“Mi Catálogo de
AMELIA GONZÁLEZ 15-6-22
Cálculo Diferencial”
Amelia Alexandra González Torres 4°AOM Cetís 119 Software en Línea Miss: Blanca Garibay
AMELIA GONZÁLEZ 15-6-22
INDICE
• BLOQUE I § Funciones § Conceptos de relación y función § Valor númerico de una función § Operaciones con funciones § Álgebra de funciones • BLOQUE II § Límites § Propiedades § Límites de función algebraicas § Indeterminadas • BLOQUE III Ø Derrivadas Ø Concepto Ø Método de derivación (Cuatro pasos) Ø Fórmulas de derivación Ø Derivadas Sucesivas • BLOQUE IV Ø Aplicaciones Ø Funciones crecientes y decrecientes Ø Concpavidad de una función Ø Máximos y mínimos Ø Puntos de inflexión
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BLOQUE I
¿Qué son las funciones en cálculo diferencial? El cálculo diferencial es una parte del cálculo infinitesimal y del análisis matemático que estudia cómo cambian las funciones continuas según sus variables cambian de estado. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x). Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1. Operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Función continua: Aquella en la que su dominio se expresa en sólo intervalo. Función discontinua: Aquella donde su dominio se expresa con dos o más intervalos.
Ejemplos:
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Conceptos de relación y función Es importante conocer la diferencia entre una relación y una función: Una relación es una correspondencia de elementos entre dos conjuntos. Una función es una relación en donde a cada elemento de un conjunto (A) le corresponde uno y sólo un elemento de otro conjunto (B). Una función es una relación en la cual una variable especifica un valor determinado de otra variable. Por ejemplo, cuando avientas la pelota, cada segundo que pasa tiene una y sólo una altura correspondiente. El tiempo sólo avanza hacia adelante, y nunca se repite.
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Valor númerico de una función El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones.
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Operaciones con funciones La funciones pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, dando lugar a otras funciones. Las operaciones con funciones se pueden realizar de manera muy sencilla, por lo cual es necesario aplicar de manera correcta proceso algebraico que permitirá calcular cada una de las operaciones con dichas funciones. Operaciones con Funciones. Se ilustra geométricamente como se comportan las operaciones con funciones. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. Además, se define la composición de funciones. Clasificación de las funciones matemáticas Funciones algebraicas. Funciones polinómicas. Funciones a trozos. Funciones racionales. La suma de las funciones puede escribirse como f(x) + g(x) o (f + g)(x). Observa lo que sucede cuando se suman estas dos funciones. Y es todo, la suma de las dos funciones es la suma de los dos polinomios. La suma, la resta, la multiplicación y la división se explicarán también.
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Álgebra de funciones El cálculo diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un continuo numérico para determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico. En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos elementos son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación {\displaystyle a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}=0\, }, El álgebra de funciones son las propiedades de las operaciones generales que se pueden realizar con cualquier tipo de función. Una función explícita es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente está despejada. Es decir, y = f(x). Una función implícita es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente y no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.
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BLOQUE II
¿Qué son los límites? En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. En matemáticas, el límite de una función en un punto o el de una sucesión es el valor único al que se acerca la función cuando la variable independiente x se aproxima, tan cerca como queramos, a un valor establecido o es el término de una sucesión cuando el índice n tiende al infinito. Los límites describen cómo se comporta una función cerca de un punto, en vez de en ese punto. Esta simple pero poderosa idea es la base de todo el cálculo. Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo.
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Propiedades Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites. Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites. Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites. Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN es el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente, es decir, aquellos valores para los que la función está definida. Límite lateral El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda. Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha.
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Límites de función algebraicas El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto se refiere en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales. Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. • En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende • La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0.
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Indeterminadas Los límites indeterminados (o indeterminaciones) no indican que el límite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado. Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del límite (en el caso de que exista). Una indeterminación o indeterminada es una operación cuyo resultado no está definido. Es habitual obtener este tipo de expresiones al intentar resolver límites, ya sean en un punto o en el infinito.
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¿Cómo saber si una función es indeterminada? Veamos cuáles son las que podemos encontrar en el límite de una función: • 0 / 0 = indeterminado, no sabemos cuál resultado obtendríamos si se realizara esta operación. • (± ∞) / (± ∞) = indeterminado, como no conocemos el valor de éstos números tan grandes no podremos saber con exactitud el resultado. • 0 × ∞ = indeterminado, no sabemos si cero por un número en el infinito sea algún valor exacto. • ∞ – ∞=indeterminado, no tenemos certeza del resultado de estos números infinitos.
Una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que a veces aparece en el cálculo de límites y cuyo valor no se puede predecir, depende de la función del límite a calcular. Por ejemplo, si una función tiende a 5/∞ , entonces su límite es 0 .
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BLOQUE III
Derivadas En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
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Método de Derivación La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma. El principal método para calcular la derivada de una función en un punto consiste en tomar el polinomio que interpola la función en una colección de puntos cercanos al nuestro, y aproximar la derivada de la función por la derivada del polinomio. La integración, proceso inverso de la derivación, se basa en la idea de sumar todas las partes constituyentes de un todo. La derivación numérica evalúa la derivada de una función en un punto a partir de valores numéricos de dicha función, sin necesidad por tanto de conocer la expresión analítica de dicha derivada.
Los cuatro pasos de la derivación
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Fórmulas de derivación
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Derivadas Sucesivas Las derivadas sucesivas de una función es el proceso de derivar la función que resulta en cada derivada. Sea y = f(x), tenemos que: Nota: Trata cada derivada como una nueva función que se tiene que derivar. • Cuando derivamos una función obtenemos la primera derivada f´(x) • Si derivamos esta primera derivada obtenemos la segunda derivada f´´(x) • Si derivamos esta segunda derivada obtenemos la tercera derivada f´´´(x) • Si derivamos esta tercera derivada obtenemos la cuarta derivada f´´´´(x) Las derivadas sucesivas son las derivadas de una función después de la segunda derivada. El proceso para calcular las derivadas sucesivas es el siguiente: se tiene una función f, la cual podemos derivar y obtener así la función derivada f'. A dicha derivada de f podemos volver a derivarla, obteniendo (f')'. La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x).
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Funciones Crecientes y Decrecientes Funciones crecientes y decrecientes: Una función se dice que es creciente si aumenta (algebraicamente) cuando aumenta. Por otro lado una función se la llama función decreciente si disminuye (algebraicamente) cuando aumenta. Una función es creciente cuando a medida que el valor de x aumenta, aumenta el de y; de donde el Ax y el Ay tendrán el mismo signo. En la parte en que una función es decreciente, el valor de y disminuye cuando x aumenta; de donde el Ax y el Ay tendrán signos opuestos. FUNCIÓN CRECIENTE Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función. Siempre trabajaremos con funciones derivables, por lo que para analizar en donde una función es creciente estudiaremos su derivada f´. Si el valor de m>0; se dice que la función es creciente. Si el valor de m<0; se dice que la función es decreciente. Si el valor de m=0; se dice que la función es constante. Ejemplo de función decreciente en un punto Estudiaremos en el punto x=2. La derivada da f '(2)=-3 ≤ 0, por lo que f es decreciente en 2. Finalmente estudiaremos el punto x=3. La derivada da f '(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3. El orden descendente es aquel que corresponde a los números que siguen una secuencia de mayor a menor.
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Concavidad de una función En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera, es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. Es el concepto complementario al de convexidad. Definición de concavidad: Sea f diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f´ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f´ es decreciente en ese intervalo. Esta forma de la función, permite el desplazamiento hacia arriba o hacia abajo del punto donde la gráfica cambia de sentido: valor máximo cuando a<0, y mínimo cuando a es positivo; a esta característica se le llama “concavidad” negativa o positiva, respectivamente.
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Máximos y Mínimos En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) Para calcularlos el procedimiento es el siguiente: • Derivar la función, obteniendo f '(x). • Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0. ... • Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). ... • El máximo y mínimo absolutos de f serán: Un máximo o mínimo absoluto se refiere al valor mayor o menor que puede tomar una función en TODO su rango. En el ejemplo que ilustramos, el máximo absoluto es el infinito y sucede cuando x toma valores infinitos también. El mínimo absoluto está en menos infinito y ocurre cuando x se acerca a menos infinito también.
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Puntos de Inflexión Los puntos de inflexión son aquellos donde la función cambia de concavidad, es decir, de ser "cóncava hacia arribaj" a ser "cóncava hacia abajo", o viceversa. Se pueden encontrar al determinar dónde cambia de signo la segunda derivada.
El punto de inflexión de una función matemática es aquel punto en el que la gráfica que la representa cambia de concavidad. Es decir, pasa de ser cóncavo a ser convexo, o viceversa. El punto de inflexión, en otras palabras, es ese momento en el que la función cambia de tendencia. En la matemática, un punto de inflexión de una función, es un punto donde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva «atraviesa» la tangente. Matemáticamente, la segunda derivada de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe. Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos: 1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. 3 Si el resultado es diferente de cero, tenemos un punto de inflexión. 4 Calculamos la imagen del punto de inflexión.
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