Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010 Proba E c) Probă scrisă la MATEMATICĂ
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I
(30 de puncte)
( (1 − i )( i − 1) )
4
.
5p
1. CalculaŃi
5p
2. ArătaŃi că funcŃia f : (−3,3) → ℝ, f ( x) = ln
5p 5p
3. DeterminaŃi soluŃiile întregi ale inecuaŃiei x 2 + 2 x − 8 < 0 . 4. Câte elemente din mulŃimea A = {1, 2,3,...,100} sunt divizibile cu 4 sau cu 5?
5p
5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele M (1, − 2 ) , N ( −3, −1) şi P ( −1, 2 ) . DeterminaŃi coordonatele punctului Q astfel încât MNPQ să fie paralelogram.
5p
3− x este impară. 3+ x
6. Triunghiul ABC are AB = 6, AC = 3 şi BC = 5 . CalculaŃi lungimea înălŃimii [ AD ] .
SUBIECTUL al II-lea
5p 5p 5p
(30 de puncte)
x − 2 y − 8 z = −65 1 −2 −8 1. Fie sistemul 3 x + y − 3 z = 22 , unde x, y , z ∈ ℝ şi matricea asociată sistemului A = 3 1 −3 . 1 1 1 x + y + z = 28 a) ArătaŃi că rangul matricei A este egal cu 2. b) RezolvaŃi sistemul în ℝ × ℝ × ℝ . c) DeterminaŃi numărul soluŃiilor sistemului din mulŃimea ℕ × ℕ × ℕ . a b 2. Fie mulŃimea de matrice A = a, b ∈ ℤ 5 . −b a
5p
a) DeterminaŃi numărul elementelor mulŃimii A.
5p
3ɵ 1ˆ 0ˆ 0ˆ b) ArătaŃi că există o matrice nenulă M ∈ A astfel încât ⋅M = . 0ˆ 0ˆ −1ˆ 3ɵ
5p
c) RezolvaŃi în mulŃimea A ecuaŃia X 2 = I 2 .
SUBIECTUL al III-lea
5p 5p 5p
(30 de puncte)
x . 1. Se consideră funcŃia f : ℝ \ {−1} → ℝ , f ( x ) = arctg x +1 a) DeterminaŃi ecuaŃia asimptotei spre + ∞ la graficul funcŃiei f. b) StudiaŃi monotonia funcŃiei f. c) DeterminaŃi punctele de inflexiune ale funcŃiei f.
2. Fie şirul ( I n
)n≥1 ,
n +1
In =
∫ n
5p 5p 5p
a) ArătaŃi că şirul ( I n
2x − 1 dx . x
)n≥1 b) ArătaŃi că şirul ( I n )n≥1 este mărginit. c) CalculaŃi lim n ( 2 − I n ) .
este strict crescător.
n→+∞
Bacalaureat _2010 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
Varianta 9