Teoría de ecuaciones by Nicol Arriola

TEORIA DE

ECUACIONES

J. V. U S P E N S K Y PROFESOR DE MATEMATICAS DE LA UNIVERSIDADDE STANFORD

VERSIÓN AUTORIZADA

EN E S P A ~ DE L LA OBRA

PUBLICADA EN INGLCS

CON EL

LO:

THEORY OF EQUATIONS O MCGRAW-HILL BOOKCOMPANY, INC. COLABORADORES EN LA TRADUCCI~N: J.C. MAQUlElRAv J.P. VARELA DOCENTES DE LA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES, ARGENTINA.

L4 PRESENTACI~J Y DISPOSICI&

EN C O K I U ~DE

TEORfA DE ECUACIONES SON PROPIEDAD DEL EMTOR.

NINGUNA PARTE DE

ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDAO TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGúN SISTEMA O METODO, ELECTRONICO

o MECÁNICO (INCLUYENDO

EL FOTO-

COPIADO, LA GRABACIóN O CUALQUIER SISTEMA DE AECUPERACI~NY ALMACENAMIENTO DE INFOR-

MAC16N), SINCONSENTIMIENTO

POR ESCRITO

DEL EDITOR.

521-21-05

Ol(800) 7-06-91

512-29-03 cnoriega8mail.intemet.com.mx CANIEM NÚM. 121

HEcno EN MCx~co

ISBN 968-18-2335-4

TEORIA DE

ECUACIONES

TEOKIA DE

ECUACIONES

P R O L O G 0 DE LOS EDITORES

El Centro Estudiantes de Ingeniería <( La LíneaRecta >>, podemos decirlo con orgullo, tiene y hatenido una. larga y reconocida labor gremial. Mucho se ha hecho en otras épocasen ese sentido y especialment’e en el campode las publicaciones. Y nohablamos aquíde apuntes o dela publicación de pequeñas prhcticas, hablamos de obras seria3 y de jerarquía, como son la edición de libros que se han vendido y se siguen vendiendo enmuchospaíses dehablahispana. La persecución política que sufriera nuestro Centro, paralizó por “arios aííos toda labor de envergadura.Durante esos años no se pudo hacer mucho. Se siguió adelante,a vecescomose pudo,aunque debemos reconocerque lo pocohecho en esteperíodo, reviste quizás mucho mQs valor que lo muchoque se hace ahora. Es que, una vez vueltala normalidad, hemos tratado en todas formas de recuperar el tiempo perdido.Improba y largaha sido esta coronada con unéxito: esta publicación. Una publitarea. Hoy seve cación que quiere ser,más que nada,un ejemplo de lo que puede hacerse en un clima detrabajo y estudio fecundo, donde la mente y el espíritu pueden actuartranquiIa y serenamente. Perola ,edición de a Teoríade Ecuaciones >> para nosotros noquiere ser solo la coronación de un esfuerzo sino unpunto de partidaparaunalabormás amplia y más efectiva. Quisiéramos seguir publicando obras, como esta,quevayanllenando poco a pocotodos los vacíosque existen en la bibliografíade habla hispana sobre las materias de nuestracarrera. Cuando eso sea realidad, a h enpequeña parte, habremos realizado entoncesuno de nuestros viejos sueños.

Y viene elmomento de agradecer a todoslos que de una u otra formahan colaboradocon nosotros. Estas palabras finalesquierenser para ellos un sentidoagradecimiento. Queremos recordar especialmente en estas líneas a los traductores, el agr. J. C. Maquieira y el ing.Varela, quienesnos han seguido en ~.

VI11

ITBORIA DI& BCUACIONES

todoinstante, no sólo con el consejo eficaz sino con el trabajopersonalde revisión de las varias correcciones d e pruebas.Ellostienen la mayor parte del mhrito. Unas palabras también para la miso para esta traducción.

McGraw Hill que nos ha cedido el per-

Y finalmenteno

podemos d,ejarde mencionar a los compañeros que !a Comisión de Publicaciones desde el año 1955 a la fecha, Slemenson, Galtier, Vilas, Peral, Schifini,Estanga y Segre, y anuestro ex administrador, D. J. Canton, y alactual, J. F. Prepliasco, así como atodaslas << manos anónimas >> que han hecho de esto unarealidad. han estadoacargode

COMISION DIRECTIVA Octubre de 1958.

PROLOG0 DEL AUTOR

Este libro fu6 escrito para ser usado como texto en los cursos dedicados a la teoria de ecuaciones de las universidades y colegios americanos. Por ello es de carbcter elemental y, con pocas excepciones, sólo contiene el material que ordinariamente se incluye en textos de esta indole. Pero su presentaci6n se ha hecho tan explícita que el libro puede ser estudiado por los alumnos sin l a ayuda delprofesor. Cada tema que se trata en el texto se presenta totalmente desarrollado y no se hace referencia a resultados que se encuentren por sobre el alcance de este libro.Por ello es que, aun cuando contiene, en general, losmismos temas que otros textos de uso corriente, los sobrepasa en tamaño. Unos pocos tópicos que pueden omitirse sin perjuicio se encuentran señalados con estrellitas negras. Numerosos problemas se. agregan al final de cada sección principal. E n sumayoriasonsimplesejercicios;pero los que encierran mayores dificultades están señalados con asteriscos. En cuatro capítulos la exposición difiere de la usual. En el de números complejos,laexposiciónsuperficial tan comúnenmuchoslibrosfué reemplazada por un simple pero completo -tratamiento de la teoría d e los números complejos. La experiencia del autor le indica que los estudiantes, casi sin excepcibn,siguen estapresentaciónsindificultad. En el capítulo sobre separación de raíces el autor expone un método muyeficienteparasepararraícesreales,muysuperiorenlapráctica al que se basa en el teorema de Sturm. Cree el autor que ningún otro libro menciona este m&odo, que 61 halló hace mucho tiempo y que ha enseñado a sus alumnos durante varios años. En el capitulo sobre cálculo numérico de rajces, el m6todo de Horner est&presentadoensuformaoriginal,incluyendoel proceso de contracci6n,quelamentablementehadesaparecidode los textos a,mericanos.Ademássehaceunestudiocompletodelerrorcausadopor la contracción. Los determinantes se introducen, no por medio de la definici6n formal a comoesusual,sinoporsuspropiedadescaracteristicas,siguiendo Weierstrass.Laventaja es evidente,porejemplo,enlademostración del teorema de multiplicaci6n de determinantes. Tambi6n se desarrollan enesecapítuloalgunas nociones elementalessobre el Algebra delas matrices. IX

TEORIA

ECUACIONES

Algunos puntos, debido a su dificultad intrínseca, han sido agrupados enaphndices. Elap6ndice I trata sobre el teoremafundamentaldel Algebra. El autor eligi6 como demostraci6nmásintuitiva, y por lo &anto m8s asequible para los principiantes, la cuarta demostración dada por Gauss. E l a p h d i c e I1 da la demostraci6n de un teorema de Vincent,, en el que se basa el m6todo de separación de raíces antes mencionado. Los a p h d i c e s I11 y IV fueron agregados por sugerencia del profesor S. P. Timoshenko, por ser de interés para los estudiantes de ingeniería. El apéndice I11 está dedicado a un criterio simple para que una ecuación tenga todas sus raíces con parte real negativa. E1 apéndice I V trata la soluciónporiteraci6ndelaecuación de frecuencia. El apéndice V da una explicación del método de Graeffe para calcular raíces y ee de particular interés en el cálculo de las raíces imaginarias de una ecuación. J. V . IJSPENSKY Universidad de Stanford, California Diciembre de 1916

La explicación del autor al editor sobre los propósitos de este libro ha sidocolocada comoprefacioporquellena los requisitospara serlo y expresasupensamiento. Nuestroagradecimianto a Max A . Heaslet,delComitéConsultivo Nacionalpara l a Aeronáutica, y aCarlDouglas Olds, delColegiodel Estado de San José, por laayudaqueespontáneamente ofrecieron y prestaron en la edición y corrección de pruebas de este texto de su antiguo profesor. Asumieron esta responsabilidad, que normalmente recae sobre el autor, mientras desarrollaban pesadas tareas propias, ya que el fallecimientodelautorocurrióinmediatamentedespu6sde l a entregadel manuscrito a los editores.

Mayo de 1948.

z. u.

INDICE GENERAL

.................................................. PrQogodelautor ....................................................... Capítulo I.- Números eomplejos ......................................

Prólogo deloseditores

I1. - Polinomios de una variable

I11. -Las

............................... ecuaciones algebraicas y sus raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I V . - Acotación de raíces

................... V . - Ecuaciones cúbicas y cuárticas ........................... V I. - Separaciónderaíces ................................... VI1. - Teorema de Sturm ............... ...................... VI11. - Cálculo aproximadode las raíces ......................... I X. - Determinantes y matrices ............................... Raíces ra,cionales

X . - Resolución de ecuaciones lineales por determinantes aplicaciones de losdeterminantes a .la geometría

.- Funcionessimétricas

. Algunas ..........

.................................... XI1.-Eliminación ............................................. Apéndice I.- El teorema fundamentaldelálgebra ...................... I1.- Acerca del teoremadeVincent .......................... XI

PA0

VIL IX

1 40

57 79 93

112 155 16Y

201

25'7 285

308 325 331

111. - Acerca de las ecuaciones cuyas raices tienen parte real negativa

338

............

344

I V.

I-

Solución iterativa 'de la ecuación de frecuencia

V.-El

.................................. ..................................................

353

......................................................

384

método de Graeffe

Respuestas a ejercicios Indice alfabético

368

CAPITULO I NUMEROS COMPLEJOS 1. ;Qué son los números complejos? - Las letras empleadas ordinariamenteen los cursoselementalesdeálgebrarepresentannúmeros reales, es decir: enteros y fraccionarios -positivos y negativos-, incluyendo el cero, que son los llamados números racionales; y números irra-

cionales tales como 4 2 , 4 3 , etc. Sólo ocasionalmente, relacionándolos con la solución deecuacionescuadráticas, se mencionan los números imaginarios o complejos.Porejemplo,alaplicarlafórmulageneral para hallar las raíces de una ecuación cuadrática, a la ecuacih 3-

z2+5+3=0, se dicea

los estudiantesqueadmitelasraíces -1++11 2

.-1-47

donde el símbolo - 11 esunacantidadimaginariapuestoque los números negativos no pueden tener raíces cuadradas reales. A los estudiantes se les enseña cómo realizar operaciones con estos números imaginarios por un procedimiento puramente formal; pero no se da ninguna explicaciónadecuadade los fundamentosdeestasoperaciones con símbolos que, por sí solos, no tienen ningún significado. Probablemente este procedimiento se justifica, por cuantoa la edad en que los estudiantes se encuentranporprimera vezcon estosnúmeros << imaginarios )), no han desarrollado aún una suficiente facultad de abstracción como para entender lo que realmente están tratando, y sólo puedeesperarseque adquieranunaciertadestrezaenlasmanipulacionesformales.Pero cuando llega el momento de emprender estudios más serios de la parte del álgebra que se llama teoria de ecuaciones, se hace necesario volver ahablarde los númerosimaginarios o complejosparaestableceruoa basesólidasobrelaquedescansen los desarrollossubsiguientes. En lo que sigue, las letras a , b , c , . . . , etc., (con la única excepci6n de la lctra i, que será usada con un significado especial) servirán para designnr números redes. Un par ordenado de n6meros reales 1

TEOBIA DE ECUACIONES

de los cuales a es la primera componente y 6 es la segundacomponente, será considerado como una nueva entidad o un nuevo objeto de investigación matemática y de aquí en adelante lo denominaremos número complejo. Parapoderhacerobjetodeinvestigacionesmatemáticas a paresordenadosdenúmeros o númeroscomplejos,debemosextender a ellos lanocióndeigualdad y definirasimismo el significado de las cuatro operaciones fundamentales que pueden realizarse con ellos: adición sustracción multiplicación división.

2. Definición de Igualdad. - Dos números complejos ( a ; b ) y ( c ; d) son iguales únicamente si a = c y b = d . Los númeroscomplejos q u e nosatisfacenestacondicióndeigualdad se llaman desiguales. Para indicar la igualdad se utiliza el signo ordinario = . Así, la igualdad ( a ;b ) =

(c; d)

significa a = c ; b = d . De acuerdo a esta definición ( 2 ; t . ) = ( 1 / z ~ 7 + 4 . \ / 3 + 1 / z ~ 7 - 4 4 ~ ; 2 ~ ~ )

puestoque 2

1/2

-\I 7 + 4 43 + 47 1/2

(¿por que?)

m = 2 f i .

Por el contrario, los números complejos (1; - 1) y (- 1; 1) son desiguales, y esto se indicaescribiendo (1; -1)

(- 1 ; 1 ) .

3. Definicionesde Adición y Multiplicación. - Delascuatro l a adición y l a multiplicación se llaman operacionesfundamentales, cc operaciones directas y pormedio de ellas se definen las operaciones inversas >> : sustracción y división. Para la adición y multiplicación de losnúmeroscomplejosseadoptanlassiguientesdefiniciones: Definición de Adición. - La suma de dos números complejos (u; b ) y ( c ; d ) es el número complejo (a + e; 6 + d ) obtenido sumando, respectivamente,lasprimeras y lassegundascomponentesdelosdos

NUMEROS COXPLEJOS

pares dados. Para indicar la adici6n se usa el signo ordinario de suma, d e modo que el contenidodeesta definición puedeexpresarse convenientemente as$ : (a; b) ( c ; d ) = ( a C ; b d)

Por ejemplo :

(1; - 1) (3; 2)

(O; 1)

4- (-

+ .

+ (2; 1) = (3; O) ,

+ (1; O)

3 ; - 2) =

(1; 1) ,

(O; O).

Definición de multipbicación. - El producto de dos números complejos y ( c ; d ) es el número complejo (ac - b d ; ad be). La multiplicación se indica colocandoel signo . o x entre los factores: a veces, cuando noexiste peligro deconfusiones,puedeomitirse e1 signo de multiplicaci6n. El contenido de la definición puede expresarse convenientemente escribiendo ( u ; b ) . ( e ; d ) = (ac - bd; ad bc)

(a; b )

(U;

b ) (c; d )

(UC

+ - bd; ad + b e ) .

De acuerdo con la definición tenemos, por ejemplo:

(2; 3 ) . ( 1 ; 2)

(- 4; 7)

(1; - 1).(1; 1) = (2; O)

(O; 1).(O; 1) = (- 1; O ) .

4. Leyes Fundamentales de la Adición y Multiplicación. Mientrasquela definici6n adoptadaparalaadici6nde los números complejos es aceptada inmediatamentecomo natural por los estudiantes, &tos se quedanperplejos por el carácteraparentementeartificiosode ladefinicióndemultiplicación y siemprepreguntanlasrazonespor las que se la adopta. Puesto que los números complejos son pares ordenados de nuevos objetos para los que las nociones de igualdad, adici6n y multiplicaciónnoestándefinidasinicialmente,esprivilegionuestro definirestasnociones como nosplazca,esforzándonossolamentepor hacerlodemodotalquetodaslaspropiedadesfundamentalesdelas operacionesalgebraicas con númerosrealesconservensuvalidezpara los números complejos, y que, además, los números complejos sujetos a talespropiedadespuedanreemplazara los números cc imaginarios w hasta ahora sin sentido. Las propiedades fundamentales de la adicidn y multiplicaci6n de los números reales son las siguientes:

+ b = b + a. Propiedadconmutativadelaadición, + b ) + c = a + ( b 4- c ) . Propiedad asociativa de la adici6n.

1. a 2. ( a

TEORIA DE ECUACIONES

3. ab = bu. Propiedadconmutativadelamultiplicación. 4. ( a b ) c = a (bc). Propiedad asociativa de la multiplicaci6n. 5. ( a b ) c = ac bc. Propiedad distributiva.

Es fácil verificar que estas propiedades conservan su validez para los númeroscomplejos, con lasdefiniciones deigualdad, adición y multiplicación adoptadas. Esta verificación inmediata se deja a cargo del estudiante. 5. Sustracción y División. - Unavezdefinidalaigualdad, la adición y la multiplicación, podemos definir la sustracción y la división en la misma forma que para los números reales. Restar b de a significa. encontrar un número x tal que b+X=a. Tal número -diferencia entre a y b- es Único. La misma definición puede extenderse a los números complejos.

Definición de sustracción. - Restar el número complejo (c; d) de ( a ; b ) significa hallar un número complejo ( x ; y ) , tal que (c; d)

+ (x;y )

Puestoque,pordefinicióndeadición,es: (c;

(2;Y> =

= ( a ;b )

+ x ; d + Y),

las incógnitas x e y deben ser determinadas por las ecuaciones:

c+x=a

; d+y=b

queadmitenlaúnicasolución ; y=b"d.

X = U - C

Por lo tanto, la diferencia de ( a ;b ) y ( c ; d ) es un número complejo, unívocamente determinado : (a;b)-(c;d)

(a-c;b").

E n particular,tenemosque: (U;

b ) - ( U ; b ) = (O;O)

(U;

o sea:

+ (O; O)

= (U;

de modo que el número complejo (O; O ) representa el mismo papel que el O para los números reales.

COMPLEJOS

NUMERO8

Para definir la división de números complejos podemos tambi6n basarnos en la definici6n de división de números reales. Dividir a por u n número real b distinto de cero, significa hallar un número x tal que:

bx = a . Por analogía resulta la:

Definición de división. - Dividir el número complejo ( a ; 6 ) por ( c ; d ) distinto de (O; O) significa hallar un número complejo (x;y ) tal que: ( c ; d ) ( 5 ;Y ) Puesto que :

( c ; d ) (z; y )

(a; b ) .

= (CZ - d y ;

+ cy)

las incógnitas x e y deberán hallarse resolviendo el sistema de ecuaciones

cx -d y

a ; d x fc y = b.

Eliminando primero y y luego x obtenemos:

t d2)z = ac + bd (c2 d2) y = bc - a d . (c2

Por hipótesis c y d no se anulan simultáneamente, y, en consecuencia, + d2 > O. Por lo tanto x e y tienen valores perfectamente determi-. nados: bc - ad ac bd .x = c2 d2 C2+d2

+ +

’

que, comopuedecomprobarseporsimplesustitución,satisfacen elsist,ema dado. En consecuencia la división por ( c ; d ) # (O; O ) nos da un cociente perfectamente dsterminado que, conservando la notación usual, será : ac 4- bd . bc - ad (a;b ) : (c; d ) = c2 d2 ’ c2 d2 o bien

(

6. Números complejos en forma binómica. - Todo número corn-binbmica. Enprimer plejopuedeserescritoenciertaformallamada lugar: ( a ; b) = ( a ; a) (O; b) .

Utilizando la regla de la multiplicaci6n,

(O; b )

( b ; O)(O;

se comprueba que: 1)

TEORIA DE ECUACIONES

y porlo

tanto: ( a ; b ) = (a;O)

+ ( b ; 0) ( O ; 1) ,

que significa que un número complejo puedeexpresarsemediante númeroscomplejos especialesdel tipo ( a ;O), con el segundoelemento O y un número complejo particular (O; 1) que de aquí en adelante designaremos con la letra i, inicial de la palabra imaginario. Cuando se aplican lasoperacionesfundamentales a númeroscomplejos del tipo ( a ;O) .seobtienenlossiguientesresultados:

( a ; O)

+ ( b ; O)

= (a

( a ; O)

- ( b ; O)

( a ; O)

. ( b ; O)

( a ; O)

: ( b ; O)

+ b; O),

= (a- b ; O ) ,

(ab; O ) , -;

o ,

.de donde puede extraerse la notable conclusión siguiente: Si a los números complejos con segundacomponente O, se lossometealasoperaciones d e adición, sustracción, multiplicación y división (operaciones llamadas .racionales), cualquiera sea la cantidad de veces que se repita cada operación, el complejo resultante tendrá también su segunda componente O, mientras que la primera componente resultará de realizar las operaciones indicadas con lasprimerascomponentesde loscomplejosdados.Esto significa que los números complejoscon lasegundacomponente O se comportan, con respecto a las operaciones racionales, exactamente como sus primeras componentes, queson números reales. Operando únicamente contalesnúmeros complejos,podemos identificarlos,sintemora confusión, con números reales iguales a sus primeras componcntes. Por lo tanto, podemosdesignardesdeahoraenadelantea los números complejos del tipo ( a ;O) simplemente por a. De esta manera, el símbolo a tienedossigaificados:uno, comosímbolo de u.n númeroreal;otro, como símbolo de un número complejo ( a ;O). En tanto tengamos una fórmulaqueinvolucre sólo Operaciones racionales con tales símbolos, continuará siendo válida ya sc intcrprctcn los símbolos de una u otra l a identidad: manera. Por ejemplo, en a2 - b2 = ( a

+ b)

(a- b )

los símbolos a ; b ; a + b ; a - b, pueden ser interpretados como símbolos ae nrimerosreales o como símbolos de los números complejos ( a ;O ) ; ( b ; O ) ; ( a + 6 ; O); (a - b ; O), y la identidad será verdadera en ambos casos. De acuerdo con laconvcncidn adoptada todo número complejo podráescribirseenlasiguiente jorma bincimica: (U;

b) =

+ bi

N U Y E R O S COMPLEJOS

donde i está colocado en lugar de (O; 1) y a, b, son los números complejos (a; O), ( b ; O). Por la regla de la multiplicaci6n tenemos: = (-

(O;1)2

1; O)

o, con los signos convencionalesadoptados: i2

= -1.

Observando que las leyes fundamenlales de las operaciones que son válidaspara los númerosreales,siguen siendolo para los complejos, llegamos a laconclusión de que al efectuar las operaciones fundamentales con números complejos presentados en forma bin6mica, podemos operar con ellos como si se tratara de binomios algebraicos, teniendo cuidado i2, cuandoaparezca,por - 1. Es costumbreusarla dereemplazar notaciónabreviada bi para los númeroscomplejosdeltipo O f bi, y, en caso de que b = f 1, escribir simplemente a f i en lugar de a t 1 i o a - 1i. Unos pocos ejemplos mostrarán las ventajas de operarcon los números complejospresentadosenformabinómica. Ejemplo 1. Hallar (1

Tenemos

+i)3.

(lfi)2=1+2i+i2=2i

4 3

= (1

+ i)'

+ 2) = 2 i (1 + i) = - 2 + 2 i.

El mismo ejemplopuedeserdesarrollado

(1 Pero: i2

i)8

= -1

en la forma siguiente. Tenemos:

+ 3 + 3 i? +

. i3

i3.

i?,i = "i

y entonces ser6 (1+i)3=1+3i-3-i=-2+22.

Ejemplo 2. Hallar elcubo

del númerocomplejo

ECUACIONESDE

TEOBIA

Ejemplo 3. Reducir el n h e r o complejo

+i +-11 " i

(3+2i)2(1-33) (3 +i)"l + 2 i ) a la forma bin6mica. Tenemos:

Para efectuar el cociente

41 - 3 i

-4

+ 22i

podemos, sin que éste varíe. multiplicar numerador y denominador por -4-22i, y obtenemos

41-3i ( 4 1 - 3 3 ) (--243-02-28ig) O i (- 4)? + 222 22i

Enla

-4

misma forma,

1 "i

y el resultado final es:

3923 50

500

+ i)?

8!)

= i

a .

" "

Problemas Reducir a la forma bin6mica: 1.7-i+((-6+33)-(4+3i). 3. (2 5.

7. 9.

+ i) (1 + 2 i)

1+ i

4. -. 2

1+ 6."+-.

-i (2

2. ( 2 - 3 i ) i .

+ i) (1 - 2 i)

(1 1 ".

3-i 4 3

p .

8. LO.

12.

i 1-i

+ 3 i) (1 - 2 i)

(F)' 7-i

l+i

+- l +i i +" i 1+ i

NUMERO8 COMPLEJOS 13. Hallar los valores redes de z e y que satisfacen la ecuaci6n

(1 + i ) ( s + 2 y ) - ( 3 - 2 2 ) ( r - y ) = 8 + 3 i . 14. Hallar las rakes reales de la

ecuaci6n

(l+i)~3+(l+2z)z*-(l+4i)z-l+i=o 15. Hallar a ls raices reales de la ecuaci6n

(l+i)~~+~l+2i)z~-(l+i)z"l-2i=o

7 . Parte real e imaginaria. Números complejosconjugados. Valor absoluto o miídulo. - E n un número complejo a + bi expre-

sado en forma binómica, a se llama parte real y b (in0 bi!) parte imaginaria.Laparterealylaimaginaria se designangenerallnmtpdela siguientemanera:

b =I

U =

+ bi) , + bi) ,

donde R e I son las iniciales de las palabras real e imaginaria. Los números complejos con parte imaginaria nula se llaman números reales, en virtud de su total semejanza con los números reales ordinarios; y los números delaforma bi, con parterealnula se llamanimaginariospuros. En general, los númeroscomplejosconparteimaginariadistintade cero se llaman números imaginarios, simplemente para estar de acuerdo con 81 uso y la tradición histórica, desde que los números complejos considerados como pares ordenados son justamente tan reales como los otros y nada hay de imaginario en ellos. Dos números complejos a t bi y a - bi que sólo difieren en el signo de sus partes imaginarias se llaman conjugados. Si designamos a uno de ellosporunasolaletra,porej. A , el conjugado se designapor A o , o bienpor A . El producto de dos números conjugados

A=a+bi esunnúmero

real

AA0

= (a

; Ao=a-bi

+ bi) (a - b i ) = a2 + b2

llamado norma de A . La raiz cuadrada positiva de la norma de A se llama valor absoluto o módulo de A y se designa con el signo I A I o con el signo mod. A . El uso de una u otra notacicin depende de consideraciones de conveniencia en la escritura o impresión. Así

+ bi I = d

mod. (a

+ bi)

q F -

.\I a2 + b2 .

TEORIA

ECUACIONES

Si C es la suma de los números complejos A

y B

C=A+B,

será

+ Bo.

Co = Ao

Es decir: l a sumade los conjugadosdedosnúmeroscomplejoses igual al conjugado de su suma. En la misma forma, si C es el producto de los númeroscomplejos A y B será

Es decir: el producto de los conjugadosdedosnúmeroscomplejos es igualalconjugadodesuproducto.Ambasproposicionesseverifican directament.e comparando la suma o el producto de dos números complejos con la suma o el producto de sus conjugados. De esto se deduce que el conjugado de la diferencia o cociente de dos números complejos es igual,respectivamente, a ladiferencia o alcocientedesusconjugados, lo cual, con la notación adoptada, se expresa así:

Por sucesivasaplicaciones deestasreglas se deducelaimportante conclusióngeneral quesigue:Sialefectuaroperacionesracionalesen cantidad finita con los números complejos A , B , C, . . . se obtiene un número complejo X , al efectuar las mismas operaciones con los conjugados A o ,Bo, Cal . . . el resultado será X o , conjugado de X . Los números reales coincidencon sus conjugados, y recíprocamente, un número que es igual a su conjugado es real. En efecto, l a igualdad a

requiereque

f b i

b=”b

a-bbi

b=O.

Problemas

Hallar los m6dulos de los siguientes ndmeros: 1.

3. 3

+ 4 i. - 1 + 2 iz donde z

real.

6.2~-14-(22~-22z)idondezesreal.

--+i-.

I “i

4-T 2

NUMEROS COMPLEJOS 7.

x* - zz- z

+ 1 + (2 zz-2 z) i donde z es red. 1-2

-si z

8. ¿CUB1 es la parte real del número

1 +x

1eI

9. Hallar un númcrocomplejo e tal que

= cos $J

1 y R

+ i sen t$?

(es) =

10. LCuBles son los números complejos iguales a: a) el cuadrado de sus conjugada y b) el cubode sus conjugados?

8. Teorema. - El módulo de un producto e8 igual a L producto de los módulos de sus factores o, usando la notación adoptada:

1A.B.C . . .LI = [ A l

B [ . i C 1. . . I L / .

DEMOSTRACI~N: Consideremos primero el producto de dos factords X =AB. La norma de

X es:

X X o = (AB).(AB)o,

pero : y por

(AB10 = AoBo lo tanto:

X X o = ( A B ) ( A d o );

por consiguiente, haciendo uso tativa de lamultiplicaci6n:

XXo

de las propiedades asociativa y =

(AAo).(BBo) ,

extrayendo raíces cuadradas en ambos miembros, positivas :

y tomando las ragces

4 x -= 4 x . d m .

Pero

4XXo y porconsiguiente,

1x1

; 4AAo

1x1 =

/Al ;

IAl.IBI,

/ A B ]= I A I . I B / . Considerandoahora

el productodetresfactores

x = ABC,

hacemos

conmu-

AB,

lBI

T E O R I A DE ECUACIONES

por lo tanto

YC.

Por lo demostrado anteriormente

IYI=]AJ.jBi ;X=]Y\.jCl, en consecuencia

/ x /=

o sea

(ABCI

! A i . IBI. IC[, =

/ A / .l B l . I C [ .

De la misma manera puede extenderse el teorema a cualquier número defactores.Deesteteoremapuedeextraerseunaimportante consecuancia: S i un producto de números complejos es nulo, por lo menos uno de los factores es nulo. X1 suponer

ABC . . . . . L = O , queda estabiecido que

l A ! . j B ] . \ C !. . . . . l L l

= 101

= O

y puesto que los factores

que figuran en el primer miembro son reales, s3r nulo. Sea:

uno de ellos debe

(Al =O. A

Pero,escribiendo

+ bi,

tenemos

(Aj=~u2+b2=O,

por lo tanto: a2 b2 = O, quesiendo a y b reales, sólo es posible zi a = O y b = O; o sea A = O O i = O. Puede llegarse alamisma conclusión partiendo delhechodeque el cociente estáunívocamente determinado cuando el divisor es distinto de cero. Demuéstmreloel estudiante en la misma forma que el teorema anterior.

1. Demostrar que:

2. ¿Cual es e! módulo de

Problemas

+ 3 i ) (1 -+ i) 7--i

1 +xi LCutil es el m6dldo de ___ si z es real? it' qu6 puede decirse del mtdulo de€ 1-xi mismo número si z = a i@ es un número complejo, siendo 6 > O? 3.

NUMEROSCOMPLEJOS 4. Demostrar que

t = y

es real.

Si 7'

i-7 1 +2i7

-37+2

47-3

es un complejo t a l que

4 '

demostrar que

$."j;I

9. Desigualdad del módulo de la suma. .- film6dulodela sumadenúmeroscomplejosnodependesimplementede los m6dulos .de estos números; por lo tanto, no existe para la suma un teorema tan preciso como el delpárrafo 8. Tenemos,encambio,lasiguienteproposicicín, menos precisa, pero que es no obstante, de gran importancia y utilidad :

TEOREMA. - El módulo de la suma no es

módulosde

sus términos, o sea

mayor quelasuma

de los

J A + B + . . . . . + L i 5 IA el signo igual sólo serd vdlido cuando todos ios números A , B , . . ., L sean zguales a cero o e n el caso de que siendo uno de ellos, por ejemplo A , dis.tintodecero,todos los cocientes B

sean números reales no negativos. Comenzamosconlasiguienteobservación: a 3- bi, entonces a = R(A) S I A I

DEMOSTRACI~N:

y elsignodeigualdad

sólo será válido si

b = O y a 2 O.

si A

TEORIA DE E C U d C I O N E S

Siendo :

/AI = ser6 evidentemente a

si 6

O. Por otra parte,

<$ "

si b = O y

< O,

(AI=&F=--a;a<--a. Finalmente, si b = O y a 2 O U = &F=

Consideremos ahora la suma de dos números complejos la definición dem6dulo:

A y B. P o r

puesto que los númerosconjugadostienenelmismomódulo. secuencia :

E n con--

I A + B l z S I A j 2 + I B j ' f I A j . I B [ = ( \ A / + IB1)'.

+IB1

Perolosnúmeros 1A B 1 y I A 1 tanto la desigualdad anterior implica que:

lA +Bl 6 IAl El signo de igualdad

sonpositivos

y por lo

+ IBI.

s610 es válido si

R (ABo) = R (A&)

I AoB I

y esto s610 es verdad si AoB es un número real positivo. Suponiendo que A z O, el producto A A o es un número positivo y

AoB " -AA0

COMPLEJOS

NUMEROS

es un número real positivo. Reciprocamente,

dera,entonces

AoB =

si esta ecuaci6n es verda-

( A A o ) ser&real

y positivo.

Considerando ahora la suma de tres números

A+B+C=(A+B)+C.

El signo igual s610 será válido aquí

IA + B I

\ ( A + B ) t CI

= =

si simultáneamente

+ [BI

IAl

! A+ B (

+ (Cl.

Suponiendoque

A # O, laprimeradeestasigualdades s610 esvblida A - es real y positiva. En tal caso, el número B

s i laraz6n

1”-

A + B = A n o escero, y 1+-

B A

es un número positivo. La segunda igualdad C

A + B

exige que la raz6n

C A

C A positiva. Es evidente que, razonando de la misma manera, se demostrará el teorema para sumas de más de tres tCrminos.

sea real y positiva, que equivale a la exigencia de que

- sea real y

Problemas 1. Demostrar que

I A ” B ! Z [ A [ - - ( B ( yque 8UGESTI6N:

Escribase A = B

+ ( A -B ) .

IA”B(h\B(--(A(.

TEORIA D E ECUACIONES

16 2. Si z es un número

complejo con I z

2, ¿cual es el mhximo de

jl+z+z?+z31

y para qué valor de z se alcanza este mAximo?

* 3. Si

x e y son dos ,lÚmeros complpjos cualesquiera, demostrar que

/1:+y)?+)x"lll?=2js1?+2/yl'.

* 4. Demostrar que la igualdad /z:! - -71 12 = j

implica que

>., - E O

donde A esreal

22 -

iol?+ 121 - 201'

i 1 (ZI - E O )

y recíprocamrnte.

10. Raíz cuadrada de un númerocomplejo. -- Hallarlaraíz cuadrada de un número complejo 1-1 es equivalente a hallar la solución S de una ecuaci6n de segundo grado

Sea A = a + bi y X deben ser tales que

&Y2= d .

+ iy. (X

Pero

(x + ''yy

Entonces los númerosreales

~ =) a~ + b i .

= 52

y? f 2 z y i ,

en consecuencia, los númerosreales z e y debensatisfacer de ecuaciones : x 2 - y2 = ; 2xy = b . ( J

La identidad

+ yz)2

combinada con las ecuaciones x2

= 2.(

el sistema [I1

+ 4 x2

[ I ] da

+ y2

&TF,

tomando la raíz positiva. Por consiguiente, sistema [ 11 se deduce:

Estasecuaciones

x e y

de la primera ecuacióndel

son consecuencias necesarias del sist,ema [I], pero

NUMEROS C O M P L E J O S

pueden tener soluciones que no lo satisfacen. Para separar las soluciones de [2] que satisfagan a [l], debe tomarse en cuenta la ecuaci6n 2xy

E n caso deque b # O, la ecuación determina el signo de y correspondiente a un dado signo de x; es decir, x e y debenserdelmismo signo cuando O > O y de distinto signo cuando b < O. De acuerdo con esto,las soluciones delaecuación so11:

en caso de que o > O, y

en caso de que b < O. Resta por examinar el caso en que b

según sea a > O 6 a

O. Por ser

< O, se deduce que

si a > O; y entonces la ecuación

X2 = tienedos

raiccsreales

Y Si a < O

&.\la.

X = O ;y =

&..\l-a

y en este caso la misma ecuación tiene dos raíces imaginarias puras

x = &id=. Finalmente, cuando a = b = O, sólo existe una solución, trivial X = O. Esta discusión demuestra que, una vez introducidos los números complejos, todo número complejo tiene raíces cuadradas. La ecuación general de segundo grado

AX2+BX+G=0,

ECUACIONES DE

TEORIA

con coeficientescomplejosarbitrarios,puederesolversepormedio la fórmula conocida : -B+1/B2-4AC X = 1 2A

cuya deducción se basa en las propiedades fundamentales de las opera-

ciones y en la existencia de raíces cuadradas.

NOTA:Cuando A es un número real positivo, el simbolo fi, por costumbre, significa siempre la rais cuadrada positiva, y con esta convención la regla de la multiplicaci6n de rafces:

4T. @=.\IAB

es v d i d a cuando A y B son positivos. Sin embargo, cuando A es un número real negativo o un número imaginario, no puede atribuirse al simbolo A , por medio de una simple convenci6n, un significado tal que la regla de la multipllcaci6n de raíces sea siempre v&lida. E n el caso de un número real negativoo un imaginario A , es necesario especificar

siempre a cu&l de las dos raíces se refiere el símbolo A por medio de una condici6n adicional, como, por ejemplo, que la rafe tenga positiva la parte real o la imaginaria. Así, =puede significar 2 i o -2i; pero si se especifica que esta rais debe tener la ___

parte imaginaria positiva,entoncesel símbolo - 4 vale para 2 i. N6tese que la relaci6n de mag,;;libud expresada por las palabras mayor o menor s610 est& definida para números reales y no puede ser extendida a los números complejos conservando todas las propiedades de esta relación.

Ejemplo 1. Resolver la ecuaci6n

E n este caso: a = O; b

- 1; d a 2 + b? = 1 ,

Ejemplo 2. Resolver la ecuaci6n

X' = -5

+ 12i.

E n este caso

; b = 12 ; d a 2

a = -5

y siendo b negativo,

;

+ b2 =

e= 13

5 3

y siendo b positivo: X==k(2+3i). Ejemplo 3. Resolver la ecuaci6n de segundo grado iX2-(2+2i)X+2-i=0.

NUMEZOS COMPLEJOS

Aplicando la f6rmula tenemas

2+2if4-4

X = y tomando

1,- 4 = 2 i; se hallan las rakes "i ; 2 - i .

Problemas Hallarlasrakescuadradasde

losndmeros:

1. i.

1 3. -+i-. 2

d 3 2

--1 +i2

4. "3-4;.

5. -13-8484. 7.

+iiz.

6. - 1

- 1 + 2 xi; siendo 2 real.

Resolver las ecuaciones de segundo grado:

8. x 2 + x + 1

=o.

10. 2 ' - ( 2 + 3 i ) ~ - l 11. (2 - 2 i) X'

+3i=0.

- (11 + 9 i) X - 16 + 6 i

= O.

Resolver las ecuaciones:

12. x4 = 1.

13.

14. x*

15. 'X

+ 4 = O.

16. z3- 1 = O. N6kse que: 17. x8 = i.

-1

= (x - 1) (x'

- 1. 119 - 120i.

+ x + 1).

18. 26-1

+ 1 = O. 20. = 1 + i. Haciendo x = a + bi; s e d entonces aJ + 3 ab7 = 1; . 3 a2 b - ba = 1, 8 y adem&s: u2+ bz = dy. 19.

21. Demostrm la siguiente proposici6n: Si a ; b; a'; b', son nrímeros racionales, pero f i n o es racional y a++-=u'+dF,

entonces

a' = a ; b' = b.

+ +

22. Hallar todas las ecuaciones de segundo grado: 2 1 px q = O con coeficientes racionales pero sin rafces racionales, en las que: a) una rafz es el cuadrado de la otra; b) una rafz es el cubo de la otra. b * 23. Si a # O, b # O son dos ndmeros complejos tales que la raz6n ea un nríme-

TEORIA DE ECUACIONES

ro real positivo, la rafz cuadrada -\jab puede elegirse de modo tal quela raa6n de la mediageométrica de a y b bl =

a la media aritmética a1 =

tengaunaparte

a f b 2

positiva real. Demostrar que,en

):(

ese caso, es también R

> O.

* 24. Con las mismas condiciones del problema anterior demostrar que Ibl-UalI

< " j b - U l .

11. Representación geométrica de 10s númeroscomplejos. Las relaciones entre 10s números complejos y su manejo se hacen intuitivos, mediante una simple representación gtom6trica. Habiendo elegido dos rectas perpendiZ=QfbL culares OY como ejescoordenados,atribuí3." mos a O X una cierta dirección, indicada en la oa figura por una flecha, y elegimos entonces una N f REAL dirección del eje OY talque,alrotar O X un ángulorectoen el sentidoopuestoaldelas agujas del reloj, su dirección coincida con la de O Y . Cadapuntodelplano, rcferido alsistemadecoordenadas elegido, tienc coordenadas definidas "a y b por ejemploy el complejo a + hi estádefinido por estepunto.Recíprocamente, a todonúmero complejohacemoscorresponder unpuntocuyascoordenadasson, respectivamente,lapartereal y laimaginariade ese número complejo. Deestamanera,entre los números complejos y lospuntos del plano existe una correspondencia biunívoca en virtud de la cual los números complejosestánrepresentadosporpuntos. Los números complejos de l a forma a + 0 i "números realcsestánrepresentadosporpuntos del cjc OLZ, que por esta razón se llama eje real. Los números complejos de la forma 0 + h i o númerosimaginariospurosestánrepresentados por puntos del eje O Y , llamado eje imaginario. Es costumbre designar al punto representativo delcomplejo z por la mismaletrayllamarlo simplemente puntoz. Así, podemos hablar del punto O (origen) ; del punto 1; del punto i ; del punto 3 - 2 i ; etc. El punto O, junto con x, determi-

ox;

"-f

na un segmento dirigido Oz o vector Ox,que va del origen O a l extremo z. Recíprocamente, el extremo de todo vector

Oz determina un número complejo. En esta forma tenemos otra representación geom6trica de 10s números complejos por medio devectores con el origencomún en o. Las proyecciones del vector que representa a x = a bi sobre los ejes

XUNEROS COMPLEJOS

OX y OY son, respectivamente, a y b ; y la longitud del vector Oz -o la distancia de O a z - por el teorenla de Pitágoras es 4 a2 + ZP y nos da un significado intuitivo del módulo de

Problemas 1. Si la direccidn del eje real se elige como en la figura, ubicar los tativos de los números complcjos: a) - 1 ;b ) i; c) 1 -i; 1 d) 1 + 2 i ; e ) - 3 - 2 2 ; f)--+2i. 2 1 2. si R (z) = - ¿quepuede decirse sobre el lugar geo2 metric0 de los puntos z?

puntos represen-

3. Resolver el problema 2 si los números complejos z satisfacen la condici6n: 1 1

< R ( z ) S -.

4. LCuSl es la posici6n relativa de los puntos que representan números complejos conjugados?

5. iCuSl es la posici6n relativa de los puntos que representan los números complejos a

+ bi y b + ai?

6 . LCufrl es el significado geomCtrico de: a )

IzI

= 1; 6 ) 1 z

7 . iD6nde estsn los puntos representativos de z si

I < 1; c) I z 1 > l?

1 5 R 2 -

(2)

< - y I z I 2 l? i

12. Angulo dedossemirrectas dirigidas. -- Lafigurasiguiente representa dos semirrectas dirigidas 1 y E' que se cortan en un punto S con sus direcciones representadasporflechas.Por Bngulo entre 1 y 1' -medido de 1 a 1'- queindicaremospor (P), entendemos el ángulo que debe girar 1 alrededor de S para coincidir con 1' en posici6n y dirección, considerándose este ángulo como positivo o negativo según que 1 rote en el sentido opuesto al de las agujas del reloj o en el mismo sentido que las agujas del reloj respectivamente. Desde este punto de vista el ángulo (11') no está unívocamente determinado sino que tiene infinitos valores,cuyavinculaciónpuedeestablecersedelasiguientemanera: Sea 9 el menor ángulo positivo que debe girar 1 para coincidir con 1' en posici6n y direcci6n. Si se volver& continúa l a rotaci6n en sentido positivo, a coincidir cuando el ángulo rotado sea 9 2 'IF (midiendo los Bngulos en radianes) ; nuevamente I IS / coincidir6 cuando este ángulo sea 9 4 'IF y, en general, cuando sea 4 2 k 'IF,siendo k un númeTO entero positivo. Asimismo, haciendo rotar 1 en sentido negativo del ángulo cuyo valor absoluto es 2 7c - 4, las rectas 1 y 1' coinciden en p ~ s i -

;;/ 'S"

ECUACIONES DE

PEORIA

cihn y dirección y lo mismo sucede despues de una rotación, en sentido negativo, de la magnitud 2 k 'IC - 4, siendo k entero y positivo. Tomando todos estos ángulos negativamente, podemos decir que I' forma con E los ángulos negativos 4 - 2 7 c ; 4 4 7t ; 4 - ti 7c ; . . . Por lo tanto, a l. expresión general para el ángulo [ZZ') es: 4 2 k 7t siendo k = O , f 1, 2, . . . un entero arbitrario y 4 el menor ángulo positivo entre 1 y 1'. Es fácil ver que 4 puede expresar cualquier ángulo entre Z y It; y aún quetodos los valores posibles deesteserándelamismaforma. Los ángulos que difieren de múltiplos de 2 7c se dicen congruenles de módulo 2 7c (expresión extraida de la teoría de los números), y se usa el signo = para expresar la congruencia. En este sentido tenemos una congruencia. evidente que es: (a') E - (1' E ) .

Además, si tres semirrectas I; 1'; I" pasan por el mismo punto, es fácil verificarque: (U') (1' Z") (Z'' I) = o,

porconsiguiente,envirtuddelacongruencia prende que: ( E 2") (ZZ') 3- (I'

- ( 1 I"), se des-

(E" 1) ,'I)

A pesar de la multiplicidad del ángulo (U') las funciones trigonom& tricas de este ángulo: sen (U') ; cos (U') tienen valores completamente determinados debido son funciones peri6dicas de período 2 T .

a que sen x y cos x

Problemas

1. Los lados de un tríhgulo equilhtero tienen direcciones dadas como se indica en

la figura. LCusles son los valoresnumkricamentemenores gulos: a) ( l a ) ; h) (L/"); c) (/' /")? 2. Se inscribe un cuadrado ABCD en un círculo y se toma un punto P sobre el arco BC. L CuAles son los Bngulos: a ) (lib); b) (I&); c) (ZJ?), formadosporlospares de semirrectas b , 12, /a, I r .de la figura?

Si 3.(1'1Tres ) = 230"; semirrectas (1'7) =1,-1'.loo", 1" se t e menor del h g u l o (/''If).

hallar el unennumbricamenmismo cortan valor punto.

de los An-

4. Si cinco semirrectas 11; 12; l a ; 14; 16 se cortan en el mismo punto y: ( h b ) = 30"; (13Z1) = - 200"; (l.&) = 300"; (&) = -N", jcuhl es el valor numéricamente menor del 6ngulo (/&) ?

NUMEBOS COMPLEJOS

13. Forma trigonom6trica de un número complejo. Volviendo a la representaci6n geomBtrica de los números complejos explicada en el Párrafo 11, sea 8 el ángulo comprendido entre el eje real y el vector

Oz. Este ángulo se llama argumento o amplitud de z. Est& definido s610 para z z O y tiene infinitos valores que difieren entre sí en múltiplos

Si z = a bi, a es la proyecci6a de Oz sobre el eje real. Llamando de 2 ‘IC. T almódulode z d e ladefinici6n

de cos 0 se desprende que a = rcos0.

Dado que el

Bngulo que forman los ejes real e imaginario es

($)

ángulo entre Oz y el eje imaginario será

Oz sobre Bste será

En consecuencia, z = a

- e)

COS

+ bi

z =T

-, ‘IC

- 0, y la proyecci6n de

sen 8 .

puede escribirse en la forma

(COS

e + i sen O)

que es lallamada forma trigonombtrica deunnúmerocomplejo. No importa cuál de losposiblesvalores de 8 setome;enlapráctica sin embargo, es conveniente elegir el menor valor num6rico del argumento. Para expresar un número complejo dado a bi en forma trigonomBtrica debemos hallar primero el m6dulo T con la f6rmula

= da2

+ ba

y luego hallar el ángulo 8 de menor valor cos 0 =

- ; sen 0 T

numBrico tal que =

-.b T

En general, será necesario para ello usartablastrigonomBtricas y e n ese caso, es siempre más ventajoso determinar el ángulo por su tanb gente. En efecto, en el caso de que sea - > O setdetermina el ángulo a agudo o por su tangente b

tgo = U

TEORIA DE ECUACIONE’s

y se toma: O

- < O, a

= o

si a

> O,

y O

< O. E n el caso de que sen

el ángulo agudo o se determina por: tgw =--

y 0 =

si a

= o - ?F

si a > O ; 6 = $ ; - u

“o

si a < O .

Problemas forma trigonométrica los siguientesnúmeros complejos:

Exprésenseen

2. i.

1 . -4.

3. -66.

1 S. --a-.

7. 4 3

4. - 1

“.

1 -+ i -.1 / 3

S . l - q 3 - i ( 1 + 6 )

9. - 4 - 3 i .

11. 1

+ i.

+ cos + i sen a

10. - 2

+i.

12. cos a

+ cos + i (sen + sen @). a

14. Multiplicación y división de números complejos dados e n forma trigonométrica. Fórmula de De Moivre. - Las reglas de l a

los

multiplicación y ladivisiónsonparticularmentesimplescuando complejosestándadosenformatrigonombtrica.Sean

r (cos 0

+ i sen O )

r’ (cos O’

+ i sen O’)

Multiplicando y agrupandofactoresen el segundomiembro,tenemos que A B = rr‘ (cos O i sen 0) (cos O’ i sen O ’ ) .

Pero (cos 0

+ i sen O) (cos O‘ + i sen O’) =

COS

0 cos 8’ - sen O sen O’

+ i (sen O cos O’ + sen O’ cos 0)

y por otra parte:

cos O cos O’ - sen 0 sen O‘ sen O cos O’ sen 8’ cos 8

por lo tanto:

rr’ [cos ( O

+ 0’) = sen (O + O’) ; = COS

+ e’) + i sen (0’ + O ) ]

que significa que: el módulo del productoes el producto de los whdulos de los factores y el argumento es la suma de los argumentos. Por sue .sivas

N U M E R O 8 COMPLEJOS

aplicaciones esta regla se extiende a cualquier número de factores. productode n factores cos e l + i sen

; cos

e,+ i sen O2 ; . . . . . ; cos O,+ i sen e,

cuyosmódulossontodosigualesa (cos 8,

1, es:

+ i sen 0,) . . . . . (cos O , + i sen O,) = (e, + e2 + . . . . . + e,) + i sen ( O , + O2 + . . . . . + e,).

+ i sen e,)

= COS

(cos O2

En part,icular, cuando 0, una importante identidad :

82 = . . . = O , = 4, esta fórmula

+ i sen 0).

(cos 6

cos n 0

+ i sen e)-,

+ i sen 0

cos t3

= cos

-i

n significa aquí

8 - i sen O cos2 0 sen2 8

COS

sen 8

+ i sen e)-”

cos (- n e)

+ i sen (-

Por lo tanto la fórmula de De Moivre es válida nentes enteros negativos. En cuanto al cociente de dos números complejos

r (cos O

+ i sen e)

puede ser escrito de la siguiente manera:

A - r (cos 0 B r’ (cos O’

”

Pero

+ i sen e) + i sen O’)

(cos e’

+ i sen

r = -(cos

O’)-l

r’

= cos (-

+ i sen (-

cos (- O )

y elevando ambos miembros de la ecuación a la potencia

(cos e

nos da

+ i sen n O ,

conocidacomo fórmuladeDeMoivre.Porsupuesto, unenteropositivo.Teniendoencuentaque: (cos O

r’ (cos 8’

n, obtenemos: n

e) .

tambiCn para expo-

+ i sen O’) ,

+ i sen e) (cos 8’ + i sen e’)-’. O’)

+ i sen (-

O’)

y de acuerdo a la regla 2stablecida para la multiplicaci6n:

A - r B r’

“_

[COS

( O - O’)

+ i sen ( O - O ’ ) ] .

Por lo tanto: el módulo del cociente es igual al cociente de los módulos y el argumento a la diferencia de argumentos del dividendo y del divisor.

TEORIA DE ECUACIONES

Problemas &llar 1.

la expresi6n general para los siguientes c a o s (slendo n entero):

(43+i)" . 1 + sen 4 + i cos 4

l+sen1#~--icos4,

2. [I

I-

+ 1(3+ i (1 - fi )]". 4 +i

4. [sen e -sen

(cos e -cos

41.

5. Dado (1 + z ) n = p o + p l z + p ? z ~ + donde

p o = 1 ; PI=--; 1

p =

. . . I

,. . . .

n (n-1) 1.2

son los coeficientes del desarrollo del binomio, y tomando z = i, demostrar que:

. . . =21'SnCOS-.

po-p+p4-

12%

6. Tomando en el mismo desarrollo z = 1; o;o?,siendo o =

hallar las sumaa

-1+id3

+ p3 + p6 + . . . ( b ) Pl + P4 + PT + . (4 + P6 + Ps + . . . (a) PO

' '

+ on +

N6tese que: 1 m6ltiplo de 3.

* 7 . Tomando:

02" =

z = cos 0

O, si n no es múltiplo de 3, pero es igual a 3 si n e8 un

+ i sen 0 en la identidad

demostrar que: 1+2cose+2cos2e+ sen e

... + 2 c o s ( n - l ) 8 =

+ sen 2 e + . . . + sen (n - 1) e =

COS

8. Utilizando un m6todo antílogo, demostrar que cose+cos3e+

... +cos(2n-l)e=

senO+sen36+ ... +sen(2n-1)0=

sen (n sen + e

4 e - COS (n - 4) e 2seng0 sen2nO 2 sen O ' 1-cos2nO 2 sen 0

NUMEBOS COMPLEJOS

9. Por medio de la f6rmuls de De Moivre expresar: a) cos3 4 en funci6n de COB 4 y sen 3 4 en funcidn de wn 4; b) coa 5 4 en funci6n de cos 4 y Ren 5 4 en funci6n de sen 4; e) coa 4 4 en funci6n de coa 4 y sen 4 $I en funci6n de Ben 4.

* 10. Expresar: a) sen6 4 en funci6n lineal de: sen funci6n lineal de: coa 2 4; no8 4 4.

4; sen 3 4; sen 5 4; b)

sen'

4 en

15. Solución trigonométrica de ecuaciones binómicas. Por medio de la f6rmula de De Moivre esposible representar todas las rakes delaecuaci6nbin6mica

donde A # O es un número complejo cualquiera dado en forma nomdtrica.Sea A = T (cos 8 i sen 0)

trigo-

X tambiCnenformatrigonometrica:

y tomemoslaincógnita

R (cos 8

+ i sen e) .

Será, entonces :

X" y esta expresión debe

R" (cos n

ser igual a :

= T (COS

+ i sen n 0)

e + i sen e) .

Puesto que los números complejos iguales tienen iguales m6dulos, debe ser :

en consecuencia R queda determinado sin ambigüedad sima positivade r :

por l a raiz en&

=c.

Ademáslosargumentosdenúmeroscomplejosigualesdifieren menteenmúltiplosde 2 z, de modo que:

n e=8

sola-

+ 2kr

siendo k entero. En consecuencia, la expresi6n que nos da las raices X es:

x = j ; ( c o s e + n2 k T + i sen

En esta expresi6n es k un entero cualquiera, pero el número de raices distintas sera s610 n. Para obtenerlas basta tomar en esta f6rmulak = O ;

ECUACIONES DE

TEORIA

1; 2; . . . ; n - 1. Porque si k es un entero cualquiera, dividihdolo por n y llamando Z al resto, tendremos: k = nq + I , donde O 5 1 < n, de modo que 1 será uno de los números: O; 1; 2; n - 1. Pero: 8+2k7c - 8 + 2 h 2 zq, n n

... ;

por lo tanto:

8+2kX n

cos

sen

+ 2k7; n

cos

sen

8 +2za

+ 21n

lo que demuestra lo enunciado. Por otra parte, las I L raíces obtenidas tomando k = O; 1; 2; . . . ; n - 1 son distintas. Suponiendo que para dos valores dados de k -llamémoslos k’ y k”- hallamos raices iguales, e n ese caso será: cos

+ 2k’a n

+ 2 k”

cos

; sen

+ 2k’E

sen

+ 2 k”

y esto es posible sólo si

0+2k’a -

8f2k”T

siendo q entero; o sea:

k”

+ 2aq

k’ = nq .

Pero k“ - k’ es numéricamente menor que n y no puede ser divisible por n a menos que sea igual a cero; por lo tanto, k” y k‘ no pueden ser dos númerosdiferentes como supusimos. Por lo tanto todas las raíces de la ecuación binómica

X”

r (cos 8

+ i sen O)

están dadas por la fórmula

x =q tomando en ella: k

c o s

0+2k,Ic n

+ i sen

O ; 1: 2; . . . ; 72 - 1.

Ejemplo 1. Resolver la ecuacibn.

= “4

N U M E R O S COMPLEJOS Siendo

-4

= 4 (cos A

+ i sen Z)

la f6rmula para las raices es:

x =

x+2k7c G(cos * + i sen r + 24 k r 4

d~(cos $+isen*(cos

$+isen-

"1 4

1 +i,

37c 4

=-1

+i,

Ejemplo 2. Resolver la ecuaci6n x3

E n forma trigonomCtrica ser8:

"8i.

[ (

" S i = S cos -;)+isen(--+)]. por lo tanto ( 4 k -( 14 )k~- 1 ) "

Haciendoaquí:

O; 1 ; 2; obtenemos las siguientes rafces:

= -22.

5.~4=0;0="+$".

+ i sen

1 2 2

4 3

x3 =

"i.

6 . x3 = o.

TEORIA D E ECUACIONES

30 7.

-4.

8.26

= 1+63+(1"F)i.

el Problema 4 y hallar lm expresiones para cos 15' y

9. Resolver algebraicamente sen 15".

10. En la misma forma, resolver algebraica y trigonométricamente la ecuaci6n x4

lj3~ -

1 2

= -+i

11. Resolviendo la ecuaci6n: z6 = i, algebraica y trigonométricamente, demostrar que:

dl76

+ 80 .\is

.\I 176 + 80 \/F

Por otra parte (vCase el Phrafo 16):

&- 1

sen 18" =

; COS 18" =

d l 0 + 2 4 5 4

iC6mo pueden conciliarse estas expresiones?

16. Raíces de la unidad.

- Laecuaciónbinómicaparticular xn = 1

que define las así llamadas raíces de la unidad de grado n, es de especial interés. Puesto que en este caso T = 1 y 8 = O, las n raíces de la unidad s e obtienendelafórmula:

2 k7e 2 ka cos - i sen -. n n

tomandoen ella,: k = O; 1; 2 ; . . . ;n - 1. Para k = O tenemosuna raíz evidente: x = 1; y las otras n - 1 raíces, por la fórmulade De Moivre, son las potencias Wk;

1; 2;

... ;n- 1 ,

d e laraíz O

cos-+

Siendo : zn - 1

= (z - 1) (zn-1

2T n

i sen -.

+ xn-2 + . . . + 1) ,

l o que se verifica multiplicando directamente; d e la ecuaci6n xh-1

w, d , . . .,un-' son raíces

+ xn-2 + . . . $- x; + 1 = o.

NUMEROS COMPLEJOS

Para algunos valores particulares den esta ecuaci6n puede ser resuelta fácilmente sn formaalgebraica;porcomparaci6ndelas soluciones a,lgebraicas y trigonom6tricasentales casos, puedenhallarseexpresiones algebraicas para cos guientes ejemplos:

(+) (y)

comose ve en los si-

y sen

Ejemplo 1. La rafz cúbica de la unidad cos

w =

- + isen 2n

satisface la ecuaci6n

=o.

x?+x+l Las raíces de esta

1 +i-.

(F)

4-i2

Puesto que cos

son:

ecuacidn halladas algebraicamente '

_" 1

i-.

( j

6 2

es negativo y sen :2 es positivo, serh: 2n

27c

cos-+isen-=--+i3 3

por l o tanto: COS

27c =- 4 3 ; sen -

como se sabe por trigonometrfa.

EJemplo 2. La raíz quinta de la unidad w =

COS

-+ i sen 2%

satisface la ecuaci6n

=o.

X'+X3+X*+X+l

Esta ecuacidn pertenece a la clase de ecuaciones

ax'

redproms del tipo

+ bxa + cx2 + bx + a = O

y toda ecuaci6n de este tipo puede resolverse de la siguiente manera: Dividida por z2, la ecuacidn propuesta toma la forma:

1 1 xz+-+x+-+1 22

=o.

ECUACIONES DE

TEORIA

Hacemos ahora:

Entonces ser8:

e y puede hallarse resolviendo la ecuaci6n de segundo grado

=o,

y?+y-l cuyas rafces son:

Queda por determinar x, resolviendo las dos ecuaciones:

lo que es equivalente a:

Las cuatro raíces halladas resolvirndo estas ecuaciones son: - l + G+ i -~

IIlOi-245

-1

+45 "i \'lo 4

-1-1/5

-1-47 4

Ahora bien, cos

(9)

--i

= cos 72" y sen

modo que,necesariamente: O

= cos 72"

+ i sen 72"

-1

1$(

+2\'5 4

.\il0-245 4

410-245

sen 72L bun ambos positivos, d e

+dT4

.Jl0+2.\/5. 4

e n consecuencia: COS

72" =

-l+.\/5 4

; sen72" =

d l " + 2 4 5 4

Las otras raíces, en el orden en que están escritas, son: d ; o*;03.

NVMEBOS COMPLEJOS

o0 33

La divisi6n de una circunferencia en partes iguales o la construcci6n de polígonos regularesinscriptosestá vinculadaIntimamenteconlasrakesdela unidad.Dehecho, si Ao, Al, . . ., A,-1 son vCrtices de un polígono regular de n lados 1 y se elige inscripto en un círculo de radio O A o como real, eje los ángulos que OA,, O P 2% . 4 % OAs, OA,, . . . forman con 61 son: -,-; n n A,J (w"3 67c -. . . , y en consecuencia, los vertices A @ , n d l , A,, . . . están representados por los números complejos

1; o ;0 2 ; . . . ,

donde w

cos

($) + i sen ($) op

suficientetrazarlaabscisa

Paraconstruir

= Cos

el polígono es

- o 1% parterealde n

w. L a

construcci6n con regla y compás será posible si la expresi6n algebraica made w resultacompuestasolamenteporraicescuadradas.Deesta nera,laconstrucci6nde polígonosregularesrequiere la soluci6n algebraica de la ecuacidn Z" = 1 y la investigacih de las condiciones bajo las cuales pueden expresarse sus raíces por radicales cuadráticos. Esto constituye un importante capítulo del álgebra llamado ciclotomfa. Para la construcci6n más conveniente de polígonos de 3, 4, 5, 6 y 10 lados, a los problemassiguientes. seremiteallector Problemas 1. Demostrar que la raíz vigCsimo cuarta la ecuacidn

de la unidad: cm 15"

~ * - 2 4 + 1

+ i sen 15", satisface

y hallar la expresi6n de las rakes de esta ecuaci6n en forma trigonom6trica y algebraica.

N6tese que:

524

-1

(2x2

- 1) (24

+ 1)

(28

- 2 4 + 1) .

2. Demostrarque La

e 1 = 2 c o s -e;r = 2 c a -e;a = 2 c o s - , 7 7 son raíces de la ecuaci6n cdbica ya+ y* - 2 y

- 1 = O.

TEOEJA DE E C U A C I O S E S

SUGESTI6N:

Las raíces séptimas de la unidad satisfacen la ecuaci6n X 6 - / - 2 9 f X 4 + 2 3 + 2 ? + 5 + 1

Dividase por

y hagase X

1 +X

3. Demostrar que

son raíces de la ecuacidn cúbica

- 3 y + 1 = O.

$UGEHTl6N: Las raíces novenas de l a unidad que no satisfacen la ecuaci6n: 5 6 23 1 = O.

+ +

4. Siendo q = cos 24"

demostrar que q

$0'

son raíces cúbicas de la unidad

+ i sen 24",

y expresar cos 24" y sen 24' en forma algebraica.

5. Para dividir una circunferencia en 3, 4, 6, 8 partes iguales puede usarse la siguiente construcci6n: Por breveaad, un circulo de centro C y raX dio R se designar6 C (R). Los puntos B , C, D, E son intersecciones del círculo O (OA) con los círculos A (OA),

y-"

B (OA), C (OA), D ( O A ) . El punto X es la intersecci6r. de los círculos A ( A C ) y D ( A C ) . El punto Y se obtiene como intersecci6n de X (04)y O ( O A ) . Demostrarque AC, O X , A B , A Y son los lados de polígonos regulares de 3, 4, 6, 8 lados inscriptos en O (OA).

6. Conservando las notaciones del problema anterior, describanse arcos C ( O X ) y E ( O X ) que se interceptan E en 2. Describase 2 ( O A ) que intercepta a O (OA) en T. Demuestrese que A T y 02 son, respectivamente, Iados del pentBgono y el decagon0 regularesinscriptos en O ( O A ) .

7. Idbese una construcci6n del polígono regular de 15 lados.

17. Significado geométrico de las operaciones con números complejos. - La representación geomktrica de los números complejos

explicada en el Párrafo 11 abre el camino para las aplicaciones de los números complejos a lageometría. Es evidentequeuna construcci6n geomktrica resultará como unaimagendecierta operaci6n realizada

N U M E R O S COZPLEJOS

con números complejos. Aquí nos concretaremos sólo al examen de las construccionesquecorrespondenala a d i c i h , sustracci6n,multiplicaci6nydivisióndenúmeroscomplejos,juntoaunaspocascuestiones adicionales que pueden ser útiles en la solución problemas los de siguientes. Los números / complejos están representados por puntos o por vectores, todos con su origen en O . E n lo que sigue será necesario considerar vectores con orígenesarbitrariosparaexplicar l a noci6nde A equivalencia o igualdaddevectores. Dos vec,N

// ,'

tores A B y CD conorígenes en A y C, respectivamente,sellamanequipolentes si seencuentranenlamisma recta o en rectasparalelas y tienen el mismo sentido y la misma

" +

longitud. E n l a figura, A B y CD son vectores equipolentes. Uniendo los orígenes y los extremos de vectores equipolentes, en general se obtiene u n paralelogramo. La suma de varios vectores, por ejemplo de los tres vectores : "f

a = A B ; b = C D ; c = E F , s e efectúa de la siguiente manera:

E n el extremo B de a, colóquese el

vector BG con el origen en 3 y equipolente con 6; tómese G como origen y constrúyase el vector

G H equipolente con

"-f

Entonces,elvector A H -o unoequipolent,e-es, por definición, lasumade 10s vectores a b t c. Delafigurasedesprende que la proyección de la suma de vectores sobre un8 semirrecta 1 esiguala lasuma d e las proyeccion-sdeestosvectores;tomándosecada pro-

dirección segmento del correspondiente (tal o C J E REAL como A ' B ' , G' H', etc.)sealamisma quelade I o l a opuesta.Seráahora fácil describirlaconstrucción correspondienteala suma, denúmeros complejos. Estandorepresenz1 y zz por los puntos 21 y 22, sesutadoslosnúmeroscomplejos man deacuerdoala reglarecienexplicada paralaadicióndel vecI

gún quela

TEORIA D E ECUACIOlVES

+ +

tor O22 al 021; elvectorresultante presentará el número complejo

+ bl i

; '22

+ +

las proyecciones de Ozl y respectivamente :

O t será su suma, y el punto 22. Dehecho, si = a2

+ bz i

sobre los ejesreal

022

al;

re-

e imaginario,serán

; b l ; bz;

"-t

proyecciones de O l son:

por lo tanto,las

al y en consecuencia:

= al

Y b1

+ a2 + i (bl + bz)

= z1

22.

Nótese que la figura 0 2 1 22, en general es un paralelogramo, siempre que los puntos O, zl, zz no e s t h alineados. E n el triángulo Ozl 5 el lado O < es menor que la suma de los otros dos, 10 que conduce inmediatamentealadesigualdad IZl+ZZ1

1211

+ lzzl

siempre que los puntosO, 21, 22 no est& alineados. La misma desigualdad valeauncuando O, zl, 22 est6n alineados, si 21 y 22 se encuentranen semirrectasopuestas con respecto a O; si se encuentran en la misma. semirrecta, entonces:

Ahora bien, si 21 y z2 se encuentran en la misma semirrecta que parte de O, los argumentos de los números complejos z1 y 22 son iguales y el cociente esunnúmerorealpositivo; recíprocamente, en el caso en que los argumentos de 21 y 22 sean iguales, O, zl,22 están alineados y &-ZI ' z1 y z2 se encuentran en una misma semirrecta. respectode O. Así, por medio dela representacióngeométricahemosdemostradonuevaproposición mente y demaneraintuitivala establecidaen el Párrafo 9. La construccióngeométrica parala sumadedosnúmeros complejosconduce inmediatamenteala correspondiente construcción dela diferencia z2 - z,. Esta diferencia está representada por el cuarto vértice del paralelogramo, tres vértices consecutivos del cual SOA: O, zl,z2. Evidentemente, el vectorque repre0

sentala

diferencia z2 - z1 es equipolente con el vector

~122.

NUMEEOS COMPLEJOS

La regla para la multiplicación de números complejos en forma trigonomdtricanosproporcionaunaconstrucciónsimplepara el producto de dos números complejos z1 y ZZ. Antes de explicar esta construcci6n. es necesario explicar lo que se quiere significar por sentido al referirnos. al triángulo ABC cuyos vertices se toman en el orden indicado. Yende de A a B , de B a C y volviendo nuevamente de C a A , el interior del triángulopuedequedarsituadoya a laizquierda,yaaladerecha; en el primer caso decimos que tiene sentido positivo; en el último, q u e tiene sentido negativo. ,4sí, el triángulo ABC representado en la figura. tienesentidopositivo; pero el mismotriángulo, si susvertices se toman enel orden ACB, tendrá sentido negativo. Uniendo el punto z1 con O y 1, se forma el triángulo 0121. Tomandoahora 0 z 2 como lado correspondiente a 01, construimos otrotriángulo Oz, 5 semejantea 012, esdecir, con el mismo sentido ángulos y iguales en los 2 -21zt verticescorrespondientes. Si $1 y $2 son los án-

ii"

gulos entre el ejs real y los vectores

-021

022,

"-t

por construcción el ángulo entre el eje real y O < es $1 42. El argumento de I es: $1 4-$2. Además, designando con p, rl, r2 lasdistanciasde O a T, 11, zz respectivamente,sedesprendedelasemejanzade O l a y 022 5 que:

"p - r z

los tri6ngulos:

1 '

en consxuencia p = r1 rz es el módulo de 5. Por lo ta.nto, 5 representa alproducto z1zz. Puedeefectuarseunaconstrucci6nsimilarpara re-presentar el cociente z1/zZ4

Sean los númeroscomplejos zl, 22, T, representadosportrnspuntos. alineados. En este caso, comopuedeverseenla. figura, los puntos O, '5 - zl, z2 - z1 estántambien alineados, y por lo tanto los argumentos de '5 - z1 y 22 - z1 o son iguales o difieren en T . E n 2 consecuencia, 6-21

22-22

o sea

T - 21 = h (22

- 21)

+ 'h

= (1 -1) 21

22,

donde A es un nilmeroreal. Es evidentequela recfproca t a m b i h e s verdad; es decir, si h es real, los puntos I, zl,22 están alineados. El nú-

TEORIA DE ECUACIONES

mero h enlaf6rmulaprecedentetieneun nando por r la distancia entre z1 y

significadosimple. y por

el segmento z1 L, tomado

positiva o negativamente según que la dirección de direcci6n

5 coincida con la

zz o sea opuesta a dla, evidentemente h es igual a la raz6n

1 2 z1zz, y estárepresentadoporelnúmero r/p.

+ .zl

Desig-

“f

E n particular, si A

-, el punto ‘i es el punto medio del segmento complejo

El vectorcorrespondiente a i (zs - zl) esperpendicular a larecta I que une z1 y zz; en consecuencia, es fácil ver que los números complejos

+ i h (zz -

zl)

donde 1 es real, representan puntos de la recta trazada por un punto arbitrario a y perpendicular a E . Problemas 1. Construir un trihgulo X Y Z , dados los puntos medios P , Q, R de los lados X Y ,

YZ,zx.

SUGESTI~N: Sean

2 , y,

z números complejos que representen los vertices desconocidos

X,Y , Z , y p , q, r números complejos que representen P , Q, R. Entonces:

z y = 2 p; construcci6n el origen puede colocarse

2 q; z x = 2 r. Por simplicidadde por ejemplo, en P. y

2. Construir un cuadrilhtero X Y Z T dados los puntos medios P , Q , R , S de los lados X Y , Y Z Z, T , TX.E l problema s610 es posible si P , Q, R, S satisfacen una cierta condici6n. ¿Cual es el significado geometrico de esta condici6n? Satisfecha esta condici6n, el problema es indeterminado. 3. Dados los puntos medios de cinco de los lados de unexhgono, jc6mo puede ubicarse el sexto para que existan exhgonos tales que los puntos medios de suslados sean los dados?

4. Dados los puntos P , Q , R tales que dividanlos lados del trihgulo X Y Z en segmentos cuyas razones sean:

XP PY

” ”

construir eltrihngulo.Discutir gulo.

Q - .2 . -Y =

1 ’ Q Z

I ’ R X

-=-

la condici6n para la existencia de un verdadero trifin-

5. Los números complejos z = a (b “ a ) t , donde númeroreal variable, representanpuntosdelarerta

z=a”(b-a)t

y b son complejos dados y t un

ab. Demostrarquelasrectas

; z=c+(d-c)t’

XOMEROS COMPLEJOS son paralelas si

z ( g ) =o, y perpendiculares si

+=)=O. 6. iC6mo puede hallarseel punto deintersecci6n d e 1 s rectas delproblema 5 si n o SOD paralelas? E l valor de t para el punto de intenecci6n est& dado por:

a-c

b-a tl-( (dd- -c c) )

- =o.

7. Si 21, 22, 23 rzpresentan los vertices de un triBngulo, demostrar que las medisnas se cortan en un punto y hallar el número complejo correspondiente a este punto. 8 . Los ndmeros complejos 21, 22, 23 representan los vertices de un trihnngulo ZIeZa de sentido positivo. Si a, b, c son las longitudes de los lados 2122, 2223, zlza y A, B, C los &ngulos opuestos,demostrar que z1 - 22 23

- Z?

- (cosC + i sen C) a b

A d e d s , utilizando la id:ntidad (21

- 22)

demostrar que

(22

senA a

c b

23 -21 ~

- 23)

-=-=-

;

= -(COSA - i s e n A ) .

-2 2

(23

- 21)

senB

senC

='o

b = a c o s C + c c o s A ; etc.

* 9.

dela

La media geométrica ~ 1 . ~de 2 los ndmeros complejos z1 y siguiente manera: Dibdjese la bisectriz Z del Bngulo

puede construirse

comprandido entre Ozl y 022 y por O la recta 1' perpendicu lar a 1. T6mese 23 simétricamente a zz con respecto a Z', y dibdjeee un circulo que pase por los puntos ~ 1 ~ 23~ y2 corte , a 1 en los puntos 5 y - I;. Estos dos puntos representan dos valores de la media geom6trica.

* 10. Con base AB = 2 a construir un trihgulo ABX conociendo el producto de los lados A X . B X = m2 y la diferencia de los 4ngulos 4: ABX - 4: BAX = 6. SUGESlT6N: T6mese la base AB como eje real, el origen 0 en su punto medio, y sea X el ndmero complejo que representa elvértice inc6gnito X. Las condiciones del problema nos llevan a l a ecuaci6n X2

o bien

d-mz

(cos 6

"isen

a),

La construcci6n de X surge del Problema 9.

CAPITULO I1 POLINOMIOS DE UNAVARIABLE

1. Las funciones racionales enteras o polinomios. - Una expresidn de la forma

+ alxn-l + . . . + a,

aoxm

en la cual ao, al, . . . , a, son números dados (reales o imaginarios) y la x es la variable, se llama jun.ción racional enterade x o polinomio en x. Las constantes ao, al, . . ., a, se llaman coeficientes, y los monomios separados : a. x,

; al x n - l ; . . . ; a,

s e denominan términos del polinomio. Si a, + O, el polinomio es de grado n y aoxn es su término principal. Los términos con coeficientes iguales a cero usualmenteseomiten;mientrasque,porotraparte,antes del terminoprincipalpuedenagregarsetantostérminos con coeficientes .cero como se desee y todos los polinomios así obtenidos son considerados idénticos. Aun cuando estrictamente hablando, un polinomio debe contener la variable x, sin embargo, por una cuestión de conveniencia, escostumbreconsideraralasconstantesdistintasde cero como polinomios de grado cero. Un polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a cero, se llama idénticamente nulo y es reemplazado por cero. Al polinomioidénticamentenulono se le atribuye grado. Dos polinomiosse consideran iguales si sonidénticostérminoatérmino ; esdecir,la igualdad : a0 xn

+ al xn-l + . . . +- a, = bo x n + bl x,-! + . . . + b,

implica que : a0

bo ; al

bl ; . . . ; a,, = b,

A menudoesconvenienteintroduciren la notaciónde polinomios f (x); g (x); I#I(x): etc. ; y aún omitir la x, el uso de signos de función: escribiendosimplemente: f , g, etc., si nopuededarselugaradudas procediendo asi. El resultado de la sustitución de un número a en lugar 40

POLINOMIOS DE U N A VARIABLE

d e x: enun polinomio f ( x ) , esunnúmerollamadovalor numCrico d e dichopolinomiopara x = a y seindica con j ( a ) . Asi, para los polinomios:

f(x)

=323-2+2,

h(2) =

tenemos f(-1)

g(x) =4x"x~+2z-",

4 2 x 2 - (3 + 4T) x

=o ,

g(i)

3 +3i

+4,

h(1) = 1.

2. Multiplicación de polinomioc. - La adici611, sustraccih y multiplicaci6n de polinomios se conoce suficientemente bien de los cursos elementalesdeálgebra.Solamentepuedeagregarseunaobservaci6n d e naturalezapráctica con respecto a lamultiplicaci6n.Sideseamos por ejemplo,multiplicar los polinomios: x2+x+l

X 2 - X f l

l a disposición usual de los polinomios es la siguiente:

1) x (x2 -( x 2 - x 'x - xJ x2 x3 - 22 2

52-5 22

+ x + 1)

+1 1

Esteprocedimiento,sobretodocuando los polinomios a multiplicar tienen muchos t&minos, supone un trabajo inútil bastante considerable a l escribir las potencias de x. Esto puede evitarse usando el mCtodo de los coeficientes sepurados. En este metodo escribimos solamente las sucesiones de los coeficientes de los polinomios quedeseamosmultiplicar, comenzandocon los principales, y sinomitir los coeficientes nulos. Entonces, los coeficientes deunode los polinomios se multiplicanen orden por el primer, segundo, tercer, etc. coeficientes del segundo polinomio, y los renglones de números se disponen uno bajo el otro de tal maneraquecada reng16n est6desplazadounlugar a laderecha con respecto al precedente. Sumando los números que se encuentran en una mismacolumnaobtenemos los coeficientes ordenadosdelproducto, y finalmenterestitufmoslaspotenciasde x faltantes. Por ejemplo, la operaci6n realizada más arriba puede ordenarse como sigue: 1-1 1 -1 1

1 -1

1 1

1 1 1

1 1-1 1 1 o 1

T E O B I A D E ECCACIOKES

tic manera que

el productoresulta: x4tOx~+x2+Ox+1 =x4+22+1.

Como otro ejemplo, multipliquemos: x5+x3-222+3

por

224"323+4x~".

E n este ejemplo el cálculo se dispone como sigue: 1 2

1-2 O 2-4 "3 0 - 3 4

2 "3 6 "7

demaneraque

O 6

-1

4-8

6 0 - 9

0 - 1 9 -2 -10

x o

2 -430 - 1

12 2 14

0-3 O -3

el producto es:

2x9-3x8-/-6x7-7xG+9x5-2x4-10x3+13x2-3.

TJno dc los renglones estaba compuest'o de ceros, por lo que es obvio

quc podía omitirse.

Debe agregarse una advertencia más de importancia teórica: Si dos polinomios no idénticamente nulos f (x) y g (x) tienen términos principales ac xn y b o xm, el término principal del producto será a0

bo x n + m

y el coeficiente difiere de cero; por lo tanto j" ( x ) . g (x) es un polinomio no idhticamente nulo. En consecuencia, si

f (x> 9 (x)

= 0

ser u n polinomio idénticamente nulo.

uno de los factores debe

Problemas Multiplíquense por el ndtodo de los coeficientes separados: 1.

+ x3 + x? + x + 1 por

2. 2 x4 - 3 z3

25--x2"

x4 - z3

+ x? - x + 1.

+ x - 1 por z3 + 3 x? - 1.

- 5 x2 - 2 por x4 - 4 x3 - 5 x? - 2 . +z3-z

+ 1 por

+ 7 s ? - z + 1.

3s3

3 . División de polinomios. - La división de polinnmios requiere una explicacih más detallada. Sean:

+ ulxn-l + . . . + a , g ( x ) = bozm+ blx" + . . + b,

S(.)

= aoxn

POLINOMIOS DE U N A VARIABLE

dos polinomios de grados n y m respectivamente, por lo que a0 y bo z O, y sup6ngase que n 2 m. Eligiendo en forma apropiada una constante ca se puede obtener un polinomio:

f (x) - co xn-

9 (2) = f l ( 2 )

que sino es idhticamente nulo,será suficiente tomar co =

degrado

n1 < n ; para &to es

-.a0 bo

Mientras sea nl L m puede encontrarse una constante fi

(x) - Cl xnl-

tal que:

g (x) = fz (x)

que si no es identicament,enulo,serádegrado n? < nl. Si n z L m, puede repetirse el mismo proceso. Ahora, los grados de los a restos parciales f i (x); fi (x); . . . forman una sucesi6n decreciente, de manera que habrá algún primer resto parcial f k + l (x) que, o bien es identicamente nulo, o es de grado nk+l< m. Reemplazando f1 (x) ; fz (x); . . . ;fk (x) por suvalor,tomadodelasidentidades: ))

f (x) - ca xn-m g (x) = fl (x) (x) - c1 xnl- g (x> = f2 ( 2 ) ........................... fk(Z) - Ckxnkg (2) = fk+l (x)

y poniendo por brevedad:

obtenemos la identidad:

en la cual r (x) es de grado menor que m o es identicamente nulo. Los polinomios q (x) y r (x) se llaman cociente y resto de la división de f (x) por g (x) y se encuentran por el proceso antes descripto, que es esencialmente igual al que se enseña en los cursos elementales de álgebra. Igualqueenlamultiplicación,enlapráctica es ventajosoevitar 2 usando el m6todode los coeficientes elescribirlaspotenciasde separados B . Por ejemplo,dividamos x8+x7+3x4-1

por

x4-3x3+42+1.

Al escribir los coeficientesseparadosnodebenolvidarse

los coefi.

4.4

TEORIA DE ECUACIONES

cientes nulos de los t6rminos faltantes. La operación se dispone como sigue: Dividendo

1 1 0 0 3 O O 01 -- 13 1-3 o 4 1 4 0 - 4 2 O 4 "12 O 16 4 12 - 4 -14 -4 O 12 -36 O 48 12 O 32 -14 - 52 - 12 O 32 -96 O 32 128 - 1 82 - 52 -140 - 31 - 1 82 -246 O 328 82 192 " 1 3 0 -360 -83

Divisor

o 4 1 4 12 32 82 Coc!ente

Resto

Por lo tanto el cociente y el resto son x4

+ 4 x3 +

12 x2

+ 32 x + 82, cociente

194 x3 - 140 x2 - 360 x - 83, resto e idknticamente:

~ ~ + ~ ' + 3 2= ~ (- x1 ~ - ~ x ~ + ~ z + ~ ) ( x ~ + ~ x ~ +

+ 12x2 + 3 2 2 + 82) + 1

9 4~ 1~ 4 0 ~ ~ - 3 6 -83 0~

Si el resto de l a división de f (x) por g (x) es cero, es decir, si

f (x) = 9 (2) Y (2) donde q (x) es un polinomio,sedice que f (x) es divisible por g (x) o que g (x) es un divisor de f (x). Lógicamente, ningún polinomio que no sea idhticamente nulopuededividirseporotro de gradomayor. De esto puede inferirse que en una identidad de la forma:

f (x) = 9 (x) Y1 ( 2 ) + r1 (x)

donde q1 (x) y r1 (x) son polinomios y r1 (x) es, o bien cero, o tiene grado menor que g (x), q1 (x) y r1 (x) coinciden con el cociente y el resto obtznidos por división. E n efecto, si

f (x) = g (x> ~1 (x) entonces g

(x) [@(x)

(x) = 9 ( 2 ) q (x) t r (x)

(211 =

( 2 ) - 7.1

(x)

quedemuestraque r (x) - r1 (x) CY divisible por 9 (x). ES imposible que r (x) - r1 (x) no sea idénticamente nulo, puts en ese caso SU grado

POLINOMIOS D E U N A VARIABLE

sería menor que el de g (x) y no podria ser divisible por g (2). Por lo tanto TI (x) = P (x) y tambibn q 1 ( z ) = q (x). La simple advertencia siguiente serti necesaria m4s adelante: Si dos polinomios f y fl son divisibles por g, entonces para polinomios 1 y k, el polinomio

g. En efecto, por hip6tesi~

ser6 divisible por

f donde q y

= gq ; I 1=

son polinomios; por lo

?f e s divsiiblepor

llfl

Lfl

w 1 ,

tanto:

= g (Zq

t 11 qd

Problemas Dividase por el m6tcdo de los coeficiente separadca por z 4 " 2 + l .

1. z 7 + 3 z ( " 2 z 3 + 3 X 2 - Z + 1

2. 2 z ~ - 3 z ~ + ~ ~ - 3 x ~ + 5 z ~ - 4 ~ ~por+ 2~Px- 3- zl 2 + z - 1 . por x 2 + x + 1 .

3. z 6 - 3 z 2 + 6 z - l 4.

+ + 1 por + z + 1. (z + 1)'- 1 por + z + l)*.

210

2 6

(2'

4. El teorema del resto. - El resto de l a divisi6n de un polinomio por un binomio x -- c, donde c es un número arbitrario, puede encon-

trarse sin realizar la divisidn, por medio del siguiente teorema, que es importante apesarde su simplicidad:

Teoremadelresto. - El restoobtenido enladivisiónde f (x) por (x - c) es igual al valor numéricodelpolinomio f (x) para x = c , es decir, a f (c). DEMOSTRACI~N: Por ser el divisor de primer grado, el resto ser6 una eonstante T. Llamandoalcociente q (x), tenemoslaidentidad: J(z) =

(x - c ) q (z)

+r.

A l sustituir x por c en esta identidad, debemos obtener números iguales. Ahor?., por ser r una constante, no está afectada por esta sustituci6n y el valor del segundo miembro para z = c será (c

- c) q (c)

+r = r

T E O R l d DE ECUACIOSES

mientras quc el primer miembro es f (c) ; por lo tanto:

que f(z)es tliyisihle por (x - c ) sólo si

Se deduce de este teorema j ( c ) = o.

Ejemplo 1 . Dcrnostrar quc J" (x) = z3 x')- 5 x 3 (1s divisible por x este caso c = - 3, y por lo tanto tcncmos que calcular

+ 3.

f(-3)=-27+!)+15+3=0 por lo tanto J

(.c)

es divisihle por .c

+ 3.

Ejemplo 2. llclnostrar que x" - cn es divisible por z -c. Esto cs cierto puesto que - c n = O ; rl reciente, hallado por división ordinaria, es:

+ c? X7L-3 + . . . + c""l.

y-1 + cx7"

Por lo tant,o 2:" c n ('S divisible por .z par el resto desp11i.s de dividir e s 2 cn.

+ c (para c # O) shlo si n es impar, y para un n

Problemas Sin cfectuarla 1. x4

clivisihdemostrar

que:

+ 3 z3 + 3 x? + 3 z + 2 es divisible por x + 2. 3 x4 + - 2 - 3 es divisible por x - 3.

x5 -

3. Si n y b son tlistintos y f (x)es, separadamente, divisible por trar que cs divisible por (x - a) (x - b).

-a

- b demos-

Sin efectuar la divisiiin demostrar que: 4. 2 x4

- 7 23

- 2 9 + 13 z + 6

es divisible por x? - 5 x

+ 6.

+ 1. 6. + 4 x6 + 3 z 4 + 2 + z + 1 es divisible por z2 + z + 1 . 7. Drmostrar que (.r + 1)" - 1 es divisible por x2 + x + 1 sólo si n es un nú5. 2 x6 26

+ 2 x5 + + 2 + x2 + 2 24

3-3

- 2"

mero impar no ciivisihlc por 3.

es divisible por x*

P O L I N O X I O S DE U N A VARIABLE'

5. Regla de Ruffini. - El cociente de la divisi6n por (x - c) puede determinarseporunprocedimientomuyconveniente, conocidocomo Regla de Ruffini. E n laidentidaddelPárrafo 4

f (x> = sustituyamos el cociente q (x) = bo Zn-1

(x - c) Q (5)

+ bl"x + . . . + b,-,

donde b o ; bl; b z ; . . . ; b,- 1 son coeficientes que se determinarán. Efectuando l a multiplicación,tenemos: (X - C)

+ (61 - cbo) xn"l +

(X) = boxn

+ (b2 - cbl)

(x - c) q (x)

+ (b.! -

Comoeste

boxn Cbl) "x

+ ... +

+ (b, - cbo)

+ ... +

xn-1 (bn-1

(bn-1

- Cbn-2) z - cbn-

+ - cbn-2)

+ T - cbn-1.

polinomio debe ser identic0 a a. x n

+ al xn-l + . . . + an-l x + a,

para d2terminar bo; 61; b2; . . . ; b,-1 y r igualamos los coeficientes de las mismaspotencias de x, obteniendo el grupo de ecuaciones:

bo = a0 ; b l -

cbo

al ; b2 - cb, = a2 ; . . . ; &,-a

bn-1-

an-l ; r - cbn-l = U ,

.ds donde se desprende que bo, bl, . . . , 3, y r se calculan ordenadamente de la siguiente manera:

bo = a. ; bl

+ cbo

; b2 = a2 b,-1

+ cbl ; . . . ; = anPl + cbn-2

;r =

cbn-1.

El cálculo es de naturaleza recurrente, yan l a práctica puede ordenarse más convenientemente así:

a. a. =

al a2 . . . cbo cbl . . . bl b2 . . .

a,-1

an ,

cbn-2

&,-1

b,-1

resto

coeficientes del cociente Todos los coeficientes de f (x) están escritos sin omisiones en el primer renglh, comenzando con el a o . El tercer rengl6ncomienza con

TEORIA DE ECUACIO3-E'S

no = bo que se multiplicapor c, el product,o seescribe en el segundo rengl6n y se suma a al; la suma bl se escribe en el tercer renglón. Nuevamente, b1 se multiplica por c, el producto se escribe en l a segunda línea y se suma a a z ; la suma se sitúa enel tcrcer renglón, y el mismo procedimiento se repite hasta que, en l a últ,irna columna, se encuentra el resto r . Las expresiones ind-pendientes para bo, bl, . . . , bn-l, r que se obtienen por sustituciones sucesivas son :

; b1

+ al

; bz =

= U ~ C

U O C ~

bn-l

T = a0 c n

+ a1

+ uz ; . . . ; + al c"-' + . . . + an-l

U ~ C

P-1

+ a2 cn--2 + . . . + a, = f (c)

cn-1

que es una segunda comprobación del teorema del resto. Considerando la sucesión de polinomios : $0

; $1

=.do

+ al

; f~ =

es evidente que: fi (2)

Por lo tanto Y

f; (X) =

- C)

[fo (c)

= a0 2'

bi = f l ( c ) xi-'

~ f i

xi--1

; .. . ; fn

(2) = 2 f n - 1 ( ~ )

+ an

+ . . . 3.a i .

O , 1, 2, . . .,i-

+ . .. +

.fi-1

(c)

f d (c)

El proceso precedentemente descripto para la obtención del cociente y el resto cuando se divide f (x) por ( x - c ) se conoce como Regla de Rvffini. Siendo el resto f (c), l a regla de Ruffini nos provee un medio conveniente para calcular el valor numCrico de un polinomio para un valordadodelavariable.

Los c6lcuIos necesarios se disponen como sigue: -2)

-7 -

Luegoel

-13

cocicnte es: 3 X' - 13 21

5 26

-62 -62

1 - 6

504 -246 124

123

-252

+ 31 - 62 + 123 - 252 23

2 2

496

POLINOMIOS DE U N A VARIABLE y el resto

r = 496

Ejemplo 2. Dividir por 2-1.

5x6-7x3 +6x2-22 +4

E n este caso el proceso por la regla de RIlcfini se reduce a sumas y puede dieponeree en dos renglones, como se indica:

5 5

O -7 0 - 2

-2

4 6

de manera queel cociente es: 5x"553-2x2+4x+2. y el resto

r =6.

Una simplificación similarocurrecuando proceso consiste únicamente en restas.

c = - 1,

caso el

encuyo

Problemas Mediante la regla de Ruffini determinese el cociente y el resto de dividir: 1.2x4-6z~+7x?-5x+l

por x + 2 .

por x - 3.

- x4 + 7 x3 - 4 x2

3 . 6 ~ ~ - 1 0 ~ ~ + 5 ~ + 3por x - 1,2.

4. 1 0 x 3 - 2 x * + 3 x - 1

por 2 x - 3.

5. x4

por 3 x

+ x3 - x2 + 1

6 . (TI -. 1) xn - T I X ~ " .f 1

+ 2.

por (x - 1)2.

7. Calcular f (0,75), siendo f (x) =

- 3 23 + 6 x* - x + 1.

+ 6 x3 - x2 + 2.

8. Calcular f (- 0,3), siendo f (x) = - 2 x4

Regla de Horner. - Dado que según el desarrollode

todapotencia 5'" = [c

+ (x - c ) ] " l

= Cm

+ mc-"

(z 4-

- c)

Newton,

m (TI - 1)

1.2

cm--2 (z - c)2

+ . ..

puede expresarse en potencias de x - c, siendo c un número arbitrario, cualquier polinomiopuededesarrollarseen formasimilar.Sea

f(z) =

A1(z-c)

+A2 (z-c)2+

... +An(2-c)n.

ECUACIONES T.EOBIA DE

Los coeficientes de este desarrollo pueden determinarse en forma muy conveniente por aplicaci6n repetida de la regla deRuffini. En efecto, -escribiendo

j (X) =A~+(x-c) f1 (X) ; f1 ( x ) = A ~ + ( Az~- c ) ~ .. . +A,(x-c)"" j1 (Xi =Al+(x-~) ji (x) ; ji (X) =A2 f . . . + A , (z-c)'"'

..............................................................

es evidente que A , se obtiene como resto de la divisi6n de j (x) por (x - c ) ; A l como restode l a divisióndelsegundocoeficiente f i (x) por x - c , etc. La disposici6n deesteprocedimiento conocido como Regla de Horner se entiende mejor mediante ejemplos. Ejemplo 1. Desarr6llesesegún las potencias de x

- 1:

j ( ~= )4 ~ 6 - 6 ~ 4 + 3 ~ ~ + ~ ' - ~ - 1

E n este caso la Regla de Horner se simplifica, reducihdose a sumas 1)

4 4

-6

21 2 6

5 14

-1

" 1

-6

LOS números subrayados, leidos dederecha aizquierda, t e s A o , A , , A2, . . ., A,. Luego:

j (z) = O

+ 6 (z - 1) + 14 (z - 1)2 + 19 (z - i ) 3

Ejemplo 2. Desarr6llese j

e n potencias de x

(2)

O -

19 -

4 -

10 14

3 2

z4- 6 X*

representan 10s codicien-

14 (Z -

+ 4 (z - 1)'.

+ 2. E l esquema de cBlculo de la Regla de Horner es, en este cam: -2)

1 1

-2 -2 -2 -2

0 - 6

-2 4

-6 -2

1 1

-8 -

8 6 12 18 -

-12

- 8 -

-8

-7

POLINOMIOS VDE ARU I ANBAL E

Por lo tanto:

esel

deearrollopedido.

Problemae Desarr6llese:

- 2 en potencias de z - 1. 2. 2 5 - 6 za + z2- 1 en potencias de 1.

+ 1.

+ 1 en potencias de z +2.

3. - 4 z 6 + 2 z b - - z

4. 3 z 4 + 6 z 3 + 9 - 1

en potencias de ~ - 0 ~ 3 .

7 . Fórmula de Taylor. Los coeficientes del desarrollo de un polinomio en potencias de x - c, dependen de una manera simple, de 10s valores numericos de este polinomio y de sus derivadas en z = c. Mientras la noci6n de derivada de una funcih, en general, est& íntimamente ligada a la idea de limite y por lo tanto, pertenece con m&s propiedad al cálculo diferencial, en el caso especial de los polinomios, las derivadas puedendefinirsealgebraicamentesinreferenciaalguna a limites. L a derivada f' (x) de un polinomio f (x) puede definirse coino el coeficiente de la primera potencia de h en el desarrollo de f ( z h) en potencias crecientes de una variable auxiliar h. De esta definici6n y del desarrollo del binomio :

(z -. c

+ h)" = (z - c)* + n (z -

C)""1

+ .. .

se deduce inmediatamente que l a derivada de (z - c)" es n (z -c)'"' y, e n particular, que nzn" es Ia derivada de xn. Aún m&s, es evidente que multiplicando un polinomio por una constante, su derivada queda mult.iplicada por esa constante y que l a derivada de la suma de polinomiosesiguala la suma de sus derivadas. De esto es f&cil sacar la. conclusi6n dequeladerivadade

f (x) = es

a0 2 ,

f'(z) = naoz""

a1 zn-1

+ . . . + an-1 + a,, 2

+ (n - 1)

alzn-2

+ . . . + a,,+.

Puesto que f' (x) es un polinomio, podemos considerar su derivada, f" (z), de /(z). En forma similar, la que se llamasegundaderivada derivada de la segunda derivada es la derivada tercera, f"' (z), de j (z), etc6tera. Ahora, t6mese el desarrollo

f (z)= Ao

+ A I (Z- + A2 C)

-c

+ . . . + A , (X - c)"

) ~

ZEORIA DE E C U A C I O S E S

y fórmenselassucesivasderivadasdeambosmiembros:

(X)

... +~A,(X-C)"-~

= A l + ~ A ~ ( x - c ) + 3 A 3 -(c~) * +

f" (X) = 2 A 2 + 3 . 2 . A 3 ( ~ - ~ ) + . . . + n ( n - l ) A , ( ~ - ~ ) " - 2

f"'(z)

3.2.A3 +4.3.2.A4(z-cj

+ ,..

. . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

Tomando aquí x

= c,

encontramos

.y, engeneral:

f(') (c)

1 . 2 . 3 . .. i

Luego, el desarrollo de f (x) en potencias de (x - c j toma l a forma

+ . . . + 1 . f'"' 2 . 3 . .. n (c)

(x - c ) n

que se conoce con el nombre de fórmula de Taylor. La regla de Horner, que sirve para calcular los coeficientes de este desarrollo, constituye un método conveniente para calcular los valores numéricos de un polinomio y sus derivadas para un dado valor de su variable. Problemas Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios y de sus derivadas para el valor d e z indicado: 1 . -x4

+ 623 + x - 1

para x

2. ' 2 ~ 5 - 7 ~ 3 - - 1 0 3 ; ~ + 2 ~ - 6 para x = -1. 3. 4 2 3 - 7 z s 2 + 5 z + 3

1 1 1 4. --24--x3+-"2--2+1 4 2 6

para x = - 2 . 1

para z =

8. Máximo común divisor de dos polinomios. - Dos polinomios pueden ser divisibles por un mismopolinomio, que se llamaentonces común divisor. Por ejemplo, los polinomios: x4

+ 4x3 + 4 x 2 - x-

(x 3- 1) (x 3- 2) (xZ

+ x - 1)

2~+2X~+z~+3x2+3X+2=(x+l)(x+2)(x4-x3+X2+1)

POLINOMIOS DE Uh'A V A R I A B L E

tienen los divisores comunez 2+1

; 2 + 2 ; (.+1)(2+2)

=x2+32+2.

De todos los divisores comunes de dos polinomios, se asigna especial inter& al divisor común de grado máximo. Esta expresi6n se denomina mrizimo común divisor. Veremos en seguida que el máximo común divisor es esencialmente Único, y que puede encontrarse por una serie de operaciones regulares. Sean dos polinomios dados j y $1. Dividiendo f por fi, sea qz el coeficiente y fz el resto tal que =

+ jz .

Si fz no esun polinomio identicamentenulo,podremoscontinuar dividiendo j l por j 2 , obteniendo un cociente 92 y el resto j3 tal que = j2 q 2

3- f 3 .

Nuevamente, si $3 no es idhticamente nulo, la divisi6n de lleva a otra identidad j2

3 p3

por j3

+ j4 ; . . . etc.

Desde que el grado de los polinomios j1; jz; js; . . . disminuye y Ias operacionespuedencontinuarsemientras el últimorestoobtenido no sea un polinomio idhnticamente nulo, debemos llegar a un resto fr que dividaexactamentealrestoprecedente,demaneraquetendremos r identidades: f = S 1 q 1 4- f 2

+ j3

= j i qe

jr-2

= jr-1 qr-1

jr-1

= jr q r

........... . . . . . . . . . .

+ jr

Deestasidentidadespuedeinferirse:primero:que j r es undivisor común de j y j1; y segundo: que cualquier divisor de estos polinomios divide a f r . Para demostrar el primer punto observamos que fr divide a .fr-.l, por lo tanto divide tambi6n a fr-2

= fr-1 qr-1

Nuevamente, desde que j , divide a j-1 y fr-2 dividirh a fr-3 y continuando de la misma manera, podemos deducir finalmente que j r divide a

f Y

fl.

Para demostrar el segundo punto, supóngase que Entonces, como se puede ver de la identidad f2

=j -

jl q 1 ,

d divide a f y j i .

TEORZA DE ECUACIONES

d dividirá a j i y jz. En la misma forma, la identidad f3

= fi

-fin2

demuestra que d divide a jz y f a ; continuando el mismo razonamiento, concluimos que d divide a fr-l y f r . Desde que todo divisor común de f y j: divide a j r , ninguno de ellos puede ser de mayor grado que jr, por lo tanto, jr es un divisor común de grado máximo; y, si d es otro divisor común del mismo grado, divide afr y el cociente es una constante. l,uego, hay infinitos divisores comunes de f y fl de grado máximo, pero todos ellos s o n dc la forma cfr

donde c c's una constante arbitraria. En cuestiones de divisibilidad, los polinomios que difieren únicamente en un factor constante, no pueden scr considcradns como esencialmente dist,intos. En este sentido hay un (mico m5ximo común divisor, que puede ser el polinomio jr,determinado dcacuerdoalalgoritmodescriptoanteriormente, o bien cjr, donde la constante c se elige dc manera de tener t l resultado más simple. Put:dv sucederque cl mismo ir sea una constanteeneste caso los polinomios no tienen divisores comunes y se denominan polinomios sin divisorcs comuws o polinomiosprimos entre sí. El procedimient,o de. tiivisioncs sucesivas por medio del cual se determina el máximo comilrl divisores similar a l algorit,mo deEuclides que se usa enaritm6tica. para encontrar 21 mdximo c,omún divisor de dos, enteros. Por analogía se llama algoritmo de Euclides aplicado a los polinomios. Ejemblo 1. Encontrar el m&ximo comúndivisor

f =26+2~+++3zs:+3z+2

f ~ = 6 + 4 ~ + 4 1 " 2 - 2

El primer paso en o1 algoritmo de Euclides

es dividir f por

f1.

liza con los coeficientes separados como sigue:

1 1 -2

-2

-1

"4 "8

-8

4 4

El primer resto cs

-2

2 10 16

-6

3 16 -13

-1

-2

4 4

La divisi611 se rea-1

-2

2 "8

-4

j ~ = - 6 ~ ~ - 1 3 ~ * + 3 ~ + 1 0 .

Ahora tcnemos que dividir fl por fz. Esta divisidn jntroduciria coeficjenks fraccionarios y, para evitar este inconveniente, podemos multiplicar f l por 6; de esta manera fz.

POLINOMIOS VARIABLE DE UNA

estarti multiplicado por una constante, la cual no tiene importancia para nuegtro propbsito. La siguiente operaci6n es, por lo tanto: 6 6

24 13

- 6-6 -10

24 -3 27

-12

-13

-1

-12

-11

Nuevamente,paraevitar fracciones, multiplicamos los números del último rengl6n por 6; esto cambia el resto final de manera que en lugar del f 3 que obtendrlamos por el procedimiento corriente, t,endremos f 3 multiplicado por una constante. L a operaci6n continúaasí: 66 66

- 72

162 24 142-110 -33 19

38 .

Todos los coeficientes tienen aqui el factor 19; simplificando podemos tomar como f 3 f3=~’$3~+2. Tkngase en cuenta que en el reng!6n en que se escriben los coeficientes del cociente, los números ya no represent,an dichos coeficientes. Pero esto no tiene importancia, ya que no nos interesan los cocientes, sino solamente los restos y de Cstos no nos preocupan los factores constantes. Ahora tenemos que fividir f 2 por f3. Esta divisi6n -13

-6 “6

-18 (-6

15 15

10 10

-12

5 5

3 5

I 1

finaliza con resto nulo. Por lo tanto las operaciones terminan aqui y el maxim0 c o m b divisor pedidopuede ser Z2+3Zf2.

Ejemplo 2. Encontrar el mhximo común divisor de

Y Aqui, antes de cumenzar la divisi6n, se multiplican todos los coeficientes del primer polinomio por 5; entonces, el procedimiento continúa de la siguiente manera: 5 5 Multipliquese por 5 Simplifiquese por 24

-5

“4

-1 “5 -5

-10 -6 -4 -20 4 -24 1

10 4 6 30 6 24

-1

5 1 4 20

24 -1

Podemos tomar :

2s-22-2

-5 -25 -1 -24

5 11

4 -1

PEORIA DE E C U A C I O N E S

Luego: 5 5

"4 -5

-6

-5

1 1

-1 "1

-1 -1

1 1

y puesto que no hay resto en esta divisi6n: f2 =

es el m;lxirno comúndivisor

za-x*-z

pedido.

XOTA:Si todas las identidades del algoritmo de Euclides aplicado a f y f l se multiplican por un polinomio arbitrario g, es evidente que 9f? ; 9f3; . . .; 9 f r

serán los restos sucesivos, de los cuales e¡ último Sfr, divide ai precedente gfrr-l. En conclusión: si el máximo común divisor de f y f l es d , el de gf y gfl será gd. En particular, si f y f l son primos entre sí, puede tomarse g como máximo común divisor de gf y gjl. En el Capítulo XI1 se harB referencia a esta observación.

Problemas EneuCntrese el maxim0 común divisor de los siguientes polinomios: 1.f=2x4+2x3--3~*-2~+l

;fl

=z3+2xz+2x+l.

2. f = ~ 4 - 6 ~ ' - 8 ~ - 3 ; fi = x 3 - 3 3 - 2 ,

3.f=225+4s4+23-~*+xf1

;f1=625-"24+5~+.:!~'-~+1.

4 . f = 2 2 6 + 3 ~ ' + ~ ' + 7 ~ ~ + 4 2 ' + 4 5 + ;5f i 5.f=102~-925-12x~+25~-"--1;f~

=X"X~-X"--~.

=4x5+;~-7x3-822"+1.

CAPITULO I11 Y SUSRAICES

LASECUACIONESALGEBRAICAS

1. Las ecuaciones algebraicas. - Sea f (x) un polinomio con coeficientes reales o complejos y grado L 1. Igualhdolo a cero tenemos la ecuación f (5) = 0

que se llama ecuación algebraica. En esta ecuaci6n la x representa un número desconocido que la satisface, es decir, que sustituido en f (x) d a cero como resultado. Cualquier número que satisface l a ecuaci6n propuesta se llama raiz; el problemaderesolverunaecuaci6nconsiste en encontrar todas sus raices. Las raíces de una ecuaci6n f [x) = O a menudo se llaman raices del polinornio f (x). Si el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. De acuerdo a que sea n = 1, 2, 3 , 4 , . . . , etc. tenemos las ecuaciones de la forma:

aox

+ a1 x + a2 = o a. x3 + al x2 + a2 x + a3 = O x4 + al x3 + 'X + aa X + a4 = O a0 x2

etc.

de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones: lineal, cuadrática, cúbica, cubrtica, etc. Se supone que el coeficienteprincipal a. es distinto de cero, aun cuando ninguna condici6n se impone a los otros coeficientes. Si c es u m raiz de la ecuaci6n

f (x) = 0 se deduce del teorema del resto quef

I (x> =

(2)

es divisible por (x - c), así que

- c>I1 (x)

donde fl (5) es un polinomio de grado n - 1, e inversamente, en caso de que f (z) tenga el factor z - c, el número c es una raíz de este polinomio. Si c1 es otra raíz distinta de c, tal que f(c1) = O, entonces, sustituyendo c1 enlaidentidadprecedente,tenemos: (c1 - c) f l (Cl)

TEORZA DE EGUACZONES

de donde, desde que c1 - c # O , se desprende que fi (cl) = O , es decir, (x) es divisible por x - ell o sea:

(x) = (x - c1) ji ( 5 )

donde j z (x) es un polinomio de grado n - 2. Por consiguiente:

10 que demuestra que, teniendo dos raíces distintas c y cl, el polinomio es divisible por (x - e) (x - el). Continuando de la misma forma, podemos concluir que f (x) será divisiblepor ( 5 - c)

(x - c1) . . . (x - c m - l )

si la ecuación f (x) = O tiene m raíces dist,intas: c, C I , cz, . . . , cm-l. Dos resultadosimportantespuedenderivarsedeesta conclusión : Primero: queda demostrado que una ecuación de grado n no puede tener más de n raíces distintas. En efecto, supóngase que c, c1, CZ, . . . , cn-l son n raíces distintasdela ecuación f ( x ) = O ; entonces, j(x) es de grado n y es divisible por (x - c) (x - cl) . . . (x - cn-l), que es también u n polinomio degrado n . Por lo tanto su cociente es necesariamente una constante que es igual al término principal a0 de f (x), de modo que:

f (x) =

(x - c) (x - c1) . . . (x - C " 4 )

y el producto del segundo miembro n o puede anularse para otros valores de x distintos de c, cl1czl . . , ~ , ~ - 1 . Segundo: si se conoce un número m < n de raíces dist,intas c, cl, . . . cm-ll las raíces restantes se encontrarán resolviendo la ecuación reducida : ,

fm(x)

- c)

f(5)

(x'- c1) . . . (x - C m 4 )

de grado n - m. Para obtener la ecuación reducida es provechoso dividir sucesivamente por cada binomio ( x - c) (x - el) . . . (x.- cm-l), utilizando la regla de Ruffini. Ejemplo 1. Resuélvase la ecuaci6n cu8rtica: ~ ~ - 5 ~ ' - 1 0 ~ -= 6O

conociéndose dos raíces: - 1 y 3. Los c8lculos para obtener la ecuacidn reducida se disponen como sigue:

-1)

1 1 1

-1

O 3

"5 -4 6

-10

-6 6

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS La ecuaci6n reducida es

22+22+2

y tiene las rakes

-1

Y SUS RAICES

+i ;"I-i.

Por lo tanto, ade& de las dos rafces reales -1 y 3, la ecuaci6n propuesta tiene doe imaginarias: - 1 i y - 1 - i; y siendo estas cuatro raices distintas, no hay otras raíces. Al mismo tiempo se tiene el factoreo

2"55*-10~+6=(~+I)(~-33!(~+1+i)(~+1"i) del polinomio dado en factores lineales, dos de los cuales Sinembargo, al efectuarmultiplicaciones tenemw:

(z+l+i)(z+l-ii)

=(z+1)2+1

tienen

coeficientes imaginarios.

=2*+22+2

y es asi que el mismo polinomio esta factoreado ahora en dos factores

cuadrdtico, pero de coeficientes reales 2 4

!inealee y uno

= (z+i!(z-33)(.~*+2~+2).

-5z2-10z-6

Aun cuando una ecuaci6n de grado n no puede tener m& de n rakes distintas, algunas veces el número de W a s puede ser menor que el grado de la ecuaci6n. A s í , en las ecuaciones: 22+22+l

23-22--~+1

esthn factoreadosen 2, 3 y 4 factoreslinealesrespectivamente,algunos aparecen repetidos.

Problemas 1. Escribase una ecuaci6n cúbica con a ls rakes O : 1; 2.

+ i ; 1 "i. 3. Escríbase una ecuaci6n cu&rtica con las rakes i; - i; 1 + i; 1 - i. 2. Escribase una ecuaci6n c6bica con las rafces 1; 1

4. Resuklvase

siendo

- una 2

rafz.

20~'-30~*+12Z-1 - 0

de l o a cuales

T E O R I A D E ECU.ACIONES

5. Una raia de la ecuaci6n cúbica

es a

+ 1. Hhllense

lasrestantes.

6. Resuelvase si: I

+ 47 y

23-(2.+1)z~+a(a+2)x-u((a+1)

2 ~ 4 - ~ 3 - 1 7 ~ 2 + 1 5 ~= +O 9

4-5son raíces.

7. a l l e s e el polinomio de menor grado que se anula para x = - 1; O; 1 y tom.. ei valor 1 para x = 2. 8. HLllese el polinomio de menor grado que se anula para z = O; 2 los valores 1 y - 1 para z = -1 y 1: = 1. 9. Resuélvase

dada la raíz

+ i; 2 "i y toma

z3-2(1$-i)x2-(1-2ii)x+2(1+2i)=O

+ 2 i.

19. Resuélvase

z4-(i+2Z)x3+(-~+~)z*+(3+6i)x+3-3i=0

dadas las raíces i y

1 1 3 .

2 . Teorema de identidad. - Del hecho de que el número de raíces distintas de una ecuación no puede exceder su grado, puede deducirse fácilmente el importante teorema que sigue: Teorema de identidad. - S i dos polinomios f (x) y f1 (x), ambos de grado no superior a n, toman valores iguales para más de n valores distintos de x, son idbnticos. cl, c:, . . . , cm son los m > n números distintos para los cuales f (x) = .fi (x), es decir, para los que D E N O S T R A C I ~ N : Supóngase que

f Si

(CI)

=S 1 (cl)

;

f (CZ) F

= f l (CZ)

(2) =

; . . . ;f

(cm) =

(cm)

f (x) - fl (x)

no es un polinomio identicamente nulo, entonces su grado perior a n . Sin embargo, la ecua3ci6n

m no es su-

F (X) = O tiene m raíces c1, cZ, . . . , cm todas distintas por hipótesis. Dado que m > n, el número de raíces distintas d e esta ecuación excede su grado, io que es imposible. Por lo tanto F (x) es idénticamente nulo y los polinomios f (x) y f i (x) son idénticos término a término.

LAS ECUACIONES ALGEBZAICAS Y SUS BAICES

El teorema que se acaba de demostrar tiene útiles aplicaciones.

enseñaremossolamenteuna.

Aqui

Ejemplo. Por el desarrollo de Newton, para cualquier exponente entero y positivo n se verifica: n n (n-1) n ( n - 1) (n - 2) (1 +z)% = 1 "z S'+ ... 1 1.2 '*+1 . 2 . 3

Los coeficientes 1

;

n * 1 '

n (n- 1)

n ( n - 1 )( n - 2 )

1.2

1.2.3

. ,

son los coeficientes binomiales. Introduciendo la notacidnusual

(:)=

t(t-1)

el desarrollo puede

... ( t - r + + ) 1.2 . . . r

, parar B 1 ,

escribirse así:

Escribase un desarrollo andogo para otro exponente entero m : (1.

.,m=

1.i.f)

. + ( ~ ) 2 2 + . . .

+(;).-

y multiplfqucnse. El coeficiente de cualquier potencia 9 dada, debe ser el mismo en ambos miembros. Multiplicando los segundos miembros, este coeficiente resulta ser:

y debe ser el mismo que el coeficiente de miembros, es decir: (1 2)" ( 1

z k en

2) m

el desarrollo del producto de los primeros

= (1

+ X)"+".

Se ve fhcilmente que este coeficiente es

Luego, tenemos una identidad numbrica:

para enteros positivos m, n, k arbitrarios. Reempkeae ahora a l o s enteros m y n por una variable 2 ; el primero y segtmdo miembros de ( 1 ) se transformarh en polinomios

TEORIA DE ECUACIONES

de grado k. Para tcdos los valores enteros z = 1 , 2 , 3 , . . , por lo que se ha demostrado, estos polinomios toman iguales valores; luego, son idénticos y por lo tanto la identidad

s e cumplir& para todo valor de z y no sólo para valores enteros. En particular, tomando z = k y teniendo en cuenta que, en general

+ ...

( k + l ) ( k + 2 ) ... 2 k 1.2 . . . k

Aquf, por supuesto, k es un cntwo positivo. Por un razonamiento similar, pero un poco m6s complicado, puede demostrarse que para x e y arbitrarios

que generaliza (1). La demostración directa de estas exDresiones sin recurrir al teorema .de identidad no serfa t8eil.

Problemas 1. Usando las identidades de este phrrafo demostrar

l+-”

2k-O

1.3

(k - l)

(2k--l)(2k-3)

1.2

k ( k - 1) ( k - 2 ) .(2 k 1.2.3

1.3.5 (2 k - 3) (2 k 1 para cualquier entero positivo k. T6mese z = - 2 +

2.1

+ ~.2 k2-k3

2k(2k“)

“f 2

-5 )

- 1)

(2k-3) (2k-5)

2.4

... -

2k(2k-2)(2k-4)

(‘Lk.-7)

(2k-3)(2k-5)

para cualquiercnteropositivo 3. Tomando x = -2

> 1.

T6mese z

demostrar q u e

12+22+ ... +k2

It. ( k

2.4.6. .. 2 k

1 3 . 5 ... ( 2 k - I )

1.3 -+ 1.4.6

... = 2

-. 2

+ 1) (2 k + 1) 6

3. ElTeorema fundamental del Algebra. - Xunca se rrcalcarh no todo problemamatemáticoquerequiera la suficientementeque

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS Y SUS BAICES

determinacih de algo, puede ser resuelto. Por ejemplo, si se requiere encontrarunnúmerorealcuyocuadradosea - 1, es obvioque tal requerimiento es imposible de satisfacer. Por lo tanto, cuando se da una ecuaci6n algebraica y tratamos de encontrar sus raices, aún admitiendo los números complejos, no resulta evidente que el problema sea resoluble. En este caso, sin embargo, todas las dudasse disipan por un teorema que, debido a su importancia, se llama teorema fundamental del Algebra.

Teorema fundamental. - Toda ecuación algebraica con coejicientes complejos arbztarios taene siempre por lo menos u n a raiz real o i m a g h a r i a . Seconoce un gran ntímero de demostraciones de este teorema, pero ningunaessuficientementesimplecomoparaserdesarrolladaen este lugar. Por lo tanto, lo tomaremos comobase para desarrollos futuros, pero sin demostrarlo. La demostraci6n se encontrad en el Aphdice I. Sea f (x) un polinomio con coeficientes complejos, de grado n , y con coeficiente principal ao. Por el teoremafundamental hay unnúmero real o imaginario al tal quef (al) = O . Luego f (x) es divisible por z - al y podemos poner

(2) =

(x -

al) fib>

siendo f i (x)un polinomio de grado n - 1 cuyo coeficiente principal es U O Por el mismo teorema, la ecuación fl

tiene una raíz real

o imaginaria

(x) = 0 a2,

y por consiguiente:

donde fi (x) es de grado n - 2 y con coeficiente principal ao. Si n > 2, el mismo razonamiento puede ser repetido hasta que se llegue a un polinomio de primer grado, ail, talque

fn-l

(x), con la raiz an y coeficiente principal

fn-l(z) =

(x - a,)

De la sucesión de identidades

f (x) = (x --

al) f i (x) ; f l

(x) = (x - az) fz (x) ; . . . ; fn-l (x) =F a0

- an)

por sucesivas sustituciones encontramos: f (x) = a. (x - al) (x - 012)

.. .

- a,) .

Esto significa que todo polinomio de grado n puede ser factoreado en n factores lineales, no contando entreellos la constante ao. Estos factores

TLCORIA DE ECUACIONES

no necesitan ser distintos. Supóngase que entre los números all a2, tenemos a números iguales a a

. .., a,

@ números iguales a b

. . . . . . ..... . . . . . . . . . .

h números iguales a 1

Luego,combinandolosfactores

f (x) =

iguales,vemos

que

(x - U)" (x - b ) @. . . (x - 2 ) k .

Los números a, b , . . . , 1 representan todas las raíces distintas de la ecuación f (x) -- O . Sunúmeropuede sermenorque n "grado de la ecuación- mientras que el número total de factores lineales es n. Para restablecerla correspondencia entreelnúmerode raícesy el número de factores lineales se introduce la noción de raíz múltiple. Una raíz a, correspondiendo a la cual el factor x - a, aparece a veces, se dice que es una raíz de multiplicidad a yse cuenta como a raícesigualesa a. En el caso de que a = 1, la raíz se llama raíz simple; en el caso de que a = 2, 3 , 4, . . . se llama raíz doble, triple, cuddruple, etc. Si cada raíz se cuenta d e acuerdo a la multiplicidad, la proposición de que una ecuación de grado n tiene siempre n raíces iguales o desiguales, es válida universalmente. Si a es una raiz de multiplicidad a, entonces en el factoreo dz f (x)el factor x - a aparece a veces. Luego, f (x)es divisible por (x - a)", pero no es divisible por (x - a)"+'. E n efecto, el cociente

4 (x) =

- a).

= an

(x - b)b . . . (x - Z)A

n o se anula para x = a, ya que todas las diferencias a - b ; . . . ; a -~ I, sondistintasdecero; luego 4 (x) no es divisible por (x - a).+' La condicicin para que una raíz a sea de multiplicidad a puede ser expresada $(x) enpotencias de (x - a ) , .de una manera diferente. Desarrollando por la fórmula de Taylor:

S'" (a) + . . . +"----1.2.3... n

(x - a)"

aparece claro que la divisibilidad por (x -a)", requiere el cumplimiento d e las siguientes condiciones : j(a)

; f'(a)

;

. . . ,. f(a-1)

(a) =

Y S U S RAICES

LAS ECUACIONESALGEBRAICAS

y una vez que estas condiciones se satisfacen:

Luego, si f (x) no es divisible por (x - a)"+', debe suceder que fa' (u) no seacero.Consecuentemente,lacondici6nparaqueunaraiz u sea de multiplicidad a es que: f(a)

;f'(u)

pero f'a'

; . . . ,. fb-1) (u) = 0

(a) #

Así, si u es raíz simple

(u) = O

pero f' (u.)

si u es raíz doble j (u) = f' (u) = O

pero f!' (u) z O ;

si a es raíz triple

f (u)

= f' (u) = f" (u) =

O pero f"' (a)

etc. Ejemplo 1. La ecuacibn

f(z) = z n - - n z + n - l

=O;n>1

se satisface para x = 1. J,Cu&les la multiplicidad de esta raiz? Tenemos f (2) = nzn-1- n

f" ( 2 ) = n (n - 1 ) zn-2 Luego:

f ( 1 ) = o ; f' (1)

; f' (1) # O

y 1, por lo tanto, es una rafz doble. El polinomio f (2) es divisible por por (z - 1)s.

- 1)'

pero no

Ejemplo 2. ¿Puede alguna otra r d z de Is ecuaci6n ser múltiple? Sup6ngrtse que una a, diferente de 1, es rafz múltiple.Entonces:

rafz

f(a)=in-na+n-I

De la segunda condici6n y sustituyendo

an-1 = 1

; Y ( a )= n ( a " " - I ) ;

por an en la primera ecuaci6n, tenemos an-na+n-l

Pero esto e8 imposible desde que a

= (1-n)(a-1)

-1 # O

y n

> 1.

=O.

TJ3OBIA DEECUACIONES

Problemas d. Escribirel

polinomio de menor gradoquepara z = O toma el valor 1 y tiene - 1 como raices simples, 2 como rafe doble y - 3 come

lrts siguientes rakes: 1 y raiz triple.

2. Dscribir un pohomio de s6ptimo grado con O y 1 como raicas dobles, rafe triple y que para z = 2 el polinomio tome el valor - 1. Descomponer en factoreslineales los simientes polinomios: 3.

z3--1.

26"

4. 1.

+ + 1. 11. z. + 1. 9. z A

10.

12.

-x4

13.

+ 4'- x7 - 1 .

* 16. Escribiendo "x

* 17.

= cos

+ 1.

1f i

___ 2

z3-

+ 1. (1 + zi)4 + (1 - z

44.

14. 2 ~ 5 - 3 ~ ~ - 2 ~ ' + 4 ~ ' - 1 .

X * + ~ Z ' + Z ' - ~ S - ~ .

15. (z

come

s4-l.

6. x4

d ' . x 3 --i.

-1

-+ i 2a

sen

+ z""2 + . . . + x + 1

-, demostrar que n

(x - 0 ) (z - 0 2 ) . . . (z - 0"

Demostrar que sen

SUGESTI~N: mgase ambos miembros.

-sen -. . . sen

n ( n - 1) 7c 2 , 1 n

= 1 en la identidad del Prob. 16 y t6mese el valor absoluto de

* 18. Demostrar que las raíces del polinomio l"+

x(2-I)

1.2

z(z-l)(z") 1.2.3

+ . . . + (-

l)n

z(z-1)

. . . (z-n+1)

1 . 2 . 3. . . n

son 1 , 2 , 3 , . . . , n y factorbese.

* 19. Si f (O)

# O y al, a?, . . . , a , son las rakes def f(2)

(

=f(O) 1"

:J( j 1"

(2)

+ z i p + (1 -Ti)"

y escribase el factoreo de

+ z i p + (1 - z i p 2

O, demostrar que

" . (1-5)

* 20. Encuhtrense las rafces de la ecuaci6n (1

m ,

21. Demuestrese que el Único polinomio de grado n 1 para z = 2 1 es

. . . ,x,, y toma el valor

donde g (2) = (X -21)

* 22.

Sean

21,22,

. . ., x,,, n

Y SU8 RAICEX

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

- 1 que se anula para

- 22) . . . (2 - 2,) .

números distintos y

g (x) =

- 21) (2 -x,) . . . (2 - 2,)

Demuestrese que el polinomio siguiente es de grado no superior a n - 1:

y que para x = xlr5 2 , . . . , x,, toma los valores yt, y, . . . ,y., Demuestrese t a m b i h que t a l polinomio es Único. Esta fbmula -la f6rmula de interpolacidn de Lagrange- resuelve el problema de la interpolaci6n: Encontrar un polinomio del menor grado que para n valores dados de x: 2 1 , xz, . . . , x,. toma valores prescriptos y ~ y?, , . . ., Yn.

4. Raíces imaginarias de ecuaciones con coeficientes reales. Todos los resultados establecidos anteriormente son d i d o s para ecuacionescon coeficientes complejos arbitrarios. Con respecto a las raices imaginariasde ecuaciones con coeficientes realestenemoselsiguiente teorema :

TEOREMA: S i unaecuaci6nconcoeficientesrealestiene una raZz imaginaria a bi de orden de multaplicidad a , tiene también la conjugada a -. bi con la misma multiplacidad, o sea que las rakes imaginarias apaTecende a pares de conjugadas.

Sea

DEMOSTRACI6N:

!(x)

= aoz,

+ alzn--l + . . . + a, = O

una ecuación con coeficientesreales y que tienen una raíz imaginaria a bi demultiplicidad a. Entonces:

f(a

+ bi)

O ;f ’ ( a

La primera igualdad t z o (a

+ bi)

O ; ...

... ;

significa que:

+ bi)” + al ( a + bi)“’

+ ai) = O

; j ( a ) (a

+ ai) # O.

+ . . . + a, = O ,

Cuando se reemplaza cada número en el primer miembro por su conjugado, el resultado será un número conjugado de cero, esdecir,cero

T Z O R I A D E ECUACIONES

(Cap. I, párrafo 7). Por otra parte, ao, al, . . . , a,, como números reales, coinciden con sus propios conjugados, luego, el conjugado de la ecuación anterior es: a0 (a - b i p

+ . . . + a, = o

(a - bi)"

o sea

f ( a - bi)'=

E n formasimilar, se demuestraque:

f'(a-bi)

; . . . ,. f(a-1)

f'a'

(a - bi) #

( a - bi) = 0

y restapordemostrarque

Por hipótesis f ( a ) (U

+ bi)

+ Bi

y A y B no son ambos nulos. El mismo razonamiento anterior demuestra

que f'a'

- bi) =

A - Bi

y este número es distinto dc cero.

Del teorema que acabamos de demost,rar se desprende que las raíces imaginariasde ecuacionesreales(es decir, ecuaciones con coeficientes reales) ocurren siempre de a pares de conjugadas y por ello su número es par. Si el número de raíces imaginarias es 2 S y el de las reales es T : r+2s=n siendo n el grado de la ecuación. En caso de que n sea impar, r debe ser impar y por lo tanto a l menos I , lo que significa que una ecuación real de grado impar tiene al menos una raíz real. Si es de grado par puede muy bien suceder que todas las raíces sean imaginarias. A cadafactorlineal 2-((a+bi)

=z-a-bi

correspondiente a una raíz imaginaria a 2-

(a-bi)

= 2-a

correspondiente a la raíz conjugada (X - U - bi) (X - U

+ bi)

= (X -

+ bi,

hay un factor

+ bi

ba, y su producto

+ b2 = 'X

- 2 uz

+ a2 + b2

es un factor cuadrático con coeficientes reales. Luego, es posible sacar la conclusión quecualquier polinomio realpuedeserfactoreado en factores realeslineales y cuadráticos.

Y S U S RAICES

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo. Lrts rakes de laecuaci6n x4+1

son

-1

Desde que =x'-xd2 ( x + r - F1) ( z + T + iT)

el factoreo de x4

+1,

+ 1 en factores cuadrhticos

reales es

Problemas Descomponer en factores lineales y cuadrhticos reales: 1. x4

+ 4.

3. x4 - x '

2'+

+ 1.

24+x2+1.

x6-

6. x4

+ zJ + + x + 1. x2

Resolver : 7 . x4

- 2 x3 + 6 x' + 22 x + 13 = O , que admite la

8. 2 3 - 3 x 4 + 4 x 3 - 4 z 9.

raíz 2

+ 4 = O , que admite la raiz 1

- 3 x 3 + 4 x4 - 6 x3 + 5 x'

-3 x

10. x 7 + 2 2 ~ - - x 4 + x 3 - 2 x * - 1

+ 3 i.

+i.

+ 2 = O, que admite la r d z i.

= = O , queadmitela

raia i.

+ 2 x3 + 21 x 2 "9 x - 54 = O, que admite la rala 4 2 + i. * 12. Los puntos representativos de lasrafces de laecuaci6n 3 za+ 4 x2 + 8 x + 24 = O * 11.

- x6 - 8 x4

estirn en un circulo con centro cero. Resublvase.

* 13. Si p ,

4. r son números reales y las rakes de la ecuacibn

+ p x 2 + qx + r = O

tienen igual m6dul0, demostrarque: pa r - 4 3 = o y

* 14. La ecuaci6n 2 x' dulo. Resublvasela.

* 15. La ecuaci6n 6 x4 - x3 mddulo. Resublvasela.

-2 x -8

+ 10

(p' - 9)' 5 4 qz.

= O tiene cuatro rakes distintas de igual m 6

-x + 6

O tiene cuatro rakes distintas de igual

ZEORIA D E ECCACZOA'ES

5 . Relacionesentrelasraíces y los coeficientes. - Entrelas raíces y los coeficientes de una ecuacih hay relaciones que es importante conocer. Para descubrirlas,consideremosprimeroeldesarrollo delproducto (x b l ) ( 5 + bz) . . . (x b,)

enpotenciasdecrecientesde x, comenzandopor los casosparticulares 71. = 2, 3 , 4. Por multiplicación directa se encuentra que:

+ bl) + x2 + (bl -t bz) + bl bz + bl) + bz) (x + + (bl + + ba) + (bl bz + + + (x + (x + (x + + + ( b , + bz + t + t (bl + bl 3 + bz + b, b i + b4) + + bz + b~ + bl + bz ba + bl . (X

b2)

b3) =

= z3

(bl

b3 bq

b2 b4

= X4

bl bq

blb3)

b2b3

b4)

b3) ( 5

b2)

bl)

X '

b4)

X '

bq)

blb2b3

b2 b3 b4

AI examinar &os resultados observamos que: 1. Cuando .n = 2 cl términoprincipal es x?, el coeficiente de J es la suma de las cantidades bl y b? y el término independiente de x es suproducto. 2. Cuando n = 3, el términoprincipal es xa; el coeficicnt,c de ;T? es la suma de las cantidades bl, 6 2 y b3, el coeficiente de x: es la suma de los productos de estas cantidades tomadas de a pares, y el término independiente de x es su producto. 3. Cuando n = 4 el tJérmino principal es z', t.1 coeficiente dc x: es l a suma de las cantidades bl, b2, b3 y b4, el coeficiente de x2 es la suma de los product'os de las mismas tomadas de a pares, el coeficiente de z es la suma de los productos de las mismas tomadas de a tres y el término independiente de x ('S su producto. Resulta, entonces, que la ley general para cualquier número dt: factores es la siguientc: Sea

s1 la suma de las cantidades b l , hz, 63, . . . , b,; s2 la suma dc los productos de estas cantidades tomadas de B pares; ................................................................. S;

S,,

l a suma

delosproductosdeestascantidadestomadasde ...........................................

el producto de todas ellas. Entonces

= (z

+ bl) + (5

b3)

...

S1 5 , 1

+ b,)

+ . . . 4-

sa5n-i

a i;

+ ...

S,.

Y SUS BAICES

LAS ECUACIONES ALGEBBAICAS

Para demostrar que esta ley es general usaremos el principio de induccióncompleta.Suponiendoquelaley se verificapara n factores, demostraremos que se vxifica para n f 1. Una vez-hecho esto, la validez de la ley estará establecida en general. Pues siendo verdadera para 2, 3, 4 factores, como hemos visto, se verificará para 5 factores, y luego para 6, etc. Para comenzar la demostracih, multipliquese la expresión supuesta para P por x b,,+l, obteniendo

Z"+l+

+bn+l

( z + b n +=lx) n + l +jsX1n+bn+l fs2

Ahora bien : SI

jZ"+...+s;

bn+l

+...+s,b,+l

si-]

bn+l

es la suma de n + 1 cantidades bl, b2, . . . , bn+l y sn bn+l es su producto como es evidente por la definición de S,,. Para 1 < i < n 1

3- bn+l

si-1

es la suma de los productos de las cantidades bl, b ~ ., . . , bn+ll tomadas de a i. E n efecto, en esta suma podemos considerar primero los términos que no contienen b , + l ; la suma será evidentemente S;. Los términos que contienen bn+l son los productos de b,+l por los productos de i - 1 cantidades tomadas de entre bl, bz, . . . , bn; luego, la suma de todos esos tCrminos es b,+l si-1. En consecuencia, el coeficientede xn+l-'

b n t l si-1

es la suma de todos los productos que pueden ser formados tomando i factores de entre bl, bz, . . . , b n + l , como lo requiere la ley. Así, esta ley retiene su validez al pasar de n , a n .f 1 factores, como lo establece la demostraciónporinducción. Será conveniente introducir notaciones abreviadas y expresivas para designar las sumas previamente designadas por SI, SZ, . . . , Sn. Usando el signo desumatoria E, lasrepresentaremosasi: SI =

X bl ;

Por ejemplo :

E bl bz ; . . . ;

S; =

2 blbz

.. . b;.

x bl bz . . . b;

significa lasumaqueconstadetodos los tCrminos resultantesdel término generico bl b2 . . . bi por el reemplazo de indices 1 , 2, . . ., n. Desdequehay . n ( n - 1 ) ... ( n - i + 1 ) = 1.2 ... i

c:,

T<EORIA DE EGUACIONES

detales

combinaciones,lasuma 2: bl bz,

.... b;

constadeotrostantost6rminos. Considerando ahora un polinomio

f(x) conraíces

al,

a?,

f (x)

uox"

+ a15n-1 + . . . + a ,

. . . . an (iguales o no), tenemos

= a0 (z - a l )

(x - az) (x - a3) . . .

Por otra parte, reemplazando en las expresiones tras bl, bz, . . . . por " a l ; " a z ; . . . ;" a ,tenemos (z - al) (x - az)

...

(X - a,) = 2"

+ xn-22

En consecuencia : -

a. 2: al =

+ a0

(X - a n ) . SI! SZ,

. . . . S, las le-

X"- l 2 a 1 +

al a2 - . . .

+ (-

1 ) n X al

...

a2 = a2

- a0 2: al a2 a3 = u3

............................ (-

1)"a. 2 al

. . . an

= U,

de donde, finalmente, se deducen las relaciones buscadas entre las raíces y los coeficientes de una ecuaci6n: 2:a1=--

al u0

........................

..................... al

. . . an

(- 1)""-

Estas relaciones puedenserutilizadaspara siguiente tipo : Ejemplo 1. Resolver la ecuaci6n 3 ~ 3 - 1 6 ~ * + 2 3 ~ - =6 O

resolver problemas del

LAS ECl7ACIOA"ES ALGEBRAICAS Y SUS RAICES

si el producto de dos raíces es 1. Sean las raíces a, b, c; entonces

u + ~ + c = -

+ ac + bc

-= 2

abc =

Adem& de estas relaciones generales tenemos que tomar en consideraci6n la condici6n específica de que el producto de dos rakes es 1. Podemos indicar estas rakes con la8 letras a y b, de manera que: ab=1. Entonces, de la tercera relaci6n, se encuentra inmediatamente que la raíz c es igual a 2, y para las a y b tenemos tres ecuaciones

a+b=-

10 3

ab = 1 dos de las cuales son idénticas; a y b serbn raíces de la ecuaci6n cuadr4tica

10 t*--t+l

que tiene las raíces 3 y

Luego, las raíces de la ecuaci6n propuesta son:

2; 3;

-. 3

Ejemplo 2. Hbllese la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuaci6n 2r4-88' + 6 ~ " - 3 = O .

Si las raíces son a , b,

d, tenemos: 8

n+b+c+d=-=4 2

Bab=ab+ac+ad+bc+bd+cd=-=3.

Por otra parte: (a+b+c+d)~=n2+b2+c?+d2+22ab=4*

de donde a*

+ b2 + c? + d ! = 16 -- 6 = 10.

TBOBIA D E ECUBCIOXES

Problemas Resolver las ecuaciones cúbicas cuyas raíces son a , h, c: 1. x 3 + 2 x 2 + 3 x + 2

si n = h + c .

2 . 2 ~ ~ - ~ ~ - 1 8 ~ + 9 =si 0 a + b = O .

si n + b = - 1

3.3x3+2x2-119z+6=0 4. 2 x 3 - 9 - 5 x - 2

- 7 x? - 42 x

+ 216 = O

6. x 3 + Y x 2 + 6 z - 5 6

7. 9 x3 - 36 x2 -I- p.

a; a

8 . 3 x3 - 26 x2 ap";

a ; up.

si c!

I .

ab.

si h = - " L o

+ 44 x - 16 = 0 si las raiccs fornlan una

+ 52 x - 24 = O

progrcsión aritmbtica

- p;

f i las raiccs forman una progresión geométrica

+ 3 x + k = O. Iktermíncse k y resuélvase la ccuaci6n si a = 2 b + 2 c. - 2 x2 + kx + 46 = O. D(9termíncw: k y rcsuC1Pasr la ccnaci6n si las raíces

9 . 2 x3 - 6 x?

10.

&bn cn progresi611 aritnGtica.

11. L Q I j é rclaci6n existe cntrc p , q , r si las raícfs de progresión geométrica? 12. ;Cuál c s la relación cntse p y q si la ecuaci6n

tiple?

13. I>emostrar que ( 2 q - p 2 ) 3T satisfaccn l a condición c2 = -ab.

( p q --

+ p."? + 42: + r = O estiin en

+ p x + p = O tiene una raíz múi-

-1 r ) 3 si las raícrs dc x3

+ p x 2 + pl: + r = O

Resuélvanse las ecuaciones cu&rtic.asde raíces a, b, e, d : si

14.x4-2x3+2x2-x-2=0

a+b=l.

15. 2 ~ ~ - - 3 ~ ~ - 9 2 ~ + 1 5 =x O- 5 si a 16. x 4 - 7 x 3

+ 18x2-22z + 12 = O

17. x 4 + x 3 - 2 z 2 + 3 z - 1

18. 2

-b.

si ab =-l.

+ 13 x3 + 25 x2 + 15 x + 9 = O

19. Y x 4 + Y x 3 + 2 x 2 - 1 4 ~ + 4

si ab = 6.

= O

si si

a = a

=2b.

20. 4 x4 -- 4 2 3 - 21 x2 11 x 10 = O si las raíces est&n en progresih aritmCtica. Represbntense las rakes por a - 3 p; a - 6; a 6 ; a 3 9.

21. Determínese k y resudvase la ecuaci6n 2 z4 - 15 x3 kx2 -30 z 8 = O si sus raíces están en progresiitn geométrica. L a s rakes pueden representarse por a F 3 ;

czp";

ap; aP3.

22. HSllesc la suma de los cuadrados de las raíces de las ecuaciones:

Y S U S RAICES

LAS ECFACIONES ALGEBRAICAS

23. Para las mismas ecuaciones encuhtrense la suma de las recfprocas de las raíces y tambiCn la suma de los cuadrados de estas reciprocas. Si entre las raíces de f (z) = O existe una relaci6n tal como a = kb 0 ab = k con k

dado, entonces f (X) y f l (X) = f (kz) o f~(2) = x" f - tiene n raíces Comunes We pueden determinarse igualando a cero el maxim0 común divisor de f (x) Y f~ ( 2 ) . ResuB1vase por este método: 24. Prob.

27. Prob. 17.

25. Prob.

26. Prob.

28. Prob. 15.

29. Prob. 19.

6. Investigación de las raíces múltiples. - Con s610 realizar opcracionesracionales,esposible investigar si una ecuación tiene raíces múltiples, determinar su grado de multiplicidad y reducir la búsqueda de Bstas a la resolución de ecuaciones con raíces simples. Sean a, 6, . . . , raíces distintas de la ecuación f (x) = O y sean a , @,. . . , l. sus respectivos grados de multiplicidad. Desde que una raíz de f (x) de multiplicidad k , es raíz de multiplicidad k - 1 (es decir, no lo es si k = 1) de la derivada f' (x) = O, es evidente que f (x) y j' (x) son ambas divisibles por

(x - a)"-l (x - b)@"l . . . (x - lp-1 divisor D (x). Podemoshacer,

y también lo serásumáximocomún por lo tanto

(X) = (X - a ) ' t " 1 ( ~- b)@"l

. . . (X - Z)'-'.

r$ (x)

Si 4 (x) no es una constante, el polinomio 4 (x) tendrá algún factor m es una raíz de f (x), digamos m = a. Pero entonces f' (x) sería divisible por (x - a)", lo que esimposible desde que a es una raíz demultiplicidad ( a - 1) para f' (x). Por lo tanto r$ (x) es unaconstante y

x - m donde

(x - b)@" . . . (x - Z)'-l

(x - a)"

es el máximo común divisor de f y f'. Este hecho puede interpretarse de una manera diferente. Sea X Iel producto de todoslos factores lineales correspondientes a las raices simples, X 2 el producto de todos aquellos que corresponden a raíces dobles, X 3el producto de los que corresponden araíces triples,etc., conviniendo enhacer X k igual a unaconstante si l a ecuación no tiene raíces de multiplicidad k . Entonbes: x 1x 2 2x 3 3

.. .

difiere de f (x) sólo en un factor constante, y luego

XzX32Xs4.

T Z O R I A D E ECUACIONES

será el máximo común divisor de

DI = será el máximo común

j y f'. Similarmente X3

X2 . . .

divisor de D y su derivada D',

X4 X52 . . .

DI y Dl', etc. Esta sucesión de máximos

el máximocomúndivisorde comunesdivisores

D,DI, Dz,. . .

de grado decreciente, termina con un tdrmino D,-1 que es una constante. Entonces es evidente que no hay raíces de un orden de multiplicidad superior al m. Nuevamente:

f = XlX2.. . -

=-=

D Dl

x 2

. . . x,

= -Dl =

x 3

...

..................... f,

=----=xx,, Dm-2

Dm-1

de donde

Las funciones X , , X,, . . ., X , determinadas de esta manera conducen alas ecuaciones x1=0 ; x z = o ;. . . ; X , = O todas las cuales tienen raíces simples. Estas raíces dan inmediatamente f ( 2 ) = O. Naturalmente, si algún Xk resulta constante, significa que no hay raíces de multiplicidad k . l a s raices dobles, triples, etc., de

Ejemplo 1. Investigarlas raices múltiples de f=s5-s4-2x3+2x~+Z-1

=o.

El mitximo común divisor de f y f' fué determinado en el Ejemplo 2, p6g. . . . , Y es D = x~-x'--x

+l.

Buscaremos ahora el nxiximo común divisor DIde D y D ' = 3 ~ ~ - 2 ~ " 1 .

LAS EClJACIOh-ES ALGEBBAICAS Y SUS RAICES

Las operaciones correspondientes son: (Multiplíquese por 3)

(Multiplíquese por 3)

1 -1 3-3 -33 3 -2 -1 -3 -3

(Simplifíquese el factor -8)

-2

-1

3 -2

1 -1

-3

-1

1 -1

-1

-2

-6

9 1

-8

1 -1

8 1 -1

Por lo tanto, Dl= x - 1 y DZ = 1, lo que demuestra que la ecuaci6n propuesta no tiene raíces de grado de multiplicidad superior al tercero. Para encontrar X,, X2,XJ hacemos los cocientes

y luego:

X1=l

; Xz=z+l

=z-1;

de tal modo, la ecuaci6n no tiene raíces simples, tiene una doble -1 es : f = (z 1)Z (z - 1)s.

y una triple 1, y

Ejemplo 2. Investigar las raíces múltiples de

f =~5-z3-4x2-3x-2

Comenzaremos por determinar el m k i m o común divisor D de f y f'. Esta operaci6n se desarrolla en detalle a continuacih. (Multiplíquese por 5 )

(Simpliffquese por -2)

1 O -1 5 O -15 -20 -5 5 O -3

- 4

"3 - 2

- 8

-3

-10 -2 -12 -12 1 6

"10

-3

5 O

-8

-3

.................. 5 5

(Simplifíquese por -3)

O 30 -30 -33 -33 1011 1060

(Simplifíquese por -49)

3 - 8 -3 11 30 25 15 -3 11 1 60 50

4 9

4 9 4 9 1 1

.............. 1 1

6 1

5 5

5 5 O

6 6 5

T,EORIA D6 ECUACIOXES

Luego: D = x2

+ + 1. La operaci6n para determinar Dl es: 2

(Multipliquese por 2) 2 2 2 2 1 1 2 2 4 2 1

(Multiplíquese por 2)

Por lo tanto, D Ies constante pudiendo tomarse Dl = 1, de manera que no hay raíces de grado de multiplicidad superior al segundo. Luego: fl

- f= x 3 - $ - x - 2

En consecuencia, la ecuaci6n propuesta tiene una raíz simple 2 y dos raíces doble? o =

y f queda factoreadocompletamente z3

-l+i'1/3 2

-5 4 .- 2 2 3

+2 +x 22

-1-id3 2

como sigue: -1 =

(x - 2) (z - (a)?

(I - ,2)?

Problemas Resuélvanse las siguientes ecuacioncs, cada una de las w a l e s tiene raíces múltiples:

+ 162-12

1. x3-77*

23-22

+ 12 = o.

-82

-x -

=o.

3 d 3

2. .r3 - 3 .r2 - 9 z 4.

- .i . c 2 - 8 1: 1

+ 27 = O. + 48 = O.

3 16

6. s 4 - - ~ + - = 0 .

CAPITULO I V ACOTACIONDERAICES.RAICESRACIONALES

1. Acotación de raíces. - Dada una ecuaciónalgebraica.a veces resulta conveniente tener una idea de la magnitud de sus raices. Deben considerarse dos casos: si los coeficientes son reales y s610 nos preocupan lasraícesreales,puedeserinteresantehailarunnúmeromayorque todaslas raícespositivas o unnúmeronegativomenorquetodaslas posibles raíces negativas. Estos dos números, uno positivo y otro negativo, se llaman, respectivamente, una cota superior de las raíces pasitivas y una cota inferior delas raíces negativas.Elsegundo casoes el de unaecuación con coeficientescomplejos cuando se considerantodas sus raíces,realese imaginarias.Unnúmeropositivomayorque los módulos de todas las raíces puedeconsiderarse como cotasuperiorde las mismas. Si llamamos r a dicho número, el círculo de centro cero y radio r contendrá todos los puntos que representan las raíces de la ecua.ción que se considera.

2. Método para hallar una cota superior de las raíces positivas. - Sea f(z) = aoxn f UlP-1 f . . . a, = o ,

unaecuación con coeficientesreales de los quesupondremos positivo alprimero: ao. De losvariosmétodosquepuedenusarseparahallar una cota superior de las raícespositivasconsideraremos sólo uno, que combina las ventajas de dar valores comparativamente bajos de dicha cota con lafacilidaddesuaplicación. A l considerar la Regla de Ruffini (Cap. 11, Párrafo 5) hallamos polinomios : s o = a0

; f l = zfo

+ al

; fi = xf1

el dltimo de los cualescoincidecon .en l a rrlisma forma: fi

(x) = (x - C)

[fo (c,

xi-1

;

. . ;fn

f. Para i (c) z+"

+ a,,

= xf,-1

1, 2, . . . , n tenemos,

t . . . t fi-l(C)]

( c ) . [I]

T.EORIA DE E C U A C I O N E S

son los obtenidos en la división por la Regla de Ruffini de las funciones. - c. El método para hallar una cota superior de las raíces positivas se basa en lasdospropiedadessiguientesde los polinomios So, f1, . . . , f,,: Primera: si para algún número positivo c los números

Si (x) por x

fl (c)

;fz

(c)

; . . . ;fn-1 (c) ,

110 son negativos y f,,(c) > O, entonces c puedetomarse como cota superior de las raíces positivas. De hecho, en la identidad [ l ]para I = n se desprende que f n (x) = f ( z ) > O para x 2 c, de modo que ninguna raíz real de l a e c u a c i h f ( x ) = O puede ser superior a c o aún ser igual a c. Segunda: si para un c > O los números

fl (c)

; f 2 (c) ; . . . ; f k (c> 7

no son negativos,entoncespara (c’)

c‘

; f z (c’)

>c ; ...

6 n

;f k (c’) ,

son positivos. Esto también s:?rge de la identidad [l],en la que hacemos x = c’; entonces:

f; (c’)

(c’ - c) [fo (c) c’+“

+ ... +

(c)l

fi-1

(c)

es un número positivo para ?. = 1, 2, . . . , k desde que c’ > c y f~ (c) = a0 >O. Estasdossimplespropiedadessugieren el siguienteprocedimiento parahallarunacotasuperiordelas raíces positivas:Primero comenzamoscon unnúmeropositivo c, preferiblementeentero,quehaga f1 (c) positivo o nulo. Tal número se halla fácilmente dado que f1 (x) cs de primer grado. Si resulta que ninguno de los números f z (c> ; f

3 (c> ; . . . ;f n (c>,

sonnegativos, y siendo f,, (c) > O, podemos tomar c como unacota superior. Si sucede que f n (c) = O, entonces se h a halladouna rafe y las demás racces positivas serán menores que c. Pero, supongamos que f k f l (c) es negativo, mientras que ninguno de los números precedentes fl

(c> ; S 2 (c) ;

’

;fk

(c> 7

lo son. Entonces el proceso puede repetirse nuevamente, probando con enteros mayores que c hasta que con alguno, por ejemplo c1, se halle que. fk+l

(c> B 0 .

Al mismo tiempo todos los números f1

serán positivos.Ahora,

(C1) ; f2 (C1) ; . . .

;fk

(cl)

si j l (c1)

; f 2 (Cl) ; . . . ;f n (c1)

ACOTACION DE RAICES. RAICEB RACIONALES

no son negativos y fn (cl) > O, entonces c1 puede tomarse como una cota superior. E n caso contrario el proceso serepiteuna vez m& con un entero mayor, etc. De esta manera la cota pedida puede hallarse luego de relativamente pocas pruebas. Cuando algunos de los coeficientes son númerosnegativosgrandes, es ventajosohacerpruebaspreliminares, tomando para c los valores 10, 100, 1000, etc., y reduciendoentonces la cota hallada tanto como se pueda usando este m6todo.Si se desea hallar una cota inferior de las raíces negativas, podemos hacer primero l a sustituci6n x = - y y entoncesbuscarunacotasuperiordelas rafces positivas de la ecuaci6n transformada a(lyn-aa11Jn-l+azy"-2"...

+(-l)"a,=O.

- c será una cota

Si la cota superior es c , entonces evidentemente inferiordelasraicesnegativasdelaecuaci6noriginal.

de lss raices positivas d e la eouaci6n

Ejemplo 1. Hallar una cota superior

2z6-7z4-553+6~2+3~-10= O . Para hacer jl = 2 z - 7 positivo, comenzamos con e = 4 y aplicamos el procedimiento de la Regla de Ruffini de la siguiente manera:

-7

-1

AI ser negativo el tercer ndmero, probamos

-7 10 3

-5

-5 15 10

-10

con 5:

50 56

280 283

"10 1415 1405

Por lo taqto, 5 puede ser tomado como cota superior de las rafces positivas.

Ejemplo 2. Hallar una cota superior de las rdces positivas de la ecuaci6n

z 6 - 7 z ~ - 1 ~ z 3 - 1 ~ O ~ ~ + 1= OO .~ - ~ Como hay coeficientes negativos grandes comenzamos a probar con el nfimero 10:

10)

-7

10 3

"loo 30

-lo00

-50

"70

La presencia de un nGmero negativo indica que debemos probarcon un ndmero mayor que 10; lo hacemos con 20:

20)

-7

20 13

-loo 260 160

-lo00

-50

T E O R I A DE ECOAClONES

.y sin seguir adelante se ve que los números restantes s e r h positivos. Por io tanto 20 es con certeza una cota superior de las raíces positivas. Si se consitlcra conveniente reducir esta cota, podemos probar con números menores: 19, 18, 17. ctc. E n esta forma se halla yrle 17 puede tomarse como cota superior, no así 16, si qucrt~tnossatisfaccr las condiciones impuestas por et método.

y se ilcga a la conclusi6n de que 11 puede tomarse como una cota supenor tie las raíces positivas de la ecuaciím en y. Por !o tanto, -- 11 c's u n a cota infvrior de las raíces nega-

tivas de la ccuaci6n propuesta.

Cotas de 10s módulos de las raíces. - Dada una ecuación

f (x) =

a3 x n

t a1"x

+ ...

+a,

con coeficientes complejosarbitrarios, el problemadehailar una cota superior de los módulos de sus raíces puede sustituirse por la det'erminación de una cota superior de las raíces positivas de una cierta ecuación auxiliar.

ACOTACION BAICES. DE BAICES RACIONALES

Sean a y b dosnúmeroscomplejos.Haciendo

a=(a+b>+("b), y aplicando el teorema referente al módulo de la suma (Cap. I, PStrrafo 71,

hallamos la desigualdad

jaj 5 ! a + b J

+ j-3!

/a+bj

+ lb\,

se deduce, en consecuencia,que lu+b!2 ja!-Ibl.

Haciendoenestadesigualdad a =

siendo z unnúmero

jf(.)i

+ . . . fa,,

a O s n ; b = alxn--l

complejo arbitrario;ser&,entonces:

...

2 laoxn] -jalxn-l+

+a,I.

Si ahoraes: 1x1

r ; jail = A i

entonces

; i = O,1,2,

! aozn/ = A

Y ~

a1"X

+ . . . + a, 1

..., n

o m

Alrn--l

+ . . . + A4,,

para el mismo teorema. Entonces:

(x) 1 2 A o r n- L41rn-l - . . . -A,.

Sea R un limite superior de las raíces positivas de la ecuaci6n auxiliar

90 X" Entonces :

- A1 x"

En-'

... - A ,

=o.

. . . -AA, > o ,

y, puestoque:

crece al crecer r, tendremos: A0 rn - A1 rn-lpara r L R . Por lo tanto si

1x I

. . . -A,

>O,

Ifb) I > o,

R, y esto significa que los módulos de todas las raíces de

ZEORIA DE ECUACIOh7ES

ecuaci6n propuestasonmenoresque R , y, por lo tanto,estenúmero puede tomarse como la cota superior pedida. Ejemplo. Hallar una cota superior de los m6dulos de las raíces de la ecuaci6n 2 ~ ~ - 7 ~ ~ - 1 0 ~ * + 3 0 ~ ~ - 6 0 ~ ~ += 1O .0 ~ - 5 0

La ecuación auxiliares,en

este caso:

2 ~ ~ - 7 ~ 5 - 1 0 ~ " 3 0 ~ 3 - 6 0 ~ ~ - 1 0 ~ -=5O0. Por el método del Párrafo 2 se halla que R = 6 es una cota superior de sus rakes positivas. Por l o tanto, todas las raíces de la ecuación propuesta tienen módulos menores quc 6

Problemas Hallar las cotas de

los módulos de las raíces de las ecuaciones

1. 2 x 4 - 7 x 3 + 6 z 2 - 5

=O.

2. 6 ~ 5 - 1 0 ~ ~ + 7 ~ ~ + 8 =~O-. 1 0

3.iz4+4z3-(3+4i)z2+4z-1-i=0. 4. 2

25 - i x 3

* 5. Si

+ (5 + 5 i ) L2 + (3 + 2 i) z - 10 = o.

a, 2 al 2 a: 2 . . . 2 a

f (z)

> O,

no zm

demostrar que ninguna raíz de la ecuaci6n

+ al zn-1 + . . . + an = o

tiene módulo mayor que 1. SUGESTI6N:

(1 - z)f

N6tese que (5)

y que elsegundo

I z / I t - [(a0 - a d j z 1-1 + (a, -ad 1 z In--2 miembro es positivo si I z I > 1.

[ 2 a0

* 6 . Si los coeficientes de la ecuación f (z) = a , xn

+ al"x

+ . . . ad1

+ . . . + an = o

son positivos, y 'h es el mayor de los números al a0

a2 ,. - ., a1

,. . . .

an an "1

demostrar que los módulos de las raíces no son mayoresque h. SUGESTIóN:

Sea z = h y y aplíquese el Problema 5 a la ecuacidn en y.

4. Raíces enteras. - E n el restodeestecapitulo consideraremos ecuacionescon coeficientes racionales. Escribiendo los coeficientes de tal ecuacióncomofracciones con un denominadorcomún y multiplicando por el denominador a ambos miembros de l a ecuación, reempla-

ACOTACION DE BAICES. RAICES BACIONALES

zamos esta última por una ecuación equivalente con coeficientes enteros. Sea esta ecuación

f ( z ) = aoxn

+ a1x"-l + . . . + a, = o,

la que puede tener raíces racionales; el problemaes cómo hallar tales raíces siexisten, o cómo demostrar su inexistencia. Veremos que estas raices racionalespueden ser halladasuna vez encontradaslas raíces enteras,y por lo tanto,es necesario explicar primerocómopueden hallarse las raíces enteras. Supongamos que x = c es unaraízentera, es decir que: a0 ca a1 C" . . . a,-1 c f a, = o,

o también c

(a0 C"

+ . .. "

Un4)

= -a n

En el primer miembro ambos factores son enteros, puesto que tanto c como ao,al,. . . , a,-~ son enteros y en consecuencia es divisible por c. Por lo tanto, las raíces enteras, si las hay, son divisores positivos o negativos del últimotérmino a,. Porconsiguiente, el problemadehallar raíces enteras se reduce inmediatamente a un número finito de pruebas: primero, buscar todos los divisor2s positivos y negativos de a, y luego, probarsucesivamentecadaunode ellos, porsustitucióndirectaen la ecuación dada. De esta manera pueden hallarse t,odas las raíces enteras o se demostrará que tales raíces no existen. En la práctica, cuando el número de divisiones a probar es grande, es preferible disminuir la cantidaddepruebasexcluyendo los divisoresquenoson posibles raíces. Con este fin se determina primero una cota superior de las raíces positivasyunacotainferiordelasraicesnegativasy se conservan sólo aquellosdivisoresqueseencuentfanentreestascotas.Deestosdivisores pueden excluirse algunos,deacuerdo a lasiguiente observacih: Si a es un entero cualquieray c una raiz entera, entoncesf (a) es divisible por c - a. Evidentemente, si c es una raiz, tendremos:

f (x) = (z

- c) fl (x>

siendo los coeficientes de f i (x) enteros.Sustituyendoaquí deduceque:

f (a) =

= a,

(a - c) f l (a) ,

y, por ser fl (a) un entero, f (a) es divisible por c - a. Entre los divisores a probar est& siempre 1 y - 1. De acuerdo a 6sto, calculamos f (1) y f (- 1) por la Regla de Ruffini; si ninguno de estos valoresnumbricos es cero, excluimos todos los divisores c tales que c - 1 no divida a j ( l ) ,y a 'todos los divisores tales que c 1 no divida a f (- 1). Entonces, engeneral,tomandoundivisorcualquiera d, calculamos f (d)

TEORIA D E ECUACIONES

y si f (d) # O, excluimos todos aquellos divisores c para los que f ( d ) no es divisible por c - d. De esta manera el número de divisores para los tanteos se reduce considerablemente. Una vez hallada una raiz entera c, esconvenientecomprobar si esmúltiple.Supongamos que resulteser de un orden de multiplicidada ; entonces, los demás divisores se probar6n en la ecuación reducida.

(X) =

f (x) (x - e ) =

Ejemplo 1. Averiguar si la ecuaci6n

tiene o no raíces enteras. El primer paso es hallar cotas de las raíces por el mbtodo d t l PBrrafo 2. Se encuentra que las raiccs son menores que 6 y mayores que - 8. Siendo: 140 = 22.5.7

los divisores positivos menores que 6 son: 1; 2; 4; 5 y los divisores negativosmayores que -8

Se comprueban 1 y 1)

-1

por la Regla de Ruffini 3

1 1

son:

-45 -77

-36 -32

132

148 16

140 288

f (1)

De los divisores positivos debe excluirse 4 puesto que4 1 = 5 no divide a f (-1) =108. De los divisores negativos debe excluirse - 4 puesto que - 4 - 1 = - 5 no divide a f (1) = 288. Quedan por probar los siguientes divisores: 5; -2;

-7.

5; -5;

Probamos primeramente 2: 2) 2)

-36 10

-26

14 -12

132

-202 -19452 97 "101 - 24 -686 -242 -

"121

140 "140

-756 -343

=f1(2)

E n consecucncia, 2 es una raíz simple y la ecuación reducida es:

f~ ( X )

2 5

f 5 z4- 26 23

- 97

x? - 101 X - 70 = O .

(2)

AGOTACION DE RAICES.RAICESRACIONALES

Probamos ahora -2:

-2)

-26

1 -2

-2)

-32

- 2 -34

-2

Por lo tanto, -2

"101

-97

-33

"70

- 35

"70

-105

=f?

fs (-2)

(-2)

es una raíz simple y la segunda ecuaci6n reducida ea: fz(X)

=~'+3Za-32~*-33~-35=0.

Probamos ahora 5:

3 5

-33 40

-32 40

5 13

65 73

-35 35

365 372 = f a (5)

Por lo tanto, 5 es una rafz simple y la tercera ecuaci6n reducida ea: f3(x) = 2 * + 8 z ' + 8 z + 7 = 0 .

Al no dividir -5

7, es inútil probar -5. prd>amos -7: -7)

-7

En consecuencia, -7

-7

=f3

(-7)

es la rafz entera y la cuarta ecuaci6n reducida es: Z*+Z+1

queadmitelas

-7

=o,

raícesimaginarias:

Por l o tanto, las rafces de la ecuaci6n propuesta son:

2; -2;

5; -7;

d .

Ejemplo 2. Investiguese si la ecuaci6n x~+x~-20~-44x~-21Z"5

=o,

tiene o no rafces enteras. Por el m6todo del PBrrafo 2, se halla que las raices son menores que 6 y mayores que -5. Los divisores de 45 = 3' 5 contenidos entre estas cotas soa: I ; -1;

3; -3;

ILJ%OIIIA DE ECUACIONES

Probamosprimero

1 y -1

1 2

-20 "18 -20

4 4 -62 4 4

"20

-24

1 1 1 1

-1)

- 45

-21 -83 -21

-128 = f (1) - 45 - 48 z . f - 1 )

No se desecha ninguno de los divisores 3, -3 y 5 porque si les restamos 1 dividen a -128 y si les sumamos 1 dividen a 48. Probamos 3: 3)

-20 4 4 -675 12-204-24

3 4

-8

-68

- 21

- 45

"225

-720

= f (3)

Por lo tanto 3 no es una raíz pero - 3 - 3 = - 6; 5 - 3 = 2 son divisores de 720; en consecuencia es necesario probar -3 y 5. Probamos primero -3: 1

-3)

-2

-14 15 1 24

-3)

Por consiguiente, -3

-20

-3

-5

-44 42

-21

-45

-2 -3

-15 15

-5

-O

(-3)

=1'(-3)

-75

-80

es uua rafz doble y la ecuaci6n reducida e8 j1(2) =

-5

+ x -5

Finalmente probamos 5: 5)

-5

= f l (5)

Y, por lo tanto, 5 es una raíz y Ia segunda expresidn reducida es: x*+l

=o.

En consecuencia, la ecuaci6n propuestatiene las siguientes raices: -3,

5; i ; i

, raices simples.

raiz doble;

Problemas Hallar las raicee enteras de: 1. x ~ - 2 2 * - 2 5 x + 5 0

=o.

3. ~ ~ - 1 0 6 ~ - 4 2 0 =O.

5. x ' - X a - x ' +

19x-42

2. x s - g x 2 + 2 2 x - 2 4 4. 'X - 2 8 - 13 'X

=o.

7. . ~ - 3 x ~ " 9 ~ + 2 1 x * - 1 0 x + 2 4

=o.

+ 16 X - 48 = O

6. ~ ' + 8 ~ " 7 ~ ~ - 4 9 ~ + 5 6 = 0 .

=o.

8. ~ ~ - 5 ~ 4 + 2 ~ * - 2 5 ~ ' + 2 1 ~ + =2 O7.O

ACOTACION DE RAICES. BAICRS BACIONALES 9. ~ - 7 ~ ~ - 1 1 ~ " 7 ~ ~ + 1 4 ~ ~ - 2 =O. 8 ~ + 4 0 10. x ~ + 3 x 6 + 4 ~ ' + 3 z d - 1 1 5 ~ ~ - 1 6 ~ + 2=O. 0

11. Probar que, si tanto f (O) como f (1) son nfimeros impares, la ecuaci6n f (2) = O con coeficientes enteros no puede tener rakes enteras.

f (O) y f (1) es divisible por 3.

12. Demostrarlo si ninguno de los tres nGmeros f (-l),

5. Raíces racionales. - Las raíces racionales Zn

+ p1zn--1 +

+ p,

de una ecuaci6n

con el primer coeficiente 1 y los demás enteros, s610 pueden ser enteras. r Sea - una raíz racional, de modo que r y S sean enteros y primos entre S

y eliminandodenominadores

sí. Sustituyendo esta raízenlaecuaci6n tendremos :

+ pl rn-1 + . . . + p,-1

rsn-l

f p, sn = O ,

o bien rn =

Por ser pl rn-1 f

un entero, r" esdivisiblepor tener r y

- . . . -pnsn-l).

(-plrn-l

...

+ p , sn--l,

1, por no r divisores comunes. Por lo tanto la supuesta rala racionalS

y esto sólo esposiblesi

S =

es una raíz entera.Empleandoesta racionalesdeunaecuaci6n ao2n

proposici6n,vemos

que las rakes

+ a1zn"' + . . . + a, = o ,

pueden hallarse de la siguiente manera: Si 2 es una raíz racional, y =

ao2,

ser& una raíz racional de la ecuaci6n y"

+ al y,-*

+ a"%

...

f a@a,

cuyo primer cozficientees 1 y los demás enteros. E n conaecuencis, y es una raíz entera y (si existe) puedehallarsepor el metodo del PArrafo 4. A veces puede simplificarse el trabajo haciendo le sustituci6n

TBORIA D E ECUACIONES

y eligiendo k de modo que sea el menor entero que haga enteros a todos los coeficientes de la ecuación resultante yn

+ __ kal

yn--l

k2 a2 yn-2

La elecci6n de k de k cumpletodos

+ . . . + - = oan . a0

es siempre posible; pero a veces, un valor menor los requisitosestablecidos.

= a0

Ejemplo 1. Hallar las raíces racionales de !a ecuación: 6~"7~'+8~'-7~+2=0. Haciendo

x l a ecuación transformada en y es:

f (y) = y' - 7 y"

= - I

Y 6

+ 48 y?- 252 y + 432

Esta ecuación no tiene raíces negativas y todas sus raices positivas son menores que = Z4 3 3 menorrs que esta cota son:

7. Los divisores de 432

I ; 2; 3; 4; 6

Como f (1) =222 no es divisible por 6 - 1 = 5, no es necesario probar con 6. Probando con 2, 3 y 4 hallamos: 2)

-5

-252 76 "-176

-7

48 "12

"252 108

-4

-7

Sustituyendo

-10

"144

"14.1

144

432 -352 432 "432

80 = f (2)

0 = f (3)

ACOTACION DE RAICE8. RAICES RACIONALES la ecuaci6n en y es: 70 kg' 25

y4"

126 -k' Y' 25

414 243 25 k a y - - k 425 =0,

y basta con tomar k = 5 para hacer enteros todos sus coeficientes. Eligiendo ad k la ecuaci6n seri: f (y) = y' 14 y' 126 y2 2070 y 6075 = O

Todas las racíces se encuentran comprendidas entre 6075 = 3 6 . V entre estas cotas son: 1; 3; 9; 5; 15; -1; Calculando f (1) =

3 y -3:

-4144

-14

f (-1) 3

1 -3)

-11

-3;

-9;

21 y los divisores de

-5.

-8256 desechamos -5;9

-126

2070 4 7 7

-159

1593

- 33

12070 -126 -14 1

- 15 y

-3 -17

- 75

225 2295

-14 5

-126 - 45

- 855

y -9.

Probamos

- 6075 4779

- 1296 = f (3) - 6075 - 6885

= f (3)

-12960

Quedan por probar 5 y 15 5)

15)

-9

15 6

-171 90

- 81

2070

"6075 6075

1215 -1215 O

0 = f (5)

Por lo tanto, y = 5 e y = 15 son rafces de la ecuacibn auxiliar en y, y

son las únicas rakes racionales dela ecuacibn propuesta. Si hubiCramos encontrado primero las raices enteras y luego hubiéramos pasado a investigar las rakes fraccionarias, las hubieramos determinado en un número menor de cAlculos. Problemas Hallar las rakes racionales de las siguientes ecuaciones: 1. 3 x3 - 26 X'

+ 34 X - 12 = O.

3. 6 ~ ~ - ~ ' + 2 - - 2= O .

5. 2 23 - x2

7. 6 x4 - 11 58 - 2'

4. 10 5 3

o. -4

2 . 2 ~ ~ + 1 2 ~ ~ + 1 3 ~ + 1 5 r O .

+ 19

- 30 2 + 9

6. ~ 3 - 3 2 + 1 = O .

8. 4 2 4 - 1 1 ~ ~ + 9 ~ - - 2 = 0 .

TtEORIA DE ECZJACIONES

9. 2 ~ " 4 ~ ' + 3 ~ * - 5 ~ - 2 = 0 .

10. 6 2 ' + 2 4 - 1 4 9 + 4 ~ ' + 5 ~ - 2

-0.

11. 6 ~ 6 + 1 1 2 ~ - 2 ~ + 5 2 - - 6 = O .

12. 2 2 ~ + ~ ~ - 9 2 ~ - 6 6 ~ - 5 ~ ~ - =7O~. + 6

* 13. Si un polinomio de grado S 5 con coefcientes racionales tiene rakes mdltiples, tiene tambikn una rafe racional, excepto en el caso de que el grado sea 4 y el polinomio sea un cuadrado perfecto. * 14. iC6mo puede utilizarse estademostraci6n para averiguar la existencia de raíces múltiples de ecuaciones cuyo grado no pase de 5? Considkrense los ejemplos: (a)

~ ~ - ' 2 ~ ~ - 6 ~ ~ + 4 ~ = ~O ;+ 1 3 ~ + 6

(b) 3 x 6 -

~ ' + 6 ~ ~ - ' 2 3~2 -~1 +

=O.

CAPITULO V Y CUARTICAS

ECUACIONESCUBICAS

1. ¿Qué es la “resolución” de unaecuación?. - El principal problemadelálgebraconsisteenla resolución deecuaciones algebraicas, y es importante entender claramente qu6 quiere indicarse con ello. Resolver una ecuación involucra la determinacióndetodassus raíces, tanto reales como imaginarias, ya sea en forma exacta o con una ciertaaproximaciónpreviamenteespecificada.Naturalmentela dificultadenla resolución de ecuaciones aumenta consu grado,aparte de otras razones, porque cuanto mayor es Bste, más raíces hay que hallar. Paralaseeuacionesdeprimergrado

la solución está dada por la fórmula

que indica qu6operaciones aritmbticasdeben realizarse con los coeficientes arbitrarios para hallar la raíz exacta o con un cierto grado de aproximación. La solución de las ecuaciones de segundo grado:

ax2

+ bx + c = O,

está dada por lafórmula x =

-b

4b2-44ac 2a

que indica claramente la naturaleza de las operaciones a realizar con los coeficientes arbitrarios para obtener el valor de las raices con la aproximacjón deseada o exactamente. Al examinar la f6rmula vemos que para calcular las raices de la ecuación cuadrhtica, ademhs de las operaciones racionales, es necesario extraer la ra.íz cuadrada de un número dado. L a extracción de la raíz cuadrada nos conduce nuevamente a la soluci6n deuna ecuación cuadráticaperodeltipo especial siguiente:

xa = A , 93

TEORIA D E ECUACIONES

de ~ I O ~que Q Ia soluci6n deunaecuacih general desegundogrado por 1s f6rmuIa anterior es, en realidad, una reduccih del problema original a otro simiiar más simple. Para resolver este problema más simple de extraer !a Taix cuadrada exacta o aproximada, hap míitodos no m & dificiies en su aplicacibn que la multiplicación y ia divisi6n. Esto nos lleva a *rstar :i ios radicales cuadráticos -\ITcomo aigo familiar y conocido. 5hsder1 tamhiénrriétodos para la extracci6n de raíces cGbicas de números reales? es decir, para resolver las ecuaciones cúbicas especiales de la forma 23 = d . 3-

Estc hecho induce a considerar los radicales A también como algo familiar ;r conocido. Más generalmente, las raiccs de las ecuaciones del tip0 Zn= A , doacic. iz ea un numero real, pueden hallarse aproximadamente usando, por cfcmplo, las tablas dc logaritmos. A4..16nen el caso de que d sea un n

llfimerc (:omple*jo, los s.alores de su raiz en6sima I~T, como vimos en ei p. i. pueden hilarse aproxinladnment~epor medio de las tablas iogaritmtcas dt: r;úrneros y funcionestrigonombtricas. Deeste modo,

pciemos consideral los xdicaies 4 7 como ean.tidades familiares, f6cilrnentx' computables. J,:t resolucicin de m a ecuaci6n mediante llna comhinaci(jn tie operaciones mcionaies y extracci6n de raíces se llama resolucihn algebraica o p o r radicales. Lisí; porejemplo, l a ecuacihn 7;

2 4

+22

+ - x $. 1

C n a ecuaci6n cuadrática pude ser resueltaalgebraicamente cuaicsquiera sean los valores que se atribuyan a sus coeficientes. Pero, iqué sucede con las ccuaciones citbicas, cuárticas y de grado superior?LPueden ser resueltas algebraicamente para valores arbitrarios de sus coeficientes'? E n io que se refiere a las ecuacioncs cúbicas y cuárticas, los matemáticos italianos (Scipio Ferro? Tartaglia, Cardano y Ferrari) demostra,ron, en la primeramitad del siglodieciséis, quepueden resolversealgebraicamente :J sus raíces ser presentadas en forma de radicales para valores tlrbitrariosde los coeficientes. Pero todas las tentativas realizadas durante los dossiglos siguientesparahallar una so1uci6n algebraica de

ECUACIONES CUBICAS Y CUAPTICAS

ecuaciones generales B (es decir, con coeficientes cualesquiera) de grado superior al cuarto, fracasaron. La causa de este fracaso reside en la naturaleza misma del problema y no se debió a la despreocupacih o faita de ingenio de los que se ocuparon de 61. A principios del siglo diecinueve, primeramenteRuffini(cuyademostraciónno fu6 completa) y luego Abel, demost'raron que es absolutamente imposible expresar, por medio deunafórmulaeniaque sólo intervenganoperacionesracionales y radicales, las raíces de una ecuaci6n de grado superior al cuarto cuando los coeficientes son arbitrarios. Ln demostracióndeestaimposibilidad pertenece al álgebrasuperior y no puedeserencaradaenestecurso. Conrespecto a ia resolución algebraicadelasecuacionescúbicasy cuárticas,lateoría es relativamentesimple y seráexplicadaeneste capítulo y resumida nuevamente desde un punto de vista superior en el Capítulo XII. 2. F6rmulas de Cardano. - No se pierde generalidad ecuación cúbica general en La forma:

f ( 5 ) = 2'

al tomar la

+ UX' + bx + c = O ,

puesto que la división por el coeficiente de x3 no modifica las raíces de la ecxación.Introduciendouna nueva incógnita,esta ecuaci6npuede simplificarse,además,demodoquenocontenga l a segundapotencia de iu incógnita. Con este fin hacemos:

x=y+k, siendo k arbitrario. Por la fórmula de Taylor

j(k)

+ ak2 + bk + c

Lf"(k) = 3 k f

2 "

; f ' ( k ) = 3 k2 $- 2 a k U

1 ; -f"' 6

(k) = 1 .

Par&eliminar el tkrmino en y2 basta elegir k de modo que: 3k

Por ser

f a

= O

ó k =

-3

;

TJZORIA DE ECUACIONES

sededuceque,sustituyendo:

3 '

la ecuacidn propuesta queda transformada en

Y3 t PY f q

donde

=o,

Una ecuaci6n cúbica de la forma [lJ puede resolverse por medio del siguiente artificio : Tratamos de satisfacerla haciendo : y=u+v,

introduciendo así dos inc6gnitas u y o . Sustituyendo esta expresión en [ l ] y ordenando los tt4rminos demaneraapropiada, u y Y tienenque satisfacerlaecuación u 3

+ v3 + ( p + 3 uv)(u+ u) + q = o ,

[2I

con dosinc6gnitas. Este problema es indeterminado a .menosquese tomeotra relación entre u y v. Tornamospara ello la relaci6n

3uv i - p

o sea ZlV

= - -.

Entonces, se deduce de [2] que: u 3

f u3 =

-9,

de modo que la solución de la ecuaci6n cúbica [ l ] puede obtenerse resolviendo el sistema de dos ecuaciones

Elevando al cubo esta última ecuacidn, tenemos:

y de este modo, por las ecuaciones [3] y [4], conocemos la suma y el producto de las dos incdgnitas u3y v3. Estas cantidades son las rakes de la ecuacih cuadrática t 2 + qt --= P3 o. 27

ECUACZONESCUBICAS

Y GUARTICAS

Llamándolas A y B , tenemosque: PY

A=--&+,(-$+w,

en las que ebcamos en libertad de elegir la rafz cuadrada. Ahora bien, debido a la simetría entre los terminos u3y v3 en el sistema [3] podemos hacer:

u 3 = A ; v3=B. Si un valor determinado de la raíz cúbica de los tres valores posibles de u serán: 3

U =-

;

U =

odA

donde o =

;

+ i \'F 2

A se designa por 3

U = o 2 C ,

es una raíz cúbica imaginaria de la unidad. Con respecto a tambi6ntresvalores:

=dT

;

, -

=w.JB

;

v quepuedencombinarse 3-

u = ~ A; u = o d A

con

a ; u = w 2 G ,

serh v =

tres valores

B quesatcisface l a relaci6n

significa la raízcúbicade

entonces losvaloresde

v tendremos

v =02.JB ;

pero no podemos combinar uno cualquiera de ellos con los posibles de u,desde que u y v deben satisfacer la relaci6n:

; v = 0 2 ~ / B; ? * = o d B .

ZEORIA DE ECUACIONES

Por lo tanto, la ecuación

[I] tendrá las siguientes ralces:

.\I +To 3

y3 =

0 2

:x.

Estas f6rmulas se conocen como fórmulas de Cardano, en homenaje al matemático italiano Cardano (1501-1576), que fu6 el primero en publi3

carlas. Debe recordarse que puede tomarse arbitrariamente entre las tres posibles raíces de

A , pero

d A .dB

debe elegirse de modo que

--.P

3. Discusión de la solución. - Al discutir las fórmulas de Cardano supusimos que p y q son números reales. Demostraremos entonces, que la naturaleza de las raíces depende de la funci6n

+ 27 4'.

Evidentemente, A serápositivo, cero o negativo.Suponiendoprimero que A seapositivo, la raízcuadrada

será real y la tomaremos positiva. Entonces 3

\IT indicamos la raíz cúbica real de

A y B serán reales y por

A . Por ser p real y

;x.-=- E3 , 3

será la raíz cúbica real de B. Por lo tanto, la ecuación [ I ] tiene una raíz real 3

y1 =

42- + m,

pero lasotrasdosraíces 3

ECUACIONES CUBICAS Y CUARTICAS

serán imaginarias conjugadas desde que A y B no son iguales y en consecuencia 3-

4 A -iB#O. Ejemplo 1. Sea la ecuaci6n cúbica 23

+ 29-2

Primeramentedebesertransformada

o. la sustituci6n

por mediode

La ecuaci6n resultante en y (que puede hallarse por l a regla de Ruffini) y3 -

1 52 -y - - = o 27

ea:

demodo que:

En consecuencia s e d :

31 .\IA = 3 6 2 6 + 1 5 d 3

3 1 ; 4 B = - d32 6 - 1 5 6 3

e 3

y l = A3 ( j 2 6 + 1 5 d ?

+d2S-l5dV);

y*=

-6(626+15fi+d26-15~~)+

y3="

6 (:26+15d7+d26--15dY)-

Correspondientemente, las raices de la ecuaci6npropuesta son: 3

. , = ~3 ( j 2 6 + l i , \ / 3 + ~ 2 6 - 1 5 ~ ~ - 1 ) ;

100

TEORIADEECUACIONES

- * ( ; 26 6 + 1 5 4 7 - d 2 6 - 1 5 d y ) .

La ecuaciiin

=o.

23+22-2

tiene, sin cmbargo, una raíz entrra 1 y las dos raíces rest,antos -1

fi,

son imaginarias. Comparando con las expresiones obtrnidas de las f6rmulas de Cardano descubrimos el curioso hecho de que 3

426+1543+d26-1543=4,

a pesar de que las raíces cúbicas son números irraeionales. La explicaci6n de esto se halla' comparando las raíces imaginarias. Esta comparaci6n da para la diferencia de las mismas raicescúbicas 3

426+15d3-d26-1156=243,

en consecuencia: ?

d26+15iT=2+1/3

; 426-1543=2-43.

+ 4 7 ~ 4F.

Por lo tanto: 26 15 +y 26 - 15 d 3 s o n los cubos de los números 2 2Tal simplificaci6n ocurre siempre que la ecuaci6n cúbica tenga una rat2 racional, pero no en los demas casos. Ejemplo 2. Resolver la ecuaci6n 23+92-2

=o.

Aquí la transformaciiin preliminar no es necesaria Y las f6rmulas de Cardano pueden aplicarsedirectamente.Tenemos: A p = 9 ; qz-2 ; A = 3 0 2 4 ; "28 108

A =1+"

; R=1-428.

En consecuencia, la rafz r e d es: 3

ddG-+l-4fi-l,

ECUACTONESCUBICAS

101

Y CUARTICAS

mientras que las raíces imaginarias son:

-i(~~+~-d~-~),,(+~).

i J3

Para calcular estas raíces aproximadamente, puede utilizarse alguno de 10s conocidos manuales que contienen tablas de cuadrados, cubos, raíces cuadradas Y cdbicas. En tablas se halla que:

*+ y que:

1 = 6,2915026 ;

4m+ 1 - 1,8460840

4%"

1 = 4,2915026

;

ddz-

1 = 1,6250615.

Por consiguienk, la rafz real de la ecuacidn propuesta es aproximadamente:

1,8460840 - 1,6250615 = 0,2210225, con el grado de aproximaci6n permitido por las tablas de siete decimales. E n caso deque A = O

A=B=-", Q 2

y !as raíces de la ecuaci6n

Y3+PY+Q

=o,

E n consecuencia, y2 = y3 es una raíz doble a menos que Q = O, 10, que implica que p = O, en cuyocaso las tres rakesson iguales a cero y la ecuaci6n y3

=o,

se resuelve directamente.

Problemas Resolver las ecuaciones cdbicas:

1. ~ ~ - 6 x - 6= O . 3. x 3 + 9 x - 6

2. ~ " 1 2 ~ - 3 4

=O.

4. ~ 3 + 1 8 ~ - 6=O.

=O.

5. 2 x 3 + 6 x + 3 = O .

6. 2 9 - 3 ~+ 5 = O .

7. 3 z 3 - 6 x 2 - 2

=O.

' X

- 15 X* + 105 X - 245

13. 23-225

i-2

15. x J + 6 x 2 + 9 x + 8 = 0 .

+ 6 'X

- 36 = O.

10.x3+6'x1+6x+5=0.

9. x 3 + 3 x * + 9 x + 1 4 = O . 11.

12. 8x3

+ 12 + 102 x - 47 = o. 52

14. ~ ~ f 3 x - 2 =O.

16. 8z3+ - 1 2 ~ ~ + 3 " 05 ! ~ =O.

102

ZEORIADEECUACIONES

21. iCuitl es el radio exterior d e un casquete wfbrico de un centfmetro de espesor si el volumen del casquete es igual al volumen del espacio hueco interior? 22. Resolver el Problema 21 si el volumen del espacio hueco es el doble del volumen del casquete. 23. Una caja sin tapa tiene la forma de un cubo de arista 10 cm. Si la capacidad de la caja es de 500 cm3, LcuQ es el espesor de las paredes? Se suponen de espesor uniforme.

4. Caso irreducible. - Volvemos a l a discusión de la solución general para corisiderar qu6 sucede cuando A < O. Ocurre, en este caso, u n fenómero curioso :

es un inmginario puro y los números

son complejos, de modo que las raíces de la ecuación 111 del Párrafo 2 estánexpresadasporlas raíces cúbicasdenúmeros complejos, y sin embargo las tres son reales. Para ver esto, sea 3

\ / T =a una de las raíces cúbicas de

+ bi,

A . Por ser B conjugado de A , el número

será una de las raíces cúbicas de B y debe tomarse igual a para satisfacer la condición a - bi

Así :

; .\jB=a-bbi,

-\iA=a+bi y de las fórmulas de Cardano

se deduce que las raíces yl

+ bi) o + (a y3 = ( a + bi) + (a y2

= (a

0 2

= 2a -

hi) o2 =

bi)

-a

o = -a

43, + 6 fi,

-b

:B-

ECUACIONES CUBICAS Y CUAETICAS

Es evidenteque

son reales y además,distintas. tendriamos

103

y2 # y3. Si yl = l/r

b = - a c ,

de modo que: Peroentonces

-4 = a3 (1 - - i 4 3 ) 3 = - - a 3 .

seríareal, y1 #

lo que no es cierto. E n l a mismaforma

se demuestra que

y3.

Ejemplo. Resolver la ecuaci6n

=o.

y3-3y+1

y las rakes reales se presentanen la forma: 3-

&-+ d u* y2 = u &+ 3

"2.q"

y3 =

&&-+

Estas expresiones no pueden ser ca!culadas directamente debido a las rakes de los ndmeros imaginarios. Si tratamos de hallar 3

G = a + b f I algebraicamentc, tenemos que resolver el sistema formado por las ecuaciones

Despejando b2 en la primera

bz = y sustituyendo este valor en la segunda

2aa

cdbicns

104

liEOEIA DE ECUACIONES

de donde b=

16a3-1

; b?

27 a2

(16 a3 - 1)'

fgualando las dos expresiones de b?, tenemos la ecuacidn 2a3

queefectuando

2 7 a?

( 1 6 1~ ~1)'

operaciones, nos da: (2 ~

Haciendo

2 =

)

+ 3 (2 9

- 24 (2 a)3

+1 =O .

8 a3, tenemos una ecuaci6n cúbica cn x ~ ~ + 3 ~ ' - 2 4 ~= O+ 1

que, sustituyendo x = y

-I,

se transformaen ~ ~ - 2 7 y - 2 7= O

o, haciendo y =

- 3 3,

resulta: 23-33+1

=O.

Pero ksta es la misma ecuación que qutcríamos resolver. En consecuencia, no hemos avanzado un solo paso cn el intento de hallar a y b por un procedimiento algebmiso. El hecho de que las rakes de una ecuación cúbica ?/3+pl/"q=O,

en el caso de que 4p3+27q2 < O , se presentaran en una forma que incluyera raíces cúbicas de números inmaigarios dcsorient6 a los matem6ticos antiguos por largo tiempo, y este caso fué llamado por ellos casus irreducibilis, caso irreducible. Ahora sabemos que, por ejemplo, cuando p y q son números racionales, pero entre las trcs raíces reales de una ecuaci6n Y3+PY+q=o>

ninguna es racional, es absolutamente imposible expresar alguna de estas raíces en una forma que sólo incluvaradicales de cualquier clase.

5. Resolución trigonométrica. - N o obstante las dificultades algehraicas que se presentanen el caso irreducible, es posible expresar lasraícesenunaformaconvenientepara el cálculo numerico, extrayendola raíz cúbicade

hrigonom6tricamente.Elcuadrado

del módulo de A es:

ECUACIONES CUBICAS I' CUARTICAS

105

en consecuencia

El argumento de A puede determinarse, ya por su coseno

o yaporsutangente

tang rp

-+a

rim-

a condici6n de que rp se tome en el primero o en el segundo cuadrante según que q sea negativo o positivo. Hallados p y rp podemos tomar

Y 3-

Entonces,puestoque w = cos 120" f

las raíces y;, y2,

estarán dadas por:

y1 =

i sen 120°,

y3 = 2

rp cos - 1 3

(+-+ {+- (++ d+

cos

1209

cos

2400)

En la práctica es más conveniente expresar

2&Los

(600

Ejemplo 1. Para la ecuaci6n y3-3y+1

=O,

e y3 en la forma:

+).

106

TZOBLA DE ECUACIONES

tenemos:

luego:

= 120°, e

y1 = 2 C O S ~ O " ; yz =

- 2 COS 20"

;

= 2 COS 80"

LOSvalores aproximados de las rafcespueden sacarse directamente de las tablas trigonom&ricas, y son: y1 =

1,5320888862

ya = - 1,8793852416 y3

0,3472963554 .

Ejemplo 2. Resolver la ecuaci6n

Paraesta

y3-7y-7

=o.

; q=-7

; -A=449,

ecuaci6n p="7

Y tang

1/27

E l c6mputo siguiente se hizo con tablas de logaritmos de seis decimales. Los chlculos y resultados pueden presentarse como sigue: log 27 = 1,431364

log 7 =0,845098

dz =0,715682

log 3 =0,477121

log

log tang

4 =9,284318 4 =lo" 53' 36", 2

$I 3 1

S" 37' 52", O

log 7/3 =0,367977

log COS - =9,999128-10 3 0,485018 log y1 ~0,484146 y1 ~ 3 , 0 4 8 9 2

log 47/3=0,183988 log 2 =0,301030

log 2 d F = 0 , 4 8 5 0 1 8 0.485018 log (-yz) YI=

3,04892

=0,132546 1,35689

uz = -1,35689 y3 =--1,69202

0,ooool

0,485018 log (

=O,2284U5

3 3 ) 7

= 1,69202

107

ECUACIONES CU3ICAS Y CUARTICAS

Las raices han sido calculadas independientemente y la suma de sua valores aproximedw resulta 8e.r 0,ooOOl en lugar de cero, lo que sirve como control para demcetrar que loe valores hallados son correctos dentro delog limites deaproximaci6n que pueden obteneme con tablas de seisdecimales.

Problemas Resolvertrigonombtricamente 1.

- 3 x2 + 1 = o.

22"

2 x - 1 = o.

-0.

4. x 3 - 6 x + 2

=O.

6.~~+~"-4~+1=0.

5 . ~ ~ + 6 ~ ~ + 1 0 5 + 3 = 0 .

=o.

7. x 3 + 3 x 2 - 2 x - 3

2. x a + 3 2 2 - 3

8. z ~ + ~ x ~ + S =XO .- ~

9. Cortar un s6lido semiesf6rico con un plano paralelo a la base de modo tal que 10 dividaen dos partesdeigual volumen. 10. Si se pide que el mismo d i d o se divida en tres partes de igual volumen por medio de dos planos paralelos a su base, demostrar c6mo pueden elegirse estos plana. 11. Siendo el peso especifico del corcho de 0,25, ¿hasta qu6 profundidad se sumergirti en el agua una esfera de corcho de 10 cm de radio? Por el principio de Arquimedes el corcho desalojar& unvolumen de agua de igual peso que el corcho. 12. Resolver la ecuaci6n

1 HBgase: y = x - 2 13. Resolver la ecuaci6n

6. Solución de las ecuaciones cuárticas. - La resoluci6n de las ecuaciopes cuárticas fu6 descubierta por Ferrari, discjpulo de Cardano. Escribiendo la ecuación

x4 en la forma

+ ax3 + bx2 + cx -I-d = O ,

y sumando - x 2 4

+ ax3

= - bx2 - cx

-d ,

a ambosmiembros,laecuación

(x2 + % x y

($-b)x2-x-d,

es equivalentealaecuaci6noriginal.Si el segundomiembrode [l] fuera un cuadrado perfecto, lasoluci6n de esta ecuaci6n sería inmediata.

108

T ~ E O R I ADE ECUACIONES

Pero, en general, no lo es. La idea fundamental en el mktodo de Ferrari consiste en sumar a ambos miembros de [S]

Y (x’

+ :x) + T Y2 ,

de modo de obtener un cuadrado perfecto en elprimermiembro un y indeterminado. La ecuación [ l ] queda transformada en: y

( r ? + - xU + - ) 2

= ( - -u2 b+y)x’+ 4

Ahorapodemos

para

tratardedeterminar

y de modo que:

se convierta en el cuadrado de una expresihlineal ex f f . En general,si :

AX’

+ BX + C

(ex

+ f)’,

i-41

será B2-4AC=0,

[51

y recíprocamente. Dc hecho, la ecuaciGn [4]esequivalentealastres

relaciones

=e3

; B = 2ef

; C

=f2,

[GI

para que [ 5 ] sz satisfaga.Recíprocamente,suponemo;que [5] sea verdadera. Entonces! si A = O y C = O, tendremos tambikn B = O, y las relacioaes [6] se satisfarán para e = f = O. Si A ó C 110 son cero, sea, por ejemplo, A # O, tomamos, entonces: e = d A ; f = - tB 2e

y, por [5],tcndremos:

c=p.

Demodoque el segundomiembro de [3] será el cuadradodeuna cxpresiGn lineal ex f si y satisface la ecuación:

($uy-c)i=4(y+,-b

o, efectuandooperaciones: y3 - by2

+ (ac - 4 d ) y + 4 bd - a2d - c2 = O .

[71

ECUACZONES CUBZCAS

Y CUARTICAS

109

Bastatomarpara y unaraízcualquieradeestaecuaci6ncúbica, llamada resolvente de la ecuaci6n cuártica, para tener

con e y f convenientemente elegidos. Laecuacióncuárticaqueda,entonces, de la forma:

podemos dividirla en dos ecuacioncs cuadráticas a

U 1 ; x2+-~+--y=-ez-j,

x2+-x+-y=ez+j

lasqueresueltasseparadamente, nos danlascuatroraícesbuscadas. La soluci6n sesimplifica si la resolvente [7] tiene una raíz expresable racionalmente en función de a, b , c, d. E n ese caso puede elegirseesta raíz para y, y las raíces de la ecuación cuártica pueden expresarse por medio de radicalescuadráticos.Peroengeneral,laexpresi6ndelas raíces tendrá radicales cuadráticos y cúbicos. Ejemplo 1. Apliquemos estemetodo a la ecuaci6n ~ ' + 4 ~ - 1= O .

Eneste

caso serán

a=O;b=O;c=4;d=-l y la resolvente cúbica correspondiente ya

sed:

+ 4 y - 16 = O,

.que tiene una r d s racional 2. Haciendo y = 2, la expresi6n (3) queda: 2r?-4~+2=(42z--4T)2 .y se llega a la soluci6n resolviendo las dos ecuaciones cuadraticas z*+1

r2+1=&";

Las cuatro rakes de la

=-y?.++.

ecuación propuestason:

l*,iddS+l . 62 7

-1

&T-l

Ejemplo 2. Como segundo ejemplo tomamos el siguiente problema geom6trico: Por un punto P sobre la bisectriz del ángulo formado por 2 rectas perpendiculares OX y OY trazar una recta de modo que el segmento QR entre OX y OY tenga una longitud dada.

110

ZEOZIA DE ECUACIONE'S

Considerando OX y OY como ejes coordenados, sean (-a; a) las coordenadas de P. Llamemos OQ = x y OR = y. La ecuación de la recta que determina en OX la abscisa x y en OY la ordenada y es:

"-+--=I

La condicih de que esta recta pase por el punto P (a;a) nos da una relación entre x e y :

. $ L

+"l.

Por otra parte, si 1 es la longitud dada de &E, la segunda relación: x2

+ y= = 11,

nos la suministra el teorema de Pitágoras. Sustituyendo en esta última ecuación el valor ax

y="-x-a

que resulta de la primera relación, tenemos que determinar x de la ecuación

x4 - 2 ax3

+ ( 2 u2 -

El problema queda asf reducidoa solventecúbicaes: y"

+- (12 - 2 a?)y?- 4 a4

r2)

+ 2 a12 x - u?E?

la resolución deesta 12

(y - 2

a') (y'

ecuación cnktlca. Su re-

+ ly + 2 a2 12)

tiene una rafz y = 2 a*,y con este valor de y, la expresi6n (3) queda: (a2

+ 2%) x2 - 2 a (a2 + P) x + a2 +

[ q F T 2 (x - a)]'.

Nuestra ecuación de cuatro grado puede ahora dividirse en dos cw1acionc.s cnadrkticas

x~--az+a'=

x? - ax o sea:

1/P+d(x-a),

+ a2 = - 4 1 2 + a? (x - a ) ,

111

ECUACIONES CUBICAS Y CUABTICAS

con la recta y = O. E n consecuencia, se desprende de all1 la siguiente collRtrucci6n: Por P se trazan dos rectas PM y P N paralelaa a OY y OX respectivamente. de modo que ON = P N = a. E n MP se toma el segmento P L = I y, tomando N como centro, se a PN en S y T. Con PS y PT codescribe un circulo deradio N L , quecorta mo dizimetros se describen cfrculos que cortan a OX en Q , Q' y Q" respectivamente. Las rectaspedidas se obtienen uniendo P con Q. Q', Q" y Q"', de modo que el problema pueda tener cuatro soluciones; como mínimo tendrh dos. Los puntos Q" y Q"' existen siempre, pero Q y Q' pueden no existir. Esto 151timo sucede si el circulo de diAmet,ro PS no corta al eje OX, es decir, si

<a,

o sea si

Problemas Resolver las siguientes ecuaciones cudrticas: 8 ~ ' - - 4 ~ + 3= O .

2. x 4 - 4 5 2 + 5 + 2

5. ~ " 3 ~ ~ + 6 ~ - =-O 2.

6. x ' - x * - ~ x " ~

24-

7. x4

-tx) - 5 22 -t2 = o.

+ 3 x3 - 2

22-

10 x

4. 2 ~ ~ + 5 ~ ~ - 8 ~ ' - 1 7= O~ .- 6

- 12 = o.

10. x 4 + 5 x 2 + 2 5 + 8 = 0 .

11. 2 ~ ' + ~ 3 + 2 ~ ' - 3 ~ -=;O. 2

13. Demostrar que una ecuacih x4

12. x4

+ + 5 x2 + 5x + 12 = o. 23

recíproca

+ px3 + 9x2 + p z + 1 = o

puede resolverse por medio de radicales cuadrAticos. 14. Demostrar que

=O.

8. ~ ' + 5 ~ ~ + ~ ~ - 1 3 2 + 6 ~ 0 .

=o.

9. 2 4 + 2 x 2 + 2 ! + 2

=o.

= 2 cos

(S)

satisface la ecuacidn

x4-2a-4Z2$4z+1

=O.

iCuAles son las otras rakes de esta ecuacih? 15. Resolver la ecuaci6n

[(x

SUGESTI~N: H&gase z + 1

+ 2)' + x2I3= 8 x4 (x + 2)2

= v.

CAPITULO VI SEPAKACION DE RAICES

1. Objeto de este capítulo. - En ésteyen los dos capítulossiguientestrataremosconecuacionescuyoscoeficientessonnúmeros dados.Talesecuaciones se llamannuméricasparadistinguirlasdelas literales, cuyos coeficientes son letras capaces de rcpresentar cualquier número. Los métodos directos para la resolución de ecuaciones cilbicas y cuárticas fueron tratados en el capítulo precedente. No se dispone de t a k s métodos directos para ecuaciones de grados mayores, pero existen procedimientos indirectos para el cómputo de raíces de las ecuaciones numéricasquesonigualmenteaplicabIes a ecuacionesdecualquier grado. A menudo estos métodos indirectos son bastante más ventajosos aun en el caso de ecuaciones cúbicas y cuárticas, y su exposición cons-tituyeuncapítulomuyimportantedelálgebra. En lo quesigueconsideraremosúnicamenceecuacionescon coeficientesrealesyconcentraremosnuestraatenciónenlasraícesrealzs. Conrespecto a las raícesreales, el problemaes separarlas o aislarlas. Una raíz real se aísla si se dsterrnina un intervalo que contiene a ésta y no a otras raíces. Las raices reales quedarán separadas si cada una de ellasestáinclufdaen uno de dichosintervalos. Así porejemplo,las raíces de l a ecuación x$+x2-2x-l =o,

son todas reales y ubicadas en los siguientes intervalos, cada uno de los cuales contiene una raíz : (- 2; - I), (- 1; O ) , (1; 2). Las raíces están, por lo tanto, separadas. Evidentemente la separación de las raíces reales l a solucióndelasiguientecuestiónfundarequiem,enprimerlugar, mental: ¿Cuántas raíces reales tiene una ecuación propuesta? A su vez, estapreguntaquedarácontestadasiencontramoslasolucióndeun problemamásgeneral: LCuitntasraícesreales de una ecuacióndada están contenidas entre dos números dados? Trataremos principalmente estos problemas en est2 capítulo y el siguiente. 2. Signo de un polinomio para valores pequeños y grandes d e la variable. - Considérese un polinomio f(5) = ClZ

112

+ c2 z? + . . . + cnxn,

BAICES

113

DE SEPARACION

con coeficleutes reales, y sup6ngase que 1: toma valores reales. Por simplicidadescribiremos: I z I = r. Entonces

If(x>I 5

I c l l r + jciIr2+

y porconsiguiente:

If(.) siendo c el mayorde

5 c (r

+ r2 + . . . + P),

los números

IC11

Supuestoque

... + ICnlr”,

ICZI,

.”,

[CnI.

< 1, tenemos

r - Tn+1 r + r 2 f ... + r ~ = - - < - , 1-r

r 1-r

y asi

siempre que r ladesigualdad

< 1. Por otra parte, siendo cr 1-r

un número positivo dado,

E ,

queda satisfecha si

r <Por lo tanto

< l.

C + E

! f b )I < E ,

siempre que 121

<-.

E f

En otras palabras, podemos establecer num6ricodelpolinomio c11:

el siguiente resultado: El

+ czx2 + . . . +

C , P ,

seramenorquecualquiernúmeropositivo E dado,paravalores cientemente pequeños de x. Es suficiente tomar

1x1 <-> C

E f

donde c es el mayor de los números IC11

Ic21,

valor

..., I C n I .

sufi-

114

TXORIA DE ECUACIONES

Esta proposici6n conduce a las siguientes conclu,'vmes : 1. Para x suficientementepequeñoenvalorabsoluto, polinomio +(X) = ko f klx .. .

eselmismo

ko siempre que kg z O. Podemos escribir

que el de

+ ( x ) = ko (1 donde

ki c I. "- ; ko

Ahora,para

el signo del

+ c12 + . . . + 2 =

C n P )

1 , 2 , . . ., n.

x suficientementepaqueño c1x +cz22+

. . . +&X*,

-.21

seránumCricamentemenorquecualquiernúmerodado,digamos Entonces, para tal x pequeño

serámayorque el mismosigno

1 + C l Z f c2x2 ... C n P , 1 - y por lo tanto positivo, y entonces 2 que kc.

2. Si los coeficientes nomio

a, b,

+ ( x ) tendrá

c, . . . no son todos nulos, el signo

axm

+ bx- f

c x p

del poli-

. ..

dispuesto segiln laspotencias crecientes de x será,para x suficientemente pequeño, el mismo que el signo de su término de menor grado axm. E n efecto: b C axm bxn f c x p . . . = axm 1 - x"- f - X P - ~ f . . . ( a a y porla conclusi6n 1: b C 1 -xn+-x. .. a a

será positivo para un

x suficientemente pequeño. Así, por ejemplo: -2

x3 f 3 2 5 . - 100 x6.

par& x pequeño será negativo o positivo según que x sea positivo o negativo. 3. El signodelpolinomio

115

EAICES

DE SEPABACION

dispuesto según las potencias decrecientes de x, es el mismo que el de su tdrminoprincipal sox" paravaloresde x suficientementegrandes. En efecto: an aoxn a1x" . . . an = sox* . . . -o), a0

y para x suficientementegrande

x-' suficientementepequeño).

an + . . . + "x-",

al + -x-1

para x grande

espositivo.Luego,

- 3 x4

+ 100 + 1000 x - 100.000, x3

seránegativo,mientras

- 1000 x4

+ 20.000 x3 - 1.000.000,

será positivo o negativo según qus x sea positivo o negativo.

(x) toma valores f ( a )

3. Teorema. - Si un polinomio real f

y f (b)

de signos opuestos parax = a y x = b, as$por ejemp1o:j ( a ) < O, f ( b ) > O, entonces hay por io menos una raiz de la ecuaczón f (x) = O e n el intervalo ( a ;b ) . DEMOSTRACI~N: Desde cierto punto de vista el teorema es intuitivo, y = f (x) correspondientesa x = a y pues si los puntos de la curva 2 = b estánensemiplanosopuestos respectoaleje OX, entoncesla curva, siendo continua, debe cortar a O X en algún punto entre x = a y x=b.

Un razonamiento más rigurosoesel siguiente: En primerlugar, sinrestringirsugeneralidad,puedesuponerseque a y b sonenteros; puesdeotramanera,bastaríahacerunatransformacih lineal de la variable : x = a + (b - a ) t . Entonces, f (x) setransformaráenotropolinomioreal 4 (x), y : 4 (O) = f (a), 4 (1) = f ( b ) serán números de signosopuestos.Si, por lo tanto, es cierto que 4 ( t ) = O tiene una raíz entre O y 1, se seguirá inmediatamente que la ecuaci6n original f (x) = O tiene una raíz entre entre a y b. Luego no restringe la generalidad suponer que a y b sean enteros.Entonces,entre los valores

f(a>

f(a

+ 11,

,f@),

116

TtEORIA DE ECUACIONES

de los cuales el primero es negativo y cl último positivo, habrá u n último t6rmino no positivo, digamos j (eo), tal que f(CO)

;

f(c0

>o.

En caso dt: quc f (co) = O la ecuacidn time una raíz entera C O entre y b y nada queda por demostrar. Dc lo contrario, divídase el intervalo ( t o ;c a 1) en 10 partes iguales y considérense los números

dc los cuales cl prim2ro es negativo y el último positivo. Entre ellos estará el últimonopositivo;sea:

tal que

Is ecuacidn f

(.E) =

O tiene una

raíz racional

no queda nada por demost,rar. En -entero C o f -

caso contrario, divídase el intervalo y

CO+---,

cn diez partes iguales y considkrense los números

entrc los cuales se encontrará el últ'imo f ( c o + - + -10 c1 )

q u e no es posit,ivo. Si

lo2 c2

,. o

6 C z

$9,

SEPAEACION DE’ RAICES

se ha.br8 determinado una raíz racional d o + - c1 t - ,

102

e n t r e a y b. En caso contrario divídase nuevamente el intervalo entre co

c1 t -+

c2 -

102

y GI+-+-,

1o 2

e n diez partes iguales y continúese como anteriormente. El proceso terminará si la ecuación tiene una raíz racional de la forma 10.1

102

+ -+ -+ 10 c1

...

+cm

representada por una fracci6n decimal finita entrea y b y de lo contrario puede continuarse indefinidamente, determinándose un decimal de infinitas cifras 5 = c o + - + - +c1

102

...

Por la forma en que se obtuvo este decimsl es evidente quehaciendo c1

Em=co+-+-+... 10 102 c1 10

qm=co+-+-+

1.2.3

y Iuego

+ (Ern-

102

+-,Cm

10“

. . . + - ,Cm+ 1 10”

f” (5) + (tm- 5 ) 3 E>2 -

1.2

(E)

. < o,

118

ECUACIONES DE

TZOBIA

Pero, de acuerdo con el resultado establecido en e! Párrafo 2, el polinomio' en h

hf' (5)

f" + . . .,

1.2

será numbricamente menor que un número positivo E dado, siempre que el valor absoluto de h sea menor que un cierto número 6 que puede ser calculadoalconocerse el valorde E. Considerandoquelasdiferencias 1 ( 4 - 5,) y (5 - y,) son numbricamente menores que - y tomando 1om 1 m tan grande como parahacer - < 6 el segundomiembrodelas 10" desigualdades [l]y [2] será numéricamente menor que 5, es decir, mayor que - E ymenorque E. En consecuencia:

f ( € ><

por más pequeño que se tome demostrado que el número

f(S) >

Y E,

lo queimplica f (5)

que ciertamente pertenece al intervalo

( 8 =

-c,

(a;b )

O . - 4 4 queda

es una raíz de la ecuaci6n

Téngase en cuenta que esta demostracih da tambibn el procedimiento para computar aproximadamente, y con cualquier grado de aproximac i h , l a raiz cuya existencia queda establecida *. El teorema que se acaba de demostrar es solamente un caso particular de uno más general concerniente a las funciones continuas: S i u n a función continua en un intervalo a 6 x 5 b toma valores de signosopuestos en sus extremos, se anula en algún punto interior del intervalo. Nos referiremos ocasionalmente a esta propiedad general de las funciones continuas,cuyademostracihesmuy similaraladesarrolladaparalos polinomios. 4. Corolarios. - Entre las consecuencias inmediatasdelteorema del Párrafo 3 están las siguientes:

1. Unaecuaci6nreal

f (x) = a0 x2n+1 + a l x 2 n + . . .

wn+l

de grado impar, tiene por lo menos una raíz real. Esto es evidente en el casoen que azn+1 = O ; puesentonces x = O es unaraíz.Cuando a2,+1 no es nulo, será positivo o negativo. Ahora, sin restringir la genera-

BAICES

119

DE SEPABACION

lidad, el coeficiente a. puede suponerse positivo. Entonces, para valores suficientemente grandes c (PBrrafo 2, conclusi6n 3) f (c) ser& positivo y f (- c ) negativo. Suponiendo azn+1 < O tenemos:

y hay una raíz positiva de la ecuaci6n f (x) = O . Si

y en este

caso la ecuaci6n tiene una

,+x

> o, entonces:

raíz negativa.

2. Unaecuación

.de grado par, en la que el coeficiente principal uo y el termino independiente aZn tienen signos opuestos, tiene por lo menos dos raíces reales, una positiva y otra negativa. Suponiendo a0 > O y c suficientemente grande, f (c) y f ( - c) serán ambos positivos; entonces, desde que f(-c)

; f(0)

;

f(C)

>o.

c a d a uno de los intervalos (-- c ; O) y ( O ; c ) contiene por lo menos una rafz de l a ecuaci6n f (x) = O. 3. Un polinomio real sin raíces reales en un intervalo a 6 x I b conserva un signo constante en el mismo, es decir, f (x) es positivo o negativo cualquiera sea el valor de x que se tome en el intervalo ( a ;b). Sean x’ y 2” dos valores cualesquiera tomados. en (a;b). Entonces, ni f [x‘) ni f (x”) son nulos, desde que el intervalo no contiene raíces de f (x) y por lo tanto f ( 2 ’ )y f [x”) no pueden tener signos opuestos, pues de otra manera f [x) tendría una raiz entre x’ y x” y pertenecería alintervalo ( a ;b ) lo que es contrarioala hipbtesis.

4. El nflmero de raíces de f (x) = O entre a y b, contadas de acuerdo a su multiplicidad, es impar o par, de acuerdo a que f (a) y f tengan signos opuestos o iguales. Sean c, dl . . . , 1, distintas raíces, de f [x) entre a y b, y y , 6, . . . , 1, sus drdenes de multiplicidad. Entonces:

(a)

f (x)

= (Z

- c)’

- d)a . . . (Z - Z)X 4 (X) ,

C#I [x) no tiene raíces entre a y b. Sustituyendo x ciendo elcociente, tenemos:

b y x = a y ha-

120

ECVACIONES DE

T,EORIA

Ahora, por el corolario 3, el cociente

4 (b) 4J(a)

’

es positivo,mientrasque

. b-a,

b-c

1 -

a-C

“d

,...

’

b-1

a-1

son números negativos. El signo de -es el mismo que el de

f (a)

+ +

l)Y+8+.

..+x

luego, y 6 . . . -t h -número de raíces de f (x) en ( a ;6) contadas de acuerdo a su multiplicidades impar si f (6) y f ( a ) tienen signos opuestos, y par si f ( b ) y f (a) tienen el mismosigno.

5 . Ejemplos. - Antes dc considerar los ejemplos que tratan de ilustrar eluso de los resultados establecidos hastaaquí, es conveniente introducir ciertos símbolos y explicar su significado. Cuando escribimos f ( m) = m 6 f (+ m ) = - m queremos decir que para todos los valores positivos de x suficientcmcnte grandes, el polinomio f (x) conserva el signo 4- 6 - y toma, envalor absoluto, valores mayores que cualquierndmeropositivodado.Enlamismaforma, los símbolos f (- m ) = m 6 f ( - m ) = - m significan queparacualquier x negativo,suficientementegrandeenvalorabsoluto, j (x) conserva el signo 6 -, sobrepasandonum6ricamentecualquiernúmero positivo prefijado.

Ejemplo 1 . Considerese la ecuaci6n

f (z)=

- 1) (Z - 3) (X - 5 ) (X - 7)

+ A (X - 2)

- 4)

- 6)

donde A es un número real arbitrario. Al sustituir en f (z) respectivamente - m ; 2; 4; 6; m tenemos

Valores: I(Signos:

f(2) -

f ( 4f () 6 )

f(m)

De esto concluimos que la ecuaci6n propuesta tiene raices en cada uno de los intervalos (--

Como el grado de esta ecuación e, d , e, f vemos que

(2;4) (4; 6)(6;

m).

4, todas sus raices son reales y aimples. L l a d n d d a s

--<c<2<d<4<e<6<f<+wo.

121

SEPARACION DE RAICES E n otraa palabras,

las rakes de las f (z) = O

ecuaciones

- 2) (Z- 4) (Z - 6)

se siguen en un orden alternado o se separan mutuamente. En general, si dos ecuaciones tienen todas sus rakes reales y simples y estAn ubicadas de tal modo que entre dos consecutivas de una hay justamente una raiz de la otra,decimos que lasrafces de una separan las de la otra. Evidentemente, en ese caso, los grados de las ecuaciones son iguales o bien difieren en una unidad.

Ejemplo 2. Considerese una ecuaci6n de la forma F(x)

A =-+-+-z-a

B x-b

x - ~

C son números positivos; a tinto de cero. Escribiendo

< b < c; y P

un la cual A , B ,

P =o, es un número cualquiera dis-

es obvio que las raíces de la ecuaci6n en la forma original y la, Je f (2) = 0 son l a mas. Ahora, en F (x) hhgase la sustituci6n z = a - e; z = a e; los resultados son

F(a-e)

F(a

a-b-e

-+ E

a-c-e

=--+A

a-b+e

a-c+e

-P , -P.

Si e es positivo y muy pequeño, los tkrminos

A -E

sobrepasan a los

A e

otros en las expresiones precedentes y por lo tanto F (a - e) e positivo pequeño. Del mismo modo encontramos que:

+ e) > O para un

F(b-e)

F@+ para

<O,

>O,

F(c-e)

F(c+

positivo y pequeño; en otras palabras:

<O,

e) > O ,

< O;

123

TaORIA DE ZCUACIONES y pwitivo. Los signoe de g (u

Para pequefio g (a

+ e) +

- e)

17 (a

- e)

- a), g + e),

+ e)

g (b

g (c - el

Y consecuentemente loa de: f (a - e), f (a + e), etc., son:

f (a + e)

f (a - e)

A6n

f (b - e)

f (b

f (c - e)

+ +

g (c

etc. son 1% siguiente:

+ e)

f (c

desde que:

m&,

F(--)=F(fm)=-P,

el signo de f m ) es negativo, en el caso de P positivo, y el signo de f (tivo en el caso de P negativo. Luego, para P > 0

1~ signos de son

mientraaquepara

los signos de son

+ +

f(-

f (b - e) -

f tb + e) -

<O -)

f(a - e)

f(a

f (c - e)

I (c

f ( b - e)

f(b

+ e)

es nega-

f (+

f(c-

En el primer caso hay una rafz en cada uno de los intervam (a;

b) ; (b; e) ; (c;

y en el segundo caso, en c a b uno de los intervalos (--

;a) ; (a;b) ; ( b ; e ) .

Las rakes de la ecuaci6n propuesta son, por lo tanto, reales, simples y separan a a, b, C.

Problemas Verifíquese que las siguientes ecuaciones tienen

- 3 x2 - 4 x

3. x4 - 6 2 3

+ 13 = O.

+); (p

; 3) ; (- 3; - 2 ) .

+ 5 x2 + 14 z -4 = O. Rafces en I-

4. x 4 4 - 4 a 9 - 3 2 * - 6 ~ + 2 5. 5 x4

%ices en (I;

rakes en los intervalos indicados

- 1); (O; 1);

O. Tresrafces en (- 1; O ) ; ( O ;

Aislese la cuartarats.

para todovalorrealde

(f; 4) .

i) (i; ;

1).

A laecuaci6n

-2) (X- 5) (X - 7) (Z - 9) + A (X - 3)

tiene todas las rakes

:);

=O. Raícesen(-5;-4);(-2;0);(0;1);(1;2).

+ 16 z8- 9 x* - 12 z + 2

6. Demubtrese que

(3;

- 6)

reales y simples y seph-eselas.

- 8) (Z - 10)

SEPARACION DE RAICES 1. Resudvase el Problema 0 para

x(x2-1)(x-2)+A(2Z+1)(3Z-2)(22-3)

* 8. Si al < b1 < a2 < bz < . . . mudstrese que las rdces de: (Z

-al)

. ..

(X-U*)

< a,l

(X -U,)

-0.

< bn-1 < a,, y (Z

A ea un n6mero real, de-

. . . '(z - b,~)

- bl) (Z -a,)

= O,

son reales y simples. Sepbeaelas.

* 9. Si al < b1 < at rakes de la ecuaci6n

< bp < . . . < an < bn

(X - a*)(x - at)

. . . (2 - a,)

y A es real, Lcurilea la naturaleza de 1-

- hJ (x - br) . . . (Z - bn) = o 7

IndIquense intervalos que contengan S610 una rab. 10. Demu6strese que las ralces d e l a ecuaci6n

X+1

+;+2-+-- x +1 2

3 x+3

10 = o

son reales y simples y sepheselas. la ecuaci6n

11. Demostrar en general que las rdces de

A1 X--al

An +- x-upA* + ... +--px " a,

son reales y simples si A1 > O; A2 tengan cada uno s610 una rats.

> O; . . . ; A , > O.

IndIquense los intervalos que con-

6. Una identidad y un lema importantes. - Sean xl,x2, las rafces de un polinomio f ( x ) = aox"

y sea

f (z,

+ UlX"" + . . . + a n ,

(x - Zl) (x - x2)

su factoreo. Reemplazando aqui x por z así :

f (x + h) = a0 (z h - XI) (x = a. (x - xl) (x - x2j . . . . . (x - x n ) (1

+ -"x)

o bien

f ( z + h) =!(x>

. . .,z,,

+h -

-21

- 2,) ,

+ h, podemos prssentar f (z + h )

z2)

... ( x

. . . (x + h - x,)

+-)x

) (1 +-)

... (1

-x2

x - x2

. . . (1

x -xn

124

TXORIA DE ECUACIONES

El producto 1

+-)

. . . (1

puede ser desarrollado en potencias tbrminos de ese desarrollo son 1 +h(”--+”--1 Luego :

f (x t h)

x -22

+ ... +

- x,

++ ... + [z

f (x> + h f (x>

- x,

crecientes de h, y los primeros dos

X”1

X”2

f(x)

- x,

] + ..

Por otra parte, por la fórmula de Taylor:

f (x + h )

f (x> t hJ’ (x) t

así que, comparando los coeficientes de h en ambas expresiones, obtenemos una importante identidad :

que tambiRn puede ser escrita así:

Las raíces de XI, x2, x3, . . . , x,,no necesitan ser todas diferentes; sean Las distintas entre ellas a, b, . . . , I y sean a, 6, . . . , A sus multiplicidades. Entonces la ident.idad que acaba de deducirse puede presentarse en la forma

Y(.>

+--” “Bb + . . . +”--.x h- 1

“~

f ( ~ )

Escribiendo

- U

f (x> = (x - -a)=9 (x> raices b, c, . . . , I de multiplicidades p, 1

el polinomio g (x) tiene Luego, aplicando la misma identidad a

y así

(x) tenemos

y , . . ., A.

125

SEPARACION DE RAICES

De ahora en adelante, supondremos que j (x) tiene coeficientes redes; mpondremos tambiBn que a es una raíz real. Entonces, g (x) s e d un polinomio real y g (a) # O . Sustituyendo en [ 11: x = a - E y z = a + E tenemos

f’ ( a - 4 f (a - E) Ahora, si

= - _a E E

+ 9‘S ( .

(a -

4 E)

’ j(a

+ “+ E)

9’ ( a

g (a

es positivo y pequeño, los terminos ”

que para

f’ (a + €1

a “

pequeño son ca;i iguales a la cantidad finita 9’ (a, 9 (a)

Por lo tanto, para

pequeño y positivo, el cociente

será positivo, y ambas 2xpresiones serán grandes en valor absoluto. Es Beta una importante propiedad que estableceremos como lema. Cuando x crece y pasa por u n a raiz real de f (x), el cociente

f’ (x) f (x) al convertirse eninfinito,cambiadesignode

pasade

7. El teorema de Rolle. - Será fácil ahora demostrar un teorema, rakes (reales) importante conocidocomo teoremadeRolle.Entredos consecutivas a y b de un polinomio f (x) hay por lo menos una, y siempre, un número impar de raices de su derivada j’ (x).

126

TZO RIA DE ECUACIONES

DEMOSTRACI~N: Desde que a y b son dos raices consecutivas de f (x), e n el intervalo a E 6 x S b - E el signo de f (x) no puede cambiar, asi que

f(a

Y f(b--),

sm&n números del mismo signo. Pero si

por el lemadelPárrafo

e es pequeño y positivo

6 ; enconsecuencia:

f’ (a + 4

f’@- 4 ,

son de signos opuestos y entre a y b debe haber por lo menos una raiz deladerivada f’ (x) (Párrafo 4, Corolario 4). Decualquier forma, el número de raíces, contada cada una de acuerdo a su multiplicidad, sera impar. COROLARIO: Entre dos raicesconsecutivasc y d de la derivada f’ (x) existe a lo s u m o una raiz de f (x). En ptimer lugar, tal raíz debe ser simple. Sup6ngase que haya dos raíces a y 8 de la ecuación f (x) = O entre G y d, de manera que c < a < 0 < d. Entonces, por el teorema de Rolle, l a derivada f’ (x) tendría por lo menos una raíz entre a y (1, y c y d no aerian dos raíces consecutivas de f’ (x). Similarmente, si f es la menor d e las raíces de f’ (x) y g la mayor, cada uno de los intervalos ( - m ; j ) y (9; m ) puedecontener s610 unaraízde f (x) en su interior. Es evidente que entre c y d no habrá ninguna raíz de f (x) si

f (c) f ( 4 > 0 y solamenteuna

f (c) f ( 4 < 0 .

Igualmente, los intervalos ( - m ; f ) y (g; m ) contienen o ninguna o s610 una raíz de f (x) si en sus puntos extremos lossignos de f (x) son iguales o no. Sobreestasobservacionespuedebasarse un mCtodo paraseparar ias raíces de un polinomio, en caso de que sean simples, supuesto que las saices de la derivada se conozcan. Sean todas las raices distintas de j’ (x) c1

Escríbanse,unodetrás

f(-

;

< c2 < . . . < c,.

del otro, los signos de

f ( C J

;

En una sucesi6n de signos

f(C2)

; ... ;f(cJ ; - hay

f(+

m>.

una variación sidos

DI con-

127

SEPARACION DE RAXCES

y una permanencia si son iguales. Porejem-

secutivossondistintos, plo,lasucesión

++--+-+-

presenta cinco variaciones y dospermanencias.Adoptadaestaterminologja, el número de rafces reales de la ecuación f (x) = O es igual al número de variaciones en la sucesión [l]. Más aún, las raices estarhn separadas y asignados intervalos, cada uno de los cuales contiene una solaraíz. Ejemplo 1. Separar las raíces d e l a ecuaci6n f

(2)

Desde que

f' (2) = 10 ( 2 4 - 2 2 3

+ 10

- 1)

- 10 2. + 1.

= 10 (2

- l ) a (2 + 1)

- 1, considbrese

tiene dos raices distintas 1 y

f(-

- 5 x4

;

f(")

f(1) ; f(+

y escríbase la correspondiente sucesi6n de signos

Esta presenta tres variaciones lo que indica tres raíces reales y simples, cada una uno de los intervalos: (-

- 1)

; (- 1; 1) ; (1;

+ m)

Ejemplo 2. LCuLntas raíces reales tiene la ecuaci6n f(2)

La derivada

= s4-4a2

f' (2) = 4

+b = O ?

(23 -a)

tiene una sola raia real

Y Si 3-

b -3ada

b3 = 2 7 a 4

la única rafz real de la ecuaci6n propuesta ser&la raíz mriltiple signos de

f(son

; f&)

+++

; I ( +m )

6. Si ba > 27a',

los

128

SEPARACION DE RAICES

asl que en este caso todas las raíces son imaginarias. Finalmente, en el caso ba

la sucesi6n de signos

+-+

< 27 a'

indica dos raíces reales y simples, siendo la otra imaginaria. El uso de este metodo basado e n el teorema de Rolle para separar las rakes. es limitado, pues 9610 raramente se conocen las rafces de la derivada. L a importancia de este teorema consiste en otras aplicaciones, algunasdelas cuales se consideraran enseguida.

Problemas Separar las raíces de las siguientes ecuaciones 1. 3 ~ ~ - 4 ~ ~ - 6 ~ ' + 1 2= O~. - 1

2. 3 ~ ~ - ~ ~ - 6 ~ ~= O + . 3 ~ + 1

3. 3 ~ ~ - 2 ~ ~ - 6 ~ ' + 6= O~ . - - 2 4. ~ ~ - - 4 ~ ~ + 4 ~ ' - 2 4= O~ . - 1

+ 5 x4 - 10 x3 - 20 + 40 z + 5 = O. 6. 3 - 25 + 60 z - 10 = O . 7. - 10 + 5 = o. S. - 80 z + 35 O. 9. - 6 + 4 = O. 10. 5 3- 24 Z' + 30 x4 - 20 r3- 75 - 60 z + 3 = O .

5. 2 2 6

210

11. ¿Paraqué

valores de A la ecuaci6n (Z

+ 3)s - A (Z

- 1)'

tiene tres raíces reales? 12. ¿Paraqué valores de A la ecuaci6n (Z

tienetres

+ 3)3 - A

- 1)* = 0

raíces reales?

13. Demostrar que la condici6n necesaria y suficiente

para que una ecuaci6n

23fpZ+q=o

tenga tres raices reales distintas es 4 p 3

* 14.

E n una ecuaci6n trinomia 5n

+ 27 q' < 0.

+ pxm + q = 0

de grado impar,el exponente m puede tomarse impar. Demostrar que el número de raices reales es uno o tres, y que hay tres raíces reales y distintas s6lo si

(T)n+ ( q n-m

129

SEPARACION DE RAZCES y ninguna si

Si m es par, el ndmero de raices reales, de acuerdo a estos dos casos es cuatro o cero.

* 16. Si las rakes de f (x) = O son reales y simples, demostrar que las rakes de

f (2)' "f (2)f' (2) = o ,

aon todas imaginarias.

* 17. Las rakes de lasecuacionesf (2) = O y g (2) = O son reales y simples y se separan mutuamente; esdecir,entre dosraicesconsecutivascualesquieradeuna, hay juetamente una rala de otra. Llamando a las rakes de g (2) = O: 21 < ZI < . . . <.,z demostrarqueloscocientes

sondel

mismo signo.

* 18. En l a s mismas condiciones que en el problema a-oterior demostrar que todas las raices de la ecuacih f (2) g'

son imaginarias.

(2)

"f (2) g (2) = 0

8. Otras aplicaciones del teorema de Rolle. - Sea un polinomio con las raíces reales distintas bl

de multiplicidades conjunto contamos

< b z < . . . < b,,

p2, . . . , g,, respectivamente,demaneraqueen r =

@S+

...

+ o,,

raíces reales. Por el teorema de Rolle, cada uno de (bl ; b2) ; (bz ;b3) ; . . . ; (b*-1 ;b e )

los intervalos

contiene por lo menos una raiz de la derivadaf' (x). Desde que el número de intervalos es S - 1, tenemos no menos de S - 1 raíces distintas de f' (x). Aún más, bi será una raíz de multiplicidad p i - 1 de f' (z) (en lo tanto el caso en que fii = 1 no sea raíz). Sumando tenemos, por g1-1+

p2-1+

...

+f~~-l=r--s,

raícesdiferentes,delasnumeradasantes.Enconjunto,la j' (x) = O tendrá, por lo menos r-sfs-l=r-1, raícesreales.

Luego,podemosestablecerlaconclusión:

ecuacicín

130

T X O R I A DE ECUACIONES

Si una ecuación f (x) = O tiene r raícesreales, el ndmero de raíces reales de f’ (x) = O es, por lo menos, r - 1; o, lo que es lo mismo, el número de raíces imaginarias de la derivada no es mayor que el número de raíces imaginarias de f ( 2 ) . E n efecto,sea 2 k el número de raíces imaginarias de f (x) y n el grado de este polinomio; entonces: n=r+2k

Análogamente, si r’ es el número de raícesreales de las raíces imaginarias: n-1

Pero r’ 2

T --

f’ (x) y 2 k’

=r‘+2k‘.

1 y por lo tanto

n=r-+2k~r+2k’.

desde que 2 k’ 5 2 k. En particular, si todas las raíces de la ecuación f (x) = O son reales, la derivada f’ (x) = O no puede tener raíces imaginarias; esto es, todas sus ra,íces son también reales. E n este caso especial, puede decirse algo más acerca de las raíces de la derivada. Desde que k’ = O, debemos tener r’ = r - I . Esto significa que cada uno d e los intervalos (bl ; bz) ; ( b z ;6 3 ) ; . . . ; (b, -1 ; b,)

contendrá justamente una de las raíces de j’ (x),necesariamente simple, y lasotras raíces de f’ (x) serán raíces múltiplesde j (x). Luego, las raíces múltiples de j’ (x) son necesariamente raícesmúlt,iples de f (x), supuesto que este polinomio tuviera sólo raícesreales,y f’ (x) tendrá raíces simples, si f (x) tiene por lo menos dos raíces distintas. 14ún más, las raíces de f’ (x) están comprendidas entre la menor y la mayor raíz de f (x). Aplicando el mismorazonamientoa f’ (x), luego a j” (x), etc., podemosfinalment,c est.ablecer el siguienteenunciado: Si todaslas raices de una ecuación f (x) = O son reales, lo mismo sucederá con las ecuaciones f’ (x) =

;

7’ (x) = o

;

f”’ (x) = o ; . . .

Las raíces múltiples de cada una de éstas, lo serán tambien múltiples de f (x), y cadaunatendrá raicessimples si notodaslas raices de f (x) = O soniguales. Ninguna raíz estará fuera del intervalo entre la mayor y la menor raíz de f (x) = O. Los dosejcmplossiguientesilustraránlas aplicaciones quepueden hacerse de este teorema: Ejemplo 1 . Sean

dos nfimeros reales y sea .f (x) = (z-a)”

131

SEPAEACZON DE EAICES

La ecuaci6n (x) = O tiene s61o'las rafcea reales a y b y ambaa de multiplicidad n. Luego, la ecuaci6n

d e grado n ten&& solamente rakes reales. Estas raíces s e r h simples, desde que ni a ni b aparecen entre ellas y cstarfin contenidas entre a y b.

Ejemplo 2. Sea

I( 4

= (z

. . . (z

+ an).

Desarrollando f (x) en potencias decrecientes de 2, el coeficiente de

2"-

ser&la suma

s,=Zala z...ai, de todos los productos de las i cantidades tomadas entre al, a2, . . ., an. El número .de tCrminos de la suma es n(n-1)

. . . (n--i+l) 1.2 ... i

(y).

Llamando, por lo tanto, p i a la media aritmbtica de todos los productos de i factores tomados entre al, U Z , . . . , an tenemos

y podemos escribir

de donde se sigue que

por aplicación repetida de este resultado difiere sólo en una constante de xn-s

( 1)

+ n

podemos concluir que la derivada de orden

zn--a-l

+ ... +

Pn-a

Supdngasc ahora que u1, UZ, . . . , a , son números reales distintos entre sf. Entonces, la ecuaci6n p--8 +

( n ~ s p l)x n - . - l

+ ... + p , - , = O

tiene solamente raíces reales y no son todas iguales. Reemplacese sustitúyase x = y-1; la ecuaci6n transformada

por n

-k - I

132

T.EORIA D E E C V A C I O N E S

tiene anitlogamente, s610 raíces reales y no Iguales. Tomando la (k - l)4sima derivads y eliminando el factor constante, llegamos a la ecuaci6n

=o,

Pk+lY2+2PkY +Pk-l

con rakes reales y distintas, lo que supone la desigualdad Pk

> Pk-1

Pk+l

que se cumple para k = 1, 2, . . . , n - 1. En particular, si al, a2, . . ., a, son nhrneroepositivos, p l , p t , . . . p n serhn positivos. Tomando k = 1, tenemos PI2

> p?

< p1

o bien p

Para k = 2 tenemos

de donde Tomando nuevamente k = 3, tenemos p32

> p2 p4 > P

de donde p4li3

P P4

< p3"3

y continuando de la misma forma, es fitcil verificar que, en general

que se cumple para cualquier cantidad positiva al, a z , . . . , a,, supuesto que no todas som iguales. En particular:

tal qut

y éSta es la cl&sica desigualdad de Cauchy, que expresa el hecho de que la media aritmética de números positivos es mayor que la media geométrica, siempre que no todos los númerossean iguales*.

138

SEPARACZON DE RAZCES

Problemas

* 1.

Demostrar que las rakes de la

ecuaci6n

... + x " = O ,

x3+

1.2.3

son reales, simples, y contenidas entre O y 1.

* 2.

Si las raíces de la ecuaci6n

...

aozn+alzn-l+

+a,

son reales, entonces ai'

ai-1

Ui+l.

para i = 1 , 2 , . . . , n - - I .

* 3. Si las raíces de la ecuaci6n f la ecuaci6n

(2) son

(n - 1 ) f ' Z

reales y simples, demostrar que lrts rakes de - n/f' = O,

son imaginarias. N6tese que para un valor de z arbitrario las rakes de la ecuaci6n en z

f sonreales

(2)z?"

+f' (2)zn-1

+ .. . = o

+ -7' P"2 1.2 (2)

y distintas.

* 4. Siendo las rakes de f (x) = O reales, demostrar que lo mismo es cierto con respecto a las ecuaciones rf'

* 5. Si

(2)

+ f(2) = 0 ; zf'

(2)

+ Zf

las rafces de la ecuaci6n a0 2n

+ a,

2 "

(2)

; zf'

+ . . . -+ a,

(2)

+ 3f

(2)

= o ;. . .

son reales, demostrar que lo mismo es cierto para la ecuaci6n ( n + 1 ) ~ u a a z ~ + n ~ a l z n - 1 + ( 7 ~ - 1 ) ~ a , x n -.2. .+ + u , = o , donde k es un entero positivo.

* 6.

Demostrar que las rafces de la ecuaci6n

(n son reales.

- I)?" + nn ~ n " l + " (" 1.2

Zn"2

+...

+1 =o,

7. Las raíces de la ecuaci6n f (2) = O y g (2) = O son reales y simples y PB separan mutuamente. Demostrar que la misma propiedad se mantiene para f' (2)=O y g' (2) =OVease el Problema 18, Phrafo 7.

* 8.

Demostrar que las rakes dela ecuacibn

son todas imaginarias si n es par, y todas menos una, si n es impar.

134

TZORIA D E ECLJACIONES

* 9. Demostrar

lo mismo para la ecuaci6n

1+-+-++..+ 1 1.2

1.2 ...

= O.

9. Un teorema de de Gua. -Consideraremos ahora una ecuación de de la forma F(x) en la cual

Y. (x)

+ af(x>,

es una constante arbitraria, positiva

o negativa. Sea

hl < bz < . . . < b,, raícesposit)ivas y distintasde

y gl, g,, . . . , 8, susmultiplicidades,detalmodoque,enconjunto, tenemos r

+ + . . . 4- Ps,

raíces positivas. La raiz bi, en el caso en que @i > 1 será también una raíz delaecuación F (x) = O, pero demultiplicidad - 1. Pues

f (x> = (x - bi)bi.fl (x) f’ (x) = ( x - b i ) @ + l f , (2) , dedonde

F (x) = (x - b;)Bi--l [x$, (x) pero f3

para z

= bi

(x) = xfz (x)

(x - bi) f1 (x)] ,

(x - b,) f l (x) ,

se reducea bifz

(bi)

-número distinto de cero-, y esto prueba que. bi es una raíz de F ( S : ) de multiplicidad (3i - 1. Así, la ecuación F (x) = O tiene, ciertamente ~ ~ - l + @ ~ - l + . . . + @ s - l = r - s

raíces y ademhs, tiene una raíz por lo menos en cada uno de los intervalos (bl, bz) ; (bZ, b3) ; . . . ; (bs-1, b s ) . Parademostrarlo,

sea

unnúmeropositivopequeño.Entonces:

135

SBPARACION DE RAICES

para x = bi

seráunnúmeropositivogrande,mientrasque y grandenum6ricamente(Párrafo

= bi+l --- E seránegativo

deduceaue

para

para 6). Se

suficientementepequeño,mientrasque

f (bi + E)

tienen el mismosigno.Por

F (bi

f ( b i + l - E) ,

lo tanto: E)

y P

@;+I

- E)

tienen signos opuestos, y laecuación

(X)

=O,

tiene, por lo menos, una rafz en el intervalo (b;; b;+l). A las r -8 rakes previamentecontadas,puedenagregarsepor lo menos S - 1 raices dist.intas de aqu6llas, de modo que, en total, la ecuación tiene por lo menos r - 1 raícespositivas si el polinomio tiene r raices positivas, importante enunciado que se utilizará en el párrafo próximo.

Puededemostrarsedemanerasimilar,que el númerode raices negativas de F (x) = O no es mayor que r’ - 1, si r’ representa el número de raíces negativas de f (x) = O. El número total de raices reales de la última ecuación es m =r+r’, si f (O) z O y m=r+r’+v,

si f (x) tiene el cero como raíz de multiplicidad v. E n este caso es fácil veri€icar que F (x) es divisible por x’, de modo que el cero es raíz de multiplicidad por Io menos igual a Y para la ecuación F (x) = O. Desde que el número de raíces positivas y negativas de esta ecuaci6n es, por r’ - 2, el númerodetodassusraicesrealesnuncaes lo menos, r menor que m - 2. En particular, si todas las raíces de f (x) son reales, la ecuación xf’ (x> a f ( x >= O ,

no puede tener más de dos rafces imaginarias puesto que su grado no es mayor que el de f (2). Puede verse con un ejemplo que puede tener

TJZOBIA DE ECUACIONES

136

f (z) sean reales. T6mese

raicesimaginariasaúncuandolasraicesde .S(z) = z3- x, luego

F (x).=

y para

= -2

+ 3) x3 - + 1) x ,

F (x) = 28

(x'

+ 1) .

Este polinomio tiene dos raices imaginarias. Sin embargo, todas las raíces de zf' (z) a j (x) = O ,

serán reales

es positivo. Para demostrarlo, considerese

el cociente

Este cociente es evidentemente positivo si f ( O ) # O y E es suficientemente pequeño. Por otra parte, en el caso de j (O) = O

,es positivo para E positivo y pequeño. Luego, para el cociente

positivo y. pequeño,

F (€1

f (E)

es positivo, mientras que el cociente

F (bl - E)

I (bl

es negativo. Desde que f ( E ) y j (bl ~E) tienen el mismo signo, F ( 5 ) y F (61 - E) tienensignosopuestosyhaypor lo menos unaraízde F (2) entre O y bl. Así, si n es el grado de f (x), la ecuación F (x) = O t,iene,por lo menos, n - 1 raíces reales, de modo quetodassus rafces son reales *. Problemas.

* 1. Siendo las raices de f ecuaci6n

(2)

= O reales, demostrar que l o mismo es cierto para la

zf no 8610 para

positivo sino para

* 2. Siendo las raíces de f (z)

cidn

si c z 3 .

(2)

< - m,

af (X) = O

donde n es el grado de f

(2).

= O reales, demostrar que lo mismo es cierto de la ecua-

(5)

+c z f

(2)

x 2 y

(z) =

SEPARACION DE RAICES

3. Sea g (2) = (z al) (z tivas.Siendo lw raices de

~ 2 )

. . . (X + an) un

reales, demostrar que lo mismo secumple

* 4.

g (n) 2.

poliiomio con rafcea r eah y nega-

... + % = o ,

f ( z ) =aoz"+a1x"+

137

para

+ al g (n - 1) zn"l + . . . + g (O) an = O .

Para un h real arbitrario, la ecuacidn

(2)

+f'(x) = 0

no tiene m& rakes imaginarias que f (x) = O.

* 5.

Demostrar que lo mismo es cierto para la ecuaci6n

uf (x)

+ bf' (x) + c y (x) = o ,

si las rakes de

ax2 aon reales.

6. Los polinomios de Hermite

+ bx + e = O

H, (x) se definen por

-= dxn

H,, (x) e-z2.

Demostrar que Hn+1

(2)

Hn' (X) - 2 X H, (X)

y luego deducir que lasrakes de Hn (2) son reales y simples. Demostrarlo por inducci6n.

10. Regla de los signos de Descartes. - En una sucesidn de números ao, a l ,

ningunode

. . ., a n ,

los cuales es nulo,dosterminosconsecutivos a+"

ai,

pueden tener el mismo o distinto signo. En el primer caso decimos que los terminos ai-1, a; presentan una permanencia de signos y en el segundo caso una variación de signos. Por ejemplo, en la sucesi6n

-2,-3,4,4,-1,7,7,7,-5,-4,l hay cinco variaciones y cinco permanencias. Si algunos de los terminos de la sucesi6n son ceros, simplemente no se los tiene en cuenta a l contar y variaciones. Así, en la sucesi6n elnúmerodepermanencias

l,O,O,-1,-1,0,0,0,2,3,-l,O,O haytresvariacionesydospermanencias.Adoptadaestaterminologia podemosenunciar el siguienteteorema clbsico, conocidocomo

138

TEORIA

ECUACIONES

Regla de los signos de Descartes: El número de rakes reales positivas d e unaecuaciónconcoeficientesreales

f(x)

aoxn

+ c ~ ~ a n - 1+ . . . + an = O ,

nunca es mayor que el número de variaciones en la sucesiin cientes ao, a l , . . . , a , ,

de sus coeji-

y, s i es menor, siempre lo es en un número par.

D E M O S T R A C I ~ N :Llamemos al número de variaciones y r al número de raíces positivas, cada una contada de acuerdo a su orden de multiplicidad.Queremosdemostrarque

V=r+2h, siendo h un entero no nega.tivo. El t,eorema es evidente en el caso V = O , puessitodosloscoeficientesquenosonnulossondelmismo signo, la ecuacitjn no tiene raíces positivas, así que r = O . Suponiendo que el teorema sea cierto para V - 1 variaciones, demostraremos que es verdad en el caso de V variaciones, y estoessuficienteparaconcluir,por inducción,lageneralidad del teorema. Sean a , y up, @ > a, dos coeficientes de signosopuestos,siendo los Coeficientes intermedios (si los hay) ceros. El número de variaciones V se compone de tres pa.rtes: el número de variaciones u1 en la sección ao, a

una variaci6n en la a,,

y el número de variaciones

l..

.,a,,

. . . ,a@,

u2 en la sección

tal que Consid6rese ahora una nueva ecuación

F (x) = zf’ (x) - hf (x) =

cuyoscoeficientesson

(n-h)ao

; ( n - 1 - A ) ~ ~ ;... ; ( n - a - h ) a , ; (n-6

-h)a@;

y elíjase A tal que

n-a-h>0

...

; n - ~ - h < O ,

...

; -laa,,

188

SEPARACION DE BAICES

o sea

<-A < n - a ,

n"g

10 que es posible desde que (1 n " A

> Q.

Teniendo en cuenta que

... ; n - a - - A ,

; n-1--A;

son positivos, mientras que los factores n-6-1

...

; n--Q-l-~;

;n-n"h=

los factore8

--A,

son negativos, en las secciones

...

(n - 1 ) a o ;

;(n-a->)a,

Y (n-(3"-1)ae;

contamos, respectivamente,

. . . ;-"ha,,

y u2 variaciones, pero en la secci6n

...

(n-a-"'h)a,;

;(n-(1-),)as,

n o hay variaciones,desde que los terminosextremos son los dosdel mismo signo y los intermedios son cero. Asl, en la ecuaci6n

F(2) = q

( 2 )"hf(2)

el número de variaciones es VI u2 = V - 1. Por el teorema de de Gua (Párrafo.9) el número de rakes positivas de esta ecuaci6n no es menor que T - 1. Suponiendo que el teorema es cierto en el caso de V 1 variaciones,tenemos: T - 1 s -1

d e donde T

Resta por demostrar que la

l a sucesi6n

diferencia V - T es un número par. En

, 01 . . ., an,

sea a, el último termino que es distinto de cero. Entonces, si V es par, a, y a0 tienen el mismo signo, y si V es impar, signos opuestos. El polinomio f(5)

= aoz"

+ ... +

U,Z"

para valorespositivospequeños, tiene el signo de a,, y para valores positivos grandes, el de ao. Luego, si a0 y a, tienen el mismo signo, el número de raíces positivas es par, lo mismo que Y ; y si a. y a, tiemexwignos opuestos, el número de tales rakes es impar, igual que V . As$,r y V

140

TEORIA D E ECUACIONES

son ambos pares o impareB, y su diferencia V - r es un número par, q u e era lo que faltaba demostrar. Cambiando z por - x en la ecuaci6n f (x) = O obtenemos otra ecuaci6n f (- x) = O que evidentemente tiene tantas raices positivas, como negativas tiene la ecuaci6n dada. Luego,si r' es el número de raícesnega-. t'ivasdelaecuaci6npropuesta, y V' el númerodevariaciones correspondientes a f (- x), entonces :

V' = r'

+ 2 h' ,

donde h' es un entero no negativo. La regla de los signos indica el número exacto de rafces en dos casos: T; = O y V = 1. E n el primer caso, evidentemente r = O ; y en el segundo,larelación r + 2 h = 1, con h entero no negativo, requiere h = O y r = 1. Este resultado particular puede demostrarse independientemente como sigue: Si hap solamente una variación en la sucesión

. . ., a n , puededividirseendospartes:laprimera a0

, al . . ., a,-1,

que consiste de tdrminos, digamos, positivos a,, = -bo

; ap+l

= - bl

;...

y nulos; y la segunda ;a, =

--bn-,,,

c,omenzandocon unterminonegativo a,,, y qcie consistedetérminos negativosynulos.El polinomio f (x) puedepresentarseasí:

L a expresión entre corchetes, por ser la diferencia entre una funci6n

creciente y otra decreciente, es una funci6n creciente que, de un valor negativo muy grande (para x pequeño y positivo) pasa a un valor positivo muy grande (para x grande y positivo) y por lo tanto pasa por cero una sola vez. Luego hay una sola raíz positiva de la e c u a c i h j (x) = O . En el casoque V > 1, la regla deDescartesindica sólo un limite superiordelnúmeroderaícespositivasynegativas,yalgunasveces revela infaliblemente la presencia de raíces imaginarias, como veremos en los ejemplos. Ejemplo 1. Sea la ecuaci6n

141

6IEPABACION DE BAICEB Desde que f (2) y f (- z) presentan amboe una sola variSci6n. hay u118 rdr y otranegativa. Las doe restantes Eon imaginarias.

Ejemplo 2. ConsidCeae la ecuaci6n f(2)

-0.

=Z6-Za+2Zx-3Z-1

Para esta ecuaci6n V = 3, de manera que habr6 una o tres rakes poeitivas. Cambiando z por -x, en la ecuaci6ntransformada f(-~) =~'+9+22*+3Z"1

dada.

V' = 1, y entonces hay 8610 una raíz negativa de la ecuaci6n. El total de reales no es mayor que cuatro y, dos rakes por lo menos, SOD imagineries. El n h e ro exacto de rakes imaginarias puede hallarse en este ejemplo de la siguiente manera: Multiplicando f (x) por (x l)z no cambiamos el ndmero de rakes positivse pero

(x + 1)Zj (2)

+ 2 x' +

- 26 - 5 zf- 5 z - 1

presenta una sola variaci6n. Luego, hay s610 una raíz positiva y cuatro son m i a g n ia a r is .

Problemas LCuhtas raícestienenlassiguientes

ecuaciones?

I. ~ ~ + ~ 4 - - z 3 - 2 ~ =- O1.

2. x 4 - - x z + x - 2

=o.

3. x 6 + 2 3 - 2 2 2 + 2 - 2

=o.

4. ~ 6 + 2 z 3 - x 2 + x - l

=O.

Multiplíquese por

+ 3 z* -4 x3 + 5

+ 1). =Multipllquese 0 . por (1 + Multiplfquese por (x

5. 1 - 2 ~ + 3 ~ ~ - 4 ~ ~ + 5 ~ ~

6. 1 - 2 z

- 6 x6 = O. Multipliquese por (1

7. 1 - 2 2 + 3 z z -

... +(2n+1)z2n=0.

. . . -2nnr2"-1=0.

I - ~ X + + X Z -

+ 2). (z + 1).

Multipliquese por (z

2)'. 2)'.

11. Las ecuacionec con raícec reales. - La regla de los signos indica exactamente el número de rafces positivas y negativas en el caso en que todas las raíces de la ecuacj6n sean reales. Como antes, representemos por V y V' el número de variaciones en la sucesi6n de los coeficientes. a0 , al , az, . . . , a , , 11al de j (x), y en la sucesidn a0

-a1

)

U2)

... , (-

l)*a,,

I2 al

correspondientesa (- 1 ) " j (-x). Entonces, si j (x) es un polinomio completo, de tal manera que todos los terminos de la sucesi6n [ l a ] sean distintos de cero, tenemos v + V'=n.

142

TEORIA D E ECUACIONES

De hecho, a cadapermanenciade [ l a ] correspondeunavariación en [2a] y viceversa. Luego, V V’ es el número de variaciones y permanencias en la sucesión [la], que es n. Si j (2) no es un polinomio completo, demostraremos que siempre

los terminos de, la sucesión [ l a ] distintos de cero. Entonces, los términos distintos de cero en la sucesión [2a] serán u0

( - l),ua

l)BU@,

. . ., ( -

[2 b l

( - l)YU,.

l),,U*,

Naturalmente las sucesiones [ l a ] y /2a] presentan V y V’ variaciones respectivamente.Ahorareemplacemoslas sucesiones [lb] por a0

, ao, . . . , a , , a , ,

...

, ag ,

...

, a,, , . . . , a , , ,

a ,a , ,,

. ..

, a,

[l cl

demaneradeteneruna sucesi6n coknpleta de n t 1 términos,todos distintos de cero. Es evidente que el número de variaciones en [IC]es también V . De [IC]deducimos otra sucesión de n 1 términos, cambiandoalternadamente los signos de los tkrminosde [IC]:

- a0

, ... , (-

l)aaa

...

, (-

, ...

l)a+l

.. .

,(-

l)BU@,

Sea I”‘ el nilmero devariacionesenla otra parte

v +

I,”’

l)YU,,

... , (-

l)”U,.

[2 c]

sucesi6n [2c]. Entonces, por

desde que [IC]es una sucesión completa de n + 1 términos; y además, V‘ 5 V”. Estopuede verse fraccionandolas sucesiones [2c] y [26] en secciones correspondientes como sigue: a0

, - all> . . . , (-

1)“Ua

quecorresponde

, (-l)aaa

, (-

l)aa,, . . .

, (-

l)@uc

quecorresponde

a ( - l)‘a,

l)@U,,

...

, (-

1)VU”

quecorresponde

a (- l)@ a,, , (- l ) v a ,

1)Bag

................................................................

Y la

l)VU,, . . . , (-

?)“a,,

clue n o tienecorrespondienteen [26]. Naturalmentequecadasección !25], p o r de [2c] no tiene menos variaciones que la correspondiente de lo que SS deduce qlle V’ 6 V”, y además

v + V”

5 n,

143

SEPARACION RAICES DE

como deseábamos demostrar. Ahora, si r y r’ son los números de rakes positivas y negativas de la ecuación f (x) = O, de grado n, cuyas rafces son reales y distintas de cero, tenemos:

+ T‘

= n.

Por otraparte:

V=r+2h

; V’=r’t2h’,

tal que

V+V’=r+r’+2h+2h’=n+2h+2h’Ln,

o sea h $- h’ 5 que es posible sólo si h = h’

O, y entonces

r = V ; r’

V’.

Se ha supuesto que cero no es raíz de la ecuación, pero es casi evidente que se mantiene la conclusión aún si hay raíces iguales a cero. Ejemplo. Dado que todm las raíces de la ecuaci6n

son reales, encontrar cu4ntas raíces tiene entre O y 2 y entre 2 y 3. En geoerd, para determinar el número de raíces ea el intervalo a < x 5 b, es suficiente encontrar el número d e raíces > a y restar éste del número de !as raíces > b. El número de raíces > a es el mismo que el de las raíces positivas de la ecuaci6n transformada obtenida de la ecuaci6n original por la sustituci6n z = a y. En nuestro ejemplo haremos las transformaciones z =2 y y z =3 y, por la regla de Horner.

O 2 2

-15

-6 12 18 75 9 30 1 6 5 0 25 80 20 -

2 6 2 8

2 10 2

-11 8 -3

-22

4 5 36 -9 24 15 60 =

24 “18 6 3~ 36

-5 12 7

TEORIA D E E C U A C I O N E S

144 3)

225 36

O40 -15 3 9 21 3 22- 6 3 18 6 12 3 27 9 39 3 12 7.5 3 3

1 -

174

58 117 175

195 525

24 63 87 585

“5

261 256

“

672

720

400 -

“-15 66

-18

120 -

18 -

Los números subrayados, leidos de abajo hacia arriba, representan los coeficientes d e las ccuaciones transformadas. Por scr todos positivos, nohay raíces mayores que 2; luego, el número de raíces entre 2 y 3 es cero. Por otra parte, la ecuación original tiene cinco variaciones, lo que indica 1s presencia de cinco raíces positivas. Consecuentemente, entre O y 2 hay justamente cinco raíces y, siendo el grado de la ecuación igual a 6, la s-xta es negativa. En efecto:

f (X)

+ 5)

- 115 (X

Problemas Las raíces dc las siguirntes ccuaciones son rcalea. Encontrar el númsro de ellas en 10s intervalos especificados. 1. 2 x 3 - 9 ~ ’ + 6 2. 5 2 3 - 9 s + 2

3. 9 - 27 X

= O ; (0;l)

=o =

y (4;s).

; ( 0 , l ) y (1;2).

O ; (4; 5).

4. 2 4 ~ ~ - 9 6 ~ ~ + 7 2 ~ * - 1 6 =z O+ l; (1;2) y (2;3) 5. ~ 4 - 5 ~ * - 2 ~ + =1O ; (-3;

25 -

10 x3

+6z +1 = O

-1)

; (O; 1) 3’ (-

y (O;l).

1; O).

7. Demostrar que una ecuación tiene raíces imaginarias si faltan términos entre dos del mismo signo, o faltan mis de dos tbrminos entre dos de signos opuestos.

* 8. Una ecuación tiene raícesimaginarias si tres coeficientes consecutivos estan en progresión geométrica. * 9 . Una ecuación tiene raíccs imaginarias si los coeficientes de cuatro términos consecutivos rst&n en progresión aritmCtica.Multiplíquese por (z - l ) 2 . * 10. Demostrar que la ecuación xfl+

+ b ) y - 1 + (a? + a b +

b2) X”

no puede tener mits que una raíz real, supuestos (X - 6).

.. a

+ (an + an--lb + . . . + 6”) y b reales. Multiplíquese por

= (X

- a)

146

SEPARACION DE RAICES

12. Un método completo de separación de raíces. - Aun cuando el teorema de Rolle y la regla de los signospuedena menudo ayudar a separarlas raíces deuna ecuación noproporcionandepor sí una solucióncompleta y exhaustiva de este importante problema. La aplicación del teorema de Rolle con este propósito requiere el conocimiento de las raicesreales de la derivada que la mayoría de las veces no se posee. La regla de los signos es, quizá, un enunciado dhbil, y aplicado a una ecuación en la que la naturaleza de sus raíces no se conoce, no da el número exacto de raices positivas (o negativas), excepto cuando e1 númerodevariaciones es cero o uno.Perocuando se combiran estos dos casos particulares con unnotableteoremapuhlicadoporVincent en 1863 yseguido porFourier,proporcionan el mbtodo máseficiente, no s610 para determinar el número exacto deraíces positivas y negativas, sino también para efectuar su separación en el caso en que la ecuación propuesta no tenga raices múltiples. Hemos visto (Capítulo 111, Párrafo 6) que la soluci6n de las ecuaciones con raíces milltiples puede reducirse a l a soluci6n de ciertas ecuaciones con raíces simples. Por lo tanto, no es una limitación esencial el suponer que la ecuación propuesta no tiene raiccs múltiples. ElteoremadeVincentpuedeenunciarsedelamanerasig,liente: S e aa , b, c, . . . unasucesiónarbitraria deenterospositivos.Transformando una ecuación sin rafces múltiples mediante una seriedesucesivas sustituciones 1 1 1 x = a + - ; y=b+" ; z=c+--;etc., Y z t

luego de un cierto número de estas transformaciones, e independientemente de la elección de los enteros a, b, c, . . ., llegamos a una ecuación transform a d a con, n o m d s de una variacidn. La demostración se encontrará en el Ap6ndice 11. La idea del mBtodo, que será ilustrada en seguida con varios ejemplos, es muy simple. Para encontrar el número exacto de raíces positivas (y nos podemos concretar sólo a estc caso) notaremos que las raíces positivas pueden ser >16 < 1 excluyendo el caso en que 1 es raíz. Las raíces positivas > 1 pueden y con y > O , mientras que para aquellas escribirse en la forma x = 1 1 < 1, será x = donde es tambibn y > O . Por lo tanto, la ecuación

1+Y propuesta se transformarámediantelassustituciones x = 1 y y 1 x="y estastransformacionespueden realizarse muy conve1 t Y nientemente!utilizando sólo &mas, comose verá en los ejemplos. Si la ecuación transformada no tiene variaciones o tiene sólo una, el problsma está resuelto; pues por ejemplo, si la ecuaci6n obtenida por l a

T,EORIA D E E C U A C I O X E S

146

transformación n: = 1 y no tiene variaciones, esto significa quela ecuación original no tiene rakes > 1; y la presencia de una sola variaciSn en la ecuación transformada indica sólo una raíz > 1 en la ecuacicin propuesta. Una conclusi6n similar es cierta para la ecuación resultante 1 delatransformacibn = ____ . l + Y

Si una o ambas ecuaciones transformadas tienen más de una variacibn, lastransformamosnuevamenteporlassustit,uciones y = 1 z, 1 y=y si esnecesario continuamoslastransformaciones me1-l-z diante sustituciones del mismo tipo ha,sta que las ecuaciones obtenidas por este proceso no t'engan más de una variación. Esto ocurrirá necesariamentedespuésdeunnúmerofinitode pasos,pues lastransformaciones de laforma x = 1 y ; y = 1 z , . . . seguidasporotras 1 de In forma u = son equivalentes a dos transformaciones: una 1 + u> deltipo 1

2 = a + - - ,

donde a es un entero positivo, seguida por otra (1.1 tipo y = 1 Z. Se deduce de esta observacih que cualquier ecuación transformada se obtiene de la propuesta por 11na serie de transformaciones 1

.c=a,+-

; y=?)+-

- ; . . . ;u = 1 + -

; u=-,

o por las x = -

1 Y

: u=a+Y

1 x

: z=b+-;

1 t

...; u=z+-

I : u=-,

siendo a, b, . . . I enteros positivos. El segundo caso no difiere del primero puesto que el número de variaciones no se altera por la sustitución ~

x = - 1 . Por el teorema de Vincent,, un número suficientc de transforY

maciones x=a+conduce a una

1 Y

; g=b+-

ecuación con no

mación adicional del tipo

2: =

más de una variación, 1

; . . . ;u=?+--, u z y una transfor-

no cambia el número de dichas varia-

ciones. Así, es cierto que el proceso antes descripto llevará a ecuaciones conno más de una variación. Estas consideracionesgenerales se comprenderán mejor por medio de ejemplos a los que pasamos ahora.

140

SEPARACION DE BAICES

Ejemplo 1. Separar a ls raíces de la ecuaci6n s~-7x+7=0

Examinemos primero las raíces positivas. Si 1 no es rafs, las positivas s e r h mayores. o menores que 1. 1 Las rafces positivas > 1 son de la forma z = 1 y y las < 1 de la forma s = 1+ Y con y positivo. Luego, para encontrar el número de rafces positivas > 1 transformamos. la, ecuación por la sustitución x = 1 y y buscamos el número de raices positivas de la. Pcuación transformada. Solamente se requieren sumas para efectuar esta transformaci6n.En nuestro ejemplo las operaciones necesarias son las que siguen:

1 1 1 1 -

1 2 3 -

6 1 4

así que la ecuación transformada es y3+3y2-4y+1

y el número de sus raíces positivas puede ser cero o dos. Para efectuar la transformaci6m

x=-

hacemos dos pasos. Primero se reemplaza

1 1 +Y

por

- , lo que X

lleva a

7zS-7xr?+ 1 = O .

El efecto de esta transformación preliminar es de invertir el orden de los coeficientesLuego, hacemos x = 1 en la nueva ecuaci6n y realizamos las operaciones como se indica:: 7

7 7 7 7

0 7 14 -

0 0 7 -

-1

La ecuación final transformada es 7 y 3 + 1 4 y 2 + 7 ~ + 1= O .

En lugar de invertir primero el orden de los coeficientes y luego hacer la sustituci6m x = 1 y, podemos proceder directamente, comenzando lassumas desde la derecha y siguiendo un orden ascendente, comnse indica a continuaci6n:

-1 1

O 7 7 7

T.FORIA D E E C C A C I O S E S

148

LOS númerossubrayados, leídos en orden descendente, proporcionan los coeficientes 7;14; 7; 1 de la ecuacih transformada, por medio de la sust;tuci6n 1

x=---”-. Ambas transformaciones z

esquema con disposición enformade continuaci6n:

l + Y

y z

-puedenpracticarse

1 + Y

en el mismo

paralelogramo de números, como se muestra a

(Léase descendentemente) 14 -

7 0

7 7 7

1 1 1 1

1 - 6 12 -4 3 (Lbase ascendentemente)

Desdz que la ecuación 7y3+14y2+7y+1 = O , no tiene variaciones, no tiene raíces positivas; luego, la ecuaci6n propuestanotiane raíces dc la forma 1

x=” con y

> O,

1+Y

es decir, n o tiene raíces enteras entre O y 1. Pero la ecuaci6n

y3+3?/*-4y+1 = O

resultante de la sustitución z = 1 mediantclas dos sustituciones:

+ y, tiene dos variaciones y la tenemos que tratar aún e

y = l + z

Y””

1 + Z

Los c:ilculos necesarios se muestran en el esquema en forma de paralelogramo:

(Léase desccndentcmente) 1 1 1 1 1

1 -

“2

0 3

-2 - 3

4 5

1 1

4 0

0 -

La ecuaci6n resultante de la sustituci6n y

1 -

“2 -

1 1

(Léase ascendentemente) =

23+6~2+5z+1 = O

149

SEPABACION DE EAICES notiene

Y=-

positivas, pero la ecuaci6n resultante de la suetituci6n

variaciones nirakes

1+z

, a saber: 23-z2-Zz+1

tiene aún dos variaciones y debe someterse todavia a las transformaciones

Los cAlculos necesarios son: (Uase descendentemente) -1

-2

-1 1 1

"2 -

-1

1 1 -1

-1 1 1

-1

-2

1 " 1 -

-2

(Uase ascendentemente)

d e modo que las ecuaciones transformadas son t3+2P-t-l

t3+¿2--2t"1

y tienen ambas una sola variación y, por ende, una sola raiz positiva. La primera ecuaci6n resulta dela original por las transformaciones

z = l + y que pueden resumirse en una:

Las sustituciones que llevan

; y=-

; z=l+t,

1+z

1 z=l+-. 2+t

a la segunda:

x = l + y

; y=-

también se resumen en una:

z = l +

; z=-

l+z

1+-

l + t '

l + t

Teniendo cada una de las ecuaciones transformadas una sola v a r i a c h , hay dos rakes positivas para la ecuación propuesta y los intervalos en los cuales quedan eetas rakes obtienen tomando en las f6rmulas que dar! z, los valores t = O y t = m . A s l encontramos dos intervalos

cada uno de los cuales contiene una rafe de 23-7x+7=O0.

150

T,.EORIA D E ECUACIOWES

Las sustituciones sucesivas que sirven para pasar de z a t, se ven inmediatamente si los resultados de las transformaciones aplicadas se disponen en un esquema que se parece a un árbol geneal6gico: 1

x=(l+y)"

7 x=l+?/

7 1 4 7 1 (sin var.)

1 3 - 4 1 (2 var.)

y=(l+z)"

1 -1 -2 (2 var.)

z = ( 1 +t)"

y = l + z

I 1 6 5 1 {sin var.)

z = l + t

1 1 -2 -1 (1 var.)

-1 -1 (1 var.)

1 2

A este esquema lo llamaremos de aquí en adelante, iirbol genealógico )),para abreviar. Para encontrar el númerode raíces negativas es suficiente sustituir x por -x; habrá tantas raíces negativas como positivas tenga la ec~aci6n transformada. En nuestro ejemplo, est,a transfornlada x3-7x-7=0

tiene una variación y, en consecuencia, una raíz positiva que, poniendo x = 1, 2 , 3 . , . y observando el signo de los resultados, sc descubre que est8 contenida entre 3 y 4. Luego, la ecuación propuesta tiene una raíz negativa en rl intervalo (- 4; - 3). Ejemplo 2. Separar las raíces de in. ecuación

La ecuación obtenida reemplazando z por - x no tiene variaciones; luego, la ecuación propuest,a no tiene raices negativas. Desde que tiene cllatro variaciones, es necesario comenzar 811 drbol geneal6gico haciendo las dos transformaciones:

Los cSlculos necesarios son como sigue:

-3

1 1 -

0 -

-15

(Léase ascendentemente)

161

SEPABACION DE RAICES

No fuB necesario continuar el esquema ascendente, desde que el primer ren&n no tiene variaciones, y los coeficientes dela ecuaci6n transformada serían del mismo signo. Como la sucesi6n 1, O, 6, - 8, 9 tiene dos variaciones, se repite el mismo proceso:

8 7 7 1 9 1 0 6 - 8 9 1 1 7 - 1 81 2 9

Ahora ya es inGtil continuarhacia arriba o hacia abajo, desde que en ambos caso% es evidente que no hahrh variaciones. El hrbol geneal6gico es, por lo tanto:

1 4 x=(l+y)-1

(sin var.)

-24

I 1 0 6 - 8 9 (l+z)" y=l+z

(sin var.)

Esto significa que, transformando

x=-

1 +Y

x=l+y

(sin var.)

ecuaci6n dada por cualquiera de las sustituciones

; x=2+2

; x=l+-,

1 +z

llegamos a ecuaciones sin variaciones y, por lo tanto, sin raíces positivas. Luego, la ecuaci6n propueRta no tiene raíces reales.

Ejemplo 3. Separar las rakes de la ecuaci6n

X~+z~-x4-x~+x~--x+l

Examinamosprimero las raíces positivas. Como la ecuaci6n tiene cuatrovariacie nes, comenzaremos a construir el &bol geneal6gico como explicamos en los dos ejemplw precedentes:

1 1 1 0 - 1 1 1 -1 1 2 - 1

-1

2 o

2 1 1 1

-1

1 o

1 1 1

ZEORIA DE ECUACIONES

Sin continuar, vemos que el &bol geneal6gico es:

-1

x = (1

+ u)-*

-1

x = l + y

I (sin var.)

(sin var.)

Luego, nohay raíces positivas. Para investigar las raíces negativas,sustituinlos por -x. La ecuaci6n resultante: %6

- %5 - x 4 + x 3 + x ? + x + l

tiene dos variaciones y, por lo tanto, continuamos como antes:

3 1

1 1

2 -

3 1

2 1

1 0 1 2 3O 0 1 -3

y sacamos en conclusi6n que ninguna de las ecuaciones tiene raíces positivas, de donde se sigue que l a ecuacido propuesta no tiene raíces negativas. hi,las eeis raíces son imaginarias.

Ejemplo 4. Separar a ls raíces de la ecuaci6n

1. Invejtigaci6n de a ls rakes positivas. Teniendocuatro con las transformaciones usuales:

-9 -

-5

6 - 5 6 1

-4 -4

12 -4 -4

25 12 4 -1

variaciones,comenzamos

13 8 4 1 -1

4 3 2 1

1 1 1 1 1

4 -0 3- 2 0 1 5

Luego, las mismas transformaciones se aplican a la ecuaci6n cuyos coeficientes son. 1, 7, 19,25,12, -4,-9, 1:

153

SEPARACION D E RAICES

5'7 -

-108 -112 - - 74 - 44 - 38 6 - 19 25 O

725 19

12 -

10I 51

528

"37

-34 -30 -25 -19 -12

1 1

"2 -

-3

-5 -6

-7

-8 - 4 -9 60 52 51

1 1

El mismo proceso se repite nuevamente -93 1

-94 -2 -1

- 55

-92 -37

53 -112

-108 -146

-38

165 12 -246

-258

52 52 "93

153 101 "145

Puesto que en cada uno de los renglones tenemos una variacih, es inútil continuar puespuede verse fAcilmente que las ecuaciones transformadas tendrhn una variaci6n. El hrbol gened6gico es elsiguiente: 6 - 5 4 - 3 0 - 2 0 1

z = (I +y)"

1 197

I 2F; 12 (2 var.)

y =(1+2)-1

1 -2

¡-~-

-37 -108 -112 (2 var.)

z=(l+t)"

12101

-4

y = l + z

53(sin

var.)

z = l + t I

(1 var.)

(1 var.) Luego, por las transformaciones 1

z = 1

+- 2 + t 1

x =

I+-

1 1+ t

1+ y

(sin var.)

154

T'EORIA DE ECOACIOKES

tieDe una variación y una raíz positiva, lo que indica una raíz negativa de la ecuaci6n propuesta. Esta tiene tres raíces reales ubicadas en los intervalos:

y las cuatro restantes son imaginarias. El número de operaciones que se requier,>n para separar las raíces por este metodo depcnde de lo cercanas que estiin las raíces y naturalmente srrJ grande si las hay COII pequeilas diferencias entre ellas. L a s raíces grandes, digamos > 10, se considerardn a cer* ea de m y l a separación podrB abreviarseusandosustituciones del tipo ))

o bisn

Problemas Separarlas

raices delas siguientes ecuacionrs: 2. 1 3 ~ 3 - 1 0 ~ 9 + 5 ~ +=3o .

1 . 2 ~ ~ - 3 ~ * + 4 ~= O- . 1 3.

-9

57,

+ 20 x + 1 = o.

+ 11x? - 102 + 181 = O. + 62. .c4 -- 2 s3+ 3 - 7 + 1 O. 4.

5. 2 ~ ~ - 6 ~ ~ + ~ ~ -= O1. 0 ~

8. ~ ' 4 - 1 - G . r " - 7 2 ~ - 4 ~ + S= O .

+- 10 x3 + 23 J5 + 6 x 2 = o. 12. 2 3 + - 2 x? + x 1 = o. 14. 3 x5 7 x4 + .r3 + x" 7 x + 5 = O.

=o.

9. . c 4 + 6 Z 3 + 5 x ' 1 - 4 x - 2

10.

11. . ~ ~ - - 3 ~ " 6 ~ ~ " 2 ~ -20 + . 2 13.

15. 16.

17.

+ x4 - 2

1.3

- 2 X?

==o.

~~-

- 6 x5

+ 30 x4 - 120 + Y60 23

+:!x4-.r3+x2--x+3

19.

- 8~~

71'0 .r

=O.

+ 3 = O.

20.27-3..r~+5s"$-x3"8+1=~.

21. 2 x* ~3 17 ZS

-3

+ 6 r4

- 2 2'

- x5

f 3 x$ --

-- i 2 x?

+ T%O

18. x e - . r 5

22.

X' - 4 z4 -+- 9 x3 - 7 + 3 L - 3 = O. 2 + 3 - 7 x3 - 5 + 8 --- 7 = O. 2 4

=O.

7. . r - z 3 + 3 x 2 - 2 2 + 1

CAPITULO VI1 TEOREMADESTURM

1. Polinomios de Sturm. - Otro método para efectuar la separación de rafces realesse basa en un importante teorema demostrado por C. Sturm (1803-1855) y publicadopor éI en 1829. Nos permitehallar el númeroexactode raícesreales contenidasentredosnúmerosdados, paralas ecuaciones sin raíces múltiples. Sea V = O una ecuación sin rajces múltiples, de modo que el polinomio V no tiene factores repetidos. Partiendo de V es posible, y de muchas maneras, hallar una sucesi6n de polinomios

v ; v,; 1'2

que en un intervalo dado propiedadessiguientes:

( a ;b ) ,

. . .,

siendo

V 8

m3nor que b, posea las cuatro

1. Cuando x crece de a a b y pasa por una raíz de la ecuaci6n V =' O ,

el cociente

V cambiade

signo - a VI 2. Dos t,érminos consecutivos dela sucesión [ I ] no se anulanpara el mismo valorde z en el intervalo ( a ;b ) . 3. Si para un valor de z en este intervalo, un término V , (i = 1, 2, \ . . . . . , S - I ) se anula, los términos Vi-1 y Vi+l para el mismo valor de z tienen signos opuestos. 4. El último t,érmino V , no se anula en el intervalo ( a ;6) y, por lo tanto, su signo permanece constante al crecer x de a a b . Cualquier sucesi6n de polinomios quesatisfagaestascuatro condicionesse llama sucesih de Sturm relativa alintervalo ( a ;b). 2. Un método para hallar una sucesión de Sturm. - Una manera dehallaruna sucesión deSturmrelativaalintervalo ( - m ; m ) , y, en consecuencia, relativat'ambién acualquier otrointervalo, esla siguiente: Como segundo término VI de la sucesi6n de Sturm podemos V' de V o dicha derivada multiplicada por tomar siempre la derivada una constante positiva cualquiera. De esta manera, la condición 1 queda satisfecha. Los otros términos Vq, V S ,. . . se determinan por un proceso uniforme, en' esencia el mismo que sirve para hallar el máximo común

155

156

TJCOEIA DE ECUACIONES

divisorde V y Vi. Elprimerpasodeeste proceso consiste endividir porhastaobtenerunresto de grado menor que V1.Esteresto, con 10s signos de SUS coeficiente. cambiados, se torna como V e ,de modo que :

VI &I - Vz ,

siendo & I el cociente. Si V1 no es una constant,e numérica, el segundo paso consiste en dividir V1 por V , hasta obtener un resto de grado menor que VZ;este resto con signo cambiado se toma como V 3 de modo que:

VI = Vz Qz - V 3 ,

y si V3 no es constante, se continúa con el mismo procedimiento. E n la sucesión de polinomios así obtenida: 172,

Vs, . . .

tendremosnecesariamenteun polinomio V , que es una constante distinta de cero, puesto que el polinomio V no tiene factores repetidos y, por lo tanto, V y V‘ no pueden tener divisores que no sean constantes. Es fácil ver ahora que la sucesi6n

v1,

Vz, . . . , Va,

es una sucesión deSturm.La primerapropiedadquedaasegurada elegir VI = V’. Para comprobarque secumplelasegundapropiedad, notamos que, en general:

Vi-1 = V;Qi - Vi+l

Suponiendoahoraqueparaunvalorreal

Vi(S) = 0 ; V<+l(S) = 0 ,

será también Vi-1 (5) = O ; en la misma forma, Vi-2 (E,) = O y así siguiendoseráfinalmente: VI ( E ) = V’ (5) = O y V (5) = O . Peroesto 5 fuera una raíz múltiple de V . es imposible puesto que implicaría que Ahora,si para, x = 5

Vi(5) = o ,

entonces vi-l

(6)

lo cual prueba que los números

vi-1 ( E )

- ‘i+l

(5)

Vi+l(5)

sondistintosde cero y tienen signo contrario,de modo q u e t a m b i h secumplelatercerapropiedad.Finalmente,lacuartapropiedad se cumple porque V , es una constante distinta de cero.

157

TEOREMA DE STURM

Teóricamente,por lo tanto, e~ siempre posible hallar al menos una sucesión deSturmrelativa a unintervalocualquiera,aunqueenun caso dado, y especialmente cuando el grado de V es algo elevado,los cálculos pueden dar números grandes. Para evitar la ayarici6n de fracciones convienetenerpresenteque,multiplicando los miembros d e unasucesi6ndeSturmporfactorespositivosarbitrarios,obtenemos otra sucesión deSturm.Laintroduccihdefactorespositivosapropiados para eliminar fracciones.puede hacerse durante la divisi6n multiplicando los coeficientes decadarestoparcialporfactorespositivos apropiados. El efecto de estas operaciones sobre el resto final essimplemente que éste resulte multiplicado por un facto1 positivo. Si al hallar l a sucesión de Sturm se llega a un término, V , por ejemplo, que no tiene raíces reales, o las tiene, pero fuera del intervalo (a;b ) al que nos referimos, podemos finalizar la sucesión con V , puesto que los terminos d e la sucesión truncada VI; ; ... ;

v,,

relat'iva al intervalo ( a ;b ) cumplen todas las propiedades 1, 2, 3 y 4. Tal simplificacicin ocurre, por ejemplo, cuando V , es de segundo grado y tiene raíces imaginarias,circunstanciaquepuedeverificarse casi siempre a simple vista. Ejemplo 1. Sea

v=x3--7x+7 Ser&

v, = V'

322-7

y para continuar tenemos que dividir V por VI; pero, para evltar las fracciones, es conveniente multiplicar V por 3 y efectuar la divisi6n a d :

-21 -7

-14

Por consiguiente, el resto es: - 14 z comúnpositivo 7 , podemos tomar:

3 1

-7

+ 21. Cambiando el signo y suprimiendo el factor

2 X -3.

Dividimos ahora 3 x2 -. 7 por 2 2 - 3 en la forma indicada: Multiplicamos por 2:

Multiplicamos por 2:

-9 O

-7 I 2

-l4I3

-14

-28 -27 - 1

158

TEORIA DE ECUACIOWES

Cambiando el signo del resto, tomamos Vs

+ 1,

y así tenemos la sucesi6n de Sturm para la ecuaci6n V

=x3-7x+7

329-7

Vz = 2 ~ - 3 8, = 1 .

N6tese que los números escritos en lugar de los coeficientes del cociente, difieren de ellos. Pero esto no tiene importancia, puesto que s61o nos interesan los restos o &tos multiplicados por factores positivos. Ejemplo 2. Sea Podemos tomar:

Se halla VZ en la formaantedicha 2 2

Multiplicamos por 2:

2 1

-1% - 9 -

0 - 2 0

1 2 27

- 6

- 6 -3

-25

-2

2 1

-3

-4

Por lo tanto =2 5 ~ ' - 3 ~ +4.

Por ser imaginarias lasraíces de este polinomio, no es necesario continuar, de modo que e n este cjemplo la sucesión deSturm constade tres términos:

V = ~ ~ - 6 2 ~ + ~ ~ - 1 VI

= 223"x?+2

Vz = 2 5 6 - 3 Ejemplo 3. Sea Tomamos: y buscamos

= 25 - 10 XI

+ 15

+ 4.

-2 2

+3 r

-7.

1.'1=~=j.~-40~~+4js?-22+3,

Tiz en la forma antedicha:

-50

4 0

- 2

15 3

-35

30 80 "50

-3

-90

-35 -6

-29

-10 "10

5 /

-40 "2

-2

159

TEOREMA DE STURM

por lo tanto

Vz = 5 0 ~ 3 - 8 7 ~ ' - 8 ~+29. Antes de continuar con la divisi6n siguiente, se multiplican todos los coeficientes de

VI por 10:

4 0 0

- 87

-8

-15650 -15650

4331 4 9 5 4

por lo tanto

458 3049 1500 22900 "2450 2504 -90'77 27231

- 313

Multiplicamos por 50:

-20 29

450

4331 Z*

-I

- 87 -8

1 -313

10577

+ 4954 z - 10577.

Lasrakesde este polinomio son reales y en consecuencia, es necesario continuar; pero como los ndmeros se hacen muy g r a d e s (por haber multiplicado Vz por 200), es preferible hallar los coeficientes del resto en forma aproximada, manteniendo cuatro decimales en los coeficientes del cociente. El cálculo completo, hecho con ayuda de una dquinade calcular, es el siguiente:

loo00

10000

-17400 11438

-10577 4954 I 4331 "5,6585 2,3089

5800 1600 -24421

5800 22821 -28838 70427 -32986 -28838 .

55807 -64627

por lo tanto será, aproximadamente:

Va =

- 5580,7 X

+ 6462,7.

Finalmente, se divide V3 por Va también aproximadamente

-10577 4954 4331 4331

-5580,7 6462,7

-5016

9970 -10577 -11546 9970

0,7761

-1,7865

+969, dedonde se deduceque V5 es una constante negativa, V5 = - 1. La sucesi6n de Sturm es:

de modo que podemos tomar

V =~5-10~'+15~~-~'+3~-7, VI

5 ~ ' - - - 4 0 ~ 3 + 4 5 ~ ' - 24-3, ~

V, = 5 0 ~ ~ - 8 7 ~ ' - 8 ~ + 2 9 ,

+ 4954 - 10577, V A= - 5580.7 z + 6462,7, Vs = 4331 'X v5

= -1 .

160

T,EOBIA DE ECUACIONES

La aparici6n de números muy grandes al formar una sucesi6n de Sturm es una desventaja pritctica del método de Sturm para la separaci6n de raíces; pero este inconveniente puede evitarse recurriendo a las aproximaciones, como en el ejemplo anterior, puesto que 9610 nos interesan los signos de 18s funciones de Sturm para algunos valores particulares de z y bastan para este prop6sito aun coeficientes con poca aproximaci6n.

3. Teorema de Sturm. - Supongamos que

VI,

vz, . . . , Ti, ,

es una sucesión depolinomiosdeSturmrelativaaunintervalodado ( a ; b). Sea E un número perteneciente a ( a ; b ) y supongamos que se sustituye x = E en todas las funciones de Sturm. Obtenemos los números

v (E),

(E),

( E ! , . . . , V8 (5)

el Último de los cuales es distinto de cero. Supongamos también que el primero, V ( E ) , no es nulo y nos despreocupamos de los valores intermedios, que puedan ser iguales a cero. Reemplazando los restantes por los signos 6 - según sean positivos o negativos, obtenemos una sucesión de signos ó - en la cual contamos el número de variaciones. Este númerodevariaciones v (5) sellamanúmerodevariacionesen la sucesi6n de Sturm para x = y puede considerarse como una función de E definida para todos los valoresde 6 en el intervalo ( a ; b ) , exceptuadas las raíces de la ecuacicin V = 0 que pueden encontrarse en ese intervalo. Luego de estas explicacionespreliminareselfamoso teorema a quenosreferimospuedeserenunciadodelasiguientemanera: Teorema de Sturm: Suponiendo que ni a ni b sean rakes de la ecuación IT (x) = O , el número de ellas contenidas entre a y b es igual a la diferencaa

v (a) - ( b ) ,

o bien al número da variaciones perdidas por la sucesión de Xturm cuando x pasadeaa b. DEMOSTRAC Podemos I ~ N : suponer por ahora que ninguno de meros V ( a ), (a) , . . . , Vs-l ( a )

v ( b ) , v1 (b! , .

sea. cero. Sean lasraicesreales

< c2 < c3 <

de todaslas

V (x) = o ; que seencuentranen magnitud, de modo que

, v,-1

...

los nú-

(b) ,

< cm,

ccuaciones

(x) = o ; . . . ; V d (x) =

el intervalo ( a ; b ) , ordenadasdeacuerdoa c1 > a y cm < b. Entre c1 y cz; c2 y

c3;

su .. . ;

161

TEOREMA DE STUBM

y cm elijamosarbitrariamente modoque:

los números

cm-1

< c2 <

< c3 < . . . < Cm-1. <

Podemosescribir,entonces: 8

(a) - U

( h ) = [ u (a) - u

(El)]

+ [u

o , másbrevemente: (a) - u

(h)

(51)

i.= 1

(1,

Em-1

(5211 t . . .

-u

(2,

< cm.

+ [v

(5;-1)

. . . , (m-1

(Em-1)

- (b)1

- u (si)],

tomando para. uniformar, 4 0 = a, Sm = h. N6tesequeentre si-1 y si h a p s610 unode los números cl, c2, . . . , a saber, c;, de modo que: si-1

Este número

esunaraízdeuna

< c; < 5;. o más de una, de las funciones no es una raiz

V (x), VI (x), . . . , V,-l (x). Supongamos primero que de l a primeradeellas, V (x), pero lo es de Va(x>., V,(z>

. . . V,

es el mismo; llam6mosle A . En cuanto a

(2)

VA(2)

162

T.EOI1IA DE ECUACIONES

tienenunavariaciónpara signos de Vz-1

= €,+" y

C5i-1)

unapara

(cJ

Va-1

= Si.

En efecto, los

!Si>

son los mismos. E n l a misma forma: tienen el mismo signo, pero V a - 1(ci) y V . + 1 (c,) tienen signos opuestos porlatercerapropiedad,puestoque V a( c J = O. Sea, por ejemplo, el signo de V,-I (ci) y -- el de VZ+1(cJ. Quedanentonces, sólo las siguientesposibilidades con respectoa los signos de

v-1 que enambos signos de

+ +

, V ~ + (I

V a (ti-1)

(Si-1)

51-1)

casos, da, una sola variación. E n lamisma Vu-1

(5) ,

V a (Si)

sólo pueden ser los siguientes:

va+-1

-k

forma,los

( 3,

loque t a m b i h nos da una sola variación. Luego, l a primera sección presenta, tanto para S = ti-1 como para x = Zi, el mismo número de variacioncs A 1. Lo que se comprob6 para l a primcra sección es igualmente aplicahle a las otms secciones; en conwcuencia, sc llega a que:

u (;i-l]

(5,)

si es V ( c i ) + O. Supongamosahora que I' (e;) = O. Igualqueantespuedeprobarse quepara z = si--1 y z = la sucesión

v1 (x)

1/72

(x) , . . . , v,(x) ,

presenta el mismo número de variaciones, puestoque cuanto a la sección

v (2)

VI (cJ

O. E n

(x)

tiene por la misma propiedad, una variación para x = si-1 y ninguna variación para x = S i y por lo tanto, si c i es una raíz de la ecuaci6n

v (z,

(Si-1)

La suma m

-y

(5;)

163

TEOREMA D E STURX

constadetantostérminosigualesa 1 comoraíces tengala ecuación V ( z ) = O entre a y b, siendo los demás terminos iguales a c x o . Pero estasumaes: v (a) - v ( b ) 7

con lo que queda demostrado el teorema en el caso en que ningíln termino de la sucesión de Sturm se anule para z = a o x = b. Queda por eliminar esta restricción suponiendo, sin embargo, que V (a) # O, P ( b ) z O. Paraun E positivo suficientementepequeño, el númerode raíces de V (x) = O entre a y b es el mismo que el número de raíces entre a + E y b - E, y puest,o que ningún término de la sucesión de Sturm se anula para x = a + E o para x = b - E, el número pedido de raíces es:

v(a Supongamos ahora que variaciones en la sección

-v(b

E).

Pv(a) = O ; contando entonces el número de

, V a(a) , Vu+l (a)

Vu-1 (a)

nos despreocupamosdeltérminointermedio O; siendo los términosde los extremos de signos opuestos, sólo se hallará una variación. De la misma manera, cualquiera sea el signo de V, (a E), la seccih

VR-l ( a

; V,

;

v.+1

E),

presenta una sola variación, y de estas observaciones se desprende que u ( a ) = u (a+ E) ; cn la misma forma puede probarse que v ( b ) = v ( b -S). Por consiguiente, el número de raíces de V contenidas entre a y b estádadosiempre por

v siempreque

(a) - v

(b) ,

a y b no se encuentrenentrelas

raíces.

4. Ejemplos. - Unos pocos ejemplos bastarán para mostrar puedeusarse el teoremadeSturmparalaseparaciónderaíces. Ejemplo 1. Separar las raíces de la ecuaci6n

V=23-72+7=0. L a s funciones de Sturm son, en este caso:

23-7z + 7 ,

kl = 3 x ? - 7 ,

Vt = 2 ~ " 3 , Va

cómo

164

TEOBId DE ECUACIONES

Sustituyendo x por los enteros O, 1, 2, . . . y tablade los signos de los polinomios deSturm:

+ + +

formamos la siguiente

++ I

+ + -

-3 4

+' + + +

2 1 -1 "3

- 1, - 2 , . . .

2 variaciones perdidas

:+ }

1 variaci6nperdida

Se ve a simple vista que hay una raíz entre - 4 y - 3 y dos rakes entre 1 y 2. Para separarlas, el intervalo (1; 2 ) debe ser subdividido intercalando algúnnúmero intermedio, por ejemplo

-.3

Los signos que corresponden a x = 1; - ; 2 son

+ +

+ + +

3/2

-y

Por consiguiente, hay una rafz entre 1 y

una raíz entre - y 2. Las raíces es2

tirn ahora separadas y se encuentran en los intervalos

Ejemplo 2. Separar las raíces de la ecuaci6n V = ~ 4 - 6 ~ ~ + ~ * = -O 1.

En este caso los polinomios de Sturm son

V = z ~ - ~ z ~ + x ~ - ~ , V ~ = ~ Z ~ - ~ Z ~ + Z ,

8, = 2 5 ~ * - 3+~4 , y la tabla siguiente da sus signos para varios valores de x: 2

6 5

-1

+ + O

O var. 1 var. 2 var.

165

TEOREMA DE STURM Observando l o s signos vemos que hay una raiz entre 5 y 6 y Laa otras dos raices son imaginarias.

u118

rafz entre

- 1 y O.

Ejemplo 3. Para demostrar'que una elecci6n adecuada de los polinomios de Sturm puede facilitar Is investigaci6n de la naturaleza de las raices, consideremos la ecuaci6n:

f = 1 + Q z + a(a+1)x2+...+ 1

a(a+1)

...

1.2

(a+n-l)

... n

por 1 -x, obtenemos:

Derivandoymultiplicando

a(af1) ... ( a + n - l )

(1 - 2) f' = af -

(a f

1.2 . . . n

n) xn

Si to-

La verificaci6n de esta identidad es directa y no presenta ninguna dificultad. mamos ahora a(a+1) ... ( a + n " l ) V=f,V,=f',V2=(a n) x" ,

1.2 ... n

y suponemos que a no es ni cero ni un entero negativo mayor o igual a - n, puede verificarse inmediatamente que estos tres polinomios forman una sucesi6n de Sturm para cada uno de los intervalos (e; m ) y (m; - e), siendo e un número positivo arbitrario tan pequeño como se quiera; y así podremos hallar exactamente e1 número de ecuaci6n propuestamediante el teorema de Sturm. raícespositivas o negativasdela Supongamos primero que a es un número positivo o un número negativo < - n. Sustituyendo x = e; x = m y x = - = ; x = - e y suponiendo que n es par, tenemos:

a>O

a VI

" "

-m

+ +

+m €

-m

" "

e -

-m

+ e

+ +

'+ + +

- e)

e "e

-m

(e;

< -n

v -" -

ypuestoqueno se pierdenvariaciones en los intervalos (ecuaci6n propuesta s610 tiene raíces imaginarias. En el caso de que n sea impar los resultados son: a>O

" "

< -n

+ + +

+ +

Examinftndolos vemos que en el caso de que sea a > O 6610 se pierde una variaci6n en el intervalo (- m ; - e), l o que indica que hay una raiz real negativa, mientras que si a < - n se pierde una variaci6n en el intervalo ( e ; m ) , l o que demuestra la exis-

166

Z E O R I A DE ECUACIONES

tencia de una raíz positiva. E n la misma forma, en los casos en que a > O y a < - n la ecuaci6n no tiene raícesreales si n es par, y una raiz real si n es impar. Si a es negativo y se encuentra entre dos enteros consecutivos -k y -k+l y k 6 n, el examen d e la naturaleza de las raíces puede hacerse de manera ansloga y conduce al siguiente resultado: para n par hay dos raíces reales; para n impar el ndmero de raíces reales es uno o tres, según que k sea impar o par.

Problemas Separar las raíces por medio del teorema de Sturm. 1. 2 3 - 3 x

+ 1 =O.

2. x 3 + 6 x ? + l O Z - l

=O.

3. x 3 - 4 x + 2

5. 2 3 + x 2 - 2 z - 1

4. x 3

=o.

+ lOx?-Sx

15.

+ 88 9 - 8 + 17 -0. 10. 2" - 4 + 12 - 12 z + 5 = c. 12. x4 4 + 1 = O. 14. x4 + 2 - 4 + IO = O. 16. + 5 x4 - 20 - 10 z + 2 O. 8. 16 x4 - 32 x3

+3 =O,

11. ~ ~ - 4 2 ~ + ~ ~ += O6. ~ + 2

13. x4

+ z3 + z - 1 = O. - 5 x4 + 10 x3 - 5 X' + 1 = O.

+ 15 x4 - 20 z3 + 30

+ 14

24 X

TC'I -

22 -

17. ~ 5 - 2 2 ~ + ~ ~ - 8 ~ + 6 = 0 . 18. P - 6 2 5

+ 8 z + 40 = O.

6. ~ 3 - 4 2 ~ - 4 ~ + 2 O= O .

7. 6 ~ ~ - - 2 2 4 ~ ~ + 4 2 ~ " +31 21 =~O 9. x4-4x3

- 6 Z"

=O.

19. ~ ' - ~ ~ 5 + 1 6 ~ ~ - 2 4 ~ ~ + ' L 2 ~ ' - 1 ' 1 ~ + 4 = 0 . 20. 5

~4 - 30 5 5

+ 75 x4 - 90 x 3 + 60

X ' --

18 z - 2

* 21. La sucesi6n de Sturm para cada uno de los intervalos ( E ; m ) y (m ; - E) en los qKe e es un número positivo arbitrario, puede obtenerse de la siguiente manera, supursto qnc f (z) no tiene factores múltiples: Se ordena f (5) y los demBs polinomios que se u s a r h , segúnpotencias creciclntcs de .r. Sea zc1 la mhxima potrnciade x que divide a j' (x) de modo que: S' (x) = TPlfl

(x)

y j I (O) # O. Divídase f (x) por fl (2) de grado nl = n - 1"- PI, conservando cn el cociente exactamente n - n1 l términos. El resto s e r j divisible, evidentemente, por

x 7~-n1+ 1

pero puede ser divisible ocasionalmente por una potencia mayor de de modo que p? 2 n - n1 1. Representando este resto por

-P f P

(S)

j 2

x, por

ejemplo x@?,

( O ) # O,

tendremos identicamente

f (x) = f i

(2) q1 (5)

- x P * f ? (x),

y el grado de f2 (x) ser& 71.2 5 n - p? 6 n1 - 1, es decir, menor que el de f1 (x). Si f~( x ) no es una constante, dividimos en la misma forma jl (x) por $2 (z), conservando en el

167

TEOREMA DE STUBM

cociente exactamente n1 -m-+ represenandolo por

1 t4rminos. Elresto

serti divisible por z ” ~ “ + ~ ;

p3znl-n2+1,’

- X P ~ / ~ ( X ) ,

f3(O)#O,

tendremos fl (5)

= f2

(4q

(2)

- xPJf3 (x).

La continuaci6n de este proceso conduce a una sucesi6n de polinomios f,fl>f2,

. “?f8,

el último de los cuales es una constante distinta de cero. Demostrar que

=f,

...

=/1,

es unasucesi6n de Sturm palael intervalo ( E ; I nue pi sea par o impar y haciendo

= f,

v, =f.,

). Eligiendo el signo

v i = Ztfi

1,2,

+ 6 - de acuerdo

. . . , S),

es una sucesi6n de Sturm para el intervalo (- m ; - E). Para evitar las fracciones est6 permitido multiplicar los restosporfactores positivos convenientemente elegidos. Aplíquese este procedimiento en la separaci6n de las rakes de las ecuaciones:

+ 1’= o. * 24. X* + x3 + X - 1 O.

* 22.

* 23. x4 - 4 x3 + ‘X - 1

- 3 22

* 25.

+ ‘X + 2 x3 - 1 = O.

* 26. Demostrarqueuna ecuaci6n = O degrado n tiene todas sus rakes reales y distintas si y solamente si la sucesi6n de Sturm consta de n funciones con primeros coefiq = O. cientes del mismo signo. -4pliquese este criterio a la ecuaci6n cúbica x3 px

+ +

* 27.

¿Cual es la condici6n para que todas las raíces de lasiguiente ecuaci6n s e a n reales? x”5px3+5p~x+2q

* 28.

=O?

Investiguese la naturaleza de lasraíces de !a ecuaci6n:

v = 1 + -+1 x

x= Xn = o. 1.2 + . . . + 1.2 ... n

N6teseque

y demuestrese que

T.’,

V’,

- xn

forman una sucesi6n de Sturm en cada uno de los intervalos e un ndmero positivo arbitrario.

* 29. Si

las funciones

(e;

Y (-

siendo

168

TEORIA DE ECUACIONES

satisfacen las condiciones 2, 3 y 4 enumeradas en el párrafo 1, pero no la LquE representa la diferencia u (u) - u (b)?

condici6n 1,

* 30. Si se satisfacen las condiciones 2, 3 y 4 y u (- m ) - IJ m ) = n, siendo n el grado de la ecuaci6n V = O, demostrar que todas las raíces de la ecuaci6n son reales y distintas. * 31. Considerar los polinomios de Hermite H , dn -=

e-Z*

H , (r),definidos por la expresi6n

e-xz H ,

dx"

Demostrar que 2 x H,

H,+1+

+ 2 n H,-1

= O,

para n = 1, 2 , 3 , . . ., suponiendo que H o = 1. Refiriendose al Problema 30, demostrar que todas las rakes de la ecuaci6n H , = O son reales y distintas. SUGESTI6N:

Si y = e-z',

entonces y'

Hallarladerivadade

+ 3 x y = o.

orden n.

* 32. Sea

donde P , = P , (z) es un polinomio de grado n. Demostrar que: Pn+l

- [(an

+ 2) z + 11 P , + n (n + I ) x21'~,-1

n = 1,2,3, .. .

Concluir luego por induccidn que el primer coeficiente de es 1, 2 , 3 , . . ., n y que = 1. Refiriéndose delProblema 30, deducir que todas las raíces de la ecuaci6n P , (x) = O son reales, negativas y distintas.

P , (O)

* 33.

.. . ; a ,

Sean las partes imaginarias de los números complejos al mismo signo; por ejemplo, t,odas positivas. Sea

+ b, i del ( X - al

- bl i)

- b:!i) . . .

( X - U,, - b,

siendo P,, ( X ) y &. ( X ) polinomios reales. Demostrar que las aADn

son reales para

+ BQn

+ b, i; u2 + bz i; . . .

(X)

+ i Qn ( X ) ,

raíces de la ecuaci6n

y @ reales y arbitrarios. Guiu pura la soluci6n: Sea

= aPk

+ 9 &k

y Vo

= a.

Demostrar que

para k = 2 , 3 , . . . , n. Referirlo al problema 30. Este problema puede resolverse t a m b i b por consideraciones geométricas muy simples.

CAPITULO VI11 DE LASRAICES

CALCULOAPROXIMADO

1. Objeto de este capítulo. - Luego deefectuadalaseparación de una rafz real, se presentaunanuevacuestión:¿cómocalcularesta raíz con un grado de aproximación deseado? Los valores aproximados de los números se representan ordinariamente por cifras decimales, y por lo tanto el problema de aproximar las rakes puede plantearse de esta manera:calcular con unnúmerodecifras decimalespreestablecido la raízseparada.Paraarribar a talobjetivopueden?mplearsevarios mbtodos. En este capítulo consideraremos los tres metodos principales: el metodo de Horner, el de iteración y el de Newton. El de Horner se aplica únicamente a ecuaciones algebraicas, mientras que los otros dos tienen la ventaja de ser aplicables tambien a las ecuaciones trascendentes. E n cambio, en su utilización en las ecuaciones algebraicas, el metodo d e Hornertieneventajasdefinitivas conrespectoaldeNewton y al de iteraci6n: primero, en el metodo de Horner los cálculos necesarios se disponendeunamaneramuyconvenienteysegundo,laraízpuede computarse con un mayor número de cifras decimales con una misma cantidad de trabajo. 2. Parte básica del método de Horner. - Las características esencialesdelmetododeHorner se entenderánmejorensuaplicaci6na ejemplosconcretos. Ejemplo 1. Tomemos la ecuaci6n 23"-7z+7=0 ya vista en el Capítulo VI, Pitrrafo 12. Tiene tres rakes reales: dos positivas en los intervalos (1; 3/2) y (3/2; 2) y una raíz negativa entre - 4 y - 3. Sup6ngase que deseamos calcularaproximadamentela raíz contenida entre 3/2 = 1,5 y 2. Desde quelaparte entera es 1, podemos poner:

2-=1+-

donde a es unnlimero contenido entre 5 y 10. La ecuaci6ntransformadaen obtenerse en dos pasos: primero ponemos c =1

f2'

a puede

169

170

ZEORIA DE E C U A C I O N E S

y luego

La ecuaci6n transformada en x’ se encuentra mediante la regla de Horner, inventada: por 61 precisamente en conexi611 con el c&lculoaproximado de las raíces. En nuestro caso los c&lculosnecesarios se disponen como sigue: 1)

-7

7 1

-6

“4

-6

1 -

1 3

y 10s números subrayados son !os coeficientes de la ecuaci6n en 5’3

2’:

+ 3 x” - 4 x’ + 1 = o.

Aquí debemos sustituir

x’

Eliminando denominadores, la ecuacidn resultante en a ser&:

y sus coeficientes se obtienen multiplicando los números I ; 3 ; - 4; 1 del Esquema [I] por 1 ; 10; IO’; lo3. La raíz de la ecuación [ l ] se sabe que est& contenida entre 5 y 10. Para determinar la parte entera de a debemos buscar dos enteros consecutivos entre Ius que est6 contenida a. Con este fin sustituimos sucesivamente en el primer miembro de [l],a = 5; 6; 7; 8; 9 y observamos los dos enteros sucesivos que dan resultados de signos opuest,os. El menor de ellos ser& la parte entera buscada de a. Encontramos que para a =

5; 6; 7.

los signos de los resultados son

Por l o tanto: 6<a<7 y podemos escribir a=6+--,

donde b esta contenido entre 0 y 10. La ecuacidn transformada en 6 se encuentra por una nueva aplicación de la regla de Horner, como sigue:

CALCULOAPROXIMADO DE LAS RAICES

30 6

36 6 6800 42 6

La ecuaci6n en b es: b3

4 0 0

216 -184 252

171

1000 -1104 -104000

+ 480b‘ + 6800b3 - 104000 = O.

!21

Para encontrar la parte entera de b sustituimos en el primer miembro de [2]:b = O; 1; 2; . . . ; 9,y buscamos dos números consecutivos entre éstos que den resultados de signos opuestos. El ntimero de sustituciones, en condiciones desfavorables, puede llegar a nueve, pero puede reducirse a la mitad mediante la siguiente observaci6n. Sustitufmos primero b = 5;si el resultado es positivo es inútil sustituir b = 6;7;8;9; y si el resultado es negativo no haypor qué sustituir b = 1; 2; 3;4.E n este caso la sustituci6n b = 5 da un número negativo, así que es necesario continuar sustituyendo h = 6;7; 8 ; 9. Como todas estas sustituciones dan resultados negativm, es indudable que la parte entera de b es 9,y podemos poner C

b=9+--, 10 donde O

< c < 10. Otra

aplicaci6n de la regla de Horner

1 demuestra que la ecuaci6n en c3

480 9 489 9 1568300 498 9 5070

6800 4401 11201 4482

“104000 100809 - 3191000 ”

es:

+ 5070 + 1568300c - 3191000 = O C*

y para encontrar la parte entera dec podemos proceder por tanteos como anteriormente. Pero aquiconcurre una circunstancia que facilita mucho eltanteo. Al examinar la ecuaci6n [3], es obvio que los terminos c3

para O

< c < 10 son

+ 5070 c2,

considerablemente menores que los tkrminos

1568300c - 31~1ooO. Despreciando por esta raz6n todos los tkrminos excepto estos dos ecuacidn de primer grado 1568300c - 3191ooO = O,

y considerando l a

172

CALCULO APROXIMADO

D E LAS RAICES

es evidente que la rafx de esta ecuaci6n no diferir4 mucho del valor exacto de c y presumiblempnte tendr4 la misma parte entera. Ahora bien, la parte entera de c determinada en la ecuaci6n abreviada es 2, y entonces ponemos: d

~ = 2 + - ; O<d<10, 10 y buscamos la ecuaci6n transformada en d mediante Homer:

1568300 5070 -3191000 c D 10144 5072 1578444 2 10148 158859200 5074

3156888

- 34112000 -

-50760 .

-.1

Como el número subrayado en la iiltima columna es negativo, tenemos la certeza de que 2 no es mayor que la parte entera de c; tampoco es menor, pues la suma de los números subrayados 1 5076 1588592 - 34112

es el resultado de sustituir c d3

3,y es positivo. Con respecto a la ecuaci6n en d, es:

+ 50760d2+ 158859200 d - 34112000 = O

y a6n con mayor raz6n podemos suponer que la parte entera ded es igual a la parte entera del cociente obtenido dividiendo 34112000 por 158859200. Esta parte entera es 0 y POnemos

d = O + L

; O<e<10,

y los coeficientes de la ecuaci6n en e se obtienen agregando a los números de las columna. 2,3 y 4 del esquema [IV] uno, dos y tres ceros respectivamente. Luego: e3

+ 507600 e%+ 1588592000 e - 34112ooooOO = 0.

La parte entera de e, determinada de acuerdo al m6todo simplificado, es 2,y entonces pondremos:

e=2+f. o<f<lo. 10 ' La ecuaci6n transformada en f se obtiene como anteriormente.

507600 1588592oooO -34112000000 2 31773870408 1015204 507602 15886935204 2 1015208 507604 1588795041200 2 5076060

2338129592000

LAS EAICEX

CALCULO APROXIMADO DE

173

La ecuaci6n en f es: fs

+ 5076060fz + 15887950412OOf - 2338129592000 = O.

14 1

En este punto nos detenemos un momento, pues la continuaci6n del proceso llevsrla Una de Iss caracteristicss msS importantes del m& todo de Homer, y que no puede omitirse, es la así llamada * contracci6n a, que serti explicadaenseguida. Debemos tamhien mencionar que los ctilculos separadosen [11], [111], [IV] y y]se combinan en un esquema compacto de la forma que se muestra a continuaci6n y que no requiere una explicaci6n detallada. a números excesivamente grandes.

u],

O 1

-7

1 1

“6

2 1

4 0 0

216

30 13156888 6 36 6

4482 1568300 9) 1

-6

-184 252

lo00 -1104 - 104000 100809 - 3191000

34112000000 31773870408 - 2338129592

6800

4401 11201

42 6 480 9 489 9 498 9

10144 1578444 10148 1588592oooO 1015204

5070 2) 1 2 158879504125072 2

15886935204 1015208

5074 2 507600

x = l + a 10

b ; ~ = 6 + 10

; b=9+-;

d c=2+10

; a=o+- e 10

; e=2+-

f 10

174

Z E O R I A DE E C U A C I O N E S

y puede en consecuencia, expresarse 6 9 2 z=l+-+--+-+"-+-+10 102 103

o sea

104

105

f I C ~

+106 f

z = 1,69202

de manera qui: los números 1 ; 6; 9; 2; O; 2 queaparecen a la izquicrda delesquema anterlor son las cifras sucesivas de z.,4ún m&, desde que O < f < 10, es evidente que 1,69202 es

una aproximacihn por defecto de

con cinco decimales exactos.

Problemas Calcúlese por cl método deHomer: 3

2. f i e o n

con tres decimales.

cuatro decimales.

3,895 con tres decimales.

4. -con

cuatro decimales.

con tres decimalcss.

Calcdlmst. con cl m6todo d e Horner las raíces de: 6. x3

+ + - 100 = 0 con tres decimales. + .r --- I = O. Ida raíz negativa con t r r s I:

.c2

1.4

.$ - 3 ,T + 1 = O.

x 4

-3

-k 1

decimales.

Las raíces positivas col1 tres t l e c i n ~ a l w

0. Las rníws positivas con tres docimalrs.

Calcúlcnst. con tres k i n ~ a l w1n.q c-oordcnadas di. los puntos de intcmrcci6n dc curvas: 10.

1 ; z

!/'!

11.

x )

+y? = 5

Calcúlensc con trcs cifras significativas Ins raíccs de:

+ 7 X + 10 = 0. 14. 3 x3 - 250 + 500 z + 1000 = 0. 15 x4 125 + 200 X? 300 + 500 = O. 12. 2

Z' --

30 Z ?

13.

2 3

- 50 Z?

; y

Ins

z2 +.x

+ 120 z + 30

16, Una ckscara esférica de hierro, racín por dentro, se hunde en el agua hwtn la profundidad de su radio exterior. Si el espesor de la citscara es de 1 c m y el pcso específico del hierro es 7,5, jcu81 es el valor del radio exterior?

17. Resu6lvase el Problema anterior suponiendo que la citscnra, completamente mergida, no se hunde hasta cl fondo. 18. Una caja cúbica abierta tiene paredes de hierro de1 c m de espesor

SU-

Y 5 8 h ~ n d een el

175

CALCULO APBOXIMADO RAICES LASDE

agua hasta la mitad de su altura. Calcúlense con tres cifras significativaa las dimensiones externas de la caja, en cm.

19. La figura representa la secci6n según su eje d e un embudo c h i c o d e hierro que flota en el agua, estando la parte X C Y sumergida. Si AA' = BB' = 1 cm y (u) CY = = 1/2 C B ; (6) CY = C B , jcuBl es la altura CD en cm?. HBganse 10s cAlculos con tres cifras significativas. A v 20. ¿Hasta qu6 profundidad se hunde en el agua una bola de madera si el peso específico de la madera es 3/4? C

3. Contraccibn. - Volvemos ahora al métodode a contracción > mencionado al final del últimopárrafo. ecuación 141 en f se divide por lo3, toma la forma:

0,001f3

Si l a

+ 5076,06 + 1588795041,2 f - 2338129592 = O . f2

Podemos suponer que la raíz de esta ecuación cambiará muy poco si se desprecian las partes decimales de los coeficientes y la relación anteriorsereemplaza por:

Of3

+ 5076f2 + 1588795041 f - 2338129592 = O ,

que es una ecuación desegundogrado. Sus coeficientes pueden escribirse inmediatamente siguiendo esta regla queen esencia, es la contraccidnque deseamos explicar: No agregamos ceros enlas COlumnas 2, 3, 4 sinoquesuprimimos I, 2,3 cifrasaladerechade los númerosque se encuentranen las columnas 3, 2,I respectivamente.Para calcular l a raíz dela ecuación [I], primero encontramos suparteentera,tomándolaigual a laparteentera delcocienteque se obtienedividiendo 2338129592 por 1588795041. Siendo estaparteenteraigual a I , ponemos : 9

f=l+-10

; O<g<lO,

y encontramos la ecuación en g medianteHomer: 1)

5076 1588795041 -2338129592 1588800117 5076 1588800117 - 749329475 5076 15888051$ 5078

E s t a ecuaciónpuedeescribirse 50,76 q2

así:

+ 158880519,3 g - 749329475 = O .

[VI1

176

TEORZA DE ECUACZONES

Una vez despreciadaslasfracciones, ecuación :

50 g2

se lareemplazaporesta

otra.

+ 158880519 g - 749329475 = O ,

cuyaraíz difiere muy poco delverdaderovalorde g. Los coeficientes delaúltimaecuación se obtienensuprimiendouna o doscifrasa la derechaen los númerosdelesquema [VI] que se encuentranenlas columnas 2 y 1, respectiva.mente. La parte entera de g es 4, y ponemos

calculándose los coeficientesde tumbrada

814 Laecuación

la ecuaciónen

h delamanera

158880519 -7493294'75 200 635522876 158880719 -113806599 200 158880919

acos-

[VI11-

en h puedeescribirseentonces: 0,50 h2

+ 15888091,9 h - 113806599 = O ,

ysereemplazanuevamente,despreciandolasfracciones,porlaecuación deprimergrado:

15888091 h

113806599

121

cuyos coeficientes se encuentranen el esquema [VII] suprimiendola última y las dos últimas cifras, respectivamente, en las columnas 2 y 1. Los esquemas [VI] y [VII] secombinanasi:

1) 5076

5of8

1588795041 -2338129592 5076 1588800117 1588800117 - 749329475 5076 635522876 158880519$ - 113806599 200 158880719 200 158880919

constituyendolacontraccióndclm6tododeHomer. madode h puedeencontrarseahoraenlaecuación

El valoraproxi[2] por división.

CALCULO APBOXIXADO DE LAS RAICES

177

Sin embargo, es necesario saber con cuantas cifras puede ser computado el cociente. A este fin, la siguiente observación general puede servir de guía para decidir cuhntos decimales de la raiz pueden encontrarse por el proceso de contracci6n. Examinense cuantas cifras hay en el número que está en la anteúltima columna, obtenido antes de empezar sl proceso de contracci6n. Sup6ngase que haya N cifras; en nuestro ejemplo N = 11. Si n es el gradodelaecuacidn, rCstese n 1 a N ; la diferencia N - ( n l ) , que en nuestro caso es 11 - 4 = 7, d a el número de cifras que puede esperarse encontrar por el proceso de contracci6n. Deacuerdoconesta regla podremoshallar,ennuestroejemplo,siete cifras de la raíz por contracción; por lo tanto, h debe determinarse por división con cinco cifras. Con este grado de aprnximaci6n se encuentra:

7,1630,

y el valor correspondiente de la raíz pedida es: X =

1,692021471630,

con 12 decimales. En la parte regular del metodo de Horner el trabajo numbrico crece con cada nueva cifra hallada, pero en la parte de contraccidn,por el contrario, el trabajo decrece encadapaso.Laparte regular es justamente como treparunamontaña: el esfuerzo crece a medida que llegamos a la cima; por el contrario, la parte de contracci6n es como el descensodesde la cima: cuanto más bajamos, menor es el esfuerzo que debemos hacer. Hemostratadonuestroejemplo con todos los detallesnecesarios para explicar la parte esencial del metodo de Horner, pero aún quedan por examinar dos puntos importantes. En primer lugar, resta por explicar c6mo efectuar la última divisi6n con un divisor grande de la manera. m j s expeditiva posible y ensegundolugar,examinarmásdetenidamente la cuestión del error cometido al usar el proceso de contracción. E n el Párrafo 4 se darán las reglas del interhante metodo de divisi6n propuestoporFourier y en el Párrafo 5 examinaremoscondetalle la determinaci6n del error. Problemas Calcdlense con el ndmero de cifras decimales indicado 1. z3- 3 = O, seis decimalea.

3. 4.

2. 2

en cada,csso,.lse rafces de:

- 5 = O,

- x - 1 = O, seis decimales. 3 zs- 7 x2 + 2 x + 5 = O, seis decimales.

5. 6 z 8 - 7 z * + 1 0 z + 5 = 0 , 6. za

+ 4 z*- 7 = O.

ochodecimales.

La rds positiva con seis decimales.

seis decimales.

178

T,EORIA D E E C U A C I O N E f i

í'.

.,.

XI comienzo C s t m corrc'ccioxes puc!e~ sc'r computadasfbcilmente e n forma mental: pero cuando s e han determinado varias cifras del cociente,

179

C A L C U L O APROXIMADO D E LAS RAICES

lamejor maneradecalcularlas es lasiguiente:escríbanse en una tira de papel las cifras del divisor que siguen al divisor abreviado, en orden inverso, así :

. . . bS 62

bo.

Colóquese la tira de manera que bo quede inmediatamente debajo da la Gltima cifra encontrada en el cociente y hágase la suma de los productos de los números que quedan uno sobre el otro. Esto puede hacerse fácilmente sumando primero las unidades de estos productos, luego las decenas si lashay,etc. Para determinar la primera cifra del cociente divídase el dividendo, suplementado si fuera necesario con tantos ceros a laderecha como deseemos, por el divisor abreviado en la forma ordinaria. Agréguese al resto la cifra siguiente del dividend.0 y del ntimero obtenido réstese la. primera correccibn, que da el dividendo parcial corregido. Para encontrar la segunda cifra del cociente divídase este dividendo parcial corregido nuevamente por el divisor abreviado y r6stesela segunda corrxcitin, lo que darh el segundodividendo parcia,l corregido. Al dividirlo por el divisor abreviado se obtiene la tercera cifra del cociente. A I resto ohtcnido se le agrega la cifra correspondiente del dividendo y se resta l a tercera corrección, luego de lo cual se procedecomoanterior.ment,e. Micntras luego dc las correcciones no sf: cncuent,ren números ncgatil.-os, se puede continuar c o n wt,a rnarcha regular dc :as operaciones. Si, por elcontrario,apareceunnúmeroncgativodespuésdeiacorreccih, es signo de que la última cifra encontrada en el cocient,e debe ser disminuida. Esto, cuando l a última cifra y alguna de l a s precedentes son cero cattsa un c:tmbio en un cierto número de cifras del cociente. Supbngase que cambienexactamentc i cifras. Entonces,alnúmeronegativoque resultedela correccicin se debesumar 10 B

+ bo f bl + . . . +

bi-1

y 1ur:go continuar como antes. Si en un cierto estado de la

divisibn de Fourier es convenimte hacer un cambio del divisor abreviado B por un divisor abreviado mayor Bbo, ent,orlces debe haczrse su corrección como de costumbre, pero en lugar de continuar con la divisi6n por B , se debe agregarotra cifra deldividendoyhacerseunanueva corrección pero con el nuevodivisorabreviado; luego se sigue con el proccdimiento regular empleando el nuevo divisor abreviado. Los ejemplos siguientes servirán para ilustrar el método de la divisi6n de Fourier

Ejemplo 1 . Se quiere hallar cinco cifras en el cociente de dividir 113806599por 15888091 Las operaciones se disponen como se indica a continuación; las observaciones explicativas se dan a continuación.

180

TEORIA D E ECUACIONES "

15888091 1 7i2630

- 567

X 8 = 56 corrcccibn

32 30 20

- 72 - 52

158

2 X8

+ 7 X 8 = 72 correcci6u

(1s cifra 2 demasiadoalta)

106

166 90

"112

6X8

+ 1 X 8 + 7 X 8 = 112 correcci6n + 1 x 8 + 7 x O = 56 corrección

545 56 6 X S -

489 La divisiCn continúa con eldivisor

159

158.

474

-135 -

249

-40

3 X8

+ 6 X 8 + 1 X O f 7 X9

= 135 correcci6n

OX8+3XS+6XO+lX9+7X1=40

correcci6n

209

Explicaciones El primerdivisorabreviado es 15. Habiéndose determinado 2 luego dela segunda división y dando la corrección un número negativo, se halla -52. Por lo tanto, se cambia 2 por 1 y, como es la única cifra que cambia, sumamos a -56 la cantidad

15 X 10

+ 8 = 158

lo que da 106. Luego de encontrar 6 como tercera cifra, deseamos tomar 158 como nuevo divisor abreviado. Con este fin se resta a 166 una corrección que llega a 112, lo que da 51. E n lugar de dividir 54 por 15, se agrega la cifra siguiente 5 y de 545 se rcsta una corrección de 56 correspondiente al nuevo divisor abreviado 158. El número resultante se divide ahora por 158 y las correcciones siguientes se hacen correspondiendo al divisor abreviado 158. El lugar de la coma decimal se determina por observacibn directa, y el cociente hallado con cinco cifras es: 7,1630

Ejemplo 2. Determinar siete cifras del cociente de ladivisi6n 26,73385 por 324,754813. Como el lugar de la coma decimal se determina ficilmente por observación, nos desentendemos de la coma decimal y ordenamos las operaciones como se indicaa continuaci6n. tomando al comienzo como divisor abreviado 32.

CALCULO APROXIMADO DE LAS BAICES

181

256 -

8232010 Correcci6n

Correcci611

113

- 32

81 64 173

- 64

109 96 Correcci6n

- 66 72

Correcci6n Correcci6n Correcci6n

Correcci6n

- 71

140 - 101 390 Aquí cambiamosa - 46

un nuevodivisor.

344 324 200 - 65 135

Por lo tanto el cociente pedido es 0,08232010

LateoríacompletadeladivisióndeFourier es algo complicada; por otra parte, ésta juega aquí s610 un papel auxiliar y por esta razón no nosextenderemosenmayoresdetalles.Sinembargo,debidoasu utilidad práctica., es imposible omitir algo más, que es la aplicaci6n del método de división de Fourier a la extracci6n de raices cuadradas. Para dar un ejemplo supongamos que deseamos extraer la rafz cuadrada del número 500. Seveinmediatamentequelaparteenteradela raIz es 22, y que de esta manera puede escribirse como 22 f x, donde O < x < 1. Entonces: (22

de donde

t x)'

+ 44 z f X'

= 484

44 X

+ 'X

o sea

16 44

= 500,

182

ECUACIONES DE

TEORIA

Dividiendo 16 por 44 $- z porelm6tododeFourierytomando 44 corn9 divisor abreviado podemos determinar l a primera cifra del cociente, la que szrá inmediatamente escrita al lado del 44, haciendolacorrespondientecorrección. Se determina luego la segunda cifra de .x y se escribe también en e1 divisor .y así sucesivamente. E n el caso en que la eorreccih dé negativa, la última cifra, t m t o del cociente como del divisor, debe ser disminuida ell 1. Esto pucdc afcctar un cierto número de cifras,digamos i cifras. L I I C ~ Opara , continuar la operación, debemos sumar a l número negativo 10 v ~ c c scl divisor abreviado m i s cl doble de la suma dc las i cifras quc le siguen o este número aumentado en 1, según que i sea o no mayor quc la mitad del número total dc cifras escritas en el cociente. Las cifras restantes permanecen las mismas que en l a dirisicin ordinaria. Las operacionesdenuestroejemplosedisponencomo sigue:

446

CorrecciGn

Correccidn

Corrección

- 9 27 1

264 70 -36

330

- 3ii

304 263 400 - 36 _" 364 352 120 "_120 00 -96 - 96 458 362 "

c.!orrección

:1x r o + 2 ( 3 + 6 ) =

Aqni mmbiamos al divisor mayor 446

Corrección

160 %6068077BB 79 49 132 3606807750 280

Continuación 3620 Corrección -144 3476 3122 3540 Correcci6n "168 3372 3122 2500 Corrección -241 2259 2230 290 Corrección -270 200 Correccitin -263 - 63 "

183

CALCULOAPROXIMADODELASRAICES

Problemas Encontrar por la divisi6n de Fourier el cociente de dividir I. 237,69 por 33,65489 con seis decimales. Usar ei divisor 33 en tres divisiones y 336 luego.

2. 63,9878 por 24,85397 con seis decimales. Divisor 24 en cuatro divisiones y luego 248. 3. 3,173563 por 334,856921 con diezcifrassignificativas. siones y 334 luego.

4. 180 por

con ocho decimales;

Divisor 33 en cinco divi-

3,14159265358979.. .

Extraer las siguientes raíces cuadradas por el método de Fourier: 5. 4 2 , 1 8 5 c o n ocho decimales. 6.

y 3465,23 con ocho decimales. -1

7. 40,031429 ron ocho decimales.

con ocho decimales.

5. Estimación delerror. - Debemosexaminarahora el error queseproduce por el proceso decontracción.Laparteregulardel método de Horner nos llevaarepresentarla raíz de la ecuación

-7s t 7 =

conlacualtrabajábamos,enlaforma: X =

1,69202

S +-

donde f es una raíz de la ecuación: 0,001 f3

106

+ 507G,06j2 + 1588795041,2/

2338129592

contenida entre O p 10. Esta ecuacihn fut- reemplazada, sin embargo, por c$

(X) =

5076 X'

15887950U X

2338129592

cuya raíz, que se aproxima it f pero q t l c 110 es igual, llamaremos fo. Es necesario estimar la diferencia f --So. Con este fin, n6tese que la ecuación en f puede escribirse así: (b

Por otra parte: (b

- 0,001 f; - 0,06f2 - 0 , Z f .

(f) =

+ (fo)

(f) - (b (fo)

O, y así =

0,001 f" - 0,06f? - 0 , a j .

Pero, por la fGrmula del valor medio que cálculo diferencial : 4

+(So)

(f -fo>

S%: enscÍía

4' ( 0 ,

en los cursos de

TEOBIA DE ECUACIONES

donde

5 es un cierto número comprendido entre f y fo. En f

demaneraque

-fo

0,001 f 3 4- 0,OS.P

4 (5)

l a diferenciaes

+ 0,2f

consehencia:

ciertamentenegativa,porque

41(5) > 1,5 x 109. Por otraparte,desdeque 0,001 f" 4- 0,06fz

+ 0,2f

< 10:

(0,001 + 0,006 =

y luego:

+ (3,002) X

0,009

103

lo3 =

< o,o1 x

103,

C1T

,41 mismo tiempo

fo z = 1,69202 f __

f -$o +-

1O 6

Con respecto a fo, se tomó de l a forma fo=l+--,

donde g es una raíz de l a ecuación 50,76 q2 contenidaentre

+ 158880519,39

O y 10. Peroesta

- 749329475 = O ,

ecuación es reemplazadapor

f~(X) = 50 x2 -t 158880519 z

749329475 = O ,

cuya raíz, próxima a g, puede llamarse go. T,a diferencia g - go puede ser estimada de la misma manera que l a diferencia f - So; resulta que: -

0,79

1,s

106 < g O"

Al mismo tiempopodemosescribir fo = 1

Ahora

90 f-+-.

g -go

h 9 0 = 4 +-, 10

donde h, comprendido entre O y 10, s'atisface la ecuación 0,50 h2 + 15888091,9h - 113806599 = O .

CALCULO APBOXIMADO DE

185

LAS RAICES

Pero sustituimos a h por la raíz ho de la ecuaci6n

15888091 ho - 113806599 = O . La diferencia. h - ho puede estimarse como anteriormente y se encuentraque 0,59 x 10-6<h O " <o. 131 1,s "

-41 mismo tiempo g0=4+-+

Y fo=l+-+z = 1,69202

h - ho 10

ho 10

h--0

102

1 4 +"-+106 107 106

108 107

h-ho 108

que representa realmente el error cometido por la tivo, p suvalorabsolutoesmenorque

0,Ol 0,59

1,s

0,79 10-12 t - x 1,5

Puestoque

lO-lk

9 -go

10 g-go

f-fo

contraccih, es nega-

1,48 x 10-13 < 1043. + -x 10-13 < 195 1,s

10-8 estácomprendidoentrelascotas

x < 1,6920214716301 x > 1,6920214716299 y tomando

1,692021471630,

tenemos un valoraproximadodelaraízquedifieredelvalorreal en el errorcometido por la menos de 10-13. Quedasobreentendidoque contracci6npuedeestimarse en formamuy similar encualquierot,ro caso *. 6. Otro ejemplo. - Vale la pena ilustrar el metodo de Horner completo con otro ejemplo. Ejemplo. La ecuaci6n

tiene dos rakes reales: una en el intervalo (O; 11 v otra en el intervalo (1; 2). Calculemos aproximadamente la menor. Escribiendo 5 = -

; O<a<10,

la ecuacicin para determinar n sc encu~ntrainmctiiatamente - 4000 a

+ 10000 = o

y se determina por tanteos que la raíz, que cs menor que 10, estA contenida entre 2 y 3;

así que escribimos:

a=2+-

h 10

; O<b<10.

Los cAlculos necesarios para encontrar la ccuaciCn transformada en b, así como otras ecuaciones que aparecen cn el mktodo de Homer, se muestran en el csquema siguiente: 2)

o 2

2 2

4000 8

4 8

- 3992 21

1" 12

- 3968000 11125

6 2

2400 125

- 3953875

O 4

16375

10000

7081

20160000 19769375 3906250000

CALCULOAPICOXI.WAD0

Hasta estemomento

D E L A S RAZCES

I87

los decimales ohtenidos son: 0,25099.

Los decimales rrstantes se determinarsn por la división de Fourier. Desde que el n6mero obtenido en la columna 4 antes de la contracci6n, tiene 10 cifras, podemos contar con encontrar 10 -- 5 = 5 cifras por contraccibn, y por ello la división se llevar6 hasta tres cifras. El resultado es elsiguiente: 3935755 8493451 78 69 6 -

2157

39 243 15 228 195

334 -. 35 299 273 26

Luego, la raíz pedidaes: 0.25099215, y solamente resta examinar con mayor detenimiento el grado de aprouimaci6n. Poniendo X =

donde O

< d < 10,

0,250

se desprendeque

0,0001 d4

+ + 3750 d' d3

-, 104

d satisface la ecuacibn - 393750000 d.

+ 3906250000 = O.

En lugar (le d sustituimos, en realidad, l a raíz do de la ecuacibn do"

+ 3750 do2

- 393750000

+ 3906250000

En la parte de contraccicin del proceso se crtcuentra que:

donde e satisface la ecuaci6n 0,001 e3

+ 37,77 e? - 39368225,7 e + 362804479 = O,

pero en lugar dr e tomamos realmente l a raíz 37 eo2 - 30368225 eo

dc la ecuacibn

+ 362804479 = O,

188

ECUACIONEP DE

TXOBIA

Nuevamente:

e o = 9 + - ;O < f < l O , 10

y f satisface la ecuaci6n

+ 8493451 = O.

0,37f2- 3936755,7f

pero en lugar de f se toma la raíz fo de la ecuacidn

+ 8493451 = O.

- 3936755fo

Ahora tenemos

z = 0,25099 donde

fo ++A , 106

e-eo +-+105

d-do A = -

104

LOSsignos de las diferencias d - do, e - e o y solamente podemos establecer que

de donde lAI

I <-

d-do

0,0132 3.9

< -x

f-fo 106

0,0001

3,9

fo no se conocen ahora con certeza

x 10"

0,46

x 10-4

10-8

< 3,4 x

10-11,

de manera que el error cometido por contracción puede afectar solamente el undécimo lugar decimal y la aproximaci6n resulta mucho mejor que la sugerida por la regla &pida del PSrrafo 3. Por la divisi6n de Fourier se encuentra que

O,ooo00215747 < y luego

106

_ .

0,250992157413 < z

Tomando

< O,OooOo215748

< 0,250992157582.

0,2509921575,

podemos estar seguros que el error no excede de

lO"0,

en valor absoluto.

Problemas Examinense c u h t a s cifras m& puedenhallarse por contracción, habiendose determinado cuatro cifras significativas por el proceso regular de Horner.

1. ~ ~ - 3 % 1 = O . Raíz entre 1 y 2.

CALCULOAPROXIHADODELASRAICES 2. z3- 7 z

+ 7 = O. Raizentre

189

1 y 1,5.

3. 6 ~ ~ - 7 ~ * + 1 0 ~ + 5 = 0 -4 z

x4 - 2 x3

+ 1 = O. Raizentre + x2 - 3 = O. RaIz

1 y 2. positiva.

6. ~ ‘ - ~ 3 + 2 ~ 2 - 2 ~ +=O. 1

7 . El método de iteración. - Quedan por considerar otros dos métodos que se usan a menudo para calcular las raíces: el metodo de itey el ración(tambiénllamadométodode aproximacionessucesivas) método de Newton. Este último es una forma particular de iteración, por lo que es conveniente ver este primero. La idea del método es muy generalypuedeaplicarse a una ecuación dadaenvariasformas. La ecuación propuesta puede escribirse :

e (x) ,

enunacantidaddemanerasdistintas.Supondremos conocidoque en algún intervalo (a;6) la ecuación tiene la raíz única .5 de manera que

E=e(t)

u < E < ~ .

Con respecto a la función 0 (x) supondremos al principio que funcióncreciente de z en el intervalo ( a ;b ) y que, además:

es una

Siendo si a S x

5 raíz única en

el intervalo

< 5, y

( a ;b )

x-e(z)

<o,

-e(x)

>o,

se deduce que

si 4 < x S b. Sea ahora x. un número arbitrario h a y 5 b. Tomándolo como primera aproximación de la raíz5 y calculando por sucesivas sustituciones x1 = e (zo) ; x2 = e (Xl) , x 3 = e (x2) ; . . . se genera una sucesión denúmeros x0

52,

...

Esta sucesicin serácrecientecontodossust6rminos < 5 si x 0 < 5: > 4 si x,, > 5. Para demostrar estas afirmaciones,supóngaseprimeroque x. < 5. Entonces: y será decreciente, con todos sus términos

x1 =

e (so) > x 0

x1 > x. ;

CALCULO APl2OXIXADO D ERAICES LAS

Por otra parte, comenzando con x0 = 3,encontramos cadauna ligeramentemayor que su verdaderovalor: XI = 2,23

X? = 2,115

2,09457 2,094555

x4 = 2,09503

Luego:

x 8 = 2,0945520

2,0945536

2,0945513

las siguientes aproximacionee.

2,09463

2,09777

191

< E < 2,0945516,

y así

con seis decimales exactos. Ejemplo 2. Consideremos la ecuacibn trascendente 22 = 1x,

tiene una raíz m t r r . O y 1. Cuando se e s c r i h (In l a forma

~ I I C

= 2P-2

se cumplvn todas las condiciones para l a itr:raritin. Comcnzarrtlo con x. = 0 y usando tablas (11, logaritmos de cuatro decimalps, encontramos la sucesibn deaproximaciones crecientes, habiéndose tonladu vada una aproximada por defecto: I, =

0,25

0,3088

X? =

0,29

25 =

0,3006

0,305

. ~ g=

0,3098

X, =

0,3099,

Similarmentc, podemos encontrar una suresirin de aproximaciones decrecientes comen= 1. -21 comparar los resultados, encontramos que l a raiz pedida es muy zando con cercana a 5 = c,3099. La última cifra, natnralmente, no (8s muy cierta, desde que todos los cSlculos han d o hechos con tablas de cuatro decimales.

Una ecuación dp la forma z

= (3

(x),

que tiene una sola raíz entre a y b puede siempre resolverse por u n proceso conveniente de iteracicin si su derivada 0’ ( x ) para a 5 z 5 b se mantiene en valor absoluto menor que un n6mero fijo p < 1, es decir si I0’b)

1 <

< 1,

192

ECUACZONES DE

TZORZA

para a x 5 b. En efecto, la mismaecuaci6npuedeescribirseen formaequivalente

= w

(x),

donde

Ahora (o'

(x) =

+ O'

(x)

1 -p 2

> o,

para a 5 x 5 b y luego w(z) es una funcióncreciente en el intervalo ( U ; b ) . Por otra parte, la derivada de f (z) = - (o (x) es

y siendopositiva, f (x) es una funcióncrecienteque toma el valor O solamente una vez en el intervalo ( a ;b ) , es decir para x = 5, siendo 5 laúnica raíz delaecuaci6n

e (x),

entre a y b. Por lo ttanto

(1.

(a)

< 0 ; f (b) > 0 ; h

<@(U)

> w(b) *

Luego, l a iteración aplicada a la ecuación 5 = w

(x) ,

convergerá,yaseaque comencemos con 20 = a ó blemas se encontrarán más observacionesreferentes

b. En los proa laconvergencia.

x0 =

Problemas

1. Si e' (X) < p < 1 para a 6 z 5 b, la ecuaci6n z = 8 (z) no puede tener m8s que una raíz entre a y b. Si se tiene tal raíz 5 y X~ = 0 (m), mientras que a 5 xo 5 b, demostrar que I S 1 r - 5 1

SUGESTI~N: z1- 5

(2, -

2. Si z = 0 (X) tiene una raíz primerasdos aproximaciones

<?IzO"l.

8' (T), donde 9 esta contenido entre

5 entre z0

a y b,

I O'

(X) I

20 y

< p < 1 para

5 z 6 b y las

Y z1 = e ( x o )

pertenecen a (a; b), entonces todas las tenecersn a ( a ; b) y Iz,-511

aproximacionessubsiguientes

< pnlzu-51.

XZ, zg,

.. .

per-

193

CALCOLO APROXI,VADO D E LAS RAZCES

Aún d s , las aproximaciones s e r h alternativamente mayores y menores que E si O' (x)< O e n todo el intervalo (a;b ) . Calcúlese por iteraci6n l a s raíces de las siguientes ecuaciones, con cuatro cifras decimalep:

ventajosa? 4.

- 11) X - 5 = O.

Escríbase x =

dio+_ 5

1 +. X2

- 3 5 2 - 1 = O. Escribase x = 3

+ - 100 = O. x2

Escríbase x =

4 -

6x=4+

X*+5X+20 3

= O . Escríbase x = d 1 0 0 - x 2 - x

7. x 3 + x 2 + x - 1 0 0

X = 4 +

x2 + 5 x + 2 1

Calcúlense con cinco cifras decimales las menores rakes positivas delas siguientes ecuaciones:

-6 x

+ 1 = O.

Escríbase x =

-3 x

+ 1 = O.

Escríbase x =

+1 . -

10.

510

+ + - 10 x + 2 = O.

11. x = 1

Escribase x =

x3 "'

+ X J + x' + 10

+1 =o.

12. x J - x * - l o x

210

* cuando una raíz de una ecuaci6n F (5) = O quede encerrada en un intervalo suficientemente reducido (a; b) donde los valores extremos A y B de la derivada F' (2) no son muy diferentes, el proceso de iteraci6n puede ser considerablemente acelerado escribiendo la ecuaci6n en la forma

El factor 2 ( A B)-l puede ser reemplazado ventajosamente por una buena aproximaci6n en términos pequeños obtenidospor medio de fracciones continuas. Aplíquese esta observaci6n para calcular con cinco cifras decimales las rafces de las siguientes ecuaciones:

= O . Rafe entre 1 y

*13. 2 ' - 4 x + 1 *14. x ~ - 4 x 2 - x + 3

1 - (1 10

4"-

X=X--'~/~(Z-~~X--~).

+O. R a i z e n t r e 4 y 5 . HBgase: x

* 15 x3 + x2 - 100 = O. *16 x =

2. €Ligase:

3 = ~ - * ~ / 8

(2-44x2+x--3).

HBgase x = x - 5/7

HBgase x

- 8/3

1 - (1

x)"15

194

TZORIA DE ECUACIONES

* 17.

1 - (1 + z)-30 15

z =

18. z = ‘/z

e-2.

19. z = e“.

Hágase z = z - 3/4

- 7/11

HAgase z = x

1 - (1 15

Hagase z = x - ‘O/7

z)-*0

(z - ‘/z e-2).

(I -e“).

+ 1 = 10%. Hhgrtse z = z - ‘O/7 (z + 1 - 102). 21. zz = 100. Hágase z = z + 2 - z log x. 20. z

22. z = 1

23.

- ‘/lo

sen z.

+ sen z = 1.

Hdgase z =

24. z = cos z. HBgase z =

+ 1 -sen2 2

- 3/5 (z - cos 2).

+ y y escribase y = y - ‘/S (y + 26. z tg z. Menor raíz positiva. Hágase z + arc tg z. z + arc tg l / x 27. tg z 1. Menor raíz positiva. Hágase z 25. sen x

‘/Sx. P6ngase x

“/z

“/2

- 2 cos y ).

8. MétododeNewton. - El m6todo deNewtonparaaproximar raíces puedeserconsiderado como unaformaparticularde iteración. Laecuaciónpropuesta f (x) = O puedeescribirse de l a forma

o sea

0 (x),

con

convergen, supondremos que : 1. En el intervalo ( a ;b ) la ecuación f (x) = O tiene una raíz.

2. Ni f’ (x) ni f” (x) se anulan 2n este intervalo. Calculando la rivada 8’ (x) se encuentra

de-

Desde que f’ (x) no cambia de signo entre u y b, la funcidn f (x) o bien es creciente o biendecreciente; y como se anula para x = 5, los valoresextremos f (u) y f ( b ) debenser de signos opuestos.Por otra parte, el signo de f” (x) no cambia, de manera que f” (u) y f” (b) t’]enea

CALCULO APROXIMADO DE LAS RAICES

195

el mismo signo; por lo tanto: f (a) f” (u) y f ( b ) .f” ( b ) tienen signos opuestos:unodeestosnúmeros es positivo y el otro es negativo. De los puntos extremos del intervalo ( a ;b ) llamaremos a a aquel en el cual f (x) y f” (x) tienen el mismo signo,llamando 8 alotro extremo, de a = a, (3 = 6 si maneraque

De la expresión de la derivada O’ (z) es evidente que cambia de signo solamente al pasarpor x = 5. En consecuencia, entre a y 5 el signo de O’ (x) es el mismo que para z = a , es decir, positivo por la elección d e a. Ahora, si a = a., en el intervalo ( a ; 5) la función O (x) es creciente, desde que su derivada es positiva y al mismo tiempo

Nuevamente, si (5; b ) Y

a =

6 , la función O (x) escreciente

O ( b ) “b

f’ (b)

en el intervalo

< o.

”

Aúnmás, O (x) es continua en ( a ;b) de manera que las condiciones de convergencia de un proceso iterativotal como seenumeran en el Párrafo 7 quzdan cumplidas si comenzamos con la primera aproximación .TO = a. Lasaproximacionessucesivas

estarán todas del mismo lado de la raíz 6, cada una más próxima a ella que la precedente, y convergeránhaciadicharaiz. Estas conclusiones se hacen intuitivas a l considerar la curva y = f (x). Como la segunda derivada y” no se anula en el intervalo ( a ;b ) esta curva es ,cóncava hacia arriba o, hacia abajo, de acuerdo a que y” > O 6 y” < O . En lasfiguras ( a ) , ( b ) , (c) y (d) delapaginasiguiente, los puntos A y B del ejedelas x tienen abscisas x = a y x = b. Para valores de x contenidos entre a y b la curva y = f (x) está representada por el arco P X Q que intersecta a y = O en el punt.0 X cuya abscisa es O X = €,. E n el caso de las figuras (a) y ( b ) , y e y” tienen el mismo signo en Q. La tangente en este punto está representada por la ecuación

Y -f(b)

=Y@)(z-b),

196

TLCORIA DE ECUACIONES

y corta a y = O en el punto T de abscisa

Nótese que T está del mismo lado de B con respecto a X , pero más próximo a X que B. En los casos de las figuras (c) y (d), y e y’’ tienen el mismo signo en P . L a tangente en este punto está representada por la ecuación Y - f ( a > = f’ (a) (x - a ) , y corta. a y = O en el punto T de abscisa

Nuevamente, T está más próximo a X que -4 y esta situado del mismo lado.Estas consideraciones intuitivas confirmanlas conclusiones previamente alcanzadas y sugieren también l a consideración del punto de intersección de la cuerda P& con el eje x. Si este punto es U , está en el lado opuesto de T con respecto a X y máscercano a éste que A y B respectivamente. Como l a ecuación de FQ es b -a

laabscisa

del punto U será:

OU=a-

f (a)

f ( b ) -f (a)

-a)

f(b)

f (a) -f

(b)

(a - b )

CALCULOAPROXIMADODE

y tarlbien puede ser representada

Ladobledesigualdad a1 a1

197

LAS RAICES

por

< 5 < 61 > 4 > $1,

según sea a = a ó a = b, da una estimación del error cometido al calcular la segundaaproximación de laraíz por el método de Newton. Si las cotas al y 6 1 están todavia muy separadas, el medio más práctico para seguir adelante es: sea a' la menor de estas cotas y b' la mayor. Estúdiese In diferencia b' a' ysupóngase que la primera cifra decimal significativa ocupa el I-6simo Iugar. Entonces, retengase en a' y 6' solamente 1 decimales. Sean a'' y b" los númerosobtenidos deredondear a' y b' en esta forma. Evidentemente a" es menor que 5, pero b" puede ser mayor o menor que este número. En consecuencia, determinase primero por sustitución si b" es mayor que 5 o no. En el primer caso hágase al = a"; bl = b", yen el segundo caso, al = b" ; bl = b" 10". Entonces el intervalo ( a l ; bl) contienea 4. Partiendodeesteintervalo hállense cotas más restringidas az, Bz en la misma forma en que fueron determinadas al, 61 a partirde ( a ; b!. Entonces, con az, B2 repítase el procedimientoaplicado a al, $1 ycontinúesedeestamaneramientras sea necesario para llegar algradodeaproximacióndeseado. Luego de unos pocos pasos deeste tipo, la convergenciasehace muy rhpida, pero no nos detendremos a estudiar este punto.

Ejemplo 1. Calculemos por este metodo la raiz de la ecuaci6n f(x) =xa-3~+1 =O. que est6 comprendida entre 1 y 2. La derivada f'(Z)

=3x2-3,

se anula para x = 1, así que estrictamente hablando el intervalo (1; 2) no satisface las condiciones supuestas.Sinembargo, yaque

f(I) =-1

; j"(1)

=6,

son de signos opuestos, tenemos que tomar a = 2 y observamos que en el intervalo (6; 2) la primeraderivada no se anula. Con a = 2; @ = 1, encontramos a1

demanera

que

2 - 3/9 = 1,66

y p1 se redondean a

1'6 y 1,2.

;

1,25,

198

TBORZA DE E C U A C I O N E S

Al sustituir 1,6 se encuentra que f(1,6) =

f (1,2) = a2

= 1.6

0,296 ; f’ (1,6) = 4,68

- 0,872

- -= 1,536 - ,. B? = 1,2 + -0,4 4,68 0,296

U 872

1,168

Estos números se redondeana

1,49 y 1 , s y al sustituir se

f (1,53)

- 0,008423 ,

f (1,54)

+ 0,032264

; j’ (1,54) = 4,1148

f (1,53)

- 0,008423

;

32264 411480

= 1,54 -____ = 1,53216

encuentra

de manera qug 1,53 es menor que la raíz. Por !o tanto, tomamos y continuamosasí:

1,498

;

= 1,53

a, = 1,53;

1,a

8423 += 1,53207 + . 10687

Sin llevar las aproximaciones m & adelante, podemos concluir que tomando:

= 1,5321

no conetemos un error que exceda en valor absoluto a El paso siguiente daría aproximadamente cerca de ocho decimales en la rafe. Por supuesto, el intervalo (1;2) con el cual hemos comenzado es demasiadoamplio y siempre es aconsejable encontrar por tanteo, como en el método de Homer, uno o dos decimales en la raíz.

Ejemplo 2. Hallar aproximadamente la raíz de l a ecuaci6n

10-2.

Si tomamos logaritmos decimales en ambos miembros esta ecuaci6n se reemplaza por f(x) = x + l o g x

f” (x) = - -,

=o,

CALCULO APllOXXMADO

199

DE LAS IlAICES

Por ser la eegunda derivada negativa, tomamos a = 0,3; @ = 0,4, y entonces 0,3

222879 += 0,391 + 244765

;

= 0,4

-- 206

0,3991

Estos n h e r o s se redondean a 0,391 y 0,399. Probando 0,399 Be encuentra que

-O,ooOo27.

.f (0,399)

Por consiguiente debemos tomar al = 0,399; bl = 0,400. Luego:

f (0,399)

- O,oooO27

;

f (0,400) = U,002060 012

= 0,399

27 208846

0,3990129

; f (0,399) = 2,08846 ;

; b = 0,400 --

= 0,399013

Por lo tanto, con !a aproximaci6n que puede lograrse con tablas de seis decimales, la

raíz pedidaes:

= 0,399013.

Problemas Apllquese e1 m6todo de Newton a las ecuaciones:

l. 2 5 - 3 ~ + 1 = O . 3. z3-72

=o.

= 4 z . -ase

6. z-senz 8. x = COB z.

2. 2 5 + 4 2 * - 7

=o.

4 . ~ ' - 4 ~ + 1= O .

zlog2-1ogz-1og4

=-.2 'x

=o. 7. xz -log X = 3 9.

zz = 1Ooo.

10. ¿Para qu6 hgulos centrales el arco de circunferencia es de longitud doble de la cuerda subtendida enel arco? 11. Si el Brea de un sector de circulo est&bisectada por su cuerda, jcu&l es el Bngulo al centro? 12. Una cuerda determina un segmento igual a la tercera parte del brea del circulo; ~cutiles el Bngulo al centro subtendido por la cuerda? 13. Un tronco cilindrico de madera de peso especirico '/3 flota en el agua. ¿A qu6 profundidad se hunde?

* 14.

Determfnese e1 menor n6mero z tal que la deRigualdad

se cumpla para todo z positivo. 15. Escribiendo una ecuaci6n f (z) = O en la forma

2060 2087

200

Z E O B I A D E ECUACIOA-ES

y aplicando el m6tcdo de Newton, se obtiene la siguiente f6rmula para la segunda aproximacibn:

Demuéstrese que la derivada del segundo miembro es siempre positiva si f (x) tiene 8610 rafces reales. Por lo tanto, demuéstrese que la iteraci6n siempre converge independientemente de c6mo se elija la primera aproximaci6n. Si la primera aproximaci6n se elige entre dos raíces consecutivas a y @ de la derivada f’ (x), la iteraci6n converge y muy rspidamente a la raíz de f (x) = O que queda entre 3~ y 6. Examinese la cuestinn de larapidez de la convergencia en la proximidadde la raíz. Aplíquese este n;étodo a l o s ejemplos: (U)

x3-3x+1

¿&u6 proceso de itersci6n resulta en

; (b) ~ ~ - 7 ~ + 7 = 0 .

el caso de una ecuaci6n x n

-a

CAPITULO I X DETERMINANTES Y MATRICES

1. Determinantes de segundo orden. - Las expresiones conocidas como determinantes tiene su origen natural en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Supongamos que tenemosqueresolver el sistema de dos ecuariones

con incógnitas x e y. Para ello podemos tratar de combinar estas ecuaciones para eliminar y ó x: Para eliminar y, las ecuaciones [lj se multiplican, respectivamente, por b? y - bl y se suman los resultados; usando corno factores - a2 y al y sumando se eliminará x. Las ecuaciones, una scilo en x y otra sólo en y, obtenidas de esta manera, son: (alb2 - u2bl) x

= c1 b2

(al b2 - a2 bl) y

= c2

c? bl

al - c1 a2.

Por la manera en que se obtuvieron las ecuaciones [2] se satisfacen [l], de modo que todas para losvalores x, y que satisfacen al sistema las solucionesdeestesistemaseencuentranentrelassoluciones del sistema [2]. Notemos ahora que en ambas ecuaciones [2] x e y tienen el mismocoeficiente al b z - a2 bl

202

T E O R I A DE E C U B C I O N E S

Esta expresión se llama determinante el símbolo

del sistema [I] y se indica con

Examinandolosnumeradoresdelasfórmulas mente que t a m b i h son determinantes

[3] seveinmediata-

E n consecuencia, x e y quedan expresados como cocientes de terminantes

los de-

En el determinante

tenemos do8 filas al, hl y az, bz y dos columnas

; al, bl, a2, b2 b2 se llaman elementos del determinante. Los determinantes de los numeradoresseobtienenreemplazandoen a2

los elementos de la primera y segunda columnas por c1 y c2, respectivamente. Por medio de las f6rmulas [4!, las soluciones del sistema dado pueden sercalculadasfácilmentesiempreque el determinante de este sistema no sea cero. Los casos quepuedenpresentarsecuandoestedeterminante escerose examinarán más adelante al referirnos a la resolución generalde los sistemasdecuacioneslineales con cualquier número de inc6gnitas. Ejemplo 1 . Si queremos resolver el sistema 7 ~ - 3 y = 1

1; -:I

; 6~+5y=3,

aplicando las f6rmulas (4), calculamos los determinantes: 7

-3

5 / = 53;

14;

203

DETERMINANTES Y Y A T E I C E S y dividiendo los dosúltimos por el primero, hallamos: 14

x = - 53

15 y=--. 53

Problemas

Resolver por determinantes 1. 6 2 + 2 y = 25,

2. 5 2 - 3 y

3. l o x - 7 y = 1, l 5 x - 1 1 y = 2.

4. 21 x

7s + 3 1 / = 20.

+ (a + 1) y = 1, a* x + (a*- 1) y = a.

5. ax

2 "-

= 1

= 1, 4x+7y =5.

+ 13 y = 1,

5 x +3 y = 1 . 6.

-+X

a+b a-b x - y = 4ab.

8. 3 x - 4 y 4x-5y

= 2a,

= 2xy, =

3xy.

2. Polinomioscon varias variables. - Considerandolasletras a.l, bl, a%,bz comoindeterminadas o variables,vemosqueeldeterminante

es una funciónracionalentera o un polinomio de cuatro variables ol, bl, az, bz. No sólo en la discusi6n de los determinantes sino t a m b i h m á s adelante,tendremos ocasión de tratar confuncionesracionalesenteras o polinomios devariasvariables, y esnecesarioexplicar qué significado se da a estos términos. Siendo las letras z, y, z, . . . variables o indeterminadas, una expresión de la forma

A z a y8 ZY . . donde A es una constante numérica y losexponentes a , @, y, . . . son enteros positivos, se llama monomio de variables z, y, z, . . . , siendo A su coeficiente. Monomios semejantes son aquellos en que los exponentes de lasmismasletras son iguales.Una expresión queconstadevarios monomiosvinculadosentre sí por lossignos ó - se llama función, racional entera de variables z, y, z, . . . o polinomio en z, y, z , . . . , mientras que los monomios que lo componen se llaman t6rminos. Todo polinomio puede escribirse de modo que losmonomios que l o constituyen

204

TEORIA DE ECUACIONES

no sean semejantes; tal forma puede llamarse ejemplossiguientes:

x"y

; x2 + x y+ y 2

forma reducida. E n los

; x 4 - x 3 yf x Z - y + l ,

tenemospolinomiosdedosvariablespresentadosenformareducida. Lasexpresiones Z ~ + ~ ~ + Z ~ - ~ X; Yx 3Z

y + y 3 ~ + Z ' ~; ~ x ~ ~ ~ z ~ + z + ~ +

son polinomios de tres variables, y en la misma forma pueden escribirse ejemplos de polinomios de cuatro o más variables. DOSpolinomios con las mismas variables se consideran iguales si, presentados en forma reducida,sustérminossemejantessonidénticos.h'ótesequeescribiendo términos concoeficientecero, o por el contrario,eliminando éstos, el polinomio no cambia.. Un polinomio es idénticamente nulo si los coeficientesdetodossustérminos son cero.Seconsideranconocidasde los cursoselementalesdeálgebralasuma,resta y multiplicación de polinomios. Los polinomios de varias variables se clasifican de acuerdo :L su grado. La suma de los exponentes de las variables en un monomio constit,uyeel grado. El grado máximc de los monomiosquecomponen un polimonio que no sea identicamente nulo es el grado del polinomio. Así los polinomios

son, respectivamente, de tercero y cuarto grado. Un polinomio se llama hom.ogdneo de grado m si todos los momentos que lo constituyen tienen el mismogrado m. Así, los polinomios

sonpolinomioshomogéneos deprimero,segundo y cuarto grados. Los polinomioshomogéneossonllamadosamenudo expresiones. Las expresiones deprimergradosellamanexpresioneslineales;lasde segundo,tercero,. . . se llamanexpresionescuadráticas,cúbicas,etc.La expresión lineal general de variables, x, y, x, . . . , v es

+ by + cz

" ... +

1v;

donde a, b , e, . . ., I son constantes. A menudo, al operar con funciones: racionales enteras de varias variables, se presta especial atención a algunas de estas variables, por ejemplo: x , y, . . . , t y la funci6n se escribe como un polinomio en x, y, . . . , t cuyoscoeficientes sonpolinomios en las restantes variables. También aquí podemos hablar del grado d e

205

D E T E R M I N A N T E S Y MATRICES

esta funci6n con respectoalasvariables elegidas, o del grado general si es homogheo. Así, la función racicjnal entera en cuatro variables 52

+ yt ,

es lineal y homogbnea con respecto a x, y y tarnbi6n lo es con respecto a z, t . Del mismo modo

zxy

+ (22 + t 2 ) y2 ,

es homogenea de segundo grado con respecto a x, y; escribiendo la misma expresi6n en la forma

y2 22 t (x2 t y2) t 2

+ xyz ,

podemos decir que es de segundo grado en

z, t, pero no homoghea.

Problemas 1. LCuAles son los grados de los siguientes polinomios? (a) z y z + z * y + y ~ z + l .

(b)

z3y

(c)

(d)

(22

(2 2 2

+ zy)

(23

- 1) + 2 2 yz.

+ y3 z + 6 x* y2z.

- sy)* t - 7 2 4 22.

2. ~CuAles delos siguientes polinomios son homogéneos y cu&lesno lo son?

+ + (d) s3 + y3 +

+ y3 - 3 zyz. (c) x4 - 6 z* y* + z4 - 2 z2y* P.

(a) 23

(b)

s 3

22 23

y - 3 zy.

- 3 zy?.

3. Demostrar que un polinomio en x, y, z es divisible por (z - y) (z - z) (y - 3) ai se anula para z = y, z = z, y = z.

4. Hallar un polinomio homogéneo de cuarto gradoen las variables z, y, z que se anule para x = y, z = z, y = z y tome valores 1, 2, 3, respectivamente, para z=-I, z = z =

+ +

y =

y=-1, y

1, 1,

z =

z=-l.

+ +

5. Demostrar que 23 y3 z3 - 3 zyz tiene un factor z y z y hallar el otro factor. Demostrar que este factor no puede anularse para valores reales de z, y, z except o cuando x = y = z. 3 . Propiedades características de los determinantes de segundo orden. - Volviendo al determinante

se advierte a primera vista que es una función delasvariables y tiene las siguientes propiedades:

a2, b2

al, bl,

206

T.EORIA D E E C U A C I O N E S

1. Ordenadas las variables

en un cuadro

llamado matriz, el determinanteesuna funci6nlineal hornogenea d e los elementosde cada fila de esta matriz. 2. Eldeterminante se anula si dosfilas son id6nticas. 3. Para la matriz especial

el determinante toma el valor 1. Veremos ahora que con estas propiedades queda totalmente caracterizado el determinante desegundoorden. Establezcamosahora el problemamás general dehallartodaslas funcionesracionales enterasdecuatro elementos de unamatriz

que poseen lasdospropiedadessiguientes: 1. Son funciones lineales homogéneas de 10s elementos de cada fila. 2. Se anulan si dosfilasdela matriz sonidénticas. Porlaprimerapropiedadla funciónquebuscamosdebeserdela forma:

-4al

+ Bbl

F (al, bl, a2, b2) ,

y A y R son, a su vez, expresiones lineales

Cl a2

+ C,

de modoque

(a,, b l , a2, b2) =

(C1 a2

porquedos filas delamatriz

+ C2

y homogéneas en a2,

B = DI a2

62)

+ D2 b z )

+ (DI a2 + DZb2) bl ,

b2:

[I 1

DETERMINANTES

207

Y MATRICES

son id6nticas. Por otra parte, por ser F una funci6n lineal homog6nea con respectoa los dosprimerosargumentos,tenemos que:

(a.1

+ az , bl + bz , + al , bz + bl) = a2

F (al, b1, az t al, bz t bl)

Pero,aplicandonuevamente

+ F (az, bz,

t al, b z

bl).

la segundapropiedad

que combinadas con [2] conducen a la identidad:

(C1

bz) al

+ (DI uz + Dz bz) bl = - (CI al

+ C, bl)

(Dl al

+ D2 bl) bz ,

y de esta identidad se desprende que: C1 = O ,

Dz = O ,

C-2 = - D l .

Sustituyendo C1 = O, Dz = O , Cz = C, Dl d e F tendremos

= -C

en la expresi6n

208

TEORIA DE ECUACIONES

y en consecuencia todas las funciones de la matriz

(1: que satisfacen las propiedades

1 y 2 difieren del determinante

sólo por un factor independiente de las variables al, bl; a2, b2. E n particular, si ademásdelascondiciones 1 y 2 lafuncióaquebuscamos toma el valor 1 para la matriz especial

será idénticacon el determinante antes mencionado. Todaslaspropiedadesde los determinantesdesegundoorden sededucenfácilmente si los consideramoscomofuncionesdeunamatriz 1, 2 y 3. Más adelante quesatisfagalaspropiedadescaracterísticas discutiremos desde el mismo punto de vista las propiedades de los determinantes en general, y aquí nos limitaremos a demostrar cómo puede establecerse fácilmente el teorema de multiplicación para determinantes. desegundoorden. Sean dos determinantes :

Sumando los productos de

los elementos de cada una de las filas de Dz, formamos

D Ipor los elementos correspondientes de las columnas de u n nuevodeterminante

Elteoremademultiplicacióndedeterminantesestableceque

D1.Dz.

Para demostrar este teorema consideremos al, b l ; a2, b2 como variables. Entonces D es una función lineal de l a mat,riz

DBTERMISANTES P HATRICES

hornogenea en los elementos de cada fila, son identicas. En consecuencia

donde C no depende de las variables

D se reduce al determinante

que se anula cuando dos filas

al,

(;

209

61;

a2,

bZ. Para la matriz

Y Por lo tanto:

Dl&,

como deseábamos demostrar. Problemas 1. Verificar las siguientes propiedades de los determinantes:

l c +f 1 1 I: 1 1 1 5 :l. 1: :I +I; ,“I +I: :I +I; a+e

(a)

a+e

(b)

Ic+i

b+q

d+hj

2. Verificar la identidad:

a a+b a’ a

@ + c y

+ b‘ @ + e‘ y

a a’+b a’ a’

@’+cy’

+ b‘ @’ + c‘ y’

HBgase uso de las identidades del Problema 1. 3. Deducir del Problema 2 que: (22

+ + y2

2’) (2‘2

+ + z’*) = (zz’ + YY’ + y‘2

22’12

,“/.

210

T,EORIA D E EGOACZOSES

4. ¿Qué identidad ahilar a la del Problema 2 puede hallarse para el siguiente deter-

nank?

z+b @+c y + d 6

a‘ a

+ b’ p + c’ y + d‘ 6

5. Demostrar que: z +iy

“z

+it

z -iy

z +it

donde

P = 22’

a a‘+b

1.1

5‘ -2’

n = - xz’ + yt’

- iy‘

z’ - it’

-it‘

5’

+ iy‘ =

Dedúacase: de allí, la identidad de Euler: (22

+ + + + y’2 + + + (5y’ - yx’ - zt’ + tz’)? + y2

12) (5’2

2’2

l=I

; Q = -“y’

- zx’ - ty’ ; ,y

1’2)

(22’

y‘+d

6‘

+ b’ @’+ c‘ y’ + d’ 6‘

a’ a’

+ yy’ + zz’ + tt’

@’+c

- xt‘

-E+iiS

P+i&

R+iS

P-iQ

+ yz’ + zt’ - tz’, + yz’ - zy‘ + fx’.

+ yy’ + zz’ + it’)* + + 25’ + ty’y + (Jt’

- yz‘

(52’ - yt’

+ zy‘ - tz’)?.

4. Los determinantes como funciones de las matrices. - Como hemosvisto, los determinantesdesegundoordenpueden s x expresadoscomofuncionesdematricesdelaforma

que poseen ciertas propiedades características. Nada nos impide generalizar estas consideraciones. En lugar de una matriz de cuatro elementos podemosconsiderarunamatrizde n2 elementos

...

c? . . 12

. .. . . . . . . . . . . .

b, bz

. . . I,

ordenados enn filas y n columnas, y buscar todas las funciones racionales enteras de los n2 elementos de esta matriz, considerados como variables, que poseen las tres propiedades siguientes:

1. Sonfuncioneslinealeshomogeneasde los elementosdecada de la matriz. 2. Se anulan identicamente si dos filas de la matriz son idénticas. 3. Toman el valor 1 para la matriz especial

fila

DETERMINANTES Y MATRICES

211

cuyos element,os son todos ceros excepto los de la diagonalprincipal, que eon iguales a 1. Veremos que existe una solafunciónracional enteraquesatisface estas exigencias, y esta función se llama determinante de n2 elementos o de orden enesirno, y se lo representa con el símbolo

. . . 11 a2 bz ~2 . . , 12 . . . ... . . . . . . . . a, b , c , . . . I, a1

5. Determinantes de tercer orden. - El metodo para la solución delproblemageneralenunciadoen el párrafo 4 se entenderá mejor si consideramos primero el caso particular de n = 3. Será conveniente adoptar una notación especial para los elementos de la matriz. En lugar de usarletrase indicesdiferentes paradistinguir elementos y filas distintos, usaremos la misma letra con dos indices, por ejemplo: afj, indicando el primeríndice el númerodela fila (de arriba hacia abajo) y el segundoíndiceelnúmerodelacolumna(deizquierdaaderecha) en que se encuentra la letra. Así, en el caso de n = 3 la matriz será:

Las filas de esta matriz se designarán con las letras R1, R2, R3 y u n símbolo tal como R1 Rz representará una fila compuesta de los zlementos all a21 ; 0 1 2 a22 ; 0 1 3 a23

Designaremos con el simbolo

F (R1, Rz, R3),

la función de los nueve elementos aij (i,j = 1, 2, 3) que satisface las condiciones 1, 2 y 3 del párrafo 4. Partiendo de la propiedad 1 y 2 puede demostrarse que esta función cambia su signo si dos filas R se intercambian de modo que

F (Rz, R1, R3) = - F (R1, Rz, R3) F (R3, Rz, R I ) = - F ( R I ,Rz, R3) F (R1, R3, Rz) = - F (R1. Rz, Ea)

Siendo la demostraciónla misma entodos los casos, bastaprobar la primera de estas identidades. Consideremos la funci6n

F (R1

+ Rz

, Rz

+ R1 , R 3 ) .

212

T.EOBIA DE ECUACIONES

Por ser F una función lineal y homogénea de los elementos de la primerafiladelamatriz,tenemos:

F (R1

+ R2 , Rz + R I , RQ)

F ( R I , Rz -t

R3) t t F (Rz , R2 + 81 , R3).

€21

-4demás,siendo F lineal y homog6neaconrespectoa de lasegundafila,tenemos:

los elementos

+ F ( R I ,R1, R3) F (Rz, R2 + R1, R3) = F (R2,R2, R3) + F (Rz, RI, R3) F (R1, Rz

F (R1

+ R1, R3) = F ( R I ,

€22,

+ R2,R2 + R1, R3)

+ F (R2,R I ,R3) f t F (R1, RI, R3) + (R2,R2, R3).

F ( R I ,R2, R3)

F se anula cuando dos filas son idénticas,

Por la segunda propiedad, por lo tanto: F (R1

R3)

+ R2,R2 + R1, R3) = O , F (Rz, R2, R3)

F (RI, R I , R3)

como deseábamos demostrar. Además, siendo F lineal y homogénea con respecto a los elementos de cada una de las filas R1, R2,R3 estará constituida sólo por términos de la forma A

, B.

al, a20

a37

donde A , , 8, y es independiente de los elementos nil y donde los indices a, p, y pueden tomar los valores 1, 2, 3. Usando el signo de sumatoria, F puede escribirse así:

zA.,B,r

al,

a26

a3y

y queda por verquéotras condicionesdebenreunirlos coeficientes A,, B, y para que se cumpla la condici6n 2. La condicicin 1 sesatisface independientementede los valores deestoscoeficientes.Lasidentidades [I] se desprenden de la condición 2 y, recíprocamente, la satisfacen. Basta, por lo tanto, que:

F ( R I ,Rz, R3)

2 A , 8. y al,

a26

a37

213

DETERMINANTES Y MATRICES

satisfags las identidades

[l]. Ahora:

.o bien, poniendo a en lugar de @ p @ en lugar de a, puesto que a y @ toman los mismos valores:

3' (Rz, R1, R3)

2 A e , a, y

lo que puede hacerse

a l a U Z a~3,

Si dos de los indices a, 8, y son iguales, el coeficiente correspondiente será cero. Porque si, porejemplo, a = (3,tenemos por [2a] =

Aa,a,y

-Aa,s,y*

Es decir: A,, Y = O. Por lo tanto, en la expresi6n de F s610 aparecen los terminos correspondientes a distintos valores de x, (3, y ; a @ y debe ser una de las seis permutaciones de ¡os números 1, 2, 3. Estas seis permutacionea son 123 213 231 321 312

132

y, por [2u], [2b] y [2c] entre los coeficientes correspondientesexisten las siguien&esrelaciones :

Az, A3, 2,

1, 3

= -A

- Az, 3 ,

1,2, 3

;

Az,

- AI, 2,

-41,3 , z =

3, 1

;

= - A2, 1 ,

= AI, 2,

A3, 1, z = - A3, 2,

- AI, z,

1 =

;

AI, 2,

;

3 ,

d e modo que los cinco coeficientes pueden ser expresados por el sexto. Haciendo, para abreviar:

AI, z , 3 = C,

214

TZOBIA DEE,CVACIONES

tendremos :

Tal es la expresión general de las funciones que satisfacen las condiciones 1 y 2. Si, además, F toma el valor 1 para l a matriz particular

considerando que la expresión por la que está multiplicado C toma el valor 1 paraestamatriz, es evidenteque C = 1. En consecuencia, existe s610 una funciónracional enteradenueve elementos ay, que satisface las condiciones 1, 2 y 3, que es: all a 2 2 a33

$- al2 a 2 3 a31 f

a13 a21 a32

- a12 a21 a33

- a13 a 2 2 a31 - all a23 a 3 2

Esta expresión se llama determinante de nueve elementos o d3 tercer orden y se representa por el símbolo all

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

No desarrollaremos aquí las propiedadesdel determinante de terces orden, pero es muy fácil estudiarlos en el caso general de determinanter de cualquierorden. Nos concretaremosa dar una regla mnemotkcnica paralaformaciónde los tdrminos del determinantedetercerorden, que vale sólo en este caso particular. Para escribir los seis tCrminos del determinante

formamosunatabla

b1 bz

215

DETERMINANTES Y MATRICES

y tomamos los productosde los elementos de las diagonales descendentes con signo f y los de las ascendentes con signo -. El conjunto de los seis terminos así obtenidos: al bz

+ bl

cz a3

uz b3 - a3 bz CI - b3 c2 al - c3 az bl

será el determinante

Por ejemplo, el valor del determinante 1 2 3 3 1 2 6 4 5 hallado por esta regla es: 5+24+36-18-8-30=9. Problemas Las siguientes propiedades valen para los determinantes de cualquier orden y s e r h comprobadas m& adelante de manera general. Para determinantes de tercer orden pueden ser verificadas fhilmente. 1. Domostrar que:

al bl

bl b? b3 c1

cz c3

~C6mopuede expresarse en palabras esta propiedad? 2. Demostrar que: mal

mbl mcl

nuz

nbt

nc2

pal

pb3

pc3

mnp

216

TEORXA DE ECUACIONES l o estableaido en los Problemas 1 y 2, demostrar quc:

3. D e acuerdo a

“a

“b

“C

=o.

4. Demostrar que

LCuhles son los resultados correspondientes si la primera columna se deja invariable d2, b3 d3 (6 CI d l , c? d2, pero bl, b2, b3 (6 cl, cs, c3) 6e reemplazan por b1 d:, bs cJ + dl)? ¿Existe una propiedad similar con respecto a laa filas?

5. Demostrar que un determinante de tercer orden n o varía si a los elementos de una fila (o columna) cualquiera Be lesuman los elementos de otra fila (o columna) multiplicados por un factor arbitrario. 6 . Demostrarque (a)

1 a

(b)

=o.

2 3 4 3

3 4

=o.

5 6 7

7. Demostrar que 1 1 1

(u)

1 - 1 = 8 - 3 0 .

= 3

4 1 1

O 0

5 -4

1 6 2

1 6 7

5 -4

5 1 6

2 3

-3

o o

-2

2 0

1 1

=I8

4 1 1

8. Demostrar que

1 l+ac

lfbc

1 1 +ad

1 +bd

1 l+ae

1+be

1-1

= O.

9. Demostrar que

b .

c ,

O 0

1 1

217

DETEBMINANTES Y MATRICES

10. Un determinante puede desarro!larse por los elementos de una fila o columna cualquiera. Por ejemplo

E n estos desarrollos !os elementos de una fila o columna estan multiplicados por de6 -, que se obtienen eliminando la fila terminantes de orden 2 tomados con signo y la columna a las que pertenece el elemento que se considera. Hallar una regla para y cuando -. Estos desarrollos disminuyen ritpideterminar cuindo se usa un signo damente el orden de un determinante en el que todos los elementos menos uno en una fila o una columna son ceros.

11. Utilicese el método indicado enel Problema 10 para hallar el valor num6rico de los determinantes (a) y ( b ) del problema 7.

12. Demostrar que I

(a)

(b)

1 b

= (c - a )

- b) (b-a).

= (c - a) (c - b ) ( b-a) (a

+ b + c) .

13. Hallar el valor numérico de los determinantes (a)

10 7

(b)

3 1 .

6 14 12

14. Demostrar que

6 Permutaciones pares e impares. - Para explicar un determinante de orden superior, el procedimiento a usar es totalmente anblogo al empleado en el caso de determinantes de tercer orden, excepto que será necesario expresa,r algunaspropiedadesdelaspermutaciones,que

218

TZOBZA DE ECUACZONES

e n esecaso particular no eran tan necesariascomo lo son en el caso general. Sean los números 1, 2, 3, . . ., n escritos en orden creciente 1 2 3 ... n .

Este se llamará orden natural. Colocando estos enteros de modo que el primer lugar sea ocupado por il, el segundo por iz, el tercero por is, etc.,tenemosunapermutacih il

i:!

. . . i, .

Así 6 5 1 3 4 2 , es una permutacih de seis números 1, 2, 3, 4, 5, 6. El número de permutaciones de n números es: 1.2.3 ... n

Luego, cl númerodelaspermutacionesde

2, 3, 4, 5,6,

7 números

es, respectivamente :

2 ; 3!

2! =

6 ; 4!

24;

120 ; 61 = 720 ; 7! = 5040.

Intercambiandoenunapermutación . .

21 22

. . . 1., 2 ,.+ 1

. ..

. . . I',,

dos elementos i, e i b y dejando los otros elementos en sus lugares, samos a otra permutación il

. . , ig...

...

pn-

in,

que resulta de la anterior por una tyansposición de i, e it. Todapermutaciónpuedeobtenersedelapermutación 1 2

3 ... n ,

en la que los elementos est6n colocados en orden natural, por una serie desucesivas tkansposiciones. Por ejemplo,lapermutación 7 6 8 3 5 1 4 2 puedeobtenersede 1 2 3 4 5 6 7 8 , realizandosucesivamentelassiguientestransposiciones: ( u ) 1 y 6; ( b ) 2 y 8 ; (c) 3 y 4; ( d ) 4 y 7 ; , ( e ) 6 y 8 ; (f) 7 y 8. TambiCn puede obtenerseporotraseriedetransposiciones: ( u ) 1 y 4; ( b ) 1 y 7; (c) 2 y 8; (d) 3 y 8; ( e ) 6 y 1 ; ( f ) G y 4; (9) 6 y 7 ; ( h ) G y 3.

DETERMINANTES Y N A T R I C E S

219

En general hay una infinita variedad de formas de pasar de una permutaci6n a otra por una serie de sucesivas transposiciones. Pero es importante establecer que el númerode transposiciones usado para ello essiempre par o impar, no importa qu6 transposicione's se empleen. La prueba de este hecho puede basarse en la noci6n de inversión. Si en una permutaci6n . . a1 a2 . . . a,, unelemento i, es seguido por un elemento menor, decimos quehay una inversi6n relativa a i, y a ese elemento. El número de elementos que siguena i, y que son menoresque 61, da el número tutal de inversiones relativasa i,. Elnúmerodeinversionesrelativoatodos los elementos de una permutaci6n puede llamarse el Zndice I de esa permutaci6n. El indiceesunnúmerocompletamentedeterminadoporla permutaci6n.Considerando,porejemplo,lapermutaci6n 7 6 8 5 3 1 4 2 ,

contamos Número de inversiones 6 5 5 2 3 O

relativasa 7 6 8 3 5 1 4

El indice de la permutación es, por lo tanto: 1=6+5+5+2+3+0+1=22.

LEMA:S i e n una permutacirjn il

dos elementos i, e

. . . in,

se transponen, el Zndice varta e n un n ú m e r o i m p a r .

DEMOSTRACION: Supongamosprimeroque i b siga inmediatamente a i,, de modo que 6 = a 1. AI contar el número de inversiones es con-

veniente dividir la permutaclón en tres partes:

. .

21 22

. . . i,-l

; i, i,+l ; i.+2

. . . in.

Sea A el númerodeinversionesrelativoalaprimera parte, y B e l relat.ivo a laterceraparte,siendo P y Q los númerosdeinversiones relativos a i, e i u + l . Entonces:

I=A+B+P+&.

220

ECUACIONES ZEORIA DE

Luego de transponer i, e i,+l tenemos otra permutación, que está a su vez dividida en tres secciones: . . 21 22 . . . z,-1 ; i,+l i, ; i a + 2 . . . i, .

Su índice 1’,llamando P’ y Q’ los números de inversiones relativos i,+l e i,, es: I’ = A + B P’ Q’.

+ +

Sean !M y N los números de elementos de la respectivamente menores que

2,+2

. . . t,,

i, e

i4+1.

sección

Entonces:

P = M ; Q = N , e n caso de que i,

< ia+l,y P=M+1 ; & = N ,

encaso

deque

e n caso deque

i, >

i, <

Similarmente

i4+1.

P’

i,+l,

p‘

+ 1 ; &’ = i l l ?

Q’ =

e n caso de que i, > i,+l. Por lo tanto:

P‘+Q‘-(P+&) segúnsea

= I

“1,

i, < i,+l ó i, > i,+l, y, enconsecuencia: I’ = I f 1 ,

esdecir, el índicecrece o decreceenunaunidadluegodetransponer dos elementosconsecutivos. Supongamos ahora que los elementos transpuestos no sean consecutivos y sea I el número de elementos entre ellos. Entonces, de la permutación

il . . . i, . . . i g . . . in,

pasamos a la permutación 21

. . . 28 . . . 2, . . . zn,

por las siguientes transposiciones de elementos consecutivos: (u) I transposiciones de i, con elementos consecutivos, que lo colocan antes de ig; (a) una transposici6n que colocaa i, en la posici6n ocupada por is, y asi ie precede a i,; (c) I transposiciones de ie con los elementos inmediatos que 10 llevan al lugar anteriormente ocupado por i,. El pasaje de una permutacidn a la otra se cumple as5 por 2 I + 1 transposiciones sucesivas

DETEXYINANTES Y XATRICES

221

de elementos consecutivos, y puesto que en cada transposición aumenta o disminuye el índice en una unidad, el índice de la permutación il

. . . ip

difiere del de la permutación 21

. . . i, . .. in,

. . . Z g . . . 28 . . . 2 n ,

en un número impar, y de esta manera queda demostrado Supongamosahoraquelapermutación

. . . i, ,

.il i 2

se obtiene de

el enunciado.

1 2 ... n ,

por r transposiciones. Por ser cero el indice de la última permutación, y puesto qu2 lasr transposiciones provocan incrementos impares 2 hl I, 2 hz 1 , . . . , 2 12, 1, el índice I de la permutación

será

. . . in ,

...

I=r+2(hl+h2+

thr)=r+2h.

Por lo tanto, r será par o impar según sea I par o impar. Las permutaciones que resultan de 1, 2 . . . n por un número par o impar de transposiciones se llaman,respectivamente,permutacionespares o impares. Lapermutaciónresultantedeunapermutaciónpar,porunatransposición, será impar, y viceversa. Es fácil demostrar que entre las n,!permutaciones de 1, 2, 3 . . . n hay igual número de permutaciones pares e impares. Llamamos R y R' los números de permutaciones pares e impares respectivamate. Transponiendo los dosprimeroselementos de cada unade lasR permutaciones pares, resultanR' permutaciones impares distintas; por lo tanto R' L R. Pero,razonandoenlamisma forma R I R', en consecuencia debeser R' = R. Siendo n ! el númerototal depermutaciones, hay 1 "n ! 2 permutaciones pares e impares. Supongamos que

Ai,, . . .i , i2.

es una cantidad que depende de n indices distintos ill ia, . . . , i,, cada uno de los cuales debe ser uno de los números 1, 2, . . .,n de modo que 21

. . . i" ,

es unapermutacióndeestos números.Supongamosademásquecada una de las n! cantidades posee la propiedad de cambiar su signo si se

222

IIEOBIA DE ECUACIONFS

variar su valorabsoluto;

transponen dosíadicescualesquiera,sin otras palabras,supongamos que:

Ail, . . .,, i,, . . . , ig, . . . , in =

Ail, -.. ., ig, . . . , i,,

Sea I (illiz, . . . , in) el índice de la permutación lema demostrado anteriormente

il,

iz,

.. ., In.

111

. . . , in.

Por el

( - 1 ) Z (il,i r , ... , i n )

tambi6n satisfacela condición [l]y, en consecuencia

Ai*,i2, . . . &/(" 1)'

(ir,ir*

.. . in)

no cambiasisetransponendos indices cualesquiera.Desde que todas las permutaciones resultan de 1, 2, . . . , n por sucesivas transposiciones, se deduce que el cociente anterior tiene el mismo valor para todas las permutaciones. Llamando C a este cociente, tendremos Ail, i2, .'. . , zn - & C , '

tomando este cociente el signo f 6 - según que la permutación il, iz, . . . - . . , ,in sea par o impar. Problemas 1. Hallar el número de inversiones en cada una

(u) 6 8 1 7 5 3 2 4 ;

de ias permutaciones

(b) 2 1 3 9 8 7 6 5 4 ;

2. iCuSles de las siguientes permutacionm son pares (u) 6 3 1 2 5 4 ;

(c)

y cuitles impares?

(b) 1 9 2 8 3 7 4 6 5 ; 7 1 5 6 3 2 4.

3. Demostrar que la permutaci6n 1 6 5 3 2 4 puede obtenerse de 1 4 5 3 6 2 porun mímeropardetransposiciones.

4. Escribir todas las permutaciones pares y todas las imparesde los elementos 1, 2 , 3 , 4.

7 . Determinantes en general. - Será fácil darahorauna nición general de un determinante de orden n. Sea

(

defi-

. . . al, a22 . . . azn . .. . ... . . . . . . . . . anz . . . ann a12

una matriz de n2 elementos aai distribuídos en n filas R1, Ra, . . ., R, y n columnas C1,Cz, . . ., C,. Por conveniencia de razonamiento elegimos la notación de los elementos de dos indices, lo que indica claramente la

223

DETERMINANTES Y MATRICES

fila y la columna a las que pertenece el elemento. Considerando estos na elementos como variables, nos proponemos el problema da hallar todas las funciones racionales enterasde ellos quesatisfaganlastres condiciones siguientes: 1. Deben ser lineales y homogeneas en los elementos de cada fila de la matriz. 2. Deben anularse id6nticamente cuando dos filas sean identicas. 3. Toman el valorde 1 para la matriz especia.1

f .. y. .: :.:. . . .

o o... en l a que aii

aij =

O para j z i.

El examendelproblema demostrará que hay s610 una funci6nque satisfaceestas condiciones. Lafunci6nque buscamos puedeindicarse convenientemente por F ( R I ,Rz, . , . , Rd . En primerlugar,vamosademostrarque

. . ., Rg, . . . , Rn)

F (R1, . . ., R.,

= -F

(R1, . . . , Rg, . . . , R,,

Rn) [l]

de modo que F cambia de signo cuando dos filas Ra y Rp se trasponen. Consideremos la función

+ Rp) . .

+ Ra, Rn) Por ser identicas las filas R, + Rg y Rp + R., tenemos: F(R1, . . ., R. f Re, . ., Rp + R.) . ., Rn) = O . F(R1,

+ F(R1,

. y

. . ., R,) + Rp, . . ., Rp + R.,

. . . , Rp + R,, . . . , Rn) = = F (R1, . . Ral . . Rgl . . ., Rn) +

+ F (RIP . .,Ra, *

F (R1,

- 1

Rel

P I

. . . , R,) = F (R1, . . . , R,, . . . , Rp f R.,

misma raz6n:

F (R1, . . . , R.,

+ Rp, . . ., Rp + R,, =

y porla

por ser F lineal y homog6nea en los elementosde

Por otra parte, cada fila

F ( R I ,. . ., R.

-1

.)Rp + Ra, . . . ) Rn) = = F (R1, . . . , Rg, . . . , Rg, . . . , Rn) +

+ F (R1, . . ., Rg, . .

Rn) ,

. R., . . ., Rn)

, Re, .

e ,

Rn) -

ECUACIONES DE

224

T.EORIA

Considerandola ecuación [2] eidentidades similares como ser:

F (R1, . . . R,,

. . ., R,, . . . , R,)

encontramos :

F (RIP . . . , R a , . . . l Rgp . .

F (R1, . . . , Rg, . . . , Rg, . . ., R,)

Rn)

+ F (R1, . . .

=O,

Rgl . . . , R., . . . R,)

que esequivalentealaecuaci6n [l]. Recfprocamente,suponiendo se satisface la ecuación [ I ] , se deduce que:

F (R1, . . . , R,, . . . , R,, . . ., R,)

que

Es decir que las condiciones 1 y 2 juntas son equivalentes a la condici6n 1 y que F se tra.nsforma en - F cuando se transponen dos filas. En virtud de l a condición 1 la función pedida consistirá de terminos de la forma Ac, h .. .,in a ~ ia2ia , . . . ani,, donde los indices ill i z , . . . 2, . . . , n y donde

toman independientemente los valores 1,

Ail, in, ...,in

es un coeficiente independiente de las variables

Podemos escribir:

Por transposición de las filas R , y R,, tenemos:

F (R1 . . . , Rg, . . . , R,, . . . , Rn)

E A;l,i*...,in al;, . . . agi, . . . aaig . . . an;,,

o, reemplazando i, por i B y reciprocamente, lo cual es permitido puest,o

que tanto .i como

i g

toman los mismos valores:

F ( R I ,. . ., Rg, . . ., Ra, . . ., Rn)

.X Ail. .., i6, . . ., i,, ..., i,,

alii Q i 2

. . . anin

[4I

Comparando las ecuaciones [3] y [4] y teniendo en cuenta la identidad 111 llegamos a la conclusión de que:

Ai,, ..., io,..., ig, ..., in

= - Ac,

'''1

p i

..., i,,

[51

para dos indices cualesquiera a y (3 distintos t.omados entre los números 1, 2 , . . ., 12. En caso de que i , = ie, de [5]

Ai,, ... i,,

--.)i,,

an .

--0

y esto significa queen [3] se encuentran sólo aquellosterminos que corresponden a valores distintos ill iz, . . . , in, siendo ill i2, . . . , in una

225

DEITEBMINANTES Y MATRICES

permutación de los números 1, 2, 3, lo enunciado al final del párrafo:

A;,, &,

. . ., n.

...,in =

De [5] y de acuerdo con

donde el signo es I-6 - según que il, i ~ ,. . ., i n sea una permutaci6n par o impar. Así, todas las funciones F que satisfacen las condiciones 1 y 2 sondela forma

F = CX

al;, al;,

.. . al;,, ,

donde la sumatoria se extiende a todas las permutaciones de los indices; el signo + se elige en la forma indicada y C es una cantidad independiente de los elementos de la matriz. Ahora para la matriz especial en la que aii = 1 y aij = O si j # i, la suma se reduce a un t6rmino a11 a22

. . . ann

= 1,

y, por otra parte, si se satisface l a condici6n 3, F toma el valor 1, siendo en este caso C = 1. Así, si se cumplen todas las condiciones:

X f al;,

ani,,

estando l a sumatoria extendida a todas las permutaciones y para cada permutaci6n el producto

al;,

anin

1, 2,

. . ., n

tomado con el signo 6 - según que l a permutaci6n sea par o impar. La suma representada por F se llama determinante de enCsimo orden o determinante de los n2 elementos a;j y se representa con el simbolo

. . . al,

all

a12

a21

a22 *

an1

G r 2

. ‘&n

................ .

. am.

A veces se usa la notación abreviada

que no debe ser confundida, por supuesto, con el valor absoluto de la cantidad a;,. El número de términos del determinante de orden n es el mismo que el número de permutaciones de n objetos, es decir n!, y la mit.ad de ellos está precedido por el signo y l a otra mitad por el signo -.

8. Propiedades de los determinantes. -Puestoque el número de términos de un determinante crece muy rápidamente con su orden,

226

ECUACZONES TJCOBZA DE

la resolución directadedeterminantesbasada ensu definición es impracticable;pero en muchos casos puedeefectuarse, y amenudosin mucho trabajo,recurriendoaalgunasde sus propiedades queahora examinaremos.Tomemos el t6rminogeneral

....an& .

f a16 a2il,

Aqui los segundos indices il, iz, . . . . informan una cierta permutación de los números 1, 2, .... n. Por lo tanto, los factores pueden ser ordenados de modo que estos segundos indices sigan el orden nat,ural mientras los primeros formen una permutación jl, j2, . . . . j , de los números I , 2, .... n. Así, el mismotdrminopuedeescribirse f Ui,l aj,z

. . . ajnn.

Ahora, si se usan m transposiciones para pasar de 1 2 . . . n a il iz . . . I,, las mismastraasposicionesrealizadasenordeninversovolverána los segundos indices a su orden natural, y colocarán a los primeros indices, originalmente en el orden natural, en el orden j 1 j 2 . . . j,. Por lo tanto, laspermutaciones il iz . . . in ó j l j 2 . . . j , son ambas pares o ambas impares, y el signo f puede ser determinado con referencia a la segunda en lugar de referirlo a la primera permutación. En consecuencia, el determinante puedeserpresentado como lasuma C f

. . . aj,n,

ai,l U ~ , Z

extendida a todas las permutaciones de los primeros indicas, eligiendo el signo 6 - según que Ia permutación sea par o impar. Supongamos ahora que en el determinante

D =

all

a12

a21

a22

... al, . . . azn

................ a,l an2. . . ann

se reemplazan las filas por las columnas y viceversa; esto da otro determinan te

all

a21

a12

a22

...

a,l

. . . (c-2

................ al. a2. . . . ann

cuyo elemento bc perteneciente a la i-esima fila y a la j-6sima fila es a+ Por definicidn. D' = E f blj, bzj, . . . b n j , donde los terminosestln

precedidospor

el signo

+ 6 - segiín

que

227

DETEBMINANTEB Y MATIZICES

.jlj , . . jnsea una permutacibn par o impar. Por ser bij = aji, podemos :escribir tambien D' = I: f aj,l aj,z . . . aj,,,,, ,

pero,por lo dicho anteriormente, la mismasumarepresentatamhien aldeterminante D; por lo tanto:

Este importante resultado puede indicarse brevemente de la siguiente manera: U n determinanteno varia si se intercambianlasfilascon las columnas y vxeversa. Siendo un determinante una función lineal homogénea e n los elementos de cada f d a , es tamhien una función lineal homogénea en los elementos de cada columna. Un determinante se anula cuando dos de sus filas son idénticas. Por lo tanto, tambihn se anula cuando dos de sus columnassonidénticas. En general, paracualquierpropiedad que los determinantes puedan tener con respecto a sus filas, existe una propiedad similar con respecto a sus columnas. Como se demostr6 en el PBrrafo 7, un determinante cambia solamente su signo s i se intercambian dos filas. Por lo tanto, también cambia solamente su signo por intercambio de dos columnas. Sea j ( a , 52, . . ., 2,) = al 21 t a2 x2 . . . t a. zn,

una funcibn lineal hornogenea de variables a , x2, . . ., xn. Es $vidente que f ( m a , mxz, . . ., mz.) = mj (21,zz, . . ., x,) Y j (y1 t 211 t 23, * * 1 Y n + 2.1 = f (y17 . * * 7 Un) j (21, 22, . .1 Zn) *

Siendo los determinanteslineales y homogCneos con respectoa los elementos de cada fila (y de cada columna) se desprende que reemplazando en un determinante D una fila aal,ai2, . . . , a+, por mail, mag, . . . . . . , ma,, o una columna ali, a2i, . . . , ani por mali, m&;, . . . , mani, el determinante resultante D' es igual a D multiplicado por m:

m D

o, dichode otra manera, si loselementos de u n a f i l a (o una columna) multiplican por un factor m, el determinante queda multiplicado por m. Asf : al b~ c1 se

= m

Y = m

b2 cz

c3b3

a2 bz ar

ba c3

228

TZORIA D E ECUACIONES

U n determinante se anula si los elementos de dos filas o d o s c o l u m n a s sonproporcionales. Supongamos, por ejemplo, que en un determinante de cuarto orden

I los elementosdelaprimera decir que: c1 = mal ; c2

y terceracolumnasonproporcionales,

; c3

= maz

ma3 ;

ma4

Entonces:

puestoque el determinante del segundomiembrotienedoscolumnas idénticas. La segunda de las propiedades de las funciones lineales homogheas antes enunciadas, implica la siguiente proposición: S i e n un determinante TI ios elementos de una fila son sumas

bil t G I

, bi?

. . . , bin

C~Z,

+ tin ,

entonces el determinanteser6lasumadedosdeterminantes D' y D" en los que las filas correspondientes son, respectivamente, bill biz, . . . , bin y til, ci2, . . . , tin, siendo las otras filas las misma,s de D . La misma propiedad es válida para las columnas. Así: al a3

+ dl

+ dz

t b3 d3

a3 c3b3

t- dz bz cz d3

c3b3

Una consecuenciaparticularmenteimportantedeestaproposición

es la siguiente: U n determinante D n o c a m b i a , s i a cada elemento de

una f i l a (o c o l u m n a ) se s u m a el elementocorrespondientedeotrafila(o co1umna) multiplicado por el mismo factor. E n realidad, el nuevo determinante D' es igual a D más otro determinante que es igual a cero, puesto que los elementos de dos filas (o columnas) son proporcionales. Así:

a2 bz

+ mcl

b2 t mcz

b3 -t mc3cs

c1 cz

DETERMINANTES Y MATRICES

229

9. Ejemplos. Las propiedades r e c i h enunciadaspuedenusarse paratransformar los determinantes, y a veces facilitansu resoluci6n. Los siguientes ejemplos mostrarán cómo pueden hacerse tales transfor-. maciones. Ejemplo 1. Consideremos el siguiente determinante:

1 2 3 4

D =

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7 Restando la primera fila de la segunda (lo que significa que se suman a los elementos de la segunda fila los de la primera multiplicados por -1) y luego restando l o s de la primera fila de los de la tercera, obtenemos el determinante:

que tiene el mismo valor de D. Pero en D' los elementos de la tercera y de la segunda filas son proporcionales; por lo tanto D' = O y tambi6n D = O. Ejemplo 2. Consideremos el determinante

D =

4-1

1-1

4-1

2 2

Sumando la segunda columna a la primera y luego a la tercera y a la cuarta, tenemos otro determinante igual a D:

D =

3-1

1: r: P

Sdmese la primera fila de este determinante a le segunda, tercera y cuarta. Esto da:

4 1 3 4

D =

7 0 4 7 4 3 3 4 7 0 4 8

230

ECUACZONES DE

ZEORXA

Rbtese ahora la tercera fila de l a primera y l a cuarta de la segunda: 0

0 - 1

D =

e intercambiando la primera y la segunda columnas:

D = -

0 - 1

Discutiremos aún msIs este determinante en elPitrrafo 11.

Ejemplo 3. Consideremos el determinante

D =

1 a

c+d

1 b

a+d

1 c d

a+b

b+c

1 d

Sumando la segunda y l a tercera columna a la última, lo que no cambia el valor del determinante, tenemos: 1

D =

a b a+b+c+d

1 b

a+b+c+d

a a+b+c+d

=(a+b+c+d)

Ejemplo 4. Sea

respectivamente, el

=o.

D = 1 b ac . 1

Multiplicando la primera,segunda y tercerafilas por a , b y ,determinante resultar8multiplicado por abc; es decir, a abcD = b c

a2 abc bl

abc

e? abc

= abc

b2 1

c? 1

DETERMINANTES Y MATRICES

donde a

231

az 1

D = b ba 1

c? 1

e intercambiando columnas 1 a2

1 b? b

D = -

1 a a2

l c ‘ c

1 b

1 c

a2c2 bq

l e c ?

L a última operaci6n consiste en cambiar filas por columnas, lo cual no altera el valor del determinante.

Ejemplo 5. Sea

R&tese la segunda fila de la primera, luego la tercera de la segunda y saquese factor común a - b y b - c . Entonces: O I a+b

O 1 b+c

n = (a-b)(b-c)

1 c

R&tese ahora la segunda fila de la primera y dquese el factor

O 1 n+b

a+c

O 0

“c:

O 1 b+c

=(a--)

1 c

O 0

D=(a-b)(a-c)(b-c)

1 b+c

1 c

Considerando a, b, c como variables, el determinante D es de segundo grado con respecto a cada una de ellas; pero tambi6n es de segundo grado el producto (a - b) (a

- c)

En consecuencia: O 0

A =

(b- e )

1 b+c e

232

T.EORIA D E E C L 4 C I O S E S

no contiene ahora b ni c, y su valor puede hallarse at,ribuyendo a b y c valores especiales, por ejemplo: b = c = O. A s í : 1

O 0 1 A =

= - O

1 O

- (U - b ) (U - C)

1 O

=-17

0 0 1

1 0 0

y finalmente:

( b - C) =

- b)

- C) (C - b)

Problemas Hallar el valor de los determinantes: 1.

1 3 5

2 4 6

5 7 9 1 1

+ z1 y1

5 1 y2

+ 1+

+ 1+ 1+

1+ZlYl

6. "

22y1 22Y2 z2y3

1+22?/4

a a

my3

b O

-f

-h

-d

-9

2 3 Y1 2 3 Y2 2 3 Y3

+ 1+ 1+

X4Yl X4Y2 2 4 Y3

1 + 2 3 Y C

k .

-c

+ 1 + 1+

-b-e

Demostrar que: 7.

a + b

b + c

c + a

0.1

+ bl ar + b?

16 25

3 b + 2 ~ 3 ~ + 2 a.

16 25 36 49

3a+2b

+ bl +

+ cz + a2

CI C?

a+b

a + cb + c

a + c

a+b

b+c

b+a

o+c

= 2

='2(a+b+c)

I b a

DETERMINANTES Y MATRICES

1 22

1 x

10 1 10.

1 2 1 0 =

2 2 0

O a b

1 1 1 0

o 1 1

1 0 1

b2 c? 0 11.

o 1 2 1 10 1

233

o 1

a O c b

b c O a

1 O

1 1 0 1

1 c2 0

12.

1 b? a2 O

c b a O

10. Desarrollo por filas y columnar. Menores y cofactores. El determinante, como funci6nlineal homoghea deelementos de una filacualquiera, por ejemololai-esima,puededesarrollarse así por los elementosdeesafila:

Ail ail -t. . .

+ A4ijai, + . . . + A;, ai, ,

don& los coeficientes Aij ( j = 1, 2, . . . , n) no contienen a ail, ~ ; 2 , . . . , a;,. E l coeficiente Ail de a;j en este desarrollo se llama complemento o cofactor delelemento ai,. Este complemento está relacionado al determinante de orden n - 1 obtenido de Dl suprimiendosu idsima columna,sin cambiar el orden de las otras filas y columnas. Este determinante Dij de orden n - 1 se llama menor correspondientealelemento aij. Por ejemplo, los menores quecorrespondenaloselementos al, bl y c1 en el determinante

El complemento Aii y el menor Dij están relacionados intimamente entre sí; vamos a probar que: A t.j - (- l)¡+j D .'I. 9

234

XEORIA D E ECUACIONES

si la fila y la columna ocupadas por uij t,ienen la misma paridad, y

A 'J. . -

- D.. 23

en caso contrario. Probaremos primero esta importante primer elemento de la izquierda all. En el desarrollo.

A n a11

Alz

al?

+ ... +

-41,

relaci6n para el

aln,

el complemento no dependede all, al?, . . . . al,, y, en consecuencia, no cambia al tomar valores particulares: all

1 ; a12 = a13 = . . .

Por lo tanto: =

1 aZl

al7, = O

o ... o

a22

a23

...

uZ,

.................. %I anz an3 . . . ann

Cuandoen este determinante,delasegunda,tercera, . . . n-6sima fila se resta la primera multiplicada por u21, a311 . . . . a,,l respectivamente, el complemento A11 se representa por el determinante 1

O az2 -411

o ... o a23

. . a?,

032 a33. . . 03" .................

O O

a,.,

u.3

. . . ann

que depende s610 de la matriz:

Evidentemente, All es una funci6nracional entera de los elementos de B, es lineal y homogbnea con respecto a los elementos de cada fila de B y se anula cuando dos de estasfilas son id6nticas: tomando el valor I en caso de que sea

DETERMINANTES P MATBICES

235

Por estas propiedades All queda indentificado como el determinante d e lamatriz R , esdecir: a22 a23 . . . ara a32

An =

. . . a3,

.. . . . . . . . . . . . anz a n 3 . . . ann a33

= Dl1

Para establecer la relaci6n entre el complemento A i j y el menor Dü de unelemento arbitrario aij, l a columnaa laqueperteneceeste elemento se transpone j veces con las columnas vecinas hasta que ocupe el lugar de la primera y luego se transpone la i-6sima fila i veces con las filas adyacent$s hasta que ocupe el lugar de la primera. Luego de estas i j transposiciones de filas y columnas, en el nuevo determinante D' el elemento aij se encuentra en la esquina superior izquierda y SU complemento en D', como puede verse fácilmente, es D s ; pero

D = D' (- 1)i+i, e n consecuencia, el complemento de

en D es:

A v.. (- l)i+i Dij. Un determinantetambi6n puede ser desarrollado por los elementos de una columna. El desarrollo por los elementos de laj-6sima columna es:

= Aljalj

+ A2ja2, + . . . + Anjanj.

Adviertase la siguiente propiedad Cuandoenun desarrollo

D = Ailail

importante de los complementos :

+ Aa2ai2 + . . . + Ainain,

los elementos de la i-6sima fila son reemplazados por los elementos de otra fila ak1, a h , . . ., akn (k z i), la suma -4il akl

+ Ai2 aM + . . . +

es el desarrollo de un determinante en filas son las mismas; por lo tanto: Ailukl

- 4 i n akn,

el que la i-6sima y l a k-6sima

+ A;2ah + . . . + A;,ak,

= O,

siendo k e i diferentes. En la misma forma: Alj a l k i-42,

a2k

. ..

f Ani ank =

si k y j no son iguales. 11. Ejemplos. - El desarrollo deundeterminante por filas o columnas junto con lastransformacionesque de'ben efectuarse sobre 61,

236

E C U A C I O N EDSE

TEORIA

proveen un metodo práctico para calcular determinantes. ejemplosmostraráncómohacerlo.

Los siguientes

Ejemplo 1. En el Ejemplo 2 del PQrrafo 9 se demostr6 que 3

D =

4 - 1

1 - 1

4 - 1

0 - 1

Desarrollandoel último determinante por los elementos de l a primera fila, quc s o n todos ceros menos el primero, vemos que el desarrollo se reduce a un solo th-mino, d e

modo que:

0-1

Ir)

-1 .

Siendo en este determinante, el complemento de - 1: 4

ve de inmediato que:

-1

y, en consecuencia:

Ejemplo 2. Calcular:

I>=

-5.

1 2 1 0 2 0

RBstese la segunda columna multiplicada

D =

por 2

de la primera y la cuarta. Esto da:

"11

-12

-2

- 8

- 6

-5

5 1

237

DETERMINANTES Y MATEICES

Desarr6llese por los elementos de la quinta fila,teniendo en cuenta que el complemento de 1 en esta filaes:

-11

1 -12

-2

3 "8

-6

Esto da:

" 5

-Dl.

D =-Dl, d e m d o que todo se reduce al chlculo de un determinante de cuarto orden. Para simplificar D' súmese a las columnas 1 y 3,la columna 4 multiplicada por 2; entonces:

-1 2

D' = -2

1 -2

o -1

6 1 1

Ahora súmese la columna 1 a la columna 4 y luego a la columna 1 la 3 multiplicada por -2; estoda: 1 3 1-2 4

D' =

0-1

I -15

Desarrollando por los elementos de la fila 3, tenemos:

-15

-2

-15

Ahora:

-15

"15

6 -55

y, desarrollando por los elementos de la segunda fila:

-15 Por lo tanto: D' =

I =-I:

6 -55

- 278 y D

278.

=55+81=130

TEORIA D E ECUACZONES

238

Ejemplo 3. Para calcular el determinante 1

l + 1a

l + b1

D =

1 1

l+c

1 l+d

r&tese la segunda columna de la primera y desarrbllese por loe elementos de la primera columna; esto da 1 1 1 l + b1 1 D=a

l+c

l+d

1 l+c

l+d

E1 primer determinante del segundo miembro es similar al propuesto; podemosescribir: l+b

D'=

l + c

l + d

El otro determinante, luego de restar la primera columna de la segunda y l a tercera,

Be convierte en:

=I:

1 0 d

Por lo tanto:

aD'

+ bed.

Aplicando las mismas transformaciones a D', hallamos: D' = bD"

+ ed ,

donde:

Por lo tanto:

D'=bcd+bc+bd+cd,

D = abcd =abcd

+ abc + abd

( x : : ). a d

1+-+--+"I--

Ejemplo 4. El siguiente determinante de orden n

. . . 21" 1 2 2 222 . . . 22-1 . .. .. .. . . . . . . . . . . . . 1 za 2,2 . . . 2,""1 1 z1

2 1 5

289

DETEBYINANTES Y MATRICES

aparece a menudo y se llama deteminante de Vandermonde. La manera &simple d e calcularlo es reemplazar 2 , por una variable 2. Entonces el determinante ae transforma en un polinomio D. (x) de grado n 1 en z, como puede veme desarrollsndolo por los elementos de la ditima fila. Para z = 21, 22, .... zL1 este polinomio se anula puesto que D (23 para a = 1,2, .... n - 1 es un determinante con dos filas iguales, por lo tanto:

(2)

c (2 -21) (2 - 2,) ... (2 - Zn-1)

donde C es el coeficiente del termino de mayor grado en D, (2). Este cceficiente es el menor

Dn-l

1 21

21?

...

21n-Z

222

...

rp--2

...................

1 2-1

correspondiente al elemento

Dn (2,)

n-1 . . . 2,2

2*"_1

y deesta

.D n.

L'n-1

(2,

manera tenemos: (2.

21)

1 1; 1

- 22) ... (Zn - 2-1).

111

El determinante D,d es del mismo tipo de D, y puede ser tratado de la misma manera. Ser4:

= X Z - ~ I ,

por lo tanto, se desprende de (1) para n = 3:

DA Adem4a:

DI= ( 2 4

(53

21)(24

- 21)

(2s

-52) (22 - al).

- 28) (23 - 21) ( 2 3 - 2 2 )

2,) ( 2 4

(22

-a),

etc. La expresi6n general del deteminante de Vandermonde es:

(2,

21) ( 2 ,

- 22) . . . (2. - 21)

- zi) (2-1 - 2 2 ) ... (2.4 - 2 4 ) ................................... ( 2 s - 5 2 ) (23 - 21) ( 2 2 - 21) (2.A

Es una funci6n racional enters de 21,22, .... x, que cambia su signo cuando dos de las variables se trasponen y por esta raz6n es llamada funci6n alternante. Esto se debe a que el intercambio de dos variables, por ejemplo 21 y 22, corresponde al intercambio de la primera y segunda filas, y esto mea el cambio de signo del detérminante de Vandermonde. Problemas Calcular los determinantes num6ricoa: 1.

o 1 1

1 1 1

1 0 1 .

1 2 3 .

1 1 0

1 3 6

2 2

6 "-5

T E O R I A DE ECCACIOSES

240

5 -3 -2

-3

10 4 3

-5

1 1 1

1 2 3 4

1 1

3 4 1 2

1 3 6 1 0

4 1 12 43 9 1 6 1

13 17

18 28 33

40 30

37 46

-1

-1 -1

Calcular los determinantes literales: 2a

a f b

a f c

b+a

c f a

c f b

10.

12.

15.

a+c

b+c

b f c

a S c

a+b

b f c

b f a

a f c

14.

13.

a+b

11.

b +c

b a o .

c f a

+ a*dl a 2 c z + b2 d? a 2 b 2+ c 2 d 2

1 bc f ad

16.

+ bd ab + cd

a f b

a+b

a f b

bzc?

1 ac

s+b

Cuar'do se considera c como variable, el determinante es de tercer grado en c, anulhdose para c = a, c = b, y falth~doleeltérmino

18.

1 c* 20.

b3 c3

b4 b4

1 21.

19.

1 a? a3

El determinante tiene la forma (c - a) (c - b ) (Ac2 Bc f c) donde A , B , C no dependen de c, faltando los t,érminos en C* y c3.

a2-

( b -c)*

b2 - (c -a)'

- ( a -a)?

22*

(z - a)'

(y - a)* (z - a)?

( X - 6)'

(z - c)'

(y - c)2

- b)*

-b)'

- c)?

24k

DETERMINANTES Y MATRICES 23.

- 2 a + ba + c

24.

b + -a 2 b + c

c +ca+-b2 c 25.

28.

30.

31.

33.

a a a

c d a b

a b c d

d c b a

z2 1

2 3

1 :

1 1

1 1 o x 1 O x2

2 4

1+a

l+b 1 1 1

29.

1 1 1 i+d 1

x 1 1 ... 1 1 1 z 1 ... 1 1 1 1 x ..l l . . . .. . . . . . . . . . . . . 1 1 1 ... 1 x

+ b)2

al a2 a8 al x a2 aa al as x car at uz aa x al a2 aa a4

l+c

1 1 l+c 1 1

1 l+b

Generalizar.

27.

+ a)2 c2'

c d

a b c c

. 1 1 1 1 1

Generalizar.

l+d

1 1 1

1 l + e

Generalizar.

al x x z at x x x as

32.

... x ... x ... x

. . . . . . . . . . .. . . . x x x ... a,,

1 a a2 a4

1 b b2 b4 1 cc4 c2

1 d d2 34.

a b

26.

b a d c

o o

a b b b

1 1

+c ) ~

STJGESTI~N: ReempliLcese a porunavariable x; Generalizar. entonces el determinante es de cuartogrado en x, tiene rakes b, c, d y le falta el tBrmino en 9.

1 a a2 a5 1 b bz b6 1 c6 e'

1 d

Generalizar.

35. Si

D, =

-1

al O

.... O .... O .... O

....................... O

demostrar que D, = a , D . 1

1 O O a2 1 O -1 as 1

+ D-2 .

....... a,,

242

TEORIA DE ECUACZONES

*36. Si

MATRICES

Igualdad y adición de matrices.

- Hasta aquí

el térmir o matrizhasidoempleado sólo para designar una cuadrícula de n2 clesin mentos ai+ Estas disposiciones de elementospuedenconsiderarse, embargo, como nuevas cantidades matemát.icas luego que definamos la noción de igualdad de matrices y las dos operaciones directas llamadas comúnmente adición y multiplicacih. De esta manera puededesarrola cual sólo daremos, en llarse una extensa álgebra de las matrices, de este libro, una breve introducción. Una matriz de n2 elementos se llama matriz de orden n. Así, para n = 2, 3, 4, . . podemos hablar de matrices de 2 O , 3") 4r4orden,etc.Refiriéndonosúnicamentea la consideración de matrices de igual orden, decimos que dos matrices son iguales s i LOS elementoscorrespondientes,esdecir, los elementosquepertenecen a las mismas f d a s y columnas, son iguales. Si dos matrices se indican con las letras A y B y sus elementos con aij y bij, la igualdad j , 12.

A = B sintetizalas

n2 igualdades:

a.. - b.. 13

- v

donde i y j toman cualquier valor 1, 2, trices

. , n. Así,

son iguales las ma-

243

DETEBMINANTES Y MATBICES

pero lasmatrices

(:: y ) O 1 0

(B :8).

noson iguales. Con dos matrices A y B (del mismo orden) de elementos a+j y be podemos realizar una operaci6nllamada adici6n queseindica con el habitual signo . Sumar una matriz B a una matriz A significa formar una nueva matriz C cuyos elementos ci, sean las sumas aij b;i de los elementoscorrespondientes de A y B . ASS, si:

-1

-; o

entonces

C = A + B = ( i

-1

-2

(I)

De la definici6n se deduce inmediatamente que las leyes asociativa y conmutativa son válidas para la adici6n de matrices, es decir:

(A+B)+C=A+(B+C) A + B = B + A , con todas sus consecuencias. Lamatriz ceros, es la única matriz para lacual

O cuyos elementos son todos

A+O=A, para t,oda matriz A , y por lo tanto O puede llamarse matriz cero

13. Multiplicación de matrices. - La definici6n demultiplicaci6n de matrices puede basarse en la noci6n de producto escalar de dos sucesiones ordenadasdenúmeros o vectores. Por productoescalar de dos vectores

= (al,up, . . ., a,) ; S = (bl, bz,

entendemoslasiguiente

R.S

. . ., b,)

cantidad: = albl

+ a2b2 + . . . + arbr.

Sean ahora dos matrices A y B de orden n. El vector

= (aa, ai2,

.. .,a d ,

244

TEORIA DE ECUAGIONES

está vinculado con la i-6sima fila de A , y en la misma forma el vector está vinculado con la jdsima columna de B. La matriz

Rz.Cz . . . R2.Cn ..................... . . Rn.C1 R,.Cz. . . R n - C n R2.Cl

por definición es el producto de la matriz A porlamatriz bimos : AB = C .

(zl:

En otras palabras

donde

a12 a22

. . . al"

. . , a?,

1 (,!::

anz . . . ann Cij =

ailblj

bnl

+ ai2

b12

...

bln

blz . . . b9,, b,z . . . b,,

(,:::

c12

c,1

f . . . f ai, bnj =

C,?

B, y escri

. . . Cln . . . cZn . . . enn

k= 1

aik b k j ,

es el producto escalar Ri . Cj. Por ejemplo, de acuerdo a esta definición:

pero

Este ejemplo muestra que, en general, la multiplicación dematrices no es conmutativa,de modo que debemosdistinguirentre B A y A B . Por el contrario, la propiedad asociativa de la multiplicación se conserva; es decir: ( A B )C = A (BC)

Esto puedeverificarsecalculando los elementosdelasmatricesdel primero y segundo miembro de acuerdo con la definición de producto. Porverificacihdirecta puededemostrarsetambi6nla validez delas .dos leyes distribut,ivas:

+ B ) C = A C + BC

C(A +B)

+ CB.

DETERMINANTES Y MATRICES

245

Lamatriz

en la que los elementos de la diagonal son 1 y los demás O, tiene In propiedad que para cualquier matriz A

EA = A ,

y E es la únicamatrizquetieneestapropiedad.Porque segundamatriztalque

si E' es una

AE' = E ' A = A , para todas las matrices A , tomando en particular -4 = E , tendremos:

EE' = E . A = E' en

Pero, por otra parte, tomando

EA = A , tendremos :

EE' = E',

de modo que E' = E . La matriz E representa el papel de h unidad con de matrices, y por esta razón se la llama respecto a la multiplicaci6n matriz unitaria. Es un caso particular de las llamadas matrices escalares, a

...

.......... O O ... a en las que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a un mismo número a, siendo los demás elementos O. Multiplicando una matriz cualquiera

...

... ................

...

por (a), o (a) por A , en ambos casos la matriz resultante es la misma: .4 (a) = (a)A =

aall aalz . . : aaln aazl aaZ2. . . aa2.

...................

aanl aan2...

246

!l’EORIA DE ECUACIONES

El productodelas dos matrices escalares (a) y (b) es una matriz. escalar (ab) y, en l a misma forma, (a) f ( b ) es una matriz escalar (a b ) , Teniendo en cuenta &to, las matrices escalares (a) se representan simplemente por a, y el sfmbolo

aA = A a , representa el productodeunamatrizescalar (a) por otramatriz A. Unamatrizenlaquetodos sus elementos,excepto los delaprimera columna, son O, se llama matriz columna. Por lo tanto, !as matrices columna son del tipo:

(;H-8) ...........

y puedenserdesignadasconvenientemente (XI,22,

por

2,)

El productodeunamatrizcualquiera A por unamatrizcolumna (x1,22, . . . , x,) es otra matriz columna (yl,yz, . . ., y,) donde: y1 = a11 XI

a12

a22

t ...

+ al.

+ t ... + ............................... y+ at,zxz + . + y2

a2121

= an1 x1

&,X, ann

Xn.

Estas relaciones son, por lo tanto, equivalentes a una sola ecuaci6n matricial Problemas matricessiguientessatisfacen

Demostrarque 1.

S =

(-1

-2

las ecuaciones queindieam:

; 52 = s.

( 1)

; S’-

+ d ) S + (ad-b~) E =O.

241

DETERMINANTES Y MATRICES 2 -2

.5.

-3 4

;)

-2 -2

; S2 = E.

1--0

; o * + o + =~O ; S'

1 - 1

1 -1

-1

demoatrar que AB = E. iQu6 da BA? 8. Demostrar que

(: ;

1 l+i

1;2i)

(

-2

"1 2- 2i- i 1-2i

-4

"..j I

io i o 0

i o)

o o i

)

14. Producto de determinantes. - Con la matriz

... aln a22 . . . a2,, ................ al2

4 ,

a-1

. . . am.

est& asociado el determinante all

a12

a21

a22

. . . aln . . . h,,

a,l

a-2

. . . ann

................

que se llama determinante de A y puede ser designado con la n o t a c i h det. A . Entre el determinante del producto de matrices y los deterrninantes de los factoresexisteuna relaci6n simplequeseexpone en el importante teorema que sigue, llamado teorema de l a multiplicacih de determinantes :

TEOREMA. El determinantedelproductode las matrices A y B , o det. ( A B ) , es igual al producto de los determinantes de los factores, o sea: det. ( A B )

det. A . det. B .

248

T'EORIA DE E C U A C I O N E S

DEMOSTRACION : Sea

dondc

Considerando los elementos cz, como variables, el determinantede una función racional entera de las ?z vsriables nij, lineal y homogénea con respecto a los elementos de cada fila de A , y se anulará cuando dos de estas filas sean i(!énticas, puesto que en esecaso C tendr6 dos filasidénticas.De l a discusión del Párrafo 7 se deduceque el det. C difieredel det. d porunfactor I' independiente de los elementos u,?, de modo que (I será

det. C

Para determinar r elegimos d que det. E = I tendremos:

r det. A .

E , entonces será C

det. B

B: y puesto

y así det. C

det. A B

det. A . det. B

E n otraspalabras, 1: productodedosdeterminantes,uno con eiernentos ug y otro con elementos 60, puedeexpresarsecomoundeterminante con elementos cii obtenidoscombinándolosdeacuerdo a la reglademultiplicacióndematricesenlasquelasfilasdelaprimera matrizsemultiplicanporlascolumnasdelasegunda .o, brevemente, pormultiplicación de filaporcolumna.Puestoque un determinante 110 cambia si se reemplazan las filas por las columnas, podemos tambih hacermultiplicacióndefilaporfila,columnaporfila o columnapor columna, obteniendo por cudquiera de estos procedimient.os un determinante igual a l product,o de los determinantes dados. Podemos elegir laformademultiplicarquenosconvenga.

249

DEPER31INANPES Y M A T R X E S

Ejemplo 1. Multiplíquense los determinantes 1 1

d =

o o2

a b c y

o '

b c U c a b

siendo o una raíz cúbica imaginaria de la unidad. Multiplicando fila por fila, tenemos: a+b+c

dD =

c+a+b

b+c+u

+ b o + cm1 b + co + uo? c + aw + bo? a + bo' + co b + cot + u w c + ao? + bo a

Pero

y, en consecuencia:

+b +

+ bo +

cm') (U

+ bu' + cm)

o sea

1 o? o 1 o

Siendo d un determinante de Vandermonde y, en consecuencia, distinto de cero, puede suprimirse y entonces:

Este determinante se llama determinante ciclico debido a que su segunda y tercera filas se obtienen permutando cfclicamente los elementos de la primera. Por un m6todo similar, los determinantes cfclicos de cualquier orden pueden ser presentados como productos. Ejemplo 2. Sea, como siempre, Aij el complemento de

a12

. . . al,

at1

a22

...

a,l

a,,? . . .

UP,

...............

y consideremos el determinante adjunto

ann

aij

en el determinante

250

TJ3OBIA D E ECUACIONES

en el cual

Pero, de acuerdo a las identidades establecidas en el phrrafo 10:

cij = O si j # i y c;; = D. Por lo tanto:

DA =

.............

O ... D

o sea:

D (A - Dn"l) = O .

o sea

identicamente en los elementos a + Naturalmente, esta igualdad se comerva verdadera para valores particulares de a;j, aun para aquellos para l o s que D = O. El razonamiento empleado se basa en el siguiente teorema: Si el producto de dos polinomios F y en las variables xlrx2,. . . . x, se anula idhticamente, por lo menos uno de los factores debeser un polinomio idhnticamente nulo. El teorema se cumple en el caso de polinomios en una variable, y basta probar que se cumple para polinomios en n variables suponiendo su validez para polinomios en n - 1 variables. Si ni F ni se anulan identicamente, podemosordenarlos en potencias de una de las variables, por ejemplo XI, y escribir:

= +,Zlm

Fo XIn

+F, +

x1n-1

+ ... + ...

+ITl~--1

261

DETEBMINANTBS Y MATZICEX

donde Fo, FI, . . .; do,41,. . . son polinomios en las n - 1 variables Fo ni #o se anulan idhticamente. Pero

XZ,

..., x.,

y ni

=O,

F.+=Fo+o~1"+"+...

idtkticamente, por hip6tesis; por lo tanto, tambi6n se anula idknticamente en les variables m, . . ., x.; enconsecuencia: Fo

= O.

Por hip6tesis &o implica queFO o 40se anulan idhticamente, y &to es un abmrdo

Problemas 1. Demostrar que:

a+b

b+c

c+a

a+b+-c

1 --

1 b+c+-a

-- b

1 c + a + ~ b

1 b 2

2 a

(a c2 b)l

caz

b2 y escribir como producto el determinante del segundo miembro. 2. Demostrar que:

3. Demostrar que:

1 1

3 3

0 2

0 4

0 8

0 2

125

si w es una raiz quinta imaginaria de la unidad. 4. Un determinante

A =

. . . Cln . . . C2" . . .. . . . . . . . . . .

c11

c12

e21

c22

cm1

c.2 . . . cm.

+ c)2 b2

+ e)?

252

ECUACIONES T,EORZA DE

en el cua.1

-se llama determinante ortogonal. Demostrar que A

f.1.

15. Matrices recíprocas. - Una matriz a12

...

............... . . . u,,

se llama singular o no singular según que su determinante sea o no cero. Sea A unamatriznosingular y D # O su determinant,e. Designando, como lohicimos anteriormente,alcomplemento del elemento a,i en D por il ij consideremos la matriz:

Los productos A X y X A son:

donde

Por las identidadzs del Párrafo c+ = c'ij =

En consecuencia :

10:

c;i =

O si j z i

c'ii

si j

AX = E .

253

DETERXINANTES Y MATRICES

Esta matriz X se llama reciproca de A y se indica por A-l. La matriz A" es dnica, es decir, no hay otra matriz Y tal que:

YA=AY=E. Si existiera tal matriz, multiplicando ambos

miembros de la relaci6n

por A-' tendríamos =

(YA)A" Pero

AA" y entonces

Y (AA") = EA".

E ; EA-' = -4-1,

Y E = Y = A-1.

Por otra parte, multiplicando

A" por A Y = E , tendríamos

A" ( A Y ) = (A-' A ) Y = A-' E , pero y

A " A = E ; A" E

-4-1

A-l.

Por lo tanto, para cualquier matrizno matria recíproca:

singular A existe una única

. .. . . . ...

talque El producto devariasmatrices,porejemplocuatro: tomadas en ese orden, se define como:

.4BCD

A , B, C , D,

((AB)C) D ,

y se deduce de l a propiedad asociativa que, al multiplicar, los factores pueden combinarse en grupos arbitrarios si no se altera el orden de los factores, ABCD = A (BCD) = (AB)(CD) .

254

TEORIA DE ECUACIONES

Si todos los factores son matrices no singulares, su producto es una matriz no singuIar. En efecto, por el teorema de multiplicaci6n de determinantes, det. (ABCD) = det. A . det B. det. C. det. D z O . L a matriz recíproca del producto A B C D es p"

c-1 B-I

porque

( A B C D ) (D"C"B" = =

A-')

A B C ( D D " ) G"'B"A-'

A B ( C E ) C" B" -4-1 = ,4B (CC-l) 3 - l A-' = A ( B E )B" A-l = A (BB") A" = ( A E )A" = AA" = E .

El productode

n matricesiguales

AA .. . A , es, por definicidn, la m-6sima potencia de A : 9 ">

cuyo exponente es un entero posit,ivo n, y se deduce de la propiedad asociativa de la mnltiplicacibn que:

A m A " = Am+", para dos enteros positivos cualesquiera m y n. El símbolo A" se define por: A" = E ,

y una potencia A-", con exponente entero negativo, es por definicjbn:

A-"

(A-I)",

siendo A no singular. Con estas definiciones las propiedades de la tenciacidn AmA" = A m + " ; (A")" = A"",,

po-

son válidas para exponentes enteros, pero los exponentes negativos s610 pueden ser admitidos si A es una matriz no singular. Si A es una matriz no singular, la ecuacidn matricial

AX tiene una 6nica

solucidn

X = A"B. Porque

.4 (A-l B )

(AA") B = El3 = B ,

2b6

DETERMINANTES Y MATBICES

de modo que A-' B es una soluci6n. Por otra parte, de la ecuaci6n =

se deduceque

A" ( A X ) = (A-' A ) X

E X = X = A"B,

de modo que la solución =

X es única. L a ecuación

A"B,

XA = B .

tiene t a m b i b u n a única solución

BA",

que puede ser verificada de la misma manera. Por supuesto, todo esto es válido sólo paramatrices A nosinguhres. Si A es unamatria singular, ninguna de las ecuaciones

AX=B ;XA=B, tiene soluci6n, a menos que det. B

O . Porque

det. B = det. A . det. X En particular, una matriz singular no tiene

recfproca.

Problemas 1. Si se intercambian las filas y columnas en una matriz A , se obtiene otra matriz q u e se llama conjugada o tTUSpUeSh de A . Designando, en general, por A . la matriz conjugada. de A , demostrarque

(AB)o = Bo Ao y, m& generalmente, que:

(ABC

.. . L)o = Lo . . . Co Bo Ao .

256

T'EORIA DE EGUACIONES

definen una transformaci6n lineal de las variables x,,x2, . . . , x, en las variables y1. y2, . . , . . . , ya. Una transformaci6n lineal se caracteriza por la matriz A = (nij) de sus coeficientes. Si yl, y ~ ., . ., y,, se transforman en zl,ZZ, . . . , z,, por una transformaci6n lineal con la matriz B , demostrar que X I , x2, . . . , X, se transforman en 21, ZZ, . . . , z, por transformaci6n lineal con l a matriz A B . Si A es no singular, demostrar también que yl, y?, . . . , , . , y,, se transforman en x,,2 2 , . . . , z,por la transformación lineal cuya matriz es A . 5. Las variables 21, x?, . . ., x, se transforman en yl, y?, . . . , un por una transformación !ineal con la matriz A . Las variables x1, X?, . . . , x, e y,, y?, . . ., y,, se transforman, respectivamente, en 211,x*', . . . , x,,' e yl', y*', . . . un' por la misma transformación no singular cuya matriz es T.Demostrar que la transformación de XI', XZ' . . . , x,,' en yl', *', . . . . . ., y"' tiene por matriz

T" AT . Las matrices de este tipo se !!aman semejantes a A .

CAPITULO X RESOLUCIONDEECUACIONESLINEALES POR DETERMINANTES.ALGUNASAPLICACIONESDELOS DETERMINANTESA LA GEOMETRIA

1. Regla de Cramer. - Los de.terminantestienenmuchasaplicaciones. Una de las m& importantes es la aplicaci6n a la resoluci6n de sistemas de ecuaciones lineales con varias inc6gnitas, para lo cual fueron introducidos por Leibnitz y Cramer, aun cuando sin la convenienteescritura simb6lica que es d3 origen posterior. Sea

+ al, = t + ............................... + +. .+ =

a1121

a12X?

a21 XI

a22 2 2

a n 1 XI

an2

.. 3. .

a2n x n

* *

ann x n

bll

Dl bn

un sistema de n ecuaciones lineales con n inc6gnitas. Con los coeficientes del sistema formamos el detarminante all

D =

a12

.- . al"

a22 . . . az. ................ an1 an2 . ann

a21

llamado determinante del sistema [l]. Al multiplicar las ecuaciones [I], respectivamente, por los complementos de los elementos dd la primera columna y sumarlas, en l a ecuaci6n resultante se eliminarhn todas las inc6gnitas excepto XI. En efecto, el coeficiente de x; para i > 1 serh:

AII UIC .y el de

21 A11

all

+ A n + . . . + A,I ani ~

~ 4 2 a1 2 1

+ . . . f As1 an1 = D .

258

TJCOBIA D E E C U A C I O N E S

para i > 1 . Las ecuaciones [2] son consecuencias necesarias de las [l]; y enel caso en que D z O la recíproca es también cierta, es decir, las ecuaciones [l] se deducen de las [2]. Para demostrarlo, multipliquemos las ecuaciones [2], respectivamente, por all, ala, . . . , al, y súmense los resultados.Observando que A11 a11

mientrasque Ail a11

para i

-412 a12

+ -+

+ Aaal2 +

A1naln

+ Ainaln

1, se deduceque

de donde, simplificando

y puede demostrarse similarmente que

para i > 1. Luego, en el caso en que D + O, los sistemas [l]y [2] son equivalentes. La solución de este dltimo es inmediata y lleva a la expresión de x;? de la forma

es el desarrollopor los elementosdela i-ésima columna del determi, nante que resulta del D reemplazando su i-ésima columna por b,, bz, . . . . . , b,, segundos miembros de las ecuaciones [l].Así llegamos a la siguiente regla para resolver los sistemas de ecuaciones lineales:

Regla de Cramer. Si el determinante D de un sistema de ecuaciones lineales es distinto de cero, el sistema tiene una solución y esta soluci6n es Gnica. Los valores de las inc6gnitas aparecen como cocientes de los determinantes. Di . i = 1 , 2 , . . . x%="-, D donde D,resulta de reemplazar la i-ésima columna de D por bl, b2, bat . . ., 6,.

RESOLUCION aE ECUACIONESLINEALES

POR DETERXINANTES

269

Ejemplo. Resolver por determinantes el sistema 52"

42+2t=3

t='l

2-y+22+ 42 + Y +22 z+y+

=1 t=O

El determinante de este sistema es: 5

D =

1-1 4 1

2 2

1 "1

1 0 1

2 2

1-1 =-

1-1

= -

5 -6

2 -1

1-1 1 1

2 2

1 6

- o -

3 10 1

DI=

y similarmente

1-2 o

0 -2

3 1

-1

5 3 4 2

0 2=

1 1 2 1 4 1 2 0

5 =

1-1 4 1

2 2

1 1

=-7. 4

0 1 1 -1

1 / ="*

1-1 4 1

1 1

1 0

-7.

Luego, finalmente x = l

; y=-1

; z="1

; t = l

Problemas

Resolver por determinantes 1.22-2

2. z + y + z = a

22+4y-~ =1

x+(l+a)y+z=2a

x-Sy--32

s+y+U+a)z=O

-2

0 0 1 -2

10 1

1 0 1 1

1-1

-1

5 6

1 0

la 1

Adea 3

0 2 2

1-1 4 1

260

TEORIA D E ECUACIONES

3. 5 x + 4 z + 2 t

4. 3 s + 2 y - ~ = 5

x--y+2z+t

3 ~ " 2 y - - ~ " t =4

x+y+z+t=o

y"t

5.x+2y+z+t=-l

+ + + =a + x2 + x3 - x4 = b X?

2 3

2x+y+s+2t=O

x+2y+2z+t=0

x+y+z+2t=2

+ x2 - x3 - x4 = c

- x2 - x3 - x4 =

7. 2 x1 x1

+ + x3 + x4 X?

+ 2x2 + x3 + = o + + 2 x 3 + x4 1

r1+x2+2x3+2x4=2

x1+x2+23+2x4=3

+ - x3 = 1 x2 + x3 - x4 = 1

10.

+ x4 - x5 = 1 + - =1 x4 + - x2 = 1 24

+ + + x4 = 4 + + x3 = o + x3 + x4 = o x2

+ x4 +

-x;

8.x1+252+2xa+2x4=1

rl+x2fx3+2~4=0 9.

x-y-t

4x+y+22=1

= 1

+ x4 + x3 = 1

-x4+x3+x2=2

2 Ecuaciones lineales homogéneas. - Cuandoeldeterminante de un sistema de ecuaciones lineales es cero? el sistema puede ser incompatible -o imposible de satisfacerparacualquiervalordesus inc6gnitas- o indeterminado, es decir, que admite infinitas soluciones. Antes dediscutirestet,emaenformageneral,examinaremos el caso de n ecuacioneslinealeshomogéneascon n incógnitas: 0 + + ... + x1 + " . . . t x, o . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = + an2 + . . . + u., o.

= all

a21

u12 x2

uln X"

a22 x2

U2"

un1 x1

Este sistema, cuando su determinante mentelasolucióntrivial

es distinto de cero, tiene sola-

z1=0 ; x z = o ; ... ; x , = o ,

como se deduce de la regla de Cramer. Pero si el determinante es nulo, vamos a demostrar que, además de la solución trivial, es posible satisson cerosimulfacer el sistema con valores delasincógnitasqueno táneamente. La demostración se hará por inducción. En primer lugar, el enunciado es cierto para dos ecuaciones u11 2 1

u12 x2

;

u21 x1

a22

RESOLUCION 03%ZCUACIONES LINEALES POR DETERMINANTES

261

pues si todos los coeficientes fueran cero, el sistema se satisfaria para valores arbitrarios de xl, z2. En caso contrario, sea, por ejemplo, all z O. Entonces : x1 =

a12 “22, Q11

y sustituyendo esta expresidn en la segunda ecuacidn, esta se convierte en : a11a22

- a12 a21 x2 = o,

all

o sea

0.xz =

suponiendo

all a22 - a12a21 = O .

Luego, x2 puede ser elegida arbitrariamente; por ejemplo, sea zz = - all z O y entonces ambas ecuaciones se satisfarán si x1 = a12.Para completar ahora la demostraci6n por inducci6n es suficiente demostrar que un sistema homog6neo de n ecuaciones con .n inc6gnitas tiene soluciones notriviales si sudet,erminante es cero, supuestoqueesta propiedad se cumple para n - 1 ecuaciones con n - 1 incdgnitas. No hay nada que demostrar si los coeficientes aij son cero. En caso contrario, mediante un cambio conveniente en la notaci6n de las incdgnitas y en el orden de las ecuaciones, podemos suponer que all z O. El sistema fl

= o ; . . . ;fn = o ,

;f2

111

es equivalente al sistema f1=0

;

a21 f2”-j-1=0

;

all

an1 . . . ;j-n”-fl=o,

ann

cuyo de6erminante es iguala

. . . aln D = a.2.1. . . .a.22. . ....... .a2,, .. a.2 . . . an,, a.1 an

a12

En efecto, el determinante del sistema [2] se obtiene de D multiplicando su primera

fila respectivamente por

a21 . a31 . . an1 , - , . . . ,-

all

a11

y res-

tándola de la segunda, tercera, . . . , n-6sima filas; por estas operaciones el valor del determinante no altera. Desarrollando el determinante asi obtenidopor los elementos de la primeracolumna,tenemos:

= a11

262

TZORIA DE ECUACIONE6

donde h es el determinante del sistema de ecuaciones f2

.o ; . . .

a21

"--fl

all

;fn"-fl

ani a11

[31

que no contiene XI. Desde que, por hip6tesis, D = O y all z O , el determinante del sistema [3] de las n - 1 ecuaciones con n - 1 inc6gnitas 12, . . ., x n es cero. En consecuencia, suponiendo válido el teorema para n - 1 ecuaciones, es posible satisfacer [3] con valores 22, no todos iguales a cero. Determinando entonces x1 de la ecuacicin f1

el sistema [2] y el sistema equivalente 111 se satisfacen, de manera. que no todas las inc6gnitas son cero. Así hemos demostrado el siguiente teorema que, a pesar de su simplicidad, está entre las herramientas más útiles y frecuentemente aplicadas en las invest,igaciones matemáticas :

TEOREMA. U n sistemadenecuacioneslineales homogdneas con n incógnztas, tien,e soluciones no triviales sólo si su. determinante es cero. Como corolario se sigue que u n sistema homogdneo en el que el .número deecuaciones es menor que el dein.cógnitastienesiempreunasolución no trivial. En efecto, es posible completar el sistema afiadiendo un número de ecuaciones delaforma ox1

+ 0x2 + ... + Ox,

que no restringen de manera alguna a XI, x2, . , ., x,,, de manera de igua1a.r el número de ecuaciones con el de inc6gnitas. Pero un sistema tal tiene su determinante nulo.

3. Rangode

una matriz.

Independencia lineal. - Sea

+ . . . + al, + ... + ...................... an,l + . . . + am, X.

= all XI

a21 21

~ 2 z, n

un sistemadefunciones lineales homog6neas o formas de n variables. Con estas formas asociamos l a matriz de los coeficientes

... ... ................ aTn1 am2.. . a12

A =

RESOLUCION D.E ECUACIONESLINEALES POR DETERMINANTES 263

que constade n filas(númerodelasformas)y n columnas(número de las variables). Eligiendo en esta matriz r filas y r columnas (r Im ; r 5 n) podemos formar con estos rz elementos undeterminantede orden r . Hay varios determinantesdeorden r que puedenformarse de esta manera y se llaman menores de orden r de la matriz A . En e1 caso r = 1, los elementos delamatrizse consideran como determinantes de orden 1. Por ejemplo, con los elementos de la matriz O

x=(l 4

1 2

-1

0 3 0

1 2 1

podemos formar: ( u ) 20 menores d e 3er. orden; ( b ) 15 X 3 = 45 menores de 20 orden; (c) 6 X 3 = 18 menores de ler. orden. Correspondientes a la matriz

hay: ( u ) 4 menores de 3er. orden ; ( b ) 6 X 3 = 18 menores de 2" orden: ( c ) 4 X 3 = 12 menores de ler. orden. Por definici6n) una matriz es d e rango p si contiene menores de orden p distintos de cero, mientras que todos los menores de orden p + 1 (si los hay) son nulos. El hecho de que todos los menores de orden p 1 sean iguales a cero implica que los menores de ordeu > p 1, si los hay, lo sean tambi6n. Por ejemplo, la matriz X es de rango 3, por contener el menor de tercer orden:

o 1 4

1 1 2 -1 1 3

-14

que es distinto de cero, mientras que no existen menores de 4" orden. La matriz Y es de rango 2 ya que contiene el menor de 2" orden

distintode cero, entanto que los cuatro menores de 3er. ordenson iguales a cero. Las formas lineales f i , j z , . . .,f m correspondientes a la matriz A se dicen linealmenteindependientes si la relaci6n id6ntica:

no puedesersatisfechapor

la elecci6n convenientedelasconstantes

264

TZORIA DE EGUAGIONES

AI, h , . . ., Am, salvo para

11 = 1 2 = . . . = A m = O. De lo contrario, pueden hallarse constantes Al, A2, . . ., Am no todas nulas, de modo que sea idénticamente en las variables x],x2, . . . , x m Alfl

A2.f~

f . .

Amfm

=O,

entonceslasformas f l , fz, . . . ,f,,, se dicenlinealmentedependientes. Sea 5 el máximo númerodeformaslinealmenteindependientesentre las fl, f2, . . . ,fm. Entre este número u y 21 rango 9 de la matriz correspondiente a las formas f1, f2, . . ., f m , existe una relación simple expresada por el siguiente teorema:

TEOREMA. X i la mutrizcorrespondiente a las f o r m a s fl, f2, . . . . f m es de rango p, entoncesentreestas formas hay p linealmenteindependientes y cualesquiera p 1 f o r m a s delsistema f l , f2, . . , ,f m sonlinealmente dependientes,esdecirque u = B.

DEMOSTRACION. Por un cambio eventual en la notación de las variables y en lanumeraciónde las formas,podemossuponerque el menor de orden p, diferente de cero, es ala . . . alp aZ1 a22 . . . aZp ................

all

D =

apl

a,2

. . . aQp

Entonces, las formas f1, j2,. . .,f, son linealmente independientes. En efecto, tratemos de hallar constantes X1, X2, . . . , A,, tales que sea idénticamente. Alfl

A2 f 2

+ . . . + ipsp

E n estaecuación,iguálense los coeficientes de obteniendoelsistema de ecuacioneshomogéneas A1 a11

aZ1

51,

XZ,

. . . . x, a cero,

+ . . . + A, apl = O + . . + A, ap2 O

Al a12 A2 ~2~ , = .................................. Al

alp

1 2

a2,

+ . . . + A, up,

determinante D' difiere del D solamenteenquelas filas de D' son columnas de D y viceversa. Luego D' # O y por lo tanto A1 = I\Z = - . . . = A, = O , lo que demuestra que las p formas f1, j 2 , . . . . f, son independientes.Ahora sea IC > p; deseamos demostrar quelas formas CUYO

RESOLUCION D.E ECUACIONESLINEALESPORDETERMINANTES

265

f ~f2,, ....f, mosel

y fk son linealmente dependientes. Con este fin, consideredeterminante

. . . al, f l a21 a22 . . . a2, f 2 .................. apl ap2. . . a,, f, akl a k z . . , a k p fk all

A =

a12

Reemplazando en la última columna j 1 , f2, .... f k por sus expresiones en las variables :c1, 52, . . . . :cn, el determinante A se desdobla en la suma de determinantes del tipo

. . . al, al, x, a21 a22 . . . a2, a:, x, ..................... up1 ap2 . . . a@? u p , x, all

akl

a12

as2

... akp

akj

. . . al, al, . . . aZp ................. apl ap2. . . a,, a,, akl aka . . . akp ak

all

a12

021

a22

p de los cuales, correspondientes a 5 5 p, son iguales a cero por tener dos columnas id6nticas; los restantes n, - p son iguales a cero por ser proporcionales a los menores de orden p 1 de la matriz A . Luego es, idhticamente en las variables xl, x2, . . . . xn:

all

a12

a21

a22

. . . al, . . . az,

Desarrollandopor los elementosde identidad de la forma

Dlf1

................. = o apl ap2 . . . a,, f, akl ak2 . . . akl fk

A =

Dfk

l a última columna,tenemosla

+ . . . t D,f,

D2f2

en l a que D # O. Luego, lasformas fl, f2, . . . . fp, fk son iinealnlente dependienta y fk, para le > p, puede ser expresada como sigue por medio de fl, f2, . . . . f fk

T6menseahora

llfl -I-E2 f2

+ . . . -I- l , f , .

+ 1 formas cualesquiera

f. f e , . . . J f l

y exprbseselas por medio de

. . . . f,: AI.~I A 2 f 2 ... f i , f2,

+ A,j, fe = + + . . . + BPS, ............................... fx = Llfl + Lz + . . . + L,j,

Blfl

Bzf2

266

TEORIA DE BCUACIONES

Elíjame los nlimeros a, b, . . ., 1, no todos iguales a cero, de manera desatisfacerlas p ecuaciones

+ Blb+

. . . + LL1= O A 2 a + B z b + . . . + Lsl = O ..................&........ A,a B,b . . . + L,l = O Ala

con p t 1 incógnitas;entonces: af.

de manera que

+ bfe + . . . +

V A

+ 1 formas cualesq~ierason linealmente dependientes.

COROLARIO. Cualesquiera n 1 formas con n variablessonlinealmente independientes, puesto que la matriz correspondiente no tiene menores deordensuperior a n y s u rango es 5 n . Ejemplo. Consideremos las formas lineales de tres variables

.f>

=z-!-Zy+3z

=-x-y”3z

f 4 = Z f 4 ~ + 3 ~

La m t r i s es la anteriormente llamada Y de rango 2. Luego, entre estas formas hay solamente dos que son linealmente independientes. Podemos tomar como tales a f l Y h Para expresar f 3 p f 4 en funci6n de f l y f2 considereme 10s determinantes O1

-1

2 “1

Desarrollando encontramos ”f3

7I f..

;

1 2 1 4

Sf1 =

“f2

;

“f4

+f2

=o.

+ 2fl = o

de donde

1 3

= f l ”I:

;

= Zfl

S f 2

Cómo determinar el rango de una matriz. - Para encontrar

el rango de una matriz se

l a rduce, por una serie de transformaciones

que no lo afectan, a una cierta forma normal de la cual se puede encontrar el rango requerido por simple observación. Estas transformaciones sonlassiguientes: 1. Intercambiode 2. Intercambio de

dosfilas. dos columnas.

BESOLUCIOF D.E ECUACIONESLINEALESPORDETERMINANTES

3. Suma de los elementos deunafilaa

los deotra,

267

multiplicados

por unfactorarbitrario. 4. Suma de los elementos de una columna a los de otra, multiplicados por unfactorarbitrario. Parademostrarqueestas operaciones dejaninalterado el rangode la matriz,introdúzcanseformaslinealescorrespondientes a lamatriz:

El número de formas independientes entre M a s es el rango de la matriz. Ahora, el intercambio de dos filas lleva a alterar el orden de dos de estas formas, lo que evidentement'e no cambia el número de formas independientes en el sistema 111. Pars demostrar que la adición de los elementosdealgunacolumnamultiplicadosporunfactor a los de otra no cambia el rango de la matriz, supóngase, por ejemplo, que los 'h se suman a los elementosdelasegundacolumnamultiplicadospor elementos de la primera columna. La nuevamatrizcorresponde a las formas fi,si,f3/, . . . , fm', obtenidas de las $1, fz, . . . , fm introduciendo nuevas variables xl', XZ', . . . xnl tales que x1

x: + A x 4

xz' ; . . . ; x* = x;,

;

22'

= x : ; . . . ; x ; = x*.

d e donde,recíprocamente:

"XZ

Pero las formas que son independientes cuando se expresan por variables x],x2, . . . , x,, serán evidentemente independientes cuando se lo hace por nuevas variables xi, Q',. . . , xnl y recíprocamente; luego, el número de formas independientes entre las fi', f~',. . .,fm' es el mismo opeque entre fl, fi, . . . ,fm. Finalmente, para demostrar que la tercera ración no altera el rango, supóngase que a los elementos de la primera fila se les suman los elementos de la segunda multiplicados por i.. La nuevamatrizcorrespondealas formas 41 = f 1 + Afz

; 42

=f2

;

. ..

I 4m

=fm.

;

; ..*

;fm

Luego, recíprocamente : fl

"42

4m.

Ahora podemos aplicar el siguiente enunciado m&s amplio: Silasformas c#~,cpz, . . . , puedenexpresarselinealmentemediante fl,f2, . . . , f m entre las cua.les hay p independientes, el número p' de formas independientes entre las &,#I~,. . . , & no es mayor que p. Sean fl,fi, . . . ,f,, p formas independientes entre las f l , f z , . . . ,fm por medio .de las cuales todas las otras formas de este sistema pueden wr expre-

268

ZEORIA D E E C U A C I O N E S

sad& linealmente.Entonces,tomandocualesquiera o 2 p lasformas 421. . . , +m yllamándolas, por simplicidad, podemos expresarlas mediante f1, f 2 , . . . , f,, asÍ: $1

= Cllfl

c21 S1

Cdfl

. . ... . . . . ,

Para

ecuaciones con c11 A l c12 hl

$1,

$2,

. . .,

+ +

t . . . Clpfp t C22j-2 . . . C 2 p f p .. .. ...... . . . . ... . . t c,252 . . t Capfp ClZj-2

+ +

inc6gnitas c21 A2 c22

+ 1 de entre

1.2

‘

h2, . . . , X u :

i l l

t ... $- . , . 4-

Col

h, =

c,2

o =o

+ c,,

cl, Al icZph2 f . , .

pueden ser satisfechas por valores Al, h2, . . . , l., no todos cero, desde que hay mQsincdgnitas que ecuaciones. Peroentonces hl

qJ1

i.2

442

.t . . .

lo que demuestra que las formas $1, 8‘ =< p. dientes.Luego,sesigueque Volviendo a las formas

41 = f 1 t AS2 ; 42

+ X,

$2,

=S2

dia

. . . , $ u son linealmente depen-

; * .* ;

4m =fm,

y llamando p’ al mayor de los números de formas independientes entre ellas, concluimos que p’ S p. Desde que f ~j-Z,, . . . , f m pueden expresarse mediante 41, 4’) . . ., +m tenemos,porla mismaraz6n p Ip’ y luego p’ = p, lo que demuest,ra que el rango de la matriz no se altera por la operacih 3. Para reducir una matriz a la forma normal, suponemos que contiene elementos distintos de cero. Entonces, por una cierta cantidad de intercambiosdefilas y columnas,unelementoqueno es cero puede ser ubicado en la intersección de In primera fila y plimera columna. Mult,iplicando ahoralaprimeracolumna porfactores elegidos convenientemente y sumándola a las restantes columnas! podemos hacer iguales a cero todos los elementos de las columnas 2, 3, . . . pertenecientes a la fila 1 . Siqilarments, podemos reducir a cero todos los elementos de l a primera columna pertenecientes a la fila 2, 3, . . . Ahora l a matriz tiene enlaprimerafila y enlasprimerascolumnassolamenteunelemento distinto de cero. Si aparte de 6ste hay algunos otros elementos distintos de cero, ll6vese uno de ellos alaintersecci6n de l a segunda fila y segunda columna.Luego,mediante las operaciones 4 y 3 redúzcanse a

RESOLUCION DE EGUAGIONESLINEALES

POR DETERMINANTES

269

cero todos los elementos de la segunda fila y segunda columna excepto el elementodiagonal. Continuando de esta.manera' nos ser& posible reducir la matriz a la forma a

o ...

... o

o o . . ....o o donde todos los elementos no diagonales son ceros y en la diagonal los primeros p elementossondistintosde cero. El rangode una matriz d e este tipo es evidentemente p y es el mismo que el rango de la matriz original. Debe notarse que en el caso de que los elementos de la-matriz original span enteros,lareducci6npuedehacersesinintroducirfracciones, como se verá en el ejemplo siguiente. Además, observando cuidadosamente los intercambiosdefilas,puedeencontrarsecuálesde las p formascorrespondieates n la mat,riz originalsonindependientes. Ejemplo. Encontrar el rango de la matriz

9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 Si lo cOlUIiil13.1 SL' t Zstade las restantes, la matriz se reduce

Luego,de las columnas 1; 3; 4; 5 rCstese la columna 2 multiplicadapor respectivamente; esto reduce la matriz precedente a

(i;Kq 7 1 0 0 0

12 1

o o o,

2; 2; 3; 4

(; ; ;")

270

ZEORZA DE BCUACIONES

columnas 1 y 2

IntercAmbiense ahoralas

7 0 0 0

1 1 2 0 0 0 y réstese la fila 1 de las 2 ; 3; 4; 5. Esto da:

0 1 2 0 0 0

Ahora réstese la fila 2 multiplicada por 2; 7; 12, de las filas 3; 4; 5, luego de lo cual la matriz aparece en la forma reducida

y su rango es 2. Este es el mismo, por lo tanto, que el rango de la matriz original. D e d e

que las filas no fueron intercambiadas, entre las formas f 1 =

2z+

3y-k 4 z +

5t+

.fl=

32f

4y+

52+

St+

f 3 =

4x4- 5y+

6z+

7t+ S u

f 4 =

9~+1Oy+llz+12t+13u

fs = 1 4 2

+ 1 5 +~ 162 + 17t + 1 8 u

las f1 Y $2 son independientes y las restantes pueden expresarse mediante ellas.

Problemas HAllese el rango de las matrices 1.

-12

-1

-1-1 1

2 -1

1 -1

-1

7 1

RESOLUCION DX ECUACIONESLINEALES

POR DETERMINANTES

271

HAllese el ntímero de formas independientes entre las siguientes y exprAsense las restantes mediante ellas: 6. f 1 = 2 x - y - z

f*=-x+2y"Z f3

-x-y+22

8. f 1 = 2 + 7 z + t

f:=3x+2y+15z+t f3=z+2y+z"t f4=y-3z-t

5. Discusión general de los sistemas lineales. - Podemos volver ahora a los sistemas de ecuaciones lineales y examinar su resolución de una forma más general. Sea el sistema a resolver, consistente de m ecuaciones con n incógnitas f1

all x1 t x1 +

a21

a12

a22 2 2

+ . . . -+ al, x,

...

t aznx,

= 62

....................................... f m = a m 1 XI t am2 x2 + . . . t- amnXn = b, Supóngase que el rango de la matriz

correspondiente a las formas lineales f1, f2, . . . . f m sea p. Entonces, el número máximo de formas independientes entre estas seria p. Podemos suponerqueestasfarmasindependientes son fl, f2, . . .,S,. También, por un cambio en la notación de las inchgnitas podemos suponer que d =

. . . alp . . . a2, ................ # O . aPl ap2 . . . a,, all

a12

a21

a22

Llamando c a cualquiera de los números sidereseeldeterminante

+ 1; p + 2; . . . ; m, con-

272

ZEORIA DE ECUACIONES

el primer determinante delsegundomiembrose reduce identicamente a cero como se demostró en el Párrafo 3 ; luego, para las variables a, 5 2 , .... x,, tenemos l a identida.d a11

n, = -

.a12

aZl

. . . a1 bl

a22

. . . a2 b2

................. a,1ap2 . . . a,, b, a,l a , ~ . . . a,, bu

Sup6ngase ahora que el sistema [I] es resoluble y que xl; z2; . . . ; xn son números que lo satisfacen. Entonces: fl - bl = O ; f2 - bz = O, . . . . . ., fm - b, = O y todos los determinantes D, = O para o = p 1; . . . ; m, 10 que nosconducealaconclusióndequeelsistema [l] no tiene solución a menos que se cumpla la siguiente condición de compatibilidad : all a12 . . . al bl azl a22 . . . a2 b2 A , = ................... = o apl ap2 . . . a,, b , aOl a,? . . . aOp b ,

para G = p I ; . . . ; m. Recíprocamente,siestascondiciones facen, tenemos idénticamente D, = O ,

se satis-

para G = p I ; . . . ; m . Pero desarrollando D, por loselement>osde laúltimacolumna,tenemos

(fa

idhticamente en

b,)

+ dl

21;xz;

(f1

- bl)

+ . . . + d,

(f, - b,)

. . . ; x , ~ de , donde, desde que d

ju- bu = cl0 (S1- b l j

+ c2,

(f2

b2) t . . .

O, se sigue que

cPu(f, - b,)

para G = p 1 ; . . . ; m, lo que demuestra que todas las ecuaciones se satisfarán una vez que las primeras p de entre ellas ;f2-b2=0;

fl-bl=O

... ;f,-b,=O,

, I11

P I

se satisfagan. Ahora, Bstas se satisfacen en la forma más general atribuyendo a x,+1; . . . ; x n valores arbitrarios (supuesto p < n) y resolviendo [ 2 ] para $1; x 2 ; . . . ; x,. por la regla de Cramer, lo quees posible desde que all

d = I

a12 . . .

al,

a22 . . . aZp ................ # O a,l ap2 . . . a , ; :

RESOLUCION mF: ECUACIONES LZNEALEB POB DETEEMINANTEB 273

La conclusi6n a que nos ha conducido esta discusi6n es la siguiente: Si la matriz de un sistema de m ecuaciones con n incbgnitas es de rango p y las condiciones decompatibilidad

As = O

para o = p 1 ; ... ;m no se satisfacen, el sistema no tiene soluci6n o es incompatible. Por el contrario, si las condiciones de compatibilidad son satisfechas, el sistema es resoluble y n - p inc6gnitas pueden tomar valores arbitrariosquedandoentonceslasrestantesdeterminadas. Este criterio puede expresarse enunaforma elegante tomando en. consideracih, adem&sdelamatriz del sistema

la asi llamada

matriz ampliada

Todos los menores de A se encuentran entre los de B, de manera que el rango de B no puede ser menor que el de A quechemos llamado p. Los linicos determinantes de orden p 1 de la matriz ampliada que no figuran en A son los determinantes A,. Luego, si todos estos determinantes se anulan, y solamente en este caso, el rango de B es ,p. Es decir, la anulaci6n de los determinantes A s es la condici6n necesaria y suficiente para l a compatibilidad del sistema. Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que el rango de la matriz ampliada sea el mismo que el rango de la matriz del sistema.

ZEOBIA D E ECUACIONES

274

y las dos condiciones de compatibilidad son:

3 2 0 5 3

=o,

11 7 k

5 3

=o,

4 3 1

de donde k = 1; I = - 1. Por l o tanto, a menos que k = 1; 1 = - 1, el sistema propuesto no tiene soluci6n. En el caso de que k = 1; Z = - 1 tomamos las dos primeras ecuaciones y las escribimos en la forma 3 ~ + 2 y= " 5 2 - 4 t 5 ~ + 3 2 / = - 2 ~ - t + l

y resolvemos para

e y. Esto da:

s=112+10t+2,

y = -192-17t-3,

y con x e y asi determinadas, todas las ecuaciones quedaran satisfechas, mientras z y t sersn totalmente arbitrarias.

Problemas Examinese la compatibilidad de los siguientes sistemas: 1.22-y-2

2.22 + 3 y = 1,

= 1,

2"2y+z=l,

32+4y+z

x+y"2z=l.

y-22

=O,

=3.

4.22+3y"2t

=k,

32+4y"z"3t=l, y + 2 2 = 1,

2 2 +3y"2t

5. . s + y " z + t

x-2--t

= 1 ,

x-y+2"3t=3.

6.s+y+z+t=0.

= 1,

z+2y.-2+3¿

=O.

22+3y"2z+t

-y+42+t=2, ~ + 5 2 + 2 t = - l .

Aplicaciones geométricas de los determinantes

6. Ecuaciones de rectas, planos y círculos en forma de deterecuación minantes. - Es fácil escribiren forma de determinante la deunarectadeterminadapor dos puntosdistintos o la de un plano

.dadoportrespuntos

no alineados.Sean

A1 (21; y,)

A2 (22;

y*) dos

POR DETERMINANTES 275

BESOLUCION DX ECUACIONESLINEALES

puntos distintos dados por sus coordenadas de ejes ortogonales. El determinante

con referencia a un sistema

desarrollado, es una ecuacibn de primer grado en x e y si sus coeficientes

no son ambos iguales a cero. Luego, [l] representa la ecuaci6n de una recta expresada enformadedeterminante. Se satisface para x = xl, y = y1 y x = 52, y = y2 de manera que la recta determinada por [l] pasa?or los puntos Al y A2. Trespuntos Al(xl;yl), A z (x2;y2), A3 (x3;y3) estarán por lo tanto alineados d o si 1

Sup6ngase ahora que A1 (XI;yl;a ) , tres puntos no alineados en el espacio, determinados por sus coordenadas referidas a un sistema de ejes ortogonales. La ecuaci6n 11 x

es de primer grado en x, y, z y sus coeficientes: A = -

; B =

c=-

no son los tres iguales a cero, pues la anulación de las proyecciones de AI, A2, A3 están alineados en Z O X , XOY lo queimplicaque AI,A2, A3 sean cuencia, [2] representa un plano y este plano pasa que el determinante se anula para

x x x

=XI;

yz;

=x3;

y = y1; y = yz; y = ya;

x2 y2

y1 23

los tres significa que los tres planos YOZ, colineares. En consepor Al, A2,A3 puesto

= 21.

=z3.

22.

ITEORIA DE E C U A C I O X E S

276

Igualmentefácil es escribir enformadedeterminante l a ccuación .de un círculo que pasa por tres puntos no alineados A I ( XI; y J ; A Z(xz;yz) A3 ( ~ 3 y3). ; Laecuación

tiene la forma

A (x2

+ y2)

t Bs

+ CY + D

con

distinto de cero . .Luego [3] represenh una circunferenciaque AI, AS, AB. Similarmente la ecuación 22

X12

XZ2 23‘

+y?

t.9

+ Yl2 + + yz2 + f

y3’

212

x1 y1

222

y2x2

232

2 3

21 22

1 1 1 1

pasa por

I-4I

representauna esfera que pasa por los cuatropuntos A1 (XI; yl; Z I ) , A2 ( 2 2 ; yz; zz), A3 (23;ya; 23), Ad (x4;y4; 24) que no estsin en el mismo plano. j ,

7 . Area de un triángulo y volumen de u n tetraedro.

es la ecuaciónde expresi6n

- Si

Ax+By+C=O unarecta d =

1, y P ( X ; Y ) es unpuntoarbitrario,

P I la

AX-fBYSC . \ I A ~ + B ~’

representa la distancia de P a 1 tomada con un cierto signo. Considérese ahora un triángulo convértices A1 (sl;yl), A2 (xz;y ~ ) , A3 (x3; y3). La ecuación del lado A , Az puede escribirse en forma de determinante

1y2 x2

POR DETERMINANTES 277

BESOLUCION DX ECUACIONESLINEALES

y los correspondientes coeficientes A y B en la ecuaci6n [l] son

A = y1-y~~

tal que &FT"=

52-21)

+ (y1 - y#

v' (22 -

= lU)

es la longitud del lado Al A2. Luego:

y3 : l12

y1 y2

representala altura desde el vbrtice A3 tomada positiva o negativa, y por lo tanto 1 y1x1 1 x3 y3 1

1y2x2

2 3

es el doble del área del triángulo Al A2 A3 tomada con signo Llamando A a esta área, tenemos entoncee: 1

&2A=

+ 6 -.

1 xz yz 1

2 3

y puede agregarse, dejando la demostracih a cargo del lector, que el signo ser& 6 - s e g b que el sentido del tritingulo A1 A) A3 (con este ordenamientode vbrtices) sea positivo o negativo. La distancia de un punto P (X; Y ; 2) al plano

Az+ByfCz+D=O, tomada con un cierto signo, está dada por la f6rmula

a= AX+BY+CZfD 1,A2 -t B2 + C1 ConsidCrense ahora los cuatro vertices Al

(XI;yl; zl),

A2 (x*; y¶; a),

A s (za;ya; Zg), A4 (x4; y4; 24) de un tetraedro. La ecuaci6n del plano Al As A 3 escrita en forma de determinante 1 s y 1 5 y1 1 y2 5 2 1 5 3 y3

es:

21 22 23

278

TXORIA DE ECUACIONES

y los correspondientes coeficientes

1 y1

A = -

B =

1 y2 1

1 x1

C = -

representan num6ricament.e el dobledel áreadelas proyecciones de1 triángulo A1 A2 A3 sobre los planoscoordenados YOZ, ZOX, XOY. Comose sabe por GeometríaAnalítica, la suma de los cuadrados de estas áreas es el cuadrado del área del triángulo -41A2AB. Llamándolo A, tenemos,por lo tanto:

A 2 + B2 y ladistancia

delvértice

+ C2 = 4 A ' )

-44 del tetraedro a la cara opuesta, tomada

= f-

1 Ad,

tenemos finalmente

&6V=

x1 y1 y2 X3 y3 2 4 y4 x2

21 28

23 24

1 1 1 1

El signo =t depende del sentido atribuído al tetraedro A1 A2 A3 A h , tomándose los vQrtices en este orden; pero no es necesario para nosotros examinar aquí esta cuesti6n delsigno I r .

8. Potencia de un punto con respecto a un círculo. - Considerese un círculo r con centro en O y radio R y un punto P a una distancia PO = d delcentro. La expresi6n p = d2 - R2

se llama potencia de P respecto de

r. Sea la

ecuaci6n de

x2+y2+Ax+By+C=0, quepuedeescribirse

tambienenlaforma (X

- U)'

+ (y

b ) 2 - R2 = O ,

BESOLUCIONDtEECUACIONESLINEALES

POR DETEBYINANTES

279

siendo a, b las coordenadas del centro de I?. Sustituyendo en ellas x, y por las coordenadas X , Y de P y teniendo en cuenta que

(X vemos que

+ (Y

-ay

+ (Y

-b)2

#, =

-b)2-R2

P ( X ; Y) con respecto al circulo

en otras palabras, la potencia de

x2+y2+Ax+By+C=0, es

p=X2+Y2+AX+BY+C.

Sea

+y2 X12 Y? x22 yz2 x32 y32

+ + +

x y x1 Y1 x2 y2 x3 y3

1 1 1 1

l a ecuaci6n de la circunferencia

que pasa por los tres puntos A1 (XI; yl), A2 (x2;y2), A3 (23;y3). Desde que el coeficiente de x2 y2 en el determinante [l] desarrollado es

y1 1

y2 x2

y3x3

que representa el doble del &rea A del triitngulo A1 A2AB, menteque el determinante

+ y42 + Yl2 + yz2

y4 x1 y1 x2 y2 22 x32-t y32 x3 y3

24%

X12

se ve fhcil-

1 1 1 1

es el producto de 2 A por la potencia p de un punto A4 (x*; y4) arbitrario con respecto a la circunferencia circunscripta a l trihngulo -41A2 As. Por una redistribucih de las filas en este determinante tenemos

I XI2 + YI2

-2Ap=

+ y22y2x2 + y32 y3x3 I + y42x4y4 x22 x32 x42

y1 1

1 1

Combinandodeunamaneracmvenienteestaimportantef6rmula conla regla demultiplicacihdedeterminantes,estaremosen

condi-

280

ECUACZONBS DE

llEORIA

ciones de obtener identidades notables que llevana interesantes teoremas geom6tricos *.

9. Corolarios geométricos. - Multiplicando fila a fila minante 21% y? .-2 x1 "2 y1 1 "2 x2 "2 y2 1 x22 4-y22 -8Ap x32 yz2 "2 x3 "2 y3 1

x42

+ + +

y42

"2 x4

-2

el deter-

1 x1 y1 X12 Y12 1 x2 y2 x22 3- Y? 1 x3 y3 x32 y32 1 x4 y4 x42 y42

= 2

y poniendo, por brevedad:

tenernos

Esta es una relación entre el área A deuntriángulo Al A2 A 3 , Itr potencia del punto A4 respecto a la circunferencia circunscripta al trih g u l o y las seis distancias a los puntos .41, Af,AB,A4 tomados dos a dos. Multiplicando las columnas2, 3, 4 en el determinante [ l ]por (113 Z14)', (112 114)', (112 113)2, respectivamente,tenemos:

y finalmente

POR DETERMINANTES

BBSOLUCIONDEECUACIONESLINEALES

281

Sup6ngase que A4 se sitúa en el centro de la circunferencia circunscripta al trihgulo A1 A, At; entonces: p = - RP y 114 = lt4 = lac= R. Simplificando el factor R4 en ambos miembros de [I],.llegamos a la siguiente relaci6n entre los lados y el área de un trihgulo, en forma de determinante :

Para utilizar notaciones más familiares, sean b 2 = a , 113 = b, 123 = c. Entonces:

b, c los lados y sea

o bien, desarrollándolo

tenemos una relaci6n entrelas misma circunferencia:

distancias decuatropuntos

de una

bien, escribiendo por simplicidad: = b,

112

=U,

123

114

ha = e

134

124

entonces: (bdfef-ac)(bd+ac-ef)(ef

Si A1 A S Aa

fa-bd)

=O.

es un cuadriltíter0 convexo de lados Al Az =

a, At

As =

282

TZORIA DE E C U A C I O N E S

= b, A 3 A 4 = c , A4 A , necesariamente :

d y diagonales A I A 3 ac

+ bd

e, Az A4

f , entonces

= O.

-ef

Para demostrar &to, t6ngase en cuenta que en A1 A , A3 A l , que está inscripto en un círculo, la suma de los ángulos opuestos es 180" y por lo tanto hay un lado para el cual los dos ángulos adyacentes son obtusos. Si seelige lanomenclaturademaneraque ese lado spa 6, entonces!evidentemeubees: e > a ; e > b ; f > b ; . f > c , ef > ac y luego

y tal que

t ef

bd Por otra parte: ef -bbd

-aac

>O. -b(d

e(f-b)

es positivo en el caso de que d < e, desde que ,i> b. de la desigualdad casi evidente

-e),

Si d > e, se deduce

e+f>b+d que

f "b > d

y nuevamente, que: ef - bd

Luego, en todos

> (d

b) > O

> bd y

los casos, ef ef

- e) (e

+ ac - bd > O.

Por lo tanto, si A Az A OA * es un poligono convexo circunferenciaexistela relación ac

+ bd

inscripto en una

ef,

entre el producto de las diagonales y l a suma de los productos de lados opuestos,conocida en lageometríaelemental como teoremadePtolomeo k.

10. Extensión a l a s tres dimensiones. No hay dificultad en extenderlasconsideracionesde losPttrrafos 8 y 9 a tres dimensiones. ER primer lugar, la ecuacih de una esferacircunscriptaaltetraedro de vhrtices A1

(sl;yl; 21) ; A2

(22; y2; 22)

;

2 4 3 ( x 3 ; v3; 23)

;

A1 ( 2 4 ; y 4 ; 2 4 ) ,

POR DETERMINANTES

RESOLUCION DB ECUACIONESLINEALES

puede presentarseenformadedeterminante x2+y2 x12 x22 532

X42

ass:

f22

212

222

y32

232

X; y3

+ yd2 f

2 4 '

1 1 1 1 1

+ yI2 + + y2 +

+ +

283

Además, si R e s el radio de l a esfera y d l a distancia de algún punto A , (x5;y,; z5) a su centro, entonces la cantidad p=$-R2

es l a potencia de A6 con respecto 8, la esfera, y como enel podemos establecerfácilmentela relaci6n X12

XZ2

6 Vp =

23'

24'

XS'

donde V es el volumen del fila el determinante

212 x22

+ + + -+

+ Y? + + Y2 +

212 ze2

y1 y2

~3'

2s2 x3

y4'

2 4 '

25'

yS2

1 1 1 1 1

tetraedro Al A2 &43A4. Multiplicando fila a

y12

212

-2

y22

222

-2

y2 "2 22

. . . . . . ... . . .. . . . . . . . .. . . . . . . , . . . . . . . . . . 1.

I1 + + 1 1, 1.. ........ . . . . . . . .+. . . . .+. . . . ,

Párrafo 8

Z12

Y12

212

XZ2

Y22

2z2

y haciendo, por brevedad:

tenemos :

288 V 2p2 =

I -

=-48Vp

284

T,EOBIA DE ECUACIONES

Los números li, son las diez distancias entre los cinco puntos Al, -42, As, Ad, As. Si As se sitúa en el centro de la esfera circunscripta al tetraedro A l -q2A 3 A , ; entonces p = - R2 y 116

1% =

145

Simplificando el factor R4 en ambos miembros, llegamos a la expresidn, en forma de determinante, del volumen del tstraedro en términos de sus aristas: 0 1'12 1214 1213 1 1212 o 1223 1224 1 288 v2 = 1213 1223 0 1234 1 . 1214 1'24 1'34 0 1 1 1 1 1 0

Estedeterminanteigualado a cero representa la relación entrelas distanciasmutuasdecuatropuntoscoplanarescualesquiera.

CAPITULO XI FUNCIONESSIMETRICAS 1. Definición de funciones simétricas. Funciones sigma. - Un polinomio en las variables XI; 22; . . . ; xn se llama polinomio simétrico O funcidn simetrica de estas variables, si no cambia alterando el orden de las variables de manera arbitraria. Para esto basta que el polinomio no altereintercambiandodosvariables cualesquiera. Por ejemplo,los polinomios a2 b2 + c2 - ab - ac - bc ; a3 b3 f c3 - 3 abc ;

+ 6 + c) abc ,

son polinomios sim6tricos, o funcionessimbtricas,de b, c. En igual forma: f

x,4

x24

Y (x1

x34

x44

- x3 - 2 4 )

(x1 x2

(x1

x2x3)

+ x3 -

(x1 x3

- s o (x,

lasvariables

x*) (x1 2 4

x2 2 3 )

-23)

- x2

son funciones simdtricas de las cuatro variables XI; XZ; 2 3 ; x4. Efectuando la suma de todos los terminos diferentes que se obtienen de un término genérico

. . . xm=m ,

X1"X2~

donde ul,u2, . . ., a,,, sonenterospositivos,reemplazando los indices 1,2, . . . m por todas las posibles variaciones de m números tomados de los 1 , 2 , . . . , n, se obtiene una funcidnsim6tricade lasvariables xl, x2, . . . , xn que se llama función sigma, del tipo (al, 012, . . .)u,) y se indica con el signo (') v u x1a',x2a2 . . x,* . )

Por ejemplo, para n 2

x12 x22

2 2 2 x 4 2 x1

212x22 x3

212x32

= 4:

x4 t

x12 532x2

x12 242x3

+ x32 x?

x22 x32 x1

t 212 2 2 2 x 4

x22 x32 x4

x22 x42

x12 x42

x32

x2 x2

(l) M& generalmente, X g (21; 22; . . . ;z , ) significa la suma de todos los tkrminos diferentesqueseobtienenreemplazando 1, 2, . . . m por todas las variacionesposibles de m números tomadosentre 1, 2, ., n.

285

286

TEORIA DE ECUACIONES

esunafunci6n

sigma del tipo (2; 2; 1) enlasvariables

XI, XZ, 2 3 ,

54.

Entre las funciones sigma son especialmente importantes las llamadas

fu?zcion.es simétricas elementales :

2x1

=j1

;

zz122 = f z

?lXlX2X3

=f3;

; I: x1 x2 . . . 28

También son importanteslassumas s. = E

21.

si una función simétrica contendrá el conjunto

... ;

21.

= x1 x2

- . . x n = fn.

de potencias

+ . . . + x,.

22.

. . . ;x,) contiene un término ax1atx5a2. . . xmam, 4

(XI; 2 2 ;

de términos a Z xl=l222. . . . xm=m,

y si &tos no agotan todos los términos de 4 (XI; 2 2 ; . . . ; xn), entonces 1% diferencia 4 (21; x-; . . . ; x,) -- a 2 xlal xzaz . . . xm'm,

contendrá términos de la forma bXl61 XzB'

. . . xr@r,

y por lo tanto, también:

Ejemplo. Sea

= (x1

x161x26z . . .

x$'.

- x3 - XP) (21 + x3 - x2 - x,)

(x1

- x2 - 2 3 )

Este es un polinomio homogéneo simétrico de grado 3. Los terminos genCricos de las funciones sigma que l o componenserfm: xtU1 X

donde al

x*'*

~ x3aa ~ S

+ + + a2

a4 =

281

FUNCICNEX SIMETRICAS y supondremos que a1 2

son

2 a4 2 O. Los Gnicos grupos de exponentes posiblee

y quedan 6610 por determinar los coeficientes de los tkrminos ax13 ; bx12x2 ; cxl x 2 x 3 . Para determinar a y b podemos hacer x3 = 5 4 = O en q5, lo que no afecta que 6610 poseen las variables x1 y 22. q5 queda entonces: (21

Para hallar el tkrmino en maneras:

+ x21

x1 x2 23

(x1

- 22)

l o s terminos

(x1 - 221.

hacemos notar que puede obtenerse de las siguientes

1. Tomando

x 1 , ~ 2 ,x3

2 . Tomando

XI,23. x2

3. Tomando

22,

4. Tomando

x 2 , x 3 , x1

de los factores 1, 2, 3 tenemos m producto:

23. XI,22

de los factores 1, 2 , 3 tenemos su producto:

5. Tomando

de los factores 1, 2, 3 tenemos su producto:

de los factores 1, 2, 3 tenemos su producto: xl,x3 de los factores 1, 2, 3 tenemos su producto:

+ x1 x2 -xl x2 x3 -x1x2x3

+ x1 x2 + x1x2

6. Tomando x3, x2,x1 de los factores 1, 2, 3 tenemos su producto: x1 m x3 Total: 2 21 xz

Por lo tanto, c = 2 y C#J

X x13- X x12x2

+ 2 B x1 x2

.x3

Si en una funci6n simbtrica (xl;X Z ; . . . ; S,) sustituimos las variabIes por los números al, az, . . . , an que son raíces de una ecuaci6n

p1 zn-1

+ pz

2n-Z

+ ... + p ,

el número resultant>e 4 (al;az; . . . ; an) se llama función simttrica de las rakes de esta ecuación. Esta terminología no es correcta puesto que un

númerodefinidonopuedeser llamadofunci6n,peroesthconsagrada por el uso y nosotros l a utilizaremos. As!, las funcioneselementales sim6tricas de las raíces al,az, . . . , an si la ecuaci6n se escribe en la forma: a0

+ al

x"-1

+ . . . + a,

288

TEORIA IhE ECUACIONES

Una funci6n racional ea las variables dl ( 2 1 ; 2 2 ;

JI (21; zz;

21,z2,

. . . ; z), . . . ; z),

. . . a,, = (-

1)" p ,

. . . , zn:

donde el numerador y el denominador son polinomios, se llama simdtrica si no se altera para todas las permutaciones de las variables. Así a2

b f c

a+c

a S b

t-+-,

es una funci6n racional simbtrica de las variables a, b, c. Si las variables en una funci6n racional simhtrica se reemplazan por las rakes de una ecuaci6n, el número que resulta se llama t a m b i b funci6n simhtrica de las raíces de esa ecuaci6n; una terminología incorrecta que, sin embargo, acostumbra a usarse.

PUNCICNES SIMETRICAS

289

Fórmulas de Newton. - Las sumas de potencias

+ x2" + . . .. + x,=,

S, = 21'

pueden expresarse como polinomios en las funciones elementales tricas, o lo que es lo mismo, en terminos de los coeficientes de f ( x ) = ( x - X I ) ( x - xa)

. .. (z

- x,) = Z"

+-x

f (x)

X"1

Escribhmosla en la forma

1 -x2

+ . . . + p,.

XZ-1

En muchas oportunidades

Esto puede verse de la siguiente manera: hicimos uso de la identidad

f' ( 2 ) 1 "

+ p1

+ x -1 x,

f ( x ) + ... + f ( x ) +x x -xn

f ($1 f' ( x ) = X"1

simb

-X2

y tengamosencuentaque:

donde f!

(x) = x

+ p1

; f z ( 4 = xz 4-

+ pz

; f 3 (2)

y, en generd:

. f k ( x ) = x'

= x3

+ .f

PIX*'

+fk(XZ)+

+ p2 x f

pk,

para k = 1, 2, . . .! n - 1. Introduciendo las sumas fk(x1)

+ S,

tenemos:

+ f k ( x n=) s k + p l s k - l + -knpk,

de modo que el coeficiente de ~ * - ~ "en l el segundo miembro de la identidad [I] es: sk plsk-1 . npk.

+ +

En el primer miembro de la misma identidad el coeficiente de x f l - ~ l es (n - k) p k , eigualando ambas expresiones obtenemos: 4

+ plsk-1 +

+ n p k = (n"kIc)

sk f plsk-1 f . . . f kpk = 0 ,

para k = 1, 2, . . . , n - 1. Esta relación sigue siendo vslida para k = n. D e hecho: f (x;) = S," -t p1 xi"" 5 . . . + p , = o

290

TEORIA D4EECUACIONES

y, efectuando la suma de estas identidades para i = 1,2, .... n., ohttnemos: s n f p l s n - l f ... + n p n = O .

Asi :

+ p, = o + p , " 2 pz = o + p1 + pz + 3 p3 = o ................................... + + p2 + - . . + npn = O .

8-2

P I Sn-1

Estassonlasllamadas fórmulas de Newton. De estasidentidades podemos calcular sucesivamente las sumas de potencias de sl, sz, . . . . S, en función de los coeficientes p l , p 2 , . . . . p , del polinomio: f (x) = (x - XI) (z - x2) . . . (z - x,) =

+ PIP-1 + . . . + p ,

y recíprocamente,estos coeficientes por medio de sl, SZ, . . . . sn. Las expresiones de SI, s2, sa, . . en función de p l , p z , p 3 , . . . . por ser identidades, serán váiidas si se reemplazan p l , p 2 , . . . por nilmeros, y xl, m,. . . por las raices de la ecuación 2,

+ p1zn-1 + . . . + p ,

De esta manera, las fórmulas de Newton permiten calcular por recurrencia las sumas de potencias similares de las raíces de una ecuación, y recíprocamente,podemoscalcular los coeficientes de esta ecuación s i se conocen lassumasdepotencias similaresde las raíces. Efectuando la suma de las identidades Z,Yf

(x,) = zF+Y

+ p1xCp+--1 + . . . + pnxiY = o

para i = 1, 2, . . . . n, obtenemos,tomando ciones de recurrencia S,+I

s,+t

+ PI

Sn S,+I

= 1 , 2 , 3,

. . . . las rela-

+ . . . + pnS1 = O + . . . + pn O $2

............................

que nos permiteexpresar sn+l, S,,@, . . . en funciónde P I , p z , . . . Las relaciones de recurrencia obtenidas tomando Y = - 1, - 2 . . . . s-1

+ + PI

P I sn-2

t . . e

+ pn

S n d t ... p n S-t = 0 .............................

Sn-t

servirán, en la misma forma, para calcular las sumas de las potencias negativas de las raíces,supuesto p , z O. Lasrelacionesderecurrencia

29 1

FUNCICNES SIMETBICAS

para Sn+1, sn+2. . . parecen diferentes de ias f6rmulas de Newton, pero coincidirán con ellas si establecemos que p r = O cuando T > n..Damos a continuacih las expresiones de SI, s2, . . . ,$6 en funci6n de P I , pa, . . . , pa: S1 S2

- Pl = p? - 2 p2

- p13 + 3 P I

s3 =

p2 - 3 p3

+ 4 P I p3 - 4 p4 + 2 pa2 + 5 p13 PZ + 5 pl p4 - 5 p3 P? - 5 Pl Pa2

p14 - 4 PI' pz

- PI6

p1'-6p1~pz + 6 ~ 1 3 p 3 - 6 p 1 2 p 4 - 1 2 p ~ p z p 3 + 6 ~ z p 4 +6p1ps-

- 6 PS

f 9 PI' pz2 - 2 Pz3

5 p2 P3 - 5 %

3 p3'.

O b s h e s e que p , = O si r es mayor que el grado de la ecuaci6n. Problemas Calcular por recurrencia: 1. sl, s2, s3, s4,

SS,

so para x 3 - 3 x

2. sl, sz, s3, s4 para x 3 - 3 x2 3. sl, s2,

+ 2 x - 1 = O.

para x4 - 4 x - 1

s3, S(

+ 1 = O.

+ x + 1 = O. 5. s - ~ , sFZ, para x 6 - z3 + x 2 + 1 = O . 6 . sl, s2, s3 para 2 + x2 - x + 1 O. 4. sVz, sd para 2 x4 - 6 x 2 S-4

Hallar las ecuaciones de menor grado que satisfacen las condiciones. 7.

O; sz = 5;

= -6.

= 18; SP = 162;

= - 1;

10.

11.

S-1

- 1; S

12.

S-1

o; S-2

= 2;

= 1;

S-3

S1 =

1701.

S) SS

= 1; 9-3

= - 1;

S:,

= 1.

= - 3.

= 3.

13. Si una rafe r de una ecuacidn j (x) = O es mayor en valor absoluto que las d e d raíces, demostrar que la r a s h Sn+ 1 Sn

tiende al límite r al tender n a infinito. Por lo tanto, para n suficientemente grande es:

r = - %+I Sn

292

TEORIA D.E ECUACIONES

aproximadamente; y, si todas las raíces son realesypositivas: n

%<MI/; Sn

Esta es la idea fundament,al del mEtodo de Daniel Bernoulli para calcular por aproximaci6n la raíz numkricamente mayor de una ecuación. ¿Puede idearse u n mCtodo similar para calcular la rale num6ricamente menor? 14. Aplicar este metodo a las ecuaciones

(u) XZ-x-1

tomandohasta

n = 10, yexaminar

(b) x"72+4

la aproximación obtenida.

15. Calcular la menor raíz de x3 3 x2 2 x - 1 = O por el mEtodo de Daniel Bernoulli, tomando hasta n = 10, y examinar la aproximación.

* 16.

n In -1) , las sumas delas raíces de f (x) = O 2

Sean y ~ y2, , . . ., Ym, donde m =

tomadas de a dos, y sea:

= ylk

+ ..

f Y?'

f Ymk.

Demostrar que:

SUGESTI~N: E l segundomiembroes:

* 17. Si las raíces de la ecuación x3 - 3 x cuyas raíces sean a 6, a y, Í3 7 .

18. yt,y2, . . . , ym, donde m =

+1 =O

son

hallar una ecuaci6n

n (n -1)

-- , representan los cuadros de las diferencias

2 entre dos raíces de una ecuaci6n de grado n y sea:

ylk

y?'

f ...

+ Ym'.

Demostrar que:

SUGESTI~N: El segundo miembro es n

j=.1 i - 1

* 19. s i las rakes de la ecuaci6n x3 - 3 x con raíces (a

- 8)'

;

+ 1 = O son

( a - y)'

;

(B - 7 ) : .

@,y, hallar una ecuación

293

FUNCICNES SIMETRICAS

* 20.

Resolver el mismo problema para la

ecuaci6n z)

- 7 z + 7 = O.

* 21. Hallar el límite inferior de las distancias entre dos rdces reales d e l a s ecuaciones: (U) za - 3 z 1 = O; (b) za- 7 z 7 = O. ~ C 6 m opuede ayudarnos el conocimiento de este limite inferior para separar las rakes?

3. Teorema fundamental sobre funciones simétricas. - El hecho de que las sumas de potencias puedan expresarse comopolinomio8 delasfuncionessimetricaselementales, es un caso particulardel siguiente teorema general: Teorema fmdamental sobre funcionessimétricas:Todafunciónsimétrica de las variables X I , 22, . . ., x, puede expresarse como un polinomio en Ins funcionessimétricaselementales.Ademds, los coeficientes de este polinowlio se obtienen por sumas y restas de los coeficientes d e la funcidn simétrica. En particular, s i estos Últinbos sonenteros, los primerosserán tambiénenteros.

DEMOSTRACION: Entre lasvariasdemostracionesconocidasdeeste teorema, elegiremos unaelegantedemostraciónrealizadaporCauchy. Enprimerlugar,demostraremoselteoremaparael caso dedosvariables X I , x2 cuyasfuncionessimetricaselementalesson: .fl

x1 t

;

x1 x2 .

Sea F ( x 1 ;x2) una funciónsimdtrica.Ordenadaenpotencias puede escribirse así :

(21;

22) =

AOXI"' A1 xlrn-l f

21,

Am,

donde Ao, Al, . . . ) 8 , son polinomios en x2. Reemplazando x2 por .f1 - x1 y ordenando el polinomio resultante según las potencias de x1 y f 1 tambien en potencias de x1 nos queda:

( X I ; 22) =

Bo X I '

B1~1'-'

+ . . . + Br,

donde Bo,,B1, . . ., BI sonpolinomios en f l . Introduciendounanueva variable t en lugar de xl, dividiremos: c$

Por

(t)

Bot' -/- B1 t'-'

f (t) =

-f l t

Entonces,vemosque,identicamenteen

donde C y D sonpolinomios

f1,

+ . . . + Bl

f i concoeficientes

halladosen la

294

T E O R I A Da ECUACIONES

forma que se establece en el teorema. En esta identidad hágase t = xl; entonces, por ser f ( 2 1 ) = O y 4 (x1) = F (x1;2 2 ) : Interciimbiese ahora

C y D; por lo tanto:

( 2 1 ;2 2 )

22.

El primer miembro no cambiay tampoco

Cxl f D o bien:

identicamente en

+D.

Cxl

(21

CX~ D

-22) =

y por lo tanto C = O. Entonces es

XI, 2 2 ,

(21,2 2 )

y D es un polinomio en f 1 y f2, lo que demuest.ra el teorema para dos variables. En adelante procederemos por inducción. Suponiendo que el teorema se cumple en el caso de funciones simbtricas de n - 1 variables, demostraremossu validez para funcionessimetricasde n variables. Llamando 4 1 , 42,. . ., &-I las funciones simgtricas elementales de las n - 1 variables 2 2 , x3, . . . , zn,tendremos, evidentemente: f1

= 2 14 1

+ 42 I . .

por consiguiente,recíprocamente:

-x 1

;

= =

X12

- Xlfl 1)n-1

[x17z-l

; . . . ; 4-1

+ dn-17

= 2 1 &-2

;.fn-1

+ . . . + (~

l)n"fn-~] .

Sea ahora F (x1;22: . . . ; zn),o simplemente F , una funci6n sim6trica de n variables. Ordenándola en potencias de 21,podemosescribir:

= Aozlm t

+ . . . + A,,

A1~1~-'

simetricas de 2 2 , 23, . . .,xn. Suponiendo que el teorema se cumple en el caso de n - 1 variables, podemos expresar A o ,Al, . . . , A , como polinomios en 41, 42, . . . , &-I. Si sustituimos r#J1, 42! . . . , por sus expresiones en 2 1 , f1, f2, . . . , fn-1, los coeficientes Ao, A l , . . ., A , quedarán expresados como polinomios en 2 1 , f l , fz, . . . ,f n l . Sustituyendo estas expresiones err F y ordenando nuevamente l a expresión resultante segdn las potencias de XI, podemos escribir: F = Box' B1Xz" . . . Bl, y aquf los coeficientes son funciones

donde Bo, B1, . . ., B, son polinomios unanuevavariable t , escribimos: (t) =

Bo 1'

f1, f2,

. . . , fn-l. Introduciendo

+ B1 "t + . . . + Bl

296

FUNCICNES SIMETBICAS

y dividimos 4 ( t ) por:

f (t)

= tn

+ j2

-f1 th-1

tn-2

+ . . . + (-

El resto será de grado no mayor que n en t : I$

( t ) = f (t)

Q (t)

+ Cot" +

l>"fn.

- 1, y tendremos la identidad

C1ts-2

+ ... + C d ,

donde Co, C1,. . . , C n - l , son polinomios en j 1 , f2, . . .,f, con coeficientes hallados en la forma establecida en el teorema. Hacemos ahora en esta identidad t = el.Teniendo en cuenta que f (x1) = O, obtenemos:

(21;

...

22;

co 21"

; 2,) =

+ Cl

x1*-2

3. . . . + c-1.

Aquí el segundo miembro no varía intercambiando 2 1 con 22,z3, . . ., ni tampoco los coeficientes Co, C1, . . ., C,-1 de modo que son vhlidas las siguientes identidades en 21,5 2 , . . ., x,:

+ CIX~"~ + . . . + C,-1 - F = O Co + + . . . + C-1- F = O .................................... Co + C1 z ~+~. . .-+~C-1- F = O Co xin-' 22n-l

Esto significa que: Co tn"

+ C1

+ . . . + C-1-

se anula para t = xl,22, . . ., x,, y &to es posible 9610 si

Co=C1=

...

=Cd=O

de modo que

; Cd"F=O

C-1.

Pero C,-1 es un polinomio enlasfuncioneselementalessimdtricas . . . ,fn, lo que comprueba el teorema. Se entender& mejor la demoatracibn considerando un ejemplo particular.

fi, fz,

296

TEORIA LhE ECUACIONES

y ordenando nuevamente según las potencias de F = " z

Haciendo r#l

(t) =

+ f l x ~ 2 - f ~ x+ f~~ f z .

- t3

y dividiendo por

f (t)

= t3

tP "fz

"fl

el resto ser&:

=fif2

+1 2 t

fif2 " f 3

y, por lo tanto:

XI:

-fa.

-fa

Problemas

Expresar por medio de las funciones simktricas elementales: 1.

212 (22

+ + x?

2. (x,- x2)' 3.

23)

(x1

+XJ + + xz). + (x,- XJ? (x,- + (x,-

(XI

-x$

X xl2xz x3 para

x32 (21

23)s

n = 3.

XI*

23)'

(x1

x2 para

-x#.

n = 4.

4. Métodos prácticos. - La demostración del teorema fundamental nos proporciona tamhiCn un metodo para la representación efectiva de una funciónsimetricacomo polinomio enlasfuncionessimetricas elementales. E n la práctica, sin embargo, es más conveniente utilizar con este propósito otros mCtodos más expeditivos; haremos breve mencicin de dos de ellos. Indiquemos con elsímbolo

S x191 52'3 . . . x m a m , la suma de todos

los terminos que se obtienen de un termino X l a l 224

...

genérico

XmaM,

sustituyendo los indices 1, 2, . . . , m por todas las posibles variaciones de m números tomados entre los 1, 2, . . . , n. Si entre los exponentes al,az, . . . , am no hay dos iguales, el nuevo símbolo, que puede ser llamado función S , coincide con la función sigma con el mismo termino genérico. Si alguno de los exponentes a l , a2, . . . , a , son iguales, entonces el nuevo símbolocontiene una repeticidndeterminosqueenlafunci6nsigma flucede sólo una vea. Si entre los exponentes al, a2, . . . , a , hay grupos h, p.,. . ., u números iguales, es fácil ver que cada termino de la función sigma se presenta en la función S h ! p! . . . o! veces, de modo que: Sx1a1x2u1 .

Por ejemplo:

xmam =

A! p.! . . . o ! 2: x1a122~2.. . 2 , a m .

297

siendo Q z

.si Q

# a.

Tambih:

Tenemos, en todos 10s sx1a.

CMOS:

Xx,@= SXl"+@-t SXl'X2@ ,

por consiguiente : SXl.X2@

puesto que, en general:

SXl"

= =

S, S@- S,+@,

2 21"

= sm

De manera que es posible expresar mediante sumas de potencias todas ;las doble sigmas xx1.x2e. Para expresar en la misma

forma las triple sigmas

I: x 1 a x 2 @ x 3 y ;

n6tese que en todos los casos

SxpxzB . SXlY

= Xx1a+yxzfi

por consiguiente : Sxlax26 2 3 7

s a s@+y

spty

+ t

STl'xZ@+y

Sa+b - 2

Sx1aXzex3~

sa+g+y

- s a 85 ~y

El mismo metodopuedeusarseparaexpresarmediantesumasde

potenciassigmascutidruples,quintuples,etc.Como las sumas de potencias pueden expresarse por medio de las funciones simetricas elementales, todas las sigmas pueden ser expresadas mediante estas funciones.

Agur es

Z: x12x2 = SxI2x2 = s1 sz - s3 ;

x13= s3 .

Designando -Q

=Ex1 ; q =Xxlxz

; -r

E X I X Z X;~ S = ~

1 ~ 2 x 3 ~ 4 ,

las funciones simdtricaselementales,tenemos: SI

y entonces

-Q

;

=Q2"2q

;

" p 3f3pq- 37,

Fa= - Q 3 + 4 Q q - 8 r

TEORIA DX ECUACIONEX

298

Conservando las notacionesanteriores: xslz=p~-3q y entonces

;

x212z

=p.

F =p'-3q.

Ejemplo 3. Sea

= (21

Por chlculo directo:

WZ:

4-(21 )

0'22

02a)"

F = ~ X X ~ ~ - ~ X Z1 2I~ 1~ ~ :X ! Z~ r .

Sustituyendo aquí:

x x13 = - P

+3pq--3r

hallamos

; X X I ' Z ~= s ~ s : - s ~ = - p q + 3 r

; x12223= - 7 ,

= -2p3+9pq-27r.

El segundometodo para la representacih conveniente de funciones simetricaspor medio delasfuncionessimetricas elementala, ser& explicado por medio de ejemplos. Ejemplo 4. Sea

Este polinomio es homogheo de grado 2, de modo que reemplazando 21, x2, 23, 24 por

kxl, kxz, kx3, k c ,siendo k arbitrario, F se transforma en kZF . Si ahora F pe expresa por

medio delas funciones simetricas elementales, paralas cuales conservamos las notaciones - p, q, - r, s, notamos que consistirá s610 de monomios de la forma p a q@rY

.sa,

multiplicados por factores constantes. Reemplazando 21, 22, 23, 2 4 por kxl, kzz, kx3, kx4, es evidente que p . q, r, S quedan reemplazadas por kp, k' q, k3 r, 'k S, y los monomios anteriores se transforman en k u + 2 6+3r+48 pa qB r Y sa , y puesto que F est6 ultiplicada solamente por k2, la suma todos los t6rminoa debe t ner el mismo valor 2 . Es decir:

rq\b

+ 2 fi + 3 y + 4 8 en

a+2@+3y+4%=2.

Ademh, puesto que 2 es la mayor potencia de x1 que existe en F , se deeprende del P h a f o 7 que a + B + y + ~ S 2 .

FUNCICNES SIYETRICAS

299

Estas dos condiciones con respecto a a, @, y, 8 se satisfacen 8610 para a=O

; @=I ; y=O

; &=O;

a = 2

; @=O

; 8=0;

La expresi6n de F en funcibn de p , q,

y en consecuencia, A = 3. Sean ahora

; y=O

T, S

es, por lo tanto, de la forma

Ap2

+ Bq.

X I , 22, 23, x4

las rakes ae la ecuaci6n

x4-253+2?=0,

de modo que: X l = X z = 1

Ser& entonces: F = 4 ; p =

-2

;23=24=0.

;q = 1 y

4A-B =4;

en consecuencia

B =8,

y por lo tanto:

F =3p2-8q.

Este polinomio es homogheo de grado 4; adem&+,el exponente de la mayor potencia d e z1que aparece en F es 4. Por las mismas razonesque en el ejemploanterior, para todos los monomios pa

q @TY sa

que entran en la expresi6n de F debemos tener a+2@+3y+48=4 a +

+ + Y

8 4 4 .

T E O R I A D,E E C U A C I O X E S

300

Y los únicos números que satisfacen estas condiciones son: =

y por lo tanto, la forma literal de F es:

+ B p r + Cp'q + Dq2 + Ep"

Una comparación de los coeficientes de x14 en ambos miembros nos da E considerando las ecuaciones particulares x4

-1

(xz- 1)2

x (x - 1)

(x2 - 1) =

O. Raíces: O.

= - 1;

i; 5

= 3.

AdemAs,

"i;

p=q=r=O;s=-l.

Raíces: x1 = 1; x2 = - 1 ; 23 = 1; x4 = - 1; p = O ; q = - 2 ; r = O ; S = 1.

O. Raíces: zi

= 1 ; x2 = 1; z a = - 1; x4 = O; p = - ~ I . q = - l ; r = l ; s = o .

+ 1)4 = O.

Raíces: xl

= - 1; z2 = - 1;

- 1;

24 =

-1 ;

p='i;q=5;?-=4;s=l.

Paraestas

ecuaciones la sustitución da, respectivamente: F=64

Porotraparte,

; F=O

; F=19

; F=O.

considerando los valores correspondientes de p , q, r ,

-A=64

; A + 4 D = 0

; -B"C+D+E=19

tenemos ;

A+lSB+96C+36U+256E=~,

que da: A=-64

; D=16

; B=16

; C=-16

; E = 3 .

El resultado final es, por lo tanto: F =3p4--16p~q+16pr+16q2-64s. Problemas Expresar en funci6n de los coeficientes las siguientes funciones simetricas de las raíces: 1. I: x12 22.

x x12 x2?.

3. I: x13 X?.

X xl3 x??.

301

FUNCICCNES SIMETRICAS

5. B 212 x2 2 3 . 7. X 9.

6. X

218 222 XI.

(21-X,)'

10.

(21

11.

(21

+ + (2%

x2)z

-2 3 ) '

Za 2 4 ) (21x3

8. I:21'

-23)'

(22

+ + (22

23)'

21' 2 2 ' 2 3 .

22 2 , ) (21 2 4

1;''

2 3 24.

51.

23)'

21".

2 2 23).

12. Si las raices de la ecuaci6n 2 3 - 3 x 1 = O se indican con ci6n cuyas rafces son a a-'; @ @-I; y 7-l.

hallar la ecua-

13. Con las mismasnotaciones y para la misma ecuaci6n, hallar la ecuacidn cuyas rafces son a? @*; a2 y?; @' yz.

14. Formar la ecuaci6n con raíces 15. Si

a, fi,

7 son las raíces de a

2 3

a@; ay; @y para

-x

la ecuaci6n cúbica general.

+ 1 = O, formar la ecuaci6n con rakes

(@- y)' ; @ ( a - y ) ?

- 6)'.

+ @)

* 16. Si Dn

En = X

a'"]

p"-'

( a - fi)2 ( a

a'"'

@"-I

( a - p)'

#demostrar que Dn

Por lo tanto, si

S n A bSn+2 - Sn Sn+I i En

Sn+l Sn-I - Snz-

y @ tienen mayores m6dulos que las demits rakes de una ecuaci6n

Y a@ =

lím

En+l cuando n +

;

y para n suficientemente grande tenemosaproximadamente

Calcular aproximadamente por este método las dos rafces mayores de la ecuaci6n (a)

~ ~ - 5 ~ ' + 6 ~= O- . 1

Calcular tambien aproximadamente las raices complejas de la ecuaci6n (b) ~ ~ + 6 2 ' + 1 0 ~ -=1O . 17. Demostrar que las funciones racionales simétricas

2"-

1 xl-a

del tipo

+"--2 2 -1a + . . . +-,x , 1

-a

302

TEOBIA DE ECUACIONES

pueden expresarse en funcidn de los coeficientes del polinomiof (z) = (z - 21) (z - zz) . . . (x - zn) en la forma siguiente:

...

18. Si una funci6n racional R (x) se descompone en fracciones simples:

A E ( x ) +-+-+-

R(x)

la funci6n racional simktrica del tipo

(21)

(XI),

por ser E

(5)

x-n

+ ...

+ R (XZ) + . . . + R (X,) ,

(21)

puede expresarse en funci6n de los coeficientes de f de la siguiente manera:

y BE

B x-m

x-1

(5)

= (z

- xl) (x - z2) . . . (z - x,)

un polinomio, puede expresarse en funci6n de

SI. st,

sg,

.. .

Las letras a, @, y en los problemas siguientes, indican raíces de una ecuacidn cúbica que se especifica en cada problema. Calcular las funciones simetricas: 19. X

@+Y

@ + Y

-= a?

20.x-=-+@ + Y

P a+r

@+Y

a f v

+---

para x 3 - 3 z

para x 3 + x ~ - 2 x - - l - 0 .

a+@

+ I =O.

+ Y2

22. I: ___

23.

para

+ x? - 4 x + 2

( a - PI' I: -para 2x3 - 2 2 - 1

26. 2

+ @)'

-para xa - 1 (6 -Y)'

= O.

5. La soluci6n de Lagrange de las ecuaciones cúbicas. - La soluci6n algebraica de las ecuaciones cúbicas y cu4rticas en la forma presentadaen el Capítulo V, aunquebasadaenlas consideraciones m48 elementales,dejalaimpresi6nde unademostracih efectuada con el

FUNCICNES SIMETRICAS

303

empleo de ingeniosos artificioscuyaraz6nno es clara. Como en otros casos, es necesario observar el problema desde un punto de vista superior para entender por que es posible una soluci6n algebraica para las ecunciones cúbicas y cuárticas. Y no s610 eso: los mismos principios, correctamente generalizados y sujetos a un examen más profundo mostrarán la razón por la cual generalmente es imposible hallar una soluci6n alge4. braica para ecuaciones de grado mayor que Consideremos primerounafunci6nracionalenteraentresvariables 21, 5 2 , 5 3 . Si se permutan delas seis maneras posibles, la funci611, en general,adquirirá seis valoresdistintos. En casos particulares puede suceder, sin embargo, que el número de valores distintos sea menor de seis, y entoncesseráuno (para funcionessirnetricas) o dos o tres. Lagrangedemostróque es posible hallar una funcióncuyocubo tenga ~ 6 1 0dosvaloresdiferentes. Sea w una rafz cilbica imaginaria de la unidad y considerese la función lineal x1

022

0 2 5 3

;

022

= 51 f

0x3

0222

;

02 5 3

+ o53 +

132,213,

y paratodapermutaciónimpar y4

de los indices 123, 231, 312 corresponden

Para toda permutación par tres valoresdeestafunción: y1 = 51

y5 = 5 2

+ o21 +

02x2;

321 corresponden tresmás: 0’53

;

= 0y4

;

y6 =

0x1

;

02x1

=53

+ 0 5 2 + o2

21-

Nóteseque y2 =

w2y1 ;

de modo que

y3 = @y1

ozy4;

y13 = yZ3 = y33 ; yk3 = y 2 = y63

Por lo tanto: (21

tiene sólo dosvalores tl = (21

;

+ + 0x2

WZ53)”

distintos-

+ ; = (x1 + + + t z ; tl tz son funciones simetricas

o52

0 253)

0 2 x2

0 4 3 ,

y las combinaciones tl de xl, z2, x3. Suponiendo que 5 1 , 22, x 3 son las raíces de una ecuaci6n cúbica z3 + p X 2 + p + T

se ha116 (verEjemplos 2 y 3 en el Párrafo 4) que tl

-2p3+ 9pq-27r tl t z = (p2 - 3 q ) 3 .

304

TEORIA DJ3 ECUACIONES

En consecuencia,

y tz son las rafces de la ecuación cuadrática

+ (2 p 3 - 9 pq + 27

y puedenserhalladosalgebraicamente. extrayendo raices cúbicas,obtenemos:

+ ( p 2 - 3 4)3 = O ,

Habiendoencontrado

tl y t,,

yademás,tenemoslaterceraecuaci6n

+ + x3 = - P . 22

de la ecuaci6n cúbica. N6tese que entre las laci6n (Ejemplo 2, Párrafo 4)

raíces cúbicas existe la

re-

6. Solución de Lagrange de la ecuación cuártica. -- La posibilidadde resoluci6n algebraicade ecuaciones cuárticasdependedela existencia de funciones de cuatro variables que toman sólo tres valores distintosalpermutarestasvariablesenlas 24 formas posibles. Una funci6n de este tipo es (x1

+ x2

x3 - z4)"

que tiene sólo tres valores distintos:

cuyascombinacionessimdtricas

el -t ez

+ e3

;

el 02 + el e3 + e2 e3

;

el ez e:<,

han sido estudiadas en los Ejemplos 1, 4 y 5 en el Párrafo 4. En funci6n de los coeficientes dela ecuaci6n

+ px3

+ qx2 + TX +

)

305

FUNCICNES SIMETRICAS

de la si-

conraices x1, x2,23,x4, estas combinacionessonexpresadas guiente manera :

el + ea + e3 = 3 p2 - 8 q, el ea + el e3 + ea e3 = 3 p4 - 16 p2 q + 16 pr + 16 4 2 - 64 S, O1 e2.03 = ( p 3 - 4 pq

Por lo tanto,

el,

8s - (3 p2 - 8 q)

+ 8 r)2.

02, O 3 son las raices de l a resolvente cúbica

+ (3 p4 - 16 p 2 q + 16 p r + 16 q2 - 64 - (p3-4

+ x2 x1 - +

5 3

-x4

-5 4

lie,,

x1 - x2 - x3

5 4

en consecuencia : x1 =

-p

+d81+*+d"

= -p -

476-+ 47%- lj7G4

;

x 2 =

p q f 8 T)2

-p

; x4 = - P

+ .\le;--*-qK4

- d K - f4i + d - K

Nótese que las raSces cuadradas dK, dK, fino son independientes; entre ellas existe la relación (ver Ejemplo 1, P&rrafo 4)

7 . El principio de Gauss. - Para ciertas investigaciones te6ricas es deimportancialasiguienteproposici6n: Un polinomio que no se anula identicamente, en las variables f1, f2, . . . ,fn no puede anularse iddnticamente en las variables XI, 2 2 , . . . , x,, luego de reemplazar fl, f2, . . . ,fn por las funciones elementales simbtricas de XI, x2, . . . , xn. Para demostrar esta proposición nótese que el polinomio en cuesti6n consistedeterminosdela forma donde A z O y los exponentes al, a2.,. . , a,,son enteros no negativos-

TBORIA LAE ECUACIONES

306

Entre estos términos nentes al+az+

elegimosaqubllos

...+a,

; a z + a 3 + . . . +an ; as+

. . . ; an-1 t tienenlosmayoresvalores hubieraotrostérminos que satisficieran las mismas fil, p2, . . . , pn, tendríamos ;

= a,,

gn-1

Bn =

an ;

. . . fnBn ,

+ an ; . . . ;

= a,,

;

@,,-I

los exponentes

... f ( j n = a l + a s +

@I+@,+ esto es:

...+an;

es Único. Porque si

condiciones, con respectoa

an-l

los expo-

an,

posibles. Taltermino Bf181fiBZ

en que las sumas de

; . . . ; 61

an-l

...

+an;

al,

lo cual es imposiblepuestoqueun polinomio se escribesiempre manera quelosmonomios semejantesestánsumados. Parailustrar lo quehemosdicho con un ejemplo,consideremos polinomio 2 f13f2’

-!15f22f32

5f1*f2~f3*f4-

7fl’fz

de el

f13f2’f3f4.

Las sumas de los exponentes para los terminos tal como están escritos son 9 , 3 , 0 , 0 : 9,4,2,0 ; 9 , 5 , 3 , 1 ; 8 , 1 , 0 , 0 ; 8 , 5 , 2 , 1 .

El Único termino para el eltérmino

cual todas estas sumas

son las mayores es

5.f14f22f32f4.

En el Único término Aflal

f p . . . fria, ,

así elegido,reemplacemos f l , f 2 , elementales de XI, 22, . . . , xn: fi =

. . . ; fi

. . . ,f n

= ~1x2

por lasfuncionessim6t.ricas

+ . . . ; . . . ;j n = ~ 1 x 2. .

~ 2 x 3

y desarrollemos. El desarrollocontendráeltérmino 44~1a1+aa+.

..+an

x2aa+. .an

que nopuede simplificarse con ningunode tantes deldesarrollode A j 1 a l jia’

. . . frian

. . . %,an, los demjsterminos resnl-

FUNCICNES SIMETEICAS

307

o del desarrollo de cualquier otro termino

Bflbl fZf26*

. . . fn5n ,.

que pueda encontrarse en el polinomio. El hecho de que, luego de reemplazar fi,fi, . . ,,j n por las funciones elementales sim6tricas y efectuar el desarrollo, exista un termino que no puede ser simplificarlo con otros tCrminos, demuestra la proposici6n. De esta proposici6n pueden deducirse dos conclusiones. E n primer luga.r, que - una función simdtrica de x], x2, . . .,xn puederepresentarsecomo un polinomioenlasfunxiones elementalessimétricas, sólo de una manera. Porque, si existieran dos representaciones así, habrfa un polinomio que no se anulariaid6nticamente en fl, f2, . . . ,f n , el cual, luego de reemplazar fl, f2, . . . ,fn por las funciones elementales simétricas y desarrollar, se convertiría en un xl, z2, . . . , x,, lo cual es polinomio que se anularla idénticamente en imposible. En segundolugar, el polinomioen las funcioneselementales simdtricas que representa un, polinomio simétrico, es de igual grado que la mayor potencia de x1 que aparezca e n ese polinomio simdtrico. Por lo tanto, si r es el mayor exponente de x1 que aparece en la funci6n sim6trica 4: v las funciones elementales sim6tricas se representan por:

entonces :

puede expresarse de grado r .

como un polinomio homogheo en ao,al, a2, .

. .,a,

CAPITULO XI1 ELIMINACION

RESULTANTE Y DISCRIMINANTES

1. Ejemplo de eliminación. - S e proponeresolversimultáneamente x2+y2-1=0 ; x3+y3-1=0; es decir, encontrar aquellos pares de números x, y que satisfacen ambas ecuaciones. Para resolvereste problemapodemosbuscardeeliminar una de las indgnitas, digamos la x. Con este fin, despbjese en la primera ecuaci6n x2 : x? =

(Y2 - 1) ,

x, lo que da:

multiplíquense ambos miembros por xB

(y2

1) .

y al igualarambas expresiones, obtenemos

(y2 - 1) = y3 - 1 .

Elevando al cuadrado y reemplazando nuevamente x2 por - (y2 obtenemos : (y' - 1)3

+ (y3 - 1)'

como una condiciónnecesariaqucdebesatisfacer y de manera que las ecuaciones propuestaspuedantener soluciones. Peroesta condición tambiCn es suficiente, es decir, si tomamos como y cualquier rafe de [l], que ('S dc sextogrado, es posiblesatisfacerlasecuacionespropuestas con un mismo valor de x. Las ecuaciones originalcs son totalmente equivalentes a las ecuaciones 308

x2 = - (y2

1) ; x(y"1)

=y"l.

309

ELIYINACION

Ahora, si y2 - 1 = O, se sigue de [l] que y3 - 1 = O, y entonces la segunda ecuaci6n se satisface cualquiera sea el valor de x, y la primera da x = O . Si yz - 1 z O entonces x =

v"-1 y' - 1

.Y por la condici6n [l]. Se puede intentar eliminar x de una forma diferente. T6mese l a ecuaci6n ya obtenida: x (y2 - 1) = y3 - 1 , el6vense alcubo ambos miembros y reemplácese entonces se tiene

+ (Y' - 1l31 = o ,

por - (y?- 1);

(y3 - 1) [(y3 - 1IZ

como una consecuencia necesaria de las ecuaciones propuestas. Pero esta ecuaci6n en y debido al factor y3 - 1 se satisface para valores de y para los cualeslasecuaciones

x* f g - 1

;

+y3-1=0,

no tienen raíces x comunes. E n efecto,sitomamos y = a, siendo o una raiz cúbica imaginaria de la unidad, entonces y3 - 1 = O y de la segunda ecuaci6n se deduceque x = O , mientrasquepara x =O XZ+y2-1=a2-1#0.

Este ejemplo demuestra que al desarrollar el proceso de eliminacih Be debe proceder con gran cautela para evitar la introducci6n de factores extraños, como y3 - 1 ennuestro caso. Para llevar a cabocorrectamentelaeliminaci6nsin el riesgo de introducirfactoresextraños, el camino más natural que se presenta es el siguiente: Para una y dada l a ecuaci6n x*+y*"l =o, tiene raices x1 y x2. Para este valor dado de las raícessatisface tambiCn la ecuacibn 23-t-93-1

entonces (213

y, supongamos que una de

=o;

+ y3 - 1) ( x z 3 + y3 - 1) = 0

310

I'EORIA D.E ECUACIOSES

Recíprocamente,si e& factoresescero,digamos

uno de los

condici6nsesatisface,entonces 213

y 8-

y por lo tanto las ccuaciones

x 2 + y 2 - 1

;

=o,

pq+y3-1

tienen una raíz común z = zl.Desarrollando el producto del segundo miembrode [a], tenemos: Pero

x13x23 + (x13 t x Z 3 )(y3 -- 1) -t (y3 - 1)'

x1x2

= y2 -

+ x.

1 ; x1

y entonces (y2

1)R

O ; x13

(y3 - 1 ) 2

+ x23 = O ,

y suficiente que debc satisfacer y de

represent,a la condiciónneccsaria manera que las dos ecuaciones

;

x 2 + g - 1 = 0

puedan tener una raíz común

2 3 t ~ 3 - - 1 = 0 ,

2. Resultante. - El procedimiento que se acaba tamentc general.Sean

f (x) = a0 x n + a1xn-l g (x) = bo zm + bl " x

". .+ .

de usar es comple-

a, =

+ . . . + b,

dos ccuncioncscuyoscocficipntespucdeninvolucrarotra variable y. Conelfindeobtennr la condiciónnecesaria y suficienteparala existencia dc una raíz común a ambas, designemos por XI, a2, . . . , zn las raíces de f (x) = O , suponiendo aa # O. Si unadeéstas es tambiCn raíz delaecuación g (x) = O, entonces g (al)g ( a d . . . g (a,) = O .

Rccíprocamentn., si estacondici6n se satisfacp,unode los fact>ores es cero,digamos 4 (a1) = O. Entonces, al es una raízcomilna ambas ecuaciones f (x) = O , 9 (x) = O El producto g ( 4 g (x2)

9 (a,) = 0 ,

es una función sim6trica d c las ra,íces zl.a2, . . . , G,, y l a mBxima potencia de al que aparece en 61 es indudablcment,e alm. D c acucrdo con l a ohservnci6nfinal del Capltulo XI3 Pirrafo 7 : ~ 0 B% ( a d

B (ad . . . 9

(22

311

ELIYINACIOiV

grado m en los coeficientes ao, al,. ..an y también, lo que es evidente, un polinomio homogheo degrado n en los coeficientes bo, bl, . . . . bn de g (x). Este polinomiose llama resultante de f (x) y g (x) (en este orden) y se designa por R (f; g) de manera que R (f; Q) = aomg (ad Y (a,) . . . g (a,) . 3 s un polinomio homogéneo de

La anulaci6n de la resultante R (f; g) es, por lo tanto, l a condición necesaria y suficiente para que las dos ecuaciones f = O ; 9 = O tengan una raíz común, supuesto an # O. Si bo # O y @ I , $2, . . . . ( 3 son , raíces de laecuación g (x) = O la resultante R ( g ; f ) ES

R b;f)

bonf

((311

f (h) . . f (@m)

y su anulación es nuevamente la condición necesaria y suficiente para que las ecuaciones f = O y g = D tengan una raíz común. Existe una relación simple entre las dos resultantes R (f; q) y R (g;f). Tomando en consideración el factoreo q

(2)

= ba

(31)

(x -

(32)

. (2- - @m) *

podemos escribir

Aquí el segundomiembro,exceptuado el factor (- l)"", es R (q;f) y por lo tanto R ( 9 ; f ) = (-- 1>-"R(f; 9) '

De esta relación podemos concluir que la anulación de R (f;g) es la condición necesaria y suficiente para que las ecuaciones j = O y g = O tengan una raíz común, siempre que no sean al mismo tiempo a. = O y bo = O . Pues can aa = O , por hipótesis bo z O y desde que R ( f ; g) = O implica I< ( g ; f ) = O , se sigue que f = O y g = O tienen una rafz cornfin.

312

TEORIA DE ECUACIONES

Ejemplo 2. Reeolver las ecuaciones ~ 3 + 2 ~ ~ y + 2 y ( y - 2 ) x + y ~ - -= . O~

; z 2 + 2 ~ y + 2 y 2 - 5 y + 2 =O.

Es conveniente ordenar estas ecuaciones en potencias de y, desde que y aparece solamente elevada a la segunda potencia en ambas. De las ecuaciones así ordenadas (2x+l)y*+(22?-4x)y+z3-4

2y2+(2~-5)y+~*+2=O

elimínese y formando su resultante de acuerdo con la fórmula del Ejemplo

X‘

+ 13 x3 + 56 z2 + 80 z = z + 4)2 (z + 5).

Los valores x = O ; - 4; - 5 son los únicos para los cuales las ecuaciones tienen raiees y comunes; esta raíz puede encontrarse por el método para determinar el maxim0 c o m b divisor. Asi, correspondiendo a z = O se determina y = 2. E n correspondencia con x = = - 4 ; - 5, se encuentra, respectivamente, que y = 2 e y = 3. Todos los pares d e valores z; y que satisfacen las ecuaciones propuestas son: z =

; y = z

x=-4

; y = 2

2 = “ 5

; y=3.

Problemas R e s u e h n s e los siguientessistemas: 1 . x2-xzy

22+zy”y~-2z+2y

2.3x*+3y2-8~y+2Z+2y-2=0, =-l.

xyfz-y+l

=o.

313

ELIYINACION

=o,

3.3x2+3y?-8xy+2x+2y-2 zy+z+y-1 "O.

+ +

- 1) 22 zy y2 - 2 y = o, (y-l)z+y =o.

4. (y

5. ( y - - l ) x ~ + 2 z - " 5 y + 3

XZy+9Z-lOy

=o.

=o,

6. ( y - 2 ) z 2 - 2 z

+ 5 ~ " 2= O ,

=o.

yz2-5zf4y

7. ( y - l ) ~ 3 + y ( y + l 1 ) X ~ + ( 3 Y 2 + Y " 2 ) 2 + 2 Y = 0 , (y-l)z2+y(y"l)zf3y2-1 =o.

8. z2 23

+ y2 = 1, + y3 = o.

9. Eliminese z entre f

(2)

= O e y = 2'. La resultante es

F (Y)

( 6 ) f (-

47)

Por lo tanto, formdlese la regla para la formaci6n de la ecusci6n cuyas rafces son l a cuadrados de las rakes de f (x) = O. Apliquese la regla al cm0 particular f(z) =~6-:224+*-2+1

=O.

10. Para encontrar la ecuaci6n cuyas raíces son los cubos de las rdces de f (z)= O (2) = O e y = 2'. Demostrar que la ecuaci6n buscada ea

es suficiente eliminar z entre f

siendo o la raíz cúbica imaginaria de la unidad. Apliquese este metodo al ejemplo:

f(z) = z 8 " 3 z + 1 = O . 11. De la definici6n de l a resultante demuBstrese que

d'+-p R V; B para un polinomio arbitrario X, siendo dad con la identidad

+ if)

U;S) ,

el grado de g

u;8) = (-

11,"

+ hf. Combinando esta propie-

(g;n',

establecida en el texto, demuestrese c6mo puede calcularse la resultante mediante el proceso utilizado para hallar el m6ximo común divisor. Apliquese este metodo a los ejemplos:

(a)f(z)= z 4 - z ~ + 2 ~ ~ - - 3 z + l ; g(z) = ~ - 2 2 ? + 8 z - l .

@ ) f ( z )- ~ + 3 Y 2 2 + ( 3 Y ? - y + 1 1 ) ~ + Y a - ~ Y ? + 2 y ; 12. Demostrar que

R (f; gg1)

g(z) = t 2 + 2 ~ + d " Y

R U ; 8) R U; U]).

3. El determinante de Sylvester. - La resultante de dos polinomios puedepresentarseenlaformadeundeterminantesiguiendoun elegante m6todo de eliminacidn propuesto por Sylvester. Si dos ecuaciones

314

T E O E I A D,E E C U A C I O N E S

f = O y 9 = O tienen una raíz común, los polinomios f y g tienen un divisor común que no es una constante. Por lo tanto, es natural plantearselapregunta:¿cuál es lacondicih necesariaysuficiente para que dos polinomios

+ . . . t a,, + . . . + b,

f (x) = a o x n t alsn" 9 (X) = boxm bl ~ m - '

uno de grado 11 (de manera que a0 # O) y otro no idénticamente nulo degrado no superiora m, tenganundivisorcomúnque n o seauna constante?. Una rcspurxsta preliminar sc da en el siguiente

LEMA:Dos polinomios f y g tienen un divisor comb qu,e involucra a x si, y solamente si, existen dos polinom,ios .fl y g1 de grados n o mayores que n - 1 y m -- I respectivamente y ?!o idinticamente nulos, de manera que se c u m p l a la identidad fill

+f1s

DEMOSTRACION. - (a) Supongamos que f y g tienen un divisor común degrado > O . Entonces:

n - 1 y m - 1, no idén-

son doe polinomios de grados no mayores que ticamente nulos y tales que f9l

+fl9

( b ) Supongamos que dos polinomios como los requeridos par el lema existan. Entonces, el máximo común divisor de f y g no puede ser una constante. Pues suponiendo que sea una constante, el máximo común divisor de f i g Y flf es $:. Pero f1s = " f 9 l Y f l f , son ambos divisibles por f. Luego, f1 es divisible por f, i o que es imposible desde que el grado de f1 es menor que el de f . Esta contradiccióndemuestra que f y g tienenundivisorcomúnqueno es unaconstante.

Sup6ngase ahora que fl

= ho Xn-l

91 = POX""

x 1 xn--2 lJ.12"

+ . .. + 3

. f .

in-l,

p*m-1,

n constantes Ao, Al, . . . , iin-l; pol no todas cero, tal que idhticamente y trstese de encontrar m

fg1

9 =

. . ., &,,,-I,

ZLIMINACION

Esto da m

Al, . . . , ?,,+I;

n ecuacioneslinealeshomogeneas para determinar polpl1 . . , ~ - 1 , teniendo estas ecuaciones una soluci6n

315

lo,

trivial si y sólo si su determinante se anula. No puede suceder que todos los ho, Al, . . . , h , ~o todos los PO, PI, . . . , p-1 se anulen. Supóngase,porejemplo,que ho = A1 = . . . = 1-1 = O ; entonces, no todos los PO,PI, . . . , p.-1 se anulan. Desde que fl = O identicamente, se sigue que f91 =

f ni g1 se anulanidenticamente. De acuerdo conellema,se puedeinferirquelaanulaci6ndeldeterminantedelsistemaquesirveparadeterminar loscoeficientes de f~ y 31, siendo f1 y g1 polinomios noidenticamentenulosquesatisfacenlaidentidad y estoesimposibledesdequeni

fq1

tf1s

es la condición necesaria y suficiente para que j' y g tengan un máximo > O. Llamaremos a este determinante el detercomún divisor de grado minante de Sylvester y lo indicaremos con D (f; q). Paratenerunaideaclarade cómose construyeestedeterminante tomemos el ejemplo:

+ u1 + + u3, g = box2 + b i z + bz. f =

u0 x 3

Escríbanse las identidades

u2 2

316

PEORIA D.E ECUACIONES

cuyo determinante es:

D (f; 9)

o bien, cambiandofilas por columnas

Este es el determinantedeSylvesteren evidente que en el caso general: a.

D (f; 9)

al a2 . . . a, a0 a1 . . .

el caso n

2. Es

............. a0 a1 . . . . . .

bo bl bz bo b,

= 3, m =

. . . bm

... b, ..............

filas

bo bl . . . . . . b ,

E n este determinante los espacios dejados en blanco por conveniencias tipográficasdebenllenarse con ceros. Por ejemplo: si n. = 4, m = 3 ao

O O

al a2 a. al bz b3 bl b z bo bl o bo

bo bl O bo O O

o o

O O

o o o

Problemas Resolver loa siguientes sistemaa: 1. 2 3 + 3 y z 2 + ( 3 y 2 - - y + l ) Z + y * - y ~ + 2 ? / 2~+2yl:+y?-y=O0.

=o,

O b3

315

ELIHINACION

6. 5 ~ ~ - - 5 5 ~ - 3 ~ +=o, 9 y 523+5y3-15~2-13~y-y2/"=0. 7. 3 ~ ~ + 9 2 ? y + 9 ~ y ~ f 3 ~ ~ + 2 2 ? - 4 4= ~ 5 .+ 2 3 / ~

+ 12 z2y + 12 zy2 + 4 y3 - + 2 xy - y* = 3. x3 + y$-4 = o, 4

2 3

+ yx + 2 = o.

9.23+4y22-3z+2

=o,

2z3+(y+2)9-5~+1=0. 10. Hallar A y

de modo que las ecuaciones

~ ~ - 6 ~ ~ + ' h z= O", 3 23

- 27

+ pz + 2 = o.

tengandosraíces

comunes.

4. Identidad de la resultante

y del determinante de Sylvester. D ( j ;g) es una condición nrcesaria y suficiente para que j y g tengan un miLximo común divisor de grado > O , supuesto a. z O . La anulación de la resultante R (f; g) tambi6nesuna condiciónnecesariaysuficiente para lomismo. Esto nosconduceasospecharlaestrecharelaciónqueexisteentreambos. E n efecto, el determinante de Sylvester y la resultante son polinomios identicos en los coeficientes de j y g. Para no interrumpirla demostración de este hecho capital probaremos primero la siguiente proposicihn auxiliar: Xi 0 ( X I ;XZ; . . . ; x,) es un polinomzo en las variables xl,22, . . . .., x,, que es separadamente divisible por g (XI),g (X*), . . . , g (xn), entonces es divisible por el producto q (SI), g (x3),. . . g (x,) de manera que - La anulación del determinant,e de Sylvester

e ( ~ 1 ;ZZ ; . . . ; x,)

(51)

9 (ZZ). . . 9

(2,)

D (21; xz ; . . . ; x,),

donde Q ( X I ; 22, . . . ;x,) es un polinomio en ~ 1 ~ x .2 .,.,x,,. Pars demostrar esta afirmacidn, supongamos que O, siendo divisible por g (xl)g (X*) . . .

318

TEORIA DmEE C U A C I O N E S

donde lospolinomios

Pk = g (x1) g (x2) . . . g n o contienena

; k

xi. Desdeque

O ; 1; 2; . . . ; m - 1 ,

8 es divisible por g (xi)

Pero el segundo miembro, si no es idénticamente nnlo, tiene al grado m cn xi; por lo tanto:

= . . . = P,,1

menos

son idénticamentenulos y l a proposición estádemostrada.Como 8 es divisible por g (xl) y por g (zz), será divisible por g (21)g (ZZ) de acuerdo a lo que se acaba de demostrar; siendo 8 divisible por g ( 2 3 ) serádivisible, por la misma razón, por g (21)g (xz)g (zz), etc. Para abreviar demostraremos la identidad de D (f; 8) p R (f; g) en el caso particular de n = 3, m = 2, pero el razonamiento puede extenderse al caso general. Sean XI, 2 2 , 23, variables y

f (x) =

(x - 2 1 )

Entonces el determinante de Sylvcstcr

- zz)

- z3)

319

ELZMINACION

es un polinomio en 5 1 , 22, 5 3 . Multiplicando las columnas 1, 2, 3, 4 por x*, x?, x2, x y sumándolas a la quinta columna, podemos escribir D (f; g)

Haciendo x = xl, x2, x3y teniendoencuentaque f ( 2 1 ) = f (Xz) = (x3) = O , vemosque D (f; g) es divisible por 9 (XI), g (xz), g ( 5 3 ) y por lo tanto divisible por g (XI) g (22) g (x3) de manera que =j

D (f; 9) donde T

= g (XI) g (52) g (23)

x3) es un polinomio en 2 1 ,

(21;X Z ;

y observando que: u2

22;

X31

XZ, x3. Escribiendo

2 1 x2

D (f;g) así:

1 a1 1 +-+-; "-

- 1 + -1+ - ; 1

" "

T (21;

x1 x3

1 x2 x3

vemos que el determinante desarrollado contiene, aparte de un termino constante, solamente terminos que involucran 2 1 , 22, x3 en los denominadores. Por lo tanto, en el desarrollo de I) c f ; g) el termino de mayor grado en XI, x2, x3 es de la forma

K xi2

~3~

con K constante. Un termino similar es el de grado m4ximo en x3 en el producto 9 ( 4 9 (52) 9 ( 2 3 ) ,

de donde se puede concluir que

21, XZ,

T (xll x?, 2 3 ) se reduce a una constante-

TEORIA D,E ECUACIOWES

320

Llámese a esa constante C y para determinarla hágase z1 = z2 = z3 = 0 en ambos miembros de la identidad

Como al

D (f;9 )

a2 = a3

c g (51)9

O cuando

D (f;s>=

= x2 =

o o o

a 0 0

9 (23).

a 0 0

bo bl

O O

x3 = O, tenemos:

= ao2b2.

Por otra parte: y así: de dondrt, considcrando bo, bl,

C Y

D ($; 9)

como variables:

= ao2

= ao29 (21) 9

(x21 9

(23)

(f;9 ) .

Esta es una identidad en xl, m, x 3 ; b o , bl, b2 se consideran variables. Pero ambos miembros son funciones simétricas de 2 1 , x2, x3. Siendo idénticasscguiránsiendolocuandoseexprcscncomopolinomioscn ao; al; a 2 ;as; 6 0 ; b l ; b2 de acuerdo al principio de Gauss demostrado en el Capítulo XI, Párrafo 7. Así, l a ident,idad del determinante de Sylvester y de la resultante considerados comopolinomios en los coeficientes de f y 9 queda demostrada.

5. Discriminante. - El productodelas 1/2 11 ( n -- I ) diferencias - x 6 correspondientes a todas las posibles combinaciones de dos índices a < 6 tomados de entre n números 1, 2, 3, . . ., n, a s a b x

\x1

- 22)

($1

- 23)

. .

(21 - X,)

(22

23)

. . . (52 - X,) . . .

( ~ n - 1 - Xn),

solamentecambiadesigno conlatransposicióndedosletras cualesquiclra x, y -%$ y, en consecuencia, por todas las permutaciones de ellas adquiere s61o dosvalores. Su cuadrado es, por lo tanto, simétrico.Si poncmos

f (x)

= a.

X J (z

x%) . . . (x - x,)

= a. zn

+ al zn-l

las funcionm elcmt>ntales simetricas son: al

-__

z. . . . . (" a0

1)"".a, a0

5 ...

+ a,,

321

ELIMIFACION

Por lo tanto: (21

- 2*)2 (21 ~4 ’ 2 . . . (21- 2,)2

(2,

. . (22 - 2,)2 . . . (2-1 -x,)*,

-x$.

que involucra a xl; x 2 ; . . . ; xn simétricamente, puede expresarse un polinomio en . a, a1 . a2 ,. . . . ,-* a0 ao a0 Siendo 2 - 2 lamayorpotenciade ducto anterior:

= a02n--2(x1 - x ~ ) ~... (x1

xl que se presentaen

como

el pro-

. . (x2-x,)*. . . ( Z , , - ~ - Z , ) ~ ,

(x2 -x3)”

se un polinomio homogéneo de grado 2 n - 2 en ao, al, . . . , a, y se llama discriminante de f (x). Si x l ; x2; . . . , xn no represntan variables sino raíces de la ecuación f (x) = O, la misma expresi6n D se denomina discriminantede esa ecuación. Evidentemente el discriminante se anula si y solamente si la ecuaci6n tiene rakes iguales. El discriminante tiene una intima relación con la resultante de f (2) y sus derivadas. Como

f’ (21) = ao (21

. . . (21 - 2), f’ (x?) = a. (x2 - xl) . . . ( 2 , - x,) ................. * . . . . . . . . . . . . . . . f’ (x,) = a. (x, - a ) . . . (x, - sn-l) es fácilver que:

f ~(21) ’ f’ ( a ) .. . f’(x,)

...

(- 1)

-22)

n (n-1) 2

( ~ ~ -1 2,)’ =

aon

(- 1

(x1

n (n-I)

)

. . . (x1

...

2 ~o-n+’ D.

Por otra parte:

R (f;f’) y así:

= aon-lf’ (XI) n

(n-I)

( - 1 ) z a o D

f’ (ZZ) . . f’ (2,) =

R(f;f’).

La expresi6n explícita del discriminante se obtendrá escribiendo

R (f;f’) como un determinante deSylvester.

Ejemplo 1. Encontrar el discriminante de un polinomio cuadrSltico f(2) = a o s * + a 1 s f a 2 .

La resultante de f y f’ es:

R (j;f’) =

2ao

2 a.

322

TEORZA Dd ECUACIONES

de donde

= -

2 a.

=a1?-4aoaz.

Ejemplo 2. Encontrar el discriminantedeun

f (x) = ao x3

polinomi0 cúbico.

+ al z2+

a2 2

3 a o 2al

3 a.

+ a3 .

2 al

3 a o 2 al

dedonde al

a3 O

2al

2 a2

3ao 2al

O O

= -

3 a 0 2a1

3 a. 2 a l

an a3

3a3

a? O

3ao 2 al

Luego de desarrollar este determinante, se encuentra que la expresi6n final de D es:

18 a. al a? a3 - 4 al3 a3

+ al2aZ2- 4 a.

a23

- 27 af a?.

En el caso deuna ecuaci6n con coeficientes numéricos el cSlculo deldiscriminante puede ser reducido al chlculo de un determinante numeric0 del mismo orden que el grado de la ecuacibn. Si al, a?, . . . . a,, son las rakes de la ecuaci6n entonces el cuadrado del determinantede Vandermonde 1

al" . . . al""

1 u2 a-' . . . a2"-l ................ 1

a,,

= ( a , - al) . . . ( a , - a,J

. . . (a? - al)

a n 2 .. . ann"l

difiere de D solamente por el factor ao'"-2. Mult,iplicando ahora el determinante de Vandermonde por sí mismo, columna por columna, y llamando como de costumbre: S;

= al'

+ + . . . + ani, az'

las sumas de las potencias i-ésimas, tenemos:

1 al

al? . . .

aln-1

1 a2 al? . . . a."" .................

a,,'

. . . an'"'

...

8-1

S% . . . S, ..............

s,+1

...

S?-? ,

ELIYINACION

323

y así

Las sumas S; se pueden calcular dpidamente por medio de las f6rmulas de Newton.

6. Raíces imaginarias. - El cálculo de las ralces imaginarias puede ser reducido al de raíces reales por medio de la eliminación. Sea la ecuación propuesta

j(x)

aozn

+ UlX” + . . . 4- an = o , +

con coeficientes reales y sea x = a bi una de sus raíces imaginarias. Entonces, f ( a bi) = O y por la fórmula de Taylor

Como el segundo miembro se anula por hip6tcsis, se anulan sus partes realeimaginariaseparadamente, es decir:

ya que para una raíz imaginaria b z O. Eliminando b2 obtenemos una ecuacióndegradon ( n - 1)/2 quedebeser satisfecha’ porlaparte real de todas las raíces imaginarias. Las raícesreales deestaecuaci6n qucllevanavalorespositivosde b2 puedencalcularseporunode los m6todos explicados en el Capítulo VTII. La ecuación auxiliar que sirve para determinar a es de grado3 , 6 , 10, . . . correspondiente a n = 3 , 4 , 5,... Debido al elevado grado de esta ecuación y al trabajo que toma desarrollarla,este mBtodo de cálculo delasraicesimaginariastiene s610 un valorte6ricoexceptoparalosgradosinferiores n = 3 y n = 4. Es mucho mejor, para este propósito, el llamado metodo del cuadrado de la raíz o de Graeffe. Los lineamientosdeestem6todopueden encontrarse en el Apendice V. Ejemplo. Sea la ecuaci6n propuesta f ( ~ =) 2 ’ + 4 ~ - 1 - 0 .

324

TEORIA

ECUACIONES

El sistema de ecuaciones que sirve para determinar a y b en este cm0 ea b 4 - - 6 ~ ' b ' + ~ ~ + 4 ~ -=1O , ab?-a3-1

Evidentemente a # O; luego: b2 =

=O.

a3 + 1 U

El Único valor positivo de

a* que

satisface esta ecuaci6n es

y, correspondientemente u=&-

Debemos tomar

+ 1

de manera de tener un valor positivo de b2. Entonces:

y las raíces imaginarias denuestra

ecuaci6n son:

Problemas HLllense las rafces imaginarias de las siguientes ecuaciones: 1. x3

+ x + 10 = O.

3. x 3 - 2 x - 5

=o.

2. x 3 - 2 ~ - 2

=o.

4. ~ 4 + ~ * - - 2 ~ + 6 = 0 .

5. ~ ' - 2 ~ 3 + 6 ~ * - 2 ~ -+0 .5

6. ~ ' - 4 ~ ' + 8 ~ - 4= O .

s. z4-2x3-1

x 4 - ~

+ 1 =o.

=o.

APENDICE I ELTEOREMAFUNDAMENTAL

DELALGEBRA

- Se supuso en todo este libro que toda ecuación algebraica

con coeficientes reales o imaginarios tiene, por lo menos, una raiz compleja. Esta afirmacih esconocidacomo teorema fundamental del dlgebra. La evidencia empírica de esta proposicih, recogida de innumerables ejemplos particulares, es tan fuerte que por mucho tiempo fue considerada como algo evidente. El que primero estableci6 el hecho de la existencia de raíces como teorema fu6 D’Alembert en 1746 y trat6 de demostrarlo. Deacuerdoalrigorquehoyse exige, l a demostraci6n de D’Alembert es defectuosaenmuchosaspectos,perocontiene unbuen germeny puede elaborarse con ella una demostración rigurosa. Por ejemplo, una delasdemostracionespropuestasporWeierstrassestábasadaenla ideadeD’Alembert.Laprimerademostracióncompletadelteorema fundamental fu6hecha por Gaussen el comiznzodelsiglo pasado, y desde entonces se han agregado muchas otras. Entre las muchas demostracionesexistentes,probablementelaprimeraylacuarta de Gausc (éstaes sólo otrapresentacióndelaprimera)muestrandelamanera más clara por qu6 una ecuaci6n debe tener una raíz; y aunque los partidariosdel rigor extremoinsistenenlanecesidaddevariosagregados, presentaremos aquí la cuarta demostración de Gauss como la que está más de acuerdo conlos prop6sitos de este libro.

2. Los coeficientes delpolinomio .f (z)

+ azn-l + bzn” + . . . + Z ,

sonnúmeroscomplejos.Seanéstos,escritosenformatrigonom&rica,

a = A (cos

+ i sen a)

; b

B (cos Q

+ i sen Q), . . . ,

Atribuimos tambi6n a z un valor complejo z = T (cos 4

t i sen 4)

L (COR h

+ i sen 1).

Sustituy6ndolo en f (x) y separando las partes real e imaginaria ayuda del teorema de De Moivre, podemos escribir

f(x)

con

T fiU 325

326

FEORIA D E ECCACIONES

donde

= rn

cos n 9

rn sen n

+ Arn-l [ ( n- 1) 4 + a ] + . . . + L cos i,, + A P - ~sen [ ( n- 1) 9 .f a ] + . . . + L sen h . COS

El teoremafundamentalquedarádemostrado si podemos probarla existenciadeun punto con coordenadas polares r y 4 en el que T y U se anulen, y esto se conseguirá recurriendo a la intuición geometrica.

3. Antesdeentrarenlapartefundamental de la demostración debenhacersealgunas consideracionespreliminares. En primerlugar, es posib:e determinar un número R tal que para r > R rn - d Y ( A r n - l

+ Brn-2 + . . . + L ) > O .

Si C es un número positivo mayor que todos los números .4, F , . . . , L , la desigualdad [ l ] se cumplirá si rn

4-5c

( ~ - 1

...

+ -rn1

<-,

rn-2

+ 1) > O

Pero, suponiendo r

> 1:

1 1 -+-+ r r2

...

y en consecuencia, [ 2 ] y con mayor raz6n

esto es, si

r >1

r-1

[ l J serBn válidos si r

>1y

+~Tc.

Basta tomar

R = l + f i C , para quesecumpla

l a desigualdad 111 para

r > R.

4. - En segundolugar, es posible demostrarquelacircunferencia de radio r > R consiste de 2 n arcos en los cuales T toma valores alternativamente positivos y negativos. Con este fin introduzcamos el ángulo a=”

327

APENDICE I

4 n puntos con argumentos

y consideremossobrelacircunferencia

w , 3 0 , 5 0 , . . . , (8 n - 3 ) o 1 ( 8 n - l ) w .

Estos puntos se designarán con PO, PI, Pz, . . . , P4n-1. Combinándolos. en 2 n pares Po, PI; Pz, Pa; . . . ; P4,,-2,P~,,J,será fácil demostrar que en los puntos de cada par, T toma valoresdesignosopuestos,yque estossignosserán (-1)k

(-l)H',

para el par PZk, P2hl.Las amplitudes correspondientes a

(4k + 1)-

t#l=

y 4' = ( 4 k

Pzk y P2k+lson

7r + 3) 4n

y, por lo tanto

Multiplicando los correspondientes valores de T por (-l)k y (-l)k+l, respectivamente, tenemos : (- 1)k T

= ".==

(- l)'.tl T

.\,2 =

+ (-

1)kA T"-' cos [(n - 1) 4

r n + (-

d y

+ . . . + (-

+ al +

1)'.t1Arn-1 cos [(n - 1) 4'

y, por lo tanto, reemplazando (-

1)k

cos [(n

l)k+'

cos [(n -

por (- l ) , sellegaa

+ al t

1)k

L cos A

+ . . . + (-l)'.t'Lcos

+ a ] , . . . , (1) 4' + a ] , . . . , (1) 4

COSA l)H1cos 1 ,

1)k

lassiguientesdesigualdades

cuyossegundosmiembros, por la elecci6n de r , sonpositivos; y esto prueba el enunciado. Por variar T continuamentecon 9, se anulará 2 n veces en los puntos (O), (11, (21, . . . , (2 n -- 1) cuyos argumentos s e r h , respectivamente: o;3 o ; 5 w ;

70; 9 0 ; l l o ;

... ;(8n-3)w;

(8n-1)o.

328

TEORIA DJ3 ECUACIONES

Es importante demostrar que estos puntos

son los únicos en los que

T se anula. Para demostrar &to expresamos cos 4 y sen 4 en funci6n 4 de 5 = t g 7, delasiguientemanera:

e introducimos la expresi6n correspondiente

e n f (x). Entonces, la parte real T se presenta en la

forma

siendo Pzn (5) un polinomio real de grado no mayor que 2 n. Por anularse este polinomio para 2 n valoresdistintosde 4, como se demostr6,su grado es 2 n y no puede anularse para ningún otro valor de 4. Además, las 2 n rafcescuyaexistenciasedemostr6,debenser raícessimples y por lo tanto, alternarse losvaloresnegativos y positivos de T al describir la circunferencia de radio r. Puesto que en el punto de argumento o elvalorde T es positivo y cambiade signo alpasarpor el punto ( O ) , en los 2 n arcos entre (0) Y (1) ; (1) Y (2) ; . * . ; (2 n - 2) Y (2

.los signosde

T seránalternativamente

1) ; (2 n

t,etc.

- 1) Y

(0)

5. -En tercer lugar, demostraremos que U toma valores positivos en los puntos (O), (2), . . . , (2 n - 2), y valores negativos en los puntos (l),(3), . . . , (2 n - 1). El argumento 4 del punto ( k ) se encuentra entre (4 k

+ 1)4n ;c

(4k +3)7:, 4n

1 por lo tanto, (- l)k sen 4 es positivo y mayor que -. Multiplicando

U por

1)’ y reemplazando

(- l)k sen [ ( n - 1) 4

; . . . ; (-

1)k

sen 1.

por - 1, tendremos (- 1)’ U 2 r* (-

y tambi6nladesigualdad

l ) k

sen n 4 - AP-’ - . . . --L,

329

APENDICE I

pero aqui el segundo miembro es positivo por la elecci6n de tanto, el signo de U en el punto (k) es ( - 1)’.

Por lo

6. - Elegido un circulo r de radio >R, su circunferencia es dividida por los puntos ( O ) , (11, (2), . . . , (2 n - 1) en 2 n arcos en los cuales el signo de T es alternativamente negativo y positivo.Cuando el círculo r crece, los arcos (O) (1) ; (1) (2) etc.,delimitan 2 n regiones, que se .extienden hasta el infinito,dentro de las cuales T tomaalternativamentevalorespositivosynegativos; estas regiones estánseparadas entre sf por curvas en las cuales T = O . Para describirmás intuitivamentelasituacih,llamaremos a mares a estas n regioaes, afuerade r, donde T < O, y a las otras n regiones, donde T > O, continentes B. Las curvas en las que T = O serán las a costas B. LOSn mares y los n continentes que existen en al exterior de r se extienden al interior de r a traves de los arcos ( O ) (1); (1) (2); etc. Comenzando por el punto final (1) del arco ( O ) (1) a traves del cual penetra un mar en el interior de r, imaginemos que caminamos a lo largo de la costa de modo que el continentequedeanuestraderecha,yendohacia adentro. Debemos luego salir de r y cuando lo cruzamosnuevamente,yendohaciaafuera, el continentedebe seguir estandoanuestra derecha. Si la circunferencia se recorre en el sentido contrario a las agujas del reloj, los continentes y mares se alternan, de donde se deduce que cruzamos I?, yendo hacia afuera, en el punto ( k ) , siendo k par; es decir, ya sea en (2), que esel caso más simple, o en (4), (S), etc. Por lo tanto existe una curva continua L que va de (1) a un punto ( k ) , siendo k par. Sobre la curva L es constantemente T = O; yen el punto (I), deacuerdo alPárrafo 5, U < O, por lo que U > O en el punto ( k ) . Porvariar U continuamente,enalgún punto de L debe tomar el valor O , de modo que existe un punto dentro de I’ en el cual es T = O y U = O, lo queprueba la existencia de una raíz. La figurasiguiente,copiada de Gauss y preparadaparauna ecuaci6n especial de quinto grado, ilustra perfectamente lo que hemos dicho. Las áreas cubiertas por mares han sido sombreadas y las que representancontinenteshansidodejadas en blanco. Ahora, si partimosde (1) y caminamosalolargodelacosta llegamos alpunto (2) sobre el círculo r, yentre tahay unpunto a querepresenta unarala.

ellos sobreesta cosPodemos partirtam-

330

T E O R I A D,E E C U A C I O N E S

bidn de los puntos (3), ( 5 ) , (7), (9) y seguir la costaen laforma. raíz b. De (5) descripta.Desde (3) llegamosa (8) pasandoporotra llegamos a (6) pasando por una raíz c, y de (7) llegamosa (4) pasandonuevamentepor c. Finalmente,de (9) llegamosa (O) pasando por raíces a, b! c , d de las la raiz d. Esto nos indicaqueexistencuatro cuales c es una raíz doble.

El teoremafundamental del álgebra, por sunaturaleza, pertenece más al análisis que al álgebra. Es natural, por lo tanto, que esta demostración de Gauss contenga elementos trascendentes de carácter analítico y topológico.Existendemostraciones, como lasegunda de Gauss y otras 0btenida.s después de ella, en las que 13s elementos trascendentes. fueron reducidos a un mínimo. Sólo se requiere en estas demostraciones una ecuaciónreal de grada un hecho que pertenecealanálisis:que impartieneuna raízreal.

APENDICE I1 ACERCADELTEOREMADEVINCENT

1. Si una ecuaciónsinraícesmúltiples mediantelassustituciones 1 1 x=a+; y = b + Y z

se transformasucesivamente ; z = c f -

;...

donde a, b, c, . . . son enteros positivos arbitrarios, la ecuación transformada, despu6s de unnúmero suficientedetransformaciones, no presentará variaciones o tendrá sólo una. Este importante teorema fué publicado por Vincent en 1836 en el primer volumen del Liuoville's Journal, pero más tarde fu6 olvidado hasta tal punto que no se ¡o menciona en absoluto en un trabajo capital como es la Enzyclopüdie der mathematischen Wissenschaften. Sinembargo,elteoremadeVincent es la base del método tan eficiente para separar las raíces reales explicado en el Capítulo VI. E n este ap6ndice daremos una demostración de una proposición algomásdelicada que se enuncia como sigue: Sea N k el termino k-6simo de la sucesión 1; 1; 2; 3 , 5; 8 ; 13; 21; . . .

en la cual cada término es la suma de los dos precedentes y donde A > O es la minimadistanciaentre dos raíces cualesquierade la ecuación f (x) = O degrado n, sin raSces múltiples.Supongamos elegido el nilmero m demaneraque: donde E =

Entonces la sustitución x=al-t-

+ +)"

az+ f

[31

331

prcsentadaen l a forma de unafraccihcontfnuaconelementosarbitrarios, enteros y positivos al, u 2 , . . . , am,transforma la ccuaciónf (x) = O en l a ecuación F (5) = O que no tic.no más de una variacibn. 2. Sea, en general, P,/Q, l a k-ésima reducida de la fracci6n continua

De l a ley dc formaci6n de las reducidas:

pk+l = &k+l

v considerandoque (2k

Nk.

uk+l P k

= u k + l &k Q?

= a2

+ f

Pk-1, Qk-1

g 1, se siguedeinmediatoque

Bdemás, l a rt.laci6n [3] aparece en l a forma

APENDICE I1

la diferenciadelas

333

cunlcs es envalorabsoluto

iguala

1 &-I

Por lo tanto:

de donde

( P m - a&,)

(Pm-1a&m-1)

E n consecuencia,la parte real de &m-1

Pero &m

&m-1

Nm-1

1 &m-1

será negativa

&mb2

I <

51. -

l b l > y .

L a desigualdad que acabamos de escribir se deduce de

y &to,envirtud de [l],es cierto.Luego,las ecuación transformadatienencomponentes

raíces imaginariasdela reales negativas.

3. Supóngaseque con x llamemosindefinidamente ::, raíces reales de la ecuación f (x) = O, si las hay. Deben considera,rs;; 4 3 s casos. Supóngase primero que en correspondencia con todas las ;:.:.ices reales x

Entonces se deduce de [4] que todas las raíces realesde la ecuacih transformada F (5) = O seránnegativas. Se hademostradoyaque todas las raíces imaginarias de esta ecuación tienen componentes reales negativas. En consecuencia, F (k), ademásdeunfactorconstante, consta de factores lineales reales 5 + a con a positivo y factores cuadráticos t2 + b 5 c con b y c positivos. Luego elpolinomio F ( E ) n o presenta variaciones. Supongamos en rl segundo casc que para alguna raiz real x

(Pm-1

- Qm-1

Entonces x perteneceal

x) ( P m

intervalo

- &m x) S O

334

TEORIA D8 ECUACIONES

y por lo tanto

Sea x’ otra raiz cualquiera,real o imaginaria, de f (x) = O y 5’ la rafz correspondientedelaecuacióntransformada.Entonces, teniendo siemprepresenteque

P m &m-1

- Pm-1 &m = (-

se concluye de [4] que

Y+”

&m-1

&m ( P m

- Qmx’)

o bien

siendo

Ahora &m &m-1

y así

la1

> O’>

< E .

Entonces,las raíces delaecuación transformada correspondientes a las raíces zl, xz, . . . , X,-I de la ecuaci6n f (x) = O, diferentes de x, son de la forma

APENDICE II

donde

Entonces : Rk

> o.

335

PEORIA DX ECUACZONES

336

Por otra parte:

"i'

( n - 1)2

y de esa manera la desigualdad [5] quedademostrada.

5. Sup6ngaseque

raiz x la desigualdad estricta

parala (pm-1-

&-I

X) ( P m

- &m X )

< O,

se cumpla. Entonces, la raíz E de la ecuación transformada correspondiente a x serápositiva, y puededemostrarseque el polinomio ( u - 5) ( u - 51) . . . ( u - Sn-1)

4 ( u ),

que difiere de F ( u ) sólo p x unfactorconstante,presentasolamente una variaci6n. Sustituyendo

u &m

=- &m-1

u ; E=-

&m-1

; @ > O ,

tenemos

de manera que es suficiente demostrar la afirmación para el polinomio (u - o) (u

+ 1 + al) . . . (u + 1 + an-l)

o) (un-*

+ R1vm-' +

+ . . . + Rn-l) = un + (R1 - o) U-' + (Rz - RI o) + . . . + (Rn-l - R-20) U - Rn-lo.

Este polinomio presentaevidentementeunavariaci6n una, desde que R1,Rz, . . . , Rn-l, o son positivas y

U'"'

y no másde

es una sucesión decrecientedenúmeros. Quedaporconsiderar el caso (Pm-1

- &m-I 5) ( p m - &m 5) =

Todas las conclusiones referentes a las raíces de l a ecuación transformada correspondientes a las que difieren de x, se mantienen por fuerza y, en particular, la conclusión de que Rh>O. Solamente en el caso en que Pm-1

-&-X

APBNDICE N

l a cantidadllamada

ecuaci6ntransformada En el caso en que tendremos E = reduce al grado

E ser&igualacero.Evidentementeentonces no tienevariaciones.

387

Pn,-Q&n,z = 0,

lo quedemuestraquelaecusci6ntransformada - 1. El polinomio F ( u ) difiere del producto (u- E d ( u - €2)

* * *

(u- E n d ,

solamente porun factorconstante,producto quedesarrollado no presentavariaciones.Luego,elteorema de Vincentquedaperfectamente demostrado.

A P E N D I C E I11

son positivos,siempreque,comopuedelegitimamentesuponerse, po > O. E n todos los determinantes los indices de las letras p en cada fila decrecen de a l, p las letras con indices negativos y aquéllas cuyos índices son > n, se reemplazan por ceros. E n el caso de 71 = 2, este criterio se verifica directamente. Porque las condiciones en ese caso son

sea:

> O;

> O ; p:! > O,

p entonces es evidente que

Po f p 1 x

+ p2x2 = o .

tiene raíces con parte real negativa. Suponiendo queel criterio de Hurwit,z es verdadero para ecuaciones de grado n - 1, vamos a demostrar que 338

330

APENDICE III

contintíasiendocicrtoparaecuacioncsdegrado n , completandode esa maneralademostraciónporinducción.Seguiremos un m6todo simple y elegante de l. Schur. Puedeestablecersesinreparoslasiguienteproposición: Si todas las rakes de f (x) tienen parte real llegativa y 5 es un nfimero complejo, ser6

If(:)

j > ! f ( - S)

if(:)

' =

if(-

4>O, 4 = O,

si R

I < If(-

if({)

5) I

R i<O.

de .f (x,:

Considerenlw la descomposición factorial

j (x) = p , (x - al) (x - az) . . . (x - a,,).

5 = a + bi

Suponiendo tenemos

y considerando el factorlinealreal

6 - ak 1'

+ b2,

(U -

que por hipótesis ak < O:

enconsecuencia,puesto

1 4-wI

> ,

7 1 -4-akI

porser a =

RE $ 0 .

LOSfactoreslinealesilnaginarios aparecenenpares ar y x - a , uno de estos pares y

z, =

+ iZr

Será :

I 5 - a, !'=

(U - 7,)'

;

a, = y r

;

--is,

+ ( b -- 6r)2

;

I 5 - a, i2

conjugados. Sea ; 6,

= (a

> O.

y,)'

+ ( b + S,)*,

Y ; i-~-a,Iz=(a+yr)2+(b-~br)*.

l-E-ar12=(a+y,)2t(b+6r)2

Pero (a

-~ r ) '

segúnsea a

2 (a

t Y,)' ,

70.

E n consecuencia

I(5 ya que es

-ar>

(5 -4 ! <=> I RE

-a,>

5 -a,) 1

$0.

Las desigualdades [2] se deducenfácilmentede

[3] y 141.

141

340

T E O R I A DX ECUACZONES

2. Si hacemos

es fácil comprobarque

Supongamos que po O tal que

> O;

> O ; w > O y sea x un número complejo o

R-<l. X

Entonces,esfácil

ver que

¡ A (5)

i >

iBb)

[7!

3. Las raíces de la ecuacidn = O varían con o, pero sus recíprocas si o < 1. Porque esta estarán acotadas si o está acotado, por ejemplo ecuación, como es fácil comprobar, es de grado n - 1: y las reciprocas de sus raíces satisfacen a la ecuación xn-l

PIP, - POP3 p" ; Po Pl

Pll

...

cuyos coeficientes están acotados. Por lo tanto, o puede tomarse positivo y tan pequeño como sea necesario demodo que para todas lasraíces de 0 = O sea o

R-<l. X

Entonces, las partes reales de todas las raíces de = O serán negatvas si las partes reales de las raíces de f (x) = O son negativas. Porque, suponiendoque paraalguna raíz 5 de = O

RE.20. Entonces,según y según [ 7 ]

[6j

A (Uf(5) = B ( 5 ) f ( IA(5)

I >

IB(U

U !

APENDICE III

34 1

por ser o

R--<l.

En consecuencia :

lo cual es imposible siendo R

2 O.

4. La recíproca tambi6n es cierta: Si po > O; p l > O, y todas las rafces de $ = O tienen parte realnegativa,entoncestodas las raícesde f (x) = O tienen parte real negativa. Cambiando, en la identidad

(2)

f (x> - B (x)f (--

(2)

y resolviendo para f (x) :

f (x) =

zA(-x) A(x)A(-x)-B(x)B(-x)

4J (x) -

342

o sea: Entonces,de [9] I < l + ( - 5 ) 1 1

y Bsto es imposible siendo R E 2 O, porque todas lasraíces por hipótesis, tienen parte real negativa.

de 0 = O,

o sea

En rorma similar:

= a2pi"

o bien

E n general,tododeterminante positivo. Podemos demostrar ahora

DI > O

difiere de Dk+l sólo en un factor que las condiciones

h k

; D2 > O ; . . . ;

D, > O ,

son suficientes para que una ecuación j (x) = O de grado n tenga todas

343

APENDICE III

las raíces con parte real negativa,porqueentoncestenemos PI>OY

A1>0

; Aa>O;

PO > O ;

..., A,J>O.

Por lo tanto, suponiendoque el criteriovalga para ecuaciones de grado n - 1, la ecuación JI = O tendrá todas las raices con parte real negativa y entonces (PBrrafo 4) t a m b i h Eerti verdad para f (x) = O. Las condiciones

DI > O ; Dz > O ; ... ; D, > O , son tambi6n necesarias. Porque si f (x) = O t,iene todas las raices con parte real negativa, el polinomio f (x) consta de factores lineales 2 a con a positivo y factores cuadrtiticos x* t 2 fi x f y con fi y y positivos. P x lo tanto, todos los coeficientes de f (x> son del mismo signo, y suponiendo que po > O, tendremostambi6n Dl = pl > O. Teniendo la ecuaci6n 8 = O todaslas raíces con parte. realnegativa (PBrrafo 3), es necesario que

;

> O ; ... ;

An-I

>O,

por hipótesis; en coasecuencia tambien Entonces :

si todaslas

> o.

Dz > O ; Ds > O ;

. . . ;D,> O .

DI > O

. . . ; D, > O ,

ralces de f

; Ds > O ; (5)

O tienenparte

real negativa,supuesto

APENDICE IV SOLUCIONITERATIVADE

LA ECUACIONDEFRECUENCIA

1. En el estudio de pequeñas vibraciones d:: sistemas mecánicos h a y que tratar con sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenconcoeficientesconstantes:

GI t

all P I

a12

+ ..

t al,

+ + + an? q 2 + . . . + ann qn

= 0,

t a21 91 t a 2 2 p~ . . . a2n qn = O ....................................

an1 41

quedeterminan la variaci6ncon el tiempode los pendientes y1, y%, . . . , q, que definen la configuracih constantes reales a;, satisfacenlacondición u.. t3

O, 71

parámetrosindedel sistema. Las.

a,. 1%3

para todos los indices i, j de manera que la matriz de las formas lineales. de los primerosmiembrosde [I] essim6trica. Para resolverlasecuaciones [ l ] se buscansolucionesdelaforma qk =

Ak Sen (pt -k

PI:

a),

que representan oscilaciones armónicas naturales con la misma frecuencia p y fase a, pero de diferentes amplitudes correspondientes a diferentes parámet.ros. Sustituyendo l a expresión [2] enlasecuaciones [ l ] y simplificando el factor sen ( p t a) obtenemos las ecuaciones siguientes:

+ (a11 - p2) A1 + AI + p’)

UIZ

A% j-

+ +

. . . + al, A,

=O,

(a22 A2 . . . UZ, A , = O , ...................................... a,l A1 an2 A Z . . ( a n n -p’> A n = O .

a21

[3I

Haciendo p2 = h y considerandoquenotodaslasamplitudes se anulan, seconcluyeque el determinante del sistema [3] debe anulame. Esto da la siguiente ecuación en h en forma de determinante a11 - h

F (A)

...

a12

a22

x ..

al, azn

........................... a,l an2 . . . ann - ‘h

141

34.6

APENDICE

cuyo grado es n. Esta ecuaci6n se llama ecuación de frecuencia. La misma ecuaci6naparece enlateoría de lasperturbacionessecularesdelas ecu,ación 6rbitasplanetarias y por estarazón a menudoselallama secular. Considerada independientemente de los problemas físicos o astronómicos, la misma ecuaci6n es conocida como la ecuación caracterbtica de la matriz, a12 . . al, A = a22 . . . azn .

( ::: ) ................ ani an2 . . . ann

Como se expresó anteriormente, se supondráqueestamatriz simCtrica.

2. Dos conjuntos de amplitudes Al, Az, . . . ) A,, y AI’) Az’, . . .,A n ’ correspondientes a dos raíces distintas h y 1’ de la ecuación de frecuencia satisfacen la condicidn de ortogonaEidad

+ A2Az’ + . . . + A,A,,’

AIAI’

=O.

El origen de esta expresi6n se explica por el hecho de que dos vectares

(Al, A z ) * . ., A n )

A‘

(Al’

Az’ . . . ) A:)

)

se llaman ortogonales si suproductoescalar

A X A’ = A1 Al’ se anula. Para probar la de ecuaciones lineales

A , A,,’,

afirmaci6n anterior considbrense dos sistemas

all A , I-

a21 A1

+ A2A2’ +

A, t ... a22 A2 ... a12

+ aln An

~2~

=h =

AI,

h At,

..................................... a,l A1 t a d A2 t . . . annAn = A A n ,

+ a12A2‘ f . . . -t a l , A,‘ = h’ A l , + aZ2-42‘ + . . . + a2, A,,’ = A’ A Z ..................................... aril Al’ + an2Az’ + . . . + annA,‘ = 1’ A , .

all A,‘ a21 A,’

151

[GI

Las ecuaciones [5] multiplicadas respectivamente por AI’, A;, .... Ad

y sumadas dan por resultado

aij A l A j i ,i

A ( A 1A,’

+ A2 Az‘ t . . . + A , A,,’)

[71

346

T E O R I A D,E E C U A C I O X E S

donde en el primer miembro la doble sumatoria se refiere a 10s indices i, j que toman independientemente los valores 1, 2, . . . , n . Lasecuaciones [6] multiplicadas por Al, Az, . . . , A , y sumadas dan, por otra parte : aj;A(Aj = h’ (AIAI’ + A2A2’ . . . + A,A,’). IS1

i,i

Pero como ug = uji ambassumas de los primerosmiembros y [8] son iguales y restando tenemos (1 - 1.’) ( A 1 A ;

y así

AIAI’

+ A,Az’ +

+ AzAz’ +

...

+ -4,A,’)

+ A,A,’

de [ 7 ]

ya que h‘ z h. La relación de ortogonalidad puede usarse para demostrar, siguiendo a Lagrange, que las raíces de la ecuación de frecuencia son reales. Supónh =a gi; 4 z O ; entonces gasequehubieraunaraízimaginaria existirá una raíz imaginaria conjugada h’ = a - gi y sería h’ z h. Las ecuaciones [5] se satisfacen para valores complejos AI, A?, . . ., -4, no todos nulos. Las ecuaciones [6] correspondientes a la raíz conjugada será satisfecha por números Al, A 2 , . . . , A, conjugados, respectivamente, de Al, A,, . . ., A , y la relación deortogonalidad da

”

o bien

j A 1 I 2 +I A z I 2

+ ... + IA7L12=0,

lo cual requiere que A1

= A2 =

... = A ,

contrario a la hipótesis. En lasaplicaciones mecánicas, lasraíces h sonno sólo reales, sino positivas y distintas,exceptuando casos verdaderamente excepcionales de aplicacionesde poco inter&.La formacióndelaecuacióndefrecuenciasegún el desarrollodel determinante [4], puedeser deorden elevado en algún caso, lo que representa un trabajo tedioso. Cuando las raíces A difieren considerablemente en magnitud los ingenieros prefieren cálculosaproximadosdelasmismasporalgún proceso deiteración. E1 propósito de este aphdice es explicar los lineamientos de este proceso. 3. La exposición ganará considerablemente en simplicidad y elegancia

haciendo uso del álgebra de las matrices. Con este fin debemos agregar algunas nociones que no se han dado en el texto del Capitulo IX, Párrafos 12 al 15.

347

APENDZCE ZV

Una matriz A * obtenida de la matriz A cambiando filas y columnas se llama transpuesta o conjugada de A . Una matriz simetrica es autoconjugada, de manera que A* = A y viceversa,cualquier

matrizquesatisfagaesta relaci6n es simCtrim. Los determinantes de las matrices conjugadas son iguales. Por la regla de multiplicaci6n dematrices se verificalasiguienteecuaci6n:

( A B ) * = B* A * quepuede interpretarse diciendo que la matrizconjugadadel producto es igual al producto de las conjugadas de los factores tomados en orden inverso. Una matriz S se llama ortogonal si satisface la condici6n de la ecuación SS* = E PI de donde se deduce, en primer lugar, por la regla de la multiplicaci6n dedeterminantes,que: (det S)2 = 1 demaneraque

det S = f 1

y en segundolugar,que

S* =

y, por lo tanto,t,ambien

S*S

8-1

Si cij son elementos de una matriz ortogonal, surge de las ecuaciones [lo] que ellas satisfacen las relaciones

[9] y

ci12

+ ... +

cin2

= 1

+ ciZcJ2-t . . . + cincjn = O

para i

j ,

[ll]

+ C?P + . . . + c,? = 1 cliclj + cfi czj -I- . . . + cnicnj = O

para i

[121

cilcjl

c,22

Cl,"

4. Sean AI, An, . . . , A n las amplitudes correspondientes a una raíz h delaecuacióndefrecuencia. Al multiplicarlasporunfactor convenientepuedesuponerseque

Al2

+ Az2 + . . . + An2 = l .

348

PEORIA DE ECUACIONES

Las amplitudes que satisfacen esta lizadas. Sean

al,a2,

condición serán llamadas norma-

. . . . an

61, Q2, . . . . (In ........... VI, y2,

....

amplitudes normalizadas correspondientes, respectivamente, a las raíces Al, 12, . . . , A n de la ecuación defrecuencia. Si suponemos, por simplicidad, que estas rakes son simples, las amplitudes normalizadas correspondientesalasmismassatisfarhnla relación deortogonalidad,de donde, en virtud de [ll],se deduce que la matriz

es ortogonal.Lasamplitudescorrespondientesala raíz las ecuaciones all al a12 a2 ... al, an = AI a1 a21 al t a 2 2 a2 t . . . azn a , = AI m , ...................................

U al

que,introduciendo

un2 a2

+ ... +

ann

an =

satisfacen

an,

la matrizcolumna

puede condensarse en una ecuación matricial Deesta

ecuación surgeque AZ( a ) A 3 (a)

A A (a> = hl A ( a ) = A l 2 ( a ) A A 2 ( a ) = A12A ( a ) = Al3 ( a )

y en general, que A m

( a ) = Alm ( a ) .

Introduciendo en formasimilarmatricescolumnas (F), . . . , (v) correspondientesa las raíces A,, . . . . A, tenemos entonces n ecuaciones matriciales A m ( , )

hml(a) ;

A m ( $ )

‘hZm(3)

;...

: A m ( v )

an"(^/).

APENDICE IV

3-19

Sea.

una matriz columna

y escribamos

AC = C1 ; AC1 y, en general

Cz ; ACz = CS; . . .

Cm = AC-1

A"C.

serán menoresque 1 y suspotencias convergertin a cero cuando los exponentes aumentenindefinidamente.Supuesto,por lo tanto, que y1 zi z O, el límite de la r a s h c;( m+l) Ci( m)

350

TEORIA DX ECUACIONES

con m + será AI, y para m grande, la mayor de pondientea la máximafrecuencia)puedesercalculada mentedela ecuación 03

lasraíces (corresaproximada-

Ci( m+q

Al=

Ci(9

i u u a e , en general, i puede ser uno cualquiera de los números 1, 2, . . . , n. Consideracionessimilares demuestrantambiénquepara m grandelas razones c,(m) c1(m)

seránaproximadamente

,."

c,(m)

igualesalasrazonesdelas a2

amplitudes

an ,. . . . ., -

E l cálculo de. c ~ ( ~ c,(~), ), . . . , c , ( ~puede ) realizarse por un simple método recurrente, usando las fórmulas c1 (m+l)

+ an + a22

= a11 Cl(m)

aln c , ( m ) ,

azn c,(m), = a21 Cl(m) cz(m) ... . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c2 ( m + l )

= a,1 c,(m) f an2 CZ(m)

c,(m+l)

+ . . . + ann Cn@)

Con respecto a los valores iniciales de cl, c2,. . ., cn, pueden ser tomados arbitrariamente, con l a sola condición de que y1

= c1a1

c2az

-t . . .

+ cna, z O

Si c1, cz, . . . , C, se toman al azar, esta condición se satisfará en general. Para encontrar la raíz menor de l a ecuación de frecuencia, o sea la mínima frecuencia,puedeaplicarseelmismométodo a lamatriz recíproca A-l. Para demostrarlo,nótesequelaecuacióncaracterística de A es F (1)= det ( A -- h E ) = O . Ahora

A(A-'-A-'E) d e donde,porla

=-A-l(A-AE),

regla de multiplicaciónde

det A . det (A-l- A-l E) = (-

y deestosesiguequelasraíces

1)"A-" det ( A - A E)

de la ecuacióncaracterísticapara

matriz recíproca A -l son

Al"

determinantes

; Az"

; . . . ; An"

351

APENDICE IV

y la mayordeellaseslarecfprocadelamenor raíz correspondiente a ,4. Por lo tanto, la menor raiz puedecalcularse por ei proceso anterior. Una vez que la rafz mayor se ha calculado con suficiente aproximaci6n, las otras raíces pueden calcularse aproximadamente por el mismo metodo,suplementado con ciertasconsideracionesadicionales,pero que nosotros no trataremos. El metodo explicado en este apendice se basa en la misma idea que el antiguo metodo propuesto por Daniel Bernoulli pard cualquier ecuaci6n algebraica y tiene los mismos defectos de convergencia lenta cuando las raices no son numericamente muy distintas. Lalenta convergenciaque a veces ocurre se compensapor el hecho de que los errores accidentales de c6mputo solamente retardan el prsceso pero no influyen en el resultadofinal.Lasimplicidaddec&lculo~ es otraventaja especialmenteapreciablecuando el trabajo se confía; a un grupo de calculistas. Probablemente Bstas son las razones por las cuales muchos ingenieros usan este metodo con preferencia a otros. El defectode una convergencia lznta puederemediarse, en cierta; manera, por el siguiente procedimiento que lleva a usar 2 n iteraciones en lugar de m. Refirihdonos a la expresi6n

yalas

relaciones deortogonalidad

+ c2(m) c2(m+1) + . . . + cn(m+l) + C Z ( ~C) Z ( ~ +) . . . + cnCm)c,(~)

r m= cl(m)

c,(m+l)

Am = c,("')

c1im)

tendránlas

[12], es fácil encontrar que

expresiones sencillas siguientes

de donde el cociente rm Am

11, y es fácil ver q u e

será aproximadamente igual a la mayor rala

Ejemplo. Sea la matriz

(-:-y -:) 2

-1

352

PEORIA DE ECUASIONES

rla

Al0

3,246975,

mientras que la mayor raíz característica de la matriz A es 3,2469795,

de manera que la aproximacih, aun bastante satisfactoria.

despuCs de un número tan

reducido de pasos. es

APENDICE V EL METODODEGRAEFFE

1. Cuando es necesario calculartodaslas rafces deuna ecuaci6n) incluyendo las imaginarias, el asi llamado metodo del cuadrado de las raíces o de Graeffe es preferible a los demhs y es el linico metodo pr&ctic0 para calcular las raíces imaginarias. Las primeras ideas de este metodo se encuentran en los escritos deWaring en el siglo XVIIl. M&s tarde fu6 propuesto independientemente por Dandelin (1826) y Lobatchevsky (1834) un metodopara el cálculo de las rafces basado en la misma idea, pero s610 Graeffe (1837) lo desarroll6 en todos sus detalles. Sea f(x) = Po -tP l Z p z x a . . . p"z" = o,

la ecuaci6npropuesta, con raices al, ay) . . .) a,. La primera parte del metododeGraeffeesunalgoritmoparalaformaci6ndelaecuaci6n con las raices al2, aZ2, . . . y a2n. Como (--

f (x) = p , (x - ad (x - a2) . . . (x - a,) , l)"f(- x) = P, (5 t ad (5 + at) . . . (x a,>

y multiplicandoestasecuacionesmiembro

a miembro,tenemos

( - 1)sf (2) f (- x) = pn2 (xz - a,') (x2 - a2) . . . (z2- a,2)

de manera que, reemplazando x por al2, zz2, . . . , an2 puede escribirse asi:

F(x) = f

f i )

la ecuaci6n pedida,

(dY)j(-dZ)

)

de rafces

Ahora

f(dy) S(-*)

=pOfp2xfp4x2f.--+~~(pl+p3z+PSx2+...)y =

$- pZx

+ p4x2 f

.. . - G ( p 1 f p3x

pSZ2

a ) ,

353

354

TZORZA

ECUAGZONES

continuándose los términos entre paréntesis mientras los subindices de las letras p no sean negativos o mayores que n. Se obtiene una simplificación cambiando x por - x en F (x), es decir, considerando la ecuación cuyas rajces son: - el2; - aZ2; . . . ; - an2. En este caso, tenemos la siguiente regla uniforme: Escribiendo la e c u a c i h original en la forma a0

elcoeficientede - al2; - a 2 ;

+ . . . + a, = o ,

a1 xn-1

x"-' enlaecuacióntransformada,cuyas

. .

. ; - an', está expresado por la suma ai"

ai+l

+ 2 ai-2

ai+2 -

raíces son

...

que se continíia mientras los indices 110 sehacennegativos o mayores que n. Por una repeticióndelmismoproceso,seobtienenecuacionestransformadas cuyas raíces son - XI*

;

- al8

;

- a116

;

a24

;... ;-a2

- a28 ~

;

; . . . ; - zn8 :

ap;

. . . ; - an16 ;

etc. es decir, las opuestas dc las raíces al,az, . . . , a,, elevadas a exponentes que son potrncias de dos rápidamente crecientes. Luego de algunas de estasoperacioneslos coeficicntesde lasecuacionestransformadas se hacenexcesivamentegrandes y es necesarioreemplazarlosporvalores aproximadosreteniendounciertonúmerofijode cifrassignificativas, porejemplo, cinco o seis. Reteniendogeneralmente,porejemplo, scis cifras,se puedeesperarobtener raícespor el método de Graeffe también con seis cifrassignificativas. Los cálculosserealizanconvenientementt: con la ayuda de una máquina de calcular. Otra forma de evitar el uso denúmeros muy grandesesreemplazar los coeficientesdela ecuacih t.ransformada por sus logaritmos (o mejor, par el logaritmo de sus valores absolutos) agregando una letra n al final del logaritmo para indicar un coeficiente negativo. Los coeficientes de las ecuaciones transformadas serán todos positivos si la ccuación propuesta tiene solamente rctices rcales,demanera que los coeficientes negativosindicanlapresencia de raíces imaginarias, aun cuando l a recíproca no es cierta nccesariamentc. Cuando se usan los valores logarítmicos de los coeficientes, es de mucha ayuda tener tablas de logaritmos de Gauss que permiten tomardircctamentedelatabla el logaritmodelasuma O diferencia dc dos númcros cuyos logaritmos son dados. La excelente tabla de logaritmos a scis decimalesdeBremikercontienetambiéntablasde logaritmos de Gauss.

355

APENDICE V

Ejemplo 1. Sea la ecuaci6n propuesta ~ 4 + 2 ~ ~ - 6 d - 2 ~ = + o1

Los coeficientes de las primeras tres ecuaciones transformadas se han calculado exactamente de acuerdo con lo anterior y se consignan en la siguiente tabla: -2 -6

1606

16 164

2525446

23684

22 23

164

23684

Los números de la columna de la izquierda muestran los exponentes de las potencias a las que han sido elevadas las rakes. Al pasar a las siguientes ecuaciones transformadas retendremossolamente seis cifrassignificativas. Los resultados son los siguientes:

Para la ecuación transformada siguiente los coeficientes dentro de la aproximación supuesta serían iguales a los cuadrados de los coeficientes precedentes: una circunstancia importante relacionada con elmétodo de Graeffe que demuestraque no es necesario continuar mAs el cbiculo.

Ejemplo 2. Seala

ecuaci6n propuesta ~ ~ + 8 ~ ~ - 7 ~ ’ - 5 0 ~=-O 3. 0

Los coeficientes dela primera ecuación transformada, calculados directamente: 21:

sonreemplazadospor 2l:

789

2080

900

2,897077

3,318063

2,954243

sus logaritmos: O

1,892095

Los cAlculos siguientes, hechos con ayuda de las tablas logarítrnicas de Bremiker, dan: 22 23

24 26

3,653792 7,294564 14,588985 291177970

5,476891 10,804246 21,573568 43,145614

6,463324 12,900923 25,801272 51,602544

5,908486 11,816972

23,633944 47,267888

En el paso siguiente todos los logaritmos se duplicarían así que, con la aproximación deseada, no es necesario continuar m&.

2. D e manera de poder explicar c6mo el proceso descripto en el Párrapara el cálculo de las rakes, comenzaremos con el

f o 1 puede ser usado

356

ZEORIA D E ECUACZONES

caso más simple cuando las raíces al, az, . . . , an son todas reales y de distintovalorabsoluto.Llamandoengeneral pk a ! 1, sup6ngaee que

> pn > . . . >

pn.

Llámese Ao, A1 , . . . , A , a los coeficientes de la ecuación transformada correspondiente al grado m = 2 h de las raíces. Entonces evidentemente es

Enestassumas lostérminos pl", p l m pzm, p l m pzm pzm1 . . . sonlos términosdominantesy los otros términosseránincomparablemente menores si m es unnúmerosuficientementegrande.Entonces, con pequeñoserroresrelativos €1, ~ 2 ,€ 3 , . . . podemosescribir - p l m (1

+ €1)

A2 ; __ - Pl"

B2"

;

€2)

?lm

P3m

€3)

;

de donde, con pequeñoserrores m log p1 = log

-41 ; m log

pz =

A2 log - ; m log p1 pz Ao

y con errores aún más pequeños [debido

1 A1 log p1 = - log; log m

A4o

pz =

- logm

log A0 A3

al divisor m grande): A2 A0

log

;

p1 pz p3

Pasando a la siguiente ecuación transformada, A,', Al', . . . tenemos t a m b i h

= -log m

-43

-; . .

[l]

cuyos coeficientes son

o, con erroresrelativospequeños:

que explica, engeneral,

el fenómenoobservadoen los dosejemplos precedentes. Recíprocamente, cuando se satisfacen estas ecuaciones den-

357

APENDICE V

tro del grado de aproximación prescripto, puede suponerse sin temor a error quepor lo menos con lamismaaproximación se cumpliránlas ecuaciones [l]. Habiendoseencontradoen [l] los logaritmosde los módulos pl, ps, p 3 , . . . estosmódulos se determinaninmediatamente porlastablaslogarítmicas.Conrespectoalsignodela rafzse podr8. encontrarsindificultad siseconoce groseramentelaubicacióndelas raíces. Ejemplo 1. Resolver la ecuaci6n ~ ~ + 2 5 ~ - 6 5 ’ - 2 ~ += 1O , vista en el Ejemplo 1, Phrrafo 1. Los coeficientes de la quinta ecuaci6n transformada son 308991 X 10l2 406631

308991 X loll

X lolo

y sus logaritmos

O de donde

17,489945

17,489945 25,609200

32 log

17,489945

32 log

17,489945

32 log

p i pz

32 log

y, en consecuencia: log

PI =

25,609200 O

p3 p4

0,546561 ; log pz = 0,253727 ; 10g p3 = 1,746273 ; log

3,520150 ;

1,793604 ; p3 = 0,557536 ; p 4

1,453439

0,284079.

Con una noci6n somera de l a ubicacibn de las rakes se encuentra que son - 3,520150 1,793604 - 0,557536 0,284079

+ +

Suma: - 2,oooO03 en lugar de - 2. Presentada la ecuaci6n en la forma (52

+ z - 1)* = 5

5 2 ,

es fhcilmente resoluble y sus rakes son:

o aproximadamente

- 3,5201470

+ 1,7936045 + 0,2840790

- 0,5575365 Los valores anteriores son tan pr6ximos a &tos como podia esperarse del uso de tablas de logaritmos de seis decimales.

358

TEORIA DE ECUACIONES

Ejemplo 2. Resolver la ecuaci6n ~ ~ + 8 ~ ~ - 7 ~ ~ - 5 0 ~ - 3 0 = 0 ,

ya vista en el Ejemplo 2, Párrafo 1. Los logaritmos de los coeficientes de la quinta ecuaci6n transformada son: O

29,177970 43,145609 51,602544 47,267888

de donde 43,145609

51,602544

- 43,145609

- 29,177970 32 log p l = 29,177970 ; 32 log pz = 13,967639

32 log

47,267888

- 51,602544 32 log p4 = 5,665344

y, por lo tanto: log

log p? log

p3 =

log

p4 =

0,911812 ; p l

8,16228

0,436489 ; p2 = 2,73204 0,264279 ;

p3 =

1,83772

1,864542 ; p4 = 0,73205

Sin mucho inconveniente se determina que las raíces son:

- 8,1622e

+ 2,73205

- 1,83772

- 0,73205

- 8,00000

8,456935

350

APENDICE V

los terminos alm a2m . . . axrn ; alm azm . . . a,m ; alm at* . . . avm ; . . . son m dominantes y los otrosterminosincomparablementemenorespara grande. Luego, con errores relativos arbitrarios y pequeños E ~ €2) , e3, . . . Aa - (al Ao

...

ai)"

(1 -

(a1 a2

; A, Ao

€1)

...

a")m (1

;

(a1 a2

€3)

. . . a,)" (1 + E*) ;

; ...

o lo que es lo mismo AA

(PI

...

pa)" (I

dedonde,nuevamente p1

1 . . . pa = -log

€1)

( P l pz

. . . PJ"

(1 t

€2)

;

.. -

con pequeñoserrores Aa Ao

; pa+l . . . pr

1 -log m

Ab ,. Aa

y estas relaciones se satisfarándentrodela aproximaciiínprescripta cuando las transformaciones se continúen de manera que los logaritmos de las razones

A,, . Ao

A, . -

' Ao

5', ...

' Ao

comiencen aduplicarsede una ecuaci6n transformada a lasiguiente. La sucesi6n de los coeficientes divididaen

secciones

cuyosextremosmuestran las razones

una regularidad decomportamientoen

que

tienentendencia a elevarse al cuadrado o suslogaritmos a duplicarse cuando se pasa de una transformada a la siguiente, mientras que los

360

TEOBIA DE ECUACIOXES

terminosintermediosnomanifiestan talcomportamiento regular. En la práctica por lo tanto, es siempre fácil encontrar mientras se ejecutan las transformaciones, los valores de los indices A, p, Y , . . . De las ecuaciones [2] se pueden hallar valores aproximados de los productos de los m6dulos p 1 , . . ., p i ; p ~ + 1. . . pp; . . . de cada grupo. Para ver c6mo ayuda Qtoaencontraraproximadamente el m6dulo delas raíces realese imaginarias,sup6ngaseporejemplo,queentrelas rakes al, a2, a3, a4,

ab,

deuna ecuaci6ndesextogrado,ordenadasen sentido decrecientede sus m6dulos, a1 es raízreal, a2 y a3 imaginariasconjugadas, a4 realy as y a8 imaginarias conjugadas de manera que tres de ellas no tengan el mismom6dulo. Entonces p1

> PS

= p6

p para m grande la sucesión de los coeficientes

Ao ; A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6 se encontrar6 que se divide

en secciones

, A1 A1 , Az , A3 Ao

A3 A4

, Al

, A5 , A s .

Suponiendo por simplicidad que Aa = 1, los coeficientes Al, -43, Aq, A6 mostrargnuncomportamientoregular como se dijo antes, pero A2 y A5, en gen~ral,variaránerráticamente,cambiando designoy mostrandola considerableinfluencia de los coeficientes vecinos A l , -43 y A4, As. Una vez que la partición se ha manifestado, los m6dulos de las rakes reales pl, p4 seencuentranaproximadamente con log

A1 A0

- log - ; log m

y los cuadrados de los m6dulos de las

log

p22 =

-,A4

raíces imaginarias con

1 AI log - ; log

p4 = - log

ps2 = - log

As A4

El procedimientoilustradoenesteejemploserviráparaencontrar los m6dulos de las raíces reales e imaginarias excluyendo el caso de dos o más rakes de m6dulos iguales (o muy pr6ximos) que requiere la aplicaci6n de artificios especiales.

a61

APENDICE V

4. Cuando los m6dulos de las rafces se encuentran por aproximaciones, los signos de las raíces reales son fscilmente determinable6 y los argumentos (o componentes reales) de las raíces imaginarias pueden determinarse de la siguiente manera: Sup6ngase primero que hay un par de raices imaginarias a =tbi cuyo m6dulo es p. Si lasumade las raíces reales se indica con u, lascomponentes reales eimaginarias se determinan de al

2a="-

; b = & T T F

Cuando hay dos raíces imaginarias al f bl i; az f bz i de m6dulos desiguales p1, pz, consid6rense las sumas de todas las raíces y de su8 recíprocas; llamando 5 y o' la suma de las raíces reales y la de sus recíprocas, tenemos dos ecuaciones 2a1 f 2 a 2 =

---o

;

2 a1 +"""2 a2 Pl2

PZ2

an-1

I J '

En el caso en que hubiera tres o más pares de raíces imaginarias de distinto m6dulo puedeusarse el siguienteprocedimientogeneral: Podemos suponer que el grado de la ecuaci6n propuesta f (x) = O es par e igual a 2 v; pues en caso contrario puede reemplazarse por xf (x) = O . Sea p el m6dulo de alguna rajz imaginaria y 4 su argumento. Sustituyendo x = Q (cos d, i sen 4) en

s-.f

igualandoa cero laspartes ciones de la forma

Ca cos v 4

c 1

cos

(2)

reales eimaginarias,tenemos - 1) 4

Dosenv4 fD1sen(v-l)++

+ . . . + C,J

cos d,

dos rela-

+ c, = o ,

... + D , l s e n ~ = O ,

donde los coeficientes son cantidades conocidas. Reemplazando en general : sen k d, cos k 4 ; sen 4 porsus expresiones enlavariable t = cos 4 encontramosque dnica raiz común a las ecuaciones

F (t)

O ; CP (t)

t es la

TJ3OBIA DE ECUACIONES

362

una de grado v y otra de grado Y - 1. Esta raiz común puede encontrarsepor el métodousado al determinar el máximocomúndivisor. El cálculo se realizaconvenientemente si sedispone demáquinade calcular. Existe otro método para calcular Ias componentes rea.les de las raíces imaginarias.Tómeseun n.4mero real k (queporrazonesprácticasno debe ser ni muy pequeño ni muy grande) y transfórmeselaecuación propuestamediantelasustitucih y =x-k.

Haciendo Ia,I = p v

t,enemos u,2

; /a,-k/=r,

+ b,2 = pv2

: ( a , - rC)z

dedonde a, =

; a,=a,+b,i

p,2

rv3 2k

+ b,2 = r,2

+ k2

Los cuadradosde losmódulosdelaecuaciónen y se determinarán. por una nueva aplicación del método de Graeffe; sean éstos r2 ; s2 ; t 2 ; . . Como los signos de las raíces reales c l v se conocen, no hay dificultad cnencontrar los correspondient'es r v . Si lamenor diferencia entre los mcidulos de raíces imaginariasnoconjugadasesmenorenvalorabsoluto que 2 k es fácil ver que c m p. > ??, tenemos también r v > r , y luego los valores r v para las raíces imaginarias pueden encontrarse sin ambigüedadentre r2> s2, t2, . . . Pero los valoresde k quesatisfacen l a condición anteriorpuedensertanpequeñoscomoparacausaruna considerablepérdidadeaproximacihnenladeterminaciónde ay. Con un valor de k mayor, la identificación de r , exrespondiente a p v puede lograrsemedianteunprocesodetanteosfácilmenteaplicableen la práctica, que se basa en la desigualdad y la relaci6n

que se deduce de la expresión de la suma de las recíprocas de las raíces, tomando en cuenta la expresión anterior de a,.

APENDICE V

5. Vale la pena ilustrar estas ejemplos num6ricos.

363

consideraciones generales por medio de

Ejemplo 1. Resolver la ecuaci6n ~ ~ + 2 ~ - 7 ~ ~ - 2 2 2 ~ + ~ + 1 = 0 .

Los resultados del cAlculo, que el lector debe repetir,

se dan en la siguiente tabla: m

3 3

12995

1025

583247X IO6

567665

340177 X 10"

205594 X106

500 241480 -5885

177317 X102

133407X lo3

202003 X 10"

406980 X1027

I*I

-22

1 45

-7

"120145 X 10'0 53584 Xloz6 -180391 X1064

3 x 6 5 4 x 1017

115720 X1038

123468 X1040

133911X10*'

152409 Xl o s 5

1 1

El comportamiento irregular del tercer coeficiente indica la presencia de raíces imaginarias. Luego de seis transformaciones la partici6n se torna manifiesta y los grupos en que se separan los coeficientes son los siguientes: X406980

406980 X

lo2'

- 180391 X

1027

lo5*

133911X10"

123468 X 1040

133911X los1

123468X1040

Esto indica la existencia de tres rakesreales y dos imaginarias. Recurriendo a los logaritmos encontramos log 133911 X 10*l = 86,126816,

log406980 X 1027 = 32,609573,

log 123468 X 1040 = 45,091554, d e donde 64 log p l =

64 log

log

p4 =

64 log pz2 =

32,609573,

- 41,035262

0,509524,

PI =

3,23230,

log

64 log ps

1,358824,

pn = 0,228476,

53,51?243,

- 45,091554 ,

log

pa = p5

1,295444,

0,197445,

que lleva a las siguientes rakes reales:

+ 3,23239 ; + 0,22847

; - 0,19745.

El logaritmo del cuadrado de los m6dulos de las dos raices imaginarias es log y asi, llamhdolo simplemente

p2,

0,836207,

tenemos pz =

6,85815.

364

PEORIA DE ECUACIONES

Considerando l a suma de todas las raíces tenemos 3,26341 f 2 U = - I ,

de donde

- 2,131705,

U =

1,52117,

de manera due las rakes imaginarias son

- 2,131705 f 1,52117i . EjempYo 2. Resolver la eduaci6n $5

-53 - 2 2 5 - 2 s - 1

Los resultados del cSlculo se dan en la tabla: 1

-1

1 1

-3

1 1 1

9 10 1

82 6722 451971 X 10'

-2

36 1476 -5919

151912 X 10 41187 lo9

204278 X 10'0

209732 X 10 X 10' 201291 X 10 0

-1

1 1

1 -8 1 -8 1 -2888 1 414590 X 10 448658

El comportamiento irregular de los números de la tercera y quinta columnas indicp, dos pares de raíces imaginarias. La partici6n es casi completa despu6s de seis transformaciones y la s6ptima es necesaria solamente para efectuar un pequeño ajuste en el número de la cuarta columna. Tomando logaritmos y dividiendo el logaritmo del n6mero de la cuarta columna por 2, tenemos las siguientes secciones de los coeficientes logarítmicos: 15,310222 0

15,310222

12,651912

de donde 64 log p l = 16,310222 ; 64 log pz' = 61,341690 - 64 ; 64 log p 2

log

p1 =

0,239222,

pl =

1,73469,

La rais real es

log pz? p?

1,958464, 0,908790 ,

log

paZ

51,348096 = 1,802314,

p2 =

6 4 ,

0,634329.

1,73469,

y los cuadrados de los m6dulos de las raíces imaginarias, que llamamossimplemente 92 y pt2, son p2 = 0,908790 ; P ' ~= 0,634329

365

APENDICE V

Considerando la suma de todas sus rakes y de sus reciprocas, tenemos dos ecuaciones

+ a'

- 0,86735

-+ - =

- 1,28824

a a

PIZ

cuyas soluciones llevan a a = - 0,16616,

y adem&,

a' =

- 0,70119,

0,93871 , b' = 0,37770,

d e manera que las raíces imaginarias son

- 0,16616

f 0,93871 i ,

- 0,70119 f 0,37770 i

Ejemplo 3. Resolver la ecuaci6n x~-x~+2x"33~+2x~+x+1

=o.

Luego de tres transformaciones los c&lculos se realizan logaritmicamente y los resultadm se consignan en la tabla:

-.1

-1

1 1

-3

1 O

-3

2 2 14 870

5 0,477121 n 3,238297 n 6,148167 11,985109

2,939519 5,900305 11,704236 23,409727 46,814267

2 14 182 31974 4,504797 9,009583 18,019162 36,038324

-3 -3 -3 1 -4327 3,636187 n 7,567165n 14,419561n 29,995115 n

1 -3 -19 -3 0,477121 n 4,805766 n 9,310391

* *

1 1 1 1 O

O O

L a partici6n queda casi completa luego de seis transformaciones y la s8ptima se requieresolamente para hacer un pequeño ajuste en la tercera columna. Dividiendoel filtimo nfimero de esta columna por 2, tenemos las siguientes secciones depubs de seis transformaciones: * 23,409733 O

* *

23,409733 36,038324

36,038324 O

Esto indica la presencia de seis rakes imaginarias. Los logaritmos de los cuadrados de sus m6dulos son: log

p12 =

0,365777 ; log 2,32154,

p? = p? =

0,197321 ; log 1,57515,

p3'

p3*

1,436901 , 0,273464

Para determinar los argumentos escribimos la ecuaci6n propuesta en la forma

X3+" x3

1 x'+-+2x+" X2

- 3= o ,

366

TEORIA DB ECUACIONES

eintroducimos

z = p (cos

+ + i sen 9).

Igualando a cero las componentes reales e imaginarias tenemos

i a4 p3+-

y reemplazando t

cos3++

" p ? (:2

cos

cos2++2

i 'pi p+-

cos+"3=0,

+ 1 "-

+(t)=4

(

t?-2

p3"

Sustituyendo aquí a1,tenemos

( :.) p*+-

p = pl

(

¿+a

yreduciendo

los coeficientes de la mitxima potencia de f

t 2 - 0,+228-10 t - 0,116748

y la raíz común de estas ecuaciones, det,erminadasporelmétododel

divisor es:

COS $1

Y =

Similarmente, se encuentrapara ~2

Finalmente,las

COS

=o,

'P)-(p3-3=0

t3 - 0,247490 t2 - 0,464650 t - 0,072593

t =

mhximo cornfin

-0,190386

- 0,290083.

los otros dos pares de raíces complejas 1,08018 ,

a3 =

componentes imaginariasde

0,290093.

estas raíces son

1,49579 ; 0,63903 ; 0,43510, de manera que las seis raíces imaginarias pedidas son - 0,20008 f 1,49579 i 1,08018 f 0,63903 i - 0,20009

i.0,43510 i

y su suma resulta ser 1,00002 en lugar de 1, lo que sugiere que solamente la última cifra decimal puede adolecer de algún error. Para verificar estos números podemos usar el segundo m6todo explicado enla p8g. 362.. Con este fin tornamos k = 1 y transformamos la ecuación 2 6 - 1:5

+"X4-31:3+2z2+z+l

367

APENDICE V mediante la sustituci6n y = x - 1; la ecuaci6n transformada en y ser& y6

+ 5 + 12 y* + 15 y3'+ 10 yz + 5 y + 3 = O. y6

Luego de cinco pasos los coeficientes de la ecuaci6n transformada se separan en las siguientes secciones: 1

832061 X

lox3

314087 X IOz2

- 408929 X

lo4

- 178969 X 10'8 - 317600 X 10'6

832061 X 1013 314087 X 10" 185302 X 1010

de donde se deduce que los cuadrados de los m6dulos de las raíces imaginarias son:

3,90171 ; 1,85365 ; 0,414800. Con la ayuda de la relaci6n rl? - 1 P12

rz2 - 1

ra2 - 1 +=4, $7P 3?

se encuentra fhcilmente que en correspondencia con =

2,32154 ;

3,90171 ; rz2 = 0,41480 ; r3? = 1,85365

p2 =

1,57515 ;

63' =

0,273461,

debernos tomar TI?

De donde al = a2

a3 = es

decir,prhcticamente

3,32154 - 3,90171 = - 0,290085 2 2,57515 - 0,41480 = 1,080175 2 1,27346 - 1,85365 = - 0,290095 , 2

los mismos valoresobtenidos

por el otro método. Un cSlculo

m i t s preciso lleva a los siguientes valores de las raíces con siete decimales:

- 0,2900809 =t1,4957939i

1,0801744 f 0,6390402 i

- 0,2900935 f 0,4350983 i piz =

2,3215463

pz2 =

1,5751490

pa? =

0,2734647.

En esta exposici6n nos hemos limitado solamente a las características principales del método de Graeffs, dejando de lado cuestiones como el cctlculo de rakes con el mismo o casi el mismo mbdulo, mejoramiento de los valores obtenidos, así como de la investigaci6n te6rica mhs profunda de todo el tema. Para ést0 el lector puede consultar el extenao artículo de A. Ostrowski: Recherches sur la mdthodedeGraeffe en Acta Mathematiea, vol. 72, 1940.

RESPUESTAS A EJERCICIOS Capítulo I

$ 6.

1. “3

+ 2 i. 5. - 1 + i.

2. 3

-i.

4. -i.

- 1/2 i.

7. 3/2

g 7.

11. -1.

12. 3/8

13. z

14. 1.

15. x

1; y = 2.

1. 1.

2. 1.

4. 1.

si z z 1 ; y 9. f-

10.

(a)

-Z~+Z~-Z+I

Q 8. 2. 1.

siz<1.

+i-.

f 1; f i.

3. (a) 1; ( b )

< 1.

2. 15 para z = 2.

l+i

I 10. 1. f T . 1 2

4. f (1 - 2 i).

7. f (z 10. 1

+ i).

2. & ( . L + i $ ) .

3. f

5. f (6 - 7i).

6. f ( f i

+ i; 1 + 2 i.

-1 f

11. - 1

id3

15. &

1+5i

17. - i ;

5-i

fd3+i

19. fi; f

+ i; 3/2 + 4i.

.IT 4

12. f 1; f i.

+ i ) ;f (1 ”).

1 16. 1; “ f i 2 2

42.-

‘d3

43-iI ; f 2

+ i 47)-

1 18. f 1 ; - “ - f - ; - - f i - . 2 2

q3+i

9.“G-”

14. f (1

368

f 1.

1-i ; f-

1 \/3 1; - - f i ; (b) 2

6. 2 ~ ’ - 2 ~ 1,

+ 3/8 i.

3. 5.

+ 1.

I-

-2.9.

10. - 1. =

- l/2 i.

6. l / 2

8. 3/2 - 1/2 i.

7.z3-z2+x-l

3. 5i.

43 2

RESPUESTAS A EJEBCICIOS

22. (u) 2 2

5- 12. 1.

Q 13.

+ 1 = o.

- 60"; (b) + 60"; (c) + 120". (u) - 90"; (b) + 90"; (c) + 45O.

(u)

+ z + 1; (a)

+ 30".

-80".

+ i sen x).

1. 4 (cos ?C

3. 6 (cos 3121c

2. cos-+isen-. 2 3% 4. d ~ ( c m 4

+ i sen 3/2 x).

+ i sen 300".

5. cos 300"

+ i sen 330"). 2 fi(cos 255" + i sen 255").

COB

120"

+ i sen 120".

7. 2 (cos 330" 8.

9. r = 5 ;

10. r =

261"52'12".

fi 9 = 153'26'6".

" ( 2"

1 1 . 2 ~ 0 ~ -cos-+isen2 12. 2 cos-

Q 14.

a -2@

(

1. 2" cos3. cos(?--n

( c o s z2 + i s e n -

--?c<a<x.

a+ 2')

si cos-

a -2@

4) + i s e n ( T - n

9).

370

TEOBIA D E ECUAGIONES (c) COS 4

8 cos4 4 -. 8 C O S 2 4

10. (a) 16 sen5 4 = 10 sen 4

-5 sen3 4 +sen

15.

5 4.

+ cos4 4. 1. x = 2 [cos (67" 30' + 90" k ) + i sen (67" 30' + 90" k)];k O; 1; 2; 3. 2. X = COS (11" 15' + 90" k ) + i sen (11" 15' + 90" k ) ] ; k = O; 1; 2; 3. ( b ) 8sen4 4 = 3 - 4 c o s 2

sen 4 4 + 1; = 4 sen 4 - 8 sen3 4. cos 4

[sen(120ok) +icos(120ok)];k = O ; + l .

-42 6

fi [cos (120" k - 15') + i sen (120° k - 15")]; k = 0; f 1. 5. x = cos (30" + 90" k ) + i sen (30" + 90" k); k = O; 1; 2; 3. 6. x = cos (40" + 120" k) + i sen (40" + 120" k ) ; IC = O; 1; 2 . 7. z = 42 [cos (30" + 60" k ) + i sen (30" + 60" k ) ] ; k = O; 1; 2; 3; 4.

fi++

+-+

8 . z = 4 2 [c0s(60"k-2~30') +isen(G0"k-22"30')];

9. cos 15" =

16.

l. (cos 15"

; sen 15"

+ i sen 15")k

4; 5.

k = O ; 1; 2; 3; 4; 5.

k = f 1; f 5; f 7; f 11.

Capítulo 11

2 8

2. 2 x ~ - 3 3 2 ~ - 9 2 ~ - x ~ + 5 2 ~ - 3 3 2 ~ - x 1.

1. z 8 + x 6 + 2 4 + x 2 + 1 .

+ 21 x4 + 20 'X + 4.

-- 26 $6

4. 3 ~ ~ - 2 ~ " 1 ~ ~ ~ + 1 1 2 5 - 7 ~ 4 - 3 ~ ~ + 8 ~ ~ - 2 ~ + 1 ~

2 3 + 3 2 2 + 1 .

3. x 3 - x2 - 2, cociente; 8 2

+ 1, resto.

4. 2 ~ - 2 ~ + x 5 " x 4 + x 3 - Z + t .

$ 5.

+ 27 z - 59; r = 119. + 4 x 2 + + 24; r = 72.

24-x

5. 722

- 10 2'

1. p = 2 2. q = - x 3

+ 1. + 7 x.

+ 1,64; r = 4,968. 4. p 5 + 6,5 z + 11,25; = 32,75. 5. q = 1/3 + 1/9 x? - 11/27 x + 22/81; 3. p = 6 x* - 2,8 x =

2 3

6. q = 5 x 5 - 5 X 4 - Z 3 + Z ' - X + 1 ;

r = 37/81.

=o.

7.q=1+2~+3x~+...+(12-1~x"-2;r=0. 8. 2,359375.

9. 1,7318.

371

RESPUESTAS A EJEECI'CIOS

Capítulo I11

1. 2 ' - 3 ~ ' + 2 ~

=o.

3. 2 4 - 2 2 3 + 3 2 2 - 2 x + 2

1 2

4. Rakes: - ;

5fd5

ro. 3 3.

+ fi;

2~"5~3-22'+15~ 10

Rafces: i;

+;- 63;

- 1/108 (22 - 1) (5 - 2)'

3. (2-1)

5. Raices: a

6. Rakes: 3/2; -3;

+ 1)

(

x+-+i2

(2 -

-42. 7.

F);

+ i) + f i - i

x3 - 2

9. Rakes:

+ i. + 3)3.

- 1; 2;

2. - 1/108 X?

+ i) (x - i).

6. Factores: (x f 1 + i

+ 1; a f .\la'a - 4 a

+ 2 i.

- 1)'

1)'-

f 2i ) ( 2 + 2 L i q2

5. Factores: x + l ; 2 - 1 ;

7. (x

=o.

2. x3-322+42-2

x+-&i-;2--fi-'

(. 7). )( 2

f 1- i

X-

++i) 2

-i

6-6) 4

372

TEORIA DJ3 ECUACIONES

11. Ocho factores:

+ xi)

+ (1 -

7. Raíces: - 1; 8. - 1 ;

2i)'m+l

- 1; 2 + 3 i; 2 - 3 i.

1 + i ; 1 + i ; 1- i ; 1 - i .

9. Rakes; I; 2;

10. 1; i; i; "i;

i ; i ; "i;

"i;

- i. 1 + if 2

l d T "i' 2 2

373

RESPUEXTAS A EJEBCICIOS

1 f i G 3

12. Raíces: -2;

15. Raices:

0 5.

l*i.\/8

- 1;

4. 2; -1/2;

-1.

12. 4 p *

213; 9; k:

+ 27q2 = O.

15. I ; 1/2; f fi.

19. 1/3; 2/3;

- 1 f i.

21. 1/2; 1; 2; 4; k = 35. 23. (a) 7; 39; (b) 1; 5.

- 1 f i f i

7. 2/3;2.4/3; 10. -23/3;

14. Rsices: f f i ;

2. - 3 ;

3; 1/2.

3. -3;

-2;

1/3.

-7.

5. 9; 4; - 6.

6. 2; - 4 ;

8.2;2/3;

lf43 ;k=2. 9. 2; 2

-613Í9.

11. 93 = rp3.

14.

lfd5 2

l&i* 2

16. 3; 2; 1 f i.

lf+-

18. -3;

-3;

20. -2;

- 1/2; 1; 512.

22. (a) 4; (6) 2.

374

TEORIA Da EC17ACIONES

Capítulo IV

0 2.

1. - 2; 7.

2. -2;

3. - 1; 4:

4. -2;

5. -2;

6. - 10; 3.

7. - 2; 7.

8. -3;

9. -2;

10. - 1: 3.

8 3.

1. 5.

2. 3.

3. 6.

2. 6.

3. - 6.

4' 2. Q 4.

1. 2; 5; -5.

4. - 4 ;

5. -3;

7. -3;

2;4.

8. -2; 3;

6. -8.

9. 2; 5.

10. 1 (doble); - 2 (doble).

1. 213.

4. -3;

7. -2j3;

1/2; 3/5.

3. 3/3.

5. No tiene raíces racionales.

6. No tiene raíces ratio-

I ; 1/2 (doble).

8. -2;

10. 1; 1/2; "/3. 14. (a) 2; 3 ;

2. - 5 .

11. 213; -3/2.

- 1 (triple).

nales.

9. 2.

12. -2;

1/2.

(b) 1/3; i y - i (dobles). Capitulo V

6. - 3 d 5

+;x

3,-

8. "2 + \ I 4

11.5

-/:-

+ d16. 3-

+ ;x-;E.

5 - d 5

9. -2.

12. - I / 2

+ 2 b-:T.

10. - 5 . 13.

1,769292.

14. 0,5960716.

15. "4,3553013.

16. 0,0960717.

21. 4,847322 cm.

22. 7,910170 cm.

23. 1,2256 cm.

1. -0,53209.

- 2,53209.

0,63270. 2,87039.

1,24698.

0,87939.

- 1,80194.

1,31730.

- 0,41501.

815

RESPUESTAX A EJEBCICIOS 5.

4. -2,60168.

- 3,

2,26181.

- 2,61803.

0,27389.

0,33988.

-0,38197.

1,37720.

- 3,33006.

8. -3,86080.

-2,25411.

-0,79836.

91.

6. -2,65109.

1,12842. 9. La distancia del plano a la base es 0,34730del radio.

10. Laa distancias de los planos a la base son 0,22607 y 0,48170 del radio, res-

pectivamente.

11. 6,5270 cm.

12. 2,87939;

- 1,87939;1,53209;-0,53209;0,65270;0,34730.

13. 1,61803; - 0,61803; 1,19718;

- 1 f 6. 2. - 2; 1;

1. -1; 3;

Q 6.

4. -3;

10.

-1/2;

-1;

7. 2 ; -3;

-0,19718; 0,5 f 1,90965 i.

5. -1

" 1hi.

8. 1; -3;

l*G . 2

47;1 fi. - 3 4 7 2

1* i G -1 * i f i 2

11.

1*+

3.-l*fi;---"

-1fi43

l & f i .

-1*iii-

. 9.

2 1

- -;

lii45

---l*ifi 2

Capítulo VI

5. (-4;

-3).

6. (3; 6); (6; 8); (8; 10); (-

7. (10. (-3;

m ; 3)

si X.

> - 1; (10;+

- 1/2); (- 1/2; 1/3); (2/3; 3/2); (3/2;

- 2);

(-2;

- 1); (-

1 ; O); (O;

+ m).

m).

si h

< - 1.

376

!7.

TEOBIA DE ECUACIONES

l. (-2;

- 1);

2. (- 2; - 1); (- 1; O); una raíz doble,

(-- 1; 1).

3. (- 2; - 1); (1; 2).

4. (-

5. (-1;O).

6. (O; 1).

7. (O; 1); (1; 2).

8. (- 4;

(2; 3).

12. A 2 27.

1. Una rafz positiva, una negativa y cuatro imaginarias.

2. Unaraízpositiva,

una negativa y dos imaginarias.

3. Una raízpositiva

y cuatro imaginarias.

4. Una raíz positiva

y cuatro imaginarias.

5.Todaslas

raícesimaginarias.

6. Una raízpositiva

7. Todas las raícesimaginarias. Q

- 3); (O; 1);

11. A 2 108.

10. (O; 1); (1; 2 ) .

9. (O; 1); (5;6 ) .

Q 10.

1 ;O); (4; 5 ) .

11. 1. Unaraíz

8. Una raízpositiva,

y cuatro imaginarias.

las dem&simaginarias-

en (O; 1); una raíz en (4; 5).

2. Una raíz en (O; 1); una raíz en (1;2).

4. Ningunaraíz

en ( I ; 2); ningunaraíz

3. Ninguna raíz en (4; 5 ) .

en (2; 3).

5. Una raíz en (-3; - 1); una raíz en (O; I). 6. Una raíz en

(O; 1); dos rakes en

Q 12. Rafces en los intervalos:

1. (O; 1). 4. (-

2. (- 1; O).

(- 1; O).

3. (-1; O); (4; 4

1/2);

(41/2;

5).

18; - 17); (16/5; 29/9); (29/9; 13/4).

5. (O; 1); (3; 4); dos imaginarias. 6.

(O; 1); (2;3); dos imaginarias.

8. (- 7;- 6);

- 1; dos

imaginarias.

9. (- 5 ; - 4); (- 2; - 1); (-

10. (- 7; - 6); (-3;

-2);

11. (- 1; O); cuatro imaginarias.

1; O); (O;1).

1; O); (O; 1).

13. (- 3; - 2); cuatro imaginarias.

- 1); 3; - 2); 2; - 1);

14. (- 2;

(O; 1); (2; 3); dos imaginarias.

16. (-

(1; 2); cuatro imaginaries.

15. (-

7. Cuatro imaginarias.

12. (1; 2); cuatro imaginarias.

(1; 2); cuatro imaginarias.

17. Seis imaginarias.

19. (- 1; O); (O; 1); (1; 2); cuatro imaginaries.

18. Seis imaginarias.

20. (- 1; O); (O;1/2); (1/2; 1); cuatro imaginarias.

RESPUESTAS A EJERCICIOb

21. (- 1; O); (O; 1); seis imaginerias. 22. (1; 2); (2; 3); seis imaginarias.

Capitulo VI1

377

378

TEORIA DE ECUACIONES

Capítulo VI11

g 2.

1. 1,912.

2. 2,6207.

5. 2,511.

6. 4,264.

7. - 1,663.

9. 1,493;0,250

10. X = 1,345; y = - 0,809; z = - 1,711; y =

11. z = I ; y = 2; X =

4. 2,1147.

8. 1,532; 0,347. - 1,926.

y = 1,365.

12. 14,7.

13. 47,46.

14. 122,9.

15. 123,4.

16. 43,98 cm.

17. 21,47 cm.

18. 73,4 cm.

- 1,771;

1,573.

1,442249.

5. - 0,37213778.

19. (u) 179 cm; ( b ) 21,5 cm.

20. 1,347 veces el radio.

2. 1,357208. 3. 1,324717. 4. -0,644513. 6.

1,164247.

7. 3,4147412,

379

BESPUESTAS A EJERCICIO8 8. 11.

1,36523001. 1,688697.

14. - 1,117535.

- 3,04891734.

12.

1,90786326.

10. 0,250992. 13. 2,31725562.

15. 0,295865; 1,449080.

16. 2,378596. 0,568396; 18.

5 4.

17.

0,22&167; 3,232396;

1. 7,062569

7. 0,17728226

5 6.

- 0,197445.

+. 5. 1,47817455 +. 8. 0,64359442 +.

2. 2,57455046

4. 57,29577957.

+. <8 X

10-8; x

3. 0,009477370187

6. 58,86620452

<3 X

1. Error negativo y en valor absoluto

2. Error absoluto

- 1,734691.

10-8; x = 1,5320888

1,35689195.

< 10"O; x = -0,372137785. en valor absoluto < 1,2 X 10-lO; x = 1,493359197 +. eo valor absoluto < 10"O; x = 1,907853262 +. en valor absoluto < 3,6 X 10-13; x = 1,734691345692 +.

3. Error negativo y en valor absoluto 4. Error negativo y

5. Error negativo y 6. Error negativo y 7.

3. 1,7693.

3,3876.

5. 3,1038.

6. 4,3311.

7. 4,2644.

0,16744.

9. 0,33765.

10. 0,20097.

11. 0,9216.

12.

0,099115.

13. 1,49336.

14. 4,06443.

15. 4,33106.

16.

0,055567.

17. 0,052167.

18. 0,35173.

19. 0,56714.

20. -0,86287.

21. 3,59728.

22. 0,92042.

23. 0,51097.

24.

25. 0,32470.

26. 4,49341.

0,73908.

27. 0,86033.

1,53209

1,16425.

1,35690.

- 3,04892.

- 3,39138.

0,25099.

1,69202.

-- 1,77287.

0,34730.

- 1,87939. 4.

0,309906.

2,309881.

0,73908.

4,55553.

1,49336. 7.

1,338483.

10. 217" 12' 0,s".

11. 108" 36' 14".

13. 1,265 del radio.

14. 0,804744.

12. 149" 16' 27"

Capítulo IX 1.

1. X = 25/4; y

3. x = "/5;

-55/4. y = -1.

2. X

52/47; y = 71/47.

4. x = 5; y

-8.

380

TEORIA DZ ECUACIONES

(a)

5 5. 11.

l/a ; y = o.

6. z =

7. x = 5; y = -5.

9 2.

5 5

5; ( d ) 6.

(c)

(a)

-3; (6)

- 18.

6. 1.

(a)

19; (b) 16; (c) 13.2.

9. 1.

4. No existe tal polinomio.

11. 1. 2.

12.

2. 1.

- 15.

- 2 abc.

15.

(C - U )

16.

- 6) (a - C)

-a)

( d ) homogheos.

(U)

- 187; (b) 470.

(a)

par; (b) par; (c) impar.

6. O.

- 15.

8. -5.

11. 2 ( a + b + c ) ( a - b ) ( b - c ) .

13. 4 abc.

- (E) (b - C)

7. 18.

10. o.

-b ) ( b -U). (B

(a) y

3. 1.

6. 160.

12.

+ b)*; y = (a - b)'.

8. x = 1; y = l/2.

3; ( b ) 5;

14.

- 2 (a3+ b3).

( b - d ) ( d- c).

+ b + c). 18. ( c -a) (c - b ) ( b -a) (ab + ac + bc). 19. - b) ( b - (ab + uc + be). 20. (C - b ) (6 - a) + b2 + + ab + uc + bc). 21. (U - b) (a - (b + b + + b2 + es). 17.

(C - U )

- b) ( b - U )

U ) (C

(U%

22. 2

23. 4 (a

C) (U

- a) ( c - b) (b - a )

+ e) (a + b) ( b + c).

C) (U?

- 2 ) (2 -y)

27.

28.

- U,) (X - ~ 3 (2 ) -~ 4 ) . (21- 1) (22 - 1) (23 - 1) (24 - 1).

31.

-x).

24. 2 abc (a

25.

( b -a)

+ b + c)j.

- b ) ( d - c).

26. ( ~ + h + ~ + d ) ( ~ + ~ - b - d ) ( a + b - ~ - d ) ( ~ + d - b - ~ ) .

33.

UI) (5

+ n - 1) - 1)'"l. (2

U ) (C

32. I$ I$

cj'(2);

(X) - 2 (2)

(u1

- b) ( b - a) (d - U ) ( d - b) ( d -

34. ( e - a ) ( c - b ) ( b - a ) @ - a ) @ - b ) ( d - c )

- 2) (a, (a

.. .

+ b + c +d).

(a,

- x).

[a~+bz+c2+di+ab+acf

+ ad + bc + bd + cd].

881

RESPUESTAS A EJERCICIOS

= 1; y

=o;

Capftulo X z = 1.

2. X

3.z=t=l;y=z=-l. 4.

- 1/5;

y = 2/5; z

-24/5;

6-1;

y = 1; Z - 0 .

-3/5.

5.x=-2;;y=-l;z=l;t=2. 6.

X*"" 2 '

= a+d

c-a

b-c pZ3=-*

a-b '24=-"

382

TEORIA D E ECUACIONES

+ 4 X'

12. 5 x4

-8

14. (a) 1,6170 (1,618034).

( 6 ) 6,372281318(6,372281323).

15. 0,3247181 (0,3247179). 19. y3-

18y2

17. y3-3

+ 81 y-81

21. (a) 1; ( b ) 1/3.

-3.7":.

2. j14- 6 f l P f 2

1. 3 p 3 -p,pe.

fif2

3. p12 pe - p1 p3- 2 pz? 4. 2 p12 p3- p1 p22 5. p1 p3

-4

7. 7 PI

+ pz

+ 4 p4.

y-1

20. y3 - 42 y'

+ gf?.

fif3.

2. p? - 2 p3 p1

p3- 5 Pl p4

= 0.

+ 441 y - 49 = O. 4-

+ 2 PP.

+ 5 P5. 6. 3 PI pd - p2 P3

p4.

f2'

+ 2f4.

-2fif3

- 5 P5.

f PK4 p2 p4 - 3 p3' - 3 P12p4 f pl p2 p3 12 p6. -4

8. p? p4

P I P6

+ 9 P6.

9. 9 p3 - p1p2.

10. 2 p 2 2 - 2 plp3 - 4 pi.

11. 4 p 6 + p l p 5 - 4 P z P 4 - P 3 ~ + P l ~ P 4 -

12. 9 S - - 3 y 2 - - 6 y

13. y3

14. y3 - q y?

+ 17 = O .

+ p r y - r? = O.

16. (a) 3,24698;1,55495;

- 12 y'

+ 45 y - 53 = O.

15. ~ 3 - 9 9 ~ + 2 6 y - 2 3 = O .

( b ) -3,04727

f 1,13594 i.

19. -3.

20. 3.

21. 30.

22. - 219/104.

23. 9.

24. 12.

25. 4.

26.

Capítulo XI1

1. x = 1;

2 . 3 y 4 + 1 0 y ? - 1 = 0( ;y + l ) X = y " l ,

1; - 1.

y = o; 1; 1; - 1.

3. (3 y? 4. x =

+ 4y

- 1) (y2

o; - 2;

y = o; 2.

o; x (1 + y )

5. (y - 1) (25

(7y-9)s

6. (y - 1) (y3 7. z = -1;

+ 4 y -3)

= 1 -y.

y3 - 45 y' - 171 y =

+ 13y' + 100 y - 100) = O; (3 y - 10) + y? + 6y X

y = -1.

y = 1; o; -1

--==;

1/2

-1

+- i

+ 243)

5y2-7y.

383

EJERCICIOSRES.PUE8TAS. A 53.

3 ~ ~ ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 1 ~ 1 ~ " 1 ~ " 1 ~ 2 ~ y = 1; - 1; 3; o; 2; o; 2; 1; 1.

1 . ~ - 0 ; -22. ~ . =0;-4;-5. y = o; 1.

y = 2; 2; 3.

4. (u) y = X; z arbitrario; (b) z = 1; 2. y = -2;

6. z = O; 2; 1; 42/25.

5. No tiene soluci6n.

= 1;

l+i.\/3 4 '

=o;

--3+i*. 4

-1.

y = O;

63/25.

-3+i.\/3* -3-ifi ' 4 4

1-i.\/3 4 ' -3--i+, ' 4

- 1; 2;

l+i+i.

1-idT 4

8. y 4 + 9 y * + 5 4 = O ; ( y 2 + y + 8 ) ~ + 2 y + 6 = O .

9. 28

+ 713 y' - 100 y = O;

10. h = 10; p =

5 6.

(119 y2

- 5.

+ 55 y + 5) z = 14 y*-33 y + 5.

- 0,884646 f0,589743i.

1. 1 f 2 i .

4. 1 fi;

- 1.047276 f 1,135940i.

5. hi;1 f 2 i . 8. 0,304877 f0,754528i .

0,72714 7.

- 1 f d-2.

f 0,43001i; -0,72714 f 0,93409 i

INDICE ALFABETICO -4

Abel, 95. Adici6n de ndmeros complejos, 3, 35. - definici6n de la, 2. leyes fundamentales dela, 3. Adici6n de matrices, 242,243. Algebra, teorema fundamental del, 6265, 325-330. - delas matrices, 242,346. Amplitudes, normalizaci6n de, 347. ortogonalidad de, 345. Angulo entre semirrectas dirigidas, 21-22. Aproximaciones sucesivas, mbtodo de, 189. Arbol geneal6gico de una ecuacih, 150. Argumento o amplitud de un complejo, 23.

B Bernoulli, mCtodo para calcular raíces, 292,351. Binomios dgebraicos, 7. Bremiker, tablas de, 354. C

Cardano (1501-1576),93. - f6rmulas de, 95-102. - caso irreducible, 102-107. Cauchy, desigualdad de, 132. Ciclotomia, 33. Circulo, divisi611 del, 33-34. - ecuaci6n del, 274. - potencia de ua punto con respecto al, 278,279. Coeficientes. 40. chlculo por la f6rmula de Newton, 63. complejos arbitrarios, 63. del cociente, 47. destacados, mbtodo de los, 41-43. reales, 67-68.

Coeficientes relaciones con las raíces, 70-73. binomiales, 26,61. - identidades de los,61,62. Cofactores, en el desarrollo de deterxinantes, 233-235. Complementos, en el desarrollo de determinantes, 233. Contracci6n, en el mbtodo de Horner, 173, 175-177. estimaci6n del error en la, 183-189. Convergencia lenta, defecto de la, 351. Coordenadas, 20-21. Cramer, regla de, 257-259.

D D’Alembert, teorema de la existencia de las rafces, 325. Dandelin, cdlculo de las rakes, 353. Dechgono, construcci6n del, 34. de Gus, teorema de, 134-136,139. De Moivre, f6rmula de, 25,27. Dependencia lineal, 262-266. Derivadas de los polinomios, 51-52. - raices de las, 65,126, 129-130. Descartes, regla de los signos de, 137140. Determinantes, 201-256. adjuntos, 249. anulaci6n de los, 210,228. aplicacionesgeombtricas de los, 274-284. cero, para sistemas de ecuaciones lineales, 260-262. cfclicos,249. cofactores de los, 202. columnas de los, 202. comofunciones delas matrices, 210-211,222. desarrollo de los, 217, 233-235. desarrollo de Laplace, 233. 386

386

IL'EORIA DE E U U A C I O N B S

Determinantes deSylvester, 312,317,320. - de Vandermonde, 239, 322. - ejemplos de desarrollo de los, 235239. - elementos de los, 202. - extracci6n de factores de los, 215, 227. - filas de los, 202. - generales, 222-228. - intercambio defilas o columnas, 215-227. - menorescomplementarios de los, 233. - multiplicaci6n de los, 208,247-251. - orden de los, 201, 205, 211,225. - ortogonales, 252. - propiedadescaracterísticas de los, 205. - resoluci6n de ecuaciones por, 257284. - resultante en términos de, 312-316. - sumade, 206-209. - suma de las columnas de, 228. Discriminante, 320-322. - de polinomios cuadrhticos, 321. de polimomios cúbicos, 322. Divisi6n, definici6n, 5. - metodode Fourier, 178-182. - de polinomios, 42-45, 52-56. Divisorabreviado, 178-182.

E Ecuaciones, clasificaci6n de las, 57-58. - características, 345. - con raíces con parte real negativa, 338-343. - con rafces reales, 141. cuadrhticas, 57, 93-94. - de matrices, 255. - diferenciales lineales, 344. - incompatibles, 260-262. - independencialineal, 262-266. - recíprocas, 31. - reducidas, 58. - seculares, 345. - transformaci6n de, 145. Ecuaciones algebraicas, 57-78. - imposibilidad de soluci6n algebraica, 303. mbtodo deHornerparala resoluci6n de, 169-175.

Ecuaciones, metodo de iteraci6n para 1% resoluci6n de, 169, 189-192. - metodode Newton para la resoluci6n de, 189, 194-199. - resoluci6n de, 93-95. Ecuaciones bin6micas, representaci6n de las raíces de las, 27. soluci6n trigonomtetrica de las, 27-30. Ecuaciones cusrticas, 58, 74, 94. - soluci6n de, 107, 111. soluciSn de Lagrange delas, 304305. Ecuaciones cúbicas, caso irreducible, 102104. - discriminantedelas, 322. f6rmulas de Cardano parala resoluci6n de, 95-101. - resolvente dela, 305. - sohlci6n algebraica de, 93-91. - soluci6n de Lagrange de las, 302304. - soluci6n trigonombtrica de las, 104. Ecuaci6n de frecuencia, cSlculo de la raíz mayor, 351. - cAlculo de la raízmenor, 350. Eje, imaginario, 20. - real, 20. Eliminaci6n, 308-324. - cSlculo de raícesimaginarias por, 323-324. - determinantede Sylvester, 313320. - discriminanteenla, 320, 322. - ejemplode,308310. - resultante, 310-312. Equipolencia, definici6n de, 35-36. Esfera, ecuaci6n de la, 276. Euclides,algoritmo de, 54. Euler,identidadde, 210.

F Factoreo,delaresultante, 310-312. - de z" - 1, 30-31. Factores,lineales, 57, 68, 76. - cuadritticos, 68. Ferrari, 94-107. Ferro, Scipio, 94. Fibonacci, 332. Fracciones continuas, 332. - reducidas de las, 332-

387

LNDlCE ALFABETICO

Funciones, continuas, 115-118. - de loselementos de unamatriz, 206. - homogbneas, 204. - racionales enteras, 4 0 , 203. - sigma, 285. Funciones simbtricas, 285-307. definici6n de, 285. - elementales, 285-288. - el principio de Gauss en las, 305307. - expresi6n como polinomios de las, 296. - teoremafundamental aQerca de las, 293-295.

Gauss, C. F., logaritmos de, 354. - principio de,305307. Graeffe, m6todo para calcular rakes, 323, 353-367.

H Hermite, polinomios de, 168. Homer, regla de, 49-50. Hurwits, criterio de, 338. I

Identidades trigonombtricas, 26, 66. lndice de las permutaciones, 219. Interpolaci6n, f6rmula de Lagrange, 67. Inversi6n en las trasposiciones, 219.

L Leibnits, introducci6n a los determinantes, 257. Ley asociativa, para la adici6n, 3. - paralas matrices, 243, 244. - paralamultiplicacih, 3. Ley conmutativa, para la adici611, 3. - paralas matrices, 243, 244. - para la multiplicaci6n, 4. Ley distributiva, 4. Lobatchevsky, 353. M Matrices, adici6n - adjuntosde - Algebra de ampliadas, - cero, 243.

de, 242-243. las, 255. las, 242, 346. 273.

Matrices, columna, 246. conjugada o traspuesta, 255, 347. ecuaci6n caracterfstica de las, 345 ecuaciones con, 254-255. en elproceso de i t e r a d n , 346-352. en la soluci60 de sistemas deecuaciones lineales, 273. escalares, 245. forma normal de las, 266. igualdad de, 242-243. menores de las, 263. multiplicaci6n de, 243-246, 347. no singulares, 252-255. orden de las, 242. ortogonales, 347. producto escalar de, 243. rango de las, 262-270. recíprocas, 252-255. simCtricas, 347. singulares, 252-255. transformaciones de l a , 266. unidad, 245. Mhximo comúndivisor dedos polinomios, 52-54, 76, 314. Maxwell, 338. Media, aritmbtica, 132. geombtrica, 39, 132. Mbtodos num6ricos, 118, 169, 178, 189, 194. MMulo, 9. del producto de ntímerm comple-

jos, 11.

de la suma de n6meros complejos, 13-15. Monomios, 40, 203-204. Multiplicaci6n, definici6n de, 3. N Newton, desarrollo de, 49. - f6rmulas de, 289-291, 323. Núqeros complejos, 1-39. - alineados, 37. - aplicacibn a lageometda, 33-39. argumento o amplitud de los, 23. componente imaginaria de los, 5-8. componentereal de los, 410. - conjugados, 9-10. - divisi6n de, 4-5. divisi611 en forma trigonombtrica de los, 24-25. forma bin6mica de los, 5-8.

388

ZEOBlA DE ECUACIONEB

Números, forma trigonombtrica de los, 23-24. igualdad de los, 2. m6dulo de los, 9. multiplicaci6n de, 3, 24-25,37. norma de los,9. operacionescon,3-5. potencia de los, 25. raíces de la unidad, 30-33. raíz cuadrada de los, 16-19. representach geometrica de los, 20-21,34-39. suma de, 3, 35. sost,racci6n de, 4-5. unidad imaginaria, 7. Números enteros, propiedades de los, 3.

o Ostrowski, -4., 367.

P Penttigono, construcci6n del, 34. Permanencia de signos,127,137,141. Permutaciones, pares, 217-222. - impares, 217. - índice delas, 219. - orden natural en las, 218. Polígonos regulares, construcci6n de los, 33-34. Polinomios,aplicaciones del teorema de identidad de, 61-62. común divisor de los,314. con coeficientescomplejos, 63. con coeficientes reales, 57. con rakes reales, 141-143. de grado impar, 119. de grado par, 119. desarrollo de, 49-50. discriminante de los, 320322. divisi611 de, 42-45. enteros racionales,40, 203. en una variable, 40-56. en varias variables, 203-206. factoreo de, 68. factores lineales de los, 6 4 . grado de las, 40,204. hornogeneos, 204. igualdad de, 40. identicamente nulos, 40. idhticos, 40.

Polinomios,mhximocomún divisor de 10% 52-54,75,314. - multiplicaci6n de, 41-42. - nulos, 40. - simetricos, 228. - tkrminos de los, 40. - termino principal de los, 4 0 , 57. Ptolomeo, teorema de, 282. Puntos coplanares, 284.

R Raíces, ctilculo de, 169-200,353,367. complejas,.67-68. conjugadas, 67,68. con parte negativa real, 338-343. consecutivas, 125-126. cotas de las, 79-84. de ecuaciones algebraicas, 57-78. definici6n de, 57. de la ecuaci6n de frecuencia, 346. de las derivadas, 126,130. dobles, 6 4 . enteras, 84-90. existencia de las, 62-65,115-118, 325-330. funciones simbtricas de las, 287. imaginarias, 67-68,140. m6dulos de las, 82-84. mClltiples, 6 4 , 65,67,75-78,119. negativas, 140,154. paridad de las, 119. positivas, 140. racionales, 85, 89-92. reales, 68. reales, ecuacionescon,141-144. reales, separaci6n de las, 140, 155. separaci6n de, 112-154,331,337. simples, 64. suma de los productos de las, 70. Ralz cuadrada, extracci6n de la, 93. - metodo de Fourier para la extracci6n de la, 181-183. R.ah cúbica, extracci6n de la, 94. Rango de una matriz, 262-270. Recta, ecuacidn de la, 37, 274.276. Resolvente cúbica, 305. Resto. teorema del, 43. Restos parciales, 43. Redtante, en forma de deteminante, 312-316. en la c?liminru?i6n,810-312.

389

INDIGE ALFABETIICO

Resultante, factorero de la, 310-312. - identidad con el determinante de Sylvester, 317-320. Rolle, teorema de, 125-128. - aplicaciones del, 129-132. Routh, 338. Ruffini, 95. - regla de, 47-49.

Schur, I., m6todo de, 338343. Sentido de un tri~ingulo,37. Separacih de raices, 112-154. - m6todo completo para la, 145-154. - m6todo de Vincent para la, 145146, 331-337. - teorema de Sturm para la,155-168. Sigmas dobles, 297. Sfmbolos: I a ib 1, 9. A , 9. A-l, 253. I a;j 1, 225. I: a l , 72. C ,: 71. D V. d , 316. F (RI,Rt, Ra), 212. f ( + m ) , 120. f (a 4, 121. z (u ai), 9. i , 6. n ! , 6. (:), 61, 131. R (u 9. R hf). 311. R df,f), 321. z :x . . . x? 285. Si, 70, 289, 2 9 0 , 291.

+ !d.

-000-

Sturm, C. (1803-1855), polinomiosde. 155-160. - teorema de, 155, 160-166. Sylvester, determinante de, 312-316. - m6todo de eliminacih de, 313320. - relaci6n con el discriminante, 320322. - relaci6n con la resultante, 317-320. T Tartaglia, 94. Taylor, f6rmula de, 51-52, 64-65, 95, 323. Tetraedro, uso de determinantes pars elcAlculo del volumen del, 277278. - en funci6n de sus aristas, 284. Traspoeiciones, 218. Trihngulo, uso de los determinantes para el chlculo del &rea del, 276. - sentido de un, 37.

Unidad, 6. - raíces de la, 30-33, 97.

V Vandermonde, determinante de, 239-322. Vectores, igualdad de, 35. - ortogonales, 345. - proyecciones de, 20-21. Vincent, teorema de, 145-146, 331-337. W Waring, 353. Weierstrass, 325.

124,

IMPRESO EN IMPRESORA

2001, S.A. DE

C.V. 016538 500 04 98 632