Massimi e minimi vincolati in R2Esercizi proposti Esercizio 1. Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = xy vincolati alla circonferenza di equazione x2 + (y − 1)2 = 1. Risultato.
√
3 3 2 , 2) √ ( 23 , 32 )
Punto di minimo (− Punto di massimo Esercizio 2.
Determinare massimo e minimo assoluti, se esistono, della funzione f (x, y) = x + y 2 vincolati alla parabola di equazione y = x2 − x + 14 . Risultato.
√ 3
Punto di minimo ( 1−2 2 ,
1 √ ) 232
Non esiste il massimo assoluto, perch`e la funzione, anche se ristretta al vincolo, non `e superiormente limitata. Esercizio 3. Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = x2 − xy + y 2 vincolati alla circonferenza di equazione x2 + y 2 = 4. Risultato. 1
√ √ √ √ Punto di minimo ( 2, 2) (− 2, − 2) √ √ √ √ Punto di massimo (− 2, 2) ( 2, − 2) Esercizio 4. Determinare i massimi e minimi relativi della funzione √ f (x, y) = 16x2 + y 2 + 16x − 5 3 + 4xy vincolati all’ellisse di equazione x2 + Risultato.
y2 16
= 1.
√
3 2 , 2) √ ( 23 , 2)
Punto di minimo (− Punto di massimo Esercizio 5.
Determinare il massimo e il minimo assoluti della funzione f (x, y) = x2 + 2x + y nella regione A ∩ B ∩ C dove: A = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x}
B = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ −3x}
C = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ −2} . Risultato. Punto di minimo (−1, −2) Punto di massimo (0, 0) Esercizio 6. Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = (x + 2) log(2 + y) nella regione D = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 1} Risultato.
Punto di massimo (1, 1) Punti di minimo: tutti quelli della forma (x, −1), per x ∈ [−1, 1] Esercizio 7. Determinare i massimi e minimi relativi della funzione f (x, y) = x4 + (y − 1)2 nella regione D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 4 − x2 }. Risultato. Punto di minimo (0, 1) Punti di massimo in (−2, 0) e (2, 0) Esercizio 8. Tra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, determinare quello di area massima. Risultato. La soluzione `e data dal quadrato. Esercizio 9. Nel quadrante positivo del piano cartesiano, sia P un punto vincolato a muoversi sulla retta di equazione x + y = 1. Siano rispettivamente Px e Py le proiezioni ortogonali di P sugli assi x e y. Sia infine R(P ) il rettangolo i cui vertici sono P , Px , Py e l’origine. Sia V = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R(P ), 0 ≤ z ≤ 2x + 3y} . Determinare P in modo che il volume di V risulti massimo. Risultato.
√
Punto di massimo ( 4−3 7 ,
√
7−1 3 )
Esercizio 10. Determinare l’ellisse di area massima, tra tutte quelle per cui la somma delle lunghezze degli assi rimane costante. Risultato. La soluzione `e data dalla circonferenza.