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MATERIA: ALGEBRA TEMA
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INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN) 1. Identifica los elementos que se piden: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
Los términos de 5r +s Los términos de 5xy2 +2y –7w Dos factores de 5z ______________________ La base en 3xy2 El coeficiente numérico en 2xy El coeficiente numérico en x/3 Las variables en 6xy Las variables en 6x 5 y 2 El grado de la variable m en 7m5n El grado de la variable n en 7m 5n La constante de 7x2 –1
2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de números y variables explique por qué las siguientes expresiones no son monomios b) √ 7xy3
a) 5x +y
c) x 2y
3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con una letra a) 14x + 10 y –3
d) 2/3 x +1/3 y
b) –17x5y3z2
e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6 f) √x+4
c) 7x5y I)
Identifique los polinomios:____________________
II)
Identifique los monomios:____________________
III)
Identifique los binomios:____________________
IV)
Para
cada
polinomio,
que
no
sea
monomio,
términos____________________________________________________ V)
Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E
4. Evalúe cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 –x +3 b) x2 –3x +5 c) –x2 +7
x=-2 x=3/2 x =5
especifique
los
3
d) 4xy –8y2
x=3
y=0,5
5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: a) 8x -3x+7x= b) 3x +9y –2x –6y= c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= 7. Dados los polinomios A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B= b) A - C= c) B - A= 8. Calcular el perímetro de la siguiente figura: x2 +x 2x2 +x
x 3x2 +x –3
9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado? CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:
Sea el polinomio:
3 2 1 x − 5x 3 + x − 4 3
Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:
4
− 5x3 +
3 2 1 x +x− 4 3
Términos
− 5x 3
Variable Coeficientes de la variable
3 2 x 4
x
x 3 4 2
x
x −5
Exponentes de la variable * Grado del polinomio Término Independiente
3 3
−
1 3
−
1 3
1 1
*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable Clasificación de los Polinomios Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en: -
Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos: −
-
3 2 x 7
Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos: Ejemplos: 3x + 1
-
5 x4 − a 4
a+b
Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos: Ejemplos:
-
a 2 bx 2
+5
6 3 1 x +x− 5 7
−9 2 y + y −5 2
Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos: Ejemplo: −
3 4 2 3 x + x − x 2 +1 4 5
Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-). OPERACIONES CON POLINOMIOS
Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas. Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos,
en una sola que se le llama suma. En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo que puede significar aumento o disminución. En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes. Hay semejanza entre términos cuando: Tienen la misma variable o variables.
5
Tienen igual exponente en la variable o variables. Ejemplo: Son términos semejantes:
− 5x 2
Aunque los coeficientes de las variables sean diferentes
+ 3x 2 + x 2
El exponente “2” de la variable es igual para los tres términos
La variable “x” es la misma para los tres términos
Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola expresión aplicando una suma. Ejemplo Nº 1: Eliminando los paréntesis queda:
− 5x 2 + 3x2 + x 2 = Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable con su respectivo exponente, así:
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = ( − 5 + 4) ⋅ x 2
Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = ( −1) ⋅ x 2
Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = −1 ⋅ x 2 ( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = − x 2
Se elimina el paréntesis Como el 1 es elemento neutro de la multiplicación, sólo se multiplican los signos (+ . - = -)
Son términos no semejantes los siguientes:
2 6x 3 , 6x 2 , 6 y ,
Los términos 6x 3 y 6x 2 , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismo 2 coeficiente no son términos semejantes. El término 6 y no es semejante a ninguno de los otros dos términos, pues su variable es distinta.
Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios: Cuando es una suma de monomios Ejemplo Nº 2: Sumar:
− 5x 2 y 7 x
Solución:
− 5 x 2 + 7 x = −5 x 2 + 7 x
Cuando es una suma de binomios
Observa que, como los términos no son semejantes la suma se deja indicada
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Ejemplo; Sumar:
3 2 1 x − 4 3
7 2 x + 3x 8
y
3 2 1 7 2 Solución: x − + x + 3 x = 4 3 8 3 2 1 7 2 x − + x + 3x = 4 3 8
Indicamos la operación de los dos binomios agrupando cada uno entre paréntesis
Eliminamos los paréntesis, como el signo que los precede es positivo, no se afecta ningún término
3 2 7 2 1 x + x − + 3x = 8 3 4
Agrupamos los términos semejantes Extraemos la variable con su respectivo exponente como factor dejando los coeficientes dentro del paréntesis. Observe que estos nos indican una suma de fracciones con diferente denominador
3 7 2 1 4 + 8 x + 3 x − 3 =
1-
Recordar: Para sumar fracciones de diferente denominador
2-
Se calcula el mcm entre los denominadores Esta cantidad es el denominador del resultado Se multiplica cada fracción por el mcm y estas cantidades forman el numerador del resultado Se efectúa la operación indicada y obtenemos la fracción resultado
3-
4-
m.c.m(4,8) = 8 3 7 + = 4 8 8 3 24 8. = =6 4 4 7 56 8. = =7 8 8 3 7 6 + 7 13 + = = 4 8 8 8
Luego el polinomio resultante es: 13 2 1 x + 3x − 8 3 En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de polinomios es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera: Ejemplo Nº 3: Sea A =
3 7 x + 6x − 5 4
y
B = x3 −
1 2 1 5 x + x+ 5 2 6
y nos piden determinar: A – B = Es decir, al polinomio
3 2 7 1 2 1 5 3 x + 6x − le restamos el polinomio x − x + x + 5 4 5 2 6
estructuremos la operación: A− B =
3 2 7 1 1 5 x + 6x − − x 3 − x 2 + x + 5 4 5 2 6
7
Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis. 3 Si B = x −
Para eliminar signos de agrupación Recordar:
1 2 1 5 x + x+ 5 2 6
Entonces
Cuando un paréntesis está precedido del signo menos, todos los términos que están dentro de él cambian de signo
− B = −x 3 +
1 2 1 5 x − x− 5 2 6
- B es el opuesto de B A + (− B) =
Luego, la operación quedaría así:
3 2 7 1 1 5 x + 6x − + − x3 + x 2 − x − 5 4 5 2 6
Si eliminamos el paréntesis: A + (− B ) =
3 2 7 1 1 5 x + 6x − − x 3 + x 2 − x − 5 4 5 2 6
Agrupamos los términos semejantes: 1 1 3 7 5 A + (− B ) = x 2 + x 2 + 6 x − x − x 3 + − − 5 2 5 4 6 Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor 1 3 1 7 5 A + (− B ) = + x 2 + 6 − x − x 3 + − − 2 5 5 4 6 Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador. Vamos a realizar cada adición por separado: Para sumar fracciones con igual denominador
3
+
1
=
Recordar:
4
Observa que es una suma con igual 5 5de fracciones 5 denominador. La fracción resultante tendrá el mismo denominador común y el numerador será la suma de los numeradores parciales 1º Adición :
Recordar: Para sumar fracciones con diferente denominador Tenemos una suma de fracciones con diferente denominador, calculamos el m.c.m de los denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este m.c.m= 2 representa el denominador común a todas las fracciones; ahora, los numeradores también cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las 360 fracciones parciales
3º Adición
2º Adición 6 1 12 1 12 − 1 11 − = = + = 2 2 1 2 2 2
Para sumar fracciones con diferente denominador Calculamos el mcm entre los denominadores mcm (4 , 6) = 12, este es el denominador del resultado y esa misma cantidad se multiplica por cada fracción para calcular los nuevos numeradores
Recordar:
8
− −
7 5 (12 . 7 / 4) (12.5 / 6) − =− − 4 6 12 12
7 5 21 10 31 − =− − =− 4 6 12 12 12
Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos: A + ( −B ) = − x 3 +
4 2 11 31 x + x− 5 2 12
Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios: - Sean los polinomios A=
1 2 1 x + 6x − 2 3 ,
B=
,
6 3 7 x − x 2 + 92 − 7 2
, C=
3 1 − x + x2 5 4
3 2 x 2 8x D=− + − − x3 8 9 3
Calcula: 1) A + B + C = 2) D + C + A =
3) (D + A) – C = 4) B – (D + A) =
5) D + B = 6) C – A =
Multiplicación de Polinomios:
La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos semejantes. Recordar: Regla de los signos
+*+=+
* * *
Leyes de la potenciación * * *
- *-=+ +*-= -*+= Veamos algunos casos de la multiplicación: Multiplicación de Monomios
Multiplicar: 3 x 2 . ( − 2 x ) . ( − 5) =
(
)
Observa los coeficientes de cada En esta que multiplicación tenemosnuméricos varios factores con monomio, son también factores se puedeny sus respectivos signos, hay factoresy numéricos manipular independientemente de la variable, factores literales o variables. siempre y cuando estén como factores dentro de la misma multiplicación. En la organización es conveniente que los factores numéricos sean los primeros en expresarse.
Recordar:
9
( 3) . ( − 2 ) . ( − 5 ) . ( x 2 ) . ( x ) =
( + 3) . ( − 2) . ( − 5) . ( + x 2 ) . ( + x ) =
Si multiplicamos los signos de cada uno de los factores: + . - . - . + . + = + obtenemos el signo del producto. En este caso es positivo
+
( 3).( − 2).( − 5).( x 2 ).( x ) = +30.( x 2 ).( x)
( 3).( − 2).( − 5).( x 2 ).( x ) = +30.x 3
Ahora calculamos el producto de los factores numéricos: 3 . 2 . 5 = 30
Para multiplicar las variables (la parte literal), que son potencias, tienes que estar claro con la ley de la potenciación que dice que “en la multiplicación de potencias de igual base se obtiene otra potencia con la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes parciales de cada potencia” x2 . x = x2+1 = x3
Este es el resultado de multiplicar los monomios
(3x ) . ( − 2 x ) . ( − 5) = 30 x 2
3
Multiplicación de Monomios por polinomios
5 3 2 2 Multiplicar: x . − x + 2 x − = 2 5
(
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica una propiedad distributiva del producto con respecto a la adición, de esta manera obtenemos una suma algebraica con los productos parciales.
)
5 3 2 3 2 2 3 2 3 5 2 x . − x + 2 x − = x . − x + x .( 2 x ) + . − 2 5 5 5 5 2 Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la multiplicación de las variables o potencias literales.
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Vamos a calcular los productos por separado: 1° producto:
(
Coeficientes
)
( )( )
3 4 3 2 3 2 2 2 x . − x = .( − 1). x . x = − x 5 5 5
Producto
Potencias Literales
Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir, fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal, numerador por numerador y denominador por denominador.
3 3 3 1 .( − 1) = . − = − 5 5 5 1
La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y el exponente es la suma de los exponentes parciales”.
x 2 .x 2 = x 2 + 2 = x 4
2° producto:
( )
6 3 3 2 3 2 2 x .( 2 x ) = . . x ( x ) = + x 5 5 51
Se procede igual al caso anterior: 6 3 3 2 Coeficientes .( 2 ) = . = + 5 5 1 5
x 2 .x = x 2 +1 = x 3
3° producto:
( )
15 2 3 2 3 2 5 3 5 2 x . − = . − . x = − x = − x 10 2 5 2 5 2
Potencias Literales
Se procede igual al caso anterior: 15 3. 5 3 3 5 =− =− . − = − 10 2. 5 2 5 2
Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se canceló por ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial: 5 3 4 6 3 3 2 3 2 2 x . − x + 2 x − = − x + x − x 2 5 5 2 5
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
El polinomio resultante no tiene términos semejantes por lo tanto es un polinomio irreducible.
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4 3 2 3 Multiplicar: x − y x − x + 1 3 4 2 el primer Observa que factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos del segundo factor, es decir, del trinomio.
4 3 2 3 x − . x − x +1 2 3 4
Solución:
Si observas cada par de líneas notarás como se efectuaron los productos
3 3 2 3 3 4 3 2 4 4 x . x + x .( − x ) + x .( + 1) + − . x + − .( − x ) + − .( + 1) 2 4 2 2 3 4 3 3 1° producto:
( )
9 3 3 3 2 3 3 2 x . x = . .( x ). x = x 8 2 4 2 4
2° producto: 3 2 3 3 x .( − x ) = .( −1).( x ).( x ) = − x 2 2 2
3° producto: 3 3 3 x .( + 1) = .( + 1).( x ) = + x 2 2 2
4° producto:
( )
12 2 − 4 3 2 − 4 3 2 2 ⋅ x = ⋅ ⋅ x = − x = −x 3 4 3 4 12
5° producto: 4 −4 −4 ⋅ (− x) = ⋅ ( − 1) ⋅ ( x ) = + x 3 3 3
6° producto: 4 4 4 1 − ⋅ ( + 1) = − ⋅ + = − 3 3 3 1
Después de aplicar la propiedad distributiva hemos obtenido muchos productos parciales, para ser más exactos, seis productos. Vamos a resolverlos uno a uno:
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Luego: Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total. 4 3 2 4 4 3 9 3 3 2 3 2 x − ⋅ x − x + 1 = x − x + x − x + x − 3 4 2 2 3 3 2 8 Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con ellos: 4 3 2 4 4 3 9 3 3 2 3 2 x − ⋅ x − x + 1 = x + − x − x + x + x − 3 4 3 3 2 8 2 2
Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la variable con su respectivo exponente como factor fuera del paréntesis. 4 3 2 4 3 9 3 3 2 3 4 x − ⋅ x − x + 1 = x + − − 1 x + + ⋅ x − 3 4 3 2 8 2 2 3 Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso: 1º Adición:
3 2 −3− 2 5 3 1 =− − − = − − = 2 2 2 2 2 1
2° Adición:
3 4 9 8 17 + = + = 2 3 6 6 6
Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio. 4 3 2 4 3 9 3 5 2 17 x − ⋅ x − x + 1 = x − x + x − 3 4 2 6 3 2 8
De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos polinomios. Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te proponemos los siguientes ejercicios: Dadas las expresiones algebraicas: 7 4 P =− x Q = −x2 2 5 T =
x2 3 5 − + 9x − 2 4 9
V =
R=
8 3 6 x −x+ 7 7
11 3
Calcula: 1) V .P.Q =
2) Q.R =
5) P.R =
División de polinomios
3) T .Q =
4) V.T =
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Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo: Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”. Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:
(3x
2
) (
− 10 x 3 + 4 x 5 − x + 6 ÷ x 2 + 1 − 2 x
)
Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante.
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x2 − 2 x +1
Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x2 − 2 x +1
Para efectuar esto se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x2 − 2 x +1
5
4x 3 Este es el primer término del cociente
5
4x 4x = = 4 x( 5− 2 ) = 4 x3 2 x 1 x2 Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable. Estos productos se resta del dividendo
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x 2 − 2 x +1
4x 3
x 2 − 2 x +1
− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4x 3 8 x 4 − 14 x3 + 3 x 2 − x + 6 Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 8x4
8x4 8 x4 = = 8x( 4 −2 ) = 8x 2 x2 1 x2
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4 x3 + 8x2 8 x 4 − 14 x3 + 3 x 2 − x + 6 − 8 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 2 x3 − 5 x 2 − x + 6
Continuamos ahora dividiendo los demás términos 4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x 2 − 2 x +1
x 2 − 2 x +1
− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4x3 + 8x 2 + 2 x − 1 8 x 4 − 14 x3 + 3 x 2 − x + 6 − 8 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 2 x3 − 5 x 2 − x + 6 − 2 x3 + 4 x 2 − 2 x − x 2 − 3x + 6 x2 − 2x +1
− 5x + 7 El cociente de la división es : 4 x 3 + 8 x 2 + 2 x − 1 Y el residuo: − 5 x + 7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)
Ejercicios propuestos:
( ) 2- ( 9 x − x − 24 x − 3 x + 8 x ) ÷ ( x 3- (10 y − 20 y − y + 2 ) ÷ ( y − 2 ) 1- 3 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 2 ÷ ( x + 2 ) 4
5
8
3 4- x −
3
6
2
2
2
− 1)
2
1 4 1 2 1 1 1 x + x + x − ÷ x2 − 2 3 2 2 3
5- ¿Cuál debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad? Objetivo: 1. Identificar tipos de factorizaciones. 2. Factorizar expresiones algebraicas. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1) 3a2b2 + 15ab2 – 45ab3 = 2) x2 - xy + xz - xz2 = 3) y2 – y – 30 = 4) x2 + 5x – 24 = 5) 4x2 –12xy + 9y2 = 6) 25x4 – 25y4 = 7) 0,09 – 4x2 = 8) 21ax + 35ay + 20y + 12x = 9) b4 - b3 = 10) (a + 1 )(a - 1 ) - x ( a - 1 ) 11) 3m2 - 7m - 20 = 12) 8y2 - 18 = 13) x3 - 125= 14)ac - a - bc + b + c2 - c =
14
15
15)
9 2 49 2 a − b = 25 36
16) x3 –3x2y + 3xy2 – y3 = 17)35a2b2 + 15ab2 – 45ab = 18)x2 - xy + xz - yz = 19)y2 +11 y + 30 = 20)27x3 – 125=
PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN
Multiplicación de términos algebraicos: Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay. Ejemplos: 1. 5xy2 · -7x3y2 = 2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) = 3. (3x – 2y)(4x + 5y)= 4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) = En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables. Cuadrado del Binomio: Corresponde al producto de un binomio por sí mismo. Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b) 2 y luego (a - b)(a - b) que puede expresarse como (a - b)2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. Luego podemos enunciar que: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” La estructura que representa esta fórmula es:
16
Donde
representa al primer término del binomio y
al segundo.
Ejemplos: a) (x + 7)2 = x2 + 2·x·7 + 72 = x2 + 14x + 49 b) (2a – 3b)2 = (2a)2 - 2·2a·3b + (3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2
Suma por Diferencia Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia. Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b) (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Es decir, “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo” Ejemplos: a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2 b) (7m2 + 5n3)(7m2 – 5n3) = (7m2)2 – (5n3)2 = 49m4 – 25n6 Multiplicación de Binomios con un Término Común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común “a”. Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión. (x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15 Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15 (x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x2 – 5x - 14 Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14 La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:
Concluimos entonces que
17
“El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos” Ejemplos: a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 6·12 = x2 + 18 x + 72 b) (a + 7)(a – 3) = a2 + (7 – 3)a + 7·-3 = a2 + 4a – 21 FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz. Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea mx - my + mz = m( x - y + z ). Ejemplos: Factorizar a) 6ab2 – 18a2b3 = 6ab2(1 – 3b) b) 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ). Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Luego, se tendrá inversamente que a2 ± 2ab + b2=(a ± b)2. Ejemplos: Factorizar a) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2 b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2. Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b). Ejemplos: Factorizar a) 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b). b) 4x2 – 0,01 = (2x)2 – (0,1)2 = (2x + 0,1)(2x – 0,1) Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n. Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Luego, se tendrá inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Ejemplos: Factorizar a) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)(x + 3) b) x2 + 5x – 14 = x2 + (7 – 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x – 2)
18
GUIA DE EJERCICIOS 1 Objetivos: Deberás a) Expresar el valor numérico de una expresión algebraica que resulta al sustituir los factores literales por valores numéricos y luego efectuar las operaciones indicadas. I) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes términos: 1) k2 ; si k= 5
............................................
2) n3 ; si n=10
............................................
3) a1 ; si a= 150
............................................
4) 2w2 ; si w=6
............................................
6) (5 + a)3 ; si a= -1
............................................
5) (a + 3)2 si a=5 ............................................
II) Si a=1 ; b= -1 ; c=2 ; d= ½ ; e=0 , determine el valor de cada una de las siguientes expresiones: 7) a+ b
= .......................................
9) (a + b) * c = .......................................
8) 2a - b + c
=.......................................
10) (c+d)*e +ab
=.......................................
11) (a-b)2 + (c-d)2 =.......................................12) d2 - ea - b =....................................... 13) a + d b
=.......................................
14) a + a - c=....................................... c b
15) a + d d c
=.......................................
16) ( a + b-c)2 =.......................................
III) Evalúa cada una de las siguientes expresiones: 17) Area de un cuadrado: Ac Ac =a2 , si a vale 15 cms.
19) Volumen de una esfera: 4 π r3 r=24cms. 3
18) Volumen de un cubo: Vc 3 Vc = a , si a vale 15 cms.
si π= 3,14 y
20) Energía Cinética = mv2 10cms/seg 2
Si m=5grs. y v=
21) Volumen de un cilindro π r2h ; SI π = 3,14 ; 22) Calcule el perímetro de unrectángulo de lados a= 4,2 m y b= 2,3 m r= 1,2 cms. y h=26cms.
19
23) Completa el siguiente cuadro: A 1
b -2
c 3
5
0
-1
½
-4
-2
2/3
1
1/8
-2
3
1
0
1
-2
½
1
1/4
0
-1
-1
a+b-c
a2 - bc
2a -3b2
GUIA DE EJERCICIOS 2
1. Resuelve: 1. (x + 5)²=
11. (6x - 8y)²
2. (x - 7)² =
12. (0,2x – 3)²
3. (a + 1)² =
13. (5a - 0,3)² =
4. (m + 21)²=
14. ( 3 4 x – 5)²
5. (x - 2)²
=
6.(x – 18)²
=
15.
= =
= _ _ 16. ( 0,7 a + 0,2 b)2 =
20
7. (p + 5q)²
=
17. ( 18 x – y)
8. (x – 3y)²
=
18. ( 0,3M -0, 5 N )2 =
9. (2x + 6)² = 10. (3x - 5)²
=
II.- Calcula las siguientes sumas por diferencia: a) (a + 3)(a - 3)= b) (x + 7)(x - 7)= c) (m - 12)(m + 12)= d) (y + 27)(y - 27)= e) (2a - 6)(2a + 6)=
f) (3x - 4y)(3x + 4y)= g) (4mn + 7pq)(4mn - 7pq)= h) (a2 + b2)(a2 - b2)= i) (5x2 - 8y2)(5x2 + 8y2)= j) (0,4p + 1,2q)(0,4p - 1,2q)= k) (2/5 m + 3/4 n)(2/5 m + 3/4 n)= l) (1 - 3/8 a)(1 + 3/8 a)=
III.- Desarrolla los siguientes productos: a) (a + 3)(a + 7)=
2
=
19. ( 8m – ½ n )2 = 20. ( 2 mn + 6m2n2 )2 =
21 b) (x + 8)(x - 5)=
c) (m - 9)(m - 3) =
d) (2x + 5)(2x + 4) =
e) (7m - 6)(7m + 1) = f) (m2 + 8)(m2 – 2) =
g) (8 + a)(5 + a) = h) (-6 + x)(3 + x)
=
GUIA DE TRABAJO 3 Identifica de que producto notable proviene cada expresión:
1) 6x – 12 =……(……-……)
2)……(……-……) =24a + 12ab
3) 4x – 8y = ……(……-……)
4) ……(……-……)= 10x - 15x2
5) ……(……-……)= 14m2n + 7mn
6) 6x4 - 30x3 + 2x2 )= ……(……-……+……..)
7) 4m2 + 20 am = ……(……+……)
8) 4a3bx + 4bx = ……(……+……)
9)(………+………..) 2 = m2 - 2m + 1
10) x2 + 26x + 25 =(……….+……….)(……….+……….)
11) (………+………..) 2 =y2 - 10y + 25
12) 4c2 – 20cd + 25d2= (………- ………..) 2
13) (………+………..) 2 = y2 + 6y + 9
14) (……… + ……..) 2 = h2 + 4h + 4
15) (………- ………..) 2 = 9a2 - 12 ab + 4b2
16) (……… - ………..) 2 =4x2 – 20xy + 25y2
17) (………- ………..) 2 = 49x2 - 14x + 1
18) 16m2 - 40mn + 25n2= (………-………..) 2
19) (………- ………)(………+ ……)= y2 - 4
20) (………..+…………)(…………- …………)=4x2 - 9
21) (………- ………)(………+ ……)= a2 - 1
22) (………..- ………)(………+ ..……)= m2 - 25
23) 49x2 - 36y2= (………+ ………)(………- ……)
24) (………+ ………)(………- ……)=121p2 - 400q2
22
25) (………- ………)(………+ ……)=16a b - 49
26) (………- ………)(………+ ……)= m n - x
27) (………+ ………)(………- ……)=¼ - x4 29)……………………………….= 2ab + 4a2b - 6ab2
28 (………- ………)(………+ ……) =) n2 - 4a2 y2 9x2 30)…………………………………….= b2 - 3b – 28
31)……………………20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2
32)…………………………………….= z2 + 6z + 8
33)…………………………..=5a + 25ab =
34)…………………………..= bx + bx2 –bx3
35) …………………………….=4 - 12y + 9y2
36) …………………………=a2x2 - b4y4
37) ………………………………=x2 - x + ¼
38) ……………………………………..=x2 + 4x + 4
39)……………………………………=36m2 - 12mn + n2
40)……………………………………= 4a2 - 12ab + 9b2
2
2
2 4
II. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. 5 x + = a a
1) 6x - 6y =
18)
2) 9a + 9b =
19) x2 + 9x + 18 =
3) 5x – 5
20) m2 - 3m – 10=
=
4)18m – 12 =
21) x2 - 5x + 6=
5) 48x + 60 =
22) x2 - x – 30=
6) 8x + 16y - 32z=
23) x2 – 25=
7) 18a + 27b - 45c=
24) m2 – 144=
8) ax – ay =
25) 9 - x2 =
9) xy – x =
26) x2 - 14x + 49=
10) m2 – m =
27) p2 + 12pq + 36q2=
11) x - x2 =
28) x2 - 2xy + y2 =
12) 8a2 + ab=
29) 25x2 - 49y2 =
13) 4x2 + xy - 2x =
30) 9/16 x2 - 81/4y2 =
8
23
14) 6ab - 12a + 8ac =
31) x -3x + 2=
15) 12xy2 - 42x2y + 54xy =
32) 12x2 - x – 6=
16) xy2 - x2y + x2y2 =
33) 4x2 + 12x + 9=
2
34) 0,7p - 0,7 =
17) 0,16ª + 0,8b =
GUIA DE TRABAJO 4 FACTOR COMUN MONOMIO 1) …(………….) = 4x + 20
2) …(………….) =4x - 16y
3) ……(………….) = 48a - 24ab
4) …(………….) =20x - 25x2
5) ……(………….) = 49x2y + 7xy
6) ……(………….) =8x4 - 24x3 + 32x2
7) ……(………….) =4m2 - 20 am
8) ……(………….) =18a3by - 6by
9) ……(………….) = 12n3 – 6m2
10) ……(………….) =7m – 21n + 42
11) ……(………….) = ax + bx
12) ……(………….) ==y2 – y
13) ……(………….) =3ab + 30ac - 27ad
14) ……(………….) =40a – 24ay + 8az
15) ……(………….) =5a2y – 15ay2 + 25ay
16) ……(………….) =6x2n + 12x3n2 – 30x4n3
TRINOMIO ORDENADO PERFECTO: Factorización como cuadrado de binomio Ejercicios: Los siguientes polinomios ¿son trinomios ordenados perfectos? 1)(….………)2 = 4m2 - 8m + 4
2) (….………)2 =x2 + 10x + 25
3) (….………)2 =y2 - 10y + 25
4) (….………)2 = 4c2 - 20cd + 25d2
5) (….………)2 =y2 + 6y + 9
6) (….………)2 = h2 + 4h + 8
7) (….………)2 =9a2 - 12 ab + 4b2
8) (….………)2 = 4x2 - 20xy + 25y2
9) (….………)2 =49x2 - 14x + 1
10) (….………)2 =16m2 - 30mn + 25n2
v) DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Suma por diferencia EJERCICIOS: Escribe como suma por diferencia: 1)(……..)(……….)= 4y2 - 1
2) (……..)(……….)= 16x2 - 9
3) (……..)(……….)= 25a2 - 1
4) (……..)(……….)= 49m2 - 25
5) (……..)(……….)= x2 - 36y2
6) (……..)(……….)= 144p2 - 900q2
7) (……..)(……….)= 81a2b2 - 100
8) (……..)(……….)= m2n4 – x12
24
9) (……..)(……….)= 25n2 - 4a2 16y2 9x2
10) (……..)(……….)= ¼ - 25x8
EJERCICIOS DIVERSOS: Factoriza: 1) 2ab + 4a2b - 6ab2 =
2) 20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
3) b2 - 3b - 28 =
4)z2 + 6z + 8 =
5) 5a + 25ab =
6) bx - ab + x2 - ax=
7) 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =
8) ax + ay + x + y =
9) 8x2 - 128 =
10) 4 - 12y + 9y2 =
11) x4 - y2 =
12) a2x2 - b4y4 =
13) x2 + 2x + 1 - y2 =
14) x2 - y2 - 4x + 4 =
15) a2 - x2 + 2xy - y2 =
16) ( a + b)2 - ( c+d)2 =
17) a2 + 2ab + b2 - c2 + 2cd - d2 =
18) (a + 3)2 - (3a - 6)2 =
19) x3 + x2 + x + 1 =
20) 3a4 + a3 + 15a + 5 =
21) x2 + 4x + 4 =
22) a2 + 12ab + 36b2 =
23) 9x2 + 24xy + 16y2 =
24) 36m2 - 12mn + n2 =
25) 4a2 - 12ab + 9b2 =
26) x2 - x + ¼ =
27) a( x+1) + b(x+1) =
28) x(2a+b) + p(2a + b)=
29)x2 ( p + q) + y2 ( p + q) =
30) 1 - x + 5 ( 1 - x) =
31) a ( 2 + x ) - 2 - x =
32) a2 + 1 - b ( a2 + 1 ) =
33) ( x + y)( n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) =
34) ( a + 1 ) ( a - 1 ) - 2 ( a + 1)=
35) a( a + b) - b ( a + b) =
36) ( 2x + 3) ( 3 - r ) - (2x -r) (3 -r)=
37) a + ab + ax + bx =
38) ab + 3a + 2b + 6 =
39) ab - 2a - 5b + 10=
40) 2ab + 2a - b - 1 =
41) 3x2 - 3bx + xy - by =
42) 6ab + 4a - 15b - 10=
43) sm - bm + sn - bn =
44) 3x3 - 9ax2 - x + 3a =
45) 3a - b2 + 2b2x - 6ax =
46) a3 + a2 + a + 1=
25
Cuestiones de Geometría 39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho. 40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones. 41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo. 42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados. 43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? 44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo? 45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio. 46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos. 47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo. 48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.
26