formulario 2 by Andrea Di Giovanni

Formulario di FISICA 2 Elementi di Calcolo vettoriale 1) Prodotto scalare A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

LEGGE DI COULOMB qq 1 qq0 F = k 20 u r = ur r 4πε 0 r 2

2) Prodotto vettoriale i j k A × B = Ax Ay Az Bx

Tab 1.1 Elettrone e Protone p Neutrone n

 dU dU dU  3) ∇U = gradU =  , ,   dx dy dz  dU = ∇U ⋅ ds FLUSSO: φS (E) = E ⋅ S dove: E campo di flusso, S = nS in cui: S è la superficie elem. attraversata dal flusso n è la direzione normale alla superficie S In generale: φS ( v) = ∫ v ⋅ ndS

Campo elettrostatico E F 1 q E= = u q0 4πε 0 r 2 Densità di carica: dq , dτ dove: ρ è la densità spaziale di carica, dτ = dx ' dy ' dz ' è il volume elementare di carica dq. In tal caso: q = ∫ ρ ( x ', y ', z ')dτ a) Spaziale dq = ρ ( x ', y ', z ')dτ ⇒ ρ =

∂vx ∂v y ∂vz + + ∂x ∂y ∂z Campo solenoidale se div v = 0, TEOREMA DELLA DIVERGENZA φS ( v) = ∫ v ⋅ ndS = ∫ div vdV

4) Divergenza di v: div v =

ρ ( x, y, z )dxdydz u r2 dq b) Superficiale dq = σ ( x ', y ', z ')d Σ ⇒ σ = , dΣ dove: σ è la densità superficiale di carica, d Σ = dx ' dy ' è l’area della superficie infinitesima di carica dq. q = ∫ σ ( x ', y ', z ')d Σ Σ In tal caso: 1 σ dΣ E= u ∫ 4πε 0 Σ r 2 dq c) Lineare dq = λ ( x ', y ', z ')dl ⇒ λ = , dl dove: λ è la densità lineare di carica, dl è il tratto infinitesimo di linea. q = ∫ λ ( x ', y ', z ')dl Σ In tal caso: λ dl 1 E= u ∫ l 4πε 0 r 2 In caso di distribuzioni uniformi di carica q = ρτ , q = σΣ , q = λl . Alcuni esempi immediati: E=

dove: V è il volume racchiuso dalla superficie S 5) ROTAZIONE (O ROTORE) DI V: i ∂ rot v = ∂x vx

j ∂ ∂y vy

k se rot v = 0 ∂ = ∇ × v , si dice "campo ∂z irrotazionale " vz

TEOREMA DI STOKES Ñ∫ v ⋅ dl = ∫ rot v ⋅ ndS S

6) Operatore di Laplace (o Laplaciano): ∂2 ∂2 ∂2 2 ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z In un CAMPO CONSERVATIVO si ha: Ñ∫ v ⋅ dl = 0 ⇒ v = ∇U , Se il campo è solenoidale e conservativo: ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U div v = div ∇U = 2 + 2 + 2 = ∂x ∂y ∂z

= ∇ ⋅ v = ∇ ⋅ ∇U = ∇ 2U = 0 Alcune proprietà: div ROTORE div rot v = 0 e poichè div w = ∇ ⋅ w

C2 Nm2 Carica (C) Massa (Kg) -19 -1.6022 ⋅10 9.1094 ⋅10-31 +1.6022 ⋅10-19 1.6726 ⋅10-27 0 1.6749 ⋅10-27

dove: ε 0 = 8.8542 ⋅10 −12

1 4πε 0

∫

1 ρ dτ u= 2 4πε 0 r

∫

1) Disco sottile di raggio di raggio R e di carica x  q  uniforme q: E( x) = ± 1−  ux 2  2πε 0 R  x2 + R2 

⇒

⇒ div rot v = ∇ ⋅ ∇ × v = 0 sempre

Definisco “Potenziale rispetto all’infinito di un punto distante r” : qq ∞ q ⇒ U (r ) = 0 Vr = V (r ) = ∫ E ⋅ ds = r 4πε 0 r 4πε 0 r

2) Anello sottile di raggio a e di carica unif. q P E

Potenziale di un dipolo elettrico q 1 1 +q V ( P) =  −  4πε 0  r1 r2  dove: r1= d(P,+q); r2= d(P,-q) -q

x q x ux 2 4πε 0 (a + x 2 )3 / 2 3) Piani paralleli, indefiniti, uniformemente carichi con densità superficiale uno +σ l’altro -σ posti risp. a distanza dall’origine x1 e x2 tali che x1<x2. • All’interno dei 2 piani, ossia per σ x1<x<x2 si ha: E = u x ε0 • All’esterno, x< x1 opp. X>x2 ⇒ E = 0 E( x) =

Dato che E è conservativo la

Ñ∫ E ⋅ ds = 0 ,

 ∂V ∂V ∂V  ovvero E = − grad V =  − ,− ,−  ∂y ∂z   ∂x Segue pertanto: ∇ × Å = 0 1 Legge di GAUSS: φS (E) = qinterne ε0 ρ In forma differenziale: div E = ∇ ⋅ Ε = ε0

F = q0E

P r CONDUTTORI. Nei conduttori metallici le cariche sono libere + + di muoversi e si dispongono all’esterno. dq ++ + + q All’interno E=0 ++ + + q Il conduttore è tutto allo stesso potenziale la superficie esterna è una sup. equipotenziale σ Quindi: E = u n dove un è perpendicolare alla ε0 superficie e diretto all’esterno se la densità è positiva, entrante se negativa. 1 dq 1 σ dΣ Potenziale: V ( P) = = ∫ ∫ 4πε 0 q r 4πε 0 Σ r q Capacità di un conduttore: C = V

dove l1 è una curva

W1 = ∫ dW = q0 ∫ E ⋅ ds l1

Teorema di STOKES in un campo elettrico Ñ∫ E ⋅ ds = ∫ rot E ⋅ nd Σ = ∫ ∇ × E ⋅ nd Σ

Lavoro della forza elettrica.

dW = F ⋅ ds = q0 E ⋅ ds

Il campo elettrico è conservativo, pertanto: q q 1 q0 q 1 Wi , f = 0 − 4πε 0 ri 4πε 0 rf Principio di conservazione dell’energia: ∆Ec + ∆E p = 0 1 2 1 2 mvB − mv A = q0VA − q0VB = U A − U B 2 2 1 2 1 2 mvB − mv A = q0 E( z B − z A ) 2 2 1 2 1 2 q 1 1 mvB − mv A = q0  −  2 2 4πε 0  rA rB  Teorema dell’energia cinetica:

CONDENSATORI. R1 R1 R2 R2 R2 − R1 2πε 0 d • Cilindrico: C = ln( R2 / R1 ) d è la sovrapposizione dei 2 cilindri concentrici S • Piano: C = ε 0 h dove h è la distanza tra le 2 armature

•

∆Ec = ( Ec ) f − ( Ec )i = q0 ∫ E ⋅ ds i

Energia Potenziale e LAVORO f

U f − U i = − q0 ∫ E ⋅ ds i

DIFFERENZA DI POTENZIALE f

V f − Vi = − ∫ E ⋅ ds , dove V si dice potenziale i

elettrico. In forma locale: dU = qdV

Sferico: C = 4πε 0

CONDENSATORI IN PARALLELO

1 1 1 = + R eq R1 R2

Ceq = C1 + C2 CONDENSATORI IN SERIE

Potenza: P = R1i12 + R2i22 =

1 1 1 = + Ceq C1 C2

MATERIALE

Energia Elettrostatica.

1 1V 1 U e = CV 2 = = ε 0 E 2 Sh 2 2q 2 U 1 = ε0 E 2 Sh 2

ue =

CORRENTE ELETTRICA. Intensità di corrente i =

dq dt

In condizioni stazionarie i =

q t

Si può anche osservare che: i = J ⋅ ds dove J è il campo di flusso della

∫

corrente, s è la superficie della sezione di filo In condizioni di S=cost, J=cost si ha che i = JS , e inoltre: J = e ⋅ n ⋅ vd dove n è il numero delle cariche sollecitate dal campo Equazione di continuità in regime stazionario:

∇⋅J = 0

Legge di OHM V=R⋅i RESISTENZA: R =

h ρ [Ω] S

1.59 ⋅ 10-8 1.67 ⋅ 10-8 2.35 ⋅ 10-8 2.65 ⋅ 10-8 5.65 ⋅ 10-8 5.92 ⋅ 10-8 6.84 ⋅ 10-8 9.71 ⋅ 10-8 10.6 ⋅ 10-8 11.0 ⋅ 10-8 12.5 ⋅ 10-8 20.7 ⋅ 10-8 98.4 ⋅ 10-8 1.38 ⋅ 10-5 0.46 2.30 ⋅ 103 2 ⋅ 105 1010÷1014 2 ⋅ 1015 1016÷1017

4.1 ⋅ 10-3 6.8 ⋅ 10-3 4.0 ⋅ 10-3 4.3 ⋅ 10-3 4.5 ⋅ 10-3 4.2 ⋅ 10-3 6.9 ⋅ 10-3 6.5 ⋅ 10-3 3.9 ⋅ 10-3 4.7 ⋅ 10-3 3.4 ⋅ 10-3

-0.5 ⋅ 10-3 -48 ⋅ 10-3 -75 ⋅ 10-3

I Dielettrici 1) Costante dielettrica assoluta ε = kε 0

RS Resistività ρ = [Ω ⋅ m] h

dove κ è la costante dielettrica relativa; 2) Suscettività elettrica χ = κ − 1 3) Momento di dipolo o polarizzazione

Dove: h è la lunghezza del filo S è la sezione del filo Potenza P = Ri 2 = ρ

ρ 20 [ Ω ⋅ m ] Coeff. α °C −1 

Argento Rame Oro Alluminio Tungsteno Zinco Nichel Ferro Platino Stagno Niobio Piombo Mercurio Carbonio(grafite) Germanio Silicio Acqua Vetro Zolfo Quarzo fuso

Densità di energia elettrostatica

V2 V2 1 + =V 2 R1 R2 R eq

h 2 i [W ] s

dielettrica P =

Energia dissipata nel tempo t

dP = αE . Si dicono dτ

dielettrici lineari quelli in cui vale:

W = Pt = Ri 2t

P = ε 0 (κ − 1)E = ε 0 χE

Dipendenza della resistività dalla temperatura

4) Il campo elettrico risultante*: E R =

ρ = ρ 20 (1 + α∆t ) dove ρ 20 è la resistività del conduttore a 20°C ∆t = t − 20°C diff. di temperatura α °C −1  è il coefficiente termico di resistività

E0 κ

dq P = −∇ ⋅ P dτ Legge di Gauss per i materiali dielettrici 1) Induzione dielettrica D = ε 0 E + P ; ∇⋅D= ρ Densità spaziale di carica: ρ P =

Resistenza o resistori in serie

R eq = R1 + R2

Potenza: P = P1 + P2 = R1i 2 + R2i 2

∫D⋅u

d∑=q

3) D è solenoidale, non è conservativo;

Resistenza o resistori in parallelo

Def.: Momento magnetico della spira m = iSu n Pertanto (*) diventa: M = m × B ovvero

4) Nei dielettrici lineari risulta:

χ κ −1 P= D= D κ χ +1

M = ∫ dM = m × B

Magnetismo

Effetto Hall

Legge di Coulomb per l’interazione magnetica mm m1, m2 masse magnetiche F = k m 1 2 2 dove: k m cost. magnetica r Il campo magnetico si indica con B, la sua unità di misura è il Tesla (T); altre unità di misura sono: il Gauss (G): 1G = 10 µT ; il Weber (Wb): 1Wb = 1Tm2 = 1Vs Nel M. il flusso è sempre

z sx dx Sezione Pianta Sia dato un conduttore di sezione rettangolare a⋅b. Si voglia determinare il n° dei portatori di carica positivi. La densità di corrente vale:

∫ B ⋅u d ∑ = 0 n

e quindi… divB = ∇ ⋅ B = 0 il campo magnetico è solenoidale.

i u x = nev d ab

Forza di Lorentz F = qv × B la velocità cambia direzione ma non

La forza di Lorentz agente su ogni elettrone è:

cambia in modulo. L’unica accelerazione possibile è quella centripeta. Moto di q in un campo uniforme B

Su ogni e agisce una forza non elettrostatica che origina un campo elettromotore EH

F = ev d × B

F = qvB mv v qB  ⇒ω = =  v2 ⇒ r = qB r m F = mac = m  r 2π 2πm Da cui il periodo T = = ω qB N.B.:

E+ = EHALL =

F j = vd × B = × B e ne

la cui direzione e verso è la stessa della F+ D’altra parte si origina un campo E, dovuto alla concentrazione di cariche positive sul lato sx e negative sul lato dx del conduttore. Pertanto in equilibrio: E+EH=0. La tensione di Hall, ossia la d.d.p. tra 2 punti P, Q delle facce laterali, sarà :

-q negativa… ω concorde a B +q positiva… ω discorde a B

VH = ε H = ∫ E H ⋅ dz = E H ⋅ PQ = EH a

II legge di Laplace

Se considero il moto di 1 elettrone all’interno di un conduttore Fi = − ev d × B , per N elettroni

ossia:

VHALL = EH a = a v d B =

presenti dentro il volume elementare Σds dF = NFi = (nΣds )Fi dove n: densità elettroni

aj iB Ba VA − VB B= = ne neb neρ d

l’ultima uguaglianza si ottiene ponendo

dF = −(Σds )nev d × B ma j = n(−e) v d dF = Σdsj × B Nel caso di un filo conduttore si ha i = Σj

V A − VB d d ,e R=ρ =ρ R ab Σ

da cui il numero dei portatori di carica positivi è

dF = ds i × B = i ds × B ,

in quanto i e ds sono concordi

jaB iaB = eV H eSV H

Al solito vale i = jS, dove S = ab. Il numero dei portatori di carica negativi è uguale a quello dei positivi, per la neutralità globale del sistema.

Lungo un tratto di filo AB: i = costante

F = i ∫ ds × B B

Conduttore rettilineo l e campo costante B B

F = i ∫ ds × B = il × B A

F = ilB sin ϑ

Momento meccanico su una spira M = iSB sin ϑ (*)

dove S = ab = area racchiusa dalla spira

un 4

Campo magnetico prodotto da una corrente

-Solenoide toroidale µ0=4π10-7 H/m µ0 Ni B= 2π R Forza tra 2 conduttori percorsi da corrente -Fili rettilinei paralleli

ì i ds × u r 1° legge di Laplace dB = 0 4π r 2 ì i ds × u r Legge di Ampere-Laplace: B = 0 ∫ 4π r2 Campo magnetico prodotto da una carica in moto Ricordando che: J = ids = n ⋅ q ⋅ vd µ qv × u r Per un volume elementare: dB = 0 ndτ 4π r 2 µ qv × u r Per 1 sola carica: B = 0 = ε 0µ0 v × E 4π r 2 1 1 Da cui posto c 2 = ⇒ B = 2 v×E c ε 0 µ0

Correnti equiverse FORZA ATTRATTIVA Correnti discordi FORZA REPULSIVA

F1,2 = i2 B1d =

µ0 i1i2 d 2π R

dove d è la lunghezza di un tratto del filo 2 Per unità di lungh. d=1m: F1,2 = i2 B1 =

i2 R

µ0 i1i2 2π R

Legge di Ampere

Sia dato un filo circondato da una curva Γchiusa

Ñ∫ B ⋅ ds = ± µ i 0

Il segno è + se il verso su Γ è concorde con il verso di rotazione della vite dx, il cui verso di avvitamento è quello della corrente i. Viceversa sarà negativo.

dove c è la velocità della luce c=3*10 m/s

Circuiti particolari -Filo rettilineo di lunghezza 2a ì i ì 0 ia B = 0 cos ϑa = 2πR 2πR R 2 + a 2

Se la curva chiusa Γ non circonda il filo allora:

Ñ∫ B ⋅ ds = 0

In forma locale si scriverà : ∇ × B = µ 0 j

dove R è la distanza del punto P dall’asse del filo e θa l’angolo come in figura:

In caso di correnti stazionarie

θa

∇⋅ j = 0 ∇⋅∇×B = 0

Mutua induzione

Dati 2 circuiti i cui rispettivi flussi magnetici, dovuti al passaggio di corrente risp. i1 e i2, sono concatenati con i circuiti reciproci:

Φ12 = M 12i1 Φ 21 = M 21i2

-Filo rettilineo infinito (legge di Biot-Savart) ì i cos θa=1 ⇒ B = 0 uφ 2πR -Spira circolare 2 ì 0iR 2 ì iR ì m 0 B( x ) = un = un = 0 3 3 2 2 3/2 2r 2π r 2(x + R )

M dipende da fattori geometrici e dalle proprietà magnetiche del mezzo

Autoinduzione In tal caso i circuiti sono coincidenti: 1≡2 Φ = Mi dove M è il coeff di autoinduzione.

Equazioni di Maxwell per i campi elettrici e magnetici costanti ρ (1) ∇ ⋅ E = (2) ∇ × E = 0 ε0 (3) ∇ ⋅ B = 0 (4) ∇ × B = µ 0 j

dove: m = iΣu n = iπR 2u n ed r 2 = x 2 + R 2 B(0) = B max =

µ 0i un 2R

Forza elettromotrice del generatore G ε = Rt i = ( R + r )i

coeff. di mutua

M 12 = M 21 = M induttanza

dove r è la resistenza interna del generatore

VA − VB = Ri = ε − ri

-Solenoide Detto: N = numero tot. di spire n = N/d densità lineare delle spire

B0 = µ0 ni

dove A e B sono i poli + e – del generatore G A circuito aperto i = 0 ⇒ VA − VB = ε

A circuito chiuso i ≠ 0

⇒ VA − VB = ε − ri Quindi ε è la d.d.p. misurata ai capi del generatore a circuito aperto.

d + 4r 2 se d >> r ⇒ B0 = µ 0 ni 2

B0 al centro del solenoide

i +i Γ

Se B=cost. allora ∂B = 0 e quindi ∇ × E = 0 ossia E è ∂t un campo conservativo

Legge di Faraday Se varia il Φ (B ) concatenato con un circuito, compare nel circuito una f.e.m. indotta

Generatore di corrente G

d Φ ( B) εi = − dt

Φ (B ) = ∫ B ⋅ u n d Σ = BΣ cos θ = BΣ cos ω t Σ

d Φ (B ) εi = − = ω BΣ sin ω t dt da cui ε MAX = ω BΣ

Se R è la resistenza del circuito:

ε 1 d Φ (B ) i= i =− R R dt

A circuito aperto (R=∞) e quindi se mediante uno strumento viene misurato il voltaggio ossia d Φ (B) come nel caso del generatore G V = εi = − dt

ε i = Ñ∫ Ei ⋅ dl = − i

d Φ(B) d =− dt dt

∫ B ⋅ dS S

La potenza meccanica

P = M ω = (mB sin θ )ω = iω BΣ sin ω t =

ε i2 R

Autoinduzione Quando varia i in un circuito, varia il Φ( B) concatenato e quindi compare una f.e.m ε L autoindotta:

εL = −

∂Φ ( B ) d = − ( Li ) ∂t dt

dove: L = coeff. di autoinduzione o induttanza N.B.: L si misura in Henry [H]. In genere L=cost. di ε L = − L ; tale ε L si oppone alla f.e.m ε del generatore. dt Circuiti RL. In tali circuiti sono presenti un resistore R e un’induttanza complessiva L. Supponiamo che si chiuda tale circuito, per la legge di Ohm avremo: di ε + ε L = Ri ⇒ ε = L + Ri ⇒ ε dt = Ldi + Ridt dt (ε − Ri) dt = Ldi che separando le variabili e integrando

d Φ(B) dt

dove : τ

Se B è uniforme, oltre che costante nel tempo, il flusso concatenato è costante e ε i = 0 .

R t −  − t  ε  ε  τ 1 − e L  = 1 − e  R  R 

L = costante di tempo del circuito RL R t

Pertanto: ε L = − L di = −ε e τ dove iL = ε L = − ε e−τ dt R R Se il circuito è aperto: t − ε −t dove τ ' = L / R ' i (t ) = e τ ' = i0 e τ ' R R’ = resistenza del mezzo (es.: aria): R’ >> R di ε  1  − t  R'  − t ε L (t ) = − L = − ( R 'τ ')  −  e τ ' =  ε  e τ ' dt R τ ' R  R ' Se t=0 allora ε L (0) = ε >> ε ⇒ d.d.p. elevata ⇒ R Scintilla nell’interruttore. Pertanto la corrente i = ε L è −

2) B variabile nel tempo. Ad originare il campo elettromotore non può essere la forza di Lorentz (v=0). Dovrà esserci una forza F indotta che muove gli elettroni di conduzione e genera la corrente indotta. La forza che agisce su una carica –e F = −e ( E + v × B ) quindi B variabile da luogo ad E indotto, e poiché ∂B ε i = Ñ∫ Ei ⋅ dl = − ∫ ⋅ dS i S ∂t per il teorema di Stokes

Ñ∫ E ⋅ dl = ∫ ∇× E ⋅ ndS

da cui segue: ∇ × E = −

v×B

ε i2 La potenza elettrica indotta P = ε i i = Ri = R

F = v×B −e

B v

1) Moto di una spira in B = costante.

ε i = Ñ∫ Ei ⋅ dl = Ñ∫ v × B ⋅ dl = −

v×B B

ε ω BΣ sin ω t i= i = R R

Sugli elettroni di conduzione della spira agisce la forza di Lorentz, per cui il campo elettromotore indotto:

Si può mostrare che:

L’intensità sarà :

il segno meno è indice del fatto che ε si oppone alla variazione di flusso. Se d Φ (B) > 0 ⇒ cioè Φ( B) aumenta (avvicinando il dt magnete), per cui si origina una ε i , e quindi una corrente autoindotta di verso tale da generare un flusso secondario, che si oppone all’aumento del flusso Φ( B) Questa è la legge di Lenz. Distinguiamo i casi per cui d Φ (B) ≠ 0 : dt 1) Il conduttore si muove in una regione dove B è costante; 2) B non è costante nel tempo anche se il conduttore è fermo; 3) Una qualsiasi combinazione dei 2 casi precedenti.

Ei =

detta extracorrente di apertura.

∂B ∂t

Considerazioni ENERGETICHE nei circuiti RL Poiché ε = Ri + L di , Potenza P = ε i = Ri 2 + Li di dt dt Lavoro prodotto ε idt = Ri 2 dt + Li di Possiamo osservare che ε idt = ε dq è il lavoro compiuto dal generatore; il termine Ri 2 dt rappresenta il lavoro speso per far circolare la corrente (effetto Joule), mentre Li di il lavoro speso contro la f.e.m. di autoinduzione ε L = − Ldi / dt per far aumentare la corrente da i a i+di. Quando la corrente ha raggiunto il valore di regime, il generatore continua a fornire la potenza ε i∞ = Ri∞2 necessaria per mantenere una corrente costante in un circuito resistivo (con resistenza R). Nell’intervallo di tempo in cui la corrente passa da 0 al valore i, il generatore oltre a spendere il lavoro per l’effetto Joule deve spendere contro ε L:

Corrente di spostamento: Legge di Ampere-Maxwell. In forma locale: ∇ × B = µ 0 jtot = µ 0 ( j + js )

E dove js = ε 0 ∂ = densità di corrente di spostamento ∂t In forma integrale: ∂E   Ñ∫ B ⋅ dl = µ0 ∫S jtot ⋅ dS = µ0 ∫S  j + ε 0 ∂t  ⋅ dS = = µ0 (i + i s ) = µ0 i tot dove is = js ⋅ dS = ε 0 ∂E ⋅ dS = ε 0 ∂φS (E) ∫S ∫S ∂t ∂t Concludendo un campo magnetico variabile nel tempo produce una variazione del campo magnetico e viceversa:

∂B →Å ∂t

∂E →B ∂t

legge di Faraday

legge di Ampere-Maxwell

WL = ∫ Lidi = 12 Li 2 0

che dipende solo dagli stati iniziale e finale. Possiamo definire l’energia intrinseca della corrente U L = 12 Li 2 la cui variazione dà il lavoro fatto dal generatore contro la f.e.m. di autoinduzione. Quando si apre il circuito sul resistore viene speso il lavoro: ∞ ε2 ∞ 1 ε2 1 WR = ∫ Ri 2dt = R ' 2 ∫ e −2 R 't / L dt = L 2 = Li∞2 0 R 0 2 R 2 Possiamo concludere che l’energia immagazzinata nell’induttanza WL viene restituita attraverso R quando si riapre il circuito.

Equazioni di Maxwell per i campi elettrici e magnetici variabili ρ ∂B (1) ∇ ⋅ E = (2) ∇ × E = − ε0 ∂t ∂Å (4) ∇ × B = µ0 j + µ0ε 0 (3) ∇ ⋅ B = 0 ∂t

Energia magnetica per un solenoide

u L = 12 L′i 2 [J/m3]

Ai campi E e B è associata la densità di energia elettromagnetica (J/m3)

2 dove L’=induttanza x unità di volume L ' = L = µ 0 n Sd V V S = sezione del solenoide d = lunghezza del solenoide n = n° di spire x unità di volume

u L = µ0 n i = 2 2

1 2

1 2 µ0

u = 12 ε 0 E 2 + 21µ0 B 2 In assenza di carica ρ = 0 j = 0 le eq. diventano:

B02 µ ni = 2 µ0 2 0

2 2

poiché B0 = µ 0 ni al centro del solenoide

(3) ∇ ⋅ B = 0

(4) ∇ × B = µ 0ε 0

∂Å ∂t

1. Resistore R

ε0 cos ω t = i0 cos ω t R VR (t ) = Ri(t ) = Ri0 cos ω t = V0 R cos ω t i (t ) =

Mutua induzione Nel caso di circuiti concatenati abbiamo definito

φ12 φ 21 = come coeff. di mutua induzione. i1 i2

La corrente e la f.e.m sono in fase 2. Induttore L

La ε 1i indotta nel circuito 1 dovuta alla variazione di i2 e alla conseguente variazione del flusso φ21 concatenato col circuito 1 è ε1i = −

(2) ∇ × E = −

Circuiti a corrente alternata ε (t ) = ε 0 cos ω t

B02 dτ τ 2µ 0

UL = ∫

∂B ∂t

(1) ∇ ⋅ E = 0

Vale la relazione ε = Ri + L

dφ21 di = −M 2 . dt dt

di e poiché R=0 ⇒ dt

i (t ) = i0 cos ω t ,

VL (t ) = L didt = −ω Li0 sin ω t = ω Li0 cos (ωt + π 2 )

Anche se nel circuito 1 non c’è una f.e.m. propria, compare una i1, dovuta alla corrente i2 che varia nel circuito 2 tramite il termine di accoppiamento M.

La corrente è in ritardo sulla f.e.m diπ/2 Reattanza dell’induttore = ωL

Se invece ε 0 ≠ 0 la soluzione generale della (2) sarà

3. Condensatore

C = q / ε (t ) ⇒ q(t ) = Cε 0 cos ω t dq (t ) i (t ) = = ω Cε 0 cos (ω t + π / 2 ) dt

IG2 = {c1 y1 (t ) + c2 y2 (t ) + y (t ) / c1 , c2 ∈ R}

se λ ≠ ±iω ⇒ γ ≠ 0 ⇒ y ( x ) = c3 cos ω t : c3 ∈ R se λ = ±iω ⇒ γ = 0 ⇒ y ( x ) = (c3t + c4 ) cos ω t : c3 , c4 ∈ R

la corrente è in anticipo sulla f.e.m. SE i (t ) = i0 cos ω t

Potenza nei circuiti RLC serie V i Detti Veff = 0 e ieff = 0 si definisce 2 2 1 Potenza media P = Veff ieff cos φ = V0 i0 cos φ 2 cosφ è detto fattore di potenza

i0 cos (ω t − π / 2 ) ωC

VC (t ) =

Reattanza del condensatore = 1/ω ωC

L Circuito RLC serie i (t ) = i0 cos ω t

R φ

L+C V0

V (t ) = V0 cos (ω t + φ )

1  1  2 Se cos φ = 1 ⇒  ω L −  = 0⇒ω = ωC  LC 

V0 = V02R + (V0 L − V0C ) = R 2 + (ω L − 1 ω C ) i0 2

Questo condizione si verifica solo in circuiti prevalentemente resistivi o in condizione di risonanza. In tal caso il carico resistivo:

V0 = z0i0

dove z 0 è l'impedenza della serie 1 ωL − V R ωC tan φ = e cos φ = 0 R = R V0 z0

P = ieff Veff = 12 i0V0 Onde piane E ( x, t ) = Em sin(kx − ω t )

Si ricorda che ω = 2πν

R Definendo: γ = , 2L

ω0 =

B( x , t ) = Bm sin(kx − ω t ) B

1 LC

E e B sono in fase e perpendicolari tra loro

Per tali circuiti vale l’equazione differenziale: (2)

DETTI: ω = 2πν = pulsazione o frequenza angolare 2π = n° d’onda k= λ ω = c velocità della luce k risulta Em = ω = c e inoltre c = 1 = 3 ⋅108 m / s

che nel caso in cui è assente la f.e.m. ( ε 0 = 0 ) d 2q dq q + R + = 0 (1) a cui è associata l’equazione dt 2 dt C

caratteristica Lλ 2 + Rλ + 1/ C = 0 soluzioni sono: λ=−

cui

R 1 R2 ±i − = −γ ± i γ 2 − ω 02 2L LC 4 L

{ = {( A + Bt )e

} / A, B ∈ R}

se λ1 ≠ λ2 ⇒ IG1 = Ae− λ1t + Be − λ2t / A, B ∈ R se λ1 = λ2 ⇒ IG1

− λ1t

poiché B = E / c = E µ0ε 0 risulta…

γ 2 > ω 02 ⇒ R 2 > 4 L / C

i (t ) = e−γ t ( Aet b)

γ 2 −ω02

+ Be − t

µ0 ε 0

Vettore di Poynting 1 1 S= E × B in modulo S = EB [W/m2] µ0 µ0

PERTANTO: Smorzamento forte

γ 2 −ω02

)

Smorzamento critico

γ = ω 02 ⇒ R 2 = 4 L / C i (t ) = e−γ t ( A + Bt )

1 2 c 2 E = B µ0c µ0

la densità di energia elettrica e magnetica: uE = 12 ε 0 E 2 uB = 21µ0 B 2 utot = uB + uE

delevata

d 2q dq q ε 0 cos ω t = L 2 + R + dt dt C

Smorzamento debole

γ < ω 02 ⇒ R 2 < 4 L / C 2

I = S medio =

i (t ) = De −γ t sin(ω t + φ ) , ω = ω02 − γ 2

L’intensità: =

Resistenza critica Rc = 2 L / C

1 2 1 E = Em2 = µ 0c 2 µ 0c

1 1 Em Bm = Eeff Beff 2µ0 µ0

Inoltre…

Legge di spostamento di Wien λMAX = 2898 ⋅ T −1µ m (T in °K) λMAX è la lunghezza d’onda a cui si ha il massimo

Iθ  Eθ  =   ⇒ Iθ = 4 I 0 cos 2 β I 0  E0  ( Iθ )MAX = 4 I 0  ⇒   π dx  2 πd sin θ  = 4 I0 cos 2    Iθ = 4 I0 cos   λ   λL   NB: nota la lunghezza d’onda nel vuoto λ0 è

dell’intensità della radiazione emessa

Riflessione e rifrazione κ = direzione (d’incidenza, di riflessione,ecc…) La velocità di propagazione nel mezzo:

λν 1 = v1 2π ω κ1 = = λ1 v1

λ2ν = v2 2π ω e κ2 = = λ2 v2

λ1 v1 = λ2 v2

⇒

possibile determinare la lunghezza d’onda nel

λ0 . n Diffrazione di FRAUNHOFER mezzo λ =

κ 1 v2 = κ 2 v1

Def.: si chiama “indice di rifrazione rispetto al vuoto” – e si indica n – il rapporto n =

MIN MAX

c vmezzo

sin α  sin α  Eθ = Em ⇒ Iθ = I m   α  α  MIN m=1,2,… α = mπ MAX α = (2m + 1)π / 2 m=1,2,… φ π CMQ.: α = = a sin θ 2 λ  f tan θ sx = ∆xsx Geometricamente risulta:   f tan θ dx = ∆xdx 2

III legge (legge di Snell): n1 sin θ1 = n2 sin θ 2

c e v1

n2 =

c v2

Nel passaggio vuoto-mezzo

sin θ vuoto c c = = n2 sin θ 2 c v2

nacqua=1.33;

naria≈1

Interferenza MAX d sin θ = mλ MIN d sin θ = (2m + 1)λ / 2 L Il passo fra 2 max ∆x = λ d

m=1,2,… m=1,2,…

L’intensità delle onde di diffrazione

I legge: le onde riflesse e trasmesse giacciono nello stesso piano di quello incidente II legge: θ i = θ r

dove: n1 =

d sin θ = mλ d sin θ = (2m + 1)λ / 2

P r1 d

Intensità le leggi del campo E relative ai due raggi r1 e r2 sono E1 = E0 sin ω t , E2 = E0 sin(ω t + φ )

∆xsx

∆xdx

θ f L

Specchi sferici Equazione degli specchi sferici 1 1 2 − =− p q R Lenti sottili Equazione delle lenti sottili 1 1 1 1 1 1 + = dove: = (n − 1)  −  p q f f  r1 r2  essendo r1 e r2 i raggi di curvatura dei diottri ed n l’indice di rifrazione della lente

2π d sin θ λ E = E1 + E2 = Eθ sin(ω t + β ) φ πd dove: β = = sin θ 2 λ Eθ = 2Ε 0 cos β ⇒ ( Eθ =0 ) MAX = 2Ε 0 1 1 E02 ⇒ I MAX = 4 E02 = 4 I 0 Poiché I 0 = 2 µ0c 2 µ0c dove: φ =

(vettore di Poynting)

I MAX = 4 I 0