Matematica by Alex Silva

MATEMÁTICA -1-

EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I

ACADEMIA PITÁGORAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MATEMÁTICA

01. Sea el número E = 2 + 3 . Calcule el residuo de dividir E entre 7. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

02. ¿Cuántos números de la forma (4a3)(3b)(4a3) son primos? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2001

0,a b - 0,b a = 0,4 4

Entonces la suma de todos los valores Ð

posibles de 0,a b que satisfacen la ecuación anterior es: Ð

A) 0,6 1

D) 3,1 1

B) 1,3 3

06. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: ( ) Sean A  B  C  D, entonces la probabilidad P(D) = P(D\A) + P(C\A) + P(B\A) + P(A) ( ) Se lanzan dos dados normales, entonces la probabilidad que su 1 suma sea 7 es . 2 ( ) Se lanzan dos dados normales, uno cada vez, entonces la probabilidad de que salga 3 dado 1 que antes salió 1 es . 36 A) VVV B) VFV C) FVV D) FFV E) FFF

C) 2,1 6

E) 4,1 6

04. Se tiene la siguiente igualdad: (aaa1(9))1/3  1(a2) (9)

Entonces podemos decir que el conjunto. {a  {1, 2, 3, ...., 8} / (aaa1(9))1/2 existe} A) No posee elementos B) Posee un solo elemento C) Posee dos elementos D) Posee tres elementos E) Posee cuatro elementos

05. Semanalmente, un trabajador ahorra cierta cantidad en soles, y durante 40 semanas ahorra las siguientes cantidades:

07. Sabiendo que K = ab(4) = cd(5)

a+b+c+d = 11 en el sistema decimal

-3-

-2-

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con a  0, c  0. Determine K en el sistema decimal. A) 14 B) 23 C) 32 D) 41 E) 51

Se construye una tabla de frecuencias de 7 intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es la frecuencia acumulada del quinto intervalo (ordenados los extremos de los mismos de forma creciente), determine el valor de (A+F5) - 1. A) 30 B) 32 C) 37 D) 38 E) 39

03. En la expresión siguiente, b0

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después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. f(x + y)  f(x) + f(y); x, y   2 II. Si hacemos g(x) = x - 2x - 3 entonces el conjunto solución de g(x) = f(x) es  3; 3 2 III. Si hacemos h(x) = x - 3x + 5 entonces el conjunto solución de h(x) = f(x) es vacío. A) VFV B) VFF C) VVV D) FVV E) FVF

08. Se sabe que en una división entera el divisor en 50 y el residuo es 15. ¿Cuántas unidades como mínimo se le debe disminuir al dividendo, para que el cociente disminuya en 13 unidades? A) 614 B) 615 C) 616 D) 617 E) 618

12. Indique el intervalo al cual pertenece el valor de m, para que la inecuación: 4  x 4x 2 <m x 2  x 1 se cumpla para todo x   13 A) ;  3 B) <1; -> C) <2; +> D) <3; 9> E) <5; +>

09. En el primer cuadrante del plano se forma el conjunto A con los puntos con coordenadas enteros positivos, esto es: A = {(m, n) / m  , n  } A cada punto (m, n) de A se le asigna 1 el valor . Calcule la suma de mn 2 todos los valores de los puntos (m, n) de A con coordenadas m  n. 1 2 A) B) C) 1 3 3 D) 2 E) +

13. Sea una función f:   <0; +> que cumple f(a + b) = f(a).f(b)  a, b  . Calcule el valor de f(a).f(-a) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

10. Si S es el conjunto solución de la inecuación: |x 1|  |x 2| < 2 se afirma: I. <1/4; +>  S II. S  <1/3; +> III. S  <-; 1/2>  Φ ¿Cuáles son afirmaciones correctas? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) lI y III

14. Considere la siguiente función f:  2 definida por f(x) = ax + bx + c, a > 0, b > 0. Si f(0) = 2 y Rang(f) = [b; +>, determine el siguiente valor: 8ab 2 M= ab A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Respecto a la función f(x) = |x| - x, indique la secuencia correcta,

-4-

-3-

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15. Sea f una función cuya regla de correspondencia está dada por:

respectivamente, para maximizar su utilidad? A) (160, 320) B) (140, 340) C) (340, 140) D) (320, 160) E) (180, 300)

f(x) = loga (x x 2  1) Encuentre su función inversa. a x  a x x -x x -x A) a + a B) C) a - a 2

19. Considere la sucesión: 1 1 1 1, , , ...., , ... 2 2 2 3 n2 Determine el menor valor de n  , de modo que se cumpla: 1 < 1 × 107 2 n A) 2 081 B) 2 091 C) 2 991 D) 3 001 E) 3 163

a a x  a x D) E) 2 2

16. Si A es una matriz invertible, despeje la matriz X a partir de la expresión. (AX)1 t  0,5 B 1 -1 t A) X = 0,5 A B t -1 B) X = 0,5 B A -1 C) X = 2A B -1 t D) X = 2B A -1 t E) X = 2A B

20. Halle el menor grado del polinomio n x + ax + b, a  0, (n > 1) para que 2 x - 1 sea un divisor. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

17. Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones no lineales: x 2  y 2  2x 2y  1  0 x 2  2x y  1  0 A) {(3, 1), (1, 1), (-1, -1)} B) {(2, -2), (2, 1), (1, 1)} C) {(-1, 0), (1, 1), (1, 2)} D) {(1, 0), (0, 1), (2, 1)} E) {(1, -1), (1, 0), (2, -1)}

21. El punto P se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista de cada vértice, calcule esta distancia. a 3 a 2 a 3 A) B) C) 4 3 3 D)

18. Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que puede sembrar maíz o trigo. Él calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación de verano. En el caso del maíz, el trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene una utilidad de S/. 40 por acre, mientras que en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la utilidad es de S/. 30 por acre. ¿Cuántos acres de maíz y trigo debe plantar,

a 6 4

-4-

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A) 3

B) 3 3 3

D) 3 3

entonces el volumen de una esfera tangente a las bases del tronco de 3 cono (en cm ) es:

C) 3 3

E) 3 3

23. En un cilindro de revolución de 5 cm de altura se inscribe un paralelepípedo rectangular con superficie lateral de 2 250 cm . Una de sus aristas, ubicada en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la razón (en cm) entre el volumen y el área lateral del cilindro. 337 337 337 A) B) C) 4 2 4 337 D) E) 337 2

30 π 3 33 D) π 3

31 π 3 34 E) π 3

32 π 3

26. En una pirámide cuadrangular regular la arista básica mide 8 u y su altura mide 15 u. ¿A qué distancia (en u) de la base de la pirámide se debe trazar un plano paralelo a dicha base, para que el volumen del prisma recto, que tiene por base a dicha sección y por altura la distancia de la sección al 3 vértice de la pirámide, sea los del 8 volumen de la pirámide?

24. En la Panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolución. Las longitudes de las circunferencias son 4π m y 2π m. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros cúbicos.

A) 9,5 D) 6,5

B) 8,5 E) 5,5

C) 7,5

27. En el gráfico AB = AD = DC, calcule α (en grados).

a 2 2

22. Un vaso de forma de prisma recto exagonal con diagonal mayor de la base que mide 6 cm, contiene agua “al tiempo”. Para enfriarla se coloca un cubo de hielo y se observa que el nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud de la arista del cubo de hielo (en cm).

-5-

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A) 3π D) 10π

B) 5π E) 11π

C) 7π

25. En un tronco de cono de revolución el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Si el volumen 3 del tronco de cono es 336π cm y el radio de la base menor es 6 cm,

A) 8 D) 12

-6-

-5-

B) 9 E) 13

C) 10

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28. En la figura las circunferencias tienen radios r = 3 u y R = 6 u, respectivamente, C es punto de tangencia y D es centro. Calcule 2 producto DA.DB (en u )

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA A) 2 D) 5

3 2 D) ArcTg(2) 5 E) ArcTg 2 C) ArcTg

33. Si x  π, A) 8 D) 11

B) 9 E) 12

C) 10

31. En la figura AC = CD, AD = 6 u y área (∆BCD) = r (área ∆ABD). Halle r.

3π 2

B) 24 E) 40

x3 ArcTg(x)x Dadas las siguientes proposiciones: I. La función f es impar II. Si x  Dom(f), entonces -x  Dom(f) III. La gráfica de f corta a la curva 2 y=x Son correctas A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III

entonces determine

los valores de y = 4 - 9 Csc

x

2π 3

A) <-, -12> B) <-, -11> C) <-, -10> D) <-, -9> E) <-, -8>

C) 30 k = Cos 2

A) B) A) 1 + 3

B) 2 + 3

C) 2 - 3

D) 1 + 2 3 E) 2 3 - 1

A) 2,14 D) 2,56

B) 2,16 E) 2,82

37. Si ABCD es un cuadrado de lado 2 u y T es un punto de tangencia, entonces 2 el área sombreada (en u ) es igual a: (O centro de la circunferencia que pasa por A, T y D)

π π 3 x Cos 2 x  (1Sen(2x)) 3 3 2

se obtiene:

29. En la figura se muestra el triángulo rectángulo ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD = 3 cm, entonces la medida (en cm) del segmento EF es:

32. ABCD es un cuadrado y desde su centro O se traza un segmento OE perpendicular al plano ABC, si OE = AB entonces la medida del diedro E - DC - B es: 1 A) ArcTg 2 B) ArcTg(1)

C) 2,25

30. En la siguiente figura, I es el incentro del triángulo ABC, BI = 6 u, DE = 1 u. Calcule BE (en u)

-7-

-6-

C) -

C) 4

36. Sea la función f(x) =

34. Al simplificar la expresión: A) 18 D) 36

B) 3 E) 6

3 2 Cos (2x) 2 3 2 Sen (2x) 2 3 Sec(2x) 2

3 Csc(x) 2

3 2

35. Si x  0,

A) 0,57 D) 0,81

C) 0,79

38. En todo triángulo ABC la suma de los cuadrados de sus lados es igual a: K(bcCosA + acCosB + ab CosC) donde K vale: 1 1 A) B) C) 1 4 2 D) 2 E) 4

π y 2

1Sen(x) = Tg 1Sen(x) 2 valor de (a + 1).

B) 0,68 E) 0,92

x π , calcule el  a 2a

-8-

-7-

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39. Al resolver la ecuación: Sen(2x) - 12(Sen(x) - Cos(x)) + 12 = 0 obtenemos como soluciones: A) kπ , k  Z 1 B) 2kπ y k π , k  Z 2 C) 2kπ y kπ, k  Z 1 D) (2k + 1)π y 2k π,kZ 2 E) (3k + 1)π y k

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ð

RESOLUCIÓN

40. Del gráfico mostrado, el resultado de: E = Tgθ + Tgβ + TgΦ, es: 3

01. 2 = 7 +12 3

2001

3 = 7 -13

3 667

=(2 )

2001

1 π, k  Z 2

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=( 7 +1)

3 667

=(3 )

B) -2 E) 4

C) 0

= ( 7 -1)

8a - 8b = 40 a-b=5 6 1 7 2 8 3 9 4

667

= 7 +1

667

= 7 -1

E = ( 7 +1)-( 7 -1) = 7 A) -4 D) 2

03. 0,a b - 0,b a = 0,4 4 ; b  0

 Resto = 0

04. aaa19

02.

1/3

= 1(a2)9 ; a + 2 < 9 o

( 9 +1) = ( 9 +a+2)

Luego, son primos:

Verificando la igualdad, sólo cumple para a = 5

101; 131; 151; 181; 191; 313; 353; 373; 757; 797; 919 y 929

 El conjunto posee un elemento Rpta. B

 Hay 12 números NO HAY CLAVE Observación: Suponiendo que a y b son enteros, los números primos son: 101; 131 y 191  Hay 3 números

05. De acuerdo a la tabla: A=

Rpta. C

-8-

Rpta. D

Rpta. A

-9-

 0,6 1 + 0,7 2 + 0,8 3 + 0,9 4 = 3,1 1

- 10 -

-9-

42 =6 7

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Luego:

Entonces: Ahorro [Li; Ls>

Número de semanas fi

4; 10

10; 16

16; 22

22; 28

28; 34

34; 40

40; 46

6 1 P(A) = = 36 6 III. Falso Sean los eventos: A: En el 2do dado salió 3 B: En el 1er dado salió 1 1 P(AB) 1 36 P(A/B) = = = 6 P(B) 6 36 Rpta. E  F5=34

09. Como: (m; n) se le asigna el valor de

S2 =

24 1

S3 =

 

1 25 1 27

 

1 26 1 28

 ....   .... 

Para: K = 14 = 32(4) = 24(5) Obs: a + b + c + d = 3 + 2 + 2 + 4 = 11  K = 14 Rpta. A

Falso

| P(D\ A) + P(C\ A) + P(B\A) + P(A) P(D)

..... (1) ..... (2)

Restando (1) - (2): x = 15 + 650 - 49  x = 616

II. Falso : se lanzan dos dados  n() = 6 × 6 = 36 A : La suma es 7  n(A) = 6

- 11 -

|x + 1|  |x - 2| 2

1 8 1 32

.... (θ)

C.S =

1 ;  2

S

1 ;  3 Rpta. B

1 2 1 1 4



11. Como f(x) = |x| - x I. Verdadero f(x + y)  f(x) + f(y);  x; y   |x + y| - x - y  |x| - x + |y| - y  |x + y|  |x| + |y| II. Verdadero 2 x - 2x - 3 = |x| - x 2 |x| = x - x - 3 2 2 x = x - x - 3  x = -x + x + 3

2 3

0 = (x  3)(x + 1)  0 = (x + 3 )(x 3 ) x = 3  x = -1  x = - 3  x = 3 no cumplen x = -1; x = 3

C.S = {3; - 3 }

x +2x+1x -4x+4  x 

x

x

Finalmente α  β  θ

10. Como:

II. 2  0 

Rpta. C

-10-

 |x + 1| - |2 - x| < 4

Rpta. B

I. Se cumple: D = 50q + 15 D - x = 50(q-13) + 49

2m n

|x 1|  |x 2| < 2 se cumple: |x+1| - |x-2|  0  2  0  |x+1|-|x-2|<4

08. Se tiene:

AB CD P(D\A) = P(D) - P(A) P(D\A) + P(A) = P(D) P(C\A)  0 P(B\A)  0

Se cumple: |x + 1| - |2 - x|  |x + 1 + 2 - x| |x + 1| - |2 - x|  3

al reemplazar se forman las siguientes series: 1 1 1 1    ....  S1 = 2 3 4 2 2 2 2

S = S1 + S2 + S3 + .... =

Se cumple:

Rpta. E 06. I.

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 finalmente:

07. K = ab (4) = cd (5) a + b + c + d = 11

 A + F5 - 1 = 39

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1 2

III. Verdadero 2 x - 3x + 5 = |x| - x 2 |x| = x - 2x + 5 2 ∆ = (-2) - 4(1)(5)  ∆ < 0  No hay soluciones reales.

... (α)

.... (β)

III. |x + 1| - |x - 2| < 4 es equivalente “a”: |x + 1| - |2 - x | < 4

Rpta. C

- 12 -

-11-

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12.

4  x 4x 2 2

x  x 1

14. Se tiene f:   /f(x) = ax + bx + c siendo f(0) = 2  Ran(f) = [b; +> del dato f(0) = 2 resulta que c = 2 Luego la función queda así: 2 f(x) = ax + bx + 2 Completando cuadrados:

Como x - x + 1 > 0, entonces: 2 2 4 + x - 4x < mx - mx + m 2 0 < (m + 4)x - (m + 1)x + m - 4 2 ∆ = [-(m+1)] -4(m+4)(m-4)<0m+4> 0 2 0 < 3m - 2m - 65 0 < (3m + 13)(m-5)  m > -4

f(x) = a x

b 2a



8a  b 2 4a

Además como Ran(f) = [b; +> se tiene: 8a  b 2 b= 4a Luego m  <5; +>  <5; +>

4=



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16. Tenemos A inversible con: -1 t

18. Del enunciado tenemos el cuadro:

-1

((AX) ) = 0,5B -1 Como tenemos (AX) en la igualdad, podemos concluir que X también es una matriz inversible. Luego, tomemos transpuesta a ambos miembros: -1 t -1 (AX) = 0,5(B ) Multiplicando por AX a la derecha: t -1 I = 0,5(B ) (AX) Finalmente multiplicando a la derecha -1 t por la matriz 2A B resulta:

y = f(x) Loga(x+ x 21 ) Notamos que f es una función inversible. Luego, despejando x en función de y.

17. Completando cuadrados ecuaciones se tiene:

Graficando:

- 13 -

Total = 800 h

Total = 480

x, y  0 2x  y  800 x  y  480

f(320; 160) = 40(320) + 30(160) = 12 800 + 4 800 = 17 600 soles

Rpta. D 19. Tenemos la sucesión: 1 1 1 ; ; ...; ; ....} {an} = {1; 22 32 n2 la condición es: 1 -7 < 1 × 10 n2

Aquí los cortes nos representan las soluciones | C.S. = {(1; 0); (0; 1); (2; 1)} Rpta. D

-12-

El máximo ocurre en (320; 160)



Rpta. C

Trigo

 2xa = a - 1 a 2y1 x= 2a y a ya y x= 2 x a a y -1  f (x) = 2

 f(a)f(-a) = 1

(x1)2(y1)21 .... Ec. de circunferencia y(x1)2 ..... Ec. de parábola

hacemos b = -a f(0) = f(a)f(-a) È 1

las

 x 21 = a - x y

Maíz

f(x; y) = 40x + 30y

-1 t

Rpta. E

15. Tenemos:

f(0) = 1

Terreno

Las condiciones son:

Rpta. D

x + x 21 = a

Horas

Función objetivo:

2A B = X

8a  b 2 ab

Rpta. E 13. Sea f:   <0; +> Como: f(a + b) = f(a)f(b) :  a; b   hacemos: a=b=0 f(0) = f(0).f(0)  f(0) = 0  f(0) = 1 pero f(0) = 0 no cumple:

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Rpta. D

- 14 -

-13-

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Se tiene luego de operar: n > 3 162, 2 ....  El menor valor de n es 3 163 (n  )

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21.

sumergido

ÆÉÉÉÈÉÉÉÉÇ Vprisma

x =

Rpta. E

Luego, del dato:

desplazado

ÆÉÉÉÈÉÉÉÇ Vcubo

3 3 6×2 4

x = 27 3

20. Se tiene el polinomio:

(2r) = 16 + a = 16 + 9

x=3 3

r = 337

p(x) = x + ax + b con a  0  n > 1 2 Por condición x - 1 es un divisor de p(x), es decir: n x + ax + b = (x+1)(x-1)q(x) Si x = 1: a + b = -1 ............... (I) Si x = -1: n (-1) + a(-1)+b = 0 n  -a+b = -(-1) ...... (II) Como n > 1, supongamos que n = 2, entonces se tendría en (II):

Rpta. B En la figura: “P” es el centro del tetraedro regular, cuyo circunradio mide R. Luego: R = R=

Reemplazamos en (I):  x

23.

337 4

3h a 6 ;h= 4 3

Rpta. A

a 6 4

-a + b = -1 que al combinar con (I) resulta: ab1  a = 0  b = -1 ab1

24.

Rpta. D 22.

Pero por dato a  0. Por consiguiente n  2. Entonces, si suponemos que n = 3 tenemos en (II): -a + b = 1 Combinando con (I) ab1  a = -1  b = 0 ab1

Se pide: x

Conclusión: el menor valor de n es 3.

En la figura: 2L = 6  L = 3 Luego: = Vsólido

Rpta. B

- 15 -

-14-

Vcilindro SL(cilindro) Del dato: L1 = 2π = 2πr; r = 1 L2 = 4π = 2πR; R = 2

π r 2g x= 2π rg x= Vlíquido

r ..... (I) 2

Por Pitágoras en 2

h + 1 = ( 10)  h = 3

- 16 -

-15-

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Luego:

26.

π(3) [4  1  2] V 3

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27.

BDC ~

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 V = 7π

EDA AD 2R  r DB

AD . DB = 2Rr Rpta. C 25. Dato:

AD . DB = 2(6)(3)

Vtronco = 336π



Al trazar el plano paralelo a la base de la pirámide, la pirámide parcial que se forma será semejante a la pirámide inicial. Luego en la pirámide parcial:

Se traza BD y se prolonga BA hasta “E”. En ∆ABD: mABD = mADB = 6α  mDBC = α Luego: ∆BDC: Isósc: BD = DC  ∆ABD: equilátero: 6α = 60

AD.DB = 36

Rpta. D 29.

 α = 10

a = 8k  h = 15k Rpta. C

Por dato:

Por dato: π(2R) 2 (6  122  6 × 12)  336π 3

VPrisma =

(8k) . 15k =

k=  VEsfera =

4 32π 3 π.R = 3 3

28. Calcular: DA.DB. Datos: r = 3 u; R = 6 u

Vpirámide

3 1 2 . . 8 . 15 8 3

1 15 h= 2 2

x= Rpta. C

3 8

15 = 7,5 2

- 17 -

ABD: BD = 4

ABC: 5 = (AC)(3)  AC = 25/3

ABC: 4 = (DC)(3)  DC = 16/3

Luego:

ABC ~ DEC: x 16/3 64  x 4 25/3 25

 x = 2,56 Rpta. C

-16-

En la circunferencia mayor se traza el

Rpta. D

diámetro DE y se traza AE . Luego:

- 18 -

-17-

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30.

Sea P un punto interior al triángulo DBC, tal que el triángulo PCD sea congruente con el triángulo BCA. Luego BC = PC= b, mBCP = 2α  mBDP = α Por propiedad en el cuadrilátero DBCP: mDBC = 120 - α En ∆DBC : α = 15

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32.

Csc

Rpta. B

2k.k k( 31).k r 2 2

31.

x 2

 Csc x

2π >2 3

4 3

2π 3 x

< -12

2π 3

< -8

Rpta. E 2

3 ](1Sen2x) 2

34. k = [Cos (60°+x)Cos (60°x) k = [Sen (60°x)Sen (60°+x) k = [Sen120° Sen2x 

3π 2 3π π<x< 2 5π 2π 13π <x+ < 3 3 6

33. x  π,

k=

3 ](1Sen2x) 2

3 (1+Sen2x)(1-Sen2x) 2

k=

3 2 Cos 2x 2 Rpta. A

35. 0 < x <

π 2

x π 1Senx = Tg  1Senx a 2a

31

1Cos Rpta. A

- 19 -

2π 3

 y < -8 y  <-, -8>

 r = 3 +1

-18-

x

4 - 9Csc

De donde: r=

-9Csc

Rpta. D Observe que AB//DC , del gráfico reemplazamos en el dato: S(BCD) = rS(ABD)

Luego:

Sea: AB = OE = 2a Se traza: OM  DC y se traza: EM | OM = a  EM  CD mOME = x En OME: Tgx = 2  x = ArcTg(2)

Del gráfico: AE = EI = x - 6 (mIAE = mAIE = α + β) En el triángulo AEB, por propiedad: 2 (x - 6) = x . 1 x9 x 2  13x 36  0 x4 De donde: x = 9 (x = 4 no es solución)

2π 3

π x 2

π 1Cos x 2

- 20 -

-19-

= Tg

x π  a 2a

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Ctg

π x  4 2

= Tg

Por lo tanto las funciones: x3 f(x) =  y = x2 ArcTgxx no se cortan Contestando las proposiciones: I. Falso II. Verdadero III. Falso

x π  a 2a

x π x π = Tg   2 4 a 2a |a=2 Lo pedido: 2 a +1=5 Tg

Rpta. D

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38. Condición: 2 2 2 a +b +c = K(bcCosA + acCosB + abCosC) 2 2 2 2(a +b +c )=K(2bcCosA+2acCosB+2abCosC) (Por el T. cosenos) 2 2 2 2 2 2 2(a +b +c ) = K(a +b +c ) K=2

40.

Rpta. D

Rpta. B

36. Sea la función: f(x) 

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De la figura:

x ArcTgx  x

39. Sen2x = 1 - (Senx - Cosx) Sen2x - 12(Senx - Cosx) - 12 = 0 2 (Senx-Cosx) + 12(Senx-Cosx)-13=0

37.

 Su dominio:  - {0}  f(-x) = f(x) (x)3 x3  ArcTg(x)  (x) ArcTgx x

 Tgθ =

1 2

 Tg (-β) =

 TgΦ = 2  Tgθ + Tgβ + TgΦ = 2

Senx - Cosx = 13 (No hay solución) II. Senx - Cosx = 1  x = (2k + 1)π

Es una función par, por lo tanto si x  Dom(f), entonces -x  Dom(f) Graficando:

x = 2k  Ssombreada

= Strapecio - Ssemicírculo APCD

Rpta. D

1 π 2 Rpta. D

= 5π 2 53,1416 = 2 = 0,92 =

La gráfica:

Rpta. E

- 21 -

-20-

1 1 | Tgβ = 2 2

- 22 -

-21-

-22-