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MATRICI E SISTEMI
RIDUZIONE E RANGO Riduzione di matrici (definizioni, trasformazioni elementari). Calcolo del rango e dell’inversa (metodo di Gauss, metodo di Gauss-Jordan).
Esercizio 1 Ridurre per righe la matrice
1 2 3 4 A = 5 6 7 8 . 9 10 11 12
Esercizio 2 Ridurre le seguenti matrici:
−1 1 −1 0 2 A = 3 4 1, B = 1 2 5 1 0
4 0 0 0
0 −1 0 1
0 1 030 1 , C = −1 1 1 0 0 k 011 0
dove k `e un parametro reale. Esercizio 3 Calcolare il rango delle matrici
0 1 A = 1 1 0 −1
1 2 e B= 3 4
5 6 7 8
9 10 . 11 12
Esercizio 4 Calcolare il rango delle seguenti matrici, al variare del parametro k reale: 123 k 1 1 k −k 0 1 A = k 1 4 , B = 1 k 1 , C = 1 −2 −1 0 . 437 1 1k 0 1 k 1 Esercizio 5 Calcolare, se possibile, l’inversa delle seguenti matrici: 1 135 123 −1 12 A= , B = 0 1 7, C = 2 5 3, D = 1 13 001 108 2 Esercizio 6 Siano date le matrici A=
2 1 −1 10 3
1 3 e B = 2 −3 . 0 1
Stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) det(A) = 0;
−1 0 −2 −1
2 1 5 1
1 2 . 4 −1
MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango
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(ii) non `e possibile effettuare il prodotto AB; (iii) il rango di A `e 2; 4 (iv) AB = . 1 Esercizio 7 Data la matrice A =
h −2 , stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere 2 h
e quali false: (i) ρ(A) = 2 per ogni valore di h ∈ R; (ii) ρ(A) = 2 per ogni valore di h ∈ C; (iii) det A = −4 per h = 0; (iv) ρ(A) = 4 perch´e A non `e la matrice nulla. Esercizio 8 Data una matrice quadrata A di ordine 2, stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) A + At `e una matrice simmetrica; (ii) se A ha rango massimo, anche A + At ha rango massimo; (iii) se det A = 1, allora det(2A) = 2; (iv) se det A = 1, allora det(AB) = det B per ogni matrice B quadrata di ordine 2.
MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango
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SVOLGIMENTI
Esercizio 1 Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. Usiamo a11 = 1 per annullare a21 e a31 : R2 →R2 −5R1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 R →R3 −9R1 0 6 − 10 7 − 15 8 − 20 = 0 −4 −8 −12 . A = 5 6 7 8 3 −→ 0 −8 −16 −24 9 10 11 12 0 10 − 18 11 − 27 12 − 36 Usiamo a22 = −4 per annullare a32 : 1 2 3 4 1 2 3 4 R →R3 −2R2 0 −4 −8 −12 A −→ 0 −4 −8 −12 3 −→ 0 −8 −16 −24 0 0 0 0 (ma uno qualsiasi tra −4, −8, −12 pu`o essere scelto come elemento speciale). Ogni riga non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione `e conclusa.
Esercizio 2 Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. • Poich´e la prima riga di A ha gi` a un elemento nullo, conviene ridurre per colonne. Usiamo a11 = 1 per annullare a12 : 1 −1 0 100 C →C2 +C1 3 7 1. A = 3 4 1 2 −→ 2 5 1 2 71 Usiamo ora a22 = 7 per annullare a23 : 1 0 0 1 0 0 C →C − 1 C 2 3 3 −→ 7 3 7 0 A −→ 3 7 1 2 7 0 2 71 (ma anche a32 = 7 pu`o essere scelto come elemento speciale). Ogni colonna non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione `e conclusa. • La matrice B `e gi` a ridotta per righe (su ogni riga non nulla c’`e almeno un elemento speciale): −1 4 0 0 2 0 −1 1 B= 1 0 0 0 . 0 0 1 0 • Riduciamo per righe la matrice C. Guardando l’ultima colonna, si vede che lo scambio R1 ↔ R3 fa gi` a apparire un elemento speciale sulla prima riga, dopodich´e procediamo come al solito: 1 030 k 011 k 011 R1 ↔R3 3 +R2 −1 1 1 0 R3 →R −1 1 1 0 . C = −1 1 1 0 −→ −→ k 011 1 03 0 0 14 0 Ogni riga non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione `e conclusa.
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MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango
Esercizio 3 Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. Poich´e le trasformazioni elementari non cambiano il rango di una matrice, procediamo alla riduzione in modo da leggere poi facilmente il rango sulla matrice ridotta. Siccome le matrici hanno pi` u righe che colonne, conviene ridurre per colonne. • Circa la matrice A, si ha
0 1 1 0 C ↔C 1 2 A = 1 1 −→ 1 1 0 −1 −1 0 dove la seconda matrice `e ridotta per colonne (ogni colonna non nulla ha almeno un elemento speciale), quindi il suo rango `e immediatamente dato dal numero di colonne non nulle, cio`e 2. Dunque ρ(A) = 2. • Per la matrice B, si ottiene 15 9 C2 →C2 −5C1 2 6 10 C 3 →C3 −9C1 B= −→ 3 7 11 4 8 12
1 0 0 2 −4 −8 C3 →C3 −2C2 −→ 3 −8 −16 4 −12 −24
1 2 3 4
0 −4 −8 −12
0 0 , 0 0
dove tutte le matrici scritte hanno lo stesso rango e la matrice finale `e ridotta per colonne con 2 colonne non nulle. Dunque ρ(B) = 2.
Esercizio 4 La matrici contengono un parametro k da discutere, quindi, volendo procedere tramite riduzione, conviene che gli elementi contenenti k siano coinvolti nel processo il pi` u tardi possibile. Si tenga anche presente che, per matrici quadrate, il rango `e massimo se e solo se il determinante non si annulla; imponendo tale condizione si trovano quindi i valori del parametro per cui il rango `e pari all’ordine della matrice, dopodich´e restano da considerare solo i valori di k del per cui il rango non `e massimo, che tipicamente sono in numero finito e possono essere studiati direttamente. • Si ha
R →R − 3 R 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R2 →R2 − 21 R1 123 3 2 1 R2 ↔R3 3 −R2 4 0 5/2 5/2 0 5/2 R3 →R 4 3 7 3 −→ −→ A = k 1 4 −→ k−3 0 0 k − 1/2 0 5/2 k 14 437
dove l’ultima matrice `e ridotta per righe ed ha 2 oppure 3 righe non nulle a seconda che sia k = 3 oppure k 6= 3, rispettivamente. Dunque 2 se k = 3 ρ(A) = 3 se k 6= 3. • Nel caso della matrice B, che presenta tanti elementi contenenti il parametro, ricorriamo al determinante. Si ha
k 1 1
k 1 1 1 1 k
= k k2 − 1 − 2k + 2
+
det B = 1 k 1 = k
−
11 1k 1k
1 1 k
= k (k − 1) (k + 1) − 2 (k − 1) = (k − 1) k2 + k − 2 = (k − 1)2 (k + 2)
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MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango
e dunque det B = 0 ⇔ k = 1, −2. Ci`o significa che ρ(B) = 3 per ogni k 6= 1, −2. Studiamo ora i casi restanti. Se k = 1, allora si ha 1 1 1 R2 →R2 −R1 1 1 1 R →R3 −R1 0 0 0 B = 1 1 1 3 −→ 000 111 e dunque ρ(B) = 1. Se k = −2, allora si ha R2 →R2 −R1 −2 1 1 −2 1 1 −2 1 1 R3 →R3 +2R1 R3 →R3 +R2 3 −3 0 3 −3 0 B = 1 −2 1 −→ −→ 1 1 −2 −3 3 0 0 0 0 e dunque ρ(B) = 2. In definitiva 1 se k = 1 ρ(B) = 2 se k = −2 3 altrimenti. • Per la matrice C, si ottiene k −k 0 1 k −k 0 1 k −k 0 1 R →R3 −R1 R →R3 +kR2 C = 1 −2 −1 0 3 −→ 1 −2 −1 0 3 −→ 1 −2 −1 0 0 1 k 1 −k 1 + k k 0 0 1−k 0 0 (si ricordi che la trasformazione Ri → Ri + λRj `e ammessa anche se λ = 0) e dunque 2 se k = 1 ρ(C) = 3 se k 6= 1.
Esercizio 5 • Poich´e
1 2
= 1 6= 0,
det A =
1 3
l’inversa A−1 esiste. Procediamo al suo calcolo sia mediante l’algoritmo di Gauss-Jordan che tramite complementi algebrici. Mediante algoritmo di Gauss-Jordan, si ottiene
1 2
1 0 R2 →R2 −R1 1 2
1 0 R1 →R1 −2R2 1 0
3 −2 −→ = I | A−1 −→ (A | I) =
0 1 −1 1 0 1 −1 1 13 01
e dunque
A
−1
=
3 −2 −1 1
.
Procedendo tramite complementi algebrici, si tratta di calcolare il complemento algebrico Aij di ciascun elemento aij di A e scrivere la cosiddetta matrice aggiunta di A, cio`e (Aji ); dopodich´e A−1 =
1 (Aji ) . det A
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MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango
Si ha A11 = (−1)1+1 3 = 3, A12 = (−1)1+2 1 = −1, A21 = (−1)2+1 2 = −2, A22 = (−1)2+2 1 = 1, e quindi (Aji ) = (Aij )T =
3 −2 −1 1
.
Essendo det A = 1, si ottiene finalmente A
−1
= (Aji ) =
3 −2 −1 1
.
• Anche per la matrice B, procediamo al calcolo di B −1 (che esisite perch´e det B = 1 6= 0, come si vede subito moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale di B, che `e triangolare) sia mediante l’algoritmo di Gauss-Jordan che tramite complementi algebrici. Mediante algoritmo di Gauss-Jordan (particolarmente semplice perch´e B `e gi`a triangolare), si ottiene
1 3 5
1 0 0 R1 →R1 −5R3 1 3 0
1 0 −5 R →R2 −7R3 0 1 0
0 1 −7 (B | I) = 0 1 7
0 1 0 2 −→
0 0 1 0 0 1 001 001
1 0 0
1 −3 16 R1 →R1 −3R2 −→ 0 1 0
0 1 −7 = I | B −1 0 0 1 0 0 1 e dunque
B −1
1 −3 16 = 0 1 −7 . 0 0 1
Procedendo tramite complementi algebrici, si ha
1+3 0 1
1+2 0 7
1+1 1 7
B11 = (−1)
0 0 = 0,
0 1 = 0, B13 = (−1)
0 1 = 1, B12 = (−1)
3 5
= −3, B22 = (−1)2+2 1 5 = 1, B23 = (−1)2+3 1 3 = 0, B21 = (−1)2+1
0 0
01 01
3+1 3 5
3+2 1 5
3+3 1 3
B31 = (−1)
1 7 = 16, B32 = (−1)
0 7 = −7, B33 = (−1)
0 1 = 1
e quindi
1 −3 16 (Bji ) = (Bij )T = 0 1 −7 . 0 0 1 Essendo det B = 1, si ottiene finalmente B −1
1 −3 16 = (Bji ) = 0 1 −7 . 0 0 1
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MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango
• Poich´e
1 2 3
det C =
2 5 3
= −1 6= 0,
1 0 8
l’inversa C −1 esiste. Procedendo con uno dei metodi gi`a usati ai punti precendenti, si ottiene −40 16 9 C −1 = 13 −5 −3 . 5 −2 −1 • Poich´e
1
−1 det D =
1
2
l’inversa della matrice D non esiste.
−1 0 −2 −1
2 1 5 1
1
2
= 0, 4
−1
Esercizio 6 La (i) `e falsa, o meglio non ha senso, perch´e A non `e quadrata. La (ii) `e falsa, perch´e A `e di tipo m × n e B `e di tipo n × p, per cui il prodotto AB esiste (ed `e di tipo m × p). La (iii) `e vera, ad esempio perch´e A possiede il minore non nullo
2 1
1 0 = −1, che ha ordine 2. La (iv) `e senz’altro falsa, perch´e A `e di tipo 2 × 3 e B `e di tipo 3 × 2, per cui AB deve essere di tipo 2 × 2.
Esercizio 7 Si ha ρ(A) = 2 ⇔ det A 6= 0 (perch´e A `e quadrata di ordine 2) e risulta
h −2
= h2 + 4.
det A =
2 h
Quindi la (i) `e vera, perch´e h2 + 4 6= 0 per ogni h ∈ R, mentre la (ii) e la (iii) sono false, perch´e h2 + 4 = 0 per h = ±2i e det A = 4 se h = 0. La (iv) `e falsa, perch´e il rango di una matrice non pu`o superare nessuna delle sue dimensioni e quindi deve essere ρ(A) ≤ 2 in ogni caso.
Esercizio 8
(i) Vera. Infatti risulta a b a b a c 2a b + c T A= ⇒ A+A = + = c d c d b d c + b 2d
dove b + c = c + b (il risultato `e vero anche per matrici quadrate di ordine maggiore; infatti, se A = (aij ) allora AT = (aji ) ed A + AT = (aij + aji ), dove bij = aij + aji `e tale che bij = aij + aji = aji + aij = bji , essendo la somma aij + aji commutativa).
MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango
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(ii) Falsa. Ad esempio 1/2 1 1/2 1 1/2 0 11 A= ⇒ A + AT = + = 0 1/2 0 1/2 1 1/2 11 dove risulta det A + AT = 0 pur essendo det A = 1/4 6= 0.
(iii) Falsa. Infatti, se det A = 1, allora risulta det (2A) = 22 det A = 4 (si ricordi che per ogni matrice A ∈ Kn,n e per ogni λ ∈ K risulta det (λA) = λn det A). (iv) Vera. Infatti, per ogni B ∈ K2,2 , il prodotto AB `e ben definito e risulta det (AB) = det A det B (teorema di Binet).