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MATRICI E SISTEMI
MATRICI E OPERAZIONI Matrici, somma e prodotto (definizioni, esempi, non commutativit`a del prodotto, legge di annullamento del prodotto). Potenze e inverse di matrici quadrate (definizioni e propriet` a). Determinanti.
Esercizio 1 Scrivere per esteso le seguenti matrici: 1) A = (aij ) con aij = 2i + 3j per i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4; √ 2) B = (bij ) con bij = sin iπ + cos jπ + ij 10 con i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4; 1 ) con i, j = 1, 2, 3, 4. 3) H = ( i+j−1
La matrice H `e detta matrice di Hilbert (qui scritta per l’ordine 4 ed estendibile per l’ordine n qualsiasi) ed `e utilizzata per testare vari algoritmi numerici. Esercizio 2 Senza scrivere tutta la matrice, scrivere la diagonale principale di: 1) (4i − j 2 ) con i, j = 1, 2, 3; iπ ) cos( ) con i, j = 1, 2, 3, 4. 2) sin( iπ 4 4
Esercizio 3 Siano date le matrici 11 2 1 0 2 A= , B= , C= . 10 −1 1 −2 1 1) Calcolare: i) 2A − B; ii) 3A + 2B − 4C; iii) − 2A + B + 2C − 2B; iv) 3B + 2(2A − C) − (A + B + C); v) 2(A − B + C) − 3(−2B + 3C) + (4C − A + 3B). 2) Risolvere, se possibile, le equazioni matriciali: i) 3X + 2(A − X) + B + 2(C + 2X) = 0; ii) 4A + 2(B + 2X) − 3(C + X + 2A) = 0; iii) 4(A + B + X) + 4(−A − B + X) − 4(A − B + X) = 0. Esercizio 4 Sia A una matrice 1 × 7 e B una matrice 7 × 1. Il prodotto AB `e una matrice: (i) 49 × 1 ,
(ii) 7 × 7 ,
(iii) 1 × 1 ,
(iv) 7 × 1 .
1 Esercizio 5 Sia A = 2 e sia B = 4 5 6 0 . Calcolare AB. 3 Esercizio 6 Sia A =
11 11
eB=
1 −1 . Calcolare AB − BA. 1 −1
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Esercizio 7 Siano date le matrici: A=
1 −1 0 −1 1 1
−2 1 −1 0 1 , B = 2 1 1 , C = 1 1 . 1 1 0 0 −1
Calcolare, quando possibile: i) AC; ii) (BC)A; iii) B + CA; iv) BA; v) B(AT ); vi) 3AT + BC. Esercizio 8 Siano date le matrici: A=
1 1 −1 2
, B=
000 111
1 −1 1 , C = −1 2 3 . 1 3 4
Calcolare: i) AT , B T , C T ; ii) P = AB, Q = B T AT , P T ; iii) V = BC, W = C T B T , V T , W T . Esercizio 9 Dire quali delle seguenti matrici sono simmetriche: 414 567 3 −2 L= , M = 5 6 7, N = 1 4 1, −2 5 414 567 R=
12 31
Esercizio 10 Date le matrici:
1 3 , S= 5 2
A=
62 26
3 7 2 −9
5 2 −9 6
7 567 −9 , T = 6 5 6. 6 765 16
, P =
1x 0 1
,
determinare x ∈ R tale che la matrice D = P T AP sia diagonale. Esercizio 11 Mostrare che: 1) se Y `e un vettore colonna con entrate reali, allora Y T Y = 0 se e solo se Y = 0; 2) dati una matrice quadrata reale A e un vettore colonna reale Z, allora AT AZ = 0 se e solo se AZ = 0; 3) date una matrice quadrata reale A e una matrice reale X, allora AT AX = 0 se e solo se AX = 0. Esercizio 12 Date due matrici A e B che soddisfano le uguaglianze AB = 0 e BA = 0, dire, giustificando la risposta, se sono vere le seguenti affermazioni: (i) AB = BA; (ii) A o B sono la matrice nulla.
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Esercizio 13 Siano A e B due matrici quadrate che commutano (cio`e tali che AB = BA). Mostrare che: 1) AT e B T commutano; 2) Ap e B q commutano per ogni p, q ∈ N; 3) (AB)m = Am B m per ogni m ∈ N; 4) i polinomi 3A2 − 5A + 6I e 2B + 3I commutano; 5) ogni polinomio matriciale in A commuta con ogni polinomio matriciale in B. Esercizio 14 Verificare che le seguenti coppie di matrici sono una l’inversa dell’altra: 13 5 2 −5 A1 = , A2 = ; 5 2 −5 13 −1 2 −3 −5 4 −3 B1 = 2 1 0 , B2 = 10 −7 6 ; 4 −2 5 8 −6 5 3 −1 1 −1 −3 −2 C1 = −2 1 1 , C2 = −3 −7 −5 ; 1 −1 −2 1 2 1 50 0 1/5 0 0 D1 = 0 1 0 , D2 = 0 1 0 ; 0 0 −2 0 0 −1/2 1/3 −1/3 0 311 1 −1/2 . T1 = 0 1 1 , T2 = 0 0 0 1/2 002
Calcolare anche l’inversa delle seguenti matrici: 5A1 , B1 C1 , 2C1 B2T .
Esercizio 15 Una matrice quadrata A si dice idempotente se A2 = A. 1) Stabilire se esistono valori del parametro reale k tali che la matrice 1k k A = 1 0 0 k 0 0 sia idempotente.
2) Date due matrici quadrate A e B di ordine n, verificare che se AB = A e BA = B allora A `e idempotente. Esercizio 16 Una matrice quadrata A `e nilpotente se esiste p ∈ N tale che Ap = 0; il pi` u piccolo intero p per cui ci` o avviene viene detto indice di nilpotenza. Stabilire se la matrice 1 1 3 A= 5 2 6 −2 −1 −3
`e nilpotente e, in caso positivo, calcolarne l’indice di nilpotenza.
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Esercizio 17 Considerate le matrici:
010 110 A = 0 1 1, E = 0 0 1, 000 001
mostrare che: 1) E 3 = 0;
2) A = I + E e A−1 = I − E + E 2 . Esercizio 18 Mostrare che l’inversa della matrice cos θ sin θ R= − sin θ cos θ `e data da R−1 = RT . Esercizio 19 Determinare una matrice X tale che 3X + (A + B)2 = 2AB , dove A=
−1 2 3 1
eB=
1 2 3 −1
.
Esercizio 20 Dimostrare che, data una matrice quadrata A, si ha che: A2 = I ⇔ (I + A)(I − A) = 0. E’ vero che date due matrici quadrate A e B si ha che A2 = B 2 ⇔ (A + B)(A − B) = 0 ? Esercizio 21 Calcolare i determinanti delle seguenti matrici:
A=
12 11
,
1 1 0 B = 1 −1 1 , 2 1 2
2 −1 1 C = a 1 0, 1 0 2
dove a `e un parametro reale. Esercizio 22 Data la matrice
si ha che:
−1 0 A= 0 0
5 2 0 0
(i) det(A) = 0; (ii) det(A) = 4; (iii) det(A) = 1; (iv) il determinante di A non si pu`o calcolare.
6 −1 1 0
7 0 , 4 −2
1 2 D= −1 2
−1 1 1 1
1 1 0 2
2 0 −2 0
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SVOLGIMENTI
Esercizio 1 1) Si ha
e quindi
a11 = 2 · 1 + 3 · 1 = 5, a21 = 2 · 2 + 3 · 1 = 7, a31 = 2 · 3 + 3 · 1 = 9,
a12 = 2 · 1 + 3 · 2 = 8, a22 = 2 · 2 + 3 · 2 = 10, a32 = 2 · 3 + 3 · 2 = 12,
a13 = 2 · 1 + 3 · 3 = 11, a23 = 2 · 2 + 3 · 3 = 13, a33 = 2 · 3 + 3 · 3 = 15,
a14 = 2 · 1 + 3 · 4 = 14, a24 = 2 · 2 + 3 · 4 = 16, a34 = 2 · 3 + 3 · 4 = 18
5 8 11 14 A = 7 10 13 16 . 9 12 15 18
2) Si ha
√ √ √ √ b12 = sin π + cos 2π + 2 10√= 1 + 2 10,√ b11 = sin π + cos π + 10 √ √ = −1 + 10, b21 = sin 2π + cos π + 2√10 = −1 + 2√10, b22 = sin 2π + cos 2π + 2 · 2√10 = 1 + 4√10, b31 = sin 3π + cos π + 3 10 = −1 + 3 10, b32 = sin 3π + cos 2π + 3 · 2 10 = 1 + 6 10, √ √ √ √ b13 = sin π + cos 3π + 3 10√= −1 + 3 10,√ b14 = sin π + cos 4π + 4 10√= 1 + 4 10,√ b23 = sin 2π + cos 3π + 2 · 3√10 = −1 + 6√10, b24 = sin 2π + cos 4π + 2 · 4√10 = 1 + 8 √10, b33 = sin 3π + cos 3π + 3 · 3 10 = −1 + 9 10, b34 = sin 3π + cos 4π + 3 · 4 10 = 1 + 12 10,
e quindi
√ √ √ √ −1 + √10 1 + 2√10 −1 + 3√10 1 + 4√10 B = −1 + 2√10 1 + 4√10 −1 + 6√10 1 + 8 √10 . −1 + 3 10 1 + 6 10 −1 + 9 10 1 + 12 10
3) Risulta
H=
1 1+1−1 1 2+1−1 1 3+1−1 1 4+1−1
1 1+2−1 1 2+2−1 1 3+2−1 1 4+2−1
1 1+3−1 1 2+3−1 1 3+3−1 1 4+3−1
1 1+4−1 1 2+4−1 1 3+4−1 1 4+4−1
1 1/2 = 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
1/3 1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 . 1/6 1/7
Esercizio 2 Gli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata A = (aij ) sono gli elementi aii . 1) Se aij = 4i − j 2 con i, j = 1, 2, 3, allora allora aii = 4i − i2 e quindi a11 = 4 − 1 = 3,
a22 = 4 · 2 − 22 = 4,
a33 = 4 · 3 − 32 = 3.
jπ iπ iπ 2) Se aij = sin iπ 4 cos 4 con i, j = 1, 2, 3, 4, allora aii = sin 4 cos 4 e quindi
π π 1 cos = , 4 4 2 3π 1 3π cos =− , = sin 4 4 2
π π cos = 0, 2 2
a11 = sin
a22 = sin
a33
a44 = sin π cos π = 0.
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Esercizio 3 1) Utilizziamo l’algebra delle matrici per semplificare le espressioni, quando possibile: risulta 11 2 1 22 2 1 0 1 i) 2A − B = 2 − = − = , 10 −1 1 20 −1 1 3 −1 33 4 2 0 8 7 −3 ii) 3A + 2B − 4C = + − = , 30 −2 2 −8 4 9 −2 −2 − 2 −2 − 1 + 4 −4 1 iii) −2A + B + 2C − 2B = −2A − B + 2C = = , −2 + 1 − 4 −1 + 2 −5 1 iv) 3B + 2(2A − C) − (A + B + C) = = 3B + 4A − 2C − A − B − C
= 2B + 3A − 3C 2 1 11 0 2 =2 +3 −3 −1 1 10 −2 1 7 −1 = , 7 −1
v) 2(A − B + C) − 3(−2B + 3C) + (4C − A + 3B) = = 2A − 2B + 2C + 6B − 9C + 4C − A + 3B = A + 7B − 3C 2 1 11 0 2 = +7 −3 −1 1 10 −2 1 9 2 = . 12 −2
2) Utilizziamo l’algebra delle matrici per isolare l’incognita X, quando possibile: i) si ha 3X + 2(A − X) + B + 2(C + 2X) = 0 3X + 2A − 2X + B + 2C + 4X = 0
5X = −2A − B − 2C 1 X = − (2A + B + 2C) 5
e quindi risulta 2 X=− 5
11 10
1 − 5
2 1 −1 1
2 − 5
0 2 −2 1
=
− 54 − 57 3 3 5 −5
ii) si ha 4A + 2(B + 2X) − 3(C + X + 2A) = 0 4A + 2B + 4X − 3C − 3X − 6A = 0
4X = 2A − 2B + 3C
.
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e quindi risulta 1 X= 2
11 10
1 − 2
2 1 −1 1
3 + 4
0 2 −2 1
=
3 2 1 4
− 21 − 12
.
iii) si ha 4(A + B + X) + 4(−A − B + X) − 4(A − B + X) = 0 (A + B + X) + (−A − B + X) − (A − B + X) = 0
A+B+X −A−B+X −A+B−X = 0
B+X −A = 0
e quindi risulta X=
11 10
−
2 1 −1 1
=
−1 0 2 −1
.
Esercizio 4 Le dimensioni della matrice prodotto, quando esiste, si ottengono con la regola (m × n)(n × p) = m × p, quindi AB `e di tipo 1 × 1.
Esercizio 5 Risulta 1 1·4 2 4 5 6 0 = 2·4 3 3·4
1·5 2·5 3·5
Esercizio 6 Si ha 11 1 −1 1·1+1·1 = 11 1 −1 1·1+1·1
1 −1 1 −1
11 11
=
1·0 4 5 6 0 2 · 0 = 8 10 12 0 . 3·0 12 15 18 0
1·6 2·6 3·6
1 · (−1) + 1 · (−1) 1 · (−1) + 1 · (−1)
1 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + (−1) · 1
1 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + (−1) · 1
=
e quindi AB − BA = AB =
2 −2 2 −2
.
Esercizio 7 i) Risulta AC =
1 −1 0 −1 1 1
0 1 1 1 = −1 0 . 1 −1 0 −1
=
2 −2 2 −2
00 00
,
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ii) Si ha
−2 1 −1 0 1 10 BC = 2 1 1 1 1 = 1 2 1 1 0 0 −1 12
e quindi
10 1 −1 0 1 −1 0 (BC)A = 1 2 = −1 1 2 . −1 1 1 12 −1 1 2
iii) Risulta
−2 B + CA = 2 1 −2 = 2 1
1 −1 0 1 1 −1 0 1 1 +1 1 −1 1 1 1 0 0 −1 1 −1 −1 1 1 −3 2 0 1 1 + 0 0 1 = 2 1 2 . 1 0 1 −1 −1 2 0 −1
iv) Il prodotto BA non esiste, in quanto B `e di tipo 3 × 3 ed A `e di tipo 2 × 3. v) Si ha 1 −1 AT = −1 1 0 1 e quindi
−2 1 −1 1 −1 −3 2 B AT = 2 1 1 −1 1 = 1 0 . 1 1 0 0 1 0 0
vi) Risulta
4 −3 1 −1 −2 1 −1 0 1 3AT + BC = 3 −1 1 + 2 1 1 1 1 = −2 5 . 0 −1 1 5 0 1 1 1 0
Esercizio 8 i) Si ha AT =
1 −1 1 2
,
01 BT = 0 1 , 01
(com’era prevedibile, perch´e C `e simmetrica).
1 −1 1 C T = −1 2 3 = C 1 3 4
ii) Risulta
1 1 000 111 P = AB = = , −1 2 111 222 01 12 1 −1 Q = B T AT = 0 1 = 1 2, 1 2 01 12
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MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
e quindi P T = (AB)T = B T AT = Q. iii) Risulta 1 −1 1 0 0 0 −1 2 3 = V = BC = , 148 1 3 4 1 −1 1 01 01 W = C T B T = CB T = −1 2 3 0 1 = 0 4 , 1 3 4 01 08 T = (BC)T = C T B T = W e W T = V T = V .
e quindi V T
000 111
Esercizio 9 L, N e T sono simmetriche (aij = aji per ogni i, j), mentre non sono simmetriche M (ad esempio a13 6= a31 ), R (a12 6= a21 ) ed S (a14 6= a41 ). Esercizio 10 Calcoliamo D = P T AP . Si ha 1 0 62 1x 1 0 6 6x + 2 6 6x + 2 D= = = . x1 26 0 1 x1 2 2x + 6 6x + 2 6x2 + 4x + 6 Dunque D `e diagonale (cio`e aij = 0 se i 6= j) se e solo se 6x + 2 = 0, ossia x = −2/6.
Esercizio 11 1) Sia
y1 Y = ... . yn
Allora
y1 Y T Y = y1 · · · yn ... = y12 + ... + yn2 yn
e quindi Y T Y = 0 se e solo se y12 + ... + yn2 = 0, il che, essendo gli yi reali, equivale a y1 = y2 = ... = yn = 0, cio`e Y = 0. 2) Se Z = 0, non c’`e nulla da dimostrare. Supponiamo allora Z 6= 0. In questo caso, la relazione AT AZ = 0 equivale a Z T AT AZ = 0 (ottenuta moltiplicando ambo i membri per Z T 6= 0), ossia a (AZ)T AZ = 0. Ma AZ `e un vettore colonna reale e quindi (AZ)T AZ = 0 significa AZ = 0, per quanto provato al punto precedente. 3) Se A `e di tipo m × m, perch´e il prodotto AT AX abbia senso, X deve essere di tipo m × n. Indichiamo con X1 , ..., Xn le colonne di X (ciascuna di tipo m × 1), in modo che x11 · · · x1n X = ... . . . ... = X1 X2 · · · Xn . xm1 · · · xmn
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MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
Osserviamo ora che, se
a11 · · · a1m M = ... . . . ... am1 · · · amm
`e una qualsiasi matrice di tipo m × m, le colonne del prodotto x11 · · · x1n a11 · · · a1m M X = ... . . . ... ... . . . ... xm1 · · · xmn am1 · · · amm a11 x11 + ...a1m xm1 · · · a11 x1n + ...a1m xmn .. .. .. = . . . am1 x11 + ...amm xm1 · · · a11 x11 + ...a1m xm1
sono
a11 x11 + ...a1m xm1 x11 a11 · · · a1m .. M X1 = ... . . . ... ... = . am1 x11 + ...amm xm1 xm1 am1 · · · amm ...... a11 x1n + ...a1m xmn x1n a11 · · · a1m .. M Xn = ... . . . ... ... = , .
am1 · · · amm
cio`e
xmn
a11 x11 + ...a1m xm1
M X = M X1 M X2 · · · M Xn .
Allora, prendendo M = AT A, risulta
AT AX = AT AX1 · · · AT AXn
e quindi AT AX = 0 se e solo se AT AX1 = ... = AT AXn = 0. Ma le Xj sono colonne reali e quindi, per quanto dimostrato al punto precedente, AT AX1 = ... = AT AXn = 0 significa AX1 = ... = AXn = 0. Ci`o equivale ad AX = 0, in quanto (prendendo questa volta M = A) si ha AX = AX1 · · · AXn . Esercizio 12 La (i) `e ovviamente vera, perch AB = 0 = BA. La (ii) invece `e falsa, perch´e prendendo ad esempio 10 00 A= 6= 0, B = 6= 0 00 01 si ottiene AB = BA = 0.
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Esercizio 13 1) Se BA = AB, risulta AT B T = (BA)T = (AB)T = B T AT . 2) Se p = 0 oppure q = 0, allora una tra Ap e B q `e la matrice identica e quindi risulta Ap B q = B q Ap banalmente. Se p, q ≥ 1, allora Ap B q = Ap−1 ABB q−1 = Ap−1 BAB q−1 = Ap−2 ABAB q−1 = Ap−2 BAAB q−1 = Ap−2 BA2 B q−1 = ... = BAp B q−1 e procedendo nello stesso modo si pu`o cambiare posto a tutti i fattori B ad uno ad uno, fino ad ottenere Ap B q = B q Ap . 3) Se m = 1, allora risulta (AB)m = Am B m banalmente. Per m ≥ 2, potremmo ragionare in modo simile al punto (2), esplicitando la potenza (AB)m , ma conviene procedere per induzione: supponiamo (AB)m−1 = Am−1 B m−1 e deduciamo (AB)m = Am B m . Si ha (AB)m = (AB)m−1 AB = Am−1 B m−1 AB = Am−1 AB m−1 B = Am B m dove si `e usata l’uguaglianza B m−1 A = AB m−1 dimostrata al punto (2). 4) Applicando ripetutamente la distributivit`a della somma rispetto al prodotto, si ottiene (3A2 − 5A + 6I)(2B + 3I) = (3A2 − 5A + 6I)2B + (3A2 − 5A + 6I)3I
= 6A2 B − 10AB + 12B + 9A2 − 15A + 18I
e (2B + 3I)(3A2 − 5A + 6I) = 2B(3A2 − 5A + 6I) + 3I(3A2 − 5A + 6I)
= 6BA2 − 10BA + 12B + 9A2 − 15A + 18I.
Poich´e A2 B = BA2 per quanto dimostrato al punto (2), i secondi membri risultano uguali e quindi lo stesso vale per i primi. 5) Si ragiona come al punto (4): si ottiene # ! " n ! m n m X m n X X X X X ai bj Ai B j ai Ai bj B j = bj B j = ai Ai i=0
e
j=0
j=0
i=0
j=0 i=0
! n m m m m X n X X X X X bj B j bj ai B j Ai , bj B j ai Ai = ai Ai = j=0
i=0
i=0
j=0
j=0 j=0
dove ai bj = bj ai perch´e il prodotto di numeri reale `e commutativo e Ai B j = B j Ai per quanto dimostrato al punto (2).
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Esercizio 14 Per verificare che due matrici sono l’una l’inversa dell’altra `e sufficiente controllare che il loro prodotto (in un ordine qualsiasi) dia la matrice identica1 ; ad esempio 13 5 2 −5 13 · 2 + 5 (−5) 13 (−5) + 5 · 13 10 A1 A2 = = = . 5 2 −5 13 5 · 2 + 2 (−5) 5 (−5) + 2 · 13 01 Lasciamo al lettore il calcolo degli altri prodotti. L’inversa di 5A1 `e 15 A1−1 = 51 A2 (in generale: (λA)−1 = λ−1 A−1 per ogni λ 6= 0 e A invertibile).
L’inversa di B1 C1 `e (B1 C1 )−1 = B1−1 C1−1 (l’inversa del prodotto di matrici invertibili `e il prodotto delle inverse in ordine inverso) e quindi, poich´e B1−1 = B2 e C1−1 = C2 , risulta (B1 C1 )−1 = B2 C2 . −1 −1 −1 T −1 = 12 B2T L’inversa di 2C1 B2T `e 2C1 B2T C1 = 12 B2−1 C1−1 (in generale: AT = −1 T −1 −1 = A−1 per ogni A invertibile) e quindi, poich´e B2 = B1 e C1 = C2 , risulta 2C1 B2T 1 T C . B 2 2 1 Esercizio 15 1) Si ha 1 kk 1kk 1 + k + k2 k k A2 = 1 0 0 1 0 0 = 1 k k , k 0 0 k 0 0 k k2 k2
quindi A `e idempotente se e solo se 1 + k + k2 k k 1kk 1 k k = 1 0 0, k k2 k2 k 0 0
ossia
1 + k + k2 = 1 k=0 , 2 k =0
che `e soddisfatto per k = 0.
2) Scrivendo l’uguaglianza AB = A come A = AB e moltiplicando a destra per A si ottiene A2 = ABA. Sostituendo ora BA = B prima e AB = A poi, si conclude A2 = ABA = AB = A. Esercizio 16 Si ha
1 1 3 1 1 3 0 0 0 A2 = 5 2 6 5 2 6 = 3 3 9 −2 −1 −3 −2 −1 −3 −1 −1 −3
e
000 0 0 0 1 1 3 A3 = A2 A = 3 3 9 5 2 6 = 0 0 0 . 000 −1 −1 −3 −2 −1 −3
Dunque A ha indice di nilpotenza p = 3. 1
infatti, AB = I implica det A det B = 1 e quindi entrambe A e B risultano invertibili, per cui da AB = I segue A = B −1 moltiplicando ambo i membri a destra per B −1
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
13
Esercizio 17 1) Si ha
e quindi
010 010 001 E2 = 0 0 1 0 0 1 = 0 0 0 000 000 000
2) Si ha
000 001 010 E3 = E2E = 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 . 000 000 000
100 I + E = 0 1 0 J /R1510.9091T19.5602TJ /R19 10.10.1Tf 9TJ T*[([(0)-5]TJ T*[(@)-5]TJ /R1110.9091Tf 11.519911.2 001
14
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
e pertanto X=
1 3
−14 −8 12 −14
=
−14/3 −8/3 4 −14/3
.
Esercizio 20 Distribuendo il prodotto rispetto alla somma, si ha (I + A) (I − A) = (I + A) I − (I + A) A = I + A − A − A2 = I − A2 e quindi (I + A) (I − A) = 0 equivale a I − A2 = 0, cio`e I = A2 . Procedendo come sopra, si ottiene
(A + B) (A − B) = (A + B) A − (A + B) B = A2 + BA − AB − B 2 e quindi risulta (A + B) (A − B) = 0 se e solo se A2 + BA − AB = B 2 , che non equivale ad A2 = B 2 , a meno che A e B commutino. La risposta `e dunque negativa.
Esercizio 21 • Si ha
1 2
= a11 a22 − a12 a21 = 1 − 2 = −1. det A =
1 1
• Calcoliamo il determinante di B sviluppando rispetto alla prima riga (che contiene uno 0):
1 1 0
−1 1
1 1
−1 1
1+1 1+2 1+3
det B = 1 −1 1 = (−1) a11
a12
a13
+ (−1)
+ (−1)
1 2 2 2 1 2
2 1 2
−1 1 1 1
−
= (−2 − 1) − (2 − 2) = −3. =
1 2 2 2
• Calcoliamo il determinante di C sviluppando rispetto alla terza colonna (che contiene uno 0):
2 −1 1
a 1
2 −1
2 −1
1+3 2+3 3+3
det C = a 1 0 = (−1) a13
a23
a23
+ (−1)
+ (−1)
1 0 1 0 a 1
1 0 2
a 1
2 −1
+ 2
=
a 1 = −1 + 2 (2 + a) = 3 + 2a. 1 0
• Iniziamo il calcolo del determinante di D sviluppando rispetto alla quarta colonna (che contiene due elementi nulli):
1 −1 1 2
2 1 1
1 −1 1
2 1 1 0
= (−1)1+4 a14 −1 1 0 + (−1)3+4 a34 2 1 1
det D =
−1 1 0 −2
2 1 2
2 1 2
2 1 2 0
2 1 1
1 −1 1
= −2
−1 1 0
+ 2
2 1 1
.
2 1 2
2 1 2
15
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
A questo punto potremmo procedere sviluppando direttamente i due determinanti 3×3 ottenuti. D’altra parte, un determinante non cambia operando trasformazioni elementari del primo tipo (cio`e sommando ad una riga o colonna un multiplo non nullo di un’altra), quindi semplifichiamo il loro calcolo facendo comparire un maggior numero di zeri: si ha
2 1 1
2 1 1
−1 1 0 R3 →R=3 −2R1 −1 1 0 = (−1)1+3 −1 1 = 1 + 2 = 3
−2 −1
2 1 2
−2 −1 0
e
1 −1 1
−R
2 1 1 R2 →R =2 1
2 1 2
1 −1 1
1 2 0 R3 →R=3 −2R1
2 1 2
Dunque det D = −2 (3) + 2 (3) = 0.
1 −1 1
1 2 0 = (−1)1+3 1 2 = 3.
0 3
0 3 0
Esercizio 22 Ovviamente l’affermazione (iv) `e falsa, perch´e il determinante di una matrice esiste se e solo se la matrice `e quadrata. In questo caso, la matrice A `e triangolare superiore e perci`o, siccome il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore) `e il prodotto degli elementi della sua diagonale, risulta det A = a11 a22 a33 a44 = (−1) (2) (1) (−2) = 4.