Zenbait zenbaki berezi
AURKIBIDEA
0 zenbakia 1 zenbakia e zenbakia i zenbakia
ď‚Ľ zenbakia Ń„ urrezko zenbakiak
-1-
Zenbait zenbaki berezi
SARRERA
Lan honen asmoa izan zen zenbaki berezi batzuei buruzko hainbat kuriositate biltzea. Hasieran aukeratu genuen 0 zenbakia, 1 zenbakia, e zenbakia, ď ° zenbakia, i zenbakia,
ď‚Ľ zenbakia eta Ń„ urrezko zenbakiak aztertzea, baina azkenean ezin izan dugu denak landu, zenbaki horiei buruz aurkitu dugun informazioa uste baino askoz zabalagoa izan baita. Sortutako materiala DBHko eta Batxillergoko ikasleentzat da egokia. Irakurketa moduan erabil daiteke kutsoan zehar behar den momentuan. Ezin dugu ahaztu Matematikak zerikusi handia daukala hainbat kontzepturekin (edertasunarekin, artelanekin, naturarekin,...) eta aspektu hau lana egitean kontuan hartu izan dugu.
-2-
Zenbait zenbaki berezi
0 zenbakia Zero zenbakia oso berezia da. Imajina ezazu Polonian euskarako irakaslea zarela, eta gaur ikasleei irakatsi behar diezula zenbakiak euskaraz esaten. Ziur nago honelako zerbait esaten edota idazten hasiko zinatekeela:
1 – Bat 2 – Bi 3 – Hiru 4 – Lau 5 - Bost
Polonierazko hitz bat ere esan barik zure ikasleek ulertuko lukete azaldu nahi diezuna. Hori zenbakien ikurrak internazionalak direlako gertatzen da. Mundu osoan ezagutzen da 1, 2, 3 edo 4 ikurren esanahia. Baina burutazio hori oso garrantzitsua bada ere, ez da adibide horren xedea. Zein zenbakitatik hasi zara? Zergatik ez duzu idatzi zero zenbakia? Ez al da zenbaki bat? Txikitan zenbakiak esaten ikasi zenuenean, zerotik hasi zinen? Seguru aski, ez. Badakizu
zergatik?
Beharbada,
umeek
zeroren
beharrik
ez
daukatelako.
Matematikaren historian antzeko zerbait gertatu da. Zero zenbakia uste duzun baino askoz gazteagoa da, orain dela 1.300ren bat urte asmatu baitzen. Ordura arte, erronka ikaragarria zen kopuru handiak nolabait adieraztea. Baina hala eta guztiz ere, matematikariek hainbat gauza garrantzitsu asmatzeko gai izan ziren; adibidez, Pitagorasen teorema.
Zero zenbakiaren asmatzea Gizakiok, matematika arloan, aztertu genituen lehenengo problemak errealak ziren. Egunoroko bizitzan agertzen ziren arazoak ziren; adibidez, tratuak egitean sortutakoak. Jakiteko zenbat ardi eman behar ziren zaldi baten truke, ez ziren, beharrezkoak ez
-3-
Zenbait zenbaki berezi
zero zenbakia, ezta zenbaki negatiboak ere. Horrelako egoerak ebatz daitezke zero asmatu barik. Eta, jakina! Beharra ez zegoenez, ez zen asmatu! Zenbakiak kantitateak adierazteko asmatu ziren, eta, ezer ez dagoenean, ez dugu zenbakien beharrik. Bi gauza desberdin adierazteko erabiltzen dugu zero zenbakia. Lehena: zenbat galderari erantzuteko, ezer ez dagoenean. Bigarrena: zenbakietan posizio hutsak adierazteko. Lehenengo galderari zero zenbakia erabili barik erantzun dakiokeenez, bigarrena aztertu behar dugu zero zergatik asmatu zuten ulertzeko. Seguru aski entzunda daukazu gure zenbaki-sistema posizionala eta hamartarra dela. Baina ulertzen duzu zer esan nahi duen horrek? Saiatuko gara hori azaltzen. Demagun dendariak garela eta pinturak saltzen ditugula. Pinturak kutxatan sartuta daude, eta kutxa bakoitzean 10 pintura daude. Kutxak maletatan sartuta daude, eta maleta bakoitzean 10 kutxa daude. Norbaitek 324 pintura eskatzen badigu, hona hemen zer eman behar diogun:
324 = 4 pintura
= 2 kutxa
= 3 maleta
Eta 234 pintura eskatuz gero:
234 = 4 pintura
= 3 kutxa
= 2 maleta
-4-
Zenbait zenbaki berezi
Lehenengo kasuan 2 zenbakiak 2 kutxa adierazten du, eta bigarren kasuan, berriz, 2 maleta. Zergatik? Erabiltzen dugun zenbaki-sistema posizionala delako. 324 zenbakian, 2a hamarrekoaren lekuan dago; beraz, 20 pintura edo 2 kutxa adierazten du. 234 zenbakian, berriz, ehunekoaren lekuan dago; beraz, 200 pintura edo 2 maleta adierazten du. Sistema posizional batean arazoak sortzen dira posizio hutsak adierazteko. Adibidez, 0 zenbaki barik nola bereizten ditugu 230, 203 edo 23? Arazo hori konpontzeko asmatu zen zero zenbakia. Babilonian ere, K. a. 1700. urtean, zenbakiak adierazteko sistema posizional bat erabiltzen zuten, baina hura ez zen hamartarra, hirurogeitarra baizik. Haiek 230, 203 eta 23 zenbakiak era berean idazten zituzten, baina testuinguruari esker bereizten zuten zein zen zenbakia. K.a. 400. urtean hasi ziren ´´ ikurra erabiltzen posizio hutsak adierazteko. Beraz, 203 idazteko honelako zerbait idazten zuten: 2´´3. Erroman eta Grezian ez ziren erabiltzen sistema posizionalak; beraz, ez zuten zero asmatzeko beharrik. Zortziaren edo bostaren kontzeptua bazeukaten, baina kontzeptu hori adierazteko oso sistema desberdina erabiltzen zuten. Txikitan, eskolan denok ikasi genituen erromatarren zenbakiak. Nola egiten zituzten erromatarrek eragiketak? Argi dago ez zela sistema erosoa kantitateak azaltzeko, eta, batez ere, eragiketak egiteko. Horregatik, sistema hori baztertu egin zen. Erabiltzen dugun zenbaki-sistema (posizionala eta hamartarra) Indiatik datorkigu, arabiarrek ekarrita. Beraz, Indian asmatu ziren guk erabiltzen ditugun zenbakiak, baita zero zenbakia ere. Dirudienez, 0 ikurra hartu zuten etenik gabeko zirkuluaz eternitatea eta izaterik eza adierazten zutelako. Lehenengo aldiz, 876. urteko idazki batean agertu zen. Pasartea oso bitxia zen, benetako problema bat zen: jakin nahi zuten zenbat landare jarri behar ziren lorategi batean, egunero tenplura 50 lore sorta eramateko. Zeroren ikurra Indiatik dator, baina zero izena arabieratik: sifr hitzetik.
-5-
Zenbait zenbaki berezi
e zenbakia Harrigarria badirudi ere, matematikari batentzat e ikurra letra bat izateaz gain, zenbaki bat ere bada. Izan ere, zenbaki batzuk letra baten bidez adierazten dira. Famatuena ď °
zenbakia da. Kasu horretan aukeratutako letra grekoa da.
Matematikan e zenbakia oso erabilia izan arren, zenbaki honen garrrantzia eta jatorria ez dira oso ezagunak. Hasteko, hona hemen gehienok zer dakigun zenbaki honi buruz: Biaren eta hiruaren arteko zenbaki bat da. Beraz, bere balioa idatzi nahi izanez gero, badakigu lehenengo
zifra
2a
izango
litzatekeela,
eta
lehenengo zifra horren atzean koma bat jarri beharko genuke. Hona hemen komaren atzean zenbaki horri dagozkion hamartarrak: 718281... Hasi bai, hasiko ginateke hamartarrak jartzen, baina bukatu? Ez genuke sekula bukatuko. Izan ere, e zenbakiak hamartar kopuru amaigabea du; gainera hamartar horiek ez dute periodikotasunik, hau da, ez dira errepikatzen. Horregatik, ez dugu zenbaki bidez adierazten, baizik eta ikur baten bidez. Aukeratu den ikurra e letra da.
e zenbakiarekin topo egiteko modu bat Historian zehar matematikariek hainbat arlotako problemak ebaztean e zenbakiarekin egin dute topo. Guk interes konposatuaren adibidea aukeratu dugu e zenbakia aurkezteko. Demagun, bankura euro bat (hasierako kapitala) eramaten dugula, eta bankukoek esaten digutela urtebete barru %100eko interesa irabaziko dugula. Horrek esan nahi du epe hori pasatu ondoren hasierako kapitala gehi interesak edukiko dugula (beraz, 2â‚Ź). Demagun, beste banku batek interes berbera eskaintzen digula, baina interesak bitan ordainduko dizkigutela; beraz, aldi bakoitzean interesa %50 izango da. Orduan, 6 hilabete pasa ondoren 0,5â‚Ź irabaziko dugu eta
-6-
Zenbait zenbaki berezi
demagun diru hori hasierako kapitalari gehituko zaiola. Beraz, bigarren eperako hasierako kapitala 1+0,5€ izango da, eta ondorioz, bigarren epeko etekina (1+0,5)0,5 izango da. Orduan, urtea pasa ondoren edukiko dugun dirua honako hau izango da:
1 1 0.5 1 0.5 0.5 1 0.5 1 0.5 0.5 1 0.5(1 0,5) 1 0.5 1 2
2
2
Bigarren epearen etekina Lehenengo epearen etekina Hasierako kapitala
Etekinak 4 aldiz (hiruhilabetean) ordainduz gero (%25 bakoitzean), diru hau lortuko dugu:
1 0,25 1 1 4 4
4
.
12
Ostera, 12 aldiz (hilero) ordainduz gero
1 1 12
1 Eta 360 aldiz (egunero) ordainduz gero 1 360
360
...
Argi dago hau ez dela benetako adibide bat, sinpleagoa izan da. Normalean interesak ez dira %100 izaten eta hasierako kapitala ez da euro batekoa izaten. Baina, edozein baldintzatan, interes konposatuaren problemak ebaztea
Kalkula ditzagun segida horren elementu batzuk:
1 a1 1 1
1
=2
1 a 2 1 2 1 a 3 1 3
2
=2,25
3
1 a 4 1 4
=2,37037037
4
=2,44140625
-7-
1 a n 1 n
n
segidan datza.
Zenbait zenbaki berezi
1 a 5 1 5
5
1 a 6 1 6
=2,48832
6
=2,521626
Argi ikusten da segidaren terminoak gero eta handiagoak direla, baina ez du ematen asko handitu direnik; beraz, ezin dugu espero segidaren limitea infinuta izatea. Ez du ematen terminoak 3ra ere hurbilduko liratekeenik. Ziurrago egoteko, kalkula ditzagun segidaren termino aurreratuagoak:
1 a20 1 20
20
1 a30 1 30
30
1 a50 1 50
50
= 2,653297705144…
= 2,674318775870…
= 2,691588029073605…
Ematen du segidaren limitea 2aren eta 3aren arteko zenbaki bat izango dela. Terminu gehiago kalkulatuko ditugu, eta emaitzak aztertuko ditugu
a100
2,7048138294215…
a1.000
2,716923932235…
a10.000
2,718145926821…
a100.000
2,7182682371…
a1.000.000
2,71828046931…
a10.000.000 2,718281692544… a100.000.000
2,7182818148673621…
Emaitzetan hamartarrak finkatzen doaz. Horri esker,
a1.000.000.000
zenbat balio duen ez
badakigu ere, ziur gaude lehenengo hamartarrak 718281 izango direla. Termino altuagoak kalkulatuz gero, segidaren limitearen hamartar gehiago ezagut dezakegu.
-8-
Zenbait zenbaki berezi
Esan dugunez,
1 a n 1 n
n
segida funtsezkoa gertatu zen interes konposatuari
buruzko problemak ebazteko; horregatik, segida horren limitea oso zenbaki garrantzitsua zen. Hamartarren kopurua amaigabea zenez, zaila zen zenbaki horretako erreferientzia argiak egitea. Leonhard Euler matematikariak erabaki zuen e izena jartzea. Ez dago oso argi zergatik aukeratu ote zuen e letra. Hainbat azalpen posible dago Batek
dio
e
zenbakiaren
eta
esponentzialaren arteko lotura handiaren ondorioz eman ziola (e letra esponentzial hitzaren
lehenengo
letra
baita). Beste
azalpen baten arabera, Eulerrek e letra aukeratu zuen haren abizenaren lehenengo letra zelako (egia esan, ideia hori nahiko baztertuta
dago
gaur
egun).
Azkenik,
azalpen arruntagorik ere aurki dezakegu: matematikan erabiltzen ez zen alfabetoko Leonhard Euler (1707-1783)
lehenengo letra zelako (a, b, c eta d letrak
oso maiz agertzen ziren formula matematikoetan). Arrazoia edozein izanda ere, e izena eman zion, eta harrezkero horixe erabili da zenbaki hori adierazteko.
e zenbakiarekin historia XVII. mendean matematikariek e zenbakia lortu zuten emaitzatzat hainbat kalkulo desberdin egitean, baina ez ziren ohartu emaitza horiek guztiak zenbaki bera zirela. 1618an John Napierrek erabili zuen e zenbakia lehenengo aldiz (izen hori ez zuen erabili, jakina). Astronomian behar ziren kalkuluak errazteko asmoz logaritmoak asmatu zituen, logaritmo neperianoak hain zuzen ere. Logaritmo neperianoen definizioan konstante bat agertzen da. Nieperrek ez zuen argitu konstante horren balioa, baina e zenbakia da. 1661ean Christian Huygensek. xy = 1 kurba aztertzeari ekin zion. Jakin nahi izan zuen 1 zenbakiaren eta beste zein zenbakiren artean hartzen duen kurba horrek 1 balioko
-9-
Zenbait zenbaki berezi
azalera bere azpian (irudian berdedun aldea). Zenbaki horri
izena jarri zion, baina,
esan dugunez, e zenbakia da.
n
1 Jacob Bernoullik, interes konposatuaren problemak ebazteko an 1 segidaren n limitea aztertu zuen. Hori egitean zenbaki berezi bat aurkitu zuen eta b izena jarri zion. 1727an Leonhard Eulerr hasi zen e ikurra erabiltzen eta Mechanica lanean agertu zen lehen aldiz publikatuta. Hala eta guztiz ere, hurrengo urteetan matematikari batzuek c letra ere erabiltzen zuten, baina gehienek e letra erabiltzen zutenez, ikur hori hedatu zen.
e zenbakia edozein lekutan Interes konposatuaren problemaz gain, beste zenbait arlotan behar-beharrezkoa da e zenbakia. Esate baterako, esponentzialki gehitzen edo gutxitzen den zerbait aztertzean. Auzitegi-medikuek, e zenbakiari esker, jakin dezakete pertsona bat noiz hil zen. Pertsona bat bizirik dagoenean, haren metabolismoak gorputzaren tenperatura konstante mantentzen du, 36 ºC inguruan. Hiltzen den unean, gorputzak beroa ekoizteari uzten dio, eta gorpua tenperatura galtzen hasten da. Lehenengo minutuetan oso azkar jaisten da tenperatura, baina hoztu ahala, gero eta mantsoago galtzen da beroa. Hori da jaitsiera esponentzialaren berezitasuna. Jaitsiera bezalakoa da hazkunde esponentziala ere: balioa txikia denean, hazkundea ere txikia da, eta handitu ahala, hazkundea ere handitu egiten da; eta asko handitu, gainera! Adibidez, feto baten zelulen kopurua esponentzialki handitzen da. Horretan guztian, non dago e zenbakia? Bada, e zenbakia hazkunde-erritmo berezi horren oinarria da. Zerbaitek hazkunde esponentziala baldin badu, matematikoki
- 10 -
Zenbait zenbaki berezi
adierazteko e zenbakia erabili behar da, eta ez beste zenbakirik. Beraz, ezinbestekoa da hazkunde esponentziala dituen aldagaien estimazioak edo aurreikuspenak egiteko. Horregatik da hain garrantzitsua. Nonahi agertzen da hazkunde esponentzialak. Esate baterako, konposatu kimiko erradioaktiboak
desagertzean
(paleontologoek
erabiltzen
dute
arrasto
fosilak
datatzeko) edo bizidunen populazioen hazkundea aztertzean. Amaitzeko beste adibide bat. Demagun kate edo kable bat bi zutoinen artean zintzilikatzen dugula, alegia, katenaria bat dugula (trenentzako hari eroalea edo argindarraren linea elektrikoa zintzilikatzen dutenean bezala). Bi zutoinen artean dagoen kate-zati bakoitzaren kurba e zenbakiak definitzen du. Kurbaren formula
y
e x ex da. Beraz, horrelako egiturak diseinatzen dabiltzan ingeniarientzat, e 2
zenbakia funtsezkoa da. Haien lanak ere e zenbakiaren menpe daude.
Laburbilduz: e zenbaki baten ikurra edo izena da e zenbaki hamartar kopuru amaigabea du
e = 2,7182…
1 e lim 1 n
n
- 11 -
Zenbait zenbaki berezi
Infinitu zenbakia Infinitua definitzea oso zaila da. Hiztegi arrunt batera jotzen badugu, hau aurkitzen dugu: “amaierarik ez duena”. Definizioa xehea da eta zentzuzkoa dirudi. Intuizioak ere hortik jotzen du, baina, orain, gure galdera hau da: ba al dago mugarik ez duen ezer? Mugarik gabeko ezer ez balego, ez genuke ezer definituko. Beraz, mugarik ez duen zerbait bilatu behar da. Hurrengo istorioak asmo hori dauka. Istorioa oso paradoxa ospetsuan datza. Paradoxa hori Hilbertek aurkeztu zuen lehenengo aldiz, gero bertiso ugari agertu dira. Honetan Hilbert bera agertzan da protagonista.
Hilbert Hotela Orain dela urte asko, Hilbert maisuak hotel bat zabaldu zuen. Ez zen hotel makala! Jabea kontuan hartuta, ez da harritzekoa. Ez zen munduko hotelik handiena. Cantor maisuak, ordurako, hotel handiagoak irekita baitzituen, baina garestiagoak ziren. Hilberten hotelak zenbaki arruntak beste logela zituen; denak zenbatuta: 1, 2, 3, 4…,100, 321.456… Batzuetan Hilbertek uste zuen hotela handikeria hutsa izan zela, eta ez zuela inoiz beteko. Egun batean alaba hurbildu zitzaion esanez: -Aita, aita, gaur goizean hotela hutsik zegoen, baina zenbaki arrazional talde bat etorri da eta hotela bete egin da. - Hori da berri ona, hori! Zeintzu etorri dira? -
1 1 1 1 , , , … eta kopuru amaitezina izan arren, errez lortu dugu zenbaki 1 2 3 4
bakoitza logela banatan sartzea:
1 zenbakia 1. logelan dago, 1
logelan eta horrela egin dugu talde osoarekin. -Primeran! Dirutza irabaziko dugu.
- 12 -
1 1 2. logelan, 3. 3 2
Zenbait zenbaki berezi
Hurrengo egunean 100 zenbaki famatuak heldu ziren hotelera. Hilberten adiskide
2 , e , , sen7, log12… zeuden. Hilbertek,
zaharrak ziren guztiak. Horien artean 0, pena handiz, esan zien:
-Barkatu, baina hotela gainezka dago. Logela bat ere ez daukagu hutsik. Beste hotel batera joan behar izango duzue. e zenbakia haserretzear zegoen, baina Hilberten alabak esan zuen: -Ez kezkatu. Hotela beteta badago ere, infinitu logela du eta, beraz, badago lekurik denontzako. Hauxe egingo dugu. 1. logelako bezeroa 101. logelara joango da, 2. logelako bezeroa 102. logelara, 3 .logelako bezeroa 103. logelara eta horrela egingo dute bezero guztiek. -Oso ondo laztana! Hori eginez gero, lehenengo 100 logelak hutsik geratuko dira, eta etorriberriak logela horietan sartuko dira. Baina, nola antolatuko dugu hainbeste aldaketa? Infinitu aldaketa egin behar dira. -Aita, oso erreza da. Eta mikrofonoa eskuan hartuta esan zuen: -Entzun arretaz mesedez. Bezero guztiek aldatu beharko duzue logela. Orain daukazun logelaren zenbakiari 100 gehitu behar duzu, hori izango da zure logela berria. Zenbakiek oso arin egin zuten aldaketa eta bezero berriak lehenengo 100 logelatara sartu ziren, bakoitza logela batean. Baina, nora joan ziren azken logeletako bezeroak? Bada, ez zen arazorik egon. Hotelak infinitu logelak zituenez, ez zegoen azken logelarik! Hilbert zur eta lur geratu zen alabaren gaitasuna ikusita. Aitatara eman zuela pentsatu zuen. Biharamunean zenbakia etorri zen senide batzuekin. Familia osoa etorri ez bazen ere, lerro amaezina zegoen hotelaren zenbakiak, zintzo-zintzo zeuden han, bata bestearen atzean.
- 13 -
aurrean. 3 ,5 ,7 ...
Zenbait zenbaki berezi
Hilbertek ez zuen tutik esan. Uste zuen bere alaba ere ez zela arazo hori konpontzeko gai. Oso neskato argia zen, baina, han infinitu zenbaki zegoen logelaren zain eta hotela beteta zegoen. Alabari deitu zion eta neskatoak irribarrez esan zion: -Lortuko ez dugu, ba! Berriro bezero guztiek aldatu behar izango dute logela. Bezero bakoitzak oraingo logelaren zenbakia bider 2 egin behar dute. Aita pentsakor geratu zen eta marmarka hasi zen: -Beraz 1. logelakoa 2. logelara joango da, 2. logelakoa 4. logelara, 3. logelakoa 6.logelara, 4.logelakoa… -Bai aita. Ulertu duzu. Hori eginez gero 1.a, 3.a, 5.a, hutsik geratuko dira, hots, zenbaki bakoitiak dituzten logelak hutsik geratu dira. -Eta zenbakia 1.logelan sartuko da, 3 zenbakia 3.era … Eta horrela lortu zuten bezero berri guztei ostatu eman.
Infinutu zenbakia irreala da Zenbat logela zituen Hilberten hotelak? Bada, Infinitu. Baina, infinitu horrek zer adierzten du? Zenbakia da? Hiztegi arrunt batera joan beharrean, Elhuyar Hiztegi Entziklopediara jotzen badugu, hau arkitzen dugu: “Adieraz daitekeen edozein balio baino handiagokoa edo zehaz daitekeen edozein mugatik haranzkoa den edonon izan daitekeen aldagaia”. Hori irakurrita pentsa dezakegu infinitua zenbakirik handiena dela. Erreal zenbakien multzoan ezin dugu horrelako zenbakirik aurkitu, beraz, infinitu zenbakia irreala izan behar du.
Infinutu zenbakiaren ikurra Zenbaki guztiak ikur baten bidez idazten ditugu, adibidez, hiru zenbakien ikurra 3 da. 1655an John Wallisek erabili zuen lehengo aldiz ikurra infinitu zenbakia adierazteko eta geroztik denok erabiltzen dugu ikur hori.
- 14 -
Zenbait zenbaki berezi
Eragiketak egin ditzakegu infinitu zenbakiarekin? Jakina! Hilbert hotelaren istorioa erabiliko dugu adibide batzuk ikusteko. 100 zenbaki arrazionalak heldu zirenean bezero guztiek aldatu zuten logela:
1 1
1 2
1 3
1 4
1.logela
2.logela
3.logela
4.logela
...
... 1.logela
2.logela
3.logela
1 1 101.logela
1 2
1 3
102.logela
103.logela
bezero
100 bezero berriak
Orain hotelean 100+ bezero daude; hotelean logela daude; bezeroak logelala banatan daude. Beraz logelaren kopurua eta bezeroen kopurua berdinak izan behar dira, ondorioz.
100 100 bezero berriak etorri beharrean 35 etorri balira, antzeko moduan ondorioztatuko genukeen 35 Eta horrela jarraituz:
4 , 154 , 1300 … Orain zenbakia eta bere infinitu senideak heltzen direnean gertatukoa aztertuko dugu. Hotelean bezero zeuden, eta bezero berriak heldu ziren, beraz hotelean
bezero zeuden. Hotelean logela zeudenez eta bezeroak logelala banatan zeudenez, logelaren kopurua eta bezeroen kopurua berdinak izan behar ziren, ondorioz.
Hoteletik 5 edo 43 bezero joaten direla asmatuz gero, 5 edo 43 ondoriaztuko genuke. Baina eragitarekin arazo larri bat sortzen da. Matematikan eragiketa bat egitean beti emaitza berdina eman behar du. Baina kasu honetan ez da horrela gertatzen.
- 15 -
...
Zenbait zenbaki berezi
Lehen
ondoriaztatu
dugu
100 .
Berdinketa
honetatik
atera
dezakegu: 100 . Modu berean
35 kontuan hartuta, ondoriazten dugu 35 , edo
4 , eta abar. Matematikan eragiketa batekin horrelako zerbait gertatzen denean esaten dugu eragite hori indeterminazioa dela. Kalkulu prozesu batean indeterminazio den eragiketa bat sortuz gero, pentsatu behar dugu irteera gabeko bidean sartu garela eta atzera egin behar dugula beste bide desberdin bat aurkitzeko. Infinitu zenbakiarekin eragiketa gehiago egin dezakegu. Aipatutakoak adibide bat baino ez dira izan.
Laburbilduz: Infinitua zenbakirik handiena da. Infinitu zenbakia ikurraz adierezten dugu. Zenbaki irreala da.
Eragiketak egin ditzakegu zenbakiaz.
- 16 -
Zenbait zenbaki berezi
URREZKO ZENBAKIA
Urrezko zenbakia oso zenbaki ezaguna eta erabilia izan da aspalditik. Naturan eta gure gorputzaren proportzioetan agertzen da, eta artelanetan ere bai. Hala ere, gehienontzat guztiz ezezaguna da. Lan honen asmoa da urrezko zenbakiaren berri ematea.
Zenbaki honek –Φ(fi), alfabeto grekoko seigarren letrarekin idazten da–, hainbat propietate interesgarri ditu. Horiek ikusi baino lehen, eman ditzagun zenbait datu:
Φ
1 5 1.61803398874989... 2
Φ-ren balioa:
Beraz, Φ zenbaki irrazional bat da; hau da, infinitu zifra hamartar ditu, periodorik gabe. (Beste modu batean esanda, ez da zenbaki arrazionala: ezin da adierazi bi zenbaki osoren zatiketa eran).
Zenbaki honen berri greziarrek jakin zuten arren, fi izena XX. mendearen hasieran eman zitzaion, Fidias eskultore greziarraren omenez, hark bere lanetan erabili baitzuen.
Φ zenbakiari perfekzioaren zenbakia edo urrezko proportzioa ere esaten zaio.
- 17 -
Zenbait zenbaki berezi
Φ-ren definizoa Ikus dezagun modu bat Φ zenbakia lortzeko. Segmentu bat hartu, eta moztu segmentu hori bi zati desberdinetan (a eta b):
a eta b urrezko proportzioan egoteko, berdinketa hau bete behar dute:
ab a segmento osoa zati handia b zati handia zati txikia a Formula hori garatuz gero, hau lortzen dugu:
a b b a
2
ab b 2 a 2 b 2 ab a 2 0 Berdinketa hori bigarren mailako ekuazio bat da, a ezezagun hartuta. Ekuazio hori ebatziz:
b b 2 4b 2 a 2
b 5b 2 a 2 a
bb 5 2
- 18 -
Zenbait zenbaki berezi
a
b 1 5 2
Orduan:
a 1 5 b 2 a , b
Eta a eta b zatiek urrezko proportzioa betetzen dutela kontuan hartuta honako hau ondorioztatzen da:
1 5 2
Urrezko laukizuzenak Laukizuzen baten aldeek (a eta b) urrezko proportzioa betetzen badute, urrezko laukizuzena da.
Zein da urrezko laukizuzena? Hori jakiteko, ikus dezagun ea haien aldeek urrezko proportzioa betetzen duten.
A
b=2.5 cm
a 4.8 1.92 b 2.5
a=4.8 cm cm Beraz, A ez da urrezko laukizuzen bat.
B
b=2.96 cm
a=4.8 cm B laukizuzena urrezko laukizuzen bat da.
- 19 -
a 4.8 b 2.96
Zenbait zenbaki berezi
Nola marraztu daiteke urrezko laukizuzena Karratu bat marraztuta, aldeetako batean erdiko M puntua adieraziko dugu. D
A
M
B
Zirkunferentzia bat marraztuko dugu, M zentro hartuta eta MD segmentua erradio. Zirkunferentzia horrek AB zuzena C puntuan mozten du. D
A
M
B
C
AC segmentua oinarritzat eta BD segmentua altueratzat duen laukizuzena urrezko laukizuzen bat da.
Urrezko laukizuzena
Adibidez, hasierako laukiaren aldea 2 cm-koa bada,
Urrezko laukizuzena
laukizuzen horren aldeen proportzioa hau da:
- 20 -
1 5 2
= ÎŚ
Zenbait zenbaki berezi
Urrezko laukizuzenen propietatea Urrezko laukizuzen bat marraztuta, kontuan hartuko dugu lortzen den karratu handiena (1). Geratzen den laukizuzena (2) urrezko laukizuzen bat da.
Urrezko laukizuzena
1
222
Gauza bera egiten badugu urrezko laukizuzen horretan (2), irudian agertzen diren karratua (3) eta laukizuzena (4) lortzen ditugu. Aurrekoan bezala, laukizuzen hori ere urrezko laukizuzena da.
4 1
22 3
Behin eta berriro prozesu berbera egin ondoren: irudian agertzen diren laukizuzen guztiak proportzionalak dira eta urrezko laukizuzenak dira.
Propietate hori askotan erabili da artean. Hona hemen adibide bat:
- 21 -
Zenbait zenbaki berezi
URREZKO ZENBAKIA ARTEAN
KEOPSEN PIRAMIDEAN Urrezko zenbakiaren jatorria zaharra da. Ezin da jakin noiztik ezagutzen duen gizakiak. Egiptoarrek jada erabiltzen zuten; izan ere, Keopsen piramidean (K.a. 2600. urtea), zenbait neurritan ageri da.
Nola sortzen da Φ Keopsen piramidean? Keopsen piramidearen oinarria lauki bat da. Lauki horren aldea 230 m-koa da, eta piramidearen altuera, 146,28 m-koa.
230 m 2 = 115m Beraz: AC =
Hala, hurrengo zatiketan:
eta
AB=146,28m
AB 146,28 m AB AC = 115 m 1,272m≈ AC =
Guztirako azalera 1,618... Alboko azalera
a 1,618... L 2
- 22 -
Zenbait zenbaki berezi
PARTENOIAN Partenoian (K.a. 432. urtea) ere agertzen da. Fidias eskultore grekoak eraiki zuen Atena jainkosaren omenez.
AB Irudian frogatu ahal da: CD . Proportzio gehiagotan ere agertzen da
CD AC urrezko zenbakia: AD eta CA
ESKOLA PITAGORATARRA (K.A. VI.MENDEA) Pitagorasek Crotonan (Italia) eratu zuen eskolak filosofia, matematika eta natur zientziak zituen aztergai.
Eskolaren ikurra izardun pentagonoa zen, eta askotan agertzen da urrezko zenbakia.
Pitagoratarrak bizitza zenbakien bidez azaltzen saiatzen ziren, eta eskola haren leloa hau zen: Dena da zenbaki hutsa. Izardun pentagonoa aztertuz, edozein pentagonorentzat balio duen erlazio hau aurkitu zuten:
- 23 -
Zenbait zenbaki berezi
Diagonala 1,618... Aldea Egiaztapena
AOB hiruki isoszelean, AOB angelua pentagono erregular baten angelu zentrala da. Beraz: AOB = 360º : 5 = 72º Hiruki batean hiru angeluen batuketa 180º denez: OAB + OBA +AOB= 180º Hiruki isoszeles izateagatik: OAB=OBA Orduan: 2 OAB+AOB=180º 2 OAB+72º=180º 2 OAB=180º-72º 2 OAB=108º OAB=54º ABM hiruki laukizuzenean betetzen da:
senABM
AM AM AB senABM AM AB sen54º AM AB 0.809... AB
Baina: AD=2*AM
- 24 -
Zenbait zenbaki berezi
Beraz:
Diagonala AD 2 AM 2 AB 0,809... 2 0,809... 1,618... Aldea AB AB AB
Urrezko zenbakia aurkitu zuten, baina Φ ez zen haiek ezagutzen zituzten zenbakiak bezalakoa: ez zen zenbaki arrazionala. Nola azaldu ez zekitenez, erabaki zuten horren berri inori ez ematea. Zenbaki ez arrazionalak aurkitu zituzten.
- 25 -
Zenbait zenbaki berezi
”Vitrubioko gizona” (1492)
Φ zenbakia perfekzioaren zenbakia zela jotzen zuten , eta horrela irudikatu zuen Leonardo Da Vincik bere marrazki batean: Vitrubioko gizona. Giza gorputzaren proportzioak ikertu zituen, eta, hala, lan honetan gizon bat agertzen da, karratu eta zirkunferentzia baten sartuta. Nola agertzen da Φ?:
Karratuaren aldea b Zirkuluaren erradioa a Zure gorputzaren neurriekin lor dezakezu Φ, eragiketa hau egiten baduzu,:
Zure altuera osoa Zure altura oinetatik zilborreraino Luca Paciolik De divina proportione liburuan (Leonardo Da Vincik irudiz apainduta) urrezko zenbakia sakonki azaldu zuen.
- 26 -
Zenbait zenbaki berezi
URREZKO PROPORTZIOA NATURAN FIBONACCI-REN SEGIDA Urrezko proportzioa ez da solik gizakiaren burutazio bat edertasunaren kontzeptua irudikatzeko, natura aztertzen ere agertzen da. Fibonacci,-(1170-1250)-, matematikari buruzko lan ugari egin zituen arren, oso ezaguna da hurrengo segida lortzeagatik untxien ugalketa aztertzen : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Segida horrek oso propietate interesgarriak ditu: 1. Segidaren edozein gai lortzen da bi aurrekoak batuz 1 = 0+1 2 = 1+1 3 = 1+2 5 = 2+3 8 = 3+5 13 = 5+8 21 = 8 +15 34= 13+21... 2. Segidaren bi gai ondoz ondoren zatiketa gero eta hurbilago dago Φ-tik:
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 2 1,5 1,66.. 1,6 1,625 1,615.. 1,619... 1,617... 1,618... 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
an an 1
Beraz:
Grafikoki:
Hau da:
lim
an 1 5 a n 1 2
- 27 -
Zenbait zenbaki berezi
Adibide batzuk ikusi baino lehenago, urrezko kiribila eta urrezko angelua zer diren azalduko dugu:
 Urrezko kiribila Irudiko kiribila zirkunferentzien koadranteak gainezarriz lortzen da, zeinen erradioak urrezko proportzioan hazten baitira.
Harrigarriena da horretan ere urrezko zenbakia agertzea, zeren eta Fibonacciren segida lortzen da:
- 28 -
Zenbait zenbaki berezi
Zenbait adibide naturan
Nautilusen maskorrean.
Bitxiloreen haziek 21 eta 34 kiribil dituzte.
Pinaburuen kiribil kopurua 8 eta 13 da, edo 5 eta 8.
Ekilore baten haziek 21 kiribil osatzen dtuzte ezkerrerantz, eta 34 eskuinerantz.
- 29 -
Zenbait zenbaki berezi



Oiloen arrautzaren geometrian ere agertzen da urrezko proportzioa.
Urrezko proportzioak planeten arteko distantzietan agertzen dira.
Karbono-atomoak ere, hots, diamanteak eta izaki bizidunen oinarrizko konposatuak urrezko egitura daukate.
- 30 -
Zenbait zenbaki berezi
Urrezko angelua Landare baten orriak ez dira hazten zurtoinean zehar hala nola; izan ere, zenbat eta eguzkiaren argi gehiago lortzen duten, hobeto hedatzen dira. Urrezko angeluari jarraituz sortzen dira.
b=137.51Âş
a=222,49Âş
Irudian ikus dezakegu zein ordenatan eta zein angelutan hazten diren orriak.
- 31 -
a ď‚ťď † b
Zenbait zenbaki berezi
Surrealismoan
Hainbat argazkitan
Hainbat eraikinetan
- 32 -
Zenbait zenbaki berezi
Poesian A LA DIVINA PROPORCIÓN
A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro. Rafael Alberti
Urrezko zenbakia eguneroko objetuetan
- 33 -
Zenbait zenbaki berezi
Bibliografia http://eu.wikipedia.org/wiki/E_(zenbakia) http://www.zientzia.net/artikulua.asp?Artik_kod=13312
(Zientzia.net
e zenbakiaren
bila Lakar iraizor, Oihane) http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3472
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnad o/ayuda.html http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematicas/web_taller_0203/mujeres/monica/o ro.htm http://blogs.vandal.net/71189/vm/012222442008 http://www.zientzia.net/artikulua.asp?Artik_kod=6964
- 34 -