Universidad del Valle de Guatemala Algebra Lineal 1 Sección 50
Vectores Johnny del Cid - 13032 Javier Mérida – 13269 Daniel Gerendas - 13158 Nancy Girón - 13467 Dulce Chacón - 13463 15 de febrero de 2014
Tema 1: Vectores Conceptos básicos Vector:
segmento
desplazamiento).
de
Tienen
recta
dirigido.
dirección(en
(indica
radianes)
y
magnitud(longitud). Vector cero : es el vector que esta en el origen. Se denota 0. Existen dos tipos de notación en los vectores: •
Vectores renglón. [x , y]
•
Vectores columna:
[ xy ]
Distancia entre dos vectores: d(u, v) = ||u – v || Propiedades
algebraicas
de
los
vectores
en
R
n
(donde u y v son vectores distintos de 0): • • • • • • •
u + v = v + u Conmutavidad (u + v) + w = u + (w + v) Asociatividad u + 0 = u u + (-u) = 0 c( u + v ) = cu + cv Distributividad c(du) = (cd)u Distributividad 1u = u
Producto punto o producto escalar: Es la suma de los productos de los componentes correspondientes de u y v. Para esto es necesario que los os vectores tengan la misma cantidad de componentes. La respuesta es un escalar NO vector. Ejemplo:
u = [u1 , u2 … u n] y v = [v1 , v2 … vn ] u ∙ v =u 1 v 1
+
u 2 v 2 +…+u n v n
Sean u, v y w vectores y c un escalar. Entonces: • • •
u•v = v•u Conmutividad u • (v+w) = u • v +u • w Distributividad (cu)•v = c(u•v)
Longitud
de
un
vector
(norma): Se calcula con el teorema de Pitágoras. Su notación es ‖a ‖ . Para esto se debe elevar al cuadrado todos los componentes y sumarlos después obtener la raíz cuadrada del escalar obtenido. Dirección de un vector: Para la dirección es necesario utilizar tangente inverso, ya que es un triangulo rectángulo.
Distancia entre vectores: Para esto se debe realizar un producto punto entre los dos vectores y se divide por la multiplicación de las magnitudes de cada vector como se puede ver en la formula.
Tema 2: Proyecciones ¿Qué es una proyección? Una
proyección
es
algo
parecido a una sombra. Cuando un otro
vector su
se
proyecta
“sombra”
sobre es
el la
proyección..
En el mundo de los vectores, la proyección de uno sobre el otro es cuando una línea perpendicular al vector sobre el cual se va a proyectar intercepta
con
la punta del proyectado. La “sombra” o proyección es un vector con la misma dirección que el primero pero con el largo donde empieza la otra línea. Para
calcular
proyectado
se
el
vector
usa
la
siguiente expresión:
⃗u ∙ v⃗ ∙ v ⃗u ⃗v = ⃗ v⃗ ∙ ⃗v
Uno puede notar que en la expresión se escribe arriba el vector que se proyecta. Después este se escribe sólo una vez, el otro cuatro veces en la fórmula.
Tema 3: Vectores Unitarios y Normalización ¿Qué es un vector unitario? Es un vector con una magnitud de 1. Puede tener cualquier dirección.
¿Qué se puede hacer con eso? Los
vectores
convertirlos dirección
en que
se
puede
vectores el
normalizar,
unitarios
vector
dado.
con Por
o
la
sea
misma
ejemplo
al
normalizar el vector [3,0] se convierte en [1,0] Para
normalizar
procedimiento
un
vector
lógico
el es
dividirlo dentro de su largo o magnitud. Dividirlo es lo mismo que
multiplicarlo
recíproco
por
lo
por
su
tanto
la
expresión que se usa es: ⃗v 0 =
1 ∙ ⃗v ‖ ⃗v ‖
Tema 4: Rectas en R 2 ¿Qué es una recta? Es una línea que tiene una pendiente y un intercepto. Se puede expresar de cuatro formas diferentes. Sin embargo al operarlas se llega al mismo resultado. A veces la información proporcionada no es suficiente para escribir la ecuación de la recta de cierta forma, pero sí de otra.
Formas de la Recta: Hay cuatro formas: General: ax +by=c Esta es la forma más común de todas. En ella c es el intercepto y a y b son las componentes de un vector normal a la recta. De esta es fácil partir a la forma normal. Normal: ⃗n ∙ ⃗x = ⃗n ∙ ⃗p
Esta forma es la normal en la que “n” es el vector normal a la dirección de la recta, “p” es un punto determinado con coordenadas a, b y “x” es cualquier punto de la recta representado con las coordenadas x, y. Al operarla queda la general. Vectorial: ⃗x = p+t ⃗ d
En una recta, para obtener las coordenadas de un punto cualquiera en ella lo único que hay que hacer es sumarle a un vector con componentes iguales a las coordenadas de algún punto fijo en la recta el vector de la dirección de la recta n veces. En este caso n es t. Paramétricas: x= p1 +t d 1
y= p2 +t d 2 Al descomponer cada una de las ecuaciones de la forma vectorial uno obtiene n (en R n ) cantidades de ecuaciones. En R 3 hay una ecuación para x y otra para y
Tema 5: Planos ¿Qué es un plano? Un
plano
es
una
superficie
que
se
extiende
infinitamente hacia los cuatro lados. Los planos solo existen en R 3 y existen en las mismas formas que las rectas.
¿Qué formas tienen los planos? Tienen las mismas que las rectas. General: ax +by +cz =d En esta forma es evidente que debe haber otra variable para que sea un plano. Normal: ⃗n ∙ ⃗x = ⃗n ∙ ⃗p
La forma normal es igual a la de la recta. Sin embargo hay que tomar en cuenta que los vectores tienen 3 componentes. Vectorial: ⃗x = p+t ⃗ d + s ⃗v En esta forma lo único que cambia es
que se agrega
otro parámetro y otra dirección. Para poder definir un vector normal, y por ende un plano, son necesarios por lo menos dos vectores de dirección. Para hallar cualquier punto en el plano es necesario sumar t veces uno y s veces el otro.
Paramétricas: x= p1 +t d 1
y= p2 +t d 2 z= p 3+t d 3
En este caso lo único que cambia conforme a las rectas es que so tres y cada una de las ecuaciones tiene dos parámetros . Simétricas: x− p1 y− p 2 z − p 3 = = d1 d2 d3 Las ecuaciones simétricas son las ecuaciones paramétricas despejando
t
e
igualándolas
entre
ellas.
Cuando
componente del vector dirección es 0, (ej: si ecuaciones simétricas se dan así: x− p1 y− p 2 = ; z = p3 d1 d2
d 3=0
una ), las
Pon tus conocimientos a prueba‌ Completa el crucigrama.