C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-01
MAGNITUDES
Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος). Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona. Fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Afirmaba que todo es matemáticas, y estudió y clasificó los números. El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante.
Magnitudes Escalares y Vectoriales Sistema Internacional (SI) En 1960, un comité internacional estableció un conjunto de patrones para estas magnitudes fundamentales. El sistema que se ingresó es una adaptación del sistema métrico, y recibe el nombre de Sistema Internacional (SI) de unidades.
También existen Magnitudes Derivadas que se obtienen a partir de las fundamentales por medio de ecuaciones matemáticas. Como por ejemplo, el área que es derivada de longitud.
Nota: en cualquier fenómeno físico que se analiza, se debe tener en cuenta las unidades de medidas con las cuales se trabaja, ya que deben ser compatibles, de lo contrario se procede a la conversión de unidades.
Magnitudes Fundamentales
Nombre
Símbolo
metro
m
Kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
Intensidad de corriente eléctrica
ampere
A
kelvin
K
mol
mol
candela
cd
Longitud Masa
Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa
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Magnitudes Escalares Son magnitudes físicas fáciles de reconocer, ya que para identificarlas sólo necesitamos saber su magnitud o módulo. Ejemplos: rapidez, masa, tiempo, distancia, área, perímetro, densidad, volumen, temperatura, etc.
Magnitudes Vectoriales Son aquellas que poseen tres características fundamentales: magnitud (modulo o largo), sentido (indicado por la flecha) y dirección (indicado por la línea recta que pasa sobre el vector). DIRECCIÓN SENTIDO MAGNITUD
ORIGEN
Una magnitud vectorial se simboliza con una letra que lleva una flecha en su parte superior A. Si queremos referirnos a la magnitud del vector A se denota por A. Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momentum lineal, torque, etc.
Álgebra de vectores i. Adición (método del triángulo) Al sumar dos vectores A y B, primero se dibuja A y a continuación se dibuja B, procurando mantener las proporciones, luego el origen de A se une con el final de B (punta de la flecha).
B A A+B A B
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Nota 1: Encontrar el opuesto de un vector equivale a hallar otro, que posea igual magnitud y dirección, pero con sentido opuesto. Matemáticamente el opuesto de A es -A. A -A Nota 2: Dos vectores paralelos y de sentido opuesto se llaman antiparalelos. ii. Sustracción Se procede como en la suma, es decir, para obtener A – B, se procede a efectuar la operación A + (-B) obteniéndose así una suma de dos vectores.
A
B
A
A + (-B) -B
Transformación de Unidades En muchas situaciones en Física, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad. Por ejemplo si tenemos una rapidez v0 que esta expresada en km/h y la queremos expresar en m/s deberemos dividir v0 por 3,6 y así quedara v0 en m/s esto se debe a lo siguiente: 1 km = 1000 m; para pasar de kilómetro a metro debemos multiplicar por 1000 1 h = 3600 s; para pasar de hora a segundo debemos multiplicar por 3600 De lo anterior si tenemos v = 72km/h para llevarlo a m/s debemos hacer lo siguiente: v=
72km 1000m 1 m 1 m m = 72 · = 72 · = 72 · = 20 3600 s 1h 3600s 3,6 s s 1000
es decir 72 km/h es equivalente a 20 m/s Nota: Para convertir de m/s a Km /h se debe multiplicar por un factor 3,6. Para convertir de km /h a m/s se debe dividir por un factor 3,6.
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A continuación veremos los distintos tipos de proporcionalidad que se dan en las ecuaciones que se ven en las ciencias físicas, es de mucha ayuda para la comprensión de los conceptos entender cómo se relacionan las variables.
Proporcionalidad Directa Si dos variables, x e y, cumplen que
y = k donde k es una constante, entonces se dice que x
x e y son directamente proporcionales y al graficar los distintos valores que toman estas variables se obtiene el siguiente gráfico: y Es decir una línea recta que pasa por el origen. Se observa que a medida que crece la variable x también aumenta la variable y en la misma medida. x Un ejemplo de esto en física es: Cuando se aplican distintas fuerzas sobre una misma masa la relación entre estas variables es: F=m·a si m es constante la fuerza y la aceleración son directamente proporcionales, por ejemplo si se duplica la fuerza entonces también se duplica la aceleración.
Proporcionalidad Inversa En este caso las variables cumplen que y · x = k, con k constante y se dice que x e y son inversamente proporcionales, al graficar los distintos valores que toman estas variables se tiene el siguiente gráfico: y Se observa que si una variable aumenta la otra disminuye o viceversa, la curva corresponde a una hipérbola. x Un ejemplo de esto en física es: Un móvil que debe recorrer una misma distancia (d) con rapideces distintas (v) usamos la relación d = v · t, donde d es constante y la rapidez es inversamente proporcional al tiempo. Como la distancia es constante cuando el móvil recorra con una velocidad mayor entonces la otra variable que es el tiempo disminuirá.
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Proporcionalidad al Cuadrado Aquí una de las variables esta elevada al cuadrado y la relación entre estas variables puede ser de la forma y = ax2 donde, a es constante, en este caso decimos que y es proporcional al cuadrado de x. Otra forma de decirlo es que y es directamente proporcional al cuadrado de x. Cuando estamos en esta situación la figura que se obtiene al graficar los valores que toman las variables x e y es: y La curva corresponde a una parábola, cuando una de las variables se duplica (x) la otra se cuadruplica (y). x Un ejemplo de esto en física es: La relación entre la energía cinética (EC) y la velocidad (v) es una proporcionalidad de este tipo siendo la ecuación que las relaciona la siguiente: EC =
1 mv2 2
donde 1/2 m es constante. En esta expresión si la velocidad se duplica entonces la energía cinética se cuadruplica, o si v disminuye a la mitad entonces EC disminuye a la cuarta parte, etc. Proporcionalidad Inversa al Cuadrado Esta situación se da cuando la relación entre las variables es de la forma y =
k
donde k es x2 constante, se dice que y es inversamente proporcional al cuadrado de x. Si se tienen distintos valores de x e y al graficarlos obtendremos lo siguiente: y
Aquí también como en el caso de la proporcionalidad inversa si una de las variables crece la otra disminuye pero como una de las variables esta elevada al cuadrado, la variable x, si esta crece al doble por ejemplo la variable y disminuye a la cuarta parte. x
Un ejemplo de esto en física es: La famosa Ley de la Gravitación Universal donde se muestra la forma en que se atraen dos masas. Por ejemplo la atracción entre la Tierra (m1) y el Sol (m2), la relación es la siguiente:
F=G·
m1 m2 d2
donde el producto Gm1m2 es constante. Si la distancia entre ambos cuerpos celestes fuese la mitad de la actual entonces la fuerza de atracción entre ambos sería 4 veces mayor de lo que es ahora. 6
EJEMPLOS 1.
De las siguientes mediciones, ¿cuál podría ser el módulo de un vector? A) B) C) D) E)
2.
10 10 20 -5 5
s °C A m m/s
De las siguientes afirmaciones para el triángulo que muestra la figura 1 I) II) III)
AB+BC = AC
C
AB+BC+CA = 0 CB = BC
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) 3.
A
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II, y III
fig. 1
El A + B de acuerdo a la figura 2 es A) B) C) D) E)
B
y
2 3 4 5 7
A
3
B -1
1 x
4 fig. 2
4.
200 mm y 720 km/h equivalen, respectivamente, a A) 20,00 m y 200 m/s B) 2,00 m y 20 m/s C) 0,20 m y 200 m/s D) 0,20 m y 20 m/s E) 0,02 m y 2 m/s
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PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE Nivel introductorio: problemas 1 al 8 Nivel intermedio: problemas 9 al 16 Nivel avanzado: problemas 17 y 18 1.
De las siguientes magnitudes escalares, en la que podemos obtener mediciones negativas es A) B) C) D) E)
2.
masa. longitud. temperatura. volumen. área.
El módulo de un vector puede ser I) II) III)
positivo. negativo. cero.
De las afirmaciones anteriores, es (son) falsa(s) A) B) C) D) E) 3.
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III
Una longitud de 400 cm es menor que una longitud de 1000 cm en una cantidad igual a A) 600,00 m B) 60,00 m C) 6,00 m D) 0,60 m E) 0,06 m
4.
Sea v rapidez con dimensión L/T y t tiempo con dimensión T, la dimensión de u/a, en la siguiente ecuación es v=u+a·t A) B) C) D) E)
T T-1 T-2 LT-2 LT
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5.
Si el módulo del torque se mide en
y las dimensiones de longitud, masa y tiempo s2 son respectivamente L, M, T, entonces la medida del torque en función de éstas dimensiones es A) B) C) D) E)
6.
kg · m2
MLT MLT2 MLT-2 ML2T-2 ML2T2
El vector resultante de E – F + G de acuerdo a la figura 3 es aproximadamente igual a A) E B) F C) G
F
E
G
D) -E E) -F
7.
En la relación f =
A) B) C) D) E) 8.
fig. 3
1 , f y T son variables, entonces es correcto afirmar que T
al duplicar T, f aumenta un 50%. al cuadruplicar T, f disminuye en un 25%. si f disminuyó a la mitad, T se duplicó. f y T son variables directamente proporcionales. si T se triplica, f también se triplica.
Dados los vectores X e Y, de igual módulo (figura 4), entonces el vector aproximadamente A)
X
Y
B) fig. 4
C) D) E) 0
9
X Y 2
es
9.
Pérez comienza a caminar desde el punto A como indica la figura 5, camina 3 unidades en la dirección x en el sentido positivo, luego se dirige 7 unidades en la dirección y en el sentido positivo y finalmente camina 8 unidades en la dirección x en el sentido negativo. El vector que mejor representa la posición de la persona con respecto al origen O es y
A) B)
A
C)
O
x
7
D) fig. 5
E)
10. De acuerdo a la figura 6, las operaciones que dan como resultante un vector nulo es (son) I) II) III) A) B) C) D) E)
-AC + CD – AD BC – DC + DA + AB
ser un vector de igual módulo que B. ser un escalar. ser un vector nulo.
De las afirmaciones anteriores es (son) falsa (s) Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo
A
B fig. 6
11. Al multiplicar un vector B por un escalar, el resultado puede
A) B) C) D) E)
C
-AC + AB – CB
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
I) II) III)
D
I II III I y II II y III
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12. De las siguientes afirmaciones: I) II) III)
Un escalar puede ser positivo, negativo o cero. Dos vectores distintos pueden tener igual módulo. La componente de un vector no puede ser igual al módulo de éste.
Es (son) verdaderas(s) A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
13. De acuerdo a la figura 7, es falso que I) II)
X – Y = -Z
III) A) B) C) D) E)
V
W–V+Y=X
V–W+Z–X+Y=0
W
Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III
Y
Z
X fig. 7
14. En la relación v = v0 + a · t , v0 y a son constantes distintas de cero, mientras que v y t son variables. Entonces, el gráfico que podría representar la relación entre v y t es A)
B) v
v
t
C)
D) v
v
t
t
E)
t
v
t
15. En la relación p = m · v, m es constante mientras que p y v son variables, luego es correcto afirmar que A) B) C) D) E)
al triplicar v se cuadruplica p. si v disminuye a la cuarta parte, entonces se cuadruplica p. el gráfico de p versus v es una línea recta que no pasa por el origen. lo que pase con p sólo depende de m. si v fuese constante y distinto de cero, entonces el gráfico de p versus v sería un punto.
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16. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una relación directamente proporcional entre las variables x y t? I)
x
II)
x
t A) B) C) D) E)
x
III)
t
Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III
t
17. En la figura 8 el triángulo XYZ es equilátero y el vector H es perpendicular con el vector B. Entones H es el vector resultante de Z
B A) A + C – 2 B)
B –C 2
C)
B +A 2
D) C –
A H X
B 2
B
C
Y
fig. 8
B 2
E) -A –
18. Al sumar un vector cuyo módulo es A = 7 m con otro vector de módulo B = 5 m. Entonces, A + B no podrá ser igual a A) 3 m B) 5 m C) 7 m D) 12 m E) 13 m Claves de los ejemplos 1E
2C
3D
4C
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