FÓRMULAS Y MATEMÁTICAS Actvidades para profundizar en el uso de algunas fórmulas matemáticas
BELÉN MARIÑO @blntab
Actividades interactivas
Ecuaciones y estrellas mágicas https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2014/04/10/ estrellas-magicas-ecuaciones-de-primer-grado/
Pirámide de ecuaciones https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2016/10/18/l a-piramide-de-ecuaciones/
Crucigrama algebraico https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2016/11/25/c rucigrama-algebraico-resolucion-de-ecuaciones-deprimer-grado/
Puzzle hexagonal de cálculo de volúmenes https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2017/01/24/ puzle-hexagonal-de-calculo-de-volumenes/
El extraterrestre: Teorema de Pitágoras https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2016/06/28/ el-extraterrestre-teorema-de-pitagoras/
ACTIVIDADES CON FÓRMULAS DIVERSAS De áreas y volúmenes 1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto. 2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado. a. Cuánto costará pintarla. b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla. 3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar? 4. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista. 5. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad. 6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. 7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular: a. El área total. b. El volumen. 8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? 9. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración? 10. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad? 11. Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y 5 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
12. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? 13. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado, cuando proceda): a) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos son 20 y 21 cm. b) Si un cateto de un triángulo rectángulo y la hipotenusa miden 5 y 13 cm, respectivamente, ¿cuánto mide el otro cateto? c) ¿Puede existir un triángulo rectángulo tal que su hipotenusa mida 73 cm y sus catetos 48 y 55 cm? d) ¿Y uno en el que los catetos midan 3 y 4 cm, y la hipotenusa 6 cm? e) Calcular el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm. f) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos 6 cm. Obtener la longitud del otro cateto (resultado con dos decimales, bien aproximados). g) Contestar, sin utilizar el teorema de Pitágoras: ¿Puede haber un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 12 cm y los catetos 9 y 15 cm? ¿Y uno en el que la hipotenusa sea 9 cm y los catetos 2 y 3 cm? h) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 34 cm y un cateto 30 cm, ¿cuánto mide el otro cateto? i) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 21 y 28 cm. Hallar la hipotenusa. j) Evaluar si los siguientes lados determinan un triángulo rectángulo: 8cm, 5 cm y 4 cm. k) Ídem para 10 cm, 8 cm y 6 cm.
14. Determinar el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8 cm (resultado con dos decimales, bien aproximados).
15. Hallar el lado de un triángulo equilátero de altura 28 cm (resultado con dos decimales, bien aproximados).
16. En un triángulo isósceles sabemos que los lados iguales miden 7 cm y el otro lado es de 4 cm. Calcular su altura.
17. Hallar la altura de un triángulo equilátero de perímetro 30 cm.
18. Hallar, en las construcciones de la figura a base de triángulos rectángulos, la longitud de los segmentos indicados, dejando el resultado en forma de raíz:
19. Calcular el valor de la altura del triángulo equilátero y de la diagonal del cuadrado (resultado con dos decimales, bien aproximados):
20. Obtener la longitud de la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 cm y su altura 8 cm.
21. Hallar la base de un rectángulo de 20 m de diagonal y 12 m de altura.
22. Hallar la longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 42 cm y su altura 20 cm.
23. Determinar la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura es de 6 cm.
24. Obtener la altura de un triángulo equilátero de 6 m de base.
25. La apotema de un polígono regular es el segmento trazado desde su centro al punto medio de un lado. Hallar la apotema de un hexágono regular de 12 cm de lado. (Ayuda: Obsérvese que cada uno de los seis triángulos en que puede subdividirse el hexágono son equiláteros).
26. Calcular la longitud de x en las figuras:
27. Dibujar aproximadamente las siguientes figuras y calcular su área: a) Una circunferencia de 6 cm de radio. Hallar también su longitud. b) Un sector circular de 120 º de amplitud y 20 cm de radio. c) Un círculo de 4 m de diámetro. Obtener su longitud. d) Un sector circular en un círculo de 8 m de diámetro, con una abertura de 60º. e) Una circunferencia de 9 dam de radio. Hallar su perímetro.
28.
Hallar el área de los siguientes recintos
sombreados, sabiendo que la circunferencia exterior mide en todos los casos 10 cm de diámetro:
29.
Hallar el área de una pirámide
triangular recta con aristas laterales de 6 mm, y con base un triángulo equilátero de 4 mm de lado.
30.
Calcular el volumen de estas figuras (y el área, en el caso de la primera):
NÚMERO ÁUREO Dado un segmento PQ, diremos que PR es el segmento o sección áurea de PQ si cumple que: 1. Divide el segmento PQ en dos segmentos PR = a y RQ = b de modo que PR sea la sección áurea de PQ.
Anota en tu cuaderno los valores de los segmentos PR y RQ, ¿cuánto vale la razón de la proporción? El número que has obtenido como razón de la proporción se llama "número áureo" y se designa por la letra griega F.
Para calcular la sección áurea de un segmento PQ trazamos por Q perpendicular y sobre ella tomamos un segmento AQ de longitud 1/2 de PQ, unimos A con P y se obtiene AB=AQ. Con P como centro, se describe el arco de circunferencia BR; R es el punto que divide al segmento PQ en proporción áurea.
2.- Calcula la sección áurea de un segmento PQ de longitud 18, comprueba que el resultado coincide con el obtenido en la escena anterior.
3.- Calcula la sección áurea de otros segmentos, por ejemplo de longitudes 8, 10, 12 y 20. Anota los resultados en tu cuaderno y comprueba que en todos los casos se cumple la proporción:
- El número áureo F es un número irracional, para obtenerlo procedemos de la siguiente manera: Dado el segmento
obtenemos la siguiente proporción:
(I)
resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos:
La solución con la raíz negativa no es valida y como F es la razón de la proporción (I), tenemos que F =1/x= 1,6180033988, al número 0,618033988 se le llama número áureo unitario y se le representa por la letra griega d. - Comencemos a familiarizar a nuestros alumnos con la proporción áurea. Para ello vamos a proponerles la siguiente actividad de carácter manipulativo. Deberán utiliza una regla para realizar las mediciones y una calculadora para realizar los cálculos. Les advertiremos que el instrumento de medida que están utilizando no tiene una precisión muy grande.
a) Observa los siguientes rectángulos. ¿Cuál de ellos te parece más armonioso?
A
C
B
D
E
b) Veamos que ocurre al medir sus dimensiones y calcular el cociente. Completa el siguiente cuadro. ¿Encuentras alguna relación entre la armonía de los rectángulos y los cocientes calculados?
A
B
C
D
E
Largo Ancho Largo/Anch o c) Cómo conseguir un rectángulo de oro a partir de un rectángulo cualquiera. Dibuja un rectángulo cualquiera ABCD. Obtén el cociente largo/ancho. A este rectángulo le quitamos el cuadrado BCEF y nos quedamos con el rectángulo ADEF. En este nuevo rectángulo, calculamos también el cociente largo/ancho. Al rectángulo ADEF, le quitamos el cuadrado DEGH y nos quedamos con el rectángulo AGHF. Volvemos a calcular el cociente largo/ancho con este último rectángulo. Repite este proceso varias veces más. ¿Qué ocurre con los cocientes? ¿Podrías demostrar teóricamente que ocurriría de seguir este proceso indefinidamente?
d) Construye en tu cuaderno un rectángulo áureo, partiendo de un cuadrado de lado 12 cm.
Mide los lados del rectángulo obtenido y calcula el cociente largo/ancho. Escribe en tu cuaderno la explicación correspondiente a la construcción de un rectángulo áureo con tus propias palabras.
e) En un pentágono regular podemos encontrar muchas relaciones áureas. Dibuja un pentágono regular. Traza sus diagonales y obtendrás el pentágono estrellado, que era el símbolo utilizado por la sociedad pitagórica como símbolo de identificación y de salud.
Comprueba que se verifica :
a a b l bc c
f) Construye un rectángulo áureo que ocupe casi una página de tu cuaderno. A partir del rectángulo áureo, construye una espiral como se indica en el dibujo, utilizando regla y compás.
Explica en tu cuaderno la construcción de esta espiral, llamada espiral logarítmica. Busca información sobre ella.