Matematica elementar versao final27072011 by Andressa Lorrany

Licenciatura em Matemática

Matemática Elementar Marco Antonio Claret de Castro Flávia Borges Arantes Patrícia Oliveira Costa.

UFSJ MEC / SEED / UAB 2010

catalogação

Sumário PRA COMEÇO DE CONVERSA.........................................................................................................................5 UNIDADE I - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO.............................................................................................7 1.1. POTENCIAÇÃO...............................................................................................................................................8 1.1.1. Propriedades da potenciação..............................................................................................................10 1.1.2. Aplicações de Potências......................................................................................................................13 1.2. RADICIAÇÃO................................................................................................................................................15 1.2.1. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS FRACIONÁRIAS.......................................................................................19 1.2.2. PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO...............................................................................................................20 1.2.3. RACIONALIZAÇÃO.....................................................................................................................................22 UNIDADE II - MMC(MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM) E MDC(MÁXIMO DIVISOR COMUM............25 2.1. DEFINIÇÕES..................................................................................................................................................26 2.1.1. Múltiplos e Divisores.........................................................................................................................26 2.1.2. Números primos.................................................................................................................................30 2. 1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos.................................................................31 2.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética.................................................................................................36 2.2. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – M.M.C........................................................................................................37 2.3 - MÁXIMO DIVISOR COMUM – M.D.C..........................................................................................................39 UNIDADE III - PRODUTOS NOTÁVEIS.........................................................................................................44 3.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................................................45 3.2. REVISÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS........................................................................................................45 3.3. PRODUTOS NOTÁVEIS MAIS COMUNS...........................................................................................................47 3.3.1. Quadrado da soma..............................................................................................................................48 3.3.2. Quadrado da diferença.......................................................................................................................49 3.3.3. Produto da soma pela diferença.........................................................................................................52 3.3.4. Cubo da soma......................................................................................................................................53 3.3.5. CUBO DA DIFERENÇA................................................................................................................................55 3.3.6. QUADRADO DA SOMA DE POLINÔMIOS EM GERAL....................................................................................57 3.3.7. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO..............................................................................................................59 3.3.8. Completar quadrados..........................................................................................................................60 3.3.9. Aplicações de produtos notáveis.........................................................................................................63 UNIDADE IV - EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS.............................................................................................65 4.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................................................66 4.2. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU....................................................................................................................73 4.2.1. Definição.............................................................................................................................................73 4.2.2. Resolução de equações do primeiro grau...........................................................................................73 4.2.3. Aplicações das equações do primeiro grau........................................................................................77 4.3. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU....................................................................................................................79 4.3.1. Definição.............................................................................................................................................80 4.3.2. Tipos de equações...............................................................................................................................80 4.3.4. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + bx = 0..................................................................84 4.3.5. Raízes de Equações completas da forma ax2 + bx + c = 0................................................................85 4.3.6. Relações entre os coeficientes e as raízes...........................................................................................90 4.3.6.1. Soma das raízes (S)....................................................................................................................................90 4.3.6..2. Produto das raízes (P)................................................................................................................................91

4.3.8. APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU.................................................................................................97 4.3.8.1. Resolução de problemas do 2º grau.............................................................................................................97 4.3.8.2. Sistemas do 2º grau....................................................................................................................................101

UNIDADE V - OPERAÇÕES COM FRAÇÃO..............................................................................................103 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................................104 5.1. DEFINIÇÕES................................................................................................................................................104 5.1.1. Frações..............................................................................................................................................104 5.1.2. Leitura de frações..............................................................................................................................106 5.1.3. Classificação das frações..................................................................................................................107 5.1.4. Equivalência de frações....................................................................................................................109 5.1.5. Simplificação de frações...................................................................................................................110 5.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÃO...........................................................................................................................112 5.2.1. Adição e subtração frações...............................................................................................................112 5.2.2. Multiplicação de frações...................................................................................................................114 5.2.3. Divisão de frações.............................................................................................................................116 5.2.4. Potenciação (ou exponenciação) de frações.....................................................................................117 5.2.5. Radiciação de frações.......................................................................................................................118 5.2.6. Transformações de frações...............................................................................................................119 5.2.6.1. Redução de números inteiros para frações impróprias...............................................................................119

5.2.6.2. REDUÇÃO DE NÚMERO MISTO PARA FRAÇÃO IMPRÓPRIA...............................................119 5.2.6.3. Conversão de fração imprópria para número misto....................................................................................120

5.3. NÚMEROS DECIMAIS..................................................................................................................................121 5.3.1. Leitura de um número decimal..........................................................................................................122 5.3.2. Conversão de fração decimal para número decimal........................................................................123 5.3.3. Conversão de fração não decimal para número decimal.................................................................124 5.3.4. Conversão de número decimal para fração decimal........................................................................125 5.3.5. Propriedades dos números decimais.................................................................................................127 5.4. OPERAÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS........................................................................................128 5.4.1. Adição e subtração de números decimais.........................................................................................128 5.4.2. Multiplicação de números decimais..................................................................................................130 5.4.3. Divisão de números decimais............................................................................................................131 5.4.4. POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS...................................................................................................133 5.4.5. Radiciação de números decimais......................................................................................................134 5.4.6. Aplicações de números decimais e frações: porcentagens..................................................................134

UNIDADE VI - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO..........................................136 6.1. DEFINIÇÕES................................................................................................................................................137 6.1.1 Projeções............................................................................................................................................137 6.2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO...................................................................................139 6.2.1. Primeira relação métrica..................................................................................................................139 6.2.2. Segunda relação métrica...................................................................................................................140 6.2.3. Terceira relação métrica...................................................................................................................141 6.2.4. Quarta relação métrica. Teorema de Pitágoras...............................................................................142 6.2.4.1. TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS..................................................................................................................144 6.2.4.2. Um pouco de história.................................................................................................................................146

6.3. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.....................................................................149 6.3.1. Seno de um ângulo............................................................................................................................149 6.3.2. COSSENO DE UM ÂNGULO.......................................................................................................................151 6.3.3. Tangente de um ângulo.....................................................................................................................151 6.3.4. CÁLCULO DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO..........................................................................155 6.3.5. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA:.....................................................................................156 6.4. APLICAÇÕES DOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NA ENGENHARIA................................................................158 UNIDADE VII - REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA..................................................................164

7.1. RAZÃO ENTRE DOIS NÚMEROS...................................................................................................................165 7.2. PROPORÇÃO..............................................................................................................................................169 7.2.1 – PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES................................................................................172 7.2.2. Grandezas Proporcionais.................................................................................................................173 7.3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA....................................................................................................175 7.3.1. Regra de Três Simples......................................................................................................................175 7.3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA..................................................................................................................177 PRA FINAL DE CONVERSA...........................................................................................................................181 REFERÊNCIAS..................................................................................................................................................182

Pra começo de conversa...

Olá aluno (a)! Bem-vindo ao módulo da disciplina Matemática Elementar! A finalidade do oferecimento dessa disciplina é preencher uma lacuna que tem existido nos cursos presenciais de Licenciatura em Matemática, pois muitos formam nesses cursos e vão, em seguida, lecionar para alunos do ensino fundamental onde existem tópicos que não são abordados na graduação. Essa disciplina tem a carga horária de 72 horas e é composta de sete unidades: 1. Potenciação e Radiciação 2. M.M.C. e M.D.C. 3. Produtos notáveis 4. Equações do 1º e 2º graus 5. Operações com frações 6. Relações métricas no triângulo retângulo 7. Regra de 3 (simples e composta) As aulas compreenderão a parte teórica, confecção de exercícios e avaliações. Nós nos preocupamos em trabalhar com você os tópicos abordados nessa disciplina numa linguagem bem acessível, usando as definições acompanhadas de exemplos e exercícios para você fixar melhor os objetivos pretendidos. Esperamos que você inicie o curso com garra, vontade e persistência. Nunca desista diante das adversidades. Faça dessas um desafio e verá que uma das melhores coisas da vida será ultrapassar as barreiras com determinação

Matemática Elementar

Unidade I

Unidade I - Potenciação e Radiciação

Problematizando 1) O que é base e expoente numa potência? 2) Quais as propriedades da potenciação? 3) Como é determinada a potenciação de números? 4) Como calcular a raiz enésima de um número? 5) Quais as propriedades da radiciação?

1.1. Potenciação: Objetivo •

Definir potenciação.

Vamos responder: a) Numa estrada, encontrei sete mulheres. Cada mulher tinha sete sacos, Cada saco tinha sete gatos, Cada gato tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos eu encontrei na estrada? Essa brincadeira, adaptada de um verso inglês, é solucionada, usando também a potenciação: 7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2 401 b) Se você lançar uma moeda, quantos e quais resultados você pode obter? Veja: 1) Se lançarmos uma moeda, são dois resultados possíveis:

2) Se lançarmos duas moedas, são quatro resultados possíveis:

3) Se lançarmos três moedas, quantos serão os resultados possíveis?

Fonte: (GIOVANNI, 2005, p. 8) Vamos então estabelecer uma relação entre o número de moedas lançadas ao ar e o número de resultados possíveis. Veja no quadro: Nº de moedas 1 2 3 4 5 ...

Nº de resultados possíveis 2 = 21 4 = 2x2 = 22 8 = 2x2x2 = 23 16= 2x2x2x2 = 24 32 = 2x2x2x2x2 = 25 ............

Concluímos então, no lançamento simultâneo de n moedas, o número de resultados possíveis é dado por 2n. Que também é potenciação.

Resolva você: Em uma colônia, cada bactéria se reproduz dividindo-se em quatro bactérias por minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de divisão? ( r: 4 094 bactérias) Agora então, podemos definir o que é a operação potenciação de números reais. Definição

As potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma xn, onde n é o expoente e x é a base.

A potência 23, por exemplo, indica que a base, o número 2, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 2x2x2. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (71 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido as propriedades da potência, o resultado é sempre igual a 1 (160 = 1). Então vamos ver estas propriedades!!! 1.1.1. Propriedades da potenciação Objetivo •

Aplicar as propriedades da potenciação.

1) Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

x a .x b = x a + b

Observe que: 27 x 9 = 243 , 27 = 33 e 9 = 32 , isto implica que 33 x 32 = 243 = 35 = 33+2 2) Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. xa = x a −b xb

Usando o mesmo exemplo: 27 / 9 = 3 então : 33 / 32 = 3 = 33-2 Agora podemos justificar porque 160 = 1 Temos: 16 : 16 = 24 : 24 = 1, usando a propriedade teremos: 24 : 24 = 2 4-4 = 20 = 1

O número real x, diferente de zero, elevado a zero sempre será 1.

3) Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. (xa)b = xab Observe: 93 = 729 , (32)3 = 729 = 36 = 3 2X3 4) Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente. ( x.y) a = x a .y a

x xa   = a y y

Observe: 6 2 = 36 vamos lá, usando o mesmo método: 62 = ( 3x2)2 = 32 x 22 = 9 x 4 = 36

(12) = 144 = 36 12 2 6 =( ) = 2 4 ( 2) 2 2

E o expoente negativo? Com esta propriedade e o estudo de frações poderemos compreender a definição se o expoente for um número real negativo. Exemplo 9 : 27 =

9 1 32 = = = 3 2−3 = 3 −1 27 3 33

isto implica então que (3)-1 =

Verifique se é valido para este exemplo: (

1 3

2 −2 3 9 ) = ( )2 = . 3 2 4

Então, diremos que se o expoente for negativo invertemos a base e colocamos o expoente positivo. Se a base for um número real negativo é preciso colocar entre parênteses. Exemplo (-2)2 = ( -2) x ( -2) = 4

, -22 = - ( 2 x 2 ) = -4

Vamos resolver: 1) Escreva na forma de potência os seguintes produtos: a) 12 x 12 x 12

(r: 123)

b) (-15) x ( -15) x (-15) x ( -1

0,3.0,3.0,3.0,3......0,3 = c)          nvezes

(r: 0,3)n

Calcule: a) (-2)5 c) (11/6) 2

(r: -32) (r:121/36)

b) (0,8) 3 d) -54

(r: 0,512) (r: -625)

(r: -15) 4

e) (5)-2

(r: 1/25)

g) (-2/3)3

f) (-2)-5

(r: -27/8)

(r: -1/32)

h) 60

(r: 1)

2) Usando as propriedades transforme numa só potência cada uma das expressões: a) 32 . 3 . 3 -4

(r: 3-1)

b) 67 : 6-2

d) (102)-5

(r: 10-10)

e) (7-1)-3

(r: 69)

c) 2-3 : 2-1

(r: 2-2)

(r: 73)

4) (Fuvest – SP) Qual é a metade de 222? (r: 221) 1.1.2. Aplicações de Potências: Segundo (ANDRINI, 2002, p. 13):

Um ótimo truque algébrico: 29 x 31 = ( 30 – 1) x ( 30 + 1) = 302 - 12 = 900 – 1 = 899 Este truque nada mais é do que a aplicação da chamada da diferença de dois quadrados: (a – b) ( a + b) = a2 – b2 , que veremos na unidade 3.

que 0,01 =

O bs er ve

1 1 = 2 = 10 −2 e 10000000000 = 1010 100 10

Então, outra aplicação da potenciação é a “notação científica”: A distância entre o planeta Vênus e o Sol é de 108 000 000 quilômetros. A notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples: Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de base 10. Assim: 108 000 000 Km = 1,08 .108 km Você sabe qual é a distância entre a Terra e o Sol? Responda a essa pergunta, usando a notação científica. (r: 1,5. 108)

Exemplo: Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000006 milímetros. Expresse esse valor em notação científica. 0,000006 mm = 6. 10-6 Veja mais um exemplo de aplicação da potência: Escrever na forma de produto a expressão 5100 + 5101 + 5102 . 5100 + 5101 + 5102 = 5100(1 + 5 + 52) = 5100(1 + 5 + 25) = 5100(31) 5100 + 5101 + 5102 = 31. 5100 Então agora: Vamos resolver: 1) A velocidade da luz é de 300.000Km/s. Use a notação científica para escrever esta velocidade.

(r: 3.105)

2) Se x = 0,000011 e y = 0,003. Escreva o produto de x por y usando a notação científica. (r: 33. 109) 18.(10 3 ) −2 .(10 −2 ) 3 3) Simplifique a expressão , dizendo o seu valor na forma de número 3.(10 −1 ) 2 .(10 2 ) −4

decimal.

(r: 0,06)

4) Qual é a forma mais simples de escrever a expressão: a)

( ab) 5 .( ac ) 4 ( abc) 2

(r: a7b3c2)

a.b −2 .( a −1 .b 2 ) 4 .( a.b −1 ) 2 b) ( a 2 .b −1 ).( a −1 .b 2 )

(r: b3/ a2)

Um pouco de história: Segundo (GIOVANNI, 2005, p. 9) “Os babilônios, (denominação genérica para diversos povos na antiguidade, que durante 3000 anos, ocuparam sucessivamente a Mesopotâmia,

região aproximadamente correspondente ao Iraque de hoje), usavam as potências como auxiliares da multiplicação, enquanto os gregos tinham preferência pelos quadrados e pelos cubos. No século III, o matemático grego Diofante idealizou as seguintes notações das potências: x para expressar a primeira potência, xx a segunda e xxx para expressar a terceira potência. No século XVII, o pensador e matemático francês René Descartes ( 1596 -1650) introduziu as notações x , x2 , x3, . . . , para potências, notações essas que usamos hoje.” 1.2. Radiciação Objetivos •

Definir radiação.

•

Resolver problemas usando radiciação.

Definição Radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação. Ou seja,

Em outros

bn = a ⇔ b = n a , n > 0

termos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado raiz enésima de a (ou raiz de índice n de a), representada pelo símbolo

a , tal que b

elevado a n seja igual a a. Exemplo 49 = 7 , pois 3

7. 7 = 72 = 49 ⇔ 7 =

− 8 = -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8

⇔ -2 = 3 − 8

Para determinarmos a raiz enésima de um número real a, temos dois casos a examinar: 1º caso: O índice n é par:

bn = a ⇔ a ≥ 0 , pois multiplicaremos b n ( par) vezes . Então a potência “a” será sempre positiva. Assim não se define no conjunto de números reais raiz de índice par e radicando negativo, pois o radicando será a potência da operação inversa. Exemplo − 49

= não se define nos números reais, pois (-7) . (-7) = 49

Este fato se estende quando consideramos a raiz quarta, sexta, oitava... e assim por diante, de um número real negativo. Mas atenção: -

49 = −7

≠

− 49

E também (−7) 2

49 = 7

Então vamos definir: n

an = 49 =

, quando n é par

(−7) 2

=-7 e

49 =

(+7) 2

= +7

Chegaríamos à conclusão que -7 = +7, que é um absurdo!!!!!!! Generalizando: x o radicando, n o expoente par e k ≥ 0 uma constante.

A raiz de um número real com índice par é sempre um número real positivo.

⇔

Xn = kn

xn =

⇔

x = −k  ⇔  ou , x= k 

observe que a raiz é sempre

positiva, o radicando xn é que poderia ter valor para x positivo e valor para x negativo. Exemplo

⇔

X2 = 49

x2 =

⇔

x = −7  ⇔  ou x = 7 

2º caso: O índice n é impar: 3

− 8 = -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8

⇔ -2 = 3 − 8

Então concluímos que: , isto é, dado um número real a e sendo n um número natural ímpar, a expressão

a é o número real b, tal que bn = a .

Sendo n um número natural diferente de zero, define-se:

Então agora: Vamos Resolver: 1) Calcule: a)

(r: 1)

8000

(r: 200)

0,49

(r: 0,7)

625

(r: 5)

1,21

(r: 1,1)

4 25

(r: 2/5)

−0,001

(r: -0,1)

2) Calcule, caso exista no conjunto dos números reais: a)

(r: 8 )

−64

(r: Não existe)

−1

(r: -1)

−1

(r: Não existe) E o expoente fracionário? Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira: Consideremos um número real x, tal que x =

52 .

Usando a definição, temos: x=

⇔ x3 = 52

(1)

Agora, se tivermos outro número y, tal que y = 5

2 3

Usando as propriedades da potência temos: y=5

2 3

⇒

y = (5 3

2 3

)

⇒

y = 5 3

2 3

⇒ y3 = 52

Comparando as igualdades (1) e (2) , temos:

x 3 = 52  3 3 ⇒ x = y ⇒ x= y  3 2 y = 5  Então podemos escrever que:

52 = 5

2 3

Sendo a ∈ℜ, m ∈ Ν , n ∈ Ν , m > 0, n > 0, podemos escrever: m n

a = n am

As potências de base positiva e expoente racional podem ser escritas na forma de radical, e os radicais podem ser escritos na forma de potência com expoente racional.

(2)

Exercícios Calcule: 1

a) 64 2

(r: 8) 1

d) (-32) 5

b) 1000,5

(r: -2)

e) 6250,25

(r: 10)

c) (

8 1 ) 27 3

(r: 2/3)

(r: 5)

1.2.1. Propriedades das potências fracionárias: Objetivo •

Conhecer a aplicar as propriedades de potências fracionárias.

As mesmas propriedades que foram estudadas para expoentes inteiros valem para as potências com expoentes fracionários.

Vamos resolver: 1) Escreva em forma de uma só potência cada uma das seguintes expressões: 2

a) 2 3 . 2 5

(r: 2 15 )

b) 5 2 : 5 8

(r: 5 8 )

c) (7

4 7

(r: 49)

2) Determine o valor da sentença: 27 3) Se A = (4

1 2

2 3

(r: 101/4)

3 4

+ 92

+ 81 4 ) , determine A-1.

(r: 252) (r: 1/5)

Um pouco de história: Segundo (GIOVANNI, 2005. p.43), “Contam os historiadores da Matemática que o número 2 foi responsável pela primeira grande crise entre os matemáticos gregos.

O teorema de Pitágoras garantia que

2 é a medida da diagonal do quadrado de lado

unitário. Aí é que as coisas começaram a se complicar, pois na Antiguidade eram conhecidos apenas os números inteiros (positivos) e fracionários. Como

2 não é inteiro

nem fracionário, que número é então? Para os Pitagóricos os números regulavam o universo. Euclides de Alexandria (séc. III a.c) provou que

2 não é racional usando um raciocínio

denominado “redução ao absurdo”. A palavra radical vem do latim radix ou radicis, que significa raiz.. O símbolo

de radical

(adotado talvez porque lembra um r minúsculo, de raiz) introduzido em 1525, por Christoff Rudolff em seu livro de álgebra intitulado Die coss.” 1.2.2. Propriedades da Radiciação: Objetivo •

Aplicar as propriedades da radiciação.

1ª propriedade: Se a ≥ 0 , então

an = a

Ex:

= 7,

= x, se x ≥ 0

2ª propriedade: n

n :p

a m:p

, com p

≠ 0 e p divisor comum de m e n.

Observe: 12

212 = 2, 22 = 2 ,

Então,

pela 1ª propriedade pela 1ª propriedade

212 =

12:6

212:6 =

22 = 2

3ª propriedade: n p

a =

n. p

a , com a ∈ ℜ + , n ∈ Ν , m ∈ Ν , n〉 1 e p〉 1.

Observe: 1

5 3

7 = (3 7 ) 5 = (7 3 ) 5 = 7 15 =

4ª propriedade: n

a.b = n a . n b , dados a ∈ℜ+ , b ∈ℜ+ , n ∈ Ν e n > 1

Observe: 1

3.7 = (3.7) 2 = 3 2 . 7 2 =

3. 7

5ª propriedade: n

a = b

a , dados a ∈ ℜ + , b ∈ ℜ + , n ∈ Ν e n > 1 n b n

Observe: 1 2

1 2

3 / 7 = (3 / 7) = 3 / 7 = 3 / 7

Adicionando algebricamente dois ou mais radicais:

Se uma expressão contém radicais semelhantes, podemos reduzi-los a um só radical. Acompanhe: 7

2 +5 2 −8 2 + 2

2 (7+5–8+1)=5

Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes: Neste caso, convém transformar dois ou mais radicais de índices diferentes em radicais equivalentes e que tenham o mesmo índice, que já sabemos calcular: Observe: 3

35 . 2 3 =

3.2

35.2 .2.3 2 3.3 = 6 315

2 9 = 6 315.2 9

Potenciação de expressões com radicais: (n a ) p = n a p

Acompanhe: ( 3 5 )4 =

5 =

5.5.5.5 = 3 5 4

1.2.3. Racionalização: Objetivos •

Racionalizar frações que envolvem radical no denominador.

•

Aplicar a racionalização para facilitar o cálculo de expressões.

Antigamente, quando ainda não existiam as calculadoras, era muito complicado calcular, por exemplo,

1 1 . Teriam que dividir 1 , 414213562 .... 2

Então eles multiplicaram o numerador e o denominador por

1 . 2

2 2

2 2.2

2 4

2 = 1,41421. . . , esta é uma conta muito mais fácil de fazer. 2 2

Esta transformação, ou qualquer transformação deste tipo, é dada o nome de Racionalização de denominadores. Podemos também, simplificar um radical, retirando fatores do radicando:

500

2304

= 5.10 2 =

5.100

2 8 .3 2

28 . 32

5. 10 2

= 10

= 24 .3 = 48

Ou podemos também introduzir um fator externo no radicando: 10

= 10 2 . 5 =

10 2.5

500

Aplicação de Radiciação: A figura a baixo é um quadrado cujo lado mede l. A área desse quadrado é 2304 cm 2. Qual é o valor de l em cm?

l c m Como sabemos, a área do quadrado é l2 = 2 304 ⇒ l =

2304

l. l = l 2

= 24 .3 = 48

Então o valor de l = 48 cm

Vamos resolver: 1) Um terreno quadrado tem 900m2 de área. a) Quantos metros medem o seu perímetro? (r: 120 m) b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado deste quadrado? (r: 8.100 m2)

2) Certo ou errado? Justifique dizendo a propriedade ou operação usada. a)

d) 2

215 = 21 10 =

(r: c)

(r: e) e)

(3.4 ) 2 10

= 2

(5 x 4 y 2 )10 =5 x 4 y 2

(r: e) (r: c)

c) 6 8 = 2 f)

9.8 = 6

(r: c) 2

(r: c)

3) Se a ≥ 0, b ≥ 0 , escreva na sua forma mais simples possível o seguinte produto:

a 3 .4

(r: a2b2)

4) Vamos simplificar cada um dos radicais: a)

352

(r: 2 5 11 )

(r: 5 3 2 )

250

5) Introduza o fator externo no radicando: a) 2 4 10 c) ( x + y )

(r: 4 160 ) x −y

b) 5y3

(r:

x 3 + x 2 y − xy 2 − y 3

125 y 10

)

6) Simplifique as frações: a)

4 + 32 8

7) Se X = 3

(r:

1+ 2 ) 2

7 +2 5

eY=3

x2 − x2 y x

(r: x -

)

7 −2 5

Determine: a)

X +Y 2

(r: 3 7 )

c) (X + Y) (X – Y)

b) X – Y

(r:

4 5

)

(r: 43)

8) Dadas as igualdades

x 6

10 =24 10

10 y

2 =20 2

, determine o valor de x + y

E aí? Compreenderam? Esperamos ter conseguido, neste capítulo, alcançar nossos objetivos. Vamos então para a próxima unidade...

(r: 6)

Matemática Elementar

Unidade II

Unidade II – M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) e M.D.C. (Máximo Divisor Comum)

Problematizando 1) Como calcular o M.M.C. de dois ou mais números? 2) Como determinar o M.D.C. de dois ou mais números? 3) Quais as aplicações do M.M.C. e do M.D.C.? 4) O que são números primos? 5) Como decompor um número em fatores primos? 2.1. Definições 2.1.1. Múltiplos e Divisores: Objetivo •

Definir e determinar múltiplos e divisores de números naturais.

Você sabe o que é múltiplo de um número? A palavra “múltipla” vem de multiplicação. Observe: 2 x 8 = 16 Em uma multiplicação, o produto (resultado da multiplicação) é sempre múltiplo de cada um dos fatores. Assim, i) 2 x 8 = 16 Logo 16 é múltiplo de 2 e de 8. ii) 3 x 45 = 135 Logo 135 é múltiplo de 3 e de 45. Para encontrarmos o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pela sucessão de números naturais. Desta forma, quais são os múltiplos de 12?

12 x 0 = 0

12 x 6 = 72

12 x 1 = 12

12 x 7 = 84

12 x 2 = 24

12 x 8 = 96

12 x 3 = 36

12 x 9 = 108

12 x 4 = 48

12 x 10 = 120

12 x 5 = 60

12 x n = 12n

Então o conjunto dos múltiplos de 12 pode ser representado por M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132,...} Este conjunto é infinito? A resposta é sim. Como o conjunto dos números naturais é infinito, se você continuar multiplicando o número 12 por todos os elementos deste conjunto obterá um conjunto também infinito. Agora, encontre o conjunto de todos os múltiplos de 8. Note que o conjunto dos múltiplos de 12 e 8 é infinito. E aí? O que podemos concluir? Todos os números naturais possuem o conjunto dos múltiplos infinito? A resposta é não! Observe o conjunto dos múltiplos de zero. 0x0=0

0x6=0

0x1=0

0x7=0

0x2=0

0x8=0

0x3=0

0x9 =0

0x4=0

0 x 10 = 0

0x5=0

0xn=0

O conjunto dos múltiplos de zero é unitário e pode ser representado por M(0) = {0} Portanto, O conjunto dos múltiplos de um número não – nulo é infinito.

Agora observe e analise: 60 = 1 x 60 60 = 2 x 30 60 = 3 x 20 60 = 4 x 15 60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 são fatores do número natural 60. E se você dividi-lo por todos estes fatores, a divisão dará resto zero, ou seja, será exata. Os divisores de um número natural a são todos os números naturais que ao dividirem a, resultarão em uma divisão exata. Assim podemos afirmar que: O 12 é divisor de 60 e 60 é divisível por 12. Mas como encontrar o conjunto de todos os divisores de um número? Daremos uma sugestão para a resolução desta situação. Divida um número n por 1, por 2, por 3, por 4, e vá dividindo até chegar em n. Considere como resposta adequada a pergunta acima apenas as divisões exatas. Logo todos os números em que o resto da divisão foi zero, são divisores de n. Faça este exemplo utilizando situações reais, como por exemplo, sua sala de aula tem 20 alunos. Desejamos distribuí-los em grupos menores de forma que nenhum de vocês fique sem grupo. Quais as possibilidades de formar grupos em que todos tenham o mesmo número de elementos? Observe a tabela: Número de grupos

Número de alunos

1 2 4 5 10 20

20 10 5 4 2 1

Neste caso, poderemos formar 1 grupo de vinte alunos, 2 grupos de 10 alunos, 4 grupos de 5 alunos, 5 grupos de 4 alunos, 10 grupos de 2 alunos e 20 grupos de um aluno, de forma que não sobre nenhum aluno sem grupo, ou seja, que o resto da divisão entre alunos e grupos seja zero. Quando isto acontecer, dizemos que 20 será divisível por todos os números que a divisão for exata, isto é, por 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Concluindo, teremos que: Dados dois números naturais a e b, dizemos que a é divisor de b se existir um número natural c tal que a.c = b. Nestas condições, podemos dizer ainda que a divide b e que b é múltiplo de a ou que b é divisível por a. Usando a linguagem matemática: a b ⇔ ∃c ∈ N | a.c = b Vamos praticar: 1) Escreva os seis primeiros múltiplos de 15. (r: 0, 15, 30, 45, 60, 75) 2) Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25? (r: 1 e 5) 3) Quantos múltiplos comuns de 3 e 5 há de 0 a 30? (r: 3 números) 4) Determine: a) os divisores de 14 que não são divisores de 35. (r: 2 e 14) b) os divisores de 35 que não são divisores de 14. (r: 5 e 35) c) os divisores de 14 que são também divisores de 35. (r: 1 e 7) 5) A idade de Paulo corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o número 6. Qual a idade de Paulo? (r: 30 anos) 6) Os números 143 e 91 são múltiplos de 13. Verifique se a soma desses números, bem como a diferença entre eles, também são múltiplos de 13. (r: Tanto a soma como a diferença entre eles é múltipla de 13)

7) É fácil saber quando um ano é bissexto. É só verificar se o número que representa esse ano é divisível por 4, ou no caso dos anos terminados em 00, se é divisível por 400. a) Diga se foi ano bissexto - o ano do descobrimento do Brasil (1500) (r: Não, pois 1500 não é divisível por 400) - o ano da Proclamação da Independência (1822) (r: Não, pois 1822 não é divisível por 4) b) A década de 90 (de 1991 a 2000) teve quantos anos bissextos? (r: três: 1992, 1996 e 2000) c) Qual o primeiro ano bissexto do século XXI (iniciado em 2001)? (r: 2004) 2.1.2. Números primos Objetivos •

Definir números primos.

•

Decompor um número natural em fatores primos.

Antes de iniciarmos o estudo dos algoritmos de M.M.C. e M.D.C., faremos uma breve recordação sobre os números primos. O que vocês entendem por números primos? Um pouco de história: Segundo (OLIVEIRA, 2005, p.1), “Primus é uma palavra de origem latina, que significa: “primeiro e único”. Ela foi escolhida para designar o grupo de números naturais que não podem ser decompostos em fatores, a não ser por um e por ele mesmo, mas que são fatores dos demais números inteiros.” Assim sendo, podemos classificar os números naturais em: •

Primos: números diferentes de zero e um, que possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo.

•

Compostos: números que possuem mais de dois divisores.

O número 2 é o único número natural, primo que é par.

par. 2.1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos: Vamos decompor os números 6, 10 e 15. 6=2x3

(2 e 3 são números primos, e 6 é o produto de fatores primos)

10 = 2 x 5 (2 e 5 são números primos, e 10 é o produto de fatores primos) 15 = 3 x 5 (3 e 5 são números primos, e 15 é o produto de fatores primos) Agora, vamos decompor o número 36. 36 = 2 x 18 (18 é um número composto) 18 = 2 x 9 (9 é um número composto) 9=3x3 Assim, percebemos que 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e podemos afirmar que 36 é composto por números primos. Calculando o produto destes números primos, teremos 2 x 2 x 3 x 3 = 36. Vejamos outros exemplos: •

25 = 5 x 5

•

39 = 3 x 13 (3 e 13 são números primos)

•

42 = 2 x 21

(5 é um número primo)

21 = 3 x 7 (2, 3 e 7 são números primos)

Então 42 = 2 x 3 x 7. Existe uma maneira mais prática para decompor um número natural, mas para isso é importante recordarmos os principais critérios de divisibilidade. Veja:

•

Divisibilidade por 2:

Um numero natural é divisível por 2 quando ele é par, ou seja quando termina em 0, 2, 4, 6, 8. Veja a divisão do número 1020 por 2. Note que 1020 termina em zero e o resto da divisão por 2 é zero: 1020 2 020 510 0 Logo, 1020 é divisível por 2. Esta regra vale para todos os múltiplos de 2. •

Divisibilidade por 3:

Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3. Examine a divisão do número 261 por 3. 261 3 021 87 0 Como o resto da divisão é zero, temos que 261 é divisível por 3. Agora, observe que somando os algarismos do número 261, obtemos 2 + 6 + 1 = 9, que é um número divisível por 3. Esta regra vale para todos os múltiplos de 3. •

Divisibilidade por 4:

Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Veja a divisão do número 548 por 4 e a divisão do número 48 por 4. 548 4 014 137 028 0

48 08 0

4 12

Os dois últimos algarismos do número 548 formam 48, que é um número divisível por 4. Isso ocorre com todos os múltiplos de 4. •

Divisibilidade por 5:

Um número natural é divisível por 5 quando termina em zero ou 5. Observe a divisão do número 570 por 5 e a divisão do número 835 por 5: 835 5 033 167 035 0

570 5 07 114 020 0

O número 570 termina em zero e é divisível por 5 e o número 835 termina em 5 e é divisível por 5. Este fato, terminar em zero ou 5, acontece com todos os múltiplos de 5. •

Divisibilidade por 6:

Um número natural é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente. Veja a divisão do número 624 por 6: 624 6 02 104 024 0 Note que o número 624 é divisível por 2, pois ele é par e 624 também é divisível por 3, pois 6 + 2 + 4 = 12 e 12 é divisível por 3. Esta regra é válida para todos os múltiplos de 6. •

Divisibilidade por 8:

Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Observe a divisão do número 1 320 por 8 e a divisão do número 320 por 8.

1320 8 320 8 052 165 00 40 040 0 0 Os três últimos algarismos do número 1320 formam 320, que é um número divisível por 8. Isso acontece com todos os múltiplos de 8. •

Divisibilidade por 9:

Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9. Examine a divisão do número 4212 por 9. 4212 9 061 468 072 0 Já sabemos que como o resto da divisão é zero, temos que 4 212 é divisível por 9. Agora, veja que somando os algarismos do número 4 212, obtemos 4 + 2 + 1 + 2 = 9, que é um número divisível por 9. Esta regra vale para todos os múltiplos de 9. •

Divisibilidade por 10:

Um número natural é divisível por 10 quando termina em zero. Observe a divisão do número 4 530 por 10: 4530 10 053 453 030 0 O número 4 530 termina em zero e é divisível por 10. Este fato, terminar em zero, acontece com todos os múltiplos de 10. Vamos praticar:

1. Considere os números a seguir:

680

6930 72 048

Descubra

24 000

4 032 quais são

16 664

divisíveis por:

a) 5 (r: 6930, 680, 24 000) b) 6 (r: 6930, 72 048, 24 000, 4032) c) 8 (r: 680, 24 000, 72 048, 4 032, 16 664) 2. O número 58X tem três algarismos, mas o algarismo das unidades está escondido. Sabendo-se que este número é múltiplo de 9, qual o algarismo escondido? (r: 5) 3. Qual o menor natural de quatro algarismos que é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo? (r: 1.008) Agora que já sabemos os critérios de divisibilidade mais utilizados, retornaremos aos nossos estudos da decomposição em fatores primos... Vamos decompor o número 135. 135 3 45 3 quociente

15 3

divisores primos

5 5 1 3x3x3x5 = 33x5 Logo 135 = 33x5 Escrevemos: 135 = 3 x 3 x 3 x 5, ou seja, o número 135 é composto pelos fatores primos 3 e 5. Podemos ainda representá-lo utilizando potências 135 = 3 3x5. Analisando o que fizemos acima, podemos dizer que decompomos o número 135 em fatores primos, ou seja, que ele foi dividido sucessivamente pelos seus fatores primos. Os divisores foram colocados à direita do traço vertical e os quocientes obtidos, à esquerda. O processo terminou quando encontramos o quociente 1.

Isso pode ser verificado através de um teorema muito importante no conjunto dos números naturais, que está especificado mais abaixo:

2.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética Objetivos •

Aplicar o teorema fundamental da aritmética.

•

Determinar números primos pelo método “crivo de Eratóstenes”.

Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos.

Os fatores primos podem ser escritos na ordem em que forem

lembrados,

comutatividade,

pois

embora

multiplicação

eles

estejam

atende em

ordem

crescente devido a uma questão de organização.

Fique por dentro... Segundo (OlIVEIRA, 2005, p.1), “Eratóstenes (do grego Ερατοσθένης) foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Nasceu em Cirene, Grécia, por volta de 276 a.C, passando grande parte de sua juventude em Atenas. Aos 40 anos de idade, foi convidado pelo rei Ptolomeu III, do Egito, para o honroso cargo de bibliotecário da Universidade de Alexandria. Seus feitos foram notáveis. Ele criou um método para encontrar números primos, hoje conhecido como crivo de Eratóstenes. No quadro, estão os números de 1 a 100.

Ele primeiramente eliminou o 1, depois eliminou os múltiplos de 2, exceto o 2. Em seguida, riscou os múltiplos de 3, exceto o 3. E assim continuou com o 5, o 7, o 11..., até que não existissem números compostos neste quadro. Os números em azul são os números primos menores que 100.” 2.2. Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C. Objetivos •

Construir o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais.

•

Determinar o M.M.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos

Vamos escrever os múltiplos de 24 e 6. M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...} Os múltiplos que são comuns, que se repetem, em 24 e 6 são respectivamente { 0, 24, 72,...}. Observando este conjunto, verificamos com exceção do zero, que o menor múltiplo comum é o 24. O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM de 24 e 6 pode ser indicado da seguinte maneira: M.M.C.(6,24) = 24

Generalizando... Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) desses números o menor dos múltiplos comuns dados, diferente de zero. O zero é múltiplo de qualquer número e o único múltiplo de zero é o próprio zero.

Este procedimento que acabamos de ver não é prático para números muito grandes. Vejamos agora outras maneiras de calcularmos o M.M.C.: Primeiro dispositivo: Vamos determinar o M.M.C. de 135 e 42: Primeiramente devemos decompor 135 em fatores primos e em seguida o número 60.

135 45 15 5 1

3 3 3 5

42 21 7 1

2 3 7 2x3x7

x 3fatores x 3 xprimos 5 = 3comuns x 5 e não comuns com maiores expoentes. O M.M.C. é o produto 3dos 3

Observe: 135 = 33 x 5 42 = 2 x 3 x 7 M.M.C. (135, 42) = 2 x 33 x 5 x 7 = 2 x 27 x 5 x 7 = 1890 Portanto, o M.M.C. (135, 42) = 1890 Observação: O número que foi obtido, ou seja, 1890 é múltiplo de 42 e de 135. Segundo dispositivo:

Podemos determinar o M.M.C. de 135 e 42 por decomposição simultânea, isto é, podemos encontrar os fatores primos dos dois números 135 e 42 de uma só vez. Veja: 135, 42

2 _________ apenas o 42 é divisível por 2

135, 21

3 _________ 135 e 21 são divisíveis por 3

45, 7

3 _________ apenas o 45 é divisível por 3

15, 7

3 _________ apenas o 15 é divisível por 3

5, 7

5 _________ apenas o 5 é divisível por 5

7 _________ apenas o 7 é divisível por 7

7 1

2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1890 M.M.C. (135, 42) = 1890 De modo análogo ao anterior, encontraremos o M.M.C. de três números. Acompanhe o raciocínio 35,

75,

3 _________ apenas o 35 é divisível por 3

25,

5 _________ apenas o 25 é divisível por 5

5 _________ apenas o 5 é divisível por 5

7 _________ apenas o 7 é divisível por 7

1 3 x 5 x 5 x 7 = 525 M.M.C. (35, 75, 25) = 525

2.3 - Máximo Divisor Comum – M.D.C. Objetivos •

Construir o conceito de máximo divisor comum de dois ou mais números naturais.

•

Determinar o M.D.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos.

•

Utilizar o M.D.C. na resolução de problemas do cotidiano

O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama – se máximo divisor comum. Por exemplo, analise a decomposição de fatores do número 12 e 54: 12 = 1 x 12

54 = 1 x 54

12 = 2 x 6

54 = 2 x 27

12 = 3 x 4

54 = 3 x 18 54 = 6 x 9

Daí temos que o conjunto dos divisores de 12 e 54 é respectivamente: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} Selecionando os divisores em comum entre 12 e 54, teremos 1, 2, 3 e 6. O maior destes divisores comuns é o número 6. Então podemos concluir que o maior divisor comum de 12 e 54 é o número 6, isto é, 6 é o máximo divisor comum. O que podemos indicar por M.D.C. (12, 54) = 6. Generalizando... Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) desses números ao maior dos seus divisores comuns. Estamos caminhando... Você compreendeu o processo que utilizamos para encontrar o M.D.C.? Mas será que não existe outro método para facilitar o seu cálculo? De modo análogo ao cálculo do M.M.C., vamos decompor os números 12 e 54 em fatores primos.

12 6 3 1

2 2 3 2 x 2 x 3 = 22 x 3

54 27 9 1

2 3 3 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33

Agora considere apenas os fatores comuns aos dois números, cada um deles com seu menor expoente, pois devem ser divisores de dois números ao mesmo tempo. Os fatores comuns de menor expoente são 2 e 3. Encontrando o produto destes fatores que selecionamos como comuns, encontraremos o M.D.C. entre 12 e 54. Logo, o máximo divisor comum entre 12 e 54 é 20, ou seja, M.D.C. (12, 54) = 6. Vamos praticar... 1) Calcule em seu caderno: a) m.d.c. (180, 150) (r: 30) b) m.d.c. (231, 825) (r: 33) c) m.d.c. (340, 728) (r: 4) d) m.d.c. (39, 117, 130) (r: 13) e) m.d.c. (25, 120, 150) (r: 5) f) m.d.c. (36, 144, 180) (r: 36) 2) Calcule em seu caderno: g) m.m.c. (12, 18) (r: 36) h) m.m.c. (90, 180) (r: 180) i) m.m.c. (55, 121) (r: 605) j) m.m.c. (25, 48, 156) (r: 15 600) k) m.m.c. (15, 18, 21) (r: 630) l) m.m.c. (21, 36, 168) (r: 504)

3) Responda e justifique:

a) O maior divisor comum de 25 e um número natural A pode ser 30? (r: Não, pois 30 não é divisor de 25) b) O menor múltiplo comum de 8 e um número natural A pode ser 6? (r: Não, pois 6 não é múltiplo de 8) c) O maior divisor comum de 12 e um número natural A pode ser 4? (r: sim) d) O maior divisor comum de 100, 15 e 10 é o número 5? (r: sim) Vamos Aplicar... 1) Três corredores largaram juntos em uma prova cujo percurso é circular. Eles correm com velocidade constante. Bruno leva 3 minutos para completar cada volta, Henrique, 4 minutos e Davi, 6 minutos. Depois de quanto tempo os três passarão juntos pela primeira vez a linha de largada? (r: depois de 12 minutos) 2) Para um congresso em Curitiba, foram 28 funcionários de uma empresa: 16 foram em carros particulares e 12 em carros da empresa. Cada carro transportou o maior número de pessoas e todos transportaram a mesma quantidade de funcionários. Quantos funcionários foram em cada carro e quantos carros foram utilizados? (r: 4 funcionários e 7 carros) 3) Diante da minha casa há um ponto de ônibus por onde passam duas linhas diferentes. Os ônibus de uma delas passam de 30 em 30 minutos, enquanto os da outra linha passam de 15 em 15 minutos. a) Se os ônibus das duas linhas passaram juntos no ponto às 13 horas e 30 minutos, a que horas deve ocorrer o décimo encontro? (r: às 14 horas) b) Se o primeiro encontro dos ônibus das duas linhas ocorre às seis horas da manhã, a que horas deve ocorrer o décimo encontro? (r: às 10 horas e 30 minutos) 4) Dois livros, um com 176 páginas e outro com 240 páginas, serão divididos em fascículos para venda semanal nas bancas de jornal. Os fascículos serão montados com o mesmo e o maior número de páginas possível.

a) Quantas páginas terão cada fascículo? (r: 16 páginas) b) Em quantas semanas uma pessoa terá os dois livros completos, considerando que ela compre todos os fascículos e que um livro seja vendido após o outro? (r: 26 semanas) 5) Um marceneiro precisa cortar 3 tábuas em pedaços de mesmo comprimento. Para melhor aproveitamento das tábuas, o comprimento dos pedaços deve ser o maior possível. Uma tábua mede 250 centímetros de comprimento, a outra, 350 centímetros e a outra, 550 centímetros. Qual o comprimento de cada pedaço de tábua? (r: 50 centímetros) Esperamos ter conseguido neste capítulo alcançar nossos objetivos. Vamos então para a próxima unidade...

Matemática Elementar

Unidade III

Unidade III - Produtos notáveis

Problematizando 1. Como relacionar o cálculo de área de quadrados e retângulos com os produtos notáveis? 2. Qual a maneira mais fácil de expressar os cálculos: (a + b) 2.(a – b)2, b)(a – b), (a + b)3 e (a – b)3? 3. Quais as aplicações dos produtos notáveis?

(a +

3.1. Introdução Objetivos •

Definir produtos notáveis.

•

Rever conceitos básicos sobre expressões algébricas

Definição Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Eles são usados para simplificar cálculos algébricos, sem que seja necessária a utilização de todas as etapas da multiplicação usando a propriedade distributiva. O termo produto é usado porque é a solução de uma multiplicação e a palavra notável quer dizer que ele é importante, que se destaca o seu uso. 3.2. Revisão de expressões algébricas •

Conceito:

Expressões algébricas são aquelas que apresentam números e letras.

•

As letras (parte literal) das expressões algébricas são chamadas de variáveis (pois o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico). Exemplos 5 – 2a, x2 + y2,

•

a + b , 4abxy2

Os termos semelhantes são aqueles que têm a parte literal idêntica. Exemplos Os termos 3ax2y e -5ax2y são semelhantes Os termos 2ab e -3ba são semelhantes (pois ab = ba). Os termos 2bxy2 e 7bx2y2 não são semelhantes.

•

Chama-se polinômio a toda expressão algébrica racional e inteira (onde não aparecem variáveis sob radical nem no denominador). Exemplos São polinômios: x3 - 2x +1

2a + b - c

3 Não são polinômios: x + 3a

•

a2 - a

x+ y

6ax2y3

2x − y x+ y

2 x2

Monômios são os polinômios que têm um só termo. Exemplo São monômios: 3x2, 2x3y2, -5a e 7 A parte inteira de um monômio é chamada de coeficiente e a parte literal é composta das letras. No exemplo acima, respectivamente, são coeficientes: 3, 2, -5 e o 7 e são literais x3, x3y2 e a.

•

Só podemos somar ou subtrair termos semelhantes. Exemplo Seja efetuar a operação: 2x + x2 + 5x – 3x2 Como os termos em x são semelhantes e os termos em x2 também são, podemos associá-los (fazer a redução de termos semelhantes) e efetuar as operações entre eles: (2x + 5x) + (x2 - 3x2) = 7x – 2x2

•

Na multiplicação de monômios multiplicamos os coeficientes desses monômios e também suas partes literais. Exemplos (5a²b)(-3ab³) = 5.(-3).a².a.b.b³ = -15a³b4 2 5  4 3 4 2  4 8 xy .  −  ax y = .  −  .a.x.x3.y5.y4 = − ax4y9 5 5 3 3  15   

•

Na divisão de monômios dividimos os coeficientes e as partes literais. Exemplos 6x3 : 2x = (6 : 3).(x3 : x) = 2 x2

a3b 4   2 3 4   1 2   2   1   = −2ab3  a b  :  − a b  =   :  − . 2b  3   3   3   3  a  

•

A potenciação de monômios envolve diretamente a multiplicação. Exemplo 3 3 3 2 3 2 3 6 3 9  33 . 3a by   = a   .(b )3. y   =27 a b y      

•

Na multiplicação de polinômios utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação. Exemplo (x + 3).(2x – 4) = x.2x + x.(-4) + 3.2x + 3.(-4) = 2x2 - 4x + 6x -12 = = 2x2 + 2x – 12

3.3. Produtos notáveis mais comuns Objetivos •

Desenvolver algebricamente o quadrado da soma de dois termos.

•

Desenvolver geometricamente o quadrado da soma de dois termos.

Os Produtos Notáveis podem ser desenvolvidos de duas maneiras: •

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, que consiste no desenvolvimento mais detalhado, optando pelo emprego exagerado de cálculos.

•

A utilização da regra prática, que vem a ser o uso de uma definição geral para cada caso, simplificando os cálculos.

Há de se ressaltar que os dois métodos são objetivos e precisos. Os principais produtos notáveis são: •

Quadrado da Soma

•

Quadrado da diferença

•

Produto da soma pela diferença

•

Cubo da Soma

•

Cubo da diferença

•

Quadrado de polinômios

3.3.1. Quadrado da soma Vamos determinar algebricamente o produto (a + b)2. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2ab + b2 Ou seja:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(A)

A regra prática (A) pode ser escrita como: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. Geometricamente, podemos determinar a relação (A):

Determinando a área do quadrado maior de lado (a + b) da primeira figura acima como o produto dos seus lados, teremos:

A1 = (a + b).(a + b) = (a + b)2inalmente adrados menores mais a soma dos dois retto do primeiro pelo seg Determinando a área do quadrado maior da segunda figura acima como a soma dos dois quadrados menores e os dois retângulos que o compreendem, obtemos: A2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(C)

Como os dois quadrados maiores têm os mesmo lados, as áreas são iguais, a expressão (B) é igual à (C), ou seja, A1 = A2, logo:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Exemplos Aplicando a regra prática, podemos calcular os seguintes produtos: a) (3x + y2)2 = (3x)2 + 2.3x.y2 + (y2)2 = 9x2 + 6xy2 + y4 2 2 2 b)  x + 2a  =  x  + 2. x .2a + (2a)2 = x + ax + 4a 2 4



4

Exercícios 1. Calcule os seguintes produtos notáveis, aplicando a regra prática: a) (am3 + n)2 (r: a2m6 + 2am3n + n2) b)

2 x   + 2 y  y 

 x2  r : + 4x + 4 y2    y2  

2. Efetue as operações: a) 3x – (x + 1)2 (r: -x2 + x – 1) b) (x² + 1)2 - (3 + x2)2 (r: -4x2 - 8) 3.3.2. Quadrado da diferença

Objetivos •

Desenvolver algebricamente e geometricamente o quadrado da diferença de dois termos

•

Desenvolver algebricamente e geometricamente o produto da soma pela diferença de dois termos

•

Desenvolver algebricamente e geometricamente o cubo da soma de dois termos.

Vamos determinar algebricamente o produto (a - b)2. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: (a - b)2 = (a - b).(a - b) = a.a - a.b - b.a + (-b).(-b) = a2 - 2ab + b2 Ou seja:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(D)

A regra prática (D) pode ser escrita como:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Geometricamente, podemos determinar a relação (D):

A área do quadrado maior é igual à soma dos dois quadrados menores mais a soma dos dois retângulos, ou seja: a2 = (a – b)2 + b(a – b) + b(a – b) + b2, então: (a – b)2 = a2 – [b(a – b) + b(a – b) + b2] ⇒ (a – b)2 = a2 – [ ba – b2 + ba – b2 + b2] ⇒ (a – b)2 = a2 – [2ab - b2] Chegamos finalmente à expressão: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Exemplo (2x – 3y)2 = (2x)2 + 2.(2x).(-3y) + (-3y)2 = 4x2 -12xy + 9y2 Exercícios Efetuar as operações 1) (3x2 – a)2

(r: 9x4 – 6ax2 + a2)

2) (mn3 - m2nb)2

(r: m2n6 – 2bm3n4 + m4n2b2)

3.3.3. Produto da soma pela diferença Determinando-se algebricamente o produto (a + b).(a – b), utilizando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: (a + b).(a - b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a2 - ab + ab – b2 Ou seja:

(a + b).(a - b) = a2 - b2

(E)

A regra prática (E) pode ser escrita como: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Geometricamente, podemos determinar a relação (E):

Na primeira figura acima, a área do quadrado maior é a2 e a área do quadrado menor é b2. Logo a área da região hachurada dessa figura será:

A1 = a 2 – b 2

(F)

Na segunda figura o retângulo hachurado que estava na horizontal foi transposto para a vertical, ou seja, as áreas hachuradas das duas figuras são iguais. Determinando a área da segunda figura teremos: A2 = (a + b)(a – b)

(G)

Como as duas áreas são iguais, A1 = A2, igualamos (G) a (F) e obtemos: (a + b).(a - b) = a2 - b2

Exemplo (2x – 3y4).(2x + 3y) = (2x)2 – (3y4)2 = 4x2 – 9y8 Exercícios Resolver os produtos: 1) (-2m3 + x2).(-2m3 – x2) 2) (

2 4 2 4 a – ab5).( a + ab5) 3 3

(r: 4m6 – x4) (r:

4 8 a – a2b10) 9

3.3.4. Cubo da soma Determinando-se algebricamente o produto (a + b) 3, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos: (a + b)3 = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b)2.(a + b) = (a2 + 2ab + b2).(a + b) = = a2..a + a2.b + 2ab.a + 2ab.b + b2.a + b2.b = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Ou seja:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

A regra prática (H) pode ser escrita como:

(H)

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais três vezes o primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo. Geometricamente, podemos determinar a relação (H):

| a | b | a2 3a2b 3ab2 b3 Como mostrado nas figuras acima, o volume do cubo maior é igual à soma dos volumes dos dois cubos menores mais a soma dos seis prismas que o compõe. Assim: (a + b)3 = a.a.a + a.a.b + a.a.b + a.a.b + a.b.b + a.b.b + + a.b.b + b.b.b (a + b)3 = a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3

Encontrando-se o mesmo valor da equação (H):

(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Exemplos (x4 + x2)3 = (x4)3 + 3.(x4)2.(x2) + 3.(x4) (a2 +

1 1 1 1 ab )3 = (a2)3 + 3.(a2)2. ( ab ) + 3.a2.( ab )2 + ( ab )3 ⇒ 2 2 2 2

(a2 +

1 3 5 3 4 2 1 3 3 ab )3 = a6 + a b+ ab + ab 8 2 2 4

Exercícios Resolver pela maneira mais fácil: 1) (3xy + 5x3y)3 2) (

2 4 a + ab5)3 3

(r: 27x3y3 + 135x5y3 + 225x7y3 + 125x9y3) (r:

8 12 4 9 5 a + a b + 2 a6b10 + a3b15) 27 3

3.3.5. Cubo da diferença Objetivo •

Desenvolver algebricamente e geometricamente o cubo da diferença de dois termos.

Determinando-se algebricamente o produto (a - b) 3, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos: (a - b)3 = (a - b).(a - b).(a - b) = (a - b)2.(a - b) = (a2 - 2ab + b2).(a - b) = = a2..a + a2.(-b) + (-2ab).a + (-2ab).(-b) + b2.a + b2.(-b) = a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3 = =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

(I)

Ou seja: A regra prática (I) pode ser escrita como:

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais três vezes o primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo.

Geometricamente, podemos determinar a relação (I): a a

b a__- b b

a-b a-b

Como é mostrado nas figuras acima, a3 – b3 é a diferença entre o volume do cubo maior e o volume do cubo menor.

3(a-b)(a-b).b

3(a-b).b.b

(a-b)3

Como é mostrado nas figuras acima, do volume do cubo maior tirando o volume do cubo menor, restarão os volumes dos seis prismas mais o volume do cubo médio, que serão representados algebricamente por: 3.(a – b).(a – b).b + 3.(a – b).b.b + (a – b).(a – b).(a – b) = = 3.(a2 – 2ab + b2).b + 3.(ab2 – b3) + (a2 – 2ab – b2).(a – b) = = 3a2b – 6ab2 + 3b3 + 3ab2 – 3b3 + a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b 3 Comprovando então a regra prática: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Exemplo (4x2 – 2xy3)3 = (4x2)3 – 3.(4x2)2.(2xy3) + 3.(4x).(2xy3)2 + (2xy3)3 (4x2 – 2xy3)3 = 64x6 – 96x5y3 + 48x3y6 + 8x3y9 Exercícios Resolver, usando produto notável: 1) (4x5y3 – 2x2y4)3

2) (

2 4 a - ab5)3 3

(r: 64x15y9 – 96x12y10 + 48x9y9 + 8x6y12)

(r:

8 12 4 9 5 a a b + 2 a6b10 - a3b15) 27 3

3.3.6. Quadrado da soma de polinômios em geral Objetivo •

Desenvolver algebricamente o quadrado da soma de polinômios.

As regras práticas de produtos notáveis podem ser entendidas para polinômios, bastando para isso: agrupar os termos dos polinômios formando uma soma implícita de dois termos e aplicar a regra do quadrado da soma vista nessa unidade. Exemplo: a) Quadrado de um trinômio (a + b + c)2 = ((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2.(a + b).c + c2 Desenvolvendo as operações, teremos: a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 Ordenando os termos, obtemos:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc b) Quadrado de um polinômio de quatro termos (a + b + c + d)2 = ((a + b) + (c + d))2 = (a + b)2 + 2.(a + b).(c + d) + (c + d)2 Desmembrando as operações teremos: (a + b + c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2 Ordenando os termos obtemos: (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd Quadrado de um polinômio de n termos Generalizando a regra prática para n termos, podemos usar a definição: O quadrado da soma de um polinômio de n termos é igual à soma dos quadrados desses n termos mais a soma do duplo produto desses n termos tomados dois a dois. Exercícios Calcule as expressões pelo modo mais fácil: 1) (2x + 5y + 3xy)2

(r: 4x2 + 25y2 + 9x2y2 + 20xy + 12x2y + 30xy2 )

2) (x + 2y + 5x2y + 3xy3)2 (r: x2 + 4y2 + 25x4y2 + 9x2y6 + 4xy + 10x3y + 6x2y3 + 20x2y2 + 12xy4 + 30x3y4)

3) (a + b + c + d + x)2 (r: a2 + b2 + c2 + d2 + x2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ax + 2bc + 2bd + 2bx + 2cd +

+ 2cx + 2dx)

3.3.7. Trinômio quadrado perfeito Objetivos •

Fatorar o trinômio quadrado perfeito.

•

Desenvolver a técnica de completar quadrados.

Dizemos que 25 é um quadrado perfeito, pois 25 pode ser obtido elevando-se 5 ao quadrado. Do mesmo modo, a expressão 3 2 + 2.(2.3) + 22 pois é obtido elevando-se (3 + 2) ao quadrado, ou seja: 25 = (3 + 2) 2, aquela expressão é o desenvolvimento do produto notável do quadrado da soma de dois termos. O trinômio x2 + 2xy + y2 é também um quadrado perfeito, pois é obtido a partir do desenvolvimento de (x + y)2. Podemos então definir o trinômio quadrado perfeito para dois termos x e y quaisquer, da seguinte forma: Um trinômio será um quadrado perfeito se verificar as duas condições: Dois termos dos seus termos são quadrados: x2 e y2. O terceiro termo é o duplo produto das raízes desses quadrados: 2.x.y.

Exemplos: a) Verificar se o trinômio x2 + 2xy + y2 é um quadrado perfeito x2 + 2xy + y2

2.x.y

Logo esse trinômio é quadrado perfeito c) Verificar se o trinômio 16a2 + 10ab + 9b2 é quadrado perfeito: 16a2 + 10ab + 9b2

16a2 9b2 4a

2.4a.3b

24ab Para ser quadrado perfeito o segundo termo teria que ser 24ab, como é 10ab ele não é quadrado perfeito. Exercícios Verificar quais dos trinômios abaixo são quadrados perfeitos: a) 4x2 – 8xy + y2 (r: não é quadrado perfeito) b) 9x2 + 6x + 1

(r: é quadrado perfeito)

c) a2 + 9b2 + 6ab (r: é quadrado perfeito) d) x2 – 4bx + 4b2 (r: é quadrado perfeito) 3.3.8. Completar quadrados

O método de completar quadrados usa a representação geométrica dos termos de uma equação do 2º graus utilizando áreas de retângulos e de quadrados. Exemplo Resolver, utilizando o método de completar quadrados, a equação: x2 + 8x = 16 (da forma ax2 + bx = c). R. Para construir a representação, siga os passos: 1) Desenhe um quadrado de lado "x" para representar o termo x 2. Depois, represente o termo 8x por quatro retângulos de lados 2 e x, como mostra a figura abaixo:

Temos um quadrado de área: x.x = x2 e também quatro retângulos, cada um com área: 2.x = 2x, a área total dos retângulos será: 4.2x = 8x. 2) Vamos acrescentar quatro quadrados de lado igual a 2, um em cada extremidade da figura acima, completando o quadrado maior.

Esse quadrado maior será a área anterior, x2 + 8x, adicionada da área dos quatro quadrados que foram acrescentados 4.(2.2), ou seja:

A = x2 + 8x + 4.(2.2) ⇒

A= (x2 + 8x) + 16

Mas da equação dada temos que: (II)

(I)

x2 + 8x = 16

Levando (II) em (I), obtemos: A = = 16 + 16 = 32 Se a área é 32 então o lado desse quadrado é

Como o lado também é definido por x + 4, temos: x+4=

⇒ x=

32 − 4 = 2.4 2 − 4 = 4 2 − 4

Exercícios Completem o quadrado e determinem o valor de x e do lado (y) do quadrado maior formado:

a) x2 + 8x = 9

(r: x = 1, y = 5)

b) x2 + 28x = 60 (r: x = 2, y = 16) 3.3.9. Aplicações de produtos notáveis Objetivos •

Aplicar os produtos notáveis no desenvolvimento do binômio de Newton.

•

Aplicar os produtos notáveis na resolução de problemas que envolvem determinação de áreas.

Vamos mostrar algumas das muitas aplicações de produtos notáveis. I) Binômio de Newton Pela definição:

Binômio de Newton é todo termo da forma (a + b) n, sendo n um número natural.

Os valores do binômio de Newton para n = 2 e para n = 3 podem ser resolvidos usando as regras já definidas nessa unidade, ou seja: Para n = 2, teremos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Para n = 3, teremos: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 A partir do termo de ordem 4, para desenvolver o binômio de Newton basta fatorar os termos em produtos notáveis conhecidos e em seguida é só aplicar as regras práticas que aprendemos e efetuar as operações usando a propriedade distributiva da multiplicação. Exemplo (a + b)4 = (a + b)2. (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2).( a2 + 2ab + b2) = ... (a + b)7 = (a + b)2. (a + b)2. (a + b)3 = = (a2 + 2ab + b2).( a2 + 2ab + b2).(a3 +3a2b + 3ab2 + b3) = ...

II. Resolução de problemas Exemplo: Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 58 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um quadrado de 56 metros de lado. Que área os terrenos perderam? Pense um pouco antes de ver a solução. Uma maneira simples de responder a esta questão é calcular a área antiga e diminuir o valor encontrado da área nova. Inicialmente, a área da quadra era 58 2 m2. Depois a área da quadra passou a ser 562 m2. Então a área perdida foi (582 – 562) m2. É claro que não é tão difícil fazer essas contas. Mas, veja como fica simples o cálculo se utilizarmos o produto da soma pela diferença de dois termos: 582 – 562 = (58 + 56)(58 - 56) = 114 · 2 = 228 m2 O que fizemos é simplesmente aplicação da fórmula de um dos produtos notáveis: (a2 – b2) = (a + b).(a – b), onde a = 58 e b = 56. Vamos agora transpor mais uma Unidade!

Matemática Elementar

Unidade IV

Unidade IV - Equações do 1º e 2º graus

Problematizando 1) Qual a diferença entre equação e identidade? 2) Qual a diferença entre conjunto universo e conjunto verdade? 3) O que é equação? 4) Como determinar o conjunto verdade de equações do primeiro e segundo graus? 5) Como transformar uma linguagem escrita para uma linguagem matemática ao resolver problemas de primeiro e segundo graus? 6) Que aplicações temos das equações do 1º e do 2º graus?.

4.1. Introdução Objetivos •

Definir: identidade conjunto verdade e conjunto universo.

•

Construir o conceito de equação.

•

Aplicar as regras de equivalência.

Primeiro vamos dar algumas definições básicas para você se habituar a termos que iremos usar nessa Unidade. •

Conjuntos numéricos  Os conjuntos numéricos que iremos trabalhar serão: o Naturais  Representado pela N e é composto pelo zero e dos números inteiros positivos. N = {0, 1, 2, 3, . . .} o Inteiros  Representado pela letra Z, é composto do zero e dos inteiros negativos e positivos. Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .} o Racionais  Simbolizado pela letra Q compreendem os números que podem ser escritos na forma de fração. Q = {x =

a , a ∈ Z e b ∈ Z *} b

Z* representa os números inteiros exceto o zero. o Irracionais  Representam as dízimas infinitas não periódicas. Exemplo de alguns elementos desse conjunto:

− 7

= -2,6457. . . ,

= 1,732. .

., π = 3,1416. . . , etc. o Reais  Representado pela a união dos conjuntos dos racionais e dos irracionais, ou seja: R = Q ∪ I.

Observações: todos esses conjuntos supracitados são compostos de infinitos elementos. Existem algumas simbologias adotadas que valem para os conjuntos que contém os elementos citados. Abaixo vai ser exemplificado só para o conjunto dos reais: R*  Conjunto dos reais, excluindo o número 0. R-  Conjunto dos reais, excluindo os números positivos (zero incluso). R+  Conjunto dos reais, excluindo os números negativos(zero incluso). R*+  Conjunto dos reais, excluindo os números negativos e o zero. R*-  Conjunto dos reais, excluindo os números positivos e o zero. Devemos observar também que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. •

Sentença declarativa  É aquela que exprimi uma certeza que pode ser uma afirmação ou uma negação. Uma sentença não pode ser simultaneamente falsa (F) e verdadeira (V).

Exemplos O triângulo é um polígono de três lados! A equação: x4 – 2x3 + 1 = 0 não é biquadrada! •

Sentença aberta  É aquela que usa proposição cujo sujeito é uma variável.

Exemplos a) x + 1 = 6 b) Ele foi presidente do Brasil! c) No primeiro exemplo acima, x = 5 torna a sentença verdadeira (V), qualquer outro valor a torna falsa (F). d) No segundo exemplo, se “ele” = Aécio Neves, torna a sentença falsa (F) e se “ele” = Lula, torna a sentença verdadeira (V). •

Conjunto universo  É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U

(contém todos os valores possíveis para as incógnitas na resolução de um problema). Dizemos também que, quando uma sentença aberta se transforma numa sentença declarativa, o sujeito da sentença é elemento desse conjuntouniverso. O conjunto universo é geralmente simbolizado pela letra maiúscula U. Exemplos a) Na sentença aberta “2x – 4 = 6”, o conjunto universo é igual ao conjunto dos números inteiros relativos, ou seja, U = Z. b) Na sentença aberta “O dia da semana x é o mais cansativo”, o conjunto universo é formado pelos dias da semana, ou seja: U = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} Conjunto verdade  O conjunto verdade (V), também denominado conjunto solução (S) é formado de elementos que convertem uma sentença aberta numa sentença declarativa. Os elementos do conjunto verdade também são chamados de raízes da equação. O conjunto verdade é sempre um subconjunto do conjunto universo. Exemplos a) Na sentença aberta: a) “No dia x do mês de dezembro comemora-se o Natal” b) O conjunto universo será: U = {1, 2, 3, 4, . . . , 29, 30, 31} e o conjunto verdade será: V = {25}. c) Na sentença aberta: “2 < x < 7, sendo x um número natural” O conjunto universo será: U = N, o conjunto verdade será: V = {3, 4, 5, 6}. •

Identidade  É uma sentença aberta que exprime uma relação de igualdade sobre conjuntos numéricos e o seu conjunto verdade coincide com o próprio conjunto universo.

Exemplo Seja a sentença aberta: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Tomando qualquer valor no conjunto Q para substituir a e b teremos sempre uma relação de igualdade, logo U = Q, como também V = Q, logo: U = V. Definição de equação Com os conceitos dados anteriormente podemos agora definir equação: Equação é uma sentença aberta que exprime uma relação de igualdade sobre conjuntos numéricos, envolvendo expressões matemáticas e o seu conjunto verdade é um subconjunto do conjunto universo. Equações algébricas são aquelas nas quais a incógnita x está sujeita às operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação. A forma canônica de uma equação algébrica é escrita da seguinte forma: ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0 Onde n é um número inteiro positivo. Como vamos trabalhar com equações do 1º e 2º graus vamos definir o que vem a ser grau de uma equação. Grau de uma equação é o maior expoente da incógnita em uma equação algébrica e o termo que tem o maior grau é chamado de termo dominante.

Exemplos: a) 3x² - 2x + 5 = 0 é uma equação do 2º grau, 3x2 é o termo dominante. b) 2x -3 = 0 é uma equação do 1º grau, o termo dominante é 2x. Observação: nesse exemplo, o expoente é igual a 1. A equação poderia até ser escrita como: 2x1 – 3 = 0, mas como um número elevado a 1 dá ele mesmo, não se costuma colocar o expoente 1.

d) ax5 + bx3 +1 = 0 é uma equação do 5º grau, o termo ax5 é o dominante. Membros de uma equação Como toda equação tem explícito o sinal de igualdade “=”, os termos que estão à esquerda desse sinal constituem o primeiro membro (ou membro da esquerda) e os que estão do lado direito da igualdade constituem o segundo membro (ou membro da direita). A incógnita representa um numero que não sabemos qual é, geralmente ela é representada pela letra x. A palavra incógnita quer dizer desconhecida. Exemplos Na equação: x2 + 2x = x – 1, os termos x2 + 2x constituem o primeiro membro e os termos x – 1 formam o segundo membro. A incógnita é o x. Na equação: x + 2 = y + 3x – 2, os termos x + 2 constituem o primeiro membro e os termos y + 3x – 2 formam o segundo membro. As incógnitas são x e y. Raízes de uma equação Raiz de uma equação é todo elemento que pertence ao seu conjunto verdade. Exemplo Na equação: 2x - 3 = 7 a raiz é 5 pois substituindo esse valor para a incógnita x, obtemos: 2.5-3=7 ⇒

10 – 3 = 7

⇒

7=7

Logo seu conjunto verdade é: V = {7} Equações equivalentes São aquelas que admitem o mesmo conjunto verdade. Exemplo Determinar o conjunto verdade das equações: 3x - 1= 8 (I) x + 2 = 5 (II) Podemos verificar que o conjunto verdade da equação (I) é 3, pois:

3. 3 – 1 = 8 ⇒

9–1=8

⇒

8=8

Verificando esse valor na equação (II), obtemos: 3+2=5

⇒

5=5

Assim concluímos que as duas têm o mesmo conjunto verdade V = {3}, logo elas são equivalentes. Regras de equivalência Na hora de resolver equações, às vezes devemos lançar mão de duas regras básicas que auxiliam na determinação do conjunto verdade. R.1 – Somando-se (ou subtraindo-se) o mesmo número (ou a mesma expressão) aos dois membros de uma equação, obtém-se uma nova equação equivalente à primeira. Exemplo x – 3 = 13 (III) Repare que o conjunto verdade da equação (III) é V = {16}, pois: 16 - 3 = 13

⇒

13 = 13

Somando +3 a ambos os membros da equação (III), obtemos: x – 3 + 3 = 13 +3 Efetuando as operações, teremos: x + 0 = 16

⇒

x = 16

O conjunto verdade dessa última equação também é V = {16}. Observação: Quando somamos +3 a ambos os membro é o mesmo efeito que transpor o -3 da equação (III) do primeiro para o segundo membro com sinal contrário. Assim quando transpomos um termo que está somado (ou subtraído) a outro, do primeiro membro para o segundo (e vice-versa) devemos mudar seu sinal.

R.2 – Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma equação por um mesmo número (ou uma mesma expressão), diferente de zero, obtém-se uma nova equação equivalente à primeira. Exemplo x = 10 (IV) 5

Repare que o conjunto verdade da equação (IV) é V = {50}, pois: 50 = 10 5

⇒ 10 = 10

Multiplicando ambos os membros da equação (IV) por +5, obtemos: 5.(

x ) = 5.10 5

⇒

x = 50

Essa última equação tem o mesmo conjunto verdade V = {50}, da equação (IV). Observação: Quando multiplicamos ambos os membros da equação (III) por +5 é o mesmo efeito que transpor o 5 que está dividindo o primeiro membro, para o segundo membro com operação inversa, isto é, multiplicando. Assim quando transpomos um termo que está dividindo um membro para o outro esse passa multiplicando o mesmo e viceversa.

Resolução de equações Resolver uma equação é determinar a sua solução, podemos dizer também que é achar um número

que

colocado

no lugar

igualdade numérica verdadeira.

incógnita

transforma

equação

numa

4.2. Equações do primeiro grau Objetivo •

Definir e resolver equações do primeiro grau.

4.2.1. Definição Chama-se equação do 1º grau, na incógnita (ou variável) x, a toda equação da forma: ax + b = 0 Onde: a e b ∈ ℜ e a ≠ 0. 4.2.2. Resolução de equações do primeiro grau Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número. Se o valor substituído tornar a sentença verdadeira então ele é raiz da equação. Exemplos a) Verificar se 4 é raiz da equação: 2x – 3 = x + 2. Substituindo o valor de x por 4 na equação dada, teremos: 2.4 – 3 = 4 + 2 8–3=6 5 = 6? Como a sentença não é verdadeira então 4 não é raiz da equação. b) Verificar se 5 é raiz da equação: 2 + 3x = 5x – 8 Substituindo o valor de x por 5 na equação dada, obtemos: 2 + 3.5 = 5.5 – 8 2 + 15 = 25 – 8 17 = 17! Como a sentença é verdadeira então 5 é raiz da equação dada.

A resolução de uma equação do 1º grau é baseada nas regras de equivalência citadas no início dessa Unidade. Exemplos a) Resolver a equação: x – 7 = 2 Nesse caso aplicamos a regra da adição (princípio aditivo), transpondo o (-7) para o segundo membro, lembrando-se que o sinal será trocado, ficando: x=2+7 Efetuamos então a soma algébrica, obtendo-se: x=9 A raiz da equação (ou o conjunto verdade) será V ={9}. b) Resolver a equação: 3x – 4 = 5 Primeiramente aplicamos a regra da adição e efetuamos a soma algébrica, onde teremos: ⇒

3x = 5 + 4

3x = 9

Aplicamos a regra da multiplicação, o elemento que está multiplicando o primeiro termo passará dividindo o segundo termo, ou seja: x=

9 3

⇒

x=3

Assim a raiz (conjunto verdade) da equação dada é: V = {3}. c) Determinar o conjunto verdade da equação: 3.(4x – 2) = 2(x -1) + 2 Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: 3.4x + 3.(-2) = 2*x + 2.(-1) + 2 12x – 6 = 2x – 2 + 2 Aplicando a regra aditiva, isolamos as incógnitas no primeiro membro e as constantes no segundo membro, obtendo-se: 12x – 2x = -2 + 2 + 6 10 x = 6

⇒

6 3 = 10 5

3  5 

O conjunto verdade será: V =   .

d) Resolver a equação:

3 x 2 x −1 5 x −1 − = +1 4 2 3

Primeiramente devemos determinar o m.m.c. dos denominadores: m.m.c. (4, 2, 3) = 12 Dividimos 12 por cada denominador e multiplicamos o resultado por cada numerador, obtendo-se: 3.3 x 6.( 2 x −1) 4.(5 x −1) 12.(1) − = + 12 12 12 12

Multiplicando ambos os membros por 12 e efetuando as operações, teremos: 9x – 12x + 6 = 10x – 4 + 12 Transpondo as incógnitas para o primeiro membro e as constantes para o segundo membro, obtemos: 9x – 10x = -4 + 12 - 6 -x = 2 Usando o princípio multiplicativo, teremos: x=

2 ⇒ −1

x = −1

A raiz (conjunto verdade) será: V = {-1}.

e) Resolver a equação:

x x −1 5 x + = 2 3 6

O m.m.c. (2, 3, 6) é 12, reduzindo ao mesmo denominador e aplicando o princípio aditivo e o multiplicativo, teremos: 6x + 4(x – 1) = 10x

⇒ 6x + 4x - 4 = 10x

⇒

10x – 10x = 4

⇒ 0x = 4

Não existe nenhum número que multiplicado por 0 cujo resultado é 4. Concluímos que essa equação não tem solução, logo seu conjunto verdade será: V = ∅. f) Determinar conjunto verdade da equação:

2 x −1 4 x − 2 = 3 6

O m.m.c. (3,6) é 6, aplicando o princípio aditivo e multiplicativo e efetuando as operações, teremos:

6.(2x – 1) = 3.(4x - )

⇒ 12x - 6 = 12x – 6

⇒

12x – 12x = 6 – 6 ⇒

0.x = 0 Nesse caso, nós vamos ter infinitos valores de x que satisfazem a equação dada, dizemos então que a equação tem infinitas soluções. O conjunto verdade será o conjunto dos números reais, ou seja: V = {R} Observação Equações em que qualquer valor atribuído à variável torna

equação

verdadeira,

são denominadas

identidades.

Exercícios Resolver as equações: 1)

3x 2 x 4 x − − =2 2 3 5

2) 5.(x-1) + 2.(x-3) + x = 5

(r: V = {60}) (r: V = {2})

x + 4 2x −3 + =1 6 2

(r: V =   )

2x + 4 3 x −1 +x= +2 2 6

(r: V = −  )

5) x − 6)

11 7 

 1  9

x −1 2 x − 3 9 x + = (r: V = ∅} 2 5 10

2 − x 4 − 2x = 5 10

(r: V = {R})

Observação Ao resolver uma equação do 1º grau podemos achar uma raiz (conjunto verdade unitário), nenhuma raiz (conjunto verdade vazio) ou infinitas raízes (conjunto verdade igual ao conjunto dos reais).

4.2.3. Aplicações das equações do primeiro grau Objetivo •

Resolver problemas do primeiro grau com a utilização de equações.

Problemas do primeiro grau Para facilitar a resolução de certos problemas devemos traduzi-los da linguagem escrita para a linguagem matemática. Nesses tipos de problemas, para simplificar os passos, podemos seguir quatro itens básicos: 1) Expressar o problema corretamente numa linguagem matemática (que é sua equação). 2) Saber identificar o conjunto universo do seu problema. 3) Resolver a equação. 4) Verificar se o resultado encontrado pertence ao conjunto universo do problema. Exemplo a) Determinar um número real que somado com 5 é igual à sua terça parte. Como determinado no problema, o conjunto universo é R (reais). Sendo x o número procurado, a expressão matemática será: x +5 =

x 3

Aplicando o princípio multiplicativo e o aditivo e efetuando as operações, teremos: 3(x + 5) = x

⇒

3x + 15 = x

⇒

2x = -15

⇒

−15 = −7,5 2

Como a raiz encontrada pertence ao conjunto universo dado, então o conjunto verdade será: V = {-7,5} b) Achar o número inteiro que somado com sua quarta parte é igual a 18.

Primeiro sabemos que o conjunto universo é Z (inteiros). Sendo x o número procurado, a expressão matemática será: x+

x = 18 3

Aplicando o princípio multiplicativo e efetuando as operações, teremos: 3x + x = 54 ⇒

4x = 54

⇒

54 = 13,5 4

A raiz encontrada é um número fracionário, logo não pertence ao conjunto dos números inteiros, logo o conjunto verdade será: V = ∅. c) Júlia foi ao supermercado e pagou por um mamão e um abacaxi a quantia de R$ 5,20. Sabendo-se que o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o mamão, quanto custou cada fruta? Aqui não está explicitado o conjunto universo, mas como o problema está tratando de dinheiro e esse tem os centavos, que é uma parte fracionária, então consideramos R (reais) o conjunto universo. Considerando x como o preço do mamão. Como o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o mamão, o seu preço será x + 0,40. Montamos então a equação: x + x + 0,40 = 5,20 Resolvendo a equação, teremos: 2x = 5,20 – 0,40

⇒

2x = 4,80

⇒

x = 2,40

Logo o preço do mamão será R$ 2,40 e o preço do abacaxi será: 2,40 + 0,40 = R$ 2,80. Resposta: o mamão custou R$ 2,40 e o abacaxi custou R$ 2,80. d) Joãozinho perguntou à professora qual era sua idade e ela respondeu: - Se ao triplo da minha idade eu acrescentar 4 anos, ainda faltarão 6 anos para eu completar um século de idade. Qual é a idade da professora?

Sabemos que não existe idade negativa e nem pessoas com zero ano de idade, mas uma pessoa pode ter 6 anos e meio de idade, logo podemos considerar como R*+

o conjunto

universo desse problema. Considerando como x a idade da professora, a expressão matemática será: 3x + 4 = 100 - 6 Usando o princípio aditivo e o multiplicativo, teremos: 3x + 4 = 94

⇒

3x = 90

⇒

x = 30

Como a raiz pertence ao conjunto universo, a resposta é: a idade da professora é 30 anos. Exercícios 1) O Sr. José recebeu seu salário e foi no supermercado gastando lá um terço do seu salário. Em seguida ele pagou todas suas contas do mês, gastando a metade do seu salário e sobrou R$ 400,00. Qual era o salário do Sr. José?

(r: R$ 2400,00)

2) Uma herança de R$ 29.000,00 deve ser repartida para três pessoas. Margarida receberá certa quantia; João receberá o dobro da quantia de Margarida e Vicente receberá o triplo da quantia de João mais

R$ 2.000,00. Quanto receberá cada pessoa?

(r: Margarida receberá R$ 3.000,00, João receberá R$ 6.000,00 e Vicente receberá R$ 20.000,00). 3) Três garotos, Pedro, Luiz e Léo possuem juntos 240 figurinhas. Luiz tem o triplo de figurinhas que Pedro e 30 a menos que a quantidade de figurinhas de Léo. Calcular o número de figurinhas de cada garoto. (r: Pedro tem 30 figurinhas, Luiz tem 90 figurinhas e Léo tem 120 figurinhas). 5) Lucas pagou uma conta de R$ 5,90 com 16 moedas; umas de R$ 0,50 e outras de 0,20. Calcular a quantidade de moedas de cada espécie. (r: Sete moedas de R$ 0,20 e nove moedas de R$ 0,50). 4.3. Equações do segundo grau Objetivos

•

Definir equações do segundo grau.

•

Resolver equações do segundo grau.

4.3.1. Definição Chama-se equação do 2º grau, na incógnita (ou variável) x, a toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0

(A)

Onde: a, b, c ∈ ℜ e a ≠ 0. A relação (A) denomina-se forma geral ou normal e as letras a, b e c são os parâmetros ou coeficientes (esses podem ser números ou letras). Exemplos: Na equação 3x2 - 5x + 7 = 0, temos: a = 3, b = -5 e c = 7. Na equação (m – n)x2 + mx + (2n + 5) = 0, temos: a = (m – n), b = m e c = (2n + 5). Observações: •

Se o coeficiente de x2 da equação (A) for negativo multiplica-se toda a equação por (-1) e os seus termos mudarão de sinal.

•

O termo c é denominado termo independente ou constante.

•

Se os coeficientes são números a equação diz-se numérica, se aqueles forem letras ela diz-se literal. 4.3.2.

equações:

Tipos

•

Equações completas: são aquelas que, na forma geral, têm todos os coeficientes diferentes de zero. Exemplo 5x2 – 4x -12 = 0 a, b e c ≠ 0

•

Equações incompletas: são aquelas que têm pelo menos um dos coeficientes (exceto o coeficiente a) iguais a zero. Exemplos 2x2 – 6x = 0 com c = 0 -x2 + 12 = 0 com b = 0 6x2 = 0 onde temos b = 0 e c = 0

4.3.3. Determinação de raízes Objetivo •

Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma ax2 + c = 0.

Determinar as raízes (ou resolver uma equação do 2º grau) consiste em achar o conjunto verdade (ou conjunto solução). No conjunto dos números reais, o conjunto verdade pode ter um elemento, dois elementos ou então nenhum elemento (conjunto vazio). Esse último acontece quando, ao resolver uma equação, o resultado envolver a extração da raiz quadrada de um número negativo. Na resolução de algumas equações do 2º grau usamos técnicas de fatoração e duas propriedades dos números reais:

Colocação de termos em evidência. Exemplo: ax2 + bx = x(ax + b) Propriedade 1: Se x ∈ ℜ e y ∈ ℜ e x.y = 0 então x = 0 ou y = 0 (ou seja, se o produto de dois fatores é zero então um dos dois fatores é igual a zero). Propriedade 2: Se x ∈ ℜ e y ∈ ℜ e x2 = y então x = + y ou x = − y

Podem ocorrer três casos de determinação de raízes: 1. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + c = 0 Transpomos a constante para o segundo membro, que é o mesmo que somar (– c) a ambos os membros, ou seja: ax2 + c – c = 0 – c ⇒ ax2 = - c

⇒ x =−

c a

Nessa última equação, como o termo do primeiro membro está elevado ao quadrado, esse será sempre positivo. Então se o termo do segundo membro for negativo não temos solução no conjunto dos reais e o conjunto verdade será vazio. Se o segundo membro for positivo o conjunto verdade terá dois elementos (duas raízes simétricas): x =±

−

c c c ou, de outra maneira: x 1 = − − e x2 = + − e o conjunto a a a

verdade será:  V = − 

c ,+ a

c  a

Exemplos Resolver as equações: a) 3x2 – 12 = 0 Transpondo a constante para o segundo membro (com mudança de sinal), temos: 3x2 = 12 Dividindo ambos os membros pelo coeficiente de x 2, obtemos: x2 = 4 Extraindo as raízes, fica: x =± 4 ⇒

x1 = -2 e x2 = 2

O conjunto verdade será: V = {-2, 2}

b) 4x2 – 5 = 0 De maneira análoga ao item (a), fazemos: 4x2 = 5 x2 =

5 4

x= ±

5 = ± 1,25 ⇒ x1 ≈ -1,11 e x2 ≈ 1,11 4

Obs.: como a raiz calculada não é exata usamos o símbolo ≈ (aproximadamente igual) O conjunto verdade será: V = {-1,11, 1,11) c) –6x2 + 24 = 0 Como o coeficiente de x2 é negativo, multiplicamos a equação por (-1), ficando: 6x2 – 24 = 0 6x2 = 24 x2 = 4 ⇒ ± 4 ⇒ x1 = -2 e x2 = 2 Teremos o conjunto verdade: V = {-2, 2} d) 5x2 + 20 = 0 5x2 = -20 x2 = -4 Como o segundo membro é negativo, não temos raízes no corpo dos reais. O conjunto verdade será: V = { } ou V = ∅ Exercícios Determine as raízes das equações:   (r: V = − ,  ) 1 1  3 3

a) 9x2 – 1 = 0 b) 4x2 – 5 = 2x2 -

9 2

 1 1 (r: V = − ,  )  2 2

c) 3x2 - 4 = x2 – 5 d)

(r: V = ∅)

1 7 + = 2 (r: V = { − 2 , + 2 } ) x +1 x + 3

4.3.4. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + bx = 0 Objetivos •

Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma

ax2 +

bx = 0. •

Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma

ax2 +

bx +c = 0. Para resolver equações desse tipo a primeira coisa a fazer é colocar x em evidência, obtendo um produto de dois fatores. Temos então: ax2 + bx = 0 ⇒ x (ax + b) = 0 Em seguida usamos a propriedade supracitada do produto de números reais, que diz: “se o produto de dois fatores é zero então um dos dois fatores é igual a zero”. x (ax + b) = 0 ⇒ x = 0 ou ax + b = 0, encontrando então a solução: x=0 e ax + b = 0 ⇒ x = −

b , o conjunto verdade será: a

  V = 0, −  

b a

Exemplo Resolver as equações: 5x2 -20x = 0 Fatorando a expressão do primeiro membro (colocando 5x em evidência), teremos: 5x (x – 4) = 0

Igualando cada fator a zero, obtemos: 5x = 0 ⇒ x = 0 (x – 4 ) = 0 ⇒ x = 4 Logo o conjunto verdade será: V = {0, 4} Exercícios Resolver as equações:  1 )  20 

a) 20x2 – x = 0

(r: V = 0,

b) 3x2 + 12x = 0

(r: V = {-4, 0})

c) (x + 2).(x - 4) = -8

(r: V = {0, 2})

4.3.5. Raízes de Equações completas da forma ax2 + bx + c = 0 Para achar o conjunto verdade usamos a dedução da fórmula de Bhaskara que se baseia no objetivo de transformar essa última equação noutra equivalente de modo que o primeiro termo seja um quadrado perfeito. Seguem os passos para essa transformação: 1) Multiplicaremos ambos os membros por 4a: (ax2 + bx + c).4a = 0.4a ⇒ 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 2) Passando 4ac para o segundo membro: 4a2x2 + 4abx = - 4ac Para o primeiro membro ser um trinômio quadrado perfeito, vamos recorrer a um esquema aprendido a partir dos produtos notáveis: 4a2x2 + 4abx + m

4a 2

m 2a

2.2ab

4ab

Assim deduzimos que:

= b ⇒ m = b2

3) Logo somaremos b2 a ambos os membros, ficando: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac O primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito. 4) Fatorando o primeiro membro, teremos: (2ax + b)2 = b2 – 4ac 5) Como o objetivo é determinar o valor de x, extraímos a raiz quadrada dos dois membros:

( 2ax + b ) 2

= ± b 2 − 4ac

⇒

2ax + b = ± b 2 − 4ac

6) Para explicitar o termo em x no primeiro membro, passamos b para o segundo membro, obtendo: 2ax = −b ± b 2 − 4ac

Para ficar somente x no primeiro membro, dividimos ambos os membros por 2a, obtendose:

− b ± b 2 − 4ac x= 2a

(B)

Essa é a chamada fórmula resolutiva da equação do 2º grau ou fórmula de Bhaskara. Podemos expressar a equação (B), explicitando as raízes, da seguinte forma:

x1 =

− b − b 2 − 4ac 2a

x2 =

− b + b 2 − 4ac 2a

O termo dentro do radical é chamado de discriminante ou delta e é indicado por essa letra grega, ou seja: ∆ = b2 – 4ac

(C)

Dependendo dos coeficientes de uma equação do 2º grau, o discriminante pode ser positivo, igual a zero ou negativo. Vamos determinar as raízes analisando então esses três casos que acontecem. I) O discriminante é positivo (∆ > 0) Nesse caso nós teremos duas raízes distintas e podemos representá-las por x’ e x’’ ou por x1 e x2. O conjunto verdade será dado por:  − b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac   ,  2 a 2 a    

V= 

Exemplos Resolver as equações: a) x2 – 7x + 12 = 0 Nesse caso: a = 1, b = -7 e c = 12 Determinando o discriminante: ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 = 1 Achando as raízes: x’ =

− (−7) − 1 7 −1 = =3 2 .1 2

x’’ =

− ( −7) + 1 7 + 1 = =4 2.1 2

O conjunto verdade será: V = {3, 4} b) 5x2 + 11x + 2 = 0 Nesse caso: a = 5, b = 11 e c = 2 Determinando o discriminante: ∆ = b2 – 4ac = (11)2 – 4.5.2 = 121 – 40 = 81 Achando as raízes: x1 =

−11 − 81 −11 − 9 20 = =− = −2 2.5 10 10

x2 =

−11 + 81 −11 + 9 2 1 = =− =− 2.5 10 10 5

1  O conjunto verdade será: V = − 2, −  

5

II) O discriminante é nulo (∆ = 0) Substituindo o valor do discriminante na equação (B), teremos: x=

−b ± 0 b ⇒ x =− 2a 2a

Nesse caso, dizemos que temos uma raiz dupla. Exemplo Resolver a equação: x2 – 6x + 9 = 0 Nesse caso: a = 1, b = -6 e c = 9 Determinando o discriminante: ∆ = b2 – 4ac = (-6)2 – 4.1.9 = 36 – 36 = 0

Achando as raízes: x1 =

− (−6) − 0 6 = =3 2.1 2

x2 =

− ( −6) + 0 6 = =3 2 .1 2

Logo temos x1 = x2 = x = 3, uma raiz dupla. O conjunto verdade será: V = {3} III) O discriminante é negativo (∆ < 0) Ao substituir o valor desse discriminante na equação (B), não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo. Assim concluímos que toda equação do segundo grau com ∆ < 0 não admite nenhuma raiz real e, por conseguinte o seu conjunto verdade será vazio. Exemplo Resolver a equação: x2 + 3x + 7 = 0 Nesse caso: a = 1, b = 3 e c = 7 Determinando o discriminante: ∆ = b2 – 4ac = (3)2 – 4.1.7 = 9 – 28 = -19 Achando as raízes: x1 =

− 3 − −9 2.1

x2 =

−3 + −9 2.1

Como, no cálculo das raízes, está envolvida a raiz quadrada de um número negativo, concluímos que essa equação não tem raízes reais. O conjunto verdade será então: V = Ø

Exercícios Resolver as equações:

1) –x2 + 3x – 2 = 0

(r: V = {1, 2}

2) 3x2 – 2x – 4 = 0

(r: V = Ø)

3) 4x2 – 4x = -1

(r: V =   )

4) 2x2 – x +3 = 0

(r: V = −1,  )

1  2   

3 2

x 2 − 5x +1 = −2 (r: V = {2, 3}) 2

4.3.6. Relações entre os coeficientes e as raízes Objetivo •

Estabelecer as relações entre os coeficientes e as raízes.

4.3.6.1. Soma das raízes (S) Vimos anteriormente que as raízes de uma equação do 2º grau são: x1 =

− b − b 2 − 4ac 2a

x2 =

− b + b 2 − 4ac 2a

Somando os termos, membro a membro, teremos: x1 + x2 =

− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac + 2a 2a

x1 + x2 =

− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac − 2b = 2a 2a

Fazendo a simplificação, resultará:

x1 + x 2 =

(D)

Podemos definir então a relação das somas das raízes:

A soma das raízes de uma equação do segundo grau é igual a: .

4.3.6.2. Produto das raízes (P) Analogamente ao que foi feito na soma de raízes, agora realizaremos o produto das raízes x1 e x2, ou seja: Multiplicando os termos, membro a membro, teremos:  − b − b 2 − 4ac   − b + b 2 − 4ac  .  x1 . x2 =    2a 2a 





A multiplicação dos numeradores irá envolver o produto da soma pela diferença de dois termos, é um produto notável, cujo resultado é o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Obtemos então: x1 . x 2 =

(−b) 2 − ( b 2 − 4ac ) 2 b 2 − b 2 + 4ac 4ac = = 2 4a 4a 2 4a

Fazendo a simplificação, resultará: x1 . x 2 =

(E)

Podemos definir então a relação do produto das raízes:

O produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual a:

c . a

Das relações (D) e (E) determinadas, fazemos: S = x1 + x2

P = x 1. x 2

Substituindo os valores das relações (D) e (E), teremos: S= − P=

b a

⇒

b = − S (F) a

c c ⇒ =P a a

(G)

Se da equação completa: ax2 + bx + c = 0, dividirmos ambos os membros por a, teremos: ax bx c 0 + + = a a a a

⇒

x2 +

b c x+ =0 a a

(H)

Substituindo os valores de (F) e (G) em (H), obtemos: x2 – Sx + P = 0

(I)

Essas relações estudadas nos ajudam a relacionar as raízes e também a fazer o caminho inverso, ou seja, determinar uma equação do 2º grau dadas as raízes. Exemplos a) Sem resolver a equação 2x2 – 4x + 8 = 0, calcular a soma e o produto das raízes. A soma das raízes é dada por: x1 + x2 = −

b ( −4) =− =2 a 2

O produto das raízes é dado por:

x1 . x 2 =

c 8 = =4 a 2

b) Dadas as raízes x1 = - 4 e x2 = 7, formar a equação do segundo grau. A soma S = -4 + 7 = 3

O produto P = (-4).(7) = -28 Substituindo esses valores na equação (I), teremos: x2 – 3 – 28 = 0 c) Calcular m na equação x2 + 8x + m = 0 de modo que uma raiz seja o triplo da outra. Pelos dados do problema, temos: x1 + x2 = − x1 . x 2 =

b 8 = − = −8 a 1

c m = =m a 1

x1 = 3x2 Substituindo x1 por 3x2 na primeira equação, teremos: 3x2 + x2 = -8 ⇒ 4x2 = - 8 ⇒ x2 = -2 Como x1 = 3x2 então x1 = 3.(-2) = -6 Como P = x1.x2 = (-6).(-2) = 8 e m é o mesmo valor de P, então: m=8 E a equação será: x2 + 8x + 12 = 0 Exercícios a) Determinar a equação do 2º grau cujas raízes são: x1 = -5 e x2 = −

1 . 2

(r: 2x2 + 11x + 5) b) Calcular o valor de k na equação x2 + kx - 15 = 0, sabendo-se que a soma das raízes é igual a 2. (r: k = -2) 4.3.7. Equação biquadrada Objetivos •

Especificar o conceito de equação biquadrada.

•

Determinar as raízes de uma equação biquadrada.

Definição Uma equação é dita biquadrada se ela é do quarto grau, com uma só incógnita e pode ser expressa na forma: ax4 + bx2 + c = 0, com a, b, c ∈ ℜ e a ≠ 0. Observação: Uma equação biquadrada não contém potências ímpares da incógnita. Por exemplo, as equações: 2x4 + 4x3 + 3 = 0 e 5x4 + 6x2 + 3x + 4 = 0 não são biquadradas. Raízes de uma equação biquadrada Temos a equação biquadrada:

ax4 + bx2 + c = 0

(K)

Fazendo-se x2 = y e substituindo na equação (K), obtemos: ay2 + by + c = 0

(L)

A equação (L) é do segundo grau, que já aprendemos a resolver e cuja solução é:

b±− b2 − 4ac y= 2a

(M)

Como fizemos x2 = y e queremos determinar x, explicitamos x em função de y, ou seja: Se x2 = y então

x =±

x =± y

, levando esse valor em (M), teremos:

− b ± b 2 − 4ac 2a

Cada valor positivo de y corresponde a duas raízes reais e simétricas. Se y for negativo não é possível determinar raízes reais. Exemplos Resolver: a) x4 – 10x2 + 9 = 0 Fazendo x2 = y e substituindo na equação dada, teremos: y2 – 10y + 9 = 0 Determinando as raízes pela fórmula de Bhaskara:

y1 =

10 − 10 2 − 4.1.9 10 − 64 10 − 8 2 = = = =1 2.1 2 2 2

y2 =

10 + 10 2 − 4.1.9 10 + 64 10 + 8 18 = = = =9 2.1 2 2 2

Obtemos então duas raízes positivas para y, vamos determinar então os valores de x: x1 = − y1 = − 1 = −1 x2 = + y1 = + 1 = 1 x3 = − y 2 = − 9 = −3 x4 = + y 2 = + 9 = 3 O conjunto verdade será então:

V = {-3, -1, 1, 3}

Concluímos que a equação biquadrada é o resultado do produto: (x - 1).(x + 1).(x - 3).(x + 3) b) 3x4 + 2x2 + 1 = 0 Fazendo x2 = y e substituindo na equação dada, teremos:

3y2 + 2y + 1 = 0 Determinando as raízes pela fórmula de Bhaskara: y1 =

− 2 − 2 2 − 4.3.1. − 2 − 4 − 12 − 2 − − 8 = = 2.3 6 6

y2 =

− 2 + 2 2 − 4.3.1. − 2 + 4 − 12 − 2 + − 8 = = 2.3 6 6

Nos dois casos acima teríamos que determinar a raiz quadrada de um número negativo, logo podemos concluir que não existem raízes reais. O conjunto verdade será então:

V=Ø

c) x4 – 4x2 + 4 = 0 Fazendo x2 = y e substituindo na equação dada, teremos: y2 - 4y + 4 = 0 Determinando as raízes pela fórmula de Bhaskara:

y1 =

− (−4) − ( −4) 2 − 4.1.4. 4 − 16 − 16 4 − 0 = = =2 2.1 2 2

y2 =

− (−4) + (−4) 2 − 4.1.4. 4 + 16 − 16 4 0 = = =2 2.1 2 2

Como y1 = y2, teremos o caso de raiz dupla, então: x1 = x2 = − y1 = − 2 x3 = x4 = + y1 = 2 O conjunto verdade será: V = {− 2 ,

}

Concluímos que a equação biquadrada dada é resultado do produto: ( x − 2 ).( x − 2 ).( x + 2 ).( x + 2 )

Exercícios

Resolver as equações biquadradas: 1) x4 – 5x2 + 4 = 0 2) 2x4 – 10x2 + 12 = 0 3) x4 – 2x3 – 4 = 0

(r: V = {-2, -1, 1, 2} (r: V = {− 3 ,− 2 , 2 , 3} ) (r: não é equação biquadrada)

4) x4 – 2x2 + 5 = 0

(r: V = Ø)

5) x4 – 8x2 + 7 = 0

(r: V = {−1, 1, − 7 ,

})

4.3.8. Aplicações das equações do 2º grau Objetivo •

Resolver problemas do segundo grau com o uso de equações.

Veremos a seguir algumas das aplicações da equação do 2º graus.

4.3.8.1. Resolução de problemas do 2º grau Na resolução de problemas desse tipo, devemos seguir alguns passos: •

Saber montar a equação, traduzindo a linguagem escrita para a linguagem matemática;

•

Determinar as raízes da equação;

•

Analisar o resultado para determinar a solução.

Observação: Às vezes podem ser encontradas duas raízes, mas nem sempre as duas satisfazem o objetivo do problema em questão (principalmente quando tratamos com: unidades de medidas, pessoas, números inteiros etc.). Também tem algumas dicas que podem ser adotadas ao se trabalhar com variáveis: 1) Escolha de um número ou uma incógnita: normalmente usa-se x (mas podemos usar qualquer letra).

2) Consecutivo de um número: usa-se x + 1 e antecessor usa-se: x – 1. 3) Inverso de um número:

1 . x

4) Para o quadrado de um número podemos usar x2. 5) O dobro de um número pode ser definido como 2x. 6) Um número multiplicado por sua quarta parte: x.

x x2 = 4 4

7) Se a soma de dois números é 20 então um número será x e o outro será 20 – x. 8) Se o produto de dois números 20 então um número é x e o outro será

20 . x

9) Devemos sempre dar preferência de usar apenas uma incógnita para a resolução se tornar mais simples, evitando usar um sistema de equações. Exemplos a) Determine um número que multiplicado por seu quádruplo é igual a 676. Seja um número x, o seu quádruplo será 4 . x = 4x. Montamos a linguagem matemática, para resolver esse problema: x . 4x = 676

⇒

4x2 = 676

Passando 676 para o primeiro membro, teremos: 4x2 - 676 = 0 Esta é uma equação do 2º grau incompleta que já estudamos e onde a = 4, b = 0 e c = -676. Resolvendo-a: x1 = − − x2 =

−

c 676 =− = − 169 = −13 a 4

c 676 = = 169 = 13 a 4

Conferindo os resultados: √

(-13).4.(-13) = (-13).(-52) = 676 (13).4.(13) = 13.52 = 676

√

Logo o conjunto verdade será: V = {-13, 13} b) Numa lanchonete, a conta de uma turma de jovens deu R$ 280,00 e ela iria ser dividida em partes iguais. Mas, na hora de pagar, 3 jovens disseram que tinham só cartão de crédito e aquele estabelecimento não aceitava aquela forma de pagamento. Então a cota de cada um dos que iriam pagar ficou aumentada de R$ 12,00. Quantos jovens haviam na lanchonete? Se chamarmos a quantidade total de jovens de x, cada um deles ia pagar a quantia de 280 (cota inicial). Com a não contribuição de 3 pessoas a quantia a ser paga por cada um x

dos outros será de

280 (cota final). x −3

Logo, cota final – cota inicial = 12 , ou seja: 280 280 = 12 x −3 x

Tirando o m.m.c. e simplificando, teremos: 280. x − 280( x − 3) = 12 ⇒ 280 x − 280 x + 840 = 12 x ( x − 3) ⇒ x.( x − 3)

840 = 12x2 - 36 x Dividindo ambos os membros por 12, obtemos: 70 = x2 - 3x ⇒

x2 - 3x - 70 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau encontrada, fica:

x1 =

− (−3) − (−3) 2 − 4.1.(−70) 3 − 289 3 − 17 − 14 = = = = −7 2. 1 2 2 2

x2 =

− (−3) + (−3) 2 − 4.1.(−70) 3 + 289 3 + 17 20 = = = = 10 2 .1 2 2 2

√

Como a quantidade de pessoas não pode ser um número negativo, nossa solução será: 10 jovens. c) Determinar três números consecutivos cuja soma deles acrescida de 12 unidades é igual ao produto dos dois menores. Se um número é x, os consecutivos serão: (x + 1) e (x + 2). Armando a sentença matemática que atende ao problema em questão, fica: x + (x + 1) + (x + 2) + 12 = (x).(x + 1) Efetuando as operações, obtemos: 3x + 3 + 12 = x2 + x Passando os termos para o segundo membro, fica: 3x + 15 = x2 + x ⇒ x2 - 2x -15 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos:

x1 =

− ( −2) − ( −2) 2 − 4.1.(−15) 2 − 64 2 − 8 − 6 = = = = −3 2.1 2 2 2

x2 =

− (−2) + (−2) 2 − 4.1.( −15) 2 + 64 2 + 8 10 = = = =5 2 .1 2 2 2

√

Logo temos duas respostas: os números são -3, -2 e -1 ou então são os números 5, 6 e 7. Exercícios

1) (CEFET/91 - 2ª FASE) Um pedaço de arame de 44 cm de comprimento é cortado em duas partes e cada parte é dobrada em forma de um quadrado. A soma das áreas dos dois quadrados é 61cm2. Calcule as medidas dos lados dos quadrados. (r: 5 cm e 6 cm) 2) (U. E. Londrina 1997) Um comerciante comprou um lote de camisas por

R$ 600,00.

Se ele tivesse feito negócio com outro fabricante, com a mesma quantia teria comprado 20 camisas a mais, cada uma delas custando R$ 1,50 a menos. Quanto custou cada camisa do lote comprado? (r: R$ 7,50)

4.3.8.2. Sistemas do 2º grau Objetivo •

Resolver sistemas do segundo grau.

Quando temos um sistema com duas equações, a equação final pode ser do segundo grau então aquele é chamado sistema do 2º grau. Um sistema do 2º grau só pode ser constituído de uma equação do 2º grau e outra do primeiro. Exemplo A soma de dois números é sete e o seu produto é 12. Determinar os dois números. Para resolver esse problema montamos o seguinte sistema de duas incógnitas: x + y = 7   x. y = 12

(a) (b)

Escolhemos qualquer uma das duas equações, explicitamos uma incógnita numa equação e substituímos seu valor na outra equação. Por exemplo, escolhendo a equação (a), vamos determinar o valor de y: x+y=7

⇒

y=7–x

(c)

Levando (c) em (b), teremos: x.(7 – x) = 12

⇒

7x – x2 = 12

⇒

x2 – 7x + 12 = 0 (d)

A equação (d) é do 2º grau e completa. Resolvendo-a:

x1 =

− ( −7) − (−7) 2 − 4.1.(12) 7 − 1 7 −1 6 = = = =3 2 .1 2 2 2

x2 =

− (−7) + (−7) 2 − 4.1.(12) 7 + 1 7 +1 8 = = = =4 2.1 2 2 2

√

Logo, o conjunto verdade será: V = {3, 4} Exercícios 1) Determinar dois números inteiros cuja diferença entre o maior e o menor é 6 e cuja soma dos seus inversos é

5 . 8

(r: V = {8, 2}).

2) Resolver o sistema: 2 x + y = 8  3 xy = 18

(r: V {3,2}) Vamos para a próxima unidade!

Matemática elementar

Unidade V

Unidade V - Operações com fração

Problematizando

1) O que vem a ser: frações próprias, impróprias, aparentes, irredutíveis e equivalentes? 2) Como representar frações por meio de figuras? 3) Como somar, subtrair, multiplicar e dividir frações? 4) Quais as aplicações do M.D.C. e do M.M.C. ao se trabalhar com frações? 5) O que são números decimais. 6) Como efetuar operações com os números decimais?

Introdução Objetivos •

Definir frações.

•

Especificar os tipos de frações.

Tanto as frações como os números decimais apresentam grande importância na nossa vida, pois a aplicação daqueles está no nosso cotidiano. Quando vamos ao supermercado e compramos ½ Kg de açúcar ou 1 ½ Kg de café ou ½ dúzia de ovos etc., estamos trabalhando com frações. Ao lidarmos com nosso dinheiro operamos com frações e números decimais. 5.1. Definições Vamos inserir alguns conceitos básicos que precisaremos conhecer para, posteriormente, operar com frações com mais habilidade. 5.1.1. Frações Definição Frações são números que: indicam uma ou mais partes iguais de uma unidade ou expressam quantidades em que os objetos estão partidos (fracionados) em partes iguais e são representadas como o quociente de dois números.

A fração é representada por uma das seguintes formas:

A ou A/B B

Com A, B ∈ N e B ≠ 0

Onde: A é chamado de numerador e indica quantas partes a fração tem. B é chamado de denominador e indica em quantas partes a unidade foi dividida. Exemplos a) A fração

3 indica que a unidade foi dividida em 5 partes e nós temos 3 delas. Nesse 5

exemplo o numerador é 3 e o denominador é 5. b) Podemos representar as frações por meio de figuras. Por exemplo: Júlia comeu 3/8 de um chocolate. Isso quer dizer que se o chocolate for dividido em 8 partes iguais, Júlia comeu 3 dessas partes. Veja a figura que representa essa fração:

Na figura acima, as partes amarelas representam aquelas que Júlia comeu (3/8) e a parte branca é a que sobrou (5/8) do chocolate.

5.1.2. Leitura de frações

Objetivos •

Ler frações.

•

Classificar as equações.

As frações recebem nomes especiais de acordo com os numeradores e denominadores usados. Quando o denominador for maior que 10 acrescentamos a palavra avos1 ao denominador. Veja alguns exemplos: 1 : um meio 2

2 : dois terços 3

5 : cinco sétimos 7

6 7 : seis décimos : sete dezoito avos 10 18

11 : onze quinze avos 15 8 : oito milésimos 1000

3 : três quartos 4

7 : sete trinta avos 30

3 : três meios 2

3 : três quintos 5

60 : sessenta centésimos 100

16 : dezesseis nonos 9

Observação: Quando o denominador é múltiplo de 10 podemos acrescentar avos ao denominador ou usar o substantivo ordinal correspondente ao denominador. Exemplo 1 : podemos ler essa fração como um vinte avos ou um vigésimo. 20

Avos é uma palavra usada na leitura de frações e indica cada uma das partes em que foi dividida a unidade e cujo denominador é maior que 10.

5.1.3. Classificação das frações Temos três tipos de frações: a) Frações próprias: são aquelas cujo numerador é menor que o denominador e elas representam números menores que um inteiro. Exemplos:

1 7 23 , , 3 9 72

Usando uma representação simbólica: Representa a fração própria

Obs: As frações cujos denominadores são potência de 10 (10, 100, 1000,...) são chamadas de frações decimais. Exemplos:

3 23 435 , , 10 100 1000

b) Frações impróprias: são aquelas cujo numerador é maior que o denominador e elas representam números maiores que um inteiro. Exemplos:

5 11 23 , , 2 6 7

A figura abaixo representa a fração imprópria

8 . 6

Representa a fração imprópria

Obs: As frações impróprias podem ser constituídas de uma parte inteira e uma parte fracionária. Quando são escritas dessa maneira recebem o nome de frações mistas. Exemplos: 1

2 1 ,3 6 4

c) Frações aparentes: são as frações cujo numerador é múltiplo do denominador. Se dividirmos os numeradores dessas frações pelos seus respectivos denominadores iremos obter valores inteiros. Exemplos: 9 28 6 , , , que, na verdade, representam, respectivamente, os números: 3, 4 e 1. 3 7 6

Usando a representação em figura: Representa a fração aparente igual a 2, ou seja, 2 unidades.

que é

Exemplos a) 3

1 4

b) 5

1 7

Podemos representar uma fração mista através de figuras. Por exemplo, vamos representar a fração do item (a). Como o denominador é 4, concluímos que a unidade é dividida em 4 partes e pela fração vemos que temos três unidades mais um quarto da unidade. A fração, representada pela parte colorida, será:

d) Frações decimais: são aquelas frações cujos denominadores são potências de 10 (10, 100, 1000, . . .). Exemplos a)

3 10

23 100

237 10000

5.1.4. Equivalência de frações Objetivos •

Estabelecer a equivalência de frações.

Frações equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do todo. Quando comparamos uma com a outra, verificamos que tanto o numerador como o denominador é multiplicado pelo mesmo número. Exemplo As frações

2 6 30 , , são equivalentes. 3 9 45

A segunda fração acima é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da primeira fração por 3 e a terceira fração acima é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da primeira fração por 15. Podemos representar por meio de figuras, frações equivalentes.

1 2

2 4

4 8

Na figura acima, as três frações são equivalentes. Observe que qualquer uma delas representa a metade do todo (esse é o retângulo maior). As duas últimas frações da figura foram obtidas da seguinte forma: 1x 2 2 = 2 x 2 4

1 x4 2 = 2 x 4 8

Então podemos deduzir que: Para determinarmos frações equivalentes a uma fração dada devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

5.1.5. Simplificação de frações. Objetivos

•

Simplificar frações.

•

Efetuar operações de adição e subtração de frações

Para simplificar uma fração devemos dividir, simultaneamente, o numerador e o denominador por um fator comum. Esse fator comum, na verdade, é o M.D.C. do numerador e denominador. Exemplos Simplificar as frações: a)

3 15

O M.D.C. (15,3) = 3, então dividimos o numerador e o denominador por 3, obtendo-se: 3 x1 1 = 3x5 5

14 49

O M.D.C. (49,14) = 7, então dividimos o numerador e o denominador por 7, obtendo-se: 7x2 2 = 7x7 7

11 17

O M.D.C. (17,11) = 1, quando isso acontece dizemos então que a fração é irredutível. Nos itens (a) e (b) acima as frações resultantes da simplificação efetuada, também são irredutíveis, pois M.D.C. (5,1) = 1 e M.D.C. (7, 2) = 1.

1 2 e , 5 7

Podemos então definir: Fração irredutível é aquela que o numerador e o denominador não têm nenhum fator em comum, ou seja, M.D.C. (denominador, numerador) = 1.

5.2 Operações com fração As operações básicas com frações que veremos são: adição, subtração, produto, divisão, potenciação, radiciação e estudaremos também transformações de frações. 5.2.1. Adição e subtração frações Podem ocorrer dois casos: I) Os denominadores das frações adicionadas são iguais a) Para somar frações com denominadores iguais, somamos os numeradores e conservamos o denominador. b) Para subtrair frações com denominadores iguais, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. Exemplos a)

1 3 1+ 3 4 + = = 5 5 5 5

11 − 4 11 4 7 − = = 17 17 17 17

2 4 7 15 2 − 4 + 7 − 15 10 − + − = =− 31 31 31 31 31 31

1 4 11 1 + 4 + 11 16 + + = = 21 21 21 21 21

8 3 6 8−3−6 1 − − = =− 25 25 25 25 25

II) Os denominadores das frações são diferentes

Quando, ao somar ou subtrais frações, os denominadores forem diferentes, devemos reduzir todas as frações ao mesmo denominador. Temos então que determinar o M.M.C. dos denominadores para pode efetuar as operações de adição e/ou de subtração. Se a fração resultante puder ser simplificada, devemos então fazer a simplificação. Exemplo Efetuar as operações: a)

1 2 + 5 7

Nesse caso os denominadores são diferentes, vamos então determinar o M.M.C. dos denominadores: M.M.C. (5, 7) = 35, esse vai ser o denominador comum de todas as frações. Devemos, em seguida, dividir o M.M.C. encontrado (35), pelo denominador de cada fração e multiplicar o resultado obtido dessa divisão pelo respectivo numerador. (35 ÷ 5).1 (35 ÷ 7).2 7 x 1 5 x 2 7 + 10 17 + = + = = 35 35 35 35 35 35

1 2 5 3 − + − 8 3 12 4

Determinando o M.M.C. dos quatro denominadores: M.M.C. (3, 4, 8, 12) = 24, esse vai ser o denominador comum de todas as frações. (24 ÷ 8) x 1 (24 ÷ 3) x 2 (24 ÷ 8) x 5 (24 ÷ 24) x 3 3 x1 8 x 2 3 x 5 3 x 3 − + − = − + − = 24 24 24 24 24 24 24 24 =

3 16 15 3 3 − 16 + 15 − 3 1 − + − = =− 24 24 24 24 24 24

4 4 3 7 − + − 14 7 4 28

Determinando o M.M.C. dos quatro denominadores:

M.M.C. (14, 7, 4, 28) = 28, esse vai ser o denominador comum de todas as frações. (28 ÷ 14 ) x 4 (28 ÷ 7) x 4 (28 ÷ 4) x 3 (28 ÷ 28) x 7 2 x 4 4 x 4 7 x 3 1x 7 − + − = − + − = 28 28 28 28 28 28 28 28 =

8 16 21 7 8 − 16 + 21 − 7 6 − + − = = 28 28 28 28 28 28

Como a fração resultante pode ser simplificada (pois M.D.C. (28, 6)= 2, dividimos o numerador e o denominador por 2, obtendo: 6 ÷2 3 = 28 ÷ 2 14

Essa fração é irredutível e é então o nosso resultado. Exercícios Efetuar as operações:

3 1 + 5 5

(r:

4 ) 5

2 5 − 6 6

(r: −

2 3 + 11 22

(r:

7 ) 22

5 1 + 7 42

(r:

31 ) 42

1 5 4 5 + − + 5 6 15 3

(r:

73 ) 30

3 7 3 11 − + − 4 15 2 6

3 ) 6

(r: −

1 ) 20

5.2.2. Multiplicação de frações

Objetivo •

Realizar operações de multiplicação e divisão de frações.

Na multiplicação de frações, devemos multiplicar todos os numeradores das frações envolvidas e devemos multiplicar também todos os denominadores. Para facilitar as contas, podemos fazer simplificações com os números envolvidos, antes de efetuarmos as multiplicações. Exemplos Efetuar os produtos: a)

5x4 5 4 20 x = = 7 9 7x9 63

1 2 5 1x2x 5 10 x x = = 9 7 3 9x7 x3 189

c) ) Efeturar as operaç sarto.nte dar+ 1teira (3) pelo denominador Na operação acima, antes de efetuarmos as multiplicações, “cortamos” o 2 do numerador com o 2 do denominador. 2

Na operação acima “cortamos” o 4 do numerador com o 4 do denominador; cortamos o 7 do denominador com o 14 do numerador, sobrando 2 (pois

14 / 7 = 2). Obs.: colocamos

o 2 em cima do número 14 para mostrar onde foi feita a operação. Exercícios Faça as multiplicações abaixo: 1)

2 10 x 5 7

2) −

4 5 x 11 32

(r:

4 ) 7

(r: −

5 ) 88

2 21 10 x x 7 5 3

(r: 4)

 1  3  12  x −   8 5  3 

4)  − x

(r:

3 ) 10

5.2.3. Divisão de frações Na divisão de duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração. Exemplo Efetuar as divisões: 2

2x8

a) 7 ÷ 8 = 7 x 5 = 7 x 5 = 35 Você deve estar se perguntando: - Por que invertemos a operação e uma das frações? Vamos dar essa explicação através de um exemplo simples: 5 ÷6 =

5 5 5 5 1 5 = 5 ÷ (2 x 3) = 5 ÷ 2 ÷ 3 = = ÷ 3 = x = 2 2 6 2 3 6 3

Note que na igualdade:

5 5 1 ÷3 = x , passamos de uma divisão para a multiplicação do 2 2 3

inverso do segundo número e não alteramos o valor da fração original. Fazemos então essa inversão para facilitar as operações. Exercícios Efetue as operações: a)

4 5 ÷ 5 4

(r:

16 ) 25

7 6 ÷ 2 21

(r:

49 ) 4

4  6  ÷ −  7  19 

(r: −

38 ) 21

343 49 ÷ 625 25

(r:

7 ) 25

5.2.4. Potenciação (ou exponenciação) de frações Objetivo •

Realizar a operação de potenciação de frações.

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente. Exemplos Efetuar as seguintes potenciações: 2

22 2x2 4 = = 2 5 5 x 5 25

33 3 x 3 x 3 27 = = 3 4 4 x 4 x 4 64

  a)   = 2 5 

  b)   = 3 4 

  c)  −  = 1  2

( − 1) 2 2

 − 1  − 1 1 = x =  2   2  4 2

  Que é o mesmo que:  −  = 1  2

 1   1  1 12 =   x   = 2 ( − 2 )   − 2   − 2   4

( − 2 )  − 2 x − 2 x − 2  = − 8  2 d)  −  = 3 =       27 3  3  3   3   3  3

23 8  2  2   2   2  = Que equivale a:  −  = x x =− 3 ( − 3)  − 3   − 3   − 3  27  3

Exercícios Efetue as potenciações: 2

4  1)   7   

(r:

16 ) 49

(r:

32 ) 243

(r:

256 ) 325

2 3

2)  −  4

 4  5

3)  − 

5.2.5. Radiciação de frações Objetivos •

Realizar a operação de radiciação de frações.

•

Reduzir números inteiros para frações impróprias.

Quando aplicamos uma determinada raiz a um número fracionário, aplicamos essa raiz ao numerador e ao denominador. Exemplos 9 = 49

9 3 = 49 7

64 64 4 = = 27 27 3

−

125 3 − 125 5 = 3 =− 216 6 216

⇔

Exercícios Resolva: 1)

16 81

(r:

4 ) 9

−

3 125 125 5 =3 =− 216 6 − 216

256 625

−

27 343

(r:

4 ) 5

(r: −

3 ) 7

5.2.6. Transformações de frações 5.2.6.1. Redução de números inteiros para frações impróprias Para reduzirmos um número inteiro a uma fração imprópria multiplicamos o número inteiro por uma fração com denominador e numerador iguais à quantidade de partes que vai ser dividida a unidade. Exemplos a) Reduzir 7 inteiros a terços. Nesse caso a quantidade de partes é 3, então teremos: 7x

3 21 = , ou seja, sete inteiros são iguais a vinte e um terços. 3 3

b) Reduzir 9 inteiros a quartos. Nesse caso a quantidade de partes é 4, logo: 9x

4 36 = , ou seja, nove inteiros são iguais a trinta e seis quartos. 4 4

5.2.6.2. Redução de número misto para fração imprópria

Objetivos •

Reduzir número misto para fração imprópria.

•

Converter fração imprópria para número misto.

Para reduzirmos um número misto a uma fração imprópria, multiplicamos a parte inteira da fração dada pelo denominador dela e adicionamos esse produto ao numerador da fração e mantemos o mesmo denominador. Exemplos Reduzir os números mistos dados a frações impróprias: a) 3

1 5

Seguindo a regra dada, multiplicamos a parte inteira (3) pelo denominador (5) e somamos com o numerador (1), obtendo-se:

(3 x 5) + 1 = 16. Esse resultado será o numerador da

nova fração, cujo denominador (5) será mantido, ou seja:

1 (3 x 5) + 1 15 + 1 16 = = = 5 5 5 5

b) 7

4 9

Usando o mesmo raciocínio do item (a), teremos: 7

4 (7 x 9) + 4 63 + 4 67 = = = 9 9 9 4

5.2.6.3. Conversão de fração imprópria para número misto. Dividimos o numerador da fração dada pelo denominador. O quociente dessa divisão será a parte inteira do número misto e o resto será o numerador da fração mantendo-se o mesmo denominador. Exemplos Converter as frações abaixo em números mistos: a)

37 4

Dividimos 37 por 4, o quociente dará 9 e o resto será 1, observe a divisão:

denominador

numerador Assim: b)

37 1 =9 4 4

parte inteira ⇔

nove inteiros e um quarto.

25 7

Dividimos 25 pelo denominador 7, o quociente dará 3 e o resto será 4, observe a divisão: denominador

numerador

Logo:

25 4 =3 7 7

parte inteira

⇔

três inteiros e quatro sétimos.

5.3. Números decimais Objetivos •

Conceituar número decimal.

•

Ler números decimais.

Existem diversas frações com diversos denominadores distintos, mas vamos nos concentrar num um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. As frações que têm essa particularidade são chamadas frações decimais. São frações decimais:

7 3 11 19 , , , , ... 100 10 10 3 10 6

As frações decimais podem ser representadas por um número decimal. Definição Número decimal é aquele composto por uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

O número decimal é obtido de uma fração decimal. 5.3.1. Leitura de um número decimal Vamos considerar um número decimal genérico composto de três casas antes e três casas depois da vírgula (por exemplo, consideremos o número 523,769). A terceira casa depois da vírgula representa os milésimos (o número 9). A segunda casa depois da vírgula representa os centésimos (o número 6). A primeira casa depois da vírgula representa os décimos (o número 7). A primeira casa antes da vírgula representa as unidades (o número 3). A segunda casa antes da vírgula representa dezenas (o número 2). A terceira casa antes da vírgula representa as centenas (o número 5). Na representação abaixo, os componentes da parte decimal estão na cor azul e os da parte inteira estão na cor vermelha: ..., Centenas

Dezenas Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos,...

Além desses temos, em sequência decrescente da parte decimal, os componentes: décimos milésimos, centésimos milésimos, milionésimos etc. Também, na sequência crescente da parte inteira, temos os componentes: unidade de milhar, dezena de milhar, centena de milhar, unidade de milhão etc.

Exemplos Fazer a leitura dos números decimais abaixo: a) 37,56 R. Trinta e sete inteiros e cinqüenta e seis centésimos. b) 8,4 R. Oito inteiros e quatro décimos. c) 59,512 R. Cinqüenta e nove inteiros e quinhentos e doze milésimos. d) 0,81 R. Oitenta e um centésimos. e) 0,7 R. Sete décimos. f) 0,625 R. Seiscentos e vinte e cinco milésimos. g) 0,00023 R. vinte e três centésimos milionésimos h) 45000,000005 R. quarenta e cinco mil unidades e 5 milionésimos

5.3.2. Conversão de fração decimal para número decimal Objetivos •

Converter fração decimal para número decimal.

•

Converter fração não decimal para número decimal.

Convertemos uma fração decimal para um número decimal da seguinte forma: Primeiro escrevemos o numerador da fração dada, depois contamos quantos zeros tem o denominador da fração dada e fazemos com que o número decimal tenha o mesmo número

de casas decimais que o número de zeros do denominador. É, na realidade, a realização da divisão do numerador pelo denominador.

Observação: o número de casas decimais é contado da direita para a esquerda (do numerador).

Exemplos Transformar as frações decimais em números decimais: a)

235 = 2,35 , como o denominador tem dois zeros, contamos duas casas decimais a 100

partir do número 5 (inclusive). b)

6327 = 6,327 1000

21 = 0,021 1000

8 = 0,08 100

5.3.3. Conversão de fração não decimal para número decimal Para converter uma fração não decimal para um número decimal, dividimos numerador pelo denominador. Podem acontecer dois casos: a) O denominador contendo apenas fatores de 2 e 5: nesse caso determinamos um número com a parte decimal finita. Exemplos

13 13 = 3 = 0,325 40 2 x5

ii)

21 21 = 3 2 = 0,105 200 2 x5

b) Denominador contendo qualquer outro fator diferente de 2 e 5: nesse caso encontramos um número cuja parte decimal são algarismos repetidos (dízima periódica). Exemplos 3

i) 11 = 1 x 11 = 0,2727272727 ... = 0, 27 , os fatores são 1 e 11. ii) 21 = 3 x 7 = 0,2380952380 95... = 0, 238095 , os fatores são 3 e 7.

Exercícios Converter para números decimais: a)

5 8

(r: 0,125)

7 11

(r:

0, 63 )

9 21

(r:

0, 428571 )

5.3.4. Conversão de número decimal para fração decimal Objetivos •

Converter número decimal para fração decimal.

•

Aplicar as propriedades dos números decimais.

Aqui podem ocorrer dois casos: i) O número decimal tem a parte inteira igual a zero: a conversão resultará numa fração, cujo numerador será igual à parte decimal do número dado e cujo denominador

será uma potência de 10 (que deverá ter zeros quantos forem o número de casas decimais). A fração obtida, caso seja possível, poderá ser simplificada. Exemplos Reduzir os números decimais abaixo para fração decimal: a) 0,27 R. O denominador é 27 e o número tem duas casas decimais, logo o denominador vai ser uma potência de 10 que tenha dois zeros.

Parte decimal

27 0,27 = 100

Potência de 10 com dois zeros Duas casas decimais

b) 0,0024 R. 0,0024 =

24 24 ÷ 8 3 = , simplificando por 8 teremos: 10000 10000 ÷ 8 1250

ii) O número decimal tem a parte inteira diferente de zero: a conversão resultará numa fração imprópria cujo numerador consiste no número decimal dado, sem a vírgula e cujo denominador é um número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal do número dado. Como a parte inteira é diferente de zero o resultado será um número misto. Exemplos Converter os números decimais para frações: a) 34,23 R.

34,23 =

Duas casas decimais

3423 100

Número decimal sem a vírgula Dois zeros

Observação: poderíamos fazer a conversão também da seguinte maneira:

R. 34,23 = 34 + 0,23 = 34 +

23 23 = 34 , que é um número misto. 100 100

b) 531,293 R. 531,293 =

531293 293 = 531 1000 1000

5.3.5. Propriedades dos números decimais Propriedade 1: Um número decimal não tem seu valor alterado quando acrescentamos ou retiramos um ou mais zeros à direita do último algarismo diferente de zero da sua parte decimal. Exemplos a) 0,7100 = 0,710 = 0,71 b) 23,538000 = 23,53800 = 23,5380 = 23,538 Propriedade 2 Ao multiplicarmos um número decimal por uma potência de 10, deslocamos a vírgula daquele para a direita tantas casas quantos forem os zeros da potência usada.

Exemplos a) 6,789 x 100 = 678,9 (100 tem 2 zeros, deslocamos duas casas). b) 6,789 x 1000 = 6789 (1000 tem 3 zeros, deslocamos três casas). c) 6,789 x 10000 = 67890 (10000 tem 4 zeros, deslocamos quatro casas). d)

Propriedade 3: Ao dividirmos um número decimal por uma potência de 10, deslocamos a vírgula daquele para a esquerda, tantas casas quantos forem os zeros da potência usada.

Exemplos a) 82,37 ÷ 100 = 0,8237 (100 tem 2 zeros, deslocamos duas casas). b) 82,37 ÷ 1000 = 0,08237(1000 tem 3 zeros, deslocamos três casas). c) 82,37 ÷ 10 = 8,237 (10 tem 1 zero, deslocamos uma casa). 5.4. Operações envolvendo números decimais Objetivo •

Adicionar e subtrair números decimais.

5.4.1. Adição e subtração de números decimais Ao adicionarmos ou subtrairmos números decimais devemos seguir três regras básicas: R1. Disposição dos números decimais Devemos dispor os algarismos de modo que cada coluna tenha um algarismo da mesma posição que ocupam no número decimal (centésimos debaixo de centésimos, décimos debaixo de décimos, centenas debaixo de centenas etc.). Também posicionaremos a vírgula de um número decimal exatamente debaixo da vírgula de outro número decimal. Exemplos a) Formas corretas:

234,659

+ 56,769

54,56 - 31,43

345,67 + 23,68 125,87

b) Formas incorretas:

523,56

35,21

+ 43,98

8,47

R2. Número de casas decimais Devemos somar ou subtrair números decimais com iguais quantidades de casas decimais. Caso os números tenham casas decimais distintas devemos igualar com aquele número que tem maior número de casas, acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Exemplos a) 2,54 + 3,579 = 2,540 + 3,579 b) 3,57 + 23,567 + 41,5 = 3,570 + 23,567 + 41,500 c) 953,5 – 87,329 = 953,500 – 87,329

R3. Efetivação da adição ou da subtração Igualando-se as casas decimais de todos os números a serem adicionados ou subtraídos e com os algarismos posicionados corretamente, realizamos a adição e a subtração tal qual é feita com os números inteiros, não se esquecendo de posicionar, no resultado, a vírgula corretamente.

Exemplos Efetuar as operações; a) 325,56 + 857,11 325,56 R. + 857,11 1282,67

b) 638,2 – 54,179 638,200 R. - 54,179 584,021 Exercícios Efetuar as operações a) 58,32 + 625,497

(r: 683,817)

b) 0,34 + 10,345

(r: 10,685)

c) 345,67 + 76,1

(r: 421,77)

d) 654,679 – 65,87

(r: 588,809)

e) 87,9 – 0,046

(r: 87,854)

f) 761,532 – 123,44

(r: 638,092)

5.4.2. Multiplicação de números decimais Objetivo •

Multiplicar números decimais.

Podemos efetuar a multiplicação de números decimais de duas maneiras: 1) Multiplicamos os números decimais da mesma maneira como se fossem inteiros e ao produto acrescentamos tantas casas decimais quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Exemplo Efetuar: 34,62 x 23,5 R. Nesse caso o multiplicando tem duas casas e o multiplicador tem uma casa, logo o produto terá (1 + 2), três casas decimais.

34,62 x

23,5 17310 10386 6924 813,570

O resultado é 813,570, mas como pode ser desprezado o último zero à direita do número decimal, a resposta mais correta será: 813,57. 2) Antes de multiplicar, transformamos os números decimais em frações, multiplicamos as frações e o resultado, transformamos novamente para número decimal. Exemplo Efetuar: 5,46 x 7,1 R. Transformando os números decimais em frações e efetuando o produto, teremos: 546 71 38766 x = = 38,766 100 10 1000

Exercícios Determinar os produtos: a) 23,45 x 76,98

(r: 1805,181)

b) 21,567 x 98,43

(r: 2122,83981)

c) 0,34 x 5,78

(r: 1,9652)

5.4.3. Divisão de números decimais Objetivo •

Dividir números decimais.

Uma regra básica para facilitar a divisão de números decimais é igualarmos as casas decimais e usarmos também a seguinte propriedade: Ao multiplicarmos, tanto o dividendo como o divisor de uma divisão, pelo mesmo número, o quociente não se modificará. Essa propriedade é bem fácil de entender, veja o exemplo para números inteiros: 20

20 x 6

120

20 x 10

200

20 ÷ 4 = 4 = 5 = 4 x 6 = 24 = 5 = 4 x 10 = 40 = 5 Do mesmo modo usaremos a propriedade também para a divisão dos números decimais. Como visto, não importa por quais números o divisor e o dividendo é multiplicado e sim que aqueles números sejam iguais. Para maior facilidade ao operarmos com números decimais, os multiplicadores serão potências de 10. Observação: Nas operações, caso seja possível, é conveniente usarmos a simplificação dos fatores para facilitar as contas. Exemplos Efetuar as divisões: a) 8,1÷ 0,3 R. Nesse caso, o divisor e o dividendo têm uma casa decimal, logo multiplicaremos ambos por 10. 8,1

8,1x 10

8,1 ÷ 0,3 = 8,1 ÷0,3 = 0,3 = 0,3 x 10 = 3 = 27 b) 26,67 ÷ 0,127 R. Primeiro vamos igualar as casas decimais: 26,670 ÷ 0,127. Efetuando: 26,670 ÷0,127 =

26,670 26,670 x 1000 26670 = = = 210 0,127 0,127 x 1000 127

c) 0,49 ÷ 7 R. Igualando as casas: 0,49 ÷ 7,00. Efetuando: 0,49 ÷ 7,00 =

0,49 0,49 x100 49 7 = = = = 0,07 7,00 7,00 x 100 700 100

Exercícios Efetuar as divisões: 1) 3,608 ÷ 1,1

(r: 3,28)

2) 0,01372 ÷ 0,343

(r: 0,04)

3) 0,144 ÷ 0,16

(r: 0,9)

4) 25 ÷ 0,015625

(r: 1600)

5.4.4. Potenciação de números decimais Objetivos •

Efetuar potenciação com números decimais.

•

Efetuar radiciação com números decimais.

A potenciação de números decimais ocorre quando a base é um número decimal e o expoente é um número natural. Nesse caso, basta transformar a potenciação numa multiplicação normal de números decimais. Exemplos a) (2,5)2 = 2,5 x 2,5 = 6,25 b) (0,34)2 = 0,34 x 0,34 = 0,1156 c) (0,12)3 = 0,12 x 0,12 x 0,12 = 0,0144 x 0,12 = 0,001728 Exercícios Efetuar: a) (0,71)2

(r: 0,5041)

b) (2,4)2

(r: 5,76)

c) (1,7)3

(r: 4,913)

5.4.5. Radiciação de números decimais A radiciação de números decimais é determinada com mais facilidade transformando, primeiramente, aqueles em frações decimais. Exemplos 0,25 =

25 25 52 5 = = = = 0,5 2 100 10 100 10

b) 5,29 =

529 529 23 2 23 = = = = 2,3 100 100 10 2 10

c) 3 0,729 = 3

3 3 729 729 93 9 = = = = 0,9 1000 3 1000 3 10 3 10

Exercícios Efetuar as operações: a)

0,0016

(r: 0,04)

1,69

(r: 1,3)

c) 3 0,00512

(r: 0,08)

5.4.6. Aplicações de números decimais e frações: porcentagens Objetivo •

Aplicar números decimais no cálculo de porcentagens.

Ao se trabalhar com porcentagem (como o próprio nome já diz: “por cento”) é como operarmos com frações cujo denominador é 100. O símbolo que simboliza a porcentagem é: “%”. Exemplos:

a) 34% (lê-se: trinta e quatro por cento) equivale a b) 0,25 =

34 . 100

25 = 25% 100

Com isso podemos resolver problemas envolvendo cálculo de porcentagens. Exemplos a) Quanto é 20% de R$ 32,00? R. 20% x 20 =

20 640 x 32 = = 6,4 , ou seja: R$ 6,40 100 100

b) R$ 5,00 é quantos por cento de R$ 20,00? R. Nesse caso podemos fazer uma regra de três simples: R$ 20,00 → 100% R$ 5,00 → a% Multiplicando e igualando os termos, teremos: 20 x a = 5 x 100% 20 x a = 5 x

100 100

20 x a = 5 x 1 a=

5 x1 5 1 = = = 0,25 20 20 a

Como 0,25 =

25 = 25%, logo: R$ 5,00 corresponde a 25% de R$ 20,00. 100

Se não entendeu bem sobre regra de três simples não se preocupe, na Unidade VII você a estudará com mais detalhes.

Matemática Elementar

Unidade VI

Unidade VI - Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Problematizando

1) Como são conhecidos os lados de um triângulo retângulo? 2) Quais são as relações métricas e trigonométricas do triângulo retângulo? 3) O que vem a ser o famoso Teorema de Pitágoras? 4) Quais as aplicações do Teorema de Pitágoras? 5) Quais as fórmulas do seno, cosseno e tangente? 6) Como é deduzida a relação fundamental da trigonometria?

6.1. Definições Objetivos •

Estabelecer as projeções de um segmento.

•

Identificar os elementos de um triângulo retângulo.

Vamos dar umas definições básicas de elementos que serão necessários ao trabalharmos com essa Unidade. 6.1.1 Projeções Dentre as relações métricas em triângulos temos aquelas que envolvem a projeção de segmentos. Por isso vamos recordar o que vem a ser projeção. Projeção ortogonal de um ponto Chama-se projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta o pé da perpendicular conduzida desse ponto à reta. Na figura abaixo o ponto A’ é a projeção do ponto A sobre a reta r. A ’ r A' ’ Projeção ortogonal de um segmento A projeção ortogonal de um segmento AB sobre uma reta r é o segmento A’B’ determinado pelos extremos A e B.

Veja os exemplos na figura abaixo:

A A’ = B’

A’

B’

A’

A A’

B’

A’ B’

r B’

A Observações: •

Quando o segmento é paralelo à reta r, a sua projeção A’B’ é igual à AB;

•

Quando o segmento é inclinado em relação à reta r, a sua projeção A’B’ é menor que o segmento AB;

•

Quando o segmento é perpendicular à reta r, a sua projeção se reduz a um ponto.

• Elementos de um triângulo retângulo Consideremos um triângulo retângulo ABC, sendo reto em A, veja figura abaixo: A c B

h m

C D O segmento AB é denominado de cateto maior, também simbolizado pela letra minúscula c, é chamado também cateto oposto ao ângulo C. O segmento AC é denominado de cateto menor, também simbolizado pela letra minúscula b, é chamado também cateto oposto ao ângulo B. O segmento BC é denominado de hipotenusa, também simbolizada pela letra minúscula a, é sempre o segmento oposto ao ângulo reto A. A altura h, que é um segmento que passa pelo ponto de cruzamento de dois lados e vai até o lado oposto formando um ângulo reto com este último (nesse exemplo, o segmento AD

passa por A e é perpendicular à hipotenusa BC). Aqui a altura h divide a hipotenusa em dois segmentos m e n que são, respectivamente, as projeções de c e b sobre a hipotenusa BC. A hipotenusa é, sempre, o maior lado de um triângulo retângulo.

6.2. Relações métricas no triângulo retângulo Objetivo •

Construir o conceito e aplicar a primeira relação métrica do triângulo retângulo.

6.2.1. Primeira relação métrica A medida de cada cateto é a média geométrica entre a medida da hipotenusa e a da sua projeção sobre a hipotenusa.

Da figura dada podemos destacar os dois triângulos retângulos semelhantes: A c B

A b

h C

Demonstração: Por hipótese, o triângulo ABC é retângulo e o segmento AD é a altura relativa à hipotenusa.

Tese: b2 = a.n c2 = a.m 1) Os triângulos ACD e ABC são semelhantes (têm o ângulo C em comum) e têm também um ângulo reto. 2) Dessa semelhança decorre que: a b = b c

⇔

b2 = a.n

3) Do mesmo modo, da semelhança dos triângulos ABD e ABC, que têm o ângulo B em comum, teremos: a b = b c

⇔

c2 = a.m

6.2.2. Segunda relação métrica

Objetivo •

Construir o conceito e aplicar a segunda e a terceira relação métrica do triângulo retângulo.

A medida da altura relativa à hipotenusa é igual à média geométrica das medidas dos dois segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. A

A c

h D

Demonstração: Os triângulos ABD e ACD são semelhantes porque ambos são também semelhantes ao triângulo ABC. Logo: m h = h n

⇔

h2 = m.n

6.2.3. Terceira relação métrica O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à mesma é igual ao produto das medidas dos dois catetos.

1) Pela primeira relação métrica temos: b2 = a.n

(1)

c2 = a.m

(2)

2) Multiplicando, membro a membro, as duas igualdades, obtemos: b 2 c 2 = a 2 mn

(3)

3) Mas, da segunda relação métrica, h2 = m.n. Substituindo em (3) resulta: b2.c2 = a2.h2

(4)

4) Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros de (4), teremos:

b.c = a.h

6.2.4. Quarta relação métrica. Teorema de Pitágoras Objetivos •

Construir o conceito do Teorema de Pitágoras.

•

Demonstrar o teorema de Pitágoras algebricamente e geometricamente.

O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Demonstração: 1) Pela primeira relação métrica podemos escrever: b2 = a.n

(A)

c2 = a.m

(B)

2) Somando membro a membro as duas igualdades de (A) e (B) teremos: b2 + c2 = a.m + a.n

(C)

Colocando a em evidência no segundo membro, obtemos: b2 + c2 = a.(m + n)

(D)

3) Como m + n = a, substituindo esse valor em (D), vem: a2 = b2 + c2 Essa é a famosa relação denominada Teorema de Pitágoras. Podemos verificar também essa relação por equivalência de áreas fazendo uma montagem. Primeiro desenhamos um triângulo retângulo qualquer e depois desenhamos três quadrados, cada um com sua base num dos lados do triângulo (conforme figura abaixo):

Cortamos os três quadrados nas extremidades, sendo que nos dois menores devemos cortar também nas linhas tracejadas. Juntamos as partes dos dois quadrados menores formando o quadrado maior.

Confira:

Como os dois quadrados menores couberam exatamente no quadrado maior, concluímos que: Área do quadrado menor (b 2) mais área do quadrado médio (c 2) é igual à área do quadrado maior (a2). Provando que a2 = b2 + c2 Tente você fazer essa montagem também! 6.2.4.1. Triângulos pitagóricos Objetivos •

Reconhecer e determinar os triângulos pitagóricos.

Definição Triângulos pitagóricos são os triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros. Por exemplo, o triângulo cujos lados são: 3, 4 e 5 unidades é um triângulo usado pelos pitagóricos para determinar um ângulo reto, pois: 5² = 4² + 3²

Esse é o mais notável triângulo pitagórico porque tem os lados expressos por três números inteiros e consecutivos. Obs.: Devido à semelhança de triângulos, qualquer outro triângulo que tenha os lados proporcionais a 3, 4 e 5 também são pitagóricos (Ex.: lados 6, 8 e 10; lados 9, 12 e 15 etc.). Exemplo: Dado o triângulo eqüilátero abaixo, determine a altura h. A x B

x 2

h D

x 2

Resolução: Como o triângulo é eqüilátero, a altura divide a base BC ao meio, logo

BD =

x . 2

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABD, obtém-se: x2 = h2 +

x2 4

Isolando h no primeiro membro, resulta: h2 = x2 −

Logo:

x 2 4x 2 − x 2 = 4 4 h2 =

3x 2 4

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros e simplificando o radical, obtemos:

x 3 2

6.2.4.2. Um pouco de história: Os antigos egípcios usavam o triângulo com lados 3,4 e 5 para determinar um ângulo reto. Numa corda faziam 13 nós igualmente espaçados. O primeiro nó era fixado no solo com uma estaca. Da mesma forma era fixado o quarto e o nono nó, O décimo terceiro era fixado junto ao primeiro. Eles sabiam que um triângulo com lados 3,4 e 5 era retângulo. Veja a figura abaixo:

Fonte: (ANDRINI, 2002, p.164) As informações sobre a vida de Pitágoras misturam lenda e realidade “Pitágoras de Samos nasceu a 580 a.C. na ilha de Samos e foi discípulo de Tales de Mileto. Criou a Escola Pitagórica, uma espécie de irmandade religiosa que tinha por finalidade a purificação por meio de uma ciência e de uma arte: a Matemática e a Música. Essa escola chegou a criar uma aritmética-geometria e com ela fizeram importantes descobertas. Entre essas, convém destacar, a generalização da propriedade: ‘O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Essa proposição já era conhecida desde os tempos dos caldeus, para alguns triângulos particulares. Os pitagóricos, ensaiando com outros triângulos retângulos, conseguiram generalizá-la e enunciá-la sob a forma de uma proposição demonstrável, agora denominada Teorema de Pitágoras.” (Brandão, 1987)

Os conhecimentos dos babilônios eram mais extensos e avançados que o dos Egípcios. Isto é particularmente verdadeiro em Álgebra e nos Cálculos Numéricos, mas também ocorre em GEOMETRIA, onde além de conhecerem as áreas e volumes de figuras geométricas simples, os Babilônios sabiam resolver problemas envolvendo a relação de Pitágoras, que lhes era familiar mil anos antes dos pitagóricos. Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo Exemplo Com base na estrutura de telhado, feita com barras de ferro, da figura abaixo: a) qual deve ser a medida de x em metros? A

4 m x m 3,2 D

4 m 3,2

Portanto, usando o teorema de Pitágoras no triângulo ADC, teremos: A x D

3,2 ,

42 = x2 + (3,2)2 16 = x2 + 10,24 x2 = 16 – 10,24 = 2,4m

b) Barras de reforço foram colocadas na estrutura, formando um ângulo reto nos lados AB e AC. Qual foi a medida dessas barras?

Agora usaremos as relações métricas: y é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo DCA. Sabemos que x = c = 2,4 e que o lado AC que chamaremos de a = 4, e o lado DC chamaremos de b = 3,2. Vimos que: a.h = b. c, neste problema: a.y = b.c Então: 4.y = 2,4. 3,2 y=

7,68 = 1,92m. 4

c) A que distancia do ponto C a barra de reforço foi fixada? Usando a relação: c2 = am,

2,42 = 4 . m ⇒ m =

5,76 ⇒ m = 1,44m 4

Vamos praticar: 1) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira.

Qual é o

comprimento dessa tábua, se afolha da porteira mede 1,2m por 1,6m? (r: 2 m). 2)

Calcule o comprimento x nessa estrutura de telhado. A x

h = 40 cm Lado BC mede 1m

h C

(r: ≈0,64 m). 3) Determine a diagonal de um quadrado de lado a. (r: a 2 ) 4) Os catetos de um triângulo medem 6 cm e 8 cm. Calcular as suas projeções sobre a hipotenusa. (r: 6,4 cm e 3,6 cm). 5) Calcular o perímetro de um losango cujas diagonais medem 18 m e

24 m. (r: 60

m) 6) A base de um triângulo isósceles excede a altura de 4 cm. Calcular essa base e a altura sabendo-se que os lados iguais medem 15 cm cada um.

(r: base ≈ 17,27 cm e

altura ≈ 13,27 cm) 6.3. Relações trigonométricas no triângulo retângulo Objetivo •

Determinar o seno de um ângulo.

6.3.1. Seno de um ângulo Seja um ângulo XOY e sobre o lado OU marquemos os pontos A, A’ e A’’. Tracemos por esses pontos as perpendiculares AB, A’B’ e A’’B’’ ao lado OX, conforme a figura abaixo:

A’

B B’

A’’ y

B’’

Como os triângulos OAB, OA’B’ e OA’’B’’ são semelhantes (ângulo O em comum e todos têm um ângulo reto por causa da perpendicular), podemos escrever:

AB A' B ' A' ' B ' ' = = OA OA' OA' '

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é sempre igual e a ela dá-se o nome de seno. Logo: Chama-se seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo a razão entre a medida do cateto oposto a esse e a medida da hipotenusa. Representa-se o seno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte forma: sen Â ou sen(A) Obs.: como seno, em inglês, é sine, nas calculadoras e em alguns aplicativos é usada a forma sin(A). Aplicação: Uma madeireira doará pranchas para construir uma rampa com plataforma que será usada numa apresentação de manobras com mountain bike na praça de uma cidade. Figura abaixo:

Fonte: (ANDRINI, 2002, p. 206) Podemos então calcular o comprimento das rampas:

sen(37°) =

medida do cateto oposto ao ângulo de 37° 1,80 = medida da hipotenusa x

Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos que: sen(37°) = 0,6018

Então: 0,6 =

≅

0,6

1,8 1,80 =3 ⇒ x= 0,6 x

Portanto, cada rampa deve ter 3 metros de comprimento. 6.3.2. Cosseno de um ângulo Objetivo •

Determinar o cosseno e a tangente de um ângulo.

De maneira análoga àquela feita para o seno, temos as razões: OB OB ' OB' ' = = OA OA' OA' '

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é constante e denomina-se cosseno. Chama-se cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Portanto: Representa-se o cosseno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A, da seguinte forma: cos Â ou cos(A) Obs.: como cosseno, em inglês, é cosine nas calculadoras e em alguns aplicativos (como o Excel) expressamos como cos(A). 6.3.3. Tangente de um ângulo

Também da semelhança de triângulos podemos determinar as razões: AB AB ' AB ' ' = = OB OB ' OB' '

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é constante e denomina-se tangente.

Chama-se tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Representa-se a tangente de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte forma: tg Â ou tg(A) Obs.: como tangente, em inglês, é tangent, nas calculadoras e em alguns aplicativos (como o Excel) expressamos como tan(A). Observações: 1) O valor do seno, o valor do cosseno e também o da tangente, por ser uma razão entre duas grandezas, são números puros (ou seja, sem unidade). 2) Como a hipotenusa é sempre maior do que qualquer cateto, tanto o seno como o cosseno de um ângulo agudo são sempre menores do que 1. 3) A tangente de um ângulo agudo pode assumir qualquer valor positivo do conjunto dos reais. Exemplo: Luiz possui um terreno em forma de trapézio, que pretende cercar com tela de arame.

Calcule x, y e o perímetro do terreno.

tg(70°) =

medida do cateto oposto ao ângulo de 70° x = medida do cateto adjacente a 70° 13

Consultando a tabela, temos que a tg(70°) = 2,7475

2,75 =

x 13

Cos (70°) =

≅

⇒ x = 35,75 m medida do cateto adjacente ao ângulo de 70° 13 = y medida da hipotenusa

Consultando a tabela, temos que a cos(70°) = 0,3420 13

0,34 = y

2,75

≅

0,34

⇒ y = 38,24m

Então o perímetro é igual a 60 + 38,24 + 47 + 35,75 = 180,99 Logo, Luiz precisará de, aproximadamente, 181 m de tela para cercar o terreno.

Exemplo: Dado o triângulo abaixo, determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B.

Resolução:

sen ( B ) =

cos ( B ) =

tg ( B ) =

cateto oposto 6 cm = = 0,6 hipotenusa 10 cm

cateto adjacente 8 cm = = 0,8 hipotenusa 10 cm

cateto oposto 6 cm = = 0,75 cateto adjacente 8 cm

Um pouco de história Segundo (ANDRINI, 2002, p. 206), “As razões: tangente, seno e cosseno de um ângulo são chamadas Razões Trigonométricas. A palavra “ trigonometria” vem do grego: Trígono = três ângulos Metria = medida Não quer dizer por isso, que os gregos descobriram essas relações. Como quase tudo em matemática, a trigonometria não teve um inventor. Outros povos, além dos gregos, como por exemplo, os egípcios, babilônios, hindus e árabes, durante séculos investigaram e aplicaram essas razões para resolver problemas.”

6.3.4. Cálculo dos lados de um triângulo retângulo Objetivo •

Calcular os lados de um triângulo retângulo usando os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo.

Consideremos o triângulo ABC da figura abaixo:

Da definição de seno de um ângulo agudo, temos:

sen( B) =

b ⇒ b = a.sen( B ) a

sen(C ) =

c ⇒ c = a.sen(C ) a

Com esses resultados, temos o teorema: Num triangulo retângulo cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto.

De maneira análoga, calculando o cosseno de B e C, obtemos: cos( B ) =

c ⇒ c = a. cos( B ) a

cos(C ) =

b ⇒ b = a. cos(C ) a

Então o teorema resultante é: Num triângulo retângulo cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente. Determinando agora a tangente de B e C, resulta: tg (B) =

b ⇒ b = c . tg (B) c

tg (C) =

c ⇒ c = b . tg (C) b

O que nos fornece o teorema:

Num triângulo retângulo cada cateto é igual ao produto de sua tangente pela medida do outro cateto. 6.3.5. Relação fundamental da trigonometria: Objetivo •

Determinar a relação fundamental da trigonometria.

•

Calcular seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.

Na definição de seno e cosseno de um ângulo, por exemplo, do ângulo B obtemos as seguintes relações;

sen( B) =

b ⇒ b = a.sen( B ) a

cos( B ) =

c ⇒ c = a. cos( B ) a

Representamos esses valores na figura abaixo:

Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos: a2 = b2 + c2 a 2 = a 2 .sen 2 ( B ) + a 2 . cos 2 ( B )

Dividindo ambos os membros por a2, teremos; 1 = sen 2 ( B ) + cos 2 ( B )

Invertendo a ordem dos membros. Resulta: sen 2 ( B ) + cos 2 ( B ) = 1

Como B pode ser um ângulo agudo qualquer (entre 0º e 90º), pode-se generalizar para um ângulo agudo x, assim:

sen 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1

Essa é a denominada Lei Fundamental da Trigonometria. Os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 0º a 90º encontram-se em tabelas ou podem ser determinados usando calculadoras ou aplicativos. Segue abaixo uma tabela dos valores mais usados (com três casas decimais): Ângulos

Seno

Cosseno

Tangente

0º 30º 45º 60º 90º

0 0,500 0,707 ( 2 / 2 ) 0,866 ( 3 / 2 ) 1

1 0,866 ( 3 / 2 ) 0,707 ( 2 / 2 ) 0,500 0

0 0,577 ( 3 / 3 ) 1 1,732 0,866 ( 3 ) indeterminado

Exemplos: Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 24 cm e o ângulo agudo B mede 30º. Resolução: Como sen( B) =

b ⇒ b = a.sen( B ) a

b = 24 x sen(30º) = 24 X 0,5 = 12 cm Como cos( B ) =

c ⇒ c = a. cos( B ) a

c = 24 x cos(30º) = 24 X 0,866 ≈ 20,78 cm Logo, os catetos são: b = 12 cm e c ≈ 20,78 cm. 6.4. Aplicações dos triângulos retângulos na Engenharia Objetivo •

Resolver problemas aplicados à Engenharia.

Retângulo áureo Um pouco de história Segundo (BELUSSI, 2005, P. 1-3):

[. . .] O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observaram muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina [...]. [...] Construído há muitas centenas de anos depois, por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contém a fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. [...] Definição Um retângulo é áureo quando o maior de seus lados for igual ao menor multiplicado por (≈ 1,618) .

Vamos mostrar como se constrói o retângulo áureo com régua e compasso:

Primeiro desenhamos o quadrado ABCD de lado l (figura 1). Em seguida marcamos o ponto M que é a metade de AD, logo AM = MD =

l , usando o compasso, com centro em M 2

e comprimento MC, traçamos um arco até encontrar o ponto N no prolongamento de AD (figura 2). Agora basta completar o retângulo DCEN com DN = CE (figura 3). O retângulo ABEN formado é um retângulo áureo. Agora vamos mostrar algebricamente, com uso do teorema de Pitágoras, como é determinado o retângulo áureo. O objetivo será mostrar, pela definição, que o lado maior AN (ou BE) é igual ao lado menor EN (ou ab) multiplicado por

1+ 2 . 2

Com base na figura 3, considerando-se como l o lado do quadrado, vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo M.D.C., obtendo-se: MC2 = CD2 + MD2 como CD = l e MD =

l , substituindo, teremos: 2

l 2 5l 2 l 5 l ⇒ MC = MC2 = l 2 +   = l 2 + = 2

Pela figura vemos que MN = MC, logo o lado AN do retângulo maior será:

AN = AM + MN =

l l 5 l +l 5 (1 + 5 ) C.Q.D. + = =l 2 2 2 2

Dimensionamento de telhados O conhecimento das relações métricas no triângulo retângulo pode ser aplicado no dimensionamento de uma tesoura de telhado.

Exemplo a) Dimensionar as vigas de um telhado sabendo-se que a casa tem largura de 10 m e vai ser coberto com telhas francesas (inclinação de 40 %), veja a figura abaixo: C D

M 10 m

A viga AC deve ter o mesmo comprimento de CB, para duas terem a mesma inclinação, com isso temos que AM = MB =

10 = 5 m. 2

Como a inclinação é 40% (ou 0,40) temos: CM = 0,40 AM

⇒ CM = 0,40. AM = 0,40.5 = 2 m

Temos agora que determinar as vigas AC e CB, que são iguais. Usando o teorema de Pitágoras, obtemos: AC2 = AM2 + CM2 ⇒

AC =

AM 2 +CM 2 = 52 +22 = 29 ≈5,38 m

Da mesma maneira podem ser determinadas as medidas das vigas restantes, sabendo-se AE é a metade de AM e MG é a metade de MB. Esses cálculos vão ficar por sua conta, mãos às obras! (r: DE = FG = 1 m e DM = MF ≈ 2,69 m ) b) Com base na estrutura de telhado, feita com barras de ferro, da figura abaixo, qual deve ser a medida de x em metros? A

A 4 4 x m m B m 3,2 D 3,2 C

x D

3,2 ,

Portanto, usando o teorema de Pitágoras: 42 = x2 + (3,2)2 16 = x2 + 10,24 x2 = 16 – 10,24 = 2,4m c) Barras de reforço foram colocadas na estrutura mostrada na figura baixo, formando um ângulo reto nos lados AB e AC. i) Qual é a medida dessas barras?

7,68 = 1,92m. 4

ii) A que distância do ponto C a barra de reforço foi fixada?

Usando a relação: c2 = am, Exercícios

2,42 = 4 . m ⇒ m =

5,76 ⇒ m = 1,44m 4

1) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira.

Qual é o

comprimento dessa tábua, se a folha da porteira mede 1,2m por 1,6m? (r: 2 m). 2) Calcule o comprimento x na estrutura de telhado conforme figura abaixo: (r: 3,03 m).

A x

h = 40 cm

Lado BC mede 6m Vamos agora para nossa última unidade!

40 cm 6m

MatemĂĄtica Elementar

Unidade VII

Unidade VII - Regra de trĂŞs Simples e Composta.

Problematizando 1) Quais são os termos de uma razão? 2) Qual a propriedade fundamental da proporção? 3) Como resolver problemas que abordam regra de três simples e composta? 4) O que são grandezas proporcionais? 7.1. Razão entre dois números: Objetivos •

Construir o conceito de razão entre dois números.

•

Identificar os termos de uma razão.

•

Determinar a razão entre dois números.

Um pouco de história: Segundo (FERRAZ, 2002, p. 1), “a palavra razão vem do latim ratio, que quer dizer divisão. Vários conceitos de razão foram sendo apresentados por matemáticos gregos. Euclides (325 a.C. – 265 a.C.) que viveu em Alexandria na primeira metade do século III a.C., defendia a idéia de que “razão” era a relação de tamanho entre grandezas de mesma espécie. No entanto, esse ponto de vista está atrelado apenas a aspectos teóricos do conceito de número, sendo utilizado apenas como instrumento de cálculo. Foi somente no século XV que matemáticos italianos, como Luca Pacioli (1445 – 1514), conseguiram atribuir às “razões” outras aplicações práticas. Vamos pensar em algumas estratégias de desenvolvimento do ensino e aprendizagem sobre razões em sala de aula. Antes de iniciarmos matematicamente o conceito de razão é importante mostrar aos alunos que podemos relacionar quantidades comparando-as e que, a partir desta relação, obteremos uma divisão. E a essa divisão daremos o nome de razão. Para que, ao final de todo o processo, ele seja construtor de seu próprio conhecimento.”

Exemplos 1. Inicie com algumas situações – problema: a) Comece utilizando exemplos em sala de aula, relacionando quantidades que para o aluno são muito concretas. Assim: Observe o número de alunos em sua sala. Você pode relacioná-los, criando diversos momentos de aprendizagem e interação entre eles. Por exemplo: “Em nossa sala tem 35 alunos, 12 entre estes alunos são meninas.” Esta situação expressa uma razão entre 12 e 35, ou seja, 12:35 ou

12 ,a 35

razão entre o número de meninas e o total de alunos. É comum nesta idade os alunos usarem aparelhos dentários. Conte estes alunos e faça a razão entre eles e o resto da turma. Também podemos trabalhar com estes alunos utilizando o computador, perguntando-os quantos tem computador em casa e quantos não tem. E a partir destas respostas fazer todas as razões entre estas quantidades. b) Utilize também fatos concretos, como jogo de futebol que os meninos adoram: Tome um clássico que tenha acontecido durante o final de semana, como Flamengo e Fluminense. Suponhamos que nesta partida tenham sido feitos 5 gols, dos quais 4 eram do Flamengo e 1 do Fluminense. A razão entre os gols do Flamengo será do Fluminense

4 e 5

1 . 5

c) A revista Superinteressante, de março de 2006, afirma que nas proximidades da costa de Guarapari, Espírito Santo, na ilha de Escalvada, o número de andorinhas do mar, em 2004, era de 8000 e em 2005, passou para 15000. Escrevendo na forma fracionária a razão entre o número de andorinhas que pousaram em Guarapari em 2004, e, em 2005, temos: Em 2005, pousaram 15000 andorinhas.

Em 2004, pousaram 8000 andorinhas. Na forma fracionária, temos a razão entre 15000:8000 ou

15000 ou ainda 1,875. 8000

Aqui foi feita uma análise relativa ao número de andorinhas do mar que pousaram em uma determinada região nos anos de 2004 e 2005, o que expressa, também, uma razão. A melhor maneira de definir é fazer com que o aluno primeiramente concretize. Assim depois que todos tenham compreendido o processo, podemos dizer que quando comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma divisão, o quociente assim obtido é chamado de razão. A sugestão é a de escrever o conceito de razão em uma linguagem matemática: A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a ÷ b, que pode ser indicado por

a ou qualquer outra forma equivalente. b

Observação: Equivalente: Que equivale, o que é igual no valor, no peso ou na forma, conceito que utilizamos para comparar frações. 2. Podemos também fazer o uso de figuras geométricas, vejamos:

De acordo com estas figuras, peça aos alunos que observem bem as formas geométricas, e classifique-as de acordo com a quantidade de lados, registrando a resposta. •

2 de três lados;

•

1 de oito lados;

•

3 de quatro lados;

•

1 de cinco lados;

•

1 de seis lados.

Em seguida, poderá ser solicitado ao aluno que realize outras atividades, como por exemplo: Compare a quantidade de figuras geométricas, informando o que está sendo solicitado a seguir: a) Quantidade de pentágonos em relação a quantidade de triângulos. (r: 1/2) b) Quantidade de triângulos e o total de figuras.

(r: 2/8)

c) Quantidade de pentágonos e de regiões de quadriláteros.

(r: 1/3)

d) Quantidade de regiões triangulares e de regiões de quadriláteros.

(r:

2/3) 3. Também podemos introduzir o conteúdo de razão trazendo para a sala de aula algumas propagandas, recortes de jornais ou reportagens que falem sobre o cotidiano dos alunos: a) 9 entre 10 jovens tomam Coca-cola; b) Do total de 30 canais de televisão, apenas dois já entraram na era digital, isto é, 2/30 estão na era digital; c) Discutindo assuntos polêmicos, como por exemplo: o índice de meninas grávidas na adolescência. “Cerca de uma em cada cinco gestações ocorrem com meninas

menores de 20 anos, ou seja, a razão entre adolescentes grávidas com idade inferior a vinte anos e todas as outras mulheres grávidas é de 1/5.” 4. Podemos também, iniciar a abordagem deste conteúdo comparando figuras. Veja a sugestão: No dia anterior à aula, peça aos alunos, como tarefa de casa, que peguem uma foto 3/4 e tirem xerox da mesma, ampliando-a 2 vezes. Eles deverão trazer duas fotos para a aula seguinte. A partir das fotos, peça que analisem se ocorreu alguma alteração em relação a composição da imagem de cada um. Em seguida, observem se todos os traços ampliados têm a mesma razão. Para isso, escolha um determinado traço na figura pequena e os mesmos pontos na figura grande. Repita este procedimento várias vezes. Se a razão se mantiver, é porque as figuras são proporcionais. Cabe a você, professor, dizer a eles que mesmo as fotos serem de tamanhos diferentes, as imagens correspondentes às mesmas se mantiveram com dimensões proporcionais, ou seja, que quando se observa este fato diz-se que as imagens são proporcionais ou que há proporcionalidade entre as dimensões. Assim você fará uma breve introdução sobre o próximo assunto que iremos abordar. Os alunos farão diferentes tipos de registros. Somente após o término desta atividade é que o professor poderá indicar a forma correta de expressar a “razão”, nomeando seus termos. Vejamos: Os termos de uma razão recebem nomes especiais. Veja na “razão”

3 ,o 20

número 3 é chamado de antecedente, e o número 20 de consequente. Lê-se: “3 está para 20”.

7.2. Proporção

Objetivos •

Construir o conceito de proporção.

•

Identificar os termos de uma proporção.

Um pouco de história: Segundo (FERRAZ, 2004, p. 1), “a palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza. A idéia de proporção é muito antiga. Euclides expõe a teoria das proporções no quinto livro da sua obra Elementos. Já no século XV, o matemático árabe Al – Kalsadi utilizou o símbolo (...) para indicar as proporções e, em 1537, o italiano Niccolo Fontana de Brescia (1499 – Venecia, 1557), conhecido como Tartaglia, escreveu uma proporção na forma 6\\3\\8\\4. Foram os matemáticos italianos que divulgaram o emprego das proporções durante o período do Renascimento.”

Fique por dentro... Você sabia???? Segundo (PAULA, 2007, p. 56) “ Tartaglia significa GAGO? E que Niccolo Fontana recebeu este apelido por sua dificuldade em falar, pois ele foi gravemente ferido com golpes na cabeça e na face durante um saque na Brescia (sua cidade de origem) por tropas francesas.” O conceito de proporção está atrelado ao conceito de razão. Vamos retomar estes conceitos com algumas aplicabilidades discutindo algumas formas de ensinar este conteúdo. Podemos introduzir a idéia de proporção, após ter trabalhado bem o conceito de razão. Para ilustrar esta idéia, iniciaremos nossos estudos apropriando novamente da Geometria. Observe os seguintes retângulos:

Retângulo 1:

Retângulo 2:

Vamos analisar e responder as seguintes perguntas: a) Qual a medida das dimensões do retângulo (altura e comprimento)? Expresse a medida em unidades (u). (r: Retângulo 1: altura 3 u e comprimento 5 u, retângulo 2: altura 6 u e comprimento 10 u) b) Qual a razão entre a medida da altura do retângulo menor e a medida do retângulo maior? E do comprimento? (r: 3/6 e 5/10) c) Observe as razões obtidas entre a altura e o comprimento do retângulo. O que você conclui? (r: Que são iguais.) Formalizando... Se duas razões são iguais elas formam uma proporção. Se a razão entre os números a e b, c e d é a mesma, ou seja, ,dizemos que a igualdade

a c =e e =e d b

a c = é uma proporção. b d

Os números a, b, c, d que formam uma proporção, são denominados termos da proporção, onde a e d são os extremos e b e c são os meios. Indica-se por

a c = e lê-se “a” está para “b”, assim como, “c” está para “d ”. b d

Quando duas razões são iguais, elas formam uma proporção. Logo, baseados no que acabamos de fazer

3 5 1 = = , ou seja, a razão entra a altura e o comprimento dos 6 10 2

retângulos, são iguais. Então podemos dizer que, os retângulos são proporcionais. 7.2.1. Propriedade Fundamental das Proporções: Objetivos •

Reconhecer a propriedade fundamental das proporções.

•

Identificar grandezas proporcionais.

•

Determinar a razão entre grandezas..

De modo geral, em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa. Simbolicamente:

a c = ⇔a.d =b.c b d

Curiosidade: Em se tratando desta propriedade de proporção, os alunos sempre cometem o erro de usar o termo “multiplicar cruzado”. Algebricamente, temos a c a.d c.b = ⇔ = b d b.d b.d

Se os denominadores são iguais, resta aos numeradores serem iguais. Daí vem que a.d = b.c. Vamos praticar... 1) Em um estojo há 21 canetas. A razão entre o número de canetas azuis para o número de canetas vermelhas é de 3 para 4. Pergunta-se: quantas canetas azuis e quantas canetas vermelhas há no estojo? (r: 9 azuis e 12 vermelhas)

2) José e Eduardo colecionam figurinhas e a diferença entre a quantidade de figurinhas de José para Eduardo é de 200 figurinhas. A razão entre a quantidade de figurinhas de José e Eduardo é de 7 para 5. Calcule a quantidade de figurinhas de cada um. (r: José e Eduardo têm 700 e 500 figurinhas respectivamente) 7.2.2. Grandezas Proporcionais: Você já parou pra pensar sobre o que é uma grandeza? É tudo aquilo que pode ser medido ou contado, como massa, peso, comprimento, tempo, temperatura, idade, preço etc. Antes de formalizarmos os conceitos, observe e analise os seguintes exemplos: a) Se você gasta 1 litro de gasolina para percorrer 2 km, quanto você gastará para percorrer 1 km? Neste exemplo, a distância percorrida caiu pela metade, logo, você reduzirá pela metade também, o consumo de gasolina. b) Em uma papelaria cobram R$ 0.09 por página xerocada. Se eu xerocar 13 páginas, quanto vai custar? Note que a cada página xerocada, tenho um custo de R$ 0.09, ou seja, se eu xerocar uma página irá me custar R$ 0.09, duas

R$ 0.18, três R$ 0.27

e assim por diante. À medida que aumenta o número de páginas aumentará o meu custo. Logo 13x0.09 = R$ 1.17. c) Daniel gasta para pintar uma extensão de 3 metros quadrados, 5 litros de tinta. Para pintar um quarto de 15 metros de área, quantos litros ele gastar? Preste bastante atenção... Observe que a área a ser pintada triplicou de tamanho, logo ele irá gastar três vezes o número de tinta... De acordo com estes exemplos, o que você notou de semelhante entre eles? Qual a relação entre as grandezas? Observamos que quando uma das grandezas dobra, triplica, fica pela metade, etc., a outra grandeza também aumenta ou diminui na mesma proporção. Generalizando... Duas

grandezas

são

diretamente

proporcionais

quando,

aumentando/diminuindo uma delas, a outra aumenta/diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão.

De forma análoga, observe estes exemplos: a) Seis pedreiros levam 1 dia para construir um muro. Se diminuirmos o número de pedreiros para 2, o muro ficará pronto em três dias. Ou seja, quanto maior o número de pedreiros utilizados na construção do muro, menor o tempo gasto para construção do mesmo. b) Agora, veja e analise a tabela. O que acontece nas transições do primeiro para o segundo termo? E do segundo para o terceiro? 1° termo Velocidade Média (km/h) Tempo (h)

30 2

2° termo 60 1

3° termo 15 4

Note que, enquanto a velocidade do 1° para o 2° termo é multiplicado por 2, o tempo é dividido por 2. Já no 2° termo para o 3° termo, a velocidade é dividida por 4, enquanto o tempo é multiplicado por 4. Quando isto acontece dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.

Generalizando... Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas inversamente proporcionais variam sempre na razão inversa da outra.

7.3. Regra de três Simples e Composta. Objetivos •

Determinar a regra de três simples.

•

Resolver problemas que envolvem regra de três simples.

Um pouco de História... Segundo (BALIELO, 2005, p.1), “na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a Regra de Três. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano (1170 – 1250), que nasceu na cidade de Pisa, na Itália, difundiu os princípios da regra de três em seu livro, Líber Abaci, com o nome de ‘Regra dos Três Números Conhecidos’.” Curiosidade... Por que o nome “Regra de Três”? Porque você conhece três termos e quer descobrir o quarto. 7.3.1. Regra de Três Simples É um processo prático para resolver problemas através de proporções utilizando duas grandezas,... Agora leia e analise a situação problema: Num dia de sol, Janete e Paulo mediram suas sombras. Janete tem 165 cm de altura e Paulo 180 cm. Sabendo que em um determinado horário, o comprimento da sombra de Paulo era 60 cm, qual o comprimento da sombra de Janete no mesmo horário?

Como você resolveria este problema? Levante os dados do problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas de mesma espécie na mesma coluna. Observe: Altura 165 180

Sombra X 60

O que você pode notar em relação às grandezas? Elas são diretamente proporcionais, pois à medida que a altura aumentar a sombra também irá aumentar na mesma proporção. Logo, temos que: 165 x = 180 60

Então, pela propriedade fundamental das proporções: 180X = 60.125 X = 55 cm

Outro exemplo: Uma torneira enche um tanque em 20 minutos, com uma vazão de 15 l/min. Se a torneira diminuir a vazão para 5l/min., quantos minutos serão necessários para encher o tanque? De forma análoga ao exemplo anterior, vamos montar a tabela.

Tempo (min.) 20 X

Vazão (l/min.) 15 5

Note que a medida que a vazão diminui o tempo irá aumentar na mesma proporção, logo estas grandezas são inversamente proporcionais. Para resolver este exercício, devemos inverter uma das razões da proporção. Assim: 20 5 = x 15

Depois disso, aplicaremos a propriedade fundamental das proporções: 5.X= 20.15 X=60 min. 7.3.2. Regra de Três Composta Objetivos •

Determinar a regra de três composta.

•

Resolver problemas que envolvem regra de três composta.

De modo análogo a regra de três simples, a regra de três composta resolve situaçõesproblema que envolvam mais que duas grandezas, dos mais variados tipos. Nós só conseguimos resolver estas situações-problema, se de duas em duas, as razões forem proporcionais (inversamente ou diretamente). Importante: Compare cada grandeza com aquela que tem a variável.

Exemplo: Em um prédio, 6 pintores pintam uma área de 300 m 2 em 2 horas. Quantos pintores são necessários para pintar uma área de 400 m2 em 1 hora? Da mesma forma que nos exemplos de regra de três simples, levante os dados do problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas de mesma espécie na mesma coluna. Pintores 6 X

Área 300 400

Tempo 2 1

Agora, analise as grandezas, duas a duas. Primeiramente compare pintores com área. Se os 6 pintores pintam uma área de 300 m 2, então, aumentando a quantidade da área para 400 m 2, vamos precisar de mais pintores. Logo estas grandezas são diretamente proporcionais. Vamos comparar agora, a grandeza pintores com a grandeza tempo, como fizemos anteriormente, com a grandeza área. É muito importante saber que a grandeza que tem a incógnita x é a que deve ser comparada com as outras grandezas. Comparando, então... Utilizando 6 pintores gastaremos 2 horas, para gastar uma hora de pintura precisaremos de mais pintores. Logo estas grandezas são inversamente proporcionais. Neste caso devemos:

a) Inverter os valores da razão onde as grandezas são inversamente proporcionais àquela que contém a incógnita e permanecer aquela que é diretamente proporcional. Assim: 6 x

300 400

1 2

b) Igualar a razão que tem o termo x com o produto das outras razões: 6 x

300 1 . 400 2

6 x

300.1 400.2

= 6 x

x =

300 800

6.800 300

x =16

Assim, serão necessários 16 pintores...

Vamos praticar... 1) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas? (r: 6 dias) 2) Um muro é construído em 6 dias por 20 operários, trabalhando 9 horas por dia. Em quantos dias 12 operários, trabalhando 5 horas por dia, podem fazer o muro? (r: 18 dias)

3) Um ciclista percorre em média200 km em 2 dias, se pedalar durante 4 horas por dia. Em quantos dias este ciclista percorrerá 500 km, se pedalar 5 horas por dia? (r: 4 dias) 4) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kg de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias. (r: 7260 kg) 5) Um grupo de jovens fabrica em 16 dias 320 colares de 1,20 m cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias? (r: 96 colares)

Pra final de conversa...

Chegamos ao fim da nossa disciplina! Os tópicos abordados são muito importantes, pois como fazem parte de disciplinas do ensino fundamental que são pré-requisitos daquelas que os alunos irão cursar posteriormente. Muitos assuntos abordados envolvem ocorrências do nosso cotidiano por isso esperamos que os conhecimentos adquiridos fossem bem aplicados na sua vida. Como essa é uma das primeiras disciplinas cursadas por você, esperamos que tenha alcançado sucesso nas atividades e continue com empenho, bom aproveitamento e dedicação a todas as disciplinas desse curso. Almejamos seu sucesso no desenvolvimento de todas as atividades!!!

Referências ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. p. 13. BALIELO, D.F. & SODRÉ, U. Ensino fundamental: Aplicações das razões e proporções. 2004. Disponível em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoesaplic.htm#m108b05. Acesso em: março de 2010. BELUSSI.

M..

ali.

Número

ouro.

2005.

Disponível

em:

http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf. Acesso em: 01/05/2010. FERRAZ, H. Sistemas de Proporções Matemáticas. Revista Eletrônica de Ciências, nº 26, abr. 2004.

Disponível em:

http://www.cdcc.usp.br/ciencia/artigos/art_26/proporcao.html. Acesso em: março de 2010. GIOVANNI, J. R., GIOVANNI JUNIOR, J R. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.. GIOVANNI, J. R., CASTRUCCI, B., GIOVANNI JUNIOR, J. R., A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. OLIVEIRA, S. et AL. Páginas dos números primos. 2005. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm12/Historia.htm. Acesso em: março de 2010. PAULA, L. A interpretação geométrica dos números imaginários no século XIX: a contribuição de Jean Robert Argand (1768-1822). 2007. 157 f. Dissertação (Mestrado). - Instituto de Educação, Universidade Federal de Mato Grosso. Cuiabá, 2007.