23.616.284
20.3620.012
20.817.300
21.312.575
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CARACTERISTICAS
Se utilizan varias estrategias para que se determine un número de posibilidades diferentes que existan para realizar un experimento.
Se permite repetir que es más fácil de calcular y sin repetición que reduce una cierta cantidad de opciones en cada paso.
Compone un conjunto de elementos en donde no nos interesa el que lugar o posición quiera ocupan los mismos dentro del arreglo.
Se toman cierta cantidad de elementos de los distintos grupos de elementos que no se repiten, no importan el orden en el que estén y no entran todos los elementos.
Cada ecuación se expresa en X términos de uno o más términos previos de una secuencia determinada.
Cada término obtiene una X cantidad de elementos determinados donde se realizan sumas de términos anteriores y se multiplican por números reales.
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DEFICICION -METODO DE CONTEO
Son mecanismos utilizados para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.
EJEMPLO Al lanzar un dado veremos cuantas posibilidades hay que salga un número a favor, si tienen 6 caras los dados cual sería la probabilidad de que saliera un cierto número. Entonces sirve para contar el número de casos favorables o posibles y así podemos ver cuantas combinaciones diferentes se pueden tener.
Entre los métodos de conteo encontraremos los más conocidos:
Permutación
Combinación
Variaciones 3
METODO - PERMUTACIÓN
nPr
Consiste en multiplicar sucesivamente los elementos de un conjunto de datos y sirve para hallar formulas generales que permitan calcular el número de permutaciones con y sin repetición. Hay dos tipos de permutaciones: Con repetición Sin repetición
Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA? Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado todos, nos quedan 6,así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 4
METODO - COMBINACIÓN
Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo.
nCr
En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de objetos si el orden de los objetos no es importante. Cada uno de estos resultados se denomina combinación. Ejemplo: Si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A,B y C) ; si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB Combinaciones: AB, CA, BC 5
METODO - VARIACIONES Las variaciones son aquellas formas de agruparlos elementos de un conjunto teniendo encuentra que: la selecci贸n de elementos, ordenen que se colocan y la repetici贸n de elementos.
nVr
Ejemplo: Sea A un conjunto con n elementos distintos y m natural menor que n. Llamaremos variaciones ordinarias de m elementos de A a todas las posibles agrupaciones ordenadas que podamos hacer de esos m elementos. El n煤mero de variaciones ordinarias viene dado por: Vn,m=n(n-1)(n2).....(n-m+1) 6
DEFICICION - RELACION DE RECURRENCIA ď‚ž
Una relación de recurrencia para la secuencia {an} es una ecuación que expresa an en tÊrminos de uno o mås de los tÊrminos previos de la secuencia (a0, a1, ‌.., an-1), para todos los enteros n con n≼n0, donde n0 es un entero no negativo. Una secuencia es llamada una solución de una relación de recurrencia si sus tÊrminos satisfacen la relación de recurrencia.
La formula utilizada para la relaciĂłn de recurrencia es la siguiente: 1 đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘› + 1 3 TIPOS DE RECURRENCIA ď‚ž
SUCESION RECURRENTE
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RECURRENCIA HOMOGENEA
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RECURRENCIA NO HOMOGENEA
En matemĂĄtica, una relaciĂłn de recurrencia es una ecuaciĂłn que define una secuencia recursiva; cada tĂŠrmino de la secuencia es definido como una funciĂłn de tĂŠrminos anteriores. 7
TIPOS DE RECURRENCIA - SUCESION RECURRENTE Es aquella en la que cada término, a partir de uno determinado, se obtiene como una suma de k términos anteriores, multiplicados por números reales. Tal expresión se denomina relación de recurrencia de orden k. ¿QUE ES RECURRENCIA? Es la acción de volver a ocurrir o aparecer una cosa con cierta frecuencia o de manera iterativa.
Se llama sucesión de Fibonacci a aquella en la que a1 = 1, a2 = 1, y para n 3, an = an - 1 + an 2. Los términos de la sucesión son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.... que se llaman también números de Fibonacci. Se trata de una sucesión recurrente de segundo orden. Se demuestra que el término general de la sucesión viene dado mediante la fórmula: un = - 1 8
TIPOS DE RECURRENCIA
RECURRENCIA HOMOGENEA Se llama ecuación de recurrencia lineal homogénea de grado k, con coeficientes constantes.
Para poder encontrar una solución, hacen falta unas condiciones de contorno o iniciales, siendo k el grado de la ecuación. La recurrencia lineal, junto con las condiciones iniciales ,determinan la secuencia única.
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TIPOS DE RECURRENCIA
- RECURRENCIA NO OMOGENEA Recibe el nombre de ecuación de recurrencia lineal no homogénea de grado k, con coeficientes constantes.
Consideraciones: 1.- Si F(n) es una combinación lineal de algunas de las funciones de la tabla anterior, su solución particular es la combinación lineal de las soluciones particulares de esas mismas funciones. 2.- Si uno de los sumandos de F(n) es el producto de una constante por una solución de la ecuación característica homogénea asociada, entonces es necesario multiplicar la solución particular correspondiente a este sumando por la menor potencia de n, n´ tal que este nuevo producto no sea solución de la ecuación característica homogénea asociada. 10
EJERCICIOS PLANTEADOS 1) Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con las cifras 6, 5, 7, 4, 3, 8, si ninguna cifra puede aparecer más de una vez en cada número? N=6 K=4 Método Variación porque si importa el orden, y se toman 4 elementos. Formula = N! / (N – K)! Resolución: V = 6! / (6 – 4)! = 360 números diferentes. 2) De cuantas maneras puede formarse un equipo de voleibol (6 jugadores) en un plantel de 9 jugadores? N=9 K=6 Método Combinación ya que no importa el orden que tenga los jugadores. Formula = N! / (N – K)!*K! Resolución: C = 9! / (9 - 6)!*6! = 84 Formas diferentes. 3) Cuántas sumas diferentes de dos sumandos cada una se pueden obtener con los números 3, 6, 12, 21, 13, 41? N=6 K=2 Método Variación porque importa el orden, y se toma solo dos elementos. Formula = N! / (N – K)! Resolución: V = 6! / (6 – 2)! = 30 sumas diferentes. 4) En una fila de 10 butacas ¿Cuántas posiciones diferentes pueden ocupar tres personas, sentándose siempre las tres? N = 10 K=3 Método Combinación porque no el orden en el que se sienten. Formula = N! / ( N – K)! * K! Resolución: C = 10! / (10 – 3) * 3! = 120 posiciones diferentes.
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EJERCICIOS PLANTEADOS 5) ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras puede formarse con los 09 dígitos 1, 2, 3,4...., 9 y en los cuales no se repita ningún número? N=9 K=6 Método Variación porque si importa el orden de los números. Formula = N! / (N – K)! Resolución: V = 9! / (9 – 6)! = 60480 números diferentes! Resolución: C = 10! / (10 – 3) * 3! = 120 posiciones diferentes. 6) Hallar el número de personas que asistieron a una reunión si al despedirse se contó 78 apretones de manos. con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros números naturales consecutivos: 1 +2 +3 +… + n. Dicha expresión es la de la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia 1, y viene dada por: N (1 +n) / 2 Así que, tenemos que resolver la ecuación: N (1 +n) / 2 = 78 que es una ecuación de segundo grado que podemos expresar como: n 2 + n – 156 = 0 . Resolviendo dicha ecuación obtenemos como solución válida n=12, y de dicho resultado se deduce que había 13 personas en la reunión.
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