Baul del abuelo año 1 folleto 1 by Aldo Gil Crisóstomo

BAUL DEL ABUELO-Año 1- Folleto Nº 1

OLIMPO MATEMATICO

Ejercicios de Trigonometría. Empezamos este primer trabajo, con un aporte que envié a la Revista Ramamsem, que es donde colaboro. Es un trabajo de Trigonometría, a fin de abrir la columna con broche de oro. A lo que vamos: Este texto de Ejercicios de Trigonometría por Th. Caronnet, de 1950, es una publicación en francés, que pude conseguir en original, la verdad que cuesta trabajo, pero tengo felizmente amigos, que me avisan cuando llegan estas rarezas, y por las cuales a veces pago bastante, pero me queda la satisfacción de contar con material de primera mano, de excelente nivel, para compartir con ustedes. Claro yo me quedo con lo mejor, pues es difícil traducir y pasar a Word todos los problemas, además queda lo aleatorio y caprichoso de la selección por mi parte, pero algo es algo. Si alguien quiere les escaneo unas cuantas páginas, y se las paso, pero ya lo hacemos por privado. Bueno pues, a disfrutar los problemas de trigonometría, espero que les gusten y les puedan sacar provecho.

Problema 1 Vamos a empezar con unas verificaciones muy sencillas: Verificar las siguientes identidades: a)

sec2 x.cos ec 2 x  sec2 x  cos ec 2 x

cot 2 x. cos2 x  cot 2 x  cos2 x

sen4 x.  cos4 x  sen2 x  cos2 x

Solución a)

sec 2 x. cos ec 2 x 

sen 2 x  cos 2 x 1 1 1 1   sec 2 x  cos ec 2 x .  = 2 2 2 2 2 2 cos x.sen x cos x sen x cos x sen x

cos 2 x(1  sen 2 x) cos 2 x  cos 2 x  cot 2 x  cos 2 x b) cot x. cos x  = 2 2 sen x sen x 2

sen4 x.  cos4 x  (sen2 x  cos2 x)(sen2 x  cos2 x), como ( sen 2 x  cos 2 x) =1, tenemos: sen4 x.  cos4 x  sen2 x  cos2 x

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Problema 2 Algo mas complicadito eh?........ Verificar que si  y  verifican la ecuación: a.sen .sen  b. cos . cos  0, ….. (1) entonces la expresión: y 

1 1  , es independiente de 2 2 a.sen   b. cos  a.sen   b. cos 2  2

 y. Solución Tenemos que reemplazar

sen 2 , cos 2 

en función de tan 2  y sen 2 , cos 2  en

función de tan 2  ,

y

tan 2   1 tan 2   1  , ahora bien la relación (1) la escribimos como: a. tan 2   b a. tan 2   b

a. tan . tan   b  0 , de donde tenemos: tan   

b ; viene entonces, substituyena. tan 

b 2  a 2 tan 2  tan 2   1  do, y  2 ,o ab  a 2 b tan 2  a. tan 2   b y

b2  a 2 tan2   ab(tan2   1) (a  b)(a. tan2   b) ab  , finalmente: y  . 2 2 ab(a. tan   b) ab.(a. tan   b) ab

Problema 3 Con transformaciones la cosa va cambiando. 2 2 Transformar a producto la expresión: z  1  sen x  sen y , luego encontrar su máximo

y su mínimo suponiendo que x e y varían de manera que su suma es constante. Solución Primero la transformación a producto. Tenemos:

z  1  sen2 x  sen2 y  z  sen2 x  cos2 x  sen2 x  sen2 y  z  cos2 x  sen2 y .  (*) cos2 x(1  sen2 y)  (1  cos2 x)sen2 y  cos2 x. cos2 y  sen2 x.sen2 y 

(cos x. cos y  senx.seny)(cos x. cos y  senx.seny)  cos(a  b). cos(a  b) . N.E.- (*) Aquí hay un artificio bien maloso, al cual me veo obligado a aclarar. 2 2 2 2 Sumamos y restamos a z  cos x  sen y , lo siguiente: sen y. cos x , y operando ob-

tenemos (*). A mi costo trabajo entenderlo, pero los franceses son así pues……….. _________________________________________________________________________ tato2005@gmail.com El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 2

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Si x e y varían de manera que su suma es constante e igual a s, tenemos tres casos a considerar: a) cos s > 0. El máximo valor de z es cos s; y se cumple para cos(x  y)  1 ó

x  y  2.k. . Es mínimo para –cos s; y se cumple para cos(x  y)  1 ó x  y  (2.k  1). b) cos s=0. El valor de z es nulo para cualquier valor de x e y y que verifican que x+y=s. c) cos S < 0, queda como ejercicio para ustedes. Problema 4 Calcular el sen y el coseno de 9º, sabiendo que sen 18º 

5 1 . 4

Solución Nosotros sabemos que: sen 2 9º  cos 2 9º  1 Y también sabemos que: 2.sen 9º. cos 9º  sen18º 

5 1 . 4

Haciendo sumas y restas de las ecuaciones anteriores tenemos:

( sen 9º  cos 9º ) 2 

3 5 5 5 2 y ( sen 9º  cos 9º )  4 4

De donde: sen 9º  cos 9º 

1 1 3  5 y sen 9º  cos 9º   5 5 . 2 2

Ya que sen 9º  cos 9º es positivo y sen 9º  cos 9º es negativo; tenemos finalmente:

1 1 sen 9º   3  5  5  5  y cos 9º   3  5  5  5  .   4 4 Problema 5 Verificar la siguiente relación:

sen a  sen 3a  sen 5a  tan 3a cos a  cos 3a  cos 5a Solución N.E. recordemos que: sen p  sen q  2.sen

pq pq . cos . y el problema resulta ser 2 2

una aplicación directa, veamos. _________________________________________________________________________ tato2005@gmail.com El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 3

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sen a  sen 5a  2.sen 3a. cos 2a y cos a  cos 5a  2. cos 3a. cos 2a , y luego tenemos: sen 3a(2. cos 2a  1) sen 3a   tan 3a cos 3a(2 cos 2a  1) cos 3a

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Problemas propuestos: En este caso si voy a dejar planteados una buena cantidad de ejercicios y problemas extraídos del libro mencionado, el cual sin lugar a dudas, les va a ser de mucha utilidad tanto si son estudiantes, como para docentes y que los puedan plantear en aulas. Problema 1.- Demostrar que la expresión: z  sen6 x  cos6 x  2.sen4 x  cos4 x  sen2 x , es nula para cualquier valor de x. Problema 2.- Para que valores de los coeficientes, el polinomio:

F ( x)  a.sen2 x  b. cos2 x  c.senx. cos x  d .senx  e. cos x  f , es nulo para cualquier valor de x. Problema 3.- Demostrar que si: a 

 5

, se cumple que:

cos 2a  2. cos 4a  3. cos 6a  4. cos 8a  

5 2

Problema 4.- Demostrar que en todo triángulo si los ángulos internos verifican la rela2 2 2 ción: sen A  sen B  sen C , entonces el triángulo es rectángulo.

1 3

Problema 5.- Verificar la igualdad: 2. arctan  arctan tangentes están comprendidos entre 0 y

 2

1   , suponiendo que los arcos 7 4

2 2 Problema 6.- Verificar la equivalencia: tan x  cot x  2.

3  cos 4 x . 1  cos 4 x

Problema 7.- Sabiendo que tan a  t , a) Calcular cos

a 3 . Aplicación: t  . 2 4

b) Explicar porque cos

a tiene cuatro valores y porque la suma de los cuadrados de 2

estos valores es igual a 2. Problema 8.- Verificar la igualdad: cos

2 4 6 1  cos  cos  7 7 7 2

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Problema 9.- Demostrar que si a 

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

5 , entonces cos 2a  2. cos 4a  3. cos 6a  4. cos 8a   . 5 2

N.E. Sugerencia para la solución del problema, considerar un pentágono regular convexo ABCDE, de lado 1. Con este artificio se llega una excelente solución del problema, sobre todo porque aplica la geometría plana. Problema 10.- Demostrar que:

 



 



a) tan a  tan a  b) cot a  cot a 

2     tan a    3. tan 3a 3 3  

2     cot a    3. cot 3a 3 3  

Problema 11.- (Aquí estoy juntando tres problemas del libro). Demostrar que si A + B + C =  , se cumplen las siguientes relaciones: a)

A B C senA  senB  senC  4. cos . cos . cos 2 2 2

cos A  cos B  cos C  1  4.sen

sen2 A  sen2B  sen2C  4.senA.senB.senC

cos 2 A  cos 2B  cos 2C  1  4. cos A. cos B. cos C

cos2 A  cos2 B  cos2 C  1  2. cos A. cos B. cos C

sen2 A  sen 2 B  sen2 C  2  2. cos A. cos B. cos C

A B C .sen sen 2 2 2

Problema 12.- Transformar a producto las siguientes relaciones: a)

y  sena  senb  senc  sen(a  b  c)

z  cos a  cos b  cos c  cos(a  b  c)

Problema 13.- Demostrar que si en triángulo ABC se verifica la relación:

senA 

senB  senC , entonces el triángulo es rectángulo. cos B  cos C

Problema 14.- Probar que si los ángulos de un triángulo ABC verifican la relación:

cos 3 A  cos 3B  cos 3C  1 , uno de ellos vale 120º.

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Problema 15.- N.E. Aquí voy a juntar varios problemas que involucran la solución de ecuaciones. Resolver las siguientes ecuaciones trigonometrícas: a) sen 2 x  sen 6 x  2.sen 4 x b) cos x. cos 7 x  cos 3x. cos 5x 2 c) sen 9 x  sen 5x  2.sen x  1

d) 2.(sen x  cos x)  sec x e) sen x. tan x  2. cos x  m f) cos mx  cos 2.nx  cos(m  2n).x  1 2

 tan a tan b  2 2  g)    tan a  tan b  senx tan x  h) sec ( x  a)  sec ( x  a)  2. sec x i) tan (cot x)  cot(tan x) j) sen ( . cos x)  cos( .senx) Problema 16.- Resolver el siguiente sistema d ecuaciones:

x y a sen x  sen y  m Problema 17.- Demostrar que las soluciones del sistema siguiente:

x  y    (a  b) sen x sen a  , verifican: cot x  cot y  cot a  cot b sen y sen b Problema 18.- Demostrar que si S es el área de un triángulo, entonces se cumple: a) S 



1 2 a .sen2 B  b 2 .sen2 A) 4

a b) S 



 b 2 .senA.senB 2.sen A  B) 

Problema 19.- dado un triángulo ABC, si A´ es el punto medio de BC e I es el centro del círculo inscrito, entonces se cumple que: 2. cot IA´B  cot

C B  cot 2 2

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Problema 20.- Demostrar que si los elementos de un triángulo verifican la relación:

a. tan A  b. tan B  (a  b). tan

A B , los ángulos A y B son iguales. 2

Problema 21.- Dos circunferencias de radios r y r´y centros O y O´, son tangentes exteriormente en A. Definimos un punto M sobre la circunferencia de centro O, y ubicamos

ˆ M  x (x en radianes), y trazamos O´M que corta a la segunda circunfeel ángulo AO rencia en M´. Hallar el límite de

MM´ cuando x tiende a cero. (arc AM ) 2

Problema 22.- Las longitudes de los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones:

a  x2  x 1 b  2x  1

c  x 2  1. Demostrar que uno de los ángulos del triángulo vale 120º. Problema 23.- Consideremos un triángulo ABC, con alturas AA´, BB´, CC´, y que cortan al círculo circunscrito en A”,B”,C”. a) Expresar las longitudes AA´,BB´, CC´;AA”,BB”,CC” en función de los ángulos interiores del triángulo y el radio del círculo circunscrito. b) Demostrar que la suma

AA" BB" CC"   es la misma para todos los triángulos AA´ BB´ CC´

Problema 24.- En un triángulo ABC, designamos como D al punto medio de BC. Demostrar que: cot DAB  cot B  cot A Problema 25.- Demostrar que dado un triángulo ABC, si AA´, y BB´ son dos de sus medianas y G el punto de intersección de las mismas, se cumple que:

3. cot BGA´ 2. cot A  2. cot B  cot C . Amigos, creo que he sido bastante generoso, el libro tiene 350 problemas, pero realmente el francés se me complica un poco, pero creo haber puesto un lote de problemas bastante interesante. Prometo que si a la vuelta, en el próximo número, veo por lo menos 5 soluciones a los propuestos me traduzco y pongo 25 problemas más. Un fuerte abrazo desde Lima-Perú a todos ustedes. ALDO GIL CRISOSTOMO _________________________________________________________________________ tato2005@gmail.com El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 8