Geometría Selección de Problemas 1º parte
2004
Problemas de Geometría Plana 1º Parte
r1 r2 S S1
r3
S3 S3
Recopilado por GRUPO MARAL Ingº Aldo Gil Crisóstomo
Selección de 100 problemas de Geometría tomados en Academias de Preparación Peruanas para Ingreso a Universidades de Ingeniería
Lima – Perú – 2004 ____________ GRUPO MARAL
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Problema 1
Problema 7
En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que: AC = AD/2; 3DE = AE y 4AB = BC. Hallar BD si CD = 5. Fuente: Sigma - Tomo I – Prob 1 – Pág 1 - 1982
En una circunferencia se tiene inscritos dos polígonos regulares cuyos números de lados es uno el doble del otro, si sus apotemas son a y b (a>b), y sus lados miden c y d (d>c), hallar el radio de la circunferencia.
Problema 2
Fuente: Sigma - Tomo XIV – Prob 461– 1990-II
Hallar el máximo número de puntos de corte de 10 cuadriláteros convexos secantes y 20 circunferencias que no se cortan entre sí.
Problema 8
Fuente: Sigma - Tomo I – Prob 3 – Pág 1 - 1982 Problema 3
En la figura AB = BC, DE = DF y ∠EFD + ∠BEF = 60º. Calcular x.
A = 43º y C = y CB se toman que forman las y F a los lados
Fuente: Vallejo–Serie Problemas–Vol 35-Pag 23-Prob 6 Problema 9
B
E
En un triángulo ABC se sabe que 35º, en las prolongaciones de AB los puntos E y F. Hallar el ángulo perpendiculares trazadas desde E BC y AB respectivamente.
En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C, D y E formando segmentos diferentes siendo AB = a y DE = b. Hallar el segmento que une los puntos medios de y
F
Fuente: Sigma - Tomo XIV – Prob 334– 1991-I Problema 10
C
Fuente: AJCA - Tomo XXVID – Prob 1 – Guía I Semianual
En la figura F, G y M son puntos de tangencia. Hallar el valor del ángulo x.
Problema 4
Dado un triángulo isósceles ABC; AB = BC sobre AC se considera el punto P tal que la perpendicular a AC trazada por P intercepta a AB y a la prolongación de CB en Q y R respectivamente. Si AQ = 10 y RC = 20. Calcular BQ.
F
55°
G
Fuente: AJC - Tomo XXVI – Prob 9 – Guía I Semianual
M x°
Problema 5
Fuente: Sigma - Tomo XIV – Prob 399 – Año 1990
Si AB = 2CE y α = 37/2. Hallar x.
Problema 11
Del gráfico, hallar el valor de x:
B
E
45° x°
x
B
E
° °
A
8
6
C
Fuente: AJC - Tomo XXVI – Prob 12– Guía I Semianual
A
O
M
H
C
Problema 6
Fuente: Sigma - Tomo XIV – Prob 426– 1990-II
En un cuadrilátero sus diagonales son iguales, tiene una longitud 2a y forman un ángulo de 60º. Hallar la mayor distancia entre los puntos medios de dos lados opuestos.
Problema 12
Fuente: Sigma - Tomo XIV – Prob 361– 1991-I ____________ GRUPO MARAL
Se tiene sobre una recta los puntos consecutivos A, B, C y D. se sabe que: AB+AD = 10, AD-AB = 2 y AD = 4DC. Hallar AC. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 15 - Guía 1 - Anual
Pág. 1
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Problema 13
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q,R, S de tal manera que se cumple lo siguiente:
Por el incentro I de un triángulo rectángulo ABC se trazan paralelas a los catetos determinándose los punto E en AC, F en EC, M en AB, N en BC, luego se inscriben circunferencias en los triángulos rectángulos AMF y ENC cuyos radios miden 3 y 4, dichas circunferencias son tangentes a la hipotenusa AC en los puntos P y Q. Hallar PQ.
Si: PQ.RS = K, hallar PS.QR.
Fuente: El Universo - Tomo VII - Prob 76 - Pág 61
Calcular x – y si,
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 14 - Guía 1 - Anual Problema 20
-
Problema 14
= 10º
x°
Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, D, B y E (en ese orden). Calcular el valor de AB, sabiendo que el segmento que une los puntos medios de y miden 10.
A
y° B
Fuente: Trilce - Tomo XXII – Prob 08 – Pág 7
C
D
Problema 15
T, R, I, L, C, E; son puntos consecutivos tomados sobre una línea recta tal que TR = CE = RC/3. Hallar RC, si TI+RL+IC+LE = 24. Fuente: Trilce - Tomo XXII – Prob 11 – Pág 7
Fuente: Sigma - Tomo XIV – Prob 363 – Año 1991-I Problema 21
Se tiene un triángulo ABC sobre el lado BC se toman los puntos P y Q y sobre AC el punto medio M. Si BP = CQ y AB = PQ. Hallar ∠PMQ.
Una hormiga camina sobre una línea recta del punto A hacia el punto B, si al llegar al punto M medio de AB, decide retroceder hasta el punto P y se da cuenta que la distancia de P hasta M es la cuarta parte de la distancia de P hasta B. calcular AB si la hormiga ha recorrido 72 centímetros.
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 18 - Guía 1 - 1995
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 21 - Guía 1 - Anual
Problema 17
Problema 22
En la figura hallar x, si AN = NS; AM = MC; ND = 2 y BK = 10
Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos L, U, C, I, A con la siguiente condición: m.LI = n.LA + k.IC. Calcular la longitud del segmento UI, sabiendo que: n.UA 2 +k.UC = m , si m-n = k.
Problema 16
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 7 - Guía 2 - Anual Problema 23
Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos P, Q, M, R siendo el punto A punto medio del segmento PQ, además se cumple 2 AM.AR = (PA) . Calcular: Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 19 - Guía 1 - 1995
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 8 - Guía 2 - Anual
Problema 18
Problema 24
En un triángulo ABC, ∠A = 37º de ceviana BD, AB=DC; AD>DC, P es el punto de intersección de las mediatrices de AC y BD, si DC es el doble de la distancia de P a AB, hallar el menor ángulo formado por las mediatrices anteriormente indicadas.
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: ∠BOD-3∠AOB=60º y ∠COD=3∠AOC. Hallar: ∠BOC.
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 20 - Guía 1 - 1995
Problema 25
Problema 19
El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual a 4/9 de la diferencia que
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Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 7 - Guía 3 - Anual
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existe entre el suplemento de la medida de dicho ángulo y el suplemento del suplemento de la medida de dicho ángulo. Calcular el complemento de la medida de dicho ángulo. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 12 - Guía 3 - Anual Problema 26
De un círculo dado se corta un sector y se enrolla en forma de embudo cónico. ¿Cual debe ser el ángulo central del sector circular para que el volumen del cono sea máximo? Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 19 - Guía 30 - Anual Problema 27
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 6. Calcular cual debe ser la longitud de los lados iguales para que la relación entre el volumen y el área del sólido generado al girar el trapecio alrededor de su base mayor como eje sea igual a la relación entre el área del trapecio y su perímetro.
Fuente: Vallejo - Tomo XXVII – 1º Boletín 1989 -Prob 20 Problema 33
En la región exterior relativa a la hipotenusa AC de un triángulo ABC se ubica el punto P; tal que BP∩AC = (M); BM = MP; CM = 2(MA) = 4 y ∠BPC = 90º. Calcule BC. Fuente: Vallejo – Material Didáct. 2 – Prob 4 – Pág 39 Problema 34
En un triángulo ABC, BM es una mediana, sobre BC se toma un punto D de modo que ∠BMD = ∠BAC. Por D se traza una paralela a AC que corta a BM en F y AB en E. Hallar la longitud de ED sabiendo que BF = 9 y FM = 4. Fuente: Sigma - Tomo I - Prob 59 – 1986 - II Problema 35
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 3 - Guía 30 - Anual
Dos segmentos AB y CD son ortogonales y miden 4 y 5 respectivamente. Hallar el segmento que une los puntos medios de AC y BD.
Problema 28
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 2 - Guía 23 - Anual
En un cuadrilátero ABCD, se sabe que B = 120º, D = 110º, ABD = 60º y ADB = 40º. Hallar el menor ángulo que forman las diagonales.
Problema 36
Fuente: Vallejo–Serie Problemas–Vol 35-Pag 23-Prob 9 Problema 29 D C A
O
E Problema 30
B
En la figura O es el centro de la circunferencia, AB es diámetro. mDB = 30°, mBE = 120°. Si CD = 2 y EC = 10, hallar AC. Fuente: EcCampus Simulacro UNI 2002- Prob 27.
En un polígono regular ABCDEF… de n lados, halar el menor ángulo que forman las diagonales AC y BD Fuente: PREUNI - Tomo XLVII - Prob 4 – 1º Sem.1997 Problema 31
En un triángulo ABC se traza la mediana BM de modo que ∠ABM = 105º, ∠MBC = 30º. Hallar la medida del ángulo C. Fuente: PREUNI - Tomo XLVII - Prob 14 –1º Sem.1997 Problema 32
En un cuadrilátero ABCD los ángulos C y D suman 200º. Que ángulo forman las bisectrices interiores de los ángulos A y B. ____________ GRUPO MARAL
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En un triángulo ABC, se toman los puntos E en AB y D en BC, de modo que el ángulo B = 30º, ∠EAD = 50º, ∠DAC = 30º, ∠ACE = 40º, ∠ECB = 30º. Hallar ∠DEC. Fuente: Vallejo - Tomo XXVII – Boletín 1989 - Prob 1 Problema 37
En un triángulo rectángulo ABC (∠ABC = 90º), la mediana AM determina que ∠BAM = ∠BCA. Si la altura BH mide 16, hallar AM. Fuente: Vallejo - Tomo XXVII – 2º Boletín 1989 - Prob 1 Problema 38
En un triángulo ABC, se traza la ceviana AM de manera que MC≅AB. Hallar ∠MAC, sabiendo que ∠ABC = 100º y ∠ACB = 20º Fuente: Vallejo -Tomo XXVII – 2º Boletín 1989 - Prob 10 Problema 39
Se tiene un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H y circuncentro O. En la prolongación AH se ubica el punto P de modo que ∠BAP = ∠PHO. Si AH = 3 y (HO)(AC) = 6(OC). Calcular HC. Fuente: Vallejo - Tomo LXII - Prob 8 – 9º Pract - Pág 21 Problema 40
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Sobre los lados AB y AC de un triángulo equilátero ABC, se toman F y E de modo que 3AF = 2AB, 2AB = 3EC. Calcular ∠AEF. Fuente: Vallejo - Tomo XXVII – Boletín 1989 - Prob 5 Problema 41
En un cuadrado ABCD de 4 unidades de lado, H es el punto medio de BC, P punto medio de AD y AFC e un triángulo equilátero tal que Q sea el punto medio de FH además el triángulo es perpendicular al cuadrado. Hallar PQ. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 15 - Guía 23 - Anual Problema 42
En la figura, hallar el área sombreada, si BD = a. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 6 - Guía 22 - Anual
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 17 - Guía 22 - Anual Problema 47
Si a un ángulo le disminuimos 3º más que la mitad del complemento del ángulo resulta un tercio de la diferencia entre el complemento del ángulo y el suplemento. Hallar el ángulo Fuente: UNI - Tomo LX - Prob 11 - Pág 24 - 1990 Problema 48
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos U, N, I de manera que UN = 4, y NI = 9. Hallar E. Fuente: UNI - Tomo LX - Prob 5 - Pág 23 1990
Problema 43
El lado de un cuadrado mide a, se prolongan sus lados en el mismo sentido y en una misma longitud, igual al lado del cuadrado inicial. Calcular el área del cuadrilátero que se forma al unir los extremos de las prolongaciones.
Problema 49
En la figura ABC es isósceles con AB = BC, PQ = 12, PR = 3, y ML = 2. Hallar MN.
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 1 - Guía 21 - Anual Problema 44
Dos circunferencias secantes e iguales de radio igual a 2. Se intersecan en S y K, el diámetro AB es tangente a la otra en el centro O de la primera. La cuerda BS corta a la circunferencia en T. Hallar el área del segmento circular SOT. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 19 - Guía 22 - Anual Problema 45
En un triángulo acutángulo, en que relación esta el segmento que une el ortocentro con un vértice, con el segmento que une el circuncentro de su triángulo mediano con el punto medio del segmento que une los puntos medios de los lados que concurren en el vértice mencionado. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 82 - Pág 106 Problema 46
En la figura mostrada, hallar el área de la parte sombreada. Si el área del triángulo ABC es igual a 42, además AC = 3KC, BC = 3BS, AB = 3AD.
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Fuente: ACUNI - Tomo LX - Prob 8 - Pág 27
Problema 50
En un triángulo ABC se traza la altura BH y las bisectrices de los ángulos ABH y HBC que cortan a la hipotenusa en M y N respectivamente. Calcular el valor de MN, si AB = 6, BC = 8 y AC = 10. Fuente: ACUNI - Tomo LX - Prob 19 - Pág 26 Problema 51
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, y se trazan la altura BH y la bisectriz interior del ángulo A que corta a dicha altura en P, al lado BC en D. Luego se traza la bisectriz interior del ángulo C que corta a BH en Q y al lado AB en E. Si BD = 8 y EB = 5, calcular PQ. Fuente: ACUNI - Tomo LX - Prob 8 - Pág 25 Problema 52
En un triángulo acutángulo ABC las mediatrices de AB y BC se intersecan en O. La bisectriz del ángulo MON interseca a BC a en P, M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente. Hallar la longitud de la proyección de BP sobre AB, si: BC-AB = 7/2 y BP = 2. ____________________________ odla666@hotmail.com
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2004 ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 25 - Pág 96 Problema 53
Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 9 - Pág 93
Halle el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el número mínimo de ángulos interiores es 17. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 42 - Pág 99 Problema 54
Problema 60
El lado de un cuadrado ABCD mide 2 centímetros. Se construye interiormente el triángulo equilátero AQD y sobre la prolongación de BQ se ubica el punto P; tal que PC = 2 centímetros. Hallar PQ.
Calcular el volumen de una pirámide cuya base es 2 un trapecio rectángulo de 16 u y las diagonales perpendiculares. Además se sabe que el pie de la altura de la pirámide coincide con el unto de intersección de las diagonales de la base y que los ángulos diedros cuyas aristas son la base mayor y menor del trapecio rectángulo miden 45º y 53º respectivamente.
Fuente: Trilce - Tomo XXII – Prob 08 – Pág 69
Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 175 - Pág 125
Problema 62
Problema 55
Se tiene un triángulo acutángulo ABC en el que se trazan las alturas AH y CJ. Se unen H y J con M punto medio de AC si el menor ángulo que forman las bisectrices del ∠ABC y del ∠HMJ mide θ y el ∠JCA mide α, hallar la medida del ∠HAC.
En un cuadrilátero ABCD, el punto P divide el segmento AC en la razón 1/3, (AP < PC). Si las áreas de las regiones triangulares ABD y BDC 2 2 miden 70 m y 30 m respectivamente, entonces el área de la región triangular PBD mide:
Problema 61
En un rectángulo ABCD se traza OH perpendicular a CM, siendo M y O puntos medios de AB y AD respectivamente. Hallar OH, si CM = 8 y ∠MCD = 75º. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 10 - Pág 131
Fuente: Ec- Campus Simulacro UNI 2002- Prob 26
Fuente: Ec- Campus Simulacro UNI 2002- Prob 23
Problema 63
Problema 56
Fuente: Vallejo - Tomo XXVII – 2º Boletín 1989 - Prob 7
En el plano se han tomado cinco puntos, entre las rectas que los unen no hay paralelas, perpendiculares ni coincidentes. Tracemos por cada punto las perpendiculares a todas las rectas que se pueden tomar uniendo de a pares los cuatro puntos restantes. ¿Cual es el numero máximo de puntos de intersección de estas perpendiculares entre si, si no se consideran los cinco puntos dados?
Problema 57
Fuente: El Universo - Tomo VII - Prob 16 - Pág 55
Se tiene un triángulo ABC en el cual se traza la ceviana interior BD, tal que ∠ABD = 30º, ∠ACB = 36º, BC = √5 + 1, ∠BDC es obtuso la distancia de D hacia AB es 1. Calcular ∠BAC.
Problema 64
En el triangulo rectángulo ABC se traza la altura BH, las bisectrices del ángulo ABH y C se cortan en P, las bisectrices de los ángulos HBC y A se cortan en Q, calcular PQ, sabiendo que AB = 6, BC = 8 y AC = 10.
Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 128 - Pág 116 Problema 58
Calcular la base menor de un trapecio isósceles, sabiendo que los ángulos agudos valen la mitad de los ángulos obtusos, además las diagonales son perpendiculares a los lados no paralelos y la base mayor mide 10. Fuente: Vallejo - Tomo XXVII – 3º Boletín 1989 - Prob 1
Hallar el perímetro de un triangulo rectángulo sabiendo que los radios de las circunferencias inscritas y circunscritas a dicho triangulo miden 2 y 10 respectivamente. Fuente: Vallejo - Tomo XXVII – 3º Boletín 1989 - Prob 2 Problema 65
Halle el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el número mínimo de ángulos interiores obtusos es 17. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 128 - Pág 116
Problema 59
Problema 66
Dados cinco rayos coplanares OA; OB, OC, OD, y OE que forman cinco ángulos consecutivos que son entre si como 1, 2, 3, 4 y 5. Determinar el menor
En un triángulo rectángulo, los catetos suman 31. Si la menor mediana mide 12,5. Hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.
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Fuente: Vallejo - Tomo XXVII –3º Boletín 1989 - Prob 4 Problema 67
En la figura mostrada hallar ∠QPS, si los círculos menores son iguales respectivamente, y Q, P y S son centros de los círculos. Fuente: El Universo - Tomo VII Prob 78 - Pág 59
Problema 68
Hallar el área de un trapecio ABCD donde BC//AD, el ángulo A vale 60º, AB = 2BC y su mediana es “a”. Fuente: Sigma - Tomo I - Prob 25 - Pág 19 Problema 69
Si: L1 // L2; AI // EH, EF//BC. Calcular x.
Se tiene el hexágono regular ABCDES cuyo lado mide 4. El segmento CF corta en P a BD y en Q a BE. Hallar el área del cuadrilátero PQED. Fuente: Sigma - Tomo I - Prob 67 - Pág 37 – 1989-II Problema 74
En un triangulo oblicuángulo se traza la ceviana interior BD tal que: ∠DBC = ∠BCD = 30º, BC = 16 y AB toma su mínimo valor entero par. Calcular ∠ABD. Fuente: Vallejo – Libro de Problemas – 1º Pract. –Prob 1 Problema 75
En un cuadrante AOB de centro O y por un punto M del arco se traza una paralela a la cuerda AB que intercepta a la prolongación de OA en el punto D y a la prolongación de OB en el punto E. Si MD = a, y ME = b. Hallar la longitud de la cuerda AB. Fuente: Ex. UNI 95 – Tomo XLI – Pág 53 – Prob 42
A
F
H
G
Problema 76
B
50°
E D
X°
En la figura mostrada. Hallar le longitud de BC, si: AB = 4 y MN = 24/5
L1
I
C
Fuente: Concurso Becas 05-11-93
L2
Problema 77
Fuente: Sigma - Tomo I - Prob 2 - Pág 22 - 1991 Problema 70
En un triángulo ABC se conoce AB = 4, AC=3 y BC = 5 se toma Q punto medio de AB, sobre BC, se toma un punto K, de modo que el triangulo AKQ sea isósceles, siendo K el vértice del ángulo desigual. Hallar la longitud de uno de los lados iguales. Fuente: Vallejo - Tomo XXVII –3º Boletín 1989 - Prob 7 Problema 71
En un cuadrilátero ABCD; P y Q son puntos medios de BC y AD; M y N son puntos medios de AC y BD. Hallar MN, si ∠PNQ = 90º y AB = CD = 4√2. Fuente: Trilce - Tomo XLVI – Pág 45 - Prob 8 Problema 72
En un triángulo rectángulo se inscribe una circunferencia cuyo radio r es 1/6 de la longitud de la hipotenusa. Luego, la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro del triángulo dado es:
Sea un cuadrilátero ABCD, los puntos medios de sus lados determinan el paralelogramo PQRS, los puntos medios de los lados de este determinan otro paralelogramo MNLT. Si los puntos medios de 2 este último determinan un rombo de área 72 m hallar el área del cuadrilátero ABCD. Fuente: Ex. UNI 95 – Tomo XLI – Pág 52 – Prob 40 Problema 78
Calcular el número de diagonales del polígono convexo que se forma al unir lo puntos medios de los lados de un icoságono convexo. Fuente: Sigma – Tomo XLI – Pág 225 – Prob 24 Problema 79
En un polígono regular de “n” lados desde (n-5) vértices consecutivos se trazan n(n-8) diagonales como máximo. Hallar la medida de uno de los ángulos exteriores de dicho polígono. Fuente: Prisma – Tomo XLI – Pág 241 – Prob 9 Problema 80
Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que un lado es el promedio de los otros y el número que expresa el perímetro es el mismo que el que expresa su área.
Fuente: Ec- Campus Simulacro UNI 2002- Prob 26 Problema 73 ____________ GRUPO MARAL
de
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Fuente: Academia Alfa - Prob Propuesto 8 Problema 81
En un triángulo ABC se inscribe un cuadrado con un lado sobre AC y los otros vértices sobre AB y BC si la altura BH = 12 y AC = 5. Calcular la longitud del lado del cuadrante. Fuente: Academia Alfa – Prob. Propuesto 13
xº P A
T O
B
Del gráfico hallar x si O y P son centros y T es un punto de tangencia.
Problema 82
En un cuadrado ABCD de lado igual a 28, se traza el segmento CQ, (Q en AB) tal que BC = 7BQ, luego se traza la mediatriz de AO que intercepta a la prolongación de CQ en P (O centro del cuadrado). Calcular PQ. Fuente: Vallejo – Libro de Problemas – 1º Pract –Prob 8 Problema 83
Si partiendo de un vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos conos vecinos. ¿Cuánto mide el ángulo que forman? Fuente: Academia Alfa – Prob. Propuesto 67
Fuente: Vallejo – Libro de Problemas –1º Pract–Prob 18. Problema 89
En un trapezoide ABCD el segmento que tiene por extremos los puntos medios M y N de las diagonales AC y BD intercepta a la prolongación de DA en E y a la paralela por C a DA en F y a AB en Q. Calcular ED si CF = 8 y EQ = QN. Fuente: Vallejo– 5º Pract. Calificada–Pág 1–Prob 91999 Problema 90
Problema 84
En un triángulo ABC se trazan las medianas BE, AF y CG de longitudes 3, 3√3 y 6 respectivamente. Hallar ∠GMB si M es el baricentro de la región triangular. Fuente: Vallejo – Libro de Problemas – 2º Pract –Prob 1 Problema 85
En un triángulo ABC por el punto de intersección de la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C se traza una paralela a AC que corta a AB en P y a BC en Q. Hallar PQ si AP = 12 y CQ = 9.
Cuantos lados tiene el polígono en el cual su número de diagonales aumenta en 2 al aumentar en uno el número de lados. Fuente: Vallejo– 5º Pract. Calificada–Pág 3–Prob 71999 Problema 91
Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la tangente PT y la secante PAB (T punto de tangencia) luego se ubica el punto medio M del arco AB que no contiene a T. Calcular ∠TAM si ∠TPB = 40º. Fuente: Vallejo– 6º Pract. Calificada–Pág 9–Prob 81999
Fuente: Academia Alfa – Prob. Propuesto 25
Problema 92
Problema 86
En un triángulo ABC; M, N y L son los puntos medios de ls lados AB, BC y AC respectivamente. La circunferencia que pasa por M, N y L interseca a AC en H. Calcular ∠AHB.
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si AB + AE = 6. Hallar la longitud AD.
Fuente:Vallejo–6º Pract. Calificada–Pág 11–Prob 91999
Fuente: Academia Alfa – Prob. Propuesto 45 Problema 87
Problema 93
Se tiene un triángulo ABC de lados AB = 14, BC = 13 y AC = 15. ¿A que distancia de A sobre la base AB del triángulo se deberá levantar una perpendicular para dividirlo en dos partes equivalentes?
En la figura, FD = DC, AB = 5 y BF = 2. Calcular EF.
Fuente: Academia Alfa – Prob. Propuesto 61 Problema 88
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D
N
B
B
F
M
C
E C
A
Fuente:Vallejo–7º Pract. Calificada–Pág 13–Prob 71999 Problema 94
A
D
Fuente:Vallejo–7º Pract. Calificada–Pág 15–Prob 81999 Problema 98
El diámetro AB de una circunferencia, se prolonga hasta P. Por P se traza una secante que intercepta a la semicircunferencia en M y N de manera que PM = Radio. Calcular el valor del ángulo en el vértice P, si la medida del arco AN = 36º.
En el cuadrilátero ABCD, se tiene que; AB≅BC y AC≅CD, las medidas de los ángulos ∠BAC y ∠CAD son 20º y 40º. Hallar la medida del ángulo ∠CBD. Fuente: Vallejo–Serie Problemas–Vol 35-Pág 8-Prob 13
Fuente: Vallejo–Serie Problemas–Vol 35-Pág 7-Prob 7 Problema 95
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB.CD = 3AD.BC y 1/AD + 3/AB = 0.2u. Hallar AC. Fuente: ACUNI– Práctica Nº 1 Calificada – Pág 9– Prob 7 Problema 96
En la figura mostrada, si: AB+BC+AC= 12. Hallar EA. (E, G y M puntos de tangencia). E B
O
A
M
C G Fuente: Vallejo–Serie Problemas–Vol 35-Pág 7-Prob 1 Problema 97
En la figura BM = MC, MN = 17 y NC = 8. Calcular AM, si ABCD es un paralelogramo.
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Geometría Selección de Problemas 1º parte
2004
Problema 99
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la bisectriz interior BD, tal que AD=5. Hallar la longitud de la perpendicular ED, levantada por D a AC, si AC=12, y BE esta en BC. Fuente: Vallejo–Serie Problemas–Vol 35-Pág 23-Prob 1 Problema 100
En un triángulo ABC, la bisectriz interior del ángulo A forma 40º con BC y es igual a uno de los segmentos que determina en BC. Hallar la medida del ángulo B. Fuente: Vallejo–Serie Problemas–Vol 35-Pág 23-Prob 7
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