Isometrias
ISOMETRIAS
Isometria: do grego ισο + μέτρο
(ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida) Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva as distâncias entre pontos e consequentemente as amplitudes dos ângulos, transformando uma figura noutra figura congruente.
ISOMETRIAS
Existem quatro tipos de isometrias:
• Rotação • Translação • Reflexão
• Reflexão deslizante
ISOMETRIAS A’
ROTAÇÃO
Fig. 2
Rodar uma figura em torno de um ponto chamado centro de rotação (O).
O
Fig. 1
O que é uma rotação?
A distância dos pontos ao centro de rotação mantém-se constante. A
180º
ISOMETRIAS ROTAÇÃO
Numa rotação: • um segmento de recta é transformado num segmento de recta congruente • um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e com o mesmo sentido
Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja amplitude pode ser positiva ou negativa.
ISOMETRIAS ROTAÇÃO Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. Convencionou-se que a rotação tem sentido positivo quando a rotação se efectua no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio. Quando se efectua uma rotação no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio, então diz-se que se efectuou uma rotação no sentido negativo.
Sentido positivo ângulo orientado +90º
Sentido negativo
ângulo orientado -90º
ISOMETRIAS Rotação no sentido positivo
Rotação no sentido negativo
Pavimentações usando as rotações
Pavimentações usando as rotações
ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO
O que é uma translação? Fig. 2
Vector
“Deslocamento” de uma figura segundo um vector
v
Fig. 1
(um vector é um ser matemático que é caracterizado por uma direcção, um sentido e um comprimento).
ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela translação T no plano.
A figura A é a figura original (o objecto) e a figura B é a sua imagem (o transformado) através de uma translação.
José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos.
A figura D não foi obtida por translação da figura C. Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C. José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de um “deslocamento” de todos os pontos da figura original definidos por: • uma direcção; • um sentido; • um comprimento.
José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo vector.
O vector é o representante de todos os segmentos de recta equipolentes (ou seja, com a mesma direcção, mesmo sentido e mesmo comprimento).
José Carvalho@2007
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ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Um vector fica então definido desde que se conheça: • a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: - a recta suporte do vector)
• o sentido (um dos dois possíveis na direcção)
• o comprimento (ou norma) José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho. 1.º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro, vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado
José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO 2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado
3.º passo: Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo vector
José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO 4.º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original
José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO Concluindo: • Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e congruente . • Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo congruente (com a mesma amplitude). • Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual. José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS
Translação associada ao vector u=(1,1)
Pavimentações usando as translações
Pavimentações usando as translações
ISOMETRIAS REFLEXÃO
O que é uma reflexão? Reflexão em redor de um eixo. Dada uma recta L chama-se reflexão em torno do eixo L ao movimento que transforma um ponto C em outro ponto C' verificando que: • O segmento CC' é perpendicular a L. • Os pontos C e C' são equidistantes do eixo L.
Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC'
ISOMETRIAS
Reflex達o
Exemplos de Reflex천es
ISOMETRIAS REFLEXÃO DESLIZANTE
O que é uma reflexão deslizante? A reflexão deslizante é a combinação de uma reflexão com uma translação.
A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma translação chama-se de reflexão deslizante.
O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão
ISOMETRIAS
Reflexão deslizante
O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se o quadrilátero [A’B’C’D’]. Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’]. Assim, o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’] é a imagem do quadrilátero [ABCD] segundo uma reflexão deslizante.
ISOMETRIAS
SIMETRIAS
ISOMETRIAS
Existe uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias:
• Simetria de Reflexão • Simetria de Rotação • Simetria de Translação
• Simetria de reflexão deslizante
ISOMETRIAS SIMETRIA DE REFLEXÃO Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante.
Tal pode ser identificado… … se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente … se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda
ISOMETRIAS SIMETRIA DE REFLEXÃO
A simetria de reflexão também se designa por simetria axial; o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou linha de simetria
ISOMETRIAS EIXO DE SIMETRIA
Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.
ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA
1 eixo
2 eixos
6 eixos
1 eixo
2 eixos
N達o tem eixos
ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência
Os eixos de simetria duma circunferência são as rectas que passam pelo centro.
Uma circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria.
ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
Triângulo
Quadrado Pentágono Hexágono
Octógono
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
8 lados
3 eixos
4 eixos
5 eixos
6 eixos
8 eixos
Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria
ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é ímpar, cada um dos eixos de simetria une um vértice ao ponto médio do lado oposto
ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é par, cada um dos eixos de simetria une dois vértices opostos ou une os pontos médios dos lados opostos
ISOMETRIAS SIMETRIA DE ROTAÇÃO Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura globalmente invariante.
Tal pode ser identificado… … se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo (centro da figura), de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.
ISOMETRIAS SIMETRIA DE ROTAÇÃO
Figura original Um terço de volta Dois terços de volta 120º
240º
Um volta inteira 360º
O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a figura roda (centro da figura) O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que descreve o movimento da figura
Exemplos de simetrias de rotação
ISOMETRIAS SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE Esta simetria de reflexão deslizante caracteriza-se por ser uma reflexão que envia a pegada de baixo para cima seguida de um deslizamento que a faz avançar um passo.
r
1º A pegada sofre uma reflexão em torno da recta r. 2º A pegada sofre uma translação na direcção e no sentido de um vector paralelo ao eixo de simetria. NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas
FIM
Isometrias
Não isometrias
Homotetias Translações
Rotações
Reflexões
Não vamos estudar as “Não isometrias”.
TRANSLAÇÕES Num movimento de translação uma figura deslocase de um lugar para outro sem rodar ou reflectir (imagem dada pelo espelho). Na vida real podemos observar muitos movimentos de translação.
Numa translação cada ponto de uma figura move-se na mesma direcção, no mesmo sentido e percorre a mesma distância.
OUTROS EXEMPLOS DE TRANSLAÇÕES Horizontal
Oblíqua Vertical
Translações horizontal, vertical e oblíqua
Abrir e fechar de uma gaveta
As pessoas a deslocarem-se nas escadas
o movimento dos elevadores
As crianças no escorrega
pavimentos
Friso de cerâmica decorativa
PAVIMENTAÇÃO POR TRANSLAÇÃO Pavimentar um plano é preencher esse mesmo plano completamente através do uso repetido de polígonos, ou de outras figuras, sem falhas ou sobreposições.
EXEMPLOS DE COMO CRIAR UM MOTIVO SEGUNDO ESCHER:
ROTAÇÕES Imagina que um ponto do triângulo irá mover-se ao longo de uma circunferência de centro C e cujo centro de rotação é, também C. B A
A´ C B´
B´´ A´´
Numa rotação, uma figura toma uma nova posição rodando à volta de um ponto fixo, o centro da rotação.
B A
A´ C B´
B´´
Numa rotação uma imagem é transformada noutra geometricamente igual.
A´´
Numa rotação um segmento de recta é transformado noutro geometricamente igual.
Numa rotação um ângulo é transformado noutro geometricamente igual.
C
B
A O
O cogumelo B foi obtido rodando o cogumelo A.
Cada ponto pertencente ao cogumelo A descreveu um arco de circunferĂŞncia de centro O e de amplitude 45Âş.
Nós vivemos rodeados de rotações. Por exemplo: No carro… Onde poderemos encontrar rotações? Nas rodas
No volante No limpa pára-brisas
OUTROS EXEMPLOS DE ROTAÇÕES
SIMETRIAS DE ROTAÇÃO
Escher
Reflexões
A árvore é simétrica
A borboleta é simétrica
A joaninha é simétrica
A maçã é simétrica
O que acontece a um objecto quando lhe aplicamos uma reflex達o? r
Eixo de simetria ou de reflex達o
SIMETRIAS de REFLEXﾃグ
a
r
g
SIMETRIA de REFLEXﾃグ
EXEMPLOS DE REFLEXÕES Reflexões deslizantes Reflexão deslizante é uma composição de uma reflexão com uma translação na qual o objecto se desloca paralelamente ao eixo de reflexão .
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/exercicio-frisos.htm
TRANSLAÇÃO, ROTAÇÃO E REFLEXÃO
http://www.google.com/search?q=ISOMETRIAS&rls=com.microsoft:pt:IE-SearchBox&ie=UTF8&oe=UTF-8&sourceid=ie7&rlz=1I7ADFA_pt-PT#hl=pt-pt&rls=com.microsoft:pt:IESearchBox&rlz=1I7ADFA_ptPT&q=transla%C3%A7%C3%B5es&revid=589739195&um=1&ie=UTF8&tbo=u&tbs=vid:1&source=og&sa=N&tab=wv&fp=88fa2f14e0eeaa3e