Funzioni derivabili Esercizi proposti 1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 7 a(x) = 4x3 − x2 + 4x + 5 2
q(x) = arctan 1 + e2x
x2 − 3x + 1 x+1 √ c(x) = 3 1 + x b(x) =
r(x) = log (1 + arctan2 x) s(x) = log (x +
d(x) = sin x − cos x
p
1 + x2 )
t(x) = arctan x + arctan
e(x) = x sin x u(x) = x arctan x −
f (x) = log x2
3
i(x) =
1 x
1 log (1 + x2 ) 2
x 2x + 1 √ 1− x √ w(x) = arcsin 1+ x
v(x) = x − log
g(x) = tan 2x h(x) = x 2 − 6e5x
4
p
1 + x2
j(x) = etan x
y(x) = log |1 − e−2x | +
3
1 e−2x
+1
2 log x − 3 log x − 2
k(x) = x arctan x
z(x) = x
l(x) = log (log x)
α(x) = 2 log |1 − x| + 3 log2 |1 − x|
m(x) = 2sin x
β(x) = log
n(x) = xx γ(x) =
sin x
e−x + 3ex 4
q
1 + log (2 − x2 )
o(x) = x
δ(x) = log
log (sin x)
p(x) = x
1
1 1 − 1 + cos x 1 + cos x
2
Funzioni derivabili
s r
ε(x) =
1 − x2 + e−x2 6
λ(x) =
sin x − cos x x
η(x) = arctan2 x · log (arccos x)
ϕ(x) = (x2 − 9)e−|x|
ϑ(x) = [1 + log (x − sin x)] e2 sin x
ψ(x) =
xe2x . |x| − 2
2) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di ciascuna delle seguenti funzioni nel punto x0 indicato a fianco: a)f (x) = 4x3 (x0 = −1)
b)f (x) = x2 +
1 (x0 = 1) x
d)f (x) = e−x (x0 = 0).
c)f (x) = x2 − 2x (x0 = 1) 3) Discutere la derivabilit`a di f (x) = |x3 − x2 |.
4) Determinare per quali valori della x le seguenti funzioni sono crescenti oppure decrescenti:
a) f (x) = 3x2 − 5x − 7
c) f (x) = 2ex − 1
b) f (x) = x(x − 1)2
d) f (x) =
√
x−
x 2
e) f (x) = ex − x. .
5) Determinare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni sul loro dominio: a)f (x) = x3 − 12x + 7 c)f (x) =
2 x−3
b)f (x) = −x2 + 2x + 3 √ d)f (x) = x x + 1
1 − log x . x √ 6) Determinare massimi e minimi relativi di f (x) = sin x sull’intervallo [0, π]. e)f (x) = 2 −
7) Determinare i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti della funzione f (x) = x2 − 3|x − 1| + 2 su [−2, 3]. 8) Determinare il numero di radici reali della equazione x45 + 7x + 5 = 0.
Funzioni derivabili
3
2
9) Sia f (x) = (x − 1)ex + arctan(log x) + 2. Dimostrare che f `e invertibile sul suo dominio e determinare Im(f ). 10) Calcolare f 0 e f 00 per le seguenti funzioni: x 2 − x2 1 (b) f (x) = arctan x (c) f (x) = cos(sin x)
(a) f (x) = √
(d) f (x) = 1 +
1 x
x
1 1 + sin x √x (f ) f (x) = arcsin 1 − x2 . (e) f (x) =
11) Determinare gli eventuali asintoti delle funzioni: a) f (x) =
3x + 1 x−1
b) f (x) =
d) f (x) =
ex ex − 1
√ 3
x−1
c) f (x) =
x2 − 25 x+1
4
e) f (x) = x 3 − 3.
12) Determinare l’asintoto destro della funzione f (x) =
x3 |x − 2| + sin x . x3 − 3
13) Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di de l’Hopital: (x + 1)4 − 1 x→0 x
b) lim
tan x x→0 1 − cos x
e) lim
a) lim
d) lim
ex − e−x x→0 sin x
g) lim
sin 3x + sin3 x x→0 sin x
x4 − 6x2 + 8x − 3 x→1 x2 − 3x + 2
c) lim
sin2 x x→0 (1 − cos x) cos x
h) limπ x→ 2
1 − sin x + cos x sin 2x − cos x
f ) limπ x→ 2
i) lim
x→0
etan x − ex . x→0 x2
l) lim
14) Determinare i valori del parametro α ∈ R per cui la funzione x2 + αx − 2 f (x) = arcsin x2 + 2 `e definita su tutto R. 15) Data la funzione (
f (x) =
x3 + 3x2 + 2x
se x < 0
ln (x2 + 2x + 1) + k se x ≥ 0, a) determinare i valori di k tali che f sia continua su R; b) determinare fino a quale ordine f `e derivabile su R.
!
x2
(1 − sin x)2 cos x sin x + sin2 x
4
Funzioni derivabili
16) Stabilire quali fra le sequenti funzioni soddisfano le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo [−1, 2]: 1 b)f (x) = |x − | 2
a)f (x) = x2
c)f (x) =
2 x
se x ∈ [−1, 0] se x ∈ (0, 1]
0
(x − 1)2
d)f (x) =
se x ∈ (1, 2]
e) f (x) =
1
−x
se x ∈ [−1, 0]
0
se x ∈ (0, 1]
x−1
se x ∈ (1, 2]
se x ∈ [−1, 12 )
0
se x =
1
se x ∈
1 2 ( 12 , 2].
17) Determinare l’immagine della funzione f (x) = arctan x + arctan
1 , x
x 6= 0 .
18) Utilizzando il Teorema di Rolle si dimostri che la derivata della funzione f definita da (
f (x) =
x sin πx
se x > 0
0 se x = 0 si annulla in infiniti punti dell’intervallo (0, 1). 19) Determinare il numero di soluzioni dell’equazione arctan(ax) = x al variare di a > 0.
20) Data la funzione f (x) = 2x + cos x a) verificare che f `e invertibile; b) detta g l’inversa di f , calcolare g 0 (1).
21) Dimostrare la disuguaglianza 1− per ogni x ∈ R.
x2 ≤ cos x 2
Funzioni derivabili
5
Soluzioni degli esercizi proposti
1) Si ha: • a0 (x) = 12x2 − 7x + 4 b0 (x) =
x2 + 2x − 4 (x + 1)2
1 c0 (x) = p 3 3 (1 + x)2
r0 (x) =
2 arctan x (1 + + arctan2 x)
g 0 (x) = 2 1 + tan2 2x =
2 cos2 2x
v 0 (x) = 1 −
1 x(2x + 1)
w0 (x) = −
1 √
2(1 +
3 1 4 h0 (x) = x 2 − 120x3 e5x 2
j 0 (x)
x 1 + x2 2 tan x3
= 3x e
k 0 (x) = arctan x + l0 (x) =
2
3
1 + tan x
x 1 + x2
1 x log x
m0 (x) = 2sin x cos x log 2
o0 (x) = xsin x
sin x cos x log x + x
2e−2x 2e−2x + 1 − e−2x (e−2x + 1)2
z 0 (x) =
2 log2 x − 7 log x + 5 (log x − 2)2
α0 (x) =
6 log |1 − x| + 2 x−1
β 0 (x) =
−e−x + 3ex e−x + 3ex
γ 0 (x) = −
p0 (x) = xlog sin x η 0 (x) = arctan x
δ 0 (x) =
cos x log sin x log x + sin x x
3
x) x 4
y 0 (x) =
n0 (x) = xx (log x + 1)
1 1 + x2
u0 (x) = arctan x
2 x
i0 (x) = √
x2 )(1
t0 (x) = 0
e0 (x) = sin x + x cos x
2e2x 1 + (1 + e2x )2
s0 (x) = √
d0 (x) = cos x + sin x
f 0 (x) =
q 0 (x) =
ε0 (x)
2 log (arccos x) arctan x √ − 2 1+x arccos x 1 − x2
(2 −
x 1 + log (2 − x2 )
p
x2 )
sin x cos x (1 + cos x)2 − 31 x − 2xe−x
2
= q 2 − 16 x2 + e−x2
6
Funzioni derivabili
ϑ0 (x)
2 sin x
=e
λ0 (x) =
1 2
r
(
ϕ0 (x)
ψ 0 (x)
=
=
1 − cos x + 2 cos x (1 + log (x − sin x)) x − sin x
x (x + 1) cos x + (x − 1) sin x sin x − cos x x2
e−x (−x2 + 2x + 9)
se x > 0
ex (x2 + 2x − 9)
se x < 0
2x 2e
x2 − 2x − 1 x2 − 4x + 4
!
x+1 2 2x −2e
x+2
se x ≥ 0 , x 6= 2 . se x < 0 , x 6= −2
2) a) Occorre innanzitutto calcolare la derivata della funzione f in x0 = −1: si ha f 0 (−1) = 12. y = 12x + 8. b) y = x + 1. c) y = −1 ( si osservi che nel punto x0 = 1 la retta tangente `e orizzontale). d) y = 1 − x ( si osservi che nel punto x0 = 0 la retta tangente `e inclinata verso il basso).
3) Dal momento che risulta f (x) = x2 |x − 1|, f `e derivabile in R \ {1}.
4) a) Crescente per x > 56 , decrescente per x < 56 . b) Crescente per x <
1 3
e x > 1, decrescente per
1 3
< x < 1.
c) Crescente per ogni valore della x. d) Crescente per 0 < x < 1, decrescente per x > 1. e) Crescente per x > 0, decrescente per x < 0.
5) a) f ha massimo in x = −2 e minimo in x = 2. b) f ha massimo in x = 1. c) f non ha n`e massimi n`e minimi. d) f ha minimo in x = − 23 . e) f ha massimo in x = 1.
Funzioni derivabili
7
6) f ha massimo in x =
π 2
e ha minimo in x = 0, π.
7) f ha un punto di minimo assoluto in x = − 32 , con f − 32 = − 13 4 . f ha un punto di massimo assoluto in x = 3, con f (3) = 5. x = 1 e x = −2 sono punti di massimo relativo (si ha, rispettivamente, f (1) = 3 e f (−2) = −3). Infine, f ha un punto di minimo relativo in x = 23 , con f
3 2
=
11 4 .
8) L’equazione ammette un’unica soluzione reale.
9) La funzione f `e strettamente crescente su (0, +∞) (infatti f 0 (x) > 0), quindi invertibile su
R. Inoltre Im(f ) = (1 − π2 , +∞).
10) (a) f 0 (x) =
(b) f 0 (x) = −
2 (2 −
3
x2 ) 2
1 f (x) = 1 + x
(f ) f (x) =
1 x
x (
x
2x arctan x + 2 ; (1 + x2 )2 arctan3 x
√ 1 1−x2
se x < 0
1 , 1+x
−
1 − 1+x
2
1 − x(1 + x)2
00
,
se x > 0
1 x
2 1 f (x) = 3 1 + cos x x
1 − √1−x2
log 1 +
1 log 1 + x
1 1 (e) f (x) = − 2 1 + cos x x
0
f 00 (x) =
;
5
(2 − x2 ) 2
f 00 (x) = − cos (sin x) cos2 x + sin (sin x) sin x ;
(d) f 0 (x) = 1 +
0
,
x2 ) arctan2 x
(c) f 0 (x) = − sin (sin x) cos x ,
00
f 00 (x) =
1 (1 +
6x
,
,
00
f (x) =
x − (1−x2 ) 32 x
3 (1−x2 ) 2
−
)
;
1 1 sin ; 4 x x
se x > 0 se x < 0
.
8
Funzioni derivabili
11) a) x = 1 `e asintoto verticale, y = 3 orizzontale. b) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine inferiore a 1. c) x = −1 `e asintoto verticale, y = x − 1 asintoto obliquo. d) x = 0 `e asintoto verticale, y = 0 `e asintoto orizzontale sinistro, y = 1 `e asintoto destro. e) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine superiore a 1.
12) y = x − 2.
13) a) 4 e) 2
f) 0
b) 0 g) 2
c) 3 h) 1
d) lim f (x) = ±∞ x→0±
i) lim f (x) = ±∞ x→0±
l) 0 .
14) La funzione `e definita su tutto R per α = 0 . 15) 1) f `e continua se k = 0. 2) f 0 esiste su tutto R e vale f (x) = 3x2 + 6x + 2 se x < 0 e f (x) = ln 0. Calcolando i limiti del rapporto incrementale di f 0 per x → 0+
2 se x ≥ (x+1) − e x → 0 , si ottiene
(D2 f )+ (0) = −2 e (D2 f )− (0) = 6, quindi f `e derivabile fino al primo ordine su R.
16) a) No (f (−1) 6= f (2)) b) No (f non `e derivabile) c) S`ı d) No (f non `e derivabile) e) No (f non `e continua).
17) Risulta Im f = {− π2 , π2 }. 1 18) Poich`e f ( n1 ) = 0 per ogni n, le ipotesi del Teorema di Rolle sono soddisfatte in [ n+1 , n1 ] per
ogni n ≥ 1, cio`e in infiniti intervalli.
Funzioni derivabili
9
19) Se 0 < a < 1 vi `e una sola soluzione. Se a ≥ 1 ci sono tre soluzioni.
20) a) Poich`e f 0 (x) = 2 − sin x per ogni x ∈ R, f `e strettamente crescente e quindi invertibile. b) Cerchiamo x0 tale che f (x0 = 1. Si trova x0 = 0, da cui g 0 (1) = 12 . 21) Posto f (x) = cos x − 1 + f 00 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ R,
x2 0 2 , si ha f (x) f 0 `e crescente.
= − sin x + x e f 00 (x) = − cos x + 1. Poich`e Osserviamo ora che f 0 (0) = 0, quindi f 0 (x) ≤ 0
per x ≤ 0 e f 0 (x) ≥ 0 per x ≥ 0. Pertanto f `e decrescente in (−∞, 0], crescente in [0, +∞) e f (x) ≥ f (0) = 0.