Ejercicio hecho en clase por el mĂŠtodo de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4. x
1+x
1
2
2.5
2.666666
2.7083333
2.718281828
0.5
1.5
1.625
1.645833
1.6484375
1.6487212707
0.3
1.3
1.345
1.3495
1.3498375
1.34985880757
0.1
1.1
1.105
1.10516667
1.10517083
1.10517091807
0.01
1.01
1.01005
1.01005017
1.01005017
1.010050167
0.001
1.001
1.0010005
1.00100050000
1.00100050017
1.00100050016
G
MATRICES Dadas las siguientes matrices calcular la: SUMA
RESTA
MULTIPLICACION
3.1.- Elabore un algoritmo general para sumar y resta matrices
1. int suma (int fila, int col, int orden, int mat [] []) 2. int resta (int fila, int col, int orden, int mat [] []) 3. { 4. if (fila == 0 && col == 0) 5. return mat [0] [0]; 6. else 7. if (col < 0) 8. return suma (fila - 1, orden, orden, mat); 9. return resta (fila - 1, orden, orden, mat); 10. else 11. return mat [fila] [col] + suma (fila, col - 1, orden, mat); 12. return mat [fila] [col] - resta (fila, col - 1, orden, mat); 13. 14.
}
3.2.- Con el algoritmo del problema anterior elabore una de prop贸sito general para sumar y restar matrices
RESTA
SUMA
3.3 Demuestre partiendo de la definición del producto de una matriz por un escalar, las ecuaciones 3.7, 3.8, 3.10. α( A+B) = αA + α B, distributividad respecto a la suma de matrices (3.7)
Se procede a sacar factor común α
Por lo tanto se demuestra que:
(α
+β)A = αA + βA , distributividad respecto a la suma de escalares (3.8)
Se procede a sumar αA + βA
Se procede a sacar factor común
Por lo tanto se demuestra que:
1A=A (3.10)
Se debe multiplicar la Matriz A por el escalar 1
Se demuestra que 1A=A
3.4 Demuestre la ecuaci贸n 3.12 utilizando la definici贸n de la multiplicaci贸n entre matrices
3.6 La siguiente tabla representa las existencias en bodega de una agencia de refacciones para autom贸viles
3.7 Responda las siguientes preguntas: a) ¿Una matriz no cuadrada puede ser simétrica? Una matriz no cuadrada no puede ser simétrica porque una matriz es simétrica si es necesariamente una matriz cuadrada es decir debe tener el mismo número de filas que de column as. Además para que una matriz sea simétrica debe ser igual a su traspuesta, es decir Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambia ndo ordenadamente las filas por las columnas. b) Una matriz diagonal es triangular superior, triangular inferior o ambas? Primero se deben tener en cuenta las siguientes definiciones: Matriz triangular superior.- En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros
Matriz triangular inferior.- En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz Diagonal. - La matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal,
Po lo tanto se concluye que una matriz diagonal también es una triangular superior e inferior. c) ¿Una matriz diagonal tiene inversa con uno de sus elementos de la diagonal principal igual a cero? Si la matriz diagonal tiene uno de sus elementos de la diagonal principal igual a cero, pues la matriz no tiene inversa ya que el determinante de la matriz será igual a cero.
3.8 resultado. Generalice dicho resultado. 0 1 A = (1 0 0 0
0 1 0 0) ∗ A = (1 0 1 0 0
1 0 C = (0 1 0 0
0 0) 1
0 0) 1
RESP: Al multiplicar una matriz permutadora por sí mismo se intercambia las filas de A.
3.9 Demuestre las ecuaciones 3.15, 3.16 Ecuación 3.15
Distributiva: A x (B + D) = (A x B) + (A x D) Sean componente
y sean de B + D es
y y la componente
. Entonces la de A (B + D) es
componente de AB más la componente de AD y esto prueba la propiedad A x (B + D) = (A x B) + (A x D)
Ecuación 3.16:
La propiedad asociativa de la suma para las matrices establece:
(A+B)+C = A+(B+C) Digamos que A, B, y C son matrices m × n. Entonces, (A + B) + C = A + (B + C) Encuentre (A + B) + C y A + (B + C)
Encuentre (A + B) + C:
Encuentre A + (B + C):
Con lo cual se demuestra la propiedad distributiva en matrices
3.10 Obtenga la ecuación 3.21 partir de la ley de los cosenos.
3.11 Elabore un algoritmo tal que, dados dos vectores de igual nĂşmero de componentes, se determine e imprima la norma euclideana de estos vectores, su producto punto, el ĂĄngulo que guardan entre ellos y la distancia que hay entre ambos. Proceso vectores Leer n; Dimension a(n); Para i<-1 Hasta n Con Paso 1 Hacer Leer a(i); FinPara Dimension b(n); Para i<-1 Hasta n Con Paso 1 Hacer Leer b(i); FinPara Dimension d(n); Para i<-1 Hasta n Con Paso 1 Hacer e<-e+(a(i)-b(i))*(a(i)-b(i)); p<-p+(a(i)*b(i)); d(i)=a(i)-b(i); ma<-ma+a(i)*a(i); mb<-mb+b(i)*b(i); FinPara t<-acos(p/(rc(ma)*rc(mb))) ; e<-rc(e); Para i<-1 Hasta n Con Paso 1 Hacer Escribir d(i); FinPara Escribir e; Escribir p; Escribir t; FinProceso
3.12 Codifique el algoritmo del problema 3.11 y verifique este programa con las siguientes parejas de vectores
public class Arreglo1Dimension{ public static void main(String [] args)throws IOException{ BufferedReader buffer = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); System.out.println("Cuantos numeros?"); int n=Integer.parseInt(buffer.readLine()); int arreglo[]=new int[n]; for(int k=0;k<n;k++){ System.out.println("Dame el numero de la posicion:" + (k+1)); arreglo[k]=Integer.parseInt(buffer.... } for(int k=0;k<n;k++){ System.out.println("Numero en la posicion " + (k+1) + " es: " + arreglo[k]); } } }
3.13.- El teorema 3.1 puede y debe emplearse tambiĂŠn para ortogonalizar un conjunto de m vectores linealmente independientes de n componentes cada uno, con m < n. Por otro lado, demuestre con el teorema mencionado, que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes con n componentes cada uno da como resultado un conjunto linealmente dependiente al adicionĂĄrsele un vector x n + I de n componentes.
3.14.- Elabore una subrutina de propósito general para ortogonalizar un conjunto de m vectores linealmente independientes de n componentes cada uno (m < n) con el método de GramSchmidt. En este caso, para obtener un sistema ortogonal a partir de estos vectores basta sustituir v2 por su componente transversal respecto a v1, de manera que pasamos de la base {v1, v2} a la base ortogonal {u1, u2} definiendo:
Para comprender la idea fundamental de este método basta comprender el caso especial en el que tenemos solamente dos vectores linealmente independientes, v1 v2.
3.17 Calcule el número de reacciones independientes en una reacción de pirólisis, en la cual se encuentran en equilibrio los siguientes compuestos 02' H2, CO, CO2' H2C0 3, CH 3 0H, C2HsOH, (CH 3)2 CO, CH 4, CH 3 CHO Y H20. A continuación esta la formula general para encontrar las reacciones de pirolisis para cada reacción debemos volver hacer un ejercicio. Suponiendo un orden de reacción n=1 y que el fango se halla compuesto de N fracciones que se descomponen independientemente se puede escribir:
3.18 Dada una matriz A de orden n, los términos a. Matriz singular (det A=0) b. Rango A < n c. Los vectores columna o fila de A son linealmente dependientes están estrechamente relacionados Demuestre que a. implica tanto b. como c. a11 a12 A= ⌊ a21 a22 am1 am2
a13 … . a1n a23 … . a2n ⌋ am3 … . amn
det A = 0
A11=0, a12=0, a13=0, a1n=0; a21=0, a22=0, a23=0, a2n=0; a31=0, a32=0, a33=0, a3n=0; am1=0, am2=0, am3=0, amn=0 (a11*a22*amn)+ (a12*a2n*am1) + (a21*am2*a1n)-(a1n*a22*am1)-(a12*a21*amn)(a2n*am2*a11) Las líneas de la matriz se muestra que cada valor de la matriz no depende de una hacia otra porque diferencian mientras se prolongan al infinito, y no puede ser un valor mayor al infinito si implicamos que la determinante da un valor 0, si la determinante
es cero quiere decir que los valores de la matriz deberán ser ceros y así cada valor irá dependiendo del anterior.
3.19 ¿La coincidencia del número de incógnitas con el número de ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales implica que éste tiene solución única? Justifique su respuesta. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma: a11x1 + a12x2 + ....+a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ....+a2nxn = b2 ........................................... am1x1 + am2x2 + ....+amnxn = bm Xi son las incógnitas, (i = 1,2,..., n). aij son los coeficientes, (i = 1,2,..., m) (j = 1,2,...,n). bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m). aij y b i
.
m, n ; m > n, ó, m = n, ó, m < n.
Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas. Pero si el rango de la matriz es igual al número de incógnitas, la solución es única y es un sistema consistente.
3.20 valores de w que permita obtener la solución única y diga que los valores de w permiten un número infinito de soluciones. 0 w 1 5 x1 x −w [4 2 ] [ 2 ] = [5] 0 3 −7 x3 3 wx1 4x1 0x1
+ x2
+ 5x3 = 0 + 2x2 wx3 =5 + 3x2 - 7x3 = 3
Resolución mediante método de determinantes.
∆S=
w 4 0
1 2 3
5 w -w 4 -7 0
1 2 3
∆S= (- 14w) (60) - ((- 3w2)(-28)) ∆S= 3w2 - 840 + 28
0 x1=
5 3
1 2 3
5
0
-w 5 -7 3
1 2 3
((-3w)(75))-((30)(x1= 35)) x1= (-225w)+1050
Para que w permita obtener una solución única de debe cumplir que para los valores de x1 −225w + 1050 3w 2 − 840 + 28
El denominador debe ser diferente de cero. Entonces
3w 2 − 840 + 28 ≠ 0
3.21 Si la matriz coeficiente del sistema A x = O es tal que det A = O; ¿dicho sistema tiene por ese hecho un número infinito de soluciones? Verdadero, que el determinante sea cero significa que hay dependencia lineal. Dependencia lineal quiere decir que el sistema de ecuaciones por el cual está formada la matriz no tiene solución única, sino infinitas soluciones.
3.22.- El método de eliminación de Gauss usualmente hace la transformación conocida como triangularización. a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 [(a2,1 a2,2 a2,3|a2,4)] -> a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
a′1,1 a′1,2 a′1,3 a′1,4 [( 0 a′2,2 a′2,3|a′2,4)] 0 0 a′3,3 a′3,4
En estas condiciones, una sustitución hacia atrás permite obtener la solución. Las ecuaciones 3.49 y 3.50 constituyen el algoritmo para el caso general. Encuentre las ecuaciones correspondientes para resolver el sistema, A x=b, pero ahora llevando a cabo la transformación. a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 [(a2,1 a2,2 a2,3|a2,4)] -> a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
a′1,1 0 0 a′1,4 ′ [(a 2,1 a′2,2 0 |a′2,4)] a′ 3,1 a′ 3,2 a′3,3 a′3,4
Y posteriormente una sustituci贸n hacia delante. Ejercicio resuelto con los datos del 3.49
-1
P1
22,5 P2 C = 67,5 p= P3 0,00 165, 00
P4
0,00
P6
P5
72, 0,0 9,0 0,0 0,0 00 0,00 0 0 0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 4,5 0 2,88 0 0 0 0 0,0 18, 9,0 0,0 0,0 A= 0 0,00 00 0 0 0 0,0 9,0 12, 0,0 0,0 0 0,00 0 00 0 0 0,0 0,0 0,0 33, 0,0 0 0,00 0 0 00 0 0,0 0,0 0,0 0,0 33, 0 4,50 0 0 0 00
72,0 0, 0,0 9,0 0,0 0,0 0 00 0 0 0 0 -1 2, 0,0 0,0 0,0 4,5 0,00 88 0 0 0 0 22,5 P 0, 18, 9,0 0,0 0,0 = 0,00 00 00 0 0 0 67,5 0, 9,0 12, 0,0 0,0 0,00 00 0 00 0 0 0,00 0, 0,0 0,0 33, 0,0 165, 0,00 00 0 0 00 0 00 4, 0,0 0,0 0,0 33, 0,00 50 0 0 0 00 0,00
0, 0,0 0,1 0,0 0,0 1,00 00 0 25 00 00 2, 0,0 0,0 0,0 4,5 0,00 88 0 0 0 0 0, 18, 9,0 0,0 0,0 0,00 00 00 0 0 0 0, 9,0 12, 0,0 0,0 0,00 00 0 00 0 0
0,01 4
22,5 67,5 0,00
1,0 0,0 0, 0,1 0,0 0,0 0,01 0 0 00 25 00 00 4 0,0 1,0 0, 0,0 0,0 1,5 0 0 00 0 0 6 7,81 0,0 0,0 1, 0,5 0,0 0,0 0 0 00 0 0 0 3,75 0,0 0,0 9, 12, 0,0 0,0 0 0 00 00 0 0 0,00
0, 0,00 00 4, 0,00 50
0,0 0 0,0 0
0,0 0 0,0 0
33, 00 0,0 0
0,0 165, 0 00 33, 00 0,00
0, 0,0 0,1 0,0 0,0 1,00 00 0 25 00 0 1, 0,0 0,0 0,0 1,5 0,00 00 0 0 0 6 0, 1,0 0,5 0,0 0,0 0,00 00 0 0 0 0 0, 9,0 12, 0,0 0,0 0,00 00 0 00 0 0 0, 0,0 0,0 33, 0,0 0,00 00 0 0 00 0
0,01 4
7,81 3,75
0 165, 00 0, 0,0 0,0 0,0 40, 35,1 0,00 00 0 0 0 02 5
0,0 0 4,5 0
0, 00 0, 00
0,0 0 0,0 0
33, 00 0,0 0
0,0 165, 0 00 33, 00 0,00
1,0 0,0 0, 0,1 0,0 0,0 0,01 0 0 00 25 00 0 4 0,0 1,0 0, 0,0 0,0 1,5 0 0 00 0 0 6 7,81 0,0 0,0 1, 0,5 0,0 0,0 0 0 00 0 0 0 3,75 0,0 0,0 0, 7,5 0,0 0,0 33,7 0 0 00 0 0 0 5 0,0 0,0 0, 0,0 33, 0,0 0 0 00 0 00 0 165 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 40, 35,1 0 0 00 0 0 02 45
165 0, 0,0 0,0 0,0 40, 35,1 0,00 00 0 0 0 02 45
1,0 0,0 0, 0,0 0,0 0,0 0,57 0 0 00 00 00 00 65 0,0 1,0 0, 0,0 0,0 1,5 0 0 00 0 0 6 7,81 0,0 0,0 1, 0,0 0,0 0,0 0 0 00 0 0 0 -6 0,0 0,0 0, 1,0 0,0 0,0 0 0 00 0 0 0 4,5 0,0 0,0 0, 0,0 33, 0,0 0 0 00 0 00 0 165 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 40, 35,1 0 0 00 0 0 02 45
0,0 0,57 00 7 1,5 6 7,81 0,0 0 -6 0,0 0 4,5
0,0 0,57 00 7 1,5 6 7,81 0,0 0 -6 0,0 0 4,5
0, 0,0 0,1 0,0 0,0 1,00 00 0 25 00 0 1, 0,0 0,0 0,0 1,5 0,00 00 0 0 0 6 0, 1,0 0,5 0,0 0,0 0,00 00 0 0 0 0 0, 0,0 1,0 0,0 0,0 0,00 00 0 0 0 0 0, 0,0 0,0 33, 0,0 0,00 00 0 0 00 0
0, 0,0 0,0 0,0 1,00 00 0 00 00 1, 0,00 00 0, 0,00 00 0, 0,00 00
0,0 0 1,0 0 0,0 0
0,0 0 0,0 0 1,0 0
0,0 0 0,0 0 0,0 0
0,01 4
0,0 0 0,0 0
7,81 3,75 4,50
1,0 0,0 0, 0,0 0,0 0 0 00 00 00 0,0 0 0,0 0 0,0 0
1,0 0 0,0 0 0,0 0
0, 00 1, 00 0, 00
0,0 0 0,0 0 1,0 0
0,0 0 0,0 0 0,0 0
0, 0,0 0,0 1,0 0,0 0,00 00 0 0 0 0 5 0, 0,0 0,0 0,0 40, 35,1 0,00 00 0 0 0 02 45
0,0 0,0 0, 0,0 1,0 0,0 0 0 00 0 0 0 5 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 1,0 0 0 00 0 0 0 0,88
0, 0,0 0,0 0,0 0,0 0,57 1,00 00 0 00 00 00 7
0,00 0,00 0,00 0,00
1, 00 0, 00 0, 00 0, 00
0,0 0 1,0 0 0,0 0 0,0 0
0,0 0 0,0 0 1,0 0 0,0 0
0,0 0 0,0 0 0,0 0 1,0 0
0,0 0 0,0 0 0,0 0 0,0 0
6,43 72
P2
0,5 8 1,3 7
-6
P3
-6
4,5
P4
4,5
5
P5
5 0,8 8
P1
0, 0,0 0,0 0,0 1,0 0,00 00 0 0 0 0 0,88
P6
Ejercicio resuelto con los datos del 3.50
3,444 0 16100 1,999 9 17,01 1,600 0 5,20
3,444 0 16100 1,999 9 17,01 1,600 0 5,20
-9,10
16000, 00
9,6
29,00
1,7
8,42
-9,10
16000,00
9,6
29,00
1,7
8,42
1,000 4.674,796 2,642 0 7 3
4.645,760 7
1,000 4.674,796 4.645,760 0 7 2,6423 7
1,999 9 17,01
9,6
29,00
1,600 0 5,20
1,7
8,42
0,000 9.332,116 14,884 0 0 3 0,000 7.474,474 0 8 5,9276
4.645,760 7
1,000 0 0,0000
4,8138 6,0592
0,000 0 1,0000
0,0016 0,9925
0,000 0 0,0000
5,9938 -6,4356
1,000 0 0,0000
0,0000 0,8906
1,000 4.674,796 2,642 0 7 3 0,000 0,001 0 1,0000 6 0,000 7.474,474 5,927 0 8 6 1,000 0 0,0000 0,000 0 1,0000 0,000 0 0,0000
0,890 6 X1 0,994 2 X2 1,073 7 X3
4,813 8 0,001 6 1,000 0
0,9925 7.424,797 2
6,0592
0,9925 1,0737
0,000 0 1,0000 0,000 0 0,0000
9.262,056 9 7.424,797 2
0,0000 0,9942 1,0000 1,0737
3.24 Elabore un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones Ax=b usando eliminación de Jordán. METODO DE GAUSS-JORDAN O DE ELIMINACION En general un sistema $AX=B$ puede tener
\begin{enumerate} \ítem Una solución \ítem No tener solución (en cuyo caso se le llama inconsistente) \ítem Tener un número infinito de soluciones. \end{enumerate} \vspace{1pt} EJEMPLO \[ \left\ { \begin{array}{l} x+y-z=0 \\ 2x-y+2z=1 \\ -x+y-2z=2 \end{array} \right. \] $\left\{ \begin{array}{l} x+y-z=0 \\ 2x-y+2z=1 \\ -x+y-2z=2 \end{array}
3.25 Calcule el número de multiplicaciones, divisiones o ambas y la cantidad de sumas, restas o ambas que se requieren para resolver un sistema tridiagonal por el método de Thomas. El algoritmo para matrices tridiagonales o algoritmo de Thomas (por Llewellyn Thomas) es un algoritmo del álgebra lineal numérica para resolver matrices tridiagonales de forma eficiente. Para este tipo de sistemas se puede obtener con este algoritmo una solución con solo O(n) operaciones en vez de las O(n^3) que requiere la eliminación gaussiana. El algoritmo primero elimina las ai y luego usa una sustitución para obtener la solución.