152292930 turbo libro dixon termodinamica de las turbomaquinas pdf by Andres Julian Buitrago Lamy

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B.Eng., Ph.D., C.Eng., MI.Mech. E. Lecturer in Mechanical Engineering at the University of Liverpool

Traducido del inglés por: Tomás Sánchez Lencero Dr. Ingeniero Industrial

Jesús Casanova Kindelán

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Ingeniero Industrial

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Profesores de la Catedra de Motores Térmicos de la ETS.LL de Madrid

editorial dossat, s.a.

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Prólogo a la edición española

La edición española de la obra de S.L. Dixon, <<Fluid Mechanics, Thermodinamics of Turbomachinery>>, que tengo la satisfacción de presentar, llena un vacío existente en la bibliografía sobre turbomáquinas en lengua castellana. Este libro, por su nivel científico y por su carácter eminentemente formativo, puede ser de gran interés para la enseñanza de las turbomáquinas en los centros de Ingeniería Superior y en general para cualquier estudioso del tema. El texto contiene abundantes referencias bibliográficas, y se complementa con otro libro del mismo autor con la resolución detallada de los problemas propuestos al final de cada capítulo. Ambos textos, de acuerdo con la recomendación internacional, están redactados utilizando unidades SI. No quiero terminar sin reconocer la valiosa labor realizada por los profesores T. Sánchez Lencero y J. Casanova Kindelán al traducir este libro, procurando en todo momento adaptar la terminología. técnica inglesa a los términos más extendidos en lengua castellana.

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, Manuel Muñoz Torralbo Dr. Ingeniero Industrial Catedrático Numerario de Motores Térmicos de la E.T.S.I.I. de Madrid. 1

Pergamon Press, Ltd. Oxford © EDITORIAL DOSSAT, S.A . (para la edición española) Plaza Santa Ana, 9 Madrid (España) 1981

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ISBN: 84-237~0500~5 Dep. Legal: B. 6435-1981 Printed in Spain Impreso en España G. Renacimiento - Avda. Cataluña, 31 - Sta. Coloma de Gramanet, 1981

XII

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Prólogo a la tercera edición inglesa

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Se han incorporado varias modificaciones al texto a la luz de los recientes avances en algunos asp~ctos del tema. Se ha incluido información adicional sobre el interesante fenómeno de cavitación y se ha añadido una nueva sección sobre el óptimo diseño de la admisión de bombas, juntamente con un ejemplo resuelto que toma en consideración los datos recientemente publicados sobre límites de cavilación, El capítulo sobre flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales ha sido ampliado: en particular, se ha clarificado el apartado que trata del diseño de flujo másico específico constante de una tobera de turbina incluyendo ahora las ecuaciones del flujo para la corona de rotor siguiente. Fueron necesarias algunas pequeñas alteraciones en la definición de las formas de los álabes; así, he tenido la oportunidad de incluir una versión simplificada de la línea de curvatura de arco de parábola, como las usadas para algunos álabes de baja curvatura, A pesar de una lectura cuidadosa, algunos errores se me escaparon aun en la segunda edición, Estoy muy agradecido a aquellos lectores que han detectado errores y me los han comunicado, A fin de ayudar al lector, he añadido por fin una lista de los símbolos utilizados en el texto .

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Prólogo a la segunda edición inglesa

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La primera edición de Fluid Mechanics, Thermodynamics of Turbomachinery fue muy bien recibida, pero ha estado sin reimprimir durante algún tiempo. En esta edición, revisada y ampliada, todas las cantidades dimensionales se dan solamente en unidades SI.* El SI es actualmente el único sistema de unidades utilizado para la enseñanza de ingeniería en colegios, politécnicos y universidades en el Reino Unido y su empleo se extiende rápidamente en muchas empresas industriales. Numerosos países que no utilizaban anteriormente el sistema métrico han reconocido sus ventajas y están empezando a usarlo. Recientemente, despertó mi interés (y me tranquilizó) la noticia, expuesta en Transactions O¡ the American Society of Mechanical Engineers, de que en el futuro todos los artículos técnicos presentados para su publicación tendrían que estar en unidades SI. El libro sigue las líneas generales de la primera edición, pero incluye más ejemplos resueltos,- pues se ha comprobado que son de la máxima utilidad para el estudiante. La ampliación del alcance de este libro ha determinado la adición de problemas con mayor variedad a la mayoría de los capítulos. Si esto puede preocupar al lector, le animará saber que en un futuro próximo se publicará otro volumen con las soluciones a estos probremas desarrolladas. He revisado detenidamente y ampliado el capítulo de turbinas de flujo radial, ya que en los últimos años han aparecido nuevos desarrollos e ideas en diversas revistas técnicas. El programa de investigación espacial de la NASA ha contribuido incidentalmente a dar un considerable ímpetu al desarrollo y optimización de las pequeñas turbinas radiales utilizadas en plantas de potencia que funcionan con turbinas de gas. Esta fuente ha proporcionado una contribución importante al capítulo 8.

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*SI es el símbolo aceptado para el Sistema Internacional de Unidades, que es !a forma moderna del sistema métrico aceptado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas (GCPM).

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Otros varios capítulos del libro presentan nuevos apartados a la luz de los recientes avances de los conocimientos y a causa de hechos que he descubierto y que han aumentado mis propios conocimientos sobre el tema. He añadido alguna información teór~ca y experimental acerca de los difusores y he considerado las correlaciones de cascadas, tanto americanas como británicas con mayor detalle que lo hice anteriormente. Se ha dedicado más atención a las máquinas de flujo compresible, incluyendo las definiciones exactas de alturas hidráulicas y rendimientos. Estoy muy agradecido a las sugerencias y comentarios útiles que he recibido de estudiantes, colegas de la Universidad de Liverpool y de otros países sobre la primera edición. En particular, me encuentro en deuda con los Ores. D. J. Ryley y W. A. Woods por dirigir mi atención a varias cosas oscuras y errores sin trascendencia que yo no había observado. Sería muy bien recibida la correspondencia con comentarios y crítica constructiva a propósito de la segunda edición. Por último, pero no en menor grado, deseo agradecer a Rosaleen Dixon su general avuda en e_ste libro, incluyendo el mecanografiado.

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S. L. Dixon

Lista de símbolos

A a

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CP C1, e C0

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Dh E, e

f g H H.,

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K, k L l M m N N,

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área velocidad del sonido, posición de la máxima curvatura anchura, máxima curvatura coeficiente de esfuerzo tangencial coeficientes de sustentación y resistencia calor específico a presión constante, coeficiente de presión calor específico a volumen constante velocidad absoluta velocidad del chorro fuerza de resistencia, diámetro relación de difusión equivalente diámetro hidráulico medio energía, energía específica aceleración aceleración de la gravedad altura hidráulica, altura del álabe altura neta positiva de succión entalpía específica rotal pía ángulo de incidencia constantes fuerza de sustentación longitud de la cuerda del álabe número de Mach masa, «peso» molecular velocidad de rotación velocidad específica (rev) velocidad específica de potencia (rev) velocidad específica de succión (rev) número de escalonamientos, índice politrópico "' presiOn transferencia de calor, caudal volumétrico título

XIII

....

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reacción, constante específica del gas número de Reynolds factor de recuperación constante universal de los gases radio entropía paso, entropía específica temperatura absoluta tiempo, espesor velocidad del álabe, energía interna energía interna específica volumen, volumen específico transferencia de trabajo transferencia de trabajo específico velocidad relativa fuerza axial direcciones coordenadas fuerza tangencial coeficiente de pérdidas por perfil número de álabes, parámetro de carga del álabe

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ángulo del flujo absoluto ángulo del flujo relativo

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circulación cociente de calores específicos ángulo de desviación ángulo de deflexión del fluido, efectividad de la refrigeración coeficiente de pérdida de entalpía rendimiento abertura mínima ángulo de curvatura del álabe, espesor por la cantidad de movimiento de la estela coeficiente de pérdidas por perfil viscosidad dinámica viscosidad cinemática ángulo de calado del álabe densidad

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Q Q, Q,

factor de deslizamiento coeficiente de cavitación del álabe par coeficiente de flujo, relación de velocidades factor de carga del escalonamiento velocidad de rotación ( rad/s) velocidad específica (rad) velocidad específica de succión (rad) verticidad coeficiente de pérdida de presión de parada

SUBINDICES promedio " ' compresor, cnttco difusor salida e ' hidráulico, tambor, rmz h ' entrada, rodete l id ideal ' isentrópico !S ' . medio, meridional, mecamco m N tobera componente normal n propiedad de parada, global o p politrópico, presión constante proceso reversible, rotor R r radial relativo rel isentrópico, condición de desprendimiento S isentrópico del escalonamiento SS turbina, cabeza, extremo, exterior, transversal t V velocidad X, y, z componentes coordenadas tangencial

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XIV

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• SUPERINDICES •

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por unidad de tiempo valor medio ángulo del álabe (para distinguirlo del ángulo del flujo) condición nominal

Indice General •

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Prólogo a la edición española . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

Prólogo a la tercera edición inglesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prólogo a la segunda edición inglesa .. ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista de símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

l. Introducción. Análisis dimensional: semejanza ................ . Definición de una turbo máquina Unidades y dimensiones ............................................ . Análisis dimensional y leyes de actuación Análisis del fluido incompresible Características de funcionamiento ................................ . Turbomáquina de geometría variable Velocidad específica ................................................. . Cavitación .............................................................. . • " ................................................ . L1mttes d e cavttacton Análisis del fluido compresible . 00

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Referencias ............................................................ . Problemas .............................................................. . 2. Termodinámica básica, mecánica de fluidos: definiciones de rendimiento ............................................................. La ecuación de la continuidad ..... El primer principio de la termodinámica - energía interna . . . Segunda ley del movimiento de Newton .................. Segunda ley de la termodinámica · entropía Definiciones de rendimiento . 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . 0 0 . . .

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XVI

1 1 4 6 8 10 13

14 17

19 20 25 26 27 27 28 30 35 37

XVII

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Referencias ............................................................ . Problemas .............................................................. .

51 51

3. Estudio bidimensional del flujo en cascadas ..................... . Nomenclatura de la cascada ......................... ·; .............. . Análisis de fuerzas en cascadas ................................... .. Pérdidas de energía .................................................. . Sustentación y resistencia ........................................... . ]acton " y sus tentac10n " .......................................... . e 'trcu Rendimiento de una cascada de compresor .................... . Actuación de cascada con flujo bidimensional ................. . Túnel de viento para ensayos' de cascadas ....................... . Resultados de los ensayos en cascadas .......................... .. Actuación de una cascada de compresor ....................... .. Actuación de una cascada de turbina ............................ . Correlaciones para cascadas de compresor ..................... . Desviación del fluido ................................................ . Actuación fuera de diseño .......................................... . Efectos del número de Mach ....................................... . Correlación para cascadas de turbina (Ainley) ................ . Relación paso-cuerda óptima de álabes de turbina (Zweifel) .. Referencias ............................................................ . Problemas .............................................................. .

61 62 64 65 67 69 70 72 72 75 77

S. Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . Análisis bidimensional del escalonamiento de compresor . . . . . . . Diagramas de velocidades de un escalonamiento de compresor ............................. .................................... ........ Termodinámica del escalonamiento de compresor .. .. .. .. .. .. Pérdidas en el escalonamiento y rendimiento .. .. .. .... .. .. .. .. . Grado de reacción .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. . .. . .. Elección del grado de reacción .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. . Carga del escalonamiento .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . Característica de funcionamiento fuera de diseño simplificada . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aumento de presión en un escalonamiento .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Relación de compresión de un compresor de varios escalonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimación del rendimiento del escalonamiento de compresor . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidad de los compresores .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. Ventiladores carenados de flujo axial .. .............. ............. Teoría del elemento de álabe ....... :.. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . Rendimiento del elemento de álabe .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. Coeficiente de sustentación de un perfil aerodinámico de un ventilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 81 87

88 91 92 100 102 103

4. Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional ................... . Introducción ........................................................... . Diagramas de velocidades de un escalonamiento de turbina axial ...................................................................... . Termodinámica del escalonamiento de turbina axial ........ .. Pérdidas en el escalonamiento y rendimiento .................. . Correlación de Soderberg .......................................... . Tipos de diseño de turbinas axiales .............................. .. Reacción de escalonamiento ....................................... . Difusión en el interior de las coronas de álabes ................ . Elección del grado de reacción y su efecto en el rendimiento .. Máximo rendimiento total a estático de un escalonamiento reversible de turbina ................................................ .. Características del flujo de una turbina ......................... .. Características del flujo de una turbina de varios escalona• mtento_s .................................................................. . Referencias ............................................................ . Problemas ...............................................................

107 107 108 109 111 113 116 117 121 127 128 132 133 137 137

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Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales . . . . . . . . . . . . . . Teoría del equilibrio radial .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. El problema indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El problema directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flujo compresible a través de una corona fija de álabes .. .. .. Flujo másico específico constante .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. Actuación fuera de diseño de un escalonamiento .. .. .. .. .. .. .. Escalonamiento de turbina de torbellino libre .. . .. .. .. .... .. .. . Método del disco actuador .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Efectos de interacción entre coronas de álabes . . . . . . . . . . . . . . . . . Métodos para resolver el problema del flujo continuo con ayuda de computador . ... .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . . .. . .. . .. .. . .. .. .. .. Flujos secundarios . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . Referencias . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . Problemas .............. ...... ... ................. ........ ..... .. ...... ..

141 141 143 144 145 147 148 149 151 152 155 156 158 166 169 171 173 175 176 177 181 182 185 196 198 199 203 205 210 213 215 216 219 219

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7. Bombas, ventiladores y compresores centrífugos . . . . . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis teórico de un compresor centrífugo .. .. .. .. .. .... .. .. .. Carcasa de admisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rodete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Difusor . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limitaciones de la velocidad de entrada .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Diseño óptimo de una admisión de bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diseño óptimo de una admisión de compresor centrífugo . . . . . . Prerrotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor de deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aumento de altura hidráulica de una bomba centrífuga . ... . . Relación de compresión de un compresor centrífugo . . . . . . . . . Número de Mach en la salida del rodete .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . El sistema difusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bloqueo en un escalonamiento de compresor .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Turbinas de flujo radial .·.............................................

223 223 224 227 227 228 231 231 233 235 238 239 245 247 250 254 256 259 260

CAPITULO 1

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Introducción: Análisis dimensional: Semejanza.

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Si has conocido uno has conocido todos. (TERENCIO, Phorm¡·,).)

DEFINICION DE UNA TURBO MAQUINA

Clasificamos corno turbomáguina tbdos aquellos mecanismos en los que se intercambia energía con un fluido, que circula a través de ellos de forma continua, por la acción dinámica de una o más coronas de álabes móviles. La palabra turbo o turbinis es de origen latino e implica que aquéllas giran. Esencialmente, una corona de álabes giratoria o rotor varía la entalpía de parada del fluido que circula por ella, dando un trabajo positivo o negativo, dependiendo del resultado exigido a la máquina. Estas variaciones de entalpías están íntimamente ligadas a los cambios de presión que simultáneamente tienen lugar en el fluido. La definición de turbomáguina establecida anteriormente es demasiado general para los propósitos de este libro, ya que abarca turbomáquinas abiertas, tales como hélices, molinos de viento y ventiladores, que afectan a una cantidad indeterminada de fluido. La discusión, por tanto, se limita a turbomáquinas con envolvente, a través de las cuales pasa una cantidad finita de fluido por unidad de tiempo. El tema de las turbomáquinas abiertas entra dentro del ámbito de los textos de aerodinámica general tales como el de Glauert. 1 Se conocen dos tipos principales de turbomáquinas: en primer lugar, aquellas que absorben potencia para incrementar la presión o

263 263 265 268 272 277 278 280 281 285

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos de turbinas radiales centrípetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Termodinámica de la turbina centrípeta a 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rendimiento en el punto de diseño .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Expresiones del número de Mach .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Coeficientes de pérdidas en turbinas centrípetas a 90° . . . . . . . . Condiciones de funcionamiento fuera de diseño . . . . . . . . . . . . . . . Criterio para mínimo número de álabes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Significado y aplicaciones de la velocidad específica . . . . . . . . . . Selección del óptimo diseño de turbinas radiales centrípetas a 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Pérdidas intersticiales y de ventilación .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . 294 Límites de la relación de presiones de una turbina centrípeta a90° ...................................................................... 295 Turbinas centrípetas a 90° refrigeradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Referencias ................................... ·.......................... 299 Problemas ............................................................... 300 Apéndice l. Conversión de unidades Británicas a unidades SI . . . . . ~péndice 2. Soluciones de los problemas .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

303 304 307

1 •

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Termodinámica de las Turbomáquinas

Análisis dimensional: Semejanza

Alabes del rotor

Alabes

Alabes de salida

Flujo--.

Flujo~

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(a) Compresor o bomba de escalonamiento único de flujo axial -

.(b) Bomba de flujo mixto

Dirección del flujo

Paletas

Alabes del rodete

''--- Difusor de salida Difusor sin álabes

Tubo de as~drac:ión~._J Rodete (e) Compresor o bomba centrifuga

(d) Turbina Francis (tipo flujo mixto) Paletas guiadoras

e;:'

Tubo de aspiinlCión o difusor

•-•

----r(e) Turbina Kaplan

altura hidráulica del fluido (soplantes, compresores y bombas); en segundo lugar, aquellas que producen potencia expansionando el fluido hasta una presión o altura hidráulica más baja (turbinas de vapor, de gas e hidráulicas). La figura 1.1. muestra, de una forma esquemática sencilla, una selección de los muchos tipos diferentes de turbomáquinas que se encuentran en la práctica. La razón por la que se utilizan tantos tipos de bombas (compresores) o turbinas es la gama casi infinita de las necesidades de servicio. Hablando en general, para un conjunto de requerimientos de explotación dado hay un tipo de bomba o turbina más adaptado para proporcionar las condiciones óptimas de funcionamiento. Este punto se discute más ampliamente en la sección de este capítulo que trata de la velocidad específica. Las turbomáquinas se clasifican, además, de acuerdo con la naturaleza de la trayectoria del flujo a través de los conductos del rotor. Cuando la trayectoria del flujo que atraviesa la máquina es total o principalmente paralela al eje de rotación, el mecanismo se conoce como turbomáquina de flujo axial [fig. 1.1 (a) y (e)]. Cuando la trayectoria del flujo está total o fundamentalmente en un plano perpendicular al eje de rotación, el mecanismo se llama turbomáquina de flujo radial [fig. 1.1 (e)]. En las figuras 7.1, 7.2 y 8.2 se muestran esquemas más detallados de máquinas de flujo radial. Muchas veces se utilizan turbomáquinas de flujo mixto. El término flujo mixto se refiere en este contexto a la dirección del flujo en la salida del rotor, cuando ambas componentes de la velocidad, axial y radial, tienen un valor importante. La figura 1.1 (b) muestra una bomba de flujo mixto y la figura 1.1 ( d), una turbina hidráulica de flujo mixto. Puede hacerse uni nueva clasificación. Todas las turbomáquinas • pueden clasificarse como máquinas de acción o de reacción según que no exista o exista, respectivamente, variación de presión en el flujo a través del rotor. En una máquina de acción toda la variación de presión tiene lugar en una o más toberas, siendo dirigido el fluido hacia el rotor. La rueda Pe!ton [fig. 1.1 (f)] es un ejemplo de una turbina de acción. El principal propósito de este libro es examinar, por medio de las leyes de la Mecánica de Fluidos y de la Termodinámica, los métodos por los que se consigue el intercambio de energía en los principales •

•

Tobera

Rueda

Chorro (f) Rueda Pelton

FIG. 1.1.

Esquema de varios tipos de turbomáquinas.

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-~--------~------

Análisis dimensional: 'Semejanza

Termodinámica de las Turbomáquinas

tipos de turbomáquinas, jU:nto con el diferente comportamiento de los tipos particulares en funcionamiento. Los métodos para analizar

los procesos del flujo difieren, dependiendo de la configuración geométrica de la máquina, de si el fluido puede ser o no considerado como incompresible y de si la máquina absorbe o prod•.1ce trabajo. 1

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Siempre que sea posible, se adoptará un tratamiento unificado a fin de que las máquinas de configuraciones y funciones similares se consideren a la vez. •

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UNIDADES Y DIMENSIONES

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' '

Las unidades básicas del sistema SI utilizadas en Mecánica de Fluidos y Termodinámica son: metro (m), kilogramo (kg), segundo (s) y temperatura termodinámica (K). Las demás unidades utilizadas en este libro son derivadas de estas unidades básicas. La unidad de fuerza es el NEWTON (N), definido como aquella fuerza que, aplicada a una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado. La unidad de presión recomendada es

el PASCAL (Pa) que es la presión ejercida por una fuerza de 1 newton uniformemente distribuida sobre un área de -1 metro cuadrado. Sin embargo, existen otras unidades de presión que son de

extenso uso. siendo la principal el BAR. Muchos datos básicos concernientes a propiedades de sustancias (tablas de vapor y de gas, ábacos, etc.) se han preparado en unidades SI con la presión dada en bares, y se reconoce que esta unidad alternativa de presión continuará utilizándose durante algún tiempo por una cuestión de

conveniencia. Obsérvese que 1 bar es igual a 105 Pa (es decir 105 N/m 2 ), aproximadamente la presión atmosférica a nivel del mar, y es quizás una unidad de presión incómodamente grande, en el campo de

las turbomáquinas. En este libro el tamaño práctico del kilo Pascal (kPa) resulta ser el múltiplo de la unidad recomendada más útil y se usa ampliamente en ia mayor parte de los cálculos y ejemplos. En el sistema SI las unidades de todas las formas de energía son las mismas que para el trabajo. La unidad de energía es el JULIO (J), que es el trabajo realizado cuando una fuerza de 1 newton se desplaza una distancia de 1 metro en la dirección de la fuerza, por ejemplo, la 4

( 1/ 2

energía cinética mc tiene las dimensiones kg x m /s ; sin embargo, 1 kg = 1Ns 2/m de la definición de newton dada anterior)

mente. Por tanto, sustituyendo las dimensiones, las unidades de energía cinética tienen que ser N m = 1. El WATIO (W) es la unidad de potencia; cuando 1 watio se aplica

durante 1 segundo a un sistema, la energía aportada al sistema es 1 julio (es decir lJ), El HERTZ (Hz) es el número de repeticiones de un suceso regular en 1 segundo. En vez de escribir c/s para ciclos/seg, se utiliza Hz. La unidad de temperatura termodinámica es el KEL VIN (K), escrito sin el signo 0 , y es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. El GRADO CELSIUS (0 C) es igual a la unidad kelvin. El cero de la escala Celsius es la temperatura del punto de solidificación del agua (273,15 K). La capacidad de calor específico, o simplemente el calor específico, se expresa en J/kg K o en J/kg oe, Las unidades de la viscosidad dináinica, cuyas dimensiones son

ML _, T _,, son en el SI Pascal segundos, es decir: M kg Ns' - ::_:.:;,,- = Pa s. LT m.s m. s Los ingenieros hidráulicos encuentran conveniente expresar la presión en términos de altura de un líquido. La presión estática en

cualquier punto de un líquido en reposo es, relativa a la presión que actúa en la superficie libre, proporcional a la distancia vertical hasta la superficie libre por encima de dicho punto. La altura H es simplemente la altura de la columna de líquido que puede ser soportado por esta presión. Si p es la densidad (kg/m 3 ) y g la aceleración de la gravedad local (m/s 2 ) entonces la presión estática p (relativa a la presión atmosférica) es p = p gH, donde H está en metros y p en Pascales (o N/m 2). La comprobación se deja para el estudiante comó un simple ejercicio. Habrá, sin duda, algunos problemas causados por la conversión a

las unidades SL Un problema destacado que el estudiante o el ingeniero deben tener en cuenta, es que muchos artículos o textos.

valiosos escritos antes de 1969 contienen datos en unidades que no 5

Termodinámica de las Turbomáquinas

Análisis dimensionaJ: Semejanza

son del sistema SI. El folleto preparado por el National Physical

Superficie de control

Laboratory 6 proporciona la -información necesaria para la conversión

r - - --

de los valores expresados en las antiguas unidades inglesas de medida a los correspondientes valores en unidades del sistema métrico (SI). En un Apéndice del presente volumen se da un breve resumen de los factores de conversión entre las unidades inglesas más frecuentemen-

' 1; 1 •

te usadas y las unidades S!. Más información suplementaria se ofrece en un folleto de la Royal Society7 con definiciones, nombres y símbolos internacionalmente aceptados para las unidades, y con reglas para la expresión de relaciones que ligan números entre cantidades físicas y unidades.

1 1

ANALISIS DIMENSIONAL Y LEYES DE ACTUACION

La comprensión más amplia del comportamiento general de todas las turbomáquinas se obtiene, sin duda, del análisis dimensional. Es éste un procedimento formal por el cual el conjunto de variables que representan alguna situación física se reduce a un número más •

pequeño de grupos adimensionales. Cuando el número de variables independientes no es demasiado grande, el análisis dimensional

permite encontrar con mucho menor trabajo relaciones experimenta-

'!r .'; ' ! '!

'•• '

' 1

1' ;

¡''. 1'

•

les entre dichas variables. El análisis dimensional aplicado a las turbomáquinas tiene dos importantes usos adicionales: (a) la predicción de la actuación de un prototipo a partir de los ensayos realizados

en un modelo a escala (semejanza); (b) la determinación del tipo más apropiado de máquina, partiendo de una base· de rendimiento· máximo, para una gama específica de salto, velocidad y caudal. Bradshciw 2 ha descrito varios métodos de construir grupos adimensio-

nales en otro volumen de esta serie, y Hunsaker y Rightmire 3 dan un tratamiento más detallado del tema. Se supone aquí que el estudiante ya ha aprendido las técnicas básicas de formación de grupos adimensionales.

Adoptando un método simple de termodinámica elemental, se dibuja alrededor de la turbomáquina una envoltura imaginaria (llamada superficie de control) de forma, posición y orientación fijas (fig. 1.2). A través de este límite, el fluido circula continuamente,

(1)-: !

,------,

1 1

1 Motor

FIG. 1.2.

Volumen de control

Válvula de estrangulamiento

1 1

1 1 (2)

L ________ -.J

Turbomáquina considerada como un volumen de control.

entrando en la situación 1 y saliendo en la situación 2. Además del flujo de fluido hay un flujo de trabajo a través de la superficie de control, transmitido pór el eje a, o desde, la máquina. Por ahora,

todos los detalles del flujo dentro de la máquina pueden ignorarse y solamente es necesario considerar las características observadas

externamente, tales como velocidad del eje, caudal, par y cambio en las propiedades del fiuido a través de la máquina. Para ser específicos, sea la turbomáquina una bomba (aunque el análisis podía aplicarse a otras clases de turbomáquinas) accionada por un motor eléctrico. La velocidad de rotación N puede ajustarse variando la corriente suministrada al motor; el caudal en volumen Q puede

ajustarse independientemente por medio de una válvula de mariposa. Para valores dados de Q y N, todas las demás variables, tales como par "· salto H, están por esa razón determinadas. La elección de Q y N como variables de control es totalmente arbitraria, y podía haberse elegido igualmente cualquier otro par de variables independientes, tales como "y H. Lo importante a tener en cuenta es que para esta

bomba hay dos variables de c;ontrol. Si el fluido que evoluciona se cambia por otro de densidad p y viscosidad ¡.¡ diferentes, se verá afectado el comportamiento de la máquina. Observemos también que, para una turbomáquina que

utiliza fluidos compresibles, son importantes otras propiedades del fluido que se discutirán más tarde. Hasta el momento, hemos considerado solamente una turbomáquina particular, a saber, una bomba de un tamaño dado. Para generalizar esta discusión, hemos de incluir ahora el efecto de las

)

Termodinámica de las Turbomáquinas

variables geométricas en el comportamiento de la turbomáquina. El tamaño de la máquina se caracteriza por el diámetro D del rodete, y la forma puede expresarse mediante diversas relaciones entre longitudes, 11/D, lzf D, etc.

••

-;: 1

.¡, =

•

1 .

1 •

¡'

(ND) 2 =

1•

( Q

pN D

N D3'

Q pND 2

' ''

7J=Is ND 3 '

1, 12

)

D' ¡¡• . . . '

./.

•!)•¡¡•···.

(1.2a)

(1.2b)

ANALISIS DEL Ft:f.tfo INCOMPRESIBLE

Coeficiente de potencia

La actuación de una turbomáquina puede expresarse ahora en términos de variables de control, variables geométricas y propiedades del fluido. Para la bomba hidráulica es conveniente considerar la energía transferida neta gH, el rendimiento r¡, y la potencia suministrada P, como variables dependientes y escribir las tres relaciones funcionales como •

•

gH = /

=12

. 1, /2 ( Q, N, D, p, p., D , /)' ... ,

Q,N, D,p,p.,

1, 1,

D' Ji' ... '

(l.la)

1, 12 ) p =l. Q,N,D,p,J.L,D'D'''''

(l.lb) (l.lc)

P _ ( Q pND 2 11 12 pN 3 D 5 - I6 ND 3 ' fL 'D'D''' ..

Q =. •

,•, ',,

(1.2c)

El grupo adimensional Q/(ND 3 ) es un coeficiente de. flujo volumétrico y pND 2 /f1 es una forma del número de Reynolds, Re. En turbomáquinas de flujo axial; una alternativa a Q/(ND 3 ) usada frecuentemente es el coeficiente de velocidad (o de flujo) </> = c)U donde U es la velocidad de la punta del álabe y ex la velocidad axial media. Puesto que

, 1

Análisis dimensional: Semejanza

Cx X

área del flujo oc

U oc ND,

entonces

' '

\:r

., '

1, •

•

'' ''' .

.•

Por el procedimiento del análisis dimensional usando las tres dimensiones primarias, masa, longitud y tiempo o, alternativamente, usando tres de las variables independientes podemos formar grupos adimensionales. Este último procedimiento, más directo, requiere · que las variables seleccionadas, p, N, D, no formen por sí mismas un grupo adimensional. La selección de p, N, D, como factores comunes evita la aparición de términos especiales del fluido (por ejemplo fl, Q) en más de un gmpo y permite obtener gH, r¡ y P de forma explícita. De este modo, las tres relaciones se reducen a las formas siguientes fácilmente comprobables. El coeficiente de transferencia de energ,!a, a veces llamado coeficiente de carga

1 •1

--····

'· '

...

A causa del gran número de grupos independientes de variables en el miembro de la derecha de las ecuaciones (1.2), aquellas relaciones son virtualmente inútiles a menos que ciertos términos puedan ser desechados. En una familia de máquinas geométricamente semejántes, / /D, 12 /D son constantes y pueden eliminarse en el acto. La 1 viscosidad cinemática, v = ¡Up es muy pequeña en turbomáquinas que trabajan con agua, y, aunque la velocidad (expresada por ND) es baja, el número de Reynolds es correspondientemente alto. Los experimentos confirman que los efectos del número de Reynolds en la actuación de la máquina son pequyños y pueden ignorarse en una

Análisis dimensional: Semejanza

Termodinámica de las Turbomáquinas

primera aproximación. Las relaciones funcionales para turbomáquinas hidráulicas geométricamente semejantes son entonces, •

. '

.fr = f 4 [Q/(ND')]

(1.3a)

7J = f,[Qj(N D')]

(l.3b)

P = f 6 [Qj(ND 3 )].

(1.3c)

Esto es todo lo que puede hacerse sólo con el razonamiento del análisis dimensional; la forma real de las funciones f 4 , f 5 , y f 6 tiene que determinarse experimentalmente. ' Se puede formular inmediatamente una relación entre 1/J, rp, ~y P. Para una bomba la potencia hidráulica neta, PN es igual a pQgH, que es la mínima potencia requerida en el eje en ausencia de todas las pérdidas. Ningún proceso real de conversión de potencia está libre de pérdidas, y la potencia real en el eje P tiene que ser mayor que PN. Definimos el rendimiento de la bomba (las definiciones más precisas de rendinúento se establecen en el Capítulo 2) como r¡ = P NI P = pQgHIP. Por tanto

•

¡ ¡

gH ' s (ND)' pN D .

'. '

(1.4)

' '' \ '-

De este modo, f 6 puede deducirse de f 4 y f 5 , ya que É' = 1> 1/J /~. Para una turbina la potencia hidráulica neta PN sumillistrada es mayor que la potencia real en el eje desarrollada por la máquina, y el rendimiento es r¡ = PIPN. Esto se puede volver a escribir como P' = r¡ q; 7.jJ por un razonamiento similar a las consideraciones anteriores.

CARACTERISTICAS DE FUNCIONAMIENTO

•

La condición de funcionamiento de una turbomáquina será dinámicamente semejante para dos velocidades de giro diferentes si todas las velocidades del fluido en puntos correspondientes dentro de la máquina tienen la misma dirección y son proporcionales a la

velocidad del álabe. Si dos puntos, uno en cada una de las dos características diferentes de carga-caudal, representan el funcionamiento dinámicamente semejante de la máquina, entonces puede esperarse que los grupos adimensionales de las variables involucradas, sin tener en cuenta los efectos del número de Reynolds, tengan el mismo valor numérico para ambos puntos. Con esta base, la presentación adimensional de los datos de actuación tiene la importante ventaja práctica de reducir virtualmente a una única curva los resultados que, de otra manera, requerirían una multiplicidad de curvas si se dibujaran dimensionalmente. La evidencia que confirma la afirmación anterior se proporciona en la figura 1.3, que muestra los resultados experimentales obtenidos por el autor (en la Universidad de Liverpool) en una sencilla bomba centrífuga de laboratorio. Dentro del rango normal de funcionamiento de esta bomba, 0,03 < Q/(ND') < 0,06, es evidente la muy pequeña dispersión sistemática que puede asociarse con el efecto del número de Reynolds, para el intervalo de velocidades 2500 :S N< 5000 rev/min. Para caudales más pequeños, Ql (ND 3 ) < 0,025, el flujo llegó a ser inestable y las lecturas del manómetro de dudosa exactitud, pero, no obstante, las condiciones de semejanza dinámica aún parecen ser válidas. Examinando los resultados para altos caudales, uno se sorprende por la acusada desviación sistemática lejos de la ley de «única-curva» al aumentar la velocidad. Este efecto es debido a la cavitación, un fenómeno de alta velocidad de las máquinas hidráulicas causado por el desprendimiento de burbujas de vapor a bajas presiones, que se discute más tarde en este capítu~o. Quedará claro por ahora que, bajo condiciones de cavitación en el flujo, la semejanza dinámica no es posible. Los resultados adimensionales en la figura 1.3 se han obtenido, naturalmente, para una bomba particular. Estos serían también aproximadamente válidos para una gama de tamaños de bomba diferentes más o menos amplia, siempre que estas bombas sean geométricamente semejantes y no exista cavitación. De este modo, despreciando cualquier cambio en el comportamiento debido a la variación del número de Reynolds, los resultados dinámicamente semejantes de la figura 1.3 se pueden aplicar a la predicción de las características dimensionales de funcionamiento de una bomba dada

----------

-·-- ------------'-------------'

Termodinámica de las Turbomáquinas

Análisis dimensional: Semejanza

&·O f-

para una serie de velocidades deseada. La figura 1.4 muestra tal representación dimensional. De la discusión anterior quedará claro que el lugar geométrico de los puntos con semejanza dinámica en el plano H-Q forma una parábola tal que H varía con N 2 y Q varía con N.

+ !'

4·0

~~~ !

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•

2·0

"."' e

• 1 1

-•

Nota: gH In m /s Mrev/s

•..

"~ + ' o ox +

Obsérvese el deterioro_.......+

de la actuación a altas

velocidades (efecto debido a

cavitación)

0"02

1 Q m /s

rev/min 'o ox 2500 3500 o o 4500 + + 5000

1·0

Clave:

3·0

+ " o "6 .O

"<o

0·06

•.

Coeficiente de flujo Q{(I!Dl)

FIG. 1.3. "1 • •

Características adimensionales altura hidráulica-volumen de una bomba . centrífuga

--- -- Lugar geométrico de las ___-; condiciones de semejanza dinámica

- - - - .! ::_3{jOo ''WmJn 1

- - - ':]500 revh l.

..1"

4.0

'1·;l

/ /

0----~.---~----.~--~--0.2 0.4 0.6 0.8

• '

Caudal!, Q dm3/s

FIG. 1.4.

Extrapolación de las curvas características para condiciones de semejanza dinámica para N = 3500 rev/min.

TURBOMAQUINAS DE GEOMETRIA VARIABLE El rendimiento de una máquina de geometría fija, sin considerar los efectos del número de Reynolds, es una función única del coeficiente de flujo. Tal dependencia se representa por la línea (b) en la figura 1.5. Naturalmente, en condiciones fuera de diseño tal máquina es enormemente ineficiente, y los diseñadores a veces recurren a una máquina de geometría variable a fin de obtener mejor partido al cambiar las condiciones del flujo. La figura 1.6 muestra un esquema de una bomba de flujo mixto seccionada, en la cual los ángulos de los álabes del rodete pueden ser variados durante el funcionamiento de la misma. (Una disposición similar se usa en turbinas Kaplan, figura 1.1.) El movimiento de los álabes se lleva a cabo por levas movidas por un servomotor. En algunas instalaciones muy grandes, que desarrollan .muchos miles de kilowatios con condiciones de funcionamiento fluctuantes, los sofisticados sistemas de control pueden incorporar un computador electrónico. Las líneas (a) y (e) de la figura 1.5 muestran las curvas de rendimiento para otras posiciones de los álabes. Cada una de estas curvas representa, hasta cierto punto~ una máquina de geometría constante diferente. Para tal bomba de geometría variable la línea de funcionamiento deseada corta los puntos de rendimiento máximo de cada una de estas curvas. Introduciendo la variable adicional f3 en la ecuación (L3) para representar la posición de los álabes, podemos escribir

"'=¡,c.¡,, {3);

'l =

/2(.¡,, {f).

(1.5)

Por otra parte, con f3=h(</>,r¡)=f4 (</>,1jJ), f3 se puede eliminar para dar una nueva dependencia funcional 13

1 Análisis dimensional: Semejanza

Termodinámica de las Turbomáquinas '

gH ~ = fs(</>, f) = fs ( ND3' N2D2

'1 '

(1.6)

De este modo, el rendimiento de una bomba de geometría variable es una función del coeficiente de flujo y del coeficiente de transferencia de energía.

• o e .2

••

lb1

• ,,

Coeficiente de flujo,.;

FIG. 1.5.

Diferentes curvas de rendimiento para una máquina dada obtenidas con diversos calados de álabes.

Paletas guiadoras de salida

I¡ '

Flujo

FIG. 1.6.

Bomba de flujo mixto que incorpora mecanismo para ajustar el calado de los álabes.

": r' ,¡•

'' '

' j' •' . '

•1 •

= </> 1 =

VELOCIDAD ESPECÍFICA

El diseñador de una bomba o una turbina hidráulica se enfrenta a menudo con el problema básico de decidir qué tipo de turbornáquina

constante.

gH = ,P 1 = constante. N2Dz p

PN D

i '

~1, • 1''

considerando un diseño de bomba, usualmente, se le suministrarán dotos preliminares de diseño tales corno salto H, caudal Q y velocidad de giro N Para ayudarse en la elección, el diseñador utiliza un purómetro adirnensional llamado velocidad específica N, (algunas veces llamado coeficiente de forma). Este nuevo parámetro se deduce de los grupos adirnensionales' definidos en la ecuación (1.3), de tal forma que se elimina el diámetro D característico de la turbornáquinn. El valor de' N, ofrece al diseñador una guía para el tipo de máquina que dará la normal solicitación de alto rendimiento para la condición de diseño. Para cualquier turbornáquina hidráulica con geometría fija hay una única relación entre el rendimiento y el coeficiente de flujo si los efectos del número de Reynolds son despreciables y no hay cavilación. Corno se observa para cualquiera de las curvas de la figura 1.5, cuando se incrementa el coeficiente de flujo cp, el rendimiento aumenta hasta un valor máximo y lUego cae gradualmente. Este rendimiento óptimo r¡=r¡ max. _ se usa para identificar un único valor ,.. cp=cp 1 y los correspondientes valores únicos de 1jJ=1jJ1 y P=P1 . De este nlodo, ND

ICI'á In más _conveniente para un servicio dado. Cuando se está

= r

constante.

(1.7a) (1.7b)

(1.7c)

Es una cuestión sencilla combinar cualquier par de estas expresiones de forma tal que se elimine el diámetro. Para una bomba, la forma acostumbrada de eliminar D es dividir cp1 112 por 1/J/14 De este modo N=

.p.• = f.*

NQ• (gH)*'

(1.8)

' :1 : -

' '

i '

Análisis dimensional: Semejanza 1

Termodinámica de las Turbomáquinas

donde N, se denomina velocidad específica. El término específica está justificado hasta tal pt>nto, que N, es directamente proporcional a N. En el caso de una turbina es más útil la velocidad específica en función de la potencia N,P que se define por,

•

•¡¡¡

•-

P,~

NP• N,.= .p, "' = p•(gH)"4

tipo de l'lujo centrífugo o radial. El tamaño de cada admisión es tal,

•

que todas ellas utilizan el mismo caudal Q. Asimismo, la altura tn¡cndrada por· cada rodete (de diámetro D diferente) se hace igual ajustando la velocidad de rotación N. Puesto que Q y H son constuntes, entonces Ns varía solamente con N. La característica más notable de esta comparación es la gran variación de tamaño con la velocidad específica. Ya que una velocidad específica más alta implica unu máquina más pequeña, por razones de economía es deseable seleccionar la velocidad especifica más alta posible compatible con el buen rendimiento .

(1.9)

•

CAVITACION

(a) Flujo axial

FIG.l.7.

•. ' .

(e) Flujo centrífugo

Rodetes de bomba de igual área de entrada.

i ~!

¡:

¡' .

,¡

'1' '' ' ;•

(b) Flujo mixto

'..

Recordando que la velocidad específica, como se definió anteriormente, corresponde al punto de rendimiento máximo de una turbomáquina, ésta llega a ser un parámetro de gran importancia en la selección del tipo de máquina requerida para un servicio dado. La condición de rendimiento máximo sustituye a la condición de semejanza geométrica, de modo que cualquier alteración en la velocidad específica implica la variación del diseño de la máquina. Hablando en términos generales, cada tipo de máquina diferente tiene su rendimiento óptimo dentro de su propia estrecha gama de velocidad específica. Para una bomba, la ecuación (1.8) indica, para velocidad N constante, que Ns aumenta con un incremento de Q y decrece con un aumento de H. En la ecuación (1.7b) se observa que H, para una velocidad N constante, crece con el aumento del diámetro D del . rodete. Consecuentemente, para aumentar N 5 , el área de entrada tiene que hacerse grande y/o el diámetro máximo del rodete, pequeño. La figura 1.7 muestra una gama de rodetes de bomba que varían desde el tipo de flujo axial, pasando por flujo mixto, hasta un

•

Al seleccionar una turbomáquina hidráulica para una altura H y capacidad Q dadas, se deduce de la definición de velocidad específica, ecuación (1.8), que debería elegirse el valor de N, más alto posible a causa de la reducción en tamaño, peso y costo que resulta . Según esto, una turbomáquina podría hacerse extremadamente pequeña si no fuese por el correspondiente aumento de las velocidades del fluido. Para máquinas que utilizan líquidos, el límite más bajo de tamaño está determinado por el fenómeno de cavitación. La cavilación es la ebullición de un líquido a temperatura normal cuando la presión estática se hace suficientemente pequeña. Esto puede ocurrir en la entrada a las bombas o en la salida de las turbinas hidráulicas en las proximidades de los álabes móviles. La acción dinámica de los álabes hace que la presión estática se reduzca localmente en una región que está ya normalmente por debajo de la presión atmosférica, y puede comenzar la cavitación. El fenómeno se acentúa por la presencia de gases disueltos que se desprenden al reducirse la presión. r Como aclaración, consideremos una bomba centrífuga que opera a la velocidad y capacidad constantes. Reduciendo uniformemente la altura de presión de entrada, se alcanza un punto en el que aparecen multitud de pequeñas burbujas de vapor en el líquido y cerca de superficies sóli_das. Esto se llama inicio de cavilación y comienza en las regiones de presión más baja. Dichas burbujas son arrastradas a 17

16 1

Termodinámica de las Turbomáquinas

•

~ ¡1 ·'

' i

., 1

" 1'

'•• • '1' • •• •

1 '

• •

zonas de presión más alt_a donde desaparecen. Esta condensación ocurre bruscamente, golpeando el líquido que rodea las burbujas, bien las paredes o bien el líquido adyacente. La onda de presión producida por la destrucción de la burbuja (con una magnitud del orden de 400 MPa) alcanza inmediatamente el nivel de presión de las proximidades, y la acción cesa. El ciclo entonces se repite, y la frecuencia puede ser tan alta como 25kHz. 4 El fenómeno repetido de burbujas que condensan cerca de superficies sólidas conduce a la bien conocida erosión por cavitación. La rotura de las cavidades de vapor genera ruido de una amplia gama de frecuencias -se ha medido hasta 1 MHz, 9 es decir, el llamado ruido blanco-. Aparentemente, son las burbujas más pequeñas las que causan el ruido de frecuencia más alta, y las cavidades más grandes el ruido de frecuencia más baja. La medida del ruido puede utilizarse como un medio para detectar la cavitación. 10 Pearsall ha demostrado experimentalmente 11 que hay una relación entre los niveles de ruido de cavilación y el desperfecto por erosión en cilindros, y llega a la conclusión de que podría desarrollarse una técnica para predecir la existencia de erosión. Hasta este punto no ha ocurrido deterioro detectable en el funcionamiento. Sin embargo, con una posterior reducción tle la presión de entrada, las burbujas aumentan en tamaño y número, uniéndose en bolsas de vapor que afectan a la totalidad del flujo. Este crecimiento de las cavidades de vapor se acompaña normalmente por una caída brusca en las prestaciones de la bomba, como se muestra • concluyentemente en la figura 1.3 (para el dato de ensayo de 5000 rev/min). Puede parecer sorprendente descubrir que, con este gran cambio en el tamaño de burbuja, es mucho menos probable que sean dañadas las superficies sólidas, que en el inicio de la cavilación. El evitar el inicio de cavitación en máquinas convencionalmente diseñadas puede considerarse como una de las labores esenciales de los diseñadores de bombas y turbinas. Sin embargo, en ciertas aplicaciones específicas recientes se han diseñado bombas para operar bajo condiciones de supercavitación. Bajo estas condiciones, se forman burbujas de vapor de gran tamaño, pero la desaparición de la burbuja tiene lugar aguas abajo de los álabes del rodete. Un ejemplo de aplicación especializada de bombas con supercavitación

Análisis dimensional: Semejanza

Mnn las bombas de combustible de motores cohete para vehículos espaciales donde tamaño y masa tienen que mantenerse bajos a toda

costa. Pearsall 8 ha demostrado que el principio de supercavitación está más indicado para bombas de flujo axial de velocidad específica u Ita y ha sugerido una técnica de diseño que utiliza métodos similares u los empleados para bombas convencionales.

LIMITES DE CAVITACION En teoría, la cavitación comienza en un líquido cuando la presión estática se reduce a lá presión de vapor correspondiente a la temperatura del líquido. Sin embargo, en la práctica, el estado físico del líquido determinará la presión a la que comienza la cavitación 9 Los gases disueltos salen de la solución al reducirse la presión, formando cavidades de gas a presiones superiores a la presión de vapor. La caVitación de vapor requiere la presencia de núcleos (hurbujas submicroscópicas de gas o partículas sólidas no mojadas) en número suficiente. Es un hecho interesante que en ausencia de tales núcleos un líquido puede aguantar presiones negativas (es decir, esfuerzo tractor) del orden de diez atmósferas. Para obtener este estado se requiere un pretratamiento especial del líquido (esto es, filtración rigurosa y prepresurización). En general, los líquidos que evolucionan en las turbomáquinas contendrán alguna impureza y gases disueltos, y bajo estas condiciones las presiones negativas no se presentan. Un parámetro útil es la altura de succión disponible en la entrada de una bomba o en la salida de una turbina. Nos referimos normalmente a ella como la altura de succión positiva neta, NPSH, definida como

= IPo - p,.}l(pg)

(1.10)

donde Po y p 1, son las presiones de parada absoluta y la presión de vapor, respectivamente, en la admisión de la bomba o en la salida de la turbina. Para considerar los efectos de cavitación, las características de

1 •

-------

_____..

Análisis dimensional: Semejanza

Termodinámica de las Turbomáquinas

•

. ,.' ''

funcionamiento de una turbomáquina hidráulica deberían incluir la variable independiente adicional H,. No teniendo en cuenta los efectos del número de Reynolds, las leyes de actuación de una turbomáquina de geometría constante son entonces dependientes de dos grupos de variables. Así, el rendimiento, ~ =

=· •... • •

/(1/>, N,)

(1.11) .

i•

•

¡:

•

1! .

•

1 1'

-.. 1'' ''

donde la velocidad especifica de succión N,,,,= NQ'h (gH,J'h, determina el efecto de cavilación, y </> = Q!(NIY), como antes . Se conoce por la experiencia que el inicio de la cavitación ocurre para un valor de N, casi constante para todas las bombas (y, separadamente, para todas las turbinas) diseñadas para resistir la cavitación. Esto es porque las secciolles de los álabes en la admisión para estas bombas son claramente similares (asimismo, las secciones de los álabes a la salida de las turbinas son similares) y es la forma de los conductos de baja presión la que influye en el comienzo de la cavitación. Utilizando la definición alternativa de velocidad específica de succión Q, · = Q Q'h (gH,) 31', donde Q es la velocidad de rotación en rad/s, Q es el caudal en m 3 /s y gH, está en m 2/s 2 , se ha demostrado ' . emptncamente que

1 1

'' '

n, "" 3,0 (rad)

(1.12a)

n, ""4,0 (rad)

(1.12b)

para bombas, y

•

para turbinas. ANALISIS DEL

~~~:rim COMPRESIBLE

La aplicación del análisis dimensional a los fluidos compresibles aumenta, no inesperadamente, la complejidad de las relaciones funcionales obtenidas ·en comparación con las ya encontradas para 20

fluidos incompresibles. Aun cuando el fluido sea considerado como un gas perfecto, se requieren dos características además de las propiedades del fluido utilizadas previamente; éstas son a01 , velocidad de parada del sonido a la entrada de la máquina y y, relación de calores específicos C¡)C,,. En el análisis siguiente los fluidos compresibles bajo discusión son gases perfectos, o si no, vapores secos que se comportan aproximadamente como gases perfectos. Normalmente, es preferible otra selección de variables cuando ocurren cambios de densidad apreciables a través de la máquina. En vez del caudal Q, se usa el gasto másico riz; asimismo, para la variación de altura H, se emplea el incremento de entalpía de parada isentrópica L1h0 ,. La elección de esta última variable es significativa porque, en un proceso ideal y adiabático, L1ho, es igual al trabajo realizado por la unidad de masa de fluido. Esto se discutirá más tarde en el Capítulo 2. Puesto que la transmisión de calor desde las carcasas de las turbomáquinas es, en general, de magniiud despreciable comparada con el flujo de energía a través de la máquina, la temperatura en ellas puede excluirse sin problemas como variable del fluido. Sin embargo, la temperatura es una característica fácil de observar y, para un gas perfecto, puede ser fácilmente introducida por último por medio de la ecuacióndeestado,p/p = RT, dondeR = R 1lm = CP-C,, siendo m el peso molecular de gas y R 0 = 8,314 kJ/(kg mol K) la constante universal de los gases. Los parámetros de actuaCión t,h 0 , r¡ y P para una turbomáquina que utiliza un flujo compresible, se exRresan funcionalmente como:

/!:,.hos, TJ, P = f(p., N, D, rh, Po1, ao1, y).

(1.13)

Como Po y a0 varían a través de una turbomáquina, los valores de estas variables del fluido se toman en la entrada y se señalan con el subíndice l. La ecuación (1.13) expresa tres relaciones funcionales independientes, cada una de las cuales contiene ocho variables. De nuevo, seleccionando Poi> N, D como factores comunes, cada una de las tres relaciones puede reducirse a cinco grupos adimensionales, t,ho, P N>D>' '), Po,N3D'

ril

=f Po,ND3

Po 1N D 2 N D f'

'ao, 'y ,

(1.14) 21

1 Termodinámica de las Turbomáquinas

:,·

-' ''

' •

Análisis dimensional: Semejanza

Por otra parte, el coeficiente de flujo </J = ml(p01 ND 3 ) puede escribirse como </J = m/(p111 a 111 D 2 ). Como ND es proporcional a la velocidad del álabe, el grupo ND/a 01 se considera como un número de Mach del álabe. Para una máquina que utiliza un gas perfecto es a menudo más útil un conjunto diferente de relaciones funcionales. Estas pueden encontrarse seleccionando las variables apropiadas para un gas perfecto y trabajando otra vez con los primeros principios, o volviendo a escribir la ecuación (1.14) para dar más grupos posibles por medio de algunas transformaciones bastante sencillas. Aquí preferimos el último procedimiento ya que nos proporciona un ejercicio útil.

'' '' '

'' '

' 02s

J,¡

(a) Compresor '¡ ' ''''

FIG. 1.8.

(b) Turbina

Variación adiabática ideal de las condiciones de parada a lo largo de una turbomáquina.

Como un ejemplo concreto consideremos un compresor adiabático que comprime un gas perfecto. El incremento isentrópico de entalpía de parada puede escribirse ahora como CP(T02 ,~T01 ) para el gas perfecto. Este proceso de compresión se ilustra en la figura l.Sa, donde el punto de estado de parada varía a entropía constante entre las presiones de remanso p 01 y p 02 . El proceso equivalente para una turbina se representa en la figura 1.8b. Utilizando la relación de un proceso adiabáticoisentrópico pfpY = constante, junto con plp = RT, se obtiene la . expres10n

22 1

Además L1ho,; (y - 1) y a,~ 1

(Po2)b-

t)/Y

Po1

= CpTm[(poziPm)(y-t/r- 1]. Puesto que CP = yRT01 , entonces Aho,fa~r

y Rl

ocf(po,fPor) .

El coeficiente de flujo puede expresarse más cómodamente como m

mRT01

Po•ao,D'

Po•V(yRTor)D'

myi(RT0 ,) D'Po•VY

Como m~ p 01 D 2 (ND), el coeficiente de potencia puede e'scribirse P mC,!lTo C,!lT0 ~ !lTo = PosN 3 D' = {PorD'(ND))(ND)'- (ND) 2 = T01 •

Reuniendo todos estos nuevos grupos adimensionales formados e introduciéndolos en la ecuación (1.14) da Po2 !lTo myi(RT0 ¡) ND, Po.''!' Tor = f D'Por \!(RT01 ) ' Re, y ' (1.1 5 )

!,'

To1

To2.5 _

La justificación para que y no aparezca en algunos de estos grupos es sencillamente que ya aparece separadamente como una variable independiente. Para una máquina de un tamaño dado y que utiliza solamente un único gas, es costumbre, en la práctica, suprimir y, R y D de la ecuación (1.15). Si, además, la máquina opera con números de Reynolds altos (o en una pequeña gama de velocidades), Re puede suprimirse también. Bajo estas condiciones la ecuación (1.15) se transforma en Po,,~. !lTo = f mv'Tc;;_ N • (1.16) Po1

To1

Po1

'VTo1

Observemos que al omitir el diámetro D y la constante de los gases R, las variables independientes de la ecuación (1.16) son adimensionales no más complicados.

Análisis dimensional: Semejanza

Termodinámica de las Turbomáquinas '

1 ~

Uneas de rendimiento constante

'•

'. '

-'u

1 Rendimiento máximo

¡,o

,~~

~·~ ~·

' ; ;

J.OL,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

'' '

m./T,;

'• FIG. 1.9.

;

Características globales de un compresor.

1·0 1 '• .' .

in Á,

FIG.

1.10.

Características globales de una turbina.

•

Las figuras 1.9 y 1.10 representan mapas típicos de actuación obtenidos de los resultados de los ensayos de un compresor y de una turbina. En ambas figuras la relación de presiones total de la máquina se representa como una función de ri1(~)/p 01 para valores fijos de N!(v'T;;1), siendo éste un método de representación usual. Observemos que para ambas máquinas se utiliza el subíndice 1 para señalar las

condiciones a la entrada. Uno de los hechos más notables de estas características de funcionamiento es la marcada poca dependencia de

las prestaciones de la turbina de N!VT;;; contrastando con la fuerte dependencia de este parámetro mostrada por el compresor. Para el compresor, el funcionamiento eficiente para NI ..,¡y¡;, constante termina a la derecha de la línea llamada de bombeo. En el Capítulo 5 se incluye una discusión del fenómeno de bombeo; brevemente, para un compresor de muchos escalonamientos esto comienza aproximadamente en el punto (para NI ....;y¡;; constante) donde la relación de compresión llega ~ su máximo valor. La línea de bombeo señala el límite de funcionamiento estable de un compresor,

caracterizándose el funcionamiento inestable por una fuerte oscilación del gasto a través de la máquina. Las regiones de bloqueo en las curvas características del compresor y de la turbina pueden ser identificadas por los tramos verticales de las líneas de velocidad constante. No es posible un posterior aumento de m(-..¡y¡;;) /p01 , puesto que el número de Mach a través de alguna sección de la máquina ha alcanzado la unidad y el flujo se dice que se ha bloqueado. REFERENCIAS l. ÜLAUERT, H., The Elements of Aerojoil and Airscrew Theory. Cambridge University Press (1959). 2. BRADSHAW, P., Experimental Fluid Mechanics. Pergamon Press, Oxford (2nd ed.) (1970). 3. HuNSAKER, J. C. and RIGHTMIRE, B. C., Engineering App/ications of Fluid Mechanics. McGraw-Hill, New York (1947). 4. SHEPHERD, D.G., Principies o[Turbomachinery. Macmillan, New York (1956), S. WISLICENUS, G. F., Fluid Mechanics o[Turbomachinery, McGraw-HiiJ, New York (1947). 6. ANDERTON, P. and BIGG, P. H., Changing to the Metric System. National Physical Laboratory, London, H.M.S.O. (1972), 7. SYMBOLS COMMITTEE OF THE ROYAL SociETY, Quantities, Units and Symbo/s. The Royal Society (1971).

•

Termodinámica de las Turbomáquinas

I. S., The design and performance of supercavitating pumps. Proc. Symposium on Pump Design, Testing and Operation at N.E.L. Glasgow. H.M.S.O. (1966). 9. PEARSALL, l. S., Cavitation. M&B Monograph ME/10. Milis & Boon (1972). 10. PEARSALL, I. S., Acoustic detection of cavitation. Symposium on Vibrations in Hydraulic Pumps and Turbines. Proc. Instn. Mech. Engrs., London, 181, Pt. 3A (1966-7) . 11. PEARSALL, I. S. and McNULTY, P. J., Comparison ofcavitation noise with erosion. Cavitation Forum, 6-7, Am. Soc. Mech. Engrs. (1968).

•

••• "!

•

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•

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- j:..

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' V-, '

••

PEARSALL,

PROBLEMAS 3 l. Un ventilador que funciona a 1750 rev/min con un caudal de 4,25 m /s produce una altura de 153 mm medidos en un manómetro de agua de tubo en U. Se quiere construir un ventilador mayor geométricamente semejante. que produzca la misma altura con el mismo rendimiento que el ventilador existente, pero a una velocidad de 1440 rev/min. Calcular el caudal del ventilador mayor. 2. Un ventilador de flujo axial de 1,83 m de diámetro está diseñado _para funcionar a una velocidad de 1400 rev/min con una velocidad axial media del aire de 12.2 m/s. Se ha construido un modelo a escala 1/4 para obtener una verificación del diseño, siendo la velocidad de rotación del ventilador modelo 4200 rev/min. Determinar la velocidad axial del aire en_ el modelo para que se mantenga la semejanza dinámica con el ventilador a escala real. Los efectos de la variación del número de Reynolds se pueden despreciar. Se dispone de un recipiente a presión suficientemente grande en el cual se puede colocar el modelo completo y ensayarlo bajo condiciones de semejanza completa. La viscosidad del aire es independiente de la presión. y la temperatura se mantiene constante. ¿A qué presión tiene que ensayarse el modelo? 3. Se va a disefiar una turbina hidráulica para producir 27 MW girando a 93,7 rev/min bajo una altura hidráulica de 16,5 m. Una turbina modelo que desarrolla una potencia de 37.5 kW se va a ensayar bajo condiciones de semejanza dinámica con una altura hidráulica de 4,9 m. Calcular la velocidad del modelo y la escala. Suponiendo un rendimiento del modelo del SS o/c, estimar el caudal que atraviesa dicho modelo. Se estima que la fuerza en los cojinetes de empuje de la máquina real será de 7,0 GN. ¿Para qué empuje tienen que disefiarse los cojinetes del modelo? 4. Obtener los grupos adimensionales que se usan normalmente en el ensayo de turbinas de gas y compresores. Se ha disefiado un compresor para condiciones atmosféricas normales ( 101, 3 kPa y 15 °C). A fin de economizar en la potencia requerida. se ensaya con un estrangulamiento en el conducto de entrada para reducir la presión de entrada. La curva característica para su velocidad normal de diseño de 4000 rev/min se obtiene un día en el que la temperatura ambiente es de 20 "C. ¿A qué velocidad debe~ ria funcionar el compresor? En el punto de la curva característica en el que el gasto sería normalmente de 58 kg/s la presión de entrada es 55 kPa. Calcular el gasto real durante el ensayo. Explicar ta relación entre la geometría y la velocidad específica para bombas, ayudándose de esquemas.

Termodinámica básica,

. mecamca '

de fluidos:

Definiciones de rendimiento. Escoge aquello que mejor pueda ayudar tu acción. (SHAKESPEARE, Coriolano.) ·

Este capítulo recoge las leyes físicas básicas de mecánica de fluidos y termodinámica, desarrollándolas de la forma más adecuada para el estudio de las turbomáquinas. De acue'rdo con esto, se dan algunas de las expresiones más importantes y comúnmente usadas del rendimiento de los procesos de flujo de compresión y expansión. Las leyes tratadas son: (1) la ecuación de la continuidad; (2) el primer principio de la termodinámica; (3) la segunda ley de Newton del movimento; ( 4) el segundo principio de la termodinámica. Las tres primeras de ellas son tratadas con suma extensión en el Volumen 1 de esta Serie 1 y la cuarta en el Volumen 2, 2 por tanto, gran parte de las discusiones y análisis elementales de estas leyes no necesitan repetirse aquí. Debe recordarse, sin embargo, que estas leyes son completamente generales y que son independientes de la naturaleza del fluido que evoluciona o de si el fluido es compresible o incompresible.

LA ECUACION DE LA CONTINUIDAD Consideremos el flujo de un fluido con densidad p, a través del elemento de área dA, durante el intervalo de tiempo dt. Refiriéndo-

CAPITULO 2

•

¡1 '

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

' ' ''

~(dQ-

nos a la figura 2.1, si e es la velocidad de la corriente, la masa elemental es dm = pedtdA cos e, donde e es el ángulo formado por la normal al elemento de área y la dirección de la corriente. La componente de la velocidad perpendicular al área dA es en = e cos e y por ello dm = pcndAdt. El gasto másico elemental es por tanto

':. '1

.• ''

dm dm = dt = pc,dA.

dW)

=o,

(2.3)

donde fdQ representa el calor aportado al sistema durante el ciclo y f dW el trabajo realizado por el sistema durante dicho ciclo. En la ecuación (2.3) se toman las mismas unidades para calor y trabajo. Durante un cambio del estado del sistema de 1 a 2, hay una · variación de la energía interna

(2.1)

E2 dA

e Dirección del flujo

. 1

dE=dQ-dW.

:' .i

FrG. 2.1.

•

Flujo a través de un elemento de área.

(2.4a)

•

' ''

j\-

1'' •1'

(2.4)

Para un cambio infinitesimal del estado del sistema

l '

(dQ- dW).

E1 =

•

,--w, -'- \--

La mayor parte de los análisis realizados en este libro se limitan a flujos estacionarios unidimensionales, donde la velocidad y densidad se toman como constantes en cada una de las secciones de un conducto de paso. Si A 1 y A 2 son las secciones del flujo en las posiciones 1 y 2, respectivamente, a lo largo de un conducto, entonces

Volumen de control

FIG. 2.2.

1:'

(2.2)

•

'••

•

Volumen de control que muestra el convenio de signos para las transferencias de calor y trabajo.

, L.¡ • 1

. i1

."." . ' ,, :,, '

''' .

ya que no hay acumulación de fluido en el interior del volumen de control.

Ecuación de la energía para flujo estacionario

1: ' ;

:' ' '

En gran número de textos se muestra cómo se aplica el primer EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA-ENERGIA INTERNA

principio al flujo estacionario del fluido a través de un volumen de control a fin de obtener la ecuación de la energía para flujo

El primer principio de la termodinámica establece que si un sistema evoluciona según un ciclo completo durante el cual se aporta calor y

solamente se cita el resultado final. La figura 2.2 muestra un volumen

estacionario. Resulta innecesario reproducir aquí este desarrollo, y

de control que representa a una turbomáquina, a través de la cual el fluido circula con un gasto másico rh constante, entrando por la

se realiza trabajo, entonces: '

•

•'

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

•1

,¡ 1

'! •

i,i¡¡ ' .·¡·

posición 1 y saliendo por la posición 2. Se transfiere energía del fluido a Jos álabes de la turbomáquina, obteniéndose un trabajo (en el eje) positivo por unidad de masa W.r En general, tiene lugar una transferencia positiva de calor Q desde el exterior al volumen de control. Por tanto, con el convenio de signos establecidos, la ecuación de la energía para el flujo estacionario es

fuerzas másicas y superficiales que actúan sobre m en una dirección arbitraria x es igual a la variación respecto del tiempo de la cantidad de movimiento del sistema según dicha dirección, o sea,

+ t(ci -

Para un volumen de control con fluido entrando con velocidad uniforme C.r~ y saliendo con velocidad uniforme cx 2 , se tiene que

de, "-'Fx = m . dt

(2.9)

Q - W,

1• ·1 ' '•

m[(h2 - h 1)

ci)

+ g(z2 -

z,)],

(2.5)

donde h es la entalpía por unidad de masa. -h-c2 1a energía cinética por unidad de masa y gz la energía potencial por unidad de masa. Excepto en las máquinas hidráulicas, la contribución del último término de la ecuación (2.5) es pequeña, y normalmente se desprecia_. Definiendo entalpía de parada como h 0 ~ h + .irc2 y suponiendo g (z 2 - z 1 ) despreciable, la ecuación (2.5) queda (2.6) La mayor parte de los procesos de flujo de las turbomáquinas son adiabáticos (o muy cercanos a ello), y es posible considerar Q ~O. Para máquinas que realizan trabajo (turbinas) Wx > O, por tanto,

l.¡..¡ i,r!

m(c, 2

c, 1).

(2.9a)

La ecuación (2.9a) es la forma unidimensional de la ecuación de la cantidad de movimiento para flujo estacionario, la cual establece que la suma algebraica de las fuerzas másic,as sobre la materia interior al volumen de control, más las fuerzas que actúan sobre la superficie de control, ambas en la dirección x, es igual al flujo neto saliente de cantidad de movimiento en dicha dirección. Esta ecuación es importante en el estudio de las turbomáquinas, ya que permite determinar las fuerzas que actúan en los álabes y cojinetes.

(2.7)

Ecuación de Euler del movimiento Para máquinas que absorben trabajo (compresores) ello es más conveniente escribir

• '

~F, =

<O, y por

(2.8)

Se puede ver para el flujo estacionario de fluido a través de un volumen de control elemental que, en ausencia de tensiones cortantes, se obtiene la relación 1

- dp p

•

+ cdc + gdz =

(2.10)

SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO •

' 1

El principio fundamental de la dinámica es la segunda ley del movimiento de Newton. Como esta ley establece una relación entre vectores, se requiere establecer la dirección a lo largo de la cual se -aplica. Considerando un sistema de masa m, la suma algebraica de las.

• ''

Esta es la ecuación de Euler del movimiento para flujo unidimensional y se deriva de la segunda ley de Newton. Por ausencia de tensiones cortantes entendemos que no existe ni fricción ni trabajo en el eje. Sin embargo, no es necesario que además no deba existir transferencia de calor. 31

. ··-----

------------''-~

•

·Termodinámica de las Turbomáquinas

,¡

básica~

Termodinámica

Si el fluido es un gas o vapor, la variación de energía potencial normalmente es despreciable y la ecuación (2.10a) es entonces

Densidad del fluido, p

1 - dp

Z+IIZ

+ i(ci -

+!(ci -ci) +g(z 2 -z 1)

(2. lOa)

que es la ecuación de Bernoulli. Para un fluido incompresible, p es constante y la ecuación (2.10a) se transforma en 1 - (Po2 - Pot)

' ' 1 '

=Po,

(2.10e)

+ g(zz -

Momento de la cantidad de movimiento

En dinámica se obtiene mucha información útil empleando la segunda ley de Newton aplicada a los momentos de las fuerzas. Esta forma es de primordial importancia en el análisis de los procesos de transferencia de energía en las turbomáquinas. Para un sistema de masa m, el vector suma de los momentos de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema respecto de un eje arbitrario A~A' fijo en el espacio es igual a la derivada respecto del tiempo del momento cinético del sistema según dicho eje, esto es (2.11)

donde la presión de parada es p 0 = p + ~ pc2 , Cuando se trata de turbomáquinas hidráulicas, frecuentemente se utiliza el término altura H y significa la cantidad z + prJ(pg), De este modo la ecuación (2. JOb) queda

donde r es la distancia del centro de gravedad al eje de rotación medido sobre la normal a dicho eje y c8 la componente de la velocidad perpendicular simultáneamente al eje y al radio vector r. Se puede obtener la ley del momento de la cantidad de movimiento para un volumen de controL 1 La figura 2.4 muestra el volumen de control que encierra el rotor de una turbomáquina genérica. Un

= Po1

(2. JOb)

(2.10d)

es decir, la presión de parada es constante (esto es también cierto para procesos isentrópicos compresibles).

La forma unidimensional de la ecuación de Euler se aplica a un volumen de control cuyo espesor es infinitesimal en la dirección de la corriente (fig. 2.3). Integrando esta ecuación en la dirección de la corriente obtenemos:

Volumen de control en una corriente fluida.

Ecuación de Bernoulli

Ahora bien, si el gas o vapor está sujeto solamente a una pequeña variación de presión, la densidad del fluido es sensiblemente constante y

Poz

1 -dp

ci)

Linea de referencia

FIG. 2.3.

mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

H 1 =O.

z,) = O,

(2, !Oc)

• •

-' ... , '' '

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

fluido entra girando al volumen de control por una sección de radio r 1 con velocidad tangencial ce 1 y sale por una sección de radio r2 con velocidad tangencial ce2 • Para flujo estacionario unidimensional

01" •

••

En una turbina el fluido realiza trabajo sobre el rotor y su signo es entonces el contrario. Por tanto, el trabajo específico es

,; ~

•

(2.1la)

"-.. "1 !

lo cual establece que la resultante de los momentos de las fuerzas exteriores que actúan sobre el fluido, que en un instante determinado ocupa el volumen de control, es igual a la salida neta de momento cinético de dicho volumen de control por unidad de tiempo.

•

••'

,.,

i' . ' '

' ' '-

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_¡_._L.

••

: 1

'' '

FIG. 2.4.

Volumen de control para una turbomáquina generalizada.

Para el rotor de una bomba o de un compresor girando a velocidad angular Q, el trabajo por unidad de tiempo que realiza el rotor sobre el fluido es (2.12) ..

j... '

' lf' .' ' 1 " ' ' ·- 1' i

• ' '

donde la velocidad del álabe U = Qr. De este modo, el trabajo realizado sobre el fluido por unidad de masa o trabajo específico es

Nos referiremos a la ecuación (2.12b) como ecuación de Euler de las turbinas.

dQ T ::¡; O,

(2.13)

donde dQ es un elemento de calor transferido al sistema a una temperatura absoluta T. Si todos los procesos en el ciclo son reversibles, entonces dQ = dQR, y es cierta la igualdad de la ecuación (2.13), es decir, •

<!Q,. =o

(2.12b)

A fin de especificar el grado de imperfección de los procesos reales de flujo en las turbomáquinas, se requiere un proceso ideal como comparación. La segunda ley de la termodinámica, desarrollada rigurosamente en el Volumen 2 de esta serie 2 y en la mayoría de los textos modernos de Termodinámica (por ejemplo, referencias 3 y 4), permite introducir el concepto de entropía y definir los procesos ideales. Un importante corolario de la segunda ley, conocido como desigualdad de Clausius, establece, para un sistema que evoluciona según un ciclo en el que existen intercambios de calor, que

''-1=3--.· -

U1 c., - U2 c82 > O.

Dirección del flujo

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA-ENTROPIA

'•

' •' • '' ' ..,, . i;- '.

' '

"'W,

w, -:- =

(2.13a)

(2.12a)

1 ' :

•

.; •• ' ' '

Esta ecuación se conoce como ecuación de Euler de las bombas.

La propiedad llamada entropía, para un cambio de estado finito, se define entonces como

•

,L., . .

... · - - - - · - - - ............... .

Termodinámica básica, mecánica de Huidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

s>- s,

(2. 14)

Puesto que h = u + pv entonces dh (2. 17) queda como

Tds

= du +

dh -

vdp.

pdv + vdp y la ecuación

(2. 18)

Para una variación diferencial de estado

dS=mds=

~.,'

dQR

DEFINICIONES DE RENDIMIENTO

(2.14a)

En la literatura de turbomáquinas aparece un gran número de definiciones de rendimiento y la mayoría de los investigadores en este campo estarían de acuerdo en que existen demasiadas. En este libro solamente se incluyen aquellas que se consideran importantes.

ij•

donde m es la masa del sistema. Con flujo estacionario unidimensional a través de un volumen de control en el cual el fluido experimenta un cambio de estado desde las condiciones 1 de entrada a las condiciones 2 de salida, '

Rendimiento de las turbinas

dQ < .( T =m s2

)

•

(2. 15)

Las turbinas están diseñadas para convertir la energía disponible en un flujo de fluido en trabajo mecánico útil suministrado en el acoplamiento del eje de salida·. El rendimiento de este proceso, rendimiento global 1}1, es un factor de funciónamiento de considerable interés para diseñadores y usuarios de las turbinas. De este modo,

1 .1 l !'

Si el proceso es adiabático, dQ

= O y por lo tanto

(2. 16)

1 :1

' 1' '

energía mecánica disponible. en el acoplamiento del eje de _ salida por unidad de tiempo 'lo - diferencia máxima posible de energía para el fluido por unidad de tiempo

el proceso es reverSible,

'' '¡''~ !

' (2. 16a)

. .•

., .( '

'1 ' 1;

Por tanto, para un flujo adiabático, el proceso ideal será uno en el cual la entropía permanezca constante durante el proceso (condición de isentropía). Se pueden obtener diversas expresiones importantes utilizando la anterior definición de entropía. Para un sistema de masa m que experimenta un proceso reversible<:IQ = dQR = mTds y dW = dWR = mpdv. En ausencia de movimiento, gravedad y otros efectos, el Primer Principio de la Termodinámica, ecuación (2.4a) se transforma en

Tds - du + pdv.

Entre el rotor de la turbina y el acoplamiento del eje de salida tienen lugar pérdidas de energía mecánica a causa del trabajo realizado contra la fricción ert los cojinetes, prensaestopas, etc. La magnitud de esta pérdida es difícil de estimar como una fracción de la energía total transferida al rotor, ya que varía con el tamaño y el diseño individual de la turbomáquina. Para máqú'inas pequeñas (varios kilowatios) puede llegar al 5 % o más, pero para máquinas medianas y grandes este porcentaje de pérdidas puede llegar a ser tan pequeño como el 1 %. Un estudio detallado de las pérdidas mecánicas en las turbomáquinas está fuera del alcance de este libro y no profundizaremos más en él.

(2.17)

' '

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

El rendimiento adiabático r¡,, o rendimiento hidráulico r¡h para una ''

turbina es, en términos generales,

Para un proceso adiabático reversible, Tds trabajo máximo diferencial es entonées

dW,m;x = - m[dh

energía mecánica .suministrada al rotor por unidad de

'' '

- difere'=n'=c¡c:·ac-::m"'a"'x"i"' · m:-:ac-::p:-:o:-:s"'ib"l"'e-d"e=-e:-:n:-:e:-:r:-:g¡co:.a--,p-a-ra-e-;1-fl"'u-I,-,d'""'o-p-or unidad de tiempo

'''

( or TJo/TJ,) •

"'m = TJof"'r

En los apartados siguientes se discuten con mayor detalle diversas definiciones de rendimiento hidráulico y adiabático. Para un incremento diferencial de estado a través de una turbomáquina, la ecuación de la energía para flujo estacionario, ecuación (2.5), se puede escribir

dQ- dW, = m[dh '

>:' [· '

+ id(cZ) + gdz]

w..... = m

+ td(c 2) + gdz].

[dh

+ id(cZ) + gdzJ

m[(hot -

+ g(z, -

hoz,)

Zz)]

(2.20a) donde el subíndice s en la ecuación (2.20a) indica que la evolución entre 1 y 2 es isentrópica. Para un fluido incompresible, en ausencia de fricción, el máximo trabajo que podría desarrollar la turbina (no teniendo en cuenta las pérdidas por fricción) sería. ·

W, mx , = mg[H1 donde gH

Hz],

(2.20b)

plp + ~c 2 + gz.

Del segundo principio de la termodinámica

' 'l' '

!''

dh - dp/p. El

Comparando las definiciones anteriores se deduce fácilmente que el rendimiento mecánico T/m, el cual es simplemente la relación entre potencia en el eje y potencia en el rotor, es

•' ",. 1

y por tanto el trabajo máximo realizado entre el estado inicial 1 y el · final 2 es

:i 1 !'·.

tiem o

dQ "

mTds = m dh--dp. p

Eliminando dQ entre estas dos ecuaciones y reordenando

cd~s

•'-2'

1 '

-2"

vz.

' " ''

-m -dp

11'

'••

+ id(c + gdz 2

)

•

(2.19)

-"'

,,j__o1

Para la expansión en una turbina, observando que Wx W, > O, integremos la ecuación (2. 19) del estado inicial 1 al estado final 2,

•1

- dp p

+ i(c 1z - e!)+ g(z1 -

• (a) Proceso de expansión en turbina

Zz) ,

(2.20)

FIG. 2.5.

(b) Proceso de compresión

Diagramas entalpía-entropía para turbinas y compresores.

z .

. '1 '. ; :

1• 1•

Termodinámica de las Turbornáquinas

. '

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Turbinas de vapor y gas ' "

" '

"'¡¡.! 1' ' ,,:

!• '

"• '

La figura 2.5a nos muestra un diagrama entalpía-entropía o diagrama de Mollier en el cual están dibujadas las líneas de presión constante. El proceso descrito por la línea 1-2 representa la expansión a través de una turbina adiabática desde la presión p 1 hasta una presión inferior p 2 . La expansión adiabática reversible o ideal está representada por la línea 1-2s. Las velocidades del fluido a la entrada y a la salida de la turbina pueden ser bastante altas y las correspondientes energías cinéticas significativas. Por otra parte, para un fluido compresible los términos de energía potencial son, en general, despreciables. Así pues, el trabajo específico real del rotor de la turbina es

••

t..W, =

'• '•

¡~1

:!1

''' ''' ' '1

ho, - ho, = (h, - h2 )

W, maxfm

(2.21) Si la diferencia entre la energía cinética de entrada y de salida es pequeña, es decir -te?¡ -;- ~~. entonces

+ i(ef- e~)

~ .. =

De la misma forma, el trabajo específico ideal del rotor de la turbina entre las dos mismas presiones es L'..Wxmax =

:!~

W,fm

· cinética de salida se aprovecha o se pierde. Un ejemplo donde la _ energía cin~tica de salida no se desaprovecha es el último escalonamiento de una turbina de gas de aviación en la que ésta contribuye al empuje propulsivo del chorro. Igualmente, la energía cinética de salida de un escalonamiento de una turbina de varios escalonamientos, donde ésta se aprovecha en el siguiente escalonamiento, proporciona otro ejemplo. Para estos dos casos, el rendimiento adiabático de la turbina y del escalonamiento r¡ es el rendimiento total a total y se define como

ho, - ho,, = (h, - h 2~)

t(e 21

e22 ,).

En la figura 2.5a el trabajo real de la turbina/unidad de masa del fluido es la variación de entalpía de parada entre los puntos 01 y 02 que están sobre las líneas de presión de parada p 01 y p 02 respectivamente. El trabajo ideal de la turbina por unidad de masa de fluido es la variación de entalpía de parada e1;1 el proceso isentrópico entre las dÓs mismas presiones. La energía cinética del fluido al final del proceso ideal -!<:'i,no es, sin embargo, la misma que la del final del proceso reai-!<:i. Esto se puede demostrar como sigue. Tomando por simplicidad un gas perfecto, entonces h = CP T y pi p = R T. Consideremos la línea de presión constante p 2 (fig. 2.5a); como T2 > T, entonces p 2,, > p2 . De la ecuación de la continuidad m!A = pe y puesto que estarpos trabajando con el mismo área, c2 > Czs y los términos de la energía cinética no son iguales. La diferencia es normalmente despreciable en la práctica y frecuentemente ignorada. Existen varias formas de expresar el rendimiento, dependiendo la elección, de una definición u otra, en gran parte, de Si la· energía

(h, - h,)f(h, - h,,)

(2.21a)

Cuando la energía cinética en el eScape no se aprovecha y se pierde • totalmente, el rendimiento adiabático relevante es el total a estático flrs· En este caso, el trabajo ideal de la turbina es el que se obtiene entre los puntos {)1 y 2s. De este modo ~'' = (ho 1

{h0 ,

h 0 ,)/(ho• - ho,, + !e~,) ho,)/(ho• - h,.).

(2.22)

Si la diferencia entre la energía cinética de entrada y salida es pequeña, la ecuación (2.22) se convierte en ~ .. =

(h 1

h2 )/(h 1

h,,

+ tei).

(2.22a)

Una situación donde la energía cinética de salida se desaprovecha es una turbina descargando directamente al ambiente en vez de a través de un difusor. Por ejemplo, las turbinas auxiliares utilizadas en cohetes a menudo no tienen difusores de escape, 'porque las desventajas debidas al incremento de masa y utilización de espacio son mayores que el propulsante extra que se requiere como resultado de la reducción del rendimiento de la turbina.

•

Termodinámica de las Turbomáquinas

.•

Termodinámica básica, mecánica de fluidos:

1 - dp

Turbinas hidráulicas

•

••

.;,;

·.'

Cuando el fluido de trabajo es un líquido, el rendimiento de la turbina hidráulica 'lh se define como el trabajo desarrollado por el rotor en la unidad de tiempo dividido por la diferencia de energía hidrodinámica del fluido por unidad de tiempo, es decir, LlWx

1,¡ :

T},

''1':"

awXmá<-

LlWx g(H,- H2).

(2.23)

Definicion~s

+ !d(c2 ) + gdz

de rendimiento

(2.24)

El estudiante deberá comprobar cuidadosamente el hecho de que el miembro de la derecha de esta inecuación es positivo, trabajando a partir de la ecuación (2.19). Para un proceso de compresión adiabático completo que va desde el estado 1 al 2, el trabajo total suministrado por unidad de tiempo es

•'

l·l ••

•"

W, Rendimiento de compresores y bombas El rendimiento adiabático 'fJc de un compresor o el rendimiento hidráulico de una bomba 'lh se define en general como

' :.

' ~i·'

l¡ ' ·1 ' ' •

Por tanto, el rendimiento mecánico es

En la ecuación (2.19), para un proceso en un compresor o en una bomba, sustituyamos -dWx por dW, y reordenemos la desigualdad para dar el trabajo diferencial suministrado 42

+ !(c22 -

e/)

+ g(z 2 -

z,) .

(2.25)

Para el correspondiente proceso de compresión adiabático1eversible, teniendo en cuenta que Tds = O = dh - dplp, el mínimo trabajo suministrado por unidad de tiempo es

. . , =m W cm1n

[dh

+ !dc 2 + gdz]

m[(ho2• - ho,)

+ g(z2 -

z,)].

(2.26)

De la ecuación de la energía para flujo estacionario, para un proceso adiabático en un compresor

energía útil (hidrodinámica) suministrada al fluido por unidad _de tiempo 'lo potencia suministrada al acoplamiento del eje

dp 1

energía útil (hidrodinámica) suministrada al fluido por _unidad de tiempo potencia suministrada al rotor La potencia suministrada al rotor (o rodete) es siempre menor que la potencia suministrada en el acoplamiento, a causa de las pérdidas externas de energía en los cojinetes, prensaestopas, etc. De este modo, el rendimiento global del compresor o de la bomba es

E;:; m

(2.27) La figura 2. Sb muestra un diagrama de Mollier en el cual el proceso real de compresión está representado por la evolución 1-2 y el correspondiente proceso ideal por 1-2s. Para un compresor adiabático el único rendimiento significativo es el total a total, el cual.es r¡,

= mínimo trabajo adiabático suministrado por unidad de tiempo trabajo adiabático real suministrado al rotor por unidad de tiempo 43

•

1 '¡

• 1

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

•

' :"i '

hozs- ho1 hoz- ho1

efecto termodinámico simple encubierto en la expresión del rendimiento adiabático y puesto de manifiesto con el siguiente razonamiento.

(2.28)

Si la diferencia entre las energías cinéticas de entrada y de salida es - -zc 11·!? pequena, . 2S y 2

''' ' rli' '

Proceso de compresión

¡'j 1

¡·l¡

(2.28a)

\i"¡l '

La figura 2.6 muestra un diagrama entalpía-entropía en el cual la compresión adiabática entre las presiones p 1 y p 2 está representada por el cambio de estado entre los puntos 1 y 2. El proceso reversible correspondiente está representado por la línea isentrópica 1 a 2s. Se supone que el proceso de compresión puede dividirse en un gran número de pequeños escalonamientos de igual rendimiento 'lp· Para cada pequeño escalonamiento el trabajo real que se le .suministra es L1 W, y el correspondiente trabajo ideal en el proceso isentrópico es L1 Wm,, Con la notación de la figura .2.6,

Para flujo incompresible, la ecuación (2.25) da ó..W, = W,/m G [(p 2 - p 1 )/p +!(e~- ci) + g(~,- z1)] > g[H2 - H¡].

Para el caso ideal sin fricción fluida

6.. W;, mn 1

= g[H2

H¡].

(2.29)

Para una bomba, el rendimiento hidráulico se define como

(2.30)

Rendimiento del pequeño escalonamiento o rendimiento politrópico ¡

:1' '1 !1.. : " 1;

¡fi. :

~i "

1 '

El rendimiento adiabático descrito en la sección precedente, aunque fundamentalmente válido, puede conducir a error si se usa para comparar los rendimientos de turbomáquinas con diferentes relaciones de presiones. Ahora bien, cualquier turbomáquina puede considerarse compuesta de un gran número de muy pequeños escalonamientos con independencia del número real de escalonamientos de la máquina. Si cada pequeño escalonamiento tiene el mismo rendimiento, el rendimiento adiabático de la máquina completa será diferente del rendimiento del pequeño escalonamiento; la diferencia depende de la relación de presiones de la máquina. Este resultado bastante sorprendente es una manifestación de un

•

Angulos iguales S

FIG. 2.6.

Proceso de compresión mediante pequeños escalonamientos.

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

j "';,)''

Puesto que cada pequeño ~scalonamiento tiene el mismo rendimiento, entonces r¡P = (Zll W'"'")!Zll W) es también cierto. De la relación Tds = dh - vdp, para un proceso a presión constante (óh/ós)p =T. Esto significa que cuanto más alta es la temperatura del fluido, mayor es la pendiente de las líneas de presión constante en el diagrama de Mollier. Para un gas donde h es una función de T, las líneas de presión constante divergen y la pendiente de la línea p 2 es . mayor que la de la línea p 1 para el mismo valor de la entropía. A iguales valores de T, las líneas de presión constante son de igual pendiente como indica la figura 2.6. Para el caso especial de un gas perfecto (donde CP es constante), CP (dT/ds) = Tpara un proceso a presión constante. Integrando esta expresión resulta la ecuación para una línea de presión constante, S = cp logT + constante. Volviendo ahora al caso más general, puesto que

'...,;' '

('EtlW}Jm = {Ch.- h,)

+ (h,- h.) + ...} =

entonces '}p

= [(h., -· h,) +(h.,- h,)

(h,- h,),

+ -- .]/(h, -

escalonamiento, dependiendo la diferencia de la divergencia de las líneas de presión constante. Aunque la anterior discusión se ha hecho en términos de estados estáticos, se puede considerar aplicable a estados de parada si las energías cinéticas de entrada y de salida de cada escalonamiento son iguales.

Rendimiento del pequeño escalonamiento para un gas perfecto Se puede deducir fácilmente una relación explícita para un gas perfecto ( CP es constante) entre el rendimiento del pequeño escalonamiento, el rendimiento adiabático global y la relación de presiones. El análisis se hace para el caso límite de un escalonamiento de compresor infinitesimal en el cual la variación diferencial de presión es dp como indica la figura 2.7. Para el proceso real el incremento diferencial de entalpía es dh y el correspondiente incremento diferencial ideal es de dhis·

h,). '

El rendimiento adiabático del proceso total de compresión es dh

Debido a la divergencia de las líneas de presión constante

{(hx.- h,) +(h.,- h,) +.' .) > (h,,- h,), •

es decir,

FIG. 2.7.

Variación diferencial de estado en un proceso de compresión.

El rendimiento politrópico para el pequeño escalonamiento es

Por tanto, T!p > 1Jc·

De este modo, para un proceso de compresión el rendimiento adiabático de la máquina es menor que el rendimiento del pequeño

vdp e dT'

(2.31)

•

~---~

·~~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~------

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

ya que para un proceso isentrópico Tds = O = dh 1, Sustituyendo v = RT/p en la ecuación (2.31) queda

-1

lp.

C, p

•

y en consecuencia

dT (y-!) dp T Y"T/p p ya que

'YJc =

()'-1)/)' -

R Tdp

"T/p =

E:.

(2.32)

Cp = yRf(y - 1).

P2 P1

<1 -

01111;'~

-1 .

(2.36)

Los valores del rendimiento adiabático «global» se han calculado, utilizando la ecuación (2. 36), para una gama de relaciones de compresión y diferentes valores de r¡P y están representados gráficamente en la figura 2.8. Esta figura amplía la observación hecha anteriormente de que el rendimiento adiabático de un proceso finito de compresión es menor que el rendimiento de los pequeños escalonamientos. La comparación del rendimiento adiabático de dos máquinas de diferente relación de compresión no es una forma válida de proceder, ya que, para igual rendimiento politrópico, el compresor con la relación de compresión más alta está perjudicado por el efecto termodinámico indicado.

i '

•

0·9

Integrando lá ecuación (2.32) a lo largo de todo el compresor y tomando rendimientos iguales para cada escalonamiento infinitesimal da,

• 0·1

•

. J

¡¡..._

0·8

1 0·8

(2.33) Ahora bien; el rendimiento adiabático para el proceso total de .. compresiOn es t¡, = (T2 , - T 1 )/(T2 -

T¡)

(2.34)

Tz, T.

(2.35)

que se puede obtener también de pv = constante y pv = RT. Sustituyendo las ecuaciones (2.33) y (2.35) en: la ecuación (2.34) resulta la expresión

•

O·

0·7

• 1

23458789

•

Relación de compresión, p2/p 1

si se supone que las velocidades de entrada y salida son iguales. Para el proceso de compresión ideal hagamos r¡P = 1 en la ecuación (2.32) y así se obtiene

•

O·7

FJG. 2.8. Relación entre rendimiento adiabático (global). relación de compresión y rendimiento del pequeño escalonamiento (poli trópico) para un compresor (y = 1.4) •

El término politrópico anteriormente utilizado se presenta en el contexto de un compresor reversible que comprime un gas desde el mismo estado inicial hasta el mismo estado final que el compresor adiabático irreversible, pero que obedece a la relación pv" = constante. El índice n se llama índice politrópico. Puesto que el proceso tiene lugar con aumento de entropía en ambos compresores, para el compresor reversible esto es sólo posible si hay una '

Termodinámica de las Turbomáquinas

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

transferencia reversible de calor dQR=Tds. Profundizando más, esto implica que el valor del índice n tiene que ser siempre mayor que el de y. Esto queda claro con el argumento siguiente. Para el proceso politrópico, dQR

= =

1" 1 ,

"l' "' M\ O· 9

-¡

0·3 O·8

+ pdv.

~ d(pv)

0·1

+ pdv.

O· 1

0·6

Utilizando que pv" = constante y C,.=RI (y- 1), después de algunos desarrollos se obtiene la expresión dQR =(y- n)l(y- l)pdv. Para un proceso de compresión dv <O y dQR >O luego n > y. Para un proceso de expansión dv > O, dQR <O y de nuevo n>y.

' '

123456189 Relación de presiones, p11p2

FIG. 2.9.

Rendimiento adiabático de una turbina en función de la relación de presiones para varios rendimientos politrópicos (y= 1,4)

Rendimiento politrópico. de una turbina

Factor de recuperación

Se puede aplicar un análisis similar al del proceso de compresión a un gas perfecto expandiéndose a través de una turbina adiabática. Para la turbina, las expresiones apropiadas para una expansión desde el estado 1 al estado 2 son T, -= T,

"'t =

(p' p,

p, -p,

y¡,(y-1)/y

'11{y-1)fy

(2.37)

•

(p,r·-'>'·-

1-Pt

•

(2.38)

Las relaciones anteriores no se pueden aplicar, obviamente, a turbinas de vapor, ya que los vapores no cumplen las leyes de los gases. Es costumbre en la práctica de las turbinas de vapor utilizar el factor de recuperación RH como una medida de la ineficiencia de la expansión completa. Refiriéndonos a la figura 2.10, el proceso de expansión a través de una turbina adiabática desde el estado 1 al estado 2 aparece en un diagrama de Mollier dividido en un cierto número de pequeños escalonamientos. El factor de recuperación se define como RH = [(h,- h.,)

La deducción de estas expresiones se deja como ejercicio al estudiante. Se lian calculado los rendimientos adiabáticos «globales» para diversos valores de relaciones de presiones y diferentes rendimientos politrópicos, los cuales se representan en la figura 2.9. La característica más notable de estos resultados es que, en contraste con un proceso de compresión, para una expansión el rendimiento adiabático es mayor que el del pequeño escalonamiento.

+ (h,- h,) + ... ]/(h,- h,,) =

('J:.!:J.h,,)/(h, - h,,).

Debido a la divergencia gradual de las líneas de presión constante en el diagrama h-s, RH es mayor que la unidad. El valor real de RH para un número infinito de escalonamientos depende de la posición de la línea de expansión sobre . el diagrama de Mollier; está usualmente entre 1,03 y 1,08 en turbinas de vapor normales. Ahora bien, puesto que el rendimiento adiabático de una turbina es

·¡ Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de Jas Turbomáquinas

h, - h 2 Zllh, Zllh, • h1 - h2,

entonces

guiar el flujo. pero hay sin embargo un incremento de velocidad obtenido de una contracción en el área de entrada. La figura 2.11a muestra el proceso representado en un diagrama de Mollier, teniendo lugar la expansión desde las condiciones 1 a las condiciones 2. El proceso puede considerarse como adiabático. y puesto que no hay trabajo en un eje, la ecuación de la energía para flujo estacionario da

(2.39)

que establece la conexión entre el rendimiento polit.rópico, factor de recuperación y rendimiento adiabático de la turbma.

(2.40)

'• •

Para el proceso adiabático reversible equivalente

h2 ,

= t(c~,-

cf).

El rendimiento de la tobera se puede definir como ' ~N = (h, - h2)((h, - h2,) = (ci- cDf(c~, - e¡).

(2.41)

1s 01 01 01

..._ ...

Fro. 2.10.

Diagrama·de Mollier que muestra un proceso de expansión a través de una turbina adiabática.

•

Rendimiento de una tobera

••

' •

En gran número de componentes de las turbomáquinas, el proceso del flujo puede ser considerado puramente como flujo en una tobera en la. cual el fluido recibe una aceleración como resultado de una caída de presión. Tal flujo en una tobera tiene lugar en la entrada a todas las turbomáquinas y en las coronas de álabes fijos en turbinas . En máquinas axiales la expansión a la entrada es favorecida por una corona de álabes fijos (llamados paletas guiadoras en compresores, y toberas en turbinas) que dirigen el fluido hacia el rotor con un gran ángulo respecto de la dirección axial. Los compresores y bombas centrífugos, por otro lado, no tienen a menudo tales -elementos para 52

(a) Tobera

FIG. 2.11.

(b) Difusor

Diagramas de Mollier para procesos en toberas y difusores.

Ahora bien, para un proceso isentrópico Tds = dh-vdp =O. Si el fluido es, o puede ser tratado como incompresible, la variación de las condiciones de 1 a 2s se puede escribir como (h, - h2,) = (p, - P2) -7- p.

(2.42)

., i

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

Restando (2.40) de la ecuación (2.42) h2

h 2 , = (p, - p,)

+ p - i(ci -

= {po, - Poz)

2{pz- p,) 'fJn = p(cf - ci) ·

e~)

+ P·

(2.43)

Por tanto, sustituyendo las ecuaciones (2.42) y (2.43) en la ecuación (2.41), el rendimiento de una tobera para flujo incompresi· ble es 'fJN = 1 _ Pot -Po:_ .

p,-pz

(2.44)

La ecuación (2.48) puede expresarse como función solamente de incrementos de presión puesto que, (hz - hz,) = (hz - h,) - (hz, - h,) = !(e~- ci) - {pz - p,)

+ p,

(Pot - Poz)

(h 2 , - h1) (hz,- h,) - (hz, - hz)

entonces 'fJD

Rendimiento de un difusor

(2.48)

1 1 - (hz,- hz)f(hz, - h,)

(2.49) ' !'-/.,,-,.., ., ~- ' ~ ' 1 1 + {po, - Poz)f(pz - Pt) ' ' ... ',. ' . ' • La difusión o deceleración del fluido es una característica esencial

l}p =

La figura 2.11b muestra un proceso de difusión representado en un diagrama de Mollier por la evolución desde el punto 1 al2. Para flujo adiabático estacionario en conductos estáticos, h01 =h 02 y, por tanto, (2.45) Para el proceso adiabático reversible equivalente desde 1 a 2~ (2.46)

El rendimiento de un difusor 'ID se define de forma análoga al rendimiento de una tobera .como 'fJn

(hz,- h,)!(hz - h1)

(e¡ - ci,)f(ci - e~).

(2.47)

Para flujo incompresible (o que puede ser considerado aproximadamente como incompresible) hz,- h, = (p 2 -p.) •

y en consecuencia 54

+ p,

d,e alguna parte de la mayoría de las turbomáquinas y tiene como objeto la conversión eficiente de la energía cinética en energía de presión. Este propósito es difícil de llevar a cabo y se le considera ciertamente como uno de los problemas fundamentales del diseño de turbomáquinas. La dificultad procede del hecho de que la capa límite es propensa a desprenderse si la relación de difusión es demasiado rápida, y son entonces inevitables grandes pérdidas de presión de parada. Por otra parte, si la relación de difusión es muy baja, el fluido está expuesto al contacto con las paredes durante un tramo excesivamente largo y las pérdidas por fricción llegan a ser predominantes. Evidentemente, tiene que existir una relación de difusión óptima para la cual los dos efectos quedan minimizados. La ecuación (2.49) expresa el hecho de que, cuando el rendimiento del difusor 'ID es máximo, la pérdida de presión total es mínima para un aumento dado de presión estática. Una discusión general sobre el óptimo diseño de difusores de paredes rectas con diversas geometrías fue dada por Kline y otros 5 que correlacionaron datos de muchas fuentes y mostraron, para las geometrías de difusor dadas en la figura 2.12, que el rendimiento óptimo tiene lugar cuando el ángulo 21! es alrededor de 7 grados. No obstante, frecuentemente se encuentran 55

Termodinámica de las Turbomáquinas

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

muchos otros problemas importantes de optimización, que Kline y sus coautores han discutido con algún detalle.

El rendimiento del difusor, usando la definición de la ecuación (2.48), es

r-l-\

Flujo

_1_

¡e

R¡

Ar=.!2=1+2l-sen El A1

·\6

(a) Difusor bidimensional

.¡_j-

-'---

por tanto ln 'lo = ln CP - In Cpt·

·¡--1

A =!2=(1+_.!:.. sen

FIG. 2.12.

1 '•

Flujo

(2.48a)

A1 R1 (b) Difusor cónico

Derivando esta ecuación respecto a e y haciendo el resultado igual a cero, se obtiene la condición para máximo rendimiento, es decir

Geometrías de difusor subsónico y relaciones de áreas.

acp cp ae 1

Uno de estos problemas es la necesidad de una recuperación máxima de presión en la dirección del flujo para una longitud determinada de difusor independiente de la relación de área A, = Az/A 1 • Esto puede parecer sorprendente, pero, en general, esta condición óptima conduce a una geometría del difusor diferente de la necesaria para máximo rendimiento. Esto se puede demostrar por medio de las consideraciones siguientes. , Para un flujo incompresible a través de un difusor, la ecuación de la energía se puede escribir P1 -

+ "Z"1 e 2 _ t -

P2 p

+ '!1 c22 + !:J.po p

(2.50)

donde la pérdida de presión total L1p0 =p 01 -p02 . Se puede definir un coeficiente de aumento de presión como eP = (p 2 - p 1 )/q 1 donde q 1 = .f-pc2 1 . De la ecuación (2.50), es fácil ver que el coeficiente ideal de aumento de presión es

haciendo L1p 0 igual a cero. De este modo, la ecuación (2.50) se puede escribir (2.51) 56

acp, ,

(2.52)

De esta forma, para máximo rendimiento la variación diferencial de eP con el ángulo es igual a la variación diferencial de epi con dicho ángulo. Como aquí er es positivo y, por definición, ambos epi y aer¡li38 ~on también positivos, la ecuación (2.52) muestra que aer/i38>0 en el punto de máximo rendimiento. Desde luego, er no puede estar en su máximo valor, cuando TJD tiene su valor más alto. Cr continúa aumentando hasta que aep~ (}8=0. Ahora bien, derivando la ecuación (2.51) respecto a Be igualando a cero, se obtiene la condición para el máximo de CP,

Así pues, como el ángulo del difusor se aumenta más allá de la divergencia que da máximo rendimiento, la elevación real de presión continuará creciendo hasta que las pérdidas adicionales de presión total eqUilibren la ganancia teórica de recuperación de presión producida por el aumento de la relación de áreas. Para mayores ángulos tiene lugar un gran desprendimiento transitorio en el que la separación varía de posición, tamaño e intensidad con el tiempo. Otro artículo de Kline 6 de la misma serie es de especial interés para 57

.. .

Termodinámica de las Turbomáquinas

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

aquellos estudiantes que deseen adquirir un conocimiento físico simple de lo que ocurre en flujos con desprendimiento y particularmente en flujos en conductos. En el Capítulo 3 de este libro se tratan los p'roblemas especiales de difusión y desprendimiento en coronas de álabes de compresores axiales utilizando los métodos de correlación de Lieblein y Howell. La figura 2.13 muestra un gráfico de diseno típico para difusores de paredes rectas, en el cual aparecen las líneas de rendimiento óptimo y - y y de recuperación óptima para LIW1 constante. La línea a:- a: indica aproximadamente el ángulo límite de divergencia 28 para cada valor de L/W1 por encima del cual aparece el fenómeno de gran desprendimiento transitorio.

REFERENCIAS

1. GIBBINGS, J. C., Thermomechanics; the Governing Equations. Pergamon.Press Oxford (1970). 2. MoNTGOMERY, S. R., The Second Law of Thermodynamics. Pergamon Press, Oxford (1966). 3. KEENAN, J. H., Thermodynamics. Wiley, New York (1941). 4. SPALDING, D. B. and CoLE, E. H., Engineering Thermodynamics. Arnold, London (1973). 5. KLINE, S. J., ABBOTI, D. E. and Fox, R. W., Optimum design of straight~walled diffusers. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. Series D, 81, (1959). 6. KLINE, S. J., On the nature of stal1. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. Series D, 81, (1959). PROBLEMAS

l. Demostrar para la expansión adiabática de un gas perfecto a través de una turbina, que el rendimiento global r¡ 1 y el rendimiento del pequeño escalonamiento f/p están relacionados por

l/W¡

FIG. 2.13.

••

Típicas curvas de diseño, difusores de pared recta (Kline y otros5 ), (Cortesía Am. Soc. Mech. Engrs).

donde e=r(l-0/y y r es la relación de expansión, y es el cociente de calores específicos. Una turbina de flujo axial tiene un rendimiento del pequeño escalonamiento de 86 %, una relación de presiones global de 4,5 a 1 y un valor medio de y igual a 1,333. Calcular el rendimiento global de la turbina. 2. En una turbina de varios escalonamientos se expande aire, siendo la caída de presión en cada escalonamiento muy pequeña. Suponiendo que el aire se comporta como un gas perfecto con un cociente de calores específicos y, obtener las relaciones presión-temperatura para los procesos siguientes: (i) expansión adiabática reversible; , (ii) expansión adiabática irreversible, con rendimiento del pequeño escalonamiento r¡P; (iii) expansión reversible en la cual la pérdida de calor en cada escalonamiento es una fracción constante k de la caída de entalpía en dicho escalonamiento; (iv) expansión reversible en la cual la pérdida de calor es proporcional a la temperatura absoluta T. Representar los tres primeros procesos en una diagrama T,s. Si la temperatura de entrada es de .1100 K, y la relación de presiones a lo largo de la turbina es de 6 a 1, calcular las temperaturas de escape en cada uno de estos tres casos. Suponer que y es 1,333, r¡P=0,85, y que k=O,l. 3. Una turbina de vapor de alta presión de varios escalonamientos está alimentada con vapor a una presión de parada de 7 MPa absolutos y una temperatura de parada de 500 °C. La entalpía específica correspondiente es 3410 kJ/kg. El vapor escapa de la turbina a una presión de parada de 0,7 MPa abs., realizándose toda la expansión en condiciones de vapor recalentado. Se puede suponer que el vapor se comporta como un gas perfecto durante la expansión y

~·'i ~.· •

'' ' '

Termodil\ámica de las Turbomáquinas

,¡ ''

que y=1,3. Sabiendo que el proceso del flujo en la turbina tiene un rendimiento del pequeño escalonamiento de 0,82, determinar (i) la temperatura y el volumen específico al final de la expansión, (ii) el factor de recuperación. El volumen específico del vapor recalentado se presenta por pv=0,231(h1.943), donde p está en kPa, v en m3/kg. y h en kJ/kg. 4. Una turbina de contrapresión de 20 MW recibe vapor a 4 MPa y 300 "C saliendo del último escalonamiento a 0,35 MPa. El rendimiento del escalonamiento es 0,85, el factor de recuperación 1,04 y las pérdidas externas el2% de la caída isentrópica de entalpía. Determinar el gasto de vapor. A la salida de las toberas del primer escalonamiento, la velocidad del vapor es de 244 mis, el volumen espe~fico 68,6 dm 3 /kg, el diámetro medio 762 mm y el ángulo de salida del vapor 76 ~medidos desde la dirección axial. Determinar la altura de salida de las toberas en este escalonamiento. - -- -- -- -- --- ---·5. Se suministra vapor a una presión de parada de 1,5 MPa y una temperatura de parada de 350 nc al primer escalonamiento de una turbina de vapor compuesta por cinco escalonamientos de presión. El vapor sale del último escalonamiento a una presión de parada de 7,0 kPa con un título correspondiente de 0,95. Utilizando el diagrama de Mollier para el v<1por y suponiendo que el lugar geométrico de los puntos de los estados de parada es una línea recta que une los estados inicial y final, determinar: (i) las condiciones de parada entre cada escalonamiento suponiendo que cada escalonamiento realiza la misma cantidad de trabajo; (ii) el rendimiento tot_al a total de cada escalonamiento; (iii) el rendimiento global total a total y total a estático, suponiendo que el vapor entra al condensador con una velocidad de 200 m/s; (iv) el factor de recuperación basado en condiciones de parada.

CAPITULO 3

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Entendamos primero los hechos y después podremos buscar las causas (ARISTOTELES.)

El funcionamiento de cualquier turbomáquina es directamente dependiente de las variaciones del momento cinético del fluido que evoluciona al atravesar coronas de álabes individuales. Se puede obtener una idea más profunda de la mecánica de las turbomáquinas considerando las variaciones de flujo y las fuerzas ejercidas dentro de estas filas de álabes individuales. En este capítÚlo se analiza el flujo bidimensional en cascadas. En la figura 3.1 se muestra un túnel para ensayos de cascadas, constando la cascada en sí de un cierto número de álabes idénticos igualmente espaciados y paralelos unos a otros. Para obtener un flujo verdaderamente bidimensional sería necesario una cascada de extenVentilador de escalonamiento Rejilla único / Difusor

Motor de accionamien~- ... /

Longitud de estabilización

\•

•

Zona d~ Cascada contra1CCión l Eje de la /Ranl.J!a ~e cascada SUCCIÓn'\ \, / Angula de ;-----....- entrada del aire

--~----

•

Línea de trazado

FIG. 3 .l. Disposición esquemática de un túnel de viento convencional para ensayos de cascadas a baja velocidad (Lieblen, 17 Cap. 6). (Por cortesía de NASA).

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Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas

J '

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J '' '

sión infinita. Forzosamente las cascadas tienen que ser limitadas en tamaño, y se necesita un diseño cuidadoso para asegurar que por lo menos las regiones centrales (donde se hacen las medidas del flujo) operen con flujo aproximadamente bidimensional. Para máquinas de flujo axial de alta relación raíz-cabeza, las velocidades radiales son despreciables y, para una buena aproximación, se puede tratar el flujo como bidimensional. El flujo en una cascada es entonces un modelo razonable del flujo en la máquina. Con relaciones raíz-cabeza más bajas, los álabes de una turbomáquina 'tendrán normalmente una torsión apreciable a lo largo de su altura, dependiendo ésta de la «ley de torsión>> elegida (ver Capítulo 6). Sin embargo, los datos obtenidos de cascadas bidimensionales pueden ser aún válidos para un diseñador que busque la actuación de tales filas de álabes en secciones concretas de los mismos.

NOMENCLATURA DE LA CASCADA

Un perfil de álabe de una cascada puede concebirse como una línea curva convexa sobre la que se superpone simétricamente una distribución perfilada de espesores. Refiriéndonos a la figura 3.2, la línea convexa y(x) y el espesor del perfil t(x) se muestran como funciones de la distancia x según la cuenf.a_clf!1.4/!Jlle.l. En la práctica inglesa, la forma de la línea de curvatura es por lo general o un arco de círculo o un arco de parábola definido por la curvatura máxima b localizada a una distancia a del borde de ataque del álabe. La distribución de espesores del perfil puede ser la de una sección de un perfil aerodinámico stándar pero, más corrientemente, es una de las secciones específicamente desarrolladas por los diversos centros de investigación para aplicaciones de compresores o turbinas. Las curvaturas y distribuciones de espesor de álabes se presentan generalmente como tablas de yll y t/1 en función de x/l. Horlock4 •25 cita algunos ejemplos de estas tablas. Resumiendo, los parámetros útiles para describir un álabe de cascada son: forma de la línea de curvatura, b/1, a/1, tipo de distribución de espesores y relación espesor máximo a cuerda, tmax. , !l.

Vector velocidad del flujo de salida (promediado a lo largo del paso)

FIG. 3.2.

Cascada de compresor y notación del álabe.

Con los álabes dispuestos en cascada, dos variables geométricas adicionales importantes que definen la cascada son la relación paso-cuerda sil y el ángulo de calado S, que es el ángulo que forman la prolongación de la cuerda y la perpendicular al plano frontal de la cascada. En lo sucesivo, en el presente libro, todos los ángulos del fluido y del álabe se refieren a esta perpendicular a fin de evitar la complicación innecesaria que surge del uso de otras direcciones de referencia. Sin embargo, la costumbre tarda en desaparecer; en la práctica de turbinas de vapor, los ángulos de álabe y de flujo se miden convencionalmente respecto a la dirección tangencial (es decir, paralela al plano frontal de la cascada). A pesar de esto, es mejor evitar ambigüedades de acepción adoptando la dirección única de referencia anteriormente dada. Los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida de la cascada se designan por aí y X,, respectivamente. Un parámetro del álabe muy útil es el ángulodecurvat'![JLfl que es el cambio en dirección de la línea de curvatura entre los bordes de ataque y de estela e igual a o;í -C\lÍ en la notación de la figura 3.2. ~ara lín¡oas.de cQt:Yatura_eJL~LC9.de círculo, el ángulo de calado es. ~ = ; (cxí + OJÍ). l'aLa líneas de cury¡¡tm.aen arco de.parábola.de.baja cu01atura (es decir, pequeña bll), como las utilizadas en algunas cascadas de compresor, los ángulos de entrada y de salida son 63

Termodinámica de las Turbomáquinas

a, '

•

~ +tang

-1

bfl

(af/) 2

Estudio bidimensional del flujo en cascadas '

a 2 = ~ - tang

-1

bfl ( 1 _ af/) 2

Siendo la ecuación que se aproxima al arco de parábola Y= X {A(X - 1) + BY} donde X = x/1, Y = y/1. A,B son dos constantes arbitrarias que pueden ser calculadas con las condiciones de que para x = a, y = b y dyldx = O. Dunham 26 se ocupa de la ecuación general exacta de una línea de curvatura que se ha utilizado en el diseño de álabes de turbina fuertemente arqueados.

ANALISIS DE FUERZAS EN CASCADAS

El fluido se aproxima a la cascada desde lejos aguas arriba, con velocidad c 1 formando un ángulo a 1 y sale lejos aguas abajo de la cascada, con velocidad c2 formando un ángulo a-2 . En el análisis siguiente se supone que· el fluido es incompresible y el flujo estacionario. La suposición de flujo estacionario es válida para una fila de cascada aislada pero, en una turbomáquina, el movimiento relativo entre coronas de álabes sucesivas da lugar al aumento de los efectos de flujo no estacionario. Por lo que se refiere a la hipótesis de flujo incompresible, la mayoría de los ensayos de cascadas se realizan

para números de Mach muy bajos (por ejemplo, 0,3 en cascadas de compresores) donde los efectos de compresibilidad son despreciables. Se dispone de diversas técnicas para correlacionar las cascadas de flujo compresible e incompresible, y Csanady 1 da una breve reseña de ellas. En la figura 3.3 se muestra parte de una cascada de álabes aislados (para un compresor). Las fuerzas X e Y se ejercen por unidad de altura del álabe sobre el fluido, exactamente iguales y opuestas a las fuerzas ejercidas por el fluido sobre una unidad de altura del álabe. Se dibuja una superficie de control con los límites extremos de la cascada alejados aguas arriba y aguas abajo y con los límites laterales coincidentes con las líneas medias de la corriente. Aplicando el principio de continuidad a una sección de altura unidad y teniendo en cuenta la hipótesis de incompresibilidad, resulta

La ecuación de la cantidad de movimiento aplicada en las direcciones x e y con velocidad axial constante, da '.

• X= (p 2 •

e,,

'• '

p,)s, '

(3.2)

Y= pscx(c,,- c, 2 ), Y= psc;(tang

Superficie de control

a1 -

tang a2).

(3.3) (3.3a)

Lasecu¡;ciones (3.1) y (3.3) son completamente válidas para un flujo e;:; el que se produzcan pérdidas de presión,tot'lL en la ..c;ascaaa.

X, Y Fuerzas aplicadas '

. PERDIDAS DE ENERGIA

FIG. 3.3.

Fuerzas y velocidades en una cascada de álabes.

Un fluido real que cruza la cascada experimenta una pérdida de presión total l!.p 0 debida a la fricción superficial y efectos afines. De este modo !!..po Pt - P2 + 1( 2 2) 2c1-c2· (3.4) p p

Termodinámica de las Turbomáquinas

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Teniendo en cuenta que cj - <2, = (c~ 1 + e~) - (c~z + ~) = (e,¡ + c,2 )(c, 1 - cy,), y sustituyendo las ecuaciones (3.2) y (3.3) en la ecuaéión (3.4) se obtiene la relación 1 _:!J.:'.p:."0 =-(-X+ Ytang am), · P ps

SUSTENTACION Y RESISTENCIA ----_________ ___ _ Se define una velocidad media como '

(3 .11)

(3.5)

donde <Ym viene definida por la ecuación (3.6). Considerando la altura - -----------·---··-·u_.o.itaria de un------álabe de cascada) actúa una fuerza de sustentación L ---- --------------- --- ···en una dirección ·perpendicular a cm y una fuerza de resistencia D en una dirección paralela a cm. La figura 3.4 muestra L y D como fuerzas de reacción ejercidas por el álabe sobre el fluido.

donde

'-~-

~----

tanga'"= t(tanga 1 + tar.g a 2 ).

(3.6)

Al presentar los resultados de los ensayos de cascadas es útil a menudo una forma adimensional de la ecuación (3.5). Pueden definirse varias formas del coeficiente de pérdida de presión total de las que las más conocidas son)

¡ •

(3.7a) Fic. 3.4.

~'i . • i:' • • 1 :' •

w = !J.pof(!pci).

(3.7b)

Fuerzas de sustentación y resistencia ejercidas por un álabe de cascada (por unidad de altura) sobre el f:.uido.

•

...•

¡ •

Utilizando de nuevo el mismo parámetro de referencia, se puede definir un coeficiente de aumento de presión CP y un coeficiente de fuerza tangencial e,

X-

C=P2-Pt= , ' lpci j¡psc;

-•

. """ ;;¡¡ ,-

•

; (3.8)

y =

j¡pscx

= 2( tang a¡ - tang a,),

(3. 9)

utilizando las ecuaciones (3.2) y (3.3a). Sustituyendo estos coeficientes en la ecuación (3.5) se obtiene, después de algún desarrollo,

FIÜ. 3.5.

Fuerza axial y tangencial ejercidas por unidad de altura de un álabe sobre el fluido .

Los datos experimentaleS se presentan a menudo en función de la sustentación y de la resistencia, aun cuando los datos pueden ser de mayor utilidad en la forma de fuerza tangencial y pérdida de presión total. Las fuerzas de sustentación y resistencia se pueden obtener en función de las fuerzas axial y tangencial. Haciendo referencia a la figura 3.5 .

•

(3.10)

(3.12)

------

... ··--

----'

•

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas 1

D = Ysenam- X

COS

am.

(3.13)

(3.19)

De la ecuación (3.5)

= COS ct'm

(Y tang

fr111

X) = s ó.P0 cos

frm.

Dentro del rango normal de funcionamiento de una cascada, los valores de Cv son mucho menores que los de CL. Como ames poco probable que sea superior a 60 grados, la cantidad Cv tang amen la ecuación (3.18) puede despreciarse, resultando de esta aproximación,

(3.14)

•

,•

Despejando X de la ecuación (3.14) y sustituyendo en la ecuación (3 .12) se obtiene.

L = (Y tang CYm - S D.po) sen LYm + y cos = Y se , e cY111 - s !:J.p 0 sen CY.111 L = psc~ (tang a 1 - tang a 2 ) sec frm- sD.p 0 sen

,•

-- '

eYm,

CD .;..

2 sec 2am {

(tanga 1

tang a 2) = { sec 2 am.

(3 .20 )

(3.15) CIRCULACION Y SUSTENTACION

•

después de utilizar la ecuación (3.9). Los coeficientes de sustentación y resistencia pueden presentarse como

La sustentación de un perfil aerodinámico único aislado para el caso ideal cuando D = O, viene dada .Por el teorema de KuttaJoukowski

}

(3.16a)

CD =

D fpc~l

L = pFc,

donde e es la velocidad relativa entre el perfil aerodinámico y el fluido en el infinito y Tes la circulación alrededor del perfil aerodinámico. Este teorema es de importancia fundamental en el desarrollo .de la teoría de los perfiles aerodinámicos (para más información véase Glauert2 ). En ausencia .de pérdidas_ fuerza de sust~_l]._tación -------------.. .. . . . - - 9.e pr_~~t.Qn. tQt.ª-L..Ia.. -----. ·-. -- ---- ------ --por unidad de _ª_lq.1ra de ~n.Al~b~--~_l! ___ u_'!:~-- q~~-c;~_cf._~_: utilizando la ecuación (3.15), es

(3.16b)

Haciendo uso de la ecuación (3.14) junto con la (3.7),

(3.17)

-l

-•

= pSCm(Cyl -

tanga2 ) sec am (3.22)

C:v2).

Ahora bien 1 la circulación es la integral curvilínea de la velocidaq a lo largo de una curva cerrada. Para el álabe de cascada la circulación es

e'- =2,-cosam(tanga,- tang a2)- CDtang am.

(3.18)

Por otra parte. empleando las ecuaciones (3.9) y (3.17),

. ..

L- psci(tang a 1

Con la ecuación (3.15)

(3.21)

(3.23)

Termodinámica de las Turbomáquinas

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Combinando las ecuaciones (3.22) y (3.23), (3.24) de modo que, Al incrementar ilimitadamente el espaciamiento entre los álabes de la cascada, las velocidades de entrada y salida de la misma, c 1 y c2 , llegan a ser iguales en magnitud y sentido. De este modo, c1 = c2 = e , y la ecuación (3.24) es idéntica al teorema de Kutta-Joukowski obtenido para un perfil aerodinámico aislado.

OJ'If

45 grados,

por tanto, 2C0

1JDmáx = } - CL •

(3.27)

RENDIMIENTO DE UNA CASCADA DE COMPRESOR •

El rendimiento ry 0 de una cascada de álabes de un compresor puede definirse de la misma forma que el rendimiento de un difusor; esto es, la relación entre el incremento de presión estática real en la cascada y el incremento de presión máximo posible teórico (es decir, con Llp 0 = 0). Así, P2 -p. TJn = ir(e¡- e~)

.¡ ..

Introduciendo las ecuaciones (3.7) y (3.9) en la ecuación anterior,

~D =

J-

Este sencillo análisis sugiere que el rendimiento máximo de una cascada de compresor se obtiene cuando el ángulo medio del flujo es de 45 grados, pero no tiene en cuenta la variación de la relación C 0 /CL cuando varía IYm. Howell 3 ha calculado el efecto que tiene una variación determinada de Cn!CL en el relldimiento de una cascada, comparándolo con el caso en que C 0 /CL es constante. La figura 3.6 muestra los resultados de este cálculo, así como la variación de C0 /CL con CYm. La gráfica muestra que r¡ 0 m~x. se alcanza para un ángulo óptimo solamente un poco menor que 45 grados, pero que la curva es bastante plana para un intervalo considerable de IYm. Howell sugirió que bien podía elegirse un valor de am bastante menor que el óptimo con pequeño sacrificio del rendimiento, y con algún beneficio en 95

' , cf tang am

'lo Con C¡/CL variable

(3.25)

La ecuación (3.20) se puede escribir como ~IC1 '=(sec IYm)C 0 /CL que sustituida en la ecuación (3.25) da 2

E ~

,¡¡

- --

85; P/ _.._____ r-------.

• -•uo o

------

"' "' -·e ~

0·05 0·1145

Co/Cl

o ·o

'lo Con C¡/CL constante

(3.26) Suponiendo una relación sustentación-resistenci_!l constante, la ecuación (3.26) puede derivarse respecto a IYm para dar el ángulo medio óptimo del flujo para rendimiento máximo. Así,

"-o

0·040

o o

-8 u

_l_

o u

Angula del flujo medio, «m grad.

Fra. 3.6.

Variación del rendimiento con el ángulo medio del flujo (adaptado de Howell3 ).

'' í,,

1 '

;

Termodinámica de las Turhomáquinas

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

cuanto a la relación peso-potencia de los compresores. En los cálculos de Howell, la resistencia es una estimación basada en datos experimentales de una cascada junto con una tolerancia por pérdidas de capa límite en la pared y pérdidas de «flujo sec'mdario».

ACTUACION DE CASCADAS CON FLUJO BIDIMENSIONAL

De las relaciones desarrolladas anteriormente en este capítulo es evidente que los efectos de una cascada pueden deducirse totalmente si son conocidos los ángulos del flujo de entrada y de salida junto con el coeficiente de pérdida de presión. Sin embargo, para una cascada determinada solamente una de estas cantidades puede fijarse ::_trbitrariamente, estando determinadas las otras dos por la geometría de la cascada y, en menor grado, por el número de Mach y el número de Reynolds del flujo. Para una familia dada de cascadas geométricamente semejantes su comportamiento puede expresarse funcionalmente como

•

ejemplo, figura 3.1 (o una de sus numerosas variantes), y a continuación se da una breve descripción del diseño aerodinámico básico. Carter y otros5 dan una descripción más completa del túnel de ensayos de cascadas, incluyendo muchas de las técnicas de investigación desarrolladas o adoptadas por la National Gas Turbine Establishment de Farnborough, Inglaterra. En un túnel para cascadas bien diseñado lo más importante es que el flujo cerca de la región central de los álabes de la cascada (donde se hacen las medidas del flujo) sea aproximadamente bidimensional. Este efecto se puede conseguir empleando un gran número de álabes largos, aunque se necesitaría una excesiva potencia para accionar el túnél. Con un túnel de tamaño más razonable, las dificultades aerodinámicas llegan a ser evidentes y provienen de las capas límites en la pared del túnel que interaccionan con los álabes. En concreto, y , como se ilustra en la figura 3.7a, la capa límite en la pared del túnel se confunde con la capa límite en el álabe ~xtremo y, en consecuencia, este álabe sufre desprendimiento produciendo un rnmpo de flujo no uniforme.

(3.28)

donde 1; es el coeficiente de pérdida de presión, ecuación (3.7), M 1 es el número de Macha la entrada =c 1/(yRT 1) 'h, Re es el número de Reynolds a la entrada =p1 c 1//f.lbasado en la longitud de la cuerda del álabe. A pesar de numerosos intentos, no ha sido posible determinar exactamente las características de actuación de una cascada únicamerite por medios teóricos, y el método experimental aún sigue siendo la técnica más segura. Queda fuera del alcance de este libro un estudio de la aproximación teórica al problema, sin embargo Horlock4 da un resumen útil del tema.

Capa limite en las paredes

succión .

/ /

:,.

TUNEL DE VIENTO PARA ENSAYO DE CASCADAS

Las bases de la investigación y desarrollo de muchas turbomáquinas se obtienen del túnel de viento para ensayo <le cascadas, por

(b) Cascada finita con aplicación de succión

FIG. 3.7.

Flujo de líneas de corriente a través de cascadas (adaptado de Carter5 ).

Estudio bidimensional del Dujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas •

1 1

••

Íi ••

i .1

' •

•

Puede impedirse el desprendimiento en el álabe extremo aplicando una succión controlada en una hendidura aguas arriba del álabe, suficiente para eliminar la capa límite de la pared del túnel (fig. 3. 7b). Sin tal eliminación de la capa límite los efectos de interferencia del flujo pueden ser bastante pronunciados. Estos llegan a ser más intensos cerca del «punto de desprendimiento» de la cascada (definido más tarde) cuando cualquier pequeña perturbación del campo del flujo aguas arriba produce desprendimiento en los álabes adyacentes al álabe extremo. Se ha observado inestabilidad de este tipo en cascadas de compresor, pudiendo afectar a todos los álabes de la misma. Esto se caracteriza usualmente por «células» periódicas regulares de desprendimiento que cruzan rápidamente de álabe en álabe; se aplica a menudo al fenómeno el término propagación del desprendimiento. En el Capítulo 6 se discute el mecanismo de la propa'gación del desprendimiento. Las capas límites en las paredes a las que están sujetas las raíces de los álabes generan vorticidad secundaria al pasar a través de los álabes, lo cual puede producir flujos secundarios importantes. Carter, 6 Horlock 4 y muchos otros han discutido el mecanismo de este fenómeno con alguna amplitud, y en el Capítulo 6 se incluye una breve explicación. En una cascada de compresor, el rápido aumento de la presión a través de los álabes causa un acusado engrosamiento de las capas límites en la pared y produce una contracción apreciable del flujo, como se representa en la figura 3.8. Se define un coeficiente de contraccióri como p 1c 1 cos o:1/(p2 c2 cos o:2 ) que se utiliza cOmo medida

!!!!!

•

FJG. 3.8.

Contracción de líneas de corriente debida al engrosamiento de la capa límite (adaptado de Carter5 ).

del crecimiento de la capa límite a través de la cascada. Carter 5 cita valores de 0,9 para un buen túnel, disminuyendo hasta 0,8 en túneles normales de alta velocidad e incluso a valores menores en casos peores. Estos valores son para cascadas de compresor; con cascadas de turbina pueden esperarse valores un poco más altos . A causa de la contracción del flujo principal, nunca se alcanza el aumento teórico de presión en una cascada de compresor, incluso teniendo en cuenta las pérdidas. Esto es evidente, puesto que una contracción (en flujo subsónico) acelera el fluido, lo que está en pugna con la acción difusora de la cascada. Para contrarrestar estos efectos, se acostumbra (en Gran Bretaña) a usar por lo menos siete álabes en una cascada de compresor, teniendo cada álabe una relación de aspecto mínima (altura del álabe-longitud de la cuerda) de 3. Con siete álabes, es conveniente la succión en una cascada de compresor pero no es usua) en una cascada de turbina. En Estados Unidos se emplean- cor.rientemente relaciones de aspecto mucho más bajas en los ensayos de cascadas de compresores, siendo la técnica la eliminación casi completa de las capas límites de las cuatro paredes, utilizando una combinación de ranuras de succión y paredes extremas perforadas a las que se aplica la succión. RESULTADOS DE LOS ENSAYOS DE CASCADAS Los datos básicos de la actuación de una cascada se obtienen de las medidas de presión, ángulo del flujo y velocidad tomados a lo largo de uno o más pasos en la entrada y en la salida de la cascada. En las referencias 4, 5 y 7 se dan algunos detalles de la instrumentación usada para estas medidas de prueba. Uno de los trabajos más útiles de métodos para obtener la dirección del flujo y la velocidad del aire, a partir de las medidas de presión en el flujo, es la publicación del National Physical Laboratory, referencia 7. Esta contiene detalles del diseño y construcción de diversos instrumentos, así como sus principios generales y funcionarriiento práctico. DowdeÓ 18 da una bibliografía extensa de todos los tipos de medida en flujo de fluidos. La figura 3.9 muestra el resultado de un ensayo típico de cascada realizado por Todd 8 a partir de un recorrido a lo largo de 2 pasos de álabes para un Mach de entrada de 0.6. Se observa que tiene lugar un 75

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas 1

' 'i

déficit de presión total a lo largo de la fila de álabes como resultado de la fricción del fluido en los mismos. La deflexión del 'fluido no es uniforme y es máxima en cada borde de salida del álabe en la cara de presión de los mismos. De tales resultados se pueden obtener los valores medios de la pérdida de presión total y del ángulo de salida del fluido (usualmente en base a un flujo másico). El uso de términos como «pérdida de presión total» y «ángulo de salida del fluido» en la discusión subsiguiente indicarán estos valores medios.

ensayos requeridos, muchos trabajos sobre cascadas se realizan a velocidades bajas de entrada, pero con un número de Reynolds mayor que el valor «Crítico». Este número de Reynolds crítico Reces aproximadamente 2 x l 05 basado en la velocidad de entrada y en la cuerda del álabe. Con Re > Re" las pérdidas de presión total y las deflexiones del fluido son sólo ligeramente dependientes de las variaciones de Re. Los efectos del número de Mach son despreciables cuando M 1 < 0,3. Así, las características de comportamiento, ecuación (3.28), para este fujo se simplifican a

{, a2 =

•

•1

1 1

•• L... -E -

o o;

•

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1 1

n--

••

\ 1

{!5

ACTUACION DE UNA CASCADA DE COMPRESOR

311\t

39 ~

35 ~

2 pasos

FIG. 3.9.

\ 1

Representación modelo de las presiones de parada en la entrada y en la salida, y ángulo de salida del fluido (adaptado de Todd8 ).

Ensayos semejantes realizados para una gama de ángulos de entrada del fluido, para el mismo número de Mach de entrada M, y número de Reynolds Re, permiten ¿cterminar la actuación completa de la cascada (para ese M 1 y Re). A fi'l de minimizar el número de

(3.28a)

Hay una diferencia fundamental entre los flujos en las cascadas de turbina y en las cascadas de compresor que conviene recalcar. Un fluido que evoluciona a través de un canal en el cual la presión media va ¡jisminuyendo (el flujo medio se está acelerando) experimenta una pérdida de presión total relativamente pequeña, en contraste con el flujo medio a través de un canal en 'el cual la presión va aumentando (difusión del flujo), donde las pérdidas suelen ser altas. Esta diferencia característica en el flujo se refleja en cascadas de turbina con amplio intervalo de act.uación con pérdidas bajas, y en cascadas de compresor por un intervalo bastante estrecho.

1 1

/(a 1 ).

.En la figura 3.10 se muestra un conjunto típico de resultados de cascada de compresor de baja velocidad," para una cascada de álabes ele geometría determinada. Estos resultados se presentan tomando como eje de ordenadas el coeficiente de pérdida de presión .1 p 0 /(i rxf) y la deflexión del fluido E = a1 - a 2 y como abscisas la incidencia i = a 1 - <>í (correspondiendo la n men l t ra al fi ura 3.2 . Observemos que de la ecuación (3.7) . .1 pol(tpcTJ = t cos2 a 1 Hay un aumento pronunciado de la pér Ida de prestan- total--Cuando la incidencia aumenta por encima de un cierto valor y en esta región la cascada entra en desprendimiento. La incidencia exacta para la cual ocurre el desprendimiento es difícil de definir, y se determina 77

-----------

Termodinámica de las Turbomáquinas

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

"tr o_

•

---------Deflexión máxima -

~ ~

• o '

•o

•

o•

-¡¡;

0·075

0·05

-30

;pcf

~20

~10

Incidencia, i ==

FIG. 3.10.

0·025

1 1

o 0-'1 -

«-í grad

•.,

S/[

= 0·9

a.', = 44·5" a'z::-4J.s•

•• • •o •o •o

•

...

Cv, = 0•018

Cz ·

(3.29b)

CaracterístiCas de cascada de compresor (Howell 9 ). (Por cortesía del Controller of H.M.S.O., Crown copyright reserved).

arbitrariamente un punto de desprendimiento como la incidencia a la que la pérdida de presión total es el doble de la pérdida mínima de la presión total. Físicamente, el desprendimiento se caracteriza (para incidencia positiva) por la separación del flujo de la cara de succión de las superficies de los álabes. Con incidencia decreciente, las pérdidas de presión total aumentan de nuevo y se puede definir como antes un punto de desprendimiento de «incidencia negativa». El intervalo de trabajo se define convencionalmente como el rango de incidencia entre estos dos límites en los que las pérdidas son dos veces la pérdida mínima. El conocimiento exacto de la extensión del intervalo de trabajo, obtenido de los ensayos· de cascadas en dos dimensiones, es de gran importancia cuando se trata de valorar la idoneidad del conjunto de álabes para condiciones variables de funciOnamiento. Lo más conveniente es definir un ángulo de incidencia de referencia o en el punto medio del intervalo de trabajo o, menos exactamente, para la condición de pérdida mínima. Estas dos condiciones no dan necesariamente la misma incidencia de referencia. De· tales resultados del ensayo de la cascada se pueden estimar las pérdidas por perfil a través de álabes de compresor de la misma geometría. A estas pérdidas han de añadirse la estimación de las pérdidas de fricción superficial en el anillo de paso y otras pérdidas

y para la denominada pérdida «Secundaria»,

(3.29a)

Re "" 3 X 105

" •· :;¡ •

secundarias, a partir de lo cual se puede determinar el rendimiento de la corona de álabes de compresor. Howell1" sugirió que estas pérdidas podían estimarse utilizando los coeficiente.s de resistencia siguientes. Para la pérdida en las paredes del anillo,

/), po

•" •

o o •o ~

-' ! - - --- A

"'1 --

~'" ~

1 1 1 1 ¡1

•i

1 1

Deflexión nominal t"·= O·BE,

~10

dondes, H son el paso y la altura del álabe respectivamente, y C L el coeficiente de sustentación del álabe. Howell y otros realizaron cálculos de este tipo para estimar el rendimiento de un escalonamiento completo de compresor. Para ilustrar los detalles de este método se da en el Capítulo 5 un ejemplo resuelto.La figura 3.11 muestra la variación del rendimiento del escalonamiento con el coeficiente de flujo, y es de particular interés observar la magnitud relativa de las pérdidas por perfil en comparación con las pérdidas totales, especialm,ente en el punto de diseño. Para poder utilizar fácilmente los datos de actuación de una

<fl-

2' 2%•

100

., = E': o,

¡.¿_Pérdidla en el an illo de paso sol amente

4·4% 1

4:1Jii

·~ 1 .~

Anillo de paso ~rS;: pérdida secundfria ~ .1Anillo de paso + secundario +_ pérdida por perfil

7o 6ll

0·5

0·7

0·9

Coeficiente de flujo

FIG. 3.11.

1·3 4

1'5

1·1

Pérdidas en un escalonamiento de compresor (Howell 10). (Por cortesía de la Institution of Mechanical Engineers).

•

1 .'

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turhomáquinas

•

¡ 1 1

' 1 1

.¡ •'

! 1.

cascada, lo mejor es presentarlos de alguna forma abreviada. En Gran Bretaña se han desarrollado varios métodos de correlación empírica de datos de comportamiento a baja velocidad. La correlación de Howell relaciona la actuación de una cascada con su comportamiento en una condición «nominal» definida por el 80 % de la deflexión de desprendimiento. Carter 1 1 ha referido la actuación a una incidencia óptima dada por la relación resistencia-sustentación más alta de la cascada. En Estados Unidos el National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), ahora llamado la National Aeronautics and Space Administration (NASA), ensayó sistemáticamente familias completas de diferentes geometrías de cascada, en particular, la ampliamente utilizada serie NACA 65. 12 Felix 13 ha reunido útilmente los datos de la serie 65 de la NACA y allí se puede encontrar más fácilmente la actuación de una cascada de geometría determinada. Horlock4 también da un resumen conciso.

con una tolerancia estimada de menos del 2 % para rendimiento máximo. En el Capítulo 4 se bosqueja una aproximación bastante diferente que utiliza un método atribuido a Soderberg. Aunque es posiblemente un poco menos exacto que la correlación de Ainley, el método de Soderberg emplea menos parámetros y es bastante más fácil de aplicar.

-----------

Alabes de acción

---

¡§'

Alabes de reacción 1

•

1 1

ACTUACION DE UNA CASCADA DE TURBINA

•

'•'.'

1"'

1 !!!!'•

-l T ' 1' '

•

' •

-_)

'' •

La figura 3.12 muestra los resultados obtenidos por Ainley 14 de dos conjuntos de álabes de cascadas de turbinas de acción y de «reacción». EL1énninu_<6reacdón»__ ~~-_JJ.sa _aqui.pant_inQicar, etLun sentido cualitativo, que el fluido se aceleraaLatravesar la corona .de _álabes y a su·paso experimenta, _de este modo,_u_na caída de.. presión. "N<J _ l!ªy_ _y_a_ri;:u:ión de presión a -través .de una corgna...de _~íJ;;tb§._de acción. Su actuación viene expresada como .1. = !1p 0 /(p 02 - p,) y Gl'z en función de la incidencia. De estos resultados se observa que: a) los álabes de reacción tienen un rango de trabajo con bajas pérdidas mucho más amplio que los álabes de acción, resultado que era de esperar, ya que las capas límites de los álabes están sometidas a un gradiente de presión favorable, • b) el ángulo de salida del fluido Gl'z permanece relativamente constante en todo el rango de incidencia, en contraste con los resultados de la cascada de compresor. Para álabes de cascada de turbina, Ainley 15 ,da un método de correlación que permite predecir la actuación de úna turbina de gas

- --- --

1 1

1 --~

o~~~~~~~L-~

-30

-211

-10

Incidencia i, grad

FIG. 3.12.

Variación de las pérdidas por perfil con la incidencia para álabes típicos de turbina (adaptado de Ainley 14 ).

CORRELACIONES PARA CASCADAS DE COMPRESOR Muchas investigaciones experimentales han confirmado que el funcionamiento eficiente de los álabes de una cascada de compresor está limitado por el engrosamiento y desprendimiento de las capas límites de la superficie de los álabes. Uno de los objetivos de la investigación de cascadas es establecer las características de pérdidas generalizadas y los límites de desprendfmiento de álabes convencionales. Esta tarea se hace difícil a causa del gran número de factores

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas

¡: 1' 1

•

..¡· '

i 1

_,''

~l. .

que pueden influir en el engrosamiento de la capa límite de la superficie del álabe, por ejemplo, distribución superficial de velocidades, número de Reynolds, número de Mach a la entrada, turbulencia e inestabilidad del chorro libre, y rugosidad superficial. Del análisis de datos experimentales se han desarrollado varios métodos de correlación que permiten predecir, con suficiente exactitud para proyectos de ingeniería, el comportamiento de primer orden de las pérdidas del álabe y los límites de la deftexión del fluido . 17 19 LIEBLEIN. La correlación de Lieblein · se basa en la observación experimental de que una gran difusión de velocidad en las superficies del álabe tiende a producir capas límites gruesas y el consiguiente desprendimiento. Lieblein establece la hipótesis general de que en la región de pérdida mínima el espesor de la estela, y consecuentemen. te, la magnitud de la pérdida de presión total, es proporcional a la difusión de velocidad en la superficie de succión del álabe en aquella región. La hipótesis se funda en la consideración de que la capa límite en la superficie de succión de álabes de compresor convencionales aporta la mayor parte de la estela del álabe. Por esta razón, la distribución de velocidad en la superficie de succión llega a ser el principal factor al determinar la pérdida de presión total. La figura 3.13 muestra una distribución de velocidad típica

•

·~

•

• V

V •

-S

FIG. 3.14.

obtenida de las medidas de la presión en la superficie de un álabe de una cascada de compresor en la región de pérdida mínima. La difusión de velocidad puede expresarse como la relación entre la velocidad máxima en la superficie de succ.ión y la velocidad de salida e max.s . /c2 . - Lieblein encontró una correlación entre la relación de difusión cm,)c2 y la relación del espesor por la cantidad de movimiento de la estela a la cuerda &211 para la incidencia de referencia (punto medio del rango de trabajo) para álabes American NACA 65-(A 10 ) y para los de arco circular British C.4. El espesor por la cantidad de movimiento de la estela, con los parámetros del modelo de flujo de la figura 3.14, se define como

'·

•

~ ~

Superficie de presión

0;---- -------¡100;¡-%

FIG. 3.13.

cuerda

Distribución de velocidades en las superficies de los álabes de una cascada de compresor.

' 'Variación modelo de velocidad en un plano normal a la dirección axial.

•

Superficie de succión

S - -S,

1 - - dy. V

(3. 30)

La correlación de Lieblein, con sus puntos datos no representados para mayor claridad, se corresponde exactamente con la curva media de la figura 3.15. Esta curva representa la ecuación

0,()()4/ l-1,17ln

Cmáx,s) c2

(3.31)

cuya utilización puede ser más conveniente para obtener resultados.

',,

Termodinámica de las Turbomáquinas Estudio bidimensional del flujo en cascadas

,.. 1

'"-

La correlación dada arriba supone un conocimiento de las velocidades de la superficie de succión a fin de que puedan estimarse la pérdida de presión total y los límites de desprendimiento. Como este dato puede ser inasequible, es necesario establecer uná relación de difusión equivalente, aproximadamente igual a cmáx)c 2 , que pueda calcularse fácilmente de las condiciones de entrada y salida de la cascada. Lieblein 19 estableció una correlación empírica entre un parámetro de circulación definido por f(D=T cos IY¡(Ic,) y cmh_/C¡ para la incidencia de referencia, donde la circulación ideal es r = s (cy 1-cy,), utilizando la ecuación (3.23). La correlación obtenida es la simple relación lineal,

.. -

S 0,04 1-1l_E ~

o o~

~ ~ ~

o o ·o

·u= . -"= 0,02 ~-

"'"•• u

oto-,1_ '-;7-'-..L_ '-7'.--j_ '--.1',--_j 1.0 1.4 1.8 2.2 Relación de difusión,, emax s/¡c 2

FIG. 3.15.

Variación media de la relación espesor por la cantidad de movimiento d, h est~la/~uerd.a con la relación de difusión de la superficie de succión en las condicio~e~ de mcidencw de referencia para , . . álabes NACA 65 (C w A w ) 10 y a-¡ a bes. en arco de circulo. Bnt1sh C.4 (adaptado de Lieblein 1'l). .

Nótese que para el caso límite cuando (8il)~x, el correspondiente lm~tt~ superwr ~ara la_ relación de difusión cmáx ..Jc? es 2,35. El límite P':act~~o de funcionamiento eficiente correspondería a una relación de d1fus1on entre 1,9 y 2,0. Las pérdidas se expresan usualmente en función tanto del coef1C1ente de pérdida de presión de parada w = Llpof(l. pe') 0 1 ~ = Llpol(ifoc;) como del coeficiente de resistencia Cn. Lfeble in y Roudebush han demostrado la relación simplificada que existe entre . el espesor, por la cantidad de movimiento relativo y el coeflcwnte de perd1da de pres10n total, válido para álabes sin desprend1m1ento,

(3.32) Combinando esta relación con las ecuaciones (3. 7) y (3. 17) se pueden obtener los s1gmentes resultados útiles: 3

s c::o:.:s~a~m l

cos 2 a. 1

am) 3 ={-s

2 (~) l cos a 2 COS

cos 3

a.n¡ •

(3.33)

Cm;.,,/e¡ = 1.12

+ 0,61fll')

(3.34)

que se aplica para álabes NACA 65-(Aw) y para los de arco circular CA. Además, después de '-sustituir r y. simplificar, la relación de difusión equivalente es, cos

a.2

COS a 1

L 12

+ o'.61

- cos 2 a 1 (tanga 1 -tanga2 ) • 1 (3.35) •

Para ángulos de incidencia mayores que la incidencia de referencia, Lieblein encontró que era adecuada la correlación siguiente: D

- cos ~ 2 LI2 + k(i- i,.,)" 43

eq-

cosal

+ 0.61

~/ cos 2 ~ 1 (tanga, - tang ~2l (336)

donde k= 0,0117 para los álabes NACA 65-(A 10 ) y k=0,007 para los álabes de arco circular CA. Las expresiones dadas anteriormente son también muy ampliamente utilizadas como un medio de estimar la pérdida de presión total y el rango de funcionamiento sin desprendimiento de los álabes comúnmente empleados en compresores axiales subsónicos. Swann 21 ha modificado y ampliado el método para incluir las pérdidas adicionales ocasionadas por ondas de choque en compresores transónicos. La discusión de los compresores transónicos no se incluye por estar fuera del alcance de este texto,

•

1 •

'1'

1·

!. '

' '

1 l.

•

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas

.HowELL. LacOJTelación de baja velocidad de Howell 9 ha sido muy utthzada por d1senadores de compresores axiales y se basa en una condición nominal tal, que la deflexión E' es el 80 % de la deflexión de desprendimiento. E, (fig. 3.10). La elección de E'=O 8E como , ·' condición de diseño representa un compromiso entre lo ultraconservador y lo superoptimista. Howell encontró que las deflexiones nominales de diversas cascadas de compresor son, fundamentalmente,una función de la relación paso-cuerda sil, del ángulo nominal de sahda del flmdo a:~ y del número de Reynolds Re,

•* -J(s/1, a~, Re).

(3. 37)

Una fórmula aproximada para los datos dados en la figura 3.16, expresada por Howell y que frecuentemente resulta útil en estimaciones preliminares de actuación, es la regla de diferencia de tangentes:

•

j tang ar - tanga,

1.55

= 1 + 1.'5 sfl

(3.38)

que es aplicable en · el intervalo O OS a:2 * <40°

DESVIACION DEL FLUIDO

1, 1"i

••=

•

"Ee ·-

-·

•

o e

.g ~ w

o ~-

' ., 1

-10

,,'

Angula nominal de salida.

50 tx2 ~

70 grad

•

FIG. 3.16.

La diferencia entre los ángulos de entrada del fluido y del álabe en la entrada de la cascada está bajo el control arbitrario del diseñador. En la salida de la cascada, sin embargo, la_¡liferencia_entre lgs_ángulo_s · gel fluido y del álabe, llamado desviación ó,es una función de la curvatura del álabe, forma del álabe, relación paso-cuerda y ángulo de calado. Refiriéndonos a la figura 3.2, la desviación = a:2 - <Y, está dibujada como positiva; casi sin excepción está en una dirección tal, que se reduce la deflexión del fluido. La desviación puede ser de considerable magnitud y es importante que se haga su estimación exacta. Si se vuelve a examinar la figura 3.9, se observará que el fluido recibe su máximo guiado en la cara de presión del canal de la cascada y que éste disminuye casi linealmente hacia la cara de succión del canal. Howell utilizó una regla empírica para relacionar la desviación b* con la curvatura y la relación paso-cuerda,

Variación de la deflexión nominal con el ángulo nominal de salida para varias relaciones paso/cuerda (adaptado de Howell 10).

Es importante observar que la correlación (que es realmente una-correlación de la deflexión de desprendimiento c,=l,25E') es VIrtualmente mdepend1ente de la curvatura del álabe en el rango normal de elección de este parámetro (20°<8<40°). La figura 3.16 muestra la variación de e* encontrada por Howell 10 en función de ~ para varias relaciones paso-cuerda. La dependencia del número d~ Reynolds es pequeña para Re>3 X 105 , basado en la cuerda del álabe.

= m8(sfl)",

(3.39)

donde !1 :_±_]Jara__c_as_cadas .. _de compresor. y n : 1 para_ álabes guiadores de entrada de compresor. El valor de m depende de la forma de la línea de curvatura y de la colocación del álabe. _l'arauna cascada de compresor (es decir, flujo decelerándose), -.----

-·

- m= 0.23(2a//)'

+ a~/500,

(3.40a)

'' '

Termodinámica de las Turbomáquinas

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

donde a es la distancia desde el borde de ataque a la curvatura máxi¡na. Para__los álabes guiadores de entnda, que son ese!lcialm_e_Jlle toberas de turbina (es decir, flujo acelerándose),

m = constante = 0,19

¡'

: ,,1 '•

.,¡. 1,:

' ,, •,

••,¡ • 1 '

' • •

•

Una cascada 'de compresor tiene una relación paso-cuerda de uno y ángulos de entrada y salida de álabe de 50" y 20°, respectivamente. Si la línea de curvatura del álabe es un arco de círculo (es decir, al/ = 50 %) y la cascada se diseña para funcionar en la condición nominal de Howell, determinar la deflexión del fluido, la incidencia y el coeficiente de sustentación ideal en el punto de diseño. La curvatura, 8 = a:J - a:Z = 30°. Como una primera aproximación' pongamos ~ = 20° en la ecuación (3.40) para dar m = 0,27 y,· utilizando la ecuación (3.39), o* = 0,27 x 30 = 8,1°. Como una aproximación mejor pongamos ~ = 28,1 o en la ecuación (3.40) dando m = 0,2862 y o* . 8,6°. De este modo, ~ = 28,6° es EJEMPLO ILUSTRATIVO:

(3.40b)

suficientemente exacto. De la figura 3.16, con sil= 1,0 y~ = 28,6" se obtiene¡;* = a'! - ~ = 21°. Además a'! = 49,6° y la incidencia nómina] i* = a'! - "'; = - 0,4°. El coeficiente de sustentación ideal se encuentra haciendo ev = O en la ecuación (3 .18).

Howell 9 mostradas en la figura 3.17. Si se conoce la deflexión nominal e* y la incidencia nominal i*, la actuación fuera de diseño ( deflexi~n, coeficiente de pérdida de presión total) de la cascada para cualqmer otra Incidencia se calcUla fácilmente. EJEMPLO: En el ejercicio anterior con una cascada de sil= 1,0, a:{ = 50°, y a2 = 20° las condiciones nominales era~ el= 21o e i* . ----:_0,4°. Supongamos que se desea conocer la actuación fuera de dtsen.o de esta cascada para una incidencia i = 3,8°. Refiriéndonos a la flgura 3.17 y con (i- i*)ls* = 0,2 se obtiene o: 0,017, siE* = 1,15. Así la deflexión fuera de diseño, e = 24,1°. De la ecuación (3.17), el coeficiente de pérdida de presión total es,

{ ~ tlp 0 /(ipc~) ~ Cn/[(s//)cos'oml· Ahora bien, como a1 = aí 29,7 grados, por tanto,

tang

-1

53,8 grados, también

CY2 = CYt -

{-!{tang a 1 + tang a:2 )} = tang- 1{0,969} = 44,1 grados

además

{

0.017/0.719 3

0.0458.

_,'

•

1·•

il,

•,,1

•'

= 2(s/l) COS

a'm

El coeficiente de esfuerzo de sustentación tangencial, ecuación (3.9), es

(tanga'¡ - tang ctz).

Poniendo a 1 =a'¡, a:2 =~y observando que tanga:,;, =+(tanga'¡+ tang~) se obtiene a:,;,= 40,75° y eL= 2(1,172- 0,545) 0,75870,95. En conclusión, se observará que la desviación estimada es uno d_e los valores más importantes a efectos de diseño, ya que pequeños errores en ésta se reflejan en grandes cambios en la deflexión y, por tanto, en la actuación predicha.

Cr ~ (p,- p 1)/(tpc;) ~ 2(tang a 1

tang a 2 )

1,596.

El rendimiento del difusor, ecuación (3.25), es T}n ~

1- {/(Crtang.am) ~ 1- 0.0458/(1.596 X 0.969) ~ 97%,

ACTUACION FUERA DE

DISENO

•

Para obtener la actuación de una cascada dada en. condiciones fuera • de diseño, pueden utilizarse las curvas generalizadas de actuación de

f;,2

3 [ t

Vale ]a pena observar, de los datos representativos. contenidos en d ejercicio anterior, que la validez de la aproximacwn de la ecuaciOn (3.20) está ampliamente justificada. _ , . La correlación de Howell, naturalmente, es un metodo senc!llo Y totalmente directo de valorar la actuación de una cascada dada para

' ••'

•

'""

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas

1.r 1-2

, , o

- --- --- ---

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0·4

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0·10

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,Nota: =

EFECTOS DEL NUMERO DE MACH

0·11

i = incidenciai~ = incidencia 1 para dar e*

o• (V

0·8

'· ·

•= •

~ ~

:t-. -' : ¡ct;

Las características de cascadas de alta velocidad son similares a las de baja velocidad hasta que se alcanza el número de Mach crítico Meo después del cual la característica de funcionamiento decae. La figura 3.18, tomada de Howe11, 9 ilustra para una cascada particular ensayada con número de Mach variable e incidencia fija, la bajada drástica en el coeficiente de aumento de presión por encima del número de Mach máximo en la entrada Mm, cuando la cascada está totalmente bloqueada. Cuando la cascada está bloqueada, no es

0·08

sumar

*•

.¡@

0·08

0·04

:fof stl. 'o.s

::0:

diseño es por tanto algo arbitraria, y algunos diseñadores, ignorando las condiciones nominales de diseño, pueden seleccionar una incidencia más ajustada a las condiciones operativas bajo las cuales el compresor funcionará. Por ejemplo, se puede elegir una incidencia de diseño negativa, de modo que para un gasto reducido se aproxime a una condición de incidencia positiva .

-~ -=

1•1

"••

sjl "' H •

-1H

-11·1

•

'1 . e

0·3

•O

w m

= •

FIG. 3.17 Características de funcionamiento fuera de diseño de una cascada de compresor (Howell 9 ). (Por cortesía del Controller of H.M.S.O .. Crown copyright reserved).

0·1

-•

0·1 f-

"'e

o m

,15 1

un rango de ángulos de entrada del flujo. Los datos pueden también utilizarse para resolver el problema inverso más complejo, a saber, la selección de una geometría de cascada idónea cuando se da la deflexión del fluido. Para este caso, si se utiliza el método anterior de una condición nominal de diseño, pueden resultar relaciones pasocuerda mecánicamente inadecuadas. La relación paso-cuerda puede, sin embargo, determinarse hasta cierto punto por la disposición mecánica del compresor, coincidiendo entonces sólo fortuitamente la incidencia de diseño con la incidencia nominal. La incidencia de

"¡ o

'51

(i. ¡•)/€*

•

0·6

0·1

1·0

Número de Mach de entrada, M

S/1 = 0·9 a'1 = «·5· a'2 :=:---8-5"

' " 12' a 2• "' 10·6" Re"' lX 10 5

FrG. 3.18. Variación del coeficiente de aumento de presión en una cascada con el número de Machen la entrada (Howell9 ). (Por cortesía del Controller of H.M.S.O., Crown copyright reserved).

• ·---·· ...

·--·---------

Estudio bidimensional del .flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquínas

-·

•

J.U,------------,

posible un aumento posterior del flujo másico en la mt' na. La definición del número de Mach crítico a la entrada es menos precisa, pero una definición en uso totalmente satisfactoria es que el número de Mach local máximo en la cascada haya alcanzado la unidad. Howell intentó correlacionar la disminución del rendimiento y de la deflexión en el intervalo de números de Mach de entrada M,:" M :5 Mm y se muestra en la figura 3.19. Empleando esta correlación, se pueden encontrar curvas similares a las de la figura 3.18 p~ra cada incidencia. Uno de los principales objetivos de ensayar cascadas de alta velocidad es obtener datos para determinar los valores de Me y Mm. 10 Howell indica cómo Me y Mm varían con la incidencia para una cascada típica (fig. 3.20).

0·9

0·8

=•

~ .,

0·6

0·5 0·4

l,---o-----:---- ___

-10

•

-5

__j

Incidencia i, grad ·

0·8

FIG. 3.20. Influencia de la incidencia en los números de Mach crítico y máximo (Howell 10 ). (Por cortesía de la Institución of Mechanical Engineers).

0·6

4 1"'1

310·2

0·2

0·6

0·1 M-

0·8

2 f--

MIII-Mt

FIG. 3.19.

Variación del rendimiento y de la deflexión con el número de Mach (adaptado de Howell9 ).

1 1

-3

CORRELACION PARA CASCADAS DE TURBINA (Ainley)

En 1951, Ainley y Mathieson 15 publicaron un método para estimar la actuación de una turbina de flujo axial que ha sido muy utilizado

-2

-1

i 1 j$

FIG. 3.21.

Variación de la pérdida de perfil con la incidencia para un paleteado típico de turbina (adaptado de Ainley y Mathieson 15 ).

Termodinámica de las Turbomáquinas

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

1 1

••

YPU ~ OJ

desde entonces, En esencia, el método determina la pérdida de presión total y el ángulo de efusión del gas para cada corona de un escalonamiento de turbina con un diámetro de referencia único y bajo un extenso rango de condiciones de entrada. Este diámetro de referencia se tornó como la media aritmética de los diámetros interior y exterior de las coronas de rotor y estator. Más recientemente Dunham y Came 22 han reunido detalles de varias mejoras al método de Ainley y Mathieson que dan mejor predicción de la actuación de pequeñas turbinas que el método original. Cuando los álabes están adecuadamente diseñados, el método revisado parece dar predicciones fidedignas del rendimiento con error menor de un 2 % para un amplio rango de diseños, tamaños y condiciones operativas.

en función de sil se muestra en la figura 3.22 para toberas y álabes de acción, para diversos ángulos de salida del flujo. El convenio de signos utilizado para ángulos de flujo en una cascada de turbina se indica en la figura 3.24. Para otros tipos de álabes. intermedios entre álabes de tobera y álabes de acción, se emplea 1a expresión siguiente: YpU=O)

Correlaciones de pérdida de presión total

--· !

La pérdida global de presión total está compuesta de tres partes, a saber (i) pérdida en el perfil, (ii) pérdida secundaria, y (iii) pérdida intersticial. (i) Se define un coeficiente de pérdida en el perfil como la pérdida de presión de parada en la corona de álabes o cascada dividida por la diferencia entre las presiones de parada y estática a la salida del álabe, es decir,

y _Pot- Poz. Poz- Pz

(3.41)

En el método de Ainley, la pérdida en el perfil se determina inicialmente con incidencia cero (i = 0). Con cualquier otra incidencia la relación de pérdida en el perfil YP!Yp(i ~ o) se supone definida por una función única de relación de incidencia ili, (fig. 3.21), donde i, es la incidencia de desprendimiento. Esta se define como la incidencia a la que YP!Yp(i ~ DJ = 2,0. Ainley y Mathieson correlacionaron las pérdidas en el perfil de coronas de álabes de turbina en función de la relación paso/cuerda sil, del ángulo de salida del fluido cr2 , de la relación espesor máximo del álabe/cuerda t/l y del ángulo de entrada del álabe. La variación de

Yp(a¡=C)

1)2

tfl) .,¡.,

yp(a¡=a2'¡- Yp.(a¡=O)

0.2

donde todos los YP se toman para la misma relación paso/cuerda y el mismo ángulo de salida del flujo. Si se consideran álabes de rotor, se sustituye cr1 por f32 y cr2 por f3 3 . La ecuación (3.42) incluye una corrección para la influencia de la relación espesor-cuerda y es válida en el intervalo 0,15 < t/1 < 0,25. Si el álabe real tiene un t/1 mayor o menor que los límites citados, Ainley recomienda que la pérdida debería tomarse como igual a la de un álabe que tenga un t/1 igual a 0,25 o 0,15. Sustituyendo cr1 = cr2 y t/l =' 0,2 en la ecuación (3.42), resulta el coeficiente de pérdida con incidencia cero para los álabes de acción Yp(rr,~~,) dado en la figura 3.22. Igualmente con cr1 = O para t/1 . 0,2 en la ecuación 3.42 se obtiene el Yp(rr,~O) de la figura 3.22. Una característica de las pérdidas dadas en la figura 3.22 es que, comparados con los álabes de acción, los álabes de toberas tienen un coeficiente mucho más bajo. Esta tendencia confirma los resultados mostrados en la figura 3.12, de que un flujo en el cual la presión media va disminuyendo tiene un coeficiente de pérdida más bajo que un flujo en el cual la presión media es constante o va aumentando. (ii) Las pérdidas secundarias provienen de los flujos tridimensionales complejos que aparecen como un resultado de las capas límites de final de pared al atravesar la cascada. Hay importantes pruebas de que las capas límites de final de 'pared convergen hacia dentro a lo largo de la superficie de succión de los álabes, al mismo tiempo que el flujo principal atraviesa la corona de álabes, dando por resultado una mala distribución grave del flujo, con pérdidas de presión de parada que a menudo son una fracción importante de la pérdida total. Ainley encontró que las pérdidas secundarias podían representarse por (3.43)

_ __j_ _ _ _ _ _

-----

---------

Termodinámica de las Turbomáquinas

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

donde A es un parámetro que es función de la aceleración del flujo a través de la corona de álabes. De la ecuación (3.17) junto con la definición de Y, ecuación (3.41) para flujo incompresible, C0 =Y(s/0 cos 3 cxmlcos2 cx2 , por lo tanto,

donde ;l es el parámetro de carga de Ainley. Dunham, 23 con posterio;idad, encontró que esta ecuación no era correcta para álabes de relación de aspecto baja, como es el caso de turbinas pequeñas. Modificó el resultado de Ainley para incluir en una correlación mejor la relación de aspecto y al mismo tiempo simplificó el parámetro de aceleración del fluido. La correlación dada por Dunham y Came 22 es

(3.44)

= 0.0334

•' j

cosa2 cos a 1 '

(3.45)

0·2

0·8

0·6 0·4 Paso-cuerda (a) Al.abes de tobera, ~ 1

1-2

1·O

O· 21l

•'•

>-"

•-'

"' .,

0·16

O· 12

·~

<Jl"

.....

-••

0·08

0·04

¡fJ"

::;

o o

y representa una mejora importante en la predicción de las pérdidas secundarias cuando se utiliza el método de Ainley. Recientemente, se han sugerido métodos más avanzados para predecir pérdidas en coronas de álabes de turbina que tienen en cuenta el espesor de las capas límites de entrada en las paredes del anillo. Came 24 midió las pérdidas por flujo~ secundarios en una pared extrema de diversas cascadas de turbina para varios espesores de capa límite de entrada. Correlacionó sus propios resultados, y los de otros muchos investigadores, y obtuvo una forma modificada del primer resultado de Dunham, a saber,

0·2

0·6

0·8

Paso-cuerda (b) Alabes de acción, o:1

= cx2

(t/1 = 0·2, Re"' 2 XlO!i: M< 0·6)

FIG. 3.22. Coeficiente de pérdidas por perfil de tobera de turbinp. y álabes de acción para incidencia cero (t/l = 20 %; Re = 2 x 105 ; M< 0.6) (adapt3do de Ainley y Mathieson 15 ).

(o,025 Y1 cos a 1 cos 2 a 2

+ 0.009 !_ H

(3.46)

que es el coeficiente neto de pérdidas secundarias para sólo una pared extrema y donde Y1 es un coeficiente de pérdida de presión de parada para una capa límite de entrada media. Es evidente que la mayor precisión obtenida al usar la ecuación (3.46) requiere el esfuerzo adicional de calcular el desarrollo de la capa límite en la pared. En los cálculos iniciales de la actuación suele ser suficiente utilizar la primera expresión de Dunham y Carne, ecuación (3.45) para· conseguir un resultado razonablemente exacto. (iii) El coeficiente de pérdida intersticial Yk depende de la carga del álabe Z y del tamaño y naturaleza del hueco libre k. Dunham y Carne presentaron una versión corregida de la expresión original de Ainley para Yk: donde B=O,S para un intersticio libre, 0,25 para álabes con llanta.

------~-----------

97 '

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas

1 Y,.,-- B H

0.78

cascadas de compresor había resultado impracticable para una cascada de turbina. A fin de predecir el ángulo de salida del fluido rr2 , los diseñadores de turbinas de vapor habían empleado mucho la sencilla regla empírica.

(3.47)

Corrección del número de Reynolds

a,= cos-l e¡s

Ainley y Mathiesonts obtuvieron sus valores para un número de Reynolds medio de 2. >,< 105 basado en la cuerda media y en las · condiciones de salida del flujo de la turbina. Recomendaron para números de Reynolds más bajos, inferiores a 5 X 104 , hacer una corrección al rendimiento del escalonamiento de acuerdo con la regla aproximada:

(3.48a)

donde e es la anchura en la garganta, representada en la figura 3.23, y ses el paso. Esta regla, ampliamente utilizada, da una aproximación muy buena para un valor medio de los ángulos de flujo medidos a lo largo del paso cuando el número de Mach a la salida es o está próximo a la unidad. Sin embargo, para números de Mach bajos se han encontrado variaciones importantes entre la regla y los ángulos de flujo observados. Ainley y Mathieson 15 recomendaron que para números de Mach de salida bajos O<M 2 < 0,5 se utilizase la regla siguienté:

Dunham y Came 22 dieron una corrección opcional que se aplica directamente a la suma de los coeficientes de pérdidas por perfil y de pérdidas secundarias para una corona de álabes que utíliza un número de Reynolds adecuado a esa corona. La regla es:

a2 =f(cos- 1 13/s)

+ 4sfe (grados)

(3.48b)

dondef(cos- 1 EJ/s) = -11,15+1,154 cos -t EJ/s ye=/1(8z) es el radio medio de curvatura de la superficie de succión del álabe entre la garganta y el borde posterior. Para un número de Mach de salida del gas igual a la unidad, Ainley y Mathieson supusieron, para una corona de álabes de turbina, que (3.48c) 0

"---

·-~ " / - - --

donde A, es el área de paso de la garganta y An 2 es el área del anillo de paso en el plano de referencia aguas abajo de los álabes. Si las paredes del anillo en los extremos de la cascada no están abocinadas, entonces la ecuación (3.48c) es la misma que la ecuación (3.48a). Entre M 2 =0,5 y M2 =1,0 se puede suponer, razonablemente, una variación lineal de a 2 en ausencia de cualquier otro dato.

Fra. 3.23. Detalles de las proximidades de la salida de una cascada de turbina que muestran la garganta y los parámetros de curvatura de la superficie de succión.

Angula de salida del flujo de una cascada de turbina

•

•• • •

Ainlei 4 indicó que un método para definir el ángulo de desviación como el adoptado en diversas correlaciones bien conocidas para •

-"~·-·

____________________..;____

,;___~--------·-------

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas

de la cascada, a fin de que el área encerrada entre las curvas S y P represente la carga real tangencial del álabe por unidad de altura,

RELACION PASO-CUERDA OPTIMA DE ALABES DE TURBINA (Zweifel) Merece la pena considerar el efecto de la relación paso-cuerda en las coronas de álabes de turbina, ya que éste es un factor que afecta fuertemente al rendimiento. Ahora bien, si el espaciamiento entre álabes se hace pequeño, el fluido tiende entonces a recibir el máximo guiado de los álabes, pero las pérdidas de fricción serán muy grandes. Por otra parte, con los mismos álabes muy espaciados, las pérdidas de fricción son pequeñas pero, a causa del poco guiado del fluido, las pérdidas resultantes del desprendimiento del flujo son altas. Estas consideraciones condujeron a Zweifel 16 a formular su criterio para la relación paso-cuerda óptima de álabes con grandes ángulos de deflexión. Esencialmente, el criterio de Zweifel es sencillamente que la relación ( lj!y) de la carga tangencial real del álabe a la «ideab tiene • un cierto valor constante para pérdidas mínimas. Las cargas tangenciales del álabe se obtienen de las distribuciones real e ideal de presión en ambas superficies del mismo, como se describe a continuación. La figura 3.24 muestra una distribución típica de presión alrededor de un álabe en una cascada de turbina, curvas P y S que corresponden a la cara de presión (o cóncava) y a la cara de succión (convexa), respectivamente. Las presiones se proyectan paralelamente al frente

P, 1

f-- tPc,2 1

,, FIG. 3.24.

100

1J/t.'Jl-r

-a,

Y= pscx(c, 2

+ c,

1 ),

(3.49)

confrontar con la ecuación (3.3) para una cascada de compresor.

Es instructivo examinar las presiones a lo largo de las superfi~ies del álabe. Suponiendo flujo incompresible, la presión estática de entrada es p 1 =p 0 pcf; si las pérdidas no se tienen en cuenta, la presión estática de salida será p 2 ~ p 0 -f p2z. La presión en la cara P permanece alta al principio (siendo la máxima p 0 , alcanzada solamente en el punto de parada). cayendo después bruscamente hasta p 2 . En la cara S hay una rápida disminución de la presión estática desde el borde de ataque, pero puede incluso aumentar de nuevo hacia el borde posterior. El menor espaciamiento s entre los álabes conlleva menor carga Y (ecuación (3.49)]. A la inversa, espaciamiento grande implica una mayor carga con presión creciente en la cara P y decreciente en la cara S. Ahora bien, considerando que la pr.esión estática nunca puede aumentar por encima de p 0 en la superficie p, son posibles, al menos en teoría, presiones muy bajas en la superficie S. Sin embargo, el aumento de presión hacia el borde posterior está limitado en la práctica si se quiere evitar el desprendimiento del flujo, lo cual implica que la carga soportada por el álabe está restringida. Para dar una idea de la capacidad de carga del álabe, se compara la distribución de presión real con la distribución de presión ideal que da una carga máxima Y¡d sin riesgo de desprendimiento de fluido de la superficie S. Pensándolo detenidamente, se ve que estas condiciones para la carga ideal se satisfacen con p 0 actuando sobre toda la superficie P y p 2 actuando sobre toda la superficie S. Con esta distribución de presión ideal (que no puede realizarse, naturalmente), la carga tangencial por unidad de altura es,

(3.50)

Distribución de presiones alrededor de un álabe de cascada de turbina (según Zweifei 16).

101

Estudio bidimensional del flujo en cascadas

Termodinámica de las Turbomáquinas

... 15. AINLEY, D.G. and MATiliESON, G. C. R., A method of performance estimation for a'{ial ftow turbines. A.R.C. R. and M. 2974 (1951). 16. ZWEIFEL, O., The spacing ofturbomachine blading, especially with large angular deflection. Brown Boveri Rev. (Dec. 1945). 17, NATIONAL AERONAUTICS ANO SPACE ADMINISTRATION, Aerodynamic design of axial-fiow compressors. NASA SP 36 (1965). 18. DoWDEN, R. RoSEMARY, Fluid Flow Measurement---a Bib/iography. British Hydromechanics Research Association (1972). 19. LmBLEIN, S., Loss and stall analysis of compressor cascarles. Trans. Am. Soc Mech. Engrs. Series D, 81 (1959). 20. LmBLEIN, S. and RouoEBUsH, W. H. Theoreticalloss relation for low-speed 2D c•scade fiow. NACA T.N. 3662 (1956). 21. SwANN, W. C., A practica! method of predicting transonic compressor performance. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. Series A, 83 (1961). 22. DuNHAM, J. and CAME, P. Improvements to the Ainley-Mathieson method of turbine performance prediction. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs., Series A, 92 (1970) . 23. DuNHAM, J., A review of cascade data on secondary losses in turbines. Journal Mech. Engineering Sci., 12 (1970). 24. CAME, P. M., Secondary loss measurements in a cascade of turbine blades. Proc.lnstn. Mech. Engrs. London. Conference Publication 3 (1973). 25. HoRLOCK, J. H., Axial-jlow Turbines. Butterworths, London (1966). · 26. Dunham, J., A parametric method ofturbine blade pro:file design. Am. Soc. Mech. Engrs. Paper 74-GT-119 (1974).

y, por tanto

.Pr =

Y/ Y 1•

2(s/b)cos 2 a 2 (tang

<Y¡

+ tang

<Y2)

(3.51)

después de combinar las ecuaciones (3.49) y (3.50) junto con los ángulos definidos por la geometría de la figura 3.24. Zweifel encontró, como resultado de numerosos experimentos en cascadas de turbina, que para pérdidas mínimas el valor de 1/Jr era aproximadamente 0,8. Por tanto, para ángulos de entrada y de salida dados se puede estimar la relación paso-cuerda óptima. Sin embargo, de acuerdo con Horlock, 25 el criterio de Zweifel predice la relación paso-cuerda óptima para los valores de Ainley, solamente para ángulos de salida de 60 a 70°. Para otros ángulos de salida no da una estimación segura de la relación paso-cuerda óptima. REFERENCIAS l. CSANADY, G. T., Theory ofTutbomachines. McGraw-Hill, New York (1964). 2. ÜLAUERT, H., Aerofoil and Airscrew Theory. 2nd ed. Cambridge University Press (1959). 3. HowELL, A. R., Design of axial compressors. Proc. lnstll. Mech. Engrs. London 153 (1945). 4. HoRLOCK, J. H., Axial F/ow Compressors. Butterworth, London (1958). 5. CARTER, A. D. S., ANDREWS, S. J. and SHAW, H., Sorne fluid dynamic research techniques. Proc. Instn. Mech. Engrs. London, 163 (1950). 6. CARTER, A. D. S., Three-dimensional flow theories for axial compressors and turbines. Proc.lnstn. Mech. Engrs. London,159 (1948). 7. BRYER, D. W. and PANKHURST, R. C., Pressure-probe Methods for Determining Wind Speed and Flow Direction. National Physical Laboratory, H.M.S.O. (1971). 8. Tono, K. W., Practical aspects of cascade wind tunnel research. Proc. lnstn. Mech. Engrs. London, 1S7 (1947). 9. HoWELL, A. R., The present basis of axial fiow compressor design: Part 1Cascade theory and performance. A.R.C.R. and M. 2095 (1942). 10. HoWELL, A. R., Fluid dynamics of axial compressors. Proc. lnstn. Mech. Engrs. London, 153 (1945). 11. CARTER, A. D. S., Low-speed performance of related aerofoils in cascade. A.R. C. C.P. No. 29 (1950). 12. HERRIG, L. J., EMERY, J. C. and ERWIN, J. R., Systematic two-dimensional cascade tests of NACA 65-Series compressor blades at low speeds. NACA T.N. 3916 (1957). 13. FELIX, A. R., Summary of 65-Series compressor blade low-speed cascade data by use ofthe carpet-plotting technique. NACA T.N. 3913 (1957). 14. AINLEY, D. G., Performance of axial flow turbines. Proc. lnstn. Mech. Engrs. London, 159 (1948).

. .· •\

PROBLEMAS l. Los resultados experimentales de cascadas de compresores indican que el coeficiente de sustentación de desprendimiento de una cascada de álabes se puede expresar como

donde c 1 y c 2 son las velocidades de entrada y salida. Encontrar el ángulo de entrada de desprendimiento para una cascada de compresor de relación paso-cuerda unidad si el ángulo de salida del aire es de 30 grados. 2. Demostrar, para una cascada de turbina, utilizando la notación angular de la figura 3.24, que el coeficiente de sustentación es 1

eL=

2(s/l) (tang a¡+ tang CYz) COSa'm + Cv tailg donde tang am = d (tang cx2 - tang ·a1) y C 0 = D/(1 pc,,Zl).

(l'm

Una cascada de álabes de toberas de turbina tiene un ángulo de entrada al álabe aí = 0°, un ángulo de salida del álabe a:f = 65,5°, una cuerda l de 45 mm y una cuerda axial b de 32 mm. El flujo que entra al álabe tendrá incidencia cero y se

103

102 •

.....

--~

Estudio bidimensional del flujo en cascadas Termodinámica de las Turbomáquinas

Jj grados.

s• ~ [0,23 (7')' + ;~~] 8

estima que el ángulo de desviación D basado en cascadas semejantes será alrededor del S' para un número de Macha la salida bajo. Si el coeficiente de carga del álabe '\jly definido por la ecuación (3.51) es 0,85, estimar una relación paso/cuerda adecuada para la cascada. Determinar los coeficientes de resistencia y sustentación para la cascada sabiendo que el coeficiente de pérdida por perfil es

b) La relación paso/cuerda se cambia ahora. a 0,8. pero ~o.s ángulos del álab~ :e mantienen como en el apartado a). Determmar el coeficiente de sus~~nt~c10n cuando la incidencia del flujo es 2,0 grados. Supóngas.e qu~ hay una ~el~c¡on \mea! entre ElE* e (i ~ i"')!s* en una región limitada, verb1gracm: para (1 - ¡*)IE*=0,2, e/s*=115 y para i=i", ds*=l. En esta región tómese Cv=0,2. 2 6. ~) Demostrar que el coeficiente de aumento de pr~sión Cr=b.pi(-}pc 1 } de una cascada de compresor está relacionado con el rendtmJento_de la d~fu~IOn r¡ 0 y el coeficiente de pérdida de presión total í; por las expresiOnes s1gmentes:

3. Se pretende diseñar una cascada de compresor para las condiciones siguientes: • Angula nominal de s-alida del flujo a: = 30" Angula de curvatura de la cascada 82 =30'' Relación paso/cuerda s!l=1,0 Utilizando las curvas de Howell y su fórmula para desviación nominal. determinar la incidencia nominal, la desviación real para una incidencia de +2,7 grados y el coeficiente de sustentación aproximado para esta incidencia. 4. Una cascada de compresor está construida con álabes de línea de curvatura circular, una relación paso/cuerda de 1,1 y ángulos del álabe de 48 y 21 grados a la entrada y a la salida. Los datos tomados del ensayo de la cascada muestran que a incidencia cero (i=O) la desviación. es 6=8,2 grados y el coeficiente de pérdida de presión total es W = ,1p 0 /(~ci}=0,015. Para incidencia positiva dentro de un intervalo limitado (O".s;j.:~s"6'') la variación de 6 y iiJ para esta cascada particular se puede representar con suficiente exactitud mediante aproximaciones lineales, verbigracia,

do di

0.06 •

dw di

=r¡n (1- sec 2 a:~/sec 2 a:1) = 1 -(sec a2+,)/sec a¡

donde t]~=Llp!{i p (d-c2)} a 1 , a;=ángulos del flujo a la entrada y salida de la cascada. b.pol(f pcD . b) Determinar un ángulo máximo adecuado del fluJO a la entrada de una cascada de compresor que tiene una relación paso/cuerda de 0.8 y a:!=30" cuando el factor de difusión D está limitado a 0,6. La definición de factor de difusión que debe utilizarse es la primitiva fórmula de Lieblein.

D ~

(1 - cos al) + (~) cos al (tang al cosa 1 2

tang a~).

~0.001

donde i está en grados. Para una incidencia del flujo de 5,0 grados determinar: (i) los ángulos del flujo a la entrada y a la salida; (ii) el rendimiento de la difusión de la cascada; (iii) el aumento de presión estática de aire con una velocidad de 50 m/s normal al plano de la cascada. Supóngase la densidad del aire 1,2 kg/m 3 . 5. a) Se pretende diseñar una cascada de álabes de compresor para dar un ángulo de salida del aire CY2 =30" para un ángulo de entrada del aire a 1 de 50" ambos medidos desde la normal al plano de la cascada. Los álabes van a tener una línea de curvatura parabólica con a/l=0,4 (es decir, la distancia fracciona! de la cuerda al punto de máxima curvatura). Determinar la relación paso/cuerda y el angula de salida del álabe si se quiere que la cascada funcione con incidencia_ cero y en condiciones nominales. Se puede suponer la aproximación lin_eal para deflexión nominal dada por la correlación de Howell para cascadas:

.!'

e) La pérdida de presión de parada obtenida de mediciones en el flujo de la anterior cascada en 149 Pa cuando la velocidad de entrada c1 es 100 m/s para una densidad del aire p de 1,2 kg!m 3 . Determinar los valores de (i) aumento de presión; (ii) rendimiento de la difusión; ., (iii) coeficientes de resistencia y sustentacwn.

E'=(l6 - 0,2éYl) (3 - sil) grados. así como la fórmula para desviación nominal:

105 104

::._e:_:= ---__

-=--

_J__

=--···.

' ¡, •t

-·~

CAPITULO 4

\.;1'.:' - -: ' 1

....

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Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional.

' 1

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"- ' ;

.•• '

El poder se conserva ciertamente mejor con medidas recelosas que con consejos osados. (TACITO. Anales.)

- '-

' '

. •

INTRODUCCION El método más simple de abordar el estudio de las turbinas de flujo axial (incluso compresores de flujo axial) es suponer que las condiciones del flujo que imperan en el radio medio representan enteramente el flujo para cualquier otro radio. Este análisis bidimensional para la línea de paso media puede proporcionar una aproximación razonable al flujo real, si-el cociente entreJa_alturadel_álabe_y_el radio mediQ _es pe_q~e_ñ~. Sin embargo, cuando esta relación es grande, como sucede en los últimos escalonamientos de una turbina o en los primeros de un turbocompresor axial, se requiere un análisis tridimensionaL Algunos aspectos importantes de los flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales se discuten en el Capítulo 6. Dos supuestos complementarios son que las velocidades radiales son cero y que el flujo es invariable a lo largo de la dirección circunferencial (es decir, no hay variaciones de flujo de «álabe a álabe»). En este capítulo, la exposición del análisis se ha ideado teniendo en cuenta los efectos del flujo compresible. Este método es entonces aplicable a turbinas de vapor y de gas siempre que en el caso primero las condiciones del vapor permanezcan enteramente dentro de la fase vapor (esto es, zona de recalentamiento). La situación llega a ser extremadamente complicada cuando el punto de estado nominal cae por debajo de la línea de saturación en el diagrama de Mollier, y

107

-- .-

--~~~-·

--~------

-------

___

----------

--------

---------

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

queda fuera del alcance pretendido en este libro. Al estudiante curioso se le remite a un artículo de Ryley 1 sobre este tema. Muchos trabajos anteriores concernientes a flujos en toberas y coronas de álabes se recogen en los trabajos de Stodola 2 y Kearton·1 y más recientemente han sido revisados por Horlock. 6

diagrama de velocidades, la velocidad relativa de entrada al rotor w2 con ángulo [3 2 se obtiene restando vectorialmente la velocidad del álabe U de la velocidad absoluta c2 . El flujo relativo se acelera dentro del rotor hasta la velocidad w 3 con un ángulo {33 a la salida del rotor; el correspondiente flujo absoluto (c 3 , <Y3 ) se obtiene sumando vectorialmente la velocidad del álabe U a la velocidad relativa w3 • La ecuación de la continuidad para flujo estacionario uniforme es

•

Corona de toberas

En la teorí~ bidimensional de turbomáquinas se supone normalmente, por sim 1i!Oi~ad..!._gue la velocidad axial permanece constante, es decir, C,d = Cx2 = Cr3 = 1 Esto tmplícara- que--

,, Corona del rotor

+1--u

C..:l

p1 A 1

= p2 A 2 =

p3 A 3

( 4.1)

constante.

., u FIG. 4.1.

TERMODINAMICA DEL ESCALONAMIENTO DE TURBINA AXIAL

Diagrama de velocidades de un escalonamiento de turbina.

DIAGRAMAS DE VELOCIDADES DE UN ESCALONAMIENTO, DE TURBINA AXIAL El escalonamiento de una turbina axial comprende una corona de paletas guías o toberas (a menudo llamada corona de estator) y una corona de álabes móviles o palas (una corona de rotor). El fluido entra al estator con velocidad absoluta c 1 y ángulo rr 1 y se acelera hasta una velocidad absoluta c2 y ángulo ¡y2 (fig. 4.1). Todos los ángulos están medidos desde la dirección axial (x). El convenio de signos es tal, que los ángulos y velocidades como se dibujan en la figura 4.1 se tomarán como positivos en todo este capítulo. Del

El trabajo desarrollado en el rotor por la unidad de masa de fluido, el trabajo específico. es igual a la caída de entalpía de parada que tiene lugar en el fluido que atraviesa el escalonamiento (suponiendo flujo adiabático), o bien, AW =

W/ril = h01 -ho3 =

U(c,z +c,3).

(4.2)

•En la ecuación (4.2) las componentes tangenciales de velocidad (e,) están sumadas para seguir el convenio de signos acordado de la figura 4.1. Como no se realiza trabajo en la corona de toberas, la entalpía de remanso permanece constante y ( 4.3) 109

108

----------------·-----·---

;

--~···~-~=···~···~··~=--=--

-~--.

-- ··ce.·-

~----

•

-L .... - - - - - - - -

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

····- ·· r-·-·z··-- z 1 Escnb~endo, ho = h + 2 (e.c.±.. e,) JY usando la ecuación ( 4.3) en la · ·

r----- --

ecuacwn (4.2) obtenemos

ho, - ho, = (h 2

h3 )

+ !(e¡, ..:. e_;,) =

U(e, 2

+ e,,),

por tanto, '1

(h, .- h,)

+ i(e, 2 + e,)[(e,, -

+ U)] =

U) - (e,,

-2

Se observa en los triángulos de velocidades de la figura 4.1, que

Cy2

~ U =

w,,, e,,+ U = · w,._.

y ey2

•

wy2 + wy3•

De este modo,

(h, - h,)

+ !(w;, - w;,) =

" . S umemos y res t emos 21 ex2 a 1a ecuaciOn antenor

r --- - -. ¡ h, + tw~ = h, + !wJ/. o ·--------· - ·.-· .. ---------

____,

1 h02 ,. 1

- ----

= h03 ,.1•

·------

FIG. 4.2.

Diagrama de Mollier para un escalonamiento de turbina.

(4.4)

De esta forma hemos probado que la entalpía de parada relativa 1 2 horci = h + lzw , permanece invariable a través del rotor de un~ t~~bomá_quina axi~l. Se supo~e implícitamente que no existe desviacio~ radt~l de la !mea de cornente en este flujo. En una máquina de flujo radwl es neces~rio un análisis más general (ver Capítulo 7) que considere la vanacwn de la velocidad del álabe entre la entrada y la salida del rotor. En _I~ figura 4.2 se da un diagrama de Mollier que muestra la vanac10n de las condiciones de estado á través de un escalonamiento de una turbina completa, incluyendo los efectos de la irreversibilidad.

PERDIDAS EN EL ESCALONAMIENTO Y RENDIMIENTO

A ~ravés d_e las toberas el punto de estado se mueve de 1 a 2 y la pres10n estatica decrece desde p 1 a p 2 • En el rotor, la presión estática absoluta se reduce (en general) desde p 2 ap 3 . Es importante observar que las condiciones contenidas en las ecuaciones (4.2) y (4.4) se salisfacen todas en la figura.

A la entrada y __a __ la salida__ .de. _1\Q_ ..e.s.Ga].Qnarrlje_ntg__ rzO.!fJ}gl_ )¡¡s condiciones del flujo (velocidad absolu!!LY .. á_ngiJl_()_clfi J)I\UÚ...>9n idénticas, es decir, c 1 = c3 Y.a-:1 _-:-:___Cl'l~.Sl se supof!e que ~3ss = c11 que es una aproximación razonable, el rendimiento total a total se convierte en

110

En el Capítulo 2 se dieron varias definiciones del rendimiento para una turbomáguina completa. Para un escalonamiento de una turbina el rendimiento total a total es 1),

-~~~~~-..-~t~r~ab~a~J~-o~r~e~a~l~r~e~al~iz~a~d~o~~~~~~~~

= -etrabajo ideal rea 1'Iza do cuan do opera hasta 1a misma . " prestan

111

Termodinámica de las Turbomá uinas

'ltt = (h, - h,)/(h, - h,,) - --------·-···------ ·--~ = (h, -

+ (h, -

h,)/ {(h, - h,)

h,,)

+ (h,, -

7] 1, =

h,,)).

(4.5)

(hol - ho,)/(hol - h,,)

+ 'RW~ + 'Nc~T3/Tz + ci

-l,

(4.10)

2(h, - h,) . Ahora bien, la pendiente de una línea de presión constante en el dmgrama de Mollier es (i>hli>s)~, T, obtenido de la ecuación (2.18). De ~~te modo, para una vanacton fimta de entalpía en un proceso a presmn constante, 1:1h : T!J.s y, por tanto, h3s -

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

h3ss

h2 ,

~ Tis3s- SJss), .;.

Tz(s 2

s,.).

(4.6a) (4.6b)

Observando en la figura 4.2 quel~ 3 s ~ ~ 3~~-~---------~?--~~¿~)las dos últimas ecuaciones se pueden com15m1rY···para dar ------•

1 ¡h

donde, como antes, se supone c 1 = c3 . En cálculos iniciales, o en casos donde el descenso de temperatura estática en el rotor no es grande, la relación de temperaturas T 3,/T2 se considera igual a la unidad, dando por resultado las aproximaciones más prácticas ' i '' •''

"'ltt =

(4.9a)

•

---. -·-- ·------·-¡

3 -

,_= h

3_,__

_(T i 3 /T2 )(h 2 -------------- __ ____.

h2 ,). ·'

TJt:s =

(4.7)

Los efectos de irreversibilidad a través del estator y del rotor se expresan por la diferencia de entalpías (h 2 - h 2,) y (h 3 - h 3_,), res.pectr:amente. Es postble deftmr unos coeficientes adimensionales de pérdtda de entalpía en términos de la energía cinética de salida de cada corona de álabes. De este modo, para la corona de toberas '

. '

· (4.8a)

(4.10a)

Para que se pueda hacer una valoración del rendimiento de un cierto escalonamiento de una turbina propuesta, se requieren previamente algunos métodos para determinar los coeficientes de pérdidas. Se dispone de varios métodos de correlación pero el método de Soderberg,' en particular, resulta aceptable a causa de su extremada simplicidad y razonable exactitud.

Para la corona del rotor, CORRELACION DE SODERBERG

( 4.8b)

Un método para obtener datos de diseño de las pérdidas en los álabes de turbinas consiste en reunir información de rendimientos globales de una amplia variedad de turbinas, y de ésta calcular las pérdidas individuales de las coronas de álabes. Este método fue desarrollado por.Soderberg," a partir de un gran número de ensayos realizados en turbinas de vapor y en cascadas, y extendido a los datos apropiados obtenidos de pequeñas turbinas con álabes de muy baja relación de aspecto (pequeña relación altura-cuerda). El método de Soderberg iba dirigido solamente a turbinas que se ajustaban a las

~: combinación de las ecuaciones ( 4. 7) y ( 4.8) con la ecuación (4.5)

(4.9)

Cu~ndo

no se recupera la velocidad de salida (en el Capítulo 2 se mdtcan eJemplos de tales casos) se usa un rendimiento total a estático para el escalonamiento. '

112

•

' •

-·······-----··.

• --- ·--

113

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional Termodinámica de las Turbomáquinas

{

:u.

normas de buen diseño, como se discute a continuación. El método fue utilizado por Stenning 5 a quien se puede hacer referencia. Un artículo de Horlock 6 ha revisado críticamente varios métodos diferentes y ampliamente utilizados para obtener datos de diseño para turbinas. Su artículo confirma la afirmación hecha por la correlación de Soderberg, que, aunque basada en relativamente pocos parámetros, es de comparable exactitud con el mejor de los otros métodos. Soderberg encontró que para la óptima relación paso-cuerda. las pérdidas en los álabes de la turbina (con «plena admisión» al anillo completo) podían correlacionarse con la relación paso-cuerda. relación de aspecto del álabe, relación espesor del álabe-cuerda y número de Reynolds. Soderberg usó el criterio de Zweifel (veáse Capítulo 3) para obtener la relación paso-cuerda óptima de las cascadas de turbina en función de la geometría de dichas cascadas. Zweifel sugirió que el coeficiente de carga aerodinámico 1/JT debía ser aproximadamente 0,8. Siguiendo la notación de la figl.lra 4.1

.Pr

0.8 = 2(sfb)(tang rr1 + tang rr2 ) cos rr2 .

0·211¡-------0·12 0·08 ~

oL'"12~i-4l--;sf,¡o-,8j¡-0 -;;:.--,c!;'too no 140 Deflexión,

F!o. 4.3.

' '' l

grad

Corr~lación de Soderber ara el . . . turbmas con la deflexi~: de! f1 c~~ftctente de pérdtdas de un álabe de UJ o (adaptado de Horlockr').

Esta expresión se ajusta a la curv d bastante bien para c<l20" a e Soderberg (para t . 11 = O 2) , .pero es menos . m.tx. ' mayores. Para coronas de t.w:bin exacta para deflexiones cual es la base de la correlación ~u:; oper'!_n con incidencia cero, lo ~s li,geramente diferente de la defle~~~berg, ladeflexión j~_Qt¡ido cascadas de turblnas"a-s-=es··--,--. n del alabe, ya que nara 1' u e vtacmnes son -·""--· 1 e llo se puede usar para u a. . . . ..... usua \"eng_pec¡ueñas. Por < ··, ---- ·¡ pura una ca ron a d e rotor,. e- =··--corona -ER.. =:: de -, .+tober· - .. , e e = "' + ' ·-~-:----.N -"-----;2...--._-~, y

1 •

•

S1 la relación de aspecto H/b d' . es Istmta de 3 se ha . . l a coe f IC!ente de pérdidas nominal r* , . ce una corrección para toberas ~ como stgue: ··-· ~--------

+ C, =

•

+ C*)(0.993 + 0.021b/H),

(4.13a)

•

para rotores 1

( 4.12)

•

(4.11)

La óptima relación paso-cuerda se puede obtener de la ecuación (4.11) para valores dados de Cl' 1 y rr2 . Para coronas de álabes de turbina que operan con este coeficiente de carga, con un número de Reynolds de 105 y relación de aspecto (H/b = altura del álabe/cuerda axial) de 3, el coeficiente de pérdida «nominal» ~* es una función sencilla del ángulo de deflexión del fluido/e_- a 1 + rr2J para una relación espesor-cuerda (lm"'/1) dada. En la figllra 4Testán dibujados valores de !;'' en función de la deflexión E, para varias relaciones de tmiix_ll. Una simplificación analítica frecuentemente usada de esta correlación (para t.,Jl = 0,2), que es útil eri cálculos iniciales, es

0·16

+ C, =

+ C*)(0,975 + 0.075b/H),

(4.13b)

1(~'~dc ¡;, es el coeficiente de pérdidas para un número de Reynols de

1 115

114

--~

"-.

¡.

••

' Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

Se puede hacer una corrección adicional si el número de Reynolds es diferente de 105 . El número de Reynolds utilizado en esta sección se basa en la velocidad de salida c 2 y en el diámetro hidráulico medio D 11 en la sección de la garganta. r·

---- ---·-¡

) Re= P2c2D,(p., - _____ ._.!1

c.1

donde

___ .__ .. __

(4.14)

D, = 2sH cos a 2 /(s cos a2 + H). (N.B. Diámetro hidráulico medio = 4 X Sección del flujo+ perímetro mojado.) La corrección del número de Reynolds es

,.. 1

rr- 11'1

~;r,,.

(4.15)

Este método de Soderberg de predicción de pérdidas da el rendimiento de la turbina con un error inferior al 3 % para una amplia gama de números de Reynolds y relaciones de aspecto, cuando se incluyen correcciones adicionales para tener en cuenta la fuga intersticial y la fricción del disco: Se puede incorporar una corrección aproximada para el intersticio con el recurso stmple de multiplicar el rendimiento del escalonamiento calculado por la relación área de «álabes>> o área total (es decir, área de «álabes» + área del intersticio).

Con !l. W, U y ex fijados, el único parámetro restante requerido para definir completamente los triángulos de velocidades es e,, 2 , ya que

•

( 4.16) 1',

TIPOS DE DISEÑO DE TURBINAS AXIALES El proceso de elección del mejor diseño de una turbina para una aplicación determinada involucra normalment.e a di~ersos pará.metros .relacionados entre sí que pueden ser de tgual tmportancta, por ejemplo, velocidad angular del rotor, peso, diámetro exterior, rendimiento, para que el diseño final esté dentro de lím!les aceptables para cada parámetro. En consecuencia, una úni~a presentaCión difícilmente puede ajustarse al problema real. Sm embargo. la 116

consideración de los factores que afectan al rendimiento' de la turbina, para un caso simplificado, puede proporcionar una guía útil al diseñador. Consideraremos el problema de seleccionar el diseño de una turbina axial para la cual se han elegido de antemano la velocidad media del álabe U, el trabajo específico L1 W, y la velocidad axial e,. El límite superior de la velocidad del álabe está fijado por tensiones mecánicas; el límite de la velocidad del extremo del álabe es aproximadamente 450 m/s aunque algunas turbinas experimentales han funcionado a velocidades superiores. La velocidad axial está limitada por consideraciones de la sección del flujo. Se supone que los álabes son suficientemente cortos para tratar el flujo como bidimensional. Ahora bien,

Para diferentes valores de cy 2 se pueden construir los triángulos de velocidades, determinar los coeficientes de pérdida y calcular rylf y YJ[.I'· 10 Stenning consideró una familia de turbinas donde cada turbina tenía u1p coeficiente de flujo c/U= 0,4, iina relación de aspecto del álabe H/1> = 3 y número de Reynolds = 105 , y calculó~" y~" para factores de carga del escalonamiento !l. Wl U2 de 1, 2 y 3 utilizando la correlación de Soderberg. Los resultados de estos cálculos se mucstrun en la figura 4.4. Se observará que estos resultados • establecen una relación entre el rendimiento de los álabes y no. tienen en cuenta las pérdidas debidas a intersticios y fricción del disco.

REACCION DEL ESCALONAMIENTO Es müs convenientes ha'cer la clasificación de los diferentes tipos de turbinas axiales por el grado de reacción o relación de reacción R de 117

~-~

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

cada escalonamiento que por la relación c-" 2/U. El término reacción tiene ciertas ventajas inherentes como medio. de descripción que se harán patentes más tarde. Se dispone de diversas definiciones de reacción; la definición clásica está dada por la relación entre la caída de presión estática en el rotor y la caída de presión estática en el escalonamiento. No obstante, es más útil definir el grado de reacción como la caída de entalpía sensible en el rotor frente a la caída de entalpía sensible en el escalonamiento, porque se convierte entonces, de hecho, en una manifestación de la geometría del flujo en el

w~) y la ecuación

" (4.4), Usando la ecuac10n ( 4.18) se transforma en

w3 - w2 . \ 2U(e, 2 + e,,).·\

R =

. , 1

;

(4.9)

Considerando velocidad axial constante a lo largo del escalonamiento

R = (w,, - w, 2)(w, 3 + w,2) =

+e,,)

2U(e, 2

escalonamiento. De este modo,

W:v3 '

W.v2

( 4.20)

ya que, refiriéndonos a la figura 4.1, se ve que 1·0

-- -.-0·8

± :-::::. ~ ---.

- - -~"--;-1 ':.--· --

(4.21) ·----

o e

E =e

fL'

•

l> W/U 2 ~1

----

.!! -=0·4 u

0·5

tang (32 Y,

e, (tang (33

2U ·

(4.22a)

-·

o bien

6w¡u'~2

R =

. 6w¡u'~3

1+ •

2U .

Re =10 5

__..-·' ·3·0

•

__..-·"'

•

71s /

0·4

"Por tanto,

. (tang (3 3 -

(4.22b)

tang a 2),

después de utilizar la ecuacton (4.21). 1·0

2·5

1·5

FIG. 4.4. Variación del rendimiento con (cd!U) para-diversos valores del factor de carga del escalonamiento L1WIU 2 (adaptado de Shapiro y otros 10 ). •

'• R = (h2 - h,)j(h, - h,).

'•

( 4.17)

u Si el escalonamiento es normal (es decir, c 1 R = (h2 - h,)j(h 0 ,

h03).

c3 ) entonces, F IG. 4 . 5 .

( 4.18)

118

Dl·agrama de velocidades y diagrama de Mollier para un escalonamiento de turbina de reacción cero.

119

•''

- ··-·

·- ---

--·--·

' Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

simetría es un principio obvio que también (32 = cv3 . Ahora bien, con R = 1/ 2 , la ecuación (4.18) implica que la caída de entalpía en la corona de toberas es igual a la caída de entalpía en el rotor, o

Si (33 = (32 , la reacción es cero; si (33 = cv2 la reacción es del 50%. Estos dos casos especiales se discuten a continuación con más detalle.

(4.23)

Escalonamiento de reacción cero .

La figura 4. 7 se ha dibujado con los mismos valores de e, U y Ll. W que la figura 4.5 (caso de reacción cero) para recalcar la diferente geometría del flujo entre los es.calonamientos de reacción del 50 % y de reacción cero.

De la definición de reacción, cuando R. O, la ecuación (4.18) indica que h2 = h 3 y la ecuación (4.22a) que,(32 = (33 , El diagrama de Mollier y los triángulos de velocidades cbr réspo.ridientes a estas condiciones está:ry esquematizados en la figura 4.5. Ahora bien, como h 02 ,c 1 = ho3ce1 y ,h2 = h3 por ser R =O, se tiene que cumplir, por tanto, que w 2 = w 3_; Se observará de la figura 4.5 que, a causa de la irreversibilidad, hay una caída de presión a través del rotor. No es lo mismo el escalonamiento de reacción cero que un escalonamiento de acción; en el último caso, por definición, no existe caída de presión a través del rotor. §!..diagrama de.Mollier pall!_Un escalonamiento de <lcción se 1nuestra e_n. la figl}ra 4.6,. donde .. se ve. que . la entalpía ªumenta a _través del rotor. _La consecuencia es clara a partir de la ecuación (4.18); la reacción es negativa para unaescalonm:uiento de acción c'uando se tiene en cuenta la irreversibilidad.

u Fm. 4. 7.

Diagrama de velocidades y diagrama de Mollier para un escalonamiento de turbina de reacción 50 %.

DIFUSION EN EL INTERIOR DE LAS CORONAS DE ALABES •

. ' ' '

23s

2s,3ss S

Fm. 4.6.

Diagrama de Mollier para un escalonamiento de turbina de acción.

Escalonamiento de reacción de/50 %

El diagrama de velocidades combinado para este caso es simétrico, como se puede ver en la figura 4. 7, ya que (33 = cv2 . A causa de la

Cualquier difusión del flujo a través de las coronas de álabes de \turbina es particularmente indeseable y tiene que evitarse a toda costa en la etapa de diseño. Esto se debe a que el gradiente adverso de presión (resultante de la difusión del flujo), unido a grandes deflexiones del fluido (usual en coronas de álabes de turbina), ocasiona un desprendimiento de ta capa límite mayor de lo posible, con el resultado de la aparición de pérdidas en gran escala. -una corona de álabes de 'compresor, por otra parte, está diseñada para que la presión del fluido aumente en la dirección del flujo, es decir, un gradiente de presión adverso. La magnitud de este gradiente está estrictamente controlada en un compresor, principalmente por tener completamente limitada la deflexión del flujo en cáda corona de álabes.

120

121

-------

------7

;¡¡ Turbinas de Oujo axial: teoría bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

1 1

'1'

•

4 :

1 1

La comparación de las pérdidas por perfil dadas en la figura 3.12 es ilustrativa de que resulta indeseable la «reacción» negativa en una corona de álabes de turbina. El empleo aquí del término reacción necesita modificarse ya que se definió solamente con respecto a un escalonamiento completo. De la ecuación (4.22a) se puede expresar la relación RlcjJ para una única corona de álabes si se conocen los ángulos del flujo. Los datos originales obtenidos con la figura 3.12 dan los valores de los ángulos de entrada al álabe para álabes de acción y de reacción como 45,5 y 18,9 grados respectivamente. Por ello, los ángulos del flujo pueden obtenerse de la figura 3.12 para la gama de incidencia dada y se puede calcular RI</J. Para álabes de reacción RI</J decrece cuando la incidencia aumenta, pasando de 0,36 a 0,25 al variar i desde O a 10 grados. Los álabes de acción, que se observará tiene~ un incremento drástico de pérdidas por perfil del álabe, tienen un RI</J que decrece de cero a -0,25 en la misma gama de incidencia. Se mostró anteriormente que valores negativos de reacción indicaban disminución de la velocidad relativa en el rotor (es decir, paraR < O, w3 < w2 ). Una condición similar que se presenta debido a un proceso de difusión de la velocidad absoluta en las toberas es, que si R > 1, e 2 < e 1 . Sustituyendo tang (3 3 = tang a 3 + U/e, en la ecuación ( 4.22b) da R = 1

1' 1

;~(tang a 3

tang a 2 ).

y R = 1( 2 . Será evidente que si R es superior a la unidad, entonces c2 < c 1 (es decir, difusión del flujo en toberas). .

EJEMPLO 1: Una turbina de gas de un solo escalonamiento opera en su condición de diseño con flujo absoluto axial a la entrada y a la salida del escalonamiento. El ángulo del flujo absoluto a la salida de las toberas es 70". A la entrada del escalonamiento la presión y temperaturas totales son 311 kPa y 850 "C respectivamente. La presión estática de escape es 100 kPa, el rendimiento total a estático es 0,87 y la velocidad media del álabe es 500 m/s. Considerando constante la velocidad axial a lo largo del escalonamiento, determinar (i) el trabajo específico realizado: (ii) el número de Mach a la salida de las toberas; (iii) la velocidad axial; 1 (iv) el rendimiento total a total; (v) el grado de reacción. Cq~ ¡,i'll i/.5/¡!./"1 Tómese CP = 1,148 kJ/(kg ''K:) y y= 1,33 para el gas. Solución: (i) De la ecuación (4.10), el rendimiento total a estático es

(4.22c)

Por tanto, el trabajo específico es

De esta forma, cuando a 3 = a 2 , la reacción es la unidad (también c 2 = c3 ). El diagrama de velocidades para R = 1 se muestra en la figura 4.8 con los mismos valores de e" U y Ll W utilizados paraR = O

X {1 -

1123

(1(3.11)0 ' 248 }

= 276 kJ(kg .

•

"( "-:'

ilW = 'fJ,C,To 1 {1 - (p3(p 01 )''- 1>1'} = 0.87 x 1148

•

(ii) A la salida de las toberas el número de Mach es

w¡2

M2 = c2((yRT2)•

a, FIG. 4.8.

Diagrama de velocidades para un escalonamiento de turbina de reacción 100 %.

y es necesario resolver el diagrama de velocidades para encontrar e2 y de aquí determinar T2 . Como 123

122

-- --

~---·-

---~

- ..

---

Turbinas de Oujo axial: teoría bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

cy 3 =O,

c,z =

<'>W

álabe es 0,2 y el número de Reynolds medio. definido por la ecuación (4.14), es 105 Se utiliza la aproximación para el rendimiento total a estático, ecuación (4.10a), que es

= Ucy 2

276

10 3

500

= 552 mjs

e, = e,.,lsen <Yz = 588 mis.

¿\ W!(hm

- 'h3u - jc,').

2 <'>W

0-87

--Por tanto,

~" =

2 t. W/ U 2

'N*= 0.04(1

Después de algunos desarrollos,

+ '"(w>fU) + 'N(c 2 /U) + (cxfU)

Los coeficientes de pérdidas I;R y Cw. no corregidos por los efectos de la relación de aspecto del álabe, se determinan utilizando la ecuación (4.12), que requiere el conocimiento del ángulo de deflexión del flujo E para cada corona de álabes. Para las toberas, a 1 = O y a 2 = 70°; por tanto, EN = 70°

= (y- 1)Cp. (iii) La velocidad axial es e, = e 2 cos <Y 2 = 200 mis. (iv) ~

= 0,97 con

~..

Refiriéndonos a la figura 4.2, a través de la tobera h 01 = h 02 = h 2 + -id, de este modo,

Por tanto, M 2

+ J.5

X 0_72) = 0.0694.

Haciendo la corrección por la relacióri de aspecto con la ecuación (4. 13a) 200 2 -~= 1.0775. 2 x 276x 10 3

'Nl =

1.0694(0.993

Para el rotor tangtJ 2

0.93.

(v) Utilizando la ecuación (4.22a), el grado de reacción es

= (e,. 2

+ 0.021/5)- 1 = U)le,

0.0666.

= (552 - 500)/200 = 0,26,

[3, = 14,55 grados. Así, pues.

Del diagrama de velocidades, tang tJ3

U/e, y tang tJ2

= tang

<Yz _

- U/e X

1 - i(cxfU) tang

0.451.

<Y2 -

1 -

Por tanto,

200 x 0,274511000

•

t)2 + tJ3 = 82,75 grados, SR* - 0,04(1 + 1,5 X 0,8275 2) = 0,0812. ER

Haciendo la corrección por la relación de. aspecto con la ecuación (4. 13b)

2: Verificar el valor del rendimiento total a estático supuesto en el ejemplo anterior, usando el método de la correlación de Soderberg. La relación de aspecto media del álabe para el escalonamiento es Hlb = 5,0, la relación espesor máximo-cuerda del EJEMPLO

•

= U/e, = 2,5, (33 = 68,2 grados

tang [33

'"' =

1.0812(0.975

+ 0.075/5)-

1 = 0.0712.

•

124

125

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas 1

Las relaciones de velocidades son

= 1+ = (588

5oo

Cx)2 = u 2

IJ6 En la figura 4.4 se representa gráficamente los rendimientos total a total y total a estático en función de cyz/ U para diversos valores del coeficiente de carga del escalonamiento .1 Wl U2 Estas curvas pueden también representarse fácilmente en función del grado de reacción R en vez de en función de cy21U. La ecuación (4.22c) puede escribirse como R = 1 + (cy 3 - c, 2 )/(2U) pudiéndose eliminar cy3 mediante la ecuación (4.16) para dar

(2 = 0.16 'u·

= 1.382·

y el factor de carga del escalonamiento es t. W = c, 2 = 552 = l.l04 U2 U 500

_!.

Por tanto,

= 1 + 0.0712 X 1,16

+ 0.0666 x 2

1.382

Este valor es muy cercano al supue~to en el primer ejemplo. No es demasiado difícil incluir la relación de temperaturas T 3 /T2 implícitas en la más exacta ecuación (4.1.0), a fin de ver qué pequeño efecto tendrá la correlación. Para calcular T3 _ t. W +le/ =

1123

_ 276000 + 20000 1148

= 0.872.

C~{U =

U'-

0·4

H/b = 3·0 Re= 10 5

0·8 1;;'1!=2

0·7

tr!!-3 ,u

1 1 1

2• X 1.104

0·6

0·5 Reacción

FIG. 4.9.

!l'!!__1

= 1 + 0,1468. de donde

+ 0.0712 X 1.16 + 0.89 X 0.0666 X 1.382 + 0.16 .

(4.24)

0·9

T 3 /T2 = 865/973 = 0,89.

Las nuevas curvas se muestran en la figura 4.9 tal como las representaron Shapiro y otrosY' En el caso de rendimiento total a estático, parece en principio que éste se 'optimiza para un coeficiente de carga del álabe determinado, por la elección conveniente del grado de reacción. Cuando .1 WIU2 = 2, el máximo valor de r¡,, tiene lugar con reacción aproximadamente cero. Con cargas del álabe más ligeras, el r¡,, óptimo se obtiene con mayores grados de reacción.

= 865 K.

. . 1 Por tanto-= 1

+ L'.W- S::.

1,104

= 0,872

T = T.

R = 1

+ 0.16

= 1 + 0.1515 De donde

ELECCION DEL GRADO DE REACCION Y SU EFECTO EN EL RENDIMIENTO

Influencia de la reacción en el rendimiento total a estático para

determinados valores del factor de carga del escalonamiento.

127

126

-,,

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo axial: teoría bidimerisional

Cuando Ll Wl U > 2, el valor más alto de r¡,, alcanzable sin que tenga lugar difusión en el flujo relativo del rotor se obtiene con R = O. De la figura 4.4, para un valor fijado de Ll W/U 2 , evidentemente hay sólo una relativamente pequeña variación del rendimiento total a total (comparado con r¡,), para una amplia gama de posibles diseños. Por ello r¡, no está fuertemente afectado por la elección de la reacción. No obstante, el valor máximo de YJrr decrece cuando el factor de carga del escalonamiento aumenta. l'J!ra obtener un rendillJ_i~t_HQJ.O.tal_.ªJotal alto, es por consiguiente necesario utilizar el .. ~aiÜ~~más alto posible.dc yelocidacl del álabe co!lgru<.:'!lté::-con las - . limitaciones por tensiones en el álabe (es decir, reducir Ll Wl u~). "

(

realizado se aumenta para un incremento relativamente pequeño de la pérdida por velocidad de salida. Se realizan a continuación dos análisis para ver como puede optimizarse el rendimiento total a total del escalonamiento ideal para unas condiciones determinadas. La sustitución de cv2 = cxtang a-2, Cv3 = c 3 tang CY2, e:¡ = c.,)cos et:1 y q, = c)U en la ecuación (4.25), éonduce a

'1'Jts

MAXIMO RENDIMIENTO TOTAL A ESTATICO DE UN ESCALONAMIENTO REVERSIBLE DE TURBINA

+ c~Cn + d

-1

•

En el caso del escalonamiento ideal (o reversible) la única pérdida '1' debe a la energía cinética de salida, y entonces el rendimiento total a • • estat1co es '1'Jts

ho1 - h3,

ya que t1 W

= ho ¡

ho3ss

-1

2 c3

1+ , 2 U (c,2

+ c,J)

'7" = fn (</>,

"2• ct3).

q,.

De la ecuación (4.22c) el ángulo de salida del flujo de las toberas puede expresarse en función de R, <P y LY3 como tang

(4.25a)

'l" =

LY2

= tang

LY3

+ 2 (1 -

R)l~;

LY2

( 4.26)

+ ...,.,,.;.... 4 (</> tang

LY3

2k tang

1 2

+ 1-

-1

•

LY3 -

= (1-R)Ic/J . .Esta ecuación de 2° grado tiene la solución tang

LY3 = -

+v(k' + 1)

1 = O

•

?C:;·

El máximo valor de r¡, se obtiene cuando la velocidad de salida c3 está cercana a un mínimo para unas condiciones de funcionamiento del escalonamiento dadas (R, cp y LY2 ). En principio, puede parecer obvio que el máximo Ylrs se obtendrá cuando c3 sea absolutamente axial (es decir, LY3 = 0°), pero esto es incorrecto. Permitiendo que el flujo de salidá tenga alguna contrarrotación (es decir, LY3 > Ü0 ), el trabajo

1 + tang 2 LY3 )

Derivando esta ecuación respecto a tang a 3 e igualando el resultado a cero tang 2

</> 2 (

)

donde k

128

+ tang

LY2

( 4.25b)

LY3 )

sustituyendo en la ecuación ( 4.25b)

2 (h1 - h3)

- h03ss = 7-'--;='

2( tang

-1

LY3 )

(i) Obtención del óptimo r¡,, cuando se conocen R y

Cuando las pérdidas en el álabe y las pérdidas por energía cinética de salida se incluyen en la definición del rendimiento, hemos visto, ecuación (4.10a), que el rendimiento es

h01

tang

~--~

de donde

w;~,

+ .ef (1 + 1

(4.27)

Siendo LY3 el ángulo óptimo de salida del flujo del escalonamiento cuando R y cp son conocidos. De la ecuación (4.26), k~ (tangLY2 tangLY3 )/2 que sustituida en la ecuación (4.27) y simplificada da 129

-- --

- - - ..

--.

Termodinámica de las Turbomáquinas

= cotg a:2

tang a:3

YJ 1.1.m~x.

~"mu = [1

tang(n:/2 -

a:2 ).

y R idealizados son

+ (</>/2) cotg

a:,]- 1

R = 1 - p(tang a:2

cotg a:2 )!2.

(4.28a)

(ii) Obtención del óptimo r¡,, cuando se conocen a:2 y </!Derivando la ecuación ( 4.25b) respecto a tang a:3 e igualando el resultado a cero, tang 2 a:3

+ 2

tang a:2 tang a:3

Es interesante que en este análisis el ángulo de salida a3 es solamente la mitad que en el caso de ser el grado de reacción constante. Esta diferencia es simplemente el resultado de los dos diferentes grupos de imperativos utilizados para cada análisis. Para ambos análisis, cuando el coeficiente de flujo se reduce hacia cero, a 2 se acerca a n/2 y a 3 se acerca a cero.De este modo, para tales escalonamientos de turbina de ángulo de salida de la tobera elevado, el coeficiente de carga del álabe apropiado para máximo r¡, puede determinarse si el grado de reacción es conocido (y viceversa). Para un escalonamiento de turbina de reacción del 50 % (y con a:3 - . 0°), el diagrama de velocidades correspondiente muestra que L1 WIU2 -:- 1 para máximo YJrs· Igualmente un escalonamiento de tuibina de reacción cero (que es un escalonamiento de acción para flujo ideal reversible) tiene un factor de carga del álabe LIWIU2 : 2 para • • maxtmo Ylrs·

...

Utilizando unas sencillas relaciones trigonométricas, ésta se simplifica aún más hasta

,B5%

BO%

'\ \

(w/2-

a 2 )/2.

a:, -

tang a:2 )]-'-

- - - Reversible - - Con fricción •

( 4.29)

0.2

0.4

0.6

Coeficiente de flujo rp

' '

...

-----·-

1.0

cxfU

131

•'

O.B

FIG. 4.10. _ Rendimiento total a estático de un escalonamiento de turbina de flujo axial de reacción 50 %(adaptado de Horlock 14).

130

---------------·····

(4.28b)

2l sec

LI.W = </> seca2 = ~ U2 U

Las correspondientes expresiones para el grado de reacción y el coeficiente de carga del escalonamiento Ll W/ U 2 son

R = 1 - </>(tang a 2

Sustituyendo esta expresión de a:3 en la ecuación (4.25b) se obtiene el máximo YJrs idealizado

+ </>(sec

1 . 1

90%

\ 1 1

~-_....';,._'~_!/ ~~~~- -~-~-

!•

2.5¡--------------~

~"m"= [1

1 - O.

Resolviendo la ecuación, la raíz apropiada es

a3 =

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

De donde

Los correspondientes

---

•

•'"

-· - - - -

--------

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional Termodinámica de las· Turbomáquinas

la capacidad de admisión con la relación de presiones es aún de mayor importancia en la tecnología de turbinas de gas. Mientras que la media de las turbinas de vapor de condensación, incluso a carga parcial, operan con relaciones de presiones muy altas, algunas turbinas de gas pueden trabajar con relaciones de presiones más bien bajas. haciendo del acoplamiento del flujo con un compresor un problema difícil. El valor constante de la capacidad de admisión, conseguido por la turbina de un escalonamiento para una relación de presiones ligeramente superior a 2, y por las otras turbinas para relaciones de presiones progresivamente más altas, está asociado con condiciones de bloqueo (sónicas) en los álabes del estator de la turbina.

Horlock 11 realizó los cálculos de la actuación de los escalonamientos de turbina tanto para el caso reversible como irreversible con R = O y 50 %. La figura 4.10 representa gráficamente el efecto de las pérdidas en los álabes, determinadas con la correlación de Soderberg, en el rendimiento total a estático del escalonamiento para una reacción constante del 50 %, Es evidente que las pérdidas de salida se hacen cada vez más dominantes cuando se aumenta el coeficiente de flujo.

¡,

CARACTERISTICAS DEL FLUJO EN UNA TURBINA

- •

•

Es de considerable importancia práctica un conocimiento preciso de las características del flujo de una turbina, por ejemplo, en el acoplamiento de flujos entre compresor y turbina en un motor a reacción. Cuando se puede esperar que una turbina opere cercana a sus condiciones de diseño (es decir, en región de pérdidas bajas), es posible reducir las características de la turbina a una sola curva. La figura 4.11, debida a Mallinson y Lewis, 7 muestra una comparación de características típicas para uno, dos y tres escalonamientos represen\~ g,ráficamente como relación global de presiones de la turbina ~H-'l:n función del coeficiente de gasto mv"T,;,!p 01 , Existe una notable tendencia de la curva característica a hacerse más elipsoidal cuando se incrementa el número de escalonamientos. Para una relación de presiones dada, el coeficiente de gasto, o «Capacidad de admisión», tiende a decrecer con la adición de nuevos escalonamientos a la turbina. Una de las primeras tentativas de valorar la variación del flujo másico ·de una turbin·a de varios escalonamientos se debe a Stodola, 2 quien formuló la muy utilizada «ley de la elipse». La curva designada por «varios escalonamientos» en la figura 4.11 está en consonancia c~m la expresión de la «ley de la elipse» fn(y'T;;)fpor = k[! - (pou/Por) 2 ] \

3·0 Varios escalonarriientos ----~ 3 escalonamientos

•

2·0

escalonamientos~..___.¡___

1 escalonamiento ----._

~ ~

= o

! Coeficiente de gasto en la entrada, mJl;tiPo¡ F IG . 4 • 11 .

Características del flu¡· o de una turbina (según Mallinson y Lewis

•

CARACTERISTICAS DEL FLUJO DE UNA TURBINA DE VARIOS ESCALONAMIENTOS

(4.30) Se dispone en la literatura sobre el tema de varias expresiones de la . . .' ley de la elipse. La expresión que se da a contmuac10n es u_na verston ligeramente ampliada de la demostración presentada poriHorlocks ~

donde k es una constante. Esta expresión se ha utilizado durante muchos años en la práctica de las turbinas de vapor, pero la estimación precisa de la variación en

133 132 •1

.._.. ....

·-

-----

---~--

---

-~-

-- -

·-------

-------

1 1

Termodinámica de las Turbomáquinas

,¡

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

•

Egli ha suministrado un método más general que tiene en cuenta los efectos cuando se opera fuera de la región normal de pérdidas bajas de las coronas de álabes. Consideremos una turbina que posee un gran número de escalonamientos normales, cada uno de reacción 50%; entonces, refiriéndonos al diagrama de velocidades de la figura 4. 12a, c 1 = c3 = w2 y c2 = w3 • Si la velocidad del álabe se mantiene constante y el gasto se reduce, los ángulos del fluido a la salida del rotor ({33 ) y de las toberas (a2 ) permanecerán constantes, y el diagrama de velocidades toma entonces la forma representada en la figura 4.12b. La turbina, si opera de esta manera, será de bajo rendimiento, ya que la dirección del fluido a la entrada de cada corona de álabes probablemente producirá un desprendimiento por incidencia negativa. Para mantener alto rendimiento, los ángulos de entrada del fluido tienen que permanecer cercanos a los valores de 'diseño. Se supone, por consiguiente, que la turbina opera a su más alto rendimiento en todas las condiciones fuera de diseño y, por ello, la velocidad del álabe varía en proporción directa a la velocidad axiaL Los triángulos de velocidades son similares para flujos fuera de diseño pero de diferente escala. Ahora bien, el trabajo realizado por la unidad de masa del fluido a través de un escalonamiento es U(cy 2 + cy 3 ) de modo que, considerando un gas perfecto, C,I!..T0 = C,I!..T = Uc,(tang a 2

Cxtd

(4.32)

i (a) Flujo de diseño

¡1

1 (b) Flujo reducido

FIG. 4.12.

Variación del diagrama de velocidades de un escalonamiento de turbina con el gasto para velocidad del álabe constante.

• '

tang a3 )

-En consonancia con la forma supuesta de funcionamiento de la turbina, el rendimiento politrópico se torna corno constante en condiciones fuera de diseño y, por tanto, de la ecuación (2.37), la relación entre temperatura y presión será

1,'

T/ p,.,c.,- u¡., =

constante.

La expresión anterior combinada con p/p da p!T" = constante, de donde

Indicando las condiciones de diseño por el subíndice d, entonces,

(ee~)

Pd m =--.

Pd Cxr

-=Cxd

y, por tanto,

I!..T Dt.T, =

P-

Pa-T'

l..•

(4.31)

T "

= RT y, eliminando p, ' (4.33)

•

donde n = r/b.(r-1)}-L

para valores iguales de c)U De la ecuación de la continuidad, para condiciones-fuera de diseño,

134

" (4.31) Para una caída infinitesimal de temperatura la ecuac10n

135

'¡

----··-------

--.--------1

"1' 1

1 '

Termodinámica de las Turbomáquinas

"1' ''

r2n

m • m,

2. •

(4.34)

•

5. • ) 2

+1 =

':'

Tj" + t

+K,

donde K es una constante arbitraria. Para establecer un valor de K observemos que si la temperatura de entrada a la turbina es constante Td = T, v T = T1. Por tanto, K = [1 - (mlmd) 2]T f'+ 1 y

.. ' '•

9. 10.

T T,

11 ,,•

211

-1

l. RYLEY, D. J., Phase equilibriurn in low-pressure stearn turbines. Int. J. Mech.

---

REFERENCIAS

" Integrando la ecuacton (4.34)

cr Cx: ~r

•

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

combinada con las ecuaciones (4.32) y (4.33) da, con un pequeño yrror,

dT dT,

4'm,-)'

T, Tr

211

11.

-1

•

Sci.(Aug.l960). STOOOLA, A., Steam and Gas Turbines, 6th ed. Peter Smith, New York (1945) . KEARTON, W. J., Steam Turbine Theory and Practice. 7th ed. Pitman, London (1958). SoDERBERG, C. R., Unpublished note. Gas Turbine Laboratory, Massachusett& Institute of Technology (1949). STENNING, A. H., Design of turbines for high energy fuel, Iow power output applications. D.A.C.L. Report 79, Massachusetts Institute ofTechnology (1953). HoRLOCK, J. H., Losses and effi.ciencies in axial-flow turbines. Int. J. J\1ech. Sci . 2 (1960). MALLINSON, D. H. and LEWIS, W. G. E., The part-load performance of various gas-turbine engine schemes. Proc. Instn. Mech. Engrs. London, 159 (1948). HoRLOCK, J. H., A rapid method for calculating the "off-design" performance of compressors and turbines. Aeronaut. Quart 9 (1958). Eou, A., The flow characteristics of variable-speed reaction steam turbines. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. 58 (1936) . SHAPIRO, A. H., SooERBERG, C. R., STENNING, A. H., TAYLOR, E. S. and HoRLOCK, J. H., Notes on Turbomachinery. Department of Mechanical Engin~ eering, Massachusetts Institute of Technology. Unpublished (1957). HoRWcK, J. H. Axial Flow Turbines. ·Butterworths, London (1966).

(4.35)

La ecuación (4.35) se puede escribir en función de la relación de presiones, ya que T/T1 = (p!p 1)"P(y- !Ji y Como 2n + 1 - 2yi[!Jp(Y- 1)] - 1 entonces

PROBLEMAS

m•

1 - (PIPr) 2 - ' • ' ' - ' " ' + 1 - (p,jp,)'- '•''- "''

(4.36a)

•

Con !)p = 0,9 y y= 1,3, el índice de relación de presiones está alrededor de 1,8; por ello a menudo se utiliza la aproximación !i •

m -• m,

' • • '' •

1 - CP/Pr) 2 1 - (p,jp,)'

Demostrar, para un escalonamiento de una turbina de flujo axial, que la entalpía de parada relativa no varía a través de la corona del rotor. Dibujar un diagrama entalpía-entropía para el escalonamiento marcando todos los puntos destacados. Se define la reacción de un escalonamiento en una turbina como la relación entre la caída de entalpía estática en el rotor y la del escalonamiento. Obtener expresiones de la reacción en función de los ángulos del flujo y dibujar los triángulos de velocidades para reacciones de cero, 0,5 y 1,0 . 2. En una turbina de reacción Parsofls los álabes del rotor son similares a los del estator pero con los ángulos medidos en dirección opuesta. El ángulo de-salida del flujo correspondiente a cada corona de álabes es de 70 grados respecto a la dirección axial, la velocidad de salida del vapor de los álabes del estator es 160 m/s, la velocidad del álabe es de 152,5 mis y la velocidad axial es constante. Determinar el trabajo específico realizado por el vapor por escalonamiento. Una turbina de rendimiento interno del 80 % consta de diez escalunamientos tales como los de~.:::ritos anteriormente y recibe vapor de la válVula de cierre a 1,5 MPa y 300 oc_ Determinar, con la ayuda del diagrama de Mollier, las condiciones del vapor a la salida del último escalonamiento. l.

( 4.36b)

que es la ley de la elipse para una turbina de varios escalonamientos.

136

137

' ,--.,

--------

•

---

------

---~

----

- - --

•1

Entrada de la tobera Salida de la tobera

!1 i' i

Angula de entrada, grados Angula de salida, grados Relación paso/cuerda, sil

'¡

414 400

Salida de la tobera

Salida del rotor

0.42 2,0 0,2

Máximo espesor/cuerda del álabe 207 200

La velocidad media del álabe es 291 m/s, la temperatura de parada de entrada 1.100 K, y el ángulo del flujo a la salida de la tobera es 70" medido desde la dirección axiaL Suponiendo que la magnitud y la dirección de las velocidades de entrada y salida del escalonamiento son las mismas, determinar el rendimiento total a total del escalonamiento. Supóngase un gas perfecto con e"= 1,148 kJ/Kg "i:: y y= 1,333. " 4. En un cierto escalonamiento de una turbina de flujo axial la velocidad axial c.~ es constante. Las velocidades absolutas de entrada y salida del escalonamiento tienen dirección axial. Si el coeficiente de flujo cJU es 0,6 y el gas sale de los álabes del estator a 68,2 grados. de la dirección axial. calcular: (i) el factor de carga del escalonamiento b.WJU2 ; (ii) los ángulos del flujo correspondientes a los álabes del rotor: (iii) el grado de reacción; (iv) los rendimientos total a total y total a estático. Debe utilizarse la correlación de pérdidas de Soderberg. ecuación (4.12). '"\ S. Un escalonamiento de una turbina de gas desarrolla 3,36 MW para un gasto de 27,2 kg/s. La presión de parada y la temperatura de parada a la entrada del escalonamiento son 772 kPa y l.OOO K. La velocidad axial es constante a lo largo del escalonamiento, los gases entran y salen del escalonamiento con velocidad absoluta en la dirección axial. A la salida de las toberas la presión estática es de 482 kPa y la dirección del flujo forma 18 grados con el plano de la rueda, Determinar la velocidad axial y el grado de reacción para el escalonamiento sabiendo que el incremento de entropía en las toberas es de 12.9 J/(kg °C); Supóngase que el calor específico a presión constante del gas es 1,14R kJ/(kg "C) y la constante del gas es 0.287 kJ/(kg "C). Determinar también el rendimiento total a total del escalonamiento sabiendo que el increi1iento de entropía del gas a través del rotor es de 2,7 J/(Kg "C). 6. Obtener una expresión aproximada para el rendimiento total a total de un escalonamiento df\ turbina en función de los coeficientes de pérdida de entalpía para el estator-y el rotor cuando las velocidades absolutas a la entrada y a la salida no son iguales. Un escalonamiento de una turbina de vapor de alta relación raíz/cabeza va a recibir vapor a una presión y temperatura de parada de 1,5 MPa y 325 "C, respectivamente. Está diseñado para una velocidad del álabe de 200 mis y se seleccionó la geometría de álabe siguiente:

. -. . 70.0 .

Longitud del álabe/cuerda axial, H/b

Presión estática

Presión de parada

Toberas

muestran en la tabla siguiente:

•

Turbinas de flujo axial: teoría bidimensional

-"- 3. Los valores de presión (kPa) medidos en varios puntos de un escalonamiento de una turbina de gas de reacción cero, todos a la altura media del álabe, se

Termodinámica de las Turbomáquinas

•

-------

Rotor

48 56,25 2,1 0,2

A partir de ensayos de cascadas en condiciones de diseño se sabe que el ángulo de desviación del flujo respecto al rotor es de 3 grados, Por carecer de datos de ensayos de cascadas para la corona de toberas, el diseñador estimó el ángulo de desviación a partir de la aproximación O, 198sll, donde 8 es la curvatura del álabe en grados. Suponiendo que la incidencia en las toberas es cero, la incidencia en el rotor de 1,04 grados y la velocidad axial a lo largo del escalonamiento es constante, determinar: (i) la velocidad axial; (ii) la reacción del escalonamiento y el factor de carga; (iii) el rendimiento total a total aproximado a partir de la correlación de pérdidas Soderberg suponiendo que los efectos del número de Reynolds se pueden 1gnorar; (iv) por medio de un diagrama de vapor grande (diagrama de Mollier), la temperatura y la presión de parada a la salida del escalonamiento.

•

'·

•

·, .'

139

138

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CAPITULO 5

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: análisis bidimensional

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Un aire solemne, raro y viciado, a rachas era triste, en los comienzos fue salvaje. (W. COLLINS. The Passions.)

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INTRODUCCION

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La idea de utilizar una forma de turbina invertida como compresor axial es tan antigua como la turbina de rea~ción misma. Stoney 1 deja constancia de que ya en 1884 Sir Charles Parsons obtuvo una patente para tal disposición. Sin embargo, invirtiendo simplemente una turbina para utilizarla como compresor se obtienen rendimientos que son, según Howell, 2 menores del40 o/o para máquinas de alta relación de compresión. Parsons realmente construyó algunas de estas máquinas alrededor de 1900, con paleteado basado en secciones de hélices perfeccionadas. Las máquinas se utilizaron para trabajos de alto horno, operando con presiones de descarga entre 10 y 100 kPa. El rendimiento conseguido por estos primitivos compresores de baja presión era de alrededor del 55 %; la razón de este bajo rendimiento se atribuye actualmente al desprendimiento en el álabe. Parsons construyó también un compresor de alta relación de compresión (550 kPa de presión de descarga) pero' Ston e y relata haber tropezado con dificultades. El diseño, que constaba de dos compresores axiales en serie, fue abandonado después de muchas pruebas, y se comprobó que el flujo era inestable (presumiblemente debido al bombeo del compresor). Como consecuencia del bajo rendimiento, los compresores axiales se abandonaron, en general, a favor de los compresores centrífugos de varios escalonamientos por su más alto rendimiento, del 70-80 %. 141

-----~~

---

~-·-··-~-

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

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a rendimiento y relación de compresión todavía no se ha alcanzado, y este objetivo puede lograrse únicamente desde un entendimiento 5 detallado del más complicado fenómeno del flujo. Horlock presenta una recopilación de muchos estudios avanzados detallados en este campo. Gostelow y otros 14 han efectuado más recientemente otra recopilación acerca de los desarrollos en diseño aerodinámico de compresores de flujo axial subsónico y transónico. Los compresores transónicos son un desarrollo relativamente reciente y persiguen el descubrimiento inesperado de un buen comportamiento para números de Mach relativos cercanos a la unidad. 14 Los compresores de muchos aerorreactores tienen al menos un escalonamiento transó• meo.

No se emprendieron más desarrollos de compresores axiales hasta 1926 cuando A. A. Griffith bosquejó los principios básicos de su teoría de perfil aerodinámico para el diseño de compresores y turbinas. Cox 3 y Constant4 dejan constancia de que la subsiguiente historia del compresor axial está íntimamente ligada con la de la turbina de gas de aviación. El trabajo del equipo de Griffith en el Royal Aircraft Establishment, Farnborough, condujo a la conclusión (confirmada más tarde por pruebas de equipos) de que se podían alcanzar rendimientos de por lo menos el 90 % para escalonamientos pequeños, es decir, escalonamientos de relación de compresión baja. Las primitivas dificultades asociadas al desarrollo de loS compresores de flujo axial provienen principalmente de la naturaleza fundamental. mente diferente del proceso de flujo en los mismos, comparado con el de las turbinas de flujo axial. Mientras que en la turbina axial el flujo relativo a cada corona de álabes es acelerado, en los compresores axiales es decelerado. Actualmente es ampliamente conocido que, aunque un fluido pueda ser rápidamente acelerado a través de un conducto y sufrir una pequeña o moderada pérdida de presión total, esto no es cierto para una rápida deceleración. En el último caso podían producirse grandes pérdidas como consecuencia del fuerte desprendimiento causado por un gran gradiente de presión adverso. A fin de limitar las pérdidas de presión total durante la difusión del flujo es necesario que la relación de deceleración (y la deflexión) en los conductos de los álabes esté fuertemente limitada. (En el Capítulo 3 se bosquejan detalles de estas restricciones a propósito de las correlaciones de Lieblein y Howell.) Es principalmente a causa de estas restricciones por lo que los compresores axiales necesitan tener muchos escalonamientos para una relación de compresión dada, comparados con una turbina axial que necesita solamente unos pocos. Por esta razón, el experimento de turbina invertida intentado por Parsons estaba prede'stinado a un rendimiento operativo bajo. Hoy, aunque se habla de compresores axiales con rendimientos superiores al90% para relaciones de compresión de 6.ó 7 a 1, parece singular reflejar que, después de más de 40 años de continuo desarrollo, la máquina pueda aún plantear un gran número de problemas no resueltos que desafían a ingenieros y diseñadores. Generalmente se tiene la opinión de que la capacidad plena en cuanto

ANALISIS BIDIMENSIONAL DEL ESCALONAMIENTO DE COMPRESOR En este capítulo el análisis se simplifica (como se hizo para turbinas axiales) suponiendo el flujo bidimensional. Esta aproximación se puede_justificar si la altura del álabe es pequeña comparada con el radio medio. De nuevo, como para turbinas axiales, se supone que el flujo es invariable en la direcciün circunferencial y que no existen velocidades radiales. En el Capítulo 6 se consideran algunos de los efectos tridimensionales de las turbomáquinas axiales. En la figura 5.1 se muestra una sección simplificada de una parte de un compresor axial junto con una proyección de las coronas de álabes desarrolladas, formando un conjunto plano de cascadas bidimensionales. Un.e.sc.alonarnieuto.de compres.or__se define ~9JllO una corof1_a de ro_tQL s.eguida por una cqr:onª de__ e~tEt.m:~ como en la figura. Los compresores axiales de varios esCalonamientos pueden tener hasta veinte escalonamientos en algunas aplicaciones, resultando la máquina bastante larga. Los álabes del rotor están fijos al tambor del rotor y los álabes del estator a la carcasa. Las paletas guiadoras de entrada no ---se co.nsideran como par! e del primer es.c.alonamiePtQ.\le) .cPmptesor Y se tratan separadamente. Su función es diferente a la de una corona de estator, puesto que actúan como un conjunto de toberas de turbina que acelera el flujo, dirigiéndolo lejos de la .dirección axial. ~~~-·-----··

.. -· · -

--- ..

143

142

-~-

-~-~

~~~

~---

---

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

-- "- "' ¡ ¡ -

•

o o

w "

;"¡;

?u (E.

Corona de álabes de rotor

Un escalonamiento

13,

Tambor del rotor

--•• .

;

•

' ltf-~-

Sección de entrada

w,,

:__ u

1 1

1 1 1 1

-•

Eje del compres or

FIG. 5.1.

LL..L

-:§ :§-

Corona de álabes de estator

·¡-'

Sección y desarrollo de !Os dos primeroS ~scalonamientos de un compresor axial de varios escalonamtentos. FIG. 5 .2.

•

Carcasa

•

DIAGRAMAS DE VELOCIDADES DE UN ESCALONAMIENTO DE COMPRESOR En la figura 5.2 se dan los diagramas de velocidades para un escalonamiento y se adopta el convenio de interpretar en todo este capítulo todos los ángulos y velocidades de giro de la figura como positivos. ComQ par_a_ los escalonamientos axtales de turbt~a, _un escalonamiento normal de compresor es aquel donde las velocidades absolutas y direcciones del flujo a la salida del escalonamiento son las mismas que a la entrada del escalonamient~, El fluJ? de un escalonamiento anterior (o de las paletas gmadoras) tiene una . velocidad c 1 y dirección a:1 ; restando vectorialmente la velocidad del álabe U se obtiene la velocidad relativa de entrada w1 con ángulo [3, (la dirección axial es el origen para todos los ángulos). Respecto a los álabes del rotor, el flujo es girado hacia la dirección {32 en la salida con una velocidad relativa w2 . ·Naturalmente, sumando vectonalmente la

Diagramas de velocidades para un escalonamiento de compresor.

velocidad del álabe U a la w 2 da la velocidad absoluta de salida del rotor, c2 , formando un ángulo a 2 . Los álabes del estator desvían el flujo hacia el eje y la velocidad de salida es ·e, formando un ángulo a:3 . Para el escalon_amiepto__ normal/_c~1 __ -::-:_ _(.¡ y_A:_~·_:- __ ·_ ~ 1 .) Se observará que> corno se ha dibujado en la figura 5.2, la velocidad relativa en el rotor y la velocidad absoluta en el estator disminuyen, Se mostrará posteriormente en este , capítulo que la disminución relativa de energía cinética en las coronas de.rotor y estator influye significativamente en el rendimiento del escalonamiento.

• •

TERMODINAMICA DEL ESCAL(!)NAMIENTO DE COMPRES@R El trabajo específico realizado por el rotor sobre el fluido es, teniendo en cuenta la ecuación de la energía del fluj® estacionario

145

144

.',''••

·'-

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

El proceso de compresión para el escalonamiento completo se representa en un diagrama de Mollier en la figura 5.3, que se ha generalizado para incluir los efectos de irreversibilidad.

•

PERDIDAS EN EL ESCALONAMIENTO Y RENDIMIENTO

•

De las ecuaciones (5.1) y (5.3) el trabajo real realizado por el rotor sobre la unidad de masa del fluido es Ll. W = h 03 - h01 . El trabajo reversible o mínimo requerido para alcanzar la misma presión de parada final que en el proceso real es

tw'2 2-

lw1 2s

•

TOl

i .1.Wmín = ho3ss- hol

te~

• • ••

(h 03 - h01 ) - (ho,, - ho,.,) - (ho, - h0 ,,) Ll. W- To 3 /T,(hz - hz,) - To,/T,(h, - h,,),

Diagrama de M:ollier para un escalonamiento de compresor axial.

uwmln = uw- (hz- hz,)- (h,- h,,). (suponiendo flujo adiabático) y la ecuación de la cantidad de movimiento, . tlW =

W,/m =hoz- h01

U(c,z- e,,).

En el Capítulo 4 se demostró para todas las turbomáquinas axiales que hocei ( = h + iw 2 ) es constante en el rotor. Por ello, ••

(5.2)

+ tez = 2

h'3

+ ,e,.

,, .' 1

- ....

De nuevo, a causa del pequeño aumento de temperatura en el escalonamiento, la variación de densidad es también pequeña y es razonable suponer que el fluido se comporta como incompresible. Esta aproximación se aplica solamente al escalonamiento y se presupone una densidad media en el mismo; a lo largo de un conjunto de varios escalonamie¡¡tos es de esperar una apreciable variación de densidad. Las pérdidas de entalpía en la ecuación (5.4) se pueden expresar como pérdidas de presión de parada como sigue. Ya que h02 = h 03 entonces,

h,- h2

(5.3)

l,Z

(5.4)

es una aproximación «bastante ajustada».

(5.1)

Este es un resultado válido mientras no haya cambio radial de las líneas de corriente a través del rotor (es decir, U¡ = Uz). A través del estator, h0 es constante, y ,

•

haciendo la aproximación de que Ll.h = T Ll.s . El aumento de temperatura en un escalonamiento de compresor representa solamente una pequeña fracción del nivel de temperatura absoluta y por tanto,

••

FIG. 5.3.

= !(e~- e;) = [(poz - Pz) - (po, -

p,)]fp,

(5.5)

147

146

•

...

:; .

t ¡e¡

-----~--

_j__

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiládores de flujo axial: Análisis bidimensional

2 puesto que p 0 - p = para un fluido incompresible. A lo largo de la isentrópica 2-3s de la figura 5.3, Tds = O = dh - (1/p)dp, y así,

h3, - h, = (p3 - p,)fp.

·' R

(5.6)

Pm)fp = (lfp)!J.po......

(5.7)

('r(~l,.¡ e

= (w, 1

El rendimiento total a total es,

1''

;¡¡ ' "

:. ¡!

.-'

'1tt =

" '

W, ' -

.,; li' " •- ' 1

"¡ ' '',

1-- -

""'-~ !¡_·-

¡; .,

•• ... '

w.mro = 1 -

(h, - h,) + (h3 - h3,) (ho3 - ho,)

-- ---

l _

.Ó.Poestator

'+ llPorotor

p(ho3 - ho,)

:::¡1 t

--- '

Se ha de observar que la ecuación (5.9) también tiene aplicación directa a las bombas y ventiladores.

c, 1 )

(5.10c)

+ w, 2 )(w, 1 -

w, 2 )

c, 1 )

donde se supone que _ex_ es constante a través del e.~sa_Ionamiento.. De la figura 5.2, Cy2 =u- w,.2 YCy¡ = /}d~ modo que e -e Wy¡

donde

wy 2 ·

w,-

De este modo, R = (w,, tang

+ w,,)/(2U).= (cxfU)tang /3m,

!3m =

~ tang

/31 +

tang (32 ) •

yl -

(S.ll) (5.12)

Se puede encontrar uria expresión alternativa útil para el grado de reacción en función de los ángulos de salida del fluido de cada corona de álabes en un escalonamiento. Con wy 1 U - cy 1 , la ecuación (5. 11) da, R

GRADO DE REACCION

(5.10b)

2U(c, 2

•

h,).

wl- w2

2U(c, 2

De forma similar, para el rotor,

,. ' 1•

R =

CPoz -

h3- h3, =

h1 )/(h 3

- wD.

- :¡

(h 2

De la ecuación (5.2), h 2 - h 1 = ~wi Pªrª_escai0 namientos normales (c 1 = c3 ), h 3 - h 1 = h 03 - h,n = U(cy 2 - ey 1 ). SusÚtuye~ do en la ecuación (S.JOb)

De este modo, restando la ecuación (5.6) de la ecuación (5.5) '1

(tang {32

tang

. a: )ei(2U). ' '

(5.13)

Ambas expresiones dadas anteriormente para el grado de reacción se pueden obtener partiendo de la hipótesis de flujo incomprésible y reversible, junto con la definición de grado de reacción de la ecuación (S.lOa). .

Para el caso de flujo incompresible y reversible es posible definir el grado de reacción R como la relación entre el incremento de presión estática en el rotor y el aumento de presión estática en el escalonamiento.

R = CP2 - p¡)f(p3 - p¡).

(5.10a)

Si el flujo es compresible e irreversible, R se define de una forma más general como el cociente entre el incremento de entalpía estática del rotor y el aumento de entalpía estática del escalonamiento,

148

ELECCI0N DEL GRADO DE REACCION

El grado de reacción en un parámetro que tiene una influencia importante en el rendimiento del escalonamiento. Los escalonamientos que tienen una reacción del 50 % son muy utilizados, ya que el .

149

•

_, '

-----~~---.

¡ •

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

'1• •

está limitada por consideraciones del número de Mach. Si los efectos del número de Mach pudieran ignorarse, el aumento permisible de temperatura, basado en los límites del flujo incompresible en cascadas, aumentaría con el grado de reacción. Con un límite de 0,7

en el número de Mach admisible, el aumento de temperatura y

rendimiento están en un valor máximo con un grado de reacción del

(I)R>50%

50% 5

/32 >Ql

fJ,,..., 1' 1 ;

•-

CARGA DEL ESCALONAMIENTO

El factor de carga del escalonamiento 1/J es otro importante parámetro de diseño de un escalonamiento de un compresor y es uno

u 1

de los que afecta fuertemente a las características de funcioilamiento

fuera de diseño. Se define por •

FIG. 5.4.

Asimetría de los diagramas de velocidades para reacciones mayores o menOres que el 50 %.

1/J = ho3 -

gradiente de presión adverso (retardador) se reparte por igual a través de las coronas de rotor y estator. Esta elección del grado de reacción minimiza la tendencia de las capas límites del álabe a separarse de las superficies sólidas, evitando de este modo grandes pérdidas de presión de parada. SiR- 0,5, entonces a:1 = /3:, por la ecuación (5.13) y el diagrama de velocidades es simétrico. El aumento de entalpía en el escalonamiento se distribuye por igual entre las coronas de rotor y estator. SiR> 0,5, entonces {32 > a: 1 y el diagrama de velocidades se desvía hacia la derecha, como se muestra en la figura 5.4a. El aumento de entalpía estática en el rotor supera al del estator (esto es también cierto para el aumento de presión estática). SiR< 0,5, entonces {32 < a:1 y el diagrama de velocidades se desvía hacia la izquierda, como se indica en la figura 5.4b. Naturalmente, el aumento de entalpía en el estator (y de presión) excede al del rotor. En turbinas axiales, la limitación del trabajo realizado por el escalonamiento está impuesta por las tensiones de los álabes del

con

cy 2 ::::

U -

ho1 =

Cy2. -

Cyl,

(5 .14a)

wy2 éste se transforma en

.p =

(tang a: 1 + tang {32 ),

(5.14b)

•

donde q, = cx /U )es llamado coeficiente de flujo. El factor ele caiga del escalonamiento se puede expresar también en función de los coeficientes de sustentación y resistencia para el rotor. De la figura 3.5, sustituyendo am por f3m, la fuerza tangencial del álabe en los álabes móviles por unidad de altura es Y = L cos f3m =

L cos f3m 1

•

donde tang f3m = j. (tang {3¡ Ahora bien, CL

+• D sen

f3m

+ Cn tang eL

f3m ,

+ tang f3z).

L/(j. pvl,l), por tanto, sustituyendo por L arriba, (5.15)

rotor, pero en compresores axiales la actuación del escalonamiento

!50

•

! 1 1

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimCnsional

El trabajo realizado por cada álabe móvil por segundo es YU y es transferido al fluido que evoluciona a través de un conducto de álabes durante dicho período. De este modo, YU = pscx(h03 - h 01 ). Por tanto, el factor de carga del escalonamiento se puede escribir ahora

' .'' .

1' ' 1

-0,5

1,0

!¡ '

·'''. i

.p =

rll \

ho3 - ho, =

Y .

'1", "l.r,

•

0,5

(5.16)

pSCxU

- ' '1

Sustituyendo la ecuación (5.15) en la ecuación (5.16) el resultado final es

+ CD tang

(<P/2) sec f3m(lfs)(CL

/3m).

.P••, =

.1i

.,'

.. .

+ CD).

FIG. 5.5. 1

(5.18) "' = 1 -

' CARACTERISTICA DE FUNCIONAMIENTO FUERA DE DISEÑO SIMPLIFICADA

1<~ ' •

'1'

Horlock ha considerado cómo se comporta la carga del escalonamiento con la variación del coeficiente de flujo cjJ y cómo resulta influenciada esta característica de funcionamiento fuera de diseño por la elección de las condiciones de diseño. Ahora bien, los datos de cascadas sugieren que los ángulos de salida del fluido ¡32 (para el rotor) y rr1 ( = rr3 ) para el estator no varían apreciablemente para una gama de incidencias, hasta que se alcanza el punto de desprendimiento. Se puede hacer por tanto la simplificación de que, para un escalonamiento dado,

tang cr 1

152

•

tang /32

constante

(5.19)

<fit.

(5.20a)

De las ecuaciones (5.20a) y (5.14a) se deduce que el aumento de entalpía de parada del escalonamiento crece al reducirse el flujo másico, cuando funciona con velocidad de giro constante, siempre que t sea positivo. Dicho efecto se muestra en la figura 5.5, donde 1jl se representa en función de cf> para diversos valores de t. Haciendo cjJ = c/Jd y 1jl = 1JIJ para las condiciones en el punto de diseño, resulta

' 1

. 1¡

Características simplificadas del funcionamiento fuera del diseño de un escalonamiento de compresor (adaptado de Horlock5 ).

Introduciendo esta expresión en la ecuación (5 .14b) da

Puesto que CD < CL en el rango normal de funcionamiento de bajas pérdidas, es admisible despreciar CD en la ecuación (5.18) .

, 1 1

(<P/v2)(1/s)(CL

1,O

0,5

Coeficiente de flujo tf> = c1/U

(5.17)

En el Capítulo 3, el análisis aproximado indicó que el rendimiento máximo se obtiene cuando el ángulo medio del flujo es de 45°. El factor de carga óptimo correspondiente para !3m = 45° es

•

"'· = 1• -

<fi,t.

(5.20b)

Los valores de 1/Jd y c/Jd elegidos para un diseño particular de escalonamiento determinan el valor de t. Por ello, t se fija sin tener en •

cuenta el grado de reacción y. por tanto, lavariación de la carga del escalonamiento para condiciones fuera de diseño no dependt! de la_ elección del grado de reacción de diseño. Sin embargo, de la ecuación (5.13) se evidencia que, excepto para el caso de reacción del 50% cuando a-1 = f3.,, la reacción varia fuera del punto de diseño. Para 153

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

reacción de diseño superior al 50 % ({32 > <Y1), la reacción disminuye hacia el 50 % al decrecer <f>; por el contrario, para grados de reacción de diseño menores que el 50 % el grado de reacción se aproxima al 50 % con la disminución del coeficiente de flujo. Si se elimina t entre las ecuaciones (5.20a) y (5.20b) resulta la expresión siguiente,

que 1/JJ está limitado al intervalo 0,3 a 0,4 para el funcionamiento más eficiente, y por ello se pueden esperar variaciones sustanciales de 1/J fuera del punto de diseño. Para calcular el aumento de presión en condiciones fuera de diseño se necesita conocer la variación del rendimiento del escalonamiento con el coeficiente de flujo. Para un escalonamiento ideal (sin pérdidas) el aumento de presión en flujo incompresible está dado por

(5.22)

(5.21)

•

Esta ecuación muestra que, para un coeficiente de carga de diseño del escalonamiento dado 1/Jd, la variación fracciona} del coeficiente de carga del escalonamiento que corresponde a una variación fracciona! del coeficiente de flujo es siempre la misma, independiente del grado de reacción del escalonamiento. En la figura 5.6 se ve que los escalonamientos fuertemente cargados (1/!J -->1) son los más elásticos, produciendo una pequeña variación de 1/J al variar <f>. Los escalonamientos levemente cargados ( 1/JJ--> O) producen grandes vanacwnes de 1/J al variar <f>. Los resultados de los ensayos de cascadas muestran

AUMENTO DE PRESION EN UN ESCALONAMIENTO Consideremos primero un escalonamiento ideal de compresor en el cual no existen pérdidas de presión de parada. A través de la corona del rotor, Porel es constante y así p, - p, = fp(wf - wD. 1

!•

3.0

p 2 = tp(c~ - e~).

(5.23b)

2,0

•

¡¡

Sumando los aumentos de presión para cada corona y considerando un escalonamiento normal (c3 =c 1), se obtiene

.;,=1,0

"•

(p 3

p¡)2fp = (d- wD •

0.333

o -----,.L,_ --' ' - - -

-•'

1.0

2.0

olo,

FIG. 5.6. Efecto de la carga de diseño de un escalonamiento (lp,¡) en las características simplificadas de actuación fuera de diseño (adaptado de Horlock~).

+ (wf- ef).

(5.24)

Para cualquiera de lps dos triángulos de velocidades (fig. 5.2), la Regla de Cosine da c 2 - U2 + w2 = 2Uw cos (n/2- {3) o

Coeficiente relativo de flujo

•

(5 .23a)

A través de la corona del estator p 0 es constante y, por tanto, p3

•

w2 = U 2

2Uw,.

(5.25)

Sustituyendo la ecuación (5.25) en la expresión del aumento de presión en el escalonamiento, 155

154

•

"'!

2(p3 - p 1 )/p = (U 2

1 •

2Uw, 2 ) - (U 2

•-

' 1

"'-

•

escalonamiento. Este cálculo se repite para cada escalonamiento 1

De nuevo, refiriéndonos al diagrama de velocidades, Wy[ -

Wy2

Cy2 -

C_vl

(p,-,- Pt)fp = U(c,z- e,.)= h3- h •.

nes de salida del mismo encontrar la densidad de entrada al siguiente

2Uw, 1 )

2U(w,.-w,z).

= '

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

comprénsible. A continuación se da un ejemplo ilustrativo. EJEMPLO: Se requiere u~compresor axial d~, varios escalo~~mien

(5.26)

Se observa que, para un proceso isentrópico. Tds = O = dh - (1/ p) dp y. por tanto, dh = (1/p) dp. El aumento de presión en un escalonamiento real (lo que implica

proceso irreversible) se puede determinar si se conoce el rendimiento del escalonamiento. Definiendo el rendimiento del escalonamiento Y!s como la relación del aumento isentrópico de entalpía al aumento real de entalpía correspondiente a la misma variación finita de presión (véase fig. 2.7), éste puede escribirse como

sucesivamente hasta que se satisfacen las condiciones finales requeridas. Sin embargo, para compresores que tienen escalonamientos idénticos es más conveniente recurrir a un sencillo análisis de flujo

tos para comprimir aire a irff K. con una relacwn de compreswn de 5 a 1. Cada escalonamiento ha de ser de reacción del 50 % y velocidad media del álabe de 275 mis, coeficiente de flujo 0,5 y factor de carga del escalonamiento 0,3. que se toman, por simplicidad. como constantes para todos ellos. Determinar los ángulos del flujo y el número de escalonamientos requeridos si el rendimiento del escalonamiento es del 88,8 %. Tómese CP = 1,005 kJ/kg y y = 1,4 para el aife. De la ecuación ( 5 .14a) el factor de carga del escalonamiento se puede escribir como i ,· )

~.=(M,,)/( M)= (i/p)l1p/ó.h.

. .P

Por esta razón,

= </>(tang

tang f3z).

De la ecuación (5.11) el grado de reacción es (ljp)l1p =~.M=~' Ul1c,.

(5 .27) R=

Si c 1 = c3 , entonces 11s es una buena aproximación del rendimiento

total a total Yfn.· Aunque las expresiones anteriores están desarrolladas para flujo incompresible, son, no obstante, una aproximación válida para flujo compresible si el aumento de temperatura (y presión) en el

escalonamiento es pequeño .

Resolviendo para tang tang

/3 1 =

CalCulando ¡31 y

RELACION DE COMPRESION DE UN COMPRESOR DE V ARIOS ESCALONAMIENTOS Es posible aplicar el análisis precedente a la determinación de las

relaciones de compresión de compresores de varios escalonamientos. El procedimiento requiere el cálculo de las variaciones de presión y

temperatura para un escalonamiento único, permitiendo las condicio156

/3 1

T2 (tang /3 /3 1

y tang

/32

(R + 1j!/2)!cp y tang

+ tang f3z).

/32 =

/32

a 2 = 52,45 grados y

/32

;

)

y observando. que para R velocidades es simétrico,

/3 1

(R - 1j!12)!cp.

•

0,5 el diagrama de

a 1 = 35 grados.

Expresando el factor de carga del escalonamiento como 1JI = CP!JT0 JU2 , el aumento de temperatura de parada del escalona-

miento es 157

Termodinámica de las Turbomáquinas

•

Es razonable tomar el rendimiento del escalonamiento como igual al rendimiento politrópico, puesto que el aumento de temperatura en el escalonamiento de un compresor axial es pequeño. Designando las condiciones de entrada y salida del compresor con los subíndices 1 y 11, respectivamente, de la ecuación (2.33) resulta

I:!..To

(p on)" -1)/''' _ Por

1 = 293 [51!3·ll - 1] = 8,86. 22·5

El número adecuado de escalonamientos es por tanto 9.

El rendimiento total se obtiene de la ecuación (2.36). 7Ju =

,, (p ) Por 011

-1)/y

P011

-0111,(1 ' -

'' ' 1

CD = CDp

•

86,3%.

0,8

ESTIMACION DEL RENDIMIENTO DEL ESCALONAMIENTO DE COMPRESOR

En la ecuación (5.9) el trabajo real del escalonamiento se puede obtener del diagrama de velocidades. Las pérdidas de presión total pueden estimarse <\e los resultados obtenidos en ensayos de cascadas. Sin embargo, estos datos son. incorr;pletos, ya q~e tienen .e~ ~ucnta solamente la pérdida por perf1l del alabe. Howell ha s~bd!Vld!do las pérdidas totales en tres categorías, como se mostro en la figura 3.11. (i) Pérdidas por perfil en las superficies del álabe. 158

0.4 0,2

Curva O desoués guiadoras Curva 1 después escalonamiento Curva 2 despúés escalonamiento Curva 3 después escalonamiento Curva 4 después escalonamiento 0,2

•

FtG, 5.7.

0,4

de las del primer del segundo del tercer •

del cuarto

0,6

1,2

1,4

Velocidad ixial - velflcida!! axial meáia

Perfiles-de la velocidad axial en un compresor (Howell 2 ). (Por cortesía de la Institution of Mechanical Engineers).

159

• "

-A. j

utilizando los valores empíricos dados en el Capítulo 3. Aunque el tema de este capítulo versa principalmente sobre flujos bidimensionales, hay un aspecto tridimensional interesante que no puede ignorarse. En compresores axiales de varios escalonamientos las capas límites de las paredes del anillo de paso se hacen rápidamente más gruesas a través de lo·s primeros escalonamientos, y el perfil de velocidad axial se va haciendo más puntiagudo. Este efecto se ilustra en la figura 5,7 según los resultados experimentales

••

+ CD, + CD,

Por

[51/3•'- 1]/[51/3,11- 1]

, ·, -.~~

(5.28)

donde N es el número de escalonamientos requerido. De esta forma T' .1

(ii) Pérdidas por fricción superficial en las paredes del anillo de paso . (iii) Pérdidas «Secundarias» con las que Howell quiso significar todas las pérdidas no incluidas en (i) y (ii). Para estimaciones de la actuación de escalonamientos de compresores y ventiladores axiales, el coeficiente de resistencia global para los álabes de cada corona se obtiene de

"" J. 011 = 1 + N I:!..T.o = (P 011 ) ''-o,,,, ' Toi Tor Poi

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

--· - -

Termodinámica de las Turbomáquinas Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

'·

-•'

de Howell 2 y muestra las curvas de ve!ocidd axial a través de un compresor de cuatro escalonamientos. En la reg:iv0 central del álabe, la velocidad axial es más alta que la velocidad media del flujo. La sección media del álabe (y la mayor parte de la longitud del mismo) realizará, por tanto, menos trabajo del que se estima de los triángulos de velocidades basados en la velocidad axial media. En teoría, se esperarla que las zonas de cabeza y raíz proporcionasen un efecto compensatorio a causa de la baja velocidad axial en estas regiones. Debido al desprendimiento en estas zonas (y fuga de cabeza), no ocurre realmente tal incremento de trabajo, y el resultado neto es que el trabajo realizado por el conjunto del álabe es inferior al de diseño. Howell2 sugirió que el aumento de entalpía de parada a través de un escalonamiento podía expresarse corno

-~~==1~=1-s~r::r~Jr"\J"~ ;;: 2of-Hl -=1 1 -lt-1--t 1-+H +-=i •

(CABEZA) ,§

~E~ ~

h01 = I.U(c, 2

c, 1 ),

--,. o

•O

'§

-o

(5.29)

20 Salida rotor 5 40 -· -escalonamiento 60 "

i71 f1 ~. '.-;-;; ;::_-'~ 0,8(1,0 0,811,0 0,811,010,8 1,0

(RAIZ)100

160

(CABEZA) O

. .

•

1 \.l

/'] 0,8 1,0 0,8 1,0 0,8 1,0 Velocidad axial normalizada, Cz/Czmtx

•

e~calonamiento

o 0,210,410,6

(a) Perfiles de velocidad axial

donde A es un «factor de trabajo realizado». Para compresores de varios escalonamientos Howell recomendó un valor medio de A de 0,86. Utilizando un argumento similar para turbinas axiales, el aumento del trabajo realizado debido al incremento de la velocidad axial en la línea media de paso es prácticamente anulado por la pérdida de trabajo en los extremos del álabe. Por esta razón, para turbinas, no se necesita un «factor de trabajo realizado;.> para corregir los cálculos de las características de funcionamiento. Otros investigadores han sugerido que Á debería ser alto en la entrada (0,96), donde las capas límites de las paredes del anillo de paso son delgadas, reduciéndose progresivamente en los escalonamientos posteriores del compresor (0,85). Howell 6 ha dado «factores de trabajo realizado» medios para compresores con distintos números de escalonamientos, corno se muestra en la figura 5.9. Para un compresor de cuatro escalonamientos el valor de A sería 0,9, que se aplicaría a los cuatro escalonamientos. Más recientemente, Srnith 15 ha comentado el deterioro bastante pronunciado de la actuación del compresor supuesto en el ejemplo dado en la figura 5.7, indicando que las cosas no son tan malas como cabe pensar. Como un ejemplo de práctica moderna dio las distribuciones de velocidad axial a través de un compresor axial de

1-\-

60 Salida rotor,

80 (RAIZ)100

h03

..:::

•

1!.'

Or-

O,LO O, 1 O 0,1 • Temperatura total normalizada (T0 - T0 mínl!T 0 ent

(b) Perfiles de temperatura total.

Medidas obtenidas de un compresor de 12 escalonamientos.

F1G. 5.8.

1,0! o

=•E o =•

0,95

• •

••

•-'"

0,90 '

-•

0,85

Número de escalonamientos en el compresor

Fl<i. 5.9.

Factor de trabajo realizado medio\Howell y Bonham 6 ). (Por cortesía de la Institution of Mechanical Engin~ers).

161

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

doce escalonamientos, figura 5.8(a). Esta ilustra que a pesar de todo ocurren variaciones bruscas en la distribución de velocidades en los primeros escalonamientos, pero que después, el perfil se adapta a una forma prácticamente constante. Este fenómeno se ha denominado

(ii) (iii) (iv) (v) (vi)

' '

¡,

flujo estacionario definitivo. Smith también dio curvas de la variación longitudinal de la temperatura total, figura 5.8(b), que muestran la forma en que las pérdidas aumentan desde la zona media hacia las paredes del anillo de paso. Un examen de esta figura muestra también que el exceso de temperatura total cerca de las paredes extremas aumenta en magnitud y extensión a medida que el flujo atraviesa el compresor. En muchos países se está traba jan do activamente en métodos para predecir capas límites en las paredes del anillo de paso en turbomáquinas y sus efectos en la actuación de las mismas. Aunque bastante más allá del alcance de este texto, pueden ser dignos de mención dos artículos relativamente recientes para estudiantes que deseen profundizar más en sus estudios. Mellor y Balsa 16 presentan un modelo matemático de flujo basado en las ecuaciones del movimiento del flujo turbulento referidas al paso medio para predecir la actuación de un compresor de flujo axial, y Daneshar y otros 17 recopilan y comparan diferentes métodos existentes para predecir el crecimiento de las capas límites de las paredes del anillo en turbomáquinas. El último escalonamiento de un compresor de flujo axial tiene una reacción del 50 % en el puntO de funcionamiento de diseño. En la figura 3.10 se muestran las características de la cascada que corresponden a cada corona en el radio medio del escalonamiento. Estas se aplican a una cascada de álabes de línea de curvatura circular, de relación paso-cuerda 0,9, ángulo de entrada del álabe de 44,5 o y ángulo de salida del álabe de -0,5 °. La relación altura del álabe-cuerda es 2,0 y el factor de trabajo realizado puede tomarse como 0,86 cuando'la incidencia relativa en el radio medio (i-i')lt:' es 0,4 (punto de funcionamiento). Para esta condición de funcionamiento, determinar

La densidad a la entrada del escalonamiento es de 3,5 kg/m 3 y la velocidad en el radio medio del álabe es 242 m/s. Suponiendo que la densidad a través del escalonamiento es constante v• no teniendo en cuenta los efectos de compresibilidad, estímese el aumento de presión del escalonamiento. En la solución dada anteriormente se considera el flujo relativo en el rotor. La notación utilizada para los ángulos del flujo es la misma que la de la figura 5.2. Para los ángulos de los álabes se utiliza, por lo tanto, {J' en vez de a'. lógicamente. (i) La desviación nominal se obtie11e con un.- sencillo cálculo /iterativo utilizando las ecuaciones (3.39) y (3.40a). Con la desviación ¿ 11 =l3í - f32 = 44,5"- (- 0,5") = 45", la relación paso/cuerda sil ·;;· 0,9, entonces

l, '

1ó' = (0,23

162

+ f3'i.l500) 11 _(sil)\

42,6 (0.23 + flj/500) ... (6,, y

Con {fj = O para el primer intento, ó'' = 9,8" y por lo tanto fij = ó' + ¡;; 9,8 - 0,5 ~ 9,3". "Con (3! 9,8" para el segundo inténto, ó' 10,62" y flj 10,12". Con ¡¡¿_ 10,12°, para el tercer intento, ó* 10,7" y flj 10,2° que resulta suficientemente exacto. La dcflcxión nominal E*= 0,8E1míx y, de la figura 3.10 Emáx = 37,5°. De esta forma, E* = 30° y la incidencia nominal es

EJEMPLO:

(i) la incidencia nominal i* y la deflexión nominal e';

los ángulos de entrada y salida del flujo para el rotor; el coeficiente de flujo y el factor de carga del escalonamiento; el coeficiente de sustentación del rotor; el coeficiente global de resistencia de cada corona; el rendimiento del escalonamiento.

= =

í=

= =

[ , e:--·( " \ \ --' --~_.-_:· :;. •-·. (_

i'' ~

f)z +

fJÍ

10.2 + 30 - 44.5 = - 4,3".

(ii) En el punto de funcionamiento i = 0,4e* + i* el úngulo de entrada real del flujo es

1·

fl¡

r,, 1.,_r(\ll ,_,_,, __

-•,'

c-J GO ,,

) ~--

e;-

= 7,7". Por ello,

¡J; + i = 52,2". •

= =

163

•

-- -

~---·

-- --

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional Termodinámica de las Turbomáquinas

1 'G

'1, De la figura 3.10 para i ~ 7,7", la deflexión E~ 37,5" y el ángulo de salida del flujo es

f3z

{l¡ -

De nuevo utilizando la figura 3.10 para i ~ 7,7°, el coeficiente de pérdida de presión total del perfil es L1p 0 /(jpwn ~ 0,032; por tanto, el coeficiente de resistencia del perfil para los álabes de cualquiera de las dos coronas es

14,7".

Cnp ~ 0,9

(iii) De la figura 5.2, U ~ cd (tang a 1 + tang {3 1) ~ c,2 (tang rr2 + tang {32 ). Para ex ~ constante a través del escalonamiento y R ~ 0,5.

(3 1

52,2" y (3 2

CDa '

' y el coeficiente de flujo es =

f¡)

0,644.

.,i '1 '•

El factor de carga del escalonamiento,/ 1JI ~ L1hdU2 ~ J..<j; (tang rr2 tang a 1) utilizando la ecuación (5:29). De esta forma, con J. ~ 0,86,

1JI

0,032

0,7902 3/0,6129 2 ~ 0,038.

Teniendo en cuenta el coeficiente de resistencia de las paredeS del anillo Cna y el coeficiente de resistencia de pérdidas secundarias CDs

14,7°

0,568.

~ 0,02(s/1)(i/H) ~ 0,02 X 0,9 X 0,5 ~ 0,009

'-1 Cu, ~ 0,018CL ~ 0,018 .., 2

1,462 ~ 0,038.

De este modo, el coeficiente global de resistencia., Cv ~ Cop f + CDa + C~~ 0,084 que se aplica a cada corona de álabes. Si el grado de reacción hubiese sido distinto de 0,5, los coeficientes de resistencia para cada corona de álabes se habrían calculado separada~ mente. (vi) El rendimiento total a total del escalonamiento utilizando la ecuación (5.9) se puede escribir como

IÍ

(iv) El coeficiente de sustentación se puede obtener utilizando la ecuación (3.18) / CL = 2(sj/) COS f3m (tang f3r -, tang f3z) ~

- --

:¡

·--

no teniendo en cuenta el pequeño efecto del coeficiente de resistencia. Ahora bien, tang f3m ~ (tang {3 1 + tang {32 )/2. Por tanto, f3m ~ 37 ,8" y así C¡.

•

0,9

0,7902

1,027

Apo)

Cv = ~ ( cos f3m. 1 1 pw 2 cos 2 {3 1 164

donde ~" y ~s son los coeficientes globales de pérdida de presión total para las coronas de rotor y estator, respectivamente. De la ecuación (3. 17)

(lfs)Cv sec 3 am.

{, =

•

1,46 .

(v) Combinando las ecuaciones (3. 7) y (3.17) el coeficiente de resistencia es 3

•

</>

Cv(lfs)

1 '1Jtt = - if; cos 3 am •

0;644 2 X 0,084 = 0, 862 _ 0,568 X 0,7903 3 X 0,9 165

···--

Termodinámica de las Turbomáquinas

.' '

---

•

-~----~

•

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

De la ecuación (5.27), el aumento de presión a través del escalonamiento es

l'>.p

.fpU 2 = 0,862 X 0,568 X 3,5 X 242 2 = 100 kPa. ~"

ESTABILIDAD DE LOS COMPRESORES Un aspecto destacado de un mapa de actuación de un compresor, tal como el de la figura L9, es el límite de funcionamiento estable conocido como línea de bombeo. Este límite se alcanza reduciendo el flujo másico (con una válvula estranguladora) mientras que la velocidad de giro se mantiene constante. Cuando un compresor entra en bombeo, los efectos son por lo general bastante dramáticos. Normalmente, se experimenta un aumento en el nivel de ruido, indicativo de pulsación del flujo de aire y de vibración mecánica. Hay un pequeño número de frecuencias predominantes que se superponen a un alto ruido de fondo. Las frecuencias más bajas están por lo común asociadas, de acuerdo con un tipo Helmholtz de resonancia del flujo a través de la máquina, con los volúmenes de entrada y/o salida. Las frecuencias más altas son consecuencia del' desprendimiento rotativo y son del mismo orden que la velocidad de giro del rotor. El desprendimiento rotativo es un fenómeno del flujo de los compresores axiales que ha sido tema de muchas investigaciones teóricas y experimentales detalladas, aunque el asunto no está aún totalmente resuelto. Emmons y otros 7 hacen un estudio del tema y en la referencia 8 se da uno de sus diversos tratamientos teóricos. En resumen, cuando una corona de álabes (generalmente el rotor) de un compresor alcanza el «punto de desprendimiento», los álabes, en vez de entrar en desprendimiento todos juntos como puede esperarse, lo hacen por pequeñas zonas separadas, las cuales, además, se desplazan alrededor del anillo de paso del compresor (es decir, giran). Que las zonas de de.sprendimiento tengan que propagarse de álabe a álabe tiene una explicación física sencilla. Consideremos que una

:..i ~ji

•'

' '

166 •

FIG. 5.10. Modelo que ilustra el mecanismo de propagaci~n ?e las células de. desprendimiento: bloqueo parcial debido a la ~o na de d.esp.rend:mlento que deflextona el flujo, aumentando la incidencia a la izqmerda y d1smmuyendola a la derecha.

porción de una corona de álabes, como se ilustra en la figura 5.10, está afectada por una zona de desprendimiento. Esta zona tiene que causar una obstrucción parcial al flujo, el cual se desvía a ambos lados ·de ésta. Por ello, la incidencia del flujo en los álabes a la derecha de la célula en desprendimiento se reduce, peio la incidencia a la izq~ierda se aumenta. Como estos álabes están ya próximos al desprendimiento, el efecto neto es que la zona de desprendimiento se mueve hacia la izquierda; el movimiento contipúa por sí mismo. Existe una fuerte razón práctica que justifica el gran interés en el desprendimiento rotativo. Las zonas de desprendimiento que se desplazan alrededor de las coronas de álabes cargan y descargan cada álabe con una frecuencia relacionada con la velocidad y el número de zonas. Esta frecuencia puede ser próxima a una frecuencia natural de vibración del álabe y hay naturalmente una necesidad de predecir con exactitud las condiciones que producen tal vibración. Se han presentado varios casos de averías de álabes debidas a resonancia inducida por desprendimiento r<:>tativo, generalmente, con graves consecuencias para todo el compresor. Es posible distinguir entre el bombeo y el desprendimiento que se propaga por la inestabilidad del flujo másico total o de otra manera. La característica de propagación del desprendimiento es que el flUJO que pasa a través del anillo, tomado sobre el. área. total, es estacionario con el tiempo; las células en desprendimiento umcamente redistribuyen el flujo sobre el anillo. El bombeo, por otra parte,

167

'' '

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

1 ¿; ¿;

Si ahora el punto de funcionamiento está en el punto U, es posible el funcionamiento inestable. Una pequeña reducción del flujo causará una mayor reducción de la relación de compresión del compresor que la correspondiente relación de presiones a través de la válvula. Como consecuencia de la resistencia incrementada de la válvula, el flujo disminuirá aún más y el punto de funcionamiento U es claramente inestable. En conclusión, existe estabilidad neutral cuando las pendientes de las curvas de pérdida de presión en la válvula y la de la curva de aumento de presión del compresor son iguales. Los ensayos realizados en compresores de baja relación de compresión parecen justificar esta explicación de inestabilidad. Sin embargo, para compresores de varios escalonamientos de velocidad de giro alta el argumento anterior no parece suficiente para describir el bombeo. Con velocidades altas parece posible el funcionamiento no estable en curvas de velocidad constantL' de pendiente positiva, y el bombeo parece tener lugar cuando est'a pendiente es cero o incluso un poco negativa. Sólo es posible un entendimiento más completo del bombeo en compresores de varios escalonamientos a partir de un estudio detallado de la actuación individual de los escalonamientos y su interacción entre unos y otros.

\¡

-• -• -

r, '

o o

•

o -o

·¡;

••

Coeficiente de flujo,

-•

;·-

•

-i

FtG. 5.11.

+= Cx/U

,,'

Estabilidad de funcionamiento de un compresor (adaptado de Horlock 5 ).

implica una oscilación axial del flujo másico total, condición altamente perjudicial para el funcionamiento eficiente del compresor. Las condiciones que determinan el punto de bombeo de un compresor todavía no se han determinado por completo satisfactoriamente. Horlock5 da una explicación física de este problema del flujo. La figura 5.11 muestra una curva característica de compresor ( C). la relación de compresión en función del coeficiente de flujo a velocidad de rotor constante. Un segundo grupo de curvas (T 1 , T2 , etcétera) se superponen en esta figura mostrando las características de pérdida de presión en la válvula estranguladora para distintas posiciones determinadas de la misma. La intersección de las curvas T con la curva del compresor C indica los distintos puntos de funcionamiento del conjunto. Existe una condición de estabilidad del · flujo si las curvas de la válvula en el punto de intersección tienen mayor pendiente (positiva) que la curva del compresor. Que esto es así se puede comprobar como sigue. Consideremos el punto de funcionamiento en la intersección de T 2 con C. Si momentáneamente tuviese lugar una reducción pequeña del flujo, el compresor produciría un aumento mayor de presión y la resistencia de la válvula bajaría. El gasto tiene, forzosamente, que aumentar para restaurar el punto de funcionamiento original. Se tiene un argumento similar si el flujo se aumenta temporalmente, a fin de que el flujo sea completamente estable en esta condición de funcionamiento.

VENTILADORES CARENADOS DE FLUJO AXIAL

En esencia, un ventilador de flujo axial es simplemente un compresor de un único escalonamiento de bajo aumento de presión (y temperatura), de forma que gran parte de la teoría anterior de este capítulo es válida para este tipo de máquina. Sin embargo. a causa de la alta relación paso-cuerda utilizada en muchos ventiladores axiales, se emplea a menudo una aproximación teórica simplificada basada en la teoría del perfil aerodinámico aislado. Este método puede ser de utilidad en el diseño de ventiladores (generalmente de alta relación paso-cuerda) en los que la interferencia aerodinámica entre álabes adyacentes se puede suponer despreciable. Se ha intentado extender el alcance de la teoría del perfil aerodinámico aislado a álabes no tan separados introduciendo un factor de interferencia; por ejemplo, la

169

168

Termodinámica de las Turhomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

80° Angula de calado

75'

•

w, Paletas guiadoras de entrada

1.4

•O

Presión estática P,

60'

i.2

P, =P~

1. o

'•

45'

:ro·

o ·o

Alabe del rotor

il'

1,O

1,5

2,0

2,5

Alabe del rotor

w, FJG. 5.12. Resultados de Weinig para la relación de sustenta<;ión de una cascada de paletas planas delgadas, mostrando su dependencia del ángulo de calado y de la relación paso/cuerda (adaptado de Wislicenusw).

relación k entre la fuerza de sustentación de un álabe único e~ una cascada y la fuerza de sustentación de un álabe único aislado. Los resultados obtenidos por Weinig9 y utilizados por Wislicenus 10 para una corona de paletas planas de poco espesor son válidos como una guía para estimar el grado de esta interferencia y se muestran en la figura 5.12, la cual ilustra la dependencia de k de la relación paso-cuerda para diversos ángulos de calado. Obsérvese el efecto bastante pronunciado del calado para relaciones paso-cuerda moderadas, así como la convergencia asintótica de k hacia la unidad para relaciones paso~cuerda más altas. En la figura 5.13 se muestran dos tipos sencillos de ventiladores de flujo axial en los que los flujos de entrada y salida son completamente axiales. En el .primer tipo (a), un conjunto de paletas guiadoras proporciona una contrarrotación, y el flujo es restaurado a la dirección axial por el rotor. En el segundo tipo (b), el rotor comunica un giro en la dirección del movimiento del álabe, y el flujo vuelve a la dirección axial por la acción de enderezado res. de salida (o paletas guiadoras de salida). Van Nieker 11 ha investigado la teoría y diseno

Relación paso/cuerda

170

., 0,5

Presión estática

Paletas enderezado ras de salida

(a) Ventilador con paletas guiadoras de entrada

FrG. 5.13.

(b) Ventilador con paletas de guiado en la salida

Dos tipo~ simples de ventiladores de flujo axial~ sus diagramas de velocidades asociadas (según Van Niekerk 1 ).

de los dos tipos anteriores de ventiladores, y logró formular expresiones para calcular los tamafios y las velocidades óptimos del ventilador utilizando la teoría del elemento de álabe. •

TEORIA DEL ELEMENTO DE ALABE

Un elemento de álabe para un radio dado se puede definir como un perfil aerodinámico de altura tan pequeña como se quiera. En la teoría .de diseño de ventiladores se supone generalmente que cada uno de tales elementos opera como un perfil aerodinámico tridimen171

-..

•

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

sional, ·comportándose con completa independencia de las condiciones para cualquier otro radio. Las fuerzas ejercidas sobre el fluido por unidad de altura de un álabe único estacionario se consideraron ya con algún detalle en el Capítulo 3. Considerando un elemento de un álabe de rotor dr, para un radio r, las fuerzas axial y tangencial elementales dX y dY, respectivamente, ejercidas sobre el fluido son, refiriéndonos a la figura 3.5,

= (L sen f3m - D cos f3m)dr, dY = (L cos f3m + D sen f3m)dr, dX

Ahora bien. el traba jo dado por el rotor por unidad de tiempo es igual al producto del aumento de entalpía de parada por el gasto másico; para un anillo elemental de área 2mdr (5.34) donde Q es la velocidad angular del rotor y el elemento de flujo másico dm = pc,2nrdr. Sustituyendo la ecuación (5.33) en la (5.34) entonces,

(530)

(5.31)

(5.35)

donde tang f3m = tang {3 1 + tang {32 ) y L, D son la sustentación y resistencia por unidad de altura del álabe. Haciendo tang y= DIL = Cv!CL se tiene,

L( sen f3m - tang y cos f3m)dr.

Introduciendo el coeficiente de sustentación C 1_ = Ll(t pw;,t) para el álabe de rotor [véase ecuación (3.16a)] en la expresión anterior y reordenando, dX = pc;tcLdr .sen(f3m- y) 2 cos 2 f3m cos y '

(5.32)

donde e,. = wm cosf3m· El par ejercido por un elemento de álabe para el radio res rdY. Si hay Z álabes, el par elemental es

dr = rZdY =

rZL( cos

!lm + tang y

ZdX = (p 2

p 1 )2rrrdr.

Utilizando la ecuación (5.32) y reordenando,

e pci; /seni(/lm P 2 - PtL ·-

y) 2 scos 2 /lmcosy

(5.36)

Observemos que, hasta ahora, todas las expresiones anteriores son aplicables a ambos tipos de ventilador mostrados en la figura 5.13.

sen f3m)dr,

habiendo utilizado la ecuación (5.31). Sustituyendo por L y reordenando, dr = pc;tzCLrdr .cos(,Bm-r). 2 cos 2 .Bm cos y

dondes = 2m!Z. Ahora bien, el aumento de temperatura estática es igual al aumento de temperatura de parada cuando la velocidad es invariable a lo largo del ventilador; de ]:¡echo. éste es el caso de ambos tipos de ventilador mostrados en la figura 5 .13. El incremento de presión estática de todo el fluido que atraviesa la corona del rotor puede obtenerse igualando la fuerza axial total de todos los elementos de álabe para radio r, con el producto del aumento de presión estática y el área elemental 2.nrdr, o

(5.33)

172

RENDIMIENTO DEL ELEMENTO DE ALABE

Consideremos el tipo de ventilador mostrado en la figura 5.13a equipado con paletas guiadoras en la entrada. El aumento de presión

173 '

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~---~

"'---------·-

•

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

Termodinámica de las Turbomáquinas

(p.- p,)f(p2- p,) 7 (tpc¡,)j(pUc,,) = c,,/2(U),

a través de este ventilador es igual al aumento de presión en el rotor (p 2 - p 1) menos la caída de presión a través de las paletas guiadoras (p,.- p 1). El aumento de presión ideal a través del ventilador viene dado por el producto de la densidad y c1,;1 T. Los diseñadores de ventiladores definen un rendimiento del elemento de álabe. 'l• = {(p, - p,) - (p, - p 1)} /(pC,D.T).

siendo la velocidad tangencial c,. 1 bastante pequeña comparada coh la velocidad del álabe U.

• COEFICIENTE

DE SUSTENTACION DE UN PERFIL AERODINAMICO DE UN VENTILADOR

(5.37)

La caída de presión estática a través de las paletas guiadoras, suponiendo por simplicidad flujo sin fricción, es p,- p, =

iPCci- ci) =!pe¡,.

Para una geometría de un elemento de álabe, una velocidad del álabe y una relación sustentación/resistencia determinadas, los aumentos de temperatura y presión se pueden determinar si se conoce el coeficiente de sustentación. Una estimación del coeficiente de sustentación se obtiene más fácilmente de la teoría del flujo potencial en un perfil aerodinámico bidimensional. Glauert 12 demuestra, para perfiles aerodinámicos ai~lados de curvatura y espesor - que pequenos,

(5.38)

Ahora bien, puesto que la variación de velocidad tangencial a través del rotor es igual y opuesta a la producida por las paletas guiadoras, el trabajo por unidad de flujo másico, CPi'lTes igual a Uc, 1 • Por ello, el segundo término de la ecuación (5.37) es ·. (p, - p,)f(pC,D.T) = c,,f(2U).

(5.39) \ - - - Línea de sustentación cero

Combinando las ecuaciones (5.35), (5.36) y (5.39) con la ecuación (5. 37), entonces

• Línea de curvatura

'lh

= (cJU)tang(fJm -

y) + cy 1/(2U).

(5.40a)

El ejercicio anterior se puede repetir para el segundo tipo de ventilador que tiene paletas enderezadoras a la salida, y. suponiendo flujo sin fricción a través de los «enderezadores». el rendimiento del elemento de álabe de rotor será 'lb

= (cx/U)tang(fJm -

y) + C.¡I(2U).

•

Línea de sustentación cero

(S .40b)

Se encuentra alguna justificación para no tener en cuenta las pérdidas que ocurren en las paletas guiadoras, observando que la relacióÍl de la variación de presión en las paletas guiadoras al aumento de presión en el rotor es generalmente pequeña en ventiladores. Por ejemplo, en el primer tipo de ventilador

174

(a)

\ (b)

FIG. 5.14.

Método sugerido por Wislicenus 10 para obtener la línea de sustentación cero de perfiles aerodinámicos curvados.

175

Termodinámica de las Turbomáquinas

= 2n sen

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

(5.41)

donde X es el ángulo formado por la dirección del flujo y la línea de sustentación cero del perfil aerodinámico. Para un perfil aerodinámico curvado, aislado, Wislicenus 10 sugirió que la línea de sustentación cero se puede obtener uniendo la punta del borde posterior con el punto de máxima curvatura, como se representa en la figura 5.14a. Para álabes de ventilador que experimentan algunos efectos de interferencia de los álabes adyacentes, el coeficiente de sustentación modificado de un álabe puede estimarse suponiendo que los resultados de Weinig para paletas planas (fig. 5.12) son válidos para los álabes de espesor finito levemente curvados, y CL

·• $

••

,,•

= 2n;k sen

(5.4Ia)

Cuando los álabes se solapan parcialmente (como puede suceder en secciones cercanas a la raíz), Wislicenus sugirió que la línea de sustentación cero se puede ob!éner uniendo la punta del borde posterior con el punto de máxima curvatura de aquella porción de álabe que no está solapada (fig. 5.14b). 13 Wallis discute con bastante detalle la ampliación de la teoría del elemento de álabe y los datos de la cascada para el diseño de ventiladores completos. REFERENCIAS

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i !

..1

'•

..''

PROBLEMAS Nota: En los problemas 1 a 4 supóngase que la constante del gas R = 287J/

(kg "C) y que

1,4.

't. Se necesita un compresor de flujo axial para suministrar 50 kg/s de aire a una presión de parada de 500 kPa. A la entrada del primer escalonamiento la presión de' parada es de 100 kPa y la temperatura de parada de 23 uc. Los diámetros de raíz y cabeza en esta sección son 0,436 m y 0,728 m. En el radio medio, que es constante a través de todos los escalonamientos del compresor, la reacción es 0,50, y el ángulo absoluto del aire a la salida del estator es 28,8" para todos los escalonamientos. La velocidad del rotor es de 8000 rev/min. Determinar el número de escalonamientos similares necesarios suponiendo que el rendimiento politrópico es de 0,89 y que la velocidad axial en el radio medio es constante a lo largo de los escalonamientos e igual a 1,05 veces la velocidad axial media. 2. Obtener una expresión para el grado de reacción de un escalonamiento de compresor axial en función de los ángulos del flujo relativos al rotor y del coeficiente de flujo. Datos obtenidos en primitivos ensayos de cascadas sugirieron que el límite de funcionamiento eficiente de un escalonamiento de un compresor axial tenía lugar cuando

(i) se alcanza un número de Mach relativo en el rotor de 0,7; (ii) el coeficiente de flujo es 0,5; /:Y .i' (iii) el ángulo relativo del flujo a la salida del rotor es de 30° medidos respecto a la dirección axial; ·(iv) la reacción del escalonamiento es del 50%. Encontrar el aumento límite de -temperatura de parada que se obtendría en el primer escalonamiento de un compresor axial trabajando bajo las COQdiciones

176

177

•

.....,_________--.....:•:..____________ " - ' - - - - - - - - - - - - - · '

··----

•

' '

Termodinámica de las Turbomáquinas

Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial: Análisis bidimensional

anteriores y comprimiendo aire con una temperatura de parada en la entrada de 298 K. Supóngase que la velocidad axial es constante a través del escalonamiento. 3. Cada escalonamiento de un compresor de flujo axial es de reacción 0,5, tiene la misma velocidad media del álabe y el mismo ángulo de salida del flujo de 130 grados relativo a los álabes. El coeficiente de flujo medio es 0,5, constante para todos los escalppamientos. A.la entrada d~L 1 primer escalonamiento la t~peratu ra de parada es 278 K, la presión de parada ]01 ,3 kPa, la presión estáticá 87,3 kPa y el área del flujo 0,372 m2 • Utilizando el análisis de flujo compresible determinar la velocidad axial y el gasto. Determinar también la potencia necesaria en el eje para accionar el compresor cuando hay 6 escalonamientos y el rendimiento mecánico es de 0,99. 4. Se pretende que un compresor de flujo axial de dieciséis escalonamientos tenga una relación de compresión de 6,3. Los ensayos han demostrado que se puede obtener un rendimiento total a total de 0,9 para cada uno de los seis primeros escalonamientos y de 0,89 para cada uno de los diez escalonamientos restantes. Suponiendo que el trabajo realizado por cada escalonamiento es constante y los escalonamientos similares, encontrar el rendimiento total a total global del compresor. Para un gasto de 40 kg/s determinar la potencia requerida por el compresor. Supóngase una temperatura total de entrada de 288 K. .' .5. En unas condiciones particulares de funcionamiento un compresor de flujo axial tiene una reacd.Qn. de. 0,6, un (::Qefi~jen_te eJ-e flujo de 0_,5 y una carga del escalonamiento definida C9J_no _4h 0 ./l,P ~e 0,3?. Si puede suponerse que los ángulos de salida del flujo para cada corona de álabes se mantienen invariables cuando se estrangula el flujo másico, determinar la reacción del escalonamiento y la carga del mismo cuando el flujo de aire se reduce un 10 %a velocidad del álabe constante. Representar los triángulos de velocidades para las dos condiciones. Comentar el comportamiento probable del flujo cuando se hacen reducciones ·, ·. (" ,. - ~-, adicionales en el gasto de aire. 6. El diseño propuesto de una ccliona de álabes de rotor de un compresor es de 59 álabes con una línea de curvatura en arco de círculo. ,.,En el radio medio de 0,254 m los álabes están especificados con Qna curvatura dé' 30°, un calado de 40° ,. y una cuerda de 30 mm. Determinar, utilizando el método de correlación de Howetl, el ángulo nominal de salida, la desviación nominal y el ángulo nominal de entrada. Se puede utilizar la diferencia de tangentes aproximada propuesta por Howell para condiciones nominales (O ~ Wz ~ 40°):

Aumento de temperatura de parada Grado de reacción Coeficiente de flujo Velocidad del álabe

25 oc 0,6 0,5

275 mis

El gas comprimido es aire con un calm__espedfico a presión constante de 1 005 _kJ/(kg "~). Suponiendo la velocidad axial constante a través del escalonamien,to y las v:elo<:_1~9es absolutas a la entrada y, a la salida iguales_. determinar los ángulos relativos del flujo en el rotor. Limitac.iones físicas ~ara este compresor obligan a que la relaci_9n __ p_as~1}c_u_erda ~ea _la_umdad.e~l el d1ámetro medio_. Utilizando el método de c_on:clació_n _de How.ell, ?etenmnar una curvatura idónea en !a altura media de !Üs álab-es del r?tor sa~Iendo que el ángulo de ii~cidencia es cero. Utilizar la aproximación de la d1ferencm de tangentes

tang {l 1''- tang fl/

1,55i( 1+ 1,5 sil)

para ~~ndicion~s nominales y los datos de la figura 3.17 para encontrar la def!exwn de d1seño. (Indicación: Ensayar diferentes valores de fJ para completar la .solución.) •

l •

tang a 1 *- tang a 2* = 1,55/(1 + 1,5 s/l).

Determinar el coeficiente nominal de sustentación sabiendo que el coeficiente de resistencia del álabe es Cn = 0,017. Utilizando los datos para deflexión relativa dados en la figura 3.17 determinar el ángulo de salida del flujo y el coeficiente de sustentación cuando la incidencia es. i = 1,8°. Supóngase que el coeficiente de resistencia se mantiene invariable e'n el valor anterior. 7. El diseño preliminar de un compresor de flujo aXial se basará en una consideración simplificada de las condiciones en el diámetro medio. Supóngase que las características de un escalonamiento con un diseño tal son las siguientes:

' cr

178

' '

)

1 1

179

1' '1

CAPITULO 6

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Costó mucho trabajo y muchos días perfeccionar todas estas cosas. (DEFOE,

Robinson Crusoe.)

)

En los Capítulos 4 y 5 el movimiento del fluido a través de las coronas de álabes de las turbomáquinas _axiales se supuso bidimensional en el sentido de que las velocidades radiales (es decir, en la dirección de la altura del álabe) no existían. Esta_suposición no es ir~acional para turQo_m__áqu_inas axial~_s c!_e_ alt~ rel<;i~~Óf!_ !"!_!z:::g_ªp_e_za. Sin embarg9. con rela~ion_~s rªíz-cªbeza meno~es qlle, ªprQ_xj_tn(l_damente, 4/5, las velocidades radiales a través de la corona de álabes ¡)'iieden llegar a ser apreciables, afectando gravemente al perfil de la velocidad de salida (y a la distribución de los ángulos del flujo) la consecuente redistribución del flujo másico (con respecto al radio). El responsable de estos flujos radiales es el desequilibrio transitorio entre los acusados esfuerzos centrífugos ejercidos sobre el fluido y las presiones radiales que restauran el equilibrio. Por tanto, para un observador que viaja con una partícula de fluido, el movimierito radial continuará hasta que se transporte . (radialmente) suficiente fluido para cambiar la distribución de presiones hasta alcanzar la necesaria para el equilibrio. El flujo en un conducto anular en el que no existe componente radial de velocidad, cuyas líneas de corriente se sitúan en superficies cilíndricas o circulares y que es simétrico respecto del eje, se conoce comúnmente como flujo en equilibrio radial. El análisis llamado método del equilibrio radial, ampliamente utilizado para cálculos de diseño tridimensional en compresores y

1¡ 1

181

--····

-- - - - -

. .

Termodinámica de las Turbomáquinas

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

) '1

alrededor del mismo con velocidad tangencial c6 para un radio r. El elemento está en equilibrio radial de forma que las fuerzas de presión equilibran las fuerzas centrífugas;

Carcasa

Tambor

Uneas de corriente

--·--

Flujo en equilibrio radial a través de una corona de álabes de rotor.

tQrbinas axiales, se basa en el supuesto de que cualquier flujo radial que pueda existir, se acaba dentro de la corona de álabes, permaneciendo en equilibrio radial el flujo fuera de la corona. La figura 6.1 ilustra la naturaleza de este supuesto. El otro supuesto de que el flujo es simétrico respecto del eje implica que la influencia de los álabes discretos no se transmite al fluido.

= dmdfr.

Poniendo dm = prdfidr y despreciando términos diferenciales de segundo orden, la ecuación anterior se reduce a

Eje

FJG. 6.1

+ dp)(r + dr)dO- prdO- (p + fdp)drdO

d ----. p dr r 1 dp-

(6.1)

Si la velocidad tangencial c6 y la densidad son funciones conocidas del radio, la variación radial de presión a lo largo de la longitud del álabe puede determinarse, cahez"

(6.2a)

Pcabeza- Praiz

TEORIA DEL EQUILIBRIO RADIAL

raíz

Consideremos un pequeño elemento de fluido de masa dm, mostrado en la figura 6.2, de profundidad unidad y cuyas caras laterales, que pasan por el eje, forman un ángulo dfl, que gira

Para un fluido incompresible cabeza

cabeza -

P r•iz

Masa/unidad de profundidad = prdedr

h0 = h

_..:,~ \f d8

-b-+·-

f e,-,.

La entalpía de parada se escribe (con e,.

,.VI' ~.-\"~ --:--,, '*• '

(6.2b)

'"iz

Velocidad = Ce

+ t(e;

O) como (6.3)

+e~)

Por tanto, l. ' •

dh 0 = dh dr dr

+ e, de, + e, de,, dr

(6.4)

•

FIG. 6.2.

Elemento de fluido en equilibrio radial (e, = O). 1

182

La relación termodinámica Tds igualmente como

dh - (1/p)dp puede escribirse 183

Termodinámica de las Turbomáquinas

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Tds_dh_1dp dr-dr

•i

v;¡riación de la velocidad axial. o {ii) el problema directo en el gue se conoce la distribución del ángulo del flujo y se determinan las velocidades axial y tangendal.

( 6. 5)

"Pctr

Combinando las ecuaciones (6.1), (6.4) y (6.5), para eliminar dpldr y dh!dr, se puede obtener la ecuación del equilibrio radial, EL PROBLEMA INDIRECTO dh 0 dr

T~ =e, de,+ e, '!,(re,).

rdr

(6.6) l. Flujo de torbellino libre

,,~~

•

-"! --

:;; ;

Si la entalpía de parada h 0 y la entropía s permanecen constantes para todos los radios, dh 11 ldr = ds!dr = O, la ecuación (6.6) se transforma en .

)

;,;,--g

,. .. . '

de, Cx dr

e, d ( ) + -- rc 8 = 0.. rdr

(6.6a)

·-

La_ ewaciórc (6.6a) será válida para el flujo entre las coronas de una turbomáquina (ideal) aaiabática reversible en la cual Tas coronas del rotor suministren o reciban igual trabajo para cualquier radio. A_hora bien, si el flujo es incompresible, -en vez de la ecuación (6.3) se utiliza Po = p + fp(c; + e~) para obtener '

~ dp 0 pdr

~ ~ +e, de,+ e, de,, pdr

Es éste un flujo en el gue el producto del radio por la velocidad tangencial permanece constante (es decir [i•c~una constante). El término «libre de torbellino» pOdía ser más apropiado, ya que la verticidad (para ser exactos queremos decir la componente axial de vorticidad) es entonces cero. Consideremos un elemento de un. fluido no viscoso que gira alrededor de un eje fijo, como se indica en la figura 6.3. La circulación r se define como la integral curvilínea de la velocidad alrededor de una curva que encierra un área A, o[_ §cds. La vorticidad en un punto se define como el valor límite de la circulación <51 dividida por el área DA, cuando DA tiende a cero. De este modo la vorticidad, w = dT/dA. Para el elemento mostrado en la figura 6.3, e, = O y

( 6. 7)

Combinando las ecuaciones (6.1) y (6.7). entonces

. ~ dp0 = e, de, pdr dr

+ ~ ~ (re,). rdr

(6.8)

La ecuación (6.8) se reduce claramente a la ecuación (6.6a) en una turbomáquina en la cual se suministra igual trabajo para cualquier radio y las pérdidas de presión total a través de una corona son uniformes con el radio. La ecuación (6.(¡a)_se puede aplicar a las dosclases de problemas siguíentes: (i) el problema de éfíseño (o indirecto)· en el cual se especifica la distribución de velocidad tangencial y se obtiene la ··- . --

184

- -

r Hr

.. '•

FJG. 6.3.

Circulación alrededor del elemento de fluido.

185

Termodinámica de las Turbomáquinas

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

+ dr)d8- c 0 rd8

dF =(e,+ dc,)(r = (de,

+~ r

Para un escalonamiento normal (a· 1 = CY_1 ) con e,. constante a lo largo del escalonamiento, el grado de reacción se demostró que era

rd8dr

despreciando el producto de los términos pequeños. De este modo. w = drldA = (1/r)d(rc 8 )/dr. Si la vorticidad es cero, d(rc 8 )/dr es también cero y, por tanto, re& es constante con el radio. Poniendo rc 8 = constante en la ecuación (6.6a), dcxldr = O y así ex= constante. Esta información se puede aplicar al flujo incompresible a través de un escalonamiento de compresor o turbina con torbellino libre, permitiendo obtener la variación radial de ángulos del flujo, grado de reacción y trabajo. Escalonamiento de compresor. Consideramos el caso de un escalonaffiiento de compresor en que rC 111 = K 1 antes del rotor y rc82 = K 2 después del rotor, donde K 1 y K 2 son constantes. El trabajo en el rotor por unidad de masa de fluido es ·1 /llW = U(c 02

---

c, 1)

. = Or(Kzfr- K¡jr) i '

----- ---.

-·--

constante.

De este modo, el trabajo realizado es igual para cualquier radio. Los ángulos relativos del !lujo (véase fig. 5.2) que entra y sale del rotor son tang (3 1 = tang (32 =

u - c.

tang al=

Qr- K,jr ' Cx

tang

ct'2

Or- Kzfr

en donde cx 1 = Cxz = ex para flujo incompresible. En el Capítulo 5, el grado de reacción en un compresor axial se define por incremento de entalpía estática en el roto! R= incremento de entalpía estática en el escalonamiento

; (tang {3 1 + tang (32 ).

(5.11)

sustituyendo los valores de tang (3 1 y tang (32 en la ecuación (5.11), el grado de reacción será

R = 1

k .

-, r2

(6. 9)

donde

= (K1

+ K 2 )/(2Q).

Quedará claro que como k es positivo, el grado de reacción aumenta de raíz a cabeza. Asimismo, en la ecuación (6.1) observamos que, como d!r es siempre positivo (exceptuando cH=O), la_esesi(m__estática crece de ~aíz a ca.bez~. Para el flujo de torbellino libre: fCtc __K 1 la variación de presión estática resulta obviamente pi p = constanteK/(2?) al integrar la ecuación (6.1). Un escalonamiento de un compresor de flujo axial se diseña para dar distribuciones de v~lo~idades t;mgenciales de torbellino libre. antes y después de la corona de álabes del rotor _para cualquier radio. El diámetro de álbeza es constante y vale LO m; el diámetro de raíz es de 0,9 m y constante para el escalonamiento. Los ángulos del flujo en la cabeza del rotor son los siguientes: EJEMPLO:

Angula absoluto de entrada, ct'J = 30°. Angula relativo de entrada, {3¡ = 60°. Angula absoluto de salida. az = 60°. Angula relativo de salida, (3, = 30°, Determinar, (i) la velocidad axial; (ii) el gasto másico; •

186

187

- - - - - - ---

- --------~

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales Termodinámica de las Turbomáquinas

En la salida de la cabeza del rotor.

(iii) la potencia absorbida por el escalonamiento: (iv) los ángulos del flujo en la raíz; ' · , (v) el grado de reacción del escalonamiento en la ra1z

c82 ,

el escalonamiento. Puede suponerse además que la entalpía de parada y la entropía son constantes antes y después de la corona del rotor a fin de simplificar los cálculos.

Teniendo en cuenta el diagrama de velocidades para el escalonamiento (por ejemplo, fig. 5.2), la velocidad de cabeza del álabe es 1

i U,=

---

-"·t·

c,(tang 60" + tang 30")

'._

-·---------·--·-

----·----------

f- cxhi3+1/.J3).

tang a 1

= (ii) El flujo mastco,/t'n \____

=rr(0.5 2

JT ( f21 ... .

235.6 mfs.

tang

fl1

tang a 2

tang flz

= 0.642, = 1.436, = 1.928, =0.152.

= Cm/Cx = 87 3/136 = U,fcx- tang al =Cm/e,= 262/136 = U,fc,-tang a,

De este modo, a 1 = 32.75°,

fl 1 =

55.15', a 2 = 62,6°,

fl1 =

8,64°

en la raíz.

(v) El grado de reacción en la raíz puede calcularse por varios métodos. Con la ecuación (6.9). j

¡ R = 1- k/r

Por tanto ex= 136 m/s, que es constante para cualquier radio por la ecuación (6.6a). ' i

= 136 X y'j=

<Yz

Por tanto, c 62 , = c.,(r,jr,) = 235.6XO 5/0.45 = 262m/s. Los ángulos de flujo en la raíz son

sabiendo que la velocidad de giro del rotor es de 6000 rpm y la densidad del gas es de 1.5 kg/m 3 que puede suponerse constante para

(i) La velocidad de giro, Q = 2nN/6ll = 628,4 rad/s. Por tanto la velocidad de cabeza del álabe, U, = Qr, = 314,2 m/s y la velocidad en la raíz, U, = Qr" = 282,5 mis.

= c,tang

.. . .. 1·

Y observando que, de la simetría de los triángulos de velocidades,

rí;") PCx .. . .....

R = 0,5 para

0.45 2 )1.5 X 136 = 30.4 kg/s.

r,, entonces

k = 0,5

r,Z.

por tanto, R, = 1-05 (05/0.45) 2 = 0.382. (iii) La potencia absorbida por el escalonamiento.

w, •

mu, (c.,-c",) =m U, e, (tang <Y2 ,-tang =

<Y u)

= 30.4x314.2x !36{VJ-1/.J3) = l.SMW.

(iv) En la entrada de la cabeza del rotor. cBlt

=ex tang <Y¡ = 136/v'J= 78.6 mfs.

El flujo absoluto es un torbellino libre, rc 6 = constante. Por tanto c91h = c 91 ,(r,fr,).

78.6x0.5/0.45 = 87.3 m/s.

Los triángulos de velocidades serán asimétricos y similares a los de la figura S .4(b). La simplicidad del flujo bajo condiciones de torbellino libre es, a primera vista. muy atractiva para el diseñador y se han diseñado muchos compresores de acuerdo con este flujo. (Para una relación de los métodos de diseño primitivos ingleses se puede consultar

Constan t. 1.2) La figura 6.4 ilustra la variación de los ángulos del fluido y de los números de Mach de un escalonamiento típico de compresor diseñado para flujo de torbellino libre. Las grandes deflexiones del fluido cerca de la pared interior y los números de Mach altos cerca de la pared exterior son característicos de este flujo, siendo ambos efectos perjudiciales para un funcionamiento eficiente.

189

188

--,.

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáquinas ill

=•

= o

Con la ecuación (6.6a)

•

=o =•o

y después de integrar,

~·

o e

= "'

e;, = constante -

0·1

2K~?.

(6.10)

Después del rotor ce 2 = K 2 r y ho2 - h 01 = U( ce, - ce,) = Q(K, K,)?. De este modo, como la distribución del trabajo no es uniforme, se requiere la ecuación del equilibrio radial en la forma de la ecuación (6.6) para el flujo después del rotor•

0.7

dhoz = 2!1'l(K, - K,)r =

(e;, dr 2

+ K 2 ~ (K2 r 2 ). dr

Después de reordenar e integrar Relaciót1 de radios, r/r1

Gz = constante

FIG. 6.4. Variación de los ángulos de fluido y de los números de Mach de un escalonamiento de compresor de torbellino libre con el radio (adaptado de Howell Ref. 2 del capítulo 5). '

Una seria desventaja adicional es la gran torsión del rotor de raíz a cabeza que encarece la fabricación del álabe. Se han propuesto m ueh os tipos de diseños de torbellino para salvar algunas de las desventajas planteadas por el diseño de torbellino libre, y Horlock 3 hac·e una comparación entre varios de éstos. A continuación se dan las soluciones del equilibriO radial para las distribuciones del trabajo y de la velocidad axial de alguno de estos flujos de torbellino en un escalonamiento de compresor axial. 2. Torbellino forzado

A veces se llama rotación de «Cuerpo sólido» porque ce varía directamente con r. En la entrada del rotor se supone que h01 es constante y c81 = K 1r.

190

2 [Ki- O(K2

K1 )]r 2 •

(6.11)

Las constantes de integración en las ecuaciones (6.10) y (6.11) pueden calcularse de la ecuación de continuidad, es decir, •

m•

2wp

Cx 1rdr

cx 2 rdr,

(6.12)

'• que· se aplica al flujo supuesto incompresible. 3. Distribución general de torbellino

La distribución de velocidad tangencial viene dada por

= ar" c 02 = ar"+

c 01

blr blr

(antes del rotor) (después del rotor)

(6.13a) (6.13b) 191

Termodinámica de las Turbomáquinas

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

La distribución del trabajo para cualquier valor del exponente n es constante con el radio a fin de que, si h 01 es constante, h 02 sea también constante con el radio. De las ecuaciones (6.13) ---

t. W

Suponiendo la entalpía de parada constante a la entrada del escalonamiento e integrando la ecuación (6.6a), las distribuciones de velocidad axial antes y después del rotor son

hoz - h0 , = U( coz - c 91 ) = 2bQ . . )

(6.14)

Seleccionando diferentes valores de n obtenemos varias de las distribuciones de velocidad tangencial corrientemente utilizadas en diseño de compresores. Con _n_- _0, o _alabeado. .. de. potencia-cero, conduce al tipo de diseño de escalonamiento llamado «exponencial» (incluido como un ejercicio al final de este capítulo). Con n = 1, o alabeado de primera potencia, el diseño del escalonamiento se llama de «reacción const_~J~.» (incorrectamente,_ como se verá más tarde). Dise1to Te-esCalonamiento de primera potencia. Para un aumento de temperatura dado en el escalonamiento, la discusión del Capítulo 5 sugeriría la elección de reacción del 50 % para cualquier radio a fin de obtener el más alto ren<;limiento del escalonamiento. Con las distribuciones de velocidades tangenciales

c91

= ar- bjr,

Coz = ar

+ bjr ''

ex (tang a 1 + tang cYz),

. .

.. .

. .. .

(6.18b)

Cxz z -Az -

ear n -

1 r z b - - log - -

1 (' 2 r,

(6.19a)

b z log (') - , ar, rz

(6.19b)

arz

2 r,

;,)

en donde U, = Qr, es la velocidad del álabe en la cabeza. Las constantes A 1 y A 2 no son totalmente arbitrarias, ya que tiene que satisfacerse la ecuación de continuidad, ecuación (6.12).

(6.15)

Como ejemplo consideremos un único escalonamiento de un compresor de aire de flujo axial de relación raíz/cabeza de 0,4 con un grado de reacción nominalmente constante del 50 % [es decir, de acuerdo con la ecuación (6.17)]. Suponiendo flujo incompresible y no viscoso, una velocidad del álabe en la cabeza de 300 mis, de diámetro de cabeza de 0,6 m y un aumento de temperatura de parada de 16,1 "C. determinar los valores de la velocidad axial según el equilibrio radial antes y después del rotor. La velocidad axial aguas-arriba lejos del rotor en la carcasa es de 120 mis. Tómese C" para el aire como 1,005 kJ/(kg "C). Las constantes en la ecuación (6.19) se pueden determinar fácilmente. De la ecuación (6.17) EJEMPLO.

(6.16)

/ R = 1 -ajO = constante./

e;, =constante- 4a(iarz + b.log r).

z Cxl =A,U,

entonces, utilizando la ecuación (6 .15), 1 .. .

(6.18a)

Estas expresiones se pueden escribir, más convenientemente, en forma adimensional como,

antes y después del rotor, respectivamente; y volviendo a escribir la expresión del grado de reacción, ecuación (5.11) como R= 1-

e;, =constante- 4a(larZ - b.log r),

(6.17)

'·----·

En la ecuación (6.16) está implícita la suposición de que la velocidad axial en el rotor permanece constante lo cual, naturalmen~ te, es equivalente a no tener en cuenta el equilibrio radial. La velocidad axial ha de variar al cruzar la corona del rotor, de modo que la ecuación (6.17) es solamente una tosca aproximación; en el mejor de los casos, como se verá a continuación. .

2ajQ =2(1 - R) = 1.0.

Combinando las ecuaciones (6.14) y (6.17)

•

192

193

)

Termodinámica de las Turbomáquinas

ar,'

•

llW 2!:! 2 (1 - R)r,'

1005 X 16.1 = OJ 8 . 300 2

C,.L1T0 2U,'(1 - R)

La distribución de velocidad axial a la entrada está completamente determinada y la constante A 1 resuelta. De la ecuación (6.19a)

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

procedimiento semigráfico. Para un valor de A 2 arbitrariamente seleccionado, la distribución de c,z/U, es conocida. Se dibujan los valores de (rlr,) · (cxziU,) y (rlr,) · (cx 11U,) en función de rlr, y se comparan las áreas por debajo de estas curvas. Se eligen nuevos valores hasta que la ecuación (6.12) se satisface. Este procedimiento es bastante rápido y generalmente requiere sólo dos o tres intentos para dar una solución satisfactoria. La figura 6.5 muestra la solución final de cx,IU, obtenida después de tres intentos. La solución es

e,,

= A1

Para r = r,

Cx 1 / U,

[i(r(r,) 2

= 0.4

(~ Ur

0.18 log(r/r,)].

0.56-

(!. 2 rt

+ 0.18log

:_ Tt

Es instructivo calcular la variación real del grado de reacción teniendo en cuenta la variación de la velocidad axial. De la ecuación (5.10c), el grado de reacción verdadero en un escalonamiento normal es

Y por tanto A, = 0.66.

Aunque puede deducirse una solución explícita para A 2 de la ecuación (6.19b) y de la ecuación (6.12), es más rápido utilizar un

Curva final

De los triángulos de velocidad, figura 5.2,

1·0 0·8

-u,

0·4

---

--------------------Reacción nominal

0·2

¡.>ara la distribución de torbellino de primera potencia, ecuación (6.15),

•

! R' =

o':---::----,":---e ::----: ::----:':------:-'- o.z

o-s

l·O

1 - !!_

+ c~l -

Cx2.

4!lb

Relación de radios, r/r1

·FIG. 6.5.

194

Solución del perfil de velocidad axial de salida para un escalonamiento de primera potencia.

De la solución del equilibrio radial en las ecuaciones (6.19), después de alguna reordenación, 195

Termodinámica de las Turbomáquinas

e;, - e;,

A, - A 2

2,P,

4Qb

Flujos tridimensionales en turbomáquiq.as axiales

+ (~) lo n

Si el ángulo del fh1jo a se mantiene constante, la ecuación (6.21) se simplifica aún más:

(!_) g r, •

1\ 1

(6.22)

donde llW

.p, = u; En el ejemplo en cuestión,

R' = 0>778

+ log(rfr,).

La variación verdadera del grado de reacción se muestra en la figura 6.5 y es evidente que la ecuación (6.17) no es válida como consecuencia de las variaciones de la velocidad axial.

l' 1

La distribución de torbellino representada por la ecuación (6.22) es frecuentemente empleada en la práctica, ya que los álabes no torsionados son relativamente sencillos de fabricar. La solución general de la ecuación (6.20) se puede encontrar introduciendo un factor integrador adecuado en la ecuación. Multiplicando en ambos términos por exp [2 sen2 a drlr] resulta

d 2 -d e exp[2fsen 2 t< drjr] r

La variación del ángulo del flujo está especificada en el problema directo y la ecuación del equilibrio radial permite encontrar la solución de e, y c8 . La ecuación general del equilibrio radial se puede escribir de la forma

dh 0 dr

' =2

ya que cR = e sen a. Si dh 0 /dr y ds!dr son cero, la ecuación (6.20) integrada da

logc = Cm

" a -dr

sen~

+ constante

(i) Sea a !'

para r = r111 , entonces

exp (-

em para r

r m'

2 sen 2 a drjr

2 sen 2 a. Entonces exp [2

sen 2 ~

drjr dr.

(6.23)

(6.21)

f sen2 rr drlr]

r {/ y, por

tanto,

exp[2fsen ~ drjr].

Las soluciones particulares de la ecuación (6.23) se pueden obtener fácilmente para distribuciones radiales sencillas de a, h 0 y s. Aquí se consideran dos soluciones en las que 2dh 0 /dr = kc,~/r'" y dsldr =0, siendo k una constante arbitraria.

e! exp

-~"'o- T~ exp 2

(6.20)

"'+e de,

o, si e =

exp 2 sen 2 a drjr

=':E+ e~

T& drr

°Tdr dr

Después de integrar e introducir la éondición de e entonces

EL PROBLEMA DIRECTO

= 1

k 1+a

1+a

1 .

(6.23a)

Cm •. 1

197 196

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáquinas

Para flujo adiabático reversible de un gas perfecto p

La ecuación (6.22) se obtiene inmediatamente de este resultado con k = O. (ii) Sea brlrm

2 sen2 a. Entonces,

exp(br/rml

- e;, exp (b)

E es una constante. De este modo,

Jp-ll•dp

Jexp(brjr mldr

(kc;,/r ml

y finalmente,

p = (6.23b)

•

FLUJO COMPRESIBLE A TRA VES DE UNA CORONA FIJA DE ALABES

En las coronas de álabes de turbinas de gas de altas prestaciones son bastante normales velocidades del fluido cercanas, o incluso superiores, a la velocidad del sonido, y los efectos de compresibilidad del fluido no pueden seguir siendo ignorados. A continuación se bosqueja un análisis sencillo para flujo no viscoso de un gas perfecto a través de una corona fija de álabes que, no obstante, puede ser ampliado al flujo a través de coronas de álabes móviles. La ecuación del equilibrio radial, ecuación (6.6), se aplica tanto al flujo compresible como al flujo incompresible. Con entalpía de parada constante y entropía constante, un flujo de torbellino libre implica por tanto velocidad axial uniforme aguas abajo de la corona de álabes, independiente de cualquier variación de densidad que tenga lugar al pasar a través de la corona de álabes; De hecho, para flujos de velocidad alta tiene que existir una variación de densidad en la corona de álabes que implique un cambio de dirección de las líneas de corriente como el mostrado en la figura 6.1. Esto puede ilustrarse considerando el flujo de torbellino libre de un gas perfecto como sigue. En el equilibrio radial, 2 idp_e~_K __ _ _ _ _ con e"

p dr

EK 2

J r- 3 dr +constante,

por tanto,

k 1 - - exp b b

= Ep' 1•, donde

EKz

constante - =::::,.

11<1-

t> •

2r 2

(6.24)

Para este flujo de torbellino libre la presión, y por tanto también la densidad, tienen que ser más grandes en las proximidades de la carcasa que en el tambor. La diferencia de densidad entre la raíz y la cabeza puede ser apreciable en flujo de alta velocidad y ángulo elevado. Si el fluido carece de rotación en la entrada a los álabes, la

.''

densidad será uniforme. Así, pues, por la ecuación de continuidad tiene que existir una redistribución del fluido a su paso por la corona de álabes para compensar las variaciones de densidad. De este modo,

para esta corona de álabes la ecuación de continuidad es

= p 1A 1cx 1 =

21TC:x2

J P2rdr, ,,

(6.25)

donde p2 es la densidad del flujo a la salida calculable de la ecuación (6.24).

FLUJO MASICO ESPECIFICO CONSTANTE

. Aunque parezca que no existen pruebas de que la redistribución del flujo a través de las coronas de álabes es una fuente de ineficiencia, se ha sugerido4 que la distribución radial de cfJ para cada corona de álabes se elija para que el producto de la velocidad axial y la densidad sea constante con el radio, es decir,

•

Klr.

dril/dA =pe,= pe cos ex=

PmCm

cos

<Xm

=constante

(6.26)

198

•

199

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáquinas

donde el subíndice m indica las condiciones para r = rm· Este diseño de flujo másico específico constante es la elección lógica cuando se aplica la teoría del equilibrio radial a flujos compresibles, ya que entonces es posible hacer la hipótesis de que e, = O. Las soluciones pueden determinarse por medio de un procedimiento numérico sencillo y, como ilustración de uno de los métodos, se considerará aquí un escalonamiento de turbina. Es convenient~ suponer que la entalpía de parada es uniforme en la entrada de la tobera, la entropía es constante en todo el escalonamiento y el fluido es un gas perfecto. En la salida de la tobera, bajo estas condiciones, la ecuación del equilibrio radial, ecuación (6.20), se puede escribir como deje ~ - sen

(J.

drfr.

(6.27)

•

) {

De la ecuación (6.1), observando que a entropía constante la velocidad del sonido a = v'(dpldp),

dp ~~~~~sen 2 a:, p dr dr p dr r :. dpfp ~ M 2 sen2 (J. drfr

comienza por suponer conocidos los valores de c,m ctm, Tm y Pm parar = rm. Para un intervalo finito pequeño !::ir las variaciones de velocidad 1\c, densidad 1\p, y temperatura 1\ T se pueden calcular utilizando las ecuaciones (6.27), (6.28) y (6.29), respectivamente. De aquí, para los nuevos radios r = rm + .1.r se obtiene la velocidad e = cm + Lic, la densidad p = Pm + Lip y la temperatura T = Tm + LiT. El correspondiente ángulo del flujo a: y el número de Mach M se pueden determinar ahora de las ecuaciones (6.26) y (6.28a), respectivamente. De este modo, todos los parámetros del problema son conocidos para el radio r = rm + !::ir. Este procedimiento se repite para nuevos incrementos del radio hasta la carcasa y después desde el radio medio hasta el tambor. La figura 6.6 muestra las distribuciones del ángulo del flujo y del número de Mach calculadas con este procedimiento para una corona de álabes de toberas de turbina de relación radio de raíz/radio de cabeza de 0,6. El dato de entrada utilizado fue a:m = 70,4° y M = 0,907 para el radio medio. Se supuso que· el fluido era aire con presión

dp p dp

(6.28)

donde el número de Mach del flujo M~ efa ~ efVfíR'l).

1· 2

(6.28a)

-•

La relación isentrópica entre la temperatura y la densidad para un gas perfecto es

•

"•

o ~ o

que después de una diferenciación logarítmica da 1

dT/T

~(y-

!)dpfp.

O·6 0·6

' 0·1

(6.29)

Utilizando el conjunto de ecuaciones anteriores, el procedimiento para determinar el flujo de salida de la tobera es como sigue. Se

09'

1·0

Relación de radios, r/r 1

FrG. 6.6. Distribuciones del ángulo del flujo y del número de Machen función del radio de una corona de álabes de tobera diseñada para flujo másico específico constante. 1

201

200

-·-~·

--·--

de parada de 859 kPa y temperatura de parada de 465 K. Un hecho notable de estos resultados es que se obtiene un ángulo del flujo casi

constante. Con el flujo de salida de las toberas totalmente determinado se puede calcular ahora el flujo a la salida del rotor por un procedimiento similar. Dicho procedimiento es un poco más complicado que el de la corona de toberas porque el trabajo específico realizado por el rotor no es uniforme con el radio. A través del rotor, utilizando la notación del Capítulo 4, (6.30)

donde Mx = M cos ex= ecos ex/y(yRT) y la temperatura estática

T = T3 = T., - c;/(2Cp) =

La verificación de la ecuación (6.32) se deja como un ejercicio para el estudiante diligente. Con tal que se especifiquen el ángulo de salida del flujo ex, parar= r, y las velocidades medias del álabe del rotor, la distribución de velocidad, etc .. a la salida del rotor se pueden calcular fácilmente de

estas ecuaciones. ACTUACION FUERA DE DISENO DE UN ESCALONAMIENTO

dh. 3 /dr = - d[U(c62 + c63 )]fdr = - d(Uc62 )/dr- d(Uc3 séna 3 )/dr. Después de diferenciar el último término, -dh. = d(Uc 62 ) + U(csen<%drfr +sen<%dc +ecos <%d<%) (6.30a) desapareciendo ahora el subíndice 3. De la ecuación (6.20), la ecuación del equilibrio radial aplicada al flujo de salida del rotor es dh. = c 2sén 2 a drfr + cdc.

Se considera aquí un escalonamiento de turbina, aunque, con algunas pequeñas modificaciones, el análisis puede aplicarse a un escalonamiento de compresor. Suponiendo flujo isentrópico, apliquemos la ecuación del equilibrio radial, ecuación (6.6), al flujo en ambos lados del rotor, entonces dh03 dh02 d dcx 3 c 63 d d = d - Q d- (rCez + re.,) = Cx3 -d- + - -d (re.,). r r r r r r

(6.30b)

Por tanto,

Después de la diferenciación logarítmica de pe cos ex = constante,

dcx2

dpfp +de/e= tang ex da.

~ 1+~ e

a d(rc,z) + re,

Cxz dr

)

dcx 3

- Q (!;: (rCez) = Cx3 dr

(c + r

+ Q

dr (rc 63 ).

(6.31)

Eliminando sucesivamente dh 0 entre las ecuaciones (6.30a) y (6.30b), dplp entre las ecuaciones (6.28) y (6.31) y finalmente dex de las ecuaciones resultantes da

= - sen2

(c + r

(6.32)

sustituyendo c 83 = cx 3 tang {Jy, - Qr en la ecuación anterior, después de alguna simplificación,

dcx2 Cxz d r dc.d Cx3 dr +

+ (c

)

Q - (rc 62 ) = dr

Cx 3

/33

r tang

' dr (rcx 3 tang ¡3,)- 2Qcx 3 tang ¡33 .

(6.34)

203

202

...__ _ _ _ _

e:-= ________ _:____

_.~:ce_

(6.33)

T.z - [U(c,2 + c63 ) + tc;]/cp.

y por tanto el gradiente de entalpía de parada después del rotor es

•

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáquinas

:' ; !'

Termodinámica de las Turbomáquinas

En un problema concreto las cantidades cx 2 , cA 2 y {33 son funciones conocidas del radio y se puede determinar Q. La ecuación (6.34) es por ello una ecuación diferencial de primer orden, en la que cx 3 es incógnita y puede resolverse mejor, en el caso general, por iteración numérica. Este procedimiento requiere suponer un valor de c,-3 en la raíz y, aplicando la ecuación (6.34) a un pequefto intervalo del radio !:1r, se determina un nuevo valor de c.d para un radio r11 + !:1r. Repitiendo este cálculo para incrementos sucesivos del radio se puede determinar un perfil completo de velocidad e,. Utilizando la ecuación de continuidad

esta distribución de velocidad. inicial se puede integrar y entonces es posible encontrar una nueva estimación, más fiable, de C.d en la raíz. Utilizando este valor de cx3 , se repite el procedimiento paso a paso como se ha descrito y de nuevo se comprueba con la ecuación de continuidad. Este proceso iterativo converge, en generaL rápidamente y, en la mayor parte de los casos, tres ciclos de cálculo permiten encontrar un perfil de velocidad de salida suficientemente exacto. La actuación fuera de diseño se puede obtener haciendo la aproximación de que el ángulo de salida relativo del rotor {33 y el ángulo de salida de las toberas a 2 permanecen constantes para un radio concreto al variar el flujo másico. Esta aproximación no es poco realista, ya que los datos de cascadas (ver Capítulo 3) indican que los ángulos del t1uido a la salida de una corona de álabes se alteran muy poco con la variación de la incidencia hasta alcanzar el punto de desprendimiento. Aunque cualquier tipo de flujo a través de un escalonamiento se puede tratar con éxito utilizando este método, es posible obtener de forma particular soluciones bastante más elegantes para unos pocos casos especiales. A continuación se bosqueja unos de estos casos para un escalonamiento de turbina de torbellino libre, mientras que otros casos se tratan por las ecuaciones (6.21) a (6.23).

204

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

ESCALONAMIENTO DE TURBINA DE TORBELLINO LIBRE Supongamos, para simplificar, que se considera un escalonamiento de torbellino libre donde, en el punto de disefto, el flujo a la salida del rotor es completamente axial (es decir, sin componente tangencial). A la entrada del escalonamiento el flujo se supone de nuevo completameute axial y de entalpía de parada constante h 01 . Las condiciones de torbellino libre prevalecen a la entrada del rotor, rc 82 = rcx 2 tang a2 = constante. El probl'ema es encontrar cómo varía la distribución de velocidad axial a la salida del rotor cuando el t1ujo másico no es el valor de diseño. En condiciones fuera de diseño el ángulo relativo de salida del rotor {3 3 se supone que permanece igual al del valor {3' para el t1ujo másico de diseño (* indica condiciones de diseño). De este modo, refiriéndonos a los triángulos de velocidades de la figura 6. 7, para condiciones fuera de diseño la velocida,d tangencial cfl 3 es evidentemente distinta de cero,

•

13• ,

e3=ex

U=e •

(a) Diseño

•

(b) Fuera de diseño

FIG. 6.7.

Triángulos de velocidades en diseño y fuera de diseno para un escalonamiento de turbina de torbellino libre.

205

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáquinas

e03

e, 3 tang (33

e, 3 tang (3j

En la condición de diseño,

(6.40) (6.35)

Qr.

donde cx3 = cx3m para r = 'm· La ecuación (6.40) se expresa más cómodamente de forma adimensional introduciendo los coeficientes de flujo <jJ = cxiUm, <P* = c;3!Um y </Jm = Cx3m1Um. De este modo,

cfb = O y así (6.36)

e:, tang {3':\ - Qr.

</>N* - 1 </>m/4>* - 1 =

Combinando las ecuaciones (6.35) y (6.36)

Ce3

!J.r

* -

Cxl

)

(6.37)

1 .

ex3

La ecuación del equilibrio radial en la salida del rotor da dh03 dc, 3 = e,, d dr r

c63 d + -r d-r (rc 93 )

d · = - !J d- (rc 93 ),

(6.38)

.¡,•2 + </>

+ Col -r

* , cx3

Q exl

rc 93

n 2 :...t.r

* cx3

(Cxl -

1) '

"'.,.

1'2

Cx3

~12r

•

e•x3

=•

~u 1i u

•

c ••

¡-

1·0

- d(!J2r2)

O·i 0·4

(6.39)

Integrando la ecuación (6.39), que es una integral inmediata, se obtiene

206

0·8

0·4

Después de reordenar,

dcx 3

"'· = f.2

que una vez sustituido en la ecuación (6.38) da, Q2

1 ... = 0·1 1

dcx3 dr

(6.40a)

Si rm es el radio medio entonces Cx 3 m ..;.. Cxt y, por tanto, ifJm proporciona una medida aproximada del coeficiente global de flujo para la máquina (N.B. cx 1 es uniforme). Los resultados de este análisis se muestran en la figura 6.8 para un coeficiente de flujo de diseñó representativo </J* = 0,8 y diversos coeficientes de flujo fuera de diseño diferentes </Jm, con rlrm = 0,8 en la raíz y rlrm = 1,2 en la cabeza. Está claro que para valores de <Pm < <P*, cx 3 aumenta de la raíz a la cabeza; y a la inversa, cx 3 decrece para

después de combinarla con la ecuación (6.33), observando que dh 0 zldr =O Y que (d/dr) (rce,) =O en todo el flujo másico. De la ecuación (6.37), Q

1 2 (rfrml

0·8

0·9

1'1

1·2

Relación de radios, R= r /r,.

FIG. 6.8.

Coeficientes de flujo de salida del rotor fuera de diseño.

207

-~----------~--~/.

....

••

.•

•

'' '

Termodinámica de las Turbomáquinas

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

</Jm > cjJ' hacia la cabeza. El análisis precedente es sólo un caso especial del análisis más general de los flujos de torbellino libre en turbinas y compresores, 5 que incluiría una desviación del flujo respecto de la dirección axial a la salida del rotor con rcJ 3 constante (en condiciones de diseño). Sin embargo, en la ref. 5, queda bastante claro que incluso para valores medianamente grandes de ~m• siendo todos los demás factores iguales, el valor de cjJ es poco diferente del valor encontrado cuando aj =O. En la figura 6.8 están dibujados los valores de cjJ cuando ajm = 31,4" para <Pm = 0,4 (cjJ* = 0,8) para su comparación con los resultados obtenidos cuando a1 = O. Ha de tenerse en cuenta que el flujo que sale del rotor en. condiciones fuera de diseño no es de torbellino libre.

15 10 5

-=-

---o

-1D

-¡ -+

.," " "u

Rai?"* .¡¡

¡p-

Cabeza (

:t.,.·'

·~

" u

" o

' ~-

2!15

1" ',

0·9

1·0

Radio R~-"""""' Radio de cabeza

Variación de la distribución de velocidad axial a través de una corona de álabes guiadores (adaptado de Hawthorne y Horloce').

208

Teoría del disco actuador simple (disco en la línea central axial)

-5

i o

'<:-

-t

-10

•

:o-

Anchura axial del .álrbe en lf raíz

Distancia desde la linea central axial • cm

lb)

. F1G ..6.10. (<l) Yar.iución ~e presión en las proximidades de una corona de álabes ~lruhmos. (b) Vcio.c!dad.axral en la raíz. en las proximidades de una corona de <ílahcs gmttonos (aduptado de Hawthornc y Horlock 11 ).

1 •

Experimental

' \'

0·8

-, -·-

---=

' ',

t----

FIG. 6.9.

Anchura axial 1- _de la raíz del álabe 15 -10 -5 o 5 10 15 Distancia desde la línea c~ntral axial del álabe, cm

0·1

•

0·6

)<'' "'""--: - ¡

} de cuerda aguas abajo

0·5

R~íz

(

-20

Lejos aguas abajo {de cuerda

+de ~u~r~ aguas arriba

--- --- -

-5

---Teoría (disc~s en c.1.) Observado

(

Aguas arriba

Anchura axial de la cabeza del álabe

-1 5

1=""--;¡f

Cabeza

•

20~

!\j

•¡;¡"

..-

•

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáql.tinas

METODO DEL DISCO ACTUADOR

En el método de diseño del equilibrio radial se supuso que todo movimiento radial tenía lugar dentro de la corona de álabes. Sin embargo, en la mayor parte de las turbomáquinas de relación raíz-cabeza baja se pueden medir velocidades radiales apreciables fuera de la corona de álabes. La figura 6.9, tomada de un artículo de Hawthorne y Horlock, 6 muestra la distribución de la componente axial de la velocidad a diversas distancias axiales aguas arriba y águas abajo de una corona aislada de paletas guiadoras de entrada estacionarias. Esta figura ilustra claramente la apreciable redistribución del flujo en regiones fuera de la corona de álabes y que tienen que existir velocidades radiales en estas regiones. En la figura 6.10, también tomada de la ref. 6, se muestran la variación de presión (cerca de la raíz y de la cabeza) y la variación de velocidad axial (cerca de la raíz), ambas en función de la posición axial, para el flujo a través de una única corona de álabes de rotor. Naturalmente, el equilibrio radial no se establece totalmente dentro de la corona de álabes. Una forma más exacta del análisis del flujo tridimensional que la teoría del equilibrio radial se obtiene con el concepto de disco actuador. La idea de un disco actuador es, bastante antigua y parece haber sido utilizada por primera vez en la teoría de hélices; después ha evolucionado a un método relativamente sofisticado de analizar problemas de flujo en turbomáquinas. Para entender la idea de un

••

lll

1,1 Disco actuador equivalente 1

disco actuador. imaginemos gue se reduce al ancho axial de cada corona de álabes mientras que, al mismo tiempo, la relación paso-cuerda, los ángulos del álabe y la longitud total de la máquina se mantienen constantes. Como la deflexión a través de cada corona de álabes para una incidencia dada está fijada, aparte de los efectos del número de Reynolds y del número de Mach (véase Capítulo 3 en cascadas), por la geometría de la cascada, se puede considerar que una corona de álabes de anchura reducida afectará al flujo exactamente de la misma forma que la corona. original. En el límite, cuando desaparece el ancho axial, la corona de álabes llega a ser conceptualmente, una discontinuidad plana de la velocidad tangencial-el disco actuador-. Observemos que, mientras la velocidad tangencial experimenta un brusco cambio en dirección, las velocidades axial y radial son continuas a través del disco. En la figura 6 ..11 se representa un disco actuador aislado con equilibrio radial establecido a distancias axiales relativamente grandes del disco. Una solución aproximada para los campos de velocidad aguas arriba y aguas abajo del actuador se pueden encontrar en función de las distribuciones de velocidad axial lejos aguas arriba y lejos aguas abajo del disco. El análisis detallado que incluye la solución de las ecuaciones del movimiento, la ecuación de continuidad y la satisfacción de las condiciones de contorno en las paredes y en el disco se sale del alcance de este libro. Sin embargo, la forma de la solución aproximada es de considerable interés y se cita a continuación. Por convenio, las condiciones lejos aguas arriba y lejos aguas abajo del disco se indican con subíndices oo1 e oo2, respectivamente (fig. 6.11). La teoría del disco actuador demuestra que en el disco (x = 0), para cualquier radio dado, la velocidad axial es igual a la media de las velocidades axiales en 001 e oo2 para el mismo radio, o

•~

Raíz

Líneas de corriente

c.l. _ _ _ FIG. 6.11.

210

La hipótesis del disco actuador (según Horlock

3 ).

(6.41)

Los subíndices 01 y 02 indican posiciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo del disco actuador, respectivamente. La ecuación (6.41) se conoce como la regla del valor medio. En el campo del flujo aguas abajo (x > 0), la diferencia de 211

Termodinámica de las Turbomáquinas

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales ,J., ¡.,

'' '..'.'1' "

_¡:l.

"K •

Actuad or colocado

Cx• 2

" ~

.6,=

"'.. •

' J(

en X = 0

'' '

FIG. 6.12.

Variación de la velocidad axial con la distancia axial desde el disco actuador.

'' '

i '

)

velocidad axial entre una posición (x, rA) y la posición (x = oo, rA) se concibe como una perturbación de velocidad. Refiriéndonos a la figura 6.12, la perturbación de velocidad axial en el disco (x =O, rA) se indica por L\. 0 y en la posición (x, r..,) por Ll.. El resultado

importante de la teoría del' disco actuador es que las perturbaciones de velocidad decaen exponencialmente fuera del disco. Esto es cierto también para el campo del flujo aguas arriba (x < 0). El resultado obtenido para la relación de decadencia es

L\.j !:. 0 = 1 - exp[ :¡: ...xj(r, - r,)], •

·'

',,

EFECTOS DE INTERACCION ENTRE CORONAS DE ALABES

•

El espacio entre coronas de álabes consecutivas en turbomáquinas axiales es en general_suficientemente pequeüo, por lo que ocurren interacciones mutuas del flujo entre las coronas. Esta interferencia se puede calcular por extensión de los resultados obtenidos de la teoría

del disco actuador aislado. Como aclaración, se considera el caso más sencillo de dos discos actuadores situados a una distancia O uno de otro. En la ref. 6 se da la ampliación al caso de un gran número de discos. Consideremos cada disco por separado como si estuviese aislado. Refiriéndonos a la figura 6.13, el disco A, localizado en x = O, hace variar la velocidad lejos aguas arriba de ct"OQ 1 a c,-x 2 lejos aguas abajo. Supongamos por sencillez que el efecto del disco B, localizado en x = lí, neutraliza totalmente el efecto del disco A (es decir, la velocidad lejos aguas arriba del disco Bes Cxx 2 , que varía a CxxJ lejos aguas abajo). De este modo, para el disco A aislado,

(6.42)

Carcasa

Flujo

donde los signos menos y más se aplican en la expresión anterior a las regiones del flujo x >O y x <O, respectivamente. La ecuación (6.42) a menudo se denomina la regla de la relación de asentamiento. Puesto que Cxl = Cxor + ó., Cx2 = Cxo2- ó. y observando que ó. 0 = -±{cx=l c,x 2 ), las ecuaciones (6.41) y (6.42) se combinan para dar

:5 Ü,

(6.44)

B .

Flujo

H •

Tambor

Disco A. aislado C,¡

Cxrol - i(cxool -

C,z = Cxooz

+ t(Cxool -

C, 00 z)exp[1TXj(r,

- r,)],

Cxooz)exp[ - 1rxj(r, - rh)].

-- -

(6.43a) (6.43b)

''•'

En el disco, x = O, las ecuaciones (6.43) se reducen a la ecuación (6.41). Es de particular interés observar, en las figuras 6.9 y 6.10,

cómo la teoría del disco actuador aislado se corresponde fielmente con los resultados obtenidos experimentalmente. 212

FIG. 6.13.

Interacción entre dos discos actuadores cercanos.

213

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

lxl

donde

X ;¡¡;;

Termodinámica de las Turbomáquinas

ver en las ecuaciones anteriores que, si el espacio entre estos dos discos se aumenta, las perturbaciones tienden a desaparecer. De este modo, en las turbomáquinas donde Dlr es relativamente pequeño (por ejemplo, los escalonamientos primeros de compresores axiales de aviación o los últimos escalonamientos de las turbinas de vapor de condensación), los efectos de interferencia son fuertes y puede intuirse _que es entonces inadecuado el análisis más simple del equilibrio radial.

(6.45)

indica módulo de x y H

Para el disco B aislado, , x::;:8,

(6.46)

(6.47)

METODOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA DEL FLUJO CONTINUO CON AYUDA DE COMPUTADOR

Ahora bien, el efecto combinado de los dos discos se puede obtener más fácilmente extrayendo de las cuatro ecuaciones anteriores las perturbaciones de velocidad apropiadas para una región dada y sumando éstas a la velocidad correspo'ndiente del equilibrio radial. Para x <O, se suma a (roo! las velocidades de perturbación sacadas de las ecuaciones (6.44) y (6.46).

¡¡¡ 1'

•

= Cxool- !(Cxc.ol- Cxoo2)

exp

"lxl H

-exp

-"lx-a¡ H

•

..., •

. •'

" Para la regwn Ü<

Cxc.o2

X < -

+ !(Cxool -

Cxc.o2)

(6.48) exp

-1r¡x 1 H

+exp

Para la región x ':: ¿j

-"lx-a¡ H

•

(6.49) - exp

(6.50) La figura 6.13 indica la variación de la velocidad axial cuando se consideran los dos discos aislados y cuando se combinan. Se puede

214

- --- --

--~

~---

(i) curvatura de· las líneas de corriente; 4 •12 (ii) análisis matricial del flujo continuo." Ambos métodos resuelven las mismas ecuaciones del movimiento, energía y estado del fluido para un flujo axilsimétrico a través de una turbomáquina con radios de raíz y cabeza variables, y po: tanto conducen a la misma solución. En el primer método, la ecuacton para la velocidad meridional cm = (e; + ~)' 1 ' en un plano (para x = x,)

215 •

111• \

Aunque la teoría del disco actuador ha proporcionado un mejor entendimiento del complicado problema del flujo continuo meridional (plano radial-axial) en las turbomáquinas de geometría y condiciones del flujo sencillas, su aplicación al diseño de compresores de flujo axial ha sido bastante limitada. Se observó que las aplicaciones de la teoría del disco actuador a la solución de los complejos flujos tridimensionales compresibles en compresores, con radios de raíz y cabeza variables y distribuciones de presión total no uniforme , se hacían demasiado difíciles de manejar en la práctica. Recientemente, se han desarrollado con éxito métodos de computador avanzados para predecir el flujo compresible meridional en 11 turbomáquinas con paredes de paso abocinadas. Gostelow y otros han recopilado los recientes desarrollos en el caso de diseño de compresores de flujo axial, e incluyen un bosquejo de las dos técnicas más utilizadas pra resolver el problema del flujo continuo. Los dos métodos son:

.. .

~¡

Termodinámica de las Turbomáquinas

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

'•'

.. f

contiene términos que incluyen la pendiente y la curvatura de las líneas de corriente meridionales, los cuales se estiman utilizando un procedimiento polinominal que adapta una curva a través de puntos de igual función de corriente, sobre planos cercanos a (x,- dx) y (x, + dx). La mayor fuente de dificultad reside en estimar con precisión la curvatura de las líneas de corriente. En el segundo método se forma una red de puntos de cálculo en la que la función de corriente se expresa como una ecuación casi lineal. Se forma un conjunto de ecuaciones de diferencias finitas correspondientes, que después se resuelven en todos los puntos de la malla de la red. La descripción más detallada de estos métodos estaría fuera del alcance del presente texto.

giro. El resultado de desviar el vector rotación (o vorticidad) es la formación de flujos secundarios. El fenómeno tiene que ocurrir, en algún grado, en todas las turbomáquinas, pero es particulamente manifiesto en los compresores axiales á causa de las gruesas capas límites en las paredes del anillo de paso. Han discutido este caso con algún detalle Horlock, 4 Preston, 7 Carter' y muchos otros autores. Consideremos que el flujo a la entrada de las paletas guiadoras de un compresor es completamente axial y con un perfil de velocidad como se indica en la figura 6.14. Este perfil de velocidad no es uniforme a consecuencia de la fricción entre el fluido y la pared; la vorticidad de esta capa límite es normal a la velocidad de aproximación c 1 y de magnitud

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FLUJOS SECUNDARIOS

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W¡

Ningún informe sobre el movimiento tridimensional en turbomáquinas axiales sería completo sin dar, al menos, una breve descripción del flujo secundario. Cuando se desvía una partícula finita que posee un movimiento de rotación (por ejemplo, por una cascada), su eje de rotación se desvía de una manera análoga al movimiento de un giróscopo, es decir, en una dirección perpendicular a la dirección de

••

de, dz

(6.51)

' •

donde z es la distancia desde la pared. La dirección de w1 sigue la regla del tornillo de la mano derecha y se observará que w1 está en sentido opuesto en las dos paredes del contorno. Este vector es desviado por la cascada, generando de este modo la vorticidad secundaria paralela a la dirección de salida de la corriente. Si el ángulo de deflexión E no es grande, la magnitud de la vorticidad secundaria ms es, aproximadamente,

''¡

•

• •• •

1 \

de 1 w.,-=-2Edz.

Perfil de velocidades en la entrada

Un movimiento de remolino del flujo de salida de la cascada está asociado con la vorticidad w" como muestra la figura 6.15, el cual está en dirección opuesta para las dos capas límites de pared. Este flujo secundario será el efecto integrado de la distribución de la vorticidad secundaria a lo largo de la altura del álabe. Ahora bien, si la variación de c 1 con z es conocida o puede predecirse, entonces la distribución de w, a lo largo del álabe se puede encontrar utilizando la ecuación (6.52). Considerando el flujo secundario como si fuera una pequeña perturbación del flujo bidimensional ocasionada por los álabes, la distribución de los ángulos

'=:::::::::: .

•

Verticidad de entrada de la capa límite en las paredes del anillo de paso

FIG. 6.14.

!:-,---J-'w,

w,,

----'----:¡= w,

'•

,;7

(6.52)

Vorticidad secundaria producida por una corona de álabes guiadores.

216

217

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáquinas

6.16 se muestra un resultado típico. Es evidente que el flujo está sobredesviado cerca de las paredes e infradesviado a alguna distancia lejos de las paredes. Se sabe que esta sobredesviación es una fuente de ineficiencia en compresores, ya que favorece el desprendimiento en los extremos del álabe.

REFERENCIAS

' FJG. 6.15.

Flujos secundarios en la salida de un conducto entre álabes (contemplado en el sentido aguas arriba).

-.. o, e Experiencia

Angulas de diseño corregidos

30 -

•

o ~ ~

Juego ,.--de cabeza

Distancia desde la pared, mm

FIG. 6.16.

Angulo de salida del aire de las paletas guiadoras de entrada (adaptado de :Acirlock 10 ).

del flujo puede calcularse utilizando una solución en serie desarrollada por Hawthorne 9 Sin embargo, el análisis real queda fuera del alcance (y del propósito) de este libro. Los experimentos en cascadas muestran una excelente concordancia con estos cálculos siempre que haya solamente efectos pequeños de viscosidad y no existan desprendimientos de flujo. Horlock 10 ha dado tal comparación y en la figura

1. CoNSTANT, H., The early history of the axial type of gas turbine engine. Proc. lnstn. Mech. Engrs. London, 153 (1945). (War emergency issues). 2. CoNSTANT, H., Gas Turbines and their Problems. Todd, London (1953). 3. HoRLOCK, J. H., Axial Flow Compressors. Butterworth, London(1958). 4. HoRLOCK, J. H., Axial F/ow Turbines. Butterworth, London (1966). 5. HORLOCK; J. H. and DIXoN, S. L., The off-design performance of free vortex turbine and compressor stages. University of Liverpooi, Dept. of Mech. Eng. Report ULME 66 (1965). Now A.R.C. 27, 612 (1966) . 6. HAWTHORNE, W. R. and HoRLOCK, J. H., Actuator disc theory of the incom~ pressible flow in axial compressors. Proc. Instn. Mech. Engrs, London,176 (1962), 7. PRESTON, J. H., A simple approach to the theory of secondary :flows. Aero. Quart. 5 (Part 3) (1953). 8. CARTER, A. D. S., Three-dimensional :flow theories for axial compressors and turbines. Proc. lnstn. Mech. Engrs. London, 159 (1948). 9. HAwrHORNE, W. R., Sorne formulae for the calculation of secondary flow in cascades. Aero. Res. Comm. Report No. 17,519 (1955). 10. HoRLOCK, J. H., Annulus wall boundary layers in axial compressor stages. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. Series D, 85 (1963) . 11. GoSTELOW, J. P., HORLOCK, J. H. and MARsH, H., Recent developments in the aerodynámic design of axial :flow compressors. Symposium at Warwick Uní~ versity. Proc. Instn. Mech. Engrs. 183, Pt. 3N (1969). 12. SMITH, L. H., Jr., The radial-equilibrium equation of turbomachinery. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs., Series A, 88 (1966). 13. MARSH, H., A digital computer program for the through-flow :fluid mechanics on an arbitrary turbomachine using a matrix method. Aero. Res. Coun. Rep. Me m. 3509 (1968).

PROBLEMAS l. Deducir la ecuación del equilibrio radial para un fluido incompresible que circula con rotación axilsimétrica a través de un conducto anular. El aire sale de las paletas guiadoras de entrada de un compresor axial en equilibrio radial y con una distribución de velocidad tangencial de torbei~no libre. La presión estática absoluta y la temperatura estática erlla raíz, radio 0,3 m. son 94,5 kPa y 293 K, respectivamente. En la cabeza, radio 0,4 m, la presión estática (

218

219

•

Flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales

Termodinámica de las Turbomáquinas

re '

r·

donde a y b son constantes. ¿Cuál es la variación con el radio del trabajo realizado? Deducir unas expresiones para las distribuciones de la velocidad axial antes y después del rotor. suponiendo flujo incompresible y que el gradiente radial de presión de parada es cero. Para el radio medio, r = 0,3 m, el coeficiente de carga del escalonamiento l/-' = ó. W!U/ es 0,3, el grado de reacción es 0,5 y la velocidad axial media es 150 m/s.·: .,. La velocidad de rotor es 7640 rev/min. Determinar los ángulos del flujo de eiJ_t_rada y de salida del rotor para un radio de 0,24 m sabiendo que la relación raíz/cabeza es- 0,5. Supóngase que para el radio medio la velocidad axial permanece invariable (c11 = c,- 2 en r = 0,3 m). (Nota: ó. W es el trabajo específico realizado y U, la velocidad de la cabeza del álabe.) 6. Un escalonamiento de una turbina axial se va a diseñar para condiciones de torbellino libre a la salida de la corona de toberas y velocidad absoluta de salida del rotor axial. El gas que entra al escalonamiento tiene una temperatura de parada de1·11000 K, el gasto es 32 kg/s, los diámetros de raíz y cabeza son 0,56 y 0,76 m, respectivamente, y la velocidad del rotor es HOOO rcv/min. En la cabeza del rotor la reacción del escalonamiento es del 50 % y la velocidad axial se mantiene constante en 183 m/s. La velocidad del gas que entra al escalonamiento es igual a. la de salida(/: ( :_, Determmar:

absoluta es de 96,5 kPa. Calcular los ángulos del flujo en la salida de los álabes, en la raíz y en la cabeza. cuando la presión de parada absoluta a la entrada es de 101,3 kPa. Supóngase que el fluido es incompresible y no viscoso. [Tómese R =

- 0,287 kJI(kg "C) para el aire,]

2. ft 1Un escalonamiento de una turbina de gas tiene una presiqp_<~:bso_lutª inü:;j_al de 350_kEa y una te_mperatura de_ 565 ~C_ c_9n_J..!nª v~J9cido1d_ i_nici_al d~s_QreciabJe. En el radio medio, 0,36 m. las condiciones son las siguientes: ----

Angulo del flujo de salida de las toberas Presión estática absoluta en la salida de las toberas Reacción del escalonamiento

--.,

68"

207 kPa ' ;;",¡0,2

Determinar el coeficiente de flujo y el factor de carga para el radio medio y la reacción en la raíz~ radio 0,31 m, a la velocidad de diseúo de 8000 ie\-·/rriín, -sabiendo que el escalonamiento ha de ser de torbellino libre para esta velocidad. Puede suponerse que no existen pérdidas. Comentar los resultados obtenidos.

[Tómese el' ~ 1,148 kJ/(kg "C) y y ~ l,n] 3. Un gas entra en las toberas de un escalonamiento de una turbina de flujo axial con presión total uniforme y con una velocidad uniforme c 1 en la dirección axial, y sale de las toberas con ángulo de flujo a:2 constante con la dirección axial. El flujo absoluto que sale del rotor c3 es completamente axial para cualquier

(i) la máxima velocidad de salida de las toberas;

radio. Utilizando la teoría del equilibrio radial y suponiendo que no hay pérdidas de presión total demostrar que

(ii) (iii) (iv) (v)

(c 3 2 -c 1 2 )/2 donde

U,.,c 0 mz

[1-

(;Jcos «a]

[Tómese R ~ 0,287 kJI(kg "C) y el' ~ L147 kJI(kg "C),]

u"'

es la velocidad media del álabe, c0 , 2 es la componente tangencial de la velocidad en la salida de las toberas en el radio medio r = r, (Nota: utilícese la aproximación c3 = c 1 en r = rm para obtener la expresión anterior.) 4. Un gas sale de una tobera de turbina no torsionada formando un ángulo a: con la dirección axial y en equilibrio radial. Demostrar que la variación de la velocidad axial de la raíz a la cabeza, suponiendo que la preSión total es constante, está dada por '

crr

~en·"

= constante

el máximo número de Mach absoluto en el escalonamiento: la reacción en la raíz; la potencia desarrollada por el escalonamiento; las temperaturas de parada y estática a la salida del escalonamiento.

7. Los álabes del rotor de un escalonamiento de turbina axial tienen 100 mm de altura y están disefiados para recibir gas con una incidencia de 3" desde una corona de toberas. Se pretende mantener una distribución de torbellino libre entre la salida de las tqb.erps. y la entrada al rotor. En la salida del rotor la velocidad absoluta es dé l5b in/s en la dirección axial para cualquier radio. La desviación es de so para los álabes del rotor y cero para los álabes de las toberas en cualquier radio. En la raíz, radio 200 mm, las condiciones son las siguientes:

cfl 1

c117

220

ar ar

blr, ante~ del rotor, b/r, después del rotor,

it,

Angulo de salida de las toberas 1' Velocidad de los álabes del rotor Velocidad del gas a la salida de las toberas ~

Determinar la velocidad axial en un radio de 0,6 m si la velocidad axial en un radio de 0,3 m es 100 m/s. El ángulo de salida a es 45". 5. El flujo a la entrada y a la salida de un rotor de un compresor de flujo axial está en equilibrio radial. La distribución de las componentes tangenciales de la velocidad absoluta en función del radio son

'f,.

(__/ '(

.-:

' ' :/ ¿. J

r_ --

(

70 grados

180 mis

1~ '. 450 m/s

Suponiendo que la velocidad axial del gas se mantiene constante a través del escalonamiento. determinar (i) el ángulo de salida de las toberas en la cabeza; (ii) los ángulos de entrada a los álabes del rotor en la raíz y en la cabeza·, (iii) los ángulos de salida de los álabes del rotor en la raíz y en la cabeza; (iv) el grado de reacción en la raíz y en la cabeza.

221

Termodinámica de las Turbomáquinas

•"

•

CAPITULO 7

¿Por qué es esencial que haya reacción positiva en un escalonamiento de una turbina? 8. Se quiere representar el rotor y el estator de un escalonamiento aislado en una turbomáquina de flujo axial por dos discos actuadores localizados en las posiciones axiales x = O y x = b, respectivamente. Los diámetros de raíz y cabeza son constantes y la relación de radios raíz/cabeza rhlr1 es de 0,5. El disco rotor considerado por sí mismo tiene una velocidad axial de 100 m/s lejos aguas arriba y

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

de 150 mis lejos aguas abajo para un radio constante r = 0,75 r1• El disco estator aisladamente tiene una velocidad axial de 150 mis lejos aguas arriba y de 100 m/s

Y a tu velocidad aiíádele alas (MILTON, Paraíso perdido.)

lejos aguas abajo para un radio r = 0,75 r 1• Calcular y representar gráficamente la variación de la velocidad axial entre -0,5 < xlr1 < 0,6 en el radio dado para cada disco actuador aisladamente y para los discos combinados cuando

(i) O= 0,1 r1

(ii) 6

= 0,25

r, , (iii) ó

•

INTRODUCCION

Este capítulo trata del comportamiento elemental del fluido en turbomáquinas de flujo radial que absorben trabajo, tales como bombas, ventiladores y compresores. La mayor parte de la discusión se centra alrededor del compresor, ya que el comportamiento básico de estas máquinas es, en su mayor parte, el mismo. Las turbomáquinas que emplean los efectos centrífugos para incrementar la presión de un fluido llevan en uso más de un siglo. Las primeras máquinas que utilizaron este principio fueron, sin duda, bombas hidráulicas, seguidas posteriormente por ventiladores y soplantes. Hay constancia de que se utilizó un compresor centrífugo en uno de los primeros motores de propulsión a chorro de aviación . El desarrollo de los compresores centrífugos continuó a mediados de los años 50 en este campo. pero mucho tiempo antes se había hecho evidente2 ·3 que, para los motores cada vez mayores requeridos para la propulsión aérea, eran preferibles los compresores de flujo axial. No sólo el área frontal (y resistencia) era menor en motores que utilizaban compresores axiales, sino también el rendimiento para las mismas exigencias era mejor en un 3 o un 4 %. Sin embargo, con gastos másicos de aire muy bajos, el rendimiento de los compresores axiales cae fuertemente, el conjunto de los álabes ocupa poco volumen y es difícil fabricarlos correctamente; la ventaja se inclina, pues, hacia los compresores centrífugos.

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Termodinámica de las Turbomáquinas

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Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

A mediados de los años 60 la necesidad de helicópteros militares avanzados impulsados por pequeñas turbinas de gas originó un desarrollo más rápido de los compresores centrífugos. Los avances tecnológicos hechos en este terreno suministraron un estímulo a los diseñadores en un campo mucho más amplio de aplicaciones que el de los compresores centrífugos existentes, por ejemplo, en pequeñas turbinas de gas para vehículos y helicópteros comerciales, tanto como para turbosobrealimentadores de motores diese!, plantas de procesos químicos, suministro de aire a talleres de fábricas y plantas de aire acondicionado a gran escala, etc. Recientes datos de funcionamiento de pequeños compresores centrífugos de un solo escalonamiento 4 citan rendimientos total a estático del 80-84 % para relaciones de compresión entre 4 y 6 a l. Se han alcanzado mayores relaciones de compresión con un solo escalonamiento pero con un rendimiento reducido, y para pequeñas gamas de flujo de aire, por ejemplo, Schorr y otros 12 diseñaron y ensayaron un compresor centrífugo que daba una relación de compresión de 10 a 1 y un rendimiento del 72 %, pero con un rango de flujos_ de aire de sólo el 10 % para la velocidad de giro de diseño_

Caracol colector-'

Envolvente

Ojo

C¡::Cx

13,

11 '

224

\ '

------·-~

---

'·-----·

Sentido de giro

~Zona tora

La mayor parte de las turbomáquinas en uso que elevan la presión son del tipo de flujo radial y varían desde los ventiladores que producen elevaciones de presión equivalentes a pocos milímetros de columna de agua hasta las bombas que producen saltos de varios cientos de metros de columna de agua. El término bomba se usa cuando nos referimos a máquinas que aumentan la presión de un líquido que circula a través de ella_ El término ventilador se usa para máquinas que imparten sólo un pequeño aumento de presión al gas circulante. En este caso el incremento de presión es normalmente tan pequeño, que el gas puede considerarse como incompresible. Un compresor proporciona un incremento sustancial de presión al gas que circula. A modo de definición, la frontera entre ventiladores y compresores se toma a menudo como aquélla donde la relación de densidades a lo largo de la máquina es 1,05_ A veces, aunque más

'--

ALGUNAS DEFINICIONES

Rodete

FIG. 7 .l.

13,

+ e, '

•,,

e,, u,

Escalonamiento de compresor centrífugo y diagrama de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.

raramente hoy día, se usa el término soplante en vez de· ventilador. Una bom_ba o compresor centrífugo consiste esencialmente en un rodete que gira, seguido de un difusor_ La figura 7.1 representa los diagramas de los diversos elementos de un compresor centrífugo_ El fluido es aspirado a través de la carcasa de admisión hacia el ojo del rodete_ La función del rodete consiste en aumentar el nivel de energía del fluido desviándolo hacia el exterior, incrementando de ese modo el momento cinético del fluido_ Tanto la presión estática como ]a velocidad son aumentadas en el interior del rodete o rotor_ El propósito del difusor es convertir la energía cinética del fluido que sale del rotor en energía de presión. Este proceso puede llevarse a cabo mediante una difusión libre en el espacio anular que rodea el rotor, o, como se indica en la figura 7.1, incorporando una corona de ·

225 •

'' Termodinámica de las Turbomáquinas

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

álabes fijos que permite hacer mucho más pequefio el difusor. En el exterior del difusor hay un caracol o voluta cuya función es recoger el flujo del difusor y dirigirlo hacia el conducto de salida. A menudo, en compresores de baja velocidad y en aphcac10nes de. bombas donde la simplicidad y bajo costo cuentan más que el rendimiento, la voluta está inmediatamente después del rodete. El tambor es la superficie curvada de revolución del rotor a-b; la envolvente es la superficie curvada c-d que forma la frontera externa del flujo. Los rodetes pueden ser cerrados, estando la envolvente unida a los extremos de los álabes (llamados rodetes cerrados), o abiertos, con un pequeño intersticio entre los extremos de los ~labes Y la pared estacionaria. Tanto si el rotor es cerrado como SI no, la superficie c-d se llama generalmente envolvente: El cerrar un rodete tiene la ventaja de eliminar las pérdtdas mterstlctales en l?s ~xtremos de los álabes, pero al mismo tiempo aumenta las perdidas por fricción. Los ensayos de la NACA demostraron que cerrar un rodete único parece ser perjudicial. a altas velocidades y beneftc.mso a baJas. En la entrada al rodete el flujo relativo tiene una velocidad wi Y un ángul 0 f3I con respecto al eje de rotación. Este flujo relativo gira hacia

la dirección axial por obra del «tramo inductor» o «álabes rotativos guiadores», como a veces se llaman. El inductor comienza en el ojo y normalmente acaba en la región donde el flujo está comenzando a girar hacia la dirección radial. Algunos compresores de diseño avanzado amplían el inductor muy dentro de la región de flujo radial, al p3recer, para reducir la difusión relativa. Para simplificar su manufactura y disminuir costos, muchos ventiladores y bombas se reducen a un tramo radial bidimensional, como se muestra en la figura 7 .2. Con esta disposición se puede esperar alguna pérdida de rendimiento. Con miras a una mayor utilidad, las expresiones obtenidas en este capítulo están generalmente en términos de la configuración tridimensional de compresores.

·,

ANALISIS TEORICO DE UN COMPRESOR CENTRIFUGO

., u,

El flujo a través de un escalonamiento de un compresor es un movimiento tridimensional altamente complicado, y un análisis completo presenta muchos problemas del mayor orden de dificultad. Sin embargo, podemos ohtener soluciones aproximadas bastante fácilmente simplificando el modelo del flujo. Adoptamos la denominada aproximación unidimensional, que supone que las condiciones del fluido son uniformes en determinadas secciones transversales del flujo. Dichas secciones se toman por conveniencia inmediatamente antes y después del rodete, así como a la entrada y salida de la máquina completa. Cuando se usan paletas de entrada para dar prerrotación al fluido que entra al rotor, el tratamiento unidimensional ya no es válido y se requiere entonces un análisis más amplio (véase Capítulo 6).

•

CARCASA DE ADMISION

Fra. 7.2.

226

Bomba de flujo radial y triángulos de velocidades.

! 11

El fluido es acelerado desde la velocidad c0 hasta la velocidad ci y la presión estática cae desde Po a p 1, como se indica en la figura 7.3. Puesto que la entalpía de parada es constante en flujo adiabático estacionario sin trabajo en el eje, se cumple que h 00 =h01 o

227

Bombas, ventiladores J' compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

Reagrupando la ecuación anterior y poniendo h 0 = h +-} c 2 , entonces '

En el Capítulo 2 se establecieron algunas definiciones de rendimiento válidas para este proceso.

( h1

! '

{·

tc22

+ }c2 2 -

U,c" = h2

U2ce2 = 1.¡

La función 1 es una propiedad fundamental de alguna importancia en el estudio de flujos relativos rotatorios que implican movimiento radial, y ha adquirido recientemente el nombre de. rota/pía, una contracción de entalpía de parada rotacional. La rotalpía tiene el mismo valor en la admisión al rotor que en la salida, de modo que ha de ser constante a Jo largo de las líneas de flujo entre estos puntos. Esto puede escribirse normalmente como, ·-í -

·~

+ tc12 -

~ . . !_. ~- + ~C

(7.2)

Uc 0 • _ \

El movimiento tridimensional general tiene componentes de velocidad en c8 y ex . en las dire<;ci~mes ·.radial, tangencial y axial, 2 resppecttivamt ente, yL_~ ----~ ~!__+ ~-~ --~ e;_._:: _ or ano,

!w'

1 =

constante

1= h

+ i(c; + ei +e;- 2Uc,).

Sumando y restando

se transforma en

FIG. 7 .3.

Diagrama de Mollier de un escalonamiento de compresor centrífugo · completo.

1 = h +!{(U- e,) 2 +e~+ e;- U 2 ). '1 \

Del triángulo de velocidades, figura 7.1, U - c8 = w8 y juntamente con w2 = C, + w~ + 2x, la ecuación (7.2a) se transforma en

·---

RODETE

----- --·-··------

1=h

+i(w2 "

El trabajo específico realizado sobre el fluido es igual al aumento de entalpía de parada y se expresa también mediante la ecuación de Euler de las bombas, ecuación (2.12a). Así, •' --

---

------- -----·

-----------

(7 .1) - -- -

228

(7.2a)

·-

U2)

- -

1 '

o bien ' ..

1 = h0

re 1

lU2 2 '

ya que (7.3)

--------

229

Bombas~ ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

Puesto que

= 12 a través del rotor, la ecuación

/ h, - hi = !(Vi- Vi)+ ----

•.

--------

i(wl- wD:! · -

arriba del rodete, dependiendo su localización del tipo de admisión. Mientras no se Q.ig_a lo f_on_trm;jo .S.~Ji.YPQndrá Q.ara el resto de _J~S~ ~apítulo que no existe _prerrotación (es__~ecir!.._~L=- 02 ·

(7.3) da (7.4)

La expresión anterior nos da la razón de por qué el incremento de entalpía estática en un compresor centrífugo es tan grande comparado con el de un compresor axial de un solo escalonamiento. En el miembro de la derecha de la ecuación (7.4), el segundo término i{w~- wiJ es la contribución de la difusión de la velocidad relativa y se obtuvo también para compresores axiales. El primer término i{ULc- _UQ. es la contribución debida ala fuerza centrífuga, que_ es c_~_ro si las líneas de corriente perma_n~cen ~on el mismo ;radio antes ::J. después del rodete. La relación entre los puntos 1 y 2 en la figura 7.3 se puede trazar fácilmente con la ayuda de la ecuación (7.4). Refiriéndonos a la figura 7.1, y en particular al diagrama de velocidades de entrada, el flujo absoluto no tiene componente de giro o momento cinético, y cQJ = O. Esta situación, en la que el flujo es libre para entrar axialmenié,"' es la normal en compresores y bombas centrífugos. El trabajo específico realizado sobre el fluido para tal flujo se escribe. partiendo de la ecuación (7.1), como -------

DIFUSOR

·1'. . . .• .¡ 1

• LIMITACIONES DE LA VELOCIDAD DE ENTRADA '

• 1

---·--- ·-----

1'. W = U 2 c 82 = h02-- --- ______ h0 ¡i...., -- ----- - - -- ---- --·-··

)

(7 .la)

en el caso de CQ_~ple~or:e~, y como ¡1•

) /

e>( L'.W = UzCoz _ gH, J

(7 .1 b)

en el caso dct._,bomba~ donde HJ.lalttlra__llidtáulica_~ic!eah>} es el aumento de altura hidráulica a través de la bomba e_xcluye_ndQ tocl_¡¡s las pérdidas !!!ternª-~ En casos excepcionales puede ser necesario dar úna pfiú-iOiáción al flujo que entra al rodete como medio de reducir una velocidad relativa de entrada alta. Los efectos de la alta velocidad relativa en la admisión al rodete se dejan sentir como efectos del número de Mach en compresores y efectos de cavilación en bombas. El método usual para · establecer una prerrotación requiere la instalación de una corona de paletas guiadoras en alguna parte aguas

230

El fluido es decelerado adiabáticamente desde la velocidad Cz hasta la velocidad e,, incrementándose la presión estática desde p, hasta p,, como se mue~tra en la figura 7.3. Como la voluta y el difusor de salida traen consigo alguna deceleración adicional, es conveniente agrupar la difusión total como el proceso desde el punto 2 al punto 3. Como la entalpía de parada en flujo adiabático estacionario sin trabajo en el eje es constante, h 02 = h 03 o h 2 + :\e~ = h 3 + ~ ej. El proceso d? 2 .a 3 se representa en la figura 7.3 como ureverstble, habiendo ~na perdtda de presión de parada p 02 - p 03 durante el mismo.

r '

¡ '

El ojo de entrada es una región crítica importante en bomba~, y compresores centrífugos, y requiere una cmdados_a consld~racion durante la etapa de diseño. En bombas, si la velocidad relatwa del flujo de entrada es _demasiado grande, pue~e apare_cer cav_i:ación con la- -Consecuente erosión de los álabes o m el uso reduccton de sus Características de- funcionamiento. pn los compresores, grandes velocidades relativas pueden causar un incremento en las pérdidas de presión total en el rodete. En compresores centrífugos de alta velocidad los efectos del número de Mach pueden llegar a ser :importantes, con velocidades relativas altas en la. entrada. Para un dimensionamiento adecuado del OJO, se puede mtmm1zar la velocidad relativa máxima, o algún parámetro relacionado, a fin de dar las condiciones óptimas del flujo de entrada. El análisis siguiente muestra , a modo de ilustración, un procedimiento senctllo de ' optimización para un compresor de baja velocidad basado en la teona del flujo incompresible. . . Para la geometría de. entrada mostrada en la figura 7.1, la veloctdad

1 •

231

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,, 1

Termodinámica de las Turbomáquinas

absoluta en el ojo se considera uniforme y axial. La velocidad relativa de entrada es w1 = (c;: 1 + U2 ) 11', que es claramente máxima en el extremo del inductor de radio rs 1 • El caudal es '/

Cxl A 1 -_

2 1t (r sl

• ) r hl

n2 2 )! · / u r sl

( Ws1 2 -

l 8Q = Ü = 2rsi(wsl2 n 8rs1

n2 2 ).¡ u fsi

2 2 ) - {rsirhi

DISENO

n2 /( 2 n2 2 )t u rsl Wst- u fsl

Después de simplificar, 2(w;i - íl 2 r;¡) = (r ;1 -

:. 2c~l = --' .,

P1 = Pol - -!-pc~i = Pv

rii)íl 2 , '•'

Cx¡(U;l = cotg (3, 1 . (k/2)'1,, i ___ --------------·:

(7 .6)

La ecuación (7.6) especifica las condiciones óptimas para los triángulos de velocidades a la entrada en función de la relación radio de raíz/radio de cabeza. Para valor~s típicos de esta relación (es decir, 0,3 .;;; rh 11r, 1 ~ 0,6) el ángulo óptimo del flujo relativo en el extremo del inductor f3,¡ está entre 56° y 60•. . 232

:. gH,

= (p,,- p,)/p =±e;, + a,(lwi) = lc;,(l +a,)+ ta,u;,

,_\

el coeficiente donde! k .. 1 ~ (rMJr,.¡.) 2 y U,l = Qr,¡ .1 Por tanto, ·--------·---óptimo de velocidad de entrada es e'-------··-··--·----- -----·-------cf>

+ ab(-!pwi)

ku;i,

_________ ..

OPTIMO DE UNA ADMISION DE BOMBA

Como se explicó en el Capítulo 1, la cavitación comienza a aparecer en una corriente líquida cuando la presión estática local decreciente llega a ser aproximadamente igual a la presión de vapor, p,,. Para ser exactos, es necesario suponer que la cavitación gaseosa es despreciable y que existen suficientes núcleos en el líquido para iniciar la cavitación de vapor. La bomba considerada en el análisis siguiente se supone que tendrá también la geometría de flujo representada en la figura 7.1. Inmediatamente aguas arriba de los álabes del rodete, la presión estática es p 1 = Pot - ~ pc_~ 1 , donde p 01 es la presión de parada y cx 1 .es la velocidad axial. En las proximidades de los bordes de ataque de los álabes del rodete sobre la superficie de succión hay normalmente un rápido aumento de velocidad que produce un descenso adicional de la presión. Cuando comienza la cavitación, la acción dinámica de los álabes provoca una reducción de la presión local, de forma que p = p,, = p 1 - ab(t pwiJ. El parámetro a,, que es el coeficiente de cavilación del álabe que corresponde al punto de comienzo de la cavilación, depende de la forma de los álabes y del ángulo de incidencia del flujo. Para bombas convencionales 11 funcionando normalmente, este coeficiente oscila entre 0,2.;;; ah .;;; 0,_4. Por tanto, en el comienzo de la cavitación,

(7 · 5)

Merece la pena observar que con Q y rh 1 fijados: (i) si r, 1 se construye grande, por la continuidad, la velocidad axial es baja, pero la velocidad del álabe es elevada; (ii) si r, 1 se construye pequeño, la velocidad del álabe es pequeña, pero la velocidad axial es elevada. Ambos casos extremos producen grandes velocidades relativas, y tiene que existir algún radio r 51 óptimo para el que· la velocidad relativa sea mínima. Para determinar el caudal máximo, derivemos la ecuación (7.5) respecto a rs 1 (manteniendo W.d constante) e igualémosla a cero,

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

donde Hs es la altura de succión positiva neta mencionada ya anteriormente, y se sobreentiende que ésta se mide para el radio de la envolVente r = rs!· Para obtener las condiciones de diseño óptimas en la entrada, consideremos la velocidad específica de succión definida como º.,=Q{f/gH,)l,donde Q = Ujr,, y Q = cx 1A, =nkr, 1cx 1 .De este modo,

{t(l 1

+ a,)cf> + ja,) 2

312

(7.7) 233

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

donde

De la ecuación (7.8a),

Para obtener la condición de máximo Qss' se deriva la ecuación (7.7) respecto a <P y se iguala el resultado a cero. = cx 11Usi·

Procediendo de esta forma se obtienen las condiciones óptimas:

<P~

2(1

+ "')

.'. r;,

0.025/(n

:. r, 1

0.05528 m.

= {0,303/(2 x 1,303)} 05 = 0,3410,

0.91

0, 75 2

n,.-

2nk(2/3) 1 ' 5 ",(l + "'lo,5

3.420k

- "'(1 + "'lo,5•

el el la el

con k=1 - (rh 1/r, 1) 2 = 1 - 0,3 2 = 0,9\.Resolviendo iterativamente (por ejemplo, utilizando la aproximación de Newton-Raphson), ah= 0,3030

A1 Por tanto,

TTr

J0- 4,

0.303 X 2.862 ~ 1, 632 m. 9.81 X 0,341 2 X

j,k, donde k = 1-(r.tfr, 1 ) 2 • '

---

A 1 ~ 7TkU, , /0 2

(7.9)

con Con velocidad axial uniforme la ecuación de la continuidad es rh=p1AtCxt·

Observando en el diagrama de velocidades de entrada (fig. 7.1) que Cx1=W.~1 cos f3st y U,d=W.51 senf3s 1 entonces, utilizando la ecuación (7.9)

·r.z

p¡k7T

entonces ~ 1 = Q!(nkQ<jJ) y Q = 1450n/30=151,84 rad/s.

Para obtener altos rendimientos de compresores de elevada relación de compresión es nece~ario limitar el número 9e Mach . relativo en el ojo. El área del flujo en el ojo se puede escribir como

"w + "•> ~ (3,42 k)';n;, ~ o,ll96

Y Cxt = <j!Qr"

1,689

OPTIMO DE UNA ADMISION DE COMPRESOR CENTRIFUGO

Solución: (i) De la ecuación (7.8c),

Cxl

DISENO

coeficiente de cavilación' del álabe, diámetro de la envolvente en el ojo, velocidad axial en el ojo, y NPSH.

(ii) Como Q = nkrf1

0.341)

(7.8c)

EJEMPLO: Se quiere diseñar la admisión de una bomba centrífuga. del tipo que se muestra en la figura 7.1 para condiciones óptimas cuando el caudal de agua es de 25 dm 3 /s y la velocidad de giro del rodete es 1450 rev/min. La máxima velocidad específica de succión es Q,.=3,0 (rad), y se desea que la relación de radios en el ojo de entrada sea de 0,3. Determinar: (i) (ii) (iii) (iv)

El diámetro requerido del ojo es de 110,6 mm. (iii) Cxt <j!Qrd = 0,341 X 151,84 X 0,05528 = 2,862 mis. (iv) De la ecuación (7. Sb),

(7.8a)

(7.8b) _

151.84

w812 sen 2fJ81 cos fJd·

(7.10)

Para un gas perfecto la forma más conveniente de expresar la densidad estática p 1 es en función de la temperatura de parada T01 y

234

235

---------------

-----------------

• •

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

Como a01 /a 1 = [1 +~(y- 1)Mi]l anterior se reordena para dar

de la presión de parada p 01 porque estoo parámetros son en general constantes a la entrada al compresor, Ahora bien,

" ecuac10n

•

_c_P = 1!_ To , Po Po T

entonces

1+ -T _

-.' /

\(7,11)

\ Esta ecuación es· extremadamente útil y se puede usar en numerosas formas diferentes. Para un gas determinado y condiciones de entrada conocidas puede uno fijar los valores de y, R, P 01 y T01 y obtener ms:Pik como función de Md y f3d- Especificando un valor determinado de Mr 1 corno límite, se puede encontrar el valor óptimo de {3_11 para gasto máximo. La forma más simple de optimizar f3s 1 es gráficamente, como se ilustra a continuación. 0 Tomando, por ejemplo, aire (y = 1 ,4, R = 287 J/(kg C) que entra al compresor en las condiciones de parada Po 1 = 101,3 kPa y Tot = 288 K, la ecuación (7,11) se transforma en

y - 1 M' _a .. ,0~ 2 a2

donde el número de Mach, M= ci(yRT)l = cia, siendo a0 y a las velocidades del sonido de parada y local (estática) respectivamente, Para flujo isentrópico,

0 623 '

_, _m..,n_' _ M,tsen ¡3,, cos /3, 1 10 4 2 k [1 f;M,i cos ¡3,,]

(7' 12)

Así,

El segundo miembro de la ecuación (7 .12) está representado

-1/(y-1)

0-3

.," "-• 0-2

donde

"'-• ·,. ""' _,_ •

Po = Pof(RTo).

•

e o

El número de Mach absoluto,M 1 y el número de Mach relativo M, 1 se definen como

"- +

·-1

0-1

•

Usando estas relaciones juntamente con la ecuación (7,10)

60 .

Angula del flujo relativo en la envolvente {3, 1 grad.

FIG. 7 .4.

Función de flujo másico para un compresor centrífugo sin rotación de entrada.

237

236

•••

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

•

'·•

'··

torbellino libre, la velocidad axial es constante (en la ausencia de efectos de viscosidad) y la componente tangencial de la velocidad cR varía inversamente con el :radio. De este modo, una prerrotación en extremo del ojo, suficiente para reducir la velocidad relativa Wst a un valor aceptable, tiene además el efecto de incrementar la desviación del flujo respecto del eje en la raíz, lo cual, juntamente con una velocidad del álabe menor, da como resultado un ángulo relativo del flujo f3h 1 muy bajo o incluso cero. Este efecto se pone de manifiesto claramente al comparar los diagramas de velocidades de las figuras 7 .Sb y c. Esto puede tener ciertas ventajas en algunos métodos de fabricación de rodetes. Una desventaja obvia del uso de prerrotación es que la transferencia de energía se reduce por el término U 1ce 1 • Se observará que ésta es una cantidad constante para una distribución de torbellino libre ya que U 1 oc r y cm oc 1/r.

,, u

(b) diagrama de velocidades en la envolvente

(al Alabes de guiado

Alabes del rodete

u,,

(e) diagrama de velocidades en el tambor

FIG. 7.5.

Efecto de los álabes de prerrotación de torbellino libre sobre la velocidad relativa a la entrada del rodete.

FACTOR DE DESLIZAMIENTO gráficamente en la figura 7.4 en función de f3.d para diversos valores discretos de Mrl· Se ve que todas estas curvas tienen -un máximo aproximadamente para [3" =60" en el que mQ 2 /k es máximo. Sheperd 15 analizó este problema con una aproximación más general que incluye el efecto de la rotación en la admisión ce 1 # O. Sus resultados muestran que la prerrotación del fluido, que hace disminuir la velocidad relativa, aumenta los valores máximos de mQ 2/k significativamente y reduce los valores de {3" para los cuales tienen lugar dichos valores máximos.

El flujo relativo que abandona un rodete de compresor o bomba, incluso bajo condiciones ideales sin fricción, no llega a recibir un guiado perfecto de los álabes y el flujo se dice que desliza. La figura 7.6 compara el ángulo del flujo relativo {32 con el ángulo del extremo del álabe del rodete {32. Se puede definir un factor de deslizamiento a corno cr121cfa, donde ce2 y cfn son las componentes tangenciales de las velocidades absolutas correspondientes a los ángulos f3z y {32 { . f-'1 . /

-----'

~------'~

,,------1

PRERROTACION

B2 es el ángulo del álabe B2 es el ángulo medio del flujo

' ' fl,..,,J

Se puede inducir prerrotación en el flujo entrante de una bomba o compresor insertando paletas guiadoras en el tramo de admisión; en la figura 7.5a se representa un método para realizarlo. El objeto es reducir la velocidad relativa de entrada al rodete, y en la figura 7.5b se muestra vectorialmente este efecto. Para paletas guiadoras diseñadas para producir un flujo de

u, 7.6.

Diagramas de velocidades real e hipotético en la salida del rodete de álabes curvados hacia atrás.

239

238

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

1 •

-+(1)

••

-·+•

.•

•

1 (b)

FIG. 7.7. (a) Remolino relativo sin tlujo pasante. (b) Flujo relativo a la salida del rodete (flujo pasante más remolino relativo).

j •

FIG. 7.8.

respectivamente. El factor de deslizamiento es un elemento de información de vital importancia para el diseñador de compresores, ya que un conocimiento preciso del mismo permite encontrar la transferencia de energía entre el rodete y el fluido. Se han hecho muchas tentativas para predecir el valor del deslizamiento, y Stanitz6 da un útil resumen de parte de este trabajo. La mayoría de los resultados cuantitativos son para ál@es radial~s ([3; = 0°); no obstante, se han obtenido resultados para álabes cu~vados''hacia atrás (/32 > 0°) y también para algunos rodetes de flujo mixto. Todos estos análisis se basan en la hipótesis de fluido no

Modelo de flujo para el factor de deslizamiento de Stodola. ••f'

para el deslizamiento. Refiriéndonos a la figura 7.8, la velocidad de deslizamiento c&s = cm_ ~ c&2 se considera como el producto del remolino relativo y el radio d/2 de un círculo que se puede inscribir en el interior del canal formado por dos álabes consecutivos. Por tanto, c8 ., = Qd/2. Si llarnmilos Z al número de álabes, se puede escribir una expresión aproximada d = (2nrzfZ)cosf32 si Z no es pequeño. Puesto que Q = U 2 /r 2 , entonces

•

VISCOSO.

Si un fluido sin .fricción pasa sin movimiento de giro a través de un rodete, el movimiento de giro tiene que seguir siendo nulo a la salida. El rodete mismo tiene una. velocidad angular Q de modo que, respecto al rodete, el fluido tiene que tener una velocidad angular de - Q: esta cantidad es denominada remolino relativo. De la idea del remolino relativo se obtiene una de las explicaciones más sencillas para el efecto de deslizamiento en un rodete. En la salida del rodete, el flujo relativo puede considerarse corno un flujo al cual se superpone un remolino relativo. El efecto neto de estos dos movimientos es que el flujo en la salida se inclina hacia el extremo del álabe en dirección contraria al movimiento del mismo (fig. 7.7). Stodola.' obtuvo una de las más recientes y sencillas expresiones 240

(7.13) Ahora bien, corno c82 = U2 - c,2 tang {32, el factor de deslizamiento de Stodola se transforma en l . •

•

a = c82 = 1 c;2

=--c-='c:.'-,---lj2 - Cr2 tang (32_

(7.14) -~.--.,.

• '

o bien, a=

donde ' </>2

f3;

(1r/Z) COS 1 - </>2 tang

(7.15)

[32 _,.

c,2 / U2

• 241

•

Se han desarrollado numerosas soluciones más refinadas (matemáticamente exactas), las más conocidas de las cuales son las de Busemann, discutidas con alguna extensión por Wislicenus 8 y Stanitz, 6 mencionados anteriormente. El volumen de trabajo matemático requerido para describir estas teorías es demasiado extenso para justificar su inclusión aquí y solamente se presenta un breve resumen de los resultados. La teoría de Busemann se aplica al caso especial de álabes bidimensionales curvados según espirales logarítmicas, como se muestra en la fig. 7.9. Considerando la geometría del elemento de álabe mostrada, debería ser una labor sencilla para el estudiante demostrar que

tang {3' ln(r,lr 1)

(7.17a)

que la relación entre la longitud del álabe y el paso equivalente entre dos álabes es

1 -S

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

z 2 "cos {3'

~) r,

¡-

•'~

-~/3'dr

tang {3' dr di = dr sec{3' y=B2-et

FIG. 7.9. Alabe en espiral logarítmica. El ángulo del álabe (3' es constante puru , cualquier radio.

2rr(r2 - r1 ) Z In (r 2 jr 1 )'

La espiral equiangular o logarítmica es la forma más simple de sistema de álabes radiales y se ha usado frecuentemente en el pasado para rodetes de bombas. El factor de deslizamiento de Busemann se puede escribir como 1

o8 = (A + B<Pz tang {32)/(1 - cp2 tang {32),

(7 .16)

•

donde tanto A como B son funciones de r2 /r 1 , {32 y Z. Para rodetes típicos de bombas y compresores la dependencia que tienen A y B de r2 /r 1 es despreciable cuando el valor de lis equivalente es mayor que la unidad. De la ecuación (7.17b), para que sea 1/s::: 1 se requiere que la relación de radios sea suficienterne"nte grande, es decir r 2 jr, ;. exp (2rr cos {3'/Z).

(7.17b)

rdB

rde

y que el paso equivalente es

(7.17c)

Este criterio se aplica a menudo a otros álabes que no tienen geometría de espiral logarítmica, y se utiliza entonces {32 en vez de (3'. Las relaciones entre radios de álabes · de rodetes de bombas centrífugas típicas sobrepasan normalmente el límite anterior. Por ejemplo, los ángulos de salida de los álabes de . rodetes están normalmente en el intervalo 50° < {32 < 70" para un número de álabes entre 5 y 12. Tomando los valores representativos de {32. = 60" y Z = 8, el miembro de la derecha de la expresión (7.17c) es igual a 1,48, que no es particularmente grande para una bomba. • Con tal que se tengan en cuenta estos criterios, B será constantey prácticamente igual a la unidad para todas las- -condiciorie~_. fo"i-ma similar, el valor de A es independiente de la relación de radios r2!r 1 y depende solamente de /32 y de Z. En la figura 7.10 10 se muestran valores de A que pueden también interpretarse como los valores de o8 para flujo cero (</J2 = 0). La solución exacta de Busemann hace posible comprobar la validez de métodos aproximados de cálculo tales como la expresión de '

·-·-·

243

242

•

Termodinámica de las Turbomáquinas ~r-----,-------r-----,

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

y el correspondiente factor de deslizamiento 0 1. usando la ecua~ión

(7.14) es

.l u~= 1 - .0>63rr/Z

·' 1

•

'- -'' -

• •

•

¡1

90"

13'2 FIG. 7 .10.

Factores de corrección de altura hidráulica para rodetes centrífugos (adaptado de Csanady 19 ).

Stodola. Haciendo </J2 =0 en las ecuaciones (7.15) y (7.16) se puede hacer una comparación de los factores de deslizamiento de Stodola y Busemann para la condición de flujo nulo. El valor de deslizamiento de Stodola se acerca a la corrección exacta si el ángulo del álabe está dentro del intervalo 50° :S /32 < 70° y el número de álabes es superior a 6. Stanitz 6 aplicó métodos de cálculo de relajación para resolver el campo de flujo potencial entre los álabes (solución álabe a álabe) de ocho rodetes con ángulos de extrí'mo álabe /32 variando entre O" y 45°. Sus principales conclusiones fueron que la velocidad de deslizamiento c6 , calculada era independiente del ángulo /32 y dependía solamente del espaciamiento entre álabes (número de álabes). Encontró también que los efectos de la compresibilidad no afectaban al factor de deslizamiento. La expresión de Stanitz para la velocidad de deslizamiento es

e,,= 0>63U2 rr/Z

(7.18)

tang

•

/32

··

(7.18a)

Para rodetes de paleteado radial esta expresiót~ se transforma en as = 1 ..: 0;63.n/Z, pero se escribe a mef\!ldo__ J?QI __conveniencia y para cálculos iniciales aproximados como/ a, .. 1-,2/Z) /C>r: · :- . · . Ferguson 9 ha recopilado provechosamente valores de factores de deslizamiento encontrados por diversas teorías para distintos ángulos y números. de álabes comparándolos con valores experimentales conocidos. ~ncm\tró que para b<Jmbas con /32 entre 60° y 7.Qo_Jgs factores de desfizamieiüo deStodolay l.lusemann guardabanb_astªnte bUena:· coTicórOaiiCüi- --Cári- ·ro-s· resultados experimentales.__ Por otra parte, para ro_de_tesd_e_]lalet"~do _ras:lialla expresión de Starúl>:, ecuación (7.18a) concordaba muy b1en.con las observac10nes expenmeiltales. Para valores Intermedios de /32 el factor de deslizamiento de Í3usemann e-ra el que mejor se ajustaba a los experimentos.

AUMENTO DE ALTURA HIDRAULICA DE UNA BOMBA CENTRIFUGA El salto real suministrado H medido como la diferencia de altura hidráulica entre las bridas de entrada y salida de la bomba, y en ocasiones llamado altura manométrica; es menor que el salto ideal H 1 definido por la ecuación (7.1b) a causa de las pérdidas internas. El rendimiento hidráulico de una bomba se define como H gH 'YJh = - = . H, u_.]..c_f.l2_ . ·---- ---De los triángulos de velocidades de la figura 7.2 Co2

,.,•

</> 2

Por tanto,

U2 -

Cr2

tang

(7.19)

{32.

(7.19a)

•

244

245

•

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

"• =

donde p2 _ c,2 U2 y {32 es el ángulo relativo medio del flujo real en la salida del rodete. ------ -- · · -- ---·

En el rodete y en el difusor se producen pérdidas hidráulicas. La energía cinética de salida del difusor normalmente no se recupera y tiene que contribuir a la pérdida HL- Revisando la ecuación (2.48) se 2 2 ve que la pérdida de altura en el difusor es (1 - r¡ 0 ) (c2 - c3 )/2g. La pérdida de altura en el rodete es 0,1 x U2 c8 ig, y' la pérdida de altura de salida es c/i(2g). Sumando las pérdidas.

Mediante la definición de factor de deslizamiento, a = c82 /cfi2, se puede relacionar directamente, de forma más útil, H con-elángulo.de salida del álabe, de la forma

H =

~,aUz'(I

</> 2

tang {3;)/g.

(7.19b)

En general, los rodetes de bombas centrífugas tienen entre cinco y doce álabes curvados hacia atrás respecto al senti'do de rotación, como se indicó en la figura 7.2, con un ángulo del extremo del álabe {32 entre 50" y 70°. conocimiento del número de álabes, {32 y cp 2 (normalmente pequeno y del orden de 0,1) generalmente perm!le encontrar a usando la fórmula de Busemann. Conviene observar que el efecto del deslizamiento es la causa de que el ángulo relativo del flujo {32 llegue a ser mayor que el ángulo del extremo del álabe {32. 3 EJEMPLO: Una bomba centrífuga suministra O,lm /s de agua para una velocidad de giro de 1200 rev/min. El rodete tiene siete álabes curvados hacia atrás tales que el ángulo {32 es de 50", un diámetro externo de 0.4 m, un diámetro interno de 0,2 m y una anchura axial de 31,7 mm. Suponiendo que el rendimiento del difusor es del51,5%, que las pérdidas de altura hidráulica en el rodete son el 10% del aumento de altura hidráulica ideal y que la salida del difusor tiene 0,15 m de diámetro, estimar el factor de deslizamiento, la altura manométrica y el rendimiento hidráulico. Solución. Se utiliza la ecuación (7 .16) para estimar el factor de deslizamiento. Puesto que exp (2ncos (32/Z) = exp (2 n x 0;643/7) = 1,78, es menor que r2 /r 1 = 2, entonces B = 1 y A = 0,77, obtenido representando los valores de A dados en la figura 7.10 para {32 = 55" e interpolando. La velocidad del extremo del álabe, U 2 = nND,/60 JT X 1200 x 0,4/60 = 25,13 mis

(0,77- 0.1 X 1,192)/(1 - 0,1 X 1.192) = 0.739.

HL = 0,495 (c 2 2 -c/)/(2g) + 0.1 X U2c, 2jg + c 3 2 /(2g).

Determinando las velocidades y alturas requeridas,

c 02 = "•U2 (1 - </> 2 tangf3;) = 0.739 x 25.13 x 0.881 H, = U 2 c.,/g = 25,13 X 16.35/9.81 = 41.8 m. c//(2g) = (16,35 2 +2.5F)/19,62 = 13,96 m. c 3 = 4Q/(,d2 ) = 0.4/(,x0,15 2 ) = 5.65 m/s.

•. •

= 16.35 m/s.

Así, pues, c 3 2 /(2g) = 1.63 m. •

Por tanto, HL = 4.18 + 0.485 (13.96 -1.63) + 1.63 = 11.8 m. La altura· manométrica es

= H,-HL = 41,8-11.8 = 30.0 m

y el rendimiento hidráulico ~· = HjH, = 71.7%.

RELACION DE COMPRESION DE UN COMPRESOR CENTRIFUGO Consideremos un compresor centrífugo sin prerrotación en la entrada, comprimiendo un gas perfecto. Con la notación usual, la transferencia de energía es

La velocidad radial, c, 2 = Q/(rrD 2 b2 ) = O.l/(rrx0,4x0.0317) = 2,51 m/s.

Ll. W

Por tanto, el factor de deslizamiento de Busemann es

= W,/m = hoz - ho, =

U2co2·

246

247

•

Termodinámica de las Turbomáquinas

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

' '

•

El rendimiento global o total a total

r~c-

ho>•- hot C,To,(To,,/To 1 7Jc = = ho 3 - h0 , h02 - hot

1•

(7.20)

= C,To,(To,,/Tot -1)/(UzCez).

Ahora bien, la relación de compresión global es

• ••o· .•

Pol _

•

Pot

(To3s

yf(y-t)

To1

recomiendan álabes radiales (/32 = O) y se obtiene la sencilla expresión siguiente para la relación" de compresión:

(7.21)

1·'

Sustituyendo (7.20) en (7.21) y observando que CP T01 (y- 1) = ai; 1 /(y- 1), la relación de compresión será

habiendo tenido en cuenta que c82 = aU2 , en la que se aplica la relación de Stanitz para el factor de deslizamiento, a, = 1 - 2/Z. Es de algún interés calcular la relación de compresión de un compresor de aire centrífugo de álabe radial utilizando la ecuación

(7.23c), con valores típicos de velocidad del extremo del álabe y de rendimiento. La figura 7.11 muestra la variación de la relación de compresión con la velocidad del extremo del álabe para tres valores

••

&r--------------------

(7 .22)

Del triángulo de velocidades en la salida del rodete (fig. 7.1)

</> 2

= c, 2 / U2 =( tanga2 + tang ¡32 ) -l

e ·o

ft~

•

""' "'

y, por tanto,

E o u

Po> Po1

. (y - l)~p¡tang a 2 1 + a5 1(tanga 2 +tang,82)

•

'1/('t-1)

•

(7.23a)

•O

••

3 cr =0·9 y =1~

Esta expresión es útil si se pueden conocer los ángulos del flujo. • Alternativamente, como c,2 tang a 2 = U2 (1 - </>2 tang /32 ), Po>= [1 +(y-

lhPi(l -

</> 2

tang j3,)fa5.]' 1''-"· (7.23b)

Po1

La velocidad del extremo del álabe U2 de compresores con elevada relación de compresión tiene, por fuerza, que ser alta, y álabes no radiales estarían sujetos a grandes tensiones como resultado de las fuerzas centrífugas. Para tales compresores de altas prestaciones se

248

Velocidad del extremo del álabe Velocidad de parada de sonidos en la entrada

--'ui'-' a.,

FIG. 7.11. Variación de la relación de compresión con la velocidad del álabe para un compresor de álabes radiales ({3;, = 0), para varios valores de rendim¡ento.

249

BombaS, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

de rendimiento del compresor con aire aspirado en condiciones normales (am = 340,5 mis y y= 1,4). Se toma 0,9 como valor del factor de deslizamiento que representa un compresor típico de diecinueve álabes radiales. Está claro por la figura 7.11 el fuerte efecto del rendimiento y de la velocidad del álabe sobre la relación de compresión. El límite de la velocidad del álabe debido a las fuerzas centrífugas parece estar alrededor de 500 mis, y los rendimientos de compresores centrífugos rara vez .exceden del &O %, por lo que las relaciones de compresión más altas obtenidas en un solo escalona- . miento están alrededor de 5 .a. l. Parece característico de todos los compresores que el rango de gastos másicos entre bombeo y bloqueo se haga menor cuanto mayor sea la relación de compresión para la cual se diseña la máquina. En el caso de un compresor centrífugo, el bloqueo tiene lugar normalmente cuando el número de Mach en la entrada de los conductos del difusor es próximo a la unidad. El problema se complica por la separación inducida por choque de la capa límite en los álabes, lo que tiende a agravar el problema del bloqueo del flujo.

(7.25) Suponiendo. que no existe rotación a la entrada, el triángulo de velocidades de entrada se puede utilizar para obtener h 01 = h 1 +:\-(wl - Ul). Introduciendo esto en la ecuación (7 .4),

por tanto,

(7 .26)

Sustituyendo las ecuaciones (7.25) y (7.26) en la ecuación (7.24),

(7.27)

observando que Para el caso importante de rodetes de álabes radial es (/32 = 0), a= 1 - <f>2 tang j32 , lo cual puede utilizarse en la ecuación (7.27). Después de alguna reordenación,

NUMERO DE MACH EN LA SALIDA DEL RODETE Con velocidades del extremo del álabe elevadas, el flujo absoluto que abandona el rodete puede tener un número de Mach muy por encima de la unidad. Como este número de Mach puede relacionarse con el número de Mach en la entrada a los álabes del difusor, tiene alguna ventaja el poderlo calcular. Suponiendo un gas perfecto, el número de Mach en la salida del rodete M 2 se puede escribir como

Tz azz

a~ 1 [1

+ (!

- 4>2 tang f:l:,j2] , !(y-!)(Uifa~.)(! -4> ~ sec 2 /lz)]

[,Pi

Mz = Ui

2 -

Mz-

a~ 1 [1

Ui(,P~

+ az)

+ t(y- l)(Ui/as.){a(2- a)-,¡,;¡]

(7.28)

Con U2 = 500 mis, a= 0,9. y= 1,4 y a 01 = 340,5 mis, la ecuación (7.28) puede utilizarse para encontrar el valor de M 2 si se conoce el valor de <f>2 • Puesto que las velocidades de los extremos de los álabes son altas, <f>2 es generalmente bajo y el número de Mach M 2 es relativamente insensible a ifJ-z. Para 0,1 ::::: cf>2 < 0,3, M? varía en el intervalo 1,2 > M 2 > 1,16.

(7.24)

En el rodete de un compresor centrífugo entra aire en dirección axial con una temperatura de parada de 22 oc. El rotor, que tiene 17 álabes radiales, gira a 15.000 revimin. La relación de EJEMPLO:

puesto que a ij1 = yRT01 Y a~ = yRT2,. Refiriéndonos al triángulo de velocidades de salida, figura 7.1, 1 '

250

251

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos Termodinámica de las Turbomáquinas

Por ello, el radio exterior del rodete es

presiones de parada entre la salida del difusor y la entrada al rodete es 4,2 y el rendimiento global (total a total) es del 83 %. Determinar el radio exterior del rodete y la potencia requerida para accionar el compresor cuando el gasto es de 2 kgis y el rendimiento mecánico es del 97 %. Sabiendo que la densidad del aire en la salida del rodete es 2 kgim3 y la anchura axial a la entrada del difusor es de 11 mm, determinar el número de Mach absoluto en ese punto. Supóngase que el factor de deslizamiento es a, = 1 - 2i Z, donde Z es el número de álabes. (Para el aire tómese y

= 1,4

y R

= U 2 /fl =

452/1570 = 0.288 m.

La potencia efectiva se obtiene de

w,,,¡ =

W,f"'m

m!;, W!"'m = 2

M2-~_ a2

(c,2 2

(yRT2)'

+e,/)'. •

c,2

U 22 = :C::.!PC:T.-"o.'C(::_r_"_"_'_' ' --~1) as "'e

c 82 =

Por tanto, c2 Puesto que

1005 Jikg "C;

mj(p22rrr,b 2) = 2/(2 u,U2 = 400 mjs.

= V (400 2 +

Por consiguiente,

50,3 2 )

ho2 = hot

4522/0.97

donde

puesto que ce 1 =O. Combinando las ecuaciones (7.20) y (7.21) con la anterior y reordenando da

U2 2

Aunque el número de Mach absoluto en la salida del rodete se puede obtener casi directamente de la ecuación (7.28), puede ser instructivo obtenerlo de

Solución. De la ecuación (7.1a) el trabajo específico es

0,8824

373 kW.

= 287 Jikg "C.)

donde r = p 03 ip 01 = 4,2; CP = yRi(y- 1) a,= 1 - 2i17¡ = 0,8824.

hot

2rr

0.288

= 402,5

0.011) = 50.3 m/s

mis.

+ !;.W

+ !;.W-lc2 2 •

Por tanto,

1005 x295(4.2°• 2 ' 6 0.8824 X 0.83

= 20.5 x

¡o•.

+ (t;.W- ic 22)/Cp =

= Tot = 394

295

+ (18.1- 8.1)104 /1005

5 K ..

con lo cual, Por tanto, U2

= 452 mis. M

La velocidad de giro es Q =

= 2

402.5 _ .J{402 X 394,3) - LO!.

15,000 X 2rr/60 = 1570 radjs. •

252

~---m::·==·.::.:.···:_::· ·:.:.·_:_·- - - ' - - - - - -

253

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

de ángulo e (fig. 7.9) se puede encontrar a partir de la geometría del flujo como sigue. Para un incremento de radio, dr, rde = dr tang a que se integra para dar

EL SISTEMA DIFUSOR Las bombas y los compresores centrífugos están, en general, provistos de un difusor, ya sea con álabes o sin ellos, para transformar la energía cinética de salida del rodete en presión estática.

e - e2

El concepto más simple de difusión en una máquina de flujo radial es aquel donde la velocidad tangencial se reduce mediante un incremento del radio (conservación del momento cinético) y la componente radial de la velocidad se controla por el área del flujo radial. De la ecuación de la continuidad, puesto que rh = pAc, = 2n:bpc, donde b es la anchura del conducto, entonces

rbp

(7.30)

Tomando a = 78" y r 3 /r2 = 2 por ser valores bastante representativos, la variación de ángulo, 83 - 82 , es cercana a 180°. A causa de la larga trayectoria del flujo en este tipo de difusores, los efectos de la fricción son importantes y el rendimiento es bajo.

Difusores sin álabes

r2b2p2Cr2

= tanga !og(rz/r,).

Difusores con álabes En los difusores con álabes, éstos se .utilizan para eliminar la rotación del fluido en mayor proporción que la que es posible mediante un simple aumento del radio; reduciéndose por esta razón la longitud de la trayectoria del flujo y el diámetro. El difusor con álabes resulta ventajoso cuando es importante que el compresor sea pequeno. Una configuración típica de difusor con álabes se ilustra en la figura 7.1. Existe un juego entre el rodete y los bordes de ataque de los álabes de un valor alrededor de 0,04 D 2 para bombas y entre 0,1 D 2 y 0,2 D 2 para compresores. Este espacio constituye un difusor sin álabes y sus funciones son: (i) reducir el gradiente circunferencial de presión en el extremo del rodete, (ii) disminuir las variaciones de velocidad entre el extremo del rodete y los álabes, y (iii) reducir el número de Mach (en compresores) en la entrada de los álabes. El flujo sigue aproximadamente una trayectoria espiral logarítmica hacia los álabes, siendo después conducido por los canales del difusor. Para una rápida difusión el eje del canal es recto y tangencial a la espiral, como se vio anteriormente. Los conductos se diseñan generalmente basados en la teoría simple de canales con un ángulo equivalente de divergencia entre 8° y 12° para controlar el desprendimiento. (Véase las notas del Capítulo 2 sobre rendimiento de difusores de paredes rectas.) El número de álabes del difusor tiene una relación directa con el

(7.29)

Suponiendo que el flujo es sin fricción en el difusor, el momento cinético es constante y c8 = c82 rzlr. Ahora bien, la componente tangencial de la velocidad cR es normalmente mucho mayor que la componente radial cr; por tanto, la relación de velocidades de entrada y salida del difusor c2 /c3 es aproximadamente r3 /r 2 . Evidentemente, para obtener reducciones útiles de la velocidad, los difusores sin álabes tienen que ser grandes. Es posible que esto no sea una desventaja en aplicaciones industriales, donde tamaño y peso pueden ser de importancia secundaria comparados con el costo de un difusor con álabes. Un factor en favor de los difusores sin álabes es la amplia gama de funcionamiento que se puede obtener, siendo los difusores con álabes más sensibles a la variación del flujo a causa de los efectos de incidencia. Para un difusor radial de paredes paralelas en flujo incompresible. rcr es constante y, por tanto, tang ex= c8 /cr =constante. Bajo estas condiciones el flujo mantiene una inclinación constante ex respecto a líneas radiales, y la trayectoria del flujo describe una espiral logarítmica. La ley que relaciona la relación de radios con la variación

255

254 ::

Termodinámica de las Turbomáquinas

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

tamaño y con el rendimiento del difusor sin álabes. Con un gran número de álabes, el ángulo de divergencia es menor y el difusor se hace más eficiente hasta el punto donde el incremento de la fricción y el bloqueo superan la ventaja de una difusión más gradual. Además, considerando los álabes como una cascada, un aumento del número de los mismos implica una reducción de la relación de radios, ya que la relación paso-cuerda será más o menos constante. No obstante, como discutió Cheshire, 1 demasiados conductos difusores pueden tener un fuerte efecto adverso en las características de bombeo de un compresor centrífugo. Con varios conductos difusores adyacentes que compartan el gas de un solo conducto del rodete, la distribución desigual de velocidad de ese conducto da como resultado que unos conductos difusores estén faltos de flujo y otros bloqueados. Esta es una situación inestable que conduce a la inversión del flujo en los conductos y a bombeo del compresor. Cuando el número de conductos difusores es menor que el número de conductos del rodete, resulta un flujo total más uniforme.

~-·

y cuando e

256

+ t(y-

Po T

a, M

!)M']'-'"'-"

!, por lo que

!!__

(

)1/(y-1)

y+ 1

(7.32)

Sustituyendo las ecuaciones (7.31) y (7.32) en la ecuación de la continuidad, m/A = pe = p(yRT),,' y entonces

,;,

(

2 )<y+1)/2(y-1) A=poao y+!

(7.33)

Por tanto. como Po y· a 0 se refieren a las condiciones de parada de entrada, las cuales permanecen invariables, el gasto másico en bloqueo es constante.

Rodete En los conductos giratorios del rodete, las condiciones del flujo se refieren al factor I = h + (w2 - U2 ), que es constante según la ecuación (7.4). En la entrada del rodete y para el caso especial cAI =O, observemos que / 1 = h 1 + = h 01 . Cuando se produce bloqueo en los conductos del rodete, es la velocidad relativa w la que se hace igual a la velocidad del sonido en alguna sección. Ahora bien, 2 w = a2 = yRT y T01 = T + (yRT/2Cp) - (U2!2Cp), luego

+cT

f!_ = 1!_

Cuando la velocidad del flujo en un conducto alcanza la velocidad del sonido en alguna sección transversal, el flujo se bloquea. Para el conducto estacionario de entrada esto significa que no es posible un aumento posterior del flujo másico, ni disminuyendo la presión de salida ni aumentando la velocidad de giro. Ahora bien, el comportamiento en bloqueo de conductos giratorios difiere del de conductos estacionarios, y se hace necesario analizar por separado la admisión, el rodete y el difusor. Para cada componente se utiliza una aproximación simple y unidimensional, suponiendo que todos los procesos del flujo son adiabáticos y que el fluido es un gas perfecto.

El bloqueo tiene lugar cuando c2 = a2 = yRT. Puesto que h 0 = h + f c2 , entonces CpTo = CPT + yRT y

Suponiendo que el flujo en la admisión es isentrópico,

BLOQUEO EN UN ESCALONAMIENTO DE COMPRESOR

Admisión

(7.31)

(7.34)

257

Termodinámica de las Turbomáquinas

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Suponiendo flujo isentrópico, p/p01 ecuación de la continuidad,

(TIT01 )"Cy-l). Utilizando la

Por tanto, ••

(r)<')'+1)/2(y-1)

-A =

Po1Go1

01 (y+ 1)/2(y-1)

rz +(y1)U'fa~ 1 y+l

Ahora bien,

(')'+1)/2(')'-1)

-PotGo1L

(7.35) Po2ao2 = Po1ao1(p02/Po1)(ao,/ao1)

Si se produce bloqueo en los conductos giratorios, la ecuación (7.35) indica que el flujo másico es dependiente de la velocidad del álabe. Al aumentarse la velocidad de giro, el compresor puede aceptar un mayor flujo másico, a menos que se produzca bloqueo en algún otro componente del compresor. En principio, puede parecer bastante sorprendente que el flujo de bloqueo en un rodete pueda variar dependiendo de la velocidad del álalee; el análisis anterior justifica la variación del límite de bloqueo de un compresor. Difusor

La expresión para el flujo de bloqueo, ecuación (7.33), se mantiene para los conductos del difusor, teniéndose en cuenta que las condiciones de parada se refieren ahora al difusor y no a la admisión. Por tanto,

(

A, - Po2Go2 y

)<y+1)/2(y-1).

(7.36)

Evidentemente, las condiciones de parada a la entrada del difusor dependen de los procesos en el rodete. Para encontrar cómo la velocidad del álabe afecta al límite de flujo másico de bloqueo, es necesario referirse a las condiciones de parada de entrada. Suponiendo un rodete de álabes radiales de !endimiento r¡¡, se tiene

= Po1aodPo2/Po1(To1/To,)•],

Por tanto,

Po 1a01

[1 +(y- 1haU~ja~,]'"'-o

[1 +(y- 1)aU~/aol]t

--r+l

{')'+1)/2{y-1)

•

(7 .37)

En este análisis puede observarse que el proceso de difusión se ha considerado como isentrópico, pero no así el del rodete. La ecuación (7.37) indica que el flujo másico de bloqueo puede modificarse variando la velocidad de giro del rodete.

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258

259 •

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número de Mach relativo en la entrada, suponiendo flujo sin fricción través de los álabes guiadores, y el rendimiento total a toral del rodete. Otros detalles del compresor y sus condiciones de funcionamiento son: Diámetro exterior de entrada al rodete 0,457 m /5 1 Diámetro exterior de salida del rodete 0,762 m ¡-\ 7 Factor de deslizamiento 0.9 Componente radial de velocidad a la salida del rodete 53,4 mis Velocidad de giro del rodete 1 i.fUIDQl rev/min __í_-2 __ _ Presión estática en la salida del rodete 233 kPa {abs.). !<¿_ S. Un compresor centrífugo tiene un rodete con 21 álabes que son radiales a la salida, un dif~?pr sin álabes y carece de álabes de guiado. En la entrada la presión de parada es 100 kPa abs. y la temperatura de parada es 300 K. r r (i) Sabiendo que el gasto es 2,3 kg/s, la velocidad periférica del rodete 500 mis 1) l y el rendimiento mecánico d~l9,6 %, determinar la potencia de accionamiento en el eje. Utilícese la ecuación' (7.18a) para el factor de deslizamiento. (ii) Determinar las presiones total y estática a la salida del difusor cuando la velocidad en ese punto es !DO m/s. El rendimiento total a total es del 82 %. ,--¡ (iii) La reacción, que se pu&de definir como para un compresor de flujo axial por la ecuación (5.10b), es 0,5, la velocidad del flujo absoluto a la entrada del rodete es_...l.50 mis y el re1fciimiento del difusor es del 84 %. Determinar las presionestétal y estática, el número de Mach absoluto y la componente radial de la velocidad en la salida del rodete. · (iv) Determinar el rendimiento total a total del rodete. (v) Estimar la relación de radios entrada/salida para el difusor suponiendo la conservación del momento cinético. (vi) Encontrar una velocidad de rotación adecuada para el rodete dada una anchura de la periferia del rodete de 6 mm. L '1 6.f1i·.Una bomba centrífuga se utiliza para elevar agua conffa una altura estática de 18-:o m. Las tuberías de succión y suministro. ambas de'0,15 m de diámetro, tienen, respectivamente, pérdidas de carga por fricción que ascienden a 2,25 y 7,5 veces la altura <;linámica. El rodete, que gira a \f50 rev/min, tiene un diámetro de 0,25 m con 8 álabes, relación de radios 0,45 cJrvados hacia atrás f3í = 60 grados. La anchura axial del rodete está diseñada para dar velocidad radial constante para cualquier radio y es de 2Cbmm :n ~a salida del rodete. Suponien~o un rendimiento hidráulico de O,X2 y un rend1m1ento global de 0,72, determmar (i) el caudal; ·. / ; · (ii) el factor de deslizamiento utilizando el método de Busemann; (iii) el ángulo de entrada de los álabes del rodete que se necesita para ángulo de incidencia cero; (iv) la potencia necesaria para accionar la bomba. 1

PROBLEMAS

Nota: En los problemas 1 a 5 supóngase que la constante del gas es R = 287 J/(kg "C) y que y= 1,4. Para los problemas l a 4 la presión de parada y la temperatura de parada en la entrada del compresor se supone que son 10·1 ,3 kPa Y. 288 K, respectivamente. l. El aire qu¿: entra al rodete de un compre~or centrífugo tiene una velocidad axial absoluta de'rioo m/s. A la salida del rotor el ángulo relativo del aire medido desde la dirección radial es 2Q.~'36', la componente radial de la velocidad es 120 m/s -- i ·:!.. v la velocidad del extremó-de los álabes radiales es .500 mis. Deter;;¡ñar la potencia requerida para accionar el compresor cuando ei'gasto de aire es de 2,5 ',' ·kg/s y el rendimiento mecánico es del 95 o/c·. Si la relación de radios del ojo del -: ;' rodete es 0,3, calcular un diámetro de entrada adecuado suponiendo que el flujo 1 'de entrada es incompresible. Determinar la relación de presiones totales global del compresor cuando el rendimiento total a total es del 80 %, suponiendo la velocidad de salida del difusor despreciable. (/~_ 2. Un compresor centrífugo tiene una velocidad periférica del rodete de 366 m/s. Determinar el número de Mach absoluto del flujo que abandona los álabes radiales del rodete, cuando la componente radial de la velocidad en la salida del rodete €#-30,5 mis y el factor de deslizamiento es 0,90. Sabiendo que el área del flujo a la salida del rodete es 0,1 m 2 y que el rendimiento total a total es del90 %, determinar el gasto másico.,._ .JI/¡ 3. El ojo de un compresor centrífugo tiene una relación de radios raíz/cabeza 1 de 0,4, un número de Mach relatiyq máximo del flujo de 0,9 y el flujo absoluto es , 1 . 1 uniforme y completamente axial. Determinar la velocidad de giro óptimo para la ' - condición de máximo gasto sabiendo que dicho gasto es 4,536 kg/s. Determinar también el diámetro exterior del ojo y la relación velocidad axial/velocidad del álabe .en la periferia del ojo. Puede utilizarse la figura 7.4 para ayudar a los cálculos. 4. Un compresor centrífugo experimental dispone de álabes de guiado de torbellino libre a fin de reducir la velocidad relativa del aire a la entrada del rodete. En el radio exterior del ojo, el aire que sale de los álabes guiadores tiene una velocidad de 91,5 mis a 20" respecto de la dirección axial. Determinar el ·~~"

11 \

f'¡ -

1¡ ••

261

260 •

•

CAPITULO 8

•

Turbinas de flujo radial Me gusta el trabajo; me fascina, puedo sentarme y mirarlo durante horas. (JEROME K. JER®ME, Three Men in a Boat).

' 1

INTR<9DUCCI0N La evolución de la turbina de flujo .radial ha tenido una larga historia y fue concebida en principio con el propósito de producir potencia hidráulica hace más de 150 años. Un ingeniero francés, Fourneyron, desarrolló la primera turbina hidráulica con éxito comercial (hacia 1830), del tipo radial centrifuga. Francis y Boyden en USA (hacia 1847) construyeron una turbina hidráulica del tipo radial centrípeta, que dio excelentes resultados y fue muy considerada. Este tipo de máquina se conoce ahora como turbina Francis, y se puede ver una disposición simplificada de ella en la figura 1.1. Se observará que la trayectoria del flujo va desde una dirección radial a lo que es sustancialmente una dirección axial. Una trayectoria del flujo en la dirección contraria (radial centrífuga), para una turbina de un solo escalonamiento, crea de todas formas diversos problemas, uno de los cuales (discutido más adelante) es un bajo trabajo específico. No obstante, como apuntó Sheperd, 1 las turbinas de vapor centrífugas de muchos escalonamientos han recibido una aceptación considerable en Europa. La figura 8.1, sacada de la ref. 2, muestra esquemáticamente la turbina de vapor Ljungstrom, que, a causa del tremendo aumento de volumen específico del vapor, hace la trayectoria radial centrífuga virtualmente imperativa. Una característica única de la turbina Ljungstr6rn es que no tiene coronas de álabes estacionarias. Las dos

263

----

---

•

.....:.. .. _..;._,_.......____.~

----

-·

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas · Escape hacia el condensador •

Anillos de laberintos, i

Vapor entrante

--..

••

•

(a) Sección meridional de la turbina

FIG. 8.1.

Disposición de los y sentidos de giro

Turbina de flujo radial centrífuga tipo Ljungstr6m (adaptado de

Kearton 2 ).

coronas de álabes que contienen cada uno de los escalonamientos giran en dirección opuesta, de forma que ambas pueden considerarse como rotores. Las turbinas radiales centrípetas (I.F.R., inward-flow radial) cubren amplias gamas de potencias, de gastos másicos y de velocidades de. giro, desde grandes turbinas Francis usadas en generación de potencia hidroeléctrica y desarrollando cientos de megavatios, hasta pequeñas turbinas de gas de ciclo cerrado de unos pocos kilovatios para generación de potencia en el espacio. En la U.R.S.S. se han construido turbinas Francis que producen 250 MW y, según Puyo, 3 se han considerado proyectos de diseño en Norteamérica y Rusia para 500 MW o más. El posterior desarrollo de la capacidad de unidades simples parece estar limitado solamente por técnicas de producción y problemas de transporte. Es interesante constatar que se han hecho recientemente varias demandas rivales en diferentes países para la planta de potencia qe mayor capacidad del mundo, todas ellas basadas accidentalmente en turbinas Francis. Shmelev4 da una descripción técnica de un proyecto hidroeléctrico en Bratsk, en Siberia oriental, que pretende ser el mayor del mundo, para 4500 MW con 20 grupos generadores

movidos por turbinas Francis. Baptist y Nitta 5 dan algunos detalles de unas turbinas Francis extremadamente grandes en Grand Coulee, Colorado, U.S.A. En 1977 habrá 12 unidades instaladas de 600 MW de capacidad cada una, dando un récord de capacidad «nominal» con 7200 MW. Los rotores de estas turbinas tienen 10 m de diámetro, girando a 72 r.p.m. y consumiendo cada una un caudal de 850 m 3/s de agua. Este tipo de turbinas normalmente trabaja con alturas (de agua) e·n la gama de 30-500 m. El rendimiento de las grandes turbinas Francis ha crecido gradualmente a lo largo de los años y hoy día está alrededor del 95 %. Danel6 hace un repaso histórico de este progreso . Parece haber pocas •esperanzas de un mayor aumento del rendimiento, ya que la fricción superficial, las fugas intersticiales y la energía cinética de salida del difusor justifican, al parecer, las pérdidas que quedan. Durante las últimas décadas la pequeña turbina radial centrípeta se ha usado en múltiples aplicaciones. Entre éstas se incluyen la sobrealimentación de los motores diesel y de automóvil, unidades de expansión en sistemas de refrigeración de aviación, unidades de expansión en licuefacción de gases y otros sistemas criogénicos y como un componente de las pequeñas turbinas de gas utilizadas para generación de potencia en aplicaciones espaciales. 7 Sobre una gama limitada de velocidades específicas, proporcionan un rendimiento aproximadamente igual al de las mejores turbina> de flujo axial. La turbina centrípeta tiene también la ventaja de la facilidad de fabricación y la robustez de construcción.

TIPOS DE TURBINAS RADIALES CENTRIPETAS

En las turbinas centrípetas se transfiere energía del fluido al rotor al pasar de un radio grande a un radio pequeño. Para la producción de trabajo positivo el producto Uce a la entrada al rotor debe ser mayor que Uce a la salida del mismo [ecuación (2.12b)]. Esto se consigue normalmente impartiendo una gran componente tangencial a la velocidad de entrada al rotor, utilizando toberas simples o múltiples, y permitiendo un poco o nada de rotación en el flujo absoluto de salida.

265

264

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-·

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbina cantilever

La turbina centrípeta a 90°

La figura 8.2a muestra una turbina centrípeta cantilever donde los álabes se limitan a la región del extremo del rotor, extendiéndose desde el rotor en dirección axial. En la práctica, los álabes cantilever son normalmente de tipo acción (es decir baja reacción), lo cual implica que hay una pequeña variación de la velocidad relativa desde la entrada a la salida del rotor. No hay una razón fundamental de por qué los álabes no puedan ser de tipo reacción. Sin embargo, la expansión que resulta a través del rotor requeriría un aumento del área de paso del flujo. Este área extra es extremadamente difícil de acomodar en una pequeña distancia radial, especialmente, porque el radio disminuye a lo largo de la corona del rotor. Aerodinámicamente, la turbina cantilever es similar a una turbina axial de acción y se puede diseñar por métodos similares. La figura 8.2b muestra los triángulos de velocidades de entrada y de salida del rotor. El hecho de que el flujo. sea radialmente entrante apenas altera el procedimiento de diseño, pues de todos modos la relación de radios del álabe rir 3 es cercana a la unidad.

A causa de la mayor resistencia estructural comparada con la turbina cantilever, la turbina centrípeta a 90° es el tipo preferido para utilizar en turbosobrealimentadores, turbinas de gas y expansores criogénicos, etc. La figura 8.3 muestra la configuración y los triángulos de velocidades de una turbina centrípeta a 90°; los álabes del rotor se extienden desde una entrada radial.hasta una salida axial. La zona de salida de los álabes es curvada para eliminar la mayor parte (si no toda) de la componente tangencial de la velocidad absoluta. Esta zona curvada de los álabes se conoce como el exductor. La turbina centrípeta a 90°, o simplemente turbina centrípeta, es muy similar en apariencia al compresor centrífugo del Capítulo 7, pero con la dirección del flujo y el movimiento de los álabes invertido. El fluido que se descarga del rotor de la turbina puede tener una

----

Alabes de toberas

Alabes del rotor

Rotor Envolvente

(a) Eje del rotor •

Difusor

' ,

En la entrada al rotor

(b)

'•

w, En la salida del rotor

u, FIG. 8.2.

266

••

Disposición de una turbina cantilever y sus triángulos de velocidades en el punto de diseno.

u, FIG. 8.3.

Esquema y diagramas de velocidade& para una turbina de flujo radial centrípeta a 90° en el punto nominal de diseño.

267

----

--~--

•

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo radial

·--

!(e/ - c, 2 ) _\,

(8 .1)

----

correspondiendo a la variación de presión estática desde p 1 hasta una presión más baja p 2 • La variación ideal de entalpía estática (h 1 - h 2 ,) está entre las mismas dos presiones. En el Capítulo 7 se vio que la rotalpía, 1 = ho,c~- U 2 , es constante para un proceso adiabático irreversible. Para el rotor de la turbina centrípeta a 90°, .

Por tanto, como ho rei = h

3as 3s

hz- h3

+ iw2 ,

H(Uz 2

U3 2 ) - (w2 2

w,Z)]

(8.2)

FIG. 8.4.

En este análisis el punto de referencia 2 (fig. 8.3) se toma en el radio de entrada r 2 del rotor (la velocidad del extremo del álabe U2 = Qr2 ). Esto implica que las irreversibilidades en las toberas se agrupan con Pérdidas por fricción que tienen lugar en el espacio anular entre la salida de las toberas y la entrada al rotor (normalmente se incluyen también las pérdidas en el caracol). La entalpía de parada no varía a través del disufor. h03 = h04 , pero la entalpía estática aumenta como resultado de la velocidad de difusión. Por tanto,

Diagrama de Mollier para una turbina de flujo radial centrípeta a 90 o y difusor (en el punto de diseño).

velocidad considerable c3 y podría entonces considerarse un difusor axial como un medio de recobrar la mayor parte de la energía cinética, -} e/, que de otra forma se desperdiciaría. En turbinas hidráulicas se usa invariablemente un difusor*.

TERMODINAMICA DE LA TURBINA CENT.RIPETA A 90" En la figura 8.4 se representa mediante un diagrama de Mollier el proceso de expansión adiabático completo para una turbina, comprendiendo una corona de toberas y un rotor radial seguido por un difusor, que corresponde al esquema de la figura 8.3. En la turbina, los procesos con fricción hacen aumentar la entropía en todos los componentes y estas irreversibilidades están consideradas en la figura 8.4. A través de los álabes de las toberas la entalpía de parada es constante, h 01 = h 02 , y, por tanto, la caída de entalpía estática es

(8.3) El trabajo específico realizádo por el fluido en el rotor es (8.4) Como

L\.W =hoz- ho>

"N. del T. En inglés también conocido como draught tube.

268

-...._________

hz- h,

+ i(Cz 2 -

!{(Uzz- u,z)- (wzz- w,z)

e/)

+(e/- CJ2)]

(8.4a)

269

~------

__/

---

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas

después de sustituir en la ecuación (8.2). Es la gran contribución positiva al trabajo específico del primer término de la ecuación (8.42), es decir j (Ul- U3 2 ), lo que confiere a la turbina radial centrípeta su principal ventaja sobre la del tipo centrífugo. La condición de diseño «nominal» para la turbina centrípeta a 90° se define aquí como un flujo relativo de incidencia cero en la entrada del rotor (es decir, una velocidad relativa radial w 2 .. c,2 ) y una velocidad absoluta axial en la salida del rotor (c 3 = e_,). Cualquier variación de estas condiciones del flujo se considerará, para los propósitos de este análisis, como condiciones fuera de diseño. Una pequeña rotación en la salida puede realmente ser beneficiosa para la estabilidad del flujo en el difusor, y un flujo relativo ligeramente no radial a la entrada del rotor puede mejorar el rendimiento, pero estas consideraciones no se tienen en cuenta en esta etapa. Por tan'to, con . c 83 = O y ce2 = U2 , el trabajo específico en el punto- de diseño es simplemente

!!_ = i T2

:. !2 = T

1 U~ (y- ) 1 - cotg 2 «2 + (~) cotg2 yRT2 r2

Hr- 1l(~u2)2

1 - cotg2 a 2

+ (~) r2

{J,J 2

cotg2

fJ 3

. (8.2c)

donde a 2 = (yRT2 es la velocidad del sonido a la temperatura T2 • ..EJt<érmino velocidad del chorro c0 (originario de la práctica deJas turbinas hidráulicas) se define como aquella velocidad que tiene una • energía cinética asociada igual a la caída isentrópica de entalpía desde la presión de parada de entrada a la turbina p 111 hasta la presión final de escape. La presión de escape puede tener aquí varias interpretaciones dependiendo de si se usan condiciones totales o estáticas en la definición del rendimiento mencionada y de si se incluye o no un difusor con la turbina. Por tanto, cuando no se utiliza difusor.•

(8.4b)

1c2-h 2 O 01 -h 03ss ~

(8.5a)

y las condiciones de disC:ño, refiriéndonos a los triángulos de velocidades de la figura 8.3,w,'- U,Z puede escribirse como

h2- h,

tCU2 2 _:_

c 3 2 , y así la ecuación (8.2)

+e/)

(8.2a)

Esta relación particular, en la forma 12 = h 02 rcl - - } U22 = h03 , puede ser fácilmente identificada en la figura 8.4. Refiriéndonos de nuevo a los triángulos de velocidades, w 2 = U 2 cotg a2 y c3 = U3 cotg /)3 , se obtiene una forma alternativa útil de la ecuación (8.2a),-

h2- h3

!U2 2[(1 -

cotg2 a 2 )

+ (r3/r2) 2 cotg2 /)3]

(8.2b)

donde U3 está escrito como U2 rir2 . Para un gas.perfecto la relación de temperaturas T,IT2 puede encontrarse fácilmente. Sustituyendo h = CPT = yRT/(y-1) en la ecuación (8.2b)

270

(8.5b)

para los casos de total y estático, respectivamente. _En una turbina radial ideal (sin fricción) con recuperación total de la energía cinética de salida,

. 1\.W = U/=

ico 2

0,707

En el punto de mejor rendimiento de las turbinas centrípetas a_ 90° reales (con fricción) se encuentra que esta relación de velocidades está, generalmente, en el intervalo 0,68 < U2 /c 0 < 0,71.

271

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas

RENDIMIENTO EN EL PUNTO DE DISEÑO '

Refiriéndonos a la figura 8.4, el rendimiento total a estático en el caso de no haber difusor, se define como {l

w + te.

!lW . r (h, - h,,)

r, =

+ (h,,- h,,.)

...

Normalmente, r 3 y {33 corresponden al radio medio, es decir, r3 = i{r3 ,+r3 h)· La relación de temperaturas (T3/T2 ) en la ecuación (8.9) se puede obtener en la ecuación (8.2c). Por tanto,

(8.6)

Las pérdidas de entalpía en los conductos de la corona de toberas y del rotor se pueden expresar como una fracción ( ~) de las energías cinéticas de salida respectivas, es decir,

Observando que para un proceso a presión constante Tds cumple la aproximación,

1 - !(y - 1)

pero, generalmente esta relación de temperaturas tendrá solamente un efecto muy pequeño en el valor numérico de 1Jrs y por ello se ignora normalmente en los cálculos. Así,

{x cosec2 fJ,.,

+ cotg' fl>av

(8. 7a)

(8.9a)

= dh, se

es la expresión que normalmente se utiliza para determinar el rendimiento total a estático. Se puede obtener una forma alternativa para r¡,, escribiendo la ecuación (8.6) como

hot- hoJ

h,, - h,., = (h - h2,)(T3 /T2)

"'u= h01 -

(h01

h,.,)- (h 03

hJ.s.s

h,)- (h,- h3 , ) - (h,,- h,,.) (ho 1 - h3 ,.)

(8.10)

Sustituyendo las pérdidas de entalpía en la ecuación (8.6), (8.8)

donde la velocidad del chorro c0 se define por .

ho, - h,,.

De los triángulos de velocidades en el punto de diseño, figura 8.3,

e2 = u2 cosec a2, w, = u, cosec {J,, e, =

u, cotg

(3,,

w = u;'

¡leo 2

c.r.,[l - (p,fp.,)'' ""]

(8.11)

Existe una relación sencilla entre el rendimiento total a total y el total a estático, que se puede obtener como sigue. Poniendo

De este modo. sustituyendo todas estas expresiones en la ecuación (8.8) y teniendo en cuenta que U 3 = U2 r3 /r 2 , entonces

"1" =

'N -T, cosec2 a 2

('•) - ('x cosec 2fl3

cotg 2 fJ) ,

-1

7Jtt =

llW

llW,,(8.9) •

272

Entonces,

!e/

_ _..::__~-

e/ -1

"'u

2/l W 273

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo radial

e,,

turbina, el coeficiente de pérdida de entalpía del rotor y la relación de velocidades relativas del rotor.

1 1 • •• - = '11t

'1•

2t.W

1 =-- 2 '1" 1

r3av cotg

f33av

Solución:

(8.12)

•

1 1

EJEMPLO: Los datos de funcionamiento de una turbina radial CAV tipo 01 (Benson y otros referencia 8) que opera con una relación de presiones /¡J 01 1p 3 de 1 con flujo relativo de incidencia cero en el • rotor, se presentan de la forma siguiente:

,s1

m ~Po¡ = Nlv'Tc;. = r:/po¡ =

•

,•

1,44 X w-s, ms(grad.K,Y' 2410,(rev/min)/(grad.K)' 4,59 X 10- 6 , m 3

ho¡ - h3.,

= 1005

Anchura de entrada al rotor, Diámetro de salida medio del rotor, Anchura anular del rotor en la salida, Angula de entrada al rotor, Angula de salida del rotor, Número de álabes del rotor, Diámetro de salida de las toberas, Angula de salida de las toberas, Número de álabes de las toberas,

-O¿ 72,5 7,14 ' ".34,4 20,1

Cn = {2 (1/r¡,, - 1) .

274

= 43,97 kJ/kg.

' '

h3 , ) = 76,14 por ciento.

~N cosec 2 a 2 ) (r2 /r3 avl 2 sen2 (33"'

{2 (1/0,7614 - 1) - 0,065

1,1186}

4,442

cos 2 {33 ,"

0,6378 - 0,3622

1,208 ¡

Se supone la velocidad a la salida c3 uniforme y axial. De los triángulos de velocidades, figura 8.4, .

= w3 2 =U/+ e/

La turbin'a se «ensaya en frío» con aire calentado a 400 K para prevenir las erosiones por condensación en los álabes. Se estima que el ángulo del flujo a la salida de las toberas es dt<l''71° y el correspondiente coeficiente de pérdida de entalpía se fija en 0,065. Suponiendo que el flujo absoluto a la salida del rotor carece de rotación y es uniforme, y el flujo relativo abandona el rotor sin ninguna desviación, determinar los rendimientos total a estático de la

U 3 cotg (3 3

U,,w cotg f33av 2

-'"-' ) T3av

+ cotg2

•

El coeficiente de pérdida de entalpía del rotor se puede obtener de la ecuación (8.9a).

-1 .

T01 [(1 - (p 3/p 01 )Cr-Il 1']

400 [J - (1/1,5) 113 ·5 )

r¡,, = Ll Wl(h 01

mm. mm. mm. mm.

:.:,:. 53' 10 74,1 mm. 80' 15

= C"

De esta forma el rendimiento total a estático es

donde r es el par, corregido por las pérdidas de fricción en los cojinetes. Las principales .dimensiones, ángulos, etc., son las siguientes: p¿~-~~-~~-o de entrada al rotor,

La velocidad periférica del rotor U2 = rrND,/60 = 183 m/s ya que N = 2410 v'400 rev/min.• Por lo tanto, el trabajo específico realizado Ll W = U~ = 33,48 kJ/kg. La caída isentrópica total a estática de entalpía correspondiente es

constante

f33av

no teniendo en cuenta las variaciones de velocidad de álabe a álabe. Por tanto, 275

Turbinas de flujo radial Termodinámica de las Turbomáquinas

r 3C-)' --'

+ cotg fl 2

3 .,

+•

(8.13)

r3av

El valor más bajo de esta relación de velocidades relativas tiene lugar cuando r3 es mínimo, es decir, irJ _ r3h _ {34,4- 20,1)/2 = 7,15 · mm, de forma que - ---

w,., =

0.475 X 2,904[1

+ 0.7536

esta turbina, para ángulos de salida de las toberas menores, la ecuación (8.13) indica que la relación de velocidades relativas se hace aún menos favorable, pese al hecho de que el criterio del espaciamiento de álabes de Jamieson sea aproximado. (Para Z=lü, el óptimo valor de a 2 está alrededor de 58".)

EXPRESIONES DEL NUMERO DE MACH

]+ = 1.73.

W2av

Suponiendo el fluido como un gas perfecto, se pueden deducir expresiones para los números de Mach importantes en la turbina. En la salida de las toberas el número de Mach absoluto en el punto de diseño es

La relación de velocidades relativas que corresponde al radio de salida medio es

(w,)

0.475 x 2.904[0.415 2

+ 0,7536 2 ]+ =

1,19.

W2av mfn

Merece la pena comentar que se han obtenido mayores rendimientos total a estático en otras turbinas radiales pequeñas que operan con relaciones de presiones mayores. Rodgers\1 sugirió que se pueden alcanzar rendimientos total a estático por encima del 90 o/o para 10 relaciones de presiones hasta de cinco a uno. Nusbaum y Kofskey dejaron constancia de un valor experimental del 88,8 % para una turbina radial pequeña (equipada con un difusor de salida. por supuesto) con una relación de presiones p¡11 lp 4 de 1 ,763. En el ejercicio anterior, el alto coeficiente de pérdida de. ental'pía en el rotor y el correspondiente rendimiento total a estático relativamente bajo puede muy bien vincularse con la baja relación de velocidades relativas determinada en el tambor. La situación es probablemente peor que ésta, ya que los cálculos se basan solamente en un sencillo tratamiento unidimensional. En la determinación de las relaciones de velocidades a través del rotor debería también tenerse en cuenta el efecto de la variación de velocidad de álabe a álabe (omitida en este capítulo), así como los efectos viscosos. El número de álabes del rodete (diez) puede ser insuficiente según la teoría de Jamieson'' (referencia 14) que aconseja 18 álabes (es decir Zm,, = 2mang a 2 ). En *Incluida en un apartado posterior de este capítulo.

ahora bien,

T, '

.. r,' •

= =

To, - c 2 2 /(2C,) = T01

-iU2 2 cosec 2 a 2 /C,.

1 - l(Y - 1)(U2 /a01) 2 cosec' a 2

Por ello, (8.14) El número de Mach relativo en el punto de diseño en la salida del rodete se define corno, )~,

ahora bien, 277

276

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas

y el coeficiente de pérdida de presión de parada

= ho, -

+. t ('~ cotg

(33

2]'

YN =

CPo1 - Po2l/CPo2 -

(8.18a)

P,)

a,Z=a01 2 -(y-l)U/ 1

que se puede relacionar aproximadamente con

+t (-cotg r2

por (8.18b)

•

sen

Puesto que, h01 = h 2 + ic 22 = h 2, = i(c 2 , 2 - C2 2)' y

2cotg r2

+ !c2,2 ,¡entonces h2- h2,

(8.15) 1

COEFICIENTES DE PERDIDAS EN TURBINAS CENTRIPETAS A 90° Hay varias formas de representar las pérdidas en los conductos de turbinas centrípetas a 90u que han sido enumeradas e interrelacionadas por Benson. 11 En condiciones fuera de diseüo. además de las pérdidas en los conductos del rotor y del estator, existe una pérdida a la entrada del rotor. Esta pérdida se produce cuando el flujo relativo que entra al rotor forma un cierto ángulo de incidencia con álabes radiales, por lo. que se puede llamar pérdida de incidencia. Frecuentemente se conoce corno pérdida por choque, pero esto puede resultar engañoso porque, normalmente, no hay onda de choque.

{N =

.pN2 - J.

(8.19)

Los valores prácticos de rfJN para coronas de toberas bien diseñadas en funcionamiento normal están ell general en el intervalo 0,90 ~ rfJN ~ 0,97.

(ii) Coeficientes de pérdidas en el rotor

Tanto en condiciones de diseño (fig. 8.4), como en condiciones fuera de diseño (fig. 8.5), las pérdidas por fricción en los conductos del rotor se pueden expresar en función de los coeficientes siguientes. El coeficiente de pérdida de entalpía es (8.20)

(i) Coeficientes de pérdidas en toberas El coeficiente de pérdida de entalpía, que normalmente incluye las pérdidas en el caracol a la entrada, se ha definido ya y es

El coeficiente de velocidad es

.PI< = w3 /w 3 , (8.16)

que se puede relacionar con También se utiliza el coeficiente de velocidad

(8.21)

'R mediante (8.22)

(8.17) 1.

278

279

•'

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo radial

Este aumento de entalpía se muestra en el diagrama de Mollier (fig. 8.5) como un proceso a presión constante (p 2 =constante), y tiene entonces que existir una pérdida correspondiente de presión de parada igual a CPoz'rei - P02re1) = (Llp 0 )sh· En ocasiones es conveniente disponer de una definición del coeficiente de pérdida por incidencia para flujo incompresible, que es

/3,

Inmediatamente antes de la entrada al rotor

1nmediatamente después

de la entrada al rotor

(8.24a)

{3, Salida del rotor

31S

3's

Para flujo compresible, el coeficiente de pérdida por incidencia tiene una forma equivalente,

·Y,.= (L'lpo),,j[(po2'«I- p 2 )

2 2 cos ,82.] = tang

f32 • (8.24b)

FIG. 8.5.

Bridle y Boulter 13 dan una expresión empírica para Ysh que se ajusta mucho a los datos experimentales en el intervalo de j32 . = ±65°,

Triángulos de velocidades y diagrama de Mollier para una turbina ce.ntrípeta a 90 o en condiciones fuera de diseño.

Y,,= (tang 2 f3 2 •

El rango normal de <P para rotores bien diseñados es aproximadamente 0,75 ,: <PR ,: 0,85.

. h 2 - h2' -- "(w 2 2' 2 280

w2 2)

'w 2 2 ta ng z

R. F2'

(8.23)

(8.24c)

CONDICIONES DE FUNCIONAMIENTO FUERA DE DISEÑO En condiciones de funcionamiento fuera de diseño (por ejemplo, cuando la velocidad de giro es inferior a la velocidad de diseño), se puede identificar una pérdida adicional debida a la incidencia del flujo sobre el rotor. Futral y Wasserbauer 12 definieron esta pérdida como la energía cinética correspondiente a la componente de la velocidad normal al álabe del rotor en la entrada. Inmediatamente antes de entrar al rotor, la velocidad relativa (fig. 8.5) es w 2 . y se reduce hasta w2 inmediatamente después de entrar al rotor. Al parecer, el origen del concepto de «pérdida por choque» se debe a este modelo simple de una variación brusca de la velocidad relativa a la entrada del rotor. Por lo tanto, como el radio no varía, horcl es 2 constante en este proceso y h 2 • + jw 2·2 = h 2 + }w2 y así

+ 0.1) 2 •

CRITERIO PARA MINIMO NUMERO DE ALABES • ,,

El sencillo análisis siguiente del flujo relativo en un rotor de álabes radiales es de considerable interés, ya que ilustra un punto fundamental importante referente al espaciamiento entre álabes. De la mecánica elemental sa_bemos que las componentes radiales y transversales de la aceleración f,. y f, respectivamente, de una partícula que se mueve en un plano radial (fig. 8.6a) son

¡;. = wJ

(8.25a)

D. 2 r

f,=ró+2D.w

. . . dw donde w es la velocidad radial, w = dt

(8.25b)

i!w w i!r (para flujo estacio-

nario), Q es la velocidad angular y Q = dQ/dt se hace igual a cero. 281

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas

consideramos de nuevo el elemento de fluido y aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección tangencial, se obtiene

Velocidad radial, W Aceleración radial. fr -~

Aceleración tangencial, fr Velocidad tangencial, Qr

Insuficientes álabes para este radio

-.. \S

dp.dr

·Región de inversión de flujo

f,dm

20w(prd8dr).

Por tanto. 1

--~20rw

r (a) Movimiento de una partfcula en un plano radial

FrG: 8.6.

(b) Radio óptimo para evitar inversión de flujo, ropt

que establece la magnitud del gradiente tangencial de presión. Derivando la ecuación (8.27) respecto a fJ,

Modelos de flujo utilizados en análisis del mínimo número de álabes.

Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton a un elemento de fluido (como el mostrado en la figura 6.2) de profundidad unitaria, ignorando las fuerzas viscosas, pero poniendo e,. = w, la ecuación radia) del movimiento es (p

+ dp)(r + dr)d8

- prd8- pdrd8

ap aw + w-~ 0 2 r. p or or 1

(8.26)

Integrando la ecuación (8.26) respecto a r se obtiene pfp

+ !w' -

tU'~

(8.29) De este modo, combinando las ecuaciones (8.28) y (8.29) obtenemos

ow -~-znr ae

- J,.dm

donde la masa elemental dm = prdedr. Después de simplificar y sustituir f, por su valor según la ecuación (8.25a) se obtiene el resultado siguiente,

constante

(8.27)

que es la forma no viscosa de la ecuación (8.2). El par transmitido al rotor por el fluido se manifiesta como una diferencia de presiones entre ambas caras de cada álabe radial. Consecuentemente, tiene que haber un gradiente de presiones en la dirección tangencial en el espacio entre dos álabes consecutivos. Si 282

(8.28)

(8.30)

Este resultado establece el hecho importante de que la velocidad radial no es uniforme de ,una cara a otra del conducto como se supone frecuentemente. Como consecuencia de este hecho, la velocidad radial en una cara del conducto es menor que en la otra. Jamieson, 14 de quien es original este método, concibió la idea de determinar el mínimo número de álabes basándose en estas consideraciones sobre las velocidades. Sea la velocidad radial media w y el espacio angular entre dos álabes adyacentes t. e = 2rr/ Z, donde Z es el número de álabes. Las velocidades radiales máxima y mínima son, por consiguiente, Wmá, ~

w + ¡t.w ~ W + Or1'.8

Wmfn ~ W -

tt.w

~ W -

Orl'.8

(8.3!a) 8.3lb)

utilizando la ecuación (8.30). Haciendo la suposición razonable de que la velocidad radial no 283

' '

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas '

debe ser inferior a cero (véase fig. 8.6b). el caso límite tiene lugar en el extremo del rodete, r = r 2 con wm,, =O. De la ecuación (8.31b) con u2 = Qr2, el número mínimo de álabes del rotor es (8.32a) En condiciones de diseño, U2

tang

a2,

y por tanto, (8.32b)

La figura 8. 7 muestra la variación de z,," con a2 según la ecuación (8.32b). Wallace 15 adelantó un análisis más riguroso que el tratamiento anterior, el cual tiene en cuenta la naturaleza compresible del flujo en una turbina radial, la inclinación del álabe y la curvatura del flujo. El análisis de Wallace predice un número bastante mayor de álabes que el tratamiento de Jamieson para .evitar inversión de flujo. Algunos ensayos experimentales que describen Hiett y Johnston 16 son de interés en relación con el análisis presentado anteriormente. '

, 60

110

Angulo del flujo desde la tobera, a: 2 (grad)

FIG. 8.7.

284

Número mínimo de álabes requerido para evitar inversión de flujo a la entrada del rotor.

Con un ángulo de salida de las toberas a 2 = 77" y un rotor de 12 álabes, se midió un rendimiento total a estático r¡, = 0,84 para la relación de velocidades Uzlc 0 óptima. Para tal valor del ángulo del flujo, la ecuación (8.32b) indica que se requerirían 27 álabes para evitar el flujo inverso en el extremo del rotor. Sin embargo, un segundo ensayo con el número de álabes aumentado a 24 produjo una ganancia de rendimiento de sólo el 1 %. Hiett y Johnston propusieron que el criterio para el número óptimo de álabes quizá no fuera simplemente el evitar la inversión de flujo local, sino que podría requerirse un compromiso entre las pérdidas de presión total por esta causa y las pérdidas por fricción debidas al área superficial del rotor.

SIGNIFICADO Y APLICACIONES DE LA VELOCIDAD ESPECIFICA

El concepto de velocidad específica N, se ha discutido en el Capítulo 1 y se han hecho ya algunas aplicaciones del mismo. La velocidad específica se utiliza ampliamente para describir los requerimientos de funcionamiento de las turbomáquinas en función de la velocidad del eje, caudal y trabajo específico ideal (alternativamente, se utiliza potencia desarrollada en lugar de trabajo específico). Originalmente, la velocidad específica se aplicó casi exclusivamente a máquinas de flujo incompresible como una herramienta de selección del tipo y del tamafio óptimos de la unidad. La variación del caudal a través de la máquina obstaculizaba, al parecer, su aplicación a unidades que manejan fluidos compresibles, lo cual saca a relucir el difícil problema de qué caudal debería utilizarse en la definición de la velocidad específica. Según Balje, 17 el caudal significativo que habría de usarse es el de la salida del rotor, Q,. Este es el que ha sido hoy día ampliamente adoptado por muchas autoridades en la materia. Wood 18 lo encontró útil para establecer la definición básica de la velocidad específica, ecuación (1.8), en función de la geometría y de las condiciones del flujo dentro de la turbina centrípeta. Adoptando la forma adimensional de la velocidad específica, para evitar ambigüedades, 285

Turbinas de Oujo radial

Termodinámica de las Turbomáquinas

o bien,

NQ,•

(8.33)

N,= tlh o,

n, =

donde N está en rev/s, Q3 en m 3/s y la caída isentrópica de entalpía total a total tlho., (desde la entrada a la salida de la turbina) está en J/kg (es decir, m'is 2 ). . Para la turbina radial centrípeta a 90", poniendo U2 = nND 2 y 2 l'.ho., = ~ c0 , la ecuación (8.33) se puede escribir de la forma siguiente:

)l rrND 2 Q, )t ND/ Uz

(8.34)

Q, ,) 1 , (rev)

A 3 c 3 21rD2

A, = A•

ND/

VTc0 D2 2

(D" D

-e:

~ ~ ~

= OY. x (1 - 0.122) = 0.43.

D,. D"

1·0

" . 0·8

,... ~

u u

• •

0·6

1 ~.,~·'.

~··

~-~

~ ~ ~

coVT

0·4

,.D 2 2

(8.34c)

Los recientes estudios de diseño de la NASA (p. ej., ref. 7) de turbinas de gas centrípetas a 90° indican que la relación entre el diámetro exterior de salida del rotor y el diámetro de entrada al mismo D:>./D 2 no debe exceder de 0,7 para evitar una excesiva curvatura de la envolvente. Además, sería improbable que la relación entre el diámetro del tambor y el diámetro exterior en la salida del álabe D 3 h!D 3 , cayera por debajo de 0,35, a causa del bloqueo del flujo debido al poco espaciamiento entre álabes. Por ello, se puede encontrar un límite superior para A?,!Ad

es decir, la velocidad específica es directamente proporcional a la raíz cuadrada del coeficiente volumétrico de flujo. Para obtener algún significado físico de las ecuaciones (8.33) y (8.34a), definamos un área del disco del rotor Ad = nD 2214 y supongamos una velocidad de salida del rotor axial uniforme c3 de forma que Q3 = A 3 c3 , entonces, como

(rad)

(8.34a)

ND 2

N= U2/(rrD2) =

~ t ~ t• Co

Para la turbina centrípeta a 90° ideal, se vio anteriormente que la relación entre velocidad del álabe y velocidad del chorro era Uzfc 0 = 1/VZ = 0,707. Sustituyendo este valor en la ecuación (8.34), N,= 0.18

2.11

c3 17

=A;;~2y'2

Factor de energía de escape, (C:JC 0) 2

Por tanto, N,= 0:336

286

fiG.

(rev) •

(8.34b)

8.8.

Función de velocidad específica para una turbina de flujo radial centrípeta a 90 o (adaptado de Wood 1H).

287

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo radial

La figura 8.8 muestra la relación entre Q" el factor de energía de escape (c,/c0 ) 2 y la relación de áreas A,IA,¡ basada en la ecuación (8.34c). Según Wood, 18 los límites para el factor de energía de escape, en la práctica de turbinas de gas, son 0,04 < (c,/c0 ) 2 < 0,30, siendo el valor más bajo, al parecer, un límite de la estabilidad del flujo. Turbinas Francis

1·0

/Í

/ /

~Turbinas

centrípetas a 90°

Turbinas axiales

------r--

-·

0·2

0·01

0·1

1· o

·-

Velocidad específica,

FIG. R.9.

10·0 5

{rad)

Características de velocidad específica- rendimiento para varias turbinas (adaptado de Wood 1 ~).

El valor numérico de la velocidad específica proporciona un índice general de la capacidad de flujo respecto al trabajo realizado. Valores bajos · de Q,. están asociados con secciones de paso del flujo relativamente pequeñas, y valores elevados, con secciones relativamente grandes. La velocidad específica se ha usado ampliamente como una indicación general del rendimiento alcanzable. La figura 8. 9 presenta una amplia correlación de rendimiento máximos para turbinas hidráulicas y de flujo compresible en función de la velocidad específica. Estos rendimientos se aplican a condiciones favorables de diseño con altos valores del número de Reynolds del flujo, difusores eficientes y pérdidas por fugas bajas en los extremos de los álabes. Se ve que sobre una gama limitada de velocidades específicas las mejores turbinas de flujo radial alcanzan el rendimiento de las mejores turbinas de flujo axial, pero, desde º., = 0,03 hasta 10, ninguna otra

forma de turbina que trabaje con fluidos compresibles puede exceder las altas prestaciones de la turbina axial. Sobre el intervalo relativamente limitado de velocidades específicas (0,3 < º., < 0,9) en que la turbina radial centrípeta a 90° puede producir un alto rendimiento es difícil encontrar una ventaja de actuación decisiva a favor de la turbina de flujo axial o de la de flujo radial. Nuevos métodos de fabricación permiten fundir los álabes de pequeñas turbinas radiales formando un con junto con el rotor, de forma que ambos tipos de turbinas pueden funcionar con velocidades del extremo del álabe similares. Wood 18 ha comparado los méritos relativos de las turbinas de gas axiales y radiales con cierta extensión. En general, aunque el peso, el volumen ocupado y el diámetro son mayores en las turbinas radiales que en las axiales, las diferencias no son tan grandes, y las compatibilidades mecánicas de diseño pueden invertir dichas diferencias en una planta de potencia completa con turbinas de gas. Los estudios realizados en la NASA sobre ciclos Brayton nucleares para la generación de 'potencia en el espacio se han realizado todos ellos con turbinas centrípetas a 90°, en vez de con turbinas axiales. Es interesante utilizar los datos de la gran turbina Francis empleada en Gran Coulee (ver introducción a este capítulo) para determinar la velocidad específica y compararla con los datos dados en la figura 8.9. Ni el rendimiento ni el salto están específicamente fijados. Sería razonable, no obstante, suponer que el rendimiento, r]n es 0,95 para determinar la altura hidráulica efectiva en la entrada de la turbina. De este modo, H

W,f(pgQ~,) = 600 X 10 6 /{10 3 X 9 81 X 850 X 0.95).

75,8m.

Por tanto, la velocidad específica (rad) es

(72 X w/30) X 850' ' - (gH)' - '----:(""9,-;c8-;"1-x-;7"'5:-;;,8"')•c- ·

Q _

QQt _

1,56

Se puede ver en la figura 8.9 que este valor de º., está cercano al

289 •

Termodinámica de las Turbomáquinas

extremo derecho de la curva señalado por «turbinas Francis» de acuerdo con la característica general. Para valores fijados de Q, H y U2 , como Q = 2U2/D,,

Turbinas de flujo radial

1·O

-•

0·9

límite1 031!0 2 =0'7

o u

-• -~

í!Ql - -,---0"-. - (gHJI

<X-

m m

es decir, Qs varía inversamente con el düímetro D 2 . De esta forma, dado un rendimiento constante sobre una gama de velocidades específicas, un diseüador tendería a elegir el mayor valor de Qs en dicha gama, ya que esto permitiría usar la turbina de menor tamaño.

o o o

•-

•

0·3

Velocidad específica,

FIG. 8.10.

SELECCION DEL OPTIMO DISEÑO.DE TURBINAS RADIALES CENTRIPET AS A 90°

RohliklJ ha examinado analíticamente el funcionamiento de turbinas centrípetas a 90° a fin de determinar la geometría de diseño óptima para varias aplicaciones, caracterizándolas por la velocidad 17 específica. Su procedimiento, que amplía el tratado de Balje y Wood," se utilizó para determinar las pérdidas en el punto de diseño y los correspondientes rendimientos para varias combinaciones de ángulos de salida del flujo de las toberas a 2 , relación de diámetros del rotor D 2 !D 3 ov y relación entre la altura de los álabes en la entrada del rotor y el diámetro de 'salida, b2 /D"',. Las pérdidas consideradas en los cálculos son las asociadas con,

(rad)

Actuación calculada de una turbina centrípeta a 90 o (adaptado de Rohlik 19 ).

capas límites en las coronas de álabes de toberas, capas límites en los· conductos de paso del rotor, juego en la punta de los álabes del rotor, ventilación del disco (en la superficie posterior del rotor), pérdida de energía cinética de salida.

(a) la velocidad relativa de salida del rotor w3 ," se tomó doble de la velocidad relativa de entrada al mismo w2 a fin de proporcionar una reacción del rotor consistente y ser suficientemente alta para asegurar bajas pérdidas de presión total en el rotor, (b) rotación absoluta nula a la salida del rotor, (e) condiciones de mínima pérdida a la entrada al rotor (incidencia cero), ( d) la relación entre el diámetro externo en la salida del rotor y el diámetro de entrada al rotor se limitó a un valor máximo de 0,7 para evitar una curvatura excesiva de la envolvente (que podía causar desprendimientos del flujo). (e) para la relación entre los diámetros exterior y del tambor en la salida del rotor se tomó un valor mínimo de 0,4 a fin de evitar' un bloqueo del álabe y una pérdida de presión total excesivos en el tambor.

Se hizo el análisis sobre la trayectoria media del flujo, y las pérdidas en los conductos se basaron en los datos de Stewart y otros. 20 Las principales restricciones en el análisis fueron:

La figura 8.10 muestra la variación del rendimiento total a estático con la velocidad específica ( Q..) para una selección de ángulos de salida del flujo de las toberas, a 2 •

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

290

291

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo radial

Energía 1 _-¡--cinética ¡de salida

Angulo del flujo de salida de las toberas

(grad)

(a)

n., ""0·23 rad

(b) n,,.o.s4 raa

(e) .í1.=.1·16rid U2/C1=0·62

11 2/C-.=0·70

Llz lt, =0·68

Tobera

•

Secciones de turbinas radiales de rendimiento estático máximo (adaptado de Rohlik 1 ~).

FIG. 8.12. ·'

0·74 Velocidad específica, Qs {rad)

FIG. 8.11.

Distribución de pérdidas a lo largo de la envolvente del rendimiento total a estático máximo (adaptado de Rohlik 19 ).

D-70

U2/c,

0·66

u, '•

Para cada valor de a:2 se ha dibujado un área sombreada, dentro de la cual se varían diferentes relaciones de diámetros. La envolvente de máximo fJrs está limitada por la restricción D31/ D3 , = 0.4 en todos los casos y D 3 /D 2 = 0,7 paraº.,;, 0,58 en dichas regiones sombreadas. Esta envolvente es la curva de geometría óptima y tiene un máximo para r¡,, = 0,87 y Q, = 0,58 rad. Rohlik hace una comparación interesante con los resultados experimentales obtenidos por Kofskey y Wasserbauer21 en un rotor de turbina centrípeta a 90° único accionado por diversas configuraciones de coronas de toberas. El valor máximo de Ylrs para esta investigación experimental fue de nuevo de 0,87 para una velocidad específica ligeramente superior,º., = 0,64 rad. En la figura 8.11 se muestra la distribución de las pérdidas para geometría óptima sobre la gama de velocidades específicas. La forma en que varían las distribuciones de pérdidas es consecuencia de la variación de la relación entre el flujo y el trabajo específico. Para bajas Q, todas las pérdidas por fricción son relativamente grandes a causa de los valores altos del cociente entre área superficial y área del flujo. Para altasº.., las elevadas velocidades en la salida de la turbina son la causa de que predomine la pérdida por energía cinética de

0·62

v.t::

0·58

b/0 2

0·54 0·50

0·2

0·6 0·8 D-4 Velocidad especffica,

1•o Q5

o·16 o·12 !1 o, o·08 o·114 o

(rad)

FIG. B. !_3. Variación de la relación velocidad del álahc/velocidad del chorro ( UA·11 ) y altura de los álabes de las toberas/diámetro de la entrada del rotor (b~D~) correspondientes a máximo rendimiento total a estático con la velocidad específica (adaptado de Rohlik 1'J).

salida. La figura 8.12 muestra varias secciones meridionales planas para tres valores de velocidad específica correspondientes a la curva de máximo rendimiento total a estático. La relación entre la altura de la salida de las toberas y el diámetro del rotor b/D 2 se muestra en la figura 8.13; el aumento general de esta relación con el aumento deº.., refleja el incremento del área del flujo en las toberas'' que acompaña a los mayores caudales de las velocidades específicas mayores. La

••

292

o·18

* La relación b~/ D 2 está también afectada por la relación de presiones. pero esto no se

ha representado .

293

Turbinas de flujo radial

Termodinámica de las Turhomáquinas

figura 8.13 muestra también la variación de U2 /c0 con la curva de máximo rendimiento total a estático.

a lo largo de 1¡'

donde Q es la velocidad angular del rotor y Re es el número de Reynolds. Rohlik 19 utilizó esta expresión para calcular la pérdida de trabajo específico debida a la ventilación D.hw = 0.56p 2 D 2 2 (U2 /100) 3 /(Ih Re)

PERDIDAS INTERSTICIALES Y DE VENTILACION Tiene que existir un juego entre los álabes del rotor y la envolvente. A causa de la diferencia de presiones entre las superficies de presión y succión de un álabe, se produce un flujo de-fugas a través de este espacio libre introduciendo una pérdida de rendimiento en la turbina. El mínimo juego es normalmente un compromiso entre dificultad de fabricación y requerimientos aerodinámicos. El mínimo juego se determina a menudo por la diferente dilatación y refrigeración de los componentes bajo condiciones de funcionamiento transitorias, lo cual puede comprometer las condiciones de funciona~ miento estacionario. Según Rohlik, 19 la pérdida de trabajo específico a consecuencia de la fuga se puede determinar con la proporcionalidad simple:

••

donde m es el gasto másico total que entra en la turbina y el número de Reynolds se define como Re = U 2 D,Iv2 , siendo v2 la viscosidad cinemática del gas correspondiente a la temperatura estática T2 en la salida de las toberas. LIMITES DE LA RELACION DE PRESIONES DE UNA TURBINA CENTRIPETA A 90" Todos los tipos de turbina tienen límites de relación de presiones que se alcanzan cuando el flujo se bloq11ea. El bloqueo tiene lugar normalmente cuando el flujo absoluto a la salida del rotor alcanza la velocidad del sonido. (Puede también ocurrir cuando la velocidad relativa en el interior del rotor alcanza condiciones sónicas.) En el análisis siguiente se supone que la turbina se bloquea primero cuando la velocidad absoluta de salida c3 alcanza la velocidad del sonido. Se supone además que c3 carece de rotación y que el fluido es un gas perfecto. Por sencillez se supone asimismo que el rendimiento de.l difusor es del 100 %, de forma que, refiriéndonos a la figura 8.4, T04 , = T03 ,,., (p 03 = p 04 ). De este modo, el rendimiento total a total de la turbina es

(8.35) donde !lh 0 es el trabajo específic.o de la turbina sin corregir por pérdidas intersticiales o de ventilación y clbav es la relación entre el juego y la altura media del álabe [es decir, b" = t (b 2 + b3 )]. En el estudio analítico de Rohlik mencionado anteriormente se utiliza un juego radial y axial constante e = 0,25 mm. Según Rodgers, 0 un extenso desarrollo de las pequeñas turbinas de gas ha demostrado que · es difícil mantener juegos menores que alrededor de 0,4 mm. Una consecuencia de esto es que a medida que las turbinas de gas se hacen progresivamente más pequeñas la magnitud relativa de la pérdida intersticial tiene que aumentar. Shepherd 1 ha proporcionado la expresión adimensional de la pérdida de potencia debida a la ventilación en la parte posterior del rotor de la forma: t.P wf(p20. 3D,') =COnstante X Re-l/5

(8.36)

La expresión de la velocidad del chorro es

que sustituida en la ecuación (8.36) da l.

295

294

• •

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de Oujo radial

•

188

(8.37)

r=H

La relación de presiones de parada a través del escalonamiento se da por P031Po 1 = (T03 ,1T01 )Y 1( r - Il; sustituyendo esto en la ecuación (8.37) y reordenando, el factor de energía de escape es

'1! =0·9

(8.38)

( Co

•

Ahora bien, T 03

T3 [1 + -j- (y - 1)M~] y

' \...

~1:

•......1"'1

y- 1 1·0

2 por tanto

i(Y- !)Mj 1 + !(y- !)Mj

FIG. 8.14.

(8.39)

Con un posterior desarrollo de la ecuación (8.38) y utilizando la ecuación (8.39) la relación de presiones de parada se expresa explícitamente como

0·3 . 0·4

0·5

(c 3 /c0 ) 2 + [i(y- l)Mi~ 1 ]/[1 +!(y- !)Mi] (~c~,j~co";")2;--_"'---;[,.;t(;-'y:.::..::..-;-;1):-;M-;ci;.;(;-'¡"-'_:.:.:"1:..:,):,-]/-,-;[1,---=;:+;.,i~(y__.:.-'""1~)M~i] •

Wood 18 ha calculado la relación de presiones (p 01 Jp,n) utilizando esta expresión, con r¡, = 0,9, y = 1,4 y para M 3 = 0,7 y 1,0. El resultado se muestra en la figura 8.14. En la práctica, el bloqueo en el escape efectivamente tiene lugar con valores nominales de M 3 : 0,7 (en vez de para el valor ideal de M 3 = 1,0), debido a no ser uniforme el flujo de salida. La relación de energías cinéticas (c,ic0 ) 2 tiene un efecto de primer ordén en los límites de la relación de presiones de turbinas con un

Función límite de la relación de presiones para una turbina (Wood 18). (Por cortesía de la American Society of Mechanical Engineers).

solo escalonamiento. El efecto de cualquier rotación en el escape sería disminuir los límites de la relación de presiones de bloqueo. Wood ha observado que altas relaciones de presiones tienden a imponer el uso de menores velocidades específicas. Esta afirmación se puede demostrar por medio de la figura 8.8 juntamente con la figura 8.14. En la figura 8.8, para un valor determinado de A,!Ad, Q, aumenta con al incremento de (c,Jc0 ) 2 De la figura 8.14, (p 01 /p 03 ) decrece con el aumento de los valores de (c 3/c0 ) 2 De este modo, para un valor determinado de (c3 /c0 ) 2 , la velocidad específica tiene que disminuir cuando la relación de presiones de diseño se aumenta.

(8.40)

296

(c3 ¡c, )2 Factor de energía de escape

ci 2C,T03

(-¡-1)/1

o·04 0·1

TURBINAS CENTRIPETAS A 90" REFRIGERADAS

El incentivo de usar temperaturas más altas en el ciclo básico de • turbina de gas de Brayton es bien conocido, y surge del deseo de

297

Termodinámica de las Turbomáquinas

..,.

-" ,_,

Turbinas de flujo radial

incrementar el rendimiento del ciclo y el trabajo específico realizado. En todas las turbinas de gas diseñadas para altos rendimientos es necesario un compromiso entre la temperatura deseada- de entrada a la turbina y la temperatura que pueden tolerar los materiales de la turbina utilizados. Este problema se puede minimizar mediante la utilización de un suministro auxiliar de aire de refrigeración para disminuir la temperatura de las partes de la turbina fuertemente castigadas, expuestas a las altas temperaturas del gas. Siguiendo las técnicas de refrigeración de álabes aplicadas con éxito a turbinas de flujo axial (véase, por ejemplo, Horlock 22 o Fullagar23 ), se han desarrollado métodos de refrigeración de pequeñas turbinas de gas radiales.

• ' 1

REFERENCIAS

Flujo principal

FIG. 8.15.

Alabe

Sección transversal de una turbina radial con refrigeración por película.

Según Rodgers, 0 el método más práctico de refrigerar pequeñas turbinas radiales es mediante refrigeración por película (o velo), figura 8.15, donde el aire de refrigeración afecta al rotor y a los extremos de los álabes. El problema fundamental de este método de refrigeración es su relativamente baja efectividad de la refrigeración, definida por

(8.41) donde Tm es la temperatura del metal del rotor, /'.. T0 = Ul!C1, es la mitad de la caída de temperatura de parada del gas como resultado de la realización de trabajo en el rotor, Toe es la temperatura de parada del aire de refrigeración. Rodgers habla de ensayos que indican la posibilidad de obtener un E = 0,30 en la sección del extremo del rotor con un .flujo de

298

refrigeración de aproximadamente ellO %del flujo principal de gas. Puesto que las corrientes fría y caliente se mezclan rápidamente, la efectividad decrece con la distancia desde el punto de inyección. 24 Metzer y Mitchell proporcionan un estudio modelo de los aspectos de la transferencia de calor en turbinas de gas radiales refrigeradas por películas.

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•

Turbinas de flujo radial

rev_lmin. Suponiendo q~e el flujo relativo a _la entrada del rotor es radial y que el flUJO absoluto a la sahda del rotor es axml, determinar: (i) el rendimiento total a estático de la turbina; (ii) el diámetro del rotor; (iii) los coeficientes de pérdida de entalpía para las toberas y para el rotor. El gas empleado en este ciclo es una mezcla de helio y xenon con un peso molecular de 39,94 y una razón de calores específicos de 5/3. La constante Universal de los gases es R0 = 8,314 kJ/(kg-mol K). 4. Una turbina radial centrípeta con refrigeración por película va a utilizarse en un ciclo abierto Brayton de gas de altas prestaciones. El rotor está hecho de un material capaz de aguantar una temperatura de 1145 K a una velocidad de 600 mis durante cortos períodos de funcionamiento. El aire refrigerante lo suministra un compresor que opera con una relación de presiones de parada de 4 a 1, con un rendimiento adiabático del 80 %, Clfando el aire es admitido al compresor con una temperatura de parada de 288 K. Suponiendo que la efectividad de la refrigeración por película es 0,30 y la temperatura del aire de refrigeración a la entrada de la turbina es la misma que la de salida del compresor, determinar la m-áxima temperatura permisible del gas a la entrada a la turbina. Tómese y= 1,4 para el aire, y= 1,333 para el gas que entra a la turbina y R = 287 J/(kg °C) en ambos casos.

PROBLEMAS l. Una pequeña turbina de gas de flujo radial centrípeta que consta de un

•

••

anillo de álabes de toberas, un rodete con álabes radiales y un difusor axial :>(/' funciona en su punto de diseño con un rendimiento total a total de O 90.~-.A_- -Í~ 1 · entrada de la turbina la presión y la temperatura de parada del gas es Joo- kPa y !-I ( 1140 K. El flujo que sale de la turbina se expande hasta una presión de 100 kPa--;(0 y y tiene una velocidad final despreciable. Sabiendo que el flujo está bloqueado a la salida de !as toberas, determinar la velocidad periférica del rodete y el ángulo de salida del flujo de las toberas. Para el gas supóngase y ~ 1.333 y R ~ 287 Jl(kg "C). 2. El gasto másico de gas a través de la turbina del problema n. 0 1 es de 3,1 kg/s, la relación anchura axial del extremo del rodete/radio exterior del rodete (b 2/r 2 ) es 0,1 y el coeficiente de pérdid~ de velocidad en las toberas (4>2 ) es 0,96. Suponiendo que el espacio entre la salida de las toberas y la entrada al rodete es despreciable, e ignorando los efectos del bloqueo en los álabes, determinar: (i) la presión estática y la temperatura estática a la salida de las toberas; \~~) el diáme~ro exteri?: del rod~te y la velo~id~d de giro; ., (m) la potencta transmitida supomendo un rendimiento mecánico del93,5 %. 3. Una turbina radial está propuesta como elemento de expansión de un sistema nuclear de potencia espacial que sigue un ciclo Brayton. Las condiciones de presión y temperatura a través del escalonamiento en el punto de diseño van a ser las siguientes: Aguas arriba de las toberas, p 01 = 699 kPa, T01 = 1145 K Salida de las toberas, p 2 = 527,2 kPa, T 2 = 1029 K Salida del rotor, p 3 = 384,7 kPa, T 3 = 914,5 K, T, 13 = 924,7 K. La relación entre el diámetro medio de salida del rotor y el diámetro exterior de la entrada del rotor se elige como 0,49 y la velocidad de giro necesaria como 24.000

{"i!,.

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301

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300

•

APENDICE 1

Conversión de unidades británicas a unidades SI Longitud 1 pulgada (in) 1 pie (ft)

Fuerza -

0,0254 m 0.304::-1 m

1 libra fuerza (lbf) - 4A4H N 1 tonelada fuerza (UK) = 9.964 k N (ton f)

Superficie

1 m· . ' 1 ft 2

---

6.452 X 10 0,09290 • m~

.Jm2

Presión 1 lbflin 2 1 ft H,O . 1 m Hg

1 bar Volume¡¡ 1 in-' 1 ft.l

1 galón (UK) (gall) Velocidad 1 ft/s 1 milla/h Masa 1 libra (lb) 1 tonelada (UK) (ton) Densidad 1 lb/ft-' 1 slug/ft,

-· -

16,39 cm" 28,32 dm' 0,02832 m) 4,546 dm·'

- 6.895 kPa ---

2. 989 kPa 3,386 kPa 100,0 kPa

L356 J 1.055 kJ

Energía 1 ft lbf

1 Btu

Energía específica - 0,3048 m/s - 0,447 m/s

~ =

11.4536 kg 1016 kg

1 ft lblllb 1 Btu/lb

Calor específico 1 ft lbfllh "F) 1 ft lhfl(slug "F) 1 Btul(lb "F)

- 2, 989 Jlkg -

2,326 kJ/kg

5.38 J/(kg "C) - 0.167 Jl(kg "C) ~ 4,188 kJI(kg "C)

Potencia - 16,02 kg./m·' - 515.4 kg/m 3

1 hp

- 0.7457 kW

303

Capítulo 5 1

•

Soluciones de los problemas •

Capítulo 1 l. 6,29 m 3 /s. 2. 9,15 mis; 5,33 atmósferas. 3. 551 rev/min, 1:10,8; 0,885 m 3 /s; 17,85 MN. 4. 4,030 rev/min; 31,4 kg/s.

Capítulo 2 l. 88,1 por ciento. 2. (i) 704 K; (ii) 750 K; (iii) 668 K. 3. (i) 500 K, 0,313 m 3/kg; (ii) 1,042. 4. 49,1 kg/s; 24 mm. 5. (i) 630 kPa, 275 °C; 240 kPa, 201 oc; 85 kPa, 126 "C; 26 kPa, q 0,988; 7 kPa, q 0,95; (ii) 0,683, 0,655, 0,688, 0,726, 0,739; (iii) 0,739, 0,724; (iv) 1,075.

Capítulo 3 l. 49,8 grad. 2. 0,77; CD = 0,048, eL = 2,15. 3. - 1,3 grad, 9,5 grad, 1,11. 4. (i) 53 grad y 29,5 grad; (ii) 0,962; (iii) 2,17 kN/m 2 • 5. (a) s/1 = 1,0, a/ = 24,8 grad; (b) CL = 0,872. · , 6. (b) 57,8 grad; (e) (i) 3,57 kPa; (ii) 0,96; (iii) 0,0218, 1,075.

•

'•

Capítulo 8 l. 586 m/s, 73,75 grad. 2. (i) 205,8 kPa, 977 K; (ii) 125,4 mm, 89200 rev/min; (iii) 1000 kW. 3. (i) 90,3 %; (ii) 269 mm; (iii) 0,051, 0,223. 4. 1593 K.

Capítulo 4 2. 22,7 kJ/kg; 420 kPa, 177 "C. 3. 91 %. 4. (i) 1,503; (ii) 39,9 grad, 59 grad; (iii) 0,25; (iv) 90,5 y 81,6 %. 5. Cx = 148,4 m/s, R = 0,152, ~" = 89,9 %. 6. (i) 215 m/s; (ii) 0,098, 2,68; (iii) 0,872; (iv) 265 "C, 0,75 MPa.

304 }; '

•

l. 14 escalonamientos. 2. 30,6 "C. 3. 132,5 m/s, 56,1 kg/s; 10,1 MW. 4. 86,5 %; 9,28 MW. 5. 0,59, 0;415 . 6. 33,5 grad, 8,5 grad, 52,9 grad; 0,827; 34,5 grad, 1,11. 7. 56,9 grad, 41 grad; 21,8 grad. l. 55 y 47 grad. 2. 0,602, 1,38, -0,08 (implica grandes pérdidas cerca de la raíz) _ 4. 70,7 m/s. 5. El trabajo realizado es constante para cualquier radio· 2 2 , cx, = constante - 2a [(,.' - 1) - 2(b/a)1nr]; cx 2 2 = constante - 2a 2 [(r' - 1) + 2(bla) lnr]; {3 1 = 43,2 grad, {3,_ = 10,4 grad. . 6. (i) 480 m/s; (ii) 0,818; (iii) ·o,08; (iv) 3,42 MW; (v) 906,8K, 892,2K. 7. (i) 62 grad; (ii) 61,3 y 7,6 grad; (iii) 45,2 y 55,9 grad; (iv) -0,175. 0,477. 8. Véase figura 6.13. Para (i) en xlr, = 0,05, ex = 113,2 m/s, Capítulo 7 l. 579 kW; 169 mm; 5,0. 2. 0,875; 5,61 kg/s. 3. 26800 rev/min; 0,203 m, 0,525. 4. 0,735, 90,5 %. 5. (i) 542,5 kW; (ii) 536 y 519 kPa; (iii) 586 y 240,8 kPa, 1,20, 176 m/s; (iv) 0,875; (v) 0,22; (iv) 28400 rev/min. 6. (i) 29,4 dm 3 /s; (ii) 0,781; (iii) 77,7 grad; (iv) 7,82 kW.

APENDICE 2

•

Capítulo 6

305

•

Indice alfabético de materias

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•

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Actuacióri global. Características de un compresor, 25 - ~.- de una turbina, 24. Alabe. Angulas, 63. - . Criterio del número en turbinas radiales, 281-285. - . Distribución de la velocidad en las superficies, 82. - . Factor de carga, 118, 125, 127, 151-152. -.-de interferencia, 169-170. - . Interección de coronas, 213-214. - . Rendimiento, 173-175. - . Teoría del elemento, 171 y sig. Alabes de acción, 80. Altura de presión, 5. -de succión positiva neta, 19. - manométrica de una bomba, 245247. Análisis bidimensional. Compresores, bombas y ventiladores de flujo axial, Cap. 5. --.Turbinas de flujo axial, Cap. 4. - dimensional, 6-8. Angulo de calado, 63, 170. -de incidencia, 78. - - . Pérdidas, 278. - - d e referencia, 78. --nominal, 78. --óptimo, 80. B

Bombas. Angulo de los álabes, 244. - . Diseño simplificado del rodete, 226. - , Flujo mixto, 2, 14. '-. Rendimiento, 10.

Bombas centrífu·gas, 224, 227, 230, 231, 233-235, 243, 245-247. - - . Aumento de altura hidráulica, 245-247. - - . Características de funcionamiento, 10-13. -,ventiladores y compresores centrífugos, Cap. 7. Bombeo. Definición, 166.

e C<intidad de movimiento. Ecuación unidimensional, 65. - - . Ley del momento, 33-34. Capa límite. Difusión, 55, 255. - - . Ensayo del desprendimiento en una cascada, 72-73. - - . Pérdidas causadas, 72. Caracol, 225, 226, 267. Cascada. Actuación fuera de diseño, 88 y sig. - . Angula de calado, 63. -.-de curvatura, 63. -.-de desviación, 86. - . Bloqueo, 91. - . Coeficiente dé aumento de presión, 66. -.-de esfuerzo tangencial, 66. -.-de resistencia, 68. -.-de sustentación, 67. - . Correlación para turbinas (Ainley), 90 y sig. - . Definición de punto de desprendimiento, 78. - . Distribución perfilada de espesor, 62. - . Efectos del número de Mach, 9192. :-·Fuerzas ejercidas, 64-65, 67-69.

307

Indice alfabético de materias

Cascada. Intervalo de trabajo, 78. - . Leyes de actuación, 72-75. - . Nomenclatura, 62. - . Problema inverso, 89. - . Problemas de funcionamiento, 7274. - . Punto de desprendimiento, 78.~ - . Relación pasq-~erda, 63. - . Resultados de los ensayos, 75 y stg. -.Túnel de viento, 61, 72-75. - de compresor. Actuación fuera de diseño, 87. - - . Corrección de Lieblein, 81-85. - - . Pérdidas por perfil, 78. -de turbina (2 dimensiones). Angula de salida del flujo, 98-99. - - - . Coeficiente de pérdidas por fugas intersticiales en el extremo del álabe, 97. - - - Correlación de Ainley, 9299. - - - . Corrección del número de Reynolds, 98. - - - . Mejoras de Dunham y Came, 97. Cascadas bidimensionales, Cap. 3. Cavitación. Admisión a una bomba, 17, 231-235. - . Efectos en la actuación de bombas, 12. - . Erosión causada, 18. -.Formación de vapor, 17. -.Inicio, 17. - . Límites, 19-20. Circulación, 69-70, 185. Coeficiente de aumento de presión, 66. Coeficiente de carga, 8. -de contracción, 74. -de esfuerzo tangencial, 66. -de flujo, 9, 15, 22. -de forma, 15. -de pérdida de presión, 77. - de pérdidas por perfil, 94. -de potencia, 9, 23. - de resistencia, 68. -de sustentación, 67.

308

Coeficiente de carga de transferencia de energía, 8, 14. - de velocidad, 278. Compresor. Actuación de una cascada, 77-80, 88-90. - . Bombeo, 25, 79. - , Diagramas de velocidades de un escalonamiento, 144-145. - . Funcionamiento estable, 25. - . Punto de diseño de un escalonamiento, 79. - . Termodinámica del escalonamiento, 145-147. - axial de varios escalonamientos. Ejemplo, 157. -centrífugo, Cap. 7. - - . Análisis de la admisión, 231238. --.Bloqueo en un escalonamiento, 256 y sig. · - - . Caudal flujo máximo, 232-233. - - . Difusor, 225-226, 231, 258. --.-con álabes, 255-256. --.-sin álabes, 254-255. - - . Efecto de la prerrotación, 238239. - - . Factor de deslizamiento, 239245. - - . Limitaciones de un solo escalonamiento, 250. - - . Número de Mach en-la salida del rodete, 250-253. - - . Relación de compresión, 247250. . - - . Rodete, 228-231. --.Tramo inductor, 227. - - . Utilización, 223-224. Compresores axiales transónicos, 143. - , bombas y ventiladores de flujo axial: análisis bidimensional, Cap. 5. - de flujo axial. Actuación fuera de diseño de un escalonamiento, 203204. - - - . Análisis bidimensional del escalonamiento de compresor, 143. - - - . Aumento de presión en un escalonamiento, 155-156. - - - . Característica de funciona-

¡,

Indice alfabético de materias

miento fuera de diseño simplificada, 152-154. - - - . Carga del escalonamiento, 151-152. - - - . Coeficiente de flujo, 151. ---.Criterio de estabilidad, 167. - - - . E>iagramas de velocidades, 144-145. - - - Elección de la reacción, 149. - - - Escalonamiento normal, 144. - - - . Estabilidad, 166-169. - - - . Estimación del rendimiento del escalonamiento de compresor, 158. - - - . Factor de trabajo realizado, 160. - - - . Grado de reacción de un escalonamiento, 148-149, 186-187. - - - . Pérdidas en el escalonamiento y rendimiento, 147-148. ---.Problema directo, 196. - - - . Relación de compresión de un compresor de varios·escalonamien~ tos, 156-158. - - - . Rendimiento total a total, 148. - - - . Variación de los perfiles de velocidades a través de un escalonamiento, 158-159. Condiciones dinámicamente semejantes, 10,12. - nominales, 77, 86. Constante universal de los gases, 21, 301. Convenio de signos para transferencias de trabajo, 29, 30. Coronas de álabes cercanas. Efectos de interacción, 213-215. Correlación de Lieblein para cascadas de compresor, 81-85. -de Soderberg, 113-116, 117. - - . Corrección del espesor/cuerda .del álabe, 115. - - . Corrección del número de Reynolds, 116.

Correlación de Soderberg. Correlación de relación de aspecto, 115-116. Criterio de Zweifel, 100, 102.

Deflexión del fluido. Definición, 77. - . Nominal, 78. Desigualdad de Clausius, 35. Deslizamiento. Definición, 239. - . Factor, 239-245. - . Velocidad, 241. Desprendimiento. Propagación, 74. - . Punto de, 73, 78. -rotativo, 166, 167 . . Desviación del fluido, 87-88. Diagrama de Mollier. Escalonamiento de compresor axial, 146. - - . - de turbina axial, 111. - .:.___, Etapa de compresor centrífugo, 227. - - . Turbina centrípeta, 268, 280. - - . Turbinas y compresores~ 39, 47, 52. Diámetro hidráulico medio, 116. Difusión. Relación óptima, 55-56, 142. - en álabes de compresor, 83, 84. - - d e turbinas, 121. Difusor. Límites de desprendimiento, 58. - . Rendimiento óptimo, 58. -bidimensional, 56. -cónico, 56. Dimensiones, 4-6. - primarias, 8. Disco actuador. Comparación con la teoría del equilibrio radial, 211. - - . Efectos de interacción entre coronas de álabes, 213-215. - - . Ley de asentamiento, 212. - - . Método, 210-212. --.Regla del valor medio, 211. --aislado, 209-211. Distribución general de torbellino, 191-192.

309

Indice alfabético de materias

Ecuación de Bernoulli, 32. -de Euler, 31-32. --del movimiento, 31. -del movimiento, 33. - de la continuidad, 27-28, 40, 109, 189, 204, 232, 258. -de la energía para flujo estacionario, 29. - de las bombas, 34. -de las turbinas, 265. Efectos del número de Mach, 82, 9192. Ejercicios ilustrativos. Bomba cent{Ífuga, 246-247. - -. Cascada de compresor, 88. - --. Escalonamiento de compresor axial, 162-166. - - . - d e turbina axial, 123-126. - - . Etapa de compresór centrífu-. go, 237, 251'253. --.Flujo tridimensional, 193-195. - - de cascada de compresor fuera de diseño, 88-89. · - - d e compresor axial de varios escalonamientos, 157. - - d e flujo de torbellino libre, 187189. - - d e turbina de flujo radial, 274. - - de velocidad específica de una turbina Francis, 289. -sobre álabes de espiral logarítmica, 242-243. - sobre rendimiento politrópico de turbinas, 49. -sobre turbinas de flujo radial, 274. - sobre unidades, S. Energía interna, 28-30. Entalpía de parada, 21, 30. Entropía, 35. Envolvente, 225, 267. Equilibrio radial. Análisis, 181. - - . Ecuación, 184, 185. - - . Teoría, 182 y sig. Escalonamiento de primera potencia. Diseño, 192. -de turbina de reacción cero, 119.

Escalonamientos de turbinas. Flujo tridimensional, 205-207. Espesor del perfil, 62. Espiral logarítmica, 240-243, 254, 255. Ex ductor, 267.

Indice alfabético de materias

•

Hertz. Unidad de frecuencia, 5. Howell. Método de correlación, 8687, 89. -.Regla de la desviación, 86-87. - . Regla de la diferencia de tangentes, 87.

National Advisory Comittee for Aeronautics (NACA), 80, 84. National Aeronautics and Space Administration (NASA), 80, 287, 289. National Gas Turbine Establishment (NGTE), 73. National Physical Laboratory (NPL), 6, 75. Newton. Unidad de fuerza, 4. Número de Mach. Efectos en una cascada, 91-92. --crítico, 91-92. --del álabe, 22. - - e n turbinas de flujo radial, 277. - - en el ojo de un compresor centrífugo, 235-236. - - en la entrada de una cascada, 72, 91. ---en la salida del rodete, 250. - - relativo, 236, Número de Reynolds, 9, 13, 15, 20. - - . Valor crítico, 77.

F Factor de energía de escape, 287, 292. -de recuperación, 51. -de trabajo realizado, 160-161, 162. Fluidos compresibles. Análisis, 20-26. Flujo bloqueado, 90, 99, 255-259, 294295. -compresible a través de una corona fija de álabes, 198-199. - continuo. Computación matricial, 215. - - . Problema, 215. -de Torbellino libre, 185, 187. - - -. Ejercicios ilustrativos, 187189. -en equilibrio radial, 181. -estacionario. Ecuación del momento cinético, 33. - - . - de la cantidad de movimiento, 31. - - . - d e la energía, 29. --definitivo, 162. - másico específico constante, 199203. - s'ecundario - Secundario. Pérdidas, 72, 94-96. - - . Vorticidad, 74, 217. - unidimensional, 28. Flujos secundarios, 74, 216-219. - - . Analogía del giróscopo, 216. - - . Sobredesviación, 217-219. Fuerza. Definición, 4.

Gas perfecto, 21. Gasto másico, 21.

1 1 1

I.F.R. inward-flow radial, 264. Indice politrópico, 49. Inductor, 225.

l J Julio. Unidad de energía, 4.

Kelvin. Unidad de temperatura termodinámica, 5.

Ley de Torsión, 62. -del momento de la cantidad de movimiento, 33-34. - de la elipse de Stodo la, 132-137. Libre de Torbellino, 185. Límites de la relación de presiones de una turbina centrípeta, 295-297. Línea de bombeo, 25, 166. -de curvatura, 62. Línea de paso medio. Hipótesis de análisis en la trayectoria media de compresores axiales, 143. - - - . Hipótesis de análisis en la trayectoria media de turbinas axiales, 107. -de sustentación cero, 176.

p PascaL Unidad de presión, 4. Perfil aerodinámico. Línea de sustentación cero, 176. --.Teoría, 69, 175, 176. Potencia. Coeficiente, 9, 23. - hidráulica neta, 10. Prerrotación. Efecto en la actuación de un compresor, 238-239. Presión de vapor, 5, 7. - total. Correlación de pérdidas (Ainley), 92-99. Problema directo, 196-197. Propiedades del fluido, 7, 21. Puntos correspondientes, 10. R

Reacción. Efectos en el rendimiento, 121-122.

311

310

•

Indice alfabético de materias

Reacción. Valor real, 195. - cero, 120. -cincuenta por ciento, 121. - del álabe, 80-81. - de un escalonamiento de compresor, 148-151, 186-189, 192. - - d e turbina, 117-121. Regla de Cosine, 155. Relación de aspecto de un álabe, 75. -de difusión equivalente, 85. -de paso-cuerda óptima, 95, 100101. Remolino relativo, 240. Rendimiento. Definiciones, 36 y sig. -adiabático, 38, 44. --global, 49. - de cascada de compresor, 70-72. -de compresores y bombas, 42-44. - de turbina hidráulica, 37, 42. - de turbinas, 37, 42, 50. - de un difusor, 54-58. -de una tobera, 52-53. -en el punto de diseño, 272. -hidráulico, 38. - máximo total a estático, 118, 128132. -mecánico, 38, 42. -óptimo, 14. - politrópico o del pequeño escalonamiento, 44-52. -total a estático, 41, 112, 127-132, 272-276, 291, 293. - - a total, 41; 111-112, 128, 248, 273. Resistencia, 67, 78, 151, 159, 165. Resonancia tipo Helmholtz, 166. Rodete. Análisis de un compresor centrífugo, 227. - de bomba, 15. Rotalpía, 229, 269. Royal Aircraft Establishment (RAE), 142. Royal Society, 6.

Segunda ley de Newton del movimiento, 27, 30, 282. - - de la termodinámica-entropía, 35-36. Semejanza, 6 y sig. - dimensional, 6, 7, 9. -geométrica, 9. Sistema Internacional (SI) de unidades, 4-6, 303. Supercavitación, 18. Superficie de control, 6. Sustentación, 67-69. - . Coeficiente, 54-57, 67-69, 172. ~. Relación de circulación, 69-70. - y resistencia. Relación, 67-72, 80, 172.

81 285

Temperatura, 4, 19. Teorema de Kutta-Joukowski, 70. Termodinámica. Primera ley, 28-30. - básica, Cap. 2. - -entropía. Segunda ley, 35~36. Torbellino forzado, 190-191. Transferencia neta de energía, 8. Transferencias de energía. Convenio de signos, 30. Tubo de aspiración, 2, 268. Turbina axial. Características del flujo, 132-137. . - - . Definición de un escalonamiento normal, 111. - - . Diagrama de velocidades de un escalonamiento, 108~109. ~ - . Gasto de bloqueo, 25. - - . Límites de la velocidad del ála~ be, 117. -=-liiérdidas en el escalonamiento, 1 11 ~lÚ~eacción del escalonamiento,

- ~. Termodinámica del escalonamiento, 109 y sig. - - . Tipos de diseño, 116 y sig.

312

Turbina axial reversible, 128-132. - cantilever, 266. - centrípeta. Coeficientes de pérdidas, 278-280. - - . Funcionamiento fuera de diseño, 280. - - . Límites de la relación de presiones, 295-297. ~ _ ~úmero de álabes del rodete,

•,

-de acción. Escalonamiento, 121. -de flujo radial. Ejercicios ilustrativos, 274. - - - . Geometría de diseño óptima, 290. -. - - . Límites de relación de presiOnes, 295-297. - - - . Número de álabes del rodete, 281-285. - - - . Selección de óptimo diseño, 290-294. - - - . Tipo de flujo saliente, 263. - - - . Tipo Francis, 2, 263. -de vapor Ljungstróm, 263, 264. - Francis, 2, 263. - - . Ejercicios ilustrativos de la velocidad específica, 289. - Kaplan, 2, 13. - Pelton, 2. radial centrípeta (IFR), 264 y siguientes. Turbinas de flujo axial, Teoría bidimensional, Cap. 4. - - . radial, 263-265 y siguientes. - - - . Coeficientes de pérdidas (IFR a 90"), 278-279. - - - . Pérdidas intersticiales y por ventilación, 294-295. • - - - . Tipo cantilever, 266. - - - . Refrigeradas, 297-298. - - - y difusor, 268. -de Grand Coulee, 265, 289. -radiales centrípetas. Tipos, 265. Turbomáquina. Definición, l. - considerada como un volumen de control, 7.

Turbomáquinas. Características de actuación, 10, 12, 14, 23, 24. -axiales. Flujo tridimensional, Cap. 6. - de flujo mixto, 2, 3, 14, 16.

•

Unidades, 4-6, 303. Unidades básicas del sistema SI, 4-5.

Valor real. Reacción, 195. Variables de control, 7. - geométricas, 8. Velocidad. Coeficientes, 278. - .. Perturbaciones, 212. -de deslizamiento, 241. - del chorro, 271. -específica, 14-17. --.Aplicaciones y significado, 285290, 292, 293. - - de potencia, 16. - - d e succión, 19. --mayor posible, 16, 290. Ventiladores. Coeficiente de sustentación de un perfil aerodinámico, 175176. - . Definición, 224. - .. Teoría del elemento de álabe, 171 y

Sig.

-carenados de flujo axial, 169 y sig. - centrífugos, 224. Viscosidad cinemática, 9. Voluta (véase Caracol) Vorticidad, 185. -secundaria, 74, 216, 217.

w Watio. Unidad de potencia, 5.

313

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