Álgebra
Ciclo Escolar
CICLO ESCOLAR CESAR VALLEJO 2009
Colegio
Bertolt Brecht X56
Ciclo Escolar
Álgebra
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES Curso:
: Álgebra
Grado / Nivel
: Tercero de secundaria
Tema
: Polinomios I (1ra semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
INICIAL
DESARROLLO De manera calurosa se da la bienvenida a los estudiantes por su participación en el ciclo escolar. Se expone el objetivo del ciclo.
T
A continuación se realiza una dinámica de integración: Dinámica del Bum; los estudiantes se presentan indicando su nombre, colegio de procedencia y la expectativa que tiene por el ciclo. Seguidamente se narra brevemente el proceso de desarrollo del Álgebra, resaltando su importancia en el avance científico y tecnológico con ejemplos concretos. Así mismo se le indicará los temas a realizar en este ciclo.
40’
INTERMEDIA
Luego se procede a realizar la lluvia de ideas con respecto a las preguntas ¿Qué entiendes por polinomios? ¿Dónde se aplican? ¿Será de mucha utilidad conocer a los polinomios? Se propone un ejemplo ilustrativo y con la participación de los estudiantes se dan las nociones de variable y constante; las conclusiones generadas en esta parte propiciara la idea de notación matemática, seguidamente se formula el concepto de polinomio dando algunos ejemplos. Lo que sigue son definiciones: monomio, binomio,.. la clasificación de acuerdo al grado: lineal, cuadrático,..y se continúa con los polinomios constantes y mónicos. Luego se resolverán lo primeros ejercicios planteados en el material didáctico.
130’
Finalmente se dará el concepto de cambio de variable en un polinomio seguido de ejemplos y luego se completará la resolución de los ejercicios del material didáctico.
FINAL
A manera de resumen se realizara un mapa conceptual de polinomios. Para terminar se indica de la metodología de evaluación y control de tareas domiciliarias. Para tal efecto los estudiantes que deberán de presentar los ejercicios resueltos de la domiciliaria para la siguiente clase. Se dan algunas sugerencias para la resolución de problemas.
10’
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POLINOMIOS I Ejemplo Ilustrativo Tomemos como ejemplo un triángulo:
Polinomio 3 Expresión algebraica. 3 No admite radicación ni división (entre variables). 3 Los exponentes (de la variable(s)) son enteros positivos.
Ejemplos
P( x, y ) x 2 2 xy y 2 Es un polinomio de variables x e y
Se sabe que el área del triángulo viene dado por la fórmula:
Q( x) x 3 2 x 2 4 x 1
1 A .b.h 2
H ( x, y ) 2 x y 2
b: base h: altura
E ( x) 3 x 4 2 x 3 x 2 2 x 3 ¡No es polinomio!
1 .b.h : expresión algebraica (que representa el 2 área de la región triangular) El área del triángulo dependerá básicamente de b y h; es decir, el área cambia de acuerdo al valor que tome b y h (b y h: variables). En cambio, ½ toma un valor fijo (1/2: constante).
Definiciones o
De acuerdo a la cantidad de términos los polinomios pueden ser: Monomios: Polinomio de un solo término.
Notación matemática Ejemplos Es la representación matematica que permite diferenciar las variables de las constantes. Así para el ejemplo anterior:
1 A(b, h) .b.h 2 Variables
Más ejemplos
M (a) 3a 2a 1 4
Variable: a
n3 E (n, y ) y 1
P ( x) x 3 Q( x, y ) 2 x 5 y Binomios: Polinomio de solo dos términos. Ejemplos
P( x) x 2 1 Q ( x, y ) 3 x 2 y 4 Trinomios: Polinomio de solo tres términos. Ejemplos
Variables: n; y
P( x) x 3 5 x 2
N ( x) 4 x 2
Q( x, y ) x 2 xy y 2
Variable: x
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Forma general de un polinomio de grado n:
Polinomios de una variable Son aquellos que solo tienen una variable y al mayor el exponente de la variable se le llama grado del polinomio.
P ( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an Donde a 0 0
Ejemplos
a0 , a1 x, ...., an 1 , an : coeficientes a0 : coeficiente principal
P( x) x 2 x 5 3
El grado de P es 3
P( x) o significa el polinomio P. Ósea P ( x) o 3 . Importante.-
grado del
Es aquel polinomio que no depende de la variable(s).
Q( x) x 2 1 Q( x) o 2
Ejemplos
H ( x) 3x 2 x x 5 x 4 4
3
P ( x ) 2
5
H ( x) o 5
o
Polinomio constante
Q ( x, y )
Los polinomios en una variable pueden ser:
1 3
Estos polinomios tienen grado cero.
Polinomio lineal: Si el grado es uno. Polinomio mónico
P( x) 3x 2
Es aquel polinomio no constante y de una variable cuyo coeficiente principal es uno.
Q ( x) x
Ejemplos
Forma general.-
P ( x) ax b
a0
P( x) x 2 3 x 2 Q( x) 4 x 2 x 3 2 x 1
a, b: coeficientes a: coeficiente principal b: termino independiente
H ( x) x 3 x 5 3 ¡No es polinomio
Polinomio cuadrático: Si el grado es dos.
mónico!
P( x) 3x 5 x 2 2
Cambio de variable
Q ( x) x 2 1 H ( x) 4 x
Consiste en reemplazar la variable por una nueva variable.
2
Variable Dato
Forma general.-
P( x) ax 2 bx c
a0 cambio
a, b, c: coeficientes a: coeficiente principal c: termino independiente
Variable Nueva
P(x) xpor P(y) y
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Ejemplos
Formaremos la variable (x - 3) en el segundo miembro del polinomio, mediante el siguiente arreglo:
Sea P ( x) 2 x 3 Halle P ( y )
P ( x 3) 2( x 3) 11
Al cambiar x por y: x y resulta
Ahora realizamos el cambio (x - 3) por (1 - x) y tendremos:
P( y) 2 y 3
P (1 x) 2(1 x) 11 2 x 13 P (1 x) 2 x 13
Halle P (3 x 1) Al cambiar x por (3x -1): x (3x 1) resulta
P ( 3 x 1) 2 ( 3 x 1) 3
Halle P ( P ( x)) Al cambiar x por P (x) : x P (x) se tiene
P ( P ( x)) 2 P ( x) 3 2(2 x 3) 3 4 x 9 Sea P (3 x 2) 3 x 8 Halle P (x) Se cambiara
(3x – 2)
por
x:
(3 x 2) x . Pero en este caso se
forma la variable (3x – 2) en el segundo miembro del polinomio mediante el siguiente arreglo:
P (3 x 2) (3 x 2) 6 Ahora realizamos el cambio de (3x – 2) por x y resulta
P( x) x 6 Sea P ( x 3) 2 x 5 Halle P (1 x)
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SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES Curso:
: Álgebra
Grado / Nivel
: Tercero de secundaria
Tema
: Polinomios II - Productos notables I (2da semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
INTERMEDIA
INICIAL
DESARROLLO
T
Se saluda cordialmente a los estudiantes y seguidamente se hacen preguntas acerca del tema anterior. Mediante lluvia de ideas se analizan las preguntas ¿Qué es el valor numérico? ¿El valor numérico se aplicara en la vida Cotidiana? Se hace mención que los nutricionistas hacen uso del valor numérico para calcular el índice de la masa corporal.
20’
Se explica el contenido partiendo del concepto de valor numérico, luego se continúa con algunos ejemplos y se prosigue resolviendo los ejercicios del material didáctico incentivando siempre la participación del estudiante en el proceso del desarrollo. A continuación se plantea a los estudiantes ¿Qué entienden por productos notables?. En esta parte se le indica la propiedad distributiva y su uso para encontrar los productos. Luego se pasa a definir los productos notables seguido de los principales productos notables a estudiar: trinomio cuadrado perfecto, identidades de Legendre y diferencia de cuadrados. Aquí se dan ejemplos donde los estudiantes participan saliendo a la pizarra, en seguida se plantean ejercicios diversos y se continúa resolviendo los ejercicios restantes del material didáctico.
140’
FINAL
Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades. Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase y se saluda la responsabilidad de los estudiantes que cumplieron con la actividad. Finalmente se dan algunas sugerencias para la resolución de los ejercicios de la domiciliaria.
20’
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VALOR NUMERICO
o
P ( x ) x ( x 1)99 3 x ( x 1) 2
Es el valor obtenido cuando la(s) variable(s) del polinomio es reemplazada por una constante.
o
P ( x 2) 2 x 3 x 3
PRODUCTOS NOTABLES I
Ejemplos
Propiedad distributiva
Sea P ( x) 10 x 4 x 1 Calcule P ( 2)
Cualquiera que sea la expresión se cumple la propiedad:
Nos piden el V.N. cuando x asume el valor de 2, solo reemplazamos x por 2: x 2
P(2) 10(2) 4 2 1 161
a (b c) ab ac (a b)( x y ) ax ay bx by
Sea
P(x) ( x 2)21 (x 4)21 ( x 6)21 (x 8)21 Calcule P (5)
Ejemplos
Sea
Multiplique
P( x; y ) ( x y ) ( x y ) 4 xy 1 Calcule P (50;50) 2
2
x 2 ( 2 x 3 x) ( x 7)( x 2) ( x 1)( x 2 x 1)
Propiedad Concepto Dado el polinomio
P ( x) Ax 3 Bx 2 Cx D ; A 0
Son los resultados de efectuar ciertas multiplicaciones en forma directa, es decir, sin aplicar la propiedad distributiva.
Se cumple: Principales productos notables 1.- Suma de Coeficientes
1.- Trinomio cuadrado perfecto
(a b) 2 a 2 b 2 2ab
A B C D P (1)
2.- Término Independiente
Ejemplos Desarrolle
D P ( 0)
a ) ( x 3) 2 b) (3 x 5) 2 c ) (7 x 3 4 y ) 2
Ejemplos: Halle la suma de coeficientes y el término independiente en los siguientes polinomios: o
P( x) 7 x 2 2 x 4
o
P ( x ) 3( x 1)99 3 x 1
d ) (2 5 3 ) 2
(a b) 2 a 2 b 2 2ab
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Si (a b) 2 (a b) 2 4
Desarrolle
a) ( x 4) 2 Indique el valor que toma la expresion
b) (2 x 3) 2 Aplicación
3
Si : ( x y ) 4 xy 2
Halle
x100 y100 401 1 3 x
Indique el valor de x 2
1 x2
2.- Diferencia de cuadrados
a b 2 b a
Si
7 ab
5 2 5 2 5 2 5 2
Simplificar Si x
ab
(a b)(a b) a 2 b 2
a 3 b3 2 Calcule 2(b 3 1)
Ejemplos Efectué
Consecuencia: Identidades de Legendre
(a b) 2 (a b) 2 2(a 2 b 2 ) (a b) (a b) 4ab 2
2
a) ( x 2 )( x - 2 ) b) ( 4 x 3 y )( 4 x - 3 y ) c) ( x 3 2 y )( x 3 - 2 y ) d) ( 5 3 )( 5 - 3 ) Aplicación
Ejemplos
Simplifique
Reduzca
a) ( x 2) 2 ( x 2) 2 b) (2 x 3) 2 (2 x 3) 2 c) ( 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 d ) ( 12 3 ) 2 ( 12 3 ) 2
597.599 598 2 347.349 348 2 Si a b 1 , entonces halle el valor de
a2 b2 1 b
Aplicación Si : 2 x 2 y 2 ( x 2 y ) 2 ( x 2 y )2
( xy )5 ( xy )4 Calcular ( xy )2
Sea x el número que cumple
x2 x 1 0 ; Simplifique
Si x y 3 , Halle ( x y ) 2
xy 2
1 1 1 1 ( x )( x 2 2 )( x 4 4 ) 8 x x x x
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SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES Curso:
: Álgebra
Grado / Nivel
: Tercero de secundaria
Tema
: Productos notables II (3ra semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN DESARROLLO
T
INICIAL
Seguidamente se comenta una historia: Cierto día Juan caminaba por las calles muy preocupado y decepcionado de la vida porque lo habían despedido de su trabajo, tenía muchas deudas de tanto caminar buscando trabajo sus zapatos estaban muy deteriorados; cuando de pronto alguien le dijo: “Buenos días señor, ¡qué hermoso día!”; entonces Juan muy sorprendido miro al hombre sin piernas que con alegría lo estaba saludando. Es aquí cuando comprendió lo dichoso y afortunado que era al tener sus dos piernas, de ahí en adelante Juan día a día persevera para salir adelante ante las adversidades. Los estudiantes reflexionan sobre el mensaje de la historia.
INTERMEDIA
Se saluda a los estudiantes y se hace un repaso de la parte teórica del tema anterior, siempre con la participación de los estudiantes, luego se resuelven algunos ejercicios de la tarea domiciliaria.
A continuación se estudiar los siguientes productos notables: trinomio al cuadrado, binomio al cubo, suma y diferencia de cubos, multiplicación de binomios con un término en común y la igualdad condicional.
30’
130’ En esta parte se dan ejemplos para que los estudiantes participen saliendo a la pizarra, en seguida se plantean ejercicios diversos y se continúa resolviendo los ejercicios propuestos en el material didáctico.
FINAL
Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades. Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase y se saluda la responsabilidad de los estudiantes que cumplieron con la actividad. Finalmente se dan algunas sugerencias para la resolución de los ejercicios de la domiciliaria.
20’
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Álgebra
PRODUCTOS NOTABLES II
3.-Trinomio al cuadrado
(a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2(ab bc ca)
4.- Desarrollo del binomio al cubo
(a b) 3 a 3 b 3 3ab(a b)
Ejemplos Desarrolle
OBSERVACION.- A la expresión ab bc ca , se le llama: Suma de Productos Binarios
a) ( x 1) 3 b) (3x 2) 3 c) ( x 2 3) 3
Ejemplos
d ) (1 3 ) 3
Desarrolle
a) (a b c) 2
(a b) 3 a 3 b 3 3ab(a b)
b) ( 2 x y z ) 2 c) (m 3n 2 p) 2 d ) ( 2 3 1) 2
Desarrolle
a) ( x 2) 3 b) (2 x 3) 3
Aplicación Si a b c 0 2
2
2
Aplicación
(a b c) 2 Simplifique ab bc ca
Si x 3 4 3 2 Calcular
Si
abc 6 ab ac bc 8
Calcular (a b)2 (a c) 2 (b c) 2
Si
mn np 6 np mp 12 mp mn 10 m 2 n 2 p 2 21
Calcule
(7 m)(7 n)(7 p) (n p )(m p)(m n)
Si x
x3 x 1
1 3 x
Calcule x 3
Calcule
1 x3
a 3 c 3 2abc b 3 abc
Si a b c 0
5.- Suma y diferencia de cubos
(a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3
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Aplicación
(a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3
( x a )( x 2) x 2 bx 6
Si
Halle
Ejemplos Efectué
23 a b ab 1
3
Si x 2 5 x 4 0 Halle ( x 4)( x 2)( x 3)( x 9)
a) ( x 1)( x x 1) 2
b) ( x 2)( x 2 2 x 4) c) ( x 2 y )( x 4 x 2 y y 2 )
Si x 1
d ) ( x y 3 )( x xy 3 y 6 )
Reduzca
x
( x 2 4 x 1) ( x 1)( x 2) 3 x
Aplicación Si x 2 x 1 Calcule el valor de x 3 3 Sabiendo que a 3 b 3 , Halle el valor de Si x y
7.- Igualdad condicional
ab
Si a b c 0 a 3 b 3 c 3 3abc
ab (a b) 2 Aplicación
5 , xy = 3
Hallar x y 6 6
Si a b c 0 Hallar el valor de
6.- Multiplicación de binomios con un término en común
( x a)( x b) x 2 (a b) x ab
a(b c) 2 b(a c) 2 c(a b) 2 abc Si a b c 0 Hallar el valor de
OBSERVACION.- A esta identidad se le conoce con el nombre de: Identidad de Stevin
(a b) 3 (b c) 3 (a c) 3 (a b)(b c)(a c)
Ejemplos Efectué
Si f ( x; y; z )
a) ( x 2)( x 3) b) ( x 5)( x 7) c) ( x 1)( x 4) d ) (2 x)(2 3 x)
Halle
x3 y3 z3 xyz
f (6;2;4)
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SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES Curso:
: Álgebra
Grado / Nivel
: Tercero de secundaria
Tema
: División algebraica (4ta semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN DESARROLLO
T
FINAL
INTERMEDIA
INICIAL
Con entusiasmo se saluda a todos los estudiantes y mediante una historia se motivadora a los estudiantes que reflexionan sobre la importancia de los números. EL PUEBLO SIN NÚMEROS.- En un pueblo había un alcalde que estaba contando las monedas que tenía…..254; 255; 256; 257;……, en eso dijo ¡Noooooooo! ¡No puede ser! Y empezó de nuevo a contar pero siempre se equivocaba, se enfureció tanto que dio una ley ¡Los números desaparecen de mi pueblo!. Al día siguiente se despertó muy temprano y recordó que era el día de su cumpleaños, pero ninguno de sus familiares llegaba para saludarlo. Se preguntó ¿es mi cumpleaños? ¡no puedo haberme equivocado!, fue entonces que buscó un calendario para ver la fecha, un reloj para ver la hora, pero no encontró ninguno puesto que tenían números. Mas tarde, el alcalde sintió hambre, quiso comprar panes y leche pero era imposible, las monedas no tienen números; la gente del pueblo no sabe que es tres ni que es cinco porque los números estaban prohibidos.
Se indicará al estudiante que el tema a desarrollar es División algebraica. Se realiza la parte teórica, y se presenta el método de Horner y la regla de Ruffini. En ambos casos se dan ejemplos y se indica al estudiante a que efectué las divisiones propuestas en pizarra. Se evalúa la participación y la disciplina de los estudiantes. Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.
20’
110’
Finalmente se resuelven los ejercicios propuestos que se presentan en el material didáctico Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase. Se indica que se presentará para la siguiente clase los ejercicios de la domiciliaria.
50’
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Álgebra
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Propiedades 1). ° q( x) D( x) d ( x)
Definición Sean D ( x ) , d ( x ) dos polinomios no constantes. La división
D ( x) dividendo d ( x) divisor es una operación que consiste en hallar otros dos polinomios y
q ( x) cociente R ( x) residuo
2). máxR( x) d ( x) 1
Ejemplo: En la división
Se tiene:
tal que se cumpla:
D(x) d(x).q(x) R(x)
x 5 7 x 2 5x 1 ax 2 bx c
Luego:
D( x) 5 q( x) 2
q( x) 5 2 3
máxR ( x) 2 1 1 (Es decir, puede ser lineal)
”Identidad fundamental de la división”
Criterio general para dividir polinomios
Condición: Será posible efectuar la división si:
D( x) d ( x) R( x)
Los polinomios dividendo y divisor deben estar completos y ordenados en forma decreciente. Caso contrario se debe ordenar y por cada término que falte, en su lugar se colocara el término con coeficiente cero.
Clases de División Ejemplos: Respecto al residuo R (x ) , se tiene: División Exacta. Si R ( x ) 0
P ( x) x 2 2 x 3 x 3 4
Ejemplo: Al dividir
* Complete y ordene en forma decreciente los siguientes polinomios:
x3 8 , se tiene x2
Escribimos
q ( x) x 2 2 x 4 R ( x) 0
P( x) 4 x 3 5 x 5 x 1
P ( x) 3 x 3 x 2 2 x 4
Escribimos
P ( x) 5 x 5 0 x 4 4 x 3 0 x 2 x 1
División Inexacta. Si R ( x ) 0 Métodos para dividir Ejemplo: Al dividir
x3 9 , se tiene x2 q ( x) x 2 x 4 R ( x) 1 2
MÉTODO DE HORNER Es un método general que permite dividir polinomios de cualquier grado.
Ciclo Escolar
Álgebra
Entonces:
ESQUEMA: C o e f. con signo cambiado
q( x) 3x 2 x 3 R ( x) x 10 Coeficientes
del
Dividendo
12 x 5 x 4 3 x 5 3x 3 2 x 2 1
Divide:
D i v i s o r
Aplicando el criterio:
12 x 5 x 4 0 x 3 0 x 2 3 x 5 3x 3 2 x 2 0 x 1
Línea divisoria Coeficientes del Cociente
Coef. del Residuo
En el esquema: +
NOTA.-
La línea divisoria se traza contando en el
esquema, de derecha a izquierda tantas columnas como el grado del divisor.
3 -2 0
+ 0
0
-8
0
4
6
-3 0 0
2 7
x
T.I.
4
-3
2
0 -4 0
x2
x
T.I.
x2
3
+
-1
Veamos el procedimiento con algunos ejemplos.
+
12
1
+
5
Entonces:
q( x) 4 x 2 3x 2 R( x) 7
Ejemplos:
9x 4 6x 2x 2 4 3x 2 x 2
Divide:
¡AHORA INTENTALO TÚ! Divide:
Preparando los polinomios:
4 x 5 x 2 x3 1 x4 x2 x 1
9x 4 0x3 2x 2 6x 4 3x 2 x 2 En el esquema: + 3 -1 2
+
9
0
2
-3
6
1
3
-1
3
x2
x
T.I.
+
+
6
4
-2 -3 1
6 10
x
T.I.
Como D ( x ) y d ( x ) están completos y ordenados en forma decreciente, entonces q ( x) y R ( x) también deben estar completos y ordenados.
6 x 6 x 5 3 x 4 18 x 3 2 x 2 3x 7 2 x3 3x 2 x 2 2 x5 3x 2 x2 REGLA DE RUFFINI Es un caso particular del método de Horner. Se utiliza cuando el divisor es lineal; es decir, se aplica para dividir:
D( x) ax b
;a0
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Álgebra
2 x5 3x 2 x2
ESQUEMA: Divide: Coeficientes del Dividendo Divisor igualado a cero
x
Ordenando, completando y llevándolo al esquema tenemos:
b a
+ + 0
+ 0
0
+ -3
2
4
8
16
32
58
2
4
8
16
29
60
x4
x3
x2
x
T.I.
Resto
2 Coeficientes ( a) Coeficientes del Cociente
Resto
Veamos el procedimiento con algunos ejemplos.
Ejemplos:
x2 0 x2
+
+
Entonces:
3x 7 x 2 x x 1 3x 1 4
Divide:
2
3
q ( x) 2 x 4 4 x 3 8 x 2 16 x 29 R( x) 60
Ordenando y llevándolo al esquema tenemos: NOTA.- Cuando el divisor es mónico 3
3x 1 0 x 1
+ -2
+ -7
+ 1
+ 1
-1
1
2
-1
coeficientes del cociente se obtienen en forma directa.
¡AHORA INTENTALO TÚ!
3 3
-3
-6
3
0
3 1
3 -1
3 -2
3 1
Resto
x3
x2
x
T.I.
Entonces:
q( x) x x 2 x 1 R ( x) 0 3
NOTA.-
a = 1, los
2
En el esquema de Ruffini el resto obtenido
siempre es un polinomio constante.
Divide:
x3 2 x 3 x2 6 x3 8 x 6 x 2 3x 1
Ciclo Escolar
Álgebra
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES Curso:
: Álgebra
Grado / Nivel
: Tercero de secundaria
Tema
: Ecuación lineal (5ta semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
INTERMEDIA
INICIAL
DESARROLLO Se da el saludo respectivo y se toma unos minutos para conversar sobre la importancia de que tiene el valorar el esfuerzo y sacrificio que tienen que hacer los padres para dar una educación a sus hijos y que algunos no responden a las expectativas, se reflexiona sobre ello.
T
30’
Luego se inicia el tema planteando algunas interrogantes ¿A que denominamos igualdad? ¿A que denominamos ecuación? ¿Para que nos sirve las ecuaciones? ¿Las ecuaciones lineales serán utilizadas en nuestro entorno? ¿Donde?
Luego de las ideas de los estudiantes acerca de las preguntas se procede a desarrollar el tema. La secuencia del contenido es: igualdad, ecuación, solución de una ecuación, conjunto solución, ecuación lineal. La metodología en esta fase es partir de ejemplos sencillos hasta llegar a ejercicios mas complicados, en todo momento el maestro guía e intercambia ideas con el estudiante. Se realiza un trabajo personalizado con aquellos estudiantes que su aprendizaje es más lento.
100’
FINAL
En esta fase se resuelven los ejercicios propuestos en el material didáctico. Luego mediante intervenciones recordamos lo aprendido en ecuaciones (Retro alimentación). Finalmente se indica la tarea para la próxima semana y se recoge la tarea que se dejo la semana pasada.
50’
Ciclo Escolar
Álgebra
ECUACION LINEAL
SI se verifica la ecuación; entonces x 3 es solución.
Nociones preliminares. Igualdad:
x 2 1 10
Es aquella representación simbólica que vincula dos expresiones algebraicas mediante el símbolo de igualdad “ = ” que indica que las expresiones representan la misma cantidad.
o Si x 3 :
(3) 2 1 10
(V)
SI se verifica la ecuación; Luego x 3 es solución.
Ejemplo:
1 2 3 4 5 6 15
¿Si x 3 verificará la ecuación? SI, por lo tanto x 3 es solución.
Ecuación: Es una “igualdad condicional” entre dos expresiones algebraicas en la que participa al menos una variable (incógnita).
Importante: Cuando se trate de resolver una ecuación, tenemos que hallar el conjunto que agrupa a todas las soluciones, este conjunto es llamado Conjunto Solución (C.S.).
Ejemplos:
5x 2 1
3 x2
primer miembro
Ejemplos: La ecuación 4 x 16 0 se verifica solo si x 4 Luego CS 4
4 x segundo miembro
En toda ecuación podemos distinguir 2 miembros: el 1er miembro, que esta a la izquierda del símbolo =; y el 2do miembro, que esta a la derecha. Solución de una ecuación: Es aquel valor de la incógnita que verifica la ecuación. Ejemplos: En la ecuación 5 x 2 13 o
Si reemplazo x 2 tenemos
5(2) 2 13 8
(F)
13
La ecuación x 2 9 0 solo se verifica si x 3 Luego CS 3 ; 3
y
x 3
Toma nota: Para resolver ecuaciones usaremos las operaciones básicas de polinomios y sobre todo la regla de las operaciones inversas, así: Lo que esta sumando en un miembro, pasa al otro miembro restando y viceversa. Lo que esta multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro dividiendo y viceversa.
NO se verifica la ecuación. o
Si reemplazo x 3 tenemos
5(3) 2 13 13
13
(V)
Ejemplos: Resolvamos las siguientes ecuaciones :
Ciclo Escolar
Álgebra
2x 1 4
Transponiendo el número 1, para separar los números y los términos con la incógnita
2x 4 1 Operando
2x 3
Transponiendo el número 2
x
3 2
x x x x 1 2 4 8 16 32 x 5 x 9 2 3 4 2x 1 x 4 3 5
xa 1 a 2
2
Luego CS 3
xa xb 2 ; a, b R b a
3 5x 5x 4
x 1x 1 xx 1
Si la ecuación lineal
a 2 x 2 bx a 4
ECUACIÓN LINEAL
tiene como solución a x 2 . Calcule el valor de a b .
Es aquella que se reduce a la siguiente forma:
ax b 0
; a0
Donde a, b son coeficientes reales
Ejemplos: Resolvamos las siguientes ecuaciones lineales:
3x 4 5 10 ( x 5) 3( x 2) 4
2 x 32 4 x 2 15
En una prueba de 30 preguntas por cada pregunta correcta obtiene 4 puntos, por cada incorrecta se le quita 1 punto y por cada pregunta no contestada 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos ¿Cuantas preguntas incorrectas contesto, si por cada pregunta no contestada tenia 3 preguntas correctas? Resolución.Por el enunciado: Si x: preguntas no contestadas 3x: preguntas correctas Luego: 30-4x: preguntas incorrectas Entonces: 0x + 4(3x) - (30-4x) = 82 Resolviendo se obtiene: x=7 RPTA.- Contesto 2 preguntas incorrectas.
Ciclo Escolar
Álgebra
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES Curso:
: Álgebra
Grado / Nivel
: Tercero de secundaria
Tema
: Ecuación cuadrática (6ta semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO
T
INTERMEDIA
INICIAL
Se da el saludo respectivo y conversamos sobre algún hecho relevante del contexto nacional buscando en todo momento las opiniones y la crítica de los estudiantes. Se inicia la sesión generando un debate para ello se plantea algunas interrogantes ¿Por qué se estudian las ecuaciones cuadráticas? ¿Crees que se utilizaran en años superiores? Según la respuesta de los estudiantes se orienta mencionando que las ecuaciones han sido tratadas por numerosos personajes a lo largo de la historia y en la actualidad es uno de los temas más importantes por sus distintas aplicaciones.
Se desarrolla el contenido a partir de ejemplos particulares llegando a las generalizaciones, aquí la participación del estudiante es permanente. La secuencia del contenido es: ecuación cuadrática y resolución (aspa simple y fórmula). y teorema de Cardano - Vieta.
20’
110’
El maestro genera un clima de confianza para que el estudiante absuelva sus dudas. Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.
FINAL
En esta fase se resuelven los ejercicios propuestos en el material didáctico. Luego mediante intervenciones recordamos lo aprendido en ecuaciones (Retro alimentación). 50’ Se indica la última tarea del ciclo escolar y se saluda la responsabilidad de aquellos estudiantes que cumplieron con presentar las tareas. Finalmente se recoge la tarea que se dejo la semana pasada.
Ciclo Escolar
Álgebra
ECUACIÓN CUADRÁTICA Ejemplos:
25( x 2 1) 11 Aplicamos la propiedad distributiva en el Primer miembro
3x 2 5
25 x 2 25 11
x2 4x 1
Transponemos -25 al segundo miembro y queda
2x2 x 7 0
25 x 2 36
Concepto: Es aquella ecuación que se genera al compara con cero un polinomio cuadrático; es decir presenta la forma:
ax bx c 0 , a 0
Transponemos queda
25
al segundo miembro y
x2
36 25
Ahora extraemos la raíz cuadrada y tenemos
2
x
6 5
donde a ,b , c son coeficientes reales. Luego
CS 6 / 5 ; 6 / 5
Nota: * Es llamada también ecuación de segundo grado. * Toda ecuación cuadrática tiene 2 raíces: x1 y x2. Resolución: Para resolverla podemos emplear: 1.
FACTORIZACIÓN
5 x 2 3x 2 0 En este caso aplicamos el aspa simple, para ello se descomponen los extremos tratando que el producto en aspa y la posterior suma de los resultados sea igual al término central; veamos
Resolvamos las siguientes ecuaciones cuadráticas:
5x
2
3x 2 0
-2 → -2x + 1 → 5x
5x 1x
3x 2 7 x Transponemos 7 x al primer miembro
3x 2 7 x 0 Se observa que la variable x se repite en los dos términos; luego lo extraemos y queda
x (3 x 7 ) 0
De aquí
x0
ó
3x De aquí escribimos
(5 x 2)( x 1) 0
Entonces
5x 2 0
3x 7 0
ó
x 1 0
Esto es equivalente a afirmar que Entonces
Luego
x0
ó
x 7/3
CS 0 ; 7 / 3
x Luego
2 5
ó
x 1
CS 2 / 5 ; 1
Ciclo Escolar
Álgebra
8 x 2 26 x 15 0
Propiedad (Teorema Cardano - Vieta):
x 2 3ax 2a 2 0
En la ecuación cuadrática
ax 2 bx c 0 2.
de raíces: , .
FÓRMULA
La ecuación:
Se cumple:
ax 2 bx c 0 , a 0 1.- SUMA DE RAICES Tiene por raíces a:
x
b a
b b 2 4ac 2a 2.- PRODUCTO DE RAICES
Resolvamos las siguientes ecuaciones cuadráticas:
3x 2 5 x 1 0 Primero identificamos los coeficientes
a 3 b 5 c 1
Reemplazamos Fórmula
x1
estos coeficientes en la
Ejemplos: En 2 x 2 x 7 0 ; de raíces: , se cumple:
(5) (5) 2 4(3)(1) 2(3)
Efectuamos
5 13 x1 6 Similarmente
x2
c a
5 13 6
Luego
5 13 CS 6
1 2
7 2
En 8 x 2 26 x 15 0 Determine: la suma de raíces el producto de raíces
Ejercicios de aplicación:
5 x 2 10 x 3 0 x2 2x 1 0
1. Halle un número positivo cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8.
( x 3)( x 3) 4 x
Resolución:
Ciclo Escolar
Álgebra
x ( x 1) 66 2
Sea x: el número buscado Del enunciado
x 2 119 10( x 8) Resolviendo se obtiene
x 13
2. En una reunión las personas que asistieron se estrecharon la mano. Uno de ellos menciono que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?
Ósea
x 2 x 132 0
De donde x = -11 ó x =12; la primera carece de sentido. Luego en la reunión estuvieron 12 personas.
3. Sea {r , s} el conjunto solución de la ecuación
x 2 3x 1 0
Resolución: Sea x: cantidad de personas Cuando una de las personas da la mano, esta efectúa x-1 apretones de mano. Luego el total de apretones de mano debe ser x(x-1). Además hay que tener en cuenta que cuando uno da la mano a otro, este estrecha la mano de uno; luego estos dos apretones de mano deben ser considerados como uno solo. En consecuencia tenemos:
Calcule
E
1 1 2 2 r s
4. Sabemos que las raíces de la ecuación
x 2 bx 30 0 son positivas y la diferencia entre ellos es 7. Indique el valor de b.
Ciclo Escolar
Álgebra
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso:
: Álgebra
Grado / Nivel
: Tercero de secundaria
Tema
: Problemas diversos (7ma semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
T
El ingreso del maestro al aula es alegre, se saluda cordialmente a los estudiantes y se conversa sobre el ciclo escolar y de las actividades que realizaron. 30’
INTERMEDIA
Luego mediante la lluvia de intervenciones, hacemos un repaso de todos los temas desarrollados en el ciclo.
El maestro y los estudiantes en forma colectiva desarrollarán los problemas del material didáctico. El objetivo es profundizar los temas tratados mediante el análisis, reflexión y debate de ideas con orientación del maestro. La participación de los estudiantes es constante a través de sus intervenciones.
140’
FINAL
INICIAL
DESARROLLO
Se dan las últimas palabras de despedida y se les invita a participar en el próximo año.
10’
Ă lgebra
Ciclo Escolar