FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
1) Verificare che f (x) =
√ x `e continua in x0 per ogni x0 ≥ 0.
2) Verificare che f (x) =
1 x
−
1 x0
`e continua in x0 per ogni x0 6= 0.
3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuit` a della funzione f (x) = [sin x] (parte intera di sin x).
4) Disegnare il grafico e studiare i punti discontinuit` a della funzione f (x) = M (sin x) (mantissa di sin x).
5) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuit` a della funzione f (x) =
2x2 −5x−3 . x2 −4x+3
6) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuit` a della funzione f (x) =
x+3 . 3x2 +x3
7) Determinare k ∈ R in modo che la funzione
f (x) =
2 2x + 4x
se x ≥ 1
−x + k
se x < 1
sia continua su R.
1
2
FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
8) Determinare a, b ∈ R in modo che la funzione log(1 + x)
f (x) =
se −1 < x ≤ 0
a sin x + b cos x se 0 < x <
x
se x ≥
π 2
π 2
sia continua sul suo dominio.
9) Determinare il dominio e studiare la continuit` a della funzione f (x) =
2) log(1+x √ . 3−sin x
10) Determinare il dominio e studiare la continuit` a della funzione f (x) = M (3 + 14 cos 2x). 11) Disegnare il grafico e studiare la continuit` a della funzione
f (x) =
h i x 1 x
se x 6= 0
1
se x = 0.
12) Disegnare il grafico e studiare la continuit` a della funzione
f (x) =
x sin x1
se x 6= 0
1
se x = 0.
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3
SOLUZIONI 1) Per verificare che f (x) =
√ x `e continua in x0 , con x0 ≥ 0, conviene esprimere la differenza
f (x) − f (x0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x − x0 o con una funzione di x − x0 . In questo caso, razionalizzando, abbiamo √ √ √ √ √ ( x − x0 )( x − x0 ) √ x − x0 √ x − x0 = =√ √ √ . x + x0 x + x0 √ Tenendo conto che x ≥ 0 per ogni x ≥ 0, √ √ |x − x0 | |x − x0 | | x − x0 | = √ . √ ≤ √ x + x0 x0 Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da |x − x0 | < δ segua |f (x) − f (x0 )| < ε. Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0, tale che da |x − x0 | < δ segua
|x − x0 | < ε. √ x0 √ √ Quest’ultima condizione equivale a |x − x0 | < x0 ε, pertanto basta scegliere δ ≤ x0 ε. 2) Si vuole verificare che f (x) =
1 x
−
1 x0
`e continua in x0 per ogni x0 6= 0. Operando come
nell’esercizio precedente, cerchiamo di esprimere la differenza f (x) − f (x0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x − x0 o con una funzione di x − x0 . In questo caso, abbiamo
1 1 x0 − x − = . x x0 xx0
Supponiamo che x0 > 0 (per x0 < 0 il procedimento `e simile); poich`e f non `e definita in 0, conviene scegliere x in un intorno di x0 che non contenga 0. Se scegliamo, per esempio l’intorno di centro x0 e raggio x0 /2, I =] x20 , 32 x0 [, allora per ogni x ∈ I si ha x · x0 >
x0 x2 · x0 = 0 2 2.
Pertanto, per ogni x ∈ I si ha ¯1 1 ¯¯ |x0 − x| |x0 − x| ¯ <2 . ¯= ¯ − x x xx x2 0
0
0
Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da |x − x0 | < δ segua |f (x) − f (x0 )| < ε. Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0, tale che da |x − x0 | < δ segua 2
|x0 − x| < ε. x20
4
FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
Quest’ultima condizione equivale a |x − x0 | < ε basta quindi scegliere δ ≤
x2 min{ε 20 , x20 }.
x20 2 ;
affinch`e essa sia soddisfatta per x ∈ I
3) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuit` a della funzione f (x) = [sin x] (parte intera di sin x). Conviene osservare che, poich`e sin x `e periodica, di periodo 2π, anche f ha la stessa propriet`a. Pertanto `e sufficiente limitarsi a studiare f in un intervallo di ampiezza 2π. Consideriamo, ad esempio, x ∈ [−π, π]. Tenendo conto che [n] = n per ogni n intero, segue che f (x) = sin x per x = −π, −π/2, 0, π/2, π. Inoltre [y] = 0 per ogni y ∈ [0, 1[, quindi f (x) = 0 per ogni x tale che sin x ∈ [0, 1[, ovvero per ogni x ∈ [0, π] \ {π/2}. Analogamente, essendo [y] = −1 per ogni y ∈ [−1, 0[, segue f (x) = −1 per ogni x tale che sin x ∈ [−1, 0[, ovvero per x ∈] − π, 0[. Possiamo pertanto disegnare il grafico richiesto, e verificare che vi sono punti di discontinuit` a. In ±π e 0 la funzione f ha discontinuit` a di prima specie, in quanto lim f (x) = 0,
x→±π −
lim f (x) = −1,
x→±π +
lim f (x) = −1,
lim f (x) = 0,
x→0−
In x0 =
π 2
x→0+
f ha una discontinuit`a eliminabile, in quanto lim f (x) = 0
x→ π2
e
π f( ) = 1 2
4) Come nel caso precedente la funzione f (x) = M (sin x) (mantissa di sin x) risulta periodica di periodo 2π. Consideriamo pertanto il problema posto nell’intervallo [−π, π]. Per tracciare il grafico ricordiamo che M (n) = 0 per ogni intero n, da cui segue f (x) = 0 per ogni x tale che sin x sia intero, ovvero per x = −π, −π/2, 0, π/2, π. Inoltre, poich`e da y ∈]0, 1[ segue M (y) = y, allora per gli x tali che sin x ∈]0, 1[, ovvero per x ∈]0, π[\{π/2}, si ha f (x) = sin x. Invece, da y ∈]−1, 0[ segue M (y) = y+1, e quindi per x ∈]π, 0[\{−π/2}, si ha f (x) = sin x+1. Si osserva ora che f ha punti di discontinuit` a di prima specie, per x = π, 0, π/2, π. Infatti lim f (x) = 0,
x→±π −
lim f (x) = 1,
x→0−
In x =
π 2
lim f (x) = 1,
x→±π +
lim f (x) = 0.
x→0+
la funzione f ha invece un punto di discontinuit` a eliminabile, poich`e lim f (x) = 1,
x→ π2
e
π f ( ) = 0. 2
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5
5) Per disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuit` a della funzione f (x) =
2x2 −5x−3 , x2 −4x+3
occorre preliminarmente determinarne il dominio. Poich`e il denominatore si annulla per x = 1, 3 si ha subito che dom(f ) = R \ {1, 3}. Poich`e anche il numeratore si annulla per x = 3 possiamo decomporre numeratore e denominatore, ottenendo f (x) =
(x − 3)(2x + 1) 2x + 1 3 = =2+ (x − 3)(x − 1) x−1 x−1
per ogni x ∈ R \ {1, 3}. Il grafico di f si pu`o ricavare facilmente da quello di g(x) = 1/x mediante traslazioni e cambiamenti di scala. Per quanto riguarda i punti di discontinuit` a, x = 3 `e un punto di discontinuit` a eliminabile, in quanto non appartiene al dominio, ma esiste finito il limite
³
lim f (x) = lim 2 +
x→3
x→3
3 ´ 7 = . x−1 2
Per x = 1, punto esterno al dominio di f , si ha invece lim f (x) = −∞,
lim f (x) = +∞.
x→1−
x→1+
Con abuso di linguaggio si usa dire anche che 1 `e punto di discontinuit` a di seconda specie. Il grafico di f `e riportato in figura 1.
30
20
10
0 −1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
−10
−20
Fig. 1: Grafico di f , (esercizio 5)
6) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuit` a della funzione f (x) =
x+3 . 3x2 +x3
L’esercizio `e simile al precedente. Si verifica facilmente che dom(f ) = R \ {−3, 0}, e per tali punti f (x) =
1 . x2
6
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In x = −3 si ha una discontinuit` a eliminabile, in quanto esiste finito 1 lim f (x) = , x→−3 9 mentre in x = 0 si ha lim f (x) = +∞,
x→0
ovvero una discontinuit`a di seconda specie. Il grafico di f `e riportato in figura 2.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Fig. 2: Grafico di f , (esercizio 6)
7) Per determinare k ∈ R in modo che la funzione
f (x) =
2 2x + 4x
se x ≥ 1
−x + k
se x < 1
sia continua su R, si pu`o cominciare ad osservare che f (x) `e continua per ogni x 6= 1, in quanto composta da funzioni continue (in questo caso, polinomi). Basta quindi studiare la continuit`a in x = 1. Perch`e f sia continua in x = 1 occorre che i limiti destro e sinistro di f (x) per x → 1 siano finiti ed uguali al valore f (1). Calcoliamo quindi lim f (x) = lim (−x + k) = k − 1,
x→1−
x→1−
lim f (x) = lim (2x2 + 4x) = 6.
x→1+
x→1+
Imponendo la condizione k − 1 = 6 troviamo k = 7, che `e il valore cercato. Per ogni altro valore di k la funzione f corrispondente risulta discontinua in x = 1.
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8) Per determinare a, b ∈ R in modo che la funzione log(1 + x)
f (x) =
se −1 < x ≤ 0
a sin x + b cos x se 0 < x <
x
se x ≥
π 2
π 2
sia continua sul suo dominio, osserviamo innanzitutto che dom(f ) =] − 1, +∞[. Inoltre, negli intervalli aperti ] − 1, 0[, ]0, π2 [, ] π2 , +∞[ la funzione f (x) `e continua in quanto composizione di funzioni continue (logaritmo, polinomi, seno e coseno). Resta quindi da studiare la continuit` a nei punti di raccordo x = 0 e x =
π 2.
In ciascuno di tali punti si ha continuit` a se i limiti
destro e sinistro sono finiti ed uguali al valore assunto da f . Calcoliamo pertanto lim f (x) = lim log(1 + x) = 0,
x→0−
x→0−
lim f (x) = lim (a sin x + b cos x) = b.
x→0−
x→0−
Ne segue che f `e continua in 0 se e solo se b = 0. Inoltre lim f (x) = lim (a sin x + b cos x) = a,
x→ π2 −
x→ π2 −
da cui risulta che f `e continua in x =
9) La funzione f (x) =
2) log(1+x √ 3−sin x
π 2
lim f (x) = lim x =
x→ π2 −
x→ π2 −
π , 2
se e solo se a = π2 .
`e definita su tutto R, in quanto per ogni x ∈ R si ha 1+x2 ≥ 1 > 0
e 3 − sin x ≥ 2 > 0. Per ogni x ∈ R essa `e continua, in quanto composta da funzioni continue.
10) La funzione f (x) = M ( 12 + 14 cos 2x) `e definita su tutto R. Per ogni x ∈ R essa `e continua, in quanto composta dalla funzione g(x) =
1 2
+ 41 cos 2x, che `e continua per ogni x ∈ R, e ha per
immagine Im (g) = [1/4, 3/4], e dalla funzione M (x) che `e continua per ogni x ∈ [1/4, 3/4].
11) La funzione f (x) =
h i x 1 x
se x 6= 0
1
se x = 0.
`e discontinua nei punti x = 1/n, per ogni n intero (positivo o negativo) ed ha in tali punti discontinuit`a di prima specie. In tutti gli altri punti di R `e continua.
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12) La funzione f (x) =
x sin x1
se x 6= 0
1
se x = 0
`e discontinua per x = 0, dove ha una discontinuit` a eliminabile, in quanto lim f (x) = 0,
f (0) = 1.
x→0
In tutti gli altri punti di R `e continua. Il grafico di f `e riportato in figura 3.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 −3
−2
−1
0
1
2
−0.2
Fig. 3: Grafico di f , (esercizio 12)
3