8 Soluciones en serie de ecuaciones lineales I Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coe cientes variables no tienen soluciones elementales. Se puede encontrar, en algunos casos, soluciones linealmente independientes, pero éstas vienen representadas por series in nitas. Las ecuaciones lineales con coe cientes variables tienen interés porque son modelos de fenómenos importantes. Algunas de ellas son: Hipergeométrica: x(x − 1)y 00 + [(1 + a + b)x − c]y 0 + aby = 0 Legendre: (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + l(l + 1)y = 0 Chebyshev: (1 − x2 )y 00 − xy 0 + n2 y = 0 Bessel: x2 y 00 + xy 0 + (x2 − n2 )y = 0 Laguerre: xy 00 + (1 − x)y 0 + ay = 0 Hermite: y 00 − 2xy 0 + 2αy = 0
8.1. Serie de potencias 1. Serie de potencias centrada en a: 2
c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + . . . =
∞ X
n
cn (x − a) .
n=0
2. Convergencia: Una serie de potencias centrada en a es convergente si existe el siguiente límite:
l´ım
N →∞
N X
n
cn (x − a) .
n=0
3. Intervalo de convergencia: Es el conjunto de puntos x donde la serie es convergente. 4. Radio de convergencia R: Una serie de potencias converge para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R.
8.1.1. Criterio de la razón para la convergencia de una serie de potencias Criterio de la razón para determinar la convergencia de una serie: Si cn 6= 0 para todo n, se calcula ¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ |x − a| = L. ¯ l´ım n→∞ ¯ cn ¯ Entonces: Si L < 1 la serie converge. Si L > 1 la serie diverge. Si L = 1 el criterio no decide.
Ejemplo: Sea
∞ X
3(x − 2)
n
n=0
1
Para x con x 6= 2, cn = 3 6= 0, entonces ¯ ¯ ¯ 3(x − 2)n+1 ¯ ¯ ¯ l´ım ¯ ım |x − 2| = |x − 2|. n ¯ = l´ n→∞ ¯ 3(x − 2) ¯ n→∞ Por el criterio del cociente: Si |x − 2| < 1 la serie converge, Si |x − 2| > 1, la serie diverge, El radio de convergencia es R = 1.
8.1.2. Cuándo una serie de potencias de ne una función Si al serie es convergente, entonces:
f (x) =
∞ X
n
cn (x − a)
n=0
El dominio de f (x) es el intervalo de convergencia. Si R > 0, f es continua, diferenciable e integrable en (a − R, a + R). R f 0 y f se determinan derivando e integrando término a término. Para a = 0:
y=
∞ X
cn xn → y 0 =
n=0
∞ X
cn nxn−1 , y 00 =
n=0
∞ X
cn n(n − 1)xn−2 .
n=0
Por tanto
y0 =
∞ X
cn nxn−1 , y 00 =
n=1
∞ X
cn n(n − 1)xn−2 .
n=2
8.1.3. Propiedad de la identidad Si
∞ X
n
cn (x − a) = 0 donde R > 0, y para todos los valores de x, entonces cn = 0 para todo n.
n=0
8.1.4. Función analítica en un punto Una función es analítica en a si se puede representar como serie de potencias en x − a con radio de convergencia positivo o in nito. Ejemplos:
ex = 1 +
x2 x + + ... 1! 2!
sen x = x −
x3 x5 + + ... 3! 5!
cos x = 1 −
x2 x4 + + ... 2! 4!
ln(1 + x) = x −
x2 x3 + + ... 2 3
2
8.2. Corrimiento del índice de la suma Se trata de expresar en forma de una única serie de potencias la suma de dos series de potencias. Ejemplo: ∞ X
n(n − 1)cn xn−2
(1)
n=2 ∞ X
. cn xn+1
(2)
n=0
Para ello: 1. Las potencias de x deben estar en fase, es decir, deben empezar por la misma potencia de x: La serie (1) empieza por la potencia x0 . La serie (2) empieza por la potencia x1 . 2. Los índices de las sumas deben comenzar por el mismo número. Entonces: 1. Para que empiecen por la misma potencia de x: ∞ X
n(n − 1)cn xn−2 = 2c2 +
n=2
∞ X
n(n − 1)cn xn−2 .
n=3
De esta forma, las dos empiezan por la primera potencia de x. 2. Para obtener el mismo índice de la suma: Sea k = n − 2 en (1) Sea k = n + 1 en (2).
2c2 +
∞ X
n(n − 1)cn xn−2 = 2c2 +
n=3
∞ X
(k + 2)(k + 1)ck+2 xk .
k=1 ∞ X n=0
cn xn+1 =
∞ X
ck−1 xk .
k=1
Entonces la suma (1) + (2):
2c2 +
∞ X
[(k + 2)(k + 1)ck+2 + ck−1 ] xk .
k=1
8.3. Puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coe cientes no constantes en general:
y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0.
Punto ordinario: x = x0 ( nito) es un punto ordinario de la ecuación si P (x) y Q(x) son analíticas en x0 .
3
Punto singular: x = x0 ( nito) es un punto singular de la ecuación si P (x) o Q(x) (o ambas) no son analíticas en x = x0 .
2
• Punto singular regular: Si (x − x0 )P (x) y (x − x0 ) Q(x) son analíticas cuando x = x0 . 2
• Punto singular irregular: Si (x − x0 )P (x) o (x − x0 ) Q(x) (o ambas) no son analíticas en x = x0 .
Ejemplo: El punto x = 0 es un punto singular regular de la ecuación de Bessel x2 y 00 + xy 0 + (x2 − n2 )y = 0 : 1. P (x) =
n2 1 , Q(x) = 1 − 2 no son continuas en x = 0. x x
2. xP (x) = 1 y x2 Q(x) = x2 − n2 son analíticas (polinomios) en x = 0.
8.4. Teorema de Frobenius Si x0 es un punto singular regular de la e.d.o. lineal de segundo orden, entonces existe al menos una solución de la forma ∞ ∞ X X r n n+r y = (x − x0 ) cn (x − x0 ) = cn (x − x0 ) , n=0
n=0
donde r es una constante por determinar. Esta serie converge cuando menos en algún intervalo 0 < x − x0 < R.
Observaciones: 1. El teorema no garantiza la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación. 2. El método es similar al método de los coe cientes indeterminados, ahora los coe cientes son los cn . 3. Antes de determinar los coe cientes, hay que determinar r que es desconocido. 4. Si r no es entero no negativo, entonces la serie correspondiente no es una serie de potencias. 5. Consideramos a partir de ahora que x0 = 0.
4
Ejercicios del capítulo 1. Calcula el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:
(a)
∞ X
∞ X xn n n=1
n!xn
(b)
n=0
2. Sea
f (x) = Calcula f 0 (x), f 00 (x),
R
∞ n X (−1) (x + 1)n 2n n=0
(c)
∞ n+1 n X (−1) (x − 5) n5n n=1
f (x).
3. Reformula cada expresión en términos de una sola serie de potencias: ∞ X
2ncn xn−1 +
n=1 ∞ X
∞ X
6cn xn+1
n=0
n(n − 1)cn xn + 2
n=2
∞ X
n(n − 1)cn xn−2 + 3
n=2
4. Comprueba que la serie de potencias y = diferencial (x + 1)y 00 + y 0 = 0.
∞ X
ncn xn
n=1
∞ n+1 X (−1) xn es una solución particular de la ecuación n n=0
5. Clasi ca los puntos de:
(x2 − 4)y 00 + 3(x − 2)y 0 + 5y = 0. 2
x(x + 3) y 00 − y = 0. 6. Demuestra que la ecuación de Legendre:
(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + l(l + 1)y = 0 tiene singularidades regulares en x = 1, −1. 7. Demuestra que la ecuación de Laguerre:
xy 00 + (1 − x)y 0 + ay = 0 tiene una singularidad regular en x = 0.
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