anche nel vuoto, anzi meglio nel vuoto che in un mezzo materiale. Ad esempio il calore arriva dal sole proprio per irraggiamento. Un corpo capace di assorbire tutte le radiazioni elettromagnetiche incidenti su di esso, senza rifletterne o lasciarne trasparire alcuna parte, viene chiamato corpo nero. 40

9.4

Cambiamenti di stato e calori latenti

A seconda della temperatura a cui si trova, una sostanza può trovarsi allo stato solido, liquido o aeriforme; fissata la pressione che agisce su un corpo (ad es. 1 atm) esistono delle temperature caratteristiche della sostanza di cui è formato il corpo in corrispondenza delle quali si verifica un cambiamento di stato. Esse hanno i nomi seguenti:

Temperatura di ebollizione o di condensazione: per temperature maggiori di questa la sostanza si trova allo stato aeriforme, per temperature inferiori si trova allo stato liquido.

Temperatura di fusione o di solidificazione: per temperature maggiori di questa, la sostanza si trova allo stato liquido, per temperature inferiori si trova allo stato solido.

In particolari condizioni di temperatura e pressione una sostanza può passare direttamente dallo stato solido allo stato di vapore (aeriforme), o viceversa, senza passare attraverso lo stato intermedio di liquido. Questo è il fenomeno della sublimazione. Nel caso dell’acqua la fase solida è rappresentata dal ghiaccio, quella aeriforme dal vapore d’acqua: alla pressione di 1 atm la temperatura di fusione vale 0 ℃ mentre quella di ebollizione vale 100 ℃. Consideriamo ora una massa di vapore d’acqua contenuta alla pressione costante di 1 atm in un recipiente con le pareti trasparenti al calore; mettiamo il recipiente a contatto con un corpo più freddo in modo da far diminuire lentamente la temperatura del vapore: quando la temperatura arriva a 100 ℃ si vedono formare le prime gocce di liquido (ho la liquefazione) e man mano che il vapore cede calore la quantità di vapore diminuisce mentre aumenta quella di liquido: durante questo processo, sebbene il vapore continui a cedere calore al corpo più freddo col quale è in contatto termico, la temperatura dell’acqua resta costante e tale si mantiene finché tutto il vapore non si è liquefatto. Se l’acqua continua poi a cedere calore, la temperatura passa a valori inferiori a 100 ℃ e quando si raggiungono 0 ℃ si cominciano a formare i primi granuli di ghiaccio (ho la solidificazione). Anche durante la solidificazione, sebbene l’acqua continui a cedere calore, la temperatura resta invariata a 0 ℃ finché tutta l’acqua non è diventata ghiaccio, dopodiché la temperatura riprende a scendere. Se ora mettiamo il ghiaccio a contatto termico con un corpo caldo possiamo ripercorrere la strada inversa.Tali circostanze sono caratteristiche dei cambiamenti di stato e si verificano per tutte le sostanze. Abbiamo visto pertanto che durante il cambiamento di stato di una sostanza, la temperatura resta costante. Si verifica sperimentalmente che la quantità di calore Q ceduta o assorbita da un corpo nel cambiamento di stato è proporzionale alla massa m del corpo. Vale cioè la relazione Q = mλ dove λ è chiamato calore latente del cambiamento di stato considerato. Il calore latente di fusione di una sostanza è quindi la quantità di calore assorbita dall’unità di massa di sostanza allo stato solido e alla temperatura di fusione necessaria per liquefarla completamente, mantenendo inalterate la temperatura e la pressione. 41

9.5

Trasformazioni termodinamiche

Se vengono meno le condizioni di equilibrio termodinamico di un sistema1 , ha luogo un processo nel quale alcune proprietà del sistema cambiano: si dice che esso esegue una trasformazione termodinamica. Un sistema si trova in equilibrio termodinamico se è in equilibrio meccanico, termico e chimico. Se consideriamo come sistema un gas contenuto in un cilindro con un pistone mobile a una estremità, si dice che il sistema è in equilibrio meccanico se la pressione esterna coincide con la pressione del gas contenuto, cioè se il pistone non si muove. Si dice invece che un pistone è in equilibrio termico quando non c’è scambio di calore all’interno del sistema o tra il sistema e l’ambiente esterno. Infine un sistema è in equilibrio chimico quando la massa, la composizione e la concentrazione del sistema si mantengono costanti nel tempo. E possibile, nell’ambito delle trasformazioni termodinamiche, distinguere due grandi classi:le trasformazioni reversibili e quelle irreversibili. Si dice che una trasformazione è reversibile quando si può invertire il verso di tale trasformazione e riportare così sia il sistema che l’ambiente alla condizione iniziale. Si parla invece di trasformazione irreversibile se il sistema e l’ambiente non possono essere riportati alla condizione iniziale.Per essere reversibile, una trasformazione deve essere quasi statica, deve cioè evolvere passando attraverso infiniti stati di equilibrio, e non devono intervenire forze dissipative, come, ad esempio, le forze d’attrito. Due stati di equilibrio termodinamico di un sistema possono essere collegati da trasformazioni di tipo diverso. Ve ne sono alcune che hanno nomi ben definiti: • trasformazioni a volume costante, dette isocore • trasformazioni a pressione costante, dette isobare • trasformazioni a temperatura costante, dette isoterme • trasformazioni in cui il sistema non scambia calore con l’ambiente, cioè è termicamente isolato, dette adiabatiche • trasformazioni in cui lo stato termodinamico iniziale coincide con quello finale, dette cicliche

9.6

Leggi dei gas perfetti

Un gas qualunque è caratterizzato, oltre che dal tipo di gas, dalla quantità n di gas presente, espressa in moli,dalla pressione p, dalla temperatura T e dal volume V . La maggior parte dei gas esistenti in natura, che chiameremo gas reali, per valori di temperatura e pressione non troppo diversi da quelli normali2 , obbedisce in prima approssimazione a leggi semplici che riportiamo qui di seguito.3 1 Un sistema termodinamico è definito come l’insieme di uno o più corpi, di composizione nota, che si trovano in una regione dello spazio delimitata da superfici che li distinguono da altri corpi, con cui possono interagire e che costituiscono il cosiddetto ambiente esterno. I sistemi più trattati sono sistemi termodinamici semplici, cioè sistemi descrivibili con tre coordinate termodinamiche (di cui 2 indipendenti), in particolare tratteremo sempre sistemi che possono essere descritti usando come parametri la pressione p, il volume V e la temperatura T . 2 Per condizioni standard o condizioni normali di un gas si intendono p = 1 atm ≈ 105 Pa, cioè pressione atmosferica, e T ≈ 300 K, cioè temperatura ambiente 3 L’approssimazione è tanto migliore quanto più è alta la temperatura e quanto più bassa la pressione del gas.

1a Legge di Avogadro una mole di qualunque sostanza contiene sempre lo stesso numero di molecole NA = 6.022 × 1023 Legge di Boyle se la temperatura di un gas viene mantenuta costante, il volume del gas varia in proporzione inversa alla pressione. Cioè, per una trasformazione isoterma (T2 = T1 ), ho che p1 V1 = p2 V2 Legge di Charles (1a Legge di Gay-Lussac) se invece della temperatura si tiene costante la pressione, il volume varia linearmente con la temperatura. Cioè, per una trasformazione isobara (p2 = p1 ), si ha che V2 V1 = T2 T1 Legge di Gay-Lussac se la trasformazione è isocora (V2 = V1 ), si ha che p2 p1 = T2 T1 2a Legge di Avogadro volumi uguali di gas diversi, alla stessa temperatura e pressione, contengono lo stesso numero di molecole (e quindi di moli)4 Per definizione diremo che un gas perfetto è un gas che soddisfa esattamente le leggi di Boyle e Gay-Lussac per qualsiasi valore di pressione e temperatura. Per i gas perfetti, così definiti, è sempre valida l’equazione di stato, derivante dalle leggi già citate; essa ci dice che pV = nRT dove R = 8.31 J/(mol·K) è una costante universale, indipendente dal particolare gas perfetto considerato, chiamata costante dei gas perfetti.

9.7

I principi della Termodinamica

9.7.1

Principio zero della termodinamica

Se il sistema A in equilibrio termico con C e il sistema B è in equilibrio termico con C, allora A e B sono in equilibrio termico tra loro.

9.7.2

Primo principio della termodinamica

In ogni sistema è contenuta una certa quantità di energia, in varie forme, che viene perciò definita energia interna del sistema. In un gas questa energia è essenzialmente l’energia cinetica totale delle molecole in movimento. Esistono due modi per modificare l’energia interna di un corpo: fornendo calore o compiendo un lavoro sul sistema. Sappiamo che l’energia interna del gas dipende dalla sua temperatura, infatti maggiore è questa e più velocemente si muovono le molecole del gas. Quando forniamo calore ad un gas vediamo che la sua temperatura aumenta, quindi aumenta anche la sua energia interna. Allo stesso modo se comprimiamo il gas, facendo quindi lavoro sul sistema, aumentiamo la sua energia interna. Da qui muove il primo principio della termodinamica, che non è altro se non una generalizzazione del principio di conservazione dell’energia: 4 Il

volume di una mole in condizioni standard è di 22.4 l

∆U = Q − L dove ∆U è la variazione di energia interna del gas, Q il calore scambiato (positivo se assorbito e negativo se ceduto) e L è il lavoro compiuto dal sistema (positivo se compiuto dal sistema, negativo se subito). Si noti che l’energia interna U è una grandezza che dipende solamente dagli stati termodinamici iniziale e finale, non dal percorso termodinamico. Le grandezze che hanno questa caratteristica sono dette funzioni di stato.

9.7.3

Secondo principio della termodinamica

Enunciato di Clausius È impossibile costruire una macchina ciclica il cui unico effetto sia il trasferimento di calore da un corpo ad un altro a temperatura più alta. Enunciato di Kelvin-Planck È impossibile costruire una macchina ciclica il cui unico effetto sia la produzione di lavoro a spese del calore sottratto da un unica sorgente. Leggendo i vari enunciati del secondo principio della termodinamica, l’attenzione va riposta sulle parole unico effetto ed unica sorgente. In sostanza viene affermato che il calore non passa mai spontaneamente da un corpo più freddo a uno più caldo (enunciato di Clausius); e che è impossibile trasformare completamente del calore in lavoro senza ulteriori effetti (enunciato di Kelvin). Riassumendo il primo e il secondo principio della termodinamica si può dire che: non si può ottenere niente per niente (I principio) e non si può neanche pretendere di andare in pareggio (II principio).

9.8

Macchine termiche

Una macchina termica è un sistema termodinamico in grado di compiere trasformazioni cicliche assorbendo calore e fornendo lavoro. Per una macchina termica si definisce il suo rendimento η come: L η= Qa dove L è il lavoro prodotto dalla macchina e Qa è il calore assorbito per produrlo. Un’implicazione del secondo principio è che il rendimento di una macchina reale è sempre minore del rendimento della cosiddetta macchina di Carnot, dato da ηc = 1 −

T2 T1

dove T1 e T2 sono le temperature dei termostati tra i quali lavora la macchina di Carnot, con T2 < T1 .

9.9

Qualità dell’energia e entropia

L’energia meccanica può essere trasformata integralmente in energia termica, ma non è possibile il contrario (per il II principio della termodinamica); perciò possiamo dire che l’energia meccanica è di “qualità superiore” di quella termica. Dalla formula del rendimento della macchina di Carnot, si evince inoltre che la conversione di calore in lavoro è tanto più efficace, quanto minore è il rapporto TT21 (quindi quanto maggiore è T1 ). Quindi si 44

può distinguere tra energia termica di “buona qualità” (ad alta temperatura) e di “qualità inferiore” (a temperatura più bassa). Alla fine di ogni trasformazione di calore in lavoro, si dispone ancora di una certa quantità di calore a bassa temperatura che, in genere, è sempre meno utilizzabile. Si dice che l’energia termica si è degradata, perché è meno sfruttabile. ciao A questo punto possiamo accennare ad un’altra grandezza fisica: l’entropia. Senza andare nei dettagli, si può dire che la capacità di un sistema di compiere lavoro diminuisce sempre di più man mano che evolve verso il disordine dei suoi componenti microscopici. Dell’entropia si può dare infatti una definizione in ambito microscopico, si può dire cioè che l’entropia misura il disordine di un sistema. Di conseguenza man mano che la capacità di un sistema di compiere lavoro diminuisce, la sua entropia aumenta. A questo punto ci pare utile ricordare il principio di aumento dell’entropia: l’entropia di un sistema isolato termicamente aumenta se esso esegue una trasformazione irreversibile, resta costante se la trasformazione è reversibile. Da questo principio si può inoltre notare che la variazione di entropia di un sistema isolato misura il grado di reversibilità delle trasformazioni avvenute al suo interno. Sopra abbiamo accennato alla definizione microscopica dell’entropia, ma essa è definita innanzitutto macroscopicamente ed è utilizzabile alla stregua delle altre coordinate (o variabili) termodinamiche (temperatura, pressione...). Inoltre, come la pressione, il volume, la temperatura e l’energia interna anche l’entropia è una funzione di stato del sistema, cioè dipende unicamente dallo stato termodinamico iniziale e da quello finale, non dalla particolare trasformazione termodinamica reversibile avvenuta.

Capitolo 10

Elettrostatica ed elettrodinamica In questo capitolo studieremo i fenomeni derivanti dalla presenza di cariche elettriche nello spazio, in quiete (elettrostatica) o in movimento (elettrodinamica). Partendo dalla legge di Coulomb, introdurremo i concetti di campo elettrico e potenziale elettrico che ci consentiranno di studiare il comportamento di semplici circuiti in presenza di resistenze e condensatori. Nellâ&#x20AC;&#x2122;ultima sezione del capitolo accenneremo ai problemi inerenti ai campi magnetici e alla distinzione tra correnti continue e alternate.

10.1

Legge di Coulomb

Diciamo innanzitutto che la carica elettrica Ă¨ una grandezza scalare, cioĂ¨ un numero. Essa Ă¨ sempre multiplo intero della carica dellâ&#x20AC;&#x2122;elettrone. Tale carica, che indicheremo con la lettera e vale e = â&#x2C6;&#x2019;1.6 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;19 C Come si puĂ˛ vedere, lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂ di misura della carica elettrica Ă¨ il coulomb, indicato con la lettera C. Esistono due tipi di cariche elettriche: cariche positive e cariche negative (indicate dal segno â&#x2C6;&#x2019;). Poniamo ora due cariche elettriche puntiformi entrambe in quiete a distanza r nello spazio. Tra esse si esercita una forza, detta forza di Coulomb. La legge di Coulomb esplicita lâ&#x20AC;&#x2122;intensitĂ di tale forza ed Ă¨ espressa dalla formula F =k

Qq r2

dove Q e q sono le due cariche, r la mutua distanza, e k, una costante che vale k=

1 4Ď&#x20AC; 0

dove 0 Ă¨ detta costante dielettrica del vuoto. 47

q + −F~

Q + ~ F r

q − −F~

Q + F~ r

Figura 10.1: La legge di Coulomb

Questa forza, che nasce nel momento stesso in cui posizioniamo le due cariche nello spazio, può essere attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche. Sarà attrattiva nel caso di cariche con segni opposti, repulsiva nel caso di cariche dello stesso segno.

10.2

Campo elettrico e potenziale elettrico

Secondo quanto abbiamo detto finora, la forza esercitata da una carica Q (che consideriamo ora fissa nello spazio) su una carica di prova q sarà data da F =k

qQ r2

Il campo elettrico generato da Q è definito come E=

F Q =k 2 q r

Per rappresentare graficamente il campo elettrico, introduciamo il concetto di linee di forza. Sulla linea di forza (o linea di campo), il vettore campo elettrico ha, in ogni punto, direzione tangente alla linea come mostrato in figura 10.2.

−

Figura 10.2: Linee di forza che descrivono il campo elettrico tra due cariche di segno opposto

Il campo generato da cariche puntiformi ha le linee di campo orientate secondo la convenzione in figura 10.2: le linee sono uscenti per cariche positive e entranti per cariche negative. 48

Pertanto nel caso di una carica puntiforme Q generante il campo elettrico, quest’ultimo ha ~ è diretto verso l’esterno. Se Q < 0, E ~ una direzione radiale rispetto a Q. Se Q > 0, E è diretto verso l’interno. Nel caso in cui la carica di prova sia una carica positiva, essa si sposterà secondo il verso del campo elettrico, se è negativa seguirà il verso opposto al campo. Il campo elettrico attorno a una carica può anche essere descritto da un’altra quantità che, attenzione, è uno scalare: il potenziale elettrico. Per capire come è definita questa grandezza immaginiamo di portare una carica di prova q0 da un punto A a un punto B nello spazio e misuriamo il lavoro LAB fatto dall’agente che muove la carica. La differenza di potenziale elettrico tra i due punti è definita da LAB q0

VB − VA =

(10.1)

Il potenziale elettrico si misura in volt (simbolo V) e si ha: 1V = 1

J C

Generalmente il punto A è scelto ad una distanza “infinita” da B a si pone VA =V∞ = 0 così che nell’equazione 10.1 rimane solamente: L q0

V =

Si noti in questa definizione che quello che conta sono le differenze di potenziale. Infatti si può porre il potenziale all’infinito o in un qualsiasi punto di riferimento a un valore arbitrario, ad esempio in molti problemi la Terra viene presa come riferimento e ad essa viene assegnato potenziale 0 V. ~ uniforme, si ha che il lavoro compiuto Nel caso di una carica q0 in un campo elettrico E dalla forza F agente sulla carica, spostata per una distanza d, è dato da LAB = F d = q0 Ed. Pertanto, sostituendo quest’ultima espressione nell’equazione 10.1 si ha che la differenza di potenziale è legata al campo elettrico dalla semplice relazione: VB − VA =

10.3

LAB = Ed q0

Corrente elettrica

La corrente elettrica è un flusso di particelle cariche (elettroni) che si muovono a causa di una differenza di potenziale (o forza elettromotrice o f.e.m.) prodotta da un opportuno generatore (ad esempio una comune batteria è un generatore di forza elettromotrice. La corrente è definita come il rapporto tra la carica q trasportata nel tempo ∆t: I=

q ∆t

e si misura in ampere (simbolo A). Ricordiamo che l’ampere è un’unità fondamentale del Sistema Internazionale, da cui si ricava la definizione dell’unità di misura della carica elettrica q = I∆t ↔ 1 C = 1 A·s 49

10.4

Corrente continua e alternata

Parleremo ci corrente continua quando il verso di scorrimento della corrente (elettroni) va sempre nello stesso verso. La corrente di questo tipo si mantiene costante in intensità e direzione; può essere rappresentata da un diagramma lineare, come in figura, e viene indicata, sugli apparecchi che la producono o la utilizzano, con la sigla C.C. La corrente fornita da una pila, ad esempio, è corrente continua. La corrente si dice alternata quando il suo verso di scorrimento nel circuito si inverte continuamente; ciò che varia è la sua polarità, ovvero quello che a un dato momento è il polo positivo diviene negativo un attimo dopo.In queste continue inversioni, i valori di intensità e voltaggio della corrente variano rapidamente, da zero a un massimo per poi tornare a zero. Lo schema di questa variazione di valore forma una caratteristica onda sinusoidale.Le varie alternanze possono avvenire con la frequenza di parecchie volte al secondo. Ad esempio la corrente domestica normalmente è una sinusoide,ha una frequenza di circa 50 Hz e ha un’ampiezza di oscillazione leggermente superiore a 220 V. Gli apparecchi generatori che producono la C.A. si chiamano alternatori.

10.4.1

Resistenza elettrica e resistività

La corrente che passa in un cavo di rame non è altro che un flusso di elettroni che si muovono spinti dalla differenza di potenziale tra i capi del filo. Ma nel loro moto gli elettroni non sono liberi ma urtano periodicamente con gli atomi del reticolo del rame, perdendo energia (velocità) nell’impatto; incontrano cioè una resistenza allo scorrimento. È chiaro che ogni materiale conduttore avrà una sua resistenza propria data dalle caratteristiche del materiale. La resistenza nel SI si misura in ohm (simbolo W) e si ha che (vedi sezione 10.5) 1W = 1

V A

Possiamo esprimere la resistenza di un conduttore in funzione della sua lunghezza e della sua sezione, immaginando di avere a che fare con un cavo a sezione cilindrica S di lunghezza l. Infatti l R=ρ· S La grandezza ρ è detta resistività e si misura in W·m. Le resistenze di un circuito possono essere posizionate in due modi differenti all’interno di un circuito: in serie o in parallelo. Quando sono posizionate in serie la resistenza totale del circuito è semplicemente uguale alla somma dei valori delle singole resistenze. Quindi Rtot = R1 + R2 + ... + Rn Nel caso di posizionamento in parallelo si ha che 1 1 1 1 = + + ... + Rtot R1 R2 Rn

10.5

Legge di Ohm

La legge di Ohm mette in relazione la differenza di potenziale ai capi della batteria con l’intensità della corrente elettrica che è presente nel circuito. Essa è riassunta dalla formula V =R·I 50

dove V è la differenza di potenziale e I l’intensità della corrente. R è la resistenza del circuito. Parliamo di conduttore ohmico quando vale la legge di Ohm.

10.6

Condensatori

I condensatori sono componenti elettronici che hanno la capacità di immagazzinare (caricare) energia elettrica. I condensatori sono costituiti da due armature metalliche isolate tra di loro. La capacità è direttamente proporzionale alla superficie delle armature ed inversamente proporzionale alla loro distanza e dipende in modo direttamente proporzionale dal valore della costante dielettrica dell’isolante usato. C =e·

S d

L’isolante posto tra le armature viene chiamato dielettrico e può essere liquido, solido o gassoso. L’unità di misura della capacità è il farad (simbolo F) con 1F = 1

C V

Il farad è un’unità molto grande e quindi si utilizzano quasi sempre alcuni suoi sottomultipli come ad esempio il µF. Anche per quanto riguarda il posizionamento dei condensatori in un circuito elettrico si possono distinguere due casi differenti:in serie o in parallelo. Per il posizionamento in serie la capacità totale del circuito è data da: 1 1 1 1 = + + ... + Ctot C1 C2 Cn mentre per il posizionamento in parallelo si ha che: Ctot = C1 + C2 + . . . + Cn

10.7

Lavoro, potenza, effetto Joule

Analizziamo ora l’energia necessaria per mantenere il moto delle cariche in un circuito elettrico, cioè attraverso una resistenza. Le cariche si muovono all’interno di un conduttore sotto l’azione di un campo elettrico; in effetti tale campo elettrico accelera gli elettroni liberi per un breve periodo aumentando la loro energia cinetica; ma gli elettroni non si muovono liberamente ma urtano continuamente contro gli atomi che compongono il reticolo del metallo, inducendo vibrazioni in quest’ultimo. Ciò significa che il filo conduttore si riscalda al passaggio di corrente e questo fenomeno è noto con il nome di effetto Joule.

10.7.1

Lavoro

Per trasportare di una quantità di carica q = I · t attraverso una sezione qualsiasi del conduttore c’è bisogno di un lavoro L=q·V da cui segue che: L=V ·I ·t=

V2 · t = I2 · R · t R 51

dove L è il lavoro elettrico (lavoro del campo elettrico, fornito dalla batteria), V è la tensione ai capi della resistenza R, I è l’intensità di corrente (costante nel tempo), t è intervallo di tempo e q è la carica trasportata durante il tempo t. È da notare che le ultime due uguaglianze sono ottenute applicando semplicemente la legge di Ohm.

10.7.2

Potenza

Si definisce potenza P la quantità di lavoro L effettuato diviso il tempo t in cui è stato liberato L P = t quindi sostituendo le formule con le equazioni con le quali abbiamo precedentemente ricavato L si ottiene: P =V ·I P = I2 · R V2 P = R L’unità di misura del SI per la potenza P è il watt (1 W=1 J/s).

10.8

Magnetismo

Esperienzialmente sappiamo che in natura esistono dei materiali che hanno la proprietà di modificare lo spazio circostante creando un campo magnetico. Questo campo, che ~ è un campo vettoriale, cioè risulta definito in un punto quando indicheremo con il vettore B, se ne conoscono l’intensità, la direzione e il verso. Il campo magnetico si rappresenta mediante linee di induzione (o linee magnetiche) che sono definite analogamente alle linee di campo elettrico (vedi sezione 10.2). Un campo magnetico si dice uniforme in una certa regione dello ~ ha la stessa intensità la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto spazio se il vettore B della regione. Graficamente il campo uniforme si indica con linee magnetiche parallele ed equidistanti. Un campo magnetico può essere creato non solo da magneti naturali (o da sostanze magnetizzate), ma può essere creato anche da una corrente elettrica. Infatti, come verificò sperimentalmente Hans Christian Oersted, intorno a un filo percorso da corrente elettrica è presente un campo magnetico.

10.8.1

La forza di Lorentz

Consideriamo una particella carica q che si muove con velocità ~v all’interno di un campo ~ Sulla carica agisce una forza F~ , chiamata forza di Lorentz, che tende a magnetico B. modificarne la traiettoria. L’intensità di tale forza è proporzionale alla carica, alla velocità ~v ~ perpendicolare alla velocità, cioè B sin θ: della particella, e alla componente del campo B ~ F~ = q~v × B da cui

|F~ | = qvB sin θ

~ e il suo verso La forza di Lorentz è perpendicolare al piano individuato dai vettori ~v e B è determinabile con la regola della vite (vedi sezione 3.1). La forza di Lorentz è sempre 52

perpendicolare alla velocità della particella carica perciò cambia la direzione del vettore velocità ma non ne modifica il modulo. Si deduce immediatamente dalle formule che una carica ferma in un campo magnetico (cioè con ~v = 0), non è soggetta ad alcuna forza da parte del campo magnetico. La figura 10.3 rappresenta graficamente cosa accade a una carica che entra con una certa velocità in un campo magnetico. ~ ⊗B q

~ che agisce su una carica q > 0 in moto Figura 10.3: La forza di Lorentz F ~ diretto perpendicolarmente con velocità ~v in un campo B verso il piano del foglio. La linea tratteggiata indica la traiettoria circolare che seguirà la carica.

Da questa legge è possibile anche ricavare una definizione del campo magnetico, che quindi è dato da: F B= qv sin θ da cui si impara anche che le unita di misura SI del campo magnetico (il tesla, simbolo T) è: 1T = 1

N N =1 C · ms A·m

Per avere un’idea dell’intensità del campo magnetico, si pensi che il campo magnetico terrestre è pari a 10−4 T.

10.8.2

Campo magnetico attorno a un filo percorso da corrente

Immaginiamo un filo rettilineo percorso da corrente. Attorno al filo è presente un campo magnetico, il cui modulo è dato dalla seguente forma della legge di Biot e Savart: B=

µ0 I 2πr

dove r è la distanza dal filo. Il vettore B è diretto perpendicolarmente a r e giace sul piano perpendicolare al filo contenente r. Per quanto riguarda il verso del vettore, il campo B attorno a un filo “avvolge” il filo puntando nella direzione data dalle dita della mano destra quando il pollice punta nella direzione della corrente.

10.8.3

Forza tra fili paralleli percorsi da corrente

Consideriamo due fili paralleli a una certa distanza percorsi da una corrente e chiamiamoli 1 e 2. Il filo 1 genera attorno a sè un campo magnetico, come abbiamo appena visto nella sezione precedente, e all’interno del filo 2 ci sono delle cariche che si muovono con una certa velocità. Pertanto, è chiaro che il filo 2 è soggetto a una forza data dalla forza di Lorentz a cui sono 53

soggette le cariche in moto al suo interno nel campo generato dal filo 1. Il ragionamento ovviamente si puĂ˛ ripetere simmetricamente per la forza che il campo magnetico generato dal filo 2 esercita sul filo 1. Pertanto due fili paralleli percorsi da corrente si attraggono se le correnti che vi scorrono sono concordi (cioĂ¨ fluiscono nello stesso verso del filo), e si respingono se le correnti sono discordi. Lasciamo al lettore lâ&#x20AC;&#x2122;esercizio di giustificare questa conclusione.

10.8.4

Induzione elettromagnetica

Supponiamo di avere un conduttore immerso in un campo magnetico e immaginiamo che questo campo vari nel tempo (ad esempio un magnete che gira). Allora nel filo vengono prodotte delle correnti, dette appunto correnti indotte, generate proprio da questa variazione del campo magnetico. Questo effetto sta alla base della generazione delle correnti alternate (ad esempio la corrente domestica a 220 V): normalmente una bobina di fili di rame viene fatta ruotare allâ&#x20AC;&#x2122;interno di un campo magnetico, generato ad esempio da magneti naturali, e ai capi della bobina si ottiene una differenza di potenziale.

Appendice A

Modalità e contenuti della prova di ammisione Sul sito http://accessoprogrammato.miur.it/ sono reperibili tutte le informazioni riguardanti le date, le modalità e contenuti della prova d’esame.

A.1

Programma di fisica

Le misure misure dirette e indirette, grandezze fondamentali e derivate, dimensioni fisiche delle grandezze, conoscenza del sistema metrico decimale e dei Sistemi di Unità di Misura CGS, Tecnico (o Pratico) (ST) e Internazionale (SI), delle unità di misura (nomi e relazioni tra unità fondamentali e derivate), multipli e sottomultipli (nomi e valori). Cinematica grandezze cinematiche, moti vari con particolare riguardo a moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato; moto circolare uniforme; moto armonico (per tutti i moti: definizione e relazioni tra le grandezze cinematiche connesse). Dinamica vettori e operazioni sui vettori. Forze, momenti delle forze rispetto a un punto. Composizione vettoriale delle forze. Definizioni di massa e peso. Accelerazione di gravità. Densità e peso specifico. Legge di gravitazione universale, I, II e III principio della dinamica. Lavoro, energia cinetica, energie potenziali. Principio di conservazione dell’energia. Meccanica dei fluidi pressione, e sue unità di misura (non solo nel sistema SI). Principio di Archimede. Principio di Pascal. Legge di Stevino. Termologia, termodinamica termometria e calorimetria. Calore specifico, capacità termica. Meccanismi di propagazione del calore. Cambiamenti di stato e calori latenti. Leggi dei gas perfetti. Primo e secondo principio della termodinamica. Ottica e acustica cenni su fenomeni acustici e ottici elementari (riflessione, rifrazione, dispersione) Elettrostatica e elettrodinamica legge di Coulomb. Campo e potenziale elettrico. Costante dielettrica. Condensatori. Condensatori in serie e in parallelo. Corrente continua. 55

Legge di Ohm. Resistenza elettrica e resistivitĂ , resistenze elettriche in serie e in parallelo. Lavoro, Potenza, effetto Joule. Generatori. Induzione elettromagnetica e correnti alternate. Effetti delle correnti elettriche (termici, chimici e magnetici).

Indice 1 Le misure 1.1 Sistemi di misura . . . . 1.2 Multipli e sottomultipli 1.2.1 Esempi . . . . . 1.3 Analisi dimensionale . .

. . . .

5 5 7 8 8

. . . .

2 Cinematica 2.1 Concetti di base . . . . . . . . 2.2 Tipi di moto fondamentali . . . 2.2.1 Moto rettilineo . . . . . 2.2.2 Moto armonico semplice 2.2.3 Moto circolare . . . . .

. . . . .

11 . 11 . 11 . 11 . 13 . 14

3 Dinamica del punto materiale 3.1 Vettori e operazioni sui vettori . . . . . 3.2 Le forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Le tre leggi della dinamica . . . . . . . . 3.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Sistemi di forze . . . . . . . . . . 3.4.2 Momento di una forza . . . . . . 3.4.3 Forze di attrito . . . . . . . . . . 3.4.4 Forze nel moto circolare uniforme

. . . . . . . .

19 19 21 21 21 22 22 23 24

4 Gravitazione

5 Densità, peso, peso specifico

6 Lavoro, energia cinetica e potenziale

7 La conservazione dell’energia

8 Meccanica dei fluidi 8.1 Statica dei fluidi . . . . . . . . 8.1.1 Un’esempio importante 8.2 Dinamica dei fluidi . . . . . . . 8.3 Viscosità e tensione superficiale

. . . .

. . . . 57

. . . .

35 . 35 . 36 . 37 . 37

9 Termologia e Termodinamica 9.1 Termologia e calorimetria . . . . . . . . . . . 9.2 Calore specifico e capacità termica . . . . . . 9.3 Meccanismi di propagazione del calore . . . . 9.4 Cambiamenti di stato e calori latenti . . . . . 9.5 Trasformazioni termodinamiche . . . . . . . . 9.6 Leggi dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . 9.7 I principi della Termodinamica . . . . . . . . 9.7.1 Principio zero della termodinamica . . 9.7.2 Primo principio della termodinamica . 9.7.3 Secondo principio della termodinamica 9.8 Macchine termiche . . . . . . . . . . . . . . . 9.9 Qualità dell’energia e entropia . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

10 Elettrostatica ed elettrodinamica 10.1 Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Campo elettrico e potenziale elettrico . . . . . . . . . 10.3 Corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Corrente continua e alternata . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Resistenza elettrica e resistività . . . . . . . . . 10.5 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Lavoro, potenza, effetto Joule . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.2 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.1 La forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.2 Campo magnetico attorno a un filo percorso da 10.8.3 Forza tra fili paralleli percorsi da corrente . . . 10.8.4 Induzione elettromagnetica . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

39 39 40 40 41 42 42 43 43 43 44 44 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . corrente . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

47 47 48 49 50 50 50 51 51 51 52 52 52 53 53 54

. . . . . . . . . . . .

A Modalità e contenuti della prova di ammisione 55 A.1 Programma di fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Hanno curato la stesura di questo testo: Carlo Dri, Martino Olivo, Paolo Vagni, Angelo Peronio, Lucia Grillo.

Scritto in PDFLATEX 59