La duplicación del cuadrado en el Menón Menón –– Sí, Sócrates, pero ¿cómo es que dices eso de que no aprendemos, sino que lo que denominamos aprender es reminiscencia? ¿Podrías enseñarme que es así? Sócrates –– Ya te dije poco antes, Menón, que eres taimado1; ahora preguntas si puedo enseñarte yo, que estoy afirmando que no hay enseñanza, sino reminiscencia, evidentemente para hacerme en seguida caer en contradicción conmigo mismo. Menón –– ¡No, por Zeus, Sócrates! No lo dije con esa intención, sino por costumbre. Pero, si de algún modo puedes mostrarme que en efecto es así como dices, muéstramelo. Sócrates –– ¡Pero no es fácil! Sin embargo, por ti estoy dispuesto a empeñarme2. Llámame a uno de tus numerosos servidores que están aquí, al que quieras, para que pueda demostrártelo con él. Menón –– Muy bien. (A un servidor.) Tú, ven aquí. Sócrates –– ¿Es griego y habla griego? Menón –– Perfectamente; nació en mi casa. Sócrates –– Pon entonces atención para ver qué te parece lo que hace: si recuerda o está aprendiendo de mí. Menón –– Así haré. Sócrates –– (Al servidor.) Dime entonces, muchacho, ¿conoces que una superficie cuadrada es una figura así? (La dibuja.) Servidor –– Yo sí. Sócrates –– ¿Es, pues, el cuadrado, una superficie que tiene todas estas líneas iguales, que son cuatro? Servidor –– Perfectamente. Sócrates –– ¿No tienen también iguales éstas trazadas por el medio? Servidor –– Sí. Sócrates –– ¿Y no podría una superficie como ésta ser mayor o menor? Servidor –– Desde luego. Sócrates –– Si este lado fuera de dos pies y este otro también de dos, ¿cuántos pies tendría el todo? Sócrates –– ¿Luego resulta, ciertamente, dos veces dos pies? Servidor –– Sí. Sócrates –– ¿Cuánto es entonces dos veces dos pies? Cuéntalo y dilo. Servidor –– Cuatro, Sócrates. Sócrates –– ¿Y podría haber otra superficie, el doble de ésta, pero con una figura similar, es decir, teniendo todas las líneas iguales como ésta?
1. Sitúa este diálogo en la historia de la filosofía y de las matemáticas. 2.. Resuelve el problema planteado por Sócrates al servidor: se tiene un cuadrado ABCD cualquiera y se pretende hallar otro cuya área sea el doble...
3. ¿En qué consiste el problema de la duplicación del cubo?
1 2
taimado : rusé empeñarse en: s’appliquer à 1
1. Del mito al logos3 Tales de Mileto4 (c.625ª.C. 546 a.C.) está considerado como uno de los fundadores de la filosofía. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió en el 585 a.C. Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitológicas…Tomó prestada la geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante5 series de argumentos lógicos, en otras palabras, inventó la matemática deductiva. No hay constancia 6 histórica de que Tales haya enunciado el teorema que conocemos como Teorema de Tales 7, aunque sí es cierto que Tales trabajó sobre la proporcionalidad al calcular 8 alturas de las pirámides midiendo las sombras… Pitágoras de Samos (c. 582 a.C. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, cuyas teorías influyeron mucho en Platón fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jónicos9 como Tales de Mileto o Anaximandro. Hacia el 530 a. C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundió un movimiento matemático y filosófico, conocido como pitagorismo. Su lema10 “todo es número”. Entre muchos trabajos destacan11 el famosísimo teorema que lleva su nombre, una teoría de la música, el descubrimiento de los irracionales o el de los cinco poliedros regulares (que sin embargo son llamados “sólidos platónicos”) Sócrates (c. 470a.C., 399 a.C.) tal vez la mayor personalidad filosófica en la historia. Practicó un diálogo continuo con sus alumnos hasta que fue sentenciado 12 a muerte por impiedad pública respecto a los dioses 13 y corrupción de la juventud, condena que cumplió bebiendo cicuta 14 en el 399 a.C. Sócrates no dejó ningún escrito, pero sus enseñanzas fueron preservadas para las generaciones posteriores en los diálogos de uno de sus más famosos discípulos, Platón. Sócrates enseñó que cada persona tiene pleno conocimiento de la verdad última dentro de su alma y que sólo necesita llevarlo a la reflexión consciente para darse cuenta. Sócrates creía que el deber del filósofo era provocar que la gente pensara por sí misma, en vez de enseñarle algo que no supiera. “no aprendemos sino que recordamos”….Por eso se decía partero 15 de ideas y desarrolló un método de investigación y enseñanza : la mayéutica 16.
El pentágono estrellado o pentalfa (cinco alfas) símbolo de los pitagóricos
Cárcel de Sócrates en Atenas
3
Se suele decir que el inicio de la filosofía radica en el paso del mito al logos, es decir, en el paso de explicaciones o respuestas tradicionales y arbitrarias a explicaciones lógicas y racionales, es el denominado milagro griego. Los griegos protagonistas de este paso o salto fundaron lo que llamamos filosofía 4 Mileto fue una antigua ciudad griega de la provincia de Jonia (actual provincia de Aydın de Turquía) en la costa occidental de Asia Menor 5 mediante = por medio de 6 no hay constancia de que : il n’y a pas de certitude que 7 teorema de Tales: (AB) // (A'B') equivale a OA'/OA = OB'/OB 8 al calcular = cuando calculó 9 se denomina escuela de Mileto o Jónica a la fundada en el siglo VI a. C. en la colonia griega de Mileto, en la costa egea de Jonia. Sus miembros fueron Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. 10 lema : devise 11 destacar : ressortir 12 sentenciar : condamner 13 respecto a los dioses : envers les dieux 14 cicuta : cigüe 15 partero : accoucheur 16 mayeutica : maïeutique 2
Platón (438 - 347 a.C.) Con Platón la filosofía griega gira hacia la tradición pitagórica. La primacía 17 de las ideas sobre “el mundo exterior” y la imposibilidad de alcanzar un conocimiento a través de la experiencia es una constante de los diálogos platónicos. En otras palabras, Platón niega el uso de la observación y la experiencia sensible como método de investigación de la realidad. En el 387 a.C. Platón fundó la Academia donde se enseñaba filosofía moral pero también donde se discutía de matemáticas y ciencia en general. El lema que venía en la puerta de la Academia que nadie entre aquí que no sepa geometría. Aristóteles fue posiblemente uno de los más brillantes alumnos de la Academia. La base de la filosofía de Platón es su teoría de las ideas. La teoría de las ideas que queda expresada en muchos de sus diálogos divide la existencia en dos esferas o mundos, una “esfera inteligible” de ideas o formas perfectas y eternas y una “esfera sensible”, de objetos concretos y conocidos…Los principios de las matemáticas y la filosofía elaborados a partir de la meditación interior sobre las ideas constituyen el único saber digno de ese nombre.
17
El búho, que ve a oscuras, es símbolo de la filosofía
primacia : suprématie 3
2. La duplicación del cuadrado Un problema narrado por Platón en su Diálogo "Menón" Según los relatos del filósofo Platón en su célebre diálogo "Menón", Sócrates se propone lograr 18 que un esclavo de Menón 19 consiga dar con la clave 20 de la duplicación del cuadrado sin darse cuenta, de acuerdo con 21 la teoría de la reminiscencia. Se tiene un cuadrado ABCD cualquiera y se pretende hallar 22 otro cuya área sea el doble. La tentación está en duplicar el lado del cuadrado inicial con lo que se obtiene otro cuya área es 4 veces mayor. Esto es lo que planteó 23 el esclavo por primera vez.
En el diálogo se considera un cuadrado de lado dos pies 24, por lo tanto de área 4 pies cuadrados. Al duplicar el lado de dicho cuadrado nos sale entonces otro cuadrado de lado 4 pies o sea de área 16 pies cuadrados....y lo que se pretendía era construír un cuadrado cuya área sea igual a 8 pies cuadrados...
Luego de utilizar 25 la mayéutica, Sócrates logra que el esclavo descubra esta construcción
Para simplificar vamos a considerar un cuadrado ABCD de lado 1. Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABD se tiene BD2=AB2+AD2 o sea BD2 = 2 que corresponde al área del cuadrado BIJD y por lo tanto queda realizada la duplicación del cuadrado. En definitiva el esclavo demuestra o mejor dicho visualiza el teorema de Pitágoras en el caso de un triángulo rectángulo isósceles.
18 19 20 21 22 23 24 25
lograr = conseguir Menón es un joven, rico, de ilustre familia, con cierto interés por la filosofía... dar con la clave: tomber sur la solution de acuerdo con: en accord avec hallar = encontrar plantear: proposer el pie era una antigua medida de longitud griega. En Atenas el pie medía aproximadamente 30 cm. luego de utilizar : après avoir utilisé 4
La duplicación del cuadrado con regla y compás Las herramientas26 idealizadas de la geometría clásica griega: la regla (no graduada) y el compás.
ABCD un cuadrado de lado 2 por lo tanto de área 4. Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABD se cumple : DB2 = DA2 + AB2 = 8 Vamos a construir un cuadrado de lado DB, para ello trazamos una circunferencia de radio AB con centro en uno de los vértices del cuadrado ABCD por ejemplo C. Ésta corta a las rectas (DC) y (BC) en E y F respectivamente. Las diagonales del cuadrilatero DBEF se cortan en su mitad entonces DBEF es un paralelogramo, son perpendiculares con lo cual DBEF es un rombo e iguales por lo que al final DBEF es un cuadrado de lado DB y de área DB2 = 8 lo que andábamos buscando.
26
una herramienta :
un outil 5
3. La duplicación del cubo La duplicación del cubo es uno de los 3 problemas clásicos griegos con la cuadratura del círculo27 y la trisección28 del ángulo, son los llamados problemas délicos29. La historia de este problema es muy curiosa. Se cuenta que en el año 429 a.C. murió Pericles, tirano de Atenas, y la ciudad cayó en una profunda crisis. Los atenienses, abrumados30, se dirigieron31 al Oráculo32 de Delos para pedirle una solución. Y la respuesta del Oráculo fue que la crisis desaparecería si construían para los dioses un altar33 con el doble de volumen que el ya existente. Como la forma del altar era cúbica los atenienses crearon un altar con el doble de arista que el anterior pero la gran crisis sólo no se solucionó sino que empeoró34. Desesperados, los atenienses se dirigieron al Oráculo de nuevo, a lo que éste reprochó que el nuevo altar no tenía el doble de volumen, sino que era ocho veces más grande:
Hubo que esperar hasta el año 1837 para que Pierre Laurent Wantzel demostrara la imposibilidad de la duplicación del cubo con regla y compás pero al final la clave de todos los problemas de constructibilidad mediante regla y compás se halla en la teoría de Galois35. un vídeo sobre la duplicación del cubo:
https://www.youtube.com/watch?v=6bgCufJui7Y contrucciones con regla y compás, para ir más allá:
http://www2.uca.es/matematicas/RDM/Volumen-2005-1/Regla_y_compas.pdf
27 28 29 30 31 32 33 34 35
se trata de construir con regla y compás un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado el problema consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales con regla y compás de Delos, isla griega en el mar Egeo abrumado : accablé dirigirse a : s’adresser à oráculo : oracle altar : autel empeorar : empirer Evariste Galois (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) 6
4. Vocabulario las herramientas
la regla y el compรกs
el transportador
el cartabรณn
la escuadra
cuadrilรกteros
7
clasificaciรณn de los triรกngulos
rectas notables del triรกngulo
8
polígonos
el teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
misceláneo La circunferencia corta a la recta
le cercle coupe la droite
el punto medio de un segmento
le mileu d'un segment
punto de corte (o de intersección)
point d'intersection
trazar a grosso modo
tracer grosso modo
la parte sombreada
la partie grisée
la recta punteada
la droite en pointillé
la diagonal
la diagonale
medir, la medida
mesurer, la mesure
la longitud
la longueur
largo y ancho de un rectángulo
longueur et largeur d'un rectangle
entre paréntesis
entre parenthèses
entre corchetes
entre crochets
triángulos semejantes
triangles semblables
base por altura partido por dos
base par hauteur divisé par 2
un triángulo cualquirera
un triangle quelconque
simetría respecto a (de) un punto
symétrie par rapport à un point
un eje de simetría
un axe de symétrie
perímetro
périmètre
lo dibujo a grosso modo
je le dessine grosso modo
(3,4,5) es una terna pitagórica o sea tres números naturales que cumplen una relación de Pitágoras
un cuadrado es un rumbo particular un carré est un losange particulier un polígono de 4 vértices
un polygone à 4 sommets
la longitud de un segmento
la longueur d'un segment
un rectángulo de largo 3 y ancho 2 un rectangle de longueur 3 et largeur 2 una superficie
une surface
plantear un problema
poser un problème
plantear una solución
proposer une solution
rectas perpendiculares
droites perpendiculaires
rectas paralelas
droites parallèles
un diccionario de geometría
http://www.ditutor.com/asignaturas/geometria.html
9