Alfonso bloque 1 aritmética y álgebra 2013 14 by Alfonso Lerma

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MATEMÁTICAS

BLOQUE I - ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA BLOQUE 2 - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA BLOQUE 3 - FUNCIONES Y GRÁFICAS BLOQUE 4 - ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Curso 2013-14 Alfonso J. Lerma Gallego

Alfonso Lerma

I – Aritmética y Álgebra -1

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Bloque 1 -2

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BLOQUE I - ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA Contenidos

Criterios de evaluación

•

• • •

•

Números reales. La recta real. Intervalos y distancias. Aproximación y error. Valor absoluto. Uso de la calculadora científica. Potencias. Notación científica. Ecuaciones de primer y segundo grado. Interpretación geométrica. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución algebraica y gráfica. Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Representar en la recta real intervalos, semirrectas, y expresiones algebraicas usando el valor absoluto.

• Realizar cálculos y resolver problemas de la vida real mediante las potencias y la notación científica. • Resolver operaciones con números reales usando la calculadora científica. • Plantear y resolver problemas que precisen de ecuaciones de primer grado, de segundo grado, de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas o de inecuaciones, comprobando la validez de la solución o soluciones.

Í N D I CE NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL. OPERACIONES. INTERVALOS Y DISTANCIAS APROXIMACIÓN Y REDONDEO USO DE LA CALCULADORA. NOTACIÓN CIENTÍFICA VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO POTENCIAS Y RADICALES EJERCICIOS DE ARITMÉTICA CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS DE ECUACIONES DE 1ER Y 2° GRADO SISTEMAS DE ECUACIONES INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA EJERCICIOS DE INECUACIONES Y SISTEMAS

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Bloque 1 -3

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NÚMEROS REALES Los números naturales se emplean para contar los elementos de un conjunto (número cardinal) o bien para expresar la posición o el orden que tiene un elemento (ordinal). El conjunto de todos los números naturales se designa por: ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…} Para hablar de las propiedades y las operaciones de los números naturales, es habitual que se utilicen caracteres propios del lenguaje matemático. Una expresión muy usada es la “pertenencia” de un elemento a un conjunto: para decir que un cierto número x es “natural”, se dice que “x pertenece a ℕ”, x  ℕ. En el cuadro adjunto vemos algunos de estos símbolos y su traducción. La suma y el producto de números naturales es otro número natural, pero la diferencia de dos números naturales no siempre es un natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo. 3−5ℕ

5−3ℕ

El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta (y el cociente es entero). 2:6ℕ

6:2ℕ

Símbolos matemáticos

 

“pertenece”, “no pertenece”

∀

“para todo”

∃, ∄

“existe”, “no existe”

“tal que”, “de modo que”

→ ⇒

“entonces”

⊂

“conjunto incluido en”

∅

“conjunto vacío”

≃

“aproximadamente igual”

∞

“infinito”

∑

“sumatorio”

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales: 25 = 2·2·2·2·2 = 32

Los números enteros se construyen a partir de los naturales, añadiendo los negativos, que son los opuestos de cada uno de los positivos. Forman el conjunto ℤ.

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc. La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero. El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la división es exacta.

2:6ℤ

6:2ℤ

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural para que el resultado sea entero. (−2) = (−2) · (−2) · (−2) = −8 ∈ ℤ Los números racionales son los que se pueden expresar en forma de fracción de dos enteros, con denominador distinto de cero. El conjunto de los números racionales se designa por ℚ, y la forma de definirlo en Matemáticas es:

ℚ= Ejemplos: Alfonso Lerma

∈ ℤ;

≠0

… Bloque 1 -4

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Se observa que los propios números enteros cumplen la definición, puesto que podemos encontrar muchas fracciones de valor entero.

Los números racionales que no son enteros serán denominados “fraccionarios”. Según su expresión decimal, un número fraccionario puede ser decimal exacto, periódico puro o periódico mixto La suma, la diferencia, el producto y el cociente (con denominador distinto de cero) de dos números racionales es otro número racional. Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero. Se verán las operaciones y sus propiedades en este mismo bloque Aritmética y Álgebra. Letras griegas

 

“alfa”, “alpha”

 

“beta”

 

“gamma”





“delta”





“epsilon”





“theta”





“lambda”

 

“mu”

 

”nu”

 

”pi”





”ro”





”sigma”

 

”fi”, ”phi”

 

”omega”

Los números que no se pueden expresar en forma de fracción se llaman números irracionales. Su forma decimal posee infinitas cifras decimales no periódicas. Son ejemplos de irracionales los valores de las raíces no exactas, como √2, √5 …, algunas cantidades trigonométricas y logarítmicas y también varios números de importancia histórica. El más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, = 3.141592653589... Otros números irracionales son el número e, que aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la curva catenaria que podemos apreciar en los tendidos eléctricos, e = 2.718281828459... o el número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

√

= .

…

Los NÚMEROS REALES constituyen el conjunto formado por la unión de los números racionales y los irracionales. Se designa por ℝ. Relaciones entre conjuntos En

notación matemática,

decimos que ℕ

subconjunto de ℤ, o que está incluido en él: ℕ ⊂ ℤ. Sucede algo similar con los racionales y los reales:

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ Los irracionales van por otro lado, I ⊂ ℝ Finalmente: ℚ ∪ I = ℝ

Ahora, con los números reales realizamos más operaciones, excepto la división por cero.

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Bloque 1 -5

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LA RECTA REAL Los números reales se representan gráficamente como puntos de una recta, llamada recta real. A cada punto de ella le corresponde un número real, y viceversa. -



- -3

−

-2

-1

−

2.3



Los puntos que observamos en la recta real están situados en orden creciente de izquierda a derecha. Decimos entonces que cualquier número real es menor que los que se encuentran a su derecha. Esta comparación entre números reales se representa en Matemáticas mediante los símbolos de desigualdad: Símbolo

Se lee…

Ejemplo

menor que

-6 < 4

mayor que

3.1416 > 3.1415

≤

menor o igual que

-8 ≤ 0

≥

mayor o igual que

7/5 ≥ 1

≠

distinto de

1/3 ≠ 0.3

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Suma de números reales El resultado de sumar números reales es otro número real que cumple las propiedades: Asociativa. El modo de asociar los sumandos no varía el resultado: (a+b)+c=a+(b+c)

. +(

. + )=( . +

. )+

Conmutativa. El orden de los sumandos no varía la suma: a + b = b + a √

√ +√ = √ +

Elemento neutro. Es el 0, ya que un número sumado con él da el mismo número: a+0=a

(−3) + 0 = (−3)

Elemento opuesto: Dos números son opuestos uno de otro si al sumarlos da como resultado el cero. √ + −√

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número: −(−7)= 7 La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo (el primero) más el opuesto del sustraendo: a − b = a + (−b)

Multiplicación números reales La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales. El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real que cumple las siguientes propiedades:

+ por + + por - por + - por -

= + = = = +

Asociativa. El modo de asociar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que: a · (b · c) = (a · b) · c

2 · (7 · 4) = (2 · 7) · 4 = 56

Conmutativa. El orden de los factores no varía el producto: a · b = b · a

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· 20 = 20 ·

Bloque 1 -6

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Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a ·1 = a ·1= Elemento inverso. Un número es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad (es decir, el neutro).

El inverso de a es

↔ a· =1

· =1

Distributiva. El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c ó

∶

3 · (5 + ) = 3 · 5 + 3 ·

= 15 + 3

Sacar factor común. Es el proceso contrario a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c)

4 + 2√3 = 2 · (2 + √3)

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor. 48.6 ∶ 2 = 48.6 ·

INTERVALOS Y DISTANCIAS Intervalos Un intervalo es un subconjunto de números reales que se corresponde gráficamente con los puntos de un segmento o de una semirrecta de la recta real. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos extremos del segmento y pueden o no estar incluidos los extremos. Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x 

ℝ / a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x 

ℝ / a ≤ x ≤ b}

Un intervalo puede ser abierto por uno de sus extremos y cerrado por el otro.

Semirrectas En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que cierto extremo. ( , +∞) = { ∈ ℝ / < < +∞} x>a

-∞

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+∞

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x≥a

[a, +∞) = {x ∈ ℝ / a ≤ x < +∞}

-∞

+∞ x<a

(−∞, ) = { ∈ ℝ / −∞ <

< }

+∞

-∞

x≤a

(−∞, ] = { ∈ ℝ / −∞ <

≤ } +∞

-∞

Es frecuente efectuar operaciones con intervalos y semirrectas. Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utilizan los siguientes operadores:

∪ ⇾

unión

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a alguno de ellos o a los. Se escribe ∪ .

∩ ⇾ intersección El conjunto intersección de otros dos A y B contiene sólo los elementos que pertenecen a ambos. Lo denotamos ∩ .

Distancias La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números: d(a, b) = |b − a|

Se ha mencionado “valor absoluto” en la definición: Para cada número real x, su valor absoluto lo representamos por | | y es el mismo x si es positivo o nulo, o su opuesto en caso contrario. Notemos que la distancia entre dos números reales es un número positivo, pues el menor se resta del mayor. Ejemplos: 1.

La distancia entre 1 y 4 es 3, pues 4 – 1 = 3

La distancia entre 2 y -3 es 5, pues 2 – (-3) = 2 + 3 = 5.

La distancia entre -7 y -3 es 4, pues -3 – (-7) = -3 + 7 = 4

APROXIMACIÓN Y REDONDEO Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo podemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras. Decimos que ese otro número es una aproximación del número de partida.

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Bloque 1 -8

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De esta forma, “aproximar un número a ciertas cifras decimales” consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado. Llamamos orden de la aproximación a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas. Aproximación por defecto: buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatamente menor que el dado. Aproximación por exceso: es el número con las cifras decimales fijadas que es inmediatamente mayor. Ejemplo. Dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales (es decir, a las centésimas): Por defecto es 1.34, mientras que por exceso es 1.35 Si nos piden aproximarlo a las décimas, por defecto es 1.3 y por exceso es 1.4; la aproximación a las unidades sería: por defecto, 1; por exceso, 2.

Ejemplos: Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números: a) 263825 con 2 cifras significativas. b) 6035192 con 1 cifra significativa. c) 60.35 con 3 cifras significativas.

Número de partida a)

263825

6035192

60.35

Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

Nº cifras significativas

Orden de la aproximación

260000

270000

Decenas de millar

6000000

7000000

Unidades de millón

60.3

60.4

Décimas

Al dar la aproximación en lugar del número, se comete un error, que es la diferencia entre el valor aproximado y el exacto. Redondear un número consiste en dar la mejor de las dos aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor; en nuestro caso, si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales (“a las centésimas”), el resultado será 1.35, que supone en esta ocasión aproximar por exceso. En la siguiente tabla tenemos casos de aproximaciones y redondeo:

Expresión decimal

Aprox. por defecto

Aprox. por exceso

Redondeo

1/3

0.3333...

0.33 (dos cifras decimales)

0.34 (dos cifras decimales)

0.33 (dos cifras decimales)

5/3

1.6666...

1.666 (tres cifras decimales)

1.667 (tres cifras decimales)

27.45298

27.4 (una cifra decimal)

27.5 (una cifra decimal)

Número

Para redondear un número a un determinado orden de unidades: 1. Se sustituyen por ceros o se suprimen todas las cifras a la derecha de dicho orden. 2. Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior. En caso contrario, se conserva la misma. Alfonso Lerma

Bloque 1 -9

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USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA En los siguientes párrafos, supondremos que se usa un modelo tipo Casio FX. Las operaciones suma, resta, multiplicación y división son conocidas, por lo que no se incidirá en ellas. Recordemos también la utilidad del uso de paréntesis. La principal diferencia entre esta calculadora y los modelos más antiguos es que ahora se introducen las funciones (operaciones) tal y como se escriben a mano. Hay dos líneas de distinto formato, una para los elementos de la operación y otra para los resultados. Además, la tecla circular de mayor tamaño, el navegador, permite editar las operaciones y ahorrar trabajo en las operaciones repetitivas.

Número limitado de decimales: FIX En la pantalla caben de 10 a 12 dígitos, luego si la parte entera de un número decimal está formada por un único dígito, eso quiere decir que la parte decimal tiene de 8 a 10, ya que el punto (nuestra coma decimal) ocupa un lugar. Si queremos que la calculadora presente los datos redondeados con una cantidad fija de 1, 2, 3,…, 9 cifras decimales, disponemos de la función FIX. Se accede a ella recorriendo las pantallas de menú MODE e introduciendo las opciones necesarias. Veamos varios ejemplos. 1) El número

= 3.141592653… (en el teclado SHIFT EXP), queda 3.1416 con FIX 4.

2) El número √2 = 1.144213562…redondeado a las millonésimas FIX 6 es √2 = 1.414214 En general, esta función FIX no se desactiva cuando se apaga la calculadora, pero si queremos quitarla, bastará con seleccionar NORM en el mismo menú.

Potencias: cuadrado, cubo, cualquier exponente Para elevar al cuadrado usamos la tecla x2. Para elevar a cualquier exponente, xy o bien ^, según los modelos de calculadora. Existe también la tecla para elevar al cubo, e incluso para elevar a -1, que es lo mismo que calcular el inverso del número.

Raíz cuadrada, raíz de cualquier índice Podemos calcular la raíz cuadrada o cúbica de un número mediante una tecla directa. Para obtener la raíz de cualquier otro índice, usamos x√ , o bien las potencias de exponente fraccionario (como se explica en el apartado correspondiente).

Fracciones Otra forma de emplear la división es introducir una fracción indicada. Para ello, usamos la tecla ab/c. Por ejemplo, para calcular 1/3 + 2/5, tecleamos 1 ab/c 3 + 2 ab/c 5 = 11  15. El símbolo  es nuestra barra de fracción, luego 11  15 equivale a 11/15. Otro ejemplo: Calcula 1/2 + 5/9 1 ab/c 2 + 5 ab/c 9 = 1118 El número 1118 se llama número mixto y representa 1 + 1/18. Para que nos dé el resultado en forma de fracción única (que es lo que andamos buscando), pulsamos SHIFT ab/c y nos aparece en pantalla 1918, que es el resultado de la suma anterior.

Operaciones con medidas de ángulos (grados/minutos/segundos) Para introducir el ángulo 90º 45' 53 '' tecleamos lo siguiente: 90 º ' '' 45 º ' '' 53 º ' '' y aparece en pantalla 90.76472222. Pulsando SHIFT º ' '' obtenemos 90º 45' 53''. Ejemplo: Calcular 90º 45' 53''+ 23º 45' 59''

Alfonso Lerma

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90 º ' '' 45 º ' '' 53 º ' '' + 23 º ' '' 45 º ' '' 59 º ' '' = 114.5311111 y pulsando SHIFT º ' '' resulta 114º 31' 52''.

NOTACIÓN CIENTÍFICA Los números con muchas cifras (cantidades muy grandes o muy pequeñas) son de difícil comprensión, ya que a primera vista no se tiene idea de su magnitud. Por fortuna, pueden escribirse abreviadamente usando potencias de 10. Esto permite operar más fácilmente e incluso revisar rápidamente operaciones realizadas con ellos. Utilizando la notación científica el número se escribe como un producto de dos partes:

N = -

A,BCD…

· 10nn

La parte entera A es una sola cifra entre 1 y 9. La cantidad de decimales varía según la precisión que se necesite. Una potencia de base 10 y exponente entero. Si ese nn es positivo, el número N es “grande”, mientras que si el exponente es negativo, N es “pequeño”. En esta notación, el exponente indica el orden de magnitud.

Ejemplo:

Ejemplo: Un espacio pequeño en un objeto tiene en la base una anchura 0.0000028 m y

longitud 0.00000021 m, y de altura 0.00014 m. ¿Cuál es su volumen? Primero las convertimos a notación científica:  Anchura: 0.0000028 m = 2.8·10-6 m  Longitud: 0.00000021 m = 2.1·10-7 m  Altura: 0.00014 m = 1.4·10-4 m Después multiplicamos 2.8·2.1·1.4 = 8.23 y las potencias de 10 son 10-6·10-7·10-4= 10-17 El resultado final es 8.23·10-17 m3

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y su opuesto, si es negativo.

Ejemplos variados: |5| = 5

|-5|= 5

|0| = 0

|x| = 2

⇾

x = −2 o bien x = 2

|x|< 2

⇾

−2<x<2

⇾ x  (−2, 2)

ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO Cuando realizamos una medida o hacemos una aproximación, obtenemos un número que puede servir para representar el valor exacto, pero que se diferencia de él en una cantidad más o menos pequeña. Para cuantificar este error definimos en Matemáticas y en Ciencias el error absoluto y el error relativo.

Alfonso Lerma

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Se define error absoluto (eA) de una medida como la diferencia entre el valor exacto y el aproximado, todo en valor absoluto:

e = |v

− aproximación|

Ejemplo: Sabiendo que el número es 3.141592653…, aproxímalo a las diezmilésimas por defecto y por exceso y calcula el error absoluto en cada caso. a) Por defecto: 3.1415  e = |3.141592653 … − 3.1415| → e = 0.000092653 … b) Por exceso: 3.1416  e = |3.141592653 … − 3.1416| → e = 0.000007347 … El error absoluto se mide en las mismas unidades que el número que nos dan. A veces no refleja bien si una aproximación es mejor que otra o no. Por ello, el estudio se completa definiendo otro parámetro. Se define error relativo (eR) como el cociente entre el error absoluto y el valor exacto:

e =

e v

El error relativo no lleva unidades, ya que es un cociente de cantidades de la misma unidad. Es frecuente expresarlo en forma de porcentaje, multiplicando por 100 y redondeando. Ejemplo: Determina los errores relativos de las aproximaciones del número ejemplo anterior. a) Por defecto: 3.1415  e = b) Por exceso: 3.1416  e =

…

0.000007347… 3.141592653…

en el

= 0.0000295

= 0.0000023

Si nos piden comparar dos aproximaciones, será más precisa la que tenga menor error relativo, independientemente de cuáles sean los errores absolutos.

POTENCIAS Definición

Una potencia de exponente entero positivo es el producto de la base por sí misma tantas veces como indique el exponente:

· …·

Con exponente negativo se convierte en fracción:

≠

(

)

Propiedades

1. a0 = 1 ⇾ Toda potencia de exponente cero vale la unidad. 2. a1 = a ⇾ Toda potencia de exponente uno vale igual que la base. 3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. am · an = am+n

(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

4. División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. am : an = am – n

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8

5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (am)n=am · n [(−2)3]2 = (−2)6 = 64 Alfonso Lerma

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6. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases an · bn = (a · b)n

(−2)3 · (3)3 = (−2·3)3 = (−6)3 =−216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. an : bn = (a : b)n

(−6)3: 33 = (−6:3)3 = (−2)3 = −8

NOTA: Al igual que todas las igualdades matemáticas, las propiedades 6 y 7 pueden ser leídas de derecha a izquierda, en cuyo caso se conocen como “Potencia de un producto” o “Potencia de un cociente”. 8. Igualdades notables. La potencia de una suma o de una resta no siguen en absoluto las reglas del producto o el cociente. Se verifican ciertas fórmulas “notables”, que se demuestran a partir de la propiedad distributiva. Las más usadas son tres: 

Cuadrado de una suma: ( + ) =



Cuadrado de una diferencia: ( − ) =



Suma por diferencia: ( + )( − ) =

Producto de dos binomios ( + )( + ) =

Ejemplos: ( + 3)( + 5) =

+ −

+ 5 + 3 + 15

( − 4)(5 − ) = 5 −

− 20 + 4

−

RADICALES Un radical es una expresión de la forma √ , en la que el índice n ha de ser natural (n  ) y el radicando a es un número real (a  ). El valor del radical se puede obtener únicamente en ciertas condiciones: -

El índice debe ser 2 o superior. En cada caso, se nombra de forma especial: raíz cuadrada (índice 2), raíz cúbica (índice 3), raíz cuarta (índice 4), etc.

Cuando el índice es par, el radicando no puede ser negativo.

Si el índice es impar, el resultado es un nº real del mismo signo que el radicando. La definición de radical se basa en la de potencia:

√ =

↔

Ejemplos:

Se puede expresar un radical en forma de potencia de exponente fraccionario:

√

√ =

√

Clasificamos los radicales según su valor numérico en exactos, que son números racionales ⁄ ). (como √ , √ . , √ ) y no exactos, que son irracionales (por ejemplo, √ , √ . , Los radicales no exactos se dejan indicados o, si el enunciado lo permite, se aproximan sus valores decimales.

Alfonso Lerma

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EJERCICIOS DE ARITMÉTICA Ej. 1. A) Construye un esquema o mapa conceptual de los números reales en el que se aprecien todos los conjuntos numéricos que conoces. B) Diseña una clasificación de todos los tipos de números decimales, con un ejemplo de cada uno. Ej. 2. Clasifica los números siguientes, escribiendo todos los conjuntos a los que pertenecen: a)

b) √36

c) 2.25111 …

d) √−5

Ej. 3. Contesta verdadero [V] o falso [F]a las siguientes afirmaciones: i. Todos los números decimales se pueden expresar como fracción.

[

]

ii. Todos los números naturales son racionales.

[

]

iii. Si unimos los números racionales y los irracionales obtenemos los reales. [

]

iv. Los números negativos no son naturales porque son artificiales.

]

Ej. 4. Coloca en la recta real los siguientes números: −2.5, -



-3

-2

-1

[

, √3,



Ej. 5. Redondea los siguientes números: a) 27640.342 a la centena. b) 3857.567 a la décima. c) 24572.2578 a la unidad de millar. Ej. 6. Efectúa: a. | −

b. | · (−

)| c. –

– − ·

Ej. 7. Resuelve las siguientes operaciones con potencias y comprueba con la calculadora. f.

Ej. 8.

: : (− )

(− )

( ⁄ )

[(− ) ]

(− ) · (− ) · (− )

(− ) ·

· (− ) :

Calcula los valores de las siguientes potencias: a) 2

b) 16

c) 8

d) 125

e) (−8)

f) 81

Ej. 9. Pasa de notación científica a ordinaria, y viceversa:

· · .

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Ej. 10. Resuelve con calculadora las siguientes operaciones: a.

+ .

. ·

− .

· .

: .

Ej. 11. Dada la tabla siguiente, que nos muestra la distancia media de cada uno de los planetas del sistema solar (hemos omitido a Plutón), obtén: A) la suma de todas las distancias medias al Sol. B) La distancia de Marte en km. C) La distancia de Júpiter en cm. D) La distancia de Urano en dm (decímetros).

Ej. 12. El número π es irracional, lo cual significa que no se puede expresar como fracción y que en forma decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas: π ≅ 3.14159265358979 … Uno de los intentos históricos por dar una aproximación de π fue el del matemático chino Wang Fan, que utilizó 142/45. a. ¿Es una aproximación por exceso o por defecto? b. Escribe una aproximación de con un error absoluto menor que una diezmilésima. c. ¿Cuál sería el error absoluto si la aproximación fuera 22/7? Ej. 13. Se han efectuado dos medidas por satélite: a) Distancia entre La Giralda y La Cibeles (la exacta es 543.2 km) y resultó 543198.25 m. b) La longitud por el suelo del Estadio de La Cartuja (198 m) y ha salido 19625 cm. ¿Cuál es la más precisa? Razona numéricamente y expresa los resultados en notación científica. Ej. 14. Expresa en forma de intervalo: a) Todos los números reales menores que 10. b) Los números positivos menores que 1. Ej. 15. Completa la tabla siguiente:

Intervalo

Desigualdad

Representación gráfica

(−1, 5) { ∈ ℝ/−3 ≤

{ ∈ ℝ/−1.5 <

< 1}

≤ 0}

[1 , ) { ∈ ℝ/ 11 ≤

≤ 27}

√745/4, √745

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Ej. 16. Calcula los valores de A, B, C, D, E, F y di cuáles pertenecen al intervalo [-3, 5]

Ej. 17. Elige verdadero o falso según corresponda:

Ej. 18. Elige una respuesta: La desigualdad 3 ≤ x + 1< 6 equivale al… b) Subconjunto real {x ∊ ℝ / 2 ≤ x < 5}

a) Intervalo (2, 5]

c) Entorno E(3.5, 1.5).

Ej. 19. Representa en la recta real los conjuntos de números que verifican las siguientes relaciones: a ) |x| < 1

|x| ≤ 1

c ) |x| > 1

d ) |x| ≥ 1

Ej. 20. Representa en forma de intervalo o semirrecta cada uno de los siguientes conjuntos: a) |x − 2| < 1

b) |x − 4| ≤ 1

c) |x + 10| < 12

d) |2x − 7| ≤ 31

Ej. 21. Calcula el valor de los siguientes radicales: a.

√121

c. √0.01

b. √2401

d. √500

e. √160

f. √64

Ej. 22. Utilizando la calculadora científica, obtén los siguientes resultados redondeando las soluciones de la pantalla: a) √7 (Con 4 decimales)

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(Con 5)

c) e (Con 3)

d) √7 + √5 (Con 2 decimales)

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CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA El Álgebra es la rama de las Matemáticas que estudia las relaciones entre cantidades y sus propiedades en la forma más general. No se necesita el valor de un número para saber sus propiedades y operarlo, sino que con frecuencia se sustituye por un símbolo, que generalmente es una letra. Se llama expresión algebraica al conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades. Esta expresión se puede separar en términos. Los términos se distinguen unos de otros porque están separados por un signo más (+) o un signo menos (-). Dentro de un término sólo puede haber multiplicaciones, divisiones y potencias.

+ 2 xy + 1

Coeficiente

Parte literal

En cada término distinguimos números que llamamos coeficientes y letras que llamamos incógnitas o variables (o también indeterminadas), y que constituyen la “parte literal”. Estas variables pueden tener o no un exponente, que representa el grado de un término. En el caso de que haya más de una letra, el grado es la suma de los exponentes de esa parte literal. Los términos que tienen las mismas partes literales se llaman términos semejantes. Ejemplos: 2 y 6 , o bien 35

con

Los términos semejantes se pueden reducir, sumando o restando los coeficientes y dejando la misma parte literal. Igualmente, se pueden multiplicar, dividir, sacar factor común, etc. Si una expresión algebraica tiene un solo término, es un monomio. Se llama binomio si tiene dos términos, trinomio si tiene tres, y así sucesivamente. En general, llamamos polinomio a la expresión algebraica con un número cualquiera de términos. El “valor numérico” de un monomio o de un polinomio es el número real que obtenemos al sustituir la(s) letra(s) por un número dado y efectuar con él las operaciones indicadas. Las operaciones con polinomios constituyen un conjunto de herramientas matemáticas realmente importante: suma, resta, multiplicación, división y potencia. Se repasarán por medio de los ejercicios prácticos de esta sección. Ejemplos - Reducir las siguientes expresiones: 1º)

2º) 5a - 8a +a - 6a + 21a = 13a

3º)

Se construye una igualdad algebraica conectando dos expresiones mediante un signo igual (“=”). Una ecuación es una igualdad algebraica que solamente se verifica para ciertos valores de las variables que la componen. Suele compararse figuradamente a una balanza equilibrada, con el mismo peso en los dos platillos, que representarían a los dos miembros de la ecuación. Si quitamos o ponemos el mismo peso en ambos platillos, la balanza sigue equilibrada, es decir, la igualdad sigue siendo cierta. Al igual que los polinomios, las ecuaciones se clasifican por las letras, el número y el grado de los términos que aparecen. Decimos que hay ecuaciones de primer grado (“lineales”) con una incógnita, ecuaciones de segundo grado, ecuaciones lineales con dos incógnitas, etc.

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En el caso particular de que la igualdad se cumpla para todos los valores de la/s variable/s, decimos que no es una ecuación, sino una identidad. Ejemplos:

4x + 4x + 1 es un trinomio de segundo grado con una variable.

x + 1 es un binomio de primer grado con una indeterminada.

x − 1 = 5 − 2x es una ecuación de primer grado con una incógnita.

3(a + 4) = 3a + 12 es una identidad de tercer grado.

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1. Ecuaciones de primer grado. Resolución. Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad de la forma a·x + b = c que sólo es cierta para un valor (número real) de la incógnita “x”. A ese valor se le denomina solución de la ecuación. Resolver una ecuación es hallar su solución, normalmente por métodos algebraicos. El proceso que se sigue para ello se puede resumir en las siguientes etapas:  Se operan los paréntesis.  Se quitan los denominadores.  Se trasponen (cambiar de miembro) los términos, de manera que se agrupen en un lado los que tienen la incógnita y los demás en el otro. Resulta una ecuación del tipo: a·x = b, donde “a” y “b” representan números reales cualesquiera (siempre que “a” no sea cero)  Se despeja la incógnita y se simplifica el resultado.

2. Problemas de ecuaciones de primer grado También llamados “Problemas de planteamiento” y “Problemas de la vida real”, representan el objetivo final de la resolución de ecuaciones, que es encontrar la respuesta a una cuestión planteada durante la actividad cotidiana de las personas o las instituciones. Se recomienda seguir los siguientes pasos: 1º) Leer atentamente el enunciado e identificar la incógnita. La experiencia nos dictará algunos consejos para que la elección nos lleve a unos cálculos posteriores sencillos. 2º) Plantear y resolver la ecuación. 3º) Interpretar la respuesta y expresarla de acuerdo con las condiciones del enunciado.

3. Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado tiene como forma general:

+ = .

Los términos se denominan “cuadrático”, “lineal” e “independiente”, en el orden indicado, siendo los coeficientes a, b, c números reales cualesquiera (siempre que a no sea cero). Alfonso Lerma

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En general, puede tener dos soluciones, solo una o incluso ninguna solución, dependiendo de los valores de los coeficientes. Ecuaciones incompletas de segundo grado Una ecuación de segundo grado se denomina incompleta si no tiene sus tres términos. Hay varios tipos: Sin término lineal:

+ = .

o Tendrá solución únicamente si a y c son de signo contario, y en ese caso se obtienen dos valores opuestos para la incógnita. y luego sacar raíz cuadrada (con el ±).

o El método de resolución consiste en despejar La que carece de término independiente:

= .

o Se saca factor común x y se abren dos ecuaciones de primer grado. o Siempre tendrá dos soluciones distintas, una de las cuales es x = 0. Ecuaciones completas de segundo grado La ecuación completa es: ax + bx + c = 0

Siendo sus tres coeficientes distintos de cero. Puede tener cero, una o dos soluciones, dependiendo de los valores de los coeficientes. Una manera útil de conocer este hecho antes de la resolución es calcular el valor del discriminante ∆: ∆ = b − 4ac

La solución se obtiene simplemente aplicando la fórmula: =

− ±√

−

Y recordando que se expresará un resultado para el signo más y otro para el menos.

EJERC IC IOS DE ECUAC IONES DE 1ER Y 2 ° G RADO Ej. 23. Clasifica como monomio, binomio o

trinomio y determina el grado de las siguientes expresiones algebraicas.

Expresión

Tipo

Grado

− −

+ − Ej. 24. Asocia a cada enunciado una de las expresiones algebraicas que aparecen al lado:

a. b.

El cuadrado de un número menos su doble. El 80% de un número.

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+ ;

−

; .

;

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c. d.

Un número impar. Los dos tercios de un número más cinco unidades.

Ej. 25. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones dadas en lenguaje ordinario:

a. b. c. d. e. f. g. h.

La tercera parte de un número: El doble de un número, aumentado en uno: La diferencia entre el triple de un número y el doble de otro: El cuadrado de la suma entre un número y el cuadrado de otro número: El cuadrado de la mitad de la suma de dos números: La mitad de la longitud de un segmento, una vez disminuido en dos unidades: Los cuatro tercios del cubo de un número, multiplicado por pi: El cubo de la diferencia entre un número y el doble de otro número.

Ej. 26. Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas.

a. b. c. d.

La suma de los cuadrados de dos números. El cuadrado de la diferencia de dos números. La mitad del producto de dos números. La semisuma de dos números.

Ej. 27. Estudia si los valores indicados son soluciones de las ecuaciones: ( + )−

−

↔

=−

↔

Ej. 28. Escribe en su forma general las siguientes ecuaciones e identifica el valor de los

coeficientes a, b y c.: 1)

x + 3x = 12 − 5x

2) x + 5x + 14 − 2x = 10

3) x + 6x + 6 = x + 6

Ej. 29. Comprueba que x = −5 y x = 3 son soluciones de la ecuación x + 2x − 15 = 0 Ej. 30. Resuelve las siguientes ecuaciones:

−

Ej. 31. Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:

− )−

− ( + )+

−

= =

+ ( − )=

−(

− )

+ ( − −( −

) )

Ej. 32. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:

Ej. 33. Resuelve: a)

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b. +

−

x 2

= 0 c) x − +

3−2x x 2−3x =5+ − 4 2 4

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Ej. 34.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a. 3x − 63 = 30

Ej. 35.

c. 4x − 100 = 44

d. x + 2x − 7 = 2x + 9

Resuelve las siguientes ecuaciones, que carecen de término independiente: a. 3x + 21x = 0

Ej. 36.

b. x − 36 = 0

b. x − 5x = 0

c. 5x = 35x

d. 3x = 5x + x

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: a. x + 7x + 10 = 0 b. x + 2x − 8 = 0 c. x + 8x + 7 = 0 d. 2x − 2x − 40 = 0 e. x + 2x + 8 = 20x − 20

Problemas de planteamiento Ej. 37. El precio de un pantalón es el doble que el de una camiseta. Si entre los dos cuestan 54 €,

¿cuál es el precio de cada uno de ellos? Ej. 38. En un centro escolar, el número de alumnas de 3º de Educación Secundaria excede en 20

al número de alumnos. Si entre todos hay 120 alumnos, ¿cuántas chicas y cuántos chicos hay en dicho curso? Ej. 39. La diferencia entre cierto número y los tres octavos del mismo es 510. ¿De qué número

se trata? Ej. 40. En su undécimo cumpleaños, Julia reunió una cantidad de dinero con la que se compró

algunas cosas. La mitad la gastó en ropa, los dos quintos en libros, y aún le quedan 14 €. ¿Qué fracción del total le sobró tras las compras? ¿Cuánto había recibido en su cumpleaños? Ej. 41. Un programa de TV dedica las tres cuartas partes de su tiempo de duración a reportajes y

entrevistas. Del tiempo restante, la tercera parte es para publicidad, y los 30 minutos que quedan, para actuaciones musicales. ¿Cuánto tiempo destina a publicidad? Ej. 42. Un terreno rectangular ocupa 128 metros cuadrados. Calcula sus dimensiones sabiendo

que un lado mide el doble que el otro. Ej. 43. Se ha realizado una encuesta a un grupo de jóvenes sobre su primera afición deportiva. El

48 % de ellos prefieren el fútbol, un 32 % el baloncesto y un 3/25 de ellos el atletismo. Sabiendo que 12 jóvenes no han contestado a la encuesta, responde razonadamente: a) ¿Es cierto que el fútbol supera al baloncesto y al atletismo juntos? b) ¿Han sido 250 los jóvenes encuestados? c) ¿Son 72 los que prefieren fútbol? Ej. 44. Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 306. Ej. 45. Halla dos números naturales consecutivos sabiendo que sus cuadrados suman 145.

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Ej. 46. Calcula dos números impares consecutivos sabiendo que el cuadrado de su suma es 256. Ej. 47. Si a un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtiene 24. ¿Qué número es? Ej. 48. El área de una parcela rectangular es de 3.75 · 10 m . Si la base mide 1 hm más que la

anchura, ¿cuáles son las longitudes de sus lados? Ej. 49. He pagado 14.30 € por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta

es 5 veces el del cuaderno, y éste cuesta el doble que el bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada artículo? Ej. 50. Luis y Miguel han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han

conseguido una rebaja del 16% y del 19%, respectivamente. Si Luis pagó 1.26 € más que Miguel, ¿cuál era el precio que tenía el videojuego? Ej. 51. Tengo que vallar un terreno rectangular que me he comprado, pero al llegar a la

ferretería no sabía la cantidad de tela metálica necesaria. Recordaba que el terreno tiene 6 metros de largo más que de ancho, y que su superficie es de 775 m . ¿Cuántos metros de valla debo comprar? Ej. 52. Si un número aumenta un 30%, resulta 189 unidades mayor que si disminuye un 15%.

¿Cuál es ese número? Ej. 53. El número irracional conocido como número de oro, ϕ, es la mayor de las soluciones de la

ecuación

− −

= . Calcula el valor de ϕ redondeando a las milésimas.

SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es una expresión del tipo:

a x+b y = c a x+b y =c Donde a , b , c , a , b , c son números y

x e y las incógnitas.

Puede parecer muy complicado encontrar una solución de una ecuación con dos incógnitas, ya que hay infinitas soluciones y en donde las cosas no están muy bien determinadas, pero es justo lo contrario. En este caso sólo hay que darle un valor numérico a una de las dos variables y despejar la otra en la ecuación lineal de primer grado que resulta. La solución de un sistema es una pareja de valores verifican a la vez las dos igualdades.

(x, y) que al sustituirlos en las incógnitas

En cuanto al número de soluciones que puede tener un sistema, tenemos: Si

≠

, el sistema

≠

tiene solución única y se llama sistema compatible determinado (SCD).

el sistema no tiene solución y se llama sistema incompatible (SI). tiene infinitas soluciones y se llama sistema compatible indeterminado (SCI).

Métodos de resolución de sistemas Método de sustitución

Alfonso Lerma

Bloque 1 -22

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Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de sustitución por los siguientes pasos: 1. En una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas en función de la otra. 2. La incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación, con lo que obtenemos una ecuación donde sólo hay una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación obtenida despejando el valor de una de las incógnitas. 4. Se sustituye el valor obtenido en la expresión despejada en el apartado 1 y se obtiene la otra incógnita. Método de igualación Los pasos necesarios para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación son los siguientes: 1. Despejamos en las dos ecuaciones la misma incógnita. 2. Igualamos entre sí los dos valores despejados. De esa manera obtenemos una ecuación donde sólo aparece la otra incógnita. 3. Se resuelve la ecuación obtenida. Así tenemos el valor de una de las incógnitas. 4. Se sustituye el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las dos expresiones despejadas en el paso 1 y se halla el valor de la otra incógnita. Método de reducción El método de reducción para resolver sistema de ecuaciones se compone de los siguientes pasos: 1. Se multiplican una o las dos ecuaciones por números convenientes (que debes elegir tú) para que nos queden dos ecuaciones en las que una de las incógnitas vaya multiplicada por el mismo número cambiado de signo. 2. Se suman las dos ecuaciones término a término (ya sabes, los términos semejantes entre sí). 3. Tras el paso anterior nos queda una ecuación con una sola incógnita. Se resuelve de la manera habitual. 4. El valor de la incógnita resuelta se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones primeras y nos queda una ecuación con una sola incógnita, la que aún no sabemos. Se resuelve y ya tenemos la solución completa del sistema. Un ejemplo: Resuelve

−

− +

=− =−

Hemos eliminado primero “x”. Se ha despejado “y”, para después sustituir y=-2 en una cualquiera de las ecuaciones originales, la 2ª, por ejemplo. De esa manera se calcula “x”.

Resolución gráfica de un sistema La gráfica de cada una de las ecuaciones de un sistema es una recta. Para representarlas gráficamente, se despeja la "y" y se dan valores a la "x". La solución (x, y), en el caso de que exista, coincide con las coordenadas del punto donde se cortan ambas rectas. Si resolvemos gráficamente un sistema de ecuaciones, es decir, si representamos gráficamente las rectas que lo forman, pueden ocurrir los siguientes casos: Las dos rectas se cortan en un punto, entonces, ese punto es la solución del sistema y el sistema es compatible determinado. Es el caso más habitual.

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Bloque 1 -23

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Las dos rectas son paralelas, entonces, no se cortan en ningún punto, por tanto, el sistema no tiene solución, es incompatible. Las dos rectas resultan ser la misma recta, es decir, se cortan en infinitos puntos, por tanto el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado.

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA · Una inecuación es una desigualdad entre letras y números, relacionados mediante operaciones aritméticas. A las letras las llamaremos incógnitas. Recordemos que las operaciones aritméticas son las siguientes: suma, resta, producto, división y potenciación. · Una inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación con una sola incógnita, y cuyo exponente es necesariamente 1. · Llamaremos soluciones de una inecuación a todos los números reales que verifican la inecuación cuando sustituimos su valor en la incógnita de la misma. Ejemplo: En la inecuación 2x - 5 < 7, el número 3 verifica la inecuación, ya que: 2 · 3 - 5 = 1 que es menor que 7. También el 2 la verifica, ya que 2 · 2 - 5 = -1, que también es menor que 7. Y el 1, y el 0… y muchos más. La solución de una inecuación es, generalmente, un conjunto de infinitos números. Es importante resaltar que en la resolución de inecuaciones debemos tener cuidado al multiplicar por un número real negativo, ya que en ese caso también hay que cambiar el sentido del signo de desigualdad.

EJERCICIOS DE INECUACIONES Y SISTEMAS Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método que consideres más apropiado: Ej. 54. a)

2x − 3y = −4 x + 8y = −2

Ej. 55. a)

2x + 5y = 6 4x − 7y = 12

7x + y = 31 3x − 4y = 0 x − 4y = 3 2x + y =

x − y = −1 4x − 3y = 8

2x + 2 = y − 2 x + 4 = 2y − 1

Ej. 56. La suma de dos números es 31 y su diferencia es 5. ¿Cuáles son esos números? Ej. 57. Daniel pagó un día por 3 hamburguesas y 2 refrescos 6.30 €. Otro día, por 2

hamburguesas y 4 refrescos pagó 6.60 €. ¿Cuál es el precio de una hamburguesa? ¿Y el de un refresco? Ej. 58. En un examen de 50 preguntas tipo test, dan 0.8 puntos por cada acierto y quitan 0.4

puntos por cada error. Si Ana ha obtenido 22 puntos contestando a todas las preguntas, ¿cuántas ha contestado bien y cuántas mal? Ej. 59. Por un pantalón y unos zapatos, que costaban 70 € entre los dos, he pagado 50.80 €.

Halla el precio inicial de cada artículo sabiendo que en el pantalón me han rebajado un 20% y en los zapatos un 30%. Alfonso Lerma

Bloque 1 -24

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Ej. 60. En un colegio hay un total de 350 estudiantes. De todos, asisten a una excursión 180. Se

sabe que además han ido el 40 % de los chicos y el 65 % de las chicas del centro. Del total de alumnos y alumnas, ¿cuántos son chicos y cuantas son chicas? ¿Cuántas ausencias hubo a la excursión? Ej. 61. Últimamente, Juan está observando que gasta mucho en el teléfono móvil, por lo que

desea saber cuánto le cuesta el establecimiento de llamada y el minuto de conversación. Al mirar en internet el consumo semanal, resulta que la semana pasada le facturaron 40.40 € por 50 llamadas que tuvieron una duración de 140 minutos. La anterior, le cobraron 38.40 € por 60 llamadas y 120 minutos de conversación. Plantea un sistema de ecuaciones que ayude a Juan a resolver su problema. Ej. 62. Laura quiere hacer publicidad de su tienda de ropa en la prensa local. Por ello, está

interesada en insertar un anuncio en los periódicos gratuitos que se reparten por las calles. Ha preguntado a dos dueños de locales cercanos al suyo, y le han informado de que el precio depende del número de palabras que aparezcan en él y del tamaño en centímetros cuadrados que tenga el anuncio. A la papelería cercana a su local, por un anuncio de 40 palabras y 10 centímetros cuadrados le han cobrado 130 euros. En tanto que el farmacéutico ha pagado 120 euros por un anuncio de 30 palabras y 12 centímetros cuadrados. Ayuda a Laura a saber cuál es el precio de cada palabra y del centímetro cuadrado del anuncio. Ej. 63. En una granja hay conejos y gallinas. Hemos contado 26 cabezas y 62 patas. ¿Cuántos

conejos y cuántas gallinas hay? Ej. 64. Un examen tipo test para unas oposiciones consta de 100 preguntas. La convocatoria

establece que cada pregunta acertada suma 1 punto y cada pregunta errónea o no respondida penaliza con 0.25 puntos. El aprobado se consigue a partir de 60 puntos. Indica razonadamente si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones: a. Respondiendo a 65 preguntas correctamente, el opositor aprueba. b. Para obtener exactamente 70 puntos, el opositor debe responder correctamente a 76 preguntas. c. Respondiendo al menos 68 preguntas correctamente, el opositor aprueba. Ej. 65. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales:

A. 2x + 1 < 4 − D.

+1≥ +3

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B. −3(x − 1) ≤ 1 − 2x E.

C. 2 + 3(1 − x) ≥ 2x

−1>

Bloque 1 -25

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Repaso del Bloque 1 – Aritmética y Álgebra 1. (Junio 2008) La empresa SunEnergy Renovables, S.L. fabrica dos tipos de paneles solares: los de tipo

policristalino, con precio de venta 700 € la unidad, y los de tipo monocristalino, con precio de venta 1000 € la unidad. Un día produce un total de 40 paneles que vende por un total de 32500 €. a) Plantea un sistema de ecuaciones tomando como incógnitas el número de paneles de cada tipo. b) Resuelve dicho sistema por el método que te parezca más conveniente. c) Si al día siguiente la empresa produce 30 paneles policristalinos y 11 paneles monocristalinos, ¿obtuvo mayor o menor beneficio que el día anterior? 2. (Junio 2008, suplente) El recibo de agua de cierta localidad se calcula del siguiente modo:

Cuota fija (da derecho a 10 m3 de agua) ------------ 5.00 € Volumen de agua gastado de 10 m3 a 25 m3 ------- 0.60 €/m3 Volumen de agua gastado por encima de 25 m3 -€/m3 Este último precio se ha borrado, pero sabemos que en una vivienda en la que se han gastado 41 m3 de agua, han pagado 26 euros. a) ¿Cuál es el precio del m3 de agua a partir de los 25 m3 de consumo? b) Completa la tabla: Consumo (m3) Importe (€)

c) Dibuja la gráfica correspondiente. 3. (Junio 2009) Un transportista lleva en su furgoneta sacos de sal de dos pesos distintos. Los sacos

grandes tienen un peso de 30 kilogramos, mientras que los pequeños pesan un 20% menos. El conductor recuerda que el número de sacos pequeños es el triple del de sacos grandes, y que el peso total de la mercancía es de 714 kilogramos. Calcula el número de sacos de cada tipo que son transportados. 4. (Junio 2010) Una empresa, tras realizar el balance anual y observar que ha obtenido importantes

beneficios, decide obsequiar a sus 32 empleados con un ordenador portátil para cada uno. Este regalo le ha supuesto a la empresa un coste total de 22.040 €. La empresa ha elegido un modelo valorado en 835 € para los jefes de equipo y un modelo con un coste de 640 € para los operarios que componen los distintos equipos. A. ¿Cuántos ordenadores de cada modelo ha comprado la empresa? B. ¿Cuántos jefes de equipo hay en la empresa? C. Si cada jefe de equipo tiene bajo su supervisión al mismo número de operarios, ¿cuántos operarios componen cada equipo? 5. (Septiembre 2010) En un colegio hay un total de 350 estudiantes, entre chicos y chicas. Del total del

alumnado del centro asisten a una excursión 180 estudiantes. Se sabe que además a la excursión han ido el 40 % de los alumnos y el 65 % de las alumnas del centro. Responde a continuación a las siguientes cuestiones: A. Del total de alumnos y alumnas, ¿cuántos son chicos y cuántas son chicas? B. ¿Cuántas alumnas han ido de excursión? C. ¿Cuántos alumnos no han ido de excursión?

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Bloque 1 -26

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6. (Septiembre 2010) Relaciona cada expresión de la columna de la izquierda, con su correspondiente

intervalo o semirrecta de la columna de la derecha. Para ello escribe la letra correcta en cada corchete.

7. (Junio 2011) Según las condiciones de mi cuenta corriente, puedo gastar mensualmente un poco más

de lo que gano, siempre que la diferencia entre los gastos y mi nómina no pase del 15% de la misma. A. Expresa algebraicamente con una única línea las condiciones de gasto anteriormente descritas, sabiendo que mi nómina asciende a 1350 €. B. Resuelve la expresión anterior y proporciona el intervalo en el que se pueden mover mis gastos este mes. ¿Cómo es el intervalo? Representa el intervalo obtenido sobre la recta real. C. Dados los altos intereses que me cobran por el dinero adelantado intento no gastar más de lo que gano. Sin embargo, por un imprevisto, este mes he gastado 1478.75 €. Calcula los errores absolutos y relativos de este gasto respecto a mi nómina, expresando los resultados en notación científica. 8. (Septiembre 2011) De la comparación de recorridos en distintos intervalos de tiempo de una sonda

espacial, se ha deducido la siguiente inecuación, donde x representa la velocidad en m/s: x + 3 2x + 2 x − ≤ 3 4 6

A. Averigua la velocidad a partir de la cual la sonda comienza a ahorrar combustible. B. La luz recorre en un día aproximadamente 259·108 kilómetros. La galaxia Andrómeda se encuentra a 236·1017 kilómetros de la Tierra. Expresa ambas cifras en notación científica y calcula cuántos años tarda la luz que emite Andrómeda en alcanzarnos. 9. (Junio 2012) En algunas culturas, la riqueza de una familia se mide por el nº de animales que poseen.

A. Una familia hace el siguiente reparto, según el testamento del patriarca: “La tercera parte de sus camellos se entregarán a su primogénito, una cuarta parte a su segundo hijo y el resto los conservará su viuda. Si a la esposa le corresponden 10 camellos, ¿cuántos componían el rebaño de esta familia? B. El rebaño de una de estas familias, que llamaremos famlia 1, tiene actualmente 220 reses, pero, como es muy mala gestora, cada mes su rebaño disminuye en dos animales. Sin embargo, el rebaño de otra familia, la familia 2, se compone de 100 reses y mensualmente su número aumenta en 20 animales. ¿Cuántos meses han de pasar para que la riqueza de la familia 2 sea superior a la de la 1? 10. (Septiembre 2012) El sueño es un estado de reposo que todos llevamos a cabo.

A. Entre una madre y su hijo duermen un total de 17 horas de sueño reparador. Si al tiempo que invierte la madre al dormir le restamos 2 horas, da como resultado la mitad de las horas que duerme el hijo. ¿Cuántas horas dedican cada uno a dormir? B. Suponiendo que una persona duerme una media de 7 horas diarias ¿Cuánto ha dormido una persona de 50 años? Expresa el resultado en notación científica y en segundos y años. Nota: Tomar todos los años con 365 días.

Alfonso Lerma

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