Object 1
Desafios Lógicos andrebrecheret.blogspot.com
i
quinta-feira, 15 de outubro de 2009 O comerciante de livros, médio Classificaçao: Médio Nº de "Chutes" possíveis: desafio discursivo Desafio lógico em si: Um comerciante de livros fez uma promoção:
* Nas compras de livros, cujo valor ultrapasse 100 reais, o cliente participa de uma brincadeira com 7 partidas, no início o cliente ganha um desconto de 5 reais e a cada partida ele aumenta ou diminui esse desconto sem nunca perde-lo totalmente, ou seja, o cliente não vai pagar a mais que compraria sem desconto e o desconto pode chegar até um pouco mais de 85 reais sobre a sua compra •
•
A cada partida o cliente escolhe entre duas fichas (cartas), sem ver o que tem nelas, uma com um desenho de um livro e a outra sem desenho. Se o cliente pegar a ficha com o desenho do livro ele ganha a metade ( a mais) do desconto que ele possuir na partida e se ele pegar a ficha sem desenho ele perde a metade do desconto que ele possuir na partida. Um cliente pegou 5 vezes a ficha do livro
A questão é a seguinte: Dependendo da ordem que esse cliente retirar as fichas, qual é a diferença entre o maior e o menor desconto que esse cliente pode conseguir?
1ª olhada:
Primeiro olharemos se há diferenças do valor do desconto por causa da ordem das fichas que o cliente pegar.Se houver, olharemos na prática, vendo todas as possibilidades de valor de desconto e veremos o resultado do maior menos o menor e encontraremos a resposta
Solução comentada: 1º passo:
Observaremos que quanto ele pega a ficha com o desenho do livro ele ganha a metade do que tem de desconto a mais no desconto • •
Ex: se ele tem 1 real ele ganhará a metade (0.5) a mais no que tem de desconto ( 1 + 0,5)
•
(1,5)
Então quando ele retira uma ficha com o desenho de um livro ele fica com 1,5 vezes o que ele tinha na partida anterior E quando ele pega a ficha sem desenho ele perde a metade do desconto: • • •
Ex: se ele tem 1 real ele perderá a metade (0.5) no que tem de desconto ( 1 - 0,5) (0,5)
Então quando ele retira uma ficha sem o desenho de um livro ele fica com 0,5 vezes o que ele tinha na partida anterior
2º passo: O cliente jogou 7 partidas e pegou 5 vezes a ficha com desenho e 2 vezes a ficha sem desenho ( 7 - 5 = 2) E se ele ganhar 5 vezes no inicio(não esqueça ele começo de 5 reais), obteremos: •
5* (1,5)* (1,5)* (1,5)* (1,5)* (1,5)* (0,5)* (0,5)
* significa = multiplicado Se multiplicarmos 2 * 3, obtemos 6 •
2*3=6
e se multiplicarmos 3 * 2 também obteremos 6 •
3*2=6
E se multiplicarmos 2 * 3 * 5 : • • • • • •
2* 2* 3* 3* 5* 5*
3 5 2 5 2 3
* * * * * *
5 3 5 2 3 2
= 30 = 30 = 30 = 30 = 30 = 30
Como na multiplicação a ordem dos nº que estão sendo multiplicados não importa sempre chegaremos ao mesmo resultado. Emtão o maior e o menor valor do desconto será o mesmo e a diferença entre os dois será ZERO
resposta; Zero
JESUS TE AMA Postado por andre brecheret às 0 comentários
sexta-feira, 2 de outubro de 2009 Desafio:O comerciante de livros Classificação: Fácil Nº de " Chutes" possíveis: Desafio Discursivo Desafio loógico em si:
Um comerciante comprou alguns livros, todos pelo mesmo preço a um certo custo total em reais. Os dois primeiros livros, vendeu pela metade do preço de custo. Na venda dos restantes, obteve um lucro de 6 reais por livro. Se o lucro com a venda total dos livros foi de 47 reais, o menor valor possível para o nº de livros é?
Pimeira olhada:
Observaremos que o lucro obtido com a venda é obtido pelo nº de livros que foram vendidos com um lucro, menos prejuisos (se hover) veremos todos o valores possíveis para p ( prejuiso eqwuivalente a livros) também inteiro, substituiremos emM =( 59 + p) / 6 , então te
Solução Comenbtada: 1º passo( resumo): Resumindo: • • • •
n = nº de livros c = custo total preço de 1 livro lucro = 47 reais
2º passo:( compreendendo): O desafo nos diz:
1. O comerciante comprou alguns livros 2. Os 2 primeiros livros ele vendeu pela metade do preço de custo. 3. O outros livros ( o nº de livros menos 2) ele obteve lucro de 6 reais em cada livro. 4. O lucro da venda de todos os livros é 47 reais. Simplificando: 1. 2. (Prejuiso) = 2*(1/2)p 3. (Lucro) = (m - 2)*6 4. Lucro total = 47
===> 1p
* signifca = multiplicado por / signifca = dividido por • • • • • •
lucro de venda - prejuiso = lucro total (m-2) *6 - p = 47 6m - 12 - p = 47 6m - p = 47 +12 6m = 59 + p m =( 59 + p) / 6
3º passo: Como m ( nº de livros) é inteiro, e ao dividirmos 59 por 6( no caso de p ser 0,pois precisamos do menor valor possível (falado na pergunta)) obtemos 9,8333... então p não é igual a zero. E arredondo para um nº maior e inteiro o 9,8333... temos o 10 e substituindo no resultado temos: • • • • • • •
m= 10 m = (59 + p) / 6 10 = (59 + p) / 6 10*6 = 59 + p 60 = 59 + p 60 - 59 = p 1=p
O valor de p( prejuiso) é 1 real e o menor valor para m é 10 livros.
Resposta: 10 livros
JESUS, EU CONFIO EM VÓS. Postado por andre brecheret às 0 comentários
quarta-feira, 19 de agosto de 2009 jogadores: difícil Classificação: Difícil. Nº de "chutes" possíveis: Desafio Discursivo. Desafio Lógico em si: Um professor de Educação Física fez um treinamento, com controle de uma bola, com 9 alunos, os dividindo em 3 equipes, com 3 alunos cada.E cada equipe pode jogar com 2 alunos por partida e o aluno que a bola de voleibol cair mais vezes por partida entrava outro em seu lugar. E a cada partida era disputada por 2 equipes com 2 alunos cada e a equipe que ganhasse mias ( não deixe a bola cair mais vezes que a outra equipe) ganhava a partida e permanecia para a próxima partida, enquanto a outra equipe saia e dava lugar para a 3ª equipe (que não jogou essa partida) Sabendo que: 1. José, Maria e João são da mesma equipe. 2. Mariana, Felipe e Luciano são da mesma equipe. 3. Maycon, Luana e Katia são da mesma equipe. 4. José venceu 4 partidas, Maria venceu 1 partida e João venceu 3 partidas. 5. Mariana venceu 4 partidas, Felipe venceu 3 partidas e Luciano venceu 1 partida. 6. Luana venceu 4 partidas e Katia 3 partidas. 7. A equipe de ( José, Maria e João) venceram 1 partida. 8. A equipe de ( Mariana, Felipe e Luciano) venceram 4 partidas 9. A 1ª partida foi disputada por José e Maria contra Maycon e Luana. José e
Maycon venceram nas duplas e Luana e Maycon venceram na equipe. 10.Na 2ª partida Mariana venceu Felipe na dupla e os dois venceram na equipe. A questão é a seguinte: Quantas partidas Maycon venceu?, quantas partidas a equipe de (Maycon, Luana e Katia) venceram? e quantas partidas foram jogadas? Primeira olhada: No desafio encontramos as vitórias de um jogador e as de uma equipe, então observaremos as vitórias dos jogadores e depois a das equipes, sabendo que tem alguma relação pois a equipe depende de jogadores ( encaixarmos o nº de vitórias dos jogadores nas vitórias da equipe a qual ele pertence (e não esquecendo -se do nº de partidas jogadas, pois essa é uma das 3 equipes que jogaram) Solução comentada 1º passo( simplificando): Resumindo ( retirado palavras-chave, o principal) temos: Substituindo os nomes por letras temos: • • • • • • • • •
A = José B = Maria C = João D = Mariana E = Felipe F = Luciano G = Maycon H = Luana I = Katia
E substituindo nas pistas: 1. ( A, B, C) 2. (D, E, F) 3. (G, H, I) 4. A = 4 ; B = 1; C = 3 5. D = 4 ; E = 3 ; F = 1 6. G = ? ; H = 4 ; I = 3 7. ( A, B, C) = 1 8. (D, E, F) = 3 9. (G, H, I) = ? A letra sozinha significa apenas o jogador, mas quando tem 3 letras em parênteses ( ) ;Ex: (A,B,C), significa a equipe 2° passo: Utilizando a pista 9 (A 1ª partida foi disputada por José e Maria contra Maycon e Luana. José e Maycon venceram nas duplas e Luana e Maycon venceram na equipe.) encontramos: • • • • •
A = José B = Maria C = João D = Mariana E = Felipe
• • • •
F = Luciano G = Maycon H = Luana I = Katia
Usando um * para mostrar qual deles perdeu a partida: 1. AB* GH* E na 2ª partida Jogaram Mariana e Felipe e na dupla Mariana venceu 1. AB* GH* 2. G?H? DE* Não sabemos qual dupla venceu na 2ª partida, nem quem venceu na outra dupla (G H) 3° passo: Então agora observaremos apenas os alunos da dupla, observamos quantas vezes cada um venceu( pistas 4, 5, 6) e depois encaixaremos nas vitórias por equipe e usando o n° de vitórias de Maycon ( não é falado) como curinga ( pode assumir qualquer valor) Observaremos primeiramente os alunos da equipe (A, B, C ) 1. AB* E agora faremos A vencer até que complete 4 vitórias 1. AB* 2. AC* 3. AB* 4. AC* Agora faremos B ( o próximo a substituir c) vencer 1 vez 1. AB* 2. AC* 3. AB* 4. AC* 5. A*B E agora c ( o próximo a substituir A) vencerá 3 vezes 1. AB* 2. AC* 3. AB* 4. AC* 5. A*B 6. CB* 7. CA* 8. CB*
Agora com a equipe ( D, E, F ) • • •
D=4 E=3 F=1
na 1ª partida jogada por esses jogadores( 2° passo), temos:
1. DE* E agore D vencerá até 4 vezes: 1. DE* 2. DF* 3. DE* 4. DF* Eagora E vencerá 3 vezes 1. DE* 2. DF* 3. DE* 4. DF* 5. D*E 6. F*E 7. D*E E agora F vencerá 1 vez 1. DE* 2. DF* 3. DE* 4. DF* 5. D*E 6. F*E 7. D*E 8. FE* E agora com o que temos da equipe ( G, H, I) • • •
G=? H=4 I=3
E na 1ª partida dos jogadores: 1. GH* 2. G?I? Não sabemos que ganhou na 2ª partida, nem quanta votórias tem G Então então daremos a vitória a I e faremos ele vencer por 3 vezes 1. GH* 2. G*I 3. H*I 4. G*I Agora faremos H ( próximo , depois de G) vencer 4 vezes. 1. GH* 2. G*I 3. H*I 4. G*I 5. HI* 6. HG* 7. HI* 8. HG*
E como o próximo seria I, e nem I, nem H podem vencer na próxima partida , pois já venceram o nº de vezes que é dito nas pistas,.Então paramos por aqui, ou eefaremos , mas somente se nas equipes precissarmos. 4º passo: Então nas equipes venceram: 1. ( A, B, C) = 1 (pista 7) 2. (D, E, F) = 3 (pista 8) 3. (G, H, I) = ? (questão) Usando o 2º passo: 1. AB* GH* 2. GI DE E usando a 1ª letra da eqipe, para simplificar, obtemos: • • •
(A, B, C) = A (D, E, F) =D (G, H, I) = G
E usando um * , também para mostrar quem perdeu ( nesse caso a equipe que perdeu a partida) 1. A* G 2. G D Não sabemos quem ganhou a 2ª partida, mas sabemos que o nº de vitórias de cada equipe é • • •
A=1 D=3 G=?
Então faremos a equipe D vencer 3 partidas( essa e mais 2), escolhemos D pois não sabemos quantas vitórias G tem e o usaremos apenas para preecher as demais se precisarmos. 1. A* G 2. G* D 3. A* D 4. G* D 5. A* D Agora como a equipe D venceu 4 vezes e a próxima Equipe é G, então g vencerá, mas perderá da equipe A (que tem 1 vitória ) 1. A* G 2. G* D 3. A* D 4. G* D 5. A* D 6. G D* 7. A G* Pronto, conseguimos colocar as vitória para cada um dos que sabemos ( A e D ) e a equipe G será usada para enterar o nº de partidas usando o nº de viórias dos jogadores. A
1. AB* 2. AC* 3. AB* 4. AC* 5. A*B 6. CB* 7. CA* 8. CB* D 1. DE* 2. DF* 3. DE* 4. DF* 5. D*E 6. F*E 7. D*E 8. FE* G 1. GH* 2. G*I 3. H*I 4. G*I 5. HI* 6. HG* 7. HI* 8. HG* 9. ... 5º passo: Vemos que todaos os jogaram, no minímo 8 partidas cada equipe ( e G poder ter jogado mais ) E na vitórias das equipes temos: 1. A* G 2. G* D 3. A* D 4. G* D 5. A* D 6. G D* 7. A G* Então temos: • A = 4 ( faltam 4 para 8) • G = 5 (faltam no mínimo 3 para 8) • D = (faltam 3 para 8) Então acrecentaremos: 1. A* G 2. G* D 3. A* D 4. G* D 5. A* D 6. G D*
7. A G* 8. A D Mas tanto A quanto D já venceram o nº de partidas que foi dito nas pistas, então refaremos a 7ª partida ( G não perderá, e a vitória de A (A G*) vai para a última partida. E completaremos as partidas que faltam para ocorrerem na equipe • A faltam 4 para 8 partidas Então termos
1. A* G 2. G* D 3. A* D 4. G* D 5. A* D 6. G D* 7. A* G 8. G D* 9. A* G 10.G D* 11.A* G 12.G D* 13.A G* Então conseguimos todos e contaremos o nº de G ( não importa , por enquanto, se está ou não com * ). Temos 12 G , então aumentaremos nos jogadores da eqipe G ( G, H, I) o nº de partidas até chegar a 12: 1. GH* 2. G*I 3. H*I 4. G*I 5. HI* 6. HG* 7. HI* 8. HG* 9. HI Também os dois ( H e I) já venceram o nº de prtidas que foi dito nas pistas, então faremos o esmo que fizemos antes = refaremos o 8 ( HG*), colocando como vencedor o G ( H*G) e o HG* vai para a última partida ( 12) 1. GH* 2. G*I 3. H*I 4. G*I 5. HI* 6. HG* 7. HI* 8. H*G 9. GI* 10.H*G 11.GI* 12.HG*] Então agora, contando o nº de G ( jogador, não equipe) sem o * ( para
diferenciar: na equipe tem um espaço grande entre as letras e nos jogadores são unidas as letras), então temos: •
G=5
Então G ( Maycon ) venceu 5 partidas E contando o nº de G da equipe G (G, H, I ), temos: •
G (G, H, I) = 8
e Também: foram jogadas 13 partidas Resposta: Maycon venceu 5 partidas A Equipe de Maycon, Luana e Katia venceram 8 vezes e foram jogadas 13 partidas. PARA DEUS TUDO É POSSÍVEL
Postado por andre brecheret às 0 comentários
quarta-feira, 12 de agosto de 2009 Jogadores: Médio Classificação: Médio. Nº de “chutes” possíveis: Desafio discursivo. Desafio lógico em si: Um professor de educação física fez um treinamento com 4 alunos: Maria, André, João e Karine; onde treinaram controle de uma bola de Volei, jogando a bola para o outro e quem deixasse a bola cair entrava outro, que não estivesse jogando, no seu lugar. O professor fez um treinamento com 3 alunos controlando a bola e 1 entrando quando alguém deixasse cair a bola (uma vez) e os que não deixassem cair a bola venceriam a partida( vencendo 2 jogadores , por partida). Maria venceu 21 partidas, André venceu 12 partidas e João venceu 21 partidas. Quantas partidas Maria, André e João jogaram juntos? Sabendo que a 1ª partida foi jogada por Maria, André e João. Primeira olhada A 1ª partida foi jogada por Maria, André e João e o jogador que deixar a bola cair entra o outro, que não esteja jogando, no seu lugar( no caso : Karine, na 2ª partida) Sabendo que Maria venceu 21 vezes, André 12 vezes João 21 vezes e não fala o nº de vitórias de Karine e não usaremos essa informação, pois o desafio pede apenas o nº de vezes que os outros 3 jogaram juntos(Maria, André e João). Então colocaremos como vencedores da 1ª partida Maria e João até completar
21 partidas( cada um dos 2 venceu 21 vezes) e André vencerá 12 partidas. Solução comentada: 1º passo:( resumo) Maria = M ; André = A ; João = J ; Karine = K • * = perdedor ; (nada, apenas a letra) = vencedor (da partida) 2º passo: Na 1ª partida jogaram: Maria, André e João e venceram 2 jogadores: Maria e João( ambos tem 21 vitórias) e a partir daí André vencerá 12 partidas e Karine vencerá 12 vezes pois como Maria e João venceram 21 partidas e André venceu 12e como são 2vencedores por partida teremos para igualar as 12 vitórias de André também 12 para Karine: 1. M J A* 2. M J K* 3. M J A* 4. M J K* 5. M J A* 6. M J K* 7. M J A* 8. M J K* 9. M J A* 10. M J K* 11. M J A* 12. M J K* 13. M J A* 14. M J K* 15. M J A* 16. M J K* 17. M J A* 18. M J K* 19. M J A* 20. M J K* 21. M J A* 22. A K M* 23. A K J* 24. A K M* 25. A K J* 26. A K M* 27. A K J* 28. A K M* 29. A K J* 30. A K M* 31. A K J* 32. A K M* 33. A K J* E se você colocasse como os 2 vencedores da 1ª partida Maria e André: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
M A J* M A K* M A J* M A K* M A J* M A K*
7. M A J* 8. M A K* 9. M A J* 10. M A K* 11. M A J* 12. M A K* 13. M A J* 14. M J K* 15. M A J* 16. M J K* 17. M A J* 18. M J K* 19. M A J* 20. M J K* 21. M A J* 22. M K M* 23. J K A* 24. M K M* 25. J K A* 26. M K M* 27. J K A* 28. M K M* 29. J K A* 30. M K M* 31. J K A* 32. M K M* 33. J K A* Em ambos Maria , João e André jogaram juntos 11 vezes Resposta: 11 partidas. AMAI A TEU PRÓXIMO COMO JESUS AMA
Postado por andre brecheret às 0 comentários
Jogadores: fácil Classificação; Fácil Nº de "chutes" possíveis: Desafio discursivo. Desafio lógico em si: Adriano, Bruno e Carlos disputaram uma série de partidas de ténis de mesa. Cada vez que um jogador perdia, era substituído pelo que estava a esperar.A primeira partida foi disputada por Adriano e Bruno. sabe-se que Adriano venceu 12 partidas e Bruno 21 partidas. Quantas vezes Adriano e Bruno se enfrentaram? Primeira olhada: A primeira partida foi disputada por Adriano e bruno( não é falado quem ganhou a 1ª partida). Adriano venceu 12 partidas e Bruno venceu 21 partidas. O desafio fala que quando um jogador perde sai e entra outro em seu lugar na próxima partida, então observaremos as partidas onde Adriano ganha de Bruno, quando
Bruno ganha de Adriano, Adriano ganha de Carlos, Bruno ganha de Carlos, não observaremos as vezes que Carlos venceu, pois não é dito no desafio. Solução comentada 1º passo:( resumo) Quando Adriano venceu Bruno = A*/B Quando Adriano venceu Carlos = *_ Quando Bruno venceu Adriano = A/B* Quando Bruno venceu Carlos = _*Não importa colocar A*/C e B*/C, pois o desafio pede quantas vezes Adriano(A) e Bruno(B) jogaram juntos, então basta contar o nº de A/B 2º passo; Na 1ª partida Adriano e Bruno jogaram juntos, um dos dois venceu, colocaremos como foi Bruno que venceu, na 2ª partida o perdedor da 1ª sai e então entra o outro que estava esperando (Carlos), não importa que Carlos venceu, pois o que importa é quantas vezes Adriano e Bruno jogaram juntos. Adriano venceu 12 vezes e Bruno 21, então um dos dois vencerá, mesmo que Carlos possa vencer, não nos convém observar quantas vezes Carlos venceu. E na 3ª partida Carlos sai e entra Adriano e Bruno vence até completar 21 vitórias e depois Adriano vencerá 12 partidas. 1. A/B* 2. _* 3. A/B* 4. _* 5. A/B* 6. _* 7. A/B* 8. _* 9. A/B* 10._* 11.A/B* 12._* 13.A/B* 14._* 15.A/B* 16._* 17.A/B* 18._* 19.A/B* 20._* 21.A/B* 22._* 23.A/B* 24._* 25.A/B* 26._* 27.A/B* 28._* 29.A/B* 30._* 31.A/B* 32._* 33.A/B*
2º passo: Agora contarmos o nº de A/B = 17, então Adriano e Bruno jogaram 17 partidas juntos. Resposta: 17 partidas AMAR A DEUS SOBRE TUDO E SE APROXIMAR DE DEUS E TAMBÉM VER O AMOR E A MISERICÓRDIA DE DEUS NO PRÓXIMO, NOS APROXIMA DELE. Postado por andre brecheret às 0 comentários
quarta-feira, 24 de junho de 2009 Desafio: Moedas e notas Classificação: difícil Nº de “chutes” possíveis: Desafio discursivo Desafio lógico em si: Um garoto tem algumas moedas ou notas de um certo valor e também tem algumas moedas ou notas de outro valor. Esse garoto não informa se são moedas ou notas, informa que são dois tipos de unidades e que tem uma ou mais de cada uma das 2 unidades (moedas ou notas) que ele tem, mas também não diz quantas são, apenas dá algumas pistas: 1. a soma do nº de unidades( moedas e/ou notas) é 100. 2. A soma do valor que esse garoto tem é: 100 reais menos o resultado do: nº de unidades( moedas ou notas) que esse garoto tem menos delas, dividido pelo resultado da divisão( razão) entre : o maior nº de unidades pelo menor nº de unidades, menos 1. 3. O valor das unidades menos o valor de 1 unidade, que ele tenha o maior nº delas é igual a : divisão (razão) entre o maior e o menor nº de unidades que ele tenha, multiplicado por um nº primo( divisível apenas por 1 e por si0 4. O nº primo citado na pista 3 não tem como último algarismo o n º 1 5. O nº primo citado na pista 3 é formado pela multiplicação Do sucessor da razão (Divisão entre o maior e o menor nº de moedas que ele tem) pelo seu sucessor ( do sucessor da razão) e o resultado somado ao sucessor da razão mais o seu sucessor 6. A razão entre o maior e o menor nº de unidades que esse garoto tem é um nº inteiro A questão é a seguinte: Quantas moedas e/ou notas esse garoto tem e qual é o valor de cada moeda e/ou nota. Dica: (moedas: 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos e 1 real)( notas: 1 real, 2 reais 5 reais, 10 reais, 50 reais e 100 reais).E 1 centavo vale 0,01 real Método usado (analise superficial do que fazer com a informação contida no desafio) Observando as pistas e as compreendendo, se baseando em algumas encontraremos o valor e a quantidade de unidades e a partir do valor descobriremos se são notas ou moedas
Solução comentada: 1° passo: compreendendo ( simplificando) as pistas obtemos: 1. O n° de unidades ( moedas ou notas, não sabemos se são moedas ou notas) de um valor ( que também não sabemos qual é) mais o n° de unidades( que também não sabemos qual é) de outro valor (que também não sabemos qual é).Apenas a soma das unidades é 100 unidades ( 1 nota é 1 unidade e 1 moeda é 1 unidade). 2. O valor de uma unidade ( moeda ou nota) vezes quantas dessa unidade ele tem, mais o valor de outra unidade( moeda ou nota) vezes quantas dessa outra unidade ele tem é igual a : 100 reais, menos o resultado da divisão do menor n° de unidades ( que esse garoto tem menos delas) pelo resultado: da divisão do maior pelo menor n° deunidades , menos 1. 3. O valor total( citado na pista 2 ) menos o valor de 1 unidade ( que ele tenha menos delas) é igual a razão (divisão) entre o maior e o menor n° de unidades (que esse garoto tenha) vezes um n° primo ( divisível apenas por 1 e por si0 4. O ultimo algarismo ( digito ) do n° primo ( citado na pista 3 ) não é 1. 5. O n° primo citado na pista 3 é formado por ( igual a) multiplicação do sucessor da razão ( razão + 1 ), pelo seu sucessor ( da razão + 1) ; (razão + 1) + 1 =( razão + 2). E o resultado, mais a (razão + 1), mais a (razão + 2) 6. A razão entre o maior e o menor no de unidades que esse garoto tem é um n° inteiro, ou seja, se você multiplicar o menor n° de unidades por um certo n° inteiro, você obterá o maoir n° de unidades. 2° passo: Resumindo para simplificar, substituiremos as palavras por letras do alfabeto, e substituiremos nas pistas: • • • • • •
a = valor da unidade ( moeda ou nota) que o garoto tem mais delas. b = valor da unidade (moeda ou nota que o garoto tem menos delas. y = n° de unidades (moedas ou notas ) de valor b ( o garoto tem mais delas) x = n° de unidades ( moedas ou notas ) de valor a ( o garoto tem menos delas) p = n° primo c = razão entre y e x ( y/x), que é um n° inteiro)
3° passo; Substityuindo o resulmo nas pistas: 1. x + y = 100 2. ax + by = 100 - x/( y/x -1) 3. 100 - x/( y/x -1) - b = y/x *p 4. o último algarismo do n° primo (p ) não é 1 5. p = ( y/x +1) * (y/x+ 2) + (y/x + 1) + (y/x + 2) 6. y/x = c, c é inteiro • •
/ = dividido * = multiplicado
4° passo: Agora, para simplificarmos, substituiremos y/x por c: 1. x + y = 100
2. ax + by = 100 - x/( c -1) 3. 100 - x/( c -1) - b = c *p 4. o último algarismo do n° primo (p ) não é 1 5. p = ( c +1) * (c+ 2) + (c + 1) + (c + 2) 6. c é inteiro Sabendo que a razão entre y e x (y/x) é c, e multiplicando x por c obtemos y. • • •
y = xc y + x = 100 x + xc = 100
E colocamos em evidência ( simplificando os n° que tenha um mesmo multiplo, no caso x = xc, os dois x e xc tem o x, então dividimos por x, obtemos ( 1 + c) e colocamos o x multiplicando o (1 + c) • •
x * (1 + c) x * ( 1+c ) = 100
x * ( 1+c ) = 100 significa que ao multiplicarmos o nº de unidades ( moedas ou notas) que esse garoto tem menos delas pelo sucessor da razão 9 que é um nº inteiro, pista 6) obtemos 100 5º passo: Observamos todos os divisores ( nº que ao dividirmos o 100 obteremos um nº inteiro. • • • • • • • • •
1 * 100 = 100 2* 50 = 100 4 * 25 = 100 5 * 20 = 100 10 * 10 = 100 20 * 5 = 100 25 * 4 = 100 50 * 2 = 100 100 * 1 = 100
Então teremos os possíveis valores(divisores de 100) para ( c +1): •
1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100
E para obter c de ( c+1) subtrairemos 1 • • • • • • • • •
1, 1-1 = 0(não pode, pois c é a razão entre a maior e a menor unidade (y/x) e se c fosse (0) zero, o valor de y seria 0 ( zero) (0/x = 0)) c = 2-1 = 1 c = 4-1 = 3 c = 5-1 = 4 c = 10 -1 = 9 c = 20-1 = 19 c = 25-1 = 24 c = 50-1 = 49 c = 100-1 = 99
usando a pista 5: • • •
p = (c+1)*(c+2) + c + 1 + c + 2 p = ( c² + 2 c + c + 2 ) + c + 1 + c + 2 p = c² + 5c + 5
Encontramos (p = c² + 5c + 5) e substituindo o valor de c: • • • • • • • • •
p = c² + 5c + 5 c = 1, p= (1)² + 5*(1) +5, p = 11 c = 3, p= (3)² + 5*(3) +5, p = 29 c = 4, p= (4)² + 5*(34) +5, p = 41 c = 9, p= (9)² + 5*(9) +5, p = 131 c = 19, p= (19)² + 5*(19) +5, p = 461 c = 24, p= (24)² + 5*(24) +5, p = 701 c = 49, p= (49)² + 5*(49) +5, p = 2651 (11 * 241) c = 99, p= (99)² + 5*(99) +5, p = 10301
Usando a pista 4 ( o último algarismo ( digito) do nº primo não é 1), apenas uma (p = 29), não tem o último algarismo ( digito ) igual a 1.E 29 é primo( divisível apenas por 1 e por si) Os outros também são primos , exceto 2651, que é divisível por 11 e por 241, mas eles tem o último algarismo ( digito) igual a 1. Então c = 3 e p = 29 6º passo: Substituindo (c = 3) em x*(c + 1) = 100 • • • • • •
c=3 x*(c + 1) = 100 x*(3 + 1) = 100 x*(4) = 100 x = 100/4 x = 25
Como x = número de unidades ( moedas ou notas) de valor a ( o garoto tem menos delas). Esse garoto tem 25 unidades de valor a 7º passo: Como y = c*x • • • • •
c=3 x = 25 y = c*x y = 3 * 25 y = 75
Como y = número de unidades ( moedas ou notas) de valor b ( o garoto tem mais delas). Esse garoto tem 75 unidades de valor b 8º passo: Agora substituimos x = 25, y = 75, e c =3 na pista 3: • • • • • • • •
x = 25 y = 75 c=3 ax = by = 100 - x/(c-1) a*(25) +b*(75) = 100 - 25/(3 - 1) 25*(25) + b*(75) = 100 - 25/(2) 25*(25) + b*(75) = 100 - 12,5 25*(25) + b*(75) = 87,5
E isolando a letra ( b )
• •
75b = 87,5 - 25a b = ( 87,5 - 25a)/75
Usando a dica: (moedas: 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos e 1 real)( notas: 1 real, 2 reais 5 reais, 10 reais, 50 reais e 100 reais).E 1 centavo vale 0,01 real Então em reais: • • • • • • • • • • • •
1 centavo = 0,01 real 5 centavo = 0,05 real 10 centavo = 0,10 real 25 centavo = 0,25 real 50 centavo = 0,50 real 1 real ( moeda ou nota) 2 reais 5 reais 10 reais 20 reais 50 reais 100 reais
Agora substituiremos o valor de a em (b = ( 87,5 - 25a)/75), por todos os valores da lista anterior ( com todos os valores na mesma unidade ( real). se o resultado b for for um dos valores da lista, então encontraremos uma possibilidade de resposta: • • • • • • • •
a a a a a a a a
= = = = = = = =
0,01, b = ( 87,5 - 25*(0,01))/75, b = 1,1633...; não 0,05, b = ( 87,5 - 25*(0,05))/75, b = 1,15; não 0,10, b = ( 87,5 - 25*(0,10))/75, b = 1,133...; não 0,25, b = ( 87,5 - 25*(0,25))/75, b = 1,0833...; não 0,50, b = ( 87,5 - 25*(0,50))/75, b = 1; sim 1, b = ( 87,5 - 25*(1))/75, b = 0,83...; não 2, b = ( 87,5 - 25*(2))/75, b = 0,50; sim 5, b = ( 87,5 - 25*(5))/75, b = negativo; não
Naõ há moedas ou notas com valor negativo, para valores iguais ou maiores que 5, b é negativo. Observando a lista anterior, encontraremos 2 possibilidades para o valor das moedas ou notas a e b • •
a = 0,50; b = 1 a = 2; b = 0,50
Observando a pista 3 e substituindoo valor de b e os valores de x, c e p, encontrados nos passos anteriores: • • • • • • • •
b=1 x =25 c=3 p = 29 100 - x/(c-1) - b = c*p 100 -25/(3-1) - 1 = 3*29 100 - 25/(2) -1 = 87 100 -12,5 - 1 = 87
•
86,5 = 87
Observando que 86,5 não é 87, então a resposta não é (a = 0,50; b = 1) • • • • • • • • • •
b = 0,5 x =25 c=3 p = 29 100 - x/(c-1) - b = c*p 100 -25/(3-1) - 0,5 = 3*29 100 - 25/(2) -0,5 = 87 100 -12,5 - 0,5 = 87 100 - 13 = 87 87 = 87
Como 87 = 87, a = 2 e b = 0,50 Então o garoto tem 25 notas de 2 reais e 75 moedas de 50 centavos A minha confiança está no Senhor, que fez o céu e a terra Postado por andre brecheret às 0 comentários
segunda-feira, 11 de maio de 2009 Moedas e Notas Classificação: Médio Nº de "chutes" possíveis: Desafio discursivo Desafio lógico em si: Um garoto tem algumas moedas de 50 centavos, algumas notas de 5 reais e algumas notas de 10 reais. O nº de moedas de 50 centavos, mais o nº de notas de 5 reais , mais o nº de notas de 10 reais é 100 e a soma dos valores das moedas de 50 centavos, mais o das notas de 5 reais, mais o das notas de 10 reais é 100 reais. A questão é a seguinte: Quantas moedas de 50 centavos, quantas notas de 5 reais e quantas notas de 10 reais esse garoto tem? Método usado (análise superficial do que fazer com a informação contida no desafio) Observaremos as pistas: 1. A soma do valor das moedas de 50 centavos, do valor das notas de 5 reais e do valor das notas de 10 reais é 100 reais. 2. A soma do n° de moedas de 50 centavos, mais o n° de notas de 5 reais, mais o n° de notas de 10 reais é 100. Anularemos um dos valores e dos dois valores restantes encontraremos o valor dos n° por tentativa.O n° das moedas e notas é inteiro, já que você não encontra meia moeda ou nota, ou qualquer outra divisão. Solução comentada: 1° passo: (resumo) Resumindo: • • •
n° de moedas de 50 centavos = Z n° de notas de 5 reais = Y n° de notas de 10 reais = X
•
50 centavos = 0,50 reais
2º passo: Substituindo: 1. 10X + 5Y + 0,5Z = 100 2. X + Y =+ Z = 100 Multiplicaremos a 1ª por 2 para ficar com todos n° inteiros: 1. 20X + 10Y + 1Z = 200 2. X + Y + Z = 100 Multiplicaremos a 2ª por (-1) para eliminar o Z ao somarmos a 1ª com a 2ª. 1. 20X + 10Y + Z = 200 2. -X -Y -z = -100 • •
(20 - 1)X +( 10 - 1 )Y +(1-1)Z = (200 - 100) 19X + 9Y = 100
Então encontraremos Y: • •
9Y = 100 - 19X Y = ( 100 - 19X)/9
Então Y = ( 100 - 19X)/9 3º passo: Por tentativa, substituiremos o valor de X por um n° inteiro e positivo em Y = ( 100 - 19X) e se o resultado for positivo e múltiplo de 9, encontraremos o valor de Y • • • • • • •
X = 0, X = 1, X = 2, X = 3, X = 4, X = 5, X = 6,
Y = 100 positivo,não múltiplo de 9 Y = 81 positivo, múltiplo de 9 Y = 62 positivo,não múltiplo de 9 Y = 43 positivo,não múltiplo de 9 Y = 24 positivo,não múltiplo de 9 Y = 5 positivo,não múltiplo de 9 Y = -14 não positivo
A partir de X = 6, Y será negativo,Então o valor de X que faz Y ser positivo e múltiplo de 9 é X = 1. Então X =1, substituindo em Y = (100-19X)/9 • • • •
(100-19X) = 81 Y = (100-19X)/9 Y = 81/9 Y=9
Então Y = 9 4º passo: E substituindo X = 1 e Y = 9 em X + Y + Z = 100 • • • • • • •
X=1 Y=9 X + Y + Z = 100 (1) + (9) + Z = 100 10 + Z = 100 Z = 100 - 10 Z = 90
Então X (nº de moedas de 10 reais) é 1 nota, Y (nº de notas de 5 reais) é 9 notas e Z (nº de moedas de 50 centavos é 90 moedas Ainda que eu tivesse o dom da profecia, o conhecimento de todos os mistérios e de toda a ciência;ainda que eu tivesse toda a fé a ponto de transportar montanhas, se não tivesse Deus e amor eu não seria nada.