Análisis Matricial de Estructuras - Introducción al Método de Elementos Finitos by Alder JhosuÃ©

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Introducción al método de elementos finitos

EDITORIAL

MACRO

Análisis matricial de estructuras Introducción al método de elementos finitos

Autor: Alder Jhosué Quispe Panca

Coordinación de edición: Magaly Ramon Quiroz

Diseño de portada: Alessandra Bonilla Zapata

Corrección de estilo: Erik Tacuchi Villanueva Diagramación: Gretty Escobar Davila

Edición a cargo de: © Empresa Editora Macro EIRL Av. Paseo de la República N.° 5613, Miraflores, Lima, Perú L, Teléfono: (511) 748 0560 E3 E-mail: proyectoeditorial@editorialmacro.com © Página web: www.editorialmacro.com

Primera edición: octubre 2015 Tiraje: 1000 ejemplares Impresión Talleres gráficos de la Empresa Editora Macro EIRL Jr. San Agustín N." 612-624, Surquillo, Lima, Perú ISBN N.*

Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2015-13746 Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin previa autorización de la Empresa Editora Macro EIRL.

Alder Jhosué Quispe Panca Ingeniero civil de profesión. Posee estudios concluidos de maestría en Geotecnia y Transportes en la Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez (UANCV) en Juliaca y un doctorado en Ciencia, Tecnología y Medio Ambiente en la Universidad Nacional del Altiplano (UNA) en Puno, Perú.

Consultor y supervisor de obras civiles públicas y privadas en el área de estructuras y afines. Además, docente universitario, expositor e instructor en temas relacionados al área de estructuras en diferentes universidades del Perú.

A Nuestro Padre Celestial, a ml familia y amigos

que no recordĂŠ al momento de escribir esto. Ustedes saben quiĂŠnes son

INDICE Introducción

CAPÍTULO 1: Conceptos básicos 1.1 Esfuerzo

1.2 Deformación

1.3 Diagrama esfuerzo-deformación

1.3.1 Elementos del diagrama esfuerzo-deformación

1.4 Ley de Hooke

CAPÍTULO 2: Método de la rigidez 2.1 Origen 2.2 Consideraciones y conceptos básicos

CAPÍTULO 3: Estructuras articuladas 3.1 Matriz de rigidez de elementos articulados ....

3.1.1 Caso barra simple

3.1.2 Caso barra compuesta (2 tramos)

3.1.3 Caso general («n» tramos)

3.1.4 Características de la matriz de rigidez

CAPÍTULO 4: Transformación de coordenadas 4.1 Matriz de transformación de barras articuladas

4.2 Matriz de rigidez global de una barra articulada

4.3 Matriz de rigidez global con coordenadas 2D

CAPÍTULO 5: Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 5.1 Solución mediante el método de rigidez

5.2 Cálculo de deformación unitaria y esfuerzo axial a partir de desplazamientos globales en extremos de una barra 64

5.3 Efectos de cambio de temperatura

CAPÍTULO 6: Apoyos inclinados y apoyos elásticos 6.1 Apoyos no concordantes con el sistema global(inclinado) 6.1.1 Análisis con Autodesk Robot Structural Analysis Professional 6.2 Apoyo elástico

112 124

CAPITULO 7: Apoyos con desplazamiento inicial

CAPÍTULO 8: Análisis tridimensional de barras articuladas 8.1 Análisis tridimensional de barras articuladas con apoyo elástico:

156

CAPÍTULO 9: Estructuras tipo marco rígido 9.1 Rigidez axial para marcos

171

9.2 Rigideces para momento flexionante y fuerza cortante para marcos

172

9.2.1 Rigidez por momento flexionante

172

9.2.2 Rigidez por desplazamiento vertical

177

CAPÍTULO 10: Matriz de rigidez de elementos tipo marco rígido en 2D 10.1 Matriz de rigidez de elementos tipo marco rígido en 3D

187

10.2 Matriz de transformación para estructuras tipo marco

189

10.3 Problemas de vigas inclinadas

195

10.4 Problema de verificación de desplazamiento

206

10.5 Estructura con cargas laterales

218

10.6 Pórtico con apoyo empotrado

228

10.7 Pórtico con viga inclinada y fuerza nodal

244

10.8 Análisis de pórticos de edificios

254

10.9 Pórtico con apoyo elástico

273

CAPÍTULO 11: Rigidez lateral de pórticos 11.1 Aplicación en análisis sísmico

297

11.2 Rigidez lateral de pórticos

298

11.3 Rigidez lateral de un pórtico simple

298

11.4 Matriz de rigidez lateral de un pórtico de varios pisos

303

CAPÍTULO 12: Introducción al método de elementos finitos 12.1 Antecedentes

315

12.2 Introducción al método de elementos finitos

317

12.3 Conceptos generales del método

317

12.4 Tipos de elementos finitos

318

12.4.1 Elemento armadura (figura 12.1)

318

12.4.2 Elemento viga (figura 12.2)

319

12.4.3 Elemento marco (figura 12.3)

319

12.4.4 Elemento solido 2D (figura 12.4)

320

12.4.5 Elemento placa (figura 12.5)

320

12.4.6 Elemento cascarón (figura 12.6)

321

12.4.7 Elemento sólido (figura 12.7)

321

12.5 Discretización

322

12.6 Barras de sección variable

324

12.7 Pasos para analizar estructuras mediante el MEF

325

12.7.1. Modelamiento

325

12.7.2. Solución

325

12.7.3. Análisis e interpretación de resultados

326

12.8 Análisis de vigas con elementos finitos

326

12.9 Estados de esfuerzos y deformaciones

336

12.9.1 Componentes de la deformación

336

12.10 Estado de esfuerzo y deformación tridimensional

337

12.11 Estado de esfuerzo plano

340

12.12 Estado de deformación plano

342

12.13 Principio de los trabajos virtuales

344

12.13.1 Ley del trabajo virtual para cuerpos elásticos

344

12.14 Formulación de MEF usando el principio del trabajo virtual

346

12.15 Formulación de MEF para elementos lineales (barra Particulada)

346

12.15.1 Matriz de rigidez

346

CAPÍTULO 13: Formulación de MEF para elementos bidimensionales 13.1 Elementos triangulares lineales

351

13.2 Elemento triangular de tres nodos de Turner

352

13.3 Matriz de rigidez del elemento triangular

357

13.4 Ensamblaje de la matriz de rigidez de elementos triangulares

361

13.5 Problemas de estado tensión plana

363

13.6 Problema de estado deformación plana

413

Anexo

436

Glosario

439

Bibliografía

444

índice de figuras Capítulo 1 Figura 1.1 Esquema de aplicación de una fuerza sobre un área

Figura 1.2 Deformación de una estructura

Figura 1.3 Diagrama esfuerzo-deformación

Figura 1.4 Diagrama reducido de esfuerzo-deformación

Capítulo 2 Figura 2.1 Esquema de descomposición de esfuerzos actuantes en nudos

Figura 2.2 Sistema de coordenadas locales y globales

Capítulo 3 Figura 3.1 Estructuras articuladas aplicadas en techos

Figura 3.2 Tipos de cerchas

Figura 3.3 Geometría de estructuras articuladas

Capítulo 4 Figura 4.1 Estructura con sistema de ejes global y local

Figura 4.2 Componentes del sistema de ejes global y local

Figura 4.3 Componentes de la matriz de rigidez en sistema global 2D

Capítulo 5 Figura 5.1 Datos ingresados

Figura 5.2 Deformación global y deformación en Xy Z (cuadro adjunto, nudo 5)

Figura 5.3 Reacciones y esfuerzo axial

Figura 5.4

Figura 5.5

Figura 5.6 Descomposición de fuerzas en cada nudo

Figura 5.7 Efecto de acción del cambio de temperatura

Capítulo 8 Figura 8.1 Elementos para el análisis tridimensional de barras

145

Capítulo 9 Figura 9.1 Representación de carga distribuida en viga continua

172

Figura 9.2 Representación de un solo tramo

172

Figura 9.3 Sección (l)*® en la viga

173

Capitulo 10 Figura 10.1 Elementos de marco rígido en 3D

187

Figura 10.2 Representación de coordenadas globales y locales

190

Figura 10.3 Pórtico del problema 20

211

Figura 10.4 Matriz de rigidez de estructura entera

237

Figura 10.5 Matriz de rigidez de la estructura entera

262

Figura 10.6 Matriz de rigidez reducida de la estructura entera

263

Figura 10.7 Matriz de rigidez completa de la estructura

286

Capítulo 11 Figura 11.1 Pórtico de un grado de libertad

298

Figura 11.2 Pórtico con desplazamiento horizontal

303

Capítulo 12 Figura 12.1 Elemento armadura con fuerza axial solamente

318

Figura 12.2 Elemento viga con carga horizontal, vertical y momento en nodos

319

Figura 12.3. Elemento marco donde se muestra los desplazamientos nodales que puede tomar

319

Figura 12.4 Elemento sólido 2D con cargas en el plano

320

Figura 12.5 Elemento placa con una distribución de cargas perpendiculares al plano

320

Figura 12.6

Elemento cascarón con seis grados de libertad por nudo

321

Figura 12.7

Elemento sólido con grados de libertad en cada nodo

322

Figura 12.8 Discretización de un pórtico Figura 12.9

Discretización de un muro de albañilería

Figura 12.10 Refinamiento de modelo de barra cónica, (a) barra cónica (b) modelo con un elemento (c) modelo con dos elementos (d) modelo con tres elementos

323 323 325

Figura 12.11 Esfuerzos en el plano. El espesor es mucho más pequeño que las otras dimensiones. Todas las cargas están aplicadas en el plano y, por consecuencia, las deformaciones son función 340 de .ve y Figura 12.12 Estructura 2D en equilibrio

345

Capítulo 13 Figura 13.1 MATRIZ DE RIGIDEZ completa de la estructura

379

Figura 13.2 MATRIZ DE RIGIDEZ reducida de la estructura

380

Figura 13.3 Matriz de rigidez de la estructura entera

396

Introducción El presente texto ofrece a los lectores una explicación clara y completa de la teoría y aplicación del método matricial para el cálculo de estructuras en 2D y 3D de cerchas, vigas y marcos. Se hace hincapié a los lectores la necesidad de tener una comprensión de la teoría y práctica del Método Matricial de Rigidez en sus diferentes características de aplicación práctica, siguiendo un procedimiento didáctico y demostrando matemáticamente cada una de las fórmulas aplicadas para la solución de problemas de Análisis Estructural. Asimismo, en la presente publicación se ha incluido una introducción didáctica acerca del estudio de la teoría y práctica del Método de Elementos Finitos (MEF) que constituye la base para la solución de problemas de diversa complejidad. Debido a la experiencia adquirida en la docencia universitaria, tengo como objetivo explicar didácticamente los pasos del método matricial para el cálculo de estructuras para luego poseer una base sólida para la comprensión y aplicación del MEF. En la actualidad, se sigue considerando oportuno, por su interés sobre todo conceptual, el comprender los métodos clásicos de cálculo estructural; sin embargo, la necesidad de cálculo de estructuras complejas, el alcance de presentar un ventajoso tratamiento matricial y el uso de computadoras obliga a alumnos y profesionales a comprender y manejar los métodos numéricos actuales de cálculo estructural, en particular, el método de los elementos finitos. Con el fin también, de poseer la base teórica de comprensión y aplicación adecuada de resultados obtenidos usando diferentes software de estructuras que a su vez, son variados en la actualidad.

El presente texto es un material de apoyo y ayuda didáctica de clase para los alumnos de Ingeniería Civil, Arquitectura, Mecánica, Industrial y, en general, para todos los estudiantes involucrados en el análisis de estructuras; asimismo, sirve de apoyo a los profesionales para un mejor entendimiento de los aspectos fundamentales del cálculo matricial. Esto se obtiene a través de la presentación clara y detallada de los conceptos teóricos y la solución de problemas ilustrativos, basados en una estructura simple y detallada (paso a paso) que permite centrar la atención en el problema concreto a

resolver. El libro consta de trece capítulos donde se expone el estudio de los conceptos básicos como rigidez, equilibrio estático, coordenadas locales y globales, transformación de coordenadas, aplicaciones a cerchas, vigas y marcos, análisis sísmico de pórticos y aplicación de normas vigentes peruanas, introducción a elementos finitos con bases teóricas explicadas paso a paso y solución a los diferentes problemas planteados que permitirán cumplir el objetivo trazado en el presente texto. Otros objetivos del presente texto son evitar que el lector o alumno caiga en la tentación de utilizar resultados de programas comerciales de análisis estructural sin conocer los conceptos que lo rigen y, además, proponer un uso racional y con conocimiento de los diversos software que hay. Particularmente, estoy convencido de que la mejor forma de aprender análisis estructural es resolviendo de manera manual o semimanual los problemas simples (como los que se presentan en los ejemplos de este libro) y, con ello, entender que los problemas complejos son la unión de problemas simples. O, dicho de otra manera, para la solución de problemas de análisis estructural, se trae a colación la siguiente frase: «divide y reinaras». En otras palabras: divide los problemas complejos en problemas simples y resolverás dichos problemas. Dicho matemáticamente: «divide los elementos infinitos en elementos finitos y resolverás el problema». Considero que esto es fundamental para apreciar el MEF ya que es hoy en día aplicado por el 99 % de los software comerciales.

En particular, en el presente texto se hace uso del software siguiente: Autodesk

Robot Structural Analysis Professional con el finalidad, exclusivamente, de comparar los resultados obtenidos manualmente de los problemas planteados. Esta comparación se realiza parcialmente en los ejercicios resueltos mediante el Método Matricial de Rigidez y se comprueban, en su totalidad, en todos los ejercicios del MEF. Sin embargo, debo enfatizar que hoy en día cualquier persona puede fácilmente ingresar datos a un software y ejecutar el programa, pero esto no implica que debido a eso esté aprendiendo y resolviendo adecuadamente un problema de análisis estructural ni especialmente pueda interpretar los resultados adecuadamente. Por tal motivo, es imprescindible que alumnos y profesionales sepan las bases teóricas y prácticas del método matricial y del

MEF.

Habría «infinita» ingratitud de mi parte el no considerar el apoyo brindado en la elaboración del presente texto mediante los valiosos comentarios y críticas de colegas de profesión, alumnos y a todos aquellas personas que me apoyaron para que este trabajo se publicara adecuadamente. En particular, reconozco la dación de sabiduría que nos dio a todos Nuestro Padre Celestial («La gloria de Dios es la inteligencia del hombre»), el apoyo de mis padres (Juan y Ménica), mi familia (Elida, Gonzalo y Edú) con su tiempo y mejora de gráficos, a mis colegas de la EPITA de la Universidad Nacional del Altiplano de Puno (Perú) y muy especialmente al Dr. Vladimiro Ibañez Quispe y al Mg. Se. Wilfredo Zea Flores por otorgar su tiempo para mejorar la redacción en el presente libro.

Finalmente, es mi deseo que este libro cumpla con el objetivo de ser útil a alumnos y profesionales de Ingeniería Civil para involucrarse en el maravilloso y fascinante mundo del análisis estructural.

Alder Jhosué Quispe Panca Ingeniero Civil juanjhosue@gmail.com «Ningún éxito en la vida compensa el fracaso en el Hogar»

El proceso de analizar y diseñar una estructura es el inicio del proceso de revisar que todos los puntos materiales de la misma cumplan la ecuación básica del diseño estructural:

Acciones < Resistencia En la ecuación anterior existen dos términos: • ACCIONES. ES

donde se procede a cuantificar las acciones sobre la estructura. Esta cuantificación es un tema del ANÁLISIS ESTRUCTURAL, y complementa lo aprendido en cursos previos de estática, mecánica de materiales (resistencia de materiales) y análisis de estructuras.

• RESISTENCIAS. Estas se calculan en cursos posteriores al ANáLISIS ESTRUCTURALtalescomo

diseño de estructuras de concreto armado, diseño de estructuras de acero, diseño de puentes, entre otros. Cada uno de estos posee su norma específica establecida en cada país. Bajo esta perspectiva, el objetivo del presente texto es el aprendizaje de la técnica matemática para el ANÁLISIS ESTRUCTURAL. Debido al auge y avance inherente en la actualidad de la tecnología, algunos métodos quedaron obsoletos; no obstante, cumplieron su objetivo en determinadas épocas en la que no se tenía alcance a los ordenadores con las capacidades vigentes actualmente. En el presente texto se utilizará la técnica matemática denominada ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS, específicamente utilizando el MÉTODO DE LA RIGIDEZ o MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS, que consiste en modelar exclusivamente barras rectas en el plano 2D o en el espacio 3D.

ANáLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. INTRODUCCIóN

MéTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Realizar el procedimiento de cálculo para determinar los esfuerzos internos y externos implica cuantificar en sus respectivas unidades lo siguiente: • s.

Deformaciones unitarias del medio continuo.

• CT.

Esfuerzos asociados a las deformaciones sufridas por el medio continuo.

•

5. Desplazamientos de los diferentes puntos del medio continuo que forma la estructura.

Básicamente, medios continuos se refiere a la materia que puede ser estudiada mediante la mecánica de medios continuos. Estas son los sólidos deformables y los fluidos (comprensibles e incomprensibles).

Realizar el análisis estructural de una estructura implica determinar la deformación de los elementos sólidos deformables y cuantificar los esfuerzos internos. Posteriormente, al proceso de análisis, se realiza el diseño de cualquier elemento o un sistema estructural, lo cual implica responder a dos preguntas: ¿el elemento es resistente a las cargas aplicadas? y ¿tendrá la suficiente rigidez para que las deformaciones no sean excesivas e inadmisibles? Las respuestas a estas preguntas implican el análisis de la resistencia y rigidez de una estructura, a la que usualmente denominamos ANáLISIS ESTRUCTURAL.

Estos análisis comienzan por el estudio de los conceptos que son el esfuerzo y la deformación. Aspectos que serán definidos a continuación.

Los métodos matriciales tienen dos grandes variantes: el MéTODO DE LA FLEXIBILIDAD cuyas incógnitas son las fuerzas y el MéTODO DE LA RIGIDEZ donde sus incógnitas son los desplazamientos. Este enfoque se trabaja en todos los métodos del análisis estructural. Sin embargo, por las ventajas computacionales, el MÉTODO DE LA RIGIDEZ ha ganado más aceptación.

Así tenemos que

{/-'} =[*•]. {8}

es la ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL MÉTODO MATRICIAL DE

o DE RIGIDEZ, donde {/*’} es el vector de las fuerzas externas, es la matriz de rigidez del sistema y {8} es el vector de desplazamientos de los nudos.

LOS DESPLAZAMIENTOS

1.1 ESFUERZO Los esfuerzos internos de un elemento están ubicadas dentro del material y se distribuyen en toda el área que la conforma. A la fuerza interna se le denomina esfuerzo axial que es la fuerza por unidad de área; la cual se denota con la letra griega sigma (cr), y es un parámetro que permite comparar la resistencia de dos materiales, ya que establece una

base común de referencia.

CAPíTULO 1: CONCEPTOS BáSICOS

_P A

Ec. 1.1

Donde: Figura 1.1 Esquema de aplicación de una fuerza sobre un área

•

P = Fuerza axial.

• A=

Área de la sección transversal.

Cabe destacar que la fuerza empleada en la Ec. 1.1 debe ser perpendicular al área analizada y aplicada en el centroide del área para así tener un valor de <r constante que se distribuye uniformemente en el área aplicada. La Ec. 1.1 no es válida para los otros tipos de fuerzas internas; existe otro tipo de ecuación que determina el esfuerzo para las otras fuerzas, ya que los esfuerzos se distribuyen de otra forma. A. Unidades

El esfuerzo utiliza unidades de fuerza sobre unidades de área. En el sistema internacional (SI), la fuerza está en Newton (N) y el área en metros cuadrados (m2), el esfuerzo se expresa por N/m2 o Pascal (Pa), esta unidad es pequeña por lo que se emplean múltiplos como el kilopascal (kPa), megaPascal (MPa) o GigaPascal (GPa). En el sistema americano, la fuerza se expresa en libras y el área en pulgadas cuadradas. Así, el esfuerzo queda en libras sobre pulgadas cuadradas (psi). Particularmente, en el Perú, utilizamos el kg/cm2 para denotar los valores relacionados con el esfuerzo. (Singer y Pytel, 1982; Beery Johnston, 1993; Popov, 1996; Timoshenko y Young, 2000).

1.2 DEFORMACIóN La resistencia del material no es el único parámetro que debe utilizarse al analizar y diseñar una estructura. Controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propósito para el cual se diseñó tiene la misma o mayor importancia. El análisis de las deformaciones se relaciona con los cambios en la forma de la estructura que generan las cargas aplicadas.

Figura 1.2 Deformación de una estructura

ANáLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. INTRODUCCIóN

MéTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Una barra sometida a una fuerza axial de tracción (F) aumentará su longitud inicial (figura 1.2). Bajo la misma carga, pero con una longitud mayor, el aumento o alargamiento (8) se incrementará. Por ello, definir la deformación unitaria (e) como el cociente entre el alargamiento 8 y la longitud inicial Lo, indica que sobre la barra la deformación sigue siendo la misma porque si aumenta Lo, también aumenta 8. Matemáticamente, la deformación unitaria se expresa como: 8

5 Ec-2-2

Al observar la fe. 2.2, se verifica que la deformación unitaria es un valor adimensional. Generalmente, este valor es pequeño.

1.3 DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIóN En el diseño de elementos estructurales, se determina la resistencia y rigidez del material estructural, estas propiedades se pueden relacionar si se evalúa una barra sometida aúna fuerza axial. Para esto, se registra simultáneamente la fuerza aplicada y el alargamiento producido. Estos valores permiten determinar el esfuerzo y la deformación. Al gráfica ríos, originan el denominado diagrama de esfuerzo y deformación, respectivamente. Los diagramas son similares si son del mismo material y de manera general permite agrupar los materiales dentro de dos categorías con propiedades afines que se denominan materiales dúctilesymaterialesfrágiles. Los diagramas de materialesdúctilessecaracterizan por ser capaces de resistir grandes deformaciones antes de la rotura; mientras que los materiales frágiles presentan un alargamiento bajo cuando llegan al punto de rotura.

1.3.1 Elementos del diagrama esfuerzo-deformación En el diagrama se observa un tramo recto inicial hasta un punto denominado límite de proporcionalidad. Este límite tiene una gran importancia para la teoría de los sólidos elásticos, ya que esta se basa en el citado límite. Este límite es el superior para un esfuerzo admisible. En tal sentido, los puntos importantes del diagrama de esfuerzo-deformación son los siguientes:

Figura 1.3 Diagrama esfuerzo-deformación

CAPíTULO 1: CONCEPTOS BáSICOS

Donde: •

Límite de proporcionalidad. Hasta este punto, la relación entre el esfuerzo y la deformación es lineal.

•

Límite de elasticidad. Más allá de este límite, el material no recupera su forma original al ser descargado; por tanto, queda con una deformación permanente.

• Punto de fluencia. Aparece en el diagrama un considerable alargamiento o cedencia sin el correspondiente aumento de carga. Este fenómeno no se observa en los

materiales frágiles. •

Esfuerzo último. Es la máxima ordenada del diagrama esfuerzo-deformación.

• Punto de ruptura real. Es cuando el material falla.

Dado que el límite de proporcionalidad, elasticidad y punto de fluencia están muy cerca, se considera para la mayoría de los casos como el mismo punto. De esta manera, de llegar el material a la cedencia, este dejaría de tener un comportamiento elástico; por lo tanto, relación lineal entre el esfuerzo y la deformación dejaría de existir

1.4 LEY

HOOKE

En el diagrama esfuerzo-deformación (figura 1.3), la línea recta indica que la deformación es directamente proporcional al esfuerzo en el tramo elástico. Este principio es conocido como la LEY DE HOOKE (véase fe. 1.6). Asimismo, la proporción representada por la pendiente de la recta es constante para cada material y se llama módulo de elasticidad (E), valor que representa la rigidez de un material.

Figura 1.4 Diagrama reducido de esfuerzo-deformación

En el gráfico se obtiene lo siguiente:

tg0 = E =

Ecl3

ANáLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. INTRODUCCIóN

MéTODO

ELEMENTOS FINITOS

Al desarrollar la fe. 1.3, se puede inferir que la expresión de alargamiento es como se indica en la fe. 1.4. P* L

A*8

despejando 8, se obtiene lo siguiente:

fe. 1.4 O también:

En la fe. 1.5 se representa lo siguiente: P es la fuerza axial actuante en una barra.

AE es la constante de proporcionalidad conocida como rigidez de la barra. L

Donde la rigidez es la fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada.

8 es la deformación lineal (en dirección axial) de la barra, conocida en los software de aplicación con la simbología U. Conociendo la siguiente forma:

Reemplazando lo anterior en la fe. 1.5, se obtiene lo siguiente: P = K.xS

fe. 1.6

Esta expresión es conocida como la LEY DE HOOKE.

Representándolo en forma matricial, se obtiene la siguiente forma:

[P]-[K]*[S]

Ec. 1.7

La fe. 1. 7 constituye la fórmula fundamental para el desarrollo del análisis matricial que será utilizado durante el desarrollo de los ejercicios del presente texto.

Para el estudio de los métodos clásicos (Cross, Takabeya, Kanl y otros) es necesario comprender el comportamiento de los distintos tipos de estructuras que se tienen. Estos métodos cumplieron sus objetivos en el análisis estructural en épocas anteriores. Sin embargo, al momento de analizar grandes estructuras como las existentes en la actualidad, su aplicación se hace engorrosa y difícil.

El afianzamiento del uso generalizado de los microcomputadores y el desarrollo de los métodos matriciales alcanzaron una extraordinaria posibilidad de efectuar cálculos a grandes velocidades y muchos más exactos. Esto generó, hasta hoy, diversos software de aplicación como SAP2000, Autodesk Robot Structural Analysis Professional, Lira, StaadPro, Adina y otros, los cuales, en su estructura de cálculo, utilizan métodos matriciales. El MÉTODO DE LA RIGIDEZ corresponde a un método matricial que permite la resolución de todo tipo de estructuras y se basa en la construcción y operación de las matrices de rigidez de cada elemento y global de la estructura, los vectores de fuerzas externas y vectores de desplazamiento.

Dada la simplicidad de la metodología y lo estructurado de los algoritmos de resolución mediante este método, se ha utilizado en forma privilegiada en el desarrollo de métodos computacionales y en el diseño de herramientas informáticas que ayuden al ingeniero en el análisis de las estructuras así como la determinación de sus deformaciones, reacciones en apoyos y esfuerzos internos.

2.1 ORIGEN Entre los años de 1945-1955, aparecen los primeros artículos referentes a un nuevo método de análisis que usaba matrices de flexibilidad o de rigidez de la estructura, esta metodología matricial surge de necesidades en la industria aeronáutica, especialmente.

«5 ANáUSIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. INTRODUCCIóN

MéTODO DE ELEMENTOS FINITOS

En Ingeniería Estructural se necesitaban métodos que permitieran hacer diseños cada vez más complejos. En el año de 1956, aparece un artículo escrito por Turner, Clough, Martin y Topp llamado «Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures» («Análisis de rigidez y deflexión de estructuras complejas») en donde se expone los primeros fundamentos del análisis matricial de estructuras.

El método consiste en remplazar la estructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. El proceso de análisis se considera como la cuantificación de la acción opuesta entre:

(a)

Figura 2.1 Esquema de descomposición de esfuerzos actuantes en nudos (Uribe, 2004)

En la figura 2.1, se observa (figura a) la acción de fuerzas externas Fly, Flx, F2 sobre la estructura entera, esta acción externa provoca en la estructura entera (figura b) esfuerzos axiales S14, S12, S13, SM, S23 que se distribuyen a cada elemento estructural; además, cada esfuerzo en cada elemento provoca a su vez deformaciones axiales en cada elemento por separado (figura c); la deformación de cada elemento a su vez se representa en la estructura entera, provocándose una estructura deformada (figura d). La determinación de estas deformaciones es el objetivo del MÉTODO DE LAS RIGIDECES llamado también MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES.

CAPíTULO 2: MéTODO DE LA

RIGIDEZ

2.2 Consideraciones y conceptos básicos • En el análisis se supone que E (Elasticidad) e I (Inercia) se mantienen constantes en toda la longitud de la barra. Por ello, se analizará el caso de barras prismáticas. • Las

relaciones de fundamentales equilibrio compatibilidad, fuerza-desplazamiento se mantienen vigentes (a mayor fuerza externa se produce mayor desplazamiento).

• Respecto al modelo analítico, la estructura se considera un montaje de miembros rectos conectados en sus extremos a nodos. Un miembro (o elemento) se define como una parte de la estructura para la cual las relaciones fuerza-desplazamiento de los miembros que se van a usar en el análisis son válidas. Un nodo se define como una parte estructural de tamaño infinitesimal al cual se conectan los extremos de los miembros (barras). • Los grados de libertad son los desplazamientos independientes (traslaciones [U] y rotaciones [R]) de los nodos que son necesarios para especificar la forma deformada de una estructura cuando se vaya a sujetar a una carga arbitraria.

en el método matricial. En el modelo analítico de una estructura, se considera la siguiente convención de anotaciones:

A. Convenciones

nodos se cuentan con un número dentro de un círculo (inicia con nodo libre). El orden en que se enumeren los nodos indica el sentido que se da a los elementos de una estructura.

a. Los

b. Los elementos se cuentan con su número escrito dentro de un rectángulo. El

sentido del mismo se define desde el nodo con el menor número (nodo inicial) hacia aquel que tenga el mayor número (nodo final). c. Los grados de libertad se representan por flechas rectas (si es para traslación) o

flechas curvas (si es para rotación) siempre en sentido positivo. A cada grado de libertad restringido por alguna reacción, corresponde una fuerza o momento, según sea el caso. Uy

A Rz

Donde: • Ux es el desplazamiento en dirección del eje X. • Uy es el desplazamiento en dirección del eje Y. • Rz es la rotación en torno al eje Z.

Ambos, la estructura así como cada uno de sus elementos, se estudian respecto a un sistema de coordenadas ortogonales, cartesianas y de mano derecha. En el análisis matricial, se considera dos sistemas de coordenadas: locales y globales.

ANáLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. INTRODUCCIóN

MéTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Figura 2.2 Sistema de coordenadas locales y globales

Donde: • X y Y son ejes globales (en mayúsculas).

• x y y son ejes locales (en minúsculas). • 0 es el ángulo de inclinación de la barra respecto a la horizontal. B. Coordenadas globales. Son llamadas también coordenadas estructurales o de la estructura. Se denomina así debido a que se refieren todos los datos de la estructura en su conjunto tales como la posición de los nudos, las cargas que actúan sobre ellos, sus desplazamientos y las reacciones de los apoyos.

C. Coordenadas locales. Son llamadas también coordenadas particulares o del elemento. Se denomina así debido a que hacen referencia a todas las propiedades de los elementos, como las dimensiones y momentos de inercia, al igual que las cargas aplicadas sobre los mismos y las fuerzas internas a que se ven sometidos.

Se definen colocando el eje x a lo largo del eje centroidal del elemento, colocando el origen del mismo en el nodo inicial. Los demás ejes (y, z) se definen teniendo en cuenta la ortogonalidad de los mismos. Con estas coordenadas queda definida la

orientación del elemento estructural (figura 2.2). D. Transformación de coordenadas. Cuando los miembros de una estructura están orientados en direcciones diferentes, es necesario transformar las relaciones de

rigidez de cada miembro y del sistema de coordenadas locales del mismo hacia un sistema común de coordenadas globales. Luego, se combinan las relaciones de rigidez de los miembros así obtenidas a fin de establecer las relaciones de rigidez para la estructura completa. Dependiendo del tipo de elemento estructural, se obtendrá una matriz de transformación diferente para cada sistema estructural. Más adelante se explicará el procedimiento matemático para lograr esta transformación.

Capítulo J

Estructuras articuladas

Figura 3.1 Estructuras articuladas aplicadas en techos

Las estructuras articuladas (también conocidas como celosías, estructuras reticuladas o de barras) constituyen un sistema reticular formado por un conjunto de barras unidas entre sí por medio de articulaciones sin fricción (llamados nudos), y que forman en conjunto un plano indeformable (prescindiendo de las deformaciones elásticas).

Principales características de las estructuras articuladas: • Son ampliamente utilizadas en la industria. Por ejemplo, en puentes y en techos o

tejados. • Su diseño es simple, ya que se trata de barras unidas entre sí por articulaciones en sus extremos.