FUNZIONI ELEMENTARI ESERCIZI PROPOSTI
√ x2 − 1) (con log si intende loge ).
1) Determinare il dominio di f (x) = log(2x −
2) Determinare dominio ed immagine di f (x) =
√
3) Sia f (x) =
√
4) Sia f (x) =
x−1 ; determinare f −1 ([2, +∞)) . 2−x
sin x − 1 ; disegnarne il grafico.
√ 1 − x+ x + 1 ; determinare il dominio, discutere eventuali simmetrie e l’iniettivit`a.
5) Data la funzione f (x) =
(
x2 − x − 1 se x ≤ 1 4−x
determinare la controimmagine dell’intervallo
,
se x > 1
1 2, 2
.
6) Verificare che la funzione f : R → R definita da f (x) = x2 − 4x + 9 non `e invertibile. Individuare opportune restrizioni di f che siano invertibili e scrivere l’espressione delle loro inverse. 7) Determinare l’intervallo massimale su cui f (x) =
q
1 − |x| + |x − 1|
`e invertibile, disegnandone il grafico. Scrivere l’espressione della funzione inversa e disegnarne il grafico. 8) Individuare opportune restrizioni di f (x) = x2 − 2|x| che siano invertibili. Disegnare i grafici di tali inverse specificandone dominio ed immagine. 1
2
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI PROPOSTI
9) Determinare il dominio di a) f (x) =
q
log(2 − x) − log(x + 1)
b) g(x) = arcsin(2x −
√
x + 1).
10) Provare che le funzioni 1 f (x) = x − x + 1, x ≥ 2 2
e
1 g(x) = + 2
r
3 3 x− , x≥ 4 4
sono una l’inversa dell’altra. 11) Siano f (x) =
2x + 1 , x+2
g(x) =
√ 1 − x.
Determinare i domini di g◦f e di f ◦g. 12) Siano f (x) = x2 + x − 2 ,
g(x) = log(1 − 2x).
Determinare i domini di g◦f e di f ◦g. 13) Verificare che f (x) = (2x + 1)(x − |x − 1|) con dominio [0, +∞) `e iniettiva. Determinare l’immagine di f e la funzione inversa. 14) Date le funzioni f (x) =
(
3x + 2 se x ≤ 1 5x + 6 se x > 1
e
g(x) = 2 − x
esplicitare le funzioni composte g◦f e f ◦g e tracciarne i grafici. 15) Tracciare il grafico della funzione 2x
se 0 ≤ x < 1/2 f (x) = 0 se x = 1/2 2x − 2 se 1/2 < x ≤ 1
e determinarne estremo inferiore, estremo superiore ed eventuali massimo e minimo su [0, 1]. Verificare che la restrizione di f all’intervallo (0, 1) `e una funzione iniettiva.
3
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI PROPOSTI
SOLUZIONI
1) dom(()f ) = [1, +∞) .
2) dom(()f ) =
π
+ 2kπ : k ∈ Z , Im(()f ) = {0} .
2
3) dom(()f ) = [−1, 1] ; f `e pari, dunque non `e iniettiva.
4) f −1 ([2, +∞)) =
5) f −1
1 2, 2
h
=
5 3, 2
.
√ √ 1− 13 1− 7 , 2 2
∪ 2, 27 .
6) f1 : (−∞, 2] → [5, +∞) e f2 : [2, +∞) → [5, +∞) sono restrizioni invertibili di f e si ha che √ √ f1−1 (x) = 2 − x − 5 e f2−1 (x) = 2 + x − 5 . 7) L’intervallo massimale su cui f `e invertibile `e [0, 1] e si ha che f −1 : [0, f −1 (x) =
2−x2 2
√
2] → [0, 1] `e
.
1.0 0.9 0.8 1.0
0.7 0.6 0.5 0.4
0.5 0.3 0.2 0.1 0.0 −2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Fig. 1: Grafico di f (x) =
2.5
p
3.0
0.0
0.5
1 − |x| + |x − 1|, e di f −1 (x) =
1.0
2−x2 2
(esercizio 7)
4
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI PROPOSTI
8) f1 : (−∞, −1] → [−1, +∞) , f2 : [−1, 0] → [−1, 0] f3 : [0, 1] → [−1, 0] f4 : [1, +∞) → [−1, +∞) .
3 0.8
2
0.6
0.4 1 0.2
0 −0.5
0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
−0.9
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0.0 −0.2
−1 −0.4
−2
−0.6
−0.8 −3
Fig. 2: Grafico di f1−1 , f4−1 e di f2−1 , f3−1 (esercizio 8)
9) a) dom(()f ) = (−1, 12 ] , b) dom(()g) = [0, 54 ] .
10) Osserviamo che Im(()f ) = [ 43 , +∞) = dom(()g) e Im(()g) = [ 12 , +∞) = dom(()f ) e che (f ◦ g)(x) = x se x ≥
11) (g ◦ f )(x) =
s
3 4
e (g ◦ f )(x) = x se x ≥ 12 .
3 1−x , dom(()g ◦ f ) = (−2, 1] . (f ◦ g)(x) = 2 − √ , dom(()f ◦ g) = 2+x 1−x+2
(−∞, 1] .
12) dom(()f ◦ g) = (−∞, 21 ) ,
dom(()g ◦ f ) =
√ √ −1− 11 −1+ 11 , . 2 2
5
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI PROPOSTI
13) Im(()f ) = [−1, +∞), f −1 (x) =
( 1√
2 1+x 1 2 (x − 1)
se x ∈ [−1, 3) se x ∈ [3, +∞)
14) (g ◦ f )(x) =
(
(f ◦ g)(x) =
(
−3x
se x ≤ 1
−4 − 5x
se x > 1
8 − 3x
se x ≥ 1
16 − 5x
se x < 1
25
5
20
0 −2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
15 −5
10 −10
5 −15
0 −2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
Fig. 3: Grafico di g ◦ f e f ◦ g (esercizio 14) 15) inf f = −1, sup f = 1; f non ha n`e massimo n`e minimo. [0,1]
[0,1]
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
6
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI PROPOSTI
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1.0
Fig. 4: Grafico di f (esercizio 15)
1.0